PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CRzAwh3Ypto.srt

1
00:00:21,580 --> 00:00:26,600
بسم الله الرحمن الرحيم إن شاء الله اليوم هناخد 

2
00:00:26,600 --> 00:00:31,760
section خمسة اتنين اللي عنوانه combination of

3
00:00:31,760 --> 00:00:38,560
continuous functions قبل ما ناخد أول نظرية عن الـ

4
00:00:38,560 --> 00:00:41,860
combination of continuous functions نستذكر أو 

5
00:00:41,860 --> 00:00:45,300
نسترجع مع بعض تعريف الـ continuous  الـ continuity

6
00:00:45,300 --> 00:00:49,300
عند نقطة ف a function f from a to r is continuous

7
00:00:49,300 --> 00:00:55,620
at c نقطة c تنتمي لـ a f and only f لكل إبسلون في

8
00:00:55,620 --> 00:00:59,740
دلتا تعتمد على إبسلون عدد موجب بهات لكل x في a

9
00:01:00,390 --> 00:01:03,710
المسافة بينها وبين الـC أصغر من دلتا لازم هذا

10
00:01:03,710 --> 00:01:08,610
يتضمن أن absolute F of X minus F of C أصغر من

11
00:01:08,610 --> 00:01:13,270
إبسلون طبعا شوفنا أن هذا التعريف بيكافئ التعريف

12
00:01:13,270 --> 00:01:18,970
اللي أخدناه في calculus A هو الشرط

13
00:01:18,970 --> 00:01:23,980
اللي هو بيتألف من تلت شروط وهو أن limit f عن c تكون

14
00:01:23,980 --> 00:01:30,900
موجودة و f عن c موجودة و الاثنين بسوء نفس القيمة

15
00:01:30,900 --> 00:01:43,420
الآن لو في عندي تلت دوال f و g و h بيه functions

16
00:01:43,420 --> 00:01:48,700
from a to r بيه 

17
00:01:48,700 --> 00:01:49,460
functions

18
00:01:54,460 --> 00:02:06,860
و c تنتمي إلى a و b real number الـ

19
00:02:06,860 --> 00:02:17,440
functions

20
00:02:17,440 --> 00:02:23,820
are continuous at c

21
00:02:28,450 --> 00:02:34,350
إذا الدوال الثلاث F وG وH كلهم متصلين عند النقطة

22
00:02:34,350 --> 00:02:44,150
C اللي بتنتمي إليها النتيجة F plus أو minus G F

23
00:02:44,150 --> 00:02:53,630
ضرب G B ضرب F are continuous at C

24
00:02:55,230 --> 00:03:11,750
B إذا كان H H of X لا تساوي صفر لكل X في A then F

25
00:03:11,750 --> 00:03:19,710
على H الدالة F على H is continuous is continuous

26
00:03:19,710 --> 00:03:20,950
at C

27
00:03:25,450 --> 00:03:38,190
وهي البرهان proof to

28
00:03:38,190 --> 00:03:48,530
show مثلا الـ function fg is continuous at c

29
00:03:51,910 --> 00:04:02,370
We have لدينا التالي بتثبت 

30
00:04:02,370 --> 00:04:09,010
أن الـ F حاصل ضرب الدالتين F و G متصل حاصل ضرب متصل

31
00:04:09,010 --> 00:04:14,990
and C فالاثبات دالك بتثبت ان الشرط هذا تبع الاتصال

32
00:04:14,990 --> 00:04:23,830
على النقطة بتحقق فتعالى نشوف high limit F ضرب G عند

33
00:04:23,830 --> 00:04:33,190
X لما X تقول لـC بنثبت أن هذا بيساوي FG عند C فهذا 

34
00:04:33,190 --> 00:04:42,190
بيساوي limit F of X ضرب G of X as X tends to C هذا 

35
00:04:42,190 --> 00:04:48,610
من تعريف حاصل ضرب اختراعين وهذا بيساوي أنا عندي

36
00:04:48,610 --> 00:04:56,150
limit F of X لما X تقول لـC existو limit الـ

37
00:04:56,150 --> 00:05:02,250
function g of x لما x تقول ل c exist لأن الـ

38
00:05:02,250 --> 00:05:05,110
function f continuous عند الـ c و الـ function g 

39
00:05:05,110 --> 00:05:11,250
احنا فرضينها continuous عند c مش هيكو بس ومن اتصال

40
00:05:11,250 --> 00:05:17,410
ده ل F عن C الـ limit هذه بيساوي قيمة F عن C وكذلك 

41
00:05:17,410 --> 00:05:20,810
من اتصال الـ function G عن C الـ limit هذه بتطلع 

42
00:05:20,810 --> 00:05:30,610
بيساوي G عن C وهذا بيساوي F ضرب G of C إذن هاي

43
00:05:30,610 --> 00:05:36,480
الشرط تبع الاتصال عن نقطة متحقق للـ function f ضارب

44
00:05:36,480 --> 00:05:42,720
g وبالتالي therefore by definition الـ function f g

45
00:05:42,720 --> 00:05:59,940
is continuous at c تمام الـ proof الـ proof of the

46
00:05:59,940 --> 00:06:00,580
other

47
00:06:05,540 --> 00:06:14,200
parts is similar مشابه للبرهان اللي احنا لسه 

48
00:06:14,200 --> 00:06:19,180
ماخدينه يعني لإثبات أن مثلا مجموعة دالتين

49
00:06:19,180 --> 00:06:24,660
continuous برضه ممكن إثبات أن limit f زائد g لما x

50
00:06:24,660 --> 00:06:31,220
تقول ل c بساوي f زائد g and c لو بدنا نثبت ان limit 

51
00:06:31,220 --> 00:06:39,480
f على g او f على h continuous عن c فبناخد limit f

52
00:06:39,480 --> 00:06:47,420
على h عن c وهذا بيطلع بساوي limit f of x على h of

53
00:06:47,420 --> 00:06:53,810
x ومع أن limit المقامه لا يساوي صفر لأن H ب X لا

54
00:06:53,810 --> 00:07:00,210
يساوي صفر لكل X في A فممكن نوزع الـ limit نقول

55
00:07:00,210 --> 00:07:02,910
limit البسط يساوي limit البسط على limit 

56
00:07:02,910 --> 00:07:06,770
المقام و limit البسط بيساوي F عن C لأن F

57
00:07:06,770 --> 00:07:13,070
continuous عن C و limit المقام عن C اللي هو H عن C 

58
00:07:13,070 --> 00:07:15,950
بيساوي قيمة الدالة H عن C لإن أنا متصل عن C

59
00:07:16,620 --> 00:07:21,880
وبالتالي بيطلع limit f على h لما x تقول ل c بس هو

60
00:07:21,880 --> 00:07:27,660
قيمة الدالة f على h and c okay إذا البرهين

61
00:07:27,660 --> 00:07:34,860
المتبقية ممكن يعني أعطاها بنفس الطريقة okay تمام

62
00:07:34,860 --> 00:07:38,720
النظرية 

63
00:07:38,720 --> 00:07:40,640
هذه ممكن تعميمها 

64
00:07:43,880 --> 00:07:51,460
يعني بدل لو كانت الدالة F و G و H متصلين are

65
00:07:51,460 --> 00:07:56,640
continuous are

66
00:07:56,640 --> 00:08:08,380
continuous على كل المجموعة A على كل المجال على

67
00:08:08,380 --> 00:08:15,140
كل المجال A الـ F والـ G والـ H المجال المشترك

68
00:08:15,140 --> 00:08:18,800
تبعهم المجموعة A فلو كانت الدوال الثلاث كلهم

69
00:08:18,800 --> 00:08:30,280
continuous على كل المجموعة A ف .. then فبتطلع

70
00:08:30,280 --> 00:08:36,520
كل الدوال هذه متصلة على كل المجموعة A على كل

71
00:08:36,520 --> 00:08:51,320
المجموعة A يعني هذا بيصير on A وهذه on .. on A فلو 

72
00:08:51,320 --> 00:08:52,380
بدي أبرهن

73
00:08:58,870 --> 00:09:03,330
أي واحدة من الدوال هذه continuous على كل ال A

74
00:09:03,330 --> 00:09:15,770
فإيش بعمل بقول fix C تنتمي إلى A and 

75
00:09:15,770 --> 00:09:21,870
then by

76
00:09:21,870 --> 00:09:23,090
above theorem

77
00:09:28,740 --> 00:09:35,220
by above theorem أنا 

78
00:09:35,220 --> 00:09:40,520
الآن عندي كل واحدة من الدوال هدول continuous على

79
00:09:40,520 --> 00:09:45,240
المجموعة a وبالتالي

80
00:09:45,240 --> 00:09:47,040
then

81
00:09:48,850 --> 00:09:52,490
بما أنه F و G و H continuous على كل المجموعة A فهي

82
00:09:52,490 --> 00:09:55,870
continuous عند أي نقطة مش هيك تعرف الاتصال على

83
00:09:55,870 --> 00:10:08,510
مجموعة اذا F و G و H are continuous at C وبالتالي 

84
00:10:08,510 --> 00:10:10,130
حسب النظرية السابقة

85
00:10:19,920 --> 00:10:26,160
So by above theorem

86
00:10:26,160 --> 00:10:32,600
all functions in

87
00:10:32,600 --> 00:10:36,660
parts A

88
00:10:36,660 --> 00:10:45,920
and B are continuous at C مش هي كثبتنا احنا في 

89
00:10:45,920 --> 00:10:48,120
النظرية السابقة هذه اللي جاب ال head اللي انا

90
00:10:48,120 --> 00:10:52,520
عدلتهالو كان في عندي تلت دوال و كلهم متصلين عن

91
00:10:52,520 --> 00:10:57,040
النقطة فكل الدول الموجودة في الفرق a و الدول

92
00:10:57,040 --> 00:11:01,300
الموجودة في الفرق b كلهم بيطلعوا continuous عن نفس

93
00:11:01,300 --> 00:11:09,660
النقطة الان بما أن النقطة c was arbitrary since c

94
00:11:09,660 --> 00:11:17,880
belonged to a was arbitrary the above

95
00:11:25,240 --> 00:11:32,060
All functions in A

96
00:11:32,060 --> 00:11:37,260
and B are

97
00:11:37,260 --> 00:11:39,580
continuous

98
00:11:41,100 --> 00:11:46,400
على كل المجموعة A لأن كل واحدة منهم continuous على 

99
00:11:46,400 --> 00:11:51,060
أي و كل نقطة C في A وبالتالي هذا يكون برنامج 

100
00:11:51,060 --> 00:11:56,540
النظرية إذا النظرية هذه تنتج مباشرة من نظرية

101
00:11:56,540 --> 00:12:04,020
السابقتها وذلك بتثبيت C عنصر في A وطبعا النظرية

102
00:12:04,020 --> 00:12:08,300
السابقة بتقول عند أي عنصرC بما أن الثلاث دوال 

103
00:12:08,300 --> 00:12:12,440
متصلة إذا كل ال combinations هدولة بطلعوا متصلين 

104
00:12:12,440 --> 00:12:17,220
عن نفس النقطة هذا صحيح لأي نقطة ل C وبالتالي كلهم

105
00:12:17,220 --> 00:12:21,840
متصلين على كل المجال تبعهم اللي هو المجموعة A

106
00:12:21,840 --> 00:12:28,040
تمام ناخد 

107
00:12:28,040 --> 00:12:29,100
بعض الأمثلة

108
00:12:40,050 --> 00:12:46,710
every polynomial .. every polynomial function على

109
00:12:46,710 --> 00:12:56,190
الصورة P of X بيساوي A N في X to N plus A N minus

110
00:12:56,190 --> 00:13:03,290
one في X to N minus one زائد .. زائد A one في X

111
00:13:03,290 --> 00:13:08,330
زائد A zero is continuous

112
00:13:10,930 --> 00:13:15,470
on R proof

113
00:13:15,470 --> 00:13:20,310
fix

114
00:13:20,310 --> 00:13:23,750
fix

115
00:13:23,750 --> 00:13:29,150
C ينتمي لـ R و بدي أثبت أن الـ polynomial function P

116
00:13:29,150 --> 00:13:36,470
هذه متصلة عند النقطة C طيب we should أثبتنا في 

117
00:13:36,470 --> 00:13:45,400
chapter 4 we should in chapter in chapter four that

118
00:13:45,400 --> 00:13:48,960
لو

119
00:13:48,960 --> 00:13:53,420
في عندي polynomial P

120
00:13:53,420 --> 00:13:57,660
polynomial في X فأثبتنا أن الـ limit للـ polynomial

121
00:13:57,660 --> 00:14:03,280
P عند أي real number

122
00:14:03,280 --> 00:14:11,430
C بسوء قيمتها عن C therefore حسب تعريف تبع الاتصال

123
00:14:11,430 --> 00:14:22,830
النقطة إذا P is continuous at C بما أن الـ C was 

124
00:14:22,830 --> 00:14:28,510
arbitrary element

125
00:14:28,510 --> 00:14:35,610
إذا P continuous عند كل الـ C في R وبالتالي P is 

126
00:14:35,610 --> 00:14:43,190
continuous على كل المجموعة R هنا ال A اللي هي R

127
00:14:43,190 --> 00:14:49,190
تمام مثال 

128
00:14:49,190 --> 00:15:04,390
ثاني if R بتساوي P على Q P على Q where P 

129
00:15:04,390 --> 00:15:05,930
و Q R

130
00:15:08,300 --> 00:15:19,440
Polynomials are كثيرات حدود then R is continuous

131
00:15:19,440 --> 00:15:29,720
on الست اللي هي R كل الأعداد الحقيقية معدّى أسفار 

132
00:15:29,720 --> 00:15:36,720
المقام كل ال X حيث Q of X بتساوي صفر 

133
00:15:50,720 --> 00:15:56,680
Proof برضه Fix C 

134
00:15:56,680 --> 00:16:08,860
تنتمي الى R معدّى كل ال X حيث Q of X بتساوي صفر 

135
00:16:08,860 --> 00:16:18,260
معدّى أسفار الـ function Q إذن Q and C لا يساوي صفر 

136
00:16:20,990 --> 00:16:30,050
So by chapter .. By chapter four احنا أثبتنا انه

137
00:16:30,050 --> 00:16:37,310
في الحالة هذه الـ limit ل R of X as X tends to C

138
00:16:37,310 --> 00:16:48,030
بساوي R of C وبالتالي therefore R is continuous

139
00:16:50,660 --> 00:16:58,640
at C ولما كانت الـ C موجودة في R minus أسفار

140
00:16:58,640 --> 00:17:04,520
المقام was arbitrarily إذن الـ R continuous على كل

141
00:17:04,520 --> 00:17:18,080
الـ sign هذه okay دي الأبارع بنكتبها طيب

142
00:17:18,080 --> 00:17:19,900
في الدوال المثلثية

143
00:17:25,880 --> 00:17:41,480
في الدوال المثلثية زي الدالة مثلا sin مثال

144
00:17:41,480 --> 00:17:52,660
رقم تلاتة f of x بساوي sin x is continuous

145
00:17:56,130 --> 00:18:07,970
on R متصلة على جميع الأعداد الحقيقية proof we

146
00:18:07,970 --> 00:18:08,650
use

147
00:18:13,350 --> 00:18:21,010
هنستخدم الحقائق التالية |sin z| أصغر من أو 

148
00:18:21,010 --> 00:18:30,290
ساوي 1 لكل z في R هذا معروف من الرسمة بتاعت ال

149
00:18:30,290 --> 00:18:33,690
sin function ال sin function أكبر قيمة لها 

150
00:18:33,690 --> 00:18:38,190
maximum value 1 وال absolute minimum -1

151
00:18:38,190 --> 00:18:43,220
إذاً قيمها محصورة بينهما، إذن هذه واضحة من الرسم أو من

152
00:18:43,220 --> 00:18:50,960
تعريف ال function كذلك في هندسة كمان |

153
00:18:50,960 --> 00:18:59,040
sin z| أصغر من أو ساوي |z| for all z في R

154
00:18:59,040 --> 00:19:02,240
إذن

155
00:19:02,240 --> 00:19:08,260
هذه موجود برهانها في chapter chapter

156
00:19:08,260 --> 00:19:16,030
8 الناس اللي هياخدوا تحليل حقيقي 2 هيشوفوا البرهان

157
00:19:16,030 --> 00:19:20,890
والناس اللي مش هياخدوا تحليل حقيقي 2 ممكن يقرؤوا

158
00:19:20,890 --> 00:19:27,890
البرهان من chapter 8 حتى تعرفوا يعني إيه تتحققوا 

159
00:19:27,890 --> 00:19:35,870
أن هذه فعلاً المتباينة الصحيحة كذلك من حساب المثلثات

160
00:19:35,870 --> 00:19:39,970
من ال trigonometry اللي درسناها في calculus A أو

161
00:19:39,970 --> 00:19:45,030
ما حتى في الثانوية العامة كان في متطابقات مثلثية و

162
00:19:45,030 --> 00:19:54,690
من المتطابقات هذه ممكن نستنتج أن sin x - sin

163
00:19:54,690 --> 00:20:11,220
c = 2 في sin (½ (x - c)) × cos (½

164
00:20:11,220 --> 00:20:23,100
(x + c))

165
00:20:23,100 --> 00:20:26,200
في

166
00:20:26,200 --> 00:20:27,680
x + c

167
00:20:37,480 --> 00:20:46,140
إذن هذه المتطابقة ممكن أثبتها كيف نثبتها sin

168
00:20:46,140 --> 00:20:51,900
الفرق x/2 - c/2 sin الفرق = sin

169
00:20:51,900 --> 00:21:00,860
cos - cos sin و cos المجموعة =

170
00:21:00,860 --> 00:21:04,420
cos cos - sin sin وبعدين نجمعهم و

171
00:21:04,420 --> 00:21:09,160
نضربهم وفي 2 فهيطلع في الآخر بتتصف عليه okay

172
00:21:12,120 --> 00:21:16,040
بالمناسبة في برضه كمان هندسة مش |sin z|

173
00:21:16,040 --> 00:21:22,100
أصغر من أو ساوي 1 وكذلك في هندسة |

174
00:21:22,100 --> 00:21:28,820
cos z| برضه أصغر من أو ساوي 1 لكل z في R لأنه

175
00:21:28,820 --> 00:21:32,260
برضه ال cos ال | مجزمة منها 1 وال

176
00:21:32,260 --> 00:21:35,600
absolute minimum -1 وبالتالي قيمة محصورة

177
00:21:35,600 --> 00:21:40,020
بين -1 و 1 الآن خلينا ناخد ال ..

178
00:21:42,890 --> 00:21:46,090
من المعادلة الأخيرة

179
00:21:56,720 --> 00:21:59,960
من المعادلة الأخيرة بيطلع عندي لو أخدت ال |

180
00:21:59,960 --> 00:22:05,840
value للطرفين فبيطلع عندي |sin x - sin

181
00:22:05,840 --> 00:22:12,700
c| طبعاً هذا الكلام كله صحيح لكل x و c أعداد حقيقية

182
00:22:14,590 --> 00:22:20,190
فهذا بيطلع = أو < أو ≤ 2 في

183
00:22:20,190 --> 00:22:28,230
|sin (½(x-c))| |sin (½(x-c))| ≤

184
00:22:28,230 --> 00:22:35,070
|½(x-c)| اللي هو ½ في |x - c| ×

185
00:22:35,070 --> 00:22:41,650
|cos (½(x+c))| ≤ 1 ≤

186
00:22:41,650 --> 00:22:52,580
أو ≤ 1 تمام؟ وهذا صحيح لكل x و c في R طبعاً

187
00:22:52,580 --> 00:23:00,660
هذا = |x - c| و

188
00:23:00,660 --> 00:23:06,260
من المتباينة هذه بينتج أن ده ل sin متصل عن c okay؟

189
00:23:06,260 --> 00:23:20,770
إذاً to show fix c ∈ R to show أن f of x

190
00:23:20,770 --> 00:23:32,290
= sin x is continuous at c let ε >

191
00:23:32,290 --> 00:23:37,050
الصفر be given it shows

192
00:23:40,310 --> 00:23:44,950
δ = ε > الصفر إذاً يوجد δ

193
00:23:44,950 --> 00:23:51,430
تعتمد على ε عدد موجب فلهذه ال δ لو كان x

194
00:23:51,430 --> 00:23:56,950
∈ R اللي هو مجال الدالة A و |x

195
00:23:56,950 --> 00:24:04,070
- c| < δ فهذا بتضمن أنه |f of

196
00:24:04,070 --> 00:24:15,190
x - f of c| اللي هو |sin x - sin c| شوفنا

197
00:24:15,190 --> 00:24:21,870
هذا ≤ أو < |x - c| من هنا الآن

198
00:24:21,870 --> 00:24:25,530
ال x هذه ماخدها أنا بحيث المسافة بينها وبين ال c

199
00:24:25,530 --> 00:24:30,410
أصغر من δ وأنا اخترت ال δ = ε

200
00:24:30,410 --> 00:24:34,810
عشان يطلع | الفرق بين f of x وf of c| ≤

201
00:24:34,810 --> 00:24:39,370
من ε إذاً هاي شرط ε δ لتعريف ال

202
00:24:39,370 --> 00:24:44,910
continuity والنقطة المتحققة بما أن ε was

203
00:24:44,910 --> 00:24:51,090
arbitrary since ε > الصفر was arbitrary

204
00:24:51,090 --> 00:24:56,550
إذاً حسب تعريف ε δ للاتصال بيطلع عندي ال

205
00:24:56,550 --> 00:25:05,710
function f of x = sin x is continuous at c

206
00:25:05,710 --> 00:25:11,130
وبما أن ال c was arbitrary since

207
00:25:14,280 --> 00:25:22,700
c ∈ R since c ∈ R was

208
00:25:22,700 --> 00:25:29,940
arbitrary وهنا أثبتنا أن ال f continuous at c ف f

209
00:25:29,940 --> 00:25:36,980
is continuous على كل ال R وهو المطلوب

210
00:25:40,210 --> 00:25:43,290
أن ال sin function continuous على كل ال R

211
00:25:43,290 --> 00:25:52,970
بالمثل ممكن إثبات أن ال function g of x =

212
00:25:52,970 --> 00:26:01,630
cos x أيضاً continuous on R هنستخدم ال ..

213
00:26:01,630 --> 00:26:10,410
هنستخدم يعني الحاجات هذه أو 2 منهم و .. بدل ال

214
00:26:10,410 --> 00:26:16,710
sin هنستخدم معادلة أو متطابقة زي هذه بس نبدل ال

215
00:26:16,710 --> 00:26:27,010
sin ب cos فهنا

216
00:26:27,010 --> 00:26:34,800
هيصير في عندي اختلاف هذا هيصير -2 بدل 2

217
00:26:34,800 --> 00:26:43,640
وهيكون عند هنا sin (½(x+c)) sin (½(x+c)) × sin

218
00:26:43,640 --> 00:26:48,820
(½(x-c)) تمام؟

219
00:26:48,820 --> 00:26:54,040
وطبعاً هناخد ال | value للطرفين

220
00:26:56,180 --> 00:26:59,400
فهذا = ال | value للطرف الثاني

221
00:26:59,400 --> 00:27:06,700
وباستخدام المتطابقات هذه فهذا هيطلع أصغر من

222
00:27:06,700 --> 00:27:11,380
|-2| بيطلع 2 وهذا أصغر من

223
00:27:11,380 --> 00:27:17,000
|sin z| أصغر من أو ساوي 1 و

224
00:27:17,000 --> 00:27:18,960
|cos z|

225
00:27:30,570 --> 00:27:37,920
لأ هذه مش cos هذه sin هذه ال sin فهي sin ال

226
00:27:37,920 --> 00:27:40,800
z ال | value لها أصغر من أو يساوي 1

227
00:27:40,800 --> 00:27:47,800
وهي كمان sin أو | value ل sin ال z أصغر

228
00:27:47,800 --> 00:27:53,360
من أو يساوي | ال z ال z هنا اللي هو ½ في x

229
00:27:53,360 --> 00:28:00,620
- c فبيطلع ½ في | في |x - c|

230
00:28:00,620 --> 00:28:06,150
بيطلع هذا = |x - c| وباقي البرهان زي

231
00:28:06,150 --> 00:28:10,110
ما عملنا هنا okay تمام لأي ε > الصفر

232
00:28:10,110 --> 00:28:15,130
choose δ = ε ف this δ will work

233
00:28:15,130 --> 00:28:22,370
تمام إذا باقي البرهان كما عملنا في حالة ال sin

234
00:28:22,370 --> 00:28:29,210
إذاً هذا المثال الرابع شوفنا فيه كيف نثبت أن ال

235
00:28:29,210 --> 00:28:33,870
cos function is continuous تمام واضح

236
00:28:37,340 --> 00:28:48,220
الآن ممكن إثبات بعد هيك أن ال tangent function

237
00:28:48,220 --> 00:28:58,040
tan x اللي هي = sin x / cos x is

238
00:28:58,040 --> 00:28:58,800
continuous

239
00:29:01,890 --> 00:29:06,770
ال sin مستمر على ال R وال cos مستمر على ال R هذه

240
00:29:06,770 --> 00:29:10,670
rational function rational function مستمر

241
00:29:10,670 --> 00:29:14,370
على ال R ما عدا عند أسفار المقام ما هي أسفار

242
00:29:14,370 --> 00:29:19,910
ال cos المضاعفات

243
00:29:19,910 --> 00:29:27,970
ال فردية ل π/2 مستمر على ال R ما عدا

244
00:29:31,580 --> 00:29:42,960
2n + 1 في π/2 حيث أن n عدد صحيح

245
00:29:42,960 --> 00:29:46,040
صح؟

246
00:29:46,040 --> 00:29:49,100
هيك

247
00:29:49,100 --> 00:29:57,940
بمضاعفات الفردية ل π/2 وكذلك cot x

248
00:29:57,940 --> 00:30:06,200
= cos x / sin x is continuous على R ما عدا

249
00:30:06,200 --> 00:30:14,260
أسفار المقام اللي هي مضاعفات ال π مضاعفات ال π

250
00:30:14,260 --> 00:30:21,160
ما عدا n π حيث أن n عدد صحيح

251
00:30:27,460 --> 00:30:32,160
وكذلك بالمثل

252
00:30:32,160 --> 00:30:39,460
ال .. ال .. ال secant .. لأ ال cosecant x اللي

253
00:30:39,460 --> 00:30:45,240
= 1 / sin x متصل على R ما عدا عند

254
00:30:45,240 --> 00:30:52,570
أسفار المقام، إذاً زيها زي ال cotangent وال secant

255
00:30:52,570 --> 00:30:58,430
x اللي هي 1 / cos برضه متصلة زيها زي ال

256
00:30:58,430 --> 00:31:02,690
tangent على R ما عدا المضاعفات الفردية ل π/2

257
00:31:02,690 --> 00:31:10,190
okay تمام طيب

258
00:31:10,190 --> 00:31:10,790
ناخد

259
00:31:28,820 --> 00:31:39,340
ناخد النظرية التالية let f

260
00:31:39,340 --> 00:31:43,440
be a function from A to R

261
00:31:56,070 --> 00:32:09,810
وإذاً if |f| is continuous if |f| is continuous at c

262
00:32:09,810 --> 00:32:14,370
∈ A then |f|

263
00:32:17,670 --> 00:32:27,990
is continuous at c then if |f| is continuous on A

264
00:32:27,990 --> 00:32:41,190
then |f| is continuous on A proof

265
00:32:41,190 --> 00:32:44,230
we

266
00:32:44,230 --> 00:32:44,850
use

267
00:32:47,240 --> 00:32:51,480
we use exercise

268
00:32:51,480 --> 00:32:54,760
exercise

269
00:32:54,760 --> 00:33:00,600
رقم 13

270
00:33:00,600 --> 00:33:09,220
في section 4.2 نرجع لل exercise هذا و

271
00:33:09,220 --> 00:33:09,900
نكتبه

272
00:33:16,290 --> 00:33:29,470
ال exercise هذا بيقول if

273
00:33:29,470 --> 00:33:38,790
lim f of x عندما x → c

274
00:33:38,790 --> 00:33:41,470
exists

275
00:33:47,480 --> 00:33:57,760
then lim |f of x| عندما x → c

276
00:33:57,760 --> 00:34:04,600
exists

277
00:34:04,600 --> 00:34:11,180
and equals |lim| |

278
00:34:11,180 --> 00:34:16,900
lim f of x عندما x → c

279
00:34:22,160 --> 00:34:26,760
طبعاً وهنا c is cluster point ال c هنا cluster

280
00:34:26,760 --> 00:34:30,700
point cluster 

281
00:34:30,700 --> 00:34:41,220
point of A و طبعاً F function من A إلى R فهذا

282
00:34:41,220 --> 00:34:46,480
التمرين موجود في section 4-2 لو كانت ال function F

283
00:34:46,480 --> 00:34:54,090
ال limit تبعتها عن C موجودة ف limit absolute f of c

284
00:34:54,090 --> 00:34:58,170
برضه بتكون موجودة و بساوي قيمتها ال absolute

285
00:34:58,170 --> 00:35:02,350
value ل limit f of x when x tends to c يعني مقدر نبدل ال

286
00:35:02,350 --> 00:35:06,170
absolute value مع ال limit الآن باستخدام هذا ال

287
00:35:06,170 --> 00:35:18,290
exercise ممكن نبره هنا النظرية السابقة إذا 

288
00:35:18,290 --> 00:35:18,690
هنا

289
00:35:23,870 --> 00:35:30,210
لبرهان الجزء الأول to

290
00:35:30,210 --> 00:35:36,410
show that

291
00:35:36,410 --> 00:35:44,890
if f is continuous at c to show absolute if is

292
00:35:44,890 --> 00:35:51,710
continuous at c تنتمي ل a

293
00:36:03,810 --> 00:36:09,350
لدينا اتصالين اتصال

294
00:36:09,350 --> 00:36:16,650
اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال

295
00:36:23,200 --> 00:36:26,500
فشوفنا ان لو كانت الـ C ماهياش cluster point

296
00:36:26,500 --> 00:36:31,780
فالاتصال عندها بيطلع متحقق اوتوماتيكي شوفنا في

297
00:36:31,780 --> 00:36:40,600
التعريف then the continuity of

298
00:36:40,600 --> 00:36:47,700
absolute f at C is automatic

299
00:36:47,700 --> 00:36:49,560
اوتوماتيكي

300
00:36:50,790 --> 00:36:56,590
إذا احنا بنهتم بالحالة التانية انه C is a cluster

301
00:36:56,590 --> 00:37:12,550
point of A ففي الحالة هذه by exercise 13

302
00:37:12,550 --> 00:37:19,170
of section أربعة

303
00:37:19,170 --> 00:37:19,930
اتنين

304
00:37:28,440 --> 00:37:37,660
بما أنه limit ل f of x as x tends to c بيساوي c

305
00:37:37,660 --> 00:37:46,940
احنا فرضين ان f continuous by continuity of f at c

306
00:37:48,200 --> 00:37:51,740
بما ان f continuous at c احنا فرضين ان f is

307
00:37:51,740 --> 00:37:55,920
continuous at c فبالتالي

308
00:37:55,920 --> 00:38:01,020
limit f of x لما x تقول ل c بيساوي f of c اذا هاي

309
00:38:01,020 --> 00:38:05,320
في عندي limit f of x لما x تقول ل c exist و بيساوي

310
00:38:05,320 --> 00:38:13,860
f of c اذا by exercise 13 بطلع عندي limit

311
00:38:16,480 --> 00:38:25,460
absolute f of x as x tends to c موجودة وبساوي

312
00:38:25,460 --> 00:38:37,480
absolute limit ل f of x لما x تقول ل c اللي هي

313
00:38:37,480 --> 00:38:45,580
بتطلع بساوي absolute f of cاللي هي عبارة عن

314
00:38:45,580 --> 00:38:50,780
absolute f محسوب عن c إذا هي شرط الاتصال لل

315
00:38:50,780 --> 00:38:55,980
function absolute f عند النقطة c متحقق وبالتالي

316
00:38:55,980 --> 00:39:04,620
therefore absolute f is continuous at c إذا هذا

317
00:39:04,620 --> 00:39:09,020
بثبت الجزء الأول الجزء التاني corollary على الجزء

318
00:39:09,020 --> 00:39:14,920
الأول نتيجة الجزء الأول لأن إذا كانت الدالة F

319
00:39:14,920 --> 00:39:20,640
continuous على كل الـ A معناته F continuous عند كل

320
00:39:20,640 --> 00:39:26,600
C في A وبالتالي بيطلع absolute F متصل عند كل C في

321
00:39:26,600 --> 00:39:34,680
A صح؟ إذن هذا إيه برهن النظرية إذن التاني نتيجة

322
00:39:34,680 --> 00:39:40,900
على الجزء الأول في كمان نظرية أخرى مشابهة زي هذه

323
00:39:43,790 --> 00:39:50,770
لكن بدل absolute f ففي عندى هنا let f be a function

324
00:39:50,770 --> 00:39:57,510
from a to r such that f of x أكبر من أو يساوي صفر

325
00:39:57,510 --> 00:40:05,170
لكل x في a يعني هنا ال function قيمها غير سالبة فلو

326
00:40:05,170 --> 00:40:14,660
كانت f continuous at c فال square root ل f بطلع

327
00:40:14,660 --> 00:40:21,580
continuous at C كذلك لو كانت F continuous on A ف

328
00:40:21,580 --> 00:40:29,760
ال square root ل F is continuous على كل ال A و

329
00:40:29,760 --> 00:40:34,500
المرة هذه البرهان بستخدم exercise ثاني في section

330
00:40:34,500 --> 00:40:40,090
4-2 اللي هو exercise 14الـ exercise هذا بيقول إذا

331
00:40:40,090 --> 00:40:44,510
كانت ال limit للدالة هذه، يعني عند C موجودة، then ال

332
00:40:44,510 --> 00:40:49,030
limit للـ square root .. لل function اللي هي square

333
00:40:49,030 --> 00:40:56,970
root of F عند الـ C موجودة وبتساوي ال square root

334
00:40:56,970 --> 00:41:04,110
وبتساوي جذر التربيع ليه؟ ال limit لل square root

335
00:41:05,350 --> 00:41:09,530
يعني بمعنى آخر أنا ممكن ابدل ال limit مع ال square

336
00:41:09,530 --> 00:41:15,750
root و البرهان زي برهان النظرية السابقة

337
00:41:34,960 --> 00:41:37,360
الحالة التانية اللي هي المهمة لو كانت C cluster

338
00:41:37,360 --> 00:41:44,180
point ل A فحسب exercise 14من section أربعة - اثنين

339
00:41:44,180 --> 00:41:49,120
اللي هو كتبناه هناك بما أنه ال limit بما أنه ال

340
00:41:49,120 --> 00:41:54,160
function if continuous at c إذا ال limit f of x من

341
00:41:54,160 --> 00:41:58,900
x تقوى ل c exist و بساوي f of c الآن من exercise

342
00:41:58,900 --> 00:42:03,400
أربعة عشر إذا

343
00:42:03,400 --> 00:42:07,680
ال limit هي عند ال limit ل f of x من x تقوى ل c

344
00:42:07,680 --> 00:42:10,440
exist إذا by exercise

345
00:42:14,160 --> 00:42:19,740
أربعتاش limit ال square root لل function f لما X

346
00:42:19,740 --> 00:42:27,200
تقول ل C exist و بساوي ال square root لل limit of

347
00:42:27,200 --> 00:42:31,460
the function f when x tends to c وهذا بساوي

348
00:42:33,950 --> 00:42:37,990
الـ square root أنا عندي limit f of x عند c exist

349
00:42:37,990 --> 00:42:44,870
و بتساوي f of c إذن هذا بيطلع بساوي ال square root

350
00:42:44,870 --> 00:42:50,870
ل f هذه ك function محسوبة عن c إذن أنا في عند ال

351
00:42:50,870 --> 00:42:57,510
function جذر ال f بالمناسبة جذر f and x كيف

352
00:42:57,510 --> 00:43:02,430
بنعرفها؟ بيه عبارة عن الجذر التربيعي ل f of x

353
00:43:05,740 --> 00:43:11,800
فإذا أنا عندي الدالة تبعتي جذر F هي دي function ال

354
00:43:11,800 --> 00:43:16,920
function هي حسبنا ال limit اللي عند C طلعت موجودة

355
00:43:16,920 --> 00:43:24,140
و بتساوي قيمتها عند C إذا ال square root ل F ك

356
00:43:24,140 --> 00:43:29,560
function is continuous at C تمام؟ إذا هذا بثبت

357
00:43:29,560 --> 00:43:33,980
الجزء الأول من النظرية هذه الآن الجزء التاني

358
00:43:33,980 --> 00:43:41,050
Corollary to the first part نتيجة على الجزء الأول

359
00:43:41,050 --> 00:43:45,510
لأنه إذا كانت إذا

360
00:43:45,510 --> 00:43:52,210
كانت ال F continuous على كل ال A فهي continuous

361
00:43:52,210 --> 00:43:56,370
عند كل C في A وبالتالي ال square root من الجزء

362
00:43:56,370 --> 00:44:01,250
الأول إلها continuous عند ال C وهذا ال C هذا طبعا

363
00:44:01,250 --> 00:44:04,170
ال C was arbitrary إذا ال square root continuous

364
00:44:04,170 --> 00:44:15,650
على كل ال A تمام؟ إذن هذه الحاجات .. هذا هو برهانها

365
00:44:15,650 --> 00:44:24,030
ال exercise 13 و 14 هدول نظريات فالمفروض أن احنا

366
00:44:24,030 --> 00:44:31,910
يعني إيه .. ان .. نبرهنهم فلو

367
00:44:31,910 --> 00:44:52,750
بدنا نبرهن مثلا الجزء الأخير هذا فممكن

368
00:44:52,750 --> 00:45:02,030
نستخدم ال sequential criterion يعني

369
00:45:02,030 --> 00:45:03,070
مثلا ال proof

370
00:45:06,120 --> 00:45:25,180
of exercise 14 section أربعة اتنين we

371
00:45:25,180 --> 00:45:28,920
use sequential

372
00:45:28,920 --> 00:45:29,920
criterion

373
00:45:32,750 --> 00:45:37,670
أنا بتثبت أن عندي limit f of x عن c exist و بتثبت

374
00:45:37,670 --> 00:45:42,450
limit الجذر ال f عن c exist و بساوي الجذر التربيعي ال

375
00:45:42,450 --> 00:45:55,150
limit ف let x n be a sequence طبعا

376
00:45:55,150 --> 00:45:56,530
في مجال الدالة

377
00:46:01,100 --> 00:46:10,900
be a sequence in a such that limit x n بساوي c تمام

378
00:46:10,900 --> 00:46:18,060
then x n

379
00:46:18,060 --> 00:46:24,120
أكبر من أو يساوي صفر لأي قيمة للدالة

380
00:46:43,880 --> 00:46:53,240
طيب اذا ال function عندي f of x إذا

381
00:46:53,240 --> 00:47:01,820
since limit f of x as x tends to c exist هذا

382
00:47:01,820 --> 00:47:09,850
بيقدّي انه ال limitالـ f of x n as n tends to

383
00:47:09,850 --> 00:47:14,530
infinity موجودة

384
00:47:14,530 --> 00:47:21,010
exist و

385
00:47:21,010 --> 00:47:29,270
بتساوي and مثلا equals عدد L كويس هذا by

386
00:47:29,270 --> 00:47:32,810
sequential criterion

387
00:47:35,150 --> 00:47:39,110
الـ function لها limit عن c إذا كان لكل sequence x

388
00:47:39,110 --> 00:47:46,570
in تتقارب ل c نهاية صورتها موجودة وبتساوي عدد معين

389
00:47:46,570 --> 00:47:55,910
الآن أنا عندي since f of x n أكبر من أو يساوي 0

390
00:47:55,910 --> 00:48:01,350
لكل n لأن الدالة قيمها موجبة الدالة هذه قيمها

391
00:48:01,350 --> 00:48:10,190
موجبةفالـ limit فالـ L اللي هي limit f

392
00:48:10,190 --> 00:48:14,510
of x n تطلع موجب ايضا اكبر من أو يساوي صفر

393
00:48:14,510 --> 00:48:21,610
وبالتالي

394
00:48:21,610 --> 00:48:26,410
ال limit وفي

395
00:48:26,410 --> 00:48:30,310
عندي أنا الآن ال sequence هذه by

396
00:48:32,240 --> 00:48:41,100
في مثال أخدناه سابقا او نظرية by theorem 3

397
00:48:41,100 --> 00:48:46,260
و12 في الكتاب بتقول لو في عندي sequence زي

398
00:48:46,260 --> 00:48:55,330
هذه حدودها غير سالبة فال limitللـ square root ل F

399
00:48:55,330 --> 00:49:05,390
of X N as N tends to infinity تطلع موجودة

400
00:49:05,390 --> 00:49:11,610
و

401
00:49:11,610 --> 00:49:16,970
بتساوي جذر ال Lحسب النظرية هذه إذا كان في end

402
00:49:16,970 --> 00:49:22,170
sequence حدودها غير سالبة ومتقاربة إذا ال limit

403
00:49:22,170 --> 00:49:25,630
square root لحدودها بساوي square root ل limit

404
00:49:25,630 --> 00:49:29,330
تبعتها طبما ال square root ل L هي عبارة عن ال

405
00:49:29,330 --> 00:49:37,150
square root ل limit f of x n

406
00:49:41,810 --> 00:49:47,030
من هنا الـ square root لإيه اللي بيساوي ال square

407
00:49:47,030 --> 00:49:56,990
root لlimit f of x n لما n طول لإنفينتيز إذا

408
00:49:56,990 --> 00:50:04,550
انا هيطلع عندي ال limit وهذه عبارة عن limit

409
00:50:07,530 --> 00:50:15,030
للـ square root ل F of XN لما N تقول infinity اذا

410
00:50:15,030 --> 00:50:19,650
انا بدأت ب XN sequence contained in A ونهايتها C

411
00:50:19,650 --> 00:50:25,330
فطلع نهايت نهايت

412
00:50:25,330 --> 00:50:30,250
صورتها صورة ال sequence موجودة وبساوي ال square

413
00:50:30,250 --> 00:50:35,010
root ل L موجودة وبالتالي therefore by sequential

414
00:50:39,060 --> 00:50:47,080
criterion ال limit لل square root ل F of X لما X

415
00:50:47,080 --> 00:50:55,780
تقول إلى C بساوي exist و بساوي ال square root ل F

416
00:50:55,780 --> 00:51:00,980
when x tends to c أو

417
00:51:00,980 --> 00:51:03,820
اللي هو اللي بساوي .. لأ بساوي اللي هو

418
00:51:09,800 --> 00:51:20,620
السكوير روت ال L اللي هو برضه اللي هو

419
00:51:20,620 --> 00:51:23,100
نعم نعم

420
00:51:31,480 --> 00:51:37,500
يعني هاد ممكن هاد يسميها L من الأول فإذا بطلع عندي

421
00:51:37,500 --> 00:51:40,940
the square root function لها limit، limit عن سي

422
00:51:40,940 --> 00:51:46,260
موجودة بساوي square root لـ L إذا هاد بكمل البرهن

423
00:51:46,260 --> 00:51:52,320
بالمثل ممكن نبرهن exercise اللي جابله 13

424
00:51:57,010 --> 00:52:01,530
فحاولوا يكونوا تبرهنوا exercise 13 بنفس الطريقة،

425
00:52:01,530 --> 00:52:07,570
في أي سؤال أو استفسار؟ okay إذا المرة الجاية بال

426
00:52:07,570 --> 00:52:08,070
Campbell