طبعا احنا زي ما اتفجنا معاكم هنعمل
مناقشة لل course و هنبدأ طبعا ب chapter اتنين اللي
هو اول chapter درسناه و هنبدأ ب section اتنين واحد
و اذا في وجب طبعا هنحاول نجاوب على أسئلة في
section اتنين اتنين
باطمن عليكم انه يعني طبعا الأسئلة عددها كبير و مش
هانلحج نحل كل المسائل لكن باطمن عليكم انكم تسألوا
الأسئلة اللي انتوا يعني وجدتوا فيها صعوبة في حالها
حتى
تكون يعني الفايدة تعمق أكتر فنبدأ ب section 2 1 هل
في أي سؤال في section 2 1حاولتوا تحلوه ماعرفتوش
تحلوه أو وجدته صعوبة في حاله ففي
أي سؤال من الأسئلة اللي احنا حددناها في ال
syllabus و قولنا لكم حلوها في أي سؤال في section 2
و 1 تحبوا تسألوا عنه؟ستاذ ممكن نسأل .. نشرح ..
نشرح .. نظرية ما .. ما نثبتش .. مش عارف كيف نثبت
ما هي عامة exercise اه إيش هي دي؟ X على Z زي Y على
W يوم ساوي X Z زي Z Y على Z W كيف نستخدم .. كيف
نبدأ فيها؟ مش عارف
يعني الخواص اللى .. مش هادى خاصيا من الخواص اللى
خدناها حاول تشوف يعني كيف احنا برهنا الخواص الأخرى
و تستفيدي منها و .. و تحاول تبرهنيها يعني ممكن
كمان تبص في الكتاب المقرر و تشوف يعني هل هو حلها
او محلاش لكن انا يعنيالخواص اللي احنا مابرهنهاش
يعني .. يعني كان برهانها سهل و ممكن تتبرهنيها بنفس
الأسلوب اللي احنا برهننا فيه الأزاية الأخرى فخليني
أترك الإجابة على السؤال هذا إليك تحاولي فيه مرة
تانية و إذا ماعرفتيش ممكن تجيلي على المكتب و ممكن
نتناقش
ياريت تسألوني أسئلة من التمرين من ال exercises إذا
سمحتوا، تفضلي السؤال الرابع في section السابع في
section اتنين واحد، حاضر
إذا حل السؤال سبعة section اتنين واحد modify
the proof of theorem اتنين واحد اربعة في الكتاب
المقرر to show that there
does not exist لا يوجد there does not exist
T ينتمي للـ Q بحيث أن T تربية بساوية تلاتة بمعنى
آخر يعني الجذر التلاتة بنا نثبت أنه جذر التلاتة
ليس عدد نسبي فالمفروض
أنكم يعني تفهموا و تحاولوا تفهموا البرهان تبع
اثبات أنه جذر اتنين ليس عدد نسبي وتحاولوا تعملوا
برهان مشابهفي أدة براهين للسؤال هذا فأحد البراهين
شبه البرهان اللي أخدنا بتابع جداد الأتنين ليس عدد
نسبي فخلينا نشوفه مع بعض خلينا نشوف إذن البرهان
prove طبعا البرهان بالتناقض assume
on contrary نفرض على النقيد there exist T بساوي A
على B عدد نسبي بحيث انه ال greatest common divisor
لل A والB بساوي واحد and
T تربيع اللي هو بساوي A على B لكل تربيع بساوي
تلاتة اذا هذا النقيض او النفي تبع يوجد عدد نسبي
مربعه بساوي تلاتة النفي تبعه يوجد عدد نسبي مربعه
بساوي تلاتة وطبعا ممكن نفرض انه العدد النسبيالـ
greatest common divisor للـ bus والمقام تبعه بساوي
واحد زي ما عملنا في حالة ال square root of two طيب
then في الحالة هذه لو ربع .. لو هنا من المعادلة
هذه بنحصل على a تربية بساوي تلاتة b تربية وهذا
بيقدّيإن ال B تقسم A تربية ال
B تقسم A تربية او A تربية اللي هي تلاتة B تربية
تقبل القسم على B بدون باطل طيب
ال و في الحالة هذه بقدر
أفصل حالتين العدد بي هذا ممكن .. هذا طبعا عدد ..
عدد صحيح ممكن يكون أكبر من الواحد و ممكن يكون
بساوي واحد فنفرض أن ال بي أكبر من واحد then في
الحالة هذه بي can be written
as product of
primes ال
بيه ده عدد صحيح أكبر من واحد فممكن نكتبه على صورة
حاصل ضرب أعداد أولية أي عدد صحيح أكبر من واحد ممكن
كتابته على صورة حاصل ضرب أعداد أولية product of
primes prime عدد أول هذا حقيقة معروفة في نظرية
الأعداد وبالتالي
hence وبالتالي
يوجد a prime يوجد عدد أولي a prime P بحيث أن هذا
ال P يقسم ال B يعني
أنا ال B هذا هي product of primes ممكن يكون بساوي
P1 ضرب P2 ضرب PN
حيث و P1 و P2 و PN كلهم Primes أعداد أولية فأكيد
لو أخدت أي واحد منهم فهذا بيقسم بي أو بيقبل قسم
عليه بس إذا يوجد يوجد Prime سمي P يقسم بي أو بيقبل
قسم عليه فهذا
بيؤديهذا بيقدي ان P يقسم ال A تربية لان انا عندي P
يقسم A تربية و P يقسم B اذا
ال P هذا يقسم A تربية okay تمام طيب و منهاهذا
بيدّي أن P يقسم A إذا P يقسم A تربية فممكن اثبات
أن P يقسم العدد الصحيح A وهكذا أثبتنا الـ
greatest common divisor لـ A وB أكبر من أو ساوي Pو
P هذا طبعا أكبر من واحد لأن
ال P يقسم ال A و P يقسم ال B فمعناته
في عامل مشترك في common divisor اللي هو Pبين a و b
لأن ال greatest common divisor سيكون على الأقل p
ويمكن أن يكون أكبر وبالتالي greatest common
divisor ل a و b أكبر من واحد وهذا بتناقض مع فرضنا
أن greatest common divisor ل a و b بساوي واحد
which is
a contradiction
وهذا التناقض بكمل البرهان يعني
فرضنا هذا أنه في عدد نسبي مربع بساوي تلاتة كان فرض
خطأ الصح أنه لا يوجد عدد نسبي مربع بساوي تلاتةOkay
تمام إذا هذا برهان وفيه طبعا براهين أخرى ممكن
تلاقوها تجدوها في كتب ال real analysis لكن هذا أحد
البراهين تمام؟ مين عنده سؤال تاني؟ في أي سؤال
تاني؟ في section 2.1 أو 2.2؟
نعم
لا نفس السؤال مش في اكتر من حالة ولا بس باخد ال D
أكتر من حالة؟ اه في كمان حالة صحيح ال case التانية
مظبوط ال case التانية خليني اكتبها هناك صحيح في
حالة تانية
كاس اتنين ال بي بالساوية واحد لو كانت ال بي
بالساوية واحد فهذا بيقدّي انا عندي ا تربية من هنا
في عندي ا تربية بالساوية تلاتة بي تربية فلو ال بي
بالساوية واحد معناه ا تربية تطلع بالساوية تلاتةو
هذا يعني مستحيل which is impossible هذا
مستحيل لأنه لأنه مافيش عدد صحيح عدد صحيح مربع
بساوي تلاتة since there does not exist integer
integer
a such that a تربية بساوي تلاتة اذا في الحالة هذه
حصلنا على حاجة impossible يعني تناقض وهنا
كمان حصلنا على تناقض ان ال assumption تبعنا انه
يوجد عدد نسبي مربع بساوي تلاتة كان فرض خاطئ وهذا
يكمل البرهان في الحالتين
في اي سؤال تانى؟ في
اسئلة تانية في ال section 2 1 او 2 2 انا
كنت متوقع ان يكون عندكم اسئلة كتيرة واضح جدا انكم
انتوا لا محاولين تحلوا الاسئلة وبالتالي ما عندكمش
يعني استفسارات
طبعا ست و عشرين
سؤال ستة وعشرين سكتشن اتنين واحد show
by induction that
لو
كان A ينتمي ل Rو M و N أعداد طبيعية فهذا بيقدي أن
A to M
plus N بيساوي A to M في A to N نريد
أن نثبت أن استخدام ال inductionإنه لأي عدد حقيقي A
و لأي عدد طبيعي M و N A to M زاد N بساوي A to M
ضرب A to N هذا أحد قوانين الأساس فطبعا
هنعمل induction أو بيسموه double induction على M و
N في نفس الواجت فالحالة الأولى
فم بيساوي ان بيساوي واحد لو كان الام والان كلها
بيساوي واحد then
a to m زي الان بيساوي a to واحد زي الواحد بيساوي a
ترمية andA to M ضرب A to N بيساوي A to 1 ضرب A to
1 بيساوي A تلبيه وبالتالي الطرفين المعادلة هذه
متحققة لأن الطرفين بيساوي نفس المقدار A تلبيه
اذا اذا
star holds
in case M بساوي M بساوي 1 المعادلة star متحققه في
حالة M بساوي M بساوي 1 الان ال induction
hypothesis ان هذا induction عادي بس يعني بدل من
قيان على M يكون على M و M ال induction hypothesis
الفرض تبع ال induction بنفرض assume
assume star holds المعادلة
star صحيحة for m بساوي k أكبر من واحد and n بساوي
j أكبر من واحد this
meansهذا معناه ان a to k plus j بساوي a to k ضرب a
to j اذا احنا فرضين صحة المعادلة هذه عندما m بساوي
k و عندما n بساوي jالان نريد اثبات صحتها عندما M
بيساوي K زايد واحد وعندما N بيساوي G زايد واحد
تعالى نثبت صحتها في الحالة يعني اذا now A ناخد A
to K زايد واحد زايد G زايد واحد
ان نتبع صحة المعادلة star عندما M بساوي K زايد
واحد و N بساوي G زايد واحد في الحالة هذه الطرف
اليسار لstar بساوي كلام هذا وهذا ممكن نجزئه إلى A
to K زايد G زايد واحد زايد واحدالأُس هذا ممكن نقعد
الكتابة على صورة ك زائد جي زائد واحد مع بعض زائد
واحد وهذا بيساوي a to ك زائد جي زائد واحد ضرب a
إذن
a أُس الكلام هذا ضرب a أُس واحد صح؟ وهذا بيساوي
A أُس K زائد J زائد واحد عبارة عن A أُس K زائد J
ضرب A إذن الجزء هذا A أُس K زائد J زائد واحد عبارة
عن A أُس K زائد J ضرب A وفي أندم الأول ضرب A
باستخدام
ال induction hypothesisالفرض طبع ال induction احنا
فرضين ان a to k زي j بساوي a to k ضرب a ضرب a to j
وفي عندي من الأول a في a اذا
هذا
بساوي a to kضرب a مع بعض ممكن أخدهم مع بعض ضرب a
to j في a مع بعض لأن هنا استخدمنا ال fact ان عملية
ضرب الأعداد الحقيقية associative الآن a to k ضرب a
بساوي a to k زائد واحد و a to j ضرب a بساوي a to j
زائد واحدوهذا هو المطلوب إذاً هذا بثبت إذاً
هنا أثبتنا صحة ال star هاي الطرف الشمال ل star
عندما M بساوي K زايد واحد و M بساوي K زايد واحد و
هذا هو الطرف اليمين ل star عندما M بساوي K زايد
واحد و M بساوي G زايد واحد إذاً star holds
ن بساوي كزايد واحد and ان بساوي جي زايد واحد this
completes the
induction
إن ان هذا بيكمل البرهان by induction تمام واضح؟ في
أي سؤال؟ مفهوم؟ في أسئلة تانية؟ أي أسئلة تانية؟
سؤال اربعتاش؟ بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
لنا
اسمها
جزء الأول ولا التاني؟ الأول
إذا الجزء الأول مسؤال أربعتاش F zero
less than or equal a less than b show أثبتي أنه a
تربية أصغر من أو ساوي a في b أصغر من b تربية
proof case واحد a بساوي واحد انتوا ان ال a أكبر من
أو ساوي سفر فناخد الأول a بساوي سفر و بعدين a أكبر
من سفر فلو كان a بساوي سفر هذا بيقدي انه
a تربية اللي هي بتساوي سفرأصغر من أوي ساوي A في B
اللي هو سفر و
طبعا ال B في الحالة هذه أكبر من A يعني أكبر من سفر
لأن هذا أصغر من B
و أصغر من B تربية لأن
هذا بيساوي سفر و B تربية و B أكبر من سفر B أكبر من
A اللي هو بيساوي سفر يعني B أكبر من سفر يعني B
تربية أكبر من سفر إذا المتبايلة متحققة
إذا المتباينة اللي احنا عايزين نثبتها نسميها
star إذا star holds in this case الحالة
التانية أن a أكبر من 7لو كانت a أكبر من صفر by
hypothesis من الفرض أنا عندي الآن a أكبر من صفر
أصغر من b فنضرب
multiply multiply
by
أو multiply by صحيح by a أكبر من سفر لما أضرب
متباينة في عدد موجة بشريفتها طابقة زي ما هي فهذا
بيقدّي فهذا بيقدّي أنه السفر في a بيطلع سفر أصغر
من a تربية أصغر من a في b وهذا اللي بدنا يعني
لأ هذا .. هاد حاجة كمان and then بعد هيك multiply
.. multiply by
B اللي هو أكبر من سفر أيضا لإن ال B أكبر من A أكبر
من سفر صح؟فلو ضربنا المتباينة هذه في بي اللي هو
عدد موجب برضه إشارتها هتبقى زي ما هي إذن هذا
بيقدّي لما أضرب المتباينة هذه في بي عدد موجب
فهيطلع عند سفر أصغر من a في بي أصغر من b تربية
نسمي هذه واحد والمتباينة هذه اتنين الأن واحدعندي
اتنين بيقدّوا يعني
عندي a تربية أكبر من سفر أصغر من a بيه وعندي a بيه
أصغر من b تربية وهذه هي ال star
إذا in both cases
في الحالة الأولى والتانية we have أثبتنا أن a
تربية أصغر
أو يساوي ab و
ab في الحالتين أصغر من b تربيةكمان مرة في الحالة
الأولى a تربية أصغر من أو يساوي a b في الحالة
التانية a تربية أصغر من a b إذا في الحالتين a
تربية أصغر من أو يساوي a b في الحالة الأولى a b
أصغر من b تربية وفي الحالة التانية a b أصغر من b
تربية إذا في الحالتين a b أصغر من b تربية و هذا
اللي أحنا عايزين نثبته تمام إذا هيك بتكون أثبتنا
جزءالأول من السؤال الجزء
التاني بيقول انه احنا مانقدرش المتباينة هذه star
نبدلها ال
star can't be replaced
replaced by a تربيع أصغر من a بي أصغر من بي تربيع
يعني هنا ال inequality هذه أصغر من أو ساوي مانقدرش
نبدلها بأصغر من strictly أصغر من فبنوضح ذلك بمثال
فاخدي a بساوي سفر و b أي عدد example
زي ما عملنا في الحلقة الأولى
فهيطلع عندى هذه مساوية و ليست .. و ليست اكبر من ..
اه؟ okay فى أسئلة تانية؟ مين عند السؤال التانى؟
section اتنين اتنين؟ فى اي أسئلة في section اتنين
اتنين؟ section اتنين واحد اتنين اتنين
في أسئلة كتيرة حلوة section
1122 فينا مجموعة كبيرة من الأسئلة الناس
بتدرس الناس بتحل مثال
حليتوا كل المسائل؟ مش عندكم أسئلة؟ ال section
اتنين واحد و اتنين اتنين؟
مان لديها سؤال؟ السؤال اتنين في section اتنين
اتنين حاضر اتنين اتنين اتنين نكتب النص تبع السؤال
if a و b are real numbers show ifpty أنه
absolute a زائد b بساوي absolute a زايد absolute b
if and only if a في b أكبر منأو يساوي سفر هيك
مكتوب طيب
البرهان ال proof راحظوا هذا if and only if
statement فخلينا
الأولنثبت ال claim الأول claim one للدعاء الأول أن
a ضرب b أكبر من أو ساوي سفر if and only if
absolute a ضرب b بساوي a في b
هل هذا واضح هذا
واضح من تعريف that this is clear by definition of
absolute value طيب
الكلام التاني
الكلام التاني absolute a plus absolute b الكل
تربية بساوي a زي b الكل تربية if
and only if absolute a ضرب b بساوي a في b
بروف للـ claim هذا هاي لو أخدت absolute a زاد
absolute b وربعت فهذا المفروض يساوي absolute a
الكتر بيها زاد absolute b الكتر بيها زاد اتنين
absolute a في absolute bو هذا بساوي absolute a
الكل
تربية زار
absolute b الكل تربية زاد 2 absolute a ضارب bلأن
absolute a ضرب absolute b بيطلع absolute a في b و
absolute absolute
a بساوي الجدر التربية a ل a تربية هذا
بكافئ أن a أو absoluteكل تربية بيساوي ا تربية لو
ربعت الطرفين فبطلع absolute a تربية بيساوي a تربية
وبالتالي ممكن استبدل absolute a تربية ممكن استبدل
absolute a تربية ب a تربية و
استبدل absolute b تربية ب b تربية
الان هذا بيساوي هذا بيساوي a تربية زائد b تربية
زائد اتنين a b if and only if if and only if
absolute a b بيساوي a في b
هذا المقدار اللي فوق متى بيساوي a تربية زايد بي
تربية زايد اتنين a ب a اذا absolute ب a في b هو
عبارة عن a في b صح؟ وهذا
الأخير بيساوي يعني
هذا السطر هذاهي تعالى نشوف بقدّه
ان absolute a زاد absolute b الكل تربية بساوي
A زائد B الكل ترمية if and only if absolute A B
بساوي A B absolute
A B بساوي A B ومن claim واحد
عمر ال claim واحد هذا بتحقق if and only if a ضربي
أكبر من أو ساوى 0 لأن هذا نتيجة أو بضم ال two
claims مع بعض طيب
لو أخلنا جدر التربية للطرفين فضي جدر التربية يعني
take square root
of both sides فهذا
بيقدّي أنه absolute a زائد absolute b الجدر
التربيعي هنا بعطيني ال absolute value ل a زائد
absolute b وهنا بعطيني الجدر التربيعي الجدر
التربيعي العدد التربيعي بعطيني القيمة المطلقة
تبعته
هذا بتحقق if and only if a ضرب b أكبر من أو ساوى 0
وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب okay تمام فهذا هو
المطلوب في
أي أسئلة تانية في
عندكم أي سؤال تاني section 2 أو section 1
أن أسئلة كتيرة لو جيت بعدي و أنتوا مابتسألوش و مش
هيكون في راجعة بعد هيك لأ أساكاشنا دي المرة الجاية
هناخد مناقشة في section اتنين تلاتة و اتنين أربعة
في أي أسئلة أفندم في أي section اتنين اتنين
حاضر
السؤال خمستاش سيكشن اتنين نيلو نشوف ايه هو السؤال
show
if a و b are real numbers
و a لا يساوي b then
there exist epsilon neighborhoods u
of a and v of b such thatU تقاطع V بساوي five إذن
كمان مرة أنا
عندي
A وB أعداد حقيقية و A لا يساوي B هذا معناه أن
either A less than B ف
assume نأخد الحالة الأولى case one أن
A أصغر من B إذا هي خط الأعدادهذا خط الاعداد وهذه a
وهذه b و a أصغر من b بدي أثبت أنه في جوار ل a بعمق
epsilon اسمه u وفي جوار ل b بعمق epsilon والجوارين
هذول المبروهود سقطوهم بسوء في يعني منفصلين عن بعض
فبكل بساطة بجيس المسافة من a و b و باخد نص المسافة
يعني لأن هنا take epsilon
بساوي
نص المسافة نص ال b minus
أو نص او نص المسافة بين A وB فهي
نص المسافة لو كونت فترة
فهي منتصف المسافة هذه المسافة
هذه منتصف المسافة سمنها epsilon فهذه النقطة هتكون
a زاد epsilon وهي نفس المسافة a سالب epsilon وكون
فترة مفتوحة وسم
الفترة المفتوحة هذه new
فنسمي الفترة المفتوحة هذه U مركزها E و نصف قطرها E
و نكوّن فترة تانية برضه مركزها B و نصف قطرها E
يعني هذه النقطة هتصير B زاد E وهذه النقطة هتصير
بزائد ابسلون و النقطة هذه بسالب ابسلون و نكون فترة
مفتوحة تمام
اذا
انا في اندي و نسمي الفترة المفتوحة هذه نسميها
ب
أذن هذا عبارة عن الـ U الفترة المفتوحة اذا هنا led
take
u
by definition بتساوي a سالب إبسلون و a مجد إبسلون
و V بساوي B سالب إبسلون B plus إبسلون فواضح
nearly
Clearly U is an epsilon neighborhood of A and V is
an epsilon neighborhood of B ومش هيكوا بس and ممكن
اثبات ان U تقاطع B بساوي فاي
يعني لو أخدنا هاي واضح هاي جوار هذا مافيش ولا نقطة
فيه موجودة في الجوار التاني هذه الفترة المفتوحة
منفصلة عن الفترة المفتوحة يوم طبعا؟
إن هذا الكلام يعني واضح ان هذا عبارة عن epsilon
neighborhood ل a فترة مفتوحة مركزها a نصف قطرة
epsilon هذا نسميه epsilon neighborhood ل a و V
الفترة المفتوحة هذه بي سالب epsilon و V موجب
epsilon برضه عبارة عن epsilon neighborhood ل B و
اتنين حسب الرسم منفصلين و هذا ممكن اثباتهباستخدام
التناقض يعني افرض انه في عنصر يعني التقاطع هذا لا
يساوي فيه وبالتالي في عنصر موجود في U وموجود في V
في أن و واحد واصلي إليه تناقض okay هذا ممكن اثباته
بطريقة تحليلية طبعا في السؤال في الحل في حل السؤال
هذا يقول مافي عندنا حلتينالحالة الأولى a أصغر من b
والحالة الثانية b أصغر من a وشوفنا هنا أخدنا
الحالة اللي فيها a أصغر من b زي اللي هو النضال تحت
الاسم هاي a أصغر من b و أثبتنا في الحالة هذه أن u
جد epsilon never move u ل a
باقي الحالة التانية case 2 نثبت
برضه المطلوب
القرآن في الحلقة التانية مماثل للقرآن اللي عملناه
في الحلقة
و هذا طبعا يكمل الفرحة، إذا الحالة التانية اللي
فيها P أصفر من A، بس نضع P هنا و A هنا، و نفس
العادة، فتصير هذا الـP و هذا الـU، و يعطينا نفس
النتيجة، إت من كون كملنا المرهان اللي هو التمريد
وطبعا بعد ذلك ان شاء الله هنكمل حل ال تمارين لل
sport الخادم في نفس الموضوع