بسم الله الرحمن الرحيم، ننتقل الآن لآخر كلمتين
قولناهم في المحاضرة الماضية، كنا بنتحدث على ال
piecewise function، يبقى الدالة المكونة من عدة قطع
أو من عدة أجزاء، واخدنا على ذلك ثلاثة أمثلة، وهذا هو
المثال الرابع والأخير إن شاء الله على ال piecewise
function، ثم بعدها ننتقل إلى نقطة أخرى
المثال الرقم أربعة بيقول find a formula، هات لصيغة
for the function with the corresponding graph، اللي
إلها الرسم المقابل، يكبر cross bonding مقابل graph
رسم، يكبر الرسم تبعها بالشكل المقابل، عندنا أيوة
بالشكل هذا، الشكل الغامق اللي عندنا هذا هيك، أيوة
وهنا بجيك الشكل اللي عندنا هذا
وهذا كذلك بشكل كويس
يبقى هذا اللي قدامنا مكونًا من كام جزء يا شباب؟ من
ثلاثة أجزاء، يبقى الحل يكون على الشكل التالي
solution، يبقى إحنا عندنا piecewise function مكونًا
من ثلاثة أجزاء، بنجي للجزء الأول، واضح إن إحداثية
النقطة هذه قداش؟ سالب واحد، واحد، يعني هذه لو جيت
نازل رأسي، بيكون إن هذا يعني سالب واحد، طيب هذا
الخط اللي بيبدأ من صفر
يبقى F of X يساوي كم؟ سالب X، يبقى هذا F of X يساوي
سالب X، وبشرط X أكبر من أو تساوي سالب واحد وأقل من
كم؟ من الـ Zero، على الفترة من سالب واحد لغاية Zero
هذا هو الجزء الأول، بدنا نيجي للجزء الثاني، إحداثيات
النقطة هذه قداش؟ واحد، واحد، يعني لو جيت نازل رأسي
هيك بيكون النقطة هذه قداش؟ واحد، يبقى الجزء الثاني
محصور من وين أو معرف على الفترة من وين لوين؟ من صفر
لواحد، طب قداش اللي هو معادلة هذا الخط؟ هذا أفقي
واحد، يعني Y تساوي واحد، يبقى هنا واحد، وبالشرط إن ال
X أكبر من ال zero ولا تساوي، لإن عند ال zero الدالة
غير معرفة وأقل من أو يساوي من ال واحد، يبقى بالشكل
اللي عندنا هذا، خلصنا الجزء الثاني هذا، يبقى كأنه ما
لم يبقى عندنا إلا من الجزء الثالث، يبقى الجزء
الثالث كذلك عبارة عن خط مستقيم، مشان أعرف معادلة
الخط المستقيم بلزمني ميله ونقطة واقعة عليه، تمام،
بدي أجيب ميله، يبقى عندي بدل نقطة نقطة نقطة، هذه
الإحداثيات تبعها كم؟ ثلاثة، صفر، وبالتالي بقدر أجيب ال
slope تبع الخط اللي عندنا هنا، فبجيب أقول في الها
مش هيك، ال slope اللي هو بديله الرمز M اللي هو
الميل يساوي فرق الصادات على فرق السينات، يبقى واحد
ناقص Zero على واحد ناقص ثلاثة، ويساوي جداته يساوي
السالب نص، يبقى الميل اللي عندنا وجدناه يساوي
السالب نص، الآن بدنا نقطة واقعة عليه، فبناخد نقطة مين؟
واحد، واحد، سمعتوا بالخط المستقيم اللي هو معادلته Y
يساوي M في X ناقص X not زائد Y not، سكتوا الشباب،
ما سمعتوا مش فيه هذه؟ بلاش، هنجيب نفس المعادلة بس
بصيغة أخرى، أخذتوها إن ال Y ناقص Y not على X ناقص X
not يساوي الميل، هذه أخذتوها يعني، هذه هي هذه
بالضبط بالحرف الواحد، طب اضرب ضرب تبادل، يفجأة لو
ضربنا ضرب تبادل يصير Y ناقص Y not يساوي M في X
ناقص X not، ناقص Y not، هد على الشجة، هدف، تطلع
المعادلة، هدى، يفجأة المعادلة هدى،
الاثنين are the same، الاثنين نفس الشيء بتضبط تمامًا
يبقى بناء عليه المعادلة بصير Y يساوي الميل ناقص نص
في X ناقص واحد زائد واحد، أو إن شئتم فقولوا ناقص نص
X زائد نص زائد واحد، يعني إيه؟ يعني ناقص نص X ناقص
نص X زائد ثلاثة على اثنين، يبقى أصبح كأنه خط
المستقيم اللي كنا بنقوله في الإعدادي والثانوي، صارت
تساوي ألف سين زائد باء، مظبوط؟ الألف بيكون هو الميل
تبع الخط المستقيم وبقى طول الجزء المقطوع من محور
الصادات، إلا إننا هنقول المعادلة هذه أو هذه، أو ال Y
تساوي MX زائد B، يبقى هذه معادلة خط المستقيم في
ال general form، وهذه هعطيكم إياها في محاضرة اليوم
بعد قليل، إن هذه ليه معادلة خط المستقيم في صيغتها
أو في صورتها العامة، على أي حال هذه هذه هذه كلها
are the same، ال M هي الميل، باء أو ال B هو طول الجزء
المقطوع من محور Y أو من محور الصادات، ما رأيك إذا أخذت
النص عامل مشترك برة
يبقى عندك ثلاثة ناقص X، إذا الجزء الثالث يصبح نصه
بره وهنا ثلاثة ناقص X، و X محصورة ما بين الواحد و
بين من وبين الثلاثة، طبعًا اللحظة إن الواحد هنا
مكرر، كررتها والله، مسحتها بتفرقش عندنا، اثنين are
the same، يعني لو خلتها برضه مافيش مشكلة، لكن ماقدرش
أحط يساوي عند الثلاثة لإن هذا التجويف موجود على
الخط المستقيم، يبقى هي كتبنا شكل المعادلة من خلال
المعلومات اللي موجودة عندنا، أنا بدأ أسأل سؤال
زيادة، مشان نربط القديم بالجديد، لو سألتك قلت لك
قداش بالله domain الـF، علمًا إن ال domain هي مكتوب
قدامك على اللوح ومرسوم، بدي تقولي من كده إلى كده
أيضًا من سالب ثلاثة لغاية الواحد، مفتوح من عند
الثلاثة، وماعندي سالب واحد فقط، يعني كل الفترة هذه
بدون استثناء، آه، يعني برضه نشيل ال zero، ماشي، يبقى
ال domain بقوله الفترة من عند الناقص واحد لغاية
الثلاثة، مفتوحة ومغلقة، بدي أشيل منها ال zero as a
set، تمام؟ أو بذات صيغة صيغة أخرى، تقول لي من عندنا
ناقص واحد لغاية ال zero، اتحاد zero و ثلاثة as an
open interval، مافيش مشكلة، طيب بدنا نروح نجيب ال
range بتاعة الدالة F، يعني هتاخد قيم من وين لوين؟
أيوة
من عند ال zero لغاية ما تفوتش أبدًا، يبقى من عند ال
zero مفتوحة، لأن هنا، هنا بتاخدش قيم، لغاية قداش؟
لغاية الواحد، ومن عند الواحد مقفلة، لإن كل القيم
هذه وهذه كلها بواحد صحيح، يبقى هي جزء من ال domain
و ال range لهذه، زيادة معلومات زيادة على ما هو
مطلوب في المسألة، طيب لما نيجي لحاجة اسمها
increasing and decreasing function، دالة التزايد ودالة
التناقص، يبقى increasing and
decreasing
الدوال التزايدية والدوال التناقصية
الـ F بـ A function، نفترض إن الـ F عبارة عن دالة
defined، معرفة on an interval I، معرفة على فترة I
and let، وافترض إن ال X واحد وال X اثنين موجودة
في الفترة I، نمرة واحد، ال F of X2 is greater than F
of X1 whenever X1
less than X2
is said to be increasing، is said to be increasing
on
الفترة I، نمرة اثنين، F ال F of X اثنين أقل من f of x1
whenever x1 أقل من x2، then f is said to be
decreasing on the interval I
لما نعود نقرأ التعريف من أول وجديد، نحاول نفهم هذا
التعريف، نرسم رسم توضيحي لمعنى هذا التعريف، حتى هذه
المعلومات تثبت في دماغنا، يبقى النقطة اللي دي لما
نتعرض لل increasing function and decreasing
function، الدالة التزايدية والدالة التناقصية، بيقول
افترض إن ال F هي دالة معرفة على فترة I، ولم أحدد هذه
الفترة closed ولا open ولا half closed ولا half
open، سيا أي فترة من الفترات، إيش ما تكون إيه تكون
ماعليهاش، قول، أخذت two elements X1 وX2 موجودين في
هذه الفترة، بقول والله إذا كان f of x2 أكبر من f of
x1، علمًا إن x1 أقل من x2، إن حدث ذلك، يبقى الدالة دالة
تزايدية على
الفترة I
نمرة اثنين، إذا ال F of X2 أقل من F of X1 لما ال X1
أقل من X2، يبقى دالة بتقول عليها نمالة، دالة تناقصية
دالة decreasing على الفترة اللي عندنا هذه، طب تعالَ
نشوف هذا الكلام على الطبيعة، حتى هذا المفهوم يرسخ
في دماغنا، فمثال، لو جتخدت محاور، كنت هذا محور X وهذا
محور Y، وهذه نقطة الأصل اللي عندنا، وروحت رسمت منحنى
دالة بأي طريقة كانت، فطلعت الدالة بالشكل اللي عندنا
هذا، يبقى هذه اللي هي منحنى الدالة Y تساوي F of X
الدالة هذه معرفة على الفترة من عند النقطة هذه مثلًا
لغاية من لغاية النقطة هذه، يبقى هذه الفترة اللي
عندنا I، بغض النظر هل هي مفتوحة مغلقة نصف مفتوحة
نصف مغلقة، ما بتفرق عندنا، روحنا أخدنا أي نقطتين موجودتين
على ال interval اللي عندنا هذه، نفترض إنه كان هذه
هي النقطة الأولى X1، وهذه النقطة الثانية هي X2، يبقى
من اللي أصغر X1 ولا X2؟ X1 أصغر، يبقى هذه X1 أقل من
X2، تعالى نشوف قيم الدالة عند هتين النقطتين، جيت هنا
على المسافة اللي عندنا هذه هيك، فكانت هذه F of X
واحد، جيت على قيمة الدالة هنا، وجيت طالع لجيت هذه
مين f of x2؟ من اللي أكبر؟ من خلال الرسم واضح إن f of
x2 مسافة من هنا لهنا أكبر من f of x1، يبقى إذا f of
x2 أكبر من f of x1 لما اكس واحد أقل من اكس اثنين
يبقى الدالة زي ما أنت شايف طالعة تزايدية، أو سهل
عليها من هنا أقول إن الدالة هذه مالها؟ increasing
function، يبقى هذه الدالة بسميها increasing
function، يبقى هذه الدالة تزايدية، لكن لو جيت قلت
هاه المحاور، هذا محور X وهذا محور Y وهذه نقطة الأصل
و روحت رسمت منحنى الدالة بقدر الله، طلع منحنى
الدالة عندك على الفترة اللي عندنا هذه اللي هي اللي
سميها الفترة I، من عند النقطة هذه لغاية أهم النقطة
هذه، لاحظوا في اللي قبلها أخدت X سالبة لإنها قبل ال 0
وهنا X2 موجبة، يجب أن يكون X1 نيجاتيف و X2
بوزيتيف، يجب أن يكون بمانت، هذه أقل من هذه، هنا بدأ
أخدتهم اثنتين بالسالب، اثنتين بالموجبة، ليس بالضرورة
مرة سالبة ومرة موجبة، افترضنا أخدت النقطة هذه x1
وأخدت النقطة الثانية هذه x2، يبقى x1 هي المسافة
الصغيرة هذه، وx2 هي المسافة الكبرى اللي عندنا هذه
يبقى مضمون إن X1 ماله؟ أقل من X2، اللي هو ال term
اللي عندنا هذا، يبقى أي X1 أقل من X2 بدي أروح أشوف
F of X1 و F of X2، طلعنا رأسي هيك فكان هذه F of X1
هنا طلعنا رأسي كمان بالشكل هذا، فصار هذه F of X2
يبقى مين اللي أصغر فيهم؟ F of X2 أصغر من F of X1 و
X1 كذلك أصغر من X2، يبقى لما تبقى ال X1 أقل من X2
فإن ال F of X2 أقل، إن حدث ذلك، يبقى الدالة
التناقصية
يبقى هادي decreasing function، دالة تناقصية، اللاحظ
إن ال condition هذا لم يتغير في الحالتين، يعني ال
domain لم يتغير، يبقى لا تغير من قيمتين اللي موجودة
بالشكل هذا يبقى إذن Y يساوي نصف X تكعيب ارسم رسمتنا
المطلوب الثاني فترات التزايد وفترات التناقص السؤال
الآن للحدود بدنا نعرف وين فترات التزايد للدالة وين
فترات التناقص لهذه الدالة هل الدالة تزايدية على
طول؟ أو هل الدالة تناقصية على طول؟ أيوه يا أخي
العرب زي دائماً تسكر لما نهاني أيوة أنت آه آه أيوه
تناقصة من سالب ما لا نهاية يعني الدالة تناقصية من
سالب infinity إلى ما لا نهاية و لا تزايدية مش سالة كويس من
سالب infinity إلى infinity ايش؟
تعال نشوف الكلام اللي بيحكي هذا أو يدعيه صح ولا
خطأ بيقول زميلكم شو اسمك أنت؟ عبدالهادي؟
عبدالهادي زميلي بيقول ما يأتي بيقول من سالب
infinity لغاية ال zero decreasing و من عند ال zero
لغاية infinity increasing هكذا يزعم تمام؟ بدنا نشوف
هل الزعم هذا جاي من الضمانة يعني متأكدة الكلام مئة
المئة والله الزعم احتمال يكون صدق واحتمال يكون
ما هو صدق تعال نشوف بدنا نطبق التعريف اللي عندنا
هنا يبقى خلينا نيجي على الفترة الأولى اللي قال
فيها هذه تناقصية إذا بدي أخذ قيمتين X واحد وقيمة
ثانية X اثنين يبقى عشان دي X واحد أقل من X اثنين
صحيح ولا لأ؟ لأنه ناقص ثلاثة أقل من ناقص اثنين
صحيح ولا لأ؟ يبقى بدي أنزل رأسي لغاية مقابل
المنحنى ومن هنا بدي أنزل رأسي لغاية مقابل المنحنى
من اللي أصغر هذه والله هذه آه هذه أصغر يعني f of x2
أكبر من f of x1 لأن ناقص واحد وناقص عشرة ناقص واحد
أكبر من ناقص عشرة تمام يبقى f of x2 أكبر من f of x
واحد ده ما x واحد أقل من x اثنين أكبر يعني مشي
الثاني هو إنما من يبقى زعمه اللي زعمه خطأ تمام؟
طبعاً هو جالك ايش؟ جالك ناقص عشرة أكبر من ناقص واحد
وبناء عليه زعم هذا الزعم مظبوط؟ يبقى يا عبدالهادي
ناقصة عشرة أصغر من ناقص واحد وأصغر من ناقص اثنين
وأصغر من ناقص ثمانية تمام إذا بصير الفترة من سالب
infinity إلى zero increasing ولا decreasing
increasing والجزء اللي على اليمين باصمين لك عليه
الدالة تزايدية كل ما تكبر x بالزيادة قيمة y أو
بالزيادة قيمة f من هنا الدالة هذه increasing على
كل الـ real line بلا ستة يبقى هنا بقوله if is
increasing
هو إن الفترة من سالب infinity لإنفينيتي كلها
باستثناء ما عنديش decreasing بالمرة طيب نيجي لنمرة
B وما أدرك ما هي نمرة B ايه نمرة B طلع عليه كويس f of
x بده يساوي سالب واحد على absolute value لـ x هذه
تساوي أحد أمرين يا إما السالب واحد على x لما الـ x
أكبر من Zero أو تساوي
لسالب يعني صارت واحد على x لما الـ x مالها أقل من
Zero مظبوط ولا لا؟ صحيح؟ يعني أنا بس شيلت الـ
absolute value و حطيته تاريخ بصير سالب سالب بصير
موجبة بقى تمام؟ طيب بدنا نيجي نرسم رسمتنا هذه هي
المحاور وهذا محور x وهذا محور y هذه نقطة الأصل
الهيمان Zero رسمة واحد على x يجب أن أرسمها قبل
إشارة السالب قبل إشارة السالب يبقى هيها هيك هيها
هيك يبقى المنقطة هذه رسمة من؟ واحد على x فقط لا
غير مش هذا سؤالنا، احنا سؤالنا واحد على absolute
value of x لما أقول absolute value of x يبقى بطل
يصير عندي سالب، ايش بيصير؟ موجب، يعني هذا الجثة
ايش بده يحصل له؟ بده ينقلب ويصير فوق يبقى لو جيت هيك
بالشكل اللي عندنا هنا بده يصير هذا مع هذا هو رسمة
واحد على absolute value of x يبقى المنحنى فوق هذا
رسمة واحد على absolute value of x مش هذا سؤالنا
سؤالنا السالب واحد على absolute value of x يعني
أنا بأضرب الدالة كلها في إشارة يعني اللي كان في
قيمة موجبة ما بدها تصير سالبة، و اللي كانت سالبة،
يبقى احنا هذه جلبناها و صارت فوق، يبقى ما بقالش
عندي تحت ولا حاجة، كل الدالة صارت فوق، سبقت بإشارة
من، تنقلب كلها وصير وين؟ وصير تحت، يبقى بدها تصير
الخط المتواصل هذا
ومن هنا بنفس الطريقة هيك هذا y تساوي سالب واحد على
absolute value of x تمام؟ يبقى هيئة سمن الدالة
اللي عندنا هذه قبل ما أجاوب على باقي السؤال اللي خاطر
أسأله السؤال التالي قداش domain هذه الدالة؟ من
وين؟ أيوة رمى عدى زيرو موافقين يبقى الـ domain
من سالب infinity لـ infinity عدى الـ zero طب بدنا
نيجي للـ range الـ range هاي هاج قدامك اصطلع فيه بدي
واحد من الشجرة هذه أيوة أيوة من سالب مفتوح يعني من
السالب ما لا نهاية يعني من سالب infinity إلى zero as an
open interval يبقى الـ domain كل الـ real numbers عدى الـ zero
لأن عند Zero تنزل لسالب Infinity تمام هذا الـ
domain الـ range بتاخدش قيم موجبة إنما بس القيم
السالبة اللي أسفل عندنا يبقى من عند السالب
Infinity لغاية من Zero يبقى هذا السؤال زيادة على
ما هو مطلوب أجبنا عليه ربطناه بأول نقطة أخذناها في
هذا section وهي الـ domain والـ Range فبدأ نكمل
سؤالنا Orson رسمنا قال لي هاتلي فترات التزايد
وفترات التناقص لهذه الدالة امسكولي الفترة من سالب
infinity لغاية ال zero بدي أعرف الدالة increasing و
والله decreasing يلا بدي واحد من الشجرة هذه يلا
شوف يلا أنتو القوم الكبير أيوة هذه واحد، اثنين و
نصف، ثلاثة، آه هذه أو هذه أو هذه أو هذه أو هذه أو
هذه أو هذه أو هذه أو هذه أو هذه أو
هذه أو هذه أو هذه أو هذه أو
هذه أو هذه أو هذه أو
Increasing ولا Decreasing؟ Decreasing كان عكسيا،
الكلام مصحح، ليش؟ لأن الوقت أخذ أي x هنا واحد و
أي x2 هنا تمام؟ x1 أجل من x2 لكن f of x2 أجل من f
of x1 يبقى على الفترة هذه Decreasing on
من سالب infinity لغاية zero as an open interval
طيب بدنا نيجي من zero لغاية infinity من هنا للاخر
بدنا واحد مش شجرة دي أيوة decrease برضه تناقصية
يعني
اسمع يا شباب شو اسمك أنت يا ابني محمد .. محمد ايش؟
محمد رمزي، بنا نرمز لنصف اليمين تبع الدالة، هل هو
increasing ولا decreasing؟ اعتبر حاجتك، ما قلتش
قبل ذلك، تقول من جديد،
بس هيمشي شويه الشباب
يعني لو أخذت x واحد و أنا x اثنين بصير f of x
اثنين أكبر من f of x واحد لأن كله هذا تابع يبقى
الجزء هذا ماله increasing function يبقى على المص
هذا بقول increasing ده تزايدية على الفترة من zero
لغاية infinity
طيب هذا نمرة B من المثلة بدنا نيجي لنمرة C يبقى
نمرة C نمرة الـ C تبدأ لمكونة من جزئين يبقى عندنا f
of x أحد أمرين يا إما ناقص x لما الـ x أقل من الـ
Zero يا إما ثلاثة لما الـ x greater than or equal
to Zero بدنا نروح نرسم الرسم البياني لهذه الـ
function يعني هذا محور x وهذا محور y وهذا نقطة
الأصل اللي هي Zero
خط مستقيم x أقل من Zero
تساوي سالب x ومن هنا مالها مفتوحة لأن ما عنديش
يساوي تمام يبقى هذه y تساوي سالب x نيجي لغاية بعد
الـ zero الدالة دائماً وأبداً مش ساوية قداش وكذلك عند
الـ Zero بدأ يساوي ثلاثة يبقى ثلاثة بدنا نطلع فوق
هي النقطة هذه ثلاثة يبقى الخط المستقيم اللي عندنا
هذا يبقى هذا y يساوي ثلاثة قبل ما نجاوب على الجزء
الثاني برضه لخاطر أسأل على domain هذه الدالة من و
لا وين بده domain الدالة هذه قداش؟ كل الـ real numbers كلامه
صحيح بلا استثناء of all real numbers بدنا الـ range
الـ range من وين
لوين تاني الـ range مش الـ domain الـ range
أيوه بس من صفر لثلاثة بزيدش هذا
الخط أنا راجع لسالب x لسالب Infinity وهو طالع
والله سهل عليه بوقف عندي الثلاث و والله بضل طالع
يعني
قداش بصير
من صفر لسالب Infinity تحت؟ أيوه،
من وين؟ من zero لـ infinity، كيف نزلت لسالب
Infinity؟ طبعاً احنا طالعين فوق الـ Domain سالب ماشي
الحال، بس الـ Ring طالع فوق، هي رسم الخط المستقيم
والله يسهل عليه، ماشي، ماشي، ماشي، إلى أن يرث الله
الأرض ومن عليها، وماشي، موقفش، تمام؟ يبقى لحد وين
رايح؟ لسالب Infinity ولا لـInfinity؟ احكي يا ابني
ايه؟ طلع الـ y هذه اللي يبقى لـ Infinity يبقى
من zero لـ Infinity من عند الـ zero open و من عند الـ
Infinity open و هذا الطبيعي يبقى الـ range من zero لـ
Infinity as an open interval عمره ما ياخذ قيمة سالبة
طيب ماشي الحل مادام هيك بدنا نعيد لك السؤال ثاني
أنت أيوه من سالب Infinity لغاية الـ zero الجزء
الأول اتدال عليه increasing ولا decreasing خط
اللي نازل هذا من فوق و رايح على النقطة الأصل كيف؟
مش سامع كويس يبقى هنا هذا decreasing function يبقى
الـ f is decreasing on الـ interval من سالب Infinity
لغاية الـ zero طب بعد الـ zero
يعني ايش؟ يعني ثابت، يعني increasing و decreasing
في نفس الوقت؟ يعني يا جيربي، تبقى increasing و
decreasing في نفس الوقت؟ يا راجل، كيف increasing و
decreasing؟ بدي أفهم هذه كيف تمام؟ يبقى فش حاجة
اسمها increasing و decreasing في نفس الوقت على
فترة تماماً على الفترة يا إما increasing يا decreasing
يا يمكن شوية على فترة increasing و شوية decreasing
لكن على الفترة اللي بدنا إياها تبعت السؤال النهائي
بُسميها constant function neither increasing nor
decreasing لا تزايد ولا تنقص يبقى ثابت ده اللي
ثابت هالـ constant function يبقى باجي بقول الـ f is
neither increasing nor decreasing
on الفترة من عند الـ zero لغاية infinity بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى هذه class interval أو بين جثتين
بنسّميها constant function يبقى دالة ثابتة كويس هذا
بالنسبة إلى C بدنا نيجي بالنسبة إلى D يبقى دي بيقول
الـ f of x يساوي الـ square root لتسعة ناقص x تربيع
السؤال لكم ما عدلتش هذه f of x يساوي الجذر التربيعي
لتسعة ناقص x تربيع يعني y تساوي الجذر التربيعي
لتسعة ناقص x تربيع ما عدلتش دائرة ممتازة ده مركزها 375 00:40:18,230
معرفة هنا ومعرفة هنا تمام بعد هيك الـ F is
decreasing on الفترة من Zero لغاية تلاتة يبقى هنا
هذه increasing وهنا decreasing ده التناقصية على
هذه الفترة أيوة وأنا بدأ أسأل مش سامع كويس زلل
ليش؟ وزلل ليش عشان مقفل الفترة؟ صح ولا لأ تلامنا؟
في نقطة مشتركة ما بين الفترتين، مظبوط ولا لأ؟ كيف؟
ما نقلة ذلك، بطل تحسب لهنا و بتتوقف لهنا، بتتوقف
لعندها، increasing ولا لأ؟
ننتقل الآن إلى نقطة أخرى بعد الـ increasing و
الـ decreasing والـ even والـ odd functions الدوال
الزوجية والدوال الفردية اه
لو نزل يبقى متجسمة لفترات على فترة increasing وعلى
فترة دانية decreasing وهكذا لبعض increasing لبعض
decreasing تمام تمام طيب نجي لنقطة جديدة الـ even
and
odd functions وكذلك الـ symmetry التماثل من الرسالة
ايوة هدى
ولا هدى دي فوق كيف هدى
X واحد وهدى X اثنين مين اللي صغيرة فيها أقل من X2،
من الكبيرة فيهم؟ من الكبيرة ومن الصغيرة؟ مش هذه F
of X2 وهذه F of X1؟ يبقى f of x2 مالها يبقى
decreasing ولا حسب التعريف f of x2 أقل من f of x1
ده ما x1 أقل من x2 يبقى decreasing مظبوط ولا لأ
يبقى صح ولا لأ لا هي عمرنا ما قلنا x1 أقل من x2
يعني x2 أكبر من x1 صح ولا لأ لما ندى نقول أن X1 أقل
من X2 بدك تجرها من ناحية تانية ما عنى مشكلة X2 أكبر
من X1 F of
X2 أيوة تجي الله يا راجل هدى أكبر من هدى
خلاص؟ مسحوبة؟ حط
وين ما بدك واكتب مين اللي فيهم الصغراء هذا عامل
مش لشان واحد أقل من اثنين يعني اكس واحد أقل من
اثنين لأ بدأ أكتب ايه يا ربي؟
يبقى f of b أقل من f of a يبقى decreasing مظبوط؟ F
of B أكبر من F of A يبقى increasing يبقى X واحد و
X اثنان هذا رمز أطول ما قلنا إجباري وليس القرآن
نزل من السماء أيوة يا راجل كل الكلام فارق كله
أخذته في الثانوية نفسي بسبق أن عربة بقيت بالإنجليزية
بس مش أكثر أما كله أخذته هذا
ما سمعتش قناة هناك اي رنز ما أنت أن القيمة تبعها تبقى
تحسب F of X يعني F of A وF of B يبقى أنا بتقيت
بالقيم و ليش ده بالرموز ارمز زي ما بدك وبعدين أنت
ويا تعالي هنا على الهجوم يلا بسرعة نشوف اكتشافاتك
للسافر كولومبوس يلا يا ابني أرهج بسرعة
فضل هنا هيا الجلام واحكي خلّي
مالك هنا يا شباب نسمع يمكن نلاقي حاجة جديدة ما
نعرفش تفضل مثلا
هذه سالب خمسة وهذه سالب واحد مثلا
خلاص أنت ويا نجي لثلاث نقاط مهمة الآن في الشغل
اللي هي الدالة الزوجية والدالة الفردية وتماثل
المنحنى symmetry تماثل هناخد تماثل بالنسبة لمحور X
تماثل بالنسبة لمحور Y تماثل بالنسبة لنقطة الأصل
تمام طيب بدنا نعطي تعريف للـ even والـ odd function
ثم تعريف للـ symmetry بالنسبة للـ x والـ y ونقطة
الأصل يبقى بالضبط للـ definition تعريف الأول the
function
F is called an even function
if F of ناقص X بدها تساوي F of X لكل X الموجودة في
دمية دالة F
الـ function F is called an odd function F الـ F
of سالب X يساوي سالب F of X لكل الـ X اللي موجودة
في دمين الدالة F نمرة تلاتة The graph of
the function is symmetric يكون متماثلا about the x
axis حوالين محور x means that يعني أنه ايش means
that أن الـ x والـ y lie on the graph if and only
if إذا و فقط إذا كان الـ x وناقص y lie on the
graph
أخذتوا الدالة الزوجية والدالة الفردية في المرحلة
الثانوية بالمرة نهائية خلاص مصدقين يا عم حتى لو
أخذت مدي أعتبرك مش ماخد وبدنا نبدأ من الصفر بس
مديك تطلع فاهم ايه اللي مديه طيب بين إيدينا ثلاث
نقاط رئيسة الـ even function الدالة الزوجية الـ Odd
function الدالة الفردية تلاتة السيمتري والسيمتري
هنقسمه إلى ثلاث نقاط سيمتري بالنسبة لمحور X سيمتري
بالنسبة لمحور Y سيمتري بالنسبة لنقطة الأصل بدنا
نيجي للتعريف اللي بين إيدينا تعريف الأول بيقول
الدالة F بقول عنها دالة زوجية even function F الـ F
of سالب X بدها تساوي F of X لكل الـ X اللي موجودة في
دمية الـ F بلا استثناء يعني ايش قصدك تقول اه لما
أقول f of ناقص x بدها تساوي الـ f of x يعني ايش يعني
لو جيت على الدالة اللي عندنا شيلت x وحطيت مكانها
سالب x تبقى الدالة كما هي بدون تغيير أبسط الأمثلة
لو قلت لك f of x يساوي x تربيع شيل الـ x وحط مكانها
ناقص x بصير ناقص x الكل اللي هي مين؟ X تربيع يبقى
هذه بسميها ايه؟ دالة زوجية طيب تمام نيجي للدالة
الفردية الدالة F بقول عنها دالة فردية إذا كان F of
ناقص X يساوي ناقص F of X لكل الـ X اللي موجودة في
domain الدالة F بمعنى لو شيلت الـ X وحطيت مكانها
ناقص X اللي هو الـ variable تبع الـ function بدأ
تطلع نفس الدالة الأصلية بس مسبوقة بإشارة إن حدث
ذلك بقول هذه odd function يبقى هذه هي دالة فردية
طيب يبقى في فروقات الآن ما بين الدالة الفردية
والدالة الزوجية الدالة الزوجية لا تتأثر بتغيير
الإشارة الدالة الفردية إذا غيرت الإشارة بدأ تجي
إشارة سالب لكل الـ function بلا ستة نعم مظبوط هيك
طيب نجي لحكاية التماثل خلي بالك معايا هنا نجي نمرة
ثلاثة الـ graph of the function is symmetric about
the x axis المنحنة تبع الدالة يكون متماثلا بالنسبة
لمحور X المقصود بالبلدي يعني الرسم اللي أعلى محور X
بيظهر الرسم زيها بالضبط وعلى نفس البعد من محور X
يبقى لو كانت اللي فوق محور X الـ Y عندها بالموجبة
تظهر رسم زيها تحت محور X بيصير مين؟ بالسالب، يعني
لو كانت النقطة X وY موجودة على المنحنى، بدها تظهر
جبلها تحت نقطة X وY، الإحداث السيني زي ما هو،
الخلاف صار في من؟ في الإحداث الصادي فراح قال لي هذه
معناها ايش means that تعني أنه لو النقطة x و y
وقعت على المنحنى يبقى يجب أن النقطة x وسالب y تقع
كذلك عالميا على المنحنى تمام تمام أيضا بالـ if هذا
اختصار لكلمة if and only if اللي كنتوا في الثانوية
بتقولولها إذا و فقط إذا كان مش هيك؟ طيب إذا وفقت
إذا كان ترجمته بالإنجليزية if and only if وتختصر
إلى IFF هذا من ناحية اللغة لكن من ناحية الرياضيات
ايش معناها؟ if and only if يعني هذه العبارة ممكن
تقراها من الشمال لليمين وممكن من اليمين للشمال هذا
بالكلام البلدي لكن بالكلام الرياضي لو أعطيت النقطة
هذه والمنحنى كانت متمثل بالنسبة لمحور X لازم
تلاقي النقطة هذه موجودة على المنحنى والعكس لو كان
المنحنى متمثل بالنسبة لمحور X لاجيت النقطة هذه على
المنحنى لازم تلاقي النقطة هذه موجودة على المنحنى
يعني الاتجاه بيصير في اتجاهين متعاكسين وكل الاتجاهين
يكونوا صحيحا طيب ايش رأيك أنا بدي أربط الـ symmetry
بالـ even والـ odd function وبعد هيك هرسملك اللي هو
التلات رسومات كيف تربطهم بيقول لك اه الـ even
function الدالة الزوجية ولو روحت رسمت المنحنى
تبعها بيكون متمثل بالنسبة لمحور Y يعني الرسم اللي
على يمين محور Y زي الرسم اللي على شمال محور Y
تمام؟ يعني ايش؟ يعني لو قلنا هذا مجسم أو هذا بني
آدم واجب فينا وهذا المحور هو محور وي المرأة
المستوية يبقى صورة هذا المجسم بتظهر وين؟ على الشجة
التانية وعلى نفس البعد يبقى المنحنى اللي على
اليمين بدها يظهر منحنى تاني على شمال محور زى وعلى
نفس main وعلى نفس البعد بمعنى آخر لو كانت النقطة x
و y على يمين محور y على منحنى تظهر نقطة مقابلة على
الشمال اللي من سالب x و y اجباله تمام هي x و y
يبقى هنا سالب x و y يبقى إذا وقعت النقطة X وY على
المنحنى فتظهر النقطة سالب X وY على المنحنى هذا
التماثل بالنسبة لمحور Y وهي الدالة الزوجية ضايل
عندي كمان نقطة بدنا نخلصه ضايل مين الدالة الفردية
الدالة الفردية معناها أن الرسم البياني للدالة
متماثل بالنسبة لنقطة الأصل معناه أن أي نقطة ليحدث
إلى x و y بدها تظهر نقطة سالب x وسالب y يعني
البعد على محور x من الناحية دي بدها يظهر بعد من
الناحية التانية بعد هنا بدها يظهر على نفس البعد
نقطة مناضرة لها من الناحية التانية يبقى هذا
التماثل بالنسبة يعني لو وقعت نقطة في الربع الأول
نظرتها بتيجي في الثالث لو وقعت في الثاني نظرتها
بتيجي في الرابع الرابع
نرسم الرسمات وبعد ذلك بنكون جوابنا على الأسئلة
اللي بتدور في دماغك وأنت ما أنت داري أو داري سيام
يبقى بدي أكتب هذا على شكل الـ remark التالية remark
زي علامة أو زي شغلة مشهورة أو ما إلى ذلك يبقى هنا
remark
الـ remark بتقول ما يتعجسمها إلى نقطتين النقطة
الأولى the graph of
an even function الدالة الزوجية is symmetric
متماثلا
about the
Y Axis حوالين محور Y ليش؟ since لأن الـ F سالب X
بدها تساوي من الـ F of X أي أنه that is أي أنه a
point XY
Lie
on the graph if and only if سالب x و y lie on the
graph نمرة
اثنين the graph of an odd function is symmetric
about
the origin تمثل بالنسبة لنقطة الأصل since نظرا لإنه
الـ F of سالب X دي تساوي سالب F of X that is IN a
point النقطة والـ y lie on the graph على الرسم
البياني if and only if سالب x وسالب y lie on the
graph
إلا إن هذا الكلام بدي أرسمه على الطبيعة مشان شوفه
على الطبيعة كيف بيحصل تماثل بالنسبة لـ X تماثل
بالنسبة لـ Y تماثل بالنسبة للـ origin وكيف علاقته هذا
مع الـ even والـ odd function مع الدالة الزوجية و
الدالة الفردية لذلك بالداخل الحالي هنا رقم ثلاثة
قال للرسم البياني للدالة يكون متمثلا حول محور X
يبقى الإحداث الأول مش هيحصل عليه أي تغيير وإنما
الإحداث الثاني هو اللي بيحصل عليه تغيير من هنا
بقول المنحنة اللي قدامنا هذا متمثل بالنسبة لمحور الـ X
طيب انتهينا من النقطة الأولى اللي بتاعت الرسم الآن
بدي أربط الـ even والـ odd مع مين؟ مع باقي الـ
symmetry يبقى بدّأجي أخد التماثل بالنسبة لمحور الـ Y
يبقى
هذا منحنى محور الـ X وهذا محور الـ Y وهذه نقطة الأصل اللي
هي Zero لو رسمت منحنى وطلع المنحنى بالشكل اللي
عندنا فكان
المنحنى بالشكل اللي عندنا
المنحنى هذا هي محور الـ Y جاي في النص يبقى الرسم
اللي على اليمين زي مين؟ زي الرسم اللي على الشمال
بالضبط تمامًا يبقى ما في مشكلة الرسم ازاي؟ ماهي ماشية
بالشكل هذا بدي أخد أي نقطة موجودة هنا يبقى النقطة
هذه لو نزلتها بيكون البعد هذا ماله؟ X والبعد هذا
يبقى النقطة هذه اللي إحداث تبعها XY لو جيت من هذه
النقطة نزلت عمود على محور الـ Y ومديته على استقامته
هنا يبقى هذه النقطة بتكون جد هذه بالضبط تمامًا اللي
هي هذه جد هذه بالضبط تمامًا وبالتالي بيصير إحداث
النقطة هذه ناقص X وY بالضبط تمامًا طيب هذه Y يعني
هذه X وهذه مين؟ F of X صحيح ولا لا؟ هذه اللي هو
سالب X و F of سالب X لإحداث تبعها البعد الرأسي هذا
هو نفس البعد الرأسي هذا ولا لا؟ يبقى النقطة هذه
البعد هذا جد البعد هذا البعد من هو؟ f of x وهذا
البعد من؟ يبقى اثنين هذول بيساووا بعض f of سالب x
بيساووا مع بعض f of x مش هذا تعريف الـ even function
ولا لا؟ إذا الـ even function هي الرسم البياني لها
دالة هذه الدالة رسمتها متمثل بالنسبة لمحور الـ Y يعني
الجزء اللي على يمين محور الـ Y زي الجزء اللي على
الشمال محور كأنه هو هو بس مقلوب عبر مرآة مستوية
يعني لو حطيت المرآة المستوية على محور الـ Y تظهر الرسم
هذه مقلوبة وين؟ في النهاية تنزعي أنت الصبح لما بدك
تيجي على الجامعة توقف قدام المرآة لو قلنا المرآة
هذه المحور ويبقى تظهر صورتك وين؟ على الناحية
التانية بس مقلوبة أنا متجه غربًا الصورة بتبين وين؟
شرقًا يبقى الصورة مقلوبة عبر مين؟ محور هذه الآن بشكل
لو أنا موجهة على محور الـ Y من الناحية هذه بيصير موجهة
على محور الـ Y من الناحية الثانية يبقى المنحنى متماثل
بالنسبة لمحور الـ Y وبالتالي هذه بقول عنها even
function يبقى الرسم البياني للدالة الزوجية يكون
متماثلًا بالنسبة لمحور الـ Y طيب نجي للنقطة الثالثة
والأخيرة يبقى لو جيت قلت هذا محور الـ X هذا محور الـ Y هذا
نقطة الأصل تمام بأجي بقول لو أخذت المنحنى مثلًا Y
تساوي X تكعيب الشكل اللي عندها يبقى هذا Y تساوي X
تكعيب جينا قلنا لك خدك أي نقطة على المنحنى والتكن
مثلًا النقطة اللي عندك هذه جدّاش الإحداث تبعها تقول لي
هذه x و y يبقى هذه النقطة x و y قلت لك بالله وصل لي
لنقطة الأصل ومد المستقيم على استقامته بتقول لي هي
هيك على نقطة الأصل وصلته من الناحية الثانية تمام
يبقى المنحنى صار بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى وصلنا هذا على استقامته بالشكل اللي عندنا هذا
صار الخط اللي عندي هذا قدام مين؟ الخط اللي عندنا هذا
هذه النقطة x و y لكن هذه لو جيت رأسك هذه سالب x
يبقى هذا المنحنى متماثل بالنسبة لنقطة الأصل لأن أي
نقطة على بعضها عن نقطة الأصل من هذه الناحية يساوي
نفس البعد اللي على المنحنى من وين؟ من الناحية الأخرى
رياضيًا يعني لو وقعت النقطة x و y على المنحنى فإن
النقطة ناقص x و ناقص y تقع على المنحنى مثل ما عشان
الـ graph of an odd function is symmetric about the
origin ليش؟ لأن الـ F of ناقص x الـ F of ناقص X بدو
يساوي ناقص F of X اللي هي F of X اللي هي Y تمام؟
من هنا قلنا هذا معنى أيش؟ معنى التماثل بالنسبة للـ
origin يبقى الـ odd function رسمتها دائمًا وأبدًا
متماثلة بالنسبة لنقطة الأصل الـ even function
رسمتها متماثلة دائمًا وأبدًا بالنسبة لمين؟ لمحور
اسأل السؤال اللي بغلبة
مش وهمي حقيقي حقيقي اه ومن هنا رسمتك اللي هو
القطع الناقص هذا رسمة حقيقية اه ممتاز
جدًا السؤال هو بقيت لفترات التزايد والتنقص اللي
ما لهاش داعي بالـ even والـ odd هنا صح؟ طب أقول لك ماشي
الحال أنا بالداجي كيف؟ فاستنى شوية ما احنا هنجاوب
عليه الآن هل الرسم هذه هي رسمة اقتران؟ بطلنا
increasing و decreasing مظبوط؟ يجب ويحطها على
الشجرة احنا الـ increasing والـ decreasing كلها
بالنسبة لي function وقتاش الـ function increasing
وقتاش الـ function decreasing أيوة اللي رفع أيديه
هنا بطل؟ أيوة الدائرة أنت فيها ثلاثة دائرة مالها؟
بتحطها ده ثلاثة ليه؟ بالملون والسحر طب أنا بسألك
هي الدائرة دالة؟ ممكن يكون ده ممكن لا حسب
الـ Interval اللي بتاخدها عليها صحيح ولا لا؟
وبالتالي ما أقدرش أحكم لأن أنا بقول ايه even
function أو odd function يبقى دائرة أنا مش عارف
غير لما أشوفها هي نص دائرة نص يمين ولا شمال
ولا فوق ولا تحت وبالتالي بيصير اختلف الكلام
أيوة
تمام ايش مكتوب قدامك على اللوح هنا؟ مكتوب الـ Odd
ها الـ Symmetric حوالين مين؟ والله حوالين محور الـ x
Right Believe
it بدل ما كانت موجهة بصرة سالبة Believe it هي
X شرطها مختلفة لكن صورتهم نفسها F of X يساوي F of
ناقص X يا
راجل أنا قلت لك هيكتفهمونيش غلط اسمه يا ابني أنت
وياه احنا بنتكلم على مين؟ على الـ even function بس
اسمع برضه عودنا للدائرة تاني يا راجل وين هي
الدائرة؟ ما عنديش دائرة قطعة النقص ما روش function و
بعد ايه؟ احنا هذا اللي رسمناها الـ ellipse بس لمعنى
الـ symmetry المنحنى قلنا تمام؟ أو الـ S طيب يبقى
المنحنى يكونوا متماثلين ولم أقر رسمة الـ function
المنحنى قد يكون function وقد لا يكون function
خربطش بين التنتين أيوة أستاذ أقبل نقص لتحت الـ cell
لو قرناها كل واحد حاجة ماشي الحاجة بنفع ولا بنفعش؟
بنفع ماشي يبقى شيلنا اللي فوق وخلّينا y less than
zero كتبنا القطع الناقص معادلته X تربيع على A تربيع
زي Y تربيع على B تربيع يساوي واحد ورحت وحطيت
condition Y أقل من أو تساوي Zero يبقى بيصير اللي
فوق بسلامته هذا كله مش موجوده في شغل النص في
السفلي أي vertical line اللي يقطعه إلا في نقطة
واحدة صار function ما هو سؤالك even غصب عني وعنك
عارف ليش؟ لأن النصف اللي على اليمين بيصير زي النصف
اللي على الشمال ما بدأش سؤالها دي خلاص
ده اللي عارف يسأل ثاني؟ بدنا نفوت للنقطة اللي
بعدها أو النقطة اللي بعدها بدنا نعطي مثل على الـ
odd والـ even قبل نحكم على الـ function هل هي odd و
لا even بمعنى بدنا نطبق التعريف اللي احنا حطناه
قدامنا وبواسطة هذا التعريف نحكم على الـ function هل
هي even ولا odd ولا even ولا odd يبقى example
determine whether حدد
لهال the following functions الدوال
التالية are even odd or
neither يعني لا even ولا odd نمر ايه الـ F of X
يساوي X أُس أربعة absolute value للـ X تكعيب زائد
خمسة solution قال
شوف لهذه الدالة هل هي even ولا odd والله لا even
ولا odd والله ايش رايح نضيف عليها even و odd في
نفس الوقت بنفع بنفع في حالة واحدة فقط لا غير لو
كانت f of x تساوي zero بيصير الـ function even و odd
في نفس الوقت لكن غير هيك يبعت لك الله مش صحيح طيب
على أي حال يبقى يا even يا odd
زائد خمسة تمام هذه ايش رأيك فيها X أُس أربعة زي
ما هي X أُس أربعة زائد absolute value هذه سالب X في
سالب X في سالب X يعني سالب X لكل تكعيب زائد خمسة
أول خاصية من خواص القيمة المطلقة اللي خدتوها في
الثانوية إن absolute value لـ -x هي absolute value لـ
-x absolute value للسالب تلاتة هي absolute value
للتلاتة اللي هي بتلاتة مظبوط أو لا؟ وقص عليها كل
الـ real numbers إذا absolute value للسالب X هي
absolute value لـ X إذا هذه عبارة عن ايش؟ absolute
value لـ X تكعيب يبقى هذه بدها تساوي X أُس 4 زائد
absolute value لـ X تكعيب زائد خمسة طبقًا لهذه
الخاصية طب هذه مين هي؟ مش هي الدالة الأصلية؟ يبقى
هذه بدها تساوي F of X الأصلية يبقى بناء على يسار F
of سلب X يساوي مين؟ يبقى دالة هذه مالها؟ even
function يبقى sol F is an even function يبقى دالة
زوجية نمر بها F of X يساوي X على X تربيع ناقص
تلاتة بتعرف هذه دالة زوجية والله ده ده ده ده ده ده
ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده
ده ده ده ده ده ده ده
أنا مش عارف ايه السؤال
بتشيل كل X وبتحط مكانها سالب X وبعدين بطلع أشوف
شو النتيجة إن طلعت الدالة الأصلية يبقى even مع
طلعت الدالة الأصلية يمكن odd ويمكن لا even ولا odd
هذه اللي احنا قاعدين بندور عليه مظبوط هذه طلعت من؟
الدالة الأصلية إذن الدالة هذه even يعني سعر F of
سالب X هو F of X مظبوط يا ابني؟ مش هيك كان
التعريف؟ طيب نيجي للتانية F of X يساوي X على X
تربيع سالب ثلاثة الآن أنا بدي أخد من F of سالب X
يبقى سالب X سالب X لكل تربيع سالب تلاتة شلت كل X و
حطيت مكانها سالب X يبقى هذه بدها تساوي سالب X على
هذه X تربيع ناقص ثلاثة هذه بقدر أقول خد لي السالب
برا بيظل X على X تربيع ناقص ثلاثة اللي بين جسينها
دي مين؟ هذه F of X الأصلية يبقى هي السالب برا وهي
الـ F of X ايش صار عندي F of سالب X يساوي قداش؟ سالب
F of X هذه الأصلية وهذه اللي توصلنا لها بناء عليه
الـ F دي مالها؟ odd function يبقى فال F is an odd
function نجي
لنمرى الـ C نمرى C الـ F of X absolute value للـ X
زائد واحد بدي أشوفها even ولا odd يبقى solution
بدي أخد الـ F of سالب X absolute value لسالب X زائد
واحد هل هي الدالة الأصلية اللي فوق؟
هي اللي فوق يبقى هذه لا تساوي F of X يعني هذه ما 773 0
مستقيم، خط مستقيم، يبقى هذه المقصود فيها، أظن هذه
التي وعدت فيها قبل شوية في بداية المحاضرة، طيب يبقى
هذه معادلة خط مستقيم، أو كنت بتقوله في الثانوية Y
يساوي MX زائد B، الـ M هذا طول الجزء الميل، والـ B هو
طول الجزء المقطوع من محور الصادات Y intercept
وهذا هو الـ slope، طيب كويس، يبقى الـ M هذا يرمز
للسلوب تبع الـ line، وهذا الـ Y intercept يعني طول
الجزء المقطوع من محور الصادات، الآن بدأ ناخد المستقيم
هذا في حالاته المختلفة، تمام، فبجي بقول لو كان عندي
محاور بالشكل هذا، هذا محور X وهذا محور Y، وحبيت أرسم
الخط المستقيم الذي عندنا، افترض هذا الخط المستقيم
تمام، يبقى هذا الخط الذي معادلته Y تساوي MX زائد B
وين الـ B؟ وين الـ M هذه؟ أحنا بنقول إن الـ B هي الـ Y
intercept، يبقى B هي المسافة التي عندنا هذه، تمام؟
يعني إحداثي النقطة هذه هو صفر و M، طيب وين الـ M؟ الـ
M الـ slope يعني الظل الزاوية التي بيعملها لي مع
الاتجاه الموجب لـ X axis، يبقى هذا الخط المستقيم
الذي عندنا واضح إن الـ slope تبعه عامل موجب ولا سالب؟
موجب، لأن الزاوية زاوية حادة، لكن لو الخط المستقيم
أجى من الناحية الثانية، بصير Y تساوي سالب MX زائد B
الخط المستقيم هذا بدنا نيجي ناخد له عدة حالات
الحالة الأولى لو كانت الـ M تساوي صفر، يعني الميل
تبع الخط المستقيم تساوي صفر، يعني إيش؟ موازي لمحور
الصادات، أو منطبق عليه، وموازي يعني جاي فوق أو جاي
تحت، يبقى بدي أجي آخذ نمرة واحد: الـ M تساوي صفر
والـ B لا تساوي صفر، يبقى بدي أرسم هذه المحاور
التي عندنا، هذا محور X هذا Y، هذا صفر، M تساوي صفر
part of term هذه بيصير f of x تساوي كذا، ش بيعني؟ يعني
بيصير عندنا Y تساوي B، والله إذا B أكبر من الـ
صفر، بده يجينا الخط المستقيم فوق، يبقى هذا Y تساوي
B، و B greater than zero، طيب الخط المستقيم ممكن
يكون بالسالب، إذا Y يساوي كمية سالبة، يبقى بده يجينا
الخط هذا Y تساوي سالب B، و B أكبر من الـ صفر، طيب
ليش كتبت الـ B أكبر من الـ صفر؟ مشان أضمن أنها تبقى
هذه سالبة، مظبوط؟ يبقى Y تساوي سالب 3، الـ 3
أكبر من الـ صفر، يبقى مضمون هذا يظل يأخذ قيمة سالبة
مش مشكلة، يبقى Y تساوي B، و B أقل من الـ صفر، عادي
جداً، نفس الكتابة، يبقى Y تساوي سالب B، و B موجبة
دائماً وأبداً مشان أضمن أن هذا يظل من السالب، طيب
ممكن ما يكونش Y تساوي B، ممكن يكون الـ X يساوي A، رقم
والـ A هذا ممكن يكون موجب، وممكن يكون سالب، يبقى
بيصير عندي هذه المحاور، وهذا محور X وهذا محور Y، Y
تساوي A هي، يبقى هذا Y تساوي A، المسافة من هنا لهنا
X يساوي A؟ X بده يساوي A، والـ A positive، والـ A
greater than zero، لكن لو اجت الخط الذي عندنا هذا
يبقى هذا X يساوي سالب A، والـ A كذلك أكبر من الـ
صفر، عشان أضمن إن هذا سالب، يبقى X يساوي A موازية
لمحور Y من جهة اليمين، X يساوي سالب A موازية لمحور
Y من جهة اليسار، يبقى هذه الحالة الأولى، الخطوط
المستقيمة الموازية لمحور X أو الموازية لمحور Y، ممكن
الـ M ما تكونش بصفر تكون رقم، ولكن الـ B هي التي
بتبقى بصفر، طب لو الـ B هذه صارت بصفر، الخط
المستقيم ماله؟ بده يمر بنقطة الأصل، يبقى بدنا نيجي
للحالة الثانية: الـ M لا تساوي صفر، والـ B تساوي
صفر، الحالة، الخطوط المستقيمة ستكون بهذا الشكل، يبقى
هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة الأصل التي هي الـ
صفر، فتاخذ أول شغلة، لو كان الـ M بواحد يبقى بيصير
معادلة f of x تساوي X، يعني Y تساوي X، يبقى بدرجيك
الخط الذي عندك هذا بالشكل هذا، هيك، و مده على
استقامة، يبقى هذا الـ f of x بده يساوي الـ X أو الـ Y
يساوي الـ X، الزاوية هذه بـ 45، والزاوية هذه
بـ 45، هذه في علم الرياضيات بيسموها الـ
identity function، دالة الوحدة، يبقى هذه بنسميها الـ
identity function، يبقى هذه دالة الوحدة، إيش لو كان
f of x يساوي نص X، يبقى إيش بده يصير؟ بده يصير الخط
هنا في الشق هذه، من هذا وفوق ولا منه وتحت؟ منه
وتحت، لأن عند X يساوي 1 بيصير قيمته نص، بس هذا
عند الواحد بيصير قيمته 1، يبقى هذا الخط الأزرق
هذا هيك، بدي أجيك اللي هو Y تساوي نص X، يعني M تساوي
نص، طب لو كم Y تساوي 2X؟ فوق، بدي أجي منه فوق
يبقى هذا الخط، بدي أجيك هناك، خط هنا Y تساوي 2
X، عارفين ليش يا شباب؟ لأن لو قلت هي النقطة التي
هي 1، بس هي عند الواحد قيمته نص، هذا عند الواحد
قيمته أيضاً 1، هذا عند الواحد قيمته أيضاً 2
وهكذا، طب واحد يقول لي طيب Y تساوي ناقص X مش موجب
بتجي من الشق الثانية، يبقى من الشق الثانية
بتجينا الخط Y تساوي سالب X، وهكذا ما ينطبق على
الموجب ينطبق على السالب عندنا، يبقى هذا الوضع
للخطوط المستقيمة في حالتها
التناسب الطردي والتناسب العكسي، يبقى definition two
variables
يوجد تناسب وتناسب عكسي، إذا واحد دائماً
دائماً وأبداً a constant multiple of
the other that
is، أي أنه Y تساوي K في X، for non zero constant K
Also
وكذلك Y تساوي K في واحد على X، يعني
إن Y is inversely
proportional
عن طريق الـ X
أنا عندي متغيرين، واحد X واحد Y، المتغيرين هذول are
proportional، يعني يتناسبوا تناسباً طردياً if one is
always a constant multiple of the other، إذا كان
أحدهم مضاعفات الآخر، جدّه مرة ونص، جدّه مرتين، جدّه خمس
مرات، جدّه سبع مرات وثلت، اربع زي ما بدك مضاعفاته
That is، بدي أصيغ السطرين هذول بصيغة رياضية، فباجي
بقول له Y تساوي K، حيث K عدد حقيقي غير صفري، 2، 3
1.5، 20، 500 زي ما بدك، تمام، for none
zero constant K، لمقدار ثابت غير الصفر، يبقى هذا
التناسب الطبيعي، لما أقول متغيرين متناسبين بقدر
أحول التناسب إلى تساوي وبضرب في مين؟ في مقدار ثابت
يبقى هذا الذي تعلمناه في الفيزياء كل حياتنا، نحول
التناسب إلى تساوي بضرب في مقدار ثابت، المقدار
الثابت الذي هو K، مقدار ثابت غير الصفر، المعادلة
الثانية Y تساوي K على X، تناسب عكسي، يبقى means يعني
إن Y is inversely proportional، تتناسب تناسباً عكسياً
مع من؟ مع المتغير الثاني الذي هو X، واضح كلامي
هنا؟ طيب، لحد هنا stop، لسه لما ننتهي بعد، لكن بدي
أعطيكم أرقام المسائل مشان تبدوا تشتغلوا وتحضروا
الـ discussion
المناقشة، أيوه، بدرس روح تمرن حالك في الأسئلة
التالية، exercises، واحد واحد، المسائل من واحد لغاية
57، الـ odd numbers، اه، الأرقام الفردية من
واحد لـ 57