بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله هنبدأ
chapter خمسة وهذا آخر chapter هناخده في الـ course
فأنواع الـ chapter هذا continuous
functions الدوال المتصلة و
أول section برضه section خمسة واحد في هذا الـ
chapter برضه عنوانه continuous functions
الدالة المتصلة فنعرف شو معنى الدالة تكون متصلة عن
نقطة definition let
f be a function from a to r and c be an element of a we
say إنه الـ function if is continuous if
is continuous at
x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for
every
إبسيلون أكبر من الصفر نقدر نرد عليها دلتا تعتمد
على إبسيلون positive number بحيث أنه لكل X لكل
X في A و الـ absolute value لـ x minus c أصغر من
دلتا فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c
أصغر من الـ إبسيلون فهذا
بنسميه this is called this is called epsilon delta
definition of
continuity لأن
هذا تعريف إبسيلون دلتا للاتصال لحظو هذا التعريف
تقريبا هو هو تعريف أن limit الـ function f of x لما
x تقول c بساوي f of c هذد
كانت c is a cluster point طب
لحظة أنت لما عرفنا احنا ما معناه ان الـ limit لـ
function and x بيساوي c و c cluster point للمجموعة
a بيساوي عدد l بدلنا l هنا بـ f و c صح؟ معناه كان
لكل إبسيلون فيه دلتا بحيث لكل x في a و الـ x هذه
كانت مختلفة لا تساوي c فكنا نحط هنا أكبر من 0 فإذا
كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of
x والـ l اللي هي الـ limit هنا طبعا احنا بدلنا الـ l
بـ f of c فبين هذا يطلع أصغر من x هنا تقريبا نفس
التعريف if
if
is not continuous لو كانت الـ f ليست متصلة عند
النقطة c فبنقول if
f fails to be continuous at c we say أن f is
discontinuous
discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن
c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة
discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام
بنلاحظ أن الـ .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف
إبسيلون دلتا للـ limits of functions في بكافة
neighborhood definition وهنا برضه تعريف الـ إبسيلون
دلتا definition للاتصال عن النقطة في بكافة
neighborhood definition فنكتب الـ neighborhood
definition هذا
لت if دي function from a to r و c belong to a then
the following statements are equivalent واحد
الـ function if is continuous is continuous at x
بساوي z
إثنين هذا طبعا إثنين نسميه in labor hood
definition of continuity
الـ neighborhood definition للـ continuity ايش
بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon
لنقطة f of c there
exist delta neighborhood v delta of c لنقطة c طبعا
هذا إبسيلون neighborhood لـ f of c يوجد دلتا
neighborhood v دلتا of c بحيث أن لكل x تنتمي إلى
a تقاطع الـ دلتا neighborhood لـ c لازم هذا يضمن ان
صورة الـ x تنتمي
إلى دلتا إبسيلون لـ f of c that
is that
is هذا يعني أن الـ
الـ image للست a تقاطع v دلتا of c is contained
in الـ إبسيلون neighbourhood لـ f of c
هاي
كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه
y بساوي f of x وقلنا
أن لو كانت x أو c c
نقطة الـ dial عندها متصلة هي f of c
ما معناه ان الدالة متصلة عند x بساوي c معناه لو
أخدت لأي
إبسيلون أكبر من الصفر فيه دلتا أو لو أخدت أي إبسيلون
neighborhood
يعني النقطة هذه f of c زائد إبسيلون النقطة هذه
المسافة هذه إبسيلون فهذه f of c سالب إبسيلون فهذه
الفترة المفتوحة عبارة عن إبسيلون neighborhood لـ f
of c
فلأي إبسيلون أكبر من الصفر ممكن أكون إبسيلون
neighborhood لـ f of c وبالتالي بقدر أرد على الـ
إبسيلون neighborhood هذا بـ دلتا يعني
أكون دلتا neighborhood هنا c minus دلتا c موجة
بـ دلتا
إذاً هذا عبارة عن v دلتا v دلتا لـ c إذاً
لأي إبسيلون لأي إبسيلون neighborhood لـ f of c بقدر
ألاقي دلتا neighborhood للنقطة c بحيث أن لكل x لو
أخدت x نقطة في الـ دلتا neighborhood فصورتها f of
x هتطلع تنتمي للـ إبسيلون neighborhood للـ f of c
okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكفي التعريف هذا بكفي
التعريف الـ إبسيلون دلتا definition للـ continuity
هي لكل إبسيلون لكل إبسيلون أكبر من الصفر يعني كأني
بقول لكل إبسيلون نبرهود لـ f و c يوجد دلتا عدد موجب
فهذا معناه يوجد دلتا نبرهود للـ c بحيث أن لكل x
المسافر لكل x تنتمي لكل x في a و x بالتحقق
المتباينة دي معناته x سنتمي المسافة بين x و c أصغر
من دلتا
فهذا بيقدي أن المسافة بين f of x و f of c هي f of
x و f of c أصغر من إبسيلون يعني الـ f of x هذه
تنتمي للـ إبسيلون برهود لـ f of c إذن التعريفين هذول
متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز
من .. بس ترجمته الحاجات هذه إلى لغة الـ neighborhood
إذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد إبسيلون
دلتا definition والتاني اللي بكافه neighborhood
definition طيب
ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال
إذا c هو مقاومة مقاومة
a ثم
f مستمر في x بساوي
لو كانت الـ c هذه cluster point فالاتصال ان c
بكافئ بكافئ ان الـ limit لـ f of x من تعريف الـ
limits ان c بساوي f of c وهذا
طبعاً
this condition
is three in
one الـ
definition هذا بكافئ ثلاثة أو الشرط هذا بكافئ ثلاثة
شروط أو هو ثلاثة شروط في واحد أول شرط ان الـ function
f and c is defined
يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name الـ limit لـ f of x
لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط
الثالث أنه لازم الـ limit للـ function f and c بساوي
قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند
النقطة c في مجالها و لو كانت الـ c هي cluster point
طبعاً أو حتى لو ما كانتش cluster point فلازم الثلاثة
صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن c طبعا هذا لأن c
نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم الـ
limit لـ f عن c تكون موجودة وقيمة الـ limit بساوي
قيمة الدالة عند النقطة c لو أي واحد ما ليش صوروط
الثلاثة هدول اختل فبنقول أن الـ function مش متصلة
عند النقطة c okay تمام واضح إذا لو كانت الـ c هي دي
cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط
تعريف أن limited دالة ان c تكون موجودة و بتساوي
قيمتها ان c وهذا الشرط هو ثلاثة شروط و الـ c في الـ a
نعم الـ c تنتمي لـ a اه طبعا الـ c تنتمي لـ a الـ c
دائما تنتمي لـ a
طب لو ما كناش الـ c cluster point الملاحظة الثانية
if c is not يعني لو كان الـ c تنتمي طبعا دائما الـ c
تنتمي لـ a is not a cluster point is
not a cluster point of a
then من تعريف الـ cluster point لازم نلاقي delta
أكبر من صفر such that a تقاطع v delta of c بساوي
singleton c
ما معناه أن النقطة C الموجودة في A مايعنيش
cluster point أو ما معناه أن C تنتمي لـ A cluster
point معناها أن كل delta neighborhood للـ C بيتقاطع
مع A في نقطة مختلفة عن الـ C على الأقل، معناه أن الـ
C ما تكونش cluster point معناه أن يوجد delta
neighborhood واحد، يعني يوجد delta عدد موجب
وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C
وهذا الـ delta neighborhood مابتقاطعش مع a في أي
نقطة مختلفة عن الـ c، يعني التقاطع هذا بس في نقطة
واحدة c لأن الـ c هي مركز الـ neighborhood و c تنتمي
لـ a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن الـ c في
الحالة هذه، in this case, in
this case
if f is automatically continuous
at c، الدالة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند
النقطة C، أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه
تعالوا نرجع للتعريف، ما معناه أن F تكون متصلة عند
النقطة C، معناه لأي epsilon neighborhood لـ F و C
نقدر
نلاقي يوجد delta neighborhood لـ C، فخد الـ delta
neighborhood في التعريف هذا، خد الـ delta
neighborhood هو هذا، ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى
a تقاطع v delta و c، ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا
نقطة واحدة اللي هي c، صح؟ فلكل x موجود في التقاطع
هذا، مافيش إلا x بساوي c، فصورة الـ X هذه هي صورة
الـ C، وبالتالي صورة الـ X هذه هي صورة الـ C، فهذه أكيد
تنتمي لـ epsilon neighborhood لـ F of C، لأن الـ F of C هي
المركز تبع الفترة هذه، صح؟ فهذا شرط متحقق trivially
تلقائيًا، وبالتالي إذا سواء
سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش
cluster point، فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة
هو التعريف هذا، لأن لو كانت الـ C cluster point
فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف، لو كانت الـ C
ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق trivially
اللي بدهي، وبالتالي مافيش داعي إن احنا نقول .. لما
نيجي نفحص الاتصال على النقطة C، نقول هل الـ C
cluster point أو مش cluster point، سواء كانت
cluster point أو ماكانتش cluster point، فالاتصال
عن الـ C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق أو لا
طبعًا زي ما أخدنا احنا أيام ما أخدنا دراسنا الـ
limits للـ functions فكان
في عندي sequential criterion for limits
بنفس الطريقة، في هنا sequential criterion for
continuity للاتصال، إذا في عندي هنا sequential
criterion
for
continuity
let f be a function from a to r، و c نقطة في a، then
the following statements are equivalent، واحد
f is continuous at c، f is continuous at c for
every، for
every sequence x n contained in a with
limit
x n بساوي c، نحن لدينا أن الـ limit لـ f of x n as n
tends to infinity بساوي f of c
الآن الـ sequential criterion for continuity بتقول
عشان أثبت أن الدالة F continuous عند نقطة، يكفي أن
أنا أثبت أن لو أخدت أي sequence نهايتها أي
sequence في مجال الدالة، طبعًا كنا في الـ limits
نُشترط أن X n كل عنصر في الـ sequence مختلف عن الـ C
هنا لأ، ممكن يساوي الـ C، مش مشكلة، هاي الاختلاف بس
بين الـ sequential criterion for limits و Sequential
criterion for continuity إنه لكل sequence x n في
مجال الدالة، ونهايتها بتساوي c، لازم يطلع عندي
نهاية الـ image تبعت الـ sequence x n بتساوي العدد
f و c، وبرهان النظرية هذه زي برهان sequential
criterion for limits مع تعديلات طفيفة، مع التعديلات
الطفيفة في التعريفين أو في التعريف تبع الاتصال إذا
الـ proof similar to proof of sequential criterion
for limits for limits، sequential criterion for
limits of functions in section أربعة واحد with
slight modification
مع تعديل بسيط، مع تعديل بسيط، التعديل هنا إنه الـ هنا
كنا نطلب الـ X لا تساوي C، وكمان كنا هناك نطلب إنه C
تكون cluster point، لكن شفنا حتى لو C ماكنتش
cluster point، فهذا برضه متحقق تلقائيًا، برضه
أخدنا
بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits
of functions في section 4-1، أخدنا بعدها على طول
مباشرة divergence criterion for limits، فهنا بقابل
الـ divergence criterion اللي هو
discontinuity criterion
let f be a function from a to r، و c نقطة في a، و d
then the
following statements are equivalent، واحد، if f is
discontinuous
إذا كان الـ f discontinuous at x بساوي c، ثم يوجد
sequence x n contained in a with limit x n بساوي
c
but limit الـ image للـ sequence x n لا يساوي f
of c، وبرهان
النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential
criterion، أنا
عندي واحد one يكفي اتنين one if and only if two
وبالتالي not one نفي one يكافئ نفي two، طيب تعالى
نشوف نفي one، if f is discontinuous at c، نفي two، for
every sequence بتحقق الشرط هذا، نهايت صورتها بساوي
f of c، إن في الشرط العبارة هذه، فبصير there exist a
sequence x n contained in a ونهايتها c، لكن نهايت
صورتها لا تساوي f of c، Okay تمام، إذا البرهان نظرية
هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة، طب
نرجع ناخد، قبل ما ناخد أمثلة، بدنا ناخد بس تعريف
الاتصال على مجموعة، definition
استخدم الفرصة، let f be a function from a to r and
let
b be a subset of a، نقول
أن الفرصة f is continuous
if f is continuous on the set B، on the
set B، if f is continuous on the set B، if if f is
continuous at every، at every x ينتمي إلى B، إذا
الاتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند
كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة، طيب
ناخد بعض الأمثلة
الـ function f of x بتساوي k، و
x belong to R is continuous on R، الدالة
ثابت k continuous على كل الـ R، احنا شفنا proof، fix
c تنتمي لـ R
Since limit لـ F of X as X tends to C بساوي K، احنا
أثبتنا قبلين أن limit أي ده لثابته بساوي ثابت K
وهذا بساوي F of C، فالـ
F is continuous at every c تنتمي إلى r، فاكرين
احنا هدفنا كان باستخدام تعريف epsilon delta، قولنا
لأي epsilon أكبر من صفر، choose أي delta أكبر من
الصفر، فتعريف
الـ limit بتحقق
وهنا نفس الحاجة
طيب المثال تاني، لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي
إلى R، الـ identity function، فبرضه
أثبتنا احنا إن الـ function هذه is continuous، if f is
continuous على مجموعة الأعداد الحقيقية
فممكن أن نثبت، C تنتمي إلى R، و أثبتنا احنا في
section أربعة واحد، إن limit F of X لما X تقول C
طلعت بساوي C، صح؟ وهذا عبارة عن F of C، فالـ F is
continuous at C
وبما إنه c arbitrary element، إذا
الـf يكون continuous at every c ينتمي إلى R
وبالتالي continuous على كل الـR ممكن
برضه نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول إن
احنا أثبتنا إن الـlimit لـ الـfunction f عند c
بالساوية c في section أربعة واحد أنا ممكن أُثبت
يعني نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة ونقول let
if fix أول حاجة fix c تنتمي إلى R to show if it is
continuous at c let epsilon أكبر من الصفر be given
it
shows... زي ما عملنا في الـlimits it shows delta
بساوي epsilon إذن
هَيوجد دلتا تعتمد على epsilon Then لهذه الـDelta
لو كان x ينتمي إلى A، A هنا اللي هي R و |x|
- C أصغر من دلتا فهذا بيضمن إنه |f of
x| |f of x - f of C| هذا بيطلع بساوي
|x - f of x| بساوي x و f of c بساوي c
وهذا أصغر من دلتا، ماخدين المسافة هذه أصغر من
دلتا وأنا اخترت دلتا بساوي Epsilon إذن هذه
أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon
بحيث لكل x في مجال الدالة المسافة بينها وبين c
أصغر من دلتا طلع المسافة بين f of x و f of c أصغر
من Epsilon إذن هذا معناه إن f is continuous at c
since c تنتمي إلى R was arbitrary إذن f is
continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ إذن هذا
ممكن نستخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة
دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة
النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي
هذا برضه الـfunction f
of x بساوي x سلبية is continuous على كل الأعداد
الحقيقية
الدالة متصلة عند النقطة c
نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في إثبات إن الـ
limit للـfunction f of x عند x بساوي c بساوي c
تربيع اللي هو f of c وذلك
بياخد أي epsilon أكبر من صفر وبنجيب دلتا زي ما
عملنا في section أربعة واحد دلتا بساوي الـminimum
لقيمتين نثبت إنه لكل x المسافة بينها وبين الـc
أصغر من الـدلتا بيطلع المسافة هذه أصغر من الـc
نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم
استخدام تعريف epsilon delta لإثبات إن الدالة هذه
مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من الصفر
choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات
إن limit للدالة هذه عند c بساوي c تربيع
أو ممكن تقولي we should إذا ما طلبش منك تستخدم
التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in
section أربعة واحد that limit لـf of x لما x تقول
إلى c بساوي c تربيع اللي هي f of c حسب تعريف
الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد
متحقق وبالتالي if it is continuous at c okay تمام
وطبعًا بما إن الـc تنتمي إلى R was arbitrary إذن
الدالة f continuous على كل الـR okay إذا دامت
يا إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان
باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال
الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان
عندي الدالة
لو أخدت phi of x بساوي 1 على x فهذه الدالة is
continuous on الـset A
اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أكبر من الصفر
فاحنا
أثبتنا في x c تنتمي إلى A هذا بقدر إنه c أكبر من
الصفر وأثبتنا
in section أربعة
واحد ذات limit لـfunction phi of x لما x تقول إلى
c بساوي 1 على c بساوي phi of c باستخدام تعريف
epsilon دلتا يا إما نعيد البرهان هذاك لأي epsilon في
دلتا بساوي minimum لقيمتين أو نقول إن احنا أثبتنا
إن limit للدالة هذه عند أي عدد c موجود بساوي 1
على c اللي هو قيمة الدالة عند c وبالتالي إذا الدالة
في is continuous at c بما إن الـc تنتمي إلى a was
arbitrary إذن الـفي continuous على المجموعة A
بالمثل
ممكن نثبت إن الدالة دي continuous كمان على
المجموعة B اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أصغر من
0 الدالة
دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية ما عدا عدد 0 فهي متصلة
عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية
السالبة طيب
الدالة phi
of x نفسها برضه بساوي 1 على x is not is
discontinuous is discontinuous at c بساوي 0 proof
one الدالة
هذه ليست متصلة عند الصفر فالبرهان ذلك ممكن نقول
أنه في phi
is undefined is undefined is undefined is
undefined is undefined is undefined is undefined
is undefined is undefined is undefined is
undefined is undefined is undefined is undefined
is undefined is undefined is undefined is
undefined is undefined is undefined is undefined
can't be continuous at x بساوي 0 لأن عشان هي
تكون متصلة عند 0 لازم تلات شروط يتحققوا إنها
تكون أول شرط معرفة عند الصفر فده هي مش معرفة عند
الصفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان
آخر إن ما احنا شوفنا we should
in section أربعة
واحد أو أربعة اتنين that
limit لـphi of x as x tends to zero does not exist
أثبتنا إن الـfunction هذه ما لهاش limit عند الصفر
فاستخدمنا الـdivergence criterion وشوفنا إن هناك
sequence اللي هي 1 على n converge للصفر but
limit الـimage للـsequence 1 على n as n tends
to infinity بساوي limit n بساوي infinity does not
exist in R وبالتالي by divergence criterion الـ
function هذه ما لهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون
continuous so if it can't be continuous at x بساوي
0 تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال
عن نقطة غير متحققة تمام؟
في كمان مثال أخذناه في section
4-1 الـ
signum function اللي
كان تعريفها بساوي 0 if x بساوي 0 و x على
|x| إذا كان x لا يساوي 0 is discontinuous
is discontinuous at x بساوي 0 why
لأنه أثبتنا احنا في section أربعة واحد إنه limit لـ
signum x لما x تقول إلى 0 does not exist
اللي هي إن الـlimit للـsignal function عند الصفر
does not exist شوفنا إن الـlimit من اليمين 1
عند الصفر والـlimit والـlimit عند الصفر من اليسار
بساوي -1 وبالتالي مش متساويين الاثنين إذن الـ
limit عند الصفر does not exist okay تمام إذن الـالـ
function هذه ما هيّاش متصلة عند الصفر لعدم نظرا لعدم
وجود الـlimit عند الصفر رغم إن الدالة هذه معرفة عند
الصفر، الـSignum للصفر هي معرفة عند الصفر بساوي
0 تمام؟
طيب، لكن ممكن إثبات إن الـSignum function متصلة
عند كل x لا يساوي 0
However، الـsignum الـsignum function is
continuous at
every x لا يساوي 0 لأنه
proof fix c لا تنتمي إلى R و c لا يساوي 0 تمام then
|signum x - signum الـc| بساوي |
x
على |x| أو
بلاش
then الـlimit لـsigma x
لما x تقول إلى c بساوي
لما
x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على |x|
لما x تقول إلى c
فده كانت ال X لا تساوي صفر فإما ال X موجبة بقى أو
سلبية بقى
then C أكبر من الصفر or C أصغر من صفر
الـ C هتكون أكبر من الصفر الـ C هنا لا تساوي صفر
إذا إما C أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر case one
لو كانت C أكبر من صفر فهذا بيعني أنه limit signum X
as X tends to C بيساوي limit X على absolute X
و طبعا ال X أكبر من ال
C أكبر من الصفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد
بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد
بيساوي F of C أو signum C لأن
ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C
بيساوي ال C بيطلع القيمة المطلقة هذه بيطلع واحد وبالتالي إذا
ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال
c أصغر من صفر ف similar to case 1 في
الحالة هذه قيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و
limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند
ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر
لكنها متصلة عند كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن
الصفر Okay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء
الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break
خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة التانية اللي
هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة
section أربعة واحد وأربعة اتنين