PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/1Uemtyp4-IM.srt

1
00:00:23,230 --> 00:00:28,870
بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون

2
00:00:28,870 --> 00:00:34,770
فيانا مناقشة نشوف 

3
00:00:34,770 --> 00:00:39,790
الـ section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section

4
00:00:39,790 --> 00:00:43,610
تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟

5
00:00:51,050 --> 00:00:56,790
التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب

6
00:00:56,790 --> 00:01:02,630
في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section

7
00:01:02,630 --> 00:01:08,970
تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر

8
00:01:22,550 --> 00:01:35,490
بس الرقم 11 تلاتة سابعة if 

9
00:01:35,490 --> 00:01:42,950
the series sigma a n with

10
00:01:42,950 --> 00:01:46,270
a 

11
00:01:46,270 --> 00:01:51,070
n أكبر من الصفر is convergent

12
00:01:54,210 --> 00:02:01,230
is convergent then

13
00:02:01,230 --> 00:02:14,890
is the series sigma للجذر التربيعي ولا 

14
00:02:14,890 --> 00:02:15,410
لأ؟

15
00:02:24,900 --> 00:02:29,340
is the series and

16
00:02:29,340 --> 00:02:39,240
if and

17
00:02:39,240 --> 00:02:52,300
if BN BN بيساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على

18
00:02:52,300 --> 00:02:52,720
N

19
00:02:55,990 --> 00:03:03,350
مع الـ n يشبه الـ n ثم 

20
00:03:03,350 --> 00:03:08,310
اظهر .. اظهر

21
00:03:08,310 --> 00:03:15,590
ان السيريز سيجما bn دائما

22
00:03:15,590 --> 00:03:19,510
.. دائما

23
00:03:19,510 --> 00:03:21,290
متحرر

24
00:03:33,740 --> 00:03:34,160
Okay

25
00:03:51,610 --> 00:03:56,550
بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و

26
00:03:56,550 --> 00:04:02,670
convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة أو

27
00:04:02,670 --> 00:04:09,750
ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان

28
00:04:09,750 --> 00:04:12,790
ال series هذه بتطلع دائما divergent

29
00:04:18,290 --> 00:04:21,610
وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded

30
00:04:21,610 --> 00:04:25,710
تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of

31
00:04:25,710 --> 00:04:36,990
partial sums صحيح يعني

32
00:04:36,990 --> 00:04:42,710
أنا عندي أول شي not

33
00:04:42,710 --> 00:04:43,290
first

34
00:04:47,630 --> 00:05:00,050
رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK

35
00:05:00,050 --> 00:05:12,590
اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا

36
00:05:12,590 --> 00:05:15,870
بيكون دايما أكبر من أو يساوي

37
00:05:20,590 --> 00:05:25,570
A1 على K لأن

38
00:05:25,570 --> 00:05:32,410
ال .. ال sum اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا

39
00:05:32,410 --> 00:05:37,150
اللي في ال sum كل أعداد موجبة فال sum اللي هنا

40
00:05:37,150 --> 00:05:40,930
أكبر من ال sum اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح

41
00:05:40,930 --> 00:05:45,650
لكل K في N hence

42
00:05:45,650 --> 00:05:46,790
وبالتالي

43
00:05:48,890 --> 00:05:57,350
لو أخدت الـ nth partial sum للسيريز سيجما BN

44
00:06:05,920 --> 00:06:10,120
إذن هذا عبارة عن الـ nth partial sum لل series sigma

45
00:06:10,120 --> 00:06:17,480
bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من

46
00:06:17,480 --> 00:06:24,380
k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a

47
00:06:24,380 --> 00:06:29,640
واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على

48
00:06:29,640 --> 00:06:36,860
k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيساوي

49
00:06:36,860 --> 00:06:44,400
واحد إلى N لواحد على K واحنا

50
00:06:44,400 --> 00:06:50,140
أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل

51
00:06:50,140 --> 00:06:57,620
harmonic series is unbounded

52
00:06:57,620 --> 00:07:03,380
في كان مثال سابق بيقول إنه

53
00:07:07,390 --> 00:07:14,970
إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is

54
00:07:14,970 --> 00:07:18,590
unbounded

55
00:07:18,590 --> 00:07:25,010
is unbounded حسب

56
00:07:25,010 --> 00:07:31,030
مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب

57
00:07:31,030 --> 00:07:35,350
حدودها أو أضربها في ثابت موجب تبقى unbounded

58
00:07:39,070 --> 00:07:48,770
وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is

59
00:07:48,770 --> 00:07:52,610
unbounded

60
00:07:52,610 --> 00:07:59,870
therefore ال

61
00:07:59,870 --> 00:08:08,950
limit ل SM لما انتقل ل infinity does not exist and

62
00:08:08,950 --> 00:08:16,510
therefore the series sigma dn diverges لان احنا

63
00:08:16,510 --> 00:08:19,970
قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent

64
00:08:19,970 --> 00:08:24,570
if and only if the sequence of partial sums is

65
00:08:24,570 --> 00:08:32,870
convergent لان هذا هو الحل okay تمام في

66
00:08:32,870 --> 00:08:35,730
أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة

67
00:08:53,340 --> 00:08:58,320
مفهوم الحل؟ في 

68
00:08:58,320 --> 00:09:03,800
أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟

69
00:09:03,800 --> 00:09:11,180
فسؤال سبعة هذا

70
00:09:11,180 --> 00:09:16,210
المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستة فاقرأي المثال

71
00:09:16,210 --> 00:09:22,330
حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك في المثال فحاولي

72
00:09:22,330 --> 00:09:28,710
اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟

73
00:09:28,710 --> 00:09:35,950
مان

74
00:09:35,950 --> 00:09:37,170
لديها سؤال؟

75
00:09:56,850 --> 00:10:11,850
في عندكم أسرة طيب

76
00:10:11,850 --> 00:10:14,790
لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم Cauchy

77
00:10:14,790 --> 00:10:21,390
condensation test لأن هذا في عليه أسرة ومهم

78
00:10:38,680 --> 00:10:56,660
سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة Cauchy

79
00:10:56,660 --> 00:11:00,760
condensation

80
00:11:00,760 --> 00:11:01,180
test

81
00:11:13,290 --> 00:11:19,130
فال test هذا بيقول let sigma

82
00:11:19,130 --> 00:11:29,970
an be a series .. a series of

83
00:11:29,970 --> 00:11:42,270
monotone .. of monotone decreasing positive

84
00:11:45,320 --> 00:11:54,260
مجموعات اثنين اثنين

85
00:11:54,260 --> 00:11:54,340
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

86
00:11:54,340 --> 00:11:58,160
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

87
00:11:58,160 --> 00:11:59,760
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

88
00:11:59,760 --> 00:12:03,980
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

89
00:12:03,980 --> 00:12:05,320
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

90
00:12:05,320 --> 00:12:08,420
اثنين اثنين اثنين

91
00:12:08,420 --> 00:12:14,380
اثنين

92
00:12:14,380 --> 00:12:14,820
اثن

93
00:12:42,930 --> 00:12:48,630
وهي البرهان أولا

94
00:12:48,630 --> 00:13:02,350
خلّينا نلاحظ note that لاحظي انه لو أخدت نص في

95
00:13:02,350 --> 00:13:12,530
summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k

96
00:13:12,530 --> 00:13:18,930
في a two to k هذا

97
00:13:18,930 --> 00:13:20,830
بيطلع بساوي نص

98
00:13:23,540 --> 00:13:33,720
في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد

99
00:13:33,720 --> 00:13:43,940
اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده

100
00:13:43,940 --> 00:13:52,020
اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى

101
00:13:55,470 --> 00:14:00,650
أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M

102
00:14:00,650 --> 00:14:08,290
حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب

103
00:14:08,290 --> 00:14:15,670
واحد في A اتنين أس M الآن

104
00:14:15,670 --> 00:14:21,770
هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر

105
00:14:21,770 --> 00:14:32,160
من A واحد وطبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة

106
00:14:32,160 --> 00:14:38,600
و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و

107
00:14:38,600 --> 00:14:59,570
a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر

108
00:14:59,570 --> 00:15:07,110
من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زائد

109
00:15:07,110 --> 00:15:17,350
A4 أصغر من A3 زائد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من

110
00:15:17,350 --> 00:15:25,190
A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون

111
00:15:25,190 --> 00:15:30,470
اربعة A8 اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a

112
00:15:30,470 --> 00:15:42,270
خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا

113
00:15:42,270 --> 00:15:48,830
استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر

114
00:15:51,230 --> 00:15:58,170
هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير

115
00:15:58,170 --> 00:16:04,530
اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين أُس ام سالب واحد

116
00:16:04,530 --> 00:16:11,430
زائد واحد زائد a

117
00:16:11,430 --> 00:16:18,920
اتنين أُس ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت

118
00:16:18,920 --> 00:16:24,700
أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود

119
00:16:24,700 --> 00:16:29,680
موجبة، أعداد موجبة وهذا

120
00:16:29,680 --> 00:16:38,540
الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر

121
00:16:38,540 --> 00:16:47,240
من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي

122
00:16:47,240 --> 00:16:48,120
and so

123
00:16:50,890 --> 00:17:01,690
وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك

124
00:17:01,690 --> 00:17:10,490
بإتنين أُس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين

125
00:17:10,490 --> 00:17:15,470
في اتنين عشان نتخلص من النصف بصير المجموع هذا أصغر

126
00:17:15,470 --> 00:17:21,410
من أو يساوي اتنين في summation من n equals zero to

127
00:17:21,410 --> 00:17:27,750
infinity ل a n تمام؟

128
00:17:27,750 --> 00:17:34,330
وهذا

129
00:17:34,330 --> 00:17:39,650
صحيح لكل m belonging to N

130
00:17:44,360 --> 00:18:02,120
بنسمي ال quality هذه واحد طيب

131
00:18:02,120 --> 00:18:05,680
now next

132
00:18:09,650 --> 00:18:21,350
given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using

133
00:18:21,350 --> 00:18:34,050
Archimedean property choose

134
00:18:34,050 --> 00:18:44,810
k بحيث أنه two to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن

135
00:18:44,810 --> 00:18:58,530
ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال

136
00:18:58,530 --> 00:19:06,690
summation from N equals zero to M لان هذا بيطلع

137
00:19:06,690 --> 00:19:12,630
أصغر من a0

138
00:19:12,630 --> 00:19:19,710
زائد a1 زائد a2

139
00:19:19,710 --> 00:19:31,150
زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8

140
00:19:35,390 --> 00:19:47,670
مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين 

141
00:19:47,670 --> 00:19:55,190
أس 2 زائد 2 أس 2 زائد 1 زائد وهكذا إلى 

142
00:19:55,190 --> 00:19:59,330
2 

143
00:19:59,330 --> 00:20:03,950
أس 2 زائد 1 سالب 1

144
00:20:12,500 --> 00:20:17,840
أنا عند الـ M هذا الـ M أصغر من 2 أس K في آخر 

145
00:20:17,840 --> 00:20:26,460
حد اللي هو A<sub>M</sub> هيكون أصغر من A رقم 2 أس K أو

146
00:20:26,460 --> 00:20:34,180
أصغر من أو يساوي 2 رقم A أس 2K زي واحد 

147
00:20:34,180 --> 00:20:35,780
ناقص 1

148
00:20:43,450 --> 00:20:52,190
والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من أو يساوي a<sub>0</sub>

149
00:20:52,190 --> 00:20:57,490
زائد a<sub>1</sub> زائد

150
00:20:57,490 --> 00:21:06,710
2 a<sub>2</sub> لأن a<sub>3</sub> أصغر من a<sub>2</sub> صح؟ عشان الـ sequence a<sub>n</sub> is

151
00:21:06,710 --> 00:21:13,030
decreasing وهذا المجموع أصغر من 4 a

152
00:21:14,740 --> 00:21:26,420
4 صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من 2

153
00:21:26,420 --> 00:21:37,280
أس K هذول عدد الحدود في a 2 أس K يعني هذول

154
00:21:37,280 --> 00:21:41,860
عدد الحدود عددهم 2 أس K وكل واحد منهم

155
00:21:45,050 --> 00:21:55,350
أصغر من 2 أول واحد اللي هو 2 أس 2K وهذا 

156
00:21:55,350 --> 00:22:01,830
بدوره أصغر من 2 أس 2K زائد summation من K

157
00:22:01,830 --> 00:22:09,730
بساوي 0 to infinity لـ 2 أس K في 2 أس 

158
00:22:09,730 --> 00:22:17,540
K هاي أول حد 2 أس K لما K بيساوي 0 بيطلع

159
00:22:17,540 --> 00:22:25,640
1 واحد وبعدين اللي بعده بيطلع 2 2 لما K 

160
00:22:25,640 --> 00:22:33,480
بيساوي 1 واللي بعده 4 4 وهكذا طبعا

161
00:22:33,480 --> 00:22:37,400
هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة

162
00:22:37,400 --> 00:22:41,400
من K بيساوي 0 إلى ما لا نهاية هذا طبعا في حدود 

163
00:22:41,400 --> 00:22:41,820
أكثر

164
00:22:44,960 --> 00:22:53,040
تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج 

165
00:22:53,040 --> 00:23:02,980
إنه المجموعة ∑ from n equal 0 to infinity لـ

166
00:23:02,980 --> 00:23:12,050
a<sub>n</sub> بطلع أصغر من أو يساوي a<sub>0</sub> زائد ∑ from k equals

167
00:23:12,050 --> 00:23:20,790
0 to infinity لـ 2<sup>k</sup> a<sub>2<sup>k</sup></sub> لأن

168
00:23:20,790 --> 00:23:26,810
هذا صحيح لكل M أكبر من أو يساوي الـ 1 لأن هذا

169
00:23:26,810 --> 00:23:33,330
عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العدد أو هذا

170
00:23:33,330 --> 00:23:39,530
العدد upper bound للـ sequence of partial sums هنا

171
00:23:39,530 --> 00:23:44,190
فما 

172
00:23:44,190 --> 00:23:47,210
هذه الـ sequence of partial sums is increasing

173
00:23:47,210 --> 00:23:50,750
متزايدة

174
00:23:50,750 --> 00:23:55,110
و bounded above by this number إذا الـ limit تبعت

175
00:23:55,110 --> 00:23:58,650
الـ sequence of partial sums exist وبالساوي

176
00:23:58,650 --> 00:24:04,990
supremum للـ sequence of partial sums الـ supremum

177
00:24:04,990 --> 00:24:11,150
للـ sequence of partial sums أقل من الـ upper bound

178
00:24:11,150 --> 00:24:13,670
هذا upper bound للـ sequence of partial sums الـ 

179
00:24:13,670 --> 00:24:17,050
supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا الـ supremum

180
00:24:17,050 --> 00:24:21,690
للـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit للـ

181
00:24:21,690 --> 00:24:23,730
sequence of partial sums اللي هو مجموعة الـ

182
00:24:23,730 --> 00:24:29,190
infinite series أصغر من أو يساوي الـ upper bound by

183
00:24:29,190 --> 00:24:34,290
monotone convergence theorem السيريز 

184
00:24:34,290 --> 00:24:39,610
هذي convergence ومجموعة بساوي limit للـ sequence of 

185
00:24:39,610 --> 00:24:44,710
partial sums اللي هي أصغر من أو ساوي عددها okay

186
00:24:44,710 --> 00:24:54,170
إذا نسمي المتباينة هذه 2 إذا من المتباينة 1 

187
00:24:54,170 --> 00:24:54,870
و2

188
00:25:11,870 --> 00:25:19,130
الآن بمقارنة مباشرة الاختلافات

189
00:25:19,130 --> 00:25:30,640
المتباينات 1 و 2 بيقدوا السيريز ∑ a<sub>n</sub>

190
00:25:30,640 --> 00:25:39,720
converges if and only if السيريز ∑ 2<sup>2</sup>

191
00:25:39,720 --> 00:25:47,820
a<sub>2<sup>2</sup></sub> converges تعالى 

192
00:25:47,820 --> 00:25:54,680
نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز

193
00:25:54,680 --> 00:25:55,780
هذه convergent

194
00:25:58,080 --> 00:26:03,500
وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن

195
00:26:03,500 --> 00:26:08,880
هذه أيضا sequence of partial sums هذه الـ limit

196
00:26:08,880 --> 00:26:19,460
تبعتها exist وبالتالي الـ infinite series هذه إذا

197
00:26:19,460 --> 00:26:27,250
أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيح الآن لو كانت الـ

198
00:26:27,250 --> 00:26:31,430
series هادي convergent فنضربها في ثابت 2 تطلع

199
00:26:31,430 --> 00:26:35,270
convergent وبالتالي الـ series هادي convergent by 

200
00:26:35,270 --> 00:26:40,170
direct comparison test العكس لو كانت الـ series

201
00:26:40,170 --> 00:26:41,670
هادي convergent

202
00:26:44,460 --> 00:26:50,840
فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي

203
00:26:50,840 --> 00:26:54,080
by direct comparison test الـ series الأصغر بتطلع

204
00:26:54,080 --> 00:26:58,160
conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت Cauchy

205
00:26:58,160 --> 00:27:03,600
condensation test هذا الـ test قوي كتير وله فوائد

206
00:27:03,600 --> 00:27:13,000
كتيرة فمن الفوائد تبعتها يعني

207
00:27:13,000 --> 00:27:13,800
هذه مثال

208
00:27:22,170 --> 00:27:37,410
ممكن نستنتج الـ P-series test مثال، 

209
00:27:37,410 --> 00:27:46,290
أنا موجود في إحدى التمارين التمرين 13

210
00:27:53,040 --> 00:28:05,440
تعملين تلتاش سيكشن 3 7 ايش بيقول هذا if if

211
00:28:05,440 --> 00:28:16,600
P أكبر من الـ 0 is a real number discuss

212
00:28:16,600 --> 00:28:20,940
the 

213
00:28:20,940 --> 00:28:21,680
convergence

214
00:28:42,640 --> 00:28:44,720
تعالوا نفحص

215
00:28:49,400 --> 00:28:58,120
∑ from n equals 1 to infinity لـ 2 أس

216
00:28:58,120 --> 00:29:08,700
n في 1 على هاي أو خليني أقول 2 أس n في a

217
00:29:08,700 --> 00:29:16,120
and a 2 أس m ايش بيساوي هذا طبعا هاي عندي a<sub>n</sub>

218
00:29:16,120 --> 00:29:24,230
هذا هو عبارة عن a<sub>m</sub> الحد العام للـ series فان بيساوي 

219
00:29:24,230 --> 00:29:30,290
1 على n<sup>p</sup> فبتبحث هل الـ series هذي convergent أو

220
00:29:30,290 --> 00:29:33,990
متى بتكون هذي الـ series convergent وبالتالي بقدر

221
00:29:33,990 --> 00:29:37,890
أطبق اللي هو Cauchy condensation test فهذه عبارة

222
00:29:37,890 --> 00:29:43,970
عن ∑ from n equals 1 to infinity الآن ايه

223
00:29:43,970 --> 00:29:53,550
2 أس n بطلع 1 على 2 أس n الكل أس P

224
00:29:53,550 --> 00:30:03,810
تمام؟ وهذا بيساوي ∑ from n equals 1 to

225
00:30:03,810 --> 00:30:18,940
infinity لـ 2 أس 1−P الكل أس n وهدي 

226
00:30:18,940 --> 00:30:27,020
is a geometric series is a geometric series

227
00:30:27,020 --> 00:30:33,680
وبالتالي

228
00:30:33,680 --> 00:30:38,320
مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب

229
00:30:38,320 --> 00:30:40,620
حدود تبعتها

230
00:30:43,100 --> 00:30:52,660
فأول حد عبارة عن 2 أس 1−P الحد الثاني

231
00:30:52,660 --> 00:31:00,940
2 أس 1−P الكل تربيع وهكذا فالحد 

232
00:31:00,940 --> 00:31:05,480
الأول 2 أس 1−P الحد الثاني 2 أس

233
00:31:05,480 --> 00:31:09,980
1−P وهكذا with ratio

234
00:31:14,090 --> 00:31:28,710
with ratio with 

235
00:31:28,710 --> 00:31:34,830
ratio R

236
00:31:34,830 --> 00:31:41,790
بيساوي 2 أس 1−P 

237
00:31:48,590 --> 00:31:58,790
So by geometric series test it converges if

238
00:31:58,790 --> 00:32:06,450
and only if |R| بيساوي 2 أس 1−P

239
00:32:06,450 --> 00:32:16,670
أصغر من 1 وهذا بتحقق 2 أس 1−P أصغر

240
00:32:16,670 --> 00:32:25,590
من 1 فنقول if 1−P إذا 

241
00:32:25,590 --> 00:32:36,910
كان 1−P أصغر من الـ 0 سالب لأن لو كان

242
00:32:36,910 --> 00:32:41,430
1−P موجب فـ 2 أس أي عدد موجب عمره ما

243
00:32:41,430 --> 00:32:47,440
بيكون أصغر من 1 نصفوت لكن لو كان الأس سالب فبيصير

244
00:32:47,440 --> 00:32:52,620
هذا 1 على 2 أس وموجب فبيصير أصغر من 1 إذا

245
00:32:52,620 --> 00:32:57,020
هذا صحيح if and only if الأس تابع الـ 2 اللي هو

246
00:32:57,020 --> 00:33:06,240
1−P أصغر من 0 if and only if 1 أصغر 

247
00:33:06,240 --> 00:33:12,920
من P أو P أكبر من 1 okay تمام وهذا هو الـ P

248
00:33:12,920 --> 00:33:19,120
series test لأن احنا استنتجنا الـ P series test من

249
00:33:19,120 --> 00:33:26,200
Cauchy Condensation test فاكرين الـ P series هذي أو

250
00:33:26,200 --> 00:33:29,840
الـ P series test اثبتنا أن Convergent if and only 

251
00:33:29,840 --> 00:33:35,200
if P أكبر من 1 وDivergent إذا كانت P أصغر منها

252
00:33:35,200 --> 00:33:35,960
وسائل 1

253
00:33:42,110 --> 00:33:51,730
Okay إذا الـ .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's

254
00:33:51,730 --> 00:34:01,910
Condensation Test The series ∑

255
00:34:01,910 --> 00:34:07,830
from N equals 1 to infinity الـ 1 over N<sup>P</sup>

256
00:34:08,830 --> 00:34:16,530
convergence if and only if P أكبر من 1 وهذا هو

257
00:34:16,530 --> 00:34:23,030
الـ P-series test إذن هذا بورجينا قوة Cauchy 

258
00:34:23,030 --> 00:34:29,530
Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى 

259
00:34:29,530 --> 00:34:33,430
على Cauchy Condensation Test وأنا طالب منكم تحلوها

260
00:34:33,430 --> 00:34:41,340
زي السؤال 14 و15 صح؟ ففي أي شيء في الأسئلة دي أو

261
00:34:41,340 --> 00:34:47,160
أسئلة ثانية؟

262
00:34:47,160 --> 00:34:56,500
في

263
00:34:56,500 --> 00:34:58,180
عندكم أي أسئلة؟

264
00:35:13,000 --> 00:35:19,560
إذا سيكشن 1 3 7 في أي سؤال ثاني عندكم في

265
00:35:19,560 --> 00:35:25,540
الأسئلة هذه أو

266
00:35:25,540 --> 00:35:31,860
السيكاشن السابقة أو سيكشن 4 1 إذا بتحبه

267
00:35:31,860 --> 00:35:35,560
سيكشن 4 1

268
00:36:06,090 --> 00:36:13,070
مافيش أسئلة؟ طيب الـ .. مدام مافيش أسئلة نواصل ..

269
00:36:13,070 --> 00:36:16,190
نكمل

270
00:36:16,190 --> 00:36:17,490
المحاضرة في السابقة

271
00:36:49,090 --> 00:36:53,250
المرة الأخرى تحدثنا عن الـ two-sided limits وعن

272
00:36:53,250 --> 00:37:00,350
الـ one-sided limits وأخذنا بعض النظريات وقلنا إن

273
00:37:00,350 --> 00:37:05,090
جميع النظريات اللي برهناها هو one-sided limit

274
00:37:05,090 --> 00:37:12,990
صحيحة للـ two-sided limits أو النظريات الصحيحة لـ 

275
00:37:12,990 --> 00:37:17,070
two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided

276
00:37:17,070 --> 00:37:26,650
limit فناخد 

277
00:37:26,650 --> 00:37:31,350
مثال show

278
00:37:31,350 --> 00:37:31,950
that

279
00:37:35,020 --> 00:37:55,100
Limit لـ Signum X لإن X تقول لـ 0 لا يوجد فنلاحظ

280
00:37:55,100 --> 00:37:59,600
أن Limit لأول شيء Signum X

281
00:38:03,790 --> 00:38:11,230
بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي صفر لما 

282
00:38:11,230 --> 00:38:15,010
أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على

283
00:38:15,010 --> 00:38:20,690
absolute x لو كان x بساوي صفر الآن ال limit ل

284
00:38:20,690 --> 00:38:30,890
sigma x لما x تقول إلى صفر من اليمين بساوي ال

285
00:38:30,890 --> 00:38:31,310
limit

286
00:38:35,810 --> 00:38:41,530
لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من

287
00:38:41,530 --> 00:38:50,190
اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى 

288
00:38:50,190 --> 00:38:55,650
صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x

289
00:38:55,650 --> 00:38:57,330
تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من

290
00:38:57,330 --> 00:39:02,560
اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول أصغر

291
00:39:02,560 --> 00:39:21,640
من اليسار لما x أصغر من صفر لما

292
00:39:21,640 --> 00:39:28,560
x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر

293
00:39:28,560 --> 00:39:33,950
لما x أصغر من صفر، السالب واحد بيطلع السالب واحد إن

294
00:39:33,950 --> 00:39:37,670
أنا عندي ال limit من اليمين يساوي واحد، ال limit

295
00:39:37,670 --> 00:39:44,230
من اليسار يساوي سالب واحد، مش متساويين الاثنين، so by

296
00:39:44,230 --> 00:39:50,150
theorem، حسب النظرية اللي أخدناها theorem أربعة

297
00:39:50,150 --> 00:39:55,630
ثلاثة، بيطلع

298
00:39:55,630 --> 00:40:01,080
عندي ال limit أو ال two sided limit للـ signal

299
00:40:01,080 --> 00:40:09,560
function لما x تقول إلى الصفر does not exist تمام؟

300
00:40:09,560 --> 00:40:22,280
طيب خلّيني أنا آخد show

301
00:40:22,280 --> 00:40:27,380
that ال

302
00:40:27,380 --> 00:40:32,350
limit لل function e والواحد على x لما x تقول إلى

303
00:40:32,350 --> 00:40:40,550
صفر من اليمين does not exist and

304
00:40:40,550 --> 00:40:43,910
من

305
00:40:43,910 --> 00:40:51,170
ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x

306
00:40:51,170 --> 00:40:58,710
تقول إلى صفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي صفر

307
00:41:23,830 --> 00:41:31,010
طيب ال ...

308
00:41:31,010 --> 00:41:34,050
نحاول نبرهن الجزء الأول

309
00:41:56,420 --> 00:42:03,380
بناخد الجزء الأول let

310
00:42:03,380 --> 00:42:13,540
z of x بساوي e to 1 على x، حفة x لا تساوي 0، وبدنا

311
00:42:13,540 --> 00:42:19,260
نثبت to

312
00:42:19,260 --> 00:42:28,130
show إن ال limit لـ g of x لما x تقول لصفر من

313
00:42:28,130 --> 00:42:38,750
اليمين does not exist، it suffices to

314
00:42:38,750 --> 00:42:42,710
show يكفي

315
00:42:42,710 --> 00:42:52,650
إثبات أن ال function g of x is not bounded on

316
00:42:56,170 --> 00:43:05,850
on a right ... on a right neighborhood

317
00:43:05,850 --> 00:43:13,670
... on a right neighborhood اللي هو صفر دلتا of

318
00:43:13,670 --> 00:43:15,230
zero

319
00:43:25,230 --> 00:43:28,670
أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه؟ ده عشان أثبت أنه ال

320
00:43:28,670 --> 00:43:35,710
limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت

321
00:43:35,710 --> 00:43:43,910
أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded

322
00:43:43,910 --> 00:43:48,650
عند أي neighborhood

323
00:43:48,650 --> 00:43:56,210
للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limit عشان أقول إن

324
00:43:56,210 --> 00:44:02,230
ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى

325
00:44:02,230 --> 00:44:09,430
صفر من اليمين does not exist فهي

326
00:44:09,430 --> 00:44:16,390
الصفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta

327
00:44:16,390 --> 00:44:20,290
neighborhood للصفر

328
00:44:20,290 --> 00:44:29,960
فباخد right neighborhood right neighborhood للصفر

329
00:44:29,960 --> 00:44:35,960
فيكفي إن ال function هذه ماهياش bounded عن كل

330
00:44:35,960 --> 00:44:41,780
right neighborhood يعني جوار من اليمين للصفر لأن

331
00:44:41,780 --> 00:44:46,000
أنا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل

332
00:44:46,000 --> 00:44:51,240
مع نهاية من الطرفين فكنت آخد delta neighborhood

333
00:44:51,240 --> 00:44:56,840
كامل، ولو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded

334
00:44:56,840 --> 00:45:01,280
عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه

335
00:45:01,280 --> 00:45:06,220
فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من

336
00:45:06,220 --> 00:45:09,960
اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من

337
00:45:09,960 --> 00:45:15,820
اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ...

338
00:45:15,820 --> 00:45:25,650
right neighborhood للصفر Okay تمام و لإثبات ذلك to

339
00:45:25,650 --> 00:45:29,270
see

340
00:45:29,270 --> 00:45:39,290
this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من

341
00:45:39,290 --> 00:45:47,010
صفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من صفر هذه

342
00:45:47,010 --> 00:45:54,200
المتباينة هذه المتباينة موجودة

343
00:45:54,200 --> 00:46:01,780
برهانها في Chapter 8 برهانها

344
00:46:01,780 --> 00:46:07,600
موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم

345
00:46:07,600 --> 00:46:11,460
اللي هو المتباينة هذه في إثبات إن ال function

346
00:46:11,460 --> 00:46:17,420
ماهياش bounded على neighborhood أو right

347
00:46:17,420 --> 00:46:25,130
neighborhood للصفر Okay عشان الوجد خلص بنوقف و

348
00:46:25,130 --> 00:46:29,590
بناخد خمس دقايق break وبعدين بنكمل إن شاء الله

349
00:46:29,590 --> 00:46:35,550
البرهان فحنوقف ونكمل في الجزء التالي من المحاضرة