| 1 | |
| 00:00:21,450 --> 00:00:27,950 | |
| Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخدنا الـ | |
| 2 | |
| 00:00:27,950 --> 00:00:33,670 | |
| monotone convergence theorem وشوفنا | |
| 3 | |
| 00:00:33,670 --> 00:00:38,970 | |
| أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence و ال | |
| 4 | |
| 00:00:38,970 --> 00:00:42,710 | |
| sequence هذه monotone يعني increasing أو | |
| 5 | |
| 00:00:42,710 --> 00:00:48,510 | |
| decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if | |
| 6 | |
| 00:00:48,510 --> 00:00:53,060 | |
| it is boundedإذا الـ monotone sequence converges | |
| 7 | |
| 00:00:53,060 --> 00:01:01,360 | |
| if and only if it is bounded طيب | |
| 8 | |
| 00:01:01,360 --> 00:01:04,420 | |
| ال monotone sequence نوعين إما increasing أو | |
| 9 | |
| 00:01:04,420 --> 00:01:07,360 | |
| decreasing فلو كانت ال sequence increasing و طبعا | |
| 10 | |
| 00:01:07,360 --> 00:01:10,940 | |
| bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال | |
| 11 | |
| 00:01:10,940 --> 00:01:14,040 | |
| statement الأول و ال limit تبعتها بساوي ال | |
| 12 | |
| 00:01:14,040 --> 00:01:17,280 | |
| supremum اللي لها ك set و لو كانت ال sequence | |
| 13 | |
| 00:01:17,280 --> 00:01:22,420 | |
| decreasing و بالطبع boundedفحسب ال statement الأول | |
| 14 | |
| 00:01:22,420 --> 00:01:28,720 | |
| تطلع convergence ونهايتها هي ال infimum تبعها ك Z | |
| 15 | |
| 00:01:28,720 --> 00:01:33,040 | |
| وشوفنا | |
| 16 | |
| 00:01:33,040 --> 00:01:35,560 | |
| برهانة مغرية في المحاضرة السابقة | |
| 17 | |
| 00:01:38,060 --> 00:01:43,060 | |
| الان بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain | |
| 18 | |
| 00:01:43,060 --> 00:01:47,200 | |
| sequences are convergent أو divergent النظرية هذه | |
| 19 | |
| 00:01:47,200 --> 00:01:51,180 | |
| بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone | |
| 20 | |
| 00:01:51,180 --> 00:01:55,960 | |
| sequence معينة إما convergent أو divergent عشان | |
| 21 | |
| 00:01:55,960 --> 00:01:59,120 | |
| أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone | |
| 22 | |
| 00:01:59,120 --> 00:02:02,760 | |
| sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها | |
| 23 | |
| 00:02:02,760 --> 00:02:08,980 | |
| bounded العكس لو في عنده monotone sequenceوبدي | |
| 24 | |
| 00:02:08,980 --> 00:02:14,640 | |
| اثبت انها divergent يكفي ان اثبت انها unbounded | |
| 25 | |
| 00:02:14,640 --> 00:02:21,840 | |
| not bounded فهي ان ال sequence xn بساوي واحد على n | |
| 26 | |
| 00:02:21,840 --> 00:02:27,240 | |
| هاد ال sequence معروف انه ال limit انها convergent | |
| 27 | |
| 00:02:27,240 --> 00:02:34,630 | |
| وits limit is zero زيها زي ال sequence واحد على nو | |
| 28 | |
| 00:02:34,630 --> 00:02:38,270 | |
| ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergence و | |
| 29 | |
| 00:02:38,270 --> 00:02:42,030 | |
| نهايتها بالساعة و سفر باستخدام تعريف epsilon | |
| 30 | |
| 00:02:42,030 --> 00:02:49,070 | |
| capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال | |
| 31 | |
| 00:02:49,070 --> 00:02:52,830 | |
| limit أن ال limit لل sequence واحد علي N بالساعة و | |
| 32 | |
| 00:02:52,830 --> 00:02:57,810 | |
| سفر باستخدام الarchimedean property فهذا برهان | |
| 33 | |
| 00:02:57,810 --> 00:03:04,810 | |
| ممكن أي واحدة فيكم تكتبهاللي هو باستخدام تعريف | |
| 34 | |
| 00:03:04,810 --> 00:03:08,110 | |
| epsilon capital N زائد الـarchimedean property | |
| 35 | |
| 00:03:08,110 --> 00:03:13,290 | |
| بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم | |
| 36 | |
| 00:03:13,290 --> 00:03:16,550 | |
| هنشوف برهان تاني باستخدام الـ monotone convergence | |
| 37 | |
| 00:03:16,550 --> 00:03:16,990 | |
| theorem | |
| 38 | |
| 00:03:20,740 --> 00:03:25,460 | |
| السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one | |
| 39 | |
| 00:03:25,460 --> 00:03:28,960 | |
| over square root of n طبعا square root of n أصغر | |
| 40 | |
| 00:03:28,960 --> 00:03:32,720 | |
| من square root of z واحد لأي عدد طبيعي وبالتالي | |
| 41 | |
| 00:03:32,720 --> 00:03:37,680 | |
| مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لكبير هذا xn زاد واحد | |
| 42 | |
| 00:03:37,680 --> 00:03:44,240 | |
| وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زاد واحد | |
| 43 | |
| 00:03:44,240 --> 00:03:48,560 | |
| أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing | |
| 44 | |
| 00:03:49,820 --> 00:03:54,740 | |
| كذلك الـ sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد | |
| 45 | |
| 00:03:54,740 --> 00:03:59,700 | |
| موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn | |
| 46 | |
| 00:03:59,700 --> 00:04:04,780 | |
| أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence | |
| 47 | |
| 00:04:04,780 --> 00:04:12,000 | |
| increasingdecreasing و bounded اذا by monotone | |
| 48 | |
| 00:04:12,000 --> 00:04:16,620 | |
| convergence theorem ال sequence هذه هتكون | |
| 49 | |
| 00:04:16,620 --> 00:04:23,220 | |
| convergent و ال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب | |
| 50 | |
| 00:04:23,220 --> 00:04:27,740 | |
| ال infimum للمجموعة هذه بتساوي سفر | |
| 51 | |
| 00:04:30,570 --> 00:04:35,710 | |
| وبرهان ذلك شبيه ببرهان الـ infimum للـ sequence 1 | |
| 52 | |
| 00:04:35,710 --> 00:04:40,310 | |
| على n بالساوي 0 باستخدام الـ Archimedean property | |
| 53 | |
| 00:04:40,310 --> 00:04:44,350 | |
| راجعوا برهان أن الـ infimum للـ sequence 1 على n | |
| 54 | |
| 00:04:44,350 --> 00:04:48,610 | |
| وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان | |
| 55 | |
| 00:04:48,610 --> 00:04:54,800 | |
| وكتبوا برهان مشابه لهبنفس الطريقة نثبت ان الانثرام | |
| 56 | |
| 00:04:54,800 --> 00:04:58,660 | |
| لسيكوانس هادى او الست هادى سفر اذا حسب الـ | |
| 57 | |
| 00:04:58,660 --> 00:05:01,400 | |
| monotone convergence theorem ال sequence واحد على | |
| 58 | |
| 00:05:01,400 --> 00:05:05,700 | |
| جذر M is convergent و ال limit تبعتها بساوي | |
| 59 | |
| 00:05:05,700 --> 00:05:10,240 | |
| الانثرام تبعها اللى هو سفر اذا هى مثال على تطبيق | |
| 60 | |
| 00:05:10,240 --> 00:05:15,570 | |
| الـ monotone convergence theoremكذلك ممكن برضه زي | |
| 61 | |
| 00:05:15,570 --> 00:05:18,810 | |
| ما قلتلكم نستخدم الـ monotone convergence theorem | |
| 62 | |
| 00:05:18,810 --> 00:05:26,750 | |
| في أثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف | |
| 63 | |
| 00:05:26,750 --> 00:05:30,870 | |
| مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها | |
| 64 | |
| 00:05:30,870 --> 00:05:37,490 | |
| xn هذا الint partial sum بالمناسبة هذا الint | |
| 65 | |
| 00:05:37,490 --> 00:05:43,330 | |
| partial sum في ال harmonic seriesسيجما من K بساول | |
| 66 | |
| 00:05:43,330 --> 00:05:50,210 | |
| واحد to infinity لواحد على K وهد | |
| 67 | |
| 00:05:50,210 --> 00:05:53,110 | |
| ال harmonic series is divergent معروف في calculus | |
| 68 | |
| 00:05:53,110 --> 00:06:00,190 | |
| بقى ال series هد is divergent وهد الحد العام في ال | |
| 69 | |
| 00:06:00,190 --> 00:06:04,730 | |
| sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا | |
| 70 | |
| 00:06:04,730 --> 00:06:10,330 | |
| إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجةمن الموضوع هذا انه a | |
| 71 | |
| 00:06:10,330 --> 00:06:13,970 | |
| series converges if and only if ال sequence of | |
| 72 | |
| 00:06:13,970 --> 00:06:18,130 | |
| partial sums is convergent فلو ال series is | |
| 73 | |
| 00:06:18,130 --> 00:06:21,130 | |
| divergent ال sequence of partial sums is divergent | |
| 74 | |
| 00:06:21,130 --> 00:06:24,830 | |
| هذه هي ال sequence of partial sums حدث بتنها | |
| 75 | |
| 00:06:24,830 --> 00:06:31,150 | |
| divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال | |
| 76 | |
| 00:06:31,150 --> 00:06:37,300 | |
| monotone convergence theoremطيب ال sequence هي | |
| 77 | |
| 00:06:37,300 --> 00:06:43,920 | |
| الحد العام xn إذا الحد رقم n زياد واحد هي بنضيف | |
| 78 | |
| 00:06:43,920 --> 00:06:49,400 | |
| زياد واحد على n زياد واحد للمجموع هذا اللي هو xn | |
| 79 | |
| 00:06:49,400 --> 00:06:54,320 | |
| صح؟ وبالتالي زي ما أنتوا شايفين الحد xn زياد واحد | |
| 80 | |
| 00:06:54,320 --> 00:07:00,560 | |
| هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn | |
| 81 | |
| 00:07:02,310 --> 00:07:06,670 | |
| الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال | |
| 82 | |
| 00:07:06,670 --> 00:07:14,690 | |
| sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في | |
| 83 | |
| 00:07:14,690 --> 00:07:19,410 | |
| ندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، و ال | |
| 84 | |
| 00:07:19,410 --> 00:07:25,600 | |
| sequence هذه increasing، monotone يعنيالان الـ | |
| 85 | |
| 00:07:25,600 --> 00:07:30,700 | |
| monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال | |
| 86 | |
| 00:07:30,700 --> 00:07:34,260 | |
| sequence هذي convergent لازم أثبت أنها bounded | |
| 87 | |
| 00:07:34,260 --> 00:07:39,860 | |
| وعشان أثبت أنها divergent لازم أثبت أنها unbounded | |
| 88 | |
| 00:07:39,860 --> 00:07:44,520 | |
| فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded | |
| 89 | |
| 00:07:44,520 --> 00:07:48,640 | |
| بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون | |
| 90 | |
| 00:07:48,640 --> 00:07:49,360 | |
| divergent | |
| 91 | |
| 00:07:52,580 --> 00:07:57,960 | |
| تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال | |
| 92 | |
| 00:07:57,960 --> 00:08:04,200 | |
| sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n | |
| 93 | |
| 00:08:04,200 --> 00:08:09,640 | |
| هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال | |
| 94 | |
| 00:08:09,640 --> 00:08:10,820 | |
| sequence x in | |
| 95 | |
| 00:08:16,700 --> 00:08:21,480 | |
| يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x | |
| 96 | |
| 00:08:21,480 --> 00:08:27,400 | |
| رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence | |
| 97 | |
| 00:08:27,400 --> 00:08:32,620 | |
| هذه x اتنين لما n بساوة واحد بعدين اللي بعده x | |
| 98 | |
| 00:08:32,620 --> 00:08:40,100 | |
| أربع بعدين x تمام يعني و هكذا طبعا هذه الحدود هذه | |
| 99 | |
| 00:08:40,100 --> 00:08:44,980 | |
| كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال | |
| 100 | |
| 00:08:44,980 --> 00:08:49,090 | |
| sequence الأصليالان انا بدي اخد الحد العام لل sub | |
| 101 | |
| 00:08:49,090 --> 00:08:56,750 | |
| sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب | |
| 102 | |
| 00:08:56,750 --> 00:09:01,170 | |
| انا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زاد نص زاد تلت | |
| 103 | |
| 00:09:01,170 --> 00:09:06,290 | |
| اخر حد واحد على n طب لما بدي ال n ب 2 أس n هيطلع | |
| 104 | |
| 00:09:06,290 --> 00:09:10,650 | |
| عند المجموعة واحد زاد نص زاد تلت الى اخر حد واحد | |
| 105 | |
| 00:09:10,650 --> 00:09:16,620 | |
| على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequenceالان الحدود | |
| 106 | |
| 00:09:16,620 --> 00:09:25,340 | |
| هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده | |
| 107 | |
| 00:09:25,340 --> 00:09:31,320 | |
| في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض، | |
| 108 | |
| 00:09:31,320 --> 00:09:38,080 | |
| بعدين ال block الرابع هتكون خمس و سدس و سبعة و | |
| 109 | |
| 00:09:38,080 --> 00:09:44,840 | |
| تمان، أربع حدود مع بعض، جمهم مع بعضو هكذا إلى ال | |
| 110 | |
| 00:09:44,840 --> 00:09:51,220 | |
| block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زاد 1 | |
| 111 | |
| 00:09:51,220 --> 00:09:56,660 | |
| إلى 1 على 2 أس N طيب | |
| 112 | |
| 00:09:56,660 --> 00:10:02,080 | |
| هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من | |
| 113 | |
| 00:10:02,080 --> 00:10:06,820 | |
| ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت | |
| 114 | |
| 00:10:06,820 --> 00:10:12,650 | |
| التلت بربع، والتلت أكبر من ربعفصار مجموع ربعين | |
| 115 | |
| 00:10:12,650 --> 00:10:16,090 | |
| الان في ال block اللي بعديها في عندي خمس و سُدس و | |
| 116 | |
| 00:10:16,090 --> 00:10:22,110 | |
| سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان | |
| 117 | |
| 00:10:22,110 --> 00:10:27,450 | |
| يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي | |
| 118 | |
| 00:10:27,450 --> 00:10:34,390 | |
| هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا | |
| 119 | |
| 00:10:34,390 --> 00:10:39,910 | |
| هذا الحد اللي هنا هذاأكبر من واحد على اتنين أسئن | |
| 120 | |
| 00:10:39,910 --> 00:10:44,450 | |
| لأنه اتنين أسئن أكبر من اتنين أسئن سالب واحد زائد | |
| 121 | |
| 00:10:44,450 --> 00:10:49,050 | |
| واحد لكل ان إذاً هذا أكبر من واحد على اتنين أسئن | |
| 122 | |
| 00:10:49,050 --> 00:10:53,410 | |
| والبعد أكبر من واحد على اتنين أسئن و هكذا إذاً هنا | |
| 123 | |
| 00:10:53,410 --> 00:10:57,550 | |
| عندي واحد على اتنين أسئن مجموعة على نفسه اتنين | |
| 124 | |
| 00:10:57,550 --> 00:11:03,890 | |
| أسئن سالب واحد من المراتفمجموهم بيساوي مجموها دول | |
| 125 | |
| 00:11:03,890 --> 00:11:07,030 | |
| بيساوي اتنين اص ان سالب واحد في واحد على اتنين اص | |
| 126 | |
| 00:11:07,030 --> 00:11:11,650 | |
| ان بيطلع نص اذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده | |
| 127 | |
| 00:11:11,650 --> 00:11:16,990 | |
| نص كلهم نصارى ماعدا اول حد اذا واحد وهي نص وهذا نص | |
| 128 | |
| 00:11:16,990 --> 00:11:23,670 | |
| اللي بعده نص واخر واحد نص طب كام حد في هنا هاي حد | |
| 129 | |
| 00:11:23,670 --> 00:11:29,950 | |
| ودول عددهم nin من الحدود وهذا وعد هاي in زاد واحد | |
| 130 | |
| 00:11:29,950 --> 00:11:34,870 | |
| من الحدود طب هدول عددهم in لما أجمع عدد على نفسه | |
| 131 | |
| 00:11:34,870 --> 00:11:38,810 | |
| in من المرات بيطلع in في نص اللي هو in عتنين زاد | |
| 132 | |
| 00:11:38,810 --> 00:11:42,770 | |
| واحد طيب لما in تقول ل infinity in عتنين يقول ل | |
| 133 | |
| 00:11:42,770 --> 00:11:46,570 | |
| infinity وبالتالي واحد زاد in عتنين بيروح ل | |
| 134 | |
| 00:11:46,570 --> 00:11:50,410 | |
| infinity تمام؟ | |
| 135 | |
| 00:11:50,410 --> 00:11:54,690 | |
| إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال | |
| 136 | |
| 00:11:54,690 --> 00:12:02,730 | |
| subsequenceطولة أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو | |
| 137 | |
| 00:12:02,730 --> 00:12:14,510 | |
| بالتالي إذا | |
| 138 | |
| 00:12:14,510 --> 00:12:21,510 | |
| أنا عندي x to two to n tends to infinity as n | |
| 139 | |
| 00:12:21,510 --> 00:12:29,270 | |
| tends to infinityوبالتالي هذا معناه أن X على 2 نص | |
| 140 | |
| 00:12:29,270 --> 00:12:38,330 | |
| M أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit | |
| 141 | |
| 00:12:38,330 --> 00:12:42,730 | |
| لحد | |
| 142 | |
| 00:12:42,730 --> 00:12:47,650 | |
| هذا أو ال sequence X المؤشرات تبقية 2 نص M تقول | |
| 143 | |
| 00:12:47,650 --> 00:12:52,750 | |
| infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد | |
| 144 | |
| 00:12:52,750 --> 00:12:58,800 | |
| موجبوبالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد | |
| 145 | |
| 00:12:58,800 --> 00:13:06,980 | |
| العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي | |
| 146 | |
| 00:13:06,980 --> 00:13:15,560 | |
| فهذا بيقدي إن ال sequence XN نفسها is unbounded | |
| 147 | |
| 00:13:15,560 --> 00:13:21,300 | |
| لأنه لو كانت ال sequence boundedفأي sub-sequence | |
| 148 | |
| 00:13:21,300 --> 00:13:25,420 | |
| منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح هذا واضح | |
| 149 | |
| 00:13:25,420 --> 00:13:30,740 | |
| تمام الان by monotone convergence theorem ال | |
| 150 | |
| 00:13:30,740 --> 00:13:37,340 | |
| sequence x in unbounded وبالتالي it is divergent | |
| 151 | |
| 00:13:37,340 --> 00:13:45,000 | |
| لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded okay إذا | |
| 152 | |
| 00:13:45,000 --> 00:13:49,600 | |
| هاي استخدمنا ال monotone convergence theoremلإثبات | |
| 153 | |
| 00:13:49,600 --> 00:13:52,140 | |
| أن سيكوانس معينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 154 | |
| 00:13:52,140 --> 00:13:52,840 | |
| مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 155 | |
| 00:13:52,840 --> 00:13:56,680 | |
| مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 156 | |
| 00:13:56,680 --> 00:13:59,900 | |
| مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 157 | |
| 00:13:59,900 --> 00:14:00,660 | |
| مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 158 | |
| 00:14:00,660 --> 00:14:05,360 | |
| مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 159 | |
| 00:14:05,360 --> 00:14:11,900 | |
| مُعينة مُعينة مُعينة | |
| 160 | |
| 00:14:11,900 --> 00:14:12,220 | |
| مُعين | |
| 161 | |
| 00:14:16,610 --> 00:14:21,230 | |
| المثال التالت برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو | |
| 162 | |
| 00:14:21,230 --> 00:14:23,790 | |
| الـ monotone convergence theorem | |
| 163 | |
| 00:14:34,440 --> 00:14:40,520 | |
| بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين الان انا | |
| 164 | |
| 00:14:40,520 --> 00:14:44,820 | |
| بدي اعرف ال sequence x in inductively بطريقة | |
| 165 | |
| 00:14:44,820 --> 00:14:52,860 | |
| استقرائية شوفنا | |
| 166 | |
| 00:14:52,860 --> 00:14:56,460 | |
| احنا لما بدينا ال chapter هذا ان ال sequences can | |
| 167 | |
| 00:14:56,460 --> 00:15:01,740 | |
| be defined in two waysاما explicitly زي مثلا ال | |
| 168 | |
| 00:15:01,740 --> 00:15:06,900 | |
| sequence xn بالساوي واحد على n او recursively او | |
| 169 | |
| 00:15:06,900 --> 00:15:11,520 | |
| inductively بطريقة استقرائية بان انا اخد قيمة للحد | |
| 170 | |
| 00:15:11,520 --> 00:15:16,440 | |
| الاول او اول حدين اعطيهم قيم محددة و بعدين اعرف | |
| 171 | |
| 00:15:16,440 --> 00:15:22,510 | |
| الحد العام بدالة الحدود اللي قبلهفهي اندي الحد | |
| 172 | |
| 00:15:22,510 --> 00:15:28,110 | |
| الاول نفرض انه بساوي واحد الان بنعرف xn زياد واحد | |
| 173 | |
| 00:15:28,110 --> 00:15:31,870 | |
| على انه square root لاتنين ضرب الحد اللي جابناه | |
| 174 | |
| 00:15:31,870 --> 00:15:35,970 | |
| وهذا لكل n لان بالطريقة هذه ممكن اعرف ان هذا | |
| 175 | |
| 00:15:35,970 --> 00:15:39,610 | |
| بيعطينا sequence الان هذه ال sequence عايزين نثبت | |
| 176 | |
| 00:15:39,610 --> 00:15:44,610 | |
| انها convergent زائد ان ال limit تبقاتها بساوي | |
| 177 | |
| 00:15:44,610 --> 00:15:45,350 | |
| لعدد اتنين | |
| 178 | |
| 00:15:48,640 --> 00:15:52,540 | |
| لبرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence | |
| 179 | |
| 00:15:52,540 --> 00:15:57,940 | |
| theorem عشان | |
| 180 | |
| 00:15:57,940 --> 00:16:01,680 | |
| أقدر استخدام الـ monotone convergence theorem ففي | |
| 181 | |
| 00:16:01,680 --> 00:16:07,300 | |
| عندي ال claim الأول يعني بدي أثبت في الإدعاء الأول | |
| 182 | |
| 00:16:07,300 --> 00:16:14,260 | |
| هذا ان ال sequence xn is increasing and bounded by | |
| 183 | |
| 00:16:14,260 --> 00:16:14,640 | |
| 2 | |
| 184 | |
| 00:16:18,060 --> 00:16:24,180 | |
| فلبرهان ذلك بنلاحظ | |
| 185 | |
| 00:16:24,180 --> 00:16:31,920 | |
| أن X1 من التعريف تبع ال sequence X1 بساوي 1 و X2 | |
| 186 | |
| 00:16:31,920 --> 00:16:34,660 | |
| ممكن أجيبها من ال recursive formula أو ال | |
| 187 | |
| 00:16:34,660 --> 00:16:39,500 | |
| inductive formula إن أنا أاخد n بساوي 1 فبطلع X2 | |
| 188 | |
| 00:16:39,500 --> 00:16:49,840 | |
| بساوي جدر 2 ل X1 و X1 1 إذا X2 بطلع جدر 2وبالتالي | |
| 189 | |
| 00:16:49,840 --> 00:16:54,160 | |
| من الحسابات هذه بيطلع اندي هاي X واحد X واحد | |
| 190 | |
| 00:16:54,160 --> 00:16:59,080 | |
| بيساوي واحد وبالتالي اكبر منها بيساوي واحد واسغر | |
| 191 | |
| 00:16:59,080 --> 00:17:04,420 | |
| من X اتنين لان X اتنين جدر اتنين الواحد اصغر من | |
| 192 | |
| 00:17:04,420 --> 00:17:08,620 | |
| جدر اتنين و | |
| 193 | |
| 00:17:08,620 --> 00:17:12,960 | |
| X اتنين اللي هو جدر اتنين اصغر من الاتنين لان كل | |
| 194 | |
| 00:17:12,960 --> 00:17:13,760 | |
| هذا صحيح | |
| 195 | |
| 00:17:19,580 --> 00:17:25,920 | |
| تمام؟ لسه ما خلصناهش لسه ما خلصناهش احنا ما فرضنا | |
| 196 | |
| 00:17:25,920 --> 00:17:30,580 | |
| انه صحيح احنا أثبتناه لسه | |
| 197 | |
| 00:17:30,580 --> 00:17:35,220 | |
| ما أثبتناش هذا ال claim لسه ما أثبتناه احنا لسه ده | |
| 198 | |
| 00:17:35,220 --> 00:17:41,110 | |
| بداية البرهانةالبرهان لـ claim بدأنا بما راحظنا ان | |
| 199 | |
| 00:17:41,110 --> 00:17:47,150 | |
| x1 من التعريف مقطع بساوي واحد و x2 حسبناها منها | |
| 200 | |
| 00:17:47,150 --> 00:17:51,630 | |
| بساوي جدر اتنين ل x1 اللي هو جدر اتنين وبالتالي | |
| 201 | |
| 00:17:51,630 --> 00:17:58,270 | |
| بطلع اندي هيك هاي x1 أكبر من أو ساوي واحد و أصغر | |
| 202 | |
| 00:17:58,270 --> 00:18:03,850 | |
| من جدر اتنين اللي هو x2 و x2 اللي هي جدر اتنين | |
| 203 | |
| 00:18:03,850 --> 00:18:09,210 | |
| أصغر من اتنينليش احنا عملنا هذا الكلام لان هيبين | |
| 204 | |
| 00:18:09,210 --> 00:18:16,170 | |
| الان now الان بدي اثبت بدي استخدم ال induction we | |
| 205 | |
| 00:18:16,170 --> 00:18:28,150 | |
| use induction لاثبات العبارة هذه وهي ان xn اصغر من | |
| 206 | |
| 00:18:28,150 --> 00:18:32,970 | |
| xn زائد واحد وهذا اصغر من اتنين وهذا اكبر من أوسع | |
| 207 | |
| 00:18:32,970 --> 00:18:41,020 | |
| الواحد لكلمن البرهن صحة العبارة هذه by induction | |
| 208 | |
| 00:18:41,020 --> 00:18:47,240 | |
| طيب الحالة اللي فيها خد n بساوية واحد الحالة اللي | |
| 209 | |
| 00:18:47,240 --> 00:18:53,300 | |
| فيها n بساوية واحد هي هاي x واحد أكبر من أو ساوية | |
| 210 | |
| 00:18:53,300 --> 00:19:01,340 | |
| واحد هدا هي و أصغر من x اتنين هدا هيو X2 أصغر من 2 | |
| 211 | |
| 00:19:01,340 --> 00:19:05,280 | |
| إذا العبارة هذه صحيحة لما N بساوي 1 لأنه هنا | |
| 212 | |
| 00:19:05,280 --> 00:19:10,280 | |
| أثبتناها الآن | |
| 213 | |
| 00:19:10,280 --> 00:19:18,920 | |
| افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بساوي K يعني | |
| 214 | |
| 00:19:18,920 --> 00:19:27,820 | |
| عندك هنا XKاكبر من او ساول واحد اصغر من X K زايد | |
| 215 | |
| 00:19:27,820 --> 00:19:34,100 | |
| واحد اصغر من اتنين هنا فرضنا هذا ال induction high | |
| 216 | |
| 00:19:34,100 --> 00:19:41,920 | |
| precision وعايزين نثبت ان هذا بيقدي ان القبارة | |
| 217 | |
| 00:19:41,920 --> 00:19:48,980 | |
| صحيحة and N بيساوي K زايد واحد يعني بدي اثبت هذه | |
| 218 | |
| 00:19:48,980 --> 00:19:50,660 | |
| المتباينة | |
| 219 | |
| 00:19:55,390 --> 00:20:02,590 | |
| بدي أثبت المتباينة هذه طبعا فتعالى نشوف كيف نثبت | |
| 220 | |
| 00:20:02,590 --> 00:20:21,690 | |
| المتباينة هذه طيب | |
| 221 | |
| 00:20:21,690 --> 00:20:29,980 | |
| أنا عنديهي عندي المتباينة هذه احنا | |
| 222 | |
| 00:20:29,980 --> 00:20:49,600 | |
| فرضين ان المتباينة هذه صحيحة احنا | |
| 223 | |
| 00:20:49,600 --> 00:20:52,640 | |
| فرضين من induction hypothesis ان هذه المتباينة | |
| 224 | |
| 00:20:52,640 --> 00:20:58,910 | |
| صحيحةأضرب المتباينة هذه في اتنين هي اضرب كل | |
| 225 | |
| 00:20:58,910 --> 00:21:02,710 | |
| الأطراف في اتنين فبصير اتنين اصغر من اتنين XK اصغر | |
| 226 | |
| 00:21:02,710 --> 00:21:09,290 | |
| من اتنين XK زائد واحد اصغر من اربع وهذا بيقدي ان | |
| 227 | |
| 00:21:09,290 --> 00:21:11,570 | |
| واحد اصغر من جدر اتنين | |
| 228 | |
| 00:21:15,730 --> 00:21:21,830 | |
| و اذا انا الان باخد الجذر التربيعى لكل الأطراف هذه | |
| 229 | |
| 00:21:21,830 --> 00:21:26,750 | |
| اخد الجذر التربيعى فهي جذر اتنين طبعا اكبر من واحد | |
| 230 | |
| 00:21:26,750 --> 00:21:34,350 | |
| اصغر منه يساوي جذر اتنين XK اللى هو XK زاد واحد | |
| 231 | |
| 00:21:34,350 --> 00:21:37,770 | |
| هذا طبعا من التعريف تبع ال sequence من ال | |
| 232 | |
| 00:21:37,770 --> 00:21:43,130 | |
| inductive formula جذر اتنين XK حسب التعريف بساوي | |
| 233 | |
| 00:21:43,130 --> 00:21:50,440 | |
| XK زاد واحدوهذا أصغر من هنا جدر اتنين xk أصغر من | |
| 234 | |
| 00:21:50,440 --> 00:21:56,840 | |
| جدر اتنين xk زائد واحد وهذا أصغر من جدر الأربع | |
| 235 | |
| 00:21:56,840 --> 00:22:01,180 | |
| اللي هو الأتنين إذا هاي بيطلع عندي واحد أصغر من أو | |
| 236 | |
| 00:22:01,180 --> 00:22:06,580 | |
| يساوي xk زائد واحد وهذا برضه من ال inductive | |
| 237 | |
| 00:22:06,580 --> 00:22:15,940 | |
| formula الجدر التربيع هذا بيساوي xk زائد اتنينإذا | |
| 238 | |
| 00:22:15,940 --> 00:22:21,620 | |
| هي 1 أصغر من أو ساوي xk زاد 1 أصغر من xk زاد 2 | |
| 239 | |
| 00:22:21,620 --> 00:22:28,100 | |
| أصغر من 2 وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه | |
| 240 | |
| 00:22:28,100 --> 00:22:34,700 | |
| عن k زاد 1 وبالتالي هيك بنكون كملنا ال induction | |
| 241 | |
| 00:22:34,700 --> 00:22:43,060 | |
| okay طبعا إذا ال claim تعالوا نشوف الآن ليش ال | |
| 242 | |
| 00:22:43,060 --> 00:22:48,470 | |
| sequenceأه ليه ال sequence تبعتنا بتطلع bounded | |
| 243 | |
| 00:22:48,470 --> 00:22:55,530 | |
| وincreasing فاكرين احنا أثبتنا by induction ان x | |
| 244 | |
| 00:22:55,530 --> 00:23:01,810 | |
| in أصغر من x in زايد واحد أصغر من اتنين أكبر من | |
| 245 | |
| 00:23:01,810 --> 00:23:10,150 | |
| أوي ساوي واحد لكل in من الجزء هذا نستنتج | |
| 246 | |
| 00:23:10,150 --> 00:23:14,460 | |
| ان ال sequence is increasing صح؟لأن هى عندى xn | |
| 247 | |
| 00:23:14,460 --> 00:23:21,640 | |
| أصغر من xn زاد واحد لكل n ومن المتباينة كلها يعني | |
| 248 | |
| 00:23:21,640 --> 00:23:28,200 | |
| اللى هى xn أصغر من اتنين أكبر من أوسع واحد لكل n | |
| 249 | |
| 00:23:28,200 --> 00:23:32,080 | |
| هذا معناته ال sequence bounded هى محصورة بين واحد | |
| 250 | |
| 00:23:32,080 --> 00:23:37,160 | |
| واتنين و bounded above by اتنين لذلك هذا يكمل | |
| 251 | |
| 00:23:37,160 --> 00:23:42,800 | |
| برهان ال claim الأول يعنيوهو انه sequence x in | |
| 252 | |
| 00:23:42,800 --> 00:23:47,240 | |
| increasing و bounded الان by monotone convergence | |
| 253 | |
| 00:23:47,240 --> 00:23:53,140 | |
| theorem ال sequence x in هتكون convergent دعينا | |
| 254 | |
| 00:23:53,140 --> 00:23:56,840 | |
| نسمي ال limit تبعتها x وطبعا حسب ال monotone | |
| 255 | |
| 00:23:56,840 --> 00:23:59,480 | |
| convergence theorem بما انه sequence increasing | |
| 256 | |
| 00:23:59,480 --> 00:24:05,960 | |
| اذا ال limit تبعتها بساوي ال suprem لها ك set اذا | |
| 257 | |
| 00:24:05,960 --> 00:24:09,600 | |
| انا في عندي الآن ال sequence تبعتي convergent هي | |
| 258 | |
| 00:24:09,600 --> 00:24:17,620 | |
| عندي limitx in convergent بيساوي x اللي هي طبعا | |
| 259 | |
| 00:24:17,620 --> 00:24:21,580 | |
| حسب النظرية بيساوي ال supremum الان بدي أجيب قيمة | |
| 260 | |
| 00:24:21,580 --> 00:24:25,460 | |
| ال x هذا طبعا | |
| 261 | |
| 00:24:25,460 --> 00:24:30,560 | |
| مش سهل أن أجيب ال supremum ل ال sequence فبجيبها | |
| 262 | |
| 00:24:30,560 --> 00:24:35,600 | |
| بطريقة تانية إذا | |
| 263 | |
| 00:24:35,600 --> 00:24:38,560 | |
| ال claim التاني بدي أثبت أن ال x ال limit ل ال | |
| 264 | |
| 00:24:38,560 --> 00:24:40,720 | |
| sequence اللي هي x بيساوي 2 | |
| 265 | |
| 00:24:43,730 --> 00:24:47,450 | |
| طيب انا عندي من تعريف الـ sequence انا عندي xn زاد | |
| 266 | |
| 00:24:47,450 --> 00:24:53,070 | |
| واحد بساوي جدر اتنين xn و هذا الكلام صحيح for | |
| 267 | |
| 00:24:53,070 --> 00:24:57,870 | |
| every m ناخد ال limit لاتطرفين لما n تقول ل | |
| 268 | |
| 00:24:57,870 --> 00:25:02,050 | |
| infinity بتطلع limit xn زاد واحد بساوي limit جدر | |
| 269 | |
| 00:25:02,050 --> 00:25:08,390 | |
| اتنين ثابت في limit جدر ال xn مظبوط؟ | |
| 270 | |
| 00:25:09,940 --> 00:25:15,160 | |
| طيب احنا فرضين او احنا استنتجنا احنا لسه مستنتجين | |
| 271 | |
| 00:25:15,160 --> 00:25:19,340 | |
| من ال monotone convergence ان limit xn بيساوي x | |
| 272 | |
| 00:25:19,340 --> 00:25:25,400 | |
| وبالتالي limit xn زاد واحد برضه بتساوي x وهي | |
| 273 | |
| 00:25:25,400 --> 00:25:31,220 | |
| بيساوي جذر اتنين و limit جذر xn بيساوي جذر ال x | |
| 274 | |
| 00:25:31,220 --> 00:25:36,980 | |
| حسب نظرية سابقة اذا ال limit هذه اذا هي x و جذر | |
| 275 | |
| 00:25:36,980 --> 00:25:40,820 | |
| اتنين في ال limit هذه بتطلع جذر ال xإذا أصبح أثيان | |
| 276 | |
| 00:25:40,820 --> 00:25:46,380 | |
| دي معادلة في مجهول واحد x ممكن أحلها و ذلك بتربيع | |
| 277 | |
| 00:25:46,380 --> 00:25:53,740 | |
| الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك وهذه في | |
| 278 | |
| 00:25:53,740 --> 00:25:59,340 | |
| إلها حالين إما x بيطلع بساوي سفر أو x بساوي اتنين | |
| 279 | |
| 00:25:59,340 --> 00:26:04,940 | |
| احنا عايزين ال x ناخد x بساوي اتنين و نرفض x بساوي | |
| 280 | |
| 00:26:04,940 --> 00:26:10,700 | |
| سفر طب ليه نرفض x بساوي سفر؟لأن اثبتنا هنا by | |
| 281 | |
| 00:26:10,700 --> 00:26:20,340 | |
| induction أن xn أكبر من أوسع واحد أصغر من الأتنين | |
| 282 | |
| 00:26:20,340 --> 00:26:25,960 | |
| و أثبتنا أن ال sequence هذه convergent، إذا حسب | |
| 283 | |
| 00:26:25,960 --> 00:26:27,200 | |
| نظرية سابقة | |
| 284 | |
| 00:26:30,490 --> 00:26:38,230 | |
| إذن ال limit لل sequence xn هتطلع محصورة بين 2 و | |
| 285 | |
| 00:26:38,230 --> 00:26:42,650 | |
| بين 1 خدمة نظرية بتقول لو كانت ال sequence xn | |
| 286 | |
| 00:26:42,650 --> 00:26:48,610 | |
| convergent و xn أكبر من أو ساوي a أصغر من أو ساوي | |
| 287 | |
| 00:26:48,610 --> 00:26:53,570 | |
| b لكل n فال limit لل sequence xn بتطلع أيضا محصورة | |
| 288 | |
| 00:26:53,570 --> 00:26:59,560 | |
| بين a و bيعني طب هدى هى ال X فرضنا ان ال limit هدى | |
| 289 | |
| 00:26:59,560 --> 00:27:04,060 | |
| X اذا بطلع انا عندي X اكبر من او ساوي واحد اصغر من | |
| 290 | |
| 00:27:04,060 --> 00:27:07,920 | |
| الاتنين وبالتالي مش ممكن ال X اللى هى محصورة بين | |
| 291 | |
| 00:27:07,920 --> 00:27:15,420 | |
| واحد واتنين مش ممكن تساوي سفر مش ممكن تساوي سفر | |
| 292 | |
| 00:27:15,420 --> 00:27:19,820 | |
| اذا لازم الساوي .. وانا عندي سفر او اتنين اذا لازم | |
| 293 | |
| 00:27:19,820 --> 00:27:25,570 | |
| الساوي اتنينOkay إذا هين هيك استخدمنا الـ monotone | |
| 294 | |
| 00:27:25,570 --> 00:27:31,030 | |
| convergence بالمثل في أد التمرين زي هذه sequences | |
| 295 | |
| 00:27:31,030 --> 00:27:36,290 | |
| معرفة inductively و هتثبتوا أنها convergent و | |
| 296 | |
| 00:27:36,290 --> 00:27:40,750 | |
| تجيبوا قيمة ال limit بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب | |
| 297 | |
| 00:27:40,750 --> 00:27:46,250 | |
| فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل | |
| 298 | |
| 00:27:46,250 --> 00:27:52,770 | |
| هذه التمرين Okay تمام واضحإذن هنا أخدنا تطبيقات | |
| 299 | |
| 00:27:52,770 --> 00:27:56,230 | |
| متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي | |
| 300 | |
| 00:27:56,230 --> 00:28:03,570 | |
| التمرين ل section تلاتة تلاتة نبدأ | |
| 301 | |
| 00:28:03,570 --> 00:28:09,230 | |
| section أربعة أو تلاتة أربعة نعم بيقول إنه ممكن | |
| 302 | |
| 00:28:09,230 --> 00:28:13,790 | |
| نحل بحر ثاني و نثبت أنه الإثنان يصدرهم للإكسام | |
| 303 | |
| 00:28:13,790 --> 00:28:17,770 | |
| مظبوط صحيح الإثنان يتحركون على طريق اللملة اللي هي | |
| 304 | |
| 00:28:17,770 --> 00:28:18,610 | |
| الإكسام | |
| 305 | |
| 00:28:21,690 --> 00:28:28,990 | |
| والله انت فاكر فيه و بعدين قولي ليه هي | |
| 306 | |
| 00:28:28,990 --> 00:28:34,050 | |
| عندك sequence حدودها معروفة معرفة ممكن تكتب أول | |
| 307 | |
| 00:28:34,050 --> 00:28:40,010 | |
| اربع خمس عدود و تحاول تستنتجي ايه هي قيمة ال | |
| 308 | |
| 00:28:40,010 --> 00:28:44,930 | |
| supreme و تبرهنها طبعا فهذا متروك اليك | |
| 309 | |
| 00:28:47,810 --> 00:28:52,030 | |
| هذا يعني حل آخر فانا قلت ان ال suprem مش سهل ان | |
| 310 | |
| 00:28:52,030 --> 00:28:56,070 | |
| احنا نجيبه لمثل هذه ال sequences او ال sets | |
| 311 | |
| 00:28:56,070 --> 00:28:59,230 | |
| وبالتالي ال monotone convergence في الفيلم كان | |
| 312 | |
| 00:28:59,230 --> 00:29:03,390 | |
| ممكن يكون أسهل لأن هاي الكلام التاني هذا الأخير | |
| 313 | |
| 00:29:03,390 --> 00:29:07,270 | |
| مااخدش وجهة يعني أخدنا ال formula ال inductive | |
| 314 | |
| 00:29:07,270 --> 00:29:11,570 | |
| formula و أخدنا ال limit للطرفين و حلينا معادلة في | |
| 315 | |
| 00:29:11,570 --> 00:29:16,800 | |
| Xو ادركنا ان ال X ليس لازم تساوي سفر من هنا لان X | |
| 316 | |
| 00:29:16,800 --> 00:29:20,820 | |
| محصولة بين واحد و اتنين هذا أسهل من ان انا اجيب ال | |
| 317 | |
| 00:29:20,820 --> 00:29:26,940 | |
| suprem لكن هذا ممنعش ان ممكن حد معين يثبت ان ال | |
| 318 | |
| 00:29:26,940 --> 00:29:33,060 | |
| suprem هو اتنين اذا كان سهل فكان بيعني نستخدمه مش | |
| 319 | |
| 00:29:33,060 --> 00:29:35,240 | |
| سهل نستخدم ال monotone convergence | |
| 320 | |
| 00:29:49,630 --> 00:29:56,070 | |
| الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem، | |
| 321 | |
| 00:29:56,070 --> 00:29:59,350 | |
| ال sub-sequences شوفنا قبل شوية sub-sequence | |
| 322 | |
| 00:30:11,180 --> 00:30:15,400 | |
| شوفنا قبل لحظات في المثال التاني انه في عنده | |
| 323 | |
| 00:30:15,400 --> 00:30:26,540 | |
| sequence هي عنده sequence xn حدودها x1, x2, x3, x4 | |
| 324 | |
| 00:30:26,540 --> 00:30:34,160 | |
| و هكذا و في كانت sequence تانية لحد الآن تبعها 2 | |
| 325 | |
| 00:30:34,160 --> 00:30:52,420 | |
| أُس nالحدود هذي هتكون X2 X4 X8 و هكذا صح؟ لو سمنا | |
| 326 | |
| 00:30:52,420 --> 00:31:01,340 | |
| الاتنين هذي R1 والاربعة هذي سمنها R2 والتمانية R3 | |
| 327 | |
| 00:31:04,820 --> 00:31:10,940 | |
| فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو ساوء واحد، عدد طبيعي أكبر | |
| 328 | |
| 00:31:10,940 --> 00:31:19,320 | |
| من أو ساوء واحد وR2 أكبر من R1، اللي هو أربعة أكبر | |
| 329 | |
| 00:31:19,320 --> 00:31:29,050 | |
| من اتنين وR3 اللي هو تمانية أكبر من R2و هكذا اذا | |
| 330 | |
| 00:31:29,050 --> 00:31:34,810 | |
| ال sub sequence المؤشرات تبعتها او ال indices انا | |
| 331 | |
| 00:31:34,810 --> 00:31:40,330 | |
| بسميه index مجموعة index indices ال indices او | |
| 332 | |
| 00:31:40,330 --> 00:31:44,710 | |
| المؤشرات لل sub sequence هي عداد طبيعية هذا هي | |
| 333 | |
| 00:31:44,710 --> 00:31:49,890 | |
| اتنين اربعة تمانية هي عداد طبيعية والعداد الطبيعية | |
| 334 | |
| 00:31:49,890 --> 00:31:55,170 | |
| هذه بتشكل sequence هذه عبارة عن sequence of | |
| 335 | |
| 00:31:55,170 --> 00:32:01,880 | |
| natural numbersصح؟ و ال sequence هذه is strictly | |
| 336 | |
| 00:32:01,880 --> 00:32:08,200 | |
| .. strictly increasing | |
| 337 | |
| 00:32:08,200 --> 00:32:14,580 | |
| .. strictly increasing يعني متزايدة زيادة صحيحة | |
| 338 | |
| 00:32:14,580 --> 00:32:18,860 | |
| يعني R واحد أصغر منه مش أصغر منه أو يساوي R اتنين | |
| 339 | |
| 00:32:18,860 --> 00:32:23,280 | |
| و R اتنين أصغر منه و لا تساوي R تلاتة و هكذا | |
| 340 | |
| 00:32:23,280 --> 00:32:25,780 | |
| مظبوط؟ صح؟ | |
| 341 | |
| 00:32:29,030 --> 00:32:33,430 | |
| إذا السب سيكوانس السب سيكوانس من أي سيكوانس هي | |
| 342 | |
| 00:32:33,430 --> 00:32:39,350 | |
| مجموعة جزئية منها صح لأن حدودها هي حدود حدود السب | |
| 343 | |
| 00:32:39,350 --> 00:32:46,130 | |
| سيكوانس هي عناصر أو حدود من السيكوانس العصلية لكن | |
| 344 | |
| 00:32:46,130 --> 00:32:52,170 | |
| مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعتها | |
| 345 | |
| 00:32:52,170 --> 00:32:56,890 | |
| اتشكل strictly increasing sequence of natural | |
| 346 | |
| 00:32:56,890 --> 00:33:03,480 | |
| numbersتمام؟ زي هيك إذاً | |
| 347 | |
| 00:33:03,480 --> 00:33:06,900 | |
| هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي | |
| 348 | |
| 00:33:06,900 --> 00:33:12,060 | |
| sequence XN واخدت strictly increasing sequence of | |
| 349 | |
| 00:33:12,060 --> 00:33:17,620 | |
| natural numbers فال sequence اللي المؤشرات تبعتها | |
| 350 | |
| 00:33:17,620 --> 00:33:24,060 | |
| هي ال sequence RN اللي هي هذه عناصرها بنسميها | |
| 351 | |
| 00:33:24,060 --> 00:33:30,640 | |
| subsequence من ال sequence XNو هاي أمثلة هتابر هذه | |
| 352 | |
| 00:33:30,640 --> 00:33:33,900 | |
| الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers | |
| 353 | |
| 00:33:33,900 --> 00:33:40,860 | |
| فهذه subsequence منها اتنين in الـ sequence of | |
| 354 | |
| 00:33:40,860 --> 00:33:44,940 | |
| even numbers او even natural numbers ده هي على | |
| 355 | |
| 00:33:44,940 --> 00:33:54,800 | |
| سرعة اتنين اربعة ستة و هكذا وهذه عبارة عن sequence | |
| 356 | |
| 00:33:56,170 --> 00:34:03,930 | |
| of odd national numbers واحد تلاتة خمسة و هكذا | |
| 357 | |
| 00:34:03,930 --> 00:34:11,550 | |
| وحدود ال sequence هذه هي X R واحد هذا X اتنين هذا | |
| 358 | |
| 00:34:11,550 --> 00:34:18,430 | |
| رقمه هذا رقم اتنين يعني R واحد بساوة اتنين طيب X R | |
| 359 | |
| 00:34:18,430 --> 00:34:25,450 | |
| اتنين اربع X R اتنينر2 هذا حد رقم أربعة، ر2 بيساوي | |
| 360 | |
| 00:34:25,450 --> 00:34:31,610 | |
| أربعة و ر1 بيساوي اتنين، و اتنين أصغر من أربعة، XR | |
| 361 | |
| 00:34:31,610 --> 00:34:39,130 | |
| تلاتة ستة، ر تلاتة ستة نفس الحاجة، يعني هذه | |
| 362 | |
| 00:34:39,130 --> 00:34:44,020 | |
| subsequence وهذه subsequence من ال sequence Xلأن | |
| 363 | |
| 00:34:44,020 --> 00:34:48,280 | |
| مأشراتهم كلهم بشكل strictly increasing sequences | |
| 364 | |
| 00:34:48,280 --> 00:34:53,000 | |
| of natural numbers بالمثل ال sequence 1 على 2 n | |
| 365 | |
| 00:34:53,000 --> 00:35:03,540 | |
| سالب 1 و ال sequence 1 على n factorial هدول | |
| 366 | |
| 00:35:03,540 --> 00:35:07,840 | |
| برضه أيضا sub sequences من ال sequence 1 على n | |
| 367 | |
| 00:35:11,850 --> 00:35:16,490 | |
| لكن الـ sequence اللي لحد الآن تبقى الحدودها واحد | |
| 368 | |
| 00:35:16,490 --> 00:35:24,370 | |
| على واحد، سفر، تلت، سفر، خمس، سفر، و هكذا هذه ليست | |
| 369 | |
| 00:35:24,370 --> 00:35:32,450 | |
| subsequence من الـ sequence واحد على انه لأن السفر | |
| 370 | |
| 00:35:32,450 --> 00:35:37,150 | |
| هذا هايلها، مش موجودة، ليست ثلاثا تاني لل sequence | |
| 371 | |
| 00:35:37,150 --> 00:35:43,480 | |
| هذه ومؤشرات الحدوديعني لا تشكل strictly increasing | |
| 372 | |
| 00:35:43,480 --> 00:35:47,640 | |
| sequence طيب | |
| 373 | |
| 00:35:47,640 --> 00:35:52,780 | |
| لو أخدت أي tail أي tail M tail حيث M fixed natural | |
| 374 | |
| 00:35:52,780 --> 00:35:58,740 | |
| number ف X أي tail ده M tail of any sequence X in | |
| 375 | |
| 00:35:58,740 --> 00:36:03,640 | |
| طبعا ال M tail ده حدوده عبارة عن sequence الحد | |
| 376 | |
| 00:36:03,640 --> 00:36:10,190 | |
| الأول تبعهاx capital M زاد واحد الحد التاني x | |
| 377 | |
| 00:36:10,190 --> 00:36:16,870 | |
| capital M زاد اتنين التالت x capital M زاد تلاتة و | |
| 378 | |
| 00:36:16,870 --> 00:36:21,170 | |
| هكذا فطبعا | |
| 379 | |
| 00:36:21,170 --> 00:36:26,510 | |
| هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence الام لأن | |
| 380 | |
| 00:36:26,510 --> 00:36:32,430 | |
| كل أنصر في ال sub sequence هذه هي موجودة هنا صح؟ | |
| 381 | |
| 00:36:33,790 --> 00:36:39,710 | |
| والمؤشرات تبعات ال sub-sequence هي M زاد واحد اصغر | |
| 382 | |
| 00:36:39,710 --> 00:36:45,830 | |
| من R اتنين اللي هو M زاد اتنين وR اتنين اصغر من R | |
| 383 | |
| 00:36:45,830 --> 00:36:50,130 | |
| تلاتة اللي هو M زاد تلاتة وكده هذا sub-sequence | |
| 384 | |
| 00:36:50,130 --> 00:36:54,950 | |
| ولا مش sub-sequence؟ لو أخدت أي sequence X in فأي | |
| 385 | |
| 00:36:54,950 --> 00:37:02,220 | |
| M تل هو sub-sequence منهاكذلك لو أخدت أي sequence | |
| 386 | |
| 00:37:02,220 --> 00:37:09,400 | |
| xn فالـ sequence x اللي الحد اللي عم تبعها المؤشر | |
| 387 | |
| 00:37:09,400 --> 00:37:16,020 | |
| تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شوفنا و x2n | |
| 388 | |
| 00:37:16,020 --> 00:37:21,340 | |
| الحدود الزوجية لو أخدت الحدود الزوجية فقط فهذا | |
| 389 | |
| 00:37:21,340 --> 00:37:25,840 | |
| بعطيني subsequence و لو أخدت الحدود الفردية تعطيني | |
| 390 | |
| 00:37:25,840 --> 00:37:38,470 | |
| subsequence ثانية و لا كدهالان سؤال | |
| 391 | |
| 00:37:38,470 --> 00:37:42,190 | |
| اللى بهمنا احنا ما هي علاقة ال sequence بال | |
| 392 | |
| 00:37:42,190 --> 00:37:46,990 | |
| subsequence من حيث ال convergence و ال divergence؟ | |
| 393 | |
| 00:37:54,410 --> 00:37:56,950 | |
| يعني لو كانت ال sequence convergent لو في اندي | |
| 394 | |
| 00:37:56,950 --> 00:38:01,250 | |
| سيكوانس xn convergent ل x واخدت أي sub sequence | |
| 395 | |
| 00:38:01,250 --> 00:38:07,490 | |
| منها هل هذه ال sequence لازم تكون convergent زيها | |
| 396 | |
| 00:38:07,490 --> 00:38:11,890 | |
| ولا divergent لازم تكون convergent و ال limit | |
| 397 | |
| 00:38:11,890 --> 00:38:22,770 | |
| تبعتها نفس ال limit و لها نفس ال limit ماشي | |
| 398 | |
| 00:38:22,770 --> 00:38:23,170 | |
| لحظة | |
| 399 | |
| 00:38:29,060 --> 00:38:29,860 | |
| كثير من الناس | |
| 400 | |
| 00:38:39,930 --> 00:38:46,370 | |
| إذا كمان مرة بهمني أنا أنه لو في عندي sequence | |
| 401 | |
| 00:38:46,370 --> 00:38:51,030 | |
| نظرية هذه بتقول لو في عندي sequence xn of real | |
| 402 | |
| 00:38:51,030 --> 00:38:56,350 | |
| numbers وكانت ال sequence هذه convergent ل x فأي | |
| 403 | |
| 00:38:56,350 --> 00:39:00,170 | |
| subsequence منها بتكون convergent و ال limit | |
| 404 | |
| 00:39:00,170 --> 00:39:05,330 | |
| تبعتها هي نفس ال limit لل sequence xn | |
| 405 | |
| 00:39:08,450 --> 00:39:15,870 | |
| وهذا يعني ممكن ان احنا نثبته بسهولة عشان اثبت ان | |
| 406 | |
| 00:39:15,870 --> 00:39:22,590 | |
| ال subsequence XRN converge ل X فبستخدم تعريف Y | |
| 407 | |
| 00:39:22,590 --> 00:39:27,930 | |
| capital N فلو أخدت أي Y أكبر من السفر أنا عندي ال | |
| 408 | |
| 00:39:27,930 --> 00:39:32,560 | |
| sequence الأصلية هي convergent ل Xوبالتالي من | |
| 409 | |
| 00:39:32,560 --> 00:39:36,720 | |
| تعريف ال convergence لما أن XM converged ل X إذا | |
| 410 | |
| 00:39:36,720 --> 00:39:39,940 | |
| يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة | |
| 411 | |
| 00:39:39,940 --> 00:39:45,700 | |
| بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي | |
| 412 | |
| 00:39:45,700 --> 00:39:52,980 | |
| capital M طيب أنا عندي المؤشرات | |
| 413 | |
| 00:39:52,980 --> 00:39:58,160 | |
| تبع السب سيكوينس بتشكل increasing | |
| 414 | |
| 00:39:58,160 --> 00:40:03,420 | |
| sequenceوأول واحد .. أول عدد فيها طبعا هذا عدد | |
| 415 | |
| 00:40:03,420 --> 00:40:09,800 | |
| طبيعي وبالتالي أكبر من أو ساوي الواحد فبالتالي ال | |
| 416 | |
| 00:40:09,800 --> 00:40:15,160 | |
| Rn هدولة ال Rn ممكن اثبات باستخدام ال induction أن | |
| 417 | |
| 00:40:15,160 --> 00:40:22,220 | |
| Rn أكبر من أو ساوي N لكل N وبالتالي | |
| 418 | |
| 00:40:22,220 --> 00:40:28,970 | |
| لو أخدت N أكبر من أو ساوي capital N فعندي أنا Rnمن | |
| 419 | |
| 00:40:28,970 --> 00:40:34,590 | |
| هنا أكبر من أو ساوي small n و ال n أنا ماخده أكبر | |
| 420 | |
| 00:40:34,590 --> 00:40:38,750 | |
| من أو ساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع | |
| 421 | |
| 00:40:38,750 --> 00:40:43,150 | |
| عندي RN أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي من ال | |
| 422 | |
| 00:40:43,150 --> 00:40:48,810 | |
| implication 13 ال implication 13 بتقوللي لأي عدد | |
| 423 | |
| 00:40:49,980 --> 00:40:55,300 | |
| أكبر من أو ساوية capital N المسافة بين X للعدد هذا | |
| 424 | |
| 00:40:55,300 --> 00:41:02,090 | |
| للمؤشر هذا سالب X أصغر من Yإذا أنا هيك أثبتت .. | |
| 425 | |
| 00:41:02,090 --> 00:41:07,550 | |
| أنا هيك أثبتت أنه ال .. لأي epsilon أكبر من السفر | |
| 426 | |
| 00:41:07,550 --> 00:41:12,190 | |
| في capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر منه | |
| 427 | |
| 00:41:12,190 --> 00:41:16,830 | |
| ساوي capital N المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon | |
| 428 | |
| 00:41:16,830 --> 00:41:21,320 | |
| وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهايةأنا هيك | |
| 429 | |
| 00:41:21,320 --> 00:41:27,640 | |
| بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تقول ل infinity | |
| 430 | |
| 00:41:27,640 --> 00:41:35,720 | |
| بساوي x وهذا هو المطلوب طبعا | |
| 431 | |
| 00:41:35,720 --> 00:41:40,780 | |
| في هنا أمثلة باقي شوية أمثلةفهذه الأمثلة يعني | |
| 432 | |
| 00:41:40,780 --> 00:41:46,000 | |
| حاولوا أنكم تقرؤوها في مثلين كيف نطبق النظرية هذه | |
| 433 | |
| 00:41:46,000 --> 00:41:50,660 | |
| أو نوجد العلاقة بين كيف نثبت ال convergence لل | |
| 434 | |
| 00:41:50,660 --> 00:41:55,900 | |
| sequence من خلال إثبات | |
| 435 | |
| 00:41:55,900 --> 00:42:00,290 | |
| ال convergence لل subsequences أو العكسفحاولوا | |
| 436 | |
| 00:42:00,290 --> 00:42:04,490 | |
| تقرؤوها و هيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل ان شاء | |
| 437 | |
| 00:42:04,490 --> 00:42:10,290 | |
| الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام ال | |
| 438 | |
| 00:42:10,290 --> 00:42:14,290 | |
| powerpoint ابتداء من المحاضرة الجاية و هنشره على | |
| 439 | |
| 00:42:14,290 --> 00:42:19,850 | |
| اللغة okay انتهت المحاضرة نشوفكم ان شاء الله يوم | |
| 440 | |
| 00:42:19,850 --> 00:42:20,250 | |
| اتنين | |