| 1 | |
| 00:00:21,450 --> 00:00:27,950 | |
| Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخذنا الـ | |
| 2 | |
| 00:00:27,950 --> 00:00:33,670 | |
| monotone convergence theorem وشوفنا | |
| 3 | |
| 00:00:33,670 --> 00:00:38,970 | |
| أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence وال | |
| 4 | |
| 00:00:38,970 --> 00:00:42,710 | |
| sequence هذه monotone يعني increasing أو | |
| 5 | |
| 00:00:42,710 --> 00:00:48,510 | |
| decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if | |
| 6 | |
| 00:00:48,510 --> 00:00:53,060 | |
| it is bounded إذا الـ monotone sequence converges | |
| 7 | |
| 00:00:53,060 --> 00:01:01,360 | |
| if and only if it is bounded طيب | |
| 8 | |
| 00:01:01,360 --> 00:01:04,420 | |
| ال monotone sequence نوعين إما increasing أو | |
| 9 | |
| 00:01:04,420 --> 00:01:07,360 | |
| decreasing فلو كانت ال sequence increasing وطبعا | |
| 10 | |
| 00:01:07,360 --> 00:01:10,940 | |
| bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال | |
| 11 | |
| 00:01:10,940 --> 00:01:14,040 | |
| statement الأول وال limit تبعتها بساوي ال | |
| 12 | |
| 00:01:14,040 --> 00:01:17,280 | |
| supremum اللي لها كـ set ولو كانت ال sequence | |
| 13 | |
| 00:01:17,280 --> 00:01:22,420 | |
| decreasing وبالطبع bounded فحسب ال statement الأول | |
| 14 | |
| 00:01:22,420 --> 00:01:28,720 | |
| تطلع convergent ونهايتها هي ال infimum تبعها كـ set | |
| 15 | |
| 00:01:28,720 --> 00:01:33,040 | |
| وشوفنا | |
| 16 | |
| 00:01:33,040 --> 00:01:35,560 | |
| برهانها مغرية في المحاضرة السابقة | |
| 17 | |
| 00:01:38,060 --> 00:01:43,060 | |
| الآن بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain | |
| 18 | |
| 00:01:43,060 --> 00:01:47,200 | |
| sequences are convergent أو divergent النظرية هذه | |
| 19 | |
| 00:01:47,200 --> 00:01:51,180 | |
| بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone | |
| 20 | |
| 00:01:51,180 --> 00:01:55,960 | |
| sequence معينة إما convergent أو divergent عشان | |
| 21 | |
| 00:01:55,960 --> 00:01:59,120 | |
| أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone | |
| 22 | |
| 00:01:59,120 --> 00:02:02,760 | |
| sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها | |
| 23 | |
| 00:02:02,760 --> 00:02:08,980 | |
| bounded العكس لو في عندي monotone sequence وبدي | |
| 24 | |
| 00:02:08,980 --> 00:02:14,640 | |
| أثبت انها divergent يكفي أن أثبت انها unbounded | |
| 25 | |
| 00:02:14,640 --> 00:02:21,840 | |
| not bounded فهي أن ال sequence xn بساوي واحد على n | |
| 26 | |
| 00:02:21,840 --> 00:02:27,240 | |
| هاد ال sequence معروف إنه ال limit إن ها convergent | |
| 27 | |
| 00:02:27,240 --> 00:02:34,630 | |
| و its limit is zero زيها زي ال sequence واحد على n و | |
| 28 | |
| 00:02:34,630 --> 00:02:38,270 | |
| ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergent و | |
| 29 | |
| 00:02:38,270 --> 00:02:42,030 | |
| نهايتها بالساعة وسفر باستخدام تعريف epsilon | |
| 30 | |
| 00:02:42,030 --> 00:02:49,070 | |
| capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال | |
| 31 | |
| 00:02:49,070 --> 00:02:52,830 | |
| limit أن ال limit لل sequence واحد على N بالساعة و | |
| 32 | |
| 00:02:52,830 --> 00:02:57,810 | |
| سفر باستخدام ال archimedean property فهذا برهان | |
| 33 | |
| 00:02:57,810 --> 00:03:04,810 | |
| ممكن أي واحدة فيكم تكتبه اللي هو باستخدام تعريف | |
| 34 | |
| 00:03:04,810 --> 00:03:08,110 | |
| epsilon capital N زائد ال archimedean property | |
| 35 | |
| 00:03:08,110 --> 00:03:13,290 | |
| بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم | |
| 36 | |
| 00:03:13,290 --> 00:03:16,550 | |
| هنشوف برهان تاني باستخدام ال monotone convergence | |
| 37 | |
| 00:03:16,550 --> 00:03:16,990 | |
| theorem | |
| 38 | |
| 00:03:20,740 --> 00:03:25,460 | |
| السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one | |
| 39 | |
| 00:03:25,460 --> 00:03:28,960 | |
| over square root of n طبعا square root of n أصغر | |
| 40 | |
| 00:03:28,960 --> 00:03:32,720 | |
| من square root of n+1 لأي عدد طبيعي وبالتالي | |
| 41 | |
| 00:03:32,720 --> 00:03:37,680 | |
| مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لصغير هذا xn زائد واحد | |
| 42 | |
| 00:03:37,680 --> 00:03:44,240 | |
| وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زائد واحد | |
| 43 | |
| 00:03:44,240 --> 00:03:48,560 | |
| أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing | |
| 44 | |
| 00:03:49,820 --> 00:03:54,740 | |
| كذلك ال sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد | |
| 45 | |
| 00:03:54,740 --> 00:03:59,700 | |
| موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn | |
| 46 | |
| 00:03:59,700 --> 00:04:04,780 | |
| أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence | |
| 47 | |
| 00:04:04,780 --> 00:04:12,000 | |
| increasing و bounded إذا by monotone | |
| 48 | |
| 00:04:12,000 --> 00:04:16,620 | |
| convergence theorem ال sequence هذه هتكون | |
| 49 | |
| 00:04:16,620 --> 00:04:23,220 | |
| convergent وال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب | |
| 50 | |
| 00:04:23,220 --> 00:04:27,740 | |
| ال infimum للمجموعة هذه بتساوي صفر | |
| 51 | |
| 00:04:30,570 --> 00:04:35,710 | |
| وبرهان ذلك شبيه ببرهان ال infimum لل sequence 1 | |
| 52 | |
| 00:04:35,710 --> 00:04:40,310 | |
| على n بالساوي 0 باستخدام ال Archimedean property | |
| 53 | |
| 00:04:40,310 --> 00:04:44,350 | |
| راجعوا برهان أن ال infimum لل sequence 1 على n | |
| 54 | |
| 00:04:44,350 --> 00:04:48,610 | |
| وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان | |
| 55 | |
| 00:04:48,610 --> 00:04:54,800 | |
| وكتبوا برهان مشابه له بنفس الطريقة نثبت ان الانثرام | |
| 56 | |
| 00:04:54,800 --> 00:04:58,660 | |
| لسيكوانس هادى أو الست هادى صفر إذا حسب ال | |
| 57 | |
| 00:04:58,660 --> 00:05:01,400 | |
| monotone convergence theorem ال sequence واحد على | |
| 58 | |
| 00:05:01,400 --> 00:05:05,700 | |
| جذر n is convergent وال limit تبعتها بساوي | |
| 59 | |
| 00:05:05,700 --> 00:05:10,240 | |
| الانثرام تبعها اللي هو صفر إذا هي مثال على تطبيق | |
| 60 | |
| 00:05:10,240 --> 00:05:15,570 | |
| ال monotone convergence theorem كذلك ممكن برضه زي | |
| 61 | |
| 00:05:15,570 --> 00:05:18,810 | |
| ما قلتلكم نستخدم ال monotone convergence theorem | |
| 62 | |
| 00:05:18,810 --> 00:05:26,750 | |
| في إثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف | |
| 63 | |
| 00:05:26,750 --> 00:05:30,870 | |
| مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها | |
| 64 | |
| 00:05:30,870 --> 00:05:37,490 | |
| xn هذا ال nth partial sum بالمناسبة هذا ال nth | |
| 65 | |
| 00:05:37,490 --> 00:05:43,330 | |
| partial sum في ال harmonic series سيجما من K بساوي | |
| 66 | |
| 00:05:43,330 --> 00:05:50,210 | |
| واحد to infinity لواحد على K وهدا | |
| 67 | |
| 00:05:50,210 --> 00:05:53,110 | |
| ال harmonic series is divergent معروف في calculus | |
| 68 | |
| 00:05:53,110 --> 00:06:00,190 | |
| بقى ال series هدا is divergent وهدا الحد العام في ال | |
| 69 | |
| 00:06:00,190 --> 00:06:04,730 | |
| sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا | |
| 70 | |
| 00:06:04,730 --> 00:06:10,330 | |
| إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجة من الموضوع هذا إنه a | |
| 71 | |
| 00:06:10,330 --> 00:06:13,970 | |
| series converges if and only if ال sequence of | |
| 72 | |
| 00:06:13,970 --> 00:06:18,130 | |
| partial sums is convergent فلو ال series is | |
| 73 | |
| 00:06:18,130 --> 00:06:21,130 | |
| divergent ال sequence of partial sums is divergent | |
| 74 | |
| 00:06:21,130 --> 00:06:24,830 | |
| هذه هي ال sequence of partial sums هدا بتنها | |
| 75 | |
| 00:06:24,830 --> 00:06:31,150 | |
| divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال | |
| 76 | |
| 00:06:31,150 --> 00:06:37,300 | |
| monotone convergence theorem طيب ال sequence هي | |
| 77 | |
| 00:06:37,300 --> 00:06:43,920 | |
| الحد العام xn إذا الحد رقم n زائد واحد هي بنضيف | |
| 78 | |
| 00:06:43,920 --> 00:06:49,400 | |
| زائد واحد على n زائد واحد للمجموع هذا اللي هو xn | |
| 79 | |
| 00:06:49,400 --> 00:06:54,320 | |
| صح؟ وبالتالي زي ما أنتو شايفين الحد xn زائد واحد | |
| 80 | |
| 00:06:54,320 --> 00:07:00,560 | |
| هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn | |
| 81 | |
| 00:07:02,310 --> 00:07:06,670 | |
| الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال | |
| 82 | |
| 00:07:06,670 --> 00:07:14,690 | |
| sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في | |
| 83 | |
| 00:07:14,690 --> 00:07:19,410 | |
| عندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، وال | |
| 84 | |
| 00:07:19,410 --> 00:07:25,600 | |
| sequence هذه increasing، monotone يعني الآن ال | |
| 85 | |
| 00:07:25,600 --> 00:07:30,700 | |
| monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال | |
| 86 | |
| 00:07:30,700 --> 00:07:34,260 | |
| sequence هذي convergent لازم أثبت إنها bounded | |
| 87 | |
| 00:07:34,260 --> 00:07:39,860 | |
| وعشان أثبت إنها divergent لازم أثبت إنها unbounded | |
| 88 | |
| 00:07:39,860 --> 00:07:44,520 | |
| فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded | |
| 89 | |
| 00:07:44,520 --> 00:07:48,640 | |
| بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون | |
| 90 | |
| 00:07:48,640 --> 00:07:49,360 | |
| divergent | |
| 91 | |
| 00:07:52,580 --> 00:07:57,960 | |
| تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال | |
| 92 | |
| 00:07:57,960 --> 00:08:04,200 | |
| sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n | |
| 93 | |
| 00:08:04,200 --> 00:08:09,640 | |
| هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال | |
| 94 | |
| 00:08:09,640 --> 00:08:10,820 | |
| sequence x in | |
| 95 | |
| 00:08:16,700 --> 00:08:21,480 | |
| يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x | |
| 96 | |
| 00:08:21,480 --> 00:08:27,400 | |
| رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence | |
| 97 | |
| 00:08:27,400 --> 00:08:32,620 | |
| هذه x اتنين لما n بساوي واحد بعدين اللي بعده x | |
| 98 | |
| 00:08:32,620 --> 00:08:40,100 | |
| أربع بعدين x تمام يعني وهكذا طبعا هذه الحدود هذه | |
| 99 | |
| 00:08:40,100 --> 00:08:44,980 | |
| كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال | |
| 100 | |
| 00:08:44,980 --> 00:08:49,090 | |
| sequence الأصلي الآن أنا بدي اخذ الحد العام لل sub | |
| 101 | |
| 00:08:49,090 --> 00:08:56,750 | |
| sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب | |
| 102 | |
| 00:08:56,750 --> 00:09:01,170 | |
| أنا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زائد نص زائد تلت | |
| 103 | |
| 00:09:01,170 --> 00:09:06,290 | |
| آخر حد واحد على n طب لما بدي ال n بـ 2 أس n هيطلع | |
| 104 | |
| 00:09:06,290 --> 00:09:10,650 | |
| عندي المجموعة واحد زائد نص زائد تلت إلى آخر حد واحد | |
| 105 | |
| 00:09:10,650 --> 00:09:16,620 | |
| على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequence الآن الحدود | |
| 106 | |
| 00:09:16,620 --> 00:09:25,340 | |
| هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده | |
| 107 | |
| 00:09:25,340 --> 00:09:31,320 | |
| في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض، | |
| 108 | |
| 00:09:31,320 --> 00:09:38,080 | |
| بعدين ال block الرابع هتكون خمس وسدس وسبعة وثمان، أربع حدود مع بعض، اجمعهم مع بعض وهكذا إلى ال | |
| 109 | |
| 00:09:38,080 --> 00:09:44,840 | |
| block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زائد 1 | |
| 110 | |
| 00:09:44,840 --> 00:09:51,220 | |
| إلى 1 على 2 أس N طيب | |
| 111 | |
| 00:09:51,220 --> 00:09:56,660 | |
| هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من | |
| 112 | |
| 00:09:56,660 --> 00:10:02,080 | |
| ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت | |
| 113 | |
| 00:10:02,080 --> 00:10:06,820 | |
| التلت بربع، والتلت أكبر من ربع فصار مجموع ربعين | |
| 114 | |
| 00:10:06,820 --> 00:10:12,650 | |
| الآن في ال block اللي بعديها في عندي خمس وسُدس و | |
| 115 | |
| 00:10:12,650 --> 00:10:16,090 | |
| سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان | |
| 116 | |
| 00:10:16,090 --> 00:10:22,110 | |
| يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي | |
| 117 | |
| 00:10:22,110 --> 00:10:27,450 | |
| هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا | |
| 118 | |
| 00:10:27,450 --> 00:10:34,390 | |
| هذا الحد اللي هنا هذا أكبر من واحد على اتنين أس n | |
| 119 | |
| 00:10:34,390 --> 00:10:39,910 | |
| لأنه 2 أس n أكبر من 2 أس n سالب 1 زائد | |
| 120 | |
| 00:10:39,910 --> 00:10:44,450 | |
| واحد لكل n إذاً هذا أكبر من واحد على 2 أس n | |
| 121 | |
| 00:10:44,450 --> 00:10:49,050 | |
| والبعد أكبر من واحد على 2 أس n وهكذا إذاً هنا | |
| 122 | |
| 00:10:49,050 --> 00:10:53,410 | |
| عندي واحد على 2 أس n مجموعة على نفسه 2 | |
| 123 | |
| 00:10:53,410 --> 00:10:57,550 | |
| أس n سالب 1 من المرات مجموعهم بيساوي مجموع دول | |
| 124 | |
| 00:11:03,890 --> 00:11:07,030 | |
| بيساوي 2 أس n سالب 1 في 1 على 2 أس n | |
| 125 | |
| 00:11:07,030 --> 00:11:11,650 | |
| بيطلع نص إذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده | |
| 126 | |
| 00:11:11,650 --> 00:11:16,990 | |
| نص كلهم نصارى ما عدا أول حد إذا واحد وهي نص وهذا نص | |
| 127 | |
| 00:11:16,990 --> 00:11:23,670 | |
| اللي بعده نص وآخر واحد نص طب كم حد في هنا هاي حد | |
| 128 | |
| 00:11:23,670 --> 00:11:29,950 | |
| ودول عددهم n من الحدود وهذا عدد هاي n زائد واحد | |
| 129 | |
| 00:11:29,950 --> 00:11:34,870 | |
| من الحدود طب هدول عددهم n لما أجمع عدد على نفسه | |
| 130 | |
| 00:11:34,870 --> 00:11:38,810 | |
| n من المرات بيطلع n في نص اللي هو n على 2 زائد | |
| 131 | |
| 00:11:38,810 --> 00:11:42,770 | |
| واحد طيب لما n تقول لـ infinity n على 2 يقول لـ | |
| 132 | |
| 00:11:42,770 --> 00:11:46,570 | |
| infinity وبالتالي 1 زائد n على 2 بيروح لـ | |
| 133 | |
| 00:11:46,570 --> 00:11:50,410 | |
| infinity تمام؟ | |
| 134 | |
| 00:11:50,410 --> 00:11:54,690 | |
| إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال | |
| 135 | |
| 00:11:54,690 --> 00:12:02,730 | |
| subsequence طولها أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو | |
| 136 | |
| 00:12:02,730 --> 00:12:14,510 | |
| بالتالي إذا | |
| 137 | |
| 00:12:14,510 --> 00:12:21,510 | |
| أنا عندي x to 2 to n tends to infinity as n | |
| 138 | |
| 00:12:21,510 --> 00:12:29,270 | |
| tends to infinity وبالتالي هذا معناه أن x 2 to n | |
| 139 | |
| 00:12:29,270 --> 00:12:38,330 | |
| أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit | |
| 141 | |
| 00:12:38,330 --> 00:12:42,730 | |
| لحد | |
| 142 | |
| 00:12:42,730 --> 00:12:47,650 | |
| هذا أو الـ sequence X المؤشرات تبقى 2 نص M تقول | |
| 143 | |
| 00:12:47,650 --> 00:12:52,750 | |
| infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد | |
| 144 | |
| 00:12:52,750 --> 00:12:58,800 | |
| موجب، بالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد | |
| 145 | |
| 00:12:58,800 --> 00:13:06,980 | |
| العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي | |
| 146 | |
| 00:13:06,980 --> 00:13:15,560 | |
| فهذا بيؤدي إن الـ sequence XN نفسها is unbounded | |
| 147 | |
| 00:13:15,560 --> 00:13:21,300 | |
| لأنه لو كانت الـ sequence bounded فأي sub-sequence | |
| 148 | |
| 00:13:21,300 --> 00:13:25,420 | |
| منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح؟ هذا واضح | |
| 149 | |
| 00:13:25,420 --> 00:13:30,740 | |
| تمام، الآن by monotone convergence theorem الـ | |
| 150 | |
| 00:13:30,740 --> 00:13:37,340 | |
| sequence XN is unbounded وبالتالي it is divergent | |
| 151 | |
| 00:13:37,340 --> 00:13:45,000 | |
| لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded، okay، إذا | |
| 152 | |
| 00:13:45,000 --> 00:13:49,600 | |
| هاي استخدمنا الـ monotone convergence theorem لإثبات | |
| 153 | |
| 00:13:49,600 --> 00:13:52,140 | |
| أن سيكوانس معينة | |
| 154 | |
| 00:13:52,140 --> 00:13:52,840 | |
| مُعينة | |
| 155 | |
| 00:13:52,840 --> 00:13:56,680 | |
| مُعينة | |
| 156 | |
| 00:13:56,680 --> 00:13:59,900 | |
| مُعينة | |
| 157 | |
| 00:13:59,900 --> 00:14:00,660 | |
| مُعينة | |
| 158 | |
| 00:14:00,660 --> 00:14:05,360 | |
| مُعينة | |
| 159 | |
| 00:14:05,360 --> 00:14:11,900 | |
| مُعينة | |
| 160 | |
| 00:14:11,900 --> 00:14:12,220 | |
| مُعينة | |
| 161 | |
| 00:14:16,610 --> 00:14:21,230 | |
| المثال الثالث برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو | |
| 162 | |
| 00:14:21,230 --> 00:14:23,790 | |
| الـ monotone convergence theorem | |
| 163 | |
| 00:14:34,440 --> 00:14:40,520 | |
| بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين، الآن أنا | |
| 164 | |
| 00:14:40,520 --> 00:14:44,820 | |
| بدي أعرف الـ sequence XN inductively بطريقة | |
| 165 | |
| 00:14:44,820 --> 00:14:52,860 | |
| استقرائية، شفنا | |
| 166 | |
| 00:14:52,860 --> 00:14:56,460 | |
| إحنا لما بدينا الـ chapter هذا إن الـ sequences can | |
| 167 | |
| 00:14:56,460 --> 00:15:01,740 | |
| be defined in two ways، إما explicitly زي مثلا الـ | |
| 168 | |
| 00:15:01,740 --> 00:15:06,900 | |
| sequence XN بالساوي 1 على N أو recursively أو | |
| 169 | |
| 00:15:06,900 --> 00:15:11,520 | |
| inductively بطريقة استقرائية بأن أنا آخذ قيمة للحد | |
| 170 | |
| 00:15:11,520 --> 00:15:16,440 | |
| الأول أو أول حدين أعطيهم قيم محددة، وبعدين أعرف | |
| 171 | |
| 00:15:16,440 --> 00:15:22,510 | |
| الحد العام بدالة الحدود اللي قبله، فهي اندي الحد | |
| 172 | |
| 00:15:22,510 --> 00:15:28,110 | |
| الأول نفرض إنه بيساوي 1، الآن بنعرف XN زيادة 1 | |
| 173 | |
| 00:15:28,110 --> 00:15:31,870 | |
| عليه إنّه square root لـ 2 ضرب الحد اللي جبناه | |
| 174 | |
| 00:15:31,870 --> 00:15:35,970 | |
| وهذا لكل N، لأن بالطريقة هذه ممكن أعرف إن هذا | |
| 175 | |
| 00:15:35,970 --> 00:15:39,610 | |
| بيعطينا sequence، الآن هذه الـ sequence عايزين نثبت | |
| 176 | |
| 00:15:39,610 --> 00:15:44,610 | |
| إنها convergent بالإضافة إلى إن الـ limit تبعها بيساوي | |
| 177 | |
| 00:15:44,610 --> 00:15:45,350 | |
| لعدد 2 | |
| 178 | |
| 00:15:48,640 --> 00:15:52,540 | |
| لبُرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence | |
| 179 | |
| 00:15:52,540 --> 00:15:57,940 | |
| theorem عشان | |
| 180 | |
| 00:15:57,940 --> 00:16:01,680 | |
| أقدر أستخدم الـ monotone convergence theorem، ففي | |
| 181 | |
| 00:16:01,680 --> 00:16:07,300 | |
| عندي الـ claim الأول، يعني بدي أثبت في الادعاء الأول | |
| 182 | |
| 00:16:07,300 --> 00:16:14,260 | |
| هذا إن الـ sequence XN is increasing and bounded by | |
| 183 | |
| 00:16:14,260 --> 00:16:14,640 | |
| 2 | |
| 184 | |
| 00:16:18,060 --> 00:16:24,180 | |
| فلبرهان ذلك بنلاحظ | |
| 185 | |
| 00:16:24,180 --> 00:16:31,920 | |
| إنّ X1 من التعريف تبع الـ sequence X1 بيساوي 1 و X2 | |
| 186 | |
| 00:16:31,920 --> 00:16:34,660 | |
| ممكن أجيبها من الـ recursive formula أو الـ | |
| 187 | |
| 00:16:34,660 --> 00:16:39,500 | |
| inductive formula إنّ أنا آخذ N بيساوي 1 فبيطلع X2 | |
| 188 | |
| 00:16:39,500 --> 00:16:49,840 | |
| بيساوي جذر 2 لـ X1 و X1 = 1، إذاً X2 بيطلع جذر 2 وبالتالي | |
| 189 | |
| 00:16:49,840 --> 00:16:54,160 | |
| من الحسابات هذه بيطلع إندي هاي X1 X1 | |
| 190 | |
| 00:16:54,160 --> 00:16:59,080 | |
| بيساوي 1 وبالتالي أكبر منها بيساوي 1 وأصغر | |
| 191 | |
| 00:16:59,080 --> 00:17:04,420 | |
| من X2 لأن X2 جذر 2، الواحد أصغر من | |
| 192 | |
| 00:17:04,420 --> 00:17:08,620 | |
| جذر 2، و | |
| 193 | |
| 00:17:08,620 --> 00:17:12,960 | |
| X2 اللي هو جذر 2 أصغر من الـ 2، لأن كل | |
| 194 | |
| 00:17:12,960 --> 00:17:13,760 | |
| هذا صحيح | |
| 195 | |
| 00:17:19,580 --> 00:17:25,920 | |
| تمام؟ لسه ما خلصناهش، لسه ما خلصناهش، إحنا ما فرضنا | |
| 196 | |
| 00:17:25,920 --> 00:17:30,580 | |
| إنّه صحيح، إحنا أثبتناه لسه | |
| 197 | |
| 00:17:30,580 --> 00:17:35,220 | |
| ما أثبتناش هذا الـ claim، لسه ما أثبتناه، إحنا لسه ده | |
| 198 | |
| 00:17:35,220 --> 00:17:41,110 | |
| بداية البرهان، البرهان لـ claim بدأنا بما لاحظنا إنّ | |
| 199 | |
| 00:17:41,110 --> 00:17:47,150 | |
| X1 من التعريف طلع بيساوي 1 و X2 حسبناها منها | |
| 200 | |
| 00:17:47,150 --> 00:17:51,630 | |
| بيساوي جذر 2 لـ X1 اللي هو جذر 2 وبالتالي | |
| 201 | |
| 00:17:51,630 --> 00:17:58,270 | |
| بيطلع إندي هيك هاي X1 أكبر من أو يساوي 1 وأصغر | |
| 202 | |
| 00:17:58,270 --> 00:18:03,850 | |
| من جذر 2 اللي هو X2، و X2 اللي هي جذر 2 | |
| 203 | |
| 00:18:03,850 --> 00:18:09,210 | |
| أصغر من 2، ليش إحنا عملنا هذا الكلام؟ لأن هيبين | |
| 204 | |
| 00:18:09,210 --> 00:18:16,170 | |
| الآن now الآن بدي أثبت، بدي أستخدم الـ induction we | |
| 205 | |
| 00:18:16,170 --> 00:18:28,150 | |
| use induction لإثبات العبارة هذه، وهي إنّ XN أصغر من | |
| 206 | |
| 00:18:28,150 --> 00:18:32,970 | |
| XN زائد 1، وهذا أصغر من 2، وهذا أكبر من أو يساوي | |
| 207 | |
| 00:18:32,970 --> 00:18:41,020 | |
| الـ 1 لكل N، للبُرهان صحة العبارة هذه by induction | |
| 208 | |
| 00:18:41,020 --> 00:18:47,240 | |
| طيب الحالة اللي فيها آخذ N بيساوي 1، الحالة اللي | |
| 209 | |
| 00:18:47,240 --> 00:18:53,300 | |
| فيها N بيساوي 1 هي هاي X1 أكبر من أو يساوي | |
| 210 | |
| 00:18:53,300 --> 00:19:01,340 | |
| 1 هذا هو، وأصغر من X2 هذا هو، X2 أصغر من 2 | |
| 211 | |
| 00:19:01,340 --> 00:19:05,280 | |
| إذاً العبارة هذه صحيحة لما N بيساوي 1، لأنه هنا | |
| 212 | |
| 00:19:05,280 --> 00:19:10,280 | |
| أثبتناها الآن | |
| 213 | |
| 00:19:10,280 --> 00:19:18,920 | |
| افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بيساوي K يعني | |
| 214 | |
| 00:19:18,920 --> 00:19:27,820 | |
| عندك هنا XK أكبر من أو يساوي 1 أصغر من X K زائد | |
| 215 | |
| 00:19:27,820 --> 00:19:34,100 | |
| 1 أصغر من 2، هنا فرضنا هذا الـ induction hypothesis | |
| 216 | |
| 00:19:34,100 --> 00:19:41,920 | |
| وعايزين نثبت إن هذا بيؤدي إن العبارة | |
| 217 | |
| 00:19:41,920 --> 00:19:48,980 | |
| صحيحة عند N بيساوي K زائد 1، يعني بدي أثبت هذه | |
| 218 | |
| 00:19:48,980 --> 00:19:50,660 | |
| المتباينة | |
| 219 | |
| 00:19:55,390 --> 00:20:02,590 | |
| بدي أثبت المتباينة هذه، طبعًا، فتعالوا نشوف كيف نثبت | |
| 220 | |
| 00:20:02,590 --> 00:20:21,690 | |
| المتباينة هذه، طيب | |
| 221 | |
| 00:20:21,690 --> 00:20:29,980 | |
| أنا عندي، هي عندي المتباينة هذه إحنا | |
| 222 | |
| 00:20:29,980 --> 00:20:49,600 | |
| فرضنا إن المتباينة هذه صحيحة، إحنا | |
| 223 | |
| 00:20:49,600 --> 00:20:52,640 | |
| فرضنا من induction hypothesis إن هذه المتباينة | |
| 224 | |
| 00:20:52,640 --> 00:20:58,910 | |
| صحيحة، أضرب المتباينة هذه في 2 هي أضرب كل | |
| 225 | |
| 00:20:58,910 --> 00:21:02,710 | |
| الأطراف في 2، فبيصير 2 أصغر من 2XK أصغر | |
| 226 | |
| 00:21:02,710 --> 00:21:09,290 | |
| من 2XK زائد 1 أصغر من 4، وهذا بيؤدي إنّ | |
| 227 | |
| 00:21:09,290 --> 00:21:11,570 | |
| 1 أصغر من جذر 2 | |
| 228 | |
| 00:21:15,730 --> 00:21:21,830 | |
| وإذا أنا الآن بأخذ الجذر التربيعي لكل الأطراف هذه | |
| 229 | |
| 00:21:21,830 --> 00:21:26,750 | |
| آخذ الجذر التربيعي، فهي جذر 2 طبعًا أكبر من 1 | |
| 230 | |
| 00:21:26,750 --> 00:21:34,350 | |
| أصغر منه يساوي جذر 2XK اللي هو XK زائد 1 | |
| 231 | |
| 00:21:34,350 --> 00:21:37,770 | |
| هذا طبعًا من التعريف تبع الـ sequence من الـ | |
| 232 | |
| 00:21:37,770 --> 00:21:43,130 | |
| inductive formula، جذر 2XK حسب التعريف بيساوي | |
| 233 | |
| 00:21:43,130 --> 00:21:50,440 | |
| XK زائد 1، وهذا أصغر من هنا، جذر 2XK أصغر من | |
| 234 | |
| 00:21:50,440 --> 00:21:56,840 | |
| جذر 2XK زائد 1، وهذا أصغر من جذر الـ 4 | |
| 235 | |
| 00:21:56,840 --> 00:22:01,180 | |
| اللي هو الـ 2، إذاً هاي بيطلع عندي 1 أصغر من أو | |
| 236 | |
| 00:22:01,180 --> 00:22:06,580 | |
| يساوي XK زائد 1، وهذا برضه من الـ inductive | |
| 237 | |
| 00:22:06,580 --> 00:22:15,940 | |
| formula، الجذر التربيعي هذا بيساوي XK زائد 2، إذاً | |
| 238 | |
| 00:22:15,940 --> 00:22:21,620 | |
| هي 1 أصغر من أو يساوي XK زائد 1 أصغر من XK زائد 2 | |
| 239 | |
| 00:22:21,620 --> 00:22:28,100 | |
| أصغر من 2، وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه | |
| 240 | |
| 00:22:28,100 --> 00:22:34,700 | |
| عن K زائد 1، وبالتالي هيك بنكون كملنا الـ induction | |
| 241 | |
| 00:22:34,700 --> 00:22:43,060 | |
| okay، طبعًا إذا الـ claim تعالوا نشوف الآن ليش الـ | |
| 242 | |
| 00:22:43,060 --> 00:22:48,470 | |
| sequence، اه ليه الـ sequence تبعنا بتطلع bounded | |
| 243 | |
| 00:22:48,470 --> 00:22:55,530 | |
| و increasing، فاكرين إحنا أثبتنا by induction إنّ X | |
| 244 | |
| 00:22:55,530 --> 00:23:01,810 | |
| N أصغر من XN زائد 1 أصغر من 2 أكبر من | |
| 245 | |
| 00:23:01,810 --> 00:23:10,150 | |
| أو يساوي 1 لكل N من الجزء هذا نستنتج | |
| 246 | |
| 00:23:10,150 --> 00:23:14,460 | |
| إنّ الـ sequence is increasing صح؟ لأن هي عندي XN | |
| 247 | |
| 00:23:14,460 --> 00:23:21,640 | |
| أصغر من XN زائد 1 لكل N ومن المتباينة كلها يعني | |
| 248 | |
| 00:23:21,640 --> 00:23:28,200 | |
| اللي هي XN أصغر من 2 أكبر من أو يساوي 1 لكل N | |
| 249 | |
| 00:23:28,200 --> 00:23:32,080 | |
| هذا معناه الـ sequence bounded هي محصورة بين 1 | |
| 250 | |
| 00:23:32,080 --> 00:23:37,160 | |
| و 2 و bounded above by 2، لذلك هذا يكمل | |
| 251 | |
| 00:23:37,160 --> 00:23:42,800 | |
| برهان الـ claim الأول يعني، وهو إنّه sequence XN | |
| 252 | |
| 00:23:42,800 --> 00:23:47,240 | |
| increasing و bounded الآن، by monotone convergence | |
| 253 | |
| 00:23:47,240 --> 00:23:53,140 | |
| theorem الـ sequence XN هتكون convergent، دعينا | |
| 254 | |
| 00:23:53,140 --> 00:23:56,840 | |
| نسمي الـ limit تبعها X وطبعًا حسب الـ monotone | |
| 255 | |
| 00:23:56,840 --> 00:23:59,480 | |
| convergence theorem بما إنّ sequence increasing | |
| 256 | |
| 00:23:59,480 --> 00:24:05,960 | |
| إذاً الـ limit تبعها بيساوي الـ supremum لها كـ set، إذاً | |
| 257 | |
| 00:24:05,960 --> 00:24:09,600 | |
| أنا في عندي الآن الـ sequence تبعيتي convergent هي | |
| 258 | |
| 00:24:09,600 --> 00:24:17,620 | |
| عندي limit XN convergent بيساوي X اللي هي طبعًا | |
| 259 | |
| 00:24:17,620 --> 00:24:21,580 | |
| حسب النظرية بيساوي الـ supremum، الآن بدي أجيب قيمة | |
| 260 | |
| 00:24:21,580 --> 00:24:25,460 | |
| الـ X هذا طبعًا | |
| 261 | |
| 00:24:25,460 --> 00:24:30,560 | |
| مش سهل إنّ أجيب الـ supremum لـ الـ sequence فبجيبها | |
| 262 | |
| 00:24:30,560 --> 00:24:35,600 | |
| بطريقة ثانية، إذاً | |
| 263 | |
| 00:24:35,600 --> 00:24:38,560 | |
| الـ claim الثاني بدي أثبت إنّ الـ X الـ limit لـ الـ | |
| 264 | |
| 00:24:38,560 --> 00:24:40,720 | |
| sequence اللي هي X بيساوي 2 | |
| 265 | |
| 00:24:43,730 --> 00:24:47,450 | |
| طيب أنا عندي من تعريف الـ sequence، أنا عندي XN زائد | |
| 266 | |
| 00:24:47,450 --> 00:24:53,070 | |
| 1 بيساوي جذر 2XN، وهذا الكلام صحيح for | |
| 267 | |
| 00:24:53,070 --> 00:24:57,870 | |
| every N، نأخذ الـ limit للطرفين لما N تؤول لـ | |
| 268 | |
| 00:24:57,870 --> 00:25:02,050 | |
| infinity، بتطلع limit XN زائد 1 بيساوي limit جذر | |
| 269 | |
| 00:25:02,050 --> 00:25:08,390 | |
| 2 ثابت في limit جذر الـ XN، مظبوط؟ | |
| 270 | |
| 00:25:09,940 --> 00:25:15,160 | |
| طيب إحنا فرضنا أو إحنا استنتجنا، إحنا لسه مستنتجين | |
| 271 | |
| 00:25:15,160 --> 00:25:19,340 | |
| من الـ monotone convergence إنّ limit XN بيساوي X | |
| 272 | |
| 00:25:19,340 --> 00:25:25,400 | |
| وبالتالي limit XN زائد 1 برضه بتساوي X وهي | |
| 273 | |
| 00:25:25,400 --> 00:25:31,220 | |
| بيساوي جذر 2 و limit جذر XN بيساوي جذر الـ X | |
| 274 | |
| 00:25:31,220 --> 00:25:36,980 | |
| حسب نظرية سابقة، إذا الـ limit هذه، إذا هي X وجذر | |
| 275 | |
| 00:25:36,980 --> 00:25:40,820 | |
| 2 في الـ limit هذه بتطلع جذر الـ X، إذاً أصبح عندي الآن | |
| 276 | |
| 00:25:40,820 --> 00:25:46,380 | |
| دي معادلة في مجهول واحد X ممكن أحلها، وذلك بتربيع | |
| 277 | |
| 00:25:46,380 --> 00:25:53,740 | |
| الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك، وهذه في | |
| 278 | |
| 00:25:53,740 --> 00:25:59,340 | |
| إلها حالين إما X بيطلع بيساوي 0 أو X بيساوي 2 | |
| 279 | |
| 00:25:59,340 --> 00:26:04,940 | |
| إحنا عايزين الـ X نأخذ X بيساوي 2 ونرفض X بيساوي | |
| 280 | |
| 00:26:04,940 --> 00:26:10,700 | |
| 0، طب ليه نرفض X بيساوي 0؟ لأن أثبتنا هنا by | |
| 281 | |
| 00:26:10,700 --> 00:26:20,340 | |
| induction أن xn أكبر من أو يساوي واحد وأصغر من الاثنين | |
| 282 | |
| 00:26:20,340 --> 00:26:25,960 | |
| وأثبتنا أن هذه المتتالية convergent، إذا حسب | |
| 283 | |
| 00:26:25,960 --> 00:26:27,200 | |
| نظرية سابقة | |
| 284 | |
| 00:26:30,490 --> 00:26:38,230 | |
| إذن حدّ المتتالية xn سيقع بين 2 و 1 | |
| 285 | |
| 00:26:38,230 --> 00:26:42,650 | |
| بين 1 و 2. خدمة نظرية بتقول لو كانت المتتالية xn | |
| 286 | |
| 00:26:42,650 --> 00:26:48,610 | |
| convergent و xn أكبر من أو يساوي a وأصغر من أو يساوي | |
| 287 | |
| 00:26:48,610 --> 00:26:53,570 | |
| b لكل n فحدّ المتتالية xn سيقع أيضا بين | |
| 288 | |
| 00:26:53,570 --> 00:26:59,560 | |
| a و b، يعني طب هيدي هي الـ X. فرضنا أن حدّ المتتالية هيدي | |
| 289 | |
| 00:26:59,560 --> 00:27:04,060 | |
| X إذا بيطلع أنا عندي X أكبر من أو يساوي 1 وأصغر من | |
| 290 | |
| 00:27:04,060 --> 00:27:07,920 | |
| الاثنين وبالتالي مستحيل الـ X اللي هي محصورة بين | |
| 291 | |
| 00:27:07,920 --> 00:27:15,420 | |
| 1 و 2 مستحيل تساوي صفر، مش ممكن تساوي صفر | |
| 292 | |
| 00:27:15,420 --> 00:27:19,820 | |
| إذا لازم تساوي 2، وأنا عندي صفر أو 2 إذا لازم | |
| 293 | |
| 00:27:19,820 --> 00:27:25,570 | |
| تساوي 2، Okay. إذا هيني هيك استخدمنا الـ monotone | |
| 294 | |
| 00:27:25,570 --> 00:27:31,030 | |
| convergence. بالمثل في عندك تمارين زي هيك المتتاليات | |
| 295 | |
| 00:27:31,030 --> 00:27:36,290 | |
| بتُعرف inductively و هتثبتوا أنها convergent و | |
| 296 | |
| 00:27:36,290 --> 00:27:40,750 | |
| بتجيبوا قيمة الحدّ بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب | |
| 297 | |
| 00:27:40,750 --> 00:27:46,250 | |
| فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل | |
| 298 | |
| 00:27:46,250 --> 00:27:52,770 | |
| هذه التمارين، Okay تمام. واضح؟ إذن هنا أخدنا تطبيقات | |
| 299 | |
| 00:27:52,770 --> 00:27:56,230 | |
| متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي | |
| 300 | |
| 00:27:56,230 --> 00:28:03,570 | |
| التمارين لـ section 3.3 نبدأ | |
| 301 | |
| 00:28:03,570 --> 00:28:09,230 | |
| section 4 أو 3.4 نعم بيقول إنه ممكن | |
| 302 | |
| 00:28:09,230 --> 00:28:13,790 | |
| نحلّ بطريقة ثانية ونثبت أن الاثنين يوصلوا لـ X | |
| 303 | |
| 00:28:13,790 --> 00:28:17,770 | |
| مظبوط، صحيح، الاثنين بيتحركوا على طريق الـ limit اللي هي | |
| 304 | |
| 00:28:17,770 --> 00:28:18,610 | |
| الـ X | |
| 305 | |
| 00:28:21,690 --> 00:28:28,990 | |
| والله أنت فاكر فيه وبعدين قولي لي هي | |
| 306 | |
| 00:28:28,990 --> 00:28:34,050 | |
| عندك المتتالية حدودها معروفة معرفة، ممكن تكتب أول | |
| 307 | |
| 00:28:34,050 --> 00:28:40,010 | |
| أربع خمس حدود وتحاول تستنتجي إيه هي قيمة الـ | |
| 308 | |
| 00:28:40,010 --> 00:28:44,930 | |
| supreme وتبرهنها طبعا، فهذا متروك إليك | |
| 309 | |
| 00:28:47,810 --> 00:28:52,030 | |
| هذا يعني حل آخر، فأنا قلت أن الـ suprem مش سهل أن | |
| 310 | |
| 00:28:52,030 --> 00:28:56,070 | |
| احنا نجيبه لمتتاليات زي هيك أو للمجموعات | |
| 311 | |
| 00:28:56,070 --> 00:28:59,230 | |
| وبالتالي الـ monotone convergence في الفيلم كان | |
| 312 | |
| 00:28:59,230 --> 00:29:03,390 | |
| ممكن يكون أسهل، لأن ها الكلام التاني هذا الأخير | |
| 313 | |
| 00:29:03,390 --> 00:29:07,270 | |
| ماأخذش وقت، يعني أخذنا الـ inductive formula | |
| 314 | |
| 00:29:07,270 --> 00:29:11,570 | |
| formula وأخذنا حدّ الطرفين وحلّينا معادلة في | |
| 315 | |
| 00:29:11,570 --> 00:29:16,800 | |
| X وادركنا أن الـ X مش لازم تساوي صفر من هنا لأن X | |
| 316 | |
| 00:29:16,800 --> 00:29:20,820 | |
| محصورة بين 1 و 2. هذا أسهل من أن أنا أجيب الـ | |
| 317 | |
| 00:29:20,820 --> 00:29:26,940 | |
| supreme لكن هذا ما يمنعش أن ممكن حد معين يثبت أن الـ | |
| 318 | |
| 00:29:26,940 --> 00:29:33,060 | |
| supreme هو 2 إذا كان سهل فكان يعني نستخدمه، مش | |
| 319 | |
| 00:29:33,060 --> 00:29:35,240 | |
| سهل نستخدم الـ monotone convergence | |
| 320 | |
| 00:29:49,630 --> 00:29:56,070 | |
| الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem، | |
| 321 | |
| 00:29:56,070 --> 00:29:59,350 | |
| الـ sub-sequences شفنا قبل شوية sub-sequence | |
| 322 | |
| 00:30:11,180 --> 00:30:15,400 | |
| شفنا قبل لحظات في المثال الثاني إنه في عنده | |
| 323 | |
| 00:30:15,400 --> 00:30:26,540 | |
| متتالية هي، عنده متتالية xn حدودها x1, x2, x3, x4 | |
| 324 | |
| 00:30:26,540 --> 00:30:34,160 | |
| وهكذا وفي كانت متتالية ثانية، حدودها 2 | |
| 325 | |
| 00:30:34,160 --> 00:30:52,420 | |
| أُس n، الحدود هذي هتكون X2 X4 X8 وهكذا، صح؟ لو سمينا | |
| 326 | |
| 00:30:52,420 --> 00:31:01,340 | |
| الـ 2 هذي R1 والـ 4 هذي سميناها R2 والـ 8 R3 | |
| 327 | |
| 00:31:04,820 --> 00:31:10,940 | |
| فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو يساوي 1، عدد طبيعي أكبر | |
| 328 | |
| 00:31:10,940 --> 00:31:19,320 | |
| من أو يساوي 1، وR2 أكبر من R1، اللي هو 4 أكبر | |
| 329 | |
| 00:31:19,320 --> 00:31:29,050 | |
| من 2، وR3 اللي هو 8 أكبر من R2 وهكذا، إذا | |
| 330 | |
| 00:31:29,050 --> 00:31:34,810 | |
| الـ sub sequence المؤشرات تبعها أو الـ indices أنا | |
| 331 | |
| 00:31:34,810 --> 00:31:40,330 | |
| باسميه index، مجموعة index indices الـ indices أو | |
| 332 | |
| 00:31:40,330 --> 00:31:44,710 | |
| المؤشرات للـ sub sequence هي أعداد طبيعية، هذا هي | |
| 333 | |
| 00:31:44,710 --> 00:31:49,890 | |
| 2، 4، 8، هي أعداد طبيعية، والاعداد الطبيعية | |
| 334 | |
| 00:31:49,890 --> 00:31:55,170 | |
| هذه بتشكل متتالية، هذه عبارة عن متتالية من | |
| 335 | |
| 00:31:55,170 --> 00:32:01,880 | |
| الأعداد الطبيعية، صح؟ والمتتالية هذه is strictly | |
| 336 | |
| 00:32:01,880 --> 00:32:08,200 | |
| .. strictly increasing | |
| 337 | |
| 00:32:08,200 --> 00:32:14,580 | |
| .. strictly increasing، يعني متزايدة زيادة صحيحة | |
| 338 | |
| 00:32:14,580 --> 00:32:18,860 | |
| يعني R1 أصغر من R2 مش أصغر من أو يساوي R2 | |
| 339 | |
| 00:32:18,860 --> 00:32:23,280 | |
| وR2 أصغر من R3 ولا تساوي R3 وهكذا | |
| 340 | |
| 00:32:23,280 --> 00:32:25,780 | |
| مظبوط؟ صح؟ | |
| 341 | |
| 00:32:29,030 --> 00:32:33,430 | |
| إذا الـ subsequence الـ subsequence من أي متتالية هي | |
| 342 | |
| 00:32:33,430 --> 00:32:39,350 | |
| مجموعة جزئية منها، صح؟ لأن حدودها هي حدود حدود الـ | |
| 343 | |
| 00:32:39,350 --> 00:32:46,130 | |
| subsequence هي عناصر أو حدود من المتتالية الأصلية لكن | |
| 344 | |
| 00:32:46,130 --> 00:32:52,170 | |
| مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعها | |
| 345 | |
| 00:32:52,170 --> 00:32:56,890 | |
| بتشكل strictly increasing sequence of natural | |
| 346 | |
| 00:32:56,890 --> 00:33:03,480 | |
| numbers، تمام؟ زي هيك إذاً | |
| 347 | |
| 00:33:03,480 --> 00:33:06,900 | |
| هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي | |
| 348 | |
| 00:33:06,900 --> 00:33:12,060 | |
| متتالية XN وأخذت strictly increasing sequence of | |
| 349 | |
| 00:33:12,060 --> 00:33:17,620 | |
| natural numbers فالـ sequence اللي المؤشرات تبعها | |
| 350 | |
| 00:33:17,620 --> 00:33:24,060 | |
| هي الـ sequence RN اللي هي هذه، عناصرها بنسميها | |
| 351 | |
| 00:33:24,060 --> 00:33:30,640 | |
| subsequence من الـ sequence XN، وها أمثلة هتبين هذه | |
| 352 | |
| 00:33:30,640 --> 00:33:33,900 | |
| الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers | |
| 353 | |
| 00:33:33,900 --> 00:33:40,860 | |
| فهذه subsequence منها، 2 in الـ sequence of | |
| 354 | |
| 00:33:40,860 --> 00:33:44,940 | |
| even numbers أو even natural numbers ده هي على | |
| 355 | |
| 00:33:44,940 --> 00:33:54,800 | |
| سرعة 2، 4، 6 وهكذا وهذه عبارة عن متتالية | |
| 356 | |
| 00:33:56,170 --> 00:34:03,930 | |
| من الأعداد الفردية، 1، 3، 5 وهكذا | |
| 357 | |
| 00:34:03,930 --> 00:34:11,550 | |
| وحدود المتتالية هذه هي XR1 هذا X2 هذا | |
| 358 | |
| 00:34:11,550 --> 00:34:18,430 | |
| رقمه هذا رقم 2، يعني R1 بيساوي 2 طيب XR | |
| 359 | |
| 00:34:18,430 --> 00:34:25,450 | |
| 2، 4، XR2، R2 هذا حد رقم 4، R2 بيساوي | |
| 360 | |
| 00:34:25,450 --> 00:34:31,610 | |
| 4 وR1 بيساوي 2 و2 أصغر من 4، XR | |
| 361 | |
| 00:34:31,610 --> 00:34:39,130 | |
| 3، 6، R3 بيساوي 6 نفس الحاجة يعني هذه | |
| 362 | |
| 00:34:39,130 --> 00:34:44,020 | |
| subsequence وهذه subsequence من المتتالية X لأن | |
| 363 | |
| 00:34:44,020 --> 00:34:48,280 | |
| مؤشراتها كلها بشكل strictly increasing sequences | |
| 364 | |
| 00:34:48,280 --> 00:34:53,000 | |
| of natural numbers. بالمثل المتتالية 1 على 2 n | |
| 365 | |
| 00:34:53,000 --> 00:35:03,540 | |
| سالب 1 والمتتالية 1 على n factorial هدول | |
| 366 | |
| 00:35:03,540 --> 00:35:07,840 | |
| برضه أيضا sub sequences من المتتالية 1 على n | |
| 367 | |
| 00:35:11,850 --> 00:35:16,490 | |
| لكن المتتالية اللي حدودها 1 | |
| 368 | |
| 00:35:16,490 --> 00:35:24,370 | |
| على 1، 0، 3، 0، 5، 0 وهكذا هذه ليست | |
| 369 | |
| 00:35:24,370 --> 00:35:32,450 | |
| subsequence من المتتالية 1 على n لأن الصفر | |
| 370 | |
| 00:35:32,450 --> 00:35:37,150 | |
| هذا هي اللي، مش موجودة، ليست 3 اللي للـ sequence | |
| 371 | |
| 00:35:37,150 --> 00:35:43,480 | |
| هذه ومؤشرات الحدود، يعني لا تشكل strictly increasing | |
| 372 | |
| 00:35:43,480 --> 00:35:47,640 | |
| sequence. طيب | |
| 373 | |
| 00:35:47,640 --> 00:35:52,780 | |
| لو أخذت أي tail، أي M tail حيث M عدد طبيعي ثابت | |
| 374 | |
| 00:35:52,780 --> 00:35:58,740 | |
| number فـ XM tail ده، M tail of any sequence Xn | |
| 375 | |
| 00:35:58,740 --> 00:36:03,640 | |
| طبعا الـ M tail ده حدوده عبارة عن متتالية، الحد | |
| 376 | |
| 00:36:03,640 --> 00:36:10,190 | |
| الأول تبعها x capital M زائد 1، الحد الثاني x | |
| 377 | |
| 00:36:10,190 --> 00:36:16,870 | |
| capital M زائد 2، الثالث x capital M زائد 3 وهكذا، فطبعا | |
| 378 | |
| 00:36:16,870 --> 00:36:21,170 | |
| هذه عبارة عن sub sequence من المتتالية الأم لأن | |
| 379 | |
| 00:36:21,170 --> 00:36:26,510 | |
| كل عنصر في الـ sub sequence هذه هي موجودة هنا، صح؟ | |
| 380 | |
| 00:36:26,510 --> 00:36:32,430 | |
| والمؤشرات تبعات الـ sub-sequence هي M زائد 1 أصغر | |
| 381 | |
| 00:36:33,790 --> 00:36:39,710 | |
| من R2 اللي هو M زائد 2، وR2 أصغر من R | |
| 382 | |
| 00:36:39,710 --> 00:36:45,830 | |
| 3 اللي هو M زائد 3 وكده، هذا sub-sequence | |
| 383 | |
| 00:36:45,830 --> 00:36:50,130 | |
| ولا مش sub-sequence؟ لو أخذت أي متتالية Xn فأي | |
| 384 | |
| 00:36:50,130 --> 00:36:54,950 | |
| M tail هو sub-sequence منها. كذلك لو أخدت أي متتالية | |
| 385 | |
| 00:36:54,950 --> 00:37:02,220 | |
| xn فالـ sequence x اللي حدّها اللي مؤشر | |
| 386 | |
| 00:37:02,220 --> 00:37:09,400 | |
| تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شفنا، وx2n | |
| 387 | |
| 00:37:09,400 --> 00:37:16,020 | |
| الحدود الزوجية، لو أخذت الحدود الزوجية فقط فهذا | |
| 388 | |
| 00:37:16,020 --> 00:37:21,340 | |
| بعطيني subsequence ولو أخذت الحدود الفردية تعطيني | |
| 389 | |
| 00:37:21,340 --> 00:37:25,840 | |
| subsequence ثانية، ولا كده؟ الآن سؤال | |
| 390 | |
| 00:37:25,840 --> 00:37:38,470 | |
| اللي بهمنا احنا ما هي العلاقة بين المتتالية بالـ | |
| 391 | |
| 00:37:38,470 --> 00:37:42,190 | |
| subsequence من حيث الـ convergence و الـ divergence؟ | |
| 392 | |
| 00:37:42,190 --> 00:37:46,990 | |
| يعني لو كانت المتتالية convergent لو في عندي | |
| 393 | |
| 00:37:54,410 --> 00:37:56,950 | |
| يعني لو كانت المتتالية convergent، لو في عندي | |
| 394 | |
| 00:37:56,950 --> 00:38:01,250 | |
| متتالية xn convergent لـ x وأخذت أي sub sequence | |
| 395 | |
| 00:38:01,250 --> 00:38:07,490 | |
| منها هل هذه المتتالية لازم تكون convergent زيها | |
| 396 | |
| 00:38:07,490 --> 00:38:11,890 | |
| ولا divergent؟ لازم تكون convergent وحدّها | |
| 397 | |
| 00:38:11,890 --> 00:38:22,770 | |
| نفس حدّ المتتالية الأصلية، وله نفس الـ limit ماشي | |
| 398 | |
| 00:38:22,770 --> 00:38:23,170 | |
| لحظة | |
| 399 | |
| 00:38:29,060 --> 00:38:29,860 | |
| كثير من الناس | |
| 400 | |
| 00:38:39,930 --> 00:38:46,370 | |
| إذا كمان مرة بهمنا أنا أنه لو في عندي متتالية | |
| 401 | |
| 00:38:46,370 --> 00:38:51,030 | |
| نظرية هذه بتقول لو في عندي متتالية xn of real | |
| 402 | |
| 00:38:51,030 --> 00:38:56,350 | |
| numbers وكانت هذه المتتالية convergent لـ x فأي | |
| 403 | |
| 00:38:56,350 --> 00:39:00,170 | |
| subsequence منها بتكون convergent وحدّها | |
| 404 | |
| 00:39:00,170 --> 00:39:05,330 | |
| هو نفس حدّ المتتالية xn | |
| 405 | |
| 00:39:08,450 --> 00:39:15,870 | |
| وهذا يعني ممكن أن احنا نثبته بسهولة، عشان اثبت أن | |
| 406 | |
| 00:39:15,870 --> 00:39:22,590 | |
| الـ subsequence XRN converge لـ X فبستخدم تعريف الـ | |
| 407 | |
| 00:39:22,590 --> 00:39:27,930 | |
| capital N، فلو أخذت أي Y أكبر من الصفر أنا عندي المتتالية | |
| 408 | |
| 00:39:27,930 --> 00:39:32,560 | |
| الأصلية هي convergent لـ X، وبالتالي من | |
| 409 | |
| 00:39:32,560 --> 00:39:36,720 | |
| تعريف الـ convergence لما XM converged لـ X إذا | |
| 410 | |
| 00:39:36,720 --> 00:39:39,940 | |
| يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة | |
| 411 | |
| 00:39:39,940 --> 00:39:45,700 | |
| بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي | |
| 412 | |
| 00:39:45,700 --> 00:39:52,980 | |
| capital M طيب أنا عندي المؤشرات | |
| 413 | |
| 00:39:52,980 --> 00:39:58,160 | |
| تبع الـ subsequence بتشكل increasing | |
| 414 | |
| 00:39:58,160 --> 00:40:03,420 | |
| sequence، وأول واحد.. أول عدد فيها طبعا هذا عدد | |
| 415 | |
| 00:40:03,420 --> 00:40:09,800 | |
| طبيعي وبالتالي أكبر من أو يساوي 1 فبالتالي الـ | |
| 416 | |
| 00:40:09,800 --> 00:40:15,160 | |
| Rn، هدول الـ Rn ممكن إثبات باستخدام الـ induction أن | |
| 417 | |
| 00:40:15,160 --> 00:40:22,220 | |
| Rn أكبر من أو يساوي n لكل n وبالتالي | |
| 418 | |
| 00:40:22,220 --> 00:40:28,970 | |
| لو أخدت n أكبر من أو يساوي capital N فعندي أنا Rn من | |
| 419 | |
| 00:40:28,970 --> 00:40:34,590 | |
| هنا أكبر من أو يساوي n، والـ n أنا ماخده أكبر | |
| 420 | |
| 00:40:34,590 --> 00:40:38,750 | |
| من أو يساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع | |
| 421 | |
| 00:40:38,750 --> 00:40:43,150 | |
| عندي RN أكبر من أو يساوي capital N وبالتالي من ال | |
| 422 | |
| 00:40:43,150 --> 00:40:48,810 | |
| implication 13، ال implication 13 بتقول لي لأي عدد | |
| 423 | |
| 00:40:49,980 --> 00:40:55,300 | |
| أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X للعدد هذا | |
| 424 | |
| 00:40:55,300 --> 00:41:02,090 | |
| للمؤشر هذا، سالب X أصغر من Y، إذا أنا هيك أثبتت .. | |
| 425 | |
| 00:41:02,090 --> 00:41:07,550 | |
| أنا هيك أثبتت أنه الـ .. لأي epsilon أكبر من الصفر | |
| 426 | |
| 00:41:07,550 --> 00:41:12,190 | |
| في capital N يعتمد على epsilon، بحيث لكل N أكبر منه | |
| 427 | |
| 00:41:12,190 --> 00:41:16,830 | |
| أو يساوي capital N، المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon | |
| 428 | |
| 00:41:16,830 --> 00:41:21,320 | |
| وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهاية، أنا هيك | |
| 429 | |
| 00:41:21,320 --> 00:41:27,640 | |
| بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تؤول لـ infinity | |
| 430 | |
| 00:41:27,640 --> 00:41:35,720 | |
| بيساوى x، وهذا هو المطلوب طبعًا | |
| 431 | |
| 00:41:35,720 --> 00:41:40,780 | |
| في هنا أمثلة، باقي شوية أمثلة، فهذه الأمثلة يعني | |
| 432 | |
| 00:41:40,780 --> 00:41:46,000 | |
| حاولوا أنكم تقرؤوها، في مثلن كيف نطبق النظرية هذه | |
| 433 | |
| 00:41:46,000 --> 00:41:50,660 | |
| أو نوجد العلاقة بين، كيف نثبت ال convergence للـ | |
| 434 | |
| 00:41:50,660 --> 00:41:55,900 | |
| sequence من خلال إثبات | |
| 435 | |
| 00:41:55,900 --> 00:42:00,290 | |
| ال convergence للـ subsequences أو العكس، فحاولوا | |
| 436 | |
| 00:42:00,290 --> 00:42:04,490 | |
| تقرؤوها، وهيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل إن شاء | |
| 437 | |
| 00:42:04,490 --> 00:42:10,290 | |
| الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام الـ | |
| 438 | |
| 00:42:10,290 --> 00:42:14,290 | |
| powerpoint ابتداءً من المحاضرة الجاية، وهنشره على | |
| 439 | |
| 00:42:14,290 --> 00:42:19,850 | |
| النت okay، انتهت المحاضرة نشوفكم إن شاء الله يوم | |
| 440 | |
| 00:42:19,850 --> 00:42:20,250 | |
| اثنين | |