PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Lc2K-uxXK74.srt

1
00:00:20,750 --> 00:00:26,090
Okay إذا اليوم إن شاء الله هنكمل موضوع ال limit

2
00:00:26,090 --> 00:00:32,390
theorems أو نظريات النهايات ومن النظريات المهمة 

3
00:00:32,390 --> 00:00:39,710
هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x<sub>n</sub> و

4
00:00:39,710 --> 00:00:44,570
ال sequence هذي convergent لـ x فالـ sequence of

5
00:00:44,570 --> 00:00:49,350
absolute values بتطلع convergent والـ limit تبعتها

6
00:00:49,350 --> 00:00:55,490
تطلع absolute ... absolute limit تبعت الـ sequence

7
00:00:55,490 --> 00:01:00,750
x فالبرهان 

8
00:01:00,750 --> 00:01:04,470
بيعتمد على ال triangle inequality

9
00:01:07,360 --> 00:01:13,720
أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه 

10
00:01:13,720 --> 00:01:20,740
|a| - |b| وأخد ال absolute value

11
00:01:20,740 --> 00:01:28,600
هذا أصغر من أو يساوي |a - b| فلو أخدت هنا

12
00:01:28,600 --> 00:01:36,160
a بساوي x<sub>n</sub> و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل

13
00:01:36,160 --> 00:01:43,760
الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي x<sub>n</sub> converges to x

14
00:01:43,760 --> 00:01:51,740
فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given

15
00:01:55,040 --> 00:02:00,540
وأنـا x<sub>n</sub> converge لـ x، إذا هذا بيدّي أنه

16
00:02:00,540 --> 00:02:03,580
يوجد 

17
00:02:03,580 --> 00:02:13,660
N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث أنه لو

18
00:02:13,660 --> 00:02:18,260
كان n أكبر من أو يساوي N فهذا بيدّي ان

19
00:02:18,260 --> 00:02:22,080
|x<sub>n</sub> - x| أصغر من epsilon

20
00:02:25,260 --> 00:02:30,300
وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon

21
00:02:30,300 --> 00:02:34,260
لكل

22
00:02:34,260 --> 00:02:41,180
n أكبر من أو يساوي N إذا

23
00:02:41,180 --> 00:02:44,800
أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من صفر

24
00:02:44,800 --> 00:02:50,760
يوجد N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث

25
00:02:50,760 --> 00:02:57,040
لكل n أكبر من أو يساوي N القيمة المطلقة لـ

26
00:02:57,040 --> 00:03:02,480
|x<sub>n</sub>| - |x| أصغر من epsilon إذا

27
00:03:02,480 --> 00:03:07,900
حسب تعريف epsilon N for limits هذا معناه

28
00:03:07,900 --> 00:03:14,260
بالظبط أن limit |x<sub>n</sub>| as n tends to infinity

29
00:03:14,260 --> 00:03:21,790
بساوي |x| وهو المطلوب Okay تمام إذا هذا

30
00:03:21,790 --> 00:03:32,890
بيكمل برهان نظرية 12 تمام واضح النظرية

31
00:03:32,890 --> 00:03:39,270
اللي بعدها نظرية 13 بتقول لو أنا في عندي

32
00:03:39,270 --> 00:03:45,490
sequence حدودها كلها غير سالبة حدود الـ sequence x<sub>n</sub>

33
00:03:45,490 --> 00:03:50,750
كلها غير سالبة أعداد غير سالبة والـ sequence لو

34
00:03:50,750 --> 00:03:57,730
كانت الـ sequence x<sub>n</sub> convergent to some x فالـ

35
00:03:57,730 --> 00:04:02,730
limit للـ sequence of square roots لـ x<sub>n</sub> تطلع

36
00:04:02,730 --> 00:04:08,470
convergent والـ limit تبعتها بساوي square root للـ

37
00:04:08,470 --> 00:04:09,890
limit للـ sequence x<sub>n</sub>

38
00:04:13,780 --> 00:04:19,760
والبرهان تبع النظرية دي سهل أنا أول شيء عندي احنا

39
00:04:19,760 --> 00:04:25,060
فرضين أن الـ limit لـ x<sub>n</sub> بساوي x في نظرية 8

40
00:04:25,060 --> 00:04:28,700
قلنا أن لو كانت حدود الـ sequence x<sub>n</sub> كلها غير سالبة

41
00:04:28,700 --> 00:04:34,360
فـ limit لـ sequence x<sub>n</sub> اللي هي x أيضا تطلع غير

42
00:04:34,360 --> 00:04:40,840
سالبة إذا x أكبر من أو يساوي 0 الآن في عندي حالتين

43
00:04:40,840 --> 00:04:46,300
الـ x هنا أكبر من أو يساوي صفر ففي عندي احتمالين اما

44
00:04:46,300 --> 00:04:54,260
x بساوي صفر أو x أكبر من الصفر تمام وفي كل حالة

45
00:04:54,920 --> 00:04:59,540
مطلوب مني أن أثبت أن limit الـ square root لـ x<sub>n</sub>

46
00:04:59,540 --> 00:05:03,960
بساوي الـ square root of x تمام؟ نشوف في الحالة

47
00:05:03,960 --> 00:05:08,520
الأولى لو كانت الـ x بساوي صفر وأنا عندي من الفرض

48
00:05:08,520 --> 00:05:15,550
x<sub>n</sub> converges to x اللي هي صفر إذا لو أخدت أي epsilon

49
00:05:15,550 --> 00:05:20,250
أكبر من الصفر من كون الـ sequence هذه converge

50
00:05:20,250 --> 00:05:24,270
للسفر إذا لأي epsilon يوجد N يعتمد على

51
00:05:24,270 --> 00:05:30,150
epsilon بحيث المسافة بين x<sub>n</sub> والصفر أصغر من epsilon

52
00:05:30,150 --> 00:05:33,470
تربيع لكل n أكبر من أو يساوي N هذا من

53
00:05:33,470 --> 00:05:36,690
تعريف الـ convergence ممكن أحط هنا epsilon أو epsilon

54
00:05:36,690 --> 00:05:42,940
تربيع مافي مشكلة طيب أنا عندي x<sub>n</sub> من الفرض الـ x<sub>n</sub>

55
00:05:42,940 --> 00:05:48,840
كلهم أكبر من أو يساوي صفر وبالتالي القيمة المطلقة

56
00:05:48,840 --> 00:05:53,800
لـ x<sub>n</sub> بساوي نفسها ناخد 

57
00:05:53,800 --> 00:05:59,120
الجذر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي الـ square

58
00:05:59,120 --> 00:06:04,790
root of x<sub>n</sub> بساوي الـ absolute value لـ square root لـ

59
00:06:04,790 --> 00:06:10,190
x<sub>n</sub> - صفر وهذا أصغر من epsilon square root

60
00:06:10,190 --> 00:06:13,870
لـ epsilon تربيع بيطلع epsilon هذا الكلام صحيح for

61
00:06:13,870 --> 00:06:18,830
every n bigger than or equal N طب هذا

62
00:06:18,830 --> 00:06:23,050
معناه بما أن epsilon was arbitrarily بما أن احنا

63
00:06:23,050 --> 00:06:29,850
أثبتنا هذا الكلام لكل epsilon عدد موجب هذا من تعريف

64
00:06:29,850 --> 00:06:34,350
epsilon N for limits للنهايات هذا معناه

65
00:06:34,350 --> 00:06:40,970
limit الـ square root لـ x<sub>n</sub> بساوي الصفر لما n تؤول لـ

66
00:06:40,970 --> 00:06:47,140
N وهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب الصفر هنا احنا 

67
00:06:47,140 --> 00:06:50,780
ماخدين x بالساوي صفر فالصفر هذا هو square root لـ

68
00:06:50,780 --> 00:06:54,360
x إذا هيك اثبتت أن limit square root لـ x<sub>n</sub>

69
00:06:54,360 --> 00:06:58,820
بالساوي square root لـ x في حالة لما x بالساوي

70
00:06:58,820 --> 00:07:07,280
صفر تمام باقي نثبت النتيجة نفسها في حالة لما x أكبر

71
00:07:07,280 --> 00:07:11,740
من 0 تفضلي قالت جيت حكيت أنه ممكن أخد epsilon مش 

72
00:07:11,740 --> 00:07:15,740
epsilon تربيع لما أكمل خطوة بعد تطلع جذر الـ epsilon

73
00:07:15,740 --> 00:07:19,660
يعني أقل من جذر الـ epsilon جذر الـ epsilon قلت أن احنا

74
00:07:19,660 --> 00:07:23,600
خلينا epsilon تربيع عشان لما أخد الجذر يطلع epsilon

75
00:07:23,600 --> 00:07:29,520
مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي الـ epsilon مش الـ epsilon

76
00:07:29,520 --> 00:07:34,300
أكبر عدد أكبر من 0 given إذا epsilon تربيع برضه عدد

77
00:07:34,300 --> 00:07:39,880
موجب بقى تقريبا هو الـ given وبالتالي يوجد N تعتمد

78
00:07:39,880 --> 00:07:44,320
على epsilon تربيع بدل epsilon طب epsilon تربيع تعتمد

79
00:07:44,320 --> 00:07:48,420
على epsilon إذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على

80
00:07:48,420 --> 00:07:52,240
epsilon وإعتبر الـ epsilon تربيع بدل epsilon في الـ

81
00:07:52,240 --> 00:07:55,920
definition فمافي مشكلة بس خدناها الـ epsilon تربيع

82
00:07:55,920 --> 00:07:59,660
عشان لما ناخد جذر التربيع يطلع عندي أصغر من epsilon

83
00:07:59,660 --> 00:08:03,760
وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جذر x<sub>n</sub> بساوي 

84
00:08:03,760 --> 00:08:11,840
6 تمام اللي هي جذر x في أي سؤال ثاني؟ طيب، نشوف 

85
00:08:11,840 --> 00:08:16,800
الحالة الثانية، لو كانت الـ x هذه أكبر من صفر، إذا 

86
00:08:16,800 --> 00:08:20,640
جذر الـ x بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جذر x<sub>n</sub>

87
00:08:20,640 --> 00:08:26,120
زي جذر x أكبر من أو يساوي جذر الـ x، لأن هذا أكبر من

88
00:08:26,120 --> 00:08:35,430
أو يساوي صفر، وهذا موجب، لأن الـ x موجبة طيب، الآن 

89
00:08:35,430 --> 00:08:40,630
هذا المقدار أكبر من أو يساوي هذا واتنين موجبين، إذا 

90
00:08:40,630 --> 00:08:47,950
المقلوب الكبير أصغر من أو يساوي المقلوب الصغير هذه

91
00:08:47,950 --> 00:08:53,010
الخاصية أخذناها في chapter one وبناء عليه

92
00:09:01,430 --> 00:09:06,810
بناء على ذلك أنا ممكن أحسب جذر x<sub>n</sub> - جذر الـ x

93
00:09:06,810 --> 00:09:12,870
بضرب المقدار هذا في المرافق تبعه بسطه مقامه، هاي

94
00:09:12,870 --> 00:09:16,870
المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في 

95
00:09:16,870 --> 00:09:23,030
واحد، إذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه، 

96
00:09:23,030 --> 00:09:27,870
تمام؟ الآن الـ numerator تحليل الفرق بين المربعين فبطلع

97
00:09:27,870 --> 00:09:33,170
مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x<sub>n</sub> - x و

98
00:09:33,170 --> 00:09:38,310
بيبقى الـ denominator في المقام المقدار هذا الآن ناخد

99
00:09:38,310 --> 00:09:43,370
القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة

100
00:09:43,370 --> 00:09:48,230
للطرف اليمين القيمة المطلقة للـ numerator على القيمة

101
00:09:48,230 --> 00:09:53,070
المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له

102
00:09:53,070 --> 00:09:58,770
نفسه إذا الآن أنا في عندي sequence اللي هي الحد

103
00:09:58,770 --> 00:10:02,810
العام تبعها square root of x<sub>n</sub> وفي عندي عدد square

104
00:10:02,810 --> 00:10:10,390
root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من

105
00:10:10,390 --> 00:10:15,610
أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي 1 على square

106
00:10:15,610 --> 00:10:21,870
root of x<sub>n</sub> + square root of x والكسر هذا من

107
00:10:21,870 --> 00:10:27,950
المتباينة 9 هذا الكل أصغر من أو يساوي 1 على

108
00:10:27,950 --> 00:10:32,610
square root of x ضرب |x<sub>n</sub> - x| الآن

109
00:10:32,610 --> 00:10:43,830
ارجعوا لنظرية 2.4 with

110
00:10:43,830 --> 00:10:52,060
c عدد موجب يساوي 1 على جذر الـ x هذا عدد موجب و a<sub>n</sub>

111
00:10:52,060 --> 00:10:59,780
بساوي x<sub>n</sub> - x إذن

112
00:10:59,780 --> 00:11:03,940
هي يوجد c عدد موجب اللي هو 1 على جذر الـ x وهي 

113
00:11:03,940 --> 00:11:08,820
في عندي sequence a<sub>n</sub> الحد العام تبعها x<sub>n</sub> - x و

114
00:11:08,820 --> 00:11:14,680
الـ sequence هذه تؤول إلى صفر as n tends to

115
00:11:14,680 --> 00:11:19,870
infinity لأن أنا من المعطيات عندي x<sub>n</sub> تؤول لـ x أو

116
00:11:19,870 --> 00:11:24,490
limit x<sub>n</sub> بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي صفر، لذلك

117
00:11:24,490 --> 00:11:29,890
حسب نظرية 2.4، كل شروطها متحققة، وبالتالي، لذلك حسب

118
00:11:29,890 --> 00:11:34,630
النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit

119
00:11:34,630 --> 00:11:41,190
square root لـ x<sub>n</sub> بساوي square root لـ x وهو المطلوب 

120
00:11:41,190 --> 00:11:46,690
إثباته إذا هاي اثبتنا أن limit الـ square root لـ x

121
00:11:46,690 --> 00:11:50,410
<sub>n</sub> بساوي الـ square root لـ x في حالة لما x تكون

122
00:11:50,410 --> 00:11:54,750
موجبة والحالة الأولى في حالة لما x صفر برضه

123
00:11:54,750 --> 00:11:58,410
اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية

124
00:11:58,410 --> 00:12:02,690
تمام؟ في حد عنده أي سؤال أو استفسار واضح البرهان؟

125
00:12:05,660 --> 00:12:12,800
في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار 

126
00:12:12,800 --> 00:12:21,660
الكسور أو النسبة أو ايش

127
00:12:21,660 --> 00:12:27,300
الـ ratio test ماذا هذا الـ ratio test بيقول هذا الـ

128
00:12:27,300 --> 00:12:31,120
ratio test بتعلق بـ sequences of positive numbers

129
00:12:32,030 --> 00:12:35,090
يعني عشان أنا أطبق الـ ratio test لازم الـ sequence

130
00:12:35,090 --> 00:12:39,170
تبعتي تكون حدودها كلها موجبة بقى فلو في عندي

131
00:12:39,170 --> 00:12:44,310
sequence of positive real numbers such that limit

132
00:12:44,310 --> 00:12:49,050
الـ ratio لـ x<sub>n+1</sub> على x<sub>n</sub> exists موجود أو 

133
00:12:49,050 --> 00:12:54,370
بتساوي عدد حقيقي L ولو كان هذا العدد L أصغر من

134
00:12:54,370 --> 00:13:01,300
واحد فـ limit الـ sequence x<sub>n</sub> بتساوي صفر هذا هو الـ

135
00:13:01,300 --> 00:13:07,380
ratio test برهان الـ test أو النظرية هذه موجود في

136
00:13:07,380 --> 00:13:11,680
الكتاب نظرية 3.2.11 فحاسبكم تقرأوا

137
00:13:11,680 --> 00:13:15,780
البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي

138
00:13:15,780 --> 00:13:20,340
أخذناها فعايزينكم 

139
00:13:20,340 --> 00:13:23,660
تفتحوا الكتاب وتقرأوا برهان وتفهموا لحالكم بعد

140
00:13:23,660 --> 00:13:28,800
ما أخذنا كل هالبرهين بدنا إياكم تعتمدوا عن أنفسكم

141
00:13:28,800 --> 00:13:33,440
شوية تمام؟ واللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان

142
00:13:33,440 --> 00:13:38,840
يرجع له إذا هسا كم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار 

143
00:13:38,840 --> 00:13:42,540
.. الآن الكتاب للأسف مش فيه أمثلة في الـ section هذا

144
00:13:42,540 --> 00:13:49,000
تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال

145
00:13:49,000 --> 00:13:52,100
من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل

146
00:13:58,060 --> 00:14:02,820
فأول مثال هو exercise ثمانية عشر الفرع c في section

147
00:14:02,820 --> 00:14:06,700
تلاتة اتنين أو صفحة ثمانية وستين في الكتاب المقرر

148
00:14:06,700 --> 00:14:10,300
السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the

149
00:14:10,300 --> 00:14:15,820
sequence xn اللي لحد العام الـ nth term تبعها b to 

150
00:14:15,820 --> 00:14:20,600
n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد

151
00:14:21,470 --> 00:14:24,070
Discuss the Convergence يعني بين هل الـ sequence

152
00:14:24,070 --> 00:14:27,850
هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent

153
00:14:27,850 --> 00:14:35,790
عايزين نجيب الـ limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا 

154
00:14:35,790 --> 00:14:41,150
طبعا هنطبق الـ ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم

155
00:14:41,150 --> 00:14:45,490
منها الـ ratio test لتطبيق الـ ratio test بلزمني

156
00:14:45,490 --> 00:14:50,690
أتأكد ان الـ sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لأن

157
00:14:50,690 --> 00:14:54,970
الـ b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n 

158
00:14:54,970 --> 00:14:57,830
factorial عدد موجب لأن هذه sequence of positive

159
00:14:57,830 --> 00:15:07,550
real numbers الآن الـ ratio لـ xn زيادة واحد و xn هي

160
00:15:07,550 --> 00:15:12,230
عندي xn زيادة واحد عوض عنها بدل n بـ n زيادة واحد

161
00:15:13,160 --> 00:15:18,740
وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين

162
00:15:18,740 --> 00:15:25,460
ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n 

163
00:15:25,460 --> 00:15:31,900
factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial

164
00:15:31,900 --> 00:15:37,640
بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b

165
00:15:38,750 --> 00:15:43,210
بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع ب على n 

166
00:15:43,210 --> 00:15:47,870
زيادة واحد الآن لما انت تقول لـ infinity ان زيادة واحد

167
00:15:47,870 --> 00:15:54,050
بتقول لـ infinity مقلوبة بتروح لصفر ضرب ب عدد موجب

168
00:15:54,050 --> 00:15:58,990
بتروح لصفر إذا limit ب على ان زيادة واحد بساوي ب

169
00:15:58,990 --> 00:16:03,290
في limit واحد على ان زيادة واحد اللي هي صفر ب في

170
00:16:03,290 --> 00:16:10,590
صفر بساوي صفر تمام؟ إذا أنا عندي L اللي هو بمثل

171
00:16:10,590 --> 00:16:17,570
limit الـ ratio هذا طلع بساوي صفر عدد حقيقي أصغر من

172
00:16:17,570 --> 00:16:23,910
واحد إذا حسب الـ ratio test limit للـ sequence xn 

173
00:16:23,910 --> 00:16:28,030
بساوي صفر إذا هنا أثبتنا إن الـ sequence convergent

174
00:16:28,030 --> 00:16:34,010
ونهيتها بتطلع بالساوي صفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق

175
00:16:34,010 --> 00:16:35,510
مباشر على الـ ratio test

176
00:16:38,490 --> 00:16:42,730
مثال تاني مثال

177
00:16:42,730 --> 00:16:46,330
تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة 

178
00:16:46,330 --> 00:16:54,610
اتنين بنشوف ايه الـ exercise هذا بيقول give

179
00:16:54,610 --> 00:17:01,930
an example of two divergent sequences two

180
00:17:01,930 --> 00:17:04,090
divergent sequences

181
00:17:06,940 --> 00:17:12,840
such that there are some مجموعهم there

182
00:17:12,840 --> 00:17:19,020
are some converges نعطي

183
00:17:19,020 --> 00:17:24,060
مثال لـ two divergent sequences تنتهي from two

184
00:17:24,060 --> 00:17:29,140
divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل

185
00:17:29,140 --> 00:17:36,270
هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب 

186
00:17:36,270 --> 00:17:42,430
واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ما نهاية طبعا الـ

187
00:17:42,430 --> 00:17:48,210
sequence هذه لو بينا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا

188
00:17:48,210 --> 00:17:53,670
أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد، 

189
00:17:53,670 --> 00:18:00,040
الرابع واحد، وهكذا وناخد الـ sequence yn الحد العام

190
00:18:00,040 --> 00:18:04,760
تبعها سالب واحد قص ان زيادة واحد وان طبعا تبدأ من 

191
00:18:04,760 --> 00:18:12,080
واحد فهذه الـ sequence حدودها هتكون أول حد واحد،

192
00:18:12,080 --> 00:18:17,160
التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و

193
00:18:17,160 --> 00:18:17,620
هكذا

194
00:18:20,300 --> 00:18:25,720
تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان الـ sequence xn هذي

195
00:18:25,720 --> 00:18:29,660
divergent by contradiction فرضنا انها convergent

196
00:18:29,660 --> 00:18:35,960
وصلنا الى تناقض صح؟ طب ما هذي هي هذي هي الـ

197
00:18:35,960 --> 00:18:43,750
sequence الـ sequence yn هي سالب الـ sequence xn و Xn

198
00:18:43,750 --> 00:18:47,710
is divergent و Yn is divergent أو بنفس البرهان

199
00:18:47,710 --> 00:18:51,530
ممكن نعمل نفس البرهان إذا هي عندي مثال على two

200
00:18:51,530 --> 00:18:57,670
sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي

201
00:18:57,670 --> 00:19:04,750
نجمعهم لو أخدت الـ sequence جديدة الـ nth term تبعها

202
00:19:04,750 --> 00:19:09,070
أو الحد العام تبعها هو مجموع الـ nth term زي Xn

203
00:19:09,070 --> 00:19:15,280
وYn هذه sequence تالتة جديدة ما هو الحد العام لهذه

204
00:19:15,280 --> 00:19:21,360
الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع صفر، 

205
00:19:21,360 --> 00:19:25,740
التاني على التاني صفر، إذا هذه عبارة عن الـ

206
00:19:25,740 --> 00:19:30,300
sequence constant zero ثابت صفر أو الـ sequence

207
00:19:30,300 --> 00:19:35,480
الحد العام تبعها ثابت صفر وطبعا أي sequence ثابتة

208
00:19:35,480 --> 00:19:39,880
بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت

209
00:19:39,880 --> 00:19:45,000
نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت صفر إذا هذا 

210
00:19:45,000 --> 00:19:50,700
مثال على two divergent sequences their sum is

211
00:19:50,700 --> 00:19:55,900
convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن 

212
00:19:55,900 --> 00:20:00,200
ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain

213
00:20:00,200 --> 00:20:05,820
مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات

214
00:20:05,820 --> 00:20:11,880
زي هيك وهكذا في الكتاب في تمارين على هذا السياق

215
00:20:11,880 --> 00:20:22,020
هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال 

216
00:20:22,020 --> 00:20:29,440
رقم تلاتة هذا

217
00:20:29,440 --> 00:20:32,900
عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين

218
00:20:35,100 --> 00:20:41,360
بيقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power

219
00:20:41,360 --> 00:20:47,240
one over n where a و b are positive numbers and a

220
00:20:47,240 --> 00:20:56,260
less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟

221
00:20:56,260 --> 00:21:02,420
لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n 

222
00:21:02,420 --> 00:21:09,520
positive وكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus

223
00:21:09,520 --> 00:21:16,460
b to n الآن ناخد الـ nth root لطرفي المتباينة هذه

224
00:21:16,460 --> 00:21:22,700
فبيطلع b أصغر من الـ nth root للمجموعة ده اللي احنا 

225
00:21:22,700 --> 00:21:33,440
سمناه zn إذا الآن أنا عندي zn بساوي a n زائد b n to

226
00:21:33,440 --> 00:21:39,580
the power one over n والآن أنا عندي بما انه a أصغر 

227
00:21:39,580 --> 00:21:45,740
من b a أصغر من b من الفرض هي فهذا بالتأكيد بيقودى

228
00:21:45,740 --> 00:21:52,200
انه a to n أصغر من b to n إذا 

229
00:21:52,200 --> 00:21:59,680
هشيل الـ a to n هذه و أضع خليها أصغر من b to n زائد

230
00:21:59,680 --> 00:22:07,730
b to n الكل to one over n طب هذا بيطلع two ضرب b to

231
00:22:07,730 --> 00:22:14,450
n الكل to power one over n وزع الـ power فبيطلع two

232
00:22:14,450 --> 00:22:22,290
to one over n ضرب b صح؟ الآن الـ sequence إذا 

233
00:22:22,290 --> 00:22:28,470
أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحد عشر مع

234
00:22:28,470 --> 00:22:35,870
بعض فبيطلع عندي b من المتباينة عشرة الـ B هذا هي

235
00:22:35,870 --> 00:22:42,590
أصغر من الـ ZN ومن المتباينة أحد عشر الـ ZN أصغر من

236
00:22:42,590 --> 00:22:47,610
two to one over N times B for every N natural

237
00:22:47,610 --> 00:22:56,780
number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل N أنا 

238
00:22:56,780 --> 00:23:01,660
لأن عندي الـ sequence ZN هذه اللي أنا عايز أثبت ان

239
00:23:01,660 --> 00:23:07,120
الـ limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between

240
00:23:07,120 --> 00:23:13,680
two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي

241
00:23:13,680 --> 00:23:20,620
متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام

242
00:23:20,620 --> 00:23:27,340
تبعها ثابت بيه وبالتالي الـ limit تبعت ب لما ب

243
00:23:27,340 --> 00:23:35,340
تقول لـ infinity بتساوي ب و limit الـ sequence هذي 

244
00:23:35,340 --> 00:23:39,380
two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي 

245
00:23:39,380 --> 00:23:44,760
واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف

246
00:23:44,760 --> 00:23:52,170
limit c to 1 على n as n tends to infinity بساوي

247
00:23:52,170 --> 00:23:59,230
واحد صح فان دي c هنا بساوي اتنين لان الـ limit لـ two

248
00:23:59,230 --> 00:24:02,450
to one over n as n tends to infinity بساوي واحد 

249
00:24:02,450 --> 00:24:07,290
وبالتالي limit two to one over n times constant b 

250
00:24:07,290 --> 00:24:12,170
بساوي واحد في b أو b في واحد ف limit الـ sequence

251
00:24:12,170 --> 00:24:18,000
هذه ايضا تطلع b لما تنتقل لـ infinity، إذا by

252
00:24:18,000 --> 00:24:23,000
squeeze theorem بيطلع عندي limit الـ sequence zm 

253
00:24:23,000 --> 00:24:28,240
المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ إذا هاي هنا

254
00:24:28,240 --> 00:24:34,120
استخدامنا الـ sandwich أو الـ squeeze، تمام؟ واضح؟

255
00:24:36,340 --> 00:24:40,080
Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،

256
00:24:40,080 --> 00:24:43,480
حالها مش صعب إما تطبيق على الـ sandwich theorem أو 

257
00:24:43,480 --> 00:24:48,680
على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخذناها في الـ

258
00:24:48,680 --> 00:24:52,740
section هذا أو في الـ succession السابق أو بالتالي

259
00:24:52,740 --> 00:24:58,760
مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدعي ان احنا نستخدم حاجة

260
00:24:58,760 --> 00:25:05,270
مش موجودة في المناهج إذا ما يكون إلا من شطارتكم 

261
00:25:05,270 --> 00:25:10,210
تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في الـ section هذا

262
00:25:10,210 --> 00:25:15,550
طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد

263
00:25:15,550 --> 00:25:21,590
التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان

264
00:25:21,590 --> 00:25:22,310
النصف الأول

265
00:25:26,220 --> 00:25:32,640
تمام فإذا هنا الـ section جديد أو عنوان جديد الـ

266
00:25:32,640 --> 00:25:38,160
monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها

267
00:25:38,160 --> 00:25:42,380
الواتيرية المتتاليات الواتيرية الـ monotone

268
00:25:42,380 --> 00:25:46,960
sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو

269
00:25:46,960 --> 00:25:55,200
متناقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real

270
00:25:55,200 --> 00:26:02,880
numbers سنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا

271
00:26:02,880 --> 00:26:07,400
كان Xn less

272
00:26:07,400 --> 00:26:11,800
than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل 

273
00:26:11,800 --> 00:26:17,260
حد أصغر من أو يساوي اللي بعده فالسيكوينس في الحالة دي 

274
00:26:17,260 --> 00:26:23,860
بنسميها increasing و بنسميها decreasing إذا كان كل 

275
00:26:23,860 --> 00:26:32,760
حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟ 

276
00:26:32,760 --> 00:26:40,000
طيب بنسمي الـ sequence monotone الـ sequence بنسميها

277
00:26:40,000 --> 00:26:45,460
monotone أو واتيرية if it is either increasing or

278
00:26:45,460 --> 00:26:46,040
decreasing

279
00:26:48,950 --> 00:26:53,170
إن المتتالية الوطرية هي متتالية إما increasing أو

280
00:26:53,170 --> 00:26:58,250
decreasing معنى 

281
00:26:58,250 --> 00:27:01,490
Every increasing sequence is a monotone sequence

282
00:27:01,490 --> 00:27:06,090
and every decreasing sequence is a monotone sequence

283
00:27:06,090 --> 00:27:14,370
طب هاي أمثلة على monotone sequences فندّي هنا

284
00:27:14,370 --> 00:27:21,540
The sequence of natural numbers is increasing واضح أن

285
00:27:21,540 --> 00:27:26,440
xn = n  أصغر من أو يساوي xn+1 اللي هو n+1

286
00:27:26,440 --> 00:27:31,440
زاد واحد لأن هذا increasing وهذا increasing ال

287
00:27:31,440 --> 00:27:36,040
sequence اللي ال nth term تبعها 2 to the power n اللي هي

288
00:27:36,040 --> 00:27:41,440
هذه is increasing بينما

289
00:27:41,440 --> 00:27:46,720
ال sequence 1 over n decreasing هي كل حد أكبر من

290
00:27:46,720 --> 00:27:52,140
أو يساوي للبعده وكذلك ال sequence 1 over 2 to the power n

291
00:27:52,140 --> 00:27:57,580
طيب، في سؤال هنا بطرح نفسه، هل كل sequence لازم

292
00:27:57,580 --> 00:28:01,720
تكون monotone sequence؟ لا، مو لا، مش شرط، مش شرط،

293
00:28:01,720 --> 00:28:03,620
مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

294
00:28:03,620 --> 00:28:03,840
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

295
00:28:03,840 --> 00:28:07,680
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

296
00:28:07,680 --> 00:28:12,580
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش

297
00:28:12,580 --> 00:28:17,150
شرط، مش شرط، مش شرط The following sequence is

298
00:28:17,150 --> 00:28:20,010
a sequence the nth term of which is (-1) to the power n

299
00:28:20,010 --> 00:28:24,830
or n+1  which is the alternating sequence

300
00:28:24,830 --> 00:28:29,750
ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني

301
00:28:29,750 --> 00:28:34,930
المتدبدبة في الإشارة 1، -1، 1، -1 

302
00:28:34,930 --> 00:28:40,450
هذه ليست convergent ليست monotone is not

303
00:28:40,450 --> 00:28:46,980
increasing and it is not decreasing نفس الشيء ال

304
00:28:46,980 --> 00:28:51,180
sequence اللي حدها nth  تبعها (-1) to the power n اللي

305
00:28:51,180 --> 00:28:56,040
هي -1، 2، -3، وهكذا ال

306
00:28:56,040 --> 00:29:00,560
sequence هذه is not monotone لا increasing ولا

307
00:29:00,560 --> 00:29:05,590
decreasing تمام واضح إذا ال sequence .. أي .. لو

308
00:29:05,590 --> 00:29:09,310
أخذنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،

309
00:29:09,310 --> 00:29:14,070
ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither

310
00:29:14,070 --> 00:29:16,810
increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون

311
00:29:16,810 --> 00:29:22,950
odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟

312
00:29:22,950 --> 00:29:26,870
طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق

313
00:29:29,970 --> 00:29:34,290
بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها

314
00:29:34,290 --> 00:29:39,170
monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات

315
00:29:39,170 --> 00:29:46,690
MCT (monotone convergence theorem) النظرية

316
00:29:46,690 --> 00:29:52,550
هذه بتقول خذي let x be a monotone

317
00:29:52,550 --> 00:29:57,650
sequence خلينا نأخذ monotone sequence الآن هذه الـ

318
00:29:57,650 --> 00:30:01,130
monotone sequence بتكون convergent if and only if

319
00:30:01,130 --> 00:30:05,830
it is bounded تمام؟

320
00:30:05,830 --> 00:30:10,470
Moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x 

321
00:30:10,470 --> 00:30:16,970
هذه bounded and increasing فأكيد طبعًا convergent و

322
00:30:16,970 --> 00:30:22,370
ال limit تبعتها يساوي ال supremum لها ك set كذلك

323
00:30:22,370 --> 00:30:25,170
لو كانت ال sequence x bounded و decreasing

324
00:30:27,590 --> 00:30:31,190
فبتكون طبعًا convergent و ال limit بتبعتها يساوي ال

325
00:30:31,190 --> 00:30:36,270
infimum لها ك set طيب

326
00:30:36,270 --> 00:30:39,430
أنا عندي هنا two statements أو ثلاثة

327
00:30:39,430 --> 00:30:47,010
statements أنا عندي العبارة هذه أنا

328
00:30:47,010 --> 00:30:53,490
عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدول فكيف

329
00:30:53,490 --> 00:31:00,150
البرهان بيتم؟ أوّل شيء العبارة الأولى اللي في البرواز

330
00:31:00,150 --> 00:31:08,610
هذه if and only if statement صح ففي two parts واحد

331
00:31:08,610 --> 00:31:15,750
هذا ال part only if part و ال if part نشوف ال

332
00:31:15,750 --> 00:31:21,260
only if part يعني لو كانت x convergent بينا نثبت

333
00:31:21,260 --> 00:31:25,680
إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة

334
00:31:25,680 --> 00:31:31,120
أثبتنا إن كل sequence convergent is bounded اختبار

335
00:31:31,120 --> 00:31:41,320
الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved

336
00:31:41,320 --> 00:31:49,530
earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقة لو كانت

337
00:31:49,530 --> 00:31:54,830
السيكونس تبقى convergent ضروري تكون bounded سواء

338
00:31:54,830 --> 00:31:58,690
كانت السيكونس monotone ولا حتى مش monotone okay؟

339
00:31:58,690 --> 00:32:02,950
تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة

340
00:32:02,950 --> 00:32:08,970
باقي نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت

341
00:32:08,970 --> 00:32:17,730
السيكونس bounded السيكونس لو كانت bounded و

342
00:32:17,730 --> 00:32:18,510
monotone

343
00:32:21,420 --> 00:32:25,800
طبعًا احنا فرضنا انها monotone اه من البداية x

344
00:32:25,800 --> 00:32:32,020
is monotone فالآن عشان نكمل برهان العبارة هذه ال

345
00:32:32,020 --> 00:32:35,060
if and only if او ال bi-conditional statement هذا

346
00:32:35,060 --> 00:32:40,920
فبدنا نثبت أن لو كانت ال sequence bounded و

347
00:32:40,920 --> 00:32:49,520
monotone فبتطلع convergent طيب

348
00:32:49,520 --> 00:32:54,920
monotone مونوتون لما ال sequence تكون مونوتون

349
00:32:54,920 --> 00:33:04,060
معناها إما increasing أو decreasing أو decreasing

350
00:33:04,060 --> 00:33:08,260
إذا

351
00:33:08,260 --> 00:33:16,500
عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا

352
00:33:16,500 --> 00:33:25,750
لبرهانه بده برهين a و b لأن جزء A بيقول لو كانت ال

353
00:33:25,750 --> 00:33:29,330
sequence bounded و increasing فبتثبت أنها

354
00:33:29,330 --> 00:33:33,510
convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و

355
00:33:33,510 --> 00:33:37,930
increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit

356
00:33:37,930 --> 00:33:43,530
تبعتها هي ال supremum لها كمجموعة و الجزء B

357
00:33:43,530 --> 00:33:47,690
بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing

358
00:33:47,690 --> 00:33:54,510
فبتطلع convergent وإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي

359
00:33:54,510 --> 00:34:00,390
ال infimum لها كسب إذا إكمال برهان الاتجاه هذا و

360
00:34:00,390 --> 00:34:05,690
برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن

361
00:34:05,690 --> 00:34:11,290
احنا نثبت a و b  يكفي إن اثبتنا العبارة من 

362
00:34:11,290 --> 00:34:16,750
بروزة هذه و a و b يعني برهاننا للنظرية كاملة تمام؟

363
00:34:17,990 --> 00:34:39,030
نثبت الآن باقي إثبات a و b نثبت الجزء a فخلينا

364
00:34:39,030 --> 00:34:43,130
نفرض أن ال sequence x is bounded قلنا bounded

365
00:34:43,130 --> 00:34:48,700
و increasing طيب من تعريف الـ bounded sequence

366
00:34:48,700 --> 00:34:54,840
مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M

367
00:34:54,840 --> 00:35:03,840
بحيث أن |Xn| أصغر من أو يساوي M لكل n طيب

368
00:35:03,840 --> 00:35:07,540
معروف أن أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو يساوي القيمة

369
00:35:07,540 --> 00:35:14,200
المطلقة له، مظبوط؟ إذا من ال boundedness من فرض أن

370
00:35:14,200 --> 00:35:18,260
ال sequence bounded في عدد موجود بحيث أن xn أصغر

371
00:35:18,260 --> 00:35:23,640
من أو يساوي M لكل n تمام واضح طيب الآن إذا ال

372
00:35:23,640 --> 00:35:27,800
sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال

373
00:35:27,800 --> 00:35:33,120
property ال supremum تبعها exist سميّه x*

374
00:35:35,800 --> 00:35:40,000
الآن بيدّثبت الادعاء هذا ال claim الادعاء بيدّثبت

375
00:35:40,000 --> 00:35:45,260
أن limit ال sequence xn يساوي ال x* اللي هو

376
00:35:45,260 --> 00:35:51,580
ال supremum لـ {xn} فلو أثبتت هذا الادعاء معناته

377
00:35:51,580 --> 00:35:55,600
أثبتت أنا أن ال sequence xn is convergent و ال

378
00:35:55,600 --> 00:36:00,650
limit تبعتها يساوي ال supremum لها كست تعالوا نشوف

379
00:36:00,650 --> 00:36:04,930
كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim أنا

380
00:36:04,930 --> 00:36:09,430
ايش بتثبت؟ بتثبت أن ال sequence xn convergent و

381
00:36:09,430 --> 00:36:13,630
ال limit تبعتها يساوي العدد x* فهستخدم تعريف

382
00:36:13,630 --> 00:36:17,830
epsilon N لل limit فلازم ابدأ let epsilon

383
00:36:17,830 --> 00:36:25,090
أكبر من الصفر be given الآن ال x* هذاهو ال

384
00:36:25,090 --> 00:36:28,430
supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد

385
00:36:28,430 --> 00:36:33,830
موجب بيصبح ليس upper bound  بيصبح ليس upper bound لأن ال x

386
00:36:33,830 --> 00:36:37,690
* هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيصبح ليس

387
00:36:37,690 --> 00:36:41,590
upper bound إذا هذا العدد x* - y is not an

388
00:36:41,590 --> 00:36:46,710
upper bound معناته في عنصر في ال set هذه اللي هو xn

389
00:36:46,710 --> 00:36:51,450
برقم N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هو

390
00:36:51,450 --> 00:36:55,860
upper bound وطبعًا العدد هذا المؤشر أو ال index

391
00:36:55,860 --> 00:37:00,040
N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال

392
00:37:00,040 --> 00:37:05,500
epsilon اللي بنيت فيه طبعًا أنا فرضت أن ال sequence

393
00:37:05,500 --> 00:37:10,860
xn increasing وبالتالي xn أصغر من أو يساوي xn

394
00:37:10,860 --> 00:37:14,880
لكل n أكبر من أو يساوي N من تعريف ال

395
00:37:14,880 --> 00:37:20,500
increasing sequence إذا أنا في عندي هنا هي عندي x

396
00:37:20,500 --> 00:37:28,280
N هي xn أصغر من أو يساوي xn لكل n أكبر من أو

397
00:37:28,280 --> 00:37:36,360
يساوي N طيب و x* هو ال supremum of ال sequence xn و

398
00:37:36,360 --> 00:37:42,440
xn هذا عنصر في ال sequence و x* upper bound لل

399
00:37:42,440 --> 00:37:49,540
sequence إذن xn أصغر من أو يساوي x* طيب و x* أصغر

400
00:37:49,540 --> 00:37:57,820
من x* + y هذا مافي شك من هنا .. أيوه

401
00:37:57,820 --> 00:38:03,460
.. من المتباينة هذه هي عندي xn أكبر من x

402
00:38:03,460 --> 00:38:11,420
* - y إذا أنا طلع عندي الآن x* أكبر من

403
00:38:11,420 --> 00:38:13,160
.. أو xn

404
00:38:15,810 --> 00:38:25,070
أكبر من x* - y أصغر من x* + y لكل n

405
00:38:25,070 --> 00:38:30,910
أكبر من أو يساوي N فظبطت صح؟ طيب مهاد

406
00:38:30,910 --> 00:38:37,890
المتباينة هي نفسها xn - x* أصغر من y أكبر

407
00:38:37,890 --> 00:38:44,610
من -y لكل n أكبر من أو يساوي N طب

408
00:38:44,610 --> 00:38:49,930
المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن |xn

409
00:38:49,930 --> 00:38:53,210
- x*| أصغر من epsilon لكل n أكبر من أو

410
00:38:53,210 --> 00:38:58,370
يساوي N الآن since epsilon was arbitrary هذا

411
00:38:58,370 --> 00:39:03,810
بالضبط تعريف epsilon N لل limit أه؟ بأن هذا

412
00:39:03,810 --> 00:39:08,470
الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من صفر إذن هذا معناه

413
00:39:08,470 --> 00:39:13,190
حسب التعريف أن limit xn يساوي x*

414
00:39:18,780 --> 00:39:23,660
إذا هذا بيثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا

415
00:39:23,660 --> 00:39:30,560
الجزء A من النظرية فالجزء

416
00:39:30,560 --> 00:39:35,300
الثاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B

417
00:39:38,510 --> 00:39:42,310
ففي الجزء B الآن أنا عندي ال sequence تبعتي

418
00:39:42,310 --> 00:39:46,570
bounded و decreasing إذا I assume xn is bounded

419
00:39:46,570 --> 00:39:50,770
and decreasing فأيش 

420
00:39:50,770 --> 00:39:55,690
عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد

421
00:39:55,690 --> 00:40:01,530
العام تبعها negative x in تمام؟ الآن بما أن x in

422
00:40:01,530 --> 00:40:05,170
decreasing إذا الـ sequence سالب x in تطلع 

423
00:40:05,170 --> 00:40:10,610
increasing وطبعا بما أن الـ sequence x in bounded

424
00:40:10,610 --> 00:40:15,670
إذا الـ sequence سالب x in أيضا bounded إذا الآن

425
00:40:15,670 --> 00:40:18,790
أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn

426
00:40:18,790 --> 00:40:26,310
bounded و in crazy إذا حسب الجزء a by part a limit

427
00:40:26,310 --> 00:40:32,790
الـ sequence yn تطلع exist و بتساوي الـ supremum لكل

428
00:40:32,790 --> 00:40:37,870
الـ y in الـ supremum لعناصر الـ sequence اللي هي y

429
00:40:37,870 --> 00:40:41,510
in تمام؟

430
00:40:41,510 --> 00:40:47,370
إنها ده من إيه؟ من الجزء إيه من النظرية؟ طيب الـ

431
00:40:47,370 --> 00:40:51,450
supremum لـ سالب xn هيفوق  العدد الطبيعي احنا خدنا قبل

432
00:40:51,450 --> 00:40:56,490
هيك exercise بيقول supremum أو infimum سالب حاجة 

433
00:40:56,490 --> 00:41:02,190
بساوي سالب الـ infimum فهنا بصير هذا سالب الـ

434
00:41:02,190 --> 00:41:07,530
infimum تمام؟ إذا أنا عندي بيطلع عندي limit xn

435
00:41:07,530 --> 00:41:15,180
بساوي سالب limit سالب xn تمام؟ أضربوا هنا هيندي

436
00:41:15,180 --> 00:41:18,940
limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد

437
00:41:18,940 --> 00:41:24,700
فبطلع سالب limit سالب xn بيساوي سالب سالب موجب اللي

438
00:41:24,700 --> 00:41:29,000
هو الـ infimum لـ xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي

439
00:41:29,000 --> 00:41:33,280
أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني الـ sequence

440
00:41:33,280 --> 00:41:37,640
xn convergent والـ limit تبعتها بتساوي الـ infimum

441
00:41:40,760 --> 00:41:44,680
بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا

442
00:41:44,680 --> 00:41:49,280
الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ

443
00:41:49,280 --> 00:41:53,180
monotone convergence theorem فأرجو أنكم تحاولوا

444
00:41:53,180 --> 00:41:56,080
تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ

445
00:41:56,080 --> 00:41:58,440
monotone convergence theorem في