1
00:00:04,910 --> 00:00:09,510
بسم الله الرحمن الرحيم هذه المحاضرة الخامسة في

2
00:00:09,510 --> 00:00:15,630
مساق تحليل حقيقي 2 لطلبة كلية العلوم تخصص 

3
00:00:15,630 --> 00:00:22,110
رياضيات في الجامعة الإسلامية بغزة المحاضرة

4
00:00:22,110 --> 00:00:26,550
اليوم هي جزئين، الجزء الأول اللي هو عبارة عن 

5
00:00:26,550 --> 00:00:31,350
Discussion لـ 6.1 اللي هو مناقشة لموضوع اللي هو

6
00:00:31,350 --> 00:00:37,410
Derivative أو الاشتقاق. الجزء الثاني هنكمل اللي هو

7
00:00:37,410 --> 00:00:43,210
الحديث عن 6.2 اللي هو الـ Mean Value Theorem أو

8
00:00:43,210 --> 00:00:47,730
نظرية القيمة المتوسطة. هناخذ بعض التطبيقات لنبدأ 

9
00:00:47,730 --> 00:00:51,750
الآن اللي هي بالأسئلة اللي احنا طلبناها منكم

10
00:00:51,750 --> 00:00:57,230
تحلوها كواجب المرة الماضية أو التي قبلها وكانت 

11
00:00:57,230 --> 00:01:01,210
الأسئلة هي عبارة عن السؤال الرابع والسؤال السابع

12
00:01:02,000 --> 00:01:07,420
والسؤال التاسع والسؤال الثالث عشر. بالنسبة للسؤال

13
00:01:07,420 --> 00:01:13,600
الثالث اللي هو عبارة عن اللي هي برهان نظرية 6.1.3 A

14
00:01:13,600 --> 00:01:19,200
و B. وهذه البراهين براهين سهلة اللي كانت الـ F 

15
00:01:19,200 --> 00:01:22,960
Differentiable، الـ F Differentiable والـ Alpha

16
00:01:22,960 --> 00:01:26,560
عبارة عن Constant بيعطينا الـ Alpha F برضه is

17
00:01:26,560 --> 00:01:30,200
Differentiable. ولو كانت الـ F والـ G

18
00:01:30,200 --> 00:01:32,700
Differentiable بيعطينا الـ F زائد G is

19
00:01:32,700 --> 00:01:35,660
Differentiable. واحنا برهننا حالة الضرب وحالة

20
00:01:35,660 --> 00:01:41,500
القسمة، وهدول حالات تعتبر سهلة مباشرة على التعريف

21
00:01:41,500 --> 00:01:45,900
لذلك هنبدأ إن شاء الله في الحديث أو في حل الأسئلة 

22
00:01:45,900 --> 00:01:52,540
على السؤال الرابع اللي هو بقول لي عندي معطيني F

23
00:01:52,540 --> 00:02:01,760
من R لـ R بي defined by F of X بساوي اللي هو X

24
00:02:01,760 --> 00:02:06,420
تربيع إذا كانت X Rational وبساوي صفر إذا كانت X 

25
00:02:06,420 --> 00:02:09,700
Irrational. اثبت إن الـ F الـ Differential بالقدر X

26
00:02:09,700 --> 00:02:15,550
بتساوي صفر أو جد اللي هي F prime of 0. لاحظ أن الـ

27
00:02:15,550 --> 00:02:16,610
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

28
00:02:16,610 --> 00:02:17,090
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

29
00:02:17,090 --> 00:02:17,910
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

30
00:02:17,910 --> 00:02:20,450
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

31
00:02:20,450 --> 00:02:27,990
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

32
00:02:27,990 --> 00:02:28,350
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

33
00:02:28,350 --> 00:02:29,630
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

34
00:02:29,630 --> 00:02:29,690
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ

35
00:02:29,690 --> 00:02:41,470
الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ 

36
00:02:41,470 --> 00:02:52,150
Find this value. a proof الآن عشان نوجد

37
00:02:52,150 --> 00:02:56,730
اللي هي نثبت أن F prime of 0 موجودة. خلّيني ألاحظ 

38
00:02:56,730 --> 00:03:00,950
مالي عند الـ function اللي هي X تربيع لما X

39
00:03:00,950 --> 00:03:07,150
Rational و Zero لما X is Irrational. الآن بدنا

40
00:03:07,150 --> 00:03:11,770
نتوقع أول شيء اللي هو لأنه هتلزمني جاي اللي بعدين

41
00:03:11,770 --> 00:03:15,890
Find this value. بدنا نتوقع ايش قيمة اللي هو الـ

42
00:03:15,890 --> 00:03:20,950
Derivative عند الصفر. لاحظ أنه اللي هو .. اللي ..

43
00:03:20,950 --> 00:03:25,630
اللي لو بدنا نقول إنه الـ Derivative ممكن تكون Zero

44
00:03:25,630 --> 00:03:30,510
كون إن F of X صفر. أو لو بدها تكون والـ 

45
00:03:30,510 --> 00:03:36,560
Derivative هنا لو قلنا رفلا 2X بدو يكون اللي هو لو

46
00:03:36,560 --> 00:03:40,820
بدو يكون اللي عند الـ Zero اللي هي F prime بدو في

47
00:03:40,820 --> 00:03:47,220
النهاية تروح لـ اللي هيكون برضه قريبة من إنه نقول

48
00:03:47,220 --> 00:03:52,580
أو نأكد إنها صفر عشان هي كالظن الغالب إن F prime

49
00:03:52,580 --> 00:03:58,660
هتكون ايش؟ صفر. هذه مجرد تفكيرات. الآن بدي أثبت لك إنه

50
00:03:58,660 --> 00:04:03,080
فعلًا هي الـ Derivative بتساوي 0. كيف بدي أثبتها؟

51
00:04:03,080 --> 00:04:11,280
بدي أثبت لك إنه الـ Limit لـ F of X نقص F of 0 على

52
00:04:11,280 --> 00:04:17,600
X minus 0 لما X تروح لـ 0 بتساوي 0. بدي أثبت لك 

53
00:04:17,600 --> 00:04:24,240
هيها. الآن واضح إن X تقول إلى الصفر. X تقول إلى الصفر

54
00:04:24,240 --> 00:04:29,200
هتمر بالـ Rational والـ Irrational عشان هيك صعب إن أنا

55
00:04:29,200 --> 00:04:32,600
أتحدث عن اللي هو إيجاد الـ Derivative مباشرة من 

56
00:04:32,600 --> 00:04:36,130
الآن أو من الـ Two Branches اللي عندي. لا بقدر أخد من

57
00:04:36,130 --> 00:04:40,030
اليمين ولا أخد من اليسار لإنه عندي من اليمين أو من 

58
00:04:40,030 --> 00:04:44,130
اليسار هيكون عندي اللي هو قابلنا اللي هي الأعداد الـ

59
00:04:44,130 --> 00:04:48,110
Rational للـ Rational. فعشانك أسلم شيء إنه نستخدم

60
00:04:48,110 --> 00:04:52,650
التعريف في إثبات هذا. يعني الآن بدي أثبت هذا الكلام

61
00:04:53,270 --> 00:04:58,090
كيف بدي أثبته؟ بدي أثبت ما يعني بدي أصل لكل إبسلون 

62
00:04:58,090 --> 00:05:03,190
أكبر من 0 بدلاج دلتا أكبر من 0. بدلاجية حاجيلك دلتا

63
00:05:03,190 --> 00:05:08,350
بحيث أنه لما يكون الـ Absolute Value لـ F of X ناقص

64
00:05:08,350 --> 00:05:14,630
F of Zero على X minus Zero يكون ناقص Zero طبعا

65
00:05:14,630 --> 00:05:19,790
Zero هذي أصغر من إبسلون. هذا متى؟ Whenever

66
00:05:22,670 --> 00:05:28,470
x-0 أكبر من 0 وأصغر من مين؟ من دلتا. هذا اللي بده 

67
00:05:28,470 --> 00:05:33,150
أثبته أو هذا اللي بده أثبته. خلّينا نشوف إذا خلّينا

68
00:05:33,150 --> 00:05:36,530
نشوف كيف بدنا نوجده عشان أثبت إن الـ Limit هذا

69
00:05:36,530 --> 00:05:43,110
بساوي 0. لاحظ القيمة اللي عندي أول شيء الـ Absolute

70
00:05:43,110 --> 00:05:50,530
Value of F of X ناقص F of 0 على X-0 ايش هتساوي؟

71
00:05:51,590 --> 00:05:57,390
هتساوي اللي هو الـ Absolute Value of F of X عندي يا X

72
00:05:57,390 --> 00:06:01,070
تربيع يمين يا صفر. خلّينها زي ما هي أول شيء. F of X

73
00:06:01,070 --> 00:06:06,010
ناقص F of Zero اللي هو جداش بيساوي Zero لإنه F 

74
00:06:06,010 --> 00:06:10,130
of Zero بيساوي Zero لإنه Zero Rational. على إذن هذا

75
00:06:10,130 --> 00:06:16,230
صفر على X ناقص صفر اللي هو X. Absolute Value هذا 

76
00:06:16,230 --> 00:06:22,790
القيمة الآن لاحظ بتساوي يا إما اللي هو X تربيع على

77
00:06:22,790 --> 00:06:30,750
X Absolute Value في حالة X is Rational أو بتساوي

78
00:06:30,750 --> 00:06:37,450
اللي هو صفر في حالة X شمالها is Irrational. لأن 

79
00:06:37,450 --> 00:06:42,030
قيم F of X يا X تربيع يا صفر حسب اللي هو كتبناه

80
00:06:42,030 --> 00:06:46,790
حاليًا. الآن هذا بالظبط هو عبارة عن الـ Absolute 

81
00:06:46,790 --> 00:06:57,590
Value لل X if X is Rational Zero if X is

82
00:06:57,590 --> 00:07:03,950
Irrational. الآن الصورة وضحت. خلّينا نسمي هذا اللي

83
00:07:03,950 --> 00:07:09,900
هو واحد. الآن حضرت عشان أصل للنهاية اللي أنا كاتبها

84
00:07:09,900 --> 00:07:13,800
هنا واشوف ايش الـ Delta اللي بتطلع عندي. الآن بتدعي

85
00:07:13,800 --> 00:07:17,380
مالي For every Epsilon أكبر من صفر أنا بقول There

86
00:07:17,380 --> 00:07:21,800
exists Delta هتساوي من الـ Epsilon. هتجد تشوفوا ليش 

87
00:07:21,800 --> 00:07:26,980
There exists Delta بساوي Epsilon Such that if X

88
00:07:26,980 --> 00:07:35,210
minus 0 أكبر من صفر وأصغر من Delta Then هذا معناته

89
00:07:35,210 --> 00:07:37,870
ايش؟ إن إبسل يوت فيها الـ X أكبر من صفر وأصغر من 

90
00:07:37,870 --> 00:07:41,870
مين؟ من دلتا. إذا اخترت دلتا ايش بتساوي وهي اللي 

91
00:07:41,870 --> 00:07:47,850
هتخلص من الموضوع Then اللي هو F of X نقص F of Zero

92
00:07:47,850 --> 00:07:50,970
على 

93
00:07:50,970 --> 00:07:57,790
X minus Zero هو طبعًا نقص الصفر اللي قلنا عنها الـ

94
00:07:57,790 --> 00:08:01,520
Derivative المتوقع عليا هذه بالظبط اللي فوق هذا هو

95
00:08:01,520 --> 00:08:05,920
اللي فوق طلع ايش عندي؟ هذا بساوي هذا المقدار إذا 

96
00:08:05,920 --> 00:08:09,760
كانت X Rational و 0 إذا كانت X Irrational يعني

97
00:08:09,760 --> 00:08:15,400
بمعنى آخر بساوي Absolute Value لـ X if X is

98
00:08:15,400 --> 00:08:23,530
Rational و 0 if X is Irrational. In both cases اللي 

99
00:08:23,530 --> 00:08:27,590
هي إذا كان بساوي Absolute Value للـ X هيكون أصغر 

100
00:08:27,590 --> 00:08:31,250
من Delta اللي أنا اخترتها شمالها Epsilon هيكون 

101
00:08:31,250 --> 00:08:34,570
أصغر من Epsilon. وأيضا هذه متحققة لإن الـ Epsilon 

102
00:08:34,570 --> 00:08:38,850
دائما شمالها أكبر من 0. إذا اللي حصلته إنه لكل

103
00:08:38,850 --> 00:08:42,490
Epsilon أكبر من 0 اللي جيت Delta لما يكون هذا أصغر

104
00:08:42,490 --> 00:08:47,130
من Delta بيعطيني هذا أصغر من Epsilon. وهذا يعني 

105
00:08:47,130 --> 00:08:54,370
Hence Limit هذا المقدار اللي هو F of X ناقص F of 0 

106
00:08:54,370 --> 00:09:01,690
على X minus 0 لما X تروح للصفر بساوية اللي هو

107
00:09:01,690 --> 00:09:12,870
الصفر. وهذا هو تعريف من الـ F prime عند 0 That is F

108
00:09:12,870 --> 00:09:18,740
prime at 0 بساوية 0. وفي نفس الواجب طبعًا أثبتنا الـ

109
00:09:18,740 --> 00:09:25,960
Existence للـ F prime عند الـ Zero. أي سؤال؟ طيب

110
00:09:25,960 --> 00:09:30,840
نيجي الآن نشوف السؤال الثاني. خلينا نقول السؤال الرابع

111
00:09:30,840 --> 00:09:44,220
نيجي لسؤال 7 الآن.

112
00:09:44,220 --> 00:09:48,100
سؤال 7 ايش اللي بيقوله؟ سؤال 7 اللي بيقوله سؤال 

113
00:09:48,100 --> 00:09:52,420
7 مالي عندي

114
00:09:52,420 --> 00:09:55,740
Suppose

115
00:09:55,740 --> 00:09:59,320
that F من R لـ R is Differentiable at C. يعني نفترض

116
00:09:59,320 --> 00:10:04,520
أنه F قابل للاشتقاق عند C. ونفترض إن F of C قيمة الـ

117
00:10:04,520 --> 00:10:07,920
Function عند C بساوية 0. لأن بقول لشهدات الـ Absolute 

118
00:10:07,920 --> 00:10:10,960
Value لل F of X اللي هي نسميها G of X is 

119
00:10:10,960 --> 00:10:14,080
Differentiable at C If and only if F

120
00:10:14,080 --> 00:10:21,740
prime of C بتساوي 0. إذا ناخد لك F من R لعند R و

121
00:10:21,740 --> 00:10:30,810
جايلك إن F prime عند C Exist معطيك إياها أو ومعطيك

122
00:10:30,810 --> 00:10:37,390
اللي هو F of C بتساوي صفر وبقول لي Prove that أنه

123
00:10:37,390 --> 00:10:42,370
G of X بساوي الـ Absolute Value للـ F of X is 

124
00:10:42,370 --> 00:10:49,810
Differentiable at C If and only if F prime عند الـ 

125
00:10:49,810 --> 00:10:57,880
C ايش بتساوي؟ بتساوي صفر، مظبوط؟ طيب شوف. الآن خلينا

126
00:10:57,880 --> 00:11:03,380
افترض أول شيء إن F prime عند C ايش بتساوي؟ صفر. نقول

127
00:11:03,380 --> 00:11:09,320
Suppose proof. Suppose

128
00:11:09,320 --> 00:11:15,580
Suppose 

129
00:11:15,580 --> 00:11:23,120
that F prime at C بتساوي صفر. ايش هذا بيعني؟ إن Then

130
00:11:23,120 --> 00:11:25,940
Limit

131
00:11:27,220 --> 00:11:36,680
F of X ناقص F of C على X minus C لما X تروح للـ C

132
00:11:36,680 --> 00:11:40,240
اللي هو بيساوي صفر لأن هذا تعريف مين؟ F براين

133
00:11:40,240 --> 00:11:46,000
بيساوى صفر. و F of C ايش معطيني إياه؟ بيساوي صفر لأن

134
00:11:46,000 --> 00:11:53,260
بيساوى Limit F of X على X minus C لما X تروح لمين؟ 

135
00:11:53,260 --> 00:11:58,730
للـ C. مدامة الـ Limit هذه موجودة إذا الـ Limit من 

136
00:11:58,730 --> 00:12:02,270
اليمين والـ Limit من اليسار أيش برضه مالها؟ موجودة

137
00:12:02,270 --> 00:12:06,710
ماشي الحال. أنا الآن غرضي إن أو أثبت إن G of X بسبب

138
00:12:06,710 --> 00:12:09,190
Absolute Value of F of X أيش مالها؟ Is

139
00:12:09,190 --> 00:12:14,110
Differentiable at C. ماشي. الآن ايش اللي بدي أثبته

140
00:12:14,110 --> 00:12:22,370
بمعنى آخر بدي أثبت لك إنه Limit الـ G of X ناقص G of C 

141
00:12:22,370 --> 00:12:29,430
C على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C exist بشيء إذا

142
00:12:29,430 --> 00:12:31,930
أثبتوا معناته أثبتتوا إن الـ G is differentiable

143
00:12:31,930 --> 00:12:36,970
at C أو بمعنى آخر بالدثبت limit للـ absolute value 

144
00:12:36,970 --> 00:12:42,660
للـ F of X ناقص الـ g of x ناقص الـ absolute value of f

145
00:12:42,660 --> 00:12:48,960
of c على الـ X ناقص C لما الـ X بتروح للـ C exist بدي أشوف

146
00:12:48,960 --> 00:12:53,240
هدا لسه exist ولا لأ يعني بدي أثبت اللي هو limit

147
00:12:53,240 --> 00:12:58,900
absolute value of f of x على الـ X ناقص C as X بتروح

148
00:12:58,900 --> 00:13:07,520
للـ C أشماله exist ماشي الحال طيب الآن واضح

149
00:13:08,360 --> 00:13:13,000
عندي من اللي فوق الـ limit للـ F of X على الـ X ناقص C

150
00:13:13,000 --> 00:13:19,160
as X بتروح للـ C إنه إيش بيساوي بيساوي صفر، مظبوط؟

151
00:13:19,160 --> 00:13:27,160
إذا هيكون عندي limit اللي هو limit absolute value

152
00:13:27,160 --> 00:13:33,400
للـ limit خليني أكتبها بس في طريقة أخرى الصفر هذا

153
00:13:33,400 --> 00:13:43,200
اللي بدأتبته اه إنه exist عندي الـ absolute value ل

154
00:13:43,200 --> 00:13:52,020
limit f of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C اللي هو

155
00:13:52,020 --> 00:13:58,020
من اليمين ومن اليسار exist، مظبوط؟ واضحة ويساوي

156
00:13:58,020 --> 00:14:05,160
اللي هو limit absolute value للـ F of X على الـ X ناقص

157
00:14:05,160 --> 00:14:12,420
C as X بتروح لمين؟ للـ C بشيء

158
00:14:12,420 --> 00:14:16,820
الحال الآن من اليمين ومن اليسار كله هيكون موجود

159
00:14:16,820 --> 00:14:20,480
بناء على هذا إنه موجود خلّيني أخد من اليمين وهنا

160
00:14:20,480 --> 00:14:25,860
من اليمين فبصير هذا عبارة عن limit absolute value

161
00:14:25,860 --> 00:14:32,140
لـ F of X على الـ X ناقص C لما الـ X بتروح لـ C من وين؟ من

162
00:14:32,140 --> 00:14:38,330
اليمين يعني هذا المقدارصار موجود وإيش بيساوي بيساوي

163
00:14:38,330 --> 00:14:42,350
صفر هذا خلّيه لإنه هذا اللي بدنا نصلّه لأن limit

164
00:14:42,350 --> 00:14:47,310
صار عندي معنى آخر limit absolute value of f of x

165
00:14:47,310 --> 00:14:53,850
على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من اليمين بيساوي صفر

166
00:14:53,850 --> 00:14:58,360
existلاحظوا قاعد رايح لأثبت أن هذا exist ده خد الآن

167
00:14:58,360 --> 00:15:03,520
من وين؟ من اليسار خد لأن أحسب similarly عندي صفر

168
00:15:03,520 --> 00:15:08,840
بيساوي absolute value of limit f of x على الـ X ناقص C

169
00:15:08,840 --> 00:15:15,100
لما الـ X تروح لـ C من وين؟ من اليسار ويساوي عبارة عن

170
00:15:15,100 --> 00:15:19,960
limit absolute value of f of x على absolute value

171
00:15:19,960 --> 00:15:25,900
of X ناقص C لما الـ X تروح لـ C من وين؟ من اليسار هذه

172
00:15:25,900 --> 00:15:34,580
نفسها بيساوي limit أو بيساوي سالب limit f of x

173
00:15:34,580 --> 00:15:42,270
absolute value على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من

174
00:15:42,270 --> 00:15:47,030
اليسار، ليش؟ لأن X أصغر من C، إذا X ناقص C سالبة

175
00:15:47,030 --> 00:15:50,230
إذا الـ absolute value سالب إليها واخدت السالب برا

176
00:15:50,230 --> 00:15:54,990
هذا الآن المخضر بيساوي صفر، إذا هذا لحاله برضه إيش

177
00:15:54,990 --> 00:16:01,270
ماله؟ صفر، إذا limit absolute value للـ F of X على

178
00:16:01,270 --> 00:16:04,870
X ناقص C، لما X تروح للـ C من اليسار، برضه إيش

179
00:16:04,870 --> 00:16:10,450
بيساوي؟ بيساوي صفر، لاحظ إن الـ limit من اليمين والـ

180
00:16:10,450 --> 00:16:15,890
limit من اليسار موجود وبساوي 0 متساويين يعني الآن

181
00:16:15,890 --> 00:16:23,130
الـ limit هذا صار إيش بيساوي بيساوي 0 إذا الآن هذا

182
00:16:23,130 --> 00:16:29,870
الآن بنقوله كله تحت هذا وبقول hence اللي هو الـ G

183
00:16:29,870 --> 00:16:38,310
prime of C بيساوي limit of g of x نقص g of c على الـ X

184
00:16:38,310 --> 00:16:46,870
ناقص C as X → C بيساوي حسب اللي عندي من هنا ومن

185
00:16:46,870 --> 00:16:55,310
هنا ومن هنا هيساوي صفر الآن conversely بتفترض

186
00:16:55,310 --> 00:16:58,090
طبعاً إن الـ conversely هيكون الخطوات كثير مشابهة

187
00:16:58,090 --> 00:17:03,350
للي هنا يعني كثير اللي استخدمته هنا هستخدمه في

188
00:17:03,350 --> 00:17:03,930
اللي بعدها

189
00:17:12,670 --> 00:17:17,790
Conversely suppose that

190
00:17:17,790 --> 00:17:25,890
g of x سواء absolute value أو f of x اللي

191
00:17:25,890 --> 00:17:33,550
هو is differentiable at C بدا وجدلك الآن أثبتلك إن

192
00:17:33,550 --> 00:17:39,650
f prime of C إيش ما لها بتساوي صفر يعني بدا أثبت

193
00:17:39,650 --> 00:17:46,880
limit f of x ناقص f of C اللي هي صفر على الـ X ناقص C

194
00:17:46,880 --> 00:17:51,160
لما الـ X تروح للـ C إيش بيساوي بيساوي صفر بكون خلصت

195
00:17:51,160 --> 00:17:58,500
الآن issue مشابه عند الآن limit

196
00:17:58,500 --> 00:18:05,180
هذا exist عند الـ C إذا عندي صار الـ g prime of C exist

197
00:18:05,180 --> 00:18:10,430
ويساوي حسب الحديث اللي هنا limit absolute value of

198
00:18:10,430 --> 00:18:18,570
f of x ناقص الـ absolute value of f of C صفر على الـ X

199
00:18:18,570 --> 00:18:26,310
ناقص C لما الـ X تروح لـ C أشماله exist معيّ؟ طيب شوف

200
00:18:26,310 --> 00:18:34,960
الآن عندي إذا احسب لي limit f of x اللي حسبناها قبل

201
00:18:34,960 --> 00:18:39,660
بشوية بنفس الأسلوب على الـ X ناقص C لما الـ X تروح لـ C من

202
00:18:39,660 --> 00:18:47,020
وين؟ من اليمين بيساوي limit للـ absolute value لـ f

203
00:18:47,020 --> 00:18:53,780
of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح لـ C من اليمين لأن الـ

204
00:18:53,780 --> 00:19:01,840
X أكبر من الـ C واضحة الآن من جهة أخرى احسب لي الـ

205
00:19:01,840 --> 00:19:08,060
absolute value للـ limit للـ F of X طبعاً هذا إيش

206
00:19:08,060 --> 00:19:15,620
هيساوي بيساوي g prime of C، مظبوط؟ بيساوي g prime of

207
00:19:15,620 --> 00:19:23,290
C، موجود، limit f of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح لـ C

208
00:19:23,290 --> 00:19:28,570
من وين؟ من اليسار بيساوي زي ما عملنا قبل شوية سالب

209
00:19:28,570 --> 00:19:33,530
limit absolute value of f of x على الـ X ناقص C لما الـ X

210
00:19:33,530 --> 00:19:41,050
تروح لـ C من وين؟ من اليسار الآن واضح بما أن هذه

211
00:19:41,050 --> 00:19:51,470
exist إذا هذا المقدار وهذا المقدار زي بعض الآن هذا

212
00:19:51,470 --> 00:19:56,590
بيساوي ناقص هذا أو بمعنى آخر نشيل الناقص من هنا ون

213
00:19:56,590 --> 00:20:03,390
ضربه هنا صار عندي المقدرين هدولة بما إنه متساويين

214
00:20:03,390 --> 00:20:10,310
لإن الاتنين إيش بيساوين الـ g prime of C مظبوط إذا

215
00:20:10,310 --> 00:20:13,390
صار عندي هذا المقدار بيساوي هذا المقدار إذا صار

216
00:20:13,390 --> 00:20:20,940
عندي الـ limit f of x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C

217
00:20:20,940 --> 00:20:29,560
من اليمين absolute value بيساوي ناقص limit f of x

218
00:20:29,560 --> 00:20:34,600
على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من وين؟ من اليسار

219
00:20:34,600 --> 00:20:41,500
واضحة؟ لكن أصلاً عندي هذا

220
00:20:43,370 --> 00:20:49,010
بيساوي اللي هو الاتنين بيساوي نفس القيمة ماشي الحال

221
00:20:49,010 --> 00:20:55,850
إذا لازم عندي من هنا g prime و g prime اللي هو

222
00:20:55,850 --> 00:21:00,210
صار بيساوي نفس القيمة إذا هيطلع الـ g prime إيش

223
00:21:00,210 --> 00:21:05,530
ماله بيساوي صفر إذا صار المقدار هذا كله إيش بده يساوي

224
00:21:05,530 --> 00:21:08,650
صفر وهذا بيساوي صفر يعني الـ limit من اليمين والـ

225
00:21:08,650 --> 00:21:12,070
limit من اليسار متساويين إذا صارت limit f of x على

226
00:21:12,070 --> 00:21:23,310
X ناقص C لما الـ X تروح للـ C بدها تساوي صفر أي سؤال؟

227
00:21:23,310 --> 00:21:31,130
زي ما حكينا، الآن إحنا قلنا إنه لو كانت الـ D بدينا D

228
00:21:31,130 --> 00:21:34,600
بيساوي f of x الـ differential بالأد C جبنا g prime

229
00:21:34,600 --> 00:21:37,500
وكتبناها بالصورة اللي أمامنا بعدين أخدنا الـ

230
00:21:37,500 --> 00:21:40,120
absolute value لـ limit f of x على الـ X ناقص C لم X

231
00:21:40,120 --> 00:21:45,200
تروح لـ C positive طلعت عندي بيساوي g prime of C و

232
00:21:45,200 --> 00:21:48,680
أخدنا اللي هي ناقص هذه طلعت عندي برضه g prime

233
00:21:48,680 --> 00:21:53,920
الاتنين الـ C إذا صار هذا بيساوي هذا المقدار واحنا

234
00:21:53,920 --> 00:21:57,640
بنعرف في الأصل إن f prime of C exist يعني

235
00:21:57,640 --> 00:22:01,900
differentiable يعني الـ limit هذا اللي هو موجود ومن

236
00:22:01,900 --> 00:22:05,100
اليمين ومن اليسار زي بعض يعني يعني هذا بده يساوي

237
00:22:05,100 --> 00:22:07,500
هذا من اليمين وهذا من اليسار يعني في الواقع هذا

238
00:22:07,500 --> 00:22:10,960
اللي جوا هو نفسه اللي جوا بيساوي limit of f of x يعني

239
00:22:10,960 --> 00:22:15,780
بمعنى آخر absolute value لـ limit of f of x على الـ X

240
00:22:15,780 --> 00:22:22,100
ناقص C لما الـ X تروح للـ C هو نفسه سالب limit للـ f of

241
00:22:22,100 --> 00:22:27,400
x على الـ X ناقص C لما الـ X تروح للـ C من وين من

242
00:22:27,400 --> 00:22:31,540
اليسار هو نفسه للـ C من وين تبت هذه لأن احنا بنقول

243
00:22:31,540 --> 00:22:34,560
f prime of C exist يعني الـ limit هذا موجود ومن

244
00:22:34,560 --> 00:22:37,360
اليمين ومن اليسار زي بعض إذا صار هذا المقدار نفس

245
00:22:37,360 --> 00:22:41,200
هذا المقدار زي ما قلنا إذا صار عند هذا المقدار بيساوي

246
00:22:41,200 --> 00:22:46,800
صفر لأن الاتنين بيساويا بيساوي صفر إذا صار عندي limit f

247
00:22:46,800 --> 00:22:50,880
of x على الـ X ناقص C اللي هو الـ absolute value as X

248
00:22:50,880 --> 00:22:56,100
بتروح للـ C بيساوي صفر ومن ثم اللي جوا بيساوي صفر هو

249
00:22:56,100 --> 00:22:58,740
مين هو اللي جوا هذا اللي كنا بدنا نصله من الأول

250
00:22:58,740 --> 00:23:04,260
اللي هو f prime of C بتساوي صفر وهو المطلوب هذا

251
00:23:04,260 --> 00:23:10,300
توضيح بشكل كامل للي صار في اللي هو الاتجاه

252
00:23:10,300 --> 00:23:16,200
الثاني نيجي لسؤال بعد ما خلصنا السؤال سبعة نيجي

253
00:23:16,200 --> 00:23:23,420
لسؤال تسعة تسعة إيش اللي بقوله تسعة نشوف إيش سؤال

254
00:23:23,420 --> 00:23:31,360
تسعة بقول ونحل سؤال تسعة سؤال تسعة بقول ليه

255
00:23:31,360 --> 00:23:39,110
باختصار إنه لو كان عنده الـ function of عبارة عن من

256
00:23:39,110 --> 00:23:43,130
R لـ R even function طبعاً عارفين إيش الـ even اللي

257
00:23:43,130 --> 00:23:49,130
هو f ناقص x بيساوي f x لكل x موجودة في الـ R and

258
00:23:49,130 --> 00:23:54,310
has a derivative at every point then f prime is an

259
00:23:54,310 --> 00:23:58,190
odd function يعني بيقول لي لو كانت باختصار يعني لو

260
00:23:58,190 --> 00:24:01,730
كانت الـ f even والـ derivative موجودة بتكون الـ

261
00:24:01,730 --> 00:24:07,010
derivative odd ولو كانت الـ derivative odd بتكون

262
00:24:07,010 --> 00:24:11,350
الـ function الـ f prime إيه شمالها is even انحل

263
00:24:11,350 --> 00:24:16,970
واحدة من هنا والتانية similarly زيها الآن لنفترض f

264
00:24:16,970 --> 00:24:29,890
من عند R لعند R be an odd differentiable function

265
00:24:29,890 --> 00:24:34,970
ماشي الحال show that

266
00:24:36,040 --> 00:24:44,360
f' is even a proof بدنا نثبت إنه لو كانت الـ f

267
00:24:44,360 --> 00:24:49,940
اللي هي odd function بدو يكون عنده و

268
00:24:49,940 --> 00:24:52,320
differentiable بدو يكون عنده derivative إلها إيه

269
00:24:52,320 --> 00:25:03,000
إيش even لأن let C element in R be arbitrary and

270
00:25:03,000 --> 00:25:04,180
fixed

271
00:25:06,310 --> 00:25:15,930
ناخد الـ R ناخد الـ C أي اللي هو real number in

272
00:25:15,930 --> 00:25:23,360
R لكن نحكي عن أي شيء محدد الآن f prime of C بدأ

273
00:25:23,360 --> 00:25:29,060
أثبت لك إنه هو بيساوي f prime of ناقص C يعني f prime

274
00:25:29,060 --> 00:25:34,920
is even إذا خد f prime ناقص C وابدأ حسب وواصلك في

275
00:25:34,920 --> 00:25:39,140
النهاية بيساوي f prime of C إذا f prime is even بيساوي

276
00:25:39,140 --> 00:25:49,380
limit اللي هي f of x ناقص f of ناقص C على x ناقص

277
00:25:50,570 --> 00:25:57,070
اللي هو ناقص C لما الـ x تروح لمين لـ ناقص C مظبوط

278
00:25:57,070 --> 00:26:05,550
طيب وبيساوي limit الـ f إيش معطينا إياها عبارة عن odd

279
00:26:05,550 --> 00:26:12,250
إيش يعني odd يعني f of ناقص x بيساوي ناقص f of x

280
00:26:12,250 --> 00:26:16,590
مظبوط هذه اللي هي إيش ما لها odd function اللي هو 

281
00:26:16,590 --> 00:26:28,550
بيساوي limit F of x اللي هي ناقص f of ناقص x

282
00:26:28,550 --> 00:26:34,150
واضح أه؟

283
00:26:34,150 --> 00:26:37,150
f of ناقص x بيساوي ناقص f of x يعني f of x بيساوي

284
00:26:37,150 --> 00:26:41,230
ناقص f of ناقص x فالجد تعرفوا ليش عملت هيك لأن

285
00:26:41,230 --> 00:26:48,570
ناقص f of ناقص c الآن f is odd مظبوط بيصير زائد f 

286
00:26:48,570 --> 00:26:49,330
of c

287
00:26:52,220 --> 00:26:58,060
على خد الآن ناقص من هنا عامل مشترك بيصير عبارة عن

288
00:26:58,060 --> 00:27:08,220
ناقص x الآن ناقص ال c لما x تروح لمين لسالب ال c

289
00:27:08,220 --> 00:27:14,040
ال x بتروح لسالب ال c إذا و فقط إذا سالب ال x

290
00:27:14,040 --> 00:27:22,160
بتروح لمين إلى ال c الآن خد لي y بيساوي سالب ال x

291
00:27:22,160 --> 00:27:29,240
واستبدل عشان نوضح لك إياه بيساوي limit الآن خد الآن

292
00:27:29,240 --> 00:27:38,320
عندي f  حكما كان نقص  x  سمّينا ال y limit ناقص F of y

293
00:27:38,320 --> 00:27:49,390
زائد f of c على اللي هو y بتروح إلى ال c وهنا y

294
00:27:49,390 --> 00:27:57,430
ناقص ال c وهنا في عندي ايش برضه ناقص برا لأن خد من

295
00:27:57,430 --> 00:28:01,670
هنا ناقص عامل مشترك أو ضيعه مع الناقص اللي هنا

296
00:28:01,670 --> 00:28:11,160
ما واضح أه بيصير عندي y بيساوي limit f of y ناقص f of c 

297
00:28:11,160 --> 00:28:16,800
على y ناقص c لما y تروح لل c وهذا عبارة عن f

298
00:28:16,800 --> 00:28:22,440
prime لمين لل c بدأنا ب f prime ناقص c وانتهينا ب f

299
00:28:22,440 --> 00:28:31,520
prime لل c لذا therefore f prime is even whenever

300
00:28:31,520 --> 00:28:37,160
f is odd and f is differentiable

301
00:28:40,710 --> 00:28:56,810
السؤال الأخير السؤال 13 السؤال

302
00:28:56,810 --> 00:29:03,990
13 هو كما يلي  ايش

303
00:29:03,990 --> 00:29:09,200
اللي بقول السؤال 13 سؤال 13 بيقول إذا كانت f من R

304
00:29:09,200 --> 00:29:12,380
لـ R is differentiable at c element in R show that

305
00:29:12,380 --> 00:29:16,840
f prime of c يساوي limit N في f of c زائد 1 على N ناقص

306
00:29:16,840 --> 00:29:20,620
f of c as N goes to infinity يعني لو كانت f

307
00:29:20,620 --> 00:29:24,900
differentiable عند الـ c element in R بنقدر نكتب

308
00:29:24,900 --> 00:29:27,920
ال derivative اللي هي f prime of c على صورة limit

309
00:29:27,920 --> 00:29:32,320
N f of c زائد 1 على N ناقص f of c as N goes to

310
00:29:32,320 --> 00:29:38,120
infinity لكن بيقول لي by example show that the

311
00:29:38,120 --> 00:29:44,000
existence of this limit this limit need not اللي

312
00:29:44,000 --> 00:29:52,300
هو imply the existence of the derivative نيجي

313
00:29:52,300 --> 00:30:03,960
الآن للجزء الأول عندي f من R لـ R و f prime of c

314
00:30:03,960 --> 00:30:12,120
exist لأنه يقول لي prove that f prime of c can be

315
00:30:12,120 --> 00:30:20,760
written as limit N في f of c زائد 1 على N ناقص f

316
00:30:20,760 --> 00:30:26,180
of c as N goes to infinity هذا الجزء الأول الجزء

317
00:30:26,180 --> 00:30:32,400
الثاني حنجي الآن نقول prove للجزء الأول قبل ما نقول

318
00:30:32,400 --> 00:30:37,700
الـ proof نذكركم بس بنظرية سابقة في الـ real واحد

319
00:30:37,700 --> 00:30:43,840
إنه لو عندي limit f of x لما x تروح لل c لو كانت

320
00:30:43,840 --> 00:30:52,780
بتساوي l بكون عندي أي sequence xₙ بتروح للـ c لازم

321
00:30:52,780 --> 00:30:59,020
يتحقق لها limit f of xₙ as n goes to infinity

322
00:30:59,020 --> 00:31:05,530
بيساوي برضه الـ كنا نتحدث بالحديث، باستبداء الحديث

323
00:31:05,530 --> 00:31:08,670
عن الـ limit العادية للـ function S x بتروح للـ c

324
00:31:08,670 --> 00:31:13,470
إلى limit لمين للـ sequence أو limit للـ sequences

325
00:31:13,470 --> 00:31:17,290
الآن بنستخلص هذه اللي هو المعلومة في إثبات اللي

326
00:31:17,290 --> 00:31:22,630
بدنا إياه عند الآن since f prime of c exist بما أنه

327
00:31:22,630 --> 00:31:29,250
ال derivative عند c موجودة إذا أكيد عندي صار f 

328
00:31:29,250 --> 00:31:37,010
prime of c بسهولة f of x أو اللي هي الـ x عند c

329
00:31:38,080 --> 00:31:46,140
زائد h ناقص f of c على h as h goes to mean to zero

330
00:31:46,140 --> 00:31:49,860
اللي هو التعريف التعريف ال derivative أو الشكل

331
00:31:49,860 --> 00:31:52,980
الآخر للتعريف ال derivative f of c زائد ال

332
00:31:52,980 --> 00:31:55,560
increment ناقص f of c على ال increment as ال

333
00:31:55,560 --> 00:32:01,600
increment goes to mean to zero ماشي الحل ال l بما

334
00:32:01,600 --> 00:32:07,480
أنه اللي هو ال 1 على N sequence بتروح للصفر وهذا

335
00:32:07,480 --> 00:32:11,440
الـ limit exist لأن حسب النظرية اللي حكيتها قبل

336
00:32:11,440 --> 00:32:21,100
بشوية بكون عندي لأن butكذا then f prime of c can

337
00:32:21,100 --> 00:32:26,580
be اللي هو إعادة اللي هي rewritten as a limit of a

338
00:32:26,580 --> 00:32:36,800
sequence f of اللي هو limit limit f of c زائد but

339
00:32:36,800 --> 00:32:40,000
الـ h اللي هي تروح للصفر صارت mean ال sequence

340
00:32:40,000 --> 00:32:46,380
واحدة على N تروح للصفر واحدة على N ناقص f of c على

341
00:32:46,380 --> 00:32:52,640
واحدة على N as N goes to infinity مدامت ال sequence

342
00:32:52,640 --> 00:32:57,100
واحدة على N بتروح للصفر صارت ال f of واحدة على N اللي

343
00:32:57,100 --> 00:33:00,900
هي عبارة عن f of c زائد واحدة على N لأن الـ c عبارة

344
00:33:00,900 --> 00:33:07,740
عن إياش فالتة واضح أه؟ الآن هذا بيساوي اللي هو

345
00:33:07,740 --> 00:33:14,600
limit الآن as n goes to infinity اللي هو أكيد اللي

346
00:33:14,600 --> 00:33:21,920
هو بيصير عندي f n في الجوس f of c زائد 1 على n

347
00:33:21,920 --> 00:33:28,260
ناقص f of c اللي هو as n goes to infinity هو هذا

348
00:33:28,260 --> 00:33:35,150
صار f prime of c وهو المطلوب الآن conversely the

349
00:33:35,150 --> 00:33:37,890
converse need not to be true in general هيك بيقول

350
00:33:37,890 --> 00:33:45,390
ليه يعني بيقول لي if if بيقول لي أو اللي بيقول if f

351
00:33:45,390 --> 00:33:53,670
برا اللي هو limit f of c زائد 1 على n ناقص f of c

352
00:33:53,670 --> 00:34:01,610
الكل مضروب في n as n goes to infinity exist if كده

353
00:34:02,500 --> 00:34:12,640
then f prime at c need not be exist أصلا مش أنه

354
00:34:12,640 --> 00:34:16,180
يكون بيساوي هذا أو لا need not to be  اشمل  exist

355
00:34:16,180 --> 00:34:19,640
لأن لو كان exist على طول بيساوي اما need not to be

356
00:34:19,640 --> 00:34:28,200
exist وما أخذ مثال جالي consider consider consider

357
00:34:28,200 --> 00:34:37,000
f of x بيساوي ال absolute value لل x وخد عند ال c ايش

358
00:34:37,000 --> 00:34:46,440
بتساوي صفر واضح f prime of 0 does not exist لأنها

359
00:34:46,440 --> 00:34:48,780
عبارة عن corner point، أنتو عارفين احنا اللي هو

360
00:34:48,780 --> 00:34:52,480
ال f prime عند ال zero لل absolute value does not

361
00:34:52,480 --> 00:34:59,740
exist لكن هذه متحققة، ليش؟ but limit

362
00:35:01,280 --> 00:35:10,900
N في f of 0 زائد 1 على N ناقص f of 0 as N goes to

363
00:35:10,900 --> 00:35:18,840
infinity بيساوي limit N f of 0 زائد 1 على N يعني f

364
00:35:18,840 --> 00:35:23,560
of 1 على N f of x بيساوي absolute value x ف 1 على N

365
00:35:23,560 --> 00:35:28,960
مظبوط أه as N goes to infinity طبعا الـ N بتروح

366
00:35:29,220 --> 00:35:35,100
يصير عبارة عن ash واحد إذا فعلا جبنا مثال أن ال

367
00:35:35,100 --> 00:35:39,720
limit هذه تكون exist و يساوي واحد but ال f prime عند

368
00:35:39,720 --> 00:35:42,640
هذا النقطة c اللي هي 00 في هذه الحالة does not

369
00:35:42,640 --> 00:35:47,320
exist بيكون هيك احنا انتهينا من الجزء الأول من

370
00:35:47,320 --> 00:35:54,870
المحاضرة الخامسة اللي هو discussion لأو مناقشة ل

371
00:35:54,870 --> 00:35:59,910
section 6-1 اللي هو the derivative والآن سنكمل

372
00:35:59,910 --> 00:36:05,690
الحديث في الجزء الثاني من المحاضرة اللي هو عن اللي

373
00:36:05,690 --> 00:36:09,250
هو the mean value theorem أو اللي هي نكمل

374
00:36:09,250 --> 00:36:11,910
applications على mean value theorem وناخد اللي هو

375
00:36:11,910 --> 00:36:12,030
ال