| 1 | |
| 00:00:21,090 --> 00:00:26,570 | |
| إذن في المحاضرة هذه إن شاء الله هنحل بعض التمارين | |
| 2 | |
| 00:00:26,570 --> 00:00:35,250 | |
| للـ homework اللي تابع لـ section ثلاثة واحد وثلاثة | |
| 3 | |
| 00:00:35,250 --> 00:00:44,390 | |
| اثنين فأزملتكم سألوا عن ال .. نحن نحل السؤال 13 | |
| 4 | |
| 00:00:44,390 --> 00:00:46,030 | |
| section ثلاثة واحد | |
| 5 | |
| 00:00:49,430 --> 00:01:15,310 | |
| نكتب السؤال على اللوحة section | |
| 6 | |
| 00:01:15,310 --> 00:01:25,990 | |
| السؤال 13 section ثلاثة واحد أنا | |
| 7 | |
| 00:01:25,990 --> 00:01:31,150 | |
| عندي b is real number أكبر من صفر أصغر من واحد | |
| 8 | |
| 00:01:31,150 --> 00:01:36,010 | |
| وبينا | |
| 9 | |
| 00:01:36,010 --> 00:01:40,990 | |
| نثبت show أن الـ limit | |
| 10 | |
| 00:01:44,880 --> 00:01:53,020 | |
| للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في b to n لما | |
| 11 | |
| 00:01:53,020 --> 00:02:03,560 | |
| n تؤول إلى infinity يساوي صفر والكتاب جايب لكم | |
| 12 | |
| 00:02:03,560 --> 00:02:08,840 | |
| use الـ binomial theorem كما في مثال 3-1-11 الجزء | |
| 13 | |
| 00:02:08,840 --> 00:02:16,010 | |
| develop حاولتم تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع | |
| 14 | |
| 00:02:16,010 --> 00:02:20,350 | |
| المثال اللي استخدمنا فيه الـ binomial theorem | |
| 15 | |
| 00:02:20,350 --> 00:02:28,550 | |
| فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف | |
| 16 | |
| 00:02:28,550 --> 00:02:32,170 | |
| كيف نستخدم الـ binomial theorem في الوصول إلى | |
| 17 | |
| 00:02:32,170 --> 00:02:40,300 | |
| المطلوب أنا عندي من الفرض صفر أصغر من b أصغر من | |
| 18 | |
| 00:02:40,300 --> 00:02:48,300 | |
| واحد هذا يؤدي أن واحد على b أكبر من واحد | |
| 19 | |
| 00:02:48,300 --> 00:02:55,500 | |
| وبالتالي هذا يؤدي أن واحد على b سالب واحد أكبر | |
| 20 | |
| 00:02:55,500 --> 00:03:08,230 | |
| من صفر إذا نأخذ let let a خليني أعرف عدد a على أنه | |
| 21 | |
| 00:03:08,230 --> 00:03:13,850 | |
| العدد الموجب واحد على b سالب واحد طبعا هذا عدد | |
| 22 | |
| 00:03:13,850 --> 00:03:20,110 | |
| موجب حسب ما شفنا وهذا | |
| 23 | |
| 00:03:20,110 --> 00:03:28,210 | |
| يؤدي أن العدد لو حليت المعادلة هذه في b فهيطلع | |
| 24 | |
| 00:03:28,210 --> 00:03:38,250 | |
| b يساوي واحد على واحد زائد الـ a وبالتالي | |
| 25 | |
| 00:03:38,250 --> 00:03:49,150 | |
| so by الـ binomial باستخدام | |
| 26 | |
| 00:03:49,150 --> 00:03:59,120 | |
| الـ binomial theorem أنا عندي واحد زائد a الكل أس n | |
| 27 | |
| 00:03:59,120 --> 00:04:09,300 | |
| يساوي واحد زائد n في a زائد نصف n في n سالب واحد | |
| 28 | |
| 00:04:09,300 --> 00:04:17,800 | |
| في a تربيع زائد وهكذا تمام | |
| 29 | |
| 00:04:17,800 --> 00:04:24,890 | |
| إلى آخر حد طبعا هيكون a to n هذا بالضبط زي ما عملنا | |
| 30 | |
| 00:04:24,890 --> 00:04:31,950 | |
| في مثال ثلاثة وبالتالي | |
| 31 | |
| 00:04:31,950 --> 00:04:42,090 | |
| هذا يؤدي من هنا هذا | |
| 32 | |
| 00:04:42,090 --> 00:04:51,620 | |
| المجموعة بيطلع أكبر من أو يساوي نصف n في n سالب | |
| 33 | |
| 00:04:51,620 --> 00:05:00,000 | |
| واحد في a تربيع يعني أنا أخذت بس الحد الثالث من | |
| 34 | |
| 00:05:00,000 --> 00:05:05,120 | |
| المجموعة دي المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجبة كلها | |
| 35 | |
| 00:05:05,120 --> 00:05:10,180 | |
| فالمجموعة دي بالتأكيد أكبر من أو يساوي الحد الثالث | |
| 36 | |
| 00:05:10,180 --> 00:05:14,740 | |
| في a تربيع هذا صحيح مافيش مشكلة تمام | |
| 37 | |
| 00:05:17,950 --> 00:05:33,450 | |
| وبالتالي إذا n في b أس n إيش بيساوي؟ بيساوي n على | |
| 38 | |
| 00:05:33,450 --> 00:05:43,480 | |
| واحد زائد a الكل أس n صح؟ هذه b فـ b أس n يساوي واحد | |
| 39 | |
| 00:05:43,480 --> 00:05:50,900 | |
| على واحد زائد a to n وأضرب في n فبيصير هيك طيب | |
| 40 | |
| 00:05:50,900 --> 00:05:58,560 | |
| من هنا مقلوب واحد زائد a الكل أس n هيطلع أصغر من أو | |
| 41 | |
| 00:05:58,560 --> 00:06:09,580 | |
| يساوي مقلوب العدد هذا إذا هذا أصغر من أو يساوي n | |
| 42 | |
| 00:06:14,820 --> 00:06:20,480 | |
| على n في | |
| 43 | |
| 00:06:20,480 --> 00:06:28,380 | |
| n سالب واحد في .. في n سالب واحد في a تربيع على | |
| 44 | |
| 00:06:28,380 --> 00:06:38,980 | |
| اثنين وفي عندنا كمان n العكس | |
| 45 | |
| 00:06:38,980 --> 00:06:39,600 | |
| العكس | |
| 46 | |
| 00:06:46,180 --> 00:06:55,020 | |
| هي عندي n ومقلوب هذا بيطلع اثنين n في n سالب واحد | |
| 47 | |
| 00:06:55,020 --> 00:07:01,760 | |
| في a تربيع تمام؟ إذا هذا إيجى من هنا الآن بختصر الـ | |
| 48 | |
| 00:07:01,760 --> 00:07:12,620 | |
| n مع الـ n فهدا بيطلع اثنين على n سالب واحد في a | |
| 49 | |
| 00:07:12,620 --> 00:07:14,040 | |
| تربيع تمام؟ | |
| 50 | |
| 00:07:16,500 --> 00:07:23,140 | |
| الآن هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع | |
| 51 | |
| 00:07:23,140 --> 00:07:27,100 | |
| نأخذ n يساوي واحد لأن في الحالة هذه بيصير في قسمة | |
| 52 | |
| 00:07:27,100 --> 00:07:31,780 | |
| على صفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n | |
| 53 | |
| 00:07:31,780 --> 00:07:36,980 | |
| في b to n بيطلع أصغر من أو يساوي اثنين على n سالب | |
| 54 | |
| 00:07:36,980 --> 00:07:44,420 | |
| واحد في a تربيع الآن تعالوا نثبت أن الـ limit للـ | |
| 55 | |
| 00:07:44,420 --> 00:07:46,240 | |
| sequence هذه يساوي صفر | |
| 56 | |
| 00:07:50,790 --> 00:07:57,390 | |
| هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit إذن let | |
| 57 | |
| 00:07:57,390 --> 00:08:02,090 | |
| epsilon let | |
| 58 | |
| 00:08:02,090 --> 00:08:12,830 | |
| epsilon أكبر من صفر be given | |
| 59 | |
| 00:08:12,830 --> 00:08:19,210 | |
| Archimedean property by Archimedean property حسب | |
| 60 | |
| 00:08:19,210 --> 00:08:25,750 | |
| خاصية أرخميدس يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital | |
| 61 | |
| 00:08:25,750 --> 00:08:34,530 | |
| N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أن مقلوب | |
| 62 | |
| 00:08:34,530 --> 00:08:41,590 | |
| capital N أصغر من a تربيع في إبسلون على اثنين | |
| 63 | |
| 00:08:49,130 --> 00:08:54,230 | |
| الـ a تربيع عدد موجب إبسلون على اثنين عدد موجب إذا هذا | |
| 64 | |
| 00:08:54,230 --> 00:09:00,830 | |
| عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد | |
| 65 | |
| 00:09:00,830 --> 00:09:05,450 | |
| موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوبه | |
| 66 | |
| 00:09:05,450 --> 00:09:09,250 | |
| وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما | |
| 67 | |
| 00:09:09,250 --> 00:09:13,510 | |
| أنتم شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي | |
| 68 | |
| 00:09:13,510 --> 00:09:18,970 | |
| capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلون okay إذا | |
| 69 | |
| 00:09:18,970 --> 00:09:22,510 | |
| هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا اخترت | |
| 70 | |
| 00:09:22,510 --> 00:09:29,930 | |
| هذا العدد عشان نخلي المسافة بين xn و 0 أصغر من إبسلون | |
| 71 | |
| 00:09:29,930 --> 00:09:38,290 | |
| فركبناها أو ركبناها عشان نصل لإيه الهدف هذا تعالوا | |
| 72 | |
| 00:09:38,290 --> 00:09:46,950 | |
| نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلك لو أخذت | |
| 73 | |
| 00:09:46,950 --> 00:09:57,950 | |
| n أكبر من capital N هذا يؤدي أن n سالب واحد أكبر | |
| 74 | |
| 00:09:57,950 --> 00:10:08,270 | |
| من أو يساوي capital N وهذا يؤدي أن absolute n في b | |
| 75 | |
| 00:10:08,270 --> 00:10:16,690 | |
| to n سالب صفر إيش هذا بيساوي؟ بيساوي n في b to n لأن | |
| 76 | |
| 00:10:16,690 --> 00:10:26,710 | |
| هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في b to n أصغر من أو | |
| 77 | |
| 00:10:26,710 --> 00:10:33,690 | |
| يساوي اثنين على n | |
| 78 | |
| 00:10:33,690 --> 00:10:40,750 | |
| سالب واحد في a تربيع وهذا | |
| 79 | |
| 00:10:40,750 --> 00:10:42,390 | |
| أصغر من أو يساوي | |
| 80 | |
| 00:10:50,580 --> 00:11:00,000 | |
| هذا أصغر من أو يساوي واحد على capital N في اثنين | |
| 81 | |
| 00:11:00,000 --> 00:11:11,660 | |
| على a تربيع يعني | |
| 82 | |
| 00:11:11,660 --> 00:11:19,140 | |
| أنا من هنا من واحد على n سالب واحد مقلوب n سالب | |
| 83 | |
| 00:11:19,140 --> 00:11:27,000 | |
| واحد هيطلع أعظم أو يساوي مقلوب capital N وهذا | |
| 84 | |
| 00:11:27,000 --> 00:11:33,400 | |
| عبارة عن واحد على n سالب واحد اثنين على a تربيع | |
| 85 | |
| 00:11:36,970 --> 00:11:42,010 | |
| فمقلوب n سالب واحد أصغر من أو يساوي مقلوب capital N | |
| 86 | |
| 00:11:42,010 --> 00:11:51,630 | |
| في اثنين على a تربيع تمام؟ شفتم من أين أتيت؟ | |
| 87 | |
| 00:11:51,630 --> 00:11:58,690 | |
| طيب أنا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N أصغر من | |
| 88 | |
| 00:11:58,690 --> 00:12:09,470 | |
| a تربيع في إبسلون على اثنين ضربت اثنين على a تربيع | |
| 89 | |
| 00:12:09,470 --> 00:12:13,630 | |
| إذا شوفتم ليه أخذت n هنا a تربيع في إبسلون على | |
| 90 | |
| 00:12:13,630 --> 00:12:19,210 | |
| اثنين عشان أختصر a تربيع مع a تربيع واثنين مع | |
| 91 | |
| 00:12:19,210 --> 00:12:26,870 | |
| اثنين ويبقى إبسلون إذا | |
| 92 | |
| 00:12:26,870 --> 00:12:35,170 | |
| ماذا أثبتنا؟ أثبتنا أن لأي given إبسلون عدد موجب | |
| 93 | |
| 00:12:35,980 --> 00:12:42,520 | |
| يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر | |
| 94 | |
| 00:12:42,520 --> 00:12:48,260 | |
| من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام للـ | |
| 95 | |
| 00:12:48,260 --> 00:12:51,900 | |
| sequence اللي هو n في b to n والـ limit المنشودة اللي | |
| 96 | |
| 00:12:51,900 --> 00:12:57,860 | |
| هي صفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilon إذا حسب | |
| 97 | |
| 00:12:57,860 --> 00:13:03,100 | |
| تعريف epsilon capital N للـ limit هذا معناه أن الـ | |
| 98 | |
| 00:13:03,100 --> 00:13:06,720 | |
| limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was | |
| 99 | |
| 00:13:06,720 --> 00:13:11,540 | |
| arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit n في b to | |
| 100 | |
| 00:13:11,540 --> 00:13:16,760 | |
| n as n tends to infinity يساوي صفر وهو المطلوب | |
| 101 | |
| 00:13:16,760 --> 00:13:22,640 | |
| okay تمام؟ إذاً | |
| 102 | |
| 00:13:22,640 --> 00:13:27,950 | |
| هنا استخدمنا الـ binomial theorem ساعدتني في الوصول | |
| 103 | |
| 00:13:27,950 --> 00:13:33,590 | |
| للمتباينة هذه والوصول للمتباينة هذه اللي احنا | |
| 104 | |
| 00:13:33,590 --> 00:13:42,730 | |
| استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم | |
| 105 | |
| 00:13:42,730 --> 00:13:45,970 | |
| الخطوة هذه أقول أن الـ limit يعني آخذ الـ limit | |
| 106 | |
| 00:13:45,970 --> 00:13:49,750 | |
| للتربيع أقول أن واحد على n ناقص الواحد ماهي close | |
| 107 | |
| 00:13:49,750 --> 00:13:55,840 | |
| to zero إذا الـ limit المقدار من أين المتباينة؟ هذه؟ | |
| 108 | |
| 00:13:55,840 --> 00:14:02,160 | |
| بنفع آه بنفع يعني أنت عندك هنا ممكن واحد يستخدم الـ | |
| 109 | |
| 00:14:02,160 --> 00:14:08,980 | |
| sandwich أو الـ squeeze theorem فبدل ما نستخدم | |
| 110 | |
| 00:14:08,980 --> 00:14:15,680 | |
| تعريف epsilon capital N نيجي نقول أن الآن أنا | |
| 111 | |
| 00:14:15,680 --> 00:14:25,150 | |
| عندي هذه n في b to n طلعت أصغر من أو يساوي اثنين على | |
| 112 | |
| 00:14:25,150 --> 00:14:31,450 | |
| n سالب واحد في a تربيع وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من | |
| 113 | |
| 00:14:31,450 --> 00:14:35,390 | |
| أو يساوي صفر لأن الـ n عدد موجب والـ b to n عدد موجب | |
| 114 | |
| 00:14:35,390 --> 00:14:43,530 | |
| وهذا صحيح لكل n أكبر من واحد الآن هذا عبارة عن | |
| 115 | |
| 00:14:43,530 --> 00:14:47,410 | |
| sequence هي الحد العام تبعها لما n تؤول إلى infinity | |
| 116 | |
| 00:14:47,410 --> 00:14:52,230 | |
| مقلوب n سالب واحد تؤول إلى infinity وبالتالي مقلوبها | |
| 117 | |
| 00:14:52,230 --> 00:14:55,990 | |
| تؤول إلى infinity في ثابت موجب اثنين على a تربيع | |
| 118 | |
| 00:14:55,990 --> 00:15:01,570 | |
| عفوا لما n تؤول إلى infinity المقام بيروح لـ infinity | |
| 119 | |
| 00:15:01,570 --> 00:15:07,110 | |
| وبالتالي مقلوبه وبيروح لـ صفر تمام؟ | |
| 120 | |
| 00:15:16,990 --> 00:15:22,190 | |
| إذن هذه الـ sequence تؤول إلى 0 نهايتها 0 وهذه الـ | |
| 121 | |
| 00:15:22,190 --> 00:15:26,970 | |
| constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze | |
| 122 | |
| 00:15:26,970 --> 00:15:30,410 | |
| theorem limit الـ sequence هذه يساوي 0 وبلاش | |
| 123 | |
| 00:15:30,410 --> 00:15:35,350 | |
| نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في | |
| 124 | |
| 00:15:35,350 --> 00:15:39,750 | |
| section 3-1 ما كناش واخدين الـ squeeze theorem فلازم | |
| 125 | |
| 00:15:39,750 --> 00:15:43,770 | |
| نحلها على طريقة باستخدام الـ definition لكن لو | |
| 126 | |
| 00:15:43,770 --> 00:15:48,910 | |
| في الامتحان وممكن ما تفرقش أنت متعلم الـ definition | |
| 127 | |
| 00:15:48,910 --> 00:15:52,630 | |
| ومتلم الـ squeeze theorem واستخدم أي طريقة | |
| 128 | |
| 00:15:52,630 --> 00:15:58,330 | |
| تعجبك okay تمام في | |
| 129 | |
| 00:15:58,330 --> 00:16:01,010 | |
| أسئلة ثانية في حد عنده أي سؤال ثاني في section | |
| 130 | |
| 00:16:01,010 --> 00:16:07,890 | |
| ثلاثة واحد وثلاثة اثنين تفضلي في أي section ثلاثة | |
| 131 | |
| 00:16:07,890 --> 00:16:10,510 | |
| واحد طيب ماشي الحال | |
| 132 | |
| 00:16:50,410 --> 00:17:09,310 | |
| السؤال عشرة section ثلاثة واحد السؤال هذا بيقول if | |
| 133 | |
| 00:17:09,310 --> 00:17:20,060 | |
| limit sequence xn يساوي x والـ x هذا أكبر من | |
| 134 | |
| 00:17:20,060 --> 00:17:24,880 | |
| الصفر then | |
| 135 | |
| 00:17:24,880 --> 00:17:29,340 | |
| then | |
| 136 | |
| 00:17:29,340 --> 00:17:36,780 | |
| there exist يوجد capital N عدد طبيعي أو capital M | |
| 137 | |
| 00:17:36,780 --> 00:17:48,170 | |
| natural number عدد طبيعي such that xn أكبر من الصفر | |
| 138 | |
| 00:17:48,170 --> 00:18:08,950 | |
| لكل n أكبر من أو يساوي m لت | |
| 139 | |
| 00:18:08,950 --> 00:18:13,250 | |
| y أكبر من الصفر be given | |
| 140 | |
| 00:18:17,620 --> 00:18:23,600 | |
| خذ أي إبسلون أكبر من الصفر إذن | |
| 141 | |
| 00:18:23,600 --> 00:18:30,900 | |
| إبسيلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجب طيب | |
| 142 | |
| 00:18:30,900 --> 00:18:38,880 | |
| احنا فرضنا ان limit xn بيساوي x إذن since xn | |
| 143 | |
| 00:18:38,880 --> 00:18:44,960 | |
| converges to x وهي إبسيلون على اتنين عدد أكبر من | |
| 144 | |
| 00:18:44,960 --> 00:18:54,480 | |
| الصفر إذا يوجد M عدد طبيعي يعتمد على | |
| 145 | |
| 00:18:54,480 --> 00:18:58,840 | |
| إبسيلون عدد | |
| 146 | |
| 00:18:58,840 --> 00:19:05,140 | |
| طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي M | |
| 147 | |
| 00:19:05,140 --> 00:19:33,800 | |
| تطلع المسافة من xn إلى x أصغر من إبسيلون على اتنين طيب | |
| 148 | |
| 00:19:33,800 --> 00:19:34,980 | |
| أنا ال epsilon هذا | |
| 149 | |
| 00:19:37,520 --> 00:19:44,200 | |
| ممكن آخده أنا عندي من الفرض x أكبر من 0 فممكن آخد | |
| 150 | |
| 00:19:44,200 --> 00:19:49,640 | |
| ال epsilon هذا بيساوي x بيساوي | |
| 151 | |
| 00:19:49,640 --> 00:19:56,480 | |
| x أنا | |
| 152 | |
| 00:19:56,480 --> 00:20:04,400 | |
| ممكن آخد ال epsilon بيساوي x أو حتى x على 2 أو x على 2 | |
| 153 | |
| 00:20:04,400 --> 00:20:10,380 | |
| هذا بالتأكيد الإبسيلون هذا هو عدد موجب اعتبره هو | |
| 154 | |
| 00:20:10,380 --> 00:20:15,660 | |
| given وبالتالي | |
| 155 | |
| 00:20:15,660 --> 00:20:20,580 | |
| أنا أخذت الآن إبسيلون = x عدد موجب إذا x على اتنين عدد | |
| 156 | |
| 00:20:20,580 --> 00:20:26,270 | |
| موجب وأخذت إبسيلون عبارة عن x على اتنين فاعتبر هذا given | |
| 157 | |
| 00:20:26,270 --> 00:20:31,070 | |
| إبسيلون إبسيلون معطى مُسبقا فحسب التعريف بما أن x | |
| 158 | |
| 00:20:31,070 --> 00:20:34,390 | |
| in converges to x إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على | |
| 159 | |
| 00:20:34,390 --> 00:20:38,710 | |
| إبسيلون بحيث لكل n أكبر من أو يساوي M | |
| 160 | |
| 00:20:38,710 --> 00:20:45,730 | |
| المسافة هذه أصغر من إبسيلون الآن عوض عن إبسيلون | |
| 161 | |
| 00:20:45,730 --> 00:20:54,490 | |
| بيساوى x على 2 فهذا يؤدي الآن فك ال absolute value | |
| 162 | |
| 00:20:54,490 --> 00:21:03,070 | |
| فبيطلع عندي xn - x أصغر من x على 2 وأكبر من -x | |
| 163 | |
| 00:21:03,070 --> 00:21:08,570 | |
| على 2، مظبوط؟ | |
| 164 | |
| 00:21:08,570 --> 00:21:15,370 | |
| طيب | |
| 165 | |
| 00:21:15,370 --> 00:21:17,790 | |
| لو أخذت هذا الجزء من المتباينة | |
| 166 | |
| 00:21:20,790 --> 00:21:28,770 | |
| فبيصير عندي xn أكبر من وادي x على الناحية التالية | |
| 167 | |
| 00:21:28,770 --> 00:21:38,050 | |
| أكبر من x - x على 2 وبالتالي | |
| 168 | |
| 00:21:38,050 --> 00:21:46,710 | |
| إذا أنا عندي هي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من | |
| 169 | |
| 00:21:46,710 --> 00:21:57,210 | |
| الصفر تمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من الصفر | |
| 170 | |
| 00:21:57,210 --> 00:22:07,170 | |
| وهذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي M وهو | |
| 171 | |
| 00:22:07,170 --> 00:22:12,630 | |
| المطلوب تمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon M | |
| 172 | |
| 00:22:12,630 --> 00:22:19,690 | |
| وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من الصفر لكل | |
| 173 | |
| 00:22:19,690 --> 00:22:32,210 | |
| n أكبر من أو يساوي M تمام واضح البرهان طيب | |
| 174 | |
| 00:22:32,210 --> 00:22:34,110 | |
| في أي أسئلة تانية؟ | |
| 175 | |
| 00:22:37,830 --> 00:22:48,330 | |
| section ثلاثة اثنين مين | |
| 176 | |
| 00:22:48,330 --> 00:22:54,390 | |
| عنده سؤال أي سؤال في أي section ثلاثة اثنين ثلاثة | |
| 177 | |
| 00:22:54,390 --> 00:23:03,070 | |
| اثنين سبعة عشر | |
| 178 | |
| 00:23:03,070 --> 00:23:05,150 | |
| section ثلاثة اثنين | |
| 179 | |
| 00:23:40,180 --> 00:23:44,200 | |
| أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers | |
| 180 | |
| 00:23:44,200 --> 00:23:55,680 | |
| إذا xn حدودها موجبة بقى لكل n such | |
| 181 | |
| 00:23:55,680 --> 00:24:00,560 | |
| that limit ل | |
| 182 | |
| 00:24:00,560 --> 00:24:11,550 | |
| xn زائد واحد على xn لما n تؤول إلى infinity بيساوي عددًا | |
| 183 | |
| 00:24:11,550 --> 00:24:20,550 | |
| أكبر من واحد والمقلوب show اثبت في الحالة هذه أن | |
| 184 | |
| 00:24:20,550 --> 00:24:25,750 | |
| ال sequence | |
| 185 | |
| 00:24:25,750 --> 00:24:30,170 | |
| xn is | |
| 186 | |
| 00:24:30,170 --> 00:24:34,350 | |
| unbounded is not bounded | |
| 187 | |
| 00:24:38,480 --> 00:24:46,100 | |
| and hence not | |
| 188 | |
| 00:24:46,100 --> 00:24:53,460 | |
| convergent لأن لو كانت convergent بتطلع bounded | |
| 189 | |
| 00:25:13,370 --> 00:25:17,190 | |
| يعني من الشرط هذا ممكن نثبت أن ال sequence | |
| 190 | |
| 00:25:17,190 --> 00:25:21,290 | |
| increasing متزايدة | |
| 191 | |
| 00:26:05,950 --> 00:26:08,750 | |
| أه .. | |
| 192 | |
| 00:26:31,500 --> 00:26:38,240 | |
| ممكن نعمل برهان بالـ ... بالتناقض نفترض | |
| 193 | |
| 00:26:38,240 --> 00:26:48,640 | |
| أنها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف الـ ... هنا | |
| 194 | |
| 00:26:48,640 --> 00:26:56,680 | |
| ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر | |
| 195 | |
| 00:26:56,680 --> 00:27:00,220 | |
| من واحد ممكن باستخدامه | |
| 196 | |
| 00:27:02,850 --> 00:27:14,250 | |
| باستخدام تعريف ال convergence زائد أو | |
| 197 | |
| 00:27:14,250 --> 00:27:18,390 | |
| ممكن من الفرض هذا نثبت أنه ال sequence unbounded | |
| 198 | |
| 00:27:18,390 --> 00:27:22,870 | |
| أو ممكن بالتناقض إما باستخدام تعريف epsilon | |
| 199 | |
| 00:27:22,870 --> 00:27:29,600 | |
| N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض | |
| 200 | |
| 00:27:29,600 --> 00:27:35,560 | |
| لنصل إلى حاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي | |
| 201 | |
| 00:27:35,560 --> 00:27:40,540 | |
| حال أنا هأسيب في حد يحل السؤال هذا طيب أنا هأسيبكم | |
| 202 | |
| 00:27:40,540 --> 00:27:45,320 | |
| تفكروا فيه وتقرؤوا برهان شوفوا برهان أنا في | |
| 203 | |
| 00:27:45,320 --> 00:27:49,380 | |
| البرهان النظرية هذه اللي كنت قلت لكم اقرؤوا | |
| 204 | |
| 00:27:49,380 --> 00:27:54,650 | |
| فحاولوا إنكم تستفيدوا من البرهان تبع النظرية اللي | |
| 205 | |
| 00:27:54,650 --> 00:27:57,930 | |
| كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بيساوي L أصغر من | |
| 206 | |
| 00:27:57,930 --> 00:28:03,370 | |
| واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا | |
| 207 | |
| 00:28:03,370 --> 00:28:08,710 | |
| البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية | |
| 208 | |
| 00:28:08,710 --> 00:28:12,750 | |
| هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف | |
| 209 | |
| 00:28:12,750 --> 00:28:17,450 | |
| بيطلع البرهان إيش اللي بيخلي البرهان هذا يبطل صحيح | |
| 210 | |
| 00:28:18,870 --> 00:28:23,230 | |
| أه فعيدوا قراءته وحاولكم تحلوه وإذا ما حلتوهوش | |
| 211 | |
| 00:28:23,230 --> 00:28:27,290 | |
| يعني المرة الجاية ممكن نحله مع بعض أه ماشي الحال | |
| 212 | |
| 00:28:27,290 --> 00:28:30,470 | |
| فإقرأوا | |
| 213 | |
| 00:28:30,470 --> 00:28:35,150 | |
| برهان النظرية اللي سيبنا قلنا لكم برهانها موجود | |
| 214 | |
| 00:28:35,150 --> 00:28:38,030 | |
| في الكتاب وبدي إنكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا | |
| 215 | |
| 00:28:38,030 --> 00:28:45,010 | |
| البرهان؟ حاولوا تقرأوا إيه حاولوا تتعملوا إيه تشوفوا | |
| 216 | |
| 00:28:45,010 --> 00:28:50,070 | |
| وين في البرهان الـ L أكبر من واحد بتخلي البرهان | |
| 217 | |
| 00:28:50,070 --> 00:28:55,050 | |
| يبطل صح وين المشكلة وشوفوا | |
| 218 | |
| 00:28:55,050 --> 00:28:58,210 | |
| إذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ إذا أنا هأسيبكم | |
| 219 | |
| 00:28:58,210 --> 00:29:02,610 | |
| تفكروا فيه مرة تانية وتحاولوا تحلوه إذا ما عرفتووش | |
| 220 | |
| 00:29:02,610 --> 00:29:09,110 | |
| ممكن نحله مرة تانية أو في المرة القادمة نعم مين | |
| 221 | |
| 00:29:09,110 --> 00:29:13,190 | |
| اللي بتحكي هذه ما حدش لو سمحت تحكي إلا غير ترفع | |
| 222 | |
| 00:29:13,190 --> 00:29:18,790 | |
| يدها الأول وبعدين تكلم طيب إذا هذا السؤال | |
| 223 | |
| 00:29:18,790 --> 00:29:22,510 | |
| هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية | |
| 224 | |
| 00:29:22,510 --> 00:29:26,710 | |
| section ثلاثة اثنين أو ثلاثة واحد | |
| 225 | |
| 00:29:45,050 --> 00:29:50,450 | |
| في حد عندها سؤال في نفس | |
| 226 | |
| 00:29:50,450 --> 00:29:55,770 | |
| ال section نعم فالقاعدة ما أعطينا sequence إنه احنا | |
| 227 | |
| 00:29:55,770 --> 00:29:59,390 | |
| نشوف إذا هي تتقارب ولا تتباعد استخدمت ال ratio test | |
| 228 | |
| 00:29:59,390 --> 00:30:04,310 | |
| نعم طلعت ال limit بتساوي واحد واحنا الشرط إن تكون | |
| 229 | |
| 00:30:04,310 --> 00:30:09,790 | |
| ال limit أقل من واحد صح فالقاعدة هذه بتطلع تطلع ال | |
| 230 | |
| 00:30:09,790 --> 00:30:12,430 | |
| limit ل sequence لو معطينيها تساوي صفر | |
| 231 | |
| 00:30:15,730 --> 00:30:21,110 | |
| لأ لازم يكون أصغر من واحد ما بتساويش الواحد معناته | |
| 232 | |
| 00:30:21,110 --> 00:30:26,150 | |
| ال test بيفشل لأ هي تساوي واحد إذا بالتساوي واحد | |
| 233 | |
| 00:30:26,150 --> 00:30:33,430 | |
| ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالتساوي | |
| 234 | |
| 00:30:33,430 --> 00:30:38,710 | |
| واحد فممكن | |
| 235 | |
| 00:30:38,710 --> 00:30:41,650 | |
| تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا | |
| 236 | |
| 00:30:41,650 --> 00:30:46,920 | |
| ال test ال ratio test بيفشل هي في سؤال 16 هتجيب | |
| 237 | |
| 00:30:46,920 --> 00:30:52,480 | |
| بمثالين أول شيء إذا كانت ال limit هذه بالتساوي واحد | |
| 238 | |
| 00:30:52,480 --> 00:30:59,740 | |
| فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل | |
| 239 | |
| 00:30:59,740 --> 00:31:03,220 | |
| واحدة بالتساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة | |
| 240 | |
| 00:31:03,220 --> 00:31:08,140 | |
| divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل إذا كانت ال L | |
| 241 | |
| 00:31:08,140 --> 00:31:12,420 | |
| بالتساوي واحد أما لو كانت ال L أصغر من واحد فال | |
| 242 | |
| 00:31:12,420 --> 00:31:16,400 | |
| sequence xn بتطلع convergent للصفر إذا كان ال L | |
| 243 | |
| 00:31:16,400 --> 00:31:21,740 | |
| أكبر من 1 فال sequence بتطلع divergent okay تمام | |
| 244 | |
| 00:31:21,740 --> 00:31:30,340 | |
| هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب | |
| 245 | |
| 00:31:30,340 --> 00:31:36,220 | |
| إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير | |
| 246 | |
| 00:31:36,220 --> 00:31:43,260 | |
| ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16 ال test بيفشل | |
| 247 | |
| 00:31:43,260 --> 00:31:48,320 | |
| إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا | |
| 248 | |
| 00:31:48,320 --> 00:31:53,020 | |
| كانت limit لل ratio بتساوي واحد وبالتالي بدك تبحث | |
| 249 | |
| 00:31:53,020 --> 00:31:54,300 | |
| عن طريقة تانية | |
| 250 | |
| 00:32:12,840 --> 00:32:31,940 | |
| طيب في أسئلة تانية في | |
| 251 | |
| 00:32:31,940 --> 00:32:35,300 | |
| section ثلاثة واحد وثلاثة اثنين في عندكم أي سؤال | |
| 252 | |
| 00:32:35,300 --> 00:32:42,490 | |
| ما فيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرين كانت واحدة بس | |
| 253 | |
| 00:32:42,490 --> 00:32:51,430 | |
| للدراسة وهم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب | |
| 254 | |
| 00:32:51,430 --> 00:32:54,930 | |
| بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اثنين في أسئلة في | |
| 255 | |
| 00:32:54,930 --> 00:33:01,130 | |
| chapter اثنين إذا | |
| 256 | |
| 00:33:01,130 --> 00:33:10,470 | |
| في عندكم أسئلة في section اثنين | |
| 257 | |
| 00:33:10,470 --> 00:33:11,010 | |
| أربعة | |
| 258 | |
| 00:33:26,250 --> 00:33:35,710 | |
| السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف | |
| 259 | |
| 00:33:35,710 --> 00:33:41,790 | |
| يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرأوا إيه | |
| 260 | |
| 00:33:41,790 --> 00:33:46,530 | |
| تقرا ال hint هذا وتستفيدي منه وتشوفي يعني هذا | |
| 261 | |
| 00:33:46,530 --> 00:33:54,780 | |
| أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟ طيب طلعي | |
| 262 | |
| 00:33:54,780 --> 00:33:59,360 | |
| خلف الكتاب فيه hint أو إرشادات لبعض التمارين | |
| 263 | |
| 00:33:59,360 --> 00:34:06,680 | |
| بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة للحل أو بيحط رجلك على طريق | |
| 264 | |
| 00:34:06,680 --> 00:34:12,840 | |
| الحل فحاولي تقرأي إيه وتستفيدي منه وإذا فهمتي | |
| 265 | |
| 00:34:12,840 --> 00:34:19,640 | |
| الإرشاد هذا ممكن تحلي السؤال أنتِ وزميلاتك تطلعوا | |
| 266 | |
| 00:34:19,640 --> 00:34:23,580 | |
| على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول | |
| 267 | |
| 00:34:23,580 --> 00:34:28,240 | |
| المختصرة وحاولوا تستفيدوا منها وتفصلوها وتكتبوا | |
| 268 | |
| 00:34:28,240 --> 00:34:35,340 | |
| الحل بطريقة واضحة وكاملة فهأسيبكم | |
| 269 | |
| 00:34:35,340 --> 00:34:42,440 | |
| تقرؤوا الإرشاد وتحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة | |
| 270 | |
| 00:34:42,440 --> 00:34:49,980 | |
| تانية في section 2 4 2 3 2 2 إن واحد الجزء اللي | |
| 271 | |
| 00:34:49,980 --> 00:34:56,460 | |
| داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها | |
| 272 | |
| 00:34:56,460 --> 00:35:00,260 | |
| سؤال؟ | |
| 273 | |
| 00:35:00,260 --> 00:35:07,020 | |
| في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا إنكم مش مدرسين | |
| 274 | |
| 00:35:07,020 --> 00:35:08,680 | |
| ولا حتى مستعدين للامتحان | |
| 275 | |
| 00:35:16,700 --> 00:35:20,800 | |
| في أي أسئلة في chapter 2 أو chapter 3 الجزء الداخل | |
| 276 | |
| 00:35:20,800 --> 00:35:21,960 | |
| في الامتحان | |
| 277 | |
| 00:36:04,610 --> 00:36:11,090 | |
| فيش أسئلة؟ طيب | |
| 278 | |
| 00:36:11,090 --> 00:36:15,390 | |
| أنا هأحل لكم يعني كمان سؤالين واحد من section ثلاثة | |
| 279 | |
| 00:36:15,390 --> 00:36:21,070 | |
| واحد وواحد من ثلاثة اثنين | |
| 280 | |
| 00:36:21,070 --> 00:36:28,670 | |
| خليني | |
| 281 | |
| 00:36:28,670 --> 00:36:29,830 | |
| أحل السؤال | |
| 282 | |
| 00:36:46,350 --> 00:36:58,770 | |
| يعني مثلا يعني | |
| 283 | |
| 00:36:58,770 --> 00:37:04,090 | |
| مثلا السؤال الخامسة | |
| 284 | |
| 00:37:04,090 --> 00:37:10,530 | |
| السؤال | |
| 285 | |
| 00:37:10,530 --> 00:37:16,320 | |
| الخامسة الفرع دي section تلاتة واحد use definition | |
| 286 | |
| 00:37:16,320 --> 00:37:25,660 | |
| use definition of limit to | |
| 287 | |
| 00:37:25,660 --> 00:37:33,880 | |
| establish أنه | |
| 288 | |
| 00:37:33,880 --> 00:37:37,800 | |
| ال limit لإن | |
| 289 | |
| 00:37:37,800 --> 00:37:44,970 | |
| تربية سالب واحد على اتنين انتر بيه زائد تلاتة ال | |
| 290 | |
| 00:37:44,970 --> 00:37:52,850 | |
| sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و | |
| 291 | |
| 00:37:52,850 --> 00:37:56,410 | |
| بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص | |
| 292 | |
| 00:37:56,410 --> 00:38:00,390 | |
| بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود | |
| 293 | |
| 00:38:00,390 --> 00:38:06,700 | |
| في هنا اللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أو | |
| 294 | |
| 00:38:06,700 --> 00:38:21,360 | |
| للنهاية تعريف epsilon capital N طيب أنا | |
| 295 | |
| 00:38:21,360 --> 00:38:27,300 | |
| في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N | |
| 296 | |
| 00:38:31,470 --> 00:38:36,710 | |
| عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو انتر بيها | |
| 297 | |
| 00:38:36,710 --> 00:38:42,510 | |
| سالب واحد على اتنين انتر بيها زائد تلاتة سالب نص | |
| 298 | |
| 00:38:42,510 --> 00:38:47,270 | |
| بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجب | |
| 299 | |
| 00:38:47,270 --> 00:38:53,950 | |
| لكل n أكبر من أو يساوي capital N حيث capital N عدد | |
| 300 | |
| 00:38:53,950 --> 00:39:00,410 | |
| طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilon فنشوف مع بعض هذا | |
| 301 | |
| 00:39:00,410 --> 00:39:07,410 | |
| إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا | |
| 302 | |
| 00:39:07,410 --> 00:39:12,490 | |
| عايز في النهاية absolute value سالب واحد على | |
| 303 | |
| 00:39:12,490 --> 00:39:17,970 | |
| اتنين انتر بيه زائد تلاتة سالب نص بسأل نفسي متى | |
| 304 | |
| 00:39:17,970 --> 00:39:24,570 | |
| هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ | |
| 305 | |
| 00:39:27,220 --> 00:39:34,160 | |
| الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في | |
| 306 | |
| 00:39:34,160 --> 00:39:40,260 | |
| اتنين انتر بيه زائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين | |
| 307 | |
| 00:39:40,260 --> 00:39:46,720 | |
| انتر بيه سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين | |
| 308 | |
| 00:39:46,720 --> 00:39:53,680 | |
| انتر بيه موجبة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق | |
| 309 | |
| 00:39:53,680 --> 00:39:55,580 | |
| بيبقى اصغر من epsilon | |
| 310 | |
| 00:39:58,630 --> 00:40:02,730 | |
| طيب أنا عندي اتنين in تربيع و هاي سالب اتنين in | |
| 311 | |
| 00:40:02,730 --> 00:40:07,450 | |
| تربيع بيروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب | |
| 312 | |
| 00:40:07,450 --> 00:40:10,630 | |
| تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب | |
| 313 | |
| 00:40:10,630 --> 00:40:16,330 | |
| خمسة على اتنين في | |
| 314 | |
| 00:40:16,330 --> 00:40:19,230 | |
| اتنين in تربيع زائد تلاتة | |
| 315 | |
| 00:40:24,890 --> 00:40:31,830 | |
| بدي هذا يكون أصغر من epsilon طيب | |
| 316 | |
| 00:40:31,830 --> 00:40:38,990 | |
| هاد عبارة عن خمسة هاد | |
| 317 | |
| 00:40:38,990 --> 00:40:48,570 | |
| عبارة عن خمسة على اتنين اتنين انتر بيه زي | |
| 318 | |
| 00:40:48,570 --> 00:40:49,370 | |
| التلاتة | |
| 319 | |
| 00:40:52,780 --> 00:41:02,080 | |
| متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا | |
| 320 | |
| 00:41:02,080 --> 00:41:09,220 | |
| بكافئ هذا | |
| 321 | |
| 00:41:09,220 --> 00:41:15,900 | |
| بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر | |
| 322 | |
| 00:41:15,900 --> 00:41:30,390 | |
| بيه زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة إبسلون طيب | |
| 323 | |
| 00:41:30,390 --> 00:41:35,550 | |
| إذا | |
| 324 | |
| 00:41:35,550 --> 00:41:42,470 | |
| أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا | |
| 325 | |
| 00:41:42,470 --> 00:41:49,690 | |
| let epsilon أكبر من الصفر | |
| 326 | |
| 00:41:51,720 --> 00:41:57,880 | |
| نبدأ بـ epsilon أكبر من الصفر تعريف epsilon capital N | |
| 327 | |
| 00:41:57,880 --> 00:42:02,160 | |
| بيقول ابدا بـ epsilon أكبر من الصفر و جيب capital N | |
| 328 | |
| 00:42:03,440 --> 00:42:07,880 | |
| بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N | |
| 329 | |
| 00:42:07,880 --> 00:42:15,440 | |
| أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN | |
| 330 | |
| 00:42:15,440 --> 00:42:17,600 | |
| بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N | |
| 331 | |
| 00:42:17,600 --> 00:42:17,940 | |
| أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN | |
| 332 | |
| 00:42:17,940 --> 00:42:20,660 | |
| و X أصغر من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N | |
| 333 | |
| 00:42:20,660 --> 00:42:21,360 | |
| بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N | |
| 334 | |
| 00:42:21,360 --> 00:42:23,640 | |
| أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN | |
| 335 | |
| 00:42:23,640 --> 00:42:28,200 | |
| و X أصغر | |
| 336 | |
| 00:42:28,200 --> 00:42:35,040 | |
| من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N بحيث | |
| 337 | |
| 00:42:35,040 --> 00:42:43,620 | |
| choose it choose طبعا | |
| 338 | |
| 00:42:43,620 --> 00:42:51,500 | |
| by Archimedean property capital | |
| 339 | |
| 00:42:51,500 --> 00:43:01,200 | |
| N عدد طبيعي بحيث انه واحد على اتنين في capital N | |
| 340 | |
| 00:43:01,200 --> 00:43:07,820 | |
| تربيع زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon | |
| 341 | |
| 00:43:07,820 --> 00:43:20,180 | |
| ممكن | |
| 342 | |
| 00:43:20,180 --> 00:43:26,070 | |
| ألاقي capital N عدد طبيعي ممكن 2 في n تربيع زائد | |
| 343 | |
| 00:43:26,070 --> 00:43:32,170 | |
| تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين n | |
| 344 | |
| 00:43:32,170 --> 00:43:41,290 | |
| تربيع زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان | |
| 345 | |
| 00:43:41,290 --> 00:43:46,770 | |
| اذا لو اخدت small n اكبر من او يساوي ال capital N هذا | |
| 346 | |
| 00:43:46,770 --> 00:44:00,110 | |
| بيقدي انه واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة او بلاش | |
| 347 | |
| 00:44:00,110 --> 00:44:09,230 | |
| absolute اه بيقدي ان absolute طيب | |
| 348 | |
| 00:44:09,230 --> 00:44:16,750 | |
| هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من أو يساوي واحد على | |
| 349 | |
| 00:44:16,750 --> 00:44:25,510 | |
| اتنين capital N تربيع زائد تلاتة وبالتالي هذا | |
| 350 | |
| 00:44:25,510 --> 00:44:31,390 | |
| بيقدي ان ال absolute value ل n تربيع سالب واحد على | |
| 351 | |
| 00:44:31,390 --> 00:44:42,670 | |
| اتنين n تربيع زائد تلاتة سالب نص طلع هذا | |
| 352 | |
| 00:45:09,580 --> 00:45:16,580 | |
| خمسة على اتنين | |
| 353 | |
| 00:45:16,580 --> 00:45:20,140 | |
| في اتنين n تربيع زائد التلاتة | |
| 354 | |
| 00:45:28,400 --> 00:45:34,680 | |
| وهذا هيطلع أصغر من أو يساوي خمسة على اتنين في اتنين | |
| 355 | |
| 00:45:34,680 --> 00:45:42,000 | |
| capital N تربيع زائد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من | |
| 356 | |
| 00:45:42,000 --> 00:45:47,320 | |
| خمسة | |
| 357 | |
| 00:45:47,320 --> 00:45:54,280 | |
| على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو | |
| 358 | |
| 00:45:54,280 --> 00:45:55,160 | |
| بيطلع epsilon | |
| 359 | |
| 00:45:59,840 --> 00:46:03,560 | |
| إذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N | |
| 360 | |
| 00:46:03,560 --> 00:46:08,200 | |
| مرتبطة لـ capital N هي في epsilon depends on epsilon | |
| 361 | |
| 00:46:08,200 --> 00:46:12,280 | |
| بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من أو يساوي | |
| 362 | |
| 00:46:12,280 --> 00:46:17,920 | |
| capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon | |
| 363 | |
| 00:46:19,350 --> 00:46:24,350 | |
| طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon | |
| 364 | |
| 00:46:24,350 --> 00:46:29,770 | |
| capital N of limit بطلع عندي limit n تربيع سالب | |
| 365 | |
| 00:46:29,770 --> 00:46:34,750 | |
| واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة لما n تؤول | |
| 366 | |
| 00:46:34,750 --> 00:46:37,830 | |
| infinity بساوي نص | |
| 367 | |
| 00:46:44,620 --> 00:46:48,560 | |
| بالمثل ممكن نحل باقي التمرين اللي هي الفروع A وB | |
| 368 | |
| 00:46:48,560 --> 00:46:54,940 | |
| و C باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين | |
| 369 | |
| 00:46:54,940 --> 00:47:02,700 | |
| هذه و تحلوا أسئلة زيها في حد عنده أي سؤال تاني في | |
| 370 | |
| 00:47:02,700 --> 00:47:07,260 | |
| هذا ال section طيب | |
| 371 | |
| 00:47:07,260 --> 00:47:12,220 | |
| نحل كمان سؤال في section تلاتة اتنين | |
| 372 | |
| 00:47:27,570 --> 00:47:34,750 | |
| في انكم أي سؤال في section تلاتة اتنين اخر | |
| 373 | |
| 00:47:34,750 --> 00:47:35,250 | |
| سؤال | |
| 374 | |
| 00:47:57,080 --> 00:48:03,480 | |
| هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة | |
| 375 | |
| 00:48:03,480 --> 00:48:13,760 | |
| اتنين suppose | |
| 376 | |
| 00:48:13,760 --> 00:48:24,980 | |
| افترضي ان ال sequence xn converge إلى x و ال | |
| 377 | |
| 00:48:24,980 --> 00:48:33,200 | |
| sequence yn و yn is such that is a sequence | |
| 378 | |
| 00:48:33,200 --> 00:48:40,900 | |
| such that for any epsilon for | |
| 379 | |
| 00:48:40,900 --> 00:48:46,240 | |
| any epsilon أكبر من الصفر يوجد | |
| 380 | |
| 00:48:46,240 --> 00:48:53,780 | |
| m بحيث يوجد عدد m such that | |
| 381 | |
| 00:48:56,580 --> 00:49:06,460 | |
| absolute xn minus yn أصغر من epsilon لكل N أكبر من | |
| 382 | |
| 00:49:06,460 --> 00:49:14,260 | |
| أو يساوي capital N فالسؤال | |
| 383 | |
| 00:49:14,260 --> 00:49:19,060 | |
| does it | |
| 384 | |
| 00:49:19,060 --> 00:49:22,820 | |
| follow هل | |
| 385 | |
| 00:49:22,820 --> 00:49:34,030 | |
| ينتج من ذلك هل ال sequence yn تطلع | |
| 386 | |
| 00:49:34,030 --> 00:49:44,210 | |
| convergent فنشوف | |
| 387 | |
| 00:49:44,210 --> 00:49:44,930 | |
| مع بعض | |
| 388 | |
| 00:49:53,440 --> 00:49:59,260 | |
| كمان مرة اندي two sequences واحدة xn واحدة yn | |
| 389 | |
| 00:49:59,260 --> 00:50:04,280 | |
| ال sequence xn مُعطى انها convergent to some x | |
| 390 | |
| 00:50:04,280 --> 00:50:08,880 | |
| إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس و ال sequence yn | |
| 391 | |
| 00:50:08,880 --> 00:50:14,600 | |
| بتحقق الشرط هذا وهو | |
| 392 | |
| 00:50:14,600 --> 00:50:19,600 | |
| انه لأي epsilon أكبر من صفر في عدد طبيعي حتى هذا | |
| 393 | |
| 00:50:19,600 --> 00:50:27,790 | |
| عدد طبيعي المفروض يكون بنسميه capital N بحيث انه لكل | |
| 394 | |
| 00:50:27,790 --> 00:50:31,810 | |
| n أكبر من أو يساوي capital N المسافة بين xn و yn | |
| 395 | |
| 00:50:31,810 --> 00:50:35,510 | |
| أصغر من epsilon هل هذا بيقدم ال sequence yn | |
| 396 | |
| 00:50:35,510 --> 00:50:40,870 | |
| convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn | |
| 397 | |
| 00:50:40,870 --> 00:50:46,130 | |
| convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn | |
| 398 | |
| 00:50:46,130 --> 00:50:51,270 | |
| لأن هنا الإجابة yes | |
| 399 | |
| 00:50:53,550 --> 00:51:01,270 | |
| and yn converge to x لكن | |
| 400 | |
| 00:51:01,270 --> 00:51:07,570 | |
| هذا بيده برهان اذا | |
| 401 | |
| 00:51:07,570 --> 00:51:11,370 | |
| to see this | |
| 402 | |
| 00:51:11,370 --> 00:51:16,610 | |
| نبدأ | |
| 403 | |
| 00:51:16,610 --> 00:51:18,610 | |
| بـ epsilon أكبر من الصفر | |
| 404 | |
| 00:51:36,810 --> 00:51:44,450 | |
| let by hypothesis من الفرض من | |
| 405 | |
| 00:51:44,450 --> 00:51:50,820 | |
| الفرض من ال hypothesis أنا عندي absolute xn minus | |
| 406 | |
| 00:51:50,820 --> 00:51:54,860 | |
| yn أصغر | |
| 407 | |
| 00:51:54,860 --> 00:52:03,700 | |
| من epsilon أكبر من أو يساوي صفر وهذا صحيح لكل n أكبر | |
| 408 | |
| 00:52:03,700 --> 00:52:10,440 | |
| من أو يساوي capital M وهذا | |
| 409 | |
| 00:52:10,440 --> 00:52:15,380 | |
| الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من الصفر | |
| 410 | |
| 00:52:24,820 --> 00:52:36,980 | |
| فمن هنا فمن | |
| 411 | |
| 00:52:36,980 --> 00:52:45,680 | |
| هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n | |
| 412 | |
| 00:52:45,680 --> 00:52:49,420 | |
| تؤول infinity بساوي صفر | |
| 413 | |
| 00:52:54,150 --> 00:52:58,570 | |
| مش شرط هذا أنا | |
| 414 | |
| 00:52:58,570 --> 00:53:03,950 | |
| عندي ال .. | |
| 415 | |
| 00:53:03,950 --> 00:53:08,010 | |
| ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة صفر؟ معناه | |
| 416 | |
| 00:53:08,010 --> 00:53:16,620 | |
| لأي epsilon أكبر من الصفر يوجد capital M عدد طبيعي | |
| 417 | |
| 00:53:16,620 --> 00:53:21,840 | |
| يعتمد على epsilon بحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي | |
| 418 | |
| 00:53:21,840 --> 00:53:28,860 | |
| capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus | |
| 419 | |
| 00:53:28,860 --> 00:53:34,700 | |
| الصفر أصغر من epsilon هي معنى ان limit ال sequence | |
| 420 | |
| 00:53:34,700 --> 00:53:40,740 | |
| للفرق بساوي صفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من | |
| 421 | |
| 00:53:40,740 --> 00:53:46,660 | |
| سفر يوجد M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على | |
| 422 | |
| 00:53:46,660 --> 00:53:51,020 | |
| ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو يساوي M | |
| 423 | |
| 00:53:51,020 --> 00:53:55,540 | |
| المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي | |
| 424 | |
| 00:53:55,540 --> 00:54:00,140 | |
| سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هي متحقق هنا هي | |
| 425 | |
| 00:54:00,140 --> 00:54:04,850 | |
| متحققة تمام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn | |
| 426 | |
| 00:54:04,850 --> 00:54:14,070 | |
| minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن | |
| 427 | |
| 00:54:14,070 --> 00:54:20,870 | |
| كتبتها على صورة yn | |
| 428 | |
| 00:54:20,870 --> 00:54:32,610 | |
| سالب xn موجب xn وهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زائد Xn | |
| 429 | |
| 00:54:32,610 --> 00:54:40,630 | |
| تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity | |
| 430 | |
| 00:54:40,630 --> 00:54:49,110 | |
| بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn | |
| 431 | |
| 00:54:49,110 --> 00:54:56,410 | |
| مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limit زائد limit | |
| 432 | |
| 00:54:56,410 --> 00:55:03,770 | |
| xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا | |
| 433 | |
| 00:55:03,770 --> 00:55:08,770 | |
| لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence | |
| 434 | |
| 00:55:08,770 --> 00:55:16,570 | |
| xn minus yn بالساوية سفر، سالب واحد في سفر | |
| 435 | |
| 00:55:19,990 --> 00:55:26,850 | |
| زائد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence | |
| 436 | |
| 00:55:26,850 --> 00:55:32,370 | |
| yn تطلع بالساوي x اذا | |
| 437 | |
| 00:55:32,370 --> 00:55:37,210 | |
| هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال | |
| 438 | |
| 00:55:37,210 --> 00:55:44,210 | |
| limit تبعتها بالساوي x تمام البرهان هنا اعتمد على | |
| 439 | |
| 00:55:44,210 --> 00:55:49,890 | |
| انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض | |
| 440 | |
| 00:55:49,890 --> 00:55:57,390 | |
| معناه ان limit ال sequence xn minus yn بالساوي | |
| 441 | |
| 00:55:57,390 --> 00:56:04,290 | |
| سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف | |
| 442 | |
| 00:56:04,290 --> 00:56:09,190 | |
| epsilon N لل limit هذا هو البرهان | |