PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/2PcqkFMSAOE.srt

1
00:00:04,910 --> 00:00:08,190
بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين

2
00:00:08,190 --> 00:00:12,270
والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على 

3
00:00:12,270 --> 00:00:18,470
آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة رقم 22 في مساق

4
00:00:18,470 --> 00:00:23,930
تحليل حقيقة نيل لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم 

5
00:00:23,930 --> 00:00:29,530
الرياضيات في كلية العلوم عنوان المحاضرة اليوم

6
00:00:29,530 --> 00:00:32,850
هنكمل chapter ثمانية هيكون في عندي اللي هو

7
00:00:32,850 --> 00:00:37,130
applications على اللي هي ثمانية اللي هي واحد و

8
00:00:37,130 --> 00:00:41,630
ثمانية اثنين المحاضرة اليوم اللي هي هنحكي عن the

9
00:00:41,630 --> 00:00:46,730
exponential and the logarithmic functions هنحكي عن 

10
00:00:46,730 --> 00:00:51,830
اللي هو دالة ال E to the X ودالة ال ln أو دالة ال

11
00:00:51,830 --> 00:00:57,660
log الآن هنثبت اللي هو من خلال .. في البداية هنحكي 

12
00:00:57,660 --> 00:01:03,280
عن اللي هو ال exponential function أو هنثبت اللي 

13
00:01:03,280 --> 00:01:05,740
هو وجود ال exponential function

14
00:01:09,490 --> 00:01:13,630
احنا استخدمناها قبل هيك مجرد أمثلة بعيدا عن اللي 

15
00:01:13,630 --> 00:01:18,730
هو انه اللي هي مفترضنا انه معلومات موجودة مسبقا

16
00:01:18,730 --> 00:01:22,170
ولا تناقض اللي هو انه نثبتها اليوم لإنه اثباتها

17
00:01:22,170 --> 00:01:25,410
اليوم لا يعتمد على اللي حكيناه سابقا بما يخص 

18
00:01:25,410 --> 00:01:29,350
بأمثلة اللي ذكرت فيها ال exponential الآن ال

19
00:01:29,350 --> 00:01:34,310
exponential function بدنا نثبت وجودها ايش اللي 

20
00:01:34,310 --> 00:01:38,820
بنقوله نشوف عبر ال theorem 8.3.1 theorem بقول there

21
00:01:38,820 --> 00:01:44,060
exists a function U دالة E من R ل R إذا في عندنا

22
00:01:44,060 --> 00:01:49,680
دالة اسمها E من R ل R such that الـ E prime of X

23
00:01:49,680 --> 00:01:55,280
لها بساوي E of X لكل X element in R اثنين E of Zero

24
00:01:55,280 --> 00:01:58,820
بساوي ايش واحد يعني الآن النظرية دي بتقولي إنه

25
00:01:58,820 --> 00:02:02,920
يوجد عندنا دالة domainها كل ال R و rangeها بروح

26
00:02:02,920 --> 00:02:10,220
بصوب في ال R هذه الدالة تحقق شرطين اللي هي E prime

27
00:02:10,220 --> 00:02:14,500
of X بساوي E of X و E of Zero بساوي ايش واحد الآن

28
00:02:14,500 --> 00:02:19,920
نجي اللي هو بدنا نثبت وجود هذه الدالة ايه التي

29
00:02:19,920 --> 00:02:25,380
تحقق اللي هو الخواص اللي عندنا المذكورة فيه اللي 

30
00:02:25,380 --> 00:02:29,960
هي نظريا الآن خلينا عشان نروح باتجاه اثبات وجود

31
00:02:29,960 --> 00:02:34,080
هذه الدالة خلينا ناخد we inductively define a

32
00:02:34,080 --> 00:02:37,900
sequence of continuous functions as follows بدي 

33
00:02:37,900 --> 00:02:43,590
الآن اعرف اللي هو sequence of functions الأولى

34
00:02:43,590 --> 00:02:48,790
اسمها E1 of X بتساوي واحد زائد X طبعا هذه الدالة 

35
00:02:48,790 --> 00:02:52,790
موجودة E1 of X بتساوي واحد زائد X هي دالة خطية

36
00:02:52,790 --> 00:02:58,590
الآن بدي أعرف ال E2 ال E2 of X بساوي ال

37
00:02:58,590 --> 00:03:04,170
integration واحد زائد ال integration من صفر لعند X

38
00:03:04,170 --> 00:03:13,140
اللي هو E1 of X dT أو E1 of T dT إذاً الـ E2 بدي

39
00:03:13,140 --> 00:03:17,960
أجيبها من مين؟ من الـ E1 طبعاً بتيجي الـ E و الـ E2

40
00:03:17,960 --> 00:03:23,500
اللي هي عبارة عن واحد زائد هذه واحد زائد T اللي هو 

41
00:03:23,500 --> 00:03:27,730
تفاضلها زي ما انتوا عارفين تكملها اللي هي T زائد

42
00:03:27,730 --> 00:03:32,910
اللي هي T تربيع على اثنين من صفر لعند X ويساوي واحد

43
00:03:32,910 --> 00:03:38,490
زائد X زائد X تربيع على اثنين هذه الدالة من 

44
00:03:38,490 --> 00:03:45,020
هي E2 of X E3 of X بتعرفها بنفس الأسلوب بالساوي 1

45
00:03:45,020 --> 00:03:49,840
زائد الـ integration من 0 ل X لدالة اللي وجدتها 

46
00:03:49,840 --> 00:03:56,140
قبلها اللي هي E2 of T dT بضل أساسي ساير في التعريف

47
00:03:56,140 --> 00:04:03,760
بقول in general بتعرف ال E N زائد 1 of X بساوي الـ 

48
00:04:03,760 --> 00:04:11,420
1 زائد ال integration من 0 ل X E N of T dT إذن الآن 

49
00:04:11,420 --> 00:04:16,020
عرفت اللي هي ال E1 of X بساوي 1 زائد X ومنها عرفت

50
00:04:16,020 --> 00:04:21,840
اللي هي E2 و E2 عرفت منها E3 و E3 عرفت منها E4 وهكذا 

51
00:04:21,840 --> 00:04:26,120
ال E N زائد 1 of X هتساوة 1 زائد ال integration من 0

52
00:04:26,120 --> 00:04:31,440
ل X لل E N اللي جاب الها دي of T dT لكل N element

53
00:04:31,440 --> 00:04:36,720
in N و لكل X element in M in R نيجي الآن نطلع على

54
00:04:36,720 --> 00:04:40,920
الملاحظات اللي بدنا نحكيها عشان نستخدمها الآن 1

55
00:04:40,920 --> 00:04:46,840
زائد X دالة متصلة مش متصلة أصلا بس هي أصلا قابلة 

56
00:04:46,840 --> 00:04:51,900
للتفاضل أيضا اللي هي differentiable الآن بناء عليه

57
00:04:51,900 --> 00:05:00,140
مدام ال E1 is continuous هتكون اللي هي E2 E2 هي 

58
00:05:00,140 --> 00:05:03,940
الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1

59
00:05:03,940 --> 00:05:04,180
هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ

60
00:05:04,180 --> 00:05:07,840
E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1

61
00:05:07,840 --> 00:05:11,080
الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ 

62
00:05:11,080 --> 00:05:12,820
E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش

63
00:05:12,820 --> 00:05:14,980
للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي 

64
00:05:14,980 --> 00:05:18,980
الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 الـ E1

65
00:05:18,980 --> 00:05:22,820
هي الانتجراش للـ E1 الـ E1 هي الانتجراش للـ E1 ال

66
00:05:25,750 --> 00:05:27,270
الآن F.E.L

67
00:05:31,050 --> 00:05:34,950
if f is continuous on R then it is integrable over any bounded 

68
00:05:34,950 --> 00:05:39,590
interval زي ما قلنا مدام هذا continuous اللي هي E

69
00:05:39,590 --> 00:05:45,210
اللي هي 2 continuous ومن هنا هتطلع E 3 continuous

70
00:05:45,210 --> 00:05:49,530
و E 4 continuous إذا صارت هذي دايما continuous وده 

71
00:05:49,530 --> 00:05:53,170
continuous وده integration exist و by fundamental 

72
00:05:53,170 --> 00:05:57,250
theorem هذا ال integration كله على بعض can be 

73
00:05:57,250 --> 00:06:01,160
differentiated وهتكون الهو ايش is differentiable

74
00:06:01,160 --> 00:06:05,520
ومنه so E N زائد واحد is well defined by the above

75
00:06:05,520 --> 00:06:09,300
formula moreover زي ما قلت it is from fundamental

76
00:06:09,300 --> 00:06:12,400
theorem of calculus ال second form اللي هي سبعة

77
00:06:12,400 --> 00:06:15,920
ثلاثة خمسة هيكون عند ال E N زائد واحد is

78
00:06:15,920 --> 00:06:19,280
differentiable ومش هيك وتفاضل هذه زي ما احنا 

79
00:06:19,280 --> 00:06:24,540
عارفين بساوي بنشيل ال integration طبعا التفاضل بلغ 

80
00:06:24,540 --> 00:06:29,220
ال integration بيصير E N of X فبصير عندي ال E N زائد 

81
00:06:29,220 --> 00:06:34,240
واحد prime of X موجودة ويساوي E N X for all n 

82
00:06:34,240 --> 00:06:37,720
element in N إذن الآن عملنا sequence ال sequence 

83
00:06:37,720 --> 00:06:40,580
هذه طلعت sequence of differentiable functions و ال

84
00:06:40,580 --> 00:06:43,860
derivative لل E N زائد واحد prime هي بترجع لمين

85
00:06:43,860 --> 00:06:50,320
بتيجي اللي هي ال E N of X طيب الآن هذا كله و ده

86
00:06:50,320 --> 00:06:53,900
خليني اسميها ثلاثة و خليني نحضر حالنا نصل للي بدنا 

87
00:06:53,900 --> 00:06:59,500
ياجولكم وين هنصل في الآخر هوصلكم انه اللي هو ال

88
00:06:59,500 --> 00:07:05,400
limit لهذه ال sequence أو لهذه ال sequence هي ال E

89
00:07:05,400 --> 00:07:12,300
of X اللي أنا بثبت وجودها وستكون اللي هي بتحقق

90
00:07:12,300 --> 00:07:16,440
الشروط اللي حكيناها خلينا نشوف ما لاستعجلش نشوف 

91
00:07:16,440 --> 00:07:19,900
ايش اللي بدنا نصلله إذا اللي عملناه كوننا 

92
00:07:19,900 --> 00:07:23,380
sequence sequence زي ما قلنا اللي هي ال sequence 

93
00:07:23,380 --> 00:07:28,160
بدأت عشان يبقى لكم الذاكرين E1 of X بساوي واحد

94
00:07:28,160 --> 00:07:34,760
زائد X E N زائد واحد of X بساوي الانتجرأت واحد 

95
00:07:35,450 --> 00:07:39,790
بساوي واحد زائد الـ integration من صفر لعدد X E N of

96
00:07:39,790 --> 00:07:47,450
T dT خلينا هذولة أمامنا طبعا N element in N عندي 

97
00:07:47,450 --> 00:07:54,630
و X أي element وين in R طيب إذا الآن سار عندي اللي 

98
00:07:54,630 --> 00:07:58,430
هو ال .. ده اللي هذي is differential لان بقول لي

99
00:07:58,430 --> 00:08:03,230
انه ابن الدعي ويمكن لو حد شاف قبل بشوية ما وصلنا ل

100
00:08:03,230 --> 00:08:08,450
E2 E2 كانت عبارة عن واحد زائد X تربيع على اثنين

101
00:08:08,450 --> 00:08:13,070
اللي هو اللي هي اثنين factorial لو كملنا هيكون E N

102
00:08:13,070 --> 00:08:16,910
of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial X تربيع على 2

103
00:08:16,910 --> 00:08:21,170
factorial زائد X أُس N على N factorial لكل 

104
00:08:21,170 --> 00:08:25,750
X element in R هذه الـ N صحيحة اللي هي لكل N 

105
00:08:25,750 --> 00:08:31,470
element in R اللي هو طبعا اثباتها سهل نثبتها by

106
00:08:31,470 --> 00:08:36,010
induction خلينا نشوف كيفنا نثبت أربعة by induction

107
00:08:58,380 --> 00:09:01,020
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة 

108
00:09:01,020 --> 00:09:04,640
أربعة 

109
00:09:04,640 --> 00:09:06,540
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

110
00:09:06,540 --> 00:09:06,720
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

111
00:09:06,720 --> 00:09:06,900
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة

112
00:09:06,900 --> 00:09:08,610
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة four is

113
00:09:08,610 --> 00:09:16,450
a true four and بتساوي كتابة يعني صار عند الالالـ

114
00:09:16,450 --> 00:09:23,550
E K of X بتساوي 1 زائد X على 1 factorial زائد X 

115
00:09:23,550 --> 00:09:29,170
تربيع على 2 factorial زائد X أُس K على K factorial

116
00:09:29,170 --> 00:09:33,890
هذا لما نفرض إن اللي هي .. اللي هي الأربعة is true 

117
00:09:33,890 --> 00:09:39,150
for N بتساوي K بدنا نثبت إن E K زائد 1 هتطلع اللي 

118
00:09:39,150 --> 00:09:43,870
هي هذه زائد X أُس K على K زائد واحد factorial اللي 

119
00:09:43,870 --> 00:09:48,790
على ال net بتطلع أربعة صحيحة for K زائد واحد ده 

120
00:09:48,790 --> 00:09:56,070
نحسب خلينا نحسب الآن E K زائد واحد of X حسب اللي

121
00:09:56,070 --> 00:10:01,370
احنا مفترضينه أو معرفين ال sequence على أساسه E K

122
00:10:01,370 --> 00:10:04,830
زائد واحد of X ايش بتساوي واحد زائد ال integration

123
00:10:04,830 --> 00:10:14,410
من صفر ل X E K of T dT مظبوط؟ طيب الآن بدي اعوض عن

124
00:10:14,410 --> 00:10:20,030
E K of T احنا مفترضينها صحيحة ل K إذا E K of X 

125
00:10:20,030 --> 00:10:24,230
هيها إذا باجي بعوض بيصير Y يساوي واحد زائد ال

126
00:10:24,230 --> 00:10:29,250
integration من صفر ل X E K of T اللي هي واحد زائد

127
00:10:29,250 --> 00:10:33,170
T زائد T تربيع طبعا واحد factorial اللي هي واحد

128
00:10:33,170 --> 00:10:40,080
على اثنين factorial زائد لما أصل X أو T أُس K على K

129
00:10:40,080 --> 00:10:46,520
factorial الكل داخلها dT لأن اللي هي أكيد وضحت 

130
00:10:46,520 --> 00:10:49,660
الصورة بدل الفاضل نطلع قيمة التفاصيل الكامل و نطلع

131
00:10:49,660 --> 00:10:54,360
قيمة التكامل و يساوي واحد هيوزايد ما هو جاعد زاد

132
00:10:54,360 --> 00:11:00,520
هذا ال integration اللي هو عبارة عن T زائد T تربيع

133
00:11:00,520 --> 00:11:06,140
على 2 في 1 يعني 2 factorial زائد T تكعيب على 3 في

134
00:11:06,140 --> 00:11:10,920
2 factorial يعني 3 factorial زائد لما أصل لآخر 1 T 

135
00:11:10,920 --> 00:11:15,640
أُس K زائد 1 على K زائد 1 في K factorial هي K زائد

136
00:11:15,640 --> 00:11:22,230
1 factorial هذا الكلام من 0 لمين؟ لعند X واضحة 

137
00:11:22,230 --> 00:11:26,550
الصورة ويساوي عبارة عن لما أعوض من 0 ل X بيصير 1

138
00:11:26,550 --> 00:11:32,090
زائد X زائد X تربيع على 2 factorial لما أصل لأخر

139
00:11:32,090 --> 00:11:38,210
واحد X أُس K زائد 1 على K زائد 1 factorial إذا فعلا

140
00:11:38,210 --> 00:11:42,110
طلعت عندي E K زائد واحد بساوي هذا المقدار يعني 

141
00:11:42,110 --> 00:11:46,450
بمعنى آخر أربعة طلعت الـ true for n بتساوي k زائد

142
00:11:46,450 --> 00:11:51,830
واحد إذاً من كل هذا الـ induction بنكون أثبتنا أن الـ e

143
00:11:51,830 --> 00:11:56,430
n of x بتساوي هذا الكلام لكل x element in R لكل n 

144
00:11:56,430 --> 00:12:00,630
element in N إذاً هذه صورة اللي هي الـ EN of X صورة

145
00:12:00,630 --> 00:12:05,150
غير الصورة اللي عرفناها فوق استنتجناها منها الآن

146
00:12:05,150 --> 00:12:11,770
خلّينا نروح باتجاه إثبات إنه الـ limit للـ EN هذه أو

147
00:12:11,770 --> 00:12:17,910
الـ EK أو الـ EN أو اللي هي is uniformly convergent

148
00:12:18,680 --> 00:12:23,900
to some function هذه الـ some function هي اللي

149
00:12:23,900 --> 00:12:29,120
بتدعي أنها هتكون الـ exponential طيب اللي بنسميها

150
00:12:29,120 --> 00:12:32,840
exponential بعد شوية اللي هي بتحقق شرطين اللي 

151
00:12:32,840 --> 00:12:35,400
حكينا عنهم لسه احنا بنعرف الـ exponential احنا

152
00:12:35,400 --> 00:12:38,340
بنعرف الدالة هذه لكن لأن معلوماتنا عارفين من أول

153
00:12:38,340 --> 00:12:43,000
الـ exponential الآن احنا الدالة هذه اللي هنثبت

154
00:12:43,000 --> 00:12:46,540
وجودها اليوم هي اللي بعد شوية بعد ما نثبت الـ

155
00:12:46,540 --> 00:12:50,880
uniqueness لها بنسميها الـ exponential زي ما هنشوف

156
00:12:50,880 --> 00:12:56,620
بعد شوية الآن إذا الـ sequence اللي عندي هذه 

157
00:12:56,620 --> 00:13:05,300
هيوضعها الآن قلنا E N of X هذه المعادلة الثانية هي 

158
00:13:05,300 --> 00:13:11,560
واحد زائد X زائد X تربيع على اثنين factorial زائد 

159
00:13:11,560 --> 00:13:15,600
X أس N على N factorial وهذا الشكل طبعًا أنتم مش

160
00:13:15,600 --> 00:13:20,240
غريب عليكم بتعرفوه الآن خليني آخذ الآن let A أكبر

161
00:13:20,240 --> 00:13:24,120
من صفر بـ given افترض أن A اللي هو real

162
00:13:24,120 --> 00:13:28,660
number أكبر من مين من صفر بآخذه arbitrarily لكن

163
00:13:28,660 --> 00:13:33,470
خليني نحكي عن A محددة الآن if absolute value of X

164
00:13:33,470 --> 00:13:37,910
أصغر أو تساوي A يعني بتحكي الحديث هنا على الـ Xات

165
00:13:37,910 --> 00:13:43,590
اللي في الـ R اللي من عند ناقص A لعند مين الـ A يعني

166
00:13:43,590 --> 00:13:48,610
الـ absolute value لهن هذول أصغر أو تساوي الـ A

167
00:13:48,610 --> 00:13:52,390
يعني في الفترة المغلقة اللي أمامي اللي بين ناقص الـ

168
00:13:52,390 --> 00:13:58,870
A و الـ A بتتحدث شوف الآن احسب لي Em of X ناقص En of

169
00:13:58,870 --> 00:14:03,750
X و يساوي و بدنا نفترض لكم أن الـ n ايه شمالها أكبر

170
00:14:03,750 --> 00:14:07,910
من الـ n و الـ n أكبر من اثنين A اثنين A مكتوب

171
00:14:07,910 --> 00:14:10,850
اثنين A لغرض الحسابات اللي جايين نشوفها بنفع

172
00:14:10,850 --> 00:14:13,270
ثلاثة A، بنفع أربعة A، بنفع خمسة A، بنفع ستة

173
00:14:13,270 --> 00:14:16,550
A، بنفع كلّه بنفع هذا الكلام على أساس أنك ما ينفعش

174
00:14:16,550 --> 00:14:19,550
أقول نصف A أو ثلث A أو ربع A لأنها مش هتقدر

175
00:14:19,550 --> 00:14:23,910
الغرض اللي بدي إياه الآن مين اخترت أنا اخترت اللي هو

176
00:14:23,910 --> 00:14:29,650
الـ m والـ n اللي أكبر منين من اثنين في الـ A

177
00:14:29,650 --> 00:14:34,390
اللي هي قيمة مين الـ A اللي هي نصف الفترة اللي عندي

178
00:14:34,390 --> 00:14:39,210
أو طول نصف الفترة طيب، احسب لي ايه M of X ناقص Y of

179
00:14:39,210 --> 00:14:44,360
X؟ E M of X اللي هي عبارة عن واحد زائد X زائد X 

180
00:14:44,360 --> 00:14:49,360
تربيع و هجابل في الطريق من الـ X M لأنه M أكبر من X

181
00:14:49,360 --> 00:14:52,720
تربيع على M factorial زائد X M زائد واحد على M زائد

182
00:14:52,720 --> 00:14:57,280
واحد factorial لما أصل الأخر واحد من X أس M على M

183
00:14:57,280 --> 00:15:03,400
factorial يعني الآن هذي هيكون زي هيك لما أصل طبعًا X 

184
00:15:03,400 --> 00:15:10,500
M زائد واحد على M زائد واحد factorial زائد لمّا أصل 

185
00:15:10,500 --> 00:15:15,760
لعند X أس M على M factorial هذه مين هي هذه عبارة

186
00:15:15,760 --> 00:15:24,220
عن الـ EM يعني الـ EM هتساوي اللي هي E of X E N of X

187
00:15:24,220 --> 00:15:30,020
زائد المتبقي هذا الآن حاصل طرح الاثنتين هيكون

188
00:15:30,020 --> 00:15:33,480
عبارة عن لإن المفترض الـ M أكبر من L زي ما قلنا

189
00:15:33,480 --> 00:15:37,700
حاصل طرح اللي هيكون اللي هو المتبقي هذا X N زائد

190
00:15:37,700 --> 00:15:40,840
واحد على N زائد واحد factorial لما أصل ل X M على M

191
00:15:40,840 --> 00:15:46,240
ايش factorial ماشي الحال إذا الآن أوصلنا لحاصل طرح

192
00:15:46,240 --> 00:15:51,340
دول بتساوي هذا المقدار نيجي نكمل الآن عندي

193
00:15:53,560 --> 00:15:58,460
عند الـ absolute value للـ X أصغر من 100 من A

194
00:16:10,590 --> 00:16:17,130
زائد absolute value زائد xn زائد اثنين على n زائد

195
00:16:17,130 --> 00:16:22,710
اثنين factorial زائد لما أصل لأخر واحد x أسم m على

196
00:16:22,710 --> 00:16:28,150
m factorial ماشي الحال طيب الآن إن إن كل x من

197
00:16:28,150 --> 00:16:31,270
هدول الـ absolute value هي أصغر يساوي منين A إذا

198
00:16:31,270 --> 00:16:36,650
صار هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا المقدار اللي هنا

199
00:16:36,650 --> 00:16:45,550
أصغر أو يساوي M زائد واحد على N آسف A أس N زائد

200
00:16:45,550 --> 00:16:49,970
واحد لأن الـ absolute value X أصغر تساوي A إذا X N

201
00:16:49,970 --> 00:16:54,510
زائد واحد أصغر أو ساوي الـ A أس N زائد واحد على N

202
00:16:54,510 --> 00:17:00,870
زائد واحد factorial زائد الثاني اللي هو A N زائد

203
00:17:00,870 --> 00:17:07,130
اثنين على n زائد 2 factorial زائد لما أصل لآخر واحد

204
00:17:07,130 --> 00:17:14,870
اللي هو عبارة عن a أس m على m factorial ماشي الحال

205
00:17:14,870 --> 00:17:21,080
طيب الآن خليني آخذ من هدول الـ a n زائد واحد على الـ

206
00:17:21,080 --> 00:17:24,480
n زائد واحد factorial عامل مشترك قبل ما اصلح هذه

207
00:17:24,480 --> 00:17:28,520
الخطوة لسه اه خليني آخذ عامل مشترك بيصير عندي a n

208
00:17:28,520 --> 00:17:33,180
زائد واحد على n زائد واحد factorial فاش اللي بيضل

209
00:17:33,180 --> 00:17:39,420
هنا فيه اللي بيضل هنا واحد زائد هنا بيضل a على n

210
00:17:39,420 --> 00:17:46,280
زائد اثنين أكيد زائد اللي بعدها a تربيع على n زائد

211
00:17:46,280 --> 00:17:52,160
اثنين فان زائد ثلاثة زائد لما أصل لآخر واحد مين

212
00:17:52,160 --> 00:17:57,080
آخر واحد بشيل منه n زائد واحد بيصير a أس m ناقص

213
00:17:57,080 --> 00:18:03,000
n ناقص واحد على اللي بيضل من n زائد اثنين مضروب

214
00:18:03,000 --> 00:18:09,250
لعند n m ناقص n ناقص واحد هذول الأنماشي الحال

215
00:18:09,250 --> 00:18:13,470
هذا أخذ تمين يا جماعة معليش دخل الكلام مع بعضه بس

216
00:18:13,470 --> 00:18:18,130
أكيد أنتم مستوعبين ايش بقول طلعت الـ a n زائد واحد

217
00:18:18,130 --> 00:18:21,090
على n زائد واحد factorial العام المشترك طلع عندي

218
00:18:21,090 --> 00:18:26,550
هذا المقدار الآن عندي أكيد الـ n زائد اثنين أكبر من

219
00:18:26,550 --> 00:18:32,050
مين من الـ n فمقلوبه أصغر أه فبيصير عندي اللي هو

220
00:18:32,050 --> 00:18:38,050
عندي اللي هي هذا المقدار a n على l زائد 2 أصغر أو

221
00:18:38,050 --> 00:18:42,170
ساوي a على n و اللي بعده a تربيع أصغر أو ساوي a 

222
00:18:42,170 --> 00:18:44,370
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

223
00:18:44,370 --> 00:18:44,410
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

224
00:18:44,410 --> 00:18:45,090
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

225
00:18:45,090 --> 00:18:46,010
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

226
00:18:46,010 --> 00:18:47,730
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

227
00:18:47,730 --> 00:18:48,010
ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا

228
00:18:51,320 --> 00:18:55,380
أكبر من أنه وهذه أكبر من أنه فمقلوبهم بيصير هذا

229
00:18:55,380 --> 00:19:00,980
المقدار أصغر اللي هو أو يساوي المقدار اللي بعده

230
00:19:00,980 --> 00:19:07,730
بيصير عندي هذا المقدار أصغر أو يساوي هذا زي ما هو و

231
00:19:07,730 --> 00:19:13,670
هذه واحد هذه a على n لأنها هتكون أكبر a تربيع على

232
00:19:13,670 --> 00:19:19,170
n تربيع n تربيع هتكبر لما أصل ل a m minus n نقص

233
00:19:19,170 --> 00:19:25,420
واحد على m minus n نقص واحد لأن هنا دول عددهم من

234
00:19:25,420 --> 00:19:30,200
نقص واحد من الـ n هيكون n طبعًا استبدلت كل واحدة

235
00:19:30,200 --> 00:19:34,400
بـ n فهيطلع بالشكل هذا وبتظل الـ inequality صحيحة

236
00:19:34,400 --> 00:19:38,540
خلصنا من هذا طيب دعونا نشوف كيف أضبح لكم هذا دعونا

237
00:19:38,540 --> 00:19:48,770
نخلص منه نجي الآن اللي هو نرجع نكمل الحسبة هذا

238
00:19:48,770 --> 00:19:57,670
الآن المقدار عندي اللي هو المقدار هذا هيه اتطلعوا

239
00:19:57,670 --> 00:20:06,710
عندي الـ a الـ a على n ايش أنا ماخذ الـ n ماخذ الـ n

240
00:20:06,710 --> 00:20:12,930
أكبر من مين من اثنين a يعني الـ a أصغر من n على مين

241
00:20:13,680 --> 00:20:21,900
على اثنين مظبوط الـ A أصغر من N على اثنين واضحة الجسم

242
00:20:21,900 --> 00:20:25,660
الـ N على اثنين و N على اثنين صارت N على اثنين أكبر

243
00:20:25,660 --> 00:20:29,940
من مين من A بدي استخدمها الآن هذه الـ N بيصير أصغر

244
00:20:29,940 --> 00:20:34,020
أو يساوي هذا المقدار بيصير أصغر أو يساوي هذا بحكي

245
00:20:34,020 --> 00:20:39,590
عن هذا بيصير أصغر أو يساوي اللي هو A أس n زائد

246
00:20:39,590 --> 00:20:45,410
واحد على n زائد واحد الكل factorial فيه اللي هو

247
00:20:45,410 --> 00:20:56,830
واحد زائد a على n زائد a تربيع على n تربيع زائد

248
00:20:56,830 --> 00:21:06,530
a اللي هو a تكعيب على n تكعيب زائد مش بتصل لهذا

249
00:21:06,530 --> 00:21:11,670
زائد و بتظل ماشيها شمالها إلى ما لا نهاية يعني

250
00:21:11,670 --> 00:21:17,110
بتضيف عليها a على n أس m ناقص n a على n أس m

251
00:21:17,110 --> 00:21:20,290
ناقص n زائد واحد وهكذا تظلها إلى ما لا نهاية يعني

252
00:21:20,290 --> 00:21:23,850
بتحولها لمين لـ infinite series طيب احنا قلنا الـ a

253
00:21:23,850 --> 00:21:28,670
أصغر من n على 2 يعني الـ a n على n أصغر من مين؟ من

254
00:21:28,670 --> 00:21:32,930
نصف عرفته الآن ايش بدأ أسأل صار عندي هذا المقدار

255
00:21:32,930 --> 00:21:39,310
أصغر أو يساوي a أس n زائد واحد على n زائد واحد لكل

256
00:21:39,310 --> 00:21:45,690
factorial مضروب في مين؟ اللي هو واحد زائد نصف زائد

257
00:21:45,690 --> 00:21:50,670
نصف تربيع اه لأن a على n أصغر من مين يا جماعة؟ من

258
00:21:50,670 --> 00:21:57,850
نصف زائد تربيع زائد نصف تتعيد زائد الآخرين لأن هذه صارت

259
00:21:57,850 --> 00:22:02,470
عبارة عن geometric series مجموعها هذه بتساوي مجموع

260
00:22:02,470 --> 00:22:07,050
هذه عبارة عن واحد على واحد ناقصّه اللي هو نصف وهي

261
00:22:07,050 --> 00:22:12,730
ساوي جدّاش اثنين ماشي إذا هذا المقدار اللي هو صار

262
00:22:12,730 --> 00:22:16,510
عبارة عن اثنين في هذا المقدار اللي هو وصلنا له

263
00:22:16,510 --> 00:22:20,650
أصغر أو يساوي a n زائد واحد على n زائد واحد

264
00:22:20,650 --> 00:22:23,890
factorial مضروب في مين؟ في اثنين يعني حسابات هذه

265
00:22:23,890 --> 00:22:28,770
طيب إذا صار عندي الآن هاي اللي بدي أوصل له و اللي

266
00:22:28,770 --> 00:22:31,630
كاتبّه باختصار هو لإنه بيعتبر أن الباقية حساباتي

267
00:22:31,630 --> 00:22:36,950
بتعرفوا تحسبوها em-n of x of x أصغر أو يساوي هذا

268
00:22:36,950 --> 00:22:43,450
المقدار على مين؟ على اثنين الآن شوف ما يليه الآن as

269
00:22:43,450 --> 00:22:49,590
n goes to infinity هذا المقدار هذا المقدار as n

270
00:22:49,590 --> 00:22:54,230
goes to infinity الـ limit بتروح للصفر لأن a n زائد

271
00:22:54,230 --> 00:22:57,110
واحد على n زائد واحد كل factorial as n goes to

272
00:22:57,110 --> 00:23:01,190
infinity ايش بدّه يروح للصفر يعني بمعنى آخر مدام

273
00:23:01,190 --> 00:23:04,430
بدّه يروح للصفر طبعًا وذا كبرت الـ n بتكبر مين برضه

274
00:23:04,430 --> 00:23:07,850
مباشرة m لأن m أكبر منها إذا for

275
00:23:10,880 --> 00:23:19,800
for large n و m we get

276
00:23:23,490 --> 00:23:31,050
E M of X ناقص E N of X اللي هي أصغر أو يساوي من

277
00:23:31,050 --> 00:23:38,070
هذه هذه أصلاً for large N as N goes to infinity هذا

278
00:23:38,070 --> 00:23:43,470
المقدار بيصير أصغر من أي ε في الدنيا اللي هي بيصير

279
00:23:43,470 --> 00:23:49,330
أصغر من مين من ε أو أصغر أو يساوي ε as N و M

280
00:23:49,330 --> 00:23:54,630
become very very large ماشي الحال لإنه الـ limit لل 

281
00:23:54,630 --> 00:23:59,110
إن على n فكتوره ليش بيساوي بيساوي صفر إذا صار

282
00:23:59,110 --> 00:24:05,950
عندي الآن اللي هي E m of X E n of X أصغر أو شوي من Y

283
00:24:05,950 --> 00:24:15,250
لكل X وين موجودة في الفترة من ناقص A إلى A ماشي

284
00:24:15,250 --> 00:24:23,160
الحال الآن بناء عليه الآن لكل X بغض النظر عن ال X

285
00:24:23,160 --> 00:24:28,000
اللي هو بيكون عندي أنه I'm very large وبيعطيني هذا

286
00:24:28,000 --> 00:24:32,560
أصغر أو شوي من إبسلون وهذه اللي سميناها Cauchy's

287
00:24:32,560 --> 00:24:37,470
criterion for uniform اللي هو convergence في ال ..

288
00:24:37,470 --> 00:24:43,590
اللي هو section 81 بناء عليها بطلع عندي E and اللي

289
00:24:43,590 --> 00:24:47,090
هو converges uniformly to some function مش

290
00:24:47,090 --> 00:24:51,410
عارفينها اللي هي .. اللي هي converges uniformly on

291
00:24:51,410 --> 00:24:59,770
mean ناقص a أو a ماشي الحالة الآن عندي it

292
00:24:59,770 --> 00:25:02,610
follows the sequence من ناقص a إلى a converge uniformly on

293
00:25:02,610 --> 00:25:07,210
the interval ناقص a و a where a أكبر من 0 لكن a

294
00:25:07,210 --> 00:25:11,670
أكبر من 0 was a شمالها arbitrarily يعني اللي وصلنا

295
00:25:11,670 --> 00:25:18,110
له ما ياليا يا جماعة اللي وصلنا له أنه عندي اللي هي

296
00:25:18,110 --> 00:25:23,210
الـ sequence هذه لو جيت أخدت for every a element

297
00:25:23,210 --> 00:25:27,130
in R و a أكبر من صفر لو وصلنا له اللي كانت a

298
00:25:27,130 --> 00:25:32,130
arbitrarily وجدنا أنه هيكون عند الـ E L converges

299
00:25:32,130 --> 00:25:39,550
uniformly on ناقص a و مين و a ماشي الحال طيب بناء

300
00:25:39,550 --> 00:25:48,200
عليه لو أنت جيت أخدت خد الآن let X element in R، أي

301
00:25:48,200 --> 00:25:53,540
X element in R، مدام X في R، إذا أكيد الـ X عشرة،

302
00:25:53,540 --> 00:25:59,250
عشرين، ثلاثين، مليون، ممكن ما تكون، بقدر ألاقي A

303
00:25:59,250 --> 00:26:05,890
بحيث أن X تنتمي إلى الفترة من ناقص A لعند مين لعند

304
00:26:05,890 --> 00:26:11,590
A يعني مثلا ال X لجيتها 100 باخد ال A 110 بصير

305
00:26:11,590 --> 00:26:17,850
ال X بين اللي هي ناقص 110 و 100 إيش ما تيجي X بلاقي

306
00:26:17,850 --> 00:26:24,470
لها A إذا there exists a such that x element in ناقص a

307
00:26:24,470 --> 00:26:31,410
من ناقص a إلى a أكبر من صفر طبعا من ناقص a ومين أو a أكيد طب

308
00:26:31,410 --> 00:26:34,390
ما هو احنا قد أثبتنا أنه لكل a element in R

309
00:26:38,870 --> 00:26:44,730
Converge uniformly للـ a اللي لاجناها هذه On ناقص

310
00:26:44,730 --> 00:26:49,690
a و a لهذه الـ a يعني بمعنى معناه مدام Converge

311
00:26:49,690 --> 00:26:55,030
uniformly إلى إذا E N of X اللي هو converges point

312
00:26:55,030 --> 00:26:58,250
-wise to some function عند مين؟ عند الـ X اللي

313
00:26:58,250 --> 00:27:03,670
أخدتها هنا هذه إذا الآن for any X element in R

314
00:27:03,670 --> 00:27:11,450
for any X element in R هنلاقي E N of X converges ما

315
00:27:11,450 --> 00:27:15,250
دام ال E N of X is convergent for every X element

316
00:27:15,250 --> 00:27:22,230
in R إذا صارت عندي limit ال E N of X as N goes to

317
00:27:22,230 --> 00:27:27,830
infinity exists for every X element in R ما دام

318
00:27:27,830 --> 00:27:34,210
exist حسب اللي قلناها إذا الآن شرعت لتعريف الدالة

319
00:27:34,210 --> 00:27:40,600
التالية الآن أنا بقول إنه احنا صار عندنا اللي هو

320
00:27:40,600 --> 00:27:47,760
مشروع أن نقول we define E من R إلى R by limit E N of

321
00:27:47,760 --> 00:27:53,940
X اللي هي موجودة سميتها إيش اسمها E of X for X

322
00:27:53,940 --> 00:28:00,760
element of R وجود اللي هو دالة اسمها E أنا سميتها E

323
00:28:00,760 --> 00:28:06,400
من R إلى R بحيث أن E of X هي limit ال E N of X

324
00:28:06,400 --> 00:28:11,480
اللي أثبتت وجوده بدي أثبت لك الآن أن E of X هذه هي

325
00:28:11,480 --> 00:28:16,120
الدالة المبتغة اللي بتحقق الشروط اللي طلبها في

326
00:28:16,120 --> 00:28:21,740
النظرية نشوف كيف طيب صلوا على النبي عليه الصلاة

327
00:28:21,740 --> 00:28:22,160
والسلام

328
00:28:35,970 --> 00:28:39,830
الآن عندي ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

329
00:28:39,830 --> 00:28:39,910
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

330
00:28:39,910 --> 00:28:39,970
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

331
00:28:39,970 --> 00:28:40,290
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

332
00:28:40,290 --> 00:28:42,410
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

333
00:28:42,410 --> 00:28:42,810
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

334
00:28:42,810 --> 00:28:44,810
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

335
00:28:44,810 --> 00:28:49,770
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

336
00:28:49,770 --> 00:28:51,450
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

337
00:28:51,450 --> 00:28:51,610
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

338
00:28:51,610 --> 00:28:52,610
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

339
00:28:52,610 --> 00:28:55,710
.. ال ..

340
00:29:00,330 --> 00:29:06,370
converge such that x element من ناقص a إلى a كلها هذه

341
00:29:06,370 --> 00:29:12,330
الـ en converged uniformly الآن لمن؟ للـ e معايا

342
00:29:12,330 --> 00:29:19,190
converged uniformly للـ e for every أو on من ناقص a إلى 

343
00:29:19,190 --> 00:29:23,010
a لأنه سميناها إيش اللي هي ال limit بتروح لها اسمها

344
00:29:23,010 --> 00:29:27,670
إيه الآن en اتفجنا إنه أثبتناها إنها إيش معها

345
00:29:28,810 --> 00:29:34,050
continuous مدام continuous و en اللي هو طبعا

346
00:29:34,050 --> 00:29:36,330
continuous مش بس على ناقص a و a continuous وين

347
00:29:36,330 --> 00:29:39,690
مكان احنا الآن هنحكي عن ناقص a و a continuous صارت

348
00:29:39,690 --> 00:29:42,910
ال en continuous sequence converts uniformly to e

349
00:29:42,910 --> 00:29:48,110
على ناقص a و a إذا صارت ال e هذه حسب نظريتنا هتكون

350
00:29:48,110 --> 00:29:53,560
continuous نظرية الأولى في سيكشن 8 اللي هو 2 هتكون

351
00:29:53,560 --> 00:29:57,800
الـ E is continuous على ناقص a و a قولنا if E N is

352
00:29:57,800 --> 00:30:00,200
a sequence of continuous functions that converge

353
00:30:00,200 --> 00:30:03,200
uniformly to some function then this function or

354
00:30:03,200 --> 00:30:06,880
some function is continuous on من ناقص a إلى a إذا صارت

355
00:30:06,880 --> 00:30:10,200
ال E continuous على من ناقص a إلى a يعني ال E continuous

356
00:30:10,200 --> 00:30:14,520
عند من؟ عند ال X و since X was arbitrary in R then

357
00:30:14,520 --> 00:30:21,180
E هتكون is continuous على كل ال R إذا صارت عندي E

358
00:30:21,180 --> 00:30:26,560
is continuous at any X element in R الآن لو جينا

359
00:30:26,560 --> 00:30:31,600
حسبنا ال E N of 0 و E 1 of 0 و E 1 of 0 أشو

360
00:30:31,600 --> 00:30:39,410
بالساوية؟ هي واحد E اللي هو N زائد واحد of Zero

361
00:30:39,410 --> 00:30:45,630
اللي هو بيساوي من صفر إلى صفر هيطلع صفر وهذا واحد يعني

362
00:30:45,630 --> 00:30:52,470
دايما ال E N of Zero هتطلع إيش؟ Zero مدام E N of

363
00:30:52,470 --> 00:31:00,670
Zero Zero وبما أنه E is continuous إذن limit ال E N

364
00:31:00,670 --> 00:31:05,930
of zero as n goes to infinity بيساوي اللي هو E of

365
00:31:05,930 --> 00:31:10,990
zero أو E of X أسف E of X as n goes to infinity

366
00:31:10,990 --> 00:31:18,450
بيساوى E of X وبما أنه اللي هو ال ال ال ال ال

367
00:31:18,450 --> 00:31:20,590
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

368
00:31:20,590 --> 00:31:21,370
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

369
00:31:21,370 --> 00:31:22,190
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

370
00:31:22,190 --> 00:31:25,670
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

371
00:31:25,670 --> 00:31:30,470
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

372
00:31:30,470 --> 00:31:32,430
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

373
00:31:32,430 --> 00:31:32,790
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

374
00:31:32,790 --> 00:31:32,950
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

375
00:31:32,950 --> 00:31:35,550
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

376
00:31:35,550 --> 00:31:39,680
ال أنا كنت بخلطها أنا بقول E n of 0 بيساوي 1

377
00:31:39,680 --> 00:31:43,540
limit E n of X بيساوي E of X وال E is continuous

378
00:31:43,540 --> 00:31:48,900
إذا الحيكون ال E of 0 هذه هتساوي إيش؟ هيساوي 1

379
00:31:48,900 --> 00:31:53,800
لأنه limit E n of 0 point twice بيساوي E of 0 اللي

380
00:31:53,800 --> 00:31:58,580
هي 0 الآن e n of zero بتساوي واحد for all n infim

381
00:31:58,580 --> 00:32:04,940
therefore e of zero بتساوي واحد لأن اللي هي e

382
00:32:04,940 --> 00:32:11,240
نفسها is continuous إذا حصلنا على اللي هو الجزء

383
00:32:11,240 --> 00:32:16,080
الأول أذكركم في النظرية على اللي هو المطلوب أو

384
00:32:16,080 --> 00:32:20,770
الخاصية الأولى الخاصية الأولى هي الخاصية الأولى هي

385
00:32:20,770 --> 00:32:25,430
عندي أثبتنا .. الثاني أسف أثبتنا E اللي هي E of

386
00:32:25,430 --> 00:32:29,370
Zero بالساوية واحد بدي أثبت لك الآن E prime of X

387
00:32:29,370 --> 00:32:34,750
هتساوي E of X عشان أثبتها بدنا نذكركم في نظرية

388
00:32:34,750 --> 00:32:45,750
أخدناها المرة الماضية اللي هي بتقول ما يلي أذكركم

389
00:32:45,750 --> 00:32:51,350
يا جماعة بالنظرية اللي بستخدمها كانت أن عندي لو في

390
00:32:51,350 --> 00:32:56,330
عندي fn sequence of functions و هذه fn ال

391
00:32:56,330 --> 00:33:00,050
differentiable لأن fn برايم بتروح ل g uniformly

392
00:33:00,050 --> 00:33:08,330
ماشي on some interval on some j وكان عندي fn of x

393
00:33:08,330 --> 00:33:11,050
not converge

394
00:33:12,940 --> 00:33:21,240
converges to f of x not مثلا on j اه for x not

395
00:33:21,240 --> 00:33:31,300
element in j then بقول لي اللي هو ال f هذه f prime

396
00:33:31,300 --> 00:33:39,230
exists و FN converts uniformly to this F أو FN

397
00:33:39,230 --> 00:33:46,950
converges uniformly to this F and F' هي مين؟ هي الـ

398
00:33:46,950 --> 00:33:50,370
G هذا حكيناه المرة الماضية طيب، بدأ استخدمها الآن

399
00:33:50,370 --> 00:33:54,510
شوف عنده، إن شوف عنده الـ N أثبتنا أو الـ N

400
00:33:54,510 --> 00:33:57,110
interval من ناقص a إلى a  we have the uniform

401
00:33:57,110 --> 00:34:02,350
convergence of the sequence EN اللي هو هتكون EN

402
00:34:04,720 --> 00:34:12,400
converge uniformly ماشي الحال of you of me of

403
00:34:12,400 --> 00:34:15,900
ثلاثة اللي هو ثلاثة اللي حكيناها قبل بشوية خليني

404
00:34:15,900 --> 00:34:21,540
بس نذكركم فيها اللي هي ثلاثة هي عندي اللي هي ثلاثة

405
00:34:21,840 --> 00:34:25,980
عندي الآن conversion formally to some function E

406
00:34:25,980 --> 00:34:30,140
سميناها الآن بناء عليه بدلا من n زائد واحد هي

407
00:34:30,140 --> 00:34:34,820
صفراً الآن إذا صارت n زائد واحد prime برضه

408
00:34:34,820 --> 00:34:38,140
conversion هادي هادي أصلا conversion formally to

409
00:34:38,140 --> 00:34:46,280
مين؟ to ال E اللي عندي الآن وضحت الصورة الآن صارت

410
00:34:46,280 --> 00:34:53,410
الصورة واضحة الآن اللي حصلنا عليه انتبه عليا، on any

411
00:34:53,410 --> 00:34:56,010
interval من ناقص a إلى a, we have the inferred

412
00:34:56,010 --> 00:35:01,170
convergence of E n وفي ضوء اللي هو ثلاثة, we also

413
00:35:01,170 --> 00:35:04,290
have the inferred convergence E n prime of the

414
00:35:04,290 --> 00:35:08,350
derivatives الآن من ال theorem 8.2.3 اللي حكيتها

415
00:35:08,350 --> 00:35:13,700
هنا، مدام F n prime converges إلى G ماشي الحال و ال

416
00:35:13,700 --> 00:35:17,160
.. أو ال Fn X0 بتروح ل F of X0 for X0 اللي بتنجح

417
00:35:17,160 --> 00:35:21,880
اللي هو أكثر من النقطة و أصلا على أساس عرفنا أن Fn

418
00:35:21,880 --> 00:35:27,420
of X بيساوي اللي هو مين E of X بتروح لمين؟ إلى E of

419
00:35:27,420 --> 00:35:31,780
X إذا أكيد هذه متحققة كمان بالنسبة لمين؟ لل E N

420
00:35:31,780 --> 00:35:36,760
صارت هذه متحققة و هذه متحققة من تحقق هذه هذه يا 

421
00:35:36,760 --> 00:35:42,140
عزيزي التحقق هذه إذا إذا هيكون عنده الـ F N بتروح

422
00:35:42,140 --> 00:35:46,020
للـ F اللي هي الـ E N بتروح للـ E  ثبتناها بس

423
00:35:46,020 --> 00:35:51,720
إيش المهم أنه الـ F prime لهذه اللي بتروح لها هذه

424
00:35:51,720 --> 00:35:57,080
اللي هي الـ E prime هي مين اللي هي اللي بتروح لها الـ

425
00:35:57,080 --> 00:36:02,340
E N الـ F الـ F N prime عند الـ E N زائد واحد prime

426
00:36:02,340 --> 00:36:03,260
بتروح للـ E

427
00:36:06,460 --> 00:36:13,560
إذا من نظرية إيان ستذهب إلى الـ E برضه وليس كذلك

428
00:36:13,560 --> 00:36:20,250
الـ E' لهذه هي هذه يعني بمعنى آخر E N زي دول prime

429
00:36:20,250 --> 00:36:25,830
prime limitها الـ E prime زي ما هي مين الـ E يعني

430
00:36:25,830 --> 00:36:29,950
مدام الـ limitها هي الـ E و هي نفسها limitها من

431
00:36:29,950 --> 00:36:33,370
النظرية اللي بنستنتجها E prime إذا صارت الـ E هي

432
00:36:33,370 --> 00:36:38,610
مين الـ E prime أو بطريقة أخرى limit الـ E N prime

433
00:36:38,610 --> 00:36:43,440
حسب النظرية بتساوي الـ E prime ومن جهة أخرى limit en

434
00:36:43,440 --> 00:36:50,500
prime هو نفسه limit en نفسها و limit en اللي هي طبعا 

435
00:36:50,500 --> 00:36:53,280
أنا مسميها n و n نقص واحد احنا مسميينها n و n زاد

436
00:36:53,280 --> 00:36:57,740
واحد طبيعي en prime هي limit من limit en نقص واحد

437
00:36:57,740 --> 00:37:02,620
لحالها لأن هذه بتساوي هذه و هذه أصلاً limit احنا

438
00:37:02,620 --> 00:37:07,140
أثبتنا إيش بتساوي الـ E إذا صارت عند الـ E prime هي

439
00:37:07,140 --> 00:37:10,720
إيش بتساوي الـ E يعني هذه الـ E prime استنتاجا من

440
00:37:10,720 --> 00:37:16,260
النظرية و هذه اللي هو من اللي أثبتنا في البداية و

441
00:37:16,260 --> 00:37:19,800
أيضاً نقدر نستخدم .. لسه نتجه من النظرية لكن احنا

442
00:37:19,800 --> 00:37:25,540
أثبتنا فيها قبل ما نستعمل المظلة طيب هذا الكلام

443
00:37:25,540 --> 00:37:30,680
صحيح وين لكل x وين موجودة في ناقص a و a لكن a احنا 

444
00:37:30,680 --> 00:37:35,600
أخدناها إجمالها arbitrary يعني الآن بيصير عندي

445
00:37:35,600 --> 00:37:40,740
اللي هو لكل x بلقي لواحدة زي هيك بتحقق الكلام هذا

446
00:37:40,740 --> 00:37:44,560
الآن فبيصير عندي a prime of x بساوي e of x لكل x

447
00:37:44,560 --> 00:37:50,720
element in R وهيك بيكون احنا أثبتنا وجود اللي هو 

448
00:37:50,720 --> 00:37:58,390
الـ E of X أثبتنا وجود دالة أثبتنا 

449
00:37:58,390 --> 00:38:06,100
وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة بتحقق شرطين اللي 

450
00:38:06,100 --> 00:38:11,900
هو E prime of X بساوي E of X وبتحقق الشرط الثاني E

451
00:38:11,900 --> 00:38:20,680
of 0 بساوي 1 السؤال الآن هل في غيرها؟ هل في غيرها

452
00:38:20,680 --> 00:38:25,860
ولا لأ؟ طبعاً لحظة الحظ أنه لا يوجد دالة غير هذه

453
00:38:25,860 --> 00:38:31,140
الدالة اللي بتحقق هذا الكلام بس قبل ما نثبت الـ

454
00:38:31,140 --> 00:38:35,740
uniqueness خلّينا ناخد بعض النتائج بشكل سريع و

455
00:38:35,740 --> 00:38:39,900
نتائج سهلة واللي هي إن شاء الله ما تاخدش وقتها

456
00:38:39,900 --> 00:38:43,040
شوفوا يا جماعة صلوا على النبي عليه الصلاة والسلام

457
00:38:43,040 --> 00:38:48,080
الـ function E has a derivative of every order and

458
00:38:48,080 --> 00:38:51,260
E N of X بيساوي E of X for all N element in N و X 

459
00:38:51,260 --> 00:38:54,480
element in R يعني الآن لو فضلناها كمان مرة و مرتين

460
00:38:54,480 --> 00:38:56,980
و تلاتة و أربعة هتطلع إيش نفس الدالة طبعا هذا

461
00:38:56,980 --> 00:39:00,360
الكلام سهل و by induction زي ما أنتم عارفين أول 

462
00:39:00,360 --> 00:39:03,120
حاجة ما أثبتناها فور n بالساوية 1 فور n بالساوية

463
00:39:03,120 --> 00:39:06,480
واحد ما احنا أثبتنا E prime of X إيش بالساوية E of X

464
00:39:06,480 --> 00:39:11,070
إذا هذه is true فور n بالساوية 1 طيب لان افترض 

465
00:39:11,070 --> 00:39:15,510
أنها هذه صحيحة في n بيساوي K بيصير E K of X 

466
00:39:15,510 --> 00:39:20,010
بيساوي E of X لما ان اتبتها ل K زائد واحد طيب ل K 

467
00:39:20,010 --> 00:39:23,870
زائد واحد خد A K زائد واحد of X إيش هذه؟ هذه اللي

468
00:39:23,870 --> 00:39:30,840
هي A K of X الكل اشمالها إبراهيم الآن a k of x

469
00:39:30,840 --> 00:39:33,540
فرضناها إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه

470
00:39:33,540 --> 00:39:33,940
بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية

471
00:39:33,940 --> 00:39:34,880
إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه

472
00:39:34,880 --> 00:39:35,180
إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه

473
00:39:35,180 --> 00:39:37,200
بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية

474
00:39:37,200 --> 00:39:43,180
إيه بالساوية إيه بالساوية إيه بالساوية إيه

475
00:39:43,180 --> 00:39:54,500
بالساوية إيه بالساوية إيه بالسا

476
00:39:55,640 --> 00:40:01,620
وضلك فاضل إلى ما لا نهاية حيظل تطلع نفس الدالة نجي

477
00:40:01,620 --> 00:40:07,340
الآن لـ Corollary أو الخاصية اللي بعدها لهذه

478
00:40:07,340 --> 00:40:15,040
الدالة هذه الدالة Fx أكبر من 0 بقول لك دائماً حيكون

479
00:40:15,040 --> 00:40:21,280
الواحد زائد X strictly أصغر من مين من E of X من E

480
00:40:21,280 --> 00:40:32,910
of X إن إن عندي اللي هي أربعة أربعة عشان تشوف إيش

481
00:40:32,910 --> 00:40:40,550
أربعة الأربعة اللي هي الـ E prime of X أظن هيك كنا

482
00:40:40,550 --> 00:40:51,590
حاكين الـ E الناس في الـ E of X عندي

483
00:40:51,590 --> 00:40:53,390
E

484
00:40:55,380 --> 00:41:03,750
أنا of X أقبى أو أصغر strictly من E N زائد واحد of 

485
00:41:03,750 --> 00:41:09,850
X لكل X أكبر من مين من صفر ليه؟ لأن هذه هيزيد

486
00:41:09,850 --> 00:41:12,630
عليها term اللي هو X أسوان زائد واحد على N زائد

487
00:41:12,630 --> 00:41:15,630
واحد فكتوريا وهذا ال term الاكساتي اللي أكبر من

488
00:41:15,630 --> 00:41:19,810
صفر أشماله اللي هو مودة إذا صارت الـ sequence اللي

489
00:41:19,810 --> 00:41:25,010
عندي يا جماعة هذه عبارة عن strictly increasing

490
00:41:25,680 --> 00:41:29,120
sequence strictly increasing sequence بناءً عليه

491
00:41:29,120 --> 00:41:36,240
هيكون عند E1 of X أصغر strictly من E2 of X وهذا

492
00:41:36,240 --> 00:41:42,020
أصغر strictly من E N of X لكل N أكبر أو يساوي

493
00:41:42,020 --> 00:41:51,440
تلاتة والـ X أشمالها أكبر من سفر ماشي الحال طيب E1

494
00:41:51,440 --> 00:42:02,170
of X مين هي؟ واحد زاد X وهذا أصغر من E2 of X وهذا

495
00:42:02,170 --> 00:42:08,170
أصغر من E N of X إذا ناخد الـ limit لكل الجهات as N 

496
00:42:08,170 --> 00:42:10,670
goes to infinity وهذا independent of N وهذا 

497
00:42:10,670 --> 00:42:15,590
independent of N إذا سيصبح أصغر أو يساوي limit E N

498
00:42:15,590 --> 00:42:20,430
of X as N goes to infinity و limit E n of X as n 

499
00:42:20,430 --> 00:42:25,350
goes to infinity هو عبارة عن مين قلنا عنه E of X

500
00:42:25,350 --> 00:42:31,350
إذا صارت 1 زائد X strictly أصغر من E of X أو E of 

501
00:42:31,350 --> 00:42:39,850
X أكبر strictly من 1 زائد X طيب نيجي اللي هو نثبت

502
00:42:39,850 --> 00:42:45,310
الـ uniqueness للدالة اللي أثبتنا وجودها الآن إذا

503
00:42:45,310 --> 00:42:51,290
أثبتنا وجود دالة سميناها E of X هذه الدالة تحقق 

504
00:42:51,290 --> 00:43:01,390
الشرطين اللي قلناهن اللي هو E of E primeof X بساوي

505
00:43:01,390 --> 00:43:07,430
E of X لكل X element in R الشرط الأول والشرط

506
00:43:07,430 --> 00:43:14,350
الثاني اللي هو E of Zero بتساوي إيش واحد الآن هذه

507
00:43:14,350 --> 00:43:17,390
الشرط ده اللي أكبرنا وجودها لنتبت إنها إيش وحيدة

508
00:43:17,700 --> 00:43:22,860
الآن الـ function E من R لـ R that satisfies I and 

509
00:43:22,860 --> 00:43:29,200
I I هكذا of theorem 8.3.1 is unique إذا ما لها هذه 

510
00:43:29,200 --> 00:43:32,940
الدالة وحيدة ونشوف كيف نثبت وحيدة طبعا أنتم 

511
00:43:32,940 --> 00:43:36,140
عارفين الـ .. الاستراتيجية تثبت إنها وحيدة ونفترض

512
00:43:36,140 --> 00:43:39,340
إن في دالتين وفي الآخر يا بنسأل لتناقض أو بنسأل

513
00:43:39,340 --> 00:43:43,260
لإن الدالتين أشمالهم متساويتين خلينا نشوف

514
00:43:47,010 --> 00:43:52,110
لأن let E1 and E2 be two functions on R ماشي الحال 

515
00:43:52,110 --> 00:43:59,470
E1 و E2 عبارة عن دالتين من R ل R تحقيقان البرو بارتز

516
00:43:59,470 --> 00:44:03,010
I and I I of T والمتمنى هو تلاتة واحد اللي كتبه إن

517
00:44:03,010 --> 00:44:08,700
أنا على الجنب هناك الآن وخلّينا نسمي E1 - E2 يتساوي 

518
00:44:08,700 --> 00:44:14,840
F رايحكم باتجاهة F يتساوي 0 إذا أثبتنا F يتساوي 0

519
00:44:14,840 --> 00:44:21,630
إذا سيصبح E1 يتساوي E2 يكون خلصنا طيب then فضلي هذه 

520
00:44:21,630 --> 00:44:24,510
.. فضلي هذه لأن هذا قبل التفاضل وهذا قبل التفاضل

521
00:44:24,510 --> 00:44:27,350
إذا F prime of X بيساوي E1 prime of X ناقص E2

522
00:44:27,350 --> 00:44:32,230
prime of X E1 prime of X إيش هتساوي اللي هو نفسها 

523
00:44:32,230 --> 00:44:35,730
لأن مفترضين احنا و E2 prime of X برضه هتساوي نفسها

524
00:44:35,730 --> 00:44:39,770
إذا E1 ناقص E2 يعني مين بيساوي F يعني صارت F prime

525
00:44:39,770 --> 00:44:44,610
تبعتنا مين هي بيساوي F of X لكل X element المين 

526
00:44:44,610 --> 00:44:50,090
إنا احسب اللي دي إيش يا جماعة احسب لولي F في صفر أف

527
00:44:50,090 --> 00:44:53,350
اف صفر بيساوي ا واحد اف صفر ناقص اتنين اف صفر ا

528
00:44:53,350 --> 00:44:56,710
واحد اف صفر واحد و اتنين اف صفر برضه إيش بتساوي

529
00:44:56,710 --> 00:44:59,510
واحد لأن مفترضين ا واحد و اتنين بتحقق اللي هي

530
00:44:59,510 --> 00:45:02,970
الشرط الامامنا إذا بيساوي واحد ناقص واحد و أي ساوي 

531
00:45:02,970 --> 00:45:04,350
إيش صفر

532
00:45:07,320 --> 00:45:13,380
by induction f double prime هتساوي f نفسها f

533
00:45:13,380 --> 00:45:18,060
triple بتساوي f نفسها fn of x بيساوي f of x وعملت

534
00:45:18,060 --> 00:45:21,920
قبل بشوية واحدة زيها إذا by induction fn of x

535
00:45:21,920 --> 00:45:28,280
بيساوي f of x لكل x element in R إذا حققت الآن f

536
00:45:28,280 --> 00:45:34,500
of 0 بيساوي 0 و fn of x بيساوي مين؟ f of x شوف 

537
00:45:34,500 --> 00:45:42,870
الآن إذا صار عندي F of Zero بساوي Zero أو F 

538
00:46:10,090 --> 00:46:17,830
بساوة 0 طب إيش علاقتنا أبوها الجيت بتشوف عشان بدنا

539
00:46:17,830 --> 00:46:20,690
نطبق اللي هو taylor's theorem تبعت ال derivative

540
00:46:20,690 --> 00:46:25,930
نص اللي اللي بدنا يعني برهان حلو let x element in

541
00:46:25,930 --> 00:46:29,550
R be arbitrary أخدنا إذا x element in R arbitrary

542
00:46:29,550 --> 00:46:33,810
x اللي يعني let I x be the closed interval with

543
00:46:33,810 --> 00:46:40,760
end point 0 x يعني I x هناخدها بتساوي 0 و X أو اللي

544
00:46:40,760 --> 00:46:47,080
هي X و 0 على .. على اللي هو اللي هي حسب X اللي هي

545
00:46:47,080 --> 00:46:51,980
سالبة أو موجبة إذا أخدنا ال I X عبارة عن اللي هي ال

546
00:46:51,980 --> 00:46:56,600
closed interval اللي within point 0 X الآن F is

547
00:46:56,600 --> 00:47:01,020
continuous on I X على الـ closed interval مدام 

548
00:47:01,020 --> 00:47:03,320
continuous على closed interval and function that 

549
00:47:03,320 --> 00:47:06,460
is continuous على closed interval then it is

550
00:47:06,460 --> 00:47:09,200
bounded on this interval يعني بمعنى آخر there

551
00:47:09,200 --> 00:47:12,880
exist k بحيث أن absolute value of f of t أصغر أو 

552
00:47:12,880 --> 00:47:17,960
يساوي k for all t element in I X يعني f is bounded

553
00:47:17,960 --> 00:47:23,580
on this interval الآن بدنا نطبق if we apply

554
00:47:23,580 --> 00:47:27,540
taylor's theorem 6 4 1 to F بدنا نطبقها على

555
00:47:27,540 --> 00:47:31,800
النقطتين النقطة الأولى اللي هي ال X X و X naught 0

556
00:47:31,800 --> 00:47:35,640
يعني بنطبقها على مين اللي هي X X اللي هي طبعاً

557
00:47:35,640 --> 00:47:41,370
أنتم متذكرين F of X أف of X تيلر سيوريم there

558
00:47:41,370 --> 00:47:46,370
exists C in اللي هي ال interval مثلاً X not و X

559
00:47:46,370 --> 00:47:52,690
such that F of X بيساوي اللي هو F of X not زائد F 

560
00:47:52,690 --> 00:47:58,490
prime of X not على واحد factorial في X minus X not 

561
00:47:58,490 --> 00:48:05,910
زائد زائد Fn of x0 على n factorial في x minus x0

562
00:48:05,910 --> 00:48:11,610
الكلوس n زائد ال remainder اللي هو fn زائد واحد of

563
00:48:11,610 --> 00:48:15,730
اللي هي ال c اللي لاجيناها there exists c اللي هي

564
00:48:15,730 --> 00:48:19,170
of c طبعا ال c هنا هتعتمد على ال n اللي احنا

565
00:48:19,170 --> 00:48:24,850
اختارناها واشتغلنا عليها هو مسميها cn على اللي هو

566
00:48:24,850 --> 00:48:28,670
n زائد واحد factorial في x

567
00:48:33,180 --> 00:48:37,920
الـ N هو

568
00:48:37,920 --> 00:48:42,580
ما أخذها لعند مين بدل ما هو remainder N زائد واحد

569
00:48:42,580 --> 00:48:45,880
نسميه remainder N نفس الشيء ما في مشكلة احنا

570
00:48:45,880 --> 00:48:51,880
كملناها يعني بدل ما اشتغل على N زي ما اشتغل على N

571
00:48:51,880 --> 00:48:54,460
زائد واحد اشتغل على ال N هو أما هي ال Taylor's

572
00:48:54,460 --> 00:48:59,460
theorem طيب المهم انتبهوا عن ديلنبن Taylor's

573
00:48:59,460 --> 00:49:03,580
theorem على ال interval Ix اللي X0 بيساوي 0

574
00:49:03,580 --> 00:49:08,040
وخلينا نستخدم Fk of 0 اللي كتبتها هناك اللي هو

575
00:49:08,040 --> 00:49:12,020
هتساوي Fk of 0 هتساوي 0 دائماً اللي هو و لكل k

576
00:49:12,020 --> 00:49:15,740
element n it follows that for each n unlimited on

577
00:49:15,740 --> 00:49:20,000
there exist a point cn unlimited on x هذه اللي هي

578
00:49:20,000 --> 00:49:23,920
ال cn بتعتمد على مين على n يعني الأن لو أخدت ببدل

579
00:49:23,920 --> 00:49:28,860
اللي هنا على اللي هي on بتساوي مثلاً اتنين أخد on

580
00:49:28,860 --> 00:49:31,660
بتساوي ثلاثة أخد بتساوي on بتساوي أربعة ده هتختلف

581
00:49:31,660 --> 00:49:35,740
من ال cn اللي بنلاقيها such that f of x بيساوي f

582
00:49:35,740 --> 00:49:39,420
of zero زائد f prime of zero على واحد factorial في

583
00:49:39,420 --> 00:49:44,390
x طبعاً ناقص صفر X هتظلها زائد FN ناقص واحد لأن ناقص

584
00:49:44,390 --> 00:49:47,630
واحد factorial في X minus X note اللي هي صفر طبعاً

585
00:49:47,630 --> 00:49:52,830
هتصير X ناقص واحد زائد FN of CN على N factorial X

586
00:49:52,830 --> 00:49:56,530
اثنين يعني هنا نأخذ ال remainder اللي هو RN مش RN

587
00:49:56,530 --> 00:50:01,410
زائد واحد زي ما نعمله طبعاً ما تفرجش بتزيده وبتشتغل

588
00:50:01,410 --> 00:50:04,910
عليه نفس الشيء الآن بس ال cn اللي بتختلف من n زائد

589
00:50:04,910 --> 00:50:07,650
واحد بصير cn زائد واحد مثلاً لأنه حاجة ثانية ممكن

590
00:50:07,650 --> 00:50:11,290
تيجي غير ال cn اللي لاجيناها حسب النظرية ويساوي

591
00:50:11,290 --> 00:50:16,350
لأن كل هدول التاريج زي شمال هي الصفار لإنه fk of

592
00:50:16,350 --> 00:50:21,290
00 إذا هذا صفر وهذا صفر طبعا هذا عند مين محسب عند

593
00:50:21,290 --> 00:50:25,800
الصفر وهذا عند الصفر إلى آخره إذا كل هذول هيكون

594
00:50:25,800 --> 00:50:30,700
الصفار هيظل عندي بس القيمة هذه ايش القيمة هذه اللي

595
00:50:30,700 --> 00:50:35,320
هي fn of cn طبيعي هتكون f of min of cn لأنه احنا

596
00:50:35,320 --> 00:50:41,070
عرفنا أنه ال derivative f prime أف دابل برايم أف 

597
00:50:41,070 --> 00:50:45,710
تريبل كل نياش بيساوي الأف إذا حيكون أف of CN على N

598
00:50:45,710 --> 00:50:50,710
فيكتوريال في X أس N إذا وصلنا له الآن أنه بعد ما

599
00:50:50,710 --> 00:50:57,170
طبقنا Taylor's theorem طلع عندي الآن F of X هذه

600
00:50:57,170 --> 00:51:04,710
اللي بنصبه إلى أن نثبتها بتساوي صفر طلعت عندي F of

601
00:51:04,710 --> 00:51:10,230
X بيساوي F of CN على N فيكتوريال في X أس N الآن خذ

602
00:51:10,230 --> 00:51:14,510
لل absolute value لها absolute value لل F of X

603
00:51:14,510 --> 00:51:20,090
هيصير أصغر أو يساوي ال absolute value أو بيساوي

604
00:51:20,090 --> 00:51:26,870
بالضبط absolute value F of C N فال absolute value

605
00:51:27,400 --> 00:51:33,440
للـ X أس N على N فكتوريال، مظبوط؟ لكن F of C N

606
00:51:33,440 --> 00:51:37,200
هذه is .. الـ F is bounded على الفترة اللي لجيناها

607
00:51:37,200 --> 00:51:40,180
اللي هي الفترة اليمين اللي قلت عنها اللي هي الـ I

608
00:51:40,180 --> 00:51:44,380
X مدان bounded قلنا هذه أصغر أو يساوي الـ K إذا

609
00:51:44,380 --> 00:51:47,380
هذه بيصير أصغر أو يساوي الـ K في ال absolute value

610
00:51:47,380 --> 00:51:52,750
X أس N على N فكتوريال نيجي الآن هذه as n goes to

611
00:51:52,750 --> 00:51:56,770
infinity هذه independent of n هذه أكبره يساوي صفر

612
00:51:56,770 --> 00:51:59,430
و أصغره يساوي هذه as n goes to infinity هذه بتروح

613
00:51:59,430 --> 00:52:05,590
للصفر إذا هذه بتروح شمالها بدها تصير f of x تساوي

614
00:52:05,590 --> 00:52:11,230
الصفر ومنه ال E1 بتساوي ال E2 لأن f بتساوي E1 ناقص

615
00:52:11,230 --> 00:52:17,350
E إثنين وهو المطلوب وهذا الكلام صحيح لكل X element

616
00:52:17,350 --> 00:52:25,050
in R لأن X اللي أخذناها arbitrary element in R هيك

617
00:52:25,050 --> 00:52:31,990
بنكون أثبتنا وجود ال E واحد ال E التي تحقق الشرطين

618
00:52:31,990 --> 00:52:38,590
اللي عندنا وفي نفس الوقت أثبتنا أن هذه الدالة اللي

619
00:52:38,590 --> 00:52:46,680
بتحقق الشرطين هي دالة وحيدة مدام الدالة واحدة إذن

620
00:52:46,680 --> 00:52:53,280
الآن يعني شرّعنا إنه نعطيها اسم إنه نقدر نعرف

621
00:52:53,280 --> 00:52:59,200
الدالة اللي بتحقق هذول الشرطين إنها اسمها كذا the

622
00:52:59,200 --> 00:53:02,660
unique definition ثمانية ثلاثة خمسة the unique

623
00:53:02,660 --> 00:53:06,140
function E من R لR such that E prime of X بساوي E

624
00:53:06,140 --> 00:53:10,120
of X for all X elements in R وتحقق ال E زيرو

625
00:53:10,120 --> 00:53:15,190
بساوي واحد موجودة ووحيدة إذا بحق اللي أقول is

626
00:53:15,190 --> 00:53:18,450
called the exponential function وهي الـ

627
00:53:18,450 --> 00:53:22,350
exponential اللي أنتو مبسوطين عليها وبتستخدموها

628
00:53:22,350 --> 00:53:27,530
أثبتنا الآن من خلال اللي هو اللي هي الترتيب اللي

629
00:53:27,530 --> 00:53:31,690
رتبناه في المادة differentiability integrability و

630
00:53:31,690 --> 00:53:36,350
بعدين اللي هو sequences of functions وصلنا إلى

631
00:53:36,350 --> 00:53:41,190
اللي هو ال exponential هذه function exists التي

632
00:53:41,190 --> 00:53:43,850
سميناها الـ Exponential Function

633
00:53:48,710 --> 00:53:53,850
بدنا نسمي الـ E of واحد قيمة الدالة القيمة الدالة

634
00:53:53,850 --> 00:53:58,650
الـ E هذه عند الواحد بدنا نسميها E E و هذا اللي

635
00:53:58,650 --> 00:54:04,410
بنسميه Ehlers number و احنا يعني بعد هيك هيصير

636
00:54:04,410 --> 00:54:09,410
عندي اللي هو الرمز E of X إن هو ال exponential X

637
00:54:09,410 --> 00:54:15,710
أو أسهلنا في الاستخدام ال E of X ايش هتساوي الـ E X

638
00:54:15,710 --> 00:54:21,530
هذا الـ E واحد قيمة الدالة عند مين عند اللي هو

639
00:54:21,530 --> 00:54:26,750
الرقم واحد سمناها E ماشي الحالة الآن E of X

640
00:54:26,750 --> 00:54:32,610
بساوي E to the X هذه عبارة عن اللي هي الدالة E

641
00:54:32,610 --> 00:54:37,550
of X بساوي X notation لها لكن بعد شوية هنلاقي ال

642
00:54:37,550 --> 00:54:42,310
notation consistent of اللي هو مع مين مع اللي هو

643
00:54:42,310 --> 00:54:47,480
ال exponent يعني هيصير الـ E to the exponent X هو

644
00:54:47,480 --> 00:54:51,960
عبارة عن بالضبط اللي هو قيمة الـ E of X لأن الـ E

645
00:54:51,960 --> 00:54:54,620
of X بيساوي E to the X و ال E of واحد بيساوي E

646
00:54:54,620 --> 00:54:59,440
واحد بيصير عندي E لما أرفعها للقوة X يطلع قيمتها

647
00:54:59,440 --> 00:55:05,840
هي عبارة عن اللي هي قيمة دل E of X حسب اللي احنا

648
00:55:05,840 --> 00:55:11,550
معرفينه هنا يعني من الإحسابات ومن تعريفنا للدالة

649
00:55:11,550 --> 00:55:23,070
هيكون فيه consistent it is consistent في الحالتين

650
00:55:23,070 --> 00:55:28,990
طيب نيجي الآن لما الكلام هذا ال number E can be

651
00:55:28,990 --> 00:55:32,570
obtained as a limit and thereby approximated in

652
00:55:32,570 --> 00:55:36,410
several different ways طبعا احنا مادام عنده اللي

653
00:55:36,410 --> 00:55:42,990
هو عبارة عن limit لل E N of X اللي هي بتطلع عندي

654
00:55:42,990 --> 00:55:47,450
limit عند ال .. ال .. ال .. ال end of واحد لأنها

655
00:55:47,450 --> 00:55:52,130
continuous بصير عندي مدام limit إذا بصير أقدر أقرب

656
00:55:52,130 --> 00:55:56,490
هذه القيمة اللي هي و نحصل على قيمة تقريبية بال E و

657
00:55:56,490 --> 00:56:00,010
هذا مش شغلنا شغل تبعين اللي هو numerical analysis

658
00:56:00,010 --> 00:56:05,530
أو الناس اللي بدأت .. اللي هي تشتغل في التقريب أو

659
00:56:05,530 --> 00:56:09,270
مش شغل نهاني يعني بصدي إلى أن الـ use of notation E

660
00:56:09,270 --> 00:56:15,050
و X of E X زي ما قلنا كله تمام تمام consistent إلى

661
00:56:15,050 --> 00:56:19,910
أن يجي اللي هو لبعض الخواص الأخرى لهذه اللي هي

662
00:56:19,910 --> 00:56:24,130
الدالة إلى أن الـ exponential function satisfies

663
00:56:24,130 --> 00:56:26,150
the following properties

664
00:56:32,620 --> 00:56:35,960
أول حاجة أن الـ E of X لا تساوي صفر لكل X element

665
00:56:35,960 --> 00:56:40,140
in R هي أول حاجة أن هذه الدالة دائماً لا تساوي صفر

666
00:56:40,140 --> 00:56:45,980
طبعا شغالة على R E of X زي Y بساوي E of X في E of Y

667
00:56:45,980 --> 00:56:50,880
for all X element .. Y element in R الآن E of R

668
00:56:50,880 --> 00:56:56,080
هنا اللي هي E of R قيمة الـ function هذه هتطلع لنا

669
00:56:56,080 --> 00:57:00,260
بالضبط هي عبارة عن الـ E اللي قلنا عنها الرقم اللي

670
00:57:00,260 --> 00:57:06,000
قبل و شوية لما نرفع للقوة R فبصير الآن consistency

671
00:57:06,000 --> 00:57:11,440
between the definition of the exponential and the

672
00:57:11,440 --> 00:57:15,700
exponent of E to the power R بس هذي الـ R ايش اللي

673
00:57:15,700 --> 00:57:21,880
من الين؟ NQ لأن ماشي الحالة ده نشوف نبرهن اللي هو

674
00:57:21,880 --> 00:57:27,390
الأولى by contradiction بدي أفترض إنه في عندي E of

675
00:57:27,390 --> 00:57:31,930
α for some α element in R والـ E of α ايش تساوي

676
00:57:31,930 --> 00:57:35,870
تساوي صفر ونوصل لcontradiction لان suppose that

677
00:57:35,870 --> 00:57:39,550
there exists α element in R such that E of α ايش

678
00:57:39,550 --> 00:57:44,750
بساوي بساوي صفر الآن and let G α be the closed

679
00:57:44,750 --> 00:57:49,710
interval with endpoints mean α و 0 يعني الـ G of α

680
00:57:49,710 --> 00:57:54,230
زي اللي فوق يا بساوي اللي هو 0 ألفة أو ألف و زيرو

681
00:57:54,230 --> 00:57:59,440
حسب قيمة الألف موجبة أو سالبة طيب الآن زي ما قلت

682
00:57:59,440 --> 00:58:02,480
قبل بشوية بما أن E is continuous on a closed

683
00:58:02,480 --> 00:58:07,700
interval Iα او Jα اللي هو مسميها then there exist

684
00:58:07,700 --> 00:58:10,280
case such that اللي هو ال absolute value E of D

685
00:58:10,280 --> 00:58:16,030
صفر بساوي K لكل T element in G الآن مشابه للي قبل دي

686
00:58:16,030 --> 00:58:19,930
ربالكم الآن بدنا نستخدم mean taylor theorem اللي

687
00:58:19,930 --> 00:58:24,890
هو على اللي هي ال function اللي عندي هذه اللي هو

688
00:58:24,890 --> 00:58:29,310
بس في مين الآن في ال end points ألف ومين ألف وصفر

689
00:58:29,310 --> 00:58:32,610
إذا there exist cn element in dn such that مسرع

690
00:58:32,610 --> 00:58:35,950
لأنه قاعد بعيد نفس البرهان اللي قبله شوية such

691
00:58:35,950 --> 00:58:42,200
that اللي هو E of صفربطبق عند e of 0 بساوي e of

692
00:58:42,200 --> 00:58:44,340
alpha زائد e prime of alpha على واحد factorial في

693
00:58:44,340 --> 00:58:47,280
ناقص alpha اللي هي zero ناقص alpha زائد e n ناقص

694
00:58:47,280 --> 00:58:50,780
واحد على ناقص واحد factorial alpha ناقص alpha أس

695
00:58:50,780 --> 00:58:54,160
n ناقص واحد لما أصل لعند ال remainder e n of alpha

696
00:58:54,160 --> 00:59:00,060
على n factorial في ناقص alpha أس n الآن أخذ هذه

697
00:59:00,060 --> 00:59:05,770
مش e alpha هذه الـCn هذه الـ C أنا مخربط بصراحة الله

698
00:59:05,770 --> 00:59:11,430
ماشي الحالة الآن E of Zero طبيعي ايش يساوي واحد

699
00:59:11,430 --> 00:59:14,510
ما احنا عارفين إن خلاص عرضناها الدالة هذه E of Zero

700
00:59:14,510 --> 00:59:17,630
بتساوي واحد تساوي واحد يساوي E of Zero ويساوي

701
00:59:20,060 --> 00:59:23,400
الآن E of Alpha فرضناها إيش بالساوية صفر هيك

702
00:59:23,400 --> 00:59:28,280
مفترضينها E prime of Alpha اللي هي نفس E of Alpha

703
00:59:28,280 --> 00:59:32,880
إذا صفر برضه وهذا نفس الشيء إذا كلنا دول صفر مع

704
00:59:32,880 --> 00:59:36,100
الحدين الأخيرة إذا هتساوي E of Cn على N factorial

705
00:59:36,100 --> 00:59:42,340
ناقص Alpha أس N وزي ما قلنا إنه احنا الآن هذا

706
00:59:42,340 --> 00:59:48,390
المقدار عندي صار .. نوضح لكم هذه نشوف كيف نصل لـ

707
00:59:48,390 --> 00:59:53,770
contradiction هالحد صار عند مايا ليه يا جماعة

708
00:59:53,770 --> 00:59:57,190
صارت عند الواحد هذه اللي بيساوي E to the zero

709
00:59:57,190 --> 01:00:03,630
بيساوي E to the zero اللي هي أصغر أو يساوي ال

710
01:00:03,630 --> 01:00:07,510
absolute value لهذه بيساويها بعد إنه أصغر أو يساوي

711
01:00:07,510 --> 01:00:14,420
بيساوي ال absolute value E of CL على N factorial في

712
01:00:14,420 --> 01:00:22,320
absolute value ناقص Alpha أُس N وهذه زي ما قلنا E

713
01:00:22,320 --> 01:00:25,880
of C N إيش ما اللي قلنا قبل بشوية هذه أصغر أو يساوي و

714
01:00:25,880 --> 01:00:32,960
ساوي K إذا K على N factorial في ناقص Alpha أُس N

715
01:00:32,960 --> 01:00:38,710
ماشي الآن هذا المقدار as n goes to infinity بيروح

716
01:00:38,710 --> 01:00:42,910
لـ0 هذا independent of n وهذا independent of n

717
01:00:42,910 --> 01:00:48,650
صار عندي الآن هذا الآن هي الواحد أصغر أو يساوي

718
01:00:48,650 --> 01:00:53,390
اللي هو هذا المقدار خد ال limit as n goes to

719
01:00:53,390 --> 01:00:57,430
infinity بيصير الواحد أصغر أو يساوي صفر وهذا إيش

720
01:00:57,430 --> 01:01:03,250
ماله contradiction إذا صار في عندي الفرضية الأولى

721
01:01:03,250 --> 01:01:07,770
خاطئة إذا there is no such Alpha اللي هو بتكون

722
01:01:07,770 --> 01:01:10,530
عندها ال K of Alpha بتساوي صفر إذا ال K of Alpha

723
01:01:10,530 --> 01:01:16,090
بتساوي أكبر لا تساوي صفر دائما إذا صار عندي اللي

724
01:01:16,090 --> 01:01:22,150
هو قيمة اللي هي E to the X لا تساوي صفر أبدا نيجي

725
01:01:22,150 --> 01:01:29,110
الآن إن بدنا نثبت أنه نثبت الخاصية اللي بعدها اللي

726
01:01:29,110 --> 01:01:38,430
هي عبارة عن E of X زائد Y بساوي E of X في E of Y

727
01:01:38,430 --> 01:01:42,670
لكل X و Y element in R هذه الخاصية اللي بدنا

728
01:01:42,670 --> 01:01:48,410
نثبتها شوف طريقته حلوة في الإثبات بيقول ليه نفترض

729
01:01:48,410 --> 01:01:53,030
Y fixed arbitrary لكن ليهاش fixed بنحكي عن Y محددة

730
01:01:53,030 --> 01:01:59,760
arbitrary لكن نحكي عن Y محددة الآن مادام Y اللي هي

731
01:01:59,760 --> 01:02:05,240
ال E of Y أكيد يشملها لا تساوي صفر اتفقنا عليها

732
01:02:05,240 --> 01:02:11,520
الآن عرف لي الآن function G من R لR عرفها كيف؟ G of

733
01:02:11,520 --> 01:02:15,720
X المتغير X الآن Y اللي هي عبارة عن شيء Fix ثابت

734
01:02:15,720 --> 01:02:19,080
بنحكي عنه لكن كان arbitrary اللي هي G of X بيساوي E

735
01:02:19,080 --> 01:02:24,420
of X زائد Y على E of Y for X element in R أخذنا

736
01:02:24,420 --> 01:02:30,060
هذه الدالة الآن شوف هذه الدالة اعمل G prime لها G

737
01:02:30,060 --> 01:02:33,920
prime of X بالفضل بالنسبة لي XY ثابتة اللي هي بيصير

738
01:02:33,920 --> 01:02:38,280
هذه E prime of X زائد Y على E of Y عدد ما لاش 

739
01:02:38,280 --> 01:02:43,080
علاقة فيه Y ساوي الـ E' هي نفس مين؟ الـ E of X زي Y

740
01:02:43,080 --> 01:02:48,720
على E of Y ماشي؟ طيب، الآن صار هذا الـ E X زي Y

741
01:02:48,720 --> 01:02:53,280
على E of Y هو مين؟ رجع G إذا رجعت إن الـ G' مش

742
01:02:53,280 --> 01:03:01,770
بيساوي الـ G الآن and احسب لي g of 0 بساوي e of 0

743
01:03:01,770 --> 01:03:06,070
زائد y على e of y يعني بساوي واحد إذا الدالة

744
01:03:06,070 --> 01:03:11,050
اللي عرفناها هذه g of x طلعت لي g prime لها نفسها

745
01:03:11,050 --> 01:03:15,310
وطلعت لي g of 0 واحد وعلمنا قبل قليل عمال بيقول

746
01:03:15,310 --> 01:03:18,610
ما فيش غير واحد في الدنيا بتهبها الخاصيتين اللي

747
01:03:18,610 --> 01:03:23,190
هي مين ال E of X إذا هذه غصب عننا لازم تطلع مين ال

748
01:03:23,190 --> 01:03:27,080
E of X because of the uniqueness of E إذا صحيح أنا

749
01:03:27,080 --> 01:03:31,000
عندي E of X بساوي E X زائد Y على E of Y يعني E X زائد

750
01:03:31,000 --> 01:03:37,940
Y بساوي E of Y في ال E of X وهو المطلوب طيب نيجي

751
01:03:37,940 --> 01:03:46,800
الآن نثبت اللي بعدها اللي هي بدنا نثبت E of R

752
01:03:46,800 --> 01:03:54,870
بساوي E to the R R المنتنين LQ اللي هو rational

753
01:03:54,870 --> 01:04:00,870
number طيب جماعة فيكم تصلوا على النبي عليه الصلاة

754
01:04:00,870 --> 01:04:09,370
والسلام لنشوف كيف نيجي

755
01:04:09,370 --> 01:04:14,690
للبرهان اللي هو الجزء الثالث أو هذا جزء من النظرية

756
01:04:14,690 --> 01:04:18,830
أول

757
01:04:18,830 --> 01:04:24,560
حاجة هذه صحيحة لكل أنهي المتناوبة كيف؟ by induction

758
01:04:24,560 --> 01:04:53,330
E of X بساوي E of X أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد

759
01:04:53,330 --> 01:04:56,270
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد

760
01:04:56,270 --> 01:04:56,330
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد

761
01:04:56,330 --> 01:04:57,110
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد

762
01:04:57,110 --> 01:05:00,170
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد

763
01:05:00,170 --> 01:05:02,740
أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكيد أكE

764
01:05:02,740 --> 01:05:08,660
of K في X زائد X ويساوي من الخاصية اللي احنا لسه

765
01:05:08,660 --> 01:05:12,880
ما خلصناهاش هذه بساوي E للأول زائد في E للتاني اللي

766
01:05:12,880 --> 01:05:17,960
هي E للأول اللي هو KX في E للتاني اللي هي EX

767
01:05:17,960 --> 01:05:22,780
ويساوي EKX اللي هو E of X أُس K لأنه فرضنا أنا

768
01:05:22,780 --> 01:05:31,260
صحيحة اللي هي K بيصير عندي E of X أُس K في E of X و

769
01:05:31,260 --> 01:05:39,800
يساوي E of X الكل أُس K زائد واحد إذا صارت

770
01:05:39,800 --> 01:05:49,580
هذه is true for all N element in N طيب .. الآن شوف

771
01:05:49,580 --> 01:05:53,920
ما يليه نلاحظ ما يليه

772
01:06:02,460 --> 01:06:06,080
Let x بتساوي إيش؟ واحد على N ناخذ الـ x إيش

773
01:06:06,080 --> 01:06:10,540
بتساوي واحد على N؟ بتصير هذا E of واحد لأن N في

774
01:06:10,540 --> 01:06:13,840
واحد على N واحد ال E of واحد رمزناها من رمز إيش

775
01:06:13,840 --> 01:06:17,940
يا جماعة؟ E وهذا اللي بدأ أصله هذا رمزناها من رمز

776
01:06:17,940 --> 01:06:22,420
E وال E عبارة عن رقم ال E of واحد هي قيمة الدالة

777
01:06:22,420 --> 01:06:28,100
اللي تبعتنا عند اللي هي الواحد سميناها E الآن E of N

778
01:06:28,100 --> 01:06:33,380
في 1 على N تساوي اللي هي عبارة عن ال X هذه اللي هي

779
01:06:33,380 --> 01:06:40,720
عبارة عن 1 على N E of 1 على N الكل اسمه أُس N يعني

780
01:06:40,720 --> 01:06:48,380
الآن عندي هذه ال X E N X بساوي E X أُس N X مين 1

781
01:06:48,380 --> 01:06:53,210
على N E of 1 على N أُس N إذا صار عندي الآن هي هذا

782
01:06:53,210 --> 01:06:59,010
القيمة بساوي هذا إذا بمعنى آخر E of واحدة الآن

783
01:06:59,010 --> 01:07:05,830
بساوي E العدد أس واحد على N هذا الآن E of واحدة

784
01:07:05,830 --> 01:07:14,050
الآن بساوي E أس واحد على N الآن من جهة أخرى لو

785
01:07:14,050 --> 01:07:23,700
جيت E أس minus M هتساوي واحد على E أُس M خد

786
01:07:23,700 --> 01:07:26,760
ال

787
01:07:26,760 --> 01:07:33,460
E of M ناقص M اللي هي بيساوي E of Zero اللي هي

788
01:07:33,460 --> 01:07:41,020
بيساوي واحد صح وإيه يساوي E of M في E of ناقص M حسب

789
01:07:41,020 --> 01:07:45,900
الخاصية اللي هي زائد ناقص M هذه X وهذه ال Y E

790
01:07:45,900 --> 01:07:49,760
الأولى في E التانية الآن صار عندي هذا المقدار

791
01:07:49,760 --> 01:07:57,600
بساوي واحد يعني إذا E of ناقص M بساوي بنقل هدهان

792
01:07:57,600 --> 01:08:03,260
واحد على E of M إذا صارت عندي E of ناقص M بساوي

793
01:08:03,260 --> 01:08:09,360
واحد على E of M وال E of M ال E of M من فوق E of M

794
01:08:09,360 --> 01:08:14,280
هذا X بواحد يعني بيساوي E of واحد أُس M يعني عبارة

795
01:08:14,280 --> 01:08:19,500
عن E أُس M وهي فوق إيش واحد الآن هذه اللي هو عدد

796
01:08:19,500 --> 01:08:23,800
عادي اللي هو E مرفوع للأُس M اللي هو نفسه E to the

797
01:08:23,800 --> 01:08:27,360
minus M لأن هذه معلومة قديمة لذا إنصار عندي الآن E

798
01:08:27,360 --> 01:08:34,820
of minus M بيساوي E أُس ناقص M وال E أُس واحد على

799
01:08:34,820 --> 01:08:43,460
N بيساوي E أُس واحد على N نيجي

800
01:08:43,460 --> 01:08:46,780
الآن احنا غايتنا مين؟ E of R الـ R إيش اللي نقدر

801
01:08:46,780 --> 01:08:50,640
نكتبها؟ الـ R في الـ Q إذا الـ R بتنكتب على صورة M

802
01:08:50,640 --> 01:08:54,780
على N إذا ناخذ R في اللي نمتني Q إذا there exists M

803
01:08:54,780 --> 01:08:58,820
و N أي واحدة في زد واحدة في N صحيح ده؟ R بتساوي M

804
01:08:58,820 --> 01:09:03,320
على N بتثبت لك إن E of M على N بساوي E to the M على

805
01:09:03,320 --> 01:09:12,580
N شوف كيف E of M على N إيش هيساوي E أُس واحد على N

806
01:09:12,580 --> 01:09:21,400
الكل أُس M أُس M E of واحد على N أُس M مين

807
01:09:21,400 --> 01:09:28,870
اللي شرع لي اللي هوعندي اللي هي E ناقص M وهي سالبة طلعت

808
01:09:28,870 --> 01:09:33,870
E أُس مينس M واللي شرع لي E وواحد على N و N مودبة

809
01:09:33,870 --> 01:09:41,130
هي E أُس واحد على N فبيصير عندي الآن E أُس M على N أُس

810
01:09:41,130 --> 01:09:45,970
M على N بساوي E أُس واحد على N هذه اللي جوا الكل

811
01:09:45,970 --> 01:09:53,650
أُس M الكل أُس M ماشي الحال هو يساوي E

812
01:09:58,010 --> 01:10:03,730
هذه شرع لي إي وواحد الآن الكل أُس M وهذا عدد عادي

813
01:10:03,730 --> 01:10:08,730
الآن وهذا عدد عادية بيصير إي أُس M عالميا على N و

814
01:10:08,730 --> 01:10:14,850
هذه بيكون عندي إي أُس إي او M على N بساوي اللي هو

815
01:10:14,850 --> 01:10:18,870
عبارة عن إي أُس M على N و M على N was our

816
01:10:18,870 --> 01:10:21,710
arbitral rational number إذا صار عندي إي أُس R

817
01:10:21,710 --> 01:10:24,210
بساوي إي أُس R

818
01:10:29,400 --> 01:10:35,160
نيجي الآن للنظرية اللي هي ثمانية ثلاثة سبعة اللي هي

819
01:10:35,160 --> 01:10:39,980
النظرية الأخيرة في اللي هي الحديث عن اللي هو ال

820
01:10:39,980 --> 01:10:45,260
exponential function وبعدها طبعا بنحكي عن اللي هو

821
01:10:45,260 --> 01:10:48,060
ال logarithmic function بس خلينا الآن نحكي عالميا

822
01:10:48,060 --> 01:10:54,340
نكمّل نظريتنا على ال exponential function بنشوف

823
01:10:55,540 --> 01:11:00,240
الآن بقول لي الـ exponential function E is strictly

824
01:11:00,240 --> 01:11:04,840
increasing on R يعني الـ derivative إلها أكبر من

825
01:11:04,840 --> 01:11:11,460
صفر ماشي؟ and this range اللي هو Y المتنرسج ده Y

826
01:11:11,460 --> 01:11:16,720
أكبر من صفر يعني الـ E هتكون بالضبط ده اللي من R

827
01:11:16,720 --> 01:11:24,080
بتصب إلى R positive إلى R positive يعني عبارة عن

828
01:11:24,080 --> 01:11:31,370
صفر وما له نهاية هي التي هي range دالة range دالة

829
01:11:31,370 --> 01:11:34,610
هذه هي من صفر إلى ما له نهاية لأن كتابة على صورة

830
01:11:34,610 --> 01:11:40,210
function is on to طيب مش هيك limit E of X لما X

831
01:11:40,210 --> 01:11:43,470
تروح لسالب ما له نهاية بتساوي صفر and limit E of X

832
01:11:43,470 --> 01:11:47,110
لما X تروح لما له نهاية إيش بتساوي؟ بتساوي ما له

833
01:11:47,110 --> 01:11:55,670
نهاية يعني الدالة هذه في حالة الـ E of X اللي

834
01:11:55,670 --> 01:11:59,070
احنا سميناها الـ X exponential للـ X هذه الدالة هذه

835
01:11:59,070 --> 01:12:03,130
الدالة زي ما أنتم عارفين لما X تروح إلى سالب ما له

836
01:12:03,130 --> 01:12:06,830
نهاية هذا هيروح للصفر الـ E of X هتروح للصفر ولما

837
01:12:06,830 --> 01:12:10,890
الـ X تروح لما له نهاية الـ E of X هتروح إيش إلى ما له

838
01:12:10,890 --> 01:12:14,810
نهاية نشوف أول شيء بالنسبة لمين؟ لل range

839
01:12:19,570 --> 01:12:24,250
الآن we know that E of 0 بيساوي إيش واحد أكبر من

840
01:12:24,250 --> 01:12:29,770
إيش من صفر أكيد، ضبط ولا لا؟ and E of X ده بيساوي

841
01:12:29,770 --> 01:12:36,390
سفر for X element in R صار عندي الآن هذه دالة E of

842
01:12:36,390 --> 01:12:38,650
0 إلها واحد، ماشي؟

843
01:12:40,360 --> 01:12:46,000
أو E of X مش سفر يعني إيه شمالها لا تقطع محور

844
01:12:46,000 --> 01:12:51,910
السينات إطلاقًا اللي E of X نفسها و 0 من سفرها الآن

845
01:12:51,910 --> 01:12:57,110
أنا أقول مستحيل تكون فيها قيم سالبة يعني مستحيل

846
01:12:57,110 --> 01:13:02,030
نلاقي E of X naught اللي هي أصغر من 0 ليش؟ لأنه لو

847
01:13:02,030 --> 01:13:05,990
لجينا E of X naught سالبة لو هالجيت عندنا X naught

848
01:13:05,990 --> 01:13:09,910
و هيها قيمتها E of X naught اللي هو سالبة يعني

849
01:13:09,910 --> 01:13:16,460
هتكون تحت، ما هي الدالة متصلة مدام متصلة إذا غصب

850
01:13:16,460 --> 01:13:20,940
عنها هتيجي تقطع اللي هو ما هتيجي منها لها هتقطع

851
01:13:20,940 --> 01:13:24,760
محور السينات إذا هتصير سفر وهذا Contradiction من

852
01:13:24,760 --> 01:13:28,380
أين الكلام هذا؟ By Bolzano Intermediate Value 

853
01:13:28,380 --> 01:13:32,760
Theorem بما أنه إحنا في عندنا X0 فرضناها ال E of

854
01:13:32,760 --> 01:13:39,260
X0 أصغر من سفر وفي عندي اللي هي E of Zero بتساوي

855
01:13:39,260 --> 01:13:40,980
واحد اللي هي

856
01:13:44,440 --> 01:13:48,620
أه لو فرضنا أن في X نوت X نوت تكون اللي هو

857
01:13:48,620 --> 01:13:56,300
سالبة X نوت أصغر من سفر فعندي E of X naught أصغر

858
01:13:56,300 --> 01:14:05,740
من سفر وعندي اللي هو في اللي هو E of X بتساوي

859
01:14:05,740 --> 01:14:14,470
واحد أه وهادي أكبر من سفر أه وفرضنا وجود هذه وفرضنا

860
01:14:14,470 --> 01:14:18,810
وجود هذه إذا by intermediate value theorem غصبن

861
01:14:18,810 --> 01:14:23,650
عنها there exists c element الفترة اللي إحنا بنحكي

862
01:14:23,650 --> 01:14:28,510
عنها R such that f of هذه الـ c اللي هي E of C

863
01:14:28,510 --> 01:14:33,330
بتساوي كمية اللي بينين اللي هي اسمها سفر وهذا

864
01:14:33,330 --> 01:14:41,860
contradiction بالتالي بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على

865
01:14:41,860 --> 01:14:47,060
أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها

866
01:14:47,060 --> 01:14:47,260
مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق

867
01:14:47,260 --> 01:14:47,280
البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض

868
01:14:47,280 --> 01:14:47,700
لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقال مغلق

869
01:14:47,700 --> 01:14:48,880
على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها مستمرة على أي

870
01:14:48,880 --> 01:14:49,100
انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق البلزان أنَّها

871
01:14:49,100 --> 01:14:51,280
مستمرة على أي انتقال مغلق على كل أرض لأنها بيحقق

872
01:14:51,280 --> 01:14:54,390
البلزان أنَّها مستمرة على أي انتقمن سفر طيب مدام ال

873
01:14:54,390 --> 01:14:57,010
E of X أكبر من سفر وإحنا بنعرف أن ال E prime of X

874
01:14:57,010 --> 01:15:00,690
بتساوي E of X إذا صارت ال E prime أكبر من مين من

875
01:15:00,690 --> 01:15:04,890
سفر كل X element ال R ومن ثم هذا معناته أن E is

876
01:15:04,890 --> 01:15:10,450
strictly increasing on R إذا اللي هو المطلوب الأول

877
01:15:10,450 --> 01:15:15,810
أثبتناه أن E is strictly increasing on R طيب

878
01:15:24,230 --> 01:15:30,250
عندي اثنين strictly increasing ال function مظبوط

879
01:15:30,250 --> 01:15:41,510
يعني اثنين أصغر من مين من اياش من ال E ليش لأن

880
01:15:41,510 --> 01:15:53,730
عندي الواحد E واحد أو E of X قلنا أصغر strictly ولا

881
01:15:53,730 --> 01:15:57,890
أكبر strictly من واحد زاد X صح؟ هذه الكورولا

882
01:15:57,890 --> 01:16:02,810
remained ثمانية ثلاثة ثلاثة اثبتناها إذا صار عند E

883
01:16:02,810 --> 01:16:08,050
of واحد أكبر strictly من واحد زائد وا أكبر strictly

884
01:16:08,050 --> 01:16:13,970
من واحد زائد واحد وال E of واحد مين هو E أس واحد

885
01:16:13,970 --> 01:16:17,390
مش هيك اتفاجنا يعني هذا اياش اثنين يعني ال E أكبر

886
01:16:17,390 --> 01:16:22,450
strictly من مين من الاثنين اتفاجنا طيب اتفاجنا إذا

887
01:16:22,450 --> 01:16:26,410
صار عند ال E of اثنين أكبر strictly ال E أكبر من

888
01:16:26,410 --> 01:16:29,950
مين من اثنين خلينا نبدأ عليها هذه ال E أكبر من

889
01:16:29,950 --> 01:16:41,000
اياش من اثنين الآن أكيد عنده ال E of R اللي بيساوي E

890
01:16:41,000 --> 01:16:48,440
R أو E N خليني أقول E N أكبر من اثنين هتكون أصغر

891
01:16:48,440 --> 01:16:53,700
اللي هي أكبر من اثنين أس N الآن as N goes to

892
01:16:53,700 --> 01:16:57,680
infinity إذا

893
01:16:57,680 --> 01:17:04,230
أكيد هذه هتروح لمين لإنفينيتي والـ E نفسها اللي هي

894
01:17:04,230 --> 01:17:08,750
is strictly increasing is strictly increasing إذا

895
01:17:08,750 --> 01:17:12,370
ال E of X تبعتها برضه هتروح لمين ل Infinity لما X

896
01:17:12,370 --> 01:17:18,650
تروح إلى وين إلى مالانهاية ليش لأن لكل L في X

897
01:17:18,650 --> 01:17:24,670
أكبر منها بحيث أن اللي هو تصير E of X اللي هي

898
01:17:24,670 --> 01:17:30,110
بتساوي E to the X أكبر من E to the N لكل N في X

899
01:17:30,110 --> 01:17:33,850
أكبر منها بتصير E of X أكبر منها لأنها strictly

900
01:17:33,850 --> 01:17:37,710
increasing فلان لما تروح هذه إلى مالانهاية الكبار

901
01:17:37,710 --> 01:17:41,170
تبعتها وهذه طبعًا أكبر دايمًا موجودة هذا هتروح إلى

902
01:17:41,170 --> 01:17:45,540
أين برضه إلى مالانهاية يعني limit ال E of X لما X

903
01:17:45,540 --> 01:17:48,980
تروح إلى مالانهاية بتساوي مالانهاية وقول لكم اللي

904
01:17:48,980 --> 01:17:54,040
هو لو تجربته اللي هو يثبته أنه بما أنه limit E of

905
01:17:54,040 --> 01:17:58,840
N بتروح إلى مالانهاية by اللي هي limit definition

906
01:17:58,840 --> 01:18:03,020
إذا limit E of X لما X تروح إلى مالانهاية بتساوي

907
01:18:03,020 --> 01:18:08,080
مالانهاية الآن similarly for mean for اللي هو

908
01:18:08,080 --> 01:18:11,120
limit

909
01:18:12,620 --> 01:18:16,560
الـ E of X لما X تروح لسالب مالانهاية هذه الآن

910
01:18:16,560 --> 01:18:22,840
بيصير اثنين أو minus N أكبر من E أو minus N ماشي

911
01:18:22,840 --> 01:18:28,000
الحال الآن ال limit لهذه as N goes to infinity

912
01:18:28,000 --> 01:18:31,940
أكبر أو يساوي ال limit لهذه as N goes to infinity

913
01:18:31,940 --> 01:18:33,420
الآن

914
01:18:35,300 --> 01:18:40,100
هذه إيش مالها بيساوي سفر وهذه أوتوماتيك هيساوي إيش؟

915
01:18:40,100 --> 01:18:44,840
هيساوي سفر الآن as N goes to infinity يعني ال E to

916
01:18:44,840 --> 01:18:49,720
the minus N بتروح للسفر من وين؟ من اليمين، مظبوط أو

917
01:18:49,720 --> 01:18:53,060
تروح للـ Zero، مظبوط لأن at E minus N تروح لما

918
01:18:53,060 --> 01:18:57,440
لنهاية As N goes to infinity E to the minus N تروح

919
01:18:57,440 --> 01:19:03,460
لإنفينيتي لأن as X بتروح إلى سالب مالانهاية ال E

920
01:19:03,460 --> 01:19:07,560
to the minus X برضه هتروح إلى وين؟ إلى السفر يعني

921
01:19:07,560 --> 01:19:11,220
ال E to the X نفسها لما ناخد ال limit لما X تروح

922
01:19:11,220 --> 01:19:14,580
بدل مالانهاية تروح إلى مين؟ سالب مالانهاية برضه

923
01:19:14,580 --> 01:19:20,200
هتساوي إيش؟ السفر إذا صار عندي limit E ضو X لما X

924
01:19:20,200 --> 01:19:23,560
تروح السلمة لها يابسة أو سفر و بعتمد على اللي هو

925
01:19:23,560 --> 01:19:26,780
الجهتين على ال strictly increasing تبع ال E و

926
01:19:26,780 --> 01:19:30,580
التفاصيل اللي هي ال definition بتظهر عندكم أنا

927
01:19:30,580 --> 01:19:34,220
ما فصلتاش لإنه هو إيه هذا القائم