PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/YiGM8L9BEY0_postprocess.srt

1
00:00:20,920 --> 00:00:26,360
بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هناخد أخر لقاء في ال

2
00:00:26,360 --> 00:00:31,460
course وهو تكملة section خمسة أربعة في الكتاب

3
00:00:31,460 --> 00:00:38,850
المقرر اللي بتكلم عن ال uniform continuityفي

4
00:00:38,850 --> 00:00:45,330
المحاضرة السابقة عرفنا الاتصال المنتظم وشوفنا

5
00:00:45,330 --> 00:00:49,930
أثبتنا نظريات

6
00:00:49,930 --> 00:00:54,170
مهمة عن الاتصال المنتظم أو عدم الاتصال المنتظم

7
00:00:54,170 --> 00:00:58,850
فأخدنا ال non uniform continuity criterion اللي

8
00:00:58,850 --> 00:01:04,770
حسبها أو ممكن نستخدمها في اثبات أن دالة محددة ليست

9
00:01:04,770 --> 00:01:09,750
uniform ل continuous على مجموعةمحددة جزئية من

10
00:01:09,750 --> 00:01:13,330
الأعداد الحقيقية فكان في عندي non uniform

11
00:01:13,330 --> 00:01:18,270
continuity criterion و آخر نظرية أثبتنا نظرية مهمة

12
00:01:18,270 --> 00:01:22,490
هو هي ال uniform continuity criterion اللي بتقول

13
00:01:22,490 --> 00:01:27,650
أنه لو كانت ال function تبعتي متصلة

14
00:01:28,780 --> 00:01:31,940
على المجال تبعها والمجال تبعها closed bounded

15
00:01:31,940 --> 00:01:38,760
interval فالاتصال يتحول الى اتصال منتظم طبعا احنا

16
00:01:38,760 --> 00:01:43,120
شفنا في المحاضرة السابقة انه دايما الاتصال المنتظم

17
00:01:43,120 --> 00:01:47,200
اقوى من الاتصال العادى لو كانت الدالة uniform ل

18
00:01:47,200 --> 00:01:50,960
continuous فبتكون continuous لكن العكس ليس صحيح

19
00:01:52,640 --> 00:02:00,080
فخدنا مثال على دالة function دالة واحد على X شفنا

20
00:02:00,080 --> 00:02:04,920
أنها متصلة continuous على الفترة المفتوحة من سفر

21
00:02:04,920 --> 00:02:09,620
إلى ملا نهاية but it was not uniformly continuous

22
00:02:09,620 --> 00:02:15,780
على نفس الفترة وبالتالي الاتصال العادي لا يؤدي

23
00:02:15,780 --> 00:02:22,820
للاتصال المنطماليوم هنتعرف على نوع جديد من ال

24
00:02:22,820 --> 00:02:27,040
functions وهو لبسش functions و ال functions هدول

25
00:02:27,040 --> 00:02:32,200
هتكونوا دائما كلهم uniformly continuous فنعرف لبسش

26
00:02:32,200 --> 00:02:38,640
function definition a

27
00:02:38,640 --> 00:02:42,680
function f

28
00:02:42,680 --> 00:02:44,740
from a to r

29
00:02:47,770 --> 00:02:58,050
إذ لبسش .. بنسميها

30
00:02:58,050 --> 00:03:03,010
لبسش on

31
00:03:03,010 --> 00:03:10,310
a إذا وجد if there exists k positive number such

32
00:03:10,310 --> 00:03:13,510
that absolute f of x

33
00:03:36,970 --> 00:03:40,090
وطبعا ممكن اثبات بكل سهولة

34
00:03:49,120 --> 00:03:55,860
الأن هنثبت و هنشوف أنه كل لبسش function أو كل

35
00:03:55,860 --> 00:04:00,320
function بتحقق لبسش condition اللي هو الشرط هذا

36
00:04:07,690 --> 00:04:12,250
كل function بتحقق لبسش condition أو .. أو سمنها

37
00:04:12,250 --> 00:04:17,910
لبسش function بتكون uniformly continuous فنشوف

38
00:04:17,910 --> 00:04:23,390
المرحلة دالك إذا هنا every أو

39
00:04:23,390 --> 00:04:33,270
if .. if from a to r is لبسش is

40
00:04:33,270 --> 00:04:47,300
لبشسon a then it is uniformly continuous

41
00:04:47,300 --> 00:04:56,080
on a proof

42
00:04:56,080 --> 00:05:00,840
assume

43
00:05:03,530 --> 00:05:10,310
إذا كان لبسش على

44
00:05:10,310 --> 00:05:20,250
a ثم حسب التعريف هناك كمية positive كمية كمية كامة

45
00:05:20,250 --> 00:05:20,470
كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية

46
00:05:20,470 --> 00:05:20,690
كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية

47
00:05:20,690 --> 00:05:21,490
كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية

48
00:05:21,490 --> 00:05:21,530
كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية

49
00:05:21,530 --> 00:05:21,690
كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية

50
00:05:21,690 --> 00:05:28,390
كمية كمية كمية

51
00:05:28,390 --> 00:05:38,840
كمk times absolute x minus u for all x where u and

52
00:05:38,840 --> 00:05:52,180
a طيب

53
00:05:52,180 --> 00:05:55,760
لتسمي ال condition هذا star

54
00:05:58,650 --> 00:06:02,570
let epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر

55
00:06:02,570 --> 00:06:05,490
من السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let

56
00:06:05,490 --> 00:06:06,290
epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من

57
00:06:06,290 --> 00:06:06,550
السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let

58
00:06:06,550 --> 00:06:06,570
epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من

59
00:06:06,570 --> 00:06:07,810
السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let

60
00:06:07,810 --> 00:06:09,990
epsilon أكبر من السفر بيجبن

61
00:06:23,960 --> 00:06:29,040
عدد موجة إبسلون على K بيطلع عدد موجة وبالتالي إذن

62
00:06:29,040 --> 00:06:35,920
هنا أثبتت إن user Delta تعتمد على إبسلون فقط فلهذه

63
00:06:35,920 --> 00:06:42,280
الإبسلون then لو كانت X و U موجودين في A و

64
00:06:42,280 --> 00:06:47,840
Absolute X minus U أصغر من Delta فهذا هيقدّي إن

65
00:06:47,840 --> 00:07:01,000
Absolute F of X-f of u باي ستار حسب المتباينة star

66
00:07:01,000 --> 00:07:06,600
هذا بيطلع أصغر منه ساوي absolute x minus u

67
00:07:13,020 --> 00:07:18,320
وانا عندي absolute x minus u أصغر من دلتا اذا هذا

68
00:07:18,320 --> 00:07:25,240
أصغر عفوا by star في عندي هنا k ضرب absolute x

69
00:07:25,240 --> 00:07:31,780
minus u الان انا عندي absolute x minus u أصغر من

70
00:07:31,780 --> 00:07:36,840
دلتا لأن هذا أصغر من k في دلتا وانا عندي ماخد دلتا

71
00:07:36,840 --> 00:07:45,940
بالساوي y على kأصبح هذا أصغر من إبسلون لأي

72
00:07:45,940 --> 00:07:52,500
إبسلون أكبر من 0 يوجد delta تعتمد على إبسلون فقط

73
00:07:52,500 --> 00:07:59,340
بحيث أنه لكل x و u في a المسافة بينهم أصغر من

74
00:07:59,340 --> 00:08:02,820
delta طلع المسافة بين ال images أصغر من إبسلون

75
00:08:06,120 --> 00:08:11,800
epsilon أكبر من السفر was arbitrary، إذن هذا صحيح

76
00:08:11,800 --> 00:08:15,580
لكل epsilon وبالتالي by definition، إذن ال

77
00:08:15,580 --> 00:08:20,780
function f is uniformly continuous

78
00:08:20,780 --> 00:08:30,340
on E، وهو المطلوب إذن هناك أثبتنا إن كل لبسش

79
00:08:30,340 --> 00:08:34,120
function is uniformly continuous

80
00:08:36,360 --> 00:08:45,020
لكن العكس ليس صحيحا .. العكس ليس صحيحا remark ..

81
00:08:45,020 --> 00:08:55,400
remark the

82
00:08:55,400 --> 00:09:00,740
canvas .. the canvas of above theorem

83
00:09:05,350 --> 00:09:11,730
is false for

84
00:09:11,730 --> 00:09:16,970
example على سبيل المثال يعني معنى آخر لو كانت ال

85
00:09:16,970 --> 00:09:24,750
function uniform ل continuous مش شرط تكون لبسش على

86
00:09:24,750 --> 00:09:31,370
نفس ال function على نفس ال .. for example consider

87
00:09:35,170 --> 00:09:48,950
Consider الـ function f of x بساوي جدر الـ x هو

88
00:09:48,950 --> 00:09:54,790
x ينتمي ل I بساوي closed interval من صفر لاثنين

89
00:10:07,930 --> 00:10:14,030
by exercise فى exercise أخدناه اللى هو جبنالكم

90
00:10:14,030 --> 00:10:23,090
إياه سؤال فى الامتحان ال exercise هذا كان .. خلينا

91
00:10:23,090 --> 00:10:23,730
نشوف

92
00:10:39,170 --> 00:10:45,750
أو ممكن اثبات أن الدالة هذه is continuous طيب

93
00:10:45,750 --> 00:10:52,030
اه

94
00:10:52,030 --> 00:10:55,910
by exercise

95
00:10:55,910 --> 00:11:04,250
في chapter اربعة اربعة واحد question تمام اه اربعة

96
00:11:04,250 --> 00:11:11,540
واحد مظبوط صحيحby exercise تمامية section اربعة

97
00:11:11,540 --> 00:11:16,540
واحد ال

98
00:11:16,540 --> 00:11:24,940
function if is continuous على الفترة لأن في هداك

99
00:11:24,940 --> 00:11:32,480
ال exercise هتتبتو انه limit جدر ال X لما X تقول ل

100
00:11:32,480 --> 00:11:42,910
C بساوي جدر ال Cلكل C أكبر من أو ساوي السفر طبعا

101
00:11:42,910 --> 00:11:48,030
في ال exercise ماخد C أكبر من السفر لكن لما C

102
00:11:48,030 --> 00:11:52,950
بساوي السفر فهذا trivial وبالتالي هذا معناه أن

103
00:11:52,950 --> 00:11:59,890
دالة F هذا

104
00:11:59,890 --> 00:12:05,330
معناه شرط الاتصال عن C متحقق فهذا معناه أن F is

105
00:12:05,330 --> 00:12:12,720
continuousAt C وده صحيح لكل C أكبر من أوسعها سفر

106
00:12:12,720 --> 00:12:20,520
وبالتالي اذا F is continuous على الفترة من سفر إلى

107
00:12:20,520 --> 00:12:25,140
ملا نهاية وبالتالي متصلة على الفترة من سفر إلى

108
00:12:25,140 --> 00:12:33,460
اتنين اللي هي جزوة منها okay تمام طيب اذا

109
00:12:40,220 --> 00:12:48,440
إذا by طيب since I بساو الفترة من الزفر لإتنين

110
00:12:48,440 --> 00:12:58,140
الفترة هذه is closed and bounded و

111
00:12:58,140 --> 00:13:05,080
if continuous عليها then by

112
00:13:05,080 --> 00:13:09,520
uniform continuity theorem

113
00:13:11,440 --> 00:13:14,900
نظرية الاتصال المنتظم بتقول إذا كان في عندي

114
00:13:14,900 --> 00:13:20,060
function f متصلة على فترة مغلقة أو محدودة فالاتصال

115
00:13:20,060 --> 00:13:25,320
هذا بيكون اتصال منتظم uniform continuity ففي عندي

116
00:13:25,320 --> 00:13:32,800
by uniform continuity theorem تطلع f is uniformly

117
00:13:32,800 --> 00:13:39,840
continuous

118
00:13:41,540 --> 00:13:48,120
على الفترة I إذاً هي مثال على function uniform ل

119
00:13:48,120 --> 00:13:52,880
continuous على المجال تبعها هنشوف الآن إن هذه ال

120
00:13:52,880 --> 00:14:07,060
function ما هياش لبسش على نفس الفترة إذا

121
00:14:07,060 --> 00:14:07,640
ال claim

122
00:14:13,370 --> 00:14:23,650
if is not .. if is not لبسش على

123
00:14:23,650 --> 00:14:28,590
الفترة I فلبرحان

124
00:14:28,590 --> 00:14:33,990
ذلك assume

125
00:14:33,990 --> 00:14:37,950
on

126
00:14:37,950 --> 00:14:38,670
contrary

127
00:14:43,190 --> 00:14:48,550
assume on contrary that

128
00:14:48,550 --> 00:15:01,650
if is لبسش on

129
00:15:01,650 --> 00:15:04,090
I then

130
00:15:06,570 --> 00:15:14,610
there exists k أكبر من السفر بحيث أنه absolute f

131
00:15:14,610 --> 00:15:28,610
of x minus f of u أصغر منها ساوي k في absolute x

132
00:15:28,610 --> 00:15:36,950
minus u لكل xهو you تنتمي للفترة I اللى هى الفترة

133
00:15:36,950 --> 00:15:39,970
المغلطة من سفر لاتنين

134
00:15:59,060 --> 00:16:04,840
إذا ان هنا فرضنا ال contrary و يطلع ان بيطلع عندى

135
00:16:04,840 --> 00:16:09,160
فيه huge العدد موجة بحيث كان أنا ادم اتحقق وهذا

136
00:16:09,160 --> 00:16:15,340
بيقدر ان absolute f of x لو خدنا u بساوة سفر minus

137
00:16:15,340 --> 00:16:24,910
f of 0 أصغر لو ساوة k فabsolute xوهذا صحيح لكل x

138
00:16:24,910 --> 00:16:32,150
تنتمي للفترة I إذا أنا هنا أخدت U بساوي سفر و

139
00:16:32,150 --> 00:16:39,070
السفر ينتمي للفترة I طيب أنا عندي F صفر بساوي سفر

140
00:16:39,070 --> 00:16:44,030
إذا

141
00:16:44,030 --> 00:16:47,130
بطلع عندي absolute

142
00:16:48,770 --> 00:16:58,510
f of x أصغر من أو يساوي k في absolute ال X وهذا

143
00:16:58,510 --> 00:17:04,470
صحيح لكل X تم تمي لفترة I هي الفترة المغلقة من

144
00:17:04,470 --> 00:17:09,690
السفر لفترة بس

145
00:17:09,690 --> 00:17:14,810
هذا هيدي لتناقل طيب

146
00:17:15,530 --> 00:17:28,330
تاك لو أخدت x بساوي واحد على n تربيها فهذا

147
00:17:28,330 --> 00:17:33,990
عبارة عن .. هذا ينتمي للفترة .. للفترة المغلفة من

148
00:17:33,990 --> 00:17:40,410
سفر لإتنين اللي هي I لأن هذا عدد موجب لكل n ينتمي

149
00:17:40,410 --> 00:17:46,820
ل N لكل عدد طبيعي هذا بطلعينتمي للفترة هذه

150
00:17:46,820 --> 00:17:54,300
وبالتالي إذا المفروض يطلع absolute if لواحد على N

151
00:17:54,300 --> 00:18:02,060
تربية أصغر من أو يساوي K في absolute واحد على N

152
00:18:02,060 --> 00:18:10,840
تربية هذا صحيح لكل N في Nطيب if واحد على ان تربية

153
00:18:10,840 --> 00:18:16,760
بيطلع بساوي الجدر التربية إلى واحد على ان تربية

154
00:18:16,760 --> 00:18:20,200
اللي

155
00:18:20,200 --> 00:18:26,600
هو عبارة عن واحد على ان ف absolute واحد على ان

156
00:18:26,600 --> 00:18:34,100
بيطلع واحد على ان أصغر من أو ساوي كفي واحد على ان

157
00:18:34,100 --> 00:18:43,520
تربية هذا صحيحلكل N في N اضرب

158
00:18:43,520 --> 00:18:50,880
المتدينة هذه في N تربية فبطلع عندي N أصغر من أو

159
00:18:50,880 --> 00:18:59,320
ساوي K for all N في N وهذا بتناقض مع ال

160
00:18:59,320 --> 00:19:06,040
Archimedean property which contradicts

161
00:19:07,330 --> 00:19:11,130
التي تتناقض

162
00:19:11,130 --> 00:19:19,250
مع مين؟ التي تتناقض مع الـ Archimedean property

163
00:19:23,770 --> 00:19:28,110
خاصية Archimedes لأن خاصية Archimedes بتقوللي لأي

164
00:19:28,110 --> 00:19:35,690
عدد K عدد موجب أو أي عدد حقيقي K يوجد N0 عدد طبيعي

165
00:19:35,690 --> 00:19:45,660
لحيث أن N0 أكبر من K صح؟و من هنا كل الأعداد

166
00:19:45,660 --> 00:19:53,360
الطبيعية من ضمنها N0 أشملها أصغر من أو يساوي ال K

167
00:19:53,360 --> 00:20:00,740
فبطلع N0 أكبر من N0 contradiction إذا السبب ال

168
00:20:00,740 --> 00:20:04,640
contradiction هذا أنه إيه ال assumption الفرض

169
00:20:04,640 --> 00:20:12,440
تبعنا ال assumption تبعنا أن F is لبسش on I okay

170
00:20:14,100 --> 00:20:19,120
إذاً هذا بتثبت هذا ال contradiction بتثبت أن ال is

171
00:20:19,120 --> 00:20:29,820
عفوًا if is not لبسش on

172
00:20:29,820 --> 00:20:37,120
a أو i وهو المطلوب إذاً هذا مثال على function

173
00:20:37,120 --> 00:20:44,810
uniformly continuous على set معينةلكنها ليست لبسش

174
00:20:44,810 --> 00:20:50,450
لكن أثبتنا قبل ايه ان كل لبسش function is always

175
00:20:50,450 --> 00:20:57,750
uniformly continuous ناخد

176
00:20:57,750 --> 00:20:58,770
بعض الأمثلة

177
00:21:26,120 --> 00:21:35,220
example led f of x بساوي x تربية و x ينتمي

178
00:21:35,220 --> 00:21:41,800
للمجموعة a اللي هي الفترة المغلقة من سفر إلى بي

179
00:21:41,800 --> 00:21:50,410
حيث بي أي عدد موجب بي أي عدد موجببنأثبت أن الـ

180
00:21:50,410 --> 00:21:59,950
function هذه تطلع uniformly continuous show

181
00:21:59,950 --> 00:22:05,950
that show

182
00:22:05,950 --> 00:22:11,670
أن f is uniformly continuous

183
00:22:11,670 --> 00:22:23,720
on a ففيه برهنيناو حالين proof one حال الأول since

184
00:22:23,720 --> 00:22:28,400
if

185
00:22:28,400 --> 00:22:37,400
is continuous on a being

186
00:22:37,400 --> 00:22:39,440
a polynomial

187
00:22:44,780 --> 00:22:47,300
لأنها polynomial و احنا قلنا كل polynomial

188
00:22:47,300 --> 00:22:51,800
function متصل على R وبالتالي على أي مجموعة جزئية

189
00:22:51,800 --> 00:22:59,760
من R زي المجموعة A اللي هي الفترة المغلقة من سفر

190
00:22:59,760 --> 00:23:05,620
إلى الـ B ف

191
00:23:05,620 --> 00:23:10,920
if is continuous على A كونها polynomial and بما

192
00:23:10,920 --> 00:23:19,480
انه and sinceالـ set A هذه اللي هي عبارة عن الفترة

193
00:23:19,480 --> 00:23:29,320
المغلقة من سفر لـ B is closed and bounded and

194
00:23:29,320 --> 00:23:34,500
bounded interval

195
00:23:34,500 --> 00:23:44,980
then by uniform continuity theorem

196
00:23:47,180 --> 00:23:53,380
حسب نظرية الاتصال المنتظم اللى بتقول لو كان فيها

197
00:23:53,380 --> 00:23:57,140
function مجالها closed bounded interval و ال

198
00:23:57,140 --> 00:24:03,120
function متصل عليها فالاتصال بتحول الى اتصال منتظم

199
00:24:03,120 --> 00:24:08,040
اذا ال function f is uniformly

200
00:24:10,270 --> 00:24:16,870
continuous on a وهذا برهان لأنه ممكن نستخدم ال

201
00:24:16,870 --> 00:24:20,550
uniform continuity theorem لإثبات أنه function

202
00:24:20,550 --> 00:24:24,970
اللي زي هذه الدالة التربية uniform continuous على

203
00:24:24,970 --> 00:24:32,550
أي فترة مغلقة زي الفترة هذه الحل

204
00:24:32,550 --> 00:24:37,830
التاني ممكن نثبت أن الدالة هذه لمساش برضه و أستخدم

205
00:24:37,830 --> 00:24:38,710
نظرية هذه

206
00:24:41,510 --> 00:24:48,950
انشوف مع بعض، هنا البرهان تاني أو برهان رقم اتنين،

207
00:24:48,950 --> 00:24:58,810
proof اتنين claim

208
00:24:58,810 --> 00:25:03,950
انه F is لبسش

209
00:25:08,200 --> 00:25:18,740
on a التي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بى

210
00:25:18,740 --> 00:25:26,260
فالإثبات هذا الكلام تعالى نشوف هي absolute f of x

211
00:25:26,260 --> 00:25:35,000
minus f of u ايش بيساوي absolute x

212
00:25:35,820 --> 00:25:43,960
تربية minus U تربية بساوي absolute X زائد U في

213
00:25:43,960 --> 00:25:51,860
absolute X minus U وهذا بساوي absolute X زائد U في

214
00:25:51,860 --> 00:25:58,640
absolute X negative U و by triangle inequality

215
00:25:58,640 --> 00:26:04,330
absolute X زائد U أصغر من أو ساوي absolute Xزاد

216
00:26:04,330 --> 00:26:13,910
absolute u كل هذا مضروف absolute x minus u الان

217
00:26:13,910 --> 00:26:19,970
ال u و ال x ينتموا للمجال تبع الدولة وبالتالي

218
00:26:19,970 --> 00:26:29,990
كلاهما عداد غير سالفة و كلاهما أصغر من أو يساوي ال

219
00:26:29,990 --> 00:26:37,320
b صح؟إن هذا أصغر من أوي ساوي بي زائد بي في

220
00:26:37,320 --> 00:26:45,420
absolute x minus u for all x و u ينتموا للمجموع

221
00:26:45,420 --> 00:26:52,520
اللي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بي طبعا هذا

222
00:26:52,520 --> 00:27:01,660
بساوياتنين بي في absolute x minus u for all x و u

223
00:27:01,660 --> 00:27:08,820
تنتمي الى a اذا هاي شرط لبسيش اتحقق with k بيساو

224
00:27:08,820 --> 00:27:17,340
اتنين بيعدد موجب اذا هنا take k

225
00:27:17,340 --> 00:27:21,800
بيساو اتنين بيعدد موجب

226
00:27:36,690 --> 00:27:38,510
Okay طبعا

227
00:27:54,180 --> 00:28:09,940
واضح البران في اي سؤال او استفسار في

228
00:28:09,940 --> 00:28:17,160
عندي نظرية تتعلق بال uniform الها علاقة بال

229
00:28:17,160 --> 00:28:22,180
uniform continuity وهي النظرية التالية

230
00:28:38,260 --> 00:28:49,440
فيرم if if from a to r is uniformly is uniformly

231
00:28:49,440 --> 00:28:52,540
continuous

232
00:28:52,540 --> 00:29:00,780
on a then

233
00:29:03,000 --> 00:29:09,640
For any Cauchy Sequence

234
00:29:09,640 --> 00:29:18,780
xn contained in A The

235
00:29:18,780 --> 00:29:22,700
sequence f

236
00:29:22,700 --> 00:29:31,580
of xn اللي هي ال image لسيقونس xn is Cauchy

237
00:29:33,110 --> 00:29:40,090
in R that

238
00:29:40,090 --> 00:29:45,950
is that

239
00:29:45,950 --> 00:29:56,030
is هذا يعني هذا يعني هذا يعني انه uniformly

240
00:29:56,030 --> 00:30:01,090
uniformly continuous

241
00:30:04,960 --> 00:30:18,040
functions preserve كوشي

242
00:30:18,040 --> 00:30:22,460
sequences

243
00:30:27,960 --> 00:30:34,420
يعني الدوال اللي بتكون متصل اتصال منتظم بتحافظ على

244
00:30:34,420 --> 00:30:39,960
cushy sequences بمعنى انه لو كانت xn cushy

245
00:30:39,960 --> 00:30:46,260
sequence في المجال تبع الدالة A فصورتها هتطلع

246
00:30:46,260 --> 00:30:52,080
cushy sequence في المجال المقابل R والبرهان سهل

247
00:30:53,210 --> 00:30:57,390
طبعا هذا بس صحيح لل uniform ل continuous functions

248
00:30:57,390 --> 00:31:02,350
أما لو كانت ال function بس continuous فمش شرط

249
00:31:02,350 --> 00:31:07,510
اتحافظ على كوشي sequences والبرهان

250
00:31:07,510 --> 00:31:18,670
سهل بسيط prove let

251
00:31:18,670 --> 00:31:29,880
if from A to Rب uniformly continuous on

252
00:31:29,880 --> 00:31:44,240
a and let x in contained in a,b كوشي كوشي sequence

253
00:31:44,240 --> 00:31:50,420
و بدنا نثبت ان ال image لل sequence x in بتطلع

254
00:31:50,420 --> 00:31:57,060
كوشي طيبto show ان

255
00:31:57,060 --> 00:32:09,340
ال image لسيكوينس XN is Cauchy لبرهان

256
00:32:09,340 --> 00:32:15,180
ان ال sequence هذه ال image لسيكوينس XN is Cauchy

257
00:32:15,180 --> 00:32:24,130
نحاول نطبق تعريف Cauchysequence او نحاول نحقق شرط

258
00:32:24,130 --> 00:32:31,290
كوشي فكيف نحقق قولت epsilon أكبر من السفر بيه جبن

259
00:32:31,290 --> 00:32:39,210
وبينا نرد عليها بcapital N تحققلي شرط كوشي طيب

260
00:32:39,210 --> 00:32:44,110
since if

261
00:32:44,110 --> 00:32:45,390
is uniformly

262
00:32:47,670 --> 00:32:55,510
continuous on a إذا لأي إبسلون موجبة زي هذه يوجد

263
00:32:55,510 --> 00:33:02,650
إذا

264
00:33:02,650 --> 00:33:09,410
لأي إبسلون زي هذهمع ان if uniform continuous اذا

265
00:33:09,410 --> 00:33:13,670
لأي epsilon حسب تعريف ال uniform continuity يوجد

266
00:33:13,670 --> 00:33:21,510
delta تعتمد على epsilon عدد موجة بحيث انه لو كان x

267
00:33:24,390 --> 00:33:30,090
و U موجودين في A و Absolute X minus U أصغر من

268
00:33:30,090 --> 00:33:37,570
Delta فهذا بعدي أن Absolute F of X minus F of U

269
00:33:37,570 --> 00:33:47,250
أصغر من Y نسمي ال implication head star الان

270
00:33:47,250 --> 00:33:53,610
since ال sequence X in is Cauchy

271
00:33:58,410 --> 00:34:02,810
then و delta and

272
00:34:02,810 --> 00:34:11,090
delta أكبر من السفر طبعا هذه given is given ال

273
00:34:11,090 --> 00:34:13,850
delta هذه قلنا يوجد delta عدد موجة بما أن هذه

274
00:34:13,850 --> 00:34:20,650
تعتبر given delta فلل delta هذه اللي هنا عدد موجة

275
00:34:20,650 --> 00:34:27,960
بما أن xn is Cauchyإذا there exist يوجد capital N

276
00:34:27,960 --> 00:34:37,220
يعتمد على delta عدد طبيعي بحيث انه شرط كوشي يتحقق

277
00:34:37,220 --> 00:34:43,140
وهو لكل N و M أكبر من أو ساوي capital N بطل عندي

278
00:34:43,140 --> 00:34:49,040
absolute xn minus xm أصغر من delta

279
00:34:52,280 --> 00:35:01,060
بنسمي هذه double star now star and double star

280
00:35:01,060 --> 00:35:14,240
بيقدّوا أنه يوجد capital N يعتمد على epsilon لأن

281
00:35:14,240 --> 00:35:18,800
ال delta بتعتمد على epsilonالـ delta بتعتمد على

282
00:35:18,800 --> 00:35:26,260
إبسلون، ملاحظة الحال ف N هذه نفسها N of delta

283
00:35:26,260 --> 00:35:33,360
بيساوي N of إبسلون بتتمي ل N بحيث أنه لو كان N و M

284
00:35:33,360 --> 00:35:40,480
أكبر من أوي ساوي capital N فهذا بيقدّي أنه by

285
00:35:40,480 --> 00:35:48,270
double starهذا بيقدم absolute xn minus xm أصغر من

286
00:35:48,270 --> 00:35:55,450
دلتا وحسب ال star by star ال star بتقول لو كان

287
00:35:55,450 --> 00:36:01,030
عندي x و u المسافة بينهم أصغر من دلتا فالمسافة بين

288
00:36:01,030 --> 00:36:08,790
صورهم اللي هي xn هنا وصورة ال xm تطلع أصغر من إبسم

289
00:36:10,550 --> 00:36:16,550
تمام؟ إذا هنا أثبتت لأي إبسلون أكبر من السفر يوجد

290
00:36:16,550 --> 00:36:20,830
capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي بحيث لكل M M

291
00:36:20,830 --> 00:36:25,510
أكبر من أو ساوي capital N طلع المسافة بين F of X M

292
00:36:25,510 --> 00:36:31,650
و F of X M أصغر من إبسلون إذا بما أنه since إبسلون

293
00:36:31,650 --> 00:36:39,100
أكبر من السفر was arbitraryإذا الـ sequence f of x

294
00:36:39,100 --> 00:36:45,120
in is Cauchy تطلع الـ sequence هذه Cauchy وهو

295
00:36:45,120 --> 00:36:54,080
المطلوب okay تمام ممكن نستخدم النظرية هذه ممكن

296
00:36:54,080 --> 00:37:01,400
نستخدم النظرية هذه في ال ..

297
00:37:01,400 --> 00:37:06,320
ان نثبت ان function معينة ليستuniform and

298
00:37:06,320 --> 00:37:16,200
continuous هاي example use

299
00:37:16,200 --> 00:37:20,100
above theorem

300
00:37:20,100 --> 00:37:31,860
to show ال function f of x بالسعر واحد على x is

301
00:37:31,860 --> 00:37:32,280
not

302
00:37:35,480 --> 00:37:43,220
uniformly continuous on a بساوي الفترة المفتوحة من

303
00:37:43,220 --> 00:37:44,680
صفر إلى ملا نهار

304
00:37:57,800 --> 00:38:01,060
لحظة ان النظرية دي ايش بتقول لو كانت ال function

305
00:38:01,060 --> 00:38:05,140
uniform ل continuous فلازم تحافظ على كوشي sequence

306
00:38:05,140 --> 00:38:09,440
طب لو محافظتش على كوشي sequence مش ممكن تكون

307
00:38:09,440 --> 00:38:17,260
uniform ل continuous صح؟ مظبوط؟ اذا هنا proof

308
00:38:17,260 --> 00:38:25,680
by above theorem حسب النظرية على it suffices

309
00:38:28,360 --> 00:38:36,220
to show يكفي اثبات ان f is .. if does not .. if

310
00:38:36,220 --> 00:38:46,960
does .. does not preserve .. preserve Cauchy

311
00:38:46,960 --> 00:38:52,860
sequences ف

312
00:38:52,860 --> 00:38:53,500
consider

313
00:38:56,930 --> 00:39:03,270
consider ال sequence xn اللي هي بساوي واحد على ن

314
00:39:03,270 --> 00:39:11,470
ال sequence هذه converge لصفر وبالتالي

315
00:39:11,470 --> 00:39:25,130
اذا xn is Cauchy تمام but صورة ال xn

316
00:39:28,660 --> 00:39:37,460
أيش بتطلع؟ صورة الواحد على ان تطلع ال sequence in

317
00:39:37,460 --> 00:39:43,620
صح؟ و ال sequence هذه properly divergent to

318
00:39:43,620 --> 00:39:49,760
infinity، اذا I'm divergent، اذا I'm not Cauchy

319
00:39:49,760 --> 00:39:54,220
تمام؟

320
00:39:57,130 --> 00:40:01,450
Okay؟ وبالتالي إذا هاي في عندي .. هاي في عندي ..

321
00:40:01,450 --> 00:40:08,790
إذا if لا تحافظ على ال koshi sequences إذا if does

322
00:40:08,790 --> 00:40:13,210
not preserve

323
00:40:13,210 --> 00:40:19,050
.. preserve koshi

324
00:40:26,330 --> 00:40:31,610
sequences وبالتالي حسب النظرية الأخيرة مابتكونش

325
00:40:31,610 --> 00:40:34,630
uniformly continuous لأن لو كانت uniformly

326
00:40:34,630 --> 00:40:38,370
continuous فالمفروض تاخد كوشي sequence زي هذه

327
00:40:38,370 --> 00:40:42,730
تعطينا صورتها كوشي sequence وهذا مستحيل okay تمام

328
00:40:42,730 --> 00:40:47,970
واضح في أي سؤال اي استفسار اذا هيك نكتفي بهذا

329
00:40:47,970 --> 00:40:52,540
القدر من section خمسة اربعة وزي ما حكينا سابقاهذا

330
00:40:52,540 --> 00:40:57,260
كان آخر section هناخده في المقرر و بالتالي هيكون

331
00:40:57,260 --> 00:41:03,400
يعني .. يعني ان شاء الله أنهينا ال course كما هو

332
00:41:03,400 --> 00:41:10,600
موضح على ال syllabus فشكرا لكم و شكرا لحسن إصداركم

333
00:41:10,600 --> 00:41:13,580
و يعطيكم ألف عافية