PL9fwy3NUQKwZKOpj354PRgwYPWWgxchnI/TTuKgG0leug.srt

1
00:00:21,090 --> 00:00:23,650
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته  بسم الله الرحمن الرحيم

2
00:00:23,650 --> 00:00:28,010
أهلا طبعا بنرحب فيكم مرة ثانية مستكملة لمحاضراتنا 

3
00:00:28,010 --> 00:00:32,350
وكل عام بخير بمناسبة العيد إن شاء الله  خلاله

4
00:00:32,350 --> 00:00:37,970
هنتذكر إن شاء الله بس بسرعة المحاضرة الأخيرة قبل العيد

5
00:00:37,970 --> 00:00:41,230
كان كنا بنتكلم عن نظرية اسمها الـ fundamental

6
00:00:41,230 --> 00:00:48,200
theorem of cyclic groups طبعا كانت فيها ثلاثة أجزاء

7
00:00:48,200 --> 00:00:54,620
الأول أن أي subgroup من cyclic group بتكون cyclic

8
00:00:54,620 --> 00:00:59,860
أي subgroup من cyclic group بتكون cyclic الجزء 

9
00:00:59,860 --> 00:01:06,900
الثاني أي subgroup هيكون الـ order لها بيقسم الـ

10
00:01:06,900 --> 00:01:10,600
order للـ group في حالة طبعا الـ cyclic group الشغل 

11
00:01:10,600 --> 00:01:15,910
الثالث لو كان عندي قاسم للـ order للجروب أو الـ

12
00:01:15,910 --> 00:01:20,250
cyclic group أنا بقدر أوجد عليها subgroup  بالجروب داخل

13
00:01:20,250 --> 00:01:24,470
الـ cyclic group وبيكون لها نفس الـ order هناخد

14
00:01:24,470 --> 00:01:34,630
مثال سريع في هذه الجزئية هنقول التالي example let

15
00:01:34,630 --> 00:01:45,610
G generated by a with order الـ a بيساوي تلاتين 

16
00:01:45,610 --> 00:01:55,770
المطلوب list all subgroups

17
00:01:55,770 --> 00:02:00,750
of G عندي

18
00:02:00,750 --> 00:02:04,630
group Cyclic الـ G  orderها تلاتين المطلوب مني

19
00:02:04,630 --> 00:02:11,770
أجيب كل group Cyclic من الـ G تعالوا نشوف قليل

20
00:02:11,770 --> 00:02:13,070
الحل قبل أن نبدأ الحل 

21
00:02:15,780 --> 00:02:23,260
cyclic group وبدور على الـ subgroups اللي موجودين

22
00:02:23,260 --> 00:02:27,480
ضمن الـ group إيش هيكونوا الـ subgroups subgroups

23
00:02:27,480 --> 00:02:28,380
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

24
00:02:28,380 --> 00:02:28,800
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

25
00:02:28,800 --> 00:02:28,880
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

26
00:02:28,880 --> 00:02:29,220
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

27
00:02:29,220 --> 00:02:35,780
subgroups subgroups subgroups subgroups

28
00:02:35,780 --> 00:02:41,420
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

29
00:02:41,420 --> 00:02:41,760
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

30
00:02:41,760 --> 00:02:45,720
subgroups subgroups subgroups subgroup يجب أن نبدأ

31
00:02:45,720 --> 00:02:53,140
من أين؟ من قواسم الـ order لمن؟ للـ G since order

32
00:02:53,140 --> 00:02:58,160
الـ G بيساوي order الـ a؟ بيساوي تلاتين and

33
00:02:58,160 --> 00:03:08,180
G is cyclic هذا مش معناته هذا معناته for any divisor

34
00:03:08,180 --> 00:03:11,040
يقسم التلاتين there exist

35
00:03:15,010 --> 00:03:29,290
a unique subgroup H of G with order HD الـ

36
00:03:29,290 --> 00:03:35,510
subgroups المطلوب أن نجيبهم هم عبارة عن مجموعات أو

37
00:03:35,510 --> 00:03:40,070
subgroups من الـ G الـ order له عبارة عن قواسم من؟

38
00:03:40,070 --> 00:03:43,750
التلاتين في البداية هجيب قواسم التلاتين ولكل 

39
00:03:43,750 --> 00:03:51,670
قواسم هجيب الـ subgroup المناسبة the divisors of

40
00:03:51,670 --> 00:04:03,040
تلاتين are من؟ واحد اتنين تلاتة أربعة؟ لأ خمسة ..

41
00:04:03,040 --> 00:04:13,480
ستة .. عشرة .. خمسة عشر .. تلاتين طيب هدول القواسم 

42
00:04:13,480 --> 00:04:18,460
تبعون التلاتين الجزء الثالث من النظرية بيعطينا شغل

43
00:04:18,460 --> 00:04:25,600
ثانية أن الـ subgroup هذي generated by مين؟

44
00:04:29,140 --> 00:04:34,400
تذكروني for any divisor k of n generated by a أس

45
00:04:34,400 --> 00:04:44,380
n على k now for H واحد إيش يعني H واحد يعني الـ sub

46
00:04:44,380 --> 00:04:48,860
group من الـ G اللي الـ order إلها إيش واحد هذه

47
00:04:48,860 --> 00:04:54,830
بتكون generated by مين؟ by a أس تلاتين على واحد

48
00:04:54,830 --> 00:04:59,310
يعني generated by a أس تلاتين a أس تلاتين كده

49
00:04:59,310 --> 00:05:05,970
الشباب a أس تلاتين الـ identity لأن الـ order على الـ a 

50
00:05:05,970 --> 00:05:09,690
بيساوي تلاتين يكبر هذا generated by الـ identity 

51
00:05:09,690 --> 00:05:15,750
ومافيش فيها غير مين مافيش فيها غير مين غير الـ

52
00:05:15,750 --> 00:05:17,970
identity طيب H2

53
00:05:20,000 --> 00:05:23,120
H2 يعني الـ subgroup للـ order اللي هتنين

54
00:05:23,120 --> 00:05:29,340
generated by مين؟ by A أس ثلاثين على اتنين يعني A

55
00:05:29,340 --> 00:05:35,140
أس خمسة عشر اللي عبارة عن الـ identity والـ A أس

56
00:05:35,140 --> 00:05:43,580
خمسة عشر H3 عبارة عن generated by A أس ثلاثين على 

57
00:05:43,580 --> 00:05:49,370
تلاتة يعني by A أس عشرة يعني الـ identity a أس

58
00:05:49,370 --> 00:05:58,030
عشرة a أس عشرين خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة

59
00:05:58,030 --> 00:06:03,830
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة

60
00:06:03,830 --> 00:06:07,990
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة

61
00:06:07,990 --> 00:06:10,390
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة

62
00:06:10,390 --> 00:06:10,650
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة

63
00:06:10,650 --> 00:06:16,430
خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة خمسة حA أس 12 A أس

64
00:06:16,430 --> 00:06:22,470
18 A أس 24 وبقف لأن A أس 30 هترجعني للـ

65
00:06:22,470 --> 00:06:27,330
identity H6 عبارة

66
00:06:27,330 --> 00:06:33,990
عن generated by A أس 30 على 6 يعني A أس 5

67
00:06:35,060 --> 00:06:41,960
Identity أس خمسة أس عشرة أس خمسة عشر أس عشرين

68
00:06:41,960 --> 00:06:47,640
أس خمسة وعشرين ابن جاف لحظة شباب H6 تحتوي

69
00:06:47,640 --> 00:06:56,820
داخلها مين H3 وH2 ليش؟ لأن الخمسة

70
00:06:56,820 --> 00:07:02,620
أو الستة أو التلاتة بتقسم الستة والتنين بتقسم

71
00:07:02,620 --> 00:07:10,840
الستة طيب H مين بعد الستة؟ عشرة فهذا هيساوي الـ

72
00:07:10,840 --> 00:07:16,980
identity a والتلاتة a والستة a والتسعة لعند a

73
00:07:16,980 --> 00:07:25,580
والسبعة وعشرين وH خمسة عشر هتصير a a التربيع a

74
00:07:25,580 --> 00:07:34,820
والأربعة لعند a والتمانية وعشرين وآخر واحدة H30 إلى

75
00:07:34,820 --> 00:07:41,580
الـ generated by الـ A إلى الـ G نفسها طبعا يكسر

76
00:07:41,580 --> 00:07:45,660
عندي listing لكل الـ cyclic subgroup أو لكل الـ

77
00:07:45,660 --> 00:07:51,900
subgroup من الـ group G اللي الـ order إلها بيساوي 30

78
00:07:51,900 --> 00:07:59,620
أي سؤال يا شباب؟ أي 

79
00:07:59,620 --> 00:08:00,240
سؤال؟

80
00:08:03,650 --> 00:08:12,610
طيب لو خلينا هذا نفس المثال لكن على group معروفة الـ

81
00:08:12,610 --> 00:08:19,010
generator إلها بشكل واضح يعني مش a كرقم لو قلنا 

82
00:08:19,010 --> 00:08:27,510
مثلا find all subgroups

83
00:08:27,510 --> 00:08:37,120
of Z 30 إيش هنعمل؟ هنعمل نفس الفكرة اللي اشتغلناها

84
00:08:37,120 --> 00:08:51,440
مع فرق واحد أن الـ A شمالها الـ

85
00:08:51,440 --> 00:08:56,100
A معروف هو الواحد solution

86
00:08:56,100 --> 00:09:02,400
الـ Z 30 عبارة عن generated by الواحد والـ order

87
00:09:02,400 --> 00:09:09,680
للواحد 30 using the

88
00:09:09,680 --> 00:09:18,720
same method in the last example

89
00:09:18,720 --> 00:09:26,520
we get the following cyclic

90
00:09:26,520 --> 00:09:28,980
subgroups

91
00:09:32,670 --> 00:09:41,790
generated by الواحد الـ H1 الواحد ولا مين الواحد

92
00:09:41,790 --> 00:09:46,550
ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا

93
00:09:46,550 --> 00:09:46,730
مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

94
00:09:46,730 --> 00:09:46,870
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

95
00:09:46,870 --> 00:09:47,230
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

96
00:09:47,230 --> 00:09:47,790
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

97
00:09:47,790 --> 00:09:49,670
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

98
00:09:49,670 --> 00:09:49,970
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

99
00:09:49,970 --> 00:09:50,910
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

100
00:09:50,910 --> 00:09:52,310
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

101
00:09:52,310 --> 00:09:53,610
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

102
00:09:53,610 --> 00:09:55,950
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

103
00:09:55,950 --> 00:09:58,750
الواحد

104
00:10:04,130 --> 00:10:13,790
H5 الـ 0 الـ 6 الـ 12 الـ 18 الـ 24 وصولا لـ H30

105
00:10:13,790 --> 00:10:19,970
اللي عبارة عن الـ Z30 نفسه واضح يا عادي؟ واضح يا

106
00:10:19,970 --> 00:10:22,870
شباب؟ في كرولر عن مظهرية اللي فاتت

107
00:10:28,780 --> 00:10:32,780
هي نفس الجزئية الثالثة من النظرية لكن على group

108
00:10:32,780 --> 00:10:44,280
معروفة وهي Z,n for every k

109
00:10:44,280 --> 00:10:50,760
يقسم الـ n there exists a unique subgroup

110
00:10:57,500 --> 00:11:14,340
of ZN with order K namely generated

111
00:11:14,340 --> 00:11:20,260
by مين؟ طبق الـ بند الثالث من النظرية السابقة لكن 

112
00:11:20,260 --> 00:11:26,080
على ZN هيكون واحد أس n على K اللي هو أبعد عن مين؟

113
00:11:27,110 --> 00:11:34,170
n على k مش

114
00:11:34,170 --> 00:11:40,970
بس هيك these are

115
00:11:40,970 --> 00:11:47,630
the only subgroups

116
00:11:47,630 --> 00:11:55,110
of Z طبعا مافيش غيرها مافيش غيرهم هدول لكل قاسم

117
00:11:55,110 --> 00:12:01,530
للـ n هنلاقي subgroup الـ order إلها هذا القاسم وهي

118
00:12:01,530 --> 00:12:07,090
generated by من؟ by n على القاسم طبعا هذا طبقنا

119
00:12:07,090 --> 00:12:17,970
عليه المثال الموجود جانب دي مثال سريع for Z مثلا

120
00:12:17,970 --> 00:12:23,910
عشرين عند من؟ generated by الواحد generated by

121
00:12:23,910 --> 00:12:29,270
الاثنين generated by الأربعة generated by الخمسة

122
00:12:29,270 --> 00:12:36,490
and generated by العشرة and generated by العشرين

123
00:12:36,490 --> 00:12:50,990
دول هم الـ only cyclic subgroups لـ Z عشرين أيه

124
00:12:50,990 --> 00:13:02,430
السؤال يا شباب أي سؤال سؤال عالسريع find the number

125
00:13:02,430 --> 00:13:15,750
of subgroups of G generated by a if order a بيساوي 

126
00:13:15,750 --> 00:13:16,810
خمسة وعشرين

127
00:13:22,100 --> 00:13:28,380
أوجد عدد الـ subgroups اللي موجودين في الجروب G

128
00:13:28,380 --> 00:13:33,620
اللي الـ order للـ generator لها عبارة عن 25 نجيب

129
00:13:33,620 --> 00:13:39,400
عدد قواسم الخمسة والعشرين ويكون هو عدد الـ subgroups

130
00:13:39,400 --> 00:13:44,040
the divisors of

131
00:13:44,040 --> 00:13:51,560
خمسة وعشرين are واحد، خمسة، وخمسة وعشرين يجب كموحدة

132
00:13:52,410 --> 00:14:02,190
there are only three subgroups

133
00:14:02,190 --> 00:14:09,910
of G فقط ثلاثة cyclic subgroups أو subgroups

134
00:14:09,910 --> 00:14:16,630
موجودين هنا أنهينا السؤال المتعلق بعدد الـ cyclic

135
00:14:16,630 --> 00:14:22,350
subgroup بيجي سؤال ثاني، السؤال الأول هو قداش عدد الـ

136
00:14:22,350 --> 00:14:27,970
generator في الـ cyclic group؟ سؤال الثاني لو كان

137
00:14:27,970 --> 00:14:35,190
عندي قاسم للـ order للـ group cyclic نقول لو كان

138
00:14:35,190 --> 00:14:38,610
عندي قاسم فأنا بلاقي subgroup الـ order لهذا

139
00:14:38,610 --> 00:14:41,950
القاسم لما أقول subgroup من cyclic والـ order

140
00:14:41,950 --> 00:14:45,090
لهذا القاسم معناته أنها generator وهذا الـ

141
00:14:45,090 --> 00:14:49,170
generator الـ order له بيساوي القاسم يعني لكل قاسم

142
00:14:49,170 --> 00:14:56,310
لـ order الـ finite group cyclic بلاقي عنصر جوا الـ

143
00:14:56,310 --> 00:15:00,210
لـ group الـ order إيه له هذا القاسم؟ طب السؤال كم

144
00:15:00,210 --> 00:15:06,410
عنصر من هذا النوع بلاجي بلاقي واحد آه طب قداش

145
00:15:06,410 --> 00:15:12,430
بالظبط عشان نقدر نعرف هذا الجواب هنعرف function

146
00:15:12,430 --> 00:15:17,670
اسمه الـ Euler phi function هتدرس بالتفصيل في مساق

147
00:15:17,670 --> 00:15:20,950
نظرية الأعداد definition

148
00:15:23,750 --> 00:15:35,810
Euler Phi Function متعرفة

149
00:15:35,810 --> 00:15:45,290
بالشكل التالي: Φ(1) = 1، if n 

150
00:15:45,290 --> 00:15:52,530
أكبر من واحد then Φ(n) يساوي الـ number

151
00:15:56,000 --> 00:16:03,600
of integers less than

152
00:16:03,600 --> 00:16:11,360
n and عدد العدد الصحيح اللي أقل من الـ n and

153
00:16:11,360 --> 00:16:14,400
relatively

154
00:16:14,400 --> 00:16:17,600
prime

155
00:16:17,600 --> 00:16:21,300
with

156
00:16:24,550 --> 00:16:27,690
طبعًا أنا بتكلم مش عن integers بس أنا ممكن أضيف

157
00:16:27,690 --> 00:16:32,750
كلمة the number of positive integers

158
00:16:32,750 --> 00:16:38,010
عشان ما حدش يروح يحسب لي الأعداد السالبة في ملاحظة

159
00:16:38,010 --> 00:16:45,870
غير أن note that Φ(n) عبارة عن الـ order للـ

160
00:16:45,870 --> 00:16:47,830
group ℤn

161
00:16:49,930 --> 00:16:54,650
Φ(n) عبارة عن order لجروب ℤn وهذا من المنطقي

162
00:16:54,650 --> 00:17:01,930
لأن جروب ℤn تأخذ الأعداد المحصورة بين الواحد و

163
00:17:01,930 --> 00:17:12,590
الـ n والتي تكون relatively prime with الـ n، الـ n

164
00:17:12,590 --> 00:17:16,810
أكبر من واحد ده، لكن أنا ما أعد الـ n بعد الأعداد

165
00:17:16,810 --> 00:17:20,860
الأقل منها فلازم يكونوا positive عشان أنا أشغل صح

166
00:17:20,860 --> 00:17:34,600
طيب كمثال سريع لو

167
00:17:34,600 --> 00:17:39,080
قلنا Φ(2) كده؟

168
00:17:39,080 --> 00:17:44,520
واحد كم عدد جاب للتنين لغاية الـ 10 مع التنين؟

169
00:17:44,520 --> 00:17:45,440
في الـ 10

170
00:17:49,180 --> 00:17:57,880
1، 3، 7، 9 قداش؟ أربعة Φ(10) كم عدد جاب

171
00:17:57,880 --> 00:18:04,780
أي عدد أولي relatively prime مع p - 1، p is

172
00:18:04,780 --> 00:18:16,320
prime طيب Φ(2k) قداش؟ قداش؟

173
00:18:17,630 --> 00:18:20,690
الاعداد الـ relatively prime مع الـ power للتنين هي

174
00:18:20,690 --> 00:18:25,390
الاعداد الفردية فقط اللي عبارة عن إيش؟ 2k - 1

175
00:18:25,390 --> 00:18:33,390
لو قلنا Φ(pk) عبارة

176
00:18:33,390 --> 00:18:37,030
عن إيش؟

177
00:18:37,030 --> 00:18:42,590
pk

178
00:18:42,590 --> 00:18:47,350
- 1

179
00:18:48,650 --> 00:18:53,070
هذا بصورة عامة لهذه العلاقة عشان نعممها على الأكثر

180
00:18:53,070 --> 00:19:02,490
if n بدأت عن p1k1، p2k2، and prkr هيكون

181
00:19:02,490 --> 00:19:18,850
then Φ(n) بدأت عن p1k1 - p1k1-1، في p2 - p2

182
00:19:18,850 --> 00:19:26,810
- p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2

183
00:19:26,810 --> 00:19:28,430
- p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2 - p2

184
00:19:28,430 --> 00:19:33,490
- p2 - p2 - p2

185
00:19:33,910 --> 00:19:40,010
والتفاصيل التفاصيل لكن بستعمل فيها concepts مش

186
00:19:40,010 --> 00:19:43,210
موجودة عندي في هذا المساق أشتغل على الـ

187
00:19:43,210 --> 00:19:47,710
multiplicative functions وبعض الأمور من هذا النوع

188
00:19:47,710 --> 00:19:54,370
طيب

189
00:19:54,370 --> 00:19:58,010
إيش دخل الـ function هذه في موضوعنا؟ هتيجي النظرية

190
00:19:58,010 --> 00:20:01,230
الرابعة والرابعة وتوضح

191
00:20:05,040 --> 00:20:09,440
بنخلصها إن شاء الله بضبط نظرية واحدة = رقم

192
00:20:09,440 --> 00:20:17,120
معين let J = generated by a و نعتبر a

193
00:20:17,120 --> 00:20:18,100
= n

194
00:20:21,780 --> 00:20:25,380
d يقسم n طبعًا d يقسم n احنا هيك بنقول إن

195
00:20:25,380 --> 00:20:29,600
يوجد only one subgroup of order d namely

196
00:20:29,600 --> 00:20:34,500
generated by a<sup>n/d</sup> هيت السؤال قداش عدد الـ

197
00:20:34,500 --> 00:20:40,600
generator then the

198
00:20:40,600 --> 00:20:48,320
elements or the number of

199
00:20:48,320 --> 00:20:49,080
elements

200
00:20:51,850 --> 00:21:05,150
in J with order d is Φ(d) عدد العناصر في J اللي

201
00:21:05,150 --> 00:21:12,610
الـ order لهم بيساوي d بيساوي إيش؟ Φ(d) نيجي نثبت

202
00:21:12,610 --> 00:21:16,270
نيجي

203
00:21:16,270 --> 00:21:17,690
نثبت العلاقة

204
00:21:20,740 --> 00:21:28,020
الرابعة ثلاثة part c إيش الـ part c في النظرية هذه

205
00:21:28,020 --> 00:21:35,760
بيقول؟ there exist a unique .. طبعًا there exist

206
00:21:35,760 --> 00:21:42,040
unique subgroup of

207
00:21:42,040 --> 00:21:48,440
J with order d

208
00:21:48,440 --> 00:21:50,100
namely

209
00:21:53,030 --> 00:22:01,270
generated by a<sup>n/d</sup> طيب

210
00:22:01,270 --> 00:22:06,550
هل جيت؟ مدة ما فيش غير هذه الـ subgroup الـ order

211
00:22:06,550 --> 00:22:10,570
اللي هي d، فالعناصر للـ order اللي هي d ممكن تكون

212
00:22:10,570 --> 00:22:11,350
موجودة برة

213
00:22:15,080 --> 00:22:19,640
الـ uniqueness لهذه الـ subgroup بخليني أقول إنه

214
00:22:19,640 --> 00:22:24,920
جميع العناصر اللي الـ order لها d واللي موجودة

215
00:22:24,920 --> 00:22:35,780
دي هي هذه الـ subgroup، هذا معناته all elements in J

216
00:22:35,780 --> 00:22:48,500
with order d are in this subgroup طيب

217
00:22:48,500 --> 00:22:52,840
كل

218
00:22:52,840 --> 00:22:57,080
العناصر للـ order اللي d موجودين هنا يعني بـ  أنا

219
00:22:57,080 --> 00:23:01,960
عرفت أكمع عنصر الـ order اللي d في هذه الـ subgroup

220
00:23:01,960 --> 00:23:08,420
بكون خلصت now each

221
00:23:08,420 --> 00:23:12,900
one of these elements

222
00:23:16,390 --> 00:23:23,370
is a generator of

223
00:23:23,370 --> 00:23:30,930
this subgroup

224
00:23:30,930 --> 00:23:38,070
ليش؟ العنصر هذا الـ order له d وموجود في group الـ

225
00:23:38,070 --> 00:23:44,130
order له d إيه بيكون لها؟ بيكون لها مولّب، بيكون

226
00:23:44,130 --> 00:23:49,090
generator Now if

227
00:23:49,090 --> 00:23:56,370
generated by a<sup>n/d</sup> ممكن أكتبها generated by

228
00:23:56,370 --> 00:24:05,470
p with order p = d then the other

229
00:24:05,470 --> 00:24:10,130
generators

230
00:24:10,130 --> 00:24:13,110
are of the form

231
00:24:16,330 --> 00:24:29,370
p<sup>k</sup> والجريس common divisor لـ d و k، و d = 1 رجع

232
00:24:29,370 --> 00:24:34,030
ليش؟ لنظرية اللي أخذناها في أول الchapter إن الـ

233
00:24:34,030 --> 00:24:39,090
generator أو الـ .. الـ .. حيكون عبارة عن عناصر الـ

234
00:24:39,090 --> 00:24:42,790
order أو الـ .. الـ .. الـ .. الـ .. الـ power تبعها

235
00:24:42,790 --> 00:24:47,230
لـ p<sup>k</sup> الـ divisor إلها relative لبرايم مع order لـ

236
00:24:47,230 --> 00:24:53,030
group نفسها كم كيب اللاجي كم

237
00:24:53,030 --> 00:24:59,410
كيب اللاجي relative لبرايم مع d يا شباب and we

238
00:24:59,410 --> 00:25:12,810
can find .. find Φ(d) of this such k بقدر ألاقي

239
00:25:12,810 --> 00:25:22,790
Φ(d) من هذه الأرقام k so the number of elements

240
00:25:22,790 --> 0:25:35,510
in J with order d is Φ(d) وهو المطلوب

241
00:25:42,170 --> 00:25:45,330
اللي صار كانت ثانية يا شباب أنا بدور على عناصر للـ

242
00:25:45,330 --> 00:25:49,450
order d نقلت المسألة من إني أبحث في الـ J كلها

243
00:25:49,450 --> 00:25:54,170
لإني أبحث وين في الـ subgroup للـ order d ميزة

244
00:25:54,170 --> 00:25:58,610
العناصر هنا للـ order d إنها generator أنا عشان

245
00:25:58,610 --> 00:26:02,430
أعد كام generator بأخد واحد من هذه الـ generators

246
00:26:02,430 --> 00:26:06,890
فليكن p وباقي الـ generators عبارة عن p<sup>k</sup> و

247
00:26:06,890 --> 00:26:11,250
الـ k relative لبرايم مع مين؟ مع الـ d كم عنصر بقدر

248
00:26:11,250 --> 00:26:15,110
أجري relative لبرايم مع الـ d وأجال من الـ d محصوب من

249
00:26:15,110 --> 00:26:19,390
الـ d والواحد وعبارة عن Φ(d) وبالتالي وجد Φ(d)

250
00:26:19,390 --> 00:26:25,270
subgroup 

251
00:26:25,270 --> 00:26:30,010
وحيدة في الـ G لكن كم element بولدها وحيد

252
00:26:36,100 --> 00:26:42,140
يعني مثلا الـ z يوجد في الـ z 30 only subgroup of

253
00:26:42,140 --> 00:26:47,240
order 15 هي generated by a 2 طبعا الـ a 2 في الـ z

254
00:26:47,240 --> 00:26:52,120
30 يعني هي by 2 بس كم generator للـ generated by

255
00:26:52,120 --> 00:26:58,260
2 في الـ z 30 بولد

256
00:26:58,260 --> 00:27:03,520
الـ generated by 2 ما تقوليش فيه 2 لأ فيه 30

257
00:27:03,520 --> 00:27:13,280
على 2 فيه 15 لو أعتقد بيطلع ثمانية طيب ناخذ مثال

258
00:27:13,280 --> 00:27:27,140
رقمي من في الـ chapter then

259
00:27:27,140 --> 00:27:33,260
find the

260
00:27:33,260 --> 00:27:39,200
number of elements in

261
00:27:39,200 --> 00:27:49,720
z 40 with order 20

262
00:27:49,720 --> 00:28:02,020
كم عنصر في z 40 الـ order لهم 20 فعل

263
00:28:02,020 --> 00:28:09,740
20 هذه النظرية اللي قدامك سهلوشين هناك

264
00:28:09,740 --> 00:28:20,800
فايل 20 فايل

265
00:28:20,800 --> 00:28:31,900
20 كده فايل 20 ثمانية تقدر

266
00:28:31,900 --> 00:28:32,320
تجيبهم

267
00:28:35,510 --> 00:28:43,310
تقدر تجيبهم؟ هذه العناصر الأخضر إلها ثمانية تعالوا

268
00:28:43,310 --> 00:28:55,170
نفكر We to find them We

269
00:28:55,170 --> 00:29:02,810
find one Let

270
00:29:06,040 --> 00:29:13,900
مثلا a ينتمي لـ زد 40 و order الـ a بيساوي إيش؟

271
00:29:13,900 --> 00:29:22,420
20 الـ a إيش هيساوي؟ مين هو العنصر اللي في زد

272
00:29:22,420 --> 00:29:25,020
40؟ أو  أول واحد من العناصر اللي في زد 40

273
00:29:25,020 --> 00:29:29,540
اللي الـ order له 20؟

274
00:29:29,540 --> 00:29:33,980
الـ a أو

275
00:29:33,980 --> 00:29:39,490
find ممكن ناخذ الـ a عبارة عن واحد اضرب 40 على

276
00:29:39,490 --> 00:29:45,350
20 اللي هو عبارة عن 2 واحد اضرب 20 و

277
00:29:45,350 --> 00:29:50,790
واحد اضرب 2 اللي هو 2 في زد 40 إيه

278
00:29:50,790 --> 00:29:53,850
بالعنصر اللي الـ order إيه له 20 أو واحد العناصر

279
00:29:53,850 --> 00:29:59,210
اللي الـ order إيه له 20 في زد 40 هو مين الـ

280
00:29:59,210 --> 00:30:02,570
other elements are

281
00:30:06,130 --> 00:30:12,190
ثانية نقص ثانية

282
00:30:12,190 --> 00:30:17,070
نقص تسعة

283
00:30:17,070 --> 00:30:21,430
أو سبعة في الأول ثانية نقص تسعة ثانية نقص أحد عشر

284
00:30:21,430 --> 00:30:35,650
ثانية نقص ثلاثة عشر ثانية نقص 17 2 19 2 6 14 18 22 26

285
00:30:35,650 --> 00:30:48,250
34 38 هذه هي العناصر اللي الـ order لها يساوي 20 في

286
00:30:48,250 --> 00:30:54,450
z 40 تمام

287
00:30:58,650 --> 00:31:05,490
ما هو هذا زد n الاص بيصير 2 اص 1 يعني أنا

288
00:31:05,490 --> 00:31:07,790
واحد في 2 2 2 اص 3 أنا 3 في

289
00:31:07,790 --> 00:31:20,350
2 6 2 اص 1 هذي لأ هذي سهلة هنفوت

290
00:31:20,350 --> 00:31:26,250
هناخد جزء discussion مناقشة طبعا محاضرة الجزء اللي

291
00:31:26,250 --> 00:31:29,550
ضال من محاضرة اليوم زاد المحاضرة اللي هناخدها

292
00:31:29,550 --> 00:31:34,270
الساعة 12 زاد محاضرة الاثنين هنناقش فيهم مجموعة من

293
00:31:34,270 --> 00:31:39,770
أسئلة chapter 4 ما بعرف هل هنخلص أو لأ إذا ما

294
00:31:39,770 --> 00:31:43,870
خلصنا ممكن ناخذ محاضرة الأربعاء أو محاضرة تعويضية

295
00:31:43,870 --> 00:31:55,450
للمناقشة أنا همسح الجزء هذا طبعا

296
00:31:57,470 --> 00:31:59,950
زي ما أنت شايف هذا الـ chapter الأسئلة عددها كبير

297
00:31:59,950 --> 00:32:05,030
يعني ما يقارب حوالي من خمسة وربع لخمسين سؤال ف أنا

298
00:32:05,030 --> 00:32:07,990
مش هعمل زي الـ chapter الفاتح اللي الجميع هي بعض

299
00:32:07,990 --> 00:32:13,730
الأسئلة هعطيك مساعدة إليك فيها و أنت تكمل يعني

300
00:32:13,730 --> 00:32:17,810
خصوصا الأسئلة من واحد لخمسة عشر إما أسئلة حسابية أو

301
00:32:17,810 --> 00:32:23,730
أسئلة سهل إن الطالب يقدر يعرفها لوحده

302
00:32:43,420 --> 00:32:49,200
السؤال الأول find all generator of z6, z8, z20

303
00:32:49,200 --> 00:32:56,660
طبعا الـ generator غيرنا عبارة عن مين؟ لو طلعنا على

304
00:32:56,660 --> 00:33:02,540
نظرية أو corollary لنظرية الأولى كان بيقولك الـ

305
00:33:02,540 --> 00:33:06,660
generator لـ zn هي عبارة عن مين؟ عن الأرقام اللي

306
00:33:06,660 --> 00:33:10,160
relative لـ برايم مع الـ n اللي هي فعليا عبارة عن إيش؟

307
00:33:10,160 --> 00:33:15,950
عناصر الـ UN فلو داشت على زد 30 أو زد 20

308
00:33:15,950 --> 00:33:21,470
منهم ما هيكونوا 1 و 3 و 7 و 9 11

309
00:33:21,470 --> 00:33:26,250
13 17 19 أعتقد حلنا السؤال على ز

310
00:33:26,250 --> 00:33:36,580
30 أثناء الحل لو دينا سؤال 2 Suppose that

311
00:33:36,580 --> 00:33:39,960
A, B or generated by A, generated by B, generated

312
00:33:39,960 --> 00:33:45,040
by C are cyclic group of order 6, 8, 20 Find all

313
00:33:45,040 --> 00:33:49,300
generators generated by A, generated by B,

314
00:33:49,540 --> 00:33:53,780
generated by C حلنا سؤال على هذا النمط، لو اشتغلنا

315
00:33:53,780 --> 00:33:58,680
مثلا على generated by C و الـ order لـ C بدي يساوي

316
00:33:58,680 --> 0:34:03,420
20 فـ generated by C هو نفسه generated by C تكعيب

317
00:34:04,170 --> 00:34:08,850
Generated by C أس 7 Generated by C أس 9

318
00:34:08,850 --> 00:34:08,930
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9

319
00:34:08,930 --> 00:34:10,850
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9

320
00:34:10,850 --> 00:34:12,410
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9

321
00:34:12,410 --> 00:34:12,690
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9

322
00:34:12,690 --> 00:34:12,710
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9

323
00:34:12,710 --> 00:34:15,370
Generated by C أس 9 Generated by C أس 9

324
00:34:15,370 --> 00:34:21,850
Generated by C أس 9 Generated

325
00:34:21,850 --> 00:34:29,600
by C أس 9 Generated by list all elements of the

326
00:34:29,600 --> 00:34:35,580
subgroups generated by 20 generated by 10 in z 30

327
00:34:35,580 --> 00:34:42,040
let a,b طبعا سؤال 3 هو نفسه 1 و 2 لكن

328
00:34:42,040 --> 00:34:50,240
على مين على الـ order 30 تقل

329
00:34:50,240 --> 00:34:51,960
السؤال الرابع when

330
00:34:56,310 --> 00:35:07,450
C plus 1 هي نفس الـ C سؤال

331
00:35:07,450 --> 00:35:19,490
4 زي سؤال 3 سؤال 5 في شغل نشغل في U20 يو

332
00:35:19,490 --> 00:35:24,790
20 جداش يا شباب؟ 1، 3، 7، 9، 11،

333
00:35:24,790 --> 00:35:30,650
13، 17، 19 List the elements of

334
00:35:30,650 --> 00:35:34,430
generated by 3 و 7 ناخذ generated by 7

335
00:35:34,430 --> 00:35:43,250
مثلا اللي عبارة عن الـ 1 الـ 7 7 تربيع جداش؟

336
00:35:43,250 --> 00:35:50,760
49 مدة 20 جداش؟ 9 7 تكعيب يعني

337
00:35:50,760 --> 00:36:02,320
7 في 9 63 قصتين 3 7 أس 4 يعني

338
00:36:02,320 --> 00:36:07,200
7 في 3 يعني 21 و 1 طبعا

339
00:36:07,200 --> 00:36:14,020
generated by 3 عبارة عن من؟ 1 3 3

340
00:36:14,020 --> 00:36:17,980
تربيع 9 بعدين 27 7 بعدين 1 بعدين

341
00:36:21,630 --> 00:36:26,370
طيب سؤال الـ 6 what do exercises 3 و 4 و

342
00:36:26,370 --> 00:36:29,510
5 have in common try to make a generalization

343
00:36:29,510 --> 00:36:36,730
that includes these three cases أنت لما تحل سؤال

344
00:36:36,730 --> 00:36:43,070
3 و 4 و 5 إيش بتستنتجه؟

345
00:36:43,070 --> 00:36:49,430
إيش الاستنتاجات اللي ممكن تستنتجها؟ لو طلعنا على 5

346
00:36:50,250 --> 00:36:54,730
هنستنتج أن الـ generated by الـ element و الـ

347
00:36:54,730 --> 00:37:00,530
generated by الـ inverse تبعهم نفس الشيء طيب لو

348
00:37:00,530 --> 00:37:03,410
جينا للسؤال 4 list the elements of the subgroups 3

349
00:37:03,410 --> 00:37:08,490
and 15 in Z18 الـ 3 و الـ 15 في Z18 شمالهم

350
00:37:08,490 --> 00:37:12,310
برضه inverse لو جينا للسؤال 3

351
00:37:16,050 --> 00:37:19,390
10 و 20 في زي الـ 30 شمالهم برضه inverse

352
00:37:19,390 --> 00:37:24,630
يجب الاستنتاج تبع سؤال 3 أو 4 أو 5 اللي

353
00:37:24,630 --> 00:37:30,010
أنا بدي أحطه في سؤال 6 أنه generated by الـ a

354
00:37:30,010 --> 00:37:38,670
generated by الـ a inverse وهذا أثبتناه في chapter

355
00:37:38,670 --> 00:37:39,450
3

356
00:37:42,190 --> 00:37:47,870
طيب 7 find an example of a non-cyclic group all

357
00:37:47,870 --> 00:37:53,810
of whose proper subgroup are cyclic اعطيني group

358
00:37:53,810 --> 00:38:01,210
not cyclic لأن كل الـ subgroup اسمينها cyclic ما ارت

359
00:38:01,210 --> 00:38:07,730
علينا في الـ chapter اللي فات خدناها D6

360
00:38:07,730 --> 00:38:11,490
و D4 أي واحدة من الـ D

361
00:38:14,340 --> 00:38:23,440
بتكون صحيحة D4 أو D6 أو D8 بكون

362
00:38:23,440 --> 00:38:33,260
صح الـ U8 سائق لك الـ U8 صح

363
00:38:33,260 --> 00:38:39,200
صح الـ U8 8

364
00:38:41,150 --> 00:38:44,110
let a be an element of a group and let order a

365
00:38:44,110 --> 00:38:47,990
بيساوي 15 compute the orders of the following طبعا

366
00:38:47,990 --> 00:38:57,390
هذا سهل مثلا الـ order لـ a أس 9 عبارة عن عبارة عن

367
00:38:57,390 --> 00:39:04,510
إيش الـ order لـ a أس k عبارة عن إيش في نظرية في أول

368
00:39:04,510 --> 00:39:10,650
واحدة خدناها and على الـ order لـ a of k عبارة عن n

369
00:39:10,650 --> 00:39:14,690
على الـ gcd لـ n و k يعني عبارة عن

370
00:39:14,690 --> 00:39:20,170
15 على gcd لـ 15 و 9 فتطلع

371
00:39:20,170 --> 00:39:27,450
5 طبعا نفس القصة في b و نفس القصة في c

372
00:39:33,530 --> 00:39:41,330
سؤال 9 how many subgroups of Z20 توحي لنا توحي

373
00:39:41,330 --> 00:39:47,070
لنا يا شباب في Z20 كم subgroup اللي أجي؟ عوامل الـ 20

374
00:39:47,070 --> 00:39:51,850
عوامل الـ 20 أو عوامل الـ 20؟ لأ عوامل الـ 20

375
00:39:51,850 --> 00:39:56,530
generator لكن subgroup إحنا قلنا فيه عددين عدد ال 

376
00:39:56,530 --> 00:40:01,370
subgroups اللي هو عدد القواسم لكن عدد ال generator

377
00:40:01,370 --> 00:40:08,170
اللي هو ال file عدد القواسم من ال 20 جديش 1، 2، 4، 

378
00:40:08,170 --> 00:40:14,250
5، 10، و 20 طبعا سهل أنك تتعامل مع هذا السؤال سؤال

379
00:40:14,250 --> 00:40:20,770
10 انزد 24 list all generator سؤال 10 زي سؤال 9

380
00:40:20,770 --> 00:40:27,470
سؤال 11 generated by ال A inverse ممكن تساوي

381
00:40:27,470 --> 00:40:28,410
generated by D

382
00:40:33,860 --> 00:40:42,580
أه كيف نثبتها دي في

383
00:40:42,580 --> 00:40:46,980
طريقة ثانية أما طريقة الـ C3 answer hand موجودة

384
00:40:46,980 --> 00:40:53,420
هنا والعكس أو طريقة مباشرة generated by ال A

385
00:40:53,420 --> 00:41:00,740
عبارة عن ايش عبارة عن ال A to K I to K من وين

386
00:41:06,270 --> 00:41:14,650
هو نفسه عبارة عن a أس سالب k حيث سالب k في زي اين

387
00:41:14,650 --> 00:41:23,710
طب a أس سالب k عبارة عن ايش a inverse أس k حيث k

388
00:41:23,710 --> 00:41:30,670
في زي اللي هو عبارة عن generated by a inverse طبعا

389
00:41:30,670 --> 00:41:37,550
السبب أن هذه الجملة K في Z و A to K تكافئ A و سالب

390
00:41:37,550 --> 00:41:42,310
K و سالب K في Z هجيتها دي خلتها زي ما هي سالب K في

391
00:41:42,310 --> 00:41:49,110
Z تكافئ أن K و A موجودة في Z بصر Generated by A هي

392
00:41:49,110 --> 00:41:52,370
نفسه Generated by A inverse إذا كان حاسس أنك مش

393
00:41:52,370 --> 00:41:58,750
فاهم هذه الطريقة بإمكانك تاخد answer هنا عنصر P

394
00:41:58,750 --> 00:42:02,110
ينتبه الـ generated by الـ A فعبارة عن ال A to T

395
00:42:02,110 --> 00:42:06,970
فهو نفس ال A inverse السلب T فصار العنصر موجود في

396
00:42:06,970 --> 00:42:18,610
generated by ال A inverse والعكس صحيح السؤال

397
00:42:18,610 --> 00:42:21,930
12 in Z find all generators of the subgroup

398
00:42:21,930 --> 00:42:25,270
generated by تلاتة طبعا

399
00:42:28,140 --> 00:42:31,620
في z generated by التلاتة عبارة عن ايش يا شباب

400
00:42:31,620 --> 00:42:35,000
generated

401
00:42:35,000 --> 00:42:40,540
by التلاتة في z صفر موجب سالب تلاتة موجب سالب ستة

402
00:42:40,540 --> 00:42:49,360
موجب سالب تسعة إلى آخرين بدنا ال generator لهذه

403
00:42:49,360 --> 00:42:54,980
ال subgroup ال

404
00:42:54,980 --> 00:42:56,420
generators عبارة عن

405
00:43:00,720 --> 00:43:08,300
التلاتة ومين كمان؟ والسالب تلاتة حالي بيقدر يقول

406
00:43:08,300 --> 00:43:13,980
لي ليش ماخدتش غيره؟ أنا لو أخدت الستة، الستة مش

407
00:43:13,980 --> 00:43:19,880
هتولد التلاتة، أنا بشغل في infinite الجهود، لو

408
00:43:19,880 --> 00:43:23,660
أخدت التسعة، التسعة مش هتولد الستة، يعني مافيش

409
00:43:23,660 --> 00:43:28,510
جدام غير مين؟ موجب سالب تلاتة طب هنتعميمها في ال

410
00:43:28,510 --> 00:43:36,410
infinite order ال generator by a تكييب هي نفس ال a

411
00:43:36,410 --> 00:43:46,090
تكييب وال a والسالب تلاتة هننهي عن السؤال تلتاشر

412
00:43:46,090 --> 00:43:50,610
إن شاء الله بنكمل في محاضرة اليوم الساعة اتناشر

413
00:43:50,610 --> 00:43:53,550
بقى في الأسئلة يعطيكوا العافية كل عام تبقى مرة

414
00:43:53,550 --> 00:43:53,910
ثانية