PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/GZcIoIj0HL8.srt

1
00:00:05,040 --> 00:00:12,800
بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة السابعة مساق تحليل

2
00:00:12,800 --> 00:00:18,640
النهاري 2 اللي طلبت كلية العلوم بالجامعة الإسلامية

3
00:00:18,640 --> 00:00:23,800
قسم الرياضيات اليوم 

4
00:00:23,800 --> 00:00:29,720
هيكون عندنا استكمال ل .. اللي هي قواعد أو قاعدة

5
00:00:29,720 --> 00:00:36,330
L'Hôpital  اتحدثنا المرة الماضية عن الحالة اللي بتحدث

6
00:00:36,330 --> 00:00:41,170
صفر على صفر وكيف انعالجها وتم اللي هو برهان

7
00:00:41,170 --> 00:00:47,910
النظريات المعنية في ذلك، الآن بدنا نتحدث على الحالة

8
00:00:47,910 --> 00:00:57,110
اللي بتحدث عندنا أيضًا 0 على 0 ولكن the limit ال X

9
00:00:57,110 --> 00:01:00,830
بتروح إلى ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية وقلنا عنها

10
00:01:00,830 --> 00:01:05,790
صحيحة برضه، وبعد ذلك هنتحدث عن الحالة infinity على

11
00:01:05,790 --> 00:01:10,510
infinity، نيجي الآن لنظريتنا اللي وصلنا عندها 

12
00:01:10,510 --> 00:01:11,990
suppose that

13
00:01:16,220 --> 00:01:20,260
F and G are continuous and differentiable على

14
00:01:20,260 --> 00:01:24,600
الفترة من A إلى ما لا نهاية ونفترض أنه limit لل F

15
00:01:24,600 --> 00:01:27,540
of X لما X تروح إلى ما لا نهاية هي نفس limit  the G of

16
00:01:27,540 --> 00:01:31,200
X لما X تروح إلى ما لا نهاية تساوي إيهاش صفر يعني

17
00:01:31,200 --> 00:01:36,080
هذه هتخلقلي حالة اللي هو صفر على صفر ومن ثم نشوف

18
00:01:36,080 --> 00:01:40,230
كيف انعالجها، العنوان G of X ذاته ساوة صفر نفترض، وG 

19
00:01:40,230 --> 00:01:44,830
prime of X ذاته ساوة صفر لكل X أكبر من مين؟ من اللي

20
00:01:44,830 --> 00:01:48,290
هو المقصود هنا بيه اللي هي أيش؟ A، يعني هذه اللي هي 

21
00:01:48,290 --> 00:01:52,970
مين اللي هي المقصود أنه A؟ يا ما نخلي هذه A، يا ما

22
00:01:52,970 --> 00:01:58,330
هذه A، then limit F of X على G of X لما X تروح لما

23
00:01:58,330 --> 00:02:01,930
النهاية هتكون بالظبط أيش بتساوي؟ limit F prime على 

24
00:02:01,930 --> 00:02:06,050
G prime of X as X goes to infinity provided that

25
00:02:06,050 --> 00:02:09,590
هذا ال limit بتساوي قيمة معينة أو تساوي infinity

26
00:02:09,590 --> 00:02:15,730
أو سالب infinity، الآن احنا في الواقع اللي هنسوي

27
00:02:16,910 --> 00:02:21,910
وكأنه يعني عملية تحويل اللي نخلّي بدل X تروح إلى

28
00:02:21,910 --> 00:02:26,950
ما لا نهاية نخلّي اللي هو متغير وروح لصفر يعني بدنا

29
00:02:26,950 --> 00:02:31,490
نعيد تعريف الدالة بحيث أنه يروح هذا المتغير يعني

30
00:02:31,490 --> 00:02:34,610
وكأنه نقول 1 على T ويروح لـ .. اه 1 على X 

31
00:02:34,610 --> 00:02:37,950
يروح لصفر لما X تروح لما لا نهاية ومن ثم نطبق

32
00:02:37,950 --> 00:02:41,030
النظريات اللي أخدناها المرة الماضية، دعونا نشوف إيش

33
00:02:41,030 --> 00:02:47,050
اللي بنحكيه الآن عند ..الـ الـ function F و G F و

34
00:02:47,050 --> 00:02:54,430
G معرفات من A وما لا نهاية لعند اللي هو R، الآن

35
00:02:54,430 --> 00:02:57,970
عندي اللي هو بده أعرف اللي هو عشان أقدر أستخدم 

36
00:02:57,970 --> 00:03:01,610
نظرية المرة اللي فاتت المرة الماضية بده أعرف 

37
00:03:01,610 --> 00:03:08,030
دالتين F capital و G capital من اللي هو عندي من

38
00:03:08,030 --> 00:03:15,560
Zero لعند اللي هو 1 على A لعند اللي هو صفر، واضحة

39
00:03:15,560 --> 00:03:28,640
الصورة تقريبا اكيد هنقول define F of G as F of اللي 

40
00:03:28,640 --> 00:03:36,960
نسميها اللي هو T بتساوي اللي هو G أو F of 1 على T 

41
00:03:36,960 --> 00:03:42,460
لما T اللي هي لا تساوي صفر، وطبعا T أنا معرفها

42
00:03:42,460 --> 00:03:47,140
اللي هي في الفترة من Zero لعند 1 على A، وده

43
00:03:47,140 --> 00:03:51,560
بيدعرف عند Zero بقول صفر إذا كان T أيش بدها تساوي

44
00:03:51,560 --> 00:03:59,760
بتساوي صفر، الآن الـ الـ G of T بتساوي نفس الأسلوب

45
00:03:59,760 --> 00:04:06,240
G of 1 على T لما T لا تساوي 0، وصفر إذا كانت T 

46
00:04:06,240 --> 00:04:13,350
أشمالها بتساوي 0، الآن واضح العلاقة بين الدالتين اللي

47
00:04:13,350 --> 00:04:19,510
هو F و F اللي هو على أساس أني أحول the limit

48
00:04:19,510 --> 00:04:25,650
المعطاة عندي limit F of X لما X تروح إلى ما لا نهاية

49
00:04:25,650 --> 00:04:30,450
تصير عندي ال limit بالنسبة لهذه اللي هي الـ 1 على X

50
00:04:30,450 --> 00:04:35,320
بتاعتنا هتروح لمين؟ في هذه الحالة للصفر، وبنستخدم ومن

51
00:04:35,320 --> 00:04:40,600
ثم بنكون حصلنا على المتغير لإن أنا T بروح للصفر as

52
00:04:40,600 --> 00:04:44,740
X بتروح لما لا نهاية ومن ثم بنستخدم النظريات اللي 

53
00:04:44,740 --> 00:04:49,940
أثبتنا صحتها في حالة T بتروح إلى A من اليمين لإن

54
00:04:49,940 --> 00:04:53,060
احنا هنروح لـ Zero من اليمين، هذه اللي هي الخطة اللي

55
00:04:53,060 --> 00:04:58,480
هنمشي عليها، بنشوف أول شيء واضح أن الـ F والـ G الـ F 

56
00:04:59,090 --> 00:05:03,930
والـ G are differentiable على مين؟ على الفترة من

57
00:05:03,930 --> 00:05:10,550
صفر لعند 1 عليه A، 1، 2، ومدام

58
00:05:10,550 --> 00:05:13,810
differentiable ده يعني continuous عليها ومش هيك كمان

59
00:05:13,810 --> 00:05:19,230
لو جيت أخدت أنت هذه بتحسبها لحالك limit F of T as

60
00:05:19,230 --> 00:05:27,640
T بتروح للصفر اللي هي بتساوي limit F of 1 على T as

61
00:05:27,640 --> 00:05:32,340
T بتروح للصفر وهتلاقيها إيش هتساوي؟ هتساوي صفر

62
00:05:32,340 --> 00:05:36,760
فصارت اللي هي الـ F ال capital is continuous على

63
00:05:36,760 --> 00:05:43,490
الفترة من 0 لعند 1 على A، similarly limit G of T لما

64
00:05:43,490 --> 00:05:47,650
T تروح للـ Zero، طبعا كل الـ Zero من وين؟ طبيعي من

65
00:05:47,650 --> 00:05:50,950
اليمين لأنه احنا عالمنا اللي بنشتغل عليه اللي هي

66
00:05:50,950 --> 00:05:53,730
من عند Zero لعند 1 على A، من المنطقة الموجودة بقى

67
00:05:53,730 --> 00:05:58,750
إذن هروح للـ Zero من جهة اليمين هيساوي نفس الشيء

68
00:05:58,750 --> 00:06:03,290
limit F of 1 على T لما T تروح للـ Zero من 

69
00:06:03,290 --> 00:06:07,590
اليمين ويساوي اللي جيها برضه أشمالها بتساوي صفر

70
00:06:08,590 --> 00:06:12,970
الآن صارت الآن الـ F والـ G أشمالين are continuous 

71
00:06:12,970 --> 00:06:17,390
على الفترة اللي عندنا و differentiable على الفترة 

72
00:06:17,390 --> 00:06:20,510
الـ open و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و 

73
00:06:20,510 --> 00:06:20,590
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

74
00:06:20,590 --> 00:06:20,790
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

75
00:06:20,790 --> 00:06:21,070
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

76
00:06:21,070 --> 00:06:21,290
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

77
00:06:21,290 --> 00:06:23,330
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

78
00:06:23,330 --> 00:06:23,350
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

79
00:06:23,350 --> 00:06:23,650
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و

80
00:06:23,650 --> 00:06:29,210
.. و .. و .. و .. و .. و ..

81
00:06:37,480 --> 00:06:43,680
بنجي بنحصل على ما يلي، خليني بس اسمحولي أمسح هذه 

82
00:06:43,680 --> 00:06:49,760
الdata في الذاكرة عندي، بدي أحسب أنا غاية أن أوجد مين

83
00:06:49,760 --> 00:06:53,380
يا جماعة limit اللي هو F of X على G of X لما X 

84
00:06:53,380 --> 00:07:00,780
تروح إلى وين؟ إلى ما لا نهاية، لأن limit F of X على G

85
00:07:00,780 --> 00:07:07,720
of X لما X تروح إلى ما لا نهاية بتساوي عبارة عن الآن

86
00:07:07,720 --> 00:07:12,180
الـ X بتروح إلى ما لا نهاية، F and والـ F  الـ 1 على X 

87
00:07:12,180 --> 00:07:20,660
وين بتروح؟ اللي هو الصفر بتساوي limit F of 1 على

88
00:07:20,660 --> 00:07:26,040
T خلينا نسميها على G of 1 على T لما T تروح إلى

89
00:07:26,040 --> 00:07:32,420
مين؟ إلى الصفر من اليمين، أو إذا كان عندك اضطراب 

90
00:07:32,420 --> 00:07:38,640
confusion شيء والتكن X مافي مشكلة، X لما X تروح لـ 0

91
00:07:38,640 --> 00:07:43,660
من اليمين اللي هي بتصير عند أسف الـ 1 على X بتروح

92
00:07:43,660 --> 00:07:47,860
لـ 0 من اليمين if and only if الـ X بتروح لمين؟ إلى 

93
00:07:47,860 --> 00:07:51,520
ما لا نهاية ومن ثم بخطوة ثانية بترجعها للي كتبته 

94
00:07:51,520 --> 00:07:57,980
قبل بشوية limit اللي هو عبارة عن F of T على اللي هو

95
00:07:57,980 --> 00:08:04,420
G of T لما T تروح لـ 0 من وين؟ من اليمين،  باشي

96
00:08:04,420 --> 00:08:08,120
الحال أنا الآن بدي أفضل في الواقع بالنسبة لمن؟

97
00:08:08,120 --> 00:08:14,040
بالنسبة له اللي هو الـ X عندي اللي هو وديت واحدة 

98
00:08:14,040 --> 00:08:19,880
الـ X من اليمين وصارت عندي اللي هي مكان لأ لأ يا

99
00:08:19,880 --> 00:08:26,200
جماعة هاد نظام هي بتضلها آسف أه؟ X X وهنا بتصير

100
00:08:26,200 --> 00:08:30,900
أننا مين؟ 1 على T وهنا 1 على T، واضح ليش

101
00:08:30,900 --> 00:08:36,540
استبدلنا هنا احنا الـ 1 على X كله بـ T فصارت هذه

102
00:08:36,540 --> 00:08:41,320
اللي هي 1 على T وهذه 1 على T، الآن صارت

103
00:08:41,320 --> 00:08:44,780
النظرية السابقة مطبقة لأن الـ T بتروح لمين؟ لـ Zero

104
00:08:44,780 --> 00:08:49,780
من لمين؟ لأن هدف الواقع مين هي اللي قلنا عنها شيء

105
00:08:49,780 --> 00:08:57,850
هذه بتساوي limit F of T على G of T لما T تروح إلى 

106
00:08:57,850 --> 00:09:01,310
Zero من وين؟ من اليمين، وهذا متطبق لأن هذا Zero

107
00:09:01,310 --> 00:09:05,490
وهذا Zero زي ما عملنا قبل بشوية إذا صار أيش بيساوي

108
00:09:05,490 --> 00:09:10,990
تفاضل الأول على تفاضل الثاني في الـ 100 بالنسبة لعن

109
00:09:10,990 --> 00:09:17,220
نظرية السابقة إذا بيصير limit التي هي التفاضل هادي

110
00:09:17,220 --> 00:09:21,060
من هنا F prime of T أيش بيساوي يا شباب؟ تفاضل

111
00:09:21,060 --> 00:09:24,960
هادي، عن T بتروح للـ 0، إذن هي عبارة عن ناقص 1 على

112
00:09:24,960 --> 00:09:34,000
T تربيع في F prime of 1 على T تفاضل F of T، F of T 

113
00:09:34,000 --> 00:09:38,930
هيها، يعني T لا تساوي صفر تفاضلها F prime بساوي ناقص

114
00:09:38,930 --> 00:09:42,710
اللي هو F prime الـ 1 على T فتفاضل اللي جوا اللي 

115
00:09:42,710 --> 00:09:47,450
هو عبارة عن أيش؟ ناقص 1 على T تربيع، واضح، على

116
00:09:47,450 --> 00:09:53,430
similarly ناقص 1 على T تربيع في G prime of 1 

117
00:09:53,430 --> 00:10:00,200
على T لما الـ T تروح لمين؟ إلى الـ 0 من اليمين، النقص 1 

118
00:10:00,200 --> 00:10:03,160
دلت الـ T تربيع، النقص 1 دلت T تربيع بروحن مع بعض 

119
00:10:03,160 --> 00:10:09,780
نرجع لأصلنا بيصير limit F prime بده استبدل الآن الـ

120
00:10:09,780 --> 00:10:17,800
1 على T بالـ X على G prime برضه نفس الشيء على X، والـ

121
00:10:17,800 --> 00:10:22,540
T تستبدل بمين؟ اللي هو عبارة عن 1 على X بده تروح للـ

122
00:10:22,540 --> 00:10:29,270
0 من اليمين، يعني الـ X بده تروح لمين؟ إلى ما لا نهاية، بيصير 

123
00:10:29,270 --> 00:10:35,510
عندي اللي هو limit F of X على G of X بساوي limit F 

124
00:10:35,510 --> 00:10:40,350
prime of X على G prime of X وهو المطلوب، نيجي

125
00:10:40,350 --> 00:10:44,690
للنظرية بعدها، النظرية اللي بدها شغل، خلينا نشوف

126
00:10:44,690 --> 00:10:53,110
النظرية، اطلع لفوق ونركز نشوف أيش هو النظرية بتحكي 

127
00:10:53,110 --> 00:10:57,270
ومن ثم نذهب إلى برهان النظرية

128
00:11:04,010 --> 00:11:11,750
عشان مساحة اللوحة شوية خلينا نتبع على التلخيص ومن 

129
00:11:11,750 --> 00:11:19,110
ثم بنبرهن theorem 636 اللي هي باختصار هي حالة ما لا

130
00:11:19,110 --> 00:11:22,570
نهاية على ما لا نهاية، نفترض أن الـ F والـ G are

131
00:11:22,570 --> 00:11:26,470
differentiable على الفترة من A و B، يعني إحنا شغلنا

132
00:11:26,470 --> 00:11:34,230
الآن على الفترة أي إن كانت هذه الفترة من عند A لعند

133
00:11:34,230 --> 00:11:41,250
ما لا نهاية لعند B، لأننا مفترضين أن الـ F والـ G اللي هو

134
00:11:41,250 --> 00:11:46,250
قابل للاشتقاق على الفترة A و B، و limit F of X لما 

135
00:11:46,250 --> 00:11:48,890
X تروح إلى ما لا نهاية .. إلى Zero من اليمين .. 

136
00:11:48,890 --> 00:11:53,230
إلى A من اليمين إيش بيساوي؟ Infinity، و limit G of X 

137
00:11:53,230 --> 00:11:56,090
لما X تروح إلى ال A من اليمين برضه إيش مالها؟

138
00:11:56,090 --> 00:12:01,370
Infinity، يعني بمعنى آخر صار لما عرضت علينا limit F

139
00:12:01,370 --> 00:12:06,980
of X على G of X لما X راحت إلى الـ A من اليمين

140
00:12:06,980 --> 00:12:10,660
وجدنا limit اللي فوق ما لا نهاية و limit اللي تحت 

141
00:12:10,660 --> 00:12:14,260
ملا نهاية يعني حصلنا على الكمية غير المعينة

142
00:12:14,260 --> 00:12:18,220
Infinity على Infinity إذا هذه النظرية ستعالج هذه

143
00:12:18,220 --> 00:12:23,060
الحالة طبعا الآن اللي هي بطريقة مشابهة للسابقة

144
00:12:23,060 --> 00:12:29,080
والآن احنا طبعا هنقوم ببرهان هذه النظرية نكمل النص

145
00:12:29,820 --> 00:12:35,900
الآن فرضنا أيضًا أن اللي هو الـ g of x لا تساوي

146
00:12:35,900 --> 00:12:40,160
صفر والـ g prime of x لا تساوي صفر لكل x وإما لها

147
00:12:40,160 --> 00:12:44,920
في الفترة a و b يعني مفترض أن الـ g of x لا تساوي

148
00:12:44,920 --> 00:12:52,860
صفر على كل الفترة a و b نأتي إلى الجزئية الأولى من

149
00:12:52,860 --> 00:12:57,380
النظرية if limit f' على g' يساوي L element in R

150
00:12:57,380 --> 00:13:02,040
إذا فlimit f على g برضه أيضًا أيش هتساوي؟ L اللي هي

151
00:13:02,040 --> 00:13:05,280
نظريات اللي قبل بشوية بنفس.. بنفس.. خلّيني أقول

152
00:13:05,280 --> 00:13:10,160
بنفس المنطق ونفس النصوص بس مبدل 0 على 0 عمالة 

153
00:13:10,160 --> 00:13:13,560
نهاية فلان limit f prime على g prime صارت مالها

154
00:13:13,560 --> 00:13:17,700
نهاية أو سالب مالا نهاية، برضه النظرية بتظبط، سير

155
00:13:17,700 --> 00:13:23,310
limit اللي عندنا هذه هي بالظبط limit الـ F على G as

156
00:13:23,310 --> 00:13:26,170
X وتروح لـ M من اليمين يساوي Infinity وسالب 

157
00:13:26,170 --> 00:13:30,550
Infinity يعني في النهاية اللي ببحث عنه هذا هو في

158
00:13:30,550 --> 00:13:34,650
الحالة هذه أو في الحالة اللي فوق يساوي limit مين

159
00:13:34,650 --> 00:13:37,750
الـ F prime على G prime اللي هي الطريقة المحدودة

160
00:13:37,750 --> 00:13:40,330
بنفضل اللي فوق و بنفضل اللي تحت و بنوجد limit هين

161
00:13:40,330 --> 00:13:44,670
بيكون هين limit اللي هي الأصل اللي احنا بدنا إياها

162
00:13:45,410 --> 00:13:49,590
الآن نيجي اللي هو in Berlin اللي هو a و b طبعا

163
00:13:49,590 --> 00:13:54,410
بنفس الأسلوب الآن 

164
00:13:54,410 --> 00:14:02,790
قبل ما نبدأ احنا لو اجينا و قلنا limit f of x لما

165
00:14:02,790 --> 00:14:06,610
x تروح لأي شيء مثلا a من اليمين يساوي L

166
00:14:11,700 --> 00:14:14,480
وقلنا اللي هو for every epsilon تعريفها for every

167
00:14:14,480 --> 00:14:16,660
epsilon أكبر من صفر there exists a delta أكبر من 

168
00:14:16,660 --> 00:14:21,300
صفر such that if x element in A طبعا من اليمين

169
00:14:21,300 --> 00:14:27,780
معناته A و A زائد دلتا then اللي هو هيكون عندي f

170
00:14:27,780 --> 00:14:35,230
of x ناقص الـ L أصغر من مين؟ من إبسيلون الآن لو كانت عندي

171
00:14:35,230 --> 00:14:39,330
الـ epsilon أثبتت أنا هذا الكلام لـ epsilon لـ

172
00:14:39,330 --> 00:14:45,410
epsilon لو أثبتت لكل epsilon element in مثلا in

173
00:14:45,410 --> 00:14:51,970
صفر و نص أو نص ربع أو نص تلت لو أثبتت أن

174
00:14:51,970 --> 00:14:54,950
لكل إبسيلون لجهة دلتا بحيث أن هذا الكلام أصغر من 

175
00:14:54,950 --> 00:15:01,650
مين؟ من إبسيلون برضه بيكون يجزئ عن الـ limit ليش؟ لأن

176
00:15:01,650 --> 00:15:04,950
المقدار اللي بيكون أصغر من إبسيلون اللي هي أصغر من 

177
00:15:04,950 --> 00:15:09,830
النص أكيد بنفع لمين؟ للدلتا بنفع للمقدار اللي الـ

178
00:15:09,830 --> 00:15:15,450
إبسيلون أكبر من مين؟ من النص لأنه أصلا اللي هي مشكلة

179
00:15:15,450 --> 00:15:19,620
أو خلينا نقول الـ limit في حد ذاتها أنه لما الـ A

180
00:15:19,620 --> 00:15:24,880
تروح الـ X تروح إلى الـ A من اليمين، بدنا نجمع أن

181
00:15:24,880 --> 00:15:27,720
الـ F of X تقترب من مين؟ من الـ L من اليمين، يعني التعجيز و

182
00:15:27,720 --> 00:15:31,100
كأنه بعجزني أنه يقول لي إنك تلاقي الـ Delta في 

183
00:15:31,100 --> 00:15:34,600
حالة الـ Epsilon  أكاش اللي بيكون صغيرة فالـ Close 

184
00:15:34,600 --> 00:15:38,960
اللي هو تمين to Zero، لإنه أصلا المفهوم اللي

185
00:15:38,960 --> 00:15:43,160
بتقيله هذه المسافة تضيق، تضيق، تضيق، بحيث أن F of

186
00:15:43,160 --> 00:15:46,760
X تقول إلى الـ مين اللي بتعبر عنها؟ الـ Epsilon،

187
00:15:46,760 --> 00:15:51,190
لأن بعطيك Epsilon صغيرة جدًا جدًا بدك تلاقي لي Delta

188
00:15:51,190 --> 00:15:54,870
أنا الآن الـ Epsilon بين صفر و نص لقيت لك الـ

189
00:15:54,870 --> 00:15:59,070
Delta اللي طلعت هنا معناته اللي نفع للـ Epsilon

190
00:15:59,070 --> 00:16:03,510
الصغيرة أكيد بيكون أصغر من مين؟ من الأكبيرة إذا هذا

191
00:16:03,510 --> 00:16:09,250
يجزئ بس هذا قبل ما نبدأ لأنه هسأخدم شغلة اللي هو 

192
00:16:09,250 --> 00:16:14,930
في هذا الاتجاه نيجي الآن عندي أول شيء المعطى

193
00:16:14,930 --> 00:16:23,550
ماتيني LimitF prime of X على G prime of X as X

194
00:16:23,550 --> 00:16:29,190
بتروح للـ A من اليمين أيش يساوي؟ يساوي أقل تعريف

195
00:16:29,190 --> 00:16:32,850
الـ Limit for every Y أكبر من 0 اللي هتاخد for 

196
00:16:32,850 --> 00:16:39,190
every Y element in 0 ونص اللي هي لزوم حسابات، بعد 

197
00:16:39,190 --> 00:16:44,650
شوية هنشوفها الآن لكل y تنتمي إلى 0.5 وهذا مشروع

198
00:16:44,650 --> 00:16:49,270
حسب ما حكيت قبل بشوية there exist delta أكبر من 0

199
00:16:49,270 --> 00:16:57,650
such that اللي هو if x element in a و a زيادة دلتا 

200
00:16:57,650 --> 00:17:04,230
لإن رايح لل a من وين؟ من اليمين لجيت اللي هو دلتا

201
00:17:04,230 --> 00:17:11,420
بحيث أنه لكل x في الفترة من a لعند a زائد دلتا بصير 

202
00:17:11,420 --> 00:17:16,780
عندي لكل x المتنية زائد دلتا بتطلع عندي then f 

203
00:17:16,780 --> 00:17:23,420
prime of x على g prime of x ناقص ال L أصغر من مين؟

204
00:17:23,420 --> 00:17:32,060
من ال epsilon إذا الآن من هذه ال limit حصلت على أن

205
00:17:32,060 --> 00:17:36,540
لأي إبسلون بين الـ 0 و نص بقدر ألاقي Delta بحيث 

206
00:17:36,540 --> 00:17:40,540
لكل الإكسات في المنطقة هذه هذه الـ Inequality إيش

207
00:17:40,540 --> 00:17:44,880
مالها تتحقق الآن بس خلّيني أكملها دي شوية عشان

208
00:17:44,880 --> 00:17:52,040
بستخدمها لشغلات أخرى عند A زائد Delta هذا بس مجرد 

209
00:17:52,040 --> 00:17:56,340
تعريف الـ Limit F' على الـ G' لما X تروح للـ A من

210
00:17:56,340 --> 00:17:59,120
اليمين الآن

211
00:18:01,110 --> 00:18:04,910
بدي أختار.. بدي أسهل على حالي بدل من كل مرة أقول 

212
00:18:04,910 --> 00:18:08,130
a زي الـ delta وبعد شوية ألاقي delta prime وأخد

213
00:18:08,130 --> 00:18:12,010
الـ minimum بينهم الآخر أجدف عليه عشان اللي بحكيه 

214
00:18:12,010 --> 00:18:17,910
بدي أخد اللي هو أقول choose c1 element in a و a زي

215
00:18:17,910 --> 00:18:24,630
الـ delta الآن اختار لي c1 من ال a لعند مين؟ لعند الـ

216
00:18:24,630 --> 00:18:30,340
a زي ال delta سميّه c1 يعني مجرد اختيار أنا اخترته

217
00:18:30,340 --> 00:18:38,260
الآن choose.. choose C1 element in A و A زائد

218
00:18:38,260 --> 00:18:44,140
دلتا يعني C1 وين موجود؟ موجود في المنطقة التي

219
00:18:44,140 --> 00:18:50,140
تتحقق فيها F' ع G' ناقص أصغر من ميل من إبسل عشان

220
00:18:50,140 --> 00:18:56,080
تستخدمها بعد شوية واضح طيب هذه من جهة الآن من الجهة

221
00:18:56,080 --> 00:19:03,100
الثانية عند limit f of x لما x تروح إلى مالا نهاية

222
00:19:03,100 --> 00:19:09,880
آسف للـ a من اليمين بسوء أيش هو معطيني إياها هي النظرية

223
00:19:09,880 --> 00:19:13,540
هي limit f of x لما x تروح إلى ال a من اليمين بسوء 

224
00:19:13,540 --> 00:19:15,760
limit g of x لما x تروح إلى ال a من اليمين بسوء

225
00:19:15,760 --> 00:19:23,170
أيش ماله؟ مالا نهاية من تعريفها هذا إيش يعني؟ لكل K

226
00:19:23,170 --> 00:19:29,270
اللي هو element in R there exists Delta A' أكبر من 

227
00:19:29,270 --> 00:19:36,590
0 such that اللي هو F of X أكبر من اللي هو الـ K

228
00:19:36,590 --> 00:19:42,210
لكل X و N موجودة في الـ A و A زائد مين؟ Delta 

229
00:19:42,210 --> 00:19:49,300
Prime، مظبوط ولا لا؟ ماشي الحال الآن لكل x element

230
00:19:49,300 --> 00:19:52,200
in A و A زي الـ delta prime هذه ال F of X أكبر من

231
00:19:52,200 --> 00:20:02,420
مين؟ من K الآن لو كانت ال A و ال A.. الآن عندي

232
00:20:02,420 --> 00:20:07,540
لكل subset من هذه.. لكل subset.. لو كان عندي A و 

233
00:20:07,540 --> 00:20:10,940
C2 مثلا subset من ال A و ال A زي ال delta prime

234
00:20:12,470 --> 00:20:17,070
برضه ال F of X أكبر من K هذه بتحققها بتحقق إيش؟ لكل X

235
00:20:17,070 --> 00:20:24,610
وين موجودة في الفترة من A لعند مين؟ لعند C2 الآن لو

236
00:20:24,610 --> 00:20:30,410
كانت ال Delta اللي لجيتها برا ولا جوا بقدر أختار 

237
00:20:30,410 --> 00:20:36,990
جوا اللي هو C2 بحيث أنه لو الـ C2 هذه هي اللي

238
00:20:36,990 --> 00:20:42,450
اخترتها جوات من الـ A والـ A زائد دلتا بتظل الـ F 

239
00:20:42,450 --> 00:20:47,470
of X A شمالها أكبر من مين؟ من الـ K، واضح؟ إذا من

240
00:20:47,470 --> 00:20:52,330
هذه بدي أستفيد شغلتين بدي أطبق التعريف هذا لـ K

241
00:20:52,330 --> 00:20:56,730
محددة مين الـ K اللي بدي أطبقها؟ اللي عبارة عن F

242
00:20:56,730 --> 00:21:02,560
عند مين؟ عند C1 واضح؟ إذا الآن بما أنه limit f of X 

243
00:21:02,560 --> 00:21:05,680
ثم X تروح إلى الـA باليمين يساوي Infinity إذا for 

244
00:21:05,680 --> 00:21:13,720
K.. إذا for f of C1 there exists Delta Prime أي 

245
00:21:13,720 --> 00:21:19,840
Delta Prime معينة بحيث أن f of X أكبر من 100 من f

246
00:21:19,840 --> 00:21:27,060
of C1 لكل X موجودة بين الـA والـA زائد Delta Prime

247
00:21:27,680 --> 00:21:31,860
أنا بدي أختار في مين؟ لكل X الموجودة بين الـ A و

248
00:21:31,860 --> 00:21:37,940
الـ C2 حيث الـ C2 موجودة في الفترة هذه و بدي إياها من

249
00:21:37,940 --> 00:21:44,120
C1 ولجاي إذا عشان هيك بقدر أقول then we can 

250
00:21:44,120 --> 00:21:50,280
choose C2 بين A و C1 الـ C2 بقدر أختارها فعلًا

251
00:21:50,280 --> 00:21:55,640
بختارها بس طبعًا وين تشتري تشريع اللي اختيارها أنها

252
00:21:55,640 --> 00:22:01,420
تكون بين الفترة A و A زائد Delta Prime وبدي إياها

253
00:22:01,420 --> 00:22:06,900
تيجي في داخل الـ A و الـ C1 إذا then we can choose

254
00:22:06,900 --> 00:22:13,200
C2 element A of C1 بحيث أن ال F of X أكبر من مين؟

255
00:22:13,200 --> 00:22:22,810
من F of C1 لكل X وينفي الفترة بين A و C2 طيب

256
00:22:22,810 --> 00:22:28,050
هذه معناته أن ال F of X هذه لكل الـ Xات اللي هان الـ

257
00:22:28,050 --> 00:22:34,290
F of X أكيد أي شمالها لها تساوي أيش؟ F of C1 هل

258
00:22:34,290 --> 00:22:38,930
جد تعرف ليش بدي إياها هذه؟ عشان لزوم تعريف شغل معينة

259
00:22:38,930 --> 00:22:44,770
بنفعش تكون ال F of X أيش بتساوي؟ F of C1 الآن 

260
00:22:44,770 --> 00:22:55,550
similarly Similarly اللي هو بما أنه limit G of X

261
00:22:55,550 --> 00:23:00,690
يساوي مالا نهاية as X بتروح للـ A من اليمين إذا

262
00:23:00,690 --> 00:23:13,160
بقدر ألاقي اللي هو C1 برايم بحيث أنه G of X أكبر أو 

263
00:23:13,160 --> 00:23:17,240
لا تساوي طبعًا أكبر الـ thrifty يعني لا تساوي G of

264
00:23:17,240 --> 00:23:27,860
C1 لكل X موجودة في الـ A و C1 إيش إبراهيم اه G C1

265
00:23:27,860 --> 00:23:34,680
إبراهيم اه G C1 إبراهيم الآن

266
00:23:34,680 --> 00:23:40,760
الـ..الـ..الـ.. الباخد الـ Minimum عشان طبعًا هذا

267
00:23:40,760 --> 00:23:46,120
اللي لجهة N C1' ممكن اللي هي لكل X في الـ A و C1'

268
00:23:46,620 --> 00:23:52,840
و لكل X element in A و C2' بط مانش.. مش عارف مين

269
00:23:52,840 --> 00:23:58,670
الأكبر من هذول فباخد الـ Minimum من الجهتين و

270
00:23:58,670 --> 00:24:03,090
بسميها C1 مثلا أو C2 الـ minimum من التنتين C2

271
00:24:03,090 --> 00:24:09,550
فبتصير عندي لأن لكل X في ال A و الـ minimum بينهن

272
00:24:09,550 --> 00:24:14,630
هذه بتظبط وهذه بتظبط يعني ال G of X لا تساوي F of

273
00:24:14,630 --> 00:24:20,670
C1 والـ F of X لا تساوي مين؟ F of C1 برايم ومنه 

274
00:24:20,670 --> 00:24:25,870
بعرف اللي بدي إياه أو بعمل زي ما هو عامل في الكتاب إيش

275
00:24:25,870 --> 00:24:29,280
اللي بقوله؟ نشوف اللي بعدها إذا الآن اللي اتفجنا

276
00:24:29,280 --> 00:24:38,540
عليه أنه في الفترة من A لعند A زائد Delta هذه

277
00:24:38,540 --> 00:24:45,480
متحققة هاي واحد واللي اتفجنا عليه أن F of X لا

278
00:24:45,480 --> 00:24:50,140
تساوي F of C1 في الفترة من A لعند C2

279
00:24:50,140 --> 00:24:55,580
أشمالها متحققة يعني بمعنى آخر الـ Inequality هذه

280
00:24:55,580 --> 00:25:03,800
وهذه التنتين محققات من أين؟ من A لعند C2

281
00:25:03,800 --> 00:25:05,360
واضح؟

282
00:25:11,650 --> 00:25:17,590
الآن وصلنا لمرحلة أنه نقدر نعرف الدالة اللي بتديها 

283
00:25:17,590 --> 00:25:23,890
اللي هي F of X بتساوي 1 ناقص F of C واحد على F 

284
00:25:23,890 --> 00:25:30,470
of X و1 ناقص G of C واحد على G of X لكل X وين

285
00:25:30,470 --> 00:25:37,330
موجودة بين A وC اثنين و F of C واحد لا تساوي F of X 

286
00:25:37,330 --> 00:25:43,340
مظبوط؟ هيّا اعملها أه لإن وين بدي أعرف هذه الدالة F

287
00:25:43,340 --> 00:25:50,480
من A لعند مين اللي هي بتتحقق عليها خاصية F of X ده

288
00:25:50,480 --> 00:25:55,080
تساوي مين؟ F of C واحد وبتتحقق عليها مين اللي هي

289
00:25:55,080 --> 00:26:00,480
الخاصية اللي عندي هذه لإن كله هيلزمني هذا إذا الآن 

290
00:26:05,340 --> 00:26:09,980
اتفقنا عليها دي أه عشان بدي امسح أنه عندي f prime

291
00:26:09,980 --> 00:26:13,800
على الـ g prime نقصها الأصغر من إبسلون لكل الـ Xات

292
00:26:13,800 --> 00:26:18,700
من A لعند A زائد دلتا لكل الـ Xات اللي هنا

293
00:26:18,700 --> 00:26:22,040
واتفقنا أن F of X لا تساوي F of C one برضه في

294
00:26:22,040 --> 00:26:27,350
الفرق في المنطقة من إيش؟ من A لـ C2 اتفقنا عليه الآن 

295
00:26:27,350 --> 00:26:33,510
نيجي نعرف الدالة اللي هتوصلني لهدفي خذ الآن f of x

296
00:26:33,510 --> 00:26:42,670
بتساوي اللي هو 1 ناقص f of c واحد على f of x 

297
00:26:42,670 --> 00:26:52,450
على 1 ناقص g of c واحد على g of x الآن g of c

298
00:26:52,450 --> 00:26:55,810
واحد مستحيل تساوي g of x من أي أسباب اللي حكيناها 

299
00:26:55,810 --> 00:27:01,710
وليس سبب آخر أيضا اللي هو ليش أنه عندي الـ g prime

300
00:27:01,710 --> 00:27:07,570
الـ g prime of x ده يساوي صفر إذا حسب Rolle's

301
00:27:07,570 --> 00:27:13,570
theorem مستحيل الـ g of c واحد اللي هو تساوي g of 

302
00:27:13,570 --> 00:27:20,530
x ليش؟ عندي g continuous

303
00:27:21,550 --> 00:27:29,350
on a .. طبعا الـ x واللي موجودة جواها منها الآن من x

304
00:27:29,350 --> 00:27:37,110
لعند c واحد صح؟ و g is differentiable on x لعند

305
00:27:37,110 --> 00:27:44,090
اللي هي c واحد open واضحة؟

306
00:27:44,090 --> 00:27:48,670
لأنه أثر هذا continuous و differentiable من a لعند

307
00:27:48,670 --> 00:27:52,550
b العلمي إذا في الجزئية هذه إذا أكيد اللي هم تتحقق 

308
00:27:52,550 --> 00:28:01,270
هذه الآن لو زي ما بنقول أن g prime لو لو عندي بدي 

309
00:28:01,270 --> 00:28:09,250
يكون g of x بسوء g of c واحد معناته حسب role

310
00:28:09,250 --> 00:28:16,360
theorem هيعطيني there exist cx element in x و c1

311
00:28:16,360 --> 00:28:22,800
such that g prime of cx هي ساوي صفر وهذا مستحيل

312
00:28:22,800 --> 00:28:27,320
لإن هو معطيني الـ g prime of x لا تساوي صفر لكل x

313
00:28:27,320 --> 00:28:34,630
element من a وb معناته معناه الحديث إنه الـ G of C

314
00:28:34,630 --> 00:28:41,510
واحد والـ G of X مستحيل يكون متساويات لكل الـ Xات

315
00:28:41,510 --> 00:28:47,230
اللي في الفترة من A لعند مين؟ لعند C اثنين واضحة إذا

316
00:28:47,230 --> 00:28:50,730
المقام لا يساوي صفر إذا اللي هو هذه is well

317
00:28:50,730 --> 00:29:00,950
defined على مين؟ على الفترة A مظبوط وC2 خليها في

318
00:29:00,950 --> 00:29:05,070
الذاكرة طيب اطلع لفوق وحسب لل limit الآن هذا 

319
00:29:05,070 --> 00:29:12,070
عرفناها حفظناها بنضطر أن امسح الآن احسب لل limit

320
00:29:12,070 --> 00:29:20,230
للي فوق limit F of X لما X تروح الي وين؟ الي a من

321
00:29:20,230 --> 00:29:23,390
اليمين بساوي 1

322
00:29:24,530 --> 00:29:32,650
ناقص limit F of C1 عدد على F of X لما X تروح للـ A

323
00:29:32,650 --> 00:29:36,950
من اليمين اتجرأت لأنه عارف أن ال limit موجودة

324
00:29:36,950 --> 00:29:42,290
على التوزيع اتجرأت عليه لأنه عارف limit G of C1

325
00:29:42,290 --> 00:29:49,530
على G of X لما X تروح لوين؟ للـ A من اليمين واضحة

326
00:29:49,530 --> 00:29:56,130
جدش هذه ال limit صفر لأن الـ F of X وين بتروح؟ إلى مالانهاية 

327
00:29:56,130 --> 00:30:00,010
نهاية هي بداية الموضوع مش بداية الموضوع كان عندنا

328
00:30:00,010 --> 00:30:05,010
أن ال limit F of X على G of X لما X تروح الى A من 

329
00:30:05,010 --> 00:30:08,670
اليمين اللي هو سبب لكل القصة أن هذه ال limit

330
00:30:08,670 --> 00:30:11,230
مالانهاية وهذه مالانهاية صارت مالانهاية مالانهاية

331
00:30:11,230 --> 00:30:15,710
نهاية وهي اللي خلتني اروح بهذا الاتجاه إذا هذه

332
00:30:16,610 --> 00:30:19,750
بتروح إلى مالانهاية إذا هذه بتروح إلى صفر وهذه 

333
00:30:19,750 --> 00:30:22,330
المال انهاية بتروح إلى صفر إذا هذا كله على بعض إيش

334
00:30:22,330 --> 00:30:30,170
بيساوي؟ بيساوي 1 واضح طيب الآن for every

335
00:30:30,170 --> 00:30:34,570
epsilon أكبر من صفر اللي هي اللي فوق خلاص بدنا

336
00:30:34,570 --> 00:30:39,270
فيها الآن بيبقى أن ال limit بيساوي 1 إذا there

337
00:30:39,270 --> 00:30:44,890
exists Delta أكبر من صفر أي إن كانت الـ Delta أكبر

338
00:30:44,890 --> 00:30:53,790
من صفر Such that F of X ناقص 1 أصغر من مين؟ من 

339
00:30:53,790 --> 00:30:59,190
الـ Epsilon الـ Epsilon اللي بدنا فيها من الأول هذا لو

340
00:30:59,190 --> 00:31:04,830
يعني لكل الـ X اللي في الفترة من a ل a زائد الـ delta

341
00:31:04,830 --> 00:31:07,910
هذه الـ delta الجديدة مش صارت تكون الأولى فأنا 

342
00:31:07,910 --> 00:31:13,330
عشان أريح حالي بدي اخذ اللي هو أصغر delta بلاقيها 

343
00:31:13,330 --> 00:31:17,910
وأقول حطها كمان جواها هادي حر أنا مدام بتنفع لي

344
00:31:17,910 --> 00:31:21,690
كبيرة أيضا كده بتنفع لمن؟ للصغيرة فاهمين أنا إيش

345
00:31:21,690 --> 00:31:28,270
بقول؟ هذه اللي هي نسميها C3 معايا؟ فبيصير عندي الآن

346
00:31:28,270 --> 00:31:39,200
F of X لكل X element in A لعند مين؟ C3 أي

347
00:31:39,200 --> 00:31:46,120
سؤال؟ F of X ناقص 1 أصغر من Y أكبر من سالب Y

348
00:31:46,120 --> 00:31:49,960
تلزمني هذه المنطقة اللي اللي جاي لأن F of X هذه

349
00:31:49,960 --> 00:31:56,720
يعني F of X يعطينا F of X أكبر من 1 ناقص Y 

350
00:31:59,390 --> 00:32:03,370
واضحة؟ لأن هذه جلبها .. اللي هذه طبعا 1 ناقص 

351
00:32:03,370 --> 00:32:07,850
إبسلون اللي هي بيصير عنده ال .. ال .. ال إبسلون

352
00:32:07,850 --> 00:32:12,650
أصغر من مين؟ من نصف الـ 1 ناقص إبسلون أكبر من مين؟

353
00:32:12,650 --> 00:32:20,670
اللي هي بيصير أكبر من نصف واضحة؟ اللي هي بيصير 1

354
00:32:20,670 --> 00:32:28,400
على f of x اللي هو أصغر من مين؟ هذا لمين؟ لكل

355
00:32:28,400 --> 00:32:32,760
الـ Xات اللي من A لعند مين؟ C3 وطبيعي الـ

356
00:32:32,760 --> 00:32:36,880
inequalities كلها اللي قبل تتحقق هنا لإنها بتتحقق 

357
00:32:36,880 --> 00:32:41,360
من هنا لهنا بعضها وبعضها بتتحقق من هنا لهنا فأكيد

358
00:32:41,360 --> 00:32:47,040
كلها هتتحقق للإكسات اللي مين؟ في الـ A وC3 أصلا أنا

359
00:32:47,040 --> 00:32:52,620
رايح باتجاه مين؟ رايح باتجاه أثبت لكم أنه limit of

360
00:32:53,680 --> 00:32:59,060
of x على g of x لما x تروح لل a من اليمين بساوي

361
00:32:59,060 --> 00:33:04,880
limit f prime of x على g prime of x as x تروح لل a

362
00:33:04,880 --> 00:33:10,080
من اليمين اللي هو إيش نسميه احنا؟ قال إذا أنا بهمني 

363
00:33:10,080 --> 00:33:14,920
مين الـ Xات اللي جنب الـ a لإن أنا رايح للـ a من وين؟

364
00:33:14,920 --> 00:33:18,800
من اليمين فأنا بهمني الجوار القريب جدا من الـ a لإن 

365
00:33:18,800 --> 00:33:21,960
أنا رايح له أصلا من هنا فالإكسات اللي فيها هي اللي

366
00:33:21,960 --> 00:33:27,760
بتلزمني عشان أصل للي بديها خلي هذه في الذاكرة

367
00:33:27,760 --> 00:33:34,560
فصار عندي الآن صار 

368
00:33:34,560 --> 00:33:38,800
عندي هذا كله حكيناه وخلصنا منه الآن نيجي بدنا نصل

369
00:33:38,800 --> 00:33:44,620
للي بدنا ياها بتتذكروا المرة الماضية أنا أصلا جبت 

370
00:33:44,620 --> 00:33:56,350
هذه جبت هذه أطلع فيها وقارن لي إياها مع الـ F of X على 

371
00:33:56,350 --> 00:34:01,310
الـ G of X اللي أنا بديها لها الـ F of X على الـ G of X

372
00:34:01,310 --> 00:34:08,170
لو جيت قارنتها F of X على الـ G of X إيش هتلاقيها؟

373
00:34:08,170 --> 00:34:14,810
لو جيت ضربت هذه في F of X وهذه في G of X 

374
00:34:17,460 --> 00:34:22,500
بنرجع لـ F of X ناقص F of C واحد و G of X ناقص G of

375
00:34:22,500 --> 00:34:26,680
C واحد طب إيش دخلنا فيه هذه F of X ناقص F of C

376
00:34:26,680 --> 00:34:30,500
واحد و G of X ناقص G of C واحد هذه اللي بالكوشي

377
00:34:30,500 --> 00:34:33,920
mean value theorem اللي هتجيب للـ F prime و G prime

378
00:34:33,920 --> 00:34:38,340
اللي أنا أصلا موجودات limited فبحصل على اللي بديها

379
00:34:40,230 --> 00:34:44,470
بالضبط الشيء اللي بقوله أنت يعني ليش هو فكر في هذه

380
00:34:44,470 --> 00:34:50,470
بالسبب اللي حكيته F of X على D of X بالساوي F of X

381
00:34:50,470 --> 00:34:59,890
على D of X في F of X على D of X على F of X مظبوط؟

382
00:34:59,890 --> 00:35:09,170
ما عملش شيء الآن اسحب لي هذه خليها وحط لي إياها هذه 1 على

383
00:35:09,170 --> 00:35:15,210
f of x ماهي الحالة هذه؟ مين هي في الواقع؟ هي اللي

384
00:35:15,210 --> 00:35:20,410
فوق اللي هي عبارة عن اضرب f of x هذه في هذه بيصير

385
00:35:20,410 --> 00:35:32,250
1 ويساوي 1 اللي هي ناقص f of c صح؟ f of x 

386
00:35:32,250 --> 00:35:42,660
ناقص f of c على g of x نقص g of c هذا مين هي اللي

387
00:35:42,660 --> 00:35:46,700
هي f of x على g of x في f of x عوضت هذه وحطيتها و

388
00:35:46,700 --> 00:35:51,760
طلع عندي هذا مضروب في كله في مين؟ في واحدة الـ f of

389
00:35:51,760 --> 00:36:01,080
x الآن عندي خليني أطبق اللي هو مين؟ الـ Cauchy mean 

390
00:36:01,080 --> 00:36:06,390
value theorem على الفترة من a لمين؟ لـ c تلاتة ماشي

391
00:36:06,390 --> 00:36:11,130
اللي هو there exist طبعا كله متحقق اللي هو الـ F و

392
00:36:11,130 --> 00:36:15,230
الـ G continuous و differentiable على الـ A و الـ C 3

393
00:36:15,230 --> 00:36:21,430
إذا there exist اللي هو إيه؟ اللي بدكي اسميها اللي

394
00:36:21,430 --> 00:36:25,690
هي مثلا there exist gamma أو زي ما هو مسميها في 

395
00:36:25,690 --> 00:36:32,230
الكتاب there exist xi element in A و C تلاتة such

396
00:36:32,230 --> 00:36:41,500
that f prime of xi على g prime of xi بساوي بس إن 

397
00:36:41,500 --> 00:36:44,780
أنا عشان بتطبقها على مين؟ على الفترة f of x لعند 

398
00:36:44,780 --> 00:36:48,800
مين؟ عشان تطلع عندي f of x of مين؟ و f of c واحد

399
00:36:48,800 --> 00:36:53,120
معايا لـ Xات اللي وين؟ اللي موجودة من a لعند c

400
00:36:53,120 --> 00:36:58,060
تلاتة بعد اذنكم بتطبقها الكوشي mean value theorem 

401
00:36:58,760 --> 00:37:01,840
ما هي أصلا continuous و differentiable على الفترة

402
00:37:01,840 --> 00:37:06,500
دي كلها من ضمنها مين؟ الفترة A وC تلاتة ومن ضمنها 

403
00:37:06,500 --> 00:37:11,040
الفترة A وC واحد اللي أنا بدي أطبق عليها بال end

404
00:37:11,040 --> 00:37:15,900
point مين الـ end point C واحد هيها والـ end point

405
00:37:15,900 --> 00:37:21,890
الـ X اللي موجودة بين A و B مين؟ C3 واضحة واضحة اللي 

406
00:37:21,890 --> 00:37:26,350
بدي .. إذا الآن الآن there exists x i الآن بالضبط

407
00:37:26,350 --> 00:37:30,630
بدي أطبق الميكوشي main value term على الفترة اللي هي

408
00:37:30,630 --> 00:37:37,790
X و C1 اللي الـ F والـ G differentiable عليها من

409
00:37:37,790 --> 00:37:40,530
وين الـ X هذه؟ الـ X اللي فوق هذه اللي بشتغل فيها

410
00:37:40,530 --> 00:37:45,890
اللي هي من A لعند مين؟ لعن C3 إذن there exists xi

411
00:37:45,890 --> 00:37:50,750
element in x و c واحد such that f prime of xi على

412
00:37:50,750 --> 00:37:58,770
g prime of xi في إيش بتساوي؟ f of c واحد أو f of x

413
00:37:58,770 --> 00:38:05,390
ناقص f of c واحد فاهمين؟ طبعا على g of x ناقص g of 

414
00:38:05,390 --> 00:38:10,990
c واحد بس ضربت في ناقص فوق وناقص صحيح تتعدى زي ما

415
00:38:10,990 --> 00:38:20,080
هي لأن هذه هي هذه إذا صارت عندي F of X على G of X

416
00:38:20,080 --> 00:38:26,000
بسوء F prime على G prime في 1 على مين؟ على F of

417
00:38:26,000 --> 00:38:32,060
X وهو اللي بده يوصلنا للي بدنا هي معليش امسح اللي

418
00:38:32,060 --> 00:38:35,280
هان بيصير عندي

419
00:38:38,180 --> 00:38:45,160
بيصير عندي الـ F of X على مين؟ F of X على G of X

420
00:38:45,160 --> 00:38:48,540
بساوي 

421
00:38:48,540 --> 00:38:54,120
اللي هو هدى شلناه وحطينا مكانها مين بساوي F prime

422
00:38:54,120 --> 00:39:02,140
of X على G prime of X في مين في واحد على ايه

423
00:39:02,140 --> 00:39:03,500
ايش على F

424
00:39:09,880 --> 00:39:18,360
واضح أه؟ الآن نمحى هنا هدول الـ Xات اللي هنا هما

425
00:39:18,360 --> 00:39:23,380
الـ Xات اللي وين موجودة بين A وC3 ماشي الحال بدي

426
00:39:23,380 --> 00:39:29,120
الآن غايتي أني أوجد F of X على G of X ناقص مين؟

427
00:39:29,120 --> 00:39:34,600
ناقص L واضحة إذا نلخص كل اللي اخذناه for every

428
00:39:34,600 --> 00:39:38,800
epsilon element in zero نص there exists delta أكبر

429
00:39:38,800 --> 00:39:48,980
من صفر such that if اللي هو x أكبر من a أصغر من c3

430
00:39:48,980 --> 00:39:53,260
أصغر من c2 أصغر من c1 أصغر من a زي ال delta اللي

431
00:39:53,260 --> 00:40:02,070
لجناها فاهمين عليها وكون عندي اللي هو قيمة العوض f

432
00:40:02,070 --> 00:40:08,110
of x على g of x ناقص ال .. بدي أقبل لك يميها هذا

433
00:40:08,110 --> 00:40:12,510
اللي هو أصغر من epsilon في something مش مشكلة و

434
00:40:12,510 --> 00:40:15,810
epsilon is arbitrary أيضا بيصير limit زي ما بدنايا

435
00:40:15,810 --> 00:40:24,170
واضح هذا الآن بالظبط بيساوي اللي هو العوض اللي هو

436
00:40:24,170 --> 00:40:28,590
f of x اللي هي عبارة عن واحد

437
00:40:32,680 --> 00:40:41,680
أف برايم of x i على جي برايم of x i في واحد على أف

438
00:40:41,680 --> 00:40:48,180
of x ناقص اللي 

439
00:40:48,180 --> 00:40:54,460
واضح لحتى الان ناخد هذه عامل مشترك برا يصبح واحد

440
00:40:54,460 --> 00:41:02,140
على أف of x في أف برايم of x i على g prime of xi

441
00:41:02,140 --> 00:41:13,560
ناقص L في F of X صح؟ أخدت

442
00:41:13,560 --> 00:41:17,300
الواحد على F of X عامل مشترك positive أه positive

443
00:41:17,300 --> 00:41:21,080
اللي هو F of X هي أكبر من 2 طلعت اللي هو ايش ماله

444
00:41:21,080 --> 00:41:27,260
هذا؟ هنا ده بدي أضيف term وأطرح term عشان أحصل على

445
00:41:27,260 --> 00:41:31,780
هذه اللي بدياها أصلا اللي هي الجد تفهموه مش مقصودة

446
00:41:31,780 --> 00:41:38,900
1 على f of x في f prime of xi على g prime of xi

447
00:41:38,900 --> 00:41:50,130
ناقص L زائد اللي هو L ناقص L F of X ايش سويت استخدمت

448
00:41:50,130 --> 00:41:56,170
ال triangle inequality بإضافة L وطرح L هذا كله

449
00:41:56,170 --> 00:42:04,130
مضروب 100 في 1 على F of X هذا الآن ال F of X أكبر

450
00:42:04,130 --> 00:42:12,690
من 2 حصلناها مظبوط بصير أصغر من نص واضحة

451
00:42:13,760 --> 00:42:18,920
الآن F' على G' لـ XI الـ XI وين لاجيناها؟ في

452
00:42:18,920 --> 00:42:24,940
الفترة بين A وC1 ينطبق عليها اللي هو من رأس الدور

453
00:42:24,940 --> 00:42:34,580
اللي هي F' على G' of X ناقص

454
00:42:34,580 --> 00:42:41,200
L أصغر من الـ Y من أول ما بدينا يعني إنه هذا أصغر

455
00:42:41,200 --> 00:42:44,460
من إبسلون لكل الـ Xات اللي موجودة من A لعند مين؟

456
00:42:44,460 --> 00:42:48,080
لعند الـ A زاد دلتها من ضمنهم مين؟ لك فيبراين كلام

457
00:42:48,080 --> 00:42:55,940
دقيق هذه في إبسلون زاد الآن هذا ال بطلعه برا عن

458
00:42:55,940 --> 00:43:01,760
المشترك ال اللي هي في مين؟ في واحد ناقص F of X

459
00:43:01,760 --> 00:43:10,240
واحد ناقص F of X الآن وهذا أصغر من نص في إبسلون

460
00:43:10,240 --> 00:43:15,440
زائد absolute value لـ L واحد ناقص F of X هذه ال

461
00:43:15,440 --> 00:43:20,260
Xات اللي موجودة بين A وC تلاتة وهذه اللي هي قبل

462
00:43:20,260 --> 00:43:26,150
بشوية أصغر من مين من اللي هو إبسلون أصغر من إبسلون

463
00:43:26,150 --> 00:43:30,030
واحد ناقص F of X أصغر من مين؟ من إبسلون مش هثبتنا

464
00:43:30,030 --> 00:43:33,910
limit F of X بيساوي واحد قبل بشوية اللي هو واحد

465
00:43:33,910 --> 00:43:37,050
ناقص F of X اللي هي أصغر من ايش من إبسلون في

466
00:43:37,050 --> 00:43:42,850
إبسلون صار عندي الان هذا المقدار اللي هو بيساوي

467
00:43:42,850 --> 00:43:47,030
epsilon على اتنين في واحد زائد absolute value

468
00:43:47,030 --> 00:43:52,810
لـ L لأن ال epsilon مضروبة فيه إذا as لأن هذا ال

469
00:43:52,810 --> 00:43:55,430
epsilon arbitrary وهذا الكلام صحيح for every

470
00:43:55,430 --> 00:43:59,710
epsilon epsilon بين zero و نص إذا هذا المقدار بقدر

471
00:43:59,710 --> 00:44:04,350
اصغره جد ما بدي بتصغير epsilon لانه مضروب فيه ضرب

472
00:44:04,350 --> 00:44:08,630
إذا صار عندي لكل epsilon أكبر من zero و نصلـ G الـ

473
00:44:08,630 --> 00:44:12,650
Delta بحيث أنه الـ Xات اللي هنا بيقدّي لي أن هذا

474
00:44:12,650 --> 00:44:20,810
المقدار أصغر من أي قيمة بديّها إذا هذا مفهوم limit

475
00:44:20,810 --> 00:44:31,530
F of X على G of X as X بتروح لين؟ للـ A من اليمين

476
00:44:31,530 --> 00:44:38,920
بساوي الـ L وهو المطلوب الثيورم اللي حكينا عنها

477
00:44:38,920 --> 00:44:45,060
برضه صحيحة في حالة اللي هو the same .. under the

478
00:44:45,060 --> 00:44:50,160
same conditions for the calculation of limits as x

479
00:44:50,160 --> 00:44:55,540
goes to infinity or x as goes mean to سالب infinity

480
00:44:55,540 --> 00:44:59,140
بس بورهان يعني بدون modification عن اللي موجود

481
00:44:59,140 --> 00:45:03,140
بتصلي اللي بدكيها نيجي ناخد أمثلة الأمثلة هذه طبعا

482
00:45:03,140 --> 00:45:09,500
أمثلة سهلة ومثلة calculus نمر عليها اللي هو ونشوف

483
00:45:09,500 --> 00:45:16,480
كيف نطبق نظريتنا أو نظرياتنا كيف نوظفها الحساب هذه

484
00:45:16,480 --> 00:45:23,260
النهايات عندي شوفوا صلى النبي عليه الصلاة والسلام

485
00:45:24,800 --> 00:45:30,720
Find Limit log sin x على log x as x بتروح للـ 0 من

486
00:45:30,720 --> 00:45:35,480
وين؟ من اليمين واحنا عارفين .. مشتغلين على الفترة

487
00:45:35,480 --> 00:45:40,460
0 or by يعني فترة بجوار مين؟ الصفر من اليمين و

488
00:45:40,460 --> 00:45:43,540
بدنا نروح للـ 0 من اليمين هذا طبعا لو جينا عوضنا

489
00:45:43,540 --> 00:45:48,080
هتطلع اللي هو sin 0 0 و أنا 0 فبصير ماله نهاية على

490
00:45:48,080 --> 00:45:53,580
مين؟ على ماله نهاية ك limits الآن صارت عندي ماله

491
00:45:53,580 --> 00:45:57,880
نهاية على ماله نهاية إذا ايش بتنسوه؟ ايش نسوي؟

492
00:45:57,880 --> 00:46:06,400
راحين لـ 0 من اليمين بيصير عنده اللي هو بالفاضل

493
00:46:06,400 --> 00:46:11,400
هذه وبالفاضل هذه بيصير تفاضلها هذه واضحة وهذه

494
00:46:11,400 --> 00:46:14,060
تفاضلها هيك مافيش داعي لنا ندخل في التفاصيل لأن كل

495
00:46:14,060 --> 00:46:20,320
بعرفها الآن بنبسط الأمر بيصير X Cos X على Sine X

496
00:46:20,930 --> 00:46:26,550
الآن لو جيت اتطلعت لهذه ال limit و لهذه ال limit

497
00:46:26,550 --> 00:46:29,530
هذه موجودة وهذه موجودة هذه موجودة لأنه تعويض

498
00:46:29,530 --> 00:46:33,410
مباشر واحد هذه موجودة لأنه بيصير صفر على صفر بتعملها

499
00:46:33,410 --> 00:46:36,570
global rule بيصير واحد على cosine بتطلع واحد برضه

500
00:46:36,570 --> 00:46:40,590
إذا قدرت اوزع لأنه عارف الليمتين الموجودة فبيصير

501
00:46:40,590 --> 00:46:46,220
عبارة عن واحد في واحد بيساوي ايه؟ واحد الآن خد على

502
00:46:46,220 --> 00:46:49,900
الفترة من Zero لعند مين لعند باي على اتنين limit

503
00:46:49,900 --> 00:46:53,300
واحد على X ناقص واحد على sign ال X ثم X تروح ل Zero

504
00:46:53,300 --> 00:46:57,140
من وين؟ من اليمين وهذه طبعا شغلات اللي هو درجنا

505
00:46:57,140 --> 00:47:01,120
عليها في ال calculus بنوحد المقامات وبصير مكتوبة

506
00:47:01,120 --> 00:47:05,030
على صورة sign ال X ناقص X على X في sign ال X ماشي

507
00:47:05,030 --> 00:47:10,650
الحل برضه 0 على 0 بنفضلها بيصير cos X ناقص 1 على

508
00:47:10,650 --> 00:47:15,470
اللي هو sin X زائد X فcos X لو جينا عوضنا هتطلع

509
00:47:15,470 --> 00:47:21,250
برضه 0 على 0 بنشتق كمان مرة بتطلع ناقص sin X على

510
00:47:21,250 --> 00:47:26,150
هذا المقدار هذا المقدار هنا بتصفر وهنا بيصير 2

511
00:47:26,150 --> 00:47:32,680
وهنا 0 0 على 2 مش بيساوي بيساوي 0 نأتي لهذا المثال

512
00:47:32,680 --> 00:47:36,440
معهود ال let I بيساوي من 1 إلى ما لنهاية الـ

513
00:47:36,440 --> 00:47:39,760
interval اللي عليها بدنا نشتغل وبدنا ناخد ال

514
00:47:39,760 --> 00:47:43,600
limit لما X تروح إلى وين إلى ما لنهاية المقدار 1

515
00:47:43,600 --> 00:47:48,960
زائد 1 على X والكل أُس X هذا المقدار الآن بدي

516
00:47:48,960 --> 00:47:53,460
استخدم اللي هو احوله ل exponential to the len ما

517
00:47:53,460 --> 00:47:55,660
احنا عارفين ال exponential وال len اللي هو n

518
00:47:55,660 --> 00:47:59,860
versus لبعض فبصير عندي E to the X لن ال 1 زائد 1

519
00:47:59,860 --> 00:48:05,120
على X هذا المقدار بدي اشغل على هذاك خطوة أولى بقول

520
00:48:05,120 --> 00:48:09,260
limit ال X لما واحد زائد واحد على X لما X تروح إلى

521
00:48:09,260 --> 00:48:14,140
مال نهاية بيصير هذا المقدار limit لما واحد زائد X

522
00:48:14,140 --> 00:48:18,160
على واحد على X ليش عملت هيك لأن لما X تروح إلى مال

523
00:48:18,160 --> 00:48:21,360
نهاية هذا صفر ولما X تروح إلى مال نهاية هذا صفر و

524
00:48:21,360 --> 00:48:25,340
هذا لما واحد فبصير صفر على صفر بقدر استخدم ال loop

525
00:48:25,340 --> 00:48:30,730
تالذرول اللي انا برهنتها بقي فاضل اللي فوق وفاصل

526
00:48:30,730 --> 00:48:33,850
اللي تحت .. فضلنا اللي فوق هي وفضلنا اللي تحت

527
00:48:33,850 --> 00:48:37,590
هي .. بروح هذا المقدار مع هذا المقدار .. بظل

528
00:48:37,590 --> 00:48:42,800
limit 1 زي 1 على X ناقص 1 لما X تروح لمدة نهاية ده

529
00:48:42,800 --> 00:48:47,940
بروح لصفر بطلع جداش 1 لأن 1 بنرد بنعوض وينها لأن

530
00:48:47,940 --> 00:48:50,940
ال exponential is a continuous function لذا نصحي

531
00:48:50,940 --> 00:48:54,180
عن عند limit ال 1 زي 1 على X لما X تروح لمدة نهاية

532
00:48:54,180 --> 00:48:57,920
to the X وعبارة عن E to the limit لأن ال

533
00:48:57,920 --> 00:49:01,760
exponential عبارة عن continuous function فبصير E

534
00:49:01,760 --> 00:49:08,300
to the 1 ويساوي E هذا اللي هو بيكون هيك احنا انهينا

535
00:49:08,300 --> 00:49:16,240
اللي هي lobitals rules أو قواعد lobital أو صرنا

536
00:49:16,240 --> 00:49:20,360
الآن ندخل

537
00:49:20,360 --> 00:49:28,120
على اللي هو ال chapter ال section الأخير اللي هو

538
00:49:28,120 --> 00:49:32,120
ال section عبارة عن ستة أربعة اللي هو taylor's

539
00:49:32,120 --> 00:49:38,540
theorem أو tailors اللي هي .. هنحكي عن tailors

540
00:49:38,540 --> 00:49:43,640
polynomial أو tailors أيضا اللي هو approximation

541
00:49:43,640 --> 00:49:49,820
كيف اللي هو .. إن مرة جاية إن شاء الله كيف بنقرب

542
00:49:49,820 --> 00:49:54,840
بعض الدوال اللي هو المحترمة اللي بتكون

543
00:49:54,840 --> 00:49:58,220
differentiable first derivative و second

544
00:49:58,220 --> 00:50:00,400
derivative و third derivative لأ عند ال derivative

545
00:50:00,400 --> 00:50:05,700
اللي بدنا .. اللي .. اللي هي ما قبل اشتقاق عندها

546
00:50:05,700 --> 00:50:11,760
بنقربها ب polynomial وطبعا انتوا عارفين جداش ال

547
00:50:11,760 --> 00:50:17,380
polynomial من الدوال السهلة سهلة التعامل سواء في

548
00:50:17,380 --> 00:50:21,500
تفاضل أو في تكامل أو حتى لو بدنا نحلها ونجيب

549
00:50:21,500 --> 00:50:26,340
جذورها ونجيب كذا في شغل عليها كثير فالناس ترغب في

550
00:50:26,340 --> 00:50:30,540
إنها تجيب بعض الدوال اللي بتكون أحيانا معقدة و

551
00:50:30,540 --> 00:50:35,380
صعبة التكامل أو خلنا نقول بتغلب شوية في التفاضل أو

552
00:50:35,380 --> 00:50:40,040
في وجود الجذور أو كده ونحولها إلى اللي هي

553
00:50:40,040 --> 00:50:44,020
polynomial طبعا في مقدار خطأ الخطأ هن .. إن شاء

554
00:50:44,020 --> 00:50:47,520
الله ال Taylor's theorem بتقولنا كيف إن هو نوجد

555
00:50:47,520 --> 00:50:51,320
هذا الخطأ أو ايش هو الخطأ وايضا Taylor's theorem

556
00:50:51,320 --> 00:50:55,780
زي ما انتوا عارفين هنوضح كيف هي عبارة عن تعميم لل

557
00:50:55,780 --> 00:51:00,340
main value theorem هي تعميم لل main value theorem

558
00:51:00,340 --> 00:51:05,140
في حالة اللي هي n بتساوي صفر بتطلع هي بالظبط ال

559
00:51:05,140 --> 00:51:09,100
main value theorem كيف؟

560
00:51:10,860 --> 00:51:15,100
الـ Main Value Theorem عبارة الـ Taylor's Theorem

561
00:51:15,100 --> 00:51:19,900
عبارة عن تعميم للـ Main Value Theorem خذ الآن

562
00:51:19,900 --> 00:51:25,020
بتساوي صفر بتطلع لك الـ Main Value Theorem بيشحمها 

563
00:51:25,020 --> 00:51:27,740
و لحمها وإلى لقاء