PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/FLAtGDd1wro.srt

1
00:00:04,960 --> 00:00:09,520
بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 27 مساق

2
00:00:09,520 --> 00:00:14,620
تحليل حقيقي 2 طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية كلية

3
00:00:14,620 --> 00:00:19,740
العلوم قسم رياضيات اللي هنكمل اليوم إن شاء الله 

4
00:00:19,740 --> 00:00:23,560
اللي بدأناها المرة الماضية اللي هو tests for

5
00:00:23,560 --> 00:00:26,400
absolute convergence tests for absolute

6
00:00:26,400 --> 00:00:29,770
convergence حكينا المرة الماضية على الـ Comparison

7
00:00:29,770 --> 00:00:33,870
Test وقلنا إنه الـ Comparison Test بنيجي بنقارن

8
00:00:33,870 --> 00:00:37,610
اللي هو Series  الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... 

9
00:00:37,610 --> 00:00:37,790
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

10
00:00:37,790 --> 00:00:39,290
الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

11
00:00:39,290 --> 00:00:39,890
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

12
00:00:39,890 --> 00:00:40,250
الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

13
00:00:40,250 --> 00:00:40,570
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

14
00:00:40,570 --> 00:00:42,550
الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

15
00:00:42,550 --> 00:00:44,930
.. الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ ... الـ

16
00:00:44,930 --> 00:00:49,270
الـ converges ولو كانت اللي هي الصغيرة diverges من

17
00:00:49,270 --> 00:00:52,690
باب أولى هتكون اللي أكبر diverges هذا ال

18
00:00:52,690 --> 00:00:55,250
comparison test وبعدين أخذنا ال limit comparison

19
00:00:55,250 --> 00:00:59,570
test اللي هو اللي بيقارن بين اللي هو limit XN على

20
00:00:59,570 --> 00:01:05,070
YN لو كان عندي لا يساوي صفر معناته يتأكد هي ال then

21
00:01:05,070 --> 00:01:07,930
اللي هو summation للـ XN converges  و YN دول ال

22
00:01:07,930 --> 00:01:10,450
summation converges يعني التنتين يعني converges

23
00:01:10,450 --> 00:01:14,980
التنتين diverges لكن الـ N لو كان ال limit في الـ ..

24
00:01:14,980 --> 00:01:19,860
في الـ ... في الـ ... في الـ limit XN على YN بيساوي 0

25
00:01:19,860 --> 00:01:24,040
لو ساوي 0 وكانت اللي هي اللي تحت اللي هي is

26
00:01:24,040 --> 00:01:26,980
convergent أكيد اللي هي اللي فوق هتكون is

27
00:01:26,980 --> 00:01:31,950
convergent الآن اللي هو بعد هيك أخذنا اللي هو الـ

28
00:01:31,950 --> 00:01:35,350
Root and Ratio Test الـ Root and Ratio Test قلنا

29
00:01:35,350 --> 00:01:38,470
اللي هو اللي بنيجي بنفحص اللي هو Absolute Value لـ

30
00:01:38,470 --> 00:01:42,030
XN أصغر من 1 ل N لو من عند N أكبر من أو يساوي K طالع

31
00:01:42,030 --> 00:01:45,650
اللي هي عندي XN أصغر من 1 ل N أصغر من R الآن 

32
00:01:45,650 --> 00:01:48,910
ال Series اللي عندي هذه بتكون شاملها Absolutely 

33
00:01:48,910 --> 00:01:53,610
Convergent لما تكون الـ R أصغر من 1 لو كان اللي هو

34
00:01:53,610 --> 00:01:58,870
طلع عندي الـ Xn-1  لأن أكبر من أو يساوي 1 لكل n أكبر 

35
00:01:58,870 --> 00:02:01,630
من أو يساوي K بيكون ال series اللي هي summation Xn

36
00:02:01,630 --> 00:02:06,030
شاملها is divergent أخذنا كورولري عليها اللي هو

37
00:02:06,030 --> 00:02:10,150
بدل ما على ال terms أخذنا ال limit للـ Xn-1 لأن

38
00:02:10,150 --> 00:02:13,270
اللي هو لو لجناها بتساوي R بيكون ال summation 

39
00:02:13,270 --> 00:02:16,770
absolutely convergent لما R أصغر من 1 و

40
00:02:16,770 --> 00:02:24,020
divergent لما R أكبر من 1 أو لما الـ R بتساوي

41
00:02:24,020 --> 00:02:28,360
واحد No conclusion بعدين اجينا أخذنا ال ratio test

42
00:02:28,360 --> 00:02:32,500
ال ratio test اللي هو مقارنة في داخل ال series

43
00:02:32,500 --> 00:02:37,060
نفسها يعني الـ XN زائد واحد على XN اللي هو أصغر من أو يساوي

44
00:02:37,060 --> 00:02:43,470
R لجناها لكل N أكبر من أو يساوي K ولاقينا الـ R هنا أصغر من

45
00:02:43,470 --> 00:02:46,290
واحد فبصير ال submission للإكسات is absolutely

46
00:02:46,290 --> 00:02:50,030
convergent لو كانت اللي طلعت عندي هذه أكبر من أو

47
00:02:50,030 --> 00:02:54,670
يساوي واحد بتكون ال series is divergent هذا حكيناه

48
00:02:54,670 --> 00:02:57,850
المرة الماضية وقلنا برضه اللي هو في عندي Corollary

49
00:02:57,850 --> 00:03:01,130
لو كان أخذنا limit للإكسات زيادة واحد على الإكسات لقيناها

50
00:03:01,130 --> 00:03:05,090
بساوى R الآن حسب اللي هي R ده كانت R أكبر من واحد

51
00:03:05,090 --> 00:03:08,670
اللي هو عبارة عن Convergent ولو كانت R أكبر من 

52
00:03:08,670 --> 00:03:11,830
واحد بتكون Divergent وعند R بيساوى واحد ال test  فعلًا

53
00:03:12,390 --> 00:03:15,930
الآن أوصلنا لعند مين لعند الـ Integral Test

54
00:03:15,930 --> 00:03:19,450
وخلينا اليوم اللي هو نبحث في اللي هو الـ Integral

55
00:03:19,450 --> 00:03:23,770
Test ونشوف كيف نبرهن اللي هو الـ Integral Test

56
00:03:23,770 --> 00:03:31,720
ونشوف إيش هو الآن خليكم معنا ال Integral Test الـ

57
00:03:31,720 --> 00:03:36,740
927 let F be a positive decreasing function on T,

58
00:03:36,800 --> 00:03:40,760
T أكبر من أو يساوي واحد يعني الـ F عبارة عن positive و

59
00:03:40,760 --> 00:03:44,720
decreasing function يعني فوق اللي هو الـ X-axis و

60
00:03:44,720 --> 00:03:48,580
decreasing عالمين على الفترة من واحد إلى ما لا 

61
00:03:48,580 --> 00:03:56,530
نهاية العنوان ثم السيريز summation للأف أن تتعامل إذا

62
00:03:56,530 --> 00:04:03,170
انتقلت من واحد إلى ما لا نهاية f of t dt بيساوي limit من

63
00:04:03,170 --> 00:04:07,010
واحد عند n as n goes to infinity f of t dt exists

64
00:04:07,590 --> 00:04:12,570
إذن الآن وكأنه حولنا الحديث من ال convergence اللي

65
00:04:12,570 --> 00:04:17,470
هو series إلى convergence of proper integral يعني

66
00:04:17,470 --> 00:04:21,690
الآن بنقول إن ال series هذه summation f of n

67
00:04:21,690 --> 00:04:26,290
converges إذا وفقط إذا كان ال proper integral من 1

68
00:04:26,290 --> 00:04:31,780
إلى ما لا نهاية الـ f of t dt is convergent In this case

69
00:04:31,780 --> 00:04:35,940
لو كان في ال convergence حادث In this case أو in

70
00:04:35,940 --> 00:04:40,420
the case of convergence The partial sum Sn وال

71
00:04:40,420 --> 00:04:43,460
partial sum اللي هو sequence of partial sum زائد Sn

72
00:04:43,460 --> 00:04:46,900
and اللي بيساوي summation F of K, K من عند واحد

73
00:04:46,900 --> 00:04:51,520
لعند N and the sum S بيساوي ال summation للـ F of

74
00:04:51,520 --> 00:04:55,820
K, K من عند واحد إلى ما لا نهاية satisfy the

75
00:04:55,820 --> 00:05:02,530
estimate التاليدايمًا هنلاقي المسافة بين الـ S وال

76
00:05:02,530 --> 00:05:05,710
الـ Sn S ناقص Sn هتكون أصغر من أو يساوي ال

77
00:05:05,710 --> 00:05:09,150
integration من N إلى ما لا نهاية للـ F of T DT و

78
00:05:09,150 --> 00:05:13,010
أكبر من أو يساوي ال integration من N زائد واحد لعند

79
00:05:13,010 --> 00:05:16,550
ما لا نهاية يعني الـ S minus Sn S اللي هي مجموع الـ

80
00:05:16,550 --> 00:05:19,890
series ناقص Sn اللي هي عبارة عن ال partial sum من

81
00:05:19,890 --> 00:05:23,780
واحد لعند N الحاصل ده يثبت دائماً أصغر من أو يساوي الـ

82
00:05:23,780 --> 00:05:27,300
integration من N إلى ما لا نهاية للـ F of T  و أكبر من أو

83
00:05:27,300 --> 00:05:31,340
يساوي ال N زائد 1 لعند ما لا نهاية هذا كله في حال أن

84
00:05:31,340 --> 00:05:34,780
الـ series اللي هي is convergent أو الـ improper

85
00:05:34,780 --> 00:05:40,240
integral is convergent خلينا نبرهن اللي موجود

86
00:05:40,240 --> 00:05:46,560
الآن عندي الـ function F is positive and

87
00:05:46,560 --> 00:05:51,380
decreasing ماشي الحال عندي الـ function is

88
00:05:51,380 --> 00:05:55,620
decreasing على كل الفترة من واحد إلى ما لا نهاية

89
00:05:55,620 --> 00:06:00,280
يعني الآن عندي هي اللي هي من واحد الـ function من

90
00:06:00,280 --> 00:06:03,420
عند واحد إلى ما لا نهاية عاملها شاملها decreasing

91
00:06:04,130 --> 00:06:07,430
الآن بقى جبت أجسم اللي هو خليني أخد الفترة هذه

92
00:06:07,430 --> 00:06:12,210
ببدأ من عند X knot بواحد X بواحد بصير اثنين اللي

93
00:06:12,210 --> 00:06:19,470
هي X واحد بصير مثلًا X واحد وهذا X knot وهذا X

94
00:06:19,470 --> 00:06:24,410
ثلاثة اثنين X ثلاثة لعند الفترة النموذجية XK و XK

95
00:06:24,410 --> 00:06:30,700
ناقص واحد و XK الآن هذه الفترة بدي أخد التجزئة 

96
00:06:30,700 --> 00:06:36,760
بعد إذنكم الـ X12 والـ X23 والـ XK-1 اللي هي عبارة

97
00:06:36,760 --> 00:06:41,560
عن K-1 وهذه منين؟ الـ K حر أنا بدي أجزء بالتجزئة

98
00:06:41,560 --> 00:06:45,540
اللي أمامي اللي هتخدمني ماشي الحال الآن على الفترة

99
00:06:45,540 --> 00:06:46,020
هذه

100
00:06:48,590 --> 00:06:53,010
على الفترة هذه هيها عندي اللي هو هذه طولها إيه

101
00:06:53,010 --> 00:06:56,930
شاملها طولها بيساوي واحد لأنه من K ناقص واحد لعند

102
00:06:56,930 --> 00:07:01,790
مين لعند K اللي هو وأخدت طول كل واحد أجداش عبارة

103
00:07:01,790 --> 00:07:05,950
عن واحد فصارت هذه عبارة عن واحد الآن بدي أدرس اللي

104
00:07:05,950 --> 00:07:11,670
هو هذه المنطقة وأقارنها اللي هو بالمساحة إلى الـ F 

105
00:07:11,670 --> 00:07:17,970
of K و F of K-1 لنشوف إيش اللي بحكي عشان أصل لللي

106
00:07:17,970 --> 00:07:23,070
بديه أنت بتحكي الآن لو جينا طلعنا لعند ... عند ...

107
00:07:23,070 --> 00:07:28,830
من عند K-1 لعند K لأن K هذه أكيد K عندي اللي هي من

108
00:07:28,830 --> 00:07:33,050
اثنين طالع ماشي الحال إن الفطر تبدأ من عند مين من 

109
00:07:33,050 --> 00:07:36,670
عند واحد إلى ما لا نهاية إذا عندي K بتساوي اثنين أو

110
00:07:36,670 --> 00:07:40,390
ثلاثة أو أربعة أو خمسة إيه اللي بدي إياه اللي هنخليني 

111
00:07:40,390 --> 00:07:45,670
أجي المساحة تحت المنحنى هذا المساحة تحت المنحنى هذا

112
00:07:45,670 --> 00:07:49,290
هو عبارة عن قيمة ال integration لل function تبعتنا

113
00:07:49,290 --> 00:07:53,190
هذه اللي هي decreasing من وين لو عند K ناقص واحد

114
00:07:53,190 --> 00:07:56,910
لعند مين لعند K إذا ال integration من K ناقص واحد 

115
00:07:56,910 --> 00:08:00,630
لعند K f of t dt لأن ال function positive تمثل هذه

116
00:08:00,630 --> 00:08:06,260
المساحة تحت المنحنى طيب، الآن لو جينا للمساحة اللي

117
00:08:06,260 --> 00:08:11,580
هي الآن هذا طوله قيمته واحد وهذا الآن قيمته لهنا

118
00:08:11,580 --> 00:08:16,820
F of K ناقص واحد المساحة هذه هيها الشكل هذا

119
00:08:16,820 --> 00:08:21,660
مساحته اللي هو عبارة عن مساحة المستطيل اللي طوله

120
00:08:21,660 --> 00:08:26,060
... اللي عرضه واحد وطوله مين؟ F of K ناقص واحد

121
00:08:26,060 --> 00:08:29,880
الآن F of K ناقص واحد في واحد أكيد هذه المساحة 

122
00:08:29,880 --> 00:08:34,380
واضحة إنها أكبر من أو يساوي ال integration اللي عندي

123
00:08:34,380 --> 00:08:39,060
الآن أو المساحة تحت المنحنى الآن في المقابل لو 

124
00:08:39,060 --> 00:08:46,420
جينا تطلعنا لأ اللي هي المساحة اللي بيمثلها F of K

125
00:08:46,420 --> 00:08:51,910
F of K هي طوله في مين في اللي هو واحد هذا واحد طوله

126
00:08:51,910 --> 00:08:56,870
هذه الآن مساحتها أكيد أصغر من مساحة مين اللي هي

127
00:08:56,870 --> 00:09:00,890
المساحة تحت المنحنى يعني بمعنى آخر هيكون هذه

128
00:09:00,890 --> 00:09:04,770
المساحة اللي هي F of K في واحد اللي هي F of K يعني 

129
00:09:04,770 --> 00:09:09,010
أصغر من integration اللي أمامي اللي عندي يعني 

130
00:09:09,010 --> 00:09:12,530
هذا اللي هو تمام هذا اللي أنا مسميها تسعة أو

131
00:09:12,530 --> 00:09:17,260
ثمانية أو اللي هي هذه هيكون عندي المساحة الكبيرة

132
00:09:17,260 --> 00:09:19,960
هذه أكبر من أو يساوي المساحة تحت الملحانة الـ

133
00:09:19,960 --> 00:09:26,140
integration أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي المساحة 

134
00:09:26,140 --> 00:09:30,680
الأخيرة اللي هي المستطيل هذا اللي طوله F of K في 

135
00:09:30,680 --> 00:09:38,690
مين أو عرضه واحد يعني K في الواحد يعني F of K أصغر من 

136
00:09:38,690 --> 00:09:39,770
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و

137
00:09:39,770 --> 00:09:42,770
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و

138
00:09:42,770 --> 00:09:43,150
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و

139
00:09:43,150 --> 00:09:44,770
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر و

140
00:09:44,770 --> 00:09:56,800
أصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر وأصغر لأ 

141
00:09:56,800 --> 00:10:02,120
اللي هو هذا المقدار كله من عند N من عند 1 لعند N

142
00:10:02,120 --> 00:10:08,720
يعني صار عندي الآن الـ summation الـ summation للـ F

143
00:10:08,720 --> 00:10:14,560
of K كي من عند 2 لعند N أصغر أو يساوي الـ

144
00:10:14,560 --> 00:10:22,220
integration summation طبعاً K-1 لعند K F of T DT K

145
00:10:22,220 --> 00:10:27,360
من عند 2 لعند N أصغر أو يساوي الـ summation F of K

146
00:10:27,360 --> 00:10:35,100
-1 K من عند 2 لعند N تلاحظ هذا الـ summation اللي

147
00:10:35,100 --> 00:10:41,060
هو من عند 2 يعني الـ integration من 1 ل 2 زاد الـ

148
00:10:41,060 --> 00:10:46,820
integration من 2 ل 3 زاد من 3 ل 4 لما نقصل من عند

149
00:10:46,820 --> 00:10:52,140
اللي هو N ناقص 1 ل عند الـ N يعني كل مجموع هذا

150
00:10:52,140 --> 00:10:56,800
هيبقى عبارة عن الـ integration من 1 ل عند الـ N هذا

151
00:10:56,800 --> 00:11:02,360
F of T DT أزرع وساوي الـ summation هذا اللي هو

152
00:11:02,360 --> 00:11:10,170
عبارة عن F of K من عند 2 F of 2 ناقص F of 1 يعني F of

153
00:11:10,170 --> 00:11:18,810
واحد زائد F of 2 زائد F of N ناقص 1 ماشي الحال الآن هذا

154
00:11:18,810 --> 00:11:22,610
أكبر أو يساوي هذا الـ summation عبارة عن مين يا

155
00:11:22,610 --> 00:11:27,670
جماعة اللي هو عبارة عن F of 2 زي F of 3 لما أصل

156
00:11:27,670 --> 00:11:32,450
عند آخر واحد اللي هو F of N في الواقع هذا مين هذا

157
00:11:32,450 --> 00:11:38,130
عبارة عن S N نفسه بس خاسس مين منه الـ F of 1 يعني

158
00:11:38,130 --> 00:11:42,050
ناقص F of 1 أصغر أو يساوي الـ integration من 1 لـ N

159
00:11:42,050 --> 00:11:46,970
F of T DT أصغر أو يساوي هذا عبارة عن الـ summation

160
00:11:46,970 --> 00:11:51,450
لمين من عند واحد لعند N ناقص واحد يعني S N ناقص

161
00:11:51,450 --> 00:11:55,910
واحد لذا حصلنا على اللي هي الـ equality اللي أمامي

162
00:11:55,910 --> 00:12:00,910
اللي هو التالية عند الـ integration من واحد لعند N

163
00:12:00,910 --> 00:12:06,190
F of PDT صارت بين الـ S N ناقص واحد وأكبر أو يساوي

164
00:12:06,190 --> 00:12:13,290
S N ناقص اللي هي F of واحد طيب نيجي الآن نكمل اللي

165
00:12:13,940 --> 00:12:21,700
بدنا إياه أو نصل للي بدنا إياه الآن عندي اللي هو

166
00:12:21,700 --> 00:12:27,300
صار اللي هي القيمة هذه هيها بين اللي هو S N ناقص

167
00:12:27,300 --> 00:12:33,020
واحد وأكبر أو يساوي S N ناقص مين F of واحد الآن

168
00:12:33,020 --> 00:12:36,980
لو فرضنا أن الـ limit للـ S N exist يعني الـ series

169
00:12:36,980 --> 00:12:40,940
هذه الـ summation مع نهايتها F of K من واحد لما لها

170
00:12:40,940 --> 00:12:44,960
نهاية أو من اثنين لما نهايتها exist هيكون عندي هذا

171
00:12:44,960 --> 00:12:48,840
exist وهذا exist لازم الـ limit اللي في النص إيش

172
00:12:48,840 --> 00:12:52,500
ماله برضه يطلع إيش ماله exist إذا صار limit

173
00:12:52,500 --> 00:12:55,680
للـ improper integral exist يعني لو كانت الـ series

174
00:12:55,680 --> 00:13:00,280
converges هتكون الـ improper integral إيش ماله converts

175
00:13:00,580 --> 00:13:04,540
الآن بنفس الطريقة هنعمل مين؟ هنعمل اللي هو

176
00:13:04,540 --> 00:13:08,820
بالنسبة لمين؟ بالنسبة للي هي conversely بدنا

177
00:13:08,820 --> 00:13:12,440
نفترض أن الـ improper integral converge ونصل أنه

178
00:13:12,440 --> 00:13:19,180
الـ series converge الآن زي ما قلنا Sn ناقص F of 1

179
00:13:19,180 --> 00:13:23,720
طلعت عندي أصغر أو يساوي الـ integration من 1 لـ N F

180
00:13:23,720 --> 00:13:30,360
of T DT وهذا أصغر أو يساوي Sn ناقص 1 الآن أنا زي ما

181
00:13:30,360 --> 00:13:35,360
حصرت اللي هي فرضت أنا limit الـ Sn exist وحصرت الـ

182
00:13:35,360 --> 00:13:38,640
integration بين اللي هو اثنين الـ summation هدول الـ

183
00:13:38,640 --> 00:13:41,960
partial sums وقلنا هذا exist الـ limit له وهذا

184
00:13:41,960 --> 00:13:45,660
exist له إذا هذا إيه الـ الشمال اللي جوا exist بدي

185
00:13:45,660 --> 00:13:50,280
أعمل في الـ integration أو في الـ integration اللي

186
00:13:50,280 --> 00:13:53,580
عملته مع اللي هو مين اللي هو الـ partial sums أو

187
00:13:53,580 --> 00:13:58,310
الـ improper integral مع الـ series كيف؟ لأن هذا صحيح

188
00:13:58,310 --> 00:14:04,050
لكل N ماشي الحال الآن عندي هذا أكيد أكبر أو يساوي

189
00:14:04,050 --> 00:14:08,310
الآن لو قلنا أصغر أو يساوي Sn ناقص واحد عندي

190
00:14:08,310 --> 00:14:11,530
Sn ناقص F of واحد أكبر أو يساوي هذا أصغر أو يساوي

191
00:14:11,530 --> 00:14:15,930
هذا وهذا أصغر أو يساوي مين؟ الثاني اللي عندي هذا

192
00:14:15,930 --> 00:14:21,830
الآن عندي بدي أحصر هذا أخليه بين two integrations

193
00:14:21,830 --> 00:14:26,090
أو أخلي هذا بين two integrations أي واحد منهم بنفع

194
00:14:26,680 --> 00:14:30,780
الآن عندي من هذا نفسه الـ integration من واحد لعند

195
00:14:30,780 --> 00:14:39,500
f of t dt صار اللي هو زائد F of واحد أكبر أو يساوي

196
00:14:39,500 --> 00:14:45,860
مين الـ Sn ماشي الـ S N من هنا من هنا الـ S N أكبر أو

197
00:14:45,860 --> 00:14:49,460
يساوي اللي هو الـ integration من واحد بدل الـ N نقص

198
00:14:49,460 --> 00:14:54,040
واحد حطيت مين الـ N ماشي فبيصير عند هذه بدل الـ N

199
00:14:54,040 --> 00:14:58,740
برضه بتصير الـ integration من F of T DT من واحد

200
00:14:58,740 --> 00:15:02,240
لعند N زائد واحد لأنه هذه أكبر من هذه بزيادة واحد

201
00:15:02,240 --> 00:15:05,900
هي هذه أكبر من هذه بواحد من فوق إذا صار عند الـ S

202
00:15:05,900 --> 00:15:10,300
N بين هذه الكمية وهذه الكمية لأن لو فرضنا أنه الـ

203
00:15:10,300 --> 00:15:16,770
limit للـ integration من 1 لـ N F of T DT as N goes

204
00:15:16,770 --> 00:15:21,690
to infinity exist مدام هذا exist الـ limit إذا حصل

205
00:15:21,690 --> 00:15:25,630
هذا كله على بعضه هذا limit exist وهذا هيتلع exist

206
00:15:25,630 --> 00:15:29,370
إذا اللي هيتلع عنده limit اثر إن إيش exist إذا

207
00:15:29,370 --> 00:15:32,650
similarly if limit للـ integration أو الـ improper

208
00:15:32,650 --> 00:15:37,090
integral exist إذا هيتلع limit للأثر إن exist هو

209
00:15:37,090 --> 00:15:42,860
يعني وضحتها أمامكم therefore اللي أثبتناه إنه الـ

210
00:15:42,860 --> 00:15:45,860
summation للـ F of N N من واحد لما لا نهاية اللي هو

211
00:15:45,860 --> 00:15:49,580
الـ series exist يعني limit للـ S n exist if and

212
00:15:49,580 --> 00:15:52,360
only if الـ improper integral exist يعني limit الـ

213
00:15:52,360 --> 00:15:56,100
integration واحد لعند N exist هذا اللي هو اللي

214
00:15:56,100 --> 00:16:00,820
أثبتناه لحتى الآن الآن ضال علي أثبت الجزء الثاني

215
00:16:00,820 --> 00:16:08,360
من اللي هو النظرية اللي هو في حالة مين الـ

216
00:16:08,360 --> 00:16:14,140
Convergence في حالة الـ Convergence لـ Series أو

217
00:16:14,140 --> 00:16:19,300
لـ Improper Integral بدنا نحقق الـ Estimate اللي

218
00:16:19,300 --> 00:16:25,220
هو... اللي هو عندي S ناقص S N يكون بين اللي هو الـ

219
00:16:25,220 --> 00:16:29,160
Two Integration اللي حكينا عنه إشي اللي بقوله نشوف

220
00:16:29,160 --> 00:16:32,600
الآن

221
00:16:32,600 --> 00:16:41,210
نيجي نركز الآن finally assuming الـ relation a for k

222
00:16:41,210 --> 00:16:46,810
بساوي N summing the relation a for k بالن زائد

223
00:16:46,810 --> 00:16:49,890
واحد لعند N we obtain إيش هي الـ relation اللي

224
00:16:49,890 --> 00:16:53,530
حطيتها قبل شوية اللي عبارة عن الـ integration من

225
00:16:53,530 --> 00:16:58,430
واحد لعند N F of T DT أصغر أو يساوي هتبتدي

226
00:16:58,430 --> 00:17:02,490
استخدامها كمان مرة للوصول للـ estimation اللي بدي إياها

227
00:17:03,180 --> 00:17:07,240
أظهر يساوي Sn ناقص واحد وأكبر أو يساوي مين يا

228
00:17:07,240 --> 00:17:13,400
جماعة اللي هو Sn ناقص F of واحد الآن هذه بدنا

229
00:17:13,400 --> 00:17:17,780
اللي هو نعمل summation لها من N زائد واحد لعند

230
00:17:17,780 --> 00:17:24,440
مين لعند M يعني بدي أجي اللي هو أعمل الـ summation

231
00:17:24,440 --> 00:17:38,450
اللي أمامي فبيصير عندي الـ Summation لمن؟ لـ N زائد

232
00:17:38,450 --> 00:17:43,410
واحد لعند مين لعند N خلينا نجمحها خد الـ

233
00:17:43,410 --> 00:17:48,490
Summation الـ summation عندي هي عندي بيصير الـ

234
00:17:48,490 --> 00:17:54,990
summation ل الـ integration اللي

235
00:17:54,990 --> 00:17:59,390
أمامي خليني أرجع لكم لها بس عشان تكون الأمور ت...

236
00:17:59,390 --> 00:18:03,530
ت... من وين... قبل... لأ آسف مش هذه نيجي لها اللي

237
00:18:03,530 --> 00:18:07,370
هي تسعة اللي هالة لأن هذه بعد ما انتجمعت الآن بدي

238
00:18:07,370 --> 00:18:14,830
أجمعها من عند اللي هو N زائد واحد لعند اللي هو

239
00:18:17,110 --> 00:18:23,930
حيث M أكبر من N خليني أجمحها هذه لأن هذه مجموعة

240
00:18:23,930 --> 00:18:29,230
خالصة خليني أجمح هذه لأن خد اجمع لي هذه عندي خد

241
00:18:29,230 --> 00:18:33,610
summation حسابات summation K من عند N زائد واحد

242
00:18:33,610 --> 00:18:39,300
لعند M حيث اللي هو الـ N مفترضها أكبر من N اللي هي

243
00:18:39,300 --> 00:18:43,060
أصغر أو يساوي summation K من N زائد واحد لعند M

244
00:18:43,060 --> 00:18:48,460
حسابات summation K من عند M زائد واحد لعند مين

245
00:18:48,460 --> 00:18:55,170
لعند M الآن هذا في الواقع يا جماعة احنا قلنا الـ S N

246
00:18:55,170 --> 00:19:02,070
هي summation للـ F of K K من عند اللي هو واحد لعند

247
00:19:02,070 --> 00:19:07,430
مين لعند N وقلنا الـ S N طبيعي هتكون summation للـ F

248
00:19:07,430 --> 00:19:14,690
of K K من عند واحد لعند N الآن اطرح هذه من هذه هيظل

249
00:19:14,690 --> 00:19:17,870
الـ summation من N زائد واحد لعند مين عند N يعني

250
00:19:17,870 --> 00:19:23,030
هذه في الواقع هي عبارة عن S M ناقص إيش ناقص S N

251
00:19:23,030 --> 00:19:27,610
أصغر أو يساوي الـ summation اللي أمامي الـ summation

252
00:19:27,610 --> 00:19:34,130
هذا اللي هو من عند N زائد واحد من N زائد واحد لعند

253
00:19:34,130 --> 00:19:44,700
N ومن N لعند N زائد اثنين ومن N زائد 2 لعند N زائد

254
00:19:44,700 --> 00:19:48,900
3 لما أصل من عند M ناقص واحد لعند M زي ما عملنا

255
00:19:48,900 --> 00:19:58,590
قبل شوية هيطلع عبارة عن من N لمين لعند M DT هذا

256
00:19:58,590 --> 00:20:02,770
أصغر أو يساوي اللي هو الـ summation اللي هو الأخير

257
00:20:02,770 --> 00:20:09,050
بنفس الأسلوب ونشوف إيش اللي هيلزمنا عندي هذا زي ما

258
00:20:09,050 --> 00:20:11,790
عملت فوق بالظبط بس هذه بتاخدها في عين الاعتبار إن

259
00:20:11,790 --> 00:20:16,970
هي بتبدأ من عند من عند K-1 يعني اللي هي هذه بتبدأ

260
00:20:16,970 --> 00:20:22,930
تصير N لعند اللي هو مين اللي هي M-1 يعني بمعنى آخر

261
00:20:22,930 --> 00:20:29,530
عبارة عن S M-1 Sn ناقص واحد حسب ما اللي هي حسبنا

262
00:20:29,530 --> 00:20:34,530
فوق أو زي ما حسبنا فوق فبنكون حصلنا على هذه الـ

263
00:20:34,530 --> 00:20:38,310
Inequality نشوف هذه الـ Inequality كيف بدنا نستخدمها

264
00:20:38,310 --> 00:20:43,750
للوصول للي بدنا إياه الآن M أكبر من N أكيد فعندي Sn

265
00:20:43,750 --> 00:20:48,870
ناقص Sn اللي هي صارت اللي هي أصغر أو يساوي الـ

266
00:20:48,870 --> 00:20:52,490
integration من N لعند M اللي أوجدتها وأصغر أو

267
00:20:52,490 --> 00:20:55,910
يساوي الـ Sn ناقص واحد ناقص Sn ناقص واحد زي ما

268
00:20:55,910 --> 00:21:01,280
قلنا اللي هذا سميناها إيه يا أستاذ الآن من الـ star

269
00:21:01,280 --> 00:21:06,560
خلينا نركز على المنطقة اللي هي الآن بتاخد الـ

270
00:21:06,560 --> 00:21:11,220
integration من N زائد واحد عند M زائد واحد F of T

271
00:21:11,220 --> 00:21:16,420
DT ماشي الحال هيصير عبارة عن N زائد واحد وهذا M

272
00:21:16,420 --> 00:21:20,000
زائد واحد بناء عليها هتصير M زائد واحد ناقص واحد

273
00:21:20,000 --> 00:21:24,000
يعني M و N زائد واحد ناقص واحد يعني N فبيصير الـ

274
00:21:24,000 --> 00:21:27,340
integration من N زائد واحد عند M زائد واحد F of T

275
00:21:27,340 --> 00:21:30,360
DT أصغر وأصغر و Sn ناقص من SN

276
00:21:33,320 --> 00:21:39,900
الآن بتنتين مع بعض اللي هي Sm ناقص ل Sn هيها أصغر

277
00:21:39,900 --> 00:21:43,740
أو يساوي الـ integration من N لعند M F of T DT هي

278
00:21:43,740 --> 00:21:49,340
هذه أصغر أو يساوي هذه كتبت هنا وهذه كتبت هنا Sm

279
00:21:49,340 --> 00:21:51,660
ناقص ل Sn أكبر من الـ integration من N زائد واحد

280
00:21:51,660 --> 00:21:56,850
لعند مين لعند M زائد واحد لأن احنا متفقين إن الـ 

281
00:21:56,850 --> 00:22:00,870
series converge و the proper integral converge إذا

282
00:22:00,870 --> 00:22:04,030
الآن خذ لـ M ووديها لما لا نهاية لما إحنا ماخدين ال

283
00:22:04,030 --> 00:22:07,590
M شمالها أكبر من الآن بوديها زي ما بده وبتظلها

284
00:22:07,590 --> 00:22:11,570
الآن زي ما بدها الآن as M goes to infinity هتصير

285
00:22:11,570 --> 00:22:15,030
هذه عبارة عن الـ summation للـ series يعني هتصير S

286
00:22:15,030 --> 00:22:18,600
هذه إذاً هذا سيصبح S وهذا سيصبح له proper integral

287
00:22:18,600 --> 00:22:21,860
من N زائد واحد إلى ما لا نهاية وهذا سيصبح له

288
00:22:21,860 --> 00:22:26,260
proper integral من N إلى ما لا نهاية يعني سيصبح

289
00:22:26,260 --> 00:22:31,360
لدي بالضبط الـ S ناقص S N أكبر أو يساوي من N زائد

290
00:22:31,360 --> 00:22:36,340
واحد إلى ما لا نهاية ومن N إلى ما لا نهاية وهو هذا

291
00:22:36,340 --> 00:22:42,040
اللي مطلوب اللي إحنا طلبناه من أول النظرية وقلنا

292
00:22:42,040 --> 00:22:46,760
حيث الـ S هي اللي بتمثل اللي هو limit لـ SM أو هي

293
00:22:46,760 --> 00:22:51,460
عبارة عن قيمة الـ series من واحد إلى ما لا نهاية

294
00:22:51,820 --> 00:22:58,540
examples بدنا الآن نحاول نستخدم اللي هو النظريات

295
00:22:58,540 --> 00:23:03,360
اللي قبل بشوية نوظفها للـ examples اللي عندنا وهذه

296
00:23:03,360 --> 00:23:07,200
طبعاً هتلاقيها معظمها إنتوا أخدتوها في الـ calculus

297
00:23:07,200 --> 00:23:11,700
نذكرها بشكل سريع بس عشان إنه نشوف الـ applications 

298
00:23:11,700 --> 00:23:16,440
لهذه النظريات اللي إحنا مركزين على اللي هو النظـ

299
00:23:16,440 --> 00:23:20,520
ر التحليلية لها أو بمعنى آخر على براهين اللي هي

300
00:23:20,520 --> 00:23:24,020
النظريات Show that the b series summation 1 ده لأن

301
00:23:24,020 --> 00:23:29,440
b diverges for b أصغر أو يساوي 1 الآن بدنا نستخدم

302
00:23:29,440 --> 00:23:34,920
الـ comparison test فعنده الآن إن قص بي أصغر أو

303
00:23:34,920 --> 00:23:38,940
يساوي أن أكيد لكل أن element in N و الـ بي شمالها

304
00:23:38,940 --> 00:23:42,120
أصغر أو يساوي واحد يعني لـ الـ بي اللي أصغر من واحد

305
00:23:42,120 --> 00:23:47,080
هيكون أن قص بي أكيد أصغر أو يساوي من أن الآن مقلبه

306
00:23:47,080 --> 00:23:50,140
هينقلب واحدة لأن بي أكبر أو يساوي واحدة لأن الآن

307
00:23:50,140 --> 00:23:54,800
الـ summation هذا اللي diverse إذا من باب أولى هيكون

308
00:23:54,800 --> 00:23:58,380
الكبير by comparison test diverse إذا الـ summation

309
00:23:58,380 --> 00:24:01,400
واحد على N بيه diverse for بيه أصغر أو يساوي واحد

310
00:24:01,400 --> 00:24:04,860
وهذا الكلام سهل وإنتوا بتعرفوه إذا نيجي للـ

311
00:24:04,860 --> 00:24:08,540
summation واحد على N تربيع بدنا نشوف كيف هي إياه

312
00:24:08,540 --> 00:24:12,740
converse بدنا الآن نقارنها بـ Series إحنا أخدناها

313
00:24:12,740 --> 00:24:15,620
إنها ضعيفة Converse مين الـ Series اللي أخدناها

314
00:24:15,620 --> 00:24:18,100
الـ Converse اللي هي الـ Telescoping اللي هي

315
00:24:18,100 --> 00:24:21,620
Summation واحدة لـ N في N زائد واحد قلنا عنها دي

316
00:24:21,620 --> 0:24:24,220
إيش مالها أثبتناها المرة الماضية إنها Converse

317
00:24:24,220 --> 00:24:28,640
طيب، الآن هذه مدام هي هت Converge الـ series اللي عند

318
00:24:28,640 --> 00:24:34,160
الـ series هت Converge إذا by example اللي هو 918E هت

319
00:24:34,160 --> 00:24:37,840
Converge بدنا اللي هو نستخدم اللي هو الـ

320
00:24:37,840 --> 00:24:41,180
Comparison Test الآن ماقدرش نستخدم الـ direct ليش

321
00:24:41,180 --> 00:24:45,280
ماقدرش نستخدم الـ direct لإنه الآن الـ summation

322
00:24:45,280 --> 00:24:50,440
اللي هو الـ الـ الـ واحد على n في n زائد واحد اللي هي

323
00:24:50,440 --> 00:24:53,880
الـ convergence هذه اللي هي أصغر أو يساوي واحد على

324
00:24:53,880 --> 00:24:57,800
مين على n تربيع فالآن هذه convergence صح لكن اللي

325
00:24:57,800 --> 00:25:00,120
أكبر منها مش شرط إنها تكون convergence وماقدرش

326
00:25:00,120 --> 00:25:04,080
نحكم الـ comparison test إذا بدنا نستخدم الـ limit

327
00:25:04,080 --> 00:25:07,380
comparison test خذ الـ limit اللي هي 1 على n فان

328
00:25:07,380 --> 00:25:11,040
زائد 1 على 1 على n تربيع بيصير limit عبارة عن n

329
00:25:11,040 --> 00:25:14,680
على n زائد 1 مع الاختصارات اللي هو طبعاً هذا ال

330
00:25:14,680 --> 00:25:17,360
limit اللي هي as n goes to infinity هذي بيصير 1

331
00:25:17,360 --> 00:25:20,820
على 1 زائد 1 على n هذي بتروح للسفر وبتظلها 1 و ال

332
00:25:20,820 --> 00:25:24,140
1 أكيد مش سفر ما زي ما يطلع عند الـ limit لأ اللي

333
00:25:24,140 --> 00:25:28,310
هو ال .. ال .. ال .. ال ..الـ .. ال .. ال .. ال

334
00:25:28,310 --> 00:25:30,870
limit لـ ال .. ال .. ال comparison test أو اللي هي

335
00:25:30,870 --> 00:25:33,990
الـ two series هذول اللي على بعض الـ XN على الـ YN

336
00:25:33,990 --> 00:25:37,610
بيساوى رقم إذا التنتين converged أو التنتين

337
00:25:37,610 --> 00:25:41,550
diverged وبناء على الحديث إنه بما إنه هذه اللي هي

338
00:25:41,550 --> 00:25:45,090
الـ telescope كانت converged إذا الواحد على N تربيع

339
00:25:45,090 --> 00:25:50,530
أو صمشي للواحد على N تربيع is convergent طيب هذا

340
00:25:50,530 --> 00:25:56,030
كلام كله إنتوا طبعاً بتاخدوه في الـ .. هو أخدته كثير

341
00:25:56,030 --> 00:25:58,830
منه في الـ calculus ولكن إحنا عشان يكتمل الموضوع

342
00:25:58,830 --> 00:26:02,770
بدنا ناخد أمثلة على اللي برهنناهم اللي هان show

343
00:26:02,770 --> 00:26:08,190
that summation 1 على n بي converts for b يشمل أكبر

344
00:26:08,190 --> 00:26:12,370
أو يساوي واحد بي أكبر أو يساوي أسف أكبر من واحد

345
00:26:12,370 --> 00:26:15,270
strictly P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

346
00:26:15,270 --> 00:26:16,850
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

347
00:26:16,850 --> 00:26:22,690
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

348
00:26:22,690 --> 00:26:25,810
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

349
00:26:25,810 --> 00:26:28,150
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

350
00:26:28,150 --> 00:26:29,090
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

351
00:26:29,090 --> 00:26:30,170
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

352
00:26:30,170 --> 00:26:30,770
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

353
00:26:30,770 --> 00:26:34,550
أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P أكبر أو P

354
00:26:34,550 --> 00:26:40,020
أكبر الـ second method بيقولك أنا بدي استخدم ال

355
00:26:40,020 --> 00:26:44,000
limit comparison test اللي هو 1 على N أقص بي على 1

356
00:26:44,000 --> 00:26:48,360
على N تربيع بيساوى limit 1 على N بي minus 2 و بي

357
00:26:48,360 --> 00:26:53,000
أكبر من أو يساوي 2 إذا 1 على N بي minus 2 اللي هو

358
00:26:53,000 --> 00:26:57,660
هيساوي limit 0 مدام الـ limit 0 وعندي اللي هي اللي

359
00:26:57,660 --> 00:27:02,000
تحت converge إذا من باب أولى اللي فوق تكون

360
00:27:02,000 --> 00:27:06,130
converge إذا summation 1 على N بي اللي هو convert

361
00:27:06,130 --> 00:27:14,370
by limit comparison test طيب show

362
00:27:14,370 --> 00:27:19,170
that the ratio and the root tests fail in the case

363
00:27:19,170 --> 00:27:22,570
of B series يعني الآن لو بدنا نجرب نستخدم الـ ratio

364
00:27:22,570 --> 00:27:26,310
test و الـ root test مش هتظبط طبعاً الـ limit بنقصته

365
00:27:26,310 --> 00:27:31,680
ليش؟ بقولك لو جينا أخدنا limit الـ 1 على N أُس B

366
00:27:31,680 --> 00:27:36,080
أُس 1 على N الـ N through test هذا بيساوى الـ limit

367
00:27:36,080 --> 00:27:41,200
و N أُس 1 على N أُس minus B ماشي الـ N أُس 1 على N

368
00:27:41,200 --> 00:27:43,840
الـ limit اللي لها من example أخدناها في شبطر 3 في

369
00:27:43,840 --> 00:27:49,080
الفصل الماضي أو في تحليل 1 هذا وبرضه بتقف تعملوا

370
00:27:49,080 --> 00:27:52,340
أصلاً لحالكم الـ limit له بيساوي واحد إذا صار عندي

371
00:27:52,340 --> 00:27:56,580
واحد أقصى minus b إذا بيساوي إيش واحد الآن مدام

372
00:27:56,580 --> 00:28:01,500
طالع عندي الـ limit اللي هو الـ Xn أقصى واحدة الآن

373
00:28:01,500 --> 00:28:05,020
بيساوى واحد إذا بيقول الـ test failed الآن

374
00:28:05,020 --> 00:28:10,320
similarly لو جربنا اللي هو الـ ratio test واحدة

375
00:28:10,320 --> 00:28:13,300
الآن زيادة واحدة أقصى b على واحدة أن أقصى b بيساوى

376
00:28:13,300 --> 00:28:18,930
الـ limit لا اللي هي 1 على 1 زائد 1 على أنقص بي

377
00:28:18,930 --> 00:28:23,130
عارفين إيش اللي سوناه اللي هو جسمنا اللي هي اللي

378
00:28:23,130 --> 00:28:26,770
هنا على أنقص بي وهنا على أنقص بي صارت 1 هذا على

379
00:28:26,770 --> 00:28:29,910
أنقص بي وهذا على أنقص بي بيصير 1 زائد 1 لأن كل أس

380
00:28:29,910 --> 00:28:34,080
بي الآن صار عندي limit as n goes to infinity لازم

381
00:28:34,080 --> 00:28:39,040
يصير 1 إذا الـ test برضه الـ ratio test فاشل إذا

382
00:28:39,040 --> 00:28:46,700
مانفعش انحل الـ b series by الـ ratio test و لا ال

383
00:28:46,700 --> 00:28:48,200
anthro test

384
00:28:55,790 --> 00:29:01,050
الآن بقول لي إيش رايك تستخدمنا اللي هو الـ

385
00:29:01,050 --> 00:29:06,360
Integral Test تشوفه بيظبط في الـ B Series ولا لأ الت

386
00:29:06,360 --> 00:29:11,680
F of T بيساوي T Os minus B ده المؤهلة إنها اللي هي

387
00:29:11,680 --> 00:29:16,560
تكون اللي هي الاستخدام اللي هي 1 على T أوس بي

388
00:29:16,560 --> 00:29:21,320
1 على T أوس بي الآن وهذه الـ series decreasing

389
00:29:21,320 --> 00:29:24,960
ويمحلاها إلى آخره and recalled that الـ integration

390
00:29:24,960 --> 00:29:28,580
من 1 لعند إن 1 على T DT إيش بيساوي سهل

391
00:29:28,580 --> 00:29:31,820
إيجادها كمان عبارة عن لن الان ناقص لن الواحد لن

392
00:29:31,820 --> 00:29:36,080
الواحد سفر يعني بتبقى عند لن الان لكن as n goes to

393
00:29:36,080 --> 00:29:39,700
infinity واضح إن هذا مباشرة هيروح إلى ما لا نهاية

394
00:29:39,700 --> 00:29:45,020
يعني هذا عبارة عن diverse إذا صارت عندي الـ summation

395
00:29:45,020 --> 00:29:49,040
للواحد الان diverse by integral test عندي طبعاً الـ

396
00:29:49,040 --> 00:29:55,360
b شمالها بي أصغر أو تساوى الواحد الآن في حالة

397
00:29:55,360 --> 00:30:00,040
.. لا لا آسف الـ b هنا بتساوي الواحد الآن بدنا نشوف

398
00:30:00,040 --> 00:30:06,420
مين إن هي الحالات التانية لو جينا الـ integration

399
00:30:06,420 --> 00:30:12,560
إحنا أثبتنا لمين لـ B بتساوي واحد الآن also recall

400
00:30:12,560 --> 00:30:16,780
that الـ integration 1 على T قص بي دي T من 1

401
00:30:16,780 --> 00:30:21,120
لعند مين 1 لعند أنا بنفضل عندنا الـ بي شمالها هنا

402
00:30:21,120 --> 00:30:26,040
لا تساوي 1 كملة الآن بيصير 1 على 1 minus

403
00:30:26,040 --> 00:30:30,480
بي انقص 1 على minus بي ناقص 1 بعد ما عوضنا

404
00:30:30,480 --> 00:30:31,860
الآن هذه

405
00:30:34,860 --> 00:30:41,960
as n goes to infinity وكانت الـ b أكبر من 1 إذا

406
00:30:41,960 --> 00:30:46,520
الـ b أكبر من 1 إذا الـ b أكبر من 1 وودينا n

407
00:30:46,520 --> 00:30:52,400
إلى ما لا نهاية هذا سيصبح عبارة عن سفر وهذا عبارة

408
00:30:52,400 --> 00:30:56,240
عن ناقص 1 يعني الـ limit هذه as n goes to

409
00:30:56,240 --> 00:31:00,060
infinity في حالة الـ B أكبر من 1 هتصير هذه عبارة

410
00:31:00,060 --> 00:31:03,940
عن ناقص 1 في هذه بيصير 1 على B minus 1

411
00:31:03,940 --> 00:31:08,540
هذا في حالة الـ B أكبر من 1 إذا صارت اللي هي الـ

412
00:31:08,540 --> 00:31:12,640
integration هذا converge وبناء عليه هتكون الـ B

413
00:31:12,640 --> 00:31:16,180
series في حالة الـ B أكبر من 1 by integral test

414
00:31:16,180 --> 00:31:21,460
برضه إياه converge لكن لو كانت الـ B أصغر من 1

415
00:31:22,000 --> 00:31:25,480
الآن فبيصير عندي هذا اللي هو بيروح إلى ما لا نهاية

416
00:31:25,480 --> 00:31:29,260
فبيصير عندي لأن الـ B أصغر من 1 فبيصير عندي الـ

417
00:31:29,260 --> 00:31:33,500
integration هذا as N goes to infinity diverges و

418
00:31:33,500 --> 00:31:37,400
بناء عليه summation 1 على N B diverges هذا في

419
00:31:37,400 --> 00:31:42,060
حالة الـ B شمالها أصغر من 1 و بكون هيك إحنا

420
00:31:42,060 --> 00:31:46,220
استخدمنا ال .. ال .. ال B series في إثبات ال .. ال 

421
00:31:46,220 --> 00:31:49,620
.. ال integral test في إثبات أنه الـ B series 

422
00:31:49,620 --> 00:31:56,810
converges for b أكبر من واحد and diverges for b أيش 

423
00:31:56,810 --> 00:32:01,950
ما لها أصغر من أو يساوي واحد وهذه اللي هي أنتو

424
00:32:01,950 --> 00:32:07,310
عارفينها الـB Series المشهورة نيجي الآن بدنا نحكي

425
00:32:07,310 --> 00:32:12,990
عن اللي هو root test أحيانا اللي هو مدامة اللي هو

426
00:32:12,990 --> 00:32:18,560
ال ratio test اللي هو fails في حالة ال limit يطلع

427
00:32:18,560 --> 00:32:24,380
لنا واحد أو يساوي واحد فبدنا إيش يخلّينا نقول يحللنا 

428
00:32:24,380 --> 00:32:28,700
مشكلة اللي هو ال failure for .. for .. for اللي هو 

429
00:32:28,700 --> 00:32:33,240
ظهور ال limit بساوة واحد هنا عندي root test

430
00:32:33,240 --> 00:32:38,640
بتعالج الأمر fx بساوة xn is a sequence of non-zero

431
00:32:38,640 --> 00:32:46,670
elements لو وجدنا real number a أكبر من واحد and a

432
00:32:46,670 --> 00:32:50,990
natural number k such that xn زائد واحد على xn

433
00:32:50,990 --> 00:32:54,990
أصغر من أو يساوي واحد ناقص a على n for n أكبر من أو يساوي k then ال

434
00:32:54,990 --> 00:32:58,890
summation لل xn is absolutely ايش ماله convergent

435
00:32:59,220 --> 00:33:02,500
إذا كان هناك a أصغر من أو يساوي واحد وشكل الـ K طبيعي

436
00:33:02,500 --> 00:33:06,500
كذلك الـ absolute value of xn زائد واحد على xn

437
00:33:06,500 --> 00:33:11,100
أكبر من أو يساوي واحد ناقص a على n for n أكبر من أو يساوي k فإن 

438
00:33:11,100 --> 00:33:15,880
سلسلة xn ليست مطلقا متقاربة يعني باختصار عشان أريحكم

439
00:33:15,880 --> 00:33:21,920
إيش بنسوي بنحسبلنا الـ xn زائد واحد على xn إذا

440
00:33:21,920 --> 00:33:26,480
وجدنا .. إذا وجدنا نقارن هذه xn زائد واحد على xn

441
00:33:26,480 --> 00:33:31,280
بالمقدار واحد ناقص a على n إذا لجينا إن هذا

442
00:33:31,280 --> 00:33:34,540
المقدار .. المقدار اسمه واحد ناقص a على n إذا

443
00:33:34,540 --> 00:33:38,950
لجينا هذا أصغر من أو يساوي 1 ناقص على a على n وكانت

444
00:33:38,950 --> 00:33:43,050
الـ A أكبر من 1 على طول بنحكم على الـ Absolutely 

445
00:33:43,050 --> 00:33:47,030
Convergent للـ Series لكن لو لجينا هذا المقدار بعد

446
00:33:47,030 --> 00:33:51,690
ما حسبناه أكبر من أو يساوي 1 ناقص A على N حتى لو كانت

447
00:33:51,690 --> 00:33:56,040
A أصغر من أو يساوي 1 صغيرة فبنقول إنه في هذه الحالة بنحكم

448
00:33:56,040 --> 00:33:59,760
على إيش على إنه ال series is not absolutely

449
00:33:59,760 --> 00:34:03,500
convergent يعني العملية عملية حسابات هذه على هذه

450
00:34:03,500 --> 00:34:08,660
ونجيبها بدلالة 1 minus a على n أو بنقرنها ب 1

451
00:34:08,660 --> 00:34:12,840
minus a على n 1 minus a على n في حالة إن ال a أصغر

452
00:34:12,840 --> 00:34:16,380
من أو يساوي واحد هتطلع لنا اللي هي هنا في هذه الحالة

453
00:34:16,380 --> 00:34:19,140
it's not absolutely convergent في حالة ال a أكبر

454
00:34:19,140 --> 00:34:24,710
من واحد is absolutely convergent وخلّينا نشوف اللي

455
00:34:24,710 --> 00:34:33,230
هو البرهان لاللي هي هذه النظرية suppose that عشرة

456
00:34:33,230 --> 00:34:39,730
holds عشرة عشرة و اللي هي اللي قبل بشوية حكيناها

457
00:34:39,730 --> 00:34:42,930
عشان تكونوا في صورة نقولكم عشرة نذكركم فيها هذه

458
00:34:42,930 --> 00:34:50,840
عشرة اللي هي xn زائد واحد xn زائد واحد على xn أصغر

459
00:34:50,840 --> 00:34:57,220
من أو يساوي 1 ناقص a على n a أكبر من 1 و n أكبر من أو يساوي k

460
00:34:57,220 --> 00:35:01,500
التاني هذا اللي سميناها عشرة اللي سميناها 11 اللي 

461
00:35:01,500 --> 00:35:07,700
هو xn زائد 1 على absolute value xn أكبر من أو يساوي

462
00:35:07,700 --> 00:35:16,820
اللي هو 1 ناقص a على n و a اللي هي a شمالها أصغر من

463
00:35:17,510 --> 00:35:23,610
أو يساوي الواحد ماشي الحال طيب هي هذا عشرة وهذا

464
00:35:23,610 --> 00:35:28,150
احد عشرة عشان بعد شوية هنستخدمهم في البرهان خلوكوا

465
00:35:28,150 --> 00:35:32,800
معنا ان شاء الله البرهان مش صعب الآن suppose that

466
00:35:32,800 --> 00:35:39,080
انه عشرة holds هي for M أكبر من أو يساوي K الآن اضرب

467
00:35:39,080 --> 00:35:43,280
لطرفين في وسطين اضرب هذه في هذه بيصير عندي وبدل a

468
00:35:43,280 --> 00:35:48,980
ا بدي استخدم اللي هي M عندي بدل M زائد واحد خليني 

469
00:35:48,980 --> 00:35:51,880
بيصير عند منح دعش عشان انا اجيب لكم يادي كيف اجت

470
00:35:51,880 --> 00:35:56,870
absolute value ل X M زائد واحد أصغر من أو يساوي الـ

471
00:35:56,870 --> 00:36:02,750
absolute value للـ XM مضروبة في واحد ناقص A على M،

472
00:36:02,750 --> 00:36:07,970
مظبوط؟ طيب، الآن اضربولي الجهتين في مين؟ في M

473
00:36:07,970 --> 00:36:14,640
فبصير M هنا، بصير M في هنا هو بيكون حصلنا على M في

474
00:36:14,640 --> 00:36:19,700
هذه و M في هذا المقدار دخلولي ال M الآن جوا فبصير

475
00:36:19,700 --> 00:36:23,580
absolute value XM زي ما هي أنا بصير M ناقص اللي هي

476
00:36:23,580 --> 00:36:31,020
A  الآن هذه بتساوي الآن كتبتها على صورة الآن ضفت

477
00:36:31,020 --> 00:36:35,720
اللي هو واحد و طرحت واحد اللي هي هي عندي هنا طرحت

478
00:36:35,720 --> 00:36:39,800
واحد و هنا ضفت الواحد فصارت عبارة عن M ناقص واحد

479
00:36:39,800 --> 00:36:44,830
XM ناقص A ناقص واحد XM  أكبر من أو يساوي K صار هذا

480
00:36:44,830 --> 00:36:50,110
المقدار بعد ما ضفت اللي هو ناقص XM وطرحت ناقص ال

481
00:36:50,110 --> 00:36:56,590
XM وضفت اللي هو ناقص اللي هو ضفة ال XM فصار عندي

482
00:36:56,590 --> 00:37:00,630
المقدار هو نفسه هذا زي ما قلت لكم لأن من نقطة فلوس

483
00:37:00,630 --> 00:37:06,680
ذات عندي ال M ناقص واحد في ال XM ناقص جيبلي هذه هنا

484
00:37:06,680 --> 00:37:13,940
وهذه وديها هناك فبصير عندي M-1 في XM ناقص لغاية M

485
00:37:13,940 --> 00:37:17,820
في XM زي 1 أكبر من أو يساوي مين اللي جت هنا هذه اللي

486
00:37:17,820 --> 00:37:24,290
A-1 في XM اللي هو هذه هتكون أكبر من 0 for M أكبر

487
00:37:24,290 --> 00:37:28,390
من أو يساوي K لأن الـA اللي عندنا إيش مفترضينها أكبر

488
00:37:28,390 --> 00:37:32,250
من 1 وهذا absolute value إذا صار المقدار هذا أكبر

489
00:37:32,250 --> 00:37:38,640
من 0 هذا إيه معناه؟ معناه أن الـ sequence اللي الـ

490
00:37:38,640 --> 00:37:44,560
M X M زائد واحد is decreasing sequence لأن اللي

491
00:37:44,560 --> 00:37:49,040
قبل ناقص اللي بعد أكبر من أو يساوي سفر يعني صار اللي 

492
00:37:49,040 --> 00:37:54,940
هو اللي بعد شماله أصغر من مين من اللي قبل يعني

493
00:37:54,940 --> 00:37:59,960
صارت ال sequence M X M زائد واحد is a decreasing

494
00:37:59,960 --> 00:38:05,790
sequence for مين M أكبر من أو يساوي اتنين الآن هذه

495
00:38:05,790 --> 00:38:11,430
اللي هي ال relation اللي عندي اللي هي 12 بدنا اللي

496
00:38:11,430 --> 00:38:19,070
هو نجمعها for K for M بتساوي K لعند مين لعند and

497
00:38:19,070 --> 00:38:24,290
and we note the left side تلسكوب اللي هو نشوف كيف

498
00:38:24,290 --> 00:38:28,750
ال left side هذا تلسكوب واضح انه تلسكوب we find

499
00:38:28,750 --> 00:38:37,180
عندي أخد ال summation من عند N من عند K لعند N

500
00:38:37,180 --> 00:38:43,840
عملكم إياها هان من عند K بتساوي أو من عند M بتساوي

501
00:38:43,840 --> 00:38:51,220
K لعند مين لعند N أكبر من أو يساوي ال summation من M

502
00:38:51,220 --> 00:38:58,280
بتساوي K لعند مين لعند N هذه بتصير اللي هو K ناقص

503
00:38:58,280 --> 00:39:07,350
واحد fixed K ناقص اللي هي K في X K زائد واحد اللي

504
00:39:07,350 --> 00:39:12,190
بعدها K زائد واحد اللي هي بيصير K في X K زائد واحد

505
00:39:12,190 --> 00:39:15,250
راحت مع الأولى ناقص كده فكل واحدة بت cancel

506
00:39:15,250 --> 00:39:19,570
الثانية بتظهر أول واحدة و آخر واحدة اللي هي أول

507
00:39:19,570 --> 00:39:25,470
واحدة K ناقص واحد في X K ناقص آخر واحدة اللي هي N

508
00:39:25,470 --> 00:39:30,110
في X N زائد واحد أكبر من أو يساوي ال summation هذا

509
00:39:30,110 --> 00:39:34,560
اللي هو عبارة عن A ناقص واحد عام المشترك لأنه فيها

510
00:39:34,560 --> 00:39:39,620
بيت مضروب مضروب في مين؟ في اللي بضر من عند K لعند

511
00:39:39,620 --> 00:39:44,400
مين؟ لعند XK XK زائد واحد لعند مين؟ لعند X بكون

512
00:39:44,400 --> 00:39:51,380
حصلت على هذه اللي هي ال inequality الآن لاحظوا ما

513
00:39:51,380 --> 00:39:57,930
يليه حصلت يا جماعة انه الـ Series هذه أو الـ

514
00:39:57,930 --> 00:40:02,770
Sequence هذه عندي هذا المقدار منها مدام الـ

515
00:40:02,770 --> 00:40:08,810
Decreasing حصلت و جمعنا و استخدمنا الـ Telescoping

516
00:40:08,810 --> 00:40:15,640
حصلنا هذه أكبر من أو يساوي هذه طيب الآن هذا يظهر أن الـ

517
00:40:15,640 --> 00:40:20,900
partial sums Sn of سميش الـ Xn اللي هي صار عندهاي

518
00:40:20,900 --> 00:40:25,920
اللي هو الـ Sn مظبوط هذا الـ Sn لأنه أصغر من أو يساوي

519
00:40:25,920 --> 00:40:29,740
هذا المقدار على A-1 وA-1 عبارة عن إيه؟ عشان ثابت

520
00:40:30,560 --> 00:40:34,860
الآن الـ sequence of partial sums Sn اللي هو summation

521
00:40:34,860 --> 00:40:40,220
Xn are bounded مدان bounded إذا إيش بده يكون؟ بده

522
00:40:40,220 --> 00:40:46,580
يكون convergent ده نشوف إيش اللي بقوله أكتب فوق

523
00:40:46,580 --> 00:40:53,420
ولا .. طيب شوفوا عندي إيش

524
00:40:53,420 --> 00:40:58,990
اللي حصلنا عليه؟ اللي هو الـ Sn بساوي اللي هو ال

525
00:40:58,990 --> 00:41:00,810
summation absolute value لل

526
00:41:04,710 --> 00:41:10,610
الـ XK أو قبل حتى قبل الأسئلة حصّلنا على الـ A-1

527
00:41:10,610 --> 00:41:16,390
في الـ XK زائد absolute value لـ XN هذا كله على

528
00:41:16,390 --> 00:41:23,690
بعضه أصغر من أو يساوي اللي هو K-1 بحكيها K-1 أيشي

529
00:41:23,690 --> 00:41:29,950
معين K لأنه من عندها M أكبر من أو يساوي من K K أيشي

530
00:41:29,950 --> 00:41:36,200
معين K-1 في ال absolute value لXK ناقص N في الـ

531
00:41:36,200 --> 00:41:41,040
absolute value XN زائد واحد ماشي الحال هذه الـ N

532
00:41:41,040 --> 00:41:51,800
عالميل على ال A ناقص واحد لأن هذا المقدار أصغر من أو

533
00:41:51,800 --> 00:41:58,040
يساوي هذا وهذا أكيد أكيد هذا أصغر من أو يساوي ال K

534
00:41:58,040 --> 00:42:03,400
ناقص واحد في absolute value XK على A ناقص واحد

535
00:42:03,860 --> 00:42:07,840
لأنه الآن الـ Schilt اللي هو المقدار هذا السالب

536
00:42:07,840 --> 00:42:12,520
اللي مطروح إذاً هذا بيكبر فصار هذا المقدار أصغر من أو

537
00:42:12,520 --> 00:42:17,700
يساوي هذا هذا ال K عبارة عن fixed رقم fixed number

538
00:42:17,700 --> 00:42:21,120
اللي هو لإنه احنا بديه من عند K أكبر أو أكبر يساوي

539
00:42:21,120 --> 00:42:26,080
K إذاً K إشي معين بحكي عنه إذاً هذا المقدار من XK

540
00:42:26,080 --> 00:42:30,720
لعند ال XN أصغر من أو يساوي هذاماشي الحال إذا صار

541
00:42:30,720 --> 00:42:42,880
عندي اللي هو المقدار هذا هو عبارة عن sn-sk-1 مظبوط

542
00:42:42,880 --> 00:42:47,780
ولا لأ؟ أكيد للـ absolute values طبعاً يعني بمعنى

543
00:42:47,780 --> 00:42:52,720
آخر صار Sn أصغر من أو يساوي Sk-1 برضه عدد عدد عدد

544
00:42:52,720 --> 00:43:01,500
معين زائد اللي هو K-1 في XK على A-1 صار هذا Sn

545
00:43:01,500 --> 00:43:08,570
أصغر من أو يساوي هذالكل N أكبر من أو يساوي K يعني صارت

546
00:43:08,570 --> 00:43:11,850
الـ S N is bounded يعني بمعنى أخر، طبعا هذا أكبر

547
00:43:11,850 --> 00:43:15,390
من أو يساوي سفر أكيد الـ N، إذا limit الـ S N as N

548
00:43:15,390 --> 00:43:19,910
goes to infinity مهما كبرت الـ N، هذه ما لهاش

549
00:43:19,910 --> 00:43:23,650
علاقة فيها الـ N لأنه N أكبر من أو يساويها، إذا أصغر

550
00:43:23,650 --> 00:43:27,560
من أو يساوي الـ S K ناقص واحد زائد K ناقص واحد في

551
00:43:27,560 --> 00:43:31,660
الـ absolute value of xk على a-1 بمعنى آخر صارت

552
00:43:31,660 --> 00:43:36,640
الـ Sn is convergent أو بمعنى آخر الصممش لل

553
00:43:36,640 --> 00:43:40,040
absolute value of xn is convergent يعني هتصير

554
00:43:40,040 --> 00:43:44,660
السيريز عندي is absolutely convergent

555
00:43:46,650 --> 00:43:51,190
طيب نيجي الآن هذا تفسير انه اللي هو this shows the

556
00:43:51,190 --> 00:43:53,510
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 

557
00:43:53,510 --> 00:43:53,850
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 

558
00:43:53,850 --> 00:43:54,190
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

559
00:43:54,190 --> 00:43:56,030
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 

560
00:43:56,030 --> 00:43:57,570
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. 

561
00:43:57,570 --> 00:43:57,730
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

562
00:43:57,730 --> 00:43:57,890
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

563
00:43:57,890 --> 00:43:57,990
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

564
00:43:57,990 --> 00:43:58,010
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

565
00:43:58,010 --> 00:43:58,330
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

566
00:43:58,330 --> 00:44:04,710
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

567
00:44:04,710 --> 00:44:06,150
ال .. ال ..

568
00:44:15,000 --> 00:44:24,940
نأخذ الجزء الثاني الـ similarly  نشوف كيف suppose

569
00:44:24,940 --> 00:44:29,660
that suppose that the relation 11 هيها ال relation

570
00:44:29,660 --> 00:44:34,700
11 holds for n أكبر أو يساوي k وطبعا احنا مفترضين ال

571
00:44:34,700 --> 00:44:39,640
a أصغر أو يساوي واحد الآن صار عندي ال n ضربنا طرفين

572
00:44:39,640 --> 00:44:42,800
في وسطين نفس الشيء فبيصير عندي زي ما عملنا قبل

573
00:44:42,800 --> 00:44:47,880
شوية ضربنا هذا بيصير عندي ال n اللي هو xn زائد واحد

574
00:44:48,690 --> 00:44:53,530
a أصغر أكبر أو يساوي هذا في هذا وضربنا في n فصارت

575
00:44:53,530 --> 00:44:57,890
ال n في xn زائد واحد أكبر أو يساوي لما ضربت ال n

576
00:44:57,890 --> 00:45:04,070
هنا بيصير n ناقص a في ال absolute value لل xn الآن

577
00:45:04,070 --> 00:45:08,910
ال a أصغر يساوي واحد إذا ناقص ال a أكبر يساوي ناقص 

578
00:45:08,910 --> 00:45:12,230
واحد فما دام ناقص ال a أكبر يساوي ناقص واحد إذا

579
00:45:12,230 --> 00:45:15,710
صارت عندي n ناقص a في absolute value xn أكبر يساوي

580
00:45:15,710 --> 00:45:19,070
n ناقص واحد في absolute value xn لكل n ناقصة وk

581
00:45:19,070 --> 00:45:24,200
هذه لأن ال a أصغر يساوي واحد الآن صار عندي الآن واضح

582
00:45:24,200 --> 00:45:28,580
أنه ال sequence اللي هو الآن xn زائد واحد أكبر أو

583
00:45:28,580 --> 00:45:31,960
يساوي n ناقص واحد xn يعني ال sequence هذه صارت

584
00:45:31,960 --> 00:45:35,900
increasing for n أكبر أو يساوي k ما زم increasing

585
00:45:35,900 --> 00:45:40,680
إذا there exists c such that الآن في ال absolute

586
00:45:40,680 --> 00:45:45,300
value xn زائد واحد أكبر من مين؟ من c for n أكبر أو

587
00:45:45,300 --> 00:45:49,750
يساوي k ماشي الحال صارت مدام هذه ال series increasing

588
00:45:49,750 --> 00:45:55,630
إذا أكيد هتكون أكبر من أي شيء ومن some c لأنها

589
00:45:55,630 --> 00:46:00,630
بتتزايد مدام صارت أكبر من some c وليكن الحد الأول

590
00:46:00,630 --> 00:46:05,230
مثلا and some absolute value xn زائد واحد أصغر من

591
00:46:05,230 --> 00:46:11,300
c عالمين على ال and قسمنا على مين؟ على الآن الآن هذه

592
00:46:11,300 --> 00:46:15,460
ال series diverse تبعتها ال series هذه تبعت اللي

593
00:46:15,460 --> 00:46:18,760
هي واحدة الآن diverse إذا من باب أولى بال

594
00:46:18,760 --> 00:46:23,100
comparison test هذه تكون diverse أو بمعنى آخر ال

595
00:46:23,100 --> 00:46:27,580
series summation xn is not absolutely convergent

596
00:46:27,930 --> 00:46:33,170
وهذا هو الـ Reopts Test الآن ناخذ الـ Corollary له

597
00:46:33,170 --> 00:46:37,150
الـ Corollary طبعا هتنسحب على إيش يا جماعة؟

598
00:46:37,150 --> 00:46:41,110
هتنسحب زي ما هو المنهج اللي بنعمله إحنا بناخد ال

599
00:46:41,110 --> 00:46:44,910
test وبناخد ال limit تبعه أو limit test تبعه وهنا

600
00:46:44,910 --> 00:46:48,870
ال limit test تبع ال Reopts Test نشوف إيش اللي

601
00:46:48,870 --> 00:46:51,770
بيعطينا إياه وعادة اللي هي ال limits بتكون في

602
00:46:51,770 --> 00:46:56,150
الغالب أسهل أو أسهل في التعامل من اللي هو ال

603
00:46:56,150 --> 00:47:01,180
comparison العادي Latex بيساوي XN بيه sequence of

604
00:47:01,180 --> 00:47:05,340
non-zero real numbers يعني إيش مالها sequence of

605
00:47:05,340 --> 00:47:08,320
non-zero real numbers ماشي مش .. مش .. مش صفار

606
00:47:08,320 --> 00:47:11,580
يعني عشان هيك أصلا فوق احنا لما أخذنا strictly

607
00:47:11,580 --> 00:47:16,040
أكبر من C لإنه هنا .. هنا .. هنا يعني مزام

608
00:47:16,040 --> 00:47:22,130
sequence of non-zero اللي هو numbers عشان لو حد سأل

609
00:47:22,130 --> 00:47:27,250
عن اللي فوق هذه كيف أكبر من C اللي هو strictly

610
00:47:27,250 --> 00:47:31,190
هذول non-zero لو كان أول واحد non-zero إذا قيمته

611
00:47:31,190 --> 00:47:34,550
strictly أكبر من 0 يعني له قيمة محددة والبعده بيكون

612
00:47:34,550 --> 00:47:38,750
أكبر منه إذا أكيد في عندي بديت من رقم C اللي هو

613
00:47:38,750 --> 00:47:43,010
اللي هو ال term الأول اللي هو ال XK مثلا وبعده

614
00:47:43,010 --> 00:47:46,370
بيصير كل اللي بعده أكبر منه اللي هو أكبر strictly

615
00:47:46,370 --> 00:47:52,310
من C وزي ما وصلنا اللي هو diversity إذا الآن let X

616
00:47:52,310 --> 00:47:55,310
بيساوي XN بيبقى sequence of non-zero real numbers

617
00:47:55,310 --> 00:48:01,110
and let A بيساوي limit N في واحد ناقص XN زائد واحد

618
00:48:01,110 --> 00:48:04,850
على XN whenever this limit exists then the series

619
00:48:04,850 --> 00:48:08,030
summation XN is absolutely convergent when A أكبر

620
00:48:08,030 --> 00:48:10,930
من واحد and this series is not absolutely

621
00:48:10,930 --> 00:48:13,790
convergent في A أصغر من واحد وذا كان let A بيساوي

622
00:48:13,790 --> 00:48:17,450
واحد فعلا طيب يعني إيش بيقول له؟ بيقول له تعال احسب

623
00:48:18,370 --> 00:48:23,390
احسب لي اللي هو limit n في 1 ناقص xn زائد 1 على xn

624
00:48:23,390 --> 00:48:26,490
إذا جيت ال limit as n goes to infinity لهذا

625
00:48:26,490 --> 00:48:30,230
المقدار وبيكسّلني أصلا إذا جيت ال limit بيساوي

626
00:48:30,230 --> 00:48:34,890
رقم a إذا كان اللي كده exist يعني ولو جيت بساوي a

627
00:48:34,890 --> 00:48:39,990
بتيجي الآن للحكم إذا a بيساوي 1 بتحكي لك إذا الـ A

628
00:48:39,990 --> 00:48:43,990
أكبر من واحد على تقول بتقول converge وإذا كانت الـ

629
00:48:43,990 --> 00:48:47,570
A أصغر من واحد بتقول إيه؟  اشماله is not absolutely

630
00:48:47,570 --> 00:48:50,990
convergent حتى مش converge absolutely convergent

631
00:48:50,990 --> 00:48:54,650
في الأولى لما تكون A أكبر من واحد was not

632
00:48:54,650 --> 00:48:59,370
absolutely convergent for A اللي هي أصغر من واحد

633
00:48:59,370 --> 00:49:05,370
نيجي الآن ل اللي هو نفترض أنه ال limit هذه exist

634
00:49:05,370 --> 00:49:11,180
ونصل ل اللي بدنا إياه الآن هذه الفكرة عملناها قبل هيك

635
00:49:11,180 --> 00:49:15,940
في ال proof of Corolla 926 الآن بدنا نفترض suppose

636
00:49:15,940 --> 00:49:21,040
that limit 1100-Xn زي 1Xn يساوي إيه؟ أكبر من مين؟ من

637
00:49:21,040 --> 00:49:25,800
واحد الآن suppose that

638
00:49:33,400 --> 00:49:40,040
limit n في 1 ناقص xn زي 1 على xn بيساوي a أكبر من 1

639
00:49:40,040 --> 00:49:43,820
مدام ال limit هذا exist إذا لكل y أكبر من 0 يوجد

640
00:49:43,820 --> 00:49:47,900
يوجد اللي هو k such that هذا المقدار ناقص a أصغر

641
00:49:47,900 --> 00:49:51,280
من y for every n أكبر يساوي k اللي يعني ال epsilon

642
00:49:51,280 --> 00:49:54,480
اللي بدأ اختارها بدأ تخدمني زي ما عملنا قبل هيك في

643
00:49:54,480 --> 00:49:59,320
ال proof تبع 109 اللي هو 6 الآن بما أنه a أكبر من

644
00:49:59,320 --> 00:50:04,180
واحد يعني الفترة بين a والواحد وال a أكيد في a

645
00:50:04,180 --> 00:50:09,740
واحد بينهم الآن عندي ال a واحد ال a واحد ال

646
00:50:09,740 --> 00:50:14,620
element واحد وال a لو جيت يعني بمعنى آخر ال a واحد

647
00:50:14,620 --> 00:50:19,620
أكبر من ال a وأصغر من ال a الآن خذ ال epsilon let

648
00:50:19,620 --> 00:50:24,900
epsilon بيساوي a minus a واحد أكبر من 0 الآن if

649
00:50:24,900 --> 00:50:30,410
there exist then There exists K element in N such

650
00:50:30,410 --> 00:50:35,390
that for every N أكبر أو يساوي K هيكون عندي اللي هو ال

651
00:50:35,390 --> 00:50:39,990
N في الواحد ناقص absolute value XN زائد واحد على

652
00:50:39,990 --> 00:50:46,090
ال absolute value لل XN ناقص ال A أصغر من مين؟ من Y

653
00:50:46,090 --> 00:50:51,050
اللي هي ال A minus A واحد فوق هذا المقدار هيصير

654
00:50:51,050 --> 00:50:56,730
عبارة عن هذا absolute value أصغر من هذا وأكبر من

655
00:50:56,730 --> 00:51:01,650
اللي هو A ناقص أو A واحد ناقص A هذا اللي يهمني

656
00:51:01,650 --> 00:51:06,370
الآن الآن هتلاحظ إن إن في واحد ناقص absolute value

657
00:51:06,370 --> 00:51:10,630
of xn زائد واحد على absolute value of xn اللي هو

658
00:51:10,630 --> 00:51:17,530
أصغر جيب هذه hand بيصير عندك اللي هو ناقص إيه

659
00:51:21,840 --> 00:51:25,820
أو خلينا لأ من الجهة الثانية أنا مش الجهة دي أكبر

660
00:51:25,820 --> 00:51:30,260
من a واحد ناقص a وناقص a بجيبها على الجهة الثانية

661
00:51:30,260 --> 00:51:35,260
بيصير زائد a بيصير هذا المقدار أكبر من a زائد a

662
00:51:35,260 --> 00:51:40,670
واحد ناقص a يعني بتروح ال a مع ال A نقص واحد وبصير

663
00:51:40,670 --> 00:51:45,090
عندي هذا المقدار أكبر من A واحد حيث ال A واحد

664
00:51:45,090 --> 00:51:50,890
أكبر من واحد إذا صار عندي A واحد أصغر من هذا

665
00:51:50,890 --> 00:51:56,100
المقدار لكل N أكبر أو يساوي K ومنه خلينا بنجيب

666
00:51:56,100 --> 00:52:01,680
اللي هو بنجسم على N بيصير اللي هي هذا المقدار 1

667
00:52:01,680 --> 00:52:06,480
ناقص هذا المقدار أصغر من A1 على N بنجيب المقدار

668
00:52:06,480 --> 00:52:09,840
هذا N وبنجيب هذا N بيصير عندي XN زائد 1 على XN

669
00:52:09,840 --> 00:52:15,300
أصغر من 1 ناقص اللي هو A1 على N طبعا بعد ما قسمنا

670
00:52:15,300 --> 00:52:18,840
هذا أول شيء وبعدين بنجيب هذا N بعد ما قسمناه

671
00:52:18,840 --> 00:52:22,120
وبنجيب هذا N بيطلع عندي هذا المقدار فورأن أكبر

672
00:52:22,120 --> 00:52:26,400
شوية صارت اللي هي الصورة هذه صورة مين؟ صورة اللي

673
00:52:26,400 --> 00:52:31,140
هي الراقبست الأولى إذا بقى رقابست هيكون عنده اللي

674
00:52:31,140 --> 00:52:36,990
هو بما أنه A واحد أكبر من واحد لأنه بين الواحد بين

675
00:52:36,990 --> 00:52:41,070
الواحد وال A هيصير عندي اللي هو بيرابستيس

676
00:52:41,070 --> 00:52:46,890
الصممشي لل إكسان is absolutely convergent فأصغر من

677
00:52:46,890 --> 00:52:52,630
واحد فأصغر من واحد بدو يصير الموضوع الآن مشابه بس

678
00:52:52,630 --> 00:52:56,090
بتختلف من هنا خلي أتي نشوف لكم إياه كيف بيختلف

679
00:52:56,090 --> 00:53:03,220
الآن for a أصغر من مين؟ من واحد لما تكون a أصغر من

680
00:53:03,220 --> 00:53:06,040
واحد بدا تبتلكوا يا له from national exam is not

681
00:53:06,040 --> 00:53:10,420
absolutely convergent a أصغر من واحد معناته أنه في

682
00:53:10,420 --> 00:53:14,680
بينهم a واحد خلجينا نقول a أصغر من واحد لإنه

683
00:53:14,680 --> 00:53:16,680
between any two real numbers there exists a real

684
00:53:16,680 --> 00:53:21,080
number اللي هو a واحد بين ال a و بين اللي هو مين؟

685
00:53:21,080 --> 00:53:26,810
الواحد اللي عالية epsilon a واحد ناقص a A1-A وهي

686
00:53:26,810 --> 00:53:30,010
أكبر من 0 وكله نفسه زي ما هو there exists such

687
00:53:30,010 --> 00:53:38,030
that هذا المقدار أصغر من A 1-A هو أكبر من اللي هو

688
00:53:38,030 --> 00:53:42,530
سالب اللي هو A-A1 هذه المنطقة بديش إياها باخذ

689
00:53:42,530 --> 00:53:46,010
المنطقة هذه بيصير عندي اللي هو زي ما عملنا قبل

690
00:53:46,010 --> 00:53:50,110
بالضبط بيصير عندي هذا المقدار وبجيب هذا ال A هام

691
00:53:50,110 --> 00:53:54,210
بيصير أصغر لما ناقص A تجهان بيصير زائد A مع ناقص A

692
00:53:54,210 --> 00:53:58,710
بتروح بيصير أصغر من مين؟ من A واحد الآن هذا أصغر من

693
00:53:58,710 --> 00:54:02,130
A واحد إذا بيصير عندي بكسب الجهتين على N بيصير على

694
00:54:02,130 --> 00:54:06,090
N وهذه بنجلها على الجهة هذه وهذه بجيبها هنا

695
00:54:06,090 --> 00:54:10,030
بيصير واحد ناقص A واحد على N أصغر من absolute

696
00:54:10,030 --> 00:54:15,270
value XN زائد 1 على ال absolute لل XN بكون حصلنا

697
00:54:15,270 --> 00:54:20,250
على هذا المقدار أكبر من واحد ناقص A واحد على N وهذا

698
00:54:20,250 --> 00:54:25,270
اللي هو لكل N أكبر أو يساوي K إذا حسب B في رقاب ال

699
00:54:25,270 --> 00:54:30,190
test بما أن A واحد اللي هي أصغر من واحد إذا هذه

700
00:54:30,190 --> 00:54:33,450
اللي هي ال series اللي هي summation لل X absolute

701
00:54:33,450 --> 00:54:36,810
value XN is not convergent أو بمعنى آخر summation

702
00:54:36,810 --> 00:54:40,690
الـ XN is not absolutely convergent إذا ال exercise

703
00:54:40,690 --> 00:54:45,390
هذا هيني وضحت لكم يا جماعة طيب

704
00:54:47,450 --> 00:54:51,130
لأن في حالة اللي هي إلا إيه بالساعة واحد قلنا No

705
00:54:51,130 --> 00:54:54,870
conclusion where either convergence or divergence

706
00:54:54,870 --> 00:55:00,490
is possible طيب خلينا نشوف اللي هو examples على

707
00:55:00,490 --> 00:55:04,670
اللي هي الـ Raab's test هنرجع لمين، هنرجع للي هو

708
00:55:04,670 --> 00:55:08,970
الـ B series تبعنا ونشوف كيف نوضح اللي هو ال test

709
00:55:08,970 --> 00:55:12,230
تبعنا الـ Raab's test أو الـ Corollary اللي عليه

710
00:55:12,230 --> 00:55:25,120
كيف اللي هو نستخدمها عندنا في أمثلتنا الآن أخذنا

711
00:55:25,120 --> 00:55:28,780
ال limit على طول اللي هو ال X زائد N زائد واحد على

712
00:55:28,780 --> 00:55:33,520
ال Xn طبعًا هذه جاهزة و positive أصلًا بيصير عندي

713
00:55:33,520 --> 00:55:37,980
اللي هو xn زائد واحد على ال xn واحد ناقصها في n

714
00:55:37,980 --> 00:55:42,380
حسبتها و يساوي limit n في واحد ناقص واحد على n

715
00:55:42,380 --> 00:55:47,140
غلبتها صارت n<sup>b</sup> على واحد على n زائد واحد الكل أس b و

716
00:55:47,140 --> 00:55:52,860
يساوي limit عندي ال n اللي هي أحطت المقامات فصارت N

717
00:55:52,860 --> 00:55:56,060
زائد واحد أس b N أس b على N زائد واحد وكل أس b في

718
00:55:56,060 --> 00:56:03,020
مين في N ويساوي ال N عبارة عن N زائد واحد أس b ناقص

719
00:56:03,020 --> 00:56:08,660
N أس b على واحد على N وهذه جبت مين لحالها واحد

720
00:56:08,660 --> 00:56:12,300
على N زائد واحد أس b يعني جبت هذه هنا وهذه فصلت

721
00:56:12,300 --> 00:56:17,280
لحالها صارت هذه في هذه لأن هذه limit معروف صار ال N

722
00:56:17,280 --> 00:56:22,980
limit اللي هو هذا المقدار الآن واحد على n جيت اللي

723
00:56:22,980 --> 00:56:29,860
هو جسمت فوق على n أس b و تحت على n أس b ماشي

724
00:56:29,860 --> 00:56:33,760
لما جسمت هذا على n أس b صار هذا عبارة عن واحد

725
00:56:33,760 --> 00:56:37,760
زائد واحد على n كل أس b وهذه واحد ناقص واحد

726
00:56:37,760 --> 00:56:41,140
وهذه زي ما هي دلت ولما جسمت هذا على n أس b

727
00:56:41,140 --> 00:56:45,770
صارت واحد زائد واحد على n أس b الآن و يساوي،

728
00:56:45,770 --> 00:56:50,550
الآن limit الأول في limit مين؟ الثاني الآن limit

729
00:56:50,550 --> 00:56:54,730
الثاني هذا سهل بيساوي واحد اللي فوق صار عبارة عن

730
00:56:54,730 --> 00:56:59,210
الآن اللي هو صفر على صفر، ليش؟ لأن as n goes to

731
00:56:59,210 --> 00:57:02,110
infinity، هذه بيصير صفر، هذه بيصير واحد، و واحد

732
00:57:02,110 --> 00:57:05,030
بيطلع صفر، و هذه صفر، صفر على صفر، ده نستخدم اللي

733
00:57:05,030 --> 00:57:07,610
هو بالتالي الـ L'Hôpital's Rule استخدمت الـ 

734
00:57:07,610 --> 00:57:11,450
واشتققت اللي فوق و اللي تحت بالنسبة لل n طبعًا هذا

735
00:57:11,450 --> 00:57:14,970
ال limit طلع و خلصنا واحد اشتققنا طالع عبارة عن b

736
00:57:14,970 --> 00:57:18,870
في واحد زائد واحد على n كل أس b ناقص واحد فطلع

737
00:57:18,870 --> 00:57:22,050
دول جوا ناقص واحد على n تربيع لما فضلت اللي تحت

738
00:57:22,050 --> 00:57:25,570
برضه هيطلع ليه ناقص واحد على n تربيع هذا بيروح مع

739
00:57:25,570 --> 00:57:28,490
حدّه بيصير عندي as n goes to infinity هذا بيروح

740
00:57:28,490 --> 00:57:32,310
للصفر إذا بيصير إيش بيساوي اللي هو عبارة عن b في

741
00:57:32,310 --> 00:57:36,510
واحد أس b ناقص واحد يعني عبارة عن إيه؟ عن b الآن

742
00:57:36,510 --> 00:57:40,390
ما دام b و b أكبر أو يساوي واحد، إذا من الـ Corollary

743
00:57:40,390 --> 00:57:47,350
اللي قبل بشوية الـ B Series إيش مالها، converges

744
00:57:47,350 --> 00:57:53,140
for b أكبر من مين من واحد الآن في حالة الواحد قلنا

745
00:57:53,140 --> 00:57:56,460
اللي هو لما الـ b بتطلع واحد الـ limit بيكون ال

746
00:57:56,460 --> 00:58:00,720
test fail يعني هذه اللي هو بس بنستخدم فيها ال test

747
00:58:00,720 --> 00:58:04,560
for convergence بس في حالة اللي هو مين اللي هو ال

748
00:58:04,560 --> 00:58:08,800
b أكبر من واحد أثبتنا إنه converge بطريقة اللي

749
00:58:08,800 --> 00:58:14,260
يرقب ال test الآن

750
00:58:14,260 --> 00:58:20,270
لو كانت b أكبر من واحد لو كانت b أكبر من واحد

751
00:58:20,270 --> 00:58:26,270
قلنا اللي هي convergence

752
00:58:26,270 --> 00:58:31,570
و for b بيساوي واحد اللي هو no conclusion طيب نيجي

753
00:58:31,570 --> 00:58:38,400
الآن لمثال آخر use the Raab's test to the series

754
00:58:38,400 --> 00:58:42,040
summation اللي أمامنا اللي هو بنفس الأسلوب بدنا

755
00:58:42,040 --> 00:58:48,240
نأخذ اللي هو limit ال xn زائد واحد على xn بيساوي

756
00:58:48,240 --> 00:58:51,940
يعني بده يقول لك أنه احنا ما .. ما ظبطش معنى اللي هو

757
00:58:51,940 --> 00:58:55,920
مين ال ratio test العادي فبدنا نستخدم اللي هو مين

758
00:58:55,920 --> 00:58:59,980
ال Raab's test طيب شوفوا معايا limit xn زائد واحد على

759
00:58:59,980 --> 00:59:04,480
xn ال xn زائد واحد اللي هو n زائد واحد على n زائد

760
00:59:04,480 --> 00:59:08,340
واحد كله تربيع زائد واحد فإن تربيع زائد واحد على n

761
00:59:08,340 --> 00:59:11,960
اللي هي ال xn هذه لما جسمت طبعًا وجلبت في الآخر

762
00:59:11,960 --> 00:59:19,970
فبيصير عندي ال n بيساوي جسمت اللي هو هذه على n بيصير

763
00:59:19,970 --> 00:59:23,150
عبارة عن هذه جسمتها على هذا n زائد واحد على

764
00:59:23,150 --> 00:59:26,270
ال n تطلع عبارة عن واحد زائد واحد على ال n وهذه زي

765
00:59:26,270 --> 00:59:29,710
ما هي n تربيع زائد واحد على هذه وهي تساوي limit

766
00:59:29,710 --> 00:59:35,630
هذا المقدار هنا برضه جسمت على مين على n تربيع صار

767
00:59:35,630 --> 00:59:39,230
واحد زائد واحد على n تربيع وهنا على n تربيع صارت

768
00:59:39,230 --> 00:59:43,650
واحد زائد واحد على ال n الكل تربيع زائد واحد على

769
00:59:43,650 --> 00:59:47,920
مين n تربيع لأن as n goes to infinity هذه واحد as

770
00:59:47,920 --> 00:59:51,940
n goes to infinity هذه واحد وهذه صفر وهذه واحد

771
00:59:51,940 --> 00:59:54,920
يعني المحصلة واحد إذا واحد على واحد بيساوي واحد

772
00:59:54,920 --> 01:00:01,380
الآن إذا بقصه by corollary 926 does not apply أو

773
01:00:01,380 --> 01:00:05,640
corollary 926 اللي هي ال ratio limit limit ratio

774
01:00:05,640 --> 01:00:12,830
limit ratio test does not هنا اللي هو applied ليش؟

775
01:00:12,830 --> 01:00:16,970
لأن ال limit اللي عندي واحد إذا صار عندي بدنا اللي

776
01:00:16,970 --> 01:00:22,790
هو نحاول نوجد طريقة أخرى لو جيت أو وجدت اللي هو

777
01:00:22,790 --> 01:00:27,370
برضه بال Raab's test اللي هو limit n في 1 ناقص xn زي

778
01:00:27,370 --> 01:00:31,190
1 على xn اللي هو حاول توجد ال limit بنفس الأسلوب

779
01:00:31,190 --> 01:00:34,330
اللي فوق بس إلى هذا المقدار احسبهن 1 ناقص هذه

780
01:00:34,330 --> 01:00:37,130
وبعدين اضرب من في ال n حاول توجد ال limit هتلاقيه

781
01:00:37,130 --> 01:00:41,230
بيساوي 1 إذا صار عندي اللي هو Raab's test برضه أنا

782
01:00:41,230 --> 01:00:51,310
أشمله does not apply لكن لو جيت لو جيت اطلعت على

783
01:00:51,310 --> 01:00:56,760
الملاحظة التهلية أبدًا نوجد حلل أمر Xn زائد واحد على

784
01:00:56,760 --> 01:01:00,240
Xn هتلاقي n زائد واحد على n زائد واحد كل تربيع

785
01:01:00,240 --> 01:01:03,740
زائد واحد في n تربيع زائد واحد على n هذا اللي فوق

786
01:01:03,740 --> 01:01:09,800
هذا اللي هي Xn زائد واحد وهذا مقلوب من Xn الآن لو

787
01:01:09,800 --> 01:01:16,060
جيت حسبت هذه جرب أنت احسب لي أثبت لي أنه it is an

788
01:01:16,060 --> 01:01:19,220
exercise to show that ال Xn زيادة واحدة لل Xn أنه

789
01:01:19,220 --> 01:01:22,400
هذا المقدار هي اللي طلع عندي هتلاقيه أكبر أو يساوي

790
01:01:22,400 --> 01:01:28,150
n ناقص واحد على مين على n الآن ما دام هذا أكبر من هذا

791
01:01:28,150 --> 01:01:32,550
وهذا عبارة عن اللي هو عبارة عن واحد ناقص واحد على

792
01:01:32,550 --> 01:01:36,770
n therefore by Raab's test اللي هي b the series

793
01:01:36,770 --> 01:01:41,290
إيش مالها diverges لأنه كتبت على صورة واحد ناقص

794
01:01:41,290 --> 01:01:45,710
واحد على n وهذا ال a تساوي واحد معناه بال Raab's

795
01:01:45,710 --> 01:01:49,450
test هيكون ال series هذه اللي هي ال summation لل x

796
01:01:49,450 --> 01:01:52,570
and is not convergence is not absolutely

797
01:01:52,570 --> 01:01:57,310
convergence أو بمعنى آخر diverges وبكون هيك احنا

798
01:01:57,310 --> 01:02:02,250
انهينا اللي هو section اللي هو تسعة اثنين والى

799
01:02:02,250 --> 01:02:03,310
لقاء آخر