بسم الله الرحمن الرحيم نواصل ما بدأنا فيه في
المحاضرة الماضية بدأنا بالnormal subgroups أعطينا
تعريف للnormal subgroups وعرفنا أن التعريف له
أوجه مختلفة بدل وجه ثلاثة ثم انتقلنا بعد ذلك إلى
الfactor groups وعناصر الfactor groups كلها هي
left cosets واخذنا على ذلك مثالا واحدا وهذا هو
المثال رقم 2 بقول يفترض أن جي هي عبارة عن Z18
واخدنا الsubgroup منها هي الsubgroup generated
by 6 العناصر تبعها 0 6 12 الآن السؤال هو هل الـ H
normal subgroup من Z18 أم لا؟ بدنا الإجابة Normal
ليش؟ لأن جي
أول مثال أخدته معاك لو كانت الـ group abelian يبقى
any subgroup is normal تمام يبقى في هذه الحالة
بقوله then الـ H is a normal subgroup من Z18
because اللي هو Z18 is abelian كويس إذا بدي أروح
أكون الfactor group أو بدي أعرف الfactor group
فيها كم element هذي تمام يبقى الـ order الـ order لـ
Z18 الموديولو 6 بده يساوي كله لفتكوه 6 يبقى الـ
order لـ Z18 مقسوما على الـ order للـ H واللي هو
عبارة عن 18 على 3 يبقى 6 elements يبقى الـ group هذه
فيها ستة عناصر بدي أعرف من هذه العناصر يبقى بروح
بقول له the elements of Z التمنتاشر modulo 6 are
الأولان هو H itself أو الـ subgroup generated by 6
الثاني هو 1 زائد الـ subgroup generated by 6
الثالث 2 زائد الـ subgroup generated by 6
الرابع هو 3 زائد الـ subgroup generated by 6
السادس والأخير له 5 زي الـ subgroup generated by
6 أي أي أي left coset 6 بعد ذلك لو جيت لي قلت لي 6
زي الـ subgroup generated by 6 بقول لك هي مين هي
الأصلية الـ subgroup الأصلية لو جيت لي قلت لي 7 زي
الـ subgroup generated by 6 بقول لك هي الـ 1 وهكذا
الآن داخل هذه الـ group لو بدي أجمع أو بدي أعرف الـ
order كيف بدي أحسبه يبقى لحد هنا احنا انتهينا من
عناصر هذه الـ group لو بدي أجي آخذ مثلا 3 زائد
الـ subgroup generated by 6 بدي أجمع مع مين؟ مع
الـ 5 زائد الـ subgroup generated by 6 يعني كأن
.. كأن بدي أضرب two left cosets في بعضهم لكن لما
كانت العملية عملية جمعية يبقى ضرب بس يتحول إلى
جمعية المرة اللي فاتت قلنا الـ operation اللي على
الـ left cosets هذه إن الـ A H مضروب في B H بيكون A
B F H يبقى معنى هذا الكلام هذا بيكون 3 زائد
5 زائد الـ subgroup generated by 6 3 زائد
5 قداش؟ 8 8 بشيل منهم الـ 6 بظل قداش؟
2 يبقى هذا 2 زائد الـ subgroup generated
by 6 هيها يبقى any two left cosets لو جمعتهم
هيعطيني واحدة من الست لإتنين هذول لو بدي أجيب مثلا
الـ order لأي واحدة منهم يبقى بدي أروح أشوف قداش
الرقم اللي بدي أحط أس لهذا الـ element بحيث يعطيني
main الـ identity يعني يعطيني الـ subgroup generated
by الـ 6 بالضبط تماما مثلًا لو جيت قلت بدي أعرف
قداش الـ order للي 2 زائد الـ subgroup generated
by 6 بدي بقوله كويس الآن مش هنحيب الـ order لهذا
بدي أروح أرفع للأس 1 والأس 2 والأس 3
لغاية ما أوصل لمين؟ للـ identity element فمثلًا لو بد
الـ 2 زائد الـ subgroup generated by 6 لكل
تربيع ثاني اللي هو حاصل ضرب الـ 2 يعني حاصل
جمع الـ 2 يعني 2 مضروبة في هذا الـ element
لأن الـ operation عملية جمعية يبقى هذا عبارة عن مين؟
عبارة عن 4 زي الـ subgroup generated by 6 لا
يساوي الـ identity element يبقى بناء عليه بدي آخذ
2 زي الـ subgroup generated by 6 الكل تكعيب
يبقى هذا بدي يساوي 6 زي الـ subgroup generated
by 6 قداش يعطيني هذا؟ 6 itself يبقى الـ order لهذا
الـ element يساوي 3 يبقى هذا الكلام يعطيني أن
الـ order لـ 2 زائد subgroup generated by 6 is
equal to 3 وهكذا يبقى كيف بدنا نضرب؟ كيف بدنا
نجمع؟ كيف بدنا نسوي؟ هي مثال قدامك طيب نيجي نأخذ
مثال example three
بقول لك إن الـ G تساوي D4 والـ subgroup اللي هي K
هي الـ subgroup generated by R180 طبعا هذه لا
يوجد فيها إلا عنصرين اللي هو الـ R0 والـ R180
أظن كمان هي هذا الـ center تبع الـ D4 ولا لأ؟ خلينا
نجرب هكذا إنه لو كانت الـ Z لـ D N يا فيها الـ
Identity فقط يا إما فيها الـ Identity والـ 180
حسب الـ D هذه هل هي حسب الـ N؟ هل هي odd ولا
even؟ يبقى بالشكل اللي عندنا هذا بدنا find the
elements of طبعا في هذا الكلام بده يعطينا مدام هذي
هيك بالشكل اللي عندنا هنا Z of D4 السؤال هو هل هذه
normal subgroup من D4؟ ليش؟ لأن عناصرها دائما
تتعامل مع جميع عناصر الجروب وقد أخذناهم مثلا سابقا
يبقى بجي بقوله then الـ K is normal subgroup في D4
يبقى find the elements بدنا عناصر of D4 modulo K
يبقى عناصر الfactor group اللي عندنا هذه
يبقى بدأ أروح أدور على عناصر الfactor group اللي
عندنا هنا أول شيء بدأ أعرف قداش فيها عناصر قبل
ما أروح أدور طيب العناصر تبعها كل الـ left cosets أو
كل distinct left cosets يبقى الـ order لـ D4 modulo
K بده يساوي الـ order لـ D4 مقسوما على الـ order لـ K
هذه 8 وهذه 2 يبقى عدد العناصر فيها يساوي
قدر 4 عناصر بدي أروح أدور على هذه العناصر
يبقى بدي أبدأ بالـ left coset الأولى طبعا R0 وR180
لو ضربتها في K بتظلها كما هي يبقى بقولها صفعة شجة و
بروح آخذ R90 في main في الـ K يبقى بدأ أضربها في
العناصر اللي جوا بصير R90 وهذه R90 في R180 اللي
يبقى داشرة R270 هي بالضبط تماما كمان R270 في K يبقى
هدول مش تنتهي الـ left coset سواء إنما في الحقيقة
left coset واحدة بالمّثل بدي أروح أجيب له مين؟ الـ H
في K هذا الكلام بده يساوي اللي هو لما أضرب الـ H في
R0 بتعطينا H أو هنا بتعطينا H في R180 بالشكل
اللي عندنا هذا هذا الكلام بده يساوي الـ H هنا عندك
في الـ جدول في صفحة 1 و80 الـ H في الـ R180
اللي هي main of V وتساوي كذلك الـ V في K
لإن لو ضربت الـ V في K بصير هنا V وهنا V بR180 اللي
هي عبارة عن main ع الـ H يبقى صاروا
إثنتين وليست واحدة بالمّثل لو روحت جبت له الـ D في
main في الـ K يبقى هذه بدها تعطيك D وهنا D في R
180 هذه بدها تعطيك D وD' واللي هي
بدها تساوي D' كذلك K يبقى أصبح عندي the
elements
The elements of D4
modulo K R الـ element الأول اللي هو الـ K itself
والـ element الثاني اللي هو الـ R90 في الـ K اللي
بده يساوي R270 في K والـ element الثالث
اللي هو الـ HK والـ element الرابع والأخير اللي هو
DK يبقى هي الأربعة عناصر اللي موجودة عندنا والتي
تمثل عناصر الـ factor group اللي عندنا بالضبط تماما
طيب اللي خاطر أعطيك exercise هكذا exercise لو قلت لك
little g تساوي D4 itself وخذ لي الـ H هي الـ
subgroup generated by R90 السؤال هو is الـ
D4 is D4 modulo H exist هل هذه موجودة؟ if so
if so find it
إذا كان الأمر كذلك بدنا إياها طبعا الـ subgroup
generated by R90 فيها قداش كام عنصر؟ 4
عناصر وD4 فيها قداش 8 عناصر يبقى الـ index لها
قداش؟ مرة اللي فاتت أخذنا لو الـ group الـ index لها
أو الـ subgroup الـ index لها يساوى اثنين إيش بتكون
هذه؟ إيش بتكون؟ normal subgroup مدام normal
subgroup يبقى الـ factor group exist ما دام exist
هذا جواب السؤال أول يوم نهلك شفوي بدنا نعرف من
هالعنصرين فقط اللي موجودين في الـ main في الـ factor a
group هذا بالنسبة اللي عندنا نيجي ناخد مثال آخر
مثال رقم أربعة بيقول
little g بدها تساوي A4 و الـ H is a subgroup من
مين؟ من G حيث الـ H هذه فيها العناصر التالية
identity element واحد اثنين ثلاثة أربعة العنصر
اللي بعده واحد ثلاثة اثنين أربعة واحد ثلاثة اثنين
أربعة العنصر اللي بعده واحد أربعة اثنين ثلاثة واحد
أربعة اثنين ثلاثة بالشكل اللي عندنا هذا number a
show that بيّن لي أن الـ H is a normal subgroup من من
الـ G نمرة B show that بيّن لي أن الـ A for modulo H
is cyclic
الآن مواطين الـ G هي الـ A4 من الـ A4 هذي ممتاز جدا
يبقى هذي the sixth of all even permutations of S4
عدد أنصارها كدهش؟ 12 عنصر تمام يبقى عدد الـ A4 12
عنصر أخذنا الـ subgroup منها الـ subgroup اللي هي H
زي ما أنت شايف بنقل عليه بسأل السؤال هل الـ H هذي
normal subgroup من G أم لا؟ إن كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة
إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامة قداش الـ order لأي element موجود في H أو
أو أربعة أو ثلاثة يعني اثنين أو أربعة أو ثلاثة
عناصر ليليتش هيهم قدامك قداش الـ اثنين أو أربعة بس
اثنين ما فيش غير واحد ما فيش واحد يعني يبقى الـ order
إلا واحد أو اثنين الـ least common multiple لمين؟ للـ
cycles اللي عندنا يبقى الـ order يا إما واحد يا إما
اثنين لا يزيد عن ذلك طبعا هذه ممكن تعمل فيها
composition وهذه ممكن تعمل فيها composition إن
كانت تقدر طبعا هذه ما فيش إمكانية هذه ما فيش إمكانية
هذه كمان ما فيش إمكانية يبقى هؤلاء الـ order is giant
cycle يبقى الـ اسكومة المطلوبة اللي طول كل واحدة
منهم الـ اسكومة اللي طول الاثنين والاثنين اللي هو B2
يبقى هدول كمان هدول كل العناصر اللي في A4 واللي الـ
order اللي لهم يساوي اثنين صح؟ يعني أنت لو رحت
للتفصيلات تبعت A4 في صفحة 107 من الكتاب 107 من
الكتاب حط لك كل عناصر الـ A4 لـ 12 صفهم لك صف هدول فقط
هم اللي الـ order لهم يساوي واحد أو اثنين غير هيك
ما جابش هايب الأوضة ومعظمها كلهم جابوا ماء قدامهم
يبقى أول شغلة observe that observe that لاحظ أن الـ
elements of
H are all
الأشياء من A4 التي لديها order 2 أو 1
يبقى عناصر H هما كل عناصر A4 اللي الـ order لهم
يساوي إما اثنين أو واحد طبعا الـ order اللي هذه
اثنين الـ order اللي هذه اثنين الـ order اللي هذه
اثنين الـ order اللي هذه واحد تمام يبقى هدول كلهم
عناصر A4 بلا استثناء
هذه المعلومة لازم تكون عامة لازم تكون عامة
و أثبت أن حاصل الـ element تبع الـ G في الـ element
تبع الـ H في معكوس الـ element تبع الـ G بدي يكون
موجود وين؟ في H ممتاز إذا يبقى أنا بروح أقول له خد لي
Alpha موجودة في الـ A4 و الـ Alpha does not belong
to H بدي أخذها من وين؟ من خارج الـ H و الـ Beta
موجودة وين؟ في H يبقى أنا أخذت Alpha موجودة في A4 و
خارج H وأخذت الـ Beta موجودة في H موجودة في اين؟
موجودة في H موجودة في H ولا لا؟ بمعنى آخر الله إن
كان الـ Alpha Beta Alpha يتشيل كل تربيع يعطاني الـ
identity إذا الـ order يساوي اثنين إذا هتكون واحد من
هدول يبقى بتكون one بتكون فائدة يبقى هنا الـ order
لا بيقدرش ثانية لأنها موجودة في H لأنه في H كل واحد
الـ order له يساوي اثنين يبقى بداجي آخذ له الآن
Alpha Beta Alpha Inverse لكل تربيع هي Alpha Beta
Alpha Inverse Alpha Beta Alpha Inverse هذا التربيع
تبعها الآن من خاصية الـ associativity هذه Alpha
Beta في Alpha Inverse Alpha في Beta Alpha Inverse
خاصية الـ associativity دمجت اثنين هدول مالهم مع
بعض طب هذا العنصر في المعكس هو مش بيعطينا الـ
identity يبقى بروح مع السلامة يبقى بصير Alpha Beta
تربيع Alpha Inverse بيتا تربيع أبجداش لأنها موجودة
وين؟ في H يبقى هذا الكلام بده يساوي Alpha الـ
identity في الـ Alpha Inverse السبب because إن الـ
order لـ Beta بده يساوي قداش؟ بده يساوي اثنين هذا
البرنامج سيعطينا الـ Alpha Alpha Inverse اللي هو
الـ Main الـ Identity احنا حطيناها بواحد ولا
نغيرها يبقى عدلها بواحد يبقى هذا البرنامج سيعطينا
الـ Main اللي هو بواحد صحيح يبقى بناء عليه هذا
سيعطينا أن الـ order لـ Alpha Beta Alpha Inverse هو
اثنين هذا معناه أن الـ Alpha Beta Alpha Inverse
موجودة في normal subgroup
هذا الحل اللي حليناه هو المطلوب الأول نمرا a المطلوب
الثاني نمرا b بيقول لي في نمرا b اثبت لي أن الـ
factor group اللي عندنا هذه is a cyclic group
بيقول لك خيص تعال نشوف قداش الـ order للـ A for modulo
H اللي بقول عليها يبقى هذا بده يساوي الـ order للـ A4
على الـ order للـ H هذه عبارة عن اثنا عشر على أربعة
يساوي كدهش؟ ثلاثة
is prime نرجع لمين؟ نرجع لأخذنا نظرية مشهورة قلنا في
الجبر نظرية الـ grunge و الـ crawlers اللي عليها الـ
crawlers رقمتهم كان بيقول لي إذا كان الـ order للـ
group أو للـ sub group الـ prime number يبقى هي...
هي cyclic group يبقى by her previous corollary
اللي هي اثنين على نظرية Lagrange we have إن الـ A4
modulo H is cyclic طيب
حابب أتعرف على شكل العناصر check that تأكد لي أن الـ
A4 modulo H عناصرها اللي هم على الشكل التالي الـ H
واحد اثنين ثلاثة في H واحد ثلاثة اثنين في H كيف
بدي أعرفها؟ يبقى بدي أمسك العناصر من خارج H لأن أي
عنصر ما نشتغله في H بده تطلع نفس الـ H إذا كتروح
أجيب للعناصر اللي ضايلة في A4 صفحة 107 وتضربهم وين
تضرب من في العناصر اللي عندك دائما وابدا حيطلع
واحد من الثلاثة دول إذا لازم أجيبها لك كأي حاجة
بتلزم كجدول بيجيبوها لك أنا بديك تبقى فاهم وليس
حافظ تمام يبقى الـ A for module H اللي عناصرها H
واحد اثنين ثلاثة H واحد ثلاثة اثنين H طب السؤال هو
قداش الـ order لهذه الـ element
أربعة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة
ستة
يا واحد يا ثلاثة وغير هيك ما فيش فيش بالمرة واحد هي
يبقى غصب عني وعنك الـ order إلى يساوي ثلاثة الحين
هذه لم تجد طولها ثلاثة المهوض لما تقول تربيع تبدأ
تربيع هذه وهذه ثابتة تقول تكعيد الكعب هذه وهذه
ثابتة هذه طولها يساوي ثلاثة يعني الـ order إلى يساوي
ثلاثة يبقى الـ order لكل واحد من هذول ثلاثة يبقى كل
واحد عبارة عن generator لمن؟ للـ group اللي عندنا
يعني يبقى باجي بقول clearly كمان إنه الواحد اثنين
ثلاثة each and clearly إنه each of هـ of الواحد
اتنين تلاتة في H وواحد تلاتة اتنين في H is a
generator for الـ a4 modulo H والسبب because إن الـ
order للواحد اتنين ثلاثة في H بده يساوي الـ order
للواحد تلاتة اتنين في H بده يساوي كده تلاتة يبقى
كل واحد فيهم عبارة عن generator
طب خلّيني أسأل كل واحد معكوس لنفسه والله واحد
فيهم معكوس الثاني بمعنى هل الواحد اتنين تلاتة و
الواحد تلاتة اتنين معكوس لنفسه كل واحد والله
اتنين معكوسة لبعض تعالوا اضربهم في بعض الواحد
بيروح لوين؟ والتلاتة بيروح لمين؟ صف على شجر الـ
identity الواحد راح على الواحد بنمسك التلاتة بتروح
لمين؟ لاتنين والاتنين بتروح صف على شجر الـ identity
الاتنين بيروح للواحد والواحد بيروح لاتنين يبقى الـ
identity يبقى كل واحد فيهم معكوس للآخر وليس معكوس
لنفسه إذا الـ element هذا في حد ذاته هو معكوس لمن؟
لهذا الـ element وفي نفس الوقت الـ element هذا كله
هو معكوس لهذا الـ element في الـ factor group لأن لو
ضربتهم في بعضهم سأحصل على الـ identity not that ان
الواحد اتنين تلاتة each is the inverse of الواحد
تلاتة اتنين each because
لو ضربت في بعض بدي أطين مين الـ identity element في
H في 1 3 2 H حسب التعريف على الـ factor group الـ
operation قولنا بنضرب الـ two elements في بعض يبقى
123 132 في H ويساوي نمسك الأول مرة تانية الواحد
صورته تلاتة والتلاتة صورتها واحد يبقى ما عنديش إلا
الواحد نمسك اللي بعده اتنين اتنين صورته واحد
والواحد صورته اتنين يبقى جافلة نمسك التلاتة تلاتة
صورتها اتنين واتنين صورتها تلاتة يبقى جافلة وهذا
الـ main الـ H اللي بتعطيك الـ H itself لأن هذا
كله بالـ identity element يبقى بناء عليه فعلا هذا
الـ element هو معكوس لمين؟ معكوس للـ element اللي
عندنا هذا
يبقى هذا كان مثال أربعة مثال
خمسة
بقول لي U 32 بتساوي U 32 اللي عناصرها
طبعا اللي هي واحد وتلاتة وخمسة وسبعة وتمانية
تسعة عشر احداش تلتاش اربعتاش خمستاش 15 16 17 19 20
21 20 23 بعد 23 24 25 27 28 29 31 ما فيش غيرها طيب
هذا بده يعطيني إن الـ order لليو اتنين وتلاتين بده
يساوي واحد اتنين تلاتة أربعة خمسة ستة سبعة تمانية
تسعة عشر احداشر اتناشر تلاتاشر اربعاشر خمساشر
ستاشر عنصر في الـ group اللي عندنا هنا بدنا نروح
ناخد sub group منها let الـ H هي الـ subgroup
generated by خمستاشر واللي ما فيش فيها إلا العنصرين
واحد وخمستاشر السؤال هو هل الـ H هذي abelian؟ الـ
H just a normal subgroup من الـ U تلاتة؟ نعم لأن
هذيك الـ U اتنين وتلاتين is abelian يبقى then الـ
H is a normal subgroup من الـ U اتنين وتلاتين
because السبب because إن U اتنين وتلاتين is a
abelian معناته بقدر أكون الـ factor group يعني الـ
factor group exist يبقى هذا بده يعطيك إن الـ U 32
modulo H modulo H exist موجودة السؤال هو طب بنقدر
نجيب عناصرها قبل السؤال يبقى الـ order ليه 32
modulo H بده يساوي اللي هو 16 على قداش على 2 و
يساوي 8 يبقى هذا الـ group هذه فيها ثمانية عناصر
اسمع السؤال الـ question is
السؤال هو هل is الـ G modulo H isomorphic لـ Z
تمانية ولا Z
طيب نرجع لسوالنا مرة تانية بقول لي احنا جه أخدنا الـ
U32 أخدنا الـ subgroup generated by خمستاشر اللي
فيهاش اللي غير عنصرين واحد وخمستاشر وخمستاشر تربيع
متين وخمسة وعشرين اللي هي عبارة عن واحد في U32 لأن
الـ 224 هي مضاعفات 32 يبقى ما فيش فيها إلا عنصرين
any subgroup من الـ abelian group is normal يبقى الـ
subgroup اللي أخدناها normal subgroup من الـ U32
يبقى الـ factor group exist وفيها ثمانية عناصر
السؤال هو هل الـ G-modulation isomorphic لـ Z8 ولا لـ
Z4 external product مع Z2 ولا لـ Z2 external
product مع Z2 external product مع Z2 كذلك أم لا؟
هذه تمان عناصر هذه تمان عناصرهذه تمام عناصر تمام
التمام بدنا نيجي نشوف مين نستبعد ومين نخليه قداش
أكبر order لأي element موجود هنا تمانية تمانية
قداش أكبر order لأي element هنا كداش أربعة ما يزيدش
عن أربعة اللي هو least common multiple للأربعة
واتنين أو للأربعة والواحد سيام قداش الـ maximum
order لأي element هنا اتنين يبقى أكبر واحد هناك
تمانية أكبر واحد اتنين وأكبر واحد هنا أربعة طب
السؤال هو الـ G modulo H فيها ثمانية عناصر لو روحت
عناصرها كلهم lift كو ستة لو روحت للأور السبع lift
كو ستة ولجيته يساوي تمانية معناته هذا generator
وبالتالي isomorphic لـ Z تمانية لكن إذا ما لجيتهش
فيها ولا generator إذا لا يمكن أن تكون isomorphic
لمعنى لـ Z تمانية بيظل احتمال هنا يا إما لـ Z
أربعة cross product مع Z اتنين أو Z اتنين
cross product مع Z اتنين cross product مع
Z اتنين الثانية لذلك هذه العناصر قدامك كلها
نستطيع أن نحصل على left coset أول واحدة تبقى الأول
واحد بتضرب التلاتة في K في H مش هذي left coset
كذلك يعني أحد عناصر من الـ group الآن بداجي أقوله
تلاتة H هذي موجودة في الـ U تنين وتلاتين modulo
اللي هو من H لو جيت تلاتة H هل هذه تساوي H تسلف؟
يعني لو ضربت هنا في من في تلاتة بصير تلاتة وتلاتة
في خمستاشر بخمسة وأربعين شيء اللي بيبقى تلتاش هل
هي H؟ لأ اتنين لو جيت قلت لك تلاتة H لكل تربيع
آه يعني لو طلع الـ identity اتنين هذي بتجسم
التمانية يعني ممكن مش في مشكلة هذا الكلام بده
يساوي تسعة H هل تسعة H تساوي H اضربها تسعة وهذي
تسعة في خمستاشر إذا لا يمكن أن تساوي مين H أخد تلاتة
H تكيب لأ لأن التلاتة لا تقسم مين التمانية يبقى
فيش element الـ order إله يساوي التلاتة يبقى ما
تغلبش حالك روح على مين؟ على تلاتة H أُس أربعة يبقى
هذه عبارة عن قداش تسعة في تسعة بواحد وتمانين H
هذا الكلام يساوي تنين وتلاتين وتنين وتلاتين
أربعة وستون من واحد وتمانين ستاشر وواحد و
سبعتاشر يبقى هذه سبعتاشر H هل السبعتاشر H بيساوي
H؟ لأ يبقى سعر الـ order لهذا الـ element لا يمكن أن
يكون أربعة أروح أدور على خمسة وستة وسبعة يبقى
automatic الـ order إله يساوي قداش تمانية لأن الـ order
للـ element اللي بيجسم للـ order اللي جمده ما تحصل
على طول الخطة بنستنتجها يبقى هذا بده يعطينا إن الـ
order لتلاتة H بده يساوي قداش تمانية because
the order of
the element divide the order of the group
لأن الـ order للـ element بيجسم الـ order للـ group
يبقى لا يمكن أن أنا أجد الـ order خمسة ولا ستة ولا
سبعة إذا الـ order يساوي كمان تمانية معناته هذا الـ
element ماله generator يبقى هنا الـ ثلاثة H is a
generator
Four اللي هو من الـ U اتنين وتلاتين modulo H مدام
generator يبقى هذه مالها Cyclic يبقى هذا يعطينا إن
U اتنين وتلاتين U اتنين وتلاتين modulo 11 is
cyclic Madame Cyclic يبقى هل يمكن أن تكون
isomorphic لهذه لأن هذا أكبر order لها يساوي اتنين
isomorphic لهذه لأ لأن أكبر order عنها مين يساوي
أربعة يبقى هنا الـ U تنين وتلاتي موديل أحداشر
isomorphic لـ Z8 because
Z4 external like product مع Z2 has
no element
of order مافيش ولا عنصر يبقى هذي صارت
isomorphic لـ مين؟ لـ .. لـ group اللي عندنا هذي الآن
بدنا نيجي لنظرية طبعا أخدت أمثلة لا بأس بها كثيرة
على الـ normal و على الـ factor group بنيجي لأول
نظرية في هذا الموضوع بتقول الـ Center تبع الـ
Group G of
a
group G if الـ G modulo Center بتبع الـ G is
cyclic then الـ G is abelian
خلّي بركة
عندنا Z of G الـ Center تبع لـ Group G وبنعرف الـ
Center اللي بيجمع كل العناصر الكميوس مع جميع عناصر
G بالاستثناء يبقى لو كانت الـ G modulo Z Cyclic
يبقى بنثبت له إنه G الأصلية is Abelian يبقى
المعطيات اللي عندي أ assume that إن الـ G modulo Z
of G is Cyclic ما دام Cyclic يبقى إيه ايش؟لها
generator ما دام Cyclic يبقى الـG في الـZ of G بـA
generator
يفترض ان هذا generator اله يعني أي element فيها
يكون هذا ال element مرفوع لمين؟ لأس محددة يبقى then
الـ g modulo center بتبع الـ g هي sub group أو ال
group generated by g في الـ z of g بالشكل اللي
عندنا الآن بدي أقول له let الـ a و الـ b موجودة في g
إذا قدرت أثبت له إن الـ a في b هي الـ b في a بتما
المطلوب تمام؟ إذا حاجة أقوله الآن الـ a موجودة في
الـ a في الـ center بتبع الـ g صح ولا لا؟ الـ element
A موجود في أي lift-go set طب هذا الـ element موجود
في الـ group هذه ولا لا؟ إيه في الـ center؟ موجود
هنا ولا لا؟ صح؟ مالكه بلعته
يبقى هنا هذا الكلام يبقى ميم يبقى ميم
ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم
يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى
ميم يبقى واللي هو بده يساوي GI في الـ center اللي
تبع الـ G for some I بالمثل الـ B موجود في الـ B في
الـ Center بتابع الـ G و اللي هو بده يساوي G في
الـ Center بتابع الـ G مرفوع لأُس J وهذا GG للـ
Center بتابع الـ Group G for some J الآن خدلي AB
يبقى الـ a,b بده يساوي الـ a,b هذه a موجودة هنا يبقى
موجودة هنا مدام موجودة هنا يبقى بقدر أقول إن الـ a
تساوي g,i,x for some x وهذا بده يعطيني إن b تساوي
g,j,y for some y وارسم Y يبقى الـ A بي بده يساوي ال
A اللي عندي اللي هي main اللي هي GIX والـ B اللي هي
GJY
الإكس والواي والإكس والواي والإكس والواي يا سيدي
اللي هم في الـ center إذا بقدر أبدل زي ما بدي تمام
يبقى هذا بتقدر تقولي GI جي جي في الـ X Y بدلت
التنتين هذول مع بعض لإن X موجودة في الـ center طيب
هذه بقدر أبدل كمان بقدر أقول جي جي في جي I وهذه Y
في X
الآن بدي أبدل هدول مع بعض لإن الـ X و الـ Y في ال
center يبدلوا مع بعض دوري يبقى هذا الكلام يبدو
يساوي GJ و هنا Y و هنا GIX هذا B وهذا A يبقى G
Abelian يبقى هنا Das
يبقى من الانفة ساعدا اه
طبعا
هاي موجودة هنا يبقى تساوي GI في element من ال
center الـ X موجودة في الـ center والـ Y موجودة في ال
center كذلك