diff --git "a/PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/UEye6Xfb9c0.srt" "b/PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/UEye6Xfb9c0.srt" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/PL9fwy3NUQKwavFmspRNWAhbDWNXQPDNlH/UEye6Xfb9c0.srt" @@ -0,0 +1,4003 @@ +1 +00:00:05,180 --> 00:00:07,960 +بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين + +2 +00:00:07,960 --> 00:00:10,980 +والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد وعلى + +3 +00:00:10,980 --> 00:00:16,800 +آله وصحبه أجمعين هذه المحاضرة رقم 25 مساق تحليل + +4 +00:00:16,800 --> 00:00:21,880 +حقيقي 2 طلاب وطالبات الجامعة الإسلامية قسم الرياضيات + +5 +00:00:21,880 --> 00:00:27,060 +كلية العلوم اليوم هنبدأ إن شاء الله بال chapter + +6 +00:00:27,060 --> 00:00:32,290 +الرابع في المادة اللي هو الـ chapter 9 أو الجزء + +7 +00:00:32,290 --> 00:00:35,410 +الرابع من المادة اللي هو chapter 9 تحت عنوان + +8 +00:00:35,410 --> 00:00:39,670 +infinite series هنحكي اليوم في هذه المحاضرة على + +9 +00:00:39,670 --> 00:00:47,900 +اللي هو convergence of infinite series الـ infinite + +10 +00:00:47,900 --> 00:00:54,380 +series طبعًا هو موضوع معهود للطلاب أو لطلبة العلوم + +11 +00:00:54,380 --> 00:00:58,440 +والهندسة بصورة عامة لإنه تم الحديث عنه في اللي هو + +12 +00:00:58,440 --> 00:01:03,340 +calculus باه الآن بنحكي عن اللي هو النظرة + +13 +00:01:03,340 --> 00:01:08,300 +التحليلية لـ اللي هو الـ infinite series طبعًا كنا + +14 +00:01:08,300 --> 00:01:14,180 +حكينا في في chapter ثلاثة في تحليل حقيقي واحد على + +15 +00:01:14,180 --> 00:01:18,540 +اللي هي الـ sequences الآن هذا مبني على اللي هو مين + +16 +00:01:18,540 --> 00:01:22,750 +الـ sequences خلّينا نشوف التعريف الأول 911 + +17 +00:01:22,750 --> 00:01:27,130 +definition fx بساوي xn is a sequence in R يعني + +18 +00:01:27,130 --> 00:01:32,330 +فرضنا أن xn عبارة عن متتابع في R then the infinite + +19 +00:01:32,330 --> 00:01:37,990 +series اللي هي simply the series بنا نحكي عن .. + +20 +00:01:37,990 --> 00:01:42,330 +نعرف الأن الـ infinite series أو الـ series بناء على + +21 +00:01:42,330 --> 00:01:46,850 +اللي هي الـ sequence x بساوي xn اللي هي the + +22 +00:01:46,850 --> 00:01:51,390 +infinite series generated by this sequence x is + +23 +00:01:51,390 --> 00:01:54,610 +the sequence S إذن الـ infinite series هي عبارة عن + +24 +00:01:54,610 --> 00:02:00,170 +إيش؟ بتعرفها عبارة عن sequence S بساوي SK بس إيش + +25 +00:02:00,170 --> 00:02:05,230 +الـ SK اللي هي اللي بنسميها اللي هي sequence of + +26 +00:02:05,230 --> 00:02:11,510 +partial sums يعني الـ S K defined by S1 إيش بتساوي؟ + +27 +00:02:11,510 --> 00:02:17,270 +X1 S2 إيش بتساوي؟ X1 زائد X2 لاحظوا بقى اجمع + +28 +00:02:17,270 --> 00:02:19,430 +العناصر اللي وين موجودة اللي في الـ sequence + +29 +00:02:19,430 --> 00:02:24,490 +الأصلية اللي هي بتعمل generation لـ اللي هي إيش؟ الـ + +30 +00:02:24,490 --> 00:02:28,710 +sequence of partial sums الـ S K S 3 إيش هتكون X 1 + +31 +00:02:28,710 --> 00:02:34,290 +زائد X 2 زائد X 3 S K in general هي عبارة عن X 1 زائد + +32 +00:02:34,290 --> 00:02:39,820 +X 2 عند من؟ اللي عند X K أو بمعنى آخر Sk + +33 +00:02:39,820 --> 00:02:56,100 += X1 + X2 + ... + XK + +34 +00:02:56,560 --> 00:03:02,220 +لأن if S converges, we refer to limit S as the sum + +35 +00:03:02,220 --> 00:03:06,160 +of infinite series يعني لو كانت الـSK عندي هذه + +36 +00:03:06,160 --> 00:03:10,880 +converges to some limit S، بنقول احنا اللي هو + +37 +00:03:10,880 --> 00:03:16,260 +limit الـ S K اللي هو بيساوي S اللي هو اللي بنسمي S + +38 +00:03:16,260 --> 00:03:19,500 +K طبعًا goes to infinity أو N اللي بدكيها اللي هي + +39 +00:03:19,500 --> 00:03:24,120 +بيساوي الـ summation اللي هي X K كي من عند واحد إلى + +40 +00:03:24,120 --> 00:03:29,780 +وين إلى ما لا نهاية سمي هذه S N وهذه S N وهذه S N كل + +41 +00:03:29,780 --> 00:03:34,440 +برج للاسهذه اللي بنسميها الـ infinite series اللي + +42 +00:03:34,440 --> 00:03:37,300 +هي في حالة الـ convergence أو الـ limit هذه exist + +43 +00:03:37,300 --> 00:03:40,520 +تبع الـ sequence of partial sums بنسميها اللي هي + +44 +00:03:40,520 --> 00:03:45,880 +limit exist بنسميها S لأن الـ elements XN are + +45 +00:03:45,880 --> 00:03:50,550 +called the terms and S and are called the partial + +46 +00:03:50,550 --> 00:03:54,450 +sums of this infinite series يعني هدولة اللي هي الـ + +47 +00:03:54,450 --> 00:03:58,390 +.. الـ xk's بنس��يها اللي هي الـ terms تبعة الـ + +48 +00:03:58,390 --> 00:04:02,170 +infinite series و الـ S and أو الـ Sk بنسميها اللي + +49 +00:04:02,170 --> 00:04:06,310 +هي عبارة عن إيش الـ sequence of partial sums أو + +50 +00:04:06,310 --> 00:04:10,330 +بنسميهم are partial sums of this infinite series + +51 +00:04:10,330 --> 00:04:14,650 +نيجي الآن بما أنه اللي هو في النهاية الـ series + +52 +00:04:14,650 --> 00:04:17,960 +اللي عندنا هذه عبارة عن limit في حالة الـ + +53 +00:04:17,960 --> 00:04:22,080 +convergence هو عبارة عن limit of a sequence إذا + +54 +00:04:22,080 --> 00:04:25,520 +تنطبق عليها قوانين الـ sequences اللي أخدناها في + +55 +00:04:25,520 --> 00:04:30,960 +chapter 3 إذا متوقع إنه احنا نستخدم ما تحدثنا فيه + +56 +00:04:30,960 --> 00:04:36,420 +في chapter 3 أو نتائجها للحصول على النظريات اللي + +57 +00:04:36,420 --> 00:04:37,520 +احنا بدنا نبرهنها + +58 +00:04:40,050 --> 00:04:44,350 +النظرية الأولى تسعة واحد اثنين theorem a if the + +59 +00:04:44,350 --> 00:04:48,610 +series summation xn and summation yn converge يعني + +60 +00:04:48,610 --> 00:04:52,490 +السيريز هذه من n من واحد إلى ما لا نهاية لو فرضنا + +61 +00:04:52,490 --> 00:04:55,670 +أن هذا الـ sum موجود و هذا الـ sum موجود يعني + +62 +00:04:55,670 --> 00:05:00,010 +السيريز هذه اللي هي sequence of partial sums + +63 +00:05:00,010 --> 00:05:03,850 +سبعتها الـ limit لها موجودة و الـ summation yn + +64 +00:05:03,850 --> 00:05:07,310 +converge يعني السيريز sequence الـ partial sums + +65 +00:05:07,310 --> 00:05:10,790 +السبعية ده برضه موجودة limit لها then the series + +66 +00:05:10,790 --> 00:05:16,190 +summation xn زائد yn برضه converges ومش هيك كمان + +67 +00:05:16,190 --> 00:05:20,510 +وقيمة السيكوه السيريز الجديدة summation xn زائد yn + +68 +00:05:20,510 --> 00:05:26,380 +بساوي السيريز الأولى زائد السيريز الثانية الآن إشي + +69 +00:05:26,380 --> 00:05:32,100 +مُشابه لـ 4 Xn ناقص Yn بيساوي summation Xn ناقص + +70 +00:05:32,100 --> 00:05:36,940 +summation Min Yn الآن بي if the series summation + +71 +00:05:36,940 --> 00:05:41,560 +Xn is convergent is convergent and C is any real + +72 +00:05:41,560 --> 00:05:46,120 +number then the series summation C في Xn برضه + +73 +00:05:46,120 --> 00:05:50,960 +هيخليها تظلها convergent و بيطلع عند الـ summation + +74 +00:05:50,960 --> 00:05:55,930 +لـ C Xn بيساوي C في الـ summation ل Min للـ XL الآن + +75 +00:05:55,930 --> 00:06:00,990 +مدام نحكي عن series بده ترجم اللي هو الـ series إلى + +76 +00:06:00,990 --> 00:06:04,450 +sequences إلى sequence of partial sums واستخدم + +77 +00:06:04,450 --> 00:06:07,730 +اللي هي قوانين الـ limits القديمة يعني الموضوع + +78 +00:06:07,730 --> 00:06:13,160 +البرهان أمر سهل إن شاء الله الآن نفترض إنه السميق + +79 +00:06:13,160 --> 00:06:16,580 +.. مدام هذا converts و هذا converts بدي افترض انه + +80 +00:06:16,580 --> 00:06:21,580 +هذه قيمتها بساوي S وهذا قيمتها مثلًا بساوي S' يعني + +81 +00:06:21,580 --> 00:06:25,300 +جاي let S بتساوي summation xi I من واحد إلى وين + +82 +00:06:25,300 --> 00:06:27,140 +إلى اللي هي + +83 +00:06:52,810 --> 00:06:54,210 +كيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكيكي + +84 +00:06:54,500 --> 00:07:01,180 +الـ XI لأن هو جالني ان الـ limit لأن الـ series هذه + +85 +00:07:01,180 --> 00:07:05,160 +لما ما حطش إشي معناته من واحد إلى ما لا نهاية لما + +86 +00:07:05,160 --> 00:07:09,090 +لا حطش إشي معناته بقصد الـ finite sum الآن هو جاهز + +87 +00:07:09,090 --> 00:07:11,790 +لأن هذا الـ series الـ summation هو موجود وهذا + +88 +00:07:11,790 --> 00:07:16,350 +موجود يعني بمعنى آخر الـ limit للـ S اللي هي هذه + +89 +00:07:16,350 --> 00:07:20,690 +limit للـ S بساوي الـ series هذه و limit للـ S برايم + +90 +00:07:20,690 --> 00:07:24,650 +بساوي الـ series هذه من واحد إلى ما لا نهاية الآن + +91 +00:07:24,650 --> 00:07:28,990 +صارت عندي هذا عبارة عن limit of what؟ of sequence + +92 +00:07:29,460 --> 00:07:33,960 +هذا عبارة عن limit of what؟ of sequence إذا حسب + +93 +00:07:33,960 --> 00:07:39,280 +اللي هو اللي هي النظريات اللي هي في chapter ثلاثة + +94 +00:07:39,280 --> 00:07:43,140 +الـ limit إذا كانت الـ limit للـ sequence exist و + +95 +00:07:43,140 --> 00:07:45,560 +limit للـ sequence الثانية exist فبكون limit + +96 +00:07:45,560 --> 00:07:49,560 +المجموع بتوزع يعني limit S زائد S prime إيش + +97 +00:07:49,560 --> 00:07:53,720 +هيساوي؟ limit للـ sequence الأولى زائد limit للـ + +98 +00:07:53,720 --> 00:07:56,760 +sequence الثانية هذا من وين جبته؟ هذا جبته من + +99 +00:07:56,760 --> 00:08:03,000 +chapter ثلاثة طيب الآن لكن S زي S برايم كـ sequence + +100 +00:08:03,000 --> 00:08:06,540 +هذا S زي S برايم مجموعة و sequences يعني الـ + +101 +00:08:06,540 --> 00:08:09,300 +sequence of partial sums الأولى زي الـ sequence of + +102 +00:08:09,300 --> 00:08:12,880 +partial sums الثانية إيش هتساوي؟ اللي هي عبارة عن + +103 +00:08:12,880 --> 00:08:16,760 +الـ sequence اللي الصمشي XI I من عند واحد لعند K + +104 +00:08:16,760 --> 00:08:21,460 +هذا اللي صميتها أنا S K زي مين S K برايم هدولة + +105 +00:08:21,460 --> 00:08:25,410 +finite هدولة terms الآن هدولة finite و هدولة finite + +106 +00:08:25,410 --> 00:08:31,090 +إذا المجموع من إيش بيساوي summation xi زائد yi من + +107 +00:08:31,090 --> 00:08:36,490 +عند واحد لعند مين لعند k هذه هي عبارة عن sk زائد + +108 +00:08:36,490 --> 00:08:42,250 +sk برايم صارت عندي sequence جديدة اللي هي s زائد s + +109 +00:08:42,250 --> 00:08:47,840 +برايم هذه S زي ده S برايم إيش هتساوي يا جماعة اللي + +110 +00:08:47,840 --> 00:08:52,660 +هو الـ sequence اللي عندي اللي الـ .. الـ .. الـ K + +111 +00:08:52,660 --> 00:08:56,440 +ثيرم إلها أو اللي هو الـ sequence of partial sums + +112 +00:08:56,440 --> 00:09:02,680 +إلها هو عبارة عن XI زي ده YI I من واحد لعند K هذا + +113 +00:09:02,680 --> 00:09:09,500 +الآن صار بساوي هذا طيب الآن بده نبدأ ناخد الـ limit + +114 +00:09:09,500 --> 00:09:17,310 +and then الـ summation بناء عليه الـ summation الـ S + +115 +00:09:17,310 --> 00:09:22,210 +زي الـ S' اللي هو حسب اللي هنا بيصير limit الـ S + +116 +00:09:22,210 --> 00:09:26,710 +زي الـ S' هذه اللي هو limit لهذه الـ sequence إيش + +117 +00:09:26,710 --> 00:09:29,790 +هيصير عند هذا الـ limit لهذه الـ sequence؟ هيعندي + +118 +00:09:29,790 --> 00:09:36,150 +هذا بساوي اللي هو هذا المقدار طيب limit S زي الـ + +119 +00:09:36,150 --> 00:09:42,010 +S' اللي هو limit هذا المقدار اللي هو limit S زائد S + +120 +00:09:42,010 --> 00:09:49,710 +برايم بساوي limit الـ summation XI زائد YI I من عند + +121 +00:09:49,710 --> 00:09:54,070 +واحد لعند N أو لعند K زي ما بدي as N goes to + +122 +00:09:54,070 --> 00:09:57,390 +infinity هذا notation عبارة عن notation لمين للـ + +123 +00:09:57,390 --> 00:10:02,630 +summation لأنه صار هذا exist من أين؟ لأن هذا زائد + +124 +00:10:02,630 --> 00:10:06,170 +هذا exist لأن هذا exist بما أن هذا exist نحسس إنه + +125 +00:10:06,170 --> 00:10:11,250 +summation xi زائد yi I من عند واحد إلى ما لا نهاية + +126 +00:10:11,250 --> 00:10:14,850 +من جهة أخرى هذا أخبرني إيش بيساوي limit S زائد مين + +127 +00:10:14,850 --> 00:10:19,630 +S prime limit S اللي هو limit هذه limit هذه إيش + +128 +00:10:19,630 --> 00:10:27,710 +هيكون limit S بساوي summation xi I من واحد لمن الآن + +129 +00:10:27,710 --> 00:10:33,010 +لأن K راحت الى وين إلى ما لا نهاية هذه limitها إذا + +130 +00:10:33,010 --> 00:10:36,730 +بتساوي اللي هو I من واحد لعند ما لا نهاية و limit S + +131 +00:10:36,730 --> 00:10:41,110 +prime زيها SK بتروح لما لا نهاية أو N بتروح لما لا + +132 +00:10:41,110 --> 00:10:44,370 +نهاية بتساوي summation YI I من واحد إلى ما لا + +133 +00:10:44,370 --> 00:10:49,050 +نهاية بناء على أن هذه بتساوي هذه إذا صار المقدار + +134 +00:10:49,050 --> 00:10:54,070 +هذا بساوي المقدار هذا زائد المقدار هذا أو بمعنى + +135 +00:10:54,070 --> 00:10:57,130 +آخر summation XN زائد YN بساوي summation XN زائد + +136 +00:10:57,130 --> 00:11:00,930 +YN وهو المطلوب + +137 +00:11:02,570 --> 00:11:05,930 +Similarly, summation XN ناقص YN بساوي summation XN + +138 +00:11:05,930 --> 00:11:09,410 +ناقص YN بساوي summation XN ناقص YN بساوي summation XN + +139 +00:11:09,410 --> 00:11:09,610 +ناقص YN بساوي summation XN ناقص YN بساوي summation XN + +140 +00:11:09,610 --> 00:11:09,790 +ناقص YN بساوي summation XN ناقص YN بساوي summation XN + +141 +00:11:09,790 --> 00:11:09,830 +نقص YN بسوء summation XN نقص YN بسوء summation XN + +142 +00:11:09,830 --> 00:11:12,850 +نقص YN بسوء summation XN نقص YN بسوء summation XN + +143 +00:11:12,850 --> 00:11:15,170 +نقص YN بسوء summation XN ن + +144 +00:11:19,400 --> 00:11:25,440 +الـ S ناقص S برايم بساوي limit S ناقص limit S + +145 +00:11:25,440 --> 00:11:29,240 +برايم و بنجري نفس اللي جريناها قبل بشوية واللي + +146 +00:11:29,240 --> 00:11:34,020 +الثانية لأنه بنحول وكأن حديثنا من series ل + +147 +00:11:34,020 --> 00:11:38,560 +sequence وكل قوانين ال sequence تم إثباتها سابقا + +148 +00:11:38,560 --> 00:11:43,100 +بـ mean بواسطة اللي هو شعب طر تلاتة أو في تحليل + +149 +00:11:43,100 --> 00:11:50,570 +حقيقي واحد الآن الأخيرة ال summationلـCn بيساوي + +150 +00:11:50,570 --> 00:11:56,250 +الـC في الصممشي للـXn برضه اعتمادا على limit الـC + +151 +00:11:56,250 --> 00:12:00,990 +في الـS بيساوي الـC في limit الـS وبنجري نفس اللي + +152 +00:12:00,990 --> 00:12:04,950 +أجرناها قبل بشوية اللي هو تحويلها من .. اللي هو + +153 +00:12:04,950 --> 00:12:09,330 +sequence .. من .. من series إلى sequences ومن ثم + +154 +00:12:09,330 --> 00:12:15,690 +استخدام اللي هي قوانين الـsequences طيب الآن نجي ل + +155 +00:12:15,690 --> 00:12:25,090 +اللي هي اللمّةاللي هي اللمّة + +156 +00:12:25,090 --> 00:12:28,970 +اللي بعدها اللي هي المشهورة + +157 +00:12:30,530 --> 00:12:34,010 +وهذه test for divergence في الواقع كنا نقول عنها + +158 +00:12:34,010 --> 00:12:39,130 +في calculus باه ايش ال sequence هذه أو اللي هي + +159 +00:12:39,130 --> 00:12:42,330 +sequence of partial sums أو ال series بقول إذا + +160 +00:12:42,330 --> 00:12:46,490 +كانت ال series summation xn converges in R إذا كان + +161 +00:12:46,490 --> 00:12:50,650 +اللي هي ال summation لل xn converges in R لازم + +162 +00:12:50,650 --> 00:12:54,810 +يكون limit اللي هي ال sequence الأصلي اللي بنكون + +163 +00:12:54,810 --> 00:12:58,310 +منها sequence of partial sums لازم limit هيش يساوي + +164 +00:12:59,640 --> 00:13:04,000 +يساوي صفر وبناء عليه لو كانت ال limit لها تساوي + +165 +00:13:04,000 --> 00:13:07,640 +صفر على طول بنحكم على summation لل Xn إيش ماله + +166 +00:13:07,640 --> 00:13:12,580 +diverse وكنا نقول هذا test of divergence مش test + +167 +00:13:12,580 --> 00:13:16,360 +of convergence لأن ممكن ال limit تساوي صفر لكن ال + +168 +00:13:16,360 --> 00:13:19,960 +summation لل Xn يكون diverse والمثال اللي أنتو + +169 +00:13:19,960 --> 00:13:24,160 +مشهور اللي هو summation 1 على n هذا اللي هو limit + +170 +00:13:24,680 --> 00:13:29,900 +الواحد على ان بيساوي صفر but this series diverges + +171 +00:13:29,900 --> 00:13:33,860 +زي ما هنشوف بعد شوية وزي ما احنا اصلا عارفين ولكن + +172 +00:13:33,860 --> 00:13:38,780 +احنا هنثبته اثبات الآن كنا اللي هو اخدناها معلومة + +173 +00:13:38,780 --> 00:13:44,890 +في تفاضل بام طيب صلى الله عليه وسلم الآن + +174 +00:13:44,890 --> 00:13:49,650 +by definition the convergence of summation xn + +175 +00:13:49,650 --> 00:13:54,430 +means that limit ال sk شماله exist ايش ال sk + +176 +00:13:54,430 --> 00:13:59,570 +عارفين ايش ال sk ال sk هو عبارة عن x واحد زائد x + +177 +00:13:59,570 --> 00:14:06,190 +اتنين لما اصل عند xk الآن بما أنه اللي هو limit sk + +178 +00:14:06,190 --> 00:14:11,280 +بساوي اللي هو ال summation لل xnلأن نحن مفترضين أن + +179 +00:14:11,280 --> 00:14:14,900 +نصمش ال Xn إيش ما له exist مثلا م exist ونقول صمش + +180 +00:14:14,900 --> 00:14:20,120 +لل Xn اللي هو بساوي limit ال S K الآن من جهة أخرى + +181 +00:14:20,120 --> 00:14:24,640 +لو جيت حسبت انت ال S K ناقص S K minus واحد ال S K + +182 +00:14:24,640 --> 00:14:28,760 +ناقص S K minus واحد ايش هيساوي؟ هذي من ��ند واحد + +183 +00:14:28,760 --> 00:14:33,020 +لعند K وهذه من عند واحد لعند K minus واحد حصل ترحل + +184 +00:14:33,020 --> 00:14:38,230 +هيظلمين ال X Kالآن خد ال limit للجهتين S k goes to + +185 +00:14:38,230 --> 00:14:42,930 +infinity بصير limit S k as k goes to infinity ناقص + +186 +00:14:42,930 --> 00:14:46,450 +limit S k minus واحد لما k تروح لما لا نهاية + +187 +00:14:46,450 --> 00:14:52,210 +بيساوي limit X k as k goes to infinity الآن اتجرأت + +188 +00:14:52,210 --> 00:14:54,590 +ووزعت ال limit لأنه يعرف هذه ال sequence of + +189 +00:14:54,590 --> 00:14:58,350 +partial sums اللي بتبدأ من عند واحد وبضالها طالعة + +190 +00:14:58,350 --> 00:15:02,310 +limit هل هو summation لل X n exists ما احنا نقوله + +191 +00:15:02,310 --> 00:15:06,170 +لأ وهذه اصلا الـ tail تبعتها من عند الواحد وطالع + +192 +00:15:06,170 --> 00:15:10,490 +limitها برضه ايش ما ساوي اللي هو صماش ال اكسان لان + +193 +00:15:10,490 --> 00:15:13,130 +احنا بنعرف limit ال sequence و ال tail لها زي بعض + +194 +00:15:13,130 --> 00:15:16,890 +ما دامت ال limit exist لذن هدولة هذه ناقصت ايش + +195 +00:15:16,890 --> 00:15:21,010 +هيطلع صفر لذن صار limit ال اكسان ايش بساوي بساوي + +196 +00:15:21,010 --> 00:15:27,480 +صفر بكون عندنا الي هو وصلنا ل theorem 914 اللي هي + +197 +00:15:27,480 --> 00:15:39,680 +خلينا نشوف ايش هذه ال theorem بتقول ركزوا معانا بس + +198 +00:15:39,680 --> 00:15:46,160 +اذكركم بشغلة إنه إحنا في الـ monotone convergence + +199 +00:15:46,160 --> 00:15:52,500 +theorem في تحليل حقيقي واحد كنا نقول إنه إذا كانت + +200 +00:15:52,500 --> 00:15:55,140 +ال sequence increasing أو decreasing يعني لو كانت + +201 +00:15:55,140 --> 00:15:59,780 +monotone then the sequence converge if and only if + +202 +00:15:59,780 --> 00:16:04,180 +it is bounded هذه اللي هو في حالة مين الـ monotone + +203 +00:16:04,180 --> 00:16:07,620 +functions لكن in general كنا نقول إن الـ sequence + +204 +00:16:07,620 --> 00:16:10,360 +is convergent على طول اللي بيعطينا then it is + +205 +00:16:10,360 --> 00:16:15,820 +bounded but it may be bounded بط إي شمالها is not + +206 +00:16:15,820 --> 00:16:21,140 +convergent وكنا نقول ناخد مثال ناقص واحد على أن ال + +207 +00:16:21,140 --> 00:16:26,200 +sequence هذه أو ناقص واحد أس أن ناقص واحد أس أن نقص + +208 +00:16:26,200 --> 00:16:29,520 +واحد وثاني هذه الـ sequence bounded لأن قيمتها الـ + +209 +00:16:29,520 --> 00:16:32,940 +absolute value لها واحد but اللي هو ال limit اللي + +210 +00:16:32,940 --> 00:16:35,500 +لها does not exist لكن في حالة الـ monotone + +211 +00:16:35,500 --> 00:16:39,240 +function لأ ال boundedness يكافئ ال convergence + +212 +00:16:39,240 --> 00:16:43,880 +لأن هذا بدنا اللي هو الآن نطبق على ال monotone + +213 +00:16:43,880 --> 00:16:48,760 +convergence theorem أو نستخدمها في إثبات نظريتنا + +214 +00:16:48,760 --> 00:16:52,980 +اللي هي 914 theorem لت XN be a sequence of non + +215 +00:16:52,980 --> 00:16:57,500 +-negative real numbersإذا حكينا عن مين عن sequence + +216 +00:16:57,500 --> 00:17:01,900 +xn عنصرها إيش ما لها non negative real numbers + +217 +00:17:01,900 --> 00:17:08,630 +يعني أكبر أو تساوي صفر ثم الـ summation لـ xn من + +218 +00:17:08,630 --> 00:17:12,050 +السيريز تبعتها converts if and only if the + +219 +00:17:12,050 --> 00:17:15,750 +sequence S بتسوى Sk of partial sums is bounded + +220 +00:17:15,750 --> 00:17:21,110 +يعني الآن السيريز ال summation xn اللي هي هتكون + +221 +00:17:21,110 --> 00:17:26,470 +converts إذا و فقط إذا ال Sk إشمالها is bounded in + +222 +00:17:26,470 --> 00:17:30,970 +this case ال summation لـ xn بسوى limit لSk بسوى + +223 +00:17:30,970 --> 00:17:36,990 +صفر يمان لSk يعني الآن و كأنه بيقوللي إنه limitالـ + +224 +00:17:36,990 --> 00:17:45,130 +SK exists if and only if SK is bounded هذه الـ SK + +225 +00:17:45,130 --> 00:17:48,410 +هي الـ sequence of partial sums تبع السيريز limit + +226 +00:17:48,410 --> 00:17:52,090 +الـ SK هي السيريز نفسها الـ x and n من واحد إلى + +227 +00:17:52,090 --> 00:17:58,110 +ما لا نهاية الآن باختصار اللي هو هنقوله أنه أصلا هذه + +228 +00:17:58,110 --> 00:18:01,810 +ال SQL sequence of partial sums is an increasing + +229 +00:18:01,810 --> 00:18:05,950 +sequence مدام increasing يع��ي بمعنى آخر monotone + +230 +00:18:05,950 --> 00:18:10,090 +أو بالظبط اللي هو خلّيني أقول واحدة من ال monotone + +231 +00:18:10,090 --> 00:18:12,530 +هي increasing ت increasing هي increasing علنا الآن + +232 +00:18:12,530 --> 00:18:17,490 +مدام increasingهيكون عنده الـ Existence limit + +233 +00:18:17,490 --> 00:18:21,330 +يكافي الـ Boundedness ويكون خلصنا برهان النظرية + +234 +00:18:21,330 --> 00:18:24,310 +حسب الـ Newton convergence theorem ومش هيك وهيكون + +235 +00:18:24,310 --> 00:18:30,770 +limit هاش ما لمدام increasing السبريمام لعنصرها + +236 +00:18:30,770 --> 00:18:34,410 +هذه الـ Newton convergence theorem خليني نشوف هذا + +237 +00:18:34,410 --> 00:18:39,680 +الكلام بالتفصيل اللي حكيته بما أن xn أكبر يساوي 0 + +238 +00:18:39,680 --> 00:18:43,300 +الـ xn أكبر يساوي 0 then the sequence of partial + +239 +00:18:43,300 --> 00:18:48,540 +sums is monotone increasing function ليش؟ لأن S1 + +240 +00:18:48,540 --> 00:18:55,720 +عبارة عن x1 S1 عبارة عن x1 أكيد أصغر من x1 زائد x2 + +241 +00:18:55,720 --> 00:19:00,670 +التي هي مين؟ S2لأن هذا الـ X2 اللي ضفته أكبر أو + +242 +00:19:00,670 --> 00:19:06,090 +يساوي 0 وهذا أصغر من S3 اللي هو X1 زائد X2 زائد X3 in + +243 +00:19:06,090 --> 00:19:12,890 +general سيكون ال S K أصغر من S K زائد 1 أو أصغر أو + +244 +00:19:12,890 --> 00:19:16,830 +يساوي حسب اللي هو الإضافة 0 أو كمية موجبة ماشي + +245 +00:19:16,830 --> 00:19:21,340 +الحال إذا صارت عندي ال sequence of partial sumاللي + +246 +00:19:21,340 --> 00:19:24,560 +هو صارت عبارة عن increasing إذا according to the + +247 +00:19:24,560 --> 00:19:27,240 +monotone convergence theorem اللي قلت قبل بشوية + +248 +00:19:27,240 --> 00:19:30,480 +اللي هي بالظبط رقمها 3.2 the + +249 +00:19:30,480 --> 00:19:37,580 +sequence S of partial sums converts if and only if + +250 +00:19:37,580 --> 00:19:41,640 +it is bounded يعني مدام الـ sequence of partial + +251 +00:19:41,640 --> 00:19:44,640 +sums as converges يعني الصممش للـ xn يعني السريز + +252 +00:19:44,640 --> 00:19:50,000 +هذه اللي هي is convergent if and only if it is + +253 +00:19:50,000 --> 00:19:52,260 +bounded اللي هي ال sequence of partial sums طبعاً + +254 +00:19:52,670 --> 00:19:57,030 +عند الـ summation لـ xn مش مساوي limit الـsk و الـ + +255 +00:19:57,030 --> 00:20:00,430 +sk increasing limit همين حيكون ال sub .. طبعا + +256 +00:20:00,430 --> 00:20:02,790 +increasing وصارك bounded مادام bounded then فيه + +257 +00:20:02,790 --> 00:20:06,470 +لها bound إذا صار عند ال supremum ل ال x .. ل ال + +258 +00:20:06,470 --> 00:20:09,190 +sk هو عبارة عن limit ال sk حسب ال molten + +259 +00:20:09,190 --> 00:20:12,410 +convergence theorem و سوى ال summation ل xn و هو + +260 +00:20:12,410 --> 00:20:18,270 +المطلوب طيب هذا لما يكون ال terms سبعات ال + +261 +00:20:18,270 --> 00:20:23,510 +sequence يشملها موجبات أو non negativeالآن كوشي + +262 +00:20:23,510 --> 00:20:29,610 +criterion for اللي هو series احنا زي ما كنا نقول + +263 +00:20:29,610 --> 00:20:33,130 +في التحليل الحقيقي واحد احيانا ما بنقدرش نعرف ايش + +264 +00:20:33,130 --> 00:20:37,990 +ال limit لكن بنكون عارفين ان ال sequence نفسها + +265 +00:20:37,990 --> 00:20:42,190 +converts فبدنا نعبر عن ال convergence لل sequence + +266 +00:20:42,190 --> 00:20:45,770 +بطريقة اللي هي ال terms تبعتها مش عن طريقة اللي هي + +267 +00:20:45,770 --> 00:20:50,450 +معرفة ال limit فكنا نقول إن الـ xn مثلاً is a + +268 +00:20:50,450 --> 00:20:52,850 +Cauchy sequence if and only if for every y أكبر من + +269 +00:20:52,850 --> 00:20:56,190 +0 there exists k element in N such that for every + +270 +00:20:56,190 --> 00:21:00,290 +n و m أكبر من k يكون الـ absolute value للـ xn + +271 +00:21:00,290 --> 00:21:03,990 +ناقص xm أصغر من إبسلول نحن نجيب اللي هو Cauchy + +272 +00:21:03,990 --> 00:21:07,750 +criterion مشابه إليها بس لمين لحالة السيريز ما هي + +273 +00:21:07,750 --> 00:21:11,170 +هذه السيريز زي ما قلنا هي عبارة عن في النهاية + +274 +00:21:11,170 --> 00:21:17,950 +sequence of partial sums طيب يا جماعة نيجي لكوشيك + +275 +00:21:17,950 --> 00:21:21,250 +ال 915 اللي هي quotient criterion for series the + +276 +00:21:21,250 --> 00:21:25,370 +series summation xn in R converts if and only if + +277 +00:21:25,370 --> 00:21:29,690 +for every ي أكبر من سفر there is a natural number + +278 +00:21:29,690 --> 00:21:35,010 +M such that if M و N أكبر أو سوى M of Y هكون + +279 +00:21:35,010 --> 00:21:40,020 +الأسئلة ماقصة أسئلة M اللي هو بسوى xn زائد 1 الـ M + +280 +00:21:40,020 --> 00:21:45,060 +أشملها أكبر أو يساوي N فبصير الـ SM عبارة عن X1 زائد + +281 +00:21:45,060 --> 00:21:49,660 +X2 و بياخد في طريقه الـ XN وبعدين بكمل XN زي X1 + +282 +00:21:49,660 --> 00:21:54,000 +لما أصل عند XM لما نطرح منه الـ SM اللي هي X1 عند + +283 +00:21:54,000 --> 00:21:58,920 +الـ XN بروح كلهم بضال مين اللي هي XN زي X1 و XN زي + +284 +00:21:58,920 --> 00:22:03,040 +X2 لما أصل عند مين عند XM هذا حيكون أصغر من مين من + +285 +00:22:03,040 --> 00:22:07,560 +إبسلون هذا اللي بنلثبته إنه الـ series summation xn + +286 +00:22:07,560 --> 00:22:12,300 +converges if and only if اللي هي الـ Cauchy + +287 +00:22:12,300 --> 00:22:15,760 +criterion يعني مين هو لكل ي أكبر من 0 there exists + +288 +00:22:15,760 --> 00:22:19,420 +M such that for every M أكبر من M أكبر أو يساوي + +289 +00:22:19,420 --> 00:22:22,900 +الـ M اللي راجناها هيكون Absolute value أسمها M + +290 +00:22:22,900 --> 00:22:26,980 +نقص أس N اللي هو بساوية هذا المقدار أصغر من أيش من + +291 +00:22:26,980 --> 00:22:31,670 +يالان في الواقع احنا قلنا في نظرية سابقة .. نظرية + +292 +00:22:31,670 --> 00:22:36,090 +في السابقة في التحليل الحقيقي واحد ان الـ sequence + +293 +00:22:36,090 --> 00:22:40,610 +converges if and only if it is cauchy وهذه اللي + +294 +00:22:40,610 --> 00:22:46,950 +هنستخدمها، شوفوا صلى الله عليه وسلم الصممش للـ xn + +295 +00:22:46,950 --> 00:22:51,090 +converts in R if and only if the sequence of + +296 +00:22:51,090 --> 00:22:55,990 +partial sums الـ Sn converts in R هذا التعريف الـ + +297 +00:22:55,990 --> 00:23:00,150 +sequence Sn converts in R if and only if اللي قلت + +298 +00:23:00,150 --> 00:23:04,250 +عنها نظرية 3.5.4 اللي هي the convergent if and only + +299 +00:23:04,250 --> 00:23:08,490 +if Sn is a Cauchy sequence ماشي ايش تعريفه اس ام + +300 +00:23:08,490 --> 00:23:11,850 +كوشي سيكوانس لكل يبسلون أكبر من صفر there exist M + +301 +00:23:11,850 --> 00:23:16,090 +such that if M أكبر من N أكبر أو يساوي ال M اللي ده + +302 +00:23:16,090 --> 00:23:19,850 +جيتها اللي هو هيكون عبارة عن اس ام نقص اس ن أصغر + +303 +00:23:19,850 --> 00:23:24,330 +من يبسلون هاي اللي عند الهان اللي هي نظرية أصغر من + +304 +00:23:24,330 --> 00:23:27,830 +يبسلون اللي هي الكوشي بساوي مين أو بكافي ال + +305 +00:23:27,830 --> 00:23:31,330 +convergence هذه حساباتها زي ما قلنا الاس ام عبارة + +306 +00:23:31,330 --> 00:23:39,840 +عن مين X واحد x1 زائد لما أصل عند xn زائد xn زائد 1 + +307 +00:23:39,840 --> 00:23:44,040 +لما أصل عند آخر واحد ال xm لأن ال M أكبر من N + +308 +00:23:44,040 --> 00:23:47,780 +فهلاجي في طريق اللي هو مين ال x ال x واحد عند ال + +309 +00:23:47,780 --> 00:23:55,300 +xn ناقص ال sn ناقص ال x1 ناقص ال x2 ناقص ال xn هذا + +310 +00:23:55,300 --> 00:24:00,750 +ال absolute value اللي هو هذولة بروح لهنامع هذولة + +311 +00:24:00,750 --> 00:24:06,590 +بضل عندى xn زائد واحد زائد xn زائد اتنين زائد xm + +312 +00:24:06,590 --> 00:24:10,070 +اللى هى هذه اصغر من مين من ابسلون اذا هذا صار اصغر + +313 +00:24:10,070 --> 00:24:13,150 +من ابسلون وهو المطلوب طيب + +314 +00:24:17,320 --> 00:24:22,820 +طيب، الان نعرف حاجة اسمها absolutely convergent + +315 +00:24:22,820 --> 00:24:27,380 +absolutely convergent برضه اللي مرت علينا في تفاضل + +316 +00:24:27,380 --> 00:24:31,620 +بها خلينا نذكركم فيها اللي هو let x بالـ + +317 +00:24:31,620 --> 00:24:36,760 +definition 916 let x بسوء xn be a sequence in R we + +318 +00:24:36,760 --> 00:24:41,020 +say that the series سماشي xn is absolutely + +319 +00:24:41,020 --> 00:24:42,180 +convergent + +320 +00:24:44,650 --> 00:24:52,470 +إذا كانت سلسلة أبسط قيم XN مرتبطة بالـ R + +321 +00:24:57,860 --> 00:25:01,700 +if it is convergent but not إيش ما لها absolutely + +322 +00:25:01,700 --> 00:25:05,620 +convergent يعني في series في الدنيا أكيد بتكون + +323 +00:25:05,620 --> 00:25:11,100 +convergent لكن مش absolutely convergent هذه ال + +324 +00:25:11,100 --> 00:25:13,620 +series اللي من هالنوع اللي بتكون convergent لكن مش + +325 +00:25:13,620 --> 00:25:16,220 +absolutely convergent بنسميه إيش ما لها + +326 +00:25:16,220 --> 00:25:18,820 +conditionally convergent + +327 +00:25:20,920 --> 00:25:24,240 +لكن بعد شوية هنقول ان any absolutely convergent + +328 +00:25:24,240 --> 00:25:33,240 +هتكون إيش ما لها is convergent طيب الان نيجي طبعا + +329 +00:25:33,240 --> 00:25:37,040 +هذا في R كل الشغل في ال real numbers تسعة واحد + +330 +00:25:37,040 --> 00:25:42,650 +سبعة theorem إذا كانت سلسلة مرتبطة بالكامل فهي + +331 +00:25:42,650 --> 00:25:45,530 +مرتبطة بالكامل أيضًا، فهي مرتبطة بالكامل أيضًا، + +332 +00:25:45,530 --> 00:25:54,310 +فهي مرتبطة بالكامل أيضًا، فهي مرتبطة + +333 +00:25:54,310 --> 00:25:56,430 +بالكامل أيضًا + +334 +00:25:57,710 --> 00:26:00,150 +ماذا يعني أبسليوت يكون convergent؟ يعني معناته + +335 +00:26:00,150 --> 00:26:03,270 +الصمشي اللي هي أبسليوت value أيش ماله is + +336 +00:26:03,270 --> 00:26:07,830 +convergent ماشي then by Cauchy criterion بنطبقها + +337 +00:26:07,830 --> 00:26:11,590 +على هذه ال series اللي هو لكل أبسلون أكبر من صفر + +338 +00:26:11,590 --> 00:26:14,970 +there exists m of epsilon element and such that if + +339 +00:26:14,970 --> 00:26:18,190 +m أكبر من n أكبر يسوى m epsilon اللي حكيناها قبل + +340 +00:26:18,190 --> 00:26:23,100 +شوية then اللي هو اللي عندي الأولى اللي هي n زائد + +341 +00:26:23,100 --> 00:26:26,560 +واحد n زائد اتنين لما أصل عند ال M بس كيف شكل ال + +342 +00:26:26,560 --> 00:26:28,920 +term هنا اللي هو ال absolute value اذا absolute + +343 +00:26:28,920 --> 00:26:33,180 +value ل Xn زائد واحد زائد .. مين ماخد ال M أكبر ان + +344 +00:26:33,180 --> 00:26:36,720 +اه زائد absolute value Xn زائد اتنين لما أصل عند + +345 +00:26:36,720 --> 00:26:40,380 +زائد absolute value ل ال مين ل Xm أصغر من إيه يا + +346 +00:26:40,380 --> 00:26:47,510 +عياش؟ من Y هذه اللي هي عبارة عن الاسم لهذه نقص الـ + +347 +00:26:47,510 --> 00:26:51,610 +SM لها الـ SM فرضا نسميها prime الـ SM اللي هي + +348 +00:26:51,610 --> 00:26:54,610 +عبارة عن absolute value X1 زائد absolute value X2 + +349 +00:26:54,610 --> 00:26:58,290 +لما أصل عند ال absolute value Xm وهذه تزيلها منها + +350 +00:26:58,290 --> 00:27:02,250 +بيظل ال absolute value عند Xm N زائد 1 لعند ال + +351 +00:27:02,250 --> 00:27:05,990 +absolute value ل Xm اللي هي هتكون أصغر من Y حسب ال + +352 +00:27:05,990 --> 00:27:09,330 +Cauchy criterion ها وهذه سهلة بال Cauchy criterion + +353 +00:27:09,330 --> 00:27:10,010 +مباشرة + +354 +00:27:18,700 --> 00:27:23,480 +لو سمنا الـ sequence of partial sums للـ XN اللي + +355 +00:27:23,480 --> 00:27:28,090 +عبارة عن SSN وهذه سمنها mean للـ absolute values و + +356 +00:27:28,090 --> 00:27:32,430 +SM prime طيب شوفي لان احسبلي لهذه عشان اثبت هذه ال + +357 +00:27:32,430 --> 00:27:37,590 +conversion تلان احسبلي SM ماقص SM لمين الامات للام + +358 +00:27:37,590 --> 00:27:42,190 +الأكبر من انه أكبر يساوي مين M of Y بساوي اللي + +359 +00:27:42,190 --> 00:27:45,350 +هذولة حسبناها قبل و شوية طلعت XN زاد واحد XN زاد + +360 +00:27:45,350 --> 00:27:49,000 +اتنين عند X mean XM هذا الـ Absolute Value بالـ + +361 +00:27:49,000 --> 00:27:51,340 +Triangling Quality أصغر من الأولى زاد التانية لما + +362 +00:27:51,340 --> 00:27:55,780 +أصل للأخيرة هذا من فوق أصغر من مين؟ من إبسلون إذا + +363 +00:27:55,780 --> 00:27:59,220 +لجينا لكل إبسلون أكبر من صفر there exists M such + +364 +00:27:59,220 --> 00:28:01,480 +that F M أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M + +365 +00:28:01,480 --> 00:28:05,740 +أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M + +366 +00:28:05,740 --> 00:28:08,560 +أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M + +367 +00:28:08,560 --> 00:28:14,340 +أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M أكبر من M + +368 +00:28:17,760 --> 00:28:21,960 +is الهى عبارة عن convergence اللي هي طبعا ال + +369 +00:28:21,960 --> 00:28:24,960 +sequence of partial sums تبع ال xn then by Cauchy + +370 +00:28:24,960 --> 00:28:30,140 +criterion ال summation لل xn is convergent طيب + +371 +00:28:30,140 --> 00:28:33,800 +نيجي + +372 +00:28:33,800 --> 00:28:42,360 +الان ناخد example 918 نشوف هذا ال example نشوف كيف + +373 +00:28:42,360 --> 00:28:47,970 +بدنا اللي هو انحل أو اللي هو نشرح هذا الـ Example + +374 +00:28:47,970 --> 00:28:49,410 +918 + +375 +00:28:51,320 --> 00:28:55,460 +لت اكس بسوء a n then the geometric series ال + +376 +00:28:55,460 --> 00:28:59,820 +summation ل a n من واحد اللي مالنها هي converts if + +377 +00:28:59,820 --> 00:29:04,200 +ال absolute value لل a أشمالها أصغر من واحد إذا ال + +378 +00:29:04,200 --> 00:29:07,080 +geometric series هذا هتكون converts معلومة طبعا + +379 +00:29:07,080 --> 00:29:10,300 +عارفينها إذا كان ال absolute value لل a أصغر من + +380 +00:29:10,300 --> 00:29:15,680 +واحد فبتكون هذه a أشمالها converts الآن الجزء + +381 +00:29:15,680 --> 00:29:27,690 +الثاني b اللي هو بنشوفه لاحقًا الآن ونفترض + +382 +00:29:27,690 --> 00:29:31,390 +أن الـ summation لـ a أُسن من نقص واحد إلى ملا + +383 +00:29:31,390 --> 00:29:34,930 +نهاية is convergent مادام الـ convergent هذا حسب + +384 +00:29:34,930 --> 00:29:40,490 +الحكيمات التي قبل قليل اللي هي على طول limit الـ a + +385 +00:29:40,490 --> 00:29:44,480 +n النظرية as n goes to infinity إيش بساوي؟ صفر مدام + +386 +00:29:44,480 --> 00:29:47,760 +limit الـ A N بيساوي 0 إذا نكيد الـ absolute value + +387 +00:29:47,760 --> 00:29:51,180 +للـ A أصغر من 1، ليش؟ لأن لو كانت ال absolute + +388 +00:29:51,180 --> 00:29:54,960 +value للـ A بتساوي 1 مثلا، بيصير ال limit بيساوي + +389 +00:29:54,960 --> 00:29:58,520 +1، يعني مش 0، ولو كان هذا ال absolute value للـ A + +390 +00:29:58,520 --> 00:30:03,020 +أكبر من 1، بيصير limit الـ A N، بالذات، بيروح إلى + +391 +00:30:03,020 --> 00:30:05,560 +.. بيروح إلى وين؟ إلى مالة نهاية أو سلبة مالة + +392 +00:30:05,560 --> 00:30:09,000 +نهاية أو دصدات exist حسب اللي هي .. اللي هي الـ A + +393 +00:30:09,000 --> 00:30:13,420 +مدبا أو سلبة، بيكون limit A الـ N لو كانت أكبر من + +394 +00:30:13,420 --> 00:30:20,340 +1، اللي هي بتكون .. اللي هي diverse الآن في النهاية + +395 +00:30:20,340 --> 00:30:23,780 +مدامة ال limit لل a n as n goes to infinity بساوي + +396 +00:30:23,780 --> 00:30:27,240 +صفر فال absolute value أصبعناها هتكون أصغر من واحد + +397 +00:30:27,240 --> 00:30:32,760 +conversely suppose ذات ال absolute value لل a أصغر + +398 +00:30:32,760 --> 00:30:39,100 +من واحد بيثبتلك أن ال summation لل a n converts + +399 +00:30:39,100 --> 00:30:44,720 +بيثبتلك ال summation لل a n converts فبتنشوف الملاحظ + +400 +00:30:44,720 --> 00:30:49,260 +ة هذه المشهورة عندى لو جيت a n زائد واحد + +401 +00:30:49,260 --> 00:30:53,640 +زائد a n زائد اتنين لما اصل عند ال a m هذا طبعا + +402 +00:30:53,640 --> 00:30:59,550 +انا باخده في حالة ال m اكبر من مين من n وضربت في 1 + +403 +00:30:59,550 --> 00:31:07,930 +-a لما أضرب و أجمع ال terms لبعض كله هي cancel كله + +404 +00:31:07,930 --> 00:31:12,590 +هيظل بس أول term اللي هو am زائد واحد و آخر term + +405 +00:31:12,590 --> 00:31:17,510 +اللي هو am زائد واحد فالان هذا ضرب هذا هيطلع am + +406 +00:31:17,510 --> 00:31:22,180 +زائد واحد ناقص a os m زائد واحدهذا بيساوي المقدار + +407 +00:31:22,180 --> 00:31:27,500 +هذا لكل الأمات اللي أكبر بالمئة من N لأن بدي + +408 +00:31:27,500 --> 00:31:29,860 +أستخدم شكل بدي أستخدم الـ Cauchy criterion في + +409 +00:31:29,860 --> 00:31:34,960 +إثبات ال convergence احسب ل S M نقص S N صرنا + +410 +00:31:34,960 --> 00:31:38,080 +حاسبينها وعارفين كيف بتنحسب ل الأم الأكبر من N + +411 +00:31:38,080 --> 00:31:41,700 +هيطلع عند A N زائد واحد لعند A M absolute value + +412 +00:31:41,700 --> 00:31:48,100 +هذا بيساوي اللي هو حسب اللي هنا عبارة عن ال + +413 +00:31:48,100 --> 00:31:55,100 +absolute value لهذاهي ساوي هذا absolute value على + +414 +00:31:55,100 --> 00:32:00,200 +المقدار هذا واحد ناقص a absolute value إذا استبدلت + +415 +00:32:00,200 --> 00:32:06,100 +هذا اللي هو هذا على هذا من هذه اللي هي اللي فوق مش + +416 +00:32:06,100 --> 00:32:09,920 +الحال إذا صار عند الآن استخدمت اللي فوق هذه أخدت + +417 +00:32:09,920 --> 00:32:13,040 +ال absolute value للجهتين وأخدت اللي هو قيمة هذا + +418 +00:32:13,040 --> 00:32:16,400 +صار عبارة عن absolute value للإيهان على ال + +419 +00:32:16,400 --> 00:32:21,230 +absolute value اللي هو واحد minus a طيب هذا أصغر أو + +420 +00:32:21,230 --> 00:32:24,310 +يساوي بال triangle inequality اللي هو ال absolute + +421 +00:32:24,310 --> 00:32:27,810 +value للي فوق زاد ال absolute value للي جنبه على + +422 +00:32:27,810 --> 00:32:33,050 +المقدار هذا نفس اللي هي نفس القيمة ما غيرتهاش لأن + +423 +00:32:33,050 --> 00:32:37,610 +ال absolute value لأصغر من واحد implies that أن ال + +424 +00:32:37,610 --> 00:32:42,090 +limit اللي فوق هذا بيروح لصفر يعني الآن as n goes + +425 +00:32:42,090 --> 00:32:46,730 +to infinity as n goes to infinity طبعاً أكيد ال M + +426 +00:32:46,730 --> 00:32:50,330 +هتروح برضه لوين؟ لملان هي اللي أكبر منها يعني ال N + +427 +00:32:50,330 --> 00:32:53,970 +as n goes to infinity هذا المقدار هيصغر كتير كتير + +428 +00:32:53,970 --> 00:32:57,490 +كتير وهذا هيصغر كتير كتير لدرجة أن هذا كله على + +429 +00:32:57,490 --> 00:33:03,030 +بعضه as n goes to infinity هيكون اللي هو أصغر من + +430 +00:33:03,030 --> 00:33:07,130 +أي رقم في الدنيا هيصير أصغر من أبسلون معناته سارة + +431 +00:33:07,130 --> 00:33:12,390 +أن دي اللي هو الـ S M نقص S N أصغر من إبسلون هيكون + +432 +00:33:12,390 --> 00:33:16,410 +اللي هو في هذه الحالة أثبتت أنه اللي هو الـ S N by + +433 +00:33:16,410 --> 00:33:20,970 +Cauchy criterion is convergent اللي هو صار عندي + +434 +00:33:20,970 --> 00:33:26,170 +الخلاصة إلى الآن convergence طيب المثال اللي هو + +435 +00:33:26,170 --> 00:33:30,200 +المثال اللي بعده المثال المشهور اللي هو بـ little + +436 +00:33:30,200 --> 00:33:38,500 +bit show that summation للواحد and diverse هذه الـ + +437 +00:33:38,500 --> 00:33:42,800 +sequence، هذه الـ series اللي هي series مشهورة + +438 +00:33:42,800 --> 00:33:46,380 +اللي كنا نسميها الـ B series الـ B بيساوي واحد في + +439 +00:33:46,380 --> 00:33:49,440 +هذه الحالة هذه الـ summation يليها واحد and إيش + +440 +00:33:49,440 --> 00:33:54,400 +ماله؟ diverge نشوف to show that summation وحدة ل N + +441 +00:33:54,400 --> 00:33:58,480 +divergent, we construct unbounded subsequence SKN + +442 +00:33:58,480 --> 00:34:04,860 +of SK قلنا قبل هيك أن إذا كانت ال sequence + +443 +00:34:04,860 --> 00:34:09,800 +converges أكيد هتكون bounded إذا لو كانت ال + +444 +00:34:09,800 --> 00:34:16,060 +sequence unbounded أكيد diverges ماشي الحال طيب I + +445 +00:34:16,060 --> 00:34:19,250 +was not convergent بناءً عليه لو احنا جبنا + +446 +00:34:19,250 --> 00:34:24,830 +subsequence من ال sequence تكون unbounded فمن باب + +447 +00:34:24,830 --> 00:34:28,530 +الأولى هتصير ال sequence الأصلية نفسها unbounded + +448 +00:34:28,530 --> 00:34:31,450 +مدام أن صارت ال sequence الأصلية unbounded إذا ال + +449 +00:34:31,450 --> 00:34:36,030 +sequence صارت diverge بناءً عليه عشان أثبت اللي هو + +450 +00:34:36,030 --> 00:34:41,030 +ال sequence of partial sums هذه ال sequence of + +451 +00:34:41,030 --> 00:34:44,430 +partial sums لها اللي هي الـ sk مثلاً أو ال sum + +452 +00:34:44,430 --> 00:34:48,530 +عشان أثبتها أن هي diverge ال sequence of partial + +453 +00:34:48,530 --> 00:34:52,370 +sums يعني بمعنى آخر عشان أسميها الـ diverge ال + +454 +00:34:52,370 --> 00:34:58,120 +series بدي اجيب Unbounded subsequence بدنا نعمل + +455 +00:34:58,120 --> 00:35:00,940 +construction Unbounded وده اللي هو ال construction + +456 +00:35:00,940 --> 00:35:05,200 +المشهور إذا الآن بدأ أعمل we construct Unbounded + +457 +00:35:05,200 --> 00:35:08,520 +subsequence as K زائد واحد of the sequence of + +458 +00:35:08,520 --> 00:35:14,660 +partial sums SL of this series طيب شوف الآن كيف + +459 +00:35:14,660 --> 00:35:20,780 +بدنا نشتغل اللي هو اللي هي ال subsequence هذه خدلي + +460 +00:35:20,780 --> 00:35:27,830 +الآن بدأ أعمل subsequence as KR of mean of this + +461 +00:35:27,830 --> 00:35:34,210 +sequence خدلي أول اشي K واحد بساوي اللي هو عبارة + +462 +00:35:34,210 --> 00:35:39,750 +عن اتنين أس واحد فبصير SK واحد بساوي اللي هو + +463 +00:35:39,750 --> 00:35:45,480 +عبارة ع�� اللي هيتنين أقصد واحد يعني اتنين ال + +464 +00:35:45,480 --> 00:35:50,820 +sequence of partial sums ال summation واحدة لان ان + +465 +00:35:50,820 --> 00:35:55,500 +من واحد لعند كي ماشي لان عندي اش ماخدها اتنين كي + +466 +00:35:55,500 --> 00:36:01,840 +لان بيصير عندي اللي هي عبارة عن واحد زائد نص مظبوط + +467 +00:36:01,840 --> 00:36:07,720 +واحد زائد نص اكيد اكبر من مين؟ اللي هي اكبر من إيش + +468 +00:36:07,720 --> 00:36:14,780 +من الواحد طيب خد الآن K تنين بيساوي اتنين قس اتنين + +469 +00:36:14,780 --> 00:36:22,300 +فبيصير أس كتنين بيساوي اللي هو عبارة عن واحد زائد + +470 +00:36:22,300 --> 00:36:29,480 +نص زائد تلت زائد ربع مظبوط اللي هي هذه عبارة عن + +471 +00:36:29,480 --> 00:36:38,020 +تساوي أس كواحد أي أس كواحد زائد اللي هو مين + +472 +00:36:40,830 --> 00:36:47,350 +تلت زائد إيش زائد ربع أكيد هتكون هذه خلّيني أكتب + +473 +00:36:47,350 --> 00:36:53,410 +أربعة أكبر وأقول هذه زائد ربع زائد إيش ربع لأن + +474 +00:36:53,410 --> 00:36:57,430 +التلت أكبر من ربع حطيت بدل هذا فبصير عند هذا + +475 +00:36:57,430 --> 00:37:02,890 +المقدار SK2 أكبر من SK1 زائد ربع زائد ربع يعني + +476 +00:37:02,890 --> 00:37:10,820 +بمعنى آخر سيكون أكبر من SK1 زائد واحد اللي هو اتنين + +477 +00:37:10,820 --> 00:37:16,820 +في مين؟ في الربع اللي هو بيساوي SK واحد زاد اتنين في + +478 +00:37:16,820 --> 00:37:23,440 +واحد على اتنين تربيع بأشي اللي هو هذا اكيد اكبر من + +479 +00:37:23,440 --> 00:37:27,740 +واحد زائد لأن SK واحد اكبر من مين؟ من واحد اكبر من + +480 +00:37:27,740 --> 00:37:33,900 +واحد زائد اتنين اتنين في واحد على اتنين تربيع + +481 +00:37:44,670 --> 00:37:51,130 +خلّينا نحسب أس كي تلاتة ماذا يساوي؟ از كي تلاتة خد + +482 +00:37:51,130 --> 00:37:54,070 +كي تلاتة طبعاً واضحة إيش كي تلاتة؟ بدأ أخدها اتنين أقصى + +483 +00:37:54,070 --> 00:37:57,770 +اتنين هاخد اتنين أقصى تلاتة اللي هي تمانية اللي + +484 +00:37:57,770 --> 00:38:04,870 +عبارة عن واحد زائد نص زائد تلت زائد ربع زائد خمس + +485 +00:38:04,870 --> 00:38:14,050 +زائد سدس زائد سبع زائد تمن ماشي الحال طيب شوف عندي + +486 +00:38:14,050 --> 00:38:24,890 +الآن من واحد لعند اللي هو جذاش ربع هذا اللي هي SK2 + +487 +00:38:27,420 --> 00:38:31,960 +الباقية الـ SK تلاتة إذاً هذا بيصير عبارة عن SK + +488 +00:38:31,960 --> 00:38:38,340 +تنين اللي هو يعني أكبر من SK تنين زائد آخر واحد زي + +489 +00:38:38,340 --> 00:38:44,320 +ما أخدت هنا آخر واحد هنا اللي هو تمن زائد تمن زائد + +490 +00:38:44,320 --> 00:38:50,100 +تمن زائد تمن زائد تمن أربعة، واحد، تنين، واحد، + +491 +00:38:50,100 --> 00:38:54,880 +تنين، تلاتة، أربعة، عين أربعة ماشي الحال هدول الآن + +492 +00:38:56,220 --> 00:38:58,780 +من هنا إلى هنا أصغر من هنا إلى هنا عشان هيك بيصير + +493 +00:38:58,780 --> 00:39:02,120 +هذا المقدار أكبر من SK2 زائد هدوله هدوله إيش + +494 +00:39:02,120 --> 00:39:08,400 +بيساووا؟ هو يساوي SK2 زائد اللي هو أكمتهم؟ أربعة + +495 +00:39:08,400 --> 00:39:14,940 +أتمان يعني أربعة في تمن أربعة + +496 +00:39:14,940 --> 00:39:19,880 +في تمن هو يساوي الآن أربعة في تمن يعني عبارة عن + +497 +00:39:19,880 --> 00:39:28,720 +نص مظبوط يعني بيساوي اللي هو SK2 زائد نص نشوف من + +498 +00:39:28,720 --> 00:39:33,360 +اللي فوق هنا SK2 أكبر من واحد زائد اتنين على اتنين + +499 +00:39:33,360 --> 00:39:38,800 +إذا حيصير هذا أكبر من واحد زائد اتنين على اتنين + +500 +00:39:38,800 --> 00:39:43,500 +تربيع اتنين على اتنين تربيع هذه واحدة ممكن نخليها + +501 +00:39:43,500 --> 00:39:50,800 +زي ما هي واحد اتنين تلاتة أربعة مش مشكلة نص اللي + +502 +00:39:50,800 --> 00:39:57,500 +هو إيش بيساوي؟ هذا زائد اللي هو نص هذا اس كي اتنين + +503 +00:39:57,500 --> 00:40:02,720 +أكبر من هذا وهي نص بيصير زائد نص وهي ساوي واحد + +504 +00:40:02,720 --> 00:40:06,560 +زائد تلاتة + +505 +00:40:06,560 --> 00:40:13,820 +على مين؟ أكم نص؟ أنا بس هاد الخلبطة هنا اتنين في نص + +506 +00:40:13,820 --> 00:40:21,540 +تربيع يعني اتنين على اتنين تربيع اللي + +507 +00:40:21,540 --> 00:40:22,580 +هي بتساوي + +508 +00:40:26,450 --> 00:40:32,410 +و SK3 بيساوي واحد زائد اتنين على اتنين تربيع زائد نص + +509 +00:40:32,410 --> 00:40:38,030 +هذه + +510 +00:40:38,030 --> 00:40:46,650 +خلّينا نقول واحد زائد نص أكبر من بس هيأدي احنا بس + +511 +00:40:46,650 --> 00:40:55,560 +اللي هي SK1 SK1 اللي عبارة عن واحد زائد نص أكبر من + +512 +00:40:55,560 --> 00:41:01,700 +S K واحد هذه واحد زائد نص قيمة ال S خليها S K واحد + +513 +00:41:01,700 --> 00:41:04,860 +مش مشكلة S K واحد لما أنا عوضتها أنا عوضت بواحد ده + +514 +00:41:04,860 --> 00:41:10,120 +هي واحد زائد نص هي واحد زائد نص زائد هذه ماشي + +515 +00:41:10,120 --> 00:41:14,220 +الحال ويساوي صار عندها نص وهنا كمان اتنين مع + +516 +00:41:14,220 --> 00:41:18,910 +اتنين بطلع كمان نص بصير اتنين على اتنين صح بيصير 2 + +517 +00:41:18,910 --> 00:41:23,330 +على 2 وهذا نص وكمان نص هنا الآن لما نعوض عليها دي + +518 +00:41:23,330 --> 00:41:28,830 +برضه بنفس الطريقة اللي صار عندي SK2 اللي هو عبارة + +519 +00:41:28,830 --> 00:41:36,930 +عن واحد زاد اتنين على اتنين واحد نعود تحت SK2 بصير + +520 +00:41:36,930 --> 00:41:42,010 +واحد زاد اتنين على اتنين بصير عند واحد زاد اتنين + +521 +00:41:42,010 --> 00:41:44,890 +على اتنين يعني واحد زائد تلاتة على من؟ على اتنين + +522 +00:41:44,890 --> 00:41:53,410 +اللي وصلتله يعني الآن الـ اس كي واحد أكبر من واحد زائد + +523 +00:41:53,410 --> 00:42:00,370 +اتنين اصفر على أو خلّيني أقول بيساوي اسد بيساوي + +524 +00:42:00,370 --> 00:42:08,680 +واحد زائد واحد على اتنين اصفر SK3 SK2 عبارة عن أكبر + +525 +00:42:08,680 --> 00:42:13,440 +من وصلنا أخر أشي أكبر من واحد زائد اتنين على اتنين + +526 +00:42:13,440 --> 00:42:21,400 +SK3 أكبر يعني هان اتنين هاي اتنين SK3 اللي هو + +527 +00:42:21,400 --> 00:42:28,420 +عبارة عن أكبر من واحد واحد زائد تلاتة على اتنين + +528 +00:42:28,420 --> 00:42:38,580 +لاحظ هنا تلاتة هنا على اتنين هنا في حالة هذه اللي + +529 +00:42:38,580 --> 00:42:43,920 +هي اتنين تربيع يعني اتنين على اتنين وفي حالة + +530 +00:42:43,920 --> 00:42:49,980 +الأخيرة أكبر من واحد اللي هو أكبر من واحد زائد نص + +531 +00:42:49,980 --> 00:42:54,260 +اللي هو عبارة عن اللي هو اتنين أو سفر أو بيساوي + +532 +00:42:54,260 --> 00:42:58,940 +أنا اتنين أو سفر اللي هو على اتنين يعني الآن و + +533 +00:42:58,940 --> 00:43:07,250 +كأنه in general in general هناك تلاتة وهنا K2 وهنا + +534 +00:43:07,250 --> 00:43:13,230 +K1 in general بيصير عندي SK3 أكبر من 1 زائد 3 على + +535 +00:43:13,230 --> 00:43:20,550 +2 يعني صار عندي الآن بصورة عامة ال SKR اللي هو + +536 +00:43:20,550 --> 00:43:25,590 +أكبر من 1 زائد R على 2 ومرّينا في الخطوات في + +537 +00:43:25,590 --> 00:43:32,870 +أثناءها اللي هي على ما يلي مرّينا على أنها أكبر من + +538 +00:43:32,870 --> 00:43:42,290 +SKR-1 زاد 2 أس R-1 في 1 على 2R اللي سميناها SKR-1 + +539 +00:43:42,290 --> 00:43:52,460 +زاد إيش نص الآن هذه بدي أثبتها by induction أنا + +540 +00:43:52,460 --> 00:43:56,520 +لأن عملتلها لتلاتتين لكن هذا طبعاً تلاتتين بس + +541 +00:43:56,520 --> 00:44:02,280 +استقرار لأن in general بدأ أثبتها كما يلي عندي هي + +542 +00:44:02,280 --> 00:44:05,860 +SK اتنين + +543 +00:44:05,860 --> 00:44:12,700 +اللي هي R ناقص واحد زائد اللي هو اتنين أس ار ماينس + +544 +00:44:12,700 --> 00:44:16,060 +واحد لأن اتنين أس اتنين هذه اللي هي R إيش بيساوي + +545 +00:44:16,060 --> 00:44:18,800 +تلاتة بيصير اتنين أس تلاتة ناقص واحد على اتنين أس + +546 +00:44:18,800 --> 00:44:22,880 +اتنين في واحد على اتنين تكعيب اللي هي واحد على + +547 +00:44:22,880 --> 00:44:27,600 +اتنين تكعيب اللي هي واحد على اتنين أس ار إذا هذه هي + +548 +00:44:27,600 --> 00:44:33,920 +هيها هذه اللي هي بتساوي اللي هي SK اللي هي R ناقص + +549 +00:44:33,920 --> 00:44:39,600 +واحد يعني اتنين زائد إيش؟ زائد نص أكبر من مين؟ من + +550 +00:44:39,600 --> 00:44:42,960 +واحد زائد تلاتة على اتنين اللي هي واحد زائد R على + +551 +00:44:42,960 --> 00:44:47,480 +اتنين حيث ال R هنا إيش بتساوي؟ بتساوي تلاتة إذا هذا + +552 +00:44:47,480 --> 00:44:53,130 +الاستقراء الآن بطلّع لي هذه بس هذا مش إثبات بدنا + +553 +00:44:53,130 --> 00:44:57,970 +نثبتها for r بتساوي واحد على طول for r بتساوي واحد + +554 +00:44:57,970 --> 00:45:05,140 +اس كي واحد اس كي واحد بيساوي اللي هو R بتساوي اللي هي + +555 +00:45:05,140 --> 00:45:10,960 +واحد SK واحد بيساوي اللي هو واحد زائد نص واحد زائد + +556 +00:45:10,960 --> 00:45:14,180 +نص طب علشان ما فيش إجابة لك خلّيني أخد أن ال R إيش + +557 +00:45:14,180 --> 00:45:18,120 +بتساوي ال R بيساوي اتنين لأن ال R زيرو مش معرفة + +558 +00:45:18,120 --> 00:45:21,220 +فاهمين عليها إذا أن ال R بيساوي اتنين R بيساوي + +559 +00:45:21,220 --> 00:45:25,720 +اتنين SK اتنين هي SK اتنين عشان مديش أعيدها SK + +560 +00:45:25,720 --> 00:45:34,820 +اتنين أكبر من اللي هو اللي هي SK1 هيها SK2 أكبر من + +561 +00:45:34,820 --> 00:45:42,460 +SK1 زائد 2 أُس 2 ناقص 1 يعني أُس واحد في مين في + +562 +00:45:42,460 --> 00:45:45,980 +رُبع اللي هو 1 على 2 تربيع إذن هذا صح لأن + +563 +00:45:45,980 --> 00:45:52,740 +اللي بعدها اللي هي SK1 زائد اللي هي نصاللي هو هذا + +564 +00:45:52,740 --> 00:45:56,200 +ما حد بروح بصيله نص اللي هي أكبر من 1 زائد + +565 +00:45:56,200 --> 00:45:59,500 +2 على 2 اللي هي 1 زائد R على 2 اللي + +566 +00:45:59,500 --> 00:46:03,940 +هي R بساوي 2 إذا هذه true for mean for R + +567 +00:46:03,940 --> 00:46:08,160 +بتساوي 2 لإنه بتبدأ من عند مين من عند R بساوي + +568 +00:46:08,160 --> 00:46:15,700 +2 الآن بدنا نفترض إنها صحيحة صحيحة for + +569 +00:46:17,620 --> 00:46:24,820 +R و نثبت صحيتها في مين لـ R زائد 1 بيكون خلصنا + +570 +00:46:24,820 --> 00:46:34,060 +إذا هي اللي بدنا نفترض صحتها لعند مين عند R بتساوي + +571 +00:46:34,060 --> 00:46:43,980 +R ماشي و بدنا نثبت صحتها لـ SKR زائد 1 SKR زائد + +572 +00:46:43,980 --> 00:46:51,130 +واحد إيش بتساوي؟ بتساوي 1 طبعاً كر زائد 1 زي ما + +573 +00:46:51,130 --> 00:46:55,310 +اتفرجنا عبارة عن 2 أثار زائد 1 بيصير 1 + +574 +00:46:55,310 --> 00:47:02,990 +زائد نص زائد تلت زائد لما أصل عند 1 على 2 + +575 +00:47:02,990 --> 00:47:10,210 +أثار ماشي عند أثار هذه اللي هتمثل الـ mean اللي هي + +576 +00:47:10,210 --> 00:47:22,240 +skr زائد زائد زائد + +577 +00:47:22,240 --> 00:47:33,660 +زائد زائد زائد + +578 +00:47:34,490 --> 00:47:40,870 +زائد 1 زائد 1 على 2 أثار زائد 2 بضل + +579 +00:47:40,870 --> 00:47:46,110 +أضيف 1 لما أصل عند آخر واحدة اللي هي 1 على + +580 +00:47:46,110 --> 00:47:51,050 +2 أثار زائد 1 هذول المضافات على مين؟ على ال + +581 +00:47:51,050 --> 00:47:57,930 +SKR ويساوي SKR زائد المضافات هي دي .. ده شوف في + +582 +00:47:57,930 --> 00:48:01,230 +الجليد ماجدش عددين 1 على 2 أسقار زائد 1 + +583 +00:48:01,230 --> 00:48:05,190 +زائد 1 على 2 أسقار زائد 2 زائد .. لما + +584 +00:48:05,190 --> 00:48:10,650 +أصل لآخر واحد .. 1 على 2 أسقار في 1 زائد + +585 +00:48:10,650 --> 00:48:16,820 +1، مظبوط؟ يعني 2 أسقار في 2 هدولة 2 + +586 +00:48:16,820 --> 00:48:19,940 +مضروبات يعني 2 أثار زائد 1 اللي هي هدى لما + +587 +00:48:19,940 --> 00:48:24,680 +اضربها جوا بيصير عبارة عن 2 أثار زائد 2 + +588 +00:48:24,680 --> 00:48:30,760 +أثار مظبوط طيب يعني وكأن عدد الـ terms اللي ضفته + +589 +00:48:30,760 --> 00:48:36,020 +هدى هدول عددهن جزء عددهن هدول إيش بيساوي 2 + +590 +00:48:36,020 --> 00:48:44,280 +أصاريعني هيساوي هذا هيكون أكبر من SKR زائد 1 + +591 +00:48:44,280 --> 00:48:50,380 +على 2 أثار زائد 1 أكيد لأن هذا الـ term أصغر + +592 +00:48:50,380 --> 00:48:54,660 +من هذا الـ term زائد 1 على 2 أثار زائد 1 + +593 +00:48:54,660 --> 00:48:57,740 +زي ما عملت قبل زائد لما أصل الاخر واحد 1 على + +594 +00:48:57,740 --> 00:49:02,720 +2 أثار زائد 1 أكم واحد هدولة عدد هنا عدد + +595 +00:49:02,720 --> 00:49:06,960 +الـ 2 أُس R زي ما عدنا إنها ينهار إذا هذا بيصير + +596 +00:49:06,960 --> 00:49:16,980 +عبارة عن أكبر من الـ SKR زائد 2 أُس R في 1 على 2 + +597 +00:49:16,980 --> 00:49:24,700 +أُس R زائد 1 يعني صارت هذه صحيحة لهنا صحيحة for R + +598 +00:49:24,700 --> 00:49:29,580 +بتساوي R زائد 1 لـ R زائد 1 صحيحة لهنا اللي بعدها + +599 +00:49:29,580 --> 00:49:35,680 +طبيعي هذه automatic بتطلع SKR زائد نص لأن هذه + +600 +00:49:35,680 --> 00:49:38,220 +بيساوي اللي هو بضال بس 2 و اللي فوق بتروح محق اللي + +601 +00:49:38,220 --> 00:49:46,730 +تحت الآن هذه ما احنا مفترضينها الـ SKR اللي هي أكبر + +602 +00:49:46,730 --> 00:49:54,160 +من 1 زائد اللي هي R على 2 هم مفترضين أن هذه + +603 +00:49:54,160 --> 00:49:58,880 +صحيحة إذا الـ SKR أكبر من 1 زائد R على 2 إذا + +604 +00:49:58,880 --> 00:50:03,240 +by induction الـ hypothesis بيصير هذا أكبر مكان هذه + +605 +00:50:03,240 --> 00:50:07,760 +اللي هو 1 زائد R على 2 زائد النص الأصلي + +606 +00:50:07,760 --> 00:50:12,460 +ويساوي 1 زائد R زائد 1 على مين؟ على 2 + +607 +00:50:12,460 --> 00:50:18,330 +إذا صارت عند الـ SKR زائد 1 أكبر من 1 زائد R زائد + +608 +00:50:18,330 --> 00:50:23,110 +1 على 2 يعني صارت هذه الجملة صحيحة for R زائد 1 + +609 +00:50:23,110 --> 00:50:27,270 +إذا صحيحة دائماً إذا هيك بيكون أثبتنا by + +610 +00:50:27,270 --> 00:50:32,770 +mathematical induction كل اللي بدنا إياه بخصوص هذا ال + +611 +00:50:32,770 --> 00:50:38,060 +subsequence SKR هذه الـ subsequence وضحنا انها أكبر + +612 +00:50:38,060 --> 00:50:41,720 +أو يساوي 1 على أرضها أو 2 يعني as R goes to + +613 +00:50:41,720 --> 00:50:44,540 +infinity هذا المقدار بروح لما لنهاية يعني هذه ال + +614 +00:50:44,540 --> 00:50:51,240 +sequence is unbounded إذا صار عندي اللي هو SKR is + +615 +00:50:51,240 --> 00:50:57,440 +unbounded subsequence of the sequence of partial + +616 +00:50:57,440 --> 00:51:04,240 +sums SN of summation 1 على N then it must diverge + +617 +00:51:04,240 --> 00:51:08,960 +وهو المطلوب بكون هي أثبتنا أن summation 1 على N is + +618 +00:51:08,960 --> 00:51:12,820 +a divergent series + +619 +00:51:17,210 --> 00:51:22,830 +بنكمل قصة الـ B-Series الـ B-Series المشهورة عندي + +620 +00:51:22,830 --> 00:51:28,750 +summation للواحد N أس بي N من 1 إلى مالنهاية + +621 +00:51:28,750 --> 00:51:33,050 +هذه الـ Series بدنا نفحص اللي هو متى converge و + +622 +00:51:33,050 --> 00:51:37,310 +متى diverge يعني converge for what بي and diverge + +623 +00:51:37,310 --> 00:51:41,850 +for what بي لجينا عند الـ B بساوي 1 it converge + +624 +00:51:41,850 --> 00:51:49,090 +بدنا نشوف الآن for مين بـ مين؟ for b بين الـ 0 و بين + +625 +00:51:49,090 --> 00:51:52,730 +الـ 1 show that the b series summation 1 على n b + +626 +00:51:52,730 --> 00:51:57,830 +diverges for b اللي أصغر أو يساوي 1 و أكبر من مين + +627 +00:51:57,830 --> 00:52:01,850 +من 0 طبعاً حد يقول لي لو كانت b سالبة لو كانت b + +628 +00:52:01,850 --> 00:52:07,690 +سالبة بتطلع أس فوق مثلاً معناه تطارد طيب + +629 +00:52:12,030 --> 00:52:17,770 +عندي for n element in n, b element in 0, 1 أنقص b + +630 +00:52:17,770 --> 00:52:21,330 +أصغر أو أصغر من 1 أصغر أو أصغر من 1 طبعاً المقصود + +631 +00:52:21,330 --> 00:52:24,530 +بي أكبر من .. بي أصغر من سالب 1 ده اللي بقول + +632 +00:52:24,530 --> 00:52:29,370 +عنها اللي بتكبر الـ b السالب اللي أصغر من 1 طيب + +633 +00:52:29,370 --> 00:52:32,750 +لأن احنا بنحكي عن بي أكبر من 0 أصغر أو أصغر من 1 + +634 +00:52:32,750 --> 00:52:36,490 +شوفوا + +635 +00:52:36,490 --> 00:52:42,780 +صلى عنا بيه كلام سهلبنزيل 1 بي أصغر أو يساوي + +636 +00:52:42,780 --> 00:52:46,680 +مين أو أصغر أو يساوي n لأن الـ بي هنا عبارة عن إيش + +637 +00:52:46,680 --> 00:52:49,940 +عن كسر وكأنه بأخد يدوري ده هتكون أصغر أو يساوي n + +638 +00:52:49,940 --> 00:52:54,100 +سو 1 على n أصغر أو يساوي مين؟ 1 على n بي + +639 +00:52:54,100 --> 00:52:57,780 +لأنها بتنقل لأن however the sequence of partial + +640 +00:52:57,780 --> 00:53:01,080 +sums is unbounded، الـ sequence of partial sums + +641 +00:53:01,080 --> 00:53:05,200 +لهذه unbounded فما بالك الأكبر منها، إذن أكيد it + +642 +00:53:05,200 --> 00:53:09,140 +has a subsequence of un، اللي هي sequence of + +643 +00:53:09,140 --> 00:53:12,000 +partial sums which is unbounded، إذن هيكون ال + +644 +00:53:12,000 --> 00:53:17,120 +summation واحدة لأن بي divergence هذه السيريزة هي + +645 +00:53:17,120 --> 00:53:20,220 +بـ Unbounded subsequence of partial sums أكيد اللي + +646 +00:53:20,220 --> 00:53:22,940 +عاجبال هذه الـ subsequence of partial sums is + +647 +00:53:22,940 --> 00:53:30,700 +unbounded إذا السيريزة هذه is divergent حلاني + +648 +00:53:30,700 --> 00:53:37,160 +جي لمينة اللي هي السيريز اللي هي الـ B سيريز التانية + +649 +00:53:37,160 --> 00:53:40,780 +اللي هي for B أكبر من 1 الـ power series واحدة + +650 +00:53:40,780 --> 00:53:45,860 +لأن بي اشملها converts هذه الآن في خطواتها كثير + +651 +00:53:45,860 --> 00:53:48,840 +بتشابه اللي هو الخطوات اللي حكينا عليها قبل شوية + +652 +00:53:48,840 --> 00:53:52,660 +بس باتجاه الـ convergence عشان هيك مش هعيد الخطوات + +653 +00:53:52,660 --> 00:53:57,680 +اللي عيدتها في الـ B سيريز أو الـ 1 سيريز اه اللي + +654 +00:53:57,680 --> 00:54:02,560 +هي summation 1 على n الآن for B أكبر من 1 the + +655 +00:54:02,560 --> 00:54:07,480 +power series هذي converts ركزوا الآن معايا first + +656 +00:54:07,480 --> 00:54:13,080 +note that Sn أصغر أو يساوي Sm for every M أكبر أو + +657 +00:54:13,080 --> 00:54:18,690 +يساوي N يعني بمعنى آخر طب ما هي أصلاً مبينة 1 على n + +658 +00:54:18,690 --> 00:54:23,870 +أس بي دائماً موجبة إذا أكيد مدام موجبة أصغر من أس + +659 +00:54:23,870 --> 00:54:28,170 +1 أصغر من أس 3 أصغر من أس 4 إذا ال + +660 +00:54:28,170 --> 00:54:33,430 +sequence of partial sums أي شمالها is increasing + +661 +00:54:33,430 --> 00:54:39,190 +sequence طيب مدام increasing يعني بمعنى أو هتكون + +662 +00:54:39,190 --> 00:54:45,840 +أي شمالها monotone Madame Monotone بيكفيني أثبت أنه + +663 +00:54:45,840 --> 00:54:52,420 +SK is bounded ماشي بدي أثبت اللي هو الـ sequence + +664 +00:54:52,420 --> 00:54:58,120 +of partial sums is bounded SK عشان أثبت أنها + +665 +00:54:58,120 --> 00:55:02,140 +bounded، شوفوا هالاشي الغريب، بس الغرابة بتروح من + +666 +00:55:02,140 --> 00:55:08,160 +تصرف الـ increasing تبعته الآن SK is bounded عشان + +667 +00:55:08,160 --> 00:55:12,460 +أثبتها bounded يكفيني أني أثبت subsequence منها + +668 +00:55:12,460 --> 00:55:21,320 +bounded يعني أثبت لك إنه SK1 SK2 SK3 SKN in general + +669 +00:55:21,320 --> 00:55:25,860 +هذه الـ subsequence يكفي أني أثبت إنها bounded عشان + +670 +00:55:25,860 --> 00:55:29,960 +تكون اللي فوق bounded طب ما بلاقي subsequence + +671 +00:55:29,960 --> 00:55:33,580 +تانية بتكون اللي هي unbounded ما هو لو لجيت + +672 +00:55:33,580 --> 00:55:36,640 +subsequence تانية زي ما بتقول إنها unbounded أو لو + +673 +00:55:36,640 --> 00:55:40,660 +كانت هذه unbounded في حالة هذه bounded معناته ما + +674 +00:55:40,660 --> 00:55:45,640 +هي increasing هذه هتلاقي اللي هو term من هذه بعد + +675 +00:55:45,640 --> 00:55:49,080 +الـ .. بعد الـ term اللي أنت حكيت عنه من هذه مادام + +676 +00:55:49,080 --> 00:55:53,930 +هتلاقيه بعده إذاً معناته بخلي الـ bounded نصف مين + +677 +00:55:53,930 --> 00:55:56,970 +في هذه الـ sequence إذاً في حالة الـ increasing + +678 +00:55:56,970 --> 00:56:00,750 +sequence لإنها increasing يكفي أن ألاقي واحدة منهم + +679 +00:56:00,750 --> 00:56:04,610 +الـ subsequences إنها bounded عشان أقول كل ال + +680 +00:56:04,610 --> 00:56:08,210 +sequence bounded لأنه لو كانت اللي هو فيه عندك + +681 +00:56:08,210 --> 00:56:14,470 +اللي هو الـ sequence أصلاً مش bounded معناته في عنصر + +682 +00:56:14,470 --> 00:56:17,550 +من عناصر الـ subsequence اللي قولنا عنها bounded + +683 +00:56:17,550 --> 00:56:21,370 +تخططت اللي هو اللي بنحكي فيه لأنه دي روحي لما + +684 +00:56:21,370 --> 00:56:26,890 +لنهاية فعشان هيك غصب عنها مادام لجينا واحدة من ال + +685 +00:56:26,890 --> 00:56:31,250 +subsequences للـ increasing sequence is bounded + +686 +00:56:31,250 --> 00:56:37,810 +هتكون كل الـ sequence is bounded طيب، شوفوا عليها، + +687 +00:56:37,810 --> 00:56:40,870 +إذا اللي ضال علينا بس نعمل construction لـ + +688 +00:56:40,870 --> 00:56:46,310 +subsequence skr تكون bounded طبعاً لمن؟ لسريزة + +689 +00:56:46,310 --> 00:56:51,510 +summation 1 على n أس بي اللي ماياخدوا إشي مشابه للي + +690 +00:56:51,510 --> 00:56:55,730 +قبل بشوية عشان هيك مش هعيد الـ induction اللي قبل + +691 +00:56:55,730 --> 00:57:01,030 +بشوية طريقة الـ induction بتعملوها باسلوب مشابه، + +692 +00:57:01,030 --> 00:57:05,190 +إيش بقولت؟ انتبهوا عليه الـ K1 بيساوي 2 أس 1 + +693 +00:57:05,190 --> 00:57:09,930 +ناقص 1، ماشي؟ هناك يقول لنا خد K1 اتنين، K2 + +694 +00:57:09,930 --> 00:57:13,950 +2 تربيع، لأ هاد يقول لنا خدها KR بيساوي 2 أس R + +695 +00:57:13,950 --> 00:57:18,550 +ناقص 1، ماشي الحال؟ اللي كان غلط حسابات ويساوي + +696 +00:57:18,550 --> 00:57:23,790 +1، أس K1 1، K2 2 أس 2 ناقص 1 + +697 +00:57:23,790 --> 00:57:29,690 +ويساوي 3 لو جيت حسبة SK2 احسبها لحالك هيصير + +698 +00:57:29,690 --> 00:57:35,590 +عبارة عن 1 على 1 على اللي هي زائد لأنه عند P + +699 +00:57:35,590 --> 00:57:40,790 +من وين بتبدأ؟ من عند اللي هو عند N من 1 إلى كده + +700 +00:57:40,790 --> 00:57:45,430 +بيصير 1 على 1 و P على 1 زاد 1 على 2 أس بي + +701 +00:57:45,430 --> 00:57:51,510 +زاد 1 على 3 أس بي هذا أصغر من 1 زاد اللي هو 1 على + +702 +00:57:51,510 --> 00:57:55,690 +2 أس بي زاد 1 على 2 أس بي يعني بأخذ الأولى مش + +703 +00:57:55,690 --> 00:57:59,510 +الأخيرة زي ما كنت آخذ قبل صار عندي 1 زائد 2 على 2 + +704 +00:57:59,510 --> 00:58:05,200 +أس بي ويساوي 1 زائد 1 على 2 أس بي minus 1 الآن اللي + +705 +00:58:05,200 --> 00:58:09,460 +عملته للـ S K 2 بدي أعمله للـ S K 3 الـ S K 3 اللي هي 2 + +706 +00:58:09,460 --> 00:58:13,340 +أقصى 3 ناقص 1 اللي هي S بتطلع 7 اللي هي 8 ناقص 1 + +707 +00:58:13,340 --> 00:58:18,760 +الأولى S K 3 اللي هي عبارة عن S K 2 زائد زي ما + +708 +00:58:18,760 --> 00:58:22,040 +عملت قبل شوي ربع أس بي خمس أس بي ست أس بي زائد + +709 +00:58:22,040 --> 00:58:25,940 +سبع أس بي الآن بأخذ مش آخر واحدة بأخذ الأولى + +710 +00:58:25,940 --> 00:58:30,580 +عشان يظل هذا المقدار لهان أكبر من لهان بيصير S K 2 زي + +711 +00:58:30,580 --> 00:58:37,580 +4 على 4 أس بي اللي هو عبارة عن 1 زي 1 على 2 أس + +712 +00:58:37,580 --> 00:58:42,580 +بي minus 1 زي 1 على 4 أس بي minus 1 ماشي الحال + +713 +00:58:42,580 --> 00:58:48,320 +الآن سمّي لي بقول لي سمّي اللي هو 1 على 2 بي minus + +714 +00:58:48,320 --> 00:58:53,840 +1 هذه اللي هي سمّي ليها اسمها إيه ككتلة واحدة عشان + +715 +00:58:53,840 --> 00:58:59,680 +ما نضلش نكتبها طيب الآن since ب أكبر من واحد إذا + +716 +00:58:59,680 --> 00:59:04,100 +بدأ ب أكبر من واحد هذه لأن هي مفترضينها صارت الـ a + +717 +00:59:04,100 --> 00:59:07,520 +اللي عندي هنا بين الصفر وبين الواحد لأن ده صارت + +718 +00:59:07,520 --> 00:59:12,120 +اللي عدد أكبر من اثنين أو أكبر إذا صارت هذه عبارة + +719 +00:59:12,120 --> 00:59:18,140 +عن كسر يعني كسر بين الصفر وبين الواحد الآن by + +720 +00:59:18,140 --> 00:59:21,260 +mathematical induction زي اللي عملته قبل شوي we + +721 +00:59:21,260 --> 00:59:29,180 +find if اللي هو K R بيساوي 2R-1 هلاجي دائماً S K R + +722 +00:59:29,180 --> 00:59:36,400 +أكبر من 0 وأصغر من 1 زائد A زائد A تربيع لما أصل + +723 +00:59:36,400 --> 00:59:41,440 +عند A R-1 مين الـ A الـ A الـ A اللي هي 1 على 2 أس B + +724 +00:59:41,440 --> 00:59:46,480 +-1 وحالها هذه الـ induction بتاعتها سهلة بنفس + +725 +00:59:46,480 --> 00:59:50,500 +الطريقة اللي عملتها أنا قبل شوي بتفترضها صحيحة لـ + +726 +00:59:50,500 --> 00:59:57,810 +R بتثبتها صحيحة عند R بساوي 2 هنا أثبتناها للـ S K 2 + +727 +00:59:57,810 --> 01:00:02,570 +هنا أثبتناها فوق وبعدين بتثبتها صحيحة لمين بتفرض + +728 +01:00:02,570 --> 01:00:08,150 +صحيتها لـ R وبتثبت صحيتها منها لـ R زائد 1 بيكون + +729 +01:00:08,150 --> 01:00:11,850 +صحيحة دائماً زي ما عملت قبل شوي بالظبط في الحساب + +730 +01:00:13,320 --> 01:00:17,100 +الآن as r goes to infinity هذه مجهزينها اللي هي a + +731 +01:00:17,100 --> 01:00:21,140 +أصغر من واحد as r goes to infinity هذا المقدار + +732 +01:00:21,140 --> 01:00:26,020 +هيروح لواحد على واحد ناقص a ماشي لإن هذه بيصير + +733 +01:00:26,020 --> 01:00:30,360 +اللي هي عبارة عن geometric series مجموعها infinite + +734 +01:00:30,360 --> 01:00:35,260 +geometric series بيصير عبارة عن summation a r, r + +735 +01:00:35,260 --> 01:00:42,170 +من صفر من واحد لعند ما لا نهاية مظبوط؟ هو يساوي الـ + +736 +01:00:42,170 --> 01:00:47,170 +summation واحد على واحد ناقص اللي هي a حرفينها a + +737 +01:00:47,170 --> 01:00:54,070 +اللي هي واحد على واحد ناقص a r من العين صفر هيها + +738 +01:00:54,070 --> 01:00:57,450 +من العين صفر واحد زائد اثنين تربيع إلى ما لا نهاية + +739 +01:00:57,450 --> 01:00:59,530 +دي geometric series واحد على واحد ناقص a + +740 +01:00:59,530 --> 01:01:06,890 +therefore اللي هي واحد ناقص a هيكون عبارة عن إيش؟ + +741 +01:01:06,890 --> 01:01:12,970 +bound for the partial sums of bar series ليش؟ لأن + +742 +01:01:12,970 --> 01:01:19,670 +صارت الـ S K R limit الـ S K R as R goes to infinity + +743 +01:01:19,670 --> 01:01:25,530 +أكبر أو يساوي أكبر من 0 أكبر يساوي 0 وأصغر أو + +744 +01:01:25,530 --> 01:01:29,790 +يساوي 100 الـ limit اللي طلعت عندي 1 على 1 ناقص + +745 +01:01:29,790 --> 01:01:35,880 +1 ناقص A صارت مدام الـ sequence of partial sums + +746 +01:01:35,880 --> 01:01:43,940 +هذه is bounded هيها by واحد على ناقص a اه then by + +747 +01:01:43,940 --> 01:01:48,180 +ثانو تسعة واحد اربعة مدامت هذه عبارة عن كل ان + +748 +01:01:48,180 --> 01:01:52,780 +عناصر موجبة يكفي عشان نثبت انها اللي هي converge + +749 +01:01:52,780 --> 01:01:58,220 +انها تكون bounded اللي صارت اللي هي الـ series هذه + +750 +01:01:58,220 --> 01:02:03,530 +converge زي ما قلت ماذا قلت؟ هذه صارت الـ + +751 +01:02:03,530 --> 01:02:09,230 +subsequence of partial sums إيش ما لها صارت عبارة + +752 +01:02:09,230 --> 01:02:13,930 +عن bounded ماشي، مدام bounded إذا أثبتنا إن هناك + +753 +01:02:13,930 --> 01:02:17,570 +sub-sequence bounded من an increasing sequence إذا + +754 +01:02:17,570 --> 01:02:19,770 +اتفجنا إن هذا الـ increasing sequence سيكون + +755 +01:02:19,770 --> 01:02:23,450 +bounded وهي increasing إذا convergence حسب الـ + +756 +01:02:23,450 --> 01:02:26,730 +monotone convergence theorem ومن ثم بيكون خلصنا + +757 +01:02:26,730 --> 01:02:32,880 +أثبتنا هذا is a convergent series for B أكبر من + +758 +01:02:32,880 --> 01:02:33,720 +واحد + +759 +01:02:36,760 --> 01:02:41,140 +Show that 1 على N تربيع زائد N من 1 إلى ما لا نهاية + +760 +01:02:41,140 --> 01:02:45,700 +إيش بتساوي؟ بتساوي 1 هذا بتاع مشهور وسؤال مشهور في + +761 +01:02:45,700 --> 01:02:50,480 +الـ .. في الـ calculus أو سهل إثباته لو جينا طلعنا + +762 +01:02:50,480 --> 01:02:53,900 +على اللي قولنا بنعمله partial fraction كنا نقول الـ + +763 +01:02:53,900 --> 01:02:57,860 +1 على K تربيع زائد K بيساوي 1 على K في K زائد 1 + +764 +01:02:57,860 --> 01:03:02,440 +نار اللي هي عبارة عن 1 على K ناقص 1 على K زائد 1 + +765 +01:03:03,050 --> 01:03:07,550 +ماشي الحال الآن صارت الـ sequence هذا الـ series هذه + +766 +01:03:07,550 --> 01:03:10,970 +عبارة عن هذا ناقص هذا يعني الـ partial sums صارت + +767 +01:03:10,970 --> 01:03:16,150 +عبارة عن واحد على N ناقص واحد على N زائد واحد ويساوي + +768 +01:03:16,150 --> 01:03:17,150 +كمية + +769 +01:03:20,550 --> 01:03:26,150 +كيب واحد بيصير واحد على واحد ناقص نصف اللي بعده + +770 +01:03:26,150 --> 01:03:29,830 +بإثنين اللي هو نصف ناقص ثلث اللي بعده ثلث ناقص ربع + +771 +01:03:29,830 --> 01:03:33,070 +لما أصل الآخر واحد واحد على N ناقص واحد على + +772 +01:03:33,070 --> 01:03:36,450 +N زائد واحد كلهم بيروحوا مع بعض وضل أول term وآخر + +773 +01:03:36,450 --> 01:03:40,470 +term الواحد ناقص واحد على N زائد واحد لأن هذا صار + +774 +01:03:40,470 --> 01:03:44,770 +اللي هو اللي هو الـ partial sum أو الـ sequence of + +775 +01:03:44,770 --> 01:03:50,810 +الـ term of the partial sums of this series خذوله + +776 +01:03:50,810 --> 01:03:54,630 +limit الـ S N as n goes to infinity بيساوي واحد ناقص + +777 +01:03:54,630 --> 01:03:58,090 +limit الواحد الآن زائد واحد هذا بيروح للصفر ويساوي + +778 +01:03:58,090 --> 01:04:01,110 +واحد لأن صارت الـ series اللي عندي هذه الأصلية + +779 +01:04:01,110 --> 01:04:04,630 +converged ويساوي الـ convergent إيش بيساوي بيساوي + +780 +01:04:04,630 --> 01:04:10,470 +واحد الآن آخر موضوع في اللي هو الـ section الأول + +781 +01:04:12,460 --> 01:04:16,700 +حاجة اسمها rearrangement of series يعني إعادة + +782 +01:04:16,700 --> 01:04:21,220 +ترتيب العناصر اللي هو اللي هي الـ series أو الـ term + +783 +01:04:21,220 --> 01:04:25,160 +سبعة الـ series الـ rearrangement of a series is + +784 +01:04:25,160 --> 01:04:29,140 +another series هي في ريز أخرى هتكون which is + +785 +01:04:29,140 --> 01:04:32,540 +obtained from the given one يعني بأخذها من من من + +786 +01:04:32,540 --> 01:04:38,660 +الأصلية by using all of the terms exactly one once + +787 +01:04:38,660 --> 01:04:44,020 +يعني بإننا نستخدم عناصر الـ series مرة واحدة فقط + +788 +01:04:44,020 --> 01:04:49,900 +لازم نستخدمها وبنستخدمها بمرة واحدة but scrambling + +789 +01:04:49,900 --> 01:04:55,720 +the order in which the terms are taken يعني بس إيش + +790 +01:04:55,720 --> 01:05:00,820 +بنسوي، بنعيد ترتيب اللي هي أماكن اللي هي S series + +791 +01:05:00,820 --> 01:05:06,540 +الآن يعني الـ summation XN summation XN هي series + +792 +01:05:06,540 --> 01:05:12,950 +قعدنا ترتيبها اللي هي summation YN الآن الـ XL و + +793 +01:05:12,950 --> 01:05:18,770 +الـ YN لو جينا حاطناها في مجموعتين هنقول أكيد أكيد + +794 +01:05:18,770 --> 01:05:24,890 +الـ X1 لعند الـ XN لعند ما لا نهاية هي نفسها + +795 +01:05:24,890 --> 01:05:31,940 +Y1 لعند Y2 لعند الـ YN إلى ما لا نهاية لكن الـ X1 + +796 +01:05:31,940 --> 01:05:35,400 +مش شرط الـ Y1 الـ X2 مش شرط الـ Y2 أما هذه كمجموعة + +797 +01:05:35,400 --> 01:05:41,900 +هي نفس المجموعة وبنستخدمش الـ term الجديد إلا .. + +798 +01:05:41,900 --> 01:05:45,840 +بنستخدمش اللي هنا إلا غير مرة واحدة في اللي هي هنا + +799 +01:05:45,840 --> 01:05:51,380 +يعني كل اللي هنا موجودة هنا ولكن بترتيب آخر فبتكون + +800 +01:05:51,380 --> 01:05:56,020 +هذه rearrangement of the original series الـ + +801 +01:05:56,020 --> 01:06:04,620 +summation لـ X طيب نأخذ مثال أو أكثر من مثال بقول + +802 +01:06:04,620 --> 01:06:07,800 +the harmonic series اللي جابله بشوية هذه إلى + +803 +01:06:07,800 --> 01:06:12,940 +summation 1 على n 1 زائد نصف زائد ثلث زائد ربع زائد + +804 +01:06:12,940 --> 01:06:17,560 +1 على n has rearrangements like فيه rearrangements + +805 +01:06:17,560 --> 01:06:22,040 +واحد إيش قال قال أنا اسمعوا خلوني أحط لكم اللي هي + +806 +01:06:22,040 --> 01:06:27,920 +أجسمها جسمين الزوجيات والفرديات كيف؟ بأبدأ أولاً بالزوج + +807 +01:06:27,920 --> 01:06:31,540 +نصف وربع، سُدُس، ثُمن، واحدة على اثنين، N وضلّ + +808 +01:06:31,540 --> 01:06:36,020 +ماشي لما لا نهاية وبين هن بأبدأ أحضر الفرديات واحدة + +809 +01:06:36,020 --> 01:06:38,760 +على واحد، واحدة على ثلاث، واحدة على خمسة، واحدة على + +810 +01:06:38,760 --> 01:06:42,040 +اثنين، N ناقص واحد، إلى ما لا نهاية، ماشي الحال + +811 +01:06:42,040 --> 01:06:48,080 +هذه الـ series عنصرها N بالظبط اللي هنا بس معمول + +812 +01:06:48,080 --> 01:06:51,890 +اللي هن إعادة الترتيب واحد ثاني جال اسمعه بِيرتبها + +813 +01:06:51,890 --> 01:06:55,450 +بترتيب ثاني إيش اللي طبعاً بِيرتبها حسب ما يخدمه أو + +814 +01:06:55,450 --> 01:06:58,170 +حسب ما يطلع معه في الـ .. في الـ .. في الـ شيء العملي + +815 +01:06:58,170 --> 01:07:02,310 +مثلاً الآن أول واحد بيقولك بتأخذ اللي هو الـ .. الـ + +816 +01:07:02,310 --> 01:07:04,030 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +817 +01:07:04,030 --> 01:07:04,050 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +818 +01:07:04,050 --> 01:07:04,310 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +819 +01:07:04,310 --> 01:07:04,350 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +820 +01:07:04,350 --> 01:07:04,430 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +821 +01:07:04,430 --> 01:07:05,110 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +822 +01:07:05,110 --> 01:07:06,250 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +823 +01:07:07,640 --> 01:07:12,480 +الثاني بتاخده اثنين even نصف وربع بأخذ صوت على + +824 +01:07:12,480 --> 01:07:16,560 +المقام even الآن الثالث بتاخده الثلاثة اللي بعده + +825 +01:07:16,560 --> 01:07:21,740 +الـ odd اللي هو ثلث خمس سبع اللي بعده الأربعة اللي + +826 +01:07:21,740 --> 01:07:27,340 +بعده الـ even 6 8 10 12 اللي بعده الـ 5 اللي + +827 +01:07:27,340 --> 01:07:31,440 +بعده الـ odd 9 11 11 11 13 11 15 11 16 17 اللي + +828 +01:07:31,440 --> 01:07:34,300 +بعده الـ 6 الـ even اللي بعده الـ 7 الـ odd وهكذا و + +829 +01:07:34,300 --> 01:07:37,840 +نظل ماشيين إلى ما لا نهاية هذه برضه rearrangement + +830 +01:07:37,840 --> 01:07:43,860 +لمين؟ لـ اللي هي الـ series اللي هي summation 1 على + +831 +01:07:53,010 --> 01:07:57,590 +التعريف الرياضي يسمى الـ Series يسمى التعريف + +832 +01:07:57,590 --> 01:08:00,790 +الرياضي الرياضي الرياضي الرياضي الرياضي الرياضي + +833 +01:08:00,790 --> 01:08:06,170 +الرياضي الرياضي الرياضي الرياضي يعني هذا الـ + +834 +01:08:06,170 --> 01:08:10,510 +bijection عبارة عن إعادة الترتيب من السيريز + +835 +01:08:10,510 --> 01:08:16,090 +الأصلية إلى السيريز الجديدة لأن هذه ترتيبها I وهذه + +836 +01:08:16,090 --> 01:08:19,770 +ترتيبها F of I صارت بس مدام أن الـ function one to + +837 +01:08:19,770 --> 01:08:24,710 +one و onto معناته أن كله هيستخدم الـ terms وكله لا + +838 +01:08:24,710 --> 01:08:28,510 +يستخدم إلا مرة واحدة لأن الـ function one to one + +839 +01:08:28,510 --> 01:08:30,750 +و onto فصار عند الـ Yم + +840 +01:08:36,050 --> 01:08:43,730 +Y1 XF1 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 + +841 +01:08:43,730 --> 01:08:46,350 +Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 + +842 +01:08:46,350 --> 01:08:52,210 +Y2 XF2 Y2 XF2 Y2 XF2 ما تأثير الـ Rearrangements على + +843 +01:08:52,210 --> 01:08:56,890 +السيريز الأصلية بقولك لو كانت السيريز absolutely + +844 +01:08:56,890 --> 01:09:00,350 +convergent وده اللي هنتطرقله بس لو كانت السيريز + +845 +01:09:00,350 --> 01:09:04,250 +absolutely convergent ترتب زي ما بدك مش هتفرق + +846 +01:09:04,250 --> 01:09:08,090 +معانا اللي هو إيه ال convergence يعني let + +847 +01:09:08,090 --> 01:09:11,690 +summation xn be an absolutely convergent series in + +848 +01:09:11,690 --> 01:09:18,610 +R then any rearrangement of summation xn converge + +849 +01:09:18,610 --> 01:09:21,770 +to the same value يعني لو كانت ال series + +850 +01:09:21,770 --> 01:09:27,150 +absolutely convergent أي ترتيب لها آخر وفق تعريف + +851 +01:09:27,150 --> 01:09:31,390 +الترتيب اللي احنا حكينا عنه اللي هو هيعطي نفس ال + +852 +01:09:31,390 --> 01:09:34,510 +limit هتكون converge وله نفس ال limit خلّينا + +853 +01:09:34,510 --> 01:09:38,910 +نشوف البرهان ونمر عليه let summation xn converge + +854 +01:09:38,910 --> 01:09:44,410 +to x and let yn be a rearrangement of summation xn + +855 +01:09:44,410 --> 01:09:46,590 +and let yn be a rearrangement of summation xn and + +856 +01:09:46,590 --> 01:09:46,870 +let yn be a rearrangement of summation xn and + +857 +01:09:46,870 --> 01:09:46,950 +rearrangement of summation xn and let yn be a + +858 +01:09:46,950 --> 01:09:47,870 +rearrangement of summation xn and let yn be a + +859 +01:09:47,870 --> 01:09:49,130 +rearrangement of summation xn and let yn be a + +860 +01:09:49,130 --> 01:09:51,570 +rearrangement of summation xn and let εn be a + +861 +01:09:51,570 --> 01:09:51,590 +rearrangement of summation xn and let εn be a + +862 +01:09:51,590 --> 01:09:51,690 +rearrangement of summation xn and let εn be a + +863 +01:09:51,690 --> 01:09:52,390 +rearrangement of summation xn and let εn be a + +864 +01:09:52,390 --> 01:09:55,870 +rearrangement of summation xn and let εn be a + +865 +01:09:55,870 --> 01:09:59,130 +rearrangement of summation xn and let εn be a + +866 +01:09:59,130 --> 01:10:02,130 +rearrangement of summation xn and let εn be + +867 +01:10:07,510 --> 01:10:10,290 +ماذا يعني xn xn xn xn xn xn + +868 +01:10:10,290 --> 01:10:10,790 +xn xn xn xn xn xn xn xn + +869 +01:10:10,790 --> 01:10:10,850 +xn xn xn xn xn xn xn xn + +870 +01:10:10,850 --> 01:10:11,450 +xn xn xn xn xn xn xn xn + +871 +01:10:11,450 --> 01:10:12,530 +xn xn xn xn xn xn xn xn + +872 +01:10:12,530 --> 01:10:15,790 +xn xn xn xn xn xn xn xn + +873 +01:10:15,790 --> 01:10:23,530 +xn xn xn xn xn xn xn xn + +874 +01:10:23,530 --> 01:10:30,260 +اكسهو هيعيده كمان مرة الحديث كمان بقول إن ده ما + +875 +01:10:30,260 --> 01:10:34,040 +يضمنش إن الـ xn converts إذا لكل y أكبر من 0 there + +876 +01:10:34,040 --> 01:10:41,900 +exists n such that fq أكبر من n واللي هي sn x1 + +877 +01:10:41,900 --> 01:10:50,260 +x2 اللي عند xn then هيكون عندي الـ X K K من عند R + +878 +01:10:50,260 --> 01:10:54,540 +زي الواحد عند Q أصغر من مين من إبسلون كانت بطريقة + +879 +01:10:54,540 --> 01:10:59,000 +ثانية نتحمل و مهم مش الان الان إيش اللي هي + +880 +01:10:59,000 --> 01:11:04,760 +summation X N بساوة مين بساوة X خلاص نعتبرنا اللي + +881 +01:11:04,760 --> 01:11:08,320 +هو absolute convergence يعني ونعتبرنا ال terms + +882 +01:11:08,320 --> 01:11:12,000 +positive وخلاص ونشتغل عليها summation X N بساوة + +883 +01:11:12,000 --> 01:11:19,230 +مين بساوة X الان for every epsilon أكبر من سفر + +884 +01:11:19,230 --> 01:11:25,350 +there exists N such that for every N أو Q سميها + +885 +01:11:25,940 --> 01:11:30,460 +أكبر من N أكبر يساوي N عندي اللي هو ال summation + +886 +01:11:30,460 --> 01:11:35,240 +هذا اللي هو خلّيني أسميه اللي هو ال sequence of + +887 +01:11:35,240 --> 01:11:40,580 +partial sums ل S N اللي هي S N ناقص X أصغر من مين + +888 +01:11:40,580 --> 01:11:46,400 +من إبسلون for every N أكبر أو يساوي H N هذا اللي + +889 +01:11:46,400 --> 01:11:49,780 +هو ال limit العادية الكوشي criterion لها أنه هيكون + +890 +01:11:49,780 --> 01:11:56,890 +عندي ال summation اللي هي S N باخد الـ S N و S Q هو + +891 +01:11:56,890 --> 01:12:03,490 +ما ياخد الـ S N ناقص + +892 +01:12:03,490 --> 01:12:09,510 +S P لأكبر الـ Q S Q ناقص S N مش مش ممكن أتكلم عن + +893 +01:12:09,510 --> 01:12:14,370 +داخل absolute value ناقص S N فبنفع S N اه ما هي + +894 +01:12:14,370 --> 01:12:18,480 +صحيحة على كل N أكبر سواء من ضمنها مين؟ N أصغر من + +895 +01:12:18,480 --> 01:12:21,940 +مين من إبسلون هذا هذا إيش .. إيش هذا قيمته يساوي + +896 +01:12:21,940 --> 01:12:25,700 +summation اللي هو حاطة ال absolute value ماخد ال + +897 +01:12:25,700 --> 01:12:30,240 +absolute convergence K من عند N زائد واحد إلى مالة + +898 +01:12:30,240 --> 01:12:35,800 +نهائية لعند Q اللي هو أصغر من مين من إبسلون عارفين + +899 +01:12:35,800 --> 01:12:39,640 +هذا اه؟ اللي هي أسة Q نقص أسن لأن ماخد ال series + +900 +01:12:39,640 --> 01:12:41,620 +إيش صمت absolute value مش مشكلة + +901 +01:12:44,600 --> 01:12:48,740 +SN هي الـ sequence of partial sums لهذه للـ + +902 +01:12:48,740 --> 01:12:52,140 +absolute values مش للـ XN للـ absolute values فصار + +903 +01:12:52,140 --> 01:12:57,620 +عندي الآن استخدام اللي هو limit as a limit و as a + +904 +01:12:57,620 --> 01:13:02,760 +convergence to X و استخدامها as a Cauchy criterion + +905 +01:13:02,760 --> 01:13:06,840 +ماشي؟ قول ما هي هذه بالنسبة ليها N و هذه بالنسبة + +906 +01:13:06,840 --> 01:13:10,880 +ليها N تانية مليش استعملت نفس الـ N؟ take N + +907 +01:13:10,880 --> 01:13:17,610 +maximum بين الجهتين بين فعلامين للجهتين طبيعي طيب + +908 +01:13:17,610 --> 01:13:21,350 +.. لا + +909 +01:13:21,350 --> 01:13:24,510 +والله نستخدم الأسئلة لمين؟ لهذه + +910 +01:13:27,810 --> 01:13:30,230 +بطبيعي، ما هو مدانة Absolutely Convergent دا + +911 +01:13:30,230 --> 01:13:33,030 +Convergent مدانة Convergent دا مطبقة هذه على مين + +912 +01:13:33,030 --> 01:13:35,930 +على الـ Convergence وهذه مطبقة على مين على الـ + +913 +01:13:35,930 --> 01:13:38,430 +Absolutely Convergent برضه بنفع .. آه بنفع بناخد + +914 +01:13:38,430 --> 01:13:41,570 +اللي هو بطلعله أن واحد هذه وهذا أن اتنين وبناخده + +915 +01:13:41,570 --> 01:13:44,010 +من ال maximum للتان تان بيصير لي هذه ال inequality + +916 +01:13:44,010 --> 01:13:47,230 +و هذه ال inequality صحيحة .. صحيحات لمين للان اللي + +917 +01:13:47,230 --> 01:13:50,720 +هي ال maximum اللي عنده طيب الآن إذا صار عندي هذه + +918 +01:13:50,720 --> 01:13:54,120 +الـ Sn بقصود فيها فعلًا اللي هي ال sequence of + +919 +01:13:54,120 --> 01:14:01,060 +partial sums لسيريز الأصلية Xn والـ Sn' هي مين ال + +920 +01:14:01,060 --> 01:14:05,400 +sequence اللي هو تبعت ال absolute values هذه طبعا + +921 +01:14:05,400 --> 01:14:09,700 +حسبناها as q prime نقص as n prime بساوي هذه نقص + +922 +01:14:09,700 --> 01:14:13,060 +هذه من واحد عند q ومن واحد عند n اللي هي بساوي هذه + +923 +01:14:13,060 --> 01:14:16,940 +اللي هي هذه حسبناها عارفينها طيب مش هذا الموضوع + +924 +01:14:16,940 --> 01:14:23,500 +هذا الأمر سهل يعني إذا صار عندي الآن هي هذه أو هي + +925 +01:14:23,500 --> 01:14:32,260 +هذه أو هذه كلها بدي أشوف كيف أستعملها احنا ليش بدنا + +926 +01:14:32,260 --> 01:14:36,580 +.. بدنا الـ Series الجديدة Summation Yn اللي هي + +927 +01:14:36,580 --> 01:14:40,980 +الـ Rearrangement شوف كده لأن Now let M limited M + +928 +01:14:40,980 --> 01:14:45,260 +be such that all of the terms X1 لعند الـ Xm are + +929 +01:14:45,260 --> 01:14:52,680 +contained as a sum and in T M Y1 لعند ال Ym إيش + +930 +01:14:52,680 --> 01:14:55,820 +اللي بيقولوا هذا؟ وهذا الكلام اللي هو اللي احنا + +931 +01:14:55,820 --> 01:14:59,760 +بدنا نتهيئله وهو اللي بيفتحنا الطريق أمام البرهان + +932 +01:15:01,400 --> 01:15:09,360 +جالي بيحكيلي انه خلّينا نختار M في الـ N ابحث الـ TM + +933 +01:15:09,360 --> 01:15:14,740 +هذه اللي هي الـ Sequence of partial sums لمين للـ YN + +934 +01:15:14,740 --> 01:15:20,960 +اللي هي Y1 زائد Y2 زائد YM بقوللي أنا بدأ اختار + +935 +01:15:20,960 --> 01:15:29,370 +الـ M هذه على أساس إنه كل ال terms اللي لجيتها من ال + +936 +01:15:29,370 --> 01:15:34,310 +N اللي فوق من X1 لعند XN تكون موجودة من بين هدول + +937 +01:15:34,310 --> 01:15:37,970 +ال terms بقدر اه بقدر لأن هدول عشمها ال hand + +938 +01:15:37,970 --> 01:15:44,210 +finite وفي النهاية مدام finite إذا هيكون من ضمن + +939 +01:15:44,210 --> 01:15:49,890 +ال Y1 Y2 إلى 100 ألف ألف مليون سميته ال 100 ألف + +940 +01:15:49,890 --> 01:15:54,480 +ألف مليون اللي هو 100 YN إذا الأم اخترتها بناءً + +941 +01:15:54,480 --> 01:16:02,060 +على إني أضمن الـ X1 والـ X2 لعند الـ XN تين لعند + +942 +01:16:02,060 --> 01:16:06,080 +الـ XN كابيتال تين هدولة من هدول يعني بس إعادة + +943 +01:16:06,080 --> 01:16:10,890 +تسميتهم إذا الآن اللي .. اللي .. اللي اخترته انه + +944 +01:16:10,890 --> 01:16:15,570 +قلتله let M element in N مهما كانت كبيرة be such + +945 +01:16:15,570 --> 01:16:21,510 +that all of the terms X1, X2, XN are contained as + +946 +01:16:21,510 --> 01:16:26,610 +a sum and يعني مجموعات من ضمن المجموع هذا Y1 زي Y2 + +947 +01:16:26,610 --> 01:16:35,330 +عند مين؟ YM it follows الآن if M أكبر أو يساوي M + +948 +01:16:36,630 --> 01:16:42,970 +then T M ناقص S M ناقص + +949 +01:16:42,970 --> 01:16:48,770 +S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M + +950 +01:16:48,770 --> 01:16:48,910 +S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M + +951 +01:16:48,910 --> 01:16:48,970 +ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص + +952 +01:16:48,970 --> 01:16:49,030 +S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M + +953 +01:16:49,030 --> 01:16:49,850 +ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص S M ناقص + +954 +01:16:49,850 --> 01:16:54,450 +S M ناقص S M ناقص S + +955 +01:16:56,000 --> 01:16:58,900 +ممكن اللي عندها وممكن يظل معاها عندها نور على نور + +956 +01:16:58,900 --> 01:17:04,620 +يعني بدنا نشيل منه مين ال S N ال S N ال N هذه + +957 +01:17:04,620 --> 01:17:11,220 +شمالها أكبر من مين أكبر أو تساوي ال N طيب إذا هذه + +958 +01:17:11,220 --> 01:17:21,340 +هيكون consist of finite sum of terms X K with K + +959 +01:17:21,340 --> 01:17:24,600 +أكبر من مين من ال N + +960 +01:17:29,340 --> 01:17:37,280 +الان من عند الواحد لعند الان انا شيلتهم من ال T M + +961 +01:17:37,280 --> 01:17:47,000 +باشي اه ال S N هذه واحد اتنين لعند اللي هي ال N و + +962 +01:17:47,000 --> 01:17:53,840 +جلطتها لأن ال N ايه شمالها اكبر او يساوي M N اكبر + +963 +01:17:53,840 --> 01:17:58,980 +او يساوي M ماشي طيب صار عندي ال N ال TM انشال منها + +964 +01:17:58,980 --> 01:18:05,180 +ال X1 وال X2 وال XN اه اذا اللي ضلن من ال terms + +965 +01:18:05,180 --> 01:18:10,940 +هذه او ماينة اللي هنا موجودة ال TM اللي موجودة هنا + +966 +01:18:10,940 --> 01:18:20,090 +اللي فيها اكيد هيكون بعد ال N اللي ضلنا ماشي؟ لأنه + +967 +01:18:20,090 --> 01:18:24,770 +شيلت منه لإن عندك S1 لإن عندك S2 و هذه S N ضال + +968 +01:18:24,770 --> 01:18:31,090 +منها من اللي بعد ال N برضه إذا في النهاية ال terms + +969 +01:18:31,090 --> 01:18:36,790 +اللي هنا هيكون اللي بيحتوي على sums of terms ل X K + +970 +01:18:36,790 --> 01:18:42,250 +و ال K هيكون أكبر من 100 من ال N لإن اللي ترتيبه + +971 +01:18:42,250 --> 01:18:45,770 +من ال N و اتنازل كله راح من عملية الطرح هذه + +972 +01:18:49,100 --> 01:18:55,660 +اذا for some q أكبر من n we have Tm ناقص Tn هذا + +973 +01:18:55,660 --> 01:19:00,820 +absolute value بساوى ال summation لل X K كي من + +974 +01:19:00,820 --> 01:19:06,420 +وين؟ من n زائد واحد لعند مين؟ لعند Q ليش؟ لأنه انا + +975 +01:19:06,420 --> 01:19:10,320 +شيلت كل العناصر اللي هي انها من عند X1 لعند Xn + +976 +01:19:10,320 --> 01:19:14,600 +اللي هي من هنا ماضلش فيها ولا إشي إذا إذا بده يضل + +977 +01:19:14,600 --> 01:19:17,940 +مجموح هذا هيكونه تضل المجموع اللي هو من N زائد + +978 +01:19:17,940 --> 01:19:21,520 +واحد وطالع لوين مش عارف ماتفرجش معايا ان شاء الله + +979 +01:19:21,520 --> 01:19:25,480 +يضلوا لـ 100 ألف ألف ألف مليون بعدها المهم من بعد + +980 +01:19:25,480 --> 01:19:33,930 +ال N زائد واحد لعند Q XK أصغر من مين من Y ماشيلش + +981 +01:19:33,930 --> 01:19:39,150 +أصغر من إبسلون؟ لأن هذا دائماً أصغر من إبسلون لكل + +982 +01:19:39,150 --> 01:19:45,630 +QH أكبر من H من N سواء الـQ هذه أو الـQ الأكبر + +983 +01:19:45,630 --> 01:19:53,010 +منها إيش ضمنك أن هذا Q أكبر من هذا؟ أنا لما اخترت + +984 +01:19:53,010 --> 01:19:56,030 +شيلت كل الـ terms، ضلت الـ terms اللي بعد الـ N + +985 +01:19:56,030 --> 01:19:59,210 +capital لما شيلتها منها طيب، إذن أكيد الـQ هذه + +986 +01:19:59,210 --> 01:20:04,780 +أكبر من الـ N الآن نُلخّص المعلومات اللي هنستخدمها + +987 +01:20:04,780 --> 01:20:08,180 +Therefore if M أكبر أو يساوي N, if M أكبر أو يساوي N, + +988 +01:20:08,500 --> 01:20:12,440 +we have الـTM ناقص الـ X أصغر من الـ triangle + +989 +01:20:12,440 --> 01:20:16,840 +equality TM ناقص SN زي SN ناقص EH ناقص X هذا يقول + +990 +01:20:16,840 --> 01:20:20,560 +إنه أصغر من مين؟ من هنا من إبسلون طيب الـ SN ناقص X + +991 +01:20:21,200 --> 01:20:24,260 +اللي هو برضه هتكون إيه؟ شمالها أصغر من إبسلون لإنه + +992 +01:20:24,260 --> 01:20:28,180 +هذا أثبتناها صحيحة لكل N أكبر أو يساوي N وهذه الـN + +993 +01:20:28,180 --> 01:20:32,040 +هي أكبر أو يساوي N إذا صار عندنا أكبر أو يساوي N إذا + +994 +01:20:32,040 --> 01:20:34,580 +الـN أكبر أو يساوي N capital إذا صار هذا أصغر من + +995 +01:20:34,580 --> 01:20:36,960 +إبسلون زي إبسلون أصغر من اثنين إبسلون إذا صار عندنا + +996 +01:20:36,960 --> 01:20:41,620 +الـTM ناقص X أصغر من اثنين إبسلون لكل M أكبر أو + +997 +01:20:41,620 --> 01:20:50,260 +يساوي N وهذا يعني أنه اللي هي الـ summation هذي طبعاً + +998 +01:20:50,260 --> 01:20:53,600 +هي عبارة عن sequence of partial sums للـ YM صحيح الـ + +999 +01:20:53,600 --> 01:20:57,380 +summation للـ YM converge و converge to X + +1000 +01:20:57,380 --> 01:21:00,940 +وبهيك بيكون احنا انهينا هنا اللي هو الـ section + +1001 +01:21:00,940 --> 01:21:03,680 +الأول في شبط التسعة وإلى لقاكم