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2000_数学辞海（第3卷） | 46 | {\mathrm{i}{\theta }_{2}}{z}_{2},\cdots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{n}}{z}_{n}}\right) \in D \) ,就称 \( D \) 是关于原点的莱因哈特域. 例如, 单位球
\[
{B}_{n} = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1}{\left. \right| }^{2} + {\left| {z}_{2}\right| }^{2} + \cdots }\right.
\]
\[
\left. {+{\left| {z}_{n}\right| }^{2} < 1}\right\}
\]
以及单位多圆柱
\[
{P}_{n} = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1} \mid < 1,}\right.
\]
\[
\left. {\left| {z}_{2}\right| < 1,\cdots ,\left| {z}_{n}\right| < 1}\right\}
\]
都是莱因哈特域. 一般地, 莱因哈特域一定是圆型域, 但圆型域却不一定是莱因哈特域. 例如
\[D = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \left| \right| {z}_{1} + {z}_{2} + \cdots + {z}_{n} \mid < 1}\right\} \]
显然是圆型域, 但不是莱因哈特域. 研究最多的莱因哈特域是由适合条件
\[{\left| {z}_{1}\right| }^{{a}_{1}} + {\left| {z}_{2}\right| }^{{a}_{2}} + \cdots + {\left| {z}_{n}\right| }^{{a}_{n}} < 1\]
的点构成的域,其中 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 为正实数.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的星形域 (starlike domain in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) 平面上星形状的区域的推广. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( 0 \in D \) . 如果对每点 \( z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \in D \) 及一切 \( 0 \leq r < 1 \) 都有 \( {rz} = \left( {r{z}_{1}, r{z}_{2},\cdots, r{z}_{n}}\right) \in D \) ,就称 \( D \) 是关于原点的星形域. 单位球 \( {B}_{n} \) 和单位多圆柱 \( {P}_{n} \) (参见 “莱因哈特域”)都是星形域的例子.
星形圆型域有很好的函数论性质.
多复变全纯函数 (holomorphic functions of several complex variables) 亦称多复变解析函数. 多复变函数论研究的主要对象. 设 \( f : D \rightarrow \mathrm{C} \) 是定义在域 \( D \subset {\mathrm{C}}^{n} \) 上的函数,如果对 \( a = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \in \) \( D \) ,存在以 \( a \) 为中心, \( r \) 为半径的多圆柱 \( {P}_{n}\left( {a, r}\right) \subset \) \( D \) ,使得
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\alpha \geq 0}}{c}_{\alpha }{\left( z - a\right) }^{\alpha }
\]
在 \( {P}_{n}\left( {a, r}\right) \) 中成立,就称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( a \) 点解析,这里 \( \alpha \) \( = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 是多重指标, \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 都取整数, \( \alpha \geq 0 \) 表示 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \) 都取非负整数; 而
\[
{\left( z - a\right) }^{\alpha } = {\left( {z}_{1} - {a}_{1}\right) }^{{\alpha }_{1}}{\left( {z}_{2} - {a}_{2}\right) }^{{\alpha }_{2}}\cdots {\left( {z}_{n} - {a}_{n}\right) }^{{\alpha }_{n}}.
\]
如果 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 中每点都解析,就称 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 上是全纯的.
\( D \) 上的全纯函数还有下面两种等价定义:
1. \( D \) 上的连续函数 \( f\left( z\right) \) 称为是全纯的,如果对每个 \( j = 1,2,\cdots, n \) 及每个固定的 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{j - 1} \) , \( {z}_{j + 1},\cdots ,{z}_{n} \) ,函数 \( f\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{j - 1}, z,{z}_{j + 1},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) 作为单复变数 \( z \) 的函数,在域
\[
D\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{j - 1},{z}_{j + 1},\cdots ,{z}_{n}}\right)
\]
\[
= \left\{ {z \in \mathrm{C} \mid \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{j - 1}, z,{z}_{j + 1},\cdots ,{z}_{n}}\right) \in D}\right\}
\]
是全纯的.
2. \( D \) 上的函数 \( f\left( z\right) \) 称为是全纯的,如果 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 上连续,且对每个 \( j = 1,2,\cdots, n \) ,柯西-黎曼方程
\[
\frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_{j}} = 0
\]
在 \( D \) 上成立,这里偏微分算子 \( \frac{\partial f}{\partial {\bar{z}}_{j}} \) 定义为
\[
\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_{j}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial {x}_{j}} + \sqrt{-1}\frac{\partial }{\partial {y}_{j}}}\right)
\]
\[
\left( {{z}_{j} = {x}_{j} + \sqrt{-1}{y}_{j}, j = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
多复变解析函数 (analytic functions of several complex variables) 即“多复变全纯函数”.
哈托格斯定理 (Hartogs theorem) 给出多复变函数成为全纯函数所需的最弱条件的命题. 设 \( n \) \( \geq 2, D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( f = f\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) 是 \( D \) 上的单值函数. 该定理断言: 如果对于任意 \( j\left( {1 \leq j \leq n}\right) \) 和任意一点 \( \left( {{z}_{1}^{\left( 0\right) },{z}_{2}^{\left( 0\right) },\cdots ,{z}_{n}^{\left( 0\right) }}\right) \in D \) ,单复变函数
\[
f\left( {{z}_{1}^{\left( 0\right) },\cdots ,{z}_{j - 1}^{\left( 0\right) }, z,{z}_{j + 1}^{\left( 0\right) },\cdots ,{z}_{n}^{\left( 0\right) }}\right)
\]
在点 \( z = {z}_{j}^{\left( 0\right) } \) 全纯,则 \( f \) 在 \( D \) 上为全纯函数.
全纯映射 (holomorphic mapping) 多复变函数论中讨论的主要映射. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( {f}_{1},{f}_{2} \) , \( \cdots ,{f}_{m} \) 都是 \( D \) 上的全纯函数,则
\[
f = \left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{m}}\right) : D \rightarrow {\mathrm{C}}^{m}
\]
称为 \( D \rightarrow {\mathrm{C}}^{m} \) 的全纯映射 (参见本卷《流形上的分析》 同名条).
全纯映射的导数 (derivative of holomorphic mapping) 亦称全纯映射的雅可比矩阵. \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上映射作为向量值函数的导数. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的一个域, \( D \) 上的全纯映射
\[
f\left( z\right) = \left( {{f}_{1}\left( z\right) ,{f}_{2}\left( z\right) ,\cdots ,{f}_{m}\left( z\right) }\right)
\]
\[
\left( {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \in D}\right)
\]
的导数定义为
\[
{f}^{\prime }\left( z\right) = \frac{\partial \left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{m}}\right) }{\partial \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) }
\]
\[
= \left( \begin{matrix} \frac{\partial {f}_{1}}{\partial {z}_{1}} & \frac{\partial {f}_{1}}{\partial {z}_{2}} & \cdots & \frac{\partial {f}_{1}}{\partial {z}_{n}} \\ \frac{\partial {f}_{2}}{\partial {z}_{1}} & \frac{\partial {f}_{2}}{\partial {z}_{2}} & \cdots & \frac{\partial {f}_{2}}{\partial {z}_{n}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial {f}_{m}}{\partial {z}_{1}} & \frac{\partial {f}_{m}}{\partial {z}_{2}} & \cdots & \frac{\partial {f}_{m}}{\partial {z}_{n}} \end{matrix}\right)
\]
它是单复变函数导数的推广.
全纯映射的雅可比矩阵 (Jacobian matrix of holomorphic mapping) 即“全纯映射的导数”.
双全纯映射 (biholomorphic mapping) 有逆映射的全纯映射. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( f : D \rightarrow {\mathrm{C}}^{n} \) 是全纯映射,如果 \( f\left( z\right) \) 有逆映射,就称 \( f\left( z\right) \) 是 \( D \) 上的双全纯映射,或称为全纯同构映射. 这时 \( f\left( D\right) \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,并称 \( D \) 和 \( f\left( D\right) \) 互相全纯同构. 和实的情形不同, 可逆全纯映射的逆必为全纯映射.
全纯同构映射 (mapping of holomorphic isomorphism) 即“双全纯映射”.
域的全纯同构 (holomorphic isomorphism of domain 多复变函数论中最重要的映射. 设 \( {D}_{1},{D}_{2} \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的两个域,如果存在 \( {D}_{1} \) 到 \( {D}_{2} \) 上的双全纯映射,就称 \( {D}_{1} \) 和 \( {D}_{2} \) 是全纯同构的,或全纯等价的.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的单位球 \( {B}_{n} \) 和单位多圆柱 \( {P}_{n} \) 都是单位圆盘在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的推广,但庞加莱 (Poincaré,(J.-)H. ) 首先指出, \( {B}_{n} \) 和 \( {P}_{n} \) 不是全纯等价的,即不存在双全纯映射,把 \( {B}_{n} - \) 一地映为 \( {P}_{n} \) . 因而 \( {B}_{n} \) 上的函数论和 \( {P}_{n} \) 上的函数论有很多相异之处.
嘉当惟一性定理 (Cartan's uniqueness theorem) 单复变函数论中施瓦兹引理的推广. 在单复变函数论中,施瓦兹引理的规范形式为: 如果 \( f \) 是单位圆盘到单位圆盘的映射, 满足
\[
f\left( 0\right) = 0,\;{f}^{\prime }\left( 0\right) = 1,
\]
那么必有 \( f\left( z\right) = z \) .
嘉当 (Cartan, H. ) 把这个引理推广到多复变函数,得到所谓的嘉当惟一性定理: 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中包含原点的有界域,如果 \( F : \Omega \rightarrow \Omega \) 是全纯的,且有
\[
F\left( 0\right) = 0,\;{F}^{\prime }\left( 0\right) = {I}_{n},
\]
这里 \( {I}_{n} \) 是 \( n \) 阶单位方阵,那么对任意 \( z \in \Omega \) ,有
\[
F\left( z\right) = z\text{.}
\]
利用嘉当惟一性定理又可得到: 设 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中包含原点的圆型域,其中 \( {\Omega }_{1} \) 是有界的. 如果 \( F : {\Omega }_{1} \rightarrow {\Omega }_{2} \) 是双全纯的,且 \( F\left( 0\right) = 0 \) ,那么 \( F \) 一定是线性映射.
上述两个定理在全纯映射中是基本的.
域的全纯等价 (holomorphic equivalence of domains) 多复变函数论的基本概念. \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的两个域如果全纯同构, 则这两个域称为 (互相) 全纯等价. 所谓域的分类理论, 就是研究域在全纯等价下的分类, 这是因为互相全纯等价的域上有完全相同的全纯函数论性质. 所以分类问题是多复变函数论中的根本问题之一.
域的全纯自同构 (holomorphic automorphism of a domain) \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的区域到它自身上的全纯同构映射. \( D \rightarrow D \) 上的双全纯映射称为 \( D \) 的全纯自同构, 简称自同构. \( D \) 上所有这种映射之集合记为 Aut \( \left( D\right) \) . 例如, \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中单位球 \( {B}_{n} \) 的全部全纯自同构可表为如下的形状: 任取 \( \psi \in \operatorname{Aut}\left( {B}_{n}\right) \) ,则 \( \psi = {\varphi }_{a}U \) , 其中 \( U \) 是 \( n \) 阶酉方阵, \( {\varphi }_{a} \) 是把 \( a \in {B}_{n} \) 映为 0 的 \( {B}_{n} \) 的全纯自同构:
\[
{\varphi }_{a}\left( z\right) = \frac{a - z}{1 - z{\bar{a}}^{\prime }}A,
\]
其中
\[
A = \frac{{\bar{a}}^{\prime }a + s\left( {a{\bar{a}}^{\prime }{I}_{n} - {\bar{a}}^{\prime }a}\right) }{a{\bar{a}}^{\prime }} = s{I}_{n} + \frac{{\bar{a}}^{\prime }a}{1 + s},
\]
这里 \( a = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) ,{\bar{a}}^{\prime } \) 为 \( a \) 的转置共轭, \( s = \sqrt{1 - a{\bar{a}}^{\prime }},{I}_{n} \) 是 \( n \) 阶单位方阵.
域的全纯自同构群 (holomorphic automorphism group of a domain) 域 \( D \) 的全纯自同构的全体所组成的群,记为 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) . 它是 \( D \) 上的拓扑变换群,当 \( D \) 为有界域时,它是 \( D \) 上实李变换群.
域的迷向子群 (isotropic subgroup of a domain) 使域中一个点不动的所有全纯自同构构成的集合. 在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域 \( D \) 内取定一点 \( p \) ,则全纯自同构群 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 的子集合
\[
\{ \sigma \in \operatorname{Aut}\left( D\right) \mid \sigma \left( p\right) = p\}
\]
称为关于固定点 \( p \) 的迷向子群,记为 \( {\operatorname{Iso}}_{p}\left( D\right) \) ,它是拓扑变换群 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 的拓扑子群. 当 \( D \) 为有界域时, \( {\operatorname{Iso}}_{p}\left( D\right) \) 为紧李子群.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中域的边界 (boundary of a domain in \( {\mathrm{C}}^{n} \) )
由 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中既非域的内点又非域的外点的点构成的集合. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( D \) 在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的闭包记为 \( \bar{D} \) ,则差集 \( \bar{D} \smallsetminus D = \partial D \) 就是域 \( D \) 的边界. 在 \( n > 1 \) 时,域的边界比较复杂. 有些重要的域, 是对域的边界加上限制后定义的. 例如, 重要的强拟凸域便是这样定义的.
域的希洛夫边界 (Silov boundary of a domain) 与最大模原理有关的一块边界子集. 设 \( \partial D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中域 \( D \) 的边界, \( S \) 是 \( \partial D \) 的子集,如果在 \( \bar{D} \) 上连续、 \( D \) 上全纯的函数必在 \( S \) 的点上达到最大模,且对 \( S \) 中任一点 \( {z}_{0} \) ,必存在 \( \bar{D} \) 上连续、 \( D \) 上全纯的函数 \( f\left( z\right) \) , 使得 \( f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 点达到最大模,则 \( S \) 称为希洛夫边界.
在 \( n = 1 \) 的情形,希洛夫边界为整个边界; 在 \( n \) \( > 1 \) 的情形,希洛夫边界不一定是整个边界. 希洛夫边界有很多重要的性质, 例如, 在建立某些柯西型积分时,只需要在希洛夫边界上做积分就够了. 例如 \( n \) \( = 2 \) 时,双圆柱
\[
{P}_{2} : \left\{ {\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \in {\mathrm{C}}^{2}\left| \right| {z}_{1}\left| { < 1,}\right| {z}_{2} \mid < 1}\right\}
\]
的希洛夫边界为
\[
S = \left\{ {\left( {{z} |
2000_数学辞海（第3卷） | 47 | n \( {\mathrm{C}}^{n} \) )
由 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中既非域的内点又非域的外点的点构成的集合. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( D \) 在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的闭包记为 \( \bar{D} \) ,则差集 \( \bar{D} \smallsetminus D = \partial D \) 就是域 \( D \) 的边界. 在 \( n > 1 \) 时,域的边界比较复杂. 有些重要的域, 是对域的边界加上限制后定义的. 例如, 重要的强拟凸域便是这样定义的.
域的希洛夫边界 (Silov boundary of a domain) 与最大模原理有关的一块边界子集. 设 \( \partial D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中域 \( D \) 的边界, \( S \) 是 \( \partial D \) 的子集,如果在 \( \bar{D} \) 上连续、 \( D \) 上全纯的函数必在 \( S \) 的点上达到最大模,且对 \( S \) 中任一点 \( {z}_{0} \) ,必存在 \( \bar{D} \) 上连续、 \( D \) 上全纯的函数 \( f\left( z\right) \) , 使得 \( f\left( z\right) \) 在 \( {z}_{0} \) 点达到最大模,则 \( S \) 称为希洛夫边界.
在 \( n = 1 \) 的情形,希洛夫边界为整个边界; 在 \( n \) \( > 1 \) 的情形,希洛夫边界不一定是整个边界. 希洛夫边界有很多重要的性质, 例如, 在建立某些柯西型积分时,只需要在希洛夫边界上做积分就够了. 例如 \( n \) \( = 2 \) 时,双圆柱
\[
{P}_{2} : \left\{ {\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \in {\mathrm{C}}^{2}\left| \right| {z}_{1}\left| { < 1,}\right| {z}_{2} \mid < 1}\right\}
\]
的希洛夫边界为
\[
S = \left\{ {\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \in {\mathbf{C}}^{2}\left| \right| {z}_{1}\left| { = 1,}\right| {z}_{2} \mid = 1}\right\} ,
\]
而
\[
\partial {P}_{2} = \left\{ {\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \in {\mathbf{C}}^{2}\left| \right| {z}_{1}\left| { = 1,}\right| {z}_{2} \mid < 1}\right\}
\]
\[
\bigcup \left\{ {\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) \in {\mathrm{C}}^{2}\left| \right| {z}_{1}\left| { < 1,}\right| {z}_{2} \mid = 1}\right\} \cup S.
\]
齐性域 (homogeneous domains) 具有良好函数论性质的一类域. 设 \( D \) 为 \( n \) 维复欧氏空间中的域. Aut \( \left( D\right) \) 为 \( D \) 上所有全纯自同构映射在紧开拓扑下构成拓扑变换群, \( G \) 为 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 的拓扑子群. 若对 \( D \) 中任意两点 \( p, q \) ,均存在 \( \sigma \in G \) 使得 \( \sigma \left( p\right) = q \) , 则 \( G \) 称为在 \( D \) 上是可递的. 如果 \( D \) 上有可递变换群 \( G \subset \operatorname{Aut}\left( D\right) \) ,则 \( D \) 称为齐性域. 这时在 \( D \) 中取定一点 \( p \) ,则
\[
{H}_{p} = \{ \sigma \in G \mid \sigma \left( p\right) = p\}
\]
为 \( G \) 的拓扑闭子群,称为 \( G \) 中点 \( p \) 之固定子群. 这时存在自然的双全纯同构将 \( D \) 映为商空间 \( G/{H}_{p} \) .
齐性有界域 (homogeneous bounded domains) 一类重要的有界域. 齐性域 \( D \) 若为有界域,则称为齐性有界域. 这时 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 为有限维实李群,且为 \( D \) 上李变换群. 如果 \( G \) 为 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 之李子群,且 \( G \) 为 \( D \) 上可逆李变换群, 则固定子群也称为迷向子群, 它是紧李子群,又 \( D \) 双全纯同构于商空间 \( G/{H}_{p} \) .
在单复变函数论中的黎曼定理以及随后发展起来的单值化理论, 完全解决了域在全纯等价下的完全分类. 但是在两个复变数情形, 域的分类就很复杂, 至今只有零星结果. 在多复变数函数论中, 嘉当 (Cartan, H. ) 在 1935 年首先解决了对称有界域的分类. 随后提出著名猜想: 齐性有界域必对称. 但是在 1959 年伯雅查基-夏皮罗 (Piatetski-Shapiro) 举出的反例否定了这个猜想, 随后引进西格尔域的概念. 再后来他又和同事证明了齐性有界域必全纯同构于齐性西格尔域.
西格尔域 (Siegel domain) 一类重要的无界域. 给定正整数 \( n \) 和非负整数 \( m \) . 记 \( V \) 为 \( n \) 维实欧氏空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中以原点为顶点的开凸锥,又设 \( V \) 不包含整条直线,则 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域
\[
D\left( V\right) = \left\{ {z \in {\mathrm{C}}^{n} \mid \operatorname{Im}z \in V}\right\}
\]
称为锥 \( V \) 上第一类西格尔域. 设 \( {H}_{1},{H}_{2},\cdots ,{H}_{n} \) 均为 \( m\left( {m > 0}\right) \) 阶埃尔米特方阵, \( u \in {\mathbf{C}}^{m} \) 为 \( m \times 1 \) 复矩阵, \( {\bar{u}}^{\prime } \) 为 \( u \) 的转置共轭矩阵,令
\[
F\left( {u, u}\right) = \left( {{\bar{u}}^{\prime }{H}_{1}u,{\bar{u}}^{\prime }{H}_{2}u,\cdots ,{\bar{u}}^{\prime }{H}_{n}u}\right) ,
\]
若存在 \( n \) 个 \( m \) 阶埃尔米特方阵 \( {H}_{1},{H}_{2},\cdots ,{H}_{n} \) ,使对任意 \( u \in {\mathrm{C}}^{m} \) ,均有 \( F\left( {u, u}\right) \in \bar{V} \) ,其中 \( \bar{V} \) 为 \( V \) 的闭包,且 \( F\left( {u, u}\right) = 0 \) 当且仅当 \( u = 0 \) ,则 \( {\mathrm{C}}^{n + m} \) 中的域
\[
D\left( {V, F}\right) = \left\{ {z \in {\mathrm{C}}^{n}, u \in {\mathrm{C}}^{m} \mid \operatorname{Im}z}\right.
\]
\[
- F\left( {u, u}\right) \in V\}
\]
称为第二类西格尔域. 这两类西格尔域统称为西格尔域. 记 \( A \) 为 \( n \) 阶实非奇异方阵, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上线性变换 \( \sigma \) : \( y = {Ax} \) 称为关于 \( V \) 不变,如果 \( \sigma \left( V\right) = V \) . 所有使 \( V \) 不变的可逆线性变换构成的集合,记为 \( \operatorname{Aff}\left( V\right) \) . 如果在 \( \operatorname{Aff}\left( V\right) \) 中存在 \( V \) 上可递李变换群 \( {G}_{V} \) ,且任取 \( \sigma \) \( \in {G}_{V} \) ,记为 \( y = {Ax} \) ,则存在 \( m \) 阶非奇异复方阵 \( Q \) ,使得 \( {\mathrm{C}}^{m} \) 上有非奇异线性变换 \( \tau : u \rightarrow {Qu} \) ,且
\[
F\left( {{Qu},{Qu}}\right) = A\left( {F\left( {u, u}\right) }\right) \;\left( {\forall u \in {\mathrm{C}}^{m}}\right) ,
\]
这时西格尔域 \( D\left( {V, F}\right) \) 必线性可递,称为齐性西格尔域, 它全纯同构于齐性有界域. 反之, 齐性有界域全纯同构于齐性西格尔域.
第一类西格尔域 (Siegel domains of first kind) 见“西格尔域”.
第二类西格尔域 (Siegel domains of second kind) 见“西格尔域”.
齐性西格尔域 (homogeneous Siegel domains) 见“西格尔域”.
对称埃尔米特流形 (symmetric Hermitian manifold) 一类重要的复流形. \( n \) 维埃尔米特流形 \( \left( {M, k}\right) \) 称为对称的,如果任取一点 \( p \in M \) ,存在 \( M \) 上全纯等度量变换 \( {\sigma }_{p} \) ,称为对称变换,使得:
1. 以点 \( p \) 为孤立不动点,即 \( {\sigma }_{p}\left( p\right) = p \) ,且存在点 \( p \) 之邻域 \( {U}_{p} \) ,使得任取 \( q \in {U}_{p}, q \neq p \) ,均有
\[
{\sigma }_{p}\left( q\right) \neq q\text{.}
\]
2. \( {\sigma }_{p}^{2} = \mathrm{{id}} \) (id 表示恒等映射).
多复变函数论中第一个系统的分类工作是嘉当 (Cartan, \( \widehat{\mathrm{E}} \) ) 给出的,他给出了对称埃尔米特空间在全纯等价下的分类. 对称埃尔米特空间是不可分解对称埃尔米特空间的拓扑积. 后者有四大类和两个特殊的不可分解对称埃尔米特空间. 且给出了四大类不可分解对称埃尔米特空间的标准流形为复欧氏空间中的典型域. 但未给出两个特殊的情形的实例.
对称有界域 (symmetric bounded domain) 研究得最深入的一类齐性有界域. \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域称为对称有界域, 如果它关于伯格曼度量为对称埃尔米特流形.
对称有界域为齐性有界域, 它双全纯同构于不可分解对称有界域的拓扑积, 而不可分解对称有界域双全纯同构于几种典型域之一. 这些域也都是不可分解的对称域, 且可具体写出来.
典型域 (classical domain) 多复变函数论的基本概念. \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中不可分解对称有界域在全纯等价下分类的标准域称为典型域. 它们有四大类和两个特殊的域, 分别在 16 维及 27 维复欧氏空间中, 这两个域也称为例外典型域.
第一类典型域 (classical domain of first class) 典型域之一. 第一类典型域
\[
{\mathcal{R}}_{1}\left( {m, n}\right) : m \leq n, I - Z{\bar{Z}}^{\prime } > 0,
\]
其中 \( I \) 为 \( m \) 阶单位方阵, \( Z = \left( {z}_{ij}\right) \) 为由 \( {nm} \) 个独立复变量
\[
{z}_{11},{z}_{12},\cdots ,{z}_{1n},{z}_{21},{z}_{22},\cdots ,{z}_{2n},\cdots ,{z}_{m1},{z}_{m2},\cdots ,{z}_{mn}
\]
构成的 \( m \times n \) 矩阵, \( \bar{Z} \) 表示 \( Z \) 的共轭矩阵, \( {Z}^{\prime } \) 表示 \( Z \) 的转置矩阵. \( I - Z{Z}^{\prime } > 0 \) 表示 \( m \) 阶埃尔米特方阵 \( I \) \( - Z{\bar{Z}}^{\prime } \) 正定.
第二类典型域 (classical domain of second class) 典型域之一. 第二类典型域
\[
{\mathcal{R}}_{1}\left( n\right) : I - Z{\bar{Z}}^{\prime } > 0,
\]
其中 \( Z = {Z}^{\prime } \) ,即 \( Z \) 由 \( n\left( {n + 1}\right) /2 \) 个独立复变量
\[
{z}_{11},{z}_{12},\cdots ,{z}_{1n},{z}_{22},\cdots ,{z}_{2n},\cdots ,{z}_{nn}
\]
构成, 又
\[
{z}_{ij} = {z}_{ji}\left( {1 \leq i, j \leq n}\right) .
\]
第三类典型域 (classical domain of third class) 典型域之一. 第三类典型域
\[
{\mathcal{R}}_{\text{II }}\left( n\right) : I - Z{\bar{Z}}^{\prime } > 0,
\]
其中 \( {Z}^{\prime } = - Z \) ,即 \( Z \) 由 \( n\left( {n - 1}\right) /2 \) 个独立变量
\[
{z}_{12},\cdots ,{z}_{1n},{z}_{23},\cdots ,{z}_{2n},\cdots ,{z}_{n - 1, n}
\]
构成, 又
\[
{z}_{ji} = - {z}_{ij}\left( {1 \leq i \leq j \leq n}\right) .
\]
第四类典型域 (classical domain of fourth class) 亦称李球,典型域之一. 第四类典型域
\[
{\mathcal{R}}_{\mathrm{N}}\left( n\right) : \left| {z{z}^{\prime }}\right| < 1,1 + 2{\left| z{z}^{\prime }\right| }^{2} - {2z}{\bar{z}}^{\prime } > 0,
\]
其中 \( z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) 为由 \( n \) 个独立复变量 \( {z}_{1},{z}_{2} \) , \( \cdots ,{z}_{n} \) 构成的 \( 1 \times n \) 矩阵.
李球(Lie sphere) 即“第四类典型域”.
第五类例外典型域 (exceptional classical domain of fifth class) 典型域之一. 第五类例外典型域 \( {\mathcal{R}}_{\mathrm{V}}\left( {16}\right) \) : 它双全纯同构于无界域
\[
\operatorname{Im}\left( \begin{matrix} {s}_{1} & {y}^{\prime } \\ y & {s}_{2}{I}^{\left( 6\right) } \end{matrix}\right) - \operatorname{Re}\left( \begin{matrix} u \\ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{6}{e}_{j}{v}^{\prime }{\overline{{Q}^{\prime }}}_{j} \end{matrix}\right) \overline{\left( \begin{matrix} u \\ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{6}{e}_{j}{v}^{\prime }{\overline{{Q}^{\prime }}}_{j} \end{matrix}\right) } > 0,
\]
其中 \( {s}_{1},{s}_{2} \in \mathrm{C}, y \in {\mathrm{C}}^{6}, u, v \in {\mathrm{C}}^{4} \) ,而
\[
{e}_{j} = {\left( 0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) }^{\prime }\left( {j = 1,2,\cdots ,6}\right) ,
\]
\[
{Q}_{1} = {I}^{\left( 1\right) }
\]
\[{Q}_{2} = \sqrt{-1}\left( \begin{matrix} {I}^{\left( 2\right) } & 0 \\ 0 & - {I}^{\left( 2\right) } \end{matrix}\right) ,\]
\[{Q}_{3} = \left( \begin{matrix} 0 & {I}^{\left( 2\right) } \\ - {I}^{\left( 2\right) } & 0 \end{matrix}\right) \]
\[{Q}_{4} = \sqrt{-1}\left( \begin{matrix} 0 & \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}\right) \\ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}\right) & 0 \end{matrix}\right) ,\]
\[
{Q}_{5} = \left( \begin{matrix} 0 & \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}\right) & 0 \end{matrix}\right)
\]
\[
{Q}_{6} = \sqrt{-1}\left( \begin{matrix} 0 & \left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \\ \left( \begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) & 0 \end{matrix}\right) .
\]
第六类例外典型域 (exceptional classical domain of sixth class) 典型域之一. 第六类例外典型域 \( {R}_{\mathrm{u}}\left( {27}\right) \) : 它双全纯同构于无界域
\[
\operatorname{Im}\left( \begin{matrix} {s}_{1} & {y}^{\prime }{}_{12} & {y}^{\prime }{}_{13} \\ {y}_{12} & {s}_{2}{I}^{\left( 8\right) } & R\left( {y}_{23}\right) \\ {y}_{13} & R{\left( {y}_{23}\right) }^{\prime } & {s}_{3}{I}^{\left( 8\right) } \end{matrix}\right) > 0,
\]
其中 \( {s}_{1},{s}_{2},{s}_{3} \in \mathbf{C},{y}_{12},{y}_{13},{y}_{23} \in {\mathbf{C}}^{8} \) ,记
\[
{y}_{23} = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{8} \end{matrix}\right)
\]
则
\( R\left( {y}_{23}\right) = \)
\[
\left( \begin{array}{rrrrrrrr} {y}_{1} & {y}_{2} & {y}_{3} & {y}_{4} & {y}_{5} & {y}_{6} & {y}_{7} & {y}_{8} \\ - {y}_{2} & {y}_{1} & {y}_{4} & - {y}_{3} & {y}_{6} & - {y}_{5} & - {y}_{8} & {y}_{7} \\ - {y}_{3} & - {y}_{4} & {y}_{1} & {y}_{2} & {y}_{7} & {y}_{8} & - {y}_{5} & - {y}_{6} \\ - {y}_{4} & {y}_{3} & - {y}_{2} & {y}_{1} & {y}_{8} & - {y}_{7} & {y}_{6} & - {y}_{5} \\ - {y}_{5} & - {y}_{6} & - {y}_{7} & - {y}_{8} & {y}_{1} & {y}_{2} & {y}_{3} & {y}_{4} \\ - {y}_{6} & {y}_{5} & - {y}_{8} & {y}_{7} & - {y}_{2} & {y}_{1} & - {y}_{4} & {y}_{3} \\ - {y}_{7} & {y}_{8} & {y}_{5} & - {y}_{6} & - {y}_{3} & {y}_{4} & {y}_{1} & - {y}_{2} \\ - {y}_{8} & - {y}_{7} & {y}_{6} & {y} |
2000_数学辞海（第3卷） | 48 | ght) }^{\prime } & {s}_{3}{I}^{\left( 8\right) } \end{matrix}\right) > 0,
\]
其中 \( {s}_{1},{s}_{2},{s}_{3} \in \mathbf{C},{y}_{12},{y}_{13},{y}_{23} \in {\mathbf{C}}^{8} \) ,记
\[
{y}_{23} = \left( \begin{matrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ \vdots \\ {y}_{8} \end{matrix}\right)
\]
则
\( R\left( {y}_{23}\right) = \)
\[
\left( \begin{array}{rrrrrrrr} {y}_{1} & {y}_{2} & {y}_{3} & {y}_{4} & {y}_{5} & {y}_{6} & {y}_{7} & {y}_{8} \\ - {y}_{2} & {y}_{1} & {y}_{4} & - {y}_{3} & {y}_{6} & - {y}_{5} & - {y}_{8} & {y}_{7} \\ - {y}_{3} & - {y}_{4} & {y}_{1} & {y}_{2} & {y}_{7} & {y}_{8} & - {y}_{5} & - {y}_{6} \\ - {y}_{4} & {y}_{3} & - {y}_{2} & {y}_{1} & {y}_{8} & - {y}_{7} & {y}_{6} & - {y}_{5} \\ - {y}_{5} & - {y}_{6} & - {y}_{7} & - {y}_{8} & {y}_{1} & {y}_{2} & {y}_{3} & {y}_{4} \\ - {y}_{6} & {y}_{5} & - {y}_{8} & {y}_{7} & - {y}_{2} & {y}_{1} & - {y}_{4} & {y}_{3} \\ - {y}_{7} & {y}_{8} & {y}_{5} & - {y}_{6} & - {y}_{3} & {y}_{4} & {y}_{1} & - {y}_{2} \\ - {y}_{8} & - {y}_{7} & {y}_{6} & {y}_{5} & - {y}_{4} & - {y}_{3} & {y}_{2} & {y}_{1} \end{array}\right) .
\]
哈托格斯现象 (Hartogs phenomenon) 多复变函数论中的特殊现象. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,其中 \( n \geq 2 \) . 若 \( K \) 为域 \( D \) 中紧子集 (即有界闭集),且 \( D \smallsetminus K \) 为连通子集,即为 \( D \) 的子域,若域 \( D \smallsetminus K \) 上的函数 \( f \) 全纯,则 \( f \) 可解析开拓到域 \( D \) 上. 换句话说,存在域 \( D \) 上的全纯函数 \( F \) ,使得 \( F \) 限制在子域 \( D \smallsetminus K \) 上为函数 \( f \) .
这个性质是多复变函数论的本质性质. 它说明: 在一个域中挖一个洞, 则全纯函数全部可以开拓到这个洞中, 所以, 在多复变函数论中, 不存在孤立奇点. 换句话说, 一个函数的奇点若存在, 则必成片, 且到边界点上. 那么什么样的域的边界是自然边界呢? 这就导致全纯域的概念.
全纯域 (domain of holomorphy) 刻画自然边界的域. \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域 \( \Omega \) 称为全纯域,如果不存在比 \( \Omega \) 更大的域 \( {\Omega }^{\prime }\left( {{\Omega }^{\prime } \supset \Omega ,{\Omega }^{\prime } \neq \Omega }\right) \) ,使得 \( \Omega \) 上全部全纯函数都能全纯地开拓到 \( {\Omega }^{\prime } \) 上去. 复平面 \( \mathrm{C} \) 上的域都是全纯域,但当 \( n > 1 \) 时, \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中确实存在着非全纯的域. 例如
\[
\Omega = \left\{ {z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \mid 0 < {r}^{2} < {\left| {z}_{1}\right| }^{2}}\right.
\]
\[
\left. {+{\left| {z}_{2}\right| }^{2} + \cdots + {\left| {z}_{n}\right| }^{2} < {R}^{2}}\right\}
\]
就是非全纯域. 这是多复变数函数论和单复变数函数论的一个本质差异之处. 为了定义全纯凸域, 先给出全纯凸包的概念. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( K \) 是 \( \Omega \) 的一个子集,
\[
\widehat{K} = \{ z \in \Omega \left| \right| f\left( z\right) \left| { \leq \mathop{\sup }\limits_{K}}\right| f \mid ,\forall f \in \operatorname{Hol}\left( \Omega \right) \}
\]
称为 \( K \) 在 \( \Omega \) 中的全纯凸包,其中 \( \operatorname{Hol}\left( \Omega \right) \) 表示 \( \Omega \) 上全体全纯函数构成的集合. 如果 \( \bar{K} \subset \Omega \) 且 \( \bar{K} \) 是紧的,则称 \( \Omega \) 的子集 \( K \) 相对于 \( \Omega \) 是紧的,记为 \( K \subset \subset \) \( \Omega \) . 现在给出全纯凸域的概念. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,如果对任意 \( K \subset \Omega \) ,从 \( K \subset \subset \Omega \) 能推出 \( \widehat{K} \subset \subset \Omega \) ,就称 \( \Omega \) 是全纯凸域.
全纯凸包 (envelope of holomorphically convex) 见“全纯域”.
全纯凸域 (domain of holomorphically convex) 见“全纯域”.
嘉当-苏伦定理 (Cartan-Thullen theorem) 用全纯凸刻画全纯域的重要定理. 嘉当-苏伦定理断言: 全纯域和全纯凸域是等价的. 这是刻画全纯域的特征的第一个重要结果.
\( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的龙格域 (Runge domains in \( {\mathrm{C}}^{n} \) ) 能用多项式逼近的全纯域. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的全纯域,对 \( D \) 上的全纯函数 \( f\left( z\right) \) ,如果存在多项式序列 \( \left\{ {{p}_{n}\left( z\right) }\right\} \) , 使得对 \( D \) 中任意紧子集 \( K,\left\{ {p}_{n}\right\} \) 在 \( K \) 上一致地收敛于 \( f\left( z\right) \) ,则称多项式序列 \( \left\{ {p}_{n}\right\} \) 在 \( D \) 上逼近于 \( f\left( z\right) \) . 若对 \( D \) 上的任一全纯函数 \( f\left( z\right) \) ,都可找到多项式序列在 \( D \) 上逼近于 \( f\left( z\right) \) ,则 \( D \) 称为龙格域. 在 \( n = 1 \) 的情形, 单连通域都是龙格域, 但在多复变数的情形, 存在非龙格域, 例如, 域
\[
D = \sigma \left( {\Delta }_{c}\right) = \sigma \left( \left\{ {\left( {x, y, z}\right) \in {\mathrm{C}}^{3}\left| \right| x \mid < 1 + c}\right. \right. \text{,}
\]
\[
\left| y\right| < 1 + c,\left| z\right| < 6\} ),
\]
其中 \( 0 < c < 1 \) ,又 \( \sigma \) 为映射:
\[
\sigma \left( x\right) = x,\sigma \left( y\right) = {xy} + z,\sigma \left( z\right) = x{y}^{2} - y + {2yz}.
\]
当 \( c \) 充分小,则 \( \sigma \) 在 \( {\Delta }_{c} \) 上双全纯同构,且 \( D \) 为有界域, 它不是龙格域.
龙格型定理 (Runge type theorem) 关于全纯函数的逼近定理. 设 \( D \) 是全纯域, \( K \) 是 \( D \) 中的有界闭集, 并且
\[
K = \widehat{K} = \{ z \in D\left| \right| g\left( z\right) \mid
\]
\[
\leq \mathop{\sup }\limits_{K}\{ g \mid ,\forall g \in \operatorname{Hol}\left( D\right) \} ,
\]
其中 \( \operatorname{Hol}\left( D\right) \) 表示 \( D \) 上全体全纯函数构成的集. 若 \( f \) 是定义于 \( K \) 的某个邻域的全纯函数,则 \( f \) 一定可用定义于 \( D \) 上的全纯函数一致逼近. 上述龙格型定理是由韦伊 (Weil, A. ) 和冈洁 (Oka, K. ) 证明的.
拟凸域 (quasiconvex domain) 一类具有部分凸性的域. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,称 \( \Omega \) 在 \( a \in \partial \Omega \) 具有 \( {C}^{2} \) 边界,是指存在 \( a \) 的一个邻域 \( U\left( a\right) \) 以及定义在 \( U\left( a\right) \) 上的一个二次连续可微的实值函数 \( \varphi : U\left( a\right) \rightarrow \mathrm{R} \) ,使得:
\[
\text{1.}\Omega \cap U\left( a\right) = \{ z \in U\left( a\right) \mid \varphi \left( z\right) < 0\} \text{.}
\]
2. \( {\left( \mathrm{d}\varphi \right) }_{z} \neq 0 \) 对所有 \( z \in U\left( a\right) \) 成立.
如果 \( \partial \Omega \) 上每点都具有 \( {C}^{2} \) 边界,就称 \( \Omega \) 具有 \( {C}^{2} \) 边界,上面的 \( \varphi \) 称为域 \( \Omega \) 在 \( a \) 处的局部定义函数; 如果 \( \varphi \) 适用于 \( \partial \Omega \) 上的每一点,就称 \( \varphi \) 是 \( \Omega \) 的定义函数.
设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( \Omega \) 在 \( a \in \partial \Omega \) 处具有 \( {C}^{2} \) 边界, \( \varphi \) 是 \( \Omega \) 在 \( a \) 处的局部定义函数,如果对满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\left( \frac{\partial \varphi }{\partial {z}_{j}}\right) }_{a}{\xi }_{j} = 0
\]
的 \( \left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) \in {\mathrm{C}}^{n} \) ,有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}{\left( \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {z}_{j}\partial {\bar{z}}_{k}}\right) }_{a}{\xi }_{j}{\bar{\xi }}_{k} \geq 0,
\]
(1)
就称 \( \Omega \) 在 \( a \) 处是拟凸的; 如果 (1) 的等号仅当 \( \xi = 0 \) 时才成立,则称 \( \Omega \) 在 \( a \) 处是强拟凸的. 如果 \( \Omega \) 在 \( \partial \Omega \) 上的每一点都是拟凸的,就称 \( \Omega \) 是拟凸域; 如果 \( \Omega \) 在 \( \partial \Omega \) 上的每一点都是强拟凸的,就称 \( \Omega \) 是强拟凸域. 例如, 
当 \( p = 2 \) 时是强拟凸域, \( p \neq 2 \) 时是拟凸域.
上面 (1) 式的几何意义是对任一非零向量
\[
v \in {T}_{a}\left( {\partial \Omega }\right) \cap J{T}_{a}\left( {\partial \Omega }\right) ,
\]
这里 \( J \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上的复结构, \( v \) 和法向量 \( \operatorname{grad}\varphi \) 所张成的实二维平面与 \( \Omega \) 的交所成的该二维平面上的域在 \( a \) 点是凸的.
由于域的定义函数不是惟一的, 上面定义的域的拟凸性或强拟凸性表面上依赖于域的定义函数的选取. 事实上, 可以证明域的拟凸性或强拟凸性与域的定义函数的选取无关.
域的局部定义函数 (local defined function of a domain) 见“拟凸域”.
域的定义函数 (defined function of a domain) 见“拟凸域”.
强拟凸域 (strictly pseudoconvex domain) 见 “拟凸域”.
\( \bar{\partial } \) 算子 ( \( \bar{\partial } \) - operator) 一类重要的微分算子. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( {C}^{1}\left( D\right) \) 为 \( D \) 上所有一阶连续可微函数构成的线性空间, \( \operatorname{Hol}\left( D\right) \) 为 \( D \) 上所有全纯函数构成的线性空间, \( {L}^{2}\left( D\right) \) 为 \( D \) 上所有平方可积函数构成的线性空间,于是有
\[
\operatorname{Hol}\left( D\right) \subset {C}^{1}\left( D\right) .
\]
记
\( {L}_{D}^{2} = \left\{ {\left( {{f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{n}}\right) \mid {f}_{i} \in {L}^{2}\left( D\right), i = 1,2,\cdots, n}\right\} , \) 则 \( {L}_{D}^{2} \) 为线性空间.
\( {C}^{1}\left( D\right) \) 到 \( {L}_{D}^{2} \) 内的线性算子
\[
u \rightarrow \left( {\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_{2}},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_{n}}}\right)
\]
称为 \( \bar{\partial } \) 算子,这个算子记为 \( \bar{\partial } \) ,于是
\[
\ker \left( \bar{\partial }\right) = {\bar{\partial }}^{-1}\left( 0\right) = \operatorname{Hol}\left( D\right) ,
\]
任给 \( f \in {L}_{D}^{2} \) ,算出 \( {\bar{\partial }}^{-1}\left( f\right) \) 的问题称为 \( \bar{\partial } \) 问题. 确切地说,给定 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{n} \in {L}^{2}\left( D\right) \) ,试求函数 \( u \in {C}^{1}\left( D\right) \) 使得
\[
\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_{1}} = {f}_{1},\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_{2}} = {f}_{2},\cdots ,\frac{\partial u}{\partial {\bar{z}}_{n}} = {f}_{n}.
\]
上面是超定一阶偏微分方程, 又可简单地写成
\[
\bar{\partial }u = f\text{.}
\]
\( \bar{\partial } \) 问题在拟凸域上一定有解. 另一方面,在强拟凸域的情形给出了解的积分表示.
\( \bar{\partial } \) 问题 ( \( \bar{\partial } \) problem) 见“ \( \bar{\partial } \) 算子”.
多重次调和函数 (plurisubharmonic function) 用来刻画多复变函数论性质的一类常用的实函数. 设 \( D \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( u : D \rightarrow \mathrm{R} \) 是 \( D \) 上的实值函数,如果 \( u \) 满足下面两条性质,则 \( u \) 称为 \( D \) 上的多重次调和函数:
1. \( u \) 是上半连续的.
2. \( u \) 限制在每条复直线上都是次调和的,即对每个 \( {z}_{0} \in D \) 与 \( a = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \in {\mathrm{C}}^{n}, u \) 是
\[
\left\{ {{z}_{0} + {\lambda a} \mid \lambda \in \mathbf{C}}\right\} \cap D
\]
上的单复变数 \( \lambda \) 的次调和函数.
多重次调和穷竭函数 (plurisubharmonic exhaustive function) 多复变函数论中一类重要的实函数. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( \psi \) 是 \( \Omega \) 上的一个多重次调和函数,如果对每个实数 \( c \) ,有
\[
\{ z \in \Omega \mid \psi \left( z\right) \leq c\} \subset \subset \Omega ,
\]
则称 \( \psi \) 是 \( \Omega \) 上的一个多重次调和穷竭函数.
列维问题 (Levi problem) 关于拟凸域和全纯域是否等价的问题. 对具有 \( {C}^{2} \) 边界的域定义了拟凸域,由此不难证明: 具有 \( {C}^{2} \) 边界的全纯域一定是拟凸域. 但在全纯域的定义中, 对域的边界没有要求, 这样就产生了一个问题: 对于不具有光滑边界的全纯域, 是否也有上述性质? 为此, 首先要把拟凸域的概念拓广, 使之包括边界不光滑的域. 现在可以给出与边界的光滑性无关的拟凸域的概念. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,如果在 \( \Omega \) 上存在连续的多重次调和穷竭函数,就称 \( \Omega \) 是拟凸域. 可以证明,如果 \( \Omega \) 具有 \( {C}^{2} \) 边界, 那么这里的拟凸域的概念和前面提到的拟凸域的概念是等价的. 对于这里定义的与边界的光滑性无关的拟凸域, 亦可证明: 全纯域一定是拟凸域.
列维 (Levi, E. E. ) 在 1910 年提出一个反问题: 拟凸域是否一定是全纯域?首先就一些特殊情形, 证明上述问题的答案是肯定的. 一般的情形就成了有名的列维猜测. 1942 年,冈洁 \( \left( {\mathrm{{Oka}},\mathrm{K}\text{.}}\right) \) 解决了 \( n = 2 \) 的情形; 1954 年, 诺盖 (Norguet, F. ) 和布雷默尔曼 (Bremermann, J. H. ) 同时解决了这个问题. 复流形上的列维问题是由格劳尔特 (Grauert, \( \mathrm{H} \) . ) 在 1958 年用层论的方法解决的. 到 20 世纪 60 年代中期, 科恩 (Kohn, J. J. )、赫尔曼德尔 (Hörmander, L. ) 等用 \( \bar{\partial } \) 算子的 \( {L}^{2} \) 估计解决了列维问题. 因此,列维问题长期以来对多复变函数论的发展有着重要的影响.
多复变函数的 |
2000_数学辞海（第3卷） | 49 | ega \mid \psi \left( z\right) \leq c\} \subset \subset \Omega ,
\]
则称 \( \psi \) 是 \( \Omega \) 上的一个多重次调和穷竭函数.
列维问题 (Levi problem) 关于拟凸域和全纯域是否等价的问题. 对具有 \( {C}^{2} \) 边界的域定义了拟凸域,由此不难证明: 具有 \( {C}^{2} \) 边界的全纯域一定是拟凸域. 但在全纯域的定义中, 对域的边界没有要求, 这样就产生了一个问题: 对于不具有光滑边界的全纯域, 是否也有上述性质? 为此, 首先要把拟凸域的概念拓广, 使之包括边界不光滑的域. 现在可以给出与边界的光滑性无关的拟凸域的概念. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域,如果在 \( \Omega \) 上存在连续的多重次调和穷竭函数,就称 \( \Omega \) 是拟凸域. 可以证明,如果 \( \Omega \) 具有 \( {C}^{2} \) 边界, 那么这里的拟凸域的概念和前面提到的拟凸域的概念是等价的. 对于这里定义的与边界的光滑性无关的拟凸域, 亦可证明: 全纯域一定是拟凸域.
列维 (Levi, E. E. ) 在 1910 年提出一个反问题: 拟凸域是否一定是全纯域?首先就一些特殊情形, 证明上述问题的答案是肯定的. 一般的情形就成了有名的列维猜测. 1942 年,冈洁 \( \left( {\mathrm{{Oka}},\mathrm{K}\text{.}}\right) \) 解决了 \( n = 2 \) 的情形; 1954 年, 诺盖 (Norguet, F. ) 和布雷默尔曼 (Bremermann, J. H. ) 同时解决了这个问题. 复流形上的列维问题是由格劳尔特 (Grauert, \( \mathrm{H} \) . ) 在 1958 年用层论的方法解决的. 到 20 世纪 60 年代中期, 科恩 (Kohn, J. J. )、赫尔曼德尔 (Hörmander, L. ) 等用 \( \bar{\partial } \) 算子的 \( {L}^{2} \) 估计解决了列维问题. 因此,列维问题长期以来对多复变函数论的发展有着重要的影响.
多复变函数的积分表示 (integral representation of function of several complex variables) 单复变函数论中柯西型积分表示理论的推广. 在多复变数函数论中, 存在各种积分表示, 积分表示理论就是寻找各种柯西核,使得在 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中 \( D \) 的闭包上适当阶连续可微的函数 \( f\left( z\right) \) ,当 \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 上全纯时, \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 上之值可用 \( f\left( z\right) \) 及其适当阶导数在边界上或者希洛夫边界上之值乘以柯西核的积分来表示.
柯西-赛格积分表示 (Cauchy-Szegö representation) 单复变函数论中柯西型积分的推广. 多圆柱上的柯西积分公式可以看做单位圆盘上柯西积分公式的直接推广: 设 \( f\left( z\right) \) 在多圆柱 \( {P}_{n} \) 中全纯,在 \( {\bar{P}}_{n} \) 上连续,则对每点 \( z \in {P}_{n} \) ,有柯西积分公式
\[
f\left( z\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \mathrm{i}\right) }^{n}}{\int }_{\left| {\xi }_{1}\right| = 1}{\int }_{\left| {\xi }_{2}\right| = 1}\cdots {\int }_{\left| {\xi }_{n}\right| = 1}
\]
\[
\frac{f\left( {{\xi }_{1},{\xi }_{2},\cdots ,{\xi }_{n}}\right) }{\left( {{\xi }_{1} - {z}_{1}}\right) \left( {{\xi }_{2} - {z}_{2}}\right) \cdots \left( {{\xi }_{n} - {z}_{n}}\right) }\mathrm{d}{\xi }_{1}\mathrm{\;d}{\xi }_{2}\cdots \mathrm{d}{\xi }_{n}.
\]
单位球 \( {B}_{n} \) 上的柯西积分公式为
\[
f\left( z\right) = {\int }_{\partial {B}_{n}}\frac{f\left( \xi \right) \mathrm{d}\sigma \left( \xi \right) }{{\left( 1-\langle z,\xi \rangle \right) }^{n}}\;\left( {z \in {B}_{n}}\right) ,
\]
其中
\[
\langle z,\xi \rangle = z{\bar{\xi }}^{\prime } = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{z}_{j}{\bar{\xi }}_{j},
\]
\( \sigma \) 是规范化了的 \( \partial {B}_{n} \) 上的不变测度, \( \sigma \left( {\partial {B}_{n}}\right) = 1 \) . 又 \( f\left( z\right) \) 在 \( {B}_{n} \) 上全纯,在 \( {\bar{B}}_{n} \) 上连续.
华罗庚引进并证明了在一般有界圆型星形域上存在一类柯西积分公式, 称为柯西-赛格积分公式. 作为特例, 他得到了四类典型域上的柯西-赛格核, 从而也得到了它们的柯西-赛格积分公式. 四类典型域 \( {R}_{1},{R}_{1},{R}_{1},{R}_{N} \) 的柯西-赛格核 \( {C}_{1},{C}_{1},{C}_{1},{C}_{N} \) 分别为:
\[
{C}_{1}\left( {Z,\bar{U}}\right) = \frac{1}{V\left( {S}_{1}\right) \det {\left( I - Z{\bar{U}}^{\prime }\right) }^{n}},
\]
\( {C}_{1}\left( {Z,\bar{U}}\right) = \frac{1}{V\left( {S}_{1}\right) \det {\left( I - Z\bar{U}\right) }^{\frac{1}{2}\left( {n + 1}\right) }}, \)
\( {C}_{\text{II }}\left( {Z,\bar{U}}\right) \)
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{V\left( {S}_{\mathrm{I}}\right) \det {\left( I - Z\bar{U}\right) }^{\frac{1}{2}\left( {n - 1}\right) }} & \left( {n\text{ 是偶数 }}\right) , \\ \frac{1}{V\left( {S}_{\mathrm{I}}\right) \det {\left( I - Z\bar{U}\right) }^{\frac{1}{2}n}} & \left( {n\text{ 是奇数 }}\right) , \end{array}\right.
\]
\[
{C}_{\mathrm{N}}\left( {z,\theta, x}\right) = \frac{1}{V\left( {S}_{\mathrm{N}}\right) {\left\lbrack \left( x - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }z\right) {\left( x - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }z\right) }^{\prime }\right\rbrack }^{\frac{1}{2}n}},
\]
其中 \( V\left( {S}_{1}\right), V\left( {S}_{1}\right), V\left( {S}_{I}\right), V\left( {S}_{N}\right) \) 分别是 \( {R}_{1},{R}_{1} \) , \( {R}_{\mathrm{{II}}},{R}_{\mathrm{N}} \) 的希洛夫边界 \( {S}_{1},{S}_{1},{S}_{\mathrm{I}},{S}_{\mathrm{N}} \) 的体积.
从这里可以看出, 多复变数函数的柯西积分公式和单复变数函数的柯西积分公式有两个本质不同的地方:
1. 单复变数的柯西核与域无关, 而多复变数的柯西核因域而异, 不同的域有不同的柯西积分公式, 且对同一域也存在不同的柯西积分公式.
2. 单复变数的柯西-赛格积分公式的积分是在域的全部边界上进行的, 而多复变数的柯西-赛格积分公式的积分有时是在边界的一部分一一希洛夫边界上进行的.
还有一点值得提一下, 看上去似乎并不复杂的球的柯西积分公式, 是在 1958 年华罗庚得到第一类典型域 \( {R}_{1} \) 的柯西-赛格积分公式后,作为特例得到的.
博赫纳-马蒂里尼积分表示公式 (Bochner-Mar-tinelle integral representation formula) 单复变数函数论的柯西积分公式的推广. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界域,它的边界记为 \( \partial D \) . 设边界 \( \partial D \) 是逐块光滑的, 则有如下积分表示公式:
\[
{\int }_{\partial D}f\left( \xi \right) W\left( {\xi - z,\bar{\xi } - \bar{z}}\right)
\]
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} f\left( z\right) & \left( {z \in D}\right) , \\ 0 & \left( {z \notin \bar{D}}\right) , \end{array}\right.
\]
其中 \( \bar{D} \) 为域 \( D \) 的闭包, \( f\left( z\right) \) 在 \( D \) 上全纯,在 \( \bar{D} \) 上连续, 又
\[
W\left( {\xi - z,\bar{\xi } - \bar{z}}\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{\left( 2\pi \sqrt{-1}\right) }^{n}}
\]
\[
\text{-}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\left( -1\right) }^{j - 1}\frac{{\bar{\xi }}_{j} - {\bar{z}}_{j}}{{\left| \xi - z\right| }^{n}}{W}_{j}\left( \xi \right) \land {W}_{0}\left( \xi \right) \text{,}
\]
其中
\[
{\left| \xi - z\right| }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\xi }_{i} - {z}_{i}\right) }^{2},
\]
又
\[
{W}_{j}\left( \bar{\xi }\right) = \mathrm{d}{\bar{\xi }}_{1} \land \cdots \land \mathrm{d}{\widehat{\xi }}_{j} \land \cdots \mathrm{d}\overline{{\xi }_{n}},
\]
\[
{W}_{0}\left( \xi \right) = \mathrm{d}{\xi }_{1} \land \mathrm{d}{\xi }_{2} \land \cdots \land \mathrm{d}{\xi }_{n},
\]
而 \( \mathrm{d}{\widehat{\xi }}_{j} \) 表示 \( \mathrm{d}{\bar{\xi }}_{j} \) 不出现.
这个很有用的积分公式的缺点在于博赫纳-马蒂里尼核 \( W\left( {\xi - z,\bar{\xi } - \bar{z}}\right) \) 不是域 \( D \) 上的全纯函数, 而仅为连续函数.
柯西-凡塔皮耶积分表示 (Cauchy-Fantappié integral representation formula) 重要的积分表示公式. 它可推出许多已有的积分表示公式, 当希洛夫边界不是整个边界时, 和由华罗庚引进的柯西-赛格积分表示公式是两种独立的重要积分表示公式.
定义如下,设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界域,它的边界是逐块光滑的. 如果存在 \( n \) 个函数
\[
{v}_{1}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) ,{v}_{2}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) ,\cdots ,{v}_{n}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) ,
\]
它们关于 \( z \) 在 \( D \) 上连续,关于 \( \xi \) 在 \( \partial D \) 上一阶连续可微, 且适合勒雷条件:
\[
\text{1.}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {{\xi }_{j} - {z}_{j}}\right) {v}_{j}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) = 1
\]
\[
\left( {\forall z \in D,\xi \in \partial D}\right) \text{.}
\]
2. 任意取 \( z \in D \) ,则当 \( \xi \) 在 \( \partial D \) 上变动时,做 \( {\mathrm{R}}^{2n} \) 中实超曲面簇
\[
{S}_{\lambda }\left( z\right) = \left\{ \left( {\xi ,\frac{\lambda }{{\left| \xi - z\right| }^{2}}\left( {\bar{\xi } - \bar{z}}\right) }\right) \right.
\]
\[
\left. {+\left( {1 - \lambda }\right) v\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) }\right\} \in {C}^{2n} \mid \forall \xi \in \partial D\} ,
\]
其中 \( 0 \leq \lambda \leq 1 \) ,
\[
v\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) = \left( {{v}_{1}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) ,{v}_{2}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) ,\cdots ,}\right.
\]
\[
\left. {{v}_{n}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) }\right) \text{,}
\]
则向量函数 \( v\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) \) 适合条件:
\[
\partial \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{0 \leq \lambda \leq 1}}{S}_{\lambda }\left( z\right) }\right) = {S}_{0}\left( z\right) \smallsetminus {S}_{1}\left( z\right) \left( {z \in D}\right) .
\]
这时有柯西-凡塔皮耶积分表示公式, 又称为勒雷积分表示公式
\[
f\left( z\right) = \frac{\left( {n - 1}\right) !}{{\left( 2\pi \sqrt{-1}\right) }^{n}}{\int }_{\partial D}f\left( \xi \right)
\]
\[
\text{-}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\left( -1\right) }^{j - 1}{v}_{j}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) {W}_{j}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) \land {W}_{0}\left( \xi \right) \text{,}
\]
其中
\[
{W}_{0}\left( \xi \right) = \mathrm{d}{\xi }_{1} \land \mathrm{d}{\xi }_{2} \land \cdots \land \mathrm{d}{\xi }_{n},
\]
\[
{W}_{j}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) = {\mathrm{d}}_{\bar{\xi }}{v}_{1}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) \land \cdots \land {\widehat{\mathrm{d}}}_{\bar{\xi }}{v}_{j}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right)
\]
\[
\land \cdots \land {\mathrm{d}}_{\xi }{v}_{n}\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) ,
\]
又 \( f\left( z\right) \) 在 \( z \in D \) 全纯,在 \( z \in \bar{D} \) 连续,这里 \( \bar{D} \) 为域 \( D \) 的闭包.
最重要的柯西-凡塔皮耶公式还要求加上条件: 向量函数 \( v\left( {z,\xi ,\bar{\xi }}\right) \left( {\forall \xi \in \partial D}\right) \) 关于 \( z \) 全纯.
勒雷积分表示公式(Leray integral representation formula) 一种多复变函数论的柯西型积分. 即所谓勒雷积分表示公式. 它是勒雷 (Leray, J. ) 在很广的条件下得到的, 用它可导出最常用的柯西-凡塔皮耶积分表示公式.
复流形 (complex manifold) 无支点黎曼曲面的推广. 设 \( M \) 为具有可数基的仿紧拓扑空间,且在 \( M \) 上有开覆盖 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) ,使得对每个开集 \( {U}_{\alpha } \) ,存在 \( {U}_{\alpha } \) 到 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域上的同胚映射 \( {\varphi }_{\alpha } \) ,于是 \( {U}_{\alpha } \) 中任给一点 \( p \) , 则
\[
{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right)
\]
称为点 \( p \) 关于区图 \( \left( {{U}_{a},{\varphi }_{a}}\right) \) 之坐标. 设对 \( M \) 中任一点 \( q \) ,若存在 \( {U}_{\alpha },{U}_{\beta } \) 使得 \( q \in {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) . 记 \( q \) 关于 \( \left( {{U}_{a},{\varphi }_{a}}\right) \) 之坐标为 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) ,关于 \( \left( {{U}_{\beta },{\varphi }_{\beta }}\right) \) 之坐
标为 \( \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) ,则
\[
\left\{ \begin{array}{l} {y}_{1} = {f}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \\ {y}_{2} = {f}_{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {y}_{n} = {f}_{n}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \end{array}\right.
\]
为 \( {\varphi }_{\alpha }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \) 到 \( {\varphi }_{\beta }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \) 上的全纯同构,这时 \( M \) 称为 \( n \) 维复流形. \( n \) 维复流形为 \( {2n} \) 维实解析流形, 反之不一定.
和实流形概念的引进扩大了微分几何和实分析的对象, 产生了像大范围分析那样的学科一样, 复流形概念的引进, 扩大了复分析的研究领域和产生像复几何那样的学科, 其中紧复流形的研究成果较多. 最简单的紧复流形为紧黎曼面及 \( n \) 维复射影空间 \( {P}^{n} \) (参见本卷《流形上的分析》同名条).
复流形上的函数 (function on complex manifold) 复流形 \( M \) 到复平面 \( \mathrm{C} \) 内的单值映射 \( f \) 称为复流形 \( M \) 上的函数.
复流形上的全纯函数 (holomorphic function on complex manifold) 复流形上函数论的研究对象. 设 \( f \) 为复流形 \( M \) 上的函数, \( |
2000_数学辞海（第3卷） | 50 | _{\beta }}\right) \) 之坐
标为 \( \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \) ,则
\[
\left\{ \begin{array}{l} {y}_{1} = {f}_{1}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \\ {y}_{2} = {f}_{2}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) , \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {y}_{n} = {f}_{n}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \end{array}\right.
\]
为 \( {\varphi }_{\alpha }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \) 到 \( {\varphi }_{\beta }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \) 上的全纯同构,这时 \( M \) 称为 \( n \) 维复流形. \( n \) 维复流形为 \( {2n} \) 维实解析流形, 反之不一定.
和实流形概念的引进扩大了微分几何和实分析的对象, 产生了像大范围分析那样的学科一样, 复流形概念的引进, 扩大了复分析的研究领域和产生像复几何那样的学科, 其中紧复流形的研究成果较多. 最简单的紧复流形为紧黎曼面及 \( n \) 维复射影空间 \( {P}^{n} \) (参见本卷《流形上的分析》同名条).
复流形上的函数 (function on complex manifold) 复流形 \( M \) 到复平面 \( \mathrm{C} \) 内的单值映射 \( f \) 称为复流形 \( M \) 上的函数.
复流形上的全纯函数 (holomorphic function on complex manifold) 复流形上函数论的研究对象. 设 \( f \) 为复流形 \( M \) 上的函数, \( f \) 称为 \( M \) 上全纯函数, 如果 \( \left( {U,\varphi }\right) \) 为 \( M \) 上任一区图,则 \( f \circ {\varphi }^{-1} \) 为 \( \varphi \left( U\right) \) 上全纯函数. \( M \) 上所有全纯函数构成线性空间,记为 \( \operatorname{Hol}\left( M\right) \) . 多复变函数论实际上是研究复流形上的全纯函数论.
复流形上的全纯映射 (holomorphic mapping on complex manifold) 一种特殊的连续映射. 复流形 \( {M}_{1} \) 到 \( {M}_{2} \) 内的单值映射 \( \sigma \) 如果是连续映射,于是对 \( {M}_{2} \) 之任一区图 \( \left( {{U}_{2},{\varphi }_{2}}\right) \) ,在 \( {M}_{1} \) 中任取 (必存在) 区图 \( \left( {{U}_{1},{\varphi }_{1}}\right) \) ,使得 \( \sigma \left( {U}_{1}\right) \subset {U}_{2} \) ,如果
\[
\tau = {\varphi }_{1} \circ \sigma \circ {\varphi }_{2}^{-1}
\]
有坐标表达式
\[{w}_{1} = {f}_{1}\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) ,\]
\[{w}_{2} = {f}_{2}\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) ,\]
\[\text{...........................}\]
\[{w}_{m} = {f}_{m}\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) .\]
当 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{m} \) 为 \( {\varphi }_{1}\left( {U}_{1}\right) \) 上的全纯函数时, \( \sigma \) 称为 \( n \) 维复流形 \( {M}_{1} \) 到 \( m \) 维复流形 \( {M}_{2} \) 内之全纯映射.
复流形的全纯同构 (holomorphic isomorphism on complex manifold) 一个流形到另一个流形之上的一一全纯映射. 若 \( \sigma \) 为复流形 \( {M}_{1} \) 到 \( {M}_{2} \) 上的同胚映射,且为全纯映射,则 \( {\sigma }^{-1} \) 一定也是 \( {M}_{2} \) 到 \( {M}_{1} \) 上的全纯映射. 这时 \( \sigma \) 称为 \( {M}_{1} \) 到 \( {M}_{2} \) 上的全纯同构, 而 \( {M}_{1} \) 和 \( {M}_{2} \) 称为全纯同构的,或称为全纯等价的. 这是一个等价关系, 所谓复流形的分类问题就是复流形的全纯等价分类的问题. 确切地说, 要求出复流形在全纯同构下的全系不变量, 且在等价类中找出一个具有最简单表达形式的复流形.
关于复流形的分类问题, 完全解决的只有对称埃尔米特流形、实半单李群作用的齐性克勒流形以及紧齐性复流形.
复流形的全纯等价 (holomorphic equivalence of complex manifolds) 多复变函数论的基本概念. 两个复流形互相全纯同构, 则称为全纯等价 (参见“复流形的全纯同构”).
复流形上的共变张量场 (covariant tensor fields on complex manifold) 刻画复流形几何性质的有力工具. 设 \( M \) 为 \( n \) 维复流形,它是 \( {2n} \) 维实解析流形. \( M \) 中给定区图 \( \left( {{U}_{a},{\varphi }_{a}}\right) ,{U}_{a} \) 中点 \( p \) 有坐标
\[
{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) = z = \left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) .
\]
记 \( {z}_{j} = {x}_{j} + i{y}_{j} \) ,其中 \( {x}_{j},{y}_{j} \) 均为实数 \( \left( {1 \leq j \leq n}\right) \) ,于是 \( M \) 作为 \( {2n} \) 维实流形有坐标 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{y}_{1},{y}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{y}_{n}}\right) \) . 记
\[
\frac{\partial }{\partial {z}_{j}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial {x}_{j}} - \sqrt{-1}\frac{\partial }{\partial {y}_{j}}}\right) ,
\]
\[
\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_{j}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{\partial }{\partial {x}_{j}} + \sqrt{-1}\frac{\partial }{\partial {y}_{j}}}\right) ,
\]
\[
\mathrm{d}{z}_{j} = \mathrm{d}{x}_{j} + \sqrt{-1}\mathrm{\;d}{y}_{j},
\]
\[
\mathrm{d}{\bar{z}}_{j} = \mathrm{d}{x}_{j} - \sqrt{-1}\mathrm{\;d}{y}_{j}
\]
若 \( M \) 作为 \( {2n} \) 维实解析流形,其上 \( m \) 阶共变张量场 \( F \) ,在 \( {U}_{a} \) 上可用坐标写为
\[
F = \mathop{\sum }\limits_{{{i}_{1},\cdots ,{i}_{p} = 1}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{{j}_{1},\cdots ,{j}_{q} = 1}}^{n}{a}_{{i}_{1}\cdots {i}_{p}{j}_{1}\cdots {j}_{q}}\left( {z,\bar{z}}\right)
\]
\[
\text{-}\mathrm{d}{z}_{{i}_{1}} \otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{z}_{{i}_{p}} \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{{j}_{1}}} \otimes \cdots \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{{j}_{q}}}\text{,}
\]
则 \( F \) 称为 \( n \) 维复流形 \( M \) 上的 \( \left( {p, q}\right) \) 型共变张量场, 这里 \( p + q = m \) .
复流形上的外微分形式 (exterior differential form on complex manifold) 定义在复流形上的一种微分形式. 复流形上 \( m \) 阶外微分形式 \( \omega \) 在 \( {U}_{a} \) 上可用坐标写为
\[
\omega = \mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {i}_{1} < \cdots < {i}_{p} \leq n}}\mathop{\sum }\limits_{{1 \leq {j}_{1} < \cdots < {j}_{q} \leq n}}{a}_{{i}_{1}\cdots {i}_{p}{j}_{1}\cdots {j}_{q}}\left( {z,\bar{z}}\right)
\]
\[
\text{-}\mathrm{d}{z}_{{i}_{1}} \land \cdots \land \mathrm{d}{z}_{{i}_{p}} \land \overline{\mathrm{d}{z}_{{j}_{1}}} \land \cdots \land \overline{\mathrm{d}{z}_{{j}_{q}}}\text{,}
\]
则 \( \omega \) 称为 \( n \) 维复流形 \( M \) 上的 \( \left( {p, q}\right) \) 型外微分形式.
复流形上的埃尔米特度量 (Hermitian metric on complex manifold) 复流形上的一种度量. 设 \( M \) 为 \( n \) 维复流形, \( M \) 上的 \( \left( {1,1}\right) \) 型共变张量场 \( h \) 若在每个区图 \( \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }}\right) \) 上有坐标表达式
\[
h = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}{h}_{jk}\left( {z,\bar{z}}\right) \mathrm{d}{z}_{j} \otimes {\overline{\mathrm{d}z}}_{k},
\]
其中 \( {h}_{jk}\left( {z,\bar{z}}\right) \) 在 \( {\varphi }_{a}\left( {U}_{a}\right) \) 上光滑,又 \( n \) 阶方阵
\[
H\left( {z,\bar{z}}\right) = \left( \begin{matrix} {h}_{11}\left( {z,\bar{z}}\right) & {h}_{12}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {h}_{1n}\left( {z,\bar{z}}\right) \\ {h}_{21}\left( {z,\bar{z}}\right) & {h}_{22}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {h}_{2n}\left( {z,\bar{z}}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {h}_{n1}\left( {z,\bar{z}}\right) & {h}_{n2}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {h}_{nn}\left( {z,\bar{z}}\right) \end{matrix}\right)
\]
对任意 \( z \in {\varphi }_{a}\left( {U}_{a}\right) \) 为正定埃尔米特方阵,则 \( h \) 称为 \( M \) 上的埃尔米特度量.
埃尔米特流形 (Hermitian manifolds) 一类重要的复流形. 具有埃尔米特度量的复流形称为埃尔米特流形.
克勒流形 (Kähler manifolds) 一类重要的复流形. 设 \( M \) 有埃尔米特度量 \( h \) ,它对应一个 \( \left( {1,1}\right) \) 型外微分形式
\[
\omega = \frac{\sqrt{-1}}{2}\mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}{h}_{jk}\left( {z,\bar{z}}\right) \mathrm{d}{z}_{j} \land \overline{\mathrm{d}{z}_{k}},
\]
称为 \( h \) 的伴随克勒形式. 当 \( \mathrm{d}\omega = 0 \) 时, \( h \) 称为克勒度量. 具有克勒度量的复流形称为克勒流形. 例如, \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中有界域关于伯格曼度量为克勒流形.
施坦流形 (Stein manifold) 从多复变函数论角度研究最多的复流形. 它是全纯凸域在复流形上的推广. 若复流形 \( M \) 满足下述条件,则 \( M \) 称为施坦流形 (参见本卷《流形上的分析》同名条):
1. \( M \) 是全纯凸的,即对于 \( M \) 中的任何紧子集 \( K \) ,集合
\[
\widehat{K} = \{ x \in M\left| \right| f\left( x\right) \left| { \leq \mathop{\sup }\limits_{K}}\right| f \mid ,\forall f \in \operatorname{Hol}\left( M\right) \}
\]
也是 \( M \) 中的紧子集.
2. 任取 \( {x}_{1},{x}_{2} \in M,{x}_{1} \neq {x}_{2} \) ,存在 \( M \) 上的全纯函数 \( f \) ,使得 \( f\left( {x}_{1}\right) \neq f\left( {x}_{2}\right) \) .
3. 对于任何 \( x \in M \) ,均存在 \( M \) 上的全纯函数 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{n} \) ,使得 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{n} \) 可作为 \( x \) 附近的局部坐标.
伯格曼核函数 (Bergman kernel function) 刻画有界域函数论性质和几何性质的一个极有用的正值函数. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界域. 记 \( \mu \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 的欧几里得测度, 考虑函数空间
\[
{B}_{\mu }^{2}\left( D\right) = \operatorname{Hol}\left( D\right) \cap {L}_{\mu }^{2}\left( D\right) ,
\]
其中 \( \operatorname{Hol}\left( D\right) \) 为 \( D \) 上所有全纯函数构成的集合, \( {L}_{\mu }^{2}\left( D\right) \) 为 \( D \) 上适合条件
\[
{\int }_{D}{\left| f\right| }^{2}\mathrm{\;d}\mu < + \infty
\]
的所有可积函数 \( f \) 构成的集合,在 \( {B}_{\mu }^{2}\left( D\right) \) 中引进内积
\[
\left( {f, g}\right) = {\int }_{D}f\left( z\right) \overline{g\left( z\right) }\mathrm{d}\mu ,
\]
于是 \( {B}_{\mu }^{2}\left( D\right) \) 关于此内积为希尔伯特空间,且有可数基. 任给完备规范正交基 \( {\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots \) ,于是
\[K\left( {p,\bar{q}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\varphi }_{j}\left( p\right) \overline{{\varphi }_{j}\left( q\right) }\left( {\forall p, q \in D}\right) \]
关于 \( p \) 及 \( \bar{q} \) 为全纯函数,且 \( K\left( {p,\bar{q}}\right) \) 与规范正交基的选取无关. \( K\left( {p,\bar{q}}\right) \) 称为有界域 \( D \) 上的伯格曼核函数. 它有性质: 平方可积全纯函数 \( f\left( z\right) \) 可表为
\[f\left( z\right) = {\int }_{D}f\left( w\right) K\left( {z,\bar{w}}\right) \mathrm{d}w.\]
伯格曼度量方阵 (Bergman metric matrix) 由伯格曼核函数诱导的一种克勒度量决定的埃尔米特方阵. 记 \( K\left( {z,\bar{z}}\right) \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中有界域 \( D \) 上的伯格曼核函数. 记 \( \left( {1,1}\right) \) 型共变张量场
\[
h = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{j}\partial {\bar{z}}_{k}}\mathrm{\;d}{z}_{j} \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{k}},
\]
则 \( n \) 阶埃尔米特方阵
\[
{\left( \frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{j}\partial {\bar{z}}_{k}}\right) }_{1 \leq j, k \leq n}
\]
关于 \( z \in D \) 为正定埃尔米特方阵,此方阵称为域 \( D \) 的伯格曼度量方阵.
伯格曼度量 (Bergman metric) 由伯格曼核函数诱导的克勒度量. 记 \( T\left( {z,\bar{z}}\right) \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中有界域 \( D \) 上的伯格曼度量方阵, 则
\[
h = \mathrm{d}{zT}\left( {z,\bar{z}}\right) \overline{\mathrm{d}}\bar{z}
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{i}\partial \overline{{z}_{j}}}\mathrm{d}{z}_{i} \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{j}}
\]
为域 \( D \) 上的克勒度量,称为域 \( D \) 的伯格曼度量,所以有界域 \( D \) 为克勒流形,且 \( D \) 的全纯自同构群 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 为关于此度量的等度量变换群.
伯格曼核函数和伯格曼度量是研究有界域的几何性质及函数论性质的基本工具之一.
伯格曼流形 (Bergman manifolds) 具有伯格曼核函数的一类流形. 设 \( M \) 为 \( n \) 维复流形, \( \operatorname{Hol}\left( M\right) \) 为 \( M \) 上所有全纯函数构成的复线性空间,在 \( M \) 上任给测度 \( \mu ,{L}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 为 \( M \) 上所有适合条件
\[
{\int }_{M}{\left| f\right| }^{2}\mathrm{\;d}\mu < + \infty
\]
的可测函数 \( f \) 构成的复线性空间. 记
\[
{B}_{\mu }^{2}\left( M\right) = \operatorname{Hol}\left( M\right) \cap {L}_{\mu }^{2}\left( M\right) ,
\]
在 \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 中可自然地引进内积
\[
\left( {f, g}\right) = {\int }_{M}f\bar{g}\mathrm{\;d}\mu .
\]
如果复流形 \( M \) 适合条件: 存在测度 \( \mu \) ,使得:
1. \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 关于上述内积为希尔伯特空间.
2. \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 有可 |
2000_数学辞海（第3卷） | 51 | }}^{n}\frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{i}\partial \overline{{z}_{j}}}\mathrm{d}{z}_{i} \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{j}}
\]
为域 \( D \) 上的克勒度量,称为域 \( D \) 的伯格曼度量,所以有界域 \( D \) 为克勒流形,且 \( D \) 的全纯自同构群 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 为关于此度量的等度量变换群.
伯格曼核函数和伯格曼度量是研究有界域的几何性质及函数论性质的基本工具之一.
伯格曼流形 (Bergman manifolds) 具有伯格曼核函数的一类流形. 设 \( M \) 为 \( n \) 维复流形, \( \operatorname{Hol}\left( M\right) \) 为 \( M \) 上所有全纯函数构成的复线性空间,在 \( M \) 上任给测度 \( \mu ,{L}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 为 \( M \) 上所有适合条件
\[
{\int }_{M}{\left| f\right| }^{2}\mathrm{\;d}\mu < + \infty
\]
的可测函数 \( f \) 构成的复线性空间. 记
\[
{B}_{\mu }^{2}\left( M\right) = \operatorname{Hol}\left( M\right) \cap {L}_{\mu }^{2}\left( M\right) ,
\]
在 \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 中可自然地引进内积
\[
\left( {f, g}\right) = {\int }_{M}f\bar{g}\mathrm{\;d}\mu .
\]
如果复流形 \( M \) 适合条件: 存在测度 \( \mu \) ,使得:
1. \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 关于上述内积为希尔伯特空间.
2. \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 有可数基,且在 \( {B}_{\mu }^{2}\left( M\right) \) 中任取规范正交基 \( {\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots \) ,使
\[
K\left( {p,\bar{q}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\varphi }_{j}\left( p\right) \overline{{\varphi }_{j}\left( q\right) }\left( {\forall p, q \in M}\right)
\]
为 \( M \) 上关于 \( p,\bar{q} \) 的全纯函数,则 \( K\left( {p,\bar{q}}\right) \) 的定义与规范正交基之选取无关,称为 \( M \) 上的伯格曼核函数.
3. 在 \( M \) 中任取区图 \( \left( {U,\varphi }\right) \) ,则 \( K\left( {p,\bar{p}}\right) \) 有坐标表达式
\[
K\left( {z,\bar{z}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\left| {\varphi }_{j}\left( z\right) \right| }^{2},
\]
做 \( n \) 阶埃尔米特方阵
\[
{\left( \frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{j}\partial {\bar{z}}_{k}}\right) }_{1 \leq j, k \leq n}.
\]
于是 \( M \) 上有 \( \left( {1,1}\right) \) 型共变张量场 \( h \) ,它在 \( \left( {U,\varphi }\right) \) 上有坐标表达式
\[
h = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{j}\partial {\bar{z}}_{k}}\mathrm{\;d}{z}_{j} \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{k}}.
\]
在 \( M \) 上有 \( \left( {1,1}\right) \) 型 2 形式,它在 \( \left( {U,\varphi }\right) \) 上有坐标表达式
\[
\omega = \frac{\sqrt{-1}}{2}\mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}\log K\left( {z,\bar{z}}\right) }{\partial {z}_{j}\overline{\partial {z}_{k}}}\mathrm{\;d}{z}_{j} \land \overline{\mathrm{d}{z}_{k}},
\]
且在 \( M \) 上有 \( \mathrm{d}\omega = 0 \) .
假设 \( h \) 为 \( M \) 上的埃尔米特度量,则必为克勒度量,这时 \( M \) 称为伯格曼流形,而 \( h \) 称为伯格曼度量.
伯格曼流形的存在性是由于有界域必为伯格曼流形.
不变调和函数 (invariant harmonic function)
拉普拉斯-贝尔特拉米方程 \( {\Delta u} = 0 \) 的解. 记 \( K\left( {z,\bar{z}}\right) \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中有界域 \( D \) 的伯格曼核函数,则由伯格曼核决定的伯格曼度量为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}{h}_{jk}\left( {z,\bar{z}}\right) \mathrm{d}{z}_{j} \otimes \overline{\mathrm{d}{z}_{k}}
\]
由此伯格曼度量决定的拉普拉斯-贝尔特拉米算子为
\[
\Delta = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = 1}}^{n}{\widetilde{h}}_{jk}\left( {z,\bar{z}}\right) \frac{{\partial }^{2}}{\partial {z}_{j}\overline{\partial {z}_{k}}},
\]
其中 \( n \) 阶方阵
\[
T\left( {z,\bar{z}}\right) = \left( \begin{matrix} {h}_{11}\left( {z,\bar{z}}\right) & {h}_{12}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {h}_{1n}\left( {z,\bar{z}}\right) \\ {h}_{21}\left( {z,\bar{z}}\right) & {h}_{22}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {h}_{2n}\left( {z,\bar{z}}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {h}_{n1}\left( {z,\bar{z}}\right) & {h}_{n2}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {h}_{nn}\left( {z,\bar{z}}\right) \end{matrix}\right) ,
\]
\[
\widetilde{T}\left( {z,\bar{z}}\right) = \left( \begin{matrix} {\widetilde{h}}_{11}\left( {z,\bar{z}}\right) & {\widetilde{h}}_{12}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {\widetilde{h}}_{1n}\left( {z,\bar{z}}\right) \\ {\widetilde{h}}_{21}\left( {z,\bar{z}}\right) & {\widetilde{h}}_{22}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {\widetilde{h}}_{2n}\left( {z,\bar{z}}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\widetilde{h}}_{n1}\left( {z,\bar{z}}\right) & {\widetilde{h}}_{n2}\left( {z,\bar{z}}\right) & \cdots & {\widetilde{h}}_{nn}\left( {z,\bar{z}}\right) \end{matrix}\right)
\]
互为逆方阵. \( D \) 上二阶连续可微实值函数 \( f\left( {z,\bar{z}}\right) \) 称为不变调和函数,如果 \( {\Delta f} = 0 \) .
卡拉西奥多里度量 (Carathéodory metric) 由全纯映射集合诱导的一种度量. 复流形 \( M \) 到单位圆盘 \( B \) 内的全体全纯映射构成集合 \( B\left( M\right) \) ,则
\[{F}_{c}\left( {z,\xi }\right) = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{f \in B\left( M\right) } \\ {f\left( z\right) = 0} }}\left| {\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{\partial f\left( z\right) }{\partial {z}_{j}}{\xi }_{j}}\right| \]
\[\left( {\forall z \in M,\xi \in M}\right) \]
称为卡拉西奥多里度量.
卡拉西奥多里伪距 (Carathéodory pseudo-distance) 距离的定义方式之一. 复流形 \( M \) 到单位圆盘 \( B \) 内的全体全纯映射构成集合 \( B\left( M\right) \) ,则
\[C\left( {{z}_{1},{z}_{2}}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{f \in B\left( M\right) }}\rho \left( {f\left( {z}_{1}\right), f\left( {z}_{2}\right) }\right) \]
\[\left( {{z}_{1},{z}_{2} \in M}\right) \]
称为卡拉西奥多里伪距,其中 \( \rho \) 为 \( M \) 的庞加莱度量导出的距离.
柯巴雅西伪距 (Kobayashi pseudo-distance)
复流形上的一种全纯同构下不变的伪距. 设 \( p, q \) 是复流形 \( M \) 上的任意两个点, \( {p}_{0} = p,{p}_{1},\cdots ,{p}_{k} = q \) 都是 \( M \) 上的点, \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{k} \) 是单位圆盘 \( B \) 上的点,而且存在全纯映射 \( {f}_{i} : B \rightarrow M \) ,使得
\[
{f}_{i}\left( 0\right) = {p}_{i - 1},{f}_{i}\left( {a}_{i}\right) = {p}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, k}\right) .
\]
这样的 \( {p}_{0},{p}_{1},\cdots ,{p}_{k},{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{k} \) 与 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots ,{f}_{k} \) 称为连结 \( p \) 与 \( q \) 的一个全纯链. \( p, q \) 的柯巴雅西伪距
\[
{d}_{M}\left( {p, q}\right) = \inf \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\rho \left( {0,{a}_{i}}\right) ,
\]
这里 \( \rho \) 是单位圆盘上庞加莱度量导出的距离,上式中的下确界是对所有连结 \( p \) 与 \( q \) 的全纯链取的.
当一个复流形的柯巴雅西伪距是一个真距离时, 就称这个复流形是柯巴雅西流形或双曲流形. 所有的 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界域都是柯巴雅西流形. 因此,柯巴雅西流形可视作是有界域的推广.
柯巴雅西-罗伊登度量是关于柯巴雅西伪距的无穷小度量. 因为
\[
{d}_{M}\left( {p, q}\right) = \mathop{\inf }\limits_{r}{\int }_{0}^{1}{F}_{M}\left( {r\left( t\right) ,\dot{r}\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t,
\]
这里 \( r : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow M \) 是 \( r\left( 0\right) = p, r\left( 1\right) = q \) 的逐段光滑曲线,上式中的下确界是对所有连结 \( p \) 与 \( q \) 的逐段光滑曲线取的.
有很多复流形上的柯巴雅西伪距不是真距离. 例如 \( {\mathrm{C}}^{n},{\mathrm{C}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) ,其中 \( \{ 0\} \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中零元组成的单元素集. 亏格为 0 与 1 的黎曼曲面、复射影空间, 它们任意两点的柯巴雅西伪距都为零.
柯巴雅西-罗伊登度量 (Kobayashi-Royden metric) 由全纯映射集合诱导的一种度量. 记单位圆盘 \( B \) 到 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中域 \( D \) 内的全体全纯映射构成的集合为 \( D\left( B\right) \) ,则
\[
{F}_{K}\left( {z,\xi }\right) = \inf \{ \alpha \mid \alpha > 0,\exists f \in D\left( B\right) ,
\]
\[
f\left( 0\right) = z,{f}^{\prime }\left( 0\right) = \xi /\alpha \}
\]
\[
\left( {\forall z \in D,\xi \in {\mathrm{C}}^{n}}\right) \text{.}
\]
卡拉西奥多里度量比柯巴雅西-罗伊登度量小, 它们在全纯映射下缩小, 在全纯同构下保持不变. 但是这两种度量都不是微分几何意义下的度量.
泊松积分 (Poisson integral) 不变调和函数的积分表示. 记 \( S\left( D\right) \) 为有界域 \( D \) 的希洛夫边界. 拓扑积 \( D \times S\left( D\right) \) 上的实值连续函数
\[
P\left( {z,\bar{z};\xi ,\bar{\xi }}\right) \;\left( {\forall z \in D,\xi \in S\left( D\right) }\right) ,
\]
如果关于 \( z \in D,\bar{z} \in \bar{D} \) 为二阶连续可微,关于 \( \xi ,\bar{\xi } \) 在 \( S\left( D\right) ,\overline{S\left( D\right) } \) 上连续,这里 \( \bar{D},\overline{S\left( D\right) } \) 表示 \( D \) 及 \( S\left( D\right) \) 中点之共轭复数点构成之集合,如果任取 \( S\left( D\right) \) 上实值连续函数 \( f\left( {\zeta ,\bar{\zeta }}\right) \) ,使得
\[
f\left( {z,\bar{z}}\right) = \frac{1}{V}{\int }_{S\left( D\right) }f\left( {\zeta ,\bar{\zeta }}\right) P\left( {z,\bar{z};\zeta ,\bar{\zeta }}\right) \dot{\zeta }
\]
为 \( D \) 上不变调和函数,且当 \( z \) 由 \( D \) 趋于 \( S\left( D\right) \) 中点 \( {\zeta }_{0} \) 时,极限为 \( f\left( {{\zeta }_{0},{\bar{\zeta }}_{0}}\right) \) ,这里 \( \zeta \) 为由 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 之欧氏测度在 \( S\left( D\right) \) 上的诱导,而 \( V \) 为 \( S\left( D\right) \) 的体积,则 \( P(z,\bar{z} \) ; \( \zeta ,\bar{\zeta }) \) 称为域 \( D \) 上的泊松核函数,而上述积分式称为关于 \( f\left( {\zeta ,\bar{\zeta }}\right) \) 之泊松积分.
利用单复变数函数论中构造泊松核函数之办法,很自然的问题是: 如果知道域 \( D \) 的柯西核函数 \( S\left( {z,\bar{\zeta }}\right) \) ,则形式泊松核函数
\[
\widetilde{P}\left( {z,\bar{z};\zeta ,\bar{\zeta }}\right) = \frac{{\left| S\left( z,\bar{\zeta }\right) \right| }^{2}}{S\left( {z,\bar{z}}\right) }
\]
是否为泊松核函数. 在 \( D \) 为对称有界域时,这是对的. 在一般情形, 齐性有界域上形式泊松核函数是泊松核函数当且仅当 \( D \) 为对称齐性有界. 当 \( D \) 为非齐性有界域时, 还一无所知.
泊松核函数 (Poisson kernel function) 见“泊松积分”.
多复变函数的 \( {\mathbf{H}}^{p} \) 空间 ( \( {H}^{p} \) spaces of several complex variables) 单复变函数的 \( {H}^{p} \) 空间的推广. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界对称域, \( b \) 是它的希洛夫边界, \( f : \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) 是 \( \Omega \) 上的全纯函数,定义 \( f \) 的积分平均为
\[
{M}_{p}\left( {r, f}\right) = {\left\{ {\int }_{b}{\left| f\left( r\zeta \right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\sigma \left( \zeta \right) \right\} }^{\frac{1}{p}}
\]
\[
\left( {0 < p < + \infty }\right) \text{,}
\]
其中 \( \sigma \) 为 \( b \) 上的规范化的勒贝格测度,
\[
{M}_{\infty }\left( {r, f}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\zeta \in b}}\left| {f\left( {r\zeta }\right) }\right| ,
\]
则称 \( \Omega \) 上的全纯函数 \( f \in {H}^{p}\left( \Omega \right) \) ,如果
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 < r < 1}}{M}_{p}\left( {r, f}\right) < + \infty .
\]
对于不同的 \( p,{H}^{p}\left( \Omega \right) \) 有下面的包含关系:
\[
{H}^{q}\left( \Omega \right) \subset {H}^{p}\left( \Omega \right) \;\left( {q > p}\right) .
\]
单复变数的 \( {H}^{p} \) 空间理论自 20 世纪 20 年代哈代 (Hardy, G. H. ) 和李特尔伍德 (Littlewood, J. E. ) 等人的开创性工作以来, 经过许多数学家的努力, 已形成完整的体系, 目前已有好几本专著问世. 多复变数 \( {H}^{p} \) 空间理论的研究开始于 20 世纪 60 年代末、 70 年初, 正处于发展的阶段, 有很多问题和单复变数有本质的差异,如 \( {H}^{p} \) 函数的分解, \( {H}^{p} \) 函数的零点集等都比单变数情形复杂得多.
当 \( n = 1 \) 时,单位圆盘上的 \( {H}^{p} \) 空间的零点集和 \( p \) 无关; 而当 \( n > 1 \) 时, \( {B}_{n} \) 上的 \( {H}^{p} \) 空间的零点集随 \( p \) 而异.
多复变数奈望林纳函数类 (Nevanlinna function class of several complex variables) 单复变函数论奈望林纳函数的推广. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界对称域, \( b \) 是它的特征边界. 如果 \( f : \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) 在 \( \Omega \) 上全纯, 且满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 < r < 1}}{\int }_{b}{\log }^{ + }\left| {f\left( {r\zeta }\right) }\right| |
2000_数学辞海（第3卷） | 52 | \( f \in {H}^{p}\left( \Omega \right) \) ,如果
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 < r < 1}}{M}_{p}\left( {r, f}\right) < + \infty .
\]
对于不同的 \( p,{H}^{p}\left( \Omega \right) \) 有下面的包含关系:
\[
{H}^{q}\left( \Omega \right) \subset {H}^{p}\left( \Omega \right) \;\left( {q > p}\right) .
\]
单复变数的 \( {H}^{p} \) 空间理论自 20 世纪 20 年代哈代 (Hardy, G. H. ) 和李特尔伍德 (Littlewood, J. E. ) 等人的开创性工作以来, 经过许多数学家的努力, 已形成完整的体系, 目前已有好几本专著问世. 多复变数 \( {H}^{p} \) 空间理论的研究开始于 20 世纪 60 年代末、 70 年初, 正处于发展的阶段, 有很多问题和单复变数有本质的差异,如 \( {H}^{p} \) 函数的分解, \( {H}^{p} \) 函数的零点集等都比单变数情形复杂得多.
当 \( n = 1 \) 时,单位圆盘上的 \( {H}^{p} \) 空间的零点集和 \( p \) 无关; 而当 \( n > 1 \) 时, \( {B}_{n} \) 上的 \( {H}^{p} \) 空间的零点集随 \( p \) 而异.
多复变数奈望林纳函数类 (Nevanlinna function class of several complex variables) 单复变函数论奈望林纳函数的推广. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的有界对称域, \( b \) 是它的特征边界. 如果 \( f : \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) 在 \( \Omega \) 上全纯, 且满足
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 < r < 1}}{\int }_{b}{\log }^{ + }\left| {f\left( {r\zeta }\right) }\right| \mathrm{d}\sigma \left( \zeta \right) < + \infty ,
\]
则称 \( f \) 属于奈望林纳函数类,记为 \( N\left( \Omega \right) \) .
多复变数斯米尔诺夫函数类 (Smirnov function class of several complex variables) 单复变函数论斯米尔诺夫函数的推广. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的对称有界域, \( b \) 是它的特征边界. 如果 \( f : \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) 在 \( \Omega \) 上全纯. 又设 \( f \in N\left( \Omega \right) \) 且
\[
{\log }^{ + }\left| {f}_{r}\right| \;\left( {0 < r < 1}\right)
\]
一致可积,即对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,只要特征边界 \( b \) 上的点集 \( E \) 满足 \( \sigma \left( E\right) < \delta \) ,就有
\[
{\int }_{E}{\log }^{ + }\left| {{f}_{r}\left( \zeta \right) }\right| \mathrm{d}\sigma \left( \zeta \right) < \varepsilon ,
\]
则称 \( f \) 属于斯米尔诺夫函数类,记为 \( {N}_{ * }\left( \Omega \right) .{H}^{p} \) 函数类和奈望林纳函数类的关系是, 对任意 \( 0 < p < + \infty \) ,均有
\[
{H}^{p}\left( \Omega \right) \subset {N}_{ * }\left( \Omega \right) \subset N\left( \Omega \right) .
\]
多复变数布洛赫函数 (Bloch functions of several complex variables) 单复变数布洛赫函数的推广. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的齐性有界域, \( f : \Omega \rightarrow \mathrm{C} \) 是 \( \Omega \) 上的全纯函数. 用 \( \frac{\partial f}{\partial z}\left( z\right) \) 记 \( f\left( z\right) \) 在 \( z \) 处的梯度向量,即
\[
\frac{\partial f}{\partial z}\left( z\right) = \left( {\frac{\partial f}{\partial {z}_{1}}\left( z\right) ,\frac{\partial f}{\partial {z}_{2}}\left( z\right) ,\cdots ,\frac{\partial f}{\partial {z}_{n}}\left( z\right) }\right) ,
\]
\( T\left( {z,\bar{z}}\right) \) 记 \( \Omega \) 的伯格曼度量方阵. 定义
\[
{Q}_{f}\left( z\right) = \sup \left\{ {\left. \frac{\left| \frac{\partial f}{\partial z}\left( z\right) {w}^{\prime }\right| }{{\left( wT\left( z,\bar{z}\right) {w}^{\prime }\right) }^{\frac{1}{2}}}\right| \;0 \neq w \in {\mathbf{C}}^{n}}\right\} ,
\]
如果
\[
\sup \left\{ {{Q}_{f}\left( z\right) \mid z \in \Omega }\right\} < + \infty ,
\]
就称 \( f \) 是 \( \Omega \) 上的布洛赫函数. \( \Omega \) 上的布洛赫函数的全体记为 \( \beta \left( \Omega \right) \) . 如果 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的单位球 \( {B}_{n} \) ,那么 \( {B}_{n} \) 上的全纯函数 \( f \in \beta \left( {B}_{n}\right) \) 的充分必要条件是
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {B}_{n}}}\left| {\frac{\partial f}{\partial z}\left( z\right) }\right| \left( {1 - {\left| z\right| }^{2}}\right) < + \infty .
\]
如果 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的单位多圆柱 \( {P}_{n} \) ,那么 \( {P}_{n} \) 上的全纯函数 \( f \in \beta \left( {P}_{n}\right) \) 的充分必要条件是
\[
\mathop{\sup }\limits_{{z \in {P}_{n}}}\left| {\frac{\partial f}{\partial {z}_{j}}\left( z\right) }\right| \left( {1 - {\left| {z}_{j}\right| }^{2}}\right) < + \infty
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) \text{.}
\]
布洛赫函数类和 \( {H}^{p} \) 函数类是互不包含的.
多复变数 BMOA 函数 (BMOA functions of several complex variables) \( {H}^{1}\left( {B}_{n}\right) \) 的对偶空间. 如果 \( {B}_{n} \) 上的全纯函数 \( f \in {H}^{2}\left( {B}_{n}\right) \) ,且存在常数 \( C \) , 对任意 \( g \in {H}^{2}\left( {B}_{n}\right) \) 均有
\[
\left| {{\int }_{\partial {B}_{n}}f\bar{g}\mathrm{\;d}{\sigma }_{n}}\right| < C\parallel g{\parallel }_{1},
\]
则称 \( f \) 为 BMOA 函数. 由此可见: \( \operatorname{BMOA}\left( {B}_{n}\right) \) 是 \( {H}^{1}\left( {B}_{n}\right) \) 的对偶空间. BMOA 函数还有下面的等价定义: \( f \in \operatorname{BMOA}\left( {B}_{n}\right) \) 的充分必要条件是存在 \( \psi \in \) \( {L}^{\infty }\left( {\partial {B}_{n}}\right) \) ,使得
\[
f\left( z\right) = {\int }_{\partial {B}_{n}}\frac{\psi \left( \zeta \right) }{{\left( 1-\langle z,\zeta \rangle \right) }^{n}}\mathrm{\;d}{\sigma }_{n}\left( \zeta \right) .
\]
上述各种函数类的包含关系如下:
\[
{H}^{\infty } \subset {BMOA} \subset {H}^{p} \subset {N}_{ * } \subset N
\]
\[
\left( {{BMOA} \subset \beta }\right) \text{.}
\]
多复变数极大函数 (Maximal function of several complex variables) 单位圆盘的极大函数在 \( {B}_{n} \) 中的推广. 对于 \( \zeta \in \partial {B}_{n},\alpha > 1 \) ,定义柯朗意区域为
\[
{D}_{\alpha }\left( \zeta \right) = \left\{ {z \in {\mathbf{C}}^{n}\left| \right| 1-\langle z,\zeta \rangle \left| {\; < \frac{\alpha }{2}\left( {1 - {\left| z\right| }^{2}}\right) }\right. }\right\} .
\]
容易看出 \( {D}_{\alpha }\left( \zeta \right) \subset {B}_{n} \) . 对于 \( {B}_{n} \) 上的连续函数 \( f \) ,定义它的极大函数为
\[
\left( {{M}_{a}f}\right) \left( \zeta \right) = \sup \left\{ {\left| {f\left( z\right) }\right| \mid z \in {D}_{a}\left( \zeta \right) }\right\} .
\]
\( f \) 的极大函数 \( {M}_{a}f \) 有下列重要性质: 对每一个 \( \alpha > \) 1,对应常数 \( A\left( \alpha \right) < + \infty \) ,使得对每个
\[
f \in {H}^{p}\left( {B}_{n}\right) \;\left( {0 < p < + \infty }\right) ,
\]
均有
\[{\int }_{\partial {B}_{n}}{\left| \left( {M}_{\alpha }f\right) \left( \zeta \right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}\sigma \left( \zeta \right) \leq A\left( \alpha \right) \parallel f{\parallel }_{p}^{p}.\]
多复变数内函数 (inner function of several complex variables) 单位圆盘的内函数在 \( {B}_{n} \) 中的推广. 称 \( {B}_{n} \) 上的全纯函数 \( f \) 是 \( {B}_{n} \) 上的内函数,如果
\[\left| {f\left( z\right) }\right| < 1\;\left( {z \in {B}_{n}}\right) ,\]
且对 \( {B}_{n} \) 的边界 \( \partial {B}_{n} \) 上几乎所有的 \( \zeta \) ,有
\[\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 1}}f\left( {r\zeta }\right) = {f}^{ * }\left( \zeta \right) ,\;\left| {{f}^{ * }\left( \zeta \right) }\right| = 1,\]
其中 \( {f}^{ * }\left( \zeta \right) \) 就是由这个等式来定义的函数.
由于单位圆盘上的内函数在单复变函数论中起着重要的作用,人们自然要研究 \( {B}_{n} \) 上的内函数. 然而, 长时间以来, 人们找不出一个具体的内函数, 这不得不使人怀疑,当 \( n > 1 \) 时,是否存在 \( {B}_{n} \) 上的内函数. 路丁 (Rudin, W. ) 在 1980 年出版的《单位球上的函数论》一书中提出 \( {B}_{n}\left( {n > 1}\right) \) 上不存在内函数的猜测. 但到 1981 年秋,亚历山德罗夫 (A.nekcaHдpoв, \( \Pi \) . C. ) 推翻了路丁的猜测,证明对任意 \( n,{B}_{n} \) 上都存在着内函数. 几个星期以后, 劳 (Low, K. ) 又独立地证明了内函数的存在. 但是,由于 \( {B}_{n} \) 上内函数的许多病态性质, 它的作用远不如在单复变中那样重要.
多复变数亚纯函数 (meromorphic function of several complex variables) 单复变数亚纯函数的推广. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( D \) 上的函数 \( h \) 称为亚纯的,如果任取 \( {z}_{0} \in D \) ,存在 \( {z}_{0} \) 的邻域 \( {U}_{0} \subset D \) 使得在 \( {U}_{0} \) 上存在全纯函数 \( g\left( z\right) \) 及 \( f\left( z\right) \) ,其中 \( g\left( z\right) \) 不恒等于零, 而
\[h\left( z\right) = \frac{f\left( z\right) }{g\left( z\right) }\;\left( {\forall z \in {U}_{0}}\right) .\]
设 \( D \) 为 \( n \) 维复流形, \( D \) 上函数 \( f \) 称为亚纯函数,如果任取复流形 \( D \) 的可容许区图 \( \left( {U,\varphi }\right) \) ,则
\[f\left( p\right) = f\left( {{\varphi }^{-1}\left( z\right) }\right) \]
\[
\left( {\forall z \in \varphi \left( U\right) \subset {\mathbf{C}}^{n},\varphi \left( p\right) = z\forall p \in U}\right)
\]
---
所以自守函数论主要结果限于对称有界域及紧克勒流形的情形.
多复变数自守函数的基本域 (fundamental domain of automorphic function of several complex variables) 自守函数的基本定义域. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( \Gamma \) 为域 \( D \) 上全纯自同构群 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 的离散子群. 如果存在 \( \gamma \in \Gamma \) ,使得 \( \gamma \left( {z}_{1}\right) = {z}_{2}, D \) 中点 \( {z}_{1} \) 和 \( {z}_{2} \) 称为关于 \( \Gamma \) 是等价的. 于是 \( D \) 关于 \( \Gamma \) 分成等价类之并. 所有等价类构成的集合,记为 \( D/\Gamma \) . 可以在 \( D/\Gamma \) 中引进拓扑,使得 \( D \) 在自然映射
\[
\pi : z \rightarrow \Gamma \left( z\right) = \{ \gamma \left( z\right) \mid \forall \gamma \in \Gamma \}
\]
下为 \( D/\Gamma \) 之覆盖空间, \( D/\Gamma \) 称为自守函数的基本域,实际上,自守函数就是 \( D/\Gamma \) 上的全纯函数.
一般地,基本域 \( D/\Gamma \) 不一定是域,是复流形. 当基本域 \( D/\Gamma \) 紧时,离散子群 \( \Gamma \) 称为一致格. 但不一定对所有域都存在一致格. 在齐性有界域的情形, 存在一致格当且仅当域对称.
---
为 \( \varphi \left( U\right) \) 上亚纯函数.
库辛第一问题 (Cousin first problem) 单复变函数论中外尔斯特拉斯定理如何推广到多复变的问题. 即库辛第一问题: 设 \( D \) 为复流形, \( \left\{ {U}_{a}\right\} \) 为 \( D \) 的标架覆盖,且在每个 \( {U}_{a} \) 上存在亚纯函数 \( {f}_{a} \) ,使当
\[
{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing
\]
时, \( {f}_{\alpha } - {f}_{\beta } \) 在 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 上全纯,则在 \( D \) 上是否必定存在亚纯函数 \( f \) ,使在每个 \( {U}_{a} \) 上 \( f - {f}_{a} \) 全纯?
单复变函数论中的外尔斯特拉斯定理断言: 对 \( \mathrm{C} \) 中的任意域 \( D \) ,均存在全纯函数,它以指定的离散点集为自己的零点集, 而且重数等于指定的重数. 在多复变发展的早期, 库辛 (Cousin, P. ) 就提出了如何把外尔斯特拉斯定理推广的问题, 即上述库辛第一问题. 对库辛问题的解决做出最主要贡献的是冈洁, 他指出: 若 \( D \) 是全纯域,则库辛第一问题是永远可解的.
库辛第二问题 (Cousin second problem) 单复变函数论中米塔-列夫勒定理如何推广到多复变的问题. 即库辛第二问题: 若 \( \left\{ {U}_{\alpha }\right\} \) 是复流形 \( D \) 的标架覆盖,且在每个 \( {U}_{a} \) 上存在亚纯函数 \( {f}_{a} \) ,使当
\[
{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing
\]
时, \( {f}_{\alpha }/{f}_{\beta } \) 在 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 上为无零点的全纯函数,则在 \( D \) 上是否必定存在全纯函数 \( f \) ,使在每个 \( {U}_{a} \) 上 \( f/{f}_{a} \) 为无零点的全纯函数?
单复变函数论中米塔-列夫勒定理断言: 对 \( \mathrm{C} \) 中的任意域 \( D \) ,均存在亚纯函数,它以指定的点集为自己的极点集, 并且重数等于指定的重数. 库辛 (Cousin, P. ) 提出如何推广米塔-列夫勒定理的问题,即上述库辛第二问题. 冈洁指出: 即使 \( D \) 是全纯域, 库辛第二问题并不永远可解, 它的可解性还依赖于一定的拓扑条件.
多复变数自守函数 (automorphic function of several complex variables) 单复变数自守函数的推广. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 为 \( D \) 的全纯自同构群, \( \Gamma \) 为 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 之离散子群. \( \Gamma \times D \) 上的函数 \( j\left( {r, z}\right) \) 称为权函数,如果
\[
j\left( {\sigma, z}\right) j\left( {\tau, z}\right) = j\left( {{\sigma \tau }, z}\right) \;\left( {\forall \sigma ,\tau \in \Gamma, z \in D}\right) .
\]
\( D \) 上的全纯函数 \( f\left( z\right) \) 称为关于权函数 \( j\left( {r, z}\right) \) 的 \( \Gamma \) 自守函数, 简称自守函数, 如果
\[
f\left( {r\left( z\right) }\right) = j\left( {r, z}\right) f\left( z\right) \;\left( {\forall r \in \Gamma, z \in D}\righ |
2000_数学辞海（第3卷） | 53 | lpha } \cap {U}_{\beta } \) 上为无零点的全纯函数,则在 \( D \) 上是否必定存在全纯函数 \( f \) ,使在每个 \( {U}_{a} \) 上 \( f/{f}_{a} \) 为无零点的全纯函数?
单复变函数论中米塔-列夫勒定理断言: 对 \( \mathrm{C} \) 中的任意域 \( D \) ,均存在亚纯函数,它以指定的点集为自己的极点集, 并且重数等于指定的重数. 库辛 (Cousin, P. ) 提出如何推广米塔-列夫勒定理的问题,即上述库辛第二问题. 冈洁指出: 即使 \( D \) 是全纯域, 库辛第二问题并不永远可解, 它的可解性还依赖于一定的拓扑条件.
多复变数自守函数 (automorphic function of several complex variables) 单复变数自守函数的推广. 设 \( D \) 为 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 中的域, \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 为 \( D \) 的全纯自同构群, \( \Gamma \) 为 \( \operatorname{Aut}\left( D\right) \) 之离散子群. \( \Gamma \times D \) 上的函数 \( j\left( {r, z}\right) \) 称为权函数,如果
\[
j\left( {\sigma, z}\right) j\left( {\tau, z}\right) = j\left( {{\sigma \tau }, z}\right) \;\left( {\forall \sigma ,\tau \in \Gamma, z \in D}\right) .
\]
\( D \) 上的全纯函数 \( f\left( z\right) \) 称为关于权函数 \( j\left( {r, z}\right) \) 的 \( \Gamma \) 自守函数, 简称自守函数, 如果
\[
f\left( {r\left( z\right) }\right) = j\left( {r, z}\right) f\left( z\right) \;\left( {\forall r \in \Gamma, z \in D}\right) .
\]
当
\[
j\left( {r, z}\right) = 1\;\left( {\forall r \in \Gamma, z \in D}\right)
\]
时, 即得普通的自守函数.
所有自守函数构成线性空间, 求出它的维数, 且
给出一组基, 是自守函数论中的根本问题. 撰 稿 史济怀 许以超
由于对实半单李群的离散子群有较多的结果, 审 阅 陈志华
## 测 度 论
测度论 (measure theory) 亦称抽象测度论或抽象积分论, 研究一般集合上的测度和积分的理论. 是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展.
测度是集合的一种度量, 它是长度、面积、体积概念的推广. 首先试图把长度、面积、体积概念推广到任意点集而得出一般的 “测度”观念的是杜·布瓦 -雷蒙 (Du Bois-Reymond, P. D. G. ), 他在《一般函数论》(1882 年) 中提出容量概念, 即测度概念的雏形. 随后汉克尔 (Hankel, H. )、施托尔茨 (Stolz, O. )、哈纳克 (Harnack, C. G. A. )、康托尔 (Cantor, G. (F. P. )) 等人发展了这种思想, 其中康托尔于 1884 年对直线上的有界集 \( A \) 定义它的测度 \( \mu \left( A\right) \) : 首先对任意正数 \( \delta \) ,令
\[
{S}_{\delta } = \mathop{\bigcup }\limits_{{x \in A}}\{ y\left| \right| y - x \mid < \delta \} ,
\]
\( \mu \left( {S}_{\delta }\right) \) 代表 \( {S}_{\delta } \) 的长度; 再令
\[
\mu \left( A\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}\mu \left( {S}_{\delta }\right) .
\]
康托尔给出的测度不具有可加性. 例如,设 \( \mathrm{Q} \) 为有理数全体, \( A = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \cap \mathbf{Q}, B = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \smallsetminus A \) ,则 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack = \) \( A \cup B,\mu \left( A\right) = \mu \left( B\right) = 1,\mu \left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) = 1 \) ,但 \( \mu \left( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \right) \) \( \neq \mu \left( A\right) + \mu \left( B\right) \) ,因而很不合理.
佩亚诺 (Peano, G. ) 于 1887 年引入了平面有界集 \( A \) 的内、外测度的概念: 包含 \( A \) 的多边形面积的下确界称为 \( A \) 的外测度,含于 \( A \) 内的多边形面积的上确界称为 \( A \) 的内测度. 若 \( A \) 的内、外测度相等,则这个公共值称为 \( A \) 的测度,并称 \( A \) 为可测集. 佩亚诺证明了:
1. \( A \) 可测的充分必要条件是 \( A \) 的边界的外测度为 0 .
2. 若 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的有界正函数, \( A \) \( = \{ \left( {x, y}\right) \mid a \leq x \leq b,0 \leq y \leq f\left( x\right) \} \) ,则 \( f\left( x\right) \) 的黎曼下积分为 \( A \) 的内测度,黎曼上积分为 \( A \) 的外测度, \( f\left( x\right) \) 黎曼可积当且仅当 \( A \) 是可测集.
3. 测度具有有限可加性.
若尔当 (Jordan, M. E. C. ) 于 1892 年在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中发展了佩亚诺可测集的概念. 原来定义外测度时, 要用多边形去覆盖点集, 他规范为用有限个开区间去覆盖, 其余不变. 若尔当的改进使测度概念前进了一大步, 蕴涵了勒贝格测度的萌芽, 但仍有明显的缺点. 主要是它仍只具有有限可加性, 从而导致有些简单的点集也不可测. 例如,令 \( A = \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \cap Q \) ,则 \( A \) 的若尔当内测度为 0,而外测度为 1,因而 \( A \) 在若尔当意义下不可测. 总之, 若尔当测度只适合于黎曼积分的需要. 波莱尔 (Borel, (F.-E.-J.-)E. ) 于 1898 年, 先由开集经过可列并与余的运算导致一类集, 即所谓波莱尔集类. 再对每个有界波莱尔集对应一个实数, 即波莱尔测度, 并使得这种测度具有可列可加性. 波莱尔的这种思想对测度理论做出了重大贡献, 成为近代测度论中用公理方式引出 \( \sigma \) 代数概念的起源, 并为勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 的工作开辟了道路. 波莱尔的学生勒贝格在前人工作的基础上,于 1902 年以更一般的形式建立起比较完善的测度理论. 他在定义点集测度的方法上, 容许可列覆盖, 使所建立的测度具有可列可加性, 并且相当广泛的一类点集的测度有了定义 (参见 “勒贝格测度”). 勒贝格测度是现代抽象测度的起源, 在它的基础上建立的勒贝格积分, 是现代分析中应用最广和意义重大的积分. 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 于 1914 年发展了外测度理论, 对测度进行了公理化研究, 并给出了测度扩张的典型方法, 成为近代测度论的基础. 拉东 (Radon, J. )、萨克斯 (Saks, S. )、弗雷歇 (Fréchet, M.-R. )以及另外一些人考虑了一般集合上的测度以及测度空间的乘积, 并建立了一般可测集上积分的理论.
一般集合上的测度和积分理论是最广泛的测度理论, 但为适应各方面的需要, 还出现了其他种种特殊的测度和积分. 例如, 20 世纪 30 年代初, 伴随着人们对取值于巴拿赫空间的函数性质特别是可微性和可积性的研究, 出现了有关向量值测度的一些工作. 1960 年以后, 向量值测度理论得到蓬勃发展, 并逐渐趋于完善. 又如, 19 世纪建立的傅里叶分析理论, 对于应用数学而言, 当时已是令人满意的数学工具, 但由于黎曼积分的局限性, 对于函数与展开式之间的关系, 直到勒贝格积分理论确立之后才有深刻的揭示. 勒贝格积分的出现对于傅里叶展开的研究显然促进了一大步, 但依旧显示出了它的局限性. 研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的基本问题之一, 这个问题自 1930 年以来, 经过哈尔 (Haar, A. )、韦伊 (Weil, A. ) 和盖尔范德 ( \( \Gamma \) e.n. dan \( \mu ,\mathrm{H}.\mathrm{M} \) . ) 等人的工作而趋于完善. 再如, 20 世纪初测度论的建立,使得人们对 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的子集关于 \( n \) 维勒贝格测度的性质有了很好的了解. 但在处理与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中低维点集有关的数学问题时遇到了困难. 在这种背景下, 20 世纪 20 年代出现了几何测度论, 它是研究高维空间中低维点集的测度及低维点集上积分的理论.
测度概念与积分概念紧密相关. 每一种测度理论的推广都可导致一种积分理论的推广. 测度理论不仅是积分理论的基础, 而且在现代分析以及概率论等许多数学领域中也有着广泛的应用.
抽象测度论 (abstract measure theory) 即 “测度论”.
抽象积分论 (abstract integral theory) 即 “测度论”.
## 集 类
环 (ring) 对并与差运算封闭的集类, 测度论中重要概念之一. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的一个非空集类. 如果它对集的并及差运算封闭,即对任何 \( A, B \in \mathcal{F} \) , 都有 \( A \cup B \in \mathcal{F}, A \smallsetminus B \in \mathcal{F} \) ,则称 \( \mathcal{F} \) 为 \( \Omega \) 上的环. 例如,若 \( \mathcal{F} \) 是由实直线 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上任意有限个左开右闭的有限区间的并集
\[
A = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {{a}_{i},{b}_{i}}\right\rbrack
\]
的全体构成的集类,则 \( \mathcal{F} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上的一个环. 环也是对于交与对称差运算封闭的集类, 并按这两种运算成为布尔环 (参见第一卷《布尔代数》). 要把 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上, 就需要做一系列奠基工作, 其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质. 环以及半环、 \( \sigma \) 环、代数、 \( \sigma \) 代数等重要集类正是为了这一目的而引入的.
半环 (semi-ring) 一种重要集类. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的一个非空集类. 如果它满足下列条件,则称 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的半环:
1. \( \varnothing \in \mathcal{F} \) .
2. 若 \( A, B \in \mathcal{F} \) ,则 \( A \cup B \in \mathcal{F} \) .
3. 若 \( A, B \in \mathcal{F} \) 且 \( A \supset B \) ,则
\[
A \smallsetminus B = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{C}_{i},
\]
其中 \( {C}_{i} \in \mathcal{F}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,且 \( {C}_{i} \cap {C}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \) . 例如,实直线 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上全体左开右闭区间 \( (a, b\rbrack ( - \infty \) \( < a \leq b < + \infty ) \) 所组成的集类是 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上的一个半环.
\( \sigma \) 环 ( \( \sigma \) -ring) 对可列并运算封闭的环. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的一个环,并且它对集的可列并运算封闭, 即对任意 \( {A}_{n} \in \mathcal{F}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,都有
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{F}
\]
则称 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 环. 它是建立具有良好的极限性质的测度的基础.
代数 (algebra) 亦称域. 含有基本空间的环. 设 \( \mathcal{F} \) 是基本空间 \( \Omega \) 上的环. 若 \( \Omega \in \mathcal{F} \) ,则称 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的代数. 例如,实直线 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上任意有限个区间 (包括无限区间) 的并的全体便是 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上的代数.
域 (field) 即 “代数”.
\( \sigma \) 代数 ( \( \sigma \) -algebra) 亦称 \( \sigma \) 域、完全加法类、可列加法类、 \( \sigma \) 加法类. 含有基本空间的 \( \sigma \) 环. 设 \( \mathcal{F} \) 是基本空间 \( \Omega \) 上的非空集类. 如果它对余及可列并运算封闭,且 \( \Omega \in \mathcal{F} \) ,则称 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数. 例如, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的 \( \left( L\right) \) 可测集的全体 \( \mathcal{L} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( \sigma \) 代数. 又如,自然数集 \( \mathrm{N} \) 的一切子集组成的集类 \( \mathcal{P}\left( \mathrm{N}\right) \) 是 \( \mathrm{N} \) 上的 \( \sigma \) 代数.
\( \sigma \) 域 ( \( \sigma \) -field) 即 “ \( \sigma \) 代数”.
完全加法类 (completely additive class) 即 “ \( \sigma \) 代数”.
可列加法类 (countably additive class) 即 “ \( \sigma \) 代数”.
\( \sigma \) 加法类 ( \( \sigma \) -additive class) 即 “ \( \sigma \) 代数”.
集类生成的环 (ring generated by a collection of sets) 测度论中的重要集类. 称包含集类 \( \mathcal{F} \) 的最小环为由 \( \mathcal{F} \) 生成的环,它是所有包含 \( \mathcal{F} \) 的环的交. 同理,称包含集类 \( \mathcal{F} \) 的最小 \( \sigma \) 环 (代数, \( \sigma \) 代数) 为由 \( \mathcal{F} \) 生成的 \( \sigma \) 环 (代数, \( \sigma \) 代数).
集类生成的 \( \sigma \) 环 ( \( \sigma \) -ring generated by a collection of sets) 见“集类生成的环”.
集类生成的代数 (algebra generated by a collection of sets) 见“集类生成的环”.
集类生成的 \( \sigma \) 代数 ( \( \sigma \) -algebra generated by a collection of sets) 见“集类生成的环”.
波莱尔集类 (collection of Borel sets) 深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类. 由 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中半开区间组成的半环所生成的 \( \sigma \) 代数,称为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔集类. 也可定义为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的闭集 (开集) 全体生成的 \( \sigma \) 代数. 它是由波莱尔 (Borel, (F.-E.-J.-)E. )于 1898 年引入的, 故以此而命名. 这种集类在测度论、概率论、遍历理论等数学分支中均有广泛应用. 在一般拓扑空间中可类似地引入波莱尔集类.
广义波莱尔集类 (collection of generalized Borel sets) 扩充了的 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上的波莱尔集类. 由 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上的波莱尔集类 \( \mathcal{B} \) 及单元素集 \( \{ + \infty \} ,\{ - \infty \} \) 所生成的 \( \sigma \) 代数,称为广义波莱尔集类. 广义波莱尔集类中的每一个元素或是波莱尔集或它与 \( \{ + \infty \} ,\{ - \infty \} \) 或 \( \{ + \infty , - \infty \} \) 的并.
单调类 (monotone class) 对单调极限运算封闭的集类. 设 \( \mathcal{F} \) 是一非空集类. 若对于 \( \mathcal{F} \) 中任一单调集列 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) ,都有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{A}_{n} \in \mathcal{F}
\]
则称 \( \mathcal{F} \) 是一个单调类. \( \sigma \) 环和 \( \sigma \) 代数都是建立抽象测度的基础, 但它们的结构一般比较复杂, 在应用中很不方便,引入单调类以及 \( \pi \) 类、 \( \lambda \) 类的概念,对掌握 \( \sigma \) 环和 \( \sigma \) 代数特别是某些集类生成的 \( \sigma \) 环和 \( \sigma \) 代数颇有帮助. 例如,集类 \( \mathcal{F} \) 是 \( \sigma \) 代数的充分必要条件为 \( \mathcal{F} \) 既是代数,又是单调类. 对 \( \sigma \) 环亦有类似的结论. 又如, \( \mathcal{F} \) 是 \( \sigma \) 代数的充分必要条件为 \( \mathcal{F} \) 既是 \( \lambda \) 类,又是 \( \pi \) 类. 这样,可以通过结构比较简单的单调类、 \( \pi \) 类和 \( \lambda \) 类来刻画结构比较复杂的 \( \sigma \) 环和 \( \sigma \) 代数.
\( \pi \) 类 ( \( \pi \) -class) 对交运算封闭的集类. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的一个集类. 若对任意 \( A, B \in \mathcal{F} \) ,都有 \( A \cap B \in \) \( \mathcal{F} \) ,则 \( \mathcal{F} \) 称为 \( \Omega \) 上的 \( \pi \) 类.
\( \lambda \) 类 ( \( \lambda \) -class) 测度论中的重要集类之一. 设 \( \mathcal{F} \) 为 \( \Omega \) 上的非空集类,如果它满足条件:
1. 空间 \( \Omega \in \mathcal{F} \) ;
2. 若 \( A, B \in \mathcal{F} \) ,且 \( A \supset B \) ,则 \( A \smallsetminus B \in \mathcal{F} \) ;
3. 若 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) 为 \( \mathcal{F} \) 中的递增集列,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{A}_{n} \in \mathcal{F}
\]
那么 \( \mathcal{F} \) 称为 \( \lambda \) 类.
## 测度和积分
集函数 (set function) 以集类为定义域的函数. 设 \( \mathcal{C} \) 是 \( \Omega \) 上的一个集类, \( K \) 是实数域或复数域,称映射 \( \mu : \mathcal{C} \rightarrow K \) 为定义在 \( \mathcal{C} \) 上的集函数. 重要的 (数值) 集函数有测度、集上的积分等. 若实值集函数的值可允许取 \( + \infty \) 或 \( - \infty \) ,则称此集函数为扩充实值集函数. 关于集函数, |
2000_数学辞海（第3卷） | 54 | 这样,可以通过结构比较简单的单调类、 \( \pi \) 类和 \( \lambda \) 类来刻画结构比较复杂的 \( \sigma \) 环和 \( \sigma \) 代数.
\( \pi \) 类 ( \( \pi \) -class) 对交运算封闭的集类. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的一个集类. 若对任意 \( A, B \in \mathcal{F} \) ,都有 \( A \cap B \in \) \( \mathcal{F} \) ,则 \( \mathcal{F} \) 称为 \( \Omega \) 上的 \( \pi \) 类.
\( \lambda \) 类 ( \( \lambda \) -class) 测度论中的重要集类之一. 设 \( \mathcal{F} \) 为 \( \Omega \) 上的非空集类,如果它满足条件:
1. 空间 \( \Omega \in \mathcal{F} \) ;
2. 若 \( A, B \in \mathcal{F} \) ,且 \( A \supset B \) ,则 \( A \smallsetminus B \in \mathcal{F} \) ;
3. 若 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) 为 \( \mathcal{F} \) 中的递增集列,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{A}_{n} \in \mathcal{F}
\]
那么 \( \mathcal{F} \) 称为 \( \lambda \) 类.
## 测度和积分
集函数 (set function) 以集类为定义域的函数. 设 \( \mathcal{C} \) 是 \( \Omega \) 上的一个集类, \( K \) 是实数域或复数域,称映射 \( \mu : \mathcal{C} \rightarrow K \) 为定义在 \( \mathcal{C} \) 上的集函数. 重要的 (数值) 集函数有测度、集上的积分等. 若实值集函数的值可允许取 \( + \infty \) 或 \( - \infty \) ,则称此集函数为扩充实值集函数. 关于集函数, 也可引入单调性、收敛性等概念. 例如,设 \( \mu \) 是定义在集类 \( \mathcal{C} \) 上的实值集函数. 如果对任意 \( A, B \in \mathcal{C}, A \subset B \) ,均有 \( \mu \left( A\right) \leq \) \( \mu \left( B\right) \) ,则说 \( \mu \) 在 \( \mathcal{C} \) 上是单调增加的. 设 \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 是集类 \( \mathcal{C} \) 上的集函数列. 若对每个 \( A \in \mathcal{C} \) ,数列 \( \left\{ {{\mu }_{n}\left( A\right) }\right\} \) 收敛,则说 \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 在 \( \mathcal{C} \) 上收敛. 若对每个 \( A \in \mathcal{C} \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\mu }_{n}\left( A\right) = \mu \left( A\right) ,
\]
则称 \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 在 \( \mathcal{C} \) 上收敛于 \( \mu \) . 若对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在正整数 \( N \) ,当 \( n > N \) 时,对一切 \( A \in \mathcal{C} \) ,都有
\[
\left| {{\mu }_{n}\left( A\right) - \mu \left( A\right) }\right| < \varepsilon
\]
则称 \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 在 \( \mathcal{C} \) 上一致收敛于 \( \mu \) ,
当 \( K \) 是向量空间或算子集时,分别称映射 \( \mu : \mathcal{C} \) \( \rightarrow K \) 为 \( \mathcal{C} \) 上的向量值集函数或算子值集函数. 常见的这种集函数有向量值测度、谱测度和谱积分等.
区间函数 (interval function) 一种重要而又特殊的集函数. 以 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区间族为定义域的函数称为区间函数. 例如,当 \( f\left( x\right) \) 是以 \( \mathrm{R} \) 为定义域的可积函数时,如果对 \( I = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 使
\[
F\left( I\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
与之对应,则得 \( \mathrm{R} \) 上的区间函数 \( F \) .
扩充实值集函数 (extended real-valued set function) 见“集函数”.
可列可加集函数 (countable additivity set function) 亦称完全可加集函数或可数可加集函数. 一类特殊而又重要的集函数. 设 \( \mu \) 是定义在集类 \( \mathcal{C} \) 上的集函数. 若对任意 \( A, B \in \mathcal{C}, A \cup B \in \mathcal{C}, A \cap B = \) \( \varnothing \) ,都有 \( \mu \left( {A \cup B}\right) = \mu \left( A\right) + \mu \left( B\right) \) ,则说 \( \mu \) 具有有限可加性. 若对 \( \mathcal{C} \) 中任意一列互不相交的集合 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) , 只要
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{C}
\]
均有
\[
\mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( {A}_{n}\right) ,
\]
则称 \( \mu \) 具有可列可加性.
完全可加集函数 (completely additive set function) 即“可列可加集函数”.
可数可加集函数 (countably additive set function) 即“可列可加集函数”.
有限可加集函数 (finitely additive set function) 见“可列可加集函数”.
测度 (measure) 抽象测度的简称, 即非负可列可加的集函数,测度论研究的对象. 设 \( \mu \) 是集类 \( \mathcal{C} \) 上的扩充实值集函数, 满足下列条件:
1. 若 \( \varnothing \in \mathcal{C} \) ,则 \( \mu \left( \varnothing \right) = 0 \) ;
2. \( \mu \) 为非负的,即对任意 \( A \in \mathcal{C} \) ,有
\[
0 \leq \mu \left( A\right) \leq + \infty ;
\]
3. \( \mu \) 为可列可加的,即对任意一列互不相交的 \( {A}_{n} \in \mathcal{C}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,且
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n} \in \mathcal{C}
\]
有
\[
\mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( {A}_{n}\right)
\]
则 \( \mu \) 称为 \( \mathcal{C} \) 上的测度. 特别地,当集类 \( \mathcal{C} \) 为半环 (环、代数、 \( \sigma \) 代数) 时, \( \mu \) 为半环 (环、代数、 \( \sigma \) 代数) 上的测度. 设 \( \mu \) 为 \( \mathcal{C} \) 上的测度. 若对每个 \( A \in \mathcal{C} \) ,均有 \( \mu \left( A\right) < + \infty \) ,则称 \( \mu \) 为集类 \( \mathcal{C} \) 上的有限测度. 若对每个 \( A \in \mathcal{C} \) ,存在 \( {A}_{n} \in \mathcal{C}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,使得
\[
A = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}\text{,且每个}\mu \left( {A}_{n}\right) < + \infty \text{,}
\]
则称 \( \mu \) 为集类 \( \mathcal{C} \) 上的 \( \sigma \) 有限测度. 抽象测度可看做勒贝格测度的推广, 但一般不再有面积、体积等几何意义. 在不致混淆时, 带符号的测度、向量值测度等也简称测度.
抽象测度 (abstract measure) 即 “测度”.
有限测度 (finite measure) 见 “测度”.
\( \sigma \) 有限测度 ( \( \sigma \) -finite measure) 见“测度”.
外测度 (outer measure) 非负次可加集函数. 设 \( \Omega \) 为基本空间, \( {\mu }^{ * } \) 是定义在 \( \Omega \) 的幂集上的扩充实值函数. 如果满足下列条件:
1. 非负性: \( {\mu }^{ * }\left( A\right) \geq 0,{\mu }^{ * }\left( \varnothing \right) = 0 \) ;
2. 单调性: 若 \( A \subset B \) ,则 \( {\mu }^{ * }\left( A\right) \leq {\mu }^{ * }\left( B\right) \) ;
3. 次可加性:
\[
{\mu }^{ * }\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) \leq \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\mu }^{ * }\left( {A}_{n}\right)
\]
则称 \( {\mu }^{ * } \) 为 \( \Omega \) 上的外测度. 对积分来说,有用的是 \( \sigma \) 环或 \( \sigma \) 代数上的测度. 但是, \( \sigma \) 环或 \( \sigma \) 代数的结构一般比较复杂, 因此, 往往先在结构比较简单的半环、 环或代数上定义某种测度,然后把它延拓到 \( \sigma \) 环或 \( \sigma \) 代数上. 引入外测度的目的主要就是为了将某种集类上的测度延拓成为较广集类上的测度.
度量外测度 (metric outer measure) 亦称卡拉西奥多里外测度. 对于彼此距离为正数的两集的并, 具有可加性的外测度. 若 \( {\mu }^{ * } \) 是基本空间 \( \Omega \) 上的外测度, \( \Omega \) 为具有度量 \( \rho \) 的度量空间,对于任意 \( {A}_{1} \subset \Omega ,{A}_{2} \subset \Omega \) ,只要它们之间的距离
\[
\rho \left( {{A}_{1},{A}_{2}}\right) = \inf \left\{ {\rho \left( {x, y}\right) \mid x \in {A}_{1}, y \in {A}_{2}}\right\} > 0,
\]
就有
\[
{\mu }^{ * }\left( {{A}_{1} \cup {A}_{2}}\right) = {\mu }^{ * }\left( {A}_{1}\right) + {\mu }^{ * }\left( {A}_{2}\right) ,
\]
则 \( {\mu }^{ * } \) 称为 \( \Omega \) 上的度量外测度. 例如勒贝格测度是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的度量外测度. 若 \( {\mu }^{ * } \) 为度量空间 \( \Omega \) 上的度量外测度,则 \( \Omega \) 上的一切波莱尔集都是 \( {\mu }^{ * } \) 可测的.
卡拉西奥多里外测度 (Carathéodory outer measure) 即“度量外测度”.
\( {\mu }^{ * } \) 可测集 ( \( {\mu }^{ * } \) -measurable set) 外测度理论中极为重要的概念. 设 \( {\mu }^{ * } \) 是 \( \Omega \) 上的外测度, \( A \subset \Omega \) . 若对任意 \( T \subset \Omega \) ,均有
\[
{\mu }^{ * }\left( T\right) = {\mu }^{ * }\left( {T \cap A}\right) + {\mu }^{ * }\left( {T \cap {A}^{c}}\right) ,\;\left( 1\right)
\]
则称 \( A \) 为一个 \( {\mu }^{ * } \) 可测集. 在 \( {\mu }^{ * } \) 可测集组成的集类上,集函数 \( {\mu }^{ * } \) 实际上具有可列可加性,即是说,外测度 \( {\mu }^{ * } \) 在限制了的这个集类上是一个测度. 条件 (1) 正是刻画外测度 \( {\mu }^{ * } \) 成为测度的特征. 卡拉西奥多里 (Carathéodory, C.) 在深入研究了勒贝格外测度理论后,于 1914 年指出: 若 \( {\mu }^{ * } \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格外测度,则 (1) 式是集 \( A \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 勒贝格可测的充分必要条件. 条件 (1) 比较简洁, 同时又易于推广到一般的测度, 常称为卡拉西奥多里条件.
## 卡拉西奥多里条件 (Carathéodory condition) 见“ \( {\mu }^{ * } \) 可测集”.
构造外测度的方法 (method of constructing outer measure) 由给定的集函数导出外测度的一种方法. 设 \( \mathcal{C} \) 是基本空间 \( \Omega \) 上的一个集类,空集 \( \varnothing \) \( \in \mathcal{C} \) ,又设 \( \mu \) 为 \( \mathcal{C} \) 上的非负扩充实值集函数,且 \( \mu \left( \varnothing \right) = 0 \) ,对于 \( \Omega \) 的任意子集 \( A \) ,若 \( A \) 有 \( \mathcal{C} \) 中的可列覆盖, 令
\[
{\mu }^{ * }\left( A\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\mu \left( {A}_{n}\right) \mid {A}_{n} \in \mathcal{C},}\right.
\]
\[
\left. {n = 1,2,\cdots, A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right\}
\]
若 \( A \) 无 \( \mathcal{C} \) 中的可列覆盖,令 \( {\mu }^{ * }\left( A\right) = + \infty \) ,则 \( {\mu }^{ * } \) 为 \( \Omega \) 上的外测度,并称其为由 \( \mu \) 导出的外测度. 如果 \( \mathcal{C} \) 为半环,且 \( \mu \) 为 \( \mathcal{C} \) 上的测度,那么用上法构造的 \( {\mu }^{ * } \) 有:
1. 若 \( A \in \mathcal{C} \) ,则 \( {\mu }^{ * }\left( A\right) = \mu \left( A\right) \) .
2. 若 \( \sigma \left( \mathcal{C}\right) \) 为由 \( \mathcal{C} \) 生成的 \( \sigma \) 代数, \( {S}^{ * } \) 为 \( \Omega \) 中全体 \( {\mu }^{ * } \) 可测集组成的 \( \sigma \) 代数,则 \( \sigma \left( \mathcal{C}\right) \subset {S}^{ * } \) .
测度延拓的惟一性 (uniqueness of measure extension) 指半环上的测度可以惟一地延拓成某个 \( \sigma \) 代数上的测度. 设 \( \mathcal{F} \) 为半环, \( \sigma \left( \mathcal{F}\right) \) 为 \( \mathcal{F} \) 生成的 \( \sigma \) 代数. 若 \( \mu \) 为 \( \mathcal{F} \) 上的测度,则 \( \mu \) 可延拓为 \( \sigma \left( \mathcal{F}\right) \) 上的测度. 若 \( \mu \) 在 \( \mathcal{F} \) 上 \( \sigma \) 有限,则它在 \( \sigma \left( \mathcal{F}\right) \) 上的延拓 \( \sigma \) 有限且惟一. 例如, \( \mathrm{R} \) 中左开右闭区间的 \( g \) 长度 \( {\mu }_{g} \) 是左开右闭区间类 \( \mathcal{F} \) 这一半环上的测度, \( {\mu }_{g} \) 可延拓到 \( \mathrm{R} \) 的波莱尔集类 \( \mathcal{B} \) 上,且在 \( \mathcal{B} \) 上的延拓是 \( \sigma \) 有限的,也是惟一的. 这样的延拓便是波莱尔集类 \( \mathcal{B} \) 上的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度. 较为有用的 \( \sigma \) 代数 \( \left( {\sigma \text{环}}\right) \) 上的测度,往往都是由半环 (环,代数) 上的测度延拓而成的 (参见 “外测度”). 这条性质说明这种延拓是可能的, 并且是惟一的.
卡拉西奥多里-哈恩延拓定理 (Carathéodory-Hahn extension theorem) 关于测度延拓的重要结果. 设 \( \mu \) 是代数 \( \mathcal{A} \) 上的测度, \( {\mu }^{ * } \) 是由 \( \mu \) 导出的外测度, \( {\mathcal{A}}^{ * } \) 是 \( {\mu }^{ * } \) 可测集的 \( \sigma \) 代数,则 \( {\mu }^{ * } \) 限制到 \( {\mathcal{A}}^{ * } \) 上是 \( \mu \) 的延拓; 又若 \( \mu \) 对于 \( \mathcal{A} \) 是 \( \sigma \) 有限的, \( \sum \) 是满足 \( \mathcal{A} \subset \sum \subset {\mathcal{A}}^{ * } \) 的任何 \( \sigma \) 代数,则 \( {\mu }^{ * } \) 是 \( \sum \) 上惟一成为 \( \mu \) 的延拓的测度.
可测空间 (measurable space) 测度的定义域, 测度论中的基本概念. 设 \( \mathcal{F} \) 是基本空间 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数,称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 为可测空间,而称 \( \mathcal{F} \) 中的元素 \( A \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 中的可测集,也称为 \( \Omega \) 中的 \( \mathcal{F} \) 可测集, 简称可测集. 例如,当 \( \mathcal{F} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的波莱尔集类 \( \mathcal{B} \) 时, \( \left( {{\mathrm{R}}^{n},\mathcal{B}}\right) \) 称为波莱尔可测空间. 当 \( \mathcal{F} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的勒贝格可测集类 \( \mathcal{L} \) 时, \( \left( {{\mathrm{R}}^{n},\mathcal{L}}\right) \) 称为勒贝格可测空间. 可测空间是测度的定义域, 在一个可测空间上可以定义不止一种测度.
勒贝格可测空间 (Lebesgue measurable space) 见“可测空间”.
可测集 (measurable set) 见 “可测空间”.
波莱尔可测空间 (Borel measurable space) 见 “可测空间”.
拓扑可测空间 (topological measurable space) 带有拓扑结构的可测空间. 设 \( \tau \) 是 \( \Omega \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 55 | \( \mu \) 对于 \( \mathcal{A} \) 是 \( \sigma \) 有限的, \( \sum \) 是满足 \( \mathcal{A} \subset \sum \subset {\mathcal{A}}^{ * } \) 的任何 \( \sigma \) 代数,则 \( {\mu }^{ * } \) 是 \( \sum \) 上惟一成为 \( \mu \) 的延拓的测度.
可测空间 (measurable space) 测度的定义域, 测度论中的基本概念. 设 \( \mathcal{F} \) 是基本空间 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数,称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 为可测空间,而称 \( \mathcal{F} \) 中的元素 \( A \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 中的可测集,也称为 \( \Omega \) 中的 \( \mathcal{F} \) 可测集, 简称可测集. 例如,当 \( \mathcal{F} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的波莱尔集类 \( \mathcal{B} \) 时, \( \left( {{\mathrm{R}}^{n},\mathcal{B}}\right) \) 称为波莱尔可测空间. 当 \( \mathcal{F} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的勒贝格可测集类 \( \mathcal{L} \) 时, \( \left( {{\mathrm{R}}^{n},\mathcal{L}}\right) \) 称为勒贝格可测空间. 可测空间是测度的定义域, 在一个可测空间上可以定义不止一种测度.
勒贝格可测空间 (Lebesgue measurable space) 见“可测空间”.
可测集 (measurable set) 见 “可测空间”.
波莱尔可测空间 (Borel measurable space) 见 “可测空间”.
拓扑可测空间 (topological measurable space) 带有拓扑结构的可测空间. 设 \( \tau \) 是 \( \Omega \) 上的拓扑, \( \sigma \left( \tau \right) \) 是由 \( \tau \) 生成的 \( \sigma \) 代数,称 \( \left( {\Omega ,\tau ,\sigma \left( \tau \right) }\right) \) 为一个拓扑可测空间.
测度空间 (measure space) 定义了测度的可测空间. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度, \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 称为测度空间. 当 \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的有限测度 ( \( \sigma \) 有限测度) 时,相应地称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限测度空间 ( \( \sigma \) 有限测度空间). 在各种特殊情况下,相应有勒贝格测度空间、勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间、波莱尔测度空间等名称.
勒贝格测度空间 (Lebesgue measure space) 见“测度空间”.
勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间(Lebesgue-Stiel tjes measure space) 见“测度空间”.
波莱尔测度空间 (Borel measure space) 见 “测度空间”.
有限测度空间 (finite measure space) 见 “测度空间”.
\( \sigma \) 有限测度空间 ( \( \sigma \) -finite measure space) 见 “测度空间”.
测度的支集 (support set of a measure) 描述测度集中于某个集合的一个概念. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( U \subset \Omega \) . 若对任意 \( V \in \mathcal{F} \) ,只要 \( V \cap U = \varnothing \) , 就有 \( \mu \left( V\right) = 0 \) ,则 \( U \) 称为测度 \( \mu \) 的支集,记为 \( \operatorname{supp}\mu \) \( = U \) ,此时称 \( \mu \) 支于 \( U \) ,或 \( \mu \) 集中于 \( U \) .
正测度 (positive measure) 仅在 (环的) 零元素上取值为零的测度. 设 \( \mu \) 是定义在环上的测度. 若 \( \mu \) 的值只在零元素上为零,则称 \( \mu \) 是一个正测度.
测度环 (measure ring) 定义了正测度的 \( \sigma \) 环. 若 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 环 \( \mathcal{F} \) 上的正测度,则称 \( \mathcal{F} \) 是一个测度环.
测度代数 (measure algebra) 定义了正测度的 \( \sigma \) 代数. 若 \( \mathcal{F} \) 既是代数又是测度环,则称 \( \mathcal{F} \) 是一个测度代数.
若测度 \( \mu \) 是有限的或 \( \sigma \) 有限的,则称相应的测度代数 (测度环) 为有限的或 \( \sigma \) 有限的测度代数 (测度环).
有限测度环 (finite measure ring) 见 “测度代数”.
\( \sigma \) 有限测度环 ( \( \sigma \) -finite measure ring) 见 “测度代数”.
有限测度代数 (finite measure algebra) 见“测度代数”.
\( \sigma \) 有限测度代数 ( \( \sigma \) -finite measure algebra) 见 “测度代数”.
同构测度环 (measure ring of isomorphism)
测度环之间保持并与差运算以及测度的映射. 设 \( \left( {{\Omega }_{1},\mu }\right) \) 和 \( \left( {{\Omega }_{2},\nu }\right) \) 是两个测度环, \( T \) 是 \( {\Omega }_{1} \) 到 \( {\Omega }_{2} \) 上的一一映射,使得对于 \( {\Omega }_{1} \) 中任意元素 \( A, B \) 和 \( {A}_{n}(n \) \( = 1,2,\cdots ) \) ,有
\[
T\left( {A \smallsetminus B}\right) = T\left( A\right) \smallsetminus T\left( B\right) ,
\]
\[
T\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }T\left( {A}_{n}\right) ,
\]
\[
\mu \left( A\right) = \nu \left( {T\left( A\right) }\right) ,
\]
则称 \( T \) 是 \( \left( {{\Omega }_{1},\mu }\right) \) 和 \( \left( {{\Omega }_{2},\nu }\right) \) 之间的同构映射. 若两个测度环之间存在一个同构映射, 则说这两个测度环是同构的.
连带的测度环 (associated measure ring) 由定义了测度的一个 \( \sigma \) 环的元素的某种等价类组成的测度环. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 环, \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度. 对于 \( \mathcal{F} \) 中二集 \( A \) 和 \( B \) ,若 \( \mu \left( {A\bigtriangleup B}\right) = 0 \) ,则 \( A \) 和 \( B \) 称为等价的,相应等价类之集记为 \( \mathcal{F}\left( \mu \right) \) ,它仍是一个 \( \sigma \) 环,且 \( \mu \) 是 \( \mathcal{F}\left( \mu \right) \) 上的正测度. 称 \( \left( {\mathcal{F}\left( \mu \right) ,\mu }\right) \) 为与 \( \Omega \) 连带的测度环.
同构测度空间 (measure space of isomorphim) 其连带的测度环同构的测度空间. 设 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1},{\mu }_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2},{\mu }_{2}}\right) \) 是两个测度空间,若与它们连带的测度环 \( \left( {{\mathcal{F}}_{1}\left( {\mu }_{1}\right) ,{\mu }_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{\mathcal{F}}_{2}\left( {\mu }_{2}\right) ,{\mu }_{2}}\right) \) 是同构的,则称测度空间 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1},{\mu }_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2},{\mu }_{2}}\right) \) 是同构的.
概率测度 (probability measure) 概率论、遍历理论等数学分支中常用的一种重要的有限测度. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度. 若 \( \mu \left( \Omega \right) \) \( = 1 \) ,则称 \( \mu \) 为概率测度,并称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为概率空间. 20 世纪完成的勒贝格测度和勒贝格积分理论以及随后发展起来的抽象测度和积分理论, 为概率论公理体系的确立奠定了理论基础. 概率测度和概率空间就是在这样的历史背景下产生的一种重要测度和测度空间.
概率空间 (probability space) 见 “概率测度”.
\( \delta \) 测度 ( \( \delta \) -measure) 亦称狄喇克测度. 是一种具有奇特性质的有限测度. 设 \( a \in \Omega \) 是一个定点,对任意 \( A \subset \Omega \) ,当 \( a \in A \) 时定义 \( \mu \left( A\right) = 1 \) ,当 \( a \notin A \) 时定义 \( \mu \left( A\right) = 0 \) ,则集函数 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{P}\left( \Omega \right) (\Omega \) 的幂集)上的测度,这种测度称为 \( \delta \) 测度. \( \delta \) 测度在局部紧阿贝尔群上的位势论中有应用. 在物理上, \( \delta \) 测度表示单位质点在空间中形成的质量分布. 它最初由意大利统计物理学家狄喇克 (Dirac, P. A. M. ) 引进,称为 “ \( \delta \) 函数”,后经数学上严密化得此概念 (参见《泛函分析》中的“广义函数”部分).
狄喇克测度 (Dirac measure) 即 “ \( \delta \) 测度”.
计数测度 (counting measure) 使得任一可测集的测度等于它含有的元素个数的那种测度. 对测度空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) ,若对任意 \( E \in \mathcal{F} \) ,都有
\[
\mu \left( E\right) = \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{card}E\left( {\operatorname{card}E < {\aleph }_{0}}\right) , \\ + \infty \left( {\operatorname{card}E \geq {\aleph }_{0}}\right) , \end{array}\right.
\]
则 \( \mu \) 称为计数测度.
离散测度 (discrete measure) 定义在可数集上的测度. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{P}\left( \Omega \right) ,\mu }\right) \) 是测度空间,其中 \( \Omega \) 为可数集, \( \mathcal{P}\left( \Omega \right) \) 是 \( \Omega \) 的幂集. 若存在 \( \Omega \) 上的非负扩充实值函数 \( f \) ,使对任意可数集 \( E \in \mathcal{P}\left( \Omega \right) \) ,都有
\[
\mu \left( E\right) = \mathop{\sum }\limits_{{x \in E}}f\left( x\right) ,
\]
则 \( \mu \) 称为离散测度. 关于离散测度的积分与无穷级数是一致的.
\( \mu \) 零集 ( \( \mu \) -null set) 亦称 \( \mu \) 零测度集. 是测度论中的一类重要集合. 设 \( A \) 是测度空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 中的可测集. 如果 \( \mu \left( A\right) = 0 \) ,则称 \( A \) 为 \( \mu \) 零集. 空集是任何测度的零集; 有限集和可数集是勒贝格测度的零集.
## \( \mu \) 零测度集 ( \( \mu \) -null measure set) 即 “ \( \mu \) 零集”.
完备测度 (complete measure) 亦称完全测度. 使得零集的任何子集都可测的那种测度. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间. 如果 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 中 \( \mu \) 零集的子集都是可测集,则称 \( \mu \) 是完备测度,并称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是完备测度空间. 勒贝格测度空间 \( \left( {\mathrm{R}}^{n}\right. \) , \( \left. {\mathcal{L}, m}\right) \) 和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间 \( \left( {{\mathrm{R}}^{n},{\mathcal{L}}_{g},{m}_{g}}\right) \) 都是完备的测度空间,而波莱尔测度空间 \( \left( {{\mathrm{R}}^{n},\mathcal{B},\mu }\right) \) 是不完备的测度空间. 完备测度具有一些良好性质. 例如,若测度 \( \mu \) 完备,则凡是 \( \mu \) 几乎处处相等的函数, 或者都可测, 或者都不可测. 又几乎处处收敛的 \( \mu \) 可测函数列的极限函数也是 \( \mu \) 可测的. 对于不完备的测度, 这些结论未必成立.
完全测度 (complete measure) 即 “完备测度”.
完备测度空间 (complete measure space) 见 “完备测度”.
测度完备化 (completion of a measure) 亦称测度完全化. 由任一测度延拓成的完备测度. 设 \( {\mu }_{1} \) , \( {\mu }_{2} \) 分别是 \( \sigma \) 代数 \( {\mathcal{F}}_{1},{\mathcal{F}}_{2} \) 上的测度. 如果满足下列条件,则称 \( {\mu }_{2} \) 为 \( {\mu }_{1} \) 的完备化测度:
1. \( {\mathcal{F}}_{1} \subset {\mathcal{F}}_{2} \) .
2. \( {\mu }_{2} \) 是 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 上的完备测度.
3. 对 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 中任一 \( A \) ,均有 \( {\mu }_{1}\left( A\right) = {\mu }_{2}\left( A\right) \) .
下面给出建立完备化测度的一种方法. 设 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{F} \) 上的任意测度. 令 \( \widetilde{\mathcal{F}} \) 为形如 \( A \cup B \) 的集的全体,其中 \( A \in \mathcal{F}, B \) 为 \( \mu \) 零集的子集,则 \( \mathcal{F} \) 为 \( \sigma \) 代数,又若令 \( \widetilde{\mu }\left( {A \cup B}\right) = \mu \left( A\right) \) ,则 \( \widetilde{\mathcal{F}} \) 上的测度 \( \widetilde{\mu } \) 为 \( \mu \) 的完备化. 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上,勒贝格测度是波莱尔测度的完备化.
测度完全化 (completion of a measure) 即 “测度完备化”.
有限可加测度 (finite additive measure) 满足有限可加条件的集函数. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的一个集类, \( \mu \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上的非负扩充实值集函数. 如果满足:
1. 若 \( \varnothing \in \mathcal{F} \) ,则 \( \mu \left( \varnothing \right) = 0 \) ;
2. 对任意有限个互不相交的集 \( {A}_{i} \in \mathcal{F}(i = 1 \) , \( 2,\cdots, n) \) ,只要
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i} \in \mathcal{F}
\]
都有
\[
\mu \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\mu \left( {A}_{i}\right)
\]
则称 \( \mu \) 为 \( \mathcal{F} \) 上的有限可加测度.
测度问题 (measure problem) 测度论中的著名问题. 对于直线而论, 人们总希望直线上某个测度, 关于它可测的集合越多越好. 可测集多, 意味着可测函数多, 从而可积函数也多. 对于平面或高维空间的情形也是这样. 所谓测度问题, 就是 (直线上) 是否存在具有下列性质的测度:
1. 具有可列可加性.
2. (直线上的) 所有子集都可测.
3. 具有平移不变性.
4. \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的测度是 1 .
测度问题是勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 于 1904 年提出的,这个问题已经解决,结论如下: 去掉 \( 2,3 \) , 4 中任何一条, 容易举例说明满足其余三条的测度是存在的. \( 1,2,3,4 \) 全都满足的测度是不存在的,特别地, 直线上必存在不是勒贝格可测的集, 这首先是由维塔利 (Vitali, G. ) 于 1905 年指出的. 如果将 1 换成
\( {1}^{\prime } \) . 具有有限可加性,
则满足 \( {1}^{\prime },2,3,4 \) 的测度是存在的,但不惟一. 这就是著名的巴拿赫定理. 对于空间 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) ,则有结论: 当 \( n = 2 \) 时,满足 \( {1}^{\prime },2,3,4 \) 的测度是存在的. 当 \( n \) \( \geq 3 \) 时,满足 \( {1}^{\prime },2,3,4 \) 的测度是不存在的. 这个问题是由豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 于 1914 年提出并于 1923 年解决的.
原子测度 (atomic measure) 具有某种奇特性质的测度. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间. 若存在 \( A \in \mathcal{F} \) , \( \mu \left( A\right) > 0 \) ,而且当任意 \( B \in \mathcal{F}, B \subset A \) 时,有 \( \mu \left( B\right) \) \( = \mu \left( A\right) \) 或 \( \mu \left( B\right) = 0 \) ,二者必居其一,则称 \( A \) 是测度 \( \mu \) 的原子. 含有原子的测度称为原子测度,不含原子的测度称为非原子测度.
非原子测度 (non-atomic measure) 见 “原子测度”.
非原子测度空间 (non-atomic measure space) 带有非原子测度的测度空间. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\ri |
2000_数学辞海（第3卷） | 56 | .
测度问题是勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 于 1904 年提出的,这个问题已经解决,结论如下: 去掉 \( 2,3 \) , 4 中任何一条, 容易举例说明满足其余三条的测度是存在的. \( 1,2,3,4 \) 全都满足的测度是不存在的,特别地, 直线上必存在不是勒贝格可测的集, 这首先是由维塔利 (Vitali, G. ) 于 1905 年指出的. 如果将 1 换成
\( {1}^{\prime } \) . 具有有限可加性,
则满足 \( {1}^{\prime },2,3,4 \) 的测度是存在的,但不惟一. 这就是著名的巴拿赫定理. 对于空间 \( {\mathrm{R}}^{n}\left( {n \geq 2}\right) \) ,则有结论: 当 \( n = 2 \) 时,满足 \( {1}^{\prime },2,3,4 \) 的测度是存在的. 当 \( n \) \( \geq 3 \) 时,满足 \( {1}^{\prime },2,3,4 \) 的测度是不存在的. 这个问题是由豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 于 1914 年提出并于 1923 年解决的.
原子测度 (atomic measure) 具有某种奇特性质的测度. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间. 若存在 \( A \in \mathcal{F} \) , \( \mu \left( A\right) > 0 \) ,而且当任意 \( B \in \mathcal{F}, B \subset A \) 时,有 \( \mu \left( B\right) \) \( = \mu \left( A\right) \) 或 \( \mu \left( B\right) = 0 \) ,二者必居其一,则称 \( A \) 是测度 \( \mu \) 的原子. 含有原子的测度称为原子测度,不含原子的测度称为非原子测度.
非原子测度 (non-atomic measure) 见 “原子测度”.
非原子测度空间 (non-atomic measure space) 带有非原子测度的测度空间. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间. 若 \( \mu \) 是非原子测度,则称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为非原子测度空间. 勒贝格测度空间和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间均是非原子测度空间.
简单函数 (simple function) 阶梯函数的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上的实值函数, \( \Omega \) 能表示成 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 中的有限个互不相交的可测集 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 之并,使 \( f\left( x\right) \) 在每个 \( {A}_{i} \) 上等于常数 \( {c}_{i} \) ,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 中的简单函数或 \( \Omega \) 上的 \( \mathcal{F} \) 简单函数. 简单函数类对四则运算是封闭的. 简单函数是特殊的可测函数. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的连续函数可以用阶梯函数逼近, 而一般的可测函数则可用简单函数逼近; 有界可测函数可用简单函数一致逼近.
可测函数 (measurable function) 分析学中讨论得最广的函数类. 它有许多等价的定义方式, 这里采用如下定义: 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 为可测空间, \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上的实值 (或扩充实值) 函数. 若对任意实数 \( c \) , 恒有 \( \{ x \mid f\left( x\right) > c\} \in \mathcal{F} \) ,则 \( f\left( x\right) \) 称为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 中的可测函数或 \( \Omega \) 上的 \( \mathcal{F} \) 可测函数. 在这个定义中,条件 \( f\left( x\right) > c \) 可用 \( f\left( x\right) \geq c, f\left( x\right) < c, f\left( x\right) \leq c \) 中任一条件来替代. 当 \( \mathcal{F} \) 为与特殊的测度相应的可测集类时, 相应的可测函数可以冠以这些测度的名称. 例如说 \( f\left( x\right) \) 为波莱尔可测函数、勒贝格可测函数等. \( f\left( x\right) \) 在 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上可测的充分必要条件是,对于直线上的任何波莱尔集 \( M,{f}^{-1}\left( M\right) \) 是可测集,即 \( {f}^{-1}\left( M\right) \in \mathcal{F} \) . 勒贝格可测函数的概念是由勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 于 1902 年引入的, 拉东 (Radon, J. ) 于 1913 年把它推广到一般的可测空间. 除一些涉及 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的特殊拓扑性质 (如卢津定理) 外,可测空间中的可测函数的性质与勒贝格可测函数的性质基本相同. 例如, 可测函数类对于四则运算封闭, 对于极限运算封闭, 几乎处处收敛的可测函数列是近于一致收敛的, 也即叶戈罗夫定理 (参见本卷《实变函数论》中的相关条目)成立.
几乎处处 (almost everywhere) 测度论中的重要概念之一, 勒贝格测度理论中相应概念在测度空间上的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( E \in \mathcal{F} \) . 称命题 \( P \) 在 \( E \) 上几乎处处成立,是指 \( E \) 中使命题 \( P \) 不成立的点的全体 (它可能是不可测集) 包含在某个 \( \mu \) 零集中. 对于完备测度空间,命题 \( P \) 在 \( E \) 上几乎处处成立就是反映使命题 \( P \) 不成立的点的全体是 \( \mu \) 零集. 在不完备的测度空间上,关于 \( \mu \) 几乎处处相等的两个函数 \( f \) 和 \( g \) ,未必能从 \( f \) 的可测性推出 \( g \) 的可测性. 几乎处处简记为 a. e. .
复值可测函数 (complex-valued measurable function) 复值勒贝格可测函数概念的推广. 设 \( (\Omega \) , \( \mathcal{F}) \) 为可测空间. 若 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) \) 都是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的实值可测函数, 则称
\[
f\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) + \mathrm{i}{f}_{2}\left( x\right)
\]
为其上的复值可测函数.
抽象积分 (abstract integral) 勒贝格积分的进一步抽象, 现代分析数学中的重要工具之一. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( f\left( x\right) \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 中的可测函数. 建立抽象积分
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}\mu
\]
的步骤与建立勒贝格积分或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的步骤基本相同, 只需在定义中将勒贝格测度换成一般测度 \( \mu \) ,相应的非负简单函数、非负可测函数、一般可测函数换成测度空间中的同名函数即可. 对于积分存在和可积两个概念也做类似定义. 当 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是完备测度空间时,抽象积分的性质与勒贝格积分的性质基本相同,也有关于积分收敛性的三大定理 (列维定理、法图引理、勒贝格控制收敛定理, 参见本卷《实变函数论》中的相关条目). 也可以引进平均收敛等概念, 并且与几乎处处收敛、依测度收敛、近于一致收敛的关系也一样, 仅需做明显的文字和记号修改.
一致可积 (uniformly integrable) 描述一列函数可积性的整体性态的重要概念. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( {f}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 在 \( \Omega \) 上可积,如果对任意 \( \varepsilon \) \( > 0 \) ,存在 \( k > 0 \) ,使
\[
{\int }_{\left\{ x\left| \right| {f}_{n}\left( x\right) \mid > k\right\} }\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right| \mathrm{d}\mu < \varepsilon \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
则说 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( \Omega \) 上一致可积.
积分一致绝对连续 (uniformly absolute continuity of integrals) 描述一列函数的积分绝对连续的一致性的重要概念. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为测度空间, \( {f}_{n} \) \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 在 \( \Omega \) 上可积. 如果对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \) \( > 0 \) ,当 \( A \in \mathcal{F},\mu \left( A\right) < \delta \) 时,有
\[
{\int }_{A}\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right| \mathrm{d}\mu < \varepsilon \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
则说 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 的积分是一致绝对连续的.
积分一致有界 (uniform boundness of inte - grals) 测度论的重要概念. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为测度空间, \( {f}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 在 \( \Omega \) 上可积. 若
\[
\mathop{\sup }\limits_{{n \geq 1}}{\int }_{\Omega }\left| {{f}_{n}\left( x\right) }\right| \mathrm{d}\mu < + \infty ,
\]
则说 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 的积分一致有界. 下述定理揭示了函数列一致可积、积分一致绝对连续与积分一致有界之间的关系: 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为有限测度空间, \( {f}_{n}(n = 1,2 \) , \( \cdots ) \) 在 \( \Omega \) 上可积,则 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 为一致可积的充分必要条件是 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 的积分一致有界且一致绝对连续.
可测映射 (measurable mapping) 亦称可测变换, 是可测函数概念的推广, 主要用于抽象积分的变数变换. 设 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 和 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 是两个可测空间, \( f \) 是 \( {\Omega }_{1} \) 到 \( {\Omega }_{2} \) 中的映射. 如果 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 中每个可测集 \( A \) 的原像 \( {f}^{-1}\left( A\right) \) 均是 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 中的可测集,那么 \( f \) 称为 \( {\Omega }_{1} \) 到 \( {\Omega }_{2} \) 的可测映射. 若 \( f \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的实值函数,则 \( f \) 在 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上可测的充分必要条件是 \( f \) 为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 到 \( \left( {\mathrm{R},\mathcal{B}}\right) \) 中的可测映射,其中 \( \mathrm{R} \) 为实数空间, \( \mathcal{B} \) 为波莱尔集类. 若 \( f \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的扩充实值函数,则 \( f \) 在 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上可测的充分必要条件是 \( f \) 为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 到 \( \left( {{\mathrm{R}}^{c},{\mathcal{B}}^{c}}\right) \) 中的可测映射,其中 \( {\mathrm{R}}^{c} \) 为扩充实数空间, \( {\mathcal{B}}^{c} \) 为广义波莱尔集类. 若 \( f \) 是测度空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 到可测空间 \( \left( {\Omega }^{\prime }\right. \) , \( \mathcal{C}) \) 的可测映射, \( g \) 是 \( \left( {{\Omega }^{\prime },\mathcal{C}}\right) \) 上的可积函数,则
\[
\int g \circ f\mathrm{\;d}\mu = \int g\mathrm{\;d}\left( {\mu {f}^{-1}}\right) .
\]
又若 \( A \in \mathcal{C} \) ,则
\[
{\int }_{{f}^{-1}\left( A\right) }g \circ f\mathrm{\;d}\mu = {\int }_{A}g\mathrm{\;d}\left( {\mu {f}^{-1}}\right) .
\]
可测变换 (measurable transformation) 即 “可测映射”.
保测映射 (mapping of preserving measurability) 一类重要的可测映射. 设 \( f \) 是可测空间 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 到可测空间 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 上的一一映射. 如果 \( f \) 和 \( {f}^{-1} \) 都是可测的,则 \( f \) 称为保测映射.
保持测度的映射 (mapping of preserving measure) 一类特殊的保测映射, 是测度论、概率论、遍历理论等数学分支中的重要概念之一. 如果 \( f \) 是测度空间 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1},\mu }\right) \) 到测度空间 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2},\nu }\right) \) 上的保测映射,且对于 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 中的每个 \( A,\nu \left( A\right) = \mu \left( {{f}^{-1}\left( A\right) }\right) \) , 则称 \( f \) 为保持测度的映射. 保持测度的映射是以统计力学中的概率守恒运动为物理背景而抽象出来的数学概念, 也是遍历理论研究的主要对象.
广义测度 (generalized measure) 亦称带符号测度,即可取正、负任何实数及扩充实数值 \( ( + \infty \) 与 \( - \infty \) 只取一个),具有可列可加性,空集对应函数值为 0 的集函数. 若 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( \mu \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上的扩充实值集函数,则 \( \mu \) 为广义测度的充分必要条件是 \( \mu \) 满足如下条件:
1. \( \mu \left( \varnothing \right) = 0 \) .
2. 除有限值外, \( \pm \infty \) 中只有一个可能取作 \( \mu \) 的值.
3. 具有可列可加性.
对于广义测度 \( \mu \) ,命题 \( P \) 在 \( A \) 上关于 \( \mu \) 几乎处处成立是指 \( A \) 中使命题 \( P \) 不成立的点的全体包含在某个 \( \left| \mu \right| \) 零集中. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格可积函数. 对勒贝格可测集类 \( \mathcal{L} \) 中的任何 \( A \) ,令
\[
\mu \left( A\right) = {\int }_{A}f\left( x\right) \mathrm{d}m,
\]
由勒贝格积分的可列可加性便知 \( \mu \) 是 \( \mathcal{L} \) 上的广义测度. 如果令
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = \max \left( {f\left( x\right) ,0}\right) ,
\]
\[
{f}^{ - }\left( x\right) = \max \left( {-f\left( x\right) ,0}\right) ,
\]
\[
{\mu }_{ + }\left( A\right) = {\int }_{A}{f}^{ + }\left( x\right) \mathrm{d}m,
\]
\[
{\mu }_{ - }\left( A\right) = {\int }_{A}{f}^{ - }\left( x\right) \mathrm{d}m,
\]
那么 \( {\mu }_{ + },{\mu }_{ - } \) 均是 \( \mathcal{L} \) 上的测度,并且 \( \mu = {\mu }_{ + } - {\mu }_{ - } \) ,即 \( \mu \) 可以分解为两个测度之差. 对一般的广义测度这种分解也成立 (参见 “若尔当分解”).
带符号测度 (signed measure) 即 “广义测度”.
广义测度空间 (generalized measure space) 带有广义测度的可测空间,即把可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 与其上的广义测度 \( \mu \) 合并在一起来考虑,它就称为广义测度空间,记为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) . 若对任意 \( A \in \mathcal{F} \) 有 \( \left| {\mu \left( A\right) }\right| < + \infty \) ,则称 \( \mu \) 是有限的,并称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限广义测度空间. 若对任何 \( A \in \mathcal{F} \) ,存在 \( {A}_{n} \in \mathcal{F} \) , 使得 \( \left| {\mu \left( {A}_{n}\right) }\right| < + \infty \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,且
\[
A = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}
\]
则称 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 有限的,并称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限广义测度空间.
有限广义测度 (finite generalized measure)
见“广义测度空间”.
有限广义测度空间 (finite generalized measure space) 见“广义测度空间”.
\( \sigma \) 有限广义测度 ( \( \sigma \) -finite generalized measure) 见“广义测度空间”.
\( \sigma \) 有限广义测度空间 ( \( \sigma \) -finite generalized measure space) 见“广义测度空间”.
广义测度的正集 (positive sets of ge |
2000_数学辞海（第3卷） | 57 | measure) 即 “广义测度”.
广义测度空间 (generalized measure space) 带有广义测度的可测空间,即把可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 与其上的广义测度 \( \mu \) 合并在一起来考虑,它就称为广义测度空间,记为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) . 若对任意 \( A \in \mathcal{F} \) 有 \( \left| {\mu \left( A\right) }\right| < + \infty \) ,则称 \( \mu \) 是有限的,并称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限广义测度空间. 若对任何 \( A \in \mathcal{F} \) ,存在 \( {A}_{n} \in \mathcal{F} \) , 使得 \( \left| {\mu \left( {A}_{n}\right) }\right| < + \infty \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,且
\[
A = \mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}
\]
则称 \( \mu \) 是 \( \sigma \) 有限的,并称 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限广义测度空间.
有限广义测度 (finite generalized measure)
见“广义测度空间”.
有限广义测度空间 (finite generalized measure space) 见“广义测度空间”.
\( \sigma \) 有限广义测度 ( \( \sigma \) -finite generalized measure) 见“广义测度空间”.
\( \sigma \) 有限广义测度空间 ( \( \sigma \) -finite generalized measure space) 见“广义测度空间”.
广义测度的正集 (positive sets of generalized measure) 其子集的广义测度均取非负值的集. 设 \( \mu \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的广义测度, \( A \in \mathcal{F} \) . 如果 \( E \) \( \in \mathcal{F} \) 且 \( E \subset A \) 时总有 \( \mu \left( E\right) \geq 0 \) ,则称 \( A \) 是关于 \( \mu \) 的正集; 如果当 \( E \in \mathcal{F} \) 且 \( E \subset A \) 时总有 \( \mu \left( E\right) \leq 0 \) ,则称 \( A \) 是关于 \( \mu \) 的负集.
广义测度的负集 (negative sets of generalized measure) 见“广义测度的正集”.
哈恩分解 (Hahn decomposition) 与给定的测度相应的基本空间的分解. 若 \( \mu \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的广义测度,则存在两个不相交的关于 \( \mu \) 的正集 \( A \) 和负集 \( B \) ,使 \( \Omega = A \cup B \) . 如此的一对集 \( A \) 和 \( B \) 称为 \( \mu \) 的哈恩分解. 哈恩分解有各种不同的证明, 最早的证明属于哈恩 (Hahn, H. ) (1921). 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限的测度空间, \( f\left( x\right) \) 是 \( \Omega \) 上的可积函数,集函数
\[
\gamma \left( E\right) = {\int }_{E}f\left( x\right) \mathrm{d}\mu \;\left( {E \in \mathcal{F}}\right)
\]
便是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的广义测度. 对于 \( \gamma \) ,集 \( A = \{ x \mid f\left( x\right) \) \( \geq 0\}, B = \{ x \mid f\left( x\right) < 0\} \) 就分别是 \( \gamma \) 的正集、负集. 若取 \( {A}_{1} = \{ x \mid f\left( x\right) > 0\} ,{B}_{1} = \{ x \mid f\left( x\right) \leq 0\} \) ,它们也分别是 \( \gamma \) 的正集、负集. 所以一般地哈恩分解并不惟一.
广义测度的正变差 (positive variation of generalized measure) 亦称广义测度的上变差. 类似于有界变差函数的正变差的概念. 设 \( \mu \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的广义测度, \( \Omega = A \cup B \) 是 \( \mu \) 的哈恩分解, \( A \) 是 \( \mu \) 的正集, \( B \) 是负集. 对于每个 \( E \in \mathcal{F} \) ,令
\[
{\mu }^{ + }\left( E\right) = \mu \left( {E \cap A}\right) ,
\]
\[
{\mu }^{ - }\left( E\right) = - \mu \left( {E \cap B}\right) ,
\]
\[
\left| \mu \right| \left( E\right) = {\mu }^{ + }\left( E\right) + {\mu }^{ - }\left( E\right) ,
\]
集函数 \( {\mu }^{ + },{\mu }^{ - } \) 和 \( \left| \mu \right| \) 分别称为 \( \mu \) 的正变差、负变差和全变差,并有 \( \mu = {\mu }^{ + } - {\mu }^{ - } \) .
广义测度的负变差 (negative variation of ge neralized measure) 见“广义测度的正变差”.
广义测度的全变差 (total variation of genera lized measure) 见 “广义测度的正变差”.
广义测度的若尔当分解 (Jordan decomposition of generalized measure) 有界变差函数的若尔当分解的推广,测度论中的基本定理. 设 \( \mu \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的广义测度,令 \( {\mu }^{ + },{\mu }^{ - } \) 分别为 \( \mu \) 的正变差和负变差,对于任意的 \( A \in \mathcal{F} \) ,有 \( \mu \left( A\right) = {\mu }^{ + }\left( A\right) \) \( - {\mu }^{ - }\left( A\right) \) ,即可将 \( \mu \) 表示为它的正、负变差之差,这种表示称为 \( \mu \) 的若尔当分解.
广义测度的强绝对连续性 (strong absolute continuity of generalized measure) 积分绝对连续概念的推广,测度论的重要概念. 设 \( \gamma ,\mu \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的两个广义测度. 如果对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,必存在 \( \delta > 0 \) ,使得对任何 \( A \in \mathcal{F} \) ,只要 \( \left| \mu \right| \left( A\right) < \delta \) 时, 就有 \( \left| {\gamma \left( A\right) }\right| < \varepsilon \) ,则说 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 强绝对连续. \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 强绝对连续的充分必要条件是, \( \left| \gamma \right| \) 关于 \( \mu \) 强绝对连续,或 \( {\gamma }^{ + },{\gamma }^{ - } \) 同时关于 \( \mu \) 强绝对连续.
广义测度的绝对连续性 (absolute continuity of generalized measure) 积分绝对连续概念的推广, 测度论的基本概念. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( \mu \) 和 \( \gamma \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的广义测度, \( \left| \mu \right| \) 是 \( \mu \) 的全变差. 若对于每个 \( A \in \mathcal{F} \) ,当 \( \left| \mu \right| \left( A\right) = 0 \) 时都有 \( \gamma \left( A\right) = 0 \) ,则说 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 是绝对连续的,记为 \( \gamma \ll \mu \) . 当 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 强绝对连续时, \( \gamma \) 必关于 \( \mu \) 绝对连续,其逆不真. 如果 \( \gamma \) 是有限的,那么 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 强绝对连续等价于 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 绝对连续.
测度的等价 (equivalence of measures) 互为绝对连续的测度. 设 \( \mu \) 和 \( \gamma \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的两个广义测度. 如果 \( \gamma \ll \mu ,\mu \ll \gamma \) 同时成立,则 \( \mu \) 和 \( \gamma \) 称为等价的.
相互奇异的广义测度 (mutually singular generalized measures ) 不等价测度的极端形式. 设 \( \mu \) , \( \gamma \) 是可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的两个广义测度, \( \left| \mu \right| ,\left| \gamma \right| \) 分别是 \( \mu \) 和 \( \gamma \) 的全变差. 如果存在两个不相交的可测集 \( A \) 与 \( B \) 使得 \( \Omega = A \cup B \) ,且对任意可测集 \( E \) ,有 \( \left| \mu \right| \left( {A \cap E}\right) = \left| \gamma \right| \left( {B \cap E}\right) = 0 \) ,则称 \( \mu \) 与 \( \gamma \) 是相互奇异的,也称 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) (或 \( \mu \) 关于 \( \gamma \) ) 是奇异的,记为 \( \mu \bot \gamma \) . 奇异性是非绝对连续性的极端形式. 如果 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 是奇异的,则不但由 \( \left| \mu \right| \left( A\right) = 0 \) 不能推出 \( \left| \gamma \right| \left( A\right) = 0 \) ,而且实际上只对于 \( \left| \mu \right| \) 为 0 的集, \( \left| \gamma \right| \) 才有可能不为 0 .
勒贝格分解定理 (Lebesgue decomposition theorem) 关于 \( \sigma \) 有限广义测度分解为绝对连续部分和奇异部分之和的重要定理, 是有界变差函数的勒贝格分解定理的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限测度空间. 若 \( \gamma \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的 \( \sigma \) 有限测度,则 \( \gamma \) 可分解为两个 \( \sigma \) 有限测度 \( {\gamma }_{s} \) 和 \( {\gamma }_{c} \) 之和: \( \gamma = {\gamma }_{s} + {\gamma }_{c} \) ,使得 \( {\gamma }_{s} \bot \mu ,{\gamma }_{c} \ll \mu \left( {\gamma }_{s}\right. \) 关于 \( \mu \) 是奇异的, \( {\gamma }_{c} \) 关于 \( \mu \) 是绝对连续的). \( \gamma \) 的上述分解是惟一的.
拉东-尼科迪姆定理 (Radon-Nikodym theorem) 测度论的重要定理, 牛顿-莱布尼茨公式的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限测度空间, \( \gamma \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的 \( \sigma \) 有限的广义测度. 若 \( \gamma \) 关于 \( \mu \) 绝对连续,则存在 \( \Omega \) 上的一个实值 \( \mu \) 可测函数 \( f \) ,使得对每个 \( A \in \mathcal{F} \) 有
\[
\gamma \left( A\right) = {\int }_{A}f\left( x\right) \mathrm{d}\mu ,
\]
当 \( \gamma \) 为测度时,可取 \( f \) 为非负可测函数,函数 \( f \) 在关于 \( \mu \) 几乎处处相等的意义下是惟一的. \( f \) 称为广义测度 \( \gamma \) 关于测度 \( \mu \) 的拉东-尼科迪姆导数,记为 \( \mathrm{d}\gamma /\mathrm{d}\mu \) . 拉东-尼科迪姆导数具有通常点函数导数的某些性质.
积分运算从诞生的时候起, 就显示了与微分运算的密切联系. 牛顿 (Newton, H. A. ) 与莱布尼茨 (Leibniz, G. W. ) 首先从几何上发现了下述微积分基本定理,即牛顿-莱布尼茨公式: 设 \( F\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上可导,且导函数 \( {F}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上黎曼可积, 则
\[
{\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = F\left( x\right) - F\left( a\right) \;\left( {a \leq x \leq b}\right) .
\]
但一般地, \( F\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的导函数 \( {F}^{\prime }\left( x\right) \) 即使有界, 也不一定是黎曼可积的, 沃尔泰拉 (Volterra, V. ) 于 1881 年就构造了这样的例子, 这就使在分析数学中至关重要的微积分基本定理的应用受到了限制. 勒贝格于 1902 年引入了一类新的积分一勒贝格积分,并于 1904 年证明了,在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上按他的意义可积的函数 \( f\left( x\right) \) 的变上限的积分
\[
F\left( x\right) = {\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}m\;\left( {a \leq x \leq b}\right)
\]
对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上几乎所有的点 \( x \) ,导数 \( {F}^{\prime }\left( x\right) \) 存在且等于 \( f\left( x\right) \) . 维塔利 (Vitali, G. ) 于 1905 年引入了绝对连续函数的概念, 并且证明了
\[
{\int }_{a}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}m = F\left( x\right) - F\left( a\right)
\]
成立的充分必要条件是 \( {F}^{\prime }\left( x\right) = f\left( x\right) \) a. e. 于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , 且 \( F\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上是绝对连续的. 勒贝格积分扩大了使微积分基本定理成立的函数类. 拉东 (Radon, J. ) 于 1913 年把它推广到定义在 \( n \) 维欧氏空间中的波莱尔测度的情形. 尼科迪姆 (Nikodym, O. M. ) 于
1929 年进一步推广到一般测度空间上的积分.
测度的相对导数 (relative derivative of measures) 亦称拉东-尼科迪姆导数. 点函数的导数概念的推广. 对关于测度 \( \nu \) 绝对连续的测度 \( \mu \) ,存在实值 \( \nu \) 可测函数 \( f\left( x\right) \) ,使当 \( A \) 为任意 \( \mu \) 可测集时,有
\[
\mu \left( A\right) = {\int }_{A}f\left( x\right) \mathrm{d}\nu
\]
这里的 \( f\left( x\right) \) 就称为测度 \( \mu \) 相对于 \( \nu \) 的导数,记为 \( \mathrm{d}\mu /\mathrm{d}\nu \) . 测度的相对导数与普通函数的导数性质十分相似, 例如它的线性运算法则是
\[
\frac{\mathrm{d}\left( {{\mu }_{1} + {\mu }_{2}}\right) }{d\nu } = \frac{\mathrm{d}{\mu }_{1}}{\mathrm{\;d}\nu } + \frac{\mathrm{d}{\mu }_{2}}{\mathrm{\;d}\nu }
\]
还有链式法则也成立,即若测度 \( \mu ,\nu ,\lambda \) 都是 \( \sigma \) 有限的,且 \( \mu \ll \nu ,\nu \ll \lambda \) ,则
\[
\frac{\mathrm{d}\mu }{\mathrm{d}\lambda } = \frac{\mathrm{d}\mu }{\mathrm{d}\nu } \cdot \frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\lambda }
\]
关于测度 \( \lambda \) 几乎处处成立. 特别地,若 \( \mu \) 和 \( \nu \) 都是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的波莱尔子集类上的 \( \sigma \) 有限测度,且有
\( \mu \left( E\right) = {\int }_{E}f\mathrm{\;d}\nu + \gamma \left( E\right) \left( {\gamma \bot \mu, f\text{ 关于 }\nu \text{ 可积 }}\right) , \)
这是由勒贝格定理和拉东-尼科迪姆定理得到的 \( \mu \) 的分解, 则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{\mu \left( {{Q}_{x}\left( h\right) }\right) }{\nu \left( {{Q}_{x}\left( h\right) }\right) } = f\left( x\right)
\]
关于测度 \( \nu \) 对 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) 几乎处处成立,其中 \( {Q}_{x}\left( h\right) \) 是以 \( x \) 为中心,边平行于坐标轴且边长为 \( h \) 的 \( n \) 维立方体. 即这时测度的相对导数可表为极限, 进一步与函数的导数相似.
拉东-尼科迪姆导数 (Radon-Nikodym derivative) 见 “拉东-尼科迪姆定理”及 “测度的相对导数”.
关于广义测度的积分 (integral with respect to a generalized measures) 关于普通测度的积分的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是广义测度空间, \( \mu = {\mu }_{1} - {\mu }_{2} \) 是 \( \mu \) 的哈恩分解. 如果 \( f \) 关于 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2} \) 都可积,那么规定
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}\mu = {\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{1} - {\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{2},
\]
并称
\[ |
2000_数学辞海（第3卷） | 58 | 且有
\( \mu \left( E\right) = {\int }_{E}f\mathrm{\;d}\nu + \gamma \left( E\right) \left( {\gamma \bot \mu, f\text{ 关于 }\nu \text{ 可积 }}\right) , \)
这是由勒贝格定理和拉东-尼科迪姆定理得到的 \( \mu \) 的分解, 则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{\mu \left( {{Q}_{x}\left( h\right) }\right) }{\nu \left( {{Q}_{x}\left( h\right) }\right) } = f\left( x\right)
\]
关于测度 \( \nu \) 对 \( x \in {\mathrm{R}}^{n} \) 几乎处处成立,其中 \( {Q}_{x}\left( h\right) \) 是以 \( x \) 为中心,边平行于坐标轴且边长为 \( h \) 的 \( n \) 维立方体. 即这时测度的相对导数可表为极限, 进一步与函数的导数相似.
拉东-尼科迪姆导数 (Radon-Nikodym derivative) 见 “拉东-尼科迪姆定理”及 “测度的相对导数”.
关于广义测度的积分 (integral with respect to a generalized measures) 关于普通测度的积分的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是广义测度空间, \( \mu = {\mu }_{1} - {\mu }_{2} \) 是 \( \mu \) 的哈恩分解. 如果 \( f \) 关于 \( {\mu }_{1},{\mu }_{2} \) 都可积,那么规定
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}\mu = {\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{1} - {\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{2},
\]
并称
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}\mu
\]
为 \( f \) 关于广义测度 \( \mu \) 的积分.
这种积分具有关于普通测度的积分的一些性质,但因 \( \mu \) 未必是非负的,故当 \( f\left( x\right) \geq 0 \) 时未必有
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}\mu \geq 0.
\]
复测度 (complex measure) 取复值的可列可加集函数. 设 \( {\mu }_{1} \) 与 \( {\mu }_{2} \) 为可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的广义 (实值) 测度,则对任意 \( A \in \mathcal{F} \) ,由
\( \mu \left( A\right) = {\mu }_{1}\left( A\right) + \mathrm{i}{\mu }_{2}\left( A\right) \) (i 是虚数单位) 确定的 \( \mathcal{F} \) 上的集函数 \( \mu \) 称为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的复测度. 若 \( \mu \) 为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 上的复测度,对任意 \( A \in \mathcal{F} \) ,定义
\[
\left| \mu \right| \left( A\right) = \sup \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left| {\mu \left( {A}_{k}\right) }\right| ,
\]
这里的上确界是对 \( A \) 的所有分划 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) (亦即 \( A \) \( = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i} \) ,每个 \( {A}_{i} \in \mathcal{F}, i \neq j \) 时 \( {A}_{i} \cap {A}_{j} = \varnothing \) ) 取的,可证集函数 \( \left| \mu \right| \) 是一个测度,且存在可测函数 \( h \) ,使得 \( \left| {h\left( x\right) }\right| = 1 \) 对所有 \( x \in \Omega \) 成立,还有
\[
\mathrm{d}\mu = h\mathrm{\;d}\left| \mu \right| .
\]
此式称为复测度 \( \mu \) 的极分解.
复测度的极分解 (polar decomposition of a complex measure) 见“复测度”.
复值可测函数的积分 (integral of complex valued measurable functions) 实值可测函数的积分的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( f\left( x\right) = {f}_{1}\left( x\right) \) \( + \mathrm{i}{f}_{2}\left( x\right) \left( {{f}_{1},{f}_{2}}\right. \) 为实值函数 \( ) \) 为其上的复值可测函数, 定义积分
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \mathrm{d}\mu = {\int }_{\Omega }{f}_{1}^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}\mu + \mathrm{i}{\int }_{\Omega }{f}_{2}\left( x\right) \mathrm{d}\mu .
\]
当 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) \) 的积分都存在时,称 \( f\left( x\right) \) 的积分存在,当 \( {f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right) \) 都可积时,称 \( f\left( x\right) \) 可积.
可测空间的乘积 (product of measurable spaces) 测度论的基础概念. 设 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 及 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 是两个可测空间, 令
\[
C = \left\{ {{A}_{1} \times {A}_{2} \mid {A}_{1} \in {\mathcal{F}}_{1},{A}_{2} \in {\mathcal{F}}_{2}}\right\} .
\]
由 \( C \) 作为空间 \( {\Omega }_{1} \times {\Omega }_{2} \) 上的集类所生成的 \( \sigma \) 代数 \( \sigma \left( C\right) \) 称为 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 与 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 的乘积 \( \sigma \) 代数,以 \( {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 表示,而称 \( \left( {{\Omega }_{1} \times {\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 为 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 与 \( \left( {\Omega }_{2}\right. \) , \( \left. {\mathcal{F}}_{2}\right) \) 的乘积空间. \( C \) 中的元素称为可测矩形, \( \sigma \left( C\right) \) \( = \left( {{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 中的元素称为乘积空间中的可测集. 例如,若 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 都是直线 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) ,{\mathcal{F}}_{1} \) 和 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 都是直线上的波莱尔集的全体,则 \( {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 正是平面上的波莱尔集的全体. 然而,当 \( {\mathcal{F}}_{1} \) 和 \( {\mathcal{F}}_{2} \) 都是直线上的勒贝格可测集时, \( {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 包含在平面上的勒贝格可测集类中, 但确有平面上的勒贝格可测集不在 \( {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 中. 同样可以定义多重乘积空间
\[
\left( {{\Omega }_{1} \times {\Omega }_{2} \times \cdots \times {\Omega }_{n},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \times \cdots \times {\mathcal{F}}_{n}}\right) .
\]
乘积空间上可测集 \( E \in {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 有如下重要性质: 对任何 \( x \in {\Omega }_{1}, E \) 的 \( x \) 截口
\[
{E}_{x} = \{ y \mid \left( {x, y}\right) \in E\}
\]
必是 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2}}\right) \) 上的可测集. 同样,对任何 \( y \in {\Omega }_{2}, E \) 的 \( y \) 截口
\[
{E}_{y} = \{ x \mid \left( {x, y}\right) \in E\}
\]
必是 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1}}\right) \) 上的可测集.
乘积 \( \sigma \) 代数 (product \( \sigma \) -algebra) 见“可测空间的乘积”.
可测矩形 (measurable rectangle) 见 “可测空间的乘积”.
测度空间的乘积 (product of measure spaces) 带有乘积测度的乘积空间. 设 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1},\mu }\right) ,\left( {\Omega }_{2}\right. \) , \( \left. {{\mathcal{F}}_{2},\nu }\right) \) 是两个 \( \sigma \) 有限的测度空间,则在 \( {\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2} \) 上存在惟一的 \( \sigma \) 有限测度 \( \lambda \) ,使对任何可测矩形 \( A \times \) \( B \) ,恒有
\[
\lambda \left( {A \times B}\right) = \mu \left( A\right) \nu \left( B\right) .
\]
通常称 \( \lambda \) 为 \( \mu \) 与 \( \nu \) 的乘积测度,记为 \( \lambda = \mu \times \nu \) ,并称测度空间 \( \left( {{\Omega }_{1} \times {\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2},\mu \times \nu }\right) \) 为 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1},\mu }\right) \) 与 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2},\nu }\right) \) 的乘积. 但是,即使 \( \left( {{\Omega }_{1},{\mathcal{F}}_{1},\mu }\right) \) 与 \( \left( {{\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{2},\nu }\right) \) 都是完备的, \( \left( {{\Omega }_{1} \times {\Omega }_{2},{\mathcal{F}}_{1} \times {\mathcal{F}}_{2},\mu \times \nu }\right) \) 也未必是完备的,例如 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格测度与 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 上的勒贝格测度之积 (不完备) 不等于 \( {\mathrm{R}}^{n + m} \) 上的勒贝格测度 (完备的). 然而, 同勒贝格测度的情况类似, 关于重积分和累次积分关系的富比尼定理在一般的测度空间的乘积空间中也成立.
乘积测度 (product measure) 见 “测度空间的乘积”.
维塔利-哈恩-萨克斯定理 (Vitali-Hahn-Saks theorem) 测度论的重要定理. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上的具有有限全变差 (即 \( \left| {\mu }_{n}\right| \left( \Omega \right) < + \infty, n = 1,2,\cdots ) \) 的复测度列, \( \nu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度. 如果每个 \( {\mu }_{n} \) 关于 \( \nu \) 绝对连续,且对任何 \( A \) \( \in \mathcal{F} \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\mu }_{n}\left( A\right) = \mu \left( A\right)
\]
存在,则 \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 等度绝对连续,即对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta \) \( > 0 \) ,当 \( A \in \mathcal{F},\nu \left( A\right) < \delta \) 时,有
\[
\left| {{\mu }_{n}\left( A\right) }\right| < \varepsilon \left( {n = 1,2,\cdots }\right) .
\]
维塔利-哈恩-萨克斯定理有着悠久的历史. 1907 年, 维塔利 (Vitali, G. ) 证明了,若 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数列,几乎处处收敛于函数 \( f \) ,则
\[
{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) \mathrm{d}x\text{ 和 }\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{1}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
存在且相等的充分必要条件是 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 的积分一致绝对连续. 1922 年,哈恩 (Hahn, H. ) 证明了,若 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的 \( \left( L\right) \) 可积函数列,且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{A}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
对每个 \( \left( L\right) \) 可测集 \( A \subset \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 都存在,则 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 的积分一致绝对连续, 且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{A}{f}_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
收敛于一个集函数. 1933 年, 萨克斯 (Saks, S. ) 把它推广到一般的测度空间.
丹尼尔积分 (Daniell integral) 连续函数空间上的正线性泛函. 设 \( \mathcal{K} \) 为集 \( \Omega \) 上一族实值函数组成的向量格,即 \( f \in \mathcal{K} \) 蕴涵 \( \left| f\right| \in \mathcal{K}, f \land 1 \in \mathcal{K};I \) 为 \( \mathcal{K} \) 上的正线性泛函,即 \( f, g \in \mathcal{K},\alpha ,\beta \in {\mathrm{R}}^{1} \) 蕴涵
\( I\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) = {\alpha I}\left( f\right) + {\beta I}\left( g\right) \) ; 又对 \( f \in \mathcal{K}, f \geq 0 \) 蕴涵 \( I\left( f\right) \geq 0 \) . 如果 \( I \) 满足条件: \( {f}_{n} \in \mathcal{K},{f}_{n} \downarrow 0 \) 蕴涵
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}I\left( {f}_{n}\right) = 0,
\]
或等价地,若由 \( {f}_{n} \in \mathcal{K},{f}_{n} \land f \in \mathcal{K} \) 必可推出
\[
I\left( f\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}I\left( {f}_{n}\right) ,
\]
则称 \( I \) 为 \( \mathcal{K} \) 上的丹尼尔积分. 它由丹尼尔 (Daniell, P. J. ) 于 1919 年引入, 其意义在于给出一种定义和处理勒贝格积分的方法.
丹尼尔表示定理 (Daniell representation theorem) 体现丹尼尔积分与通常抽象积分之间关系的重要定理. 设 \( \mathcal{K} \) 是集 \( \Omega \) 上的一族实值函数组成的线性空间. 假定 \( \mathcal{K} \) 含有常值函数且关于格运算是封闭的, \( I \) 为 \( \mathcal{K} \) 上的丹尼尔积分,且 \( I\left( 1\right) = 1 \) ,则在 \( \sigma \left( \mathcal{K}\right) \) 上存在惟一的概率测度 \( \mu \) ,使每个 \( f \in \mathcal{K} \) 是 \( \mu \) 可积的,且
\[
I\left( f\right) = {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}\mu .
\]
拓扑空间上的波莱尔集类 (collection of Borel sets in topological space) 拓扑空间上的一种重要集类. 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔集类在一般拓扑空间上的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\tau }\right) \) 为拓扑空间. 由 \( \tau \) 生成的 \( \sigma \) 代数称为 \( \Omega \) 上的波莱尔集类,记为 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) .\mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 中的元素称为 \( \Omega \) 中的波莱尔集. 显然, \( \Omega \) 的闭集全体生成的 \( \sigma \) 代数与 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 一致. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔集类与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 在通常意义下作为拓扑空间的波莱尔集类相同.
波莱尔集 (Borel sets) 见 “拓扑空间上的波莱尔集类”.
拓扑空间上的波莱尔测度 (Borel measure in topological space) 以波莱尔集为可测集的测度, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔测度在拓扑空间上的推广. 设 \( \mu \) 是定义在局部紧豪斯多夫空间 \( \Omega \) 的全体波莱尔集组成的 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{D}\left( \Omega \right) \) 上的测度,使对每个紧集 \( A \) ,都有 \( \mu \left( A\right) < + \infty \) ,则称 \( \mu \) 为波莱尔测度. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔测度是勒贝格测度的限制 |
2000_数学辞海（第3卷） | 59 | {K}\right) \) 上存在惟一的概率测度 \( \mu \) ,使每个 \( f \in \mathcal{K} \) 是 \( \mu \) 可积的,且
\[
I\left( f\right) = {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}\mu .
\]
拓扑空间上的波莱尔集类 (collection of Borel sets in topological space) 拓扑空间上的一种重要集类. 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔集类在一般拓扑空间上的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\tau }\right) \) 为拓扑空间. 由 \( \tau \) 生成的 \( \sigma \) 代数称为 \( \Omega \) 上的波莱尔集类,记为 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) .\mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 中的元素称为 \( \Omega \) 中的波莱尔集. 显然, \( \Omega \) 的闭集全体生成的 \( \sigma \) 代数与 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 一致. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔集类与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 在通常意义下作为拓扑空间的波莱尔集类相同.
波莱尔集 (Borel sets) 见 “拓扑空间上的波莱尔集类”.
拓扑空间上的波莱尔测度 (Borel measure in topological space) 以波莱尔集为可测集的测度, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔测度在拓扑空间上的推广. 设 \( \mu \) 是定义在局部紧豪斯多夫空间 \( \Omega \) 的全体波莱尔集组成的 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{D}\left( \Omega \right) \) 上的测度,使对每个紧集 \( A \) ,都有 \( \mu \left( A\right) < + \infty \) ,则称 \( \mu \) 为波莱尔测度. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔测度是勒贝格测度的限制, 这与拓扑空间的波莱尔测度不同.
波莱尔可测函数 (Borel measurable functions) 亦称波莱尔函数, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔可测函数在拓扑空间上的推广. 设 \( f\left( x\right) \) 是局部紧空间 \( \Omega \) 上的实值函数. 如果对任何实数 \( c,\{ x \mid f\left( x\right) > c\} \) 是波莱尔集,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( \Omega \) 上的波莱尔可测函数. 在这个定义中, 条件 \( f\left( x\right) > c \) 可用 \( f\left( x\right) \geq c, f\left( x\right) < c, f\left( x\right) \leq c \) 中任意一个条件来替代.
波莱尔函数 (Borel functions ) 即 “波莱尔可测函数”.
正则测度 (regular measure) 一种比较规则的测度. 设 \( \Omega \) 是豪斯多夫空间, \( \mathcal{D}\left( \Omega \right) \) 是 \( \Omega \) 上的波莱尔集类, \( \mathcal{F} \) 为 \( \Omega \) 上包含 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 的 \( \sigma \) 代数, \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上
的测度. 如果对每个 \( A \in \mathcal{F} \) ,有
\[
\mu \left( A\right) = \inf \{ \mu \left( G\right) \mid A \subset G, G\text{ 为开集 }\} ,
\]
则称 \( \mu \) 为外正则的; 如果对每个开集 \( G \) ,有
\( \mu \left( G\right) = \sup \{ \mu \left( K\right) \mid K \subset G, K \) 为紧集 \( \} , \)
则称 \( \mu \) 为内正则的; 既外正则又内正则的测度称为正则测度.
外正则测度 (outer regular measure) 见“正则测度”.
内正则测度 (inner regular measure) 见“正则测度”.
正则波莱尔测度 (regular Borel measure) 正则的波莱尔测度. 设 \( \Omega \) 是豪斯多夫空间. 如果 \( \mu \) 是 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 上的波莱尔测度且是正则的,则称 \( \mu \) 是 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 上的正则波莱尔测度. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格测度限制在波莱尔集类上是正则波莱尔测度.
卢津定理 (Lusin theorem) 用连续函数逼近可测函数的重要定理, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的卢津定理在拓扑空间上的推广. 设 \( \Omega \) 是豪斯多夫空间, \( \mathcal{F} \) 是包含波莱尔集类的 \( \sigma \) 代数, \( \mu \) 为 \( \mathcal{F} \) 上的正则测度, \( f \) 是定义在 \( \Omega \) 上的 \( \mathcal{F} \) 可测实值函数. 如果 \( A \in \mathcal{F},0 < \mu \left( A\right) < \) \( + \infty \) ,则对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在紧集 \( K \subset A \) ,使得 \( \mu \left( {A \smallsetminus K}\right) \) \( < \varepsilon \) ,且 \( f \) 限制在 \( K \) 上是连续的. 如果 \( \Omega \) 还是局部紧的, \( {C}_{0}\left( \Omega \right) \) 代表 \( \Omega \) 上有紧支集的连续实值函数全体, 则存在 \( g \in {C}_{0}\left( \Omega \right) \) ,使 \( g \) 与 \( f \) 在 \( K \) 上一致,且
\( \sup \{ \left| {g\left( x\right) }\right| \mid x \in \Omega \} \leq \sup \{ \left| {f\left( x\right) }\right| \mid x \in A\} . \)
由卢津定理可得下述重要结果: 设 \( \Omega \) 为局部紧且 \( \sigma \) 紧的豪斯多夫空间, \( \mathcal{F} \) 是包含 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 的 \( \sigma \) 代数, \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的完备测度. 如果 \( f \) 是 \( \Omega \) 上 \( \mu \) 几乎处处有限的扩充实值函数,则 \( f \) 为可测的充分必要条件是存在 \( \Omega \) 上的实值连续函数列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) ,使 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 在 \( \Omega \) 上 \( \mu \) 几乎处处收敛于 \( f \) .
贝尔集类 (collection of Baire sets) 拓扑空间上的一种重要集类, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的波莱尔集类在拓扑空间上的另一推广. 设 \( \Omega \) 是局部紧豪斯多夫空间. \( \Omega \) 的一切紧 \( {G}_{\delta } \) 型集组成的集类生成的 \( \sigma \) 代数 \( \mathcal{F} \) 称为 \( \Omega \) 上的贝尔集类,其中的元素称为 \( \Omega \) 的贝尔集. 贝尔集的理论在某些方面较波莱尔集的理论简单, 同时关于贝尔集的理论还可以用来作为研究波莱尔集的工具. 局部紧豪斯多夫空间中的贝尔集必是波莱尔集. 在可分的局部紧豪斯多夫空间特别是欧氏空间中, 波莱尔集与贝尔集的概念合而为一.
贝尔集 (Baire sets) 见 “贝尔集类”.
拓扑空间上的贝尔测度 (Baire measure on topological space) 定义于贝尔集类上的测度. 设 \( \mu \) 是定义在局部紧豪斯多夫空间 \( \Omega \) 的全体贝尔集组成的 \( \sigma \) 代数上的测度,使得对每个紧 \( {G}_{\delta } \) 型集 \( C \) , \( \mu \left( C\right) < + \infty \) ,则称 \( \mu \) 为贝尔测度.
贝尔可测函数 (Baire measurable function) 亦称贝尔函数. 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的贝尔函数在拓扑空间上的推广. 设 \( f \) 是局部紧豪斯多夫空间 \( \Omega \) 上的实值函数. 如果对任意实数 \( c,\{ x \mid f\left( x\right) > c\} \) 是贝尔集,则称 \( f \) 是 \( \Omega \) 上的贝尔可测函数. 局部紧豪斯多夫空间上的连续函数 (或有紧支集的连续函数) 是贝尔可测的.
贝尔函数 (Baire function) 即 “贝尔可测函数”.
拉东测度 (Radon measure) 一种正则测度. 设 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 是豪斯多夫空间 \( \Omega \) 上的波莱尔集类, \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数且 \( \mathcal{F} \supset \mathcal{B}\left( \Omega \right) ,\mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的正则测度, \( {C}_{0}\left( \Omega \right) \) 是 \( \Omega \) 上有紧支集的实值连续函数的全体. 若对一切非负的 \( f \in {C}_{0}\left( \Omega \right) \) ,都有
\[
{\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}\mu < + \infty ,
\]
则称 \( \mu \) 为拉东测度. 若 \( \Omega \) 是局部紧的豪斯多夫空间,则 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 上的拉东测度与 \( {C}_{0}\left( \Omega \right) \) 上的正线性泛函之间有如下一一对应关系: 若 \( \mu \) 为 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 上的拉东测度, 令
\[
{I}_{\mu }\left( f\right) = {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}\mu
\]
则 \( {I}_{\mu } \) 是 \( {C}_{0}\left( \Omega \right) \) 上的正线性泛函; 反之, \( {C}_{0}\left( \Omega \right) \) 上的正线性泛函必具有这种形式. 故此时的拉东测度即丹尼尔积分 (参见 “丹尼尔积分”).
测度的弱收敛 (weak convergence of measures) 一种重要的收敛概念. 设 \( \left( {\Omega ,\rho }\right) \) 是度量空间, \( \mu ,{\mu }_{1} \) , \( {\mu }_{2},\cdots \) 是 \( \mathcal{B}\left( \Omega \right) \) 上的有限测度, \( {C}_{b}\left( \Omega \right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上的有界连续函数的全体. 如果对任意 \( f \in {C}_{b}\left( \Omega \right) \) ,都有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}{\mu }_{n} = {\int }_{\Omega }f\mathrm{\;d}\mu
\]
则说 \( \left\{ {\mu }_{n}\right\} \) 弱收敛于 \( \mu \) .
不变测度 (invariant measure) 群上的一种测度. 如果 \( \mathcal{F} \) 是群 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数,且对于任意的 \( x \in \) \( \Omega, A \in \mathcal{F} \) 有 \( {xA} = \{ {xy} \mid y \in A\} \in \mathcal{F},\mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度,满足 \( \mu \left( {xA}\right) = \mu \left( A\right) \) ,则 \( \mu \) 称为左不变测度. 与此相仿,若 \( \mathcal{F} \) 和 \( \mu \) 对如上任意的 \( x \) 和 \( A \) 满足 \( {Ax} \) \( = \{ {yx} \mid y \in A\} \in \mathcal{F},\mu \left( {Ax}\right) = \mu \left( A\right) \) ,则 \( \mu \) 称为右不变测度. 左不变测度和右不变测度统称不变测度.
左不变测度 (left invariant measure) 见“不变测度”.
右不变测度 (right invariant measure) 见“不变测度”.
哈尔测度 (Haar measure) 不恒等于零的不变测度, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格测度在拓扑群上的推广. 设 \( G \) 是局部紧豪斯多夫拓扑群, \( \Omega = G,{sx} \) (或 \( {xs} \) ) 是群 \( G \) 内的乘法. 此时把 \( G \) 上的非零左不变 (右不变) 测度称为 \( G \) 的左不变 (右不变) 哈尔测度. 这种测度是由哈尔 (Haar, A. ) 于 1930 年引入的. 加法群 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上哈尔测度即为勒贝格测度. 在交换群的情形, 左不变哈尔测度与右不变哈尔测度是相同的, 在非交换群的情形, 二者未必相同. 哈尔测度是建立群上的调和分析理论的工具之一.
哈尔定理 (Haar theorem) 关于哈尔测度惟一存在的重要定理. 在任意的局部紧豪斯多夫拓扑群上的左不变 (或右不变) 哈尔测度, 除了正的常数因子外, 是惟一存在的.
可测群 (measurable group) 从测度论观点来研究局部紧拓扑群而引入的一个概念. 设 \( \left( {X,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为一 \( \sigma \) 有限测度空间,若满足下列条件,则称 \( (X \) , \( \mathcal{F},\mu ) \) 是一个豪斯多夫可测群:
1. \( \mu \) 不恒等于零.
2. \( X \) 是一个群.
3. \( \sigma \) 环 \( \mathcal{F} \) 是左不变的,即对每个 \( x \in X \) 及每个 \( A \in \mathcal{F} \) ,都有 \( {xA} \in \mathcal{F} \) ,又测度 \( \mu \) 也是左不变的.
4. 由等式 \( T\left( {x, y}\right) = \left( {x,{xy}}\right) \) 确定的 \( X \times X \) 到它自身的映射 \( T \) 是保测映射.
例如,若 \( X \) 是局部紧拓扑群, \( \mathcal{F} \) 是 \( X \) 中全体贝尔集类, \( \mu \) 是一个哈尔测度,则 \( \left( {X,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是一个可测群.
可分的可测群 (separated measurable group)
从测度论的观点描述拓扑群的可分公理. 设 \( e \) 是可测群 \( \left( {X,\mathcal{F},\mu }\right) \) 的单位元素. 若对 \( X \) 中任意异于 \( e \) 的元素 \( x \) ,存在具有正的有限测度的可测集 \( A \) ,使得 \( \mu \left( {\left( {xA}\right) \bigtriangleup A}\right) > 0 \) ,则称 \( \left( {X,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是可分的可测群.
韦伊测度 (Weil measure) 群上的一种不变测度. 设 \( \mathcal{F} \) 是局部紧豪斯多夫群 \( G \) 上的 \( \sigma \) 代数,满足条件: 当 \( A \in \mathcal{F} \) 时,对任意的 \( s \in G \) ,有 \( {sA} \in \mathcal{F} \) . 设 \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的 \( \sigma \) 有限测度. 如果 \( \mu \) 满足下列条件,则称 \( \mu \) 是 \( G \) 上的左不变韦伊测度:
1. \( \mu \left( {sA}\right) = \mu \left( A\right) \) .
2. 当 \( f\left( x\right) \) 为 \( \mathcal{F} \) 可测时, \( f\left( {x{y}^{-1}}\right) \) 必为 \( \mathcal{F} \times \mathcal{F} \) 可测的.
这种测度是由韦伊 (Weil, A. ) 引入的.
相对不变测度 (relative invariant measure) 不变测度的推广. 设一切记号与条目“不变测度”中意义相同. 而对任意 \( s \in \Omega \) ,存在正实数 \( \chi \left( s\right) \) ,使得 \( \mu \left( A\right) = \chi \left( s\right) \mu \left( {sA}\right) \) ,则称测度 \( \mu \) 为相对不变测度.
拟不变测度 (quasi-invariant measure) 不变测度的推广. 设 \( \mathcal{F} \) 是群 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数,且对任意的 \( x \in \Omega, A \in \mathcal{F} \) ,有 \( {xA} \in \mathcal{F},\mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的测度. 由等式
\[
\left( {\nu \left( x\right) \mu }\right) \left( {xA}\right) = \mu \left( A\right)
\]
（1）
定义了 \( \mathcal{F} \) 上的一个测度 \( \nu \left( x\right) \mu \) . 对于不同的 \( x \in \Omega \) , 相应的集合 \( {xA} \) 也就不同,因而 \( {xA} \) 的测度也就不同,即等式 (1) 未必成立. 若存在 \( \mu \) 可测函数 \( g\left( x\right) \) 满足下列条件,则 \( \mu \) 称为 \( \mathcal{F} \) 上的拟不变测度:
1. \( g\left( x\right) \) 关于 \( \mu \) 在 \( \Omega \) 上几乎处处大于 0 .
2. 对任意 \( A \in \mathcal{F},\mu \left( A\right) < + \infty, g\left( x\right) \) 在 \( A \) 上均为 \( \mu \) 可积,而且有 \( \nu \left( x\right) \mu = g\left( x\right) \mu \) ,即对任意 \( x \in \Omega \) , 均有 \( \left( {\nu \left( x\right) \mu }\right) \left( {xA}\right) = g\left( x\right) \mu \left( A\right) \) .
当 \( g\left( x\right) \equiv 1 \) 时, \( \mu \) 即为左不变测度. 拟不变测度的研究来源于量子物理, 它的理论为无限维空间上的微分方程、变分方程的研究提供工具.
泛函积分 (functional integration) 连续积分、 柱测度、正定函数等理论的泛称. 它起源于量子物理学和随机过程. 泛函积分方法已深入到公理化量子场论、基本粒子理论、随机力学、统计物理和湍流理论等领域, 并且与数学的其他分支如群表示论、巴拿赫空间几何理论、微分方程理论等相互渗透.
维纳测度 (Wiener measure) 定义在连续函数空间上的一种描述布朗运动的测度. 设 \( t > 0 \) ,在区间 \( \left\lbrack {0, t}\right\rbrack \) 上连续并在点 0 取值为零的函数的全体记为 \( C(C \) 中的每个元可理解为做一维布朗运动的粒子的轨道). 又设 \( \left( {{a}_{i},{b}_{i}}\right) \left( {1 \leq i \leq n}\right) \) 是 \( n \) 个区间, \( 0 < {t}_{1} \) \( < {t}_{2} < \cdots < {t}_{n} \leq t \) . 集 \( A = \left\{ {x\left( t\right) \mid x\left( t\right) \in C, x\left( {t}_{i}\right) \in \left( {a}_{i}\right. }\right. \) , \( \left. {\lef |
2000_数学辞海（第3卷） | 60 | \in \mathcal{F},\mu \left( A\right) < + \infty, g\left( x\right) \) 在 \( A \) 上均为 \( \mu \) 可积,而且有 \( \nu \left( x\right) \mu = g\left( x\right) \mu \) ,即对任意 \( x \in \Omega \) , 均有 \( \left( {\nu \left( x\right) \mu }\right) \left( {xA}\right) = g\left( x\right) \mu \left( A\right) \) .
当 \( g\left( x\right) \equiv 1 \) 时, \( \mu \) 即为左不变测度. 拟不变测度的研究来源于量子物理, 它的理论为无限维空间上的微分方程、变分方程的研究提供工具.
泛函积分 (functional integration) 连续积分、 柱测度、正定函数等理论的泛称. 它起源于量子物理学和随机过程. 泛函积分方法已深入到公理化量子场论、基本粒子理论、随机力学、统计物理和湍流理论等领域, 并且与数学的其他分支如群表示论、巴拿赫空间几何理论、微分方程理论等相互渗透.
维纳测度 (Wiener measure) 定义在连续函数空间上的一种描述布朗运动的测度. 设 \( t > 0 \) ,在区间 \( \left\lbrack {0, t}\right\rbrack \) 上连续并在点 0 取值为零的函数的全体记为 \( C(C \) 中的每个元可理解为做一维布朗运动的粒子的轨道). 又设 \( \left( {{a}_{i},{b}_{i}}\right) \left( {1 \leq i \leq n}\right) \) 是 \( n \) 个区间, \( 0 < {t}_{1} \) \( < {t}_{2} < \cdots < {t}_{n} \leq t \) . 集 \( A = \left\{ {x\left( t\right) \mid x\left( t\right) \in C, x\left( {t}_{i}\right) \in \left( {a}_{i}\right. }\right. \) , \( \left. {\left. {b}_{i}\right) ,1 \leq i \leq n}\right\} \) 为 \( C \) 中的柱集. 轨道 \( x \) 落入 \( A \) 中的概率是
\[
{\left\lbrack {\left( 2\pi \right) }^{n}{t}_{1}\left( {t}_{2} - {t}_{1}\right) \cdots \left( {t}_{n} - {t}_{n - 1}\right) \right\rbrack }^{-\frac{1}{2}}
\]
\[
{\left. \cdot \right| }_{{a}_{1}}^{{b}_{1}}\cdots {\int }_{{a}_{n}}^{{b}_{n}}\exp \left\lbrack {-\frac{1}{2}\left( {\frac{{x}_{1}^{2}}{{t}_{1}} + \frac{{\left( {x}_{2} - {x}_{1}\right) }^{2}}{{t}_{2} - {t}_{1}} + \cdots }\right. }\right.
\]
\[
\left. \left. {+\frac{{\left( {x}_{n} - {x}_{n - 1}\right) }^{2}}{{t}_{n} - {t}_{n - 1}}}\right) \right\rbrack \mathrm{d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2}\cdots \mathrm{d}{x}_{n}.
\]
这样在柱集全体上定义了一个柱测度. 维纳 (Wiener, N. ) 证明了它可以延拓成 \( C \) 上的可列可加的测度 \( {\mathrm{d}}_{w}x \) ,就称它为维纳测度,关于该测度的积分称为维纳积分. 维纳于 1921 年发表的关于布朗运动的论文中提出了这种测度.
维纳积分 (Wiener integral) 见“维纳测度”.
柱测度 (cylinder measure) 测度概念的推广. 设 \( X, Y \) 是两个实线性空间, \( \langle x, y\rangle \left( {x \in X, y \in Y}\right) \) 是 \( X \times Y \) 上的实双线性泛函,且对任意非零向量 \( x \in \) \( X \) ,存在 \( y \in Y \) ,使得 \( \langle x, y\rangle \neq 0 \) ; 对 \( Y \) 也有同样的假定. 任取 \( n \) 个向量 \( {x}_{i} \in X\left( {1 \leq i \leq n}\right) \) ,记 \( Y \) 中使 \( \left\langle {x}_{1}\right. \) ,
- \( \rangle ,\left\langle {{x}_{2}, \cdot }\right\rangle ,\cdots ,\left\langle {{x}_{n}, \cdot }\right\rangle \) 均为可测函数的最小 \( \sigma \) 代数为 \( \mathcal{F}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) . 每个 \( \mathcal{F}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 中的集称为 \( Y \) 中的柱集,柱集全体记为 \( \mathcal{F} \) ,它是 \( Y \) 上的代数. 若 \( \mu \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的集函数且 \( \mu \) 限制在每一个 \( \mathcal{F}\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 上是一个概率测度,则 \( \mu \) 称为 \( Y \) 上的柱测度. 明洛斯 \( \left( {{\mathrm{M}}_{\mathrm{{HHJIOC}}},\mathrm{P}.\mathrm{A}.}\right) \) 于 1959 年证明了下面的基本定理: 若 \( \Phi \) 是核空间,则 \( \Phi \) 的共轭空间 \( {\Phi }^{\prime } \) 的任何一个关于 \( \Phi \) 的拓扑连续的 (即对任何 \( \varepsilon > \) 0,存在 \( \Phi \) 中点 \( o \) 的邻域 \( U \) ,对任何 \( x \in U \) ,都有
\[
\mu \{ y\left| \right| \langle x, y\rangle \mid > 1\} < \varepsilon )
\]
柱测度 \( \mu \) 都是可列可加的.
正定函数 (positive definite functions) 一种重要的函数. 设 \( G \) 是拓扑群, \( e \) 是 \( G \) 的单位元, \( f\left( g\right) \) 是 \( G \) 上的实值函数, \( f\left( e\right) = 1 \) . 若对任意 \( n \) 个元素 \( {g}_{i} \in \) \( G\left( {1 \leq i \leq n}\right) \) 及任意 \( n \) 个复数 \( {z}_{i}\left( {1 \leq i \leq n}\right) \) ,恒有
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i, j}}f\left( {{g}_{j}^{-1}{g}_{i}}\right) {\bar{z}}_{j}{z}_{i} \geq 0,
\]
则称 \( f \) 是 \( G \) 上的正定函数. 正定函数的表示如下: 设 \( \Phi \) 是拓扑线性空间, \( \Phi \) 按向量的加法成为交换的拓扑群. 用 \( {\Phi }^{\# } \) 表示 \( \Phi \) 的代数对偶空间 \( (\Phi \) 上的线性泛函 \( \xi \) 的全体), \( W \) 是 \( {\Phi }^{\# } \) 的线性子空间,且 \( \varphi \in \Phi ,\varphi \) \( = 0 \) 等价于对任意 \( f \in W \) ,均有 \( f\left( \varphi \right) = 0 \) . 若 \( f \) 是 \( \Phi \) 上的正定函数,则在 \( W \) 上存在惟一的柱测度 \( \mu \) ,使
\[
f\left( \varphi \right) = {\int }_{W}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\xi \left( \varphi \right) }\mathrm{d}\mu \left( \xi \right) \;\left( {\varphi \in \Phi }\right) ,
\]
即正定函数 \( f \) 可以表示成泛函积分的形式. 可以证明, \( f \) 是 \( \Phi \) 上的连续的正定函数的充分必要条件是相应的柱测度 \( \mu \) 关于 \( \Phi \) 的拓扑是连续的. 正定函数的表示是无限维分析的主要问题之一, 柱测度在其中起了重要作用.
正定函数的表示 (express of positive definite functions) 见“正定函数”.
## 向量值测度和积分
向量值函数 (vector valued function) 亦称抽象函数. 数值函数概念的推广. 定义在某个集合上而在某个线性空间 (通常是某个拓扑线性空间)内取值的单值映射. 因线性空间中的元素一般称为向量, 故这种映射常被称为向量值函数. 向量值函数不仅仅是数值函数形式上的推广, 而是有其自身的理论和实际应用. 例如, 向量值函数在谱论、巴拿赫空间几何理论等数学分支中都起着重要的作用. 这里的向量值函数比数学分析中的意义广泛得多.
可数值函数 (countable valued function) 简单函数概念的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而且取值于赋范线性空间 \( X \) 的向量值函数. 如果 \( \Omega \) 可以分解为可数个互不相交的可测集 \( {A}_{k} \) 的并,在每个 \( {A}_{k} \) 上, \( x\left( t\right) \) 取常值 \( {x}_{k} \in X \) ,则称 \( x\left( t\right) \) 为可数值函数.
强可测向量值函数 (strongly measurable vector valued function) 可测数值函数概念在赋范线性空间上的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而且取值于赋范线性空间 \( X \) 的向量值函数. 如果存在 \( \Omega \) 上的一列可数值函数 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) ,使得 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 关于 \( \mu \) 几乎处处强收敛于 \( x\left( t\right) \) ,即 \( \begin{Vmatrix}{{x}_{n}\left( t\right) - x\left( t\right) }\end{Vmatrix} \) 关于 \( \mu \) 几乎处处收敛于 0,则称 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上 (取值于 \( X \) ) 是强可测的. 可数值函数是强可测的. 按强拓扑连续的向量值函数是强可测的. 强可测向量值函数的线性组合也是强可测的. 如果向量值函数 \( x\left( t\right) \) 是强可测的,则数值函数 \( \parallel x\left( t\right) \parallel \) 必是可测的. 如果 \( x\left( t\right) \) 是强可测向量值函数,而 \( \alpha \left( t\right) \) 为有限实值可测函数,则 \( \alpha \left( t\right) x\left( t\right) \) 亦为强可测函数. 如果强可测向量值函数列 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 关于 \( \mu \) 几乎处处弱收敛于向量值函数 \( x\left( t\right) \) ,则 \( x\left( t\right) \) 亦必是强可测的. 此外, 对于强可测函数而言, 也有相应的叶戈罗夫定理和卢津定理. 叶戈罗夫定理断言: 如果 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限测度空间,而定义在 \( \Omega \) 上取值于巴拿赫空间 \( X \) 的强可测向量值函数列 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 关于 \( \mu \) 几乎处处强收敛于 \( x\left( t\right) \) ,那么对任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( A \in \mathcal{F} \) ,使得 \( \mu \left( A\right) < \varepsilon \) ,且 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 在 \( \Omega \smallsetminus A \) 上一致收敛于 \( x\left( t\right) \) . 卢津定理断言: 如果 \( \Omega \) 是数集, \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上 而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的强可测函数,那么对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在闭集 \( A \) 使得 \( \mu \left( {\Omega \smallsetminus A}\right) < \varepsilon \) ,且 \( x\left( t\right) \) 在 \( A \) 上按强拓扑是连续的.
弱可测向量值函数 (weakly measurable vector valued function) 可测数值函数概念在赋范线性空间上另一种重要的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而在赋范线性空间 \( X \) 内取值的向量值函数. 如果对任何 \( f \in {X}^{ * } \) ,数值函数 \( f\left( {x\left( t\right) }\right) \) 是 \( \mu \) 可测的,则称 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上是弱可测的. 强可测函数必是弱可测的,其逆不真. 当 \( X = {\mathrm{R}}^{1} \) 时, 强可测、弱可测及实值函数可测这三个概念是等价的. 按弱拓扑连续的函数是弱可测的. 弱可测函数的线性组合是弱可测的. 如果 \( x\left( t\right) \) 是弱可测函数, \( \alpha \left( t\right) \) 是有限实值可测函数,则 \( \alpha \left( t\right) x\left( t\right) \) 亦为弱可测函数. 弱可测函数列关于 \( \mu \) 几乎处处弱收敛的极限是弱可测的.
可分值的向量值函数 (separably-valued vector valued function) 具有可分值域的向量值函数. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于赋范线性空间 \( X \) 的向量值函数. 如果它的值域 \( \{ x\left( t\right) \mid t \in \Omega \} \) 是 \( X \) 的可分子集,则称 \( x\left( t\right) \) 为可分值的. 如果存在子集 \( {\Omega }_{0} \subset \Omega \) ,使得 \( \mu \left( {\Omega }_{0}\right) = 0 \) ,而值域 \( \left\{ {x\left( t\right) \mid t \in \Omega \smallsetminus {\Omega }_{0}}\right\} \) 是可分的,则称 \( x\left( t\right) \) 是几乎可分值的.
几乎可分值的向量值函数 (almost separably-valued vector valued function) 见 “可分值的向量值函数”.
佩蒂斯可测性定理 (Pettis theorem on measur-ablity）关于向量值函数强可测与弱可测之间的关系的重要定理. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值函数,则 \( x\left( t\right) \) 强可测的充分必要条件是 \( x\left( t\right) \) 弱可测且是几乎可分值的. 此定理是由佩蒂斯 (Pettis, P. B. J. ) 发现的. 由佩蒂斯可测性定理推知, 对于取值于可分空间的向量值函数, 强可测等价于弱可测.
向量值函数的积分 (integral of vector-valued function) 向量值函数所定义的各种积分的统称. 主要有黎曼-斯蒂尔杰斯积分和勒贝格型积分, 它们是数值函数的积分在向量值函数上的直接推广.
博赫纳积分 (Bochner integral) 按勒贝格积分方式定义的一种常用的向量值函数的积分. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是完备的 \( \sigma \) 有限测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值函数:
1. 若 \( x\left( t\right) \) 是 \( \Omega \) 上的可数值函数,即
\[
\Omega = \mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{A}_{k}
\]
而 \( \left\{ {A}_{k}\right\} \) 是 \( \Omega \) 中一列互不相交的可测集,
\[
x\left( t\right) = {x}_{k}\;\left( {t \in {A}_{k}, k = 1,2,\cdots }\right) ;
\]
又
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\begin{Vmatrix}{x}_{k}\end{Vmatrix}\mu \left( {A}_{k}\right) < + \infty ,
\]
则称 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上是博赫纳可积的,并称
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}\mu \left( {A}_{k}\right)
\]
为 \( x\left( t\right) \) 的博赫纳积分,记为
\[
\text{(B)}{\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu \text{,}
\]
即
\[
\text{(B)}{\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}\mu \left( {A}_{k}\right) \text{.}
\]
2. 对于一般的强可测函数 \( x\left( t\right) \) ,若它是博赫纳可积的可数值函数列 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 的关于 \( \mu \) 几乎处处强收敛的极限且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{\Omega }\begin{Vmatrix}{x\left( t\right) - {x}_{n}\left( t\right) }\end{Vmatrix}\mathrm{d}\mu = 0,
\]
则说 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上是博赫纳可积的,并规定 \( x\left( t\right) \) 的博赫纳积分为
\[
\text{(B)}{\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( B\right) {\int }_{\Omega }{x}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}\mu \text{.}
\]
对于博赫纳可积函数 \( x\left( t\right) \) ,它的积分值 (向量) 不依赖于 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 的选取. 博赫纳积分是勒贝格积分在向量值函数情形的直接推广, 是由博赫纳 (Bochn-er, S. ) 在 1932 年建立的. 这种积分在向量值测度理论、算子理论、概率论、随机过程以及巴拿赫空间几何理论等许多数学分支中有广泛的应用. 向量值函数 \( x\left( t\right) \) 为博 |
2000_数学辞海（第3卷） | 61 | ) \mathrm{d}\mu \text{,}
\]
即
\[
\text{(B)}{\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}\mu \left( {A}_{k}\right) \text{.}
\]
2. 对于一般的强可测函数 \( x\left( t\right) \) ,若它是博赫纳可积的可数值函数列 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 的关于 \( \mu \) 几乎处处强收敛的极限且
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{\Omega }\begin{Vmatrix}{x\left( t\right) - {x}_{n}\left( t\right) }\end{Vmatrix}\mathrm{d}\mu = 0,
\]
则说 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上是博赫纳可积的,并规定 \( x\left( t\right) \) 的博赫纳积分为
\[
\text{(B)}{\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( B\right) {\int }_{\Omega }{x}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}\mu \text{.}
\]
对于博赫纳可积函数 \( x\left( t\right) \) ,它的积分值 (向量) 不依赖于 \( \left\{ {{x}_{n}\left( t\right) }\right\} \) 的选取. 博赫纳积分是勒贝格积分在向量值函数情形的直接推广, 是由博赫纳 (Bochn-er, S. ) 在 1932 年建立的. 这种积分在向量值测度理论、算子理论、概率论、随机过程以及巴拿赫空间几何理论等许多数学分支中有广泛的应用. 向量值函数 \( x\left( t\right) \) 为博赫纳可积的充分必要条件是 \( x\left( t\right) \) 强可测, 且
\[
{\int }_{\Omega }\parallel x\left( t\right) \parallel \mathrm{d}\mu < + \infty .
\]
博赫纳积分具有和勒贝格积分类似的若干基本性质. 例如, 具有线性性、完全可加性、绝对连续性以及控制收敛定理、富比尼定理均成立, 但拉东-尼科迪姆定理不成立, 就是说, 与通常的抽象测度不同, 绝对连续的向量值测度不一定能表示成博赫纳积分.
伯克霍夫积分 (Birkhoff integral) 一种向量值函数的积分. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值函数,给定 \( \Omega \) 的一个可列分划
\[
\Delta : \Omega = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}\;\left( {{A}_{i} \cap {A}_{j} = \varnothing, i \neq j}\right) ,
\]
\[
{A}_{i} \in \mathcal{F},\;\mu \left( {A}_{i}\right) < + \infty .
\]
如果 \( x\left( t\right) \) 在每个 \( {A}_{i} \) 上有界且级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\mu \left( {A}_{i}\right) x\left( {t}_{i}\right) \;\left( {{t}_{i} \in {A}_{i}}\right)
\]
无条件收敛,则称 \( x\left( t\right) \) 关于可列分划 \( \Delta \) 可求和,此种和的全体
\[
\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }\mu \left( {A}_{i}\right) x\left( {t}_{i}\right) \mid {t}_{i} \in {A}_{i}}\right\}
\]
的凸闭包,称为 \( x\left( t\right) \) 关于 \( \Delta \) 的积分值域,记为 \( J\left( {x,\Delta }\right) \) . 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \Omega \) 的可列分划 \( \Delta \left( \varepsilon \right) \) ,使 \( x\left( t\right) \) 关于 \( \Delta \left( \varepsilon \right) \) 可求和,且 \( J\left( {x,\Delta \left( \varepsilon \right) }\right) \) 的直径 \( \sup \{ \parallel y - z\parallel \mid y, z \in J\left( {x,\Delta \left( \varepsilon \right) }\right) \} \) 小于 \( \varepsilon \) ,则说 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上伯克霍夫可积,并称由一切可列分划 \( \Delta \) 所得到的 \( J\left( {x,\Delta }\right) \) 的交集
\[
\mathop{\bigcap }\limits_{\Delta }J\left( {x,\Delta }\right) \;(X\text{中的单点集)}
\]
为 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上的伯克霍夫积分,记为
\[
\left( {BK}\right) {\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu ,
\]
\[
\left( {BK}\right) {\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu = \mathop{\bigcap }\limits_{\Delta }J\left( {x,\Delta }\right) .
\]
此积分是伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1935 年提出的. 在 \( \Omega \) 上伯克霍夫可积的函数在任意的 \( A \in \mathcal{F} \) 上仍为伯克霍夫可积函数. 伯克霍夫积分作为向量值集函数具有绝对连续性和可列可加性, 对于被积函数具有线性性质, 但富比尼定理不成立. 博赫纳可积函数必是伯克霍夫可积的, 其逆不真.
盖尔范德积分 (Gelfand integral) 亦称盖尔范德意义下的弱 * 积分. 一种向量值函数的积分. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值函数. 如果对每个 \( f \) \( \in {X}^{ * }, f\left( {x\left( t\right) }\right) \) 在 \( \Omega \) 上是 \( \mu \) 可积的,则必存在 \( {x}^{* * } \) \( \in X \) ,使得对于每个 \( f \in {X}^{ * } \) 有
\[{x}^{* * }\left( f\right) = {\int }_{\Omega }f\left( {x\left( t\right) }\right) \mathrm{d}\mu ,\]
\( {x}^{* * } \) 称为 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上的盖尔范德积分,记为
\[\left( \Gamma \right) {\int }_{\Omega }x\left( t\right) \mathrm{d}\mu \]
此积分是由盖尔范德 ( \( \Gamma \) eльфанд,и. M. ) 于 1936 年建立的.
佩蒂斯积分 (Pettis integral) 亦称弱积分. 一
种常用的向量值函数的积分. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 为 \( \sigma \) 有限测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的弱可测向量值函数. 如果对任意 \( A \in \mathcal{F} \) ,都存在 \( {x}_{A} \in X \) ,使得对于一切 \( f \in {X}^{ * } \) ,积分
\[
{\int }_{A}f\left( {x\left( t\right) }\right) \mathrm{d}\mu
\]
存在, 且
\[
{\int }_{A}f\left( {x\left( t\right) }\right) \mathrm{d}\mu = f\left( {x}_{A}\right) ,
\]
则说 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上佩蒂斯可积,此时记为
\[
\text{(P)}{\int }_{A}x\left( t\right) \mathrm{d}\mu = {x}_{A}\text{,}
\]
并称 \( {x}_{A} \) 为 \( x\left( t\right) \) 在 \( A \) 上的佩蒂斯积分. 当 \( x\left( t\right) \) 在 \( \Omega \) 上佩蒂斯可积时,在每个 \( A \in \mathcal{F} \) 上,佩蒂斯积分
\[
\text{(P)}{\int }_{A}x\left( t\right) \mathrm{d}\mu
\]
是惟一确定的. 此积分是佩蒂斯 (Pettis, P. B. J. ) 于 1938 年建立的. 除去富比尼定理外, 勒贝格积分的其他性质对于佩蒂斯积分也成立. 例如, 佩蒂斯积分作为向量值集函数具有绝对连续性和可列可加性, 对于被积函数具有线性性质. 如果向量值函数 \( x\left( t\right) \) 是博赫纳可积的, 则它也是佩蒂斯可积的, 并且该两积分值是相同的, 但反之不然. 又, 佩蒂斯可积的函数必是盖尔范德可积的,当 \( X \) 是自反的巴拿赫空间时, 这两种积分彼此相同.
向量值测度 (vector valued measure) 数值测度的推广,定义于 \( \sigma \) 代数上而取值于巴拿赫空间的可列可加向量值集函数. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( E \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值集函数. 如果满足下列条件,则称 \( E \) 是 \( \mathcal{F} \) 上的向量值测度:
1. \( E\left( \varnothing \right) = 0 \) ( \( \varnothing \) 是空集).
2. 可列可加性,即对 \( \mathcal{F} \) 中任意互不相交的集列 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) ,若下式右端的级数按 \( X \) 中范数收敛,必有
\[
E\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{A}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{\infty }E\left( {A}_{i}\right) .
\]
例如,如果 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是 \( \sigma \) 有限测度空间, \( x\left( t\right) \) 是定义在 \( \Omega \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的博赫纳可积函数,对任何 \( A \in \mathcal{F} \) ,定义
\[
E\left( A\right) = \left( B\right) {\int }_{A}x\left( t\right) \mathrm{d}\mu ,
\]
则 \( E \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于 \( X \) 的向量值测度. 特别地,当 \( X \) 是某个巴拿赫空间上的有界线性算子全体按算子范数所成的巴拿赫空间时,就称 \( E \) 为 \( \mathcal{F} \) 上的算子值测度.
算子值测度 (operator valued measure) 见“向量值测度”.
有界变差的向量值测度 (vector valued measure of bounded variation ) 有界变差函数的推广, 一类重要的向量值测度. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( E \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值测度, \( A \in \mathcal{F},\pi \) 是 \( A \) 的一个分划,即 \( \pi = \left\{ {{A}_{1},{A}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {A}_{n}\right\} ,{A}_{i} \in \mathcal{F} \) ,当 \( i \neq j \) 时, \( {A}_{i} \cap {A}_{j} = \varnothing \) ,且
\[
A = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}
\]
令
\[
\left| E\right| \left( A\right) = \mathop{\sup }\limits_{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{{A}_{i} \in \pi }}\begin{Vmatrix}{E\left( {A}_{i}\right) }\end{Vmatrix},
\]
非负扩充实值函数 \( \left| E\right| \) 称为 \( E \) 的变差. 若 \( \left| E\right| \left( \Omega \right) \) \( < + \infty \) ,则称 \( E \) 为有界变差的向量值测度.
半有界变差的向量值测度 (vector valued measure of semi-bounded variation) 一类重要的向量值测度,有界变差函数的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( E \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值测度, \( A \in \mathcal{F} \) ,令
\( \parallel E\parallel \left( A\right) \)
\[
= \sup \left\{ {\left| {f \circ E}\right| \left( A\right) \mid f \in {X}^{ * },\parallel f\parallel \leq 1}\right\} ,
\]
称非负扩充实值函数 \( \parallel E\parallel \) 为 \( E \) 的半变差. 若 \( \parallel E\parallel \left( \Omega \right) < + \infty \) ,则称 \( E \) 为半有界变差的向量值测度. 对于取值于有限维巴拿赫空间的向量值测度, 半有界变差与有界变差的概念是相同的. 对于取值于任一无穷维巴拿赫空间的向量值测度就不是这样.
向量值测度的绝对连续性 (absolute continuity of vector valued measure) 数值测度的绝对连续性的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限测度空间, \( E \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的向量值测度. 如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使对任意 \( A \in \mathcal{F} \) ,只要 \( \mu \left( A\right) < \delta \) ,就有 \( \parallel E\left( A\right) \parallel < \varepsilon \) ,则称 \( E \) 关于 \( \mu \) 是绝对连续的,它等价于 \( \mu \left( A\right) = 0 \) 时必有 \( E\left( A\right) = 0 \) .
拉东-尼科迪姆性质 (Radon-Nikodym property) 向量值测度可能具有的一个重要性质, 有关问题是理论研究中的重要课题. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是有限测度空间, \( X \) 是巴拿赫空间, \( B\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) 代表定义在 \( \Omega \) 上而取值于 \( X \) 的博赫纳可积函数全体. 如果对每个定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于 \( X \) 的有界变差且关于 \( \mu \) 绝对连续的向量值测度 \( E \) ,均存在 \( f \in B\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) ,使得
\[
E\left( A\right) = \left( B\right) {\int }_{A}f\left( t\right) \mathrm{d}\mu \left( {A \in \mathcal{F}}\right) ,
\]
则说 \( X \) 关于 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 具有拉东-尼科迪姆性质. 如果 \( X \) 关于一切有限测度空间均具有拉东-尼科迪姆性质,则说 \( X \) 具有拉东-尼科迪姆性质. 博赫纳 (Bochner, S. ) 于 1932 年提出了如今以他的名字命名的向量值函数的积分一博赫纳积分, 并且考虑将数值测度论中的拉东-尼科迪姆定理推广到向量值测度的情况. 但是, 博赫纳发现, 对巴拿赫空间 \( {L}^{\infty }\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,这种推广是不可行的. 因此,需要讨论拉东-尼科迪姆定理成立的条件, 这样便产生了巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质的概念. 伯克霍夫 (Birkhoff, G. D. ) 于 1935 年证明, 希尔伯特空间具有拉东-尼科迪姆性质. 克拉克松 (Clarkson, J. A. ) 于 1936 年引入了一致凸空间的概念, 并证明了一致凸巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质. 盖尔范德 (Teilbaau/I, II. M. ) 和莫尔斯 (Morse, H. M. ) 于 1936 年证明了具有有界完全基的巴拿赫空间具有拉东- 尼科迪姆性质. 盖尔丰德 (l'eurbonit, A. O. ) 于 1938 年证明了自反巴拿赫空间具有拉东-尼科迪姆性质. 现在, 关于拉东-尼科迪姆性质的研究仍是一个引人注目的课题, 并且已经取得了大量的成果.
具有里斯表示的算子 (Riesz representable operator) 向量值测度理论中的重要概念之一. 设 \( T \) 是 \( L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) 到巴拿赫空间 \( X \) 内的有界线性算子. 如果存在 \( f \in {L}^{\cdots }\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) ,使对任何 \( g \in L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) ,有
\[
{Tg} = {\int }_{\Omega }f\left( t\right) g\left( t\right) \mathrm{d}\mu ,
\]
则称 \( T \) 是具有里斯表示的,简言 \( T \) 是可表示的,这里 \( {L}^{\infty }\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) 表示
\( \left\{ {f \mid f\text{ 博赫纳可积, ess }\mathop{\sup }\limits_{{t \in \Omega }}\parallel f\left( t\right) {\parallel }_{X} < + \infty }\right\} \) .
对 \( f \in {L}^{\infty }\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) ,记
\[
\parallel f\parallel = \underset{t \in \Omega }{\operatorname{ess}\sup }\parallel f\left( t\right) {\parallel }_{X}.
\]
对于 \( f \in {\left( L\left( \Omega ,\mu \right) \right) }^{ * } \) ,熟知有基本的里斯表示定理: 存在 \( y \in {L}^{\infty }\left( {\Omega ,\mu }\right) \) ,使对任意 \( x \in L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) ,有
\[
f\left( x\right) = {\int }_{\Omega }x\left( t\right) y\left( t\right) \mathrm{d}\mu .
\]
对于定义在 \( L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) 而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的有界线性算子, 相应的结果并不普遍成立, 于是便产生算子具有里斯表示 |
2000_数学辞海（第3卷） | 62 | 存在 \( f \in {L}^{\cdots }\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) ,使对任何 \( g \in L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) ,有
\[
{Tg} = {\int }_{\Omega }f\left( t\right) g\left( t\right) \mathrm{d}\mu ,
\]
则称 \( T \) 是具有里斯表示的,简言 \( T \) 是可表示的,这里 \( {L}^{\infty }\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) 表示
\( \left\{ {f \mid f\text{ 博赫纳可积, ess }\mathop{\sup }\limits_{{t \in \Omega }}\parallel f\left( t\right) {\parallel }_{X} < + \infty }\right\} \) .
对 \( f \in {L}^{\infty }\left( {\Omega, X,\mu }\right) \) ,记
\[
\parallel f\parallel = \underset{t \in \Omega }{\operatorname{ess}\sup }\parallel f\left( t\right) {\parallel }_{X}.
\]
对于 \( f \in {\left( L\left( \Omega ,\mu \right) \right) }^{ * } \) ,熟知有基本的里斯表示定理: 存在 \( y \in {L}^{\infty }\left( {\Omega ,\mu }\right) \) ,使对任意 \( x \in L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) ,有
\[
f\left( x\right) = {\int }_{\Omega }x\left( t\right) y\left( t\right) \mathrm{d}\mu .
\]
对于定义在 \( L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) 而取值于巴拿赫空间 \( X \) 的有界线性算子, 相应的结果并不普遍成立, 于是便产生算子具有里斯表示的概念.
可以证明, 拉东-尼科迪姆性质与任何有界线性算子的可表示性是等价的: 巴拿赫空间 \( X \) 是关于有限测度空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 具有拉东-尼科迪姆性质的充分必要条件是,定义在 \( L\left( {\Omega ,\mu }\right) \) 而取值于 \( X \) 的任何有界线性算子 \( T \) 均是可表示的.
向量值测度的尼科迪姆有界性定理 (Nikodym's boundedness theorem of vector valued measure)测度论中的深刻定理之一. 泛函分析中著名的共鸣定理的一个引人注目的改进. 设 \( \mathcal{F} \) 是 \( \Omega \) 上的 \( \sigma \) 代数, \( X \) 是巴拿赫空间, \( \left\{ {{E}_{\mathrm{r}} \mid \tau \in T}\right\} \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而在 \( X \) 中取值的半有界变差向量值测度族. 如果对每个 \( A \in \mathcal{F} \) ,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{\tau \in T}}\begin{Vmatrix}{{E}_{\tau }\left( A\right) }\end{Vmatrix} < + \infty ,
\]
则 \( \left\{ {{E}_{\tau } \mid \tau \in T}\right\} \) 一致有界,即
\[
\mathop{\sup }\limits_{{\tau \in T}}\begin{Vmatrix}{E}_{\tau }\end{Vmatrix}\left( \Omega \right) < + \infty .
\]
尼科迪姆有界性定理最初是由尼科迪姆 (Nikodym, O. M. ) 于 1930 年和 1933 年对于 \( \sigma \) 代数上的可列可加数值测度建立的. 1957 年, 格罗腾迪克 (Grothendieck, A. ) 把它推广到半有界变差向量值测度.
向量值测度的一致可列可加性 (uniformly countable additivity of vector measures) 用以描述一族向量值测度可列可加的整体性态, 积分一致绝对连续概念的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F}}\right) \) 是可测空间, \( X \) 是巴拿赫空间. 如果定义在 \( \mathcal{F} \) 上而在 \( X \) 中取值的向量值测度族 \( \left\{ {{E}_{\tau } \mid \tau \in T}\right\} \) 满足条件
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\mathop{\sup }\limits_{\tau }\begin{Vmatrix}{{E}_{\tau }\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{i = n}}^{\infty }{A}_{i}}\right) }\end{Vmatrix} = 0,
\]
其中 \( \left\{ {A}_{i}\right\} \) 是 \( \mathcal{F} \) 中任意一列互不相交的元,则称 \( \left\{ {{E}_{\tau } \mid \tau \in T}\right\} \) 是一致可列可加的.
向量值测度的维塔利-哈恩-萨克斯定理 (Vitali-Hahn-Saks theorem of vector measure) 测度论的基本定理之一, 数值测度论中维塔利-哈恩-萨克斯定理的推广. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu }\right) \) 是测度空间, \( X \) 是巴拿赫空间, \( {E}_{n}\left( {n = 1,2\cdots }\right) \) 是定义在 \( \mathcal{F} \) 上而取值于 \( X \) 的向量值测度. 如果每个 \( {E}_{n} \) 关于 \( \mu \) 绝对连续,且对任何 \( A \in \mathcal{F} \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}\left( A\right)
\]
均存在, 则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\mu \left( A\right) \rightarrow 0}}\mathop{\sup }\limits_{n}\begin{Vmatrix}{{E}_{n}\left( A\right) }\end{Vmatrix} = 0.
\]
这就是向量值测度的维塔利-哈恩-萨克斯定理. 由它可得下列重要结果:
1. 在定理的条件下,
\[
E\left( A\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}\left( A\right)
\]
是向量值测度.
2. 设 \( \left\{ {E}_{n}\right\} \) 是一列向量值测度,且对任何 \( A \in \) \( \mathcal{F} \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}\left( A\right)
\]
存在, 令
\[
E\left( A\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{E}_{n}\left( A\right) ,
\]
则 \( E \) 是向量值测度,且 \( \left\{ {E}_{n}\right\} \) 是一致可列可加的.
## 几何测度论
几何测度论 (geometric measure theory) 高维欧氏空间中低维点集的测度以及低维点集上积分的理论.
20 世纪初测度论的建立,使得人们对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的子集关于 \( n \) 维勒贝格测度 \( {\mu }_{n} \) 的性质,有了很好的了解, 大部分函数论中的问题, 由于应用勒贝格积分论而发生了巨大的变化. 但是在处理与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中低维点集有关的数学问题时, 却遇到了困难. 平均曲率为 0 的曲面称为极小曲面,在 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中给定一条可求长若尔当闭曲线 \( C \) ,求 \( {\mathrm{R}}^{3} \) 中以 \( C \) 为边界的极小曲面问题称为普拉托问题. 对于二维曲面, 这类问题尚可结合共形变换和狄利克雷原理巧妙地应用勒贝格积分方法来解决, 但在曲面的维数大于 2 , 即超曲面的情形, 这些经典的方法便不能应用,于是便有 \( n \) 维空间中 \( K \) 测度的概念,其中最重要的两种 \( K \) 测度便是豪斯多夫测度与积分几何测度. 几何测度论正是在这种基础上产生的. 它始于 1914 年卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 关于测度论的奠基性工作, 经过几十年的努力, 结合来自分析、几何、代数拓扑中诸多技巧, 产生了许多新的概念与方法, 成为数学研究中的一个有力的工具.
豪斯多夫测度 (Hausdorff measure) 几何测度论中一类有重要意义的测度. 在欧氏空间情形, 对任意 \( A \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 和给定的 \( \alpha \geq 0 \) ,令
\[
{H}_{\varepsilon }^{a}\left( A\right) = \inf \mathop{\sum }\limits_{k}{\left( \operatorname{diam}{A}_{k}\right) }^{a},
\]
这里 \( \left\{ {A}_{k}\right\} \) 使得
\[
A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{k}{A}_{k}
\]
且每个 \( {A}_{k} \) 的直径 \( \operatorname{diam}{A}_{k} < \varepsilon \) ( \( \varepsilon \) 是任意给定正数), 下确界对所有这样的 \( \left\{ {A}_{k}\right\} \) 而取. 定义
\[
{H}^{a}\left( A\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}{H}_{\varepsilon }^{a}\left( A\right)
\]
( \( {H}_{\varepsilon }^{a}\left( A\right) \) 是随 \( \varepsilon \) 减小而增大的,故此定义有意义),则 \( {H}^{\alpha } \) 是度量外测度,称为豪斯多夫外测度. 由这个外测度所确定的 (惟一的) 测度即为豪斯多夫测度, 仍用 \( {H}^{\alpha } \) 表示. 豪斯多夫测度是正则波莱尔测度,当 \( \alpha \) \( = n = 1 \) 时, \( {H}^{\alpha } \) 就是直线上的勒贝格测度; \( \alpha = n > 1 \) 时, \( {H}^{a} \) 与 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的勒贝格测度等价,但不完全相同. 豪斯多夫测度的意义在于,对 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的任一子集 \( A \) ,存在数 \( {d}_{H}\left( {0 \leq {d}_{H} \leq n}\right) \) ,使 \( \alpha > {d}_{H} \) 时 \( {H}^{\alpha }\left( A\right) = 0,\alpha < {d}_{H} \) 时 \( {H}^{\alpha }\left( A\right) = + \infty \) ,因而 \( {d}_{H} \) 刻画了 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中集合的 “维数” (参见 “豪斯多夫维数”). 但一般 \( {d}_{H} \) 不是整数, 例如对于直线上的康托尔集, \( {d}_{H} = {\log }_{3}2 \) . 这个测度由豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 于 1918 年引进, 在调和分析、位势论等学科中有应用. 豪斯多夫测度还可在一般的度量空间上和更广的意义 (将上述定义中的 \( {\left( \operatorname{diam}{A}_{k}\right) }^{a} \) 换成某个集函数之值)下定义.
豪斯多夫维数 (Hausdorff dimension) 简称 \( H \) 维数,一种用测度定义的维数. 对于 \( A \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,若当 \( \alpha \) \( > 0 \) 时, \( {H}^{a}\left( A\right) \equiv 0 \) ( \( {H}^{a} \) 为豪斯多夫外测度),令 \( {d}_{H}\left( A\right) = 0 \) ,否则,令
\[
{d}_{H}\left( A\right) = \sup \left\{ {\alpha \mid {H}^{\alpha }\left( A\right) = + \infty }\right\} .
\]
这里的 \( {d}_{H}\left( A\right) \) 就称为 \( A \) 的豪斯多夫维数. 对于一般的度量空间, 也可定义豪斯多夫维数, 它依赖于空间中的度量的选择, 与拓扑意义下的维数有密切关系, 在分形集理论中有重要意义. 若用 \( {d}_{F} \) 表示分形维数,则有 \( {d}_{H}\left( A\right) \leq {d}_{F}\left( A\right) \) (参见 “豪斯多夫测度”).
可求积集 (integrable set) 欧氏空间中一种特殊的点集. 对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的子集 \( A \) ,设 \( A \) 的 \( {H}^{k} \) 测度有限 \( \left( {k > 0}\right) \) ,若存在 \( {\mathrm{R}}^{k} \) 中某有界子集到 \( A \) 的李普希茨映射 (即这样的映射 \( f : {\mathrm{R}}^{k} \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,存在正实数 \( M \) ,使得对于任意 \( a, b \in {\mathrm{R}}^{k} \) ,有
\[
\rho \left( {f\left( a\right), f\left( b\right) }\right) \leq {M\rho }\left( {a, b}\right) ),
\]
则称 \( A \) 为 \( k \) 可求积集 \( \left( {{H}^{0}\left( A\right) }\right. \) 有限的集,即有限集, 也称为可求积集). 若 \( A \) 除了一个 \( {H}^{k} \) 测度为 0 的子集以外,可以为可数多个 \( k \) 可求积集所覆盖,则称 \( A \) 为 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集. 集合的可求积性是一阶光滑流形概念的某种推广,事实上, \( A \) 为 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集的充分必要条件是: 除了一个 \( {H}^{k} \) 测度为 0 的子集外,它可由 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中可数个 \( {C}^{1} \) 类 \( k \) 维子流形所覆盖. 可求积集投影性质的研究是几何测度论的重要内容. 当 \( A \) 不含 \( {H}^{k} \) 测度大于 0 的 \( k \) 可求积子集时,称 \( A \) 为纯粹 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 不可求积集.
内积空间的共轭映射 (the adjoint map in inner product spaces) 对于内积空间上的任一线性映射,按一定关系与它相伴的一个映射. 设 \( V \) 为实数域 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上有限维向量空间,则一切线性映射 \( \varphi : V \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 在映射的相加与数乘之下,形成一个 \( {\mathrm{R}}^{1} \) 上的向量空间,记为 \( \Lambda \left( V\right) \) ,其中的元素称为余向量. 设 \( f : V \rightarrow \) \( {V}^{\prime } \) 是内积空间之间的一个线性映射. 若
\[
\dim V = m \leq \dim {V}^{\prime } = n,
\]
且对 \( \forall x, y \in V \) ,有
\[
\langle f\left( x\right), f\left( y\right) \rangle = \langle x, y\rangle ,
\]
则称 \( f \) 为一个正交内射. 记一切正交内射之集为 \( O\left( {n, m}\right) \) ,则当 \( m = n \) 时, \( O\left( {n, n}\right) = O\left( n\right) \) 便是正交群. 设 \( V,{V}^{\prime } \) 为内积空间,对线性映射 \( f : V \rightarrow {V}^{\prime } \) ,令 \( {f}^{ * } \) : \( {V}^{\prime } \rightarrow V \) 对于一切 \( x \in V, y \in {V}^{\prime } \) ,满足内积的关系 \( \left\langle {x,{f}^{ * }\left( y\right) }\right\rangle = \langle f\left( x\right), y\rangle \) ,则由 \( f \) 惟一确定的线性映射 \( {f}^{ * } \) 称为 \( f \) 的共轭. \( f \) 是正交内射,当且仅当 \( {f}^{ * } \circ f = {I}_{V} \) . 当 \( f \) 是正交内射时, \( {f}^{ * } \) 称为正交投影, 因此线性映射 \( g : {V}^{\prime } \rightarrow V \) 为正交投影,当且仅当 \( g \circ {g}^{ * } = {I}_{{V}^{\prime }} \) . 记一切从内积空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 到 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 的正交投影之集为 \( {O}^{ * }\left( {n, m}\right) = \left\{ {{f}^{ * } \mid f \in O\left( {n, m}\right) }\right\} \) .
余向量 (covector) 见 “内积空间的共轭映射”.
正交内射 (orthogonal injection) 见 “内积空间的共轭映射”.
正交投影 (orthogonal projection) 见 “内积空间的共轭映射”.
积分几何测度 (integral geometric measure)
用积分表示的欧氏空间的子集的一种测度. 设 \( p : {\mathrm{R}}^{n} \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{k} \) 为正交内射,其共轭映射为 \( {p}^{ * } \) ,一切 \( {p}^{ * } \) 之集为 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) ,正交群 \( O\left( n\right) = O\left( {n, n}\right) \) 通过右乘可递地作用于 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) (对于 \( g \in O\left( n\right) ,{p}^{ * } \in {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) , 有 \( \left. {{p}^{ * }g \in {O}^{ * }\left( {n, k}\right) }\right) \) ,成为 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) 上的一个右平移,这个运算在 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) 上诱导出惟一的不变测度 \( {\theta }^{ * } \) ,使得 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) 的 \( {\theta }^{ * } \) 测度为 1 . 对于 \( A \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,令
\( {I}_{1}^{k}\left( A\right) \)
\[
= \frac{{\int }_{{O}^{ * }\left( {n, k}\right) }{\int }_{{\mathbf{R}}^{k}}{H}^{0}\left( {A \cap p\left( y\right) }\right) \mathrm{d}{\mu }_{k}\left( y\right) \mathrm{d}{\theta }^{ * }\left( p\right) }{{\beta }_{1}\left( {n, k}\right) },
\]
称为 \( A \) 的积分几何测度,其中
\[
{\beta }_{1}\left( {n, k}\right) = \frac{\Gamma \left( \frac{k + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{n - k - 1}{2}\right) }{\Gamma \left( \frac{n + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) },
\]
\( {\mu }_{k} \) 是 \( k \) 维勒贝格测度. 特别当 \( A \) 为 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集时,有 \( {H}^{k}\left( A\ri |
2000_数学辞海（第3卷） | 63 | (对于 \( g \in O\left( n\right) ,{p}^{ * } \in {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) , 有 \( \left. {{p}^{ * }g \in {O}^{ * }\left( {n, k}\right) }\right) \) ,成为 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) 上的一个右平移,这个运算在 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) 上诱导出惟一的不变测度 \( {\theta }^{ * } \) ,使得 \( {O}^{ * }\left( {n, k}\right) \) 的 \( {\theta }^{ * } \) 测度为 1 . 对于 \( A \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,令
\( {I}_{1}^{k}\left( A\right) \)
\[
= \frac{{\int }_{{O}^{ * }\left( {n, k}\right) }{\int }_{{\mathbf{R}}^{k}}{H}^{0}\left( {A \cap p\left( y\right) }\right) \mathrm{d}{\mu }_{k}\left( y\right) \mathrm{d}{\theta }^{ * }\left( p\right) }{{\beta }_{1}\left( {n, k}\right) },
\]
称为 \( A \) 的积分几何测度,其中
\[
{\beta }_{1}\left( {n, k}\right) = \frac{\Gamma \left( \frac{k + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{n - k - 1}{2}\right) }{\Gamma \left( \frac{n + 1}{2}\right) \Gamma \left( \frac{1}{2}\right) },
\]
\( {\mu }_{k} \) 是 \( k \) 维勒贝格测度. 特别当 \( A \) 为 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集时,有 \( {H}^{k}\left( A\right) = {I}_{1}^{k} \) . 因此它反映了 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集的内射性质, 它可以看做求平面曲线长度的克罗夫顿方法 (参见 “积分几何”) 的推广, 也类似于柯西求凸体周界面积的方法. 另一方面,对于 \( {H}^{k} \) 测度有限的任何波莱尔集 \( B \) ,总存在波莱尔子集 \( C \subset B \) ,使得
\[
{I}_{1}^{k}\left( C\right) = {H}^{k}\left( C\right) ,\;{I}_{1}^{k}\left( {B \smallsetminus C}\right) = 0,
\]
且 \( B \smallsetminus C \) 为纯粹 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 不可求积集. 进一步, \( {H}^{k}\left( B\right) \) \( = {I}_{1}^{k}\left( B\right) \) ,当且仅当 \( B \) 为 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积. 以上这些结果, 首先为贝斯尔科里奇 (Besrkolyqu, A. S. ) 对于平面上的 \( {H}^{1} \) 测度而得到. 1947 年,费德雷尔 (Fed-erer, \( \mathrm{H} \) . ) 证明了一般情形.
面积公式 (area formula) 求欧氏空间子集面积的一种公式. 在几何测度论发展的早期就知道, 对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中每个勒贝格可测集 \( W \) ,以及李普希茨映射 \( f : {\mathrm{R}}^{n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{k}\left( {n \geq k}\right) \) 有面积公式
\[
{\int }_{W}{J}_{k}f\left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{n}\left( x\right)
\]
\[
= {\int }_{{\mathrm{R}}^{k}}{H}^{0}\left( {W \cap {f}^{-1}\left( y\right) }\right) \mathrm{d}{H}^{k}\left( y\right) ,
\]
其中 \( {J}_{k}f\left( x\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的雅可比式. 当 \( f \) 为一对一映射且 \( k = n \) 时,右边积分等于 \( {H}^{k}\left( {f\left( W\right) }\right) \) . 由此可见, \( n \) 可求积集的 \( {H}^{n} \) 测度即为微分几何中的 \( n \) 维体积. 另一方面, 利用映射在一点处 “近似可微”这个概念, 可将这个公式推广到 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集. 但在 \( f\left( W\right) \) 的 \( H \) 维数小于 \( n \) 时,上述公式反映的信息很少. 因此, 1957 年, 费德雷尔 (Federer, H. ) 证明: 对于每个李普希茨映射 \( f : {\mathrm{R}}^{n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{k}\left( {n \geq k}\right) \) ,及每个 \( {\mu }_{n} \) 可测集 \( W \) ,成立下列余面积公式
\[
{\int }_{W}{J}_{k}f\left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{n}\left( x\right)
\]
\[
= {\int }_{{\mathrm{R}}^{k}}{H}^{n - k}\left( {W \cap {f}^{-1}\left( y\right) }\right) \mathrm{d}{\mu }_{k}\left( y\right) .
\]
面积公式与余面积公式分别应用于目标空间的维数 \( k \) 至少为 \( n \) 与至多为 \( n \) 的情形,因此可将它们看成对偶的公式,而且余面积公式也已被推广到 \( \left( {{H}^{k}, k}\right) \) 可求积集的情形. 而这些公式的研究使人们了解到, 关于可微映射的积分变换的本质上的假定在于对此映射雅可比式秩的限制.
密度 (density) 描写一点附近局部测度的一种概念. 密度与近似切锥是描述一点附近局部测度的两个重要概念,对于子集 \( A,0 \leq k < + \infty \) 与 \( a \in A \) , 令 \( B\left( {a, r}\right) \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中以 \( a \) 为中心, \( r \) 为半径的球体,然后定义在点 \( a \) 关于拉东测度 \( \nu \) 的 \( k \) 维上密度与下密度为
\[
{\theta }^{*k}\left( {\nu, a}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow {0}^{ + }}}\sup {\omega }_{k}{}^{-1}{r}^{-k}\nu \left( {B\left( {a, r}\right) }\right) ,
\]
\[
{\theta }_{k}^{ * }\left( {\nu, a}\right) = \mathop{\liminf }\limits_{{r \rightarrow {0}^{ + }}}{\omega }_{k}{}^{-1}{r}^{-k}\nu \left( {B\left( {a, r}\right) }\right) ,
\]
其中 \( {\omega }_{k} \) 为 \( k \) 维单位球体积,当上密度与下密度相等时,它们的公共值称为点 \( a \) 关于 \( \nu \) 的 \( k \) 维密度,记为 \( {\theta }^{k}\left( {\nu, a}\right) \) . 此外,利用上密度概念可以定义集合的近似切锥, 它何时成为向量空间与该集合的可求积性质、投影性质有着深刻的联系.
广义高斯-格林公式 (Generalized Gauss-Green formula) 一般高斯-格林公式在测度积分形式下的推广. 利用密度概念可以定义的另一个重要概念是集合在一点处的外法线, 当所论集合有光滑边界时, 这个概念很直观, 在一般情形则较为复杂. 给定点集 \( Q \) 与测度 \( \nu \) ,可以定义一个新的测度 \( \nu \) LQ如下: 对于集合 \( G \) ,规定 \( G \) 关于 \( \nu \) LQ 的测度 \( \nu \) LQ \( \left( G\right) \) \( = \nu \left( {Q \cap G}\right) \) . 因此, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中集合 \( A \) 在一点 \( b \) 处的外法向量是如下定义的一个单位向量 \( u = n\left( {A, b}\right) \) ,它使得对于
\[
{Q}_{1} = \{ x \mid \left( {x - b}\right) \cdot u > 0\} ,
\]
\[
{Q}_{2} = \{ x \mid \left( {x - b}\right) \cdot u < 0\}
\]
有
\[
{\theta }^{n}\left( {{\mu }_{n}\left\lfloor {\left( {{Q}_{1} \cap A}\right), b}\right. }\right)
\]
\[
= {\theta }^{n}\left( {{\mu }_{n}\left\lfloor {\left( {{Q}_{2} \smallsetminus A}\right), b}\right. }\right) = 0.
\]
这个概念只含点集 \( A \) 关于 \( {\mu }_{n} \) 的测度性质,而不需要预先知道 \( A \) 的几何性质,甚至连边界的概念也未提到. 鉴于这样广义的概念, 使人们可将古典的高斯 -格林公式推广到相当一般的形式: 设 \( A \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的子集,
\[
F = \left\{ {x \mid {\theta }^{n}\left( {{\mu }_{n} \mid \left( {{\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus A}\right), x}\right) = 0}\right\} ,
\]
\[
G = \left\{ {x \mid {\theta }^{n}\left( {{\mu }_{n}\llcorner A, x}\right) = 0}\right\} .
\]
如果对于每个紧集 \( K \subset {\mathrm{R}}^{n},{I}_{1}^{n - 1}\left( {\left( {K \smallsetminus F}\right) \cup G}\right) \) \( < + \infty \) ,则对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上每个有紧支集的李普希茨一阶向量场 \( \xi \) ,有
\[
\int \langle \xi \left( x\right), n\left( {A, x}\right) \rangle \mathrm{d}{H}^{n - 1}\left( x\right) = {\int }_{A}\operatorname{div}\xi \left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{n}\left( x\right) ,
\]
此处 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 表示内积. 另一方面,若以 \( \operatorname{Bd}A \) 记 \( A \) 的普通边界,则当对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的每个紧集 \( K \) ,都有 \( {I}_{1}^{n - 1}\left( {K \cap \operatorname{Bd}A}\right) < + \infty \) 时,上述条件满足,从而上述广义高斯-格林定理成立.
整流 (integral flow) \( n \) 维欧氏空间中 \( k \) 维积分区域的分析与拓扑描述. 长期以来, 人们寻求着 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中 “ \( k \) 维积分区域”的分析与拓扑描述. 这个概念应该保留微分流形的光滑性与整系数多面体链的组合性质所带来的好处, 同时为了满足变分的需要, 这类区域应该具有某种紧致性质, 而 “整流”概念正是为了适应这些需要而产生的. 设 \( U \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集, \( {\mathcal{D}}^{m}\left( U\right) \) 为紧支集落在 \( U \) 内的 \( m \) 阶光滑微分形式的全体. \( {\mathcal{D}}^{m}\left( U\right) \) 上的线性泛函称为 \( m \) 维流. 流 \( S \in {\mathcal{D}}_{m}\left( U\right) \) 的支集 \( \operatorname{supp}S \) 理解为 \( U \) 内的最小相对紧子集 \( C \) ,使得对于一切满足 \( \operatorname{supp}\varphi \subset U \smallsetminus C \) 的 \( \varphi \in \) \( {\mathcal{D}}^{m}\left( U\right) \) ,有 \( S\left( \varphi \right) = 0 \) . 流这个概念是由德拉姆 (de Rham, G. W. ) 为研究霍奇理论而引入的. 由于一个曲面决定于对于定义在它上面的任意 \( m \) 阶光滑微分形式的积分运算,因此 \( m \) 维几何曲面可以分析地表示成一个流. 特别地,由点 \( {a}_{0},{a}_{1},\cdots ,{a}_{m} \) 生成的单纯形若落在 \( U \) 内,则它也代表一个流. 这种流的整系数线性组合称为 \( U \) 中的一个整系数多面体链. 如果一个流可以用整系数多面体链关于李普希茨映射的像来逼近, 就称它为可求积流. 利用边缘算子 \( \partial \) , 可以得到新的流 \( \partial S \) ,它被定义为 \( \partial S\left( \varphi \right) = S\left( {\mathrm{\;d}\varphi }\right) \) ,这里 \( \mathrm{d} \) 表示外微分运算. 对于任意 \( m - 1 \) 阶光滑形式 \( \varphi \) ,若 \( S \) 与 \( \partial S \) 均为可求积流,则称 \( S \) 为一个整流. 例如每个 1 维整流总是长度有限的有限条单弧与可数条单闭弧之和. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的每个 \( n \) 维整流可以表示成
\[
{\int }_{A}\left\langle {{e}_{1} \land {e}_{2} \land \cdots \land {e}_{n},\varphi }\right\rangle \mathrm{d}{\mu }_{n},
\]
其中 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的切空间的标准基, \( A \) 为使得推广的高斯-格林公式成立的勒贝格可测集. 当 1 \( < m < n \) 时, \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的 \( m \) 维整流是相当复杂的,但重要的是, 由紧支集在同一有界集内且按某个范数有界的整流组成的集是紧的. 正是这一点形成了变分学中新的几何方法.
## 可求积流 (integrable flow) 见“整流”.
整平坦流 (integral flat flow) 满足某种条件的可求积流. 如果流 \( S \) 可以表示为 \( R + \partial T \) ,其中 \( R \) , \( T \) 均为可求积流 (参见 “整流”),则称 \( S \) 为整平坦流. 利用边缘算子可以建立这类流的同调理论, 这种同调理论与局部李普希茨范畴内的整系数的经典奇异同调论同构. 但是对于积分问题、相交理论等, 这种链群明显地优于奇异链群. 因为与奇异链不同, 一条平坦链与其分割等同, 这就简化了闭链的构造, 并得到较好的实系数上闭链. 不仅如此, 由此还发现所谓等周不等式不仅对于微分几何中的某些特殊情形成立, 而且对这种同调论有类似的估计, 这就使得代数拓扑与测度论联系起来了.
可以用流的理论来研究普拉托问题. 存在性定理表明,极小曲面总是一个 \( m \) 维局部可求积流,即这样的流 \( S \in {\mathcal{D}}_{m}\left( U\right) \) ,对每个 \( x \in U \) ,总存在紧支集在 \( U \) 内的可求积流 \( R \) ,使 \( x \notin \operatorname{supp}\left( {S - R}\right) \) . 曲面的光滑性问题就是 \( \operatorname{supp}S \) 的光滑性问题. 于 \( a \in \) \( \operatorname{supp}S \) ,若存在邻域 \( V \subset {\mathrm{R}}^{n} \) ,使 \( V \cap \operatorname{supp}S \) 为 \( {C}^{2} \) 类 \( m \) 维子流形,则称 \( a \) 为正则点,否则称 \( a \) 为奇点. 由于几何测度论的发展, 使高维普拉托问题取得重大进展,因此,已知当 \( m \leq 6 \) 时极小曲面是光滑的,当 \( m \) \( \geq 7 \) 时,极小曲面的奇点集的 \( H \) 维数不超过 \( m - 7 \) . 类似于局部可求积流, 可以定义局部整流、局部整平坦流. 后者与流形上分析中的实解析子簇与复解析子簇有着十分密切的关系.
弱可微函数 (weakly differentiable function) 亦称有界变差函数. 是光滑函数的一种测度积分意义下的推广. 若 \( f \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的可微函数,则对于 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上有紧支集的李普希茨向量场 \( \xi \) ,有
\[
\int \langle \xi \left( x\right) ,{Df}\left( x\right) \rangle \mathrm{d}{\mu }_{n} = \int - f\left( x\right) \operatorname{div}\xi \left( x\right) \mathrm{d}{\mu }_{n}.
\]
然而在上述等式中, 对于等式的右边, 仅从定义来看,并不一定要求 \( f \) 光滑,为了使右边的积分有意义,仅要求 \( f \) 局部 \( {\mu }_{n} \) 可积即可,因此,对于局部 \( {\mu }_{n} \) 可积的 \( f \) ,上式右边的积分可看做由 \( f \) 确定的某个线性泛函在 \( \xi \) 的值,这个泛函就称为 \( f \) 的弱微分. 这种 \( f \) 称为弱可微函数. 开集 \( \Omega \) 上全体弱可微函数之集记为 \( {BV}\left( \Omega \right) \) ,则 \( {BV}\left( \Omega \right) \) 按范数
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}^{1}} + {\int }_{\Omega }\left| {Df}\right| \mathrm{d}{\mu }_{n}
\]
形成一个巴拿赫空间. 弱可微函数曾在各种场合下出现, 首先是在勒贝格面积论, 而后是在偏微分方程论中. 特别地, 它是极小曲面理论中的有力工具.
撰 稿 朱玉谐 何伯和 汪 林 常心怡
审 阅 严绍宗 汪 林
## 泛函分析
泛函分析 (functional analysis) 研究一个空间到另一个空间的映射的数学分支, 其中至少有一个空间是无穷维的.
泛函分析是分析、代数和几何这三大数学分支, 经 18-19 世纪的发展, 相互交叉与渗透, 于 20 世纪 30 年代形成的具有高度综合性的一门学科. 或者说泛函分析是用代数和几何的观念和方法研究分析课题的一门学科.
泛函分析的直接数学源头是变分法和积分方程. 这种“函数的函数”的“泛函”观念于 19 世纪末开始出现于变分学中. “局部极值”的研究以及经典分析中“一致收敛”, 各种“积分平均收敛”的运用促使人们把作为 “自变量”的函数视为 “点”, 而这种点与点之间还有远或近的度量, 即 “距离”, 赋有 “距离”的函数的集合被视为 “空间”. 20 世纪初, 就出现了由弗雷歇 (Fréchet, M.-R. ) 提出的抽象的度量空间. 1900 年, 弗雷德霍姆 (Fredholm, (E. ) I. ) 成功地将线性代数方程组理论推广到连续核积分方程. 随后, 希尔伯特 (Hilbert, D. ) 在研究连续对称核积分方程时获得更为深入的结果, 引入函数的正交展开, 从而将积分方程转化成无限阶的线性代数方程组问题, 这显示代数的观念和方法对解决某些分析课题的重要性, 希尔伯特还发现在函数空间 (无限维向量空间) 中存在非特征值的连续谱.
20 世纪 20-30 年代, 泛函分析在经典分析的经验和发展需要的基础上, 特别是受到量子物理大发展的刺激,经哈恩 (Hahn, H.)、巴拿赫 (Banach, S. )、里斯 (Riesz, F. )、冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 等人的努力, 沿着对偶理论和算子谱论这两个基本方向逐渐发展而形成一门独立学科.
关于对偶理论, 首先是弗雷歇和里斯独立地给出了希尔伯特空间 \( {l}^{2} \) 上连续线性泛函的表示定理. 然后里斯又相继给出许多具体空间,诸如 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 和 \( {l |
2000_数学辞海（第3卷） | 64 | 它是极小曲面理论中的有力工具.
撰 稿 朱玉谐 何伯和 汪 林 常心怡
审 阅 严绍宗 汪 林
## 泛函分析
泛函分析 (functional analysis) 研究一个空间到另一个空间的映射的数学分支, 其中至少有一个空间是无穷维的.
泛函分析是分析、代数和几何这三大数学分支, 经 18-19 世纪的发展, 相互交叉与渗透, 于 20 世纪 30 年代形成的具有高度综合性的一门学科. 或者说泛函分析是用代数和几何的观念和方法研究分析课题的一门学科.
泛函分析的直接数学源头是变分法和积分方程. 这种“函数的函数”的“泛函”观念于 19 世纪末开始出现于变分学中. “局部极值”的研究以及经典分析中“一致收敛”, 各种“积分平均收敛”的运用促使人们把作为 “自变量”的函数视为 “点”, 而这种点与点之间还有远或近的度量, 即 “距离”, 赋有 “距离”的函数的集合被视为 “空间”. 20 世纪初, 就出现了由弗雷歇 (Fréchet, M.-R. ) 提出的抽象的度量空间. 1900 年, 弗雷德霍姆 (Fredholm, (E. ) I. ) 成功地将线性代数方程组理论推广到连续核积分方程. 随后, 希尔伯特 (Hilbert, D. ) 在研究连续对称核积分方程时获得更为深入的结果, 引入函数的正交展开, 从而将积分方程转化成无限阶的线性代数方程组问题, 这显示代数的观念和方法对解决某些分析课题的重要性, 希尔伯特还发现在函数空间 (无限维向量空间) 中存在非特征值的连续谱.
20 世纪 20-30 年代, 泛函分析在经典分析的经验和发展需要的基础上, 特别是受到量子物理大发展的刺激,经哈恩 (Hahn, H.)、巴拿赫 (Banach, S. )、里斯 (Riesz, F. )、冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 等人的努力, 沿着对偶理论和算子谱论这两个基本方向逐渐发展而形成一门独立学科.
关于对偶理论, 首先是弗雷歇和里斯独立地给出了希尔伯特空间 \( {l}^{2} \) 上连续线性泛函的表示定理. 然后里斯又相继给出许多具体空间,诸如 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 和 \( {l}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 上的连续线性泛函表示定理. 随着 20 年代初赋范线性空间概念的引进, 1927 年, 哈恩以及两年后的巴拿赫相互独立地解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明, 从而第一次引入了赋范线性空间的对偶空间. 同一时期主要由巴拿赫证明了共鸣定理、开映射定理和压缩映射不动点定理等. 1932 年, 巴拿赫的名著《线性算子理论》问世.
关于线性算子谱理论, 在希尔伯特早期工作的基础上,里斯提出了全连续算子概念. 先从 \( {l}^{p} \) ,又对
\( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,最终就巴拿赫空间讨论了相应的弗雷德霍姆理论, 以后又由绍德尔 (Schauder, J. P. ) 于 1932 年补充完成, 即形成所谓的里斯-绍德尔理论. 1929-1932 年出现了抽象希尔伯特空间, 冯·诺伊曼得到了无界自共轭算子、酉算子和正常算子的谱分解, 这是线性算子理论的系统的奠基性工作.
跨人 20 世纪 40 年代, 泛函分析又形成三个新分支, 冯·诺伊曼受诺特代数环论影响开始弱闭对称算子环 (后人称为冯・诺伊曼代数) 的研究, 后来盖尔范德 ( \( \Gamma \) eJbϕaHд, H. M. ) 在完备对称环方面出色的研究以及在经典分析和表示理论方面成功的应用, 不仅强化了泛函分析在数学中的地位, 同时也逐渐形成了一般的 \( {C}^{ * } \) 代数理论分支. 索伯列夫 (CoóoneB, C. JI. ) 对微分方程弱解的研究引发了对一些特定的函数空间的兴趣, 这些空间的性质与问题的解的特征密切相关. 索伯列夫空间的嵌入定理深刻地揭示了各种特定函数空间之间的关系. 随后, 施瓦兹 (Schwarz, L. ) 在泛函分析观念下建立了广义函数论,广义函数不仅奠定了物理学家引入的 \( \delta \) 函数及其相关的形式运算的理论基础, 而且还为后来的偏微分方程理论的突破性进展起了基本的作用. 在泛函分析形成过程中, 提出了种种重要的弱收敛概念, 这些收敛都不能纳入距离收敛框架之内, 从而逐渐形成一般的拓扑线性空间理论分支, 其中特别重要的是局部凸的拓扑线性空间理论. 带有偏序结构的拓扑线性空间, 因以一些函数空间为背景也得到了发展.
从泛函分析的起源来看, 变分法中求的是非线性泛函 \( J\left( y\right) \) 的极大与极小,在所研究的问题中,只要涉及的空间或映射有一个是非线性的. 这就属于非线性泛函的范畴, 在现实中非线性问题远比线性问题多, 随着非线性问题研究的深入, 业已逐渐形成在应用上有一定广泛性的泛函分析的非线性理论, 如凸泛函与单调算子理论、隐函数理论、拓扑度理论、临界点理论、分歧理论等. 可以预期非线性泛函分析今后会有更广阔的前景, 发挥出更大的作用.
## 拓扑线性空间
线性空间 (linear space) 亦称向量空间. 具有线性结构的集合. 设 \( E \) 是一非空集合, \( K \) 是实数域 \( \mathrm{R} \) (或复数域 \( \mathrm{C} \) ),如果下列条件成立,则称 \( E \) 是实 (或复) 线性空间:
1. \( E \) 是加法群,即 \( E \) 中有加法运算 “十”,对任意 \( x, y, z \in E \) ,满足:
1) \( x + y = y + x \) (交换律).
2) \( \left( {x + y}\right) + z = x + \left( {y + z}\right) \) (结合律).
3) 有零元 0,使得 \( \forall x,0 + x = x \) .
4) 对每个 \( x \in E \) ,有加法逆元 \( - x \in E \) ,使得
\[
x + \left( {-x}\right) = 0.
\]
2. 对任意 \( x \in E \) 和 \( \alpha \in K \) ,对应于 \( E \) 中一个称为 \( \alpha \) 与 \( x \) 的积的元素 \( {\alpha x} \) ,使得:
1) \( \alpha \left( {\beta x}\right) = \left( {\alpha \beta }\right) x \) .
2) \( 1 \cdot x = x \) .
3) \( \left( {\alpha + \beta }\right) x = {\alpha x} + {\beta x} \) .
4) \( \alpha \left( {x + y}\right) = {\alpha x} + {\alpha y} \) (分配律).
线性空间 \( E \) 的元素称为向量,向量与向量的相加以及数与向量的乘积称为线性运算. 设 \( {E}_{0} \) 是 \( E \) 的子集,如果对任意 \( x, y \in {E}_{0} \) 和 \( \alpha \in K \) ,有 \( x + y,{\alpha x} \) \( \in {E}_{0} \) 成立,则称 \( {E}_{0} \) 是 \( E \) 的线性子空间. 若 \( {E}_{0} = \{ 0\} \) 或 \( E \) ,则称 \( {E}_{0} \) 是平凡子空间. 若 \( {E}_{0} \neq E \) ,则称 \( {E}_{0} \) 是 \( E \) 的真子空间. 向量空间是线性代数的中心内容和基本概念之一, 它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用, 同时也是泛函分析的一个基础.
向量空间 (vector space) 即 “线性空间”.
线性子空间 (linear subspace) 见“线性空间”.
线性空间的商空间 (quotient linear space) 由线性空间与其线性子空间导出的线性空间. 设 \( E \) 是线性空间, \( M \) 是 \( E \) 的一个线性子空间,将 \( E \) 中的向量分类: 凡是适合 \( x - y \in M \) 的两个向量 \( x, y \) 归于同一类,称其为 \( \left( {\;\operatorname{mod}\;M\text{的}}\right) \) 等价类. 把一个等价类看成是一个新的元, 这种元的全体组成的集合记为 \( E/M \) ,并记 \( x \) 所在的等价类为 \( \widetilde{x} \) ,在 \( E/M \) 中规定线性运算如下
\[
\widetilde{x} + \widetilde{y} = \widetilde{\left( x + y\right) },\;a\widetilde{x} = \widetilde{\left( ax\right) }
\]
( \( \alpha \) 是数),则 \( E/M \) 成为线性空间. 称 \( E/M \) 为 \( E \) 关于 \( M \) 的商空间.
线性表示 (linear representation) 一种重要的表达形式. 指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示. 设 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 是线性空间 \( E \) 的有限个向量, \( x \in E \) ,如果存在数 \( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n} \) 使得
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}{x}_{i}
\]
则称 \( x \) 可由 \( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 线性表示,或 \( x \) 是 \( {x}_{1},{x}_{2} \) , \( \cdots ,{x}_{n} \) 的线性组合.
线性组合 (linear combination) 见 “线性表
子集张成的线性子空间 (linear subspace of subset) 由子集的元的线性组合全体产生的空间. 设 \( A \) 是 \( E \) 的子集,令 \( {L}_{A} \) 为 \( E \) 中包含 \( A \) 的最小线性子空间, 即
\[
{L}_{A} = \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}{x}_{i} \mid {c}_{i} \in K,{x}_{i} \in A,}\right.
\]
\[
i = 1,2,\cdots, n;n\text{为任意正整数}\} \text{,}
\]
称 \( {L}_{A} \) 为子集 \( A \) 张成的线性子空间或 \( A \) 的线性包, 常记为 \( \operatorname{span}A \) .
线性包 (linear closure) 见 “子集张成的线性子空间”.
线性无关集 (linearly independent set) 线性空间中的一类子集. 设 \( S \) 是线性空间 \( E \) 的一个非空子集,如果 \( S \) 中任何有限个元都是线性无关的,则称 \( S \) 为 \( E \) 的一个线性无关的集合 (参见《高等代数》 有关条目).
线性无关的子空间 (linearly independent subspaces) 线性空间中的一组特殊的子空间. 记 \( {E}_{1} \) , \( {E}_{2},\cdots ,{E}_{n} \) 是线性空间 \( E \) 的 \( n \) 个线性子空间,如果任取 \( {x}_{i} \in {E}_{i}\left( {{x}_{i} \neq 0;i = 1,2,\cdots, n}\right) ,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \) 都是线性无关的,则称 \( {E}_{1},{E}_{2},\cdots ,{E}_{n} \) 是一组线性无关的子空间.
线性空间的基 (basis of linear space) 线性空间中的极大线性无关子集. 设 \( A \) 是线性空间 \( E \) 的一个线性无关子集,如果 \( A \) 张成的线 性子空间就是 \( E \) 本身,即 \( \operatorname{span}A = E \) ,则称 \( A \) 是 \( E \) 的一个线性基,或称为哈默尔基. \( A \) 的基数 (势) 称为 \( E \) 的维数,记为 \( \dim E \) . 当 \( \dim E < + \infty \) 时,称 \( E \) 为有限维的; 否则称 \( E \) 为无限维的. 任何线性空间都有哈默尔基,而且维数是惟一确定的, 即不依赖于基的不同选择.
哈默尔基 (Hamel base) 见 “线性空间的基”.
线性空间的维数 (dimension of linear space) 见“线性空间的基”.
有限维线性空间 (finite-dimensional linear space) 见“线性空间的基”.
无限维线性空间 (infinite-dimensional linear space) 见“线性空间的基”.
线性子空间的余维数 (codimension of linear subspace) 线性子空间的补子空间的维数. 设 \( M \) 是线性空间 \( E \) 的线性子空间,子空间 \( M \) 的余维数就是商空间 \( E/M \) 的维数,它也等于 \( M \) 的补子空间的维数.
线性空间中的超平面 (hyperplane in linear space) 线性空间中的一类子集. 形如 \( x + H \) 的集称为线性空间 \( E \) 中的超平面,其中 \( x \in E, H \) 是 \( E \) 中的极大真子空间,即 \( H \) 的余维数为 1 .
线性空间的直接和 (direct sum of linear spaces) 线性空间的子空间之间的一种运算. 设 \( {L}_{1} \) , \( {L}_{2},\cdots ,{L}_{n} \) 是线性空间 \( E \) 的线性子空间,如果对任意 \( x \in E \) 都可以惟一表示为 \( x = {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n}\left( {{x}_{i} \in }\right. \) \( \left. {{L}_{i};i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,则称 \( E \) 是 \( {L}_{1},{L}_{2},\cdots ,{L}_{n} \) 的直接和, 记为
\[
E = {L}_{1} + {L}_{2} + \cdots + {L}_{n}
\]
\( E \) 是 \( {L}_{1},{L}_{2},\cdots ,{L}_{n} \) 的直接和当且仅当 \( {L}_{1},{L}_{2},\cdots ,{L}_{n} \) 是线性无关的子空间组,且对任何 \( x \in E \) ,都存在 \( {x}_{i} \) \( \in {L}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,使得 \( x = {x}_{1} + {x}_{2} + \cdots + {x}_{n} \) . 如果 \( E \) 是 \( {L}_{1} \) 与 \( {L}_{2} \) 的直接和,则称 \( {L}_{1} \) 是 \( {L}_{2} \) 的补子空间, \( {L}_{2} \) 是 \( {L}_{1} \) 的补子空间,或 \( {L}_{1} \) 与 \( {L}_{2} \) 是互补的.
设 \( {L}_{1},{L}_{2},\cdots ,{L}_{n} \) 是线性空间,若对于由有序组构成的集合 \( E = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid {x}_{i} \in {L}_{i}, i = 1,2}\right. \) , \( \cdots, n\} \) ,在 \( E \) 中规定线性运算如下: \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) + \) \( \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = \left( {{x}_{1} + {y}_{1},{x}_{2} + {y}_{2},\cdots ,{x}_{n} + {y}_{n}}\right) ,\alpha \left( {x}_{1}\right. \) , \( \left. {{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) = \left( {\alpha {x}_{1},\alpha {x}_{2},\cdots ,\alpha {x}_{n}}\right) \) ,则 \( E \) 成为线性空间,并称 \( E \) 为线性空间 \( {L}_{1},{L}_{2},\cdots ,{L}_{n} \) 的乘积空间, 记为 \( E = {L}_{1} \times {L}_{2} \times \cdots \times {L}_{n} \) 或简记为
\[
\mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{L}_{i}
\]
如将 \( {L}_{i} \) 中的向量 \( {x}_{i} \) 与 \( E \) 中的向量 \( (0,\cdots ,0,{x}_{i},0 \) , \( \cdots ,0) \) 视为同一,则 \( {L}_{i} \) 便可视为 \( E \) 中的线性子空间, 在这个意义下,易知 \( E \) 又是 \( \left\{ {L}_{i}\right\} \) 的直接和.
线性子空间的补子空间 (complementary subspace of linear subspace) 见 “线性空间的直接和”.
线性空间的乘积空间 (product space of linear subspace) 见“线性空间的直接和”.
线性空间的线性同构 (isomorphism of linear spaces) 线性空间之间保持线性运算的一一对应. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个线性空间 (同为实的或复的),如果存在由 \( X \) 到 \( Y \) 上的映射 \( \varphi \) ,使得对任何 \( x, y \in X \) 及数 \( \alpha ,\beta \) ,等式
\[
\varphi \left( {{\alpha x} + {\beta y}}\right) = {\alpha \varphi }\left( x\right) + {\beta \varphi }\left( y\right)
\]
成立,则称 \( X \) 和 \( Y \) 线性同态, \( \varphi \) 称为 \( X \) 到 \( Y \) 上的线性同态映射. 如果 \( \varphi \) 还是一对一的,则称 \( X \) 和 \( Y \) 线性同构, \( \varphi \) 称为 \( X \) 和 \( Y \) 之间的线性同构映射.
线性同态 (homomorphism of linear spaces) 见“线性空间的线性同构”.
度量空间 (metric space) 亦称距离空间. 一种拓扑空间,其上的拓扑由距离决定. 设 \( R \) 是一个非空集合, \( \rho \left( {x, y}\right) \) 是 \( R \) 上的二元函数,满足如下条件:
\[
\text{1.}\rho \left( {x, y}\right) \geq 0\text{且}\rho \left( {x, y}\right) = 0 \Leftrightarrow x = y\text{;}
\]
\[
\text{2.}\rho \left( {x, y}\right) = \rho \left( {y, x}\right) \text{;}
\]
3. (三角不等式) \( \rho \left( {x, y}\right) \leq \rho \left( {x, z}\right) + \rho \left( {y, z}\right) \) ;
则称 \( \rho \left( {x, y}\right) \) 为两点 \( x, y \) 之间的距离, \( R \) 按距离 \( \rho \) 成为度量空间或距离空间,记为 \( \left( {R,\rho }\right) \) . 设 \( A \) 是 \( R \) 的子集,则 \( A \) 按 \( R \) 中的距离 \( \rho \) 也成为度量空间,称为 \( R \) 的 (度量) 子空间. 如果把上述距离的条件 1 改为 \( \rho \left( {x, y}\right) \geq 0 \) 且 \( \rho \left( {x, x}\right) = 0 \) ,则称 \( \rho \) 为 \( R \) 上的拟距离. 当 \( \rho \left( {x, y}\right) = 0 \) 时,记 \( x \sim y \) . \( \sim \) 是 \( R \) 上的一个等价关系,记商集 (即等价类全体) 为 \( D = R/ \sim \) ,在 \( D \) 上作二元函数 \( \widetilde{\rho } : \widetilde{\rho }\left( {\widetilde{x},\widetilde{y}}\right) = \rho \left( {x, y}\right) \left( {x \in \widetilde{x}, y \in \widetilde{y}}\right) \) ,则 \( \widetilde{\rho } \) 是 \( D \) 上的距离,而 \( \left( {D,\widetilde{\rho }}\right) \) 称为 \( R \) 按拟距离 \( \rho \) 导出的商 (度量) 空间.
度量空间 \( \left( {R,\rho }\right) \) 中的子集 \( A \) 称为有界的,如果对 \( {x}_{0} \in R \) ,存在常数 \( M \) ,使 \( \rho \left( {{x}_{0}, x}\right) \leq M \) 对 \( A \) 中的一切 \( x \) 成立. 设 \( {x}_{0} \in R, r > 0 \) ,则称集合 \( \{ x \mid x \in |
2000_数学辞海（第3卷） | 65 | \( \rho \left( {x, y}\right) \) 为两点 \( x, y \) 之间的距离, \( R \) 按距离 \( \rho \) 成为度量空间或距离空间,记为 \( \left( {R,\rho }\right) \) . 设 \( A \) 是 \( R \) 的子集,则 \( A \) 按 \( R \) 中的距离 \( \rho \) 也成为度量空间,称为 \( R \) 的 (度量) 子空间. 如果把上述距离的条件 1 改为 \( \rho \left( {x, y}\right) \geq 0 \) 且 \( \rho \left( {x, x}\right) = 0 \) ,则称 \( \rho \) 为 \( R \) 上的拟距离. 当 \( \rho \left( {x, y}\right) = 0 \) 时,记 \( x \sim y \) . \( \sim \) 是 \( R \) 上的一个等价关系,记商集 (即等价类全体) 为 \( D = R/ \sim \) ,在 \( D \) 上作二元函数 \( \widetilde{\rho } : \widetilde{\rho }\left( {\widetilde{x},\widetilde{y}}\right) = \rho \left( {x, y}\right) \left( {x \in \widetilde{x}, y \in \widetilde{y}}\right) \) ,则 \( \widetilde{\rho } \) 是 \( D \) 上的距离,而 \( \left( {D,\widetilde{\rho }}\right) \) 称为 \( R \) 按拟距离 \( \rho \) 导出的商 (度量) 空间.
度量空间 \( \left( {R,\rho }\right) \) 中的子集 \( A \) 称为有界的,如果对 \( {x}_{0} \in R \) ,存在常数 \( M \) ,使 \( \rho \left( {{x}_{0}, x}\right) \leq M \) 对 \( A \) 中的一切 \( x \) 成立. 设 \( {x}_{0} \in R, r > 0 \) ,则称集合 \( \{ x \mid x \in R,\rho (x \) , \( \left. {\left. {x}_{0}\right) < r}\right\} \) 为以 \( {x}_{0} \) 为中心, \( r \) 为半径的开球,或 \( {x}_{0} \) 的 \( r \) 邻域,记为 \( O\left( {{x}_{0}, r}\right) \) . 又设 \( A \subset R \) ,若对任何 \( x \in A \) ,存在 \( x \) 的某个邻域 \( O\left( {x, r}\right) \subset A \) ,则 \( A \) 称为开集; 而称开集的补集为闭集. \( R \) 中包含子集 \( A \) 的最小闭集就称为 \( A \) 的闭包.
度量空间是弗雷歇 (Fréchet, M. -R. ) 于 1906 年引进的, 它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间, 也是泛函分析的基础之一.
距离空间 (metric space) 即 “度量空间”.
度量子空间 (metric subspace) 见 “度量空间”.
商度量空间 (quotient metric space) 见 “度量空间”.
距离 (distance) 见“度量空间”.
拟距离 (quasi-distance) 见“度量空间”.
可分度量空间 (separable metric space) 亦称可析度量空间. 有可数稠密子集的度量空间. 设 \( A \) 是度量空间 \( R \) 的子集,如果存在有限集或可数集 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset R \) 在 \( A \) 中稠密,就称 \( A \) 是可分点集. 当度量空间 \( R \) 本身是可分点集时,称 \( R \) 为可分度量空间.
可析度量空间 (separable metric space) 即 “可分度量空间”.
按度量收敛 (convergence in metric) 由距离刻画的收敛. 设 \( \left( {R,\rho }\right) \) 是度量空间,点列 \( {\left\{ {x}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \subset R \) , 如果存在 \( {x}_{0} \in R \) ,使当 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( \rho \left( {{x}_{n},{x}_{0}}\right) \rightarrow 0 \) ,就称 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 按距离 \( \rho \) 收敛于 \( {x}_{0} \) ,记为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = {x}_{0}
\]
或 \( {x}_{n} \rightarrow {x}_{0}\left( {n \rightarrow \infty }\right) \) ,并称 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 为收敛点列, \( {x}_{0} \) 为 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 的极限. 度量空间中收敛点列的极限是惟一的.
完备度量空间 (complete metric space) 一类重要的度量空间. 设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是度量空间 \( \left( {R,\rho }\right) \) 中的点列,如果对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N\left( \varepsilon \right) > 0 \) ,使得当 \( n, m \) \( > N\left( \varepsilon \right) \) 时,恒有 \( \rho \left( {{x}_{n},{x}_{m}}\right) < \varepsilon \) ,则 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 称为 \( R \) 中的基本点列或柯西点列. 若度量空间 \( R \) 中的每个基本点列都收敛 (即在 \( R \) 中有极限),则称 \( R \) 是完备度量空间. 设 \( \left( {R,\rho }\right) ,\left( {{R}_{1},{\rho }_{1}}\right) \) 是两个度量空间. 如果存在由 \( R \) 到 \( {R}_{1} \) 上的映射 \( T \) ,使得对一切 \( x, y \in R \) ,有 \( {\rho }_{1}\left( {{Tx},{Ty}}\right) = \rho \left( {x, y}\right) \) 成立,则称 \( T \) 是 \( R \) 到 \( {R}_{1} \) 上的等距映射,并称 \( R \) 与 \( {R}_{1} \) 等距同构. 对于度量空间 \( R \) ,如果有完备的度量空间 \( {R}_{1} \) ,使 \( R \) 等距同构于 \( {R}_{1} \) 的一个稠密子空间,则称 \( {R}_{1} \) 是 \( R \) 的完备化空间. 任何度量空间都必存在完备化空间, 且若除去等距同构不计外, 完备化空间是惟一的. 1906 年, 弗雷歇 (Fréchet, M.-R.) 在引进度量空间后, 又运用柯西收敛准则提出了度量空间的完备化.
度量空间的完备化空间 (completion of metric space) 见“完备度量空间”.
基本点列 (fundamental sequence of points) 见“完备度量空间”.
柯西点列 (Cauchy sequence of points) 即“基本点列”.
等距映射 (isometric mapping) 见 “完备度量空间”.
等距同构 (isometrically isomorphism) 见“完备度量空间”.
闭球套定理 (closed ball nest theorem) 对度量空间的完备性的一种刻画. 设 \( \left( {R,\rho }\right) \) 是完备的度量空间, \( {S}_{n} = \left\{ {x \mid \rho \left( {x,{x}_{n}}\right) \leq {\varepsilon }_{n}}\right\} \) 是 \( R \) 中一闭球套:
\[
{S}_{1} \supset {S}_{2} \supset \cdots \supset {S}_{n} \supset \cdots ,
\]
如果球的半径 \( {\varepsilon }_{n} \rightarrow 0 \) ,则必有惟一的点 \( {x}_{0} \) 属于每个 \( {S}_{n} \) ,即
\[
\left\{ {x}_{0}\right\} = \mathop{\bigcap }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{S}_{n}
\]
进而,如果在度量空间 \( R \) 中上述闭球套定理成立, 则 \( R \) 必是完备的.
疏朗集 (nowhere dense set) 亦称无处稠密集. 度量空间中的一类子集. 如果度量空间 \( R \) 的子集 \( A \) 不在 \( R \) 的任何非空开集中稠密,则称 \( A \) 是疏朗集. 如果 \( R \) 中的点集 \( A \) 可以表成至多可数个疏朗集的并,就称 \( A \) 是第一范畴集 (或第一纲集). 度量空间的非第一范畴集称为第二范畴集 (或第二纲集). 贝尔纲定理断言: 完备的度量空间必是第二范畴集. 贝尔纲定理是区间套定理的发展与提高, 在证明许多存在定理时是很有用的.
无处稠密集 (nowhere dense set) 即 “疏朗集”.
第一范畴集 (set of the first category) 见“疏朗集”.
第二范畴集 (set of the second category) 见 “疏朗集”.
第一纲集 (first category set) 即 “第一范畴集”.
第二纲集 (second category set) 即 “第二范畴集”.
贝尔纲定理 (Baire category theorem) 见“疏朗集”.
列紧集 (sequentially compact set) 度量空间中的一类子集. 设 \( A \) 是度量空间 \( R \) 中的子集,如果 \( A \) 中的任何点列必有收敛的子列,就称 \( A \) 是 \( R \) 中的列紧集. 如果 \( R \) 本身是列紧集,就称 \( R \) 是列紧空间. 列紧集是有界的. 但一般度量空间与欧氏空间不同, 有界闭集不一定列紧.
完全有界集 (totally bounded set) 度量空间中的一类子集. 对于度量空间 \( R \) 中的子集 \( A \) ,如果有 \( B \subset A \) 和正数 \( \varepsilon \) ,使得以 \( B \) 的各点为心,以 \( \varepsilon \) 为半径的开球全体覆盖 \( A \) ,即
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{x \in B}}O\left( {x,\varepsilon }\right) \supset A,
\]
那么称 \( B \) 是 \( A \) 的 \( \varepsilon \) 网. 如果对任何 \( \varepsilon > 0, A \) 总有有限的 \( \varepsilon \) 网 \( \left\{ {{x}_{1}^{\left( \varepsilon \right) },{x}_{2}^{\left( \varepsilon \right) },\cdots ,{x}_{n}^{\left( \varepsilon \right) }}\right\} \) ,那么称 \( A \) 是完全有界的. 度量空间中的列紧集必是完全有界的, 而在完备度量空间中, 完全有界性与列紧性等价.
\( \varepsilon \) 网 ( \( \varepsilon \) -net) 见“完全有界集”.
紧致集 (compact set) 指度量空间 \( R \) 中列紧的闭集. 对于紧致集 \( A \) ,如下的有限覆盖定理成立: 设 \( \mathcal{Y} = \left\{ {{O}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是 \( R \) 中的一族开集,如果 \( \mathcal{Y} \) 覆盖 \( A \) ,即
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{\alpha \in \Lambda }}{O}_{\alpha } \supset A,
\]
那么必有 少 中的有限个开集 \( {O}_{1},{O}_{2},\cdots ,{O}_{n} \) 覆盖 \( A \) :
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{n}{O}_{k} \supset A\text{.}
\]
反之,如果子集 \( A \subset R \) 的任一开覆盖必存在有限覆盖,则 \( A \) 必是紧致的.
吸收集 (absorbing set) 线性空间中的一类子集. 设 \( A \) 是线性空间 \( E \) 的子集,如果对每个 \( x \in E \) , 必有正数 \( {\lambda }_{0} \) 使得对一切 \( \left| \lambda \right| \leq {\lambda }_{0} \) ,有 \( {\lambda x} \in A \) ,就称 \( A \) 是吸收的. 拓扑线性空间中零元的任何邻域都是吸收的.
凸集 (convex set) 线性空间中的一类子集. 设 \( E \) 为线性空间, \( x, y \in E \) ,集合 \( \{ {tx} + \left( {1 - t}\right) y \mid 0 \leq t \leq \) 1 \} 称为以 \( x, y \) 为端点的线段,记为 \( \overline{xy} \) . 设 \( V \) 是 \( E \) 的一个子集,如果对任何 \( x, y \in V \) ,均有 \( \overline{xy} \subset V \) ,就称 \( V \) 是凸集. 对 \( E \) 中任何子集 \( M, E \) 中包含 \( M \) 的最小凸集称为 \( M \) 的凸包 (或凸壳),记为 \( \operatorname{co}M \) .
\[
\text{ co }M = \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{x}_{k} \mid {x}_{k} \in M,{a}_{k} \geq 0(k = 1,2,}\right.
\]
\[
\cdots, n),\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k} = 1;n\text{为任意正整数}\} \text{.}
\]
凸集的几何学是拓扑线性空间理论的特色 (参见本卷《凸分析》同名条).
线性空间中的线段 (segment in linear space) 见“凸集”.
凸包 (convex hull) 见“凸集”.
凸壳 (convex hull) 即 “凸包”.
均衡集 (balanced set) 线性空间中的一类子集. 设 \( A \) 是线性空间 \( E \) 的子集,如果对一切复数 \( \lambda \left( {\left| \lambda \right| \leq 1}\right) \) ,均有 \( {\lambda A} \subset A \) ,就称 \( A \) 是均衡 (或平衡) 的. 如果 \( A \) 既是凸集又是均衡集,就称 \( A \) 是均衡凸集, 或绝对凸集.
平衡集 (balanced set, circled set) 即 “均衡集”.
均衡凸集 (balanced convex set) 见 “均衡集”.
绝对凸集 (absolutely convex set) 即 “均衡凸集”.
均衡凸包 (balanced convex hull) 包含给定子集的最小均衡凸集称为该子集的均衡凸包.
拓扑线性空间 (topological linear space) 一类具有拓扑结构的线性空间. 如果实数域或复数域 \( K \) 上的线性空间 \( E \) 同时是有拓扑 \( \tau \) 的拓扑空间,并且线性空间的基本运算 \( x + y \) 和 \( {\alpha x}\left( {x, y \in E,\alpha \in K}\right) \) 分别作为 \( E \times E \) 和 \( K \times E \) 到 \( E \) 中的映射按 \( \tau \) 是连续的,则称 \( E \) 为 (实或复) 拓扑线性空间或拓扑向量空间. 而 \( \tau \) 称为 \( E \) 的线性拓扑或向量拓扑,零元的均衡的邻域全体组成零元的邻域基. 满足 \( {T}_{1} \) 分离公理的拓扑线性空间是完全正则的.
拓扑线性空间理论是泛函分析的一个重要分支, 其基本概念建立于 20 世纪 30 年代, 而今已经发展成为一门完整的学科, 在纯粹数学和应用数学、理论物理、现代力学和现代工程理论中都有广泛应用.
线性拓扑空间 (linear topological space) 即 “拓扑线性空间”.
拓扑向量空间 (topological vector space) 即 “拓扑线性空间”.
线性拓扑 (linear topology) 见 “拓扑线性空间”.
向量拓扑 (vector topology) 即“线性拓扑”.
线性同胚 (linear homeomorphism) 用来刻画两个拓扑线性空间结构相似性的概念. 设 \( E, F \) 是两个拓扑线性空间, \( \Phi \) 是从 \( E \) 到 \( F \) 上的线性双射. 如果关于 \( E \) 和 \( F \) 的拓扑, \( \Phi \) 和其逆 \( {\Phi }^{-1} \) 都是连续的,就称 \( \Phi \) 是 \( E \) 和 \( F \) 之间的一个线性同胚映射,而此时称 \( E \) 和 \( F \) 是线性同胚的,或是线性拓扑同构的.
线性同胚映射 (linear homeomorphic mapping) 见“线性同胚”.
线性拓扑同构 (linearly topological isomorphism) 即“线性同胚映射”.
凸体 (convex body) 拓扑线性空间中含有内点的闭凸子集.
有界集 (bounded set) 拓扑线性空间中的一类子集. 对于拓扑线性空间 \( E \) 的子集 \( S \) ,若对零元的每个邻域 \( U \) ,存在正数 \( \delta \left( U\right) \) ,使得对一切 \( \left| \lambda \right| \) \( \leq \delta \left( U\right) \) ,有 \( {\lambda S} \subset U \) 成立,则 \( S \) 称为有界的. 对于拓扑线性空间 \( E \) 的子集 \( S \) ,下面三条是等价的:
1. \( S \) 是有界集.
2. 对于趋于 0 的任何数列 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) 以及 \( S \) 中任何点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 均有 \( {\lambda }_{n}{x}_{n} \rightarrow 0 \) .
3. 对每个点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset S \) ,有 \( {x}_{n}/n \rightarrow 0 \) .
拓扑线性空间中的有界集是赋范线性空间中用范数定义的有界集概念的推广.
完备的拓扑线性空间 (complete topological linear space) 赋范线性空间完备性的推广. 设 \( E \) 是拓扑线性空间, \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) ( \( \Lambda \) 为有序集) 是 \( E \) 中的定向列 (网),如果对零元的任一邻域 \( V \) ,有 \( {\alpha }_{V} \in \Lambda \) ,使当 \( \alpha \succ - {\alpha }_{V},{\alpha }^{\prime } \succ - {\alpha }_{V} \) 时有 \( {x}_{\alpha } - {x}_{{\alpha }^{\prime }} \in V \) ,则称 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in V}\right\} \) 为基本定向列 (或柯西网). 如果 \( E \) 中每个基本定向列必在 \( E \) 中收敛,则称 \( E \) 是完备的. 如果 \( E \) 中每个基本点列必在 \( E \) 中收敛,则称 \( E \) 是序列完备的. 如果 \( E \) 中每个有界基本定向列必在 \( E \) 中收敛,则称 \( E \) 是有界完备的或拟完备的. 一般地, 完备 \( \Rightarrow \) 有界完备 \( \Rightarrow \) 序列完备. 对于赋范线性空间, 这三者等价.
拓扑线性空间必可完备化, 即可拓扑线性同构于一个完备拓扑线性空间的稠密子空间. 普塔克 (Ptak, V. ) 关于拓扑线性空间的完备性的进一步讨论, 使得在一类很广的完备拓扑线性空间中开映射定理得到相应的推广. 建立开映射定理和闭图象定理是拓扑线性空间理论中的重要课题之一.
序列完备的拓扑线性空间 (sequentially complete topological linear space) 见 “完备的拓扑线性空间”.
有界完备的拓扑线性空间 (boundedly complete topological linear space) 见 “完备的拓扑线性空间”.
拟完备的拓扑线性空间 (quasi-complete topological linear space) 见“完备的拓扑线性空间”.
度量线性空间 (metric linear space) 一类定义了距离的线性空间. 设 \( E |
2000_数学辞海（第3卷） | 66 | \alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) ( \( \Lambda \) 为有序集) 是 \( E \) 中的定向列 (网),如果对零元的任一邻域 \( V \) ,有 \( {\alpha }_{V} \in \Lambda \) ,使当 \( \alpha \succ - {\alpha }_{V},{\alpha }^{\prime } \succ - {\alpha }_{V} \) 时有 \( {x}_{\alpha } - {x}_{{\alpha }^{\prime }} \in V \) ,则称 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in V}\right\} \) 为基本定向列 (或柯西网). 如果 \( E \) 中每个基本定向列必在 \( E \) 中收敛,则称 \( E \) 是完备的. 如果 \( E \) 中每个基本点列必在 \( E \) 中收敛,则称 \( E \) 是序列完备的. 如果 \( E \) 中每个有界基本定向列必在 \( E \) 中收敛,则称 \( E \) 是有界完备的或拟完备的. 一般地, 完备 \( \Rightarrow \) 有界完备 \( \Rightarrow \) 序列完备. 对于赋范线性空间, 这三者等价.
拓扑线性空间必可完备化, 即可拓扑线性同构于一个完备拓扑线性空间的稠密子空间. 普塔克 (Ptak, V. ) 关于拓扑线性空间的完备性的进一步讨论, 使得在一类很广的完备拓扑线性空间中开映射定理得到相应的推广. 建立开映射定理和闭图象定理是拓扑线性空间理论中的重要课题之一.
序列完备的拓扑线性空间 (sequentially complete topological linear space) 见 “完备的拓扑线性空间”.
有界完备的拓扑线性空间 (boundedly complete topological linear space) 见 “完备的拓扑线性空间”.
拟完备的拓扑线性空间 (quasi-complete topological linear space) 见“完备的拓扑线性空间”.
度量线性空间 (metric linear space) 一类定义了距离的线性空间. 设 \( E \) 是线性空间,又是度量空间, \( \rho \) 是 \( E \) 上的距离,且 \( E \) 按 \( \rho \) 导出的拓扑成为拓扑线性空间,则称 \( E \) 为度量线性空间、线性度量空间或线性距离空间. 如果对一切 \( x, y \in E,\rho \left( {x - y,0}\right) \) \( = \rho \left( {x, y}\right) \) ,则称 \( \rho \) 是平移不变距离. 如果对一切数 \( \lambda \left( {\left| \lambda \right| \leq 1}\right) \) ,有 \( \rho \left( {{\lambda x},0}\right) \leq \rho \left( {x,0}\right) \) ,就称 \( \rho \) 是均衡的. 设 \( \rho \) 是 \( E \) 上均衡平移不变距离,则 \( p\left( x\right) = \rho \left( {x,0}\right) \) 是 \( E \) 上的准范数. 完备的度量线性空间必可改赋一个均衡平移不变距离, 且按这个距离是完备的, 从而是弗雷歇空间.
线性距离空间 (linear metric space) 即 “度量线性空间”.
平移不变距离 (translation invariant distance) 见“度量线性空间”.
均衡平移不变距离 (circled translation invariant distance) 见“度量线性空间”.
可度量化的拓扑线性空间 (metrizable topological linear space) 可用距离来刻画拓扑结构的拓扑线性空间. 拓扑线性空间 \( E \) 称为可度量化的,是指 \( E \) 上存在一个距离 \( \rho \) ,使 \( \rho \) 导出的拓扑与 \( E \) 中原有拓扑相同. \( E \) 可度量化的充分必要条件是 \( E \) 的拓扑满足第一可数公理和 \( {T}_{0} \) 公理. 由上述可知,这时必存在 \( E \) 上一个均衡平移不变距离 \( \rho \) ,命名 \( E \) 的拓扑是 \( \rho \) 导出的.
局部有界空间 (locally bounded space) 一类拓扑线性空间. 如果拓扑线性空间 \( E \) 中存在零元的一个有界的邻域,则称 \( E \) 是局部有界的. 局部有界空间是亥尔斯 (Hyers, D. H. ) 于 1939 年引入的. 局部有界空间也一定是度量线性空间.
次可加泛函 (sub-additive functional) 线性空间上的一类非负值函数. 设 \( E \) 为线性空间, \( p\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的泛函. 如果:
1. 当 \( x \in E \) 时, \( p\left( x\right) \geq 0 \) ;
2. 当 \( x, y \in E \) 时, \( p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) \) ;
3. 当 \( x \in E,\alpha \geq 0 \) 时, \( p\left( {\alpha x}\right) = {\alpha p}\left( x\right) \) ;
则称 \( p \) 是一个次可加泛函.
闵科夫斯基泛函 (Minkowski functional gauge) 拓扑线性空间上的一类非负值函数. 设 \( E \) 是线性空间, \( V \) 是 \( E \) 中凸吸收子集, \( E \) 上如下定义的实值泛函 \( {p}_{V}\left( x\right) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in {\lambda V}\} \) 称为关于 \( V \) 的闵科夫斯基泛函. 闵科夫斯基泛函 \( {p}_{V}\left( \cdot \right) \) 是 \( E \) 上的次可加泛函,而且当 \( V \) 是均衡凸吸收集时, \( {p}_{V}\left( \cdot \right) \) 是半范数. 闵科夫斯基泛函是研究凸集的有效工具.
拓扑线性空间的泛函延拓定理 (functional extension theorem of topological linear space) 关于子空间上的线性泛函可延拓到整个空间的重要定理. 设 \( f \) 是拓扑线性空间 \( E \) 上的线性泛函,则下面三条等价:
1. \( f\left( x\right) \) 在 \( E \) 上连续.
2. 半空间 \( \{ x \in E \mid \operatorname{Re}f\left( x\right) > 0\} \) 是开集.
3. 超平面 \( \{ x \in E \mid f\left( x\right) = 0\} \) 是 \( E \) 的闭子空间.
在 \( E \) 的线性子空间 \( F \) 上定义的线性泛函 \( f\left( x\right) \) 能扩张为 \( E \) 上的连续线性泛函的充分必要条件是, 存在零元的凸邻域 \( V \) 使它和 \( \{ x \in F \mid f\left( x\right) = 1\} \) 不相交,当条件满足时至少有一个扩张在 \( V \) 上不取 1 的值. 这称为哈恩-巴拿赫泛函延拓定理. \( E \) 上连续线性泛函全体组成的线性空间称为 \( E \) 的对偶空间 (或共轭空间),常记为 \( {E}^{\prime } \) 或 \( {E}^{ * } \) .
对偶空间 (dual space) 见 “拓扑线性空间的泛函延拓定理”.
局部凸空间 (locally convex space) 最重要的一类拓扑线性空间. 设 \( E \) 是拓扑线性空间,如果 \( E \) 中存在由均衡凸集组成的零元的邻域基,就称 \( E \) 是局部凸的拓扑线性空间,简称局部凸空间,而 \( E \) 的拓扑称为局部凸拓扑. 零元的每个均衡凸邻域 \( V \) 的闵科夫斯基泛函 \( {p}_{V}\left( x\right) \) 是 \( E \) 上的连续半范数. 反之, 设 \( \left\{ {{p}_{\lambda } \mid \lambda \in \Lambda }\right\} \) 是 \( E \) 上一族半范数, \( E \) 上使 \( {p}_{\lambda }\left( {\lambda \in \Lambda }\right) \) 均为连续的最弱拓扑是局部凸的, 且零元的均衡凸邻域基由下面形式的集组成
\[
U = \left\{ {x \in E \mid {p}_{{\lambda }_{k}}\left( x\right) \leq {\varepsilon }_{k}, k = 1,2,\cdots, n}\right\} .
\]
这个局部凸拓扑称为由半范数族 \( \left\{ {p}_{\lambda }\right\} \) 确定的局部凸拓扑. 如果对任何 \( x \in E\left( {x \neq 0}\right) \) ,都存在 \( \lambda \in \Lambda \) 使 \( {p}_{\lambda }\left( x\right) \neq 0 \) ,则 \( \left\{ {{p}_{\lambda } \mid \lambda \in \Lambda }\right\} \) 确定的局部凸拓扑是豪斯多夫拓扑. 通常局部凸空间都指豪斯多夫局部凸空间. \( E \) 中的定向半序点列 \( \left\{ {x}_{a}\right\} \) 收敛于 \( x \in E \) 等价于对每个 \( \lambda \in \Lambda ,{p}_{\lambda }\left( {{x}_{\alpha } - x}\right) \rightarrow 0 \) . 设 \( {E}_{1} \) 是由另一半范数族 \( \left\{ {q}_{\beta }\right\} \) 确定的局部凸空间,则使线性映射 \( T : E \rightarrow {E}_{1} \) 连续的充分必要条件是,对任意的 \( {q}_{\beta } \) ,总存在有限个 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{n} \in \Lambda \) 和常数 \( c \) ,使不等式
\[
{q}_{\beta }\left( {Tx}\right) \leq c\left( {{p}_{{\lambda }_{1}}\left( x\right) + {p}_{{\lambda }_{2}}\left( x\right) + \cdots + {p}_{{\lambda }_{n}}\left( x\right) }\right)
\]
对一切 \( x \in E \) 成立.
局部凸空间的完备化空间也是局部凸的. 根据哈恩-巴拿赫泛函延拓定理, 局部凸空间上存在足够多的非零连续线性泛函. 正因为如此, 局部凸空间理论成为拓扑线性空间理论中最重要的部分.
关于局部凸空间理论的发展大约是始于迪厄多内 (Dieudonné, J. ) 和施瓦兹 (Schwarz, L. ) 在 1949 年的工作, 它的一个主要推动力是分布理论, 即广义函数理论.
不交凸集的分隔性定理 (separation theorem for disjoint convex sets) 线性泛函延拓定理的几何形式. 由线性泛函的延拓定理可以得到下面的不交凸集的分隔性定理. 设 \( E \) 是实局部凸拓扑线性空间, 则下列断言成立:
1. 如果 \( A, B \) 是 \( E \) 中两个不相交的闭凸集且 \( A \) 是紧的,则必存在 \( E \) 上连续线性泛函 \( f \) 强分隔 \( A \) 和 \( B \) ,即存在 \( \varepsilon > 0 \) 和实数 \( r \) ,使当 \( x \in A \) 时, \( f\left( x\right) \geq r \) , 而当 \( x \in B \) 时, \( f\left( x\right) \leq r - \varepsilon \) .
2. 如果 \( A \) 和 \( B \) 是 \( E \) 中不相交的凸集且 \( A \) 含有内点,则存在 \( E \) 上连续线性泛函 \( f \) 分隔 \( A \) 和 \( B \) ,即有实数 \( r \) ,使当 \( x \in A \) 时, \( f\left( x\right) \geq r \) ,而当 \( x \in B \) 时, \( f\left( x\right) \leq r \) .
如果 \( A \) 和 \( B \) 是开凸集,则上述分隔是严格的, 即相应不等式中严格不等号成立. 对复局部凸空间的情形,只要用实部 \( \operatorname{Re}f \) 代替连续线性泛函 \( f \) ,上述诸结论也成立.
分隔性定理是研究凸集的拓扑性质的一种有用的工具. 对于欧氏空间, 闵科夫斯基 (Minkowski, H. ) 早在 1911 年就建立了凸体的分隔性定理 (参见本卷《凸分析》中的“凸集分离定理”).
端点定理 (extreme point theorem) 描述局部凸空间端点集合结构的定理. 设 \( A \) 为线性空间 \( E \) 的子集,点 \( x \in A \) 称为 \( A \) 的端点,如果任何含有点 \( x \) 的线段包含在 \( A \) 内,则 \( x \) 就是该线段的端点. 当 \( A \) 是局部凸空间 \( E \) 的紧凸集时, \( A \) 的端点全体所成集合的闭凸包与 \( A \) 相等. 这个命题称为克列因-米尔曼端点定理, 克列因 (Kpeйн, M. Γ. ) 和米尔曼 (Mhthaman, II. II. ) 于 1940 年就赋范线性空间的情形证明了上述定理. 端点方法已成为研究凸性的一种重要工具 (参见本卷《凸分析》中的“端点”).
克列因-米尔曼端点定理 (Klein-Milman extreme point theorem) 见“端点定理”.
端点 (extreme point) 见 “端点定理”.
范数拓扑 (norm topology) 赋范线性空间中由范数导出的拓扑. 在此拓扑下, 收敛的概念即是依范数收敛. 对有界线性算子空间的情形, 算子范数拓扑有时也称为一致拓扑.
可赋范拓扑线性空间 (normable topological linear space) 可用范数来刻画拓扑的拓扑线性空间. 设 \( E \) 是拓扑线性空间,如果 \( E \) 上还存在一个范数 \( \parallel \cdot \parallel \) ,使 \( \parallel \cdot \parallel \) 导出的拓扑与 \( E \) 中原来的拓扑相同,则称 \( E \) 是可赋范的. 拓扑线性空间可赋范的充分必要条件是满足下面三条:
1. \( E \) 满足 \( {T}_{0} \) 公理.
2. \( E \) 是局部凸的.
3. \( E \) 是局部有界的.
上述充分必要条件是柯尔莫哥洛夫 (Kostmoropos, A. H. ) 于 1934 年给出的, 也是最早得到的有关拓扑线性空间理论的一个结果.
赋可列半范线性空间 (sequentially semi-normed linear space) 一类局部凸空间. 设 \( E \) 是局部凸空间,如果 \( E \) 的拓扑可由可列个连续半范数 \( \left\{ {{p}_{n}\left( \cdot \right) }\right\} \) 确定,则称 \( E \) 是赋可列半范线性空间. 不失一般性,还可以要求 \( {p}_{1}\left( x\right) \leq {p}_{2}\left( x\right) \leq \cdots \leq {p}_{n}\left( x\right) \) \( \leq \cdots \left( {x \in E}\right) \) . 当 \( {p}_{n} \) 都是范数时,称 \( E \) 为赋可列范线性空间.
局部凸空间为赋可列半范空间的充分必要条件是存在可列的零元邻域基. 赋可列半范空间是准范空间. 巴拿赫空间上的算子理论大部分可以推广到这类空间上.
赋可列范线性空间 (sequentially normed linear space) 见“赋可列半范线性空间”.
线性空间的对偶 (duality of linear space, dual pair of linear space) 满足一定条件的一对线性空间. 同一数域 \( K \) (实数域或复数域)上的线性空间 \( X, Y \) ,如果由 \( X \times Y \) 到 \( K \) 的双线性泛函 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 满足下述分离公理:
1. 若对每个 \( y \in Y \) ,满足 \( \langle x, y\rangle = 0 \) ,则 \( x = 0 \) ;
2. 若对每个 \( x \in X \) ,满足 \( \langle x, y\rangle = 0 \) ,则 \( y = 0 \) ; 那么 \( X \) 和 \( Y \) 称为互为对偶的线性空间. 亦称 \( Y \) (或 \( X) \) 是 \( X \) (或 \( Y \) ) 的对偶.
设 \( X \) 是线性空间, \( {X}^{\# } \) 是 \( X \) 上的线性泛函全体, 如果 \( Y \subset {X}^{\# } \) ,且 \( Y \) 在 \( X \) 上是全的 (即若 \( x \neq 0 \) ,则必存在 \( y \in Y \) 使 \( \left( {x, y}\right) = y\left( x\right) \neq 0) \) ,则 \( \left( {X, Y}\right) \) 按双线性泛函 \( \langle x, y\rangle = y\left( x\right) \) 成为对偶,实际上任何对偶线性空间 \( \left( {X, Y}\right) \) 总可以表达为上述形式. 如果 \( E \) 是局部凸空间, \( {E}^{\prime } \) (或 \( {E}^{ * } \) ) 是 \( E \) 上的连续线性泛函全体,则 \( \left( {E,{E}^{\prime }}\right) \) 称为自然对偶. 在线性空间的对偶概念基础上所形成的对偶理论是局部凸空间理论的中心内容, 它也是把局部凸空间和它的共轭空间放在相对称的地位来加以研究的.
自然对偶 (natural duality) 见“线性空间的对偶”.
弱拓扑 (weak topology) 一种局部凸拓扑. 设线性空间对 \( \left( {X, Y}\right) \) 关于双线性泛函 \( \langle \cdot , \cdot \rangle \) 成为对偶,称 \( X \) 上由半范数族 \( \{ \left| {\langle \cdot, y\rangle }\right| \mid y \in Y\} \) 确定的局部凸拓扑为 \( X \) 的关于对偶 \( Y \) 的弱拓扑,记为 \( \sigma \left( {X, Y}\right) \) . 对称地, \( Y \) 上由半范数族 \( \{ \left| {\langle x, \cdot \rangle }\right| \mid x \in \) \( X\} \) 确定的局部凸拓扑称为 \( Y \) 的关于对偶 \( X \) 的弱拓扑,记为 \( \sigma \left( {Y, X}\right) \) . 当 \( X \) 为局部凸空间时, \( \left( {X,{X}^{ * }}\right) \) 为自然对偶, \( \sigma \left( {X,{X}^{ * }}\right) \) 称为 \( X \) 的弱拓扑,而 \( \sigma \left( {X}^{ * }\right. \) , \( X) \) 称为 \( {X}^{ * } \) 的弱 * 拓扑. 相应地, \( X \) 中原有的拓扑称为强拓扑. 一般地, \( X \) 的弱拓扑比强拓扑弱,从而弱闭集必是强闭集; 对于凸集, 其逆也成立, 即强闭凸集也是弱闭的. 集合的弱有界性与强有界性是等价的.
赋范线性空间的深入研究必然遇到弱拓扑问题. 事实上, 1930 年, 冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 就注意到了这一点. 这也是需要引入拓扑线性空间的一个原因.
弱 * 拓扑 (weak * topology) 见“弱拓扑”.
弱收敛 (weak convergence) 一种收敛性, 指依弱拓扑收敛. 局部凸空间 \( E \) 中定向列 \( \left\{ {x}_{a}\right\} \) 弱收敛于向量 \( x \) ,记为 \( \left( w\right) \mathop{\lim }\limits_{a}{x}_{a} = x \) ,其充分必要条件是对每个 \( f \in {X}^{ * } \) ,都有 \( \mathop{\lim }\limits_{\alpha }f\left( {x}_{\alpha }\right) = f\left( x\right) \) .
舒尔空间 (Schur space) 点列强、弱收敛等价的空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,若 \( X \) 中的点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 强收敛当且仅当 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 弱收敛,则 \( X \) 称为舒尔空间. 有如下结论:
1. 有限维赋范线性空间是舒尔空间.
2. 巴拿赫空间 \( {l}^{1} \) 是舒尔空间.
格罗腾迪克-巴拿赫空间 (Grothendieck-Banach space) 其共轭空间中点列的弱收敛与弱 * 收敛等价的空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,若 \( {X}^{ * } \) 中的点列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 弱收敛等价于 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 67 | ( X \) 的弱拓扑,而 \( \sigma \left( {X}^{ * }\right. \) , \( X) \) 称为 \( {X}^{ * } \) 的弱 * 拓扑. 相应地, \( X \) 中原有的拓扑称为强拓扑. 一般地, \( X \) 的弱拓扑比强拓扑弱,从而弱闭集必是强闭集; 对于凸集, 其逆也成立, 即强闭凸集也是弱闭的. 集合的弱有界性与强有界性是等价的.
赋范线性空间的深入研究必然遇到弱拓扑问题. 事实上, 1930 年, 冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 就注意到了这一点. 这也是需要引入拓扑线性空间的一个原因.
弱 * 拓扑 (weak * topology) 见“弱拓扑”.
弱收敛 (weak convergence) 一种收敛性, 指依弱拓扑收敛. 局部凸空间 \( E \) 中定向列 \( \left\{ {x}_{a}\right\} \) 弱收敛于向量 \( x \) ,记为 \( \left( w\right) \mathop{\lim }\limits_{a}{x}_{a} = x \) ,其充分必要条件是对每个 \( f \in {X}^{ * } \) ,都有 \( \mathop{\lim }\limits_{\alpha }f\left( {x}_{\alpha }\right) = f\left( x\right) \) .
舒尔空间 (Schur space) 点列强、弱收敛等价的空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,若 \( X \) 中的点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 强收敛当且仅当 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 弱收敛,则 \( X \) 称为舒尔空间. 有如下结论:
1. 有限维赋范线性空间是舒尔空间.
2. 巴拿赫空间 \( {l}^{1} \) 是舒尔空间.
格罗腾迪克-巴拿赫空间 (Grothendieck-Banach space) 其共轭空间中点列的弱收敛与弱 * 收敛等价的空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,若 \( {X}^{ * } \) 中的点列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 弱收敛等价于 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 弱 \( * \) 收敛,则 \( X \) 称为格罗腾迪克- 巴拿赫空间, 简称 G-B 空间. 有如下结论:
1. 自反空间是 G-B 空间.
2. 巴拿赫空间 \( {l}^{\infty } \) 是 \( \mathrm{G} - \mathrm{B} \) 空间. 这是格罗腾迪克 (Grothendieck, A. ) 于 1953 年证明的.
巴拿赫-阿劳格鲁定理 (Banach-Alaoglu theorem) 关于共轭空间中闭单位球是弱 * 紧的重要定理. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,则 \( {X}^{ * } \) 中的闭单位球是弱 * 紧的. 巴拿赫 (Banach, S. ) 于 1932 年就可分的巴拿赫空间证明了上述定理, 1940 年, 阿劳格鲁 (Alaoglu, L. ) 指出, 可分性的假设可以去掉. 故人们把上述定理称为巴拿赫-阿劳格鲁定理.
弱 * 收敛 (weak * convergence) 一种收敛性. 指依弱 * 拓扑收敛. 设 \( {X}^{ * } \) 为局部凸空间 \( X \) 的共轭空间,定向列 \( \left\{ {f}_{a}\right\} \subset {X}^{ * } \) 弱 * 收敛于 \( f \in {X}^{ * } \) ,记为
\[
\left( {w}^{ * }\right) \mathop{\lim }\limits_{a}{f}_{a} = f,
\]
其充分必要条件是对任意的 \( x \in X \) 都有
\[
\mathop{\lim }\limits_{\alpha }{f}_{\alpha }\left( x\right) = f\left( x\right)
\]
成立.
强拓扑 (strong topology) 一种拓扑. 局部凸空间 \( X \) 中原有的拓扑,相对于弱拓扑 \( \sigma \left( {X,{X}^{ * }}\right) \) 称为 \( X \) 的强拓扑. 例如赋范线性空间的强拓扑即为范数拓扑. 对于共轭空间 \( {X}^{ * } \) ,记 \( \mathcal{B} \) 为 \( X \) 中有界子集全体,对每个有界子集 \( B \in \mathcal{B} \) ,定义半范数
\[
{P}^{B}\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in B}}\left\{ {\left| {f\left( x\right) }\right| \mid f \in {X}^{ * }}\right\} ,
\]
则由半范数族 \( \left\{ {{P}^{B}\left( \cdot \right) \mid B \in \mathcal{B}}\right\} \) 确定的 \( {X}^{ * } \) 中的局部凸拓扑称为 \( {X}^{ * } \) 的强拓扑,记为 \( \beta \left( {{X}^{ * }, X}\right) .{X}^{ * } \) 的强拓扑强于弱 * 拓扑 \( \sigma \left( {{X}^{ * }, X}\right) \) . 当 \( X \) 为赋范线性空间时, \( {X}^{ * } \) 的强拓扑就是由有界线性泛函的范数导出的拓扑.
强收敛 (strong convergence) 依强拓扑收敛的简称.
魁特序列空间 (Köthe sequence space) 由复数序列组成的一类局部凸拓扑线性空间. 设 \( \lambda \) 是复数序列 \( x = \left\{ {x}_{n}\right\} \) 组成的线性空间,定义
\[
{\lambda }^{a} = \left\{ {u = \left\{ {u}_{n}\right\} \left| \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\right| {u}_{n}{x}_{n} \mid < + \infty, x \in \lambda }\right\} ,
\]
称为 \( \lambda \) 的魁特对偶或 \( \alpha \) 对偶. 显然有 \( {\lambda }^{\alpha \alpha } \supset \lambda \left( {\lambda }^{\alpha \alpha }\right. \) 定义为 \( {\left( {\lambda }^{a}\right) }^{a} \) ). 当 \( {\lambda }^{aa} = \lambda \) 时,就称 \( \lambda \) 为魁特序列空间. 若规定 \( {\lambda }^{\alpha } \) 中的有界集 \( N \) 为: 对任何 \( x \in \lambda \) ,有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{u \in N}}\left| {\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}{x}_{n}}\right| < + \infty ,
\]
则 \( \lambda \) 可引进对 \( {\lambda }^{\alpha } \) 的有界集为一致收敛的拓扑,称为 \( \lambda \) 的强拓扑,它是一种局部凸拓扑,这时
\[
\left\{ {x \in \lambda \left| \mathop{\sup }\limits_{{u \in N}}\right| \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}{x}_{n} \mid < \varepsilon }\right\}
\]
( \( N \) 为 \( {\lambda }^{a} \) 的有界集, \( \varepsilon > 0 \) ) 为强拓扑的零元邻域基. \( {l}^{p}\left( {1 \leq p \leq + \infty }\right), s \) 是魁特序列空间,并且强拓扑分别与相应的范数拓扑、准范数拓扑一致,而 \( c \) 则不是魁特序列空间. 魁特序列空间是德国数学家魁特 (Köthe, G. ) 等人于 1934 年提出的, 它对拓扑线性空间理论的形成与发展有重要影响, 在求和法等方面也有广泛应用.
弱算子拓扑 (weak operator topology) 算子空间中的一种局部凸拓扑. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 为 \( X \) 到 \( Y \) 的有界线性算子全体所成的赋范线性空间. \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 中由半范数族 \( \left\{ {{P}_{x, f}\left( A\right) }\right. \) \( = \left| {f\left( {Ax}\right) }\right| \left| {x \in X, f \in {Y}^{ * }}\right\} \) 确定的局部凸拓扑称为弱算子拓扑,它的零元邻域基由形如 \( \left\{ {A\left| \right| {f}_{i}\left( {A{x}_{i}}\right) \mid }\right. \) \( \left. { < 1,{f}_{i} \in {Y}^{ * },{x}_{i} \in X, i = 1,2,\cdots, n}\right\} \) 的集组成. 算子定向列 \( \left\{ {A}_{a}\right\} \) 弱收敛于算子 \( A \) ,记为
\[
\left( w\right) \mathop{\lim }\limits_{\alpha }{A}_{\alpha } = A,
\]
其充分必要条件是对每个 \( x \in X \) 及每个 \( f \in {Y}^{ * } \) ,都有
\[
\mathop{\lim }\limits_{a}f\left( {{A}_{a}x}\right) = f\left( {Ax}\right)
\]
成立.
强算子拓扑 (strong operator topology) 算子空间中的又一种拓扑. 从赋范线性空间 \( X \) 到赋范线性空间 \( Y \) 的有界线性算子全体所成的赋范线性空间 \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 中由半范族 \( \left\{ {{p}_{x}\left( A\right) = \parallel {Ax}\parallel \mid x \in X}\right\} \) 确定的局部凸拓扑称为 \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 的强算子拓扑, 它的零元邻域基由形如 \( \left\{ {A \mid \begin{Vmatrix}{A{x}_{i}}\end{Vmatrix} < 1,{x}_{i} \in X, i}\right. \) \( = 1,2,\cdots, n\} \) 的子集组成. 算子定向列 \( \left\{ {A}_{a}\right\} \) 强收敛于算子 \( A \) ,记为
\[
\text{(s)}\mathop{\lim }\limits_{\alpha }{A}_{\alpha } = A\text{,}
\]
其充分必要条件是对任何 \( x \in X \) ,有
\[
\mathop{\lim }\limits_{a}\begin{Vmatrix}{{A}_{a}x - {Ax}}\end{Vmatrix} = 0.
\]
强算子拓扑比弱算子拓扑强, 又比算子范数拓扑弱.
强基本定向列 (strong fundamental directed set of points) 基本点列在局部凸空间中的推广. 局部凸空间 \( E \) 中的定向列 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 称为强 (弱) 基本的,是指 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 依强 (弱) 拓扑是基本的,即对任一给定的强 (弱) 邻域 \( U \) ,存在 \( {\alpha }_{0} \) ,当 \( {\alpha }_{1} \succ {\alpha }_{0},{\alpha }_{2} \succ {\alpha }_{0} \) 时,总有 \( {x}_{{a}_{1}} - {x}_{{a}_{2}} \in U \) . 对于有界线性算子空间 \( \mathcal{B}(X \) \( \rightarrow Y) \) (其中 \( X, Y \) 是赋范线性空间), \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 中算子定向列 \( \left\{ {{A}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是强 (弱) 基本的充分必要条件是对每个 \( x \in X,\left\{ {{A}_{a}x \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是 \( Y \) 中的强 (弱) 基本定向列. 算子定向列 \( \left\{ {{A}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 弱基本的意思是指: 对任何 \( x \in X, f \in {Y}^{ * },\left\{ {f\left( {{A}_{a}x}\right) \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是基本定向列.
弱基本定向列 (weak fundamental directed set of points) 见“强基本定向列”.
弱 * 基本定向列 (weak * fundamental directed set of points) 在弱 * 拓扑意义下的基本定向列. 局部凸空间 \( E \) 的共轭空间 \( {E}^{ * } \) 的定向列 \( \left\{ {{f}_{a} \mid \alpha \in }\right. \) \( \Lambda \} \) 称为弱 * 基本的,是指 \( \left\{ {{f}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 按 \( {E}^{ * } \) 中的弱 \( * \) 拓扑是基本定向列,即对任何 \( x \in E,\left\{ {{f}_{a}\left( x\right) \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是基本定向列.
弱序列完备 (weak sequential completeness)
关于弱拓扑的序列完备性. 设 \( X \) 是赋范线性空间, \( {X}^{ * } \) 是 \( X \) 的共轭空间,称 \( X\left( {X}^{ * }\right) \) 是弱 (弱 * ) 序列完备,是指 \( X\left( {X}^{ * }\right) \) 中的任何弱 (弱 *) 基本序列都在 \( X\left( {X}^{ * }\right) \) 中弱 (弱 * ) 收敛.
弱 * 序列完备 (weak sequential completeness) 见“弱序列完备”.
弱有界集 (weak bounded set) 按弱拓扑是有界的集. 例如,设 \( X, Y \) 是赋范线性空间, \( \left\{ {A}_{a}\right\} \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的一族线性算子,则 \( \left\{ {A}_{a}\right\} \) 为弱有界,是指对任何 \( x \in X,{y}^{ * } \in {Y}^{ * } \) ,数集 \( \left\{ {{y}^{ * }\left( {{A}_{a}x}\right) }\right\} \) 有界.
弱 * 列紧 (weak * sequential compactness) 与弱 * 收敛相联系的列紧性. 设 \( X \) 是赋范线性 空间, \( S \) 是共轭空间 \( {X}^{ * } \) 的子集. 如果 \( S \) 中任何点列 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 都有弱 * 收敛的子序列,则称 \( S \) 是弱 * 列紧的. 类似可定义 \( X \) 中子集的弱列紧概念. 当 \( X \) 可分时, \( {X}^{ * } \) 中点集的有界性与弱 * 列紧性等价. 弱 (弱 * ) 列紧以及弱 (弱 * ) 收敛、弱 (弱 * ) 序列完备等都是赋范线性空间理论中的重要概念.
弱列紧 (weak sequential compactness) 见“弱 * 列紧”.
强列紧 (strong sequential compactness) 与强收敛相联系的列紧性. 设 \( X \) 是赋范线性空间, \( S \) 是 \( X \) 的子集,如果 \( S \) 中任何点列都有强收敛 (即按范数收敛) 的子列,则称 \( S \) 是强列紧的. 赋范线性空间是有限维的充分必要条件是每个有界集都是强列紧的.
马祖尔空间 (Mazur space) 一类局部凸空间. 如果局部凸空间上的每一个序列连续线性泛函也是连续的, 那么称这种空间为马祖尔空间. 以某个重要性质成立来刻画空间结构往往很有价值. 在拓扑线性空间理论中如马祖尔空间等重要空间就是这样提出来的.
囿集 (bornivore) 拓扑线性空间中的一类子集. 拓扑线性空间的一个子集 \( S \) 称为是囿集,如果它吸收所有的有界集. 显然, 每个零元邻域都是囿集.
囿空间 (bornologic space) 一类局部凸空间. 设 \( E \) 是局部凸空间,如果 \( E \) 中每个均衡凸的囿集都是零元的邻域,则称 \( E \) 是囿空间或有界型空间. 局部凸空间是囿的, 当且仅当在每个有界集上有界的半范数是连续的. 设 \( E \) 是囿空间, \( {E}_{1} \) 是局部凸空间, 则由 \( E \) 到 \( {E}_{1} \) 的有界线性映射必是连续的.
有界型空间 (bornologic space) 即“囿空间”.
桶型空间 (barreled space) 一类局部凸空间. 设 \( E \) 是局部凸空间, \( E \) 中的吸收的均衡凸闭集称为桶集. 在序列完备空间中, 因而在有界完备空间中, 桶集吸收每个有界集. 如果局部凸空间 \( E \) 的每个桶集都是零元的邻域,则 \( E \) 称为桶型空间. \( E \) 成为桶型空间的充分必要条件是每个下半连续的半范数必是连续的. 桶型空间的研究与一致有界定理在拓扑线性空间中的推广有密切的联系.
桶集 (barrel) 见“桶型空间”.
几乎开线性映射 (almost open linearly map) 一类重要的线性映射. 从拓扑线性空间 \( X \) 到拓扑线性空间 \( Y \) 的线性映射 \( f \) 称为是几乎开的,如果对 \( X \) 中零元的每个邻域 \( V,\overline{f\left( V\right) } \) 是 \( Y \) 中的零元邻域. 几乎开映射可用来刻画桶型空间, 并且和开映射定理的研究有紧密联系.
拟桶型空间 (quasi-barreled space) 桶型空间概念的推广. 设 \( E \) 是局部凸空间, \( E \) 中的子集 \( A \) 称为拟桶集,是指 \( A \) 是吸收一切有界集的桶集. 如果 \( E \) 中每个拟桶集都是零元的邻域,则称 \( E \) 为拟桶型空间. 局部凸空间为拟桶型空间的充分必要条件是在每个有界集上的下半连续半范数是连续的.
拟桶集 (quasi-barrel) 见“拟桶型空间”.
可允许拓扑 (admissible topology) 一种局部凸拓扑. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间, \( \mathcal{Y} \) 是 \( Y \) 中的有界集族,且并 \( \bigcup \{ A \mid A \in \mathcal{Y}\} \) 的线性包是 \( Y \) ,即 \( Y \) 是 \( \bigcup \{ A \mid A \in \mathcal{Y}\} \) 张成的线性空间,对每个 \( A \in \mathcal{Y} \) ,定义半范数
\[
{p}_{A}\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{y \in A}}\left| {\langle x, y\rangle }\right|
\]
则由半范数族 \( \left\{ {{p}_{A}\left( x\right) \mid A \in \mathcal{Y}}\right\} \) 确定的 \( X \) 上局部凸拓扑 \( {T}_{\mathcal{Y}} \) 称为关于对偶线性空间 \( \left( {X, Y}\right) \) 的一个可允许拓扑,或在集类 \( \mathcal{Y} \) 上的一致收敛拓扑,而相应的有界集族 \( \mathcal{Y} \) 称为可允许集族. 令 \( \mathcal{F} \) 是 \( Y \) 中有限集全体形成的集族,则有 \( {T}_{\mathcal{F}} = \sigma \left( {X, Y}\right) \) ,因而弱拓扑是可允许的.
可允许集族 (admissible family) 见 “可允许拓扑”.
相容拓扑 (compatible topology) 一种局部凸拓扑. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间,若 \( \tau \) 是 \( X \) 上的局部凸拓扑,使得 \( X \) 上关于 \( \tau \) 连续的线性泛函全体 \( {\left( X,\tau \right) }^{\prime } \) 恰好是 \( Y \) ,则称 \( \tau \) 是 \( X \) 上的一个相容拓扑. 弱拓扑 \( \sigma \left( {X, Y}\right) \) 是 \( X \) 上最弱的相容拓扑. 相容拓扑是对偶线性空间中很值得研究的一种局部凸拓扑, 并且需要刻画出所有这样的拓扑.
麦基空间 (Mackey spa |
2000_数学辞海（第3卷） | 68 | 界集族,且并 \( \bigcup \{ A \mid A \in \mathcal{Y}\} \) 的线性包是 \( Y \) ,即 \( Y \) 是 \( \bigcup \{ A \mid A \in \mathcal{Y}\} \) 张成的线性空间,对每个 \( A \in \mathcal{Y} \) ,定义半范数
\[
{p}_{A}\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{y \in A}}\left| {\langle x, y\rangle }\right|
\]
则由半范数族 \( \left\{ {{p}_{A}\left( x\right) \mid A \in \mathcal{Y}}\right\} \) 确定的 \( X \) 上局部凸拓扑 \( {T}_{\mathcal{Y}} \) 称为关于对偶线性空间 \( \left( {X, Y}\right) \) 的一个可允许拓扑,或在集类 \( \mathcal{Y} \) 上的一致收敛拓扑,而相应的有界集族 \( \mathcal{Y} \) 称为可允许集族. 令 \( \mathcal{F} \) 是 \( Y \) 中有限集全体形成的集族,则有 \( {T}_{\mathcal{F}} = \sigma \left( {X, Y}\right) \) ,因而弱拓扑是可允许的.
可允许集族 (admissible family) 见 “可允许拓扑”.
相容拓扑 (compatible topology) 一种局部凸拓扑. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间,若 \( \tau \) 是 \( X \) 上的局部凸拓扑,使得 \( X \) 上关于 \( \tau \) 连续的线性泛函全体 \( {\left( X,\tau \right) }^{\prime } \) 恰好是 \( Y \) ,则称 \( \tau \) 是 \( X \) 上的一个相容拓扑. 弱拓扑 \( \sigma \left( {X, Y}\right) \) 是 \( X \) 上最弱的相容拓扑. 相容拓扑是对偶线性空间中很值得研究的一种局部凸拓扑, 并且需要刻画出所有这样的拓扑.
麦基空间 (Mackey space) 一类局部凸空间. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 为对偶线性空间,在 \( Y \) 的每个弱紧凸集上一致收敛的拓扑是一种可允许拓扑,称为 \( X \) 上的麦基拓扑,记为 \( \tau \left( {X, Y}\right) .X \) 上一个局部凸拓扑成为相容拓扑的充分必要条件是它比弱拓扑 \( \sigma \left( {X, Y}\right) \) 强, 而比 \( \tau \left( {X, Y}\right) \) 弱. 麦基拓扑是最强的相容拓扑. 原来的拓扑与麦基拓扑 \( \tau \left( {E,{E}^{\prime }}\right) \) 相同的局部凸空间 \( E \) 称为麦基空间. 拟桶型空间是麦基空间.
麦基拓扑(Mackey topology) 见“麦基空间”.
对偶不变性 (duality invariant) 指对偶线性空间相容拓扑不变的性质. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间,对于 \( X \) 上任给的相容拓扑 \( {\tau }_{1},{\tau }_{2} \) ,由定义可知, \( {\left( X,{\tau }_{1}\right) }^{\prime } = {\left( X,{\tau }_{2}\right) }^{\prime } = Y \) . 如果某命题对某个相容拓扑 \( {\tau }_{1} \) 成立,则必对任何其他的相容拓扑 \( {\tau }_{2} \) 也成立,也就是说命题仅和对偶有关,而与 \( X \) 上相容拓扑的选取无关, 就称此命题具有对偶不变性. 集合的有界性就是一个对偶不变的性质. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间,则对 \( X \) 的所有相容拓扑,都有相同的闭凸集,有相同的闭线性子空间, 有相同的桶集.
极 (polar) 在对偶线性空间中, 由一个空间的子集通过双线性泛函导出的另一空间的子集. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间, \( A \subset X \) ,则 \( Y \) 中的子集
\( {A}^{0} = \{ y \in Y\left| \right| \langle x, y\rangle \mid \leq 1 \) 对每个 \( x \in A\} \)
称为 \( A \) 的极. 同样对 \( B \subset Y \) ,也可定义 \( B \) 的极
\( {B}^{0} = \{ x \in X\left| \right| \langle x, y\rangle \mid \leq 1 \) 对每个 \( y \in B\} . \)
设 \( \tau \) 是 \( X \) 上任一相容拓扑, \( A \subset X \) ,则 \( {A}^{00} = {\left( {A}^{0}\right) }^{0} \) 等于 \( A \) 的均衡凸闭包. 特别地, \( {A}^{00} \) 是 \( A \) 的关于弱拓扑 \( \sigma \left( {X, Y}\right) \) 的均衡凸闭包,这个命题称为双极定理. 特别地,当 \( X = Y \) 为希尔伯特空间时, \( X \) 的子空间 \( A \) 的极 \( {A}^{0} = {A}^{ \bot } \) . 又当 \( X \) 是巴拿赫空间, \( Y = {X}^{ * } \) ,而 \( A \) \( = \{ x \mid \parallel x\parallel \leq r\} \) 时,
\[
{A}^{0} = \left\{ {{x}^{ * }\left| \begin{Vmatrix}{x}^{ * }\end{Vmatrix}\right| \leq \frac{1}{r}}\right\} .
\]
由于对极可以进行运算, 这为对偶空间理论的研究带来很大方便. 极的运算是拓扑线性空间理论中十分有用的工具之一.
双极定理 (bipolar theorem) 见“极”.
极拓扑 (polar topology) 对偶线性空间中的一种局部凸拓扑. 设 \( \left( {X, Y}\right) \) 是对偶线性空间, \( \mathcal{A} \) 是有界集族, 且
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{A \in \mathcal{A}}}A = Y
\]
那么由 \( \left\{ {{A}^{0} \mid A \in \mathcal{A}}\right\} \) 组成的零元邻域基所生成的拓扑称为 \( X \) 上的极拓扑. 极拓扑可以把对偶线性空间中各种局部凸拓扑置于统一的形式下来处理.
自反局部凸空间 (reflexive locally convex space) 一类局部凸空间. 设 \( E \) 是局部凸空间,则赋予强拓扑的共轭空间 \( {E}^{\prime } \) 的共轭空间 \( {E}^{\prime \prime } \) 包含原来的空间 \( E \) ,当 \( {E}^{\prime \prime } = E \) 时,称 \( E \) 是半自反的. 进一步当 \( E \) 的拓扑和强拓扑 \( \beta \left( {E,{E}^{\prime }}\right) \) 一致时,称 \( E \) 为自反的. \( E \) 为半自反的充分必要条件是 \( E \) 的任意有界弱闭凸集是弱紧的. \( E \) 为自反的充分必要条件是 \( E \) 为半自反的且是拟桶型的. 对于赋可列范线性空间, 自反和半自反是一致的.
半自反局部凸空间 (semireflexive locally convex space) 见“自反局部凸空间”.
蒙泰尔空间 (Montel space) 一类桶型空间. 如果桶型空间 \( E \) 的任意有界闭集都是紧的,则称它为蒙泰尔空间或 \( M \) 空间. \( M \) 空间是自反的,其共轭空间也是 \( M \) 空间. 蒙泰尔空间是广义函数论中十分有用的一类空间.
核映射 (nuclear map) 一类重要的映射. 设 \( X \) 是局部凸空间, \( Y \) 是巴拿赫空间, \( T \) 是从 \( X \) 到 \( Y \) 的线性映射,如果 \( T \) 有如下表示
\[
{Tx} = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{c}_{j}{f}_{j}\left( x\right) {y}_{j},
\]
其中 \( {c}_{j} \geq 0 \) 且
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{c}_{j} < + \infty
\]
\( \left\{ {f}_{j}\right\} \) 是 \( X \) 上连续线性泛函序列, \( \left\{ {y}_{j}\right\} \) 是 \( Y \) 中有界序列,则称 \( T \) 为核映射.
核型空间 (nuclear space) 一类局部凸空间. 局部凸空间 \( X \) 称为核型空间,如果对零元的任何均衡凸邻域 \( V \) ,存在另一零元的均衡凸邻域 \( U \subset V \) ,使得典型映射 \( T : {X}_{V} \rightarrow {X}_{U} \) 是核映射. 这里, \( {X}_{U} \) 是商空间 \( \left( {X,{P}_{U}\left( \cdot \right) }\right) /\left\{ {x \mid {P}_{U}\left( x\right) = 0}\right\} \) ,而 \( {X}_{V} \) 是商空间 \( \left( {X,{P}_{V}\left( \cdot \right) }\right) /\left\{ {x \mid {P}_{V}\left( x\right) = 0}\right\} \) 的完备化空间, \( {P}_{U}\left( \cdot \right) \) 及 \( {P}_{V}\left( \cdot \right) \) 是由 \( U \) 和 \( V \) 各自产生的闵科夫斯基泛函. 巴拿赫空间为核型空间的充分必要条件是该空间为有限维的. 核型空间在分析学中有非常重要的应用, 是格罗腾迪克 (Grothendieck, A. ) 于 1955 年首先引入的.
归纳极限 (inductive limit) 一种通过一族拓扑线性空间构造出的新的拓扑线性空间. 设 \( \left\{ {{X}_{a} \mid \alpha }\right. \) \( \in \mathcal{A}\} \) 是一族拓扑线性空间 (不必要求是局部凸的), \( Y \) 是一个固定的线性空间,对每个 \( \alpha \in \mathcal{A} \) ,有线性映射 \( {u}_{a} : {X}_{a} \rightarrow Y \) 满足条件:
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{a \in \mathcal{A}}}\mathcal{R}\left( {u}_{a}\right)
\]
的线性扩张等于整个 \( Y \) ,即对任何 \( y \in Y \) ,存在 \( {\alpha }_{1} \) , \( {\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n} \in \mathcal{A} \) 及 \( {x}_{i} \in {X}_{{\alpha }_{i}} \) 和数 \( {c}_{i} \) 使得
\[
y = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}{u}_{{a}_{i}}\left( {x}_{i}\right) .
\]
记 \( T \) 是 \( Y \) 中使得诸 \( {u}_{a} \) 都连续的最强局部凸拓扑, 则拓扑线性空间 \( \left( {Y, T}\right) \) 称为 \( \left\{ {X}_{a}\right\} \) 的归纳极限.
严格归纳极限 (strict inductive limit) 一类特殊的归纳极限. 设 \( X \) 是一线性空间, \( \left\{ {X}_{a}\right\} \) 是 \( X \) 的线性子空间族使得 \( \cup {X}_{a} = X \) . 又设每个 \( {X}_{a} \) 都是局部凸空间且当 \( {X}_{{a}_{1}} \subset {X}_{{a}_{2}} \) 时, \( {X}_{{a}_{1}} \) 的拓扑就是关于 \( {X}_{{a}_{2}} \) 的相对拓扑. \( X \) 上使得每个自然嵌入映射 \( {\tau }_{a} : {X}_{a} \rightarrow X \) 都连续的最强局部凸拓扑称为严格归纳拓扑. 按此拓扑 \( X \) 是一个局部凸空间,称为 \( \left\{ {X}_{a}\right\} \) 的严格归纳极限. \( X \) 中的吸收均衡凸集 \( U \) 是开集当且仅当对一切 \( {X}_{a}, U \cap {X}_{a} \) 是 \( {X}_{a} \) 中的开集. 严格归纳极限这个概念在广义函数论中有重要应用.
严格归纳局部凸拓扑 (strict inductive locally convex topology) 见“严格归纳极限”.
投影拓扑 (projective topology) 通过一族映射定义的拓扑. 设 \( E \) 和 \( {E}_{\alpha }\left( {\alpha \in \mathcal{A}}\right) \) 是线性空间, \( {\mathcal{L}}_{\alpha } \) 是 \( {E}_{a} \) 上的分离局部凸拓扑, \( {u}_{a} : E \rightarrow {E}_{a} \) 是 \( E \) 到 \( {E}_{a} \) 中的线性映射, \( \mathcal{L} \) 是 \( E \) 上满足如下条件的最弱拓扑: 使每个线性映射 \( {u}_{\alpha }\left( {\alpha \in \mathcal{A}}\right) \) 都是 \( \left( {E,\mathcal{L}}\right) \rightarrow \left( {{E}_{\alpha },{\mathcal{L}}_{\alpha }}\right) \) 的连续映射,则称 \( \mathcal{L} \) 为 \( E \) 上关于 \( \left\{ {\left( {{E}_{\alpha },{\mathcal{L}}_{\alpha },{u}_{\alpha }}\right) ,\alpha \in }\right. \) \( \mathcal{A}\} \) 的投影拓扑.
投影极限 (projective limit) 通过一族拓扑线性空间定义的新的拓扑线性空间. 设 \( \left( {{E}_{\alpha },{\mathcal{L}}_{\alpha }}\right) (\alpha \in \) \( \mathcal{A} \) ) 是一族分离局部凸空间,对任何 \( \beta \geq \alpha \) 定义了一个连续线性映射 \( {u}_{\alpha \beta } : {E}_{\beta } \rightarrow {E}_{\alpha } \) . 如果满足如下条件:
\[
\text{1.}{u}_{\alpha \alpha } = I\left( {\alpha \in \mathcal{A}}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}{u}_{\alpha \gamma } = {u}_{\alpha \beta } \circ {u}_{\beta \gamma }\left( {\gamma \geq \beta \geq \alpha }\right) \text{;}
\]
则 \( \left( {{E}_{\alpha },{u}_{\alpha \beta }}\right) \) 称为局部凸空间的投影系. 做乘积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{a \in \mathcal{A}}}{E}_{a} \cdot E \) 是 \( \mathop{\prod }\limits_{{a \in \mathcal{A}}}{E}_{a} \) 的子空间,它是由满足下述条件的所有元素 \( x = \left( {x}_{a}\right) \) 组成,使得
\[
{x}_{\alpha } = {u}_{\alpha \beta }\left( {x}_{\beta }\right) \;\left( {\beta \geq \alpha }\right) ,
\]
则称 \( E \) 为 \( \left\{ {{E}_{\alpha },\alpha \in \mathcal{A}}\right\} \) 关于映射 \( {u}_{\alpha \beta }\left( {\alpha ,\beta \in \mathcal{A},\beta \geq \alpha }\right) \) 的投影极限,记为 \( E = \lim {E}_{\alpha } \) 或 \( E = \lim {u}_{\alpha \beta }{E}_{\beta } \) . 在投影极限 \( E \) 上赋于关于族 \( \left\{ {\left( {{E}_{\alpha },{\mathcal{L}}_{\alpha },{u}_{\alpha }}\right) ,\alpha \in \mathcal{A}}\right\} \) 的投影拓扑,称为 \( \left( {{E}_{\alpha },{u}_{\alpha \beta }}\right) \) 的拓扑投影极限,或简称投影极限,仍记为 \( E = \mathop{\lim }\limits_{ \rightarrow }{E}_{\alpha } \) . 在一定意义下,投影极限和归纳极限这两个概念是相互对偶的.
## 巴拿赫空间与希尔伯特空间
赋范线性空间 (normed linear space) 一类可以引进 “长度”概念的线性空间. 设 \( X \) 是线性空间, \( X \) 上满足下列条件的实值函数 \( p\left( \cdot \right) \) 称为 \( X \) 上的范数:
1. \( p\left( x\right) \geq 0\left( {x \in X}\right) ;p\left( x\right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \) .
2. \( p\left( {\alpha x}\right) = \left| \alpha \right| p\left( x\right) \left( {\alpha \text{为数,}x \in X}\right) \) .
3. \( p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) \left( {x, y \in X}\right) \) .
对 \( x \in X, p\left( x\right) \) 称为 \( x \) 的范数,通常记为 \( \parallel x\parallel \) . 赋有范数的线性空间 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 称为赋范线性空间, 简称赋范空间.
范数 (norm) 见“赋范线性空间”.
巴拿赫空间 (Banach space) 按范数导出的距离完备的赋范线性空间. 设 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 为赋范线性空间. 对 \( x, y \in X,\rho \left( {x, y}\right) = \parallel x - y\parallel \) 定义了 \( X \) 上的一个距离,使 \( X \) 成为度量空间. 如果 \( X \) 按这个距离是完备的,就称 \( X \) 为巴拿赫空间. \( {L}^{p}\left( \Omega \right) (1 \leq p \leq \) \( + \infty ), C\left( \Omega \right), c,{c}_{0} \) 等都是巴拿赫空间的例子.
巴拿赫空间 (含赋范空间) 是 1922 年巴拿赫 (Banach, S. ) 与维纳 (Wiener, N. ) 相互独立提出的, 并且在不到 10 年的时间内便发展为相当完美而又有多方面应用的理论. 1932 年, 巴拿赫论述这部分理论的《线性算子理论》一书的问世, 是泛函分析作为独立的数学分支出现的标志. 巴拿赫空间至今仍是泛函分析研究的基本对象之一.
半范数 (seminorm) 范数的一种推广. 设 \( X \) 是线性空间, \( p\left( \cdot \right) \) 是 \( X \) 上的实值函数,满足:
\[
\text{1.}p\left( x\right) \geq 0\left( {x \in X}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}p\left( {\alpha x}\right) = \left| \alpha \right| p\left( x\right) \left( {\alpha \text{为数,}x \in X}\right) \text{;}
\]
\[
\text{3.}p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) \left( {x, y \in X}\right) \text{;}
\]
则称 \( p\left( x\right) \) 是 \( x \) 的半范数. 通常也将向量 \( x \) 的半范数记为 \( \parallel x\parallel \) ,而称 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 为赋半范线性空间,简称赋半范空间. 设 \( p\left( \cdot \right) \) 是 \( X \) 上的半范数,令 \( E \) \( = \{ x \mid p\left( x\right) = 0\} \) ,则 \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 69 | 离是完备的,就称 \( X \) 为巴拿赫空间. \( {L}^{p}\left( \Omega \right) (1 \leq p \leq \) \( + \infty ), C\left( \Omega \right), c,{c}_{0} \) 等都是巴拿赫空间的例子.
巴拿赫空间 (含赋范空间) 是 1922 年巴拿赫 (Banach, S. ) 与维纳 (Wiener, N. ) 相互独立提出的, 并且在不到 10 年的时间内便发展为相当完美而又有多方面应用的理论. 1932 年, 巴拿赫论述这部分理论的《线性算子理论》一书的问世, 是泛函分析作为独立的数学分支出现的标志. 巴拿赫空间至今仍是泛函分析研究的基本对象之一.
半范数 (seminorm) 范数的一种推广. 设 \( X \) 是线性空间, \( p\left( \cdot \right) \) 是 \( X \) 上的实值函数,满足:
\[
\text{1.}p\left( x\right) \geq 0\left( {x \in X}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}p\left( {\alpha x}\right) = \left| \alpha \right| p\left( x\right) \left( {\alpha \text{为数,}x \in X}\right) \text{;}
\]
\[
\text{3.}p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) \left( {x, y \in X}\right) \text{;}
\]
则称 \( p\left( x\right) \) 是 \( x \) 的半范数. 通常也将向量 \( x \) 的半范数记为 \( \parallel x\parallel \) ,而称 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 为赋半范线性空间,简称赋半范空间. 设 \( p\left( \cdot \right) \) 是 \( X \) 上的半范数,令 \( E \) \( = \{ x \mid p\left( x\right) = 0\} \) ,则 \( E \) 是 \( X \) 的线性子空间. 如果在商空间 \( X/E \) 上规定 \( \parallel \widetilde{x}\parallel = p\left( x\right) \) ,则 \( \parallel \cdot \parallel \) 是 \( X/E \) 上的范数,称为由半范数 \( p\left( \cdot \right) \) 导出的范数. 半范数这个概念在拓扑线性空间理论中扮演着重要的角色, 是处理一类特殊凸集的解析工具.
准范数 (paranorm) 范数的又一种推广. 设 \( X \) 是线性空间, \( p\left( \cdot \right) \) 是 \( X \) 上的实值函数,满足:
\[
\text{1.}p\left( x\right) \geq 0, p\left( x\right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\text{;}
\]
\[
\text{2.}p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) \text{;}
\]
3. \( p\left( {-x}\right) = p\left( x\right) \) ,并且
\( \mathop{\lim }\limits_{{{\alpha }_{n} \rightarrow 0}}p\left( {{\alpha }_{n}x}\right) = 0,\mathop{\lim }\limits_{{{x}_{n} \rightarrow 0}}p\left( {\alpha {x}_{n}}\right) = 0\;\left( {{\alpha }_{n},\alpha \text{ 是数 }}\right) ; \)
则称 \( p\left( \cdot \right) \) 是 \( X \) 上的准范数 (有时也称为拟范数), \( \left( {X, p}\right) \) 称为赋准范线性空间 (或赋拟范线性空间), 简称赋准范空间. 准范数 \( p\left( \cdot \right) \) 也常记为 \( \parallel \cdot \parallel \) . 例如, \( {L}^{p}\left( \Omega \right) \left( {0 < p < 1}\right) \) 是赋准范空间.
## 赋准范线性空间 (paranormed linear space) 见“准范数”.
拟范数 (quasi-norm) 即 “准范数”, 有时也指半范数.
弗雷歇空间 (Fréchet space) 按准范数导出的距离完备的赋准范空间. 设 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 为赋准范空间,则 \( \rho \left( {x, y}\right) = \parallel x - y\parallel \) 是 \( X \) 上的距离. 如果按这个距离还是完备的,则称 \( X \) 为弗雷歇空间. 在一些著作中, 弗雷歇空间常指完备的可度量化局部凸拓扑线性空间. 有许多关于巴拿赫空间的定理, 对弗雷歇空间仍然成立.
保范同构 (norm-preserving isomorphism) 亦称等距同构映射. 指两个赋范线性空间之间存在保范同构映射. 设 \( X, Y \) 是两个赋范线性空间, \( U \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的映射,若对一切 \( x \in X \) ,有 \( \parallel {Ux}\parallel = \parallel x\parallel \) , 则称 \( U \) 是保范映射或等距映射. 如果 \( U \) 不仅保范, 而且还是从 \( X \) 到 \( Y \) 上的线性算子,则称 \( U \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 上的保范同构映射. 如果空间 \( X, Y \) 之间存在一个保范同构映射,就称 \( X \) 与 \( Y \) 保范同构,亦称等距同构. 在巴拿赫空间理论中, 常把保范同构的空间视为等同.
保范映射 (norm-preserving mapping) 见“保范同构”.
等距同构 (isometric isomorphism) 即 “保范同构”.
等距映射 (isometric mapping) 即 “保范映射”.
万有空间 (universal space) 具有万有性的一种巴拿赫空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,如果任何可分的巴拿赫空间都等距同构于 \( X \) 的某个闭子空间,则称 \( X \) 为万有空间,亦称 \( X \) 具有万有性. 万有空间的存在性是由乌雷松 ( \( {\mathrm{y}}_{\mathrm{{pbICOH}}},\Pi .\mathrm{C} \) . ) 于 1923 年证明的, 巴拿赫 (Banach, S. ) 和马祖尔 (Mazur, S. ) 指出, 函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 是万有空间.
等价范数 (equivalence of norms) 同一个线性空间上的两个范数之间的一种关系. 设 \( \parallel \cdot {\parallel }_{1} \) 和 \( \parallel \cdot {\parallel }_{2} \) 是线性空间 \( X \) 上的两个范数 (准范数),如果存在正数 \( {c}_{1},{c}_{2} \) ,使得对每个向量 \( x \in X \) 都有 \( {c}_{1}\parallel x{\parallel }_{1} \leq \parallel x{\parallel }_{2} \leq {c}_{2}\parallel x{\parallel }_{1} \) ,则称范数 (准范数) \( \parallel \cdot {\parallel }_{1} \) 与 \( \parallel \cdot {\parallel }_{2} \) 是等价的. 有限维空间上的任何两个范数必是等价的. 由于等价的范数确定相同的拓扑结构, 因而对由等价范数所确定的赋范空间, 当只考虑拓扑性质时可视为等同.
闭线性子空间 (closed linear subspace) 一类子空间. 赋范空间中的按范数导出的距离还是闭的线性子空间称为闭线性子空间.
商赋范线性空间 (quotiently normed linear space) 由赋范线性空间与其闭子空间诱导出的新的赋范线性空间. 设 \( E \) 是赋范线性空间 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 的闭线性子空间,对于商空间 \( X/E \) 中每个元 \( \widetilde{x} \) ,规定范数
\[
\parallel \widetilde{x}\parallel = \mathop{\inf }\limits_{{y \in \widetilde{x}}}\parallel y\parallel
\]
则 \( X/E \) 成为赋范线性空间,称为商赋范线性空间, 这个范数称为原来范数的诱导范数. 如果 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是巴拿赫空间,则商空间 \( X/E \) 按诱导范数也是巴拿赫空间.
赋范线性空间的直和 (direct sum of normed linear spaces) 由两个赋范 (赋准范) 线性空间诱导出的新的赋范 (赋准范) 空间. 设 \( {X}_{1},{X}_{2} \) 都是赋范 (赋准范) 线性空间,对直接和 \( X = {X}_{1} + {X}_{2} \) 中的元 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \) ,定义范数 (准范数) \( \begin{Vmatrix}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix} \) \( + \begin{Vmatrix}{x}_{2}\end{Vmatrix} \) ,则 \( X = {X}_{1} + {X}_{2} \) 成为赋范 (赋准范) 线性空间. 当 \( {X}_{1},{X}_{2} \) 完备时, \( X \) 也是完备的. 另外,在 \( X \) \( = {X}_{1} + {X}_{2} \) 中也常取下面的等价的范数 (准范数):
\[
\begin{Vmatrix}\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \end{Vmatrix} = {\left( {\begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix}}^{2} + {\begin{Vmatrix}{x}_{2}\end{Vmatrix}}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
类似可定义任意有限多个赋范线性空间的直和.
赋范线性空间的共轭空间 (conjugate space of normed linear space) 赋范线性空间上连续线性泛函的全体. 赋范线性空间 \( X \) 上连续 (或等价地,有界) 线性泛函的全体,记为 \( {X}^{ * } \cdot {X}^{ * } \) 按泛函的线性运算及泛函的范数构成一个巴拿赫空间,称 \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的共轭空间,有时也称为 \( X \) 的伴随空间或对偶空间. \( {X}^{ * } \) 的共轭空间 \( {X}^{* * } = {\left( {X}^{ * }\right) }^{ * } \) 称为 \( X \) 的二次共轭空间,连续下去还有三次共轭空间 \( {X}^{* * * } \) ,四次共轭空间等. 由于经典分析的需要, 例如在矩量问题、 偏微分方程理论等方面都会遇到对偶空间, 以及泛函分析本身的需要,显然通过 \( {X}^{ * } \) 能更好地理解 \( X \) . 于是人们研究了 \( X \) 与 \( {X}^{ * } \) 之间的关系,这就是所谓的对偶理论.
赋范线性空间的伴随空间 (adjoint space of normed linear space) 即 “赋范线性空间的共轭空间”.
赋范线性空间的对偶空间 (dual space of normed linear space) 即“赋范线性空间的共轭空间”.
哈恩-巴拿赫延拓定理 (Hahn-Banach extension theorem) 亦称线性泛函延拓定理. 将线性子空间上的线性泛函延拓到整个空间的一个著名定理. 设 \( p\left( x\right) \) 是线性空间 \( E \) 上的半范数, \( {E}_{0} \) 是 \( E \) 的线性子空间,如果在 \( {E}_{0} \) 上定义的线性泛函 \( f\left( x\right) \) 满足 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \leq p\left( x\right) \) ,则能把 \( f\left( x\right) \) 延拓到全空间 \( E \) 上并使得上面不等式在 \( E \) 上仍成立. 把此定理应用到赋范线性空间 \( X \) 有下列结论:
1. 设 \( M \) 是 \( X \) 的线性子空间,则 \( M \) 上任何一个有界线性泛函都可保持范数不增大地延拓为 \( X \) 上有界线性泛函.
2. 对任一非零向量 \( {x}_{0} \in X \) ,存在 \( X \) 上的有界线性泛函 \( {f}_{0} \) ,满足 \( {f}_{0}\left( {x}_{0}\right) = \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix},\begin{Vmatrix}{f}_{0}\end{Vmatrix} = 1 \) .
3. 对 \( X \) 的任一闭线性子空间 \( M \) 及向量 \( {x}_{0} \in \) \( X \smallsetminus M \) ,存在 \( X \) 上的有界线性泛函 \( {f}_{0} \) ,使得 \( {f}_{0}\left( {x}_{0}\right) \) \( > 1,\begin{Vmatrix}{f}_{0}\end{Vmatrix} < {d}^{-1} \) ,且当 \( x \in M \) 时恒有 \( f\left( x\right) = 0 \) ,而
\( d = \mathop{\inf }\limits_{{x \in M}}\begin{Vmatrix}{{x}_{0} - x}\end{Vmatrix} \) (即 \( {x}_{0} \) 到 \( M \) 的距离).
哈恩-巴拿赫延拓定理是泛函分析中的一个重要定理, 它是研究对偶理论的主要工具, 它保证了赋范线性空间的对偶空间是非平凡的.
线性泛函延拓定理 (extension theorem of linear functionals) 即“哈恩-巴拿赫延拓定理”.
扩张性质 (extensionality of Banach space) 关于泛函扩张定理推广到有界线性算子而引入的一个概念. 设 \( M \) 是赋范线性空间 \( X \) 的任意线性子空间, 若由 \( M \) 到巴拿赫空间 \( Y \) 的每个有界线性算子 \( {T}_{0} \) 至少有一在 \( X \) 上的扩张 \( T \) ,即至少存在一个由 \( X \) 到 \( Y \) 的有界线性算子 \( T \) ,当 \( x \in M \) 时 \( {Tx} = {T}_{0}x \) ,使 \( \parallel T\parallel \) \( = \begin{Vmatrix}{T}_{0}\end{Vmatrix} \) ,则称 \( Y \) 具有扩张性质. 哈恩-巴拿赫定理意味着实数空间 \( \mathrm{R} \) 具有扩张性质. 巴拿赫空间 \( Y \) 具有扩张性质的充分必要条件是: 对于任何包含 \( Y \) 为其赋范线性子空间的每个赋范线性空间 \( {Y}_{0} \) ,都存在一个由 \( {Y}_{0} \) 到 \( Y \) 的范数为 1 的射影算子. 这个结果是由纳赫宾 (Nachbin, L. ) 于 1950 年得到的.
巴拿赫极限 (Banach limit) 具有某种极限性质的线性泛函. 空间 \( {l}^{\infty } \) 中满足下列条件的线性泛函 \( F \) 称为巴拿赫极限或广义极限: 对任何 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \in {l}^{\infty } \) ,有
1. \( F\left( \left\{ {a}_{n}\right\} \right) = F\left( \left\{ {a}_{n + 1}\right\} \right) \) .
2. 如果 \( {a}_{n} \geq 0\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,则 \( F\left( \left\{ {a}_{n}\right\} \right) \geq 0 \) .
3. 如果 \( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 是实数列,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} \leq F\left( \left\{ {a}_{n}\right\} \right) \leq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}.
\]
4. 如果 \( \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} \) 存在,则 \( F\left( \left\{ {a}_{n}\right\} \right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} \) .
\( \left\{ {a}_{n}\right\} \) 的巴拿赫极限常记为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}\text{或 l.i.m.}{a}_{n}\text{.}
\]
由哈恩-巴拿赫延拓定理可证巴拿赫极限的存在性.
广义极限 (generalized limit) 即 “巴拿赫极限”.
里斯引理 (Riesz lemma) 揭示闭子空间与单位球面上某点的距离性质的重要引理. 设 \( Y \) 是赋范线性空间 \( X \) 的闭线性真子空间,则对任何 \( \varepsilon \in \) \( \left( {0,1}\right) \) ,存在 \( x \in X,\parallel x\parallel = 1 \) ,使得 \( d\left( {x, Y}\right) \geq \varepsilon \) ,其中
\[
d\left( {x, Y}\right) = \inf \{ \parallel x - y\parallel \mid y \in Y\} .
\]
上述引理是里斯 (Riesz, F. ) 于 1918 年得到的, 它在泛函分析中有着广泛的应用. 例如, 由里斯引理可得,赋范线性空间 \( X \) 的每一个有界闭集是紧的当且仅当 \( X \) 是有限维空间.
1975 年, 考特曼 (Kottman, C. A. ) 把里斯引理向前大大推进了一步: 设 \( X \) 是无穷维赋范线性空间,则存在点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset X,\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix} = 1 \) ,使得当 \( m \neq n \) 时,有 \( \begin{Vmatrix}{{x}_{m} - {x}_{n}}\end{Vmatrix} > 1 \) . 考特曼的这一定理在巴拿赫空间局部理论的研究中有重要作用, 特别是在填球问题 (parking problem) 中扮演重要角色.
巴拿赫空间的同胚问题 (homemorphism problem of Banach spaces) 巴拿赫空间同胚理论中的一个重要问题. 弗雷歇 (Fréchet, M. -R. ) 和巴拿赫 (Banach, S. ) 提出下述问题: 是否所有无穷维可分巴拿赫空间彼此都是同胚的, 这就是所谓巴拿赫空间的同胚问题. 卡舍茨 (Kaдеu, M. M. ) 于 1953 年指出,空间 \( {l}^{1} \) 和 \( {c}_{0} \) 是同胚的. 1958 年,他又指出,一切无穷维自反的可分巴拿赫空间同胚于 \( {l.1960} \) 年,贝萨伽 (Bessaga, C. ) 和陪尔钦斯基 (Pelczynski, A. ) 进一步证明了所有常见的无穷维可分的巴拿赫空间都同胚于 \( l.{1967} \) 年,卡舍茨证明了所有无穷维可分的巴拿赫空间彼此都同胚, 从而解决了巴拿赫空间的同胚问题. 至于是否每个不可分的巴拿赫空间都同胚于某个希尔伯特空间, 这是尚未解决的一个问题.
一致同胚 (uniform homeomorphism) 一致连续意义下的同胚映射. 设 \( X, Y \) 都是巴拿赫空间,若存在 \( X \) 到 \( Y \) 上的一一对应的映射 \( f \) ,使 \( f \) 和 \( {f}^{-1} \) 都是一致连续的,则巴拿赫空间 \( X \) 与 \( Y \) 称为一致同胚的. 若存在 \( X \) 到 \( Y \) 上的一对一的映射 \( f \) ,适合条件: 存在常数 \( C \geq 1 \) ,使对任意 \( x, y \in X \) ,都有
\[
{C}^{-1}\parallel x - y\parallel \leq \parallel f\left( x\right) - f\left( y\right) \parallel
\]
\[
\leq C\parallel x - y\parallel
\]
则 \( X \) 与 \( Y \) 称为李普希茨同胚的. 如果两个巴拿赫空间是李普希茨同胚的, 那么它们必是一致同胚的.
关于巴拿赫空间理论有下述基本问题: 两个一致同胚 (或李普希茨同胚) 的巴拿赫空间是否一定是线性同胚的? 1978 年, 阿哈罗尼 (Aharoni, I. |
2000_数学辞海（第3卷） | 70 | 赫空间的同胚问题 (homemorphism problem of Banach spaces) 巴拿赫空间同胚理论中的一个重要问题. 弗雷歇 (Fréchet, M. -R. ) 和巴拿赫 (Banach, S. ) 提出下述问题: 是否所有无穷维可分巴拿赫空间彼此都是同胚的, 这就是所谓巴拿赫空间的同胚问题. 卡舍茨 (Kaдеu, M. M. ) 于 1953 年指出,空间 \( {l}^{1} \) 和 \( {c}_{0} \) 是同胚的. 1958 年,他又指出,一切无穷维自反的可分巴拿赫空间同胚于 \( {l.1960} \) 年,贝萨伽 (Bessaga, C. ) 和陪尔钦斯基 (Pelczynski, A. ) 进一步证明了所有常见的无穷维可分的巴拿赫空间都同胚于 \( l.{1967} \) 年,卡舍茨证明了所有无穷维可分的巴拿赫空间彼此都同胚, 从而解决了巴拿赫空间的同胚问题. 至于是否每个不可分的巴拿赫空间都同胚于某个希尔伯特空间, 这是尚未解决的一个问题.
一致同胚 (uniform homeomorphism) 一致连续意义下的同胚映射. 设 \( X, Y \) 都是巴拿赫空间,若存在 \( X \) 到 \( Y \) 上的一一对应的映射 \( f \) ,使 \( f \) 和 \( {f}^{-1} \) 都是一致连续的,则巴拿赫空间 \( X \) 与 \( Y \) 称为一致同胚的. 若存在 \( X \) 到 \( Y \) 上的一对一的映射 \( f \) ,适合条件: 存在常数 \( C \geq 1 \) ,使对任意 \( x, y \in X \) ,都有
\[
{C}^{-1}\parallel x - y\parallel \leq \parallel f\left( x\right) - f\left( y\right) \parallel
\]
\[
\leq C\parallel x - y\parallel
\]
则 \( X \) 与 \( Y \) 称为李普希茨同胚的. 如果两个巴拿赫空间是李普希茨同胚的, 那么它们必是一致同胚的.
关于巴拿赫空间理论有下述基本问题: 两个一致同胚 (或李普希茨同胚) 的巴拿赫空间是否一定是线性同胚的? 1978 年, 阿哈罗尼 (Aharoni, I. ) 和林登斯特劳斯 (Lindenstrauss, J. ) 否定地回答了这个问题.
李普希茨同胚 (Lipschitz homeomorphism) 见“一致同胚”.
巴拿赫-马祖尔距离 (Banach-Mazur distance) 巴拿赫空间局部理论中的一个基本概念. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间,若 \( X \) 与 \( Y \) 同构,即存在 \( X \) 到 \( Y \) 上的一对一的线性算子 \( T \) ,使 \( T \) 与 \( {T}^{-1} \) 都是连续的,则令 \( d\left( {X, Y}\right) = \inf \left\{ {\parallel T\parallel \cdot \begin{Vmatrix}{T}^{-1}\end{Vmatrix} \mid T}\right. \) 是 \( X \rightarrow Y \) 上的同构映射 \( \} \) ,其中,下确界是对 \( X \rightarrow Y \) 上的一切同构映射而取的; 若 \( X \) 与 \( Y \) 不同构,令 \( d\left( {X, Y}\right) = + \infty \) . 称 \( d\left( {X, Y}\right) \) 为巴拿赫空间 \( X \) 与 \( Y \) 之间的巴拿赫-马祖尔距离, 它是由巴拿赫 (Banach, S. ) 和马祖尔 (Mazur, S.) 于 1932 年引入的.
正规结构 (normal structure) 关于有界闭凸子集的点到该集的其他点的距离与该集的直径之间关系的一个概念. 设 \( A \) 是巴拿赫空间 \( X \) 的有界闭凸集, \( x \in A \) ,若 \( \sup \{ \parallel x - y\parallel \mid y \in A\} < \operatorname{diam}A \) ,则 \( x \) 称为 \( A \) 的非直径点. 设 \( V \) 为巴拿赫空间 \( X \) 的子集, 若 \( V \) 的每个有界闭凸子集都具有非直径点,则称 \( V \) 具有正规结构. 正规结构的概念在巴拿赫空间结构理论和非扩张映射的不动点存在性中均有应用.
自反的赋范线性空间 (reflexive normed linear space) 在自然嵌入下与其二次共轭空间相同的赋范线性空间. 设 \( X \) 是赋范线性空间,则每个 \( x \in X \) , 可视作 \( {X}^{ * } \) 上的线性泛函 \( {x}^{* * } \) : 对任一 \( f \in {X}^{ * } \) ,定义 \( {x}^{* * }\left( f\right) = f\left( x\right) \cdot {x}^{* * } \) 显然是有界的,且 \( \begin{Vmatrix}{x}^{* * }\end{Vmatrix} \) \( = \parallel x\parallel ,{x}^{* * } \) 称为由 \( x \) 生成的,映射 \( x \rightarrow {x}^{* * } \) 是 \( X \) 到 \( {X}^{* * } \) (称为 \( X \) 的二次共轭空间) 中的保范线性算子,其像域 (即值域) 记为 \( \widehat{X} \) ,于是 \( X \) 与 \( \widehat{X} \) 保范同构. 映射 \( x \rightarrow {x}^{* * } \) 称为 \( X \) 到 \( {X}^{* * } \) 中的自然嵌入,把 \( X \) 与 \( \widehat{X} \) 视为等同,便有 \( X \subset {X}^{* * } \) . 如果 \( X = {X}^{* * } \) ,就称 \( X \) 是自反的. 巴拿赫空间 \( X \) 自反当且仅当 \( {X}^{ * } \) 是自反的. 巴拿赫空间 \( {L}^{p}\left( \Omega \right) ,{l}^{p}\left( {1 < p < + \infty }\right) \) 是自反的, 而 \( L\left( \Omega \right), l \) 不是自反的.
自反空间的概念是由哈恩 (Hahn, H. ) 于 1927 年引入的, 他当时把这类空间称为正则的, 而自反的名称是劳赫 (Lorch, E. R. ) 于 1939 年给出的. 詹姆斯 (James, R. C. ) 于 1957 年对可分巴拿赫空间 \( X \) 证明了 \( X \) 自反的一个充分必要条件,是 \( X \) 上的每个有界线性泛函在 \( X \) 的闭单位球上都能达到上确界. 1964 年, 他又把可分性的要求去掉.
如上所述, 自反空间刻画了巴拿赫空间的一些重要性质. 在巴拿赫空间理论研究中往往就通过某些重要命题的成立来引进种种类型的巴拿赫空间.
詹姆斯空间 (James space) 詹姆斯 (James, R. C. ) 于 1951 年针对当时关于“巴拿赫空间 \( X \) 等距同构于 \( {X}^{* * } \) 推出 \( X \) 必自反”的猜测而构造的空间. 设 \( J \) 为满足下述条件的实数列 \( x = \left\{ {\xi }_{n}\right\} \) 所组成的实线性空间: \( x = \left\{ {\xi }_{n}\right\} \in J \) 当且仅当
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\xi }_{n} = 0
\]
并且
\[
\parallel x\parallel = \sup \left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left( {\xi }_{{k}_{{2i} - 1}} - {\xi }_{{k}_{2i}}\right) }^{2}}\right.
\]
\[
{\left. +{\left( {\xi }_{{k}_{{2n} + 1}}\right) }^{2}\right\rbrack }^{\frac{1}{2}} < + \infty
\]
(1)
其中上确界是对一切 \( n \) 及所有可能的有限多个正整数 \( {k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{{2n} + 1}\left( {{k}_{1} < {k}_{2} < \cdots < {k}_{{2n} + 1}}\right) \) 取的; 由 (1) 所规定的 \( \parallel \cdot \parallel \) 为 \( J \) 上的范数,并且按此范数构成一个巴拿赫空间. 巴拿赫空间 \( J \) 称为詹姆斯空间. 有以下结论:
## 1. \( J \) 为可分的巴拿赫空间.
\( 2.J \) 与 \( {J}^{* * } \) 等距同构,但 \( J \) 并不自反.
因此, 在巴拿赫空间自反性的定义中必须强调在自然 (典则) 映射下, \( X = {X}^{* * } \) . 泛函分析中许多反例的构造常用到詹姆斯空间.
次自反空间 (sub-reflexive space) 自反空间概念的推广. 设 \( X \) 是赋范线性空间,若 \( {X}^{ * } \) 中在 \( X \) 的闭单位球上达到范数的元素 \( f \) 的全体在 \( {X}^{ * } \) 中稠密 (按范数拓扑),则称 \( X \) 是次自反的. 每个巴拿赫空间都是次自反的.
弱紧生成空间 (space generated by a weakly compact subset) 自反空间和可分空间的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,若存在 \( X \) 的一个弱紧集 \( K \) ,使 \( X \) \( = \overline{\operatorname{span}}K \) ,则 \( X \) 称为弱紧生成空间. 有以下结论:
1. 自反空间和可分巴拿赫空间都是弱紧生成空间.
2. 罗森塔尔 (Rosenthal, H. P. ) 于 1974 年指出, 弱紧生成空间的闭子空间不必是弱紧生成空间.
超自反巴拿赫空间 (super-reflexive Banach space) 一类自反空间. 巴拿赫空间 \( X \) 称为超自反的,如果每个在 \( X \) 中有有限表示的巴拿赫空间 \( Y \) 都是自反的. 一个赋范空间 \( Y \) 称为在另一个赋范空间 \( X \) 中有有限表示是指: 如果对 \( Y \) 的任何有限维子空间 \( {Y}_{n} \) 和 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( X \) 中有限维子空间 \( {X}_{n} \) ,及可逆的连续线性算子 \( T : {Y}_{n} \rightarrow {X}_{n} \) ,使得
\[
\parallel T\parallel \cdot \begin{Vmatrix}{T}^{-1}\end{Vmatrix} < 1 + \varepsilon .
\]
超自反空间一定是自反空间. 两个线性同胚的巴拿赫空间具有相同超自反性. 超自反性和凸性的研究有密切的联系. 例如,巴拿赫空间 \( X \) 超自反的一个充分必要条件为,在 \( X \) 上可赋予与原范数等价的一致凸范数.
一致凸赋范线性空间 (uniformly convex normed linear space) 满足一致凸性的一类赋范线性空间. 赋范线性空间 \( \left( {X,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 称为是一致凸的,如果对任意的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得当 \( \parallel x\parallel \) \( \leq 1,\parallel y\parallel \leq 1 \) 并且 \( \parallel x - y\parallel \geq \varepsilon \) 时,必有 \( \parallel x + y\parallel \) \( \geq 2 - \delta \) 成立. \( {L}^{p}\left( {1 < p < + \infty }\right) \) 是一致凸的. 一致凸的巴拿赫空间是自反的.
一致凸空间是巴拿赫空间几何理论的一个重要概念, 它是克拉克松 (Clarkson, J. A. ) 于 1936 年为研究拉东-尼科迪姆性质而引入的, 他开创了从巴拿赫空间的几何结构出发来研究巴拿赫空间性质的方法. 巴拿赫空间的几何学近年来已成为巴拿赫空间理论研究中人们特别感兴趣的一个领域.
严格凸赋范线性空间 (strictly convex normed linear space) 满足严格凸性的一类赋范线性空间. 赋范线性空间 \( X \) 称为严格凸的,是指对任何 \( x \neq 0 \) 和 \( y \neq 0 \) ,如果 \( \parallel x + y\parallel = \parallel x\parallel + \parallel y\parallel \) ,则必有 \( x \) \( = {\alpha y},\alpha \) 为某一正数. 一致凸赋范空间必是严格凸的. 如果 \( {X}^{ * } \) 是严格凸的,则 \( X \) 内任一线性子空间 \( {X}_{0} \) 上的任一有界线性泛函必可惟一地保范延拓为全空间 \( X \) 上的有界线性泛函. 如果 \( X \) 自反,则上述命题之逆也成立. 赋范线性空间的严格凸性是一个重要的凸性概念, 它可用于最佳逼近的惟一性问题.
平性凸赋范线性空间 (flat convex normed linear space) 一类赋范线性空间. 赋范线性空间 \( (X \) , \( \parallel \cdot \parallel \) ) 称为是平性凸的,如果存在单位向量 \( {x}_{0},{y}_{0} \) \( \left( {{x}_{0} \neq {y}_{0}}\right) \) ,使得
\[
\begin{Vmatrix}\frac{{x}_{0} + {y}_{0}}{2}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}{x}_{0}\end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}{y}_{0}\end{Vmatrix} = 1.
\]
巴拿赫-萨克斯性质 (Banach-Saks property) 关于点列的算术平均值收敛的一个重要性质. 若巴拿赫空间 \( X \) 中的每个有界点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 有一子列 \( \left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\} \) , 使它的算术平均值按范数收敛于 \( X \) 中的一个元 \( {x}_{0} \) , 即
\[
\frac{{x}_{{n}_{1}} + {x}_{{n}_{2}} + \cdots + {x}_{{n}_{k}}}{k} \rightarrow {x}_{0} \in X\left( {k \rightarrow \infty }\right) ,
\]
则 \( X \) 称为具有巴拿赫-萨克斯性质. 若 \( X \) 中每个弱收敛的点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 有一子列 \( \left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\} \) ,使它的算术平均值按范数收敛于 \( X \) 中的一个元 \( {x}_{0} \) ,则 \( X \) 称为具有弱巴拿赫-萨克斯性质. 以下结论成立:
1. 若巴拿赫空间 \( X \) 有巴拿赫-萨克斯性质,则它必有弱巴拿赫-萨克斯性质.
2. 若巴拿赫空间 \( X \) 是超自反的,则 \( X \) 必有巴拿赫-萨克斯性质.
3. 若巴拿赫空间 \( X \) 具有巴拿赫-萨克斯性质, 则 \( X \) 必是自反的. 这是尼西乌拉 (Nishiura, T. ) 和瓦特曼 (Waterman, D. ) 于 1963 年证明的; 伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 于 1972 年指出, 逆命题并不成立.
弱巴拿赫-萨克斯性质 (weak Banach-Saks property) 见“巴拿赫-萨克斯性质”.
光滑巴拿赫空间 (smooth Banach space) 达到范数的泛函具有惟一性的巴拿赫空间. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( {x}_{0} \) 是 \( X \) 的单位向量,如果存在惟一的 \( f \) \( \in {X}^{ * },\parallel f\parallel = 1 \) 使得 \( f\left( {x}_{0}\right) = 1 \) ,则称 \( X \) 在 \( {x}_{0} \) 处是光滑的. 如果 \( X \) 在每个单位向量处都是光滑的,就称 \( X \) 是光滑的,或 \( X \) 有光滑的范数或 \( X \) 的范数是光滑的. 光滑性和严格凸性是对偶的两个性质: 如果 \( {X}^{ * } \) 是严格凸的,则 \( X \) 是光滑的; 如果 \( {X}^{ * } \) 是光滑的, 则 \( X \) 是严格凸的. 光滑性除了与严格凸性对偶外, 它还和范数的弱可微性 (参见 “加托微分”) 有紧密联系.
绍德尔基(Schauder bases) 有限维空间中基概念的一种推广. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( \left\{ {e}_{n}\right\} \) 是 \( X \) 中的点列,如果对任何 \( x \in X \) ,总存在惟一的数列 \( \left\{ {{a}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{N \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{x - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{N}{a}_{n}\left( x\right) {e}_{n}}\end{Vmatrix} = 0,
\]
即
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}\left( x\right) {e}_{n},
\]
则称 \( \left\{ {e}_{n}\right\} \) 为 \( X \) 中的绍德尔基或可数基,并称 \( X \) 为具有可数基的巴拿赫空间. 具有可数基的巴拿赫空间是可分的. 序列空间 \( {l}^{p}\left( {1 \leq p < + \infty }\right) ,{c}_{0}, c \) 以及函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {1 \leq p < + \infty }\right) \) 等都是有可数基的巴拿赫空间.
绍德尔基是绍德尔 (Schauder, J. P. ) 于 1927 年提出的, 它是有限维空间中基的概念的一种推广. 1973 年, 恩夫洛 (Enflo, P. ) 举例说明即使巴拿赫空间是可分的也未必存在绍德尔基. 关于基的理论的研究已有很丰富的内容.
可数基 (countable basis) 即 “绍德尔基”.
对偶向量族 (dual family of vectors) 分别来自赋范线性空间与其共轭空间的满足一定条件的一对子集. 设 \( X \) 是赋范线性空间, \( {X}^{ * } \) 为其共轭空间. 如果 \( X \) 的子集 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 和 \( {X}^{ * } \) 的子集 \( \left\{ {{f}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 满足条件 \( {f}_{\alpha }\left( {x}_{\beta }\right) = {\delta }_{\alpha \beta } \) ,这里
\[
{\delta }_{\alpha \beta } = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {\alpha = \beta }\right) , \\ 0 & \left( {\alpha \neq \beta }\right) , \end{array}\right.
\]
则称 \( \left( {\left\{ {x}_{a}\right\} ,\left\{ {f}_{a}\right\} }\right) \) 为对偶向量族,或双正交系. 此概念对于巴拿赫空间中有关基的理论的研究有用.
双正交系 (biorthogonal system) 即 “对偶向量族”.
巴拿赫空间中的级数 (series of Banach space) 数学分析中级数概念的推广. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset X \) ,若对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在正整数 \( N \) ,使当 \( m > n \) \( \geq N \) 时
\[
\begin{Vmatrix}{\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{m}{x}_{k}}\end{Vmatrix} < \varepsilon \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{m}\begin{Vmatrix}{x}_{k}\end{Vmatrix} < \varepsilon }\right) ,
\]
则称级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}
\]
收敛 (绝对收敛). 如果对正整数集的每个重排 \( \pi \) ,级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{\pi \left( k\right) }
\]
都是收敛的, 就称级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}
\]
是无条件收敛的. 显然, 级数的绝对收敛性蕴涵无条件收敛性. 巴拿赫空间中的无条件收敛级数为绝对收敛的充分必要条件是该 |
2000_数学辞海（第3卷） | 71 | lta }_{\alpha \beta } = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {\alpha = \beta }\right) , \\ 0 & \left( {\alpha \neq \beta }\right) , \end{array}\right.
\]
则称 \( \left( {\left\{ {x}_{a}\right\} ,\left\{ {f}_{a}\right\} }\right) \) 为对偶向量族,或双正交系. 此概念对于巴拿赫空间中有关基的理论的研究有用.
双正交系 (biorthogonal system) 即 “对偶向量族”.
巴拿赫空间中的级数 (series of Banach space) 数学分析中级数概念的推广. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset X \) ,若对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在正整数 \( N \) ,使当 \( m > n \) \( \geq N \) 时
\[
\begin{Vmatrix}{\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{m}{x}_{k}}\end{Vmatrix} < \varepsilon \left( {\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{m}\begin{Vmatrix}{x}_{k}\end{Vmatrix} < \varepsilon }\right) ,
\]
则称级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}
\]
收敛 (绝对收敛). 如果对正整数集的每个重排 \( \pi \) ,级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{\pi \left( k\right) }
\]
都是收敛的, 就称级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{x}_{k}
\]
是无条件收敛的. 显然, 级数的绝对收敛性蕴涵无条件收敛性. 巴拿赫空间中的无条件收敛级数为绝对收敛的充分必要条件是该空间为有限维的, 这就是著名的德窖特茨基-罗杰斯定理. 巴拿赫空间中级数的收敛性与基的研究有紧密的联系.
级数的收敛 (convergence of series) 见 “巴拿赫空间中的级数”.
级数的绝对收敛 (absolute convergence of series) 见“巴拿赫空间中的级数”.
级数的无条件收敛 (unconditional convergence of series) 见“巴拿赫空间中的级数”.
基的等价性 (equivalence of bases) 指两个基能在某个线性同胚映射下保持一一对应. 设 \( X, Y \) 都是巴拿赫空间, \( \left\{ {x}_{n}\right\} ,\left\{ {y}_{n}\right\} \) 分别是 \( X, Y \) 中的绍德尔基. 若存在线性同胚映射 \( T : X \rightarrow Y \) ,使对每一个 \( n \) , 均有 \( T{x}_{n} = {y}_{n} \) ,则 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 与 \( \left\{ {y}_{n}\right\} \) 称为等价的.
无条件基 (unconditional base) 一种与级数的无条件收敛概念紧密相关的基. 设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的绍德尔基,若对每一 \( x \in X \) ,级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{f}_{n}\left( x\right) {x}_{n}
\]
都是无条件收敛的,则 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 称为无条件基,其中 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 与 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是双正交系. 若 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 不是无条件基,就称它为条件基. 亨内费尔德 (Hennefeld, J. ) 于 1973 年证明了对于巴拿赫空间的无条件基, 只有下列三种可能情况: 没有, 仅有一个 (在等价意义下), 有不可数个. 林登斯特劳斯 (Lindenstrauss, J. ) 和齐平 (Zippin, M. ) 指出,如果巴拿赫空间 \( X \) 有惟一的无条件基 (在等价的意义下),那么 \( X \) 必定线性同胚于空间 \( {c}_{0}, l \) 或 \( {l}^{2} \) 中的一个. 因此,在线性同胚意义下,有而且只有巴拿赫空间 \( {c}_{0}, l \) 或 \( {l}^{2} \) 有惟一的无条件基.
条件基 (conditional base) 见 “无条件基”. 陪尔钦斯基 (Pelczyrski, A. ) 和辛格 (Singer, I. M. ) 于 1964 年指出, 关于巴拿赫空间中的条件基, 或者没有, 或者有不可数多个.
逼近问题 (approximation problem) 巴拿赫空间理论中的一个重要问题. 设 \( X \) 是巴拿赫空间,若对 \( X \) 的每个紧子集 \( K \) 及每个 \( \varepsilon > 0 \) ,都存在有限秩线性算子 \( T : X \rightarrow X \) (即
\[
{Tx} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{f}_{i}\left( x\right) {x}_{i}
\]
对某组 \( {\left\{ {x}_{i}\right\} }_{i = 1}^{n} \subset X,{\left\{ {f}_{i}\right\} }_{i = 1}^{n} \subset {X}^{ * },\forall x \in X \) ),对每个 \( x \) \( \in K \) ,均有 \( \parallel {Tx} - x\parallel < \varepsilon \) ,则称巴拿赫空间 \( X \) 具有逼近性质. 是否每个可分巴拿赫空间都有逼近性质, 这就是所谓逼近问题. 若巴拿赫空间 \( X \) 有绍德尔基,则 \( X \) 必有逼近性质. 因此,若基问题的回答是肯定的, 则逼近问题的回答也是肯定的; 若逼近问题是否定的, 则基问题也是否定的. 恩夫洛 (Enflo, P. ) 找到了一个可分自反巴拿赫空间不具有逼近性质, 从而既解决了逼近问题, 也解决了基问题.
逼近性质 (approximation property) 见 “逼近问题”.
埃伯莱因-斯穆良定理 (Eberlein-Šmulian theorem) 揭示巴拿赫空间的子集弱紧与弱序列紧相同的重要定理. 巴拿赫空间的子集是相对弱紧的当且仅当它是相对弱序列紧的. 特别地, 巴拿赫空间的子集是弱紧的当且仅当它是弱序列紧的. 上述定理是埃伯莱因 (Eberlein, F. ) 和斯穆良 (Šmulian, V. ) 于 1947 年得到的, 它在泛函分析中有着广泛的应用.
德 窨 特 茨基-罗杰斯定理 (Dvoretzky-Rogers theorem) 见“巴拿赫空间中的级数”.
内积空间 (inner product space) 具有内积运算的线性空间,是 \( n \) 维欧氏空间的无限维推广. 设 \( K \) 是实数域或复数域, \( H \) 是 \( K \) 上线性空间,如果对 \( H \) 中任何两个向量 \( x, y \) ,都对应着一个数 \( \left( {x, y}\right) \in K \) , 满足条件:
1. (共轭对称性) 对任意的 \( x, y \in H \) ,有
\[
\left( {x, y}\right) = \overline{\left( y, x\right) }\text{.}
\]
2. (对第一变元的线性性) 对任何 \( x, y, z \in H \) 及 \( \alpha ,\beta \in K \) ,有 \( \left( {{\alpha x} + {\beta y}, z}\right) = \alpha \left( {x, z}\right) + \beta \left( {y, z}\right) \) .
3. (正定性) 对一切 \( x \in H \) ,有 \( \left( {x, x}\right) \geq 0 \) 且
\[
\left( {x, x}\right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,
\]
这时 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 称为 \( H \) 中的内积,而称 \( H \) 为 (实或复) 内积空间, 或准希尔伯特空间. 令
\[
\parallel x\parallel = \sqrt{\left( x, x\right) },
\]
则按范数 \( \parallel \cdot \parallel, H \) 成为赋范线性空间. 设 \( (X \) , \( \parallel \cdot \parallel ) \) 是赋范线性空间, \( X \) 中能定义内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 并使 \( \parallel x\parallel = \sqrt{\left( x, x\right) } \) 恒成立的充分必要条件是 \( X \) 的范数 \( \parallel \cdot \parallel \) 满足下面的平行四边形公式: 对任何 \( x, y \in X, \)
\[
\parallel x + y{\parallel }^{2} + \parallel x - y{\parallel }^{2} = 2\left( {\parallel x{\parallel }^{2} + \parallel y{\parallel }^{2}}\right) .
\]
完备的内积空间称为希尔伯特空间, 希尔伯特空间 \( H \) 上连续线性泛函的全体记为 \( {H}^{ * } \) ,称 \( {H}^{ * } \) 为 \( H \) 的共轭空间. \( H \) 的共轭空间 \( {H}^{ * } \) 就是 \( H \) 本身. 事实上, 设 \( f \in {H}^{ * } \) ,则存在惟一向量 \( y \in H \) 使得对所有 \( x \) \( \in H \) 都成立着 \( f\left( x\right) = \left( {x, y}\right) \) ,且 \( \parallel f\parallel = \parallel y\parallel \) (里斯定理). 反之,对每个 \( y \in H,{f}_{y}\left( x\right) = \left( {x, y}\right) \) 确定了 \( H \) 上一个连续线性泛函 \( {f}_{y} \in {H}^{ * } \) . 做 \( H \) 到 \( {H}^{ * } \) 的映射 \( C \) 如下: \( C : y \rightarrow {f}_{y}\left( {y \in H}\right) \) ,则有
\[
C\left( {{\alpha y} + {\beta z}}\right) = \bar{\alpha }{Cy} + \bar{\beta }{Cz},
\]
即 \( C \) 实现了 \( H \) 与 \( {H}^{ * } \) 之间的保范共轭线性同构,在此同构意义下,把 \( {f}_{y} \) 与 \( y \) 视为等同,便得 \( {H}^{ * } = H \) . 这一性质也称为希尔伯特空间的自共轭性, 它在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用.
第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特 (Hilbert, D. ) 在研究积分方程时首先提出的, 他在平方可和的无穷实数列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 全体组成的空间 \( {l}^{2} \) 中规定了内积
\[
\left( {\left\{ {x}_{n}\right\} ,\left\{ {y}_{n}\right\} }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{x}_{n}{y}_{n},
\]
把空间 \( {l}^{2} \) 看做欧几里得空间向无穷维的推广,从而有效地解决了一类积分方程求解及本征展开问题. 不久冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 建立了一般希尔伯特空间的理论. 希尔伯特空间的概念和理论已被广泛应用于数学和物理的各个分支. 如积分方程、 微分方程、随机过程、函数论、调和分析、数学物理和量子物理等.
内积 (inner product) 见 “内积空间”.
希尔伯特空间 (Hilbert space) 见 “内积空间”.
希尔伯特空间的共轭空间 (dual of Hilbert space) 见“内积空间”.
施瓦兹不等式 (Schwarz inequality) 内积空间中两个元素的内积与两个元素范数之间的制约关系. 设 \( \left( {H,\left( {\cdot , \cdot }\right) }\right) \) 为内积空间,对任意的 \( x, y \in \) \( H \) ,不等式 \( {\left| \left( x, y\right) \right| }^{2} \leq \left( {x, x}\right) \cdot \left( {y, y}\right) \) 都成立,这个不等式称为施瓦兹不等式. 由施瓦兹不等式就可以如同欧几里得空间一样, 在内积空间中引入两个向量的夹角和垂直正交的重要概念, 而在一般赋范线性空间无法引进这些概念.
正交 (orthogonal) 亦称直交. 是欧几里得空间中垂直概念的推广. 设 \( \left( {H,\left( {\cdot , \cdot }\right) }\right) \) 是内积空间, \( x, y \in H \) ,如果 \( \left( {x, y}\right) = 0 \) ,就称 \( x \) 与 \( y \) 是正交的,或直交的,记为 \( x \bot y \) . 设 \( M, N \) 是 \( H \) 的子集,如果对每个 \( x \in M, y \in N \) 都有 \( \left( {x, y}\right) = 0 \) ,则称 \( M \) 与 \( N \) 正交, 记为 \( M \bot N.H \) 中所有与 \( M \) 正交的向量全体称为 \( M \) 的正交补,或直交补,记为 \( {M}^{ \bot } \) ,它是 \( H \) 中的闭线性子空间. 相互正交的两个向量 \( x, y \) 满足勾股定理:
\[
\parallel x + y{\parallel }^{2} = \parallel x{\parallel }^{2} + \parallel y{\parallel }^{2}.
\]
直交 (orthogonal) 即 “正交”.
直交补 (orthocomplementation orthocomple-ment, orthogonal complement) 见“正交”.
正交补 (orthogonal complement) 见“正交”.
正交投影 (orthogonal projection) 欧氏空间中向量投影概念的推广. 设 \( M \) 是内积空间 \( H \) 中的线性子空间, \( x \in H \) ,如果有 \( {x}_{0} \in M,{x}_{1} \bot M \) 使得 \( x \) \( = {x}_{0} + {x}_{1} \) ,就称 \( {x}_{0} \) 是 \( x \) 在子空间 \( M \) 上的投影,更完整地说是 “正交投影”或 \( x \) 在 \( M \) 上的 (投影) 分量. \( {x}_{0} \) 如果存在的话, 必是惟一的, 且
\[
\begin{Vmatrix}{x - {x}_{0}}\end{Vmatrix} = \mathop{\inf }\limits_{{y \in M}}\parallel x - y\parallel .
\]
如果 \( M \) 是 \( H \) 的完备子空间,则对任何 \( x \in H, x \) 在 \( M \) 上的正交投影惟一地存在. 这个结果称为投影定理, 它不仅在理论研究中, 而且在很多应用性科学, 如近似理论 (包括有限元方法)、预测理论、最优化等方面都有广泛的应用.
直交投影 (orthogonal projection) 即 “正交投影”.
规范正交系 (orthonormal system) 是数学分析中正交函数系概念的推广. 如果 \( F \) 是内积空间 \( H \) 中一族非零向量,且 \( F \) 中任意两个不同的向量都相互正交,则称 \( F \) 为 \( H \) 中的正交系或直交系. 如果正交系 \( F \) 中每个向量的范数都等于 1,就称 \( F \) 是规范正交系或正规正交系, 或就范正交系. 可分内积空间中的正交系, 至多只含可数个向量. 有了规范正交系, 就可以把傅里叶系数、傅里叶级数等概念推广到内积空间.
直交系 (orthogonal system) 见 “规范正交系”.
正交系 (orthogonal system) 见 “规范正交系”.
正规正交系 (orthonormal system) 即 “规范正交系”.
就范正交系 (orthonormal system) 即 “规范正交系”.
贝塞尔不等式 (Bessel inequality) 傅里叶级数的同名不等式的推广. 设 \( F \) 是内积空间 \( H \) 的一个规范正交系, \( F = \left\{ {{e}_{a} \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) ,则对任何向量 \( x \) \( \in H, x \) 关于 \( F \) 的傅里叶系数 \( \left( {x,{e}_{\alpha }}\right) \) 至多有可数个不为 0 , 且
\[
\mathop{\sum }\limits_{a}{\left| \left( x,{e}_{a}\right) \right| }^{2} \leq \parallel x{\parallel }^{2}
\]
必成立, 这个不等式称为贝塞尔不等式.
里斯-菲舍尔定理 (Riesz-Fischer theorem) 贝塞尔不等式的逆命题. 设 \( F = \left\{ {{e}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的规范正交系, \( F \) 张成的闭子空间为 \( E \) ; 又设 \( \left\{ {{c}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是一族数,满足
\[
\mathop{\sum }\limits_{{\alpha \in \Lambda }}{\left| {c}_{\alpha }\right| }^{2} < + \infty
\]
则必存在惟一的向量 \( x \in E \) ,使 \( x \) 关于 \( \left\{ {e}_{a}\right\} \) 的傅里叶系数是 \( \left\{ {c}_{a}\right\} \) ,即 \( {c}_{a} = \left( {x,{e}_{a}}\right) \) ,且
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{a \in \Lambda }}{c}_{a}{e}_{a}
\]
这一结论通常称为里斯-菲舍尔定理. 里斯 (Riesz, F. ) 和菲舍尔 (Fischer, E. S. ) 于 1907 年最早对特殊的希尔伯特空间 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \) 和规范正交系
\[
\left\{ {\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{nt}}}\right\}
\]
证明了这个定理.
完全正交系 (totally orthogonal system) 一种特殊的正交系,该系的正交补中只有零元素. 设 \( F = \) \( \left\{ {{e}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是内积空间 \( H \) 中的规范正交系,如果 \( {F}^{ \bot } \) \( = \{ 0\} \) ,则称 \( F \) 是 \( H \) 中的完全正交系. 如果对每个 \( x \) \( \in H, F \) 使帕塞瓦尔等式
\[
\parallel x{\parallel }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{a \in \Lambda }}{\left| \left( x,{e}_{a}\right) \right| }^{2}
\]
成立,就称 \( F \) 是完备正交系. 在希尔伯特空间中,下列三条等价:
1. \( F \) 是完全正交系.
2. \( F \) 是完备正交系.
3. 对每个 \( x \in H \) ,都能展开为傅里叶级数
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{{e}_{a} \in F}}\left( {x,{e}_{a}}\right) {e}_{a}.
\]
(参见本卷《调和分析》同名条.)
完备正交系 (complete orthogonal system) 见 “完全正交系”.
帕塞瓦尔等式 (Parseval identity) 见“完全正交系”.
正交和 (orthogonal sum) 是从内积空间的两个 (多个) 子空间产生新子空间的一种方式. 设 \( {M}_{1} \) , \( {M}_{2} \) 是内积空间 \( H \) 中互相正交的线性子空间,那么称子空间 \( M = \left\{ {{x}_{1} + {x}_{2} \mid {x}_{1} \in {M}_{1},{x}_{2} \in {M}_{2}}\right\} \) 为 \( {M}_{1} \) 与 \( {M}_{2} \) 的正交和或直交和. 设 \( {H}_{n} \) 为内积空间 \( (n = 1,2 \) , \( \cdots ) \) ,令
\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 72 | 个定理.
完全正交系 (totally orthogonal system) 一种特殊的正交系,该系的正交补中只有零元素. 设 \( F = \) \( \left\{ {{e}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是内积空间 \( H \) 中的规范正交系,如果 \( {F}^{ \bot } \) \( = \{ 0\} \) ,则称 \( F \) 是 \( H \) 中的完全正交系. 如果对每个 \( x \) \( \in H, F \) 使帕塞瓦尔等式
\[
\parallel x{\parallel }^{2} = \mathop{\sum }\limits_{{a \in \Lambda }}{\left| \left( x,{e}_{a}\right) \right| }^{2}
\]
成立,就称 \( F \) 是完备正交系. 在希尔伯特空间中,下列三条等价:
1. \( F \) 是完全正交系.
2. \( F \) 是完备正交系.
3. 对每个 \( x \in H \) ,都能展开为傅里叶级数
\[
x = \mathop{\sum }\limits_{{{e}_{a} \in F}}\left( {x,{e}_{a}}\right) {e}_{a}.
\]
(参见本卷《调和分析》同名条.)
完备正交系 (complete orthogonal system) 见 “完全正交系”.
帕塞瓦尔等式 (Parseval identity) 见“完全正交系”.
正交和 (orthogonal sum) 是从内积空间的两个 (多个) 子空间产生新子空间的一种方式. 设 \( {M}_{1} \) , \( {M}_{2} \) 是内积空间 \( H \) 中互相正交的线性子空间,那么称子空间 \( M = \left\{ {{x}_{1} + {x}_{2} \mid {x}_{1} \in {M}_{1},{x}_{2} \in {M}_{2}}\right\} \) 为 \( {M}_{1} \) 与 \( {M}_{2} \) 的正交和或直交和. 设 \( {H}_{n} \) 为内积空间 \( (n = 1,2 \) , \( \cdots ) \) ,令
\[
H = \left\{ {\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},\cdots }\right) \mid {x}_{n} \in {H}_{n},}\right.
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{n}\left. {{\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}^{2} < + \infty }\right\}
\]
在 \( H \) 中定义内积如下: 对 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},\cdots }\right), y \) \( = \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},\cdots }\right) \) ,令
\[
\left( {x, y}\right) = \mathop{\sum }\limits_{n}\left( {{x}_{n},{y}_{n}}\right) .
\]
于是 \( H \) 成为内积空间,如将每个 \( {H}_{i} \) 中向量 \( {x}_{i} \) 和 \( H \) 中向量 \( \left( {0,\cdots ,0,{x}_{i},0,\cdots }\right) \) 视为同一,则 \( {H}_{i} \) 就视为 \( H \) 的线性子空间,并且 \( \left\{ {H}_{i}\right\} \) 是 \( H \) 中相互正交的线性子空间,这样,通常称 \( H \) 为内积空间 \( \left\{ {H}_{n}\right\} \) 的正交和, 记为
\[
H = {\bigoplus }_{n}{H}_{n}
\]
当 \( {H}_{n} \) 都是希尔伯特空间时,
\[
H = {\bigoplus }_{n}{H}_{n}
\]
也是希尔伯特空间.
直交和 (orthogonal sum) 即 “正交和”.
正交化 (orthogonalization) 将线性无关向量系转化为正交系的过程. 设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是内积空间 \( H \) 中有限个或可列个线性无关的向量,则必定有 \( H \) 中的规范正交系 \( \left\{ {e}_{n}\right\} \) 使得对每个正整数 \( n \) (当 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 只含有 \( m \) 个向量,要求 \( n \leq m),{x}_{n} \) 是 \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{n} \) 的线性组合. 这种把线性无关向量系进行正交化的过程, 称为格拉姆-施密特正交化过程. 具体方法参见《线性代数》.
格拉姆-施密特正交化过程 (Gram-Schmidt orthogonalizing process) 见“正交化”.
内积空间的等距同构 (isometric isomorphism of inner product spaces) 指两个内积空间之间的一种相似性. 设 \( {H}_{1},{H}_{2} \) 为两个内积空间,如果存在 \( {H}_{1} \) 到 \( {H}_{2} \) 上的可逆线性算子 \( T \) ,使得对任何 \( x, y \) \( \in H \) ,都有 \( \left( {{Tx},{Ty}}\right) = \left( {x, y}\right) \) 成立,则称内积空间 \( {H}_{1} \) 和 \( {H}_{2} \) 是等距同构的. 任何可分的无限维希尔伯特空间必等距同构于 \( {l}^{2} \) .
规范正交基 (orthonormal basis) 完备的规范正交系. 设 \( H \) 为希尔伯特空间, \( H \) 的完备的规范正交系 \( F \) 称为 \( H \) 的规范正交基或正规正交基. \( F \) 的基数称为希尔伯特空间 \( H \) 的维数. 两个维数相同的希尔伯特空间是等距同构的. 规范正交基实际上是欧几里得空间中规范正交基的一种推广.
正规正交基 (orthonormal basis) 见 “规范正交基”.
可补空间 (complementary subspace) 希尔伯特空间中正交补的概念在巴拿赫空间中的推广. 设 \( Y \) 是巴拿赫空间 \( X \) 的闭子空间. 若存在一个从 \( X \) 到 \( Y \) 上的有界线性算子,则称 \( Y \) 在 \( X \) 中是可补的. \( X \) 的闭子空间 \( Y \) 在 \( X \) 中可补的充分必要条件为存在闭子空间 \( Z \subset X \) ,使 \( Y \cap Z = \{ 0\}, X = Y + Z \) ,即 \( X = Y \) \( \oplus Z \) . 希尔伯特空间 \( X \) 的每个闭子空间 \( M \) 必在 \( X \) 中可补. 巴拿赫 (Banach, S. ) 于 1932 年提出如下两个问题:
1. 空间 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {1 < p < + \infty, p \neq 2}\right) \) 的每个闭子空间 \( M \) 是否一定在 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中可补?
2. 空间 \( {l}^{p}\left( {1 < p < + \infty, p \neq 2}\right) \) 的每个闭子空间 \( M \) 是否一定在 \( {l}^{p} \) 中可补?
默里 (Murray, F. J. ) 于 1939 年指出, 这两个问题的答案都是否定的. 又, 巴拿赫和马祖尔 (Mazur, S. ) 于 1933 年指出, \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中存在不可补的子空间, 这是巴拿赫空间中存在不可补闭子空间的第一个例子. 林登斯特劳斯 (Lindenstrauss, J. ) 和扎弗里里 (Tzafriri, L. ) 于 1971 年进一步证明, 如果实巴拿赫空间 \( X \) 不等距同构于希尔伯特空间,那么 \( X \) 中必定存在不可补的闭子空间.
希尔伯特空间的维数 (dimension of Hilbert space) 见“规范正交基”.
半双线性泛函 (semi-bilinear functional) 线性空间上的一类二元泛函. 设 \( X \) 是实或复数域 \( K \) 上的线性空间, \( \varphi \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是 \( X \) 上取值于 \( K \) 中的二元泛函,如对任何 \( x, y, z \in X \) 及 \( \alpha ,\beta \in K \) ,成立
\[
\varphi \left( {{\alpha x} + {\beta y}, z}\right) = {\alpha \varphi }\left( {x, z}\right) + {\beta \varphi }\left( {y, z}\right) ,
\]
\[
\varphi \left( {x,{\alpha y} + {\beta z}}\right) = \bar{\alpha }\varphi \left( {x, y}\right) + \bar{\beta }\varphi \left( {x, z}\right) ,
\]
就称 \( \varphi \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是 \( X \) 上的半双线性泛函,如 \( \varphi \) 还满足 \( \varphi \left( {x, y}\right) = \varphi \left( {y, x}\right) \) ,就称 \( \varphi \) 是 \( X \) 上的埃尔米特双线性泛函 (当 \( K \) 为实数域时,也称为对称双线性泛函). 设 \( \varphi \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 是内积空间 \( H \) 上的双线性泛函. 如有正常数 \( C \) 使得对一切 \( x, y \in H \) ,都有
\[
\left| {\varphi \left( {x, y}\right) }\right| \leq C\parallel x\parallel \cdot \parallel y\parallel ,
\]
则称 \( \varphi \) 是有界的,并称
\[
\parallel \varphi \parallel = \mathop{\sup }\limits_{{\parallel x\parallel \leq 1,\parallel y\parallel \leq 1}}\left| {\varphi \left( {x, y}\right) }\right|
\]
为 \( \varphi \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 的范数. \( \varphi \) 有界的充分必要条件是 \( \varphi \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 二元连续. 设 \( A \) 是 \( H \) 上的线性算子,则称 \( \varphi \left( {x, y}\right) = \left( {{Ax}, y}\right) \) 为由算子 \( A \) 导出的双线性泛函. 希尔伯特空间上的有界双线性泛函必是 \( H \) 上的有界线性算子导出的, 且有界埃尔米特双线性泛函是由有界自伴算子导出的.
埃尔米特双线性泛函 (Hermitian bilinear functional) 见“半双线性泛函”.
对称双线性泛函 (symmetric bilinear functional) 见“半双线性泛函”.
二次泛函 (quadratic functional) 内积空间上的一类泛函. 设 \( H \) 是内积空间, \( \varphi \left( \cdot \right) \) 是 \( H \) 上的泛函, 满足:
1. 二次齐性: \( \varphi \left( {\alpha x}\right) = {\left| \alpha \right| }^{2}\varphi \left( x\right) \) ;
2. 平行四边形公式
\( \varphi \left( {x + y}\right) + \varphi \left( {x - y}\right) = 2\left( {\varphi \left( x\right) + \varphi \left( y\right) }\right) ; \)
则称 \( \varphi \left( \cdot \right) \) 是 \( H \) 上一个二次泛函. 如
\[
\parallel \varphi \parallel = \mathop{\sup }\limits_{{\parallel x\parallel = 1}}\left| {\varphi \left( x\right) }\right| < + \infty ,
\]
就称 \( \varphi \) 是有界二次泛函, \( \parallel \varphi \parallel \) 为 \( \varphi \) 的范数. 如对一切 \( x \in H,\varphi \left( x\right) \) 是实数,就称 \( \varphi \) 是实二次泛函. 设 \( \psi \left( {x, y}\right) \) 是 \( H \) 上的双线性泛函,令 \( \varphi \left( x\right) = \psi \left( {x, x}\right) \) ,则 \( \varphi \) 是 \( H \) 上二次泛函,称为由双线性泛函 \( \psi \) 导出的二次泛函. 进而,如果 \( \psi \) 是算子 \( A \) 导出的,就称 \( \varphi \) 是由算子 \( A \) 导出的二次泛函.
极化恒等式 (polarization identity) 联系内积与范数的一个重要的等式, 是用范数表示内积的公式. 设 \( H \) 是内积空间, \( \parallel \cdot \parallel \) 是由内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 导出的范数,下列等式常被称为极化恒等式: 当 \( H \) 是实空间时,
\[
\left( {x, y}\right) = \frac{1}{4}\left( {\parallel x + y{\parallel }^{2} - \parallel x - y{\parallel }^{2}}\right) ;
\]
当 \( H \) 是复空间时,
\[
\left( {x, y}\right) = \frac{1}{4}\left( {\parallel x + y{\parallel }^{2} - \parallel x - y{\parallel }^{2}}\right.
\]
\[
+ \mathrm{i}\parallel x + \mathrm{i}y{\parallel }^{2} - \mathrm{i}\parallel x - \mathrm{i}y{\parallel }^{2})\text{.}
\]
对于实内积空间上的双线性埃尔米特泛函以及复内积空间上的双线性泛函 \( \varphi \left( {x, y}\right) \) 也分别有类似于上述的恒等式.
不定度规空间 (indefinite inner product space) 亦称不定内积空间. 内积空间的推广. 设 \( H \) 为线性空间, \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack \) 是 \( H \) 上的一个双线性埃尔米特泛函, 称 \( \left( {H,\left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack }\right) \) 是拟不定度规空间. 设 \( x \in H \) ,当 \( x \) 分别满足 \( \left\lbrack {x, x}\right\rbrack > 0,\left\lbrack {x, x}\right\rbrack < 0,\left\lbrack {x, x}\right\rbrack = 0 \) 时,分别称 \( x \) 为正性、负性、零性 (或迷向) 向量. 设 \( L \) 是 \( H \) 的线性子空间,如果 \( L \) 中一切向量都是正性 (或负性,或零性) 的,则称 \( L \) 是 \( H \) 的正性 (或负性,或零性) 子空间; 如果 \( L \) 中一切 \( x \) 都满足 \( \left\lbrack {x, x}\right\rbrack \geq 0 \) (或 \( \left\lbrack {x, x}\right\rbrack \leq 0) \) ,则称 \( L \) 是 \( H \) 的半正 (或半负) 子空间. 对于 \( x, y \in H \) ,如果 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack = 0 \) ,称 \( x \) 与 \( y \) 相互正交, 记为 \( x \bot y \) . 同样可定义两个子集合 \( M \) 和 \( N \) 的正交概念. 子空间 \( L \) 若满足 \( L \cap {L}^{ \bot } = \{ 0\} \) ,则称 \( L \) 是非退化的. 非退化的拟不定度规空间称为不定度规空间.
1942 年, 不定度规空间概念出现在狄喇克 (Dirac, P. A. M. ) 有关量子场论的文章中, 后来庞特里亚金 (Понтрягин, л. C. ) 从研究力学问题的需要开始从数学上探讨不定度规空间上的算子理论, 1974 年, 波哥纳 (Bogner, J. ) 给出关于一般不定度规空间理论的第一本专著, 其上的线性算子也逐渐开始为人们所理解.
不定内积空间 (indefinite inner product space) 即“不定度规空间”.
正性向量 (positive vector) 见 “不定度规空间”.
负性向量 (negative vector) 见 “不定度规空间”.
迷向向量 (isotropic vector) 见 “不定度规空间”.
零性向量 (isotropic vector) 见 “不定度规空间”.
正性子空间 (positive subspace) 见“不定度规空间”.
负性子空间 (negative subspace) 见 “不定度规空间”.
零性子空间 (isotropic subspace) 见 “不定度规空间”.
半负子空间 (semi-negative subspace) 见“不定度规空间”.
半正子空间 (semi-positive subspace) 见 “不定度规空间”.
非退化子空间 (nondegenerate subspace) 见 “不定度规空间”.
庞特里亚金空间 (Pontriakin space) 特殊的不定度规空间. 设 \( {H}_{ - } \) 和 \( {H}_{ + } \) 分别是不定度规空间 \( H \) 的负性和正性子空间,并且 \( {H}_{ + } \) 和 \( {H}_{ - } \) 分别按内积 \( \pm \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack \) 成为希尔伯特空间. 如果有 \( H = \) \( {H}_{ - } \oplus {H}_{ + } \) ,则称它是 \( H \) 的正则分解. 设 \( H = {H}_{ - } \oplus \) \( {H}_{ + } \) 是不定度规空间 \( H \) 的一个正则分解,如果 \( \dim {H}_{ - } = k < + \infty \) (或 \( \dim {H}_{ + } = k < + \infty \) ),则称 \( \left( {H,\left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack }\right) \) 为具有负指标 \( k \) (正指标 \( k \) ) 的庞特里亚金空间,记为 \( {\Pi }_{k} \) ,如果 \( \dim {H}_{ \pm } = + \infty \) ,称 \( (H \) , \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack ) \) 为克列因空间,记为 \( \pi \) .
克列因空间 (Klein space) 见“庞特里亚金空间”.
庞特里亚金空间的正则分解 (regular decomposition of Pontriakin space) 见“庞特里亚金空间”.
## 广义函数
广义函数 (generalized function) 亦称分布. 定义在一类“性质很好”的函数空间上的连续线性泛函,它来源于量子力学中的狄喇克 \( \delta \) 函数,是经典的函数概念的推广. 考虑某个一维的温度分布 \( T\left( x\right) \) , “测得在点 \( {x}_{0} \) 的温度 \( T\left( {x}_{0}\right) \) ”是无法精确实现的,任何精密的仪器测量到的都至多是 \( {x}_{0} \) 附近温度的综合平均效应. 粗糙地说, 实际能测量的是值
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }T\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
这里 \( \varphi \) 表示 “综合平均”的权重. 各种各样的测量相当于 \( \varphi \) 在某个函数类 \( \mathcal{F} \) 中变化. 原则上说,人们要了解的 “点-点函数” \( T\left( x\right) \) 等于了解数集
\[
\left\{ {{\int }_{-\infty }^{+\infty }T\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x \mid \varphi \in \mathcal{F}}\right\} ,
\]
自然,这里的 \( \mathcal{F} \) 是一个充分大的函数类. |
2000_数学辞海（第3卷） | 73 | \cdot , \cdot }\right\rbrack }\right) \) 为具有负指标 \( k \) (正指标 \( k \) ) 的庞特里亚金空间,记为 \( {\Pi }_{k} \) ,如果 \( \dim {H}_{ \pm } = + \infty \) ,称 \( (H \) , \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack ) \) 为克列因空间,记为 \( \pi \) .
克列因空间 (Klein space) 见“庞特里亚金空间”.
庞特里亚金空间的正则分解 (regular decomposition of Pontriakin space) 见“庞特里亚金空间”.
## 广义函数
广义函数 (generalized function) 亦称分布. 定义在一类“性质很好”的函数空间上的连续线性泛函,它来源于量子力学中的狄喇克 \( \delta \) 函数,是经典的函数概念的推广. 考虑某个一维的温度分布 \( T\left( x\right) \) , “测得在点 \( {x}_{0} \) 的温度 \( T\left( {x}_{0}\right) \) ”是无法精确实现的,任何精密的仪器测量到的都至多是 \( {x}_{0} \) 附近温度的综合平均效应. 粗糙地说, 实际能测量的是值
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }T\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
这里 \( \varphi \) 表示 “综合平均”的权重. 各种各样的测量相当于 \( \varphi \) 在某个函数类 \( \mathcal{F} \) 中变化. 原则上说,人们要了解的 “点-点函数” \( T\left( x\right) \) 等于了解数集
\[
\left\{ {{\int }_{-\infty }^{+\infty }T\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x \mid \varphi \in \mathcal{F}}\right\} ,
\]
自然,这里的 \( \mathcal{F} \) 是一个充分大的函数类. 换言之, 对函数来说不必一定用经典方式, 即一定要知道每点 \( {x}_{0} \) 处相应的 \( T\left( {x}_{0}\right) \) ,而把函数看做作用于某个函数类 \( \mathcal{F} \) 上的泛函: \( \varphi \rightarrow \left( {T,\varphi }\right) \) ,其中
\[
\left( {T,\varphi }\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }T\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
最简单的泛函就是连续线性泛函. 广义函数就是某种函数空间上的连续线性泛函.
在泛函分析观念下的广义函数论中, 测试用的函数空间 \( \mathcal{F} \) 通常称为基本函数空间 (参见 “基本函数空间 \( K \) ”等). 由于 \( \mathcal{F} \) 的选择不同,因而出现不同空间上的广义函数, 有的是此空间上的广义函数, 而非另一空间上的广义函数,但一般总是选择 \( \mathcal{F} \) 是由性质既充分良好 (例如充分光滑的函数) 又充分多的函数构成的线性空间, 并按一定拓扑完备. 如此选择的目的无非是使得相当多的普通函数都能视为广义函数, 更重要的目的是使广义函数具有预期的很好的分析性质 (如可微性, 逐项可微性等).
广义函数是泛函分析的一个重要分支, 被广泛应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各分支, 例如微分方程、随机方程、流形理论等. 它还被应用到群的表示理论, 特别是它有力地促进了偏微分方程近 30 年来的发展. 最早用泛函分析观点为广义函数论建立起一整套严格理论, 是由施瓦兹 (Schwarz, L.)于 1945 年实现的.
分布 (distribution) 即 “广义函数”.
狄喇克 \( \delta \) 函数 (Dirac \( \delta \) -function) 广义函数的物理原型之一. 理论物理学家狄喇克 (Dirac, P. A. M. ) 在量子物理的研究需要中提出了如下一种怪函数:
\[
\delta \left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} + \infty & \left( {x = 0}\right) , \\ 0 & \left( {x \neq 0}\right) . \end{array}\right.
\]
但对任何连续函数 \( \varphi \left( x\right) \) ,都有
\[
{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta \left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x = \varphi \left( 0\right) .
\]
从数学上经典函数概念 (即点对应函数值) 和积分理论来看, 这是无法理解的. 然而物理学家却大胆使用上述这类怪函数去研究瞬时作用以及点电荷、偶极子作用等问题, 把它当成普通函数去做求导和求傅里叶变换等运算, 而所得数学结论与物理现实有惊人的吻合. 这就引起了数学家的重视, 促使他们去合理地解释这种怪函数. 如果引入特殊的直线质量分布 (在 \( x = 0 \) 点置单位质量,其余地方置零质量) 的分布函数 \( F\left( x\right) \) (表示 \( \left( {-\infty, x}\right) \) 的总质量):
\[
F\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {x \leq 0}\right) \\ 1 & \left( {x > 0}\right) \end{array}\right.
\]
的密度函数, 就可把难以理解的
\[
\int \varphi \left( x\right) \delta \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
理解为普通的黎曼-斯蒂尔杰斯积分
\[
\int \varphi \left( x\right) \mathrm{d}F\left( x\right) \text{.}
\]
所以广义函数论又称为分布理论. 后来, 泛函分析对这类怪函数提供了更完善的理解方式, 泛函分析观念下的广义函数论就是把这类怪函数理解为某类性质良好的函数构成的基本函数空间上的连续线性泛函. 用分布的观念为这些怪函数建立基础比较直观, 但对于复杂情况就显得繁琐而且不明确了.
狄喇克分布 (Dirac distribution) 即“狄喇克 \( \delta \) 函数”.
基本函数空间 \( K \) (fundamental function space \( K \) ) 一类测试函数. 设 \( \varphi \) 是定义在 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的函数,称 \( \left\{ {x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid \varphi \left( x\right) \neq 0}\right\} \) 的闭包为 \( \varphi \) 的支集,记为 \( \operatorname{supp}\varphi \) . 设 \( p = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {p}_{n}\right) \) 为非负整数组,记
\[
\left| p\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{p}_{i},\;{\mathrm{D}}^{p} = \frac{{\partial }^{\left| p\right| }}{\partial {x}_{1}^{{p}_{1}}\partial {x}_{2}^{{p}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{p}_{n}}},
\]
当 \( {p}_{j} = 0 \) 时,表示不对 \( {x}_{j} \) 求偏导. 特别地,记 \( 0 = (0 \) , \( 0,\cdots ,0),{\mathrm{D}}^{0}\varphi = \varphi \) . 设 \( K \) (或记为 \( \mathcal{D} \) ) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上无限次可微而且有紧支集的函数全体, 在通常的线性运算下成为线性空间. 设函数列 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \subset K,\varphi \in K \) ,如果:
1. 存在有界集 \( \Omega \) ,使得 \( \operatorname{supp}{\varphi }_{m} \subset \Omega (m = 1,2 \) , \( \cdots ) \) ,即 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 的支集一致有界;
2. 对任何 \( p,\left\{ {{D}^{p}{\varphi }_{m}}\right\} \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上一致收敛于 \( {\mathrm{D}}^{p}\varphi \) ; 则称 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 在 \( K \) 中收敛于 \( \varphi \) ,记为
\[
{\varphi }_{m}\overset{K}{ \rightarrow }\varphi
\]
按上述线性运算和极限运算,称 \( K \) 是一个基本函数空间,而 \( K \) 中每个函数为基本函数或测试函数. \( K \) 是非空的,例如对任何 \( a > 0 \) ,
\[
\varphi \left( {x, a}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {\mathrm{e}}^{-\frac{{a}^{2}}{{a}^{2} - {\left| x\right| }^{2}}} & \left( {\left| x\right| < a}\right) , \\ 0 & \left( {\left| x\right| \geq a}\right) \end{array}\right.
\]
是 \( K \) 中的函数,其中
\[
\left| x\right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left| {x}_{i}\right| }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}.
\]
设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界闭集, \( K \) 中支集包含在 \( \Omega \) 中的函数全体记为 \( {K}_{\Omega } \) ,它是线性空间,且按半范数
族 \( \left\{ {{p}_{\Omega, m} \mid m = 1,2,\cdots }\right\} \) 成为局部凸拓扑线性空间,其中
\[
{p}_{\Omega, m}\left( f\right) = \mathop{\sup }\limits_{{\left| p\right| \leq m, x \in \Omega }}\left| {{\mathrm{D}}^{p}f\left( x\right) }\right| .
\]
基本函数空间 \( K \) 恰是一切 \( {K}_{\Omega } \) 的严格归纳极限.
广义函数空间 \( {K}^{\prime } \) (generalized function space \( \left. {K}^{\prime }\right) \) 基本函数空间上连续线性泛函的全体. 基本函数空间 \( K \) 上连续线性泛函的全体称为广义函数空间 \( {K}^{\prime } \) (或记为 \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) ). 按通常线性运算, \( {K}^{\prime } \) 是一线性空间,由于 \( {K}^{\prime } \) 是 \( K \) 的共轭空间,所以在 \( {K}^{\prime } \) 中可以引入弱 * 拓扑.
正则广义函数 (regular generalized function)
可以看做局部可积的普通函数的广义函数. 设 \( f \) 是 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的可测函数,如果对任何有界可测集 \( M, f \) 在 \( M \) 上勒贝格可积,则称 \( f \) 是局部可积函数,用 \( {L}_{\mathrm{{loc}}} \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的局部可积函数全体,并将几乎处处相等的函数视为同一函数. 这样, 对每个 \( f \in {L}_{\mathrm{{loc}}} \) ,可以定义 \( K \) 上的连续泛函 (即 \( K \) 上广义函数)
\[
{T}_{f} : \varphi \rightarrow \left\langle {{T}_{f},\varphi }\right\rangle = \int f\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
\left( {x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,\varphi \in K}\right) .
\]
称 \( {T}_{f} \) 为相应于 \( f \) 的 \( K \) 上的广义函数. 映射 \( f \rightarrow {T}_{f} \) 是单射,如果把 \( f \) 就直接视为 \( {T}_{f} \) ,常称 \( f \) 是 \( K \) 上的正则广义函数. 换言之,广义函数空间 \( {K}^{\prime } \) 中那些由局部可积的普通函数 \( f \) 产生的广义函数 \( {T}_{f} \) 称为正则广义函数. 类似地, 在其他基本函数空间上也可引入正则广义函数.
局部可积函数 (locally integrable function) 见“正则广义函数”.
\( \delta \) 式函数列 (function sequence of \( \delta \) -type) 以 \( \delta \) 函数为极限的局部可积函数列. 设 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上一列局部可积函数,而且按广义函数空间 \( {K}^{\prime } \) 中的弱 \( * \) 拓扑, \( {f}_{n} \rightarrow \delta \left( {n \rightarrow \infty }\right) \) ,其中 \( \delta \) 是狄喇克 \( \delta \) 函数,则称 \( \left\{ {f}_{n}\right\} \) 是 \( \delta \) 式函数列.
广义函数的导数 (derivative of generalized function) 函数导数概念在广义函数类上的推广. 设 \( F \) 是基本函数空间 \( K \) 上的广义函数,称 \( K \) 上的连续线性泛函 (即广义函数):
\[
\varphi \rightarrow - \left\langle {F,\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\varphi }\right\rangle
\]
为广义函数 \( F \) 对 \( {x}_{j} \) 的广义偏导数,记为
\[
\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}F
\]
即对任何 \( \varphi \in K \) ,
\[
\left\langle {\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}F,\varphi }\right\rangle = - \left\langle {F,\frac{\partial }{\partial {x}_{j}}\varphi }\right\rangle .
\]
按上述定义, 广义函数各阶偏导数存在, 且仍是广义函数, 同时可以交换广义函数的求导次序. 另外广义
函数的求导运算和极限运算还可以交换,如果 \( \left\{ {F}_{m}\right\} \) 是收敛于 \( F \) 的广义函数列,则对任何非负整数组 \( p \) \( = \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{n}}\right) \) ,广义函数列
\[
\left\{ {\frac{{\partial }^{p}}{\partial {x}_{1}^{{p}_{1}}\partial {x}_{2}^{{p}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{p}_{n}}}{F}_{m}}\right\}
\]
收敛于
\[
\frac{{\partial }^{p}}{\partial {x}_{1}^{{p}_{1}}\partial {x}_{2}^{{p}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{p}_{n}}}F.
\]
这些性质表明广义函数的出现解除了经典分析中对求导运算和对函数列的极限进行运算的种种限制. 例如一元局部可积的赫维赛德函数
\[
\theta \left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {x \geq 0}\right) \\ 0 & \left( {x < 0}\right) \end{array}\right.
\]
作为 (正则) 广义函数,有 \( \mathrm{d}\theta /\mathrm{d}x = \delta \left( x\right) \) ,这里 \( \delta \left( x\right) \) 即狄喇克 \( \delta \) 函数.
广义函数的原函数 (primitive function of generalized function) 函数的原函数概念在广义函数上的推广. 设 \( F, G \) 是单实变量的 \( K \) 空间上的广义函数,如果广义函数 \( G \) 满足 \( \mathrm{d}G/\mathrm{d}x = F \) ,则称 \( G \) 为 \( F \) 的原函数. 对于每个广义函数 \( F \in {K}^{\prime } \) ,必有原函数 \( G;F \) 的一切原函数必然形如 \( G + C \) ,其中 \( C \) 是常数. 一个广义函数的原函数的一般形式就称为 \( F \) 的不定积分.
广义函数的不定积分 (indefinite integral of generalized function) 见“广义函数的原函数”.
广义函数的支集 (support of generalized function) 是普通函数的支集概念的推广. 设 \( F \) 是基本函数空间 \( K \) 上的广义函数, \( U \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集,如果对一切支集含在 \( U \) 中的 \( \varphi \) ,有 \( \langle F,\varphi \rangle = 0 \) ,则称 \( F \) 在 \( U \) 上等于零. 如果广义函数 \( {F}_{1},{F}_{2} \) 的差 \( {F}_{1} - {F}_{2} \) 在 \( U \) 上等于零,则称 \( {F}_{1},{F}_{2} \) 在 \( U \) 上等同.
令 \( {U}_{0} \) 是广义函数 \( F \) 在其上等于零的最大开集,则称闭集 \( {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus {U}_{0} \) 为广义函数 \( F \) 的支集,记为 \( \operatorname{supp}F \) . 任何广义函数必是支集有界的广义函数列的极限.
有限阶广义函数 (distribution with finite order) 一类广义函数. 在基本函数空间 \( K \) 上引进一列内积如下: 对非负整数 \( p \) ,
\[
{\left( \psi ,\varphi \right) }_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| q\right| \leq p}}\int {D}^{q}\psi \left( x\right) \overline{{D}^{q}\varphi \left( x\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
\left( {\varphi ,\psi \in K}\right) \text{,}
\]
\( q \) 是非负整数组 \( q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{n}}\right) \) ,而
\[
\left| q\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{q}_{i},\mathrm{\;d}x = \mathrm{d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2}\cdots \mathrm{d}{x}_{n}.
\]
又记 \( \parallel \varphi {\parallel }_{p} = {\left( \varphi ,\varphi \right) }_{p}^{1/2} \) . 显然, \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 在 \( K \) 中收敛于 \( \varphi \) 时,必然
\[
\mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}{\varphi }_{m} - \varphi \end{Vmatrix}}_{p} = 0
\]
对任何 \( p \) 成立. 设 \( F \) 是 \( K \) 上的广义函数,而且关于 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p} \) 连续,即当 \( K \) 中序列 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 按 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p} \) 收敛于 \( K \) 中元 \( \varphi |
2000_数学辞海（第3卷） | 74 | 类广义函数. 在基本函数空间 \( K \) 上引进一列内积如下: 对非负整数 \( p \) ,
\[
{\left( \psi ,\varphi \right) }_{p} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| q\right| \leq p}}\int {D}^{q}\psi \left( x\right) \overline{{D}^{q}\varphi \left( x\right) }\mathrm{d}x
\]
\[
\left( {\varphi ,\psi \in K}\right) \text{,}
\]
\( q \) 是非负整数组 \( q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{n}}\right) \) ,而
\[
\left| q\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{q}_{i},\mathrm{\;d}x = \mathrm{d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2}\cdots \mathrm{d}{x}_{n}.
\]
又记 \( \parallel \varphi {\parallel }_{p} = {\left( \varphi ,\varphi \right) }_{p}^{1/2} \) . 显然, \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 在 \( K \) 中收敛于 \( \varphi \) 时,必然
\[
\mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}{\varphi }_{m} - \varphi \end{Vmatrix}}_{p} = 0
\]
对任何 \( p \) 成立. 设 \( F \) 是 \( K \) 上的广义函数,而且关于 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p} \) 连续,即当 \( K \) 中序列 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 按 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p} \) 收敛于 \( K \) 中元 \( \varphi \) 时, \( \left\langle {F,{\varphi }_{m}}\right\rangle \rightarrow \langle F,\varphi \rangle \) ,则称 \( F \) 是 \( p \) 阶广义函数. \( F \in {K}^{\prime } \) (即 \( K \) 上广义函数全体), \( F \) 是 \( p \) 阶广义函数的充分必要条件是对每个非负整数 \( q,\left| q\right| \leq p \) 时,有相应平方可积函数 \( {F}_{q} \) ,使得
\[
F = \mathop{\sum }\limits_{{\left| q\right| \leq p}}{D}^{q}{F}_{q}
\]
任何支集有界的广义函数必是有限阶的. 任何广义函数可以表示成一列有限阶广义函数的极限.
基本函数的傅里叶变换 (Fourier transform of fundamental functions) 一种积分变换. 对 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的元 \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,\sigma \) \( = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right) \) ,记
\[
x \cdot \sigma = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}{\sigma }_{i},\mathrm{\;d}x = \mathrm{d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2}\cdots \mathrm{d}{x}_{n},
\]
而当 \( q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{n}}\right) \) 是非负整数组时,记 \( {\sigma }^{q} \) \( = {\sigma }_{1}^{{q}_{1}}{\sigma }_{2}^{{q}_{2}}\cdots {\sigma }_{n}^{{q}_{n}} \) . 设 \( \varphi \) 是基本函数空间 \( K \) 中元,称
\[
\psi \left( \sigma \right) = \int \varphi \left( x\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\sigma \cdot x}\mathrm{\;d}x
\]
为 \( \varphi \) 的傅里叶变换,记为 \( \widehat{\varphi }\left( \sigma \right) \) 或 \( \mathcal{F}\left( \varphi \right) \) . 又称 \( \mathcal{F} : \varphi \) \( \rightarrow \widehat{\varphi } \) 为傅里叶变换,逆映射 \( {\mathcal{F}}^{-1} \) 为傅里叶逆变换.
基本函数空间 \( Z \) (fundamental function space \( Z) \) 基本函数空间 \( K \) 中元的傅里叶变换全体,即 \( Z \) \( = \mathcal{F}\left( K\right) \) (这里 \( \mathcal{F} \) 表示傅里叶变换). 在 \( Z \) 中引入极限概念如下: 设 \( \mathcal{F}\left( {\varphi }_{n}\right) ,\mathcal{F}\left( \varphi \right) \in Z \) ,当 \( \left\{ {\varphi }_{n}\right\} \) 在 \( K \) 中收敛于 \( \varphi \) 时,称 \( \left\{ {\mathcal{F}\left( {\varphi }_{n}\right) }\right\} \) 在 \( Z \) 中收敛于 \( \mathcal{F}\left( \varphi \right) .Z \) 中收敛意义的另一种刻画如下: 首先注意 \( \psi \in Z \) 的充分必要条件是 \( \psi \) 可以解析延拓为整个 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上的解析函数 (即整函数),且存在正数 \( \alpha \) ,对一切非负整数组 \( q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{n}}\right) \) 有相应常数 \( {C}_{q} > 0 \) ,使得
\[
\left| {{s}^{q}\psi \left( s\right) }\right| \leq {C}_{q}{\mathrm{e}}^{\alpha \left| \tau \right| },
\]
其中
\[
s = \delta + \mathrm{i}\tau ,\sigma = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right) ,
\]
\[
\tau = \left( {{\tau }_{1},{\tau }_{2},\cdots ,{\tau }_{n}}\right) ,\left| \tau \right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{\tau }_{j}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}},
\]
\[
\left| {s}^{q}\right| = {\left| {\delta }_{1} + \mathrm{i}{\tau }_{1}\right| }^{{q}_{1}}\cdots {\left| {\delta }_{n} + \mathrm{i}{\tau }_{n}\right| }^{{q}_{n}}.
\]
\( {\psi }_{n} = \mathcal{F}\left( {\varphi }_{n}\right) \) 收敛于 \( \psi = \mathcal{F}\left( \varphi \right) \) 的充分必要条件是,存在 \( \alpha \) 对一切非负整数组 \( q \) ,有相应常数 \( {C}_{q} \) ,使得
\[
\left| {{s}^{q}{\psi }_{m}\left( s\right) }\right| \leq {C}_{q}{\mathrm{e}}^{\alpha \left| \tau \right| }\;\left( {m = 0,1,2,\cdots }\right) ,
\]
其中 \( {\psi }_{0}\left( s\right) = \varphi \left( s\right) \) ,且 \( \left\{ {{\psi }_{m}\left( \sigma \right) }\right\} \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的任何有界区域上一致收敛于 \( \psi \left( \sigma \right) \) .
广义函数空间 \( {Z}^{\prime } \) (generalized function space \( {Z}^{\prime } \) ) 广义函数空间 \( {Z}^{\prime } \) 是基本函数空间 \( Z \) 上的连续线性泛函全体. \( {Z}^{\prime } \) 中极限运算取为弱 \( * \) 收敛.
广义函数与函数的乘积 (product of generalized function and function) 广义函数与基本函数空间 \( K \) 上的函数之间的一种运算. 对于欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的无限次可微函数 \( \alpha \left( x\right) \) 以及基本函数空间 \( K \) 上的广义函数 \( F \) ,因对任何 \( \varphi \in K \) ,都有 \( {\alpha \varphi } \in K \) ,所以 \( \varphi \rightarrow \langle F,{\alpha \varphi }\rangle \) 是 \( K \) 上的广义函数,称它为 \( \alpha \) 与 \( F \) 的乘积,记为 \( {\alpha F} \) ,即 \( \langle {\alpha F},\varphi \rangle = \langle F,{\alpha \varphi }\rangle \left( {\varphi \in K}\right) \) . 记 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上无限次可微函数全体为 \( E \) ,称 \( E \) 为 \( K \) 上的乘子空间, 而称 \( E \) 中每个 \( \alpha \) 为乘子.
若 \( \xi \left( s\right) \) 为 \( n \) 维复欧几里得空间 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 上的整函数, 且存在正数 \( a, b \) 和 \( c \) ,使得
\[
\left| {\xi \left( s\right) }\right| \leq c\left( {{\left| s\right| }^{b} + 1}\right) {\mathrm{e}}^{a\left| \tau \right| },
\]
其中
\[
s = \sigma + \mathrm{i}\tau ,\;\left| s\right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\left| {s}_{i}\right| }^{2}\right) }^{\frac{1}{2}},
\]
\[
\left( {\sigma = \left( {{\sigma }_{1},{\sigma }_{2},\cdots ,{\sigma }_{n}}\right) ,\tau = \left( {{\tau }_{1},{\tau }_{2},\cdots ,{\tau }_{n}}\right) }\right) ,
\]
则这种 \( \xi \left( s\right) \) 就是基本空间 \( Z \) 上的乘子,其全体是 \( Z \) 上的乘子空间. 即对给定乘子 \( \xi \left( s\right) \) 和每个广义函数 \( F \) ,可定义 \( \langle {\xi F},\psi \rangle = \langle F,{\xi \psi }\rangle \left( {\psi \in Z}\right) \) .
广义函数的直积 (tensor product of generalized functions) 亦称广义函数的张量积, 是富比尼定理的一个推广. 设 \( x, y \) 分别是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 和 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 中的点, \( K\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), K\left( {\mathrm{R}}^{m}\right) \) 分别表示其上的 \( K \) 空间, \( F \) \( \in {K}^{\prime }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), G \in {K}^{\prime }\left( {\mathrm{R}}^{m}\right) \) ,那么存在一个且仅有一个 \( K\left( {{\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{m}}\right) \) 上的广义函数,记为 \( F \otimes G \) ,它由下式定义
\[
\langle F \otimes G,\varphi \left( {x, y}\right) \rangle = \langle F\left( x\right) ,\langle G\left( y\right) ,\varphi \left( {x, y}\right) \rangle \rangle
\]
\[
= \langle G\left( y\right) ,\langle F\left( x\right) ,\varphi \left( {x, y}\right) \rangle \rangle ,
\]
式中 \( \varphi \left( {x, y}\right) \in K\left( {{\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{m}}\right) \) . 此外,对 \( \varphi \left( x\right) \in K\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) , \( \psi \left( y\right) \in K\left( {\mathrm{R}}^{m}\right) \) ,满足
\( \langle F \otimes G,\varphi \left( x\right) \psi \left( y\right) \rangle = \langle F,\varphi \left( x\right) \rangle \langle G,\psi \left( y\right) \rangle . \)
称 \( F \otimes G \) 为广义函数 \( F, G \) 的直积.
广义函数的张量积 (tensor product of generalized functions) 即“广义函数的直积”.
广义函数的卷积 (convolution of distributions) 普通可积函数卷积概念在广义函数上的推广. 设 \( f \) 是基本函数空间 \( K \) 上的广义函数,且其支集有界, 则对任何 \( \varphi \in K \) ,空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的函数 \( u : t \rightarrow u\left( t\right) \) \( = \left\langle {f,{\tau }_{t}\varphi }\right\rangle \) ,其中 \( {\tau }_{t}\varphi \left( x\right) = \varphi \left( {x + t}\right) \) 是 \( K \) 中的元,记 \( u\left( \cdot \right) \) 为 \( \langle f,\tau \left( \cdot \right) \varphi \rangle \) . 当 \( g \in {K}^{\prime }(K \) 上的广义函数全体) 时,称广义函数 \( \varphi \rightarrow \langle g, u\rangle = \langle g,\langle f,\tau \left( \cdot \right) \varphi \rangle \rangle \) 为 \( f \) 与 \( g \) 的卷积,记为 \( f * g \) .
广义函数的傅里叶变换 (Fourier transform of distributions) 普通函数傅里叶变换运算的推广. 设 \( f \) 是基本函数间 \( K \) 上的广义函数,即 \( f \in {K}^{\prime } \) ,做基本函数空间 \( Z \) 上的广义函数
\[
\mathcal{F}\left( f\right) : \psi \rightarrow {\left( 2\pi \right) }^{n}\left\langle {f, J{\mathcal{F}}^{-1}\left( \psi \right) }\right\rangle \;\left( {\psi \in Z}\right) ,
\]
其中 \( J : \varphi \left( \cdot \right) \rightarrow \varphi \left( {-\left( \cdot \right) }\right) \) . 称 \( \mathcal{F}\left( f\right) \) 为广义函数 \( f \) 的傅里叶变换. 映射 \( \mathcal{F} : f \rightarrow \mathcal{F}\left( f\right) \left( {f \in {K}^{\prime }}\right) \) 称为广义函数空间 \( {K}^{\prime } \) 上的傅里叶变换,它的逆映射 \( {\mathcal{F}}^{-1} \) 称为傅里叶逆变换. 傅里叶变换 \( \mathcal{F} \) 是 \( {K}^{\prime } \) 到 \( {Z}^{\prime } \) 上的双射, 且连续线性, 它还满足:
1. 对任何多项式 \( p\left( \cdot \right), f \in {K}^{\prime } \) 有
\[
p\left( \mathrm{D}\right) \mathcal{F}\left( f\right) = \mathcal{F}\left( {p\left( {\mathrm{i}\left( \cdot \right) }\right) f}\right) ;
\]
\[
p\left( \cdot \right) \mathcal{F}\left( f\right) = \mathcal{F}\left( {p\left( {\mathrm{i}D}\right) f}\right) ,
\]
其中 \( \mathrm{D} \) 为微分算子.
2. 设 \( t = \left( {{t}_{1},{t}_{2},\cdots ,{t}_{n}}\right) \) ,映射
\[
{\tau }_{t} : \varphi \left( \cdot \right) \rightarrow \varphi \left( {\left( \cdot \right) + t}\right) ,
\]
做 \( {\tau }_{t} \) 的共轭算子 \( {\tau }_{t}^{\prime } : f \rightarrow {\tau }_{t}^{\prime }f,\left\langle {{\tau }_{t}^{\prime }f,\varphi }\right\rangle = \left\langle {f,{\tau }_{t}\varphi }\right\rangle \) ,那么
\[
\mathcal{F}\left( {{\tau }_{t}^{\prime }f}\right) = {\mathrm{e}}^{i\left( \cdot \right) t}\mathcal{F}\left( f\right) ,
\]
\[
{\tau }_{t}^{\prime }\mathcal{F}\left( f\right) = \mathcal{F}\left( {{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( *\right) t}f}\right) \;\left( {f \in {K}^{\prime }}\right) .
\]
3. 设 \( f, g \) 是基本函数空间 \( K \) 上的广义函数, \( f \) 的支集有界, \( f \) 的傅里叶变换 \( \mathcal{F}\left( f\right) \) 是基本函数空间 \( Z \) 上的乘子,则 \( \mathcal{F}\left( {f * g}\right) = \mathcal{F}\left( f\right) F\left( g\right) \) .
基本函数空间 \( \mathcal{S} \) (fundamental function space \( \mathcal{S} \) ) 亦称施瓦兹函数空间或急降函数类. 研究偏微分方程理论常用的基本函数空间, 此空间使傅里叶变换运算封闭. 设 \( \varphi \) 是 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的无限次可微函数,且对任何非负正数组 \( k = \left( {{k}_{1},{k}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{k}_{n}}\right), q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{n}}\right) \) ,有
\[
\parallel \varphi {\parallel }_{k, q} |
2000_数学辞海（第3卷） | 75 | le {{\tau }_{t}^{\prime }f,\varphi }\right\rangle = \left\langle {f,{\tau }_{t}\varphi }\right\rangle \) ,那么
\[
\mathcal{F}\left( {{\tau }_{t}^{\prime }f}\right) = {\mathrm{e}}^{i\left( \cdot \right) t}\mathcal{F}\left( f\right) ,
\]
\[
{\tau }_{t}^{\prime }\mathcal{F}\left( f\right) = \mathcal{F}\left( {{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left( *\right) t}f}\right) \;\left( {f \in {K}^{\prime }}\right) .
\]
3. 设 \( f, g \) 是基本函数空间 \( K \) 上的广义函数, \( f \) 的支集有界, \( f \) 的傅里叶变换 \( \mathcal{F}\left( f\right) \) 是基本函数空间 \( Z \) 上的乘子,则 \( \mathcal{F}\left( {f * g}\right) = \mathcal{F}\left( f\right) F\left( g\right) \) .
基本函数空间 \( \mathcal{S} \) (fundamental function space \( \mathcal{S} \) ) 亦称施瓦兹函数空间或急降函数类. 研究偏微分方程理论常用的基本函数空间, 此空间使傅里叶变换运算封闭. 设 \( \varphi \) 是 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的无限次可微函数,且对任何非负正数组 \( k = \left( {{k}_{1},{k}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{k}_{n}}\right), q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots ,{q}_{n}}\right) \) ,有
\[
\parallel \varphi {\parallel }_{k, q} = \mathop{\sup }\limits_{x}\left| {{x}^{k}{\mathrm{D}}^{q}\varphi \left( x\right) }\right| < + \infty ,
\]
其中
\[
x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) ,{x}^{k} = {x}_{1}^{{k}_{1}}{x}_{2}^{{k}_{2}}\cdots {x}_{n}^{{k}_{n}},
\]
\[
{\mathrm{D}}^{q} = \frac{{\partial }^{\left| q\right| }}{\partial {x}_{1}^{{q}_{1}}\partial {x}_{2}^{{q}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{q}_{n}}},\;\left| q\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{q}_{i},
\]
满足 \( \parallel \varphi {\parallel }_{k, q} < + \infty \) 的函数 \( \varphi \) 全体记为 \( \mathcal{S} \) ,在 \( \mathcal{S} \) 上规定极限运算如下: 如果 \( \mathcal{S} \) 中函数列 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 和函数 \( \varphi \) 对任何非负整数组 \( k, q \) ,都有
\[
{\begin{Vmatrix}{\varphi }_{m} - \varphi \end{Vmatrix}}_{k, q} \rightarrow 0\;\left( {m \rightarrow \infty }\right) ,
\]
则称 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \) 在 \( \mathcal{S} \) 中收敛于 \( \varphi \) ,记为 \( {\varphi }_{m}\overset{\mathcal{S}}{ \rightarrow }\varphi \) . 在 \( \mathcal{S} \) 中引入通常的函数的线性运算以及上述极限运算就称为基本函数空间 \( \mathcal{S} \) . 基本函数空间 \( \mathcal{S}, Z \) 和 \( K \) 之间有如下一些关系:
1. \( K \subset \mathcal{S} \) (或 \( Z \subset \mathcal{S} \) ).
2. 如果 \( \left\{ {\varphi }_{m}\right\} \subset K \) (或 \( Z \) ),且 \( {\varphi }_{m}\overset{K}{ \rightarrow }\varphi \) (或 \( {\varphi }_{m}\overset{Z}{ \rightarrow }\varphi \) ),则
\[
{\varphi }_{m}\overset{\mathcal{S}}{ \rightarrow }\varphi
\]
3. \( K \) (或 \( Z \) ) 在 \( \mathcal{S} \) 中稠密.
傅里叶变换 \( \mathcal{F} : \varphi \rightarrow \bar{\varphi } \) 是 \( \mathcal{S} \) 到 \( \mathcal{S} \) 自身的连续线性双射, 其逆变换也是连续的, 且
\[
{\mathcal{F}}^{-1} = {\left( \frac{1}{2\pi }\right) }^{n}J\mathcal{F}
\]
这里 \( J : \varphi \left( x\right) \rightarrow \varphi \left( {-x}\right) \) .
广义函数空间 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) (generalized function space \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) ) 亦称缓增广义函数. 是基本函数空间 \( \mathcal{S} \) 上的连续线性泛函全体. 在 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 中取弱 * 拓扑,即 \( \left\{ {F}_{m}\right\} \) \( \subset {\mathcal{S}}^{\prime }, F \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,如果对每个 \( \varphi \in \mathcal{S} \) ,都有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}\left\langle {{F}_{m},\varphi }\right\rangle = \langle F,\varphi \rangle ,
\]
则称 \( \left\{ {F}_{m}\right\} \) 在 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 中收敛于 \( F \) ,记为 \( {F}_{m}\overset{{\mathcal{S}}^{\prime }}{ \rightarrow }F \) . 函数空间 \( K, Z,\mathcal{S},{L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 与广义函数空间 \( {K}^{\prime },{Z}^{\prime },{\mathcal{S}}^{\prime } \) 之间有如下关系:
\[
K \subset \mathcal{S} \subset {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \subset {\mathcal{S}}^{\prime } \subset {K}^{\prime },
\]
\[
Z \subset \mathcal{S} \subset {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \subset {\mathcal{S}}^{\prime } \subset {Z}^{\prime }.
\]
设 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,则必有非负整数组 \( q = \left( {{q}_{1},{q}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {q}_{n}\right) \) 以及 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的连续函数 \( g \) ,满足: 存在正整数 \( k \) ,使得
\[
\mathop{\sup }\limits_{x}\frac{\left| g\left( x\right) \right| }{{\left( 1 + \left| x\right| \right) }^{k}} < + \infty \left( {\left| x\right| = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{x}_{i}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}}}\right) ,
\]
且
\[
f = {\mathrm{D}}^{q}g\left( {{\mathrm{D}}^{q} = \frac{{\partial }^{\left| q\right| }}{\partial {x}_{1}^{{q}_{1}}\partial {x}_{2}^{{q}_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{q}_{n}}},\left| q\right| = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{q}_{i}}\right) .
\]
设 \( f \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,做 \( \mathcal{S} \) 上的泛函
\[F\left( f\right) : \varphi \rightarrow {\left( 2\pi \right) }^{n}\langle f,\mathcal{F}\left( \varphi \right) \rangle \left( {\varphi \in \mathcal{S}}\right) ,\]
称 \( \mathcal{F}\left( f\right) \) 为广义函数 \( f \) 的傅里叶变换. 傅里叶变换 \( \mathcal{F} \) 是广义函数空间 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 到 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 自身的连续线性双射,且 \( {\mathcal{F}}^{-1} \) 也连续,而
\[{\mathcal{F}}^{-1} = {\left( \frac{1}{2\pi }\right) }^{n}{JF}\]
其中 \( J \) 是 \( {\mathcal{S}}^{\prime } \) 上算子: \( \langle {Jf},\varphi \left( \cdot \right) \rangle = \langle f,\varphi ( - \left( \cdot \right) \rangle \) . 这就为讨论带来了很大方便, 因此在不少应用场合多采用基本函数空间 \( \mathcal{S} \) 上的广义函数.
## 有序线性空间
有序线性空间 (ordered linear space) 具有序结构的线性空间. 设 \( E \) 是实线性空间,并且有序结构,即对 \( E \) 中某些向量对 \( \left( {x, y}\right) \) 有 \( x \geq y \) (或写作 \( y \) \( \leq x) \) ,“ \( \geq \) ”满足如下条件: 对任何 \( x, y, z \in E \) 及实数 \( \lambda \) ,
1. \( x \geq x \) ; 若 \( x \geq y \) 且 \( y \geq x \) ,则 \( x = y \) ; 若 \( x \geq y \) 且
\( y \geq z \) ,则 \( x \geq z \) .
2. 若 \( x \geq y \) ,则 \( x + z \geq y + z \) .
3. 若 \( x \geq y,\lambda \geq 0 \) ,则 \( {\lambda x} \geq {\lambda y} \) .
这时称 \( E \) 是有序线性空间 (或称 \( E \) 是半序线性空间).
有序线性空间这个概念首先由里斯 (Riesz, F. ) 引入, 他于 1928 年在波隆那国际数学家大会上的讲演中奠定了半序线性空间这一泛函分析分支的理论轮廓.
半序线性空间 (partially ordered vector space) 即“有序线性空间”.
里斯空间 (Riesz space) 一类有序线性空间. 设 \( E \) 是有序线性空间, \( x, y, z \in E \) . 如果 \( x \leq z, y \leq z \) , 则称 \( z \) 是 \( x \) 和 \( y \) 的一个上界. 进而,如果 \( x \) 和 \( y \) 的每个上界 \( u \) 都有 \( z \leq u \) ,则称 \( z \) 是 \( x \) 和 \( y \) 的最小上界, 也称为上确界或上端,记为 \( \sup \left( {x, y}\right) \) 或 \( x \vee y \) . 类似地可以定义 \( x \) 和 \( y \) 的下界,下确界 (下端),记为 \( \inf \left( {x, y}\right) \) 或 \( x \land y \) . 如果半序线性空间 \( E \) 中任何两个元都有上、下确界,则称 \( E \) 是里斯空间,此时 \( E \) 对运算 \( V,\Lambda \) 封闭,故也称为格序空间或向量格. 有时也分别称运算 \( \vee \) , \( \land \) 为并和交. 记 \( x \vee 0 = {x}_{ + } \) , \( \left( {-x}\right) \vee 0 = x., x \vee \left( {-x}\right) = \left| x\right| \) ,分别称为 \( x \) 的正部,负部和绝对值. 满足 \( x \geq 0 \) 的元称为正元. 在里斯空间中成立:
\[
\text{1.}\left( {x \vee y}\right) + z = \left( {x + z}\right) \vee \left( {y + z}\right) ,\left( {x \land y}\right) + z
\]
\( = \left( {x + z}\right) \land \left( {y + z}\right) \) .
2. 对 \( \lambda \geq 0 \) ,有
\[
\lambda \left( {x \vee y}\right) = {\lambda x} \vee {\lambda y},\;\lambda \left( {x \land y}\right) = {\lambda x} \land {\lambda y}.
\]
\[
\text{3.}x + y = x \vee y + \left( {x \land y}\right) \text{,特别}x = {x}_{ + } - {x}_{ - }\text{.}
\]
\[
\text{4.}\left( {x \land y}\right) \vee z = \left( {x \vee z}\right) \land \left( {y \vee z}\right) \text{,}
\]
\( \left( {x \vee y}\right) \land z = \left( {x \land z}\right) \vee \left( {y \land z}\right) . \)
5. \( {x}_{ + } \land {x}_{ - } = 0,{x}_{ + } + {x}_{ - } = \left| x\right| \) .
6. \( \left| x\right| \geq 0,\left| x\right| = 0 \) 等价于 \( x = 0,\left| {\lambda x}\right| = \left| \lambda \right| \left| x\right| \) ( \( \lambda \) 为实数), \( \left| {x + y}\right| \leq \left| x\right| + \left| y\right| \) .
7. \( \left| {x - y}\right| = \left( {x \vee y}\right) - \left( {x \land y}\right) \) ,
\[
\left| {x - {x}_{1}}\right| = \left| {x \vee y - {x}_{1} \vee y}\right| + \left| {x \land y - {x}_{1} \land y}\right| .
\]
对 \( a, b \in E, a \leq b \) ,称 \( \{ x \mid a \leq x \leq b\} \) 为区间,记为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 如果 \( E \) 的子集 \( B \) 是某个区间的子集,则称 \( B \) 是按序的意义有界. 设 \( e \in E \) ,如果对任何 \( x \in E, x \) \( \geq 0 \) ,总存在正整数 \( n \) ,使 \( x \leq {ne} \) ,则称 \( e \) 为 \( E \) 的阿基米德单位.
格序空间 (lattice-ordered space) 即 “里斯空间”.
向量格 (vector lattice) 即 “里斯空间”.
序有界 (order bounded) 见 “里斯空间”.
正元 (positive element) 见 “里斯空间”.
正锥 (positive cone) 里斯空间中正元所构成的锥. 设 \( E \) 是里斯空间,其正元全体 \( {E}^{ + } \) 是 \( E \) 的一个以 0 为顶点的锥, 称为正锥. 一般地, 给定实线性空间 \( E \) 的以 0 为顶点的锥 \( C, C \cap \{ - C\} = \{ 0\} \) ,则由 \( C \) 可引入 \( E \) 上的半序 \( \geq \) (即定义 \( x \geq y \) 当且仅当 \( x - y \) \( \in C) \) 使 \( \left( {E, \geq }\right) \) 构成向量格且 \( C \) 为其正锥.
阿基米德单位 (Archimedean unit) 见“里斯空间 ”.
序收敛 (order convergence) 在里斯空间中引进的一种收敛性. 设 \( E \) 是里斯空间,对于 \( E \) 中的一族元 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) ,若存在 \( x \) ,使 \( {x}_{\alpha } \leq x\left( {\alpha \in \Lambda }\right) \) ,则称 \( x \) 为 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的上界. \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的上界中最小者称为 \( \left\{ {{x}_{a} \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的上确界,用 \( \mathop{\bigvee }\limits_{\alpha }{x}_{a} \) 或 \( \mathop{\sup }\limits_{a}{x}_{a} \) 表示. 类似地,可定义 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的下界和下确界,用 \( \mathop{\bigwedge }\limits_{\alpha }{x}_{\alpha } \) 或 \( \mathop{\inf }\limits_{\alpha }{x}_{\alpha } \) 表示 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的下确界. 对于定向元列 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta }\right. \) \( \in \Delta \} \) ,若存在单调元列 \( \left\{ {{u}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} \) 满足 \( \left| {{x}_{\delta } - x}\right| \leq {u}_{\delta } \) , 且 \( \mathop{\bigwedge }\limits_{\delta }{u}_{\delta } = 0 \) ,则称 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} \) 序收敛于 \( x \) ,又称 \( x \) 为 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} \) 的序极限,记为
\[
x = \text{ o-lim }{x}_{\delta }.
\]
序极限如果存在,则必惟一. 当 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} ,\left\{ {{y}_{\delta } \mid \delta \in }\right. \) \( \Delta \} \) 序收敛时,有
\[
\text{ o-lim }\left( {\lambda {x}_{\delta } + \mu {y}_{\delta }}\right) = \lambda \left( {\tex |
2000_数学辞海（第3卷） | 76 | _{a} \) 表示. 类似地,可定义 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的下界和下确界,用 \( \mathop{\bigwedge }\limits_{\alpha }{x}_{\alpha } \) 或 \( \mathop{\inf }\limits_{\alpha }{x}_{\alpha } \) 表示 \( \left\{ {{x}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的下确界. 对于定向元列 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta }\right. \) \( \in \Delta \} \) ,若存在单调元列 \( \left\{ {{u}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} \) 满足 \( \left| {{x}_{\delta } - x}\right| \leq {u}_{\delta } \) , 且 \( \mathop{\bigwedge }\limits_{\delta }{u}_{\delta } = 0 \) ,则称 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} \) 序收敛于 \( x \) ,又称 \( x \) 为 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} \) 的序极限,记为
\[
x = \text{ o-lim }{x}_{\delta }.
\]
序极限如果存在,则必惟一. 当 \( \left\{ {{x}_{\delta } \mid \delta \in \Delta }\right\} ,\left\{ {{y}_{\delta } \mid \delta \in }\right. \) \( \Delta \} \) 序收敛时,有
\[
\text{ o-lim }\left( {\lambda {x}_{\delta } + \mu {y}_{\delta }}\right) = \lambda \left( {\text{ o-lim }{x}_{\delta }}\right) + \mu \left( {\text{ o-lim }{y}_{\delta }}\right) ,
\]
\[
\text{o-}\mathop{\lim }\limits_{\delta }\left( {{x}_{\delta } \vee {y}_{\delta }}\right) = \left( {\text{o-}\mathop{\lim }\limits_{\delta }{x}_{\delta }}\right) \vee \left( {\text{o-}\mathop{\lim }\limits_{\delta }{y}_{\delta }}\right) \text{,}
\]
\[
\text{o-}\mathop{\lim }\limits_{\delta }\left( {{x}_{\delta } \land {y}_{\delta }}\right) = \left( {\text{o-}\mathop{\lim }\limits_{\delta }{x}_{\delta }}\right) \land \left( {\text{o-}\mathop{\lim }\limits_{\delta }{y}_{\delta }}\right) \text{.}
\]
当 \( x, y \in E \) 时,如果由 \( 0 \leq {nx} \leq y\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 可推出 \( x = 0 \) ,则称 \( E \) 是阿基米德的. 若 \( E \) 为阿基米德的, 则由
\[
x = \text{ o-lim }{x}_{n},\;\lambda = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\lambda }_{n}
\]
必蕴涵
\[
{\lambda x} = \text{ o-lim }{\lambda }_{n}{x}_{n}
\]
序极限 (order limit) 见“序收敛”.
阿基米德向量格 (Archimedean vector lattice) 见“序收敛”.
序完备向量格 (order-complete vector lattice) 具有序完备性的向量格. 设 \( E \) 是向量格,如果任何有上界的子集都必有上确界,则称 \( E \) 是序完备的. 如果任何有上界的可数子集都必有上确界,则称 \( E \) 是 \( \sigma \) 完备的. \( \sigma \) 完备的向量格必是阿基米德向量格. 当 \( E \) 是 \( \sigma \) 完备时,如对有上界族 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 定义:
\[
\text{o-lim sup}{x}_{n} = \mathop{\bigwedge }\limits_{n}\mathop{\bigvee }\limits_{{m \geq n}}{x}_{m}\text{;}
\]
而对有下界族 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 定义
\[
\text{o-lim inf}{x}_{n} = \mathop{\bigvee }\limits_{n}\mathop{\bigwedge }\limits_{{m \geq n}}{x}_{m}\text{,}
\]
则
\( x = \mathrm{o} - \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} \) 和 \( x = \mathrm{o} - \mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \mathrm{o} - \mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} \)
是等价的. 阿基米德向量格可以扩张为序完备向量格. \( \sigma \) 完备向量格是一类很重要的里斯空间,在 20 世纪 30 年代, 坎托罗维奇 (Kahtopobin, JI. B. ) 等人对其进行了系统的研究,现在也有人称 \( \sigma \) 完备向量格为 \( K \) 空间.
\( \sigma \) 完备向量格 ( \( \sigma \) -complete vector lattice) 见 “序完备向量格”.
\( \mathbf{K} \) 空间 ( \( K \) -space) 见“序完备向量格”.
巴拿赫格(Banach lattice) 兼有巴拿赫空间特性的向量格. 如果向量格 \( X \) 同时是巴拿赫空间,且序和范数之间有关系: \( \left| x\right| \leq \left| y\right| \) 推出 \( \parallel x\parallel \leq \parallel y\parallel \) \( \left( {x, y \in X}\right) \) ,则称 \( X \) 为格序巴拿赫空间或巴拿赫格. 例如,数列空间 \( c,{l}^{p}\left( {p \geq 1}\right) \) 以及函数空间 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {p \geq 1}\right) \) 等,按自然的序关系 (即这些空间的元如在每个点或坐标处的值 \( \geq 0 \) 时是正元) 形成巴拿赫格. 在巴拿赫格中, 当
\[
\begin{Vmatrix}{{x}_{n} - x}\end{Vmatrix} \rightarrow 0,\begin{Vmatrix}{{y}_{n} - y}\end{Vmatrix} \rightarrow 0
\]
时, 必有
\[
\begin{Vmatrix}{{x}_{n} \vee {y}_{n} - x \vee y}\end{Vmatrix} \rightarrow 0,
\]
\[
\begin{Vmatrix}{{x}_{n} \land {y}_{n} - x \land y}\end{Vmatrix} \rightarrow 0
\]
成立. 关于巴拿赫格中序收敛和范数收敛的强弱的比较,尽管在不同具体空间结论不一样,然而 \( \parallel {x}_{n} \) \( - x\parallel \rightarrow 0 \) 同 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 相对一致 * 收敛于 \( x \) (即对 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 的任何子列 \( \left\{ {x}_{n\left( m\right) }\right\} \) ,存在此子列的子列 \( \left\{ {x}_{n\left( {m\left( l\right) }\right) }\right\} \) 和某 \( y \) \( \in X \) ,使得 \( \left| {{x}_{n\left( {m\left( l\right) }\right) } - x}\right| \leq y/l\left( {l = 1,2,\cdots }\right) \) ) 是等价的. 又, 序意义下的有界集必是范数意义下的有界集, 但其逆一般不真.
抽象空间 \( {L}^{p}\left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) \) (abstract \( {L}^{p} \) space \( \left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) \) ) 满足一定条件的巴拿赫格. 设 \( X \) 是巴拿赫格,当 \( X \) 满足下列条件之一时,分别称 \( X \) 为抽象 \( {L}^{\infty }\left( {p = + \infty \text{的}{L}^{p}}\right) \) ,抽象 \( L\left( {p = 1\text{的}{L}^{p}}\right) \) ,抽象 \( {L}^{p}\left( {1 < p < + \infty }\right) \) 空间,并用 \( A{L}^{\infty },{AL}, A{L}^{p} \) 表示. \( {L}^{\infty } \) 的条件:
\[
x \geq 0, y \geq 0 \Rightarrow \parallel x \vee y\parallel = \max \left( {\parallel x\parallel ,\parallel y\parallel }\right) ;
\]
\( L \) 的条件:
\[
x \geq 0, y \geq 0 \Rightarrow \parallel x + y\parallel = \parallel x\parallel + \parallel y\parallel ;
\]
\( {L}^{p} \) 的条件:
\[
x \geq 0, y \geq 0 \Rightarrow \parallel x + y{\parallel }^{p} = \parallel x{\parallel }^{p} + \parallel y{\parallel }^{p}.
\]
对于抽象 \( L \) 空间,可以证明有测度空间 \( \Omega \) 使这种巴拿赫格线性保序同构于 \( {L}^{1}\left( \Omega \right) \) . 同样对抽象 \( {L}^{p} \) 空间也可用某个 \( {L}^{p}\left( \Omega \right) \) 来刻画. 这样的种种表示定理是在 20 世纪 40 年代初由角谷静夫以及克列因 ( \( \mathrm{{Kpe}}{\ddot{\mathrm{n}}}_{11},\mathrm{M}.\Gamma \) .) 和克列因 ( \( \mathrm{{Kpe}}{\ddot{\mathrm{n}}}_{\mathrm{H}}.\mathrm{C}.\Gamma \) . ) 等人给出的.
对偶格 (dual lattice) 向量格到实数域 \( \mathrm{R} \) 的序有界线性算子全体. 设 \( \mathcal{L}\left( {X, Y}\right) \) 是向量格 \( X \) 到向量格 \( Y \) 的序有界线性算子全体所成的集 (这里序有界是指把 \( X \) 中的任一序有界集映成 \( Y \) 中的序有界集). 对任何 \( {\varphi }_{1},{\varphi }_{2} \in \mathcal{L}\left( {X, Y}\right) \) ,如果 \( x \geq 0 \) 时,有 \( {\varphi }_{1}\left( x\right) \geq {\varphi }_{2}\left( x\right) \) ,则定义 \( {\varphi }_{1} \geq {\varphi }_{2} \) ,在此序关系下, \( \mathcal{L}(X \) , \( Y) \) 也是向量格. 当 \( Y \) 序完备时, \( \mathcal{L}\left( {X, Y}\right) \) 也是序完备的. 称 \( \varphi \in \mathcal{L}\left( {X, Y}\right) \) 是正线性算子,如果 \( \varphi \geq 0 \) . 特别地,当 \( Y \) 为实数域 \( \mathrm{R} \) 时,称 \( \mathcal{L}\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) 为 \( X \) 的对偶格,记为 \( {X}^{\prime } \) . 它是序完备的向量格.
向量格 \( X \) 的对偶格与范数对偶空间相同,而且任何巴拿赫格的序对偶仍是巴拿赫格. 对 \( f \in {X}^{\prime }, f \) 的正、负部分 \( {f}^{ + } \) 和 \( {f}^{ - } \) ,以及绝对值 \( \left| f\right| \) 等满足下列关系:
\[
{f}^{ + }\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{0 \leq y \leq x}}f\left( y\right) ,
\]
\[
{f}^{ - }\left( x\right) = - \mathop{\inf }\limits_{{0 \leq y \leq x}}f\left( y\right) ,
\]
\[
\left| f\right| \left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{-x \leq y \leq x}}f\left( y\right) ,
\]
这里 \( x \in X \) ,且 \( x \geq 0 \) . 对偶研究是由克列因 ( \( \mathrm{{Kpe}}{\check{\mathrm{n}}}_{\mathrm{H}} \) , M. Γ. ) 等人开始的, 他证明了巴拿赫格的序性质如何确定了对偶格的序性质.
序有界线性算子 (order-bounded linear operator) 见“对偶格”.
正线性算子 (positive linear operator) 见 “对偶格”.
拓扑里斯空间 (topological Riesz space) 巴拿赫格的一种推广, 是带有与其线性结构相协调序关系的拓扑线性空间. 向量格 \( X \) 中的集合 \( S \) 称为是实心的,如果 \( S = \{ y \mid \exists u \in S, u \geq 0 \) 且 \( u \geq y \geq - u\} \) . 设 \( X \) 是里斯空间且 \( \left( {X, T}\right) \) 是拓扑线性空间,若 \( T \) 存在一实心集组成的零元邻域基,则称 \( \left( {X, T}\right) \) 为拓扑里斯空间. 特别地,若 \( \left( {X, T}\right) \) 是局部凸拓扑线性空间, 则称 \( \left( {X, T}\right) \) 为局部凸拓扑里斯空间. 拓扑里斯空间的研究是受到抽象积分理论、魁特空间理论等分支的强烈影响而开始的.
局部序凸空间 (locally order-convex space) 一种带有序关系的拓扑线性空间. 设 \( A \) 是向量格 \( X \) 的子集,若对任何 \( {a}_{1},{a}_{2} \in A,{a}_{1} \leq {a}_{2} \) 有 \( \left\{ {y \mid {a}_{1} \leq y}\right. \) \( \left. { \leq {a}_{2}}\right\} = \left\lbrack {{a}_{1},{a}_{2}}\right\rbrack \subset A \) ,则称 \( A \) 是序凸子集. \( X \) 中的线性拓扑 \( T \) 称为是局部序凸拓扑,若其具有由序凸集组成的零元邻域基. 特别地,当 \( X \) 中的正锥是 \( T \) 的闭集时,则称 \( \left( {X, T}\right) \) 为局部序凸里斯空间. 最早研究局部序凸巴拿赫空间的人是克列因 (Aperiu, M. I.), 他与格罗斯伯格 (Grosberg, J. ) 于 1939 年证明了局部序凸巴拿赫空间的对偶定理.
## 线性算子
算子理论 (operator theory) 算子理论是研究函数空间或更一般的抽象空间之间的变换或算子的一种理论. 算子理论的思想产生于 19 世纪末期, 其中可以以沃尔泰拉 (Volterra, V. ) 的几篇论文作为标志. 之后通过阿达马 (Hadamard, J. (-S. ))、弗雷歇 (Fréchet, M. -R. )、穆尔 (Moore, R. E. )、施密特 (Schmidt, E. )、里斯 (Riesz, F. )、巴拿赫 (Banach, S. )、冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 等一大批数学家的共同努力, 到 20 世纪 20 年代, 算子理论得以初步成形. 在此之后, 特别是 20 世纪后半叶, 算子理论得到了突飞猛进的发展.
算子理论产生的原动力是出于研究各类微分方程与积分方程的需要. 出现在各种微分方程与积分方程中的变换的共同特征是把函数变为函数. 算子理论的观点是把一个函数视为相应函数空间中的一个元素或一个点, 从而把变换视为函数空间之间把点变为点的算子或映射, 进而可把它作为抽象空间 (如巴拿赫空间或一般的拓扑线性空间)之间的算子来研究. 这种观点与研究方法具有一般性与统一性. 同时, 算子作为 (无穷维) 空间中把点变为点的映射也具有几何直观性, 特别是经常可以从关于有限维空间中的映射的已知结论中得到启示. 作为抽象的线性空间中的算子, 按其是否具有线性属性来分类, 可分为线性算子与非线性算子两大类. 这两类理论可以分别看做是有限维空间中线性代数与数学分析理论在无穷维空间上的推广. 这种推广的主要困难也正是来自空间的无穷维属性. 目前, 线性算子的理论相对于非线性算子的理论而言要成熟与完备得多.
算子理论的主要应用对象是微分方程与积分方程. 事实上, 微分算子与积分算子已成为整个算子理论中两个有机的组成部分.
线性算子 (linear operator) 线性空间之间保持线性运算的映射. 设 \( X, Y \) 同是数域 \( K \) 上的线性空间, \( D \) 是 \( X \) 的线性子空间, \( T \) 是从 \( D \) 到 \( Y \) 中的映射. 如果对每个 \( x, y \in D \) ,有 \( T\left( {x + y}\right) = {Tx} + {Ty} \) ,则称 \( T \) 是可加算子; 如果对每个 \( x \in D \) 和实数 \( \alpha \) 有 \( T\left( {\alpha x}\right) = {\alpha Tx} \) ,则称 \( T \) 是实齐次的,如果对一切 \( \alpha \in \) \( K \) 这个关系式都成立,则称 \( T \) 是齐次算子. 如果 \( T \) 既是可加的又是齐次的,则称 \( T \) 是线性算子或线性映射, \( D \) 称为 \( T \) 的定义域,常记为 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) . 线性子空间 \( \mathcal{R}\left( T\right) = \{ {Tx} \mid x \in D\} \) 称为 \( T \) 的值域 (或像域). 当 \( \mathcal{D}\left( T\right) = X \) 时,称 \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子. 当 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) \( = Y \) 时,称 \( T \) 为 \( X \) 到 \( Y \) 上的或满值域的. 特别地,当 \( Y = K \) (或 \( Y \) 是一维线性空间) 时, \( T \) 称为 \( D \) 上的线性泛函. 线性泛函是线性算子的特殊情形.
线性泛函 (linear functional) 见“线性算子”.
线性映射 (linear mapping) 见 “线性算子”.
可加算子 (additive operator) 见“线性算子”.
齐次算子 (homogeneous operator) 见 “线性算子”.
单射线性算子 (injective linear operator) 一对一的线性算子,即若 \( x \neq y \) ,则 \( {Tx} \neq {Ty} \) . 单射线性算子有时也称为内射线性算子.
内射线性算子 (injective linear operator) 即 “单射线性算子”.
满射线性算子 (surjective linear operator) 值域等于全空间的线性算子, 亦称为映到上的线性算子.
双射线性算子 (bijective linear operator) 既是单射又是满射的线性算子.
恒等算子 (identity operator) 将空间元素恒映为自身的映射. 设 \( X \) 为线性空间, \( X \) 上的恒等算子常记为 \( I \) ,即对任意 \( x \in X \) 有 \( {Ix} = x \) .
线性算子的初等运算 (elementa |
2000_数学辞海（第3卷） | 77 | . 如果 \( T \) 既是可加的又是齐次的,则称 \( T \) 是线性算子或线性映射, \( D \) 称为 \( T \) 的定义域,常记为 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) . 线性子空间 \( \mathcal{R}\left( T\right) = \{ {Tx} \mid x \in D\} \) 称为 \( T \) 的值域 (或像域). 当 \( \mathcal{D}\left( T\right) = X \) 时,称 \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子. 当 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) \( = Y \) 时,称 \( T \) 为 \( X \) 到 \( Y \) 上的或满值域的. 特别地,当 \( Y = K \) (或 \( Y \) 是一维线性空间) 时, \( T \) 称为 \( D \) 上的线性泛函. 线性泛函是线性算子的特殊情形.
线性泛函 (linear functional) 见“线性算子”.
线性映射 (linear mapping) 见 “线性算子”.
可加算子 (additive operator) 见“线性算子”.
齐次算子 (homogeneous operator) 见 “线性算子”.
单射线性算子 (injective linear operator) 一对一的线性算子,即若 \( x \neq y \) ,则 \( {Tx} \neq {Ty} \) . 单射线性算子有时也称为内射线性算子.
内射线性算子 (injective linear operator) 即 “单射线性算子”.
满射线性算子 (surjective linear operator) 值域等于全空间的线性算子, 亦称为映到上的线性算子.
双射线性算子 (bijective linear operator) 既是单射又是满射的线性算子.
恒等算子 (identity operator) 将空间元素恒映为自身的映射. 设 \( X \) 为线性空间, \( X \) 上的恒等算子常记为 \( I \) ,即对任意 \( x \in X \) 有 \( {Ix} = x \) .
线性算子的初等运算 (elementary operation of linear operators) 包括加法、数乘、乘积等运算. 设 \( X, Y \) 是数域 \( K \) 上的线性空间,用 \( \left( {X \rightarrow Y}\right) \) 表示从 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子全体. 当 \( A, B \in \left( {X \rightarrow Y}\right) ,\alpha \in K \) ,规定 \( A \) 与 \( B \) 的和 \( A + B \) 及 \( \alpha \) 与 \( A \) 的积 \( {\alpha A} \) 如下: 对任何 \( x \in X,\left( {A + B}\right) x = {Ax} + {Bx},\left( {\alpha A}\right) x = {\alpha Ax} \) ,于是 \( \left( {X \rightarrow Y}\right) \) 成为 \( K \) 上的线性空间. 设 \( Z \) 是数域 \( K \) 上的线性空间,如果 \( B \in \left( {X \rightarrow Y}\right), A \in \left( {Y \rightarrow Z}\right) \) ,定义算子 \( A \) 与 \( B \) 的乘积为 \( \left( {AB}\right) x = A\left( {Bx}\right) ,{AB} \in \left( {X \rightarrow Z}\right) \) . 特别地当 \( X = Y = Z \) 时, \( \left( {X \rightarrow Y}\right) \) 按上述线性运算及乘积成为有单位元的代数,其单位元为恒等算子 \( I \) : \( {Ix} = x \) .
逆算子 (inverse operator) 由给定算子的像到原像的映射. 设 \( X, Y \) 均为线性空间, \( T \) 是线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X,\mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) ,如果 \( T \) 是一一映射,则存在从 \( \mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) 到 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X \) 上的线性算子 \( S \) 使得 \( {ST} = {I}_{\mathcal{D}\left( T\right) },{TS} = {I}_{\mathcal{R}\left( T\right) } \) ,这里 \( {I}_{\mathcal{D}\left( T\right) },{I}_{\mathcal{R}\left( T\right) } \) 分别表示 \( \mathcal{D}\left( T\right) ,\mathcal{R}\left( T\right) \) 上的恒等算子,称 \( S \) 为 \( T \) 的逆算子, \( T \) 的逆算子通常记为 \( {T}^{-1} \) .
有界线性算子 (bounded linear operator) 泛函分析研究中一类重要线性算子. 设 \( X, Y \) 是赋范线性空间, \( T \) 是 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X \) 到 \( Y \) 中的线性算子. 如果 \( T \) 把 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 中的每个有界集映射成 \( Y \) 中的有界集,就称 \( T \) 是有界线性算子. 否则称 \( T \) 为无界线性算子. 赋范空间中线性算子的有界性、连续性及在某一点的连续性这三者是等价的. 而 \( X \) 上线性泛函 \( f \) 为有界的另一充分必要条件是, \( f \) 的零空间 \( \ker f \) \( = \{ x \mid f\left( x\right) = 0\} \) 是 \( X \) 中的闭子空间. 同样可以定义线性算子 \( T \) 的零空间 \( \ker T = \{ x \mid {Tx} = 0\} \) . 上述结论对赋准范空间的情形也是对的.
注意, 通常说 “有界线性算子”总是指它的定义域是全空间的有界线性算子. 关于有界线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用, 同时也是量子物理的数学基础之一.
无界线性算子 (unbounded linear operator) 见“有界线性算子”.
有界线性泛函 (bounded linear functional) 作为特殊的算子为有界的线性泛函.
线性算子的零空间 (null space of linear operator) 见“有界线性算子”.
线性算子的核 (kernel of linear operator ) 即 “线性算子的零空间”.
有界线性算子的范数 (norm of bounded linear operator) 刻画有界线性算子的“界”的非负实数. 设 \( X, Y \) 是赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子. \( T \) 是有界的充分必要条件是存在常数 \( M \geq 0 \) ,使得 \( \parallel {Tx}\parallel \leq M\parallel x\parallel \) 对一切 \( x \in X \) 成立. 这种 \( M \) 的下确界称为 \( T \) 的范数,记为 \( \parallel T\parallel \) . 显然
\[
\parallel T\parallel = \mathop{\sup }\limits_{{x \neq 0}}\frac{\parallel {Tx}\parallel }{\parallel x\parallel } = \mathop{\sup }\limits_{{\parallel x\parallel = 1}}\parallel {Tx}\parallel .
\]
若称
\[
\frac{\parallel {Tx}\parallel }{\parallel x\parallel }
\]
为 \( T \) 在 \( x \) 的伸长系数,则 \( \parallel T\parallel \) 的几何意义是一切 \( x \) 的伸长系数的上确界. 当 \( f \) 是有界线性泛函时, \( f \) 的范数也记为 \( \parallel f\parallel \) .
有界线性泛函的范数 (norm of bounded linear functional) 见“有界线性算子的范数”.
有界线性算子空间 (space of bounded linear operators) 一类重要空间. 所谓有界线性算子空间,是指赋范线性空间 \( X \) 到赋范线性空间 \( Y \) 的有界线性算子全体,用 \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 表示. 按算子的线性运算和算子的范数, \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 成为赋范线性空间. 当 \( Y \) 是巴拿赫空间时, \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 也是巴拿赫空间. 特别地,当 \( X = Y \) 是巴拿赫空间时,对任何 \( A, B \in \) \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow X}\right) \) ,还有 \( \parallel {AB}\parallel \leq \parallel A\parallel \parallel B\parallel \) . 有界线性算子空间是泛函分析中研究的一类重要空间, 它在算子理论的研究中起着重要作用.
可逆线性算子 (invertible linear operator) - 类具有有界逆映射的线性算子. 设 \( X, Y \) 是赋范线性空间, \( T \) 是线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X,\mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) . 如果 \( \mathcal{R}\left( T\right) = Y, T \) 是一对一的,且 \( {T}^{-1} \) 有界,则称 \( T \) 是可逆线性算子. 可逆线性算子是线性代数中可逆矩阵概念的一种推广.
正则线性算子 (regular linear operator) 巴拿赫空间上的一类线性算子. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( X \) 的线性算子,定义域是 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) . 若 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) \( = X, T \) 是单射,且 \( {T}^{-1} \) 是有界的,则称 \( T \) 是正则线性算子.
闭线性算子 (closed linear operator) 连续线性算子的推广. 设 \( X, Y \) 是度量线性空间, \( T \) 是线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X,\mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) . 如果由
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} \subset \mathcal{D}\left( T\right) ,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = x,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}T{x}_{n} = y,
\]
能推出 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) ,且 \( {Tx} = y \) 成立,则称 \( T \) 是闭线性算子. 在乘积空间 \( X \times Y = \{ \left( {x, y}\right) \mid x \in X, y \in Y\} \) 中引入距离
\[
\rho \left( {\left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) ,\left( {{x}_{2},{y}_{2}}\right) }\right)
\]
\[
= \sqrt{\rho {\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) }^{2} + \rho {\left( {y}_{1},{y}_{2}\right) }^{2}},
\]
\( \left( {X \times Y,\rho }\right) \) 成为度量线性空间,子集 \( G\left( T\right) = \{ (x \) , \( {Tx})\{ x \in \mathcal{D}\left( T\right) \} \) 称为映射 \( T \) 的图象, \( T \) 是闭线性算子的充分必要条件为 \( G\left( T\right) \) 在 \( \left( {X \times Y,\rho }\right) \) 中是闭集. 在赋范线性空间上无界线性算子的讨论中, 算子是否为闭相当重要, 因为闭性与连续性有密切的联系.
线性映射的图象 (graph of linear mapping) 见“闭线性算子”.
稠定闭线性算子 (densely defined closed linear operator) 无界线性算子理论中一类重要的算子. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( T \) 是定义域为 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) \( \subset X \) ,值域为 \( \mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) 的线性算子,如果 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 在 \( X \) 中是稠密的,则称 \( T \) 是稠定线性算子. 一个既稠定又闭的算子称为稠定闭线性算子.
稠定线性算子 (densely defined linear operator) 见“稠定闭线性算子”.
共轭线性算子 (conjugate linear operator) 由线性算子诱导出的共轭空间之间的算子. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的稠定线性算子. 记 \( {\mathcal{D}}^{ * } = \left\{ {f \mid f \in {Y}^{ * }}\right. \) ,存在 \( g \in {X}^{ * } \) ,使对一切 \( x \in \) \( \mathcal{D}\left( T\right), g\left( x\right) = f\left( {Tx}\right) \) 成立 \( \} \) ,这里 \( g \) 由 \( f \) 惟一确定, \( {\mathcal{D}}^{ * } \) 是 \( {Y}^{ * } \) 的线性子空间. 在 \( {\mathcal{D}}^{ * } \) 上定义算子 \( {T}^{ * } : {T}^{ * }f = g,{T}^{ * } \) 是以 \( {\mathcal{D}}^{ * } \) 为定义域的到 \( {X}^{ * } \) 的线性算子,并称为 \( T \) 的共轭算子,也称为 \( T \) 的对偶线性算子或伴随线性算子. 当 \( T \) 是有界线性算子时, \( {T}^{ * } \) 也是有界的,并且 \( \begin{Vmatrix}{T}^{ * }\end{Vmatrix} = \parallel T\parallel \) . 有界线性算子的共轭算子有如下基本性质:
\[
{\left( \alpha T + \beta S\right) }^{ * } = \alpha {T}^{ * } + \beta {S}^{ * }\;\left( {\alpha ,\beta \text{ 是数 }}\right) ;
\]
\[
{\left( TS\right) }^{ * } = {S}^{ * }{T}^{ * };{\left( {T}^{-1}\right) }^{ * } = {\left( {T}^{ * }\right) }^{-1}.
\]
当 \( X, Y \) 是内积空间时, \( T \) 的共轭算子 \( {T}^{ * } \) 是指满足 \( \left( {{Tx}, y}\right) = \left( {x,{T}^{ * }y}\right) \) 的线性算子. 内积空间的共轭算子是线性代数中转置共轭矩阵概念的推广, 它与赋范空间上共轭算子的性质的区别仅在于 \( {\left( \alpha T + \beta S\right) }^{ * } \) \( = \bar{\alpha }{T}^{ * } + \bar{\beta }{S}^{ * }\left( {\alpha ,\beta \text{是数}}\right) \) . 特别地,当 \( X = Y \) 是希尔伯特空间时有:
1. 若 \( A \in \mathcal{B}\left( X\right) \) ,则 \( {A}^{ * } \in \mathcal{B}\left( X\right) \) .
2. \( {A}^{* * } = A \) .
3. \( \begin{Vmatrix}{{A}^{ * }A}\end{Vmatrix} = \parallel A{\parallel }^{2} \) .
4. \( \ker \left( A\right) = \mathcal{R}{\left( {A}^{ * }\right) }^{ \bot },\ker \left( {A}^{ * }\right) = \mathcal{R}{\left( A\right) }^{ \bot } \) ,这里的 \( \ker \left( A\right) \) 为算子 \( A \) 的零空间.
赋范空间中共轭算子是线性代数中转置矩阵概念的推广,所以自然地在研究方程 \( {Tx} = y \) 时它起着重要作用.
伴随线性算子 (adjoint linear operator) 即 “共轭线性算子”.
对偶线性算子 (dual linear operator) 即 “共轭线性算子”.
共鸣定理 (resonance theorem) 亦称一致有界性原理或巴拿赫-施坦豪斯定理. 论述有关一族有界线性算子为一致有界的定理. 该定理断言: 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( Y \) 是赋范线性空间, \( \left\{ {{T}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是从 \( X \) 到 \( Y \) 的一族有界线性算子,如果对每个 \( x \in X \) 都有
\[
\mathop{\sup }\limits_{{a \in \Lambda }}\begin{Vmatrix}{{T}_{a}x}\end{Vmatrix} < + \infty ,
\]
则数集 \( \left\{ {\begin{Vmatrix}{T}_{\alpha }\end{Vmatrix} \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是有界的.
共鸣定理是泛函分析中的一条重要定理. 它是由巴拿赫 (Banach, S. ) 与施坦豪斯 (Steinhaus, H. D. )于 1927 年在勒贝格 (Lebesgue, H. L. ) 关于奇异积分、特普利茨 (Toeplitz, O. ) 关于正则求和法以及哈恩 (Hahn, H. ) 关于插值理论等前人研究成果的基础上提出的.
一致有界性原理 (uniform boundedness principle) 即“共鸣定理”.
巴拿赫-施坦豪斯定理 (Banach-Steinhaus theorem) 即“共鸣定理”.
奇异性凝聚原理 (principle of the condensation of singularities) 有关算子奇异性的定理. 设 \( {T}_{mn} \) \( \left( {m, n = 1,2,\cdots }\right) \) 是由巴拿赫空间 \( X \) 到巴拿赫空间 \( {X}_{mn} \) 中的有界线性算子,并设
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{T}_{mn}\end{Vmatrix} = + \infty \;\left( {m = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
(1)
那么存在 \( X \) 中的一个第二范畴集 \( M \) 使 \( X \smallsetminus M \) 是第一范畴的,并且对每个 \( x \in M \) 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{{T}_{mn}x}\end{Vmatrix} = + \infty \;\left( {m = 1,2,\cdots }\right) .
\]
(2)
式 (1) 意味着对每个 \( m \) ,存在单位向量列 \( \left\{ {x}_{mn}\right\} \) 使
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{{T}_{mn}{x}_{mn}}\end{Vmatrix} = + \infty \;\left( {m = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
故 \( {x}_{mn} \) 具有某种奇异性. 而上述结论 (2) 则说明随 \( m \) , \( n \) 而变的 \( {x}_{mn} \) 可换成固定的 \( x \) ,从而定理称为奇异性凝聚原理.
开映射定理 (open mapping theorem) 亦称开映照定理或开映像定理. 闭线性算子的一个重要性质. 设 \( X, Y \) 是弗雷歇空间, \( T \) 是闭线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \) \( |
2000_数学辞海（第3卷） | 78 | (principle of the condensation of singularities) 有关算子奇异性的定理. 设 \( {T}_{mn} \) \( \left( {m, n = 1,2,\cdots }\right) \) 是由巴拿赫空间 \( X \) 到巴拿赫空间 \( {X}_{mn} \) 中的有界线性算子,并设
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{T}_{mn}\end{Vmatrix} = + \infty \;\left( {m = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
(1)
那么存在 \( X \) 中的一个第二范畴集 \( M \) 使 \( X \smallsetminus M \) 是第一范畴的,并且对每个 \( x \in M \) 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{{T}_{mn}x}\end{Vmatrix} = + \infty \;\left( {m = 1,2,\cdots }\right) .
\]
(2)
式 (1) 意味着对每个 \( m \) ,存在单位向量列 \( \left\{ {x}_{mn}\right\} \) 使
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}{{T}_{mn}{x}_{mn}}\end{Vmatrix} = + \infty \;\left( {m = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
故 \( {x}_{mn} \) 具有某种奇异性. 而上述结论 (2) 则说明随 \( m \) , \( n \) 而变的 \( {x}_{mn} \) 可换成固定的 \( x \) ,从而定理称为奇异性凝聚原理.
开映射定理 (open mapping theorem) 亦称开映照定理或开映像定理. 闭线性算子的一个重要性质. 设 \( X, Y \) 是弗雷歇空间, \( T \) 是闭线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \) \( \subset X,\mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) ,如果 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) 是 \( Y \) 中的第二范畴集, 则 \( \mathcal{R}\left( T\right) = Y \) ,且 \( T \) 把 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 中的 (相对) 开集映为 \( Y \) 中的开集. 该定理在有限维空间中是平凡的, 但在无限维空间中却是极为深刻的性质和有力的工具. 通过它不但可以导出关于有界逆算子存在的重要定理, 而且还可得到重要的闭图象定理.
开映照定理 (open mapping theorem) 即 “开映射定理”.
开映像定理 (open mapping theorem) 即 “开映射定理”.
巴拿赫逆算子定理 (Banach inverse operator theorem) 关于有界逆算子存在的定理. 设 \( X, Y \) 为弗雷歇空间, \( T \) 是 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X \) 到 \( \mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) 的闭线性算子,如果 \( T \) 是一对一的,且 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) 是 \( Y \) 中的第二范畴集,则 \( {T}^{-1} \) 是定义在 \( Y \) 上的连续线性算子. 特别地,从巴拿赫空间 \( X \) 到巴拿赫空间 \( Y \) 上的一对一有界线性算子 \( T \) 的逆 \( {T}^{-1} \) 是定义在 \( Y \) 上的有界线性算子.
闭图象定理 (closed graph theorem) 从线性算子的闭性推出连续性的定理. 设线性算子 \( T \) 是由弗雷歇空间 \( X \) 的第二范畴线性子空间到弗雷歇空间 \( Y \) 内的闭线性算子,则 \( T \) 必是连续的. 闭图象定理是巴拿赫 (Banach, S. ) 于 1931 年提出并证明的. 1956 年, 罗伯森兄弟 (Robertson, A. & Robertson, W. ) 把它推广到局部凸拓扑线性空间, 证明了桶型空间到全完备空间的闭线性算子是连续的.
线性算子的闭值域定理 (closed range theorem of linear operator) 刻画值域为闭的算子的定理. 设 \( X, Y \) 是巴拿赫空间, \( T \) 是稠定闭线性算子,定义域 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset X \) ,值域 \( \mathcal{R}\left( T\right) \subset Y \) . 下面五个条件是等价的:
1. \( \mathcal{R}\left( T\right) \) 是 \( Y \) 中的闭子空间.
2. \( \mathcal{R}\left( {T}^{ * }\right) \) 是 \( {X}^{ * } \) 中的闭子空间.
3. \( \gamma \left( T\right) = \inf \{ \parallel {Tx}\parallel \mid x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) ,
\[
\mathop{\inf }\limits_{{h \in \ker T}}\parallel x - h\parallel \geq 1\} > 0,
\]
\( \gamma \left( T\right) \) 称为 \( T \) 的最小模, \( \ker T \) 为 \( T \) 的零空间.
4. \( \mathcal{R}\left( T\right) = \{ y \in Y \mid \) 对所有的 \( {y}^{ * } \in \ker {T}^{ * } \) ,都有 \( \left. {{y}^{ * }\left( y\right) = 0}\right\} \) .
5. \( \mathcal{R}\left( {T}^{ * }\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * } \mid }\right. \) 对所有的 \( x \in \ker T \) ,都有 \( \left. {{x}^{ * }\left( x\right) = 0}\right\} \) .
以上所述汇总起来称为闭值域定理.
算子值域 (operator range) 巴拿赫空间中的一类线性子空间. 设 \( R \) 是巴拿赫空间 \( X \) 的线性子空间,如果存在巴拿赫空间 \( {X}_{1} \) 以及从 \( {X}_{1} \) 到 \( X \) 中的有界线性算子 \( T \) ,使得 \( R \) 就是 \( T \) 的值域 (像域),即 \( R \) \( = T\left( {X}_{1}\right) \) ,则称 \( R \) 是一个算子值域. 例如,巴拿赫空间中每个闭线性子空间都是算子值域, 因此算子值域可视为闭线性子空间概念的推广. 利用算子值域可把闭图象定理做如下推广: 设 \( A \) 是从巴拿赫空间 \( X \) 到巴拿赫空间 \( Y \) 中的线性算子,如果 \( A \) 的图象是算子值域,则 \( A \) 必是有界的 (即连续的).
线性算子的闭扩张 (closed extension of linear operator) 研究无界线性算子的重要方法之一. 设 \( X, Y \) 都是赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 是 \( T \) 的定义域, \( T \) 的值域为 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) . 如果有闭线性算子 \( {T}^{\prime } \) ,使得 \( {T}^{\prime } \) 是 \( T \) 的扩张或延拓,即 \( \mathcal{D}\left( {T}^{\prime }\right) \) \( \supset \mathcal{D}\left( T\right) \) ,且当 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) 时, \( {Tx} = {T}^{\prime }x \) ,则称 \( {T}^{\prime } \) 是 \( T \) 的闭扩张 (或闭延拓). 如果 \( \bar{T} \) 是 \( T \) 的一个闭扩张, 而一切 \( T \) 的闭扩张 \( \widetilde{T} \) 都必是 \( \bar{T} \) 的闭扩张时,则称 \( \bar{T} \) 是 \( T \) 的最小闭扩张. 如果 \( T \) 有闭扩张,则最小闭扩张是惟一的.
线性算子的闭延拓 (closed extension of linear operator) 即“线性算子的闭扩张”.
线性算子的最小闭扩张 (minimal closed extension of linear operator) 见“线性算子的闭扩张”.
稠定线性算子的闭扩张 (closed extension of densely defined linear operator) 稠定线性算子在一定条件下经延拓而得到的闭算子. 设 \( H, G \) 都是希尔伯特空间, \( T \) 是线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset H \) 在 \( H \) 中稠密, \( \mathcal{R}\left( T\right) \subset G \) . 如果存在闭线性算子 \( S \) ,使得 \( \mathcal{D}\left( T\right) \subset \mathcal{D}\left( S\right) \) ,且当 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) 时, \( {Sx} = {Ty} \) ,则称 \( S \) 是 \( T \) 的闭扩张,而称 \( T \) 是可闭化的. 稠定线性算子 \( T \) 可闭化的充分必要条件是 \( \mathcal{D}\left( {T}^{ * }\right) \) 在 \( G \) 中稠密, 此时, \( T \) 的最小闭扩张 \( \bar{T} \) 就是 \( {T}^{* * } \) .
特征值 (eigenvalue) 矩阵特征值概念的推广, 是由算子决定的一些复数. 设 \( T \) 是线性空间 \( X \) 上的算子, \( \lambda \) 是复数. 如果 \( X \) 中有非零向量 \( x \) ,使 \( {Tx} = \) \( {\lambda x} \) ,则称 \( \lambda \) 为 \( T \) 的特征值 (或本征值),而 \( x \) 称为相应于 \( \lambda \) 的特征向量 (或本征向量). 当 \( T \) 是线性算子时,相应于特征值 \( \lambda \) 的特征向量再加上零向量构成线性子空间,记为 \( {E}_{\lambda } \) ,称 \( {E}_{\lambda } \) 为相应于 \( \lambda \) 的特征子空间. \( {E}_{\lambda } \) 的维数称为特征值 \( \lambda \) 的重复度. 对有限维空间, 求矩阵的特征值以及与它相应的线性方程组的求解问题在线性代数中已经完全解决. 当空间是无限维时, 问题变得复杂得多.
特征向量 (eigenvector) 见 “特征值”.
本征值 (eigenvalue) 即 “特征值”.
本征向量 (eigenvector) 即 “特征向量”.
特征子空间 (eigensubspace) 见 “特征值”.
特征值的重复度 (multiplicity of eigenvalue) 见“特征值”.
正则集 (regular set) 正则点的集合, 正则点是由算子决定的一些复数. 设 \( X \) 是复赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( X \) 的线性算子, \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 是 \( T \) 的定义域, \( \lambda \) 是复数. 如果 \( {\lambda I} - T \) 是正则算子,即使 \( {\left( \lambda I - T\right) }^{-1} \) 是在整个 \( X \) 上有定义的有界线性算子,则称 \( \lambda \) 是 \( T \) 的正则点. 复平面上正则点全体记为 \( \rho \left( T\right) \) ,称为 \( T \) 的正则集或预解集. \( \rho \left( T\right) \) 的余集 \( \mathrm{C} \smallsetminus \rho \left( T\right) \) 称为 \( T \) 的谱集,简称谱,记为 \( \sigma \left( T\right) \) 或 \( \operatorname{Sp}\left( T\right) \) . 当 \( X \) 是巴拿赫空间时, 任何线性算子的正则集都是开集, 进一步, 当 \( T \) 是有界时, \( \rho \left( T\right) \) 和 \( \sigma \left( T\right) \) 都是非空的.
线性算子 \( T \) 的特征值也称为点谱,其全体记为 \( {\sigma }_{p}\left( T\right) \) ; 如果存在单位向量序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) ,使得
\[
\begin{Vmatrix}{\left( {{\lambda I} - T}\right) {x}_{n}}\end{Vmatrix} \rightarrow 0,
\]
则称 \( \lambda \) 是近似点谱,其全体记为 \( {\sigma }_{a}\left( T\right) \) ; 如果 \( {\lambda I} - T \) 是一对一且值域稠密,则称 \( \lambda \) 是连续谱点,其全体记为 \( {\sigma }_{c}\left( T\right) \) ; 如果 \( \lambda \) 不是特征值, \( {\lambda I} - T \) 的值域也不稠密,则称 \( \lambda \) 为 \( T \) 的剩余谱点,其全体记为 \( {\sigma }_{r}\left( T\right) \) (也有的文献定义 “剩余谱” 为 \( \sigma \left( T\right) \smallsetminus {\sigma }_{a}\left( T\right) ) \) . 显然, \( {\sigma }_{p}\left( T\right) ,{\sigma }_{c}\left( T\right) \) 和 \( {\sigma }_{r}\left( T\right) \) 互不相交,
\[
\sigma \left( T\right) = {\sigma }_{p}\left( T\right) \cup {\sigma }_{c}\left( T\right) \cup {\sigma }_{r}\left( T\right) .
\]
当 \( X \) 是巴拿赫空间时,还有 \( \partial \sigma \left( T\right) \subset {\sigma }_{a}\left( T\right) \) ,这里 \( \partial \sigma \) 表示 \( \sigma \) 的边界.
在无限维空间, 谱是较矩阵特征值更广泛的概念. 一般特征值只是谱的一部分 (点谱). 只有线性算子的谱理论的建立才能完全解决力学、物理和工程技术中所出现的大量的线性方程求解问题.
预解集 (resolvent set) 即 “正则集”.
谱集 (spectrum) 见“正则集”.
谱 (spectrum) 谱集的简称. 见 “正则集”.
点谱 (point spectrum) 见“正则集”.
近似点谱 (approximate point spectrum) 见 “正则集”.
连续谱 (continuous spectrum) 见“正则集”.
剩余谱 (residue spectrum) 见“正则集”.
预解算子 (resolvent operator) 定义在正则集上的算子函数. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的线性算子, \( \rho \left( T\right) \) 为 \( T \) 的正则集. 对 \( \lambda \in \rho \left( T\right) \) ,称有界线性算子 \( R\left( {\lambda, T}\right) = {\left( \lambda I - T\right) }^{-1} \) 为 \( T \) 的预解算子. \( R\left( {\lambda, T}\right) \) 是 \( \rho \left( T\right) \) 上的局部解析函数,对 \( {\lambda }_{1},{\lambda }_{2} \in \rho \left( T\right) \) ,有
\[
R\left( {{\lambda }_{1}, T}\right) - R\left( {{\lambda }_{2}, T}\right)
\]
\[
= - \left( {{\lambda }_{1} - {\lambda }_{2}}\right) R\left( {{\lambda }_{1}, T}\right) R\left( {{\lambda }_{2}, T}\right) .
\]
当 \( T, S \) 是有界线性算子, \( \lambda \in \rho \left( S\right) \cap \rho \left( T\right) \) 时,有
\( R\left( {\lambda, T}\right) - R\left( {\lambda, S}\right) = R\left( {\lambda, T}\right) \left( {T - S}\right) R\left( {\lambda, S}\right) . \)
上述两个等式分别称为第一预解方程和第二预解方程.
预解方程 (resolvent equation) 见 “预解算子”.
谱半径 (spcetral radius) 刻画谱集范围大小的数量. 设 \( X \) 为复赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 上的有界线性算子, \( \sigma \left( T\right) \) 是 \( T \) 的谱,称
\[
{r}_{\sigma \left( T\right) } = \mathop{\sup }\limits_{{\lambda \in \sigma \left( T\right) }}\left| \lambda \right|
\]
为 \( T \) 的谱半径. 当 \( X \) 是巴拿赫空间时,
\[
{r}_{\sigma \left( T\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\begin{Vmatrix}{T}^{n}\end{Vmatrix}}.
\]
上述等式称为盖尔范德谱半径公式.
相似线性算子 (similar linear operators) 相似矩阵的推广. 设 \( A, B \) 是巴拿赫空间上的有界线性算子,如果存在可逆的有界算子 \( W \) (即 \( W,{W}^{-1} \) 都有界),使得 \( B = {W}^{-1}{AW} \) ,则称 \( A \) 和 \( B \) 相似. 相似算子具有相同的谱.
拟相似线性算子 (quasi-similar linear operators) 相似线性算子的推广. 设 \( A, B \) 是巴拿赫空间上的有界线性算子, 如果存在两个有稠密值域的单射的线性算子 \( T \) 和 \( S \) ,使得 \( {TA} = {BT},{AS} = {SB} \) 成立,则称 \( A \) 和 \( B \) 拟相似.
幂等算子 (idempotent operator) 具有幂等性质的线性算子. 设 \( P \) 为线性空间 \( X \) 上的线性算子, 如果 \( {P}^{2} = P \) ,则称 \( P \) 为幂等算子或投影.
投影算子 (projective operator) 在赋范线性空间 \( X \) 上具有幂等性的有界线性算子. 设 \( P \) 是 \( X \) 上的有界线性算子,如果 \( {P}^{2} = P \) ,则称 \( P \) 为投影算子. 当 \( P \) 是投影算子时, \( I - P \) 也是投影算子,且
\[
X = {PX} + \left( {I - P}\right) X.
\]
幂零算子 (nilpotent operator) 经过有限次幂运算后变成零的算子. 赋范线性空间上有界线性算子 \( T \) 称为幂零算子,如果存在非零整数 \( n \) ,使得 \( {T}^{n} \) \( = 0 \) . 满足 \( {T}^{n} = 0 \) 的最小正整数称为幂零算子的阶.
拟幂零算子 (quasi-nilpotent operator) 幂零算子概念的推广. 赋范线性空间上有界线性算子 \( T \) 称为拟幂零算子, 如果
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}{T}^{n}\end{Vmatrix}}^{\frac{1}{n}} = 0.
\]
拟幂零算子又称广义幂零算子. 复巴拿赫空间上拟幂零算子的谱半径 \( {r}_{\sigma \left( T\right) } = 0 \) ,即谱 \( \sigma \left( T\right) \) 只有单点 0 .
广义幂零算子 (quasi-nilpotent operator) 即 “拟幂零算子”.
代数算子 (algebraic operator) 一类有界线性算子. 设 \( T \) 是赋范线性空间 \( X \) 上的有界线性算子, 如果存在多项式 \( p\left( t\right) \) ,使 \( p\left( T\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 79 | },{AS} = {SB} \) 成立,则称 \( A \) 和 \( B \) 拟相似.
幂等算子 (idempotent operator) 具有幂等性质的线性算子. 设 \( P \) 为线性空间 \( X \) 上的线性算子, 如果 \( {P}^{2} = P \) ,则称 \( P \) 为幂等算子或投影.
投影算子 (projective operator) 在赋范线性空间 \( X \) 上具有幂等性的有界线性算子. 设 \( P \) 是 \( X \) 上的有界线性算子,如果 \( {P}^{2} = P \) ,则称 \( P \) 为投影算子. 当 \( P \) 是投影算子时, \( I - P \) 也是投影算子,且
\[
X = {PX} + \left( {I - P}\right) X.
\]
幂零算子 (nilpotent operator) 经过有限次幂运算后变成零的算子. 赋范线性空间上有界线性算子 \( T \) 称为幂零算子,如果存在非零整数 \( n \) ,使得 \( {T}^{n} \) \( = 0 \) . 满足 \( {T}^{n} = 0 \) 的最小正整数称为幂零算子的阶.
拟幂零算子 (quasi-nilpotent operator) 幂零算子概念的推广. 赋范线性空间上有界线性算子 \( T \) 称为拟幂零算子, 如果
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}{T}^{n}\end{Vmatrix}}^{\frac{1}{n}} = 0.
\]
拟幂零算子又称广义幂零算子. 复巴拿赫空间上拟幂零算子的谱半径 \( {r}_{\sigma \left( T\right) } = 0 \) ,即谱 \( \sigma \left( T\right) \) 只有单点 0 .
广义幂零算子 (quasi-nilpotent operator) 即 “拟幂零算子”.
代数算子 (algebraic operator) 一类有界线性算子. 设 \( T \) 是赋范线性空间 \( X \) 上的有界线性算子, 如果存在多项式 \( p\left( t\right) \) ,使 \( p\left( T\right) = 0 \) ,则称 \( T \) 是代数算子. 对非零的代数算子, 必存在首项系数为 1 的多项式 \( {p}_{0}\left( t\right) \) ,使得 \( {p}_{0}\left( T\right) = 0 \) ,且对任何多项式 \( q\left( t\right) \) , 只要 \( q\left( T\right) = 0 \) ,则 \( q\left( t\right) \) 必含因子 \( {p}_{0}\left( t\right) \) ,称 \( {p}_{0}\left( t\right) \) 是 \( T \) 的最小多项式. 代数算子的谱点都是特征值, 且恰为最小多项式的全部根.
有限秩算子 (finite rank operator) 具有限维值域的有界线性算子. 设 \( A \) 是赋范线性空间 \( X \) 到赋范线性空间 \( Y \) 的有界线性算子,如果值域 \( \mathcal{R}\left( A\right) \) 是 \( Y \) 的有限维线性子空间,则称 \( A \) 是有限秩算子.
紧算子 (compact operator) 一类重要的有界算子,它最接近于有限维空间上的线性算子. 设 \( X \) , \( Y \) 是赋范线性空间, \( A \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的连续算子. 如果 \( A \) 把定义域中任何有界集映射成 \( Y \) 中的列紧集,则称 \( A \) 是紧算子,或全连续算子. 紧算子概念是希尔伯特 (Hilbert, D. ) 于 1906 年引入的. 1917 年里斯 (Riesz, F. ) 对紧算子进行了系统的研究. 1930 年绍德尔 (Schauder, J. P. ) 证明了,若 \( X, Y \) 都是巴拿赫空间, \( A \in \left( {X \rightarrow Y}\right) \) ,则 \( A \) 是紧算子的充分必要条件是它的共轭算子 \( {A}^{ * } \) 是紧的. 如果 \( Y \) 是巴拿赫空间, 则从 \( X \) 到 \( Y \) 的紧线性算子全体 \( \mathcal{K}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 是巴拿赫空间 \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 的闭线性子空间. 当 \( Y \) 或 \( X \) 的共轭空间 \( {X}^{ * } \) 是具有可数基的巴拿赫空间时, \( X \) 到 \( Y \) 的紧线性算子可用有限秩线性算子来逼近. 对一般巴拿赫空间未必如此, 恩夫洛 (Enflo, P. ) 曾举出反例说明这一点.
全连续算子 (completely continuous operator) 即“紧算子”.
多项式紧算子 (polynomial compact operator) 紧算子概念的推广. 设 \( T \) 是赋范空间 \( X \) 上的有界线性算子, 如果存在非零多项式
\[
p\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{t}^{k}
\]
使
\[
p\left( T\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{T}^{k}
\]
为紧算子,则称 \( T \) 是多项式紧算子. 代数算子是多项式紧算子的重要例子.
里斯-绍德尔理论 (Riesz-Schauder theory) 研究紧线性算子谱性质的理论. 设 \( A \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的紧线性算子,则下列命题成立:
1. 当 \( X \) 是无限维时, \( 0 \in \sigma \left( A\right) \) .
2. 若 \( \lambda \) 是 \( A \) 的谱点, \( \lambda \neq 0 \) ,则 \( \lambda \) 是 \( A \) 的特征值.
3. 若 \( \lambda \neq 0,\lambda \) 是 \( A \) 的特征值,则相应于 \( \lambda \) 的特征向量空间 \( {E}_{\lambda } \) 是有限维的.
4. \( A \) 的谱最多只是可数集,而且只能以 0 为极限点.
5. 若 \( \lambda \neq 0 \) ,则 \( \ker \left( {A - {\lambda I}}\right) \) 与 \( \ker \left( {{A}^{ * } - {\lambda I}}\right) \) 有相同维数,其中 \( \ker \left( {A - {\lambda I}}\right) = \{ x \mid \left( {A - {\lambda I}}\right) x = 0\} \) .
6. 若 \( \lambda \neq \mu \) ,则 \( A \) 的相应于 \( \lambda \) 的特征向量 \( x \) 与 \( {A}^{ * } \) 的相应于 \( \mu \) 的特征向量 \( {f}^{u} \) 正交”,即 \( f\left( x\right) = 0 \) .
7. 若 \( \lambda \) 是非零特征值,则方程 \( \left( {{\lambda I} - A}\right) x = y \) 可解的充分必要条件是, \( y \) 与 \( {A}^{ * } \) 的相应于 \( \lambda \) 的特征向量 \( {f}^{u} \) 正交”,而共轭方程 \( \left( {{\lambda I} - {A}^{ * }}\right) \varphi = f \) 可解的充分必要条件是 \( f \) 与 \( A \) 相应于 \( \lambda \) 的特征向量 “正交”.
上述结果称为里斯 - 绍德尔理论, 是里斯 (Riesz, F. ) 和绍德尔 (Schauder, J. P. ) 于 1917 年到 1930 年之间完成的.
实际上, 这就是关于巴拿赫空间上的全连续算子与 20 世纪初对第二类积分方程所建立的弗雷德霍姆定理相对应的理论.
施凯特 \( p \) 类算子 (operator of Schatten \( p \) - class) 紧算子中重要的子类. 设 \( H \) 是可分的希尔伯特空间, \( \mathcal{K}\left( H\right) \) 是 \( H \) 上的紧算子全体. 对 \( T \in \) \( \mathcal{K}\left( H\right) \) ,
\[
\left| T\right| = {\left( {T}^{ * }T\right) }^{\frac{1}{2}}
\]
也是紧的,设其特征值按大小顺序为 \( {\alpha }_{1} \geq {\alpha }_{2} \geq \cdots \geq \) \( {\alpha }_{n} \geq \cdots \) (按重复度重复编号). \( p > 0,\mathcal{K}\left( H\right) \) 中满足
\[
\parallel T{\parallel }_{p} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\alpha }_{n}^{p}\right) }^{\frac{1}{p}} < + \infty
\]
全体记为 \( {C}_{p}\left( H\right) \) ,简记为 \( {C}_{p} \) ,称为 \( H \) 上的施凯特 \( p \) 类. 若 \( T \in {C}_{p} \) ,则 \( {T}^{ * } \in {C}_{p} \) . 当 \( 1 \leq p < + \infty \) 时, \( {C}_{p} \) 以 \( \parallel T{\parallel }_{p} \) 为范数成为巴拿赫空间. 有限秩算子全体在 \( {C}_{p} \) 中按范数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{p} \) 稠密. 如果 \( 1 \leq p < q \) ,则 \( {C}_{p} \subset {C}_{q} \) . 若 \( p, q, r \) 满足
\[
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r},\;T \in {C}_{p}, S \in {C}_{q},
\]
则 \( {TS} \in {C}_{r} \) .
特别重要的是 \( p = 1,2 \) 的情形. \( {C}_{1} \) 和 \( {C}_{2} \) 类算子分别称为迹类算子和希尔伯特-施密特算子, 而相应的范数 \( \parallel \cdot {\parallel }_{1} \) 和 \( \parallel \cdot {\parallel }_{2} \) 分别称为迹范数和希尔伯特-施密特范数. 设 \( \left\{ {e}_{n}\right\} \) 是 \( H \) 的规范正交基,当 \( T \) \( \in {C}_{1} \) 时, \( T \) 的迹 \( \operatorname{tr}\left( T\right) \) 定义为
\[
\operatorname{tr}\left( T\right) = \mathop{\sum }\limits_{n}\left( {T{e}_{n},{e}_{n}}\right)
\]
(此级数绝对收敛, 其值不依赖于基的选取), \( \operatorname{tr}\left( \cdot \right) \) 是巴拿赫空间 \( {C}_{1} \) 上的连续线性泛函. 设 \( \left\{ {e}_{n}\right\} ,\left\{ {x}_{n}\right\} \) 都是 \( H \) 的规范正交基,则
\[
\parallel T{\parallel }_{1} = \mathop{\sup }\limits_{{\left\{ {e}_{n}\right\} ,\left\{ {x}_{n}\right\} }}\mathop{\sum }\limits_{n}\left| \left( {T{e}_{n},{x}_{n}}\right) \right| .
\]
当 \( T \in {C}_{2} \) 时,
\[
\parallel T{\parallel }_{2} = {\left( \mathop{\sum }\limits_{n}{\begin{Vmatrix}T{e}_{n}\end{Vmatrix}}^{2}\right) }^{\frac{1}{2}} = \operatorname{tr}\left( {{T}^{ * }T}\right) ,
\]
在 \( {C}_{2} \) 中可定义内积 \( {\left( T, S\right) }_{2} = \operatorname{tr}\left( {{S}^{ * }T}\right) \) ,则 \( {C}_{2} \) 按 \( {\left( \cdot , \cdot \right) }_{2} \) 成为希尔伯特空间.
迹类算子 (operator of trace class) 见“施凯特 \( p \) 类算子”.
希尔伯特-施密特算子 (Hilbert-Schmidt operator) 见“施凯特 \( p \) 类算子”.
希尔伯特-施密特范数 (Hilbert-Schmidt norm) 见“施凯特 \( p \) 类算子”.
迹范数 (trace norm) 见 “施凯特 \( p \) 类算子”.
弗雷德霍姆算子 (Fredholm operator) 可逆算子的推广. 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子,即 \( T \in \mathcal{B}\left( H\right) \) ,如果 \( T \) 的值域 \( \mathcal{R}\left( T\right) \) 是闭的且
\( \dim \left( {\ker T}\right) < + \infty ,\dim \left( {\ker {T}^{ * }}\right) < + \infty , \) 则称 \( T \) 是弗雷德霍姆算子,称
\[
i\left( T\right) = \dim \left( {\ker T}\right) - \dim \left( {\ker {T}^{ * }}\right)
\]
为 \( T \) 的指标数. 当 \( T \) 是弗雷德霍姆算子时,对 \( H \) 上的任何紧算子 \( K, T + K \) 也是弗雷德霍姆算子. 如果算子 \( T \) 的值域是闭的,而 \( \dim \left( {\ker T}\right) \) 和 \( \dim \) (ker \( {T}^{ * } \) ) 中至少有一个有限,则称 \( T \) 为半弗雷德霍姆算子. 对于巴拿赫空间上的线性算子也有类似概念.
不变子空间 (invariant subspace) 在算子作用下不变的子空间. 设 \( T \) 是线性空间 \( X \) 到 \( X \) 的线性算子, \( L \) 是 \( X \) 的线性子空间. 如果 \( {TL} \subset L \) ,即对 \( x \in \) \( L,{Tx} \in L \) ,则称 \( L \) 是 \( T \) 的不变子空间. 当 \( X \) 是赋范线性空间, \( T \) 是有界线性算子时, \( T \) 的不变子空间通常是指闭线性子空间.
设 \( \left\{ {{A}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是一族有界线性算子, \( \left\{ {{A}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 的不变子空间是指对一切 \( {A}_{a} \) 都不变的闭线性子空间,其全体记为 \( \operatorname{Lat}\left\{ {{A}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) . Lat \( \left\{ {{A}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 关于集的交以及并的线性闭扩张运算封闭, 是按包含关系为序的完全格. 故算子族的不变子空间全体称为不变子空间格. 异于 \( \{ 0\} \) 和 \( X \) 的不变子空间称为非平凡的不变子空间.
是否任何巴拿赫空间上的有界线性算子都有非平凡不变子空间? 这个问题就是著名的不变子空间问题. 除了很少几种特殊的算子类外 (如希尔伯特空间上的正规算子类), 对于一般算子的不变子空间的存在性, 人们了解得极少. 直到 1954 年, 阿龙扎扬 (Aronszajn, N. ) 和史密斯 (Smith, K. T. ) 才证明了巴拿赫空间上每个紧算子都有非平凡不变子空间. 1966 年, 伯恩施坦 (Bernstein, A. R. ) 和鲁宾孙 (Robinson, A. ) 用非标准分析的方法把上述结果推广到多项式紧算子. 1973 年, 罗蒙诺索夫 (Lomonosov, V. I. ) 利用绍德尔不动点定理对伯恩施坦-鲁宾孙定理进行了较大推广. 由罗蒙诺索夫的结果可知,如果巴拿赫空间 \( X \) 上不等于恒等算子的常数倍的有界线性算子 \( T \) 与 \( X \) 上某个非零紧算子 \( K \) 交换,即 \( T \neq {\lambda I},{TK} = {KT} \) ,则 \( T \) 必有非平凡不变子空间; 1978 年, 布朗 (Brown, S. ) 证明了每个次正规算子都有非平凡不变子空间.
1984 年, 里得 (Read, C. J. ) 举出反例, 表明存在无穷维空间 \( {l}^{1} \) 上的有界线性算子 \( A \) ,它没有非平凡的不变子空间. 但对于希尔伯特空间上的不变子空间问题至今尚未解决.
不变子空间格 (invariant subspace lattice) 见 “不变子空间”.
算子的换位 (commutant of operators) 通过交换性质由一算子族产生的另一算子族. 设 \( \mathcal{M} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上的一族有界线性算子,与 \( \mathcal{M} \) 中所有算子都可交换的有界线性算子全体记为 \( {\mathcal{M}}^{\prime } \) ,称为 \( \mathcal{M} \) 的换位. \( {\mathcal{M}}^{\prime } \) 的换位 \( {\mathcal{M}}^{\prime \prime } \) 称为 \( \mathcal{M} \) 的二次换位. 显然, \( \mathcal{M} \subset {\mathcal{M}}^{\prime \prime }, I \in {\mathcal{M}}^{\prime },{\mathcal{M}}^{\prime } \) 是线性空间. 当 \( \mathcal{M} \) 是单个算子 \( T \) 时,其换位称为 \( T \) 的换位,记为 \( \{ T{\} }^{\prime } \) . 二次换位记为 \( \{ T{\} }^{\prime \prime } \) .
超不变子空间 (hyperinvariant subspace) 一类不变子空间. 所谓超不变子空间, 是指巴拿赫空间 \( X \) 上有界线性算子 \( T \) 的换位 \( \{ T{\} }^{\prime } \) 的不变子空间. 超不变子空间一定是不变子空间, 但反之不然. 1973 年, 罗蒙诺索夫 (Lomonosov, V. I. ) 证明了巴拿赫空间上不等于恒等算子的常数倍并与某个非零紧算子交换的有界线性算子存在非平凡的超不变子空间.
循环子空间 (cyclic subspace) 一种常用的不变子空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( T \) 是 \( X \) 上的有界线性算子, \( x \in X \) ,由 \( \left\{ {{T}^{n}x \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) (规定 \( {T}^{0}x \) \( = x) \) 张成的闭线性子空间 (即包含 \( \left\{ {{T}^{n}x \mid n \geq 0}\right\} \) 的最小闭线性子空间) 称为由 \( x \) 经 \( T \) 产生的循环子空间. 设 \( \mathcal{A} \) 是某些有界线性算子的集, \( x \in X \) ,由 \( \{ {Ax} \mid \) \( A \in \mathcal{A}\} \) 张成的闭线性子空间称为由 \( x \) 经 \( \mathcal{A} \) 产生的循环子空间.
谱极大子空间 (spectral maximal subspace) 一类不变子空间. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子, \( M \) 是 \( T \) 的不变子空间. 如果对于 \( T \) 的任何不变子空间 \( N \) ,只要 \( \sigma \left( {\left. T\right| }_{N}\right) \subset \sigma \left( {\left. T\right| }_{M}\right) \) ,就必然 \( N \) \( \subset M \) ,则称 \( M \) 是谱极大子空间.
可分解算子 (decomposable operator) 定义在复巴拿赫空间上的一类有界线性算子. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子,如果对谱 \( \sigma \left( T\right) \) 的任何有限开覆盖 \( \left\{ {{G}_{i} \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) ,都存在 \( T \) 的谱极大子空间系 \( \left\{ {{M}_{i} \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) 使得 \( X = {M}_{1} + {M}_{2} + \cdots + \) \( {M}_{n},\sigma \left( {\left. T\right| }_{{M}_{i}}\rig |
2000_数学辞海（第3卷） | 80 | \in X \) ,由 \( \left\{ {{T}^{n}x \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) (规定 \( {T}^{0}x \) \( = x) \) 张成的闭线性子空间 (即包含 \( \left\{ {{T}^{n}x \mid n \geq 0}\right\} \) 的最小闭线性子空间) 称为由 \( x \) 经 \( T \) 产生的循环子空间. 设 \( \mathcal{A} \) 是某些有界线性算子的集, \( x \in X \) ,由 \( \{ {Ax} \mid \) \( A \in \mathcal{A}\} \) 张成的闭线性子空间称为由 \( x \) 经 \( \mathcal{A} \) 产生的循环子空间.
谱极大子空间 (spectral maximal subspace) 一类不变子空间. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子, \( M \) 是 \( T \) 的不变子空间. 如果对于 \( T \) 的任何不变子空间 \( N \) ,只要 \( \sigma \left( {\left. T\right| }_{N}\right) \subset \sigma \left( {\left. T\right| }_{M}\right) \) ,就必然 \( N \) \( \subset M \) ,则称 \( M \) 是谱极大子空间.
可分解算子 (decomposable operator) 定义在复巴拿赫空间上的一类有界线性算子. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子,如果对谱 \( \sigma \left( T\right) \) 的任何有限开覆盖 \( \left\{ {{G}_{i} \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) ,都存在 \( T \) 的谱极大子空间系 \( \left\{ {{M}_{i} \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) 使得 \( X = {M}_{1} + {M}_{2} + \cdots + \) \( {M}_{n},\sigma \left( {\left. T\right| }_{{M}_{i}}\right) \subset {G}_{i} \) (或 \( \sigma \left( {\left. T\right| }_{{M}_{i}}\right) \subset {\bar{G}}_{i} \) ) \( \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) , \) 则称 \( T \) 是可分解算子.
线性算子的单值扩张性 (single-valued extension property of linear operator) 在可分解算子理论中起着基本作用的、可分解算子所具有的重要性质. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间 \( X \) 上的闭线性算子, \( \mathcal{D} \) \( \left( T\right) \) 是 \( T \) 的定义域. 如对任何定义在复平面上的开集 \( G \) ,取值于 \( \mathcal{D}\left( T\right) \) 的向量值解析函数 \( f \) ,由条件 \( ({\lambda I} \) \( - T)f\left( \lambda \right) = 0\left( {\lambda \in G}\right) \) 可推出 \( f\left( \lambda \right) = 0\left( {\lambda \in G}\right) \) ,或等价地,对每个 \( x \in X,{\left( \lambda I - T\right) }^{-1}x \) 的任何两个解析延拓 \( f, g \) 必在 \( f, g \) 的公共解析域上有 \( f\left( \lambda \right) = g\left( \lambda \right) \) ,则称 \( T \) 具有单值扩张性.
局部谱 (local spectrum) 对具有单值扩张性质的闭线性算子定义并依赖于空间点的谱. 对复巴拿赫空间 \( X \) 上具有单值扩张性质的闭线性算子 \( T \) 及 \( x \in X \) ,必惟一地存在 \( {\left( \lambda I - T\right) }^{-1}x \) 的最大解析延拓,记为 \( \widetilde{x}\left( \cdot \right) \) ,它的定义域记为 \( \rho \left( {x, T}\right) \) (包含 \( T \) 的预解集 \( \rho \left( T\right) ) \) ,并满足 \( \left( {{\lambda I} - T}\right) \widetilde{x}\left( \lambda \right) = x(\lambda \in \rho (x \) , \( T)) \) . 称 \( \rho \left( {x, T}\right) \) 为 \( T \) 对 \( x \) 的局部预解集或局部正则集,而称余集 \( \sigma \left( {x, T}\right) = \mathrm{C} \smallsetminus \rho \left( {x, T}\right) \) 为 \( T \) 对 \( x \) 的局部谱.
具单值扩张性质的有界线性算子的局部谱有下列性质:
1. \( \sigma \left( {x + y, T}\right) \subset \sigma \left( {x, T}\right) \cup \sigma \left( {y, T}\right) \) .
\[
\text{2.}a\widetilde{x}\left( \lambda \right) + b\widetilde{y}\left( \lambda \right) = {ax}\left( \lambda \right) + {by}\left( \lambda \right) (a, b \in \mathrm{C}, x, y
\]
\( \in X,\lambda \in \rho \left( {x, T}\right) \cap \rho \left( {y, T}\right) ) \) .
3. \( \sigma \left( {x, T}\right) = \varnothing \Leftrightarrow x = 0 \) .
4. 若有界线性算子 \( S \) 与 \( T \) 可交换,则
\[
\sigma \left( {{Sx}, T}\right) \subset \sigma \left( {x, T}\right) .
\]
5. \( \sigma \left( {\widetilde{x}\left( \lambda \right), T}\right) = \sigma \left( {x, T}\right) \left( {x \in X,\lambda \in \rho \left( {x, T}\right) }\right) \) .
局部预解集 (local resolvent set) 见 “局部谱”.
谱算子 (spectral operator) 巴拿赫空间上具有某种谱分解性质的一类算子. 设 \( X \) 是复巴拿赫空间, \( \left( {\mathrm{C},\mathcal{B}}\right) \) 为复平面上波莱尔可测空间, \( X \) 上有界线性算子 \( A \) 称为谱算子,如果存在 \( \left( {\mathrm{C},\mathcal{B}}\right) \) 上谱测度 \( E\left( \cdot \right) \) ,满足下列性质:
1. \( E\left( M\right) A = {AE}\left( M\right) \left( {M \in \mathcal{B}}\right) \) .
2. \( \sigma \left( {\left. A\right| }_{E\left( M\right) X}\right) \subset \bar{M}\left( {M \in \mathcal{B}}\right) \) .
3. 存在 \( K \geq 0 \) ,使 \( \parallel E\left( M\right) \parallel \leq K\left( {M \in \mathcal{B}}\right) \) .
谱算子所相应谱测度 \( E\left( \cdot \right) \) 是惟一的,且 \( A = S \) \( + Q \) ,其中
\[
S = {\int }_{\mathrm{c}}z\mathrm{\;d}E\left( z\right) ,
\]
\( Q \) 是拟幂零算子且 \( {SQ} = {QS} \) . 如果 \( Q = 0 \) ,则称 \( A \) 为纯量算子 (参见 “谱测度”). 如果用性质
\( {1}^{\prime }.E\left( M\right) A \subset {AE}\left( M\right) \left( {M \in \mathcal{B}}\right) \)
代替上面的性质 1 , 类似可定义无界的谱算子概念, 这时一般不再有分解 \( A = S + Q \) . 谱算子理论是邓福德 (Dunford, N. ) 于 20 世纪 50 年代创立的.
纯量算子 (scalar operator) 见 “谱算子”.
线性算子扰动理论 (perturbation theory for linear operator) 线性算子扰动理论是研究算子在微小变动的情况下, 它的各种性质变化的一种理论. 线性算子扰动理论的基本问题是: 设 \( T \) 是巴拿赫空间上的线性算子, \( A \) 是扰动算子,当 \( T + A \) 和 \( T \) 在某种意义下很接近时,如何由 \( T \) 的性质导出 \( T + A \) 的相应性质?扰动理论主要包括以下几方面的内容:
1. 讨论某些重要的算子类 (例如闭算子类、弗雷德霍姆算子类等) 在扰动下的不变性.
2. 研究在小扰动下, 对应的特征值和特征向量的变化情况.
3. 研究算子经过扰动以后, 它的谱的变化情况.
算子演算 (operational calculus) 亦称算子的函数演算. 一种由函数与线性算子相结合获得新的线性算子的方法. 设 \( X \) 为线性空间, \( T \) 为从 \( X \) 到 \( X \) 的线性算子,即 \( T \in \left( {X \rightarrow X}\right) \) . 又设 \( \mathcal{C} \) 是复平面中某子集 \( \sigma \) 上定义的数值函数的子类 (一般要求 \( \mathcal{C} \) 含有常数函数 1,恒等于自变量的函数 \( \lambda \) ,并且 \( \mathcal{C} \) 对函数的代数运算封闭). 如果存在映射 \( \pi : \mathcal{C} \rightarrow \left( {X \rightarrow X}\right) \) , 通常记为 \( \pi \left( f\right) = f\left( T\right) \) ,满足条件:
1. \( \left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) \left( T\right) = {\alpha f}\left( T\right) + {\beta g}\left( T\right) (\alpha ,\beta \) 是数,
\( f, g \in \mathcal{C}) \) ;
2. \( \left( {fg}\right) \left( T\right) = f\left( T\right) g\left( T\right) \) ;
3. 当 \( f \equiv 1 \) 时, \( f\left( T\right) = I \) ( \( X \) 上恒等算子);
4. 当 \( f\left( \lambda \right) \equiv \lambda \left( {\lambda \in \sigma }\right) \) 时, \( f\left( T\right) = T \) ;
则称 \( \pi \) 为关于算子 \( T \) 的函数演算, \( \mathcal{C} \) 为关于 \( T \) 的可演算函数类. 下面是常见的算子函数演算:
1) 设 \( T \) 是复希尔伯特空间上的正规算子,
\[
T = {\int }_{\sigma \left( T\right) }\lambda \mathrm{d}E\left( \lambda \right)
\]
是谱分解,取 \( \sigma = \sigma \left( T\right) ,\mathcal{C} \) 是 \( \sigma \) 上有界波莱尔可测函数全体. 对于 \( f \in \mathcal{C} \) ,定义
\[
f\left( T\right) = {\int }_{\sigma }f\left( \lambda \right) \mathrm{d}E\left( \lambda \right) ,
\]
则 \( f \rightarrow f\left( T\right) \) 的对应满足上述 \( 1 - 4 \) . 此外还有:
5. \( f{\left( T\right) }^{ * } = \bar{f}\left( T\right) \) ( \( \bar{f} \) 为 \( f \) 的复数共轭函数).
6. 当 \( \left| {f\left( \lambda \right) }\right| \equiv 1 \) 时, \( f\left( T\right) \) 是酉算子.
7. 当 \( f\left( x\right) \) 为实值函数时, \( f\left( T\right) \) 是自伴算子.
I) 设 \( T \) 是复巴拿赫空间上的有界线性算子, 取 \( \sigma = \sigma \left( T\right) ,\mathcal{C} \) 为在 \( \sigma \left( T\right) \) 的某邻域内解析函数全体. 对 \( f \in \mathcal{C} \) ,定义
\[
f\left( T\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\Gamma }f\left( \lambda \right) {\left( \lambda I - T\right) }^{-1}\mathrm{\;d}\lambda ,
\]
这里 \( \Gamma \) 是有限条可求长若尔当闭曲线,落在 \( f \) 的解析域中,但 \( \sigma \left( T\right) \) 在其内部. \( f \rightarrow f\left( T\right) \) 的对应满足 (I) 的 \( 1 - 4 \) .
谱映射定理 (spectral mapping theorem) 有关算子演算的谱的定理. 设 \( T \) 是复巴拿赫空间上的线性算子,对于怎样的一类函数 \( \mathcal{C} \) ,使得对 \( f \in \mathcal{C} \) 可定义出 \( f\left( T\right) \) ,并使
\[
\sigma \left( {f\left( T\right) }\right) = \{ f\left( \lambda \right) \mid \lambda \in \sigma \left( T\right) \}
\]
成立. 此类性质称为谱映射定理. 当 \( T \) 有界, \( p\left( t\right) \) 是多项式 \( {a}_{0} + {a}_{1}t + \cdots + {a}_{n}{t}^{n} \) 时,定义
\[
p\left( T\right) = {a}_{0}I + {a}_{1}T + \cdots + {a}_{n}{T}^{n},
\]
就有 \( \sigma \left( {p\left( T\right) }\right) = \{ p\left( \lambda \right) \mid \lambda \in \sigma \left( T\right) \} \) . 当 \( T \) 为正规算子, \( f\left( t\right) \) 连续时也有 \( \sigma \left( {f\left( T\right) }\right) = \{ f\left( \lambda \right) \mid \lambda \in \sigma \left( T\right) \} \) .
导算子 (derivation operator) 对所有有界线性算子定义的一种运算. 设 \( \mathcal{B}\left( X\right) \) 表示巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子全体. 对 \( A, B \in \mathcal{B}\left( X\right) \) ,则
\[
{\delta }_{A}\left( T\right) = {AT} - {TA},\;{\delta }_{AB}\left( T\right) = {AT} - {TB}
\]
可视为 \( \mathcal{B}\left( X\right) \) 上的有界线性算子. 由于
\[
{\delta }_{A}\left( {TS}\right) = {\delta }_{A}\left( T\right) S + T{\delta }_{A}\left( S\right) ,
\]
故分别称 \( {\delta }_{A},{\delta }_{AB} \) 为由 \( A, A \) 和 \( B \) 产生的 \( \mathcal{B}\left( X\right) \) 上的 (内) 导算子、广义导算子.
更一般地,设 \( \left\{ {{A}_{i}\left| {1 \leq i \leq n\} \subset \mathcal{B}\left( X\right) ,}\right| {B}_{i} \mid 1 \leq i}\right\} \) \( \leq n\} \subset \mathcal{B}\left( X\right) \) ,定义 \( \mathcal{B}\left( X\right) \) 上的线性算子 \( \Delta \) :
\[
\Delta \left( T\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{A}_{i}T{B}_{i}
\]
称 \( \Delta \) 为 \( \mathcal{B}\left( X\right) \) 上的初等算子.
广义导算子 (generalized derivation operator) 见“导算子”.
初等算子 (elementary operator) 见 “导算子”.
正交投影算子 (orthogonal projection operator) 把任一元映到该元的正交投影的算子. 设 \( M \) 是希尔伯特空间 \( H \) 的闭线性子空间. 对任意 \( x \in \) \( H \) ,必有分解 \( x = {x}_{1} + {x}_{2},{x}_{1} \in M,{x}_{2} \in {M}^{ \bot } \) ,定义算子 \( P \) 如下: \( {Px} = {x}_{1} \) ,即 \( {Px} \) 是 \( x \) 在 \( M \) 上的投影,称算子 \( P \) 为由 \( H \) 到 \( M \) 上的正交 (或直交) 投影算子,简称投影 (或射影) 算子. 投影算子 \( P \) 具有下列性质: \( {P}^{2} = P \) (幂等); \( P \) 有界 (事实上有 \( \parallel P\parallel = 1 \) ); 对一切 \( x, y \in H,\left( {{Px}, y}\right) = \left( {x,{Py}}\right) \) 成立 (自伴). 反之, \( H \) 上有界自伴的幂等算子必是投影算子. 正交投影算子与 \( H \) 的闭线性子空间之间成一一对应. 满足 \( {PQ} \) \( = 0 \) 的两个正交投影算子 \( P \) 和 \( Q \) 称为相互正交的, 记为 \( P \bot Q \) .
正交投影算子是希尔伯特空间上特别重要的一类算子. 它是希尔伯特空间的很好的几何特征的反映, 又是研究其他复杂算子的工具.
直交投影算子 (orthogonal projection opera - tor) 即“正交投影算子”.
投影算子 (projection operator) 见 “正交投影算子”.
射影算子 (projection operator) 见 “正交投影算子”.
约化子空间 (reducing subspace) 一种不变子空间. 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子, \( M \) 是 \( H \) 的闭线性子空间,如果 \( M \) 和 \( {M}^{ \bot } \) 都是 \( T \) 的不变子空间,就称 \( M \) 是 \( T \) 的约化子空间,并称 \( M \) 约化 \( T \) . 设 \( P \) 为 \( H \) 到 \( M \) 上的正交投影算子,则 \( M \) 约化 \( T \) 的充分必要条件是 \( {TP} = {PT} \) . 设 \( M \) 是 \( T \) 的约化子空间,则关于空间分解 \( H = M \oplus {M}^{ \bot }, T \) 可分解为 \( T = {T}_{1} \oplus {T}_{2} \) ,其中 \( {T}_{1} \) 是 \( T \) 在 \( M \) 上的限制, \( {T}_{2} \) 是 \( T \) 在 \( {M}^{ \bot } \) 上的限制,此时 \( \forall x = {x}_{1} \oplus {x}_{2} \) ,有
\( {Tx} = {T}_{1}{x}_{1} \oplus {T}_{2}{x}_{2},\;{x}_{1} \in M,{x}_{2} \in {M}^{ \bot }. \)
线性算子的正交和 (orthogonal direct sum of linear operators) 定义在两个希尔伯特空间正交和上的有界线性算子. 设 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 分别是希尔伯特空间 \( {H}_{1},{H}_{2} \) 上的有界线 |
2000_数学辞海（第3卷） | 81 | \) 称为相互正交的, 记为 \( P \bot Q \) .
正交投影算子是希尔伯特空间上特别重要的一类算子. 它是希尔伯特空间的很好的几何特征的反映, 又是研究其他复杂算子的工具.
直交投影算子 (orthogonal projection opera - tor) 即“正交投影算子”.
投影算子 (projection operator) 见 “正交投影算子”.
射影算子 (projection operator) 见 “正交投影算子”.
约化子空间 (reducing subspace) 一种不变子空间. 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子, \( M \) 是 \( H \) 的闭线性子空间,如果 \( M \) 和 \( {M}^{ \bot } \) 都是 \( T \) 的不变子空间,就称 \( M \) 是 \( T \) 的约化子空间,并称 \( M \) 约化 \( T \) . 设 \( P \) 为 \( H \) 到 \( M \) 上的正交投影算子,则 \( M \) 约化 \( T \) 的充分必要条件是 \( {TP} = {PT} \) . 设 \( M \) 是 \( T \) 的约化子空间,则关于空间分解 \( H = M \oplus {M}^{ \bot }, T \) 可分解为 \( T = {T}_{1} \oplus {T}_{2} \) ,其中 \( {T}_{1} \) 是 \( T \) 在 \( M \) 上的限制, \( {T}_{2} \) 是 \( T \) 在 \( {M}^{ \bot } \) 上的限制,此时 \( \forall x = {x}_{1} \oplus {x}_{2} \) ,有
\( {Tx} = {T}_{1}{x}_{1} \oplus {T}_{2}{x}_{2},\;{x}_{1} \in M,{x}_{2} \in {M}^{ \bot }. \)
线性算子的正交和 (orthogonal direct sum of linear operators) 定义在两个希尔伯特空间正交和上的有界线性算子. 设 \( {T}_{1},{T}_{2} \) 分别是希尔伯特空间 \( {H}_{1},{H}_{2} \) 上的有界线性算子,在 \( {H}_{1} \) 与 \( {H}_{2} \) 的正交和空间 \( H = {H}_{1} \oplus {H}_{2} \) 上可定义如下的有界线性算子 \( T \) : 对 \( \forall x = {x}_{1} \oplus {x}_{2} \in H \) ,其中 \( {x}_{1} \in {H}_{1},{x}_{2} \in {H}_{2} \) ,有 \( {Tx} \) \( = {T}_{1}{x}_{1} \oplus {T}_{2}{x}_{2} \) ,称 \( T \) 为算子 \( {T}_{1} \) 与 \( {T}_{2} \) 的正交和,记为 \( T = {T}_{1} \oplus {T}_{2} \) . 类似可定义多个算子的正交和. 注意, \( {H}_{1} \) 和 \( {H}_{2} \) 都是 \( T \) 的约化子空间.
谱测度 (spectral measure) 算子值的测度. 用 \( \mathcal{P} \) 表示希尔伯特空间 \( H \) 中正交投影算子全体. 设 \( \Omega \) 是一集, \( \mathcal{B} \) 是 \( \Omega \) 中的某些子集所成的 \( \sigma \) 代数, \( E\left( \cdot \right) \) 是 \( \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{P} \) 的映射,满足:
1. \( E\left( \Omega \right) = I \) ;
2. (可列可加性) 如果 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \subset \mathcal{B},{A}_{n} \cap {A}_{m} = \varnothing (n \) \( \neq m) \) ,则关于 \( \left\{ {A}_{n}\right\} \) 的强算子拓扑极限,有
\[
E\left( {\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{A}_{n}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }E\left( {A}_{n}\right) .
\]
此时映射 \( E \) 称为 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right) \) 上的谱测度, \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 为谱测度空间. 对于巴拿赫空间有类似推广. 设 \( \mathcal{P} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上投影算子全体,如果映射 \( E\left( \cdot \right) \) : \( \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{P} \) 满足上述 \( 1,2 \) ,则也称 \( E \) 是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right) \) 上的谱测度, \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 是谱测度空间. 谱测度又常称为单位分解.
单位分解 (resolution of the identity) 见 “谱测度”.
谱测度空间 (spectral measure space) 见 “谱测度”.
谱积分 (spectral integral) 与谱测度相联系的积分. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的谱测度空间,则对任何 \( x, y \in H \) ,集函数
\[
{\mu }_{x, y}\left( A\right) = \left( {E\left( A\right) x, y}\right)
\]
是 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right) \) 上的复测度. \( B\left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right) \) 表示可测空间 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right) \) 上有界可测函数全体,则对 \( f \in B\left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right) \) ,存在确定的有界线性算子 \( {T}_{f} \) ,使对一切 \( x, y \in H \) ,
\[
\left( {{T}_{f}x, y}\right) = \int f\left( t\right) \mathrm{d}\left( {E\left( t\right) x, y}\right) .
\]
称算子 \( {T}_{f} \) 是 \( f \) 关于 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 的 (弱) 谱积分,记为
\[
{T}_{f} = {\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) .
\]
也可用勒贝格积分方式定义谱积分: 对实函数 \( f \in B\left( {\Omega ,\mathcal{B}}\right), m < f\left( t\right) < M\left( {t \in \Omega }\right) \) ,做分点组 \( D : m \) \( = {t}_{0} < {t}_{1} < \cdots < {t}_{n} = M \) ,再做和式
\[
S\left( D\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{\xi }_{i}E\left( {\Omega \left( {{t}_{i - 1} \leq f < {t}_{i}}\right) }\right)
\]
\[
\left( {{t}_{i - 1} \leq {\xi }_{i} < {t}_{i}}\right) ,
\]
记 \( \delta \left( D\right) = \mathop{\max }\limits_{i}\left( {{t}_{i} - {t}_{i - 1}}\right) \) ,必存在有界线性算子 \( {T}^{\prime }{}_{f} \) , 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\delta \left( D\right) \rightarrow 0}}\begin{Vmatrix}{S\left( D\right) - {T}^{\prime }{}_{f}}\end{Vmatrix} = 0,
\]
称 \( {T}^{\prime }{}_{f} \) 为 \( f \) 关于 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 的 (一致) 谱积分. 注意, \( {T}_{f} = {T}^{\prime }{}_{f} \) ,所以一致谱积分仍记为
\[
{\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) .
\]
对于复函数 \( f \) ,规定
\[
{\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) = {\int }_{\Omega }{f}_{1}\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) + \mathrm{i}{\int }_{\Omega }{f}_{2}\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) ,
\]
这里 \( {f}_{1},{f}_{2} \) 分别为 \( f \) 的实部和虚部.
关于谱积分有下列性质:
1. (线性性)
\[
{\int }_{\Omega }\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) \left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right)
\]
\[
= \alpha {\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) + \beta {\int }_{\Omega }g\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) .
\]
2. (压缩性)
\[
\begin{Vmatrix}{{\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) }\end{Vmatrix} \leq \parallel f\parallel
\]
\[
\left( {\parallel f\parallel = \mathop{\sup }\limits_{{t \in \Omega }}\left| {f\left( t\right) }\right| }\right) .
\]
3. (共轭性)
\[
{\left( {\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}Et\right) }^{ * } = {\int }_{\Omega }\widetilde{f}\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) ,
\]
其中 \( \widetilde{f}\left( t\right) \) 是 \( f\left( t\right) \) 的复数共轭函数.
4. (可乘性)
\[
{\int }_{\Omega }f\left( t\right) g\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) = {\int }_{\Omega }f\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) {\int }_{\Omega }g\left( t\right) \mathrm{d}E\left( t\right) ,
\]
这是普通数值积分没有的重要性质.
谱积分的概念还可推广到无界可测函数的情况.
弱谱积分 (weak spectral integral) 见 “谱积分”.
一致谱积分 (uniform spectral integral) 见 “谱积分”.
谱测度的支集 (support of spectral measure) 满足 \( E\left( S\right) = I \) 的 \( S \) 中 (按包含关系为) 最小的闭集. 设 \( \Omega \) 为 \( n \) 维欧几里得空间 \( {\mathrm{R}}^{n},\left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上谱测度空间. 如果有 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开集 \( G \) 使得 \( E\left( G\right) = 0 \) ,则必有按包含关系为最大的开集 \( {G}_{0} \) ,使得 \( E\left( {G}_{0}\right) = 0 \) . 称闭集 \( \sigma = {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus {G}_{0} \) 为 \( E \) 的支集,记为 \( \operatorname{supp}E \) . 形象地说,即谱测度 \( E \) 集中在闭集 \( \operatorname{supp}E \) 上,并且不能集中在比 \( \operatorname{supp}E \) 更小的闭集上. 易知谱积分
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}f\left( \omega \right) \mathrm{d}E = {\int }_{\operatorname{supp}E}f\left( \omega \right) \mathrm{d}E.
\]
对于 \( \Omega \) 是拓扑空间, \( \mathcal{B} \) 是 \( \Omega \) 上的波莱尔集或贝尔集全体, 在适当假设下就能将谱测度及其支集的概念推广到 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B}, E}\right) \) 的情况.
谱系 (spectral system) 希尔伯特空间 \( H \) 上的一种正交投影算子族. 如果投影算子族 \( \left\{ {{E}_{\lambda } \mid \lambda \in }\right. \) \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \} \) 满足:
1. (单调性) 当 \( \lambda \geq \mu \) 时, \( {E}_{\lambda } \geq {E}_{\mu } \) ;
2. (右连续性) (强)
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow {\lambda }_{0}^{ + }}}{E}_{\lambda } = {E}_{{\lambda }_{0}},\;{\lambda }_{0} \in \left( {-\infty , + \infty }\right) ;
\]
3. (就范性) (强) \( \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow - \infty }}{E}_{\lambda } = 0 \) ,(强) \( \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}{E}_{\lambda } = I \) ;
则 \( \left\{ {{E}_{\lambda } \mid \lambda \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 称为直线上的谱系. 上述强极限实际上等价于弱极限. 令 \( \mathcal{B} \) 是 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上波莱尔集全体,如对区间 \( (a, b\rbrack \) ,规定 \( E(\left( {a, b\rbrack }\right) = {E}_{b} \) \( - {E}_{a} \) ,则由谱系 \( \left\{ {E}_{\lambda }\right\} \) 可导出 \( \left( {\left( {-\infty , + \infty }\right) ,\mathcal{B}}\right) \) 上谱测度 \( E\left( \cdot \right) \) . 反之,对任何 \( \left( {\left( {-\infty , + \infty }\right) ,\mathcal{B}}\right) \) 上谱测度 \( E\left( \cdot \right) \) ,定义 \( {E}_{\lambda } = E(\left( {-\infty ,\lambda \rbrack }\right) \) 时,则 \( \left\{ {E}_{\lambda }\right\} \) 必是直线上谱系.
谱系与谱测度的关系类似于单调增加右连续的 (点) 函数与勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 (集函数) 的关系.
等距算子 (isometric operator) 希尔伯特空间上保持范数的线性有界算子. 设 \( V \) 是希尔伯特空间 \( H \) 到希尔伯特空间 \( G \) 的线性算子,如果对所有 \( x \in \) \( H,\parallel {Vx}\parallel = \parallel x\parallel \) ,则 \( V \) 称为等距算子. 若 \( V \) 是 \( H \) 上的等距算子,则存在 \( V \) 的约化空间 \( {H}_{1} \) 和 \( {H}_{2} \) ,使得 \( H = {H}_{1} \oplus {H}_{2}, V = W \oplus S \) ,其中 \( W \) 是 \( {H}_{1} \) 上的酉算子, \( S \) 是 \( {H}_{2} \) 上的单侧移位算子,称分解 \( V = W \oplus \) \( S \) 为等距算子的沃尔德分解.
部分等距算子 (partial isometric operator) 等距算子的推广. 设 \( H, G \) 是希尔伯特空间, \( T \) 是 \( H \) 到 \( G \) 的有界线性算子. 如果 \( T \) 在 \( H \) 的子空间 \( M \) 上是等距的,而在 \( {M}^{ \bot } \) 上为 0,则称 \( T \) 是以 \( M \) 为初始空间,以 \( N = {TM} \) 为终空间的部分等距算子. \( T \) 是以 \( M \) 为初始空间, \( N \) 为终空间的部分等距算子当且仅当 \( {T}^{ * }T \) 和 \( T{T}^{ * } \) 分别是 \( M \) 和 \( N \) 上的正交投影算子.
酉算子 (unitary operator) 希尔伯特空间之间满射的等距算子. 设 \( H, G \) 是希尔伯特空间,从 \( H \) 到 \( G \) 上的等距算子称为酉算子. 算子 \( U \) 是酉算子的充分必要条件是 \( {U}^{ * }U = {I}_{H}, U{U}^{ * } = {I}_{G} \) ,即 \( {U}^{ * } = {U}^{-1} \) . 物理上常称 \( H \) 上的酉算子为幺正算子. 对于复希尔伯特空间 \( H \) 上的酉算子 \( U \) 有下面的谱表示 (谱分解) 定理: 存在 \( H \) 中惟一的谱系 \( \left\{ {{E}_{\theta } \mid \theta \in \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack }\right\} \) 满足 \( {E}_{0} = 0 \) ,并使
\[
U = {\int }_{0}^{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mathrm{d}{E}_{\theta }
\]
用 \( E \) 表示由 \( \left\{ {E}_{\theta }\right\} \) 导出的谱测度, \( E \) 称为相应于酉算子 \( U \) 的谱测度, \( \sigma \left( U\right) \subset C \) ( \( C \) 是单位圆周) 是 \( E \) 的支集), \( U \) 还可表示为
\[
U = {\int }_{\sigma \left( U\right) }\lambda \mathrm{d}E\left( \lambda \right)
\]
酉算子谱分解定理由冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 于 20 世纪 20 年代首先给出.
酉算子的谱分解 (spectral decomposition of unitary operator) 见“酉算子”.
酉算子的谱表示 (spectral representation of \( u - \) nitary operator) 见“酉算子”.
酉等价 (unitary equivalent) 线性算子相似概念的一种特殊情形. 设 \( A, B \) 是希尔伯特空间上的有界线性算子,如果存在酉算子 \( U \) ,使得 \( B = {U}^{ * }{AU} \) , 则称 \( A \) 和 \( B \) 是酉等价的. 酉等价的算子具有相同的谱和其他某些性质.
收缩算子 (contraction operator) 对任何点的范数都不放大的一类线性算子. 设 \( X, Y \) 是赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子,如果对一切 \( x \in X \) , 满足 \( \parallel {Tx}\parallel \leq \parallel x\parallel \) ,则称 \( T \) 为收缩算子或压缩算子. 显然 \( T \) 是收缩算子的充分必要条件是 \( T \) 的范数 \( \parallel T\parallel \leq 1 \) . 收缩算子在研究微分方程不动点理论和计算方法中的一类迭代算法的误差估计起重要作用.
压缩算子 (contraction operator) 即 “收缩算子”.
酉膨胀 (unitary dilation) 即将某一希尔伯特空间上的算子按一定条件 |
2000_数学辞海（第3卷） | 82 | \{ {E}_{\theta }\right\} \) 导出的谱测度, \( E \) 称为相应于酉算子 \( U \) 的谱测度, \( \sigma \left( U\right) \subset C \) ( \( C \) 是单位圆周) 是 \( E \) 的支集), \( U \) 还可表示为
\[
U = {\int }_{\sigma \left( U\right) }\lambda \mathrm{d}E\left( \lambda \right)
\]
酉算子谱分解定理由冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 于 20 世纪 20 年代首先给出.
酉算子的谱分解 (spectral decomposition of unitary operator) 见“酉算子”.
酉算子的谱表示 (spectral representation of \( u - \) nitary operator) 见“酉算子”.
酉等价 (unitary equivalent) 线性算子相似概念的一种特殊情形. 设 \( A, B \) 是希尔伯特空间上的有界线性算子,如果存在酉算子 \( U \) ,使得 \( B = {U}^{ * }{AU} \) , 则称 \( A \) 和 \( B \) 是酉等价的. 酉等价的算子具有相同的谱和其他某些性质.
收缩算子 (contraction operator) 对任何点的范数都不放大的一类线性算子. 设 \( X, Y \) 是赋范线性空间, \( T \) 是 \( X \) 到 \( Y \) 的线性算子,如果对一切 \( x \in X \) , 满足 \( \parallel {Tx}\parallel \leq \parallel x\parallel \) ,则称 \( T \) 为收缩算子或压缩算子. 显然 \( T \) 是收缩算子的充分必要条件是 \( T \) 的范数 \( \parallel T\parallel \leq 1 \) . 收缩算子在研究微分方程不动点理论和计算方法中的一类迭代算法的误差估计起重要作用.
压缩算子 (contraction operator) 即 “收缩算子”.
酉膨胀 (unitary dilation) 即将某一希尔伯特空间上的算子按一定条件膨胀为另一更大的希尔伯特空间上的酉算子. 它的数学形式是, 是否存在希尔伯特空间 \( {H}^{\prime } \supset H \) ,以及 \( {H}^{\prime } \) 上酉算子 \( U \) ,使得 \( T \) \( = {\left. PU\right| }_{H} \) ,其中 \( P \) 是 \( {H}^{\prime } \) 到 \( H \) 上的正交投影. 如果存在如此的 \( \left( {{H}^{\prime }, U}\right) \) ,则称 \( \left( {{H}^{\prime }, U}\right) \) 是 \( T \) 的酉膨胀. 这样的算子 \( T \) 必定是压缩算子. 复希尔伯特空间 \( H \) 上每个压缩算子 \( T \) 都存在酉膨胀,例如取 \( {H}^{\prime } = H \) \( \oplus H \) ,
\[
U = \left( \begin{matrix} T & {\left( I - T{T}^{ * }\right) }^{\frac{1}{2}} \\ {\left( I - {T}^{ * }T\right) }^{\frac{1}{2}} & - {T}^{ * } \end{matrix}\right) .
\]
除酉等价外压缩算子的酉膨胀是惟一的.
自伴算子 (self-adjoint operator) 希尔伯特空间上的一种重要的线性算子. 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的稠定线性算子,如果有 \( T \subset {T}^{ * } \) ,即 \( {T}^{ * } \) 是 \( T \) 的延拓,就称 \( T \) 是对称算子,或埃尔米特算子. 进而,如果 \( {T}^{ * } = T \) ,则称 \( T \) 是自伴算子,或自共轭算子. 在全空间 \( H \) 上定义的对称算子是有界自伴算子. 对于复希尔伯特空间 \( H \) 上的自伴算子 \( A \) , \( \mathcal{D}\left( A\right) \subset H \) ,必有 \( H \) 中谱系 \( \left\{ {{E}_{\lambda } \mid \lambda \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 使得
\[
A = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }
\]
由 \( \left\{ {E}_{\lambda }\right\} \) 导出的谱测度 \( E \) 集中在 \( \sigma \left( A\right) \subset \) \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上,且有谱分解 (或谱表示)
\[
A = {\int }_{\sigma \left( A\right) }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }
\]
有界自共轭算子的谱分解最初由希尔伯特 (Hilbert, D. ) 于 1906 年给出, 里斯 (Riesz, F. ) 于 1913 年用在思想和技巧上更为现代的方法讨论了有界自共轭算子的谱分解. 在 20 世纪 20 年代末, 冯
- 诺伊曼 (von Neumann, J. ) 给出了无界自共轭算子的谱分解定理. 他的经典工作以非常完善和系统的形式发展了无界算子理论. 与此同时, 斯通 (Stone, M. H. ) 也独立地得到同样的结果. 自共轭算子理论已广泛应用于其他数学分支, 由于量子物理中一切物理量都是用某个希尔伯特空间上的自共轭算子来描述, 因此自共轭算子在量子物理中具有特别重要的地位.
自共轭算子 (self-adjoint operator) 即 “自伴算子”.
自伴算子的谱分解 (spectral decomposition of self-adjoint) 见“自伴算子”.
自伴算子的谱表示 (spectral representation of self-adjoint operator) 见“自伴算子”.
对称算子 (symmetric operator) 见 “自伴算子”.
埃尔米特算子 (Hermitian operator) 即 “对称算子”.
凯莱变换 (Cayley transformation) 一种算子变换. 对于闭对称算子 \( T \) ,所谓凯莱变换是指由 \( T \) 到 \( {V}_{T} = \left( {T - \mathrm{i}I}\right) {\left( T + \mathrm{i}I\right) }^{-1} \) 的变换,是研究对称算子的工具. 由于对称算子具有闭扩张, 故总可假设对称算子是闭的. 设 \( T \) 是对称算子,则 \( T \) 的凯莱变换 \( {V}_{T} \) \( = \left( {T - \mathrm{i}I}\right) {\left( T + \mathrm{i}I\right) }^{-1} \) 是等距算子. 反之,如果 \( V \) 是由 \( H \) 的闭子空间 \( M \) 到另一闭子空间 \( N \) 上的等距算子,则 \( T = \mathrm{i}\left( {I + V}\right) {\left( I - V\right) }^{-1} \) 是对称算子,且 \( {V}_{T} \) \( = V.T \) 是自伴算子当且仅当它的凯莱变换 \( {V}_{T} \) 是酉算子. 当把 \( \pm \mathrm{i} \) 换成虚部不为 0 的复数 \( \lambda \) 时,上述讨论同样成立.
对称算子的自伴扩张 (self-adjoint extension of symmetric operator) 算子的一种扩张. 所谓对称算子的自伴扩张, 就是将对称算子扩张成自伴算子. 讨论对称算子的自伴扩张问题可以使得自伴算子谱理论的应用范围大为扩大.
亏指数 (defect index) 与对称算子有关的数对. 设 \( A \) 是复希尔伯特空间 \( H \) 中的对称算子, \( \mathcal{R}(A \) \( + \mathrm{i}I{)}^{ \bot } \) 和 \( \mathcal{R}{\left( A - \mathrm{i}I\right) }^{ \bot } \) 称为 \( A \) 的亏子空间,记
\[
{n}_{ + } = \dim \mathcal{R}{\left( A + \mathrm{i}I\right) }^{ \bot }\text{和}{n}_{ - } = \dim \mathcal{R}{\left( A - \mathrm{i}I\right) }^{ \bot }
\]
(这里空间的维数指该空间中完备规范正交系的势),称数对 \( \left( {{n}_{ - },{n}_{ + }}\right) \) 为 \( A \) 的亏指数, \( A \) 自伴的充分必要条件是 \( {n}_{ - } = {n}_{ + } = 0 \) . 对称算子 \( A \) 具有自伴扩张的充分必要条件是 \( {n}_{ - } = {n}_{ + } \) .
亏子空间 (defect subspace) 见 “亏指数”.
半有界算子 (semi-bounded operator) 上半有界算子和下半有界算子的统称. 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的稠定线性算子,如果存在实数 \( \alpha \) ,使得对一切 \( x \in \mathcal{D}\left( T\right) \) 都有 \( \left( {{Tx}, x}\right) \geq \alpha \left( {x, x}\right) \) (或 \( \left( {{Tx}, x}\right) \) \( \leq \alpha \left( {x, x}\right) ) \) 成立,就称 \( T \) 是下半 (或上半) 有界的. 如果 \( \alpha > 0 \) ,则称 \( T \) 为正定算子 (或如果 \( \alpha < 0 \) ,则称 \( T \) 为负定算子),并称 \( \alpha \) 为 \( T \) 的下界 (或上界).
上半有界算子 (upper semi-bounded operator) 见“半有界算子”.
下半有界算子 (lower semi-bounded operator) 见“半有界算子”.
正定算子 (positive definite operator) 见 “半有界算子”.
负定算子 (negative definite operator) 见 “半有界算子”.
本质自伴算子 (essentially self-adjoint operator) 具有自伴扩张的对称算子. 对称算子 \( A \) 为本质自伴的充分条件有 (其中条件 1 也是必要的):
1. \( {n}_{ - } = {n}_{ + } \) ,其中 \( \left( {{n}_{ - },{n}_{ + }}\right) \) 为 \( A \) 的亏指数.
2. \( A \) 是半有界的,即存在实数 \( r \) 使对一切 \( x \in \) \( \mathcal{D}\left( A\right) \) 都有 \( \left( {{Ax}, x}\right) \geq r\parallel x{\parallel }^{2} \) .
3. \( A \) 是实算子,即存在 \( H \) 到 \( H \) 的反线性映射 \( J \) (即 \( J\left( {{\alpha x} + {\beta y}}\right) = \bar{\alpha }{Jx} + \bar{\beta }{Jy} \) ) 满足 \( \left( {{Jx},{Jy}}\right) = (y \) , \( x),{J}^{2} = I,{JA} = {AJ} \) .
正算子 (positive operator) 正定矩阵的推广. 设 \( A \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的有界自伴算子,如果对一切 \( x \in H \) 都有 \( \left( {{Ax}, x}\right) \geq 0 \) ,就称 \( A \) 是正算子, 常用 \( A \geq 0 \) 表示. 对任意有界算子 \( T,{T}^{ * }T \) 必是正的. 设 \( A, B \) 是两个正算子, \( A \geq B \) (即 \( A - B \geq 0 \) ),则对任何 \( \alpha \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 也有 \( {A}^{\alpha } \geq {B}^{\alpha } \) 成立. 一个正规算子 \( T \) 是正算子的充分必要条件是 \( \sigma \left( T\right) \subset \lbrack 0, + \infty ) \) .
线性算子的极分解 (polar decomposition of linear operator） 将一有界线性算子化为部分等距算子与一正算子之积的分解. 设 \( T \) 是希尔伯特空间 \( H \) 到希尔伯特空间 \( K \) 的有界线性算子,记
\( \left| T\right| = {\left( {T}^{ * }T\right) }^{\frac{1}{2}} \) (它是 \( H \) 上正线性算子),
则存在从 \( H \) 到 \( K \) 中的部分等距算子 \( U \) 使得 \( T \) \( = U\left| T\right|, T \) 的这种形式的分解,称为极分解. 如果还要求
\[
\ker U = \ker \left| T\right| ,
\]
则极分解中部分等距 \( U \) 的选取是惟一存在的. 人们称一个部分等距算子是极大的, 如果它是一对一的或满值域的. 设 \( T = U\left| T\right| \) 是 \( T \) 的一个极分解,如果 \( U \) 是极大的部分等距算子,就称 \( U\left| T\right| \) 是 \( T \) 的极大极分解. 每个有界线性算子都存在极大极分解.
极大极分解 (maximal polar decomposition) 见“线性算子的极分解”.
线性算子的直角分解 (rectangular decomposition of linear operator) 将一般有界线性算子化为自伴算子的线性组合. 设 \( T \) 是希尔伯特空间上的有界线性算子, 令
\[
R = \frac{1}{2}\left( {T + {T}^{ * }}\right) ,\;J = \frac{1}{2\mathrm{i}}\left( {T - {T}^{ * }}\right) ,
\]
则 \( T = R + \mathrm{i}J, R, J \) 都是自伴算子,且 \( R, J \) 分别称为 \( T \) 的实部和虚部,而分解 \( T = R + \mathrm{i}J \) 称为算子 \( T \) 的直角分解.
正规算子 (normal operator) 酉算子和自共轭算子的推广. 希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子 \( N \) 如果满足 \( {N}^{ * }N = N{N}^{ * } \) ,则 \( N \) 称为正规算子 (或正常算子). 对于复空间 \( H \) 上的正规算子 \( N \) ,谱分解 (或谱表示) 定理成立,即在可测空间 \( \left( {\sigma \left( N\right) ,\mathcal{B}}\right) \) 上有惟一谱测度 \( E \) ,使得
\[
N = {\int }_{\sigma \left( N\right) }\lambda \mathrm{d}E\left( \lambda \right) ,
\]
这里 \( \mathcal{B} \) 是 \( \sigma \left( N\right) \) 中波莱尔子集全体所成的 \( \sigma \) 代数. 有界线性算子 \( A \) 与 \( N \) 可交换,当且仅当对每个 \( \varphi \in \) \( \mathcal{B}, A \) 与 \( E\left( \varphi \right) \) 可交换. 当 \( N \) 是紧正规算子时,记 \( \sigma \left( N\right) = \left\{ {\lambda }_{i}\right\} \) ,则
\[
N = \mathop{\sum }\limits_{i}{\lambda }_{i}{P}_{i}
\]
其中 \( {P}_{i} \) 是相应于 \( {\lambda }_{i} \) 的特征空间上的正交投影算子. 一个正规算子 \( N \) 是酉的 (自伴的) 当且仅当 \( \sigma \left( N\right) \) 包含于单位圆周 (实轴) 内.
正规算子的谱分解定理是由冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 于 20 世纪 20 年代给出的, 它实际上是 \( n \) 维复线性空间上的正规矩阵对角化理论的推广, 也刻画了正规算子的结构, 由此可以导出正规算子的许多重要性质.
正常算子 (normal operator) 即“正规算子”.
正规算子的谱分解 (spectral resolution of normal operator) 见“正规算子”.
正规算子的谱表示 (spectral representation of normal operator) 见“正规算子”.
普特兰姆-富格里德定理 (Putnam-Fuglede theorem) 关于正规算子的一个重要命题. 设 \( M, N \) 是希尔伯特空间上的正规算子, \( T \) 是有界线性算子. 如果 \( {MT} = {TN} \) ,则相应有 \( {M}^{ * }T = T{N}^{ * } \) . 正规算子的这一重要性质称为普特兰姆-富格里德定理, 简记为 P-F 定理. P-F 定理有很多推广,例如,若 \( A,{B}^{ * } \) 是亚正规算子,则当 \( {AT} = {TB} \) 时,有 \( {A}^{ * }T = T{B}^{ * } \) .
拟正规算子 (quasi-normal operator) 正规算子概念的推广. 设 \( H \) 是复希尔伯特空间, \( A \) 是 \( H \) 上的有界线性算子,如果 \( A \) 与 \( {A}^{ * }A \) 可交换,就称 \( A \) 是拟正规 (或拟正常) 的. 正规算子和等距算子都是拟正规的. 设 \( A \) 的极分解为
\[
A = U\left| A\right| ,\;\left| A\right| = {\left( {A}^{ * }A\right) }^{\frac{1}{2}},
\]
则 \( A \) 为拟正规算子的充分必要条件是
\[
U\left| A\right| = \left| A\right| U
\]
拟正常算子 (quasi-normal operator) 即“拟正规算子”.
次正规算子 (subnormal operator) 正规算子概念的推广. 复希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子 \( A \) 称为是次正规的 (或次正常的),如果它有一个正规的扩张,即存在希尔伯特空间 \( K \) 和 \( K \) 上的正规算子 \( N \) ,使得 \( H \) 是 \( K \) 的闭子空间,且是 \( N \) 的不变子空间,而 \( N \) 在 \( H \) 上的限制 \( {\left. N\right| }_{H} = A \) . 正规算子、 等距算子、拟正规算子都是次正规的. 布朗 (Brown, S. ) 于 1978 年证得, 每个次正规算子都有非平凡不变子空间. 设 \( A \) 是次正规算子,定义在 \( K \) 上的 \( N \) 是 \( A \) 的一个正规扩张. 如果 \( K \) 中不存在 \( N \) 的包含 \( H \) 且异于 \( K \) 的约化子空间,就称 \( N \) 是 \( A \) 的最小正规扩张,除去酉等价不计,最小正规扩张是由 \( A \) 惟一确定的.
次正规算子由哈尔莫斯 (Halmos, P. R. ) 于 1950 年引入, 其原型是单侧移位算子, 而后很快成为算子理论的重要研究对象, 且与一致代数和有理逼近理论有着密切的联系. 可以说在各类非正规算子中, 次正规算子是迄今人们理解得较好的一类.
次正常算子 (subnormal operator) 即 “次正规算子”.
正规扩张 (normal extension) 见 “次正规算子”.
最小正规扩张 (minimal normal extension) 见“次正规算子”.
亚正规算子 (hyponormal operator) 次正规算子概念的推广. 设 \( A \) 是复希尔伯特空间上的有界线性算子,如果对任何 \( x \in H \) 都有 \( \begin{Vmatrix}{{A}^{ * }x}\end{Vmatrix} \leq \parallel {Ax}\parallel \) 成立,就称 \( A \) 是亚正规的或亚正常的. 算子 \( A \) 是亚正规的充分必要条件是 \( \left\lbrack A\right\rbrack = {A}^{ * }A - A{A}^{ * } \geq 0 \) . 次正规算子必是亚正规的, 但反之不成立. 亚正规算子具有下列重要性质: 若 \( A \) 亚正规,则
1. 谱半径 \( {r}_{\sigma \left( A\right) } = \parallel A\parallel \) .
2. 对一切 \( \lambda \in \rho \left( A\right) \) 有
\[
\begin{Vmatrix}{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}\end{Vmatrix} \leq \frac{1}{\operatorname{dist}\left( {\lambda ,\sigma \left( A\right) }\right) }.
\]
3. 设 \( \lambda \) 是 \( A \) 的特征值,则特征空间 \( {E}_{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 83 | 包含 \( H \) 且异于 \( K \) 的约化子空间,就称 \( N \) 是 \( A \) 的最小正规扩张,除去酉等价不计,最小正规扩张是由 \( A \) 惟一确定的.
次正规算子由哈尔莫斯 (Halmos, P. R. ) 于 1950 年引入, 其原型是单侧移位算子, 而后很快成为算子理论的重要研究对象, 且与一致代数和有理逼近理论有着密切的联系. 可以说在各类非正规算子中, 次正规算子是迄今人们理解得较好的一类.
次正常算子 (subnormal operator) 即 “次正规算子”.
正规扩张 (normal extension) 见 “次正规算子”.
最小正规扩张 (minimal normal extension) 见“次正规算子”.
亚正规算子 (hyponormal operator) 次正规算子概念的推广. 设 \( A \) 是复希尔伯特空间上的有界线性算子,如果对任何 \( x \in H \) 都有 \( \begin{Vmatrix}{{A}^{ * }x}\end{Vmatrix} \leq \parallel {Ax}\parallel \) 成立,就称 \( A \) 是亚正规的或亚正常的. 算子 \( A \) 是亚正规的充分必要条件是 \( \left\lbrack A\right\rbrack = {A}^{ * }A - A{A}^{ * } \geq 0 \) . 次正规算子必是亚正规的, 但反之不成立. 亚正规算子具有下列重要性质: 若 \( A \) 亚正规,则
1. 谱半径 \( {r}_{\sigma \left( A\right) } = \parallel A\parallel \) .
2. 对一切 \( \lambda \in \rho \left( A\right) \) 有
\[
\begin{Vmatrix}{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}\end{Vmatrix} \leq \frac{1}{\operatorname{dist}\left( {\lambda ,\sigma \left( A\right) }\right) }.
\]
3. 设 \( \lambda \) 是 \( A \) 的特征值,则特征空间 \( {E}_{\lambda } \) 约化 \( A \) .
亚正规算子酉等价于奇异积分算子, 所以它的研究有助于作出更一般的拟微分算子的谱分析. 另外亚正规算子的研究也与量子力学中波算子、散射算子和摄动理论密切相联. 亚正规算子是哈尔莫斯 (Halmos, P. R.) 于 1950 年引入的.
亚正常算子 (hyponormal operator) 即 “亚正规算子”.
移位算子 (shift operator) 将希尔伯特空间中规范正交基的每一个基向量的位置向前 (后) 移动一位或若干位的线性算子. 设 \( H \) 是复希尔伯特空间, \( {\left\{ {e}_{n}\right\} }_{n = 0}^{+\infty } \) 是 \( H \) 的规范正交基,由 \( S{e}_{n} = {e}_{n + 1}(n = 0,1,2 \) , \( \cdots ) \) 所确定的线性算子 \( S \) 称为重复度为 1 的单侧移位 (或单侧平移) 算子. 单侧移位算子是次正规算子. 设 \( {\left\{ {e}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty } \) 是 \( H \) 的一个规范正交基,由 \( U{e}_{n} = {e}_{n + 1}(n \) \( = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots ) \) 所确定的线性算子称为重复度为 1 的双侧移位 (或双侧平移) 算子. 设 \( \alpha \) 是一个基数, \( \alpha \) 个重复度为 1 的单 (双) 侧移位算子的正交和称为重复度为 \( \alpha \) 的单 (双) 侧移位算子. \( S \) 和 \( U \) 分别是重复度为 \( \alpha \) 的单、双侧移位时, \( S \) 必是等距算子, \( U \) 必是酉算子,且 \( U \) 必是 \( S \) 的正规扩张 (当 \( \alpha \) 有限时还是最小正规扩张). \( \sigma \left( S\right) = \{ \lambda \left| \right| \lambda \mid \leq 1\} ,\sigma \left( U\right) = \{ \lambda \mid \) \( \left| \lambda \right| = 1\} \) . 若 \( S \) 和 \( U \) 是重复度为 1 的移位算子,则其共轭算子由 \( {S}^{ * }{e}_{0} = 0,{S}^{ * }{e}_{n} = {e}_{n - 1}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 和 \( {U}^{ * }{e}_{n} = {e}_{n - 1}\left( {n = 0, \pm 1,\cdots }\right) \) 确定. 单、双侧移位算子统称为移位算子.
单侧移位算子 (unilateral shift operator) 见 “移位算子”.
双侧移位算子 (bilateral shift operator) 见 “移位算子”.
平移算子 (shift operator) 即 “移位算子”.
加权移位算子 (weighted shift operator) 移位算子的推广. 设 \( H \) 是希尔伯特空间, \( {\left\{ {e}_{n}\right\} }_{n = 0}^{+\infty } \) 是 \( H \) 的规范正交基, \( {\left\{ {w}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 是一个数列,则由
\[
S{e}_{n} = {w}_{n + 1}{e}_{n + 1}\;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right)
\]
确定的线性算子称为单侧加权移位算子,而 \( {\left\{ {w}_{n}\right\} }_{n = 1}^{+\infty } \) 称为 \( S \) 的权序列. 设 \( {\left\{ {e}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty } \) 是 \( H \) 的规范正交基, 类似可定义权序列为 \( {\left\{ {w}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty } \) 的双侧加权移位算子 \( W : W{e}_{n} = {w}_{n + 1}{e}_{n + 1}\left( {n = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) \) . 单、双侧加权移位算子统称加权移位算子. \( S \) 和 \( W \) 的共轭算子由 \( {S}^{ * }{e}_{0} = 0,{S}^{ * }{e}_{n} = {w}_{n}{e}_{n - 1}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,{W}^{ * }{e}_{n} = \) \( {w}_{n}{e}_{n - 1}\left( {n = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right) \) 确定.
洛朗算子(Laurent operator) 一种正规算子. 用 \( T \) 表示平面上单位圆周, \( \mu \) 为其上规格化的勒贝格测度 (即 \( \mathrm{d}\mu = \mathrm{d}m/{2\pi }, m \) 为 \( T \) 上勒贝格测度). 对每个有界可测函数 \( \varphi \in {L}^{\infty }\left( T\right) \) ,可定义希尔伯特空间 \( {L}^{2}\left( T\right) \) 上的乘法算子 \( {L}_{\varphi } : f \rightarrow {\varphi f}, f \in {L}^{2}\left( T\right) .{L}_{\varphi } \) 称为由 \( \varphi \) 导出的洛朗算子. 洛朗算子 \( {L}_{\varphi } \) 是正规的. 相对于 \( {L}^{2}\left( T\right) \) 中的规范正交基 \( \left\{ {{e}_{n}\left( z\right) = {z}^{n} \mid n = 0, \pm 1}\right. \) , \( \pm 2,\cdots \} ,{L}_{\varphi } \) 的 (双边无限) 矩阵表示 \( \left\langle {\lambda }_{ij}\right\rangle \) 是一个洛朗矩阵,即对所有 \( i, j = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots \) ,都有 \( {\lambda }_{i + 1, j + 1} \) \( = {\lambda }_{ij} = {\alpha }_{i - j} \) ,其中
\[
\varphi = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{\alpha }_{n}{e}_{n}
\]
是 \( \varphi \) 的傅里叶展式. 换句话说,洛朗矩阵是平行于主对角线的每个对角线上的元相同的矩阵.
洛朗矩阵 (Laurent matrix) 见“洛朗算子”.
特普利茨算子 (Toeplitz operator) 一类函数空间算子, 是算子理论的重要研究对象之一. 哈代空间 \( {H}^{2} \) 是希尔伯特空间 \( {L}^{2}\left( T\right) \) 的由规范正交系 \( {\left\{ {e}_{n}\left( z\right) = {z}^{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 张成的闭线性子空间 (参见 “洛朗算子”). 令 \( P \) 是从 \( {L}^{2}\left( T\right) \) 到 \( {H}^{2} \) 上的正交投影. 洛朗算子 \( {L}_{\varphi } \) 在 \( {H}^{2} \) 上的限制 \( {\left. {T}_{\varphi } = P{L}_{\varphi }\right| }_{{H}^{2}} \) 称为由有界可测函数 \( \varphi \) 诱导的特普利茨算子. 单侧移位算子 \( S\left( { = {T}_{{e}_{1}}}\right) \) 就是特普利茨算子的一个最简单的例子. 相应于 \( {H}^{2} \) 的规范正交基 \( {\left\{ {e}_{n}\right\} }_{n = 0}^{+\infty },{T}_{\varphi } \) 的矩阵表示 \( \left\langle {\lambda }_{ij}\right\rangle \) 满足条件 \( {\lambda }_{i + 1, j + 1} = {\lambda }_{ij} = {\alpha }_{i - j} \) ,其中 \( {\left\{ {\alpha }_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{+\infty } \) 是 \( \varphi \) 的傅里叶系数, 这样的矩阵称为特普利茨矩阵.
特普利茨矩阵 (Toeplitz matrix) 见 “特普利茨算子”.
解析特普利茨算子 (analytic Toeplitz operator) 一类次正规算子. 由函数 \( \varphi \in {H}^{\infty } = {H}^{2} \cap {L}^{\infty }\left( T\right) \) 诱导的特普利茨算子称为解析特普利茨算子. 洛朗算子 \( {L}_{\varphi } \) 便是它的正规扩张,并且 \( {T}_{\varphi } \) 的谱 \( \sigma \left( {T}_{\varphi }\right) = \overline{\widetilde{\varphi }\left( D\right) } \) , 即 \( \bar{\varphi } \) 的值域之闭包,这里 \( D \) 表示开单位圆盘,而 \( \bar{\varphi } \) 是由
\[
\varphi = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\alpha }_{n}{e}_{n}
\]
确定的 \( D \) 内解析的函数
\[
\widetilde{\varphi } = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{\alpha }_{n}{z}^{n}
\]
线性算子的交换子 (commutator of linear operators) 线性算子间的一种运算. 设 \( A, B \) 是巴拿赫空间 \( H \) 上的有界线性算子,记 \( \left\lbrack {A, B}\right\rbrack = {AB} - {BA} \) , 称 \( \left\lbrack {A, B}\right\rbrack \) 为 \( A \) 与 \( B \) 的交换子. 特别地,当 \( H \) 为希尔伯特空间且 \( B = {A}^{ * } \) 时,称 \( \left\lbrack {A,{A}^{ * }}\right\rbrack \) 为自交换子.
线性算子的自交换子 (self-commutator of linear operator) 见“线性算子的交换子”.
## 算子半群
算子半群 (operator semi-group) 依赖于参数且对乘法运算封闭的算子族. 设 \( X \) 是线性空间, \( {T}_{t}(t \) \( \geq 0 \) (或 \( t > 0 \) )) 是 \( X \) 上的线性算子. 如果对任何 \( {t}_{1},{t}_{2} \) \( \geq 0 \) (或 \( > 0 \) ),有 \( {T}_{{t}_{1}}{T}_{{t}_{2}} = {T}_{{t}_{1} + {t}_{2}} \) ,则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right. \) (或 \( t > \) \( 0)\} \) 为单参数算子半群,或简称算子半群. 显然,算子半群即把参数 \( t \) 的加法半群 (因限制 \( t \geq 0 \) 或 \( t > 0 \) 故仅是加法半群) 变成算子 (按算子乘法) 的半群. 对于半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) ,通常总加上假设 \( {T}_{0} = I \) . 在泛函分析中,通常要假设 \( X \) 是巴拿赫空间或拓扑线性空间 (重要的是局部凸拓扑线性空间),并且把 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right. \) (或 \( t > 0 \) ) \} 视定义在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) (或 \( \left( {0, + \infty }\right) \) ) 上算子值函数时,还要假设有某种连续性,具体可见 \( {C}_{0} \) 类算子半群, \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群,解析算子半群等. 上面谈的是线性算子半群, 此外还有非线性算子半群.
算子半群理论是泛函分析的重要分支之一, 主要研究各种类型的算子半群和生成元的特征, 以及指数公式的各种表达形式. 它在微分方程、概率论 (马氏过程)、系统理论、逼近论和量子理论中是经常出现的.
\( {C}_{0} \) 类算子半群 (operator semi-group of class \( \left. {C}_{0}\right) \) 一类具有强连续性的算子半群. 设 \( X \) 是复的局部凸拓扑线性空间, \( L\left( X\right) \) 表示 \( X \) 上的连续线性算子全体. 如果 \( L\left( X\right) \) 的算子族 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 满足条件:
\[
\text{1.}{T}_{s}{T}_{t} = {T}_{s + t}\left( {s, t \in \lbrack 0, + \infty }\right) ),{T}_{0} = I\text{;}
\]
\[
\text{2. (强)}\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow {t}_{0}}}{T}_{t}x = {T}_{{t}_{0}}x\left( {x \in X,{t}_{0} \geq 0}\right) \text{;}
\]
则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 为 \( {C}_{0} \) 类算子半群,简称 \( {C}_{0} \) 类半群. 当 \( X \) 是巴拿赫空间时,对 \( {C}_{0} \) 类算子半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 必存在 \( M > 0 \) 和 \( \beta \geq 0 \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{T}_{t}\end{Vmatrix} \leq M{e}^{\beta t}\left( {t \geq 0}\right) \) . 例如 \( X = {L}^{p}\left( {-\infty , + \infty }\right) \left( {1 \leq p < + \infty }\right) ,\left( {{T}_{t}x}\right) \left( \omega \right) = \) \( x\left( {t + \omega }\right) \) 是 \( {C}_{0} \) 类 (平移) 算子半群. 这类算子半群的理论主要是由希尔 (Hille, C. E. )、吉田耕作 (Yosi-da, K. ) 和菲利普斯 (Phillips, R. S. ) 等人奠定的.
\( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群 (equicontinuous operator semi-group of class \( {C}_{0} \) ) 具有等度连续性的 \( {C}_{0} \) 类算子半群. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是局部凸拓扑线性空间 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 类算子半群. 如果算子族 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 关于 \( t \) 还是等度连续的,即对任何连续半范数 \( p \) ,存在 \( X \) 上的连续半范数 \( q \) ,使得对任何 \( t \geq 0, x \in X \) ,都有 \( p\left( {{T}_{t}x}\right) \leq q\left( x\right) \) 成立,则这样的半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 称为 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群. \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群是巴拿赫空间上 \( {C}_{0} \) 类半群的直接推广.
算子半群的无穷小生成元 (infinitesimal generator of operator semi-group) 由算子半群决定的
闭线性算子. 设 \( X \) 是序列完备的局部凸拓扑线性空间, \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群. 由
\[
{Ax} = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{h}^{-1}\left( {{T}_{h} - I}\right) x
\]
定义出的线性算子 \( A \) 称为 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的无穷小生成元, \( A \) 的定义域 \( \mathcal{D}\left( A\right) \) 是
\[
\left\{ {x\left| {\;\mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{h}^{-1}\left( {{T}_{h} - I}\right) x\text{ 存在 }}\right. }\right\} .
\]
\( \mathcal{D}\left( A\right) \) 必在 \( X \) 中稠密, \( A \) 是闭线性算子,当 \( \lambda \) 的实部大于 0 时, \( {\left( \lambda I - A\right) }^{-1} \) 是 \( X \) 上的连续线性算子,且对任何 \( x \in X \) ,
\[
{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}}{T}_{t}x\mathrm{\;d}x,
\]
算子族 \( \left\{ {\lambda {\left( \lambda I - A\right) }^{-n} \mid \lambda > 0, n = 1,2,3,\cdots }\right\} \) 是等度连续的. 定义微商
\[
{\mathrm{D}}_{t}{T}_{t}x = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{h}^{-1}\left( {{T}_{t + h} - {T}_{t}}\right) x
\]
(若右边极限存在),则 \( \mathcal{D}\left( A\right) \subset \mathcal{D}\left( {{\mathrm{D}}_{t}{T}_{t}}\right) \) ,且对 \( x \in \) \( \mathcal{D}\left( A\right) \) ,
\[
{\mathrm{D}}_{t}{T}_{t}x = A{T}_{t}x = {T}_{t}{Ax}.
\]
反之,设 \( A \) 是 \( X \) 上稠定线性算子,且使 \( {\left( nI - A\right) }^{-1} \) \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 为连续的,如果 \( \left\{ {\left( I - {n}^{-1}A\right) }^{-m}\right\} \) 对 \( |
2000_数学辞海（第3卷） | 84 | ^{-1}\left( {{T}_{h} - I}\right) x\text{ 存在 }}\right. }\right\} .
\]
\( \mathcal{D}\left( A\right) \) 必在 \( X \) 中稠密, \( A \) 是闭线性算子,当 \( \lambda \) 的实部大于 0 时, \( {\left( \lambda I - A\right) }^{-1} \) 是 \( X \) 上的连续线性算子,且对任何 \( x \in X \) ,
\[
{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}}{T}_{t}x\mathrm{\;d}x,
\]
算子族 \( \left\{ {\lambda {\left( \lambda I - A\right) }^{-n} \mid \lambda > 0, n = 1,2,3,\cdots }\right\} \) 是等度连续的. 定义微商
\[
{\mathrm{D}}_{t}{T}_{t}x = \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}{h}^{-1}\left( {{T}_{t + h} - {T}_{t}}\right) x
\]
(若右边极限存在),则 \( \mathcal{D}\left( A\right) \subset \mathcal{D}\left( {{\mathrm{D}}_{t}{T}_{t}}\right) \) ,且对 \( x \in \) \( \mathcal{D}\left( A\right) \) ,
\[
{\mathrm{D}}_{t}{T}_{t}x = A{T}_{t}x = {T}_{t}{Ax}.
\]
反之,设 \( A \) 是 \( X \) 上稠定线性算子,且使 \( {\left( nI - A\right) }^{-1} \) \( \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) 为连续的,如果 \( \left\{ {\left( I - {n}^{-1}A\right) }^{-m}\right\} \) 对 \( n = \) \( 1,2,\cdots \) 及 \( m = 0,1,2,\cdots \) 等度连续,则 \( A \) 必是 \( X \) 上惟一确定的 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群的无穷小生成元. 由于 \( {C}_{0} \) 类等度连续半群 \( \left\{ {T}_{t}\right\} \) 由它的无穷小生成元 \( A \) 惟一确定,所以常简写为 \( {\mathrm{e}}^{tA} \) . 讨论算子半群和无穷小生成元之间的关系是算子半群理论研究的重要课题之一.
巴拿赫空间上的算子半群 (operator semigroup on Banach space) 定义在巴拿赫空间上的线性算子半群. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 是 \( X \) 上的有界线性算子半群. 如果把 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 视为 \( (0 \) , \( + \infty ) \) 上取算子值的函数是强可测的,则 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 必是强连续. 当 \( X \) 是可分时,则 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 是弱可测蕴涵 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 强连续. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 是 \( X \) 上强连续的算子半群, 则称
\[
{\omega }_{0} = \mathop{\inf }\limits_{{t > 0}}\frac{\log \begin{Vmatrix}{T}_{t}\end{Vmatrix}}{t} < + \infty
\]
为 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t > 0}\right\} \) 的指标. 若 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是强连续的算子半群 (补充假设 \( {T}_{0} = I \) 后,即 \( X \) 上 \( {C}_{0} \) 类半群), \( {\omega }_{0} \) 是它的指标,则对任何 \( \varepsilon > 0 \) 必存在常数 \( {M}_{\varepsilon } \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{T}_{t}\end{Vmatrix} \) \( \leq {M}_{\varepsilon }{\mathrm{e}}^{t\left( {{\omega }_{0} + \varepsilon }\right) } \) 对一切 \( t \) 成立. 因而当 \( \operatorname{Re}\lambda > {\omega }_{0} \) 时,下面的博赫纳积分
\[
{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}}{T}_{t}x\mathrm{\;d}t\;\left( {x \in X}\right)
\]
存在,称上面的积分为 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的拉普拉斯变换. 令 \( A \) 是 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的无穷小生成元,则所有满足 \( \operatorname{Re}\lambda \) \( > {\omega }_{0} \) 的 \( \lambda \) 全是 \( A \) 的正则点,且
\[
{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}x = {\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{\lambda t}}{T}_{t}x\mathrm{\;d}t\;\left( {x \in X}\right) .
\]
巴拿赫空间上的算子半群理论是研究发展微分方程和随机过程的重要工具.
算子半群的指标 (index of operator semigroup) 见“巴拿赫空间上的算子半群”.
算子半群的拉普拉斯变换 (Laplace transform of operator semi-group) 见“巴拿赫空间上的算子半群”.
希尔-吉田耕作定理 (Hille-Yosida theorem)
给出闭稠定线性算子是某个 \( {C}_{0} \) 类算子半群生成元的充分必要条件的定理. 设 \( A \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上的稠定线性算子,则 \( A \) 是 \( X \) 上的某个 \( {C}_{0} \) 类算子半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的无穷小生成元的充分必要条件是,存在常数 \( M,\beta \) 和实数列 \( {\lambda }_{n} \rightarrow + \infty \left( {n \rightarrow \infty }\right) \) ,满足:
1. 当 \( {\lambda }_{n} > \beta \) 时, \( {\left( {\lambda }_{n}I - A\right) }^{-1} \) 是有界线性算子.
2. 对任何 \( m \) ,当 \( {\lambda }_{n} > \beta \) 时,
\[
\begin{Vmatrix}{\left( {\lambda }_{n}I - A\right) }^{-m}\end{Vmatrix} \leq \frac{M}{{\left( {\lambda }_{n} - \beta \right) }^{m}}.
\]
上述命题称为希尔-吉田耕作 (算子半群) 定理. 希尔-吉田耕作定理是半群理论的最基本定理之一, 它有多种表示形式.
算子半群的近似式 (approximate expression of operator semi-group) 按强极限逼近该算子半群的算子序列. 设 \( A \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上的有界线性算子, 记
\[
{\mathrm{e}}^{tA} = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{1}{n!}{\left( tA\right) }^{n}
\]
(右边和式按算子范数收敛). 易知, \( {\mathrm{e}}^{tA} \) 是按算子范数拓扑连续的算子半群. 如果 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 类算子半群, \( A \) 是无穷小生成元,则按希尔-吉田耕作定理,对 \( \operatorname{Re}\lambda \) 充分大的 \( \lambda ,{\left( \lambda I - A\right) }^{-1} \) 有界. 从而 \( A{\left( \lambda I - A\right) }^{-1} \) 有界,
\[
{\mathrm{e}}^{{tA\lambda }{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}}
\]
是按算子范数拓扑连续的算子半群, 且
\[
{T}_{t} = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}{\mathrm{e}}^{{tA\lambda }{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}},
\]
这里是强极限,并且在任何闭区间 \( \left\lbrack {0,\alpha }\right\rbrack \) 上关于 \( t \) 收敛是一致的. 如果 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是局部凸拓扑线性空间 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 等度连续算子半群,则对 \( x \in X \) ,
\[
{T}_{t}x = \mathop{\lim }\limits_{{\lambda \rightarrow \infty }}{\mathrm{e}}^{{tA\lambda }{\left( \lambda I - A\right) }^{-1}}x
\]
在 \( \left\lbrack {0,\alpha }\right\rbrack \) 上关于 \( t \) 收敛是一致的. 研究算子半群的近似式是算子半群理论的主要课题之一.
算子群 (operator group) 按算子乘法运算与实数全体构成加法群同构的算子族. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \in }\right. \) \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \} \) 为局部凸拓扑线性空间 \( X \) 上的一族连续线性算子,如果对任何 \( t, s \in \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 都有 \( {T}_{t}{T}_{s} = {T}_{t + s} \) 且 \( {T}_{0} = I \) (恒等算子),则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \in }\right. \) \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \} \) 为算子群. 显然,它的子族 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 及 \( \left\{ {{T}_{-t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是两个算子半群.
\( {C}_{0} \) 类算子群 (operator group of class \( {C}_{0} \) ) 满足某种连续性的算子群. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 是局部凸拓扑线性空间 \( X \) 上的算子群,如果 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 和 \( \left\{ {{S}_{t} = {T}_{-t} \mid t \geq 0}\right\} \) 都是 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群,则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 为 \( {C}_{0} \) 类算子群. 设 \( X \) 是序列完备的局部凸拓扑线性空间,则 \( X \) 中稠定线性算子 \( A \) 是某个 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子群 \( \left\{ {{S}_{t} \mid t \in ( - \infty }\right. \) , \( + \infty )\} \) 的无穷小生成元的充分必要条件是, \( \{ (I - \) \( \left. {\left. {n}^{-1}A\right) }^{-m}\right\} \) 对 \( n = \pm 1, \pm 2,\cdots, m = 0,1,2,\cdots \) 是等度连续的,由 \( A \) 所确定的算子群是惟一的.
压缩算子半群 (contraction semi-group) 一类特殊 \( {C}_{0} \) 类算子半群. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 类算子半群,如果 \( \begin{Vmatrix}{T}_{t}\end{Vmatrix} \leq 1\left( {t \geq 0}\right) \) ,则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( {C}_{0} \) 类压缩算子半群. 设 \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack \) 是 \( X \) \( \times X \) 上的泛函,如果满足
\[
\left\lbrack {x + y, z}\right\rbrack = \left\lbrack {x, z}\right\rbrack + \left\lbrack {y, z}\right\rbrack ,
\]
\[
\left\lbrack {{\lambda x}, y}\right\rbrack = \lambda \left\lbrack {x, y}\right\rbrack ,
\]
\[
\left\lbrack {x, x}\right\rbrack = \parallel x{\parallel }^{2},\left| \left\lbrack {x, y}\right\rbrack \right| \leq \parallel x\parallel \parallel y\parallel ,
\]
则称 \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack \) 是 \( X \) 上的半内积. 半内积总是存在的. 设 \( A \) 是 \( X \) 到 \( X \) 的线性算子,定义域是 \( \mathcal{D}\left( A\right) \) ,如果 \( X \) 上有半内积 \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack \) 使 \( \operatorname{Re}\left\lbrack {{Ax}, x}\right\rbrack \leq 0(x \in \) \( \mathcal{D}\left( A\right) ) \) ,则称 \( A \) 是 (关于 \( \left\lbrack {\cdot , \cdot }\right\rbrack ) \) 耗散算子. 线性算子 \( A \) 是耗散的,当且仅当对每个 \( x \in \mathcal{D}\left( A\right) \) 和 \( \lambda > 0 \) 满足 \( \parallel \left( {{\lambda I} - A}\right) x\parallel \geq \lambda \parallel x\parallel \) . 线性算子 \( A \) 是 \( {C}_{0} \) 类压缩算子半群的无穷小生成元,当且仅当 \( A \) 是耗散算子,且 \( I - A \) 的值域是全空间 \( X \) ,这个命题称为菲利普斯定理.
半内积 (semi-scalar product) 见 “压缩算子半群”.
耗散算子 (dissipative operator) 见“压缩算子半群”.
解析算子半群 (operator analytic semigroup)
一类特殊的压缩半群. 如果巴拿赫空间上的压缩半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 视为 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上的算子值函数可以解析开拓到一个包含正实轴的复平面中的角形区域上去, 则称该类半群为解析算子半群. 这类半群在抛物型方程中有重要应用.
紧算子半群 (semigroup of compact operators) 一类特殊的 \( {C}_{0} \) 类半群. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 为 \( {C}_{0} \) 类半群, 如果对每个 \( t > 0 \) ,算子 \( {T}_{t} \) 是紧算子,则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 为紧算子半群.
可微算子半群 (semigroup of differentiable operators) 具有某种可微性的 \( {C}_{0} \) 类半群. 如果算子半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 满足条件: 当 \( t > 0 \) 时,对每个 \( x \in X \) , 向量值函数 \( t \rightarrow {T}_{t}x \) 是强可微的,则称 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 为可微算子半群.
酉算子群 (unitary operator group) 由酉算子构成的算子群. 设 \( \left\{ {{U}_{t} \mid t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的算子群,如果每个 \( {U}_{t} \) 都是酉算子,则称其为酉算子群. 当视 \( \left\{ {{U}_{t} \mid t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 为 \( ( - \infty \) , \( + \infty ) \) 上取酉算子值函数时,它弱连续等价于强连续. 当 \( H \) 是可分空间时,由 \( \left\{ {{U}_{t} \mid t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 的弱可测性也可推出强连续性. 设 \( \left\{ {{U}_{t} \mid t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right\} \) 是 \( H \) 上的 \( {C}_{0} \) 类酉算子群即强连续酉算子群,则它的无穷小生成元 \( A = \mathrm{i}B \) ,其中 \( B \) 是 \( H \) 上自共轭算子; 如令
\[
B = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }
\]
是自共轭算子 \( B \) 的谱分解,则
\[
{U}_{t} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{t\lambda }}\mathrm{d}{E}_{\lambda }\left( {t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right) .
\]
上述命题称为斯通定理, 它是希尔伯特空间上算子半群的重要定理之一, 并且在群表示论和量子力学中有重要应用.
酉算子群的斯通定理 (Stone theorem of unitary operator group) 见“酉算子群”.
对偶半群 (dual semi-group) 分别定义在线性空间与其共轭空间上的两个半群. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是序列完备的局部凸拓扑线性空间 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群,则共轭空间 \( {X}^{ * } \) 上的 \( \left\{ {{T}_{t}^{ * } \mid t \geq 0}\right\} \) 满足半群性质,关于 \( t \geq 0 \) 等度连续,但一般不是 \( {C}_{0} \) 类的. 如果 \( X \) 和 \( {X}^{ * } \) 都序列完备,把 \( X \) 上 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的无穷小生成元 \( A \) 的共轭算子 \( {A}^{ * } \) 的定义域 \( \mathcal{D}\left( {A}^{ * }\right) \) 在 \( {X}^{ * } \) 中强拓扑的闭包记为 \( {X}^{ + } \) , 又记 \( {\left. {T}_{t}^{ + } = {T}_{t}^{ * }\right| }_{{X}^{ + }} \) ,则 \( \left\{ {{T}_{t}^{ + } \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( {X}^{ + } \) 上的 \( {C}_{0} \) 类等度连续半群,它的无穷小生成元 |
2000_数学辞海（第3卷） | 85 | 子 \( B \) 的谱分解,则
\[
{U}_{t} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{t\lambda }}\mathrm{d}{E}_{\lambda }\left( {t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right) .
\]
上述命题称为斯通定理, 它是希尔伯特空间上算子半群的重要定理之一, 并且在群表示论和量子力学中有重要应用.
酉算子群的斯通定理 (Stone theorem of unitary operator group) 见“酉算子群”.
对偶半群 (dual semi-group) 分别定义在线性空间与其共轭空间上的两个半群. 设 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 是序列完备的局部凸拓扑线性空间 \( X \) 上的 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群,则共轭空间 \( {X}^{ * } \) 上的 \( \left\{ {{T}_{t}^{ * } \mid t \geq 0}\right\} \) 满足半群性质,关于 \( t \geq 0 \) 等度连续,但一般不是 \( {C}_{0} \) 类的. 如果 \( X \) 和 \( {X}^{ * } \) 都序列完备,把 \( X \) 上 \( {C}_{0} \) 类等度连续算子半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的无穷小生成元 \( A \) 的共轭算子 \( {A}^{ * } \) 的定义域 \( \mathcal{D}\left( {A}^{ * }\right) \) 在 \( {X}^{ * } \) 中强拓扑的闭包记为 \( {X}^{ + } \) , 又记 \( {\left. {T}_{t}^{ + } = {T}_{t}^{ * }\right| }_{{X}^{ + }} \) ,则 \( \left\{ {{T}_{t}^{ + } \mid t \geq 0}\right\} \) 是 \( {X}^{ + } \) 上的 \( {C}_{0} \) 类等度连续半群,它的无穷小生成元 \( {A}^{ + } \) 就是把 \( {A}^{ * } \) 的定义域和值域同时限于 \( {X}^{ + } \) 内时 \( {A}^{ * } \) 的最大限制. \( \left\{ {{T}_{t}^{ + } \mid t \geq 0}\right\} \) 称为 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的对偶半群.
抽象柯西问题 (abstract Cauchy problem) 以向量值函数为解的微分方程的初值问题. 设 \( A \) 是巴拿赫空间 \( X \) 上的线性算子,定义域是 \( \mathcal{D}\left( A\right) ,{y}_{0} \in \) \( X \) . 是否有取值于 \( X \) 上的向量值函数 \( y\left( t\right) \) ,满足:
1. \( y\left( t\right) \in \mathcal{D}\left( A\right) \left( {t > 0}\right) \) ,在任何 \( \left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack \subset \) \( \left( {0, + \infty }\right) \) 上强可导.
\[
\text{2.}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y\left( t\right) = {Ay}\left( t\right) \left( {t > 0}\right) \text{.}
\]
\[
\text{3.}\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\begin{Vmatrix}{y\left( t\right) - {y}_{0}}\end{Vmatrix} = 0\text{.}
\]
此问题称为抽象柯西问题. 如有 \( y\left( t\right) \) 满足 1-3,则称 \( y\left( t\right) \) 是方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y\left( t\right) = {Ay}\left( t\right)
\]
适合柯西条件 \( y\left( 0\right) = {y}_{0} \) 的解.
通常的热传导方程、薛定谔方程, 以及用矩阵表示的波动方程
\[
{\left( \begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right) }^{\prime } = \left( \begin{array}{l} {u}^{\prime } \\ {v}^{\prime } \end{array}\right) = \left( \begin{array}{ll} 0 & I \\ \Delta & 0 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} u \\ v \end{array}\right)
\]
都可纳入抽象柯西问题. 用算子半群为工具研究上述抽象柯西问题可得到如下结果: 设 \( A \) 是 \( {C}_{0} \) 类算子半群 \( \left\{ {{T}_{t} \mid t \geq 0}\right\} \) 的无穷小生成元,则方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y\left( t\right) = {Ay}\left( t\right)
\]
的抽象柯西问题对每个 \( {y}_{0} \in \mathcal{D}\left( A\right) \) 有惟一解 \( {T}_{t}{y}_{0} \) . 算子半群理论和抽象柯西问题及马尔可夫过程有很密切的联系.
## 算子代数
巴拿赫代数 (Banach algebra) 常简称 \( B \) 代数, 是定义了乘法运算并满足一定条件的复巴拿赫空间. 设 \( R \) 是复赋范线性空间且 \( R \) 同时又是环,如果 \( R \) 中任何两个元素 \( x, y \) 的乘积 \( {xy} \) 的范数满足不等式
\[
\parallel {xy}\parallel \leq \parallel x\parallel \parallel y\parallel ,
\]
就称 \( R \) 是赋范代数或赋范环. 完备的赋范代数称为巴拿赫代数,简称 \( B \) 代数. 当 \( B \) 代数 \( R \) 有单位元 \( e \) 时, 通过改赋一个与原范数等价的范数, 可假设 \( \parallel e\parallel = 1 \) . 对于没有单位元的 \( B \) 代数 \( R \) ,令 \( \widetilde{R} = \) \( \{ \left( {\lambda, x}\right) \mid \lambda \in \mathrm{C} \) (复数域), \( x \in R\} \) ,则依范数 \( \parallel \left( {\lambda, x}\right) \parallel \) \( = \left| \lambda \right| + \parallel x\parallel \) ,乘法
\[
\left( {{\lambda }_{1},{x}_{1}}\right) \left( {{\lambda }_{2},{x}_{2}}\right) = \left( {{\lambda }_{1}{\lambda }_{2},{\lambda }_{1}{x}_{2} + {\lambda }_{2}{x}_{1} + {x}_{1}{x}_{2}}\right) ,
\]
\( \widetilde{R} \) 成为有单位元 \( \left( {1,0}\right) \) 的 \( B \) 代数,且是 \( R \) 的扩张. 因而任何一个没有单位元的 \( B \) 代数都可扩张为有单位元的 \( B \) 代数.
巴拿赫代数是泛函分析的一个重要分支, 它在调和分析、算子理论等数学领域有着广泛的应用, 其理论基础是由盖尔范德 ( \( \Gamma \) e \( \pi \mathrm{b}\Phi \mathrm{{aH}}\pi ,\mathrm{l}1.\mathrm{M} \) . ) 于 1939 年奠定的.
\( \mathbf{B} \) 代数 (Banach algebra) 即 “巴拿赫代数”.
赋范代数 (normed algebra) 见 “巴拿赫代数”.
赋范环 (normed ring) 见“巴拿赫代数”.
拟逆元 (quasi-inverse element) 巴拿赫代数中的一个概念. 在巴拿赫代数 \( R \) 中引进运算
\[
x \circ y = x + y - {xy},
\]
当 \( x \circ y = 0 \) (或 \( y \circ x = 0 \) ) 时,称 \( y \) 为 \( x \) 的右 (或左) 拟逆元. 当 \( x \circ y = y \circ x = 0 \) 时,则称 \( y \) 为 \( x \) 的拟逆元,而称 \( x \) 为拟可逆的. 设 \( R \) 有单位元 \( e, y \) 是 \( x \) 的拟逆元,则 \( e - y \) 就是 \( e - x \) 的逆元. 可逆元称为正则的,非可逆元称为奇异的. 当复数 \( \lambda \) 满足 \( \left| \lambda \right| > \parallel x\parallel \) 时, \( \lambda - x \) 有拟逆元 \( y \) ,它由收敛级数
\[
y = - \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\lambda }^{-n}{x}^{n}
\]
给出,所有使 \( \lambda - x \) 不具有拟逆元的 \( \lambda \) 所成的集合称为 \( x \) 的谱,记为 \( \operatorname{Sp}\left( x\right) \) . 当 \( x \) 本身无逆元,特别当 \( R \) 不含单位元时,恒有 \( 0 \in \operatorname{Sp}\left( x\right) .R \) 中每个元的谱都是非空的有界闭集, 且谱半径
\[
\sup \{ \left| \lambda \right| \mid \lambda \in \operatorname{Sp}\left( x\right) \} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\begin{Vmatrix}{x}^{n}\end{Vmatrix}}^{\frac{1}{n}}.
\]
特别地,当 \( x \) 是巴拿赫空间上的有界线性算子时, 这里所定义的谱就是算子的谱. 使 \( \operatorname{Sp}\left( x\right) = \{ 0\} \) 的 \( x \) \( \in R \) 称为广义幂零元或拓扑幂零元,这种元的全体称为 \( R \) 的根,当 \( R \) 的根只含有零元时, \( R \) 称为半单的 \( B \) 代数.
拟可逆元 (quasi-invertible element) 见 “拟逆元”.
正则元 (regular element) 见 “拟逆元”.
谱半径 (spectral radius) 见 “拟逆元”.
广义幂零元 (generalized nilpotent element) 见“拟逆元”.
拓扑幂零元 (topological nilpotent element) 见“拟逆元”.
巴拿赫代数的根 (radical of Banach algebra) 见“拟逆元”.
半单的巴拿赫代数 (semisimple Banach algebra) 见“拟逆元”.
巴拿赫代数的表示 (representation of Banach algebra) 巴拿赫代数与某巴拿赫空间上的有界线性算子组成的代数之间的一种同态对应. 给定巴拿赫代数 \( R \) 和巴拿赫空间 \( X \) ,如果对于 \( x \in R \) 有 \( X \) 上的有界线性算子 \( {T}_{x} \) 与之对应,使 \( x \rightarrow {T}_{x} \) 是代数同态,且满足 \( \begin{Vmatrix}{T}_{x}\end{Vmatrix} \leq \parallel x\parallel \) ,这样的对应就称为 \( R \) 的一个表示, \( X \) 称为表示空间. 巴拿赫代数总有等距同构的表示. 设 \( Y \) 是表示空间 \( X \) 的子空间 (可以闭也可以不闭),若对一切 \( x \in R \) ,有 \( {T}_{x}Y \subset Y \) ,则称 \( Y \) 为 \( X \) 的不变子空间. 若除 \( X \) 和 \( \{ 0\} \) 外不存在其他不变子空间, 则称此表示为巴拿赫代数的不可约表示. 又若除 \( \{ 0\} \) 和 \( X \) 外不存在其他的闭不变子空间,则称表示为拓扑不可约表示. 研究表示定理是巴拿赫代数理论中的一个重要问题.
不可约表示 (irreducible representation) 见 “巴拿赫代数的表示”.
拓扑不可约表示 (topologically irreducible representation) 见“巴拿赫代数的表示”.
交换巴拿赫代数 (commutative Banach algebra) 一种特殊的巴拿赫代数. 若 \( R \) 是巴拿赫代数且 \( R \) 是交换环,则称 \( R \) 是交换巴拿赫代数. 盖尔范德 ( \( \Gamma \) eJbϕaHд, II. M. ) 研究巴拿赫代数就是从交换情形开始的, 交换巴拿赫代数理论一出现, 就对三角级数理论中著名的维纳定理给出了简洁证明.
维纳代数 (Wiener algebra) 一类交换巴拿赫代数. 绝对收敛的三角级数全体
\[
W = \left\{ {x\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{{+\infty }}{a}_{n}{e}^{\mathrm{{in}}t}\left| {\parallel x\parallel }\right| }\right.
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }\left| {a}_{n}\right| < + \infty \}
\]
按通常的方法规定加法、数乘和乘法及范数 \( \parallel \cdot \parallel \) 成为一个有单位元的交换巴拿赫代数. 此巴拿赫代数 \( W \) 称为维纳代数. 1939 年,盖尔范德 ( \( \Gamma \) eльфапл, I1. M. ) 正是通过引入维纳代数给出了维纳定理 (即点点不为零的绝对收敛的三角级数有逆且逆仍可展成绝对收敛的三角级数)的简洁证明.
函数代数 (function algebra) 亦称一致代数. 一类重要的交换巴拿赫代数. 设 \( R \) 是紧豪斯多夫空间 \( \Omega \) 上的连续函数全体 \( C\left( \Omega \right) \) 的闭子代数,如果 \( R \) 含有常值函数且可分离 \( \Omega \) 中的点 (即对任何 \( {\omega }_{1},{\omega }_{1} \) \( \left. { \in \Omega ,{\omega }_{1} \neq {\omega }_{2}\text{,有}f \in R\text{使得}f\left( {\omega }_{1}\right) \neq f\left( {\omega }_{2}\right) }\right) \) ,则称 \( R \) 为函数代数. 函数代数是 20 世纪 50 年代迅速发展起来的一个分支. 它与解析函数论、多复变函数论、 函数逼近论等有密切关系.
一致代数 (uniform algebra) 即“函数代数”.
极大代数 (maximal algebra) 是一类函数代数. 设 \( A \) 是 \( C\left( \Omega \right) \) 中的函数代数,如果对任何函数代数 \( B \) ,只要 \( B \supset A \) 便必有 \( B = C\left( \Omega \right) \) 或 \( B = A \) 成立,则称 \( A \) 是极大代数. 极大代数在函数代数理论中起着重要的作用.
圆盘代数 (disk algebra) 定义在单位圆周上的一类函数代数. 设 \( T \) 为复平面中单位圆周. 圆盘代数是 \( C\left( T\right) \) 中的可以连续扩张成单位开圆内的解析函数全体所构成的闭子代数 \( A \) . 圆盘代数是函数代数,而且还是 \( C\left( T\right) \) 的极大代数.
可乘线性泛函 (multiplicative linear functionals）定义在巴拿赫代数上具有可乘性质的线性泛函. 设 \( R \) 为巴拿赫代数, \( f \) 是 \( R \) 上的线性泛函,如果对一切 \( x, y \in R, f \) 还满足 \( f\left( {xy}\right) = f\left( x\right) f\left( y\right) \) ,即 \( f \) 是 \( R \) 到数域的代数同态,则称 \( f \) 是 \( R \) 上的一个可乘线性泛函. 如果 \( R \) 有单位元 \( e \) ,则 \( R \) 上可乘线性泛函必是连续的,即 \( f \in {R}^{ * } \) ( \( R \) 的共轭空间),且 \( \parallel f\parallel \) \( = f\left( e\right) = 1 \) . 设 \( \Omega \) 为 \( R \) 上非零的可乘线性泛函全体, 则 \( \Omega \) 是 \( {R}^{ * } \) 的闭单位球中的弱 \( * \) 紧集. 当 \( R \) 无单位元时, \( \Omega \) 在 \( {R}^{ * } \) 中是弱 \( * \) 局部紧的.
极大理想 (maximal ideal) 巴拿赫代数中的一个重要概念. 设 \( R \) 是有单位元 \( e \) 的交换巴拿赫代数, \( M \) 是 \( R \) 的一个真子代数. 如果对 \( \forall x \in M, y \in R \) ,都有 \( {xy} \in M \) ,则称 \( M \) 是 \( R \) 的一个理想 (或幻). 如果对任何理想 \( {M}^{\prime } \) ,由 \( {M}^{\prime } \supset M \) 可推出 \( {M}^{\prime } = R \) ,则称 \( M \) 为 \( R \) 中的极大理想. 极大理想必是闭的. \( R \) 中任何一个非正则元都含于某一理想中, 且任一理想都包含于某一极大理想中. 设 \( M \) 是 \( R \) 的极大理想,则商空间 \( R/M \) 同构于复数域. 由哈恩-巴拿赫延拓定理,存在 \( R \) 上的连续线性泛函 \( {f}_{M} \neq 0 \) ,使 \( {f}_{M}\left( M\right) = 0 \) ,且 \( {f}_{M} \) 是 \( R \) 上的可乘线性泛函. 反之,对 \( R \) 上任一可乘线性泛函 \( f \) ,其零空间 \( {M}_{f} = \{ x \mid f\left( x\right) = 0\} \) 是 \( R \) 的一个极大理想,从而 \( R \) 中的极大理想与 \( R \) 上可乘线性泛函之间形成一一对应关系. 这种对应关系在交换巴拿赫代数的表示理论中起重要作用.
交换巴拿赫代数的表示 (representation of commutative Banach algebra) 交换巴拿赫代数与某紧豪斯多夫空间上的连续函数空间之间的一种同态对应. 若 \( R \) 是有单位元 \( e \) 的交换巴拿赫代数,则 \( \Gamma : x \rightarrow x\left( f\right) \) 是代数同态,其中 \( x\left( f\right) \) 为 \( R \) 上非零可乘线性泛函全体 \( \Omega \) 上的连续函数. \( \Gamma \) 称为是交换巴拿赫代数的盖尔范德表示.
盖尔范德表示 (Gelfandd representation) 见 “交换巴拿赫代数的表示”.
巴拿赫 * 代数 (Banach algebra with involution) 定义了对合运算的巴拿赫代数. 如果巴拿赫代数 \( R \) 中还定义了一个对合运算 \( x \rightarrow {x}^{ * } \) ,满足:
1. \( {\left( x + y\right) }^{ * } = {x}^{ * } + {y}^{ * } \) ;
2. \( {\left( \lambda x\right) }^{ * } = \bar{\lambda }{x}^{ * } \) ;
3. \( {\left( xy\right) }^{ * } = {y}^{ * }{x}^{ * } \) ;
\[
\text{4.}{\left( {x}^{ * }\right) }^{ * } = x\text{;}
\]
则称 \( R \) 为巴拿赫 * 代数,简记为 \( {B}^{ * } \) 代数. 当考虑 \( {B}^{ * } \) 代数 \( R \) 的表示时,如果表示空间取为 希尔伯特空间 \( H \) ,而表示满足 \( x \rightarrow {T}_{x},{x}^{ * } \rightarrow {T}_{{x}^{ * }} = {\left( {T}_{x}\right) }^{ * } \) ,则称此表示为 \( R \) 的 * 表示. 对巴拿赫 * 代数,如果对合还满足 \( \begin{Vmatrix}{x}^{ * }\end{Vmatrix} = \parallel x\parallel \) ,则称 \( R \) 是对称巴拿赫代数.
\( {B}^{ * } \) 代数 (Banach algebra with involution) 即 “巴拿赫 * 代数”.
对合运算 (involution) |
2000_数学辞海（第3卷） | 86 | : x \rightarrow x\left( f\right) \) 是代数同态,其中 \( x\left( f\right) \) 为 \( R \) 上非零可乘线性泛函全体 \( \Omega \) 上的连续函数. \( \Gamma \) 称为是交换巴拿赫代数的盖尔范德表示.
盖尔范德表示 (Gelfandd representation) 见 “交换巴拿赫代数的表示”.
巴拿赫 * 代数 (Banach algebra with involution) 定义了对合运算的巴拿赫代数. 如果巴拿赫代数 \( R \) 中还定义了一个对合运算 \( x \rightarrow {x}^{ * } \) ,满足:
1. \( {\left( x + y\right) }^{ * } = {x}^{ * } + {y}^{ * } \) ;
2. \( {\left( \lambda x\right) }^{ * } = \bar{\lambda }{x}^{ * } \) ;
3. \( {\left( xy\right) }^{ * } = {y}^{ * }{x}^{ * } \) ;
\[
\text{4.}{\left( {x}^{ * }\right) }^{ * } = x\text{;}
\]
则称 \( R \) 为巴拿赫 * 代数,简记为 \( {B}^{ * } \) 代数. 当考虑 \( {B}^{ * } \) 代数 \( R \) 的表示时,如果表示空间取为 希尔伯特空间 \( H \) ,而表示满足 \( x \rightarrow {T}_{x},{x}^{ * } \rightarrow {T}_{{x}^{ * }} = {\left( {T}_{x}\right) }^{ * } \) ,则称此表示为 \( R \) 的 * 表示. 对巴拿赫 * 代数,如果对合还满足 \( \begin{Vmatrix}{x}^{ * }\end{Vmatrix} = \parallel x\parallel \) ,则称 \( R \) 是对称巴拿赫代数.
\( {B}^{ * } \) 代数 (Banach algebra with involution) 即 “巴拿赫 * 代数”.
对合运算 (involution) 见 “巴拿赫 * 代数”.
* 表示 ( * -representation) 见 “巴拿赫 * 代数”.
对称巴拿赫代数 (symmetry Banach algebra) 见“巴拿赫 * 代数”.
\( {C}^{ * } \) 代数 \( \left( {{C}^{ * }\text{-algebra}}\right) \) 一类重要的巴拿赫 * 代数. 设 \( R \) 是巴拿赫 * 代数,如果对 \( R \) 的每个元都有 \( \begin{Vmatrix}{{x}^{ * }x}\end{Vmatrix} = \parallel x{\parallel }^{2} \) 成立,则称 \( R \) 为 \( {C}^{ * } \) 代数. 当 \( {C}^{ * } \) 代数有单位元 \( e \) 时,则 \( \parallel e\parallel = 1 \) 自动成立. 若 \( R \) 没有单位元,做扩张 \( \widetilde{R} = \{ \left( {\lambda, x}\right) \mid \lambda \in \mathrm{C}, x \in R\} \) ,并在 \( \widetilde{R} \) 中引入范数 \( \parallel \left( {\lambda, x}\right) \parallel = \parallel L\left( {\lambda, x}\right) \parallel \) ,则 \( \widetilde{R} \) 成为有单位元 \( \left( {1,0}\right) \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数,这里 \( L\left( {{\lambda }_{0},{x}_{0}}\right) \) 表示 \( \widetilde{R} \) 上算子 \( \left( {\lambda, x}\right) \rightarrow \left( {{\lambda }_{0},{x}_{0}}\right) \left( {\lambda, x}\right) .{C}^{ * } \) 代数是盖尔范德 ( \( \Gamma \) eльфанд,и. M. ) (部分与奈玛克 (Haймарк, M. A. ) 合作)等于 20 世纪 40 年代提出并做了系统而精美的研究, 它在抽象调和分析、量子物理等领域中有重要作用.
\( {C}^{ * } \) 范数 \( \left( {{C}^{ * }\text{norm}}\right) \) 巴拿赫 * 代数上满足 \( {C}^{ * } \) 代数公理的范数. 设 \( \mathcal{A} \) 是一个巴拿赫 * 代数, \( p \) 是 \( \mathcal{A} \) 上的半范数. 如果对任何 \( a, b \in \mathcal{A}, p \) 都满足条件 \( p\left( {ab}\right) \leq p\left( a\right) p\left( b\right), p\left( {a}^{ * }\right) = p\left( a\right) \) 且 \( p\left( {{a}^{ * }a}\right) = \) \( p{\left( a\right) }^{2} \) ,则称 \( p \) 为 \( \mathcal{A} \) 上的一个 \( {C}^{ * } \) 半范数. 单射的 \( {C}^{ * } \) 半范数称为 \( {C}^{ * } \) 范数.
## \( {C}^{ * } \) 半范数 \( \left( {{C}^{ * }\text{seminorm}}\right) \) 见 “ \( {C}^{ * } \) 范数”.
包络 \( {C}^{ * } \) 代数 (enveloping \( {C}^{ * } \) -algebra) 由巴拿赫 * 代数与它的 \( {C}^{ * } \) 半范数导出的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 为一巴拿赫 * 代数, \( p \) 是 \( \mathcal{A} \) 上的任一 \( {C}^{ * } \) 半范数, 则集合 \( N = {p}^{-1}\left( 0\right) \) 是 \( \mathcal{A} \) 的自伴理想. 在商代数 \( \mathcal{A}/N \) 上引入范数 \( \parallel a + N\parallel = p\left( a\right) \) ,则 \( \parallel \cdot \parallel \) 是 \( \mathcal{A}/N \) 上的一个 \( {C}^{ * } \) 范数,而 \( \left( {\mathcal{A}/N,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 的巴拿赫完备化空间 \( \left( {\mathcal{B},\parallel \cdot \parallel }\right) \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数,这个 \( {C}^{ * } \) 代数 \( \mathcal{B} \) 就称为 \( \left( {\mathcal{A}, p}\right) \) 的包络 \( {C}^{ * } \) 代数. 当 \( p \) 是 \( \mathcal{A} \) 的 \( {C}^{ * } \) 范数时, \( \left( {\mathcal{A}, p}\right) \) 的包络 \( {C}^{ * } \) 代数 \( \mathcal{B} \) 就是 \( \mathcal{A} \) 的完备化,而 \( \mathcal{A} \) 是 \( \mathcal{B} \) 的稠密 \( * \) 子代数.
核 \( {C}^{ * } \) 代数 (nuclear \( {C}^{ * } \) -algebra) 一类性质较好的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 为 \( {C}^{ * } \) 代数,如果对每个 \( {C}^{ * } \) 代数 \( \mathcal{B} \) ,张量积 \( \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \) 上都只有惟一的 \( {C}^{ * } \) 范数,则称 \( \mathcal{A} \) 是核 \( {C}^{ * } \) 代数. 有限维 \( {C}^{ * } \) 代数和交换 \( {C}^{ * } \) 代数都是核 \( {C}^{ * } \) 代数. 1977 年,爱弗罗斯 (Effros, E. ) 和兰士 (Lance, E. C. ) 指出,核 \( {C}^{ * } \) 代数 \( \mathcal{A} \) 的二次共轭空间 \( {\mathcal{A}}^{* * } \) 是内射的 (参见 “内射 \( {C}^{ * } \) 代数”).
内射 \( {C}^{ * } \) 代数 (injective \( {C}^{ * } \) -algebra) 具有某种投影性质的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数, \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子全体. 如果对 \( \mathcal{A} \) 的任何表示 \( \pi : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}\left( H\right) \) ,都存在从 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 到 \( \pi \left( \mathcal{A}\right) \) 上的范数为 1 的投影,则称 \( \mathcal{A} \) 是内射 \( {C}^{ * } \) 代数.
简单 \( {C}^{ * } \) 代数 (simple \( {C}^{ * } \) -algebra) 不含有非平凡理想的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数,如果除 0 和 \( \mathcal{A} \) 外, \( \mathcal{A} \) 不含有其他闭理想,则称 \( \mathcal{A} \) 是简单 \( {C}^{ * } \) 代数. 简单 \( {C}^{ * } \) 代数是有着基本重要性的一类 \( {C}^{ * } \) 代数.
一致超有限代数 (uniformly hyperfinite algebra) 一类性质较好的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 是含单位元 \( e \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数,如果存在 \( \mathcal{A} \) 的一列含 \( e \) 的有限维简单 \( {C}^{ * } \) 子代数 \( {\left\{ {\mathcal{A}}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,使得 \( {\mathcal{A}}_{1} \subset {\mathcal{A}}_{2} \subset \cdots \subset {\mathcal{A}}_{n} \subset \) ...且
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\mathcal{A}}_{n}
\]
在 \( \mathcal{A} \) 稠密,则称 \( \mathcal{A} \) 是一致超有限代数,也称为 UHF 代数.
UHF 代数 (UHF algebra) 即 “一致超有限代数”.
AF 代数 (AF algebra) UHF 代数概念的推广. 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数,如果 \( \mathcal{A} \) 含有一列有限维 \( {C}^{ * } \) 子代数 \( {\left\{ {\mathcal{A}}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,使得 \( {\mathcal{A}}_{1} \subset {\mathcal{A}}_{2} \subset \cdots \subset {\mathcal{A}}_{n} \subset \cdots \) 且
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\mathcal{A}}_{n}
\]
在 \( \mathcal{A} \) 中稠密,则称 \( \mathcal{A} \) 为 \( \mathrm{{AF}} \) 代数. UHF 代数必是 \( \mathrm{{AF}} \) 代数.
CCR 代数 (CCR algebra) 具有紧表示的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 为 \( {C}^{ * } \) 代数,如果对 \( \mathcal{A} \) 的每个不可约表示 \( \left( {H,\pi }\right) \) ,都有 \( \pi \left( \mathcal{A}\right) = \mathcal{K}\left( H\right) \) (即 \( H \) 上紧算子全体),则称 \( \mathcal{A} \) 是 CCR 代数. 每个有限维 \( {C}^{ * } \) 代数都是 CCR 代数. 如果把上述定义中的条件 “ \( \pi \left( \mathcal{A}\right) \) \( = \mathcal{K}\left( H\right) \) )” 放宽为 “ \( \pi \left( \mathcal{A}\right) \subset \mathcal{K}\left( H\right) \) ”,就得到 GCR 代数的概念.
GCR 代数 (GCR algebra) 见 “CCR 代数”.
本原 \( {C}^{ * } \) 代数 (primitive \( {C}^{ * } \) -algebra) 一类有着基本重要性的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数, \( \mathcal{A} \) 的任何一个不可约表示 \( \pi \) 的零空间 \( {\pi }^{-1}\left( 0\right) = \{ a \in \mathcal{A} \mid \) \( \pi \left( a\right) = 0\} \) 都是 \( \mathcal{A} \) 中的理想,称为 \( \mathcal{A} \) 的本原理想. 本原理想是研究非交换 \( {C}^{ * } \) 代数的重要工具. 如果 0 是 \( \mathcal{A} \) 的本原理想,则称 \( \mathcal{A} \) 是本原 \( {C}^{ * } \) 代数. 因而, \( \mathcal{A} \) 是本原 \( {C}^{ * } \) 代数的充分必要条件是 \( \mathcal{A} \) 有一个忠实不可约表示. 特普利茨代数是本原 \( {C}^{ * } \) 代数,但维数大于 1 的交换 \( {C}^{ * } \) 代数不是本原的.
## 本原理想 (primitive ideal) 见 “本原 \( {C}^{ * } \) 代数”.
素 \( {C}^{ * } \) 代数 (prime \( {C}^{ * } \) -algebra) 一种基本的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数, \( I \) 是 \( \mathcal{A} \) 中的闭理想. 如果 \( I \) 满足条件: 对 \( \mathcal{A} \) 中任何两个闭理想 \( {J}_{1},{J}_{2} \) ,只要 \( {J}_{1}{J}_{2} \subset I \) ,则必有 \( {J}_{1} \subset I \) 或者 \( {J}_{2} \subset I \) 成立,就称 \( I \) 是 \( \mathcal{A} \) 中的素理想. 本原理想一定是素的. 如果 \( {C}^{ * } \) 代数 \( \mathcal{A} \) 的零理想 0 是素的,也即 \( \mathcal{A} \) 的任何两个非零闭理想都有非零的交,则称 \( \mathcal{A} \) 是素 \( {C}^{ * } \) 代数. 本原 \( {C}^{ * } \) 代数一定是素 \( {C}^{ * } \) 代数.
\( {C}^{ * } \) 代数的素理想 (prime ideal of \( {C}^{ * } \) -algebra) 见“素 \( {C}^{ * } \) 代数”.
特普利茨代数 (Toeplitz algebra) 一种具体的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( T \) 为复平面上单位圆周, \( C\left( T\right) \) 是 \( T \) 上连续函数全体. 对于 \( \varphi \in C\left( T\right) \) ,设 \( {T}_{\varphi } \) 为 \( \varphi \) 导出的哈代空间 \( {H}^{2}\left( T\right) \) 上特普利茨算子. 由 \( \left\{ {{T}_{\varphi } \mid \varphi \in C\left( T\right) }\right\} \) 生成的 \( {C}^{ * } \) 代数就称为特普利茨代数,它是 \( {C}^{ * } \) 代数理论和算子理论的重要研究对象.
交换 \( {C}^{ * } \) 代数的表示 (representation of commutative \( {C}^{ * } \) -algebra) 交换 \( {C}^{ * } \) 代数到某紧豪斯多夫空间上连续函数空间的一种代数同构. 若 \( R \) 是有单位元 \( e \) 的交换 \( {C}^{ * } \) 代数,则 \( R \) 的盖尔范德表示 \( \Gamma : R \) \( \rightarrow C\left( \Omega \right) \) 是完全同构,即 \( \Gamma \) 是保持 * 运算的保范代数同构.
正线性泛函 (positive linear functional) 在正元上取非负值的线性泛函. 设 \( R \) 是有单位元 \( e \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数, \( x \in R \) . 如果 \( x = {x}^{ * } \) 且 \( \operatorname{Sp}\left( x\right) \subset \lbrack 0, + \infty ) \) ,则称 \( x \) 为 \( R \) 中的正元. 正元的全体记为 \( {R}^{ + } \) . 当 \( x, y \in \) \( {R}^{ + },\lambda \geq 0 \) 时,有 \( x + y \in {R}^{ + },{\lambda x} \in {R}^{ + } \) ,而 \( x, - x \in {R}^{ + } \) \( \Rightarrow x = 0 \) ,因此, \( {R}^{ + } \) 是 \( R \) 中的锥. \( {R}^{ + } \) 是闭集. 设 \( f \) 是 \( R \) 上的线性泛函,如果 \( f\left( {R}^{ + }\right) \subset \lbrack 0, + \infty ) \) ,则称 \( f \) 是 \( R \) 上的正线性泛函. 正线性泛函必是有界的,且
\[
\parallel f\parallel = f\left( e\right) \text{.}
\]
\( {C}^{ * } \) 代数中的正元 (positive element in \( {C}^{ * } \) -algebra) 见“正线性泛函”.
态 (state) 有单位元 \( {C}^{ * } \) 代数上的一类正线性泛函. 设 \( R \) 是含单位元 \( e \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数, \( R \) 上满足 \( f\left( e\right) \) \( = 1 \) 的正线性泛函 \( f \) 称为 \( R \) 上的态,其全体记为 \( \mathcal{S}\left( R\right) .\mathcal{S}\left( R\right) \) 是 \( {R}^{ * } \) 中的弱紧凸集, \( \mathcal{S}\left( R\right) \) 的端点称为 \( R \) 的纯态 (pure state),纯态的全体记为 \( \mathcal{P}\left( R\right) \) , 当 \( R \) 交换时,纯态就是 \( R \) 上的可乘线性泛函.
纯态 (pure state) 见“态”.
\( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射 (positive linear map on \( {C}^{ * } \) -algebra) 正元的像仍为正元的线性映射. 设 \( \mathcal{A},\mathcal{B} \) 是两个 \( {C}^{ * } \) 代数, \( \varphi : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} \) 为线性映射. 如果对每个正元 \( a \in \mathcal{A},\varphi \left( a\right) \) 都是 \( \mathcal{B} \) 中的正元,则称 \( \varphi \) 为正线性映射. 对于正整数 \( n,\mathcal{A} \) 上 \( n \) 阶矩阵全体记为 \( \mathcal{A} \otimes {M}_{n} = \left\{ {{\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n} \mid {a}_{ij} \in \mathcal{A}}\right\} \) ,它仍是 \( {C}^{ * } \) 代数. 令 \( {\varphi }_{n} : \mathcal{A} \otimes {M}_{n} \rightarrow \mathcal{B} \otimes {M}_{n} \) 为如下定义 |
2000_数学辞海（第3卷） | 87 | \) 代数上的一类正线性泛函. 设 \( R \) 是含单位元 \( e \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数, \( R \) 上满足 \( f\left( e\right) \) \( = 1 \) 的正线性泛函 \( f \) 称为 \( R \) 上的态,其全体记为 \( \mathcal{S}\left( R\right) .\mathcal{S}\left( R\right) \) 是 \( {R}^{ * } \) 中的弱紧凸集, \( \mathcal{S}\left( R\right) \) 的端点称为 \( R \) 的纯态 (pure state),纯态的全体记为 \( \mathcal{P}\left( R\right) \) , 当 \( R \) 交换时,纯态就是 \( R \) 上的可乘线性泛函.
纯态 (pure state) 见“态”.
\( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射 (positive linear map on \( {C}^{ * } \) -algebra) 正元的像仍为正元的线性映射. 设 \( \mathcal{A},\mathcal{B} \) 是两个 \( {C}^{ * } \) 代数, \( \varphi : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} \) 为线性映射. 如果对每个正元 \( a \in \mathcal{A},\varphi \left( a\right) \) 都是 \( \mathcal{B} \) 中的正元,则称 \( \varphi \) 为正线性映射. 对于正整数 \( n,\mathcal{A} \) 上 \( n \) 阶矩阵全体记为 \( \mathcal{A} \otimes {M}_{n} = \left\{ {{\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n} \mid {a}_{ij} \in \mathcal{A}}\right\} \) ,它仍是 \( {C}^{ * } \) 代数. 令 \( {\varphi }_{n} : \mathcal{A} \otimes {M}_{n} \rightarrow \mathcal{B} \otimes {M}_{n} \) 为如下定义的线性映射: \( {\varphi }_{n}\left( {\left( {a}_{ij}\right) }_{n \times n}\right) = {\left( \varphi \left( {a}_{ij}\right) \right) }_{n \times n} \) . 如果 \( {\varphi }_{n} \) 是正的,则称 \( \varphi \) 是 \( n \) 正的; 如果对每个正整数 \( n,\varphi \) 都是 \( n \) 正的,则称 \( \varphi \) 为完全正的. 当 \( \mathcal{B} \) 为复数域 \( \mathrm{C} \) 时, \( n \) 正线性映射和完全正线性映射分别称为 \( n \) 正线性泛函和完全正线性泛函. 正线性映射和完全正线性映射是研究 \( {C}^{ * } \) 代数理论的重要工具.
\( \mathbf{n} \) 正线性映射 ( \( n \) -positive linear map) 见 “ \( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射”.
完全正线性映射 (completely positive linear map) 见“ \( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射”.
\( n \) 正线性泛函 ( \( n \) -positive linear functional) 见“ \( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射”.
完全正线性泛函 (completely positive linear functional) 见“ \( {C}^{ * } \) 代数上正线性映射 ”.
迹正线性泛函 (tracial positive linear funtio-nal) \( {C}^{ * } \) 代数上一类具有类似于矩阵迹性质的正线性泛函. 设 \( \varphi \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数 \( \mathcal{A} \) 上正线性泛函,如果对任意 \( a \in \mathcal{A} \) 都有 \( \varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = \varphi \left( {a{a}^{ * }}\right) \) 成立 (或等价地,对任意 \( b, c \in \mathcal{A} \) 都有 \( \varphi \left( {bc}\right) = \varphi \left( {cb}\right) \) 成立),则称 \( \varphi \) 是迹正线性泛函或 \( \varphi \) 是迹的. 进而,当 \( \varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = 0 \) 蕴涵 \( a = 0 \) 时,称 \( \varphi \) 是忠实的迹正线性泛函. 这个概念也可推广到正线性映射的情形.
\( {C}^{ * } \) 代数的表示 (representation of \( {C}^{ * } \) -algebra) \( {C}^{ * } \) 代数到某希尔伯特空间上的算子代数的同态. 设 \( R \) 是有单位元 \( e \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数, \( H \) 是希尔伯特空间. 若存在 \( R \) 到 \( H \) 上的有界线性算子全体 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 中的代数同态 \( \psi \) ,满足 \( \psi \left( e\right) = 1,\psi \left( {x}^{ * }\right) = {\left( \psi \left( x\right) \right) }^{ * } \) , 则称 \( \psi \) 是 \( R \) 在 \( H \) 上的表示. 如果 \( \psi \) 是一一对应, 则称 \( \psi \) 是忠实的表示. 如果存在 \( \xi \in H \) ,使 \( \{ \psi \left( x\right) \xi \mid \) \( x \in R\} \) 在 \( H \) 中稠密,则称 \( \psi \) 是循环表示,而相应的 \( \xi \) 称为循环向量. 忠实表示必是保范的. 对于 \( R \) 及 \( R \) 的态 \( \varphi \) ,必存在希尔伯特空间 \( {H}_{\varphi } \) ,向量 \( {\xi }_{\varphi } \in {H}_{\varphi } \) 以及 \( R \) 在 \( {H}_{\varphi } \) 上的表示 \( {\psi }_{\varphi } \) ,使 \( {\psi }_{\varphi } \) 是以 \( {\xi }_{\varphi } \) 为循环向量的循环表示,而且还满足 \( \varphi \left( x\right) = \left( {{\psi }_{\varphi }\left( x\right) {\xi }_{\varphi },{\xi }_{\varphi }}\right) \) ,这就是 GNS 构造. 由此可知, 必存在希尔伯特空间 \( H \) 和 \( \psi \) ,使 \( \psi \) 是 \( R \) 在 \( H \) 上的忠实表示.
态与 GNS 构造是 \( {C}^{ * } \) 代数中最重要的部分,并且它们还有重要的物理意义. 如果 \( {C}^{ * } \) 代数相应于量子系统的观察量代数, 那么态就是量子系统的状态,而公式 \( \varphi \left( x\right) = \left( {{\psi }_{\varphi }\left( x\right) {\xi }_{\varphi },{\zeta }_{\varphi }}\right) \) 恰为观察量 \( x \) 在状态 \( \varphi \) 中的期望值.
\( {C}^{ * } \) 代数的忠实表示 (faithful representation of \( {C}^{ * } \) -algebra) 见 “ \( {C}^{ * } \) 代数的表示”.
\( {C}^{ * } \) 代数的循环表示 (cyclic representation of \( {C}^{ * } \) -algebra) 见 “ \( {C}^{ * } \) 代数的表示”.
GNS 构造 (GNS-structure) 见 “ \( {C}^{ * } \) 代数的表示”.
自伴算子代数 (self-adjoint operator algebra) 希尔伯特空间上对算子取共轭运算封闭的算子代数. 设 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 为希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子全体, \( \mathcal{A} \) 为 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的一个子代数. 如果 \( T \in \mathcal{A} \) \( \Rightarrow {T}^{ * } \in \mathcal{A} \) ,则称 \( \mathcal{A} \) 为自伴算子代数或 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的自伴子代数. 自伴算子代数是巴拿赫 * 代数.
冯·诺伊曼代数 (von Neumann algebra) 亦称弱闭对称算子环. 一类由算子构成的弱闭的 \( {C}^{ * } \) 代数. 令 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 为希尔伯特空间 \( H \) 上有界线性算子全体所成的 \( {C}^{ * } \) 代数,其中 * 运算为取共轭. 如果 \( \mathcal{M} \) 是 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的含恒等算子 \( I \) 的巴拿赫 * 子代数 (即自伴子代数),且关于 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的弱算子拓扑是闭的,则称 \( \mathcal{M} \) 为冯. 诺伊曼代数,常简称 v. N. 代数 (关于算子范数拓扑为闭的巴拿赫 * 子代数是 \( {C}^{ * } \) 代数). \( \mathcal{M} \) 成为冯·诺伊曼代数,当且仅当下列条件之一成立:
1. \( \mathcal{M} \) 是含 \( I \) 的巴拿赫 * 子代数,关于强算子拓扑为闭.
2. \( \mathcal{M} \) 是含 \( I \) 的 \( {C}^{ * } \) 代数,且作为巴拿赫空间, 它是某个巴拿赫空间的共轭空间.
冯·诺伊曼代数是冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 等人于 1935 年开始研究的一类算子环, 他们得到完整而深入的结果, 后人为纪念这一数学理论的奠基者, 就以他的名字来命名这类算子环.
注: 有些文献把冯·诺伊曼代数定义为 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 中弱 (强) 闭自伴子代数 (不必含恒等算子 \( I \) ).
弱闭对称算子环 (weakly closed symmetric operator ring) 即“冯·诺伊曼代数”.
\( {W}^{ * } \) 代数 \( \left( {{W}^{ * }\text{-algebra }}\right) \) 可表示为冯·诺伊曼代数的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( M \) 是 \( {C}^{ * } \) 代数,如果存在巴拿赫空间 \( {M}_{ * } \) ,使 \( M = {\left( {M}_{ * }\right) }^{ * } \) ,即 \( M \) 是 \( {M}_{ * } \) 的共轭空间,则称 \( M \) 为 \( {W}^{ * } \) 代数. 冯・诺伊曼代数必为 \( {W}^{ * } \) 代数.
卡尔金代数 (Calkin algebra) 有单位元的 \( {C}^{ * } \) 代数. 设 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 是无限维希尔伯特空间 \( H \) 上有界线性算子全体构成的冯·诺伊曼代数, \( \mathcal{K}\left( H\right) \) 为 \( H \) 上的紧线性算子全体, \( \mathcal{K}\left( H\right) \) 是 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 中惟一非零按算子范数闭的真双侧理想, 商代数 \( \mathcal{B}\left( H\right) /\mathcal{K}\left( H\right) \) 称为卡尔金代数. 令 \( \pi \) 为 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 到 \( \mathcal{B}\left( H\right) /\mathcal{K}\left( H\right) \) 的商映射,则对 \( T \in \mathcal{B}\left( H\right) ,\pi \left( T\right) \) 是 \( \mathcal{B}\left( H\right) /\mathcal{K}\left( H\right) \) 中可逆元当且仅当 \( T \) 是弗雷德霍姆算子. 记 \( {\sigma }_{e}\left( T\right) = \operatorname{Sp}\pi \left( T\right) \) ,称 \( {\sigma }_{e}\left( T\right) \) 为 \( T \) 的本质谱, 它是算子紧扰动理论的重要概念.
本质谱 (essential spectrum) 见 “卡尔金代数”.
极大交换自伴代数 (maximal abelian self-adjoint algebra) 一类冯·诺伊曼代数. 不能真正包含在任何交换冯·诺伊曼代数中的交换冯·诺伊曼代数称为极大交换自伴代数.
超有限代数 (hyperfinite algebra) 一类重要的冯·诺伊曼代数. 设 \( \mathcal{M} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上的冯·诺伊曼代数,如果在 \( \mathcal{M} \) 中存在弱稠密的 \( {C}^{ * } \) 子代数 \( \mathcal{A} \) ,使得 \( \mathcal{A} \) 是 UHF 代数且恒等算子 \( I \) 就是 \( \mathcal{A} \) 的单位元,则称 \( \mathcal{M} \) 是超有限代数. \( H \) 上的有界线性算子全体构成的代数 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 就是超有限的.
二次换位定理 (double commutation theorem) 指出冯·诺伊曼代数与其二次换位之间的相等关系. 设 \( \mathcal{M} \subset \mathcal{B}\left( H\right) \) 是冯·诺伊曼代数,则 \( \mathcal{M} \) 与 \( \mathcal{M} \) 的二次换位 \( {\mathcal{M}}^{\prime \prime } \) 相等 ( \( {\mathcal{M}}^{\prime } \) 表示 \( \mathcal{M} \) 的换位),即 \( \mathcal{M} = {\mathcal{M}}^{\prime \prime } \) . 此结果称为冯・诺伊曼代数的二次换位定理. 这是冯·诺伊曼对以他命名的算子环进行研究的主要工具之一.
卡普兰斯基稠密性定理 (Kaplansky's density theorem) 关于 \( {C}^{ * } \) 代数的单位球在它生成的冯. 诺伊曼代数的单位球中稠密的定理. 该定理断言: 若 \( \mathcal{A} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 上有界线性算子全体 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的含 \( I \) 的巴拿赫 * 子代数,则 \( \mathcal{A} \) 关于弱算子拓扑 (或强算子拓扑) 的闭包 \( \mathcal{M} \) 是冯·诺伊曼代数. 记 \( {\mathcal{A}}_{1},{\mathcal{M}}_{1} \) 分别为 \( \mathcal{A} \) 和 \( \mathcal{M} \) 的单位球 (即范数 \( \leq 1 \) 的元全体),则 \( \mathcal{A} \) 关于弱 (或强) 算子拓扑在 \( {\mathcal{M}}_{1} \) 中稠密.
迹 (trace) 矩阵迹概念的推广. 设 \( \mathcal{M} \) 是冯. 诺伊曼代数, \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 为属于 \( \mathcal{M} \) 的正算子全体,如果 \( \operatorname{tr}\left( A\right) \) 是 \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 上的非负实值 (不恒为 0,可以取值 \( + \infty ) \) 泛函,满足:
\[
\text{1.}\operatorname{tr}\left( {A + B}\right) = \operatorname{tr}\left( A\right) + \operatorname{tr}\left( B\right) \text{;}
\]
2. 当 \( \lambda \geq 0 \) 时, \( \operatorname{tr}\left( {\lambda A}\right) = \lambda \operatorname{tr}\left( A\right) \) ;
3. 对于 \( \mathcal{M} \) 内的任意酉算子 \( V \) ,有
\[
\operatorname{tr}\left( {{VA}{V}^{ * }}\right) = \operatorname{tr}\left( A\right) \;\left( {A \in {\mathcal{M}}^{ + }}\right) ;
\]
则称 \( \operatorname{tr}\left( \cdot \right) \) 是 \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 上的迹. 若对一切 \( A \in {\mathcal{M}}^{ + } \) ,有 \( \operatorname{tr}\left( A\right) < + \infty \) ,则称 \( \operatorname{tr} \) 为有限迹; 若对使得 \( \operatorname{tr}\left( A\right) = \) \( + \infty \) 的任一 \( A \in {\mathcal{M}}^{ + } \) ,必有 \( B \in {\mathcal{M}}^{ + } \) ,使 \( A \geq B \neq 0 \) , 而且 \( \operatorname{tr}\left( B\right) < + \infty \) ,则称 \( \operatorname{tr}\left( \cdot \right) \) 是半有限迹; 若当 \( \left\{ {A}_{a}\right\} \) 为 \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 的向上有向族,且 \( A \) 为此族的上确界时,总有 \( \operatorname{tr}\left( A\right) = \sup \operatorname{tr}\left( {A}_{a}\right) \) ,则称 \( \operatorname{tr} \) 为正规迹.
有限迹 (finit trace) 见 “迹”.
半有限迹 (semi-finite trace) 见 “迹”.
正规迹 (normal trace) 见 “迹”.
冯・诺伊曼代数的分类 (classification of von Neumnn algebra) 对冯·诺伊曼代数进行分类, 有如下几种. 当冯·诺伊曼代数 \( \mathcal{M} \) 不存在半有限正规迹时,称 \( \mathcal{M} \) 为纯无限冯·诺伊曼代数,或 III 型 v. N. 代数. 与此相反,当对任一 \( A \in {\mathcal{M}}^{ + }, A \) \( \neq 0 \) ,存在半有限正规迹 \( \operatorname{tr}\left( A\right) \neq 0,\operatorname{tr}\left( A\right) \neq + \infty \) 时,就称 \( \mathcal{M} \) 为半有限 v. N. 代数. 特别地,当存在有限正规迹 \( \operatorname{tr} \) ,使得 \( \operatorname{tr}\left( A\right) \neq 0 \) 时,就称 \( \mathcal{M} \) 为有限 v. N. 代数. 交换的 v. N. 代数是有限的.
设 \( E \) 是 \( \mathcal{M} \) 的非零投影算子,当属于 \( E\mathcal{M}E = \) \( \{ {EAE} \mid A \in \mathcal{M}\} \) 的任意两个算子都可以交换时,称 \( E \) 为阿贝尔投影算子. 当 \( \mathcal{M} \) 含有一个阿贝尔投影算子 \( E \) ,且对属于 \( \mathcal{M} \) 的中心 \( \mathcal{C} = \mathcal{M} \cap {\mathcal{M}}^{\prime }\left( {\mathcal{M}}^{\prime }\right. \) 是 \( \mathcal{M} \) 的换位) 中的投影算子 \( P \) ,只有当 \( P = 1 \) 才满足 \( E \leq P \) 时,就称 \( \mathcal{M} \) 为 I 型 v. N. 代数. 此时, \( \mathcal{M} \) 是有限的或半有限的,当 \( \mathcal{M} \) 是有限或半有限,且不含有任一阿贝尔投影算子时,就称 \( \mathcal{M} \) 是 II 型 v. N. 代数.
纯无限冯・诺伊曼代数 (pure-infinite v. N. algebra) 见 “冯·诺伊曼代数的分类”.
半有限冯·诺伊曼代数 (semi-finite v. N. algebra) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
有限冯·诺伊曼代数 (finite v. N. algebra) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
冯·诺伊曼代数的中心 (center of v. N. |
2000_数学辞海（第3卷） | 88 | 规迹 \( \operatorname{tr}\left( A\right) \neq 0,\operatorname{tr}\left( A\right) \neq + \infty \) 时,就称 \( \mathcal{M} \) 为半有限 v. N. 代数. 特别地,当存在有限正规迹 \( \operatorname{tr} \) ,使得 \( \operatorname{tr}\left( A\right) \neq 0 \) 时,就称 \( \mathcal{M} \) 为有限 v. N. 代数. 交换的 v. N. 代数是有限的.
设 \( E \) 是 \( \mathcal{M} \) 的非零投影算子,当属于 \( E\mathcal{M}E = \) \( \{ {EAE} \mid A \in \mathcal{M}\} \) 的任意两个算子都可以交换时,称 \( E \) 为阿贝尔投影算子. 当 \( \mathcal{M} \) 含有一个阿贝尔投影算子 \( E \) ,且对属于 \( \mathcal{M} \) 的中心 \( \mathcal{C} = \mathcal{M} \cap {\mathcal{M}}^{\prime }\left( {\mathcal{M}}^{\prime }\right. \) 是 \( \mathcal{M} \) 的换位) 中的投影算子 \( P \) ,只有当 \( P = 1 \) 才满足 \( E \leq P \) 时,就称 \( \mathcal{M} \) 为 I 型 v. N. 代数. 此时, \( \mathcal{M} \) 是有限的或半有限的,当 \( \mathcal{M} \) 是有限或半有限,且不含有任一阿贝尔投影算子时,就称 \( \mathcal{M} \) 是 II 型 v. N. 代数.
纯无限冯・诺伊曼代数 (pure-infinite v. N. algebra) 见 “冯·诺伊曼代数的分类”.
半有限冯·诺伊曼代数 (semi-finite v. N. algebra) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
有限冯·诺伊曼代数 (finite v. N. algebra) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
冯·诺伊曼代数的中心 (center of v. N. algebra) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
I 型冯・诺伊曼代数 (v. N. algebra of type I ) 见 “冯·诺伊曼代数的分类”.
II 型冯·诺伊曼代数 (v. N. algebra of type II ) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
III 型冯·诺伊曼代数 (v. N. algebra of type III ) 见“冯·诺伊曼代数的分类”.
阿贝尔投影 (Abel projection) 见 “冯·诺伊曼代数的分类”.
冯·诺伊曼代数的分解 (decomposation of \( \mathrm{v} \) . N. algebra) 关于冯·诺伊曼代数分解的一个重要命题. 设 \( \mathcal{M} \subset \mathcal{D}\left( H\right) \) 是冯·诺伊曼代数,则在 \( \mathcal{M} \) 的中心 \( \mathcal{C} = \mathcal{M} \cap {\mathcal{M}}^{\prime } \) 内存在互相正交的投影算子 \( {E}_{1},{E}_{1},{E}_{\mathrm{{II}}} \) ,使得 \( {E}_{1} + {E}_{\mathrm{I}} + {E}_{\mathrm{I}} = I \) ,并且 \( {E}_{1}\mathcal{M},{E}_{1}\mathcal{M},{E}_{1}\mathcal{M} \) 分别是 \( {E}_{1}H,{E}_{1}H,{E}_{1}H \) 上的 I 型, II 型, II 型 v. N. 代数, 这样的分解是惟一的. 通过这种分解, 对于一般冯 - 诺伊曼代数的讨论就可化简为分别对 I 型、II 型和 II 型冯·诺伊曼代数的讨论.
因子 (factor) 一类冯·诺伊曼代数. 设 \( \mathcal{M} \) 是冯·诺伊曼代数,如果中心 \( \mathcal{C} = \mathcal{M} \cap {\mathcal{M}}^{\prime } \) \( = \{ {\lambda I}\} \) ,则称 \( \mathcal{M} \) 是一个因子. 因子的分类为 \( {\mathrm{I}}_{n} \) 型 \( \left( {n = + \infty ,1,2,\cdots }\right) ,{\mathbb{I}}_{1} \) 型 (即 \( \mathbb{I} \) 型且有限), \( {\mathbb{I}}_{\infty } \) 型 (即 II 型且不是有限) 和 III 型因子, \( {\mathrm{I}}_{n} \) 型因子同构于一个 \( n \) 维希尔伯特空间 \( {H}_{n} \) 上有界线性算子全体构成的代数 \( \mathcal{B}\left( {H}_{n}\right) \) . 冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 等人所提 v. N. 代数的约化理论是把任何 v. N. 代数的研究归结为对因子的研究.
\( {\mathrm{I}}_{n} \) 型因子 (factor of type \( {\mathrm{I}}_{n} \) ) 见 “因子”.
\( {\mathbb{I}}_{1} \) 型因子 (factor of type \( {\mathbb{I}}_{1} \) ) 见“因子”.
\( {\mathbb{I}}_{\infty } \) 型因子 (factor of type \( {\mathbb{I}}_{\infty } \) ) 见 “因子”.
III 型因子 (factor of type II ) 见 “因子”.
等价的投影 (equivalent projections) 冯·诺伊曼代数中投影算子之间的一种关系. 设 \( P, Q \) 是冯·诺伊曼代数 \( \mathcal{M} \) 中的两个投影算子,如果存在 \( \mathcal{M} \) 中的一个部分等距算子 \( V \) 使得 \( P = {V}^{ * }V, Q = \) \( V{V}^{ * } \) ,则称 \( P, Q \) 在 \( \mathcal{M} \) 中等价,记为 \( P \sim Q \) . \( \sim \) 是 \( \mathcal{M} \) 的投影算子全体所成的子集中的一个等价关系.
投影的比较 (comparison of projections) 冯
- 诺伊曼代数中的两个投影之间的比较. 设 \( P, Q \) 是冯·诺伊曼代数 \( \mathcal{M} \) 中的两个投影,如果有 \( {PQ} \) \( = 0 \) ,则称 \( P \) 垂直于 \( Q \) ,记为 \( P \bot Q \) ,如果 \( {PQ} = Q \) , 则称 \( P \) 大于 \( Q \) (或 \( Q \) 小于 \( P \) ),记为 \( P \geq Q \) (或 \( Q \) \( \leq P) \) ; 如果存在投影 \( {Q}_{0} \in \mathcal{M} \) 使得 \( P \sim {Q}_{0} \geq Q \) (参见“等价的投影”),则称 \( P \) 比 \( Q \) 强 (或 \( Q \) 比 \( P \) 弱), 记为 \( P \geq Q \) (或 \( Q \preccurlyeq P \) ). “ \( \geq \) ” 是一个半序关系, 且当 \( \mathcal{M} \) 是因子时, \( P \leq Q, Q \leq P \) 中至少有一个成立.
有限投影 (finite projection) 冯·诺伊曼代数中的一类投影算子. 设 \( P \) 是冯·诺伊曼代数 \( \mathcal{M} \) 中的投影, \( P \) 称为是有限的 (分别地,半有限的、纯无限的、无限的),如果代数 \( {\mathcal{M}}_{P} = P\mathcal{M}P \) 是有限的 (分别地, 半有限的、纯无限的、无限的).
半有限投影 (semi-finite projection) 见 “有限投影”.
纯无限投影 (purely infinite projection) 见 “有限投影”.
无限投影 (infinite projection) 见 “有限投影”.
相对维数函数 (relative dimension function) 一种投影算子的函数. 设 \( \mathcal{M} \) 是一个因子, \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 是 \( \mathcal{M} \) 的正元全体, \( \Phi \) 是 \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 上的一个忠实正规迹. 当 \( \mathcal{M} \) 是纯无限时, \( \Phi \) 在 \( {\mathcal{M}}^{ + } \) 的非零元处的值恒为 \( + \infty \) ; 当 \( \mathcal{M} \) 是半有限时,要求 \( \Phi \) 也是半有限的,这样的 \( \Phi \) 除去一个常数因子 \( \lambda \left( {0 < \lambda < + \infty }\right) \) 外是惟一的. 记 \( M \) 为 \( \mathcal{M} \) 的投影算子之集合, \( \Phi \) 到 \( M \) 上的限制称为相对维数函数,通常记为 \( D \) . 相对维数函数具有下述性质:
1. 如 \( P \) 是有限投影,则 \( D\left( P\right) < + \infty \) .
2. 如 \( P \) 是无限投影,则 \( D\left( P\right) = + \infty \) .
3. 如 \( P, Q \) 是两个有限投影使得 \( D\left( P\right) \) \( = D\left( Q\right) \) (或 \( D\left( P\right) \leq D\left( Q\right) \) ),则 \( P \sim Q \) (或 \( P \leq Q \) ).
将相对维数函数 \( D \) 乘上适当的常数, \( D \) 的值域 \( \mathcal{D} \) 可以取作如下集合:
1. 如果 \( \mathcal{M} \) 是 \( {\mathrm{I}}_{n} \) 型, \( n \) 为有限 (或 \( n = + \infty \) ),则 \( \mathcal{D} = \{ 0,1,2,\cdots, n\} \) (或 \( \mathcal{D} = \{ 0,1,2,\cdots , + \infty \} ) \) . 当 \( \mathcal{M} = \mathcal{B}\left( H\right) \) 时,即 \( \mathcal{M} \) 为希尔伯特空间 \( H \) 上的有界线性算子全体时,则 \( D\left( P\right) = \dim P\left( H\right) \) ,这里把所有无穷基数都视为 \( + \infty \) .
2. 若 \( \mathcal{M} \) 是 \( {\mathbb{I}}_{1} \) 型的,则 \( \mathcal{D} \) 是区间 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) .
3. 若 \( \mathcal{M} \) 是 \( \mathbb{I} \) 。型的,则 \( \mathcal{D} \) 是区间 \( \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) .
4. 若 \( \mathcal{M} \) 是 \( \mathbb{{II}} \) 型的,则 \( \mathcal{D} = \{ 0, + \infty \} \) .
由于相对维数函数值域的情况与因子的分类相一致, 所以因子分类又称维数理论, 这是冯·诺伊曼 (von Neumann, J. ) 等人于 20 世纪 30 年代作出的.
三角算子代数 (triangular operator algebra) 三角矩阵代数在无限维情形的推广. 设 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 为希尔伯特空间 \( H \) 上有界线性算子全体构成的冯. 诺伊曼代数, \( \mathcal{A} \) 是 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的子代数. 记 \( {\mathcal{A}}^{ * } = \) \( \left\{ {{a}^{ * } \mid a \in \mathcal{A}}\right\} \) . 如果 \( \mathcal{A} \cap {\mathcal{A}}^{ * } \) 是极大交换自伴代数,就称 \( \mathcal{A} \) 是三角算子代数,而 \( \mathcal{A} \cap {\mathcal{A}}^{ * } \) 称为 \( \mathcal{A} \) 的对角. 三角算子代数是凯得森 (Kadison, R. V. ) 和辛格 (Singer, I. M. ) 于 1960 年引入的, 此后便成为非自伴算子代数理论的重要研究对象.
套代数 (nest algebra) 一类重要的非自伴算子代数. 设 \( \mathcal{N} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 中的一个闭子空间链 (即按包含关系成为全序的闭子空间族). 如果 0 和 \( H \in \mathcal{N} \) ,且 \( \mathcal{N} \) 关于空间的相交及闭线性张运算封闭 (即 \( \left\{ {{N}_{a} \subset N}\right\} \) 蕴涵 \( \mathop{\bigcap }\limits_{a}{N}_{a} \in \mathcal{N},\overline{\mathop{\bigcup }\limits_{a}{N}_{a}} \in \) \( \mathcal{N} \) ),则称 \( \mathcal{N} \) 是 \( H \) 的一个子空间套. 令 \( {\mathcal{A}}_{r} = \{ T \) \( \in \mathcal{B}\left( H\right) \mid {TN} \subset N \) 对所有 \( N \in \mathcal{N}\} \) ,则 \( {\mathcal{A}}_{r} \) 是 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 的弱闭子代数,称为套代数,或确切地,由子空间套 \( \mathcal{N} \) 确定的套代数. 套代数是自反算子代数且其不变子空间格 \( \operatorname{Lat}\mathcal{A}\left( { = \mathcal{N}}\right) \) 是全序的. 套代数是韧格罗斯 (Ringrose, J. R. ) 于 1965 年引入的, 现在已发展成为系统的理论分支.
自反算子代数 (reflexive operator algebra) 一类重要的非自伴算子代数. 设 \( \mathcal{F} \) 是希尔伯特空间 \( H \) 的一族闭子空间,令 \( \operatorname{Alg}\mathcal{F} = \{ T \in \mathcal{B}\left( H\right) \mid \) \( \mathcal{F} \subset \operatorname{Lat}T\} \) ,则 \( \operatorname{Alg}\mathcal{F} \) 是包含恒等算子 \( I \) 的弱闭算子代数. 设 \( \mathcal{A} \) 是 \( \mathcal{B}\left( H\right) \) 中的子代数,一般情况下有 \( \mathcal{A} \subset \operatorname{Alg}\operatorname{Lat}\mathcal{A} \) 成立. 如果等式成立,即如果 \( \mathcal{A} = \operatorname{Alg}\operatorname{Lat}\mathcal{A} \) ,则称 \( \mathcal{A} \) 为自反算子代数. 自反算子代数是非自伴算子代数理论的重要研究对象, 是由雷加维 (Radjavi, H. ) 和罗森塔尔 (Rosenthal, H. P. ) 于 1968 年引入的.
拓扑代数 (topological algebra) 巴拿赫代数的推广,是一类特殊的拓扑线性空间. 设 \( R \) 是实或复的线性空间且 \( R \) 是环,若有 \( R \) 上的拓扑 \( T \) 使得 \( \left( {R, T}\right) \) 成为拓扑线性空间且使得 \( R \) 中乘法连续, 则称 \( \left( {R, T}\right) \) 为拓扑代数. 若 \( \left( {R, T}\right) \) 是拓扑代数且为局部凸 (局部有界) 的拓扑线性空间,就称 \( \left( {R, T}\right) \) 为局部凸 (局部有界) 的拓扑代数. 对 \( R \) 中的子集 \( V \) , 若有 \( {VV} = \{ {uv} \mid u, v \in V\} \subset V \) ,则称 \( V \) 是幂等集. \( R \) 中幂等的凸集称为是 \( m \) 凸集. 若拓扑代数 \( \left( {R, T}\right) \) 存在一族平衡、 \( m \) 凸的零元邻域基,则称它为局部 \( m \) 凸的拓扑代数. 虽然很早就有了关于拓扑代数的工作, 但普遍认为迈克尔 (Michael, E. ) 1952 年关于局部 \( m \) 凸拓扑代数的工作为其奠定了基础.
局部凸拓扑代数 (locally convex topological algebra) 见“拓扑代数”.
局部有界拓扑代数 (locally bounded topological algebra) 见“拓扑代数”.
局部 \( m \) 凸拓扑代数 (locally \( m \) convex topological algebra) 见“拓扑代数”.
## 非线性算子
非线性算子 (nonlinear operator) 亦称非线性映射. 狭义上讲, 是指线性空间中不是线性的算子; 广义上讲, 是指不必是线性的算子, 这时线性算子可视为非线性算子的特例. 对于非线性空间 (如一般的巴拿赫流形或度量空间)上的算子, 由于已无线性可言, 因此也归于非线性算子的范畴.
有限维空间中的非线性算子属于经典数学分析的研究对象. 这里所说的非线性算子通常是指无穷维空间 (或无穷维流形)上的算子. 非线性算子来源于自然科学与工程技术中的大量非线性现象. 各类非线性微分算子与积分算子为抽象的非线性算子提供了基本素材.
非线性算子的研究渊源很久, 但真正使非线性算子理论成为一个独立的数学分支通常被认为是以弗雷歇 (Fréchet, M.-R. ) 在 20 世纪 20 年代关于无穷维微分学的奠基性工作作为标志. 20 世纪 20 年代的巴拿赫压缩映射原理及 20 世纪 30 年代勒雷 (Leray, J. ) 和绍德尔 (Schauder, J. P. ) 关于全连续映射的理论显示了非线性算子理论的巨大功用与生命力. 自 20 世纪 60 年代以来, 这一理论更是迅速地向纵深发展, 从而为研究与解决各种重要的非线性问题提供了越来越多的有用的工具与方法.
## 非线性映射 (nonlinear mapping) 见“非线性算子”.
映射的连续性 (continuity of mapping) 映射的连续性概念在无穷维赋范线性空间的情形具有多样性, 这是由无穷维赋范线性空间中拓扑的多样性所引起的. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是 (实) 赋范线性空间, \( D \subset \) \( X, f : D \rightarrow Y \) 是映射. 分别指定了 \( X \) 与 \( Y \) 中的某种拓扑 (如强拓扑也即范数拓扑, 或弱拓扑, 在共轭空间中还有弱 * 拓扑等),就相应有映射 \( f \) 的某种连续性概念. 如果在 \( X \) 与 \( Y \) 中都取强拓扑时 \( f \) 是连续的,则称映射 \( f : D \rightarrow Y \) 是从强拓扑到强拓扑连续的,或称 \( f \) 是强-强连续的,这时也简称 \( f \) 是连续的. 类似地,对映射 \( f \) 可定义弱-弱连续,强-弱连续, 弱-强连续等概念.
连续映射 (continuous mapping) 通常是指从强拓扑到强拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
弱连续映射 (weakly continuous mapping) 是指从弱拓扑到弱拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
次连续映射 (semicontinuous mapping) 是指从强拓扑到弱拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
强连续映射(strongly continuous mapping) 是指从弱拓扑到强拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
映射的依序列连续性 (sequence continuity of mapping) 是指映射在序列意义下的连续性. 对于一般的拓扑空间 \( X \) 与 \( Y \) 间的映射 \( f : X \rightarrow Y \) ,若 \( f \) 在点 \( {x}_{0} \in X \) 满足条件: \( {x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \Rightarrow f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow f\left( {x}_{0}\right) \) ,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 依序列连续. 若 \( f \) 在 \( X \) 中每点均依序列连续,则称 \( f \) 在 \( X \) 上依序列连续. 在一般拓扑空间中, 连续蕴涵着依序列连续, 反之不真. 在度量空间中二者等价. 现设 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间, \( D \subset X \) , \( f : D \rightarrow Y \) 是映射, \( {x}_{0} \in D \) . 视对 \( X \) 与 \( Y \) 中拓扑的不同选取,可得到 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的多种依序列连续的概念. 如,依序列强-强连续 \( \left( {{x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \Rightarrow f\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 89 | f : D \rightarrow Y \) 是从强拓扑到强拓扑连续的,或称 \( f \) 是强-强连续的,这时也简称 \( f \) 是连续的. 类似地,对映射 \( f \) 可定义弱-弱连续,强-弱连续, 弱-强连续等概念.
连续映射 (continuous mapping) 通常是指从强拓扑到强拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
弱连续映射 (weakly continuous mapping) 是指从弱拓扑到弱拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
次连续映射 (semicontinuous mapping) 是指从强拓扑到弱拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
强连续映射(strongly continuous mapping) 是指从弱拓扑到强拓扑连续的映射. 见 “映射的连续性”.
映射的依序列连续性 (sequence continuity of mapping) 是指映射在序列意义下的连续性. 对于一般的拓扑空间 \( X \) 与 \( Y \) 间的映射 \( f : X \rightarrow Y \) ,若 \( f \) 在点 \( {x}_{0} \in X \) 满足条件: \( {x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \Rightarrow f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow f\left( {x}_{0}\right) \) ,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 依序列连续. 若 \( f \) 在 \( X \) 中每点均依序列连续,则称 \( f \) 在 \( X \) 上依序列连续. 在一般拓扑空间中, 连续蕴涵着依序列连续, 反之不真. 在度量空间中二者等价. 现设 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间, \( D \subset X \) , \( f : D \rightarrow Y \) 是映射, \( {x}_{0} \in D \) . 视对 \( X \) 与 \( Y \) 中拓扑的不同选取,可得到 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的多种依序列连续的概念. 如,依序列强-强连续 \( \left( {{x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \Rightarrow f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow f\left( {x}_{0}\right) }\right) \) ; 依序列弱-强连续 \( \left( {{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0} \Rightarrow f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow f\left( {x}_{0}\right) }\right) \) ; 依序列强-弱连续 \( \left( {{x}_{n} \rightarrow {x}_{0} \Rightarrow f\left( {x}_{n}\right) \overset{w}{ \rightarrow }f\left( {x}_{0}\right) }\right) \) ; 依序列弱-弱连续 \( \left( {{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0} \Rightarrow f\left( {x}_{n}\right) \overset{w}{ \rightarrow }f\left( {x}_{0}\right) }\right) \) . 这里 \( \rightarrow \) 与 \( \overset{w}{ \rightarrow } \) 分别表示序列的强收敛与弱收敛. 其中, 依序列强-强连续也简称依序列连续, 它与 (强-强) 连续等价; 依序列强-弱连续与强-弱连续即次连续等价; 依序列弱- 弱连续亦称为依序列弱连续, 它不蕴涵弱连续; 依序列弱-强连续亦称为依序列强连续, 它不蕴涵强连续.
有限连续映射 (finitely continuous mapping) 限制在定义域的每个有限维线性子空间上是连续的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间, \( D \subset X, f : D \rightarrow \) \( Y,{x}_{0} \in D \) . 若对于 \( X \) 的每个包含 \( {x}_{0} \) 的有限维线性子空间 \( E \) ,映射
\[
{\left. f\right| }_{D \cap E} : D \cap E \rightarrow Y
\]
在 \( {x}_{0} \) 是连续的,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 为有限连续. 若 \( f \) 在 \( D \) 中每点均为有限连续,则称 \( f \) 在 \( D \) 上有限连续. 当 \( X \) 为有限维空间时,有限连续与连续等价. 若在 \( Y \) 中取弱拓扑,则相应地可得到有限弱连续映射的概念.
有限 \( n \) 连续映射 (finitely \( n \) -continuous mapping) 限制在定义域中过每点的 \( n \) 维线性流形上是连续的映射,这里 \( n \) 是某个固定的正整数. 设 \( f : D \subset X \rightarrow Y,{x}_{0} \in D \) . 若对于 \( X \) 的每个 \( n \) 维线性子空间 \( E \) ,映射
\[
{\left. f\right| }_{D \cap \left( {{x}_{0} + E}\right) } : D \cap \left( {{x}_{0} + E}\right) \rightarrow Y
\]
在 \( {x}_{0} \) 连续,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 为有限 \( n \) 连续. 若 \( f \) 在 \( D \) 中每点均为有限 \( n \) 连续,则称映射 \( f \) 在 \( D \) 上有限 \( n \) 连续. 类似地,若在 \( Y \) 中取弱拓扑,可得到有限 \( n \) 弱连续映射的概念. \( f : D \rightarrow Y \) 为有限连续映射,等价于对每个正整数 \( n, f : D \rightarrow Y \) 均为有限 \( n \) 连续映射.
半连续映射 (semicontinuous mapping) 即有限 1 -弱连续映射. 见“有限 \( n \) 连续映射”.
一致连续映射 (uniformly continuous mapping) 满足某种一致性条件的连续映射. 设映射 \( f : D \subset X \rightarrow Y \) ,若任给 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对 \( D \) 中所有满足条件 \( \parallel x - y\parallel < \delta \) 的点 \( x \) 与 \( y \) ,均有
\[
\parallel f\left( x\right) - f\left( y\right) \parallel < \varepsilon ,
\]
则称映射 \( f \) 在 \( D \) 上一致连续. 一致连续映射必为连续映射, 反之不真.
李普希茨连续映射 (Lipschitz continuous mapping）满足所谓李普希茨条件的连续映射. 设有映射 \( f : D \subset X \rightarrow Y \) . 若有正常数 \( L \) ,使得
\[
\parallel f\left( x\right) - f\left( y\right) \parallel \leq L\parallel x - y\parallel
\]
(1)
\[
\left( {\forall x, y \in D}\right) \text{,}
\]
则称 \( f : D \rightarrow Y \) 为李普希茨连续映射. 其中正常数 \( L \) 称为李普希茨常数, (1) 式表达的条件称为李普希茨条件. 李普希茨连续映射必是一致连续映射.
李普希茨常数 (Lipschitz constant) 见“李普希茨连续映射”.
李普希茨条件 (Lipschitz condition) 见 “李普希茨连续映射”.
局部李普希茨连续映射 (locally Lipschitz continuous mapping) 在每点的局部为李普希茨连续的映射. 设有映射 \( f : D \subset X \rightarrow Y \) . 若对于 \( D \) 中的每点 \( x \) ,存在 \( x \) 在 \( D \) 中的某邻域 \( U \) ,使得 \( {\left. f\right| }_{U} : U \rightarrow Y \) 为李普希茨连续映射,则称 \( f : D \rightarrow Y \) 为局部李普希茨连续映射. 李普希茨连续映射一定是局部李普希茨连续映射. 局部李普希茨连续映射一定是连续映射. 局部李普希茨连续映射类常记为 \( {C}^{1 - 0} \) .
有界映射 (bounded mapping) 映有界集为有界集的映射. 设有映射 \( f : D \subset X \rightarrow Y \) . 若对于 \( D \) 中的每个有界集 \( S, f\left( S\right) \) 为 \( Y \) 中的有界集,则称 \( f : D \rightarrow Y \) 为有界映射. 当 \( f : X \rightarrow Y \) 为线性算子而 \( X, Y \) 为赋范线性空间时, \( f \) 的连续性与有界性是等价的. 对于非线性映射而言, \( f \) 的连续性与有界性是两个互不包含的概念.
局部有界映射 (locally bounded mapping) 在定义域中每点的某邻域中为有界的映射.
加托微分 (Gâteaux differential) 简称 \( G \) 微分, 亦称弱微分. 是数学分析中方向导数概念和变分法中弱变分概念的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y \) 是映射, \( {x}_{0} \in \Omega \) . 设 \( h \in X \) ,若极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{1}{t}\left\lbrack {f\left( {{x}_{0} + {th}}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right\rbrack
\]
存在,则该极限值称为映射 \( f \) 在点 \( {x}_{0} \) 沿方向 \( h \) 的加托微分 (或 \( G \) 微分) 或弱微分,记为 \( \mathrm{D}f\left( {{x}_{0};h}\right) \) . 若 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 沿任何方向 \( h \) 的弱微分均存在,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 加托可微 (简称 \( G \) 可微) 或弱可微. 若 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 加托可微,且 \( \mathrm{D}f\left( {{x}_{0};h}\right) \) 关于 \( h \in X \) 是线性的,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有线性弱微分,此时存在线性算子 \( A : X \rightarrow \) \( Y \) ,使得 \( \mathrm{D}f\left( {{x}_{0};h}\right) = {Ah}\left( {\forall h \in X}\right) \) . 这个线性算子 \( A \) 常记为 \( \mathrm{D}f\left( {x}_{0}\right) \) (或 \( \mathrm{d}f\left( {x}_{0}\right) \) ,或 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) ),称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的加托导算子 (简称 \( G \) 导算子) 或弱导算子. 如果加托导算子 \( \mathrm{D}f\left( {x}_{0}\right) \) 还是有界的,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有有界线性弱微分. 习惯上,当谈到 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 加托可微时,常指 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有有界加托导算子的情形. 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每点均为加托可微,则称 \( f \) 在 \( \Omega \) 上加托可微或弱可微. 弱微分的概念是由加托 (Gâteaux, R. ) 于 1913 年引入的.
\( G \) 微分 ( \( G \) differential) 见 “加托微分”.
弱微分 (weak differential) 即 “加托微分”.
加托导算子 (Gâteaux derivative) 见“加托微分”.
加托可微 (Gâteaux differentiable) 见 “加托微分”.
\( G \) 可微 ( \( G \) differentiable) 见 “加托微分”.
有界线性弱微分 (bounded linear weak differential) 见“加托微分”.
弗雷歇微分 (Fréchet differential) 简称 \( F \) 微分, 亦称强微分, 是数学分析中全微分概念和变分法中强变分概念的推广. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y \) 是映射, \( {x}_{0} \in \Omega \) . 若存在有界线性算子 \( A : X \rightarrow Y \) ,使得
\[
f\left( {{x}_{0} + h}\right) - f\left( {x}_{0}\right) - {Ah} = o\left( {\parallel h\parallel }\right) ,
\]
其中 \( o\left( {\parallel h\parallel }\right) /\parallel h\parallel \rightarrow 0 \) (当 \( \parallel h\parallel \rightarrow 0 \) ),则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 弗雷歇可微 (简称 \( F \) 可微) 或强可微, \( A \) 称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的弗雷歇导算子 (简称 \( F \) 导算子) 或强导算子,记为 \( \mathrm{d}f\left( {x}_{0}\right) \) 或 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) ,{Ah} \) 称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 沿 \( h \) 的 \( F \) 微分或强微分,记为 \( \mathrm{d}f\left( {{x}_{0};h}\right) \) 或 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) h \) . 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每点均为 \( F \) 可微,则称 \( f \) 在 \( \Omega \) 上 \( F \) 可微. \( f \) 在 \( {x}_{0}F \) 可微蕴涵着 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 连续. \( f \) 在 \( {x}_{0}F \) 可微等价于 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) (有界线性) \( G \) 可微且极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{1}{t}\left\lbrack {f\left( {{x}_{0} + {th}}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right\rbrack = \mathrm{D}f\left( {x}_{0}\right) h
\]
关于 \( \parallel h\parallel = 1 \) 为一致的. \( F \) 可微通常简称可微.
强可微的概念是由弗雷歇 (Fréchet, M.-R. ) 于 1910 年引入的.
\( \mathbf{F} \) 微分 ( \( F \) differential) 见 “弗雷歇微分”.
强微分 (strong differential) 见 “弗雷歇微分”.
弗雷歇导算子 (Fréchet derivative) 见“弗雷歇微分”.
弗雷歇可微 (Fréchet differentiable) 见 “弗雷歇微分”.
\( \mathbf{F} \) 可微 ( \( F \) -differentiable) 见“弗雷歇微分”.
严格可微 (strictly differentiable) 较可微有更高一点要求的一种可微性概念. 设 \( X, Y \) 均为赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y,{x}_{0} \in \Omega \) . 若存在有界线性算子 \( A : X \rightarrow Y \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {x}_{0}} \\ {\parallel h\parallel \rightarrow 0} }}\frac{1}{\parallel h\parallel }\left\lbrack {f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) - {Ah}}\right\rbrack = 0,
\]
则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 严格可微. 严格可微蕴涵 (强) 可微.
渐近导算子 (asymptotic derivative) 映射在无穷远点的 \( F \) 导算子. 设 \( X, Y \) 均为赋范线性空间, \( f : X \rightarrow Y \) . 若存在有界线性算子 \( A : X \rightarrow Y \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\parallel x\parallel \rightarrow + \infty }}\parallel f\left( x\right) - {Ax}\parallel /\parallel x\parallel = 0,
\]
则称 \( A \) 为 \( f \) 的渐近导算子,记为 \( {f}^{\prime }\left( \infty \right) \) . 这时也称 \( f \) 为渐近线性的.
偏导算子 (partial derivative) 数学分析中偏导数概念的推广. 设 \( X, Y, Z \) 是赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \times Y \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Z,\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \in \Omega \) . 若对于固定的 \( {y}_{0} \) ,以 \( x \) 为变元的映射 \( g\left( x\right) = f\left( {x,{y}_{0}}\right) \) 在 \( {x}_{0}F \) 可微 (相应地, \( G \) 可微),则定义 \( f \) 在 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 关于 \( x \) 的偏 \( F \) 导算子 (相应地,偏 \( G \) 导算子) 为 \( {f}_{x}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) = {g}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) . 类似地,可定义 \( f \) 在 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 关于 \( y \) 的偏 \( F \) 导算子 (或偏 \( G \) 导算子) \( {F}_{y}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) . 若 \( f \) 在 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 有 \( F \) 导算子 \( {f}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) ,则 \( f \) 在 \( \left( {x}_{0}\right. \) , \( \left. {y}_{0}\right) \) 的偏 \( F \) 导算子 \( {f}_{x}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 与 \( {f}_{y}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 存在,且这时成立公式
\[
{f}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {h, k}\right) = {f}_{x}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) h + {f}_{y}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) k
\]
\[
\left( {\forall \left( {h, k}\right) \in X \times Y}\right) \text{.}
\]
\( \mathbf{n} \) 线性算子 ( \( n \) -linear operator) 对 \( n \) 个变元分别是线性的算子. 设 \( {X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n} \) 与 \( Y \) 是赋范线性空间,
\[
u : \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} \rightarrow Y
\]
若 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 分别对每一个变元 \( {x}_{i}(i = 1,2 \) , \( \cdots, n) \) 都是线性的,则称 \( u \) 是 \( n \) 线性算子. 下设 \( {X}_{1} \) \( = {X}_{2} = \cdots = {X}_{n} = X \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 90 | }}\right) \) . 若 \( f \) 在 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 有 \( F \) 导算子 \( {f}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) ,则 \( f \) 在 \( \left( {x}_{0}\right. \) , \( \left. {y}_{0}\right) \) 的偏 \( F \) 导算子 \( {f}_{x}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 与 \( {f}_{y}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 存在,且这时成立公式
\[
{f}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \left( {h, k}\right) = {f}_{x}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) h + {f}_{y}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) k
\]
\[
\left( {\forall \left( {h, k}\right) \in X \times Y}\right) \text{.}
\]
\( \mathbf{n} \) 线性算子 ( \( n \) -linear operator) 对 \( n \) 个变元分别是线性的算子. 设 \( {X}_{1},{X}_{2},\cdots ,{X}_{n} \) 与 \( Y \) 是赋范线性空间,
\[
u : \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} \rightarrow Y
\]
若 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 分别对每一个变元 \( {x}_{i}(i = 1,2 \) , \( \cdots, n) \) 都是线性的,则称 \( u \) 是 \( n \) 线性算子. 下设 \( {X}_{1} \) \( = {X}_{2} = \cdots = {X}_{n} = X \) . 如果 \( n \) 线性算子 \( u : {X}^{n} \rightarrow Y \) 的值 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 在任意对调 \( {x}_{i} \) 与 \( {x}_{j}\left( {1 \leq i, j \leq n}\right) \) 时不变,则称 \( u \) 为对称的 \( n \) 线性算子. 对于 \( n \) 线性算子 \( u : {X}^{n} \rightarrow Y \) ,令 \( \widehat{u} : X \rightarrow Y \) 为
\[
\widehat{u}\left( x\right) = u\left( {x,\cdots, x}\right) = u{x}^{n}\;\left( {\forall x \in X}\right) ,
\]
则 \( \widehat{u} \) 称为 \( u \) 所对应的 \( n \) 次型. 不同的 \( n \) 线性算子可对应于相同的 \( n \) 次型. 对称的 \( n \) 线性算子与 \( n \) 次型之间一一对应. \( n \) 次型亦称 \( n \) 线性型.
对称的 \( n \) 线性算子 (symmetric \( n \) -linear operator) 见 “ \( n \) 线性算子”.
\( n \) 线性型 ( \( n \) -linear form) 见 “ \( n \) 线性算子”.
有界 \( \mathbf{n} \) 线性算子 (bounded \( n \) -linear operator) 映有界集为有界集的 \( n \) 线性算子. 设
\[
u : \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} \rightarrow Y
\]
为 \( n \) 线性算子. 若 \( u \) 把 \( \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}{X}_{i} \) 中的任何有界集映为 \( Y \) 中的有界集,则称 \( n \) 线性算子 \( u \) 为有界的. \( n \) 线性算子 \( u \) 为有界的充分必要条件是
\[
\parallel u\parallel = \sup \left\{ {\begin{Vmatrix}{u\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) }\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}{x}_{i}\end{Vmatrix} = 1,}\right.
\]
\[
i = 1,2,\cdots, n\} < + \infty \text{.}
\]
这时, \( \parallel u\parallel \) 称为 \( u \) 的范数. \( n \) 线性算子的有界性与连续性是等价的.
高阶加托微分 (higher Gâteaux differential) 亦称高阶 \( G \) 微分或高阶弱微分. 是 \( G \) 微分概念的高阶推广形式. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y \) 是映射, \( {x}_{0} \in \Omega \) . 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每点 \( G \) 可微,则 \( \forall {h}_{1} \in X \) ,在 \( x \in \Omega \) 有 \( G \) 微分 \( \mathrm{D}f(x \) ; \( \left. {h}_{1}\right) \) . 这时若映射 \( \mathrm{D}f\left( {\cdot ;{h}_{1}}\right) : \Omega \rightarrow Y \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( G \) 可微,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 为二阶 \( G \) 可微,映射 \( \mathrm{D}f\left( {\cdot ;{h}_{1}}\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 沿方向 \( {h}_{2} \in X \) 的 \( G \) 微分记为 \( {\mathrm{D}}^{2}f\left( {{x}_{0};{h}_{2},{h}_{1}}\right) \) ,称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的二阶 \( G \) 微分. 归纳地,若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每点有 \( n \) 阶 \( G \) 微分 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {x;{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right) \) ,且映射 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {\cdot ;{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right) \) 在点 \( {x}_{0} \) 为 \( G \) 可微,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( n + 1 \) 阶 \( G \) 可微,这时映射 \( {\mathrm{D}}^{n}f( \cdot ;{h}_{n},{h}_{n - 1} \) , \( \left. {\cdots ,{h}_{1}}\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 沿 \( {h}_{n + 1} \) 的微分,记为 \( {\mathrm{D}}^{n + 1}f\left( {{x}_{0};{h}_{n + 1}}\right. \) , \( \left. {{h}_{n},\cdots ,{h}_{1}}\right) \) ,称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的 \( n + 1 \) 阶 \( G \) 微分. 如果 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {{x}_{0};{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right) \) 对每个变元 \( {h}_{1},{h}_{2},\cdots ,{h}_{n} \) 分别是线性的,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有 \( n \) 阶线性微分,这时 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {{x}_{0};{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots {h}_{1}}\right) \) 确定一 \( n \) 线性算子,记为 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {x}_{0}\right) \) ,即有
\[
{\mathrm{D}}^{n}f\left( {x}_{0}\right) \left( {{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right)
\]
\[
= {\mathrm{D}}^{n}f\left( {{x}_{0};{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right) .
\]
\( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {x}_{0}\right) \) 称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的 \( n \) 阶加托导算子或 \( n \) 阶 \( G \) 导算子或 \( n \) 阶弱导算子. 若 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( {x}_{0}\right) \) 还是有界的, 则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有有界 \( n \) 阶线性 \( G \) 微分.
高阶弱微分 (higher weak differential) 见 “高阶加托微分”.
高阶 \( G \) 微分 (higher \( G \) differential) 即 “高阶加托微分”.
高阶加托导算子 (higher Gâteaux derivative) 亦称高阶 \( G \) 导算子或高阶弱导算子. 见 “高阶加托微分”.
高阶 \( G \) 导算子 (higher \( G \) derivative) 即 “高阶加托导算子”.
高阶弱导算子 (higher weak derivative) 见 “高阶加托导算子”.
高阶弗雷歇微分 (higher Fréchet differential) 亦称高阶强微分,简称高阶 \( F \) 微分或高阶微分,是 \( F \) 微分概念的高阶推广形式. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y,{x}_{0} \in \Omega \) . 归纳定义 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的 \( n \) 阶 \( F \) 微分,记为 \( {\mathrm{d}}^{n}f\left( {{x}_{0};{h}_{n},\cdots ,{h}_{1}}\right) : - \) 阶 \( F \) 微分 \( \mathrm{d}f\left( {{x}_{0};{h}_{1}}\right) \) ,即 \( F \) 微分已有定义. 设 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的某邻域中有 \( n \) 阶 \( F \) 微分 \( {\mathrm{d}}^{n}f\left( {x;\cdots }\right) \) ,若存在有界 \( \left( {n + 1}\right) \) 线性算子
\[
u : \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{{n + 1}}{X}_{i} \rightarrow Y\;\left( {{X}_{i} = X, i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
使得对任意的 \( {h}_{1},{h}_{2},\cdots ,{h}_{n},{h}_{n + 1} \in X \) ,有
\[
{\mathrm{d}}^{n}f\left( {{x}_{0} + {h}_{n + 1};{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right)
\]
\[
- {\mathrm{d}}^{n}f\left( {{x}_{0};{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right)
\]
\[
= u\left( {{h}_{n + 1},{h}_{n},\cdots ,{h}_{1}}\right) + r\left( {{x}_{0};{h}_{n + 1},{h}_{n},\cdots ,{h}_{1}}\right) ,
\]
其中
\[
\sup \left\{ {\begin{Vmatrix}{r\left( {{x}_{0};{h}_{n + 1},{h}_{n},{h}_{n - 1},\cdots ,{h}_{1}}\right) }\end{Vmatrix} \mid \begin{Vmatrix}{h}_{1}\end{Vmatrix}}\right.
\]
\[
= \left. {\begin{Vmatrix}{h}_{2}\end{Vmatrix} = \cdots = \begin{Vmatrix}{h}_{n}\end{Vmatrix} = 1}\right\}
\]
\[
= o\left( \begin{Vmatrix}{h}_{n + 1}\end{Vmatrix}\right) \left( {\begin{Vmatrix}{h}_{n + 1}\end{Vmatrix} \rightarrow 0}\right) ,
\]
则 \( u\left( {{h}_{n + 1},{h}_{n},\cdots ,{h}_{1}}\right) \) 称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的 \( \left( {n + 1}\right) \) 阶 \( F \) 微分,记为 \( {\mathrm{d}}^{n + 1}f\left( {{x}_{0};{h}_{n + 1},{h}_{n},\cdots ,{h}_{1}}\right) \) .
高阶强微分 (higher strong differential) 即 “高阶弗雷歇微分”.
高阶 \( \mathbf{F} \) 微分 (higher \( F \) differential) 见 “高阶弗雷歇微分”.
高阶微分 (higher differential) 见 “高阶弗雷歇微分”.
高阶弗雷歇导算子 (higher Fréchet derivative) 亦称高阶强导算子,简称高阶 \( F \) 导算子或高阶导算子,是 \( F \) 导算子概念的高阶推广形式. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y \) , \( {x}_{0} \in \Omega \) . 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 上 \( F \) 可微,则有 \( f \) 的 \( F \) 导映射 \( {f}^{\prime } : \Omega \rightarrow \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) ,其中 \( \mathcal{B}\left( {X \rightarrow Y}\right) \) 表示由从 \( X \) 到 \( Y \) 的全体有界线性算子组成的赋算子范数的赋范线性空间. 若映射 \( {f}^{\prime } \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( F \) 可微,则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 二阶 \( F \) 可微,这时 \( {f}^{\prime } \) 在 \( {x}_{0} \) 的 \( F \) 导算子记为 \( {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \) (或 \( {\mathrm{d}}^{2}f\left( {x}_{0}\right) \) ),称为 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的二阶 \( F \) 导算子. 用归纳法可定义 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的 \( n \) 阶 \( F \) 导算子 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) \) (或 \( \left. {{\mathrm{d}}^{n}f\left( {x}_{0}\right) }\right) .f \) 在 \( {x}_{0} \) 有 \( n \) 阶 \( F \) 导算子 \( {f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) \) 等价于 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 有 \( n \) 阶 \( F \) 微分,且此时成立
\[
{f}^{\left( n\right) }\left( {x}_{0}\right) {h}_{n}\cdots {h}_{2}{h}_{1} = {\mathrm{d}}^{n}f\left( {{x}_{0};{h}_{n},\cdots ,{h}_{2},{h}_{1}}\right) .
\]
巴拿赫空间中映射的 \( n \) 阶 \( F \) 导算子作为 \( n \) 线性算子必是对称的.
高阶强导算子 (higher strong derivative) 即 “高阶弗雷歇导算子”.
高阶 \( \mathbf{F} \) 导算子 (higher \( F \) derivative) 见 “高阶弗雷歇导算子”.
高阶导算子 (higher derivative) 见 “高阶弗雷歇导算子”.
\( {C}^{r} \) 映射 \( \left( {{C}^{r}\text{-mapping }}\right) \) 具有连续的 \( r \) 阶导映射的映射. 设 \( X, Y \) 为赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow Y, r \) 是某正整数. 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 上 \( r \) 阶 \( F \) 可微,且 \( r \) 阶 \( F \) 导映射 \( {f}^{\left( r\right) } \) 在 \( \Omega \) 上是连续的,则称 \( f : \Omega \rightarrow Y \) 是 \( {C}^{r} \) 映射,记为 \( f \in {C}^{r}\left( {\Omega, Y}\right) \) . 若对任何正整数 \( r \) ,均有 \( f \in {C}^{r}\left( {\Omega, Y}\right) \) ,则称 \( f \) 是 \( {C}^{\infty } \) 映射,记为 \( f \in {C}^{\infty }\left( {\Omega, Y}\right) \) . 通常约定, \( {C}^{0} \) 映射即为连续映射.
加托幂级数 (Gâteaux power series) 简称 \( G \) 幂级数,以 \( n \) 线性型为一般项的级数 \( \sum {u}_{n}{x}^{n} \) . 这里 \( {u}_{n} : {X}^{n} \rightarrow Y \) 为 \( n \) 线性算子, \( {u}_{0}{x}^{0} \) 表示 \( Y \) 中某元. \( G \) 幂级数是通常幂级数的一种较弱意义下的无穷维推广形式,它的部分和是赋范线性空间 \( X \) 上的 “多项式”.
\( G \) 幂级数 ( \( G \) power series) 见 “加托幂级数”.
弗雷歇幂级数 (Fréchet power series) 简称 \( F \) 幂级数,以有界 \( n \) 线性型为一般项的级数 \( \sum {u}_{n}{x}^{n} \) . 这里 \( {u}_{n} : {X}^{n} \rightarrow Y \) 是有界 \( n \) 线性算子. \( F \) 幂级数是通常幂级数的一种较强意义下的无穷维推广形式, 它的部分和是赋范线性空间 \( X \) 上的“连续多项式”.
\( F \) 幂级数 ( \( F \) power series) 见 “弗雷歇幂级数”.
加托全纯映射 (Gâteaux holomorphic mapping) 简称 \( G \) 全纯映射,指可展成 \( G \) 幂级数的映射.
\( G \) 全纯映射 ( \( G \) holomorphic mapping) 见 “加托全纯映射”.
弗雷歇解析映射 (Fréchet analytic mapping) 简称 \( F \) 解析映射,指可展成 \( F \) 幂级数的映射.
\( F \) 解析映射 ( \( \mathrm{F} \) analytic mapping) 见“弗雷歇解析映射”.
加托-泰勒公式 (Gâteaux-Taylor formula)
经典的泰勒公式在 \( G \) 微分意义下的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 的开凸子集, \( {x}_{0} \in \Omega, f : \Omega \) \( \rightarrow Y \) . 设 \( h \in X \) 使得 \( {x}_{0} + h \in \Omega \) . 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每点 \( x \) 有有界 \( n \) 阶线性 \( G \) 微分 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( x\right) {h}^{n} \) ,则成立下述泰勒公式
\[
f\left( {{x}_{0} + h}\right) = f\left( {x}_{0}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k!}{\mathrm{D}}^{\left( k\right) }f\left( {x}_{0}\right) {h}^{k} + {R}_{n}^{ * },
\]
且
\( \begin{Vmatrix}{R}_{n}^{ * }\end{Vmatrix} \leq \frac |
2000_数学辞海（第3卷） | 91 | n \) 线性算子. \( F \) 幂级数是通常幂级数的一种较强意义下的无穷维推广形式, 它的部分和是赋范线性空间 \( X \) 上的“连续多项式”.
\( F \) 幂级数 ( \( F \) power series) 见 “弗雷歇幂级数”.
加托全纯映射 (Gâteaux holomorphic mapping) 简称 \( G \) 全纯映射,指可展成 \( G \) 幂级数的映射.
\( G \) 全纯映射 ( \( G \) holomorphic mapping) 见 “加托全纯映射”.
弗雷歇解析映射 (Fréchet analytic mapping) 简称 \( F \) 解析映射,指可展成 \( F \) 幂级数的映射.
\( F \) 解析映射 ( \( \mathrm{F} \) analytic mapping) 见“弗雷歇解析映射”.
加托-泰勒公式 (Gâteaux-Taylor formula)
经典的泰勒公式在 \( G \) 微分意义下的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 的开凸子集, \( {x}_{0} \in \Omega, f : \Omega \) \( \rightarrow Y \) . 设 \( h \in X \) 使得 \( {x}_{0} + h \in \Omega \) . 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中每点 \( x \) 有有界 \( n \) 阶线性 \( G \) 微分 \( {\mathrm{D}}^{n}f\left( x\right) {h}^{n} \) ,则成立下述泰勒公式
\[
f\left( {{x}_{0} + h}\right) = f\left( {x}_{0}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k!}{\mathrm{D}}^{\left( k\right) }f\left( {x}_{0}\right) {h}^{k} + {R}_{n}^{ * },
\]
且
\( \begin{Vmatrix}{R}_{n}^{ * }\end{Vmatrix} \leq \frac{1}{n!}\sup \left\{ {\begin{Vmatrix}{{\mathrm{D}}^{n}f\left( {{x}_{0} + {\tau h}}\right) {h}^{n}}\end{Vmatrix} \mid 0 < \tau < 1}\right\} . \)
若映射 \( x \rightarrow {D}^{n}f\left( x\right) {h}^{n} \) 在 \( \Omega \) 上连续,则有
\[
{R}_{n}^{ * } = {\int }_{0}^{1}\frac{{\left( 1 - \tau \right) }^{n - 1}}{\left( {n - 1}\right) !}{\mathrm{D}}^{n}f\left( {{x}_{0} + {\tau h}}\right) {h}^{n}\mathrm{\;d}\tau .
\]
弗雷歇-泰勒公式(Fréchet-Taylor formula) 经典的泰勒公式在 \( F \) 微分意义下的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 的开凸子集, \( {x}_{0} \in \Omega, f : \Omega \) \( \rightarrow Y \) . 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 上存在 \( n \) 阶 \( F \) 导算子 \( {f}^{\left( n\right) } \) ,则对任意的 \( h \in X,{x}_{0} + h \in \Omega \) ,成立下述泰勒公式
\[
f\left( {{x}_{0} + h}\right) = f\left( {x}_{0}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{n - 1}}\frac{1}{k!}{f}^{\left( k\right) }\left( {x}_{0}\right) {h}^{k} + {R}_{n},
\]
且
\[
\begin{Vmatrix}{R}_{n}\end{Vmatrix} \leq \frac{1}{n!}\sup \left\{ {\begin{Vmatrix}{{f}^{\left( n\right) }\left( {{x}_{0} + {\tau h}}\right) {h}^{n}}\end{Vmatrix} \mid 0 < \tau < 1}\right\} .
\]
若 \( {f}^{\left( n\right) } \) 在 \( \Omega \) 上还是连续的,则有
\[
{R}_{n} = {\int }_{0}^{1}\frac{{\left( 1 - \tau \right) }^{n - 1}}{\left( {n - 1}\right) !}{f}^{\left( n\right) }\left( {{x}_{0} + {\tau h}}\right) {h}^{n}\mathrm{\;d}\tau .
\]
反函数定理 (inverse function theorem) 亦称逆映射定理. 古典分析中反函数定理的无穷维推广形式. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f \in {C}^{p}\left( {\Omega, Y}\right), p \geq 1,{x}_{0} \in \Omega \) . 若 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的导算子 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 有有界逆,则 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 局部 \( {C}^{p} \) 同胚,即存在 \( {x}_{0} \) 的开邻域 \( U \) 与 \( f\left( {x}_{0}\right) \) 的开邻域 \( V \) ,使得 \( {\left. f\right| }_{U} \) : \( U \rightarrow V \) 有逆映射 \( {f}^{-1} : V \rightarrow U \) ,且 \( {f}^{-1} \in {C}^{p} \) . 上述仅是巴拿赫空间中最基本的一个局部反函数定理, 此外尚有许多变种与推广, 还有全局反函数定理. 首先把古典分析中局部反函数定理进行无穷维推广的是拉姆森 (Lamson, K. ) (1920), 海德伯兰特 (Hidebrandt, T. ) 和格雷夫斯 (Graves, L. ) (1927) 及米歇尔 (Michal, A. D. ) 和克利福德 (Clifford, A. ) (1933). 对全局反函数进行研究的, 在阿达马 (Hadamard, J. (-S. )) (1904) 之后, 有约翰 (John, F. ) (1968) 及波拉克托克 (Plactock, R. ) (1974) 等人.
隐函数定理 (implicit function theorem) 古典分析中隐函数定理的无穷维推广形式. 设 \( X, Y \) 与 \( \Lambda \) 都是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \times \Lambda \) 中的开集, \( f : \Omega \) \( \rightarrow Y \) ,满足 \( f\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) = 0 \) . 设 \( f \) 在 \( \Omega \) 上连续, \( f \) 对变元 \( x \) 可微,且 (偏) 导映射 \( {f}_{x}{}^{\prime } \) 在点 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 连续. 若 \( {f}_{x}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) : X \rightarrow Y \) 有有界逆,则存在 \( \gamma ,\delta > 0 \) 使得当 \( \begin{Vmatrix}{\lambda - {\lambda }_{0}}\end{Vmatrix} < \delta \) 时,方程 \( f\left( {x,\lambda }\right) = 0 \) 在 \( \begin{Vmatrix}{x - {x}_{0}}\end{Vmatrix} \) \( < \gamma \) 中存在惟一的满足条件 \( x\left( {\lambda }_{0}\right) = {x}_{0} \) 的连续解 \( x \) \( = x\left( \lambda \right) \) . 当 \( f \in {C}^{p}\left( {p \geq 1}\right) \) 时,解 \( x\left( \cdot \right) \in {C}^{p} \) . 关于隐函数定理也有许多变种与推广, 具有特别重要意义的是莫泽-纳什广义隐函数定理.
非线性特征值 (nonlinear eigenvalue) 亦称非线性本征值. 线性算子的特征值概念在非线性算子中的推广. 设 \( X \) 是 (实) 赋范线性空间, \( A : X \rightarrow X \) 是非线性算子. 若存在 \( X \) 中的非零元 \( x \) 与 (实) 数 \( \lambda \) ,使得 \( A\left( x\right) = {\lambda x} \) ,则 \( \lambda \) 称为非线性算子 \( A \) 的一个特征值, \( x \) 称为 \( A \) 的一个特征向量或特征元. 更一般地,设 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间, \( A, B \) 是两个非线性算子,若存在 \( X \) 中的向量 \( x \neq 0 \) 与实数 \( \lambda \) ,使得 \( A\left( x\right) = {\lambda B}\left( x\right) \) ,则称 \( \lambda \) 为 \( A \) 相对于 \( B \) 的一个特征值, \( x \) 称为 \( A \) 相对于 \( B \) 的特征向量或本征元.
非线性本征值 (nonlinear eigenvalue) 即 “非线性特征值”.
非线性特征向量 (nonlinear eigenvector) 亦称非线性特征元. 见“非线性特征值”.
非线性特征元 (nonlinear eigenvector) 即 “非线性特征向量”.
分歧理论 (bifurcation theory) 亦称分叉理论. 研究不满足隐函数定理正常条件时方程 \( f(x \) , \( \lambda ) = 0 \) 的解 \( x = x\left( \lambda \right) \) 的分布状况的理论. 它特别要研究方程的解在何处出现分叉. 分歧问题有重要的实际背景,是非线性分析的中心问题之一. 设 \( X,\Lambda \) 和 \( Z \) 为巴拿赫空间, \( f : X \times \Lambda \rightarrow Z \) . 考察含参量 \( \lambda \in \) \( \Lambda \) 的以 \( x \in X \) 为未知量的方程
\[
f\left( {x,\lambda }\right) = 0.
\]
(1)
设 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \in X \times \Lambda \) 满足方程 (1),即有 \( f\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) \( = 0 \) . 设已知方程 (1) 在 \( {\lambda }_{0} \) 附近有经过点 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 的解 \( x = x\left( \lambda \right) \) . 要研究的是方程 (1) 在 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 附近是否还有异于 \( x\left( \lambda \right) \) 的解. 如果存在序列 \( {\lambda }_{n} \rightarrow {\lambda }_{0} \) 与 \( {x}_{n} \) \( \rightarrow {x}_{0} \) ,使得 \( f\left( {{x}_{n},{\lambda }_{n}}\right) = 0 \) 但 \( {x}_{n} \neq x\left( {\lambda }_{n}\right) \left( {\forall n}\right) \) ,则称 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 或 \( {\lambda }_{0} \) 为方程的分歧点,解 \( \left( {{x}_{n},{\lambda }_{n}}\right) \) 称为方程 (1) 的相对于解 \( x\left( \lambda \right) \) 的分歧解. 上述概念属于静态分歧理论的范畴. 此外, 尚有动态分歧理论, 参见 “常微分方程的分歧理论”.
分歧点 (bifurcation point) 亦称歧点、分叉点, 见“分歧理论”.
歧点 (bifurcation point) 即 “分歧点”.
分叉点 (bifurcation point) 即“分歧点”.
分歧解 (bifurcation solution) 见 “分歧理论”.
李亚普诺夫-施密特过程 (Liapunov-Schmidt procedure) 亦称李亚普诺夫-施密特方法. 一种无穷维空间中方程的分歧解约化为有限维空间中方程的分歧解的方法. 设 \( X, Y \) 为巴拿赫空间, \( f : X \times \) \( \mathrm{R} \rightarrow Y \in {C}^{p}\left( {p \geq 1}\right) ,\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 满足方程 \( f\left( {x,\lambda }\right) = 0 \) . 设 \( A = {f}_{x}{}^{\prime }\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 是弗雷德霍姆算子,记 \( {X}_{2} = \) \( \ker A,{Y}_{1} = {AX} \) . 设 \( X = {X}_{1} \oplus {X}_{2}, Y = {Y}_{1} \oplus {Y}_{2} \) . 表 \( x - \) \( {x}_{0} \in X \) 为 \( x - {x}_{0} = v + u \) ,其中 \( v \in {X}_{1}, u \in {X}_{2} \) . 令 \( P \) 为 \( Y \) 到 \( {Y}_{2} \) 上的自然投影,据隐函数定理,方程
\[
\left( {\mathrm{i}d - P}\right) f\left( {{x}_{0} + v + u,\lambda }\right) = 0
\]
在局部存在惟一的满足条件 \( v\left( {0,{\lambda }_{0}}\right) = 0 \) 的 \( {C}^{p} \) 解 \( v \) \( = v\left( {u,\lambda }\right) \) . 这时求方程
\[
f\left( {x,\lambda }\right) = 0
\]
(1)
在 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 的分歧解等价于求下述有限维方程在 \( \left( {0,{\lambda }_{0}}\right) \) 的分歧解
\[
\psi \left( {u,\lambda }\right) = {Pf}\left( {{x}_{0} + v\left( {u,\lambda }\right) + u,\lambda }\right) = 0.
\]
(2)
方程 (2) 称为方程 (1) 的分歧方程. 此方法因李亚普诺夫 (Janyhob, A. M. ) 与施密特 (Schmidt, E. ) 的工作而得名.
分歧方程 (bifurcation equation) 见“李亚普诺夫-施密特过程".
巴拿赫流形 (Banach manifold) 有限维流形的无穷维推广. 设 \( M \) 是豪斯多夫拓扑空间, \( E \) 是巴拿赫空间. 若对于 \( M \) 上的每一点 \( p \) ,均存在 \( p \) 的开邻域 \( U \) 与从 \( U \) 到 \( E \) 中某开集上的同胚映射 \( \varphi : U \rightarrow \) \( \varphi \left( U\right) \subset E \) ,则称 \( M \) 为以 \( E \) 为模的巴拿赫拓扑流形或者 \( {C}^{0} \) 巴拿赫流形. 这时每个 \( \left( {U,\varphi }\right) \) 称为 \( M \) 上的一个区图. 现设 \( M \) 是以 \( E \) 为模的 \( {C}^{0} \) 巴拿赫流形, \( r \) 是某个正整数或 \( + \infty \) . 设 \( \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }}\right) \) 与 \( \left( {{U}_{\beta },{\varphi }_{\beta }}\right) \) 是 \( M \) 上的两个区图. 若 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } = \varnothing \) ,或当 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing \) 时其传递函数
\[
{\varphi }_{\beta } \circ {\varphi }_{\alpha }^{-1} : {\varphi }_{\alpha }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right) \rightarrow {\varphi }_{\beta }\left( {{U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta }}\right)
\]
是 \( {C}^{r} \) 微分同胚,则称这两个区图是 \( {C}^{r} \) 相容的. 设 \( \mathcal{D} \) 是由 \( M \) 上的一些区图所成之族. 若 \( \mathcal{D} \) 中任意两个成员均是 \( {C}^{r} \) 相容的,且 \( \mathcal{D} \) 构成 \( M \) 的开覆盖, 则称 \( \mathcal{D} \) 为 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 图册. 如果 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 图册 \( \mathcal{D} \) 在 \( {C}^{r} \) 相容的意义下还是极大的,即不能在 \( \mathcal{D} \) 中再添加新的成员使其仍保持 \( {C}^{r} \) 相容性,则称 \( \mathcal{D} \) 为 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 微分结构. \( M \) 连同其上指定的一个 \( {C}^{r} \) 微分结构 \( \mathcal{D} \) ,称为以 \( E \) 为模的 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形,记为 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) . 由于 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 图册总可惟一地生成一个极大的 \( {C}^{r} \) 图册,因此,当给定了 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 图册 \( \mathcal{D} \) (不必极大) 时,亦称 \( (M \) , \( \mathcal{D} \) ) 是 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形. \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 上的区图指的是 \( \mathcal{D} \) 中的成员. 当 \( p \in {U}_{a} \) 时, \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 上的区图 \( \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }}\right) \) 亦称为在点 \( p \) 处的局部坐标系. \( r \) \( \geq 1 \) 时的 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形称为巴拿赫微分流形. 如无特别说明, 巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形, 光滑流形一般是指 \( {C}^{\infty } \) 流形.
巴拿赫空间 \( E \) 本身,连同其上的一个 \( {C}^{\infty } \) 图册 \( \mathcal{D} = \{ \left( {E, I}\right) \} \) (此图册仅由一个成员组成,其中 \( I \) 为 \( E \) 上的恒同映射),成为一个以 \( E \) 为模的 \( {C}^{\infty } \) 巴拿赫流形. 通常说到 \( E \) 是巴拿赫流形时即是在此意义下而言.
巴拿赫流形上的 \( {C}^{r} \) 映射 \( \left( {C}^{r}\right. \) -mapping on Banach manifold) 有限维流形上 \( {C}^{r} \) 映射概念的无穷维推广,也是巴拿赫空间中 \( {C}^{r} \) 映射概念的推广. 设 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 和 \( \left( {N,{\mathcal{D}}^{\prime }}\right) \) 是两个 \( {C}^{s} \) 巴拿赫流形,它们的模空间分别是 \( E \) 和 \( F, f : M \rightarrow N \) 是连续映射. 设正整数 \( r \leq s, p \in M \) . 在 \( N \) 上取 \( f\left( p\right) = q \) 处的局部坐标系 \( \left( {V,\psi }\right) \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,在 \( M \) 上取 \( p \) 处的局部坐标系 \( \left( |
2000_数学辞海（第3卷） | 92 | \) 上的区图指的是 \( \mathcal{D} \) 中的成员. 当 \( p \in {U}_{a} \) 时, \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 上的区图 \( \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }}\right) \) 亦称为在点 \( p \) 处的局部坐标系. \( r \) \( \geq 1 \) 时的 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形称为巴拿赫微分流形. 如无特别说明, 巴拿赫流形一般均指巴拿赫微分流形, 光滑流形一般是指 \( {C}^{\infty } \) 流形.
巴拿赫空间 \( E \) 本身,连同其上的一个 \( {C}^{\infty } \) 图册 \( \mathcal{D} = \{ \left( {E, I}\right) \} \) (此图册仅由一个成员组成,其中 \( I \) 为 \( E \) 上的恒同映射),成为一个以 \( E \) 为模的 \( {C}^{\infty } \) 巴拿赫流形. 通常说到 \( E \) 是巴拿赫流形时即是在此意义下而言.
巴拿赫流形上的 \( {C}^{r} \) 映射 \( \left( {C}^{r}\right. \) -mapping on Banach manifold) 有限维流形上 \( {C}^{r} \) 映射概念的无穷维推广,也是巴拿赫空间中 \( {C}^{r} \) 映射概念的推广. 设 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 和 \( \left( {N,{\mathcal{D}}^{\prime }}\right) \) 是两个 \( {C}^{s} \) 巴拿赫流形,它们的模空间分别是 \( E \) 和 \( F, f : M \rightarrow N \) 是连续映射. 设正整数 \( r \leq s, p \in M \) . 在 \( N \) 上取 \( f\left( p\right) = q \) 处的局部坐标系 \( \left( {V,\psi }\right) \in {\mathcal{D}}^{\prime } \) ,在 \( M \) 上取 \( p \) 处的局部坐标系 \( \left( {U,\varphi }\right) \in \mathcal{D} \) ,使得 \( f\left( U\right) \subset V \) . 若巴拿赫空间中的映射
\[
{\psi f}{\varphi }^{-1} : \varphi \left( U\right) \rightarrow \psi \left( V\right)
\]
在点 \( \varphi \left( p\right) \) 是 \( {C}^{r} \) 的,则称映射 \( f \) 在点 \( p \) 是 \( {C}^{r} \) 的. 若 \( f \) 在 \( M \) 上每点均是 \( {C}^{r} \) 的,则称 \( f : M \rightarrow N \) 是 \( {C}^{r} \) 映射. \( \mathcal{D} \) 及 \( {\mathcal{D}}^{\prime } \) 的 \( {C}^{s} \) 相容性保证了上述定义与局部坐标系的选取无关.
巴拿赫流形的切向量 (tangent vector of Banach manifold) 有限维流形的切向量概念的无穷维推广. 设 \( M \) 是以 \( E \) 为模的巴拿赫微分流形, \( p \) \( \in M \) . 考虑点 \( p \) 处的下述三元组的集合
\( {\Gamma }_{p} \equiv \left\{ {\left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }, e}\right) \mid \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }}\right) \text{ 是 }p\text{ 处的区图,}e \in E}\right\} . \) 在 \( {\Gamma }_{p} \) 中引入等价关系 “ \( \sim \) ” 如下: \( \left( {{U}_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }, e}\right) \sim \left( {{U}_{\beta },{\varphi }_{\beta }, w}\right) \Leftrightarrow {\left( {\varphi }_{\beta } \circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}\right) }^{\prime }\left( {{\varphi }_{\alpha }\left( p\right) }\right) e = w, \) \( {\Gamma }_{p} \) 中每一个三元组 \( \left( {{U}_{a},{\varphi }_{a}, e}\right) \) 所在的等价类记为 \( \left\lbrack \left( {{U}_{a},{\varphi }_{a}, e}\right) \right\rbrack \) ,称为 \( M \) 中点 \( p \) 的一个切向量. 切向量的另一等价定义可通过 \( M \) 上过点 \( p \) 的 \( {C}^{1} \) 曲线在相切意义下的等价类给出.
巴拿赫流形的切空间 (tangent space of Banach manifold) 由 \( M \) 上指定点处的所有切向量所成的线性空间. 设 \( M \) 是以 \( E \) 为模的巴拿赫微分流形, \( p \in M \) ,令 \( {T}_{p}M = \{ X \mid X \) 是 \( M \) 在点 \( p \) 的切向量 \( \} \) ,则 \( {T}_{p}M \) 是与 \( E \) 同构的线性空间,称为 \( M \) 在点 \( p \) 的切空间.
巴拿赫向量丛(Banach vector bundle) 每点处的纤维均拓扑线性同构于某巴拿赫空间且局部平凡的丛. 一个丛指的是三元组 \( \xi = \left( {G,\pi, B}\right) \) ,其中 \( G \) 和 \( B \) 是拓扑空间, \( \pi : G \rightarrow B \) 是连续满映射. \( G \) 和 \( B \) 分别称为丛 \( \xi \) 的全空间与底空间, \( \pi \) 称为投影. 对每点 \( b \in B,{\pi }^{-1}\left( b\right) \) 称为丛 \( \xi \) 在点 \( b \) 的纤维,记为 \( {G}_{b} \) . 设 \( \xi = \left( {G,\pi, B}\right) \) 是一个丛,称丛 \( \xi = \left( {G,\pi, B}\right) \) 为巴拿赫向量丛. 若存在 \( B \) 的一个开覆盖 \( \left\{ {{U}_{\alpha } \mid \alpha \in }\right. \) \( \Lambda \} \) ,且对每个 \( \alpha \in \Lambda \) ,对应有某个巴拿赫空间 \( {Y}_{\alpha } \) 及连续映射 \( {\tau }_{\alpha } : {\pi }^{-1}\left( {U}_{\alpha }\right) \rightarrow {U}_{\alpha } \times {Y}_{\alpha } \) ,使得:
1. \( {\tau }_{\alpha } \) 是同胚,且 \( {P}_{\alpha }{\tau }_{\alpha } = \pi \) ,其中 \( {P}_{\alpha } : {U}_{\alpha } \times {Y}_{\alpha } \rightarrow {U}_{\alpha } \) 为自然投影.
2. \( \forall b \in {U}_{\alpha } \) ,导出映射 \( {\tau }_{\alpha b} : {\pi }^{-1}\left( b\right) \rightarrow {Y}_{\alpha } \) 是拓扑线性同构.
3. \( \forall \alpha ,\beta \in \Lambda \) ,当 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \neq \varnothing \) 时, \( b \mapsto {\tau }_{\beta b}{\tau }_{ab}^{-1} \) 是从 \( {U}_{\alpha } \cap {U}_{\beta } \) 到 \( \mathcal{B}\left( {{Y}_{\alpha } \rightarrow {Y}_{\beta }}\right) \) 的连续映射,其中 \( \mathcal{B}\left( {{Y}_{\alpha } \rightarrow }\right. \) \( \left. {Y}_{\beta }\right) \) 为从 \( {Y}_{\alpha } \) 到 \( {Y}_{\beta } \) 的有界线性算子空间.
对于巴拿赫向量丛 \( \xi = \left( {G,\pi, B}\right) \) ,若 \( B \) 是连通的,则上述诸巴拿赫空间 \( {Y}_{\alpha } \) 彼此拓扑线性同构,这时可将诸 \( {Y}_{\alpha } \) 取作同一个巴拿赫空间 \( Y \) . 当 \( B \) 为以 \( E \) 为模的连通的巴拿赫流形时,巴拿赫向量丛 \( \xi \) \( = \left( {G,\pi, B}\right) \) 的全空间 \( G \) 成为以 \( E \times Y \) 为模的巴拿赫拓扑流形. 进而,若 \( B \) 还是 \( {C}^{r} \) 流形,且上述条件 3 中所述的映射是 \( {C}^{r} \) 的,则 \( G \) 是 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形, 这时称 \( \xi \) 为 \( {C}^{r} \) 巴拿赫向量丛.
巴拿赫流形的切丛 (tangent bundle of Banach manifold) 由巴拿赫流形上所有点处的切空间所构成的巴拿赫向量丛. 设 \( M \) 是 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形,模空间为 \( E \) . 令
\[
{TM} = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{T}_{p}M
\]
\( \pi : {TM} \rightarrow M \) 为到基点的投影,即当 \( {X}_{p} \in {T}_{p}M \) 时, \( \pi {X}_{p} = p \) . 由 \( M \) 上的微分结构可自然诱导出 \( {TM} \) 中的微分结构与向量丛结构使得 \( \left( {{TM},\pi, M}\right) \) 成为 \( {C}^{r} \) 巴拿赫向量丛,称这个丛,或简单地称 \( {TM} \) 为 \( M \) 的切丛. 这时 \( {TM} \) 是以 \( E \times E \) 为模的 \( {C}^{r - 1} \) 巴拿赫流形.
巴拿赫流形的余切丛 (cotangent bundle of Banach manifold) 切丛的对偶丛. 设 \( M \) 是模为 \( E \) 的 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形, \( p \in M \) ,切空间 \( {T}_{p}M \) 的对偶空间称为 \( M \) 在点 \( p \) 的余切空间,记为 \( {T}_{p}^{ * }M \) ,它与 \( {E}^{ * } \) 拓扑线性同构. \( {T}_{p}^{ * }M \) 中的元称为 \( M \) 在点 \( p \) 的余切向量. 令
\[
{T}^{ * }M = \mathop{\bigcup }\limits_{{p \in M}}{T}_{p}^{ * }M
\]
在 \( {T}^{ * }M \) 中可用自然的方式引入流形结构与丛结构,使之成为 \( {C}^{r - 1} \) 巴拿赫向量丛,这个丛称为 \( M \) 的余切丛. \( {T}^{ * }M \) 是以 \( E \times {E}^{ * } \) 为模的 \( {C}^{r - 1} \) 巴拿赫流形.
巴拿赫流形的余切向量 (cotangent vector of Banach manifold) 见“巴拿赫流形的余切丛”.
巴拿赫流形的余切空间 (cotangent space of Banach manifold) 见“巴拿赫流形的余切丛”.
切映射 (tangent mapping) 巴拿赫空间中映射的导映射概念到巴拿赫流形上映射情形的推广. 设 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 与 \( \left( {N,{\mathcal{D}}^{\prime }}\right) \) 是两个巴拿赫流形,模空间分别为 \( E \) 和 \( F, f \in {C}^{r}\left( {M, N}\right), r \geq 1 \) . 设 \( p \in M \) , \( f\left( p\right) = q \) . 分别取点 \( p \) 与点 \( q \) 的局部坐标系 \( \left( {U,\varphi }\right) \) 与 \( \left( {V,\psi }\right) \) 使 \( f\left( U\right) \subset V \) . 定义映射 \( {f}_{*p} : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{q}N \) 如下: 任取 \( X \in {T}_{p}M \) ,设 \( X = \left\lbrack \left( {U,\varphi, e}\right) \right\rbrack \) ,令 \( {f}_{*p}\left( X\right) \) \( = \left\lbrack \left( {V,\psi, w}\right) \right\rbrack \) ,其中 \( w = {\left( \psi f{\varphi }^{-1}\right) }^{\prime }\left( {\varphi \left( p\right) }\right) e \) ,则 \( {f}_{{ * }_{p}} \) : \( {T}_{p}M \rightarrow {T}_{q}N \) 是连续线性算子,称为 \( f \) 在点 \( p \) 的导算子. 由 \( f \) 在 \( M \) 上每点 \( p \) 的导算子自然得到 \( M \) 与 \( N \) 的切丛间的映射 \( {f}_{ * } : {TM} \rightarrow {TN},{f}_{ * } \) 称为 \( f \) 的切映射,且有 \( {f}_{ * } \in {C}^{r - 1}\left( {{TM},{TN}}\right) .{f}_{ * } \) 也常记为 \( \mathrm{d}f \) .
导算子 (derivative operator) 见 “切映射”.
局部浸入 (local immersion) 指映射在该点的导算子双裂且为单射的情形. 设 \( M \) 和 \( N \) 是巴拿赫微分流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M, N}\right), p \in M \) . 若
\[
{\left( \mathrm{d}f\right) }_{p} : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{f\left( p\right) }N
\]
是双裂的,且为单射,则称 \( f \) 在点 \( p \) 为局部浸入. 这里,拓扑线性空间中的连续线性算子 \( A : E \rightarrow F \) 称为核裂的,是指 \( E \) 可表为 \( A \) 的核空间 \( \ker A \) 与 \( E \) 的另一子空间的直和; \( A \) 称为值裂的,是指 \( F \) 可表为 \( A \) 的像空间 \( \operatorname{Im}A \) 与 \( F \) 的另一子空间的直和. 当 \( A \) 既为核裂又为值裂时称为双裂.
核裂 (kernel split) 见“局部浸入”.
值裂 (range split) 见“局部浸入”.
双裂 (bisplit) 见 “局部浸入”.
局部浸盖 (local submersion) 指映射在该点的导算子双裂且为满射的情形. 见“局部浸入”.
嵌入 (embedding) 在每点为局部浸入且整体为单射的映射. 设 \( f \in {C}^{1}\left( {M, N}\right) \) ,若 \( f \) 在 \( M \) 上每点为局部浸入,且 \( f : M \rightarrow N \) 为单射,则称映射 \( f : M \) \( \rightarrow N \) 为嵌入. 若 \( f : M \rightarrow N \) 为嵌入,且 \( f : M \rightarrow f\left( M\right) \) 为微分同胚,则映射 \( f : M \rightarrow N \) 称为正则嵌入.
正则嵌入 (regular embedding) 见 “嵌入”.
映射的正则点 (regular point of mapping) 使映射为局部浸盖的定义域中的点. 设 \( f \in {C}^{1}\left( {M, N}\right) \) , \( p \in M \) ,若 \( f \) 在 \( p \) 为局部浸盖,即 \( {\left( \mathrm{d}f\right) }_{p} \) 为满射且核裂,则 \( p \) 称为 \( f \) 的正则点. 若 \( p \in M \) 不是正则点,则称 \( p \) 为 \( f \) 的奇异点或临界点. 设 \( q \in N \) ,若 \( {f}^{-1}\left( q\right) \) 中不含奇异点,则称 \( q \) 为 \( f \) 的正则值. 若 \( q \in N \) 不是正则值,则 \( q \) 称为 \( f \) 的奇异值或临界值.
映射的奇异点 (singular point of mapping) 见“映射的正则点”.
映射的临界点 (critical point of mapping) 见 “映射的正则点”.
映射的正则值 (regular value of mapping) 见“映射的正则点”.
映射的奇异值 (singular value of mapping) 见“映射的正则点”.
映射的临界值 (critical value of mapping) 见 “映射的正则点”.
巴拿赫流形的子流形 (submanifold of Banach manifold) 有限维流形的子流形概念到巴拿赫流形情形的推广. 设 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 是模为 \( E \) 的 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形, \( E = {E}_{1} \oplus {E}_{2}, N \) 是 \( M \) 的拓扑子空间, \( \left( {N,{\mathcal{D}}^{\prime }}\right) \) 是模为 \( {E}_{1} \) 的 \( {C}^{r} \) 巴拿赫流形. 若 \( \forall p \in N \) ,存在 \( p \) 在 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 中的局部坐标系 \( \left( {U,\varphi }\right) \) ,使得 \( \varphi \left( {U \cap N}\right) \) \( = \varphi \left( U\right) \cap {E}_{1} \) ,且 \( \left( {U \cap N,{\left. \varphi \right| }_{U \cap N}}\right) \) 是 \( p \) 在 \( \left( {N,{\mathcal{D}}^{\prime }}\right) \) 中的局部坐标系,则称 \( \left( {N,{\mathcal{D}}^{\prime }}\right) \) 是 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 的正则 \( {C}^{r} \) 子流形. 通常所说的子流形均指正则子流形. \( (N \) , \( \left. {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \) 是 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 的 (正则) 子流形等价于包含映射 \( i \) : \( N \rightarrow M \) 是正则嵌入.
正则子流形 (regualar submanifold) 见 “巴拿赫流形的子流形”.
横截性(transversality) 映射与流形间某种规则相处状态的刻画. 设 \( M \) 和 \( N \) 是巴拿赫微分流形, \( f \in {C}^{r}\left( {M, N}\right), W \) 是 \( N \) 的 \( {C}^{r} \) 子流形 \( \left( {r \geq 1}\right) \) . 设 \( p \in {f}^{-1}\left( W\right), f\left( p\right) = q \) . 若复合映射
\[
{T}_{p}M\overset{\left( \mathrm{d}f\right) }{ \rightarrow }{T}_{q}\left( N\right) \overset{\pi }{ \rightarrow }{T}_{q}N/{T}_{q}W
\]
为满射且核裂,其中 \( \pi \) 为到商空间的自然投影,则称 \( f \) 在点 \( p \) 与 \( W \) 横截,记为 \( f \) 不, \( W \) . 如果对 \( {f}^{-1}\left( W\right) \) 中的每点 \( p \) ,均有 \( f \) 不 \( {}_{p}W \) ,则称 \( f \) 与 \( W \) 横截,记为 \( f \) 不 \( W \) . 特别地,当 \( {f}^{-1}\left( W\right) = \varnothing \) 时,也有 \( f \) 不 \( W \) . 设 \( q \in N \) ,则 \( f \) 不 \( \{ q\} \) 等价于 \( q \) 是 \( f \) 的正则值. 设 \( {W}_{1} \) 与 \( {W}_{2} |
2000_数学辞海（第3卷） | 93 | \( {C}^{r} \) 子流形. 通常所说的子流形均指正则子流形. \( (N \) , \( \left. {\mathcal{D}}^{\prime }\right) \) 是 \( \left( {M,\mathcal{D}}\right) \) 的 (正则) 子流形等价于包含映射 \( i \) : \( N \rightarrow M \) 是正则嵌入.
正则子流形 (regualar submanifold) 见 “巴拿赫流形的子流形”.
横截性(transversality) 映射与流形间某种规则相处状态的刻画. 设 \( M \) 和 \( N \) 是巴拿赫微分流形, \( f \in {C}^{r}\left( {M, N}\right), W \) 是 \( N \) 的 \( {C}^{r} \) 子流形 \( \left( {r \geq 1}\right) \) . 设 \( p \in {f}^{-1}\left( W\right), f\left( p\right) = q \) . 若复合映射
\[
{T}_{p}M\overset{\left( \mathrm{d}f\right) }{ \rightarrow }{T}_{q}\left( N\right) \overset{\pi }{ \rightarrow }{T}_{q}N/{T}_{q}W
\]
为满射且核裂,其中 \( \pi \) 为到商空间的自然投影,则称 \( f \) 在点 \( p \) 与 \( W \) 横截,记为 \( f \) 不, \( W \) . 如果对 \( {f}^{-1}\left( W\right) \) 中的每点 \( p \) ,均有 \( f \) 不 \( {}_{p}W \) ,则称 \( f \) 与 \( W \) 横截,记为 \( f \) 不 \( W \) . 特别地,当 \( {f}^{-1}\left( W\right) = \varnothing \) 时,也有 \( f \) 不 \( W \) . 设 \( q \in N \) ,则 \( f \) 不 \( \{ q\} \) 等价于 \( q \) 是 \( f \) 的正则值. 设 \( {W}_{1} \) 与 \( {W}_{2} \) 是 \( N \) 的两个子流形, \( {i}_{1} : {W}_{1} \rightarrow N \) 为包含映射,若 \( {i}_{1} \) 不 \( {W}_{2} \) ,则称 \( {W}_{1} \) 与 \( {W}_{2} \) 横截. 设 \( {M}_{1} \) , \( {M}_{2}, N \) 为 \( {C}^{1} \) 流形, \( {f}_{2} \in {C}^{1}\left( {{M}_{2}, N}\right) \) ,若映射
\[
{f}_{1} \times {f}_{2} : {M}_{1} \times {M}_{2} \rightarrow N \times N
\]
与 \( N \times N \) 中的对角线流形 \( \Delta = \{ \left( {q, q}\right) \mid q \in N\} \) 横截,则称映射 \( {f}_{1} \) 与 \( {f}_{2} \) 横截. 下述原像定理反映了横截概念的重要性: 设 \( f \in {C}^{r}\left( {M, N}\right), W \) 是 \( N \) 的 \( {C}^{r} \) 子流形. 若 \( f \) 不 \( W \) ,则当 \( {f}^{-1}\left( W\right) \neq \varnothing \) 时, \( {f}^{-1}\left( W\right) \) 是 \( M \) 的 \( {C}^{r} \) (正则) 子流形,且 \( {f}^{-1}\left( W\right) \) 在 \( M \) 中的余维数等于 \( W \) 在 \( N \) 中的余维数. 特别地,若 \( q \) 是 \( f \) 的正则值,且 \( {f}^{-1}\left( q\right) \neq \varnothing \) ,则 \( {f}^{-1}\left( q\right) \) 是 \( M \) 的 \( {C}^{r} \) 子流形.
萨德-斯梅尔定理 (Sard-Smale theorem) 经典的萨德定理的无穷维推广. 设 \( M \) 和 \( N \) 是巴拿赫微分流形,其中 \( M \) 连通,可分, \( f \in {C}^{r}\left( {M, N}\right) \) . 若 \( f \) 是弗雷德霍姆映射,且 \( r > \operatorname{ind}f \) ,则 \( f \) 的临界值集合是 \( N \) 中至多可数个无处稠密闭集之并,因而是第一范畴集. 此定理由斯梅尔 (Smale, S. ) 于 1964 年所得到.
弗雷德霍姆映射 (Fredholm mapping) 在每点的导算子为线性弗雷德霍姆算子的映射. 设 \( M \) 和 \( N \) 是 \( {C}^{1} \) 巴拿赫流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M, N}\right) \) . 若 \( \forall p \in M \) , \( {\left( \mathrm{d}f\right) }_{p} : {T}_{p}M \rightarrow {T}_{f\left( p\right) }N \) 是弗雷德霍姆算子,则称 \( f \) : \( M \rightarrow N \) 为弗雷德霍姆映射. 当 \( M \) 连通时, \( {\left( \mathrm{d}f\right) }_{p} \) 的弗雷德霍姆指标记为 \( \operatorname{ind}f \) . 弗雷德霍姆映射是非线性分析中最常遇到的一类映射.
切向量场 (tangent vector field) 即切丛的截片. 设 \( M \) 为巴拿赫微分流形, \( {TM}\overset{\pi }{ \rightarrow }M \) 为其切丛, 若 \( {C}^{r} \) 映射 \( \xi : M \rightarrow {TM} \) 满足条件 \( {\pi \xi } = \mathrm{{id}} \) ,其中 \( \mathrm{{id}} \) 为 \( M \) 上的恒同映射,则称 \( \xi \) 为 \( M \) 上的一个 \( {C}^{r} \) 切向量场. 切向量场也常简称向量场.
向量场 (vector field) 即 “切向量场”.
余切向量场 (cotangent vector field) 即余切丛的截片. 设 \( {T}^{ * }M\overset{\pi }{ \rightarrow }M \) 为巴拿赫流形 \( M \) 的余切丛, \( M \) 上的余切向量场指的是满足条件 \( {\pi \xi } = \mathrm{{id}} \) 的映射 \( \xi : M \rightarrow {T}^{ * }M \) .
向量场的积分曲线 (integral curve for vector field) 在每点以所给向量场的值为速度向量的曲线. 设 \( M \) 是巴拿赫微分流形, \( X \) 是 \( M \) 上的切向量场, \( \alpha : \left( {a, b}\right) \rightarrow M \) 是 \( {C}^{1} \) 曲线. 若
\[
{\alpha }^{\prime }\left( t\right) = {X}_{a\left( t\right) }\left( {\forall t \in \left( {a, b}\right) }\right) ,
\]
则 \( \alpha \) 称为向量场 \( X \) 的一条积分曲线. 设 \( X \in {C}^{1 - 0} \) , 即 \( X \) 为局部李普希茨向量场,则对任意的 \( p \in M \) , 初值问题 \( {\alpha }^{\prime }\left( t\right) = {X}_{\alpha \left( t\right) },\alpha \left( 0\right) = p \) 存在惟一的极大解曲线 \( \alpha : \left( {{t}^{ - }\left( p\right) ,{t}^{ + }\left( p\right) }\right) \rightarrow M \) ,其中 \( - \infty \leq {t}^{ - }\left( p\right) \) \( < 0 < {t}^{ + }\left( p\right) \leq + \infty \) . 记这个解为 \( \varphi \left( {p, t}\right) \) ,亦称为 \( X \) 的过点 \( p \) 的流线. 令 \( \Omega = \{ \left( {p, t}\right) \in M \times \mathrm{R} \mid p \in M \) , \( \left. {{t}^{ - }\left( p\right) < t < {t}^{ + }\left( p\right) }\right\} \) ,则 \( \varphi : \Omega \rightarrow M \) 称为由 \( X \) 产生的 (局部) 流. 对 \( t \in \mathrm{R} \) ,记 \( {\varphi }_{t}\left( \cdot \right) = \varphi \left( {\cdot, t}\right) \) 及 \( {\Omega }_{t} = \{ p \in \) \( M \mid \left( {p, t}\right) \in \Omega \} \) ,则 \( {\varphi }_{0} = \mathrm{{id}} : M \rightarrow M,{\varphi }_{t}\left( {\Omega }_{t}\right) = {\Omega }_{-t},{\varphi }_{-t} \) \( = {\varphi }_{t}^{-1},{\varphi }_{t} : {\Omega }_{t} \rightarrow M \) 是正则嵌入,且关系式 \( {\varphi }_{s}{\varphi }_{t}\left( p\right) \) \( = {\varphi }_{s + t}\left( p\right) \) 当其中一边有意义时就成立 (这时另一边也有意义).
向量场产生的流 (flow generated by vector field) 见“向量场的积分曲线”.
芬斯勒结构(Finsler structure) 巴拿赫向量丛上的范数结构. 设 \( \xi = \left( {G,\pi, M}\right) \) 是巴拿赫流形 \( M \) 上的巴拿赫向量丛,丛 \( \xi \) 上的一个芬斯勒结构是指
满足下述条件的连续函数 \( \parallel \cdot \parallel : G \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + } \) :
\[
\text{1.}\forall p \in M,\parallel \cdot {\parallel }_{p} = \parallel \cdot {\parallel }_{{G}_{p}}\text{是}{G}_{p}\text{上的一个}
\]
等价范数.
2. \( \forall {p}_{0} \in M \) ,对于 \( {p}_{0} \) 在 \( M \) 上的任意使得 \( G \) 在其上可平凡化的邻域 \( U \) 与任意的 \( k > 1 \) ,有 \( {p}_{0} \) 的邻域 \( V \subset U \) ,使得
\[
\frac{1}{k}\parallel \cdot {\parallel }_{p} \leq \parallel \cdot {\parallel }_{{p}_{0}} \leq k\parallel \cdot {\parallel }_{p}\left( {\forall p \in V}\right) .
\]
当 \( M \) 仿紧时,丛 \( \xi \) 上 芬斯勒结构总是存在的. 芬斯勒结构因芬斯勒 (Finsler, P. ) 的工作而得名.
巴拿赫-芬斯勒流形 (Banach-Finsler manifold) 在切丛上指定了芬斯勒结构的巴拿赫流形. 设 \( M \) 是巴拿赫流形, \( \parallel \cdot \parallel \) 为 \( {TM} \) 上的芬斯勒结构,则 \( \left( {M,\parallel \cdot \parallel }\right) \) 称为巴拿赫-芬斯勒流形,或简称芬斯勒流形. 切丛上的芬斯勒结构自然诱导出余切丛上的芬斯勒结构.
切丛上的芬斯勒结构亦称为芬斯勒度量. 它按下述方式诱导出 \( M \) 上的度量. 设 \( \alpha : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow M \) 是 \( {C}^{1} \) 曲线 (或逐段 \( {C}^{1} \) 曲线),则可定义曲线 \( \alpha \) (从 \( a \) 到 \( b) \) 的长度为
\[
{\int }_{a}^{b}\begin{Vmatrix}{{\alpha }^{\prime }\left( t\right) }\end{Vmatrix}\mathrm{d}t
\]
设 \( M \) 连通 (否则考虑其每个连通分支),可定义 \( M \) 上任取两点 \( p \) 和 \( q \) 间的距离为
\( \rho \left( {p, q}\right) = \inf \{ M \) 上从 \( p \) 到 \( q \) 的逐段 \( {C}^{1} \) 曲线的长度 \( \} \) ,
则 \( \rho \) 满足距离公理, \( \left( {M,\rho }\right) \) 成为距离空间,且 \( \rho \) 诱导的拓扑与 \( M \) 上原有的拓扑一致. 若距离空间 \( \left( {M,\rho }\right) \) 是完备的,则称 \( M \) 是完备的巴拿赫-芬斯勒流形.
芬斯勒度量 (Finsler metric) 见 “巴拿赫-芬斯勒流形”.
完备的巴拿赫-芬斯勒流形 (complete Banach-Finsler manifold) 见“巴拿赫-芬斯勒流形”.
希尔伯特流形(Hilbert manifold) 模空间为希尔伯特空间的巴拿赫流形.
希尔伯特-黎曼流形 (Hilbert-Riemann manifold) 指定了黎曼度量的希尔伯特流形. 设 \( M \) 是希尔伯特微分流形, \( M \) 上的黎曼度量指的是 \( M \) 上的一个连续的正定对称二阶协变张量场 \( g.M \) 连同其上给定的黎曼度量 \( g \) 称为希尔伯特-黎曼流形,记为 \( \left( {M, g}\right) \) ,这时, \( \forall p \in M \) ,由
\[
{g}_{p} : {T}_{p}M \times {T}_{p}M \rightarrow \mathrm{R}
\]
给出了 \( {T}_{p}M \) 上的内积 \( \langle \cdot , \cdot {\rangle }_{p} = {g}_{p}\left( {\cdot , \cdot }\right) \) . 当 \( M \) 连通时,黎曼度量 \( g \) 诱导出了 \( M \) 上的距离 \( \rho \) . 若 \( \left( {M,\rho }\right) \) 是完备的度量空间,则称 \( \left( {M, g}\right) \) 是完备的希尔伯特-黎曼流形 (参见 “巴拿赫-芬斯勒流形”). 当 \( M \) 仿紧时, \( M \) 上的黎曼度量是存在的. 黎曼度量是一种特殊的芬斯勒结构. 希尔伯特-黎曼流形是特殊的巴拿赫-芬斯勒流形.
黎曼度量 (Riemann metric) 见 “希尔伯特- 黎曼流形”.
完备的希尔伯特-黎曼流形 (complete Hilbert-Riemann manifold) 见“希尔伯特-黎曼流形”.
紧连续映射 (compact continuous mapping) 像集为相对紧集的连续映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是拓扑空间, \( \Omega \subset X, f : \Omega \rightarrow Y \) 是连续映射. 若 \( \overline{f\left( \Omega \right) } \) 是紧集,则称 \( f \) 为紧连续映射,或简称紧映射.
紧连续向量场 (compact continuous vector field) 恒同映射的紧连续摄动. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( I \) 为 \( X \) 上的恒同映射, \( \Omega \subset X, f : \Omega \rightarrow X \) 为紧连续映射,则映射 \( I - f : \Omega \rightarrow X \) 称为 \( \Omega \) 上的紧连续向量场, 简称紧向量场或紧场.
全连续映射 (completely continuous mapping) 映有界集为相对紧集的连续映射. 设 \( \Omega \subset X, f : \Omega \rightarrow \) \( Y \) 是连续映射. 若对于 \( \Omega \) 中的任何有界子集 \( S \) , \( \overline{f\left( S\right) } \) 是 \( Y \) 中的紧集,则称 \( f \) 为全连续映射. 紧连续映射必为全连续映射. 当 \( \Omega \) 为有界集时, \( \Omega \) 上的全连续映射与紧连续映射是等价的概念. 设 \( \Omega \) 为 \( X \) 中的有界集,则 \( f : \Omega \rightarrow Y \) 为全连续映射的充分必要条件是 \( f \) 能用 \( \Omega \) 上的有限维值连续映射一致逼近. 可微的全连续映射在每点的导算子是全连续线性算子. 设 \( D \) 为 \( X \) 中的有界闭集, \( f : D \rightarrow Y \) 全连续,则存在 \( f \) 在 \( X \) 上的全连续延拓 \( \widetilde{f} : X \rightarrow Y \) ,使得
\[
\widetilde{f}\left( X\right) \subset \overline{\operatorname{co}}f\left( D\right) \text{.}
\]
全连续向量场 (completely continuous vector field) 恒同映射的全连续摄动.
固有映射 (proper mapping) 紧集的原像是紧集的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是拓扑空间, \( f : X \rightarrow Y \) 是映射. 若对于 \( Y \) 中任意的紧集 \( C,{f}^{-1}\left( C\right) \) 是 \( X \) 中的紧集,则称映射 \( f \) 是固有的. 当 \( X \) 和 \( Y \) 为度量空间时,映射 \( f : X \rightarrow Y \) 为固有映射的充分必要条件是, \( f \) 是闭映射 (映闭集为闭集) 且 \( Y \) 中每点的原像是 \( X \) 中的紧集. 当 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间时,连续线性算子 \( A : X \rightarrow Y \) 为固有映射的充分必要条件是, \( A \) 为单射且 \( A \) 的像空间 \( \operatorname{Im}A \) 是闭的. 赋范线性空间中闭集上的紧连续场, 特别地有界闭集上的全连续场,是固有的. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是道路连通的度量空间, \( f : X \rightarrow Y \) 是局部同胚,那么, \( f \) 是固有映射 \( \Leftrightarrow f \) 是闭映射 \( \Leftrightarrow f \) 是有限层覆盖映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是道路连通的度量空间,且 \( Y \) 单连通,那么, \( f : X \rightarrow Y \) 是同胚 \( \Leftrightarrow f \) 是局部同胚且固有 \( \Leftrightarrow f \) 是局部同胚的闭映射.
压缩映射 (contractive mapping) 亦称巴拿赫压缩映射. 是指在度量意义下压缩的映射. 设 \( \left( {X,{d}_{X}}\right) \) 与 \( \left( {Y,{d}_{Y}}\right) \) 是度量空间, \( f : X \rightarrow Y \) 是映射. 若存在常数 \( k \in \lbrack 0,1) \) ,使得
\[
{d}_{Y}\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \leq k{d}_{X}\left( {x, y}\right) \;\left( {\forall x, y \in X}\right) ,
\]
则称 \( f \) 为压缩映射, \( k \) 称为压缩系数. 压缩映射必是连续映射 (且为李普希茨连续). 当 \( X \) 为赋范线性空间, \( f : X \rightarrow X \) 为压缩映射时,映射 \( I - f \) 称为 \( X \) 上的压缩向量场.
压缩向量场 (contractive vector field) 见“压缩映射”.
非扩张映射 (nonextension mapping) 每两点间的距离不变大的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是度量空间, \( f : X \rightarrow Y \) . 若 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \leq d\left( {x, y}\right) \left( {\forall x, y \in X}\right) \) , 则称 \( f \) 为非扩张映射. 若成立 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) < \) \( d\left( {x, y}\right) \left( {\f |
2000_数学辞海（第3卷） | 94 | ( Y \) 是道路连通的度量空间,且 \( Y \) 单连通,那么, \( f : X \rightarrow Y \) 是同胚 \( \Leftrightarrow f \) 是局部同胚且固有 \( \Leftrightarrow f \) 是局部同胚的闭映射.
压缩映射 (contractive mapping) 亦称巴拿赫压缩映射. 是指在度量意义下压缩的映射. 设 \( \left( {X,{d}_{X}}\right) \) 与 \( \left( {Y,{d}_{Y}}\right) \) 是度量空间, \( f : X \rightarrow Y \) 是映射. 若存在常数 \( k \in \lbrack 0,1) \) ,使得
\[
{d}_{Y}\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \leq k{d}_{X}\left( {x, y}\right) \;\left( {\forall x, y \in X}\right) ,
\]
则称 \( f \) 为压缩映射, \( k \) 称为压缩系数. 压缩映射必是连续映射 (且为李普希茨连续). 当 \( X \) 为赋范线性空间, \( f : X \rightarrow X \) 为压缩映射时,映射 \( I - f \) 称为 \( X \) 上的压缩向量场.
压缩向量场 (contractive vector field) 见“压缩映射”.
非扩张映射 (nonextension mapping) 每两点间的距离不变大的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是度量空间, \( f : X \rightarrow Y \) . 若 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \leq d\left( {x, y}\right) \left( {\forall x, y \in X}\right) \) , 则称 \( f \) 为非扩张映射. 若成立 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) < \) \( d\left( {x, y}\right) \left( {\forall x, y \in X}\right) \) ,则称 \( f \) 为严格非扩张映射.
严格非扩张映射 (strictly nonextension mapping) 见“非扩张映射”.
扩张映射 (expansive mapping) 每两点间的距离不变小的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是度量空间, \( f : X \rightarrow \) \( Y \) . 若 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \geq d\left( {x, y}\right) \left( {\forall x, y \in X}\right) \) ,则称 \( f \) 为扩张映射. 若有 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) > d\left( {x, y}\right) (\forall x, y \) \( \in X) \) ,则称 \( f \) 为严格扩张映射. 若有常数 \( h > 1 \) 使得 \( d\left( {f\left( x\right), f\left( y\right) }\right) \geq {hd}\left( {x, y}\right) \left( {\forall x, y \in X}\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( h \) 扩张映射,这时 \( h \) 称为扩张系数.
非紧性测度 (measure of noncompactness) 非紧集合丧失紧性程度的一种数值刻画. 设 \( X \) 是完备度量空间, \( \mathcal{B} \) 表示 \( X \) 的全体非空有界子集所成之族. 若非负函数 \( \psi : \mathcal{B} \rightarrow \lbrack 0, + \infty ) \) 满足条件:
1. \( \psi \left( A\right) = 0 \Leftrightarrow \bar{A} \) 紧;
2. \( \psi \left( A\right) = \psi \left( \bar{A}\right) \left( {\forall A \in \mathcal{B}}\right) \) ;
3. \( \psi \left( {A \cup B}\right) = \max \{ \psi \left( A\right) ,\psi \left( B\right) \} (\forall A, B \in \)
男);
则称 \( \psi \) 为 \( X \) 上的一个非紧性测度. 这时,对于 \( A \in \) \( \mathcal{B},\psi \left( A\right) \) 称为 \( A \) 的非紧性测度. 当 \( X \) 是巴拿赫空间时, 常将上述非紧性测度定义中的条件 2 加强为:
\( {2}^{\prime } \cdot \psi \left( A\right) = \psi \left( {\overline{\operatorname{co}}A}\right) \left( {\forall A \in \mathcal{B}}\right) . \)
常用的非紧性测度有库拉托夫斯基 (Kura-towski, K. ) 的集-非紧性测度 \( \alpha \) 与豪斯多夫 (Hausdorff, F. ) 的球-非紧性测度 \( \gamma .\alpha \) 与 \( \gamma \) 的定义分别是
\( \alpha \left( A\right) = \inf \{ d \mid X \) 中存在有限多个直径均 \( \leq d \) 的集覆盖了 \( A\} \) ;
\( \gamma \left( A\right) = \inf \{ r \mid X \) 中存在有限多个半径均 \( \leq r \) 的球覆盖了 \( A\} \) .
当 \( X \) 为巴拿赫空间时, \( \alpha \) 与 \( \gamma \) 除了满足条件 \( 1,{2}^{\prime },3 \) 外,还有性质:
4. \( \psi \left( {\lambda A}\right) = \left| \lambda \right| \psi \left( A\right) \left( {\forall A \in \mathcal{B},\lambda \in \mathrm{R}}\right) \) ;
5. \( \psi \left( {A + B}\right) \leq \psi \left( A\right) + \psi \left( B\right) \left( {\forall A, B \in \mathcal{B}}\right) \) .
非紧性测度的概念最早由库拉托夫斯基于 1930 年提出.
集压缩映射 (set contractive mapping) 在集合的非紧性测度意义下压缩的映射. 设 \( X, Y \) 为完备度量空间, \( f : X \rightarrow Y \) 连续有界, \( {\psi }_{X} \) 与 \( {\psi }_{Y} \) 分别为 \( X \) 与 \( Y \) 上的非紧性测度. 若有非负常数 \( k \) ,使得对于 \( X \) 中每个有界集 \( A \) ,有 \( {\psi }_{Y}\left( {f\left( A\right) }\right) \leq k{\psi }_{X}\left( A\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( k \) 集压缩的,或更明确地,称 \( f \) 为 \( k\left( {{\psi }_{X},{\psi }_{Y}}\right) \) 压缩的. 当 \( k < 1 \) 时,称 \( f \) 为严格集压缩的,也常简称集压缩的. 若对于 \( X \) 中每个有界的非相对紧集 \( A \) , 均有 \( {\psi }_{Y}\left( {f\left( A\right) }\right) < {\psi }_{X}\left( A\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( \left( {{\psi }_{X},{\psi }_{Y}}\right) \) 凝聚映射. (严格) 集压缩映射必是凝聚的. \( f \) 是全连续映射,当且仅当 \( f \) 是 0 集压缩的.
常取非紧性测度为集-非紧性测度或球-非紧性测度. 这时,巴拿赫 \( k \) 压缩映射是 \( k \) 集压缩的,非扩张映射是 1 - 集压缩的, 但严格非扩张映射不一定是凝聚的. 若 \( \forall x \in X \) ,存在 \( x \) 的邻域 \( U \) ,使得 \( {\left. f\right| }_{U} \) 为 \( k \) 集压缩 (相应地,凝聚),则称 \( f \) 在 \( X \) 上为局部 \( k \) 集压缩 (相应地,局部凝聚) 映射. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( D \) 为 \( X \) 中的闭集. 若 \( f : D \rightarrow X \) 为 \( k \) 集压缩 (或凝聚) 映射,则 \( I - f \) 称为 \( D \) 上的 \( k \) 集压缩向量场 (或凝聚向量场). 有界闭集 \( D \) 上的凝聚向量场是固有的. 可微的 \( k \) 集压缩映射在每点的导算子是 \( k \) 集压缩线性算子.
集压缩向量场 (set contractive vector field) 见“集压缩映射”.
凝聚映射 (condensing mapping) 见 “集压缩映射”.
凝聚向量场 (condensing vector field) 见“集压缩映射”.
局部集压缩映射 (locally set contractive mapping) 见“集压缩映射”.
局部凝聚映射 (locally condensing mapping) 见“集压缩映射”.
映射的基本集 (fundamental set for mapping) 包含该映射的不动点集且具某种特殊性质的凸集. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \subset X, f : \bar{\Omega } \rightarrow X, M \subset X.X \) 中的一个凸集 \( S \) 称为映射 \( f \) 相对于集 \( M \) 的基本集, 是指下述两条件成立:
1. \( f\left( {S \cap M}\right) \subset S \) .
2. 若 \( {x}_{0} \in M,{x}_{0} \in \operatorname{co}\left\{ {f\left( {x}_{0}\right), S}\right\} \) ,则 \( {x}_{0} \in S \) .
这时, \( S \) 必包含 \( f \) 在 \( M \) 中的所有不动点,且 \( N \) \( = \operatorname{co}\left( {f\left( {S \cap M}\right) }\right) \) 也是 \( f \) 相对于 \( M \) 的基本集. 当基本集 \( S \) 为闭集时, \( \bar{N} \) 也是基本集. 任意多个基本集之交仍为基本集. 当 \( f \) 在 \( M \) 上无不动点时,空集是它的一个基本集. \( f \) 相对于 \( M = \bar{\Omega } \) 的基本集对于研究映射 \( f \) 在 \( \bar{\Omega } \) 中的不动点具重要意义.
紧支撑映射 (compactly supported mapping) 一种具有紧致基本集的映射. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \subset X, f : \bar{\Omega } \rightarrow X, M \subset X \) . 若 \( X \) 的一个非空有界闭凸集 \( C \) 满足下述条件:
1. \( C \) 包含 \( f \) 相对于 \( M \) 的一个闭基本集;
2. \( f\left( {C \cap M}\right) \subset C \) ;
3. \( f \) 在 \( C \cap M \) 上全连续;
则称 \( C \) 为 \( f \) 相对于 \( M \) 的一个支撑. 如果 \( f \) 具有一个相对于 \( M \) 的紧支撑集,则称 \( f \) 是相对于 \( M \) 的紧支撑映射. 常用到的情形是, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的有界开集, \( M = \bar{\Omega }, f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 连续. 这时,若 \( f \) 是 (严格) 集压缩映射,或凝聚映射,或终归紧映射,则 \( f \) 是 \( \bar{\Omega } \) 上的紧支撑映射. 若 \( f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 是紧支撑映射,则 \( I \) \( - f \) 称为 \( \bar{\Omega } \) 上的紧支撑向量场.
紧支撑向量场 (compactly supported vector field) 见“紧支撑映射”.
终归紧映射 (ultimately compact mapping)
在超限迭代意义下最终可归结为紧映射的一种映射. 设 \( \Omega \) 是 \( X \) 中的有界开集, \( f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 连续. 定义超限集列 \( {R}_{a} \) 如下:
\[
{R}_{1} = \overline{\operatorname{co}}f\left( \bar{\Omega }\right) .
\]
当 \( \alpha \) 是第一类序数时,令 \( {R}_{\alpha } = \overline{\operatorname{co}}f\left( {{R}_{\alpha - 1} \cap \bar{\Omega }}\right) \) .
当 \( \alpha \) 是第二类序数时,令 \( {R}_{\alpha } = \bigcap \left\{ {{R}_{\beta } \mid \beta \prec \alpha }\right\} \) .
超限集列 \( {R}_{a} \) 是递减的,故存在某个序数 \( {\alpha }_{0} \) ,使得当 \( \alpha \succ {\alpha }_{0} \) 时,诸集 \( {R}_{\alpha } \) 均相同,记之为 \( {R}^{ * } \) . 若 \( {R}^{ * } \) 是紧集,则称 \( f \) 为 \( \bar{\Omega } \) 上的终归紧映射. 如果
\[
{R}_{\infty } = \mathop{\bigcap }\limits_{{i = 1}}^{\infty }{R}_{i}
\]
是紧的,则称 \( f \) 为极限紧映射. 极限紧映射是终归紧映射的特例. 凝聚映射是终归紧的. 若 \( f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 是终归紧的 (或极限紧的),则 \( I - f \) 称为 \( \bar{\Omega } \) 上的终归紧向量场 (相应地, 极限紧向量场).
终归紧向量场 (ultimately compact vector field) 见“终归紧映射”.
极限紧映射 (limit compact mapping) 见“终归紧映射”.
极限紧向量场 (limit compact vector field) 见“终归紧映射”.
锥映射 (cone mapping) 亦称正算子. 指值含在某锥中的映射. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( P \) 为 \( X \) 中的锥, \( M \subset X, A : M \rightarrow X \) 是映射. 若 \( A\left( M\right) \subset P \) ,则称 \( A \) 为 \( M \) 上的锥映射. 锥 \( P \) 上的锥映射简称锥映射. 由锥 \( P \) 可在 \( X \) 中引入半序 “ \( \leq \) ”. 这时 \( P \) 中的元称为正元. 因而锥映射亦称正算子.
正算子 (positive operator) 即“锥映射”.
增算子 (increasing operator) 半序意义下单调递增的算子. 设 \( \left( {X, \leq }\right) \) 是半序巴拿赫空间, \( D \subset \) \( X, A : D \rightarrow X \) . 若有
\( {x}_{1},{x}_{2} \in D,{x}_{1} \leq {x}_{2} \Rightarrow A{x}_{1} \leq A{x}_{2}, \) 则称 \( A \) 为 \( D \) 上的增算子. 若有
\[
{x}_{1},{x}_{2} \in D,{x}_{1} \leq {x}_{2} \Rightarrow A{x}_{2} \leq A{x}_{1},
\]
则称 \( A \) 为 \( D \) 上的减算子.
减算子 (decreasing operator) 见 “增算子”.
\( {u}_{0} \) 凹算子 ( \( {u}_{0} \) -concave operator) 一种具有较弱非线性性的特殊的正算子. 设 \( P \) 为 \( X \) 中的锥, \( A : P \rightarrow P \) 为正算子, \( {u}_{0} > \theta \) ,称 \( A \) 是 \( {u}_{0} \) 凹算子,如果:
1. \( \forall x > \theta \) ,存在 \( \alpha = \alpha \left( x\right) > 0 \) 与 \( \beta = \beta \left( x\right) > 0 \) 使得 \( \alpha {u}_{0} \leq {Ax} \leq \beta {u}_{0} \) .
2. 对任何满足条件 \( {\alpha }_{1}{u}_{0} \leq x \leq {\beta }_{1}{u}_{0} \) 的 \( x \in P \) (其中 \( {\alpha }_{1} = {\alpha }_{1}\left( x\right) > 0,{\beta }_{1} = {\beta }_{1}\left( x\right) > 0) \) 及 \( 0 < t < 1 \) ,均存在 \( \eta = \eta \left( {x, t}\right) > 0 \) ,使得 \( A\left( {tx}\right) \geq \left( {1 + \eta }\right) {tAx} \) .
\( {u}_{0} \) 凸算子 ( \( {u}_{0} \) -convex operator) 一种具有较强非线性性的特殊的正算子. 设 \( P \) 是 \( X \) 中的锥, \( A : P \rightarrow P \) 为正算子, \( {u}_{0} > \theta \) ,称 \( A \) 为 \( {u}_{0} \) 凸算子,如果:
1. \( \forall x > \theta \) ,存在 \( \alpha = \alpha \left( x\right) > 0 \) 与 \( \beta = \beta \left( x\right) > 0 \) , 使得 \( \alpha {u}_{0} \leq {Ax} \leq \beta {u}_{0} \) .
2. 对于任何满足条件 \( {\alpha }_{1}{u}_{0} \leq x \leq {\beta }_{1}{u}_{0} \) 的 \( x \in P \) (这里 \( {\alpha }_{1} = {\alpha }_{1}\left( x\right) > 0,{\beta }_{1} = {\beta }_{1}\left( x\right) > 0) \) 及 \( 0 < t < 1 \) , 均存在 \( \eta = \eta \left( {x, t}\right) > 0 \) 使得 \( A\left( {tx}\right) \leq \left( {1 - \eta }\right) {tAx} \) .
弱内向映射 (weakly inward mapping) 锥映射的一种推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( C \) 为 \( X \) 中闭凸集, \( A : C \rightarrow X \) 是映射. \( A \) 称为弱内向映射,如果 \( {Ax} \) \( \in \overline{{I}_{C}\left( x\right) }\left( {\forall x \in C}\right) \) . 这里 \( {I}_{C}\left( x\right) = \{ x + t\left( {y - x}\right) \mid t \) \( \geq 0, y \in C\} \) . 当 \( C = P \) 是 \( X \) 中锥, \( A : P \rightarrow P \) 是锥映射时, \( A \) 必是弱内向的.
单调映射 (monotone mapping) 单调递增一元函数概念在对偶作用意义下的无穷维推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间, \( D \subset X, T : D \) \( \rightarrow {X}^{ * } \) . 若有
\[
\langle {Tx} - {Ty}, x - y\rangle \geq 0\left( {\forall x, y \in D}\right) ,
\]
则称 \( T \) 为单调映射. 若上式中的等号仅当 \( x = y \) 时成立,则称 \( T \) 为严格单调映射. 若存在连续函数
\[
\alpha : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + },\alpha \left( 0\right) = 0,
\]
\[
\alpha \left( t\r |
2000_数学辞海（第3卷） | 95 | {\beta }_{1}\left( x\right) > 0) \) 及 \( 0 < t < 1 \) , 均存在 \( \eta = \eta \left( {x, t}\right) > 0 \) 使得 \( A\left( {tx}\right) \leq \left( {1 - \eta }\right) {tAx} \) .
弱内向映射 (weakly inward mapping) 锥映射的一种推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( C \) 为 \( X \) 中闭凸集, \( A : C \rightarrow X \) 是映射. \( A \) 称为弱内向映射,如果 \( {Ax} \) \( \in \overline{{I}_{C}\left( x\right) }\left( {\forall x \in C}\right) \) . 这里 \( {I}_{C}\left( x\right) = \{ x + t\left( {y - x}\right) \mid t \) \( \geq 0, y \in C\} \) . 当 \( C = P \) 是 \( X \) 中锥, \( A : P \rightarrow P \) 是锥映射时, \( A \) 必是弱内向的.
单调映射 (monotone mapping) 单调递增一元函数概念在对偶作用意义下的无穷维推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间, \( D \subset X, T : D \) \( \rightarrow {X}^{ * } \) . 若有
\[
\langle {Tx} - {Ty}, x - y\rangle \geq 0\left( {\forall x, y \in D}\right) ,
\]
则称 \( T \) 为单调映射. 若上式中的等号仅当 \( x = y \) 时成立,则称 \( T \) 为严格单调映射. 若存在连续函数
\[
\alpha : {\mathrm{R}}_{ + } \rightarrow {\mathrm{R}}_{ + },\alpha \left( 0\right) = 0,
\]
\[
\alpha \left( t\right) > 0\;\left( {\forall t > 0}\right) ,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\alpha \left( t\right) = + \infty ,
\]
使得
\[
\langle {Tx} - {Ty}, x - y\rangle \geq \alpha \left( {\parallel x - y\parallel }\right) \parallel x - y\parallel
\]
\[
\left( {\forall x, y \in D}\right) \text{,}
\]
则称 \( T \) 为强单调映射. 强单调 \( \Rightarrow \) 严格单调 \( \Rightarrow \) 单调.
严格单调映射 (strictly monotone mapping) 见“单调映射”.
强单调映射 (strongly monotone mapping) 见“单调映射”.
极大单调映射 (maximally monotone map-
ping) 不能再进行单调延拓的单调映射. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D \subset X, T : D \rightarrow {X}^{ * } \) 是单调映射. 若 \( T \) 满足条件:
\[
\langle \bar{y} - y,\bar{x} - x\rangle \geq 0\;\left( {\forall x \in D}\right) ,
\]
\[
y = {Tx} \Rightarrow \bar{x} \in D,\;\bar{y} = T\bar{x},
\]
则称 \( T \) 为极大单调映射.
\( \left( S\right) \) 型映射 (mapping of type \( \left( S\right) \) ) 一种与单调映射有密切关系的映射. 设 \( D \) 为巴拿赫空间 \( X \) 中的闭凸集, \( T : D \rightarrow {X}^{ * } \) . 若有:
\[
\left\{ {u}_{n}\right\} \subset D,\;{u}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }u,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {T{u}_{n},{u}_{n} - u}\right\rangle = 0 \Rightarrow {u}_{n} \rightarrow u,
\]
则称 \( T \) 为 \( \left( S\right) \) 型的.
\( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射 (mapping of type \( \left( {S{)}_{ + }}\right) \) 一种特殊的 \( \left( S\right) \) 型映射. 设 \( D \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的闭凸集, \( T : D \rightarrow {X}^{ * } \) . 若有:
\[
\left\{ {u}_{n}\right\} \subset D,\;{u}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }u,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {T{u}_{n},{u}_{n} - u}\right\rangle \leq 0 \Rightarrow {u}_{n} \rightarrow u,
\]
则称 \( T \) 为 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型的.
\( D \) 上的全体 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射构成 \( D \) 上的 \( \left( S\right) \) 型映射类的凸子类. 强单调映射及其全连续摄动是 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型的. 特别地,希尔伯特空间中的全连续向量场是 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型的.
伪单调映射 (pseudo-monotone mapping) 单调映射的一种推广. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( D \) 是 \( X \) 中的闭凸集, \( T : D \rightarrow {X}^{ * } \) . 若 \( T \) 是有限弱连续的, 且满足条件:
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} \subset D,\;{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }x,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {T{x}_{n},{x}_{n} - x}\right\rangle \leq 0 \Rightarrow \langle {Tx}, x - y\rangle
\]
\[
\leq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {T{x}_{n},{x}_{n} - y}\right\rangle \;\left( {\forall y \in D}\right) ,
\]
则称 \( T \) 是伪单调的. 非自反巴拿赫空间中的伪单调映射的定义是将上述定义中的序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 换成网 \( \left\{ {x}_{\alpha }\right\} \) . 有限弱连续的单调映射,次连续的 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射及全连续映射均是伪单调的.
\( \left( M\right) \) 型映射 (mapping of type \( \left( M\right) \) ) 伪单调映射的一种推广. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( T : X \rightarrow \) \( {X}^{ * } \) . 若 \( T \) 是有限弱连续的,且满足条件:
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} \subset X,{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }x, T{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }f,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {T{x}_{n},{x}_{n} - x}\right\rangle \leq 0 \Rightarrow f = {Tx},
\]
则称 \( T \) 是 \( \left( M\right) \) 型映射. 伪单调映射 \( T : X \rightarrow {X}^{ * } \) 是 (M)型的.
增生映射 (accretive mapping) 单调映射在自映射情形的变种. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D \subset X \) , \( T : D \rightarrow X \) . 设映射 \( J : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是由下式定义的正规对偶映射,
\[
J\left( x\right) = \left\{ {f \in {X}^{ * }\mid \langle x, f\rangle = \parallel x\parallel \cdot \parallel f\parallel }\right. \text{,}
\]
\[
\parallel f\parallel = \parallel x\parallel \} \left( {x \in X}\right) .
\]
若 \( T \) 满足条件: 对任意的 \( x, y \in D \) ,存在 \( j\left( {x - y}\right) \) \( \in J\left( {x - y}\right) \) 使得
\[
\langle {Tx} - {Ty}, j\left( {x - y}\right) \rangle \geq 0,
\]
则称 \( T \) 为增生映射. 在希尔伯特空间中,增生映射与单调映射是同一概念.
极大增生映射 (maximally accretive mapping) 一种特殊的增生映射. 不能再进行增生延拓的增生映射称为极大增生映射.
逼近格式 (approximation scheme) 用有限维空间逼近的方法研究无穷维空间中映射的一种工具. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间. \( \left( {X, Y}\right) \) 上的一个逼近格式指的是
\[
\Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,\left\{ {P}_{n}\right\} ;\left\{ {Y}_{n}\right\} ,\left\{ {Q}_{n}\right\} }\right\} ,
\]
其中 \( \left\{ {X}_{n}\right\} \) 与 \( \left\{ {Y}_{n}\right\} \) 是两个定向有限维空间序列,对每个 \( n \) ,有 \( \dim {X}_{n} = \dim {Y}_{n},{P}_{n} : {X}_{n} \rightarrow X \) 与 \( {Q}_{n} : Y \rightarrow \) \( {Y}_{n} \) 是连续映射. 如果 \( \Gamma \) 还满足条件:
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{n}\overline{{P}_{n}\left( {X}_{n}\right) } = X
\]
则称逼近格式 \( \Gamma \) 是允许的. 逼近格式可视不同情况而做不同的选取. 通常, \( \left\{ {X}_{n}\right\} \) 取作 \( X \) 的有限维子空间的递增序列, \( {P}_{n} \) 取为包含映射 \( {i}_{n} : {X}_{n} \rightarrow X \) . 若取 \( \left\{ {Y}_{n}\right\} \) 为 \( Y \) 的有限维子空间的递增序列, \( {Q}_{n} : Y \rightarrow \) \( {Y}_{n} \) 为线性投影,这时 \( \Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,\left\{ {i}_{n}\right\} ;\left\{ {Y}_{n}\right\} ,\left\{ {Q}_{n}\right\} }\right\} \) 称为投影逼近格式. 特别地,当 \( Y = X \) 时,则取 \( \left\{ {Y}_{n}\right\} \) \( = \left\{ {X}_{n}\right\} \) ,这时的投影逼近格式简记为 \( \Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,}\right. \) \( \left. \left\{ {Q}_{n}\right\} \right\} \) . 如果这时 \( \Gamma \) 还是允许的,且有 \( \begin{Vmatrix}{Q}_{n}\end{Vmatrix} = \) \( 1\left( {\forall n}\right) \) ,则称 \( X \) 为 \( \left( {\pi }_{1}\right) \) 空间. 当 \( Y = {X}^{ * } \) 时,常取 \( {Y}_{n} \) \( = {X}_{n}^{ * } \) 为 \( {X}_{n} \) 的共轭空间,取 \( {Q}_{n} = {i}_{n}^{ * } \) 为 \( {i}_{n} \) 的共轭算子,这时 \( \Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,\left\{ {i}_{n}\right\} ;\left\{ {X}_{n}^{ * }\right\} ,\left\{ {i}_{n}^{ * }\right\} }\right\} \) 称为 \( (X \) , \( \left. {X}^{ * }\right) \) 上的内射逼近格式.
逼近固有映射 (approximating proper mapping）一种具有在有限维逼近意义下的固有性的映射. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( T : \bar{\Omega } \) \( \rightarrow Y \) 是映射, \( \Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,\left\{ {P}_{n}\right\} ;\left\{ {Y}_{n}\right\} ,\left\{ {Q}_{n}\right\} }\right\} \) 是 \( \left( {X, Y}\right) \) 上的一个逼近格式. 对每个 \( n \) ,记 \( {\Omega }_{n} = {P}_{n}^{-1}\left( \Omega \right) ,{\bar{\Omega }}_{n} \) 为 \( {\Omega }_{n} \) 在 \( {X}_{n} \) 中的闭包,令 \( {T}_{n} = {Q}_{n}T{P}_{n} : {\bar{\Omega }}_{n} \rightarrow {Y}_{n} \) . 若:
1. 对充分大的 \( n,{T}_{n} : {\bar{\Omega }}_{n} \rightarrow {Y}_{n} \) 连续;
2. 若有正整数序列 \( \left\{ {n}_{j}\right\} ,{n}_{j} \rightarrow \infty \) ,与序列 \( \left\{ {x}_{{n}_{j}}\right\} \) , \( {x}_{{n}_{j}} \in {X}_{{n}_{j}},\left\{ {{P}_{{n}_{j}}{x}_{{n}_{j}}}\right\} \) 有界, \( y \in Y \) ,使得
\[\begin{Vmatrix}{{T}_{{n}_{j}}\left( {x}_{{n}_{j}}\right) - {Q}_{{n}_{j}}y}\end{Vmatrix} \rightarrow 0,\]
则存在 \( \left\{ {n}_{j}\right\} \) 的子列 \( \left\{ {n}_{{j}_{k}}\right\} \) 与 \( x \in \bar{\Omega } \) ,使得
\[{P}_{{n}_{{j}_{k}}}{x}_{{n}_{{j}_{k}}} \rightarrow x\text{ 且 }{Tx} = y;\]
则称 \( T : \bar{\Omega } \rightarrow Y \) 为关于 \( \Gamma \) 的逼近固有映射.
逼近固有映射的紧连续摄动仍是逼近固有的. \( \left( {\pi }_{1}\right) \) 空间上的球-凝聚场是关于投影格式逼近固有的. 可分自反巴拿赫空间上的有界次连续 \( \left( S\right) \) 型映射是关于内射逼近格式逼近固有的.
梯度映射 (gradient mapping) 泛函的 (弱) 导映射. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( f : \Omega \) \( \rightarrow {X}^{ * } \) . 若存在泛函 \( \varphi : \Omega \rightarrow \mathrm{R},\varphi \) 在 \( \Omega \) 中具有线性有界 \( G \) 微分,使得 \( f\left( x\right) = {D\varphi }\left( x\right) \left( {\forall x \in \Omega }\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( \varphi \) 的梯度映射,常记为 \( f\left( x\right) = \operatorname{grad}\varphi \) . 这时 \( \varphi \) 称为 \( f \) 的位势函数. 设 \( \Omega \) 为 \( X \) 中的凸开集, \( f : \Omega \rightarrow \) \( {X}^{ * } \) 具有有界线性 \( G \) 微分,且对于任何固定的 \( h, k \) \( \in X \) ,泛函 \( \left( {\mathrm{D}f\left( x\right) h}\right) k \) 关于 \( x \in \Omega \) 连续. 那么, \( f \) 是梯度映射的充分必要条件是泛函 \( \left( {\mathrm{D}f\left( x\right) h}\right) k \) 关于 \( h, k \) 是对称的,即
\( \left( {\mathrm{D}f\left( x\right) h}\right) k = \left( {\mathrm{D}f\left( x\right) k}\right) h\left( {\forall x \in \Omega ;h, k \in X}\right) . \) 此时, \( f \) 的位势函数 \( \varphi \) 可由下式确定
\[
\varphi \left( x\right) = c + {\int }_{0}^{1}f\left( {{x}_{0} + t\left( {x - {x}_{0}}\right) }\right) \left( {x - {x}_{0}}\right) \mathrm{d}t
\]
\[
\left( {\forall x \in \Omega }\right) \text{,}
\]
其中 \( {x}_{0} \) 可取为 \( \Omega \) 中任一点, \( c \) 可为任一常数.
集值映射 (setvalued mapping) 亦称多值映射. 映射概念的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个集合. 记 \( {2}^{Y} \) \( = \{ A \mid A \subset Y\} \) ,称之为 \( Y \) 的幂集. 从 \( X \) 到 \( Y \) 的一个集值映射指的是从 \( X \) 到 \( {2}^{Y} \) 的一个单值映射 \( F : X \) \( \rightarrow {2}^{Y} \) . 对于 \( A \subset X, F\left( A\right) = \bigcup \{ F\left( x\right) \mid x \in A\} \) 称为 \( A \) 在 \( F \) 下的像. \( \operatorname{graph}\left( F\right) = \{ \left( {x, y}\right) \in X \times Y \mid x \in X, y \) \( \cdot \in F\left( x\right) \} \) 称为 \( F \) 的图象. 任意给定 \( \Gamma \subset X \times Y \) ,则由 \( F\left( x\right) = \{ y \in Y \mid \left( {x, y}\right) \in \Gamma \} \left( {\forall x \in X}\right) \) 可惟一确定集值映射 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) ,使得 \( \operatorname{graph}\left( F\right) = \Gamma \) . 由 \( {F}^{-1}\left( y\right) = \) \( \{ x \in X \mid \left( {x, y}\right) \in \operatorname{graph}\left( F\right) \} \left( {\forall y \in Y}\right) \) 定义的集值映射 \( {F}^{-1} : Y \rightarrow {2}^{X} \) 称为 \( F \) 的逆映射.
设有 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 96 |
集值映射 (setvalued mapping) 亦称多值映射. 映射概念的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个集合. 记 \( {2}^{Y} \) \( = \{ A \mid A \subset Y\} \) ,称之为 \( Y \) 的幂集. 从 \( X \) 到 \( Y \) 的一个集值映射指的是从 \( X \) 到 \( {2}^{Y} \) 的一个单值映射 \( F : X \) \( \rightarrow {2}^{Y} \) . 对于 \( A \subset X, F\left( A\right) = \bigcup \{ F\left( x\right) \mid x \in A\} \) 称为 \( A \) 在 \( F \) 下的像. \( \operatorname{graph}\left( F\right) = \{ \left( {x, y}\right) \in X \times Y \mid x \in X, y \) \( \cdot \in F\left( x\right) \} \) 称为 \( F \) 的图象. 任意给定 \( \Gamma \subset X \times Y \) ,则由 \( F\left( x\right) = \{ y \in Y \mid \left( {x, y}\right) \in \Gamma \} \left( {\forall x \in X}\right) \) 可惟一确定集值映射 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) ,使得 \( \operatorname{graph}\left( F\right) = \Gamma \) . 由 \( {F}^{-1}\left( y\right) = \) \( \{ x \in X \mid \left( {x, y}\right) \in \operatorname{graph}\left( F\right) \} \left( {\forall y \in Y}\right) \) 定义的集值映射 \( {F}^{-1} : Y \rightarrow {2}^{X} \) 称为 \( F \) 的逆映射.
设有 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \cdot \operatorname{dom}\left( F\right) = \{ x \in X \mid F\left( x\right) \neq \varnothing \} \) 称为 \( F \) 的有效域. 若 \( \forall x \in X \) 有 \( F\left( x\right) \neq \varnothing \) ,则称 \( F \) 具非空值. 这时 \( \operatorname{dom}\left( F\right) = X \) . 当 \( Y \) 是拓扑空间或赋范线性空间时,若 \( \forall x \in X, F\left( x\right) \) 为闭集 (相应地, 紧集,凸集,有界集等),则称 \( F \) 具闭值 (相应地,具紧值, 凸值, 有界值等) (参见本卷《凸分析》同名条).
多值映射 (multivalued mapping) 即“集值映射”.
上半连续集值映射 (upper semicontinuous setvalued mapping) 单值连续映射概念到集值映射情形的一种推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 都是拓扑空间, \( F : X \) \( \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空值. 设 \( {x}_{0} \in X \) ,若对于任给的 \( Y \) 中的开集 \( V \supset F\left( {x}_{0}\right) \) ,存在 \( {x}_{0} \) 在 \( X \) 中的邻域 \( U \) ,使得 \( F\left( U\right) \) \( \subset V \) ,则称 \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 上半连续. 若 \( F \) 在 \( X \) 中每点均为上半连续,则称 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 上半连续. 上半连续常简记为 u. s. c. . \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 为上半连续的充分必要条件是,对于 \( Y \) 中的任意闭集 \( A,{F}^{-1}\left( A\right) = \{ x \in X \) \( \{ F\left( x\right) \cap A \neq \varnothing \} \) 是 \( X \) 中的闭集. 当 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间时,由于 \( X \) 和 \( Y \) 中除有通常的强拓扑外, 还有弱拓扑等,因此当谈到集值映射 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 的上半连续性时,应指明是在 \( X \) 和 \( Y \) 的何种拓扑意义下而言. 按照惯例,若不特别指明,则是在 \( X \) 和 \( Y \) 中的强拓扑意义下而言.
下半连续集值映射 (lower semicontinuous setvalued mapping) 单值连续映射概念到集值映射情形的另一种推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是拓扑空间, \( F : X \) \( \rightarrow {2}^{Y} \) 为集值映射, \( {x}_{0} \in X \) . 若对于 \( F\left( {x}_{0}\right) \) 中任一点 \( y \) 在 \( Y \) 中的任一开邻域 \( V \) ,存在 \( {x}_{0} \) 在 \( X \) 中的开邻域 \( U \) ,使得
\[
F\left( x\right) \cap V \neq \varnothing \;\left( {\forall x \in U}\right) ,
\]
则称 \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 下半连续. 若 \( F \) 在 \( X \) 中每点均为下半连续,则称 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 下半连续,下半连续常简记为 l. s. c., \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 为下半连续的充分必要条件是, 对于 \( Y \) 中任意开集 \( A \) ,
\[
{F}^{-1}\left( A\right) = \{ x \in X \mid F\left( x\right) \cap A \neq \varnothing \}
\]
是 \( X \) 中的开集. 当 \( X \) 和 \( Y \) 是赋范线性空间时,视 \( X \) 与 \( Y \) 中所取拓扑的不同,集值映射 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 有多种下半连续性概念. 若无特别说明,则是指在 \( X \) 与 \( Y \) 中的强拓扑意义下而言.
连续集值映射 (continuous setvalued mapping) 既上半连续又下半连续的集值映射.
\( \varepsilon \) 上半连续集值映射 ( \( \varepsilon \) -upper semicontinuous setvalued mapping) 对度量空间中的集值映射提出的一种特殊的上半连续性概念. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( \left( {Y, d}\right) \) 为度量空间. \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 是集值映射, \( {x}_{0} \in \) \( X \) . 若对于任给的 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( {x}_{0} \) 的邻域 \( U \) ,使得
\[
F\left( U\right) \subset {N}_{\varepsilon }\left( {F\left( {x}_{0}\right) }\right) ,
\]
其中 \( {N}_{\varepsilon }\left( {F\left( {x}_{0}\right) }\right) = \left\{ {y \in Y \mid d\left( {y, F\left( {x}_{0}\right) }\right) < \varepsilon }\right\} \) ,则称 \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( \varepsilon \) 上半连续. 若 \( F \) 在 \( X \) 中的每一点均为 \( \varepsilon \) 上半连续,则称 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 为 \( \varepsilon \) 上半连续. 若 \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 上半连续,则 \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( \varepsilon \) 上半连续. 当 \( F\left( {x}_{0}\right) \) 为紧集时, 反之亦真.
\( \varepsilon \) 下半连续集值映射 ( \( \varepsilon \) -lower semicontinuous setvalued mapping) 对度量空间中的集值映射提出的一种特殊的下半连续性概念. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( \left( {Y, d}\right) \) 是度量空间. \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 是集值映射, \( {x}_{0} \in \) \( X \) ,若对于任给的正数 \( \varepsilon \) ,存在 \( {x}_{0} \) 的邻域 \( U \) ,使得 \( F\left( {x}_{0}\right) \subset {N}_{\varepsilon }\left( {F\left( x\right) }\right) \left( {\forall x \in U}\right) \) ,则称 \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( \varepsilon \) 下半连续. 若 \( F \) 在 \( X \) 中的每一点均为 \( \varepsilon \) 下半连续,则称 \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 为 \( \varepsilon \) 下半连续. \( F \) 在 \( {x}_{0} \) 为 \( \varepsilon \) 下半连续 \( \Rightarrow F \) 在 \( {x}_{0} \) 下半连续. 当 \( F\left( {x}_{0}\right) \) 是紧集时,其逆亦真.
\( \varepsilon \) 连续集值映射 ( \( \varepsilon \) -continuous setvalued mapping) 同时为 \( \varepsilon \) 上半连续与 \( \varepsilon \) 下半连续的映射.
豪斯多夫距离 (Hausdorff distance) 在度量空间中任意两个集合之间定义的一种距离. 设 \( (X \) , \( d) \) 是度量空间. 定义 \( {d}^{ * } : {2}^{X} \times {2}^{X} \rightarrow \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 如下:
对于 \( A, B \subset {2}^{x} \smallsetminus \{ \varnothing \} \) ,令
\[
{d}^{ * }\left( {A, B}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}d\left( {x, B}\right) .
\]
约定 \( {d}^{ * }\left( {\varnothing, B}\right) = 0\left( {\forall B \in {2}^{X}}\right) ,{d}^{ * }\left( {A,\varnothing }\right) = + \infty \)
\( \left( {\forall A \in {2}^{X}\smallsetminus \{ \varnothing \} }\right) \) . 定义 \( h : {2}^{X} \times {2}^{X} \rightarrow \left\lbrack {0, + \infty }\right\rbrack \) 为
\[
h\left( {A, B}\right) = \max \left\{ {{d}^{ * }\left( {A, B}\right) ,{d}^{ * }\left( {B, A}\right) }\right\}
\]
\[
\left( {\forall A, B \in {2}^{x}}\right) \text{.}
\]
\( {d}^{ * }\left( {A, B}\right) \) 称为从 \( A \) 到 \( B \) 的豪斯多夫上半距离, \( h\left( {A, B}\right) \) 称为 \( A \) 与 \( B \) 之间的豪斯多夫距离. \( h \) 具有下述性质:
\( h\left( {A, B}\right) = h\left( {B, A}\right) ;h\left( {A, B}\right) = 0 \Leftrightarrow \bar{A} = \bar{B}; \)
\( h\left( {A, C}\right) \leq h\left( {A, B}\right) + h\left( {B, C}\right) \left( {\forall A, B, C \in {2}^{X}}\right) . \)
记 \( {\mathcal{P}}_{f}\left( X\right) = \{ A \subset X \mid A \) 闭 \( \} ,{\mathcal{P}}_{k}\left( X\right) = \{ A \subset X \mid A \)
紧 \( \} \) ,则 \( \left( {{\mathcal{P}}_{f}\left( X\right), h}\right) \) 成为度量空间 (允许度量取 \( + \infty \) 值). \( \varnothing \) 是 \( \left( {{\mathcal{P}}_{f}\left( X\right), h}\right) \) 中的孤立点. 当 \( \left( {X, d}\right) \) 完备时, \( \left( {{\mathcal{P}}_{f}\left( X\right), h}\right) \) 与 \( \left( {{\mathcal{P}}_{k}\left( X\right), h}\right) \) 也完备.
设 \( X \) 是拓扑空间, \( \left( {Y, d}\right) \) 为度量空间, \( F : X \rightarrow \) \( {\mathcal{P}}_{f}\left( Y\right) \) 为集值映射,那么, \( F \) 是 \( \varepsilon \) 连续集值映射当且仅当 \( F \) 作为从 \( X \) 到度量空间 \( \left( {{\mathcal{P}}_{f}\left( Y\right), h}\right) \) 中的单值映射是连续的. 集值映射 \( F : X \rightarrow {\mathcal{P}}_{k}\left( Y\right) \) 连续当且仅当 \( F \) 作为从 \( X \) 到度量空间 \( \left( {{\mathcal{P}}_{k}\left( Y\right), h}\right) \) 中的单值映射是连续的.
集值映射的单值选择 (singlevalued selection of setvalued mapping) 指在集值映射每点的像 (集合) 中选择一个值而得到的单值映射. 它是利用单值映射来研究集值映射的重要手段之一. 设 \( F : X \) \( \rightarrow {2}^{Y} \) 为具非空值的集值映射,若单值映射 \( f : X \rightarrow Y \) 满足条件: \( f\left( x\right) \in F\left( x\right) \left( {\forall x \in X}\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( F \) 的一个单值选择,简称 \( F \) 的一个选择. 研究集值映射的具某种特殊性质的选择的存在性是一个重要课题. 这方面最著名的一个结果是下述由迈克尔 (Michael, E. ) 于 1956 年得到的连续选择定理: 设 \( X \) 是仿紧空间, \( Y \) 是巴拿赫空间, \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空闭凸值且下半连续,则 \( F \) 有连续选择.
集值映射的单值逼近 (singlevalued approximation for setvalued mapping) 利用单值映射研究集值映射的重要工具, 它要求单值映射的图象落入集值映射的图象的充分小的邻域中. 最常用到的是下述逼近定理. 设 \( X \) 是度量空间, \( Y \) 是巴拿赫空间, \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空凸值且上半连续,则对任给的 \( \varepsilon \) \( > 0 \) ,存在局部李普希茨连续映射 \( {f}_{\varepsilon } : X \rightarrow Y \) ,使得 Range \( \left( {f}_{\varepsilon }\right) \subset \operatorname{coRange}\left( F\right) \) ,且 \( \operatorname{graph}\left( {f}_{\varepsilon }\right) \subset \) \( {N}_{\varepsilon }\left( {\operatorname{graph}\left( F\right) }\right) \) ,其中 \( {N}_{\varepsilon }\left( \Gamma \right) \) 表示乘积空间 \( X \times Y \) 中的子集 \( \Gamma \) 的 \( \varepsilon \) 邻域.
可测集值映射 (measurable setvalued mapp - ing) 可测函数集的推广. 单值映射有多种可测性概念, 对于集值映射更是如此. 最常用到的是下述定义. 设 \( \left( {T,\mathcal{C}}\right) \) 是可测空间,其中 \( T \) 为某个集合, \( \mathcal{C} \) 为 \( T \) 中的可测子集族, \( X \) 为拓扑空间, \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 为集值映射. 若对于 \( X \) 中每一开集 \( U,{F}^{-1}\left( U\right) = \{ t \) \( \in T \mid F\left( t\right) \cap U \neq \varnothing \} \in \mathcal{C} \) ,则称集值映射 \( F \) 为可测的.
当 \( X \) 是可分度量空间,且 \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 具非空紧值时,集值映射 \( F \) 是可测的当且仅当 \( F \) 作为从 \( T \) 到 \( \left( {{\mathcal{P}}_{k}\left( X\right), h}\right) \) 中的单值映射是可测的 (其中 \( {\mathcal{P}}_{k}\left( X\right) \) 表示 \( X \) 的一切紧子集所成之族, \( h \) 为豪斯多夫度量). 它等价于: 对 \( X \) 中每个闭集 \( A \) , \( {F}^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{C} \) .
当 \( \left( {X, d}\right) \) 是可分度量空间,且 \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 具非空完备值时, \( F \) 的可测性等价于下述条件之一:
1. \( \forall x \in X \) ,函数 \( d\left( {x, F\left( \cdot \right) }\right) \) 是可测的.
2. \( F \) 有一列可测单值选择 \( \left\{ {\sigma }_{n}\right\} \) 使得
\[
F\left( t\right) = \overline{\left\{ {\sigma }_{n}\left( t\right) \mid n = 1,2,\cdots \right\} }.
\]
当 \( X \) 是局部凸可度量化可分向量空间,且 \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 具非空紧凸值时, \( F \) 的可测性也等价于: \( \forall {x}^{ * } \in {X}^{ * } \) ,支撑函数 \( {\delta }^{ * }\left( {{x}^{ * } \mid F\left( \cdot \right) }\right) \) 是可测的,其中 \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间,对于 \( {x}^{ * } \in {X}^{ * } \) 与 \( A \subset X \) ,
\[
{\delta }^{ * }\left( {{x}^{ * } \mid A}\right) = \sup \left\{ {\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle \mid x \in A}\right\} .
\]
集值映射的积分 (integral of setvalued mapping) 单值映射的积分到集值映射情形的推广. 集值映射有多种可积性概念. 设 \( \left( {T,\mathcal{C},\mu }\right) \) 是测度空间, \( X \) 是可分巴拿赫空间, \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 是具非空紧凸值的可测集值映射. 记 \( {S}_{F} = \{ f \mid f \) 是 \( F \) 的可测单值选择 \( \} \) . 若 \( \forall f \in {S}_{F}, f \) 为佩蒂斯可积 (相应地,博赫纳可积),则称 \( F \) 为佩蒂斯可积 (相应地,博赫纳可积), 且其积分定义为
\[
\int F\mathrm{\;d}\mu = \left\{ {\int f\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 97 | ht) \) 是可测的.
2. \( F \) 有一列可测单值选择 \( \left\{ {\sigma }_{n}\right\} \) 使得
\[
F\left( t\right) = \overline{\left\{ {\sigma }_{n}\left( t\right) \mid n = 1,2,\cdots \right\} }.
\]
当 \( X \) 是局部凸可度量化可分向量空间,且 \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 具非空紧凸值时, \( F \) 的可测性也等价于: \( \forall {x}^{ * } \in {X}^{ * } \) ,支撑函数 \( {\delta }^{ * }\left( {{x}^{ * } \mid F\left( \cdot \right) }\right) \) 是可测的,其中 \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间,对于 \( {x}^{ * } \in {X}^{ * } \) 与 \( A \subset X \) ,
\[
{\delta }^{ * }\left( {{x}^{ * } \mid A}\right) = \sup \left\{ {\left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle \mid x \in A}\right\} .
\]
集值映射的积分 (integral of setvalued mapping) 单值映射的积分到集值映射情形的推广. 集值映射有多种可积性概念. 设 \( \left( {T,\mathcal{C},\mu }\right) \) 是测度空间, \( X \) 是可分巴拿赫空间, \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 是具非空紧凸值的可测集值映射. 记 \( {S}_{F} = \{ f \mid f \) 是 \( F \) 的可测单值选择 \( \} \) . 若 \( \forall f \in {S}_{F}, f \) 为佩蒂斯可积 (相应地,博赫纳可积),则称 \( F \) 为佩蒂斯可积 (相应地,博赫纳可积), 且其积分定义为
\[
\int F\mathrm{\;d}\mu = \left\{ {\int f\mathrm{\;d}\mu \mid f \in {S}_{F}}\right\} .
\]
集值映射的积分现有多种不同的概念. 例如, 还有下述集值映射的积分概念. 设 \( \left( {T,\mathcal{C},\mu }\right) \) 是测度空间, \( X \) 是可分巴拿赫空间, \( F : T \rightarrow {2}^{X} \) 是具非空闭值的可测集值映射. 记 \( {B}_{F} = \{ f \mid f \) 是 \( F \) 的可测单值选择,且 \( f \) 在 \( T \) 上为博赫纳可积 \( \} \) 与 \( {P}_{F} = \{ f \mid f \) 是 \( F \) 的可测单值选择,且 \( f \) 在 \( T \) 上为佩蒂斯可积 \( \} \) . 集值映射 \( F \) 在 \( T \) 上的博赫纳积分与佩蒂斯积分分别定义为
\[
\text{(B)}{\int }_{T}F\mathrm{\;d}\mu = \left\{ {\left( B\right) {\int }_{T}f\mathrm{\;d}\mu \mid f \in {B}_{F}}\right\}
\]
与
\[
\left( P\right) {\int }_{T}F\mathrm{\;d}\mu = \left\{ {\left( P\right) {\int }_{T}f\mathrm{\;d}\mu \mid f \in {P}_{T}}\right\} ,
\]
其中
\[
\text{(B)}{\int }_{T}f\mathrm{\;d}\mu
\]
与
\[
{\left( P\right) }_{T}{\int }_{T}f\mathrm{\;d}\mu
\]
分别表示 \( f \) 在 \( T \) 上的博赫纳积分与佩蒂斯积分.
博赫纳积分 (Bochner integral) 见 “集值映射的积分”.
佩蒂斯积分 (Pettis integral) 见“集值映射的积分”.
集值压缩映射 (setvalued contractive mapping) 在豪斯多夫距离意义下的压缩映射. 设 \( \left( {X,{d}_{X}}\right) \) 与 \( \left( {Y,{d}_{Y}}\right) \) 是度量空间, \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空值. 若存在非负常数 \( k \) ,使得
\[
h\left( {F\left( x\right), F\left( y\right) }\right) \leq k{d}_{X}\left( {x, y}\right) \;\left( {\forall x, y \in X}\right) ,
\]
其中 \( h \) 为由 \( {d}_{Y} \) 诱导的豪斯多夫距离,则称映射 \( F \) 为 \( k \) 压缩的. 当 \( k < 1 \) 时称为严格压缩的. 若 \( F \) 满足条件
\[
h\left( {F\left( x\right), F\left( y\right) }\right) \leq {d}_{X}\left( {x, y}\right) \;\left( {\forall x, y \in X}\right) ,
\]
则称 \( F \) 为非扩张的.
集值非扩张映射 (setvalued nonextension mapping) 见“集值压缩映射”.
集值紧映射 (setvalued compact mapping)
单值紧映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是拓扑空间, \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空紧值. 若 \( \overline{F\left( X\right) } \) 是 \( Y \) 中的紧集,则称集值映射 \( F \) 是紧的.
集值全连续映射 (setvalued completely continuous mapping）单值全连续映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是度量空间, \( Y \) 是拓扑空间, \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空紧值且上半连续. 若对于 \( X \) 中每一有界子集 \( A,\overline{F\left( A\right) } \) 是 \( Y \) 中的紧集,则称集值映射 \( F \) 是全连续的.
集值集压缩映射 (setvalued set-contractive mapping）单值集压缩映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是度量空间, \( F : X \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空紧值且上半连续, \( {\psi }_{X} \) 与 \( {\psi }_{Y} \) 分别是 \( X \) 与 \( Y \) 中的非紧性测度. 若存在常数 \( k \in \lbrack 0,1) \) ,使得对 \( X \) 中任何非空有界集 \( A \) ,有 \( {\psi }_{Y}\left( {F\left( A\right) }\right) \leq k{\psi }_{X}\left( A\right) \) ,则称集值映射 \( F \) 为 \( \left( {{\psi }_{X},{\psi }_{Y}}\right) - k \) 集压缩的. 若对于 \( X \) 中任何有界非相对紧集 \( A \) ,有 \( {\psi }_{Y}\left( {F\left( A\right) }\right) \leq {\psi }_{X}\left( A\right) \) ,则称集值映射 \( F \) 为 \( \left( {{\psi }_{X},{\psi }_{Y}}\right) \) 凝聚的. 类似地,还可以定义集值局部凝聚映射、集值终归紧映射、集值紧支撑映射等概念.
集值凝聚映射 (setvalued condensing mapping) 见“集值集压缩映射”.
集值向量场 (setvalued vector field) 恒同映射的集值摄动. 设 \( X \) 是拓扑线性空间, \( D \subset X \) , \( F : D \rightarrow {2}^{X} \) 具非空值, \( I \) 为 \( X \) 上的恒同映射,这时集值映射 \( \left( {I - F}\right) : D \rightarrow {2}^{X} \) 称为 \( D \) 上的一个集值向量场. 当 \( F \) 具凸值且 \( F \) 为集值全连续映射 (相应地, 凝聚映射等) 时,称 \( I - F \) 为集值全连续向量场 (相应地, 集值凝聚向量场等).
集值锥映射 (setvalued cone mapping) 单值锥映射在集值映射情形的推广. 所谓集值锥映射, 是指其像含在巴拿赫空间中的指定锥中的集值映射 (参见 “锥映射”). 半序巴拿赫空间中的正算子、 增算子等概念可用自然的方式推广到集值映射的情形. 例如,设 \( \left( {X, \leq }\right) \) 是半序巴拿赫空间, \( D \subset X \) , \( F : D \rightarrow {2}^{X} \) 具非空值. 若 \( \forall x, y \in D \) ,当 \( x \leq y \) 时有 \( F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \) ,即 \( F\left( x\right) \) 中的每一元 \( \leq F\left( y\right) \) 中的每一元,则称 \( F \) 为集值增算子.
集值逼近固有映射 (setvalued approximating proper mapping）单值逼近固有映射在集值映射情形的推广. 设 \( X, Y \) 是巴拿赫空间, \( \Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,}\right. \) \( \left\{ {{P}_{n}\} ;\left\{ {Y}_{n}\right\} ,\left\{ {Q}_{n}\right\} }\right\} \) 为 \( \left( {X, Y}\right) \) 上的逼近格式, \( \Omega \) 为 \( X \) 中的开集, \( F : \bar{\Omega } \rightarrow {2}^{Y} \) 具非空闭凸值,对 \( n = 1,2,\cdots \) , 记 \( {F}_{n} = {Q}_{n}F{P}_{n} : {\bar{\Omega }}_{n} \rightarrow {2}^{{Y}_{n}} \) . 若:
1. 当 \( n \) 充分大时, \( {F}_{n} : {\bar{\Omega }}_{n} \rightarrow {2}^{{Y}_{n}} \) 具紧凸值且上半连续.
2. 由 \( {n}_{j} \rightarrow \infty ,{x}_{{n}_{j}} \in {\bar{\Omega }}_{{n}_{j}},{y}_{0} \in Y \) ,及
\[
\begin{Vmatrix}{{F}_{{n}_{j}}\left( {x}_{{n}_{j}}\right) - {Q}_{{n}_{j}}{y}_{0}}\end{Vmatrix} \rightarrow 0
\]
可推出存在子列 \( {n}_{{j}_{k}} \rightarrow \infty \) 与 \( {x}_{0} \in \bar{\Omega } \) ,使得
\[
{P}_{{n}_{{j}_{k}}}{x}_{{n}_{{j}_{k}}} \rightarrow {x}_{0}\text{ 且 }{y}_{0} \in F\left( {x}_{0}\right) ,
\]
则称 \( F \) 为关于 \( \Gamma \) 的集值逼近固有映射.
集值单调映射 (setvalued monotone mapping) 单值单调映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为 \( X \) 的对偶空间. \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是集值映射. 若 \( \forall x, y \in \operatorname{dom}\left( T\right) = \{ x \in X \mid {Tx} \neq \varnothing \} \) , 有 \( \langle {Tx} - {Ty}, x - y\rangle \geq 0 \) ,即 \( \forall u \in {Tx} \) 与 \( v \in {Ty} \) ,有 \( \langle u \) \( - v, x - y > \geq 0 \) ,则称 \( T \) 为集值单调映射. 若当 \( x \neq \) \( y \) 时,有 \( \langle {Tx} - {Ty}, x - y\rangle > 0 \) ,则称 \( T \) 为严格单调的. \( X \times {X}^{ * } \) 中的集合 \( \Gamma \) 称为是一个单调集,指的是 \( \Gamma \) 满足条件: \( \forall \left( {x, u}\right) \in \Gamma \) 与 \( \left( {y, v}\right) \in \Gamma \) ,有
\[
\langle u - v, x - y\rangle \geq 0.
\]
\( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 为单调映射,当且仅当 \( T \) 的图象 \( \operatorname{graph}\left( \mathrm{T}\right) \) 是 \( X \times {X}^{ * } \) 中的单调集.
集值极大单调映射 (setvalued maximal monotone mapping) 不能再进行单调延拓的集值单调映射. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 为单调映射. 若 \( \operatorname{graph}\left( T\right) \) 是 \( X \times {X}^{ * } \) 中的极大单调集,即在 \( X \times \) \( {X}^{ * } \) 中不存在真包含 \( \operatorname{graph}\left( T\right) \) 的单调集,则称 \( T \) 为极大单调的. 若 \( X \) 自反,则 \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 为极大单调映射 \( \Leftrightarrow {T}^{-1} : {X}^{ * } \rightarrow {2}^{X} \) 为极大单调映射. 极大单调映射 \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 必具闭凸值,且是半闭的,即由 \( \left( {x}_{n}\right. \) , \( \left. {u}_{n}\right) \in \operatorname{graph}\left( T\right) ,{x}_{n} \rightarrow x,{u}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }u \) 可推出 \( \left( {x, u}\right) \in \) \( \operatorname{graph}\left( T\right) \) ,且 \( T \) 在 \( \operatorname{intdom}\left( T\right) \) 中还是次上半连续的,即从 \( X \) 中的强拓扑到 \( {X}^{ * } \) 中的弱拓扑是上半连续的.
集值 \( \left( S\right) \) 型映射 (setvalued mapping of type \( \left( S\right) ) \) 单值 \( \left( S\right) \) 型映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( D \) 是 \( X \) 中的闭集, \( T : D \rightarrow \) \( {2}^{{x}^{ * }} \) 具非空闭凸值. 若 \( T \) 满足条件:
\[
{x}_{n} \in D,{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0},{u}_{n} \in T{x}_{n},
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {{u}_{n},{x}_{n} - {x}_{0}}\right\rangle = 0 \Rightarrow {x}_{n} \rightarrow {x}_{0},
\]
则称 \( T \) 为 \( \left( S\right) \) 型的. 若 \( T \) 满足条件:
\[
{x}_{n} \in D,{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0},{u}_{n} \in T{x}_{n},
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {{u}_{n},{x}_{n} - {x}_{0}}\right\rangle \leq 0 \Rightarrow {x}_{n} \rightarrow {x}_{0},
\]
则称 \( T \) 为 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型的. \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射构成 \( \left( S\right) \) 型映射类的凸子类.
集值 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射 (setvalued mapping of type \( \left( S\right) + \) ) 见 “集值 \( \left( S\right) \) 型映射”.
集值伪单调映射 (setvalued pseudo-monotone mapping) 单值伪单调映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( D \) 是 \( X \) 中的闭凸集, \( T : D \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 具非空闭凸值. 若 \( T \) 是有限弱上半连续的,即 \( T \) 限制在 \( X \) 中的任何有限维线性子空间与 \( D \) 的交上是到 \( {X}^{ * } \) 中的弱拓扑上半连续的,且 \( T \) 满足条件: 由
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} \subset D,{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0},{u}_{n} \in T{x}_{n},
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {{u}_{n},{x}_{n} - {x}_{0}}\right\rangle \leq 0, y \in D
\]
可以推出, \( \exists {u}_{0} \in T{x}_{0} \) ,使得
\[
\left\langle {{u}_{0},{x}_{0} - y}\right\rangle \leq \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {{u}_{n},{x}_{n} - y}\right\rangle ,
\]
则称 \( T \) 为伪单调的. 闭凸集 \( D \) 上的具非空有界闭凸值的有限弱上半连续的集值单调映射或次上半连续的集值 \( {\left( \mathrm{S}\right) }_{ + } \) 型映射均是伪单调的.
集值 \( \left( M\right) \) 型映射 (setvalued mapping of type (M) 单值 \( \left( M\right) \) 型映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 具非空闭凸值且有限弱上半连续. 若有
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} \subset X,{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0},{u}_{n} \in T{x}_{n},{u}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{u}_{0}
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {{u}_{n},{x}_{n} - {x}_{0}}\right\rangle \leq 0 \Rightarrow {u}_{0} \in T{x}_{0},
\]
则称 \( T \) 是 \( \left( M\right) \) 型的. 集值伪单调映射 \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是 (M) 型的.
对偶映射 (duality mapping) 由对偶关系确定的从巴拿赫空间到其对偶空间的集值映射. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为其对偶空间. 设 \( \mu \) 是一个规范函数,即 \( \mu : \lbrack 0, + \infty ) \rightarrow \lbrack 0, + \infty ) \) 满足条件: \( \mu \left( 0\right) = 0 \) , \( \mu \) 严格递增,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\mu \left( t\right) = + \infty
\]
定义集值映射 \( {J}_{\mu } : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 为
\[
{J}_{\mu }\left( x\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * } \mid \left\langl |
2000_数学辞海（第3卷） | 98 | alued mapping of type (M) 单值 \( \left( M\right) \) 型映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 具非空闭凸值且有限弱上半连续. 若有
\[
\left\{ {x}_{n}\right\} \subset X,{x}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{x}_{0},{u}_{n} \in T{x}_{n},{u}_{n}\overset{w}{ \rightarrow }{u}_{0}
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\langle {{u}_{n},{x}_{n} - {x}_{0}}\right\rangle \leq 0 \Rightarrow {u}_{0} \in T{x}_{0},
\]
则称 \( T \) 是 \( \left( M\right) \) 型的. 集值伪单调映射 \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是 (M) 型的.
对偶映射 (duality mapping) 由对偶关系确定的从巴拿赫空间到其对偶空间的集值映射. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( {X}^{ * } \) 为其对偶空间. 设 \( \mu \) 是一个规范函数,即 \( \mu : \lbrack 0, + \infty ) \rightarrow \lbrack 0, + \infty ) \) 满足条件: \( \mu \left( 0\right) = 0 \) , \( \mu \) 严格递增,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}\mu \left( t\right) = + \infty
\]
定义集值映射 \( {J}_{\mu } : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 为
\[
{J}_{\mu }\left( x\right) = \left\{ {{x}^{ * } \in {X}^{ * } \mid \left\langle {{x}^{ * }, x}\right\rangle = \begin{Vmatrix}{x}^{ * }\end{Vmatrix}\parallel x\parallel }\right. \text{,}
\]
\[
\begin{Vmatrix}{x}^{ * }\end{Vmatrix} = \mu \left( {\parallel x\parallel }\right) \} .
\]
这样定义的集值映射 \( {J}_{\mu } \) 称为是以 \( \mu \) 为规范函数的对偶映射. \( \mu \left( t\right) = t \) 时对偶映射 \( J \) 称为标准对偶映射. 对偶映射是齐次的, 此外有下述结论:
\( 1.J \) 为满值 \( \Leftrightarrow X \) 是自反的.
2. \( J \) 为严格单调 \( \Leftrightarrow X \) 是严格凸的.
3. \( J \) 为单值映射 \( \Leftrightarrow X \) 是光滑的.
4. \( J \) 为线性算子 \( \Leftrightarrow X \) 是希尔伯特空间.
对于自反巴拿赫空间,总可取 \( X \) 中的等价范数使得 \( X \) 和 \( {X}^{ * } \) 都是严格凸的,此时 \( J : X \rightarrow {X}^{ * } \) 是单值、严格单调、有界满值、次连续的 \( {\left( S\right) }_{ + } \) 型映射.
集值增生映射 (setvalued accretive mapping) 单值增生映射到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D \subset X, T : D \rightarrow {2}^{X} \) 具非空值. 设 \( J : X \rightarrow \) \( {2}^{{X}^{ * }} \) 是正规对偶映射. 如果对任意的 \( x, y \in X \) ,存在 \( j\left( {x - y}\right) \in J\left( {x - y}\right) \) ,使得对任意的 \( u \in {Tx}, v \in {Ty} \) 有
\[
\langle u - v, j\left( {x - y}\right) \rangle \geq 0,
\]
则称 \( T \) 为增生的. 若 \( T \) 为增生映射,且不存在另一增生映射 \( {T}_{1} \) 使得 \( \operatorname{graph}\left( T\right) \) 是 \( \operatorname{graph}\left( {T}_{1}\right) \) 的真子集,则称 \( T \) 为极大增生的.
单调型映射的满值性定理 (surjectivity theorems for mappings of monotone type) 各类单调型映射在一定条件下具有满值性的定理. 这类定理很多, 这里仅叙述最基本的强制单调型映射的满值性结果. 映射 \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 称为强制的,是指它满足条件
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{\parallel x\parallel \rightarrow + \infty } \\ {x \in \operatorname{dom}\left( T\right) } }}\frac{\langle {Tx}, x\rangle }{\parallel x\parallel } = + \infty .
\]
特别地,当 \( \operatorname{dom}\left( T\right) \) 有界时, \( T \) 是强制的. 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 中的闭凸集, \( T : C \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是具非空值的极大单调映射, \( P : C \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 是有界强制伪单调映射,则 \( T + P \) 满值,即 \( \left( {T + P}\right) \left( C\right) = {X}^{ * } \) . 由此定理, 可推出下述结论: 有界强制伪单调映射 \( P : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \smallsetminus \{ \varnothing \} \) 是满值的. 若 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \) 极大单调, \( \operatorname{dom}\left( {T}_{2}\right) = X,{T}_{2} \) 是有界与强制的,则 \( {T}_{1} \) \( + {T}_{2} \) 满值. 有界强制极大单调映射 \( T : X \rightarrow {2}^{{X}^{ * }} \smallsetminus \) \( \{ \varnothing \} \) 是满值的.
非光滑分析 (nonsmooth analysis) 对在经典意义下不可微的映射建立的广义微分学. 凸分析是非光滑分析的第一步, 其奠基性的工作属于莫里奥 (Moreau, J. J. ) 与洛卡费勒 (Rockafellar, R. T. ). 在非凸映射的多种广义微分的概念中, 最著名的是克拉克 (Clarke, F. H. ) 提出的广义梯度与广义雅可比. 奥邦 (Aubin, J. P. ) 等人对于集值映射提出了多种广义微分的概念. 由于广义微分的概念通常与集值映射相联系, 因此非光滑分析亦被称为集值分析. 有关非光滑分析方面的具体内容详见本卷 “凸分析”同名条.
概率度量空间 (probabilistic metric space) 以分布函数作为度量尺度的一种广义度量空间. 若函数 \( f : \mathrm{R} \rightarrow {\mathrm{R}}^{ + } \) 是非减的,右连续的,
\[
\mathop{\inf }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}f\left( t\right) = 0\text{ 且 }\mathop{\sup }\limits_{{t \in \mathrm{R}}}f\left( t\right) = 1,
\]
则称 \( f \) 为一个分布函数. 用 \( \mathcal{D} \) 表示一切分布函数所组成之集. 用 \( H\left( t\right) \) 表示由 \( H\left( t\right) = 0\left( {\forall t \leq 0}\right) \) , \( H\left( t\right) = 1\left( {\forall t > 0}\right) \) 所定义的这一特殊的分布函数. 设 \( E \) 是集合,映射 \( F : E \times E \rightarrow \mathcal{D} \) . 记 \( F\left( {x, y}\right) \) 为 \( {F}_{x, y},{F}_{x, y}\left( t\right) \) 表示 \( {F}_{x, y} \) 在 \( t \in \mathrm{R} \) 的值,称 \( F \) 为 \( E \) 上的一个概率度量,如果 \( F \) 满足下述条件:
1. \( {F}_{x, y}\left( 0\right) = 0\left( {\forall x, y \in E}\right) \) .
2. \( {F}_{x, y}\left( t\right) = H\left( t\right) \Leftrightarrow x = y \) .
3. \( {F}_{x, y} = {F}_{y, x}\left( {\forall x, y \in E}\right) \) .
4. 若有 \( x, y, z \in E \) 及 \( {t}_{1},{t}_{2} \in \mathrm{R} \) ,使得 \( {F}_{x, y}\left( {t}_{1}\right) \) \( = 1,{F}_{y, z}\left( {t}_{2}\right) = 1 \) ,则 \( {F}_{x, z}\left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) = 1 \) .
集合 \( E \) 连同其上指定的一个概率度量 \( F \) 称为概率度量空间,简称 \( \mathrm{{PM}} \) 空间,记为 \( \left( {E, F}\right) .{F}_{x, y}\left( t\right) \) 可理解为 \( x \) 到 \( y \) 的距离小于 \( t \) 的概率. 若 \( \left( {E, d}\right) \) 是一度量空间, 令
\[
{F}_{x, y}\left( t\right) = H\left( {t - d\left( {x, y}\right) }\right) ,
\]
则 \( \left( {E, F}\right) \) 为概率度量空间. 在此意义下,度量空间可视为特殊的概率度量空间. 概率度量空间的概念首先由门杰 (Menger, K. ) 于 1942 年提出.
三角范数 (triangle norms) 亦称 \( t \) 范数. 一种定义在正方形上在单位闭区间中取值的具有特殊性质的函数, 它是研究概率度量的三角不等式的重要工具. 指的是满足下述条件的函数 \( \Delta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \) \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) :
1. \( \Delta \left( {a,1}\right) = a,\Delta \left( {0,0}\right) = 0 \) .
2. \( \Delta \left( {a, b}\right) = \Delta \left( {b, a}\right) \) .
3. \( \Delta \left( {c, d}\right) \geq \Delta \left( {a, b}\right) \) ,当 \( c \geq a, d \geq b \) .
4. \( \Delta \left( {\Delta \left( {a, b}\right), c}\right) = \Delta \left( {a,\Delta \left( {b, c}\right) }\right) \) ,其中 \( a, b, c, d \) \( \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) .
两个三角范数 \( \Delta \) 与 \( {\Delta }^{\prime } \) 若有关系 \( \Delta \leq {\Delta }^{\prime } \) ,即 \( \Delta \left( {a, b}\right) \leq {\Delta }^{\prime }\left( {a, b}\right) \left( {\forall \left( {a, b}\right) \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,则称 \( \Delta \) 弱于 \( {\Delta }^{\prime } \) ,或称 \( {\Delta }^{\prime } \) 强于 \( \Delta \) . 下述是三个最简单的常用到的三角范数:
\( {\Delta }_{1}\left( {a, b}\right) = \max \{ a + b - 1,0\} ; \)
\( {\Delta }_{2}\left( {a, b}\right) = {ab}; \)
\( {\Delta }_{3}\left( {a, b}\right) = \min \{ a, b\} . \)
显然, \( {\Delta }_{1} \leq {\Delta }_{2} \leq {\Delta }_{3} \) . 在全体三角范数中, \( {\Delta }_{3} \) 是最强的.
门杰空间 (Menger space) 规定了三角范数且满足门杰广义三角不等式的概率度量空间. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是概率度量空间, \( \Delta \) 是一个三角范数. 若成
立下述门杰广义三角不等式, 即“概率度量空间”定义中 4 的推广:
\[
{4}^{\prime } \cdot {F}_{x, z}\left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) \geq \Delta \left( {{F}_{x, y}\left( {t}_{1}\right) ,{F}_{y, z}\left( {t}_{2}\right) }\right)
\]
\[
\left( {\forall x, y, z \in E;{t}_{1},{t}_{2} \geq 0}\right) ,
\]
则称 \( \left( {E, F,\Delta }\right) \) 为门杰概率度量空间,简称门杰空间.
瓦尔德空间 (Wald space) 满足瓦尔德广义三角不等式的概率度量空间. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是概率度量空间. 若 \( F \) 满足下述瓦尔德广义三角不等式
\[
{F}_{x, z}\left( t\right) \geq \left\lbrack {{F}_{x, y} * {F}_{y, z}}\right\rbrack \left( t\right)
\]
\[
\left( {\forall x, y, z \in E;t \geq 0}\right) ,
\]
则称 \( \left( {E, F}\right) \) 为瓦尔德概率度量空间,简称瓦尔德空间. 其中 * 表示卷积, 定义为
\[
\left\lbrack {{F}_{x, y} * {F}_{y, z}}\right\rbrack \left( t\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_{x, y}\left( {t - s}\right) \mathrm{d}{F}_{y, z}\left( s\right)
\]
\[
= {\int }_{0}^{t}{F}_{x, y}\left( {t - s}\right) \mathrm{d}{F}_{y, z}\left( s\right) .
\]
瓦尔德空间由瓦尔德 (Wald, A. ) 的工作而得名. 施维则 (Schweizer, B. ) 和斯克拉 (Sklar, A. ) 于 1960 年证明了瓦尔德空间是以 \( {\Delta }_{2} \) 为三角范数的门杰空间.
概率度量空间中的收敛序列 (convergent sequence in probabilistic metric space) 在概率度量意义下收敛的序列. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是 \( \mathrm{{PM}} \) 空间,而 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset E, x \in E \) . 如果对任给的 \( \varepsilon > 0 \) 与 \( \lambda > 0 \) ,存在正整数 \( N = N\left( {\varepsilon ,\lambda }\right) \) ,使当 \( n \geq N \) 时有 \( {F}_{{x}_{n}, x}\left( \varepsilon \right) > 1 \) \( - \lambda \) ,则称 \( E \) 中序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 收敛于 \( E \) 中的点 \( x \) ,记为 \( {x}_{n} \) \( \rightarrow x.{x}_{n} \rightarrow x \) 的充分必要条件是:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{F}_{{x}_{n}, x}\left( t\right) = H\left( t\right) \;\left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) .
\]
设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset E \) ,若对任给的 \( \varepsilon > 0 \) 与 \( \lambda > 0 \) ,存在正整数 \( N = N\left( {\varepsilon ,\lambda }\right) \) ,使当 \( n, m \geq N \) 时,有 \( {F}_{{x}_{n},{x}_{m}}\left( \varepsilon \right) \geq 1 - \lambda \) , 则称 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 为 \( E \) 中的一个柯西列. 若 \( E \) 中每个柯西列均为 \( E \) 中的收敛序列,则称 \( \left( {E, F}\right) \) 为完备的概率度量空间.
概率度量空间中的柯西列 (Cauchy sequence in probabilistic metric space) 见“概率度量空间中的收敛序列”.
完备的概率度量空间 (complete probabilistic metric space) 见“概率度量空间中的收敛序列”.
概率度量空间中的连续映射 (continuous mapping on probabilistic metric spaces) 在概率度量空间中映收敛列为收敛列的映射. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 与 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 为两个 PM 空间. \( f : E \rightarrow \widetilde{E} \) 是映射, \( x \in E \) . 若由 \( {x}_{n} \rightarrow x \) 可推出 \( f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow f\left( x\right) \) ,则称 \( f \) 在点 \( x \) 连续. 若 \( f \) 在 \( E \) 中每点均连续,则称 \( f \) 在 \( E \) 上连续.
概率度量空间中的等距 (isometry on probabilistic metric spaces) 在概率度量意义下的等
距. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 与 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 为两个 PM 空间. 若存在满映射 \( f : E \rightarrow \widetilde{E} \) 使得
\[
{\widetilde{F}}_{f\left( x\right), f\left( y\right) } = {F}_{x, y}\;\left( {\forall x, y \in E}\right) ,
\]
则称 \( \left( {E, F}\right) \) 与 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 为等距的 PM 空间,映射 \( f \) 称为从 \( \left( {E, F}\right) \) 到 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 上的一个等距.
概率赋范线性空间 (probabilistic normed linear space) 赋范线性空间的概念到概率度量空间情形的推广. 设 \( E \) 是实线性空间, \( \mathcal{D} \) 为分布函数集, \( F : E \rightarrow \mathcal{D} \) 是映射. 记 \( {F}_{x} = F\left( x\right) \) 及
\[
{F}_{x}\left( t\right) = \left( {F\left( x\right) }\righ |
2000_数学辞海（第3卷） | 99 | \( f : E \rightarrow \widetilde{E} \) 是映射, \( x \in E \) . 若由 \( {x}_{n} \rightarrow x \) 可推出 \( f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow f\left( x\right) \) ,则称 \( f \) 在点 \( x \) 连续. 若 \( f \) 在 \( E \) 中每点均连续,则称 \( f \) 在 \( E \) 上连续.
概率度量空间中的等距 (isometry on probabilistic metric spaces) 在概率度量意义下的等
距. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 与 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 为两个 PM 空间. 若存在满映射 \( f : E \rightarrow \widetilde{E} \) 使得
\[
{\widetilde{F}}_{f\left( x\right), f\left( y\right) } = {F}_{x, y}\;\left( {\forall x, y \in E}\right) ,
\]
则称 \( \left( {E, F}\right) \) 与 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 为等距的 PM 空间,映射 \( f \) 称为从 \( \left( {E, F}\right) \) 到 \( \left( {\widetilde{E},\widetilde{F}}\right) \) 上的一个等距.
概率赋范线性空间 (probabilistic normed linear space) 赋范线性空间的概念到概率度量空间情形的推广. 设 \( E \) 是实线性空间, \( \mathcal{D} \) 为分布函数集, \( F : E \rightarrow \mathcal{D} \) 是映射. 记 \( {F}_{x} = F\left( x\right) \) 及
\[
{F}_{x}\left( t\right) = \left( {F\left( x\right) }\right) \left( t\right) .
\]
如果 \( F \) 满足下述条件:
1. \( {F}_{x}\left( 0\right) = 0\left( {\forall x \in E}\right) \) ;
2. \( {F}_{x}\left( t\right) = H\left( t\right) \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \Leftrightarrow x = 0 \) ;
3. \( {F}_{ax}\left( t\right) = {F}_{x}\left( \frac{t}{\left| a\right| }\right) \left( {\forall x \in E, a \neq 0}\right) \) ;
4. 设 \( x, y \in E,{t}_{1},{t}_{2} \in \mathrm{R} \) ,由 \( {F}_{x}\left( {t}_{1}\right) = 1 \) 和 \( {F}_{y}\left( {t}_{2}\right) \) \( = 1 \) 可推出
\[
{F}_{x + y}\left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) = 1
\]
那么称 \( \left( {E, F}\right) \) 为一概率赋范线性空间,简称 \( \mathrm{{PN}} \) 空间,这时 \( F \) 称为 \( E \) 上的概率范数. 在 \( \mathrm{{PN}} \) 空间中, 可定义概率度量为 \( {F}_{x, y} = {F}_{x - y} \) ,则它成为 PM 空间.
门杰概率赋范线性空间 (Menger probabilistic normed linear space) 满足门杰广义三角不等式的 \( \mathrm{{PN}} \) 空间. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是 \( \mathrm{{PN}} \) 空间, \( \Delta \) 为三角范数, 若有
\[
{F}_{x + y}\left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) \geq \Delta \left( {{F}_{x}\left( {t}_{1}\right) ,{F}_{y}\left( {t}_{2}\right) }\right)
\]
\[
\left( {\forall x, y \in E,{t}_{1},{t}_{2} \in {\mathrm{R}}^{ + }}\right) ,
\]
则称 \( \left( {E, F,\Delta }\right) \) 为门杰概率赋范线性空间,简称门杰 \( \mathrm{{PN}} \) 空间. 当 \( \Delta \) 连续时,由邻域系
\[
\left\{ {{U}_{y}\left( {\varepsilon ,\lambda }\right) \mid y \in E,\varepsilon > 0,\lambda > 0}\right\}
\]
\[
= \left\{ {y + {U}_{\theta }\left( {\varepsilon ,\lambda }\right) \mid y \in E,\varepsilon > 0,\lambda > 0}\right\}
\]
导出 \( E \) 中的豪斯多夫拓扑 \( \mathcal{T} \) ,使 \( \left( {E,\mathcal{T}}\right) \) 成为拓扑线性空间, 其中
\[
{U}_{\theta }\left( {\varepsilon ,\lambda }\right) = \left\{ {x \in E \mid {F}_{x}\left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda }\right\} .
\]
在 \( \left( {E,\mathcal{T}}\right) \) 中点列 \( {x}_{n} \rightarrow x \) 的充分必要条件是:
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{F}_{{x}_{n} - x}\left( t\right) = H\left( t\right) \;\left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) .
\]
瓦尔德概率赋范线性空间 (Wald probabilistic normed linear space) 满足瓦尔德广义三角不等式的 \( \mathrm{{PN}} \) 空间. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 为 \( \mathrm{{PN}} \) 空间,若有
\[
{F}_{x + y}\left( t\right) \geq \left\lbrack {{F}_{x} * {F}_{y}}\right\rbrack \left( t\right) \;\left( {\forall x, y \in E, t \geq 0}\right) ,
\]
则称 \( \left( {E, F}\right) \) 为瓦尔德概率赋范线性空间,简称瓦尔德 \( \mathrm{{PN}} \) 空间,其中卷积 * 定义为
\[
\left\lbrack {{F}_{x} * {F}_{y}}\right\rbrack \left( t\right) = {\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_{x}\left( {t - s}\right) \mathrm{d}{F}_{y}\left( s\right)
\]
\[
= {\int }_{0}^{t}{F}_{x}\left( {t - s}\right) \mathrm{d}{F}_{y}\left( s\right) .
\]
概率度量空间上的压缩映射 (contractive mapping on probabilistic metric space) 度量空间中压缩映射概念到概率度量空间情形的推广. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是 \( \mathrm{{PM}} \) 空间, \( f \) 是 \( E \) 到其自身的映射. 若存在 \( k \in \left( {0,1}\right) \) ,使得
\[
{F}_{f\left( x\right), f\left( y\right) } \geq {F}_{x, y}\left( \frac{t}{k}\right) \left( {\forall x, y \in E}\right) ,
\]
则称 \( f \) 为 (严格) 压缩的. 此概念首先由塞戈尔-巴鲁查-拉德 (Sehgal, V. M. Bharucha, A. T. -Reid) 于 1972 年引入,并证明了下述不动点定理: 设 \( (E \) , \( F,\Delta ) \) 为完备的门杰 \( \mathrm{{PM}} \) 空间,且 \( \Delta \) 满足条件: \( \Delta (t \) , \( t) \geq t\left( {\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,则任一 (严格) 压缩映射 \( T : E \rightarrow \) \( E \) 在 \( E \) 中存在惟一不动点 \( \bar{x} \) ,而且以任一 \( {x}_{0} \in E \) 为初值的迭代序列 \( \left\{ {{T}^{n}{x}_{0}}\right\} \) 均收敛于 \( \bar{x} \) .
概率直径 (probabilistic diameter) 对概率度量空间中的子集提出的用分布函数描述的一种“直径”的概念. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是 \( \mathrm{{PM}} \) 空间, \( A \subset E.A \) 的概率直径记为 \( {D}_{A} \) ,是由下式定义的一个分布函数:
\[
{D}_{A}\left( t\right) = \mathop{\sup }\limits_{{s < t}}\mathop{\inf }\limits_{{x, y \in A}}{F}_{x, y}\left( s\right) \;\left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) .
\]
若有 \( \sup \left\{ {{D}_{A}\left( t\right) \mid t \in \mathrm{R}}\right\} = 1 \) ,则称 \( A \) 为概率有界的.
概率有界集 (probabilistic bounded subset) 见“概率直径”.
概率预紧集 (probabilistic precompact subset) 度量空间中的预紧集概念到概率度量空间情形的推广. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是 \( \mathrm{{PM}} \) 空间, \( A \) 是 \( E \) 中的概率有界集. 若对于任给的 \( \varepsilon > 0 \) 与 \( \lambda > 0 \) ,存在 \( A \) 的有限覆盖 \( \left\{ {{A}_{i} \mid i = 1,2,\cdots, n}\right\} \) 使得
\[
{D}_{{A}_{i}}\left( \varepsilon \right) > 1 - \lambda \left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则称 \( A \) 为 \( E \) 中的概率预紧集.
概率非紧性测度 (probabilistic measures of noncompactness) 度量空间中的非紧性测度概念到概率度量空间情形的推广. 设 \( \left( {E, F}\right) \) 是 PM 空间. 对于 \( E \) 中的概率有界集 \( A \) ,定义 \( A \) 的库拉托夫斯基概率非紧性测度为由下式确定的分布函数 \( {\alpha }_{A},{\alpha }_{A}\left( t\right) = \sup \{ \varepsilon > 0 \mid \) 存在 \( A \) 的有限覆盖 \( \left\{ {{A}_{i} \mid i = 1}\right. \) , \( 2,\cdots, n\} \) ,使得 \( {D}_{{A}_{i}}\left( t\right) \geq \varepsilon, i = 1,2,\cdots, n\} \) .
\( \alpha \) 有下述性质: (其中 \( A, B \) 为 \( E \) 中概率有界集).
1. \( {\alpha }_{A} \geq {D}_{A} \) .
2. 若 \( A \neq \varnothing, A \subset B \) ,则 \( {\alpha }_{A} \geq {\alpha }_{B} \) .
3. \( {\alpha }_{A \cup B}\left( t\right) = \min \left\{ {{\alpha }_{A}\left( t\right) ,{\alpha }_{B}\left( t\right) }\right\} \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) .
4. \( {\alpha }_{A} = {\alpha }_{\bar{A}} \) ,其中 \( \bar{A} \) 为 \( A \) 的闭包.
5. \( {\alpha }_{A} = H \Leftrightarrow A \) 为概率预紧集.
库拉托夫斯基概率非紧性测度的概念由博克桑(Bocsan, G.)等人于 1973 年引入.
设 \( \left( {E, F,\Delta }\right) \) 是门杰空间. 对于 \( E \) 中的非空子集 \( A \) 与 \( B \) ,定义 \( A \) 与 \( B \) 间的概率距离 \( {F}_{A, B} \in \mathcal{D} \) 为 \( {F}_{A, B}\left( t\right) = \mathop{\sup }\limits_{{s \leq t}}\Delta \left( {\mathop{\inf }\limits_{{x \in A}}\mathop{\sup }\limits_{{y \in B}}{F}_{x, y}\left( s\right) ,\mathop{\inf }\limits_{{y \in B}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}{F}_{x, y}\left( s\right) }\right) . \)
现对于 \( \left( {E, F,\Delta }\right) \) 中的概率有界子集 \( A \) ,定义 \( A \) 的豪斯多夫概率非紧性测度 \( {\psi }_{A} \in \mathcal{D} \) 为
\( {\psi }_{A}\left( t\right) = \sup \{ \varepsilon > 0 \mid \) 存在 \( E \) 中的有限集合 \( S \)
使得 \( \left. {{F}_{A, S}\left( t\right) > \varepsilon }\right\} \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) .
\( \psi \) 具有与 \( \alpha \) 类似的性质.
概率集压缩映射 (probabilistic set contractive mapping）度量空间中的集压缩映射概念到概率度量空间情形的推广. 设 \( \left( {E, F,\Delta }\right) \) 是门杰空间, \( f \) : \( E \rightarrow E \) 是映射, \( \alpha \) 表示 \( E \) 中的库拉托夫斯基概率非紧性测度. 若存在常数 \( k \in \left( {0,1}\right) \) 使得对 \( E \) 中每个概率有界集 \( A \) ,有 \( {\alpha }_{f\left( A\right) }\left( t\right) \geq {\alpha }_{A}\left( {t/k}\right) \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( E \) 上的概率 \( \alpha - k \) -集压缩映射. 若对于 \( E \) 中每个概率有界集 \( A \) ,有 \( {\alpha }_{f\left( A\right) }\left( t\right) > {\alpha }_{A}\left( {t/k}\right) \left( {\forall t \in \mathrm{R}}\right) \) ,则称 \( f \) 为 \( E \) 上的概率 \( \alpha \) 凝聚映射. 在上述定义中,若将 \( \alpha \) 换为豪斯多夫概率非紧性测度 \( \psi \) ,则得相应的概率 \( \psi - k \) -集压缩映射与概率 \( \psi \) 凝聚映射的概念.
概率凝聚映射 (probabilistic condensing mapping) 见“概率集压缩映射”.
## 非线性分析拓扑与变分方法
拓扑度 (topological degree) 对算子方程解的个数给出某种估计的一种同伦不变量. 映射 \( T \) 在区域 \( \Omega \) 上关于点 \( p \) 的拓扑度 \( \deg \left( {T,\Omega, p}\right) \) 是一个整数,它是方程 \( T\left( x\right) = p \) 在 \( \Omega \) 中解的 “代数个数”的某种稳定的度量. 1912 年, 布劳威尔 (Brouwer, L. E. J. ) 对有限维空间中的连续映射用代数拓扑的方法建立了拓扑度, 它是整个拓扑度理论的出发点. 1934 年, 勒雷 (Leray, J. ) 与绍德尔 (Schaud-er, J. P. ) 对巴拿赫空间中的全连续向量场建立了拓扑度, 它在微分方程与积分方程中有着广泛的应用, 成为拓扑度理论发展史上的新的里程碑. 通过众多数学家的努力, 现已对许多映射类 (包括集值映射类) 建立了拓扑度理论. 拓扑度理论现已成为研究非线性问题的基本方法之一, 被称为非线性分析的拓扑方法.
布劳威尔度 (Brouwer degree) 对有限维空间中的连续映射建立的拓扑度. 设 \( X \) 是有限维 (实) 赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的有界开集, \( f : \bar{\Omega } \rightarrow \) \( X \) 是连续映射, \( p \in X \smallsetminus f\left( {\partial \Omega }\right) \) . 那么可定义一个整数,记为 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) \) ,称之为 \( f \) 在 \( \Omega \) 上对点 \( p \) 的拓扑度. 它具有下述基本性质:
1. 标准性. 当 \( p \in \Omega \) 时, \( \deg \left( {I,\Omega, p}\right) = 1 \) ,其中 \( I \) 为 \( X \) 上的恒同映射.
2. 区域可加性. 若 \( {\Omega }_{1},{\Omega }_{2} \) 是 \( \Omega \) 的不交开子集, \( p \in X \smallsetminus f\left( {\bar{\Omega } \smallsetminus \left( {{\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2}}\right) }\right) \) ,则
\( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) = \deg \left( {f,{\Omega }_{1}, p}\right) + \deg \left( {f,{\Omega }_{2}, p}\right) . \)
3. 双同伦不变性. 若 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续及 \( \theta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续,且 \( \theta \left( t\right) \notin {h}_{t}\left( {\partial \Omega }\right) \left( {\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) , 其中 \( {h}_{t}\left( \cdot \right) = h\left( {\cdot, t}\right) \) ,则 \( \deg \left( {{h}_{t},\Omega ,\theta \left( t\right) }\right) \) 与 \( t \in \) \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 无关.
布劳威尔度具有惟一性, 即对于有限维空间中的连续映射而言, 具有上述三性质的整值函数 deg 是惟一确定的.
性质 3 等价于下述两性质 4 和 5 :
4. 同伦不变性. 若 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续,且 \( p \) ( \( \exists {h}_{t}\left( {\partial \Omega }\right) \left( {\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,则 \( \deg \left( {{h}_{t},\Omega, p}\right) \) 与 \( t \) 无关.
5. 平移不变性. 若 \( f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 连续, \( p \notin f\left( {\par |
2000_数学辞海（第3卷） | 100 | }_{1}, p}\right) + \deg \left( {f,{\Omega }_{2}, p}\right) . \)
3. 双同伦不变性. 若 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续及 \( \theta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续,且 \( \theta \left( t\right) \notin {h}_{t}\left( {\partial \Omega }\right) \left( {\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) , 其中 \( {h}_{t}\left( \cdot \right) = h\left( {\cdot, t}\right) \) ,则 \( \deg \left( {{h}_{t},\Omega ,\theta \left( t\right) }\right) \) 与 \( t \in \) \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 无关.
布劳威尔度具有惟一性, 即对于有限维空间中的连续映射而言, 具有上述三性质的整值函数 deg 是惟一确定的.
性质 3 等价于下述两性质 4 和 5 :
4. 同伦不变性. 若 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续,且 \( p \) ( \( \exists {h}_{t}\left( {\partial \Omega }\right) \left( {\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,则 \( \deg \left( {{h}_{t},\Omega, p}\right) \) 与 \( t \) 无关.
5. 平移不变性. 若 \( f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 连续, \( p \notin f\left( {\partial \Omega }\right) \) , 令 \( g\left( x\right) = f\left( x\right) - p \) ,则
\[
\deg \left( {f,\Omega, p}\right) = \deg \left( {g,\Omega ,0}\right) .
\]
由度数的上述基本性质还可推出下面一些性质:
6. 平凡性. 若 \( p \notin f\left( \bar{\Omega }\right) \) ,则
\[
\deg \left( {f,\Omega, p}\right) = 0.
\]
7. 可解性. 若 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) \neq 0 \) ,则存在 \( x \in \Omega \) , 使得 \( f\left( x\right) = p \) .
8. 切除性. 设有闭集 \( K \subset \bar{\Omega }, p \notin f\left( K\right) \) ,则
\[
\deg \left( {f,\Omega, p}\right) = \deg \left( {f,\Omega \smallsetminus K, p}\right) \text{.}
\]
9. 边界值性. 设 \( f \) 与 \( g : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 是两个连续映射,且当 \( x \in \partial \Omega \) 时, \( f\left( x\right) = g\left( x\right) \) ,则对任意的 \( p \notin \) \( f\left( {\partial \Omega }\right) \) ,有 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) = \deg \left( {g,\Omega, p}\right) \) .
10. 连通区性. 若 \( p \) 与 \( q \) 属于 \( X \smallsetminus f\left( {\partial \Omega }\right) \) 的同一连通分支,则 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) = \deg \left( {f,\Omega, q}\right) \) .
11. 缺方向性质. 若存在 \( {y}_{0} \in X,{y}_{0} \neq 0 \) ,使 \( f\left( x\right) \) \( \neq p + t{y}_{0}\left( {\forall x \in \partial \Omega, t \geq 0}\right) \) ,则
\[
\deg \left( {f,\Omega, p}\right) = 0.
\]
12. 锐角原理. 设 \( 0 \in \Omega, f : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 连续. 若当 \( x \) \( \in \partial \Omega \) 时, \( \langle f\left( x\right), x\rangle > 0 \) ,则 \( \deg \left( {f,\Omega ,0}\right) = 1 \) .
13. 降维性质. 若 \( f \) 映 \( \bar{\Omega } \) 人 \( X \) 的某个低维空间,则对任何 \( p \in X \smallsetminus f\left( {\partial \Omega }\right) \) ,有 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) = 0 \) .
由平移不变性,不妨设 \( p = 0 \) 而研究度数 \( \deg \left( {f,\Omega ,0}\right) \) . 若 \( {x}_{0} \in \Omega \) 是 \( f \) 的孤立零点,即 \( f\left( {x}_{0}\right) \) \( = 0 \) ,且存在 \( {x}_{0} \) 的某邻域 \( U \subset \Omega \) ,使得 \( f \) 在 \( U \) 中无其他零点. 这时 \( \deg \left( {f, U,0}\right) \) 有意义,且与 \( {x}_{0} \) 的充分小的邻域 \( U \) 的选取无关,这个度数记为 index \( \left\lbrack {f,{x}_{0}}\right\rbrack \) ,称之为孤立零点 \( {x}_{0} \) 的 (拓扑) 指数. 若 \( f \) 在 \( \Omega \) 中的零点均是孤立的,则其零点个数为有限,设为 \( \left\{ {{x}_{i} \mid i = 1,2,\cdots, k}\right\} \) . 这时有
\[
\deg \left( {f,\Omega ,0}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\operatorname{index}\left\lbrack {f,{x}_{i}}\right\rbrack .
\]
若零点 \( {x}_{0} \) 是 \( {C}^{1} \) 映射 \( f \) 的正则点,则
\[
\operatorname{index}\left\lbrack {f,{x}_{0}}\right\rbrack = \operatorname{sgn}\det {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = {\left( -1\right) }^{\beta },
\]
其中 \( \beta \) 为线性算子 \( {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \) 的所有负特征值的代数重数之和. 由边界值性质, \( \deg \left( {f,\Omega ,0}\right) \) 仅与 \( f \) 在 \( \partial \Omega \) 上的值有关. 因此,对于连续映射 \( f : \partial \Omega \rightarrow X \smallsetminus \) \( \{ 0\} \) ,令 \( \widetilde{f} \) 为 \( f \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上的任一连续延拓,则 \( \deg (\widetilde{f} \) , \( \Omega ,0) \) 有意义且与 \( \widetilde{f} \) 的选取无关. 这个度数记为 \( \gamma \left( {f,\partial \Omega }\right) \) ,称之为 \( f \) 在 \( \partial \Omega \) 上的旋度. 旋度与拓扑度表达方式不同, 实质相同.
孤立零点的指数 (index of isolated zero point) 见“布劳威尔度”.
旋度 (rotation) 见 “布劳威尔度”.
锐角原理 (acute angle principle) 见“布劳威尔度”.
勒雷-绍德尔度(Leray-Schauder degree) 对无穷维赋范线性空间中的全连续向量场建立的拓扑度. 设 \( X \) 是赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的有界开集, \( F : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 全连续, \( f = I - F \) 是全连续向量场, \( p \) \( \in X \smallsetminus f\left( {\partial \Omega }\right) \) ,那么,距离 \( \operatorname{dist}\left( {p, f\left( {\partial \Omega }\right) }\right) = \varepsilon > 0 \) . 取 \( X \) 的有限维线性子空间 \( {X}_{n} \) 与连续映射 \( {F}_{n} : \bar{\Omega } \rightarrow \) \( {X}_{n} \) ,使得 \( p \in {X}_{n} \) ,且 \( \begin{Vmatrix}{F\left( x\right) - {F}_{n}\left( x\right) }\end{Vmatrix} < \varepsilon (\forall x \in \) \( \bar{\Omega } \) ). 这时,布劳威尔度 \( \deg \left( {I - {F}_{n},\Omega \cap {X}_{n}, p}\right) \) 有意义,且与 \( {X}_{n} \) 和 \( {F}_{n} \) 的选取无关,把它作为 \( f \) 在 \( \Omega \) 上关于点 \( p \) 的拓扑度 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) \) 的定义,此即勒雷- 绍德尔度. 勒雷-绍德尔度具有与布劳威尔度类似的性质 (降维性质除外), 其中同伦不变性为: 设 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 全连续,若 \( h\left( {x, t}\right) \neq \) \( p\left( {\forall x \in \partial \Omega ,\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,则 \( \deg \left( {I - {h}_{t},\Omega, p}\right) \) 与 \( t \in \) \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 无关.
紧支撑向量场的拓扑度 (topological degree for compactly supported vector field) 勒雷-绍德尔度到紧支撑向量场的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的有界开集, \( F : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 是连续的紧支撑映射, \( 0 \notin \left( {I - F}\right) \left( {\partial \Omega }\right) \) . 设紧凸集 \( C \) 是 \( F \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上的支撑集,那么 \( {\left. F\right| }_{C \cap \bar{\Omega }} : C \cap \bar{\Omega } \rightarrow C \) 全连续. 设 \( \widetilde{F} \) 是 \( {\left. F\right| }_{C} \cap \bar{\Omega } \) 到 \( X \) 上的全连续延拓. 定义
\[
\deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) = \deg \left( {I - \widetilde{F},\Omega ,0}\right) ,
\]
其中右端为勒雷-绍德尔度. 这样定义的度 \( \deg (I - \) \( F,\Omega ,0) \) 是合理的,且具有度数的基本性质,其中同伦不变性表述如下: 设 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续,对每个 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{h}_{t} : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 是紧支撑映射,且诸 \( {h}_{t} \) 有公共的紧支撑集 \( C \) . 若
\[
h\left( {x, t}\right) \neq x\;\left( {\forall \left( {x, t}\right) \in \partial \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) ,
\]
则 \( \deg \left( {I - {h}_{t},\Omega ,0}\right) \) 与 \( t \) 无关.
集压缩向量场、凝聚向量场及终归紧向量场, 作为紧支撑向量场的特例, 它们的拓扑度均有意义, 并分别具有其特殊的性质, 其特殊性主要表现在具有特殊的同伦不变性. 例如, 凝聚向量场的拓扑度的同伦不变性表述如下: 设 \( h : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续有界, \( h\left( {x, t}\right) \neq x\left( {\forall \left( {x, t}\right) \in \partial \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,若 \( h \) 关于非紧性测度 \( \psi \) 是一致凝聚的,即对 \( \bar{\Omega } \) 中的每个非相对紧集 \( M \) ,有
\[
\psi \left( {\mathop{\bigcup }\limits_{t}{h}_{t}\left( M\right) }\right) < \psi \left( M\right) ,
\]
则 \( \deg \left( {I - {h}_{t},\Omega ,0}\right) \) 与 \( t \) 无关.
集压缩向量场的拓扑度 (topological degree for set contractive vector field) 见“紧支撑向量场的拓扑度”.
凝聚向量场的拓扑度 (topological degree for condensing vector field) 见 “紧支撑向量场的拓扑度”.
终归紧向量场的拓扑度 (topological degree for ultimately compact vector field) 见“紧支撑向量场的拓扑度”.
锥映射的拓扑度 (topological degree for cone mapping) 通常空间中映射的拓扑度到锥映射情形的推广或变种, 是研究方程正解的重要工具. 锥上的全连续向量场的拓扑度定义如下: 设 \( P \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的闭凸锥, \( \Omega \) 是 \( P \) 中的有界相对开集, \( F : \bar{\Omega } \rightarrow P \) 全连续,且 \( F\left( x\right) \neq x\left( {\forall x \in \partial \Omega }\right) \) ,这里 \( \partial \) \( \Omega \) 为 \( \Omega \) 在 \( P \) 中的相对边界. 取 \( X \) 中的有界开集 \( {\Omega }^{ * } \) ,使得 \( {\Omega }^{ * } \cap P = \Omega ,\partial {\Omega }^{ * } \cap P = \partial \Omega \) . 设 \( {F}^{ * } : X \rightarrow P \) 是 \( F \) 在 \( X \) 上的全连续延拓. 定义
\[
\deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) = \deg \left( {I - {F}^{ * },{\Omega }^{ * },0}\right) ,
\]
其中右端为勒雷-绍德尔度.
这样定义的度 \( \deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) \) 有意义且具有勒雷-绍德尔度类似的性质. 用类似的办法可对锥上的集压缩向量场、锥上的凝聚向量场、锥上的紧支撑向量场等建立拓扑度理论.
逼近固有映射的广义度 (generalized degree for approximating proper mapping) 用一列布劳威尔度逼近的产物. 这种广义度一般不再是一个单值整数,而是一个由某些整数或 \( \pm \infty \) 组成的集合. 设 \( X, Y \) 是巴拿赫空间, \( \Gamma = \left\{ {\left\{ {X}_{n}\right\} ,\left\{ {P}_{n}\right\} ;\left\{ {Y}_{n}\right\} }\right. \) , \( \left. \left\{ {Q}_{n}\right\} \right\} \) 是 \( \left( {X, Y}\right) \) 的一个允许逼近格式, \( \Omega \) 为 \( X \) 中的有界开集, \( T : \bar{\Omega } \rightarrow Y \) 是关于 \( \Gamma \) 的逼近固有映射, \( p \) \( \in Y \smallsetminus T\left( {\partial \Omega }\right) \) . 这时,对每个充分大的 \( n \) ,布劳威尔度 \( \deg \left( {{T}_{n},{\Omega }_{n},{Q}_{n}p}\right) \) 有意义. 定义 \( T \) 在 \( \Omega \) 上对点 \( p \) 的广义度为
\( \operatorname{Deg}\left( {T,\Omega, p}\right) \)
\( \left. { = \{ \gamma \mid \exists {n}_{j} \rightarrow \infty \text{ 使得 }\mathop{\lim }\limits_{{{n}_{j} \rightarrow \infty }}\deg \left( {{T}_{{n}_{j}},{\Omega }_{{n}_{j}},{Q}_{{n}_{j}}p}\right) = \gamma }\right\} . \)
广义度有下述基本性质:
1. 可解性. 若 \( \operatorname{Deg}\left( {T,\Omega, P}\right) \neq \{ 0\} \) ,则存在 \( x \in \) \( \Omega \) ,使得 \( T\left( x\right) = p \) .
2. 可加性. 若 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 是 \( \Omega \) 的不交开子集,且 \( p \notin T\left( {\bar{\Omega } \smallsetminus \left( {{\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2}}\right) }\right) \) ,则
\( \operatorname{Deg}\left( {T,\Omega, p}\right) \subset \operatorname{Deg}\left( {T,{\Omega }_{1}, p}\right) + \operatorname{Deg}\left( {T,{\Omega }_{2}, p}\right) . \) 当上式右端有一项为单值时成立等号.
3. 同伦不变性. 设 \( H : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow Y \) 满足条件:
1) 当 \( n \) 充分大时, \( {H}_{n} : {\bar{\Omega }}_{n} \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow {Y}_{n} \) 连续,其中 \( {H}_{n}\left( {x, t}\right) = {Q}_{n}H\left( {{P}_{n}x, t}\right) \left( {\forall x \in {\bar{\Omega }}_{n}, t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) .
2) 若有 \( {n}_{j} \rightarrow + \infty ,{x}_{{n}_{j}} \in {\bar{\Omega }}_{{n}_{j}},{t}_{{n}_{j}} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 101 | \neq \{ 0\} \) ,则存在 \( x \in \) \( \Omega \) ,使得 \( T\left( x\right) = p \) .
2. 可加性. 若 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 是 \( \Omega \) 的不交开子集,且 \( p \notin T\left( {\bar{\Omega } \smallsetminus \left( {{\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2}}\right) }\right) \) ,则
\( \operatorname{Deg}\left( {T,\Omega, p}\right) \subset \operatorname{Deg}\left( {T,{\Omega }_{1}, p}\right) + \operatorname{Deg}\left( {T,{\Omega }_{2}, p}\right) . \) 当上式右端有一项为单值时成立等号.
3. 同伦不变性. 设 \( H : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow Y \) 满足条件:
1) 当 \( n \) 充分大时, \( {H}_{n} : {\bar{\Omega }}_{n} \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow {Y}_{n} \) 连续,其中 \( {H}_{n}\left( {x, t}\right) = {Q}_{n}H\left( {{P}_{n}x, t}\right) \left( {\forall x \in {\bar{\Omega }}_{n}, t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) .
2) 若有 \( {n}_{j} \rightarrow + \infty ,{x}_{{n}_{j}} \in {\bar{\Omega }}_{{n}_{j}},{t}_{{n}_{j}} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,使得 \( \begin{Vmatrix}{{H}_{{n}_{j}}\left( {{x}_{{n}_{j}},{t}_{{n}_{j}}}\right) - {Q}_{{n}_{j}}p}\end{Vmatrix} \rightarrow 0 \) ,则存在 \( {n}_{j} \) 的子列 \( {n}_{{j}_{k}} \) \( \rightarrow + \infty \) 与 \( x \in \bar{\Omega } \) 及 \( t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,使得
\[
{x}_{{n}_{{j}_{k}}} \rightarrow x,\;{t}_{{n}_{{j}_{k}}} \rightarrow t,
\]
且 \( H\left( {x, t}\right) = p \) .
3) \( p \notin H\left( {x, t}\right) \left( {\forall x \in \partial \Omega, t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,
则 \( \deg \left( {{H}_{t},\Omega, p}\right) \) 与 \( t \) 无关.
有限维流形上映射的拓扑度 (topological degree for mapping on finite dimensional manifold) 布劳威尔度在有限维流形上映射情形的变种形式. 设 \( M \) 和 \( N \) 是两个 \( n \) 维定向流形, \( \Omega \) 是 \( M \) 中的开集, \( f : \Omega \rightarrow N \) 连续固有,则对任意的 \( p \in N \) ,可定义拓扑度 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) \) . 特别地,当 \( M \) 紧且 \( N \) 连通时,度数 \( \deg \left( {f, M, p}\right) \) 与 \( p \in N \) 的选取无关. 常简记为 \( \deg \left( f\right) \) ,亦称为 \( f \) 的映射度.
弗雷德霍姆映射的拓扑度 (topological degree for Fredholm mapping) 对巴拿赫流形间的固有的零指标或正指标弗雷德霍姆映射建立的拓扑度. 设 \( M \) 与 \( N \) 是两个巴拿赫流形,其模空间分别为 \( X \) 与 \( Y,\Omega \) 为 \( M \) 中的开集, \( f : \bar{\Omega } \rightarrow N \) 是固有的零指标弗雷德霍姆映射, \( p \in N \smallsetminus f\left( {\partial \Omega }\right) \) . 由 \( f \) 的固有性及 \( f \) 在每点的通过局部坐标变换可表为全连续向量场 \( I - K \) 的形式,其中 \( K \) 为有限维值映射,可对 \( f \) 定义一种拓扑度. 但由于局部坐标变换选取的不同,只能得到模 2 度 \( {\deg }_{2}\left( {f,\Omega, p}\right) \) . 如果 \( M \) 和 \( N \) 还是定向的,并对 \( M \) 和 \( N \) 上的局部坐标系加以限制, 即赋予所谓弗雷德霍姆结构, 这时可定义整数度 \( \deg \left( {f,\Omega, p}\right) \) . 对固有的正指标弗雷德霍姆映射也可建立度理论, 但这种度不再是整数, 而是一个庞特里亚金标架协边类.
叠合度 (coincidence degree) 亦称重合度. 为了讨论方程 \( {Lx} = {Nx} \) 的解,利用勒雷-绍德尔度来定义的一种度. 这里 \( L : \operatorname{dom}L \subset X \rightarrow Z \) 是零指标的弗雷德霍姆线性算子, \( N : \bar{\Omega } \subset X \rightarrow Z \) 是非线性算子, \( X, Z \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中有界开集. 由假定可知,存在有限维子空间 \( {N}_{0} \subset Z \) 与商空间 \( Z/ \) \( \operatorname{Im}L \) 同构,且存在连续投影算子 \( P : X \rightarrow \ker L, Q : Z \) \( \rightarrow {N}_{0} \) 满足 \( \operatorname{Im}P = \ker L,\ker Q = \operatorname{Im}L, X = \ker L \oplus \) \( \ker P, Z = \operatorname{Im}L \oplus \operatorname{Im}Q \) . 记 \( {K}_{P} : \operatorname{Im}L \rightarrow \operatorname{dom}L \cap \) \( \ker P \) 为 \( L \) 在 \( \operatorname{dom}L \cap \ker P \) 上的限制的逆算子,并令 \( {K}_{P, Q} = {K}_{P}\left( {I - Q}\right) : Z \rightarrow \operatorname{dom}L \cap \ker P \) ,这里 \( I \) 为恒同映射. 设 \( J : \operatorname{Im}Q \rightarrow \ker L \) 是一同构,并令 \( {H}_{J, P, Q} = {JQ} + {K}_{P, Q} : Z \rightarrow \operatorname{dom}L \) . 设 \( N \) 是 \( L \) 紧的 (即 \( {QN} : \bar{\Omega } \rightarrow Z \) 和 \( {K}_{P, Q, N} : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 都是紧的) 且 0 & \( F\left( {\operatorname{dom}L \cap \partial \Omega }\right) \) ,这里 \( F = L - N \) . 于是,易知 \( {H}_{J, P, Q} = I - A \) ,其中 \( A = P + {JQN} + {K}_{P, Q}N : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 是全连续算子,且 \( 0 \notin \left( {I - A}\right) \left( {\partial \Omega }\right) \) ,故勒雷-绍德尔度 \( \deg \left( {I - A,\Omega ,0}\right) \) 存在,它就定义为 \( F \) 在 \( \Omega \) 上关于 \( L \) 的叠合度,记为 \( {D}_{L}\left( {F,\Omega }\right) \) . 可证 \( {D}_{L}\left( {F,\Omega }\right) \) 与 \( P, Q \) 以及 \( J \) (保持定向) 的选择无关,并具有可加性、同伦不变性、可解性等性质. 例如, 可解性指的是: 若 \( {D}_{L}\left( {F,\Omega }\right) \neq 0 \) ,则 \( {Lx} = {Nx} \) 在 \( \operatorname{dom}L \cap \Omega \) 中有解. 叠合度是讨论非线性常微分方程边值问题的一个有力工具.
重合度 (coincidence degree) 即 “叠合度”.
博苏克-乌拉姆定理 (Borsuk-Ulam theorem) 关于有限维空间中的连续奇映射的著名定理. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是有限维赋范线性空间,且 \( \dim Y \) \( < \dim X, S \) 为 \( X \) 中的单位球面, \( f : S \rightarrow Y \) 为连续奇映射 \( \left( {f\left( {-x}\right) = - f\left( x\right) ,\forall x \in S}\right) \) ,则存在 \( x \in S \) 使 \( f\left( x\right) = 0 \) . 换言之,不存在降维的无零点的连续奇映射 \( f : S \rightarrow Y \) . 这个定理的一个等价形式是: 若 \( f : S \) \( \rightarrow Y \) 连续,则存在 \( x \in S \) 使 \( f\left( x\right) = f\left( {-x}\right) \) . 这个定理的度数表达形式是: 设 \( \Omega \) 为 \( X \) 中的单位开球 (或一般地, \( \Omega \) 为 \( X \) 中含原点的有界对称开集), \( f : \bar{\Omega } \rightarrow \) \( X \) 连续, \( f \) 在 \( \partial \Omega \) 上为奇映射,且 \( 0 \notin f\left( {\partial \Omega }\right) \) ,则 \( \deg \left( {f,\Omega ,0}\right) \) 是奇数. 简言之,即奇映射的度数是奇数.
上述定理首先由博苏克 (Borsuk, K. ) 于 1933 年得到, 常简称博苏克定理. 博苏克定理有许多推广的形式. 例如奇的全连续向量场 (或凝聚向量场) 的度数是奇数, 奇的逼近固有映射的广义度不含偶数. 另一方面,奇映射即在群 \( {Z}_{2} \) 作用下等变的映射. 若考虑在其他某些紧群 (如 \( {Z}_{p} \) 群, \( p \) 为素数, \( {S}^{1} \) 群) 作用下的等变映射,可有相应的博苏克定理.
霍普夫同伦分类定理 (Hopf homotopy classification theorem) 布劳威尔度的同伦不变性定理的一个逆定理. 设 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的单位开球, \( f, g : \bar{\Omega } \rightarrow \) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 连续, \( 0 \notin f\left( {\partial \Omega }\right) ,0 \notin g\left( {\partial \Omega }\right) \) . 若 \( \deg \left( {f,\Omega ,0}\right) \) \( = \deg \left( {g,\Omega ,0}\right) \) ,则 \( f \) 与 \( g \) 非退化同伦,即存在连续映射 \( H : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) ,使得 \( {H}_{0} = f,{H}_{1} = g \) ,且 0 ( \( H\left( {\partial \Omega \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) . 设 \( S \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中单位球面, \( f, g : S \) \( \rightarrow S \) 是两个连续映射,霍普夫定理可表述为:
\[
\deg \left( f\right) = \deg \left( g\right) \Leftrightarrow f \simeq g.
\]
此定理由霍普夫 (Hopf, H. ) 于 1927 年得到.
杜俊基延拓定理 (Dugundji extension theorem) 蒂茨 (Tietze, \( \mathrm{H} \) .) 关于实函数的延拓定理到无穷维空间中映射情形的一种推广. 设 \( X \) 是度量空间, \( D \) 为 \( X \) 中的闭集, \( Y \) 为局部凸拓扑线性空间, \( f : D \rightarrow Y \) 连续,则存在 \( f \) 的连续延拓 \( \widetilde{f} : X \rightarrow \) \( \overline{\operatorname{co}}f\left( D\right) \) . 此定理由杜俊基 (Dugundji, J. ) 于 1951 年得到.
不动点理论 (fixed point theory) 研究自映射的不动点的理论. 设有映射 \( F : D \subset X \rightarrow X \) . 若有点 \( x \in D \) 使得 \( F\left( x\right) = x \) ,则 \( x \) 称为映射 \( F \) 的一个不动点. 确定映射在某条件下存在不动点的定理称为不动点定理. 各种不动点定理构成不动点理论的基本内容.
不动点 (fixed point) 见“不动点理论”.
不动点指数 (fixed point index) 与拓扑度类似的用以刻画映射的不动点的 “代数个数”的同伦不变量. 映射 \( F : \Omega \subset X \rightarrow X \) 在区域 \( \Omega \) 中的不动点指数,记为 \( i\left( {F,\Omega }\right) \) ,反映了 \( F \) 在 \( \Omega \) 中的不动点的 “代数个数”. 若 \( X \) 是线性空间,则 \( F \) 的不动点即向量场 \( f = I - F \) 的零点. 当拓扑度 \( \deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) \) 有意义时,不动点指数 \( i\left( {F,\Omega }\right) \) 也有意义,且 \( i(F \) , \( \Omega ) = \deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) \) . 设 \( X \) 是有限维赋范线性空间, \( \Omega \) 是 \( X \) 中的有界开集, \( F : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 连续, \( F \) 在 \( \partial \Omega \) 上无不动点,这时布劳威尔不动点指数 \( i\left( {F,\Omega }\right) \) 有意义,它等于布劳威尔度 \( \deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) .i\left( {F,\Omega }\right) \) 有下述基本性质:
1. 标准性. 设 \( F\left( x\right) \equiv p \) ,则 \( p \in \Omega \) 时, \( i\left( {F,\Omega }\right) \) \( = 1 \) . 当 \( p \notin \bar{\Omega } \) 时, \( i\left( {F,\Omega }\right) = 0 \) .
2. 可加性. 设 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 是 \( \Omega \) 中的不交开子集, 若 \( F \) 在 \( \bar{\Omega } \smallsetminus \left( {{\Omega }_{1} \cup {\Omega }_{2}}\right) \) 中无不动点,则
\[
i\left( {F,\Omega }\right) = i\left( {F,{\Omega }_{1}}\right) + i\left( {F,{\Omega }_{2}}\right) .
\]
3. 同伦不变性. 设 \( H : \bar{\Omega } \times \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \rightarrow X \) 连续,若 \( H\left( {x, t}\right) \neq x\left( {\forall x \in \partial \Omega, t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }\right) \) ,则 \( i\left( {{H}_{t},\Omega }\right) \) 与 \( t \) 无关.
由此特别推出: 若 \( i\left( {F,\Omega }\right) \neq 0 \) ,则 \( F \) 在 \( \Omega \) 中存在不动点. 类似地, 对于全连续映射, 可定义勒雷- 绍德尔不动点指数. 对于集压缩映射、凝聚映射、紧支撑映射等, 均可定义相应的不动点指数. 利用不动点指数或拓扑度理论, 可以得到许多不动点定理或零点存在定理.
巴拿赫不动点定理 (Banach fixed point theorem) 关于压缩映射的不动点定理. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是完备度量空间, \( F : X \rightarrow X \) 是 \( k \) 压缩映射,即
\[
d\left( {{Fx},{Fy}}\right) \leq {kd}\left( {x, y}\right) \;\left( {\forall x, y \in X}\right) ,
\]
其中 \( k \in \lbrack 0,1) \) ,则 \( F \) 在 \( X \) 上存在惟一不动点 \( x \) ,且任取初值 \( {x}_{0} \in X \) ,由迭代 \( {x}_{n + 1} = F{x}_{n}\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 确定的序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 收敛到不动点 \( x \) ,并有下述估计式:
\[
d\left( {{x}_{n}, x}\right) \leq {k}^{n}{\left( 1 - k\right) }^{-1}d\left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right) ,
\]
\[
d\left( {{x}_{n + 1}, x}\right) \leq k{\left( 1 - k\right) }^{-1}d\left( {{x}_{n},{x}_{n + 1}}\right) ,
\]
\[
d\left( {{x}_{n + 1}, x}\right) \leq {kd}\left( {{x}_{n}, x}\right) .
\]
巴拿赫不动点定理亦称压缩映射不动点定理, 由巴拿赫 (Banach, S. ) 于 1922 年得到, 是最基本的不动点定理之一.
压缩映射不动点定理 (contraction mapping fixed point theorem) 即“巴拿赫不动点定理”.
非扩张映射不动点定理 (fixed point theorem for nonexpansive mapping) 关于巴拿赫空间中有界闭凸集上的非扩张映射的不动点定理. 有例子表明, 在一般巴拿赫空间中有界闭凸集上的非扩张映射可以不存在不动点. 关于非扩张映射不动点理论的第一个重要结果属于德马尔 (de Marr, R. ). 之后不久, 布劳德 (Browder, F. E. ) 和歌德 (Go-hde, D. ), 克尔克 (Kirk, W. A. ), 佩出里逊 (Petryshyn, W. V.) 等得到了下述定理: 设 \( X \) 是一致凸的巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 中的有界闭凸集, \( F : C \) \( \rightarrow C \) 非扩张,则 \( F \) 在 \( C \) 中存在不动点.
克尔克的结论指出,上述定理中的条件 “ \( X \) 是一致凸的巴拿赫空间”可减弱为 “ \( X \) 是具有正规结构的自反巴拿赫空间”.
布劳威尔不动点定理 (Brouwer fixed point theorem) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中紧凸集上的连续自映射的不动点存在定理. 若 \( D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界闭凸集, \( F : D \rightarrow D \) 连续,则 \( F \) 在 \( D \) 中存在不动点. 此定理与下述任一结论相互等价:
1. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中闭球 \( B \) 的边界 \( S \) |
2000_数学辞海（第3卷） | 102 | }\right) \leq k{\left( 1 - k\right) }^{-1}d\left( {{x}_{n},{x}_{n + 1}}\right) ,
\]
\[
d\left( {{x}_{n + 1}, x}\right) \leq {kd}\left( {{x}_{n}, x}\right) .
\]
巴拿赫不动点定理亦称压缩映射不动点定理, 由巴拿赫 (Banach, S. ) 于 1922 年得到, 是最基本的不动点定理之一.
压缩映射不动点定理 (contraction mapping fixed point theorem) 即“巴拿赫不动点定理”.
非扩张映射不动点定理 (fixed point theorem for nonexpansive mapping) 关于巴拿赫空间中有界闭凸集上的非扩张映射的不动点定理. 有例子表明, 在一般巴拿赫空间中有界闭凸集上的非扩张映射可以不存在不动点. 关于非扩张映射不动点理论的第一个重要结果属于德马尔 (de Marr, R. ). 之后不久, 布劳德 (Browder, F. E. ) 和歌德 (Go-hde, D. ), 克尔克 (Kirk, W. A. ), 佩出里逊 (Petryshyn, W. V.) 等得到了下述定理: 设 \( X \) 是一致凸的巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 中的有界闭凸集, \( F : C \) \( \rightarrow C \) 非扩张,则 \( F \) 在 \( C \) 中存在不动点.
克尔克的结论指出,上述定理中的条件 “ \( X \) 是一致凸的巴拿赫空间”可减弱为 “ \( X \) 是具有正规结构的自反巴拿赫空间”.
布劳威尔不动点定理 (Brouwer fixed point theorem) \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中紧凸集上的连续自映射的不动点存在定理. 若 \( D \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界闭凸集, \( F : D \rightarrow D \) 连续,则 \( F \) 在 \( D \) 中存在不动点. 此定理与下述任一结论相互等价:
1. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中闭球 \( B \) 的边界 \( S \) 不是 \( B \) 的收缩核.
\( 2.{\mathrm{R}}^{n} \) 中的球面 \( S \) 不是可缩的,即 \( S \) 与单点空间的伦型不同.
布劳威尔不动点定理由布劳威尔 (Brouwer, L. E. J. )于 1912 年得到.
莱夫谢茨不动点定理 (Lefschetz fixed point theorem) 关于有限多面体上连续自映射的不动点定理. 设 \( \left| K\right| \) 为有限多面体, \( f : \left| K\right| \rightarrow \left| K\right| \) 为连续映射,若 \( f \) 的莱夫谢茨数 \( L\left( f\right) \neq 0 \) ,则 \( f \) 有不动点. 此定理由莱夫谢茨 (Lefschetz, S. ) 于 1926 年得到. 布劳威尔不动点定理为其特例.
绍德尔不动点定理 (Schauder fixed point theorem）布劳威尔不动点定理到巴拿赫空间情形的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 中的紧凸集. \( F : C \rightarrow C \) 连续,则 \( F \) 有不动点. 此定理的一个等价形式是: 设 \( D \) 是 \( X \) 中的非空有界闭凸集, \( F : D \rightarrow D \) 全连续,则 \( F \) 有不动点. 此定理由绍德尔 (Schaud-er, J. P. ) 于 1930 年得到.
勒雷 - 绍德尔边界条件 (Leray-Schauder boundary condition) 为保证全连续映射在某区域中存在不动点而对映射在区域边界上的值提出的一种条件. 设 \( \Omega \) 是巴拿赫空间 \( X \) 中的有界开集, \( 0 \in \Omega, F : \bar{\Omega } \rightarrow X \) 全连续. 在 \( \partial \Omega \) 上加于 \( F \) 的条件有:
1. \( x \neq {tF}\left( x\right) \left( {\forall x \in \partial \Omega, t \in \left( {0,1}\right) }\right) \) ,则 \( F \) 在 \( \bar{\Omega } \) 中有不动点.
上述条件称为勒雷-绍德尔边界条件. 类似的条件还有:
2. (罗铁 (Rothe, E. )) 条件: \( \parallel F\left( x\right) \parallel \leq \parallel x \) \( \parallel \left( {\forall x \in \partial \Omega }\right) \) .
3. (阿尔特曼 (Altman, M. )) 条件: \( \parallel F\left( x\right) - \) \( x{\parallel }^{2} \geq \parallel F\left( x\right) {\parallel }^{2} - \parallel x{\parallel }^{2}\left( {\forall x \in \partial \Omega }\right) . \)
4. (罗铁) 条件: \( \Omega \) 是凸集, \( F\left( {\partial \Omega }\right) \subset \bar{\Omega } \) .
5. (克拉斯诺塞尔斯基 (KpachocellBCKHй, M. A. )) 条件: \( X \) 是希尔伯特空间,
\[
\langle F\left( x\right), x\rangle \leq \parallel x{\parallel }^{2}\left( {\forall x \in \partial \Omega }\right) .
\]
若 \( F \) 满足上述条件之一,则 \( F \) 在 \( \bar{\Omega } \) 中有不动点. 这时,若 \( F \) 在 \( \partial \Omega \) 上无不动点,则有
\[
\deg \left( {I - F,\Omega ,0}\right) = i\left( {F,\Omega }\right) = 1.
\]
吉洪诺夫不动点定理 (Tychonoff fixed point theorem) 关于局部凸拓扑线性空间中的紧凸集上的连续自映射的不动点定理. 设 \( X \) 是局部凸拓扑线性空间, \( C \) 是 \( X \) 中的紧凸集, \( F : C \rightarrow C \) 连续,则 \( F \) 有不动点. 此定理由吉洪诺夫 (Thxohob, A. H. ) 于 1935 年得到.
达伯-萨多夫斯基不动点定理 (Darbo-Sadovskii fixed point theorem) 绍德尔不动点定理到集压缩映射或凝聚映射情形的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( D \) 是 \( X \) 中非空有界闭凸集, \( F : D \rightarrow D \) 是连续的集压缩映射或凝聚映射,则 \( F \) 在 \( D \) 中有不动点. 达伯 (Darbo, G. ) 于 1955 年与萨多夫斯基 (Sadovskii, B. N. ) 于 1967 年分别就集压缩映射与凝聚映射证明了上述结果.
卡里斯梯不动点定理 Caristi fixed point theorem) 继巴拿赫不动点定理之后关于完备度量空间中映射的又一重要的不动点定理. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 为完备度量空间, \( F : X \rightarrow X \) 是映射, \( \varphi : X \rightarrow \) \( \lbrack 0, + \infty ) \) 下半连续. 若
\( d\left( {x, F\left( x\right) }\right) \leq \varphi \left( x\right) - \varphi \left( {F\left( x\right) }\right) \;\left( {\forall x \in X}\right) , \)
则 \( F \) 在 \( X \) 中有不动点. 此定理由卡里斯梯 (Caristi, J. ) 于 1976 年得到.
偏序集上映射不动点定理 (fixed point theorems for mappings on partially ordered sets) 偏序集上的各类特殊映射的不动点定理. 下面列出这方面的几个重要结果,其中 \( \left( {X, \leq }\right) \) 为偏序集:
1. (克那斯特 (Knaster, B. )-库拉托夫斯基 (Kuratowski, K. )-马祖尔克维奇 (Mazurkiewicz, S. ),1929). 设 \( F : X \rightarrow X \) 是保序映射 \( \left( {x \leq y \Rightarrow F\left( x\right) }\right. \) \( \leq F\left( y\right) ) \) . 若存在 \( b \in X \) 使得 \( b \leq F\left( b\right) \) ,且 \( Q = \{ x \in \) \( X \mid b \leq x\} \) 中的每个链均有上界,则 \( F \) 在 \( Q \) 中有不动点,且存在 \( F \) 在 \( X \) 上的最大不动点.
2. (布尔巴基, 1940; 克纳塞 (Kneser, A. ), 1950). 设 \( X \) 中每个链有上确界, \( F : X \rightarrow X \) 满足条件: \( x \leq F\left( x\right) \left( {\forall x \in X}\right) \) ,则 \( F \) 在 \( X \) 中有不动点.
3. (塔尔斯基 (Tarski, A. ),1955). 完备格 \( X \) 上的每个保序映射必有最小与最大不动点.
4. (阿曼 (Amann, H. ),1977). 设 \( X \) 中每个链有上确界, \( F : X \rightarrow X \) 保序,且存在 \( {x}_{0} \in X \) 使得 \( {x}_{0} \leq \) \( F\left( {x}_{0}\right) \) ,则 \( F \) 在集 \( \left\{ {x \in X \mid {x}_{0} \leq x}\right\} \) 中有最小不动点.
锥映射不动点定理 (fixed point theorems for cone mappings) 有序巴拿赫空间中各类锥映射的不动点定理. 下面列出这方面的几个重要结果, 其中 \( \left( {X, \leq }\right) \) 是有序巴拿赫空间,半序 \( \leq \) 由锥 \( P \) 确定.
1. (增算子的不动点定理). 设 \( P \) 正规, \( \left\lbrack {{u}_{0},{v}_{0}}\right\rbrack \) 是 \( X \) 中的序区间, \( F : \left\lbrack {{u}_{0},{v}_{0}}\right\rbrack \rightarrow X \) 是连续的凝聚映射 (特别地, 严格集压缩映射, 全连续映射), 且是增算子. 若有 \( {u}_{0} \leq F\left( {u}_{0}\right), F\left( {v}_{0}\right) \leq {v}_{0} \) ,则 \( F \) 在 \( \left\lbrack {{u}_{0},{v}_{0}}\right\rbrack \) 中有最大不动点 \( {x}^{ * } \) 与最小不动点 \( {x}_{ * } \) ,且
\[
{x}^{ * } = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{v}_{n},\;{x}_{ * } = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{u}_{n},
\]
其中 \( {v}_{n} = F\left( {v}_{n - 1}\right) ,{u}_{n} = F\left( {u}_{n - 1}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,满足:
\[
{u}_{0} \leq {u}_{1} \leq \cdots \leq {u}_{n} \leq \cdots \leq {v}_{n} \leq \cdots \leq {v}_{1} \leq {v}_{0}.
\]
在上述定理中,若将 \( P \) 正规加强为 \( P \) 正则,则 \( F \) 的凝聚性可去掉而只要求 \( F \) 为连续; 若要求 \( P \) 是强极小的,则 \( F \) 的连续性假设也可去掉.
2. (锥拉伸与锥压缩不动点定理). 设 \( {\Omega }_{1} \) 和 \( {\Omega }_{2} \) 是 \( P \) 中的两个有界相对开集, \( \partial {\Omega }_{1} \) 和 \( \partial {\Omega }_{2} \) 表示在 \( P \) 中的相对边界, \( \theta \in {\Omega }_{1},{\bar{\Omega }}_{1} \subset {\Omega }_{2}, F : {\bar{\Omega }}_{2} \smallsetminus {\Omega }_{1} \rightarrow P \) 全连续. 若 \( F \) 是锥拉伸的,即
\( {Fx} \geqq x\left( {\forall x \in \partial {\Omega }_{1}}\right) ;{Fx} ≢ x\left( {\forall x \in \partial {\Omega }_{2}}\right) , \) 或 \( F \) 是锥压缩的,即
\( {Fx} \geqq x\left( {\forall x \in \partial {\Omega }_{2}}\right) ;{Fx} ≢ x\left( {\forall x \in \partial {\Omega }_{1}}\right) , \) 则 \( F \) 在 \( {\Omega }_{2} \smallsetminus {\bar{\Omega }}_{1} \) 中有不动点.
映射族不动点定理 (fixed point theorems for families of mappings) 关于映射族的公共不动点存在定理. 设 \( F = \left\{ {{f}_{\alpha } \mid \alpha \in \Lambda }\right\} \) 是一映射族,其中 \( \Lambda \) 是指标集, \( \forall \alpha \in \Lambda ,{f}_{\alpha } : X \rightarrow X \) 是映射. 若 \( x \in X \) 使得 \( {f}_{\alpha }\left( x\right) = x\left( {\forall \alpha \in \Lambda }\right) \) ,则称 \( x \) 为映射族 \( F \) 的不动点. 下面是几个著名的映射族的不动点定理,其中 \( X \) 是局部凸豪斯多夫空间, \( C \subset X.F \) 是 \( C \) 上的某映射族,即 \( F = \left\{ {{f}_{a} \mid \alpha \in \Lambda }\right\} ,{f}_{a} : C \rightarrow C\left( {\forall \alpha \in \Lambda }\right) \) . 映射族 \( F \) 称为可交换的,指的是 \( {f}_{\beta }{f}_{\alpha } = {f}_{\alpha }{f}_{\beta }\left( {\forall \alpha ,\beta \in \Lambda }\right) \) . 映射族 \( F \) 称为仿射的,指的是 \( F \) 中的每个成员 \( f : C \) \( \rightarrow C \) 是仿射的,即 \( f\left( {{tx} + \left( {1 - t}\right) y}\right) = {tf}\left( x\right) + (1 - \) t) \( f\left( y\right) \left( {\forall x, y \in C,\forall t \in \left( {0,1}\right) }\right) \) .
1. (马尔可夫 (MapkoB, A. A. ),1936). 设 \( C \) 是 \( X \) 中的紧凸集, \( F \) 是 \( C \) 上的一个可交换的仿射的连续映射族,则 \( F \) 在 \( C \) 上有不动点.
2. (角谷静夫,1938). 设 \( C \) 是 \( X \) 中的紧凸集, \( F \) 是 \( C \) 上的一个仿射等度连续的映射族,且 \( F \) 在映射的复合运算下构成群,则 \( F \) 在 \( C \) 中有不动点.
3. (赖尔-纳尔德泽夫斯基 (Ryll-Nardzewski, C. ),1967). 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 中的凸弱紧集, \( C \) 上的映射族 \( F \) 是一半群. 令 \( D = \{ f\left( x\right) \) \( - f\left( y\right) \mid f \in F, x, y \in C, x \neq y\} \) . 若 \( 0 \notin \bar{D} \) ,则 \( F \) 在 \( C \) 中有不动点.
4. (德马尔 (de Marr, R. ),1963). 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( C \) 是 \( X \) 中的紧凸集, \( F \) 是 \( C \) 上的可交换映射族,且 \( F \) 中的成员均为 \( C \) 上的非扩张映射,则 \( F \) 在 \( C \) 上有不动点.
集值映射的拓扑度 (topological degree for setvalued mappings) 单值映射拓扑度到集值映射情形的推广. 各种单值映射的拓扑度理论大多已被推广到相应的集值映射类. 例如, 布劳威尔度、勒雷-绍德尔度、集压缩与凝聚向量场的拓扑度、终归紧向量场的拓扑度、锥映射的拓扑度、逼近固有映射的广义度等均有相应的集值映射情形的推广, 这里仅以勒雷-绍德尔度为例说明如下. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \Omega \) 为 \( X \) 中的有界开集, \( F : \bar{\Omega } \rightarrow {2}^{X} \) 是具非空紧凸值的全连续集值映射,且 \( p \in X \smallsetminus \left( {I - F}\right) \left( {\partial \Omega }\right) \) . 任给 \( \varepsilon > 0 \) ,由逼近定理,存在单值连续映射 \( f : \bar{\Omega } \rightarrow \) \( X \) ,使得 \( f\left( \bar{\Omega }\right) \subset \overline{\operatorname{co}}F\left( \bar{\Omega }\right) \) ,且 \( \operatorname{graph}\left( f\right) \subset \) \( {N}_{\varepsilon }\left( {\operatorname{graph}\left( F\right) }\right) \) . 此时 \( f \) 为全连续映射,且当 \( \varepsilon > 0 \) 充分小时,有 \( p \notin \left( {I - f}\right) \left( {\partial \Omega }\right) \) ,于是勒雷-绍德尔度 \( \deg \left( {I - f,\Omega, p}\right) \) 有意义,将它作为 \( \deg (I - F,\Omega \) , \( P) \) 的定义. 可证此定义的合理性及这样定义的度具有与勒雷-绍德尔度类似的性质.
上述提到的诸类集值映射均要求具凸值. 对于具非凸值时的某些类集值映射也可建立度理论. 这方面的基本结果由果尔尼维茨 (Gorniewicz, L. ) 与波里索维奇 ( \( {\mathrm{{Eop}}}_{\mathrm{{HCOBHY}}},\mathrm{{IO}}.\Gamma \) . ) 等给出.
集值映射的不动点 (fixed point of setvalued mapping）单值映射不动点到集值映射情形的推广. 设 \( D \subset X, F : D \rightarrow {2}^{X} \) 为集值映射. 若 \( {x}_{0} \in D \) 满足 \( {x}_{0} \in F\left( {x}_{0}\right) \) ,则称 \( {x}_{0} \) 为 \( F \) 的一个不动点.
集值映射的不动点定理已有许多.
集值压缩映射不动点定理 (fixed point theorem for setvalued contractive mapping) 巴拿赫压缩映射原理到集值映射情形的推广. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是完备度量空间. \( F : X \rightarrow {2}^{X} \) 是具非空有界闭值的压缩映射,即存在 \( k < 1 \) 使得 \( h\left( {F\left( x\right), F\left( y\right) }\right) \leq {kd}(x \) , \( y)\left( {\forall x, y \in X}\right) \) ,其中 \( h \) 为豪斯多夫度量,则 \( F \) 有不动点. 集值压缩映射不动点定理由纳德勒 (Nadler, S. B. ) 于 1969 年得到.
角谷静夫-樊壧 |
2000_数学辞海（第3卷） | 103 | \( p \notin \left( {I - f}\right) \left( {\partial \Omega }\right) \) ,于是勒雷-绍德尔度 \( \deg \left( {I - f,\Omega, p}\right) \) 有意义,将它作为 \( \deg (I - F,\Omega \) , \( P) \) 的定义. 可证此定义的合理性及这样定义的度具有与勒雷-绍德尔度类似的性质.
上述提到的诸类集值映射均要求具凸值. 对于具非凸值时的某些类集值映射也可建立度理论. 这方面的基本结果由果尔尼维茨 (Gorniewicz, L. ) 与波里索维奇 ( \( {\mathrm{{Eop}}}_{\mathrm{{HCOBHY}}},\mathrm{{IO}}.\Gamma \) . ) 等给出.
集值映射的不动点 (fixed point of setvalued mapping）单值映射不动点到集值映射情形的推广. 设 \( D \subset X, F : D \rightarrow {2}^{X} \) 为集值映射. 若 \( {x}_{0} \in D \) 满足 \( {x}_{0} \in F\left( {x}_{0}\right) \) ,则称 \( {x}_{0} \) 为 \( F \) 的一个不动点.
集值映射的不动点定理已有许多.
集值压缩映射不动点定理 (fixed point theorem for setvalued contractive mapping) 巴拿赫压缩映射原理到集值映射情形的推广. 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是完备度量空间. \( F : X \rightarrow {2}^{X} \) 是具非空有界闭值的压缩映射,即存在 \( k < 1 \) 使得 \( h\left( {F\left( x\right), F\left( y\right) }\right) \leq {kd}(x \) , \( y)\left( {\forall x, y \in X}\right) \) ,其中 \( h \) 为豪斯多夫度量,则 \( F \) 有不动点. 集值压缩映射不动点定理由纳德勒 (Nadler, S. B. ) 于 1969 年得到.
角谷静夫-樊壧-格里克斯伯格不动点定理 (Kakutani-Fan-Glicksberg fixed point theorem) 吉洪诺夫不动点定理到集值映射情形的推广. 设 \( X \) 是局部凸拓扑线性空间, \( C \) 是 \( X \) 中的非空紧凸集, \( T : C \rightarrow {2}^{C} \) 是具非空闭凸值的上半连续集值映射,则 \( T \) 有不动点. 此定理由樊堆 \( \left( {\mathrm{{Ky}},\mathrm{{Fan}}}\right) \) 于 1952 年得到. 角谷静夫于 1941 年得到了此定理在 \( X = {\mathrm{R}}^{n} \) 时的特殊情形. 波嫩拉斯特 (Bohnenlust, H. ) 和卡尔林 (Karlins, S. ) 得到了此定理在 \( X \) 为巴拿赫空间时的特殊情形.
布劳德不动点定理 (Browder fixed point theorem) 由布劳德 (Browder, F. E. ) 提出的带边界条件的集值映射不动点定理. 设 \( X \) 是局部凸拓扑线性空间, \( C \) 为 \( X \) 中非空紧凸集, \( F : C \rightarrow {2}^{X} \) 具非空闭凸值且上半连续. 记 \( \delta \left( C\right) = \{ x \in C \mid \) 存在 \( X \) 的有限维线性子空间 \( E \) ,使得 \( x \) 属于 \( C \cap E \) 在 \( E \) 中的边界 \( \} \) . 若 \( F \) 满足下述两边界条件之一,则 \( F \) 有不动点:
1. 任取 \( x \in \delta \left( C\right) \) ,存在 \( y \in F\left( x\right) \) 与 \( u \in C \) 及 \( \lambda \) \( > 0 \) 使得 \( y = x + \lambda \left( {u - x}\right) \) .
2. 任取 \( x \in \delta \left( C\right) \) ,存在 \( y \in F\left( x\right) \) 与 \( u \in C \) 及 \( \lambda \) \( < 0 \) 使得 \( y = x + \lambda \left( {u - x}\right) \) .
此定理由布劳德于 1968 年得到.
泛函的临界点 (critical point of functional) 泛函的梯度为零的点. 设 \( M \) 是巴拿赫微分流形, \( f \) \( \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right), p \in M \) . 若 \( \mathrm{d}f\left( p\right) = 0 \) ,则称 \( p \) 为 \( f \) 的临界点. 若 \( \mathrm{d}f\left( p\right) \neq 0 \) ,则称 \( p \) 为 \( f \) 的正则点. 设 \( c \) \( \in \mathrm{R} \) ,若 \( {f}^{-1}\left( c\right) \) 中包含 \( f \) 的临界点,则称 \( c \) 为 \( f \) 的临界值. 否则,称 \( c \) 为 \( f \) 的正则值. 泛函的临界点、 正则点、临界值、正则值的概念是一般映射的相应概念在泛函情形下的具体化. 关于泛函的临界点的研究成果形成了颇为系统的临界点理论, 它为研究非线性梯度算子方程的解提供了理论工具. 由于一些散度型微分方程的解恰是相应的积分泛函 (亦称变分泛函) 的临界点, 因此, 用临界点理论研究非线性方程的方法被称为非线性分析的变分方法.
泛函的临界值 (critical value of functional) 见“泛函的临界点”.
下半连续函数 (lower semicontinuous function) 其上方图形为闭集的函数. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ + \infty \}, f ≢ + \infty \) . 若在 \( {x}_{0} \in X \) 有网
\[
{x}_{a} \rightarrow {x}_{0} \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{a}f\left( {x}_{a}\right) \geq f\left( {x}_{0}\right) ,
\]
则称 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 为下半连续. 若 \( f \) 在 \( X \) 中每点均为下半连续,则称 \( f \) 在 \( X \) 上为下半连续. \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ + \) \( \infty \} \) 为下半连续 \( \Leftrightarrow \forall c \in \mathrm{R},{f}_{c} = \{ x \in X \mid f\left( x\right) \leq c\} \) 是 \( X \) 中的闭集 \( \Leftrightarrow \operatorname{epi}\left( f\right) = \{ \left( {x, t}\right) \in X \times \mathrm{R} \mid f\left( x\right) \leq t\} \) 是 \( X \times \mathrm{R} \) 中的闭集. 若在上述定义中,将网 \( {x}_{a} \) 换为序列 \( {x}_{n} \) ,则得到 \( f \) 为依序列下半连续的概念. 当然,在度量空间中,此二概念等价. 当函数 \( \left( {-f}\right) : X \) \( \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ + \infty \} \) 为下半连续时,则称函数 \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \cup \) \( \{ - \infty \} \) 为上半连续. \( f \) 在某点为连续,等价于 \( f \) 在此点既上半连续又下半连续. 紧拓扑空间上的下半连续函数或序列紧拓扑空间上的依序列下半连续函数可达到其下确界.
依序列下半连续函数 (sequentially lower semicontinuous function) 见“下半连续函数”.
弱下半连续泛函 (weakly lower semicontinuous functional) 在巴拿赫空间中弱拓扑的意义下为下半连续的泛函. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \) \( \bigcup \{ + \infty \} \) . 若在 \( X \) 中取弱拓扑时 \( f \) 为下半连续 (或依序列下半连续),则称 \( f \) 为弱下半连续 (相应地, 依序列弱下半连续). 在临界点理论中常用到下述结果: 设 \( X \) 是自反巴拿赫空间, \( M \) 是 \( X \) 中的非空弱闭集, \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ + \infty \}, f ≢ + \infty \) . 若 \( f \) 是依序列弱下半连续的,且 \( f \) 是强制的 (即,当 \( x \in M \) , \( \parallel x\parallel \rightarrow + \infty \) 时有 \( f\left( x\right) \rightarrow + \infty ) \) ,则 \( f \) 在 \( M \) 上可达到下确界. 巴拿赫空间中的下半连续凸泛函是弱下半连续的. 具有全连续梯度映射的泛函是依序列弱连续的.
依序列弱下半连续泛函 (sequentially-weakly lower semicontinuous functional) 见 “弱下半连续泛函”.
强制泛函 (coercive functional) 赋范线性空间中随着范数的无限增大而一致趋向于无穷大的泛函. 设 \( X \) 是赋范线性空间, \( M \subset X, f : M \rightarrow \mathrm{R} \) . 若当 \( x \in M,\parallel x\parallel \rightarrow + \infty \) 时,有 \( f\left( x\right) \rightarrow + \infty \) ,则称 \( f \) 为强制的. 特别地,当 \( M \) 为有界集时,总认为 \( f : M \rightarrow \mathrm{R} \) 是强制的.
艾克兰德变分原理 (Ekeland variational principle）关于完备度量空间上的有下界的下半连续泛函的近似极小点的存在性定理. 设 \( \left( {X,\rho }\right) \) 是完备度量空间, \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \cup \{ + \infty \} \) 下半连续有下界,且 \( f ≢ + \infty \) . 设有 \( \varepsilon > 0 \) 及 \( {x}_{\varepsilon } \in X \) 使得
\[
f\left( {x}_{\varepsilon }\right) < \inf \{ f\left( x\right) \mid x \in X\} + \varepsilon ,
\]
则存在点 \( {y}_{\varepsilon } \in X \) ,使得 \( f\left( {y}_{\varepsilon }\right) \leq f\left( {x}_{\varepsilon }\right) ,\rho \left( {{y}_{\varepsilon },{x}_{\varepsilon }}\right) \leq 1 \) 且 \( f\left( x\right) > f\left( {y}_{\varepsilon }\right) - {\varepsilon \rho }\left( {{y}_{\varepsilon }, x}\right) \left( {\forall x \neq {y}_{\varepsilon }}\right) \) . 上述定理中的点 \( {y}_{\varepsilon } \) 称为 \( f \) 的近似极小点. 当 \( X \) 是完备的芬斯勒流形且 \( f \in {C}^{1} \) 时,在点 \( {y}_{\varepsilon } \) 处有 \( \begin{Vmatrix}{\mathrm{d}f\left( {y}_{\varepsilon }\right) }\end{Vmatrix} \leq \varepsilon \) . 此定理由艾克兰德 (Ekeland, I. ) 于 1974 年得到.
(P. S) 条件 ((P. S) condition) 由帕莱斯 Palais, R. S) 与斯梅尔 (Smale, S. ) 提出的一种对巴拿赫流形上泛函的紧性要求. 设 \( M \) 是巴拿赫-芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) ,若由 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \subset M,\left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\} \) 有界及 \( \begin{Vmatrix}{\mathrm{d}f\left( {x}_{n}\right) }\end{Vmatrix} \rightarrow 0 \) 可推出 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 有收敛子列,则称 \( f \) 在 \( M \) 上满足 (P. S) 条件. 若在此定义中将 \( \left\{ {f\left( {x}_{n}\right) }\right\} \) 有界换为 \( f\left( {x}_{n}\right) \rightarrow c \) ,其中 \( c \) 为某给定的实数,则称 \( f \) 满足 (P. S)。条件. 若对所有的正数 \( c, f \) 均满足 (P. S)。条件,则称 \( f \) 满足 (P. S) \( {}^{ + } \) 条件. 类似有 \( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ - } \) 条件. \( \left( {\mathrm{P}.\mathrm{S}}\right) \) 条件在临界点理论中起着关键的作用.
(P. S)。条件 ((P. S)。condition) 见“(P. S)条件”.
\( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ + } \) 条件 \( \left( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ + }\right. \) condition \( )\; \) 见 “(P. S) 条件”.
\( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ - } \) 条件 \( \left( {\left( \mathrm{P}.\mathrm{S}\right) }^{ - }\right. \) condition \( )\; \) 见 “(P. S) 条件”.
梯度向量场 (gradient vector field) 由希尔伯特流形上的 \( {C}^{1} \) 泛函的梯度所形成的切向量场. 设 \( M \) 是希尔伯特流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) ,这时 \( \mathrm{d}f \) 是 \( M \) 上的余切向量场. 由于希尔伯特流形 \( M \) 上的余切丛与切丛之间有着标准同构 \( i : {T}^{ * }\left( M\right) \cong T\left( M\right) \) , 记 \( \nabla f = i \circ \mathrm{d}f \) ,则 \( \nabla f \) 是 \( M \) 上的切向量场,称为 \( f \) 的梯度向量场. 当 \( M \) 是巴拿赫流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 时,也常把 \( M \) 上的余切向量场 \( \mathrm{d}f \) 称为 \( f \) 的梯度向量场.
梯度下降流 (gradient descent flow) 由希尔伯特流形上泛函的负梯度向量场所生成的流. 设 \( M \) 是希尔伯特流形, \( f \in {C}^{2 - 0}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) . 在 \( M \) 上由 \( f \) 的负梯度向量场 \( - \nabla f \) 所生成的流 \( \eta \) 称为 \( f \) 的梯度下降流, 或负梯度流, 有时亦称为梯度流. 在过 \( M \) 上每点 \( p \) 的流线 \( \eta \left( {p, t}\right) \) 上,泛函 \( f \) 的值 \( f(\eta (p \) , \( t)) \) 是随 \( t \) 的增大而递减的.
伪梯度向量场 (pseudo-gradient vector field) 梯度向量场在不适合用来构造下降流时的一种替代物. 当 \( M \) 是一般巴拿赫流形, \( f \in {C}^{2 - 0}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 时, 余切向量场 \( \mathrm{d}f \) 不能用来构造下降流. 当 \( M \) 是希尔伯特流形而 \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 时梯度向量场 \( \nabla f \) 也不能用来构造下降流. 伪梯度向量场是克服这两种困难的工具. 设 \( M \) 是 \( {C}^{2 - 0} \) 巴拿赫-芬斯勒流形, \( f \in \) \( {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) ,记 \( K \) 为 \( f \) 在 \( M \) 上的所有临界点所成之集,令 \( \widetilde{M} = M \smallsetminus K \) . 若 \( V \) 是 \( \widetilde{M} \) 上的一个 \( {C}^{1 - 0} \) (切) 向量场, 且满足条件:
\[
\text{1.}\parallel V\left( p\right) \parallel \leq 2\parallel \mathrm{d}f\left( p\right) \parallel \left( {\forall p \in \widetilde{M}}\right) \text{;}
\]
\[
\text{2.}\langle \mathrm{d}f\left( p\right), V\left( p\right) \rangle \geq \parallel \mathrm{d}f\left( p\right) {\parallel }^{2}\left( {\forall p \in \widetilde{M}}\right) \text{;}
\]
则称 \( V \) 是 \( f \) 的一个伪梯度向量场. \( {C}^{2 - 0} \) 巴拿赫-芬斯勒流形上任一 \( {C}^{1} \) 泛函的伪梯度向量场总是存在的. 由 \( - V \) 在 \( \widetilde{M} \) 上生成的流称为 \( f \) 的伪梯度下降流,或负伪梯度流,也常简称伪梯度流. \( f \) 在负伪梯度流的流线上是下降的. 伪梯度向量场的概念及其存在性最早由帕莱斯 (Palais, R. S. ) 于 1966 年给出.
伪梯度流 (pseudo-gradient flow) 见 “伪梯度向量场”.
合痕 (isotopy) 指在每一时刻均为同胚的一种特殊的形变. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( X \) 上的一个形变指的是一个连续映射 \( \eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times X \rightarrow X \) 使得 \( {\eta }_{0} \) \( = \mathrm{{id}} : X \rightarrow X.X \) 上的一个合痕指的是 \( X \) 上的一个形变 \( \eta \) ,使得 \( \forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{\eta }_{t} : X \rightarrow X \) 为同胚,这里 \( {\eta }_{t}\left( \cdot \right) = \eta \left( {t, \cdot }\right) \) . 设 \( A \subset X, A \) 在 \( X \) 上的形变是指连续映射 \( \eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times A \rightarrow X \) ,使得 \( {\eta }_{0} = {\operatorname{id}}_{A} : A \rightarrow A.A \) 在 \( X \) 上的合痕指的是 \( A \) 在 \( X \) 上的形变 \( \eta \) ,使得 \( \forall t \) \( \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{\eta }_{t} : A \rightarrow {\eta }_{t}\left( A\right) \) 为同胚.
形变引理 (deformation lemmas) 研究临界点的有力工具. 指在巴拿赫流形上利用泛函的伪梯度向量场对泛函的水平集进行所需形变的一些定理. 这方面的结果很多, 下述是其中之一.
设 \( M \) 是完备的 \( {C}^{2 - 0} \) 芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 满足 (P. S) 条件,设 \( c \in \mathrm{R},{K}_{c} = \{ x \in M \mid \mathrm{d}f\left( x\right) = |
2000_数学辞海（第3卷） | 104 | \) 是拓扑空间, \( X \) 上的一个形变指的是一个连续映射 \( \eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times X \rightarrow X \) 使得 \( {\eta }_{0} \) \( = \mathrm{{id}} : X \rightarrow X.X \) 上的一个合痕指的是 \( X \) 上的一个形变 \( \eta \) ,使得 \( \forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{\eta }_{t} : X \rightarrow X \) 为同胚,这里 \( {\eta }_{t}\left( \cdot \right) = \eta \left( {t, \cdot }\right) \) . 设 \( A \subset X, A \) 在 \( X \) 上的形变是指连续映射 \( \eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times A \rightarrow X \) ,使得 \( {\eta }_{0} = {\operatorname{id}}_{A} : A \rightarrow A.A \) 在 \( X \) 上的合痕指的是 \( A \) 在 \( X \) 上的形变 \( \eta \) ,使得 \( \forall t \) \( \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,{\eta }_{t} : A \rightarrow {\eta }_{t}\left( A\right) \) 为同胚.
形变引理 (deformation lemmas) 研究临界点的有力工具. 指在巴拿赫流形上利用泛函的伪梯度向量场对泛函的水平集进行所需形变的一些定理. 这方面的结果很多, 下述是其中之一.
设 \( M \) 是完备的 \( {C}^{2 - 0} \) 芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 满足 (P. S) 条件,设 \( c \in \mathrm{R},{K}_{c} = \{ x \in M \mid \mathrm{d}f\left( x\right) = 0 \) , \( f\left( x\right) = c\} .U \) 是 \( {K}_{c} \) 的开邻域,则存在 \( M \) 上的合痕 \( \eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times M \rightarrow M \) 与两个正常数 \( \varepsilon < \bar{\varepsilon } \) ,使得:
\[
\text{1.}{\left. {\eta }_{t}\right| }_{M \smallsetminus {f}^{-1}\left( \left( {c - \widetilde{\varepsilon }, c + \widetilde{\varepsilon }}\right) \right) } = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{M \smallsetminus {f}^{-1}\left( \left( {c - \widetilde{\varepsilon }, c + \widetilde{\varepsilon }}\right) \right) }(\forall t \in \lbrack 0\text{,}
\]
1]).
2. \( {\eta }_{1}\left( {{f}_{c + \varepsilon } \smallsetminus U}\right) \subset {f}_{c - \varepsilon } \) .
3. \( f\left( {\eta \left( {t, x}\right) }\right) \leq f\left( x\right) \left( {\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack, x \in M}\right) \) ,其
中对实数 \( b,{f}_{b} = \{ x \in M \mid f\left( x\right) \leq b\} \) .
特别地,当 \( {K}_{c} = \varnothing \) 时,取 \( U = \varnothing \) ,则上述之 2 成为 \( {\eta }_{1}\left( {f}_{c + \varepsilon }\right) \subset {f}_{c - \varepsilon } \) .
极小极大原理 (minimax principle) 用来确定泛函的临界点存在性的一个较为一般的原理. 设 \( M \) 是完备的 \( {C}^{2 - 0} \) 芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 满足 (P. S) 条件, \( \mathcal{F} \) 是 \( M \) 的一个非空子集族. 记
\[
c = \mathop{\inf }\limits_{{F \in \mathcal{F}}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in F}}f\left( x\right) .
\]
若 \( c \) 是有限数,且存在 \( {\varepsilon }_{0} > 0 \) ,使得 \( \mathcal{F} \) 关于收缩映射族 \( {\Phi }_{c - {\varepsilon }_{0}}^{\prime }\left( f\right) \) 或同胚映射族 \( {\Phi }_{\left( c - {\varepsilon }_{0}, c + {\varepsilon }_{0}\right) }^{h}\left( f\right) \) 是不变的,则 \( c \) 是 \( f \) 的临界值,其中
\( {\Phi }_{c - {\varepsilon }_{0}}^{\prime }\left( f\right) = \left\{ {\varphi \mid \varphi = {\eta }_{1},{\eta }_{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times M \rightarrow M}\right. \) 是形变, \( \exists d > c > a \geq c - {\varepsilon }_{0} \) ,使 \( {\left. {\eta }_{t}\right| }_{{f}_{a}} = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{{f}_{a}},\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ; \( {\eta }_{1}\left( {f}_{b}\right) \subset {f}_{a};f\left( {\eta \left( {t, x}\right) }\right) \leq f\left( x\right) ,\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack ,\forall x \in \) \( M\} \) ,
\( {\Phi }_{\left( c - {\varepsilon }_{0}, c + {\varepsilon }_{0}\right) }^{h}\left( f\right) = \left\{ {\varphi \mid \varphi = {\eta }_{1},{\eta }_{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times M \rightarrow M}\right. \) 是合痕, \( \exists a < c < b,\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \left( {c - {\varepsilon }_{0}, c + {\varepsilon }_{0}}\right) ,{\eta }_{t} : {f}_{b} \rightarrow {f}_{a} \) 同胚, \( {\left. {\eta }_{t}\right| }_{M \smallsetminus {f}^{-1}\left( \left\lbrack {c - {\varepsilon }_{0}, c + {\varepsilon }_{0}}\right\rbrack \right) } = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{M \smallsetminus {f}^{-1}\left( \left\lbrack {c - {\varepsilon }_{0}, c + {\varepsilon }_{0}}\right\rbrack \right) }, f(\eta (t \) , \( x)) \leq f\left( x\right) ,\forall t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack, x \in M\} \) .
子集族 \( \mathcal{F} \) 称为关于映射族 \( \Phi \) 是不变的,指的是 \( \forall F \in \mathcal{F},\forall \varphi \in \Phi \) ,有 \( \varphi \left( F\right) \in \mathcal{F} \) . 上述原理中的 (P. S) 条件还可减弱. 在实用中灵活选取子集族 \( \mathcal{F} \) 与映射族 \( \Phi \) 可得到不同的临界点存在定理.
山路引理 (mountain pass lemma) 极小极大原理的一个简单而重要的特殊情形. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( f \in {C}^{1}\left( {X,\mathrm{R}}\right) ,\Omega \) 是 \( X \) 中的开集, \( {x}_{0} \in \Omega ,{x}_{1} \) 由 \( \bar{\Omega } \) . 令
\[
\Gamma = \{ g \in C\left( {\left\lbrack {0,1}\right\rbrack, X}\right) \mid g\left( 0\right)
\]
\[
\left. { = {x}_{0}, g\left( 1\right) = {x}_{1}}\right\} ,
\]
\[
c = \mathop{\inf }\limits_{{g \in \Gamma }}\mathop{\sup }\limits_{{t \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack }}f\left( {g\left( t\right) }\right) .
\]
若
\[
\max \left\{ {f\left( {x}_{0}\right), f\left( {x}_{1}\right) }\right\} < \mathop{\inf }\limits_{{x \in \partial \Omega }}f\left( x\right) = \beta ,
\]
且 \( f \) 满足 (P. S)。条件,则 \( c \) 是 \( f \) 的临界值,且 \( c \geq \) \( \beta \) . 此定理由阿姆布罗塞蒂 (Ambrosetti, A. ) 与拉比诺维茨 (Rabinowitz, P. H. ) 于 1973 年提出.
环绕 (link) 拓扑空间中子集之间的一种特殊的位置关系. 设 \( X \) 是拓扑空间, \( Q, S \) 是 \( X \) 中的非空子集,且 \( A \subset Q \) ,若 \( A \cap S = \varnothing \) ,且对任意的连续映射 \( \varphi : Q \rightarrow X \) ,只要 \( {\left. \varphi \right| }_{A} = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{A} \) ,就有 \( \varphi \left( Q\right) \cap S \neq \) \( \varnothing \) ,则称 \( \left( {Q, A}\right) \) 与 \( S \) 环绕. 在实用中,常取 \( Q \) 为某带边流形, \( A = \partial Q \) 为其边界,这时也常简称 \( \partial Q \) 与 \( S \) 环绕. 对于环绕的情形使用极小极大原理可得下述环绕型临界点存在定理: 设 \( X \) 是完备的 \( {C}^{2 - 0} \) 芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) 满足 (P. S) 条件, \( \left( {Q, A}\right) \) 与 \( S \) 环绕,记 \( \Gamma = \left\{ {\varphi \in C\left( {Q, X}\right) {\left| \varphi \right| }_{A} = {\left. \mathrm{{id}}\right| }_{A}}\right\} \) . 令
\[
c = \mathop{\inf }\limits_{{\varphi \in \Gamma }}\mathop{\sup }\limits_{{x \in Q}}f\left( {\varphi \left( x\right) }\right) ,
\]
若
\[
\alpha = \mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}f\left( x\right) < \mathop{\inf }\limits_{{x \in S}}f\left( x\right) = \beta ,
\]
则 \( c \) 是 \( f \) 的临界值,且 \( c \geq \beta \) . 山路引理是上述定理的简单特例. 此外, 常用到的环绕的例子有:
设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( X = {X}_{1} \oplus {X}_{2},\dim {X}_{1} < \) \( + \infty \) ,取 \( Q \) 为 \( {X}_{1} \) 中以原点为心的闭球, \( A = \partial Q \) 为 \( Q \) 在 \( {X}_{1} \) 中的边界, \( S = {X}_{2} \) ,则 \( \partial Q \) 与 \( S \) 环绕.
设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( X = {X}_{1} \oplus {X}_{2},\dim {X}_{1} < \) \( + \infty ,{r}_{1},{r}_{2},\rho \) 为正常数,且 \( {r}_{2} > \rho, S = \{ x \in \) \( {X}_{2}\left| {\parallel x\parallel = \rho \}, e \in {X}_{2},\parallel e\parallel = 1, Q = \left\{ {x = {x}_{1} + {te}}\right. }\right| \) \( \left. {{x}_{1} \in {X}_{1},\begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix} \leq {r}_{1}, t \in \left\lbrack {0,{r}_{2}}\right\rbrack }\right\}, A = \partial Q \) 为 \( Q \) 在 \( {X}_{1} \) \( \bigoplus \{ {te} \mid t \in \mathrm{R}\} \) 中的边界,则 \( \partial Q \) 与 \( S \) 环绕.
畴数 (category) 一种在拓扑空间的子集族上定义的具有指定性质的非负整值函数, 它对估计泛函的临界点的个数十分有用. 设 \( M \) 是拓扑空间, \( \mathcal{F} = \{ A \subset M \mid A \) 是闭集 \( \} \) . 定义函数 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( \cdot \right) : \mathcal{F} \) \( \rightarrow {Z}_{ + } \cup \{ + \infty \} \) 如下,当 \( A = \varnothing \) 时,令 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( \varnothing \right) = 0 \) ; 当 \( A \in \mathcal{F}, A \neq \varnothing \) 时,若 \( A \) 可表为有限个在 \( M \) 中可缩的闭集之并, 则令
\[
{\operatorname{Cat}}_{M}\left( A\right) = \min \{ m \mid A = \mathop{\bigcup }\limits_{{i = 1}}^{m}{F}_{i},{F}_{i}
\]
是在 \( M \) 中可缩的闭集 \( \} \) .
否则,令 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( A\right) = + \infty \) . 如此定义的函数 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( \cdot \right) \) 称为 \( M \) 上的柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼畴数,简称畴数,值 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( A\right) \) 称为 \( A \) 在 \( M \) 上的畴数. 当 \( M \) 是可度量的巴拿赫流形时, \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( \cdot \right) \) 具有下述性质 (下面简记 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( \cdot \right) \) 为 \( \operatorname{Cat}\left( \cdot \right) \) ):
1. 平凡性. \( \operatorname{Cat}\left( A\right) = 0 \Leftrightarrow A = \varnothing \) .
2. 规范性. \( \operatorname{Cat}\left( {\{ p\} }\right) = 1\left( {\forall p \in M}\right) \) .
3. 单调性. \( A, B \in \mathcal{F} \) ,
\[
A \subset B \Rightarrow \operatorname{Cat}\left( A\right) \leq \operatorname{Cat}\left( B\right) \text{.}
\]
4. 次可加性. \( \forall A, B \in \mathcal{F} \) ,
\[
\operatorname{Cat}\left( {A \cup B}\right) \leq \operatorname{Cat}\left( A\right) + \operatorname{Cat}\left( B\right) .
\]
5. 形变不减性. 若 \( A \in \mathcal{F},\eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times A \rightarrow M \) 是 \( A \) 在 \( M \) 上的形变,则 \( \operatorname{Cat}\left( \overline{{\eta }_{1}\left( A\right) }\right) \geq \operatorname{Cat}\left( A\right) \) .
6. 连续性. \( \forall A \in \mathcal{F} \) ,存在 \( A \) 在 \( M \) 中的邻域 \( U \) ,使得 \( \operatorname{Cat}\left( \bar{U}\right) = \operatorname{Cat}\left( A\right) \) .
下述公式对于畴数的计算是有用的:
\[
{\operatorname{Cat}}_{M}\left( A\right) \leq \dim A + 1,
\]
\[
{\operatorname{Cat}}_{M}\left( M\right) \geq \text{ cuplength }\left( M\right) + 1,
\]
其中 \( \dim A \) 为 \( A \) 的豪斯多夫维数, cuplength \( \left( M\right) \) 为 \( M \) 的奇异上同调环的上积长度.
柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼重数定理(Ljustern-ik-Schnirelman multiplicity theorem) 利用畴数对流形上泛函的临界点的个数进行估计的重要定理. 设 \( M \) 是完备的巴拿赫-芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}(M \) , R) 满足 (P. S) 条件,对每个 \( n = 1,2,\cdots \) ,记 \( {\mathcal{F}}_{k} = \{ A \) \( \left. { \subset M \mid A\text{ 闭,}{\operatorname{Cat}}_{\mathrm{M}}\left( A\right) \geq k}\right\} \) . 令
\[
{c}_{k} = \mathop{\inf }\limits_{{A \in {\mathcal{F}}_{k}}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}f\left( x\right)
\]
(约定当 \( {\mathcal{F}}_{k} = \varnothing \) 时, \( {c}_{k} = + \infty \) ).
若对某个正整数 \( k \) 与 \( p \) ,有
\[
- \infty < {c}_{k + 1} = {c}_{k + 2} = \cdots = {c}_{k + p} = c < + \infty ,
\]
则 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( {K}_{c}\right) \geq p \) ,其中 \( {K}_{c} = \{ x \in M \mid \mathrm{d}f\left( x\right) = 0 \) , \( f\left( x\right) = c\} \) . 此时 \( c \) 是 \( f \) 的临界值,且 \( {K}_{c} \) 中至少包含 \( p \) 个不同的临界点. 作为重数定理的特例 \( |
2000_数学辞海（第3卷） | 105 | t{ cuplength }\left( M\right) + 1,
\]
其中 \( \dim A \) 为 \( A \) 的豪斯多夫维数, cuplength \( \left( M\right) \) 为 \( M \) 的奇异上同调环的上积长度.
柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼重数定理(Ljustern-ik-Schnirelman multiplicity theorem) 利用畴数对流形上泛函的临界点的个数进行估计的重要定理. 设 \( M \) 是完备的巴拿赫-芬斯勒流形, \( f \in {C}^{1}(M \) , R) 满足 (P. S) 条件,对每个 \( n = 1,2,\cdots \) ,记 \( {\mathcal{F}}_{k} = \{ A \) \( \left. { \subset M \mid A\text{ 闭,}{\operatorname{Cat}}_{\mathrm{M}}\left( A\right) \geq k}\right\} \) . 令
\[
{c}_{k} = \mathop{\inf }\limits_{{A \in {\mathcal{F}}_{k}}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}f\left( x\right)
\]
(约定当 \( {\mathcal{F}}_{k} = \varnothing \) 时, \( {c}_{k} = + \infty \) ).
若对某个正整数 \( k \) 与 \( p \) ,有
\[
- \infty < {c}_{k + 1} = {c}_{k + 2} = \cdots = {c}_{k + p} = c < + \infty ,
\]
则 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( {K}_{c}\right) \geq p \) ,其中 \( {K}_{c} = \{ x \in M \mid \mathrm{d}f\left( x\right) = 0 \) , \( f\left( x\right) = c\} \) . 此时 \( c \) 是 \( f \) 的临界值,且 \( {K}_{c} \) 中至少包含 \( p \) 个不同的临界点. 作为重数定理的特例 \( (p = 1 \) 时) 有: 若某个 \( {c}_{k} \) 是有限数,则 \( {c}_{k} \) 是 \( f \) 的临界值.
由重数定理可推出: 若 \( f \) 在 \( M \) 上有下界,则 \( f \) 在 \( M \) 上至少有 \( {\operatorname{Cat}}_{M}\left( M\right) \) 个不同的临界点. 畴数概念与重数定理最早由柳斯捷尔尼克 \( \left( {{J}_{\mathrm{k}}\text{ octephik,}J\mathrm{I}}\right. \) . A. ) 与施尼雷尔曼 (III) IMPE JLMAH, JI. Γ. ) 对紧流形给出, 后被帕莱斯 (Palais, R. S. ) 于 1966 年推广到巴拿赫流形的情形.
非退化临界点 (nondegenerate critical point) 在该点处的二阶导算子有有界逆的临界点. 设 \( X \) 是希尔伯特空间, \( f \in {C}^{2}\left( {X,\mathrm{R}}\right) ,{x}_{0} \) 是 \( f \) 的临界点. 若 \( {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) : X \rightarrow X \) 有有界逆,则称 \( {x}_{0} \) 是 \( f \) 的非退化临界点. 否则,称临界点 \( {x}_{0} \) 是退化的. 设 \( M \) 是 \( {C}^{2} \) 希尔伯特流形, \( f \in {C}^{2}\left( {M,\mathrm{R}}\right) ,{x}_{0} \) 是 \( f \) 的临界点,取 \( {x}_{0} \) 处的局部坐标系 \( \left( {U,\varphi }\right) \) . 若 \( \varphi \left( {x}_{0}\right) \) 是泛函 \( f \circ {\varphi }^{-1} \) 的非退化临界点,则称 \( {x}_{0} \) 是 \( f \) 的非退化临界点. 否则称 \( f \) 的临界点 \( {x}_{0} \) 是退化的. \( M \) 上泛函 \( f \) 的临界点的非退化性不依赖于局部坐标系的选取. 非退化临界点必是孤立临界点.
退化临界点 (degenerate critical point) 见 “非退化临界点”.
莫尔斯泛函 (Morse functional) 一种特殊泛函. 所有临界点为非退化的泛函称为莫尔斯泛函.
莫尔斯指数 (Morse index) 指临界点处的二阶导算子的最大负定子空间的维数. 设 \( X \) 是希尔伯特空间, \( f \in {C}^{2}\left( {X,\mathrm{R}}\right) ,{x}_{0} \) 是 \( f \) 的临界点. \( X \) 的线性子空间 \( V \) 称为是 \( {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \) 的负定子空间,指的是
\[
\left\langle {{f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) \eta ,\eta }\right\rangle < 0\;\left( {\forall \eta \in V\smallsetminus \{ 0\} }\right) .
\]
\( {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \) 的负定子空间的维数的上确界称为临界点 \( {x}_{0} \) 的莫尔斯指数. \( {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \) 的正定子空间的维数的上确界称为 \( {x}_{0} \) 的莫尔斯余指数. \( \ker {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{0}\right) \) 的维数称为 \( {x}_{0} \) 的零化数. 对于希尔伯特流形上 \( {C}^{2} \) 泛函 \( f \) 的临界点 \( p \) ,可利用点 \( p \) 处的局部坐标系 \( \left( {U,\varphi }\right) \) ,把泛函 \( f \circ {\varphi }^{-1} \) 的临界点 \( \varphi \left( p\right) \) 的莫尔斯指数、余指数及零化数作为 \( f \) 的临界点 \( p \) 的莫尔斯指数、余指数及零化数的定义.
广义莫尔斯引理 (generalized Morse lemma) 经典莫尔斯引理到希尔伯特空间中泛函的退化临界点情形的推广. 设 \( X \) 是希尔伯特空间, \( U \) 为 \( X \) 中原点的开邻域, \( f \in {C}^{2}\left( {U,\mathrm{R}}\right) ,0 \) 是 \( f \) 的临界点, \( L \) \( = {f}^{\prime \prime }\left( 0\right) \) 是弗雷德霍姆算子, \( X \) 中的元 \( x = y + z \) ,其中 \( y \in \ker \left( L\right), z \in R\left( L\right) \) ,则存在 0 在 \( X \) 中的开邻域 \( V,0 \) 在 \( \ker \left( L\right) \) 中的开邻域 \( W \) ,局部同胚 \( h : V \rightarrow \) \( U \) ,及函数 \( \varphi \in {C}^{2}\left( {W,\mathrm{R}}\right) \) ,使得 \( h\left( 0\right) = 0,{\varphi }^{\prime }\left( 0\right) = 0 \) , \( {\varphi }^{\prime \prime }\left( 0\right) = 0 \) ,且
\[
f\left( {h\left( x\right) }\right) = \frac{1}{2}\langle {Lz}, z\rangle + \varphi \left( y\right)
\]
\[
\left( {\forall x = y + z \in V}\right) \text{.}
\]
经典的莫尔斯引理由莫尔斯 (Morse, H. M. ) 在 1925 年就有限维空间中的非退化临界点情形给出. 之后, 帕莱斯 (Palais, R. S. ), 格罗莫尔 (Gro-moll, D. ), 迈耶 (Meyer, W. ), 奎泊尔 (Kuiper, C. ), 康比尼 (Cambini, A. ), 霍夫尔 (Hofer, H. ) 等人给予推广. 上述形式的推广属于冒鑫 (Mawhin, J. ) 和威伦姆 (Willem, M. ).
临界群 (critical group) 用以反映临界点性态的有关水平集的相对同调群. 设 \( X \) 是希尔伯特流形, \( f \in {C}^{1}\left( {X,\mathrm{R}}\right) ,{x}_{0} \) 是 \( f \) 的孤立临界点, \( f\left( {x}_{0}\right) \) \( = c \) . 取 \( {x}_{0} \) 的邻域 \( U \) 使 \( \bar{U} \) 中仅含 \( f \) 的惟一临界点 \( {x}_{0} \) ,记 \( {C}_{q}\left( {{x}_{0}, f}\right) = {H}_{q}\left( {{f}_{c} \cap \bar{U},\left( {{f}_{c} \smallsetminus \left\{ {x}_{0}\right\} }\right) \cap \bar{U};Q}\right), q \) \( = 0,1,2,\cdots \) ,其中 \( {H}_{q} \) 为 \( q \) 阶奇异 (相对) 同调群, \( Q \) 为系数群,则 \( {C}_{q}\left( {{x}_{0}, f}\right) \) 称为 \( f \) 的孤立临界点 \( {x}_{0} \) 的 \( q \) 阶临界群. 若 \( f \in {C}^{2}\left( {X,\mathrm{R}}\right) ,{x}_{0} \) 是 \( f \) 的非退化临界点,其莫尔斯指数为 \( j \) ,则有
\[
{C}_{j}\left( {{x}_{0}, f}\right) \approx Q;{C}_{q}\left( {{x}_{0}, f}\right) = 0\;\left( {q \neq j}\right) .
\]
一般地,设 \( a < b \) 为 \( f \) 的两个正则值, \( {K}_{\left\lbrack a, b\right\rbrack } \) \( = \{ x \in X \mid \mathrm{d}f\left( x\right) = 0, f\left( x\right) \in \left( {a, b}\right) \} \) ,并设 \( X \) 完备, \( f \) 满足 (P. S) 条件,这时同调群 \( {H}_{q}\left( {{f}_{b},{f}_{a};Q}\right) \) 称为 \( {K}_{\left\lbrack a, b\right\rbrack } \) 的 \( q \) 阶临界群.
莫尔斯型数 (Morse type numbers) 临界群的秩数. 记 \( {C}_{q}\left( {{x}_{0}, f}\right) \) 是 \( f \) 的孤立临界点 \( {x}_{0} \) 的临界群 (参见 “临界群”),记 \( {m}_{q} = \operatorname{rank}{C}_{q}\left( {{x}_{0}, f}\right) \) ,则数列 \( \left( {{m}_{0},{m}_{1},\cdots ,{m}_{q},\cdots }\right) \) 称为 \( {x}_{0} \) 的莫尔斯型数,其中 \( {m}_{q} \) 称为 \( {x}_{0} \) 的 \( q \) 阶莫尔斯型数. 当 \( {x}_{0} \) 是非退化临界点时,若其莫尔斯指数为 \( j \) ,则有 \( {m}_{j} = 1,{m}_{q} = 0,\forall q \) \( \neq j \) . 类似地,临界点集合 \( {K}_{\left\lbrack a, b\right\rbrack } \) 的临界群的秩数称为 \( {K}_{\left\lbrack a, b\right\rbrack } \) 的莫尔斯型数.
莫尔斯不等式 (Morse inequalities) 反映流形的拓扑性质与其上泛函的临界点状况二者之间联系的一组不等式. 它是莫尔斯临界点理论的基本内容. 设 \( X \) 是完备的 \( {C}^{2} \) 希尔伯特-黎曼流形, \( f \in \) \( {C}^{2}\left( {X,\mathrm{R}}\right) \) 满足 (P. S) 条件,且 \( f \) 是莫尔斯泛函, \( a \) \( < b \) 是 \( f \) 的两个正则值,用 \( {M}_{k} \) 表示 \( f \) 在 \( {f}_{b} \smallsetminus {f}_{a} \) 中莫尔斯指数等于 \( k \) 的临界点的个数, \( {\beta }_{k} \) 表示奇异同调群 \( {H}_{k}\left( {{f}_{b},{f}_{a}}\right) \) 的秩,则成立下述关系式:
\( {M}_{k} \geq {\beta }_{k}\left( {k = 0,1,2,\cdots }\right) , \)
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\lambda }{\left( -1\right) }^{\lambda - k}{M}_{k} \geq \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\lambda }{\left( -1\right) }^{\lambda - k}{\beta }_{k}\left( {\lambda = 0,1,2,\cdots }\right) ,
\]
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}{M}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{k}{\beta }_{k}
\]
特别地,若 \( f \) 在 \( X \) 上有下界,且 \( f \) 的临界值集合有上界,取 \( a \) 充分小,取 \( b \) 充分大,则在上述莫尔斯不等式中, \( {M}_{k} \) 为 \( f \) 在 \( X \) 上的莫尔斯指数为 \( k \) 的临界点个数, \( {\beta }_{k} \) 为 \( {H}_{k}\left( X\right) \) 的秩. 莫尔斯不等式还可用庞加莱多项式形式表出, 在上述记号下, 若记
\[
M\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{M}_{k}{t}^{k}\text{ 与 }P\left( t\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\beta }_{k}{t}^{k},
\]
则存在非负整系数的多项式 \( Q\left( t\right) \) ,使得
\[
M\left( t\right) = P\left( t\right) + \left( {1 + t}\right) Q\left( t\right) .
\]
群作用下的不变泛函 (invariant functional under group action) 具有某种对称性的泛函, 它在群作用下的每条轨道上取相同的值. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( U\left( X\right) \) 是从 \( X \) 到 \( X \) 上的等距线性算子的全体所成的线性空间, \( G \) 是某个拓扑群, \( T : G \rightarrow \) \( U\left( X\right) \) 是连续同态. 这时 \( X \) 称为 \( T\left( G\right) \) 空间. 若泛函 \( f : X \rightarrow \mathrm{R} \) 满足条件:
\[
f\left( {{T}_{g}x}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x \in X, g \in G}\right) ,
\]
则称 \( f \) 是 \( T\left( G\right) \) 不变的. \( X \) 中的子集 \( E \) 若满足条件: \( {T}_{g}E = E\left( {\forall g \in G}\right) \) ,则称 \( E \) 是 \( T\left( G\right) \) 不变的. \( \forall x \) \( \in X,\left\lbrack x\right\rbrack = \left\{ {{T}_{g}x \mid g \in G}\right\} \) 称为 \( x \) 的 \( T\left( G\right) \) 轨道. \( {\mathrm{{Fix}}}_{G} \) \( = \left\{ {x \in X \mid {T}_{g}x = x,\forall g \in G}\right\} \) 称为 \( T\left( G\right) \) 不动点空间.
等变映射 (equivariant mapping) 指与群作用可交换的映射. 设 \( G \) 是拓扑群,巴拿赫空间 \( X \) 与 \( Y \) 分别是 \( T\left( G\right) \) 空间与 \( \widetilde{T}\left( G\right) \) 空间, \( \varphi : X \rightarrow Y \) 是映  是 \( \left( {T\left( G\right) ,\widetilde{T}\left( G\right) }\right) \) 等变映射.
指标理论 (index theory) 畴数理论在 \( T\left( G\right) \) 不变泛函情形的变种形式. 设 \( G \) 是紧拓扑群, \( X \) 是 \( T\left( G\right) \) 空间, \( \sum = \{ A \subset X \mid A \) 是 \( T\left( G\right) \) 不变闭集 \( \} \) . 若函数 \( i : \sum \rightarrow {Z}_{ + } \cup \{ + \infty \} \) 满足下述条件:
1. 平凡性. \( i\left( A\right) = 0 \Leftrightarrow A = \varnothing \) .
2. 单调性. \( A, B \in \sum, A \subset B \Rightarrow i\left( A\right) \leq i\left( B\right) \) .
3. 次可加性. \( \forall A, B \in \sum \) ,
\[
i\left( {A \cup B}\right) \leq i\left( A\right) + i\left( B\right) .
\]
4. 超变性. 若 \( A \in \sum, h = \eta \left( {\cdot ,1}\right) ,\eta : \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \times \) \( X \rightarrow X \) 是 \( T\left( G\right) \) 等变形变,则 \( i\left( \overline{h\left( A\right) }\right) \geq i\left( A\right) \) .
5. 连续性. 若 \( A \in \sum, A \) 紧,则存在 \( A \) 的某个闭邻域 \( N \in \sum \) ,使得
\[
i\left( N\right) = i\left( A\right) ,
\]
则称 \( i \) 为 \( X \) 上的一个 \( T\left( G\right) \) 指标.
若指标 \( i \) 还具有性质:
6. 规范性. \( \forall p \in X \) . 若 \( \left\lbrack p\right\rbrack \cap {\mathrm{{Fix}}}_{G} = \varnothing \) ,则 \( i\left( \left\lbrack p\right\rbrack \right) = 1 \) ,其中
\[
\left\lbrack p\right\rbrack = \left\{ {{T}_{g}p \mid g \in G}\right\} ,
\]
\[
{\operatorname{Fix}}_{G} = \left\{ {x \in X \mid {T}_{g}x = x,\forall g \in G}\right\} ,
\]
则称指标 \( i \) 是规范的. 若存在正整数 \( d \) ,使对 \( X \) 的 \( {dk} \) 维 \( T\left( G\right) \) 不变子空间 \( {V}^{dk}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,只要
\[
{V}^{dk} \cap {\mathrm{{Fix}}}_{G} = \{ 0\}
\]
就有 \( i\left( {{V}^{dk} \cap {S}_{1}}\right) = k \) ,其中 \( {S}_{1} \) 为 \( X \) 中的单位球面, 则称指标 \( i \) 具有 \( d \) 维数性质.
类似于畴数理论, 有下述指标意义下的重数定理: 设 \( M \) 是 \( X \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 106 | \) 是 \( T\left( G\right) \) 等变形变,则 \( i\left( \overline{h\left( A\right) }\right) \geq i\left( A\right) \) .
5. 连续性. 若 \( A \in \sum, A \) 紧,则存在 \( A \) 的某个闭邻域 \( N \in \sum \) ,使得
\[
i\left( N\right) = i\left( A\right) ,
\]
则称 \( i \) 为 \( X \) 上的一个 \( T\left( G\right) \) 指标.
若指标 \( i \) 还具有性质:
6. 规范性. \( \forall p \in X \) . 若 \( \left\lbrack p\right\rbrack \cap {\mathrm{{Fix}}}_{G} = \varnothing \) ,则 \( i\left( \left\lbrack p\right\rbrack \right) = 1 \) ,其中
\[
\left\lbrack p\right\rbrack = \left\{ {{T}_{g}p \mid g \in G}\right\} ,
\]
\[
{\operatorname{Fix}}_{G} = \left\{ {x \in X \mid {T}_{g}x = x,\forall g \in G}\right\} ,
\]
则称指标 \( i \) 是规范的. 若存在正整数 \( d \) ,使对 \( X \) 的 \( {dk} \) 维 \( T\left( G\right) \) 不变子空间 \( {V}^{dk}\left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,只要
\[
{V}^{dk} \cap {\mathrm{{Fix}}}_{G} = \{ 0\}
\]
就有 \( i\left( {{V}^{dk} \cap {S}_{1}}\right) = k \) ,其中 \( {S}_{1} \) 为 \( X \) 中的单位球面, 则称指标 \( i \) 具有 \( d \) 维数性质.
类似于畴数理论, 有下述指标意义下的重数定理: 设 \( M \) 是 \( X \) 中的 \( T\left( G\right) \) 不变闭子流形, \( f \in \) \( {C}^{1}\left( {M,\mathrm{R}}\right) \) 满足 (P. S) 条件, \( i \) 是 \( X \) 上的 \( T\left( G\right) \) 指标, 记 \( {\sum }_{n}\left( M\right) = \{ A \in \sum \mid A \subset M, i\left( A\right) \geq n\} \) . 令
\[
{c}_{n} = \mathop{\inf }\limits_{{A \in {\sum }_{n}\left( M\right) }}\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}f\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) .
\]
若对某正整数 \( n \) 与 \( p \) ,有
\[
- \infty < {c}_{n} = {c}_{n + 1} = \cdots = {c}_{n + p - 1} = c < + \infty ,
\]
则 \( c \) 是 \( f \) 的临界值,且 \( i\left( {K}_{c}\right) \geq p \) . 这时如果 \( i \) 是规范的,且 \( {K}_{c} \cap {\mathrm{{Fix}}}_{G} = \varnothing \) ,则 \( {K}_{c} \) 中至少含有 \( p \) 条不同的临界点轨道.
最常用到的指标是 \( G = {Z}_{2} \) 与 \( G = {S}^{1} \) 时的情形. 作为指标概念的推广或变种, 尚有伪指标. 相对指标等多种概念.
\( {Z}_{2} \) 指标 \( \left( {{Z}_{2}\text{-index }}\right) \) 亦称亏格. 是在整数模 2 群 \( {Z}_{2} \) 作用下的指标. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( \sum = \{ A \) \( \subset X \mid A \) 是闭集且 \( A = - A\} \) ,定义 \( \gamma : \sum \rightarrow {Z}_{ + } \cup \) \( \{ + \infty \} \) 如下:
当 \( A = \varnothing \) 时,令 \( \gamma \left( \phi \right) = 0 \) .
当 \( A \in \sum, A \neq \varnothing \) 时,令 \( \gamma \left( A\right) = \min \left\{ {n \in {Z}_{ + } \mid }\right. \) 存在连续奇映射 \( \varphi : A \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \} \) . 若对任何 \( n \in {\mathrm{Z}}_{ + } \) 均不存在连续奇映射 \( \varphi : A \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) ,则令 \( \gamma \left( A\right) \) \( = + \infty \) .
这样定义的 \( \gamma \) 就是 \( X \) 上的 \( {Z}_{2} \) 指标. \( {Z}_{2} \) 指标最早是由克拉斯诺塞尔斯基 (I\\pacHOCeJIBCKIIIÍ, M. A. ) 于 1952 提出. 之后, 杨 (Yang, C. T. ), 康纳 (Conner, P. E. ) 和福洛依德 (Floyd, E. E. ) 及施瓦克 (Švarc, A. S. ) 给出了其变种与推广形式.
\( {S}^{1} \) 指标 \( \left( {{S}^{1}\text{-index }}\right) \) 在圆周群 \( {S}^{1} \) 作用下的指标. 设 \( {S}^{1} = \mathrm{R}/\left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack, X \) 为 \( T\left( {S}^{1}\right) \) 空间, \( \sum = \{ A \subset \) \( X \mid A \) 是 \( T\left( {S}^{1}\right) \) 不变闭子集 \( \} \) . 定义 \( \gamma : \sum \rightarrow {\sum }_{ + } \cup \) \( \{ + \infty \} \) 如下:
当 \( A = \varnothing \) 时,令 \( \gamma \left( \varnothing \right) = 0 \) .
当 \( A \in \sum, A \neq \varnothing \) 时,令 \( \gamma \left( A\right) = \min \left\{ {n \in {Z}_{ + } \mid }\right. \) 存在 \( k \in {Z}_{ + } \) 与连续映射 \( \varphi : A \rightarrow {\mathrm{C}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) ,使得 \( \varphi \left( {{T}_{\theta }x}\right) \) \( = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k\theta }}\varphi \left( x\right) ,\forall x \in A,\forall \theta \in {S}^{1}\} \) ,其中 \( {\mathrm{C}}^{n} \) 为复 \( n \) 维线性空间. 若所述之 \( n \) 不存在,则令 \( \gamma \left( A\right) = + \infty \) .
如此定义的 \( \gamma \) 就是 \( X \) 上的 \( {S}^{1} \) 指标. \( {S}^{1} \) 指标最早是由拉比诺维茨 (Rabinowitz, P. H. ) 等人引进的.
## 微分算子与积分算子
现代微分算子理论 (the theory of modern differential operators) 20 世纪 50 年代, 由米赫林 (Mux.IIIH, C. Γ. )、考尔德伦 (Calderón, A. P. ) 和赞格蒙 (Zygmund, A. ) 等人发展起来的奇异积分算子理论在处理线性微分方程中显示了它的作用. 20 世纪 60 年代, 尼伦伯格 (Nirenberg, L. )、科恩 (Kohn, J. J. )、赫尔曼德尔 (Hörmander, L. V. ) 及翁特伯格 (Unterberger, A. ) 等人推广了奇异积分算子理论, 创建了拟微分算子理论. 继而, 又出现了傅里叶积分算子理论. 它们结合微局部分析方法, 在线性微分方程理论的研究中发挥了“革命”性的作用 (尼伦伯格的话). 到了 20 世纪 80 年代, 上述理论又被推广及应用于非线性问题的研究, 其中特别是出现了仿微分算子理论. 近年来, 又提出了仿傅里叶积分算子概念. 所有这些理论的出现, 使得对微分方程理论的研究呈现崭新的局面, 并且已逐步渗透及影响着数学中其他的分支学科. 它们组成了一套新的算子理论, 即所谓现代微分算子理论.
微分算子 (differential operator) 一类常见而又重要的算子. 它是微分方程中研究的核心对象. 设 \( A \) 是由某函数空间 \( {E}_{1} \) 到函数空间 \( {E}_{2} \) 的映射, \( f = {Au} \) \( \left( {u \in {E}_{1}, f \in {E}_{2}}\right) \) . 如果像 \( f \) 在每个点 \( x \) 处的值 \( f\left( x\right) \) 由原像 \( u \) 和它的某些导函数在 \( x \) 处的值所决定,则称 \( A \) 为微分算子. 当 \( A \) 还是线性时,称 \( A \) 是线性微分算子. 例如
\[
P\left( {x, D}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| \leq m}}{a}_{\alpha }\left( x\right) {D}^{\alpha }
\]
就是线性微分算子,其中 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \) 为非负的整数组,
\[
{D}^{\alpha } = {D}_{1}^{{\alpha }_{1}}{D}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots {D}_{n}^{{\alpha }_{n}},\;{D}_{j} = \frac{\partial }{\partial {x}_{j}},
\]
\( \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n},{a}_{\alpha }\left( x\right) \) 是定义在 \( n \) 维欧几里得空间某个开集 \( \Omega \) 上的函数. 当 \( n = 1 \) 时, \( P\left( {x, D}\right) \) 是常微分算子; 当 \( n \geq 2 \) 时, \( P\left( {x, D}\right) \) 是偏微分算子 (参见《流形上的分析》同名条).
常微分算子 (ordinary differential operator) 见“微分算子”.
偏微分算子 (partial differential operator) 见“微分算子”.
线性微分算子 (linear differential operator) 见“微分算子”.
位相函数 (phase function) 定义在开锥子集 \( \Gamma \) 上的无临界点的函数. 设 \( X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的子集, \( \Gamma \) 是 \( X \times \left( {{\mathrm{R}}^{N}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \) 中的开锥子集 (即若 \( \left( {x,\theta }\right) \in \Gamma \) ,则对任意 \( t > 0 \) 有 \( \left( {x,{t\theta }}\right) \in \Gamma ) \) . 若实值函数 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \in \) \( {C}^{\infty }\left( \Gamma \right) \) 关于 \( \theta \) 是正齐一次的 (即对任意 \( t > 0 \) ,有 \( \varphi \left( {x,{t\theta }}\right) = {t\varphi }\left( {x,\theta }\right) ) \) ,且 \( \varphi \) 关于 \( x,\theta \) 无临界点 (即在 \( \Gamma \) 上 \( {\mathrm{d}}_{x,\theta }\varphi \left( {x,\theta }\right) \neq 0) \) ,则称 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 是 \( \Gamma \) 上一个位相函数. 记 \( {C}_{\varphi } = \left\{ {\left( {x,\theta }\right) \in \Gamma \mid {\varphi }_{\theta }\left( {x,\theta }\right) = 0}\right\} \) . 它是 \( \varphi \) 关于 \( \theta \) 的临界点集. 若一个位相函数 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 在 \( {C}_{\varphi } \) 上的 \( N \) 个 \( n + N \) 维向量 \( \left\{ {{\mathrm{d}}_{x,\theta }{\varphi }_{{\theta }_{j}}}\right\} \left( {j = 1,2,\cdots, N}\right) \) 是线性无关的,则称 \( \varphi \) 为非退化的位相函数. 设 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 是一个位相函数. 若它对任一固定的 \( x \) 而言又是 \( y,\theta \) 的位相函数; 且它对任一固定的 \( y \) 而言是 \( x,\theta \) 的位相函数,则称这样的 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 是算子位相函数.
\[
\langle x - y,\theta \rangle = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\left( {{x}_{j} - {y}_{j}}\right) {\theta }_{j}
\]
是 \( X \times {\mathrm{R}}^{n} \) 上的算子位相函数,但不是非退化的.
振幅函数 (amplitude function) 关于任意多重指标的偏导数满足某种类型不等式的函数. 设 \( X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开子集, \( 0 \leq \rho ,\delta \leq 1, m \) 为任意实数. 若函数 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {C}^{\infty }\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) 满足如下条件: 对任意多重指标 \( \alpha ,\beta \) 及 \( X \) 中的紧集 \( K \) ,存在常数 \( {C}_{\alpha ,\beta, K} > 0 \) ,使当 \( x \in K,\theta \in {\mathrm{R}}^{N} \) 时有
\[
\left| {{\partial }_{x}^{\beta }{\partial }_{\theta }^{\alpha }a\left( {x,\theta }\right) }\right| \leq {C}_{\alpha ,\beta, K}{\left( 1 + \left| \theta \right| \right) }^{m - \rho \left| \alpha \right| + \delta \left| \beta \right| },\left( 1\right)
\]
则称 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 是 \( m \) 次 \( \left( {\rho ,\delta }\right) \) 型振幅,记为 \( a \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}(X \) \( \times {\mathrm{R}}^{N} \) ). \( {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) 振幅函数类首先由赫尔曼德尔 (Hörmander, L. V. ) 引进. 从历史上看, 最古典的振幅函数类是其中函数 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {C}^{\infty }\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) 关于 \( \theta \) 为 \( m \) 次齐次函数 (它显然属于 \( {S}_{1,0}^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) ). 而赫尔曼德尔所引入的上述 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) ,其主要特色在于用微分不等式代替了齐次性.
\( {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) 类是较为典型的振幅函数类. 而在处理具体问题时, 将出现一些新的特殊的振幅函数类, 并且还要对它们建立一套与相应的算子相配合的运算规则以及相应的振荡积分理论等.
下面仍以 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) 类为例来叙述振幅函数类的一些概念及性质. 取 \( X \) 中的上升紧集序列 \( \left\{ {K}_{j}\right\} \) 使
\[
\mathop{\bigcup }\limits_{j}{K}_{j} = X
\]
对于 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) ,记使上述微分不等式 (1) 成立的最小常数 \( {C}_{\alpha ,\beta ,{K}_{j}} \) 为 \( {\rho }_{\alpha ,\beta, j}\left\lbrack a\right\rbrack \) . 易知它们构成一个可分离的可列半模族, 且用它装备函数类 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) 后使得 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) 成为一个弗雷歇空间. 一般地,振幅函数 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 常取渐近展开的形式:
\[
a\left( {x,\theta }\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }{a}_{j}\left( {x,\theta }\right) .
\]
具体地,设 \( \left\{ {m}_{j}\right\} \left( {j = 0,1,2,\cdots }\right) \) 是一个单调下降趋于 \( - \infty \) 的实数列. 又设 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{0}},{a}_{j} \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{j}} \) . 若对任意非负整数 \( l \) 有 \( a\left( {x,\theta }\right) - {a}_{j}\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{l}} \) ,则称
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }{a}_{j}\left( {x,\theta }\right)
\]
是 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 的渐近展开. 运用古典的波莱尔技巧可以证明,对于 \( \left\{ {{a}_{j}\left( {x,\theta }\right) \mid {a}_{j} \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{j}}}\right\} \left( {j = 0,1,2,\cdots }\right) \) ,其中 \( \left\{ {m}_{j}\right\} \) 如上,则存在 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{0}} \) 使得
\[
a\left( {x,\theta }\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }{a}_{j}\left( {x,\theta }\right) ,
\]
且在 \( {\;\operatorname{mod}\;{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }} \) 下此 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 是惟一确定的. 此处
\[
{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty } = \mathop{\bigcap }\limits_{m}{S}_{\rho ,\delta }^{m}
\]
振荡积分 (oscillatory in |
2000_数学辞海（第3卷） | 107 | 一个单调下降趋于 \( - \infty \) 的实数列. 又设 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{0}},{a}_{j} \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{j}} \) . 若对任意非负整数 \( l \) 有 \( a\left( {x,\theta }\right) - {a}_{j}\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{l}} \) ,则称
\[
\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }{a}_{j}\left( {x,\theta }\right)
\]
是 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 的渐近展开. 运用古典的波莱尔技巧可以证明,对于 \( \left\{ {{a}_{j}\left( {x,\theta }\right) \mid {a}_{j} \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{j}}}\right\} \left( {j = 0,1,2,\cdots }\right) \) ,其中 \( \left\{ {m}_{j}\right\} \) 如上,则存在 \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{0}} \) 使得
\[
a\left( {x,\theta }\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{\infty }{a}_{j}\left( {x,\theta }\right) ,
\]
且在 \( {\;\operatorname{mod}\;{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }} \) 下此 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 是惟一确定的. 此处
\[
{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty } = \mathop{\bigcap }\limits_{m}{S}_{\rho ,\delta }^{m}
\]
振荡积分 (oscillatory integral) 用某种积分表示的线性形式. 它依赖于位相函数与振幅函数. 考虑积分
\[
{I}_{\varphi }\left( {au}\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta ,
\]
其中 \( u \in {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) ,\varphi \left( {x,\theta }\right) \) 是 \( X \times \left( {{\mathrm{R}}^{N}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \) 上的位相函数, \( a\left( {x,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \left( {0 \leq \rho ,\delta \leq 1}\right) \) . 为确定起见,设 \( \rho > 0,\delta < 1 \) .
这个积分收敛与否,很大程度上取决于 \( m \) 所取的值. 例如 \( m < - N \) 时,此积分收敛. 但对大于 \( - N \) 的任意实数,它却是一个发散的积分. 尽管如此, 可以用以下方法赋予此积分新的合适的意义. 其主要思想是像通常处理发散积分那样, 在广义函数意义下研究这个积分. 针对上述具体形式, 可做如下处理. 固定 \( \varphi \) 和 \( u \) ,可得线性形式
\[
l : a \in {S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \rightarrow l\left( a\right) = {I}_{\varphi }\left( {au}\right) \in \mathrm{C}.
\]
根据振幅函数空间的拓扑结构特性及 \( \varphi \) 是位相函数, 此线性形式可以惟一地拓广成
\[
{S}_{\rho ,\delta }^{+\infty }\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \;\left( {{S}_{\rho ,\delta }^{+\infty } = \mathop{\bigcup }\limits_{m}{S}_{\rho ,\delta }^{m}}\right)
\]
上的线性形式; 而且,它在任意空间 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \) 上均为连续的. 记此拓广后的线性形式 \( l\left( a\right) \) 为如下积分形式:
\[
l\left( a\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta .
\]
显然, 上述积分形式仅是一个符号. 但它可用下面两种方法具体地用一个真实的收敛积分或其极限来表出. 即
\[
l\left( a\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }{\left( {}^{t}L\right) }^{k}\left( {a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta ,
\]
或
\[
l\left( a\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }\psi \left( {\varepsilon \theta }\right) a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta ,
\]
其中
\[
L = \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{N}{a}_{j}\left( {x,\theta }\right) {\partial }_{{\theta }_{j}} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}{b}_{j}\left( {x,\theta }\right) {\partial }_{{x}_{j}} + c\left( {x,\theta }\right) ,
\]
\( {a}_{j} \in {S}_{1,0}^{0},{b}_{j}, c \in {S}_{1,0}^{-1} \) 是使 \( L\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }\right) = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi } \) 的某些函数. \( k \) 满足 \( m - {kt} < - N, t = \min \left( {\rho ,1 - \delta }\right) ,\psi \left( \theta \right) \in \) \( {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{N}\right) \) 且在 \( \theta = 0 \) 附近为 1 . 称上述拓广后的线性形式
\[
\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta
\]
为一个振荡积分. 在现代微分算子理论中, 人们总是将原来的积分 (不管发散与否) \( {I}_{\varphi }\left( {au}\right) \) 理解为在上述振荡积分的意义之下.
应当指出, 若一个振荡积分中含有参数, 则对于这个含参变量的振荡积分有像含参变量的通常积分一样的运算法则 (例如在积分号下求极限、求导及求积等). 这些性质将在应用上带来很大的方便. 最后, 考虑一种特殊情形. 对于积分
\[
\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\theta \rangle }a\left( {x, y,\theta }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\theta
\]
\[
\left( {u \in {C}_{0}^{\infty }, a \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}}\right) ,
\]
可以理解为一个含参变量 \( x \) 的振荡积分. 但是,也可以理解为如下的累次积分.
\[
\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x,\theta \rangle }\left( {\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\langle y,\theta \rangle }a\left( {x, y,\theta }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y}\right) \mathrm{d}\theta .
\]
易知此累次积分是收敛的. 并且可以证明, 上述两种理解是一致的. 通常, 在书写上常将振荡积分中积分符号上的波纹 “ \( \sim \) ”略掉,直接写为
\[\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) u\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}\theta .\]
傅里叶分布 (Fourier distribution) 用振荡积分表示的一个 \( k \) 阶分布. 在振荡积分中固定 \( \varphi \left( {x,\theta }\right) \) 和 \( a\left( {x,\theta }\right) \) ,而将此积分视为映射 \( \Delta \) :
\[u \in {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {I}_{\varphi }\left( {au}\right) \in \mathbf{C}.\]
可以证明,它是一个 \( k \) 阶分布 \( A \in {\left( {\mathcal{D}}^{k}\left( X\right) \right) }^{\prime } \) ,其中 \( k \) 是使不等式 \( m - {kt} < - N \) 成立的最小非负整数, \( t = \min \left( {\rho ,1 - \delta }\right), a \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) ,\rho > 0,\delta < 1,\varphi \) 是位相. 称此分布为傅里叶分布.
傅里叶分布 \( A \) 有许多值得注意且有用的性质. 例如, \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}A \subset \left\{ {x \mid {\varphi }_{\theta }\left( {x,\theta }\right) = 0}\right. \) 对某个 \( \theta \) \( \neq 0 \) 成立 \( \} \) ,其中 \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}A \) 是 \( A \) 的 \( {C}^{\infty } \) 奇支集 (亦即使得 \( A \) 为 \( {C}^{\infty } \) 的最大开集的余集). 微局部地,有
\[
{WF}\left( A\right) \subset {\Lambda }_{\varphi } \equiv \left\{ {\left( {x,{\varphi }_{x}\left( {x,\theta }\right) }\right) \mid {\varphi }_{\theta }\left( {x,\theta }\right) = 0}\right\} ,
\]
其中 \( {WF}\left( A\right) \) 为 \( A \) 的 \( {C}^{\infty } \) -波前集. 更精确地,有
\[
{WF}\left( A\right) = \left\{ {\left( {x,{\varphi }_{x}\left( {x,\theta }\right) }\right) \mid \left( {x,\theta }\right) \in }\right.
\]
\[
\text{ess}\operatorname{supp}a,{\varphi }_{\theta }\left( {x,\theta }\right) = 0\} \text{,}
\]
这里 \( \operatorname{esssupp}a \) 是 \( a\left( {x,\theta }\right) \) 的本性支集. 它是
\[
X \times \left( {{\mathrm{R}}^{N}\smallsetminus \{ 0\} }\right)
\]
中这样的闭锥子集,在此锥子集外 \( a \in {S}_{\rho ,\delta }^{-\infty } \) ,且它是具有这一性质的锥子集中的最小者. 集合 \( {\Lambda }_{\varphi } \) 在傅里叶积分算子及拟微分算子理论中极为重要, 且具有十分明确的几何结构: 它是余切丛 \( {T}^{ * }\left( X\right) \) 的锥拉格朗日浸入子流形.
傅里叶分布的表示有多样性. 著名的赫尔曼德尔定理告诉人们,同一傅里叶分布 \( A \) 虽可用不同振幅及位相 \( \varphi ,\widetilde{\varphi } \) 表出,但必须 \( {\Lambda }_{\varphi } = {\Lambda }_{\widetilde{\varphi }} \) .
拟微分算子 (pseudo-differential operators) 一类由积分形式确定的算子, 与微分算子有类似的性质. 设 \( a\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{n}}\right), X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中开子集, \( 0 \leq \rho ,\delta \leq 1 \) . 为简单计,更设 \( \rho > 0,\delta < 1 \) ,则由积分
\[
A\left( {x, D}\right) u\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }a\left( {x,\xi }\right) \widehat{u}\left( \xi \right) \overline{\mathrm{d}}\xi ,
\]
(1)
确定算子 \( A\left( {x, D}\right) \) ,使得
\[
u\left( x\right) \in {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {Au} \in {C}^{\infty }\left( X\right) ,
\]
且 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( X\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) ,其中 \( \mathrm{d}\xi = {\left( 2\pi \right) }^{-n}\mathrm{\;d}\xi \) . 称此算子是一个 \( m \) 阶 \( \left( {\rho ,\delta }\right) \) 型拟微分算子,记为 \( A \in \mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right. \) \( \left( {X \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) ). 可以证明,相应于 \( {S}_{\rho ,\delta }^{-\infty } \) 的拟微分算子类
\[
\operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{m}\operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) ,
\]
且它由具 \( {C}^{\infty } \) 核的算子组成. 因此它里面的算子都是正则化算子,即 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( X\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) . 若 \( a\left( {x,\xi }\right) \in \) \( B{S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) (关于 \( x \in X \) 为一致有界的象征),即若微分不等式中 \( C \) 与 \( X \) 中的紧集 \( K \) 无关时,则相应拟微分算子有 \( \mathcal{K}\left( X\right) \rightarrow \mathcal{K}\left( X\right) \) 及 \( {\mathcal{K}}^{\prime }\left( X\right) \rightarrow \) \( {\mathcal{X}}^{\prime }\left( X\right) \) .
在拟微分算子中, 适当可支的拟微分算子起重要作用. 所谓一个拟微分算子 \( A \) 是适当可支的,是指它的核在 \( X \times X \) 中的支集到 \( X \) 上的两个投影是适当映射. 或者等价地,对任意紧集 \( K \subset X \) ,存在紧集 \( {K}^{\prime } \subset X \) ,使得当 \( \operatorname{supp}u \subset K \) 时 \( \operatorname{supp}{Au} \subset {K}^{\prime } \) ; 并且在 \( {K}^{\prime } \) 上 \( u = 0 \) 蕴涵在 \( K \) 上 \( {Au} = 0 \) . 适当可支的拟微分算子有 \( {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) ,{C}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) 且 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( X\right) \rightarrow {\mathcal{E}}^{\prime }\left( X\right) \) 及 \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) . 由此可知, 对适当可支的拟微分算子可以进行诸如算子复合及共轭等运算. 这类算子的重要性还体现在如下性质: 任意一个拟微分算子 \( \in \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 必可分解为一个适当可支的 \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 中的拟微分算子及一个正则化算子之和. 在拟微分算子理论中, 常常会附带出现一个正则化算子. 例如, 振幅函数常以渐近展开形式出现,此时相应的振幅函数仅在 \( {\;\operatorname{mod}\;{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }} \) 下惟一. 这样, 相应的拟微分算子仅在 mod 正则化算子意义下惟一. 又如, 在基本解方法研究问题时, 人们一般只能考虑拟微分算子 \( A \) 的拟基本解 \( {E}_{L} \) 或 \( {E}_{R} \) . 按定义有
\[
{E}_{L}A = I + {R}_{L},\;A{E}_{R} = I + {R}_{R},
\]
其中 \( {R}_{L} \) 和 \( {R}_{R} \) 也是正则化算子. 由于正则化算子的特别良好的特性, 人们处理问题时的注意力可以较少地放在它们身上, 甚至在处理诸如光滑性等问题时可以忽略它们. 因此, 通常人们几乎可不失一般性地认为所考虑的拟微分算子是适当可支的. 或者,可定义 \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 中元素为适当可支的拟微分算子与光滑 (正则化) 算子之和.
将 \( \widehat{u}\left( \xi \right) \) 的傅里叶变换式形式地代入 (1) 式,得
\[
A\left( {x, D}\right) u\left( x\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\xi \rangle }a\left( {x,\xi }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\xi . |
2000_数学辞海（第3卷） | 108 | X\right) \) . 由此可知, 对适当可支的拟微分算子可以进行诸如算子复合及共轭等运算. 这类算子的重要性还体现在如下性质: 任意一个拟微分算子 \( \in \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 必可分解为一个适当可支的 \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 中的拟微分算子及一个正则化算子之和. 在拟微分算子理论中, 常常会附带出现一个正则化算子. 例如, 振幅函数常以渐近展开形式出现,此时相应的振幅函数仅在 \( {\;\operatorname{mod}\;{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }} \) 下惟一. 这样, 相应的拟微分算子仅在 mod 正则化算子意义下惟一. 又如, 在基本解方法研究问题时, 人们一般只能考虑拟微分算子 \( A \) 的拟基本解 \( {E}_{L} \) 或 \( {E}_{R} \) . 按定义有
\[
{E}_{L}A = I + {R}_{L},\;A{E}_{R} = I + {R}_{R},
\]
其中 \( {R}_{L} \) 和 \( {R}_{R} \) 也是正则化算子. 由于正则化算子的特别良好的特性, 人们处理问题时的注意力可以较少地放在它们身上, 甚至在处理诸如光滑性等问题时可以忽略它们. 因此, 通常人们几乎可不失一般性地认为所考虑的拟微分算子是适当可支的. 或者,可定义 \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 中元素为适当可支的拟微分算子与光滑 (正则化) 算子之和.
将 \( \widehat{u}\left( \xi \right) \) 的傅里叶变换式形式地代入 (1) 式,得
\[
A\left( {x, D}\right) u\left( x\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\xi \rangle }a\left( {x,\xi }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\xi .
\]
或者, 更一般地可用下式定义拟微分算子
\[
{Au}\left( x\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\langle x - y,\xi \rangle }a\left( {x, y,\xi }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\overline{\mathrm{d}}\xi ,
\]
其中 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times Y \times {\mathrm{R}}^{n}}\right), X, Y \) 均为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的开集. 上述两积分均应在振荡积分或累次积分意义下成立.
显然, 线性微分算子是一类特殊的拟微分算子,其振幅是 \( \xi \) 的多项式. 线性椭圆微分算子的拟基本解也是拟微分算子, 其振幅是一个渐近展开式. 希尔伯特变换是一个零阶的 \( \left( {1,0}\right) \) 型拟微分算子. 这些例子表明拟微分算子理论不仅是处理问题的一种方法, 而且它本身也就是原问题中出现的研究对象. 对拟微分算子 \( A \) ,有如下的拟局部性
\[
\operatorname{sing}\operatorname{supp}{Au} \subset \operatorname{sing}\operatorname{supp}u.
\]
回忆皮特里 (Peetre, J. ) 的著名结果: 任何连续线性算子 \( A : {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) ,若能拓广为连续线性算子 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( X\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) ,且有局部性
\[
\operatorname{supp}{Au} \subset \operatorname{supp}u,
\]
则它必是一个 \( {C}^{\infty } \) 系数的线性微分算子. 对照这个结果及上述拟局部性, 拟微分算子这名称也就容易理解了.
拟微分算子在坐标变换下仍是拟微分算子. 由此可定义流形上的拟微分算子, 进而还可定义向量丛上的拟微分算子并建立相应的理论. 拟微分算子有许多有意义的性质及广泛的应用.
象征 (symbol) 确定拟微分算子的函数. 设 \( A \) 是 \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 中适当可支的拟微分算子,则必存在 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) = {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }A\left( {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\langle x,\xi \rangle }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) ,使
\[
{Au}\left( x\right) = \iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {x,\xi }\right) }{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \widehat{u}\left( \xi \right) \overline{\mathrm{d}}\xi ,
\]
183
且若 \( A \) 的振幅是 \( a\left( {x, y,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) ,则 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \) 有渐近展开
\[
{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \sim {\left. \mathop{\sum }\limits_{\alpha }\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{D}_{y}^{\alpha }a\left( x, y,\xi \right) \right| }_{y = x},
\]
称此 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \) 为 \( A \) 的全象征. 特别地,若振幅为 \( a\left( {x,\xi }\right) \) ,则 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) = a\left( {x,\xi }\right) \) . 仍用 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m} \) 表示象征所在的空间. 由于上述渐近展开在 \( {\;\operatorname{mod}\;{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }} \) 下惟一确定,而 \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 中一般元在 \( {\;\operatorname{mod}\;\mathrm{{OP}}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }\right) \) 下惟一地对应于一个适当可支元. 于是可得线性同构映射 \( \sigma : \mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) /\mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{-\infty }\right) \rightarrow {S}_{\rho ,\delta }^{m}/{S}_{\rho ,\delta }^{-\infty } \) . 显然人们可称此线性同构为全象征.
上述渐近展开中首项特别重要, 它相当于微分算子的主部. 为此称 \( {\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \) 在 \( {S}_{\rho ,\delta }^{m}/{S}_{\rho ,\delta }^{m - \left( {\rho - \delta }\right) } \) 中任一元为 \( A \) 的主象征. 或者称线性同构
\[
{\sigma }_{m} : \mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) /\mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m - \left( {\rho - \delta }\right) }\right) \rightarrow {S}_{\rho ,\delta }^{m}/{S}_{\rho ,\delta }^{m - \left( {\rho - \delta }\right) }
\]
为主象征. 关于 \( \xi \) 为齐次的主象征是惟一确定的 (参见本卷《流形上的分析》同名条).
象征运算 (symbolic calculus) 对应于拟微分算子之间的运算, 可以建立一套象征之间的运算规则,称之为象征运算. 设 \( A\left( {x, D}\right) \in \mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 适当可支, \( 0 \leq \delta < \rho \leq 1 \) ,则其转置 \( {}^{t}A \in \mathrm{{OP}}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 也适当可支, 且有
\[
{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{a}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{a}{D}_{x}^{a}{\sigma }_{A}\left( {x - \xi }\right) .
\]
\( A \) 的共轭 \( {A}^{ * } \in \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) \) 也适当可支,且
\[
{\sigma }_{A} \cdot \left( {x,\xi }\right) \sim \mathop{\sum }\limits_{a}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{a}{D}_{x}^{\sigma }\overline{{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) }.
\]
设 \( A \in \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{1}}\right), B \in \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{2}}\right) \) ,且 \( A, B \) 中有一个是适当可支的 \( \left( {0 \leq \delta < \rho \leq 1}\right) \) ,则
\[
B \circ A \in \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{{m}_{1} + {m}_{2}}\right)
\]
且有
\[
{\sigma }_{BA}\left( {x,\xi }\right) \equiv {\sigma }_{B}\# {\sigma }_{A}
\]
\[
\sim \mathop{\sum }\limits_{a}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{\sigma }_{B}\left( {x,\xi }\right) {D}_{x}^{\alpha }{\sigma }_{A}\left( {x,\xi }\right) .
\]
若 \( A, B \) 都是适当可支的,则 \( B \circ A \) 也是适当可支的. 由此可见, 拟微分算子的象征关于普通加法及“ ”乘法是一个可结合的非交换代数; 并在它上面有两个对合运算: 转置及共轭.
拟微分算子的有界性 (boundedness of pseu-dodifferential operators) 拟微分算子在某些函数空间上所满足的范数关系. 在诸如索伯列夫空间、 赫尔德空间及别索夫空间等重要的函数空间上, 研究拟微分算子的有界性有很大的理论意义及应用价值,其中尤其在 \( {H}^{s} \) 上讨论更为重要. 设 \( A \in \) \( \operatorname{OP}\left( {S}_{\rho ,\delta }^{m}\right) ,0 \leq \delta < \rho \leq 1 \) 或 \( 0 \leq \delta \leq \rho < 1 \) ,则 \( A \) 可拓广为有界算子: \( {H}_{\text{comp }}^{s}\left( X\right) \rightarrow {H}_{\text{loc }}^{s - m}\left( X\right) \) . 当 \( \rho = \delta = 1 \) 时,上述结果仅当 \( s > m \) 时成立. 或者,若象征 \( a(x \) , \( \xi ) \) 关于 \( x \) 的傅里叶变换 \( \widehat{a}\left( {\eta ,\xi }\right) \) 的支集含在集合 \( \{ \left( {\eta ,\xi }\right) \left| \right| \eta \left| { \leq \varepsilon }\right| \xi \mid \} \left( {0 < \varepsilon < 1}\right) \) 之中,则上面结论成立.
关于具非正则象征的拟微分算子有界性的研究也引起广泛的重视. 在赫尔德空间、 \( {H}_{p}^{s} \) 空间、别索夫空间甚至特里贝尔 (Triebel) 空间上有界性的讨论也很多.
哥尔丁不等式 (Garding inequality) 一个用来证明微分方程某些定解问题存在性、光滑性的不等式. 哥尔丁 (Garding, L. ) 在研究强椭圆微分方程的狄利克雷问题时, 为了证明存在性及讨论光滑性, 导出了一个单边估计, 即哥尔丁不等式. 由它出发可得到许多重要的先验估计. 后来知道, 这个不等式也出现在其他各类方程中并发挥重要作用 (例如双曲问题中的能量估计). 从而, 使得不等式具有特殊的重要性. 考尔德伦 (Calderón, A. P. ) 和赞格蒙 (Zygmund, A. ) 将此不等式推广到了奇异积分算子情形. 现在则已推广到拟微分算子情形. 此不等式有如下两个基本形式.
哥尔丁不等式: 设 \( a\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m},0 \leq \delta < \rho \leq 1 \) , 且对大 \( \left| \xi \right| \) 成立 \( \operatorname{Re}a\left( {x,\xi }\right) \geq c{\left| \xi \right| }^{m} \) ,则对任意 \( s \in \mathrm{R} \) , 任意紧集 \( K \subset X \) ,存在 \( {c}_{0},{c}_{1} > 0 \) ,使有
\[
\operatorname{Re}\left( {a\left( {x, D}\right) u, u}\right) \geq {c}_{0}\parallel u{\parallel }_{m/2}^{2} - {c}_{1}\parallel u{\parallel }_{s}^{2}
\]
\[
\left( {\forall u \in {C}_{0}^{\infty }\left( K\right) }\right) \text{.}
\]
精细的哥尔丁不等式: 若 \( a\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{1,0}^{m} \) , \( \operatorname{Re}a\left( {x,\xi }\right) \geq 0 \) ,则对任意紧集 \( K \subset X \) ,存在 \( c > 0 \) 使
\[
\operatorname{Re}\left( {a\left( {x, D}\right) u, u}\right) \geq - c\parallel u{\parallel }_{\left( {m - 1}\right) /2}^{2}.
\]
哥尔丁不等式还有多种推广及改进. 在使其更为精细方面, 费弗曼 (Fefferman, C. ) 曾作出系统的研究.
傅里叶积分算子 (Fourier integral operator) 由经典双曲型微分方程柯西问题解推广而得到的一种积分算子. 在求解波动方程等双曲型方程柯西问题时, 它的解呈如下形式
\[
\iint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x, y,\theta }\right) }a\left( {x, y,\theta }\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y\mathrm{\;d}\theta ,
\]
其中 \( \varphi \) 和 \( a \) 是相应的位相及振幅函数. 这样就引出傅里叶积分算子概念. 设 \( X, Y \) 分别为 \( {\mathrm{R}}^{{n}_{1}},{\mathrm{R}}^{{n}_{2}} \) 中的开子集, \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 是 \( X \times Y \times {\mathrm{R}}^{N} \smallsetminus \{ 0\} \) 中实值位相函数,振幅 \( a\left( {x, y,\theta }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times Y \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) ,\rho > 0,\delta \) \( < 1 \) . 对任意 \( u\left( y\right) \in {C}_{0}^{\infty }\left( Y\right) \) 及 \( v\left( x\right) \in {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \) ,有振荡积分
\( {I}_{\varphi }\left( {auv}\right) = \iiint {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi \left( {x, y,\theta }\right) }a\left( {x, y,\theta }\right) u\left( y\right) v\left( x\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}\theta . \)
于是由 \( \langle {Au}, v\rangle = {I}_{\varphi }\left( {auv}\right) \) 确定的 \( {Au} \in {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) ,从而也就定义了一个线性算子 \( A : {C}_{0}^{\infty }\left( Y\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) . 人们称 \( A \) 为傅里叶积分算子.
傅里叶积分算子 \( A \) 所对应的核 \( {K}_{A} \in {\mathcal{D}}^{\prime }(X \times \) \( Y) \) 是一个傅里叶分布,它由 \( \left\langle {{K}_{A}, f\left( {x, y}\right) }\right\rangle = {I}_{\varphi }\left( {af}\right) \) 确定. 若 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 是算子位相函数,则 \( A : {C}_{0}^{\infty }\left( Y\right) \rightarrow \) \( {C}^{\infty }\left( X\right) ,{\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) . 特别地,又若 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 关于 \( \theta \neq 0 \) 无临界点,则 \( A : {\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) (此时 \( {K}_{A} \) 为 \( {C}^{\infty } \) 函数). 反之,任一 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) 的光滑算子总可表示为具任意位相函数的傅里叶积分算子. 应用上较为重要的傅里叶积分算子取如下形式
\[
{Au}\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s\left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) \widehat{u}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta ,
\]
其中 \( s\left( {x,\theta }\right) \) 是 \( X \times {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) 上的位相函数,且 \( \left( {s}_{x\theta }\right) \) 满秩.
另一类重要的傅里叶积分算子是适当可支的 (亦即振幅是适当可支的),它有 \( {C}_{0}^{\infty }\left( Y\right) \rightarrow {C}_{0}^{\in |
2000_数学辞海（第3卷） | 109 | 确定. 若 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 是算子位相函数,则 \( A : {C}_{0}^{\infty }\left( Y\right) \rightarrow \) \( {C}^{\infty }\left( X\right) ,{\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) . 特别地,又若 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 关于 \( \theta \neq 0 \) 无临界点,则 \( A : {\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) (此时 \( {K}_{A} \) 为 \( {C}^{\infty } \) 函数). 反之,任一 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) 的光滑算子总可表示为具任意位相函数的傅里叶积分算子. 应用上较为重要的傅里叶积分算子取如下形式
\[
{Au}\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s\left( {x,\theta }\right) }a\left( {x,\theta }\right) \widehat{u}\left( \theta \right) \mathrm{d}\theta ,
\]
其中 \( s\left( {x,\theta }\right) \) 是 \( X \times {\mathrm{R}}^{n} \smallsetminus \{ 0\} \) 上的位相函数,且 \( \left( {s}_{x\theta }\right) \) 满秩.
另一类重要的傅里叶积分算子是适当可支的 (亦即振幅是适当可支的),它有 \( {C}_{0}^{\infty }\left( Y\right) \rightarrow {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \) , \( {C}^{\infty }\left( Y\right) \rightarrow {C}^{\infty }\left( X\right) \) 及 \( {\mathcal{E}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow {\mathcal{E}}^{\prime }\left( X\right) ,{\mathcal{D}}^{\prime }\left( Y\right) \rightarrow \) \( {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) . 因而就有可能进行算子复合、共轭及与拟微分算子复合等运算. 当然, 在进行复合时, 相应的两个位相函数 \( {\varphi }_{1},{\varphi }_{2} \) 还需满足一定条件才行 \( \left( \left( {A}^{\prime }\right. \right. {}_{{\varphi }_{1}} \) \( \left. {\times {\Lambda }_{{\varphi }_{2}}^{\prime }}\right) \) 与 \( \left( {{T}^{ * }\left( X\right) \times \operatorname{diag}\left( {{T}^{ * }\left( Y\right) }\right) \times {T}^{ * }\left( Z\right) }\right) \) 在每点横截).
由于上述提及的光滑算子与傅里叶积分算子之间的关系, 一般地, 任一个傅里叶积分算子不一定能分解为一个适当可支的傅里叶积分算子与一个光滑算子之和. 一个充分条件是此种傅里叶积分算子的位相也必须是适当的. 另外不同于拟微分算子的是一个傅里叶积分算子
\( A \) 的阶数 \( = m \) (振幅之阶数) \( + \frac{N}{2} - \frac{{n}_{1} + {n}_{2}}{4} \) ,
这样的定义可保持当 \( A \) 用不同振幅及位相表示时阶数不变, 并且两个傅里叶积分算子的复合的阶数为原来两阶数之和.
傅里叶积分算子有许多优良的性质. 例如关于奇性支集有 \( \operatorname{sing}\operatorname{supp}\left( {Au}\right) \subset {\widetilde{C}}_{\varphi } \circ \operatorname{sing}\operatorname{supp}u \) ,其中 \( {\widetilde{C}}_{\varphi } \) 是 \( \varphi \) 关于 \( \theta \) 的临界点集在 \( X \times Y \) 上的投影. 微局部地, \( {WF}\left( {Au}\right) \subset W{F}^{\prime }\left( {K}_{A}\right) \circ {WF}\left( u\right) \) .
关于傅里叶积分算子的 \( {H}^{s} \) 有界性有如下结果: 如果 \( A \) 是 \( m \) 阶傅里叶积分算子,且映射 \( {\Lambda }_{\varphi } \rightarrow \) \( {T}^{ * }\left( X\right) \) 是局部微分同胚,那么 \( A \) 拓广为有界算子: \( {H}_{\text{comp }}^{s}\left( Y\right) \rightarrow {H}_{\text{loc }}^{s - m}\left( X\right) \) . 上述条件: \( {\Lambda }_{\varphi } \rightarrow {T}^{ * }\left( X\right) \) 是一个充分条件. 已有结果表明它可减弱. 另外, 关于傅里叶积分算子在 \( {L}^{p} \) 及别索夫空间上的有界性也有讨论.
傅里叶积分算子的下述性质特别引人注目: 设 \( A \) 是具非退化位相 \( \varphi \left( {x, y,\theta }\right) \) 的傅里叶积分算子. 若由 \( \varphi \) 得出的拉格朗日流形
\[
{\Lambda }_{\varphi }^{\prime } = \left\{ {\left( {x, y;{\varphi }_{x} - {\varphi }_{y}}\right) \mid {\varphi }_{\theta } = 0}\right\}
\]
是一个 \( {T}^{ * }\left( X\right) \rightarrow {T}^{ * }\left( Y\right) \) 的局部微分同胚 \( \tau \) ,使得 \( \tau \) 在 \( {T}^{ * }\left( X\right) \times {T}^{ * }\left( Y\right) \) 上的图象恰为 \( {\Lambda }_{\Phi }^{\prime } \) ,则 \( \tau \) 必为典则变换 (保持哈密顿场不变). 对于上面提到过的特例: 位相为 \( s\left( {x,\theta }\right) \) 且 \( \left( {s}_{x\theta }\right) \) 满秩时的傅里叶积分算子,此典则变换 \( \tau \) 为 \( \left( {x,{s}_{x}}\right) \rightarrow \left( {{s}_{\eta },\eta }\right) \) . 反之,由于一个齐次典则变换 \( \tau : \left( {x,\xi }\right) \rightarrow \left( {y,\eta }\right) \) 必可由一个正齐一次生成函数 \( s\left( {x,\eta }\right) \) 所确定的变换和一个由底空间上变换所诱导的变换复合而成. 用此 \( s\left( {x,\eta }\right) \) 就可构作 “惟一”的傅里叶积分算子. 这样, 通过拉格朗日流形, 将傅里叶积分算子与典则变换建立了对应的联系. 由此出发可以导出许多有意义的性质, 并且可以建立整体傅里叶积分算子概念.
在应用上, 傅里叶积分算子在处理双曲问题中有突出的作用; 它在大范围分析中也有广泛的应用; 尤其是, 通过叶戈罗夫定理可对拟微分算子研究微局部化简问题. 关于具复位相的傅里叶积分算子理论已经形成并有许多应用.
叶戈罗夫定理 (Egoroff theorem) 傅里叶积分算子理论中的一个重要定理. 设 \( F, G \) 是 \( X, Y \) 上两个傅里叶积分算子. 用 \( {WF}\left( {F - G}\right) \) 表示 \( F - G \) 所对应的核的波前集. 对于点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{\xi }_{0},{\eta }_{0}}\right) \in \) \( {T}^{ * }\left( X\right) \times {T}^{ * }\left( Y\right) \) ,若它不属于 \( {WF}\left( {F - G}\right) \) ,则称 \( F \) 与 \( G \) 在该点微局部相等,记为 \( F\overset{m}{ \sim }G \) . 设 \( F \) 由
\[
{Fu}\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}s\left( {x,\eta }\right) }a\left( {x,\eta }\right) \widehat{u}\left( \eta \right) \overline{\mathrm{d}}\eta
\]
确定. 若在 \( \left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) \) 处 \( a\left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) \neq 0 \) ,则称 \( \left( {{x}_{0},{s}_{\eta }\left( {x}_{0}\right. }\right. \) , \( \left. {\eta }_{0}\right) ;{s}_{x}\left( {{x}_{0},{\eta }_{0}}\right) ,{\eta }_{0}) \) 为 \( F \) 的椭圆点. 记 \( \tau : \left( {x,\xi }\right) \rightarrow (y \) , \( \eta ) \) 是与 \( F \) 相联系的典则变换. 若在典则变换图象上的点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{\xi }_{0},{\eta }_{0}}\right) \) 处 (从而 \( \tau \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) = \left( {{y}_{0},{\eta }_{0}}\right) \) ) \( {F}^{ * }F\overset{m}{ \sim }I \) (故 \( {F}^{ * }\overset{m}{ \sim }{F}^{-1} \) ),且此点为 \( F \) 的椭圆点,则称 \( F \) 在该点是酉的.
叶戈罗夫定理断言: 设 \( F \) 是如上的傅里叶积分算子, \( \tau \) 是与它相联系的典则变换 \( \left( {x,\xi }\right) \rightarrow (y \) , \( \eta ) \) . 若 \( F \) 在 \( \tau \) 的图象上点 \( \left( {{x}_{0},{y}_{0},{\xi }_{0},{\eta }_{0}}\right) \) 处是酉的, 而 \( P \) 是 \( X \) 上适当可支的拟微分算子,则在该点附近的拟微分算子 \( {F}^{-1}{PF} \) 的主象征 \( q\left( {y,\eta }\right) \) 在此点邻域内是 \( P \) 的主象征 \( p\left( {x,\xi }\right) \) 通过 \( \tau \) 的后拉,即 \( p\left( {x,\xi }\right) = q\left( {y\left( {x,\xi }\right) ,\eta \left( {x,\xi }\right) }\right) \) . 上述定理仅是叶戈罗夫定理的微局部形式, 它还有多种变形.
微局部分析 (microlocal analysis) 是偏微分方程算子理论中的一个重要的研究领域. 在拟微分算子及傅里叶积分算子理论中, 常将所论问题化为对相应的象征 (及位相) 的处理, 而这样也就将问题放到余切丛上 \( \left( {\left( {x,\xi }\right) \in {T}^{ * }\left( X\right) }\right) \) . 实际上,现代微分算子理论是傅里叶分析的发展, 而傅里叶分析就是一种谱分析 (频谱分析), 这种频谱所在区域就是余切丛.
还有许多问题必须放到余切丛上分析. 例如, 按维纳-佩利-施瓦兹定理, 一个函数或分布的正则性可用它的傅里叶变换在无穷远处的增长性来确定; 而一个多元函数 (分布) 在各个方向的光滑性又对应着余切丛上纤维的各个锥向的增长情况. 根据这个思想,可定义 \( {C}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{\alpha } \) 及 \( {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{s} \) 等微局部空间. 这里,空间 \( {C}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{\alpha } \) 是指: \( u \in {C}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{\alpha } \) 表示存在 \( \varphi \in \) \( {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,它在 \( {x}_{0} \) 处附近为 1,使得在 \( {\xi }_{0} \) 的锥邻域 \( {\varphi u} \) \( \in {C}^{\alpha } \) ; 或存在零次 \( \psi \left( \xi \right) \) ,它在 \( {\xi }_{0} \) 锥邻域内为 1,使得 \( \psi \left( D\right) \left( {\varphi u}\right) \in {C}^{\alpha } \) . 类似地, \( u \in {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{s} \) 是指对如上 \( \psi \) 及 \( \varphi \) ,有 \( {\left( 1 + \left| \xi \right| \right) }^{s}\psi \left( \xi \right) \left( {\varphi u}\right) \in {L}^{2} \) . 还可定义 \( {WF}\left( u\right) \) 及 \( W{F}_{s}\left( u\right) \) 等奇性集. 这里,所谓 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \in \) \( {WF}\left( u\right) \) 是指 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) ( \( \xi \in {C}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{\infty } \) ; 或对如上的 \( \varphi \left( x\right) \) 及任意 \( N \) ,在 \( {\xi }_{0} \) 锥邻域内有 \( \left| {{\varphi u}\left( \xi \right) }\right| \leq {C}_{N}(1 \) \( + {\left. \left| \xi \right| \right) }^{-1} \) . 这样可定义 \( W{F}_{s}\left( u\right) \) 为 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) é \( W{F}_{s}\left( u\right) \) 是指
\[
\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \in {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{s}.
\]
根据具体问题的需要, 须建立这些空间及奇性集的运算规则 (在 “拟微分算子”、“傅里叶积分算子”等条目中已见到其中一些规则).
下面介绍波前集与特征集之间的关系. 设 \( A \) 是以 \( a\left( {x,\xi }\right) \in {S}_{\rho ,\delta }^{m}\left( {X \times {\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 为象征的拟微分算子. 它的特征集
\[
\operatorname{char}A = \left\{ {\left( {x,\xi }\right) \in {T}^{ * }\left( X\right) \mid \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{\left( 1 + t\right) }^{-m}}\right.
\]
\[
\text{-}\left| {a\left( {x,{t\xi }}\right) }\right| = 0\} \text{.}
\]
众所周知, 特征集在微分算子理论中起着十分重要的作用. 它和波前集之间关系由下式给出:
\[
{WF}\left( u\right) = \mathop{\bigcap }\limits_{{{Au} \in {C}^{\infty }}}\operatorname{char}A,
\]
其中 \( A \) 为零阶拟微分算子. 对一般拟微分算子 \( A \) 有 \( {WF}\left( u\right) \subset {WF}\left( {Au}\right) \cup \operatorname{char}A \) . 这表示,方程 \( {Au} \) \( = f \) 的解为 \( {C}^{\infty } \) 奇性分布在非齐次项 \( f \) 的奇性所在处及特征集处. 赫尔曼德尔 (Hörmander, L. V. ) 又深化了此结果. 他证明了若 \( A \) 是具实齐次主象征 \( {a}_{0}\left( {x,\xi }\right) \) 的主型算子 (由特征点出发的哈密顿场 \( {H}_{{a}_{0}} \) 不与锥轴平行). 注意,此时特征集即 \( \{ \left( {x,\xi }\right) \mid \) \( \left. {{a}_{0}\left( {x,\xi }\right) = 0}\right\} \) ,则 \( {WF}\left( u\right) \smallsetminus {WF}\left( {Au}\right) \subset {a}_{0}^{-1}\left( 0\right) \) 且在哈密顿场 \( {H}_{{a}_{0}} \) 作用下不变,也就是奇性沿着 \( {a}_{0}^{-1}\left( 0\right) \) 上的次特征带传播. 这个结果投影到底空间 \( X \) 上就是经典的结果. 在 \( {H}^{s} \) 空间内,上述结果可精确地表示为: 在上述假设下,若在次特征带上一段 \( \gamma \) 上 \( {Pu} \in {H}^{s}\left( {P \in \mathrm{{OP}}\left( {S}_{1,0}^{m}\right) }\right) \) ,只要在 \( \gamma \) 上一点处 \( u \in \) \( {H}^{s + m - 1} \) ,则在整个 \( \gamma \) 上 \( u \in {H}^{s + m - 1} \) .
邦尼 (Bony, J. M. ) 利用仿微分算子理论更将上述结果推广到主型的非线性微分方程上: 设 \( u \) 是 \( m \) 阶主型非线性微分方程的实解, \( u \in {H}_{\mathrm{{loc}}}^{s}\left( X\right), s > \) \( n/2 + m + 2,\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 是特征点, \( \gamma \) 为过 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 的次特征, \( u \in {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{t}, t \leq \left( {{2s} - n}\right) /\left( {2 - m - 1}\right) \) ,则 \( u \in \) \( {H}_{\gamma }^{t} \) . 此结果称为低频情况下非线性弱奇性的传播定理. 利用微局部分析, 还可得许多种类的奇性传播结果. 它们有一个共性, 那就是弱奇性按次特征带传播 (非线性情况下则较复杂).
同样, 微局部分析解的光滑性 (例如椭圆方程解的光滑性) 可以得到比经典更为精确的结果 (例如亚椭圆性的研究、次椭圆算子的讨论等). 近年来, 已开始应用微局部分析讨论强奇性传播 (激波) 问题.
有许多问题用微局部分析处理将带来相当的优越性. 例如讨论现代微分算子的有界性时, 傅里叶谱分析方法有时并不有效. 这是因为它对代数显得过分敏感, 而对几何则反应不足. 此时, 人们常用李特尔伍德-佩利分解辅助. 这种分解在余切丛上有十分好的几何特征. 近年来, 在处理某些非线性问题时还在李特尔伍德-佩利分解基础上加进了测不准原理, 构成更加精细的微局部分解.
微局部化简是微局部分析中又一个十分优越的长处. 它以叶戈罗夫定理为基础. 例如主型拟微分算子用微局部化简方法可微局部等价于算子 \( {D}_{n} \) . 为讨论重特征算子,微局部化简更为需要. 在非线性问题中, 还出现了多次微局部化简.
总之, 微局部分析在处理线性及非线性问题中发挥了重要作用. 它不但深化了经典的结果, 而且提出了许多新的课题, 并且这些课题用经典方法无法处理. 因此, 这个方法在其初具规模时就被费弗曼 (Fefferman, C. ) 誉为 “ (20 世纪) 70 年代算法”.
仿积 (paraproduct) 将乘积 \( {uv} \) 化为线性部分 |
2000_数学辞海（第3卷） | 110 | \( u \in {H}_{\mathrm{{loc}}}^{s}\left( X\right), s > \) \( n/2 + m + 2,\left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 是特征点, \( \gamma \) 为过 \( \left( {{x}_{0},{\xi }_{0}}\right) \) 的次特征, \( u \in {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{t}, t \leq \left( {{2s} - n}\right) /\left( {2 - m - 1}\right) \) ,则 \( u \in \) \( {H}_{\gamma }^{t} \) . 此结果称为低频情况下非线性弱奇性的传播定理. 利用微局部分析, 还可得许多种类的奇性传播结果. 它们有一个共性, 那就是弱奇性按次特征带传播 (非线性情况下则较复杂).
同样, 微局部分析解的光滑性 (例如椭圆方程解的光滑性) 可以得到比经典更为精确的结果 (例如亚椭圆性的研究、次椭圆算子的讨论等). 近年来, 已开始应用微局部分析讨论强奇性传播 (激波) 问题.
有许多问题用微局部分析处理将带来相当的优越性. 例如讨论现代微分算子的有界性时, 傅里叶谱分析方法有时并不有效. 这是因为它对代数显得过分敏感, 而对几何则反应不足. 此时, 人们常用李特尔伍德-佩利分解辅助. 这种分解在余切丛上有十分好的几何特征. 近年来, 在处理某些非线性问题时还在李特尔伍德-佩利分解基础上加进了测不准原理, 构成更加精细的微局部分解.
微局部化简是微局部分析中又一个十分优越的长处. 它以叶戈罗夫定理为基础. 例如主型拟微分算子用微局部化简方法可微局部等价于算子 \( {D}_{n} \) . 为讨论重特征算子,微局部化简更为需要. 在非线性问题中, 还出现了多次微局部化简.
总之, 微局部分析在处理线性及非线性问题中发挥了重要作用. 它不但深化了经典的结果, 而且提出了许多新的课题, 并且这些课题用经典方法无法处理. 因此, 这个方法在其初具规模时就被费弗曼 (Fefferman, C. ) 誉为 “ (20 世纪) 70 年代算法”.
仿积 (paraproduct) 将乘积 \( {uv} \) 化为线性部分与光滑性更高的函数之和的一种算子. 仿积概念由科伊夫曼 (Coifman, R. R. ) 与迈耶 (Meyer, W. ) 引进. 邦尼 (Bony, J. M. ) 则用来处理非线性微分方程问题. 设 \( u, v \in {H}^{s} \) 或 \( {C}^{\rho } \) . 它们有李特尔伍德-佩利二进分解:
\[
u = \mathop{\sum }\limits_{{j = - 1}}^{\infty }{u}_{j},\;v = \mathop{\sum }\limits_{{k = - 1}}^{\infty }{v}_{k}.
\]
于是
\[
{uv} = \mathop{\sum }\limits_{{j, k = - 1}}^{\infty }{u}_{j}{v}_{k}
\]
按 \( j, k \) 的相对位置改写此和式如下:
\[
{uv} = {T}_{u}v + {T}_{v}u + R\left( {u, v}\right) ,
\]
其中
\[
{T}_{u}v = \mathop{\sum }\limits_{{j \leq k - {N}_{0}}}{u}_{j}{v}_{k},{T}_{v}u = \mathop{\sum }\limits_{{k \leq j - {N}_{0}}}{u}_{j}{v}_{k},
\]
\[
R\left( {u, v}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| {j - k}\right| < {N}_{0}}}{u}_{j}{v}_{k}
\]
选 \( {N}_{0} \) 适当大,使得
\[
{T}_{u}v = \mathop{\sum }\limits_{{k = - 1}}^{\infty }{w}_{k}\left( {{w}_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{j \leq k - {N}_{0}}}{u}_{j}{v}_{k}}\right)
\]
也是一个李特尔伍德-佩利二进分解, 并且可以证明,只要 \( u \in {L}^{\infty } \) ,则线性算子 \( {T}_{u} : v \rightarrow {T}_{u}v \) 有 \( {C}^{\rho } \rightarrow \) \( {C}^{\rho },{H}^{s} \rightarrow {H}^{s} \) ,且
\[
{H}_{{x}_{0}}^{s} \cap {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{{s}^{\prime }} \rightarrow {H}_{{x}_{0}}^{s} \cap {H}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{{s}^{\prime }}
\]
\[
{C}_{{x}_{0}}^{\rho } \cap {C}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{{\rho }^{\prime }} \rightarrow {C}_{{x}_{0}}^{\rho } \cap {C}_{\left( {x}_{0},{\xi }_{0}\right) }^{{\rho }^{\prime }}.
\]
由对称性,线性算子 \( {T}_{v} \) 有同样性质. 而当 \( \alpha + \beta > 0 \) \( \left( {s + t > n/2}\right) \) 时 \( R : \left( {u, v}\right) \rightarrow R\left( {u, v}\right) \) 有
\[
{C}^{\alpha } \times {C}^{\beta } \rightarrow {C}^{\alpha + \beta }\left( {{H}^{s} \times {H}^{t} \rightarrow {H}^{s + t}}\right) .
\]
这样一来,乘积 \( {uv} \) 可用 \( {T}_{u}v + {T}_{v}u \) 代替,而误差项 \( R\left( {u, v}\right) \) 是光滑性更高的函数. 如此得到的 \( {T}_{u}v \) 及 \( {T}_{v}u \) 称为仿积,而 \( {T}_{u} \) 及 \( {T}_{v} \) 称为仿积算子.
仿积算子 (paraproduct operator) 见 “仿积”.
仿微分算子 (para-differential operator) 现代偏微分方程理论中一类很重要的算子, 是拟微分算子的一种推广. 设 \( l\left( {x,\xi }\right) \) 是 \( \xi \) 的 \( m \) 次齐函数,当 \( \xi \neq 0 \) 时关于 \( \xi \) 为 \( {C}^{\infty } \) ,且对任意 \( \alpha ,{\partial }_{\xi }^{\alpha }l\left( {x,\xi }\right) \) 关于 \( x \) 属于 \( {C}^{\rho }\left( {\rho > 0}\right) \) ,则它有球调和分解
\[
l\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{\gamma }{a}_{\gamma }\left( x\right) {h}_{\gamma }\left( \xi \right) ,
\]
其中 \( {a}_{\gamma }\left( x\right) \in {C}^{\rho },{h}_{\gamma }\left( \xi \right) \) 为 \( m \) 次齐次且当 \( \xi \neq 0 \) 时为 \( {C}^{\infty } \) . 做 \( {T}_{l} \) :
\[
{T}_{l}u = \mathop{\sum }\limits_{\gamma }{T}_{{a}_{\gamma }}{h}_{\gamma }\left( D\right) S\left( D\right) u,
\]
其中 \( S\left( \xi \right) \in {C}^{\infty } \) ,在 \( \left| \xi \right| \leq R/2 \) 上为 0,而当 \( \left| \xi \right| \geq \) \( {3R}/2 \) 为 1 . 由上式确定的算子 \( {T}_{l} \) 在 \( {\;\operatorname{mod}\;\left( {\rho - m}\right. } \) 正则算子) 下不依赖于仿积 \( {T}_{{a}_{\gamma }} \) 的具体取法及 \( S\left( \xi \right) \) 的具体选取. 称它为以 \( l \) 为象征的仿微分算子. 考察由下式确定的算子 \( {T}_{l}^{\prime } \) :
\[
{\widehat{T}}_{l}^{\prime }u\left( \xi \right) = \int \chi \left( {\xi - \eta ,\eta }\right) \widehat{l}\left( {\xi - \eta ,\eta }\right) \widehat{u}\left( \eta \right) \mathrm{d}\eta ,
\]
其中 \( \widehat{l}\left( {\theta ,\eta }\right) \) 是 \( l\left( {x,\eta }\right) \) 的关于 \( x \) 的傅里叶变换. \( \chi \left( {\xi ,\eta }\right) \in {C}^{\infty } \) 满足
\[
\chi \left( {\xi ,\eta }\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {\left| \xi \right| \leq {\varepsilon }_{1}\left| \eta \right| ,\left| \eta \right| \geq {2R}}\right) , \\ 0 & \left( {\left| \xi \right| \geq {\varepsilon }_{2}\left| \eta \right| }\right) . \end{array}\right.
\]
其中 \( 0 < {\varepsilon }_{1} < {\varepsilon }_{2} < 1, R > 0 \) ,则同样在 \( {\;\operatorname{mod}\;\left( {\rho - m}\right. } \) 正则算子)下, \( {T}_{l}^{\prime } \) 不依赖于 \( \chi \) 的具体选取, \( {T}_{l} - {T}_{l}^{\prime } \) 也是一个 \( \rho - m \) 正则算子. 于是,忽略 \( \rho - m \) 正则算子后, \( {T}_{l}^{\prime } \) 也可视为仿微分算子的定义,且统记为 \( {T}_{l} \) . \( \chi \left( {\xi ,\eta }\right) \) 称为仿截函数. 如像拟微分算子理论中可忽略一个 \( {C}^{\infty } \) 光滑算子那样,在仿微分算子理论中可忽略一个 \( \rho - m \) 正则算子.
若在仿微分算子的上述积分式定义中, \( \chi \) 换成 1 , 则它恰为拟微分算子的定义. 因此, 仿微分算子是拟微分算子的一种“修正”, 这样“修正”的原因可从级数定义中看出. 事实上, 若在级数定义中仿积 \( {T}_{{a}_{\gamma }} \) 换成乘积 \( {a}_{\gamma } \) ,由此再次得到拟微分算子. 注意到拟微分算子理论中系数必须是 \( {\mathrm{C}}^{\infty } \) ,故这种 “修正” 来源于此处 \( {a}_{v}\left( x\right) \) 或 \( l\left( {x,\xi }\right) \) 关于 \( x \) 不属于 \( {\mathrm{C}}^{\infty } \) . 其直接结果不能保证在 \( {H}^{s} \) 等空间上的有界性. 而由上定义的仿微分算子 \( {T}_{l} \) 却有 \( {H}^{s} \rightarrow {H}^{s - m} \) 及 \( {\mathrm{C}}^{\sigma } \rightarrow \) \( {C}^{\sigma - m} \) ,其实,将仿微分算子的积分定义做适当改写, 可知它是属于 \( \mathrm{{OP}}\left( {S}_{1,1}^{m}\right) \) 的拟微分算子,且其象征 \( a\left( {x,\xi }\right) \) 关于 \( x \) 的傅里叶变换 \( \widehat{a}\left( {\eta ,\xi }\right) \) 的支集含在 \( \{ \left( {\eta ,\xi }\right) \left| \right| \eta \left| { \leq \varepsilon }\right| \xi \mid \} \) 之中,从而有上述有界性结果. 但是由于这是 \( \left( {1,1}\right) \) 型的,其象征无渐近展开及象征运算等, 因此在处理具体问题时不能将仿微分算子理论完全化为拟微分算子理论, 而必须建立一套独立的仿微分算子的象征理论. 尽管如此, 仿微分算子理论毕竟是拟微分算子理论的某种延伸, 它们之间有许多相似及借鉴之处.
代替渐近展开, 总可以认为仿微分算子的象征 \( l\left( {x,\xi }\right) \) 为如下形式的有限项之和
\( l\left( {x,\xi }\right) = {l}_{m}\left( {x,\xi }\right) + {l}_{m - 1}\left( {x,\xi }\right) + \cdots + {l}_{m - \left\lbrack \rho \right\rbrack }\left( {x,\xi }\right) , \)
其中 \( {l}_{m - k}\left( {x,\xi }\right) \) 关于 \( \xi \) 为 \( m - k \) 次齐次, \( \xi \neq 0 \) 时为 \( {C}^{\infty } \) ,关于 \( x \) 属于 \( {C}_{\text{loc }}^{\rho - k} \) ,记此象征类为 \( {\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) \) .
对应此象征类的仿微分算子空间 \( \mathrm{{OP}}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) \) (或 \( \left. {\widetilde{\mathrm{{OP}}}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) }\right) \) 定义为: 设线性算子 \( L : {C}_{0}^{\infty }\left( X\right) \rightarrow {\mathcal{D}}^{\prime }\left( X\right) \) 是一个适当可支的, 且满足如下条件: 对任一紧集 \( K \subset X,\psi \left( x\right) \in {C}_{0}^{\infty } \) ,且在 \( K \) 上为 1,则 \( {Lu} - \psi {T}_{\psi l}u \) 为连续线性映射:
\[
{H}^{s}\left( K\right) \rightarrow {H}^{s - m + \rho }\text{ (或 }{C}^{\sigma }\left( K\right) \rightarrow {C}^{\sigma - m + \rho }\text{ ),}
\]
则称 \( L \) 为以 \( l \) 为象征的仿微分算子,记为 \( L \in \) \( \mathrm{{OP}}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) \) (或 \( \widetilde{\mathrm{{OP}}}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) \) ). 在这个定义中已经摒弃那个可忽略的 \( \rho - m \) 正则算子.
由于仿微分算子是一种新型的算子, 必须重新建立一整套理论. 在建立这个理论时可随时借鉴于拟微分算子理论, 并可建立许多可对应于拟微分算子理论中的有意义的性质.
由于仿微分算子的特性, 它在处理系数不光滑的变系数线性微分方程时将发挥作用, 尤其是邦尼 (Bony, J. M. ) 通过仿线性化方法将它应用到非线性问题之中. 近年来, 大量研究成果表明, 用仿微分算子理论讨论非线性问题特别是光滑性或奇性方面的问题将有很大的潜力.
仿微分算子的象征 (symbols of paradifferen-tial operators) 确定仿微分算子的一个映射, 它是一个线性连续满映射. 由定义,对 \( L \in \) \( \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) }\right) \) ,存在惟一的象征 \( l \in {\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) \) . 进而可知映射 \( L \rightarrow \sigma \left( L\right) = l \) 是 \( \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) }\right) \rightarrow {\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) \) 的满射,且其核是由 \( {H}_{\mathrm{{loc}}}^{s}\left( X\right) \rightarrow {H}_{\mathrm{{loc}}}^{s - m + \rho }\left( X\right) \) 的连续线性映射. 对于 \( \widetilde{\mathrm{{OP}}}\left( {{\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) }\right) \) 有相应的结论. 由此可定义仿微分算子的象征为上述 \( \sigma \left( L\right) \) . 它的首项称为主象征. 与拟微分算子不同的是,对于同一个 \( L \) 在将它看成具不同指标 \( \rho \) 的 \( \mathrm{{OP}}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) \) 中的元素时,它所对应的象征 \( \sigma \left( L\right) \) 不同. 因为 \( \rho \) 取得小时,需要从 \( l\left( {x,\xi }\right) \) 的展开式中舍去一些低次项. 由于 \( \operatorname{OP}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) \)
定义中的元 \( L \) 是适当可支的,从而可进行复合及共轭等运算. 即, 若
\[
{L}_{j} \in \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{{m}_{j}}\left( X\right) }\right) \left( {j = 1,2}\right) ,
\]
则
\[
{L}_{1} \circ {L}_{2} \in \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{{m}_{1} + {m}_{2}}\left( X\right) }\right) ,
\]
且 \( \sigma \left( {{L}^{1} \circ {L}^{2}}\right) = \sigma \left( {L}^{1}\right) \# \sigma \left( {L}^{2}\right) \) . 又若 \( L \in \) \( \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) }\right) \) ,则 \( {L}^{ * } \in \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) }\right) \) ,且 \( \sigma \left( {L}^{ * }\right) = \) \( {\left( \sigma \left( L\right) \right) }^{ * } \) . 其中 “#” 和 “* ” 的象征运算分别为:
\[
{l}_{1}\# {l}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| + {k}_{1} + {k}_{2} \leq \left\lbrack \rho \right\rbrack }}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{\left( {l}_{1}\right) }_{{m}_{1} - {k}_{1}}{D}_{x}^{\alpha }{\left( {l}_{2}\right) }_{{m}_{2} - {k}_{2}},
\]
\[
{l}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| + k \leq \left\lbrack \rho \right\rbrack }}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{D}_{x}^{\alpha }{\bar{l}}_{m - k}.
\]
诚如拟微分算子中那样, 存在各种形式的仿微分算子的象征, 它们适合各种具体问题的需要. 例如也可用微分不等式代替关于 \( \xi \) 的齐次性等. 鲍克麦尔 (Boulkhemair, A. ) 更考察了多种象征类, 它们各有特色, 有的在微分同胚下不变, 有的在典则变换下保持稳定 (从而可与傅里叶积分算子复合).
仿线性化 (paralinearization) 对于非线性函数 \( F\left( {x, y}\right) \) 进行线性化,使其成为仿积与具更高正则性余项之和的方法. 设 \( F\left( {x, y}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^ |
2000_数学辞海（第3卷） | 111 | }\right) \) ,则 \( {L}^{ * } \in \operatorname{OP}\left( {{\sum }_{\rho }^{m}\left( X\right) }\right) \) ,且 \( \sigma \left( {L}^{ * }\right) = \) \( {\left( \sigma \left( L\right) \right) }^{ * } \) . 其中 “#” 和 “* ” 的象征运算分别为:
\[
{l}_{1}\# {l}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| + {k}_{1} + {k}_{2} \leq \left\lbrack \rho \right\rbrack }}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{\left( {l}_{1}\right) }_{{m}_{1} - {k}_{1}}{D}_{x}^{\alpha }{\left( {l}_{2}\right) }_{{m}_{2} - {k}_{2}},
\]
\[
{l}^{ * } = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| + k \leq \left\lbrack \rho \right\rbrack }}\frac{1}{\alpha !}{\partial }_{\xi }^{\alpha }{D}_{x}^{\alpha }{\bar{l}}_{m - k}.
\]
诚如拟微分算子中那样, 存在各种形式的仿微分算子的象征, 它们适合各种具体问题的需要. 例如也可用微分不等式代替关于 \( \xi \) 的齐次性等. 鲍克麦尔 (Boulkhemair, A. ) 更考察了多种象征类, 它们各有特色, 有的在微分同胚下不变, 有的在典则变换下保持稳定 (从而可与傅里叶积分算子复合).
仿线性化 (paralinearization) 对于非线性函数 \( F\left( {x, y}\right) \) 进行线性化,使其成为仿积与具更高正则性余项之和的方法. 设 \( F\left( {x, y}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 上的 \( {C}^{ \circ } \) 函数, \( x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n}, y = \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {y}_{N}\right) \in {\mathrm{R}}^{N} \) ,且它的各阶导数在 \( K \) 上有界, \( K \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \times \) \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的任意紧集,则对实 \( {u}^{j}\left( x\right) \in {C}^{\rho }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) (\rho > 0, j \) \( = 1,2,\cdots, N) \) ,有
\[
F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},{u}^{1}\left( x\right) ,{u}^{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}^{N}\left( x\right) }\right)
\]
\[
= \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{N}{T}_{\frac{\partial F}{\partial {y}_{j}}\left( {x,{u}^{1}\left( x\right) ,{u}^{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}^{N}\left( x\right) }\right) }{u}^{j}\left( x\right) + R\left( x\right) ,
\]
其中 \( R\left( x\right) \in {C}^{2\rho }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 又若 \( {u}^{j}\left( x\right) \in {H}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) (s > \) \( n/2) \) ,则 \( R\left( x\right) \in {H}^{{2s} - \frac{n}{2}}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) .
上述结果表明,对非线性函数 \( F\left( {x, y}\right) \) 可用上述一种特殊的线性化方法化成仿积及正则性更高的余项之和. 这种线性化方法称为仿线性化. 在处理具体问题时还可出现各种不同的仿线性化形式. 利用上述仿线性化, 可以将非线性微分方程经过线性化而用仿微分算子来表示. 考察 \( m \) 阶完全非线性微分方程
\[
F{\left( x, u,\cdots ,{\partial }^{\beta }u,\cdots \right) }_{\left| \beta \right| \leq m} = 0.
\]
设 \( F \) 关于它的自变量为 \( {C}^{\infty } \) . 记 \( N \) 为上述 \( \beta \) 取遍 \( \left| \beta \right| \leq m \) 的全体的个数. 设 \( F \) 及各阶导数在紧集 \( K \) \( \subset {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 上有界. 又设 \( u\left( x\right) \) 是方程的 \( {C}^{\rho + m} \) 实解, \( \rho \) \( > 0 \) (或 \( {H}^{s + m}, s > n/2 \) ),则用上述仿线性化可将方程化为 \( {Pu} = R\left( x\right) \) . 此处 \( R\left( x\right) \in {C}^{2\rho } \) (或 \( {H}^{{2S} - n/2} \) ),
\[
P = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| \leq m}}{T}_{\frac{\partial F}{\partial {y}_{\beta }}\left( {x,\cdots {\partial }^{\beta }u\left( x\right) ,\cdots }\right) }{\partial }^{\beta } \in \operatorname{OP}\left( {\sum }_{\rho }^{m}\right) .
\]
它的主象征是
\[
{p}_{m}\left( {x,\xi }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| \beta \right| = m}}\frac{\partial F}{\partial {y}_{\beta }}\left( {x,\cdots ,{\partial }^{\beta }u\left( x\right) ,\cdots }\right) {\left( \mathrm{i}\xi \right) }^{\beta }.
\]
当方程为拟线性或半线性时, \( u\left( x\right) \) 的光滑性可减弱, \( R\left( x\right) \) 的光滑性可提高. 这样,非线性微分方程问题就归结为仿微分方程的问题了.
仿傅里叶积分算子 (para-Fourier integral operators) 现代微分算子理论中的一种重要的算子. 设 \( h\left( {x,\eta }\right) \in {C}^{\rho + 1}\left( {{\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{n}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \) 是关于 \( \eta \) 为正齐一次的实函数,且它具非异的黑塞矩阵, \( \rho > 0 \) ,所以 \( h\left( {x,\eta }\right) = \left\langle {\eta ,{h}_{\eta }\left( {x,\eta }\right) }\right\rangle \) . 取 \( {h}_{\eta }\left( {x,\eta }\right) \) 的李特尔伍德- 佩利分解,且限制于 \( {S}^{n - 1} \) 上,然后对 \( \eta \) 进行零次延拓, 可得
\[
{h}_{\eta }\left( {x,\eta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = - 1}}^{\infty }{H}_{k}{}^{\prime }\left( {x,\eta }\right) .
\]
令 \( {H}_{k}\left( {x,\eta }\right) = \left\langle {\eta ,{H}_{k}{}^{\prime }\left( {x,\eta }\right) }\right\rangle \) ,它关于 \( \eta \) 为正齐一次,且是 \( {C}^{\infty } \) 函数. 故
\[
h\left( {x,\eta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = - 1}}^{\infty }{H}_{k}\left( {x,\eta }\right) .
\]
记
\[
{S}_{k}h\left( {x,\eta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = - 1}}^{{k - 1}}{H}_{j}\left( {x,\eta }\right) .
\]
又设 \( u\left( x\right) \) 的李特尔伍德-佩利二进分解为
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = - 1}}^{\infty }{u}_{k}\left( x\right)
\]
做傅里叶积分算子 \( {F}_{k} \) :
\[
{F}_{k}v\left( x\right) = \int {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{S}_{k}h\left( {x,\eta }\right) }a\left( {x,\eta }\right) \widehat{v}\left( \eta \right) \overline{\mathrm{d}}\eta ,
\]
其中 \( a\left( {x,\eta }\right) \in {S}_{1,0}^{m} \) ,且为简单计,设它关于 \( x \) 有紧支集. 于是可定义仿傅里叶积分算子 \( {F}_{\left( p\right) } \) 为
\[
{F}_{\left( p\right) }u = \mathop{\sum }\limits_{{k \geq 0}}{\left\lbrack {F}_{k}{u}_{k}\right\rbrack }_{k},
\]
其中
\[
{\left\lbrack {F}_{k}{u}_{k}\right\rbrack }_{k} = \mathop{\sum }\limits_{{\left| {k - j}\right| \leq N}}{\left( {F}_{k}{u}_{k}\right) }_{j},
\]
而
\[\mathop{\sum }\limits_{{j = - 1}}^{\infty }{\left( {F}_{k}{u}_{k}\right) }_{j}\]
是 \( {F}_{k}{u}_{k} \) 的李特尔伍德-佩利二进分解; 对应的二进环体是 \( \left\{ {\widetilde{C}}_{j}\right\} {.2N} \) 是 \( \left\{ {\widetilde{C}}_{j}\right\} \) 中与 \( {\widetilde{C}}_{k} \) 相交的环体的个数.
\( {F}_{\left( p\right) } \) 在仿微分算子理论中有许多与傅里叶积分算子在拟微分算子理论中相似的性质. 特别地, 也有叶戈罗夫相似性定理. 于是就有可能对仿微分算子进行微局部化简. 用此方法可以再次证明邦尼 (Bony, J. M. ) 的奇性传播定理, 且可给出具有常重特征的非线性的低频情况下弱奇性的传播定理, 从而显示出它在重特征非线性奇性传播中的潜力.
弗雷德霍姆线性积分算子 (Fredholm linear integral operators) 一类重要的线性积分算子, 是 \( n \) 维空间上的线性算子当 \( n \) 变成无穷时的极限
式. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的可测集,
\[
m\left( G\right) \neq 0, k\left( {x, y}\right) : G \times G \rightarrow {\mathrm{R}}^{1}
\]
是可积函数, 则下列形式的算子
\[
{K\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
称为弗雷德霍姆线性积分算子, \( k\left( {x, y}\right) \) 称为 \( K \) 的核. 如果 \( k\left( {x, y}\right) \) 可以表达为
\[
k\left( {x, y}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}\left( x\right) {b}_{i}\left( y\right)
\]
的形式,其中 \( {a}_{i}\left( x\right) \) 和 \( {b}_{i}\left( y\right) \left( {1 \leq i \leq n}\right) \) 都是可积函数, 则相应的线性积分算子称为是具有退化核的线性积分算子.
容易看出, 具有退化核的线性积分算子本质上可以归结为有限维空间上的线性算子, 从而它的性质实质上已在线性代数中被搞清楚了. 弗雷德霍姆线性积分算子的一个重要性质是它可以用具 有退化核的线性积分算子平均逼近. 根据这一性质, 可以把有限维空间上线性算子的性质, 通过极限的方法, 转移到弗雷德霍姆线性积分算子上. 这一方法是研究线性积分方程的重要方法之一.
沃尔泰拉 (Volterra, V. ) 于 1896 -1897 年首先开始了对弗雷德霍姆线性积分算子的研究, 他指出弗雷德霍姆线性积分算子,是 \( n \) 维空间线性算子当 \( n \) 变成无穷时的极限形式. 在这一观点的基础上, 弗雷德霍姆 (Fredholm, (E. ) I. ) 于 1900 年提出了著名的弗雷德霍姆理论, 随后, 经过希尔伯特 (Hilbert, D. )、施密特 (Schmidt, E.) 和里斯 (Riesz, F. ) 等人的工作, 线性积分算子的理论逐渐系统和成熟起来. 正是在这一过程中, 泛函分析的思想和方法被孕育和产生出来, 并最终成为现代数学的一个重要领域.
弗雷德霍姆行列式 (Fredholm determinant) 由弗雷德霍姆线性积分算子的核确定的行列式. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中可测集, \( m\left( G\right) \neq 0, k\left( {x, y}\right) : G \times G \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 连续, 令
\[
{A}_{n} = {\int }_{G}{\int }_{G}\cdots {\int }_{G}\Delta \mathrm{d}{t}_{1}\mathrm{\;d}{t}_{2}\cdots \mathrm{d}{t}_{n},
\]
其中
\[
\Delta = \left| \begin{matrix} k\left( {{t}_{1},{t}_{1}}\right) & k\left( {{t}_{1},{t}_{2}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{1},{t}_{n}}\right) \\ k\left( {{t}_{2},{t}_{1}}\right) & k\left( {{t}_{2},{t}_{2}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{2},{t}_{n}}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k\left( {{t}_{n},{t}_{1}}\right) & k\left( {{t}_{n},{t}_{2}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{n},{t}_{n}}\right) \end{matrix}\right| ,
\]
\( \lambda \) 是复数,则
\[
D\left( \lambda \right) = 1 + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{\lambda }^{n}}{n!}{A}_{n}
\]
称为是 \( k\left( {x, y}\right) \) 的弗雷德霍姆行列式. 弗雷德霍姆行列式 \( D\left( \lambda \right) \) 是 \( \lambda \) 的整函数. \( D\left( \lambda \right) \) 零点的性质对弗雷德霍姆线性积分算子理论有重要意义. 与弗雷德
霍姆行列式密切相关的是弗雷德霍姆第一子式. 令
\[
{B}_{n}\left( {x, y}\right) = {\int }_{G}{\int }_{G}\cdots {\int }_{G}\Delta \mathrm{d}{t}_{1}\mathrm{\;d}{t}_{2}\cdots \mathrm{d}{t}_{n},
\]
其中
\[
\Delta = \left| \begin{matrix} k\left( {x, y}\right) & k\left( {x,{t}_{1}}\right) & \cdots & k\left( {x,{t}_{n}}\right) \\ k\left( {{t}_{1}, y}\right) & k\left( {{t}_{1},{t}_{1}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{1},{t}_{n}}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k\left( {{t}_{n}, y}\right) & k\left( {{t}_{n},{t}_{1}}\right) & \cdots & k\left( {{t}_{n},{t}_{n}}\right) \end{matrix}\right| ,
\]
则称
\( D\left( {x, y;\lambda }\right) = {\lambda k}\left( {x, y}\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{\lambda }^{n + 1}}{n!}{B}_{n}\left( {x, y}\right) \)
为 \( k\left( {x, y}\right) \) 的弗雷德霍姆第一子式. 它在线性积分算子的研究中起重要作用. 弗雷德霍姆行列式和弗雷德霍姆第一子式的概念, 都是弗雷德霍姆 (Fredholm, (E. )I. ) 于 1900 年提出的.
弗雷德霍姆理论 (Fredholm theory) 关于线性积分算子的基本理论之一. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中具有非零测度的可测集, \( k\left( {x, y}\right) : G \times G \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 连续, \( D\left( \lambda \right) \) 是 \( k\left( {x, y}\right) \) 的弗雷德霍姆行列式, \( D\left( {x, y;\lambda }\right) \) 是 \( k\left( {x, y}\right) \) 的弗雷德霍姆第一子式, \( K \) 是由 \( k\left( {x, y}\right) \) 确定的弗雷德霍姆线性积分算子, 即
\[
{K\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
弗雷德霍姆理论由下列三个基本定理组成:
弗雷德霍姆第一定理. 若 \( D\left( \lambda \right) \neq 0 \) ,则方程
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
对任给的连续函数 \( f\left( x\right) \) ,都有惟一连续解,且该解可以表为
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + {\int }_{G}\frac{D\left( {x, y;\lambda }\right) }{D\left( \lambda \right) }f\left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
弗雷德霍姆第二定理. 若 \( D\left( \lambda \right) = 0 \) ,则必存在某正整数 \( r \) (称为是 \( \lambda \) 的指数),使得
\[
u\left( x\right) = \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
有 \( r \) 个线性无关的连续解,并且它的任何连续解都可以表为这 \( r \) 个线性无关解的线性组合.
弗雷德霍姆第三定理. 若 \( D\left( \lambda \right) = 0,\lambda \) 的指数为 \( r \) ,则
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \m |
2000_数学辞海（第3卷） | 112 | ( k\left( {x, y}\right) \) 的弗雷德霍姆第一子式, \( K \) 是由 \( k\left( {x, y}\right) \) 确定的弗雷德霍姆线性积分算子, 即
\[
{K\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
弗雷德霍姆理论由下列三个基本定理组成:
弗雷德霍姆第一定理. 若 \( D\left( \lambda \right) \neq 0 \) ,则方程
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
对任给的连续函数 \( f\left( x\right) \) ,都有惟一连续解,且该解可以表为
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + {\int }_{G}\frac{D\left( {x, y;\lambda }\right) }{D\left( \lambda \right) }f\left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
弗雷德霍姆第二定理. 若 \( D\left( \lambda \right) = 0 \) ,则必存在某正整数 \( r \) (称为是 \( \lambda \) 的指数),使得
\[
u\left( x\right) = \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
有 \( r \) 个线性无关的连续解,并且它的任何连续解都可以表为这 \( r \) 个线性无关解的线性组合.
弗雷德霍姆第三定理. 若 \( D\left( \lambda \right) = 0,\lambda \) 的指数为 \( r \) ,则
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
有连续解的充分必要条件是
\[
{\int }_{G}f\left( x\right) {\psi }_{i}\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, r}\right) ,
\]
其中 \( {\psi }_{i}\left( x\right) \left( {i = 1,2,\cdots, r}\right) \) 是转置方程
\[
v\left( x\right) = {\lambda }_{0}{\int }_{G}k\left( {y, x}\right) v\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
的 \( r \) 个线性无关连续解.
上述三个定理, 是弗雷德霍姆 (Fredholm, (E.)I. ) 通过积分方程与线性代数方程组类比的方法 (即把线性积分方程看成是 “无穷维”线性方程组) 于 1900 年获得的, 但他没有给出严格的证明. 弗雷德霍姆理论的严格证明是由希尔伯特 (Hilbert, D. ) 在 1904 -1910 年期间给出的. 当 \( k\left( {x, y}\right) \) 是平方可积函数时,与上述定理类似的结论也是成立的.
弗雷德霍姆理论, 可以推广到作用在巴拿赫空间上的全连续算子方程 \( x = {Ax} + y \) 上,其中 \( A : E \) \( \rightarrow E \) 是全连续算子. 这一推广就是泛函分析中里斯 -绍德尔理论, 它分别由里斯 (Riesz, F. ) 和绍德尔 (Schauder, J. P. ) 所提出 (参见本卷 “积分方程”有关条目).
迭核(iterated kernel) 由已知核经过逐次积分而得到的各种核. 设 \( k\left( {x, y}\right) \) 是线性积分算子的核,令 \( {k}_{1}\left( {x, y}\right) = k\left( {x, y}\right) \) ,用归纳法定义
\[
{k}_{n}\left( {x, y}\right) = {\int }_{G}k\left( {x, z}\right) {k}_{n - 1}\left( {z, y}\right) \mathrm{d}z
\]
\[
\left( {n = 2,3,\cdots }\right) \text{,}
\]
则称 \( {k}_{n}\left( {x, y}\right) \) 是 \( k\left( {x, y}\right) \) 的 \( n \) 次迭核. 迭核具有下列性质:
\[
{k}_{n}\left( {x, y}\right) = {\int }_{G}{k}_{r}\left( {x, z}\right) {k}_{n - r}\left( {z, y}\right) \mathrm{d}z,
\]
其中 \( r \) 是满足 \( r < n \) 的任一正整数. 对沃尔泰拉型积分算子的核 \( k\left( {x, y}\right) \) ,其 \( n \) 次迭核由
\[
{k}_{n}\left( {x, y}\right) = {\int }_{a}^{x}k\left( {x, z}\right) {k}_{n - 1}\left( {z, y}\right) \mathrm{d}z
\]
定义. 这种迭核又称为沃尔泰拉型 \( n \) 次迭核.
解核 (solving kernel) 由 \( n \) 次迭核经过求和而得到的一种核. 设 \( {k}_{n}\left( {x, y}\right) \) 是 \( k\left( {x, y}\right) \) 的 \( n \) 次迭核, \( \lambda \) 为实数或复数,则
\[
\Gamma \left( {x, y;\lambda }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\lambda }^{n - 1}{k}_{n}\left( {x, y}\right)
\]
称为解核. 设 \( k\left( {x, y}\right) \) 连续, \( \left| {k\left( {x, y}\right) }\right| \leq M \) ,则当
\[
\left| \lambda \right| < \frac{1}{{Mm}\left( G\right) }
\]
时, 具线性积分算子的方程
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) u\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
存在惟一解, 并且该解可以用解核表示为
\[
u\left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{G}\Gamma \left( {x, y;\lambda }\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
对称核线性积分算子 (linear integral operator with symmetric kernel) 具有对称核的线性积分算子. 如果 \( k\left( {x, y}\right) \) 满足关系: \( k\left( {x, y}\right) = \overline{k\left( {y, x}\right) } \) ,则 \( k\left( {x, y}\right) \) 称为对称核,由 \( k\left( {x, y}\right) \) 确定的线性积分算子
\[
{K\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
称为对称核的线性积分算子, 又称为具有埃尔米特核的线性积分算子. 对称核线性积分算子理论, 是有限维空间对称矩阵理论在无穷维空间的推广. 1904 年, 希尔伯特 (Hilbert, D. ) 从有限维空间对称矩阵理论出发, 通过取极限的方法, 最早进行了对对称核线性积分算子的研究. 施密特 (Schmidt, E. ) 等也做出了重要贡献. 对称核线性积分算子的理论在近代已经被抽象和推广为希尔伯特空间上的自共轭算子的谱分解理论.
对称核线性积分算子的特征值 (characteristic value of linear integral operator with symmetric kernel) 矩阵特征值概念的推广. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( T \) 是从 \( X \) 到 \( X \) 中的线性算子, \( I \) 是 \( X \) 上的恒同算子, \( \lambda \in C \) . 若有 \( x \in X, x \neq 0 \) ,使得 \( \left( {{\lambda I} - T}\right) x = \) 0,则称 \( \lambda \) 为 \( T \) 的特征值, \( x \) 称为 \( T \) 相应于 \( \lambda \) 的特征元 (当 \( X \) 是函数空间时, \( x \) 也可称为 \( T \) 相应于 \( \lambda \) 的特征函数). 对于具有对称核 \( k\left( {x, y}\right) \) 的线性积分算子
\[
{K\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
如果 \( k\left( {x, y}\right) \) 在 \( G \times G \) 上是平方可积的,并且不恒等于 0,那么 \( K \) 的特征值与特征函数有很好的性质. 这些性质是:
\( 1.K \) 至少有一个特征值.
\( 2.K \) 的一切特征值都是实数.
3. \( K \) 的绝对值最小的特征值,其绝对值的倒数等于
\[
\max \left\{ {\left| {{\int }_{G}{\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( x\right) \bar{\varphi }\left( y\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y}\right| ,}\right.
\]
\[
{\int }_{G}\left| {{\varphi }^{2}\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x = 1
\]
4. \( K \) 的不同特征值对应的特征函数是正交的.
5. 设 \( K \) 的一切特征值组成的集合为 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) ,则 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) 至多是可数的,并且存在 \( K \) 的特征函数序列 \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) ,满足 \( {\psi }_{n} = {\lambda }_{n}K{\psi }_{n} \) ,其中 \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) 是就范正交的,即
\[
{\int }_{G}{\psi }_{n}\left( x\right) {\psi }_{m}\left( x\right) \mathrm{d}x = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {m = n}\right) , \\ 0 & \left( {m \neq n}\right) . \end{array}\right.
\]
并且若 \( \lambda \) 是 \( K \) 的任一特征值, \( \psi \) 是 \( K \) 的属于 \( \lambda \) 的任一特征函数,则 \( \lambda \) 必等于 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) 中的某一个,而 \( \psi \) 必是 \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) 中有限个元素的线性组合. 上述性质 5 中的 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) 称为 \( K \) 的全系特征值, \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) 称为 \( K \) 的全系就范正交特征函数.
对称核线性积分算子的特征函数 (characteristic function of linear integral operator with symmetric kernel) 见 “对称核线性积分算子的特征值”.
希尔伯特-施密特积分算子 (Hilbert-Schmidt integral operator) 一类核平方可积的积分型算子. 设 \( \left( {\Omega ,\mathcal{B},\mu }\right) \) 是测度空间, \( K\left( {s, t}\right) \) 是 \( (\Omega \times \Omega \) , \( \mathcal{B} \times \mathcal{B},\mu \times \mu ) \) 上可测函数,并且
\[
\iint {\left| K\left( s, t\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}\mu \left( s\right) \mathrm{d}\mu \left( t\right) < + \infty ,
\]
则
\[
\left( {Tx}\right) \left( s\right) = {\int }_{\Omega }K\left( {s, t}\right) x\left( t\right) \mathrm{d}\mu \left( t\right)
\]
是 \( {L}^{2}\left( {\Omega ,\mathcal{B},\mu }\right) \) 到自身的有界线性算子. 如果 \( {L}^{2}\left( {\Omega ,\mathcal{B},\mu }\right) \) 是可分空间,那么易知 \( T \) 是 \( {L}^{2}(\Omega ,\mathcal{B} \) , \( \mu ) \) 上的希尔伯特-施密特算子,因而上述积分算子通常称为希尔伯特-施密特积分算子.
希尔伯特-施密特定理 (Hilbert-Schmidt theorem) 对称核线性积分算子的基本定理. 设 \( K \) 是对称核线性积分算子,其核 \( k\left( {x, y}\right) \) 是平方可积的, 并且不恒等于零. 设 \( \left\{ {\lambda }_{n}\right\} \) 和 \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) 是 \( K \) 的全系特征值与全系就范正交特征函数. 设 \( h\left( x\right) \) 是平方可积的, 令
\[
f\left( x\right) = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) h\left( y\right) \mathrm{d}y,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 可以表示为 \( \left\{ {\psi }_{n}\right\} \) 的几乎绝对一致收敛的傅里叶级数
\[
f\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\left( h,{\psi }_{n}\right) }{{\lambda }_{n}}{\psi }_{n}\left( x\right) ,
\]
并且若
\[
{\int }_{G}{\left| k\left( x, y\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}y
\]
有界, 则上述收敛是绝对一致收敛. 这一定理是希尔伯特 (Hilbert, D. ) 和施密特 (Schmidt, E. ) 所建立的. 这一定理在对称核线性积分方程理论中起重要作用. 有时, 人们还把关于对称核线性积分算子的一整套理论也统称为希尔伯特-施密特理论.
正定核 (positive definite kernel) 一类特殊的对称核, 其相应的线性积分算子的特征值都是正的. 设对称核 \( k\left( {x, y}\right) \) 是 \( G \times G \) 上的平方可积函数, \( K \) 是以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子. 如果 \( K \) 作为映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的算子,其所有的特征值都是正的,则称 \( k\left( {x, y}\right) \) 是正定核. 若 \( K \) 仅有有限多个负特征值,则称 \( k\left( {x, y}\right) \) 是拟正定核.
拟正定核 (quasi-positive denifite kernel) 见 “正定核”.
线性积分算子的分解 (splitting of linear integral operator) 算子的一种分解. 所谓线性积分算子的分解, 是指把一个线性积分算子分解为另外两个或几个线性算子的复合. 这种分解, 在许多问题中是有重要意义的. 例如, 在利用变分方法研究非线性积分方程解的性质时, 线性积分算子的分解起着重要作用.
设 \( k\left( {x, y}\right) \) 是拟正定核,由 \( k\left( {x, y}\right) \) 确定的线性积分算子 \( K \) 映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 全连续,并且映 \( {L}^{q}\left( G\right) \) 人 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 全连续,这里 \( 1 < q \leq 2,{p}^{-1} + {q}^{-1} \) \( = 1 \) ,则必定存在映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 的全连续线性算子 \( H \) ,使得 \( K \) 可以分解为
\[
K = H\left( {-{P}_{1} + {P}_{2}}\right) {H}^{ * },
\]
其中 \( {H}^{ * } : {L}^{q}\left( G\right) \rightarrow {L}^{2}\left( G\right) \) 是 \( H \) 的共轭算子, \( {P}_{1} \) 是映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 到 \( {E}_{1} \) 的线性投影算子, \( {E}_{1} \) 是 \( K \) 的属于 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的所有对应于负特征值的特征函数组成的 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的闭子空间 (由于 \( k\left( {x, y}\right) \) 是拟正定的, \( {E}_{1} \) 必定是有限维的), \( {P}_{2} = I - {P}_{1} \) . 若 \( k\left( {x, y}\right) \) 是正定核, 则 \( {P}_{1} = 0 \) ,在这种情况下, \( K \) 具有分解 \( K = H{H}^{ * } \) .
沃尔泰拉线性积分算子 (Volterra linear integral operator) 一类重要的线性积分算子, 线性常微分方程初值问题就可以归结为这类线性积分算子的研究. 如下形式的线性积分算子
\[
{K\varphi } = {\int }_{0}^{x}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
称为沃尔泰拉线性积分算子.
设 \( {k}_{n}\left( {x, y}\right) \) 是 \( k\left( {x, y}\right) \) 的沃尔泰拉型 \( n \) 次迭核, 则对任给 \( \lambda \) ,如下沃尔泰拉线性积分方程
\[
\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{x}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
都存在惟一解, 并且该解可以表示为
\[
\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\lambda }^{n}{\int }_{a}^{x}{k}_{n}\left( {x, y}\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
沃尔泰拉 (Volterra, V. ) 于 1896 -1897 年首先系统地研究了这一类算子.
线性积分算子的全连续性 (complete continuity of linear integral operator) 全连续性是线性积分算子特有的基本性质. 设 \( k\left( {x, y}\right) \) 是 \( G \times G \) 上的平方可积函数,则以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子是映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的全连续线性算子. 类似地,若 \( k\left( {x, y}\right) \) 在 \( G \times G \) 上连续,则以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子是映 \( C\left( G\right) \) 入 \( C\left( G\right) \) 的全连续算子. 线性积分算子所具有的全连续性, 使得线性积分算子可以作为全连续线性算子的一种特例而加以研究. 人们可以首先用泛函分析的方法研究全连续线性算子, 然后作为应用的特例, 导出线性积分算子的基本性质.
克列因-鲁特曼定理 (Klein-Rutman theorem) 关于具有非负核的线性积分 |
2000_数学辞海（第3卷） | 113 | right) \) 的沃尔泰拉型 \( n \) 次迭核, 则对任给 \( \lambda \) ,如下沃尔泰拉线性积分方程
\[
\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \lambda {\int }_{a}^{x}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
都存在惟一解, 并且该解可以表示为
\[
\varphi \left( x\right) = f\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\lambda }^{n}{\int }_{a}^{x}{k}_{n}\left( {x, y}\right) f\left( y\right) \mathrm{d}y.
\]
沃尔泰拉 (Volterra, V. ) 于 1896 -1897 年首先系统地研究了这一类算子.
线性积分算子的全连续性 (complete continuity of linear integral operator) 全连续性是线性积分算子特有的基本性质. 设 \( k\left( {x, y}\right) \) 是 \( G \times G \) 上的平方可积函数,则以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子是映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 的全连续线性算子. 类似地,若 \( k\left( {x, y}\right) \) 在 \( G \times G \) 上连续,则以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子是映 \( C\left( G\right) \) 入 \( C\left( G\right) \) 的全连续算子. 线性积分算子所具有的全连续性, 使得线性积分算子可以作为全连续线性算子的一种特例而加以研究. 人们可以首先用泛函分析的方法研究全连续线性算子, 然后作为应用的特例, 导出线性积分算子的基本性质.
克列因-鲁特曼定理 (Klein-Rutman theorem) 关于具有非负核的线性积分算子特征值与特征函数性质的一组结论. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的可测集, \( m\left( G\right) \neq 0, k\left( {x, y}\right) : G \times G \rightarrow \lbrack 0, + \infty ) \) ,并且由 \( k\left( {x, y}\right) \) 所确定的线性积分算子
\[
{K\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) \varphi \left( y\right) \mathrm{d}y
\]
映 \( C\left( G\right) \) 入 \( C\left( G\right) \) 是全连续算子. 1948 年,克列因 (KpeřiH, M. Γ. ) 和鲁特曼 (Pytman, M. A. ) 利用锥理论和半序方法研究了线性积分算子正特征值和特征函数的性质, 其主要内容有:
1. 如果存在 \( \psi \in C\left( G\right) \smallsetminus \{ \varphi \in C\left( G\right) \mid \varphi \left( x\right) \leq 0\} \) , 实数 \( c > 0 \) 以及正整数 \( p \) ,使得 \( c{K}^{p}\psi \geq \psi \) ,则 \( K \) 具有对应于正特征函数的正特征值.
2. 如果线性积分算子的谱半径 \( r\left( K\right) \neq 0 \) ,则 \( K \) 必具有对应于 \( {r}^{-1}\left( K\right) \) 的正特征函数.
3. 如果 \( K \) 是 \( {u}_{0} \) 有界算子,即存在
\( {u}_{0} \in \{ \varphi \in C\left( G\right) \mid \varphi \left( x\right) \geq 0\} ,{u}_{0}\left( x\right) ≢ 0, \)
使得对任给的
\[
\varphi \in \{ \varphi \in C\left( G\right) \mid \varphi \left( x\right) \geq 0\} ,
\]
都有正整数 \( n \) 及实数 \( \alpha > 0,\beta > 0 \) ,满足 \( \alpha {u}_{0} \leq {K}^{n}\varphi \) \( \leq \beta {u}_{0} \) ,则 \( K \) 有并且仅有一个就范特征函数. 更进一步, \( K \) 有并且仅有一个对应于正特征函数的特征值, 其代数重数为 1 .
克列因-鲁特曼定理对研究线性积分算子的性质有重要意义, 它对于非线性积分方程和非线性微分方程的研究, 也有很多应用. 目前, 这一定理中的某些结论已经推广到非线性积分算子.
卡拉西奥多里条件 (Carathéodory condition) 在非线性积分算子理论中起重要作用的一个条件. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的可测集, \( f\left( {x, u}\right) : G \times {\mathrm{R}}^{1} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) . 如果 \( f\left( {x, u}\right) \) 满足: 对几乎所有的 \( x \in G, f\left( {x, u}\right) \) 是 \( u \) 的连续函数,并且对每一个 \( u \in {\mathrm{R}}^{1}, f\left( {x, u}\right) \) 是 \( x \) 的勒贝格可测函数,则称 \( f\left( {x, u}\right) \) 满足卡拉西奥多里条件. 这一条件是卡拉西奥多里 (Carathéodory, C. ) 于 1918 年首先提出的, 它在非线性积分算子理论和各种非线性问题中, 起着重要的作用.
涅梅茨基算子 (Remesky operator) 在非线性微分方程和非线性积分方程的研究中起重要作用的一类非线性算子. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的可测集, \( m\left( G\right) \neq 0 \) ,若 \( f\left( {x, u}\right) \) 满足卡拉西奥多里条件,则算子 \( {f\varphi } = f\left( {x,\varphi \left( x\right) }\right) \) 称为涅梅茨基算子. 涅梅茨基算子将可测函数映为可测函数. 涅梅茨基算子的一个重要性质是: 如果 \( {f\varphi } = f\left( {x,\varphi \left( x\right) }\right) \) 映 \( {L}^{{p}_{1}}\left( G\right) \) 人 \( {L}^{{p}_{2}}\left( G\right) \left( {{p}_{1} \geq 1,{p}_{2} \geq 1}\right) \) ,则 \( f \) 是连续算子,并且是有界算子. 而 \( f \) 映 \( {L}^{{p}_{1}}\left( G\right) \) 人 \( {L}^{{p}_{2}}\left( G\right) \) 的充分必要条件是存在常数 \( b > 0 \) 及 \( a\left( x\right) \in {L}^{{p}_{2}}\left( G\right), a\left( x\right) \geq 0 \) ,使得
\[
\left| {f\left( {x, u}\right) }\right| \leq a\left( x\right) + b{\left| u\right| }^{\frac{{p}_{1}}{{p}_{2}}}
\]
对任给 \( x \in G, u \in {\mathrm{R}}^{1} \) 成立. 这一类算子,是涅梅茨基 (Hemblikiti, B. B. ) 在 1934 年首先提出并加以研究的.
涅梅茨基算子的位势性 (potentiality of Remesky operator）涅梅茨基算子的一个重要性质是它的位势性. 设涅梅茨基算子 \( f \) 映 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{q}\left( G\right), p > 1,{p}^{-1} + {q}^{-1} = 1 \) ,则 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 上的泛函
\[
F\left( \varphi \right) = {\int }_{G}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{\varphi \left( x\right) }f\left( {x, u}\right) \mathrm{d}u
\]
在 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 上是弗雷歇可微的,并且有 \( \operatorname{grad}F = f \) . 涅梅茨基算子的位势性在非线性方程和非线性微分方程的变分方法中起重要作用.
沃尔泰拉非线性积分算子 (Volterra nonlinear integral operator) 沃尔泰拉线性积分算子的推广. 形如
\[
{K\varphi } = {\int }_{a}^{x}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
的积分算子称为沃尔泰拉非线性积分算子. 数学、 自然科学和工程技术领域中的许多问题, 都可以归结为对这一类算子的研究. 例如, 常微分方程初值问题
\[
{u}^{\prime } = f\left( {t, u}\right) ,\;u\left( 0\right) = {u}_{0}
\]
就可以归结为
\[
u\left( t\right) = {u}_{0} + {\int }_{0}^{t}f\left( {t, u\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t,
\]
上述方程右端就包含了一个沃尔泰拉非线性积分算子. 而且一般地, 关于常微分方程初值问题的一系列重要定理, 例如存在惟一性定理、连续延拓定理、连续相依性定理和比较定理等, 也都可以平行移植到含沃尔泰拉非线性积分算子的方程上. 如果沃尔泰拉非线性积分算子具有下列形式:
\[
{K\varphi } = {\int }_{0}^{t}k\left( {t - s}\right) f\left( {s,\varphi \left( x\right) }\right) \mathrm{d}s,
\]
则称之为卷积型沃尔泰拉非线性积分算子, 它在数学物理和其他许多重要问题中都有重要应用. 在研究卷积型沃尔泰拉非线性积分算子时, 常常要用到卷积的概念和傅里叶变换的理论.
哈默斯坦非线性积分算子 (Hammerstein nonlinear integral operator) 一类重要的非线性积分算子,是积分算子理论的重要研究对象之一. 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中可测集, \( m\left( G\right) \neq 0, f\left( {x, u}\right) : G \times {\mathrm{R}}^{1} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 满足卡拉西奥多里条件, \( k\left( {x, y}\right) : G \times G \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是可测函数, 则
\[
{A\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
称为哈默斯坦非线性积分算子, \( k\left( {x, y}\right) \) 称为该积分算子的核. 如果令 \( f \) 是由 \( f\left( {x, u}\right) \) 确定的涅梅茨基算子, \( K \) 是以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子,则哈默斯坦非线性积分算子 \( A \) 可以写成 \( A = {Kf} \) 的形式. 许多重要的非线性问题都可以导致哈默斯坦非线性积分算子的研究. 例如, 对非线性椭圆型偏微分方程的边值问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} - {\Delta u} = f\left( {x, u}\right) , \\ {\left. u\right| }_{\partial \Omega } = 0, \end{array}\right.
\]
就可以归结为哈默斯坦非线性积分算子的研究, 其中 \( k\left( {x, y}\right) \) 是相应的格林函数.
哈默斯坦非线性积分算子是由哈默斯坦 (Hammerstein, H. ) 于 1930 年首先提出并给以系统研究的. 为了能够使用关于全连续算子的拓扑度理论, 许多学者研究了这类算子的全连续性判别, 并由此引入了涅梅茨基算子的概念及其连续性和有界性的研究. 与哈默斯坦非线性积分算子密切相关的是关于哈默斯坦非线性积分方程
\[
\varphi \left( x\right) = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
(1)
的研究. 在早期, 关于方程 (1) 的研究, 主要集中在其解的存在性问题上, 使用的主要工具有拓扑方法和变分方法. 近二三十年来, 由于非线性泛函分析取得了一系列重大进展, 为研究方程 (1) 的多解问题提供了强有力的工具, 人们开始把主要兴趣放在方程 (1) 解的个数的研究上, 并取得了许多重要结果. 尽管如此, 哈默斯坦非线性积分方程的理论还远不够成熟和完善, 为了使它进一步发展和完善, 还必须克服许多困难, 还有待于新的、更强有力的工具的出现.
乌雷松非线性积分算子 (Urysohn nonlinear integral operator) 一类相当广泛的非线性积分算子. 设 \( k\left( {x, y, u}\right) : G \times G \times {\mathrm{R}}^{1} \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是可测函数,则形如
\[
{A\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
的算子称为乌雷松非线性积分算子. 它是一类很广泛的算子类, 包含了哈默斯坦非线性积分算子和沃尔泰拉非线性积分算子作为特殊情况. 这类算子由于过于广泛, 研究起来困难很大, 所以到目前为止, 除了在该类算子的全连续判别上有了较系统的结果之外, 关于乌雷松非线性积分方程解的性质的研究, 结果是很少的, 还有待于人们去探索. 这类算子是由乌雷松 ( \( {\mathrm{y}}_{\mathrm{{pbICOH}}},\mathrm{H}.\mathrm{C} \) . ) 于 1924 年首先提出并加以研究的.
非线性积分算子的全连续性 (complete continuity of nonlinear integral operator) 全连续性是非线性积分算子的重要性质. 如果 \( k\left( {x, y, u}\right) \) 在 \( G \times G \times {\mathrm{R}}^{1} \) 上连续,则乌雷松非线性积分算子
\[
{A\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
是作用在 \( C\left( G\right) \) 上的全连续算子. 进一步,下列结果成立: 若 \( G \) 是具有非零测度的有界闭集,对一切 \( x \in G \) 和几乎一切 \( y \in G, k\left( {x, y, u}\right) \) 关于 \( u \) 连续,并且对一切 \( x \in G, u \in {\mathrm{R}}^{1}, k\left( {x, y, u}\right) \) 关于 \( y \) 可测,则相应的乌雷松非线性积分算子映 \( C\left( G\right) \) 入自身全连续的充分必要条件是,对任给 \( a > 0 \) ,
\[
{\int }_{G}\mathop{\sup }\limits_{{\left| u\right| \leq a}}\left| {k\left( {x, y, u}\right) }\right| \mathrm{d}y < + \infty ,
\]
\[
\mathop{\lim }\limits_{\substack{{\left| h\right| \rightarrow 0} \\ {x + h \in G} }}{\int }_{G}\mathop{\sup }\limits_{{\left| u\right| \leq u}}\left| {k\left( {x + h, y, u}\right) - k\left( {x, y, u}\right) }\right| \mathrm{d}y = 0
\]
对一切 \( x \in G \) 成立. 关于乌雷松算子在 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 空间上的全连续性,有如下结果: 若 \( k\left( {x, y, u}\right) \) 满足
\[
\left| {k\left( {x, y, u}\right) }\right| \leq R\left( {x, y}\right) \left( {a + b{\left| u\right| }^{a}}\right) ,
\]
其中 \( a > 0, b > 0,\alpha > 0 \) ,
\[
{\int }_{G}{\int }_{G}{\left\lbrack R\left( x, y\right) \right\rbrack }^{\alpha + 1}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y < + \infty ,
\]
则相应的乌雷松非线性积分算子映 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 入自身全连续,其中 \( p = \alpha + 1 \) . 一系列更细致和深入的结果也已经被获得.
哈默斯坦非线性积分算子的全连续, 可以作为乌雷松非线性积分算子的特例由上面所述的结果得到. 此外, 哈默斯坦非线性积分算子还有特有的判别法,即,如果涅梅茨基算子 \( f \) 映某巴拿赫空间 \( {E}_{1} \) 到另一巴拿赫空间 \( {E}_{2} \) 是连续有界算子,而线性积分算子 \( K \) 映 \( {E}_{2} \) 到 \( {E}_{1} \) 是全连续线性算子,则相应的哈默斯坦非线性积分算子 \( {Kf} \) 映 \( {E}_{1} \) 到自身是全连续的. 非线性积分算子的全连续性, 在非线性积分方程的研究中具有本质的意义, 正是由于这一性质, 才使得非线性泛函分析的基本方法一一拓扑方法和变分方法在非线性积分方程理论中得以广泛应用.
非线性积分方程中的变分方法 (variational method in the theory of nonlinear integral equations) 研究非线性积分方程的基本方法之一, 它主要适用于对称核哈默斯坦非线性积分方程
\[
\varphi \left( x\right) = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y.
\]
（1）
设 \( f\left( {x, u}\right) \) 满足卡拉西奥多里条件,并且存在 \( p \) \( \geq 2, a\left( x\right) \geq 0, a\left( x\right) \in {L}^{q}\left( G\right) \left( {{p}^{-1} + {q}^{-1} = 1}\right) \) ,使得
\[
\left| {f\left( {x, u}\right) }\right| \leq a\left( x\right) + b{\left| u\right| }^{p - 1}.
\]
又设 \( k\left( {x, y}\right) \) 是实的对称核,又是拟正定的,并且以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子 \( K \) 映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 人 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 全连续,映 \( {L}^{q}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 全连续. 由于 \( k\left( {x, y}\right) \) 是拟正定的,所以 \( K \) 作为映 \( {L}^{q}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 的算子存在一个分解
\[
K = H\left( {-{P}_{1} + {P}_{2}}\right) {H}^{ * }.
\]
容易证明哈默斯坦非线性积分方程 (1) 等价于
\[
\left( {-{P}_{1} + {P}_{2}}\right) \psi = {H}^{ * }{fH\psi },
\]
（2）
而方程 (2) 的解又等价于 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 上的泛函
\[
\Psi \left( \psi \right) = - \frac{1}{2}{\int }_{G}{P}_{1}\psi \left( x\right) \psi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
+ \frac{1}{2}{\int }_{G}{P}_{2}\psi \left( x\right) \psi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
- {\int }_{G}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{H\psi }f\left( |
2000_数学辞海（第3卷） | 114 | \in {L}^{q}\left( G\right) \left( {{p}^{-1} + {q}^{-1} = 1}\right) \) ,使得
\[
\left| {f\left( {x, u}\right) }\right| \leq a\left( x\right) + b{\left| u\right| }^{p - 1}.
\]
又设 \( k\left( {x, y}\right) \) 是实的对称核,又是拟正定的,并且以 \( k\left( {x, y}\right) \) 为核的线性积分算子 \( K \) 映 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 人 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 全连续,映 \( {L}^{q}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 全连续. 由于 \( k\left( {x, y}\right) \) 是拟正定的,所以 \( K \) 作为映 \( {L}^{q}\left( G\right) \) 入 \( {L}^{p}\left( G\right) \) 的算子存在一个分解
\[
K = H\left( {-{P}_{1} + {P}_{2}}\right) {H}^{ * }.
\]
容易证明哈默斯坦非线性积分方程 (1) 等价于
\[
\left( {-{P}_{1} + {P}_{2}}\right) \psi = {H}^{ * }{fH\psi },
\]
（2）
而方程 (2) 的解又等价于 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 上的泛函
\[
\Psi \left( \psi \right) = - \frac{1}{2}{\int }_{G}{P}_{1}\psi \left( x\right) \psi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
+ \frac{1}{2}{\int }_{G}{P}_{2}\psi \left( x\right) \psi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
- {\int }_{G}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{H\psi }f\left( {x, u}\right) \mathrm{d}u
\]
(3)
的临界点, 因此哈默斯坦非线性积分方程 (1) 的性质, 可以归结为希尔伯特空间上的泛函 (3) 的变分问题. 这就形成了研究非线性积分方程的基本方法之一一变分方法. 对于正定核,由于 \( {P}_{1} = 0,{P}_{2} \) \( = I \) ,故泛函 (3) 可以写成
\[
\Psi \left( \psi \right) = \frac{1}{2}{\int }_{G}\psi \left( x\right) \psi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
- {\int }_{G}\mathrm{\;d}x{\int }_{0}^{H\psi }f\left( {x, u}\right) \mathrm{d}u.
\]
\( \left( {3}^{ * }\right) \)
在适当的条件下,由 (3) (或 \( \left( {3}^{ * }\right) \) ) 式定义的泛函是强制的, 弱下半连续的, 故由著名的外尔斯特拉斯定理,可以断定泛函 (3) (或 \( \left( {3}^{ * }\right) \) ) 在 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 中达到最小值, 从而可以获得哈默斯坦非线性积分方程 (1) 的可解性定理. 利用近年来在大范围变分学中获得的新成就, 例如山路引理等, 可以研究哈默斯坦非线性积分方程的多解问题, 得到一系列深刻的结果.
非线性积分方程中的拓扑方法 (topological method in the theory of nonlinear integral equations) 亦称拓扑度理论, 是研究非线性积分方程的基本方法. 1934 年, 勒雷 (Leray, J. ) 和绍德尔 (Schauder, J. P. ) 利用代数拓扑学的发展成就, 建立了非线性泛函分析的基本理论之一, 即无穷维巴拿赫空间上全连续算子的拓扑度理论. 由于非线性积分算子
\[
{A\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y}\right) f\left( {y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y,
\]
\[
{A\varphi } = {\int }_{G}k\left( {x, y,\varphi \left( y\right) }\right) \mathrm{d}y
\]
在非常广泛的条件下是全连续算子, 从而拓扑方法自然地成为研究非线性积分方程的主要方法. 早期, 人们主要是利用拓扑度理论中的绍德尔不动点定理和勒雷-绍德尔原理, 研究非线性积分方程解的存在性问题. 近二三十年来, 克拉斯诺塞尔斯基 (Kpachoce IIbCKHй, M. A. ) 提出了著名的锥拉伸与压缩不动点定理, 阿曼 (Amann, H. ) 等人将拓扑度与锥理论相结合, 建立了锥上的不动点指数理论, 为研究非线性积分方程的多解问题提供了强有力的工具. 到目前为止, 拓扑方法在非线性积分方程中的运用还是初步的. 如何把拓扑方法更深入的应用到非线性积分方程理论中去, 还是一个有待研究的重要问题.
维纳-霍普夫积分方程 (Wiener-Hopf integral equations) 由于研究辐射迁移理论的需要而提出的一类积分方程. 下面的线性积分方程
\[
\varphi \left( t\right) - {\int }_{0}^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = f\left( t\right)
\]
（1）
\[
\left( {0 \leq t < + \infty }\right)
\]
称为维纳-霍普夫积分方程. 这一类型的方程是实际应用中经常遇到的, 但不完全满足古典的弗雷德霍姆理论的方程. 由于研究辐射迁移理论的需要, 从 20 世纪 20 年代起就开始了对这一类型方程的研究. 关于方程 (1) 的第一个结果是 1931 年由维纳 (Wiener, N. ) 与霍普夫 (Hopf, H. ) 共同得到的. 他们在假定核 \( k\left( t\right) \) 和未知函数 \( \varphi \left( t\right) \) 满足一定的条件下, 得到了方程 (1) 的齐次方程
\[
\varphi \left( t\right) - {\int }_{0}^{+\infty }k\left( {t - s}\right) \varphi \left( s\right) \mathrm{d}s = 0
\]
(2)
解的解析表达式. 在维纳与霍普夫的上述工作中, 第一次利用了因子分解的思想来处理方程 (1). 由研究维纳-霍普夫方程而逐渐发展起来的维纳-霍普夫技巧 (即因子分解的技巧), 现在已经成为研究维纳-霍普夫方程 (1) 的重要的理论基础, 而且也是研究许多数学物理问题的强有力的工具.
关于方程 (1) 的第二个重要结果是由拉普泼特 (Pannopr, M. M. ) 于 1948 年得出的. 他在假定核 \( k\left( t\right) \) 满足适当的条件,把方程 (1) 化成一个黎曼边值问题, 从而借助黎曼边值问题的一些熟知结果对方程 (1) 进行研究. 在上述工作中, 拉普泼特建立了方程 (1) 在函数类 \( {L}^{2}\left( {0, + \infty }\right) \) 中的正则可解性定理, 并且第一次指出了指数
\[
\kappa = \operatorname{index}\left( {1 - k\left( t\right) }\right)
\]
(3)
与齐次方程 (2) 的线性无关解个数之间的紧密联系. 1958 年, 克列因 (Kpeřin, M. Γ. ) 和哥赫别格 ( \( \Gamma \) ox6epr, \( M.L\mathrm{I} \) . ) 等人进一步发展了维纳-霍普夫的因子分解的思想, 对方程 (1) 建立了更为一般和更加完整的理论.
\( \mathbf{H} \) 方程 ( \( H \) -equations) 一类积分方程. 下面的方程
\[
H\left( x\right) = 1 + H\left( x\right) {\int }_{0}^{1}\frac{x}{x + t}\psi \left( t\right) H\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
（1）
称为 \( H \) 方程,其中 \( \psi \left( t\right) \) 是一已知函数,假定它在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是非负有界可测的,而 \( H\left( t\right) \) 是待求的函数. 这一类型方程在辐射迁移和中子迁移理论中起到重要作用.
\( H \) 方程的研究开始于 20 世纪 40 年代. 1947 年, 桑德拉塞卡尔 (Chandrasekher, S. )、克鲁木 (Crum, M. M. ) 利用复变函数论的方法, 在复平面内考察了方程 (1),并给出该方程在半平面 \( \operatorname{Re}z > 0 \) 内解析且在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上有界的解的存在性条件. 克鲁木还证明当
\[
{\int }_{0}^{1}\psi \left( t\right) \mathrm{d}t \leq \frac{1}{2}
\]
时, 方程 (1) 最多只有两个解; 而当
\[
{\int }_{0}^{1}\psi \left( t\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{2}
\]
时, 则方程 (1) 仅有一个这样的解. 1957 年, 布斯布里基 (Buisbridge, I. W. ) 在假设 \( \psi \left( t\right) \) 为全纯函数的条件下,简化了克鲁木结果中的某些讨论. 关于 \( H \) 方程的研究现已有了许多重要进展, 并把它推广到某些更一般的形式.
柯西奇异积分方程 (Cauchy singular integral equations) 一类最基本且具有广泛实际应用的奇异积分方程. 下面的一类积分方程
\[
a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{K\left( {t,\tau }\right) }{\tau - t}\varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = f\left( t\right)
\]
(1)
称为柯西奇异积分方程,其中 \( L \) 为复平面上一光滑的闭合曲线, \( a\left( t\right), K\left( {t,\tau }\right) \) 和 \( f\left( t\right) \) 是给定在 \( L \) 上满足赫尔德条件的函数, 而积分是柯西主值意义下的.
这种方程的研究已有很长的历史. 差不多在建立弗雷德霍姆理论的同时, 即已出现在希尔伯特 (Hilbert, D. ) 和庞加莱 (Poincaré, (J. -)H. ) 等人的工作中. 以后经过许多数学家的努力, 这一类方程的理论已发展得相当完善, 它在弹性理论、空气动力学、水力学、量子场论以及数学物理等方面有着广泛的应用. 若记
\[
k\left( {t, t}\right) = b\left( t\right), k\left( {t,\tau }\right) = \frac{K\left( {t,\tau }\right) - K\left( {t, t}\right) }{\pi \mathrm{i}\left( {\tau - t}\right) },
\]
则柯西奇异积分方程 (1) 可写成
\[
{K\varphi } \equiv a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) }{\tau - t}\mathrm{\;d}\tau
\]
\[
+ {\int }_{L}k\left( {t,\tau }\right) \varphi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = f\left( t\right) .
\]
(2)
若 \( b\left( t\right) = 0 \) ,则方程 (2) 中不出现奇异积分,因而方程 (2) 就是具弱奇性核的弗雷德霍姆型积分方程; 当 \( b\left( t\right) \neq 0, t \in L \) 时,则称方程 (2) 为完整的奇异积分方程. 又函数 \( a\left( t\right) \) 和 \( b\left( t\right) \) 称为积分方程 (2) 的系数. 如果 \( f\left( t\right) \equiv 0 \) ,则称 (2) 为齐次的奇异积分方程; 否则称之为非齐次的奇异积分方程. 又积分方程
\[
{K}^{0}\varphi \equiv a\left( t\right) \varphi \left( t\right) + \frac{b\left( t\right) }{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{\varphi \left( \tau \right) }{\tau - t}\mathrm{\;d}\tau = f\left( t\right)
\]
(3)
称为奇异积分方程 (2) 的特征方程. 把奇异积分方程 (1) 中的核 \( k\left( {t,\tau }\right) /\left( {\tau - t}\right) \) 的变量 \( t \) 和 \( \tau \) 的位置互换, 所得到的新的奇异积分方程
\[
{K}^{\prime }\psi \equiv a\left( t\right) \psi \left( t\right) - \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{b\left( \tau \right) \psi \left( \tau \right) }{\tau - t}\mathrm{\;d}\tau
\]
\[
+ {\int }_{L}k\left( {\tau, t}\right) \psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = h\left( t\right)
\]
(4)
称为积分方程 (2) 的转置 (或相联) 方程, 而特征方程 (3) 的相联方程为
\[
{K}^{{0}^{\prime }}\psi \equiv a\left( t\right) \psi \left( t\right) - \frac{1}{\pi \mathrm{i}}{\int }_{L}\frac{b\left( \tau \right) }{\tau - t}\psi \left( \tau \right) \mathrm{d}\tau = h\left( t\right) .
\]
. (5)
当积分方程 (3) 中的系数 \( a\left( t\right) \) 和 \( b\left( t\right) \) 满足条件
\[
a\left( t\right) + b\left( t\right) \neq 0, a\left( t\right) - b\left( t\right) \neq 0\;\left( {t \in L}\right)
\]
(6)
时, 则称数
\[
\kappa = \frac{1}{2\pi }{\left\lbrack \arg \frac{a\left( t\right) - b\left( t\right) }{a\left( t\right) + b\left( t\right) }\right\rbrack }_{L}
\]
为特征方程 (3) (或特征算子 \( {K}^{0} \) ) 的指标.
柯西奇异积分方程与弗雷德霍姆积分方程之间有着本质的不同. 对弗雷德霍姆积分方程而言, 如果齐次方程有异于零的解, 则非齐次方程一般来说无解; 而当齐次方程无异于零的解时, 则非齐次方程对任意自由项总有解. 但对柯西奇异积分方程而言情况就不一样, 如果齐次方程有异于零的解, 则非齐次方程对任意的自由项也是可解的; 而当齐次方程只有零解时, 非齐次方程一般来说是无解的. 此外,柯西奇异积分方程的系数 \( a\left( t\right) \) 可以为零, 只要满足条件 (6) 就可以求其解. 但对弗雷德霍姆方程来说, 如果积分号外不出现未知函数 (即为第一种积分方程),一般地,它是不适定的.
关于柯西奇异积分方程, 诺特 (Noether, F. ) 建立了下面的三个基本定理, 这些定理起着与弗雷德霍姆积分方程的弗雷德霍姆理论相同的作用:
1. 齐次奇异方程
\[
{K\varphi } = 0\text{ 和 }{K}^{\prime }\psi = 0
\]
的线性独立 (非零) 解的个数是有限的.
2. 奇异积分方程 (2) 可解的充分必要条件是满足
\[
{\int }_{L}f\left( t\right) {\psi }_{j}\left( t\right) \mathrm{d}t = 0\;\left( {j = 1,2,\cdots ,{k}^{\prime }}\right) ,
\]
其中 \( {\psi }_{j}\left( t\right) \left( {j = 1,2,\cdots ,{k}^{\prime }}\right) \) 是相联齐次方程 \( {K}^{\prime }\psi = 0 \) 的线性无关解的完全组.
3. 齐次奇异方程 \( {K\varphi } = 0 \) 的线性无关解的个数 \( k \) 与其相联齐次奇异方程 \( {K}^{\prime }\psi = 0 \) 的线性无关解的个数 \( {k}^{\prime } \) 之差,仅依赖于算子 \( K \) 的特征部分,且等于 \( {K}^{0} \) 的指标 \( \kappa \) ,即 \( \kappa = k - {k}^{\prime } \) .
弗雷德霍姆积分方程的弗雷德霍姆理论与柯西奇异积分方程的诺特理论的主要差别在于: 在弗雷德霍姆积分方程中, 齐次方程与其相联齐次方程线性独立解的个数相同, 而对柯西奇异积分方程, 两者的个数一般不相等, 其差等于奇异积分方程的指标 \( \kappa \) . 特别地,如果 \( \kappa = 0 \) ,则诺特诸定理就是弗雷德霍姆理论的诸定理.
撰 稿 仇庆九 孙经先 孙善利 严绍宗 杜鸿科
杨亚利 汪 林 陈晓漫 范先令 林源渠
侯晋川
审 阅 严绍宗 李炳仁 吴从炘 张石生 张恭庆
陈文螈 陈庆益 郭大钧
## 变 分 法
变分法 (calculus of variations) 亦称变分学, 研究泛函极值的一门学科. 变分法主要研究泛函的变元函数使泛函达到极值的必要条件和充分条件, 并研究求得该变元函数的方法及其性质. 变分法的研究方法有直接法与间接法. 直接法是直接由泛函去求得极值或判断相应极值问题是否有解; 而间接法是先给出泛函达到极值的必要条件: 欧拉-拉格朗日方程 (亦称为欧拉方程), 然后在满足欧拉-拉格朗日方程的解中, 利用各种充分条件来判断变分问题是否有解.
变分法的历史可追溯到古希腊, 那时就有了所谓等周问题: 在长度一定的封闭曲线中, 找出围出最大面积的一条封闭曲线. 另一著名的问题即最速落径问题是由伽利略 (Galilei, G. ) 首先提出的. 但对变分法实质性研究还是从 1696 年, 约翰第一・伯努利 (Bernoulli, Johann I ) 公开向欧洲数学家给出该问题的解开始, 洛必达 (L'Hospital, G.-F.-A. de)、雅可比 (Jacobi, C. G. J. )、约翰第一・伯努利、莱布尼茨 (Leibniz, G. W. )、牛顿 (Newton, I. ) 用了不同的方法解决了这个问题. 后来欧拉 (Euler, L. ) 和拉格朗日 (Lagrange, J.-L. ) 对这一类问题的研究奠定了变分法的理论基础. 变分法这一名词由拉格朗日首次提出来, 一直沿用下来.
人们研究变分法, 是因为社会和自然诸多领域都存在变分原理的实际背景. 社会追求效益, 投入一定时, 希望产出最大; 或产出一定时, 希望投入最小. 某些现象中, 自然也依最简单最有效的方式运行. 牛顿在《自然哲学的数学原理》中写到: “自然不做任何徒劳无益的事情, 浪费愈多, 服务愈少. 自然喜欢简单性而不为浮华所动”. 现代科学早期就依最优原理表达某些自然规律. 这一原理看来在一定程度上反映了宇宙的先验的和谐性, 特别吸引那些为知识的统一性和简单性而奋斗的科学家. 事实上, 确实有许多自然规律可用极值原理来表达. 第一个发现这种类型的原理是公元前 100 年, 亚历山大的海伦 (Heron, (A)) 提出的, 他用光总走最短路径解释光的反射定律. 1662 年, 费马 (Fermat, P. de) 从光总是依最快的路径从一点传播到另一点这一假设推导出光折射定律. 这一假设现在称为费马原理. 大约 80 年后, 莫佩蒂 (Maupertuis, P. -L. M. de, 普鲁士科学院院长) 断言, 如果自然发生了什么变化, 那么对这一变化所付出的作用量必然是最小的. 莱布尼茨对作用引进量纲是 “能量 \( \times \) 时间”,按照普朗克 (Planck, M. ) 的量子原理 (1900 年), 这个量是基本量子 \( h \) 的整数倍. 在莫佩蒂的著述中,作用原理含糊不清, 不十分令人信服, 受到伏尔泰 (Voltaire) 的无情嘲讽. 这或许使得拉格朗日将 1788 年的“分析力学”建立在达朗贝尔原理的基础上而非最小作用原理的基础上, 尽管他早在 1760 年对这一原理已有了相当明确的一般数学提法. 很晚以后, 哈密顿 (Hamilton, W. R. ) 和雅可比才给这一原理以令人满意的形式, 大概是亥姆霍兹 (Helmholtz, H. von) 把它提高到最普遍的物理规律的行列. 20 世纪前半期, 物理学家主要热衷于用空间时间微分方程描述自然规律, 现在最小作用原理又明显回潮.
古典变分法已有近 300 年的历史. 微积分创立不久, 变分法便开始发展. 赢得国际声望的研究 |
2000_数学辞海（第3卷） | 115 | r, L. ) 和拉格朗日 (Lagrange, J.-L. ) 对这一类问题的研究奠定了变分法的理论基础. 变分法这一名词由拉格朗日首次提出来, 一直沿用下来.
人们研究变分法, 是因为社会和自然诸多领域都存在变分原理的实际背景. 社会追求效益, 投入一定时, 希望产出最大; 或产出一定时, 希望投入最小. 某些现象中, 自然也依最简单最有效的方式运行. 牛顿在《自然哲学的数学原理》中写到: “自然不做任何徒劳无益的事情, 浪费愈多, 服务愈少. 自然喜欢简单性而不为浮华所动”. 现代科学早期就依最优原理表达某些自然规律. 这一原理看来在一定程度上反映了宇宙的先验的和谐性, 特别吸引那些为知识的统一性和简单性而奋斗的科学家. 事实上, 确实有许多自然规律可用极值原理来表达. 第一个发现这种类型的原理是公元前 100 年, 亚历山大的海伦 (Heron, (A)) 提出的, 他用光总走最短路径解释光的反射定律. 1662 年, 费马 (Fermat, P. de) 从光总是依最快的路径从一点传播到另一点这一假设推导出光折射定律. 这一假设现在称为费马原理. 大约 80 年后, 莫佩蒂 (Maupertuis, P. -L. M. de, 普鲁士科学院院长) 断言, 如果自然发生了什么变化, 那么对这一变化所付出的作用量必然是最小的. 莱布尼茨对作用引进量纲是 “能量 \( \times \) 时间”,按照普朗克 (Planck, M. ) 的量子原理 (1900 年), 这个量是基本量子 \( h \) 的整数倍. 在莫佩蒂的著述中,作用原理含糊不清, 不十分令人信服, 受到伏尔泰 (Voltaire) 的无情嘲讽. 这或许使得拉格朗日将 1788 年的“分析力学”建立在达朗贝尔原理的基础上而非最小作用原理的基础上, 尽管他早在 1760 年对这一原理已有了相当明确的一般数学提法. 很晚以后, 哈密顿 (Hamilton, W. R. ) 和雅可比才给这一原理以令人满意的形式, 大概是亥姆霍兹 (Helmholtz, H. von) 把它提高到最普遍的物理规律的行列. 20 世纪前半期, 物理学家主要热衷于用空间时间微分方程描述自然规律, 现在最小作用原理又明显回潮.
古典变分法已有近 300 年的历史. 微积分创立不久, 变分法便开始发展. 赢得国际声望的研究首先是约翰第一・伯努利 1696 年解决了最速落径问题. 他和他的哥哥雅各布第一 - 伯努利 (Bernoulli, Jacob I ) 是这一新领域的奠基者, 虽说莱布尼茨、牛顿、惠更斯 (Huygens, C. )、洛必达也都有不俗的贡献. 在欧拉和拉格朗日的手里, 变分法成了解答许多物理和几何问题的灵活有效的理论. 变分法的第一阶段, 人们推导变分问题的最大或最小函数满足的必要条件, 比如欧拉方程. 欧拉用折线逼近曲线的一种粗放方法导出它, 而拉格朗日则用高雅的变分导出它, 欧拉随即把这一学科命名为变分法. 在变分法发展的初期阶段, 保证欧拉方程的解具有极小性的充分性条件尚未涉及, 只有约翰第一・伯努利 1718 年的一篇文章例外, 但该文在近 200 年中被忽视.
充分性问题首次在勒让德 (Legendre, A.-M. ) 1788 年的文章 "Sur la maniere de distingues les maxima des minima dans le calcul des variations" (关于区分变分法中的极大和极小) 中被系统研究. 勒让德在该文中用二阶变分处理这一问题. 尽管拉格朗日在 1797 年指出了该文的一些错误, 但雅可比 1837 年重新探讨这一问题时发现该文的思想是富有成效的. 雅可比在其短文 “Zur Theorie Variations-Rechnung und der Defferential-Gleichungen" 中概述了二阶变分的理论, 其中包括他的著名共轭点理论, 但所有的结果只有叙述而本质上没有证明. 这需要整整一代的数学家添补细节. 高斯 (Gauss, C. F. ) 首先在 1830 年的文章 “Principia generalia theoriae figure fluidorum in statu aequilibrii"中考虑了自由边界问题, 继而有泊松 (Poisson, S.-D. )、 奥斯特罗格拉茨基 (Ocroporpa, ICKHH, M. B. )、德洛内 (Delaunay, C. E. )、萨鲁斯 (Sarrus, P. F. ) 和柯西 (Cauchy, A. -L. ). 施依佛 (Scheeffer, L. ) 和外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 发现使二阶变分具有正定性的平稳函数一般只取弱极值, 即只是在切线很接近的曲线之间比较而言的极值. 为研究强极值充分条件, 外尔斯特拉斯在 1879 年建立了场论, 把平稳曲线嵌入到适当的平稳曲线场, 这大大简化了平稳曲线与邻近曲线的比较.
变分法理论的发展与力学、光学、弹性理论、电磁学等学科密切相关. 同时变分法的理论成果又能应用到这些学科. 现代变分法在各学科的应用愈来愈广, 并发展成为优化和最优控制理论.
变分学 (calculus of variations) 即 “变分法”.
黛多问题 (Dido problem) 最古老的变分问题. 对 \( {xy} \) 平面上连结原点和 \( x \) 轴上一点 \( \left( {{x}_{1},0}\right) \left( {x}_{1}\right. \) \( > 0) \) ,位于第一象限内的一条长为 \( l \) 的曲线 \( C \) ,问 \( C \) 是什么形状时, \( C \) 与 \( x \) 轴围成的面积最大? 这就是黛多问题. 黛多问题的答案是 \( C \) 的形状为半圆.
等周问题 (isoperimetric problem) 历史上出现较早的一个变分问题. 用一条长度一定的平面曲线在平面上围成一个凸区域, 求使区域面积最大的闭曲线. 这是最简单的等周问题, 它的解是一个圆周, 这是由雅各布第一 - 伯努利 (Bernoulli, Jacob I )于 1701 年解决的.
牛顿问题 (Newton problem) 现代变分法的一个著名问题. 设物体垂直于速度向量的最大截面的形状 \( \Omega \subset {\mathrm{R}}^{2} \) ,物体表面形状是函数 \( u : \Omega \rightarrow \mathrm{R} \) 的图形,那么牛顿 (Newton, I.) 提出的摩擦定律引导他得到物体受的阻力为
\[
J\left( u\right) = c{\int }_{\Omega }\frac{\mathrm{d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2}}{1 + {\left| Du\right| }^{2}}
\]
\[
\left( {{Du} = \left( {\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}}}\right) ;c\text{ 为常数 }}\right) .
\]
若 \( \Omega \) 是以原点为圆心, \( R \) 为半径的圆盘,并且物体是旋转对称的, 即
\[
u\left( x\right) = z\left( r\right), r = \left| x\right| = \sqrt{{x}_{1}^{2} + {x}_{2}^{2}},
\]
那么泛函 \( J\left( u\right) \) 可改写为
\[
K\left( z\right) = {2\pi c}{\int }_{0}^{R}\frac{r\mathrm{\;d}r}{1 + {z}^{\prime 2}\left( r\right) }.
\]
于是牛顿问题就是求使泛函 \( J\left( u\right) \) 或 \( K\left( z\right) \) 达到极小值的极值函数. 该问题是牛顿 (Newton, I. ) 于 1685 年提出的. 其目的是确定以常速在均匀液体中运动的物体具有什么形状可使所受的阻力最小.
费马原理 (Fermat's principle) 光的传播原理. 光总是沿最快的路径从一点传播到另一点, 这就是费马原理. 费马 (Fermat, P. de) 在 1662 年从上述假设推导出光的折射定律. 如果光速 \( v = v\left( {x, z, p}\right) \) , 则光线传播所需时间为
\[
J\left( u\right) = {\int }_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}\omega \left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \sqrt{1 + {\left| {u}^{\prime }\left( x\right) \right| }^{2}}\mathrm{\;d}x,
\]
其中 \( \omega \left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \) 为速度的倒数. 费马原理断言,光的实际路径使泛函 \( J\left( u\right) \) 取平稳值.
捷线 (brachistochrone) 亦称最速落径. 一个著名的极值问题. 在铅直平面上两点 \( A, B \) 之间要连一条曲线, 使得不受摩擦的质点在重力的作用下沿这条曲线由 \( A \) 运动到 \( B \) 所需要的时间最少,这条曲线就是最速落径. 当 \( A = \left( {{x}_{0},0}\right), B = \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 时,求最速落径的问题等价于求泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\sqrt{\frac{1 + {y}^{\prime 2}}{2gy}}\mathrm{\;d}x
\]
的极小值,边界条件是 \( y\left( {x}_{0}\right) = 0, y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1} \) . 求解相应变分问题的欧拉-拉格朗日方程, 不难得出最速落径问题的平稳曲线是摆线 (旋轮线). 捷线是约翰第一·伯努利 (Bernoulli, Johann I ) 于 1696 年首先解决的一个问题, 由此推动了变分法的建立.
最速落径 (brachistochrone) 即 “捷线”.
最速降线 (curve of steepest descent) 即 “最速落径”.
测地线 (geodesic curve) 亦称短程线, 指曲面上两点之间沿曲面路程最短的曲线. 设曲面为
\[
x = x\left( {u, v}\right), y = y\left( {u, v}\right), z = z\left( {u, v}\right) ,
\]
其上两点, \( A \) 由 \( {u}_{0},{v}_{0} \) 确定, \( B \) 由 \( {u}_{1},{v}_{1} \) 所确定,在这曲面上求过 \( A, B \) 两点的测地线等价于在曲面上求函数 \( v = v\left( u\right) \) 使泛函
\[
L\left( v\right) = {\int }_{{u}_{0}}^{{u}_{1}}\sqrt{E + {2F}{v}^{\prime } + G{v}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}u
\]
取极小值. \( L\left( v\right) \) 表示曲面上 \( A, B \) 沿曲线的弧长, \( E, F, G \) 是微分几何中曲面的第一基本形式中的系数. 若记 \( X = \left( {x\left( {u, v}\right), y\left( {u, v}\right), z\left( {u, v}\right) }\right) \) ,则
\( E = {X}_{u} \cdot {X}_{u}, F = {X}_{u} \cdot {X}_{v}, G = {X}_{v} \cdot {X}_{v}. \)
短程线 (geodesic curve) 即 “测地线”.
极小曲面 (minimal surface) 一种特殊曲面. 张在给定的空间闭曲线 \( \Gamma \) 上有最小面积的曲面称为极小曲面. 在非参数情形下, 求极小曲面的问题可以化为求曲面面积泛函
\[
\mathcal{A}\left( u\right) = {\int }_{\Omega }\sqrt{1 + {\left| Du\right| }^{2}}\mathrm{\;d}{x}_{1}\mathrm{\;d}{x}_{2}
\]
的极小值,其中 \( \Omega \) 是曲面在 \( {x}_{1}{x}_{2} \) 平面上的投影, \( u \) 是曲面上的点到 \( {x}_{1}{x}_{2} \) 平面的距离,
\[
{Du} = \left( {\frac{\partial u}{\partial {x}_{1}},\frac{\partial u}{\partial {x}_{2}}}\right) .
\]
由相应的欧拉-拉格朗日方程可以推出极小曲面的平均曲率处处为零.
1873 年, 普拉托 (Plateau, J. A. F. ) 曾用实验的方法显示极小曲面. 在空间内以给定的闭曲线为边缘张以肥皂膜时, 表面张力使膜稳定在表面积为最小的状态. 这刺激了数学家对极小曲面的研究. 因此, 极小曲面问题又称普拉托问题.
普拉托问题 (Plateau problem) 见 “极小曲面”.
道格拉斯泛函 (Douglas functional) 道格拉斯 (Douglas, J. ) 为解决极小曲面问题引进的一个泛函. 其表达式为
\[
A\left( h\right) = \frac{1}{4\pi }{\int }_{0}^{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{{\left( h\left( \theta \right) - h\left( \varphi \right) \right) }^{2}}{4{\sin }^{2}\left\lbrack {\left( {\theta - \varphi }\right) /2}\right\rbrack }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .
\]
狄利克雷泛函 (Dirichlet functional) 亦称狄里克雷积分. 表示弹性薄膜形变能的一个泛函. 设薄膜形状为
\[
u = u\left( {x, y}\right) \;\left( {\left( {x, y}\right) \in \Omega }\right) ,
\]
其形变能为
\[
J\left( u\right) = \frac{1}{2}{\iint }_{\Omega }\left( {{u}_{x}^{2} + {u}_{y}^{2}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y,
\]
此即狄利克雷泛函. 狄利克雷积分的欧拉-拉格朗日方程为拉普拉斯方程
\[
{\Delta u} = \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} = 0.
\]
狄利克雷积分 (Dirichlet's integral) 即 “狄利克雷泛函” (参见本卷《位势论》有关条目).
距离 (distance) 两个函数接近程度的一种度量. 对定义在 \( \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack \) 上的两个连续函数 \( {y}_{1}\left( x\right) \) , \( {y}_{2}\left( x\right) \) ,定义零级距离
\[
{d}_{0}\left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right) = \mathop{\max }\limits_{{x \in \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack }}\left| {{y}_{1}\left( x\right) - {y}_{2}\left( x\right) }\right|
\]
和一级距离
\[
{d}_{1}\left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right)
\]
\[
= {d}_{0}\left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right) + \mathop{\sup }\limits_{{x \in \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack \smallsetminus D}}\left| {{y}^{\prime }{}_{1}\left( x\right) - {y}^{\prime }{}_{2}\left( x\right) }\right| ,
\]
其中 \( D \) 表示 \( {y}^{\prime }{}_{1} \) 和 \( {y}^{\prime }{}_{2} \) 的间断点的集合. 类似地对任意整数 \( m \) 和 \( n \) 维欧氏空间中的区域 \( \Omega \) ,可定义函数之间的 \( m \) 级距离.
零级距离 (distance of 0 -order) 见 “距离”.
一级距离 (distance of 1-order) 见“距离”.
零级 \( \delta \) 邻域 (neighborhood of order 0 ) 一种函数集合. 设已知函数 \( {u}_{0}\left( x\right) ,\delta \) 为一正实数,则与给定函数 \( {u}_{0}\left( x\right) \) 的零级距离小于 \( \delta \) 的函数 \( u\left( x\right) \) 的集合称为 \( {u}_{0}\left( x\right) \) 的零级 \( \delta \) 邻域 (参见 “距离”).
一级 \( \delta \) 邻域 (neighborhood of order 1) 一种函数集合. 设已知函数 \( {u}_{0}\left( x\right) ,\delta \) 为一正实数,则与给定函数 \( {u}_{0}\left( x\right) \) 的一级距离小于 \( \delta \) 的函数 \( u\left( x\right) \) 的集合称为 \( {u}_{0}\left( x\right) \) 的一级 \( \delta \) 邻域 (参见 “距离”).
变分问题 (variational problem) 见“变分法”.
变分积分 (variational integral) 变分法中研究的主要泛函. 形如
\[
J\left( u\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
的泛函 \( J\left( u\right) \) 称为变分积分,函数 \( F\left( {x, z, p}\right) \) 称为变分被积函数或拉格朗日函数. \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域, \( z = \left( {{z}^{1},{z}^{2},\cdots ,{z}^{N}}\right) \in {\mathrm{R}}^{N}, p = \left( {p}_{\alpha }^{i}\right) = \left( {{p}_{1}^{1},{p}_{2}^{1},\cdots ,{p}_{n}^{1},}\right. \) \( \left. {\cdots ,{p}_{1}^{N},{p}_{2}^{N},\cdots ,{p}_{n}^{N}}\right) \in {\mathrm{R}}^{nN} \) 表示函数 \( u \) 对各自变量的偏导数,以下各词条中的记号 \( J\left( u\right) \) 均表示这一积分. 这里 \( u \) 也可以是向量值函数,当 \( u \) 是一元数量函数时,则用 \( y \) 表示, \( J\left( u\right) \) 记为 \( J\left( y\right) \) ,并称为最简变分积分.
变分被积函数 (variational integrand function) 见“变分积分”.
拉格朗日函数 (Lagrangian function) 见 “变分积分”.
容许函数 (admissible function) 一种特殊函数,指变分积分 \( J\left( u\right) \) 中满足一定条件的函数 \( u \) . 容许函数的集合称为容许函数类. 例如最速落径问题中的容许函数是满足
\[
y\left( 0\right) = 0,\;y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}
\]
的一次可微函数,测地线问题中的容许函数 \( v = \) \( v\left( u\right) \) 要使相应曲线在给定曲面上等.
本质边界条件 (essential boundary condition) 一种边界条件. 指预先对容许函数所加的边界条件. 例如狄利克雷条件和“横截性条件”中的 (1) 等 (参见 “横截性条件”).
固定边界变分问题 (fixed boundary variational problem) 一类变分问题. 指容许函数在其定义域的边界和边界上的值已给定的变分问题. 比如最速降线问题就是此类问题.
极值 (extremum) 变分法的一个基本概念. 泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值, 分别称为极大值或极小值, 统称为极值. 使泛函达到极值的变元函数称为极值函数, 若它为一元函数, 通常称为极值曲线. 极值也称为相对极值或局部极值.
极值函数 (extremum function) 见 “极值”.
极值曲线 (extremum curve) 见 “极值”.
强极值 (strong extremum) 在连续函数集中取得的极值. 如果泛函 \( J\left( y\right) \) 在某个函数 \( {y}_{0} \) 的某个零级邻域上取得极值, 那么这个极值称为强极值.
弱极值 (weak extremum) 在可微函数集内求得的极值. 如果泛函 \( J\left( y\right) \) 在容许函数类中某个函数 \( {y}_{0} \) 的某个一级邻域上取得极值,那么这个极值称为弱极值.
相对极值 (relative extreme value) 见 “极值”.
局部极值 (local extremum) 见 “极值”.
绝对极值 (abso |
2000_数学辞海（第3卷） | 116 | 分积分”.
拉格朗日函数 (Lagrangian function) 见 “变分积分”.
容许函数 (admissible function) 一种特殊函数,指变分积分 \( J\left( u\right) \) 中满足一定条件的函数 \( u \) . 容许函数的集合称为容许函数类. 例如最速落径问题中的容许函数是满足
\[
y\left( 0\right) = 0,\;y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}
\]
的一次可微函数,测地线问题中的容许函数 \( v = \) \( v\left( u\right) \) 要使相应曲线在给定曲面上等.
本质边界条件 (essential boundary condition) 一种边界条件. 指预先对容许函数所加的边界条件. 例如狄利克雷条件和“横截性条件”中的 (1) 等 (参见 “横截性条件”).
固定边界变分问题 (fixed boundary variational problem) 一类变分问题. 指容许函数在其定义域的边界和边界上的值已给定的变分问题. 比如最速降线问题就是此类问题.
极值 (extremum) 变分法的一个基本概念. 泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值, 分别称为极大值或极小值, 统称为极值. 使泛函达到极值的变元函数称为极值函数, 若它为一元函数, 通常称为极值曲线. 极值也称为相对极值或局部极值.
极值函数 (extremum function) 见 “极值”.
极值曲线 (extremum curve) 见 “极值”.
强极值 (strong extremum) 在连续函数集中取得的极值. 如果泛函 \( J\left( y\right) \) 在某个函数 \( {y}_{0} \) 的某个零级邻域上取得极值, 那么这个极值称为强极值.
弱极值 (weak extremum) 在可微函数集内求得的极值. 如果泛函 \( J\left( y\right) \) 在容许函数类中某个函数 \( {y}_{0} \) 的某个一级邻域上取得极值,那么这个极值称为弱极值.
相对极值 (relative extreme value) 见 “极值”.
局部极值 (local extremum) 见 “极值”.
绝对极值 (absolute extremum) 亦称全局极值, 泛函在整个容许函数类中取的最大值或最小值. 如果泛函 \( J\left( y\right) \) 在曲线 (或函数) \( y\left( x\right) \) 上的值不小于 (或不大于) \( J\left( y\right) \) 在某个 \( D \) 类曲线 (或函数) 中其他一切曲线 (或函数) 中的值,就称 \( J\left( y\right) \) 在 \( D \) 类曲线 (或函数) \( y\left( x\right) \) 处取绝对极大 (或极小) 值,统称绝对极值.
全局极值 (global extremum) 即 “绝对极值”.
函数的变分 (variation of function) 某一容许函数的整体改变. 若 \( {y}_{0} = {y}_{0}\left( x\right) \) 是容许函数类 \( Y \) 中固定的一个函数, \( y \) 为 \( Y \) 中另一函数,则函数 \( {\delta y} \) \( = y - {y}_{0} \) 称为 \( {y}_{0} \) 的变分. 变分经常写成含参数 \( \alpha \) 的形式: \( {\delta y} = {\alpha \eta } \) . 这样,泛函 \( J\left( y\right) \) 在 \( y \) 的值即可写成 \( J\left( {{y}_{0} + {\alpha \eta }}\right) \) ,固定 \( \eta \) 时,这是 \( \alpha \) 的数值函数,便可运用一元函数的极值理论探讨泛函的极值问题.
一阶变分 (first variation) 泛函沿任一函数方向的一阶微分. \( n \) 元数值函数
\[
u = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
在点 \( {x}^{0} = \left( {{x}_{1}^{0},{x}_{2}^{0},\cdots ,{x}_{n}^{0}}\right) \) 取极值的必要条件是对于 \( \forall \left( {\mathrm{d}{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2},\cdots ,\mathrm{d}{x}_{n}}\right) \in {\mathrm{R}}^{n}, \)
\[
\mathrm{d}f\left( {x}^{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial {x}_{1}}\left( {x}^{0}\right) \mathrm{d}{x}_{1} + \frac{\partial f}{\partial {x}_{2}}\left( {x}^{0}\right) \mathrm{d}{x}_{2}
\]
\[
+ \cdots + \frac{\partial f}{\partial {x}_{n}}\left( {x}^{0}\right) \mathrm{d}{x}_{n} = 0,
\]
即
\[
\frac{\partial f}{\partial {x}_{1}}\left( {x}^{0}\right) = \frac{\partial f}{\partial {x}_{2}}\left( {x}^{0}\right) = \cdots = \frac{\partial f}{\partial {x}_{n}}\left( {x}^{0}\right) = 0.
\]
点 \( {x}^{0} \) 称为 \( f \) 的稳定点. 函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}^{0} \) 沿方向
\[
\mathrm{d}x = \left( {\mathrm{d}{x}_{1},\mathrm{\;d}{x}_{2},\cdots ,\mathrm{d}{x}_{n}}\right)
\]
的微分也可表示为一元函数的导数形式, 即
\[
\mathrm{d}f\left( {x}^{0}\right) = {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }f\left( {x}^{0} + \alpha \mathrm{d}x\right) \right| }_{\alpha = 0}.
\]
为了研究泛函极值的必要条件, 就要引进与函数一阶微分相应的一阶变分概念. 给定泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
用 \( y + {\alpha \eta }\left( x\right) \) 替换 \( y \) ,得
\[
j\left( \alpha \right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F(x, y\left( x\right) + {\alpha \eta }\left( x\right) ,
\]
\[
\left. {{y}^{\prime }\left( x\right) + \alpha {\eta }^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x,
\]
其中 \( \alpha \) 为数值很小的参数, \( \eta \left( x\right) \) 是在区间端点处为零的任意可微函数.
\( j\left( \alpha \right) \) 在 \( \alpha = 0 \) 处的导数 \( {j}^{\prime }\left( 0\right) \) 称为泛函 \( J \) 的一阶变分,记为 \( {\delta J}.\eta \left( x\right) \) 为函数 \( y\left( x\right) \) 的一阶变分,记为 \( {\delta y} \) . 显然
\[
{\delta J} = {\left\lbrack {F}_{{y}^{\prime }}\delta y\right\rbrack }_{{x}_{0}^{1}}^{{x}_{1}} + {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\left( {{F}_{y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}^{\prime }}}\right) {\delta y}\mathrm{\;d}x.
\]
\( y\left( x\right) \) 使泛函取极值的必要条件是 \( {\delta J} = 0 \) .
变分法基本引理 (fundamental lemma of the calculus of variations) 用一函数与一类函数中任一函数的乘积的积分为零来判断这一函数是否恒等于零的定理. 该定理断言: 若 \( f \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域 \( \Omega \) 上的连续函数,对任意在 \( \partial \Omega \) 附近为零,在 \( \Omega \) 内无穷次可微的函数 \( \eta \left( x\right) \) ,有
\[
{\int }_{\Omega }f\left( x\right) \eta \left( x\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
则在 \( \Omega \) 内 \( f\left( x\right) \equiv 0 \) .
杜・布瓦-雷蒙引理 (Du Bois-Reymond lemma) 由一个函数的导数满足某个积分等式导出该函数为常数的一个定理. 该定理断言: 若 \( m\left( x\right) : \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack \rightarrow {\mathrm{R}}^{1} \) 是给定的分段连续函数,且对所有满足 \( \eta \left( {x}_{0}\right) = \eta \left( {x}_{1}\right) = \) 0 的分段光滑函数 \( \eta \) ,有
\[
{\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}m\left( x\right) {\eta }^{\prime }\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
则 \( m\left( x\right) = \) 常数 \( \left( {x \in \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack }\right) \) .
欧拉必要条件(Euler necessary condition) 弱局部极值的一个最基本的必要条件. 若 \( y = y\left( x\right) \) 使泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
在容许函数类 \( Y = \{ y \mid y \) 分段光滑, \( y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0} \) , \( \left. {y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}}\right\} \) 中取弱局部极小,则存在常数 \( C \) ,使得
\[
{F}_{{y}^{\prime }}\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{x}{F}_{x}\left( {s, y\left( s\right) ,{y}^{\prime }\left( s\right) }\right) \mathrm{d}s + C
\]
\[
\left( {x \in \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack }\right) \text{.}
\]
这一条件可由一阶变分 \( {\delta J} = 0 \) 和杜・布瓦-雷蒙引理导出.
欧拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 给出积分形式的泛函极值必要条件的微分方程, 简称欧拉方程. 设泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
其中 \( y\left( x\right) \) 满足边界条件
\[y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0},\;y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1},\]
且有直到二阶的连续导数. 若某个 \( y\left( x\right) \in {C}^{2} \) 使 \( J\left( y\right) \) 取得极值,则 \( y\left( x\right) \) 必定满足微分方程
\[{F}_{y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}^{\prime }} = 0.\]
(1)
方程 (1) 称为欧拉-拉格朗日方程.
泛函 \( J \) 的形式不同,其欧拉-拉格朗日方程的形式也不同. 若泛函
\[J\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) \]
\[ = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x,{y}_{1},{y}_{1}^{\prime },{y}_{2},{y}_{2}^{\prime },\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{n}}\right) \mathrm{d}x\]
满足边界条件
\[{y}_{k}\left( {x}_{0}\right) = {y}_{k}^{\left( 0\right) },{y}_{k}\left( {x}_{1}\right) = {y}_{k}^{\left( 1\right) }\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,\]
则相应的欧拉-拉格朗日方程为微分方程组
\[{F}_{{y}_{k}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}_{k}^{\prime }} = 0\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) .\]
若泛函
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime },\cdots ,{y}^{\left( n\right) }}\right) \mathrm{d}x\] 满足边界条件
\[
{y}^{\left( k\right) }\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}^{\left( k\right) },\;{y}^{\left( k\right) }\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}^{\left( k\right) }
\]
\[
\left( {k = 0,1,\cdots, n - 1}\right) ,
\]
则相应的欧拉-拉格朗日方程为 \( {2n} \) 阶微分方程
\[
{F}_{y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{{y}^{\prime }} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{F}_{{y}^{\left( n\right) }} = 0.
\]
若泛函 \( J \) 为重积分
\[
J\left( u\right) = {\iint }_{\Omega }F\left( {x, y, u,{u}_{x},{u}_{y}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y,
\]
函数 \( u\left( {x, y}\right) \) 有直到二阶连续偏导数, \( u \) 在边界 \( \partial \Omega \) 上的值是已知的, 则相应的欧拉-拉格朗日方程为偏微分方程
\[
{F}_{u} - \frac{\partial }{\partial x}{F}_{{u}_{x}} - \frac{\partial }{\partial y}{F}_{{u}_{y}} = 0.
\]
对一般变分积分
\[
{\int }_{\Omega }F\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
的极值点 \( u \) ,若 \( F \in {C}^{2}\left( \mathcal{U}\right) ,\mathcal{U} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{N} \times {\mathrm{R}}^{nN} \) 中的开集, \( u \in {C}^{2}\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{N}}\right) \) ,则 \( u \) 满足微分方程
\( {D}_{a}{F}_{{p}_{a}^{i}}\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) - {F}_{{u}^{i}}\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) = 0 \)
\[
\left( {1 \leq i \leq N}\right) \text{.}
\]
这里及后面均采用爱因斯坦 (Einstein, A. ) 对重复指标求和的约定. 例如, 求何种旋转曲面的面积最小时,可设母线为 \( y = u\left( x\right), a \leq x \leq b, u\left( x\right) > 0 \) ,它绕 \( x \) 轴旋转所得旋转曲面的面积
\[
\mathcal{A}\left( u\right) = {2\pi }{\int }_{a}^{b}u\sqrt{1 + {u}^{\prime 2}}\mathrm{\;d}x,
\]
则问题相当于求 \( \mathcal{A} \) 的极小值. 解相应欧拉-拉格朗日方程可得
\[
y = {c}_{1}\cosh \left( \frac{x - {c}_{2}}{{c}_{1}}\right) ,
\]
即平稳曲线 (旋转曲面的母线) 是悬链线.
欧拉-拉格朗日方程是欧拉 (Euler, L. ) 在 1736 年得到的, 不过这里采用的是拉格朗日 (Lagrange, J.-L. ) 于 1755 年给出的至今仍普遍采用的形式.
欧拉方程 (Euler equation) 即 “欧拉-拉格朗日方程”.
欧拉-拉格朗日方程的不变性 (invariance of the Euler equation.) 刻画变换前后欧拉-拉格朗日方程的关系的一个概念. 已给的变分问题中, 对容许函数的自变量做一变换, 变换后的泛函推出的欧拉-拉格朗日方程与原来的欧拉-拉格朗日方程等价, 这就是欧拉-拉格朗日方程的不变性.
平稳函数 (stationary function) 变分法中的一个概念. 满足欧拉-拉格朗日方程的函数称为平稳函数或平稳点, 而它相应的图象称为平稳曲线 (一个变量) 或平稳曲面 (二个变量). 泛函 (变分积分) 在平稳函数取的值称为平稳值.
平稳点 (stationary point) 即 “平稳函数”.
平稳值 (stationary value) 见“平稳函数”.
平稳曲线 (stationary curve) 见“平稳函数”.
平稳曲面 (stationary surface) 见 “平稳函数”.
内变分 (inner variation) 变分积分相对于未知函数的自变量的变化的变化率. 对一维情形, 设 \( \lambda \in {C}_{0}^{\infty }\left( I\right), I = \left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right) ,{\tau }_{\varepsilon }\left( x\right) = x + {\varepsilon \lambda }\left( x\right), x \in I, \) \( \left| \varepsilon \right| \leq {\varepsilon }_{0} \) ( \( {\varepsilon }_{0} \) 是适当小的正数),使 \( {\tau }^{\prime }{}_{\varepsilon }\left( x\right) > 0 \) . 令 \( {z}_{\varepsilon } \) \( = u \circ {\tau }_{\varepsilon }^{-1} \) . 若 \( y \) 是泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的极值函数, 则应有
\[
{\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon }J\left( {z}_{\varepsilon }\right) \right| }_{\varepsilon = 0} = 0.
\]
称上式为泛函 \( J \) 在 \( y \) 的沿 \( \lambda \) 方向的 (一阶) 内变分, 记为 \( \partial J\left( {y,\lambda }\right) \) .
若一个函数 \( y \) 使对任意 \( \lambda \in {C}_{0}^{\infty }\left( I\right) \) 有 \( \partial J\left( {y,\lambda }\right) \) \( = 0 \) ,则称 \( y \) 是 \( J \) 的内平稳函数. 每个内平稳函数 \( y \) \( \in {C}^{2}\left( {I,\mathrm{R}}\right) \) 满足方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {{y}^{\prime }{F}_{{y}^{\prime }} - F}\right) + {F}_{x}\lef |
2000_数学辞海（第3卷） | 117 | au }_{\varepsilon }\left( x\right) = x + {\varepsilon \lambda }\left( x\right), x \in I, \) \( \left| \varepsilon \right| \leq {\varepsilon }_{0} \) ( \( {\varepsilon }_{0} \) 是适当小的正数),使 \( {\tau }^{\prime }{}_{\varepsilon }\left( x\right) > 0 \) . 令 \( {z}_{\varepsilon } \) \( = u \circ {\tau }_{\varepsilon }^{-1} \) . 若 \( y \) 是泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的极值函数, 则应有
\[
{\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon }J\left( {z}_{\varepsilon }\right) \right| }_{\varepsilon = 0} = 0.
\]
称上式为泛函 \( J \) 在 \( y \) 的沿 \( \lambda \) 方向的 (一阶) 内变分, 记为 \( \partial J\left( {y,\lambda }\right) \) .
若一个函数 \( y \) 使对任意 \( \lambda \in {C}_{0}^{\infty }\left( I\right) \) 有 \( \partial J\left( {y,\lambda }\right) \) \( = 0 \) ,则称 \( y \) 是 \( J \) 的内平稳函数. 每个内平稳函数 \( y \) \( \in {C}^{2}\left( {I,\mathrm{R}}\right) \) 满足方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {{y}^{\prime }{F}_{{y}^{\prime }} - F}\right) + {F}_{x}\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = 0.
\]
这个方程称为诺特方程. 对一般的变分积分
\[
J\left( u\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x,
\]
设被积函数 \( F\left( {x, z, p}\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \times {\mathrm{R}}^{N} \times {\mathrm{R}}^{nN} \) 上有一阶连续微商. 令
\[
\xi \left( {y,\varepsilon }\right) = \xi \left( \varepsilon \right) = y + {\varepsilon \lambda }\left( y\right) \;\left( {\lambda \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) }\right) .
\]
这时称
\[
\partial J\left( {u,\lambda }\right) = {\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varepsilon }F\left( u \circ \xi \left( \varepsilon \right) \right) \right| }_{\varepsilon = 0}
\]
为泛函 \( J \) 在 \( u \) 的沿方向 \( \lambda \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) \) 的 (一阶) 内变分. 由
\[
{T}_{a}^{\beta } = {p}_{a}^{i}{F}_{{p}_{\beta }^{i}} - {\delta }_{a}^{\beta }F
\]
定义哈密顿张量 (能量一动量张量)
\[T\left( {x, z, p}\right) = \left( {{T}_{a}^{\beta }\left( {x, z, p}\right) }\right) ,\]
则
\[\partial J\left( {u,\lambda }\right) \]
\[ = {\int }_{\Omega }\left\lbrack {{T}_{\alpha }^{\beta }\left( {x, u,{Du}}\right) {\lambda }_{{x}_{\beta }}^{\alpha } - {F}_{{x}_{\alpha }}\left( {x, u,{Du}}\right) {\lambda }^{\alpha }}\right\rbrack \mathrm{d}x.\]
哈密顿张量 (Hamilton tensor) 见 “内变分”.
诺特方程 (Noether equation) 见 “内变分”.
典范方程组 (canonical form ofthe variational problem) 与欧拉-拉格朗日方程组等价的一阶微分方程组. 以最简变分积分 \( J\left( y\right) \) (参见 “变分积分”) 为例, 做变换
\[\pi = {F}_{{y}^{\prime }}, H\left( {x, y,\pi }\right) = \pi {y}^{\prime } - F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) ,\left( 1\right) \] 则与 \( J\left( y\right) \) 相应的二阶欧拉-拉格朗日方程可化为以 \( y,\pi \) 为未知函数的一阶微分方程组
\[
\frac{\mathrm{d}\pi }{\mathrm{d}x} + {H}_{y} = 0,\;\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} - {H}_{\pi } = 0.
\]
(2)
方程组 (2) 正是两个未知函数的变分积分
\[
J\left( {y,\pi }\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\left\lbrack {\pi \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} - H\left( {x, y,\pi }\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x
\]
(3)
的欧拉-拉格朗日方程.
一般地, 设一元向量函数的变分积分的拉格朗日函数 \( F\left( {x, z, p}\right) \) 满足 \( \det {F}_{pp}\left( {x, z, p}\right) \neq 0,\left( {x, z, p}\right) \) \( \in \Omega = \{ \left( {x, z, p}\right) \mid \left( {x, z}\right) \in G, p \in B\left( {x, z}\right) \}, B\left( {x, z}\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的开集, \( {F}_{pp}\left( {x, z, p}\right) \) 是以
\[
\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {p}_{i}\partial {p}_{j}}
\]
为元素的 \( N \times N \) 矩阵. 做勒让德变换
\[
\mathcal{L} : \Omega \rightarrow \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{N} \times {\mathrm{R}}^{N}
\]
\[
x = x, z = z, y = {F}_{p}\left( {x, z, p}\right) ,
\]
\[
\left( {x, z, y}\right) = \mathcal{L}\left( {x, z, p}\right) ,
\]
\[
H = \left\{ {p \cdot {F}_{p} - F}\right\} \circ {\mathcal{L}}^{-1}.
\]
令 \( \eta \left( x\right) = {F}_{p}\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) ,\eta \) 称为矩,二阶欧拉- 拉格朗日方程转换化为一阶方程组
\[
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{\;d}x} = {H}_{y}\left( {x, u\left( x\right) ,\eta \left( x\right) }\right) ,
\]
\[
\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}x} = - {H}_{z}\left( {x, u\left( x\right) ,\eta \left( x\right) }\right) .
\]
这个方程组称为典范方程组或哈密顿方程组, \( H \) 称为哈密顿函数. 光程函数 \( S \) (参见 “平稳曲线场”) 满足哈密顿-雅可比方程
\[
{S}_{x} + H\left( {x, z,{S}_{z}}\right) = 0.
\]
哈密顿方程组是变分积分
\[
I\left( {u,\eta }\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\left( {{u}^{\prime }\eta - H\left( {x, u,\eta }\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
或
\[
I\left( {u,\eta }\right) = - {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\left( {u{\eta }^{\prime } + H\left( {x, u,\eta }\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
的欧拉-拉格朗日方程. 若哈密顿函数不显含 \( x \) ,则 \( H \) 是运动常量,即沿任何解 \( u\left( x\right), H \) 是常数.
勒让德变换 (Legendre transform) 见“典范方程组”.
哈密顿方程组 (Hamilton system) 见 “典范方程组”.
哈密顿函数 (Hamiltonian function) 见 “典范方程组”.
雅可比定理 (Jacobi theorem) 用哈密顿-雅可比方程解哈密顿方程组的一个方法. 设 \( G \) 是 \( \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域, \( \mathcal{D} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的区域. 若 \( n + 1 \) 个变量 \( t, x \) \( = \left( {{x}^{1},{x}^{2},\cdots ,{x}^{n}}\right) \) 含 \( n \) 个参数 \( a = \left( {{a}^{1},{a}^{2},\cdots ,{a}^{n}}\right) \) 的函数 \( S\left( {t, x, a}\right) \) 满足下列条件:
1. \( S \in {C}^{2}\left( {G \times \mathcal{P}}\right) \) ,
\[
\det \left( {S}_{{x}^{i}{a}^{k}}\right) \neq 0\;\left( {\left( {t, x, z}\right) \in G \times \mathcal{P}}\right) .
\]
\[
\text{2.}{S}_{t}\left( {t, x, a}\right) + H\left( {t, x,{S}_{x}\left( {t, x, a}\right) }\right) = 0
\]
\[
\left( {\left( {t, x, a}\right) \in G \times \mathcal{P}}\right) ,
\]
则称函数 \( S\left( {t, x, a}\right) \) 是哈密顿-雅可比方程
\[
{S}_{t} + H\left( {t, x,{S}_{x}}\right) = 0
\]
(1)
的完全解.
若条件 2 中的方程换成方程
\[{S}_{t}\left( {t, x, a}\right) + H\left( {t, x,{S}_{x}\left( {t, x, a}\right) }\right) \]
\[ = \varphi \left( a\right) \left( {\left( {t, x, a}\right) \in G \times \mathcal{D}}\right) ,\]
其中 \( \varphi \in {C}^{2}\left( \mathcal{D}\right) \) ,则称函数 \( S\left( {t, x, a}\right) \) 是方程
\[{S}_{t} + H\left( {t, x,{S}_{x}}\right) = \varphi \left( a\right) \]
的完全解.
雅可比定理断言: 若 \( S\left( {t, x, a}\right) \) 是哈密顿-雅可比方程 (1) 的完全解,又设 \( x = X\left( {t, a, b}\right), y = Y(t, a \) , \( b) \) 是满足方程
\[{S}_{a}\left( {t, X\left( {t, a, b}\right), a}\right) = - b,\]
\[Y\left( {t, a, b}\right) = {S}_{x}\left( {t, X\left( {t, a, b}\right), a}\right) \]
的 \( {C}^{1} \) 类函数,则 \( X\left( {\cdot, a, b}\right), Y\left( {\cdot, a, b}\right) \) 是依赖 \( {2n} \) 个参数 \( a \) 和 \( b \) 的哈密顿方程组
\[\dot{x} = {H}_{y}\left( {t, x, y}\right) ,\dot{y} = - {H}_{x}\left( {t, x, y}\right) \]
(2)
的解. 例如, 最速降线是泛函
\[{\int }_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}w\left( x\right) \sqrt{1 + {\dot{x}}^{2}}\mathrm{\;d}t\]
\[w\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{{2g}\left( {h - x}\right) }}\]
的平稳函数. 拉格朗日函数是
\[L\left( {x, v}\right) = w\left( x\right) \sqrt{1 + {v}^{2}},\]
而哈密顿函数是
\[H\left( {x, y}\right) = - \sqrt{w{\left( x\right) }^{2} - {y}^{2}},\]
哈密顿-雅可比方程
\[{S}_{t} = \sqrt{{w}^{2}\left( x\right) - {S}_{x}^{2}}\]
\[{w}^{2}\left( x\right) = \frac{1}{{2g}\left( {h - x}\right) }\]
有解
\[S\left( {t, x, a}\right) \]
\[ = \frac{t}{2\sqrt{ag}} + \frac{1}{2\sqrt{g}}\int \sqrt{\frac{2}{h - x} - \frac{1}{a}}\mathrm{\;d}x,\]
进而解得 \( t = b + {a\varphi } - a\sin \varphi, x = h - a + a\cos \varphi \) .
哈密顿-雅可比方程 (Hamilton-Jacobi equation) 见“典范方程组”和“雅可比定理”.
典范变换 (canonical transformation) 保持典范方程组不变的变换. 对典范方程
\[\dot{x} = {H}_{p},\;p = - {H}_{x}\]
(1)
做可微同胚变换
\[\psi : {\mathrm{R}}^{2n} \rightarrow {\mathrm{R}}^{2n},\;\left( {x, p}\right) \rightarrow \left( {\xi ,\pi }\right) ,\]
如果方程 (1) 变换为
\[
\xi = {H}_{\pi }^{ * },\;\dot{\pi } = - {H}_{\xi }^{ * },
\]
(2)
其中 \( {H}^{ * }\left( {t,\xi \left( {x, p}\right) ,\pi \left( {x, p}\right) }\right) = H\left( {t, x, p}\right) \) ,则称 \( \psi \) 为典范变换. 若 \( \psi \) 满足
\[
{\left( \begin{array}{ll} \frac{\partial \xi }{\partial x} & \frac{\partial \xi }{\partial p} \\ \frac{\partial \pi }{\partial x} & \frac{\partial \pi }{\partial p} \end{array}\right) }^{-1} = \left( \begin{matrix} {\left( \frac{\partial \pi }{\partial p}\right) }^{T} & - {\left( \frac{\partial \xi }{\partial p}\right) }^{T} \\ - {\left( \frac{\partial \pi }{\partial x}\right) }^{T} & {\left( \frac{\partial \xi }{\partial x}\right) }^{T} \end{matrix}\right)
\]
(3)
则 \( \psi \) 是典范变换. 典范变换用来简化典范方程. 令
\[
J = \left( \begin{matrix} 0 & - {E}_{n} \\ {E}_{n} & 0 \end{matrix}\right) ,
\]
其中 \( {E}_{n} \) 是 \( n \) 阶单位矩阵,则当且仅当等式
\[
{\left( D\psi \right) }^{T}{JD\psi } = J
\]
成立时 \( \psi \) 是典范变换. 对每一典范变换,有
\[
\det {D\psi } = 1\text{.}
\]
若 \( u \in {C}^{2} \) 是典范变换,写成 \( x = X\left( {x, y}\right), y \) \( = Y\left( {x, y}\right) \) ,则存在 \( \psi \left( {x, y}\right) \) ,使
\[
{Y}_{i}\mathrm{\;d}{X}^{i} = {y}_{i}\mathrm{\;d}{x}^{i} + \mathrm{d}\psi \left( {x, y}\right)
\]
(这里前两项用了爱因斯坦和式约定, 即表示相应于 \( i \) 从 1 到 \( n \) 求和).
自然边界条件 (natural boundary condition)
一种边界条件. 指对容许函数在固定边界上的值不加限制的情形下, 极值函数由于使得一阶变分为零而在边界上必须满足的条件. 设拉格朗日函数
\[
F\left( {x, z,{Du}}\right) \in {C}^{2}\left( U\right) ,
\]
\[
u \in {C}^{1}\left( {\bar{\Omega },{\mathrm{R}}^{n}}\right) \cap {C}^{2}\left( {\Omega ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) ,
\]
\[
{\delta J}\left( {u,\varphi }\right) = 0\;\left( {\forall \varphi \in {C}^{1}\left( {\bar{\Omega },{\mathrm{R}}^{N}}\right) }\right) ,
\]
则 \( u \) 在 \( \partial \Omega \) 上满足的自然边界条件为
\[
{\nu }_{a}{F}_{{p}_{a}^{i}}\left( {x, u,{Du}}\right) = 0\left( {i = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
其中, \( \nu = \nu \left( x\right) = \left( {{\nu }_{1}\left( x\right) ,{\nu }_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{\nu }_{n}\left( x\right) }\right) \) 是 \( \partial \Omega \) 在 \( x \) 点的单位外法向. 例如, 狄利克雷积分
\[
D\left( u\right) = {\int }_{\Omega }{\left| Du\right| }^{2}\mathrm{\;d}x
\]
的极值函数满足的自然边界条件是,在 \( \partial \Omega \) 上
\[
\frac{\partial u}{\partial \nu } = 0
\]
此即诺伊曼条件 (参见本卷《偏微分方程》同名条).
横截性条件 (transversality condition) 当容许函数在固定边界满足一定的约束的情形时, 由变分为零导出的极值函数在边界上满足的条件. 变分积分
\[
J\left( u\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, u,{Du}}\right) \mathrm{d}x
\]
的积分区域 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界区域, \( \partial \Omega \in {C}^{1}, u \) 满足边界条件
\[
G\left( {x, u\left( x\right) }\right) = 0\;\left( {x \in \p |
2000_数学辞海（第3卷） | 118 | elta J}\left( {u,\varphi }\right) = 0\;\left( {\forall \varphi \in {C}^{1}\left( {\bar{\Omega },{\mathrm{R}}^{N}}\right) }\right) ,
\]
则 \( u \) 在 \( \partial \Omega \) 上满足的自然边界条件为
\[
{\nu }_{a}{F}_{{p}_{a}^{i}}\left( {x, u,{Du}}\right) = 0\left( {i = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
其中, \( \nu = \nu \left( x\right) = \left( {{\nu }_{1}\left( x\right) ,{\nu }_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{\nu }_{n}\left( x\right) }\right) \) 是 \( \partial \Omega \) 在 \( x \) 点的单位外法向. 例如, 狄利克雷积分
\[
D\left( u\right) = {\int }_{\Omega }{\left| Du\right| }^{2}\mathrm{\;d}x
\]
的极值函数满足的自然边界条件是,在 \( \partial \Omega \) 上
\[
\frac{\partial u}{\partial \nu } = 0
\]
此即诺伊曼条件 (参见本卷《偏微分方程》同名条).
横截性条件 (transversality condition) 当容许函数在固定边界满足一定的约束的情形时, 由变分为零导出的极值函数在边界上满足的条件. 变分积分
\[
J\left( u\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, u,{Du}}\right) \mathrm{d}x
\]
的积分区域 \( \Omega \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的有界区域, \( \partial \Omega \in {C}^{1}, u \) 满足边界条件
\[
G\left( {x, u\left( x\right) }\right) = 0\;\left( {x \in \partial \Omega }\right) ,
\]
(1)
其中 \( G\left( {x, z}\right) = \left( {{G}^{1}\left( {x, z}\right) ,\cdots ,{G}^{r}\left( {x, z}\right) }\right) \left( {z \in {\mathrm{R}}^{N};1}\right. \) \( \leq r \leq N - 1) \) . 设 \( {G}^{i} \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 上属 \( {C}^{2},{G}_{z} = \left( {G}_{{z}^{k}}^{i}\right) \) 在集
\[
\{ \left( {x, z}\right) \mid x \in \partial \Omega, G\left( {x, z}\right) = 0\}
\]
的每点秩为 \( r \) . 对每一 \( x \in \partial \Omega \) ,集合
\[
M\left( x\right) = \left\{ {z \in {\mathrm{R}}^{N} \mid G\left( {x, z}\right) = 0}\right\}
\]
是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的 \( \left( {N - r}\right) \) 维流形,法向量场是 \( {G}_{z}^{i}\left( {x, z}\right) \) \( \left( {1 \leq i \leq r}\right) \) .
若 \( u \in {C}^{1}\left( {\bar{\Omega },{\mathrm{R}}^{N}}\right) \cap {C}^{2}\left( {\partial \Omega ,{\mathrm{R}}^{N}}\right) \) 是泛函 \( J \) 在边界约束 (1) (即 \( u\left( x\right) \in M\left( x\right) \) ) 下的平稳函数,则 \( u \) 满足边界条件
\[\left( {\nu \cdot {F}_{p}}\right) \left( x\right) \bot {T}_{u\left( x\right) }M\left( x\right) \;\left( {x \in \partial \Omega }\right) ,\]
(2)
其中 \( \nu = \left( {{\nu }_{1},{\nu }_{2},\cdots ,{\nu }_{n}}\right) \) 是 \( \partial \Omega \) 的单位外法向, \( {F}_{p} \) 的分量是
\[\frac{\partial F}{\partial {p}_{a}^{i}} = {F}_{{p}_{a}^{i}}\]
\( {T}_{u\left( x\right) }M\left( x\right) \) 表示 \( M\left( x\right) \) 在 \( u\left( x\right) \) 的切空间. 条件 (2) 表明在 \( \partial \Omega \) 上分量为
\[{Z}_{i}\left( x\right) = {\nu }_{\alpha }\left( x\right) {F}_{{p}_{\alpha }^{i}}\left( {x, u\left( x\right) ,\left( x\right) }\right) \]
的向量 \( Z\left( x\right) = \left( {{Z}_{1}\left( x\right) ,{Z}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{Z}_{N}\left( x\right) }\right) \) 正交于流形 \( M\left( x\right) \) . 条件 (2) 称为横截性条件 (参见本卷《偏微分方程》同名条).
例如,设 \( J\left( u\right) \) 是某路径 \( z = u\left( t\right) \left( {{t}_{1} \leq t \leq {t}_{2}}\right) \) 的加权距离, 则
\[J\left( u\right) = {\int }_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}\omega \left( u\right) \left| \dot{u}\right| \mathrm{d}t,\]
权 \( \omega \left( z\right) > 0 \) 并且是 \( {C}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{N}\right) \) 类的. 此时横截性条件 (2) 等价于正交条件. 即连结 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中一固定点 \( P \) 和 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中某流形 \( M \) 上的某点的最短路径必和 \( M \) 交成直角.
自由横截性条件 (free transversality condition) 由变分为零导出的极值函数在变动边界上满足的条件. 设泛函
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,\]
\( \left( {{x}_{0},{y}_{0}}\right) \) 为固定端, \( \left( {{x}_{1},{y}_{1}}\right) \) 为变动端,在曲线 \( \lambda \) 上移动, \( \lambda \) 的斜率为 \( {\bar{y}}^{\prime } \) ,极值曲线的自由横截性条件为
\[F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) + \left( {{\bar{y}}^{\prime } - {y}^{\prime }}\right) {F}_{{y}^{\prime }}\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = 0.\]
这一等式建立了平稳曲线的切线斜率与曲线 \( \lambda \) 的切线斜率的关系. 这里的自由端在曲线 \( \lambda \) 上移动,称为变动端点, 相应变分问题称为变动边界变分问题.
对于一元向量值函数 \( u \in {C}^{2}\left( {\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{N}}\right) \) ,若 \( F \) \( \in {C}^{2}, u \) 是
\[J\left( u\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x\]
的极小函数 (或平稳点), \( \left( {b, u\left( b\right) }\right) \) 固定,而 \( \left( {a, u\left( a\right) }\right) \) 在 \( {\mathrm{R}}^{N + 1} \) 中的正则曲面 \( \mathcal{M} \) 上移动, \( \mathcal{M} : G\left( {x, z}\right) = 0 \) , 则曲线 \( z = u\left( x\right) \) 和曲面 \( \mathcal{M} \) 在曲线的左端点 \( {P}_{1} \) \( = \left( {a, u\left( a\right) }\right) \) 自由横截,即满足下列横截性条件:
1. \( G\left( {a, u\left( a\right) }\right) = 0 \) ,即 \( {P}_{1} \in \mathcal{M} \) .
2. 向量 \( \mathcal{N}\left( a\right) = {\left. \left( F - {u}^{\prime } \cdot {F}_{p},{F}_{p}\right) \right| }_{x = a} \) 正交于 \( \mathcal{M} \) 在 \( {P}_{1} \) 的切空间 \( {T}_{P}\mathcal{M} \) .
变动边界的横截性条件称为自由横截性条件. 例如,设 \( F\left( {x, z, p}\right) = \omega \left( {x, z}\right) \sqrt{1 + {\left| p\right| }^{2}}\left( {\omega > 0}\right) \) ,则 \( z \) \( = u\left( x\right) \) 和 \( \mathcal{M} \) 在 \( x = a \) 的自由横截性条件就是曲线 \( z = u\left( x\right) \) 与曲面 \( \mathcal{M} \) 在 \( {P}_{1} = \left( {a, u\left( a\right) }\right) \) 的正交性. 这是因为
\[
\left( {F - p \cdot {F}_{p},{F}_{p}}\right) = \frac{\omega \left( {x, z}\right) }{\sqrt{1 + {\left| p\right| }^{2}}}\left( {1, p}\right) .
\]
变动边界变分问题 (variable boundary variational problem) 见“自由横截性条件”.
自然约束 (natural constraint) 函数在边界由于使泛函变分为零而满足的条件.
艾德曼-外尔斯特拉斯角条件 (Erdmann-Weierstrass corner condition) 泛函的极值曲线在其角点处应满足的条件. 例如,若 \( y = y\left( x\right) \) 是泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的极值曲线, \( \left( {{x}_{c}, y\left( {x}_{c}\right) }\right) \) 是 \( y = y\left( x\right) \) 的一个角点,则有
\[
{F}_{{y}^{\prime }}\left( {{x}_{c}, y\left( {x}_{c}\right) ,{y}^{\prime }\left( {{x}_{c} - 0}\right) }\right)
\]
\[
= {F}_{{y}^{\prime }}\left( {{x}_{c}, y\left( {x}_{c}\right) ,{y}^{\prime }\left( {{x}_{c} + 0}\right) }\right) \text{.}
\]
\[
F\left( {{x}_{c}, y\left( {x}_{c}\right) ,{y}^{\prime }\left( {{x}_{c} - 0}\right) }\right)
\]
\[
- {y}^{\prime }\left( {{x}_{c} - 0}\right) {F}_{y}\left( {{x}_{c}, y\left( {x}_{c}\right) ,{y}^{\prime }\left( {{x}_{c} - 0}\right) }\right)
\]
\[
= F\left( {{x}_{c}, y\left( {x}_{c}\right) ,{y}^{\prime }\left( {{x}_{c} + 0}\right) }\right)
\]
\[
- {y}^{\prime }\left( {{x}_{c} + 0}\right) {F}_{y}\left( {x, y\left( {x}_{c}\right) ,{y}^{\prime }\left( {{x}_{c} + 0}\right) }\right) .
\]
条件极值 (conditional extremum) 泛函 \( J \) 在某附加条件下的极值. 例如, 泛函
\[
J\left( {y, z}\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }, z,{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
函数 \( y, z \) 除满足固定边界条件
\[
y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0}, y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}, z\left( {x}_{0}\right) = {z}_{0}, z\left( {x}_{1}\right) = {z}_{1}
\]
之外还满足一个附加条件
\[
G\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) = 0\;\left( {{x}_{0} \leq x \leq {x}_{1}}\right) ,
\]
或
\[
{\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}H\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x = l.
\]
这种问题的极值称为条件极值. 附加条件称为约束. 不含导数的约束,如 \( G\left( {x, y, z}\right) = 0 \) ,称为有限约束或完整约束; 含导数的约束,如 \( G\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) = 0 \) , 称为微分约束或非完整约束.
约束 (constraint) 见 “条件极值”.
有限约束 (finite constraint) 见 “条件极值”.
微分约束 (differential constraint) 见 “条件极值”.
完整约束 (holonomic constraint) 见 “条件极值”.
非完整约束 (nonholonomic constraint) 见 “条件极值”.
广义等周问题 (generated isoperimetric problem) 古典等周问题的一种推广. 例如, 求一个函数 (或相应的曲线) \( y\left( x\right) \) ,它满足边界条件
\[
y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0},\;y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}
\]
(1)
和附加条件
\[
{J}_{1} = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}G\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x = C\text{ (常数),}
\]
(2)
并使泛函
\[
J = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
(3)
取极值, 就是一个广义等周问题.
广义等周问题是一个条件极值问题, 条件 (2) 为该问题的约束, 称为等周约束.
等周约束 (isoperimetric constraint) 见 “广义等周问题”.
对偶性质 (duality property) 广义等周问题解的一种性质. 在条件
\[
K\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}G\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x = \text{ 常数 }
\]
之下求解
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x = \text{ 稳定值 }\]
的问题,与在 “ \( J\left( y\right) = \) 常数”条件下求 “ \( K\left( y\right) = \) 稳定值”的问题, 具有相同的平稳曲线族, 这类似于周长一定时面积最大的矩形和面积一定时周长最小的矩形的解都是正方形.
欧拉-拉格朗日定理 (Euler-Lagrange theorem) 把条件极值化归为没有约束条件的极值的一个定理. 欧拉-拉格朗日定理中诸符号与条件均取自词条 “广义等周问题”.
欧拉-拉格朗日定理断言: 若函数 (或曲线) \( y\left( x\right) \) 在条件 (2) 及边界条件 (1) 之下, 给泛函 (3) 以极值, 且若 \( y\left( x\right) \) 是满足条件 (2) 的泛函 \( J \) 的平稳函数 (参见 “广义等周问题”),则存在这样一个常数 \( \lambda \) ,使 \( y\left( x\right) \) 是泛函
\[\widehat{J} = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}H\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\]
的平稳函数,其中 \( H = F + {\lambda G} \) . 常数 \( \lambda \) 称为欧拉-拉格朗日乘数.
欧拉-拉格朗日乘数 (Euler-Lagrange multiplier) 见“欧拉-拉格朗日定理”.
拉格朗日乘数 (Lagrange multiplier) 即“欧拉 -拉格朗日乘数”.
博尔查问题 (Bolza problem) 混合型泛函的一种特定形式的条件极值问题. 由博尔查 (Bolza, O. ) 于 1913 年的一篇研究迈尔问题的文章中提出. 混合型泛函形如
\[J\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}}\right) = {\left. G\left( x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n}\right) \right| }_{{x}_{0}^{1}}^{{x}_{1}}\]
\[
+ {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{1},{y}^{\prime }{}_{2},\cdots ,{y}^{\prime }{}_{n}}\right) \mathrm{d}x,
\]
约束条件是
\[
{\Phi }_{j}\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{1},{y}^{\prime }{}_{2},\cdots ,{y}^{\prime }{}_{n}}\right) = 0
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots, m;m < n}\right) ,
\]
边界条件是
\[
{B}_{i}\left( {{x}_{0},{y}_{10},{y}_{20},\cdots ,{y}_{n0}}\right) = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, q}\right) ,
\]
\[
{B}_{j}\left( {{x}_{1},{y}_{11},{y}_{21},\cdots ,{y}_{n1}}\right) = 0
\]
\[
\left( {j = q + 1, q + 2,\cdots, p, p \leq {2n} + 2}\right) \text{.}
\]
当 \( G = 0 \) 时,称为拉格朗日问题; 当 \( F \equiv 0 \) 时,称为迈尔问题.
博尔查问题、拉格朗日问题与迈尔问题可以互相转化.
迈尔问题 (Mayer problem) 见 “博尔查问题”.
拉格朗日问题 (Lagrange problem) 对容许函数加以逐点约束的泛函条件极值问题. 如果目标泛函是
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
(1)
除了边界上受到某种约束以外,对所求函数 \( y \) 及其导数加上在诸点 \( x \in \left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right) \) 满足关系
\[
\Phi \left( {x, y,{y}^{\ |
2000_数学辞海（第3卷） | 119 | F\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{1},{y}^{\prime }{}_{2},\cdots ,{y}^{\prime }{}_{n}}\right) \mathrm{d}x,
\]
约束条件是
\[
{\Phi }_{j}\left( {x,{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},{y}^{\prime }{}_{1},{y}^{\prime }{}_{2},\cdots ,{y}^{\prime }{}_{n}}\right) = 0
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots, m;m < n}\right) ,
\]
边界条件是
\[
{B}_{i}\left( {{x}_{0},{y}_{10},{y}_{20},\cdots ,{y}_{n0}}\right) = 0\;\left( {i = 1,2,\cdots, q}\right) ,
\]
\[
{B}_{j}\left( {{x}_{1},{y}_{11},{y}_{21},\cdots ,{y}_{n1}}\right) = 0
\]
\[
\left( {j = q + 1, q + 2,\cdots, p, p \leq {2n} + 2}\right) \text{.}
\]
当 \( G = 0 \) 时,称为拉格朗日问题; 当 \( F \equiv 0 \) 时,称为迈尔问题.
博尔查问题、拉格朗日问题与迈尔问题可以互相转化.
迈尔问题 (Mayer problem) 见 “博尔查问题”.
拉格朗日问题 (Lagrange problem) 对容许函数加以逐点约束的泛函条件极值问题. 如果目标泛函是
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
(1)
除了边界上受到某种约束以外,对所求函数 \( y \) 及其导数加上在诸点 \( x \in \left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right) \) 满足关系
\[
\Phi \left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = 0,
\]
在这种类型的约束之下, 这种泛函的条件极值问题称为拉格朗日问题.
关于拉格朗日问题的极值曲线有以下两个结论:
1. 若曲线 \( C : y = y\left( x\right) \) 在整约束
\[
\Phi \left( {x, y}\right) = 0\;\left( {x \in \left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right) }\right)
\]
及边界条件
\[
y\left( {x}_{0}\right) = {y}_{0},\;y\left( {x}_{1}\right) = {y}_{1}
\]
(2)
之下实现泛函 (1) 的极值,且沿曲线 \( C \) 满足 \( {\Phi }_{y} \neq 0 \) , 则存在函数 \( \lambda \left( x\right) \) ,使 \( C \) 成为泛函
\[
I\left( y\right) = {\int }_{{x}_{1}}^{{x}_{1}}H\left( {x, y,{y}^{\prime },\lambda }\right) \mathrm{d}x
\]
(3)
的极值曲线, 其中
\[
H\left( {x, y,{y}^{\prime },\lambda }\right) = F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) + \lambda \left( x\right) \Phi \left( {x, y}\right) .
\]
2. 若曲线 \( C : y = y\left( x\right) \) 在非整约束
\[
\Phi \left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) = 0\;\left( {x \in \left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right) }\right)
\]
和边界条件 (2) 之下实现泛函 (1) 的极值, 且沿曲线 \( C,{\Phi }_{{y}^{\prime }} \neq 0 \) ,则存在函数 \( \lambda \left( x\right) \) ,使 \( C \) 成为泛函 (3) 的平稳曲线, 其中
\[
H\left( {x, y,{y}^{\prime },\lambda }\right) = F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) + \lambda \left( x\right) \Phi \left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) .
\]
二阶变分 (second variation) 泛函沿任一函数方向的二阶微分. \( n \) 元二次可微数值函数 \( y = f\left( {x}_{1}\right. \) , \( \left. {{x}_{2},\cdots {x}_{n}}\right) \) 在稳定点 \( {x}^{0} = \left( {{x}_{1}^{0},{x}_{2}^{0},\cdots ,{x}_{n}^{0}}\right) \) 取极小值的必要条件是黑塞矩阵
\[
\frac{{\partial }^{2}f\left( {x}^{0}\right) }{\partial {x}_{i}\partial {x}_{j}}
\]
半正定,而此黑塞矩阵正定是 \( f \) 在稳定点 \( {x}^{0} \) 取极小值的充分条件. 与此类似, 为讨论泛函的平稳函数取极值的必要条件和充分条件, 也需引进泛函的二阶变分, 以及相应泛函在平稳函数取极值的判别法. 对于给定的泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
如果用 \( y\left( x\right) + {\alpha \eta }\left( x\right) \) 代替泛函 \( J \) 的被积表达式中的 \( y \) 得 \( J\left( \alpha \right) \) ,泛函 \( J \) 的二阶变分相应于 \( J\left( \alpha \right) \) 按 \( \alpha \) 幂的展开式中含 \( {\alpha }^{2} \) 的那个项的系数. 记 \( J \) 的二阶变分为 \( {\delta }^{2}J \) ,即
\[{\delta }^{2}J = {\delta }^{2}J\left( {y,\eta }\right) = {\left\lbrack \frac{{\mathrm{d}}^{2}J\left( \alpha \right) }{\mathrm{d}{\alpha }^{2}}\right\rbrack }_{a = 0}.\]
对于泛函 \( J\left( y\right) \) 有
\[{\delta }^{2}J = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\left( {P{\eta }^{2} + {2Q\eta }{\eta }^{\prime } + R{\eta }^{\prime 2}}\right) \mathrm{d}x,\]
其中 \( P = {F}_{yy}, Q = {F}_{y{y}^{\prime }}, R = {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} \) . 或
\[{\delta }^{2}J = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}\left( {S{\eta }^{2} + R{\eta }^{\prime 2}}\right) \mathrm{d}x,\]
\[S = {F}_{yy} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{F}_{y{y}^{\prime }}\]
对于泛函
\[J\left( u\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, u,{Du}}\right) \mathrm{d}x,\]
\[{\delta }^{2}J\left( {u, v}\right) = 2{\int }_{\Omega }Q\left( {x, v\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x,\]
其中
\[Q\left( {x, z, p}\right) \]
\[ = \frac{1}{2}\left( {{F}_{{z}^{i}{z}^{k}}{z}^{i}{z}^{k} + 2{F}_{{z}^{i}{p}_{\beta }^{k}}{z}^{i}{p}_{\beta }^{k} + {F}_{{p}_{a}^{i}{p}_{\beta }^{k}}{p}_{a}^{i}{p}_{\beta }^{k}}\right) ,\]
\[{F}_{{z}^{i}{z}^{k}} = {F}_{{z}^{i}{z}^{k}}\left( {x, u,{Du}}\right) .\]
它们与泛函
\[\mathcal{Q}\left( v\right) = {\int }_{\Omega }Q\left( {x, v\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x\]
对应的变分问题称为附属变分问题.
附属变分问题 (accessory variational problem) 见“二阶变分”.
勒让德条件 (Legendre condition) 弱极值的一个必要条件. 平稳函数 \( y\left( x\right) \) 使泛函
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\]
取极小值 (或极大值) 的必要条件是
\[{F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} \geq 0\text{ (或 }{F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} \leq 0\text{ ),}\]
称其为勒让德条件. 此外, 若沿着场的平稳曲线满足条件 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} > 0 \) ,则称为严格勒让德条件. 若
\( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }}\left( {x, y,\widetilde{p}}\right) > 0\left( {x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\widetilde{p} \in \mathrm{R}}\right) , \)
则称为强勒让德条件.
对一般的 \( F\left( {x, z, p}\right) \) ,勒让德条件是
\[
{F}_{{p}_{\alpha }^{i}{p}_{\beta }^{k}}\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) {\xi }^{i}{\xi }^{k}{\eta }_{\alpha }{\eta }_{\beta } \geq 0
\]
\[
\left( {x \in \Omega ,\xi \in {\mathrm{R}}^{N},\eta \in {\mathrm{R}}^{n}}\right) \text{;}
\]
对强勒让德条件, “≥”改为 “>”.
勒让德条件是勒让德 (Legendre, A. -M. ) 于 1786 年得到的.
严格勒让德条件(strict Legendre condition) 见“勒让德条件”.
强勒让德条件 (strong Legendre condition) 见“勒让德条件”.
雅可比条件 (Jacobi condition) 由附属变分问题的欧拉-拉格朗日方程导出的一个取弱极值的光滑函数满足的必要条件. 对于泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的极值函数 \( \bar{y}\left( x\right) \) ,附属变分问题的极值函数满足雅可比方程
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {R{u}^{\prime }}\right) - {Su} = 0,
\]
(1)
其中
\[
R = {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }}\left( {x,\bar{y},{\bar{y}}^{\prime }}\right) ,
\]
\[
S = {F}_{yy}\left( {x,\bar{y},{\bar{y}}^{\prime }}\right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {{F}_{y{y}^{\prime }}\left( {x,\bar{y},{\bar{y}}^{\prime }}\right) }\right) .
\]
而下式
\[
{\mathcal{J}}_{\bar{y}}u = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {R{u}^{\prime }}\right) - {Su}
\]
称为雅可比算子. 对一般拉格朗日函数 \( F\left( {x, z, p}\right) \) , 雅可比算子是
\[
{\mathcal{J}}_{u} : {C}^{2}\left( {\bar{\Omega },{\mathrm{R}}^{N}}\right) \rightarrow {C}^{0}\left( {\bar{\Omega },{\mathrm{R}}^{N}}\right) ,
\]
\[
{\mathcal{J}}_{u}\varphi = {F}_{zz} \cdot \varphi + {F}_{zp} \cdot \mathrm{D}\varphi
\]
\[
- \operatorname{div}\left\{ {{F}_{pz} \cdot \varphi + {F}_{pp} \cdot \mathrm{D}\varphi }\right\} ,
\]
或用分量写出
\[
{\left( {\mathcal{J}}_{u}\varphi \right) }_{i} = {F}_{{z}^{i}{z}^{k}}{\varphi }^{k} + {F}_{{z}^{i}{p}_{\beta }^{k}}{\mathrm{D}}_{\beta }{\varphi }^{k}
\]
\[
- {\mathrm{D}}_{a}\left\{ {{F}_{{p}_{a}^{i}{z}^{k}}{\varphi }^{k} + {F}_{{p}_{a}^{i}{p}_{\beta }^{k}}{\mathrm{D}}_{\beta }{\varphi }^{k}}\right\} ,
\]
\( {F}_{zz},{F}_{zp},{F}_{pp} \) 中的变量是:
\[
\left( {x, u\left( x\right) ,\mathrm{D}u\left( x\right) }\right) \text{,}
\]
\[
u\left( x\right) = \left( {{u}^{1}\left( x\right) ,{u}^{2}\left( x\right) ,\cdots ,{u}^{N}\left( x\right) }\right) ,
\]
\[
\mathrm{D}u\left( x\right) = {\left( \frac{\partial {u}^{i}}{\partial {x}_{\alpha }}\right) }_{1 \leq i \leq N,1 \leq \alpha \leq n.}
\]
若 \( \bar{u} \) 是雅可比方程 (1) 在 \( \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{2}}\right\rbrack \) 上的一个解, \( \bar{u}\left( {x}_{0}\right) = \bar{u}\left( {x}_{2}\right) = 0 \) ,在 \( \left( {{x}_{0},{x}_{2}}\right) \) 上 \( \bar{u}\left( x\right) \neq 0 \) ,则称 \( {x}_{2} \) 是 \( {x}_{0} \) 的一个共轭值,而点 \( \left( {{x}_{2},\bar{y}\left( {x}_{2}\right) }\right) \) 称为点 \( \left( {{x}_{0},\bar{y}\left( {x}_{0}\right) }\right) \) 的一个共轭点; 如果在 \( \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right) \) 上不存在 \( {x}_{0} \) 的共轭值,则称 \( \bar{y} \) 满足雅可比条件; 如果在 \( \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack \) 上不存在 \( {x}_{0} \) 的共轭值,则称 \( \bar{y} \) 满足强雅可比条件. 这个条件是勒让德条件发现 50 余年后, 雅可比 (Jacobi, C. G. J. ) 在 1838 年的一篇文章中提出的.
共轭点的几何意义: 设平稳曲线 \( y = \bar{y}\left( x\right) \) 过点 \( A \) 和点 \( B \) . 从 \( A \) 出发的中心平稳曲线场 \( y = y\left( {x, c}\right) \) 的包络与曲线 \( y = \bar{y}\left( x\right) \) 的切点 \( {A}^{ * } \) 即是 \( A \) 的共轭点.
为验证 \( {x}_{2} \) 是否为共轭值,需要求雅可比方程的通解. 雅可比方程既然为线性齐次方程, 为求其通解, 只需求两个线性无关解即可. 关于雅可比方程的解, 有下列结果:
1. \( {x}_{0} \) 的共轭值不依赖于雅可比方程的解.
2. 若 \( y\left( x\right) \) 是泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的欧拉-拉格朗日方程的通解, \( y\left( x\right) = g\left( {x,\alpha ,\beta }\right) ,\alpha \) , \( \beta \in \mathrm{R} \) ,又参数 \( {\alpha }^{ * } \) 和 \( {\beta }^{ * } \) 使下列边界条件满足:
\[{y}_{0} = g\left( {{x}_{0},{\alpha }^{ * },{\beta }^{ * }}\right) ,\]
\[{y}_{1} = g\left( {{x}_{1},{\alpha }^{ * },{\beta }^{ * }}\right) ,\]
则
\[{\eta }_{1}\left( x\right) = {g}_{a}\left( {x,{\alpha }^{ * },{\beta }^{ * }}\right) ,\]
\[{\eta }_{2}\left( x\right) = {g}_{\beta }\left( {x,{\alpha }^{ * },{\beta }^{ * }}\right) \]
是雅可比方程的两个线性无关解.
如果光滑函数 \( \bar{y} \) 使泛函
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\]
在 \( \bar{y} \) 上取极小 (或极大),又设沿 \( \bar{y} \) 满足严格勒让德条件
\[{F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }}\left( {x,\bar{y}\left( x\right) ,{\bar{y}}^{\prime }\left( x\right) }\right) > 0\;\left( {x \in \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack }\right) \;\left( 2\right) \] (对于极大,不等式 (2) 反向),则不存在 \( {x}_{0} \) 的共轭值 \( {x}_{2} < {x}_{1} \) (即 \( \bar{y} \) 满足雅可比条件).
雅可比方程 (Jacobi equation) 见 “雅可比条件”.
雅可比算子 (Jacobi operator) 见 “雅可比条件”.
强雅可比条件 (strong Jacobi condition) 见 “雅可比条件”.
共轭点 (conjugate point) 见“雅可比条件”.
共轭值 (conjugate value) 见“雅可比条件”.
弱极值的必要条件 (necessary conditions of weak extremum) 取弱极值的函数必须满足的条件. 若泛函
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\]
在曲线 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 上取得弱极小,则有以下必要条件:
1. \( {y}_{0}\left( x\right) \) 是 \( J\left( y\right) \) 的平稳曲线,即满足 \( J\left( y\right) \) 的欧拉-拉格朗日方程.
2. 沿 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 满足勒让德条件 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} \geq 0 \) .
3. 如果沿 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 有 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} > 0 \) ,则 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 满足雅可比条件.
弱极值的充分条 |
2000_数学辞海（第3卷） | 120 | prime }}\left( {x,\bar{y}\left( x\right) ,{\bar{y}}^{\prime }\left( x\right) }\right) > 0\;\left( {x \in \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack }\right) \;\left( 2\right) \] (对于极大,不等式 (2) 反向),则不存在 \( {x}_{0} \) 的共轭值 \( {x}_{2} < {x}_{1} \) (即 \( \bar{y} \) 满足雅可比条件).
雅可比方程 (Jacobi equation) 见 “雅可比条件”.
雅可比算子 (Jacobi operator) 见 “雅可比条件”.
强雅可比条件 (strong Jacobi condition) 见 “雅可比条件”.
共轭点 (conjugate point) 见“雅可比条件”.
共轭值 (conjugate value) 见“雅可比条件”.
弱极值的必要条件 (necessary conditions of weak extremum) 取弱极值的函数必须满足的条件. 若泛函
\[J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x\]
在曲线 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 上取得弱极小,则有以下必要条件:
1. \( {y}_{0}\left( x\right) \) 是 \( J\left( y\right) \) 的平稳曲线,即满足 \( J\left( y\right) \) 的欧拉-拉格朗日方程.
2. 沿 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 满足勒让德条件 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} \geq 0 \) .
3. 如果沿 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 有 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} > 0 \) ,则 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 满足雅可比条件.
弱极值的充分条件 (sufficient condition of weak extremum) 保证平稳点取弱极值的条件. 若某平稳曲线满足强勒让德条件 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} > 0 \) (或 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} < 0 \) ) 与强雅可比条件,则该平稳曲线使泛函 \( J \) 取得弱极小值 (或弱极大值). 上述条件称为弱极值的充分条件.
弱极小的特征值判别法 (eigenvalue criteria for weak minimum) 判别变分积分的平稳函数的弱极小的一种方法. 设与拉格朗日函数 \( F\left( {x, z, p}\right) \) 相应的雅可比算子 \( {\mathcal{S}}_{u} \) 在 \( \bar{\Omega } \) 上是强椭圆的. 若雅可比算子 \( {\mathcal{J}}_{u} \) 的最小特征值 \( {\lambda }_{1} < 0 \) ,则平稳函数 \( u \) 取不到
\[
J\left( v\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, v\left( x\right) ,{Dv}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
的弱极小. 若 \( {\mathcal{J}}_{u} \) 的最小特征值 \( {\lambda }_{1} > 0 \) ,则 \( u \) 是 \( J \) 的弱极小函数. 上述方法称为弱极小的特征值判别法.
平稳曲线簇 (variety of stationary curve) 一组平稳曲线. 对于一维变分积分
\[
J\left( u\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x, y, z,{Du}}\right) \mathrm{d}x,
\]
当 \( \left( {{c}_{1},{c}_{2}}\right) \) 在 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中某集合 \( C \) 变化时,依赖两个参数 \( \left( {{c}_{1},{c}_{2}}\right) \) 的平稳曲线组
\[
y = y\left( {x,{c}_{1},{c}_{2}}\right) ,\;z = z\left( {x,{c}_{1},{c}_{2}}\right)
\]
互不相交地填满三维空间的某个区域 \( G \) ,这个平稳曲线组就是一个平稳曲线簇.
\[
P\left( {x,{c}_{1},{c}_{2}}\right) = \left( {{y}^{\prime }\left( {x,{c}_{1},{c}_{2}}\right) ,{z}^{\prime }\left( {x,{c}_{1},{c}_{2}}\right) }\right)
\]
称为这个平稳曲线簇的斜率函数.
斜率函数 (slope function) 见“平稳曲线簇”.
\( J \) 长度 ( \( J \) -length) 由变分积分确定的长度. 设
\[
l = \left\{ {\left( {x, y\left( x\right), z\left( x\right) }\right) \mid {x}_{0} \leq x \leq {x}_{1}}\right\}
\]
是空间的某条曲线. 称积分
\[
J = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }, z,{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
沿着曲线 \( l \) 的值为 \( l \) 的 \( J \) 长度. 由连结两点的曲线 \( l \) 的 \( J \) 长度的下确界定义的两点间的距离称为 \( J \) 距离.
\( J \) 距离 ( \( J \) -distance) 见 “ \( J \) 长度”.
平稳曲线场 (field of stationary curve) 为研究强极值充分条件而引进的平稳曲线簇. 设 \( {S}_{0} \) 是三维欧氏空间中的某个曲面,利用横截条件,从 \( {S}_{0} \) 中的每一点 \( {M}_{0} \) 都可作出泛函
\[
J\left( u\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的平稳曲线与 \( {S}_{0} \) 横截相交,这样就有依赖于两个参数的平稳曲线簇. 每一平稳曲线上从 \( {M}_{0} \) 到 \( M \) 的弧 \( \overset{⏜}{{M}_{0}M} \) ,使得沿平稳曲线从 \( {M}_{0} \) 到 \( M \) 的 \( J \) 长度为给定值 \( \rho \) ,点 \( M \) 的轨迹给出了某个曲面 \( S \) . 在 \( {S}_{0} \) 的邻域内平稳曲线簇与 \( S \) 横截相交,这个平稳曲线簇就是平稳曲线场. 曲面 \( S \) 称为场的横截曲面. 沿平稳曲线从 \( {M}_{0} \) 到 \( M \) 的 \( J \) 长度是 \( M \) 的函数,记为 \( \theta \left( {x, y, z}\right) \) ,称为场的基本函数或光程.
横截曲面 \( S \) 的方程为
\[
\theta \left( {x, y, z}\right) = \rho .
\]
由横截曲面 \( S \) 的方程与横截性条件可推出
\[
\frac{\partial \theta }{\partial x} = - H\left( {x, y, z, v, w}\right) ,\frac{\partial \theta }{\partial y} = v,\frac{\partial \theta }{\partial z} = w.
\]
从上面三个方程中消去 \( v, w \) 得到场的基本函数的方程, 即哈密顿-雅可比方程
\[
{\theta }_{x} + H\left( {x, y, z,{\theta }_{y},{\theta }_{z}}\right) = 0.
\]
光程 (函数) (eikonal) 见 “平稳曲线场”.
场的基本函数 (fundamental function of field) 见“平稳曲线场”.
场的横截曲面 (transversal surface of field) 见“平稳曲线场”.
希尔伯特不变积分 (Hilbert invariant integral) 只依赖曲线端点的一个积分. 由泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
中的函数 \( F \) 和平稳曲线的斜率函数表示的一个与路径无关的曲线积分
\[
J\left( \overset{⏜}{AB}\right) = {\int }_{\overset{⏜}{AB}}\{ F\left( {x, y, t}\right)
\]
\[
\left. {+\left\lbrack {\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{\;d}x} - t\left( {x, y}\right) }\right\rbrack {F}_{{y}^{\prime }}\left( {x, y, t}\right) }\right\} \mathrm{d}x,
\]
这个积分称为希尔伯特不变积分. 其中 \( t\left( {x, y}\right) \) 是平稳曲线场的斜率函数, \( \overset{⏜}{AB} \) 是平稳曲线场中的某条曲线. 这个积分只取决于起点 \( A \) 与终点 \( B \) 的位置,而与 \( A \) 至 \( B \) 的积分路径 \( y = y\left( x\right) \) 无关,这是因为被积函数是场的基本函数 \( \theta \left( {x, y}\right) \) 的全微分.
外尔斯特拉斯 \( E \) 函数 (Weierstrass \( E \) -function) 表述强极值必要条件的一个函数. 泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的外尔斯特拉斯 \( E \) 函数 (4 个变量的函数) 是
\[
E\left( {x, y,\xi ,\eta }\right) = F\left( {x, y,\eta }\right) - F\left( {x, y,\xi }\right)
\]
\[
- \left( {\eta - \xi }\right) {F}_{{y}^{\prime }}\left( {x, y,\xi }\right) ,
\]
又称 \( E \) 函数. 若 \( {y}_{0} \) 是平稳函数, \( {c}_{0},{c}_{1} \) 为 \( {y}_{0} \) 端点的横坐标, \( t \) 为平稳曲线场的斜率函数,则 \( E \) 函数与变分积分的增量有关系
\[J\left( y\right) - J\left( {y}_{0}\right) = {\int }_{{c}_{0}}^{{c}_{1}}E\left( {x, y, t,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x.\]
对于一元向量函数的拉格朗日函数 \( F(x, z \) , \( p) \) ,外尔斯特拉斯 \( E \) 函数
\[{E}_{F}\left( {x, z, q, p}\right) = F\left( {x, z, p}\right) - F\left( {x, z, q}\right) \]
\[ - \left( {p - q}\right) \cdot {F}_{p}\left( {x, z, q}\right) .\]
外尔斯特拉斯条件 (Weierstrass condition)
变分积分取强极值的一个必要条件. 若 \( {y}^{ * } \) 使泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
取强极小值,则对所有 \( x \in \left( {{x}_{0},{x}_{1}}\right), q \in {\mathrm{R}}^{1} \) ,外尔斯特拉斯 \( E \) 函数满足
\[
E\left( {x, y\left( x\right) ,{y}^{ * }\left( x\right), q}\right) \geq 0;
\]
相应地, 对强极大值有
\[
E\left( {x, y\left( x\right) ,{y}^{ * }\left( x\right), q}\right) \leq 0.
\]
这个条件是外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 于 1879 年提出的.
对一元向量函数 \( u\left( x\right) \) 对应的拉格朗日函数,外尔斯特拉斯条件是对任意 \( x \in \Omega \) 和秩为 1 的矩阵 \( \pi \) ,
\[
{E}_{F}\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) + \pi }\right) \geq 0.
\]
关于 \( {E}_{F} \) 的意义,详见“外尔斯特拉斯 \( E \) 函数”.
迈尔场 (Mayer field) 为讨论一元向量函数的变分积分取强极值充分条件而引入的一种概念. 对一元数值函数, 迈尔场就是通常的平稳曲线场. 基本思想是把一个平稳函数放在一簇平稳函数中考虑. 如果一维变分积分
\[
J\left( v\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, v\left( x\right) ,{v}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
中的函数 \( v\left( x\right) \) 是 \( N \) 维向量值函数,则做如下讨论. 设在 \( \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 的一个单连通域 \( G \) 上给定一个场 \( f : \Gamma \rightarrow G,\Gamma \subset \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{N} \) ,满足:
1. 映射 \( f \) 有形式 \( f\left( {x, c}\right) = \left( {x,\varphi \left( {x, c}\right) }\right) ,\Gamma \) 有形式 \( \Gamma = \left\{ {\left( {x, c}\right) \mid c \in {I}_{0}, x \in I\left( c\right) }\right\} ,{I}_{0} \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的非空参数集, \( I\left( c\right) \) 是数直线上的区间,端点为 \( {x}_{1}\left( c\right) \) 和 \( {x}_{2}\left( c\right) \) .
2. 偏导数 \( {f}^{\prime }\left( {x, c}\right) = {f}_{x}\left( {x, c}\right) \) 是 \( {C}^{1} \) 类的. \( {\varphi }^{\prime } \) \( = \mathcal{P}\left( f\right) \) 称为场 \( f \) 的斜率 (函数).
若每个函数都是拉格朗日函数对应的平稳函数,则称场 \( f \) 为极值场.
场 \( f : \Gamma \rightarrow G \) 称为迈尔场,如果其斜率函数 \( \mathcal{P} : G \rightarrow {\mathrm{R}}^{N} \) 满足一阶偏微分方程组
\[
\frac{\partial }{\partial x}{\bar{F}}_{{p}^{i}} = \frac{\partial }{\partial {z}^{i}}\left( {\bar{F} - \mathcal{D} \cdot {\bar{F}}_{p}}\right) ,
\]
(1)
\[
\frac{\partial }{\partial {z}^{k}}{\bar{F}}_{{p}^{i}} = \frac{\partial }{\partial {z}^{i}}{\bar{F}}_{{p}^{k}},
\]
其中 \( \bar{F} = F\left( {x, z,\mathcal{P}\left( {x, z}\right) }\right) \) . 方程组 (1) 中的第一个方程相当欧拉-拉格朗日方程. 当 \( N = 1 \) 时第二个方程自动满足, 因此每个极值场自动地是迈尔场. 当 \( N > 1 \) 时,极值场类远大于迈尔场类.
由方程组 (1) 可推出存在数值函数 \( S : G \rightarrow \mathrm{R} \) 满足
\[
{S}_{x} = \bar{F} - \mathcal{P} \cdot {\bar{F}}_{p},{S}_{z} = {\bar{F}}_{p}.
\]
方程组 (1) 和 (2) 称为卡拉西奥多里方程. 设
\[
u \in {C}^{2}\left( {\left\lbrack {\alpha ,\beta }\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{N}}\right) ,
\]
拟合场 \( f \) ,即它满足 \( \operatorname{graph}u \subset G \) 和
\[
{u}^{\prime }\left( x\right) = \mathcal{P}\left( {x, u\left( x\right) }\right) \;\left( {\alpha \leq x \leq \beta }\right) ,
\]
则有 \( F\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) = \mathrm{d}S\left( {x, u\left( x\right) }\right) \) ,
\[
{\int }_{\alpha }^{\beta }F\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= S\left( {\beta, u\left( \beta \right) }\right) - S\left( {\alpha, u\left( \alpha \right) }\right) .
\]
把 \( \mathrm{d}S = F\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x \) 看做芬斯勒度量,则积分
\[
{\int }_{c}F\mathrm{\;d}x
\]
可看做两点 \( {P}_{1} = \left( {\alpha, u\left( \alpha \right) }\right) ,{P}_{2}\left( {\beta, u\left( \beta \right) }\right) \) 之间沿 “光线”的距离, 而公式
\[
{\int }_{C}F\mathrm{\;d}x = S\left( {P}_{2}\right) - S\left( {P}_{1}\right)
\]
表明这个距离可用数值函数 \( S \) 来计算. 称 \( S \) 为光程 (函数) 或场的基本函数. 令
\[
M\left( {x, z, p}\right) = {S}_{x}\left( {x, z}\right) + p \cdot {S}_{z}\left( {x, z}\right) ,
\]
积分
\[
\mu \left( v\right) = {\int }_{a}^{b}M\left( {x, v\left( x\right) ,{v}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
称为希尔伯特不变积分,其值只取决于 \( v \) 的端点值,
\[\mu \left( v\right) = S\left( {b, v\left( b\right) }\right) - S\left( {a, v\left( a\right) }\right) .\]
并对任何 \( u \in {C}^{1}\left( {\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{N}}\right) \) (graph \( u \subset G \) ) 有外尔斯特拉斯表示公式
\[J\left( u\right) = S\left( {b, u\left( b\right) }\right) - S\left( {a, u\left( a\right) }\right) \]
\[ + {\int }_{a}^{b}E\left( {x, u\left( x\right) ,\mathcal{D}\left( {x,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x.\]
从这个公式容易导出强极值的充分条件.
\( G \) 上的迈尔场 \( f \) 称为最优场,如果变分积分
\[J\left( v\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, v\left( x\right) ,{v}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x\]
对每个区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 和每个 \( v |
2000_数学辞海（第3卷） | 121 | 令
\[
M\left( {x, z, p}\right) = {S}_{x}\left( {x, z}\right) + p \cdot {S}_{z}\left( {x, z}\right) ,
\]
积分
\[
\mu \left( v\right) = {\int }_{a}^{b}M\left( {x, v\left( x\right) ,{v}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
称为希尔伯特不变积分,其值只取决于 \( v \) 的端点值,
\[\mu \left( v\right) = S\left( {b, v\left( b\right) }\right) - S\left( {a, v\left( a\right) }\right) .\]
并对任何 \( u \in {C}^{1}\left( {\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{N}}\right) \) (graph \( u \subset G \) ) 有外尔斯特拉斯表示公式
\[J\left( u\right) = S\left( {b, u\left( b\right) }\right) - S\left( {a, u\left( a\right) }\right) \]
\[ + {\int }_{a}^{b}E\left( {x, u\left( x\right) ,\mathcal{D}\left( {x,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x.\]
从这个公式容易导出强极值的充分条件.
\( G \) 上的迈尔场 \( f \) 称为最优场,如果变分积分
\[J\left( v\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, v\left( x\right) ,{v}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x\]
对每个区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 和每个 \( v \in {D}^{1}\left( {\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{\mathrm{R}}^{n}}\right) (\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) \( \rightarrow {\mathrm{R}}^{n} \) 的分段光滑函数类) (graph \( v \subset G \) ) 满足
\[J\left( v\right) \geq S\left( {b, v\left( b\right) }\right) - S\left( {a, v\left( a\right) }\right) .\]
若迈尔场 \( f \) 满足强外尔斯特拉斯条件
\[{E}_{F}\left( {x, z,\mathcal{P}\left( {x, z}\right), p}\right) > 0\]
\[\left( {\left( {x, z}\right) \in G, p \in {\mathrm{R}}^{N}, p \neq \mathcal{P}\left( {x, z}\right) }\right) ,\]
则称场 \( f \) 是外尔斯特拉斯场.
外尔斯特拉斯场必是最优场. 作为外尔斯特拉斯表示公式的直接推论有克纳塞横截性定理: 设 \( f : \Gamma \rightarrow G \) 是一个迈尔场,其斜率函数 \( \mathcal{P} \) 在 \( G \) 上满足
\[F\left( {x, z,\mathcal{P}\left( {x, z}\right) }\right) > 0.\]
\[{I}_{1,2} = \left\{ {x \in {I}_{0} \mid f\left( {\cdot, c}\right) : I\left( c\right) \rightarrow G}\right. \]
\[\text{与}{\mathcal{S}}_{{\theta }_{1}}\text{和}{\mathcal{S}}_{{\theta }_{2}}\text{都相交}\} \text{.}\]
1. 对 \( c \in {I}_{1,2} \) ,横截面 \( {\mathcal{S}}_{{\theta }_{1}} \) 和 \( {\mathcal{S}}_{{\theta }_{2}} \) 从场曲线 \( f\left( {\cdot, c}\right) \) 上截下弧 \( {\mathcal{S}}^{ * }\left( c\right) \) ,
\[{\int }_{{\mathcal{S}}^{ * }\left( c\right) }F\mathrm{\;d}x = {\theta }_{2} - {\theta }_{1}\]
2. 设 \( m \) 是所有端点在 \( {\mathcal{S}}_{{\theta }_{1}} \) 和 \( {\mathcal{S}}_{{\theta }_{2}} \) 上的 \( {C}^{1} \) 曲线取的值
\[
{\int }_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}F\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
的下确界. 若 \( {I}_{1,2} \) 非空且 \( f \) 是最优场,这个下确界是 \( {\theta }_{2} - {\theta }_{1} \) ,并在所有被 \( {\mathcal{S}}_{{\theta }_{1}} \) 和 \( {\mathcal{S}}_{{\theta }_{2}} \) 截下的弧 \( {\mathcal{S}}^{ * }\left( c\right) (c \in \) \( \left. {I}_{1,2}\right) \) 上达到,若 \( f \) 是外尔斯特拉斯场,则下确界仅在这些弧上达到.
设 \( \det {F}_{pp}\left( {x, z, p}\right) \neq 0 \) ,令 \( \pi = {F}_{p}\left( {x, z, p}\right) \) , \( H\left( {x, z,\pi }\right) \) 为哈密顿函数,则光程函数 \( S \) 与哈密顿函数 \( H \) 满足哈密顿-雅可比方程
\[
{S}_{x} + H\left( {x, z,{S}_{t}}\right) = 0.
\]
极值场 (extremal field) 见 “迈尔场”.
卡拉西奥多里方程 (Carathéodory equations) 见“迈尔场”.
外尔斯特拉斯表示公式 (Weierstrass representation formula) 见“迈尔场”.
强外尔斯特拉斯条件(strong Weierstrass condition) 见“迈尔场”.
外尔斯特拉斯场 (Weierstrass field) 见“迈尔场”.
最优场 (optimal field) 见 “迈尔场”.
克纳塞横截性定理 (Kneser transversality theorem) 见“迈尔场”.
中心平稳曲线场 (central field of stationary curve) 从一固定点出发的平稳曲线构成的场. 设 \( {M}_{0} \) 是空间的一个定点,由这一点引出泛函
\[
{\int }_{a}^{b}F\left( {x, y, z,{y}^{\prime },{z}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的平稳曲线束,它们在 \( {M}_{0} \) 的某个邻域内成为平稳曲线簇. 在每一条平稳曲线上取一点 \( M \) ,使在所有平稳曲线上弧 \( \overset{⏜}{{M}_{0}M} \) 的 \( J \) -长度等于同一个数 \( \rho \) ,这样的平稳曲线簇称为中心平稳曲线场. 而点 \( M \) 的几何轨迹是一个曲面, 这个曲面为场的横截曲面, 即平稳曲线簇与横截曲面横截相交. 沿平稳曲线上弧 \( \overset{⏜}{{M}_{0}M} \) 的 \( J \) 长度是点 \( M \) 的函数,记为 \( \theta \left( {x, y, z}\right) \) ,故横截曲面的方程为 \( \theta \left( {x, y, z}\right) = \rho \) . 称 \( \theta \left( {x, y, z}\right) \) 为中心平稳曲线场的基本函数. 由横截曲面方程与横截条件
\[
- {H\delta x} + {v\delta y} + {w\delta z} = 0
\]
可以推出
\[
\frac{\partial \theta }{\partial x} = - H\left( {x, y, z, v, w}\right) ,\frac{\partial \theta }{\partial y} = v,\frac{\partial \theta }{\partial z} = - w.
\]
由上述三个方程中消去 \( v, w \) ,就得到场的基本函数的一阶偏微分方程, 称为哈密顿-雅可比方程:
\[
{\theta }_{x} + H\left( {x, y, z,{\theta }_{y},{\theta }_{z}}\right) = 0.
\]
对一般情形,设 \( \Omega \) 是 \( \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 中一区域, \( F(x, z \) , \( p) \) 在 \( \Omega \times {\mathrm{R}}^{N} \) 上属 \( {C}^{3} \) ,而 \( u : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathrm{R}}^{N} \) 是泛函
\[
J\left( u\right) = {\int }_{a}^{b}F\left( {x, u,{u}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
的平稳函数, \( {F}_{pp}\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \) 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是可逆的. 又设 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 不包含 \( u \) 的成对共轭值. 则可把 \( u \) 嵌入到中心平稳曲线场 \( f : \widehat{\Gamma } \rightarrow \widehat{G} = G \cup {P}_{0},{P}_{0} \) 是结点 \( \left( {{a}_{0},{z}_{0}}\right) ,\widehat{\Gamma } = \widehat{I} \times {I}_{0}\left( \varepsilon \right) ,\widehat{I} = \left\lbrack {{a}_{0},{b}_{0}}\right\rbrack \) , \( {a}_{0} < a < b < {b}_{0},{I}_{0}\left( \varepsilon \right) = \left\{ {c\left| \right| c - {c}_{0} \mid \leq \varepsilon }\right\} ,\varepsilon > 0, f\left( {x,{c}_{0}}\right) \) \( = \left( {x, u\left( x\right) }\right), x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack .f \) 在 \( \Gamma = I \times {I}_{0}\left( \varepsilon \right) \) 的限制 \( \left( {I = \left( {{a}_{0},{b}_{0}}\right) }\right) \) 是 \( G = f\left( \Gamma \right) \) 上的迈尔场.
强极值的必要条件 (necessary conditions of strong extremum) 使泛函取强极值的函数所必须满足的条件. 例如, 对于典型泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x,
\]
使 \( J\left( y\right) \) 取强极小的函数 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 必须满足下列必要条件:
1. \( {y}_{0}\left( x\right) \) 是 \( J\left( y\right) \) 的平稳曲线,即满足 \( J\left( y\right) \) 的欧拉-拉格朗日方程.
2. 沿 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 满足勒让德条件 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} \geq 0 \) .
3. 如果沿 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 有 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }} > 0 \) ,则 \( {y}_{0}\left( x\right) \) 满足雅可比条件.
4. 沿极值曲线 \( y = {y}_{0}\left( x\right) \) ,对任何 \( \eta \) 值恒有
\[
E\left( {x, y, t,\eta }\right) \geq 0,
\]
其中 \( t \) 为平稳曲线场的斜率函数.
强极值的充分条件 (sufficient conditions of strong extremum) 保证平稳函数取强极值的条件. 若有固定端点的平稳曲线 \( y\left( x\right) \) 可被场围绕,且存在 \( y\left( x\right) \) 的这样的邻域,在这邻域中的每一点对任何实数 \( \eta \) 满足不等式
\[
E\left( {x, y, t\left( {x, y}\right) ,\eta }\right) > 0,
\]
则泛函
\[
J\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}x
\]
在 \( y\left( x\right) \) 取得强极小. 上述不等式称为强极值的充分条件.
要使外尔斯特拉斯函数 \( E \) 为正,只要对任何值 \( \eta \) 有不等式 \( {F}_{{y}^{\prime }{y}^{\prime }}\left( {x, y,\eta }\right) > 0 \) ,这个不等式也是强极小的充分条件. 这个充分条件是外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 于 1879 年获得的.
对一元向量值函数固定端点变分问题相应结果如下: 设 \( F\left( {x, z, p}\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \times {\mathrm{R}}^{N} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 上是 \( {C}^{3} \) 类的, \( F \) 对应的平稳函数 \( u : \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \rightarrow {\mathrm{R}}^{N} \) 满足下列条件:
1. \( F \) 对 \( \left( {{p}_{1},{p}_{2},\cdots ,{p}_{N}}\right) \) 的黑塞矩阵 \( {F}_{pp}(x \) , \( \left. {u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right) }\right) \) 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是可逆的;
2. \( E\left( {x, u\left( x\right) ,{u}^{\prime }\left( x\right), p}\right) > 0 \)
\[
\left( {\forall x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\forall p \in {\mathrm{R}}^{N}}\right) \text{;}
\]
3. 区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 不包含 \( u \) 的成对的共轭值;
则 \( u \) 取得 (严格) 强极小.
对多元向量值函数的固定端点的变分积分有下列结果: 设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 的一个区域, \( \widehat{G} = G \times {\mathrm{R}}^{nN} \) ,其
点是 \( \left( {x, z, p}\right), p = \left( {p}_{\alpha }^{i}\right) ,1 \leq i \leq N,1 \leq \alpha \leq n \) . 若 \( F \) 满足超椭圆条件
\[
{F}_{{p}_{a}^{i}{p}_{\beta }^{k}}\left( {x, z, p}\right) {\zeta }_{a}^{i}{\zeta }_{\beta }^{k} \geq {\left| \zeta \right| }^{2}
\]
\[
\left( {\forall \left( {x, z, p}\right) \in \widehat{G};\zeta \in {\mathrm{R}}^{nN}}\right) ,
\]
则相应平稳函数是强极小函数.
对于右端点 \( P \) 不在 \( {C}^{2} \) 类曲面 \( \mathcal{S} \) 上并且固定而左端点 \( {P}_{0} \) 在曲面 \( \mathcal{S} \) 上变动的泛函
\[
J\left( v\right) = {\int }_{{x}_{1}}^{b}F\left( {x, v,{Dv}\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x
\]
的自由边界变分问题,这里 \( \mathcal{S} \) 有 \( {C}^{1} \) 类的法向量场
\[
\mathcal{N}\left( {x, z}\right) = \left( {-1, v\left( {x, z}\right) }\right) ,
\]
则有下列定理: 设
\[
{\mathcal{C}}_{0} = \operatorname{graph}u = \{ \left( {x, z}\right) \mid z = u\left( x\right), a \leq x \leq b\}
\]
是相应平稳函数 \( u \) 的图象 \( \left( {{P}_{0} = \left( {a, u\left( a\right) }\right) }\right) \) ,它满足下列条件:
1. 在含 \( \mathcal{S} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 中的一个区域上, \( F \) 对所有变量三次连续可微,对所有 \( \left( {x, z, p}\right) \in \mathcal{S} \times {\mathrm{R}}^{N} \) ,
\[
F\left( {x, z, p}\right) \neq 0,
\]
\[
F\left( {x, z, p}\right) - p \cdot {F}_{p}\left( {x, z, p}\right) \neq 0,
\]
(1)
\[
\det {F}_{pp}\left( {x, z, p}\right) \neq 0,
\]
这里
\[
{F}_{pp}\left( {x, z, p}\right) = {\left( \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {p}_{i}\partial {p}_{j}}\right) }_{N \times N}.
\]
2. 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{F}_{pp}\left( {x, u\left( x\right), p}\right) \) 正定.
3. 选择 \( \mathcal{S} \cap {B}_{\varepsilon }\left( {P}_{0}\right) \) 的一个 \( {C}^{2} \) 类参数表示:
\[
x = \xi \left( c\right), z = \zeta \left( c\right), c \in {I}_{0} \subset {\mathrm{R}}^{N}
\]
( \( {B}_{\varepsilon }\left( {P}_{0}\right) \) 是以 \( {P}_{0} \) 为中心 \( \varepsilon \) 为半径的 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的开球), 它满足 \( {\zeta }_{c} \neq 0 \) 和 \( {P}_{0} = \left( {\xi \left( {c}_{0}\right) ,\zeta \left( {c}_{0}\right) }\right) \) .
定义 \( N \) 参数平稳曲线族
\[
z = \varphi \left( {x, c}\right) \;\left( {x \in I\left( c\right), c \in {I}_{0}}\right) ,
\]
它满足初值条件
\( \varphi \left( {\xi \left( c\right), c}\right) = \zeta \left( c\right) ,{\varphi }^{\prime }\left( {\xi \left( c\right), c}\right) = \pi \left( {\xi \left( c\right) ,\zeta \left( c\right) }\right) , \)
这里 \( \p |
2000_数学辞海（第3卷） | 122 | ft( {x, z, p}\right) = {\left( \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {p}_{i}\partial {p}_{j}}\right) }_{N \times N}.
\]
2. 对所有 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{F}_{pp}\left( {x, u\left( x\right), p}\right) \) 正定.
3. 选择 \( \mathcal{S} \cap {B}_{\varepsilon }\left( {P}_{0}\right) \) 的一个 \( {C}^{2} \) 类参数表示:
\[
x = \xi \left( c\right), z = \zeta \left( c\right), c \in {I}_{0} \subset {\mathrm{R}}^{N}
\]
( \( {B}_{\varepsilon }\left( {P}_{0}\right) \) 是以 \( {P}_{0} \) 为中心 \( \varepsilon \) 为半径的 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的开球), 它满足 \( {\zeta }_{c} \neq 0 \) 和 \( {P}_{0} = \left( {\xi \left( {c}_{0}\right) ,\zeta \left( {c}_{0}\right) }\right) \) .
定义 \( N \) 参数平稳曲线族
\[
z = \varphi \left( {x, c}\right) \;\left( {x \in I\left( c\right), c \in {I}_{0}}\right) ,
\]
它满足初值条件
\( \varphi \left( {\xi \left( c\right), c}\right) = \zeta \left( c\right) ,{\varphi }^{\prime }\left( {\xi \left( c\right), c}\right) = \pi \left( {\xi \left( c\right) ,\zeta \left( c\right) }\right) , \)
这里 \( \pi \left( {x, z}\right) \) 满足
\( \nu \left( {x, z}\right) \)
\[
= - \frac{{F}_{p}\left( {x, z,\pi \left( {x, z}\right) }\right) }{F\left( {x, z,\pi \left( {x, z}\right) }\right) - \pi \left( {x, z}\right) \cdot {F}_{p}\left( {x, z,\pi \left( {x, z}\right) }\right) }.
\]
由条件 1,这样的函数 \( \pi \left( {x, z}\right) \) 在对充分小的 \( \varepsilon \) ,在 \( \mathcal{S} \cap {B}_{\varepsilon }\left( {P}_{0}\right) \) 内必然存在,并且 \( \pi \left( {P}_{0}\right) = {u}^{\prime }\left( a\right) \) . 在 \( {\mathcal{J}}_{\varepsilon } = \mathcal{S} \times {B}_{\varepsilon }\left( {P}_{0}\right) \) 上没有点使
\[
\Delta \left( {x, c}\right) = \det {\varphi }_{c}\left( {x, c}\right) = 0,
\]
(2)
则存在 \( {\mathcal{C}}_{0} \) 的在 \( \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{N} \) 中的一个零级开邻域 \( {G}_{0} \) ,使对连结 \( \mathcal{S} \) 和 \( P \) 的含于 \( {G}_{0} \) 的所有分段光滑曲线 \( \mathcal{C} \) \( = \operatorname{graph}v \) 有 \( J\left( {\mathcal{C}}_{0}\right) \leq J\left( \mathcal{C}\right) \) . 满足 (2) 的值 \( {x}_{0} \) 称为平稳函数 \( u = \varphi \left( {x, c}\right) \) 的焦值,相应的点 \( \left( {x,\varphi \left( {x, c}\right) }\right) \) 称为平稳函数 \( u = \varphi \left( {x, c}\right) \) 的焦点.
焦值 (focal value) 见 “强极值的充分条件”.
焦点 (focal point) 见 “强极值的充分条件”.
利赫滕斯坦定理 (Lichtenstein's theorem) 多元数值函数变分积分的平稳函数取严格强极值的充分条件. 设 \( u \in {C}^{2,\mu }\left( \bar{\Omega }\right) \) (在 \( \Omega \) 上二阶导数满足 \( \mu \) 阶霍尔德条件的函数类)是变分积分
\[
J\left( v\right) = {\int }_{\Omega }F\left( {x,{vDv}}\right) \mathrm{d}x
\]
(1)
的平稳函数, \( F \) 满足下列条件: \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的有界区域 \( \Omega \) 的边界 \( \partial \Omega \in {C}^{2,\mu } \) (即 \( \partial \Omega \) 局部地有形如
\[
{x}_{i} = f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{i - 1},{x}_{i + 1},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
的表达式, \( f \in {C}^{2,\mu }\left( \bar{O}\right), O \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n - 1} \) 中某方体 \( (0 < \mu \) \( < 1)) \) ,对某一常数 \( c > 0 \) ,
\[
{F}_{{p}_{\alpha }{p}_{\beta }}\left( {x, u\left( x\right) ,{Du}\left( x\right) }\right) {\eta }_{\alpha }{\eta }_{\beta } \geq c{\left| \eta \right| }^{2}
\]
\[\left( {\forall \eta \in {\mathrm{R}}^{n};x \in \bar{\Omega }}\right) ,\]
\( F\left( {x, z, p}\right) \) 在 \( \bar{\Omega } \times \mathrm{R} \times {\mathrm{R}}^{n} \) 属类 \( {C}^{3} \) . 又设雅可比算子
\[\mathcal{J}\varphi = {F}_{zz} \cdot \varphi + {F}_{zp} \cdot {D\varphi }\]
\[ - \operatorname{div}\left\{ {{F}_{pz} \cdot \varphi + {F}_{pp} \cdot {D\varphi }}\right\} \]
在 \( \Omega \) 上是正定的. 最后假设使得外尔斯特拉斯 \( E \) 函数对所有满足 \( x \in \bar{\Omega },\left| {z - u\left( x\right) }\right| < {\varepsilon }_{0}, p, q \in {\mathrm{R}}^{n}, p \neq q \) 的 \( x, z, p, q \) ,有
\[{E}_{F}\left( {x, z, p, q}\right) = F\left( {x, z, q}\right) - F\left( {x, z, p}\right) \]
\[ - \left( {q - p}\right) \cdot {F}_{p}\left( {x, z, p}\right) \]
\[ > 0\text{,}\]
其中 \( {\varepsilon }_{0} \) 是不依赖 \( x \in \bar{\Omega } \) 的一个正数. 则 \( u \) 是变分积分 (1) 的严格强极小函数.
参数变分积分 (parametric variational integral) 自变量变换时保持不变的一维积分. 其形式是
\[J\left( c\right) = {\int }_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}F\left( {c\left( t\right) ,\dot{c}\left( t\right) }\right) \mathrm{d}t,\]
其中 \( c : \left\lbrack {{t}_{1},{t}_{2}}\right\rbrack \rightarrow M \) 是 \( N \) 维流形 \( M \) 上的一条参数曲线, \( \dot{c} \) 是 \( c \) 的速度场. \( F \) 满足齐次性条件:
\[F\left( {x,{\lambda v}}\right) = {\lambda F}\left( {x, v}\right) \;\left( {\lambda > 0}\right) .\]
设 \( G \) 是 \( {\mathrm{R}}^{N} \) 中的区域, \( F \) 定义在 \( G \times {\mathrm{R}}^{N} \) 上, \( F \) 是 \( {C}^{0}\left( {G \times {\mathrm{R}}^{N}}\right) \cap {C}^{2}\left( {G \times \left( {{\mathrm{R}}^{N}-\{ 0\} }\right) }\right) \) 类的. 这样的 \( F \) 称为参数拉格朗日函数.
设 \( x : I \rightarrow G \) 是一个相应 \( F \) 的平稳函数, \( \dot{x} \neq 0 \) , \( t \in I, x \) 不含共轭点,则 \( x \) 是强极小函数.
单侧极值 (one sided extremum) 容许函数满足不等式条件的极值问题. 若变分问题中待求函数或它们的导数服从某个不等式, 这个变分问题的极值就称为单侧极值. 例如, 如果狄利克雷积分
\[\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }{\left| \mathrm{D}u\right| }^{2}\mathrm{\;d}x\]
的容许函数满足 \( u\left( x\right) = 0\left( {x \in \partial \Omega }\right) \) 和不等式 \( u\left( x\right) \) \( \geq \varphi \left( x\right) \left( {x \in \Omega }\right) \) ,则相应欧拉-拉格朗日方程应满足变分不等方程
\[{\int }_{\Omega }\mathrm{D}u \cdot \mathrm{D}\left( {v - u}\right) \mathrm{d}x \geq 0\]
\[\left( {\forall v \geq \varphi, v\left( x\right) = 0, x \in \partial \Omega }\right) .\]
线性变分问题 (linear variational problem) 一类变分问题. 指欧拉-拉格朗日方程是线性方程的一类变分问题. 二次泛函
\[
K\left( y\right) = {\int }_{a}^{b}\left\lbrack {P\left( x\right) {y}^{2} + R\left( x\right) {y}^{\prime 2}}\right\rbrack \mathrm{d}x
\]
的欧拉-拉格朗日方程是线性方程
\[
{Py} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {R{y}^{\prime }}\right) = 0.
\]
考虑等周问题: 在条件
\[
{\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = 1
\]
下求泛函 \( K \) 满足端点条件 \( y\left( a\right) = y\left( b\right) = 0 \) 的平稳曲线. 用拉格朗日乘数法, 平稳曲线是斯图姆-刘维尔问题
\[
\left\{ \begin{array}{l} L\left( y\right) = {Py} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {R{y}^{\prime }}\right) = {\lambda y}, \\ y\left( a\right) = y\left( b\right) = 0 \end{array}\right.
\]
的属于特征值 \( \lambda \) 的特征函数. \( K\left( y\right) \) 在条件
\[
{\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = 1
\]
和 \( y\left( a\right) = y\left( b\right) = 0 \) 之下的最小值是最小特征值 \( {\lambda }_{1} \) . 泛函 \( K \) 所有特征值可以排成一个上升的无穷序列 \( {\lambda }_{1} \leq {\lambda }_{2} \leq \cdots \leq {\lambda }_{n - 1} \leq {\lambda }_{n} \leq \cdots \) ,相应满足
\[
{\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = 1
\]
的特征函数是 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n},\cdots \) ,那么对于每个 \( n \) ,特征值 \( {\lambda }_{n} \) 是泛函 \( K\left( y\right) \) 在条件
\[
{\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = 1,{\int }_{a}^{b}y{y}_{i}\mathrm{\;d}x = 0
\]
\[
\left( {i = 1,2,\cdots, n - 1}\right) ,
\]
\[
y\left( a\right) = y\left( b\right) = 0
\]
下的极小,而实现这个极小的函数 \( y\left( x\right) \) 是 \( {y}_{n} \) ,
极小化极大 (minimax) 极大中的极小值. 设 \( f \) 为给定多元函数, 固定这些变数中的某几个 (组成变数组 \( A) \) ,把 \( f \) 看成其余变数 (组成变数组 \( B \) ) 的函数. \( f \) 关于变数组 \( B \) 求上确界 \( C = C\left( A\right) \) ,再对 \( C \) 求关于变数组 \( A \) 的下确界,即得 \( f \) 的极大中的极小值. 类似地定义极大化极小. 例如,函数 \( f \) 的 \( n \) 次多项式最佳逼近
\[
{E}_{n}f = \mathop{\min }\limits_{{{c}_{0},{c}_{1},\cdots ,{c}_{n}, x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack }} \mid f\left( x\right)
\]
\[
- \left( {{c}_{0}{x}^{n} + {c}_{1}{x}^{n - 1} + \cdots + {c}_{n}}\right) \mid .
\]
又如斯图姆-刘维尔算子 \( L \) 的第 \( n \) 个特征值 \( {\lambda }_{n} \) 可用极小化极大来定义. 对于泛函
\[
K\left( y\right) = {\int }_{a}^{b}\left( {R{y}^{\prime 2} + P{y}^{2}}\right) \mathrm{d}x
\]
在条件
\[
{\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = 1,{\int }_{a}^{b}{y}_{i}\left( x\right) y\left( x\right) \mathrm{d}x = 0
\]
\[
\left( {i = 1,2,\cdots, n - 1;y\left( a\right) = y\left( b\right) = 0}\right)
\]
之下的极小以 \( \lambda \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1}}\right) \) 表示,则相应斯图姆-刘维尔算子
\[
{Ly} = {Py} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( {R{y}^{\prime }}\right)
\]
的齐次边界条件下的第 \( n \) 个特征值为
\[
{\lambda }_{n} = \mathop{\max }\limits_{{{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1}}}\lambda \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1}}\right) .
\]
还可如下定义 \( {\lambda }_{n} \) . 设 \( {z}_{1}\left( x\right) ,{z}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{z}_{n}\left( x\right) \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( n \) 个线性独立的 \( {C}^{2} \) 类函数,满足条件
\[z\left( a\right) = z\left( b\right) = 0,\]
以 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right\} \) 表示满足条件
\[{\int }_{a}^{b}{y}^{2}\mathrm{\;d}x = 1,\]
并有形式
\[\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{c}_{i}{z}_{i}\left( x\right) \]
的全体函数 \( y\left( x\right) \) ,而以 \( {\lambda }_{n}\left( {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right) \) 表示 \( K\left( y\right) \) 的极大,其中 \( y\left( x\right) \) 取自 \( \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right\} \) ,那么
\[{\lambda }_{n} = \mathop{\min }\limits_{\left\{ \left\{ {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}\right\} \right\} }\mathop{\max }\limits_{{y \in \left\{ {{z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{n}}\right\} }}K\left( y\right) .\]
变分原理 (variational principle) 变分法的基本概念. 所谓变分原理, 是指把力学、物理、工程等方面的问题的解归结为某一泛函的极值或稳定值问题. 变分原理为不同领域的规律提供了一种统一的表述和统一的解决方案 (参见本卷《偏微分方程》同
虚功原理 (virtual work principle) 加廖尔金法的力学背景. 连续体 \( V \) 受力的密度为 \( f \) ,可能发生的位移为 \( r \) ,则虚功为
\[w = {\iiint }_{V}f \cdot r\mathrm{\;d}V\]
虚功原理断言: 力学系统在作用力及已给的几何约束条件下处于平衡, 则由外力和系统内力所做虚功之和的变分为零. 当力有势函数 \( - U \) 时,虚功原理即为最小位能原理 \( {\delta U} = 0 \) ,如果平衡状态是稳定的,则 \( U \) 取相对极小值.
哈密顿原理 (Hamilton principle) 亦称最小作用原理. 力学中的一个变分原理. 拉格朗日函数 \( L \) 是质点组的动能与势能之差,即 \( L = T - V, T \) 为动能, \( V \) 为势能.
哈密顿原理断言: 在一切容许的运动中, 质点组的真实运动满足积分
\[J = {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}\left( {T - V}\right) \mathrm{d}t\]
有极值的必要条件 \( {\delta J} = 0 \) .
如同一般变分原理一样, 从哈密顿原理可以等价地推出相应的质点组的运动方程, 通常是微分方程. 如果力学系统处于静力平衡稳定状态, 则因动能为零, 位能与时间无关, 哈密顿原理转化为最小位能原理:
\[
\delta {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}V\mathrm{\;d}t = 0.
\]
在力是保守力的情况下, 对任何有限粒子组, 对于更一般的动力系统以及连续介质, 这一原理的推广同样适用. 哈密顿原理还可推广到电磁学、量子学说以及相对论中的基本定律. 量子学说的创立者普朗克 (Planck, M. ) 这样评价哈密顿原理, “物理学中最崇高且最为人们殷切追求的目标, 是把业已观察到并行将观察到的一切自然现象缩并成单独一个原理……在那些标志着过去几百年物理科学成就的, 多少带有一般性的定律中, 最小作用原理, 就其内容和形式而论, 可能最接近于理论研究上这一理想的最终目标. ”
最小作用原理 (least action principle) 见 “哈密顿原理”.
最小位能原理 (least potential energy principle) 见“哈密顿原理”.
弹性理论中的最小位能原理 (least potential energy principle in elastic theory) 用应变变分表示的弹性力学变分原理. 对于给定的弹性体, 真实发生的位移使体系总位能的一次变分为零. 记位移为 \( u |
2000_数学辞海（第3卷） | 123 | 下处于平衡, 则由外力和系统内力所做虚功之和的变分为零. 当力有势函数 \( - U \) 时,虚功原理即为最小位能原理 \( {\delta U} = 0 \) ,如果平衡状态是稳定的,则 \( U \) 取相对极小值.
哈密顿原理 (Hamilton principle) 亦称最小作用原理. 力学中的一个变分原理. 拉格朗日函数 \( L \) 是质点组的动能与势能之差,即 \( L = T - V, T \) 为动能, \( V \) 为势能.
哈密顿原理断言: 在一切容许的运动中, 质点组的真实运动满足积分
\[J = {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}\left( {T - V}\right) \mathrm{d}t\]
有极值的必要条件 \( {\delta J} = 0 \) .
如同一般变分原理一样, 从哈密顿原理可以等价地推出相应的质点组的运动方程, 通常是微分方程. 如果力学系统处于静力平衡稳定状态, 则因动能为零, 位能与时间无关, 哈密顿原理转化为最小位能原理:
\[
\delta {\int }_{{t}_{0}}^{{t}_{1}}V\mathrm{\;d}t = 0.
\]
在力是保守力的情况下, 对任何有限粒子组, 对于更一般的动力系统以及连续介质, 这一原理的推广同样适用. 哈密顿原理还可推广到电磁学、量子学说以及相对论中的基本定律. 量子学说的创立者普朗克 (Planck, M. ) 这样评价哈密顿原理, “物理学中最崇高且最为人们殷切追求的目标, 是把业已观察到并行将观察到的一切自然现象缩并成单独一个原理……在那些标志着过去几百年物理科学成就的, 多少带有一般性的定律中, 最小作用原理, 就其内容和形式而论, 可能最接近于理论研究上这一理想的最终目标. ”
最小作用原理 (least action principle) 见 “哈密顿原理”.
最小位能原理 (least potential energy principle) 见“哈密顿原理”.
弹性理论中的最小位能原理 (least potential energy principle in elastic theory) 用应变变分表示的弹性力学变分原理. 对于给定的弹性体, 真实发生的位移使体系总位能的一次变分为零. 记位移为 \( u = \left( {{u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}}\right) \) ,应变为
\[
{e}_{ii} = \frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{i}},{e}_{ij} = \frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}} + \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{i}}\;\left( {i \neq j}\right) ,
\]
应力为 \( {\sigma }_{ij} \) ,体积力密度为 \( F = \left( {{F}_{1},{F}_{2},{F}_{3}}\right) \) ,表面力密度为 \( P = \left( {{P}_{1},{P}_{2},{P}_{3}}\right) \) ,体系总位能为
\[
J = {\iiint }_{V}\frac{1}{2}\left( {{\sigma }_{11}{e}_{11} + {\sigma }_{22}{e}_{22} + {\sigma }_{33}{e}_{33}}\right.
\]
\[
\left. {+{\sigma }_{12}{e}_{12} + {\sigma }_{13}{e}_{13} + {\sigma }_{23}{e}_{23}}\right) \mathrm{d}V
\]
\[
- {\iiint }_{V}\left( {{F}_{1}{u}_{1} + {F}_{2}{u}_{2} + {F}_{3}{u}_{3}}\right) \mathrm{d}V
\]
\[
- {\iint }_{S}\left( {{P}_{1}{u}_{1} + {P}_{2}{u}_{2} + {P}_{3}{u}_{3}}\right) \mathrm{d}S.
\]
以位移变分表示位能的变分, 则有
\[
{\delta J} = {\iiint }_{V}\frac{1}{2}\left( {{\sigma }_{11}\delta {e}_{11} + {\sigma }_{22}\delta {e}_{22} + {\sigma }_{33}\delta {e}_{33}}\right.
\]
\[
\left. {+{\sigma }_{12}\delta {e}_{12} + {\sigma }_{13}\delta {e}_{13} + {\sigma }_{23}\delta {e}_{23}}\right) \mathrm{d}V
\]
\[
- {\iiint }_{V}\left( {{F}_{1}\delta {u}_{1} + {F}_{2}\delta {u}_{2} + {F}_{3}\delta {u}_{3}}\right) \mathrm{d}V
\]
\[
- {\iint }_{S}\left( {{P}_{1}\delta {u}_{1} + {P}_{2}\delta {u}_{2} + {P}_{3}\delta {u}_{3}}\right) \mathrm{d}S = 0.
\]
弹性力学中的最小余能原理 (minimal remain-des energy principle in elastic theory) 用应力变分表示的弹性力学变分原理. 总应变能为
\[
U = \frac{1}{2}{\iiint }_{V}\left( {{e}_{11}{\sigma }_{11} + {e}_{22}{\sigma }_{22} + {e}_{33}{\sigma }_{33}}\right.
\]
\[
\left. {+{e}_{12}{\sigma }_{12} + {e}_{13}{\sigma }_{13} + {e}_{23}{\sigma }_{23}}\right) \mathrm{d}V,
\]
界面 \( S \) 上的位能为
\[
{W}^{ * } = {\iint }_{S}\left( {{u}_{1}{P}_{1} + {u}_{2}{P}_{2} + {u}_{3}{P}_{3}}\right) \mathrm{d}S.
\]
余能为 \( {J}^{ * } = U - {W}^{ * } \) . 在满足静力平衡条件
\[
\frac{\partial {\sigma }_{i1}}{\partial {x}_{1}} + \frac{\partial {\sigma }_{i2}}{\partial {x}_{2}} + \frac{\partial {\sigma }_{i3}}{\partial {x}_{3}} + {F}_{i} = 0
\]
\[
\left( {i = 1,2,3\text{; 在}V\text{内}}\right) \text{,}
\]
及界面 \( S \) 上已知外力作用条件
\[
{\sigma }_{ij}{n}_{j} = {P}_{i}\left( {i = 1,2,3\text{; 在}S\text{上}}\right)
\]
( \( \left( {{n}_{1},{n}_{2},{n}_{3}}\right) \) 为 \( S \) 的单位外法向量) 的所有容许应力状态中,真实应力状态使余能 \( {J}^{ * } \) 的一次变分为零, 即 \( \delta {J}^{ * } = 0 \) .
弹性理论中的广义变分原理 (generalized variational principle in elastic theory) 最小位能原理和最小余能原理的无条件极值的形式. 引入拉格朗日因子, 把弹性力学中的最小位能原理和最小余能原理中的条件极值转化为无条件极值, 这样得出的相应变分原理称为广义变分原理.
变分问题的直接法 (direct method of variational problem) 求变分问题的一种方法. 指不通过求解欧拉方程, 而直接求得使泛函达到极值的函数的方法. 经常用到的直接法有里茨法与加廖尔金法. 从变分问题的解的存在性、惟一性的理论方面来看, 直接法起着重要的作用. 同时直接法又能给出一些行之有效的近似解法 (或数值解法). 对于一个即使与变分法无关的微分方程, 只要能够作出一个泛函, 以此方程作为相应的欧拉方程, 直接法也可以用以解这个微分方程.
变分问题的反问题 (inverse problem of variational problem) 变分法的一种概念. 求以给定的微分方程为其欧拉方程的泛函的问题称为变分问题的反问题. 由于与数理方程有关的某些泛函常常代表能量, 所以习惯上把解微分方程的问题转化为泛函极值问题的求解方法称为能量法, 相应泛函称为该微分方程的能量积分.
能量法 (energy method) 见 “变分问题的反问题”.
能量积分 (energy integral) 见 “变分问题的反问题”.
里茨方法 (Ritz method) 变分问题的一种直接解法. 设 \( J\left( y\right) \) 是待求函数 \( y\left( x\right) \) 的泛函,在 \( C \) 类函数中求使泛函 \( J \) 取得最小值的函数. 给一个函数, \( J \) 就有一值,对应于 \( C \) 类中所有函数, \( J \) 有无穷多值. 设 \( d \) 是这无穷个值所成集合的下确界,由下确界的定义,总能在 \( C \) 类中找到这样的函数列 \( \left\{ {{y}_{n}\left( x\right) }\right\} \) ,当 \( n \rightarrow \infty \) 时 \( J\left( {y}_{n}\right) \) 有有限极限 \( d \) . 这样的函数列 \( \left\{ {{y}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 就称为极小化序列.
里茨方法的基本思想就是构造出极小化序列. 可以按下述几条要求构造函数列 \( \left\{ {{u}_{n}\left( x\right) }\right\} \) :
1. 对于任何 \( n,\left\{ {{u}_{i}\left( x\right) \mid 1 \leq i \leq n}\right\} \) 是线性无关的.
2. \( \left\{ {u}_{n}\right\} \) 是完全的.
令
\[
{y}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{u}_{i}\left( x\right) ,
\]
代入泛函 \( J \) 得到 \( J\left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}\right) \) ,适当选取 \( {a}_{1},{a}_{2} \) , \( \cdots ,{a}_{n} \) 使 \( J \) 取极小值,这样就能构造出极小化序列 \( \left\{ {{y}_{n}\left( x\right) }\right\} \) ,即变分问题的近似解列. 当然还应证明里茨方法的收敛性 (参见本卷《偏微分方程》同名条).
瑞利-里茨方法 (Rayleigh-Ritz method) 用变分问题的直接法求特征值的方法. 例如对于狄利克雷泛函
\[
J\left( u\right) = \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }\left( {{u}_{x}^{2} + {u}_{y}^{2}}\right) \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y,{\left. u\right| }_{\partial \Omega } = 0,
\]
相应瑞利泛函
\[
R\left( u\right) = {2J}\left( u\right) /{\int }_{\Omega }{u}^{2}\mathrm{\;d}x\mathrm{\;d}y
\]
在 \( u \in {H}_{0}^{1}\left( \Omega \right), u \neq 0 \) 上的最小值是特征值问题
\[
\left\{ \begin{array}{ll} - {\Delta u} = {\lambda u} & \text{ (在 }\Omega \text{ 内),} \\ u = 0 & \text{ (在 }\partial \Omega \text{ 上) } \end{array}\right.
\]
的最小特征值, 用里茨方法求这个特征值, 即是瑞利 -里茨方法.
极小化序列 (minimizing sequences) 见 “里茨方法”.
加廖尔金方法 (Galerkin method) 变分问题的一种直接解法. 虚功原理提供的平稳函数 \( u \) 往往满足变分方程
\[
u \in V, a\left( {u, v}\right) = \left( {f, u}\right) \left( {\forall v \in V}\right) ,
\]
\( V \) 为某一函数空间, \( a\left( {\cdot , \cdot }\right) \) 为 \( V \times V \) 上的双线性泛函, \( f \) 为 \( V \) 上一有界线性泛函. 加廖尔金方法的步骤是:
1. 取完备坐标函数系 \( \left\{ {{w}_{1},{w}_{2},\cdots ,{w}_{n}\cdots }\right\} \) .
2. 取近似解为
\[
{u}_{n} = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{w}_{i}
\]
满足
\[
a\left( {{u}_{n},{w}_{i}}\right) = \left( {f,{w}_{i}}\right) \;\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
这是 \( \left\{ {a}_{i}\right\} \) 的线性方程组,解之得 \( {u}_{n} \) .
此法由苏联数学家加廖尔金 ( \( \Gamma \) a. i. e. p. k. r.) 首创 (参见本卷《偏微分方程》同名条).
坎托罗维奇法 (Kantorovitch method) 里茨方法的一种变形. 多用于多自变量情形, 本质上与里茨方法相同, 但近似解中的待定系数改为某一自变量的待定函数. 由于系数已不限于常数, 因而增加了灵活性, 一般可望获得更精确的结果. 对于两个自变量来说, 这种方法又称为化为常微分方程法, 因为求解的后一阶段归结为求解若干个常微分方程. 此法由苏联数学家坎托罗维奇 (KaHTopoBMY, JI. B. ) 首创 (参见本卷《偏微分方程》同名条).
特雷夫茨法 (Trefftz method) 变分问题的一种直接解法. 近似极值函数取为
\[
{\varphi }_{n} = \bar{w} + \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{a}_{i}{w}_{i}
\]
其中 \( \bar{w} \) 是满足欧拉方程的任一函数,如果泛函的欧拉方程是齐次的,则取 \( \bar{w} = 0 \) . 要求每一坐标函数 \( {w}_{1},{w}_{2},\cdots \) 都满足齐次欧拉方程. 总之,要求 \( {\varphi }_{n} \) 满足欧拉方程,然后再适当选取 \( {a}_{i} \) ,使 \( {\varphi }_{n} \) 近似满足边界条件. 该法是由特雷夫茨 (Trefftz, E. I. ) 提出的.
欧拉法 (Euler method) 求变分问题近似解的一种方法. 指用折线斜率代替切线斜率求变分问题近似解的一种方法. 这是欧拉 (Euler, L. ) 最初推导欧拉-拉格朗日方程采用的方法, 但因论证不够严密, 而普遍采用拉格朗日的变分方法来论证. 后来由于直接法的发展, 人们又重新对欧拉的有限差分法给予重视. 以泛函
\[
F\left( y\right) = {\int }_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}F\left( {x, y,{y}^{\prime }}\right) \mathrm{d}y
\]
为例. 等分 \( \left\lbrack {{x}_{0},{x}_{1}}\right\rbrack \) 为 \( n \) 等分,每个小区间长度
\[
{\Delta x} = \frac{{x}_{1} - {x}_{0}}{n}.
\]
取顶点为 \( \left( {{x}_{0} + {i\Delta x},{y}_{i}}\right) \left( {i = 0,1,\cdots, n}\right) \) 的折线代替 \( y \) ,这时 \( J\left( y\right) = \varphi \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1}}\right) \) 是 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1} \) 的 \( n - 1 \) 元函数,取 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1} \) ,使得 \( \varphi \left( {{y}_{1},{y}_{2}}\right. \) , \( \left. {\cdots ,{y}_{n - 1}}\right) \) 达到极值,即由方程
\[
\frac{\partial \varphi }{\partial {y}_{1}} = 0,\frac{\partial \varphi }{\partial {y}_{2}} = 0,\cdots ,\frac{\partial \varphi }{\partial {y}_{n - 1}} = 0
\]
确定 \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1} \) . 一般地,令 \( n \rightarrow + \infty \) 就得原来泛函的极值. 更方便的是用积分和
\[
\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}F\left( {{x}_{i},{y}_{i},\frac{\Delta {y}_{i}}{\Delta x}}\right) {\Delta x}
\]
代替 \( \varphi \left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{n - 1}}\right) \) .
撰 稿 王耀东 杨家新
审 阅 吴沦浦
## 函 数 逼 近 论
函数逼近论 (approximation theory of functions) 研究用简单的或可计算的函数近似表示一般函数, 以及这种表示的偏差与被表示函数本身的构造性质之间的关系问题的一门学科. 根据函数逼近论在 20 世纪的发展情况, 它大致可以分为实变函数逼近论和复变函数逼近论两大方面. 随着泛函分析的发展, 抽象空间的逼近理论也成为一个重要的研究方向.
实变函数逼近论的研究开始于 19 世纪中叶, 19 世纪 50 年代,俄国数学家切比雪夫 (Ye6htiiteB, II. JI. ) 结合机械设计问题的研究提出并讨论了这样的极值问题: 对于闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数 \( f\left( x\right) \) 和给定的整数 \( n \geq 0 \) ,要寻求极小值问题
\[
\mathop{\min }\limits_{{p \in {P}_{n}}}\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) - p\left( x\right) }\right|
\]
的解,这里 \( {P}_{n} \) 是次数 \( \leq n \) 的代数多项式全体所成的集合. 常称能使此极小值实现的多项式为函数 \( f\left( x\right) \) 的 \( n \) 次最佳逼近多项式,记此极小值为 \( {E}_{n}\left( f\right) \) ,并称它为函数 \( f\left( x\right) \) 的 \( n \) 阶最佳一致逼近值. 切比雪夫不仅研究了最佳逼近多项式的性质, 而且还建立了最佳逼近多项式的特征定理. 1885 年, 德国数学家外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 证明, 闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的任何连续函数 \( f\left( x\right) \) 都可以用多项式以任何预先指定的精确度在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致地近似表示,也即当 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {E}_{n}\left( f\right) \rightarrow 0 \) . 切比雪夫和外尔斯特拉斯的研究构成了函数逼近论的基础. 至于最佳逼近多项式的存在性, 以前人们认为是明显的, 直到 1905 年, 法国数学家波莱尔 (Borel, (F. -E. -J. -) E. ) 才给出了严格的证明. 20 世纪初叶, 由于伯恩斯坦 (Bephiliteñh, C. H. )、杰克森 (Jackson, D. )、瓦莱 . 普桑 (Vallée-Poussin, C. -J. -G. -N. de la) 等杰出数学家的积极参加, 开创了函数逼近论的蓬勃发展阶段.
在实变函数逼近论的研究中, 除了借助代数多项式逼近连续函数之外, 还有借助有理函数逼近连续函数, 借助三角多项式逼近周期连续函数, 以及用形如 \( {a}_{0}{\varphi }_{0}\left( x\right) + {a}_{1}{\varphi }_{1}\left( x\right) + \cdots + {a}_{n}{\varphi }_{n}\left( x\right) \) 的广义多项式来逼近连续函数等. 这里 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\left( x\right) \right\} }_{k = 0}^{n} \) 是一个线性无关的函数组. 这种广义多项式逼近是 1918 年哈尔 (Haar, A. ) 首先开始研究, 后来得到了很大的发展. 在这些逼近中, 人们都需要研究最佳逼近多项式或者更确切地说是最佳逼近元的存在性、惟一性以及其特征等问题, 它们构成函数逼近论在 20 世纪的一个重要内容一一定性理论. 函数逼近论的另一个重要内容是定量理论,这就是研究当 \( n \rightarrow \infty \) 时,函数的最佳逼近 \( {E}_{n}\left( |
2000_数学辞海（第3卷） | 124 | . W. )) 证明, 闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的任何连续函数 \( f\left( x\right) \) 都可以用多项式以任何预先指定的精确度在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致地近似表示,也即当 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {E}_{n}\left( f\right) \rightarrow 0 \) . 切比雪夫和外尔斯特拉斯的研究构成了函数逼近论的基础. 至于最佳逼近多项式的存在性, 以前人们认为是明显的, 直到 1905 年, 法国数学家波莱尔 (Borel, (F. -E. -J. -) E. ) 才给出了严格的证明. 20 世纪初叶, 由于伯恩斯坦 (Bephiliteñh, C. H. )、杰克森 (Jackson, D. )、瓦莱 . 普桑 (Vallée-Poussin, C. -J. -G. -N. de la) 等杰出数学家的积极参加, 开创了函数逼近论的蓬勃发展阶段.
在实变函数逼近论的研究中, 除了借助代数多项式逼近连续函数之外, 还有借助有理函数逼近连续函数, 借助三角多项式逼近周期连续函数, 以及用形如 \( {a}_{0}{\varphi }_{0}\left( x\right) + {a}_{1}{\varphi }_{1}\left( x\right) + \cdots + {a}_{n}{\varphi }_{n}\left( x\right) \) 的广义多项式来逼近连续函数等. 这里 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\left( x\right) \right\} }_{k = 0}^{n} \) 是一个线性无关的函数组. 这种广义多项式逼近是 1918 年哈尔 (Haar, A. ) 首先开始研究, 后来得到了很大的发展. 在这些逼近中, 人们都需要研究最佳逼近多项式或者更确切地说是最佳逼近元的存在性、惟一性以及其特征等问题, 它们构成函数逼近论在 20 世纪的一个重要内容一一定性理论. 函数逼近论的另一个重要内容是定量理论,这就是研究当 \( n \rightarrow \infty \) 时,函数的最佳逼近 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 的性态与被逼近函数 \( f\left( x\right) \) 构造性诸如连续性、可微性、光滑性、解析性等之间的关系. 这方面, 代数多项式逼近的问题要比三角多项式逼近周期函数的问题复杂得多, 常常要涉及逐点的逼近情况,一些重要的问题直到 20 世纪 50 年代后才解决. 定性和定量问题并非仅对连续函数空间, 同样也对 \( p \) 幂可积函数空间以及一般的赋范线性空间提出.
最佳逼近多项式虽然存在且惟一, 但与被逼近函数的关系大都是非线性的, 要找出它很困难. 因此, 针对不同的情况构造一些逼近方法就成了函数逼近论的重要课题. 线性算子特别是正线性算子的逼近、插值逼近、傅里叶级数部分和及其某些线性平均的逼近, 以及最佳逼近多项式的数值近似计算等, 都成为近几十年的重要研究方面, 其中主要是研究每种方法的适用范围与功能. 此外, 用逐段多项式逼近闭区间上的连续函数, 用指数型整函数逼近全实轴上的有界连续函数, 以及抽象空间中的逼近等也在不断发展.
多元函数的逼近要比一元函数的逼近复杂得多, 20 世纪 50 年代, 尼科利斯基 (Hykojibekkin, C. M. ) 等在这方面做出过很大贡献, 完成了借助三角多项式或指数型整函数对函数的最佳逼近与函数的构造性之间的关系的工作. 而多元函数的算子逼近、 插值逼近以及用一元函数的叠加与复合来逼近多元函数的问题, 近几十年来一直是为人们所重视的.
复变函数逼近论, 最早也要追溯到 1885 年龙格 (Runge, C. D. T. ) 所获得的定理,该定理断言: 若 \( F \) 是复平面上的有界闭集,其余集是个区域,则对于 \( F \) 上的解析函数,总可以用多项式在 \( F \) 上一致逼近该解析函数到任何给定的程度. 此后人们不断发展这个定理, 并且建立了种种定性和定量的结果以及逼近方法, 形成了 20 世纪函数逼近论的一个重要方面. 复变函数逼近的一个特点是函数定义域的性态, 除了紧集、闭集之外, 一些边界具有一定光滑性的特殊区域一直是受人们关注的问题. 至于逼近的方法, 除了用多项式、有理函数、插值函数逼近之外, 还有用亚纯函数、全纯函数逼近等方法.
科学技术的蓬勃发展与计算机的广泛应用, 给函数逼近论的发展带来强大的动力. 现代数学的众多分支都与函数逼近论有密切的联系, 而函数逼近论又为某些数学分支提供了理论与方法的基础. 现在, 函数逼近论已经成为分析数学中非常活跃的、并具有一定综合特色的一门学科.
函数构造论 (constructive theory of functions) 以函数逼近论中的正定理和逆定理为主要内容的理论. 人们常将函数的连续性、光滑性、可微性等称为函数的构造性质. 所谓正定理是指由函数的构造性质导出用 \( n \) 次多项式 (或其他函数系) 逼近函数时, 其最佳逼近值趋向于零的速度. 所谓逆定理是指由函数用 \( n \) 次代数多项式 (或其他函数系) 逼近时的最佳逼近值趋向于零的速度, 导出函数本身的构造性质. 这样, 研究函数的构造性质与研究函数的最佳逼近值趋向于零的速度常常有可能互相转化. 下面, 用代数 (三角) 多项式逼近连续函数的典型情况加以说明.
设 \( g\left( x\right) \) 是以 \( {2\pi } \) 为周期的实轴上的连续函数, \( {T}_{n} \) 是阶不超过 \( n \) 的三角多项式全体所成的集,则用 \( n \) 阶三角多项式逼近 \( g\left( x\right) \) 时的最佳逼近值定义为
\[
{E}_{n}^{ * }\left( g\right) = \mathop{\min }\limits_{{t \in {T}_{n}}}\mathop{\max }\limits_{{-\infty < x < + \infty }}\left| {g\left( x\right) - t\left( x\right) }\right| .
\]
又定义 \( g\left( x\right) \) 的连续性模为
\[
\omega \left( {g,\delta }\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| h\right| \leq \delta , - \infty < x < + \infty }}\left| {g\left( {x + h}\right) - g\left( h\right) }\right| .
\]
关于三角多项式逼近函数的正定理最早是由杰克森 (Jackson, D. ) 给出的,这就是: 若周期为 \( {2\pi } \) 的函数 \( g\left( x\right) \) 在实轴上有 \( p \) 阶连续导数 \( {g}^{\left( p\right) }\left( x\right) \) ,则存在仅与 \( p \) 有关的正数 \( {C}_{p} \) ,使得
\[
{E}_{n}^{ * }\left( g\right) \leq \frac{{C}_{p}}{{n}^{p}}\omega \left( {{g}^{\left( p\right) },\frac{1}{n}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
这里 \( p \geq 0 \) 是整数,并认定 \( {g}^{\left( 0\right) }\left( x\right) = g\left( x\right) \) . 逆定理是由伯恩斯坦 (Bephiureñh, C. H. ) 建立的, 这就是: 对于周期为 \( {2\pi } \) 的函数 \( g\left( x\right) \) ,如果存在 \( \alpha \in (0,1\rbrack \) 及整数 \( r \geq 0 \) ,使得
\[
{E}_{n}^{\alpha }\left( g\right) \leq {C}_{r,\alpha }{n}^{-r - \alpha }
\]
对 \( n = 1,2,\cdots \) 都成立,则 \( g\left( x\right) \) 有 \( r \) 阶连续导数 \( {g}^{\left( r\right) }\left( x\right) \) ,而且存在仅与 \( r,\alpha \) 有关的正数 \( {C}_{r, a} \) ,使得
\[
\omega \left( {{g}^{r},\delta }\right) \leq \left\{ \begin{array}{ll} {C}_{r,\alpha }{\delta }^{\alpha } & \left( {0 < \alpha < 1}\right) , \\ {C}_{r,1}\delta \left| {\ln \delta }\right| & \left( {\alpha = 1}\right) . \end{array}\right.
\]
这里 \( \alpha = 1 \) 的情况有点特殊. 后来,人们证明此时 \( {g}^{\left( r\right) }\left( x\right) \) 是亚光滑的,也即对于 \( h > 0 \) ,
\[
\left| {{g}^{\left( r\right) }\left( {x + h}\right) - 2{g}^{\left( r\right) }\left( x\right) + {g}^{\left( r\right) }\left( {x - h}\right) }\right| \leq {C}_{r}h
\]
在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 中都成立.
关于用代数多项式逼近闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数, 正定理是类似的, 逆定理却有所不同, 人们仅能对开区间 \( \left( {a, b}\right) \) 中的任意的闭区间上建立上述结论,而且此时常数 \( {C}_{r, a} \) 还与此闭区间有关. 后来,20 世纪 50 年代,季曼 (Thman, A. \( \Phi \) .) 等人才彻底解决了这个问题. 从季曼等人的工作可以得到如下的结论: 设 \( r \geq 0 \) 是整数, \( 0 < \alpha < 1, f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,则 \( f\left( x\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上有 \( r \) 阶连续导数 \( {f}^{\left( r\right) }\left( x\right) \) 且 \( {f}^{\left( r\right) } \in \) \( \operatorname{Lip}\alpha \) 的充分必要条件是对于 \( n = 1,2,\cdots \) ,都存在 \( n \) 次代数多项式 \( {p}_{n}\left( x\right) \) ,使得在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上
\[
\left| {f\left( x\right) - {p}_{n}\left( x\right) }\right| \leq {C}_{r}{\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}\right) }^{r + a},
\]
这里 \( {C}_{r} \) 是一个仅与 \( r \) 有关的正数. 因此,期望单用最佳逼近值 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 来刻画函数 \( f \) 在整个定义域上的光滑性是不合适的.
## 实变函数逼近论
实变函数逼近论 (approximation theory of functions of real variable) 用代数 (或三角) 多项式、有理函数等比较窄的函数类中的函数逼近闭区间上实的 (或且为周期 \( {2\pi } \) 的) 连续函数、可微函数等比较广泛的函数类中的函数的理论. 这时函数是实变数的实函数. 具体发展情况详见 “函数逼近论”. 实变函数逼近论研究的主要内容为:
1. 定性问题. 它是对用广义多项式逼近连续函数展开的, 讨论的是最佳逼近广义多项式的存在性、 惟一性及其特征等.
2. 定量问题. 讨论的是用代数多项式逼近闭区间上的连续函数, 或用三角多项式逼近定义在全实轴上的有周期 \( {2\pi } \) 的连续函数时的最小偏差的性态, 以及这种偏差的性态与函数本身构造性质的关系.
3. 线性算子的逼近亦是一个重要方向. 因此, 正线性算子逼近显得很有研究价值, 其他还有插值逼近、有理逼近、平均逼近、平方逼近, 以及具有一些约束条件的逼近等.
外尔斯特拉斯定理 (Weierstrass theorems) 指可以用代数或三角多项式无限逼近连续函数的基本定理. 1885 年, 外尔斯特拉斯 (Weierstrass, K. (T. W. )) 建立了如下两个定理:
1. 设 \( f\left( x\right) \) 是闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数,则对于任意给定的正数 \( \varepsilon \) ,都有代数多项式 \( p\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足 \( \left| {f\left( x\right) - p\left( x\right) }\right| < \varepsilon \) .
2. 设 \( f\left( x\right) \) 是周期为 \( {2\pi } \) 的连续的周期函数,则对于任意给定的正数 \( \varepsilon \) ,都有三角多项式 \( t\left( x\right) \) 在全实轴上满足 \( \left| {f\left( x\right) - t\left( x\right) }\right| < \varepsilon \) .
这两个定理在分析数学中具有重要的地位, 后人常依次称之为外尔斯特拉斯第一定理和第二定理. 它们表明用多项式逼近连续函数是可能的. 后人有着种种不同的证明.
斯通逼近定理 (Stone's approximation theorem) 外尔斯特拉斯定理的一个重要推广. 记 \( C\left( X\right) \) 为紧的豪斯多夫拓扑空间 \( X \) 上的连续函数的全体. 若以自然的方式对 \( C\left( X\right) \) 中的元素 \( f \) 和 \( g \) 定义乘法 \( \left( {fg}\right) \left( x\right) = f\left( x\right) g\left( x\right) \) ,则 \( C\left( X\right) \) 成为一个代数. 所谓代数就是一个线性空间, 其中定义了元素之间的乘法, 此乘法满足如下的公设:
\[
f\left( {g + h}\right) = {fg} + {fh},
\]
\[
\left( {f + g}\right) h = {fh} + {gh},
\]
\[
f\left( {gh}\right) = \left( {fg}\right) h,
\]
\[
\alpha \left( {fg}\right) = \left( {\alpha f}\right) g = f\left( {\alpha g}\right) ,
\]
这里 \( f, g, h \) 是此线性空间中的元素,而 \( \alpha \) 是数. 在 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中,代数多项式的全体构成 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的一个子代数. 作为外尔斯特拉斯定理的推广, 1937 年, 斯通 (Stone, M. H. ) 建立了这样的逼近定理: \( C\left( X\right) \) 的任何子代数 \( A \) 在 \( C\left( X\right) \) 中稠密,只要它具有两个性质: 1. \( 1 \in A;2.A \) 分离 \( X \) 中的点,即对 \( X \) 中任意两个相异的点 \( x \) 与 \( y \) ,都有 \( f \in A \) 使得 \( f\left( x\right) \neq f\left( y\right) \) .
函数空间 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) (function space \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ) 实变函数逼近论中的基本空间之一. 记 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续的实函数的全体,对于 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,记
\[
\parallel f\parallel = \parallel f{\parallel }_{C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack } = \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) }\right| ,
\]
称 \( \parallel f\parallel \) 为 \( f \) 的范数,于是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是一个赋范线性空间. 在不引起混淆的情况下,常把 \( \parallel f{\parallel }_{C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack } \) 简记为 \( \parallel f\parallel \) .
函数空间 \( {C}_{2\pi } \) (function space \( {C}_{2\pi } \) ) 实变函数逼近论中的基本空间之一. 记 \( {C}_{2\pi } \) 为定义在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上有周期 \( {2\pi } \) 的连续实函数的全体. 对于 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,其范数定义为
\[
\parallel f{\parallel }_{{C}_{2\pi }} = \mathop{\max }\limits_{{0 \leq x \leq {2\pi }}}\left| {f\left( x\right) }\right| ,
\]
于是 \( {C}_{2\pi } \) 是一个赋范线性空间.
函数类 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) (function classes \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ) 区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上绝对值为 \( p \) 幂可积的可测函数的全体. 设 \( p > 0, f\left( x\right) \) 是定义在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的可测函数,若 \( {\left| f\left( x\right) \right| }^{p} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上可积,则称 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( p \) 幂可积函数, 并记
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}^{p}} = {\left\{ {\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}}.
\]
记 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( p \) 幂可积函数的全体. 若 \( p \) \( \geq 1 \) ,并记 \( \parallel f{\parallel }_{{L}^{p}} \) 作为 \( f \) 的范数,则 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是赋范线性空间. 当 \( 0 < p < 1 \) 时, \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 虽然不是赋范线性空间, 但是, 此时函数逼近问题依然存在, 并且有某些类似于 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的函数逼近理论.
函数类 \( {L}_{2\pi }^{p} \) (function classes \( {L}_{2\pi }^{p} \) ) 定义在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 中有周期 \( {2\pi } \) 且在 \( \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \) 上绝对值 \( p \) 幂可积的可测函数的全体. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上且具有周期 \( {2\pi } \) 的函数, \( p > 0 \) . 若 \( f\left( x\right) \) 可测且
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}_{2\pi }^{p}} = {\left\{ {\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}} < + \infty ,
\]
则称函数 \( f\left( x\right) \in {L}_{2\pi }^{p} \) .
连续性模 (modulus of continuity) 简称连续模,刻画函数连续性的尺度. 设 \( f\left( x\rig |
2000_数学辞海（第3卷） | 125 | \rbrack \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( p \) 幂可积函数的全体. 若 \( p \) \( \geq 1 \) ,并记 \( \parallel f{\parallel }_{{L}^{p}} \) 作为 \( f \) 的范数,则 \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是赋范线性空间. 当 \( 0 < p < 1 \) 时, \( {L}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 虽然不是赋范线性空间, 但是, 此时函数逼近问题依然存在, 并且有某些类似于 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的函数逼近理论.
函数类 \( {L}_{2\pi }^{p} \) (function classes \( {L}_{2\pi }^{p} \) ) 定义在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 中有周期 \( {2\pi } \) 且在 \( \left\lbrack {0,{2\pi }}\right\rbrack \) 上绝对值 \( p \) 幂可积的可测函数的全体. 设 \( f\left( x\right) \) 是定义在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上且具有周期 \( {2\pi } \) 的函数, \( p > 0 \) . 若 \( f\left( x\right) \) 可测且
\[
\parallel f{\parallel }_{{L}_{2\pi }^{p}} = {\left\{ {\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}} < + \infty ,
\]
则称函数 \( f\left( x\right) \in {L}_{2\pi }^{p} \) .
连续性模 (modulus of continuity) 简称连续模,刻画函数连续性的尺度. 设 \( f\left( x\right) \) 是闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \)
上的连续实函数, 称
\[
\omega \left( {f,\delta }\right) = \mathop{\max }\limits_{{x, x + h \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\left| h\right| \leq \delta }}\left| {f\left( {x + h}\right) - f\left( x\right) }\right|
\]
为 \( f\left( x\right) \) 的连续性模,其中 \( \delta \in \left\lbrack {0, b - a}\right\rbrack \) . 当 \( f\left( x\right) \) 是周期 \( {2\pi } \) 的连续的周期函数时, \( \delta \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack \) . 连续性模 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 有下列性质:
1. 当 \( \delta \rightarrow 0 \) 时, \( \omega \left( {f,\delta }\right) \rightarrow 0 \) .
2. \( \omega \left( {f,\delta }\right) \geq 0 \) ,而且是 \( \delta \) 的增函数.
3. \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 是半可加的,即对 \( \forall {\delta }_{1},{\delta }_{2} \geq 0 \) 且 \( {\delta }_{1} \) \( + {\delta }_{2} \leq b - a \) ,有 \( \omega \left( {f,{\delta }_{1} + {\delta }_{2}}\right) \leq \omega \left( {f,{\delta }_{1}}\right) + \omega \left( {f,{\delta }_{2}}\right) \) .
这三条性质是本质的. 事实上, 一个定义在 \( \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \) 上的函数 \( \omega \left( \delta \right) \) ,如果它满足上述三个条件,那么它必然是 \( \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \) 上的某个连续函数 \( f\left( x\right) \) 的连续性模. 连续性模还有一些重要的性质,例如,若 \( n \) 是正整数,则 \( \omega \left( {f,{n\delta }}\right) \leq {n\omega }\left( {f,\delta }\right) \) ; 若 \( \lambda > 0 \) 不是整数,则 \( \omega \left( {f,{\lambda \delta }}\right) \leq \left( {\lambda + 1}\right) \omega \left( {f,\delta }\right) \) ; 若 \( {f}_{1}\left( x\right) \) 和 \( {f}_{2}\left( x\right) \) 是同一闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数,则 \( \omega \left( {{f}_{1} + {f}_{2},\delta }\right) \) \( \leq \omega \left( {{f}_{1},\delta }\right) + \omega \left( {{f}_{2},\delta }\right) ;\omega \left( {{f}_{1}{f}_{2}, x}\right) \leq \begin{Vmatrix}{f}_{2}\end{Vmatrix}\omega \left( {{f}_{1},\delta }\right) \) \( + \begin{Vmatrix}{f}_{1}\end{Vmatrix}\omega \left( {{f}_{2},\delta }\right) \) ,这里 \( \parallel f\parallel \) 表示函数 \( \left| {f\left( x\right) }\right| \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的最大值. 若 \( \omega \left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \) 上的连续增函数, \( \omega \left( 0\right) = 0 \) ,而且是凹 (上凸) 的,则 \( \omega \left( x\right) \) 必是 \( \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \) 上某个连续函数的连续性模. 但是,连续性模 \( \omega \left( \delta \right) \) 未必是凹的. 然而对于每个连续性模 \( \omega \left( \delta \right) \left( {0 \leq \delta \leq l}\right) \) , 都有 \( \left\lbrack {0, l}\right\rbrack \) 上的凹函数 \( {\omega }^{ * }\left( \delta \right) \) ,使得
\[
\omega \left( \delta \right) \leq {\omega }^{ * }\left( \delta \right) \leq {2\omega }\left( \delta \right) \;\left( {0 \leq \delta \leq l}\right) .
\]
对于 \( s \) 维长方体 (即 \( s \) 个闭区间 \( {a}_{k} \leq x \leq {b}_{k}(k \) \( = 1,2,\cdots, s) \) 的乘积 \( )A \) 上的 \( s \) 个变量的连续函数 \( f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s}}\right) \) ,人们定义此函数的连续性模为
\[
\left| {f\left( {{y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{s}}\right) - f\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s}}\right) }\right|
\]
在 \( \left| {{y}_{k} - {x}_{k}}\right| \leq \delta \left( {k = 1,2,\cdots, s}\right) \) 限制下的最大值,当
然,这里 \( {a}_{k} \leq {x}_{k},{y}_{k} \leq {b}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, s}\right) \) .
连续模 (modulus of continuity) 即 “连续性模”.
光滑模 (modulus of smoothness) 连续性模的一种直接推广. 设 \( r \) 是正整数,对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数 \( f\left( x\right) \) ,称
\[
{\omega }_{r}\left( {f,\delta }\right) = \mathop{\max }\limits_{\substack{{a \leq x, x + {rh} \leq b} \\ {\left| h\right| \leq \delta } }}\left| {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{r}{\left( -1\right) }^{\left( r - k\right) }\left( \begin{array}{l} r \\ k \end{array}\right) f\left( {x + {kh}}\right) }\right|
\]
为 \( f \) 的 \( r \) 阶光滑模. 主要性质:
1. 若 \( n \) 是正整数,则 \( {\omega }_{r}\left( {f,{n\delta }}\right) \leq {n}^{r}{\omega }_{r}\left( {f,\delta }\right) \) . 若 \( \lambda > 0 \) 不是正整数,则 \( {\omega }_{r}\left( {f,{\lambda \delta }}\right) \leq {\left( 1 + \lambda \right) }^{r}{\omega }_{r}\left( {f,\delta }\right) \) .
2. 若 \( r \) 和 \( s \) 都是正整数,则
\[
{\omega }_{r + s}\left( {f,\delta }\right) \leq {2}^{r}{\omega }_{s}\left( {f,\delta }\right) ,
\]
\[
{\omega }_{r}\left( {f,\delta }\right) \leq {C}_{r}{\delta }^{r}\left( {{\int }_{\delta }^{C}\frac{{\omega }_{r + s}\left( {f, u}\right) }{{u}^{r + 1}}\mathrm{\;d}u + \parallel f\parallel }\right) ,
\]
其中 \( {C}_{r} \) 与 \( C \) 是与 \( f \) 及 \( \delta \) 都无关的常数. 特别有
\[
{\omega }_{1}\left( {f,\delta }\right) \leq M{\omega }_{2}\left( {f,\sqrt{\delta }}\right) \;\left( {0 \leq \delta \leq \frac{1}{4}{\left( b - a\right) }^{2}}\right) ,
\]
但其中 \( M \) 是与 \( f \) 有关的常数. 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有 \( r \) 阶连续导数,则 \( {\omega }_{r + s}\left( {f,\delta }\right) \leq {\delta }^{r}{\omega }_{s}\left( {f,\delta }\right) \) .
最佳逼近 (best approximation) 最小的逼近偏差. 设 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,称具有实系数 \( {a}_{k} \) 的线性组合
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}
\]
为关于 \( \Phi \) 的广义多项式. 对于 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,用
\[
\begin{Vmatrix}{f - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}}\end{Vmatrix} = \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right) }\right|
\]
表示 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k} \) 对 \( f \) 的逼近偏差. 称
\[
\mathop{\inf }\limits_{{{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}}\begin{Vmatrix}{f - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}}\end{Vmatrix}
\]
为关于 \( \Phi \) 的广义多项式对 \( f \) 的最佳逼近值,或简称最佳逼近, 也称最佳一致逼近.
最佳一致逼近 (best uniform approximation) 即“最佳逼近”.
最佳逼近广义多项式 (generalized polynomials of best approximation) 达到最佳逼近的广义多项式. 设 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,若存在关于 \( \Phi \) 的广义多项式
\[
{P}^{ * }\left( f\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{}^{ * }{\varphi }_{k}
\]
使得
\[
\begin{Vmatrix}{f - {P}^{ * }\left( f\right) }\end{Vmatrix} = \mathop{\inf }\limits_{P}\parallel f - P\parallel ,
\]
则称 \( {P}^{ * }\left( f\right) \) 为 \( f \) 关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式,这里
\[
P = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}
\]
是关于 \( \Phi \) 的广义多项式, \( {a}_{k} \) 及 \( {a}_{k} \cdot \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) 都是实数.
存在性定理 (existence theorem) 阐明连续函数都存在最佳逼近广义多项式的定理. 设 \( \Phi = \) \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 若 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则 \( f \) 关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式是存在的. 换言之,有关于 \( \Phi \) 的广义多项式
\[
{P}^{ * }\left( f\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{}^{ * }{\varphi }_{k}
\]
使得
\[
\begin{Vmatrix}{f - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{}^{ * }{\varphi }_{k}}\end{Vmatrix} = \mathop{\inf }\limits_{{{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n}}}\begin{Vmatrix}{f - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}}\end{Vmatrix},
\]
其中系数 \( {a}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) 都是实数. 这个定理对于代数多项式或三角多项式在 18 世纪曾被认为是无需证明的, 直到 1905 年, 波莱尔 (Borel, (F.-É.- J. -)E. ) 才建立了存在性定理, 所以常称为波莱尔定理. 对于更一般的情况, 也有类似的结论.
哈尔条件 (Haar condition) 代数多项式零点性质的一个扩充. 设 \( {\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,称函数组 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足哈尔条件,是指其不恒为零的关于 \( \Phi \) 的广义多项式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上至多有 \( n - 1 \) 个零点,其中 \( {a}_{k}(k = 1,2,\cdots \) , \( n) \) 是任意给定的实数. 哈尔条件的等价形式是每个 \( {\varphi }_{k}\left( x\right) \) 都在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上连续并且每 \( n \) 个形如
\[
\left( {{\varphi }_{1}\left( x\right) ,{\varphi }_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{\varphi }_{n}\left( x\right) }\right)
\]
的向量的集合都线性无关. 换句话说, 称函数组 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足哈尔条件,是指每个函数 \( {\varphi }_{k}\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 都连续并且由 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( n \) 个相异的点 \( {x}_{1},{x}_{2} \) , \( \cdots ,{x}_{n} \) 做成的行列式
\[
\left| \begin{matrix} {\varphi }_{1}\left( {x}_{1}\right) & {\varphi }_{2}\left( {x}_{1}\right) & \cdots & {\varphi }_{n}\left( {x}_{1}\right) \\ {\varphi }_{1}\left( {x}_{2}\right) & {\varphi }_{2}\left( {x}_{2}\right) & \cdots & {\varphi }_{n}\left( {x}_{2}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\varphi }_{1}\left( {x}_{n}\right) & {\varphi }_{2}\left( {x}_{n}\right) & \cdots & {\varphi }_{n}\left( {x}_{n}\right) \end{matrix}\right|
\]
都不等于零.
切比雪夫组 (Chebyshev system) 满足哈尔条件的函数组. 设有一组函数 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 若在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上不恒为零的广义多项式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上至多有 \( n - 1 \) 个 |
2000_数学辞海（第3卷） | 126 | \( {\varphi }_{k}\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 都连续并且由 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( n \) 个相异的点 \( {x}_{1},{x}_{2} \) , \( \cdots ,{x}_{n} \) 做成的行列式
\[
\left| \begin{matrix} {\varphi }_{1}\left( {x}_{1}\right) & {\varphi }_{2}\left( {x}_{1}\right) & \cdots & {\varphi }_{n}\left( {x}_{1}\right) \\ {\varphi }_{1}\left( {x}_{2}\right) & {\varphi }_{2}\left( {x}_{2}\right) & \cdots & {\varphi }_{n}\left( {x}_{2}\right) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\varphi }_{1}\left( {x}_{n}\right) & {\varphi }_{2}\left( {x}_{n}\right) & \cdots & {\varphi }_{n}\left( {x}_{n}\right) \end{matrix}\right|
\]
都不等于零.
切比雪夫组 (Chebyshev system) 满足哈尔条件的函数组. 设有一组函数 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 若在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上不恒为零的广义多项式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上至多有 \( n - 1 \) 个零点,则称 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个切比雪夫组.
马尔可夫系统 (Markov system) 切比雪夫组的扩充. 设 \( {\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {k = 1,2,\cdots }\right) \) ,若序列 \( M = \) \( \left\{ {1,{\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots }\right\} \) 的任何前 \( n \) 个元素 \( \left\{ {1,{\varphi }_{1},{\varphi }_{2},\cdots ,{\varphi }_{n - 1}}\right\} \) \( \left( {n = 2,3,\cdots }\right) \) 都是一个切比雪夫组,则称 \( M \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个马尔可夫系统. 对于给定的正整数 \( n \) ,借助于马尔可夫系统前 \( n \) 个元素的线性组合对函数的逼近称为马尔可夫系统的逼近.
马尔可夫系统的逼近 (approximation by Markov system) 见“马尔可夫系统”.
交错定理 (alternation theorem) 最佳逼近广义多项式的特征刻画. 设 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个切比雪夫组, \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 不是一个关于 \( \Phi \) 的广义多项式, 则广义多项式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}^{ * }{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
是函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式的充分必要条件是, 偏差函数
\[
r\left( x\right) = f\left( x\right) - \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}^{ * }{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上至少出现 \( n + 1 \) 次 “交错”,也即在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上至少有 \( n + 1 \) 个点 \( {x}_{j}\left( {j = 0,1,\cdots, n}\right) \) ,使得 \( {x}_{0} < {x}_{1} \) \( < \cdots < {x}_{n}, r\left( {x}_{j}\right) = - r\left( {x}_{j - 1}\right) \left( {j = 1,2,\cdots, n}\right) , \mid r\left( {x}_{j}\right) \) \( \mid = \parallel r\parallel \) . 换句话说, \( r\left( x\right) \) 在这 \( n + 1 \) 个点处正负交替地达到最大 (小) 值. 人们称上述结论为交错定理. 对于代数多项式的情形, 这个定理早在 19 世纪 50 年代已为切比雪夫 (Ye6billieB, II. JI. ) 所建立.
柯尔莫哥洛夫定理 (Kolmogorov theorem) 最佳逼近广义多项式的特征定理. 设 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) , \( {\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,对于 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,关于 \( \Phi \) 的广义多项式
\[
{P}^{ * }\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}^{ * }{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
是 \( f \) 的最佳逼近广义多项式的充分必要条件是,对于每一个关于 \( \Phi \) 的广义多项式
\[
Q\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
都有
\[
\mathop{\max }\limits_{{x \in {A}_{0}}}\left\{ {\left( {f\left( x\right) - {P}^{ * }\left( x\right) }\right) Q\left( x\right) }\right\} \geq 0,
\]
其中
\[
{A}_{0} = \{ x \mid x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \text{ 且 }
\]
\[
\left| {f\left( x\right) - {P}^{ * }\left( x\right) }\right| = \left. \begin{Vmatrix}{f - {P}^{ * }}\end{Vmatrix}\right\} .
\]
1948 年, 柯尔莫哥洛夫 (Koлмогоров, A. H. ) 建立了上述定理. 这个定理给出了一般情况下最佳逼近广义多项式的特征.
惟一性定理 (uniqueness theorem) 阐明每个连续函数仅有一个最佳逼近广义多项式的定理. 设 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 若 \( \Phi \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 满足哈尔条件,则对每个 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,其关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}^{ * }{\varphi }_{k}
\]
是惟一的; 若对每个 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,其关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}^{ * }{\varphi }_{k}
\]
是惟一的,则 \( \Phi \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足哈尔条件. 这一结论是哈尔 (Haar, A. ) 于 1918 年建立的, 所以常称它为哈尔惟一性定理.
哈尔惟一性定理 (Haar uniqueness theorem) 即“惟一性定理”.
强惟一性定理 (strong uniqueness theorem) 惟一性定理的强化. 设函数组 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足哈尔条件, \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 若 \( {P}^{ * }\left( f\right) \) 是 \( f \) 关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式,则存在仅与 \( f \) 有关的常数 \( \gamma \) \( > 0 \) ,使得对任一关于 \( \Phi \) 的广义多项式 \( P \) ,都有
\[
\parallel f - P\parallel \geq \begin{Vmatrix}{f - {P}^{ * }\left( f\right) }\end{Vmatrix} + \gamma \begin{Vmatrix}{{P}^{ * }\left( f\right) - P}\end{Vmatrix}.
\]
弗洛伊德定理 (Freud theorem) 最佳逼近算子的连续性定理. 设 \( \Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足哈尔条件, \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 记 \( f \) 关于 \( \Phi \) 的最佳逼近广义多项式为 \( \mathcal{T}f \) ,则 \( \mathcal{T} \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的一个连续算子. 不仅如此, 弗洛伊德 (Freud, G. ) 在 1958 年还证明了这个算子在每点都满足李普希茨条件, 也即对于每个 \( {f}_{0} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,都存在常数 \( \lambda > 0 \) ,使得对所有的 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,都成立着
\[
\begin{Vmatrix}{\mathcal{T}{f}_{0} - \mathcal{T}f}\end{Vmatrix} \leq \lambda \begin{Vmatrix}{{f}_{0} - f}\end{Vmatrix}.
\]
平均逼近 (approximation in the mean) 按 \( {L}^{1} \) 范数的逼近. 设 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上可积,称
\[
\parallel f{\parallel }_{1} = {\int }_{a}^{b}\left| {f\left( x\right) }\right| \mathrm{d}x
\]
为 \( f \) 的 \( {L}^{1} \) 范数. 常称
\[
\frac{1}{b - a}\parallel f{\parallel }_{1}
\]
为 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的平均值. 虽然 \( {L}^{1} \) 范数对于较 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 广泛得多的一类函数都有意义,但在函数逼近论中的某些重要问题都仅与连续函数有关. 设 \( P \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的一个 \( n \) 维子空间, \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,若存在 \( {q}^{ * } \in P \) ,使得对每个 \( q \in P \) ,都有
\[
{\begin{Vmatrix}f - {q}^{ * }\end{Vmatrix}}_{1} \leq \parallel f - q{\parallel }_{1},
\]
则称 \( {q}^{ * } \) 是 \( f \) 在 \( P \) 中的最佳平均逼近元素,也简称 \( f \) 在 \( P \) 中的最佳平均逼近.
设 \( P \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的子空间, \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ; 又设 \( {q}^{ * } \) \( \in P \) ,它与 \( f \) 至多只在有限个点上重合,则 \( {q}^{ * } \) 是 \( f \) 在 \( P \) 中的最佳平均逼近元素的充分必要条件为,对于任何 \( q \in P \) ,都有
\[
{\int }_{a}^{b}q\left( x\right) \operatorname{sgn}\left( {f\left( x\right) - {q}^{ * }\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
其中
\[
\operatorname{sgn}\left( {f\left( x\right) - {q}^{ * }\left( x\right) }\right)
\]
\[
= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {f\left( x\right) - {q}^{ * }\left( x\right) > 0}\right) , \\ - 1 & \left( {f\left( x\right) - {q}^{ * }\left( x\right) < 0}\right) , \\ 0 & \left( {f\left( x\right) - {q}^{ * }\left( x\right) = 0}\right) . \end{array}\right.
\]
设 \( P \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的 \( n \) 维子空间,若 0 是 \( P \) 中惟一具有 \( n \) (或更多) 个零点的元素,则称 \( P \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的一个哈尔子空间. 对于每个 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,它在哈尔子空间 \( P \) 中都具有惟一的最佳平均逼近元素. 这是由杰克森 (Jackson, D. ) 所证明的定理. 设 \( \cos \theta = x \) ,则
\[
{U}_{n}\left( x\right) = \frac{\sin \left( {n + 1}\right) \theta }{\sin \theta }
\]
是一个首项系数为 \( {2}^{n} \) 的代数多项式,其次数为 \( n \) . 可以证明,在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上,按 \( {L}^{1} \) 范数与 0 有最小偏差, 或者说按 \( {L}^{1} \) 范数最佳逼近于 0 的首项系数为 1 的 \( n \) 次代数多项式是 \( {2}^{-n}{U}_{n}\left( x\right) \) . 换言之, \( {x}^{n} - {2}^{-n}{U}_{n}\left( x\right) \) 是函数 \( {x}^{n} \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上的 \( n - 1 \) 次最佳平均逼近代数多项式.
最佳平均逼近 (best approximation in mean) 即“平均逼近”.
哈尔子空间 (Haar subspace) 见 “平均逼近”.
代数多项式逼近 (approximation by algebraic polynomials）用代数多项式近似地表示连续函数. 记 \( {\pi }_{n} \) 为次数不高于 \( n \) 的代数多项式 \( {a}_{0} + {a}_{1}x \) \( + \cdots + {a}_{n}{x}^{n} \) 的全体,这里 \( {a}_{k}\left( {k = 0,1,\cdots, n}\right) \) 是实数. 对于函数 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,称
\[
{E}_{n}\left( f\right) = \mathop{\inf }\limits_{{P \in {\pi }_{n}}}\parallel f - P\parallel
\]
为 \( n \) 次代数多项式对 \( f \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的最佳逼近值 (度), 也简称最佳逼近. 这里的下确界是能够达到的,并且只有一个次数不高于 \( n \) 的代数多项式达到, 记它为 \( {P}_{n}^{ * }\left( f\right) \) ,并称它为函数 \( f \) 在区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( n \) 次最佳逼近多项式.
最佳逼近多项式 (polynomials of best approximation) 见“代数多项式逼近”.
切比雪夫定理 (Chebyshev theorem) 最佳逼近代数多项式的特征定理. 设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{\pi }_{n} \) 为 \( \leq n \) 次代数多项式全体, \( Q \in {\pi }_{n} \) ,则 \( Q \) 为 \( f \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的 \( n \) 次最佳逼近多项式的充分必要条件是,在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上存在 \( n + 2 \) 个点 \( {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{n + 2} \) ,使得
\[
\left| {f\left( {x}_{k}\right) - Q\left( {x}_{k}\right) }\right| = \parallel f - Q\parallel
\]
\[
\left( {k = 1,2,\cdots, n + 2}\right) ,
\]
而且对于 \( k = 1,2,\cdots, n \) ,
\[
f\left( {x}_{k}\right) - Q\left( {x}_{k}\right) = - \left( {f\left( {x}_{k + 1}\right) - Q\left( {x}_{k + 1}\right) }\right) .
\]
这个定理是 18 世纪 50 年代由切比雪夫 (Ye6 L1111eB, II. JI. ) 建立的. 后人称它为切比雪夫定理. 作为其应用是: 设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack, P \in {\pi }_{n} \) . 若在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有 \( n + 2 \) 个点 \( {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{n + 2} \) ,使得
\[
\left( {f\left( {x}_{k}\right) - P\left( {x}_{k}\right) }\right) = - \left( {f\left( {x}_{k + 1}\right) - P\left( {x}_{k + 1}\right) }\right)
\]
\[
\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则
\[
\mathop{\min }\limits_{{1 \leq k \leq n + 2}}\left| {f\left( {x}_{k}\right) - P\left( {x}_{k}\right) }\right| \leq {E}_{n}\left( f\right) ,
\]
其中 \( {E}_{n}\left( f\ri |
2000_数学辞海（第3卷） | 127 | 在 \( n + 2 \) 个点 \( {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{n + 2} \) ,使得
\[
\left| {f\left( {x}_{k}\right) - Q\left( {x}_{k}\right) }\right| = \parallel f - Q\parallel
\]
\[
\left( {k = 1,2,\cdots, n + 2}\right) ,
\]
而且对于 \( k = 1,2,\cdots, n \) ,
\[
f\left( {x}_{k}\right) - Q\left( {x}_{k}\right) = - \left( {f\left( {x}_{k + 1}\right) - Q\left( {x}_{k + 1}\right) }\right) .
\]
这个定理是 18 世纪 50 年代由切比雪夫 (Ye6 L1111eB, II. JI. ) 建立的. 后人称它为切比雪夫定理. 作为其应用是: 设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack, P \in {\pi }_{n} \) . 若在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有 \( n + 2 \) 个点 \( {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{n + 2} \) ,使得
\[
\left( {f\left( {x}_{k}\right) - P\left( {x}_{k}\right) }\right) = - \left( {f\left( {x}_{k + 1}\right) - P\left( {x}_{k + 1}\right) }\right)
\]
\[
\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则
\[
\mathop{\min }\limits_{{1 \leq k \leq n + 2}}\left| {f\left( {x}_{k}\right) - P\left( {x}_{k}\right) }\right| \leq {E}_{n}\left( f\right) ,
\]
其中 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式对 \( f \) 的最佳逼近值.
杰克森定理 (Jackson theorem) 用函数的构造性刻画其最佳逼近值的阶的定理. 设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 是 \( f \) 的连续性模, \( {E}_{n}\left( f\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式对 \( f \) 的最佳逼近值,则有
\[
{E}_{n}\left( f\right) \leq {12\omega }\left( {f,\frac{b - a}{2n}}\right) .
\]
如果 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 有 \( r \) 阶连续导数 \( {f}^{\left( r\right) } \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,那么
\[
{E}_{n}\left( f\right) \leq {C}_{r}\frac{{\left( b - a\right) }^{r}}{{n}^{r}}\omega \left( {{f}^{\left( r\right) },\frac{b - a}{2\left( {n - r}\right) }}\right) ,
\]
这里 \( {C}_{r} \) 是一个仅与 \( r \) 有关的正数. 这是杰克森 (Jackson, D. ) 在 1912 年建立的, 人们称之为杰克森定理.
伯恩斯坦不等式 (Bernstein inequality) 关于多项式的导数估计的一个不等式. 设 \( {P}_{n}\left( x\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式,则在 \( \left( {-1,1}\right) \) 上,
\[
\left| {{P}_{n}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \frac{n}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\mathop{\max }\limits_{{-1 \leq x \leq 1}}\left| {{P}_{n}\left( x\right) }\right| .
\]
设 \( {t}_{n}\left( x\right) \) 是 \( n \) 阶三角多项式,则
\[
\left| {{t}_{n}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq n\mathop{\max }\limits_{{0 \leq x \leq {2\pi }}}\left| {{t}_{n}\left( x\right) }\right| .
\]
上述两个不等式都称为伯恩斯坦不等式, 它们是由伯恩斯坦 (Sephintrevin, C. H. ) 首先发现的. 后一不等式的一个重要的推广形式是 1948 年斯捷奇金 (Creykин, C. E.) 给出的: 设 \( r \geq 1 \) ,则对于 \( h \) \( \in (0,\pi /n\rbrack \) ,有
\[
\left| {{t}_{n}^{\left( r\right) }\left( x\right) }\right| \leq {\left( \frac{n}{2\sin {nh}}\right) }^{r}\begin{Vmatrix}{{\Delta }_{h}^{r}{t}_{n}}\end{Vmatrix},
\]
这里
\[
{\Delta }_{h}^{r}{t}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{r}{\left( -1\right) }^{r - k}\left( \begin{array}{l} r \\ k \end{array}\right) {t}_{n}\left( {x + {kh}}\right) .
\]
马尔可夫不等式 (Markov inequality) 多项式导数在闭区间上的整体估计. 若 \( P\left( x\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式,则在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上
\[
\left| {{P}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \frac{2{n}^{2}}{b - a}\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {P\left( x\right) }\right| .
\]
这是马尔可夫 (MapkoB, A. A. ) 发现的. 由此得到对任何正整数 \( m < n \) ,有
\[
\left| {{P}^{\left( m\right) }\left( x\right) }\right| \leq \frac{{2}^{m}}{{\left( b - a\right) }^{m}}{n}^{2}{\left( n - 1\right) }^{2}\cdots
\]
\[
\text{-}{\left( n - m + 1\right) }^{2}\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {P\left( x\right) }\right| \text{.}
\]
然而更精细的不等式是由马尔可夫的兄弟 (MapkoB, B. A. ) 建立的:
\[\left| {{P}^{\left( m\right) }\left( x\right) }\right| \leq \frac{{2}^{m}}{{\left( b - a\right) }^{m}}\frac{{n}^{2}\left( {{n}^{2} - {1}^{2}}\right) \cdots \left( {{n}^{2} - {\left( m - 1\right) }^{2}}\right) }{\left( {{2m} - 1}\right) !!}\parallel P\parallel \]
\[\left( {a \leq x \leq b}\right) \text{.}\]
贾德克不等式(Dzjadyk inequality) 多项式导数的点态估计不等式. 设 \( \omega \left( t\right) \) 是连续性模,即 \( \omega \left( t\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {0,2}\right\rbrack \) 上有如下性质的函数: 当 \( t \rightarrow 0 \) 时, \( \omega \left( t\right) \) \( \rightarrow 0;\omega \left( t\right) \geq 0 \) 而且是 \( t \) 的增函数; 对 \( {t}_{1},{t}_{2} \in \left\lbrack {0,2}\right\rbrack \left( {t}_{1}\right. \) \( \left. {+{t}_{2} \leq 2}\right) \) ,成立不等式 \( \omega \left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) \leq \omega \left( {t}_{1}\right) + \omega \left( {t}_{2}\right) \) . 又设 \( {P}_{n}\left( x\right) \) 是次数不高于 \( n \) 的代数多项式, \( r \) 是整数. 如果在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上有
\[\left| {{P}_{n}\left( x\right) }\right| \leq {\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}\right) }^{r}\omega \left( {\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) ,\]
则在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上成立着
\[\left| {{P}_{n}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq {C}_{r}{\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}\right) }^{r - 1}\omega \left( {\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) ,\]
这里 \( {C}_{r} \) 是仅与 \( r \) 有关的正数. 这个不等式是贾德克 ( \( {\mu }_{{3A},\mathrm{{ILIK}}},\mathrm{B}.\mathrm{K} \) .) 于 1956 年建立的,它在逼近论的逆定理研究中起着重要作用.
季曼定理 (Timan theorem) 代数多项式逼近连续函数的正定理. 若 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 且 \( f \) 有 \( r \geq 0 \) 阶连续导数,则存在一列次数不高于 \( n \) 的代数多项式 \( {P}_{n}\left( x\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) \) ,使得对于 \( - 1 \leq x \leq 1 \) 和 \( n > r \) , 都有
\[\left| {f\left( x\right) - {P}_{n}\left( x\right) }\right| \]
\[
\leq {C}_{r}{\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}\right) }^{r}\omega \left( {{f}^{\left( r\right) },\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) ,
\]
(1)
其中 \( \omega \left( {{f}^{\left( r\right) },\delta }\right) \) 是 \( {f}^{\left( r\right) }\left( x\right) \) 的连续性模, \( {C}_{r} \) 是仅与 \( r \) 有关的正数. 这个定理是季曼 (Tuman, A. Φ. ) 于 1951 年建立的, 通常称为季曼定理, 它是代数多项式逼近连续函数的正定理一杰克森型定理. 进一步的讨论说明,(1) 中的连续性模可以用 \( k \) 阶光滑模代替. 这是一个方面的发展. 另一方面是 (1) 中的
\[
\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}
\]
可以用 \( \left( {1 - {x}^{2}}\right) /n \) 代替. 这是哥本高斯 (Toneltray 3, JI. E. ) 于 1967 年得到的结果.
代数多项式逼近的逆定理 (inverse theorems of approximation by algebraic polynomials) 由逼近阶推出函数构造性质的定理. 设 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack ,\omega \left( t\right) \) 是连续性模,即 \( t \rightarrow 0 \) 时 \( \omega \left( t\right) \rightarrow 0,\omega \left( t\right) \geq 0 \) 是 \( t \) 的增函数,而且 \( \omega \left( {{t}_{1} + {t}_{2}}\right) \leq \omega \left( {t}_{1}\right) + \omega \left( {t}_{2}\right) \) 对 \( 0 \leq {t}_{1},{t}_{2},{t}_{1} + \) \( {t}_{2} \leq 2 \) 都成立. 若存在整数 \( r \geq 0 \) 以及代数多项式序列 \( {\left\{ {P}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,其中 \( {P}_{n}\left( x\right) \) 的次数不高于 \( n \) ,使得在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上成立着
\[
\left| {f\left( x\right) - {P}_{n}\left( x\right) }\right|
\]
\[
\leq {\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}\right) }^{r}\omega \left( {\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) ,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上有 \( r \) 阶连续导数,而且对 \( t \in \left( {0,1/2}\right) \) ,有
\[
\omega \left( {{f}^{\left( r\right) }, t}\right) \leq \left\{ \begin{array}{ll} {C}_{r}t{\int }_{t}^{1}\frac{\omega \left( u\right) }{{u}^{2}}\mathrm{\;d}u & \left( {r = 0}\right) , \\ {C}_{r}\left( {t{\int }_{t}^{1}\frac{\omega \left( u\right) }{{u}^{2}})\mathrm{d}u + {\int }_{0}^{t}\frac{\omega \left( u\right) }{u}\mathrm{\;d}u}\right) & \left( {r > 0}\right) , \end{array}\right.
\]
这里 \( {f}^{\left( 0\right) } \equiv f \) ,而在 \( r > 0 \) 时,还应假设
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\omega \left( u\right) }{u}\mathrm{\;d}u < + \infty .
\]
若 \( \omega \left( u\right) = {u}^{\alpha }\left( {0 < \alpha < 1}\right) \) ,则 \( \omega \left( {{f}^{\left( r\right) }, t}\right) \leq {C}_{r, a}{t}^{\alpha } \) . 这方面的工作是季曼 (Tuman, A. Φ. ) 于 1957 年开始的. 上面的 \( {C}_{r} \) 与 \( {C}_{r, a} \) ,都是仅与其下角标有关的正数.
三角多项式 (trigonometric polynomial) 形如
\[
{t}_{n}\left( x\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right)
\]
的多项式,式中系数 \( {a}_{k}\left( {k = 0,1,\cdots, n}\right) ,{b}_{k}(k = 1,2 \) , \( \cdots, n) \) 为实数,倘若 \( {a}_{n},{b}_{n} \) 不全为零,则称 \( n \) 为此三角多项式的阶数. \( {t}_{n}\left( x\right) \in {C}_{2\pi } \) ,而且利用欧拉公式
\[
\cos {kx} = \frac{1}{2}\left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kx}} + {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{kx}}}\right) ,
\]
\[
\sin {kx} = \frac{1}{2\mathrm{i}}\left( {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kx}} - {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{kx}}}\right) ,
\]
可以将 \( {t}_{n}\left( x\right) \) 写成
\[
{t}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = - n}}^{n}{C}_{k}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{kx}}.
\]
\( n \) 阶三角多项式在长为 \( {2\pi } \) 的半开区间中最多只有 \( {2n} \) 个零点. 若两个 \( n \) 阶三角多项式在长为 \( {2\pi } \) 的半开区间中有 \( {2n} + 1 \) 个相异的点上取值相同,则它们完全相同. 关于 \( {t}_{n} \) 在 \( {L}_{2\pi }^{p} \) 中的范数,尼科利斯基 (HikoJibckий, C. M. ) 建立了如下的不等式: 若 \( 1 \leq p \) \( \leq {p}^{\prime } \leq + \infty \) ,则
\[
{\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{p}} \leq {\left( 2\pi \right) }^{\frac{1}{p} - \frac{1}{{p}^{\prime }}}{\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{{p}_{\prime }}},
\]
\[
{\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{p,}} \leq 2{n}^{\frac{1}{p} - \frac{1}{{p}^{\prime }}}{\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{p}},
\]
这里 \( {\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{\infty }} = {\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{C} \) .
若 \( {\nu }_{j} \) 是正整数, \( {z}_{j} \) 是复变数, \( j = 0,1,2,\cdots, m \) , \( {C}_{{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}} \) 是仅与足码有关的复数,则称
\[
\mathop{\sum }\limits_{{-{v}_{j} \leq {k}_{j} \leq {v}_{j}}}{C}_{{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {{k}_{1}{z}_{1} + {k}_{2}{z}_{2} + \cdots + {k}_{m}{z}_{m}}\right) }
\]
为关于变量 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{m} \) 的相应为 \( {\nu }_{1},{\nu }_{2},\cdots ,{\nu }_{m} \) 阶的三角多项式.
三角多项式逼近 (approximation by trigonometric polynomials）用三角多项式逼近周期为 \( {2\pi } \) 的连续函数. 记 \( {T}_{n} \) 为阶数不高于 \( n \) 的三角多项式
\[
{t}_{n}\left( x\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right)
\]
的全体,其中系数 \( {a}_{j}\left( {j = 0,1,2,\cdots, n}\right) ,{b}_{j}(j = 1,2 \) , \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 128 | p,}} \leq 2{n}^{\frac{1}{p} - \frac{1}{{p}^{\prime }}}{\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{p}},
\]
这里 \( {\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{{L}^{\infty }} = {\begin{Vmatrix}{t}_{n}\end{Vmatrix}}_{C} \) .
若 \( {\nu }_{j} \) 是正整数, \( {z}_{j} \) 是复变数, \( j = 0,1,2,\cdots, m \) , \( {C}_{{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}} \) 是仅与足码有关的复数,则称
\[
\mathop{\sum }\limits_{{-{v}_{j} \leq {k}_{j} \leq {v}_{j}}}{C}_{{k}_{1},{k}_{2},\cdots ,{k}_{m}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left( {{k}_{1}{z}_{1} + {k}_{2}{z}_{2} + \cdots + {k}_{m}{z}_{m}}\right) }
\]
为关于变量 \( {z}_{1},{z}_{2},\cdots ,{z}_{m} \) 的相应为 \( {\nu }_{1},{\nu }_{2},\cdots ,{\nu }_{m} \) 阶的三角多项式.
三角多项式逼近 (approximation by trigonometric polynomials）用三角多项式逼近周期为 \( {2\pi } \) 的连续函数. 记 \( {T}_{n} \) 为阶数不高于 \( n \) 的三角多项式
\[
{t}_{n}\left( x\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right)
\]
的全体,其中系数 \( {a}_{j}\left( {j = 0,1,2,\cdots, n}\right) ,{b}_{j}(j = 1,2 \) , \( 3,\cdots, n) \) 都是实数. 设 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,称
\[
{E}_{n}^{ * }\left( f\right) = \mathop{\inf }\limits_{{{t}_{n} \in {T}_{n}}}\begin{Vmatrix}{f - {t}_{n}}\end{Vmatrix}
\]
为 \( n \) 阶三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近值 (度),简称最佳逼近. 这个下确界是能够达到的, 并且只有一个阶数不高于 \( n \) 的三角多项式达到,记为 \( {t}_{n}^{ * }\left( f\right) \) ,常称它为函数的 \( n \) 阶最佳逼近三角多项式. 对于 \( f \in {C}_{2\pi } \) 及正整数 \( n,{t}_{n} \in {T}_{n} \) 是 \( f \) 的 \( n \) 阶最佳逼近三角多项式的特征是: 在 \( \lbrack 0,{2\pi }) \) 中存在 \( {2n} + 2 \) 个点 \( {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots \) \( < {x}_{{2n} + 2} \) ,使得 \( \left| {f\left( {x}_{k}\right) - {t}_{n}\left( {x}_{k}\right) }\right| = \begin{Vmatrix}{f - {t}_{n}}\end{Vmatrix} \) ,而且
\[
f\left( {x}_{k}\right) - {t}_{n}\left( {x}_{k}\right) = - \left( {f\left( {x}_{k + 1}\right) - {t}_{n}\left( {x}_{k + 1}\right) }\right)
\]
\[\left( {k = 1,2,\cdots ,{2n} + 1}\right) \text{.}\]
这个结论刻画了最佳逼近三角多项式的特征. 人们亦称它为切比雪夫定理. 其应用之一是: 设 \( f \in {C}_{2\pi } \) , \( {t}_{n} \in {T}_{n} \) ,若在 \( \lbrack 0,{2\pi }) \) 中有 \( {2n} + 2 \) 个点 \( {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < \) \( {x}_{{2n} + 2} \) ,使得
\[f\left( {x}_{k}\right) - {t}_{n}\left( {x}_{k}\right) = - \left( {f\left( {x}_{k + 1}\right) - {t}_{n}\left( {x}_{k + 1}\right) }\right) ,\]
则
\[{E}_{n}^{ * }\left( f\right) \geq \mathop{\min }\limits_{{1 \leq k \leq {2n} + 2}}\left| {f\left( {x}_{k}\right) - {t}_{n}\left( {x}_{k}\right) }\right| .\]
最佳逼近三角多项式 (trigonometric polynomials of best approximation) 见“三角多项式逼近”.
三角多项式逼近的正定理 (direct theorems of approximation bytrigonometric polynomials) 亦称杰克森型定理. 由函数的构造性质刻画其最佳逼近值收敛于零的速度的定理. 若 \( f \in {C}_{2\pi }, k \) 是正整数,则 \( n \) 阶三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近值
\[{E}_{n}^{ * }\left( f\right) \leq {C}_{k}{\omega }_{k}\left( {f,\frac{1}{n}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,\] 其中 \( {C}_{k} \) 是仅与 \( k \) 有关的正数, \( {\omega }_{k}\left( {f,\delta }\right) \) 是 \( f \) 的 \( k \) 阶光滑模. 这个结论在 \( k = 1 \) 时,常称杰克森定理. \( k > 1 \) 时是斯捷奇金 (Creykин, C. B. ) 于 1951 年建立的. 对于可微分函数还有进一步的结论: 若 \( r \geq 1, f \in {C}_{2\pi } \) 有 \( r \) 阶连续导数 \( {f}^{\left( r\right) }\left( x\right) \) ,则存在仅与 \( r \) 有关的正数 \( {C}_{r} \) , 使得
\[
{E}_{n}^{ * }\left( f\right) \leq \frac{{C}_{r}}{{\left( n + 1\right) }^{r}}{E}_{n}^{ * }\left( {f}^{\left( r\right) }\right) .
\]
杰克森型定理 (Jackson-type theorem) 即“三角多项式逼近的正定理”.
三角多项式逼近的逆定理 (inverse theorems of approximation by trigonometric polynomials) 由最佳逼近值收敛于零的速度刻画函数的性质的定理. 设 \( f \in {C}_{2\pi }, k \) 为正整数,则函数 \( f \) 的 \( k \) 阶光滑模适合如下不等式
\[
{\omega }_{k}\left( {f,\frac{1}{n}}\right) \leq {C}_{k}{n}^{-k}\mathop{\sum }\limits_{{j = 0}}^{n}{\left( j + 1\right) }^{k - 1}{E}_{j}^{ * }\left( f\right) ,
\]
其中 \( {C}_{k} > 0 \) 仅与 \( k \) 有关. 若存在正整数 \( r \) ,使得
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{r - 1}{E}_{n}^{ * }\left( f\right) < + \infty ,
\]
则函数 \( f \) 有 \( r \) 阶连续导数,并且存在仅与 \( r \) 有关的 \( {C}_{r} > 0 \) ,使得对 \( n \geq 1 \) ,有
\[
{E}_{n}^{ * }\left( {f}^{\left( r\right) }\right) \leq {C}_{r}\left( {{\left( n + 1\right) }^{r}{E}_{n}^{ * }\left( f\right) }\right.
\]
\[
\left. {+\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }{k}^{r - 1}{E}_{k}^{ * }\left( f\right) }\right)
\]
上述结论是斯捷奇金 (Creykин, C. E. ) 于 1951 年建立的,其特殊情况, \( r \geq 0 \) 是整数, \( 0 < \alpha < 1 \) ,由
\[
{E}_{n}^{ * }\left( f\right) \leq \frac{1}{{n}^{r + a}}
\]
可推出 \( {f}^{\left( r\right) } \in \operatorname{Lip}\alpha \) . 这是由伯恩斯坦 (Bephiureñн, C. H. ) 首先建立的, 所以亦常称逆定理为伯恩斯坦型定理. 上述定理在 \( \alpha = 1 \) 时是不成立的,亦即从
\[
{E}_{n}^{ * }\left( f\right) \leq \frac{1}{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)
\]
推不出 \( f \in \operatorname{Lip}{1.1945} \) 年,赞格蒙 (Zygmund, A. ) 证明此时有 \( f \in Z \) ,即存在 \( M > 0 \) ,使对任一 \( h \) ,
\[
\left| {f\left( {x + h}\right) - {2f}\left( x\right) + f\left( {x - h}\right) }\right| \leq M\left| h\right| .
\]
反之也成立. 于是 \( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) = O\left( {1/n}\right) \) 的充分必要条件是 \( {\omega }_{2}\left( {f,\delta }\right) = O\left( \delta \right) \) ,即 \( f \) 是亚光滑的. 不仅如此,还有 \( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) = o\left( {1/n}\right) \) 的充分必要条件是 \( {\omega }_{2}\left( {f,\delta }\right) = \) \( o\left( \delta \right) \) ,即 \( f \) 是光滑的.
伯恩斯坦型定理 (Bernstein-type theorem) 即“三角多项式逼近的逆定理”.
等价关系 (equivalent relations) 周期函数空间中函数的构造性与其最佳逼近度之间的关系. 设 \( \psi \left( u\right) > 0 \) 是 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的增加函数, \( \psi \left( 0\right) = 0 \) . 函数逼近论中的一个重要问题是: 如果 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,那么对于怎样的 \( \psi ,{E}_{n}^{ * }\left( f\right) = O\left( {\psi \left( {n}^{-1}\right) }\right) \) 等价于
\[
\omega \left( {{f}_{1}, h}\right) = O\left( {\psi \left( h\right) }\right) ?
\]
洛津斯基 (JI0314HCKHй, C. M. ) 、巴里 (Eapи, H. K. )、斯捷奇金 \( \left( {{\mathrm{{Creu}}}_{\mathrm{{KHH}}},\mathrm{C}.\mathrm{B}.}\right) \) 于 20 世纪 50 年代给出了这个问题的回答. 他们指出: 若存在正整数 \( k \) 和常数 \( C \) \( > 1 \) ,使得
\[
1 < \mathop{\liminf }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{\psi \left( {ct}\right) }{\psi \left( t\right) } \leq \mathop{\limsup }\limits_{{t \rightarrow 0}}\frac{\psi \left( {ct}\right) }{\psi \left( t\right) } < {C}^{k},
\]
则当 \( f \in {C}_{2\pi } \) 有 \( r \) 阶连续导数时,下列关系是等价的:
\( {E}_{n}^{ * }\left( {f}^{\left( j\right) }\right) = O\left( {\frac{1}{{n}^{r - j}}\psi \left( {n}^{-1}\right) }\right) \;\left( {j = 0,1,2,\cdots, r}\right) , \)
\( {\omega }_{k + r - s}\left( {{f}^{\left( s\right) }, t}\right) = O\left( {{t}^{r - s}\psi \left( t\right) }\right) \;\left( {s = 0,1,2,\cdots, r}\right) . \)
共轭函数逼近 (approximation of conjugate function) 用函数的逼近性态来估计其共轭函数的逼近性态. 设 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,
\[
\frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right)
\]
为其傅里叶级数. 如果
\[
- \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{b}_{k}\cos {kx} - {a}_{k}\sin {kx}}\right)
\]
是某一函数 \( \widetilde{f}\left( x\right) \) 的傅里叶级数,则称 \( \widetilde{f} \) 为 \( f \) 的共轭函数. 熟知 \( f \in \operatorname{Lip}\alpha \left( {0 < \alpha < 1}\right) \) 等价于 \( \widetilde{f} \in \operatorname{Lip}\alpha \) . 人们关心的是用不高于 \( n \) 阶的三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近值来刻画共轭函数最佳逼近值 \( {E}_{n}^{ * }\left( \widetilde{f}\right) \) 的问题. 斯捷奇金 (Creykин, C. E. ) 的深刻结论是: 设 \( f \in {C}_{2\pi } \) , \( r \geq 0 \) 是整数,若
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{n}^{r - 1}{E}_{n}^{ * }\left( f\right) < + \infty ,
\]
则 \( \widetilde{f} \in {C}_{2\pi } \) 有 \( r \) 阶连续导数,且
\[
{E}_{n}^{ * }\left( {\widetilde{f}}^{\left( r\right) }\right) \leq {C}_{r}\left\{ {{\left( n + 1\right) }^{r}{E}_{n}^{ * }\left( f\right) }\right.
\]
\[
\left. {+\mathop{\sum }\limits_{{\nu = n + 1}}^{\infty }{\nu }^{r - 1}{E}_{\nu }^{ * }\left( f\right) }\right\}
\]
其中 \( {C}_{r} > 0 \) 仅与 \( r \) 有关. 赞格蒙 (Zygmund, A. ) 还发现了一个特别的结果,若 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,则 \( f \in \operatorname{Lip}1 \) 的充分必要条件是
\[
\begin{Vmatrix}{{\widetilde{\sigma }}_{n}\left( f\right) - \widetilde{f}}\end{Vmatrix} = O\left( \frac{1}{n}\right) ,
\]
其中 \( {\widetilde{\sigma }}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是 \( \widetilde{f}\left( x\right) \) 的 \( n \) 阶费耶尔和.
值得提及的是 \( {L}_{2\pi }^{p}\left( {p > 1}\right) \) 中讨论共轭函数的逼近是失去必要的. 因为熟知的里斯定理说明了这一点. 里斯定理断言: 若 \( f \in {L}_{2\pi }^{p}\left( {p > 1}\right) \) ,则
\[{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left| \widetilde{f}\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x \leq {M}_{p}{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x,\]
其中 \( {M}_{p} > 0 \) 仅与 \( p \) 有关.
\( {L}_{w}^{p} \) 度量下的逼近 (approximation in \( {L}_{w}^{p} \) metric) 函数类 \( {L}^{p} \) 中的一种逼近. 设 \( w\left( x\right) \) 是定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的可测函数, \( w\left( x\right) \geq 0 \) . 若
\[{\int }_{a}^{b}w\left( x\right) \mathrm{d}x > 0,\]
则称 \( w\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个权函数. 对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的
一个权函数 \( w\left( x\right) \) ,记 \( {L}_{w}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 为定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上满足条件
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}w\left( x\right) \mathrm{d}x < + \infty
\]
的可测函数 \( f \) 的全体,这里 \( p > 0 \) 是给定的正数. 设 \( {\varphi }_{0},{\varphi }_{1},\cdots ,{\varphi }_{n} \) 是 \( {L}_{w}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的线性无关函数组, \( {a}_{0},{a}_{1} \) , \( {a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 是任意给定的实数,人们常讨论用其线性组合
\[
{S}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
来逼近函数 \( f \in {L}_{w}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,并用
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) \right| }^{p}w\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
表示其逼近偏差. 称这种逼近为在 \( {L}_{w}^{p} \) 度量下的逼近. 特别在 \( w\left( x\right) = 1 \) 时,就简称 \( {L}^{p} \) 度量下的逼近.
\( {L}^{p} \) 度量下的逼近 (approximation in \( {L}^{p} \) metric) 权函数 \( w\left( x\right) \) 为 1 的 \( {L}_{w}^{p} \) 度量下的逼近. 通常人们讨论用代数多项式在 \( {L}^{p} \) 度量下逼近 \( {L}^{p} \) 中的函数. 在周期函数的情形,讨论用三角多项式在 \( {L}^{p} \) 度量下逼近 \( {L}_{2\pi }^{p} \) 中的函数. 意即对于 \( f \in {L}_{2\pi }^{p} \) ,考虑用三角多项式 \( t\left( x\right) \) 来逼近 \( f\left( x\right) \) ,并用
\[
{\left\{ {\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( x\right) - t\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}}
\]
表示用 \( t\left( x\right) \) 逼近函数 \( f\left( x\right) |
2000_数学辞海（第3卷） | 129 | \) 中的线性无关函数组, \( {a}_{0},{a}_{1} \) , \( {a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \) 是任意给定的实数,人们常讨论用其线性组合
\[
{S}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right)
\]
来逼近函数 \( f \in {L}_{w}^{p}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,并用
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) \right| }^{p}w\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
表示其逼近偏差. 称这种逼近为在 \( {L}_{w}^{p} \) 度量下的逼近. 特别在 \( w\left( x\right) = 1 \) 时,就简称 \( {L}^{p} \) 度量下的逼近.
\( {L}^{p} \) 度量下的逼近 (approximation in \( {L}^{p} \) metric) 权函数 \( w\left( x\right) \) 为 1 的 \( {L}_{w}^{p} \) 度量下的逼近. 通常人们讨论用代数多项式在 \( {L}^{p} \) 度量下逼近 \( {L}^{p} \) 中的函数. 在周期函数的情形,讨论用三角多项式在 \( {L}^{p} \) 度量下逼近 \( {L}_{2\pi }^{p} \) 中的函数. 意即对于 \( f \in {L}_{2\pi }^{p} \) ,考虑用三角多项式 \( t\left( x\right) \) 来逼近 \( f\left( x\right) \) ,并用
\[
{\left\{ {\int }_{0}^{2\pi }{\left| f\left( x\right) - t\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}}
\]
表示用 \( t\left( x\right) \) 逼近函数 \( f\left( x\right) \) 中 \( {L}^{p} \) 度量下的偏差,从而建立类似于 \( {C}_{2\pi } \) 中的逼近理论.
平方逼近 ( \( {L}^{2} \) -approximation) \( {L}_{w}^{2} \) 度量下的逼近. 设 \( w\left( x\right) \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个权函数,记 \( {L}_{w}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 为定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的且满足条件
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}w\left( x\right) \mathrm{d}x < + \infty
\]
的可测函数 \( f\left( x\right) \) 的全体. 设 \( {\varphi }_{0},{\varphi }_{1},\cdots ,{\varphi }_{n} \) 是 \( {L}_{w}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的线性无关组,对于任意给定的实数组 \( {\left\{ {a}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) ,记
\[
{S}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{\varphi }_{k}\left( x\right) .
\]
对于 \( f \in {L}_{w}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,用
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) \right| }^{2}w\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
表示 \( {S}_{n}\left( x\right) \) 在 \( {L}_{w}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 度量下对 \( f \) 的逼近偏差,这种逼近常称为平方逼近. 对于每一个 \( f \in {L}_{w}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,都有惟一的 \( {S}_{n}^{ * }\left( x\right) \) 实现对 \( f \) 的最佳平方逼近,即
\[
{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}^{ * }\left( x\right) \right| }^{2}w\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[
= \mathop{\min }\limits_{{{a}_{k}, k = 0,1,2,\cdots, n}}{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) \right| }^{2}w\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
其特征是 \( f\left( x\right) - {S}_{n}^{ * }\left( x\right) \) 与每个 \( {\varphi }_{k}\left( {k = 0,1,\cdots, n}\right) \) 都关于权 \( w\left( x\right) \) 正交,也即
\[
{\int }_{a}^{b}\left( {f\left( x\right) - {S}_{n}^{ * }\left( x\right) }\right) {\varphi }_{k}\left( x\right) w\left( x\right) \mathrm{d}x = 0
\]
\[
\left( {k = 0,1,\cdots, n}\right) \text{.}
\]
倘若 \( {\varphi }_{k} \) 是关于权 \( w\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上两两正交的,则 \( f\left( x\right) \) 的最佳平方逼近元 \( {S}_{n}^{ * }\left( x\right) \) 就是 \( f\left( x\right) \) 关于 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 的傅里叶展开式,即
\[
{S}_{n}^{ * }\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{C}_{k}\left( f\right) {\varphi }_{k}\left( x\right) ,
\]
其中
\[
{C}_{k}\left( f\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {\varphi }_{k}\left( x\right) w\left( x\right) \mathrm{d}x/{\int }_{a}^{b}{\varphi }_{k}^{2}\left( x\right) w\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
常称 \( {C}_{k}\left( f\right) \) 为 \( f \) 关于 \( {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 的傅里叶系数.
假设 \( {\left\{ {P}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) 的规范的正交多项式系 (参见 “正交多项式”). 对于 \( f \in {L}_{w}^{2}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,称
\[
{C}_{k}\left( f\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) {P}_{k}\left( x\right) w\left( x\right) \mathrm{d}x\;\left( {k = 0,1,\cdots }\right)
\]
为 \( f \) 关于 \( {\left\{ {P}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 的傅里叶系数,又称
\[
{S}_{n}\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{C}_{k}\left( f\right) {P}_{k}\left( x\right)
\]
为 \( f \) 的 \( n \) 阶傅里叶和,它是 \( f\left( x\right) \) 的 \( n \) 次最佳平方逼近多项式,而且最佳平方逼近值为 \( \mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }{C}_{k}^{2}\left( f\right) \) ,也即
\[
\mathop{\min }\limits_{{{a}_{k}, k = 0,1,\cdots, n}}{\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) \right| }^{2}w\left( x\right) \mathrm{d}x
\]
\[ = {\int }_{a}^{b}{\left| f\left( x\right) - {S}_{n}\left( f, x\right) \right| }^{2}w\left( x\right) \mathrm{d}x\]
\[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }{C}_{k}^{2}\left( f\right) \]
其中 \( {S}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{P}_{k}\left( x\right) \) . 此时 \( n \rightarrow \infty \) 时,
\[\mathop{\sum }\limits_{{k = n + 1}}^{\infty }{C}_{k}^{2}\left( f\right) \rightarrow 0.\]
虽然在 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的情况下, \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 未必实现对 \( f \) 的一致逼近,即 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 不能保证
\[\mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) - {S}_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,\]
旦是,此时对 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的一些函数类, \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 仍然是个很好的逼近工具.
正交多项式 (orthogonal polynomials) 由代数多项式构成的正交函数系的通称. 设 \( w\left( x\right) \) 是 \( \lbrack a \) , \( b\rbrack \) 上的一个权函数,即 \( w\left( x\right) \geq 0 \) 且
\[{\int }_{a}^{b}w\left( x\right) \mathrm{d}x > 0.\]
如果定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的可测函数 \( f\left( x\right) \) 与 \( g\left( x\right) \) 满足
\[{\int }_{a}^{b}f\left( x\right) g\left( x\right) w\left( x\right) \mathrm{d}x = 0,\]
则称它们在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) 是正交的. 记
\[{\mu }_{n} = {\int }_{a}^{b}{x}^{n}w\left( x\right) \mathrm{d}x,\]
\[{\Delta }_{n} = \left| \begin{matrix} {\mu }_{0} & {\mu }_{1} & \cdots & {\mu }_{n} \\ {\mu }_{1} & {\mu }_{2} & \cdots & {\mu }_{n + 1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\mu }_{n} & {\mu }_{n + 2} & \cdots & {\mu }_{2n} \end{matrix}\right| \]
\[
{p}_{n}\left( x\right) = \left| \begin{matrix} {\mu }_{0} & {\mu }_{1} & \cdots & {\mu }_{n - 1} & 1 \\ {\mu }_{1} & {\mu }_{2} & \cdots & {\mu }_{n} & x \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ {\mu }_{n} & {\mu }_{n + 1} & \cdots & {\mu }_{{2n} - 1} & {x}^{n} \end{matrix}\right| ,
\]
则 \( {p}_{n}\left( x\right) \) 是 \( n \) 次多项式,而且 \( {\left\{ {p}_{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 中任意两个多项式在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) 是正交的. 人们称 \( {\left\{ {p}_{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) 的正交多项式系. 又记
\[
{\widehat{p}}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{{\Delta }_{n}{\Delta }_{n - 1}}}{p}_{n}\left( x\right) ,
\]
则有
\[
{\int }_{a}^{b}{\widehat{p}}_{n}\left( x\right) {\widehat{p}}_{n}\left( x\right) w\left( x\right) \mathrm{d}x = 1\;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) .
\]
称 \( {\left\{ {\widehat{p}}_{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 为 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) 规范正交的多项式系. 如果认定 \( {\widehat{p}}_{n}\left( x\right) \) 的首项系数为正的,则 \( {\left\{ {\widehat{p}}_{n}\right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是由权函数 \( w\left( x\right) \) 惟一确定的. 倘若再记
\[
{\widetilde{p}}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{{\Delta }_{n - 1}}{p}_{n}\left( x\right) ,
\]
则 \( {\widetilde{p}}_{n}\left( x\right) \) 的首项系数为 1,并有如下的递推公式
\[
{\widetilde{p}}_{n + 2}\left( x\right) = \left( {x - {\alpha }_{n + 2}}\right) {\widetilde{p}}_{n + 1}\left( x\right) - {\lambda }_{n + 1}{\widetilde{p}}_{n}\left( x\right) ,
\]
这里 \( {\lambda }_{n + 1} = {\Delta }_{n + 1}{\Delta }_{n - 1}/{\Delta }_{n}^{2} \) ,
\[
{\alpha }_{n + 2} = {\int }_{a}^{b}x{\widetilde{p}}_{n}^{2}\left( x\right) \omega \left( x\right) \mathrm{d}x/{\int }_{a}^{b}{\widetilde{p}}_{n + 1}\left( x\right) \omega \left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
应当指出,任给一个 \( n \) 次代数多项式都可以表成 \( {p}_{1}\left( x\right) ,{p}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{p}_{n}\left( x\right) \) 的线性组合,而 \( {p}_{n}\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中有 \( n \) 个零点,并且 \( {p}_{n}\left( x\right) \) 的两个相邻零点之间必有 \( {p}_{n - 1}\left( x\right) \) 的一个零点.
正交多项式系 (orthogonal system of polynomials) 见“正交多项式”.
规范正交多项式系 (orthonormal systems of polynomials) 见“正交多项式”.
雅可比多项式 (Jacobi polynomials) 在 \( \lbrack - 1 \) , 1]上关于权 \( w\left( x\right) = {\left( 1 - x\right) }^{\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{\beta } \) 的正交多项式. 设 \( \alpha > - 1,\beta > - 1 \) ,记 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权函数
\[
w\left( x\right) = {\left( 1 - x\right) }^{\alpha }{\left( 1 + x\right) }^{\beta }
\]
的正交多项式系为 \( {\left\{ {J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) . 称 \( {J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) \) 为 \( n \) 阶雅可比多项式. 此时有表达式
\[
{J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \frac{1}{n!{2}^{n}}\frac{1}{w\left( x\right) }\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left\lbrack {{\left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}w\left( x\right) }\right\rbrack
\]
\[
\left( {n = 0,1,\cdots }\right) \text{.}
\]
相应的规范正交系是 \( {\left\{ {\widehat{J}}_{n}^{\left( a,\beta \right) }\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) ,它有表达式
\[
{\widehat{J}}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \left( \frac{\alpha + \beta + {2n} + 1}{{2}^{\alpha + \beta + 1}}\right.
\]
\[
{\left. \cdot \frac{\Gamma \left( {n + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta + n + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + n + 1}\right) \Gamma \left( {\beta + n + 1}\right) }\right| }^{\frac{1}{2}}{J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) .
\]
如记
\[
{\widetilde{J}}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + n + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta + {2n} + 1}\right) }{2}^{n}n!{J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) ,
\]
则有递推公式
\[
{\widetilde{J}}_{n + 2}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \left( {x - {\alpha }_{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 130 | \left( {x}^{2} - 1\right) }^{n}w\left( x\right) }\right\rbrack
\]
\[
\left( {n = 0,1,\cdots }\right) \text{.}
\]
相应的规范正交系是 \( {\left\{ {\widehat{J}}_{n}^{\left( a,\beta \right) }\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) ,它有表达式
\[
{\widehat{J}}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \left( \frac{\alpha + \beta + {2n} + 1}{{2}^{\alpha + \beta + 1}}\right.
\]
\[
{\left. \cdot \frac{\Gamma \left( {n + 1}\right) \Gamma \left( {\alpha + \beta + n + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + n + 1}\right) \Gamma \left( {\beta + n + 1}\right) }\right| }^{\frac{1}{2}}{J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) .
\]
如记
\[
{\widetilde{J}}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \frac{\Gamma \left( {\alpha + \beta + n + 1}\right) }{\Gamma \left( {\alpha + \beta + {2n} + 1}\right) }{2}^{n}n!{J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) ,
\]
则有递推公式
\[
{\widetilde{J}}_{n + 2}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) = \left( {x - {\alpha }_{n + 2}}\right) {\widetilde{J}}_{n + 1}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) - {\lambda }_{n + 1}{\widetilde{J}}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) ,
\]
其中
\[
{\alpha }_{n + 2} = \frac{{\beta }^{2} - {\alpha }^{2}}{\left( {\alpha + \beta + {2n} + 2}\right) \left( {\alpha + \beta + {2n} + 4}\right) },
\]
\[
{\lambda }_{n + 1} = \frac{4\left( {\alpha + n + 1}\right) \left( {\beta + n + 1}\right) }{\left( \alpha + \beta + 2n + 1\right) }
\]
\[
\text{-}\frac{\left( {\alpha + \beta + n + 1}\right) \left( {n + 1}\right) }{{\left( \alpha + \beta + 2n + 2\right) }^{2}\left( {\alpha + \beta + {2n} + 3}\right) }\text{.}
\]
\( {J}_{n}^{\left( \alpha ,\beta \right) }\left( x\right) \) 是个 \( n \) 次代数多项式,它在 \( \left( {-1,1}\right) \) 中有 \( n \) 个零点. 人们常取这 \( n \) 个零点作为插值结点.
勒让德多项式 (Legendre polynomials) \( \alpha = \beta \) \( = 0 \) 时的雅可比多项式. 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权 \( w\left( x\right) \equiv 1 \) 的正交多项式系 \( {\left\{ {X}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 称为勒让德多项式系. \( {X}_{n}\left( x\right) \) 有表达式
\[{X}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }{\left( x + i\sqrt{1 - {x}^{2}}\cos \theta \right) }^{n}\mathrm{\;d}\theta \]
\[\left( {-1 \leq x \leq 1}\right) \]
(参见“雅可比多项式”). 常称 \( {X}_{n}\left( x\right) \) 为 \( n \) 阶勒让德多项式.
切比雪夫多项式 (Chebyshev polynomials) \( \alpha \) \( = \beta = - 1/2 \) 的雅可比多项式. 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权
\[w\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\left( {-1 < x < 1}\right) \]
的正交多项式系 \( {\left\{ {T}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 称为切比雪夫多项式系. 此时有表达式
\( {T}_{n}\left( x\right) = \cos n\left( {\arccos x}\right) \;\left( {-1 \leq x \leq 1}\right) . \)
常称 \( {T}_{n}\left( x\right) \) 为 \( n \) 阶切比雪夫多项式,有时,也称 \( {T}_{n}\left( x\right) \) 为 \( n \) 阶第一类切比雪夫多项式. \( {T}_{n}\left( x\right) \) 是 \( n \) 次多项式, 它的零点是
\[{x}_{k, n} = \cos \frac{{2k} - 1}{2n}\pi \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) .\]
\( {\left\{ {x}_{k, n}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是插值逼近中常用的结点. \( {T}_{n}\left( x\right) \) 还有一些重要的特性: 例如 \( \begin{Vmatrix}{T}_{n}\end{Vmatrix} = 1 \) ,而 \( \begin{Vmatrix}{T}_{n}^{\prime }\end{Vmatrix} = {n}^{2} \) . 又如 \( {2}^{-n}{T}_{n}\left( x\right) \) 是在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上首项系数为 1 的与 0 有最小偏差的 \( n \) 次代数多项式,也即对于任何 \( n \) 次代数多项式
\[p\left( x\right) = {x}^{n} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{a}_{k}{x}^{k},\]
都有
\[\mathop{\max }\limits_{{-1 \leq x \leq 1}}\left| {{2}^{-n}{T}_{n}\left( x\right) }\right| < \mathop{\max }\limits_{{-1 \leq x \leq 1}}\left| {p\left( x\right) }\right| .\]
换言之,在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上, \( {x}^{n} - {2}^{-n}{T}_{n}\left( x\right) \) 是函数 \( f\left( x\right) \) \( = {x}^{n} \) 的 \( n - 1 \) 次最佳逼近代数多项式,其最佳逼近值是 \( {E}_{n}\left( f\right) = {2}^{-n} \) . 与 (第一类) 切比雪夫多项式相对应, 人们称
\[{U}_{n}\left( x\right) = \frac{\sin \left( {\left( {n + 1}\right) \arccos x}\right) }{\sqrt{1 - {x}^{2}}}\left( {-1 < x < 1}\right) \]
为第二类切比雪夫多项式,它是 \( \alpha = \beta = 1/2 \) 时的雅
可比多项式,而 \( {U}_{n}\left( x\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式, \( {\left\{ {U}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上关于权 \( \sqrt{1 - {x}^{2}} \) 的正交多项式系. \( {U}_{n}\left( x\right) \) 的零点亦常作为插值结点. 当然,人们也用 \( {U}_{n}\left( x\right) \) 的零点全体
\[
{x}_{k} = \cos \frac{k}{n + 1}\pi \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
再添加 \( {x}_{0} = 1,{x}_{n + 1} = - 1 \) 作为插值的结点组.
第一类切比雪夫多项式 (Chebyshev polynomial of first kind) 见“切比雪夫多项式”.
第二类切比雪夫多项式 (Chebyshev polynomial of second kind) 见“切比雪夫多项式”.
拉盖尔多项式 (Laguerre polynomials) 指 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-x} \) 的正交多项式. 设 \( w\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-x}\left( {0 \leq x < + \infty }\right) \) ,称 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) 的正交多项式系 \( {\left\{ {L}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 为拉盖尔多项式系,而称 \( {L}_{n}\left( x\right) \) 为 \( n \) 阶拉盖尔多项式,它有表达式
\[
{L}_{n}\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}\left( {{x}^{n}{\mathrm{e}}^{-x}}\right) .
\]
\( {L}_{n}\left( x\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式,其首项系数为 \( {\left( -1\right) }^{n} \) . 因此,相应的规范正交系 \( {\left\{ {\widehat{L}}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 与首项系数为 1 的正交系 \( {\left\{ {\widetilde{L}}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 有表达式
\[
{\widehat{L}}_{n}\left( x\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{n!}{L}_{n}\left( x\right) ,
\]
\[
{\widetilde{L}}_{n}\left( x\right) = {\left( -1\right) }^{n}{L}_{n}\left( x\right) ,
\]
而且
\( {\widetilde{L}}_{n + 2}\left( x\right) = \left( {x - {2n} - 3}\right) {\widetilde{L}}_{n + 1}\left( x\right) - {\left( n + 1\right) }^{2}{\widetilde{L}}_{n}\left( x\right) . \) 其 \( n \) 个零点也在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 中,常用于插值逼近中的结点.
埃尔米特多项式 (Hermite polynomials) 在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \) 的正交多项式. 记
\[
{H}_{n}\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{{x}^{2}}\frac{{\mathrm{d}}^{n}}{\mathrm{\;d}{x}^{n}}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}},
\]
\[
{\widehat{H}}_{n}\left( x\right) = \frac{{\left( -1\right) }^{n}}{\sqrt{{2}^{n}n!\sqrt{\pi }}}{H}_{n}\left( x\right) ,
\]
\[
{\widetilde{H}}_{n}\left( x\right) = {\left( -\frac{1}{2}\right) }^{n}{H}_{n}\left( x\right) ,
\]
则 \( {\left\{ {H}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权函数 \( w\left( x\right) \) \( = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \) 的正交多项式系, \( {\left\{ {\widehat{H}}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 上关于权 \( w\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}} \) 的规范正交多项式系. \( {\widetilde{H}}_{n}\left( x\right) \) 是首项系数为 1 的 \( n \) 次代数多项式,而且
\[
{\widetilde{H}}_{n + 2}\left( x\right) = x{\widetilde{H}}_{n + 1}\left( x\right) - \frac{n + 1}{2}{\widetilde{H}}_{n}\left( x\right) .
\]
常称 \( {\left\{ {H}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 为埃尔米特多项式系,而称 \( {H}_{n}\left( x\right) \) 为 \( n \) 阶埃尔米特多项式,它在 \( \lbrack 0, + \infty ) \) 内有 \( n \) 个零点, 常用作插值逼近中的结点.
埃尔米特多项式系 (system of Hermite polynomials) 见“埃尔米特多项式”.
哈尔正交系 (Haar orthogonal system) 哈尔 (Haar, A. ) 于 1910 年所建立的一个正交函数系. 定义
\[
{x}_{0}^{\left( 0\right) }\left( x\right) \equiv 1\;\left( {0 \leq x \leq 1}\right) ,
\]
\[
{x}_{0}^{\left( 1\right) }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \left( {0 \leq x < \frac{1}{2}}\right) , \\ 0 & \left( {x = \frac{1}{2}}\right) , \\ - 1 & \left( {\frac{1}{2} < x \leq 1}\right) . \end{array}\right.
\]
对于正整数 \( m \) 及 \( 1 \leq k \leq {2}^{m} \) ,令
\[
{x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \sqrt{{2}^{m}} & \left( {\frac{k - 1}{{2}^{m}} < x < \frac{k - \frac{1}{2}}{{2}^{m}}}\right) , \\ - \sqrt{{2}^{m}} & \left( {\frac{k - \frac{1}{2}}{{2}^{m}} < x < \frac{k}{2}}\right) , \\ 0 & \left( {\frac{l - 1}{{2}^{m}} < x < \frac{l}{{2}^{m}}}\right) , \\ & \left( {l \neq k,1 \leq l \leq {2}^{m}}\right) , \end{array}\right.
\]
在 \( \left( {0,1}\right) \) 的其他点上,定义 \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \) 为其左、右极限的算术平均值. 又定义 \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( 0\right) \) 为 \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \) 在 \( \left( {0,1/{2}^{n + 1}}\right) \) 中的值, \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( 1\right) \) 为 \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \) 在 \( \left( {1 - 1/{2}^{m + 1},1}\right) \) 中的值. 称 \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \) 为哈尔函数,其全体成为 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的一个完备的规范正交系, 称为哈尔正交系. 对于 \( f \in L\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,称
\[
{C}_{0}{x}_{0}^{\left( 0\right) }\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }{C}_{m}^{\left( k\right) }{x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right)
\]
为 \( f\left( x\right) \) 的哈尔展开式,也称为 \( f\left( x\right) \) 关于哈尔系的傅里叶级数, 这里
\[
{C}_{m}^{\left( k\right) } = {\int }_{0}^{1}f\left( x\right) {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \mathrm{d}x.
\]
\( f\left( x\right) \) 的哈尔展开式不仅在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上几乎处处收敛于 \( f\left( x\right) \) ,而且在 \( f\left( x\right) \) 的连续点上一定收敛于 \( f\left( x\right) \) . 此外,在 \( f\left( x\right) \) 的一致连续的区间上,此展开式还一致收敛于 \( f\left( x\right) \) .
任给正整数 \( n \) ,记 \( n = {2}^{m} + k\left( {1 \leq k \leq {2}^{m}}\right) \) ,称
\[
{S}_{n}\left( {f, x}\right) = {C}_{0}{x}_{\left( 0\right) }^{\left( 0\right) }\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{{m - 1}}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{2}^{r}}{C}_{r}^{\left( j\right) }{x}_{j}^{\left( r\right) }\left( x\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{C}_{m}^{\left( j\right) }{x}_{m}^{\left( j\right) }\left( x\right)
\]
为 \( f\left( x\right) \) 的哈尔展开式的第 \( n \) 部分和. \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是一种逼近工具. 若 \( f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,记 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的连续性模,则存在常数 \( C > 0 \) ,使得
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 \leq x \leq 1}}\left| {f\left( x\right) - {S}_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \leq {C\omega }\left( {f,\frac{1}{n}}\right) .
\]
哈尔函数 (Haar function) 见 |
2000_数学辞海（第3卷） | 131 | ) ,而且在 \( f\left( x\right) \) 的连续点上一定收敛于 \( f\left( x\right) \) . 此外,在 \( f\left( x\right) \) 的一致连续的区间上,此展开式还一致收敛于 \( f\left( x\right) \) .
任给正整数 \( n \) ,记 \( n = {2}^{m} + k\left( {1 \leq k \leq {2}^{m}}\right) \) ,称
\[
{S}_{n}\left( {f, x}\right) = {C}_{0}{x}_{\left( 0\right) }^{\left( 0\right) }\left( x\right) + \mathop{\sum }\limits_{{r = 0}}^{{m - 1}}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{{2}^{r}}{C}_{r}^{\left( j\right) }{x}_{j}^{\left( r\right) }\left( x\right)
\]
\[
+ \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}{C}_{m}^{\left( j\right) }{x}_{m}^{\left( j\right) }\left( x\right)
\]
为 \( f\left( x\right) \) 的哈尔展开式的第 \( n \) 部分和. \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是一种逼近工具. 若 \( f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,记 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的连续性模,则存在常数 \( C > 0 \) ,使得
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 \leq x \leq 1}}\left| {f\left( x\right) - {S}_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \leq {C\omega }\left( {f,\frac{1}{n}}\right) .
\]
哈尔函数 (Haar function) 见“哈尔正交系”.
哈尔展开式 (Haar expansion) 见 “哈尔正交系”.
沃尔什正交系 (Walsh orthogonal system) 拉德马赫尔函数系的完备化. 记 \( {\left\{ {r}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 为拉德马赫尔正交系 (参见本卷《调和分析》中的“拉德马赫尔函数系”), 即
\[
{r}_{n}\left( x\right) = \operatorname{sig}n\sin {2}^{n + 1}x
\]
\[
\left( {0 \leq x \leq 1, n = 0,1,\cdots }\right) ,
\]
定义 \( {W}_{0}\left( x\right) = 1\left( {0 \leq x \leq 1}\right) \) . 对于正整数 \( n \) ,若其二进位表示是 \( n = {2}^{{k}_{1}} + {2}^{{k}_{2}} + \cdots + {2}^{{k}_{p}},0 \leq {k}_{1} < {k}_{2} < \cdots < {k}_{p} \) , 这里 \( {k}_{j} \geq 0 \) 是整数,则定义
\[
{W}_{n}\left( x\right) = {r}_{{k}_{1}}\left( x\right) {r}_{{k}_{2}}\left( x\right) \cdots {r}_{{k}_{p}}\left( x\right) \;\left( {0 \leq x \leq 1}\right) .
\]
称 \( {W}_{n}\left( x\right) \) 为沃尔什函数,而称 \( {\left\{ {W}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 为沃尔什正交系. 沃尔什正交系是由美国数学家沃尔什 (Walsh, J. L,) 于 1923 年建立的,它不仅在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上是规范的正交集,而且在 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中是完备的. 此外,对于任何 \( f \in {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,如果对 \( k = 0,1,\cdots \) ,都有
\[
{\int }_{0}^{1}f\left( x\right) {W}_{k}\left( x\right) {dx} = 0,
\]
则 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上几乎处处等于零.
沃尔什正交系与哈尔正交系 \( {x}_{0}^{\left( 0\right) }\left( x\right) ,{x}_{0}^{\left( 1\right) }\left( x\right) \) , \( {x}_{m}^{\left( k\right) }\left( x\right) \left( {m = 1,2,\cdots, k = 1,2,\cdots ,{2}^{m}}\right) \) 有如下的关系:
\[
{x}_{0}^{\left( 0\right) }\left( x\right) = {W}_{0}\left( x\right) ,{x}_{0}^{\left( 1\right) }\left( x\right) = {W}_{1}\left( x\right) ,
\]
\[
{x}_{1}^{\left( 1\right) }\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{W}_{2}\left( x\right) + {W}_{3}\left( x\right) }\right) ,
\]
\[
{x}_{1}^{\left( 2\right) }\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{W}_{2}\left( x\right) - {W}_{3}\left( x\right) }\right) .
\]
一般的关系是由归纳法给出的. 如果记
\[
{x}_{n - 1}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{{2}^{n - 1}}}\mathop{\sum }\limits_{{v = {2}^{n - 1}}}^{{{2}^{n} - 1}}{a}_{{k}_{v}}^{\left( n - 1\right) }{W}_{v}\left( x\right)
\]
\[
\left( {k = 1,2,\cdots ,{2}^{n - 1}}\right) ,
\]
其中 \( {a}_{{k}_{v}}^{\left( n - 1\right) } = \pm 1 \) ,则
\[
{x}_{n}^{\left( k\right) }\left( x\right) = \frac{1}{\sqrt{{2}^{n}}}\mathop{\sum }\limits_{{v = {2}^{n}}}^{{{2}^{n + 1} - 1}}{a}_{{k}_{v}}^{\left( n\right) }{W}_{v}\left( x\right) \;\left( {k = 1,2,\cdots ,{2}^{n}}\right) ,
\]
其中矩阵 \( \left( {a}_{{k}_{v}}^{\left( n\right) }\right) \) 是用如下方法得到的: 依次将 \( \left( {a}_{{k}_{v}}^{\left( n - 1\right) }\right) \) 的每一行重复写成两行,得到一个 \( {2}^{n - 1} \) 列 \( {2}^{n} \) 行的矩阵,它恰好是 \( \left( {a}_{{k}_{v}}^{\left( n\right) }\right) \) 的左半个. 然后将它向右延伸 \( {2}^{n - 1} \) 列,延伸的奇数行就是左半矩阵的奇数行, 延伸的偶数行就是左半矩阵的偶数行的相反符号. 例如
\[
\left( {a}_{{k}_{v}}^{\left( 1\right) }\right) = \left( \begin{array}{ll} + & + \\ + & - \end{array}\right)
\]
则
\[
\left( {a}_{{k}_{v}}^{\left( 2\right) }\right) = \left( \begin{array}{llll} + & + & + & + \\ + & + & - & - \\ + & - & + & - \\ + & - & - & + \end{array}\right) .
\]
人们又称上述定义的沃尔什正交系为按自然序排列的:
\[
{W}_{0}\left( x\right) ,{W}_{1}\left( x\right) ,{W}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{W}_{n}\left( x\right) .
\]
在工程上为了应用方便, 还有一种列率序排列的. 对集 \( \{ 0,1\} \) 引入伪加运算 (如图所示):
<table><tr><td>④</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>0</td></tr></table>
\[
0 \oplus 0 = 0,
\]
\[
0 \oplus 1 = 1\text{,}
\]
\[
1 \oplus 0 = 1\text{,}
\]
\[1 \oplus 1 = 0\text{.}\]
一个正整数 \( n \) 的二进位表示是
\[n = \mathop{\sum }\limits_{{j = - N + 1}}^{0}{n}_{j}{2}^{-j}\]
则称 \( \left( {{n}_{-N + 1},{n}_{-N + 2},\cdots ,{n}_{-1},{n}_{0}}\right) \) 为 \( n \) 的二进代码. 约定 \( {n}_{-N} = 0 \) 时,称
\[\left( {{n}_{-N + 1} \oplus {n}_{-N},{n}_{-N + 2} \oplus {n}_{-N + 1},\cdots ,{n}_{0} \oplus {n}_{-1}}\right) \]
为 \( n \) 的格雷代码,相应的二进位表示的数是
\[G\left( n\right) = \mathop{\sum }\limits_{{j = - N + 1}}^{0}\left\langle {{n}_{j} \oplus {n}_{j - 1}}\right\rangle {2}^{-j}.\]
定义 \( {\operatorname{Wal}}_{n}\left( x\right) = {W}_{G\left( n\right) }\left( x\right) \left( {n = 0,1,\cdots }\right) \) ,并称 \( {Wa}{l}_{1}\left( x\right) ,{Wa}{l}_{2}\left( x\right) ,\cdots ,{Wa}{l}_{n}\left( x\right) ,\cdots \) 为列率序的沃尔什正交系. \( {\left\{ {\operatorname{Wal}}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 自然也是 \( {L}^{2}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中的规范且完备的正交系, 而且它与三角函数系有着更相似的性质. 例如有 \( {Wa}{l}_{k}\left( x\right) {Wa}{l}_{j}\left( x\right) = {Wa}{l}_{k \oplus j}\left( x\right) \) , 这里 \( k \oplus j \) 的含义是设 \( k \) 和 \( j \) 有二进位表示
\[k = \mathop{\sum }\limits_{{v = - N + 1}}^{0}{\alpha }_{v}{2}^{-v},\;j = \mathop{\sum }\limits_{{v = - N + 1}}^{0}{\beta }_{v}{2}^{-v},\]
则
\[k \oplus j = \mathop{\sum }\limits_{{v = - N + 1}}^{0}\left( {{\alpha }_{v} \oplus {\beta }_{v}}\right) {2}^{-v}.\]
沃尔什函数 (Walsh function) 见“沃尔什正交系”.
格雷代码 (Gray code) 见“沃尔什正交系”.
沃尔什逼近 (Walsh approximation) 沃尔什正交系中函数线性组合的逼近. 设 \( {\left\{ {W}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是沃尔什正交系 (参见 “沃尔什正交系”). 对于 \( f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 或 \( f \in {L}^{q}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,人们首先考虑展开 \( f\left( x\right) \) 为沃尔什-傅里叶级数
\[\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{C}_{k}\left( f\right) {W}_{k}\left( x\right) \left( {{C}_{k}\left( f\right) = {\int }_{0}^{1}f\left( x\right) {W}_{k}\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) \]
的收敛性, 以及此级数的部分和
\[{S}_{n}\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{C}_{k}\left( f\right) {W}_{k}\left( x\right) \]
对 \( f\left( x\right) \) 在 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 度量或 \( {L}^{q}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \left( {1 \leq q < + \infty }\right) \) 度量下的逼近性态. 其次是对于任意给定的数 (实的或复的) \( {a}_{0},{a}_{1},\cdots ,{a}_{n - 1} \) ,称
\[{t}_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{n - 1}}{a}_{k}{W}_{k}\left( x\right) \] 为 \( n \) 阶沃尔什多项式,记其全体为 \( {T}_{n} \) ; 设
\[
f \in {L}^{q}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \left( {1 \leq q < + \infty }\right) ,
\]
考虑用 \( {T}_{n} \) 中的在 \( {L}^{q}\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的度量下逼近 \( f \) . 常记
\[
{E}_{n}\left( f\right) = \mathop{\inf }\limits_{{{t}_{n} \in {T}_{n}}}\begin{Vmatrix}{f - {t}_{n}}\end{Vmatrix},
\]
这里
\[
\parallel f\parallel = {\left\{ {\int }_{0}^{1}{\left| f\left( x\right) \right| }^{q}dx\right\} }^{\frac{1}{q}}.
\]
易知当 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {E}_{n}\left( f\right) \) 单调减少收敛于零. 与三角多项式逼近相似, 在沃尔什逼近中, 人们关心的亦是 \( n \) 阶沃尔什多项式对函数 \( f \) 的最佳逼近 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 收敛于零的速度与函数 \( f\left( x\right) \) 的构造性之间的关系,诸如三角多项式逼近的正定理与逆定理等, 也已为人们所建立. 20 世纪 80 年代以来, 这方面的研究颇受人们重视.
上面介绍的沃尔什正交系是从二进位表示出发的. 对于任何正整数 \( p > 2 \) ,亦可从 \( p \) 进位出发,建立新的沃尔什正交系. 只是此时对于函数的诸如连续、 可微以及李普希茨条件等的定义都应适当改变. 此外, 也已有人研究多元的沃尔什函数系. 这些理论在信息论、线性系统、通讯等方面已有或将有广泛的应用. 特别对于逐段光滑的函数, 沃尔什正交系有时会出现较三角函数系更有效的性能.
沃尔什多项式 (Walsh polynomial) 见“沃尔什逼近”.
线性算子逼近 (approximation by linear operators) 函数逼近论的一个重要组成部分. 设 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) \( \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack, L \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 的线性算子, \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,记 \( L\left( f\right) \) 在点 \( x \in \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 处的值为 \( L\left( {f, x}\right) \) ,在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上用 \( L\left( {f, x}\right) \) 对 \( f\left( x\right) \) 的逼近称为线性算子逼近. 线性算子逼近一直是函数逼近论的一个重要分支. 其原因大致是线性关系简明, 线性算子比较容易构造, 而最佳逼近多项式与被逼近函数之间一般又不具有线性关系. 熟知函数的泰勒级数的部分和、傅里叶级数的部分和及其种种平均、种种插值多项式等都是线性算子的例子. 一般地,假设 \( X \) 是一个函数空间 (例如 \( C,{L}^{P} \) 等), \( \left\{ {L}_{n}\right\} \) 是 \( X \) 到其自身的一个线性算子序列,在考虑用 \( {L}_{n}\left( f\right) \) 逼近 \( f \in X \) 时,首先研究的是 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {L}_{n}\left( f\right) \) 是否按某种意义收敛于 \( f \) ,其次是研究函数的构造性与逼近度
\[
{\begin{Vmatrix}f - {L}_{n}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{X}
\]
之间的关系, 这通常是通过收敛性定理、逼近的正定理与逆定理来实现的. 但是, 对于某些线性算子来说, 其逼近度是有限制的, 即不会因函数性质好而增加其逼近程度. 因此, 研究具体算子的逼近功能也是一个重要的问题.
\( {C}_{2\pi } \) 中的饱和性 (saturation in \( {C}_{2\pi } \) ) 周期函数空间中线性算子逼近的一个属性. 设有 \( {C}_{2\pi } \) 到 \( {C}_{2\pi } \) 的一个线性算子序列 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,如果有一个收敛于零的正数列 \( {\left\{ {\varphi }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 使得:
1. 若 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,则当且仅当 \( f \) 是常数时
\[
\mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{\begin{Vmatrix}f - {L}_{n}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }}}{{\varphi }_{n}} = 0;
\]
2. 存在不恒等于常数的函数 \( {f}_{0} \in {C}_{2\pi } \) ,使得
\[
{\begin{Vmatrix}{f}_{0} - {L}_{n}\left( {f}_{0}\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }} = O\left( {\varphi }_{n}\right) ;
\]
则称 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是饱和的,其饱和阶为 \( {\left\{ {\varphi }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,又称满足条件 2 的函数 \( {f}_{0} \) 的全体 \( S\left( {L}_{n}\right) \) 为 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 的饱和类. 这里 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{0} - {L}_{n}\left( {f}_{0}\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }} = O\left( {\varphi }_{n}\right) \) 的含义是存在与 \( n \) 无关的正数 \( M \) ,使得
\[
{\begin{Vmatrix}{f}_{0} - {L}_{n}\left( {f}_{0}\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }} \leq M{\varphi }_{n}. |
2000_数学辞海（第3卷） | 132 | ght\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,如果有一个收敛于零的正数列 \( {\left\{ {\varphi }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 使得:
1. 若 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,则当且仅当 \( f \) 是常数时
\[
\mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{\begin{Vmatrix}f - {L}_{n}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }}}{{\varphi }_{n}} = 0;
\]
2. 存在不恒等于常数的函数 \( {f}_{0} \in {C}_{2\pi } \) ,使得
\[
{\begin{Vmatrix}{f}_{0} - {L}_{n}\left( {f}_{0}\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }} = O\left( {\varphi }_{n}\right) ;
\]
则称 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是饱和的,其饱和阶为 \( {\left\{ {\varphi }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,又称满足条件 2 的函数 \( {f}_{0} \) 的全体 \( S\left( {L}_{n}\right) \) 为 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 的饱和类. 这里 \( {\begin{Vmatrix}{f}_{0} - {L}_{n}\left( {f}_{0}\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }} = O\left( {\varphi }_{n}\right) \) 的含义是存在与 \( n \) 无关的正数 \( M \) ,使得
\[
{\begin{Vmatrix}{f}_{0} - {L}_{n}\left( {f}_{0}\right) \end{Vmatrix}}_{{C}_{2\pi }} \leq M{\varphi }_{n}.
\]
饱和阶亦称为最优逼近阶.
最优逼近阶 (optimal degree of approximation) 见 “ \( {C}_{2\pi } \) 中的饱和性”.
\( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中的饱和性 (saturation in \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ) 闭区间上连续函数空间中线性算子逼近的一个属性. 设 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 的线性算子序列, \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \subset \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) . 如果存在在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上一致收敛于零且在 \( \left( {c, d}\right) \) 中是正的函数序列 \( {\left\{ {\varphi }_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 以及函数类 \( T\left( {L}_{n}\right) \) 使得:
1. 当且仅当 \( f \in T\left( {L}_{n}\right) \) 时
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\begin{Vmatrix}\frac{f\left( x\right) - {L}_{n}\left( {f, x}\right) }{{\varphi }_{n}\left( x\right) }\end{Vmatrix} = 0.
\]
2. 存在函数 \( {f}_{0} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,使得 \( {f}_{0} \notin T\left( {L}_{n}\right) \) 并且
\[
\begin{Vmatrix}\frac{{f}_{0}\left( x\right) - {L}_{n}\left( {{f}_{0}, x}\right) }{{\varphi }_{n}\left( x\right) }\end{Vmatrix} = O\left( 1\right) ,
\]
则称 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上是饱和的. 常称 \( \left\{ {{\varphi }_{n}\left( x\right) }\right\} \) 为 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 的饱和阶, \( T\left( {L}_{n}\right) \) 与 \( S\left( {L}_{n}\right) \) 分别为 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 的平凡类与饱和类,这里 \( S\left( {L}_{n}\right) \) 是符合上述条件 2 的函数的全体. 而条件 1 和 2 中范数 \( \parallel \cdot \parallel \) 一般是指 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 中的上确界,而当 \( \varphi \left( x\right) \) 在区间 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 的端点处的值为零时,则理解为开区间 \( \left( {c, d}\right) \) 中的上确界.
正线性算子逼近 (approximation by positive linear operators) 一类常用的逼近. 设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , 如果对一切 \( x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 都有 \( f\left( x\right) \geq 0 \) ,则记 \( f \geq 0 \) . 设 \( L \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 的线性算子, \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,如果对 \( f \geq 0 \) 有 \( L\left( f\right) \geq 0 \) ,则称 \( L \) 为正线性算子. 此时,用 \( L\left( {f, x}\right) \) 在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上逼近 \( f\left( x\right) \) 称为正线性算子逼近. 设 \( {L}_{n} \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 的正线性算子, \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \subset \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,如果对于 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,{L}_{n}\left( f\right) \) 都是 \( \leq n \) 次代数多项式,那么 \( {L}_{n} \) 称为 \( n \) 阶正多项式算子. 用这种算子在 \( \left\lbrack {c, d}\right\rbrack \) 上逼近函数,其临界阶是 \( O\left( {n}^{-2}\right) \) . 事实上,记 \( {f}_{i}\left( x\right) = {x}^{i}\left( {i = 0,1,2}\right) \) ,那么至少有一个 \( i \) 使得 \( n \rightarrow \infty \) 时,
\[
\mathop{\max }\limits_{{c \leq x \leq d}}\left| {{f}_{i}\left( x\right) - {l}_{n}\left( {{f}_{i}, x}\right) }\right| \neq o\left( {n}^{-2}\right) .
\]
这是科罗夫金 (KopoBKKH, II. II. ) 证明的. 对于 \( {C}_{2\pi } \) 的情形,有类似的概念与结论,只是代替 \( n \) 次代数多项式是 \( n \) 阶三角多项式,而三个试验函数是 \( 1,\cos x \) 及 \( \sin x \) . 正是由于正多项式算子的逼近阶不高于 \( {n}^{-2} \) , 所以正多项式算子虽然是一种良好的逼近方法, 但其应用还是有局限性的. 不能像代数多项式逼近连续函数那样, 其最佳逼近的阶会随被逼近函数光滑性增加而提高.
科罗夫金定理(Korovkin theorem) 正线性算子序列逼近的基本定理. 20 世纪 50 年代, 科罗夫金 (KopoBKMH, \( \Pi \) . \( \Pi \) . ) 建立了如下的定理: 设 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的正线性算子序列, \( {\left\{ {f}_{i}\left( x\right) \right\} }_{i = 0}^{2} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的一个切比雪夫组. 如果 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {L}_{n}\left( {{f}_{i}, x}\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致收敛于 \( {f}_{i}\left( x\right) \left( {i = 0,1,2}\right) \) ,则对于任何 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,当 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 都在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致收敛于 \( f\left( x\right) \) . 常称这个定理为科罗夫金定理. 又称这三个函数 \( {f}_{0}\left( x\right) ,{f}_{1}\left( x\right) \) 和 \( {f}_{2}\left( x\right) \) 为试验函数. 对于函数空间 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,常取 \( {f}_{i}\left( x\right) = {x}^{i}\left( {i = 0,1,2}\right) \) ,而对于函数空间 \( {C}_{2\pi } \) ,常取 \( {f}_{0}\left( x\right) = 1,{f}_{1}\left( x\right) = \cos x \) , \( {f}_{2}\left( x\right) = \sin x \) . 在科罗夫金定理中, \( {\left\{ {f}_{i}\left( x\right) \right\} }_{i = 0}^{2} \) 构成一个切比雪夫组这个条件是必要的. 因为科罗夫金还证明了如下的结论: 设 \( {f}_{i} \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \left( {i = 0,1,2}\right) \) . 如果对于每个 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的正线性算子序列 \( {\left\{ {L}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,从 \( n \rightarrow \infty \) 时 \( {L}_{n}\left( {{f}_{i}, x}\right) \left( {i = 0,1,2}\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致收敛就能推出,对任何 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 都有 \( n \rightarrow \infty \) 时 \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一致收于 \( f\left( x\right) \) ,则 \( {\left\{ {f}_{i}\right\} }_{i = 0}^{2} \) 一定是切比雪夫组.
试验函数 (test function) 见“科罗夫金定理”.
伯恩斯坦算子逼近 (approximation by Bernstein operators) 用伯恩斯坦多项式的逼近. 设 \( f \) \( \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,称
\[
{B}_{n}\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\left( \begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) {x}^{x}{\left( 1 - x\right) }^{n - k}f\left( \frac{k}{n}\right)
\]
为 \( f \) 的 \( n \) 阶伯恩斯坦多项式. 它是 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 到 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 的一个正线性算子,也称为伯恩斯坦算子. 当 \( n \rightarrow \infty \) 时 \( \begin{Vmatrix}{{B}_{n}\left( f\right) - f}\end{Vmatrix} \rightarrow 0 \) . 算子序列 \( {\left\{ {B}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是饱和的,饱和阶是
\[
{\left\{ \frac{2\left( {1 - x}\right) }{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty },
\]
而饱和类是 \( \left\{ {f \mid f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \text{且}{f}^{\prime } \in \operatorname{Lip}1}\right\} \) . 更确切地说,存在正数 \( C \) ,对于任何 \( f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 及 \( x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) , 都有
\[
\left| {{B}_{n}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right| \leq C{\omega }_{2}\left( {f,\sqrt{\frac{x\left( {1 - x}\right) }{n}}}\right) ,
\]
而且 \( {f}^{\prime } \in \operatorname{Lip}1 \) 等价于
\[
\left| {{B}_{n}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right| \leq M\frac{x\left( {1 - x}\right) }{2n}
\]
\[
\left( {n = 1,2,\cdots ;0 \leq x \leq 1}\right) ,
\]
这里 \( {\omega }_{2}\left( {f,\delta }\right) \) 是 \( f \) 的二阶光滑模.
伯恩斯坦多项式 (Bernstein polynomial) 见 “伯恩斯坦算子逼近”.
伯恩斯坦算子 (Bernstein operator) 见 “伯恩斯坦算子逼近”.
费耶尔算子逼近 (approximation by Fejer operators) 傅里叶和的算术平均的逼近. 设 \( f \in {C}_{2\pi } \) , \( {S}_{k}\left( {f, x}\right) \) 是 \( f\left( x\right) \) 的傅里叶级数的前 \( k + 1 \) 项的和. 称傅里叶和的算术平均
\[
{\sigma }_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{n}\left( {{S}_{0}\left( {f, x}\right) + {S}_{1}\left( {f, x}\right) + \cdots }\right.
\]
\[
\left. {+{S}_{n - 1}\left( {f, x}\right) }\right)
\]
为费耶尔和. \( {\sigma }_{n}\left( f\right) \) 是 \( {C}_{2\pi } \) 到 \( {C}_{2\pi } \) 的一个正线性算子, 其范数
\[
\begin{Vmatrix}{\sigma }_{n}\end{Vmatrix} = \mathop{\sup }\limits_{{\parallel f\parallel \leq 1}}\begin{Vmatrix}{{\sigma }_{n}\left( f\right) }\end{Vmatrix} = 1,
\]
并有表达式
\[
{\sigma }_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{2\pi n}{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( t\right) {\left( \frac{\sin \frac{n\left( {t - x}\right) }{2}}{\sin \frac{t - x}{2}}\right) }^{2}\mathrm{\;d}t.
\]
当 \( n \rightarrow \infty \) 时 \( {\sigma }_{n}\left( {f, x}\right) \) 在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上不仅一致收敛于 \( f\left( x\right) \) ,而且有
\[
\left| {f\left( x\right) - {\sigma }_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \leq {C\omega }\left( {f,\frac{\lg \left( {n + 1}\right) }{n + 1}}\right) ,
\]
其中 \( C \) 是一个与 \( x \) 及 \( n \) 都无关的正数. 线性算子序列 \( {\left\{ {\sigma }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是饱和的,饱和阶是 \( {\left\{ {n}^{-1}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,饱和类是
\[
\left\{ {f \mid f \in {C}_{2\pi }\text{ 且 }\widetilde{f} \in \operatorname{Lip}1}\right\} ,
\]
这里 \( \widetilde{f} \) 表示 \( f \in {C}_{2\pi } \) 的共轭函数.
费耶尔和 (Fejer sum) 见 “费耶尔算子逼近”.
杰克森算子逼近 (approximation by Jackson operators) 证明逼近论正定理的一个重要工具. 设 \( n \) 是正整数,称
\[
{K}_{n}\left( t\right) = {\lambda }_{n}^{-1}{\left( \frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right) }^{4}
\]
为杰克森核, 式中
\[
{\lambda }_{n} = \frac{3}{{\pi n}\left( {2{n}^{2} + 1}\right) }
\]
是由条件
\[
{\int }_{-\pi }^{\pi }{K}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t = 1
\]
确定的数. 对 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,常称
\[
{J}_{n}\left( {f, x}\right) = {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {x, t}\right) {K}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
为杰克森算子 (或积分). 称用 \( {J}_{n}\left( {f, x}\right) \) 逼近 \( f\left( x\right) \) 为杰克森算子的逼近. 此时有
\[
\begin{Vmatrix}{f - {J}_{n}\left( f\right) }\end{Vmatrix} \leq {12\omega }\left( {f,\frac{1}{n}}\right) .
\]
作为一个 \( {C}_{2\pi } \) 到 \( {C}_{2\pi } \) 的线性算子序列来看, \( {\left\{ {J}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是饱和的,饱和阶是 \( {\left\{ \varphi \left( n\right |
2000_数学辞海（第3卷） | 133 | widetilde{f} \in \operatorname{Lip}1}\right\} ,
\]
这里 \( \widetilde{f} \) 表示 \( f \in {C}_{2\pi } \) 的共轭函数.
费耶尔和 (Fejer sum) 见 “费耶尔算子逼近”.
杰克森算子逼近 (approximation by Jackson operators) 证明逼近论正定理的一个重要工具. 设 \( n \) 是正整数,称
\[
{K}_{n}\left( t\right) = {\lambda }_{n}^{-1}{\left( \frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right) }^{4}
\]
为杰克森核, 式中
\[
{\lambda }_{n} = \frac{3}{{\pi n}\left( {2{n}^{2} + 1}\right) }
\]
是由条件
\[
{\int }_{-\pi }^{\pi }{K}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t = 1
\]
确定的数. 对 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,常称
\[
{J}_{n}\left( {f, x}\right) = {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {x, t}\right) {K}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t
\]
为杰克森算子 (或积分). 称用 \( {J}_{n}\left( {f, x}\right) \) 逼近 \( f\left( x\right) \) 为杰克森算子的逼近. 此时有
\[
\begin{Vmatrix}{f - {J}_{n}\left( f\right) }\end{Vmatrix} \leq {12\omega }\left( {f,\frac{1}{n}}\right) .
\]
作为一个 \( {C}_{2\pi } \) 到 \( {C}_{2\pi } \) 的线性算子序列来看, \( {\left\{ {J}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是饱和的,饱和阶是 \( {\left\{ \varphi \left( n\right) = {n}^{-2}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) ,饱和类是
\[
\left\{ {f \mid f \in {C}_{2\pi }\text{,且 }{f}^{\prime } \in \operatorname{Lip}1}\right\} \text{.}
\]
杰克森核 (Jackson kernel) 见“杰克森算子逼近”.
傅里叶和逼近 (approximation by Fourier sums) 用傅里叶级数部分和的逼近. 设 \( f \in {L}_{2\pi } \) ,称
\[
{a}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \cos {kx}\mathrm{\;d}x\;\left( {k = 0,1,\cdots }\right) ,
\]
\[
{b}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{2\pi }f\left( x\right) \sin {kx}\mathrm{\;d}x\;\left( {k = 1,2,\cdots }\right)
\]
为 \( f \) 的傅里叶系数,而称
\[
\frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right)
\]
为 \( f \) 的傅里叶级数. 此级数的前 \( n + 1 \) 项之和为 \( f \) 的 \( n \) 阶傅里叶和,记为 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) ,它有表达式
\[
{S}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {x + t}\right) {D}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t,
\]
其中
\[
{D}_{n}\left( t\right) = \frac{1}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\cos {kt} = \frac{\sin \left( {n + \frac{1}{2}}\right) t}{2\sin \frac{1}{2}t}
\]
称为狄利克雷核. 而称
\[
{L}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left| {{D}_{n}\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t
\]
为勒贝格常数. 费耶尔 (Fejer, L. ) 曾证明
\[
{L}_{n} = \frac{4}{{\pi }^{2}}\log n + O\left( n\right)
\]
实际应用时还有
\[
{L}_{n} \leq 2 + \log \left( {n + 1}\right) .
\]
\( {S}_{n}\left( f\right) \) 是 \( {L}_{2\pi } \) 到 \( {L}_{2\pi } \) 的 \( n \) 阶三角多项式的线性算子,其范数为 \( {L}_{n} \) . 对于任一 \( n \) 阶三角多项 \( {t}_{n}\left( x\right) \) 都有 \( {S}_{n}\left( {{t}_{n}, x}\right) = {t}_{n}\left( x\right) \) . 对于 \( f \in {C}_{2\pi },{S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 未必收敛于 \( f\left( x\right) \) ,但是,对于 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,则有
\[
\max \left| {{S}_{n}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right|
\]
\[
\leq \left( {2 + \log \left( {n + 1}\right) }\right) {E}_{n}^{ * }\left( f\right) ,
\]
这里 \( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) \) 是 \( n \) 阶三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近.
傅里叶和逼近的一个主要问题是求它对一类函数逼近的上界, 1945 年, 尼科利斯基 (Hykojtbcknñ, C. M. ) 证明: 设 \( \omega \left( t\right) \) 是上凸的连续模,记 \( {H}_{\omega }^{ * } \) \( = \left\{ {f \mid f \in {C}_{2\pi }\text{ 且 }\omega \left( {f,\delta }\right) \leq \omega \left( \delta \right) }\right\} \) ,则
\[
\mathop{\sup }\limits_{{f \in {H}_{\omega }^{ * }}}\mathop{\max }\limits_{x}\left| {f\left( x\right) - {S}_{n}\left( {f, x}\right) }\right|
\]
\[
= \frac{\log n}{{\pi }^{2}}{\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}\omega \left( \frac{4t}{{2n} + 1}\right) \sin t\mathrm{\;d}t + O\left( {\omega \left( \frac{1}{n}\right) }\right) .
\]
这个结果已被推广到可微函数的情况. 1985 年, 谢庭藩证明,若 \( f \in {C}_{2\pi } \) 有 \( r \) 阶连续导数,则
\[
\mathop{\max }\limits_{x}\left| {f\left( x\right) - {S}_{n}\left( {f, x}\right) }\right|
\]
\[
= \frac{1}{{n}^{r}}\mathop{\max }\limits_{x}\left| {{S}_{n}^{\left( r\right) }\left( {f, x}\right) - {f}^{\left( r\right) }\left( x\right) }\right| + O\left( {\frac{1}{{n}^{r}}{E}_{n}^{ * }\left( {f}^{\left( r\right) }\right) }\right) .
\]
狄利克雷核(Dirichlet kernel) 见“傅里叶和逼近”.
勒贝格常数 (Lebesgue constant) 见“傅里叶和逼近”.
瓦莱・普桑和逼近 (approximation by Vallée-Poussin sums) 同时具有傅里叶和及费耶尔和的性质之 “和” 的逼近. 设 \( f \in {C}_{2\pi },{S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是它的 \( n \) 阶傅里叶和, 称
\[
{V}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{n}\left\{ {{S}_{n}\left( {f, x}\right) + {S}_{n + 1}\left( {f, x}\right) }\right.
\]
\[\left. {+\cdots + {S}_{{2n} - 1}\left( {f, x}\right) }\right\} \]
为 \( f \) 的 \( n \) 阶瓦莱・普桑和或瓦莱・普桑平均. 显然, \( {V}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是 \( {2n} - 1 \) 阶三角多项式,它是 \( {C}_{2\pi } \) 到 \( {C}_{2\pi } \) 的线性算子, 而且具有性质:
1. 对任一 \( n \) 阶三角多项式 \( {t}_{n}\left( x\right) \) ,有
\[{V}_{n}\left( {{t}_{n}, x}\right) \equiv {t}_{n}\left( x\right) .\]
2. 当 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( \begin{Vmatrix}{{V}_{n}\left( f\right) - f}\end{Vmatrix} \rightarrow 0 \) .
进一步的结论是瓦莱・普桑 (Vallée-Poussin, C. de la) 在 20 世纪初建立的不等式:
\[\begin{Vmatrix}{f - {V}_{n}\left( f\right) }\end{Vmatrix} \leq 4{E}_{n}^{ * }\left( f\right) \]
对任何 \( f \in {C}_{2\pi } \) 及 \( n = 1,2,\cdots \) 都成立.
瓦莱・普桑平均(Vallée-Poussin means) 见 “瓦莱・普桑和逼近”.
切比雪夫级数部分和逼近 (approximation by partial sum of Chebyshev series) 一种代数多项式算子的逼近. 设 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack .{\left\{ {T}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 是切比雪夫多项式系,即 \( {T}_{n}\left( x\right) = \cos \left( {n\arccos x}\right) \) . 函数 \( f\left( x\right) \) 按 \( {\left\{ {T}_{n}\left( x\right) \right\} }_{n = 0}^{\infty } \) 展开的傅里叶级数前 \( n + 1 \) 项之和
\[{S}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{2}{C}_{0} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{C}_{k}\left( f\right) {T}_{k}\left( x\right) \]
称为 \( f \) 的切比雪夫级数的第 \( n \) 部分和,其中
\[{C}_{k}\left( f\right) = \frac{2}{\pi }{\int }_{0}^{\pi }f\left( {\cos \theta }\right) \cos {k\theta }\mathrm{d}\theta .\]
利用 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 逼近 \( f\left( x\right) \) 常被称为切比雪夫级数部分和的逼近. 可以证明, \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式. 如果记 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 为 \( n \) 次代数多项式对 \( f \) 在 \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 度量下的最佳逼近值,那么在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上,就有
\[\left| {f\left( x\right) - {S}_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \leq \left( {3 + \log n}\right) {E}_{n}\left( f\right) .\]
三角插值多项式逼近 (approximation by trigonometric interpolating polynomials) 具有插值性质的三角多项式的逼近. 设
\[{x}_{k} = {x}_{k}^{\left( n\right) } = \frac{2k\pi }{{2n} + 1}\left( {k = 0,1,\cdots ,{2n}}\right) ,\]
对整数 \( p \geq 0 \) ,记
\[{T}_{n, p}\left( {f, x}\right) \]
\[ = \frac{1}{{2n} + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{{2n}}f\left( {x}_{k}\right) \frac{\sin \frac{{2p} + 1}{2}\left( {x - {x}_{k}}\right) }{\sin \frac{x - {x}_{k}}{2}},\] 则 \( {T}_{n, n}\left( {f, x}\right) \) 具有插值性质:
\[
{T}_{n, n}\left( {f,{x}_{k}}\right) = f\left( {x}_{k}\right) \;\left( {k = 0, \pm 1,\cdots }\right) .
\]
人们常研究 \( {T}_{n, n}\left( {f, x}\right) \) 对 \( f\left( x\right) \) 的逼近,有着与傅里叶和逼近函数的类似结论. 而
\[
{U}_{q}^{\left( n\right) }\left( {f, x}\right) = \frac{1}{q + 1}\left\{ {{T}_{n,0}\left( {f, x}\right) + {T}_{n,1}\left( {f, x}\right) }\right.
\]
\[
\left. {+\cdots + {T}_{n, q}\left( x\right) }\right\}
\]
则有着类似于费耶尔和逼近函数的性质. 特别地, 若 \( f\left( x\right) \in {C}_{2\pi } \) ,则还有
\[
\parallel \frac{1}{2}\left( {{T}_{n, n}\left( {f, x + \frac{\pi }{{2n} + 1}}\right) }\right.
\]
\[
\left. {\left. {+{T}_{n, n}\left( {x - \frac{\pi }{{2n} + 1}}\right) }\right) - f\left( x\right) }\right)
\]
\[
\leq \left( {1 + {2\pi } + 4{\pi }^{2}}\right) {E}_{n}^{ * }\left( f\right) + \omega \left( {f,\frac{\pi }{{2n} + 1}}\right) .
\]
拉格朗日插值多项式逼近 (approximation by Lagrange interpolation polynomials) 常用的逼近工具. 设 \( {x}_{n} < {x}_{n - 1} < \cdots < {x}_{1} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上 \( n \) 个互异的点. 1795 年, 拉格朗日 (Lagrange, J.-L. ) 就证明: 如果定义在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的函数 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{k} \) 处的值 \( f\left( {x}_{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) 是已知的,那么存在惟一的次数不高于 \( n \) 的代数多项式 \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \) ,使得 \( {L}_{n}\left( {f,{x}_{k}}\right) \) \( = f\left( {x}_{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \) . 倘若记
\[
{W}_{n}\left( x\right) = \left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n}}\right) ,
\]
\[
{l}_{k, n}\left( x\right) = \frac{{W}_{n}\left( x\right) }{\left( {x - {x}_{k}}\right) {W}_{n}^{\prime }\left( {x}_{k}\right) },
\]
则有
\[
{L}_{n}\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {x}_{k}\right) {l}_{k, n}\left( x\right) .
\]
(1)
等式 (1) 中的 \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 称为 \( f\left( x\right) \) 的拉格朗日插值多项式,并称 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为其结点组,而称 \( {l}_{k, n}\left( x\right) \) 为拉格朗日插值基本多项式. 若 \( f\left( x\right) \) 是次数不高于 \( n - 1 \) 的代数多项式,则 \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \equiv f\left( x\right) .{L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 的几何意义是有且仅有一条 \( n - 1 \) 次代数曲线通过平面上预先给定的 \( n \) 个横坐标互异的点. 对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的连续函数 \( f\left( x\right) ,{L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是一个可计算的逼近工具. 若 \( f\left( x\right) \) 有 \( r \) 阶连续导数,则
\[
f\left( x\right) - {L}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{{f}^{\left( r\right) }\left( \xi \right) }{n!}{W}_{n}\left( x\right) ,
\]
其中 \( \xi \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中一个与 \( x \) 有关的点.
对于给定的结点组 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) ,称
\[
{\lambda }_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left| {{l}_{k, n}\left( x\right) }\right|
\]
为此结点组的勒贝格函数,而称 \( {\lambda }_{n} = \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}{\lambda }_{n}\left( x\right) \) 为其勒贝格常数. 如果记 \( {E}_{n - 1}\left( f\right) \) 为次数不高于 \( n - 1 \) 的代数多项式对函数 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的最佳逼近值,则有
\[
\left| {f\left( x\right) - {L}_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \leq \left( {1 + {\lambda }_{n}\left( x\right) }\right) {E}_{n - 1}\left( f\right)
\]
\[
\left( {0 \leq x \leq 1}\right) \text{,}
\]
而且有 \( \begin{Vmatrix}{f - {L}_{n}\left( f\right) }\end{Vmatrix} \geq \left( {1 + {\lambda }_{n}}\right) {E}_{n - 1}\left( f\right) \) . 因此,选择使 \( {\lambda }_{n} \) 取值小的结点组是一个重要的工作. 但是,对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的任一结点组 \( {\left\{ |
2000_数学辞海（第3卷） | 134 | \right) }\left( \xi \right) }{n!}{W}_{n}\left( x\right) ,
\]
其中 \( \xi \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 中一个与 \( x \) 有关的点.
对于给定的结点组 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) ,称
\[
{\lambda }_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left| {{l}_{k, n}\left( x\right) }\right|
\]
为此结点组的勒贝格函数,而称 \( {\lambda }_{n} = \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}{\lambda }_{n}\left( x\right) \) 为其勒贝格常数. 如果记 \( {E}_{n - 1}\left( f\right) \) 为次数不高于 \( n - 1 \) 的代数多项式对函数 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的最佳逼近值,则有
\[
\left| {f\left( x\right) - {L}_{n}\left( {f, x}\right) }\right| \leq \left( {1 + {\lambda }_{n}\left( x\right) }\right) {E}_{n - 1}\left( f\right)
\]
\[
\left( {0 \leq x \leq 1}\right) \text{,}
\]
而且有 \( \begin{Vmatrix}{f - {L}_{n}\left( f\right) }\end{Vmatrix} \geq \left( {1 + {\lambda }_{n}}\right) {E}_{n - 1}\left( f\right) \) . 因此,选择使 \( {\lambda }_{n} \) 取值小的结点组是一个重要的工作. 但是,对于 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的任一结点组 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) ,费伯 (Faber, G. ) 与伯恩斯坦 (Sephiureřiн, C. H. ) 分别于 1914 年与 1916 年证明了
\[
{\lambda }_{n} \geq \frac{\log n}{8\sqrt{\pi }}
\]
于是人们只能选择阶接近 \( \log n \) 的结点组. 最常用的是在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上取切比雪夫多项式
\[
{T}_{n}\left( x\right) = \cos \left( {n\arccos x}\right)
\]
的零点全体
\[
{x}_{k, n} = \cos \frac{{2k} - 1}{2n}\pi \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
作为结点组, 此时相应的勒贝格常数不超过
\[8 + \frac{4}{\pi }\log n\]
因此,只要 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 的连续性模 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 适合条件
\[\omega \left( {f,\delta }\right) \log \frac{1}{\delta } \rightarrow 0,\]
就可以保证 \( n \rightarrow \infty \) 时, \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上一致收敛于 \( f\left( x\right) \) . 如果 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 有 \( r \) 阶连续导数,那么不等式
\[\begin{Vmatrix}{f\left( x\right) - {L}_{n}\left( {f, x}\right) }\end{Vmatrix} \leq {C}_{r}\frac{\log n}{{n}^{\prime }}\omega \left( {{f}^{\left( r\right) },\frac{1}{n}}\right) \]
成立,其中 \( {C}_{r} > 0 \) 仅与 \( r \) 有关.
关于插值多项式的逼近不仅考虑一致逼近, 还可考虑平均逼近, \( {L}^{p} \) 度量下的逼近等. 关于插值结点组, 不仅限于切比雪夫多项式的零点, 而且还可取一般正交多项式的零点. 这里零点的分布情况是十分要紧的. 然而, 倘若取均匀分布的结点, 那么其结果往往是不好的. 例如, 即使对于像
\[f\left( x\right) = \left| {{2x} - a - b}\right| \]
这样很好的函数, 其等距结点组上的拉格朗日插值多项式也不能在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上实现对它的逼近.
拉格朗日插值多项式 (Lagrange interpolation polynomial) 见“拉格朗日插值多项式逼近”.
勒贝格函数 (Lebesgue function) 见 “拉格朗日插值多项式逼近”.
修正的拉格朗日插值多项式逼近 (approximation by modified Lagrange interpolation polynomials) 用变形的插值多项式的逼近. 由于拉格朗日插值多项式的逼近度与最佳逼近阶之间至少要相差一个对数因子, 因而人们就在想如何修改拉格朗日插值多项式, 使之用于逼近函数时能使得此对数因子消失. 修改的方法很多, 线性平均的办法是常用的一种方法. 例如,对 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,
\[{x}_{k, n} = \cos \frac{{2k} - 1}{2n}\pi \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,\]
\[
x = \cos \theta \;\left( {0 \leq \theta \leq \pi }\right) ,
\]
记 \( {L}_{n}\left( {f, x}\right) \) 为以 \( {\left\{ {x}_{k, n}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的拉格朗日插值多项式, 定义
\[
{G}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{2}\left\{ {{L}_{n}\left( {f,\cos \left( {\theta + \frac{\pi }{2n}}\right) }\right) }\right.
\]
\[
\left. {+{L}_{n}\left( {f,\cos \left( {\theta - \frac{\pi }{2n}}\right) }\right) }\right\}
\]
\[
{R}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{4}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}\left( {f\left( {x}_{k - 1, n}\right) + {2f}\left( {x}_{k, n}\right) }\right.
\]
\[
\left. {+f\left( {x}_{k + 1, n}\right) }\right) {l}_{k, n}\left( x\right) ,
\]
这里 \( {x}_{0, n} = {x}_{1, n},{x}_{n + 1, n} = {x}_{n, n} \) ,而
\[
{l}_{k, n}\left( x\right) = \frac{{W}_{n}\left( x\right) }{{W}_{n}^{\prime }\left( {x}_{k, n}\right) \left( {x - {x}_{k, n}}\right) },
\]
\[
{W}_{n}\left( x\right) = \left( {x - {x}_{1, n}}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n, n}}\right) .
\]
则存在常数 \( C > 0 \) ,使得在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上
\[
\left| {{G}_{n}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right| \leq {C\omega }\left( {f,\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) ,
\]
\[
\left| {{R}_{n}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right| \leq {C\omega }\left( {f,\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) .
\]
它们表明, 这种修改对于低度光滑函数是有效的.
埃尔米特插值多项式逼近 (approximation by Hermite interpolation polynomials) 拉格朗日插值多项式逼近的一种拓广. 设 \( {x}_{n} < {x}_{n - 1} < \cdots < {x}_{1} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的互异的点,给定一张数表
\[
{y}_{1}^{\left( 0\right) }\;{y}_{1}^{\left( 1\right) }\;\cdots \;{y}_{1}^{\left( {\alpha }_{1} - 1\right) }
\]
\[
{y}_{2}^{\left( 0\right) }\;{y}_{2}^{\left( 1\right) }\;\cdots \;{y}_{2}^{\left( {\alpha }_{2} - 1\right) }
\]
(1)
\[
\cdots \;\cdots \;\cdots
\]
\[
{y}_{n}^{\left( 0\right) }\;{y}_{n}^{\left( 1\right) }\;\cdots \;{y}_{n}^{\left( {\alpha }_{n} - 1\right) }
\]
记 \( m = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}{.1878} \) 年,埃尔米特 (Hermite, C. ) 证明了存在次数 \( \leq m - 1 \) 的代数多项式 \( {H}_{n}\left( x\right) \) 使得
\[
{H}_{n}^{\left( s\right) }\left( {x}_{k}\right) = {y}_{k}^{\left( s\right) }\;\left( {k = 1,2,\cdots, n;s = 0,1,\cdots ,{\alpha }_{k - 1}}\right) .
\]
常称 \( {H}_{n}\left( x\right) \) 为表 (1) 的以 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的埃尔米特插值多项式.
设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,且 \( f \) 在 \( {x}_{k} \) 处有 \( {\alpha }_{k} - 1 \) 阶导数,若取 \( {y}_{k}^{\left( s\right) } = {f}^{\left( s\right) }\left( {x}_{k}\right) \) ,则称相应的埃尔米特插值多项式 \( {H}_{n}\left( {f, x}\right) \) 为 \( f\left( x\right) \) 的以 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的 \( \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots }\right. \) , \( \left. {\alpha }_{n}\right) \) 阶埃尔米特插值多项式. 借助于 \( {H}_{n}\left( {f, x}\right) \) 对 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上的逼近 (包括一致逼近与平均逼近),都称为埃尔米特插值多项式的逼近. 若 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上有 \( m \) 阶导数,则
\[
f\left( x\right) - {H}_{n}\left( {f, x}\right)
\]
\[
= \frac{{f}^{\left( m\right) }\left( \xi \right) }{m!}{\left( x - {x}_{1}\right) }^{{\alpha }_{1}}\cdots {\left( x - {x}_{n}\right) }^{{\alpha }_{n}}.
\]
埃尔米特插值多项式 (Hermite interpolation polynomial) 见“埃尔米特插值多项式逼近”.
伯克霍夫插值多项式逼近 (approximation by Birkhoff interpolation polynomials) 埃尔米特插值多项式逼近的一种推广. 如果在埃尔米特插值过程中放弃在某些点处的某些阶导数取值的要求, 那么就称这种插值多项式为伯克霍夫插值多项式. 研究这种多项式对函数的逼近, 称为伯克霍夫插值多项式逼近. 其中最简单的是 \( \left( {0,2}\right) \) 插值,它是常见的缺项插值的一种. 具体地说: 设 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上一组相异的点,要求一个次数 \( \leq {2n} - 1 \) 的代数多项式 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) ,使得
\[{S}_{n}\left( {f,{x}_{k}}\right) = f\left( {x}_{k}\right) ,\;{S}_{n}^{\prime \prime }\left( {f,{x}_{k}}\right) = {f}^{\prime \prime }\left( {x}_{k}\right) ,\]
并考虑 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 对 \( f\left( x\right) \) 的逼近性态.
伯克霍夫插值多项式 (Birkhoff interpolation polynomial) 见“伯克霍夫插值多项式逼近”.
帕尔型插值逼近 (Pall-type interpolation approximation) 埃尔米特插值逼近的一个应用性拓广. 设 \( {W}_{n}\left( x\right) = \left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n}}\right) \) 是在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上具有 \( n \) 个互异实根的代数多项式,记 \( {W}_{n}^{\prime }\left( x\right) \) 的零点为 \( {x}_{k}^{\prime }\left( {k = 1,2,\cdots, n - 1}\right) \) ,称符合下述条件的次数最低的代数多项式 \( {P}_{n}\left( {f, x}\right) \) 为函数 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的帕尔型插值多项式:
\[{P}_{n}\left( {f,{x}_{k}}\right) = f\left( {x}_{k}\right) \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,\]
\[{P}_{n}^{\prime }\left( {f,{x}_{k}^{\prime }}\right) = {f}^{\prime }\left( {x}_{k}^{\prime }\right) \left( {k = 1,2,\cdots, n - 1}\right) ,\]
这里当然要求 \( f\left( x\right) \) 是可导的函数. 考虑 \( {P}_{n}\left( {f, x}\right) \) 对 \( f\left( x\right) \) 的逼近性态称为帕尔型插值逼近.
埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近 (approximation by Hermite-Fejer interpolation polynomials) 埃尔米特插值逼近的一种特殊情况. 设 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上的一组互异的点,记
\[W\left( x\right) = \left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n}}\right) ,\]
\[{l}_{k}\left( x\right) = \frac{W\left( x\right) }{{W}^{\prime }\left( {x}_{k}\right) \left( {x - {x}_{k}}\right) }\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) .\]
对于 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,称
\[{F}_{n}\left( {f, x}\right) \]
\[ = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {x}_{k}\right) \left( {1 - \frac{{W}^{\prime \prime }\left( {x}_{k}\right) }{{W}^{\prime }\left( {x}_{k}\right) }\left( {x - {x}_{k}}\right) }\right) {l}_{k}^{2}\left( x\right) \]
为函数 \( f\left( x\right) \) 的以 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式. \( {F}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是一个 \( {2n} - 1 \) 次代数多项式, 它满足如下条件:
\[{F}_{n}\left( {f,{x}_{k}}\right) = f\left( {x}_{k}\right) \;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \]
及
\[{F}_{n}^{\prime }\left( {f,{x}_{k}}\right) = 0\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) .\]
20 世纪 70 年代以来,人们对 \( {F}_{n}\left( f\right) \) 逼近 \( f \) 的研究甚多,常称用 \( {F}_{n}\left( f\right) \) 对 \( f \) 的逼近为埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近. 对于这种逼近,通常取 \( n \) 阶切比雪夫多项式 \( {T}_{n}\left( x\right) = \cos \left( {n\arccos x}\right) \) 的零点
\[{x}_{k} = \cos \frac{{2k} - 1}{2n}\pi \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \]
作为插值结点组, 并讨论其相应的埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近.
埃尔米特-费耶尔插值多项式(Hermite-Fejer interpolation polynomial) 见“埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近”.
拟埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近 (approximation by quasi-Hermite-Fejer interpolation polynomials) 埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近的扩充. 设 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( \left( {-1,1}\right) \) 中的一个结点组:
\[
- 1 < {x}_{n} < {x}_{n - 1} < \cdots < {x}_{1} < 1.
\]
对于 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,称满足下列条件的 \( {2n} + 1 \) 次代数多项式 \( {Q}_{n}\left( {f, x}\right) \) 为函数 \( f\left( x\right) \) 的以 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的拟埃尔米特-费耶尔插值多项式:
\[
{Q}_{n}\left( {f,{x}_{k}}\right) = f\left( {x}_{k}\right) ,
\]
\[
{Q}_{n}^{\prime }\left( {f,{x}_{k}}\right) = 0\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
\[
{Q}_{n}\left( {f, \pm 1}\right) = f\left( {\pm 1}\right) .
\]
借助 \( {Q}_{n}\left( {f, x}\right) \) 逼近函数 \( f\left( x\right) \) 称为拟埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近. 若记
\[
W\left( x\right) = \left( {x - {x}_{1}}\right) \left( { |
2000_数学辞海（第3卷） | 135 | \frac{{2k} - 1}{2n}\pi \left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) \]
作为插值结点组, 并讨论其相应的埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近.
埃尔米特-费耶尔插值多项式(Hermite-Fejer interpolation polynomial) 见“埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近”.
拟埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近 (approximation by quasi-Hermite-Fejer interpolation polynomials) 埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近的扩充. 设 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( \left( {-1,1}\right) \) 中的一个结点组:
\[
- 1 < {x}_{n} < {x}_{n - 1} < \cdots < {x}_{1} < 1.
\]
对于 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,称满足下列条件的 \( {2n} + 1 \) 次代数多项式 \( {Q}_{n}\left( {f, x}\right) \) 为函数 \( f\left( x\right) \) 的以 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的拟埃尔米特-费耶尔插值多项式:
\[
{Q}_{n}\left( {f,{x}_{k}}\right) = f\left( {x}_{k}\right) ,
\]
\[
{Q}_{n}^{\prime }\left( {f,{x}_{k}}\right) = 0\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
\[
{Q}_{n}\left( {f, \pm 1}\right) = f\left( {\pm 1}\right) .
\]
借助 \( {Q}_{n}\left( {f, x}\right) \) 逼近函数 \( f\left( x\right) \) 称为拟埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近. 若记
\[
W\left( x\right) = \left( {x - {x}_{1}}\right) \left( {x - {x}_{2}}\right) \cdots \left( {x - {x}_{n}}\right) ,
\]
\[
{l}_{k}\left( x\right) = \frac{W\left( x\right) }{{W}^{\prime }\left( {x}_{k}\right) \left( {x - {x}_{k}}\right) }\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则 \( {Q}_{n}\left( {f, x}\right) \) 有如下的表达式:
\( {Q}_{n}\left( {f, x}\right) \)
\[
= {F}_{n}\left( {f, x}\right) + \left( {f\left( 1\right) - {F}_{n}\left( {f,1}\right) }\right) {\left( \frac{1 + x}{2}\frac{W\left( x\right) }{W\left( 1\right) }\right) }^{2}
\]
\[
+ \left( {f\left( {-1}\right) - {F}_{n}\left( {f, - 1}\right) }\right) {\left( \frac{1 - x}{x}\frac{W\left( x\right) }{W\left( {-1}\right) }\right) }^{2},
\]
式中 \( {F}_{n}\left( {f, x}\right) \) 是函数 \( f\left( x\right) \) 的以 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式
\[
{F}_{n}\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {x}_{k}\right) \left( {1 - \frac{{W}^{n}\left( {x}_{k}\right) }{{W}^{\prime }\left( {x}_{k}\right) }\left( {x - {x}_{k}}\right) }\right) {l}_{k}^{2}\left( x\right) .
\]
\( {F}_{n}\left( {f, x}\right) \) 的结点组 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 常取
\[
{x}_{k} = \cos \frac{{2k} - 1}{2n}\pi \;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right)
\]
或
\[
{x}_{k} = \cos \frac{k\pi }{n + 1}\;\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
拟埃尔米特-费耶尔插值多项式 (quasi-Hermite Fejer interpolation polynomial) 见“拟埃尔米特-费耶尔插值多项式逼近”.
线性逼近 (linear approximation) 对逼近工具的一种划分概念. 设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack ,\Phi = {\left\{ {\varphi }_{k}\right\} }_{k = 1}^{n},{\varphi }_{k}\left( x\right) \in \) \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) . 讨论用 \( \Phi \) 的元素的线性组合
\[
{a}_{1}{\varphi }_{1} + {a}_{2}{\varphi }_{2} + \cdots + {a}_{n}{\varphi }_{n}
\]
对 \( f \) 的逼近,常常被称为线性逼近. 例如,代数多项式逼近、三角多项式逼近、插值逼近等. 这是线性逼近的一种, 而另一种是借助线性算子的逼近, 也即用来逼近函数的工具与函数的关系是线性的, 人们亦称它为线性逼近. 例如, 傅里叶和及由其产生的种种线性平均的逼近、插值多项式的逼近等. 除去上述两个方面的逼近, 人们常称之为非线性逼近. 例如, 有理逼近、 代数 (或三角) 多项式的最佳逼近算子等都是非线性的.
非线性逼近 (nonlinear approximation) 见“线性逼近”.
联合 (同时) 逼近 (simultaneous approximation) 同时逼近函数及其导数或用一个函数同时逼近多个函数的逼近. 同时逼近函数及其导数的问题是可解的. 设 \( f \in {C}_{2n} \) 有 \( r \) 阶连续导数,则有不高于 \( n \) 阶的三角多项式 \( {t}_{n}\left( x\right) \) ,使得
\[
\begin{Vmatrix}{{f}^{\left( j\right) }\left( x\right) - {t}_{n}^{\left( j\right) }\left( x\right) }\end{Vmatrix} \leq {C}_{r}{E}_{n}^{ * }\left( {f}^{\left( j\right) }\right)
\]
\[
\left( {j = 0,1,\cdots, r}\right) \text{.}
\]
同样,对 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,如果 \( f \) 有 \( r \) 阶连续导数,则有不高于 \( n \) 次的代数多项式 \( {P}_{n}\left( x\right) \) ,使得
\[
\left| {{f}^{\left( j\right) }\left( x\right) - {P}_{n}^{\left( j\right) }\left( x\right) }\right|
\]
\[
\leq {C}_{r}{\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}\right) }^{-j}\frac{1}{{n}^{j}}{E}_{n}\left( {f}^{\left( j\right) }\right)
\]
\[\left( {j = 0,1,\cdots, r; - 1 \leq x \leq 1}\right) ,\]
其中 \( {C}_{r} \) 是仅与 \( r \) 有关的正数. \( {E}_{n}\left( f\right) \left( {{E}_{n}^{ * }\left( f\right) }\right) \) 是 \( n \) 次 (阶) 代数 (三角) 多项式对 \( f \) 的最佳逼近值.
用一个函数同时逼近几个函数或一列函数的概念有多种提法. 对 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上的可测函数 \( f \) ,记
\[\parallel f{\parallel }_{p} = {\left\{ {\int }_{-1}^{1}{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right\} }^{\frac{1}{p}},\]
而使 \( \parallel f{\parallel }_{p} < + \infty \) 的函数全体记为 \( {L}^{p} \) ,这里 \( 0 < p \leq + \infty \) . 当 \( p = + \infty \) 时,常理解为 \( f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) , \( \parallel f{\parallel }_{\infty } = \parallel f\parallel \) . 设有 \( {L}^{p} \) 的一个子集 \( S \) ,对于 \( {L}^{p} \) 中的一列函数 \( {f}_{1},{f}_{2},\cdots \) 和一列数 \( {\lambda }_{j} \geq 0 \) ,满足条件:
\[\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j} = 1,\;\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j}{f}_{j} \in {L}^{p}.\]
如果存在 \( {s}^{ * } \in S \) 使得
\[\mathop{\sup }\limits_{j}{\begin{Vmatrix}{f}_{j} - {s}^{ * }\end{Vmatrix}}_{p} = \mathop{\inf }\limits_{{s \in S}}\mathop{\sup }\limits_{j}{\begin{Vmatrix}{f}_{j} - s\end{Vmatrix}}_{p}\]
或
\[{\begin{Vmatrix}\mathop{\sup }\limits_{j}\left| {f}_{j}\left( x\right) - {s}^{ * }\left( x\right) \right| \end{Vmatrix}}_{p}\]
\[ = \mathop{\inf }\limits_{{s \in S}}\parallel \mathop{\sup }\limits_{j}\left| {{f}_{j}\left( x\right) - s\left( x\right) }\right| {\parallel }_{p}\]
或
\[\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j}{\begin{Vmatrix}{f}_{j} - {s}^{ * }\end{Vmatrix}}_{p}^{p} = \mathop{\inf }\limits_{{s \in S}}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j}{\begin{Vmatrix}{f}_{j} - s\end{Vmatrix}}_{p}^{p}\]
或
\[{\begin{Vmatrix}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j}\left| {f}_{j}\left( x\right) - {s}^{ * }\left( x\right) \right| \end{Vmatrix}}_{p}\]
\[ = \mathop{\inf }\limits_{{s \in S}}{\begin{Vmatrix}\mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{\infty }{\lambda }_{j}\left| {f}_{j}\left( x\right) - s\left( x\right) \right| \end{Vmatrix}}_{p},\]
则称 \( {s}^{ * } \) 为相应定义下的 \( S \) 对 \( f \) 的最佳联合逼近元, 并称等式左边的值为相应意义下的最佳逼近值. 自然有一个 \( S \) 的取法,以及在 \( S \) 取定下的 \( {s}^{ * } \) 的存在性、惟一性及其特征等定性问题. 亦有由函数 \( {f}_{j}\left( x\right) \) 的性质来估计最佳逼近的定量问题.
最佳联合逼近元 (element of best simultaneous approximation) 见“联合 (同时) 逼近”.
有理逼近 (rational approximation) 有理函数对连续函数的逼近. 设 \( P\left( x\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式, \( Q\left( x\right) \) 是 \( m \) 次代数多项式,称 \( P\left( x\right) /Q\left( x\right) \) 为一个 \( \left( {n, m}\right) \) 阶有理函数,并记
\[
{R}_{m}^{n}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack = \left\{ {\frac{P}{Q} \mid \frac{P}{Q}}\right. \text{是}\left( {n, m}\right) \text{阶有理函数且不}
\]
\[
\text{可约,当}x \in \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \text{时}Q\left( x\right) > 0\} \text{.}
\]
若 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则存在惟一的 \( {r}_{nm}^{ * }\left( {f, x}\right) \in {R}_{m}^{n}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) , 使得
\[
\begin{Vmatrix}{f - {r}_{nm}^{ * }\left( f\right) }\end{Vmatrix} = \mathop{\inf }\limits_{{r \in {R}_{m}^{n}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack }}\parallel f - r\parallel ,
\]
称 \( {r}_{nm}^{ * }\left( f\right) \) 为函数 \( f \) 的 \( \left( {n, m}\right) \) 阶最佳逼近有理函数, 称 \( \begin{Vmatrix}{f - {r}_{nm}^{ * }\left( f\right) }\end{Vmatrix} \) 为 \( f \) 的 \( \left( {n, m}\right) \) 阶最佳有理逼近值.
最佳逼近有理函数 (best approximation rational function) 见“有理逼近”.
最佳有理逼近的特征 (character of best rational approximation) 函数的最佳有理逼近函数的特征定理. 设 \( {\pi }_{n} \) 为 \( \leq n \) 次代数多项式的全体,对于 \( {R}_{m}^{n}\lbrack a \) , \( b\rbrack \) 中的一个给定的元素 \( r \) (参见“有理逼近”),记
\[
{\pi }_{n} + r{\pi }_{m} = \left\{ {P + {rQ} \mid P \in {\pi }_{n}, Q \in {\pi }_{m}}\right\} .
\]
设 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,则 \( {r}_{nm}^{ * } \in {R}_{m}^{n}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 是 \( f \) 的 \( \left( {n, m}\right) \) 阶最佳逼近有理函数的充分必要条件是,没有 \( \varphi \in {\pi }_{n} + \) \( {r}_{nm}^{ * }{\pi }_{m} \) 能与 \( f\left( x\right) - {r}_{nm}^{ * }\left( x\right) \) 在集
\[
\left\{ {y\left| {\;\left| {f\left( y\right) - {r}_{nm}^{ * }\left( y\right) }\right| = \begin{Vmatrix}{f - {r}_{nm}^{ * }}\end{Vmatrix}}\right. }\right\}
\]
上具有相同的符号. 类似于代数多项式的逼近, 还有如下的交错定理:
\[
r = \frac{P}{Q} \in {R}_{m}^{n}\left\lbrack {a, b}\right\rbrack
\]
是 \( f \in C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的 \( \left( {n, m}\right) \) 阶最佳逼近有理函数的特征是: 在 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 上至少存在
\[
\mu = 2 + \max \{ n + \mathcal{D}Q, m + \mathcal{D}P\}
\]
个点 \( {x}_{k}\left( {k = 1,2,\cdots ,\mu }\right) \) ,
\[
a \leq {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{\mu } \leq b,
\]
使得
\[
\left| {f\left( {x}_{j}\right) - r\left( {x}_{j}\right) }\right| = \parallel f - r\parallel ,
\]
\[
f\left( {x}_{j + 1}\right) - f\left( {x}_{j}\right) = - \left( {f\left( {x}_{j}\right) - f\left( {x}_{j - 1}\right) }\right)
\]
\[
\left( {j = 1,2,\cdots ,\mu }\right) ,
\]
这里 \( \mathcal{D}P \) 表示代数多项式 \( P \) 的次数,并按常规规定 \( \mathcal{D}0 = - \infty \) .
有理逼近的阶 (order of rational approximation) 函数与其最佳逼近有理函数之间的偏差估计. 定义 \( {R}_{m}^{n} = {R}_{m}^{n}\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) (参见 “有理逼近”),对 \( f \in \) \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,记
\[
{R}_{n}\left( f\right) = \mathop{\min }\limits_{{r \in {R}_{n}^{n}}}\parallel f - r\parallel
\]
称 \( {R}_{n}\left( f\right) \) 为 \( f \) 的 \( n \) 阶最佳有理逼近值 (度). 显然, \( {R}_{n}\left( f\right) \leq {E}_{n}\left( f\right) \) ,这里 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式对 \( f \) 的最佳逼近. 已经发现对 \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 中的某些函数 \( f \) 有 \( {R}_{n}\left( f\right) < {E}_{n}\left( f\right) \) ,甚而
\[
\frac{{E}_{n}\left( f\right) }{{R}_{n}\left( f\right) } \rightarrow \infty \left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
但是在整个函数空间 \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 中,这种使得 \( {R}_{n}\left( f\right) \) \( < {E}_{n}\left( f\right) \) 的函数 \( f \) 却是很少的. 记
\[
E = \left\{ {f \mid f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack ,\lim \mathop{\sup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{R}_{n}\left( f\right) }{{E}_{n}\left( f\right) } = 1}\right\} ,
\]
则 \( E \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的一个剩余集一即某贝尔第一范畴集的余集. 与代数多项式逼近一样, 人们也研究逼近的正定理和逆定理.
纽曼定理 (Neuman theorem) 揭示有理逼近远远优于多项式逼近的定理. 1964 年, 纽曼 (Neu- \( \operatorname{man} \), D. J. ) 证明了如下的定理: 对 \( n \geq 5 \) ,存在 \( \left( {n, |
2000_数学辞海（第3卷） | 136 | }_{n}\left( f\right) \) 为 \( f \) 的 \( n \) 阶最佳有理逼近值 (度). 显然, \( {R}_{n}\left( f\right) \leq {E}_{n}\left( f\right) \) ,这里 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式对 \( f \) 的最佳逼近. 已经发现对 \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 中的某些函数 \( f \) 有 \( {R}_{n}\left( f\right) < {E}_{n}\left( f\right) \) ,甚而
\[
\frac{{E}_{n}\left( f\right) }{{R}_{n}\left( f\right) } \rightarrow \infty \left( {n \rightarrow \infty }\right) .
\]
但是在整个函数空间 \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 中,这种使得 \( {R}_{n}\left( f\right) \) \( < {E}_{n}\left( f\right) \) 的函数 \( f \) 却是很少的. 记
\[
E = \left\{ {f \mid f \in C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack ,\lim \mathop{\sup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{R}_{n}\left( f\right) }{{E}_{n}\left( f\right) } = 1}\right\} ,
\]
则 \( E \) 是 \( C\left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) 的一个剩余集一即某贝尔第一范畴集的余集. 与代数多项式逼近一样, 人们也研究逼近的正定理和逆定理.
纽曼定理 (Neuman theorem) 揭示有理逼近远远优于多项式逼近的定理. 1964 年, 纽曼 (Neu- \( \operatorname{man} \), D. J. ) 证明了如下的定理: 对 \( n \geq 5 \) ,存在 \( \left( {n, n}\right) \) 阶有理函数 (参见 “有理逼近”) \( {r}_{n}\left( x\right) \) ,使得
\[
\left| \right| x\left| {-{r}_{n}\left( x\right) }\right| \leq 3{\mathrm{e}}^{-\sqrt{n}}\;\left( {-1 \leq x \leq 1}\right) .
\]
因此, \( {R}_{n}\left( \left| x\right| \right) \leq 3{\mathrm{e}}^{-\sqrt{n}} \) . 但在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上 \( {E}_{n}\left( \left| x\right| \right) \) 的阶是 \( {n}^{-1} \) ,即存在与 \( n \) 无关的正数 \( C \) ,使得
\[
{C}^{-1}{n}^{-1} < {E}_{n}\left( \left| x\right| \right) < C{n}^{-1}.
\]
因此, \( {R}_{n}\left( \left| x\right| \right) \) 在 \( n \rightarrow \infty \) 时收敛于零的速度要比 \( {E}_{n}\left( \left| x\right| \right) \) 收敛于零的速度快得多. 循着纽曼的途径, 人们发现了许多 \( {E}_{n}\left( f\right) \) 与 \( {R}_{n}\left( f\right) \) 不同阶的函数 \( f \) . 弗洛伊德 (Freud, G. ) 指出,若在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上 \( f \in \operatorname{Lip}\alpha \) 并且有有界变差, 则
\[{R}_{n}\left( f\right) = O\left( \frac{{\log }^{2}n}{n}\right) .\]
波波夫 (Popov, V. A. ) 指出, 对导数的全变差小于 1 的绝对连续函数 \( f \) ,有 \( {R}_{n}\left( f\right) = O\left( {n}^{-2}\right) \) . 由此可以推出,若在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上 \( f \in \operatorname{Lip}1 \) ,则
\[n{R}_{n}\left( f\right) \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) ,\]
这原是纽曼于 20 世纪 60 年代提出的一个猜想.
单调有理逼近 (monotone rational approximation) 对于分段单调的函数用具有相同单调性质的有理函数的逼近. 例如,存在 \( \left( {n, n}\right) \) 阶有理偶函数 \( r\left( x\right) \) ,它在 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上单调增加,并且在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上有
\[\parallel \left| x\right| - r\left( x\right) \parallel = O\left( {\mathrm{e}}^{-\frac{\sqrt{n}}{3}}\right) .\]
如果 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上单调增加且属于 \( \operatorname{Lip}\alpha (0 < \alpha \) \( < 1) \) ,则存在 \( \left( {n, n}\right) \) 阶有理函数 \( r\left( x\right) \) ,使得
\[\parallel f\left( x\right) - r\left( x\right) \parallel \leq {C}_{a}\parallel f\parallel \frac{{\log }^{2}n}{n},\]
其中 \( {C}_{\alpha } \) 是仅与 \( \alpha \) 有关的正数.
多项式的倒数逼近 (approximation by re-cipocals of polynomials) 有理逼近的特殊情况. 设 \( f\left( x\right) \geq 0 \) 且 \( f \) 在 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上连续,则当 \( n \geq 1 \) 时,存在 \( n \) 次代数多项 \( {P}_{n}\left( x\right) \) ,使得
\[
\begin{Vmatrix}{f - \frac{1}{{P}_{n}}}\end{Vmatrix} \leq {C\omega }\left( {f,\frac{1}{n}}\right) ,
\]
这种逼近称为多项式的倒数逼近, 简称倒数逼近.
帕德逼近 (Padé approximation) 一种特殊的有理逼近. 设具有复系数的级数
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{c}_{k}{z}^{k}
\]
在原点的某个邻域内收敛,对正整数 \( m \) 和 \( n \) ,要求两个多项式
\[
{P}_{m}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{m}{p}_{k}{z}^{k},{Q}_{n}\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{q}_{k}{z}^{k},
\]
使得 \( {Q}_{n}\left( z\right) \neq 0 \) 且
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{j}{c}_{j - k}{q}_{k} = \left\{ \begin{array}{ll} {p}_{j} & \left( {j = 0,1,\cdots, m}\right) , \\ 0 & \left( {j = m + 1,\cdots, m + n}\right) . \end{array}\right.
\]
式中约定 \( k > n \) 时 \( {q}_{k} = 0 \) ,这样求出的 \( {P}_{m} \) 和 \( {Q}_{n} \) 虽然并不惟一, 但有理函数
\[
{R}_{mn}\left( z\right) = \frac{{P}_{m}\left( z\right) }{{Q}_{n}\left( z\right) }
\]
却是惟一的. 人们称 \( {R}_{mn}\left( z\right) \) 为 \( F\left( z\right) \) 的 \( \left( {m, n}\right) \) 级帕德
逼近 (近似),记为 \( \left\lbrack \frac{m}{n}\right\rbrack \) . 由 \( \left\lbrack \frac{m}{n}\right\rbrack \) 所形成的阵列
\[
{\left\{ \left\lbrack \frac{m}{n}\right\rbrack \right\} }_{m}^{\infty },\;n = 0
\]
称为帕德表. 帕德逼近已有多种算法, 但帕德逼近序列的收敛性问题的困难又引人关注. 一般地, 帕德表中的主对角线序列逼近性较好. 例如,设 \( \alpha > 0,\left\{ {n}_{k}\right\} \) 是一列正整数. 如果
\[
F\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{a}_{k}{z}^{k}
\]
在 \( {\Delta }_{k} = \{ z\left| \right| z \mid < k, k > 0\} \) 内全纯,且
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {\max {\left\{ \left| {a}_{j}\right| \mid {n}_{k} < j \leq 2{n}_{k}\right\} }^{\alpha /{n}_{k}}}\right) < + \infty ,
\]
则 \( F\left( z\right) \) 的帕德逼近序列 \( \left\{ \left\lbrack \frac{{n}_{k}}{{n}_{k}}\right\rbrack \right\} \) 在 \( {\Delta }_{k} \) 的每个紧子集 \( D \smallsetminus E \) 上一致收敛于 \( F\left( z\right) \left( {k \rightarrow \infty }\right) \) ,此处 \( E \) 是一个 \( \alpha \) 维豪斯多夫零测度集. 帕德逼近是法国数学家帕德 (Padé, H.)发现的.
帕德表 (Padé table) 见“帕德逼近”.
单调逼近 (monotone approximation) 用具有同样单调性质的多项式对有一定单调性的连续函数的逼近. 设有 \( s + 1 \) 个点
\[
{y}_{s + 1} = - 1 < {y}_{s} < \cdots < {y}_{2} < {y}_{1} = 1,
\]
\( Y \) 为这 \( s + 1 \) 个点所成之集. 记 \( \Delta \left( Y\right) = \{ f \mid f \in \) \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 并且在 \( \left\lbrack {{y}_{2j},{y}_{{2j} - 1}}\right\rbrack \) 上增加,在 \( \left\lbrack {{y}_{{2j} + 1},{y}_{2j}}\right\rbrack \) 上减小, \( j = 1,2,\cdots \} \) . 又记 \( {\pi }_{n}\left( Y\right) = {\pi }_{n} \cap \Delta \left( Y\right) \) . 这里 \( {\pi }_{n} \) 为 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上 \( \leq n \) 次代数多项式的全体,常称用 \( {\pi }_{n}\left( Y\right) \) 中的元素对 \( f \in \Delta \left( Y\right) \) 的逼近为单调逼近,也称共单调逼近或分段单调逼近. 记
\[
{\varepsilon }_{n}^{ * }\left( f\right) = \mathop{\inf }\limits_{{p \in {\pi }_{n}\left( Y\right) }}\parallel f - p\parallel ,
\]
则有 \( {\varepsilon }_{n}^{ * }\left( f\right) \leq {C}_{Y}{\omega }_{2}\left( {f,{n}^{-1}}\right) \) ,这里 \( {C}_{Y} > 0 \) 仅与 \( Y \) 有关. 但是, 这里二阶光滑模不能换作三阶光滑模, 事实上,存在这样的函数 \( f. \in \Delta \left( Y\right) \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{\varepsilon }_{n}\left( {f}_{ * }\right) }{{E}_{n}\left( {f}_{ * }\right) } = + \infty ,
\]
其中 \( {E}_{n}\left( {f}_{ * }\right) \) 是 \( n \) 次代数多项式对 \( {f}_{ * } \) 的最佳逼近值. 然而单调逼近特别在 \( s = 1 \) 的情况下较受人们关注. 有时人们说及单调逼近就是指这种情况.
对于单调逼近,也成立点态估计: 设 \( r \) 是正整数, \( f \in \Delta \left( Y\right) \) 有 \( r \) 阶连续导数,则当 \( n \geq r + 1 \) 时,有 \( p \in {\pi }_{n}\left( Y\right) \) ,使得
\[
\left| {f\left( x\right) - p\left( x\right) }\right|
\]
\[
\leq {B}_{Y, r}{\left( \frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{n}\right) }^{r}\omega \left( {{f}^{\left( r\right) },\frac{\sqrt{1 - {x}^{2}}}{n} + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) ,
\]
其中 \( {B}_{Y, r} > 0 \) 仅与 \( Y \) 及 \( r \) 有关.
共单调逼近 (comonotone approximation) 见 “单调逼近”.
逐段多项式逼近 (approximation by piecewise polynomials) 用分段多项式函数逼近连续函数. 记 \( S\left( {n, k}\right) \) 为 \( \left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) 上这样的连续函数,它在
\[
\left( {-1 + \frac{2j}{n}, - 1 + \frac{{2j} + 2}{n}}\right)
\]
中是 \( k \) 次多项式, \( j = 0,1,\cdots, n - 1 \) . 若 \( f \in \) \( C\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack \) ,则
\[
\mathop{\inf }\limits_{{s \in S\left( {n, k}\right) }}\parallel f\left( x\right) - s\left( x\right) \parallel \leq C{\omega }_{k}\left( {f,\frac{1}{n}}\right) ,
\]
其中 \( C > 0 \) 仅与 \( k \) 有关, \( {\omega }_{k}\left( {f,\delta }\right) \) 是 \( f \) 的 \( k \) 阶光滑模, 且有类似于三角多项式对周期函数逼近的理论.
强性逼近(strong approximation) 源于级数强性求和的一种逼近. 设 \( f \in {C}_{2\pi },{S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 为 \( f \) 的傅里叶级数的前 \( n + 1 \) 项之和. 20 世纪 60 年代,亚历克西茨 (Alexits, G. ) 首先考虑当 \( n \rightarrow \infty \) 时,量
\[
\begin{Vmatrix}{\left\{ \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}\right\} }^{\frac{1}{p}}\end{Vmatrix}
\]
的阶与 \( f\left( x\right) \) 的构造性之间的关系问题,此即所谓强性逼近问题. 一些结果表明, 某些逼近定理是可以强化的,例如对于 \( f \in \operatorname{Lip}\alpha \left( {0 < \alpha < 1}\right) \) ,则费耶尔和的逼近定理
\[\begin{Vmatrix}{\frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\left( {{S}_{k}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right) }\end{Vmatrix} = O\left( {n}^{-a}\right) \]
可以强化为
\[\begin{Vmatrix}{\frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}\left| {{S}_{k}\left( {f, x}\right) - f\left( x\right) }\right| }\end{Vmatrix} = O\left( {n}^{-\alpha }\right) .\]
瓦莱・普桑和的逼近定理可以强化为
\[\begin{Vmatrix}{\left\{ \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{{{2n} - 1}}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}\right\} }^{\frac{1}{p}}\end{Vmatrix} \leq {C}_{p}{E}_{n}^{ * }\left( f\right) ,\]
这里 \( p > 0,{C}_{p} \) 是仅与 \( p \) 有关的正数. \( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) \) 是 \( n \) 阶三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近值. 至于逆命题,则有: 对 \( p \geq 1 \) ,
\[
{E}_{2n}^{ * }\left( f\right) \leq \begin{Vmatrix}{\left\{ \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{{2n}}\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| \right\} }^{\frac{1}{p}}\end{Vmatrix}.
\]
而对 \( 0 < p < 1 \) ,则有仅与 \( p \) 有关的正数 \( {C}_{p} \) ,使得
\[
{\left( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) \right) }^{1 - 1/{p}^{2}}{\left( {E}_{2n}^{ * }\left( f\right) \right) }^{1/{p}^{2}}
\]
\[
\leq {C}_{p}\begin{Vmatrix}{\left\{ \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{{2n}}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}\right\} }^{\frac{1}{p}}\end{Vmatrix}.
\]
强性逼近的另一种问题是对于正数列 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) ,考虑
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\lambda }_{k}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}
\]
的收敛性与函数 \( f \) 的构造性之间的关系. 例如,当 \( p \) \( > 1 \) 时,由不等式
\[
\begin{Vmatrix}{\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}}\end{Vmatrix} < + \infty
\]
(1)
可推出 \( f \in \operatorname{Lip}\left( {1/p}\right) \) . 而当 \( 0 < p \leq 1 \) 时,如记 \( \left( {1/p}\right) \) \( = r + \alpha \) ,其中 \( r \geq 0 \ |
2000_数学辞海（第3卷） | 137 | x\right) \right| \right\} }^{\frac{1}{p}}\end{Vmatrix}.
\]
而对 \( 0 < p < 1 \) ,则有仅与 \( p \) 有关的正数 \( {C}_{p} \) ,使得
\[
{\left( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) \right) }^{1 - 1/{p}^{2}}{\left( {E}_{2n}^{ * }\left( f\right) \right) }^{1/{p}^{2}}
\]
\[
\leq {C}_{p}\begin{Vmatrix}{\left\{ \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{{2n}}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}\right\} }^{\frac{1}{p}}\end{Vmatrix}.
\]
强性逼近的另一种问题是对于正数列 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) ,考虑
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\lambda }_{k}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}
\]
的收敛性与函数 \( f \) 的构造性之间的关系. 例如,当 \( p \) \( > 1 \) 时,由不等式
\[
\begin{Vmatrix}{\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - f\left( x\right) \right| }^{p}}\end{Vmatrix} < + \infty
\]
(1)
可推出 \( f \in \operatorname{Lip}\left( {1/p}\right) \) . 而当 \( 0 < p \leq 1 \) 时,如记 \( \left( {1/p}\right) \) \( = r + \alpha \) ,其中 \( r \geq 0 \) 为整数, \( 0 \leq \alpha < 1 \) ,则当 \( 0 < \alpha < 1 \) 时,由不等式 (1) 可推出 \( {f}^{\left( r\right) } \in \operatorname{Lip}\alpha \) ; 当 \( \alpha = 0 \) 时,由不等式 (1) 可推出 \( {f}^{\left( r - 1\right) }\left( x\right) \) 是亚光滑函数,即有常数 \( C \) \( > 0 \) ,使得对一切 \( x \) 和 \( h \) 都有
\[
\left| {f\left( {x + h}\right) - {2f}\left( x\right) + f\left( {x - h}\right) }\right| \leq C\left| h\right| .
\]
闵茨逼近(Müntz approximation) 代数多项式逼近的一种发展. 设 \( \lambda = {\left\{ {\lambda }_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是一个实数列, \( 0 \leq x \leq 1 \) ,称 \( {\left\{ {x}^{{\lambda }_{n}}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 为一个闵茨系统. 又称其前 \( n \) 个元所作出的线性组合
\[
\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{a}_{k}{x}^{{\lambda }_{k}}
\]
为 \( n \) 阶闵茨多项式. 对于 \( f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,用闵茨多项式对 \( f \) 的逼近称为闵茨逼近. 如果 \( 0 = {\lambda }_{1} < {\lambda }_{2} < \cdots \) ,则闵茨系 \( {\left\{ {x}^{{\lambda }_{n}}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 的多项式全体在 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中稠密的充分必要条件是
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{\lambda }_{n}} = + \infty
\]
若记 \( n \) 阶闵茨多项式的全体为 \( {\pi }_{n}\left( \lambda \right) \) ,又记
\[
\varepsilon \left( {\lambda }_{n}\right) = \mathop{\max }\limits_{{\operatorname{Re}z = 1}}\left| {\frac{1}{z}\mathop{\prod }\limits_{{k = 1}}^{n}\frac{z - {\lambda }_{k}}{z + {\lambda }_{k}}}\right| ,
\]
式中 \( \operatorname{Re}z \) 为复数 \( z \) 的实部,则对任何 \( f \in C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,有
\[
\mathop{\inf }\limits_{{r \in {\pi }_{n}\left( \lambda \right) }}\parallel f\left( x\right) - r\left( x\right) \parallel \leq {C\omega }\left( {f,\varepsilon \left( {\lambda }_{n}\right) }\right) ,
\]
其中 \( C > 0 \) 为常数, \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 为 \( f \) 的连续性模.
闵茨系统 (Müntz system) 见“闵茨逼近”.
闵茨多项式(Müntz polynomial) 见“闵茨逼近”.
缺项多项式逼近 (approximation by lacunary polynomials ) 闵茨逼近的特殊情况. 设 \( {\left\{ {m}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \) 是正整数列的真子列,用函数系 \( \left\{ {1,{x}^{{m}_{1}},\cdots ,{x}^{{m}_{k}},\cdots }\right\} \) 的前 \( n \) 个元素的线性组合逼近连续函数,称为缺项多项式逼近.
有限阶整函数逼近 (approximation by entire functions of finite degree) 三角多项式逼近连续函数的拓广. 设 \( f\left( z\right) \) 是复平面上的解析函数,记
\[
M\left( r\right) = \mathop{\max }\limits_{{\left| z\right| = r}}\left| {f\left( z\right) }\right| .
\]
如果
\[
\mathop{\limsup }\limits_{{r \rightarrow + \infty }}\frac{\log M\left( r\right) }{r} = \sigma < + \infty ,
\]
那么称 \( f\left( z\right) \) 为 \( \sigma \) 阶数的整函数,即 \( f\left( z\right) \) 是指数型整函数, \( \sigma \) 为其指数. 如果此时将 \( f\left( z\right) \) 展开为幂级数
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{\infty }\frac{{a}_{k}}{k!}{z}^{k}
\]
则
\[
\mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\left| {a}_{n}\right| } = \sigma
\]
而且
\[
\mathop{\sup }\limits_{{-\infty < x < + \infty }}\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq \sigma \mathop{\sup }\limits_{{-\infty < x < + \infty }}\left| {f\left( x\right) }\right| .
\]
记 \( {B}_{\sigma } = \{ f \mid f \) 是指数 \( \leq \sigma \) 的指数型整函数 \( \} \) . 若 \( f\left( x\right) \) \( \in C\left( {-\infty , + \infty }\right) \) 并且有界,则称
\[
{A}_{\sigma }\left( f\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in {B}_{\sigma }}}\mathop{\sup }\limits_{{-\infty < x < + \infty }}\left| {f\left( x\right) - g\left( x\right) }\right|
\]
为 \( \sigma \) 阶整函数对 \( f \) 的最佳逼近值. 可以证明,存在常数 \( {C}_{r} > 0 \) ,对于任何在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 有 \( r \) 阶连续导数的函数 \( f\left( x\right) \) ,都有
\[{A}_{\sigma }\left( f\right) = \frac{{C}_{r}}{{\sigma }^{r}}{A}_{\sigma }\left( {f}^{\left( r\right) }\right) ,\]
而且
\[{A}_{\sigma }\left( f\right) \leq C{\omega }_{2}\left( {f,\frac{1}{\sigma }}\right) ,\]
这里 \( {\omega }_{2}\left( {f,\sigma }\right) \) 是 \( f\left( x\right) \) 在全实轴上的二阶光滑模.
阿希士尔-列维坦积分逼近 (approximation by Achieser-Levitan integrations) 逼近全实轴上连续函数的一种工具. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上的有界且连续的函数, \( r \geq 0,\sigma > 0 \) ,则称
\[{u}_{\sigma }\left( {f, r, x}\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{0}^{+\infty }\left\{ {f\left( {x + \frac{ru}{\sigma }}\right) }\right. \]
\[\left. {+f\left( {x - \frac{ru}{\sigma }}\right) }\right\} \frac{\cos {ru} - \cos \left( {r + 1}\right) u}{{u}^{2}}\mathrm{\;d}u\]
为 \( f \) 的阿希士尔-列维坦积分. 它是指数 \( \leq \left( {r + 1}\right) \sigma /r \) 的指数型整函数,而且若 \( f\left( x\right) \) 是在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上有界的且指数 \( \leq \sigma \) 的整函数,则 \( {u}_{\sigma }\left( {f, r, x}\right) \equiv f\left( x\right) \) . 若 \( f\left( x\right) \) 在 \( \left( {-\infty , + \infty }\right) \) 上有界连续,则用 \( {u}_{\sigma }\left( {f, r, x}\right) \) 对 \( f\left( x\right) \) 的逼近称为阿希士尔-列维坦积分的逼近; 此时还有
\[\mathop{\sup }\limits_{{-\infty < x < + \infty }}\left| {f\left( x\right) - {u}_{\sigma }\left( {f, r, x}\right) }\right| \leq {C}_{r}{A}_{\sigma }\left( f\right) ,\]
其中 \( {C}_{r} > 0 \) 仅与 \( r \) 有关, \( {A}_{\sigma }\left( f\right) \) 是 \( \sigma \) 阶整函数对 \( f \) 的最佳逼近值.
阿希士尔-列维坦积分 (Achieser -Levitan integration) 见“阿希士尔-列维坦积分逼近”.
函数类的逼近阶 (order of approximation of function class) 一类函数对另一函数类中的函数最佳逼近的上界. 设 \( \mathcal{R} \) 是 \( {C}_{2\pi } \) 的一个子集,称量
\[
{E}_{n}^{ * }\left( \mathcal{R}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{f \in \mathcal{R}}}{E}_{n}^{ * }\left( f\right)
\]
为集 \( \mathcal{R} \) 借助 \( n \) 阶三角多项式逼近的阶,这里 \( {E}_{n}^{ * }\left( f\right) \) 是 \( n \) 阶三角多项式对函数 \( f \) 的最佳逼近值. 一般地, 设 \( \mathcal{R} \) 和 \( {\mathcal{R}}^{\prime } \) 是某个度量空间的两个子集,对于此度量空间中的任一元素 \( f \) ,称
\[
{E}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}\left( f\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in {\mathcal{R}}^{\prime }}}\rho \left( {f, g}\right)
\]
为 \( f \) 借助集 \( {\mathcal{R}}^{\prime } \) 的元素逼近的最佳逼近值, \( \rho \left( {f, g}\right) \) 表示元素 \( f \) 与 \( g \) 之间的距离. 人们称
\[
{E}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}\left( \mathcal{R}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{f \in \mathcal{R}}}{E}_{{\mathcal{R}}^{\prime }}\left( f\right)
\]
为集 \( \mathcal{R} \) 借助集 \( {\mathcal{R}}^{\prime } \) 逼近的阶.
法瓦尔定理 (Favard theorem) 刻画可微函数类逼近阶的著名定理. 对于 \( p = 1,2,\cdots \) ,记 \( {W}_{p}^{ * } \) 为 \( {C}_{2\pi } \) 中有 \( p - 1 \) 阶绝对连续导数 \( {f}^{\left( p - 1\right) }\left( x\right) \) 且
\[
\left| {{f}^{\left( p\right) }\left( x\right) }\right| \leq 1
\]
几乎处处成立的函数 \( f\left( x\right) \) 的全体. 1937 年,法瓦尔 (Favard, J. A. ) 建立了如下的定理:
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( {W}_{p}^{ * }\right) = {K}_{p}\frac{1}{{n}^{p}}\left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
这里
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( {W}_{p}^{ * }\right) = \mathop{\sup }\limits_{{f \in {W}_{p}^{ * }}}{E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) ,
\]
\( {E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) \) 是 \( n - 1 \) 阶三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近值, 而
\[
{K}_{p} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{4}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\frac{1}{{\left( 2m + 1\right) }^{p + 1}} & \left( {p\text{ 是奇数 }}\right) , \\ \frac{4}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{{m = 0}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{m}}{{\left( 2m + 1\right) }^{p + 1}} & \left( {p\text{ 是偶数 }}\right) . \end{array}\right.
\]
此外,对每个 \( n \) 和 \( p = 1,2,\cdots \) ,都存在极函数 \( {f}_{np}\left( x\right) \) \( \in {W}_{p}^{ * } \) ,即 \( {E}_{n - 1}^{ * }\left( {f}_{np}\right) = {E}_{n - 1}^{ * }\left( {W}_{p}^{ * }\right) \) .
类 \( {\Lambda }_{\omega } \) 的逼近 (approximation of class \( {\Lambda }_{\omega } \) ) 连续性模不超过给定的连续性模的函数类的逼近. 设 \( \omega \left( \delta \right) \) 是一个给定的凹的连续性模. 记 \( {\Lambda }_{\omega } \) 为 \( {C}_{2\pi } \) 中连续性模 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \leq \omega \left( \delta \right) \) 的函数 \( f \) 的全体,这里 \( 0 \leq \delta \leq \pi \) , 则有
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( {\Lambda }_{\omega }\right) = \mathop{\max }\limits_{{f \in {\Lambda }_{\omega }}}{E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) = \frac{1}{2}\omega \left( \frac{\pi }{n}\right)
\]
\[
\left( {n = 1,2,\cdots }\right) \text{,}
\]
其中 \( {E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) \) 是 \( n - 1 \) 阶三角多项式对 \( f \) 的最佳逼近值. 对于非凹的连续性模, 上述结论未必成立. 但是存在常数 \( C > 0 \) ,使得
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( {\Lambda }_{\omega }\right) \leq {C\omega }\left( \frac{\pi }{n}\right) .
\]
1962 年, 高念祖克 (Kopheñuyk, H. Π. ) 证明: 对于所有的 \( f \in {C}_{2\pi } \) ,
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) \leq \omega \left( {f,\frac{\pi }{n}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
其中 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 是 \( f \) 的连续性模,而且若 \( M < 1 \) ,则
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) \leq {M\omega }\left( {f,\frac{\pi }{n}}\right)
\]
不能对于所有 \( f \in {C}_{2\pi } \) 及所有的 \( n = 1,2,\cdots \) 都成立.
宽度 (width) 描述一个函数类“宽狭”的数量特征. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 内关于原点对称的子集 (即当 \( x \in A \) 时, \( - x \in A \) ), \( {X}_{n} \) 是 \( X \) 的 \( n \) 维线性子空间. 对 \( x \in A \) ,称
\[
{E}_{{X}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\inf }\limits_{{u \in {X}_{n}}}\parallel x - u\parallel
\]
为 \( x \) 到 \( {X}_{n} \) 的距离或 \( {X}_{n} \) 对 \( x \) 的最佳逼近值. 又称
\[
\rho \left( {A,{X}_{n}}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}{E}_{{X}_{n}}\left( x\right)
\]
为 \( A \) 与 \( {X}_{n} \) 间的整体偏差. 人们称量
\[
{d}_{n}\left( A\right) = \mathop{\inf }\limits_{{X}_{n}}\rho \left( {A,{X}_{n}}\right)
\]
为 \( A \) 的 \( n \) 维宽度. 确切地说,是集 \( A \) 在空间 \( X \) 内的宽度. 因为当 \( X = {L}^{2} \) 时,它是 1935 年由柯尔莫哥洛夫 (Ko. InoropoB, A. H. |
2000_数学辞海（第3卷） | 138 | ft( {f,\frac{\pi }{n}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
其中 \( \omega \left( {f,\delta }\right) \) 是 \( f \) 的连续性模,而且若 \( M < 1 \) ,则
\[
{E}_{n - 1}^{ * }\left( f\right) \leq {M\omega }\left( {f,\frac{\pi }{n}}\right)
\]
不能对于所有 \( f \in {C}_{2\pi } \) 及所有的 \( n = 1,2,\cdots \) 都成立.
宽度 (width) 描述一个函数类“宽狭”的数量特征. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 内关于原点对称的子集 (即当 \( x \in A \) 时, \( - x \in A \) ), \( {X}_{n} \) 是 \( X \) 的 \( n \) 维线性子空间. 对 \( x \in A \) ,称
\[
{E}_{{X}_{n}}\left( x\right) = \mathop{\inf }\limits_{{u \in {X}_{n}}}\parallel x - u\parallel
\]
为 \( x \) 到 \( {X}_{n} \) 的距离或 \( {X}_{n} \) 对 \( x \) 的最佳逼近值. 又称
\[
\rho \left( {A,{X}_{n}}\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}{E}_{{X}_{n}}\left( x\right)
\]
为 \( A \) 与 \( {X}_{n} \) 间的整体偏差. 人们称量
\[
{d}_{n}\left( A\right) = \mathop{\inf }\limits_{{X}_{n}}\rho \left( {A,{X}_{n}}\right)
\]
为 \( A \) 的 \( n \) 维宽度. 确切地说,是集 \( A \) 在空间 \( X \) 内的宽度. 因为当 \( X = {L}^{2} \) 时,它是 1935 年由柯尔莫哥洛夫 (Ko. InoropoB, A. H. ) 首先提出的,所以也称 \( {d}_{n}\left( A\right) \) 为柯尔莫哥洛夫意义下的 \( n \) 维宽度. 上面定义 \( {d}_{n}\left( A\right) \) 时的下确界是对 \( X \) 的所有 \( n \) 维子空间取的. 倘若有一个 \( X \) 的 \( n \) 维子空间 \( {X}_{n}^{ * } \) 使得 \( \rho \left( {A,{X}_{n}^{ * }}\right) = {d}_{n}\left( A\right) \) , 则称 \( {X}_{n}^{ * } \) 为集 \( A \) 在空间 \( X \) 内的 \( n \) 维极子空间或 \( n \) 维最优子空间.
在函数逼近论中主要是计算 \( {d}_{n}\left( A\right) \) 或者估计 \( {d}_{n}\left( A\right) \) ,以及找出所有能使宽度 \( {d}_{n}\left( A\right) \) 实现的 \( n \) 维子空间 \( {X}_{n} \) . 这些问题的研究不但有其本身的理论价值, 而且也有其实际意义, 它将会引导人们找出更好的逼近方法. 另一方面, 不论用代数多项式逼近函数, 或者用三角多项式逼近周期函数, 抽象起来看, 都只不过是一种特殊的逼近方法. 人们自然可以去考虑寻找其他函数系来作为逼近工具, 于是寻找最优逼近工具即最优的逼近函数系的问题就应运而生. 这大致是宽度概念产生的背景. 宽度的系统研究始于 20 世纪 50 年代, 70 年代以来发展很快.
最优子空间 (optimal subspace) 实现整体偏差最小的子空间. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 内关于原点对称的子集 (即 \( x \in A \) 时, \( - x \in A),{X}_{n}^{ * } \) 是 \( X \) 的 \( n \) 维子空间. 如果
\[
\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}\mathop{\inf }\limits_{{u \in {X}_{n}^{ * }}}\parallel x - u\parallel = \mathop{\inf }\limits_{{X}_{n}}\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}\mathop{\inf }\limits_{{u \in {X}_{n}}}\parallel x - u\parallel ,
\]
则称 \( {X}_{n}^{ * } \) 为集 \( A \) 在空间 \( X \) 内的 \( n \) 维最优子空间,上式右边的下确界是对 \( X \) 的全部 \( n \) 维子空间取的 (参见“宽度”).
线性宽度(linear width) 用线性算子逼近代替最佳逼近的宽度. 设 \( A \) 是巴拿赫空间 \( X \) 的子集, \( {X}_{n} \) 是 \( X \) 的 \( n \) 维线性子空间, \( L \) 是 \( A \) 的线性包到 \( {X}_{n} \) 的有界线性算子. 称量
\[
{E}^{\prime }{}_{{X}_{n}}\left( A\right) = \mathop{\inf }\limits_{L}\mathop{\sup }\limits_{{x \in A}}\parallel x - L\left( x\right) \parallel
\]
为 \( A \) 在 \( X \) 内借助于 \( {X}_{n} \) 的最佳线性逼近值,又称
\[
{d}^{\prime }{}_{n}\left( A\right) = \mathop{\inf }\limits_{{X}_{n}}{E}^{\prime }{}_{{X}_{n}}\left( A\right)
\]
为 \( A \) 在 \( X \) 内的 \( n \) 维线性宽度. 若有 \( {X}_{n}^{ * } \) 使得
\[
{E}^{\prime }{}_{{X}_{n}^{ * }}\left( A\right) = {d}^{\prime }{}_{n}\left( A\right) ,
\]
则称 \( {X}_{n} \) 为 \( {d}_{n}^{\prime }\left( A\right) \) 的极子空间.
极子空间 (extremal subspace) 见 “线性宽度”.
熵(entropy) 刻画巴拿赫空间中紧集“大小”或 “粗细”的不变量之一. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( x \in X \) , \( \parallel x\parallel \) 表示 \( x \) 的范数, \( A \) 是 \( X \) 的紧子集, \( \varepsilon > 0 \) 是给定的正数. 如果 \( {U}_{1},{U}_{2},\cdots ,{U}_{n} \) 是 \( X \) 的一族子集,每个 \( {U}_{k} \) 的直径都不超过 \( {2\varepsilon } \) ,亦即
\[
\mathop{\sup }\limits_{{x, y \in {U}_{k}}}\parallel x - y\parallel \leq {2\varepsilon }\left( {k = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
而且
\[
A \subset \mathop{\bigcup }\limits_{{k = 1}}^{n}{U}_{k}
\]
那么称集族 \( {\left\{ {U}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 是 \( A \) 的一个 \( \varepsilon \) 覆盖. 对于给定的 \( \varepsilon \) \( > 0, A \) 的 \( \varepsilon \) 覆盖 \( {\left\{ {U}_{k}\right\} }_{k = 1}^{n} \) 中集 \( {U}_{k} \) 的个数 \( n \) 是与这个集族的选取有关的. 但 \( n \) 的最小值 \( {N}_{\varepsilon }\left( A\right) = \min n \) 却是一个仅与 \( \varepsilon \) 有关的关于集 \( A \) 的不变量. 即当 \( A \) 给定后, \( {N}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 是一个仅与 \( \varepsilon \) 有关的非负整数. 人们称数 \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) = \log {N}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 为集 \( A \) 的熵. 或者区别于概率论中的同名概念,称 \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 为集 \( A \) 的度量熵. 在函数逼近论中,人们关心的乃是当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时 \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 的渐近性态. 这里之所以不直接考察数 \( {N}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 而考察其对数 \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \) ,是因为一般地 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时, \( {N}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 急剧递增, 而且往往很大, 不便处理.
熵的概念还有另一种提法. 因为上面定义的度量熵 \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 在 \( \varepsilon > 0 \) 给定时,仅取决于紧集 \( A \) 本身 (倘若把 \( A \) 看做一个度量空间),而不依赖于包含 \( A \) 的大空间 \( X \) . 还有一种熵不仅取决于紧集 \( A \) ,亦与包含着 \( A \) 的大空间 \( X \) 有关,人们称它为 \( A \) 关于 \( X \) 的熵. 其定义如下: 仍设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 的紧子集, \( \varepsilon \) \( > 0 \) 是给定的正数,如果 \( X \) 中存在有限个点 \( {x}_{1},{x}_{2} \) , \( \cdots ,{x}_{p} \) ,使得对于每个点 \( x \in A \) ,都至少有 \( {x}_{k} \) 使得 \( \begin{Vmatrix}{x - {x}_{k}}\end{Vmatrix} \leq \varepsilon \) ,也即 \( x \) 与 \( {x}_{k} \) 的距离 \( \rho \left( {x,{x}_{k}}\right) \) 不超过 \( \varepsilon : \rho \left( {x,{x}_{k}}\right) \leq \varepsilon \) ,则称集 \( {\left\{ {x}_{k}\right\} }_{k = 1}^{p} \) 为 \( A \) 的一个 \( \varepsilon \) 网. 集 \( A \) 的 \( \varepsilon \) 网中点的个数 \( p \) 在 \( \varepsilon > 0 \) 给定后,自然与这些点的取法有关. 但是 \( p \) 的最小值 \( {P}_{\varepsilon }\left( A\right) = \min p \) 却是集 \( A \) 的一个不变量. 它当然与空间 \( X \) 有关,称数 \( {H}_{\varepsilon }^{X}\left( A\right) \) \( = \log {P}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 为 \( A \) 关于 \( X \) 的熵. \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 与 \( {H}_{\varepsilon }^{X}\left( A\right) \) 有一个简明的关系: 对于每于 \( \varepsilon > 0 \) 及 \( X \) 的每个紧子集 \( A,{H}_{\varepsilon }\left( A\right) \leq {H}_{\varepsilon }^{X}\left( A\right) \) .
熵在函数逼近论中的应用研究开始于 20 世纪 50 年代, 以后逐渐得到发展.
度量熵 (metric entropy) 见“熵”.
\( \varepsilon \) 覆盖 ( \( \varepsilon \) -covering) 见“熵”.
\( \varepsilon \) 网 ( \( \varepsilon \) -net) 见“熵”.
容量 (capacity) 刻画巴拿赫空间中紧集的“大小”或“粗细”的一个不变量. 设 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 的一个紧子集. \( \parallel x\parallel \) 是 \( x \in X \) 的范数,是给定的正数, \( {y}_{1},{y}_{2},\cdots ,{y}_{m} \) 是 \( A \) 中的 \( m \) 个点,如果它们中每两点之间的距离都超过 \( \varepsilon \) ,也即 \( i \neq k(i \) , \( k = 1,2,\cdots, m) \) 时 \( \rho \left( {{y}_{i},{y}_{k}}\right) = \begin{Vmatrix}{{y}_{i} - {y}_{k}}\end{Vmatrix} > \varepsilon \) ,则称点组 \( {\left\{ {y}_{k}\right\} }_{k = 1}^{m} \) 是 \( \varepsilon \) -分离的. 自然,对给定的 \( \varepsilon > 0,\varepsilon \) -分离的点组 \( {\left\{ {y}_{k}\right\} }_{k = 1}^{m} \) 的点的个数与这些点的取法有关. 但其最大值 \( {M}_{\varepsilon }\left( A\right) = \max m \) 却是集 \( A \) 的一个不变量, \( {C}_{\varepsilon }\left( A\right) = \log {M}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 称为 \( A \) 的容量. \( {C}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 关于 \( A \) 是单调递增的而关于 \( \varepsilon \) 则是单调递减的. 在函数逼近论中,主要是对一些函数类考虑其容量在 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时的渐近性态及其应用. 它开始于 20 世纪 50 年代.
容量与熵 (参见 “熵”) 之间有如下关系: 若 \( X \) 是巴拿赫空间, \( A \) 是 \( X \) 的紧子集,则对 \( \varepsilon > 0 \) 有不等式
\[
{C}_{2\varepsilon }\left( A\right) \leq {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \leq {H}_{\varepsilon }^{X}\left( A\right) \leq {C}_{\varepsilon }\left( A\right) ,
\]
其中 \( {C}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 是 \( A \) 的容量, \( {H}_{\varepsilon }\left( A\right) \) 是 \( A \) 的熵, \( {H}_{\varepsilon }^{X}\left( A\right) \) 是 \( A \) 关于 \( X \) 的熵.
## 复变函数逼近论
复变函数逼近论 (approximation theory of fun-tions of complex variable) 复平面集合上某个比较广泛的函数类中的函数被此集合上比较窄的函数类中的函数逼近的理论. 这里比较广泛的函数类是指连续函数类、解析函数类等, 比较窄的函数类是指多项式类、有理函数类等. 从 20 世纪的发展情况来看, 大致有如下四个方向:
1. 能否被逼近到任意预先给定的程度. 这里“逼近”一词有一致逼近、按区域面积平均逼近、按区域边界平均逼近, 以及加权逼近等不同的意义.
2. 定性问题, 即一个函数被比较窄的函数类中的一些子类 (例如 \( n \) 次多项式、 \( n \) 阶有理函数类等) 逼近时, 最小偏差函数的存在性、惟一性以及其特征性质等.
3. 定量问题, 若最小偏差函数存在, 则需讨论所能达到的逼近速度以及由此速度来研究被逼近函数的构造性质.
4. 制定一些算法, 以求逐步达到最小偏差函数; 此外, 还需研究这些算法本身的误差及收敛的速度.
复变函数逼近论既有广泛的实际背景例如数字滤波器的设计、保角映射的近似计算、某些软件的实现等, 也有其本身的理论问题. 由于复平面上点集的复杂性, 使得复变函数逼近会比实变函数逼近产生更多的难处, 但得到的结果也在某种意义下显得更深刻.
龙格定理 (Runge's theorem) 关于解析函数能否由有理函数逼近的定理. 如果 \( K \) 是复平面上的紧集,而 \( f\left( z\right) \) 在 \( K \) 上解析,那么对于任意正数 \( \varepsilon \) ,存在有理函数 \( R\left( z\right) \) ,其极点位于 \( K \) 的余集之中,且满足不等式 \( \left| {f\left( z\right) - R\left( z\right) }\right| < \varepsilon \left( {z \in K}\right) \) .
1885 年, 龙格 (Runge, C. D. T. ) 建立了这一定理, 它是复变函数逼近论方面最早的一般性定理.
PA 性质 (PA property) 区域的一种性质. 设 \( G \) 是复平面上的一个区域,如果多项式全体在 \( {L}^{2}\left( G\right) \) 中稠密,则称 \( G \) 具有 \( \mathrm{{PA}} \) 性质. 目前还没有一个刻画区域具有 PA 性质的很好的几何特征, 但以若尔当闭曲线为边界的有界单连通区域必具有 PA 性质.
伯恩斯坦引理 (Bernstein's lemma) 关于多项式模的增长的定理. 设 \( P \) 是 \( n \) 次多项式, \( C \) 是某个若尔当区域的边界曲线,若 \( z \in C \) 时 \( \left| {P\left( z\right) }\right| \leq 1 \) ,则 \( z \in {C}_{R} \) 时成立 \( \left| {P\left( z\right) }\right| \leq {R}^{n} \) ,其中 \( {C}_{R} \) 是 \( C \) 的外等势线, \( R > 1 \) .
梅尔捷良定理(Mergelyan's theorem) 关于多项式序列一致收敛的定理. 设 \( K \) 是复平面上的紧集且 \( K \) 的余集是连通集,若 \( f\left( z\right) \) 在 \( K \) 上连续,而在 \( K \) 的内点处解析,则对任意正数 \( \varepsilon \) ,存在多项式 \( P\left( z\right) \) ,使得 \( \left| {f\left( z\right) - P\left( z\right) }\right| < \varepsilon \left( {z \in K}\right) \) 成立. 1951 年,梅尔捷良 (Mepre.IAH, C. H. ) 建立了这一定理, 它是复变函数逼近论方面关于多项式逼近的最一般性的结果之一.
伯格曼核函数 (Bergman kernel function) \( {L}^{2}\left( G\right) \) 中的一个再生核. 设 \( G \) 是复平面上的一个区域, \( \xi \in G \) 是一个定点,因为对于任何 \( f\left( z\right) \in {L}^{2}\left( G\right) \) , \( f\left( \xi \right) \) 是一个有界线性泛函,所以存在惟一确定的 \( K\left( {z,\xi }\right) \in {L}^{2}\left( G\right) \) ,满足
\[
f\left( \xi \right) = {\iint }_{G}f\left( z\right) \overline{K\left( {z,\xi }\right) }\mathrm{d}{\sigma }_{z}.
\]
(1)
称 (1) 中的 \( K\left( {z,\xi }\right) \) 是从属于 \( G \) 的伯格曼核函数,它与极值问题
\[
\inf \left\{ {{\iint }_{G}{\left| f\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}{\sigma }_{z} \mid f\left( z\right) \in {L}^{2}\left( G\right), f\left( \xi \right) = 1}\right\}
\]
的解 \( {f}_{0}\left( z\right) \) 有如下关系:
\[
{f}_{0}\left( z\right) = \frac{K\left( {z,\xi }\right) }{K\left( {\xi ,\xi }\right) }, K\left( {z,\xi }\right) = \frac{{f}_{0}\left( z\right) }{{\iint }_{G}{\left| {f}_{0}\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}{\sigma }_{z}}.
\]
当 \( G \) 是异于全 (复) 平面 \( \mathrm{C} \) 的单连通区域时,它与 \( G \) 到单位圆盘的保角变换 \( F\left( z\right) \) 之间的关系为
\[
{F}^{\prime }\left( z\r |
2000_数学辞海（第3卷） | 139 | ght) \) 中的一个再生核. 设 \( G \) 是复平面上的一个区域, \( \xi \in G \) 是一个定点,因为对于任何 \( f\left( z\right) \in {L}^{2}\left( G\right) \) , \( f\left( \xi \right) \) 是一个有界线性泛函,所以存在惟一确定的 \( K\left( {z,\xi }\right) \in {L}^{2}\left( G\right) \) ,满足
\[
f\left( \xi \right) = {\iint }_{G}f\left( z\right) \overline{K\left( {z,\xi }\right) }\mathrm{d}{\sigma }_{z}.
\]
(1)
称 (1) 中的 \( K\left( {z,\xi }\right) \) 是从属于 \( G \) 的伯格曼核函数,它与极值问题
\[
\inf \left\{ {{\iint }_{G}{\left| f\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}{\sigma }_{z} \mid f\left( z\right) \in {L}^{2}\left( G\right), f\left( \xi \right) = 1}\right\}
\]
的解 \( {f}_{0}\left( z\right) \) 有如下关系:
\[
{f}_{0}\left( z\right) = \frac{K\left( {z,\xi }\right) }{K\left( {\xi ,\xi }\right) }, K\left( {z,\xi }\right) = \frac{{f}_{0}\left( z\right) }{{\iint }_{G}{\left| {f}_{0}\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}{\sigma }_{z}}.
\]
当 \( G \) 是异于全 (复) 平面 \( \mathrm{C} \) 的单连通区域时,它与 \( G \) 到单位圆盘的保角变换 \( F\left( z\right) \) 之间的关系为
\[
{F}^{\prime }\left( z\right) = \sqrt{\frac{\pi }{K\left( {\xi ,\xi }\right) }}K\left( {z,\xi }\right) .
\]
比伯巴赫多项式(Bieberbach polynomials) 一种极值多项式. 设 \( G \) 是若尔当区域, \( \xi \in G \) 是一个给定的点,所有满足 \( {P}_{n}\left( \xi \right) = 0,{P}_{n}^{\prime }\left( \xi \right) = 1 \) 的 \( n \) 次多项式中有惟一的多项式使得
\[
{\iint }_{G}{\left| {P}_{n}^{\prime }\left( z\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}{\sigma }_{z}
\]
达到最小,称此多项式为从属于 \( G \) 和 \( \xi \) 的比伯巴赫多项式.
赛格多项式(Szegö polynomials) 曲线上的正交多项式. 设 \( C \) 是可求长的若尔当闭曲线,若 \( n \) 次多项式
\[
{P}_{n}\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + {a}_{n - 1}{z}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}z + {a}_{0}
\]
满足 \( {a}_{n} > 0 \) ,且
\[
\frac{1}{\left| C\right| }{\int }_{C}{P}_{n}\left( z\right) \overline{{P}_{m}\left( z\right) }\left| {\mathrm{d}z}\right| = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \left( {n \neq m}\right) , \\ 1 & \left( {n = m}\right) , \end{array}\right.
\]
则称 \( {P}_{n}\left( z\right) \left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) \) 为从属于 \( C \) 的赛格多项式,其中 \( \left| C\right| \) 表示 \( C \) 的长度.
费伯多项式(Faber polynomials) 一种特殊多项式. 设 \( C \) 是复平面上的若尔当闭曲线, \( w = \Phi \left( z\right) \) 是将 \( C \) 外部映射到 \( \{ w\left| \right| w \mid > 1\} \) 且在 \( \infty \) 处规格化的保角映射,那么 \( {\left\lbrack \Phi \left( z\right) \right\rbrack }^{n} \) 在 \( \infty \) 处有洛朗展开式
\[
{\left\lbrack \Phi \left( z\right) \right\rbrack }^{n} = {a}_{n}{z}^{n} + {a}_{n - 1}{z}^{n - 1} + \cdots
\]
\[
+ {a}_{1}z + {a}_{0} + \mathop{\sum }\limits_{{k = - \infty }}^{{-1}}{a}_{k}{z}^{k}
\]
称其中的 \( n \) 次多项式
\[
{F}_{n}\left( z\right) = {a}_{n}{z}^{n} + {a}_{n - 1}{z}^{n - 1} + \cdots + {a}_{1}z + {a}_{0}
\]
为从属于 \( C \) 的费伯多项式. 它的另一定义形式为
\[
{F}_{n}\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{R}}\frac{{\left\lbrack \Phi \left( \xi \right) \right\rbrack }^{n}}{\xi - z}\mathrm{\;d}\xi ,
\]
其中 \( {C}_{R} \) 为 \( C \) 的外等势线, \( R > 1, z \) 位于 \( {C}_{R} \) 的内部.
费伯展开式(Faber expansion) 一种函数项级数. 设 \( C \) 是若尔当区域 \( G \) 的边界曲线, \( z = \Psi \left( w\right) \) 是将 \( \{ w\left| w\right| > 1\} \) 映射到 \( C \) 的外部且在 \( \infty \) 处规格化的保角映射, \( f\left( z\right) \) 在 \( G \) 内解析,在 \( \bar{G} \) 上连续,则称
\[
{a}_{n} = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\left| w\right| = 1}f\left\lbrack {\Psi \left( w\right) }\right\rbrack {w}^{-n - 1}\mathrm{\;d}w\;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right)
\]
为 \( f\left( z\right) \) 的费伯系数,而称 \( \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{F}_{n}\left( z\right) \) 为 \( f\left( z\right) \) 的费伯级数,其中 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 为 \( n \) 次费伯多项式. 而
\[
f\left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }{a}_{n}{F}_{n}\left( z\right) \;\left( {z \in D}\right)
\]
称为 \( f\left( z\right) \) 的费伯展开式,其中 \( D \) 是 \( \bar{G} \) 的子集.
费伯系数 (Faber coefficients) 见 “费伯展开式”.
费伯变换 (Faber transform) 亦称费伯算子, 一种特殊的线性映射. 设 \( G \) 是若尔当区域,其边界曲线 \( C \) 是若尔当可求长曲线, \( w = \Phi \left( z\right) \) 是将 \( C \) 的外部区域映射到闭的单位圆盘 \( \bar{D} = \{ w\left| \right| w \mid \leq 1\} \) 的外部的保角映射,且在 \( \infty \) 处规格化, \( z = \Psi \left( w\right) \) 是它的逆映射. 设 \( A\left( \bar{D}\right) = \{ f\left( w\right) \mid f\left( w\right) \) 在 \( D \) 内解析,在 \( \bar{D} \) 上连续 \( \}, A\left( \bar{G}\right) = \{ f\left( z\right) \mid f\left( z\right) \) 在 \( G \) 内解析,在 \( \bar{G} \) 上连续 \( \} \) . 称如下线性映射 \( T : A\left( \bar{D}\right) \rightarrow A\left( \bar{G}\right) \) ,
\[
\left( {Tf}\right) \left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{\mathrm{c}}\frac{f\left\lbrack {\Phi \left( \xi \right) }\right\rbrack }{\xi - z}\mathrm{\;d}\xi \;\left( {z \in G}\right)
\]
为费伯变换 (费伯算子),其中 \( f\left( w\right) \in A\left( \bar{D}\right) \) . 设
\[
{P}_{n}\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{w}^{k}
\]
那么
\[
\left( {T{P}_{n}}\right) \left( z\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{a}_{k}{F}_{k}\left( z\right) ,
\]
其中 \( {F}_{k}\left( z\right) \) 是 \( k \) 次费伯多项式. 费伯变换是单射. 当 \( C \) 是具有有界旋转的曲线时费伯变换 (费伯算子) 是有界的, 并称使得费伯变换 (费伯算子) 是有界的区域为费伯区域.
费伯算子(Faber operator) 即“费伯变换”.
费伯区域(Faber domain) 见“费伯变换”.
广义费伯多项式 (generalized Faber polynomial) 一种特殊多项式. 设 \( C \) 是复平面上的若尔当闭曲线, \( w = \Phi \left( z\right) \) 是将 \( C \) 的外部映射到 \( \{ w\left| w\right| > 1\} \) 且在 \( \infty \) 处规格化的保角映射, \( z = \Psi \left( w\right) \) 为其逆映射. 设函数
\[
g\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{c}_{n}}{{w}^{n}}\left( {{c}_{0} \neq 0}\right)
\]
是 \( \left| w\right| > 1 \) 上的解析函数,函数
\[
\frac{w{\Psi }^{\prime }\left( w\right) }{\Psi \left( w\right) - z}g\left( w\right)
\]
的洛朗展开式为
\[
\frac{w{\Psi }^{\prime }\left( w\right) }{\Psi \left( w\right) - z}g\left( w\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 0}}^{\infty }\frac{{\pi }_{n}\left( z\right) }{{w}^{n}},
\]
称其中的 \( n \) 次多项式
\[
{\pi }_{n}\left( z\right) = {c}_{0}{F}_{n}\left( z\right) + {c}_{1}{F}_{n - 1}\left( z\right) + \cdots + {c}_{n}{F}_{0}\left( z\right)
\]
为从属于 \( C \) 和权函数 \( g\left( w\right) \) 的广义费伯多项式,其中的 \( {F}_{n}\left( z\right) \) 是 \( n \) 次费伯多项式. 函数
\[
\frac{w{\Psi }^{\prime }\left( w\right) }{\Psi \left( w\right) - z}g\left( w\right)
\]
又被称为广义费伯多项式 \( {\pi }_{n}\left( z\right) \) 的生成函数 (或母函数). \( {\pi }_{n}\left( z\right) \) 的另一定义形式为
\[
{\pi }_{n}\left( z\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{{C}_{R}}\frac{{\left\lbrack \Phi \left( \xi \right) \right\rbrack }^{n}}{\xi - z}g\left\lbrack {\Phi \left( \xi \right) }\right\rbrack \mathrm{d}\xi ,
\]
其中 \( {C}_{R} \) 为 \( C \) 的外等势线, \( R > 1, z \) 位于 \( {C}_{R} \) 的内部.
贾德克核(Dzjadyk kernel) 一种多项式核. 该核是一个卷积核, 函数与它的卷积是一个多项式, 这种多项式对函数的逼近效果非常好. 它是类似于实逼近中杰克森核通过广义费伯多项式而构造出的一种多项式核, 其具体表达式相当复杂.
斯米尔诺夫区域(Smirnov domain) 一种与多项式系完备性相关的区域. 设 \( G \) 是有界单连通区域, 其边界曲线 \( C \) 是若尔当可求长曲线, \( z = \Psi \left( w\right) \) 是将 \( \left| w\right| < 1 \) 映射到 \( G \) 且在 \( w = 0 \) 点规格化的保角映射, \( w = \varphi \left( z\right) \) 为其逆映射,设 \( p > 0 \) ,
\( {E}^{p}\left( G\right) = \left\{ {f\left( z\right) \mid f\left( z\right) \text{ 在 }G}\right. \) 内解析,
\[
\left. {\mathop{\sup }\limits_{{0 < r < 1}}{\int }_{{C}_{r}}{\left| f\left( z\right) \right| }^{p}\left| {\mathrm{\;d}z}\right| < + \infty }\right\} ,
\]
其中 \( {C}_{r} \) 是 \( C \) 的内等势线. 若 \( \psi \left( w\right) \) 满足
\( \ln \left| {{\psi }^{\prime }\left( w\right) }\right| \)
\[
= \frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\ln \left| {{\psi }^{\prime }\left( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right) }\right| \frac{1 - {r}^{2}}{1 - {2r}\cos \left( {\varphi - \theta }\right) + {r}^{2}}\mathrm{\;d}\theta ,
\]
其中 \( w = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },0 \leq r < 1 \) ,则称 \( G \) 为斯米尔诺夫区域.
使多项式系在 \( {E}^{p}\left( G\right) \) 中完备的充分必要条件是, 区域 \( G \) 为斯米尔诺夫区域. 当 \( p = 2 \) 时,这个定理首先是由斯米尔诺夫 (CMMPHOB, B. II. ) 证明的, 后来克尔德什 (Keлдыш, M. B. ) 与拉夫连季耶夫 (JlaBpehtbeB, M. A. ) 把它推广到一般的 \( p > 0 \) .
埃尔米特插值公式 (Hermite interpolation formula）区域上解析函数的拉格朗日插值多项式的积分表示式. 设有界单连通区域 \( G \) 的边界曲线 \( C \) 是若尔当可求长的, \( f\left( z\right) \) 在 \( G \) 内解析,在 \( \bar{G} \) 上连续, \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \subset G \) 是插值节点,那么在 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 上插值 \( f\left( z\right) \) 的拉格朗日插值多项式
\[
{L}_{n}\left( {f, z}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}f\left( {z}_{k}\right) {l}_{k}\left( z\right) ,
\]
其中
\[
{l}_{k}\left( z\right) = \frac{{w}_{n}\left( z\right) }{{w}_{n}^{\prime }\left( {z}_{k}\right) \left( {z - {z}_{k}}\right) }\;\left( {k = 0,1,\cdots, n}\right) ,
\]
\[
{w}_{n}\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{k = 0}}^{n}\left( {z - {z}_{k}}\right) .
\]
\( {L}_{n}\left( {f, z}\right) \) 的积分表示式
\[
{L}_{n}\left( {f, z}\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{w}_{n}\left( \xi \right) - {w}_{n}\left( z\right) }{\xi - z}\frac{f\left( \xi \right) }{{w}_{n}\left( \xi \right) }\mathrm{d}\xi \left( {z \in G}\right)
\]
称为 \( f\left( z\right) \) 在 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 上的埃尔米特插值公式. 利用该公式可得到
\[
f\left( z\right) - {L}_{n}\left( {f, z}\right) = \frac{1}{{2\pi }\mathrm{i}}{\int }_{C}\frac{{w}_{n}\left( z\right) }{{w}_{n}\left( \xi \right) }\frac{f\left( \xi \right) }{\xi - z}\mathrm{\;d}\xi \left( {z \in G}\right) .
\]
一致分布 (uniform distribution) 插值节点的一种性质. 设 \( K \) 是复平面上的一个紧子集,其余集是单连通区域. 设
\[
z = \Psi \left( w\right) = {cw} + {c}_{0} + \frac{{c}_{1}}{w} + \cdots \left( {c > 0}\right)
\]
是将 \( \left| w\right| > 1 \) 映射到 \( K \) 的余集中且在 \( \infty \) 处规格化的保角映射. 设 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \subset K \) ,
\[{W}_{n}\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{k = 0}}^{n}\left( {z - {z}_{k}}\right) \]
\[{M}_{n} = \max \left\{ {\left| {{W}_{n}\left( z\right) }\right| \mid z \in K}\right\} ,\]
若
\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[{n + 1}]{{M}_{n}} = C\]
则称节点阵 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 在 \( K \) 上是一致分布的.
卡尔马-沃尔什定理 (Kalmar-Walsh theorem) 关于插值多项式收敛性的定理. 设 \( K \) 是复平面上的一个紧子集,其余集是一个单连通区域, \( f\left( z\right) \) 是 \( K \) 上的解析函数, \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \subset K,{L}_{n}\left( {f, z}\right) \) 是在 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 上插值 \( f\left( z\right) \) 的拉格朗日插值多项式. 该定理断言: 要使对任何在 \( K \) 上解析的函数 \( f\left( z\right) \) ,极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{L}_{n}\left( {f, z}\right) = f\left( z\right)
\]
在 |
2000_数学辞海（第3卷） | 140 | = {cw} + {c}_{0} + \frac{{c}_{1}}{w} + \cdots \left( {c > 0}\right)
\]
是将 \( \left| w\right| > 1 \) 映射到 \( K \) 的余集中且在 \( \infty \) 处规格化的保角映射. 设 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \subset K \) ,
\[{W}_{n}\left( z\right) = \mathop{\prod }\limits_{{k = 0}}^{n}\left( {z - {z}_{k}}\right) \]
\[{M}_{n} = \max \left\{ {\left| {{W}_{n}\left( z\right) }\right| \mid z \in K}\right\} ,\]
若
\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[{n + 1}]{{M}_{n}} = C\]
则称节点阵 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 在 \( K \) 上是一致分布的.
卡尔马-沃尔什定理 (Kalmar-Walsh theorem) 关于插值多项式收敛性的定理. 设 \( K \) 是复平面上的一个紧子集,其余集是一个单连通区域, \( f\left( z\right) \) 是 \( K \) 上的解析函数, \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \subset K,{L}_{n}\left( {f, z}\right) \) 是在 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 上插值 \( f\left( z\right) \) 的拉格朗日插值多项式. 该定理断言: 要使对任何在 \( K \) 上解析的函数 \( f\left( z\right) \) ,极限
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{L}_{n}\left( {f, z}\right) = f\left( z\right)
\]
在 \( K \) 上一致成立的充分必要条件是节点阵 \( {\left\{ {z}_{k}\right\} }_{k = 0}^{n} \) 在 \( K \) 上是一致分布的.
过收敛(over convergence) 描述多项式序列收敛性的一种现象. 已知其在一个给定的点集 \( C \) 上收敛得足够快的某些多项式序列,必在一个把 \( C \) 包含在内的点集上收敛, 这个现象就称为过收敛.
费耶尔节点 (Fejer node) 一种插值节点. 设 \( K \) 是复平面上的紧集,其边界曲线 \( C \) 是若尔当曲线或若尔当弧, \( z = \Psi \left( w\right) \) 是将 \( \left| w\right| > 1 \) 映射到 \( K \) 的余集且在 \( \infty \) 点规格化的保角映射,则称节点
\[
{z}_{k} = \Psi \left( {\mathrm{e}}^{{2\pi }\mathrm{i}\frac{k}{n + 1}}\right) \;\left( {k = 0,1,2,\cdots, n}\right)
\]
为 \( K \) 上的 \( n + 1 \) 个费耶尔节点. 它在 \( K \) 上是一致分布的.
费克特节点 (Fekete node) 一种插值节点. 设 \( K \) 是复平面上具有无穷多个点的紧集,若定义在 \( K \) 上的具有 \( n + 1 \) 个变量的连续函数
\[
f\left( {{z}_{0},{z}_{1},\cdots ,{z}_{n}}\right) = \mathop{\prod }\limits_{{j \neq k}}\left| {{z}_{j} - {z}_{k}}\right|
\]
必在 \( {\left\{ {z}_{k}^{\left( 0\right) }\right\} }_{k = 0}^{n} \subset K \) 上取到最大值,则称节点阵 \( {\left\{ {z}_{k}^{\left( 0\right) }\right\} }_{k = 0}^{n} \) 为 \( K \) 上的费克特节点阵. 它在 \( K \) 上是一致分布的.
阿尔佩尔条件(Al'per condition) 一种描述区域边界光滑性的条件. 设 \( G \) 是复平面上有界单连通区域,其边界曲线 \( C \) 是闭光滑曲线, \( \theta \left( s\right) \) 表示 \( C \) 上的点 \( s \) ( \( s \) 为 \( C \) 的弧长参数) 处切线与正实轴的夹角, \( \omega \left( {\theta, t}\right) \) 为 \( \theta \left( s\right) \) 的连续模,若 \( \omega \left( {\theta, t}\right) \) 满足
\[
{\int }_{0}^{\left| C\right| }\frac{\omega \left( {\theta, t}\right) }{t}\left| {\ln t}\right| \mathrm{d}t < + \infty ,
\]
则称 \( C \) 满足阿尔佩尔条件,其中 \( \left| C\right| \) 表示 \( C \) 的弧长. 它由阿尔佩尔 (A. Ibnep, C. S. 1. ) 给出.
## 抽象逼近
抽象逼近 (abstract approximation) 抽象空间中的逼近论问题. 在泛函分析的框架下, 应用巴拿赫空间几何、非线性分析等理论来讨论度量空间中某一子集的元素对某一确定的元素的逼近, 称为抽象逼近. 设 \( X \) 是距离空间,其元素 (或者称为点) \( x \) 与 \( y \) 之间的距离记为 \( \rho \left( {x, y}\right) \) . 设 \( G \) 是 \( X \) 的一个子集,称
\[
{\mathcal{E}}_{G}\left( x\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {x, g}\right)
\]
为 \( x \) 与 \( G \) 之间的距离,它自然标志着 \( G \) 对 \( x \) 的逼近程度,常称它为 \( G \) 对 \( x \) 的最佳逼近值,又称 \( G \) 为逼近集. 倘若 \( G \) 中有元素 \( {g}_{0} \) 使得 \( \rho \left( {x,{g}_{0}}\right) = {\mathcal{E}}_{G}\left( x\right) \) ,则称 \( {g}_{0} \) 为 \( x \) 在 \( G \) 中的最佳逼近元. 与实变函数逼近论中讨论问题相类似, 人们自然需要去估计最佳逼近值 \( {\mathcal{E}}_{G}\left( x\right) \) . 但通常仅限于对具体的 \( X \) 和 \( G \) 来进行这个工作. 而在一般的距离空间中, 人们研究的逼近理论主要还是定性问题. 这就是如下四方面的问题:
1. \( x \) 在 \( G \) 中的最佳逼近元的存在性问题. 也就是说,记 \( {P}_{G}x = \left\{ {g \mid \rho \left( {x, g}\right) = {\mathcal{E}}_{G}\left( x\right) }\right\} \) ,即 \( {P}_{G}x \) 是 \( x \) 在 \( G \) 中的最佳逼近元的全体, \( {P}_{G}x \) 是不是空集?
2. \( x \) 在 \( G \) 中的最佳逼近存在的话,是否惟一? 这就是常说的惟一性问题.
3. 最佳逼近元的特征刻画.
4. 如果将 \( {P}_{G} \) 看做 \( X \) 中元素 \( x \) 到 \( X \) 的子集 \( {P}_{G}x \) 的一个映射,那么一个重要的问题是集值映射 \( {P}_{G} \) 有些什么性质.
当 \( X \) 中给出一有界子集 \( F \) 时,经常讨论量
\[
{\mathcal{E}}_{G}\left( F\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in F}}{\mathcal{E}}_{G}\left( x\right) = \mathop{\sup }\limits_{{x \in F}}\mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {x, g}\right) ,
\]
它是集 \( G \) 对集 \( F \) 逼近状态的特征量,称为集 \( G \) 对集 \( F \) 的最佳逼近值. 倘若 \( X \) 中有一族集 \( \tau = {\left\{ {G}_{\alpha }\right\} }_{\alpha \in \Delta } \) ,每一个 \( {G}_{\alpha } \) 都可以对集 \( F \) 进行逼近,那么要在 \( \tau \) 中挑选一个最优的 \( {G}_{a} \) ,也即要找出 \( {G}_{a\left( F\right) } \) ,使得
\[
{\mathcal{E}}_{{G}_{\alpha \left( F\right) }}\left( F\right) = \mathop{\inf }\limits_{{{G}_{\alpha } \in \tau }}{\mathcal{E}}_{{G}_{\alpha }}\left( F\right) .
\]
作为逼近集 \( G \) ,有时取作 \( X \) 的线性子空间,这时的逼近称为线性逼近; 有时为 \( X \) 的凸集,则称为凸逼近. 例如实变函数逼近中的共单调逼近等都是凸逼近.
在巴拿赫空间中抽象逼近已有较丰富的成果, 而对非巴拿赫空间中的研究尚在发展中.
逼近集 (approximation set) 见“抽象逼近”.
凸逼近 (convex approximation) 见 “抽象逼近”.
太阳集 (sun set) 非线性逼近理论中的一个重要概念. 设 \( X \) 为巴拿赫空间, \( G \) 为 \( X \) 的子集. 如果对于任何 \( x \in X \) ,由 \( {g}_{0} \) 是 \( x \) 在 \( G \) 中的最佳逼近元可推出对任何 \( \alpha \geq 0,{g}_{0} \) 也是 \( {x}_{a} = {g}_{0} + \alpha \left( {x - {g}_{0}}\right) \) 在 \( G \) 中的最佳逼元,亦即对 \( x \in X \) ,由等式
\[
\rho \left( {x,{g}_{0}}\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {x, g}\right)
\]
成立可推出等式
\[
\rho \left( {{x}_{a},{g}_{0}}\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {{x}_{a}, g}\right)
\]
对任何 \( \alpha \geq 0 \) 也成立,则称 \( {g}_{0} \) 是 \( G \) 的太阳点. 若 \( G \) 中每个点都是 \( G \) 的太阳点,则称 \( G \) 为太阳集. 太阳集与凸集有如下关系:
## 1. 凸集必是太阳集.
2. 当 \( X \) 为光滑空间时,若 \( G \) 为 \( X \) 的一个太阳集,而且对任何 \( x \in X, x \) 在 \( G \) 中都有最佳逼近元,则 \( G \) 必为凸集. 这里 \( G \subset X \) 为凸集的含义是: 对于 \( G \) 中任何两点 \( f \) 和 \( g \) ,只要 \( \theta \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,都有 \( {\theta f} + \left( {1 - \theta }\right) g \) \( \in G.X \) 为光滑空间的含义是: \( X \) 是赋范线性空间,而且对于 \( X \) 中任一范数为 1 的点 \( x \) ,在 \( X \) 上存在惟一的范数为 1 的线性泛函 \( f \) 使得 \( f\left( x\right) = 1 \) .
太阳点 (sum point) 见“太阳集”.
切比雪夫集 (Chebyshev set) 每一被逼近元素都有惟一的最佳逼近元的逼近集. 设 \( X \) 是距离空间, \( G \subset X \) . 如果每一 \( x \in X \) 在 \( G \) 中的最佳逼近元都存在而且惟一,亦即对每一 \( x \in X \) ,有且仅有一个 \( {g}_{x} \in G \) , 使得
\[
\rho \left( {x,{g}_{x}}\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {x, g}\right) ,
\]
则称 \( G \) 为切比雪夫集,这里 \( \rho \left( {x, g}\right) \) 表示 \( x \) 与 \( g \) 之间的距离. 切比雪夫集与太阳集有如下关系:
1. 巴拿赫空间中有界紧的切比雪夫集是太阳集.
2. 局部一致凸巴拿赫空间中逼近紧切比雪夫集是太阳集. 这里局部一致凸巴拿赫空间 \( X \) 是指这样的巴拿赫空间 \( X \) : 对于 \( x \in X, x \) 的范数 \( \parallel x\parallel = 1 \) ,以及 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使得对于 \( y \in X,\parallel y\parallel = 1 \) 且
\[
\begin{Vmatrix}\frac{x + y}{2}\end{Vmatrix} > 1 - \delta
\]
时,有 \( \parallel x - y\parallel < \varepsilon \) . 距离空间 \( X \) 中的集 \( G \) 是 \( X \) 中的逼近紧切比雪夫集的含义是: \( G \) 是一个切比雪夫集, 而且对于 \( x \in X \) ,若有 \( {\left\{ {g}_{n}\right\} }_{n = 1}^{\infty } \subset G \) ,使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\rho \left( {x,{g}_{n}}\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {x, g}\right) ,
\]
则有 \( {g}_{0} \in G \) 使得
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\rho \left( {{g}_{n},{g}_{0}}\right) = 0.
\]
桐哈姆 (Dunham, C. B. ) 曾对 \( \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 上的连续的实函数空间 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) ,定义
\[
{g}_{a}\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2a}{1 + t/a} & \left( {a > 0}\right) , \\ 0 & \left( {a = 0}\right) . \end{array}\right.
\]
令 \( G = \left\{ {{g}_{a} \mid a \geq 0}\right\} \) ,则 \( G \) 是 \( C\left\lbrack {0,1}\right\rbrack \) 中的切比雪夫集, 而非太阳集. 因此巴拿赫空间中的切比雪夫集未必是太阳集.
几乎切比雪夫集 (almost Chebyshev set) 切比雪夫集的一种拓广. 设 \( G \) 是距离空间 \( X \) 中的闭子集, 记 \( {U}_{G} = \{ x \mid x \in X \) 且在 \( G \) 中有惟一的最佳逼近元 \( \} \) . 如果 \( X \smallsetminus {U}_{G} \) 为第一范畴集,则称 \( G \) 为几乎切比雪夫集. 斯捷奇金 (Creykин, C. E. ) 曾证明: 若 \( X \) 为一致凸的巴拿赫空间,则 \( X \) 中的闭集是几乎切比雪夫集. 一个赋范线性空间 \( X \) ,如果对于 \( \varepsilon > 0 \) ,
\[
\inf \left\{ {1 - \frac{1}{2}\parallel x + y\parallel \mid x, y \in X,\parallel x\parallel }\right.
\]
\[
= \parallel y\parallel = 1,\parallel x - y\parallel \geq \varepsilon \} > 0,
\]
则称 \( X \) 是一致凸的. 刘 (Lau, K. S. ) 证得: 若 \( X \) 为局部一致凸且自反的巴拿赫空间,则 \( X \) 中的闭集是几乎切比雪夫集. 局部一致凸的含义见“切比雪夫集”.
克利猜测 (Klee conjecture) 关于切比雪夫集是凸集的猜测. 设 \( X \) 是希尔伯特空间. 1961 年,克利 (Klee, V. L.) 曾猜测 \( X \) 中的切比雪夫集必为凸集. 当 \( X \) 的维数有限时,这个猜测是成立的; 当 \( X \) 是无穷维空间时, 约翰逊 (Johnson, G. G. ) 已在一般的内积空间中作出非凸的切比雪夫集. 然而对于希尔伯特空间, 这个猜测成立与否, 尚属未知.
柯尔莫哥洛夫特征 (Kolmogorov character) 最佳逼近元的一种特征刻画. 设 \( X \) 是巴拿赫空间. \( {B}^{ * } \) 是定义在 \( X \) 上的范数不超过 1 的线性泛函的全体. 记ext \( {B}^{ * } = \left\{ {f \mid f \in {B}^{ * }}\right. \) ,若 \( {f}_{1},{f}_{2} \in {B}^{ * } \) 及 \( \alpha \in (0 \) , 1) 使得 \( f = \alpha {f}_{1} + \left( {1 - \alpha }\right) {f}_{2} \) ,则 \( \left. {{f}_{1} = {f}_{2} = f}\right\} \) .
设 \( G \subset X \) 是 \( X \) 的线性子空间,则用 \( G \) 作为逼近集时, 关于最佳逼近元有如下的柯尔莫哥洛夫特征刻画: 设 \( x \in X,{g}_{0} \) 是 \( x \) 在 \( G \) 中的最佳逼近元,即
\[
\rho \left( {x,{g}_{0}}\right) = \mathop{\inf }\limits_{{g \in G}}\rho \left( {x, g}\right) ,
\]
其充分必要条件是存在 \( f \in \operatorname{ext}{B}^{ * } \) ,使得 \( f\left( {x - {g}_{0}}\right) \) \( = \begin{Vmatrix}{x - {g}_{0}}\end{Vmatrix} \) ,且 \( \operatorname{Re}f\left( {{g}_{0} - g}\right) \geq 0\left( {g \in G}\right) \) . 这里 \( \parallel \cdot \parallel \) 表示 \( X \) 中的范数, \( \operatorname{Re}z \) 是数 \( z \) 的实部,
\[
\rho \left( {x, g}\right) = \parallel x - g\parallel .
\]
倘若 \( G \) 不是 \( X \) 的线性子空间,则上述结论未必成立. 白罗索夫斯基 (Brosowski, B. ) 曾证明: 对于巴拿赫空间 \( X \) 的子集 \( G \) ,上述柯尔莫哥洛夫特征刻画成立的充分必要条件是 \( G \) 为太阳集.
撰 稿 朱来义 苏维宜 周颂平 徐士英 谢庭藩
审 阅 陈文忠 徐利治 谢庭藩
## 调 和 分 析
调和分析 (harmonic analysis) 亦称傅里叶分析. 原先是研究函数及其傅里叶级数 (或变换) 的一门学科, 它与许多学科互相渗透而发展起来. 现代调和分析内容相当丰富, 它与偏微分方程论、复变函数论、概率论、代数及拓扑等许多数学分支都有密切联系. 它也是工程技术、经典物理及量子力学等学科中的重要工具.
经典调和分析, 通常也叫傅里叶分析, 其主要内容是傅里叶级数和傅里叶积分的理论与应用. 函数的三角傅里叶级数展开是将复杂的函数分解为正弦与余弦函数的叠加, 调和分析一词即由此而来. 单变元调和分析的理论经过一百多年的发展已经日臻完善, 人们已逐渐转到对多变元以及群上的调和分析理论的研究.
把函数关于一个非三角的正交函数系展开的理论和方法称为非三角傅里叶分析. 例如沃尔什分析 (参见《函数逼近论》). 这方面的研究同三角傅里叶分析平行, 不仅有重要的理论意义, 也有重要的实用价值.
在经典调和分析理论的建立和发展的基础上, 具有代数、拓扑结构的抽象集合上, 根据经典调和分析的思想方法, 也建立了相应的调和分析理论, 形成一个重要的分支, 称为抽象调和分析. 例如典型群、 李群、阿贝尔群上的调和分析以及局部域上的调和分析等.
由于偏微分方程、非线性分析等其他领域发展的需要, 现代调和分析用它独特的观点和方法对函数进行了分类处理, 导致各种函数空间的专门理论, 如哈代空间、索伯列夫和别索夫空间的理论等. 其次, 由于与傅里叶展开有关算子的理论和应用的进一步发展, 导致各种算子的理论. 特别是建立了李特尔伍德-佩利理论和考尔德伦-赞格蒙算子理论. 古典一元的李特尔伍德-佩利理论是从 1930 年至 1939 年期间由李特尔伍德 (Littlewood, J. E. )、佩利 (Paley, R. E. A. C. )、赞格蒙 (Zygm |
2000_数学辞海（第3卷） | 141 | x - g\parallel .
\]
倘若 \( G \) 不是 \( X \) 的线性子空间,则上述结论未必成立. 白罗索夫斯基 (Brosowski, B. ) 曾证明: 对于巴拿赫空间 \( X \) 的子集 \( G \) ,上述柯尔莫哥洛夫特征刻画成立的充分必要条件是 \( G \) 为太阳集.
撰 稿 朱来义 苏维宜 周颂平 徐士英 谢庭藩
审 阅 陈文忠 徐利治 谢庭藩
## 调 和 分 析
调和分析 (harmonic analysis) 亦称傅里叶分析. 原先是研究函数及其傅里叶级数 (或变换) 的一门学科, 它与许多学科互相渗透而发展起来. 现代调和分析内容相当丰富, 它与偏微分方程论、复变函数论、概率论、代数及拓扑等许多数学分支都有密切联系. 它也是工程技术、经典物理及量子力学等学科中的重要工具.
经典调和分析, 通常也叫傅里叶分析, 其主要内容是傅里叶级数和傅里叶积分的理论与应用. 函数的三角傅里叶级数展开是将复杂的函数分解为正弦与余弦函数的叠加, 调和分析一词即由此而来. 单变元调和分析的理论经过一百多年的发展已经日臻完善, 人们已逐渐转到对多变元以及群上的调和分析理论的研究.
把函数关于一个非三角的正交函数系展开的理论和方法称为非三角傅里叶分析. 例如沃尔什分析 (参见《函数逼近论》). 这方面的研究同三角傅里叶分析平行, 不仅有重要的理论意义, 也有重要的实用价值.
在经典调和分析理论的建立和发展的基础上, 具有代数、拓扑结构的抽象集合上, 根据经典调和分析的思想方法, 也建立了相应的调和分析理论, 形成一个重要的分支, 称为抽象调和分析. 例如典型群、 李群、阿贝尔群上的调和分析以及局部域上的调和分析等.
由于偏微分方程、非线性分析等其他领域发展的需要, 现代调和分析用它独特的观点和方法对函数进行了分类处理, 导致各种函数空间的专门理论, 如哈代空间、索伯列夫和别索夫空间的理论等. 其次, 由于与傅里叶展开有关算子的理论和应用的进一步发展, 导致各种算子的理论. 特别是建立了李特尔伍德-佩利理论和考尔德伦-赞格蒙算子理论. 古典一元的李特尔伍德-佩利理论是从 1930 年至 1939 年期间由李特尔伍德 (Littlewood, J. E. )、佩利 (Paley, R. E. A. C. )、赞格蒙 (Zygmund, A. ) 及马钦凯维奇 (Marcinkiewicz, J. ) 等人完成的. 多元的李特尔伍德-佩利理论则是于 1958 年由施坦 (Stein, E. M. ) 建立的. 还有奇异积分算子理论. 考尔德伦 (Calderón, A. -P. ) 和赞格蒙于 1952 年为研究常系数偏微分方程引进了卷积型的奇异积分算子, 亦称第一代奇异积分算子. 他们又在 1956 年为研究变系数偏微分方程而引进了带可变核的奇异积分算子, 亦称第二代奇异积分算子. 1978 年, 科伊夫曼 (Coif-man, R. R. ) 和梅耶 (Meyer, R. ) 提出了非卷积型的奇异积分算子, 亦称第三代奇异积分算子. 到此, 实质上已经建立了整个考尔德伦-赞格蒙算子理论的基本框架. 应当指出, 李特尔伍德-佩利理论和考尔德伦-赞格蒙算子理论不仅在现代调和分析的研究中有着基本的重要性, 而且它们也是建立 “小波分析”(新兴学科)的理论基础.
傅里叶分析 (Fourier analysis) 即调和分析. 因傅里叶 (Fourier, J. -B. -J. ) 开创了将函数用三角级数展开的方法而有此名. 有时特指有关傅里叶级数和傅里叶积分的理论与应用.
经典调和分析 (classical harmonic analysis) 见“调和分析”.
非三角傅里叶分析 (nontrigonometric Fourier analysis) 函数关于非三角的正交函数系展开的理论, 包括: 正交函数系和正交多项式的一般理论, 函数关于特殊正交函数系的傅里叶级数展开, 一般的正交函数级数的理论等, 例如关于沃尔什函数系展开, 关于勒让德多项式系的展开等.
## 一元傅里叶分析
傅里叶级数 (Fourier series) 一类特殊的三角级数. 设 \( f \) 是在 \( {T}^{n} = \left\{ {x = \left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid - \pi \leq {x}_{j}}\right. \) \( < \pi, j = 1,2,\cdots, n\} \) 上勒贝格可积,对每个变元都以 \( {2\pi } \) 为周期的实值函数 (函数取实值的限制不是本质的). 定义
\[
{c}_{m} = {c}_{m}\left( f\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{n}}{\int }_{{T}^{n}}f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}m \cdot x}\mathrm{\;d}x
\]
为 \( f \) 的傅里叶系数,这里 \( m = \left( {{m}_{1},{m}_{2},\cdots ,{m}_{n}}\right) \) 是 \( n \) 元整点,其全体记为 \( {\mathbf{Z}}^{n}, m \cdot x = {m}_{1}{x}_{1} + {m}_{2}{x}_{2} + \cdots \) \( + {m}_{n}{x}_{n} \) . 三角级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}
\]
( * )
称为 \( f \) 的傅里叶级数,用 \( \sigma \left( f\right) \) 表示. 当 \( n \geq 2 \) 时,常称 \( \sigma \left( f\right) \) 为多重傅里叶级数. 在单变元的情形 (n \( = 1 \) ),常把 \( \sigma \left( f\right) \) 写成下述实形式
\[
\sigma \left( f\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right) ,
\]
其中
\[
{a}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( t\right) \cos {kt}\mathrm{\;d}t\left( {k = 0,1,2,\cdots }\right) ,
\]
\[
{b}_{k} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( t\right) \sin {kt}\mathrm{\;d}t\left( {k = 1,2,\cdots }\right) ,
\]
\( {a}_{k} \) 和 \( {b}_{k} \) 分别称为 \( f \) 的余弦和正弦傅里叶系数.
重排函数 (rearrangement function) 与可测函数等分布的单调函数. 设 \( f\left( x\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的可测函数. 对 \( \alpha > 0 \) ,称 \( {\lambda }_{f}\left( \alpha \right) = m\left( \left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{n}\left| \right| f\left( x\right) \mid > \alpha }\right\} \right) \) 为 \( f \) 的分布函数. 对 \( t > 0 \) ,称 \( {f}^{ * }\left( t\right) = \inf \left\{ {\alpha \mid {\lambda }_{f}\left( \alpha \right) \leq t}\right\} \) 为 \( f \) 的重排函数,它在 \( \left( {0, + \infty }\right) \) 上是非增的右连续函数, 且与 \( f\left( x\right) \) 具有相同的分布函数.
洛伦兹空间 (Lorentz spaces) \( {L}^{p} \) 空间的一种推广. 洛伦兹空间 \( L\left( {p, q}\right) (1 \leq p < + \infty \) , \( 1 \leq q < + \infty \) ) 定义为
\[
{L}^{p, q} = \{ f\text{ 可测 } \mid \parallel f{\parallel }_{p, q} < + \infty \} ,
\]
其中
\[
\parallel f{\parallel }_{p, q} = {\left( \frac{q}{p}{\int }_{0}^{+\infty }{\left\lbrack {t}^{1/p}{f}^{ * }\left( t\right) \right\rbrack }^{q}\frac{\mathrm{d}t}{t}\right) }^{1/q},
\]
\( {f}^{ * } \) 为 \( f \) 的重排 (参见 “重排函数”),当 \( q = + \infty \) 时,洛伦兹空间定义为 \( {L}^{p,\infty } = \{ f \) 可测 \( \parallel f{\parallel }_{p, + \infty } \) \( < + \infty \} \) ,其中
\[
\parallel f{\parallel }_{p, + \infty } = \mathop{\sup }\limits_{{t > 0}}{t}^{1/p}{f}^{ * }\left( t\right) \;\left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) .
\]
洛伦兹空间 \( {L}^{p, q} \) 同 \( {L}^{p} \) 的关系是 \( {L}^{p, p} = {L}^{p} \) ,以及
\[
{L}^{p, q} \supset {L}^{p}\;\left( {q > p}\right) .
\]
洛伦兹空间在调和分析中的重要作用在于: 首先,在某种意义下,它是勒贝格空间 \( {L}^{p} \) 的有效的替代空间. 某些算子, 如哈代-李特尔伍德极大算子, 不是 \( {L}^{1} \) 到 \( {L}^{1} \) 有界的,但却是 \( {L}^{1} \) 到 \( {L}^{1,\infty } \) 有界的. \( {L}^{1,\infty } \) (也称弱 \( {L}^{1} \) 空间) 便是一类洛伦兹空间. 其次,它也是 \( {L}^{p} \) 空间的一种插值空间. 例如,如果线性算子 \( T \) 是 \( {L}^{p} \rightarrow {L}^{q} \) 有界,且是 \( {L}^{1} \) 到 \( {L}^{1,\infty } \) 有界,那么 \( T \) 也是 \( {L}^{r} \) 到 \( {L}^{s, t} \) 有界的,其中
\[
\frac{1}{r} = \theta + \frac{1 - \theta }{p}
\]
\[
\frac{1}{s} = \theta + \frac{1 - \theta }{q}\;\left( {0 < \theta < 1}\right) ,
\]
\[
\frac{1}{t} = \frac{1 - \theta }{q}
\]
这里 \( {L}^{s, t} \) 便是洛伦兹空间. 最后,借助于洛伦兹空间还可导出一类弱哈代空间, 而这类空间在研究算子的尖锐性问题中有重要作用.
卷积 (convolution) 分析数学的一种重要运算. 设 \( f \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), g \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) \) ,称
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}f\left( {x - y}\right) g\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
为 \( f \) 与 \( g \) 的卷积,记为 \( f * g \) . 可证 \( f * g \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 若 \( f, g \in {L}^{1}\left( {T}^{n}\right) \) ,则称
\[
{\int }_{{T}^{n}}f\left( {x - y}\right) g\left( y\right) \mathrm{d}y
\]
为 \( f \) 与 \( g \) 的卷积,也记为 \( f * g \) . 易证 \( f * g \) \( \in {L}^{1}\left( {T}^{n}\right) \) . 卷积与傅里叶级数 (积分) 有密切关系,两个函数的卷积的傅里叶系数 (变换) 等于各自傅里叶系数 (变换) 的乘积.
恒等逼近 (approximations of the identity) 逼近于恒等算子的一类带伸缩参数的卷积算子序列. 设 \( K \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,{K}_{\varepsilon }\left( x\right) = {\varepsilon }^{-n}K\left( {x/\varepsilon }\right) \) ,及 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) (1 \) \( \leq p < + \infty ) \) ,所谓恒等逼近问题就是寻找核 \( K \) 所满足的条件,致使在此条件下,成立 \( {K}_{\varepsilon } * f \rightarrow f \) ,当 \( \varepsilon \) \( \rightarrow 0 + \) ,其中收敛是按 \( {L}^{p} \) 范数或几乎处处,或其他确定意义下的. 如果恒等逼近问题的结论成立,则 \( K \) 称为恒等逼近核.
傅里叶系数 (Fourier coefficient) 见 “傅里叶级数”.
余弦傅里叶系数 (cosine Fourier coefficient) 见“傅里叶级数”.
正弦傅里叶系数 (sine Fourier coefficient) 见 “傅里叶级数”.
狄利克雷核(Dirichlet kernel) 一类由三角函数表示的积分核. 三角多项式
\[
{D}_{k}\left( x\right) = \frac{1}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{k}\cos {jx} = \frac{\sin \left( {k + \frac{1}{2}}\right) x}{2\sin \frac{x}{2}}
\]
称为狄利克雷核. 多变元的情形有类似的定义. 为简明起见, 本条及以下各条若不特别说明, 均只对单变元情形进行叙述. 把 \( f \) 的傅里叶级数的前 \( n + 1 \) 项的和记为 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) ,称为 \( \sigma \left( f\right) \) 的第 \( n \) 部分和,简称 \( f \) 的傅里叶部分和. 容易算出
\[
{S}_{n}\left( {f, x}\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {x - t}\right) {D}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t.
\]
于是, \( f \) 能否展成傅里叶级数,就归结为 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 当 \( n \rightarrow \infty \) 时的收敛性问题.
傅里叶部分和 (Fourier partial sum) 见“狄利克雷核”.
勒贝格常数(Lebesgue constant) 狄利克雷核绝对值的积分平均. 积分
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left| {{D}_{n}\left( {x - t}\right) }\right| \mathrm{d}t = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left| {{D}_{n}\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t
\]
\[
\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right)
\]
与变量 \( x \) 无关,称为三角函数系的第 \( n \) 个勒贝格常数,记为 \( {L}_{n} \) ,可算出
\[
{L}_{n} = \frac{4}{{\pi }^{2}}\log \left( {n + 1}\right) + o\left( 1\right) .
\]
勒贝格常数在研究函数的傅里叶部分和收敛问题及其逼近度中起着重要作用.
局部化原理 (localized principle) 傅里叶部分和收敛的一个特征. 可积函数 \( f \) 的傅里叶部分和 \( {S}_{n}\left( {f, x}\right) \) 在一点 \( x \) 处的收敛性态只依赖于 \( f \) 在该点附近的性状, 这一原理称为黎曼局部化原理. 确切地说,若可积函数 \( f \) 在 \( {x}_{0} \) 的一个邻域 \( \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right) \) \( \left( {\delta > 0\text{可任意小}}\right) \) 上恒为零,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{S}_{n}\left( {f,{x}_{0}}\right) = 0 = f\left( {x}_{0}\right) .
\]
值得注意的是, 对于多变元函数的傅里叶级数, 局部化的问题是相当复杂的.
共轭级数 (conjugate series) 一类三角级数. 设一元函数 \( f\left( \theta \right) \) 的傅里叶级数的泊松平均 \( {P}_{r}\left( {f,\theta }\right) \) 是解析函数
\[
F\left( z\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n} - \mathrm{i}{b}_{n}}\right) {z}^{n}
\]
\[
\left( {z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta },0 \leq r < 1}\right)
\]
的实部. 把 \( F\left( z\right) \) 的虚部记为 \( {Q}_{r}\left( {f,\theta }\right) \) :
\[
{Q}_{r}\left( {f,\theta }\right) = \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {-{b}_{n}\cos {n\theta } + {a}_{n}\sin {n\theta }}\right) {r}^{n}
\]
\[
= \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {\theta - t}\right) \frac{r\sin t}{1 - {2r}\cos t + {r}^{2}}\mathrm{\;d}t,
\]
那么 \( {Q}_{r}\left( {f,\theta }\right) \) 与 \( {P}_{r}\left( {f,\theta }\right) \) 作为 \( r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } = x + \mathrm{i}y\left( {x, y \in \mathrm{R}}\right) \) 的实、虚部的二元函数是彼此共轭的调和函数 (在 \( {x}^{2} + {y}^{2} < 1 \) 的区域内). 相应于这个事实,称级数
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {-{b}_{n}\cos {n\theta } + {a}_{n}\sin {n\theta }}\right)
\]
为 \( \sigma \left( f\right) \) (参见 “傅里叶级数”) 的共轭级数,亦称 \( f \) 的共轭级数,记为 \( \bar{\sigma }\left( f\right) \) . 一般地, \( \bar{\sigma }\left( f\right) \) 不必是某个可积函数的傅里叶级数.
共轭函数 (conjugate function) 一类由主值积分定义的函数. 周期为 \( {2\pi } \) 的可积函数 \( f \) 的共轭函数定义为
\[
\widehat{f}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\frac{1}{\pi }{\int }_{\varepsilon < \left| t\right| < \pi }\frac{f\left( {x - t}\right) }{2\tan \frac{t}{2}}\mathrm{\;d}t,
\]
式中右端的主值积分是几乎处处收敛的. 在一定意义下,可积函数 \( f \) 的共轭级数收敛于它的共轭函数, 特别用“共轭级数”中的符号, 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 1 - }}F\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 1 - }}\left\{ {{P}_{r}\left( {f,\theta }\right) + \mathrm{i}{Q}_{r}\left( {f,\theta }\right) }\right\}
\]
\[
= f\left( \theta \right) + \mathrm{i}\widehat{f}\left( \theta \right)
\]
对几乎一切 \( \theta \) 成立,且极限方式 “ \( r \r |
2000_数学辞海（第3卷） | 142 | \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {-{b}_{n}\cos {n\theta } + {a}_{n}\sin {n\theta }}\right)
\]
为 \( \sigma \left( f\right) \) (参见 “傅里叶级数”) 的共轭级数,亦称 \( f \) 的共轭级数,记为 \( \bar{\sigma }\left( f\right) \) . 一般地, \( \bar{\sigma }\left( f\right) \) 不必是某个可积函数的傅里叶级数.
共轭函数 (conjugate function) 一类由主值积分定义的函数. 周期为 \( {2\pi } \) 的可积函数 \( f \) 的共轭函数定义为
\[
\widehat{f}\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\varepsilon \rightarrow 0}}\frac{1}{\pi }{\int }_{\varepsilon < \left| t\right| < \pi }\frac{f\left( {x - t}\right) }{2\tan \frac{t}{2}}\mathrm{\;d}t,
\]
式中右端的主值积分是几乎处处收敛的. 在一定意义下,可积函数 \( f \) 的共轭级数收敛于它的共轭函数, 特别用“共轭级数”中的符号, 有
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 1 - }}F\left( {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 1 - }}\left\{ {{P}_{r}\left( {f,\theta }\right) + \mathrm{i}{Q}_{r}\left( {f,\theta }\right) }\right\}
\]
\[
= f\left( \theta \right) + \mathrm{i}\widehat{f}\left( \theta \right)
\]
对几乎一切 \( \theta \) 成立,且极限方式 “ \( r \rightarrow 1 - \) ” 可以加强到如下的“非切向”极限:
设 \( {z}_{0} = {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{0}} \) ,说 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\left( {0 < r < 1}\right) \) 非切向趋向于 \( {z}_{0} \) ,意指 \( z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \rightarrow {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{0}} \) ,这里对任意 \( C > 0, z \in \left\{ {r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\left| \right| \theta }\right. \) \( \left. {-{\theta }_{0} \mid < C\left( {1 - r}\right) }\right\} \) ,即 \( z \) 在任意一个以 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{0}} \) 为顶点的角形区域内趋向于 \( {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{0}} \) . 说 \( A \) 是 \( u\left( z\right) \) 当 \( z \rightarrow {z}_{0} \) 时的非切向极限,意指当 \( z \) 非切向趋向于 \( {z}_{0} \) 时, \( u\left( z\right) \) 的极限为 \( A \) .
多元函数的共轭函数概念, 可类比于一元加以推广, 也可从奇异积分的观点, 以不同的方式引入.
卢津猜测(Luzin conjecture) 一元傅里叶分析中的一个重要猜测. 俄国著名数学家卢津 (JIyan, H. H. ) 于 1915 年提出一个猜测: \( {L}^{2}\left( T\right) \) 中函数的傅里叶级数都是几乎处处收敛的.
在卢津猜测提出了 50 年后, 卡尔松 (Carleson, L. ) 于 1966 年发表了对卢津猜测的正面解答. 他的结果是:
1. 若对于某个 \( \delta > 0, f \cdot {\left( {\log }^{ + }\left| f\right| \right) }^{1 + \delta } \in L \) ,则对几乎每个 \( x,{S}_{n}\left( {f, x}\right) = o\left( {\log \log n}\right) \) .
2. 若对某个 \( p > 1, f \in {L}^{p} \) ,则对于几乎每个 \( x \) ,
\[
{S}_{n}\left( {f, x}\right) = o\left( {\log \log n}\right) .
\]
3. 若 \( f \in {L}^{2} \) ,则对几乎每个 \( x \) ,
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{S}_{n}\left( {f, x}\right) = f\left( x\right) .
\]
卡尔松的结果彻底解决了卢津猜测. 接着亨特 (Hunt, R. A. ) 将上述结果 3 的 \( f \in {L}^{2} \) 推进为 \( f \in {L}^{p} \) \( \left( {1 < p < + \infty }\right) \) ,这个结果一般称为卡尔松-亨特定理.
这个成就在傅里叶级数理论的发展史上具有里程碑的意义. 至此, 一元傅里叶级数的理论可以说已基本上完善了.
卡尔松-亨特定理 (Carleson-Hunt theorem) 见“卢津猜测”.
正交函数系 (orthogonal function system) 相互正交的平方可积函数列. 设 \( \left\{ {{\Phi }_{n} \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 中的非零函数系,当 \( m \neq n \) 时,若
\[
\left( {{\Phi }_{m},{\Phi }_{n}}\right) = {\int }_{a}^{b}{\Phi }_{m}{\Phi }_{n}\mathrm{\;d}x = 0,
\]
(1)
则称 \( \left\{ {\Phi }_{n}\right\} \) 是 \( \left( {a, b}\right) \) 上的一个正交函数系,简称正交系.
一般地,设 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 为测度空间, \( \left\{ {{\Phi }_{n} \mid n = 0}\right. \) , \( 1,2,\cdots \} \) 是 \( {L}^{2}\left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 中的非零函数系,若当 \( m \) \( \neq n \) 时,
\[
{\int }_{X}{\Phi }_{m}{\Phi }_{n}\mathrm{\;d}\mu = 0
\]
(2)
则称 \( \left\{ {\Phi }_{n}\right\} \) 是 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的一个正交系.
正交系 (orthogonal system) 正交函数系的简称.
规范正交系 (orthonormal system) 亦称就范正交系或标准正交系, 一种特殊的正交函数系. 设 \( \left\{ {{\Phi }_{n} \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 中的一个正交系, 若
\[
{\int }_{X}{\left| {\Phi }_{n}\right| }^{2}\mathrm{\;d}\mu = 1
\]
则称 \( {\left\{ {\Phi }_{n}\right\} }^{\prime } \) 是 \( \left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 上的一个规范正交系.
就范正交系 (normal orthogonal system) 即 “规范正交系”.
完备系 (complete system) 具有某种完备性质的函数系. 设 \( \left\{ {{\Phi }_{n} \mid n = 0,1,2,\cdots }\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) (一般地 \( {L}^{2}\left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) ) \) 中的任意非零函数系. 若 \( f \) \( \in {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) ,且由
\[
{\int }_{a}^{b}f{\Phi }_{n}\mathrm{\;d}x = 0\;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right)
\]
推出 \( f \equiv 0 \) ,即 \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 中不存在非零函数与每个 \( {\Phi }_{n} \) 正交,则称 \( \left\{ {\Phi }_{n}\right\} \) 是 \( {L}^{2}\left( {a, b}\right) \) 中的完备系 (一般地,称 \( \left\{ {\Phi }_{n}\right\} \) 为 \( {L}^{2}\left( {X,\mathcal{A},\mu }\right) \) 中的完备系 \( ) \) . 若 \( \left\{ {\Phi }_{n}\right\} \) 是正交系, 则帕塞瓦尔等式对于它成立的充分必要条件为它是完备系. \( {T}^{n} \) 上的三角函数系 \( \left\{ {{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x} \mid m \in {\mathbf{Z}}^{n}}\right\} \) 关于 \( {T}^{n} \) 的规范化勒贝格测度 \( \mathrm{d}x/{\left( 2\pi \right) }^{n} \) 是一个规范正交系, 它又是一个完备系.
帕塞瓦尔等式 (Parseval equality) 亦称帕塞瓦尔公式或帕塞瓦尔定理, 关于平方可积函数傅里叶系数平方之和的一个等式. 设 \( f \in {L}^{2}\left( {T}^{1}\right) ,{T}^{1} \) \( = \lbrack - \pi ,\pi ) \) ,则其傅里叶系数
\[
{c}_{n} = {c}_{n}\left( f\right) = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{nx}}\mathrm{\;d}x
\]
适合
\[
\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x = \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{\left| {c}_{n}\right| }^{2}.
\]
(1)
公式 (1) 称为帕塞瓦尔等式. 当 \( f \) 是实函数时,常用 \( {a}_{n},{b}_{n} \) 表示 \( f \) 的傅里叶系数 (参见 “傅里叶级数”),这里
\[
{a}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \cos {nx}\mathrm{\;d}x,
\]
\[
{b}_{n} = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) \sin {nx}\mathrm{\;d}x,
\]
这时称等式
\[
\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^{2}\left( x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}{a}_{0}^{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n}^{2} + {b}_{n}^{2}}\right)
\]
(2)
为帕塞瓦尔等式. 对于一般的完备正交系也可类似地建立帕塞瓦尔等式.
帕塞瓦尔定理 (Parseval theorem) 即“帕塞瓦尔等式”.
乘子 (multiplier) 一种由特殊数列决定的算子. 设 \( P, Q \) 分别为任意两个周期为 \( {2\pi } \) 的函数类. \( \left\{ {{\lambda }_{k} \mid k = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right\} \) 是一个数列. 如对于 \( P \) 中任一函数 \( f \) 的傅里叶系数 \( \left\{ {{c}_{k} \mid k = 0, \pm 1, \pm 2\cdots }\right\} \) :
\[
{c}_{k} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{kx}}\mathrm{\;d}x,
\]
数列 \( \left\{ {{c}_{k}{\lambda }_{k} \mid k = 0, \pm 1, \pm 2,\cdots }\right\} \) 总是 \( Q \) 中某个函数 \( g \) 的傅里叶系数, 即
\[
{c}_{k}{\lambda }_{k} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{kx}}\mathrm{\;d}x,
\]
这样,数列 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) 确定了一个将 \( f \in P \) 映到 \( g \in Q \) 的算子 \( T \) ,使得 \( {Tf} = g \) . 此时称 \( T \) 为 \( \left( {P, Q}\right) \) 乘子,也称 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) 为 \( \left( {P, Q}\right) \) 乘子. 如 \( P = {L}^{p}\left( {T}^{1}\right), Q = {L}^{q}\left( {T}^{1}\right) \) ,则简称 \( T \) 为 \( \left( {{L}^{p},{L}^{q}}\right) \) 乘子,而 \( p = q \) 时简称 \( {L}^{p} \) 乘子. 如果存在一个可积函数 \( h \) ,使得
\[
{\lambda }_{k} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }h\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{kx}}\mathrm{\;d}x,
\]
那么由傅里叶系数的性质可知 \( {Tf} \) 恰好为 \( f \) 和 \( h \) 的卷积.
马钦凯维奇乘子定理 (Marcinkiewicz multiplier theorem) 给出数列为 \( {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 乘子的定理. 它断言,若数列 \( \left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) 满足条件
\[
\left| {\lambda }_{k}\right| \leq M,\mathop{\sum }\limits_{{j = \pm {2}^{l}}}^{{\pm {2}^{l + 1}}}\left| {{\lambda }_{j} - {\lambda }_{j + 1}}\right| \leq M
\]
\[
\left( {l = 0,1,2,\cdots }\right) \text{,}
\]
则对一切 \( p > 1,\left\{ {\lambda }_{k}\right\} \) 是 \( {L}^{p} \) 乘子.
豪斯多夫-杨定理 (Hausdorff-Young theorem) 关于 \( f \in {L}^{p}\lbrack - \pi ,\pi ) \) 的傅里叶系数的定理. 设 \( 1 < p \) \( \leq 2, q = p/\left( {p - 1}\right) \) .
1. 若 \( f \in {L}^{p}\left( {-\pi ,\pi }\right) ,{c}_{n} \) 是 \( f \) 的傅里叶系数
\[
{c}_{n} = \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( x\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{nx}}\mathrm{\;d}x,
\]
(1)
则不等式
\[
{\left( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{\left| {c}_{n}\right| }^{q}\right) }^{1/q} \leq {\left( \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{p}\mathrm{\;d}x\right) }^{1/p}
\]
成立.
2. 若复数列 \( {\left\{ {c}_{n}\right\} }_{n = - \infty }^{\infty } \) 满足条件
\[
\mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{\left| {c}_{n}\right| }^{p} < + \infty
\]
则存在 \( f \in {L}^{q}\left( {-\pi ,\pi }\right) \) 使 (1) 成立,且有
\[
{\left( \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left| f\left( x\right) \right| }^{q}\mathrm{\;d}x\right) }^{\frac{1}{q}} \leq {\left( \mathop{\sum }\limits_{{n = - \infty }}^{\infty }{\left| {c}_{n}\right| }^{p}\right) }^{\frac{1}{p}}.
\]
上述结论 1 与 2 合称为豪斯多夫-杨定理.
多重傅里叶级数 (multiple Fourier series) 见 “傅里叶级数”.
傅里叶级数的线性求和 (linear summation of Fourier series) 用线性算子对傅里叶级数的求和法. 从已给的傅里叶级数出发, 构造新的三角级数或三角多项式,使之与所给的函数之间保持着线性的对应关系, 这种构造新三角级数或三角多项式的方法称为傅里叶级数的线性求和法. 例如, 给定实数阵 \( \Lambda = \left\{ {{\lambda }_{n, k} \mid n, k = 0,1,2,\cdots ,{\lambda }_{n,0} = 1}\right. \) ; 当 \( k > n \) 时, \( {\lambda }_{n, k} \) \( = 0\} \) ,从傅里叶级数 \( \left( *\right) \) 出发可构造三角多项式
\[
{T}_{n}\left( f\right) \left( x\right)
\]
\[
= {\lambda }_{0,0}\frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\lambda }_{n, k}\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right) .
\]
只要数阵 \( \Lambda \) 选得合适, \( {T}_{n}\left( f\right) \) 可以比 \( {S}_{n}\left( f\right) \) 有较好的收敛性. 于是 \( \Lambda \) 确定了一个求和法,它是线性的,因为对任意 \( \alpha ,\beta \) 及可积且周期为 \( {2\pi } \) 的函数 \( f, g \) ,都有
\[{T}_{n}\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) = \alpha {T}_{n}\left( f\right) + \beta {T}_{n}\left( g\right) ,\]
称 \( {T}_{n}\left( f\right) \) 为 \( \sigma \left( f\right) \) 的相应于求和法 (相应于数阵) \( \Lambda \) 的线性平均. 用 \( f \) 的傅里叶级数的线性平均 \( {T}_{n}\left( f\right) \) 来近似 \( f \) ,就称为 \( f \) 的傅里叶级数的线性求和. 如果当 \( n \rightarrow \infty \) 时在点 \( x \) 处 \( {T}_{n}\left( f\right) \left( x\right) \) 收敛到 \( S \) ,则称 \( \sigma \left( f\right) \) 在点 \( x \) 处用 \( \Lambda \) 方法可求和于 \( S \) (参见《数学辞海》第一卷《数学分析》相应条目).
傅里叶级数的线性求和法 (linear summation method of Fourier series) 见 “傅里叶级数的线性求和”.
切萨罗求和 (Cesàro summation) 傅里叶级数的一种线性求和法. 设 \( \alpha > - 1 \) ,
\[
{A}_{n}^{\alpha } = \frac{\left( {\alpha + 1}\right) \left( {\alpha + 2}\righ |
2000_数学辞海（第3卷） | 143 | ^{n}{\lambda }_{n, k}\left( {{a}_{k}\cos {kx} + {b}_{k}\sin {kx}}\right) .
\]
只要数阵 \( \Lambda \) 选得合适, \( {T}_{n}\left( f\right) \) 可以比 \( {S}_{n}\left( f\right) \) 有较好的收敛性. 于是 \( \Lambda \) 确定了一个求和法,它是线性的,因为对任意 \( \alpha ,\beta \) 及可积且周期为 \( {2\pi } \) 的函数 \( f, g \) ,都有
\[{T}_{n}\left( {{\alpha f} + {\beta g}}\right) = \alpha {T}_{n}\left( f\right) + \beta {T}_{n}\left( g\right) ,\]
称 \( {T}_{n}\left( f\right) \) 为 \( \sigma \left( f\right) \) 的相应于求和法 (相应于数阵) \( \Lambda \) 的线性平均. 用 \( f \) 的傅里叶级数的线性平均 \( {T}_{n}\left( f\right) \) 来近似 \( f \) ,就称为 \( f \) 的傅里叶级数的线性求和. 如果当 \( n \rightarrow \infty \) 时在点 \( x \) 处 \( {T}_{n}\left( f\right) \left( x\right) \) 收敛到 \( S \) ,则称 \( \sigma \left( f\right) \) 在点 \( x \) 处用 \( \Lambda \) 方法可求和于 \( S \) (参见《数学辞海》第一卷《数学分析》相应条目).
傅里叶级数的线性求和法 (linear summation method of Fourier series) 见 “傅里叶级数的线性求和”.
切萨罗求和 (Cesàro summation) 傅里叶级数的一种线性求和法. 设 \( \alpha > - 1 \) ,
\[
{A}_{n}^{\alpha } = \frac{\left( {\alpha + 1}\right) \left( {\alpha + 2}\right) \cdots \left( {\alpha + n}\right) }{n!},
\]
则称 \( {A}_{n}^{\alpha } \) 为 \( \alpha \) 阶切萨罗数. 傅里叶级数 \( \left( *\right) \) 的如下线性平均
\[
{\sigma }_{n}^{a}\left( f\right) \left( x\right) = \frac{1}{{A}_{n}^{a}}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{A}_{n - k}^{\alpha - 1}{S}_{k}\left( {f, x}\right)
\]
称为 \( \alpha \) 阶切萨罗平均. 相应的级数求和方法称为切萨罗求和,简记为 \( \left( {C,\alpha }\right) \) 求和. 当 \( \alpha > 0 \) 时,对于连续函数 \( f,{\sigma }_{n}^{a}\left( f\right) \left( x\right) \) 必一致收敛于 \( f \) ,由此可见切萨罗求和的好处.
切萨罗数 (Cesàro number) 见 “切萨罗求和”.
切萨罗平均 (Cesàro mean) 见 “切萨罗求和”.
费耶尔求和 (Fejer summation) 一种切萨罗求和. 一阶切萨罗求和 (即 \( \left( {C,1}\right) \) 求和) 即为费耶尔求和. 设 \( f \in L\left( {-\pi ,\pi }\right) \) ,其费耶尔平均是
\[
{\sigma }_{n}^{1}\left( f\right) \left( x\right) = \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{S}_{k}\left( {f, x}\right) ,
\]
其中 \( {S}_{k}\left( {f, x}\right) \) 是 \( f \) 的 \( k \) 阶傅里叶级数的部分和. 因此,费耶尔平均恰是前 \( n + 1 \) 个傅里叶部分和的算术平均, 它的卷积形式是
\[
{\sigma }_{n}\left( f\right) \left( x\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {x - t}\right) {F}_{n}\left( t\right) \mathrm{d}t,
\]
其中
\[
{F}_{n}\left( t\right) = \frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{D}_{k}\left( t\right)
\]
\[
= \frac{1}{2\left( {n + 1}\right) }{\left( \sin \frac{n + 1}{2}t/\sin \frac{t}{2}\right) }^{2}
\]
称为费耶尔核. 当 \( f \) 满足一定条件时, \( {\sigma }_{n}\left( f\right) \left( x\right) \rightarrow \) \( f\left( x\right) \) ,则称 \( f \) 在点 \( x \) 为费耶尔可和. 由于费耶尔核是非负函数, 这就使费耶尔求和具有很多好的性质. 可积函数几乎处处可费耶尔求和, 连续函数可一致地费耶尔求和.
费耶尔平均(Fejer mean) 见“费耶尔求和”.
费耶尔核(Fejer kernel) 见“费耶尔求和”.
瓦莱・普桑平均(Vallée-Poussin mean) 傅里叶级数的一种线性求和法. 三角多项式
\[
{V}_{n}^{n + p}\left( f\right) \left( x\right) = \frac{1}{p + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = n}}^{{n + p}}{S}_{k}\left( {f, x}\right)
\]
称为 \( \sigma \left( f\right) \) 的瓦莱・普桑平均. 它依赖于两个号码: \( n \) 和 \( p \) . 当 \( n \) 取零值时,它就是费耶尔平均; 当 \( p = 0 \) 时,它就是傅里叶和; 当 \( p = n \) 时的情形值得特别注意.
强求和 (strong summation) 亦称哈代求和, 傅里叶级数的一种非线性求和法. 如果在某点 \( x \) 处,对于常数 \( q,\sigma \left( f\right) \) 的部分和 \( {S}_{k}\left( {f, x}\right) \) 满足
\[
\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{n + 1}\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left| {S}_{k}\left( f, x\right) - S\right| }^{q} = 0,
\]
其中 \( S \) 是实数,那么就称 \( \sigma \left( f\right) \) 在点 \( x \) 关于指数 \( q \) 可强求和于 \( S \) . 由于这一概念早期是由哈代 (Hardy, G. H. ) 引入的,所以这种求和也称为 \( \left( {H, q}\right) \) 求和. 实际上 \( \sigma \left( f\right) \) 是对一切正整数 \( q \) 都几乎处处 \( \left( {H, q}\right) \) 可和的. 对于多元函数, \( \left( {H, q}\right) \) 求和的概念有相同的提法.
哈代求和 (Hardy summation) 即“强求和”.
泊松平均(Poisson mean) 傅里叶级数的一种平均. 傅里叶级数 \( \sigma \left( f\right) \) 的泊松平均是依赖于参数 \( r \in \lbrack 0,1) \) 的函数
\[
{P}_{r}\left( {f,\theta }\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n}\cos {n\theta } + {b}_{n}\sin {n\theta }}\right) {r}^{n}
\]
\[
\left( {\theta \in \lbrack - \pi ,\pi }\right) )
\]
它可写成卷积形式
\[
{P}_{r}\left( {f,\theta }\right) = \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left( {\theta - t}\right) {P}_{r}\left( t\right) \mathrm{d}t,
\]
称 \( {P}_{r}\left( {f,\theta }\right) \) 为函数 \( f \) 的泊松积分,其中函数
\[
{P}_{r}\left( t\right) = \frac{1}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{r}^{n}\cos {nt} = \frac{1 - {r}^{2}}{2\left( {1 - {2r}\cos t + {r}^{2}}\right) }
\]
\[
\left( {0 \leq r < 1, t \in \lbrack - \pi ,\pi }\right) )
\]
称为泊松核. 考虑定义在单位圆盘 \( \left\{ {z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta } \mid 0 \leq r}\right. \) \( < 1\} \) 上的解析函数
\[
F\left( z\right) = \frac{{a}_{0}}{2} + \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left( {{a}_{n} - \mathrm{i}{b}_{n}}\right) {z}^{n},
\]
并假定 \( f \) 是实值函数 (从而它的傅里叶系数 \( {a}_{n},{b}_{n} \) 都是实数),那么易见 \( {P}_{r}\left( {f,\theta }\right) \) 恰是 \( F\left( z\right) \left( {z = r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }}\right) \) 的实部.
泊松核(Poisson kernel) 见“泊松平均”.
吉布斯现象 (Gibbs's phenomenon) 函数列收敛过程中的一种性质. 设 \( x \in \left( {{x}_{0},{x}_{0} + h}\right\rbrack \) ,函数列 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( x \) 点收敛于 \( f\left( x\right) \) ,又 \( f\left( {{x}_{0} + 0}\right) \) 存在. 如果当 \( n \rightarrow \infty \) 及 \( x \rightarrow {x}_{0} + 0 \) 相互独立时,均有
\[
\mathop{\limsup }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) > f\left( {{x}_{0} + 0}\right) ,
\]
或
\[
\mathop{\liminf }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) < f\left( {{x}_{0} + 0}\right) ,
\]
那么称 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( {x}_{0} \) 点的右邻域出现吉布斯现象. 类似地可以定义 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( {x}_{0} \) 点的左邻域出现吉布斯现象.
吉布斯现象与函数列的一致收敛的关系是: 若
\[\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{f}_{n}\left( x\right) = f\left( x\right) \]
且 \( f\left( x\right) \) 在 \( {x}_{0} \) 连续,那么 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( {x}_{0} \) 点不出现吉布斯现象等价于 \( \left\{ {{f}_{n}\left( x\right) }\right\} \) 在 \( {x}_{0} \) 点的某个邻域内一致收敛.
关于函数的傅里叶级数的一个结论是: 如果 \( f \) 是有界变差函数,且没有可去间断点,那么 \( f \) 的傅里叶级数 \( \sigma \left( f\right) \) (参见 “傅里叶级数”) 的部分和序列在 \( f \) 的每一个间断点,也仅在这些间断点出现吉布斯现象.
## 多元傅里叶分析
傅里叶变换 (Fourier transform) 一种积分变换. 通常分以下四种情形定义:
1. 设 \( f \in L\left( {\mathrm{R}}^{n}\right), f \) 的傅里叶变换定义为函数
\[
\widehat{f}\left( x\right) = {\int }_{{\mathbf{R}}^{n}}f\left( y\right) {\mathrm{e}}^{-{2\pi }\mathrm{i}x \cdot y}\mathrm{\;d}y,
\]
(1)
这里 \( x \cdot y \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的内积. 从 \( f \) 到 \( \widehat{f} \) 的映射记为 \( \mathcal{F} \) ,即 \( \widehat{f} = \mathcal{F}\left( f\right) \) .
2. 作为 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \cap L\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 上的线性算子, \( \mathcal{F} : f \rightarrow \) \( \widehat{f} \) 是依 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 范数有界的,即
\[
\parallel \mathcal{F}\left( f\right) {\parallel }_{2} \leq \parallel \mathcal{F}\parallel \parallel f{\parallel }_{2}.
\]
所以 \( \mathcal{F} \) 可保范延拓至 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 在 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 上,
\[
\parallel \mathcal{F}\left( f\right) {\parallel }_{2} = \parallel f{\parallel }_{2}.
\]
这一等式称为普朗歇尔定理. 于是,傅里叶变换 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 到自身的等距同构. \( \mathcal{F} \) 的逆算子记为 \( {\mathcal{F}}^{-1} \) ,实际上, \( {\mathcal{F}}^{-1}\left( f\right) = f,{\mathcal{F}}^{-1}\left( f\right) \left( x\right) = f\left( {-x}\right) \) \( \left( {\forall f \in {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) }\right) \) .
3. 设 \( 1 < p < 2 \) ,对于每个 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,令
\[
{f}_{1}\left( x\right) = \left\{ \begin{matrix} f\left( x\right) & \left( {\mid f\left( x\right) > 1}\right) , \\ 0 & \left( {\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 1}\right) , \end{matrix}\right.
\]
\( {f}_{2} = f - {f}_{1} \) ,那么 \( {f}_{1} \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,{f}_{2} \in {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 定义 \( f \) 的傅里叶变换为 \( \widehat{f} = {\widehat{f}}_{1} + {\widehat{f}}_{2} \) ,其中 \( {\widehat{f}}_{1} \) 依定义 \( 1,{\widehat{f}}_{2} \) 依定义 2. 当 \( p > 2 \) 时,因为此时 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 蕴涵 \( f \) 为缓增广义函数, 其傅里叶变换可按定义 4. 一般地, 此时 \( \widehat{f} \) 不再是函数.
4. 当 \( f \) 为缓增广义函数时,其傅里叶变换 \( \mathcal{F}\left( f\right) \) 被定义成这样一个缓增广义函数 \( \widehat{f} \) ,它使得对一切 \( g \in \mathcal{S} \) ,有
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\widehat{f}\left( x\right) g\left( x\right) \mathrm{d}x = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}f\left( x\right) \widehat{g}\left( x\right) \mathrm{d}x,
\]
这里 \( \mathcal{S} \) 为 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的施瓦兹空间,上式右端的积分理解成缓增广义函数 \( f\left( \mathcal{S}\right. \) 上的连续线性泛函) 对 \( \mathcal{S} \) 类函数 \( \widehat{g} \) (由于 \( \mathcal{S} \) 类函数对傅里叶变换封闭) 的作用. 类似理解左端积分.
普朗歇尔定理 (Plancherel theorem) 见 “傅里叶变换”.
阿贝尔-泊松平均(Abel-Poisson mean) 多重傅里叶级数的一种重要的线性求和. 设 \( f \in L\left( {T}^{n}\right) \) , \( f \) 的傅里叶级数
\[
\sigma \left( f\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}
\]
的阿贝尔-泊松平均是
\[
{A}_{\varepsilon }\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {\mathbf{Z}}^{n}}}{\mathrm{e}}^{-\varepsilon \left| m\right| }{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x},
\]
其中 \( {\mathrm{Z}}^{n} \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中具有整数坐标的点的全体. \( \left| m\right| \) \( = {\left( {m}_{1}^{2} + {m}_{2}^{2} + \cdots + {m}_{n}^{2}\right) }^{1/2}, m \cdot x \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的内积. 当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,它既按 \( {L}^{p} \) 范数收敛于 \( f \in {L}^{p}\left( {T}^{n}\right) \) ,也在 \( f \) 的每个勒贝格点 \( x \) 处收敛于 \( f\left( x\right) \) . 当 \( n = 1 \) 时,令 \( r = {\mathrm{e}}^{-\varepsilon } \) ,则阿贝尔-泊松平均就是前面的泊松平均.
高斯-外尔斯特拉斯平均 (Gauss-Weierstrass mean) 多重傅里叶级数的一种重要的线性求和. 设 \( f \in L\left( {T}^{n}\right), f \) 的傅里叶级数
\[
\sigma \left( f\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}
\]
的高斯-外尔斯特拉斯平均是
\[
{W}_{\varepsilon }\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{\mathrm{e}}^{-\varepsilon {\left| m\right| }^{2}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}\;\left( {\varepsilon > 0}\right) .
\]
当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,它既按 \( {L}^{p} \) 范数收敛于 \( f \in {L}^{p |
2000_数学辞海（第3卷） | 144 | \( {\mathrm{Z}}^{n} \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中具有整数坐标的点的全体. \( \left| m\right| \) \( = {\left( {m}_{1}^{2} + {m}_{2}^{2} + \cdots + {m}_{n}^{2}\right) }^{1/2}, m \cdot x \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的内积. 当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,它既按 \( {L}^{p} \) 范数收敛于 \( f \in {L}^{p}\left( {T}^{n}\right) \) ,也在 \( f \) 的每个勒贝格点 \( x \) 处收敛于 \( f\left( x\right) \) . 当 \( n = 1 \) 时,令 \( r = {\mathrm{e}}^{-\varepsilon } \) ,则阿贝尔-泊松平均就是前面的泊松平均.
高斯-外尔斯特拉斯平均 (Gauss-Weierstrass mean) 多重傅里叶级数的一种重要的线性求和. 设 \( f \in L\left( {T}^{n}\right), f \) 的傅里叶级数
\[
\sigma \left( f\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}
\]
的高斯-外尔斯特拉斯平均是
\[
{W}_{\varepsilon }\left( {f, x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{\mathrm{e}}^{-\varepsilon {\left| m\right| }^{2}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}\;\left( {\varepsilon > 0}\right) .
\]
当 \( \varepsilon \rightarrow 0 \) 时,它既按 \( {L}^{p} \) 范数收敛于 \( f \in {L}^{p}\left( {T}^{n}\right) \) ,也在 \( f \) 的每个勒贝格点 \( x \) 处收敛于 \( f\left( x\right) \) .
博赫纳-里斯平均(Bochner-Riesz mean) 多重傅里叶级数一种重要的线性求和. 设 \( f \in L\left( {T}^{n}\right), f \) 的傅里叶级数
\[
\sigma \left( f\right) = \mathop{\sum }\limits_{{m \in {Z}^{n}}}{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}
\]
的 \( \alpha \) 阶博赫纳-里斯平均是三角多项式
\( {S}_{R}^{\alpha }\left( f\right) \left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{\left| m\right| < R}}{\left( 1 - \frac{{\left| m\right| }^{2}}{{R}^{2}}\right) }^{\alpha }{c}_{m}\left( f\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m \cdot x}\;\left( {R > 0}\right) . \)
阶数 \( \alpha \) 可以是任意复数,它的临界阶是
\[
{\alpha }_{0} = \frac{n - 1}{2}\text{. }
\]
临界阶的意义在于: 当 \( \alpha = {\alpha }_{0} \) 时, \( {S}_{R}^{a}\left( f\right) \) 可类比于一元的傅里叶和.
博赫纳-里斯平均在多重傅里叶级数理论中是研究得较多的一种 “球形”方式的线性平均. 这里和式的格子点 \( m \) 是在球内 \( \{ m\left| \right| m \mid < R\} \) 取的.
调和函数 (harmonic function) 在区域上满足拉普拉斯方程的多元函数. 设 \( F\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 是定义在区域 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的具有二阶连续偏导数的函数, 且 \( F \) 在区域 \( D \) 上满足下述的拉普拉斯方程
\[
{\Delta F} = \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}F}{\partial {x}_{n}^{2}} \equiv 0,
\]
则称 \( F \) 是区域 \( D \) 上的调和函数,或者说 \( F \) 在区域 \( D \) 上是调和的. 称
\[
\Delta = \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{1}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}_{n}^{2}}
\]
为拉普拉斯算子. 一个复值函数的实部与虚部都是在区域 \( D \) 上调和的,有时也称它是区域 \( D \) 上的 (复值) 调和函数. 如果 \( F\left( z\right) = F\left( {x + \mathrm{i}y}\right) \) 是复变量 \( z = x \) \( + \mathrm{i}y \) 的解析函数 (在复平面的某个开集内),那么 \( F \) 的实部 \( u \) 和虚部 \( v \) 作为 \( \left( {x, y}\right) \) 的二元实函数都是调和函数, 它们满足所谓的柯西-黎曼方程:
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\;\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}.
\]
这样的一对调和函数称为是彼此共轭的. 当 \( n \geq 2 \) 时,若 \( {u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{n} \) 都是区域 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的调和函数, 且满足下述偏微分方程组
\[
\frac{\partial {u}_{1}}{\partial {x}_{1}} + \frac{\partial {u}_{2}}{\partial {x}_{2}} + \cdots + \frac{\partial {u}_{n}}{\partial {x}_{n}} = 0,
\]
\[
\frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}_{j}} = \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}_{i}}\left( {i, j = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
则称 \( \left( {{u}_{1},{u}_{2},\cdots ,{u}_{n}}\right) \) 是区域 \( D \) 上的一个共轭调和函数系. 调和函数与傅里叶级数的关系密切.
复值调和函数 (complex-valued harmonic function) 见“调和函数”.
共轭调和函数 (conjugate harmonic function) 见“调和函数”.
共轭调和函数系 (system of conjugate harmonic functions) 见“调和函数”.
次调和函数 (subharmonic function) 调和函数的一种推广. 定义于区域 \( D \subset {\mathrm{R}}^{n} \) 上的连续函数 \( F\left( x\right) \) 称为是次调和的,是指当
\[
\left\{ {x \in {\mathrm{R}}^{n}\left| \right| x - {x}_{0} \mid \leq r}\right\} \subset D
\]
时, 不等式
\[
F\left( {x}_{0}\right) \leq \frac{1}{{\omega }_{n - 1}}{\int }_{{\sum }_{n - 1}}F\left( {{x}_{0} + r{t}^{\prime }}\right) \mathrm{d}{t}^{\prime }
\]
成立. 这里 \( {\sum }_{n - 1} \) 表示 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 中的单位球面, \( {\omega }_{n - 1} \) 记 \( {\sum }_{n - 1} \) 的面积, \( \mathrm{d}{t}^{\prime } \) 是 \( {\sum }_{n - 1} \) 上的面积元. 由调和函数的平均值性质可知: 调和函数必是次调和的. 次调和函数的性质在哈代空间理论中起到关键作用.
球调和函数 (spherical harmonics function)
球体调和函数与球面调和函数的总称. \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的 \( k \) 次齐次调和多项式称为 \( k \) 次球体调和函数,它在单位球面上的限制称为 \( k \) 次球面调和函数. 所谓调和多项式指的是满足拉普拉斯方程
\[
\frac{{\partial }^{2}P}{\partial {x}_{1}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}P}{\partial {x}_{2}^{2}} + \cdots + \frac{{\partial }^{2}P}{\partial {x}_{n}^{2}} = 0
\]
的多项式 \( P\left( {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) .
球体调和函数 (spheroidal harmonic function) 见“球调和函数”.
球面调和函数 (spherical harmonic function) 见“球调和函数”.
调和多项式 (harmonic polynomial) 见 “球调和函数”.
带调和函数 (zonal harmonic function) 一类具有特殊性质的球面调和函数. 由等式
\[
Y\left( {x}^{\prime }\right) = {\int }_{{\sum }_{n - 1}}Y\left( {t}^{\prime }\right) {Z}_{{x}^{\prime }}^{\left( k\right) }\left( {t}^{\prime }\right) \mathrm{d}{t}^{\prime }\;\left( {\forall Y \in {\mathcal{K}}_{k}}\right)
\]
确定的 \( k \) 次球面调和函数 \( {Z}_{{x}^{\prime }}^{\left( k\right) }\left( {t}^{\prime }\right) \) 称为以 \( {x}^{\prime } \) 为极点的 \( k \) 次带调和函数,其中 \( {\mathcal{K}}_{k} \) 为 \( k \) 次球面调和函数类. \( {Z}_{{x}^{\prime }}^{\left( k\right) }\left( {t}^{\prime }\right) \) 的一个重要特性就是: 对任一旋转 \( \rho \) ,有
\[
{Z}_{\rho {x}^{\prime }}^{\left( k\right) }\left( {\rho {t}^{\prime }}\right) = {Z}_{{x}^{\prime }}^{\left( k\right) }\left( {t}^{\prime }\right) .
\]
泊松积分 (Poisson integral) 一类特殊的积分变换. 函数
\[
{P}_{y}\left( t\right) = \frac{{y\Gamma }\left( \frac{n + 1}{2}\right) }{{\left\lbrack \pi \left( {y}^{2} + {\left| t\right| }^{2}\right) \right\rbrack }^{\frac{n + 1}{2}}}\left( {t \in {\mathrm{R}}^{n}, y > 0}\right)
\]
称为 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} \) 上的泊松核,它是函数 \( {\mathrm{e}}^{-\left| x\right| y}(x \in {\mathrm{R}}^{n} \) 是自变量, \( y > 0 \) 是参数) 的傅里叶变换. 对于
\[
f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \;\left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) ,
\]
称
\[
u\left( {x, y}\right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}{P}_{y}\left( t\right) f\left( {x - t}\right) \mathrm{d}t\;\left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}, y > 0}\right)
\]
为 \( f \) 的泊松积分. 它是 \( {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1} = {\mathrm{R}}^{n} \times \left( {0, + \infty }\right) \) 上的调和函数, 即满足方程
\[
\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}} + \mathop{\sum }\limits_{{j = 1}}^{n}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {x}_{j}^{2}} = 0\;\left( {\left( {x, y}\right) \in {\mathrm{R}}_{ + }^{n + 1}}\right) .
\]
实际上,当 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {1 \leq p \leq 2}\right) \) 时, \( u\left( {x, y}\right) \) 是 \( f \) 的傅里叶积分的阿贝尔-泊松平均, 即
\[
u\left( {x, y}\right) = {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{tx}}{\mathrm{e}}^{-\left| t\right| y}\mathrm{\;d}t\;\left( {x \in {\mathrm{R}}^{n}, y > 0}\right) .
\]
豪斯多夫-杨不等式 (inequality of Hausdorff-Young) 关于 \( {L}^{p}\left( {1 \leq p \leq 2}\right) \) 中函数的傅里叶变换的估计式. 若 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,1 \leq p \leq 2 \) ,及 \( 1/p + 1/{p}^{\prime } \) \( = 1 \) ,则 \( \widehat{f} \in {L}^{{p}^{\prime }}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,且满足不等式
\[
\parallel f{\parallel }_{{p}^{\prime }} \leq \parallel f{\parallel }_{p}.
\]
称其为豪斯多夫-杨不等式.
黎曼-勒贝格引理 (Riemann-Lebesgue lemma) 描述 \( {L}^{1} \) 中函数傅里叶变换在无穷远处性质的引理. 该引理断言: 若 \( f \in {L}^{1}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,则
\[
\mathop{\lim }\limits_{{\left| x\right| \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = 0.
\]
佩利-维纳定理 (Paley-Wiener theorem) 关于有紧支集函数的傅里叶变换性质的定理. 设 \( f \in \) \( {L}^{2}\left( {-\infty , + \infty }\right) \) ,且当 \( \left| x\right| > \sigma > 0 \) 时, \( f\left( x\right) = 0 \) (即 \( f\left( x\right) \) 的支集含于 \( \left\lbrack {-\sigma ,\sigma }\right\rbrack \) ),那么 \( f \) 的傅里叶变换是
\[
\widehat{f}\left( x\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{\frac{1}{2}}}{\int }_{-\sigma }^{\sigma }f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{tx}}\mathrm{\;d}t.
\]
将上式中的 \( x \) 换成复数 \( z = x + \mathrm{i}y \) ,积分仍有意义. 它定义了复平面上的一个全纯函数
\[F\left( z\right) = \frac{1}{{\left( 2\pi \right) }^{\frac{1}{2}}}{\int }_{-\sigma }^{\sigma }f\left( t\right) {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{tz}}\mathrm{\;d}t,\]
且 \( F\left( z\right) \) 是指数 \( \sigma \) 型的整函数,具有估计
\[\left| {F\left( z\right) }\right| \leq {A}_{\sigma }{\mathrm{e}}^{\sigma \left| z\right| }.\]
佩利-维纳定理断言: 设 \( \sigma > 0, F\left( x\right) \in {L}^{2}( - \infty \) , \( + \infty ) \) ,则 \( F\left( x\right) \) 为 \( {L}^{2}\left( {-\infty , + \infty }\right) \) 中支集在 \( \left\lbrack {-\sigma ,\sigma }\right\rbrack \) 内某个函数 \( f\left( t\right) \) 的傅里叶变换的充分必要条件是, \( F\left( x\right) \) 是指数 \( \sigma \) 型整函数 \( F\left( z\right) = F\left( {x + \mathrm{i}y}\right) \) 在 \( x \) 轴上的限制 (参见《复变函数论》有关条目).
施瓦兹空间 (Schwarz space) 一类光滑函数空间. 设函数 \( f \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上无穷次可微且满足下述条件: 对于任何正整数 \( m,\alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \in {\mathbf{Z}}_{ + }^{n} \) ,
\[
\mathop{\sup }\limits_{{x \in {\mathrm{R}}^{n}}}\left| {{D}^{\alpha }f\left( x\right) }\right| {\left| x\right| }^{m} < + \infty ,
\]
式中
\[
{D}^{\alpha }f\left( x\right) = \frac{{\partial }^{{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}f\left( x\right) }{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\partial {x}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}.
\]
这类函数引入适当的拓扑后, 就成为完备的线性距离空间,称为施瓦兹空间,记为 \( \mathcal{S} \) . 它有广泛的用途. 显然,有紧支集的无穷次可微函数类 \( {C}_{0}^{\infty } \) 包含在 \( \mathcal{S} \) 内,即 \( {C}_{0}^{\infty } \subset \mathcal{S} \) .
缓增广义函数 (tempered distribution) 施瓦兹空间 \( \mathcal{S} \) 上的连续线性泛函. 这样的广义函数全体在适当的拓扑下,记为 \( {\mathcal{S}}^{\prime }.{\mathcal{S}}^{\prime } \) 的重要性在于可以定义傅里叶变换. 设 \( u \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,定义其傅里叶变换
\( \widehat{u} \in {\mathcal{S}}^{\prime } : \widehat{u}\left( \varphi \right) = u\left( \widehat{\varphi }\right) \;\left( {\forall \varphi \in \mathcal{S}}\right) . \)
常见的函数 (例如所有 \( 1 \leq p \leq + \infty \) 的 \( {L}^{p} \) 函数) 几乎都是缓增广义函数, 但也存在不是函数的缓增广义函数 (例如 \( \delta \) 函数). 这样一来,大大地扩大了傅里叶变换应用的范围, 发挥了傅里叶变换作为研究函数工具的功效.
弱导数 (weak distribution) 通常导数的一种推广. 设 \( f\left( x\ri |
2000_数学辞海（第3卷） | 145 | {D}^{\alpha }f\left( x\right) = \frac{{\partial }^{{\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n}}f\left( x\right) }{\partial {x}_{1}^{{\alpha }_{1}}\partial {x}_{2}^{{\alpha }_{2}}\cdots \partial {x}_{n}^{{\alpha }_{n}}}.
\]
这类函数引入适当的拓扑后, 就成为完备的线性距离空间,称为施瓦兹空间,记为 \( \mathcal{S} \) . 它有广泛的用途. 显然,有紧支集的无穷次可微函数类 \( {C}_{0}^{\infty } \) 包含在 \( \mathcal{S} \) 内,即 \( {C}_{0}^{\infty } \subset \mathcal{S} \) .
缓增广义函数 (tempered distribution) 施瓦兹空间 \( \mathcal{S} \) 上的连续线性泛函. 这样的广义函数全体在适当的拓扑下,记为 \( {\mathcal{S}}^{\prime }.{\mathcal{S}}^{\prime } \) 的重要性在于可以定义傅里叶变换. 设 \( u \in {\mathcal{S}}^{\prime } \) ,定义其傅里叶变换
\( \widehat{u} \in {\mathcal{S}}^{\prime } : \widehat{u}\left( \varphi \right) = u\left( \widehat{\varphi }\right) \;\left( {\forall \varphi \in \mathcal{S}}\right) . \)
常见的函数 (例如所有 \( 1 \leq p \leq + \infty \) 的 \( {L}^{p} \) 函数) 几乎都是缓增广义函数, 但也存在不是函数的缓增广义函数 (例如 \( \delta \) 函数). 这样一来,大大地扩大了傅里叶变换应用的范围, 发挥了傅里叶变换作为研究函数工具的功效.
弱导数 (weak distribution) 通常导数的一种推广. 设 \( f\left( x\right), g\left( x\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上局部可积的函数, \( \alpha \) \( = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) \in {Z}_{ + }^{n} \) ,记 \( \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} + \cdots + {\alpha }_{n} \) . 如果
\[
{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}f\left( x\right) \frac{{\partial }^{\alpha }\varphi \left( x\right) }{\partial {x}^{\alpha }}\mathrm{d}x = {\left( -1\right) }^{\left| \alpha \right| }{\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}g\left( x\right) \varphi \left( x\right) \mathrm{d}x
\]
对所有的 \( \varphi \left( x\right) \in {C}_{0}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 成立,则称 \( f \) 的 \( \alpha \) 阶弱导数是 \( g \) ,仍记为 \( {D}^{\alpha }f = g \) . 可以验证,当 \( f \) 具有连续的 \( \alpha \) 阶导数时, 弱导数就等于通常导数.
索伯列夫空间 (Sobolev space) 一类重要的可微函数空间. 对于 \( 1 \leq p \leq + \infty \) 及非负整数 \( m \) ,索伯列夫空间 \( {W}^{m, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 定义为
\( \left\{ {f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \mid {\mathrm{D}}^{\alpha }f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) ,0 \leq \left| \alpha \right| \leq m}\right\} , \)
这里 \( {\mathrm{D}}^{\alpha } \) 表示弱导数. 对于 \( f \in {W}^{m, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,定义其范数为
\( \parallel f{\parallel }_{m, p} = {\left\{ \mathop{\sum }\limits_{{0 \leq \left| a\right| \leq m}}{\begin{Vmatrix}{\mathrm{D}}^{a}f\end{Vmatrix}}_{p}^{p}\right\} }^{1/p}\left( {1 \leq p < + \infty }\right) , \)
\( \parallel f{\parallel }_{m,\infty } = \mathop{\max }\limits_{{0 \leq \left| a\right| \leq m}}{\begin{Vmatrix}{\mathrm{D}}^{a}f\end{Vmatrix}}_{\infty }. \)
空间 \( {W}^{m, p} \) 的一个重要推广是允许 \( m \) 为任意的实数. 当 \( s > 0 \) 时, \( {W}^{s, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 的构成参见 “别索夫空间”.
贝塞尔位势空间 (Bessel potential spaces) 索伯列夫空间的一种推广. 设 \( {G}_{\alpha } \) 是由等式 \( {\widehat{G}}_{\alpha }\left( x\right) = (1 \) \( {\left. +4{\pi }^{2}{\left| x\right| }^{2}\right) }^{-\alpha /2} \) 确定的函数. 贝塞尔位势空间 \( {\mathcal{L}}_{\alpha }^{p} \) 被定义为
\[
{\mathcal{L}}_{a}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {{G}_{a} * f \mid f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) }\right\} ,
\]
其中 \( 1 \leq p \leq + \infty ,\alpha \geq 0 \) . 贝塞尔位势空间同索伯列夫空间的关系是 \( {\mathcal{L}}_{k}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = {W}^{k, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,其中 \( 1 < p < \) \( + \infty, k \in \mathrm{N} \) (参见“偏微分方程”).
别索夫空间 (Besov space) 索伯列夫空间的另一种推广. 设 \( s > 0 \) ,写成 \( s = m + \sigma \) ,其中 \( m \) 是整数,而 \( 0 < \sigma \leq 1 \) ,若 \( 1 \leq p \leq + \infty ,1 \leq q \leq + \infty \) ,则 (非齐次) 别索夫空间的定义如下:
\[
{B}_{p, q}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) = \left\{ {f \in {W}^{m, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \mid \parallel f{\parallel }_{{B}_{p, q}^{s}} < + \infty }\right\} ,
\]
其中 \( \parallel f{\parallel }_{{B}_{p, q}^{s}} \) 当 \( q \neq + \infty \) 时等于
\[
\parallel f{\parallel }_{m, p} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = m}}
\]
\[
\cdot {\left( {\int }_{{\mathrm{R}}^{n}}\frac{{\begin{Vmatrix}{D}^{\alpha }f\left( \cdot + t\right) + {D}^{\alpha }f\left( \cdot - t\right) - 2{D}^{\alpha }f\left( \cdot \right) \end{Vmatrix}}_{p}^{q}}{{\left| t\right| }^{n + {\alpha q}}}\mathrm{\;d}t\right) }^{\frac{1}{q}},
\]
当 \( q = + \infty \) 时的 \( \parallel f{\parallel }_{{B}_{p, q}^{s}} \) (即 \( \parallel f{\parallel }_{{B}_{p,\infty }^{s}} \) ) 等于
\[
\parallel f{\parallel }_{m, p} + \mathop{\sum }\limits_{{\left| \alpha \right| = m}}\mathop{\sup }\limits_{{0 \neq t \in {\mathrm{R}}^{n}}}
\]
\[
\text{-}\frac{{\begin{Vmatrix}{D}^{\alpha }f\left( \cdot + t\right) + {D}^{\alpha }f\left( \cdot - t\right) - 2{D}^{\alpha }f\left( \cdot \right) \end{Vmatrix}}_{p}}{{\left| t\right| }^{\sigma }}\text{.}
\]
别索夫空间 \( {B}_{p, q}^{s}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 依范数
\[
\parallel \cdot {\parallel }_{{B}_{p, q}}^{s}
\]
构成巴拿赫空间. 当 \( s = m \in \mathrm{N} \) ,且 \( p = q \) 时, \( {B}_{p, p}^{m}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 与索伯列夫空间 \( {W}^{m, p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 相重合,两者的范数等价. 其他情况下, 两者是不同的. 别索夫空间还有其他等价的定义. 例如, 可以用连续模来定义, 也可以用光滑函数的卷积来定义.
共轭傅里叶积分 (conjugate Fourier integral) 一种特殊的积分变换. 设 \( K \) 是条目 “考尔德伦-赞格蒙奇异积分”中介绍的核函数, \( \widehat{K} \) 是 \( K \) 在广义函数意义下的傅里叶变换. 设 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {1 \leq p \leq 2}\right) .f \) 的共轭傅里叶积分指的是形式积分
\[
{\int }_{{R}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) \widehat{K}\left( y\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x \cdot y}\mathrm{\;d}y.
\]
这个积分在很强的条件下才能是一个真正的收敛的积分.
傅里叶乘子(Fourier multiplier) 通过傅里叶变换定义的一类算子. 设 \( m \in {L}^{\infty }\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) . 在 \( {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 上定义算子
\( {T}_{m} : {T}_{m}\left( f\right) = {\mathcal{F}}^{-1}\left( {m \cdot \widehat{f}}\right) \) (即 \( \mathcal{F}\left( {{T}_{m}\left( f\right) }\right) = m\widehat{f} \) ).
如果存在常数 \( {A}_{p}\left( {1 \leq p \leq + \infty }\right) \) ,使得
\( {\begin{Vmatrix}{T}_{m}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{p} \leq {A}_{p}\parallel f{\parallel }_{p}\left( {\forall f \in {L}^{2}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \cap {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) }\right) , \)
就称 \( m \) 为傅里叶 \( {L}^{p} \) 乘子,简称 \( {L}^{p} \) 乘子. 由 \( m \) 所确定的算子 \( {T}_{m} \) 称为乘子算子. 若 \( m \) 是 \( {L}^{p} \) 乘子,则如上定义的算子 \( {T}_{m} \) 可保范延拓至整个 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) ,成为 \( {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \) 到自身的有界线性算子.
一般地,设 \( P, Q \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上两个具有某种特性的函数类, \( m \) 是定义在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个函数,
\[
{T}_{m}\left( f\right) = {\mathcal{F}}^{-1}\left( {m \cdot \widehat{f}}\right) ,
\]
如对任一 \( f \in P \) ,均有 \( {T}_{m}\left( f\right) \in Q \) ,且
\[
{\begin{Vmatrix}{T}_{m}\left( f\right) \end{Vmatrix}}_{Q} \leq A\parallel f{\parallel }_{P},
\]
则称 \( {T}_{m} \) (或 \( m \) ) 为 \( \left( {P, Q}\right) \) 乘子.
乘子算子 (multiplier operator) 见 “傅里叶乘子”.
米赫林乘子定理 (Mihlin multiplier theorem) 给出函数成为 \( {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 乘子的充分条件的定理. 米赫林乘子定理可叙述如下: 设 \( m\left( x\right) \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上除原点外是 \( k \) 阶连续可微的,其中 \( k \) 为大于 \( n/2 \) 的整数. 又假设 \( m\left( x\right) \) 的所有不超过 \( k \) 阶的偏导数满足条件
\[
\left| {{\left( \frac{\partial }{\partial x}\right) }^{\alpha }m\left( x\right) }\right| \leq B{\left| x\right| }^{-\left| \alpha \right| },
\]
其中 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,{\alpha }_{j} \) 是非负整数, \( \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} \) \( + \cdots + {\alpha }_{n} \leq k \) ,则 \( m\left( x\right) \) 是 \( {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 乘子.
赫尔曼德尔乘子定理 (Hörmander multiplier theorem) 给出函数为 \( {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 乘子的充分条件的定理,是米赫林乘子定理的推广. 设 \( k \) 是大于 \( n/2 \) 的整数, \( m\left( x\right) \in {C}^{k}\left( {{\mathrm{R}}^{n}\smallsetminus \{ 0\} }\right) \) . 如果存在常数 \( B > 0 \) , 使得 \( \left| {m\left( x\right) }\right| \leq B \) ,且
\[
\mathop{\sup }\limits_{{0 < R < + \infty }}{R}^{2\left| \alpha \right| - n}{\int }_{R \leq \left| x\right| \leq {2R}}{\left| \frac{{\partial }^{\alpha }}{\partial {x}^{\alpha }}m\left( x\right) \right| }^{2}\mathrm{\;d}x \leq B
\]
\[
\left( {\left| \alpha \right| \leq k}\right) ,
\]
其中 \( \alpha = \left( {{\alpha }_{1},{\alpha }_{2},\cdots ,{\alpha }_{n}}\right) ,{\alpha }_{j} \) 是非负整数, \( \left| \alpha \right| = {\alpha }_{1} + {\alpha }_{2} \) \( + \cdots + {\alpha }_{n} \) ,那么 \( m\left( x\right) \) 是 \( {L}^{p}\left( {p > 1}\right) \) 乘子.
## 奇异积分算子
考尔德伦-赞格蒙奇异积分 (Calderón-Zyg-mund singular integral) 调和分析中最重要的一类主值积分,即卷积型的奇异积分. 设函数 \( K\left( x\right) \) \( = \Omega \left( x\right) {\left| x\right| }^{-n}\left( {x \neq 0}\right) \) ,其中 \( \Omega \left( x\right) \) 是 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的零次齐次函数, 满足
\[
{\int }_{\left| x\right| = 1}\Omega \left( x\right) \mathrm{d}x = 0,
\]
此外, 还满足一定的光滑条件, 例如
\[
{\int }_{0}^{1}\frac{\omega \left( t\right) }{t}\mathrm{\;d}t < + \infty ,
\]
其中
\[
\omega \left( t\right) = \mathop{\sup }\limits_{\substack{{\left| {x - {x}^{\prime }}\right| \leq t} \\ {\left| x\right| = \left| {x}^{\prime }\right| = 1} }}\left| {\Omega \left( x\right) - \Omega \left( {x}^{\prime }\right) }\right| ;
\]
那么积分
\[
T\left( f\right) \left( y\right)
\]
\[
= \mathop{\lim }\limits_{\substack{{\varepsilon \rightarrow 0} \\ {\delta \rightarrow + \infty } }}{\int }_{\left| {x - y}\right| > \varepsilon }f\left( x\right) \Omega \left( {y - x}\right) {\left| y - x\right| }^{-n}\mathrm{\;d}x
\]
称为函数 \( f \) 关于核 \( K \) 的考尔德伦-赞格蒙奇异积分. 如果 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathrm{R}}^{n}\right) \left( {p \geq 1}\right) \) ,那么上述积分几乎处处存在,于是 \( {Tf} \) 就定义了 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上的一个函数,这个函数称为函数 \( f \) 的考尔德伦-赞格蒙变换.
考尔德伦-赞格蒙变换 (Calderón-Zygmund transform) 见“考尔德伦-赞格蒙奇异积分”.
考尔德伦-赞格蒙分解引理 (Calderón-Zygmund decomposition lemma) 按照给定函数所做的空间 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一种特殊的分解. 设非负函数 \( f \) 在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 上可积, \( \alpha \) 为一正数,则存在 \( {\mathrm{R}}^{n} \) 的一个分解:
\[
{\mathrm{R}}^{n} = F \cup \Omega, F \cap \Omega = \varnothing ,
\]
使得:
1. \( f\left( x\right) \leq \alpha \left( {x \in F}\right) \) a. e. .
2. \( \Omega = \mathop{\bigcup }\limits_{k}{Q}_{k},{Q}_{k} \) 为立方体, \( {Q}_{i} \cap {Q}_{j} = \varnothing \left( {i \neq j}\right) \) ,
有
\[
\alpha < \frac{1}{\left| {Q}_{k}\right| }{\int }_{{Q}_{k}}f\l |