PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/VKBf-GBS8EU.srt

1
00:00:21,140 --> 00:00:25,840
احنا المرة اللي فاتت أخذنا موضوع الـ sub sequences و

2
00:00:25,840 --> 00:00:30,840
آخر نظرية أخذناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16

3
00:00:30,840 --> 00:00:36,380
النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence 

4
00:00:36,380 --> 00:00:41,340
of real numbers وكانت convergent فأي subsequence 

5
00:00:41,340 --> 00:00:47,680
منها بتكون convergent و ليها نفس الـ limit تمام؟

6
00:00:53,530 --> 00:00:59,850
الآن بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية

7
00:00:59,850 --> 00:01:06,250
فالمثال

8
00:01:06,250 --> 00:01:13,510
الأول لو كان 1 أصغر من أو لو كان صفر أصغر من B 

9
00:01:13,510 --> 00:01:19,410
أصغر من 1 فبدنا نثبت أن هذا بيؤدي أن limit الـ

10
00:01:19,410 --> 00:01:30,240
sequence bn بساوي صفر برهان ذلك بنعرف

11
00:01:30,240 --> 00:01:34,680
الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أس 

12
00:01:34,680 --> 00:01:42,220
N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر

13
00:01:42,220 --> 00:01:50,360
من 1 هذا بيؤدي أن Xn اللي هي بساوي B أس N  الـ B 

14
00:01:50,360 --> 00:01:54,360
هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل 

15
00:01:54,360 --> 00:01:59,670
ما بتصغر يعني هذا أكبر من B أس n زائد 1 اللي هو

16
00:01:59,670 --> 00:02:04,410
Xn زائد 1 الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية

17
00:02:04,410 --> 00:02:11,350
n فهذا بيؤدي ان الـ sequence xn is decreasing

18
00:02:11,350 --> 00:02:25,510
متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما أنه الـ Xn 

19
00:02:25,510 --> 00:02:31,790
تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B

20
00:02:31,790 --> 00:02:36,410
أكبر من 0 أصغر من 1 فـ B أس N بيطلع أكبر من أو يساوي 

21
00:02:36,410 --> 00:02:44,210
0 أصغر من أو يساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن

22
00:02:44,210 --> 00:02:48,690
الصفر حد أدنى للـ sequence BN والواحد حد أعلى

23
00:02:49,370 --> 00:02:53,530
وبالتالي sequence bn is bounded من أسفل ومن أعلى

24
00:02:53,530 --> 00:02:59,450
وبالتالي bounded إذا الـ sequence xn is bounded 

25
00:02:59,450 --> 00:03:03,170
الآن

26
00:03:03,170 --> 00:03:06,370
أنا في عندي sequence xn decreasing وبالتالي

27
00:03:06,370 --> 00:03:11,670
monotone و bounded إذا by monotone convergence تطلع

28
00:03:11,670 --> 00:03:12,170
convergent

29
00:03:15,900 --> 00:03:28,260
by monotone convergence theorem xn converges say

30
00:03:28,260 --> 00:03:39,320
دعنا خلّينا نسمي الـ limit تبعتها x say limit xn 

31
00:03:39,320 --> 00:03:40,880
بساوي x

32
00:03:43,880 --> 00:03:50,460
الآن بدنا نثبت انها هيثبت لنا أن الـ sequence xn اللي

33
00:03:50,460 --> 00:03:55,320
الحد العام تبعها B أس N تطلع convergent إلى عدد x

34
00:03:55,320 --> 00:04:03,660
الآن بدنا نثبت ان الـ x هذا هو صفر  أكلم الـ

35
00:04:03,660 --> 00:04:17,420
x بساوي صفر طيب by الـ theorem اثنين ستة عشر الـ

36
00:04:17,420 --> 00:04:25,240
subsequence لو أخدت الـ subsequence اللي حدودها

37
00:04:25,240 --> 00:04:31,280
زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من الـ sequence xn هذه

38
00:04:31,280 --> 00:04:38,620
فهذه subsequence من xn فهذه أيضا converges لـ x

39
00:04:41,360 --> 00:04:47,460
حسب نظرية 2.16 الـ sequence xn converge لـ x x2

40
00:04:47,460 --> 00:04:50,960
in subsequence من xn وبالتالي convergent by 

41
00:04:50,960 --> 00:05:02,480
theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه 

42
00:05:06,320 --> 00:05:13,660
x2n بيساوي B أس اتنين n x2n بدها باتنين n 

43
00:05:13,660 --> 00:05:18,700
بيساوي B أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة B 

44
00:05:18,700 --> 00:05:28,700
أس n الكل تربيع وهذا عبارة عن xn تربيع الكلام هذا

45
00:05:28,700 --> 00:05:33,280
صحيح لكل n خدوا الـ limit للطرفين لما n تؤول لـ

46
00:05:33,280 --> 00:05:43,650
infinity إذا الـ limit لـ x2n لما n تؤول infinity

47
00:05:43,650 --> 00:05:52,630
بساوي limit xn تربيع لما n تؤول infinity وهذا

48
00:05:52,630 --> 00:06:00,730
بساوي limit xn الكل تربيع طيب limit .. أنا عندي

49
00:06:00,730 --> 00:06:04,270
limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع

50
00:06:07,550 --> 00:06:13,890
و limit x2n بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x 

51
00:06:13,890 --> 00:06:19,730
بساوي x تربيع حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي

52
00:06:19,730 --> 00:06:29,830
صفر أو x بساوي 1 تمام؟

53
00:06:36,360 --> 00:06:41,500
طيب مين أخذ الصفر ولا الواحد؟

54
00:06:41,500 --> 00:06:46,620
أنا عندي الـ sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا 

55
00:06:46,620 --> 00:06:53,480
عندي .. أنا عندي الـ X since 

56
00:06:53,480 --> 00:07:00,200
Xn is decreasing متناقصة

57
00:07:04,980 --> 00:07:11,740
و الـ limit تبعتها و x اللي هي بساوي limit xn 

58
00:07:11,740 --> 00:07:19,660
من هنا limit xn هتطلع أكبر من أو يساوي صفر أصغر

59
00:07:19,660 --> 00:07:24,900
من أو يساوي الواحد و الـ x إما بساوي صفر أو 1 و 

60
00:07:24,900 --> 00:07:32,020
متناقصة فلازم الـ x الـ limit تبعتها x يساوي صفر

61
00:07:35,220 --> 00:07:40,360
لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا الـ X بساوي صفر

62
00:07:40,360 --> 00:07:44,120
برضه

63
00:07:44,120 --> 00:07:50,740
ممكن نحن نقول إن الـ sequence الـ X بساوي الـ infimum

64
00:07:50,740 --> 00:07:58,780
لـ XN حيث N ينتمي لـ N حسب الـ monotone convergence 

65
00:07:58,780 --> 00:08:03,420
theorem وهي الـ XN bounded below by صفر والصفر هو

66
00:08:03,420 --> 00:08:12,190
الـ infimum لها إذاً هذا بيساوي الصفر لأن 

67
00:08:12,190 --> 00:08:18,290
الصفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه

68
00:08:18,290 --> 00:08:25,090
أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا 

69
00:08:25,090 --> 00:08:31,170
نظرية 2.16 لإيجاد limit للـ convergent sequence لأن 

70
00:08:31,170 --> 00:08:35,250
احنا أثبتنا إن الـ sequence convergent أخذنا sequence

71
00:08:35,250 --> 00:08:38,530
الحد اللي عام تبعها B أس n أثبتنا إنها

72
00:08:38,530 --> 00:08:42,990
convergent by monotone convergence theorem وجبنا 

73
00:08:42,990 --> 00:08:48,650
قيمة الـ limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام

74
00:08:48,650 --> 00:08:52,790
الـ monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال

75
00:08:52,790 --> 00:08:53,250
تاني

76
00:09:04,470 --> 00:09:09,990
لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من 1 فهذا بيؤدي ان

77
00:09:09,990 --> 00:09:15,550
الـ limit لـ c أس 1 على n لما n تؤول infinity

78
00:09:15,550 --> 00:09:21,030
بيساوي 1 البرهان

79
00:09:21,030 --> 00:09:27,430
بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let

80
00:09:27,430 --> 00:09:33,610
المرة هذه yn نعرّف sequence yn الـ nth term

81
00:09:33,610 --> 00:09:42,570
تبقى yn بساوي c أس 1 على n لكل n عدد طبيعي then 

82
00:09:42,570 --> 00:09:49,230
واضح أن yn زائد 1 بساوي c أس 1 على n زائد

83
00:09:49,230 --> 00:09:58,530
1 و الـ c عدد أكبر من 1 وهذا الجذر رقم n زائد

84
00:09:58,530 --> 00:10:11,230
1 له هذا بيطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو 

85
00:10:11,230 --> 00:10:17,690
الجذر النوني لـ c كل ما كبر الجذر كل ما العدد

86
00:10:17,690 --> 00:10:23,720
بيصغر إذا كان العدد أكبر من 1 وهذا بساوي yn وهذا 

87
00:10:23,720 --> 00:10:29,280
صحيح لكل n هذا معناه yn زائد 1 أصغر من yn 

88
00:10:29,280 --> 00:10:39,160
معناته الـ sequence yn is decreasing متناقصة also

89
00:10:39,160 --> 00:10:48,180
أيضا أنا عندي في الـ sequence هذه y1 أكبر من أو

90
00:10:48,180 --> 00:10:56,200
يساوي yn لأن الـ sequence متناقصة صح؟

91
00:10:56,200 --> 00:11:03,900
و Yn من هنا Yn بساوي C أس N الـ C أكبر من 1 إذا 

92
00:11:03,900 --> 00:11:07,580
الجذر النوني لـ C عدد أكبر من 1 بيبقى أكبر من 

93
00:11:07,580 --> 00:11:16,040
1 إذا هذا أكبر من أو يساوي 1 تمام؟ وهذا

94
00:11:16,040 --> 00:11:22,810
الكلام صحيح لكل N؟ إذن هي الـ sequence تبعتي yn

95
00:11:22,810 --> 00:11:28,230
bounded below by one and bounded above by y1 y 

96
00:11:28,230 --> 00:11:36,370
one عدد حقيقي موجب أكبر من 1 إذن

97
00:11:36,370 --> 00:11:43,550
هذا معناه أن الـ sequence yn is bounded صح is

98
00:11:43,550 --> 00:11:52,170
bounded so by monotone convergence theorem a

99
00:11:52,170 --> 00:12:04,010
sequence yn converges converge say الـ limit تبعتها 

100
00:12:04,010 --> 00:12:11,970
بساوي عدد y افترضوا ان الـ limit تبعتها بساوي

101
00:12:11,970 --> 00:12:21,450
واحد الآن بنثبت ان الـ limit 

102
00:12:21,450 --> 00:12:30,950
y بساوي واحد الـ claim ان الـ limit y بساوي

103
00:12:30,950 --> 00:12:34,550
واحد كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج 

104
00:12:34,550 --> 00:12:41,680
اتنين ستة عشر الـ subsequence اللي هي متتالية الحدود

105
00:12:41,680 --> 00:12:51,880
الزوجية y2n هذي 

106
00:12:51,880 --> 00:12:56,260
المفروض تكون convergent لنفس الـ limit تبعت الـ

107
00:12:56,260 --> 00:13:02,280
sequence yn اللي هي y تمام طيب

108
00:13:02,280 --> 00:13:02,400
but

109
00:13:08,660 --> 00:13:17,520
Y2N شو بيساوي؟ C أس 1 على اتنين N وهذا بيساوي C

110
00:13:17,520 --> 00:13:24,680
أس 1 على N الكل أس 1 على اتنين وهذا بيساوي C

111
00:13:24,680 --> 00:13:32,250
أس 1 على N عبارة عن Yn الكل أس نصف الكلام هذا

112
00:13:32,250 --> 00:13:37,270
صحيح لكل n إذا لو أخدت الـ limit للطرفين لما n تؤول 

113
00:13:37,270 --> 00:13:43,950
infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity

114
00:13:43,950 --> 00:13:48,330
بساوي limit yn

115
00:13:48,330 --> 00:13:56,210
لما n تؤول infinity الكل أس نصف وهذا بساوي limit الكل أس نصف 

116
00:14:00,780 --> 00:14:08,440
طيب limit yn قلنا بتساوي y إذن هذا y أس نصف و

117
00:14:08,440 --> 00:14:14,920
limit y2n قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في 

118
00:14:14,920 --> 00:14:20,700
عندي معادلة y بساوي y أس نصف لو حلينا المعادلة هذه

119
00:14:20,700 --> 00:14:28,660
في y فـ y تلبية بساوي 1 ومنها بطلع y بساوي صفر or y 

120
00:14:28,660 --> 00:14:29,940
بساوي 1

121
00:14:32,490 --> 00:14:38,990
احنا عايزين الـ y تساوي المثال التاني 1 عايزين

122
00:14:38,990 --> 00:14:49,090
الـ y تساوي 1 تمام فأنا عندي since limit أنا 

123
00:14:49,090 --> 00:14:49,930
عندي من هنا 

124
00:14:53,290 --> 00:15:01,650
أنا عندي yn أكبر من أو يساوي 1 لكل n بيؤدي انه 

125
00:15:01,650 --> 00:15:10,350
limit yn اللي هي y هي قاعدة نظرية بتقول لو y الـ 

126
00:15:10,350 --> 00:15:15,350
sequence bounded below by a فـ limit yn تطلع أكبر 

127
00:15:15,350 --> 00:15:19,350
من أو يساوي الواحد

128
00:15:24,190 --> 00:15:29,090
طيب y أكبر من أو يساوي الواحد واحنا قلنا انه 

129
00:15:29,090 --> 00:15:33,430
لازم تطلع إما صفر أو 1 فمين الـ .. الـ .. الإجابة

130
00:15:33,430 --> 00:15:40,090
المنطقية إذا الـ y لازم يساوي 1 وبالتالي هيك 

131
00:15:40,090 --> 00:15:44,130
ممكن اثبتنا ان الـ sequence اللي الـ instance تبعها 

132
00:15:44,130 --> 00:15:48,850
c to one over n is convergent و الـ limit تبعتها

133
00:15:48,850 --> 00:15:51,430
بساوي 1 تمام واضح؟

134
00:15:54,740 --> 00:15:59,300
في أي سؤال؟ طيب

135
00:15:59,300 --> 00:16:01,360
النظرية اللي بعد النظرية هذه

136
00:16:23,610 --> 00:16:28,650
نظرية السبعة عشر divergence

137
00:16:28,650 --> 00:16:35,370
criterion

138
00:16:51,000 --> 00:16:58,100
let xn be sequence in R لو 

139
00:16:58,100 --> 00:17:02,200
كانت xn sequence of real numbers then the

140
00:17:02,200 --> 00:17:07,700
following statements are equivalent العبارات

141
00:17:07,700 --> 00:17:13,960
التالية متكافئة xn does not converge to x ينتمي إلى 

142
00:17:13,960 --> 00:17:14,400
R

143
00:17:18,590 --> 00:17:25,790
ثنين يوجد ε₀ أكبر من صفر بحيث أنه such

144
00:17:25,790 --> 00:17:36,290
that for any k عدد طبيعي يوجد

145
00:17:36,290 --> 00:17:44,790
عدد طبيعي rk ينتمي إلى N with

146
00:17:46,090 --> 00:17:54,350
rk أكبر من أو يساوي k and 

147
00:17:54,350 --> 00:18:00,930
|x<sub>rk</sub> - x|

148
00:18:00,930 --> 00:18:07,550
أكبر من أو يساوي ε₀

149
00:18:07,550 --> 00:18:10,870
العبارة الثالثة

150
00:18:14,170 --> 00:18:21,010
يوجد ε₀ أكبر من الصفر and a subsequence

151
00:18:21,010 --> 00:18:34,660
... a subsequence x<sub>rk</sub> or x<sub>rn</sub> of the sequence x in

152
00:18:34,660 --> 00:18:42,080
such that |x<sub>rn</sub>|

153
00:18:42,080 --> 00:18:54,540
- x| أكبر من أو يساوي ε₀ لكل n تمام؟

154
00:18:56,650 --> 00:19:05,210
لإثبات النظرية هذه عشان أثبت ثلاث عبارات متكافئة

155
00:19:05,210 --> 00:19:11,790
حسب الlogic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم

156
00:19:11,790 --> 00:19:17,490
نثبت أن واحد بكافئ اثنين واثنين بكافئ ثلاثة وهذا

157
00:19:17,490 --> 00:19:22,330
ممكن إثباته بأن احنا نثبت واحد بيؤدي لاثنين واثنين

158
00:19:22,330 --> 00:19:26,530
بيؤدي لثلاثة وثلاثة بيؤدي لواحد هيك بنغلق الدائرة

159
00:19:26,530 --> 00:19:32,490
فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول أن

160
00:19:32,490 --> 00:19:41,710
العبارة الأولى implies الثانية بتؤدي للثانية ف

161
00:19:41,710 --> 00:19:42,390
assume

162
00:19:45,130 --> 00:19:51,890
العبارة الأولى صحيحة وهو x<sub>m</sub> does not converge to x

163
00:19:54,980 --> 00:20:00,680
طيب ارجعوا لتعريف ε N definition of 

164
00:20:00,680 --> 00:20:04,200
convergence ما معناه أن ال sequence x<sub>n</sub> converge ل

165
00:20:04,200 --> 00:20:08,560
x معناه لكل ε أكبر من الصفر يوجد N

166
00:20:08,560 --> 00:20:12,280
يعتمد على ε بحيث لكل n أكبر من أو يساوي

167
00:20:12,280 --> 00:20:17,040
N المسافة بين x<sub>n</sub> و x أصغر من ε طب

168
00:20:17,040 --> 00:20:20,480
مايعني x<sub>n</sub> لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا

169
00:20:20,480 --> 00:20:24,000
اللي حكيناه بيحصل بدل لكل ε أكبر من الصفر

170
00:20:24,000 --> 00:20:29,780
يوجد N بصير يوجد ε واحدة ε

171
00:20:29,780 --> 00:20:41,960
₀ عدد موجب بحيث such that بحيث أنه لكل

172
00:20:43,760 --> 00:20:50,280
k أو n عدد طبيعي the implication

173
00:20:57,890 --> 00:21:00,870
ال implication تبع التعريف ε N ال

174
00:21:00,870 --> 00:21:06,070
implication اللي هي لكل n أكبر من أو يساوي N

175
00:21:06,070 --> 00:21:13,970
لازم يطلع المسافة بين x<sub>n</sub> و x أصغر من ε

176
00:21:13,970 --> 00:21:22,830
₀ ال implication هذه is false ليست 

177
00:21:22,830 --> 00:21:27,430
صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه

178
00:21:31,850 --> 00:21:41,490
this means هذا يعني this means أنه لكل K

179
00:21:41,490 --> 00:21:48,590
عدد طبيعي يوجد لكل

180
00:21:48,590 --> 00:21:54,630
K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلط معناه يوجد لكل K عدد

181
00:21:54,630 --> 00:21:59,250
طبيعي K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر

182
00:21:59,250 --> 00:22:06,030
منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو يساوي يوجد عدد

183
00:22:06,030 --> 00:22:13,690
طبيعي سمه n أو r<sub>k</sub> يعتمد على K عدد

184
00:22:13,690 --> 00:22:17,750
طبيعي بحيث أنه

185
00:22:21,710 --> 00:22:27,850
بحيث أنه طبعا

186
00:22:27,850 --> 00:22:33,390
ال r<sub>k</sub> هذا هيكون

187
00:22:33,390 --> 00:22:41,190
أكبر من أو يساوي k and r<sub>k</sub>

188
00:22:41,190 --> 00:22:50,050
أكبر من أو يساوي k and |x<sub>rk</sub>| or x<sub>r<sub>k</sub></sub>

189
00:22:50,050 --> 00:22:55,590
- x| أكبر من أو يساوي بدل أصغر من ε₀

190
00:22:55,590 --> 00:23:05,410
النفي تبعها أكبر من أو يساوي ε₀ now

191
00:23:05,410 --> 00:23:09,610
replace

192
00:23:09,610 --> 00:23:18,450
badly replace K by k

193
00:23:22,130 --> 00:23:25,970
to get العبارة

194
00:23:25,970 --> 00:23:32,250
اثنين صح؟

195
00:23:32,250 --> 00:23:38,950
هاي بدلنا K بـ k فهنا أثبتنا أن يوجد يوجد

196
00:23:38,950 --> 00:23:46,350
ε₀ أكبر من صفر بحيث لكل k يوجد

197
00:23:46,350 --> 00:23:53,150
r<sub>k</sub> أكبر من أو يساوي k والمسافة بين x<sub>r<sub>k</sub></sub>

198
00:23:53,150 --> 00:23:56,750
- x| أكبر من أو يساوي ε₀

199
00:24:04,730 --> 00:24:14,690
الآن نثبت اثنين بيؤدي لثلاثة إذا two implies

200
00:24:14,690 --> 00:24:18,530
three assume

201
00:24:18,530 --> 00:24:27,110
two holds افترض أن العبارة الثانية صحيحة بني

202
00:24:27,110 --> 00:24:30,690
نثبت أن العبارة الثالثة صحيحة طيب؟

203
00:24:37,940 --> 00:24:48,160
then for k يساوي واحد يعني ينتمي إلى N الآن احنا

204
00:24:48,160 --> 00:24:53,320
فترضين اثنين العبارة اثنين صحيحة إذا احنا فترضين أن 

205
00:24:53,320 --> 00:24:58,840
يوجد ε₀ بحيث الكلام هذا بتحقق الآن لو

206
00:24:58,840 --> 00:25:04,420
أخذت k هذه يساوي واحد فيوجد

207
00:25:06,750 --> 00:25:15,070
r₁ عدد طبيعي وطبعا r₁ بالتأكيد أكبر من أو يساوي

208
00:25:15,070 --> 00:25:24,510
واحد such that |x<sub>r₁</sub> - x| أكبر من أو

209
00:25:24,510 --> 00:25:33,250
يساوي ε₀ صح؟ next for

210
00:25:34,680 --> 00:25:45,900
k يساوي r₁ زائد واحد مش

211
00:25:45,900 --> 00:25:51,380
هذا عدد طبيعي لو أخذت k يساوي r₁ زائد واحد r

212
00:25:51,380 --> 00:25:58,020
واحد عدد طبيعي زائد واحد عدد طبيعي يوجد r₂ عدد

213
00:25:58,020 --> 00:26:08,800
طبيعي و r₂ أكبر من أو يساوي r

214
00:26:08,800 --> 00:26:16,480
واحد زائد واحد such that |x<sub>r₂</sub> - x|

215
00:26:16,480 --> 00:26:24,960
أكبر من أو يساوي ε₀ صح طيب

216
00:26:24,960 --> 00:26:30,060
كمان برضه لو استمرينا في العملية هذه now

217
00:26:32,620 --> 00:26:40,620
for r₂ زائد واحد مش هذا عدد طبيعي لو أخذت k

218
00:26:40,620 --> 00:26:46,440
يساوي اه لو أخذت k يساوي r₂ زائد واحد هذا

219
00:26:46,440 --> 00:26:51,680
عدد طبيعي هنا اثنين اثنين لو أخذت k يساوي r₂

220
00:26:51,680 --> 00:27:01,160
زائد واحد إذا حسب اثنين يوجد r₃ عدد طبيعي و r

221
00:27:01,160 --> 00:27:06,280
₃ أكبر من أو يساوي ال k اللي هو r₂ زائد

222
00:27:06,280 --> 00:27:13,360
واحد بحيث أن المسافة بين x<sub>r₃</sub> - x| أكبر

223
00:27:13,360 --> 00:27:18,400
من أو يساوي ε₀ طب لو استمرينا في العملية

224
00:27:18,400 --> 00:27:27,040
هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this

225
00:27:27,040 --> 00:27:27,860
process

226
00:27:32,720 --> 00:27:35,460
this process اللي هو استمرينا في العملية دي اللي

227
00:27:35,460 --> 00:27:49,200
عملية تطبيق العبارة الثانية we obtain هنحصل على we

228
00:27:49,200 --> 00:27:54,960
obtain strictly increasing

229
00:27:54,960 --> 00:28:01,700
increasing sequence

230
00:28:06,220 --> 00:28:13,140
r<sub>k</sub> من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن sequence

231
00:28:13,140 --> 00:28:20,620
of natural numbers in N such

232
00:28:20,620 --> 00:28:28,940
that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a

233
00:28:28,940 --> 00:28:33,600
subsequence x<sub>rk</sub>

234
00:28:34,700 --> 00:28:39,240
من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن 

235
00:28:39,240 --> 00:28:45,980
subsequence من ال sequence x<sub>n</sub> بحيث such that

236
00:28:45,980 --> 00:28:55,680
|x<sub>rk</sub> - x| أكبر من أو يساوي ε₀

237
00:28:55,680 --> 00:29:01,160
والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى N

238
00:29:03,880 --> 00:29:10,500
هي في الخطوة الأولى حصلنا على r₁ وبالتالي على x<sub>r₁</sub>

239
00:29:10,500 --> 00:29:16,440
بحيث |x<sub>r₁</sub> - x| أكبر من أو يساوي x نزيلة

240
00:29:16,440 --> 00:29:23,010
في الخطوة الثانية حصلنا على r₂ وبالتالي x<sub>r₂</sub> لاحظوا

241
00:29:23,010 --> 00:29:30,030
r₂ أكبر من r₁ و r₃ أكبر من r₂، إذن هذه sequence of

242
00:29:30,030 --> 00:29:33,830
natural numbers strictly increasing، إذن ال

243
00:29:33,830 --> 00:29:39,030
sequence، المؤشرات تبعها هي الأعداد الطبيعية، هذه

244
00:29:39,030 --> 00:29:44,110
subsequence حسب التعريف من sequence x و بتحقق في

245
00:29:44,110 --> 00:29:49,510
الخطوة الثانية |x<sub>r₂</sub> - x| أكبر من أو يساوي ε₀

246
00:29:49,510 --> 00:29:55,590
الخطوة الثالثة لما k يساوي ثلاثة هي |x<sub>r₃</sub> - x|

247
00:29:55,590 --> 00:29:59,510
أكبر من أو يساوي ε₀ وهكذا إذن هنا عملنا

248
00:29:59,510 --> 00:30:04,470
construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي

249
00:30:04,470 --> 00:30:09,650
subsequence هذه من ال sequence x<sub>n</sub> بطريقة استقرائية

250
00:30:10,920 --> 00:30:15,420
وهذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه

251
00:30:15,420 --> 00:30:21,800
بالضبط العبارة ثلاثة إذا three العبارة الثالثة whole

252
00:30:21,800 --> 00:30:24,960
تمام؟

253
00:30:24,960 --> 00:30:30,460
إذا هيك أثبتنا أن اثنين تؤدي لثلاثة باقي إثبات

254
00:30:30,460 --> 00:30:36,400
أن العبارة الثالثة تعني واحدة

255
00:30:39,780 --> 00:30:48,460
ف assume .. assume العبارة الثالثة صحيحة يعني يوجد

256
00:30:48,460 --> 00:30:57,260
ε₀ أكبر من صفر and a subsequence x<sub>rk</sub>

257
00:30:57,260 --> 00:31:10,090
of the sequence x in such that |x<sub>rk</sub> - x|

258
00:31:10,090 --> 00:31:18,510
أكبر من أو يساوي ε₀ لكل k طيب

259
00:31:18,510 --> 00:31:29,170
هذا معناه أو هذا بيؤدي أن x<sub>rk</sub>

260
00:31:29,170 --> 00:31:43,760
أو x<sub>rn</sub> أو x<sub>rk</sub> لا تنتمي لـ (x - ε₀ , x + ε₀) x زائد ε₀ لا تنتمي

261
00:31:43,760 --> 00:31:45,220
للفترة المفتوحة هذه

262
00:31:49,030 --> 00:31:53,890
اللي هو هذه الفترة المفتوحة سميناها قبل هيك ε

263
00:31:53,890 --> 00:31:59,670
₀ neighborhood لـ x صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها x

264
00:31:59,670 --> 00:32:04,330
ونصف قطرها ε₀ المتباينة هذه بتقول إن هذا

265
00:32:04,330 --> 00:32:10,470
الكلام لكل k لكل k لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه

266
00:32:10,470 --> 00:32:14,990
في x بيطلع في x لو حلت المتباينة هذه في x<sub>rk</sub> بيطلع

267
00:32:14,990 --> 00:32:23,320
x<sub>rk</sub> لا ينتمي للفترة المفتوحة وبالتالي

268
00:32:23,320 --> 00:32:27,460
hence by

269
00:32:27,460 --> 00:32:37,860
definition by ال neighborhood definition of

270
00:32:37,860 --> 00:32:41,740
limit

271
00:32:44,750 --> 00:32:49,850
فاكرين احنا اخذنا تعريف ال limit لل sequence اول

272
00:32:49,850 --> 00:32:53,190
تعريف كان neighborhood definition وبعدين اثبتنا

273
00:32:53,190 --> 00:32:58,470
انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال ε

274
00:32:58,470 --> 00:33:01,010
N definition لل limit

275
00:33:10,150 --> 00:33:15,910
x<sub>n</sub> converge to x معناه لأي

276
00:33:15,910 --> 00:33:21,390
neighborhood لـ x زي هذا لازم

277
00:33:21,390 --> 00:33:29,210
عشان

278
00:33:29,210 --> 00:33:32,550
ال subsequence هذه converge لـ x لازم أي

279
00:33:32,550 --> 00:33:37,180
neighborhood لـ x يحتوي كل حدود ال sequence من

280
00:33:37,180 --> 00:33:41,660
N وانت طالع أو من K وانت طالع لكل 

281
00:33:41,660 --> 00:33:46,920
small k أكبر من أو يساوي capital K هذا لازم يكون صحيح

282
00:33:46,920 --> 00:33:50,260
لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there

283
00:33:50,260 --> 00:33:55,740
exists epsilon zero neighborhood لـ X وكل حدود الـ

284
00:33:55,740 --> 00:34:02,770
subsequence مش موجودة فيه، هذا بالظبط نفي تعريف الـ

285
00:34:02,770 --> 00:34:05,230
neighborhood definition للـ convergence وبالتالي

286
00:34:05,230 --> 00:34:09,350
هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن

287
00:34:09,350 --> 00:34:15,550
الـ subsequence هذه does not converge لـ X، طب احنا 

288
00:34:15,550 --> 00:34:19,970
عايزين نثبت، عشان نثبت أن العبارة واحد صحيحة، عايزين

289
00:34:19,970 --> 00:34:23,810
نثبت أن الـ sequence نفسها، مش الـ subsequence، الـ

290
00:34:23,810 --> 00:34:27,650
sequence نفسها does not converge لـ X، إذا أنا بدي 

291
00:34:27,650 --> 00:34:38,290
أكتب هنا claim لبرهان

292
00:34:38,290 --> 00:34:46,830
العبارة الأولى، باقي اثبات الـ claim، وهو أن الـ

293
00:34:46,830 --> 00:34:55,150
sequence x n نفسها does not converge لـ x، فنشوف 

294
00:34:55,150 --> 00:35:01,370
مع بعض، assume ببرهان بالتناقض، assume on the contrary

295
00:35:01,370 --> 00:35:05,230
أن

296
00:35:05,230 --> 00:35:10,990
الـ sequence x n converge لـ x، okay، برهان بالتناقض

297
00:35:10,990 --> 00:35:22,050
افرض أن الـ sequence converge لـ x، by a theorem اثنين 

298
00:35:22,050 --> 00:35:32,850
بيقول the subsequence، the subsequence اللي هي X n k

299
00:35:32,850 --> 00:35:37,490
الـ subsequence مش هاد الـ subsequence، هاد المفروض

300
00:35:37,490 --> 00:35:44,020
تطلع convergent لـ X، وهدا ده ديني contradiction، لأن

301
00:35:44,020 --> 00:35:47,260
أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not

302
00:35:47,260 --> 00:35:53,060
converge لـ X، إذا في عندي تناقض، التناقض هذا سببه أن

303
00:35:53,060 --> 00:35:58,680
احنا فرضنا أن X n converge لـ X، إذا بطلع عندي X n

304
00:35:58,680 --> 00:36:04,200
does not converge لـ X، وبالتالي إذا one holds، إذا

305
00:36:04,200 --> 00:36:10,120
one holds، وبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية

306
00:36:10,120 --> 00:36:15,580
okay، تمام، إذا هيك اثبتنا أن التلاتة بيعد لواحد

307
00:36:15,580 --> 00:36:20,560
وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة، احنا بهمنا

308
00:36:20,560 --> 00:36:26,140
في التطبيق اللي هو الجزء الأخير، يعني عشان أنا اثبت

309
00:36:27,620 --> 00:36:32,400
إنه sequence معينة does not converge to any real

310
00:36:32,400 --> 00:36:36,360
number X، يكفي

311
00:36:36,360 --> 00:36:42,920
إثبات أن يوجد Y0، يوجد subsequence بحيث أن المسافة

312
00:36:42,920 --> 00:36:47,780
دي أكبر من أو يساوي Y0 لكل M، هنشوف الكلام هذا في

313
00:36:47,780 --> 00:36:58,230
أمثلة لاحقة، لكن خلينا بس ناخد مثالا على النظرية هذه

314
00:36:58,230 --> 00:37:15,210
إذا

315
00:37:15,210 --> 00:37:23,470
ناخد examples هاي

316
00:37:23,470 --> 00:37:24,410
مثال واحد

317
00:37:28,440 --> 00:37:32,300
الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus

318
00:37:32,300 --> 00:37:40,560
n is divergent، طبعا

319
00:37:40,560 --> 00:37:43,620
احنا اثبتنا قبل هيك أن الـ sequence هي divergent

320
00:37:43,620 --> 00:37:47,640
عملنا proof by contradiction، فرضنا أن أنا 

321
00:37:47,640 --> 00:37:55,040
convergent ووصلنا إلى تناقض، صح؟ اليوم هناخد برهان

322
00:37:55,040 --> 00:38:04,780
ثاني، باستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية، يعني نشوف

323
00:38:04,780 --> 00:38:12,820
مع بعض، prove if

324
00:38:12,820 --> 00:38:25,060
it were convergent، say

325
00:38:30,030 --> 00:38:38,350
-1-N converges to X ينتمي إلى R، لو فرضنا إن

326
00:38:38,350 --> 00:38:44,970
سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent ببرهان

327
00:38:44,970 --> 00:38:51,350
بالتناقض، لو فرضنا إنها convergent to some X، إذا

328
00:38:51,350 --> 00:38:56,570
كانت convergent، إن اسمها لمات، then

329
00:39:00,730 --> 00:39:07,130
الـ sub sequences اللي

330
00:39:07,130 --> 00:39:18,390
هم سالب واحد أس اثنين n and سالب واحد أس اثنين n plus واحد

331
00:39:18,390 --> 00:39:25,470
سالب واحد، هذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من

332
00:39:25,470 --> 00:39:31,150
هنا، وهذه الحدود الفردية، إذا كانت الـ sequence

333
00:39:31,150 --> 00:39:36,430
نفسها converged لـ X، فالتنتين هذول both converged لـ

334
00:39:36,430 --> 00:39:45,110
X، و

335
00:39:45,110 --> 00:39:48,670
بالتالي، so X

336
00:39:51,100 --> 00:40:00,080
بتساوي limit سالب واحد قو اثنين n، صح؟ وهذه بتساوي

337
00:40:00,080 --> 00:40:06,400
limit سالب واحد قو اثنين n زائد واحد، الـ sequence هذه

338
00:40:06,400 --> 00:40:15,620
ثابت واحد بتساوي واحد، صح؟ and برضه احنا قلنا أن الـ

339
00:40:15,620 --> 00:40:23,400
X بتساوي limit الـ subsequence للحدود الفردية اللي

340
00:40:23,400 --> 00:40:28,580
هي هذه، طيب

341
00:40:28,580 --> 00:40:36,140
سالب واحد قو عدد فردي بطلع سالب واحد، إذن هذه الـ

342
00:40:36,140 --> 00:40:41,760
sequence حدودها فردية، إذن هي عبارة عن sequence

343
00:40:41,760 --> 00:40:50,260
ثابت سالب واحد، وبالتالي limit لثابت بطلع ثابت، إذا

344
00:40:50,260 --> 00:40:56,180
أنا أطلع عندي واحد بتساوي x من المعادلة الأولى

345
00:40:56,180 --> 00:41:01,120
وكذلك الـ x بتساوي سالب واحد، يعني معناه واحد بتساوي

346
00:41:01,120 --> 00:41:10,130
سالب واحد، وهذا contradiction، تمام؟ إذا مستحيل أن الـ

347
00:41:10,130 --> 00:41:13,510
sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون

348
00:41:13,510 --> 00:41:21,050
divergent، okay، تمام؟ إذا هنا كلمة were الدلالة

349
00:41:21,050 --> 00:41:26,470
على الاستحالة، كان ممكن اسمها الـ sequence هذه مفرد

350
00:41:26,470 --> 00:41:32,400
واحدة، مفروض أقول if it was convergent لكن أنا عارف

351
00:41:32,400 --> 00:41:35,400
أنه مستحيل أنها تكون convergent فلدلالة على

352
00:41:35,400 --> 00:41:41,880
استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I

353
00:41:41,880 --> 00:41:47,140
was a king، لكن أنا مش king، okay، تمام؟ إذا بنوقف

354
00:41:47,140 --> 00:41:50,880
عند هذا المثال، المحاضرة هي انتهت، وبنكمل إن شاء

355
00:41:50,880 --> 00:41:51,720
الله، سبوع جديد