Okay اذا اليوم ان شاء الله هنكمل موضوع ال limit
theorems او نظريات النهايات و من النظريات المهمة
هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x in و
ال sequence هذي convergent ل x فال sequence of
absolute valuesبتطلع convergence وال limit تبعتها
تطلع absolute .. absolute limit تبعت ال sequence
XL فالبرهان
بيتمد على ال triangle inequality
أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه
absolute a minus absolute b وأخد ال absolute value
هذا أصغر من أو ساوي absolute a minus bفلو أخدت هنا
a بساوي xn و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل
الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي xn converges to x
فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given
واندي انا x in converge ل x، اذا هذا بيدّي انه
يوجد
capital N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث انه لو
كان N أكبر من أو ساوي capital N فهذا بيدّي ان
absolute x in minus x أصغر من epsilon
وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon
لكل
n أكبر من أو ساوي capital N إذا
أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من سفر
يوجد capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث
لكل n أكبر من أو ساوي capital Nالقيمة المطلقة ل
absolute xn minus absolute x أصغر من epsilon إذا
حسب تعريف epsilon capital N for limits هذا معناه
بالظبط أن limit absolute xn as n tends to infinity
بساوي absolute x وهو المطلوبOkay تمام اذا هذا
بيكمل برهان نظرية اتناش تمام واضح النظرية
اللي بعدها نظرية تلاتاش بتقول لو انا فيها اندي
sequence حدودها كلها غير سالبة حدود ال sequence xm
كلها غير سالبة اعداد غير سالبةوالـ sequence لو
كانت الـ sequence Xn convergent to some X فالـ
limit للـ sequence of square roots لـ Xn تطلع
convergent والـ limit تبعتها بساول square root للـ
limit للـ sequence Xn
والبرهان تبع النظرية دي سهل انا اول شي عندى احنا
فرضين ان ال limit ل Xn بساوي X في نظرية تمانية
قلنا ان لو كانت حدود ال sequence Xn كلها غير سالبة
ف limit ل sequence Xn اللى هى X ايضا تطلع غير
سالبة اذا X اكبر من او ساوى 0الان في عندي حالتين
ال X هنا أكبر من أو ساوي سفر ففي عندي احتمالين اما
X بساوي سفر او X أكبر من السفر تمام و في كل حالة
مطلوب مني ان اثبت ان limit ال square root ل xn
بساوي ال square root of x تمام؟ انشوف في الحالة
الأولى لو كانت ال x بساوي سفر وانا عندي من الفرض
xn converges to x اللي هي سفرأذا لو أخدت أي إبسلون
أكبر من السفر من كون ال sequence هذه converge
للسفر إذا لأي إبسلون يوجد capital N يعتمد على
إبسلون بحيث المسافة بين xn والسفر أصغر من إبسلون
تربية لكل N أكبر من أوسعه ال capital N هذا من
تعريف ال conversion ممكن أحط هنا إبسلون أو إبسلون
تربية مافي مشكلةطيب أنا عندي xn من الفرض الـ xn
كلهم أكبر من أو يساوي سفر وبالتالي القيمة المطلقة
لـ xn بساوي نفسها ناخد
الجدر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي ال square
root of xnبساوي ال absolute value ل square root ل
xn minus صفر وهذا أصغر من إبسلون square root
لإبسلون تربية بيطلع إبسلون هذا الكلام صحيح for
every n bigger than or equal capital N طب هذا
معناه بما أن إبسلون was arbitrarily بما أن احنا
أثبتنا هذا الكلام لكل إبسلون عدد موجبهذا من تعريف
epsilon capital N for limits للنهايات هذا معناه
limit ال square root ل XN بالساوي السفر لما N تولى
Nوهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب السفر هنا احنا
ماخدين x بالساوية سفر فالسفر هذا هو square root ل
x اذا هين اثبتت ان limit square root ل x in
بالساوية square root ل x في حالة لما x بالساوية
سفر تمام باقي نثبتالنتيجة نفسها في حالة لما X أكبر
من 0 تفضلي قال جيت حكيت أنه ممكن أخد يبسلون مش
يبسلون تربيه لما أكمل خطوة بعد تطلع جدر اليبسلون
يعني أقل من الجدر يبسلون جدر اليبسلون قولت أن أحنا
خلنا يبسلون تربيه عشان لما أخد الجدر يطلع يبسلون
مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي اليبسلون مش اليبسلون
أكبر عدد أكبر من 0 givenإذا إبسلون تربية برضه عدد
موجة بقى تقري هو ال given وبالتالي يوجد أن تعتمد
على إبسلون تربية بدل إبسلون طب إبسلون تربية تعتمد
على إبسلونإذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على
إبسلون وإعتبر الإبسلون تربية بدل إبسلون في ال
definition فمافي مشكلة بس خدناها الإبسلون تربية
عشان لما ناخد جدر التربية يطلع أندي أصغر من إبسلون
وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جدر X N بساوة
ستة تمام اللي هي جدر X في أي سؤال تاني؟طيب، نشوف
الحالة التانية، لو كانت ال X هذه أكبر من صفر، إذا
جدر ال X بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جدر X in
زي جدر X أكبر من أو ساوي جدر ال X، لأن هذا أكبر من
أو ساوي صفر، وهذا موجب، لأن ال X موجبةطيب، الآن
هذا المقدار أكبر من أو ساوي هذا واتنين موجبين، إذا
المقلوب الكبير أصغر من أو ساوي المقلوب الصغير هذه
الخاصية أخدناها في chapter one وبناء عليه
بنان على ذلك انا ممكن احسب جدر xn minus جدر ال x
بضرب المقدار هذا في المرافق تبعه بسطه مقاما، هاي
المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في
واحد، اذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه،
تمام؟الان ال bus تحليل الفرق بين المربعين فبطلع
مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x in negative x و
بيبقى ال end في المقام المقدار هذا الان ناخد
القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة
للطرف اليمين القيمة المطلقة لل bus على القيمة
المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له
نفسهأذا الأن أنا في عندي sequence اللي هي الحد
العام تبعها square root of xn وفي عندي عدد square
root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من
أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي واحد على square
root of xn زي square root of x والكسر هذا من
المتباينة تسعةهذا الكثير أصغر من أو يساوي واحد على
square root of x ضرب absolute x in سالب x الآن
ارجعوا لنظرية اتنين اربعة with
c عدد موجب ساوي واحد على جدر ال x هذا عدد موجبو a
n بساوي x n minus x إذن
هى يوجد c عدد موجب اللى هو واحد على جدر ال X و هى
فى عندي sequence a n الحد العام تبعها x n سالد x و
ال sequence هذه تقول إلى سفر as n tends to
infinityلأن انا من المعطيات عندي xn تقول x أو
limit xn بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي سفر، لذلك
حسب نظرية 2.4، كل شروطة متحققة، وبالتالي، لذلك حسب
النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit
square root ل xn بساوي square root ل xوهو المطلوب
اثباته اذا هاي اثبتنا ان limit ال square root ل X
ان بساوي ال square root ل X في حالة لما X تكون
موجبة و الحالة الأولى في حالة لما X صفر برضه
اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية
تمام؟ في حد عنده اي سؤال او استفسار واضح البرهان؟
في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار
الكسر او النسبة او ايش
ال ratio test ماذا هذا ال ratio test بيقول هذا ال
ratio test بتعلق بال sequences of positive numbers
يعني عشان أنا أطبخ ال ratio test لازم ال sequence
تبعتي تكون حدودها كلها موجة بقى فلو في عندي
sequence of positive real numbers such that limit
ال ratio ل xn زائد واحد على xn exists موجود أو
بتساوي عدد حقيقي L و لو كان هذا العدد L أصغر من
واحد ف limit ال sequence xn بتساوي سبلهذا هو ال
ratio test برهان ال test أو النظرية هذه موجود في
الكتاب نظرية تلاتة اتنين احداشر فحاسبكم تقرؤوا
البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي
أخدناها فعايزينكم
تفتحوا الكتاب و تقرؤوا برهان و تفهموا لحالكم بعد
ما خدنا كل هالبرهين بدنا ياكم تعتمدوا عن أنفسكم
شويةتمام؟ و اللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان
ترجعليه إذا هسيكم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار
.. الآن الكتاب للأسف مش في أمثلة في ال section هذا
تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال
من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل
فأول مثال هو exercise تمانتاش الفرحة c في section
تلاتة اتنين أو صفحة تمانية وستين في الكتاب المقرر
السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the
sequence xn اللي لحد العام ال nth term تبعها b to
n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد
Discurses ل Convergence يعني بين هل ال sequence
هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent
عايزين نجيب ال limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا
طبعا هنطبق ال ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم
منها ال ratio testلتطبيق ال ratio test بلزمني
اتأكد ان ال sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لان
ال bus b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n
factorial عدد موجب لان هذه sequence of positive
real numbers الآن ال ratio ل xn زياد واحد و xn هي
عندي xn زياد واحد عوض عنها بدل n بn زياد واحد
وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين
ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n
factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial
بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b
بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع بي على n
زياد واحد الان لما انت قول ل infinity ان زياد واحد
بتقول ل infinity مقلوبة بروح ل سفر ضرب بي عدد موجة
بروح ل سفر اذا limit بي على ان زياد واحد بساوي بي
في limit واحد على ان زياد واحد اللي هي سفر بي في
سفر بساوي سفر تمام؟إذا أنا عندي L اللي هو بمثل
limit ال ratio هذا طلع بساوي سفر عدد حقيقي أصغر من
واحد إذا حسب ال ratio test limit لل sequence xn
بساوي سفر إذا هنا أثبتنا إن ال sequence convergent
ونهيتها بتطلع بالساوي سفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق
مباشر على ال ratio test
مثال تاني مثال
تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة
اتنين بنشوف ايه ال exercise هذا بيقول give
an example of two divergent sequences two
divergent sequences
such that there are some مجموعهم there
are some converges نعطي
مثال ل two divergent sequences تنتهي from two
divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل
هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب
واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ملا نهاية طبعا ال
sequence هذه لو بيننا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا
أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد،
الرابع واحد، و هكذاوناخد ال sequence yn الحد العام
تبعها سالب واحد قص ان زاد واحد وان طبعا تبدأ من
واحد فهذه ال sequence حدودها هتكون أول حد واحد،
التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و
هكذا
تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان ال sequence xn هذي
divergent by contradiction فرضنا انها convergent
وصلنا الى تناغم صح؟ طب ما هذي هي هذي هي ال
sequence ال sequence yn هي سالب ال sequence xnو Xn
is divergent و Yn is divergent او بنفس البرهان
ممكن نعمل نفس البرهان اذا هي عندي مثال على two
sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي
نجمعهم لو أخدت ال sequence جديدة ال inf term تبعها
او الحد العام تبعها هو مجموعة ال inf term زي Xn
وYn هذه sequence تالتة جديدةما هو الحد العام لهذه
الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع سفر،
التاني على التاني سفر، إذا هذه عبارة عن الـ
sequence constant zero ثابت سفر أو الـ sequence
الحد العام تبعها ثابت سفر وطبعا أي sequence ثابتة
بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت
نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت سفرإذا هذا
مثال على two divergent sequences their sum is
convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن
ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain
مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات
زي هيك و هكذا في الكتاب في تمارينعلى هذا السياق
هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال
رقم تلاتة هذا
عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين
بقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power
one over n where a و b are positive numbers and a
less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟
لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n
positiveوكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus
b to n الان ناخد ال nth root لطرفي المتبينة هذه
فبطلع b أصغر من ال nth root للمجموعة ده اللي احنا
سمناه zn اذا الان انا عندي zn بساوي a n زاد b nto
the power one over n والان انا عندى بما انه a أصغر
من b a أصغر من b من الفرض هى فهذا بالتأكيد بيقدى
انه a to n أصغر من b to n اذا
هشيل ال a to n هذه و اضع خليها أصغر من b to n زائد
b to n الكل to one over nطب هذا بيطلع two ضرب b to
n الكل to power one over n وزع ال power فبطلع two
to one over n ضرب b صح؟ الآن ال sequence إذا
أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحداشر مع
بعض فبطلع عندي bمن المتباينة عشرة الـ B هدا هي
أصغر من ال ZN ومن المتباينة أحداشر ال ZN أصغر من
two to one over N times B for every N natural
number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل Nانا
لان عندي الـ sequence ZN هذه اللي انا عايز اثبت ان
ال limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between
two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي
متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام
تبعها ثابت بيهوبالتالي ال limit تبعت بي لما بي
تقول ل infinity بتساوي بي و limit ال sequence هذي
two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي
واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف
limitc to 1 على n as n tends to infinity بساوة
واحد صح فاندي c هنا بساوة اتنين لان ال limit ل two
to one over n as n tends to infinity بساوة واحد
وبالتالي limit two to one over n times constant b
بساوة واحد في b او b في واحد ف limit ال sequence
هذه ايضا تطلع bلما انتقل ل infinity، اذا by
squeeze theorem بطلع عندي limit ال sequence zm
المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ اذا هاي هنا
استخدامنا ال sandwich او ال squeeze، تمام؟ واضح؟
Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،
حالها مش صعب إما تطبيق على ال sandwich theorem أو
على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخدناها في ال
section هذا أو في ال succession السابق أو بالتالي
مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدى أن احنا نستخدم حاجة
مش موجودة في المناجمإذا ما يكون إلا من شطرتكم
تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في ال section هذا
طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد
التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان
النصف الأول
تمام فإذا هنا ال section جديد أو أنوان جديد ال
monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها
الواتيرية المتتاليات الواتيرية ال monotone
sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو
متلاقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real
numbersسنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا
كان Xn less
than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل
حد أصغر من أول ساول لبعده فالسيكوينس في الحالة دي
بنسميها increasing و بنسميها decreasingإذا كان كل
حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟
طيب بنسمي ال sequence monotone ال sequence بنسميها
monotone أو واتيرية if it is either increasing or
decreasing
إن المتتالي الوطرية هي متتالية إما increasing أو
decreasing معنى
آخر كل increasing sequence is monotone sequence
and every decreasing sequence is monotone sequence
طب هاي أمثلة على monotone sequences فاندي هنا
sequence n of natural numbersis increasing واضح ان
xn بساوي n أصغر من او ساوي xn plus one اللي هو n
زاد واحد لان هذا increasing وهذا increasing ال
sequence اللي ال inf term تبعها two to n اللي هي
هذه is increasing بينما
ال sequence one over n decreasing هي كل حد أكبر من
أو ساوي لبعدهو كذلك ال sequence one over two to n
طيب، في سؤال هنا بطلح نفسه، هل كل sequence لازم
تكون monotone sequence؟ لأ، مو لأ، مش شرط، مش شرط،
مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
شرط، مش شرط، مش شرطthe following sequence is
sequence اللي الحد اللي عام تبعها negative one to
n أو n زيادة واحد اللي هي ال alternated sequence
ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني
المتدبدبة في الإشارة واحد سالب واحد واحد سالب واحد
هذه ليست conversion ليست monotone is not
increasing and it is not decreasingنفس الشيء ال
sequence اللي حد اللي عم تبعها سالب one to n اللي
هي سالب واحد موجة بتنين سالب تلاتة و هكذا ال
sequence هذه is not monotone لا increasing ولا
decreasing تمام واضحإذا ال sequence .. أي .. لو
أخدنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،
ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither
increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون
odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟
طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق
بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها
monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات
monotone convergence theorem النظرية
هذه بتقول خد .. خدي let x and b a monotone
sequence خلينا ناخد monotone sequenceالان هذه الـ
monotone sequence بتكون convergent if and only if
it is bounded تمام؟
moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x in
هذه bounded and increasing فأكيد طبعا convergent و
ال limit تبعتها بساوي ال supremum إلها ك set كذلك
لو كانت ال sequence x in bounded و decreasing
فبتكون طبعا convergent و ال limit بتبعتها بساوة ال
inform اللي لها ك set طيب
احنا عندي انا عندي هنا two statements او تلاتة
statements انا عندي العبارة هذه انا
عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدون فكيف
البرهان بتتمأول شي العبارة الأولى اللى فى البرواز
هذه if and only if statement صح ففى two parts واحد
هذا ال part ال only if part و ال if part نشوف ال
only if part يعنىلو كانت x in convergent بينا نثبت
إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة
أثبتنا إن كل تجارب convergent is bounded اختبار
الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved proved
earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقةلو كانت
السيكوانس تبقى convergent ضرورة تكون bounded سواء
كانت السيكوانس monotone ولا حتى مش monotone okay؟
تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة
باقى نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت
السيكوانس bounded السيكوانس لو كانت bounded و
monotone
طبعا احنا فرضين انها monotone اه من البداية x in
is monotone فالان عشان نكمل برهان العبارة هذه ال
if and only if او ال by conditional statement هذا
فبدنا نثبت ان لو كانت ال sequence bounded و
monotone فبتطلع convergent طيب
monotoneمونوتون لما ال sequence تكون مونوتون
معناها اما increasing او decreasing او decreasing
اذا
عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا
لبرهانه بده برهين a و bلأن جزء A بيقول لو كانت ال
sequence bounded و increasing فبتثبت أنها
convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و
increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit
تبعتها هي ال suprem من إلها كمجموعة و الجزء B
بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing
فبتطلع convergentوإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي
ال infront إلى كسب إذا الإكمال برهان الاتجاه هذا و
برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن
أحنا نثبت a و b و أضع يكمل كون أثبتنا إلى عبارة من
بروزة هذه و a و b يعني برهاننا النظرية كاملة تمام؟
نثبت الآن باقي اثبات a وb نثبت الجزء a فخلّينا
نفرض ان ال sequence x in is bounded قلنا bounded
زاد increasingطيب من تعريف الـ bounded sequence
مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M
بحيث أنه absolute Xn أصغر من أو ساوي M لكل N طيب
معروف أنه أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو ساوي القيمة
المطلقة له، مظبوط؟إذا من ال boundedness من فرض ان
ال sequence bounded في معدد موجد بحيث ان xn أصغر
من أو ساوي M لكل M تمام واضح طيب الآن إذا ال
sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال
property ال supremum تبعها exist سميه x star
الان بيدثبت الادعاء هذا الـ claim الادعاء بيدثبت
انه limit ال sequence xn بساوي ال x star اللي هو
ال suprem لست xn فلو أثبتت هذا الادعاء معناته
أثبتت أنا ان ال sequence xn is convergent و ال
limit تبعتها بساوي ال suprem إلها كستتعالى نشوف
كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim انا
ايش بتثبت؟ بتثبت ان ال sequence x in convergent و
ال limit تبعتها بساوي العدد x star فهستخدم تعريف
epsilon capital N لل limit فلازم ابدأ let epsilon
أكبر من الصفر بيه given الان ال x star هذاهو ال
supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد
موجب بيبطل upper bound بيبطل upper bound لأن ال x
star هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيبطل
upper bound إذا هذا العدد x star minus y is not an
upper bound معناته في أنصر في ال set هذه اللي هو x
رقم capital N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هوش
upper boundوطبعاً العدد هذا المؤشر او ال index
capital N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال
epsilon اللي بنيت فيها طبعا انا فرض ان ال sequence
xn increasing وبالتالي x capital N أصغر من أو سوى
xn لكل N أكبر من أو سوى capital N من تعريف ال
increasing sequence اذا انا في عندي هنا هى عندي x
capital N هىxN أصغر من أو ساوي xN لكل N أكبر من أو
ساوي N طيب و x*) هو ال suprem of ال sequence xN و
xN هذا عنصر في ال sequence و x*) upper bound لل
sequence إذن xN أصغر من أو ساوي x*) طيب و x*) أصغر
من نفسها زاد عدد موجب هذا مافي شكو من هنا .. أيوه
.. من المتباينة هذه هي عندي x capital n أكبر من x
star سالب y إذا أنا طلع عندي الآن x star أكبر من
.. أو x in
أكبر من X star minus Y أصغر من X star زاد Y لكل N
أكبر من أو ساوي capital N فظبطك صح؟ طيب مهاد
المتباينة هي نفسها X N minus X star أصغر من Y أكبر
من سالب Y لكل N أكبر من أو ساوي capital Nطب
المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن absolute xn
minus x star أصغر من إبسلون لكل n أكبر من أوي
ساوية كابتن ان الأن since إبسلون was arbitrary هذا
بالظبط تعريف إبسلون كابتن ان لل limit أه؟ بأن هذا
الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من سفر إذن هذا معناه
حسب التعريف إن limit xn بساوي x star
إذا هذا بثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا
الجزء A من النظرية فالجزء
التاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B
ففي الجزء B الان انا عندي ال sequence تبعتي
bounded و decreasing اذا ا assume x in is bounded
and decreasing فاش
عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد
العام تبعها negative x in تمام؟ الان بما ان x in
decreasing اذا ال sequence سالب x in تطلع
increasingوطبعا بما أن ال sequence x in bounded
إذا ال sequence سالب x in أيضا bounded إذا الأن
أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn
bounded وin crazy إذا حسب الجزء a by part a limit
ال sequence yn تطلع existوبتساوي ال supremum لكل
ال y in ال supremum لعناصر ال sequence اللي هي y
in تمام؟
انها ده من ايه؟ من الجزء ايه من النظرية؟طيب ال
supremum ل سالب xn هيفقن العدد طبيعي احنا خدنا قبل
هيك exercise بيقول supremum او infimum سالب حاجة
بساوي سالب ال infimum فهنا بصير هذا سالب ال
infimum تمام؟ اذا انا عندي بيطلع عندي limit xn
بساوي سالب limit سالب xn تمام؟أضربوا هنا هيندي
limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد
فبطلع سالب limit سالب xn بساوي سالب سالب موجب اللي
هو ال inform ل xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي
أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني ال sequence
xn convergent وال limit تبعتها بساوي ال inform
بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا
الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ
monotone convergence theorem فارجو أنكم تحاولوا
تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ
monotone convergence theorem في