1
00:00:21,580 --> 00:00:26,880
بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله هنبدأ

2
00:00:26,880 --> 00:00:34,000
chapter خمسة وهذا آخر chapter هناخده في الـ course

3
00:00:34,000 --> 00:00:50,080
فأنواع الـ chapter هذا continuous

4
00:00:53,880 --> 00:01:01,820
functions الدوال المتصلة و

5
00:01:01,820 --> 00:01:08,460
أول section برضه section خمسة واحد في هذا الـ

6
00:01:08,460 --> 00:01:16,320
chapter برضه عنوانه continuous functions

7
00:01:24,100 --> 00:01:29,280
الدالة المتصلة فنعرف شو معنى الدالة تكون متصلة عن

8
00:01:29,280 --> 00:01:35,160
نقطة definition let

9
00:01:35,160 --> 00:01:49,280
f be a function from a to r and c be an element of a we

10
00:01:49,280 --> 00:02:00,630
say إنه الـ function if is continuous if

11
00:02:00,630 --> 00:02:05,770
is continuous at

12
00:02:05,770 --> 00:02:18,950
x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for

13
00:02:18,950 --> 00:02:20,470
every

14
00:02:22,680 --> 00:02:29,400
إبسيلون أكبر من الصفر نقدر نرد عليها دلتا تعتمد

15
00:02:29,400 --> 00:02:37,840
على إبسيلون positive number بحيث أنه لكل X لكل

16
00:02:37,840 --> 00:02:44,090
X في A و الـ absolute value لـ x minus c أصغر من

17
00:02:44,090 --> 00:02:52,170
دلتا فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c

18
00:02:52,170 --> 00:03:01,630
أصغر من الـ إبسيلون فهذا

19
00:03:01,630 --> 00:03:13,010
بنسميه this is called this is called epsilon delta

20
00:03:13,010 --> 00:03:18,770
definition of

21
00:03:18,770 --> 00:03:31,170
continuity لأن 

22
00:03:31,170 --> 00:03:36,790
هذا تعريف إبسيلون دلتا للاتصال لحظو هذا التعريف

23
00:03:36,790 --> 00:03:44,530
تقريبا هو هو تعريف أن limit الـ function f of x لما

24
00:03:44,530 --> 00:03:52,310
x تقول c بساوي f of c هذد

25
00:03:52,310 --> 00:04:07,210
كانت c is a cluster point طب

26
00:04:07,210 --> 00:04:13,930
لحظة أنت لما عرفنا احنا ما معناه ان الـ limit لـ

27
00:04:13,930 --> 00:04:18,710
function and x بيساوي c و c cluster point للمجموعة

28
00:04:18,710 --> 00:04:24,570
a بيساوي عدد l بدلنا l هنا بـ f و c صح؟ معناه كان

29
00:04:24,570 --> 00:04:30,290
لكل إبسيلون فيه دلتا بحيث لكل x في a و الـ x هذه

30
00:04:30,290 --> 00:04:37,540
كانت مختلفة لا تساوي c فكنا نحط هنا أكبر من 0 فإذا

31
00:04:37,540 --> 00:04:41,480
كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of

32
00:04:41,480 --> 00:04:46,040
x والـ l اللي هي الـ limit هنا طبعا احنا بدلنا الـ l

33
00:04:46,040 --> 00:04:50,940
بـ f of c فبين هذا يطلع أصغر من x هنا تقريبا نفس

34
00:04:50,940 --> 00:04:56,480
التعريف if

35
00:04:56,480 --> 00:05:00,460
if

36
00:05:00,460 --> 00:05:09,090
is not continuous لو كانت الـ f ليست متصلة عند

37
00:05:09,090 --> 00:05:14,910
النقطة c فبنقول if

38
00:05:14,910 --> 00:05:31,810
f fails to be continuous at c we say أن f is

39
00:05:31,810 --> 00:05:32,990
discontinuous

40
00:05:38,310 --> 00:05:46,350
discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن

41
00:05:46,350 --> 00:05:52,710
c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة

42
00:05:52,710 --> 00:05:57,610
discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام

43
00:06:09,660 --> 00:06:17,360
بنلاحظ أن الـ .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف

44
00:06:17,360 --> 00:06:21,840
إبسيلون دلتا للـ limits of functions في بكافة

45
00:06:21,840 --> 00:06:26,600
neighborhood definition وهنا برضه تعريف الـ إبسيلون

46
00:06:26,600 --> 00:06:31,760
دلتا definition للاتصال عن النقطة في بكافة

47
00:06:31,760 --> 00:06:36,400
neighborhood definition فنكتب الـ neighborhood

48
00:06:36,400 --> 00:06:37,340
definition هذا

49
00:06:46,200 --> 00:06:53,400
لت if دي function from a to r و c belong to a then

50
00:06:53,400 --> 00:07:02,480
the following statements are equivalent واحد

51
00:07:02,480 --> 00:07:11,180
الـ function if is continuous is continuous at x

52
00:07:11,180 --> 00:07:12,540
بساوي z

53
00:07:20,900 --> 00:07:26,360
إثنين هذا طبعا إثنين نسميه in labor hood

54
00:07:26,360 --> 00:07:31,940
definition of continuity

55
00:07:45,120 --> 00:07:48,580
الـ neighborhood definition للـ continuity ايش

56
00:07:48,580 --> 00:07:57,920
بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon

57
00:07:57,920 --> 00:08:05,700
لنقطة f of c there

58
00:08:05,700 --> 00:08:18,440
exist delta neighborhood v delta of c لنقطة c طبعا

59
00:08:18,440 --> 00:08:26,200
هذا إبسيلون neighborhood لـ f of c يوجد دلتا

60
00:08:26,200 --> 00:08:38,660
neighborhood v دلتا of c بحيث أن لكل x تنتمي إلى

61
00:08:38,660 --> 00:08:47,830
a تقاطع الـ دلتا neighborhood لـ c لازم هذا يضمن ان

62
00:08:47,830 --> 00:08:53,050
صورة الـ x تنتمي

63
00:08:53,050 --> 00:09:04,590
إلى دلتا إبسيلون لـ f of c that

64
00:09:04,590 --> 00:09:08,630
is that

65
00:09:08,630 --> 00:09:11,910
is هذا يعني أن الـ

66
00:09:14,980 --> 00:09:23,060
الـ image للست a تقاطع v دلتا of c is contained

67
00:09:23,060 --> 00:09:34,140
in الـ إبسيلون neighbourhood لـ f of c

68
00:09:34,140 --> 00:09:40,100
هاي

69
00:09:40,100 --> 00:09:47,330
كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه

70
00:09:47,330 --> 00:09:57,210
y بساوي f of x وقلنا

71
00:09:57,210 --> 00:10:03,810
أن لو كانت x أو c c

72
00:10:03,810 --> 00:10:07,670
نقطة الـ dial عندها متصلة هي f of c

73
00:10:11,410 --> 00:10:17,830
ما معناه ان الدالة متصلة عند x بساوي c معناه لو

74
00:10:17,830 --> 00:10:23,770
أخدت لأي

75
00:10:23,770 --> 00:10:30,850
إبسيلون أكبر من الصفر فيه دلتا أو لو أخدت أي إبسيلون

76
00:10:30,850 --> 00:10:31,290
neighborhood

77
00:10:34,530 --> 00:10:38,270
يعني النقطة هذه f of c زائد إبسيلون النقطة هذه

78
00:10:38,270 --> 00:10:48,430
المسافة هذه إبسيلون فهذه f of c سالب إبسيلون فهذه

79
00:10:48,430 --> 00:10:53,610
الفترة المفتوحة عبارة عن إبسيلون neighborhood لـ f

80
00:10:53,610 --> 00:10:54,150
of c

81
00:10:57,200 --> 00:11:01,620
فلأي إبسيلون أكبر من الصفر ممكن أكون إبسيلون

82
00:11:01,620 --> 00:11:06,420
neighborhood لـ f of c وبالتالي بقدر أرد على الـ

83
00:11:06,420 --> 00:11:14,580
إبسيلون neighborhood هذا بـ دلتا يعني

84
00:11:14,580 --> 00:11:20,980
أكون دلتا neighborhood هنا c minus دلتا c موجة

85
00:11:20,980 --> 00:11:21,460
بـ دلتا

86
00:11:26,200 --> 00:11:37,060
إذاً هذا عبارة عن v دلتا v دلتا لـ c إذاً

87
00:11:37,060 --> 00:11:43,200
لأي إبسيلون لأي إبسيلون neighborhood لـ f of c بقدر

88
00:11:43,200 --> 00:11:52,720
ألاقي دلتا neighborhood للنقطة c بحيث أن لكل x لو

89
00:11:52,720 --> 00:12:01,620
أخدت x نقطة في الـ دلتا neighborhood فصورتها f of

90
00:12:01,620 --> 00:12:09,060
x هتطلع تنتمي للـ إبسيلون neighborhood للـ f of c

91
00:12:09,060 --> 00:12:17,140
okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكفي التعريف هذا بكفي

92
00:12:17,140 --> 00:12:20,660
التعريف الـ إبسيلون دلتا definition للـ continuity

93
00:12:24,390 --> 00:12:29,850
هي لكل إبسيلون لكل إبسيلون أكبر من الصفر يعني كأني

94
00:12:29,850 --> 00:12:36,450
بقول لكل إبسيلون نبرهود لـ f و c يوجد دلتا عدد موجب

95
00:12:36,450 --> 00:12:44,290
فهذا معناه يوجد دلتا نبرهود للـ c بحيث أن لكل x

96
00:12:44,290 --> 00:12:50,560
المسافر لكل x تنتمي لكل x في a و x بالتحقق

97
00:12:50,560 --> 00:12:55,980
المتباينة دي معناته x سنتمي المسافة بين x و c أصغر

98
00:12:55,980 --> 00:12:56,380
من دلتا

99
00:13:02,120 --> 00:13:07,000
فهذا بيقدي أن المسافة بين f of x و f of c هي f of

100
00:13:07,000 --> 00:13:12,160
x و f of c أصغر من إبسيلون يعني الـ f of x هذه

101
00:13:12,160 --> 00:13:17,900
تنتمي للـ إبسيلون برهود لـ f of c إذن التعريفين هذول

102
00:13:17,900 --> 00:13:24,800
متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز

103
00:13:24,800 --> 00:13:32,000
من .. بس ترجمته الحاجات هذه إلى لغة الـ neighborhood

104
00:13:32,000 --> 00:13:39,600
إذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد إبسيلون

105
00:13:39,600 --> 00:13:45,400
دلتا definition والتاني اللي بكافه neighborhood

106
00:13:45,400 --> 00:13:50,360
definition طيب

107
00:13:50,360 --> 00:13:55,260
ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال

108
00:14:16,000 --> 00:14:22,640
إذا c هو مقاومة مقاومة

109
00:14:22,640 --> 00:14:30,180
a ثم

110
00:14:30,180 --> 00:14:38,200
f مستمر في x بساوي

111
00:14:42,830 --> 00:14:47,530
لو كانت الـ c هذه cluster point فالاتصال ان c

112
00:14:47,530 --> 00:14:55,730
بكافئ بكافئ ان الـ limit لـ f of x من تعريف الـ

113
00:14:55,730 --> 00:15:03,570
limits ان c بساوي f of c وهذا

114
00:15:03,570 --> 00:15:06,790
طبعاً

115
00:15:06,790 --> 00:15:09,090
this condition

116
00:15:12,780 --> 00:15:19,680
is three in

117
00:15:19,680 --> 00:15:24,800
one الـ

118
00:15:24,800 --> 00:15:30,480
definition هذا بكافئ ثلاثة أو الشرط هذا بكافئ ثلاثة

119
00:15:30,480 --> 00:15:37,600
شروط أو هو ثلاثة شروط في واحد أول شرط ان الـ function

120
00:15:37,600 --> 00:15:39,540
f and c is defined

121
00:15:43,900 --> 00:15:49,540
يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name الـ limit لـ f of x

122
00:15:49,540 --> 00:15:56,180
لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط

123
00:15:56,180 --> 00:16:04,880
الثالث أنه لازم الـ limit للـ function f and c بساوي

124
00:16:04,880 --> 00:16:09,980
قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند

125
00:16:09,980 --> 00:16:16,020
النقطة c في مجالها و لو كانت الـ c هي cluster point

126
00:16:16,020 --> 00:16:21,790
طبعاً أو حتى لو ما كانتش cluster point فلازم الثلاثة

127
00:16:21,790 --> 00:16:25,250
صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن c طبعا هذا لأن c

128
00:16:25,250 --> 00:16:30,450
نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم الـ

129
00:16:30,450 --> 00:16:34,830
limit لـ f عن c تكون موجودة وقيمة الـ limit بساوي

130
00:16:34,830 --> 00:16:39,290
قيمة الدالة عند النقطة c لو أي واحد ما ليش صوروط

131
00:16:39,290 --> 00:16:43,830
الثلاثة هدول اختل فبنقول أن الـ function مش متصلة

132
00:16:43,830 --> 00:16:49,410
عند النقطة c okay تمام واضح إذا لو كانت الـ c هي دي

133
00:16:49,410 --> 00:16:53,510
cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط

134
00:16:53,510 --> 00:16:58,470
تعريف أن limited دالة ان c تكون موجودة و بتساوي

135
00:16:58,470 --> 00:17:02,570
قيمتها ان c وهذا الشرط هو ثلاثة شروط و الـ c في الـ a

136
00:17:02,570 --> 00:17:09,510
نعم الـ c تنتمي لـ a اه طبعا الـ c تنتمي لـ a الـ c

137
00:17:09,510 --> 00:17:11,130
دائما تنتمي لـ a

138
00:17:17,100 --> 00:17:22,120
طب لو ما كناش الـ c cluster point الملاحظة الثانية

139
00:17:22,120 --> 00:17:29,440
if c is not يعني لو كان الـ c تنتمي طبعا دائما الـ c

140
00:17:29,440 --> 00:17:40,980
تنتمي لـ a is not a cluster point is 

141
00:17:40,980 --> 00:17:44,100
not a cluster point of a

142
00:17:48,950 --> 00:17:54,070
then من تعريف الـ cluster point لازم نلاقي delta

143
00:17:54,070 --> 00:18:05,430
أكبر من صفر such that a تقاطع v delta of c بساوي

144
00:18:05,430 --> 00:18:06,850
singleton c

145
00:18:11,300 --> 00:18:14,580
ما معناه أن النقطة C الموجودة في A مايعنيش 

146
00:18:14,580 --> 00:18:18,460
cluster point أو ما معناه أن C تنتمي لـ A cluster

147
00:18:18,460 --> 00:18:24,380
point معناها أن كل delta neighborhood للـ C بيتقاطع

148
00:18:24,380 --> 00:18:30,400
مع A في نقطة مختلفة عن الـ C على الأقل، معناه أن الـ

149
00:18:30,400 --> 00:18:34,040
C ما تكونش cluster point معناه أن يوجد delta

150
00:18:34,040 --> 00:18:37,040
neighborhood واحد، يعني يوجد delta عدد موجب

151
00:18:37,040 --> 00:18:40,780
وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C

152
00:18:40,780 --> 00:18:46,620
وهذا الـ delta neighborhood مابتقاطعش مع a في أي

153
00:18:46,620 --> 00:18:50,660
نقطة مختلفة عن الـ c، يعني التقاطع هذا بس في نقطة

154
00:18:50,660 --> 00:18:55,300
واحدة c لأن الـ c هي مركز الـ neighborhood و c تنتمي

155
00:18:55,300 --> 00:19:03,320
لـ a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن الـ c في

156
00:19:03,320 --> 00:19:09,740
الحالة هذه، in this case, in 

157
00:19:09,740 --> 00:19:10,580
this case

158
00:19:14,230 --> 00:19:23,970
if f is automatically continuous

159
00:19:23,970 --> 00:19:34,940
at c، الدالة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند

160
00:19:34,940 --> 00:19:39,360
النقطة C، أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه

161
00:19:39,360 --> 00:19:44,060
تعالوا نرجع للتعريف، ما معناه أن F تكون متصلة عند

162
00:19:44,060 --> 00:19:49,660
النقطة C، معناه لأي epsilon neighborhood لـ F و C

163
00:19:49,660 --> 00:19:53,680
نقدر

164
00:19:53,680 --> 00:19:57,020
نلاقي يوجد delta neighborhood لـ C، فخد الـ delta 

165
00:19:57,020 --> 00:20:00,040
neighborhood في التعريف هذا، خد الـ delta

166
00:20:00,040 --> 00:20:07,900
neighborhood هو هذا، ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى

167
00:20:07,900 --> 00:20:12,340
a تقاطع v delta و c، ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا

168
00:20:12,340 --> 00:20:17,100
نقطة واحدة اللي هي c، صح؟ فلكل x موجود في التقاطع

169
00:20:17,100 --> 00:20:21,950
هذا، مافيش إلا x بساوي c، فصورة الـ X هذه هي صورة

170
00:20:21,950 --> 00:20:28,210
الـ C، وبالتالي صورة الـ X هذه هي صورة الـ C، فهذه أكيد

171
00:20:28,210 --> 00:20:33,310
تنتمي لـ epsilon neighborhood لـ F of C، لأن الـ F of C هي

172
00:20:33,310 --> 00:20:38,850
المركز تبع الفترة هذه، صح؟ فهذا شرط متحقق trivially

173
00:20:38,850 --> 00:20:44,870
تلقائيًا، وبالتالي إذا سواء

174
00:20:46,570 --> 00:20:49,730
سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش

175
00:20:49,730 --> 00:20:55,630
cluster point، فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة

176
00:20:55,630 --> 00:21:00,450
هو التعريف هذا، لأن لو كانت الـ C cluster point

177
00:21:00,450 --> 00:21:04,190
فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف، لو كانت الـ C

178
00:21:04,190 --> 00:21:07,750
ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق trivially

179
00:21:07,750 --> 00:21:12,380
اللي بدهي، وبالتالي مافيش داعي إن احنا نقول .. لما

180
00:21:12,380 --> 00:21:14,840
نيجي نفحص الاتصال على النقطة C، نقول هل الـ C

181
00:21:14,840 --> 00:21:18,840
cluster point أو مش cluster point، سواء كانت

182
00:21:18,840 --> 00:21:24,380
cluster point أو ماكانتش cluster point، فالاتصال

183
00:21:24,380 --> 00:21:33,020
عن الـ C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق أو لا

184
00:21:41,130 --> 00:21:44,890
طبعًا زي ما أخدنا احنا أيام ما أخدنا دراسنا الـ

185
00:21:44,890 --> 00:21:54,950
limits للـ functions فكان

186
00:21:54,950 --> 00:21:57,590
في عندي sequential criterion for limits

187
00:22:02,270 --> 00:22:06,810
بنفس الطريقة، في هنا sequential criterion for

188
00:22:06,810 --> 00:22:15,990
continuity للاتصال، إذا في عندي هنا sequential

189
00:22:15,990 --> 00:22:21,130
criterion

190
00:22:21,130 --> 00:22:24,150
for

191
00:22:24,150 --> 00:22:25,110
continuity

192
00:22:35,670 --> 00:22:44,430
let f be a function from a to r، و c نقطة في a، then

193
00:22:44,430 --> 00:22:56,170
the following statements are equivalent، واحد

194
00:22:56,170 --> 00:23:08,010
f is continuous at c، f is continuous at c for

195
00:23:08,010 --> 00:23:11,910
every، for

196
00:23:11,910 --> 00:23:22,050
every sequence x n contained in a with

197
00:23:22,050 --> 00:23:25,370
limit

198
00:23:25,370 --> 00:23:41,270
x n بساوي c، نحن لدينا أن الـ limit لـ f of x n as n 

199
00:23:41,270 --> 00:23:45,790
tends to infinity بساوي f of c

200
00:23:51,740 --> 00:23:54,940
الآن الـ sequential criterion for continuity بتقول

201
00:23:54,940 --> 00:24:00,380
عشان أثبت أن الدالة F continuous عند نقطة، يكفي أن

202
00:24:00,380 --> 00:24:04,900
أنا أثبت أن لو أخدت أي sequence نهايتها أي

203
00:24:04,900 --> 00:24:07,660
sequence في مجال الدالة، طبعًا كنا في الـ limits

204
00:24:07,660 --> 00:24:13,020
نُشترط أن X n كل عنصر في الـ sequence مختلف عن الـ C

205
00:24:13,020 --> 00:24:17,200
هنا لأ، ممكن يساوي الـ C، مش مشكلة، هاي الاختلاف بس

206
00:24:17,200 --> 00:24:21,430
بين الـ sequential criterion for limits و Sequential

207
00:24:21,430 --> 00:24:26,030
criterion for continuity إنه لكل sequence x n في

208
00:24:26,030 --> 00:24:32,550
مجال الدالة، ونهايتها بتساوي c، لازم يطلع عندي

209
00:24:32,550 --> 00:24:37,990
نهاية الـ image تبعت الـ sequence x n بتساوي العدد

210
00:24:37,990 --> 00:24:42,860
f و c، وبرهان النظرية هذه زي برهان sequential

211
00:24:42,860 --> 00:24:49,120
criterion for limits مع تعديلات طفيفة، مع التعديلات

212
00:24:49,120 --> 00:24:58,580
الطفيفة في التعريفين أو في التعريف تبع الاتصال إذا

213
00:24:58,580 --> 00:25:11,090
الـ proof similar to proof of sequential criterion

214
00:25:11,090 --> 00:25:19,570
for limits for limits، sequential criterion for

215
00:25:19,570 --> 00:25:34,190
limits of functions in section أربعة واحد with

216
00:25:34,190 --> 00:25:38,030
slight modification

217
00:25:45,120 --> 00:25:51,780
مع تعديل بسيط، مع تعديل بسيط، التعديل هنا إنه الـ هنا

218
00:25:51,780 --> 00:25:58,180
كنا نطلب الـ X لا تساوي C، وكمان كنا هناك نطلب إنه C

219
00:25:58,180 --> 00:26:02,740
تكون cluster point، لكن شفنا حتى لو C ماكنتش

220
00:26:02,740 --> 00:26:10,940
cluster point، فهذا برضه متحقق تلقائيًا، برضه

221
00:26:10,940 --> 00:26:11,700
أخدنا

222
00:26:14,550 --> 00:26:18,230
بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits

223
00:26:18,230 --> 00:26:22,410
of functions في section 4-1، أخدنا بعدها على طول

224
00:26:22,410 --> 00:26:29,850
مباشرة divergence criterion for limits، فهنا بقابل

225
00:26:29,850 --> 00:26:38,190
الـ divergence criterion اللي هو

226
00:26:38,190 --> 00:26:39,910
discontinuity criterion

227
00:26:46,180 --> 00:26:48,980
discontinuity criterion

228
00:27:00,500 --> 00:27:10,940
let f be a function from a to r، و c نقطة في a، و d

229
00:27:10,940 --> 00:27:15,440
then the

230
00:27:15,440 --> 00:27:23,000
following statements are equivalent، واحد، if f is

231
00:27:23,000 --> 00:27:24,160
discontinuous

232
00:27:26,370 --> 00:27:36,730
إذا كان الـ f discontinuous at x بساوي c، ثم يوجد

233
00:27:36,730 --> 00:27:49,070
sequence x n contained in a with limit x n بساوي

234
00:27:49,070 --> 00:27:49,610
c

235
00:27:53,460 --> 00:28:01,180
but limit الـ image للـ sequence x n لا يساوي f

236
00:28:01,180 --> 00:28:08,260
of c، وبرهان

237
00:28:08,260 --> 00:28:13,100
النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential

238
00:28:13,100 --> 00:28:16,980
criterion، أنا 

239
00:28:16,980 --> 00:28:21,400
عندي واحد one يكفي اتنين one if and only if two

240
00:28:24,600 --> 00:28:29,660
وبالتالي not one نفي one يكافئ نفي two، طيب تعالى

241
00:28:29,660 --> 00:28:35,400
نشوف نفي one، if f is discontinuous at c، نفي two، for

242
00:28:35,400 --> 00:28:40,420
every sequence بتحقق الشرط هذا، نهايت صورتها بساوي

243
00:28:40,420 --> 00:28:45,160
f of c، إن في الشرط العبارة هذه، فبصير there exist a

244
00:28:45,160 --> 00:28:50,380
sequence x n contained in a ونهايتها c، لكن نهايت

245
00:28:50,380 --> 00:28:56,550
صورتها لا تساوي f of c، Okay تمام، إذا البرهان نظرية

246
00:28:56,550 --> 00:29:05,170
هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة، طب

247
00:29:05,170 --> 00:29:15,350
نرجع ناخد، قبل ما ناخد أمثلة، بدنا ناخد بس تعريف

248
00:29:15,350 --> 00:29:20,170
الاتصال على مجموعة، definition

249
00:29:24,990 --> 00:29:32,690
استخدم الفرصة، let f be a function from a to r and

250
00:29:32,690 --> 00:29:38,050
let

251
00:29:38,050 --> 00:29:47,090
b be a subset of a، نقول

252
00:29:47,090 --> 00:29:50,890
أن الفرصة f is continuous

253
00:29:54,760 --> 00:30:05,060
if f is continuous on the set B، on the

254
00:30:05,060 --> 00:30:16,640
set B، if f is continuous on the set B، if if f is

255
00:30:16,640 --> 00:30:32,720
continuous at every، at every x ينتمي إلى B، إذا 

256
00:30:32,720 --> 00:30:38,880
الاتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند

257
00:30:38,880 --> 00:30:47,520
كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة، طيب

258
00:30:47,520 --> 00:30:49,080
ناخد بعض الأمثلة

259
00:31:06,780 --> 00:31:17,520
الـ function f of x بتساوي k، و

260
00:31:17,520 --> 00:31:30,460
x belong to R is continuous on R، الدالة 

261
00:31:30,460 --> 00:31:43,300
ثابت k continuous على كل الـ R، احنا شفنا proof، fix

262
00:31:43,300 --> 00:31:46,240
c تنتمي لـ R

263
00:31:51,650 --> 00:32:02,150
Since limit لـ F of X as X tends to C بساوي K، احنا

264
00:32:02,150 --> 00:32:07,850
أثبتنا قبلين أن limit أي ده لثابته بساوي ثابت K

265
00:32:07,850 --> 00:32:15,690
وهذا بساوي F of C، فالـ

266
00:32:15,690 --> 00:32:29,850
F is continuous at every c تنتمي إلى r، فاكرين

267
00:32:29,850 --> 00:32:34,430
احنا هدفنا كان باستخدام تعريف epsilon delta، قولنا

268
00:32:34,430 --> 00:32:39,930
لأي epsilon أكبر من صفر، choose أي delta أكبر من

269
00:32:39,930 --> 00:32:43,690
الصفر، فتعريف

270
00:32:43,690 --> 00:32:47,670
الـ limit بتحقق

271
00:32:47,670 --> 00:32:48,790
وهنا نفس الحاجة

272
00:33:16,050 --> 00:33:25,330
طيب المثال تاني، لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي

273
00:33:25,330 --> 00:33:31,570
إلى R، الـ identity function، فبرضه 

274
00:33:31,570 --> 00:33:39,350
أثبتنا احنا إن الـ function هذه is continuous، if f is

275
00:33:39,350 --> 00:33:44,290
continuous على مجموعة الأعداد الحقيقية

276
00:34:07,950 --> 00:34:17,850
فممكن أن نثبت، C تنتمي إلى R، و أثبتنا احنا في

277
00:34:17,850 --> 00:34:24,390
section أربعة واحد، إن limit F of X لما X تقول C

278
00:34:24,390 --> 00:34:32,530
طلعت بساوي C، صح؟ وهذا عبارة عن F of C، فالـ F is

279
00:34:32,530 --> 00:34:35,610
continuous at C

280
00:34:39,860 --> 00:34:48,180
وبما إنه c arbitrary element، إذا 

281
00:34:48,180 --> 00:34:55,720
الـf يكون continuous at every c ينتمي إلى R

282
00:34:55,720 --> 00:35:03,220
وبالتالي continuous على كل الـR ممكن

283
00:35:03,220 --> 00:35:08,760
برضه نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول إن

284
00:35:08,760 --> 00:35:13,440
احنا أثبتنا إن الـlimit لـ الـfunction f عند c

285
00:35:13,440 --> 00:35:17,020
بالساوية c في section أربعة واحد أنا ممكن أُثبت

286
00:35:17,020 --> 00:35:22,520
يعني نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة ونقول let

287
00:35:22,520 --> 00:35:32,180
if fix أول حاجة fix c تنتمي إلى R to show if it is

288
00:35:32,180 --> 00:35:39,820
continuous at c let epsilon أكبر من الصفر be given

289
00:35:39,820 --> 00:35:44,720
it 

290
00:35:44,720 --> 00:35:49,540
shows... زي ما عملنا في الـlimits it shows delta

291
00:35:49,540 --> 00:35:54,640
بساوي epsilon إذن

292
00:35:54,640 --> 00:36:00,160
هَيوجد دلتا تعتمد على epsilon Then لهذه الـDelta

293
00:36:00,160 --> 00:36:06,600
لو كان x ينتمي إلى A، A هنا اللي هي R و |x|

294
00:36:06,600 --> 00:36:12,360
- C أصغر من دلتا فهذا بيضمن إنه |f of

295
00:36:12,360 --> 00:36:20,080
x| |f of x - f of C| هذا بيطلع بساوي 

296
00:36:20,080 --> 00:36:28,590
|x - f of x| بساوي x و f of c بساوي c

297
00:36:28,590 --> 00:36:33,010
وهذا أصغر من دلتا، ماخدين المسافة هذه أصغر من

298
00:36:33,010 --> 00:36:38,250
دلتا وأنا اخترت دلتا بساوي Epsilon إذن هذه 

299
00:36:38,250 --> 00:36:42,110
أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon

300
00:36:42,110 --> 00:36:46,150
بحيث لكل x في مجال الدالة المسافة بينها وبين c

301
00:36:46,150 --> 00:36:50,650
أصغر من دلتا طلع المسافة بين f of x و f of c أصغر

302
00:36:50,650 --> 00:36:58,390
من Epsilon إذن هذا معناه إن f is continuous at c

303
00:36:58,390 --> 00:37:06,010
since c تنتمي إلى R was arbitrary إذن f is

304
00:37:06,010 --> 00:37:12,750
continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ إذن هذا

305
00:37:12,750 --> 00:37:15,890
ممكن نستخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة 

306
00:37:19,990 --> 00:37:23,390
دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة

307
00:37:23,390 --> 00:37:28,390
النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي

308
00:37:28,390 --> 00:37:35,290
هذا برضه الـfunction f

309
00:37:35,290 --> 00:37:43,790
of x بساوي x سلبية is continuous على كل الأعداد

310
00:37:43,790 --> 00:37:44,570
الحقيقية

311
00:38:05,350 --> 00:38:08,350
الدالة متصلة عند النقطة c

312
00:38:13,110 --> 00:38:18,330
نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في إثبات إن الـ

313
00:38:18,330 --> 00:38:24,490
limit للـfunction f of x عند x بساوي c بساوي c

314
00:38:24,490 --> 00:38:30,110
تربيع اللي هو f of c وذلك

315
00:38:30,110 --> 00:38:35,710
بياخد أي epsilon أكبر من صفر وبنجيب دلتا زي ما

316
00:38:35,710 --> 00:38:38,510
عملنا في section أربعة واحد دلتا بساوي الـminimum

317
00:38:38,510 --> 00:38:45,380
لقيمتين نثبت إنه لكل x المسافة بينها وبين الـc

318
00:38:45,380 --> 00:38:47,960
أصغر من الـدلتا بيطلع المسافة هذه أصغر من الـc

319
00:38:47,960 --> 00:38:53,120
نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم

320
00:38:53,120 --> 00:38:56,460
استخدام تعريف epsilon delta لإثبات إن الدالة هذه

321
00:38:56,460 --> 00:39:00,420
مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من الصفر

322
00:39:00,420 --> 00:39:05,060
choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات

323
00:39:05,060 --> 00:39:08,900
إن limit للدالة هذه عند c بساوي c تربيع

324
00:39:12,370 --> 00:39:18,470
أو ممكن تقولي we should إذا ما طلبش منك تستخدم

325
00:39:18,470 --> 00:39:23,590
التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in

326
00:39:23,590 --> 00:39:33,970
section أربعة واحد that limit لـf of x لما x تقول

327
00:39:33,970 --> 00:39:42,230
إلى c بساوي c تربيع اللي هي f of c حسب تعريف

328
00:39:42,230 --> 00:39:45,470
الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد

329
00:39:45,470 --> 00:39:54,190
متحقق وبالتالي if it is continuous at c okay تمام

330
00:39:57,190 --> 00:40:00,230
وطبعًا بما إن الـc تنتمي إلى R was arbitrary إذن

331
00:40:00,230 --> 00:40:03,970
الدالة f continuous على كل الـR okay إذا دامت

332
00:40:03,970 --> 00:40:11,050
يا إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان

333
00:40:11,050 --> 00:40:15,250
باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال

334
00:40:15,250 --> 00:40:22,770
الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان

335
00:40:22,770 --> 00:40:23,930
عندي الدالة

336
00:40:32,140 --> 00:40:41,000
لو أخدت phi of x بساوي 1 على x فهذه الدالة is 

337
00:40:41,000 --> 00:40:46,280
continuous on الـset A

338
00:40:58,940 --> 00:41:04,860
اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أكبر من الصفر

339
00:41:04,860 --> 00:41:11,380
فاحنا

340
00:41:11,380 --> 00:41:20,880
أثبتنا في x c تنتمي إلى A هذا بقدر إنه c أكبر من

341
00:41:20,880 --> 00:41:23,280
الصفر وأثبتنا

342
00:41:28,820 --> 00:41:35,560
in section أربعة

343
00:41:35,560 --> 00:41:44,320
واحد ذات limit لـfunction phi of x لما x تقول إلى

344
00:41:44,320 --> 00:41:52,240
c بساوي 1 على c بساوي phi of c باستخدام تعريف

345
00:41:52,240 --> 00:41:58,070
epsilon دلتا يا إما نعيد البرهان هذاك لأي epsilon في

346
00:41:58,070 --> 00:42:03,450
دلتا بساوي minimum لقيمتين أو نقول إن احنا أثبتنا

347
00:42:03,450 --> 00:42:06,890
إن limit للدالة هذه عند أي عدد c موجود بساوي 1

348
00:42:06,890 --> 00:42:12,590
على c اللي هو قيمة الدالة عند c وبالتالي إذا الدالة 

349
00:42:12,590 --> 00:42:19,830
في is continuous at c بما إن الـc تنتمي إلى a was

350
00:42:19,830 --> 00:42:26,450
arbitrary إذن الـفي continuous على المجموعة A

351
00:42:26,450 --> 00:42:30,370
بالمثل

352
00:42:30,370 --> 00:42:35,050
ممكن نثبت إن الدالة دي continuous كمان على

353
00:42:35,050 --> 00:42:44,530
المجموعة B اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أصغر من

354
00:42:44,530 --> 00:42:48,990
0 الدالة

355
00:42:48,990 --> 00:42:54,190
دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية ما عدا عدد 0 فهي متصلة

356
00:42:54,190 --> 00:42:57,610
عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية 

357
00:42:57,610 --> 00:43:07,950
السالبة طيب

358
00:43:07,950 --> 00:43:13,370
الدالة phi

359
00:43:13,370 --> 00:43:19,950
of x نفسها برضه بساوي 1 على x is not is

360
00:43:19,950 --> 00:43:33,190
discontinuous is discontinuous at c بساوي 0 proof

361
00:43:33,190 --> 00:43:39,090
one الدالة

362
00:43:39,090 --> 00:43:44,530
هذه ليست متصلة عند الصفر فالبرهان ذلك ممكن نقول

363
00:43:44,530 --> 00:43:49,610
أنه في phi

364
00:43:52,850 --> 00:43:59,250
is undefined is undefined is undefined is 

365
00:43:59,250 --> 00:44:05,090
undefined is undefined is undefined is undefined

366
00:44:05,090 --> 00:44:05,970
undefined is undefined is undefined is undefined

367
00:44:05,970 --> 00:44:07,390
is undefined is undefined is undefined is 

368
00:44:07,390 --> 00:44:07,470
undefined is undefined is undefined is undefined

369
00:44:07,470 --> 00:44:07,830
is undefined is undefined is undefined is

370
00:44:07,830 --> 00:44:09,950
is undefined is undefined is undefined is

371
00:44:09,950 --> 00:44:16,950
undefined is undefined is undefined is undefined

372
00:44:18,990 --> 00:44:25,170
can't be continuous at x بساوي 0 لأن عشان هي

373
00:44:25,170 --> 00:44:28,550
تكون متصلة عند 0 لازم تلات شروط يتحققوا إنها

374
00:44:28,550 --> 00:44:32,790
تكون أول شرط معرفة عند الصفر فده هي مش معرفة عند

375
00:44:32,790 --> 00:44:38,390
الصفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان

376
00:44:38,390 --> 00:44:45,850
آخر إن ما احنا شوفنا we should

377
00:44:48,290 --> 00:44:52,870
in section أربعة

378
00:44:52,870 --> 00:44:57,990
واحد أو أربعة اتنين that

379
00:44:57,990 --> 00:45:08,290
limit لـphi of x as x tends to zero does not exist

380
00:45:08,290 --> 00:45:12,850
أثبتنا إن الـfunction هذه ما لهاش limit عند الصفر

381
00:45:15,830 --> 00:45:21,510
فاستخدمنا الـdivergence criterion وشوفنا إن هناك

382
00:45:21,510 --> 00:45:27,450
sequence اللي هي 1 على n converge للصفر but

383
00:45:27,450 --> 00:45:34,690
limit الـimage للـsequence 1 على n as n tends

384
00:45:34,690 --> 00:45:40,170
to infinity بساوي limit n بساوي infinity does not

385
00:45:40,170 --> 00:45:47,950
exist in R وبالتالي by divergence criterion الـ

386
00:45:47,950 --> 00:45:51,270
function هذه ما لهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون

387
00:45:51,270 --> 00:46:02,990
continuous so if it can't be continuous at x بساوي

388
00:46:02,990 --> 00:46:09,510
0 تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال

389
00:46:09,510 --> 00:46:12,650
عن نقطة غير متحققة تمام؟

390
00:46:22,580 --> 00:46:28,520
في كمان مثال أخذناه في section

391
00:46:28,520 --> 00:46:36,020
4-1 الـ

392
00:46:36,020 --> 00:46:42,220
signum function اللي

393
00:46:42,220 --> 00:46:52,050
كان تعريفها بساوي 0 if x بساوي 0 و x على

394
00:46:52,050 --> 00:47:00,370
|x| إذا كان x لا يساوي 0 is discontinuous

395
00:47:00,370 --> 00:47:09,170
is discontinuous at x بساوي 0 why

396
00:47:18,170 --> 00:47:23,550
لأنه أثبتنا احنا في section أربعة واحد إنه limit لـ

397
00:47:23,550 --> 00:47:31,490
signum x لما x تقول إلى 0 does not exist

398
00:47:40,560 --> 00:47:43,240
اللي هي إن الـlimit للـsignal function عند الصفر

399
00:47:43,240 --> 00:47:46,580
does not exist شوفنا إن الـlimit من اليمين 1

400
00:47:46,580 --> 00:47:50,020
عند الصفر والـlimit والـlimit عند الصفر من اليسار

401
00:47:50,020 --> 00:47:53,340
بساوي -1 وبالتالي مش متساويين الاثنين إذن الـ

402
00:47:53,340 --> 00:48:00,000
limit عند الصفر does not exist okay تمام إذن الـالـ

403
00:48:00,000 --> 00:48:04,700
function هذه ما هيّاش متصلة عند الصفر لعدم نظرا لعدم

404
00:48:04,700 --> 00:48:10,970
وجود الـlimit عند الصفر رغم إن الدالة هذه معرفة عند

405
00:48:10,970 --> 00:48:17,310
الصفر، الـSignum للصفر هي معرفة عند الصفر بساوي

406
00:48:17,310 --> 00:48:24,930
0 تمام؟

407
00:48:24,930 --> 00:48:30,710
طيب، لكن ممكن إثبات إن الـSignum function متصلة

408
00:48:30,710 --> 00:48:32,850
عند كل x لا يساوي 0

409
00:48:45,100 --> 00:48:52,440
However، الـsignum الـsignum function is 

410
00:48:52,440 --> 00:48:59,280
continuous at 

411
00:48:59,280 --> 00:49:09,460
every x لا يساوي 0 لأنه

412
00:49:22,230 --> 00:49:42,610
proof fix c لا تنتمي إلى R و c لا يساوي 0 تمام then

413
00:49:42,610 --> 00:49:53,460
|signum x - signum الـc| بساوي |

414
00:49:53,460 --> 00:49:57,420
x

415
00:49:57,420 --> 00:50:14,640
على |x| أو

416
00:50:14,640 --> 00:50:15,160
بلاش

417
00:50:19,850 --> 00:50:26,730
then الـlimit لـsigma x 

418
00:50:26,730 --> 00:50:34,390
لما x تقول إلى c بساوي

419
00:50:34,390 --> 00:50:37,990
لما

420
00:50:37,990 --> 00:50:43,670
x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على |x| 

421
00:50:43,670 --> 00:50:45,630
لما x تقول إلى c

422
00:51:03,050 --> 00:51:08,750
فده كانت ال X لا تساوي صفر فإما ال X موجبة بقى أو

423
00:51:08,750 --> 00:51:12,890
سلبية بقى

424
00:51:12,890 --> 00:51:18,010
then C أكبر من الصفر or C أصغر من صفر

425
00:51:23,040 --> 00:51:27,120
الـ C هتكون أكبر من الصفر الـ C هنا لا تساوي صفر

426
00:51:27,120 --> 00:51:33,240
إذا إما C أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر case one

427
00:51:33,240 --> 00:51:41,000
لو كانت C أكبر من صفر فهذا بيعني أنه limit signum X

428
00:51:41,000 --> 00:51:50,980
as X tends to C بيساوي limit X على absolute X

429
00:51:59,940 --> 00:52:05,660
و طبعا ال X أكبر من ال

430
00:52:05,660 --> 00:52:11,860
C أكبر من الصفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد

431
00:52:11,860 --> 00:52:21,440
بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد

432
00:52:21,440 --> 00:52:32,490
بيساوي F of C أو signum C لأن

433
00:52:32,490 --> 00:52:40,050
ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C

434
00:52:40,050 --> 00:52:47,250
بيساوي ال C بيطلع القيمة المطلقة هذه بيطلع واحد وبالتالي إذا

435
00:52:47,250 --> 00:52:57,970
ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال

436
00:52:57,970 --> 00:53:11,210
c أصغر من صفر ف similar to case 1 في

437
00:53:11,210 --> 00:53:17,600
الحالة هذه قيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و

438
00:53:17,600 --> 00:53:22,820
limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند

439
00:53:22,820 --> 00:53:26,320
ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر

440
00:53:26,320 --> 00:53:30,800
لكنها متصلة عند كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن

441
00:53:30,800 --> 00:53:37,910
الصفر Okay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء

442
00:53:37,910 --> 00:53:44,390
الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break

443
00:53:44,390 --> 00:53:49,350
خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة التانية اللي

444
00:53:49,350 --> 00:53:56,090
هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة

445
00:53:56,090 --> 00:53:58,350
section أربعة واحد وأربعة اتنين