بسم الله الرحمن الرحيم نواصل ما بدأنا فيه في
المحاضرة الماضية بدأنا بال normal subgroups أعطينا
تعريف لل normal subgroups وعرفنا أن التعريف له
أوجه مختلفة بدل وجه تلاتة ثم انتقلنا بعد ذلك إلى
ال factor groups وعناصر ال factor groups كلها هي
left cosets واخذنا على ذلك مثالا واحدا وهذا هو
المثال رقم 2بقول يفترض ان جي هي عبارة عن Z 18
واخدنا ال subgroup منها هي ال subgroup generated
by 6 العناصر تبعها 0 6 12 الآن السؤال هو هل ال H
normal subgroup من Z 18 ام لا؟ بدنا الإجابة Normal
ليش؟ لأن جي
أول مثال أخدته معاك لو كانت ال group abelian يبقى
any subgroup is normal تمام يبقى في هذه الحالة
بقوله then ال H is a normal subgroup من Z18
because اللي هو Z18 is abelianكويس اذا بدي اروح
اكون ال factor group او بدي اعرف ال factor group
فيها كم element هذي تمام يبقى ال orderالـ order لـ
z 18 الموديولو 11 بده يساوي كله لفتكوه 6 يبقى ال
order ل z 18 مقسوما على ال order لل h و اللي هو
عبارة عن 18 ع 3 يبقى 6 elementsيبقى ال group هذه
فيها ستة عناصر بدي أعرف من هذه العناصر يبقى بروح
بقول له the elements of z التمنتاشر module 11 are
الأولان هو H itself أو الـ subgroup generated by 6
التاني هو واحد زائد ال subgroup generated by 6
التالت اتنين زائد ال subgroup generated by 6
الرابع هو تلاتة زائد ال subgroup generated by 6
السادس والاخير له خمسة زي ال subgroup generated by
ستةأي اي اي lift cos 6 بعد ذلك لو جيتلي قولتلي 6
زي ال subgroup generated by 6 بقولك هي مين هي
الأصلية ال subgroup الأصلية لو جيتلي قولتلي 7 زي
ال subgroup generated by 6 بقولك هي الواحد و هكذا
الان داخل هذه ال group لو بدى اجمع او بدى اعرف ال
order كيف بدى احاسبه يبقى لحد هنا احنا انتهينا من
عناصر هذه ال group لو بدى اجي اخد مثلا تلاتة زائد
ال sub group generated by ستة بدى اجمع مع مين مع
الخمسة زائد ال sub group generated by ستةيعني كأن
.. كأن بدي أضرب two left cosets في بعضهم لكن لما
كانت العملية عملية جامعة يبقى ضرب بس يتحول إلى
جامعة المرة اللي فاتت قلنا ال operation اللي على
ال left cosets هذهإن الـ A H مضروب في B H بيكون A
B F H يبقى معنى هذا الكلام هذا بيكون تلاتة زائد
خمسة زائد ال sub group generated by ستة تلاتة زائد
خمسة قداش تمانية تمانية بشيل منهم الستة بظل قداش
اتنين يبقى هذا اتنين زائد ال sub group generated
by ستة هيهايبقى any two left cosets لو جمعتهم
هيعطيني واحدة من الست لإتنين هذول لو بدي أجيب مثلا
ال order لأي واحدة منهم يبقى بدي أروح أشوف قدش
الرقم اللي بدي أحط اس لهذا ال element بحيث يعطيني
main ال identity يعني يعطيني ال subgroup generated
by الست بالضبط تمامافمثلًا لو جيت قولت بدي أعرف
قداش ال order للي اتنين زيدي ال subgroup generated
by ستة بدي بقوله كويس الان مش هنجيب ال order لهذا
بدي أروح أرفع لل أس واحد والأس اتنين والأس تلاتة
لغاية موصل لمين لل identity element فمثلًالو بد
الاتنين زاد ال sub group generated by ستة لكل
تربيع تاني اللي هو حاصل ضرب الاتنين يعني حاصل
جامعة الاتنين يعني اتنين مضروبة في هذا ال element
لأن ال operation عملية جامعةيبقى هذا عبارة عن مين
عبارة عن أربعة زي ال sub group generated by ستة لا
يساوي ال identity element يبقى بناء عليه بدي أخد
اتنين زي ال sub group generated by ستة الكل تكعيب
يبقى هذا بدي يساوي ستة زي ال sub group generated
by ستة جدش يعطيني هذا؟6 itself يبقى ال order لهذا
ال element يساوي تلاتة يبقى هذا الكلام يعطيني ان
ال order لإتنين زائد subgroup generated by ستة is
equal to three و هكذا يبقى كيف بدنا نضرب كيف بدنا
نجمع كيف بدنا نسوي هي مثال قدامك طيب نيجي ناخد
مثال example three
بقول الات ال G تساوي D4 and ال sub group اللي هي K
هي ال sub group generated by R 180 طبعا هذه لا
يوجد فيها إلا عنصرين اللي هو ال R نود وال R 180
اظن كمان هي هذا ال centerتبع الـ D4 ولا لأ؟ خلّينا
نجرب هكذا إنه لو كانت الـ Z لـ D N يا فيها الـ
Identity فقط يا إما فيها الـ Identity و الـ 180
حسب الـ D هذه هل هي حسب الـ N؟ هل هي odd و لا
even؟ يبقى بالشكل اللي عندنا هذا بدنا find the
elements ofطبعا في هذا الكلام بده يعطينا مدام هذي
هيك بالشكل اللي عندنا هنا Z of D4 السؤال هو هل هذه
normal subgroup من D4؟ ليش؟ لأن عناصرها دائما
تتعامل مع جميع عناصر الجروم وقد أخذناهم مثلا سابقا
يبقى بجي بقوله thenالـ K is normal subgroup في D4
يبقى find the elements بدنا عناصر of D4 modulo K
يبقى عناصر ال factor group اللي عندنا هذه
يبقى بدأ اروح ادور على عناصر ال factor group اللى
عندنا هنا الاول شىء بدأ اعرف قداش فيها عناصر قبل
ما اروح ادورطب العناصر تبعتها كل ال lift cosets أو
كل distance lift cosets يبقى ال order ل D4 modulo
K بده سوى ال order ل D4 maximum على ال order ل K
هذه تمانيةوهذه اتنين يبقى عدد العناصر فيها يساوي
قدرت اربعة عناصر بدي اروح ادور على هذه العناصر
يبقى بدي ابدأ بال liftco6 الأولى طبعا ارنود وR180
لو ضربتها في K بتظلها كما هي يبقى بقولها صفع شجة و
بروح اخد R90 في main في ال Kيبقى بدأ ضربها في
العناصر اللي جوا بصير R90 و هذه R90 في R180 اللي
يبقى داشر R270 هي بالضبط تماما كمان R278 في K يبقى
هدول مش تنتهي ال left coset سواء إنما في الحقيقة
left coset واحدةبالمثل بدي اروح اجيب له مين ال H
في K هذا الكلام بده يساوي اللي هو لما اضرب ال H في
R node بتعطينا H او هنا بتعطينا H في R 180 بالشكل
اللي عندنا هذاهذا الكلام بده يساوي ال H هنا عندك
في ال جدول في صفحة واحد و تمانين ال H في ال R مية
و تمانين اللي هي main of V وتساوي كذلك ال V في K
لإن لو ضربت ال V في K بصير هنا V و هنا V بR مية و
تمانين اللي هي عبارة عن main ع ال H يبقى صاروا
تنتين و ليست واحدةبالمثل لو روحت جبت له ال D في
main في ال K يبقى هذه بدها تعطيك D و هنا D في R
مية و تمانين هذه بدها تعطيك D و D Prime و اللي هي
بدها تساوي D Prime كذلك K يبقى أصبح عندي the
elements
The elements of D4
modulo K R ال element الأول اللي هو ال K itself
وال element التاني اللي هو ال R تسعين في ال K اللي
بده يساوي R متين وسبعين في K وال element التالت
اللي هو ال HKو ال element الرابع والاخير اللي هو
dk يبقى هي الأربعة عناصر اللي موجودة عندنا والتي
تمثل عناصر ال factor group اللي عندنا بالضبط تماما
طيب اللي خاطر أعطيك exercise هك exercise لو قلت لك
little g تساوي d for itself andخد لي ال H هي ال
sub group generated by R تسعين السؤال هو is ال
D for is D for modulo H exist هل هذه موجودة if so
if so find it
إذا كان الأمر كذلك بدنا إياها طبعا ال subgroup
generated by R تسعين فيها جداش كام عنصر؟ أربع
عناصر و D4 فيها جداش تمان عناصر يبقى ال index لها
جداش مرة اللي فاتت أخدنا لو ال group ال index لها
أو ال subgroup ال index لها يساوى اتنين إيش بتكون
هذه؟ إيش بتكون؟ normal subgroup مدام normal
subgroup يبقى ال factor group existما دام exist
هذا جواب السؤال اول يوم نهلك شفوي بدنا نعرف من
هالعنصرين فقط اللي موجودين في main في ال factor a
group هذا بالنسبة اللي عندنا نيجي ناخد مثال اخر
مثال رقم أربعة بيقول
little g بدها تساوي A4 and ال H is a subgroup من
مين؟ من G where حيث ال H هذه فيها العناصر التالية
identity element واحد اتنين تلاتة اربعة العنصر
اللي بعده واحد تلاتة اتنين اربعة واحد تلاتة اتنين
اربعة العنصر اللي بعده واحد اربعة اتنين تلاتة واحد
اربعة اتنين تلاتة بالشكل اللي عندنا هذا number a
show thatبيّلي ان ال H is a normal subgroup من من
ال G نمرة B show that بيّلي ان ال A for modulo H
is cyclic
الان مواطين الجيه هي ال a4 من ال a4 هذي ممتاز جدا
يبقى هذي the sixth of all even permutations of s4
عدد أنصارها كدهش؟12 عنصر تمام يبقى عدد ال A4 12
عنصر أخدنا ال subgroup منها ال subgroup اللي هي H
زي ما انت شايف بنقل عليه بسأل السؤال هل ال H هذي
normal subgroup من G ام لاإن كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة
إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا
كانت عامةقداش ال order لأي element موجود في H او
او اربعة او تلاتة يعني اتنين او اربعة او تلاتة
عناصر ليليتش هيهم قدامك قداش ال اتنين او اربعة بس
اتنين مافيش غير واحد مافيش واحد يعنييبقى ال order
إلا واحد أو اتنين ال least common multiple لمين لل
cycles اللي عندنا يبقى ال order يا إما واحد يا إما
اتنين لا يزيد عن ذلك طبعاهذه ممكن تعمل فيها
composition وهذه ممكن تعمل فيها composition ان
كانت تقدر طبعا هذه مفيش إمكانية هذه مفيش إمكانية
هذه كمان مفيش إمكانية يبقى هؤلاء الارديس جاينت
سايكل يبقى ال اسكومة الملطبة اللي طول كل واحدة
منهم الاسكومة اللي طول الاتنين والاتنين اللي هو B2
يبقى هدول كمان هدول كل العناصر اللي في A4 واللي ال
order اللي لهم يساوي اتنين صح يعني انت لو روحت
للتفصيلات تبعت A4 في صفحة 107 من الكتاب 107 من
الكتاب حطلك كل عناصر ال A4 ل 12 صفهملك صف هدول فقط
هم اللي ال order لهم يساوي واحد او اتنين غير هيك
ما جابش هايب الأوضة ومعظمها كلهم جابوا مياه قدامهم
يبقى أول شغلة observe that observe that لاحظ ان ال
elements of
h are all
الأشياء من A4 التي لديها أردم 2 او 1
يبقى عناصر اتش هما كل عناصر a4 اللي ال order لهم
يساوي اما اتنين او احد طبعا ال order اللي هذه
اتنين ال order اللي هذه اتنين ال order اللي هذه
اتنين ال order اللي هذه واحد تمام يبقى هدول كلهم
عناصر a4 بلاستيثناء
هذا المعلومة لازمان تكون عامة لازمان تكون عامة
و اثبت ان حاصر ال element تبع ال G في ال element
تبع ال H في معكوس ال element تبع ال G بدي يكون
موجود وين في H ممتاز اذا يبقى انا بروح اقوله خدلي
Alpha موجودة في ال A4 و ال Alpha does not belong
to H بدي اخدها من وين من خارج ال H and ال Beta
موجودة وين في Hيبقى انا اخدت alpha موجودة في a4 و
خارج h واخدت ال b موجودة في h موجودة في اين؟
موجودة في h موجودة في h ولا لا؟ بمعنى اخروالله إن
كان ال alpha beta alpha يتشيل كل تربيع يعطاني ال
identity إذا ال order يسوى اتنين إذا هتكون واحد من
هدول يبقى بتكون one بتكون فائدة يبقى هنا ال order
لا بيقدرشتانية لانها موجودة في H لانه في H كل واحد
ال order له يساوي اتنين يبقى بداجي اخدله الان
Alpha Beta Alpha Inverse لكل تربية هي Alpha Beta
Alpha Inverse Alpha Beta Alpha Inverseهذا التربية
تبعها الآن من خاصية ال associativity هذه Alpha
Beta في Alpha Inverse Alpha في Beta Alpha Inverse
خاصية ال associativity دمجت اتنين هدول مالهم مع
بعض طب هذا العنصر في المعكس هو مش بيعطينا ال
identity يبقى بروح مع السلامة يبقى بصير Alpha Beta
تربيع Alpha Inverseبيتا تربية أبجداش لأنها موجودة
وين في H يبقى هذا الكلام بده يساوي alpha ال
identity في ال alpha inverse السبب because ان ال
order ل beta بده يساوي جداش بده يساوي اتنينهذا
البرنامج سيعطينا الـ Alpha Alpha Inverse اللي هو
الـ Main الـ Identity احنا حطيناها بواحد ولا
نغيرها يبقى عدلها بواحد يبقى هذا البرنامج سيعطينا
الـ Main اللي هو بواحد صحيح يبقى بناء عليههذا
سيعطينا ان ال order ل alpha beta alpha inverse هو
اتنين هذا معناه ان ال alpha beta alpha inverse
موجودة في normal subgroup
هذا الحل اللي حلناه هو المطموب الأول نمرا aالمطموب
التاني نمرا بي بيقول لي في نمرا بي اثبتلي ان ال
factor group اللي عندنا هذه is a cyclic group
بقولك خيص تعالى نشوف قداش ال order لل a for modulo
h اللي بقول عليهايبقى هذا بده يساوي ال order لل a4
على ال order لل h هذه عبارة عن اتناشر على اربع
يساوي كدهش والتلاتة
is prime نرجع لمين نرجع لخدنا نظرية مشهورة قلنا في
الجبر نظرية الـ grunge و ال crawlers اللي عليها ال
crawlers رقمتهم كان بيقولي إذا كان ال order لل
group أو لل sub group ال prime number يبقى هي ..
هي cyclic group يبقى by her previous crawlery
اللي هي اتنين على نظرية Lagrange we have ان ال a4
modulo h is cyclic طيب
حابب اتعرف على شكل العناصر check thatتأكدلي ان ال
a4 modulo h عناصرها اللي هم على الشكل التالي ال h
واحد اتنين تلاتة في h واحد تلاتة اتنين في h كيف
بدي اعرفها؟يبقى بدي أمسك العناصر من خارج H لإن أي
عنصر ما نشتغله في H بده تطلع نفس ال H إذا كتروح
اجيب للعناصر اللي ضايلة في A4 صفحة 107 وتضربهم وين
تضرب من في العناصر اللي عندك دائما وابنا حيطلع
واحد من التلاتة دول إذا لازم أجيبها لكأى حاجة
بتلزم كجدول بيجيبوها لك انا بديك تبقى فاهم وليس
حافظ تمام يبقى ال a for module h اللي عناصره h
واحد اتنين تلاتة h واحد تلاتة اتنين h طب السؤال هو
كداش ال order لهذه ال element
أربعة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة
ستة
يا واحد يا تلاتة وغير هيك مافيش فيش بالمرة واحد هي
يبقى غصب عني وعنك ال order إلى يسوى تلاتة الحين
هذه لم تجد طولها تلاتة المهوض لما تقولي تربية تبدأ
تربع هذه وهذه ثابتة تقولي تكعيد الكعب هذه وهذه
ثابتة هذه طولها يسوى تلاتة يعني ال order إلى يسوى
تلاتة يبقى ال order لكل واحد من هذول تلاتة يبقى كل
واحدعبارة عن generator لمن؟ لل group اللي عندنا
يعني يبقى باجي بقول clearly كمان انه الواحد اتنين
تلاتة each and clearly انه each ofه of الواحد
اتنين تلاتة في h and واحد تلاتة اتنين في h is a
generator for ال a4 modulo h والسبب becauseإن ال
order للواحد اتنين ثلاثة في H بده يساوي ال order
للواحد تلاتة اتنين في H بده يساوي كده تلاتة يبقى
كل واحد فيهم عبارة عن generator
طب خلّيني أسأل كل واحد معكوس لنفسه و الله واحد
فيهم معكوس التاني بمعنى هل الواحد اتنين تلاتة و
الواحد تلاتة اتنين معكوس لنفسه كل واحد و الله
اتنين معكوسة لبعض تعالوا اضربهم في بعض الواحد
بيروح لوين و التلاتة بيروح لمين صف على شجر ال
identity الواحد را على الواحدبنمسك التلاتة بتروح
لمين؟ لاتنين و الاتنين بتروح صف على شج ال identity
الاتنين بيروح للواحد و الواحد بيروح لاتنين يبقى ال
identity يبقى كل واحد فيهم معكوس للآخر و ليس معكوس
لنفسهإذا الـ element هذا في حد ذاته هو معكوس لمن؟
لهذا ال element وفي نفس الوقت ال element هذا كله
هو معكوس لهذا ال element في ال factor group لأن لو
ضربتهم في بعضهم سأحصل على ال identitynot that ان
الواحد اتنين تلاتة each is the inverse of الواحد
تلاتة اتنين each because
لو ضربت في بعض بدي أطين مين ال identity element في
H في 1 3 2 H حسب التعريف على ال factor group ال
operation قولنا بنضرب ال two elements في بعض يبقى
123 132 في H ويساوينمسك الأول مرة تانية الواحد
صورته تلاتة والتلاتة صورتها واحد يبقى ماعنديش إلا
الواحد نمسك اللي بعده اتنين اتنين صورته واحد
والواحد صورته اتنين يبقى جافلة نمسك التلاتة تلاتة
صورتها اتنين واتنين صورتها تلاتة يبقى جافلةوهذا
الـ main الـ H اللي بتعطيك الـ H itself لأن هذا
كله بال identity element يبقى بناء عليه فعلا هذا
ال element هو معكوس لمين؟ معكوس لل element اللي
عندنا هذا
يبقى هذا كان مثال أربعة مثال
خمسة
بقول لطل جي تده تساوي يوتنين و تلاتين اللي عناصرها
طبعا اللي هي واحد و تلاتة و خمسة و سبعة و تمانية
تسعة عشرة احداش تلتاش اربعتاش خمستاش15 16 17 19 20
21 20 23 بعد 23 24 25 27 28 29 31 مافيش غيرهاطيب
هذا بده يعطيني ان ال order لليو اتنين و تلاتين بده
يساوي واحد اتنين تلاتة اربعة خمسة ستة سبعة تمانية
تسعة عشر احداشر اتناشر تلاتاشر اربعاشر خمساشر
ستاشر عنصر في ال group اللي عندنا هنا بدنا نروح
ناخد sub group منها letالـ H هي الـ subgroup
generated by خمستاشر واللي مافيش فيها إلا العنصرين
واحد وخمستاشر السؤال هو هل الـ H هذي abelian؟ الـ
H just a normal subgroup من الـ U تلاتة؟نعم لأن
هذيك ال U اتنين و تلاتين is a billion يبقى then ال
H is a normal subgroup من ال U اتنين و تلاتين
because السبب because ان U اتنين و تلاتين is a
billionمعناته بقدر اكوّن ال factor group يعني ال
factor group exist يبقى هذا بده يعطيك ان ال U 32
modulo H modulo H exist موجودة السؤال هوطب بنقدر
نجيب عناصرها قبل السؤال يبقى ال order ليه 32
modulo h بده يساوي اللي هو 16 على قداش على 2 و
يساوي 8 يبقى هذا ال group هذه فيها ثمانية عناصر
اسمع السؤال ال question is
السؤال هو هل is الجي موديلو H ايزو مارفك لزد
تمانية ولا زد
طيب نرجع لسوالنا مرة تانيةبقول لي احنا جه أخدنا ال
U32 أخدنا ال subgroup generated by خمساش اللي
فيهاش اللي غير عنصرين واحد وخمساش وخمستاشر تربيع
متين وخمسة وعشرين اللي هي عبارة عن واحد في U32لأن
الـ 224 هي مضاعفات 32 يبقى مافيش فيها إلا عنصرين
any subgroup من الabelian group is normal يبقى ال
subgroup اللي أخدناها normal subgroup من ال U32
يبقى ال factor group exist وفيها ثمانية عناصر
السؤال هو هل ال G-modulation isomorphic ل Z8 ولا ل
Z4 external product مع Z2 ولا ل Z2 external
product مع Z2 external product مع Z2 كذلك أم لا؟
هذه تمان عناصر هذه تمان عناصرهذه تمام عناصر تمام
التمام بدنا نيجي نشوف مين نستبعد ومين نخليه قداش
أكبر order لأي element موجود هنا تمانية تمانية
قداش أكبر order لأي element هنا كداش أربعة مزيدش
عن أربعة اللي هو least common multiple للأربعة
واتنين أو للأربعة والواحد سيام قداش ال maximum
order لأي element هنا اتنينيبقى اكبر واحد هناك
تمانية اكبر واحد اتنين واكبر واحد هنا اربع طب
السؤال هو الجي موديل H فيها ثمانية عناصر لو روحت
عناصرها كلهم lift كو ستة لو روحت للأور السبع lift
كو ستة و لجيته يساوي تمانية معناته هذا generator
وبالتالي isomorphic لزيد تمانية لكن اذا ما لجيتش
فيهاولا generator إذا لا يمكن أن تكون isomorphic
لميعنى لزيت تمانية بيظل احتمال هنا يا اما لزيت
اربعة كسن داية product مع زيت اتنين او زيت اتنين
كسن داية product مع زيت اتنين كسن داية product مع
زيت اتنين الثانية لذلك هذه العناصر قداميكلها
نستطيع ان نحصل على left coset اول واحدة تبقى الاول
واحد بتضرب التلاتة في K في H مش هذي left coset
كذلك يعني احد عناصر من ال group الان بداجي اقوله
تلاتة H هذي موجودة في ال U تنين وتلاتين modulo
اللي هو من Hلو جيت تلاتة H هل هذه تساوي H تسلف؟
يعني لو ضربت هنا في من في تلاتة بصير تلاتة و تلاتة
في خمستاشر بخمسة واربعين شيء اللي بيبقى تلتاش هل
هي H؟ لأ اتنين لو جيت قلتلك تلاتة H لكل تربيع
أه يعني لو طلع ال identity اتنين هذي بتجسم
التمانية يعني ممكن مش في مشكلة هذا الكلام بده
يساوي تسعة H هل تسعة H تساوي H اضربها تسعة و هذي
تسعة في خمساش إذا لا يمكن أن تساوي مين H أخد تلاتة
H تكيبلأ لإن التلاتة لا تقسم مين التمانية يبقى
fish element ال order إله يسوي التلاتة يبقى ما
تغلبش حالك روح على مينعلى تلاتة H أُس أربعة يبقى
هذه عبارة عن قداش تسعة في تسعة بواحد و تمانين H
هذا الكلام يساوي تنين و تلاتين و تنين و تلاتين
أربعة و ستين من واحد و تمانين ستاشر و واحد و
سبعتاشر يبقى هذه سبعتاشر H هل السبعتاشر H بيساوي
H؟ لأيبقى سعر ال order لهذا ال element لا يمكن أن
يكون أربعة أروح أدور على خمسة وستة وسبعة يبقى
automatic ال order له سوى قداش تمانية لأن ال order
لل element اللي بيجسم لل order اللي جمده ماتحصل
على طول الخطة بنستنتجها يبقى هذا بده يعطينا أن ال
order لتلاتة H بده سوى قداش تمانية because
the order of
the element divide the order of the group
لأن ال order لل element بيجسم ال order لل group
يبقى لا يمكن ان انا اجد ال order خمسة ولا ستة ولا
سبعة اذا ال order يسوى كمان تمانية معناته هذا ال
element ماله generator يبقى هنا ال ثلاثة h is a
generator
Four اللي هو من ال U اتنين و تلاتين modulo H مدام
generator يبقى هذه مالها Cyclic يبقى هذا يعطينا ان
U اتنين و تلاتين U اتنين و تلاتين modulo 11 is
cyclicMadame Cyclic يبقى هل يمكن أن تكون
isomorphic لهذه لأن هذا أكبر order لها يساوي اتنين
isomorphic لهذه لأ لأن أكبر order عنها مين يساوي
أربعة يبقى هنا ال U تنين و تلاتي موديل أحداشر
isomorphic لزيد تمانية because
زد اربعة external like product مع زد اتنين has
no element
of order همان مافيش ولا عنصر يبقى هذي صارت
isomorphic لمين ل .. ل group اللي عندنا هذي الآن
بدنا نيجي لنظرية طبعا أخدت أمثلة لا بأس بها كثيرة
على ال normal و على ال factor group بنيجي لأول
نظرية في هذا الموضوع بتقولتالـ Center تبع الـ
Group G of
a
group G if الـ G Modulus Center بتبع الـ G is
cyclicthen الجي is abelian
خلّي بركة
عندنا Z of G الـ Center تبع لـ Group G وبنعرف الـ
Center اللي بيجمع كل العناصر الكميوس مع جميع عناصر
G بالاستثناء يبقى لو كانت الـ G modulo Z Cyclic
يبقى بنثبت له إنه G الأصلية is Abelian يبقى
المعطيات اللي عندي أ assume that إن الـ G modulo Z
of G is Cyclicما دام Cyclic يبقى ايه ايش؟يلها
generator ما دام Cyclic يبقى الـG في الـZ of G بـA
generator
يفترض ان هذا generator اله يعني اي element فيها
يكون هذا ال element مرفوع لمين لأس محددة يبقى then
ال g modulus center بتبع ال g هي sub group او ال
group generated by g في ال z of g بالشكل اللي
عندناالان بدي اقول له let ال a و ال b موجودة في g
اذا قدرت اثبت له ان ال a في b هي ال b في a بتما
المطلوب تمام؟ اذا حاجة اقوله الان ال a موجودة في
ال a في ال center بتبع ال g صح ولا لا؟الـ element
A موجود في أي lift-go set طب هذا ال element موجود
في ال group هذه ولا لا؟ ايه في ال center؟ موجود
هنا ولا لا؟ صح؟ مالكه بلعته
يبقى هنا هذا الكلام يبقى ميم يبقى ميم
يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى
ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم
يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى
ميم يبقىواللي هو بده يساوي GI في ال center اللي
تبع ال G for some Iبالمثل الـ B موجود في الـ B في
الـ Center بتابع الـ G و اللي هو بده يساوي G في
الـ Center بتابع الـ G مرفوع لأخر J وهذا GG للـ
Center بتابع الـ Group G for some J الآن خدلي AB
يبقى ال a,b بده يساوي ال a,b هذه a موجودة هنا يبقى
موجودة هنا مدام موجودة هنا يبقى بقدر اقول ان ال a
تساوي g,i,x for some x وهذا بده يعطيني ان b تساوي
g,j,y for some yوارسم Y يبقى ال A بي بده يساوي ال
A اللي عندي اللي هي main اللي هي GIX وال B اللي هي
GJY
الإكس والواي والإكس والواي والإكس والواي يا سيدي
اللي هم في ال center إذا بقدر أبدل زي ما بدي تمام
يبقى هذا بتقدر تقولي GIجي جي في ال X Y بدلت
التنتين هذول مع بعض لإن X موجودة في ال center طيب
هذه بقدر أبدل كمان بقدر أقول جي جي في جي I وهذه Y
في X
الان بدي أبدل هدول مع بعض لإن ال X و ال Y في ال
center يبدلوا مع بعض دوري يبقى هذا الكلام يبدو
يساوي GJ و هنا Y و هنا GIX هذا B وهذا A يبقى G
Abelian يبقى هنا Das
يبقى من الانفة ساعدا اه
طبعا
هاي موجودة هنايبقى تساوي GI في element من ال
center ال X موجودة في ال center وال Y موجودة في ال
center كذلك