أحنا واصلون ما بدأنا فيه المرة الماضية وهو حل اللي
هو المسائل على شبتر ثمانية الاكستاناداركت برودرك
وصلنا لسؤال واحد وأربعين بقول express automorphism
لـ U خمسة وعشرين in the form ZM اكستاناداركت برودرك
مع ZN
بمعنى آخر بدي أجيب جروب لجروب هذه تبقى isomorphic
لمام لـ U خمسة وعشرين طب احنا عندنا الـ U خمسة
وعشرين solution عندنا
الـ U خمسة وعشرين اللي هو U خمسة لكل تربيع الشكل
اللي عندنا هذه isomorphic أو ال atomorphism لـ U
خمسة وعشرين هذه تساوي U خمسة تربيع مباشرة طبعاً
أخذت عندك أن الـ U مرفوعة لـ prime P ومرفوعة لأس N
U P أس N ناقص P أس N minus ال one كتبناها معكم
المرة الماضية في آخر محاضرة تجدها موجودة معك نحاول
نطبق هذا الكلام عالمياً على أرض الواقع يبقى بناء
عليه يو خمسة وعشرين كتبناها بالشكل هذه بقدر أقول
هذه isomorphic لمين؟
Isomorphic لزد P اللي هي خمسة تربيع ناقص خمسة أس
اثنين ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا
الكلام هذه تساوي من خمسة ترابيع ليه خمسة وعشرين
وهذه خمسة وسواحد يبقى زد عشرين شكل اللي عندنا هنا
هذا U خمسة وعشرين أنا ما بدي U خمسة وعشرين بدي
اتومورفزم لـ U خمسة وعشرين إذا بناء عليه atomorphism
لـ U خمسة وعشرين اللي هي isomorphic لمهم اللي هو
atomorphism لـ Z عشرين الشكل اللي عندنا هنا أخذنا
كمان نظرية سابقة اتومورفزم لـ ZN ايزو مورفك لـ UN
شبطر اللي قبله آخر نظرية يبقى هذا ايزو مورفك لـ U20
U20 هذه اللي بقدر أكتبها اللي هي تساوي U أربعة في
خمسة والاربعة خمسة are relatively prime يبقى هذه
isomorphic لمين؟ للي هو isomorphic أو هدى تساوي
أو isomorphic دُغري لمهم لـ U أربعة external
product مع U خمسة مرة ثانية لـ U أربعة هدى U اثنين
تربيعهذه أخذناها ايزو مورفك لمين؟ لزد دي اثنين وهذه
بتطبق عليها القاعدة اللي طبقناها فوق تماماً يبقى
بالداجي أقول هذا زد خمسة أس واحد ناقص خمسة أس واحد
ناقص واحدهذا الكلام يساوي زد اثنين external by
product هذه خمسة وهذه خمسة وصفر خمسة وصفر أبواحد
خمسة ناقص واحد اللي هي أربعة زد أربعة زد أربعة اه
زد أربعة يبقى هذه زد أربعة معناه هذا الكلام أن ال
atomorphism ليه خمسة وعشرين isomorphic لمهم لزد
اثنين external product زد أربعة وبالتالي عندي
ثمانية atomorphism من الـ U خمسة وعشرين إلى الـ U
خمسة وعشرين اتسل بغض النظر عن شكلهم قال لي اكتبلي
ال atomorphism لـ U خمسة وعشرين على شكل ZM في ZN
يبقى هي كتبتله بالشكل هذا باستخدام القواعد اللي
أخذناها المرة الماضية
بعدها بيقول ليه في 46 يبقى 46 بيقول ما يأتي بيقول
هاتلي isomorphism بدنا isomorphism من وين لوين؟ في
من اللي هو ال group Z12 إلى مين؟
السؤال ستة أربع يقول ز أربع في ز ثلاثة يبقى ز أربع
كستينو دايكا product مع ز ثلاثة مع ز ثلاثة بقول
عرف ليه اللي هو isomorphism من ال group هذه لل
group هذه أنا بعطيك ال function وانت عليك تثبت
أنها one to one and انت وتخدم خاصيات ال
isomorphism ال function اللي بتقول عليها شبه
بالشكل التالي phi of x يبقى x وين موجودة هذه؟ في
Z12 بدي أجسمها إلى مركبتين واحدة موجودة في Z4
واحدة موجودة في Z3 يبقى بقدر أقول له هذه على الشكل
التالي طبعاً العدد اللي هنا في Z12 اللي هو مين؟ اللي
هو العدد قد يكون من عند ال zero لغاية من ال 11
وهكذا إذا بدى أخلي مركبة موجودة في Z4 ومركبة
موجودة في Z3 إذا بقدر أقول هذا X modulo 4 و
المركبة الثانية X modulo 3 يعني العدد اللي باخده
من Z12 أكبر من 4 ولا أكبر من 3 افترض كان 2 يبقى
باجي بقول فاي اف اثنين يسوى اثنين موديوله أربعة
اللي هو باثنين واثنين موديوله ثلاثة اللي هو
باثنين لكن لو قلت له خمسة فاي خمسة بدي يكون هنا
واحد وهنا كداش وهنا اثنين وهكذا يبقى هاي
المقصودة هاي ال function قدامك بس تبتليها one to
one and on to وتخدم خاصية ال isomorphism هذا قال له
ستة وأربعين ثمانية وأربعين بيقولوا show that five
is an isomorphism
من زد ثلاثة cross زد خمسة لزد خمسة عشر يبقى ثمانية
وأربعين أن في من من زد ثلاثة external product مع
مين؟ مع z خمسة لمن؟ ل z خمسة عشر بالشكل اللي عندنا
هذا z خمسة عشر و بحيث أنه ال five of اثنين وثلاثة
بده يسوى اثنين بقول find an element a و b في هذا
بحيث ال maps to one يبقى أنا بدي أوجد اللي هو
element a و b صورته main صورته الواحد أو five of a
و b اللي بتعطينا main بتعطينا الواحد
سؤال مرة ثانية في أنا isomorphism ال isomorphism
من ال group z3 external to z5 إلى z15 وفي أنا معطع
أن فيلم اتأثر على الاثنين والثلاثة النتيجة تساوي
اثنين جليهات للعنصر a وb لصورته من؟ لصورته الواحد
الصحيح حد فيكو حل هذا السؤال؟
اه يعني مدن امتحانات مش داعي للحل كويس طيب على أي
حال أنا مرة حلتلكوا سؤال شبيه بهذا في اللي قبل لما
أخذنا ال isomorphism حلتلكوا سؤال شبيه به بس هذا
الفرق بينه وبين هذا هذا مكون من مين؟ من order pair
order pair والله مش order pair بتفرجش عنها شوف يا
سيدي أنا بدي العنصر a و b اللي صورته تحت أثير الفا
يساوي واحد هناك كان بدي شكل ال isomorphism عبارة
عن إيش؟ كان في السؤال اللي جابله لكن هذا لأ بدي ال
order a و b اللي صورته تساوي مين؟ تساوي واحد صحيح
بقول كويس بحاول استخدام المعلومة هذه بقدر الإمكان
ولذلك بحاول أجيب المعطى هذا اللي هو واحد في الصورة
اللي قدامي هنا يعني بدي أجيب علاقة تربط بين الواحد
واثنين اللي عندنا حتى نقدر نحسب كم هذا ال element
الآن لو جيت واحد الواحد هذا موجود في أي group فنيات
زد خمسة عشر هل هذا الواحد يكافئ رقم ثاني اللي هو
مين؟ خمسة عشر ممتاز يعني الواحد هذا بالضبط هو عبارة عن
خمسة عشر modulo خمسة عشر تمام الـ خمسة عشر مش هي عبارة عن
ثمانية في اثنين modulo خمسة عشر تمام طب اثنين مديله
خمسة عشر ما هو اثنين صح ولا لأ؟ يبقى اثنين اللي عندي
هذه بقدر أشيلها وأكثر بدلها في أو في اثنين و
ثلاثة يبقى هذا الكلام بدي يساوي ثمانية في في أو في
اثنين وثلاثة كأن المثل إيش؟ كأنه ثمانية أنا هدم
طلعها من جوا الجوس وطلعها مين؟ برا وزي ما كنا نقول
Alpha of خمسة يسوى خمسة في Alpha of واحد تمام هنا
نفس الفكرة بالضبط تماماً كأنه ثمانية كانت جوا وأنا
طلعتها برا إذا بدأ دخلتها جوا يبقى لو دخلتها جوا
هضربها وين؟ في كل عنصر من هذه العناصر بس اثنين هذه
موجودة وين؟ في زد ثلاثة والثلاثة هذه موجودة في زد
خمسة إذا عند الضرب بدك تترعي من؟ بدك تترعي
النتيجة إذا هذا الكلام بده يساوي بده يساوي five
ثمانية في اثنين modulo الأولى اللي هي ثلاثة
والمركبة الثانية ثمانية في ثلاثة modulo خمسة هذا
الكلام بده يسوى five ثمانية في اثنين بستعش مضيله
ثلاثة بيبقى واحد يبقى واحد وثلاثة في ثمانية أربعة
وعشرين مضيله خمسة اللي هو أربعة يبقى الواحد اللي
عندي هو صورة ال order per man واحد وأربعة هذا
معناه أن ال a وال b بده يسوى جداش واحد وأربعة
طيب هذا كان سؤال اللي هو ثمانية وأربعين بدنا نروح
لسؤال ثمانية وخمسين ثمانية وخمسين بيقول لي without
doing any calculations in atomorphism Z عشرين
determine how many elements of automorphism Z عشرين
ال order لهم يساوي أربعة بدي سؤال ثمانية و خمسين
the number of elements of order four in automorphism
لزاد عشرين
بقول اجيبلي كام عنصر في الاتومورفزم لزد عشرين ال
order اللي لهم يساوي أربعة بدونها بدون ما اروح
أبحث في شكل الاتومورفزم هدول بدك تعرفلي كده بدون
ما تعرفلي شكل ولا function بقوله كويس يبقى solution
يبقى معنى هذا الكلام أنا بدي استخدم أي شغلة لها
علاقة بال automorphism ل Z عشرين احنا عندنا ال
automorphism ل Z عشرين ايزو مورفك لمين يا شباب؟ ل ال
U عشرين ممتاز و ال U عشرين هذه اللي هي U اللي هي
عبارة عن U أربعة في خمسة والاربعة في الخمسة are
relatively prime مدام relatively prime يبقى هذه
isomorphic لمان ل U4 external product مع U5 ال U4
هذه اللي هي isomorphic لمان ل Z2 external product
مع U5
عشان أضيع وقت فيها يبقى isomorphic لزد أربعة إذا
عندي ثمانية اتومورفزم لمان لزد عشرين بدي ادور من
الثمانية هدول يبقى ما ينطبق على الاتومورفزم لزد
عشرين ينطبق على الاتومورفزم لمان لزد اثنين × تان
ضرب product مع مين؟ مع زد أربعة معناه هذا الكلام
مدام هذه ايزو مورفك لهذه إذا لو لجيت جدّيش عدد
العناصر في ال group هذه لل order إلهم يساوي أربعة
بكون جبت عدد ال automorphisms اللي ال order إلهم
يساوي مين؟ أربعة يعني هذه صعب العمل فيها لكن هذه
سهل العمل فيها ومن هنا التحويلات هذه بتنقلنا من
جروب صعب التعامل معاها إلى جروب سهل التعامل معاها
أنا بدي أبحث عن العناصر اللي في Z2 Extended
Product كده عددهم ال order لهم بده يساوي من؟ بده
يساوي الأربعة يبقى بداتي أقول له assume افترض انه
عندي element a و b موجود في Z2 Extended Product مع
Z4 such that بحيث ان الأردر لـ A و لـ B اللي هو
لساوي ال least common multiple للأردر بتابع ال A
والأردر بتابع ال B هذا الكلام دي يساوي كده؟ دي يساوي
أربعة الأردر
المحتملة ال orders of A are مين يا شباب؟ كده؟ واحد
و كده؟ واحد واثنين هذه الـ elements بتاع الـ z
اثنين Zero و واحد Zero هو ال identity ال order له
بواحد و الواحد له ال order اثنين اللي لو جمعت واحد
زي واحد يساوي اثنين فزي اثنين ب Zero اللي هو ال
identity يبقى ال orders المحتملة اللي هي واحد و
اثنين and ال orders of B are ممكن واحد واثنين وأربعة
تمام تلاتة مافيش حاجة لإن التلاتة لا تقسم الأربع
يبقى اما ال order اي واحد أو اثنين أو أربع طيب
هدول الرقمين لو بدي اجيب ال least common multiple
مع هدول بشكلولي مشكلة؟ لأ واحد اثنين هي واحد و
اثنين إذا هدول بدون تفكير بدي اخد الانصارين زي ما
هم لكن بدي ادور هنا الارقام اللي بتعملي ال least
common multiple مع مين؟ مع هدول بيعطيني أربعة
السؤال هو لو كان خدت العناصر ال order اللي لهم
واحد و اثنين بيجيبولي عناصر يبقى مفيش insert يبقى
مفيش اخد الا اللي ال order له يساوي مان أربعة فقط و
هدول بدي أخدهم هم اثنين زي ما هم كويس هدول شوف
هدول بيعطوني تبدل تان أو بيعطوني اثنين على طول
الخط و هدول تعالى نشوف ايش بدي نعمل فيهم الآن z
four هذا كم عنصر ال order اللي بيساوي أربعة في z
four و مين كمان؟ والتلاتة مفيش غيرهم مفيش غيرهم يبقى
ال Z for has واحد and تلاتة of order أربع يعني كام
خيار عندي؟ اثنين يبقى ال A لها خيارات two choices
for A for B هذا بدي يعطينا two choices for B طيب كام
بقى كام خيار لإيه؟ خد زي ما بدك لإن order واحد
واتنين بيفرجوش معايا مع الأربع يبقى هنا كمان two
choices for b إذن عدد العدد تبعهم يساوي يبقى هنا
the number of elements of order for
is اثنين في اثنين ويساوي أربعة elements يبقى
ماعنديش إلا أربعة عناصر ال order لهم يساوي four
وبالتالي ال automorphism لزد عشرين يوجد فيه جدّاش
يبقى أربعة عناصر ال order لها بده يساوي مان؟ بده
يساوي عشرين تمام يبقى هذا اللي عندنا
لاحظ أن هذه الأسئلة كلها تطبيق مباشر على ما درسناه
في الجزء النظري في آخر محاضرة في هذا section الآن
ننتقل إلى الشابتر الذي يليه وهو شابتر تسعة تسعة
normal subgroups
and factor
and factor groups
definition
a
subgroup H
of a group G is called
is called a normal is called a normal subgroup of
g subgroup of g f ال a h بده يساوي ال h a لكل
ال a اللي موجودة في g b لا استخدام we denote this
by ال H is a normal subgroup of G note
ال
A H دي ساوي ال H A does not
imply that ان
ال a h بدر يساوي ال h a but means that ان ال a h
one بدر يساوي ال h two a
أول نظرية theorem a
subgroup a
subgroup H a subgroup H of G is normal is normal
in G if and only if الـ X H X inverse subset من H
لكل ال X اللي موجودة في ال group G
نرجع مرة ثانية يبقى أنا عندي جروب جديدة هسميها
normal subgroup اللي بتحققلي شرط معين ال factor
group بدي أنشئ جروب جديدة بواسطة ال subgroup اللي
عرفته دي فخلينا في الأول مع ال normal subgroup
وهتلعب دور كبير في علم الجبر وخاصة في موضوع الجروب
ال subgroup H من الجروب G بسميها normal subgroup
من G إذا كان الـ A H هو الـ H A for all A belongs
to G يعني إذا كان ال right coset هي ال left coset
لجميع عناصر G يبقى بقول هذا بقول عليها ال normal
subgroup من G طبعا احنا سابقا كنا نقول ال A H ليس
بالضرورة أن تكون subgroup لكن أن كانت normal يبقى
automatic هذا subgroup أنت معمل يبقى ال H اللي هي
subgroup من G بقول عليها normal subgroup إذا كان
الـ left coset يساوي الـ right coset واختصارا بدل
ما أقول الـ H is a normal subgroup من G بدي أعبر
بالرمز المثلث قاعدته جهة G والرأس تبعه جهة من؟ جهة
H خلي بالك مش حي الله تخلي القاعدة تحت والرأس
فوق الرأس دائما جهة ال subgroup والقاعدة جهة من؟ جهة
ال group طب في شغل ممكن يفهمها الواحد غلط من خلال
ال condition اللي حاطه هذا ايش الحاجة الغلط لو جيت
قولتك a h يساوي h a هذا كلام خطأ أنا لما أقول a h
بيساوي شيء يعني ال left coset بيساوي ال right coset
إذا بدي أتكلم بلغة ال elements بيقول a h one يساوي
هو الـ H2 رقم ثاني و element ثاني ليس نفس ال
element قد يكون نفس ال element لكن in general لأ
مش صحيح يبقى لما أقول هذه H بيساوي HA يعني AH1
بيساوي H2A رقم ثاني أو element ثاني غير ال element
اللي عندنا يبقى بقولش AH بيساوي HA و لما بقول AH1
يساوي H2A
التعريف هذا اللي عندنا بدي أحاول أصيغه صياغة أخرى،
تمام؟ ليهاشي الصياغة الأخرى؟ بل بدل الصياغة تلاتة
أيّش الصيغة الأخرى؟ أنا بإمكاني هنا لو ضربت في الـ A
inverse من جهة اليمين أو الـ A inverse من جهة الشمال
فبيصير عندي A H A inverse يساوي من؟ يساوي الـ H شرط
الـ normality أو لو ضربت من جهة الشمال بيصير الـ H
يساوي A inverse H A شرطاني للـ normality ممكن أقول
AH small A inverse موجودة في H كابتل لأن هذا
بيستوي H يبقى الـ A H small A inverse كـ element
موجود في H برضه شرط اللي اللي هو صيغة أخرى
للـ normality نظريتها ده أيّش بتقولي؟ بقول افترض الـ H
normal subgroup أو الـ H هي normal subgroup من G if
and only if الـ X H X inverse subset من مين؟ من H
ما هو إن كان التساوي حاصل إذن automatic هدي مين؟
هذه subset من هذه طبعًا التساوي حصل من هنا قلت لك لو
ضربت في الـ A inverse من اليمين أو لشمال بيطلع
التساوي أنا بدأ أختصر ولا أقول التساوي بدأ أقول
الـ subset رغم أن التساوي كمان صحيح طيب مشان هيك
بنروح نثبت صحة هذا الكلام يبقى بدايتي أقوله assume
اللي هو الـ H is a normal subgroup من G then
يبقى أنا فرضت أن الـ H هذه normal subgroup من G
يبقى بناء عليه بدي يصير عندي A H يساوي H A حسب ما
حسب الـ definition أو مشان خلي نفس الرموز يبقى بده
أقول X H بدي يساوي الـ H X لكل الـ X اللي موجودة في
G بلا استثناء
طيب تمام أنا بدي أخلق في المثال X H X inverse يبقى
بناء عليه لو ضربت الطرفين من جهتي اليمين في X
inverse أيّش اللي بدي يصير؟ بدي يصير عندي الـ X H X
inverse بدي يساوي مين؟ بدي يساوي الـ H هذا معناه
مدام يساوي يبقى الـ X H X inverse subset من مين؟ من
الـ H والـ H subset من الـ X H X inverse ما علينا
يبقى هاي جيبت له مين؟ الشرط الأول بدي أجيب له الشرط
الثاني conversely
assume افترض أن الـ X H X inverse subset من مين؟
subset من H بدي أحاول أثبت أن الـ H هذه معها is a
normal subgroup من جي طيب بجي بقوله then
أو قبل then هذه الصحيحة إحنا فرضناها لكل الـ X اللي
موجودة أويا في الـ group G بدي أسأل السؤال التالي الـ
X inverse موجودة في G ولا لا؟ لأن الـ G جروبه
المعكس موجود يبقى بجي بقوله then الـ X inverse
موجودة في G implies بدي أطبق عليها الشرط هذا يبقى
لو جيت طبقت عليها الشرط هذا بيصير X inverse H X
inverse inverse اللي هو subset من من؟ subset من H
أو بمعنى آخر بقدر أقول هنا main أن الـ X inverse H
X subset من main subset من main من H طيب
كويس يبقى هذه الخطوة الأولى لو جبت أو قدرت أثبت أن
الـ H هي الـ subset من من الـ X inverse HX بتم
المطلوب يبقى بدي أعتبر هذه الخطوة رقم واحد بدي آجي
للخطوة رقم اثنين الخطوة رقم واحد لو ضربتها في X من
جهة الشمال يبقى أيّش بيصير الـ X X inverse في من؟ في
الـ H وهنا X بدي تبقى subset من الـ X H ضربت من جهة
الشمال في X يبقى هذا أيّش بدي يعطيك؟ هذا بدي
يعطيك أن الـ H X subset من الـ X H بنفس الطريقة اضرب
من جهة اليمين في الـ X inverse يبقى لو ضربنا في الـ
X inverse بيصير الـ H هي subset من X H X inverse و
هذه العلاقة رقم اثنين أطلع لي في الواحد واثنين
يبقى باجي بقوله هنا from واحد and اثنين we have إن
الـ X H X inverse بده يساوي مين؟ بده يساوي الـ H طب
اضرب للطرفين في X من جهتي اليمين يبقى X H بده
يساوي H X هالتعريف مين؟ الـ normal هذا بده يعطيك
أن الـ H is a normal subgroup من مين؟ من G وأنت
هنا من المسألة
الآن خذ لي هالملاحظة اللي قلت لك قبل قليل وهي صورة
من صورة الـ normality بيقول لي the above theorem the
above theorem the above theorem can be written as
can be written as ممكن نكتبها على الشكل التالي أن
الـ a أو الـ h is a normal subgroup من g if and only
if الـ x h x inverse belongs لمن؟ belongs لـ الـ H لكل
الـ X اللي موجود وين؟ في جيب بلا استثناء
مرة ثانية الملاحظة هذه بتقول أن التعريف الـ
normality استنتج من النظرية النظرية الآن أنا بدي
أصيغها هذه مرة ثانية فبجي بقول الـ H normal
subgroup من G إذا كان X H يا small يعني element من
H في X inverse بقول belong to H لأنه صار عنصر
العنصر بقولش substitute إنما بقول main belong to H
يعني حصل ضرب الـ X اللي هو من G في الـ element اللي
هو من H في معكوس الـ element تبع الـ G الثلاثة
بديكون one موجود في H وهي الموضوع تبعها هذي normal
إذا كان الـ X H X inverse belongs to the main للـ H
يبقى لو قالي من الآن فصاعدًا أثبت أن الـ H is a normal
subgroup من G يكفيني main هذا الشرط أو هذا الشرط أو
هذا الشرط يبقى اللي تقدر عليه من الثلاثة اشتغله
وتوكل على الله طيب بدنا نبدأ نأخذ بعض الأمثلة
ونبدأ بأبسط أنواع الأمثلة السؤال هو لو عندي group
abelian والجروب هذه أخذت منها الـ subgroup السؤال
هو هل الـ subgroup هذه بتبقى normal يعني هل يتحقق الـ
condition اللي عندي هذاليش؟ لأن abelian أنا بقول
بقدر أبدل هدول أي مكان بعض لو بدلتهم بيصير H XX
inverse لو H في E لهو بـ H يبقى H موجودة وإن موجودة
في H وبالتالي الشرط متحقق إذا الـ group هذي أيّه؟
normal group يبقى أول قاعدة بأخذها إنه لو كانت الـ
group abelian يبقى any subgroup is normal يبقى
أول مثال بيقول any subgroup of an abelian group is
normal مثال
اثنين طبعًا
الـ condition هيه عندك أقول لك هذه لو تحقق الـ
condition هنا موجود الآن abelian بقدر أبدله
وبالتالي بيبقى عندي H موجود فيه H طيب النقطة
الثانية الـ center تبع الـ group هل هو الـ subgroup
من الـ group G
الـ Center تبع بجروب الـ Z of G أنا أدعي أن الـ A
normal subgroup منين؟ من G
بآجي بقوله كويس إذا تحقق أيّ condition من الـ
conditions اللي عندي هدول بكون خلصنا من الموضوع
تمام كيف الآن خلاني نحقق أيّ condition هادي هادي
هادي السيانة بتفرجش عننا الآن لو رحت أخذ أيّ عنصر
عندي في الـ group G وبدي أضربه في الـ center تبع الـ
H هنا solution
الآن Z of G هو مجلد من G بدي أعمل left coset عندي
يبقى بآدي بقوله لكل الـ X موجود في G then الـ X في
الـ center بتابع الـ G بده يساوي أظن الـ X هذي تتعامل
مع جميع عناصر Z أو عناصر Z of G تتعامل مع جميع
عناصر G إذا هذي تتعامل مع الـ Z كلها اللي عندنا
يبقى هذا بده يعطيني Z of G Z of G في X الشكل اللي
عندنا هنا كان بإمكاني أبدأ غير هيك أروح أقول له
تعال نشوف X Z of G X inverse شو بده تعطيني وأجيب
من وأجيب الـ X أبدلها بالشكل هذا بتيجي الـ X يعني
كان بإمكاني بدل ما أقول هيك أقول تعال نشوف الـ
group يعني وأروح أحط هنا من X inverse أشوف وين
بده توصلني يعني بقول لك كويس هذا الكلام الـ X كميوت
مع جميع العناصر اللي موجودة في Z إذا هذه بقدر أقول
Z of G وهنا X وهذه الـ X انفرس اللي عندنا هذه
بتعطينا مين؟ الـ identity element الـ identity
element في أيّ subgroup والله بتعطيني نفس الـ
subgroup تمام يبقى أسار X Z of G X inverse بدي
أسوأ من Z of G أضرب من جهة اليمين في X هذا بدي
يعطيك إن الـ X في Z of G في الـ X inverse بده تجيلك
كمان X بده يساوي Z of G في من في ال X هذا بده
يعطيلك إن ال X في Z of G طلعلي هذا الشيء بيعطينا ال
identity في أي element من نفس ال element والطرف
اليمين Z of G أو ال X في .. هذا بيعطيك Z of G في
من؟ في ال X هذا بدي أعطيلك إن Z of G is a normal
subgroup من G يعني .. يعني قلت الفكرة البسيطة
الأولى اللي قلناها أوي الثانية كله بيأدي إلى نفس
الموضوع والله بيكفل اللي قلناها بس احنا مسحناها
القطعة اللي كنا .. هذه الآن X Z X inverse بده يسوي
مين؟ بده يسوي ..
خليكم معايا احنا هذي ال subgroup أخدنا X في G
وقلنا تعال شوف المقدر هذا إيش بيعطينا يعني أنا
جيت أشوف هذا شو بدي يعطينا امشي طلع مين طلع هو Z
of G اللي هي الـ subset النظرية subset وما قلناش
تساوي لإن احنا الـ subset جبنا من اليساوي لو قدرت تثبت
هذا الكلام إن هذا بيساوي هذا بيكون قد الواجب بس
أنا بدي أحاول أحط لك التعريف كلام صح مظبوط ما حدا
بيقدر يقول غلط فيه هذا بس أنا حبيت أجيب التعريف
الأساسي لكن لو قلت لحد هنا يبقى normal خلاصنا ولا
واحد اللي اعترض عليك يبقى هذا بالنسبة للمثال رقم
اثنين طب نجيب لك مثال رقم ثلاثة أنا بدي أجيب لك من
الشغلات اللي مرت عليك بدنا مش نبعد لسه سمعت بال
special linear group of two by two matrices over R
أنا أدعي إن هذه كمان normal الآن الـ special linear
group of two by two matrices over R هذي normal من
الـ general linear group of two by two matrices
over R ليش هذي؟ بدي أثبت شرطين الشرط الأول إنّها
subgroup اثنين بدي أثبت خاصية الـ normality يبقى
الآن solution
بتروح تقول إيه الـ special linear group of two by
two matrices over R subgroup من الـ general linear
group of two by two matrices over R وهذه مثال
سابق هذه أثبتناها قبل ذلك طب كويس الآن بروح آخذ
element من G وبدي آخذ element من الـ special واشوف
حصل ضرب الـ element من G في الـ element من الـ
special في معكوس الـ element تبعي انطلع والله الـ
determinant إيه اللي بدي يساوي واحد بيكون حصل
الضرب هذا موجود وإنّ الـ special وبالتالي الـ
special هه normal subgroup من main من G يبقى
بالداخل أكتب لك الحل على الشجرة الثانية
أفترض أن الـ A موجودة في الـ general linear group of
2 by 2 matrices over R ويكون موجودة في الـ special
linear group of 2 by 2 matrices over R أريد أن آخذ
الـ A بـ A إنفرس إذا كنت أثبت إنّ هذه موجودة في الـ
Special يبقى هو الشرط اللي قلنا عليه الشرط الثالث
هو المساحنة أه هذه موجودة تمام يبقى بدي أحاول
أثبتها فبدي آخذ determinant لمين لهذه المصفوفة
يبقى حسب الجبر الخطي هذه determinant للـ A في
الـ determinant للـ B في الـ determinant للـ A
inverse صاروا هدور الـ real numbers الـ real
numbers are commutes يبقى هذا الـ determinant للـ
A في الـ determinant للـ A inverse في الـ
determinant للـ B يبقى .. بدي أرجعه إلى أصله يبقى
الـ determinant للـ A في الـ A inverse في الـ
determinant للـ B المصفوفة فيما عكوزها بالـ
determinant لمصفوفة الوحدة في الـ determinant للـ B
محدد مصفوفة الوحدة قديش؟ واحد صحيح محدد المصفوفة بـ
B برضه بواحد لأنها موجودة وين؟ بالـ Special يبقى
الـ
ABA inverse موجودة في الـ Special Linear Group of
2x2 matrices over R بناء عليه الـ Special Linear
Group of 2x2 matrices over R is a normal subgroup
من الـ General Linear Group of 2x2 matrices over R
يبقى هذا مثال آخر على ال .. على اللي عندنا خذ مثال
أربعة مثال
أربعة the alternating
group
the alternating group أربعة
الثاني جروب An is
a normal subgroup من من الـ Sn ليش
هذي normal باجي بقوله because
بدي آخذ element في Sn و element في An طبعا أنا
أخذناها سابقا إنّها الـ subgroup مظبوط الـ a for
because الـ An هذي الـ subgroup من الـ Sn and
Alpha موجودة في الـ S in and Beta موجودة في الـ A in
then أخذ العنصر Sn والعنصر An ومعكس العنصر Sm لو
طلع هذا الكلام even يبقى هذا حصلت ضربوين في Sn
يكون خلصنا يبقى هذا الكلام هادئة قد تكون even وقد
تكون odd لنا في الـ sense إن كان even يبقى معكوسة
even هذه even ما عنديش مشكلة إن كان هذه odd هذه
even هذه odd يبقى المجموع اللي هو even وبالتالي
هذه موجودة على طول الخط طبعا أثبتناها قبل إيه
أخذناها سؤال وحلناه يبقى then هذه موجودة في الـ An
because السبب إنّ even زائد even زائد even بده
يساوي even and odd زائد even زائد odd بده يعطينا
even مشان هيك هذه normal طبعا بنكمل في المحاضرة
القادمة إن شاء الله