PL9fwy3NUQKwYaToDpbPxaOdkUX3PS_VKf/7KldLDfPxv0.srt

1
00:00:19,490 --> 00:00:25,010
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى محاضرة الصباح

2
00:00:25,010 --> 00:00:30,130
بدأنا في محاضرة الصباح بـ Cauchy Euler equation

3
00:00:30,130 --> 00:00:34,290
حطينا الصيغة العامة لها وبعدين خدنا حالة منها

4
00:00:34,290 --> 00:00:36,850
خاصة اللي هو كانت من

5
00:00:48,230 --> 00:00:52,730
المعادلة الأصلية لـ كوشي  أن هناك

6
00:00:52,730 --> 00:00:58,380
طريقان للحل، الطريق الأول اللي هو بالتعويض قلنا لو

7
00:00:58,380 --> 00:01:04,980
حطينا التعويضة X يساوي E أُس T، خدنا ln للطرفين فصار

8
00:01:04,980 --> 00:01:11,080
T تساوي ln X، اشتقينا DT على DX يساوي 1 على X، ثم 

9
00:01:11,080 --> 00:01:15,880
بعد ذلك روحنا جيبنا Y' و Y'' بدل ما نشتق

10
00:01:15,880 --> 00:01:20,260
بالنسبة لـ X، حولنا الاشتقاق بالنسبة إلى T وبالتالي

11
00:01:20,260 --> 00:01:24,490
عوضنا  الـ Variables وسمينا هذه هي الطريقة

12
00:01:24,490 --> 00:01:29,270
الأولى، يعني الطريقة الأولى بواسطه تعويضة بتبعدنا

13
00:01:29,270 --> 00:01:35,110
حولنا المعادلة من معادلة بمعاملات متغيرة إلى

14
00:01:35,110 --> 00:01:39,670
معادلة بمعاملات ثابتة وبالتالي بنروح نحل هذه كما 

15
00:01:39,670 --> 00:01:44,090
كنا بنحل في الـ sections الماضية، انتقلنا الآن إلى

16
00:01:44,090 --> 00:01:49,970
الطريقة الثانية اللي كتبناها قبل ساعتين من الآن 

17
00:01:49,970 --> 00:01:56,510
طريقة نفترض أن Y يساوي X أُس R عبارة عن solution و

18
00:01:56,510 --> 00:02:00,170
رحنا اشتغلنا مرة مرتين ثلاثة N من المرات وعوضنا

19
00:02:00,170 --> 00:02:07,400
في المعادلة، حصلنا على المعادلة المساعدة

20
00:02:07,400 --> 00:02:13,440
أو المعادلة المميزة للمعادلة الأصلية ورحنا هذه 

21
00:02:13,440 --> 00:02:17,880
المعادلة لما جينا نحل هذه المعادلة صار عندي أحد

22
00:02:17,880 --> 00:02:22,780
ثلاثة احتمالات، الاحتمال الأول، الاحتمال الثاني، 

23
00:02:22,780 --> 00:02:26,760
الاحتمال الثالث، سميتها ثلاث حالات نجي للحالة

24
00:02:26,760 --> 00:02:30,800
الأولى لو equation double star هذه المعادلة

25
00:02:30,800 --> 00:02:35,900
المميزة has distinct roots يبقى صار عندي R واحد

26
00:02:35,900 --> 00:02:40,700
لا يساوي R اثنين، لا يساوي R ثلاثة، لا يساوي... لا يساوي RN 

27
00:02:40,700 --> 00:02:45,220
ولا واحد زي الثاني، ما هو الشكل العام للحل يبقى 

28
00:02:45,220 --> 00:02:48,160
الشكل العام للحل C1 في X أُس R1

29
00:02:56,780 --> 00:03:01,000
الحلول يبقى كونصا في الأول، و كونصا في الثاني، و

30
00:03:01,000 --> 00:03:05,420
يمثل الـ general solution إذا الحلول كانوا real and

31
00:03:05,420 --> 00:03:11,030
different، بنجي للحالة الثانية لو equation star has

32
00:03:11,030 --> 00:03:16,070
complex roots، المعادلة طالعة عندما فيها جذور

33
00:03:16,070 --> 00:03:20,890
تخيلية، فعلى سبيل المثال لو أخدنا جذرين منهم ماذا

34
00:03:20,890 --> 00:03:25,330
يكون شكل الحل؟ يبقى باجي بقول الحل بيكون X to the

35
00:03:25,330 --> 00:03:31,390
power إيه؟ ليش؟ لأنه بدي يطلع اللي هو الـ R يساوي A

36
00:03:31,390 --> 00:03:37,450
زائد IB، تمام؟ A زائد و الـ conjugate تبعه A ناقص IB

37
00:03:37,450 --> 00:03:41,470
الحل الأول R واحد A زائد IB والحل الثاني R اثنين

38
00:03:41,470 --> 00:03:47,510
بديه يساوي A ناقص IB، يبقى الـ E الـ X أُس A في مين؟ في

39
00:03:47,510 --> 00:03:53,230
C واحد cos B ln X زائد C اثنين sin B ln

40
00:03:53,230 --> 00:03:59,050
X، يعني يا بنات هنا كنا نقول هناك في الحقيقي في 

41
00:03:59,050 --> 00:04:04,550
التخيلة لما كانوا المعاملات حقيقية، بقى نقول C1 Cos

42
00:04:04,550 --> 00:04:11,050
Bx ماعنديش ln لكن هنا جانبين ln X زي C2 Sin B

43
00:04:11,050 --> 00:04:16,140
ln X، الحالة الثالثة، الحالة الثالثة لحالة الـ real 

44
00:04:16,140 --> 00:04:20,000
قد يكون real و repeated وقد يكون complex و

45
00:04:20,000 --> 00:04:24,300
repeated، فكيف نسوي في هذه الحالة؟ يبقى باجي للحالة 

46
00:04:24,300 --> 00:04:27,780
الأولى الـ equation اثنين has real repeated roots of

47
00:04:27,780 --> 00:04:33,000
multiplicity S، عدد مرات التكرار S والباقي يمكن

48
00:04:33,000 --> 00:04:38,320
يكون real يا إما S ممكن يكون كله complex وتساوي N 

49
00:04:38,320 --> 00:04:43,740
بس بشرط أن الـ N عدد زوجي، يبقى بيصير R واحد يساوي R

50
00:04:43,740 --> 00:04:48,700
الثاني يساوي RS يساوي R، يبقى في هذه الحالة شكل الـ

51
00:04:48,700 --> 00:04:52,400
general solution زي شكله with constant

52
00:04:52,400 --> 00:04:57,720
coefficients، ما عدل X بشيله وبحط بداله ln X 

53
00:04:57,720 --> 00:05:02,240
والباقي كل شيء زي ما هو، تطلع C1، C2 ln X، C3 ln X

54
00:05:02,240 --> 00:05:07,700
نرويها C4 ln X تكريم لغاية ما وصل لـ CS ln X أُس S

55
00:05:07,700 --> 00:05:15,890
-1 في X أُس R لأن الأُس هذا صار مكرر، تمام؟ طيب لو

56
00:05:15,890 --> 00:05:20,210
كانوا الـ roots are repeated complex conjugate لو

57
00:05:20,210 --> 00:05:24,610
كانوا هذا real لو كانوا complex يبقى بدي يصير الحل

58
00:05:24,610 --> 00:05:29,450
X أُس A زي ما هي تبعيتي تبع الـ complex بس ايش بدي

59
00:05:29,450 --> 00:05:32,930
يصير؟ A واحد زي دي اثنين ln X زي دي A أُس ln

60
00:05:41,450 --> 00:05:48,130
الثوابت المتغيرات C1 وC2 لغاية CS كلها في Sin B ln

61
00:05:48,130 --> 00:05:54,460
X، يبقى هذه بدي أفهمها إنها عبارة عن مين؟ عبارة عن

62
00:05:54,460 --> 00:06:00,000
الحل X أُس A في الـ polynomial الكبير هذا من 

63
00:06:00,000 --> 00:06:05,540
الدرجة لأن S ناقص واحد في الـ cosine P ln X زي الـ

64
00:06:05,540 --> 00:06:09,000
polynomial من نفس الدرجة Sin P ln X في حتة الـ

65
00:06:09,000 --> 00:06:13,340
complex لكن في حالتها الـ real لا عندي Cosine ولا

66
00:06:13,340 --> 00:06:19,360
عندي Sin polynomial فقط لغير في X أُس A، هل بتحب تسأل

67
00:06:19,360 --> 00:06:24,660
أي سؤال هنا قبل أن ندخل الأمثلة؟

68
00:06:31,850 --> 00:06:35,070
ماشي، المثال الأول طبعًا احنا حققنا معانا طريقتين يا

69
00:06:35,070 --> 00:06:39,290
بنات أن قيدني بطريقة بدي التزم في انجل يوز the

70
00:06:39,290 --> 00:06:44,330
substitution X يساوي E أُس T، يعني بده مين؟ بده

71
00:06:44,330 --> 00:06:48,450
يحول المعلق، يمكن يقول لي كمان اجيب لي السؤال بطريقة

72
00:06:48,450 --> 00:06:52,690
ثانية يعطي المعلق ويقول لي change او use the 

73
00:06:52,690 --> 00:06:57,630
substitution X يساوي E أُس T to change، هذه هي 

74
00:06:57,630 --> 00:06:59,670
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار 

75
00:06:59,670 --> 00:07:00,610
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار 

76
00:07:00,610 --> 00:07:01,190
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار

77
00:07:01,190 --> 00:07:01,570
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار

78
00:07:01,570 --> 00:07:04,430
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار

79
00:07:04,430 --> 00:07:09,830
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار

80
00:07:09,830 --> 00:07:12,630
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار

81
00:07:12,630 --> 00:07:14,450
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار

82
00:07:14,450 --> 00:07:20,360
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، يبقى أول

83
00:07:20,360 --> 00:07:23,180
مثال يقول Find the general solution of the 

84
00:07:23,180 --> 00:07:27,580
differential equation ولم يقيدني، ما قيدنيش، لكن أنا

85
00:07:27,580 --> 00:07:30,720
كونه أول مثال بدي أحله بالطريقتين وبدي أبين أن 

86
00:07:30,720 --> 00:07:35,380
الطريقتين ما لهما نفس الشيء، ما بتغيرش فيها ايه ولا 

87
00:07:35,380 --> 00:07:39,260
حاجة، يبقى بدي أجي للحل الأول اللي عندنا هذا 

88
00:07:43,620 --> 00:07:51,100
يبقى بداجة أقول استخدم التعويضة Put X يساوي E أُس

89
00:07:51,100 --> 00:07:58,260
T، هذا بتعطيك T يساوي ln X، هذا بتعطيك الـ DT على DX

90
00:07:58,260 --> 00:08:05,720
يساوي 1 على X and الـ Y' يا بنات كده ايش طلعت؟ مش 1

91
00:08:05,720 --> 00:08:12,120
على X في الـ DY على DT صح؟ طب والـ Y''

92
00:08:17,770 --> 00:08:26,430
D²Y على DT²، أيوة، ناقص DY على

93
00:08:26,430 --> 00:08:35,000
DT، طب الحمد لله، بس أنت بتفرض التعويضة وتقول إذا

94
00:08:35,000 --> 00:08:37,700
كذا ما عنديش مشكلة، ما عندك تروح تستنتجيها من أول و

95
00:08:37,700 --> 00:08:41,760
جديد، لكن إذا كنت نسيتها بديك تروح تستنتجيها من أول

96
00:08:41,760 --> 00:08:46,560
و جديد، طيب يبقى الآن بدي أمسك المعلومات هذه واعوض

97
00:08:46,560 --> 00:08:51,120
وين؟ في المعادلة اللي هي أصلية اللي هي star يبقى

98
00:08:51,120 --> 00:08:55,000
باجي بقول المعادلة star بصير X تربيع في الـ Y''

99
00:08:55,000 --> 00:09:03,930
هي هي 1 على X تربيع في D²Y على DT² ناقص DY

100
00:09:03,930 --> 00:09:10,050
على DT بالشكل اللي عندنا هنا اللي بعدها ناقص 3X 

101
00:09:10,050 --> 00:09:16,170
فيه بدي أشيل الـ Y' وأحط قيمة التالي 1 على X في DY 

102
00:09:16,170 --> 00:09:24,510
على DT، خلصنا منها، زائد 4Y، مش غيرها، تمام؟ كل هذا

103
00:09:24,510 --> 00:09:29,590
الكلام يساوي كده؟ Zero، أظن X تربيع مع X تربيع راحت

104
00:09:29,590 --> 00:09:35,010
مع السلامة، يبقى D Square Y على DT Square ناقص DY

105
00:09:35,010 --> 00:09:42,650
على DT ناقص ثلاثة DY على DT زائد أربعة Y بدأت تساوي

106
00:09:42,650 --> 00:09:52,040
Zero، لو روحنا جماعة مهدول بصير D2Y على DT2 ناقص 4DY

107
00:09:52,040 --> 00:10:00,600
على DT زائد 4Y بده يساوي قداش؟ Zero، أطلع في المعادلة

108
00:10:00,600 --> 00:10:04,680
star واطلع في المعادلة بعد التعويض كيف صارت

109
00:10:04,680 --> 00:10:09,820
المعادلة star، المعاملات عندي متغيرات بدلالة الـ X

110
00:10:09,820 --> 00:10:15,400
لكن لما حطيت التعويض هذه حولت إلى معادلة بمعاملات 

111
00:10:15,400 --> 00:10:21,460
ثابتة، إذا بتروح أحلّي المعادلة هذه بمين؟ بالمعاملات 

112
00:10:21,460 --> 00:10:29,110
الثابتة، كيف بنحلي الحل؟ let Y تساوي E أُس RT، ما عنديش

113
00:10:29,110 --> 00:10:33,250
X هنا بطل يصير عندي X، الشغل نتوهّل من دلالة X إلى

114
00:10:33,250 --> 00:10:38,810
دلالة T، يبقى بداجة أقول له let وسمّيلي هذه 

115
00:10:38,810 --> 00:10:47,970
المعادلة رقم Star، let Y تساوي E أُس RT بـ A

116
00:10:47,970 --> 00:11:00,120
solution of إذا كانت المقارنة مربوطة ثم المقارنة

117
00:11:00,120 --> 00:11:05,500
الخاصة هي 

118
00:11:06,540 --> 00:11:14,900
R تربيع ناقص أربعة R زائد أربعة يساوي Zero، يعني هذه

119
00:11:14,900 --> 00:11:21,440
مالها R ناقص اثنين لكل تربيع يساوي Zero، يبقى الجذور 

120
00:11:21,440 --> 00:11:31,280
حقيقية ومكررة كم مرة؟ مرتين، يبقى هذا معناه أن R

121
00:11:31,280 --> 00:11:41,750
تساوي اثنين of multiplicity، بالإضافة لـ ECT، كررت مرتين 

122
00:11:41,750 --> 00:11:52,930
إذا بدأت أقول له The general solution of equation

123
00:11:52,930 --> 00:12:00,880
double star is Y تساوي، مش طبعًا أنا كنت ملاّعب

124
00:12:00,880 --> 00:12:04,660
بدلالة text احنا راهيب نشتغل على T، يبقى شو بدي يصير 

125
00:12:04,660 --> 00:12:16,560
تكرار مرتين يبقى C1 زي C2T في قداش؟ في E أُس اثنين T

126
00:12:16,560 --> 00:12:19,620
طب

127
00:12:19,620 --> 00:12:27,050
الجواب ايش طلعناه؟ بدلالة ايش؟ T،  والأصل بدرجة أو

128
00:12:27,050 --> 00:12:30,370
بدلالة X، بكون جيب تحليل المعادلة الأصلية اللي هو

129
00:12:30,370 --> 00:12:34,970
star، يبقى باجي بقوله The general solution of

130
00:12:34,970 --> 00:12:44,730
equation A star is الـ Y يساوي C1 زائد C2 قداش؟ الـ 

131
00:12:44,730 --> 00:12:57,360
T حطيناها قداش؟ لأن الـ X في E أُس 2T، لأن الـ X مظبوط

132
00:12:57,360 --> 00:13:03,480
يبقى ايه صارت بدل لثمين X هذه؟ هذه يا بنات هي C1 

133
00:13:03,480 --> 00:13:12,320
زائد C2 ln X، نجي هذه مش هذه E ln X تربيع اثنين

134
00:13:12,320 --> 00:13:17,420
بدخلها جوا الـ ln الـ E والـ L عكس بعض يبقى صار جداش؟

135
00:13:17,420 --> 00:13:23,860
X تربيع، يبقى هذا الحل بالطريقة الأولى، بدنا نروح

136
00:13:23,860 --> 00:13:30,980
نحله بالطريقة، بالطريقة الثانية، نجربها لأنه ما قال لي 

137
00:13:30,980 --> 00:13:34,980
احنا اثنين في الامتحان، أنا أجيب بالي الطريقة 

138
00:13:34,980 --> 00:13:37,080
الأولى ورحت حلّ التباهي، أنت اجيب بالي الطريقة

139
00:13:37,080 --> 00:13:41,200
الثانية، بنشوف هل الطريقتين بيعطوني نفس الحل ولا كل

140
00:13:41,200 --> 00:13:48,100
واحد بتعطيني حل شكل الله أعلم، تعالي نشوف، أيوة مين 

141
00:13:48,100 --> 00:13:52,420
اللي بتسأل احنا؟ طيب بنفعل الحل اللي هي الـ

142
00:13:52,420 --> 00:13:54,060
differential equation 

143
00:13:56,980 --> 00:14:00,120
بايش؟ كيف كنا بنحلها في الشفتر الأول؟ مش هي احنا 

144
00:14:00,120 --> 00:14:04,320
قلنا little y ساوي E أُس RT هي طريقة... لأ لأ

145
00:14:04,320 --> 00:14:07,660
هي الـ equation star two stars هذه بنحلها زي ما كنا

146
00:14:07,660 --> 00:14:10,420
نحلها سابقًا، star ولا double star؟ double star، و

147
00:14:10,420 --> 00:14:13,560
double star، ما احنا بنحلها زي قبل، لأ، زي أي هم شفتر

148
00:14:13,560 --> 00:14:16,520
واحد، Second order differential equation أخدنا two

149
00:14:16,520 --> 00:14:20,990
cases special cases T missing و X missing فيش مشكلة

150
00:14:20,990 --> 00:14:24,030
أحديها بأي طريقة، لكن مين اللي أسأله؟ هذه والله 

151
00:14:24,030 --> 00:14:27,190
الـ X مسجد والـ T مسجد، هذه بيخليّجي بلها الدورة،

152
00:14:27,190 --> 00:14:30,650
وأنت حر بقى، تروح وترجع، تتعقز في الكلام اللي

153
00:14:30,650 --> 00:14:34,210
عطيك، أنت حر، هذا شأنك، أنا بدي شغل، بس الشغل يكون

154
00:14:34,210 --> 00:14:39,330
صحيح بأي طريقة تشتي، ما لم أقيدك، فيش تقييد،

155
00:14:39,330 --> 00:14:43,310
خلاص، شغل اللي بديكي يعني، ماشي؟ طب لو صار 

156
00:14:43,310 --> 00:14:47,990
الـ third order يبقى نفعش الكلام اللي إتيه يبقى

157
00:14:47,990 --> 00:14:51,590
يخليه يتعود كل طريقة بناخدها نتعودها مش نهملها و

158
00:14:51,590 --> 00:14:58,030
نسيبها، طيب بنيجي نكمل، يبقى هذا بالشكل اللي عندنا

159
00:14:58,030 --> 00:15:02,970
هذا وخلي كيس ثلاثة يمكن تلزم، يبقى بالدهجة اللي 

160
00:15:02,970 --> 00:15:07,570
أقول الآن a second solution

161
00:15:09,270 --> 00:15:20,410
بعد ذلك أقول let Y تساوي X أُس R بيه solution of the

162
00:15:20,410 --> 00:15:23,770
equation star

163
00:15:26,940 --> 00:15:32,660
بدا أجيب Y' اللي هو مين؟ R X أُس R ناقص الواحد

164
00:15:32,660 --> 00:15:39,260
بعدين بدي أجيب الـ Y'' R في R ناقص الواحد في X

165
00:15:39,260 --> 00:15:45,010
أُس R ناقص الاثنين، بتاخد المعلومات وروح اعوض وين

166
00:15:45,010 --> 00:15:53,470
في هذه المعادلة، يبقى يا بنات ايش بيصير؟ XY''-3XY'

167
00:15:53,470 --> 00:15:57,030
زائد 4Y يساوي 

168
00:16:03,280 --> 00:16:14,800
يبقى X تربيع في الـ Y'' هي R في R-1 في X أُس R-2

169
00:16:15,220 --> 00:16:22,500
ناقص ثلاثة X في الـ Y'

201
00:19:45,810 --> 00:19:53,290
هذا أول مثال له سؤال 6 من الكتاب المثال الثاني له

202
00:19:53,290 --> 00:20:02,450
سؤال 10 من الكتاب مثال 2 هذا سؤال 10 من الكتاب

203
00:20:02,450 --> 00:20:09,790
يقول السؤال The differential equation of x تربيع و

204
00:20:09,790 --> 00:20:18,490
y double prime ناقص خمسة x y prime زائد ثلاثة عشر y

205
00:20:18,490 --> 00:20:22,810
بده يساوي zero وهذا اللي بدي أسميها main واللي

206
00:20:22,810 --> 00:20:31,170
بدي أسميها ال start يبقى 

207
00:20:31,170 --> 00:20:32,990
بدي أبدأ solution

208
00:20:36,130 --> 00:20:39,630
أظن أنه لا يوجد دا على الطريقين بيكفيني واحدة لكن

209
00:20:39,630 --> 00:20:44,230
التان تان اتعلمناهم تاني أسهلي خلاص بالتاني يبقى

210
00:20:44,230 --> 00:20:50,270
باجي بيقول في الطريق أن ال Y يساوي X أُس R 

211
00:20:50,270 --> 00:21:01,410
solution of equation A star with X greater than 0

212
00:21:01,410 --> 00:21:09,400
يبقى then الـ Y' بدي يساوي R X أُس R ناقص الـ 1

213
00:21:09,400 --> 00:21:17,620
و y double prime R في R ناقص الـ 1 في X أُس R ناقص الـ 2

214
00:21:17,620 --> 00:21:28,040
الآن بدي بقوله Substitute in equation star we get

215
00:21:28,860 --> 00:21:34,600
نحصل على ما يلي هي ال X تربيع برا وهذه R في R

216
00:21:34,600 --> 00:21:40,120
في R ناقص ال one في X أُس R ناقص ال two

217
00:21:40,120 --> 00:21:46,900
اللي بعدها ناقص خمسة X في ال Y prime R X أُس R 

218
00:21:46,900 --> 00:21:53,600
ناقص ال one اللي بعدها زائد ثلاثة عشر X أُس R كله

219
00:21:53,600 --> 00:22:01,500
بده يساوي Zero هذه لو فكتها R في R ناقص ال one في

220
00:22:01,500 --> 00:22:10,460
X أُس R ناقص خمسة R X أُس R زائد ثلاثة عشر X أُس R

221
00:22:10,460 --> 00:22:16,630
بده يساوي Zero أظن لو جسمنا على الـ X أُس R بنحصل

222
00:22:16,630 --> 00:22:21,650
على الـ characteristic equation على الصيغة التالية

223
00:22:21,650 --> 00:22:30,480
R تربيع ناقص خمسة R زائد ثلاثة عشر يساوي Zero أو بمعنى آخر R 

224
00:22:30,480 --> 00:22:39,100
تربيع ناقص R ناقص خمسة R زائد ثلاثة عشر يساوي Zero أو

225
00:22:39,100 --> 00:22:49,260
R تربيع ناقص ستة R زائد ثلاثة عشر بده يساوي Zero وهذه 

226
00:22:49,260 --> 00:22:52,320
اللي بنسميها ال characteristic

227
00:22:59,700 --> 00:23:04,580
بعد إنجاز الشغل الروتيني بدي أحلل المعادلة هذه هل

228
00:23:04,580 --> 00:23:10,740
يمكن تحليل هذه المعادلة؟ في إمكانية لكن كلها من

229
00:23:10,740 --> 00:23:14,120
الدرجة الثانية مش قادرة أحللها بروحي بحل بالقانون 

230
00:23:14,120 --> 00:23:19,260
واللي الله سبحانه وتعالى يفرجها تمام؟ يبقى باجي

231
00:23:19,260 --> 00:23:25,160
بيقول هذا R وأنا متأكد أنه سيفرجها سيفرجها إذا الله 

232
00:23:25,160 --> 00:23:28,920
ما فرجهاش مين بده يفرجها؟ يبقى هاي ناقص بقى بيصير

233
00:23:28,920 --> 00:23:33,340
ستة زائد أو ناقص الجذر التربيعي ستة في ستة 

234
00:23:51,950 --> 00:24:02,040
أربعة في ثلاثة باتنين وخمسين 52 مضروب

235
00:24:02,040 --> 00:24:13,460
قداش سالب 16 على 2 يعني 6 زائد أو ناقص اللي هو 4I

236
00:24:13,460 --> 00:24:21,360
كله مقسوم على قداش 2 يبقى بده يساوي 3 زائد أو ناقص

237
00:24:21,360 --> 00:24:29,050
2I يبقى عندنا ال a هنا بقداش يا بنات وال b تساوي كده 

238
00:24:29,050 --> 00:24:34,850
إذا بقدر أجيب ال general solution يبقى بروح بقوله

239
00:24:34,850 --> 00:24:46,270
the general solution of the differential equation

240
00:24:46,270 --> 00:24:57,330
star is y تساوي X أُس R يبقى X أُس كده؟ أُس ثلاثة،

241
00:24:57,330 --> 00:25:03,850
X أُس إيه؟ فيه عندنا جذرين، اثنين are conjugate

242
00:25:03,850 --> 00:25:10,310
وما فيش غيرهم، يبقى بش باجي بقول C واحد كوسين، كده يا

243
00:25:10,310 --> 00:25:14,130
بنات؟ اثنين، اثنين، اثنين، اثنين، اثنين، اثنين، 

244
00:25:23,910 --> 00:25:30,470
كفى الله المؤمنين القتال هذا كان المثال رقم اثنين

245
00:25:30,470 --> 00:25:37,330
بدنا نروح للمثال رقم ثلاثة مثال رقم ثلاثة بيقول ما

246
00:25:37,330 --> 00:25:46,280
يأتي solve the Differential Equation مثل المعادلة

247
00:25:46,280 --> 00:25:53,260
التفاضلية X تكعيب Y triple prime Y triple prime 

248
00:25:53,260 --> 00:26:00,240
ناقص X تربيع و Y double prime زائد X في Y prime

249
00:26:00,240 --> 00:26:05,920
بده يساوي كم؟ بده يساوي Zero وهذه هي المعادلة رقم

250
00:26:05,920 --> 00:26:09,520
start خليني 

251
00:26:09,520 --> 00:26:20,060
أسأل السؤال التالي هل هذه كوشي أويلر equation؟ هل

252
00:26:20,060 --> 00:26:25,460
هذه كوشي أويلر equation؟ هل 

253
00:26:25,460 --> 00:26:32,080
هذه كوشي أويلر equation؟ هل هذه كوشي

254
00:26:32,080 --> 00:26:38,050
أويلر equation؟ هل هذه كوشي أويلر equation؟ أنا كنت

255
00:26:38,050 --> 00:26:41,650
بسألها سؤال مش شايفة، كنت شايفة المكتوب على 

256
00:26:41,650 --> 00:26:44,270
الدافع، بس أنا .. ايه مكتوب؟ هي فوق وقدامك أنا 

257
00:26:44,270 --> 00:26:53,690
بسأل فيه هذا، هذه كوشي أويلر equation؟ طلع

258
00:26:53,690 --> 00:26:57,190
في القصة تبع ال X وطلع في المشتقة، زي بعض والله 

259
00:26:57,190 --> 00:27:03,800
بيختلفوا كلهم زي بعض حتى وإن غاب term حتى وإن غاب

260
00:27:03,800 --> 00:27:09,220
two terms يعني إحنا لو شيلنا كمان هذا بتظهر كوشي

261
00:27:09,220 --> 00:27:12,580
أو أويلر equation حتى لو شيلنا اثنين هذول بتظهر

262
00:27:12,580 --> 00:27:18,780
كوشي أو أويلر equation بهمان الأس تبع ال X يكون جد

263
00:27:18,780 --> 00:27:23,580
المشتقة بالضمن تكعيب يجب على المشتقة الثالثة تربيع 

264
00:27:23,580 --> 00:27:26,140
يجب على المشتقة الثانية يجب على الصحة صوتين

265
00:27:26,140 --> 00:27:31,310
غاليكم معايا كويس دينا بالكم يبقى بدنا نجي لمن؟ لـ

266
00:27:31,310 --> 00:27:34,890
الحل يبقى بدي أفترض بنفس الطريقة التكتيكي اللي 

267
00:27:34,890 --> 00:27:44,390
اتبعته هنا بدأشي أقوله افترض أن ال Y تساوي X أُس R 

268
00:27:44,390 --> 00:27:49,870
ب solution of

269
00:27:49,870 --> 00:27:58,510
equation star with X greater than 0 يبقى بدنا نكتب

270
00:27:58,510 --> 00:28:01,050
ال characteristic equation دغري يا بنات والله ايش 

271
00:28:01,050 --> 00:28:09,330
رأيكوا يبقى the characteristic equation is طب يلا

272
00:28:09,330 --> 00:28:12,490
مدام دغري ينجلوني كدهش ال characteristic equation

273
00:28:12,490 --> 00:28:18,310
اللي هي دي R في كدهش في R ناقص واحد في R ناقص

274
00:28:18,310 --> 00:28:28,010
اثنين مظبوط وهنا ناقص هذه قدرات R في R ناقص واحد

275
00:28:28,010 --> 00:28:35,910
وهذه زائد R كله بده يساوي قداش زي يعني كأنه عوض

276
00:28:35,910 --> 00:28:40,590
واشتق وقسم على X plus R وصلت زي ما كنا بنعمل في

277
00:28:40,590 --> 00:28:45,070
حالة ال equations with constant coefficients

278
00:28:45,070 --> 00:28:49,230
بالضبط تماما طيب ضايق أفكك هذه المعادلة أظن أن

279
00:28:49,230 --> 00:28:54,070
عندي هنا R وعندي هنا R وعندي هنا R بقدر آخذها برا 

280
00:28:54,070 --> 00:28:58,630
عامل مشترك إذا لو أخذت ال R برا عامل مشترك كده

281
00:28:58,630 --> 00:29:03,210
بيظل عندي؟ حصل ضرب الاثنين هذول اللي هو R تربيع

282
00:29:03,210 --> 00:29:11,350
ناقص ثلاثة R زائد اثنين صح؟ وهنا هذه بيصير ناقص R

283
00:29:11,350 --> 00:29:16,370
زائد واحد وهذه بيظل عندي كدهش لما أخذت منها R بظل

284
00:29:16,370 --> 00:29:19,710
واحد مظبوط هيك؟ أه 

285
00:29:23,260 --> 00:29:32,360
هذه R في R تربيع عندك ناقص 3R وناقص 4R ناقص 4R دل

286
00:29:32,360 --> 00:29:37,740
عندك اثنين واثنين كمان كده أربعة كله بده يساوي 0

287
00:29:37,740 --> 00:29:42,780
إذا شكل ال characteristic equation صارت R في R

288
00:29:42,780 --> 00:29:51,330
ناقص اثنين لكل تربيع يبقى الـ roots واحد 

289
00:29:51,330 --> 00:29:55,070
منهم مكرر مرتين ممتاز جدا

290
00:30:17,600 --> 00:30:35,540
Y ثم Y ساعة يبقى C1 في X أُس 0 C2

291
00:30:35,540 --> 00:30:46,940
زائد C3 لأن X في X أُس 2 يبقى هذا شكل ال general

292
00:30:46,940 --> 00:30:51,420
solution اللي عندك حد فيكم لأي استفسار قبل أن أذهب

293
00:30:51,420 --> 00:30:58,580
إلى المثال الذي يليه في أي تساؤل؟ هاي، أروح الآن

294
00:30:58,580 --> 00:31:05,280
للمثال اللي بعده

295
00:31:05,280 --> 00:31:14,740
يبقى

296
00:31:14,740 --> 00:31:16,280
باجي لـ Example 4

297
00:31:27,600 --> 00:31:28,860
Solve the equation

298
00:31:34,610 --> 00:31:43,150
Equation المعادلة X ناقص ثلاثة لكل تربيع في ال Y

299
00:31:43,150 --> 00:31:51,090
double prime زائد ثلاثة في X ناقص ثلاثة في ال Y

300
00:31:51,090 --> 00:31:57,950
prime زائد Y بده يساوي Zero وال X greater than 

301
00:31:57,950 --> 00:31:58,770
ثلاثة

302
00:32:30,510 --> 00:32:37,270
السؤال الذي سألناه قبل قليل قائماً ولكما Is it a 

303
00:32:37,270 --> 00:32:39,170
Cauchy-Euler equation؟

304
00:32:43,960 --> 00:32:53,640
هو مضمون أن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 0 لأن X أكبر

305
00:32:53,640 --> 00:32:57,360
من 3 لأن X أكبر من 100 لأن X أكبر 

306
00:32:57,360 --> 00:33:01,020
من 3 لأن 

307
00:33:01,020 --> 00:33:01,640
X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 100 لأن

308
00:33:01,640 --> 00:33:02,100
X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X

309
00:33:02,100 --> 00:33:05,140
أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X 

310
00:33:05,140 --> 00:33:06,740
أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X

311
00:33:06,740 --> 00:33:06,840
أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X

312
00:33:06,840 --> 00:33:08,880
أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X 

313
00:33:19,830 --> 00:33:25,030
يبقى افترض الحل على الشكل طبعا أطلّعي الأس اللي 

314
00:33:25,030 --> 00:33:28,530
هنا هو نفس المشتقة الأس اللي هنا هو نفس المشتقة و

315
00:33:28,530 --> 00:33:33,010
هكذا تمام إذا هذه كوشي أويلر equation يبقى بدأ

316
00:33:33,010 --> 00:33:41,980
أقوله little y تساوي X ناقص ثلاثة أُس R با solution

317
00:33:41,980 --> 00:33:53,300
of the above differential equation طب

318
00:33:53,300 --> 00:33:59,220
لو جئت بدي أجيب ال Y' يبقى R في ال X ناقص ثلاثة و

319
00:33:59,220 --> 00:34:02,920
R ناقص واحد في مشتقة مداخل القوس 

320
00:34:05,730 --> 00:34:15,870
عن طريق الـ Y double prime يبقى R في R-1 في X ناقص 3 أُس R-2

321
00:34:15,870 --> 00:34:21,400
في مشتقة مداخل القوس اللي هو الواحد اعوض في المعادلة 

322
00:34:21,400 --> 00:34:26,080
اللي فوق لو جئت عوض في المعادلة اللي فوق بيصير X

323
00:34:26,080 --> 00:34:32,040
ناقص ثلاثة لكل تربيع في ال Y double prime اللي هو R في R

324
00:34:32,040 --> 00:34:37,320
ناقص ال one في X ناقص ثلاثة to the power R ناقص

325
00:34:37,320 --> 00:34:44,420
two زائد ثلاثة X ناقص ثلاثة في ال Y prime اللي هي R

326
00:34:44,420 --> 00:34:50,500
X ناقص ثلاثة to the power R ناقص one زائد Y اللي 

327
00:34:50,500 --> 00:34:54,560
هي X ناقص ثلاثة to the power R كله بده يساوي Zero

328
00:34:55,280 --> 00:35:00,200
بتعيد كتابتها يبقى R في R ناقص واحد في X ناقص

329
00:35:00,200 --> 00:35:09,520
ثلاثة أُس R زائد ثلاثة R زائد ثلاثة R فاهمين في ال

330
00:35:09,520 --> 00:35:16,820
X ناقص ثلاثة أُس R زائد X ناقص ثلاثة أُس R كله بده

331
00:35:16,820 --> 00:35:24,240
يساوي Zero الـ X ناقص ثلاثة هذا مقدار أكبر من الـ

332
00:35:24,240 --> 00:35:28,480
Zero إذا موجب بقدر أقسم عليه بدون مشاكل يبقى لو 

333
00:35:28,480 --> 00:35:33,020
قسمت كله على X ناقص ثلاثة أُس R بنحصل على ال

334
00:35:33,020 --> 00:35:39,060
characteristic equation بالشكل التالي هذه دي mean R

335
00:35:39,060 --> 00:35:45,320
في R ناقص ال one زائد ثلاثة R زائد واحد بده يساوي

336
00:35:45,320 --> 00:35:51,640
Zero أو إن شئتم فقولوا R تربيع وعندك ناقص R زائد

337
00:35:51,640 --> 00:35:56,860
ثلاثة R بيظل زائد اثنين R زائد واحد يساوي Zero

338
00:35:56,860 --> 00:36:04,260
يبقى هذه R زائد واحد لكل تربيع يساوي Zero يبقى ال R

339
00:36:04,260 --> 00:36:10,540
تساوي سالب واحد of Multiplicity

340
00:36:10,540 --> 00:36:16,680
كدهش؟ اثنين اثنين مكررة مرتين يبقى أصبح The

341
00:36:16,680 --> 00:36:32,860
General Solution Of The Equation Is Y تساوي X و C

342
00:36:32,860 --> 00:36:40,540
ايه يا بنات هنا؟ والله مش بنكتب كرر مرتين يبقى ايش

343
00:36:40,540 --> 00:36:54,040
بدي أقوله؟ C1 زائد C2 لأن كده؟ X ناقص ثلاثة يبقى X

344
00:36:54,040 --> 00:37:02,540
ناقص ثلاثة مضروب في ال X ناقص ثلاثة أُس اللي هو 

345
00:37:02,540 --> 00:37:11,080
قداش؟ اثنين هيك ماشي للحل صحيح بالمئة ال X أُس مش

346
00:37:11,080 --> 00:37:18,060
اثنين سالب واحد احنا طلعناها ال R أُس سالب واحد لحد

347
00:37:18,060 --> 00:37:21,380
هنا stop in the intersection ولا يكون أرقام

348
00:37:21,380 --> 00:37:29,420
المسائل يبقى أرقام المسائل exercises خمسة خمسة

349
00:37:29,420 --> 00:37:37,200
بدنا المسائل من واحد إلى خمسة عشر وكذلك سؤال واحد

350
00:37:37,200 --> 00:37:38,080
وعشرين

351
00:37:43,580 --> 00:37:46,960
في كلمتين حابين نقولهم في ال section اللي بعده 

352
00:37:46,960 --> 00:37:52,500
بدون ما نعطي ولا مثال ولا نطلب منكوا تحلوا مثالين 

353
00:37:52,500 --> 00:37:58,400
مقدمة شيء إحنا بنجي نشتغل يا بنات على ال

354
00:37:58,400 --> 00:38:01,900
homogeneous differential equation بدنا نبدأ الآن

355
00:38:01,900 --> 00:38:06,160
الشغل على ال homogeneous differential equation

356
00:38:06,160 --> 00:38:14,410
فاكتبي لي ال section خمسة ستة خمسة ستة هذه non

357
00:38:14,410 --> 00:38:32,010
homogeneous differential equations definition

358
00:38:32,010 --> 00:38:35,730
they none

359
00:38:37,570 --> 00:38:46,150
Homogenous differential equation is

360
00:38:46,150 --> 00:38:54,530
an equation in the form طبعا كل شغل non 

361
00:38:54,530 --> 00:39:01,390
homogeneous linear differential equation على الشكل 

362
00:39:01,390 --> 00:39:03,810
التالي A0

363
00:39:28,500 --> 00:39:29,900
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12 Y11 Y12 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11

364
00:39:31,410 --> 00:39:40,310
Where حيث capital F of X لا يمكن أن تساوي zero عند

365
00:39:40,310 --> 00:39:50,190
ال a naught وال a one ولغاية ال a n may or may

366
00:39:50,190 --> 00:39:53,970
not or may not


401
00:45:12,430 --> 00:45:19,970
الإجازة يعني بقى لإن بقينا طيبين بناخد من؟ بناخد

402
00:45:19,970 --> 00:45:25,710
الـ two sections اللي ضالت في هذا ال chapter ومحل

403
00:45:25,710 --> 00:45:30,570
لـ non homogeneous differential equation بإحدى

404
00:45:30,570 --> 00:45:34,970
طريقتين الأولى الـ undetermined coefficients و

405
00:45:34,970 --> 00:45:39,810
الطريقة الثانية الـ variation of parameters إن شاء

406
00:45:39,810 --> 00:45:39,990
الله