PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XhLWrN2SkOQ_postprocess.srt

1
00:00:20,890 --> 00:00:26,630
أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences

2
00:00:26,630 --> 00:00:31,690
اللي بدأناه المحاضرة السابقة فشوفنا في المحاضرة

3
00:00:31,690 --> 00:00:36,530
السابقة تعريف ما معنى أنه limit ل sequence xn

4
00:00:36,530 --> 00:00:41,450
بساوي infinity وما معنى أنه limit ل sequence xn

5
00:00:41,450 --> 00:00:46,490
بساوي negative infinityطبعاً الـ sequence بتكون

6
00:00:46,490 --> 00:00:49,470
properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها

7
00:00:49,470 --> 00:00:54,030
بالساوي infinity أو سالب infinity في عندي

8
00:00:54,030 --> 00:00:58,550
comparison test ل .. ل properly divergent

9
00:00:58,550 --> 00:01:01,790
sequences هذا ال test بيقول لي لو في عندي two

10
00:01:01,790 --> 00:01:06,330
sequences xn و yn two sequences of real numbers

11
00:01:06,330 --> 00:01:10,370
بيحققوا الشرط star satisfy the condition star وهو

12
00:01:10,370 --> 00:01:15,400
أن كل حدفي xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في

13
00:01:15,400 --> 00:01:22,080
ال sequence التانية yn هذا صحيح لكل n فإذا كانت ال

14
00:01:22,080 --> 00:01:26,140
limit of the bigger sequence of the smaller

15
00:01:26,140 --> 00:01:30,240
sequence is infinity then the limit of the bigger

16
00:01:30,240 --> 00:01:36,040
sequence is infinity and if the limit of the big

17
00:01:36,040 --> 00:01:39,580
the bigger sequence is negative infinity then the

18
00:01:39,580 --> 00:01:40,720
limit of the smaller

19
00:01:50,070 --> 00:01:55,680
الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاطan

20
00:01:55,680 --> 00:01:58,620
application of the definition طبقنا التعريف

21
00:01:58,620 --> 00:02:03,740
بالبرهان زي ما انتوا شايفينه برهان الجزء A similar

22
00:02:03,740 --> 00:02:09,840
مشابه لجزء B فحنسيبوا تمرين لكم اتحاولوا يعني

23
00:02:09,840 --> 00:02:15,020
اتبرهنوا بنفس الطريقة okay تمام فلو سمحتوا حاولوا

24
00:02:15,020 --> 00:02:21,720
انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة في عندنا شوية

25
00:02:21,720 --> 00:02:24,300
ملاحظات على النظرية

26
00:02:31,050 --> 00:02:36,390
نعطيلها رقم تسعة و عشرين فالملاحظات

27
00:02:36,390 --> 00:02:44,850
في عندي تلت ملاحظات الملاحظة الأولى انه theorem

28
00:02:44,850 --> 00:02:47,910
النظرية

29
00:02:47,910 --> 00:02:53,270
السابقة اعتقد ان هذا الرقم المفروض يكون تلاتين

30
00:02:59,480 --> 00:03:15,440
theorem 29 remains true تبقى صحيحة if condition if

31
00:03:15,440 --> 00:03:22,720
condition star is replaced إذا بدلنا الشرط star by

32
00:03:22,720 --> 00:03:34,060
the weaker conditionby the weaker condition

33
00:03:34,060 --> 00:03:39,440
اللي

34
00:03:39,440 --> 00:03:46,080
هو xn less than or equal yn لكل

35
00:03:46,080 --> 00:03:55,540
n أكبر من أو ساوي m for some n natural number

36
00:03:58,530 --> 00:04:05,110
يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان لكل

37
00:04:05,110 --> 00:04:09,910
الأعداد الطبيعية N فلأ نفرض أن يوجد M عدد طبيعي

38
00:04:09,910 --> 00:04:15,190
نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباين هذه

39
00:04:15,190 --> 00:04:21,590
تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M يعني مش شرط تتحقق

40
00:04:21,590 --> 00:04:26,270
للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M فالنظرية برضه تبقى

41
00:04:26,270 --> 00:04:32,390
صحيحةولو بدنا نبرهن النظرية اللى فاتت تحت الشرط

42
00:04:32,390 --> 00:04:37,150
الأضعف هذا الشرط أضعف من الشرط ال star لكن برضه

43
00:04:37,150 --> 00:04:44,970
بيعطينى نفس النظرية فال ..

44
00:04:44,970 --> 00:04:55,390
ففي الحالة هذه in fact في حقيقة القمر in fact in

45
00:04:55,390 --> 00:05:07,220
the proofsin the proofs of النظرية السابقة take

46
00:05:07,220 --> 00:05:19,460
the required the required in to be that

47
00:05:19,460 --> 00:05:26,660
corresponds that corresponds

48
00:05:28,960 --> 00:05:34,420
that corresponds to the given to

49
00:05:34,420 --> 00:05:38,880
the given alpha or

50
00:05:38,880 --> 00:05:45,360
given beta to

51
00:05:45,360 --> 00:05:59,160
be in ابارة عن ال maximum the m و n of alphaأو n

52
00:05:59,160 --> 00:06:07,920
بالساوي ال maximum الأكبر بين العدد الطبيعي m و n

53
00:06:07,920 --> 00:06:17,920
of beta إذن

54
00:06:17,920 --> 00:06:22,480
في البرهان مثلا هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي

55
00:06:22,480 --> 00:06:29,810
نقلت الكلام هذا صحيح و يوجد capital Nهيعتمد على

56
00:06:29,810 --> 00:06:34,910
beta بحيث ان الكلام هذا يتحقق الان ال star ماقدرش

57
00:06:34,910 --> 00:06:38,850
ا say bye star هذه هتكون double star بدل ال star

58
00:06:38,850 --> 00:06:45,070
فانا ساميها double star فالان

59
00:06:45,070 --> 00:06:51,590
باخد بعرف n ال n هذه بعرفها على انها الأكبر بين m

60
00:06:51,590 --> 00:06:59,720
و n of beta وبالتالي ال n هذهأكبر من أو ساوي M و

61
00:06:59,720 --> 00:07:05,920
أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي لما أجي أخد N

62
00:07:05,920 --> 00:07:10,640
أكبر من أو ساوي capital N بأضمن أن ال N تبعتي هذه

63
00:07:10,640 --> 00:07:17,820
أكبر من أو ساوي M وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN

64
00:07:17,820 --> 00:07:22,940
وكذلك

65
00:07:22,940 --> 00:07:28,120
ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي Nالـ N هذه

66
00:07:28,120 --> 00:07:33,020
فبطمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي

67
00:07:33,020 --> 00:07:40,000
الكلام هذا بتحقق ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال

68
00:07:40,000 --> 00:07:44,960
.. باستخدام الشرط الأضعف double star بالمثل طبعا

69
00:07:44,960 --> 00:07:48,960
ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A

70
00:07:48,960 --> 00:07:53,540
فباخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha

71
00:07:53,540 --> 00:08:00,680
في برهان A تحت شرط starهذه أول ملاحظة الملاحظة

72
00:08:00,680 --> 00:08:15,360
التانية الملاحظة

73
00:08:15,360 --> 00:08:25,480
التانية if condition star holds إذا كان الشرط star

74
00:08:25,480 --> 00:08:27,660
holds then

75
00:08:37,130 --> 00:08:42,070
النتيجة ان y in tends to infinity does not

76
00:08:42,070 --> 00:08:46,650
necessarily implies ان x in tends to infinity

77
00:08:53,430 --> 00:09:00,270
وكان limit ال yn بساوي infinity فليس من الضروري ان

78
00:09:00,270 --> 00:09:06,090
يكون limit xn بساوي infinity وهي مثال يوضح ذلك for

79
00:09:06,090 --> 00:09:13,550
example على سبيل المثال consider consider

80
00:09:13,550 --> 00:09:20,230
ال sequence 1 على n أصغر من أو بساوي n لكل n في n

81
00:09:21,990 --> 00:09:27,890
إذن هى انا عندي xn وهى عندي yn وهى xn أصغر من

82
00:09:27,890 --> 00:09:34,090
يساوي yn الشرط الصغير متحقق لكن أنا عندي ال limit

83
00:09:34,090 --> 00:09:39,330
ل sequence yn اللى الحد العام تبعها n هدى بساوي

84
00:09:39,330 --> 00:09:51,440
infinity but ال limit ل xn اللى هى واحد على nبساوي

85
00:09:51,440 --> 00:09:59,860
سفر لا تساوي infinity السفر لا يساوي infinity okay

86
00:09:59,860 --> 00:10:06,440
تمام إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x

87
00:10:06,440 --> 00:10:09,200
in بالساوية infinity عندما limit y in بالساوية

88
00:10:09,200 --> 00:10:19,280
infinity بالمثل if condition star holdsإذا كان

89
00:10:19,280 --> 00:10:24,660
الشرط الـ start متحقق then x

90
00:10:24,660 --> 00:10:30,840
in تقول إلى negative infinity ليس بالضرورة بيؤدي

91
00:10:30,840 --> 00:10:36,620
مش شرط يؤدي ان ال sequence y in تقول ل negative

92
00:10:36,620 --> 00:10:44,360
infinity هذا مش شرط يكون صحيح بنا مثال على ذلك

93
00:10:44,360 --> 00:10:48,020
ممكن نفس المثال بس

94
00:10:51,510 --> 00:10:57,370
for example بس نضرب في سالب هي عندي negative n

95
00:10:57,370 --> 00:11:04,900
أصغر من أو ساوي negative واحد على n لكل n في nهل

96
00:11:04,900 --> 00:11:09,780
هذا كلام صح؟ انا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n

97
00:11:09,780 --> 00:11:17,040
لكل n هذا صح اضرب في سالب واحد تناقص هاه؟ هاي عندك

98
00:11:17,040 --> 00:11:24,990
xn بساوي سالب n وهي عندنا ynبساوي negative واحد

99
00:11:24,990 --> 00:11:31,590
على n الان انا عندي limit xn اللي هو سالب n لما

100
00:11:31,590 --> 00:11:37,170
طبعا n تقول infinity بساوي negative infinity but

101
00:11:37,170 --> 00:11:44,910
لكن limit ال yn اللي هو واحد على n ايش بتساوي؟

102
00:11:44,910 --> 00:11:49,950
ساوي سفر سالب واحد عفوا سالب واحد على n limit سالب

103
00:11:49,950 --> 00:11:56,630
واحد على n بساوي سفرو ليست سالب infinity okay

104
00:11:56,630 --> 00:12:02,430
تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا

105
00:12:02,430 --> 00:12:07,010
يقبل التأويل زي ما بيقولوا بس النتائج تبعتها كما

106
00:12:07,010 --> 00:12:13,310
هي في a و b أي شيء آخر مش مظبوطهو أمثلة بتوضح

107
00:12:13,310 --> 00:12:20,970
الأشياء الأخرى تمام؟ في كمان اختبار أخر زي هذا

108
00:12:20,970 --> 00:12:25,550
بنسميه limit comparison

109
00:12:25,550 --> 00:12:34,250
test فال

110
00:12:34,250 --> 00:12:35,350
.. نمسح

111
00:12:56,530 --> 00:13:11,090
limit comparison test خلّيني

112
00:13:11,090 --> 00:13:19,550
أاخد two sequences x in و y in بsequences of

113
00:13:19,550 --> 00:13:21,030
positive real numbers

114
00:13:24,560 --> 00:13:28,760
بالتالي سيكون الحدود

115
00:13:28,760 --> 00:13:33,660
الموجبة لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة

116
00:13:33,660 --> 00:13:36,820
بي

117
00:13:36,820 --> 00:13:41,240
such that limit

118
00:13:41,240 --> 00:13:49,480
ل xn over yn as n tends to infinity بساوي L عدد

119
00:13:49,480 --> 00:13:50,200
موجبة

120
00:13:55,720 --> 00:14:02,320
بنسمي المعادلة add star then

121
00:14:02,320 --> 00:14:12,380
limit xn بساوي infinity if and only if limit yn

122
00:14:12,380 --> 00:14:22,160
بساوي infinity إذا

123
00:14:22,160 --> 00:14:26,190
هنا في عندي limit comparison testالذي يتم استخدامه

124
00:14:26,190 --> 00:14:28,110
لسيقونسات واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من

125
00:14:28,110 --> 00:14:29,250
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط

126
00:14:29,250 --> 00:14:33,210
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة

127
00:14:33,210 --> 00:14:35,150
فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث

128
00:14:35,150 --> 00:14:35,310
واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من

129
00:14:35,310 --> 00:14:37,070
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط

130
00:14:37,070 --> 00:14:43,510
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة

131
00:14:43,510 --> 00:14:51,010
فقط من حدوث واحدة فقط من

132
00:14:51,010 --> 00:14:52,090
حدوث واحدة ف

133
00:14:59,920 --> 00:15:10,860
let assume ال أكبر من السفر satisfies

134
00:15:10,860 --> 00:15:15,300
المعادلة

135
00:15:15,300 --> 00:15:21,390
لسه نفرض ان في عدد حقيقي الوهو بحقق star يعني هو

136
00:15:21,390 --> 00:15:30,890
limit ل ratio ل xn على yn تمام؟

137
00:15:30,890 --> 00:15:34,650
take epsilon

138
00:15:34,650 --> 00:15:38,930
بساوي

139
00:15:38,930 --> 00:15:46,920
L على 2Since L is positive L over 2 is positive

140
00:15:46,920 --> 00:15:57,360
لأن أنا جبت إبسلون which is positive طيب since من

141
00:15:57,360 --> 00:16:08,300
الفرض since by star XN over YN converges to Lوهي

142
00:16:08,300 --> 00:16:10,980
عندي إبسلون أكبر من الصفر is given إذا by

143
00:16:10,980 --> 00:16:15,400
definition of convergence by epsilon capital N

144
00:16:15,400 --> 00:16:22,400
definition لإبسلون هذه for this إبسلونthere exist

145
00:16:22,400 --> 00:16:29,600
capital N يعتمد على إبسلون يعتمد

146
00:16:29,600 --> 00:16:34,780
على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural

147
00:16:34,780 --> 00:16:41,620
number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع

148
00:16:41,620 --> 00:16:48,220
عندي absolute xn over yn negative L less than

149
00:16:48,220 --> 00:16:57,240
إبسلونهزبوت هيك؟ طيب الـ Y بسوي L over 2 خلّينا

150
00:16:57,240 --> 00:17:02,560
نشيل ال absolute value فبصير اندي Xn over Yn minus

151
00:17:02,560 --> 00:17:10,960
L less than L two bigger than negative L ع اتنين و

152
00:17:10,960 --> 00:17:16,900
هذا صحيح لكل N bigger than or equal N اجمع L على

153
00:17:16,900 --> 00:17:24,960
كل الأطرافإن أنا بطلع عندي xn over yn less than

154
00:17:24,960 --> 00:17:31,920
three over two L bigger than L over two and this

155
00:17:31,920 --> 00:17:36,620
is true for every n bigger than or equal n نسمي

156
00:17:36,620 --> 00:17:46,680
المتباينة هذه double star now

157
00:17:52,640 --> 00:18:02,400
by double star انا عندي xn على yn اصغر من تلاتة ع

158
00:18:02,400 --> 00:18:09,020
اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger

159
00:18:09,020 --> 00:18:15,820
than or equal to n بيقدي انه xn

160
00:18:24,520 --> 00:18:34,680
في اتنين على التلاتة L less than Y N وهذا صحيح لكل

161
00:18:34,680 --> 00:18:45,260
N bigger than or equal N تصبوت هيك صح؟ هذه

162
00:18:45,260 --> 00:18:49,720
المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه

163
00:18:53,610 --> 00:19:05,290
so as limit احنا فرض .. now now

164
00:19:05,290 --> 00:19:10,690
او .. او so if

165
00:19:12,930 --> 00:19:19,250
limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي

166
00:19:19,250 --> 00:19:23,490
infinity و هذا ثابت موجب this is positive constant

167
00:19:23,490 --> 00:19:31,650
ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و

168
00:19:31,650 --> 00:19:39,450
بالتالي by comparison test then by comparison by

169
00:19:39,450 --> 00:19:40,170
comparison

170
00:19:42,940 --> 00:19:47,480
by comparison test النظرية اللى فاتت مع الشرط

171
00:19:47,480 --> 00:19:51,640
المخفف مع الشرط المخفف لأن فى النظرية اللى فاتت

172
00:19:51,640 --> 00:19:56,940
كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن

173
00:19:56,940 --> 00:20:01,200
هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو سوى عدد طبيعى

174
00:20:01,200 --> 00:20:06,440
ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحةف by

175
00:20:06,440 --> 00:20:12,620
comparison test and limit ال sequence هذه بساوي

176
00:20:12,620 --> 00:20:20,700
infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity

177
00:20:20,700 --> 00:20:31,220
تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس طيب

178
00:20:31,220 --> 00:20:32,380
conversely

179
00:20:40,740 --> 00:20:51,080
Conversely Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي

180
00:20:51,080 --> 00:20:59,700
infinity من double star من double star لو أخدت

181
00:20:59,700 --> 00:21:06,520
النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخرفعندي انا

182
00:21:06,520 --> 00:21:13,120
L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N

183
00:21:13,120 --> 00:21:22,120
أكبر من أو ساوية capital N طيب هذا بيقدي ان ال L

184
00:21:22,120 --> 00:21:29,400
over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal

185
00:21:29,400 --> 00:21:33,380
to capital N طيب

186
00:21:33,380 --> 00:21:34,900
since

187
00:21:37,140 --> 00:21:44,200
limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب

188
00:21:44,200 --> 00:21:51,060
في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn

189
00:21:51,060 --> 00:21:57,760
بساوي infinity so by comparison

190
00:21:57,760 --> 00:22:01,700
by comparison test

191
00:22:07,170 --> 00:22:11,210
أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا

192
00:22:11,210 --> 00:22:15,550
limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit

193
00:22:15,550 --> 00:22:28,070
xn equals infinity وهذا بكمل البرهان، okay؟

194
00:22:28,070 --> 00:22:32,390
تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال

195
00:22:32,390 --> 00:22:36,780
limit comparison testطبعا ال test هذا و ال test

196
00:22:36,780 --> 00:22:40,100
اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه

197
00:22:40,100 --> 00:22:44,160
بعض التمرين ممكن

198
00:22:44,160 --> 00:22:47,660
تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين

199
00:22:47,660 --> 00:22:53,560
فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن

200
00:22:53,560 --> 00:22:54,280
تطبيقهم

201
00:22:58,500 --> 00:23:05,220
باقي section واحد في ال chapter تلاتة

202
00:23:32,720 --> 00:23:37,660
السيكشن الأخير سيكشن

203
00:23:37,660 --> 00:23:43,820
تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة

204
00:23:43,820 --> 00:23:47,860
introduction to

205
00:23:47,860 --> 00:23:52,920
infinite series

206
00:23:57,560 --> 00:24:02,380
introduction to infinite series مقدمة في

207
00:24:02,380 --> 00:24:06,940
المتسلسلات اللانهائية

208
00:24:06,940 --> 00:24:19,460
نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية let xn

209
00:24:19,460 --> 00:24:27,330
contained in R be a sequencesequence of real

210
00:24:27,330 --> 00:24:43,210
numbers sum

211
00:24:43,210 --> 00:24:47,010
x1

212
00:24:47,010 --> 00:24:56,200
plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا

213
00:24:56,200 --> 00:25:03,400
و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم

214
00:25:03,400 --> 00:25:09,920
رمز sigma ممكن هذا نسميه summation from n equals

215
00:25:09,920 --> 00:25:17,280
one to infinity إلى xn فالصن

216
00:25:17,280 --> 00:25:25,190
المجموع هذاهذا expanded هذا compact form of

217
00:25:25,190 --> 00:25:39,010
summation is called an infinite series generated

218
00:25:39,010 --> 00:25:42,970
by

219
00:25:46,320 --> 00:25:54,100
متولدة من .. by الـ sequence x in إذن

220
00:25:54,100 --> 00:26:00,280
infinite series generated by الـ sequence x in إذا

221
00:26:00,280 --> 00:26:04,680
هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ

222
00:26:04,680 --> 00:26:09,340
sequence x in طيب for every

223
00:26:12,430 --> 00:26:23,290
for each n belong to N define خلّيني أعرف S1 على

224
00:26:23,290 --> 00:26:37,950
أنه X1 S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2 S3

225
00:26:37,950 --> 00:26:50,000
بساوي S2 زاد X3Y ساوي X1 زايد X2 زايد X3 and

226
00:26:50,000 --> 00:26:58,380
so on و هكذا نعرف SN على انه SN negative one زايد

227
00:26:58,380 --> 00:27:07,060
XN و طبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن

228
00:27:07,060 --> 00:27:07,700
summation

229
00:27:10,600 --> 00:27:19,140
x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1 هذا عبارة

230
00:27:19,140 --> 00:27:25,620
عن ايه هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn

231
00:27:25,620 --> 00:27:34,340
فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n

232
00:27:38,080 --> 00:27:43,700
to for xk اذا

233
00:27:43,700 --> 00:27:49,840
sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا

234
00:27:49,840 --> 00:27:55,960
ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on الان انا كوّنت

235
00:27:55,960 --> 00:28:00,360
sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن

236
00:28:00,360 --> 00:28:06,970
sequence ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence

237
00:28:06,970 --> 00:28:12,210
مهمة of partial sums مظبوط قعدت نسميها اذا طرست

238
00:28:12,210 --> 00:28:18,790
تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال

239
00:28:18,790 --> 00:28:23,110
series قعدت نسميها the sequence of partial sums

240
00:28:23,110 --> 00:28:29,210
اذا the sequence

241
00:28:30,940 --> 00:28:37,980
SN from N equals one to infinity is called بنسميها

242
00:28:37,980 --> 00:28:51,180
the sequence the sequence of partial sums

243
00:28:51,180 --> 00:29:03,040
sequence of partial sums of the seriesاللي هي

244
00:29:03,040 --> 00:29:11,080
sigma xn او sigma من n بساعة واحد لانفينيتي okay

245
00:29:11,080 --> 00:29:18,660
الان now if

246
00:29:18,660 --> 00:29:29,280
ال sequence sn converges say

247
00:29:31,110 --> 00:29:42,090
limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then

248
00:29:42,090 --> 00:29:51,390
we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي

249
00:29:51,390 --> 00:29:58,630
هي summation xn from n equals one to infinity

250
00:29:58,630 --> 00:30:00,270
converges

251
00:30:09,070 --> 00:30:18,290
and its sum is summation from n equals one to

252
00:30:18,290 --> 00:30:23,530
infinity ل x in ال summation تبعها أو المجموعة

253
00:30:23,530 --> 00:30:28,450
تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums

254
00:30:28,450 --> 00:30:32,730
اللي هو العدد S

255
00:30:37,160 --> 00:30:43,180
لو كانت الـ sequence divergent

256
00:30:43,180 --> 00:30:50,740
if الـ sequence is in diverges we

257
00:30:50,740 --> 00:31:00,120
say أنه الـ series sigma

258
00:31:00,120 --> 00:31:05,880
x in diverges

259
00:31:09,090 --> 00:31:13,410
إذا ال convergence و ال divergence depends on the

260
00:31:13,410 --> 00:31:18,630
divergence أو convergence of the infinite series

261
00:31:18,630 --> 00:31:23,910
depends on the convergence or divergence of the

262
00:31:23,910 --> 00:31:30,690
sequence of partial sums مرتبط بيها ال sequence of

263
00:31:30,690 --> 00:31:34,350
partial sums convergent السيريز اللي تابع إليها

264
00:31:34,350 --> 00:31:38,360
convergentو العكس إذا كانت ال sequence of partial

265
00:31:38,360 --> 00:31:40,780
sums divergent ال series ال infinite series

266
00:31:40,780 --> 00:31:51,840
التابعة إلى divergent طيب

267
00:31:51,840 --> 00:31:58,180
ناخد بعض الأمثلة طبعا

268
00:31:58,180 --> 00:32:01,720
ال Sn هذا ال Sn

269
00:32:04,610 --> 00:32:15,810
هذا بنسميه الانث partial sum الانث partial sum

270
00:32:15,810 --> 00:32:25,690
انث partial sum المجموع الجزئي أنوني okay هو

271
00:32:25,690 --> 00:32:30,760
الحد العام لل sequence و partial sumsأذا لما بدى

272
00:32:30,760 --> 00:32:34,760
نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال

273
00:32:34,760 --> 00:32:38,380
sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل

274
00:32:38,380 --> 00:32:41,780
sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي

275
00:32:41,780 --> 00:32:47,680
convergent ولا divergent ناخد

276
00:32:47,680 --> 00:32:48,620
بعض الأمثلة

277
00:33:02,760 --> 00:33:14,560
المثال الأول consider

278
00:33:14,560 --> 00:33:17,780
sequence

279
00:33:17,780 --> 00:33:25,480
R to N from N equals 0 to infinity طبعا هذه

280
00:33:25,480 --> 00:33:33,650
sequence of real numbersWhere R is a real number

281
00:33:33,650 --> 00:33:38,210
which

282
00:33:38,210 --> 00:33:49,150
generates الsequence هذه generates the geometric

283
00:33:49,150 --> 00:33:53,010
.. the so-called geometric series .. geometric

284
00:33:53,010 --> 00:33:54,330
series

285
00:33:57,050 --> 00:34:02,610
اللي هي summation from n equals zero to infinity

286
00:34:02,610 --> 00:34:10,210
from r to n okay اذا هي ال sequence هذه of real

287
00:34:10,210 --> 00:34:15,650
numbers بتولد infinite series او generates this

288
00:34:15,650 --> 00:34:21,210
infinite series اللي هي حدودها اول حد لما n بساوي

289
00:34:21,210 --> 00:34:33,620
سفر واحد بعدين r بعدين r تربيهو R أس N و

290
00:34:33,620 --> 00:34:41,120
هكذا ف such series is called geometric series هذه

291
00:34:41,120 --> 00:34:44,300
ال series اللي على الصورة هذه بنسميها geometric

292
00:34:44,300 --> 00:34:49,820
series الآن ال series هذه

293
00:34:58,170 --> 00:35:08,530
this series واحد converges and

294
00:35:08,530 --> 00:35:15,910
its sum اللي هو sigma from n equals zero to

295
00:35:15,910 --> 00:35:22,470
infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان

296
00:35:22,470 --> 00:35:35,210
absolute R أصغر من واحدand diverges and

297
00:35:35,210 --> 00:35:41,350
اتنين diverges if

298
00:35:41,350 --> 00:35:48,830
absolute are أكبر من أو يساوي واحد خلّينا

299
00:35:48,830 --> 00:35:50,050
نثبت الجزء الأول

300
00:35:58,010 --> 00:36:04,110
to prove one أنا

301
00:36:04,110 --> 00:36:12,410
عندي ال S N بساوي سيجما

302
00:36:12,410 --> 00:36:21,050
من K بساوي سفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R

303
00:36:21,050 --> 00:36:34,640
زائد R تلبية زائدR Sn وفي عندي .. في عندي ..

304
00:36:34,640 --> 00:36:37,780
لو

305
00:36:37,780 --> 00:36:48,440
ضربت Sn في Rفادرب الطرف اليمين في R فبطلع R زاد R

306
00:36:48,440 --> 00:36:56,380
تربيه زاد و هكذا زاد R أس N و آخر حد هيكون R أس N

307
00:36:56,380 --> 00:37:00,940
زاد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract

308
00:37:05,370 --> 00:37:10,850
subtract نطرح المعادلة لتحت من اللي فوق فبطلع عندي

309
00:37:10,850 --> 00:37:18,590
sn في واحد minus r أخدت عامل مشترك sn ولمّا أطرح

310
00:37:18,590 --> 00:37:23,330
هذا بروح مع هذا كل الهدوء بتروح مع بعضها بظل عندي

311
00:37:23,330 --> 00:37:33,130
واحد سالب r to n زاد واحد تمام ومن هنا اذا sn

312
00:37:36,050 --> 00:37:44,310
بساوي واحد على واحد سالب R سالب R to N زايد واحد

313
00:37:44,310 --> 00:37:52,990
على واحد سالب R ممكن

314
00:37:52,990 --> 00:37:59,070
هذا نوديه على ناحية التانية فبصير عندى هذا سالب

315
00:37:59,070 --> 00:38:01,350
هذا بساوي

316
00:38:03,070 --> 00:38:08,930
سالب R to N زياد واحد على واحد سالب R الآن إذا

317
00:38:08,930 --> 00:38:13,590
ناخد ال absolute value للطرفين Sn سالب واحد على

318
00:38:13,590 --> 00:38:21,030
واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من

319
00:38:21,030 --> 00:38:27,830
أو ساوي absolute R أسن زياد واحد على absolute واحد

320
00:38:27,830 --> 00:38:30,870
minus R تمام؟

321
00:38:34,940 --> 00:38:41,200
أذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب

322
00:38:41,200 --> 00:38:51,360
absolute R أسن زائد واحد الان if absolute R أصغر

323
00:38:51,360 --> 00:39:00,870
من واحدفهذا بيؤدي ان ال limit ل absolute R to N زي

324
00:39:00,870 --> 00:39:05,790
1 لما N تقول ل infinity هذا بيساوي سفر أخدناها قبل

325
00:39:05,790 --> 00:39:10,430
هيك وبالتالي

326
00:39:10,430 --> 00:39:14,950
اذا ال ..

327
00:39:14,950 --> 00:39:18,290
اذا انا عند ال absolute value هذه أكبر من أو ساوي

328
00:39:18,290 --> 00:39:24,270
سفر و أصغر من أو ساوي ثابت موجب في sequenceالـ

329
00:39:24,270 --> 00:39:28,610
sequence هذه تقول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة

330
00:39:28,610 --> 00:39:32,330
تقول لـ 0 اذا by sandwich theorem

331
00:39:40,720 --> 00:39:47,760
بتطلع عند ال limit ل absolute sn minus 1 على 1

332
00:39:47,760 --> 00:39:52,820
minus r لما n تقول ل infinity بساوي سفر و ممكن

333
00:39:52,820 --> 00:39:58,600
ندخل ال limit جوا فهذا بقدر انه limit 1 على sn

334
00:39:58,600 --> 00:40:05,040
عفوا limit sn لما n تقول ل infinity بساوي 1 على 1

335
00:40:05,040 --> 00:40:11,560
سالب rوبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0

336
00:40:11,560 --> 00:40:17,240
to infinity لR to N المجموعة تبعها تطلع convergent

337
00:40:17,240 --> 00:40:23,180
ومجموعة بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R

338
00:40:24,110 --> 00:40:28,950
إذن هذا بثبت الجزء الأول الجزء التاني ممكن اثباته

339
00:40:28,950 --> 00:40:34,190
لو R بساوي واحد فبطل عندي بجمع واحد على واحد عدد

340
00:40:34,190 --> 00:40:37,730
لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial

341
00:40:37,730 --> 00:40:40,170
sums ممكن اثبات أنها unbounded وبالتالي not

342
00:40:40,170 --> 00:40:44,330
convergent إذن ال series not convergent نفس الحاجة

343
00:40:44,330 --> 00:40:47,210
لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن اثبات أن ال

344
00:40:47,210 --> 00:40:50,550
sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال

345
00:40:50,550 --> 00:40:57,170
series is divergentتمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا

346
00:40:57,170 --> 00:41:02,830
و بنكمل ان شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة

347
00:41:02,830 --> 00:41:04,630
القادمة يوم السبت