السلام عليكم و رحمة الله و بركاته باسم الله أحمد
أحيم طبعا بنراحل فيكم مرة تانية مستكملة لمحاضراتنا
و كل عامة بخير مناسبة العيد ان شاء الله خلافه
هتذكر ان شاء الله بس بسرعة الأخر محاضرة قبل العيد
كان كنا بنتكلم عن نظرية اسمها ال fundamental
theorem of cyclic groups طبعا كان فيها تلتالجزء
الاول ان اي subgroup من cyclic group بتكون cyclic
اي subgroup من cyclic group بتكون cyclic الجزء
التانى اي subgroup هيكون ال order لها بيقسم ال
order لل group في حالة طبعا ال cyclic group الشغل
التالتة لو كان عندي قاسم لل orderلأ الجروب او الـ
cyclic group انا بقدر عليها جيونيكسة بالجروب داخل
الـ cyclic group و بيكون لها نفس ال order هناخد
مثال سريع في هذه الجزئية هنقول التالي example let
j generated by a with order ال aبساوة تلاتين
المطلوب list all subgroups
of G عندي
group Cyclic الـ all ضاقينها تلاتين المطلوب مني
أجيب كل group Cyclic من الـ G تعالوا نشوف قليل
الحل قبل أن نبدأ الحل
cyclic group و بدوّع على ال subgroups اللي موجودين
ضمن ال group إيش هيكونوا ال subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups
subgroups subgroups subgroupssubgroup يجب أن نبدأ
من أين؟ من قواصم ال order لمن؟ لل جي since order
ال جي بدى يساوي order ال ايه؟ بدى يساوي تلاتين and
جي is cyclic هذا مش معناته هذا معناته for any دي
يقسم التلاتين there exist
A unique subgroup H of J with order HD الـ
subgroups المطلوب ان نجيبهم هم عبارة عن مجموعاتأو
subgroups من الـ J ال order له عبارة عن قواصم من؟
التلاتين في البداية هجيب قواصم التلاتين و لكل
قواصم هجيب ال subgroup المناسبة the divisors of
تلاتين are من؟ واحد اتنين تلاتة اربعة؟ لأخمسة ..
ستة .. عشرة .. خمستاشر .. تلاتين طيب هدول القواسم
تبعون التلاتين الجزء التالت من النظرية بيعطينا شغل
تانية ان ال subgroup هذي generated by مين؟
تذكروني for any divisor k of n generated by a أُس
n على k now for h واحد إيش يعني h واحد يعني ال sub
group من ال j اللي ال order إيها إيش واحد هذه
بتكون generated by مين؟by a أُس تلاتين على واحد
يعني generated by a أُس تلاتين a أُس تلاتين كده
الشباب a أُس تلاتين ال identity لأن الأرض على ال a
بيسوا تلاتين يكبر هذا generated by ال identity
ومافيش فيها غير مين مافيش فيها غير مين غير ال
identity طيب H2
H2 يعني الـ subgroup للـ order اللي هتنين
generated by مين؟ by A أُس ثلاثين على اتنين يعني A
أُس خمستاشر اللي عبارة عن ال identity والـ A أُس
خمستاشر H3 عبارة عن generated by A أُس ثلاثين على
تلاتة يعني by A أُس عشرةيعني ال identity a أُس
عشرة a أُس أشرين حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حA أُس 12 A أُس
18 A أُس 24 و بجف لإن A أُس 30 حتي سلمين لل
identity أتش 6 عبارة
عن generated by A أُس 30 على 6 يعني A أُس 5
Identity اوس خمسة اوس عشرة اوس خمستاش اوس عشرين
اوس خمسة عشرين ابن جاف لحظة شباب اتش ستة تحتوي
داخلها مين اتش تلاتة و اتش اتنين ليش؟ لأن الخمسة
او الستة او التلاتة بتقسم الستة والتنين بتقسم
الستةطيب اتش مين بعد الستة؟ عشرة فهذا هيساوى ال
identity a والثلاثة a والستة a والتسعة لعند a
والسبعة وعشرين و اتش خمستائش هصير a a التربية a
والاربعة لعند a والتمانية وعشرينواخر واحدة H30 الى
الـ generated by الـ A الى الـ G نفسها طبعا يكسر
عندي listing لكل ال cyclic subgroup او لكل ال
subgroup من ال group J اللي ال order لها بساوي 30
اي سؤال يا شباب؟ اي
سؤال؟
طيب لو خلنا هذا نفس المثال لكن على group معروف ال
generator إلها بشكل واضح يعني مش a كرقم لو قولنا
مثلا find all subgroups
of Z 13 إيش هنعمل؟هنعمل نفس الفكرة اللي اشتغلناها
مع فرق واحد ان الـ A أشماله الـ
A معروف هو الواحد solution
الـ Z 30 عبارة عن generated Pi الواحد و ال order
للواحد 100تلاتين using the
same method in the last example
we get the following cyclic
subgroups
generated by الواحد الـ H1 الواحد ولا مين الواحد
ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا
مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين
الواحد
H5 الـ 0 الـ 6 الـ 12 الـ 18 الـ 24 وصولا لـ H30
اللي عبارة عن الـ Z30 نفسه واضح يا عادي؟ واضح يا
شباب؟ في كرولر عن مظهرية اللي فاتت
هي نفس الجزئية التالتة من النظرية لكن على group
معروفة وهي z,n for every k
يقسم ال n there exists a unique subgroup
of ZN with order K namely generated
by مين؟ طبق الـ band التالت من النظرية السابقة لكن
على ZN هكون واحد أسفل N على K اللي هو أبعد عن مين؟
ان على ك مش
بس هيك these are
the only subgroups
of z طبعا مافيش غيرها مافيش غيرهم هدولة لكل قاسم
للانملاقي subgroup ال order لها هذا القاسم وهي
generated by من؟ by n على القاسم طبعا هذا طبقنا
عليه المثال الموجود جانب دي مثال سريع for زد مثلا
عشرين عند من؟ generated by الواحدgenerated by
التنين generated by الأربعة generated by الخمسة
and generated by العشرة and generated by الأشعين
دول هم ال only cyclic subgroups ل ال z أشعين أيه
السؤال يا شبابأي سؤال سؤال عالسريع find the number
of subgroups of j generated by a if order a بسوى
خمسة وعشرين
أوجد عدد الـ subgroups اللي موجودين في الجروب جيه
اللي ال order لل generator إلها عبارة عن 25 نجيب
عدد قواسم الخمسة وعشرين ويكون هو عدد ال subgroups
the divisors of
خمسة وعشرين are واحد خمسة وخمسة وعشرين يجب كموحدة
there are only three subgroups
of G فقط تلاتة cyclic subgroups أو subgroups
موجودين هنا أنهينا السؤال المتعلق بعدد ال cyclic
subgroup بيجي سؤال تانيسؤال الأول هو قداش عدد ال
generator في ال cyclic group؟سؤال التاني لو كان
عندي قاسم لل order لل group cyclic نقول لو كان
عندي قاسم فانا بلاقي sub group ال order لهذا
القاسم لما اقول sub group من cyclic و ال order
لهذا القاسم معناته انها generator وهذا ال
generator ال order له بيساوي القاسم يعني لكل قاسم
ل order ال finite group cyclic بلاقي عنصر جواالـ
لـ group ال order إيه له هذا القاسم طب السؤال كم
عنصر من هذا النوع بلاجي بلاجي واحد أه طب جديش
بالظبط عشان نقدر نعرف هذا الجواب هنعرف function
اسمه الearlier phi function هتدرس بالتفصيل في مساق
نظرية الأعداد definition
Euler Phi Function متعرفة
بالشكل التالي فايل واحد بيساوي واحد اتنين if n
أكبر من واحد then فايل n يساوي ال number
of integers less than
أن عدد العدد الصحيح اللي أقل من الان and
relatively
prime
with
طبعا أنا بتكلم مش عن integers بس انا ممكن اضيف
كلمة the number of positive integers
عشان ماحدش يروح يحسبلي الاعداد السالبة في ملاحظة
غير ان note that file and عبارة عن ال order لل
group UN
فايل ان عبارة عن order لجروب UN وهذا من المنطقى
لأن جروب UN تأخذ الأعداد المحصورة بين الواحد و
الان والتي تكون relatively prime with الان الان
أكبر من واحد ده لكن أنا ما أعد الان بعد الأعداد
الأقل منها فلازم يكونوا positive عشان اناأشغل صح
طيب كمثال سريع لو
قولنا في التنين كده؟
واحد كم عدد جاب للتنين لغاية الابراهيم مع التنين؟
في العشرة
1 و 3 و 7 و 9 جديش؟ اربعة فاي ل prime كم عدد جابل
اي عدد اولي relatively prime مع بي minus one بي is
prime طيب في اتنين اص كيه؟ جديش؟
العداد الـ relatively prime مع ال power للتنين هي
العداد الفردية فقط اللي عبارة عن إيش؟ تنين قصه K
minus one لو قلنا file P to K عبارة
عن إيش؟
P to
K minus one
هذا بصورة عميم لهذه العلاقة عشان نعممها على الأكتر
if n إبتدت عن P1 to K1 P2 to K2 and PR to KR هيكون
then في ال N إبتدت عن P1 to K1-P1 to K1-1 فيP2-P2
-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2
-P2-P2-P2
و التفاصيل التفاصيل لكن بستعمل فيها concepts مش
موجودة عندي في هذا المساق اشتغل على ال
multiplicative functions و بعض الأمور من هذا النوع
طيب
ايش دخل ال function هذه في موضوعنا هتيجي النظرية
اربع اربع و توضح
بنخلصه ان شاء الله بضايق نظرية واحدة بيساوي رقم
معين let J بيساوي generated by ال A و أخضر ال A
بيساوي N
دى يقسم الان طبعا دى يقسم الان احنا هيك بنقول ان
يوجد only one sub group of order دى namely
generated by a to n على d هيت السؤال جداش عدد ال
generator then the
elements او the number of
elements
in J with order D is فاية D عدد العناصر في J اللي
ال order لهم بيساوي D بيساوياش فاية D نيجي نتبت
نيجي
نتبت العلاقة
اربع تلاتة part c ايش ال part c في النظرية هذه
بيقول؟ there exist a unique .. طبعا there exist
unique subgroup of
j with order d
namely
generated by a to n على d طيب
هل جيت؟ مده مافيش غير هذه ال subgroup ال order
اللي هي دي فالعناصر لل order اللي هي دي ممكن تكون
موجودة برا
الـ uniqueness لهذه ال subgroup بخليني أقول إنه
جميع العناصر اللي ال order إلها دي و اللي موجودة
دي هو هذه ال subgroup هذا معناته all elements in J
with order D are in thissubgroup طيب
كل
العناصر لل order اللي دي موجودين هنا يعني بلو أنا
عرفت أكمع عنصر ال order اللي دي في هذه ال subgroup
بكون خلصت now each
one of these elements
is a generator of
this subgroup
ليش؟ العنصر هذا ال order له دي وموجود في group ال
order له دي ايه بيكون لها؟ بيكون لها مولّب، بيكون
generatorNow if
generated by A to N على D ممكن اكتبها generated by
P with order ال P بدي سو D then the other
generators
are of the form
B to K والجريس common divisor لD وK وD سوى 1 رجع
ليش لنظرية اللي أخدناها في أول الشبتر ان ال
generator او ال .. ال .. حيكون عبارة عن عناصرالـ
order او ال .. ال .. ال .. ال .. ال power تبعها
لجيسكم ال divisor إله relative لبرايم مع order ل
group نفسها أكم كيب اللاجي أكم
كيب اللاجي relative لبرايم مع دي يا شباب and we
can find .. find ال Dof this such K بقدر ألاقي
فاية D من هذه الأرقام K so the number of elements
in J with order D is فاية D وهو المطلوب
اللي صار كانت تانية يا شباب انا بدور على عناصر لل
order الهدى نقلت المسألة من اني ابحث في ال ج كلها
لاني ابحث وين في ال sub group لل order الهدى ميزة
العناصر هنا لل order الهدى انها generator انا عشان
اعدى كام generator باخد واحد من هذه ال generators
فليكن بيه و باقى ال generators عبارة عن P to K و
ال K relative لبرايم مع مينمع ال D أكم عمصر بقدر
أجري راتب لبرايم مع ال D و أجال من ال D محصوب من
ال D والواحد و عبارة عن فاية D و بتالي وجد فاية D
subgroup
وحيدة في ال G لكن أكم element بولدها وحيد
يعني مثلا ال z يوجد في ال z 30 only subgroup of
order 15 هي generated by a 2 طبعا ال a 2 في ال z
30 يعني هي by 2 بس أكم generator ل ال generated by
2 في ال z 30 بولد
ال generated by 2 ماتقوليش في عيه 2 لأ في عيه 30
على 2 في عيه 15لو اعتقد بيطلع تمانية طيب ناخد مثال
رقمى من في ال chapter then
find the
numberof elements in
z اربعين with order عشرين
اكم عنصر في z اربعين ال order لهم عشرين فعل
عشرين هذه النظرية اللي قدامكسلوشين هناك
فايل عشرين فايل
عشرين كده فايل عشرين تمانية تقدر
تجيبهم
تقدر تجيبهم؟ هذه العناصر الأخضر إلها تمانية تعالوا
نفكر We to find them We
find one Let
مثلا a ينتمي لزد اربعين و order ال a بيساوي ايش؟
عشرين ال a ايش هيساوي؟ مين هو العنصر اللي في زد
عشرين؟ او اتل واحد من العناصر اللي في زد اربعين
اللي ال order العشرين؟
ال a او
findممكن ناخد الاي عبارة عن واحد اصر اربعين على
عشرين اللي هو عبارة عن جد ياشر واحد اصر عشرين و
واحد اصر اتنين اللي هو اتنين في زد اربعين ايه
بالعنصر اللي ال order ايه له عشرين او واحد العناصر
اللي ال order ايه له عشرين في زد اربعين هو مين ال
other elements are
تانية نقص كتانية
نقص تسعة
أو سبعة في الأول تانية نقص تسعة تانية نقص احداش
تانية نقص تلاتاش تانية نقص17 2 19 2 6 14 18 22 26
34 38 هذه هي العناصر اللي ال order لها يساوي 20 في
z أربع تمام
ما هو هذا زد ان الاص بيصير تنين اص واحد يعني انا
واحد في اتنين اتنين تنين اص ثلاثة انا تلاتة في
اتنين ستة تنين اص واحد هذي لأ هذي سهل هنفوت
هناخد جزء discussion مناقشة طبعا محاضرة الجزء اللي
ضال من محاضرة اليوم زادالمحاضرة اللى هناخدها
الساعة 12 زاد محاضرة الأتنين هنناقش فيهم مجموعة من
أسئلة chapter 4 ما بعرف هل هنخلص أو لأ إذا ما
خلصنا ممكن ناخد محاضرة الأربع أو محاضرة تعويضية
للمناقشة أنا همسح الجزء هذا طبعا
زي ما انت شاير هذا ال chapter الأسئلة عددها كبير
يعني ما يقارب حوالي من خمسة ربيع لخمسين سؤال فانا
مش هعمل زي ال chapter الفاتوح اللي الجميع هي بعض
الأسئلة هعطيك مساعدة إليك فيها و أنت تكمل يعني
خصوصا الأسئلة من واحد لخمس عشر إما أسئلة حسابية أو
أسئلة سهل إن الطالب يقدر يعرفها لوحده
السؤال الأول find all generator of z6, z8, z20
طبعا ال generator غيرنا عبارة عن مين؟ لو طلعنا على
نظرية أو corollary لنظرية الأولى كان بيقولك ال
generator ل zn هي عبارة عن مين؟ عن الأرقام اللي
relative ل برايم مع ال n اللي هي فعليا عبارة عناش؟
عناصر ال UNفلو داشت على ز داش ز تلاتين او ز عشرين
منهم ما هيكونوا واحد و تلاتة و سبعة و تسعة احداش
تلاتاش سبعتاش تسعة عشر اعتقد حلنا السؤال على ز
تلاتين اتناء الحل لو دينا سؤال اتنينSuppose that
A, B or generated by A, generated by B, generated
by C are cyclic group of order 6,8,20 Find all
generators generated by A, generated by B,
generated by C حلنا سؤال على هذا النمط، لو اشتغلنا
مثلا على generated by C و ال order لـ C بدي يسوى
20 فgenerated by C هو نفسه generated by C تكيب
Generated by C أُس سبعة Generated by C أُس تسعة
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة
Generated by C أُس تسعة Generated
by C أُس تسعة Generated bylist all elements of the
subgroups generated by 20 generated by 10 in z 30
let a,b طبعا سؤال تلاتة هو نفسه واحد واتنين لكن
على مين على ال order 30 تقل
السؤال الرابع when
C plus 1 هي نفس الـ C سؤال
أربعة زي سؤال تلاتة سؤال خمسة في شغل نشغل في U20يو
عشرين جديش يا شباب؟ واحد، تلاتة، سبعة، تسعة، داشر،
تلتاشر، سبعتاشر، تسعة، اتاشر List the elements of
generated by تلاتة وسبعة ناخد generated by سبعة
مثلا اللي عبارة عن الواحد السبعة سبعة تغبيع جديش؟
تسعة واربعين مدة عشرين جديش؟ تسعةسبعة تكيب يعني
سبعة في تسعة تلاتة قصتين تلاتة سبعة أربعة يعني
سبعة في تلاتة يعني واحد و عشرين و واحد طبعا
generated by تلاتة عبارة عن من؟ واحد تلاتة تلاتة
تربية تسعة بعدين سبعة و عشرين سبعة بعدين حتيجة
طيب سؤال السادس what do exercises تلاتة و أربعة و
خمسة have in common try to make a generalization
that includes these three cases انت لما تحل سؤال
تلاتة و أربعة و خمسة ايش بتستنتجه؟
ايش السنتجات اللي ممكن تستنتجها؟ لو طلعنا على خمسة
هنستنتج ان ال generated by ال element و ال
generated by ال inverse تبعوا نفس الشيء طيب لو
جينا السؤال 4 list the elements of the subgroups 3
and 15 in Z18 التلاتة و الخمس عشر في Z18 شمالهم
برضه inverse لو جينا السؤال تلاتة
عشرة و عشرين في زي التلاتين اشمالهم برضه inverse
يجب الاستنتاج تبع سؤال تلاتة او اربع او خمسة اللي
انا بدي احطه في سؤال ستة انه generated by ال a
generated by ال a inverse وهذا اثبتناه في شبتر
تلاتة
طيب سبعة find an example of a non-cyclic group all
of whose proper subgroup are cyclic اعطيني group
not cyclic لأن كل ال subgroup اسمينها cyclic مارت
علينا في ال chapter اللي فات خدناها D6
وD4 اي واحدة من ال D
بتكون صحيحة دي اربعة او دي ستة او دي تمانية بكون
صح ال U تمانية سائق لك ال U تمانية صح
صح ال U تمانية تمانية
let a be an element of a group and let order a
بسوا 15 compute the orders of the following طبعا
هذا سهل مثلا ال order ل a أس 9 عبارة عن عبارة عن
إيش ال order ل a أس k عبارة عن إيش في نظرية في أول
واحدة خدناها and علىالـ order ل a of k عبارة عن n
على الجيز common divisor ل n mark a يعني عبارة عن
خمستاش على جيز common divisor لخمستاش تسعة فتطلع
خمسة طبعا نفس القصة في b و نفس القصة في c
سؤال تسعة how many subgroups of Z20 توحى لنا توحى
لنا شباب في Z20 كام subgroup اللي أجى؟ عوام ال 20
عوام ال 20 و لا عوام ال 20؟ لأ عوام ال 20
generator لكن subgroup احنا قلنا فيه عددين عدد ال
subgroups اللي هو عدد القواسملكن عدد ال generator
اللي هو ال file عدد القواسم من ال 20 جديش 6 1 2 4
5 10 و 20 طبعا سهل انك تتعامل مع هذا السؤال سؤال
10 انزد 24 list all generator سؤال 10 زي سؤال 9
سؤال 11 generated by ال A inverse ممكن تساوي
generated by D
أه كيف نثبتها دى فى
طريقة تانية اما طريقة الـ C3 answer hand موجودة
هنا و العكس او طريقة مباشرة generated by ال A
عبارة عن ايش عبارة عن ال A to K I to K من وين
هو نفسه عبارة عن a أس سالب k حيث سالب k في زي اين
طب a أس سالب k عبارة عن ايش a inverse أس k حيث k
في زي اللي هو عبارة عن generated by a inverseطبعا
السبب ان هذه الجملة K في Z و A to K تكافئ A و سالب
K و سالب K في Z هجيتها دي خلتها زي ما هي سالب K في
Z تكافئ ان K و A موجودة في Z بصر Generated by A هي
نفسه Generated by A inverse إذا كان حاسس انك مش
فاهم هذا الطريقة بإمكانك تاخد answer هناعنصر P
ينتبه الـ generated by الـ A فعبارة عن ال A to T
فهو نفس ال A inverse السلب T فصار العنصر موجود في
generated by ال A inverse والعكس صحيح السؤال
12 in Z find all generators of the subgroup
generated by تلاتة طبعا
فى z generated by التلاتة عبارة عن إيش يا شباب
generated
by التلاتة فى z صفر موجب سالب تلاتة موجب سالب ستة
موجب سالب ست تسعة إلى آخرين بدنا ال generator لهذه
ال subgroup ال
generators عبارة عن
التلاتة ومين كمان؟ والسالب تلاتة حالي بيقدر يقول
لي ليش ماخدتش غيره؟ أنا لو أخدت الستة، الستة مش
هتولد التلاتة، أنا بشغل في infinite الجهود، لو
أخدت التسعة، التسعة مش هتولد الستة، يعني مافيش
جدام غير مين؟موجب سالب تلاتة طب هنتعميمها في ال
infinite order ال generator by a تكييب هي نفس ال a
تكييب وال a والسالب تلاتة هننهي عن السؤال تلتاشر
ان شاء الله بنكمل في محاضرة اليوم الساعة اتناشر
بقى في الأسئلة يعطيكوا العافية كل عام تبقى مرة
تانية