PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/EHWkgcDuyyY.srt

1
00:00:04,720 --> 00:00:09,780
بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 11 في

2
00:00:09,780 --> 00:00:16,040
مساق تحليل حقيقي 2 لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية

3
00:00:16,040 --> 00:00:24,760
كلية العلوم وهي المحاضرة الأولى بعد إعلان الطوارئ 

4
00:00:24,760 --> 00:00:32,580
بخصوص أو بمواجهة فيروس كورونا المنتشر  اتحدتنا

5
00:00:32,580 --> 00:00:37,960
المرة الماضية بدأنا في اللي هو chapter 7 اللي كان 

6
00:00:37,960 --> 00:00:41,280
الحديث عن ال riman integral أو تكامل ال riman

7
00:00:41,280 --> 00:00:45,860
بدأنا في ال section الأول اللي هو تحت عنوان riman 

8
00:00:45,860 --> 00:00:50,740
integrability عرفنا شغلتين حاجة اسمها ال upper sum

9
00:00:50,740 --> 00:00:55,960
و حاجة اسمها ال lower sum و قلنا اللي هو ال lower

10
00:00:55,960 --> 00:01:00,290
sum هو عبارة عن الـ summation للـ mk الـ mk هذه

11
00:01:00,290 --> 00:01:06,410
تمثل في xk minus xk minus 1 حيث mk كانت تمثل أو m

12
00:01:06,410 --> 00:01:10,910
small k كانت تمثل عبارة عن الـ infimum للدالة على

13
00:01:10,910 --> 00:01:15,520
الفترة اللي هي المذكورة الآن ال .. ال .. ال other

14
00:01:15,520 --> 00:01:19,380
sum هو عبارة عن ال summation لنفس ال sum العلوي

15
00:01:19,380 --> 00:01:24,520
ولكن بدلا منها اللي هي M K capital اللي كانت تمثل

16
00:01:24,520 --> 00:01:28,280
ال supremum ل ال F of X وال X على اللي هي في

17
00:01:28,280 --> 00:01:34,110
الفترة المذكورة اللي عندي الآن أخدنا أول لمّة المرة

18
00:01:34,110 --> 00:01:38,190
الماضية وقلنا إذا كانت F من I لR bounded و B any

19
00:01:38,190 --> 00:01:43,230
partition of I بدي يكون ال lower اللي هو sum لأي

20
00:01:43,230 --> 00:01:47,810
partition B و function F أصغر أو يساوي ال upper

21
00:01:47,810 --> 00:01:52,470
sum لنفس ال partition و لنفس اللي هي ال function F

22
00:01:52,470 --> 00:01:58,710
بعد هي طبعا خطينا خطوة أخرى و جينا عرفنا اللي هو شو

23
00:01:58,710 --> 00:02:03,110
معناته انها تكون اللي هو ال partition Q refinement

24
00:02:03,110 --> 00:02:08,610
لل partition B قلنا Q اللي هو تحسين ل B إذا كانت B

25
00:02:08,610 --> 00:02:13,940
بي عبارة عن مجموعة جزئية من Q و بناء عليه اللي هو

26
00:02:13,940 --> 00:02:19,440
قلنا ان اي اللي هو sub interval xk-1xk من ال

27
00:02:19,440 --> 00:02:23,520
partition B يمكن كتابتها على صورة union of sub

28
00:02:23,520 --> 00:02:27,680
intervals من اللي هو التحسين اللي هو EQ

29
00:02:31,060 --> 00:02:36,380
الآن جينا اللي هو بناء على هذا التعريف جينا قولنا

30
00:02:36,380 --> 00:02:40,480
لو كانت F is من I لعند R is bounded و B is any

31
00:02:40,480 --> 00:02:45,780
partition of I و Q refinement لل B مدام اللي هو Q

32
00:02:45,780 --> 00:02:50,420
refinement إذا ال lower sum هيعلى و ال upper sum

33
00:02:50,420 --> 00:02:54,820
هينزل على أساس انه اللي هو في النهاية يلتقي ال

34
00:02:54,820 --> 00:02:58,740
upper مع ال lower و نصل لاللي هو ال integrability

35
00:02:58,740 --> 00:03:02,800
أو معنى ال integrability كما سنرى لاحقا على الأقل

36
00:03:02,800 --> 00:03:06,560
في اللي هو يكون واضح من خلال الرسم في اللي هي

37
00:03:06,560 --> 00:03:13,890
الدوال الموجبة كما ذكرنا سابقا اللي بحكيه إنه لو

38
00:03:13,890 --> 00:03:17,330
كانت عندي اللي هو F من I ل R bounded وB partition

39
00:03:17,330 --> 00:03:22,750
وQ وrefinement للـ B هيكون عندي lower sum لل

40
00:03:22,750 --> 00:03:28,570
partition B أصغر أو يساوي lower sum للتحسين عماله

41
00:03:28,570 --> 00:03:32,850
التحسين بكبر لما بده يصل لفعلا المساحة تحت المنحنة

42
00:03:32,850 --> 00:03:39,470
في حالة الدوال الموجبة القبر صم لـ Q و F سيبدأ يصغر

43
00:03:39,470 --> 00:03:42,850
ويكون أصغر من الساوي اللي هو القبر صم لـ P و F

44
00:03:42,850 --> 00:03:47,310
التحسين يعني سيصغره بمعنى آخر سيبدأ يلتقوا إلى

45
00:03:47,310 --> 00:03:51,770
أسفل لما نصل إلى اللي هو مساواة في حالة الـ

46
00:03:51,770 --> 00:03:55,730
Integrability لما نكون عندنا أخدنا الـ Supremum

47
00:03:55,730 --> 00:04:01,340
لكل L و F الـ L والـ infimum لكل الـ U بيصير بنسمي

48
00:04:01,340 --> 00:04:04,800
بعد شوية حاجة اسمها ال lower integral وال upper

49
00:04:04,800 --> 00:04:08,980
integral وبرهننا هذه النظرية و بعدين جينا لللمة و

50
00:04:08,980 --> 00:04:13,520
بعدين جينا لللمة أخرى اللي هو لو كانت F من I ل R

51
00:04:13,520 --> 00:04:17,600
bounded وB1 وB2 اي partitions الآن لأي partitions

52
00:04:17,600 --> 00:04:22,480
هيكون الlower دايما بغض النظر عن ال partition اللي

53
00:04:22,480 --> 00:04:26,120
هو هيكون أصغر أو يساوي الأبر بغض النظر عن ال

54
00:04:26,120 --> 00:04:28,660
partition B2 يعني مش لنفس ال partition زي ما قلنا

55
00:04:28,660 --> 00:04:33,180
في اللمبة 7 1 1 لأ لأي two partitions دايما

56
00:04:33,180 --> 00:04:37,170
الlower ما هو هيكون تحت أسفل المنحنى والـ Upper

57
00:04:37,170 --> 00:04:41,350
هيكون أعلى المنحنى بغض النظر عن ال partitions اللي

58
00:04:41,350 --> 00:04:45,690
عندي طبعا التمثيل هذا في حال اللي هو ال F is a

59
00:04:45,690 --> 00:04:49,130
positive function على ال interval المذكورة الآن

60
00:04:49,130 --> 00:04:52,730
بعد هيكة اجينا وعرفنا شو معناه ال lower integral

61
00:04:52,730 --> 00:04:55,510
وشو معناه ال upper integral قولنا ال lower

62
00:04:55,510 --> 00:05:00,050
integral كما هو متوقع سميناه الف F هو عبارة عن ال

63
00:05:00,050 --> 00:05:05,660
supremum لل lowers وال .. و ال .. و ال .. و ال

64
00:05:05,660 --> 00:05:10,440
upper هو عبارة عن الـ infimum لل uppers حتى لو

65
00:05:10,440 --> 00:05:14,300
التقت الالو أف مع الالو أف اللي هو من أعلى مع

66
00:05:14,300 --> 00:05:17,940
الأسفل هيكونوا التقوا بالظبط عند .. من مساحة تحت

67
00:05:17,940 --> 00:05:20,960
المنحنى في حالة الدالة الموجبة وهذه .. في هذه

68
00:05:20,960 --> 00:05:24,300
الحالة بنسمي إذا كانت ال upper تساوي ال lower

69
00:05:24,300 --> 00:05:27,920
بنسمي ال function على هذه الفترة is integral و هذا

70
00:05:27,920 --> 00:05:31,900
الكلام كله تحدثنا فيه عشان هيك أنا مسرع شوية هو

71
00:05:31,900 --> 00:05:37,160
حكينا إنه اللي هو دايما ال lower sum لل F أخدنا

72
00:05:37,160 --> 00:05:40,760
نظرية قولنا ال lower integral أسف ال lower

73
00:05:40,760 --> 00:05:45,100
integral دايما أصغر يساوي مين ال upper integral

74
00:05:45,100 --> 00:05:46,860
إذن الآن النظرية 

75
00:05:49,600 --> 00:05:52,760
الإعلان المهم اللي هو لو كانت F من I لعند R

76
00:05:52,760 --> 00:05:56,000
bounded function على closed bounded interval A وB

77
00:05:56,000 --> 00:05:59,720
بدي يكون ال lower integral L of F أصغر أو ساوي ال

78
00:05:59,720 --> 00:06:04,930
upper integral U of F بصورة عامة هذه هي الـ

79
00:06:04,930 --> 00:06:08,050
definition اللي ذكرته قبل و شوية نقول عن الـ

80
00:06:08,050 --> 00:06:15,150
function F على bounded sub interval A و B أو

81
00:06:15,150 --> 00:06:18,650
closed bounded interval A و B و كانت الـ F عبارة

82
00:06:18,650 --> 00:06:22,080
عن bounded function بنعرف أن الـ F is remain

83
00:06:22,080 --> 00:06:26,840
integrable on I إذا كانت ال lower of F بساوي ال

84
00:06:26,840 --> 00:06:30,080
upper of F معناته صارت اللي هي ال F is remain

85
00:06:30,080 --> 00:06:34,460
integrable if and only if ال lower sum يساوي ال

86
00:06:34,460 --> 00:06:39,240
upper sum هذا كله ذكرناه المرة الماضية و أيضا

87
00:06:39,240 --> 00:06:42,520
عرفنا .. قلنا في هذا الحلقة أن كل integration من A

88
00:06:42,520 --> 00:06:47,890
ل B هو ال lower أو ال upper المتساويين وعرفنا ايضا

89
00:06:47,890 --> 00:06:50,610
تعريف آخر قولنا ال integration من a ل b بساوي ناقص

90
00:06:50,610 --> 00:06:53,830
ال integration من b ل a وعرفنا ال integration من a

91
00:06:53,830 --> 00:06:59,410
ل a بساوي صفر هذا كله حكينا المرة الماضية ومش هيك

92
00:06:59,410 --> 00:07:03,820
كمان واخدنا المثال اللي هو أثبتنا إنه اللي هو g of

93
00:07:03,820 --> 00:07:07,880
x بيساوي x is integrable on i استنادًا على إنه

94
00:07:07,880 --> 00:07:11,020
أوجدنا ال lower sum ال lower integral و ال upper

95
00:07:11,020 --> 00:07:13,300
integral أثبتنا إن ال lower integral و ال upper

96
00:07:13,300 --> 00:07:16,300
integral are equal و من ثم أثبتنا إنه ال

97
00:07:16,300 --> 00:07:19,940
integration exist لل function x على الفترة 0 و 1

98
00:07:19,940 --> 00:07:26,810
وأوجدنا قيمة ال integration في حينه وصلنا إلى اللي

99
00:07:26,810 --> 00:07:33,290
هو مثالنا التالي أنه لو كانت F من I لعند .. F من I

100
00:07:33,290 --> 00:07:40,090
اللي هي 01 لعند ال .. ال R be defined by أخدنا

101
00:07:40,090 --> 00:07:45,990
الدالة كما يلي اللي هو قولنا أن F of X F of X

102
00:07:45,990 --> 00:07:53,040
بساوي واحد إذا كانت x rational number element in Q

103
00:07:53,040 --> 00:08:00,100
وبساوي 0 إذا كانت x element in IQ أو element in Q

104
00:08:00,100 --> 00:08:04,660
complement اللي هي ال rational numbers الآن بدنا

105
00:08:04,660 --> 00:08:11,200
نثبت بقول show that this function F طبعا أنا method

106
00:08:11,200 --> 00:08:17,340
F على اللي هي الـ Q تقاطع طبعا الـ 0 و 1 اللي هي

107
00:08:17,340 --> 00:08:19,920
الـ interval اللي بدأ عليها التقاطع الـ 0 و 1

108
00:08:19,920 --> 00:08:25,160
بمعنى إن دالت F صارت من I اللي هي عبارة عن 0 و 1

109
00:08:26,040 --> 00:08:29,380
اللي عند R واضح ان الدالة هذه is a bounded

110
00:08:29,380 --> 00:08:33,560
function الآن بدأ أثبت لكم ان هذا الدالة is not

111
00:08:33,560 --> 00:08:38,120
integrable on this interval is not integrable on

112
00:08:38,120 --> 00:08:44,100
this interval الآن علشان أصل اللي هو اللي هي ان

113
00:08:44,100 --> 00:08:48,180
هذا الدالة غير قابلة تكامل بالنسبة لتكامل بالنسبة

114
00:08:48,180 --> 00:08:55,650
لتكامل الريمان بدي اخد الان B أخدوا أي partition X0

115
00:08:55,650 --> 00:09:02,550
X1 لعند Xn هذا any partition لإيه ال interval اللي

116
00:09:02,550 --> 00:09:06,790
هي الفترة مين Zero و واحد يعني بمعنى أتيت للفترة

117
00:09:06,790 --> 00:09:14,030
Zero و واحد و جزقتها X0 X1 لعند مؤصل لعند مين لعند

118
00:09:14,030 --> 00:09:18,610
Xn اللي هي إيش بتساوي بتساوي واحد الآن هذا ال

119
00:09:18,610 --> 00:09:22,130
partition اخدته arbitrarily اللي هو partition

120
00:09:22,130 --> 00:09:31,790
لفترة L عندي الآن بدي احسب ال Lof B و F لهذا ال

121
00:09:31,790 --> 00:09:34,990
partition أيش بتساوي حسب اللي عرفناها سابقا بتساوي

122
00:09:34,990 --> 00:09:40,610
ال summation لل M K في X K minus X K minus واحد K

123
00:09:40,610 --> 00:09:46,330
من عند واحد لعند مين لعند اللي هي N ويساوي الآن ال

124
00:09:46,330 --> 00:09:52,450
M K عرفناها ال M K هي عبارة عن ال infimum لقيمة ال

125
00:09:52,450 --> 00:09:56,470
function F of X حيث X تنتمي إلى الفترة X K minus

126
00:09:56,470 --> 00:10:02,210
واحد لعند X K طبعا اللي هي F of X معرفة على

127
00:10:02,210 --> 00:10:05,130
أساسيها يا إما واحد يا إما سفر حسب إنها تكون

128
00:10:05,130 --> 00:10:08,030
rational أو إيش ال rational يعني ال function F

129
00:10:08,030 --> 00:10:11,910
أصلا اللي هي قيمتين بس إذا الآن ال infimum لل F of

130
00:10:11,910 --> 00:10:16,630
X عندها يا هيكون واحد يا هيكون سفر ليش؟ لأن أصلا

131
00:10:16,630 --> 00:10:23,340
الفترة هذه فيها أي فترة subinterval xk-1xk فيها

132
00:10:23,340 --> 00:10:27,620
rational وirrational إذا قيمة ال up of x في الفترة

133
00:10:27,620 --> 00:10:31,260
هتلاقي عند قيم واحد هتلاقي أكيد عند قيم أش بتساوي

134
00:10:31,260 --> 00:10:35,000
بساوي سفر إذا ال infimum في هذه الحالة هو عبارة عن

135
00:10:35,000 --> 00:10:42,320
إيش يساوي سفر إذا ال summation ل 0 في xk-xk-1 كامل

136
00:10:42,320 --> 00:10:46,120
عند واحد عند أنه طبيعي هذا بديهي إيش هيساوي بساوي

137
00:10:46,120 --> 00:10:52,410
سفر إذن الآن L of F بي و F ساوة سفر فور أي بورتيشن

138
00:10:52,410 --> 00:10:59,370
بيه إذا ال L of F اللي هي عبارة عن الأو الـ

139
00:10:59,370 --> 00:11:06,070
Supremum الـ Supremum لكل الـ L of B و F Such that

140
00:11:06,070 --> 00:11:09,890
B element in the set of all partitions اللي هو B 

141
00:11:09,890 --> 00:11:14,090
هو هيكون الـ .. الـ Supremum اللي هيكون صفر لأن كل

142
00:11:14,090 --> 00:11:18,350
اللي هيكون أصلا إيش بتنطلع .. بتنطلع بساوي صفر إذا

143
00:11:18,350 --> 00:11:23,070
هذا إيش هيساوي يا شباب؟ هو يساوي Zero إذا طلع عندي

144
00:11:23,070 --> 00:11:28,150
الـ lower sum بساوي 0 الآن بدي أحسب لكم مين أحسب لكم

145
00:11:28,150 --> 00:11:31,390
الـ upper sum سامحوني أكتب هنا بس عشان اللي يبقى

146
00:11:31,390 --> 00:11:39,670
كله مكتوب عندي نوجد الـ upper sum الـ upper sum اللي

147
00:11:39,670 --> 00:11:45,510
هي الـ UPUF بساوي summation للـ n K capital في XK

148
00:11:45,510 --> 00:11:51,740
minus XK minus واحد K من عند واحد لعند الـ n الآن

149
00:11:51,740 --> 00:11:55,900
هذا بيساوي الـ Mk زي ما قلنا قبل هيك الـ Mk بدل ما

150
00:11:55,900 --> 00:11:59,400
هي الـ M في مميزة استعريفها الـ Mk بتساوي الـ

151
00:11:59,400 --> 00:12:03,780
supremum لهذه الـ 6 وزي ما قلنا الـ 6 هذه في داخلها

152
00:12:03,780 --> 00:12:08,400
يا واحد يا زيرو نظرا لأن اللي هو أي sub interval

153
00:12:08,400 --> 00:12:11,820
هيكون فيها rational و irrational وتبعا لها هيكون

154
00:12:11,820 --> 00:12:16,060
قيمة الـ function في داخلها واحد أو صفر واحنا بنبحث

155
00:12:16,060 --> 00:12:19,280
عن الـ supremum إذا هيكون الـ supremum في كل الأحوال

156
00:12:19,280 --> 00:12:25,600
الـ Mk بتساوي واحد مضروبة في xk-xk-1 k من عند 1 لعند

157
00:12:25,600 --> 00:12:30,700
n نفردها هذه ويساوي اللي هنبصير k من عند 1 يعني x1

158
00:12:30,700 --> 00:12:39,570
-x0 زائد x2-x1 زائد إلى آخر لما أصل لعند xn-1 ناقص xn

159
00:12:39,570 --> 00:12:44,550
ناقص واحد طبعا واضح إنه عندي الـ x واحد هت cancel مع

160
00:12:44,550 --> 00:12:48,270
ناقص x واحد و الـ x اتنين مع ناقص x اتنين لما نصل

161
00:12:48,270 --> 00:12:52,450
للاخر هيكون في عندي ات cancel الجميع بس ضل عندي

162
00:12:52,450 --> 00:12:58,170
الـ xn و الـ x note و هد بتساوي xn ناقص x note و

163
00:12:58,170 --> 00:13:01,750
يساوي الـ xn طبعا إيش هي عبارة عن واحد و الـ x note

164
00:13:01,750 --> 00:13:07,190
إيش هي شبه صفر و يساوي واحد ناقص صفر و يساوي واحد

165
00:13:07,570 --> 00:13:12,930
إذا طلع عندي الـ Upper Sum لأي Bar تشمل به، هيتلع

166
00:13:12,930 --> 00:13:18,510
إيش بساوي؟ بساوي واحدة إذا الآن لما بدي أخد الـ U

167
00:13:18,510 --> 00:13:23,510
of F اللي هو Upper Integral هيساوي عبارة عن الـ

168
00:13:23,510 --> 00:13:30,220
Infimum لمين؟ للـ U, B وF such that B element in

169
00:13:30,220 --> 00:13:34,580
the set of all partitions B of I والـ U, B وF

170
00:13:34,580 --> 00:13:38,840
قيمته ثابتة for أي partition بيساوي واحد إذا الـ

171
00:13:38,840 --> 00:13:43,300
infimum لكل اللي هنا عبارة عن برضه إيش بيساوي واحد

172
00:13:43,300 --> 00:13:47,410
صار عندي الآن lower integral و الـ upper integral

173
00:13:47,410 --> 00:13:51,110
have different values واحد بيساوي صفر واحد بيساوي

174
00:13:51,110 --> 00:13:56,890
واحد وبناء عليه بتكون عند اللي هو الـ F is not

175
00:13:56,890 --> 00:14:03,150
Riemann integrable أي سؤال؟ طيب ماشي الحاجة

176
00:14:03,150 --> 00:14:10,930
الآنصار عندي أخذنا مثالين المثال الأول اللي هو

177
00:14:10,930 --> 00:14:16,770
أثبتنا إن off of x بيساوي x is integrable على

178
00:14:16,770 --> 00:14:22,010
الفترة 0 و1 وأثبتناها بواسطة التعريف وأيضا أثبتنا

179
00:14:22,010 --> 00:14:26,190
مثال آخر لـ bounded function أيضا وكانت is not

180
00:14:26,190 --> 00:14:31,250
Riemann integrable اللي هي off of x بيساوي 1 إذا

181
00:14:31,250 --> 00:14:36,090
كانت x rational ويساوي 0 إذا كانت x irrational هذا

182
00:14:36,090 --> 00:14:43,040
اللي هو المثال الثاني الآن نيجي للي هو criterion

183
00:14:43,040 --> 00:14:49,280
مهمة اللي احنا بنسميها اللي هي عبارة عن Riemann

184
00:14:49,280 --> 00:14:54,800
criterion for

185
00:14:54,800 --> 00:15:01,490
integrability احنا طبعا تحدثنا عن الـ Riemann

186
00:15:01,490 --> 00:15:05,330
Integrability كيف نثبت أنه Riemann Integrable عن

187
00:15:05,330 --> 00:15:09,470
طريق التعريف طبعا الآن مش دائما بدنا نثبت عن طريق

188
00:15:09,470 --> 00:15:14,350
التعريف إذا بدنا اللي هو طرق أخرى نحاول اللي هو

189
00:15:14,350 --> 00:15:21,780
نوسع اللي هي إمكانياتنا في الحكم على الدالة إنها

190
00:15:21,780 --> 00:15:26,860
integrable أو مش integrable وهذه الإمكانية الأخرى

191
00:15:26,860 --> 00:15:31,400
غير التعريف هي اللي بنسميها اللي هو الـ Riemann

192
00:15:31,400 --> 00:15:36,500
integrability criterion أو criterion for

193
00:15:36,500 --> 00:15:41,340
integrability نشوف إيش بيقول النظرية

194
00:15:43,700 --> 00:15:48,060
لت I بساوي A وB ولت F من I لـ R بيـ bounded نفترض

195
00:15:48,060 --> 00:15:51,360
أن F عبارة عن إيه إيش مالها يا جماعة؟ bounded function

196
00:15:51,360 --> 00:15:57,500
then F is integrable on I if and only if for each

197
00:15:57,500 --> 00:16:00,340
epsilon أكبر من 0 there exists a partition B

198
00:16:00,340 --> 00:16:04,660
epsilon of I such that U B epsilon ناقص الـ L B

199
00:16:04,660 --> 00:16:10,730
epsilon إيش إيش ماله أصغر من اللي هو إبسلون إذن اللي

200
00:16:10,730 --> 00:16:16,410
هو واضح إنه عندي فصار فيه test لل integrability أو

201
00:16:16,410 --> 00:16:20,150
اللي هو طريقة للحكم على ال integrability أخرى غير

202
00:16:20,150 --> 00:16:26,430
التعريف اللي هو بتقول F is integrable

203
00:16:28,870 --> 00:16:32,890
if and only if طبعا هذه لمين الـ F؟ F عبارة عن زي

204
00:16:32,890 --> 00:16:36,190
ما أنتم عارفين bounded function لأن كل شغلنا

205
00:16:36,190 --> 00:16:40,010
أصلا على اللي هو Riemann integrability أنه نفترض

206
00:16:40,010 --> 00:16:43,210
أنه الـ F bounded عشان اللي هو تكون الـ supremum و

207
00:16:43,210 --> 00:16:46,330
الـ infimum اللي مبني عليها التعريف تكون مضمون إنها

208
00:16:46,330 --> 00:16:49,870
موجودة عشان هيك بنحكي أن F is bounded function طيب

209
00:16:49,870 --> 00:16:56,140
إذا الـ F is integrable if and only if اللي هي لكل

210
00:16:56,140 --> 00:17:00,620
إبسلون أكبر من 0 there exists a partition P إبسلون

211
00:17:00,620 --> 00:17:04,240
هذا الـ P اللي هو الـ partition يعتمد عالميا على

212
00:17:04,240 --> 00:17:07,820
إبسلون لكل إبسلون بالله دي partition P إبسلون لمين

213
00:17:07,820 --> 00:17:11,840
الـ partition طبعا للـ interval اللي عندنا اللي هي I

214
00:17:11,840 --> 00:17:17,040
there exists P إبسلون a partition of I such that

215
00:17:17,040 --> 00:17:25,210
الـ U P إبسلون و الـ F ناقص الـ L بي إبسلون و

216
00:17:25,210 --> 00:17:31,050
F يكون أصغر من مين من إبسلون الآن إذا كان لجينا

217
00:17:31,050 --> 00:17:34,190
لكل إبسلون لجينا بي إبسلون بحيث هذا يتحقق معناته F

218
00:17:34,190 --> 00:17:37,590
is integrable and conversely if F is integrable

219
00:17:37,590 --> 00:17:42,550
أكيد لكل إبسلون هلجي بي إبسلون بحيث أن هذا يتحقق

220
00:17:42,550 --> 00:17:48,170
خلونا نيجي الآن نبرهن و نشوف كيف بدنا نبرهن

221
00:17:48,170 --> 00:17:53,880
نظريتنا الآن بدنا نفترض أن F إيش ماله is

222
00:17:53,880 --> 00:18:00,240
integrable ونصل منها للي عايزينه اللي هي الـ partition

223
00:18:00,240 --> 00:18:07,040
اللي مذكور مدام F is integrable إذا كانت .. الآن

224
00:18:07,040 --> 00:18:16,100
بنقول suppose that F is integrable مدام integrable

225
00:18:16,100 --> 00:18:22,090
يا شباب أكيد عند اللي هو الـ U of F بساوي L of

226
00:18:22,090 --> 00:18:29,490
إيش؟ Of F، مظبوط؟ أكيد الـ L of .. الـ U of F

227
00:18:29,490 --> 00:18:33,410
بساوي الـ L of F إيش اللي بيدل عليه؟ بيدل عليه لأي

228
00:18:33,410 --> 00:18:35,810
إبسلون أكبر من صفر بدلجي بإبسلون، شوفوا كيف

229
00:18:35,810 --> 00:18:41,090
بنلجيه، الآن نفترض إن إبسلون let إبسلون أكبر من

230
00:18:41,090 --> 00:18:47,810
صفر be given، ماشي الحال عندي الـ U of F هو إيش يا

231
00:18:47,810 --> 00:18:54,910
شباب؟ هو عبارة عن الـ infimum للـ L of B و F such

232
00:18:54,910 --> 00:19:01,170
that B element in B of I، مظبوط؟ إذا الـ U of F

233
00:19:01,170 --> 00:19:05,830
عبارة عن infimum يعني هو عبارة عن greatest lower

234
00:19:05,830 --> 00:19:11,630
bound لو هذا الـ greatest lower bound ضفنا إليه أي

235
00:19:11,630 --> 00:19:17,230
كمية هيبطل الـ lower bound لأن هو أصلا إيش اسمه

236
00:19:17,230 --> 00:19:23,510
greatest lower bound إذا لو الـU of F ضفت له Y على

237
00:19:23,510 --> 00:19:28,610
2 مثلا طبعا هذا المقدار هيبطل الـ lower bound إيش

238
00:19:28,610 --> 00:19:33,690
معناته بطل الـ lower bound؟ يعني بمعنى آخر هيكون في

239
00:19:33,690 --> 00:19:44,080
عندي إشي أصغر منه هيكون عندي أصغر من الـ U of F أو بي

240
00:19:44,080 --> 00:19:49,740
واحد مثلا و F for some B واحد إذا لما نشيل

241
00:19:49,740 --> 00:19:54,600
من الـ infimum إبسلون

242
00:19:54,600 --> 00:19:57,740
على اتنين هيبطل هذا lower bound يعني بمعنى آخر

243
00:19:57,740 --> 00:20:03,280
هلاقي اللي هو lower bound

244
00:20:07,660 --> 00:20:12,140
عند الـ Y أكبر من 0 خلّيني أبدأ لت Y أكبر من 0 بي

245
00:20:12,140 --> 00:20:17,940
given إذا عندي الآن بدي أثبت لك بدي أجيب لك

246
00:20:17,940 --> 00:20:21,440
partition بيبسلون بحيث إنه هذا ناقص هذا يكون أصغر

247
00:20:21,440 --> 00:20:26,070
من مين من إبسلون شوف كيف بدي أعمل الآن أنا عندي الـ

248
00:20:26,070 --> 00:20:30,710
U of F إيش بيساوي يا جماعة الـ U of F بيساوي الـ

249
00:20:30,710 --> 00:20:39,590
infimum للـ L بيقف ب element I طيب الـ U of F آسف يا

250
00:20:39,590 --> 00:20:43,010
جماعة الـ U of F بيساوي الـ infimum لمين للـ U بيقف

251
00:20:43,720 --> 00:20:49,780
ماشي الحال الآن إيش معناه إنه هذا infimum معناته

252
00:20:49,780 --> 00:20:55,100
هذا هو عبارة عن الـ greatest lower bound مدام الـ

253
00:20:55,100 --> 00:20:59,450
greatest lower bound إذا الـ lower bound هذا أو الـ

254
00:20:59,450 --> 00:21:03,330
Greatest Lower Bound لو ضفت له أي رقم إبسلون على

255
00:21:03,330 --> 00:21:06,370
اتنين مثلا بالذنب إبسلون على اتنين الـ game

256
00:21:06,370 --> 00:21:09,670
بتعرفوا ليش إبسلون على اتنين يعني لو ضفت له أي رقم

257
00:21:09,670 --> 00:21:14,730
بيبطل Lower Bound إيش معناته بيبطل Lower Bound

258
00:21:14,730 --> 00:21:21,830
يعني هيصير هذا أكبر من الـ UB 1 of F for some B

259
00:21:21,830 --> 00:21:27,510
واحدة لأنه بطل إيش ماله هذا بطل lower bound بطل يكون

260
00:21:27,510 --> 00:21:32,670
أصغر من الكل من هان يعني هلاجي واحد من هان هو مش

261
00:21:32,670 --> 00:21:36,830
أصغر منه أو بمعنى آخر U, P, 1 و F أصغر من اللي هو

262
00:21:36,830 --> 00:21:44,850
هذا المقدر طيب similarly الـ L of F هي عبارة عن الـ

263
00:21:44,850 --> 00:21:52,050
supremum للـ L, P و F such that P elemented P of I

264
00:21:53,040 --> 00:21:57,780
بنفس الطريقة يا جماعة الـ L of F هي عبارة عن إيش الـ

265
00:21:57,780 --> 00:22:04,040
least upper bound يعني هذا لو least upper bound

266
00:22:04,040 --> 00:22:07,200
Upper bound لو كان أصغر و أحد لو هذا least upper

267
00:22:07,200 --> 00:22:11,000
bound راحت منه عدد ولو صغير جدا وليكن إبسلون على

268
00:22:11,000 --> 00:22:16,800
اتنين هيبطل هذا عبارة عن upper bound يعني هلاقي

269
00:22:16,800 --> 00:22:24,280
واحد من اللي هان اللي هو L of B2 وF مثلا أكبر منه

270
00:22:24,280 --> 00:22:30,560
لأنه هيبطل هذا إيش ماله upper bound لأنه هو الـ least

271
00:22:30,560 --> 00:22:35,780
لما طلعت منه بطل من الـ upper bounds يعني لجيت واحد

272
00:22:35,780 --> 00:22:43,120
من هذول أكبر منه إذا صار في عندي اللي هو لجيت بي

273
00:22:43,120 --> 00:22:53,960
واحد بحقق الأولى و بيتنين بحقق التانية لأن خذ الآن

274
00:22:53,960 --> 00:22:58,840
خذ لي بي إبسلون هذا اللي بديها هذا يحقق اللي اللي

275
00:22:58,840 --> 00:23:03,600
بديها خذ بي إبسلون إيش بيساوي الـ بي واحد اللي لجيته

276
00:23:03,600 --> 00:23:12,050
هنا اتحاد الـ B2 اللي لجيته هان اتحاد مين؟ B2 صار

277
00:23:12,050 --> 00:23:18,510
عندي .. صار عندي الآن مع بعض خليني أمسح فأقوم،

278
00:23:18,510 --> 00:23:22,170
مهمش؟

279
00:23:22,170 --> 00:23:31,670
صار

280
00:23:31,670 --> 00:23:41,110
عندي ما يليه؟ صار عندي الآن L of F ناقص 

281
00:23:41,110 --> 00:23:53,490
Y على 2 أصغر من L of B2 F، اللي هو أكيد أصغر أو 

282
00:23:53,490 --> 00:23:59,750
يساوي L of By، قُطف، ليش؟ لأن الـBy يا جماعة عبارة

283
00:23:59,750 --> 00:24:04,570
عن refinement للـB2 والـlower لما يصير فيه تحسين

284
00:24:04,570 --> 00:24:08,510
بكبُر، بروح نحو اتجاه نيل اللي هو المنحنة التالية

285
00:24:08,510 --> 00:24:14,010
مساحة تحت المنحنة الكلية لأن أيضا لو جيت قولت الـU

286
00:24:14,010 --> 00:24:24,400
of F زاد إبسلون على اتنين هتلاقيها أكبر من ال U B

287
00:24:24,400 --> 00:24:30,410
واحد و F، وأكيد عندي الـ U of F زائد إبسلون عدنان

288
00:24:30,410 --> 00:24:34,490
أكبر من الـ U B1 of F، هيكون هذا أكبر أو يساوي الـ

289
00:24:34,490 --> 00:24:39,610
U B epsilon of F، لأن الـ B epsilon refinement لمين

290
00:24:39,610 --> 00:24:44,790
برضه؟ للـ B1، بزام refinement، إذن اللي هو التحسين

291
00:24:44,790 --> 00:24:50,270
بيزغَر القبُر وبروح ناحية اللي هو المنحنة، إذن الآن

292
00:24:50,270 --> 00:24:55,480
من الـ tip 2 هذولة، واجدنا طبعا احنا تنسوش ان احنا

293
00:24:55,480 --> 00:24:59,100
مفترضين من رأس الدول ان U of F is integrable، يعني

294
00:24:59,100 --> 00:25:05,340
مفترضين ان ال L of F ايش بتساوي U of F، تنسواش هذه

295
00:25:05,340 --> 00:25:12,540
ليه جيت تنتر مع بعض دول بيصير عندى، الحصل على L of F

296
00:25:12,540 --> 00:25:22,970
ناقص Y على 2، اللي هو اصغر من Lof B, Epsilon و F

297
00:25:22,970 --> 00:25:30,110
والـ L والـ U of F زائد Epsilon على 2 أكبر من U,

298
00:25:30,190 --> 00:25:35,290
B, Epsilon و F، أنا إيش غرضي؟ غرضي أثبت إن U, B,

299
00:25:35,350 --> 00:25:39,130
Epsilon و F ناقص L, B, Epsilon و F أصغر من Epsilon

300
00:25:39,130 --> 00:25:42,890
يلا إترحل من بعض، إذا بيصير عندي، بتحصل البدكية

301
00:25:42,890 --> 00:25:48,570
بيصير عندي الآن، بطرح حياة دي، بقول U, B, Epsilon و

302
00:25:48,570 --> 00:25:53,240
F، ناقص لأنه لما نضرب هذا في ناقص هتنعكس يعني هتصير

303
00:25:53,240 --> 00:25:57,100
هذه يا جماعة ناقص وهذه زائد وهذه هتنعكس هيك وهيصير

304
00:25:57,100 --> 00:26:05,600
الاش ناقص بيصير عندي U B و F ناقص ال L B و F، هيصير

305
00:26:05,600 --> 00:26:11,820
أصغر من مين؟ من ناقص L of F، ناخد هذا قبل زي ما احنا

306
00:26:11,820 --> 00:26:20,690
مرتبينها، U of F زائد ي على 2 ناقص L of F زي إبسلون

307
00:26:20,690 --> 00:26:24,790
على 2 وطبعا إحنا جايلين إن F is integrable يعني

308
00:26:24,790 --> 00:26:28,770
الـ U of F بيساوي L of F، إذا هذي بتروح مع هذي بظل

309
00:26:28,770 --> 00:26:33,610
ايه شماله؟ بظل إبسلون، إذا إحنا لكل إبسلون أكبر من

310
00:26:33,610 --> 00:26:36,950
صفر لجينا بـ بي إبسلون، هي في الواقع بي إبسلون اللي

311
00:26:36,950 --> 00:26:39,970
لجيناها بـ بي واحد اتحاد بي اتنين، حيث بي واحد اللي

312
00:26:39,970 --> 00:26:44,120
لجيناها هان، والـ بي اتنين اللي لجيناها هان such that U

313
00:26:44,120 --> 00:26:49,120
P Y of F نقص L P Y of F أصغر من اللي هو Epsilon

314
00:26:49,120 --> 00:26:57,480
وهو المطلوب، أي سؤال؟ طيب، ماشي يا شباب، الآن خلصنا

315
00:26:57,480 --> 00:27:04,420
الجزء الأول من النظرية، أثبتنا اللي بدنا يا انه اللي

316
00:27:04,420 --> 00:27:08,860
هو هذه العلاقة صحيحة، لأننا نفترض انه suppose that

317
00:27:08,860 --> 00:27:12,380
star holds، اللي هي star، ليه هذه؟ نفترض ان لكل

318
00:27:12,380 --> 00:27:15,380
epsilon أكبر من 0 there exists B of epsilon such

319
00:27:15,380 --> 00:27:18,680
that U B Epsilon و F نقصها دي أصغر من Epsilon و

320
00:27:18,680 --> 00:27:24,280
بدنا نصل من خلالها لإيش؟ لأن ال F is integrable

321
00:27:24,280 --> 00:27:25,760
فنشوف

322
00:27:40,480 --> 00:27:47,440
البرهان بسيط، لو طلعنا عليه مباشرة على اللوح الآن

323
00:27:47,440 --> 00:27:52,140
بدنا نفترض أن هذه تتحقق، اللي هو نفترض أنه لكل ي

324
00:27:52,140 --> 00:27:57,020
أكبر من 0 يوجد بي إبسلون بحيث أن هذا اللي هي تتحقق

325
00:27:57,020 --> 00:28:01,620
عشان أصل بدي أصلكم في النهاية أن L of F هي إيش

326
00:28:01,620 --> 00:28:05,810
بتساوي U of F، شوف كيف بده يصلها، اللي هبدأ أقوللك اللي

327
00:28:05,810 --> 00:28:08,650
هو نفترض انه زي ما قلنا انه star holds اللي حكينا

328
00:28:08,650 --> 00:28:12,990
عنها، لأن for any partition B هيكون ال L B of F

329
00:28:12,990 --> 00:28:17,970
أصغر أو يساوي L of F، و ال U of F أصغر أو يساوي مين؟ ال U

330
00:28:17,970 --> 00:28:25,970
B of F، واضح؟ إذا أصار عيدي الآن L، يمكن أوضحلكم على

331
00:28:25,970 --> 00:28:35,790
اللوح، L of B of F ده ال B أي partition أصغر، مظبوط؟

332
00:28:35,790 --> 00:28:40,910
أو يساوي ال L of F، لانه ال L of F يا جماعة

333
00:28:40,910 --> 00:28:47,330
هو ال supremum اللي هنا، و ال U بيقف

334
00:28:47,330 --> 00:28:53,130
أكبر أو يساوي ال U of F، لانه ال U of F يا جماعة

335
00:28:53,130 --> 00:28:57,950
هو عبارة عن مين؟ عبارة عن ال infimum، إترحولي الجهة

336
00:28:57,950 --> 00:29:01,410
التانية، هذا طبعا لكل مين؟ لكل ال partitions اللي في

337
00:29:01,410 --> 00:29:06,750
الدنيا، من ضمنهم ال P Epsilon اللي احنا ما عطينايا

338
00:29:06,750 --> 00:29:12,250
في الـ .. اللي هو نص النظرية، إذا بسيري عندى لأن لو

339
00:29:12,250 --> 00:29:19,990
اجيب طرحة ال U F ناقص L F، ال U F ناقص L F هيصير إيش

340
00:29:19,990 --> 00:29:23,850
ماله يا جماعة؟ يعني طريقة رحلة من هذه بيصير أصغر

341
00:29:23,850 --> 00:29:28,510
أو يساوي لإن هذه بتضربها في ناقص و هذه ناقص و

342
00:29:28,510 --> 00:29:32,750
بتنقلب زي ما عملنا قبل و شوية بيصير أصغر أو يساوي

343
00:29:32,750 --> 00:29:43,640
U P of F ناقص ال L B of F، هذا الكلام صحيح لإيش؟ لكل

344
00:29:43,640 --> 00:29:48,200
partition في الدنيا من ضمنها المين؟ ال partition

345
00:29:48,200 --> 00:29:52,580
المواطع لنا، يعني حيصير عند هذا ينطبق برضه على ال

346
00:29:52,580 --> 00:29:57,500
بي إبسلون، إذا صار هذا أصغر يسوي بي إبسلون نقص ال

347
00:29:57,500 --> 00:30:01,740
بي إبسلون of F، طيب هم يعطيين إن هذا المقدار إيش

348
00:30:01,740 --> 00:30:06,260
ماله؟ أصغر من إبسلون لأي إبسلون في الدنياهو أنا

349
00:30:06,260 --> 00:30:10,580
بعرف أن هذا المقدار نفسه أكبر أو يساوي إيش؟ صفر، صار

350
00:30:10,580 --> 00:30:17,720
عندي الآن ال U of F ناقص ال L of F دايما أصغر من

351
00:30:17,720 --> 00:30:23,420
إبسلون و أكبر أو يساوي صفر لكل إبسلون أكبر من صفر

352
00:30:23,420 --> 00:30:28,260
إذا على طول من نظرية في تحليل واحد هيكون هذا اللى

353
00:30:28,260 --> 00:30:36,250
عندي إذا U of F ناقص L of F بيساوي صفر، إذا U of F

354
00:30:36,250 --> 00:30:44,850
بيساوي L of F وهذا يعني F is a Riemann Integral هو

355
00:30:44,850 --> 00:30:52,110
المطلوب بيكون احنا هيك أثبتنا اللي هو Integrable

356
00:30:52,110 --> 00:30:58,350
criterion أو اللي هو طريقة لتحديد اللي هو ال

357
00:30:58,350 --> 00:31:02,270
function is integrable أو لا، غير اللي هو طريقة

358
00:31:02,270 --> 00:31:07,110
التعريف، الآن في عند كورولاري بعدها، كورولاري

359
00:31:07,110 --> 00:31:11,530
الكورولاري

360
00:31:11,530 --> 00:31:16,230
هي تقول كما يلي الآن، بدنا نترجم الحديث بدل ما كان

361
00:31:16,230 --> 00:31:22,710
بإبسلون نحكي عن مين؟ عن اللي هو sequence of

362
00:31:22,710 --> 00:31:29,870
partitions، طبعا هو هذا معهود التحويل في نظريات

363
00:31:29,870 --> 00:31:34,590
مشابهة في حتى في كورسات أخرى، خلّينا نشوف عندنا

364
00:31:34,590 --> 00:31:38,790
اللي هو النظرية ايش بـ .. أو الكورلري ايش بتقول

365
00:31:38,790 --> 00:31:43,350
بتقول let I بساوة A و B and let F من I لR be a

366
00:31:43,350 --> 00:31:48,600
bounded function، لأن لو فرضنا بي أن أن element none

367
00:31:48,600 --> 00:31:52,300
is a sequence of partitions of I بحيث أن ال limit

368
00:31:52,300 --> 00:31:55,920
هذا بيساوي صفر، then f is integrable and ال limit

369
00:31:55,920 --> 00:31:58,040
لل integration بيساوي ال integration، بيساوي ال

370
00:31:58,040 --> 00:32:04,480
limit، ال أسف، ال limit لل lower p and f بيساوي ال

371
00:32:04,480 --> 00:32:07,020
limit لل upper p and f اللي هو بيساوي قيمة ال

372
00:32:07,020 --> 00:32:13,000
integration، حتى ال converse يا جماعة اللي هو اللي قبل

373
00:32:13,000 --> 00:32:16,820
بشوية اللي كان .. اللي هي كانت F اندولي F لأن لو

374
00:32:16,820 --> 00:32:21,520
كانت F is integrable، أكيد هلاقي sequence من

375
00:32:21,520 --> 00:32:25,380
partitions بحيث أنه ال limit اللي حاصل الطرح بساوي

376
00:32:25,380 --> 00:32:29,760
صفر، اللي هو البرهان مشابه لإي اللي حكيناه فيه اللي

377
00:32:29,760 --> 00:32:34,500
هو برهان إيجاد الـ B epsilon ولكن هنا بنجد اللي هو

378
00:32:34,500 --> 00:32:37,380
الـ Epsilon بساوية واحد، لأن فبنلاقي اللي هو ال

379
00:32:37,380 --> 00:32:42,380
sequence هذه في ال corollary .. في من مشابه .. شيء

380
00:32:42,380 --> 00:32:45,900
مشابه في برهان النظرية الأولى اللي قبل بشوية و

381
00:32:45,900 --> 00:32:49,360
ياريت تجربوها عندكم، خلينا ناخد اللي .. اللي موجود

382
00:32:49,360 --> 00:32:54,160
حاليا اللي هو الاتجاه هذا، إن لو لجينا sequence of

383
00:32:54,160 --> 00:32:59,430
partitions وكان ال limit لل U P N و F نقص ال L P N و

384
00:32:59,430 --> 00:33:02,870
F بساوة صفر، إذا هتكون F is integrable و هتكون ال

385
00:33:02,870 --> 00:33:07,990
limit للأولى بساوة limit للثانية بساوة قيمة ال

386
00:33:07,990 --> 00:33:08,970
integration

387
00:33:12,900 --> 00:33:17,500
عندما أعطيني limit هذا إيش بساوي؟ صفر، خلّينا ندخل

388
00:33:17,500 --> 00:33:20,580
على التعريف مباشرة، تعريف ال limit، بتعرفوا تعريف ال

389
00:33:20,580 --> 00:33:23,140
limit يا شباب؟ اللي هو لكل إبسلون أكبر من صفر

390
00:33:23,140 --> 00:33:26,160
there exist k such that لكل أن أكبر سوى k بيصير

391
00:33:26,160 --> 00:33:33,200
هذا ناقص هذا أصغر من مين؟ من اللي هو إبسلون، وهذا

392
00:33:33,200 --> 00:33:35,980
على طول يعطينا as integral، خلّيش تشوف أيش اللي

393
00:33:35,980 --> 00:33:43,000
بيقوله، لأن since عند ما أعطيني limit U P N و F ناقص

394
00:33:43,000 --> 00:33:51,240
ال L P N و F as N goes to infinity بساوة صفر، مظبوط؟

395
00:33:51,240 --> 00:33:56,220
هي كل ما أعطينيها نجي للتعريف، إذا تعريف ال

396
00:33:56,220 --> 00:33:58,880
sequence عادية for every epsilon أكبر من صفر there

397
00:33:58,880 --> 00:34:02,680
exists K element in N such that for every N أكبر

398
00:34:02,680 --> 00:34:13,090
سوى K اللي هو عندي ال U P N و F ناقص L P N و F أصغر من

399
00:34:13,090 --> 00:34:19,010
إبسلون، إذا مش لجينا بارتشن واحد لجينا بارتشن بك و

400
00:34:19,010 --> 00:34:22,710
بك زائد واحد و بك زائد اتنين و بك زائد تلاتة كلهم

401
00:34:22,710 --> 00:34:29,110
بسبب إن ال UBK أو ال UBK زائد واحد أو الاخره ناقص

402
00:34:29,110 --> 00:34:32,590
القللها أصغر من 100 من إبسلون، إذا ال criterion

403
00:34:32,590 --> 00:34:36,550
اللي في الكورولاريت حققت، إذا صارت عندي هذه إذا F

404
00:34:36,550 --> 00:34:41,830
is integrable، يعني مش بي إبسلون واحد اللي جينا لأ

405
00:34:41,830 --> 00:34:46,550
من عند بك وطالع كل ال partitions هذه اللي هي بك و

406
00:34:46,550 --> 00:34:49,950
بك زائد واحد و بك زائد اتنين بتعمل عمل ال بي

407
00:34:49,950 --> 00:34:53,510
إبسلون اللي في وين؟ في النظرية، إذا ال F أشمالها

408
00:34:53,510 --> 00:34:58,750
صارت ال F عبارة عن Integrable من النظرية السابقة

409
00:34:58,750 --> 00:35:05,200
الآن الدور دل ان نثبت مين؟ ان ال limit لل اللي هو

410
00:35:05,200 --> 00:35:09,260
هذا المقدار هو limit لهذا المقدار، بساوي إيش؟ اللي

411
00:35:09,260 --> 00:35:12,540
جوا طبعا، هو لو كانت يا جماعة limit هذا نقص هذا صفر

412
00:35:12,540 --> 00:35:15,920
مش معناته ال limit الأول و limit الثاني exist، هاي

413
00:35:15,920 --> 00:35:20,610
مثلا هذه لو كانت هذه un تربيع وهذه un، unterm .. آسف

414
00:35:20,610 --> 00:35:24,610
un تربيع و un تربيع أو un و un، limit un نقص un على

415
00:35:24,610 --> 00:35:27,850
طول صفر، لكن لا limit الأولى عدد ولا limit الثاني

416
00:35:27,850 --> 00:35:33,270
عدد، اتنين اتين بيروحين إلى مالا نهاية، فالان لكن في

417
00:35:33,270 --> 00:35:37,390
هذه الحالة نظرا للمعطيات اللي موجودة و اللي هي

418
00:35:37,390 --> 00:35:40,930
طبيعي اللي هو اللي بنحكي فيه NuF is bounded و ببو

419
00:35:40,930 --> 00:35:45,550
و الاخره، هو استخدام السابق هيطلع عندي فعلا ال

420
00:35:45,550 --> 00:35:50,840
limit لل lower بيساوي limit للأبر بيساوي قيمة ال

421
00:35:50,840 --> 00:36:08,200
integration ماشي اطلعوا يا جماعة عندي الآن خليني

422
00:36:08,200 --> 00:36:15,240
أطلع .. نحط البرهان أمامنا، بدي الآن خلصت اللي هو F

423
00:36:15,240 --> 00:36:21,500
is integrable بدي أستخدم زي جابل بشوية بالظبط اللي 

424
00:36:21,500 --> 00:36:28,570
هو تعريف الـ L of F و U of F وإيش تعريفها ذا ما

425
00:36:28,570 --> 00:36:32,250
بديش أعيد اللي حكيته قبل بشوية، الآن بما أن الـ L of

426
00:36:32,250 --> 00:36:42,370
F عبارة عن اللي هي supremum للـ L B of F، إذا لكل

427
00:36:42,370 --> 00:36:46,610
ي ساوي واحدة لأن there exists B N partition of I

428
00:36:46,610 --> 00:36:50,390
such that L of F ناقص 1 لأن أصغر من مين؟ من الـ L B

429
00:36:50,390 --> 00:36:54,070
N of F زي ما قلت قبل شوية، لو الـ Supremum طرحنا 

430
00:36:54,070 --> 00:36:57,270
اللي هي الـ Least Upper Bound، طرحنا منه أي عدد، 1

431
00:36:57,270 --> 00:37:01,330
على N، إذا هلاجي، هي بطل إيش ماله؟ Upper Bound، إيش

432
00:37:01,330 --> 00:37:04,190
معناه يبطل Upper Bound؟ هيلاجي واحد من المجموعة

433
00:37:04,190 --> 00:37:08,230
أكبر منه، وهذا فعلا اللي لاجينا BN بحيث أن الـ BN

434
00:37:08,230 --> 00:37:13,910
و F أكبر من الـ F ناقص 1 لأن، الآن من هذا .. من 

435
00:37:13,910 --> 00:37:16,670
.. من .. من ال .. ال .. ال .. ناخذ هذا على الطرف 

436
00:37:16,670 --> 00:37:19,970
الثاني على الطرف هنا، و ناخذ هذا على الطرف هذا بصير

437
00:37:19,970 --> 00:37:23,890
عندي L of F ناقص Lb of F أصغر من 1 الآن وأنا

438
00:37:23,890 --> 00:37:28,670
بعرف أن هذا دايما أكبر يساوي هذا لأن هذا الـ

439
00:37:28,670 --> 00:37:32,410
supremum منهم، إذا أنا هيكون أكبر يساوي صفر، الآن

440
00:37:32,410 --> 00:37:38,440
خدوا الـ limit للجهتين as n goes to infinity بيصير

441
00:37:38,440 --> 00:37:43,160
عندي هذا اللي هي limit

442
00:37:43,160 --> 00:37:48,060
لـ L بيقل نوف أف، حيث الـ L أوف أف لإنه حيثير الـ

443
00:37:48,060 --> 00:37:53,720
limit هذا أيش بيساوي؟ بيساوي صفر، واضحالان يا جماعة

444
00:37:53,720 --> 00:37:58,400
عندي الـ L of F ناقص الـ P L of F أصغر من 1 لأنه

445
00:37:58,400 --> 00:38:03,660
أكبر يساوي صفر لأن معله، الآن هذا لكل إبسلون اللي هو

446
00:38:03,660 --> 00:38:07,300
1 لأن لجينا partition يعني للإبسلون بيساوي

447
00:38:07,300 --> 00:38:09,360
1، لجينا بيه 1، للإبسلون بيساوي 2 بيه 

448
00:38:09,360 --> 00:38:12,160
2، للإبسلون 3 بيه 3 إذا صار عندي

449
00:38:12,160 --> 00:38:16,580
sequence of اللي هي إيش partitions الآن طلع عندي

450
00:38:16,580 --> 00:38:20,460
دائما دائما دائما L of F ناقص الـ PN of F أصغر من

451
00:38:20,460 --> 00:38:25,440
1 على N لكل N، الآن as N goes to infinity هذا الـ

452
00:38:25,440 --> 00:38:30,620
limit هيصير صفر، وهذا صفر، إذا هيصير limit هذا as N

453
00:38:30,620 --> 00:38:33,200
goes to infinity بيساوي صفر لكن الـ L of F أصلا

454
00:38:33,200 --> 00:38:37,860
independent of N إذا هيصير limit PN of F as N goes

455
00:38:37,860 --> 00:38:43,720
to infinity بيساوي L of F لأن المواضحات لوش يا شباب

456
00:38:43,720 --> 00:38:52,360
limit L of F ناقص L B N و F هيساوي 0 as N goes to

457
00:38:52,360 --> 00:38:56,920
infinity وهذا المقدار عبارة عن مقدار ثابت

458
00:38:56,920 --> 00:39:04,740
independent of N إذا هيصير عندي limit L B N و F

459
00:39:04,740 --> 00:39:10,540
بتساوي limit L of F ناقص

460
00:39:17,660 --> 00:39:27,170
L of P L و F زائد L of F مظبوط؟ طيب هذا الآن

461
00:39:27,170 --> 00:39:33,590
المقدار معروف أنه بيساوي 0 وهذا ثابت إذا بقدر أوزع

462
00:39:33,590 --> 00:39:37,210
الـ limit على الجهتين وأنا مرتاح، إذا بيساوي limit

463
00:39:37,210 --> 00:39:42,950
الأول اللي هو 0 زائد limit الثاني نفسه لأنه ثابت

464
00:39:42,950 --> 00:39:46,450
إذا صار عندي limit L P N of F as N goes to

465
00:39:46,450 --> 00:39:54,710
infinity بيساوي L of F كما هو حكينا عنه حقا، من جهة

466
00:39:54,710 --> 00:39:58,650
أخرى limit الـ U ناقص limit الـ L المعطيلة هي بيساوي

467
00:39:58,650 --> 00:40:03,490
0، إذا صار عندي سهل أن أوجد mean برضه limit الـ U

468
00:40:03,490 --> 00:40:08,990
اللي هو limit الـ U إيش هيساوي؟ ناقص اللي هو .. الـ

469
00:40:08,990 --> 00:40:12,670
.. ال .. هيساوي limit الـ L of F، يساوي الـ U of F

470
00:40:12,670 --> 00:40:17,270
يساوي ال integration أكثر توضيحاً، and بيهاجدى

471
00:40:17,270 --> 00:40:22,420
أعتقد أنه واضح، لكن خلينا نوضحه بشكل أكبر عشان

472
00:40:22,420 --> 00:40:34,100
ما يضلش مشي عندي limit U P N of F إيش هيساوي؟ هيساوي

473
00:40:34,100 --> 00:40:44,560
اللي هو limit U

474
00:40:44,560 --> 00:40:49,740
P N of F

475
00:40:52,490 --> 00:40:58,090
limit U P N و F ناقص

476
00:40:58,090 --> 00:41:07,810
L of P N of F زائد L P N of F واضحة يا شباب أه؟

477
00:41:07,810 --> 00:41:12,690
الآن هذا مضمون أنه موجود وصفر وهذا مضمون و

478
00:41:12,690 --> 00:41:18,350
أثبتناه، إيش بيساوي؟ L of F إذا إيش صار بيساوي؟

479
00:41:18,350 --> 00:41:21,810
بيساوي اللي هو هذا صفر، إذا صار بيساوي أقل و فأف

480
00:41:21,810 --> 00:41:25,510
إذا صار هذا برضه بيساوي أقل و فأف، لكن أنا مثبت قبل

481
00:41:25,510 --> 00:41:29,610
بشوية أن الـ F is integrable يعني الـ U في F إيش

482
00:41:29,610 --> 00:41:34,550
هتساوي؟ اللي أقل و فأف، وهذه أثبتناها إيش بتساوي؟

483
00:41:34,550 --> 00:41:39,350
limit U P N و F وهذه نفسها أثبتناها قبل بشوية إيش

484
00:41:39,350 --> 00:41:46,070
بتساوي؟ limit L P N و F وهو المطلوب طبعاً، مدام

485
00:41:46,070 --> 00:41:49,370
integration هذه، وهذه هي عبارة عن ال integration

486
00:41:49,370 --> 00:41:55,410
على الفترة اللي بنحكي عنها، الإنقلا بيه لقيمة الـ F

487
00:41:55,410 --> 00:42:01,710
لأن صار عندي كل القيام هذه متساوية، وصار عندي إيجاد

488
00:42:01,710 --> 00:42:07,610
الـ limit للـ U P N و F أو limit للـ L P N و F يكفي

489
00:42:07,610 --> 00:42:11,330
أنه نوجد فيه قيمة الـ integration بعد ما أثبتناه أو

490
00:42:11,330 --> 00:42:16,260
تحت الظروف اللي هي في الكورو الأخرى، لأ نيجي بدنا

491
00:42:16,260 --> 00:42:22,660
نبرهن اللي هو المثال اللي برهناه المرة الماضية

492
00:42:22,660 --> 00:42:27,660
بالتعريف بدنا نبرهنه بواسطة اللي هي الـ corollary

493
00:42:27,660 --> 00:42:33,060
اللي عندنا بدنا نبرهن اللي هو اللي هي نثبت أنه

494
00:42:36,170 --> 00:42:42,070
نثبت أن F of X بساوة X يا شباب عبارة عن Integrable

495
00:42:42,070 --> 00:42:45,770
أو اللي سمناها G of X بساوة X is Integrable على

496
00:42:45,770 --> 00:42:48,830
الفترة Zero واحد، المرة الماضية أثبتناها كيف؟

497
00:42:48,830 --> 00:42:54,230
أثبتناها زي ما أنتم متذكرين بواسط التعريف، مظبوط؟

498
00:42:54,230 --> 00:42:58,610
طيب جيبنا اللي هو الـ upper sum والـ lower sum و

499
00:42:58,610 --> 00:43:02,930
بعدين جيبنا الـ upper integral والـ lower integral

500
00:43:02,930 --> 00:43:04,750
و أثبتنا أن الـ upper integral بساوي الـ lower

501
00:43:04,750 --> 00:43:08,760
integral وخلصناه، الآن بدنا نثبتها بطريقتنا اللي هي 

502
00:43:08,760 --> 00:43:12,540
على الكورولر اللي جابل بشوية عند g of x ساوة x على

503
00:43:12,540 --> 00:43:16,600
الفترة 0 بواحد، هي المطلوب إثباتها show that g is

504
00:43:16,600 --> 00:43:20,940
integrable على هذه الفترة، الآن بديش أعيد اللي

505
00:43:20,940 --> 00:43:23,850
حكيته المرة الماضية، اللي حكيناه المرة الماضية، من

506
00:43:23,850 --> 00:43:26,910
الـ Example اللي أثبتنا فيه إنها Integra بالبواسطة

507
00:43:26,910 --> 00:43:31,470
اللي هي التعريف أخدنا P N اللي هو صفر واحد على N

508
00:43:31,470 --> 00:43:34,910
واثنين على N، وان ناقص 1 على N لعند الواحد، أخدنا

509
00:43:34,910 --> 00:43:39,290
اللي هو عبارة عن Any Partition اللي هو بالطريقة

510
00:43:39,290 --> 00:43:43,710
اللي أمامي، يعني حسب N بيصير بختلف الـ Partition أما

511
00:43:43,710 --> 00:43:46,730
إيش فكرة الـ Partition زي ما قلنا المرة الفائتة من

512
00:43:46,730 --> 00:43:51,350
0 لعند 1 جزأناها إلى أجزاء متساوية إلى N من

513
00:43:51,350 --> 00:43:55,350
الأجزاء المتساوية صار طول كل sub integral عبارة عن

514
00:43:55,350 --> 00:44:00,850
إيه؟ إيش عبارة عن 1 على N، وأوجدنا في حينه اللي هو

515
00:44:00,850 --> 00:44:08,470
الـ U P N O G ولاجناها بتساوي إيه ده؟ بتتذكروا نص في

516
00:44:08,470 --> 00:44:13,710
1 زائد 1 على N، وأوجدنا برضه الـ P N O G

517
00:44:13,710 --> 00:44:18,910
ولاجناها عبارة عن نص في 1 ناقص 1 على N كما

518
00:44:18,910 --> 00:44:26,960
أذكر ماشي الحال فعلاً طيب، الآن صار عندي الـ PN في

519
00:44:26,960 --> 00:44:29,780
الواقع عبارة عن sequence of partitions

520
00:44:35,190 --> 00:44:39,110
هذه صارت sequence of partitions، بواحد بتعود عن أنا

521
00:44:39,110 --> 00:44:42,750
بواحد، باتنين كده، بتلاتة كده، بأربعة كده، وفي كل

522
00:44:42,750 --> 00:44:47,270
الأحوال الـ U, B, N و G انحروا لهيها، والـ L, B, N

523
00:44:47,270 --> 00:44:51,490
و G بساوي إيش المقدار الأمامي؟ الآن عشان أثبت إنها

524
00:44:51,490 --> 00:44:56,590
integrable يكفي من النظرية الكورولاري إن قاعد أقول

525
00:44:56,590 --> 00:45:03,290
طب خلينا نشوف limit الـ U, B, N و G ناقص الـ L, B, 

526
00:45:03,450 --> 00:45:09,840
N و G as n goes to infinity بساوة إيه يا عشان بساوة

527
00:45:09,840 --> 00:45:16,360
صفر نشوفها صح ولا لأ؟ طبعاً أكيد مع حسبة بسيطة

528
00:45:16,360 --> 00:45:24,580
احسبليها بساوة limit نص في 1 زيادة 1 لأن زيادة 

529
00:45:24,580 --> 00:45:28,600
نص في 1 ناقص 1 لأن as n goes to infinity

530
00:45:28,600 --> 00:45:32,260
هذه صفر وهذه صفر وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص

531
00:45:32,260 --> 00:45:32,340
وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص

532
00:45:32,340 --> 00:45:32,920
وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص

533
00:45:32,920 --> 00:45:38,340
وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص

534
00:45:38,340 --> 00:45:45,580
وهذه اللي هو y ساوي نص ناقص النص، y ساوي صفر واضح أهي

535
00:45:45,580 --> 00:45:50,120
عندي اللي هو هاد صفر وهاد صفر ونص ناقص النص، y

536
00:45:50,120 --> 00:45:54,920
ساوي صفر، مادام صفر إذا إيه شمالها؟ إذا the function

537
00:45:54,920 --> 00:46:02,720
d of x ساوي x is integrable on zero واحد هذا by

538
00:46:02,720 --> 00:46:06,560
mean by الـ corollary اللي قبل بشوية

539
00:46:15,600 --> 00:46:19,420
الآن قيمة الـ integration إيش هيكون؟ قيمة الـ limit

540
00:46:19,420 --> 00:46:24,280
limit u, b, n, g هيقدر الغرض، و limit l of n of g

541
00:46:24,280 --> 00:46:29,320
هيقدر الغرض ليش؟ لأن limit هذا أصلاً هيطلع لك limit

542
00:46:29,320 --> 00:46:35,710
الـ u, b, n و g هو عبارة عن قيمة integration من A لـ

543
00:46:35,710 --> 00:46:42,370
B حسب النظرية الـ Corollary ويساوي limit 2.5 في 1

544
00:46:42,370 --> 00:46:48,600
زائد 1 ل N ويساوي هذا تروح لـ 0، ويساوي نص، وأيضاً

545
00:46:48,600 --> 00:46:54,080
لو جربت حسب تاب limit الـ b, n و g طبعاً هيطلع نفس

546
00:46:54,080 --> 00:46:58,200
الجواب، وإلا إن كان هناك مشكلة لدينا limit نص في

547
00:46:58,200 --> 00:47:02,340
1 ناقص 1 على n ويساوي برضه جدياش نص؟ إذن

548
00:47:02,340 --> 00:47:06,700
قيمة الـ integration بساوة نص، إذن هذه طريقة أخرى

549
00:47:06,700 --> 00:47:11,780
لحساب اللي هو أو لإثبات أن g of x بساوة x is

550
00:47:11,780 --> 00:47:17,560
integrable الآن بدنا ندخل على أمر آخر، الأمر هو في

551
00:47:17,560 --> 00:47:24,500
الواقع يا شباب أنه بدنا نشوف إيش في من عائلات

552
00:47:24,500 --> 00:47:28,400
الدوال، عائلات الدوال إنها تكون Integrable الآن

553
00:47:28,400 --> 00:47:31,720
بدنا نيجي نحوش الدوال الـ Integrable إحنا عرفنا بس

554
00:47:31,720 --> 00:47:36,500
ده لأ D of X سو X is Integrable وهنلاقي زيها لكن

555
00:47:36,500 --> 00:47:40,960
الآن بدنا نيجي نحكي عن دوال اللي هو عائلات من

556
00:47:40,960 --> 00:47:45,480
الدوال، الأول عائلة من العائلات المهمة اللي هي الـ

557
00:47:45,480 --> 00:47:48,960
monotone functions يعني الدوال اللي بتكون يا

558
00:47:48,960 --> 00:47:52,360
increasing على كل الفترة يا decreasing على كل

559
00:47:52,360 --> 00:47:59,320
الفترة، بقول لكم هذا على اللي هي F من F الـ function

560
00:47:59,320 --> 00:48:04,000
لو كانت bounded لو كانت monotone على اللي هي 

561
00:48:04,000 --> 00:48:09,660
على طول integrable إذن closed bounded interval I 

562
00:48:09,660 --> 00:48:16,700
عيلة كبيرة عيلة الدوال اللي بتكون يا increasing يا

563
00:48:16,700 --> 00:48:22,380
decreasing على كل الفترة a و b هذه مضمون أن تكون

564
00:48:22,380 --> 00:48:26,980
الدوال ايه شمالها عبارة عن integrable functions

565
00:48:26,980 --> 00:48:35,090
إذا أول إعلان الآن اللي هو any monotone function on

566
00:48:35,090 --> 00:48:40,850
a closed bounded interval is integrable وهذا اللي

567
00:48:40,850 --> 00:48:47,090
هو عنواننا integrability of monotone functions لـ I

568
00:48:47,090 --> 00:48:51,650
بتساوي A و B و لـ F من I لـ R بيكون مونوتون فانكشن

569
00:48:51,650 --> 00:48:57,370
on I ثم F أشمالها is integrable on I نفترض أن F

570
00:48:57,370 --> 00:49:03,110
انتقل هو مونوتور نصل إليها integrable نفترض أن F

571
00:49:03,110 --> 00:49:09,440
مثلا increasing ونصل إنها integrable و similarly

572
00:49:09,440 --> 00:49:14,560
وفعلا similarly لو كانت f is decreasing هتكون برضه

573
00:49:14,560 --> 00:49:21,500
is integrable خلينا مع بعض شباب نفترض suppose

574
00:49:21,500 --> 00:49:31,240
that f is increasing يعني الدالة على الفترة هي a

575
00:49:31,240 --> 00:49:37,760
و b مثلا والدالة هتكون أشمالها تزايدية يا هيك يا هيك

576
00:49:37,760 --> 00:49:41,620
طبعا حسب مش مشكلة بتفرج أشمالها ماشي الحال اللي هي

577
00:49:41,620 --> 00:49:47,060
الدالة أشمالها is increasing is increasing بتدخل

578
00:49:47,060 --> 00:49:53,500
الآن بي أن اللي هو عبارة عن any partition اللي هو

579
00:49:55,970 --> 00:50:00,970
بس بدي أجزه زي منهج اللي عملته معه اللي هو f of x

580
00:50:00,970 --> 00:50:05,370
بساوي x اللي قبله شوية بدي أجزه إلى أجزاء متساوية

581
00:50:05,370 --> 00:50:11,130
يعني بدي أجز الفقرة a و b إلى أجزاء متساوية الأولى

582
00:50:11,130 --> 00:50:15,730
بدي أسميها x note اللي بعدها x1 اللي بعدها x2 لما

583
00:50:15,730 --> 00:50:21,780
أصل لآخر 11 أسميها xn ونكون طول كل واحدة متساوية

584
00:50:21,780 --> 00:50:26,340
للثانية إذا الآن إذا بدي أجزئها إلى N إلى N من ال

585
00:50:26,340 --> 00:50:30,240
sub intervals بيصير طول كل فترة عبارة عن B minus A

586
00:50:30,240 --> 00:50:35,080
على مين؟ على N طول الفترة على عدد الفترات اللي

587
00:50:35,080 --> 00:50:39,400
بتديها أنا بدّي الفترات إيش عددها؟ N فبيصير عند بي

588
00:50:39,400 --> 00:50:43,320
ماينس إيه على مين على N هذا طول الفترة يعني الفترة

589
00:50:43,320 --> 00:50:47,740
النموذجية لأي K X K minus X K minus واحد هيتمكن

590
00:50:47,740 --> 00:50:52,560
طولها عبارة عن بي ماينس إيه على N for every K كيه

591
00:50:52,560 --> 00:50:56,000
طبعا إيه أشمالها؟ يا ما بيساوي Zero يا واحد، لعند

592
00:50:56,000 --> 00:51:01,100
ماصل، لعند مين؟ لعند N أو K بيساوي واحد لعند N

593
00:51:04,810 --> 00:51:10,230
xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n

594
00:51:10,230 --> 00:51:14,230
-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n

595
00:51:14,230 --> 00:51:14,590
-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n

596
00:51:14,590 --> 00:51:17,070
-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n

597
00:51:17,070 --> 00:51:25,770
-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n لأ لو جينا هذا increasing

598
00:51:25,770 --> 00:51:30,170
مدام increasing إذن الـ Mk اللي هي عبارة عن ال

599
00:51:30,170 --> 00:51:35,510
supremum اللي هنا supremum لهذه Mk ال supremum

600
00:51:35,510 --> 00:51:39,910
اللي هنا هيكون على أخر واحدة لأن أجملها ده لا is

601
00:51:39,910 --> 00:51:45,510
increasing إذن هيكون ال Mk هو F of XK رسم عنها

602
00:51:45,990 --> 00:51:51,210
بساوي F of X K طيب ال M K Small أكيد هيقولنا كلكم

603
00:51:51,210 --> 00:51:54,010
هتقوله بتساوي ال M في معمع الفترة مدام ال M في

604
00:51:54,010 --> 00:51:57,370
معمع الفترة إذا أول واحدة فيهم إذا هو F of X K

605
00:51:57,370 --> 00:52:04,530
minus واحد، مظبوط شباب؟ طيب، مظبوط هذه اللي هي

606
00:52:04,530 --> 00:52:10,750
مالها الدالة اللي بتكون monotone عندي،

607
00:52:10,750 --> 00:52:21,840
احسبلي الآن ال U P N و F نقص الـ BNOF إيش هيساوي؟

608
00:52:21,840 --> 00:52:26,840
جهزة الأمور بساوي الـ summation لمين؟ للـ MK

609
00:52:26,840 --> 00:52:36,190
Capital في XK نقص XK minus واحدك من عند 1 لعند n

610
00:52:36,190 --> 00:52:44,370
نقص summation mk في xk minus xk minus 1 k من عند 1

611
00:52:44,370 --> 00:52:49,440
لعند n ويساوي الـ Mk وجدناها، اللي هي عبارة عن مين؟

612
00:52:49,440 --> 00:52:55,420
F of Xk ويساوي الـ summation للـ F of Xk في مين

613
00:52:55,420 --> 00:53:00,200
مضروبة؟ في هذه، هذه كده طولها ثابت، ما احنا هيك

614
00:53:00,200 --> 00:53:02,540
على هذا الأساس إذا اخترنا الـ sequence of

615
00:53:02,540 --> 00:53:05,320
partitions اللي عندنا، اللي هو طوالث في

616
00:53:05,320 --> 00:53:09,580
subintervals ثابتة، كل واحد اسمه يشمله B minus A

617
00:53:09,580 --> 00:53:14,250
على N، هذا K من واحد إن عندنا ناقص خليني أضعه في

618
00:53:14,250 --> 00:53:18,550
summation 1 ناقص نفس القصة اللي هي m k small إيش

619
00:53:18,550 --> 00:53:23,710
هي يا جماعة اتفاقنا عبارة عن f of x k minus 1 في

620
00:53:23,710 --> 00:53:27,610
هذه خليني أخدها عامل مشترك بعد إذنكم لإن هو

621
00:53:27,610 --> 00:53:31,070
موجودة هنا وموجودة هنا خليني أطلّحها برا واضحة

622
00:53:31,070 --> 00:53:36,070
أشيل هذه برا بيصير اللي هو مضروبة في b minus a على

623
00:53:36,910 --> 00:53:42,350
و أصلا هذه ثابتة بالنسبة لل summation ليش؟ لأن ال

624
00:53:42,350 --> 00:53:46,110
summation العداد K من واحد عندنا أن هذه N ثابتة

625
00:53:46,110 --> 00:53:52,870
بالنسبة لل K لذلك بتساوي B minus A على N مضروبة في

626
00:53:52,870 --> 00:53:59,280
مين في ال summation للـ f of x k minus f of x k

627
00:53:59,280 --> 00:54:03,840
minus واحد k من عند واحد لعند مين يا جماعة لعند ان

628
00:54:03,840 --> 00:54:07,920
بعدين the is and could بدي أفرطها هذه بيصير عندي y

629
00:54:07,920 --> 00:54:14,880
ساوي هذا اللي هو مين كله اللي جاعت بحسبه ال u,b,n

630
00:54:14,880 --> 00:54:19,320
و f ناقص ال b,n و f هيسوي هذا المقدار اللي هو b

631
00:54:19,320 --> 00:54:25,970
minus a على المضروب فيه الآن ال summation عبارة عن

632
00:54:25,970 --> 00:54:32,630
k ب 1 بصير f of x 1 ناقص f of x naught اللي بعدها

633
00:54:32,630 --> 00:54:40,170
k ب 2 زائد f of x 2 ناقص f of x 1 اللي بعدها زائد

634
00:54:40,170 --> 00:54:46,130
f of x 3 ناقص f of x 2 لما نقضى اللي ماشي لأخر

635
00:54:46,130 --> 00:54:53,140
واحد بكون عندي f of x n ناقص f of x n ناقص واحد

636
00:54:57,360 --> 00:55:04,840
F of X1 بيطير مع سالب F of X1 و F of X2 بيطير مع

637
00:55:04,840 --> 00:55:09,840
سالب F of X2 و هكذا بظل ماشي لما كله يروح مع كله

638
00:55:09,840 --> 00:55:16,640
ما عدا بظل عندي اللي هو أول قيمة اللي هي F of X

639
00:55:16,640 --> 00:55:22,660
note بالسالب مع F of Xn الأخيرة بالموجب بيصير عندي

640
00:55:22,660 --> 00:55:34,740
Y ساوي B minus A على N في F of Xn ناقص F of X0 طبعا

641
00:55:34,740 --> 00:55:39,420
Xn آخر واحدة اللي هي B و X0 أول واحدة اللي هي A

642
00:55:39,420 --> 00:55:46,580
إذن هيساوي هذا عبارة عن B minus A في F of B minus

643
00:55:46,580 --> 00:55:53,150
F of A الكل هذا مجسوم على مين يا جماعة؟ على N هذا

644
00:55:53,150 --> 00:55:58,090
عبارة عن ثابت وهذا عبارة عن ثابت وهذا الآن هي اللي

645
00:55:58,090 --> 00:56:03,670
بدلالتها كُتِب ال partitions إذا صار عندي الآن بعد

646
00:56:03,670 --> 00:56:07,230
كل اللي حكيته هنا أخدت ال بي أن بالشكل اللي أمامي

647
00:56:07,230 --> 00:56:12,190
عبارة عن sequence of partitions ووصلنا إلى ما

648
00:56:12,190 --> 00:56:17,890
لاقيا ليه يا جماعة اللي هو وصلنا أن ال you بي أن و

649
00:56:17,890 --> 00:56:26,260
أف ناقص ال بي أن و أف أصغر أو يساوي طبعا أكيد أكبر

650
00:56:26,260 --> 00:56:29,600
يساوي صفر لأن هذا دايما أكبر يساوي هذا أصغر يساوي

651
00:56:29,600 --> 00:56:36,140
B minus A ف F of B أكيد عرفت أشهد أساوي نقص F of A

652
00:56:36,140 --> 00:56:41,720
على اللي هو N الـ N خد ال limit للجهتين as N goes

653
00:56:41,720 --> 00:56:45,160
to infinity as N goes to infinity هذا goes to zero

654
00:56:45,160 --> 00:56:51,730
وهذا أصلا صفر فبيصير عندي limit إذا .. إذا limit ال

655
00:56:51,730 --> 00:56:59,290
U P N و F ناقص الـ L P N و F as N goes to infinity

656
00:56:59,290 --> 00:57:04,210
بساوي سفر إذا صار عندي sequence of partitions تحقق

657
00:57:04,210 --> 00:57:07,730
لهذا إذا حسب الـ Corollary اللي حكيتها قبل بشوية

658
00:57:07,730 --> 00:57:17,130
إذا F is integrable وهو المطلوب إذا صار عندي أي

659
00:57:17,130 --> 00:57:21,850
increasing function is integrable similarly for

660
00:57:21,850 --> 00:57:26,170
decreasing لماذا similarly لأنه تصبح الدالة بدل ما

661
00:57:26,170 --> 00:57:30,950
هي طالع هيك تصبح أشمالها نازلة نزول الدالة فبصير

662
00:57:30,950 --> 00:57:35,430
عندك اللي هو ال maximum هي الأولى أو ال supremum

663
00:57:35,430 --> 00:57:41,920
هي أف بصير الـ MK بسوء F of XK minus واحد و الـ MK

664
00:57:41,920 --> 00:57:46,760
بسوء F of XK و بيتكاملوا البرهان بنفس الطريقة، هيطلع

665
00:57:46,760 --> 00:57:52,040
عندكم البرهان automatic وبشكل سهل وبشكل سلس،

666
00:57:52,040 --> 00:57:58,500
similar أي سؤال؟ إذن الإعلان اللي أعلنناه قبل

667
00:57:58,500 --> 00:58:04,800
بشوية أنه any monotone function يعني any increasing

668
00:58:04,800 --> 00:58:08,780
function on a closed bounded interval must be

669
00:58:08,780 --> 00:58:15,740
integrable and any decreasing function on a closed

670
00:58:15,740 --> 00:58:20,420
bounded interval برضه must be integrable إذا صار

671
00:58:20,420 --> 00:58:26,060
في عنا عائلة كاملة من الدوال القابلة للتكامل بواسط

672
00:58:26,060 --> 00:58:32,160
التكامل remand الآن بدنا ننتقل إلى عائلة أخرى

673
00:58:32,160 --> 00:58:38,300
وعائلة لا تقل أهمية عن هذه العائلة وعائلة يعني

674
00:58:38,300 --> 00:58:45,560
محبوبة عنها اللي هي اللي

675
00:58:45,560 --> 00:58:53,960
هي عائلة الدوال المتصلة اللي هي integrable of

676
00:58:53,960 --> 00:58:56,140
continuous functions

677
00:59:00,850 --> 00:59:06,130
اللي هي integrability of continuous functions

678
00:59:06,130 --> 00:59:12,210
النظرية بتقول ما يلي لـ أ .. طبعا عندي ال function

679
00:59:12,210 --> 00:59:16,410
على closed bounded interval لـ F من I لـ R be

680
00:59:16,410 --> 00:59:20,750
continuous on I then F is integrable on I إذا الآن

681
00:59:20,750 --> 00:59:24,230
any continuous function on a closed bounded

682
00:59:24,230 --> 00:59:29,600
interval must be integrable كمان مرة any continuous

683
00:59:29,600 --> 00:59:33,840
function on a closed bounded interval must be

684
00:59:33,840 --> 00:59:38,920
integrable طبعا حيزنا في البرهان شغلة اللي هي

685
00:59:38,920 --> 00:59:45,080
أخدناها سابقا أنه Any continuous function on a

686
00:59:45,080 --> 00:59:49,840
closed bounded interval must attain its maximum

687
00:59:49,840 --> 00:59:57,800
and minimum on this interval بمعنى

688
00:59:57,800 --> 01:00:01,970
آخر هنلاقيلو كانت F is continuous على اللي هو الـ

689
01:00:01,970 --> 01:00:05,990
A و الـ B هنلاقي نقطة في داخل الفترة A و B بحيث

690
01:00:05,990 --> 01:00:09,570
أنها تكون الـ F عندها نقطة maximum و هنلاقي نقطة

691
01:00:09,570 --> 01:00:12,750
أخرى في داخل هذه الفترة هنلاقي اللي هي الـ

692
01:00:12,750 --> 01:00:15,930
function عندها أشمالها is minimum طبعا absolute و

693
01:00:15,930 --> 01:00:24,180
absolute نيجي نشوف .. نيجي للبرهان الآن .. نظرية

694
01:00:24,180 --> 01:00:28,540
أخرى أيضا .. برضه خلينا نقولها أن لو كانت F is

695
01:00:28,540 --> 01:00:32,580
continuous على closed bounded interval then F is

696
01:00:32,580 --> 01:00:43,820
uniformly continuous الآن F .. عند F من A و B لعند

697
01:00:43,820 --> 01:00:51,090
R is continuous on A و B continuous عالمين على

698
01:00:51,090 --> 01:00:54,450
closed bounded interval في عندنا نظرية اللي بتقول

699
01:00:54,450 --> 01:00:58,270
any continuous function في الواحد on a closed

700
01:00:58,270 --> 01:01:02,230
bounded interval must be uniformly continuous إذا 

701
01:01:02,230 --> 01:01:10,030
then f is uniformly continuous

702
01:01:10,730 --> 01:01:15,290
on a و b ايش يعني uniformly continuous يعني لكل 

703
01:01:15,290 --> 01:01:18,810
ابسلون أكبر من صفر there exist دلتا أكبر من صفر

704
01:01:18,810 --> 01:01:22,990
دلتا بس بتعتمد عالميا على ابسلون بتنفع لكل ال X و

705
01:01:22,990 --> 01:01:30,810
ال Y such that if X minus Y أو U ناقص V زي ما هو

706
01:01:30,810 --> 01:01:40,200
مسميها U minus V أصغر من دلتا then F of U ناقص F of 

707
01:01:40,200 --> 01:01:49,800
V أصغر من إبسلون لكل UV element in A أو B إذن لكل y

708
01:01:49,800 --> 01:01:52,900
أكبر من 0 there exists Delta دلتا لا بتعتمد

709
01:01:52,900 --> 01:01:56,280
على مين بس على إبسلون في حالة ال continuity

710
01:01:56,280 --> 01:02:01,560
العادية بنقول إحنا limit f of x as x بتروح لل a

711
01:02:01,560 --> 01:02:07,260
بساوي ايش f of a بنقول الآن إنه limit f of x بساوي

712
01:02:07,260 --> 01:02:13,450
f of a as x بتروح لل a لكل إبسلون أكبر من 0  هصب مين

713
01:02:13,450 --> 01:02:18,070
بالـ a هذه there exist دي و لكل a element in a

714
01:02:18,070 --> 01:02:23,270
there exist delta such that اللي لما يكون x minus

715
01:02:23,270 --> 01:02:27,190
a أصغر من delta بيعطينا f of x ناقص f of a أصغر من

716
01:02:27,190 --> 01:02:32,550
إبسلون يعني بيكون الـ delta هنا تعتمد على الإبسلون

717
01:02:32,550 --> 01:02:37,550
وتعتمد على ال a اللي عندها ال continuity لكن في الـ

718
01:02:37,550 --> 01:02:41,890
Uniform Continuous الـ Delta اللي اللي جيت هنا

719
01:02:41,890 --> 01:02:47,510
بتنفع لكل اللي هو ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

720
01:02:47,510 --> 01:02:47,890
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

721
01:02:47,890 --> 01:02:47,910
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

722
01:02:47,910 --> 01:02:48,290
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

723
01:02:48,290 --> 01:02:48,530
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

724
01:02:48,530 --> 01:02:50,270
ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال

725
01:02:50,270 --> 01:02:50,330
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

726
01:02:50,330 --> 01:02:50,410
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

727
01:02:50,410 --> 01:02:54,250
.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..

728
01:02:54,250 --> 01:02:59,970
ال .. ال ..F is continuous، إذن يُنفرم الـ

729
01:02:59,970 --> 01:03:02,650
continuous، إيش معناته؟ كل إبسلون أكبر من صفر،

730
01:03:02,650 --> 01:03:05,490
there exists دلتا، بحيث إن U minus V أصغر من دلتا

731
01:03:05,490 --> 01:03:08,690
يعطيني F of U ناقص F of V أصغر من إيش، من إبسلون،

732
01:03:08,690 --> 01:03:11,870
وخلّي هذه إيش مالها في الذاكرة، أنا عشان الحسابات

733
01:03:11,870 --> 01:03:15,890
بدي أخليها إبسلون على مين، على B minus A، طول

734
01:03:15,890 --> 01:03:19,070
الفترة اللي أنا بشتغل عليها، هتشوفوا ليش كتبت هيك،

735
01:03:19,070 --> 01:03:22,720
بس لا الحسابات بقدر أه بقدر لإن هو أصغر .. أه بقدر

736
01:03:22,720 --> 01:03:25,140
خليه أصغر من الـ Epsilon في الدنيا من ضمن إن كل

737
01:03:25,140 --> 01:03:27,520
الـ Epsilon عن الـ B minus A لكل الـ Epsilonات

738
01:03:27,520 --> 01:03:34,040
اللي في الدنيا طيب لأن شوف وين بده أروح، بده أروح

739
01:03:34,040 --> 01:03:39,250
لـ Integrability لـ الـ function F الآن خُد n الآن

740
01:03:39,250 --> 01:03:42,190
بدنا نعمل partitions بدنا نجيب sequence of

741
01:03:42,190 --> 01:03:45,890
partitions Bn ال sequence of partitions هذه هي

742
01:03:45,890 --> 01:03:50,010
اللي هتخدمني هتخدمني متى؟ بعد شوية بتشوفوا ليش

743
01:03:50,010 --> 01:03:54,110
هتخدمني لكل الأنات اللي وين ما لإن اللي أكبر من ال

744
01:03:54,110 --> 01:03:59,370
B minus A على مين؟ على ال delta اللي لجيتها إذا

745
01:03:59,370 --> 01:04:04,130
اللي صارت ال delta بين إيديا إذا بقولك الآن choose

746
01:04:05,140 --> 01:04:12,320
N element in N such that ما لها N أكبر من B minus

747
01:04:12,320 --> 01:04:17,620
A على مين على دلتا برضه B minus A عشان الحسبان N

748
01:04:17,620 --> 01:04:21,240
أكبر من B minus A على مين على دلتا يعني الآن أنا

749
01:04:21,240 --> 01:04:26,920
بحكي بحكي عن الأنات اللي بكون أكبر من B minus A

750
01:04:26,920 --> 01:04:31,460
على مين على الدلتا اللي لجيتها فوق عندي في اللي هو

751
01:04:31,460 --> 01:04:37,080
هذا واحد ماشي الحالة الآن بتبدأ أكوّن partitions من

752
01:04:37,080 --> 01:04:42,480
مين؟ من الأمنات هذه الآن بتاخد بيئا اني partitions

753
01:04:42,480 --> 01:04:47,220
اني partitions برضه أشماله with equal اللي هي إيش

754
01:04:47,220 --> 01:04:54,240
sub intervals يعني X نوت و X واحد لعند X ان يعني

755
01:04:54,240 --> 01:04:58,540
طول كل فترة منهم برضه طول .. بتاخد اللي هي كلهم

756
01:04:58,540 --> 01:05:03,590
أشمالين من عند A لعند B يكون إن كل ال sub intervals

757
01:05:03,590 --> 01:05:08,530
جت بعض يعني بمعنى آخر هيكون ال XK minus XK minus

758
01:05:08,530 --> 01:05:12,970
واحد بيساوي B minus A على N طول كل فترة ايش بيساوي

759
01:05:12,970 --> 01:05:16,950
B minus A على عدد الفترات اللي هي N فبكون B minus

760
01:05:16,950 --> 01:05:21,250
A عالميا على N أنا حرّن إنهم ألاقي في النهاية

761
01:05:21,250 --> 01:05:25,630
sequence of partitions BN limit الـ U B N و F ناقص

762
01:05:25,630 --> 01:05:29,290
الـ L B N و F بساوي 0 بيكون F is integrable خلصنا

763
01:05:29,290 --> 01:05:32,950
أنا قاعد اخترت اللي هي sequence of partitions بناء

764
01:05:32,950 --> 01:05:36,390
على الـ Delta اللي لجيتها في ال uniformity و

765
01:05:36,390 --> 01:05:39,830
الأنات اللي أكبر منها و حطيت ال partition اللي هو

766
01:05:39,830 --> 01:05:44,710
بشكل اللي هو تكون ال subintervals كلها لها نفس

767
01:05:44,710 --> 01:05:46,230
الطول طيب

768
01:05:48,470 --> 01:05:56,170
الآن زي ما قلت قبل بشوية negation على الفترة xk و

769
01:05:56,170 --> 01:06:01,710
minus 1 و xk هذا ال sub interval ال function is

770
01:06:01,710 --> 01:06:03,550
continuous عليها لأنها continuous على كل ال

771
01:06:03,550 --> 01:06:06,970
interval a و b مدام continuous عليها إذا it

772
01:06:06,970 --> 01:06:10,310
attains its maximum and its minimum on this

773
01:06:10,310 --> 01:06:16,100
interval أكيد؟ لقد حد كده قبل بشوية إذن بما أن الـ

774
01:06:16,100 --> 01:06:18,480
F is continuously not closed bound in الـ interval

775
01:06:18,480 --> 01:06:26,800
هذه إذن there exist سميها U K و V K element in X K

776
01:06:26,800 --> 01:06:33,720
minus واحد و X K such that F of U K هي ال maximum

777
01:06:33,720 --> 01:06:41,190
على كل هذه ال maximum معناته هي ال supremum of K أو

778
01:06:41,190 --> 01:06:47,110
أيضًا عند الـ VK F of VK هي الـ Minimum على هذه

779
01:06:47,110 --> 01:06:52,310
مضمون موجود قلناها هي طبعًا مدامة Minimum على كل

780
01:06:52,310 --> 01:06:56,150
الفترة إذًا هي الـ Infimum اللي ببحث عنها اليمين

781
01:06:56,150 --> 01:07:00,850
MK على هذه الفترة وها المفتاح أصلا في استخدام الـ

782
01:07:00,850 --> 01:07:06,120
Continuity إن ضمن لوجود نقطة عندها ال maximum في

783
01:07:06,120 --> 01:07:10,540
هذه المنطقة وضمن اللي وجود نقطة هنا ضمن اللي وجود

784
01:07:10,540 --> 01:07:13,680
ال minimum عندها و ال minimum و ال maximum مدام

785
01:07:13,680 --> 01:07:18,100
عند نقاط محددة في الفترة هي هتتلاقى و تنقل هي

786
01:07:18,100 --> 01:07:21,780
عبارة عن ال supremum و ال infimum على ال sub

787
01:07:21,780 --> 01:07:29,160
interval أي سؤال طيب الآن ضال علينا إيش نسوي إن

788
01:07:29,160 --> 01:07:35,610
نحسب الحسابات اللي هو نبدأ في حساباتنا اللي هو نحسب

789
01:07:35,610 --> 01:07:44,230
الـ U و نحسب مين يا جماعة أو نحسب اللي هو ال ال ال

790
01:07:44,230 --> 01:07:44,930
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

791
01:07:44,930 --> 01:07:44,950
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

792
01:07:44,950 --> 01:07:45,050
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

793
01:07:45,050 --> 01:07:45,070
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

794
01:07:45,070 --> 01:07:45,130
ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال

795
01:07:45,130 --> 01:07:53,950
ال ال الت حسبولي

796
01:07:54,430 --> 01:07:59,790
ناقص L, P, N و F طبعا أكيد هذا أكبر يساوي صفر حفظنا

797
01:07:59,790 --> 01:08:04,050
عن غيره هذا أنه أكبر أو يساوي صفر معروف ضل بدي

798
01:08:04,050 --> 01:08:08,850
أحسبهم مع بعض ال summation عبارة عن بساوي

799
01:08:08,850 --> 01:08:13,610
summation اللي هو ال M K صارت من ال M K capital

800
01:08:13,610 --> 01:08:19,950
اللي هي F of U K صح ولا لأ يا جماعة أه صح و ال U K

801
01:08:19,950 --> 01:08:26,220
وين موجودة في هذه الآن في مين؟ في xk minus xk minus

802
01:08:26,220 --> 01:08:31,520
واحد xk minus xk minus واحد كامل عند واحد اللي

803
01:08:31,520 --> 01:08:37,020
عندها انهدمين هي الـ U الآن زيها مين ال L ناقص

804
01:08:37,020 --> 01:08:42,600
summation الآن مين عند ال MK small ال F of VK ال

805
01:08:42,600 --> 01:08:48,920
VK اللي لاجيناها برضه هان اللي هي F of VK مضروبة في

806
01:08:48,920 --> 01:08:54,380
طول الفترة xk-xk-1 كامل عند واحد لعند مين يا جماعة

807
01:08:54,380 --> 01:09:00,000
لعندنا خدولي الآن xk-xk-1 عامل مشترك وطبعا أنا

808
01:09:00,000 --> 01:09:03,220
مفترضها اللي هو وماخدها إلا طول ال intervals أو

809
01:09:03,220 --> 01:09:07,080
sub intervals متساوي يعني طول هذه وطول هذه هو

810
01:09:07,080 --> 01:09:10,600
عبارة عن b-a على n زي النظرية السابقة ويساوي ال

811
01:09:10,600 --> 01:09:17,850
summation لل F of uk ناقص F of vk الكل مضروب في مين

812
01:09:17,850 --> 01:09:26,030
يا جماعة في B-A على N N أو K من عند واحد لعند إيش

813
01:09:26,030 --> 01:09:36,830
لعند N أي سؤال طيب شوفوا الآن اسمحولي بس هنا أشتغل

814
01:09:36,830 --> 01:09:39,730
شوية طيب

815
01:09:42,370 --> 01:09:47,490
طولوا روحكم عندنا خلصنا يعني جربنا إذا صار عندي ال

816
01:09:47,490 --> 01:09:51,870
U, P, N و F عشان تعرفوا أين رايح أنا هي ال U, P, N

817
01:09:51,870 --> 01:09:55,550
و F ناقص ال P, N و F أكبر يساوي الصفر اللي جيته

818
01:09:55,550 --> 01:10:00,610
أصغر يساوي المقدار اللي أمامي الآن خلوني أطلع حد

819
01:10:00,610 --> 01:10:06,400
برا بعد اسمكم هي B- a على n لأنها عبارة عن ثابت في

820
01:10:06,400 --> 01:10:13,020
ال summation f of u,k ناقص f of v,k كامنة عند واحد

821
01:10:13,020 --> 01:10:20,340
لأنك لاحظوا ما يلي يا جماعة عند ال u,k و ال v,k

822
01:10:20,340 --> 01:10:27,480
وين موجودة في ال x,k minus واحد و ال x,k اه مظبوط

823
01:10:27,480 --> 01:10:32,540
يعني الآن اللي هي طول

824
01:10:34,610 --> 01:10:41,150
طول الفترة طول الفترة xk على جهة دي بس يا شباب

825
01:10:41,150 --> 01:10:46,850
ناقص xk minus واحد طول الفترة لإن هاد صارت هي xk

826
01:10:46,850 --> 01:10:53,480
minus واحد وهي xk ماشي جوات هنا ال mean ال UKو الـ

827
01:10:53,480 --> 01:10:56,860
VK في مكان الماد، التنتين المهم جوا التنتين يعني

828
01:10:56,860 --> 01:10:59,840
المسافة بين اللي برا هدول، حتى لو كان التنتين

829
01:10:59,840 --> 01:11:04,120
زيهن، بكون أصغر أو يساوي المسافة بين التنتين هدول

830
01:11:04,120 --> 01:11:11,560
أصغر أو يساوي المسافة هذه، اللي هو UK ناقص VK،

831
01:11:11,560 --> 01:11:17,010
مظبوط؟ آسف، العكس، أكبر شكرا سامحونا أكبر إيش أو

832
01:11:17,010 --> 01:11:21,310
يساوي صارت المسافة بين الجهتين هدولة أكيد أصغر

833
01:11:21,310 --> 01:11:24,970
أشهر من المسافة الكلية اللي هنا بينهم طيب المسافة

834
01:11:24,970 --> 01:11:28,890
بين هذه وهذه احنا ماخدينها أصلا طول ال interval

835
01:11:28,890 --> 01:11:29,670
إيش بتساوي

836
01:11:33,030 --> 01:11:39,710
على N إذا المسافة هذه أصلا عبارة عن B-A عالمين على

837
01:11:39,710 --> 01:11:43,890
N سامحوني أني بنكتبها هنا إذا صار عندي اللي هو ال

838
01:11:43,890 --> 01:11:50,230
U K ناقص ال V K أصغر أو يساوي B-A عالمين على N إذا

839
01:11:50,230 --> 01:11:58,530
يا شباب راحظولي هنا U K ناقص V K صارت أصغر أو

840
01:11:58,530 --> 01:12:06,440
يساوي B-A عالمين على n واضحة طيب نشوف ايش معناه هذا

841
01:12:06,440 --> 01:12:08,700
الكلام وإيش اللي بتقوله؟ ليش بتقولنا هذا الكلام؟

842
01:12:08,700 --> 01:12:13,620
بقوله عشان الكلام مهم، هذا هو، شوفوا فهمتوه، أنا مختار

843
01:12:13,620 --> 01:12:19,260
الـ n أكبر من مين؟ من b minus a على delta، يعني بمعنى

844
01:12:19,260 --> 01:12:24,280
آخر إيش معنى هذا؟ يعني b minus a على n أصغر من مين؟

845
01:12:24,280 --> 01:12:29,640
من delta، يعني هذا المقدار أصغر من إيش يا جماعة؟ من

846
01:12:29,640 --> 01:12:35,160
delta، صارت الـ U k ناقص الـ V k أصغر من مين؟ من delta

847
01:12:35,160 --> 01:12:40,800
واحنا بنقول أن المقاطع اللي بتحقق فيها الـ U ناقص V

848
01:12:40,800 --> 01:12:44,560
أصغر من delta بكون عندي F of U ناقص F of V أصغر من

849
01:12:44,560 --> 01:12:50,240
مين يا جماعة؟ من Epsilon على B minus A، إذا صارت

850
01:12:50,240 --> 01:12:55,100
عندي المقاطعين هذولة الـ U k ناقص الـ V k اللي أصغر من

851
01:12:55,100 --> 01:13:04,770
delta، إذا أكيد من واحد هيكون عندي F of U k ناقص F of 

852
01:13:04,770 --> 01:13:12,670
V k إيش هيكون؟ هيكون عبارة عن أصغر من Epsilon على B

853
01:13:12,670 --> 01:13:20,410
minus A، إذا الآن بيحملني أني أقول أن هذا المقدار

854
01:13:20,410 --> 01:13:24,400
اللي عندي، اللي هو طبعا هذا الكبير وهذا الصغير طبعا

855
01:13:24,400 --> 01:13:27,800
على absolute value نفسه بيحملني إن أقول هذا أصغر أو

856
01:13:27,800 --> 01:13:34,680
يساوي B minus A على N مضروب في مين؟ في الـ summation

857
01:13:34,680 --> 01:13:42,480
للـ Epsilon على B minus A، كامن عند واحد لعند مين؟

858
01:13:42,480 --> 01:13:50,100
لعند N، واضح

859
01:13:52,720 --> 01:13:58,440
إذا صار عندي الآن اللي هو اللي أثبته أنه U P N و F

860
01:13:58,440 --> 01:14:04,220
ناقص L P N و F أصغر أو يساوي B minus A على N في

861
01:14:04,220 --> 01:14:10,300
.. خلّيني أوقف وأقولها.. أه.. انتظر.. أعمل لي..

862
01:14:13,410 --> 01:14:18,250
إذا اللي وصلنا له يا جماعة اللي هو أن الـ U P N و F

863
01:14:18,250 --> 01:14:21,650
ناقص الـ L P N و F أكبر يساوي صفر وفي نفس الوقت أصغر

864
01:14:21,650 --> 01:14:24,430
يساوي B Minus A على N في الـ summation للـ Epsilon على

865
01:14:24,430 --> 01:14:28,630
B Minus A اللي هو كامن عند واحد لـ N، يعني هذه قاعدة

866
01:14:28,630 --> 01:14:34,050
عمالها كل مرة بتعد Epsilon على B Minus A كم مرة؟

867
01:14:34,050 --> 01:14:37,670
بتعد N من المرات، إذا حيصير عندي هذا عبارة عن B

868
01:14:37,670 --> 01:14:43,170
Minus A على N واللي بنعد هنا N من القيمة اللي هذه

869
01:14:43,170 --> 01:14:47,630
يعني N في Epsilon على B minus A، الآن B minus A مع

870
01:14:47,630 --> 01:14:51,970
الـ B minus A والـ N مع الـ N، فبيصير أوصلنا احنا إلى

871
01:14:51,970 --> 01:14:55,950
ما يلي، انتبهوا للنتيجة النهائية اللي بتوصّل لي

872
01:14:55,950 --> 01:15:04,310
اللي هو المطلوب، النتيجة اللي وصلت لها إنه إذا U P N

873
01:15:04,310 --> 01:15:12,430
و F ناقص L P N و F أكبر أو يساوي صفر وأصغر من مين؟

874
01:15:12,430 --> 01:15:19,190
من Epsilon لكل Epsilon أكبر من صفر، إذا اللي جوا غصب

875
01:15:19,190 --> 01:15:24,310
عنه، إذا لازم يكون اللي هو لو أخذت الـ limit هيظل

876
01:15:24,310 --> 01:15:30,220
limit الـ U بن لأن هذا أصلا صحيح علميا للإنات

877
01:15:30,220 --> 01:15:34,200
الكبيرة، فلما أخد الـ limit أزنه جوزه infinity بيضل

878
01:15:34,200 --> 01:15:38,280
في الـ safe side، يعني بيضل في اللي بتحقق فيه هذا، إذا

879
01:15:38,280 --> 01:15:45,630
الـ limit U, B, N و F ناقص L, B, N و F هيكون أكبر أو

880
01:15:45,630 --> 01:15:50,490
يساوي صفر وأصغر أو يساوي Epsilon، وهذا الكلام as

881
01:15:50,490 --> 01:15:53,530
n goes to infinity، وهذا الكلام صحيح برضه لمين؟

882
01:15:53,530 --> 01:15:58,790
لكل Epsilon أكبر من صفر، إذا غصب عنها هيكون اللي جوا

883
01:15:58,790 --> 01:16:08,780
limit U P N و F-L P N و F لازم يساوي إيش؟ صفر، as N نقص

884
01:16:08,780 --> 01:16:14,780
infinity، وهذا by corollary اللي قبل بشوية، هيعني إن

885
01:16:14,780 --> 01:16:23,310
F is integrable، Hence, F is integrable، وهكذا

886
01:16:23,310 --> 01:16:27,610
أثبتنا العائلة الثانية من الدوال الـ continuous

887
01:16:27,610 --> 01:16:31,170
function على closed bounded interval is a

888
01:16:31,170 --> 01:16:34,210
continuous function is an integrable function

889
01:16:34,210 --> 01:16:40,790
وهكذا خلصنا الـ section الأول والـ homework هي

890
01:16:40,790 --> 01:16:46,750
اللي موجودة في التلخيص، والمرة القادمة إن شاء الله

891
01:16:47,630 --> 01:16:57,970
إن شاء الله بكون احنا بنبدأ في اللي هي الـ section

892
01:16:57,970 --> 01:17:03,510
اللي بعده اللي هو properties of the Riemann

893
01:17:03,510 --> 01:17:04,470
Integral