1 00:00:04,910 --> 00:00:11,030 بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة الرابعة بعد حالة 2 00:00:11,030 --> 00:00:19,410 الطوارئ في مادة أو مساق تحليل رياضي 2 أو تحليل 3 00:00:19,410 --> 00:00:23,970 حقيقي 2 لطلبة وطالبات الجامعة الإسلامية كلية 4 00:00:23,970 --> 00:00:30,110 العلوم قسم الرياضيات وهي المحاضرة رقم 14 في المادة 5 00:00:30,110 --> 00:00:35,970 أو في المساق عنوان المحاضرة اليوم اللي هو 6 00:00:35,970 --> 00:00:43,260 fundamental theorem of calculus بشقيها شق تفاضل 7 00:00:43,260 --> 00:00:50,640 التكامل وشق تكامل التفاضل roughly نبدأ اللي هو في 8 00:00:50,640 --> 00:00:54,960 النظرية الأولى أو الجزء الأول من النظرية اللي هي 9 00:00:54,960 --> 00:00:58,760 the first form of the fundamental theorem of calculus 10 00:00:58,760 --> 00:01:04,870 اللي هي الجزء الأول بتقول ما يلي: let f from a إلى b 11 00:01:04,870 --> 00:01:08,430 لعند R be an integrable function on a إلى b يعني 12 00:01:08,430 --> 00:01:12,070 فرضنا أن الـ function f عبارة عن دالة قابلة 13 00:01:12,070 --> 00:01:17,190 للتكامل على الفترة المغلقة a إلى b and let F capital 14 00:01:17,190 --> 00:01:22,190 من a إلى b لعند R تحقق الشروط التالية تحقق أول شيء 15 00:01:22,190 --> 00:01:25,110 أنها تكون الـ F capital هذه continuous على الفترة 16 00:01:25,110 --> 00:01:30,530 a إلى b الشرط الثاني f prime exists and f prime of x 17 00:01:30,530 --> 00:01:34,130 بيساوى الـ f small اللي بدأنا فيها دي الفرض منها 18 00:01:34,130 --> 00:01:39,880 integrable لكل x element in a إلى b بنقول الـ 19 00:01:39,880 --> 00:01:44,900 integration من A إلى B للـ F بيساوى F of B ناقص F of A 20 00:01:44,900 --> 00:01:50,400 إذا الآن وكأني بقول نفترض أنه الـ F small 21 00:01:50,400 --> 00:01:56,100 integrable ونفترض F continuous على closed bounded 22 00:01:56,100 --> 00:02:01,160 interval A إلى B و F نفسها differentiable على الـ 23 00:02:01,160 --> 00:02:05,260 open اللي هو interval A إلى B بشرط أنه الـ F prime 24 00:02:05,260 --> 00:02:07,940 ال derivative لها الـ F capital طبعًا بيساوى الـ F 25 00:02:07,940 --> 00:02:13,240 small of X وبناء على كل المعطيات اللي حكيناها بيكون 26 00:02:13,240 --> 00:02:17,120 ال integration من a إلى b لل f small هو عبارة عن fb 27 00:02:17,120 --> 00:02:21,760 ناقص f of a أو اختصارًا ويسهل لك للحفظ ال integration 28 00:02:21,760 --> 00:02:29,670 من a إلى b لل f prime of x dx هي عبارة عن وكأنه 29 00:02:29,670 --> 00:02:36,250 التكامل بلغ التفاضل بيصير اللي هي f of b ناقص f of 30 00:02:36,250 --> 00:02:40,610 a هذا فضوء mean يعني هذه هادة باختصار هيك فضوء 31 00:02:40,610 --> 00:02:44,710 mean أن f prime of x تكون موجودة على الفترة من a إلى 32 00:02:44,710 --> 00:02:51,370 b وأيضًا بتكون أنها integrable نفسها integrable و 33 00:02:51,370 --> 00:02:56,110 تكون ال f نفسها continuous على close من a لعند b 34 00:02:56,390 --> 00:03:00,270 هذه هي النظرية إذا اللي بدنا نثبته الآن أنه قيمة 35 00:03:00,270 --> 00:03:04,470 ال integration هذا بيساوى اللي هو اللي أمامنا اللي 36 00:03:04,470 --> 00:03:09,590 هي f of b ناقص من ناقص f of a خلينا نشوف إيش 37 00:03:09,590 --> 00:03:15,030 البرهان في هالحالة يا جماعة الآن اللي واضح إنه أنا 38 00:03:15,030 --> 00:03:18,530 بده أُثبت إنه ال integration هو عبارة عن f of b 39 00:03:18,530 --> 00:03:24,990 ناقص f of a شوف أنا كيف بده أوصلك اللي هو ال 40 00:03:24,990 --> 00:03:28,670 integration لمنقلة ال b لل f بيساوى f of b ناقص f 41 00:03:28,670 --> 00:03:32,010 of a أنا بعرف أول حاجة هو معطيني ال f small هذه 42 00:03:32,010 --> 00:03:35,290 اللي هي ال f prime اللي هي ال f small سميتها هذه 43 00:03:35,290 --> 00:03:39,240 معطيني إياها integrable إذن بواسطة 44 00:03:39,240 --> 00:03:44,160 اللي هي .. إذا بتتذكروا integrable criterion وهي 45 00:03:44,160 --> 00:03:46,900 اللي بنستخدمها كثير احنا لإنها .. يعني خلّيني أقول 46 00:03:46,900 --> 00:03:51,400 صيغة مهمة في إثبات النظريات اللي هي بما إنه f 47 00:03:51,400 --> 00:03:56,380 integrable إذن لكل Y أكبر من 0 يوجد there exists a 48 00:03:56,380 --> 00:04:00,600 partition P اللي هو X0 X1 عند X ل .. عند .. 49 00:04:00,600 --> 00:04:03,280 partition لمين طبعًا للفترة اللي أنتم عارفينها 50 00:04:03,280 --> 00:04:06,800 اللي احنا بنشتغل عليها الفترة من A لعند مين لعند B 51 00:04:06,960 --> 00:04:12,920 There exists a partition P X0 X1 XN of A إلى B such 52 00:04:12,920 --> 00:04:20,280 that ال upper sum P F'-the lower sum P F' أصغر من إبسلون F' من 53 00:04:20,280 --> 00:04:24,000 هنا من هي يا جماعة؟ هي الـ F لأننا مفترضين الـ F 54 00:04:24,000 --> 00:04:29,940 small أو الـ F' is integrable إذا بواسطة الـ integrable 55 00:04:29,940 --> 00:04:34,760 criterion حصلنا على واحد اللي عنده 56 00:04:34,760 --> 00:04:40,880 إلحاح أحكي عنها الآن أو أستخدمها للوصول لهدفي طيب 57 00:04:40,880 --> 00:04:44,040 because طبعًا F prime اللي هي same زي ما قلنا F of 58 00:04:44,040 --> 00:04:48,820 X is integrable on A إلى B الآن في شغلة ثانية احنا 59 00:04:48,820 --> 00:04:55,880 بدأنا الآن نستخدم اللي هو أمر آخر خلينا نكتب الآن 60 00:04:55,880 --> 00:05:00,920 أول شغلة حصلنا عليها عشان تعرف أين أنا رايح اللي هي 61 00:05:00,920 --> 00:05:06,550 قلنا F is integrable الـ F التي بيسمى F' integrable أيش 62 00:05:06,550 --> 00:05:12,270 أعطتنا يا جماعة؟ أعطتنا أن هناك partition P هناك P 63 00:05:12,270 --> 00:05:15,830 طبعًا for every epsilon أكبر من صفر هناك partition P 64 00:05:15,830 --> 00:05:23,390 such that U, P و F اللي هي الـ F' طبعًا الـ F يمين 65 00:05:23,390 --> 00:05:29,530 الـ F' ناقص الـ L, P و F هي أصغر من Y وهذا سميناها 66 00:05:29,530 --> 00:05:34,710 إيش؟ سميناها 1 لأن من جهة أخرى يا جماعة بدي أستغل 67 00:05:34,710 --> 00:05:37,810 اللي هو اللي معطيني إياه أن الـ F capital بتلقى continuous 68 00:05:37,810 --> 00:05:41,490 أنا الآن زي ما قلنا جزّأنا اللي هي الفترة A إلى B 69 00:05:41,490 --> 00:05:52,230 إلى اللي هي X0 X1 X2 فترة نموذجية Xk-1 لعند Xk لعند 70 00:05:52,230 --> 00:05:56,010 مين لعند Xn اللي هي مين الـ B هذا ال partition 71 00:05:56,010 --> 00:05:59,930 اللي جبته أنا الآن أنا بعرف أن الـ F capital 72 00:05:59,930 --> 00:06:03,330 continuous على الـ closed interval كلها من A لعند B 73 00:06:03,330 --> 00:06:06,870 إذا الأكيد continuous على كل sub interval موجودة 74 00:06:06,870 --> 00:06:12,540 يعني صارت اللي عندي الـ F capital continuous on a 75 00:06:12,540 --> 00:06:18,560 التي هي xk-1 وعند xk هذه هي الـ sub interval اللي 76 00:06:18,560 --> 00:06:24,080 ال function f continuous عليها وإحنا مفترضين أيضًا 77 00:06:24,080 --> 00:06:29,220 أن الـ f prime exist على الـ open interval كلها إذا 78 00:06:29,220 --> 00:06:33,860 أكيد الـ f is differentiable لأن f' exist على الـ 79 00:06:33,860 --> 00:06:37,360 open interval من a لعند b إذا أكيد f is 80 00:06:37,360 --> 00:06:41,980 differentiable على الفترة xk minus واحد لعند مين 81 00:06:41,980 --> 00:06:45,140 لعند الـ xk يعني يا جماعة شروط الـ mean value 82 00:06:45,140 --> 00:06:50,020 theorem محققة إذا أكيد there exist there exist بما 83 00:06:50,020 --> 00:06:54,540 إنه اللي هي شروط الـ mean value محققة إذا there 84 00:06:54,540 --> 00:06:59,620 exist بسميها اللي هو bk أو tk there exist tk في 85 00:06:59,620 --> 00:07:06,440 الفترة xk minus واحد عند الـ xk such that اللي هو F 86 00:07:06,440 --> 00:07:11,520 هي الدالة اللي بطبق عليها الـ mean value theorem يا 87 00:07:11,520 --> 00:07:19,320 جماعة F of xk ناقص F of xk minus واحد اللي هو 88 00:07:19,320 --> 00:07:24,560 بتساوي اللي هو xk ناقص xk minus واحد طبعًا احنا 89 00:07:24,560 --> 00:07:29,280 بنكسب عليها اللي هي إيش بتساوي اللي هي الـ F prime 90 00:07:30,370 --> 00:07:35,630 of الـ tk هذه اللي هي الـ Mean Value Theorem 91 00:07:35,630 --> 00:07:39,710 نتيجتها مطبق على مين يا جماعة على الفترة اللي هي XK 92 00:07:39,710 --> 00:07:43,770 minus واحد لعند XK طبعًا هذا الكلام لكل K لأنه لكل 93 00:07:43,770 --> 00:07:48,170 مين لكل الـ sub intervals بتتحقق نفس الشروط بناء 94 00:07:48,170 --> 00:07:55,010 عليه احنا بنعرف قبل هيك خليني أبدأ أشتغلها عند الـ 95 00:07:55,010 --> 00:08:04,450 Mk' إبراهيم اللي هي أكيد أصغر أو يساوي الـ F اللي هي 96 00:08:04,450 --> 00:08:11,370 الـ F عندك الـ mk' إيش نذكركم فيها إيش هي الـ mk' الـ 97 00:08:11,370 --> 00:08:15,190 mk' هي مكتوبة لنكتبها كمان مرة الـ mk' هي مين الـ 98 00:08:15,190 --> 00:08:19,610 infimum للـ F' F of X X element of X K minus واحد X 99 00:08:19,610 --> 00:08:24,950 K الـ F' مين هذه الـ F small ماشي الحال طيب الـ F أو 100 00:08:24,950 --> 00:08:30,590 الـ mk' هي عبارة عن الـ infimum لمين للـ F' على الـ 101 00:08:30,590 --> 00:08:37,110 sub interval هذه إذا أكيد أصغر أو يساوي الـ F of أي 102 00:08:37,110 --> 00:08:41,630 مقطوع موجودة في الـ sub-interval والـ Tk هذه موجودة 103 00:08:41,630 --> 00:08:46,410 في هذا الـ sub-interval إذن أكيد F of Tk 104 00:08:46,410 --> 00:08:50,670 أصغر من الـ Mk' لأن الـ Mk' هي عبارة عن الـ 105 00:08:50,670 --> 00:08:57,290 infimum لقيمة الدالة F' of Tk عالميًا على الفترة 106 00:08:57,290 --> 00:09:01,440 اللي هي الـ sub-interval اللي بنحكي عنها ككل هذه 107 00:09:01,440 --> 00:09:06,040 أكيد أصغر أو يساوي من الـ Mk إبراهيم مين الـ Mk 108 00:09:06,040 --> 00:09:11,060 إبراهيم هذه؟ هي عبارة عن الـ Supremum لمين؟ لقيمة 109 00:09:11,060 --> 00:09:16,990 اللي هي الدالة هذه على الفترة اللي عندها ماشي الحال 110 00:09:16,990 --> 00:09:23,110 إذا هذه دائمًا صحيحة طب لو ضربت جهتي كل الأطراف في 111 00:09:23,110 --> 00:09:27,650 طول الفترة اللي هي xk ناقص xk minus واحد طبعًا 112 00:09:27,650 --> 00:09:31,510 أكيد هذه xk ناقص xk minus واحد كمية موجبة إذا لما 113 00:09:31,510 --> 00:09:35,010 أضربها في الأطراف كلها بتظلها الـ inequality صحيحة 114 00:09:35,010 --> 00:09:40,610 وزي ما هي في xk ناقص xk minus واحد وهنا في xk ناقص 115 00:09:40,610 --> 00:09:46,280 xk minus واحد مظبوط هذا الكلام أكيد صح طيب لكن هذا 116 00:09:46,280 --> 00:09:52,220 المقدار هو هذا إذا باجي بحط هذه هنا معايا يا جماعة 117 00:09:52,220 --> 00:09:57,000 بحط هذه في المنطقة هذه المكان القيمة هذه اللي هي 118 00:09:57,000 --> 00:10:05,190 هذه إذا صار عندي الآن F of xk ناقص f of xk minus 1 119 00:10:05,190 --> 00:10:12,070 أكبر أو يساوي الـ Mk' في الـ xk ناقص xk minus 1 120 00:10:12,070 --> 00:10:18,490 وهذا أصغر أو يساوي الـ Mk في الـ xk ناقص xk minus 121 00:10:18,490 --> 00:10:24,290 1 إذا واضح إن أنا حصلت على هذه وهذه صحيحة لكل مين 122 00:10:24,290 --> 00:10:28,150 لكل k لإنه أخدت أنا هذه فترة عشوائية يعني لـ k 123 00:10:28,150 --> 00:10:33,790 بتساوي اللي هو واحد وإثنين لعند مين لعند n بناء 124 00:10:33,790 --> 00:10:38,250 عليه أنا وصلت الآن إلى ما يلي وصلت إلى هذه 125 00:10:38,250 --> 00:10:43,670 النتيجة شايفين يا جماعة وصلت إلى هذه النتيجة اللي 126 00:10:43,670 --> 00:10:48,860 أنا وضحت لكم إياها كيف اجت الآن والـ mk prime زي ما 127 00:10:48,860 --> 00:10:55,280 قلنا إيش هي والـ mk capital prime هيها امامكم نيجي 128 00:10:55,280 --> 00:10:59,720 الآن إيش اللي بده يحصل له شوف الـ K إيش بده يحصل أنا 129 00:10:59,720 --> 00:11:03,020 عمال بقول إنه صحيح على كل K إذا لو أخدت الـ 130 00:11:03,020 --> 00:11:05,900 summation هنا وأخدت الـ summation هنا وأخدت الـ 131 00:11:05,900 --> 00:11:10,440 summation هنا بظل اللي هي الـ inequality صحيحة خد 132 00:11:10,440 --> 00:11:16,050 الآن الـ summation على الفترة الـ summation على 133 00:11:16,050 --> 00:11:19,530 الـ inequality اللي حكينا عنها هيها بيصير الـ 134 00:11:19,530 --> 00:11:23,630 summation للـ M K prime في X K X K minus واحد K من 135 00:11:23,630 --> 00:11:26,630 عند واحد لعند M وهنا هيكون أصغر أو يساوى الـ 136 00:11:26,630 --> 00:11:31,090 summation للـ F of X K ناقص F of X K minus واحد 137 00:11:31,090 --> 00:11:36,190 اللي هي احنا هنا حصلناها هنا وهذه الـ summation 138 00:11:36,190 --> 00:11:39,490 عليها وهذه الـ summation عليها هي الـ summation هذا 139 00:11:39,850 --> 00:11:43,210 طيب يا جماعة أكيد أنتم فاكرين هذا الـ summation هو 140 00:11:43,210 --> 00:11:47,770 عبارة عن مين يا جماعة هو عبارة عن الـ lower sum للـ 141 00:11:47,770 --> 00:11:52,370 partition بي على مين على الدالة اللي بنعمل عليها 142 00:11:52,370 --> 00:11:56,330 اللي هي الـ F' اللي اشتغلنا عليها اللي أخدنا الـ F' 143 00:11:57,150 --> 00:12:01,270 الـ MK' هي الـ infimum للـ F' على الـ sub interval 144 00:12:02,160 --> 00:12:07,220 والآن هذه يشبه يا جماعة هي الـ upper sum يعني بمعنى 145 00:12:07,220 --> 00:12:12,960 آخر صار عندي الآن المقدار هذا هي المقدار هذا اللي 146 00:12:12,960 --> 00:12:17,680 محاط بالأزرق هذا المقدار و بالأحمر صار بين اللي هو 147 00:12:17,680 --> 00:12:22,120 الـ lower sum و بين الـ upper sum لكن هذا المقدار 148 00:12:22,120 --> 00:12:25,860 الصمّصي اللي احنا عملناه قبل ذلك كتير لو فرضناه 149 00:12:25,860 --> 00:12:33,860 هيكون عبارة عن F of X واحد ناقص F of X صفر زائد F 150 00:12:33,860 --> 00:12:40,360 of X 2 ناقص F of X 1 زائد F of X 3 ناقص F of X 2 151 00:12:40,360 --> 00:12:45,460 زائد لما أصل لآخر شيء F of X N ناقص F of X N ناقص 152 00:12:45,460 --> 00:12:50,520 1 كل هذا بيروح و بيظل عندك كل هذا بيروح و بيظل عندك 153 00:12:50,520 --> 00:12:54,860 بس F of X N ناقص F of X صفر كل 154 00:12:54,860 --> 00:13:00,340 term بي cancel اللي قبله و يساوي F of X N اللي هي 155 00:13:00,340 --> 00:13:07,420 مين؟ F of B F of X صفر اللي هي مين؟ F of A إذا صار 156 00:13:07,420 --> 00:13:10,920 عندي الآن الـ Summation هذا اللي هو بيساوي F of B 157 00:13:10,920 --> 00:13:16,440 ناقص مين؟ ناقص F of A يعني بمعنى آخر بنشيل هذا و 158 00:13:16,440 --> 00:13:20,580 بنحط مكانه قيمته اللي هو F of B ناقص F of A بيصير F 159 00:13:20,580 --> 00:13:25,320 of B minus F of A بين اللي هو L of B و الـ F' و بين 160 00:13:25,320 --> 00:13:34,230 الأخرى الـ U of B و الـ F' طيب اطلع على فوق شوية خليني 161 00:13:34,230 --> 00:13:39,830 أوضح لك هذه النقطة اللي هتوصلني للي بدي إياه أنا إيش 162 00:13:39,830 --> 00:13:44,170 بدي أثبت أنا بدي أثبت أن ال integration خليني بس 163 00:13:44,170 --> 00:13:51,710 أشيل هذا بعد إذنكم أنا 164 00:13:51,710 --> 00:13:58,260 بدي أثبت أن ال integration للـ F prime of x dx أو 165 00:13:58,260 --> 00:14:06,320 الـ F of X DX بيساوي F of B ناقص F of A من A لعند 166 00:14:06,320 --> 00:14:12,870 مين؟ لعند B، هيا، بدي أسهل شوف الآن كيف أنا في 167 00:14:12,870 --> 00:14:17,590 الواقع بتوصلكم هذا ناقص هذا بيكون أكبر أو يساوي صفر 168 00:14:17,590 --> 00:14:20,990 و أصغر من epsilon لأي أصغر يساوي epsilon لكل 169 00:14:20,990 --> 00:14:24,110 epsilon في الدنيا و من ثم هيساوي صفر يعني هتحدث 170 00:14:24,110 --> 00:14:29,090 مين المساواة اللي ما فهمش عليها هي الآن نجي له تفصيل 171 00:14:29,090 --> 00:14:39,060 اتفقنا احنا أنه احنا حصلنا على اللي هو الـ F of B – 172 00:14:39,060 --> 00:14:44,520 F of A بين الـ U و بين الـ L لكن احنا بنقول الـ F 173 00:14:44,520 --> 00:14:49,420 نفسها يا جماعة الـ F' هذه is integrable مزبوط 174 00:14:49,420 --> 00:14:55,380 integrable من A لعند B إذن الـ U of F و الـ L of F 175 00:14:55,380 --> 00:14:58,560 اللي هو الـ Upper Integral و الـ Lower Integral 176 00:14:58,560 --> 00:15:01,960 اللي هو هيساوي قيمة الـ Integration عارفينوا هذا 177 00:15:01,960 --> 00:15:05,760 الكلام احنا بنتعرف شو معناه integrable الـ U of F 178 00:15:05,760 --> 00:15:11,640 هي عبارة عن مين؟ عن الـ infimum لمين؟ للكبار اللي 179 00:15:11,640 --> 00:15:19,640 هي U L أو U P و F وهذا عبارة عن الـ Supremum لمين؟ 180 00:15:19,640 --> 00:15:28,200 للـ L, B و F يعني بيصير عندي اللي هو هذا عبارة عن 181 00:15:28,200 --> 00:15:32,420 الـ U of F من جهة وهذا عبارة عن الـ L of F من جهة 182 00:15:32,420 --> 00:15:35,900 أخرى هذا الـ integration نقلة بيه الـ F' ليش؟ لأن الـ 183 00:15:35,900 --> 00:15:40,630 F' is integrable زي ما قلنا طيب، إيش علاقة الـ L و 184 00:15:40,630 --> 00:15:44,130 F بهذه؟ L و F عبارة عن الـ Supremum لكل هذول، إذا 185 00:15:44,130 --> 00:15:47,450 أكيد الـ L و F أكبر أو يساوي هذه، إذا صار الـ 186 00:15:47,450 --> 00:15:51,610 integration هذا اللي عندي أكبر أو يساوي الـ L و F، 187 00:15:51,610 --> 00:15:56,070 خلصنا من هذه، لأن من جهة ثانية ال integration للـ F 188 00:15:56,070 --> 00:15:58,510 برايم هو الـ U of F، لأن الـ F is integrable زي ما 189 00:15:58,510 --> 00:16:04,770 قلنا، و الـ U of F مين هو؟ هو عبارة عن الـ infimum 190 00:16:04,770 --> 00:16:08,810 لها دول إذا الـ U of F أصغر أو يساويها مزبوط أصغر أو 191 00:16:08,810 --> 00:16:12,210 يساويها يعني صار ال integration أصغر أو يساويها يعني 192 00:16:12,210 --> 00:16:18,050 بمعنى آخر احنا وصلنا أن ال integration تبعنا الـ 193 00:16:18,050 --> 00:16:23,450 integration اللي هو من A لعند B للـ F برايم بين 194 00:16:23,450 --> 00:16:29,530 الـ L و بين مين و بين الـ U ماشي الحال الآن و هذا 195 00:16:29,530 --> 00:16:35,390 برضه بين الـ L و بين مين الـ U اضرب لي الآن اللي تحت 196 00:16:35,390 --> 00:16:41,820 اللي هو بسالب بتعكس الـ inequality وبعدين اجمعل 197 00:16:41,820 --> 00:16:46,320 الجهتين ماشي الحال هذه بيصير سالب وهذه بيصير أكبر 198 00:16:46,320 --> 00:16:51,220 أو يساوي سالب وهذه بيصير أكبر أو يساوي سالب اجمعل 199 00:16:51,220 --> 00:16:56,980 الجهتين بيصير عند ال integration أو العكس اضرب اللي 200 00:16:56,980 --> 00:16:59,720 فوق بالسالب عشان أعمل زي ما عامل هو هنا اضرب 201 00:16:59,720 --> 00:17:02,000 اسف اللي هو اضرب مين اللي فوق بالسالب بيصير هذا 202 00:17:02,000 --> 00:17:07,640 ناقص وهذا كله ناقص وهذا عبارة عن ناقص وهذا أكبر أو 203 00:17:07,640 --> 00:17:12,760 يساوي وهذا أكبر أو يساوي واجمع لبعض أو بلغة أخرى 204 00:17:13,150 --> 00:17:16,790 قل اللي .. اللي .. اللي .. اللي تحت ناقص اللي فوق 205 00:17:16,790 --> 00:17:20,130 بيطلع عندي ال integration للـ F prime من A لعند B 206 00:17:20,130 --> 00:17:24,730 ناقص اللي هي F of B minus F of A أصغر يساوي الـ U 207 00:17:24,730 --> 00:17:30,770 ناقص الـ L و أكبر أو يساوي الـ L ناقص الـ U واضح أنه 208 00:17:30,770 --> 00:17:36,480 هذه عبارة عن ناقص هذه وهذه كمية موجبة إذا صار عند 209 00:17:36,480 --> 00:17:41,000 الـ absolute value للقيمة هذه أصغر أو يساوي الـ U 210 00:17:41,000 --> 00:17:49,300 ناقص مين الـ L كمان مرة هذه سالب هذه وهذه موجبة إذًا 211 00:17:49,300 --> 00:17:53,540 هذه الـ Inequality صارت هي عبارة عن مفكوك الـ 212 00:17:53,540 --> 00:17:57,440 absolute value للـ F prime الـ integration ناقص 213 00:17:57,440 --> 00:18:01,840 المقدار هذا أصغر أو يساوي هذا القيمة وهذا القيمة 214 00:18:01,840 --> 00:18:05,700 لسه ما سحنّاش احنا إيش قلنا عنها أصغر من من epsilon 215 00:18:05,700 --> 00:18:09,280 و أنا قاعد باشتغل على ال partition اللي جبتّه أعلى 216 00:18:09,280 --> 00:18:15,390 إذا صار عندي الآن اللي وصلت له عبارة عن اللي هو الـ 217 00:18:15,390 --> 00:18:20,150 absolute value هذا أصغر من epsilon وطبعًا أكبر أو 218 00:18:20,150 --> 00:18:24,790 يساوي صفر و ال epsilon اللي هي شمالها arbitrary يعني 219 00:18:24,790 --> 00:18:29,430 المقدار هذا لأي epsilon في الدنيا لأي epsilon في 220 00:18:29,430 --> 00:18:33,770 الدنيا هذا أصغر من مين من ال epsilon هو أكبر أو يساوي صفر 221 00:18:33,970 --> 00:18:38,510 إذًا لازم يكون هذا المقدار اللي هو عبارة عن صفر 222 00:18:38,510 --> 00:18:42,530 يعني بمعنى آخر ال integration بيساوي اللي هو F of B 223 00:18:42,530 --> 00:18:47,050 ناقص F of A و هيك و نكون حصلنا على المطلوب و أثبتنا 224 00:18:47,050 --> 00:18:51,470 النظرية طيب 225 00:18:51,470 --> 00:18:57,850 الناس الآن هذا اللي هو الجزء الأول الجزء الأول من 226 00:18:57,850 --> 00:19:00,890 اللي هو الـ Fundamental Theorem of Calculus اللي 227 00:19:00,890 --> 00:19:05,750 هو عبارة عن تكامل التفاضل اللي هي عملية التكامل 228 00:19:05,750 --> 00:19:10,470 هتلغي عملية التفاضل زي ما شفنا اللي هو قبل بشوية 229 00:19:10,470 --> 00:19:15,130 وشفنا إيه اللي جابه الـ Fundamental Theorem طبعًا 230 00:19:15,130 --> 00:19:20,270 هذا الكلام تحت الشروط المذكورة الآن بيقول لي .. يمكن 231 00:19:20,270 --> 00:19:24,810 حكيت هذه حتى بيقول لي corollary بيقول أنا أحيانًا 232 00:19:24,810 --> 00:19:29,530 بحب أريح حالي و نقول خلينا نأخذ .. عشان نستذكر الـ 233 00:19:29,530 --> 00:19:32,790 .. ال .. ال .. ال fundamental theorem الجزء الأول 234 00:19:32,790 --> 00:19:37,950 بشكل سريع بس شوية عندنا نعمل .. في الشروط أن هو قف 235 00:19:37,950 --> 00:19:41,630 من a ل b لعند R satisfy the conditions اللي هو F' 236 00:19:42,150 --> 00:19:45,790 exists on A و B، ما بتبدأش أجيب سيرة مين الـ F Small؟ 237 00:19:45,790 --> 00:19:49,250 ما بتبدأش أشغل مين؟ على الـ F Capital لو فرضنا أن الـ 238 00:19:49,250 --> 00:19:54,010 F هذه من A و B لعند R إنها الـ F' اللي هي شمالها 239 00:19:54,010 --> 00:19:57,890 exist على الـ A و B يعني فرض إنها، بس هنا زاد شوية 240 00:19:57,890 --> 00:20:01,130 على الشروط اللي جابله بشوية إن F is differentiable 241 00:20:01,130 --> 00:20:03,790 على الـ closed interval كنا فرضينها إنها F 242 00:20:03,790 --> 00:20:06,740 differentiable على الـ Open و فرضينها continuous 243 00:20:06,740 --> 00:20:10,760 على اللي هي الـ Closed مدام الآن إذا فيها دي سنة 244 00:20:10,760 --> 00:20:16,680 زيادة من ال .. من اللي هي الشروط F' exists على الـ 245 00:20:16,680 --> 00:20:19,820 A و الـ B يعني continuous و differentiable على الـ 246 00:20:19,820 --> 00:20:24,350 closed open .. على الـ closed interval A و B الآن هي 247 00:20:24,350 --> 00:20:29,550 الشرط و الشرط الثاني فرض أن الـ F' مش موجودة و بس الـ 248 00:20:29,550 --> 00:20:33,030 F' انتجرت على الـ A و الـ B إذا انتجقت شروط الـ 249 00:20:33,030 --> 00:20:36,210 fundamental theorem إذا حسب الـ fundamental theorem 250 00:20:36,210 --> 00:20:39,410 اللي قبله بشوية بيكون عنده ال integration من A لـ B 251 00:20:39,410 --> 00:20:44,190 لمين الآن؟ للـ f prime اللي كنا نسميه في الجبل f 252 00:20:44,190 --> 00:20:49,310 small بتساوي f of b ناقص f of a إذا فعلاً هي 253 00:20:49,310 --> 00:20:53,130 automatic حققت شروط الـ fundamental theorem و زيادة 254 00:20:53,130 --> 00:20:59,850 سنة إذا أكيد النتيجة بتكون صحيحة يعني تكامل الدالة 255 00:20:59,850 --> 00:21:05,210 المتفاضلة بيساوي أصل الدالة اللي هو أصل الدالة عنده 256 00:21:05,210 --> 00:21:09,070 النقطة الأولى ناقص النقطة مين؟ بنحكي النقطة الثانية 257 00:21:09,070 --> 00:21:13,950 اللي هو عبارة عن integration F of B ناقص مين؟ F of A 258 00:21:13,950 --> 00:21:19,210 طب لو كانت X متغير يعني لو أخذنا أي X بين الفترتين 259 00:21:19,210 --> 00:21:23,550 و طبقنا النظرية على الـ A اللي عند الـ X فبيصير الـ 260 00:21:23,550 --> 00:21:27,130 integration من A لعند الـ X اف برايم بيساوي اف 261 00:21:27,130 --> 00:21:32,490 of X ناقص اف of A X هذه هتصبح متغيرة و الـ اف of A 262 00:21:32,490 --> 00:21:39,190 ثابتة وهذا بيذكرنا أن احنا قيمة التكامل لدالة 263 00:21:39,190 --> 00:21:43,790 بيساوي اللي هو عبارة عن اللي هي الإجابة اللي هي 264 00:21:43,790 --> 00:21:47,630 الدالة اللي بتطلع زائد some constant C اللي هو الـ 265 00:21:47,630 --> 00:21:53,660 constant طبعًا لاللي هي طبيعة الدالي لقداش بيطلع لنا 266 00:21:53,660 --> 00:21:56,420 اللي هو الـ initial conditions بيسفر لنا إياه الـ 267 00:21:56,420 --> 00:21:59,620 constant أو بيعطينا إياه خمسة أربعة ستة أو بيظلوا 268 00:21:59,620 --> 00:22:03,720 بصورة عامة constant طيب شوفوا صلوا على النبي عليه 269 00:22:03,720 --> 00:22:08,090 الصلاة و السلام الآن بدنا نيجي للجزء الثاني من الـ 270 00:22:08,090 --> 00:22:11,470 Fundamental theorem خلصنا جزء اللي هو تكامل 271 00:22:11,470 --> 00:22:16,870 التفاضل، الآن بنتوقع إنه تفاضل التكامل، تفاضل 272 00:22:16,870 --> 00:22:20,530 التكامل، تحت شروط، بنشوف اللي هي الـ Fundamental 273 00:22:20,530 --> 00:22:24,650 theorem of calculus second form أو اللي هو الجزء 274 00:22:24,650 --> 00:22:27,850 الثاني من الـ Fundamental theorem، إيش اللي بيقوله؟ 275 00:22:27,850 --> 00:22:33,540 اللي بيقول معايا ليه، نفترض إن F small من a و b 276 00:22:33,540 --> 00:22:38,060 لعند r اللي هو is integrable in a و b إذا افترضناه 277 00:22:38,060 --> 00:22:41,460 أنه integrable ونفترض أن f of x هو بيساوي الـ 278 00:22:41,460 --> 00:22:46,160 integration من a ل x f for all x element in a و b 279 00:22:46,160 --> 00:22:52,200 بس لنأتي للنتيجة then هيطلع هذا عبارة عن 280 00:22:52,200 --> 00:22:55,360 continuous function في ال .. في ال .. اللي هي main 281 00:22:55,360 --> 00:23:02,700 في اللي هي على الفترة a أو b ومش هي كمان ولو كان 282 00:23:02,700 --> 00:23:09,830 الـ F small continuous عند نقطة C في الفترة من A 283 00:23:09,830 --> 00:23:14,050 لعند B أو من A لعند X هتكون الـ F هذه نفسها 284 00:23:14,050 --> 00:23:16,950 differentiable و الـ derivative اللي هي إيش بساوي 285 00:23:16,950 --> 00:23:22,590 بساوي قيمة اللي هو الـ F اللي جوا يعني باختصار يا 286 00:23:22,590 --> 00:23:29,450 جماعة بتتكرر سهل بقولك مفترض F integrable ماشي 287 00:23:29,450 --> 00:23:34,690 الحال هاي بس الآن بقول لو جيت اخدت من A لـ X on 288 00:23:34,690 --> 00:23:44,670 طبعا A و B لو اخدت الآن A و X F small of T DT هاي 289 00:23:44,670 --> 00:23:51,510 ده طبعا الآن صارت كلها تعتمد على مين على X بقولك 290 00:23:51,510 --> 00:23:55,370 هذه هذه اللي طلع اللي هو الـ integration للـ 291 00:23:55,370 --> 00:24:01,130 integrable function من A لـ X F of T DT هتطلع لي 292 00:24:01,130 --> 00:24:05,210 continuous function لو سميتها F capital زي ما هو 293 00:24:05,210 --> 00:24:08,730 مسميها F of X بتكون الـ F عندها شمالها is 294 00:24:08,730 --> 00:24:16,430 continuous الآن بقولك لو اجيت و قلت أن F is 295 00:24:16,430 --> 00:24:21,390 continuous الـ F اللي جوا هذه at C element in A وB 296 00:24:21,390 --> 00:24:25,650 لو كانت F is continuous at C element in A وB 297 00:24:25,650 --> 00:24:31,730 هيطلعلك بقولك إذا الـ F capital هذه F prime of C 298 00:24:31,730 --> 00:24:39,870 exists و مش exist بس و الـ F prime of C هتساوي الـ F 299 00:24:39,870 --> 00:24:46,030 small of إيش؟ of C يعني و كأنه بقولك لما نتفاضل 300 00:24:46,030 --> 00:24:50,210 هذه F prime of C اللي هي من إيه اللي عند C يعني 301 00:24:50,210 --> 00:24:57,370 تقول F prime of C بساوي تفاضل رفلة by DX عند 302 00:24:57,370 --> 00:25:02,630 النقطة C لل integration من A لـ X F of T DT 303 00:25:27,580 --> 00:25:33,180 C مثلا بتساوي F of C اللي هي F small of C هو كون 304 00:25:33,180 --> 00:25:36,540 الـ F اللي جوا continuous عنده النقطة اللي بنحكي 305 00:25:36,540 --> 00:25:39,940 عنها طب لو كانت F اللي جوا هادى continuous وين 306 00:25:39,940 --> 00:25:43,620 ما كان على الفترة هادى بصير خلاص وانت مغمض عناك 307 00:25:43,620 --> 00:25:47,980 بتيجي بتقول تفاضل هادي بتشيل التكامل و بتحطه اللي 308 00:25:47,980 --> 00:25:53,540 جوا بدلالة اللي هي الـ X المتغيرواضح المفروض طيب 309 00:25:53,540 --> 00:25:59,660 نيجي الآن نثبت اللي هي النظرية نثبت شغلتين أن الـ F 310 00:25:59,660 --> 00:26:02,580 كابتنال continuous عشان أثبتلك continuous هثبتلك 311 00:26:02,580 --> 00:26:05,940 أكثر من continuous هثبتلك uniform ل continuous لأ 312 00:26:05,940 --> 00:26:09,780 أقولك هثبتلك أكثر من uniform ل continuous هثبتلك 313 00:26:09,780 --> 00:26:12,920 أن الـ F is Lipschitz function مثلا من Lipschitz 314 00:26:12,920 --> 00:26:15,400 function إذا على طول uniform ل continuous ومن ثم 315 00:26:15,400 --> 00:26:18,460 على طول إيش ما لها continuous إيش Lipschitz 316 00:26:18,460 --> 00:26:25,240 function يعني هثبتلك أن Fof x-f of y absolute 317 00:26:25,240 --> 00:26:30,720 value أصغر أو ساوي K في x-y had there exist K بحيث 318 00:26:30,720 --> 00:26:35,260 أن f of x-f of y أصغر من K في xy لكل x و y element 319 00:26:35,260 --> 00:26:40,020 in a و b هثبت لك f بتحقق هذا الشرط هثبتها ما ده 320 00:26:40,020 --> 00:26:42,540 هثبتها ما ده هتحقق هذا الشرط إذا ما على طول اللي 321 00:26:42,540 --> 00:26:45,680 هي هتكون lipschitz يعني بمعنى آخر هتكون is 322 00:26:45,680 --> 00:26:49,480 continuous هذا الجزء الأول الجزء الثاني يا شباب و 323 00:26:49,480 --> 00:26:55,760 يا بنات لأن if F is continuous at C هنثبت أن F is 324 00:26:55,760 --> 00:26:59,320 differentiable عند C يعني بدأ أثبتلك F is 325 00:26:59,320 --> 00:27:03,460 differentiable عند C يعني إيش F is differentiable 326 00:27:03,460 --> 00:27:14,660 يعني بدأ أثبتلك أن limit F of X زي داتش مثلا او F 327 00:27:14,660 --> 00:27:21,440 of C زي داتش ناقص F of C على H اذا H بتروح للصفر 328 00:27:21,440 --> 00:27:27,380 بتثبت لك إيه إيش بيساوي F capital طبعا بيساوي F 329 00:27:27,380 --> 00:27:33,660 small of C بدي أثبتلك يعني أو بمعنى آخر هأثبتلك لكل 330 00:27:33,660 --> 00:27:37,000 Y أكبر من 0 داريكزيز ديلتا بحيث أنه absolute value 331 00:27:37,000 --> 00:27:41,320 أصغر من Delta L على H أصغر من Delta يؤدي إلى F of 332 00:27:41,320 --> 00:27:48,260 C زائد H ناقص F of C على H ناقص F of C بدي أثبتلك 333 00:27:48,260 --> 00:27:53,180 إيه أصغر من 200 من Epsilon بكون اثبتت فعلا انه هذه 334 00:27:53,180 --> 00:27:56,540 الـ limit بالساوية هذه معناته هذه الـ limit طبعا إيش 335 00:27:56,540 --> 00:28:01,000 بتعني أن F prime F capital prime of C exist و 336 00:28:01,000 --> 00:28:06,480 بتساوي F of C اللي هو اللي هو طالبه أنه لما تكون 337 00:28:06,480 --> 00:28:09,280 F continuous عند الـ C بتكون F capital 338 00:28:09,280 --> 00:28:12,040 differentiable عند الـ C و الـ derivative للـ F 339 00:28:12,040 --> 00:28:15,700 capital بتساوي الـ F اسمه فنشوف 340 00:28:17,960 --> 00:28:21,380 Media نثبت الـ Continuity أو نثبت الـ Lipschitz 341 00:28:21,380 --> 00:28:27,450 function يعني الأمر سهلأحنا مفترضين يا جماعة أن 342 00:28:27,450 --> 00:28:31,490 الـ F small هذي is integrable مزام is integrable 343 00:28:31,490 --> 00:28:37,650 إذا is bounded S يعني أنه لكل .. نقدر نلاقي K أكبر 344 00:28:37,650 --> 00:28:41,830 من 0 بحيث أن الـ absolute value ل F of X small أصغر 345 00:28:41,830 --> 00:28:48,070 سوى K لكل X موجودة الـ A و الـ B سبب هذه أن F نفسها 346 00:28:48,070 --> 00:28:52,350 is integrable طيب، بدأ اعتمد على هذه للوصول إنها 347 00:28:52,350 --> 00:28:58,620 لبشتالان خد اي x و y في الـ a و الـ b واسمحولي اخد x 348 00:28:58,620 --> 00:29:01,760 أقل من y without loss of generality مش عاد باخد y 349 00:29:01,760 --> 00:29:06,100 أكبر من .. أصغر من x الآن حالة الـ x بتساوي 350 00:29:06,100 --> 00:29:09,660 هتلاقوها automatic بتتحقق للي بديها نشوف إيش اللي 351 00:29:09,660 --> 00:29:13,790 بديهاالآن خد x و y في الـ a و الـ b و نفترض أن x 352 00:29:13,790 --> 00:29:16,610 أصغر من y without most of generality زي ما قلنا 353 00:29:16,610 --> 00:29:22,890 الآن احسبلي f of x f of y نقص مين f of x الكبيرة y 354 00:29:22,890 --> 00:29:26,630 و الكبيرة x احسب f of y نقص f of x إيش هيساوي ال 355 00:29:26,630 --> 00:29:29,470 integration حسب التعريف f of x بتساوي ال 356 00:29:29,470 --> 00:29:33,390 integration من الـ x لـ الـ f small الآن f of y هي 357 00:29:33,390 --> 00:29:36,930 عبارة عن الـ integration من a لـ y، f small، ناقص، f 358 00:29:36,930 --> 00:29:40,210 of x إيش بتساوي؟ الـ integration من a لـ x ل مين؟ لل 359 00:29:40,210 --> 00:29:47,290 F، إذا هذا ناقص هذا، الآن بدي أحول هذه، أجلبها، 360 00:29:47,290 --> 00:29:52,670 بيصير زائد الـ integration من x لعند مين، لعند الـ 361 00:29:52,670 --> 00:29:57,640 a، لل F صار عندي الآن الـ integration من X لعند الـ A 362 00:29:57,640 --> 00:30:00,520 و من A لعند الـ Y إذا حيصير هذا عبارة عن الـ 363 00:30:00,520 --> 00:30:05,940 integration من X لمين من X لعند الـ Y عارفين هذه 364 00:30:05,940 --> 00:30:09,960 الخاصية إذا صار عند الـ F of X F of Y ناقص F of X 365 00:30:09,960 --> 00:30:15,760 بساوي الـ integration من X لـ Y لمين للـ F شوف الآن 366 00:30:15,760 --> 00:30:20,100 إيش بده أصل؟ بده أصل إنه absolute value F of Y 367 00:30:20,100 --> 00:30:24,830 ناقص F of X أصغر أو سوى K في الـ absolute value X 368 00:30:24,830 --> 00:30:31,450 مانس Y يعني صارت لبشت لنشوف كيف نصلها وأكيد بعضكم 369 00:30:31,450 --> 00:30:36,450 فهم أو اتوقع كيف بتسوي لأن صار الـ absolute value 370 00:30:36,450 --> 00:30:40,250 لهذه بساوي الـ absolute value لهذه هيها لأن الـ 371 00:30:40,250 --> 00:30:43,010 absolute value الـ integration بخاصية إحنا عارفينها 372 00:30:43,010 --> 00:30:46,770 أصغر أو سوى الـ integration للـ absolute value والـ 373 00:30:46,770 --> 00:30:50,990 absolute value للـ F في الفترة X وY أشملها .. هي 374 00:30:50,990 --> 00:30:53,570 مش في الفترة X وY بس الـ absolute value للـ F الـ 375 00:30:53,570 --> 00:30:56,170 absolute value للـ F أصغر أو سوى K على كل الفترة 376 00:30:56,170 --> 00:31:01,030 الكبيرة اللي هي A وB فأكيد برضه هتكون أصغر أو سوى 377 00:31:01,030 --> 00:31:05,670 K على الفترة الصغيرة فصار عندي أصغر أو سوى K في 378 00:31:05,670 --> 00:31:07,890 مين؟ في الـ integration من X لعند Y الـ integration 379 00:31:07,890 --> 00:31:13,080 من X لعند Y هو إيش بساوي؟ اللي هو Y minus X الـ 380 00:31:13,080 --> 00:31:19,400 integration يعني الـ integration لـ DT من X لـ DT 381 00:31:19,400 --> 00:31:28,660 الـ integration لـ DT من X عند Y إيش بيساوي Y minus 382 00:31:28,660 --> 00:31:36,240 X Y minus X فهذا صار Y minus X و اللي جوا أصغر 383 00:31:36,240 --> 00:31:40,790 بيساوي K الآن هذا على خطوتين سهلات بتصور أن أنتم 384 00:31:40,790 --> 00:31:44,370 فاهمين إيش بحكي من X لعند Y الـ integration للـ F فده 385 00:31:44,370 --> 00:31:47,850 أصغر أو ساوي اللي هو الـ integration من X لعند Y 386 00:31:47,850 --> 00:31:55,370 هذه بدلة K لكل DT وهذا بساوي K برة في Y minus X 387 00:31:55,370 --> 00:31:59,230 اللي هو أكيد حيصير عند الـ absolute value هذه أصغر 388 00:31:59,230 --> 00:32:03,770 أو ساوي K في الـ absolute value Y minus X الآن هذه 389 00:32:03,770 --> 00:32:07,570 الـ Xات الأصغر من مين؟ من Y لكن زي ما أنتم عارفين 390 00:32:07,570 --> 00:32:11,150 حالة الـ X بتساوي Y is trivial لأن لما تكون X 391 00:32:11,150 --> 00:32:14,450 بتساوي Y هذا صفر و لما تكون X بتساوي Y هذا صفر إذا 392 00:32:14,450 --> 00:32:18,610 الـ inequality هذه صحيحة دائما إذا الآن صار عندي 393 00:32:18,610 --> 00:32:25,590 هذه الـ inequality staris true for all x و y 394 00:32:25,590 --> 00:32:30,390 limiting a و b لأنه قلنا الـ x أصغر من y الـ y أصغر 395 00:32:30,390 --> 00:32:33,990 من x أكيد similarly و بنفس الأسلوب أو حتى without 396 00:32:33,990 --> 00:32:38,170 loss of generality يعني بدون ما نفقد أي شيء من 397 00:32:38,170 --> 00:32:44,530 التعميم بنفترض أن x أصغر من y صار 398 00:32:44,530 --> 00:32:53,230 عندي يا جماعة الآن F مستمر على A وB لأن F بيصبح 399 00:32:53,230 --> 00:33:02,750 عملية Lipschitz اللي هي الآن ضال علي أثبت أن الـ F 400 00:33:02,750 --> 00:33:11,100 مستخدم وزي ما قلت بدأ أثبت أن الـ Limit للـ F of C 401 00:33:11,100 --> 00:33:17,800 زائد H نقص F of C على H لما H تروح للصفر بساوي F 402 00:33:17,800 --> 00:33:23,480 small of C أو أثبت لكم الفرق بين هذولتين أصغر من 403 00:33:23,480 --> 00:33:28,880 Epsilon وهذا زي ما قلنا هو اللي هيمثل F' of C ده 404 00:33:28,880 --> 00:33:34,160 نشوف كيف طيب الصلاة على النبي صلاة والسلام عليك 405 00:33:37,390 --> 00:33:42,130 خلّينا نجف عند .. أيوة نيجي الآن البرهان هتلاقوه 406 00:33:42,130 --> 00:33:49,730 برضه سهل وفكرته سهلة شوفوا كيف عندي نفترض الآن 407 00:33:49,730 --> 00:33:53,550 suppose that f is continuous at c limiting a وb 408 00:33:53,550 --> 00:33:58,790 مدام continuous إذن limit 409 00:34:01,700 --> 00:34:08,460 F of X as X بتروح للـ C بساوي F of C مظبوط ولا لأ؟ 410 00:34:08,460 --> 00:34:12,300 أكيد مظبوط فبقى من جهة أخرى خلينا نكتبها بصورة 411 00:34:12,300 --> 00:34:18,660 ثانية X ناقص C بتروح للسفر if and only if اللي هو 412 00:34:18,660 --> 00:34:23,960 X بتروح لمين للـ C سمولي هذه X minus C إيش اسمها H 413 00:34:23,960 --> 00:34:31,410 بصير هذه اللي فوق مين هي limit F of الـ X minus C 414 00:34:31,410 --> 00:34:36,490 بتساوي الـ H يعني الـ X بتساوي H زائد C أو C زائد 415 00:34:36,490 --> 00:34:41,190 H لأن x بتروح للـ c تكافئ أنه .. اللي هو x minus c 416 00:34:41,190 --> 00:34:44,610 تروح للصفر، يعني بتكافئ H تروح لمين للصفر، إيش حيث 417 00:34:44,610 --> 00:34:49,650 هو هذا؟ F of C، إذا هذه هي تعبير آخر عن الـ 418 00:34:49,650 --> 00:34:56,250 continuity للـ F لما اللي هو اللي هي الـ F عند مين، 419 00:34:56,250 --> 00:34:59,210 عند الـ C، يعني هذه تعبير آخر، الـ continuity للـ 420 00:34:59,210 --> 00:35:05,900 function لما عند النقطة اللي هي C هذه الآن شو بدي 421 00:35:05,900 --> 00:35:09,520 استخدمها للوصول للي بدي إياها لأن مادام F is 422 00:35:09,520 --> 00:35:12,600 continuous ده هذي متحققة هيها مادام F is 423 00:35:12,600 --> 00:35:15,480 continuous عن C ده هذي متحققة فمادام هذي متحققة 424 00:35:15,480 --> 00:35:18,720 إذا by epsilon delta definition for every epsilon 425 00:35:18,720 --> 00:35:22,880 أكبر من 0 there exists delta أكبر من 0 such that 426 00:35:22,880 --> 00:35:28,950 لما يكون ال absolute value لل H أصغر من Delta و 427 00:35:28,950 --> 00:35:32,230 طبعا أنا وين بشتغل في المنطقة إنّها تكون C زائد H 428 00:35:32,230 --> 00:35:36,370 وين ما لأ في الفترة تبعت من A لعند مين لعند B يعني 429 00:35:36,370 --> 00:35:41,230 اخترت ال H صغيرة كفاية بحيث إنّه C زائد H اضلي وين 430 00:35:41,230 --> 00:35:45,090 جاعد في الفترة من A و B لعنده لإنّ هاي الفترة A وهي 431 00:35:45,090 --> 00:35:49,330 B والفترة هذه اللي هي I C عندي مثلا في داخلها اللي 432 00:35:49,330 --> 00:35:55,690 هي بتختار H دلتتها صغيرة كفاية إنّه ضال C زائد H 433 00:35:55,690 --> 00:36:01,050 موجودة في الفترة من A لعند B عشان تصير معرفة لإنّ 434 00:36:01,050 --> 00:36:05,330 دالتي أنا عشان تكون معرفة عند C زائد H لازم تكون C 435 00:36:05,330 --> 00:36:08,490 زائد H في داخل المنطقة هذه لإنّ دالتي معرفة على 436 00:36:08,490 --> 00:36:11,770 الفترة من A لعند B عشان هيك أقولنا C زائد H لازم 437 00:36:11,770 --> 00:36:16,630 تكون في الفترة زائد B إذن اختيار الـ Delta يعتمد 438 00:36:16,630 --> 00:36:20,210 على ال limit ويعتمد على إنّه أضمن ال C زي داشر ضال 439 00:36:20,210 --> 00:36:24,510 هوين في الفترة A وB إذا تعريف ال continuity بيقول 440 00:36:25,950 --> 00:36:27,530 لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم 441 00:36:27,530 --> 00:36:28,970 باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر 442 00:36:28,970 --> 00:36:29,950 يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y 443 00:36:29,950 --> 00:36:30,650 أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام 444 00:36:30,650 --> 00:36:32,710 صفر يوجد دلتا لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا 445 00:36:32,710 --> 00:36:35,050 لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أقوم 446 00:36:35,050 --> 00:36:41,110 باستخدام صفر يوجد دلتا 447 00:36:41,110 --> 00:36:49,400 لكل y أقوم باستخدام صفر يوجد دلتا لكل y أطيب، الآن 448 00:36:49,400 --> 00:36:54,020 وين أنا بدأ أروح؟ بدأ أثبت لكم إنّه هذا ناقص هذا 449 00:36:54,020 --> 00:36:58,240 أصغر من epsilon عشان ذلك دعنا نحسب F of C زاد H 450 00:36:58,240 --> 00:37:03,060 ناقص F of C على H ناقص مين يا جماعة؟ F of C ويساوي 451 00:37:03,060 --> 00:37:13,170 الآن F of C زاد H ناقص F of C خد الآن اللي هي الـ H 452 00:37:13,170 --> 00:37:16,850 هدعم المشترك بالـ C الواحدة للـ H ماشي F of C زي 453 00:37:16,850 --> 00:37:21,910 دتش تعريفها من A لعند C زي دتش لل F of X DX قلناها 454 00:37:21,910 --> 00:37:26,090 هذه اللي ما عطيناها من رأس الدور ناقص ماشي تعريف F 455 00:37:26,090 --> 00:37:30,230 of C Capital of C هو ال integration من A لعند C زي 456 00:37:30,230 --> 00:37:35,630 دتش الآن دي مش C زي دتش من A لعند مين لعند الـ C 457 00:37:35,630 --> 00:37:40,110 واحدة للـ H من A لعند الـ C اللي هي F of C زي دتش 458 00:37:40,110 --> 00:37:46,360 هيها وهي الواحدة الـ H اللي برا ال F of C هيها من A 459 00:37:46,360 --> 00:37:51,780 ل C واحدة الـ H ناقص مين F of C هذا من التعريف 460 00:37:51,780 --> 00:37:55,460 مباشرة لإنّ احنا عرفنا ال F capital of X هي عبارة 461 00:37:55,460 --> 00:38:01,820 عن integration من A لعند X F of T DT لأنّ لما نكون 462 00:38:01,820 --> 00:38:06,120 F of C زي دتش بنحطها دي C زي دتش C بنحطها دي عياش 463 00:38:06,120 --> 00:38:13,460 C وهي C زي دتش وهي الـ C وهي ساوية الآن هذه من .. 464 00:38:13,460 --> 00:38:18,780 من .. من عند A لـ C زي ده اتش وهذه من A لعند B 465 00:38:18,780 --> 00:38:23,980 لعند C هدولة مع بعض هاي هدولة التنتين بده احسبها 466 00:38:23,980 --> 00:38:28,120 مع بعض حسبنا زيين قبل و شوية هو عبارة عن واحد على 467 00:38:28,120 --> 00:38:32,400 اتش خدوا عامل مشترك خدوا واحد على اتش عامل مشترك 468 00:38:32,400 --> 00:38:37,340 بين الجهتين تصبح واحد على اتش افتح جوس ال 469 00:38:37,340 --> 00:38:41,660 integration من A لعند C زي ده اتش لأن بدل الناقص 470 00:38:41,660 --> 00:38:46,020 بيصير H اكتب زائد بدل هذا الناقص بيكتب زائد لأنّ 471 00:38:46,020 --> 00:38:52,460 هتنقلب مين الآن من C لعند ال A نظبط اللي هو لنفسها 472 00:38:52,460 --> 00:38:58,020 F F هذه الآن من C لعند ال A ومن A لعند ال C زاد H 473 00:38:58,020 --> 00:39:02,000 إذا أكيد هذه كلها على بعض يصير ال integration من C 474 00:39:02,000 --> 00:39:08,930 ل C زاد H لل F في واحد على H إذا هذه كلهابس 475 00:39:08,930 --> 00:39:11,350 ابدلتها بقيمتها اللي قلنا عنها اللي هو ال 476 00:39:11,350 --> 00:39:15,810 integration من C ل C زي H اللي اوجدته بدل هذا كله 477 00:39:15,810 --> 00:39:23,190 من واحد ال H ل F of X DX ناقص الآن هذا هذا اللي هي 478 00:39:23,190 --> 00:39:28,090 F of C شوف كيف بده اعملها على جهة تعالي احسب ال 479 00:39:28,090 --> 00:39:33,660 integration ال integration من C لـ C زائد H للـ 480 00:39:33,660 --> 00:39:38,180 constant واحد بعد أذنكم DX إيش هيساوي ال 481 00:39:38,180 --> 00:39:44,140 integration هدا عبارة عن C زائد H ناقص C وهيساوي 482 00:39:44,140 --> 00:39:48,760 قداش H يعني بمعنى آخر لو جيتها الجد تعرفوا ليش 483 00:39:48,760 --> 00:39:52,640 بعمل هيك واحد على H في ال integration من C لـ C 484 00:39:52,640 --> 00:39:58,720 زايد H اللي هو الواحد هيساوي إيش؟ واحد، مظبوط ولا 485 00:39:58,720 --> 00:40:03,450 لأ؟ أكيد مظبوط ماشي هايمل هادي كسمت الديوا تاني 486 00:40:03,450 --> 00:40:10,570 عشان تطلع حد واحد الآن صار عندي لو ضربت هادي 487 00:40:11,920 --> 00:40:18,320 الجهتين في F of C هي F of C بيساوي إيش؟ F of C صار 488 00:40:18,320 --> 00:40:21,260 الآن F of C بيساوي هذه بدي أشيل F of C تبعتي و أحط 489 00:40:21,260 --> 00:40:25,360 مكانها هذه الصورة ليش حطيتها؟ عشان هذه أقدر أتحمل 490 00:40:25,360 --> 00:40:30,380 محا محا دي اللي موجودة من الأصل شوف كيف الآن شيلت 491 00:40:30,380 --> 00:40:33,320 ال F of C و حطيت قيمتها اللي أوجدناها اللي هي 492 00:40:33,320 --> 00:40:37,660 عبارة عن F of C على H في ال integration من C لC زي 493 00:40:37,660 --> 00:40:42,480 H لمن؟ للواحد ماشي لأنّ صار هذا ال integration و هذا 494 00:40:42,480 --> 00:40:45,920 ال integration نفس الاشي واحد ل F of X و واحد ل 495 00:40:45,920 --> 00:40:50,380 واحد يعني بقدر اشتغل فيهم بيصير عندي خد ال واحد ال 496 00:40:50,380 --> 00:40:53,960 H برا عن المشترك خالص بيظل عندي ال integration من 497 00:40:53,960 --> 00:40:58,720 C ل C زاد H هذا مين إيش اسمه F of X و هذا F of C 498 00:40:58,720 --> 00:41:01,580 دخلتها جوا و مضربتها بالواحد صارت مين بقدر أعلن و 499 00:41:01,580 --> 00:41:06,520 ثابت اللي هي ناقص F of C لكل اش ماله DX هذا الكلام 500 00:41:06,520 --> 00:41:14,340 كله من C ل C زاد H صار عندي الآن الصورة هذه هيها اه 501 00:41:14,340 --> 00:41:20,840 و هذه الصورة اصلا أنا بدياها الآن واحد على H أزرع 502 00:41:20,840 --> 00:41:23,760 أو ساوي قولنا absolute value of integration أزرع 503 00:41:23,760 --> 00:41:28,740 أو ساوي ال integration لل absolute value DX الآن 504 00:41:28,740 --> 00:41:35,320 هذا المقدار F of X ناقص F of C قلنا عنها من راس 505 00:41:35,320 --> 00:41:40,420 الدور إنّ F of X ناقص F of C اللي هو أصغر من 506 00:41:40,420 --> 00:41:44,420 Epsilon لأنّ limit F of X لما X تروح للـC أشهر 507 00:41:44,420 --> 00:41:50,240 مساوي F of C لأنّ X الـN هذه في الفترة من C لـC 508 00:41:50,240 --> 00:41:56,100 زائد اتش يعني بتسمح لي أن أقول limit F of X as X 509 00:41:56,100 --> 00:42:01,220 بتروح للـC بتساوي F of C لما X بتروح للـC اللي هي 510 00:42:01,220 --> 00:42:05,980 أدش بتروح لمين للسفر مضل في نفس المنطقة لأنّ قلنا 511 00:42:05,980 --> 00:42:10,300 قبل شوية x minus c بتروح للسفر إذا وفقط إذا اللي 512 00:42:10,300 --> 00:42:13,880 هي ال H اللي بتروح للسفر اللي هي عبارة عن x minus 513 00:42:13,880 --> 00:42:18,260 c يعني هذا المقدار بال continuity لل F عند ال C 514 00:42:18,260 --> 00:42:21,980 برضه بكون أصغر من إبسلون على ال absolute value 515 00:42:21,980 --> 00:42:25,160 لمين لل H في ال integration من C لC زاد H 516 00:42:27,990 --> 00:42:33,050 واضحة اه؟ أكيد هذا الآن إيش قيمته؟ C زي داش ناقص C 517 00:42:33,050 --> 00:42:36,050 اللي هي عبارة عن H فبصير Y عبارة عن absolute value 518 00:42:36,050 --> 00:42:42,430 of H في mean فيه اللي هو الـH الـH اللي هو الـH 519 00:42:42,430 --> 00:42:42,470 اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي 520 00:42:42,470 --> 00:42:42,490 هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH 521 00:42:42,490 --> 00:42:42,570 الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي 522 00:42:42,570 --> 00:42:42,710 هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH اللي هو الـH 523 00:42:42,710 --> 00:42:46,490 الـH اللي هو الـH اللي هو الـH 524 00:42:46,490 --> 00:42:52,450 اللي هو الـ طيب .. بيصير عندها .. بيصير أكبر من 0 525 00:42:52,450 --> 00:42:55,790 آسف هذه بحاجة دي بتطلع إيش بتساوي .. بيساوي بيساوي 526 00:42:55,790 --> 00:42:58,150 .. بقدر أختار H positive؟ اه بقدر أختار H positive 527 00:42:58,150 --> 00:43:03,130 طيب و لو حتى ال H negative بتكون similarly بس 528 00:43:03,130 --> 00:43:06,950 بتكون .. كل البرهام بيصير .. بترتب على إنّه اللي هي 529 00:43:06,950 --> 00:43:12,890 ال .. ال C زائد H أصغر من مين من ال C without loss 530 00:43:12,890 --> 00:43:17,250 of generality ال H أكبر من 0 بصير عندي لأنّ هذا 531 00:43:17,250 --> 00:43:24,750 المقدار أصغر من مين من إبسلون إيش يعني اللي عملنا 532 00:43:24,750 --> 00:43:28,290 اللي عملنا لكل إبسلون أكبر من Zero لاجئنا Delta 533 00:43:28,290 --> 00:43:33,350 بحيث إنّه لما H absolute value أصغر من Delta يعطيني 534 00:43:33,350 --> 00:43:39,330 إنّ هذا المقدار أصغر من مين؟ من إبسلون يعني صار 535 00:43:39,330 --> 00:43:43,450 عندي limit هذا المقدار بسوء f of c و هذا المقدار 536 00:43:43,450 --> 00:43:46,290 اللي هو f prime of c يعني اعتبرتنا f prime of c 537 00:43:46,290 --> 00:43:56,410 بسوء f small of c وهو المطلوب طيب نيجي الآن للي 538 00:43:56,410 --> 00:44:02,210 هي ال corollary برضه الى النظرية اللي جاملة بشوية 539 00:44:02,210 --> 00:44:10,790 أو خلّيني نقول تلخيصها سريع واستذكرها سريعها اللي 540 00:44:10,790 --> 00:44:17,830 هو الأولى كانت تكامل والتفاضل هذه تفاضل التكامل 541 00:44:17,830 --> 00:44:23,470 طبعا كل واحدة تحت شروطها المذكورة في نظريتها 542 00:44:25,860 --> 00:44:30,340 نيجي نشوف يا جماعة ال corollary let f من a و b لعند 543 00:44:30,340 --> 00:44:34,940 r بي continuous on a و b and let f of x بي سوى ال 544 00:44:34,940 --> 00:44:37,720 integration من ال a ل ال x ل ال f إذا فرض f 545 00:44:37,720 --> 00:44:40,160 continuous ال f اسمه ال continuous على كل الفترة 546 00:44:40,160 --> 00:44:44,980 ريح حاله طبعا أعطى إشي أكبر من النظرية اللي فاتت 547 00:44:44,980 --> 00:44:47,640 يعني فرض ال continuity على ال a و ال b ما زم 548 00:44:47,640 --> 00:44:49,840 continuous إذا ما بتزمش تقول integrable لإنّ و أنا 549 00:44:49,840 --> 00:44:52,340 continuous function زي ما قلنا إيش ما لها is 550 00:44:52,340 --> 00:44:58,190 integrable إذا مدامة f continuous الآن بيصير هذه ال 551 00:44:58,190 --> 00:45:01,810 integration اللي هي من a لعند ال x نفسها 552 00:45:01,810 --> 00:45:06,030 continuous لأ مش continuous بس is differentiable 553 00:45:06,030 --> 00:45:09,270 يعني أجم ال continuous يعني هتكون عندي ال f is 554 00:45:09,270 --> 00:45:13,670 differentiable و ال f برامي يمين هي ال f then f is 555 00:45:13,670 --> 00:45:17,730 differentiable من a و b عند f برامي بيساوي كده إذن 556 00:45:17,730 --> 00:45:25,000 باختصار من a ل x اللي هو fof t dt لو فرضنا هذه 557 00:45:25,000 --> 00:45:33,060 continuous على ال a و ال b إذا لكل x element in a 558 00:45:33,060 --> 00:45:38,080 و ال b بيصير f of x بالساوي هذا is differentiable 559 00:45:38,080 --> 00:45:45,500 و ال f prime of x هتساوي f of اللي هي x يعني بمعنى 560 00:45:45,500 --> 00:45:52,590 آخر اللي هو نفضل هذا التكامل و نزيل التفاضل و نحط 561 00:45:52,590 --> 00:46:00,830 الـ L جوا يعني بمعنى آخر D by DX للـ integration 562 00:46:00,830 --> 00:46:08,530 من A لعند X F of D DT لما تكون F continuous هذا 563 00:46:08,530 --> 00:46:14,610 بكون بـ cancel هذا أو عملية عكسية له،وبتظللنا F of X 564 00:46:14,610 --> 00:46:19,070 يعدّى الأحقالها أو F of T والـ T هي المتغير أو الـ 565 00:46:19,070 --> 00:46:23,370 X هي المتغير هذه اللي هي الكورلاري الآن بدوا يلمّوا 566 00:46:23,370 --> 00:46:26,610 النظريتين اللي قبل بشوية في نظرية واحدة، يلخصّن في 567 00:46:26,610 --> 00:46:30,910 نظرية واحدة نشوف كيف بدوا يلخصّن في نظرية واحدة 568 00:46:30,910 --> 00:46:40,630 يعني بدوا يعيدوا بس اللي هو صياغة النظريتين صلّوا 569 00:46:40,630 --> 00:46:44,540 على النبي عليه الصلاة والسلام، الآن fundamental 570 00:46:44,540 --> 00:46:48,580 theorem of calculus combined form يعني التنتين 571 00:46:48,580 --> 00:46:53,790 الآن موجودات في نفس النظرية، شوف إيش بقول لك let 572 00:46:53,790 --> 00:46:57,610 F capital and F small be continuous on a and b، فرض 573 00:46:57,610 --> 00:47:00,710 أن F capital و F small أشمالهم إتن تان continuous 574 00:47:00,710 --> 00:47:04,670 على الفترة a و b، و فرضك أن F of a بساوة صفر، يعني 575 00:47:04,670 --> 00:47:07,610 بدي أحط ال initial condition F of a بساوة صفر عسى 576 00:47:07,610 --> 00:47:11,070 أن يجمّل الصورة، ما حاطه عشان صفر، بتطلع F of a في 577 00:47:11,070 --> 00:47:14,290 الجواب then the following statements are 578 00:47:14,290 --> 00:47:18,380 equivalent، يعني لما تكون هذا صحيحة هذا صحيحة، ولما 579 00:47:18,380 --> 00:47:22,640 تكون هذا صحيحة هذا صحيحة، نيجي للجزء الأول، لو فرضنا 580 00:47:22,640 --> 00:47:29,160 أن F prime of X بيساوي F of X، إذا حيصير عندي الـ F 581 00:47:29,160 --> 00:47:33,460 هذه is differential الماشي هيك مفترض أن F prime of 582 00:47:33,460 --> 00:47:38,620 X بيساوي F of X، بقول إذاً إذاً هذه صحيحة، إيش يعني 583 00:47:38,620 --> 00:47:43,260 هذه صحيحة؟ يعني ال integration من ال AX للـ F of 584 00:47:43,260 --> 00:47:48,400 التي هي T DT، هذه DT يا جماعة، بس .. بس نخلف عن 585 00:47:48,400 --> 00:47:58,200 هذه، F of T DT، هذا هيساوي مين؟ هيساوي F of X، 586 00:47:58,200 --> 00:48:03,070 ناشي؟ الآن then the following statements are 587 00:48:03,070 --> 00:48:06,950 equivalent، يعني لما تكون هذه صحيحة بتعطيها دي اه 588 00:48:06,950 --> 00:48:11,350 فرضنا إن f prime of x بيساوي f of x، إذا حيكون عند 589 00:48:11,350 --> 00:48:14,290 ال integration من a ل x f of t dt بيساوي إيش 590 00:48:14,290 --> 00:48:20,630 بالظبط؟ F of x كيف ده تبتها؟ الآن فرضنا هذا صحيح 591 00:48:20,630 --> 00:48:24,710 إذا ال integration من a ل عند ال x f of t اللي هي 592 00:48:24,710 --> 00:48:33,010 مين هتصير؟ f prime of t DT هذه قبل بشوية من نظرية 593 00:48:33,010 --> 00:48:36,470 الأولى قلنا كامل التفاوض و ليش بتطلع عندك جواب F 594 00:48:36,470 --> 00:48:42,210 of X ناقص مين؟ F of A لإن كل الشروط متحققة، ماشي 595 00:48:42,210 --> 00:48:48,110 الآن هاي كمان مرة يا جماعة فرضنا إن هذا متحقق بدي 596 00:48:48,110 --> 00:48:51,250 أحسب هذه، أتبتها بالساوية هذه، خد ال integration من 597 00:48:51,250 --> 00:48:55,510 X F of T DT، هو ما عاطيني الـ F small، هد مين هي الـ F 598 00:48:55,510 --> 00:48:58,830 براهن، شفت .. شيلت الـ F small إيش حطيت مكانها؟ F 599 00:48:58,830 --> 00:49:03,510 براهن، الآن هذه قبل بشوية في الـ Corollary فظلنا .. 600 00:49:03,510 --> 00:49:07,490 كملنا التفاضل، كيف كملنا التفاضل؟ إنه قولنا شيل 601 00:49:07,490 --> 00:49:11,230 التفاضل .. شيل التكامل .. شيل التفاضل بتصير عبارة 602 00:49:11,230 --> 00:49:15,270 عن F اللي فوق اللي كانت B ناقص F اللي تحت اللي هي 603 00:49:15,270 --> 00:49:19,390 A ويساوي أف of X نقص أف of A، أف of A ما عاطينيها من 604 00:49:19,390 --> 00:49:24,350 رأس الدوار صفر، إذا إيش هتساوي أف of X، إذا هذه اللي 605 00:49:24,350 --> 00:49:28,290 بدّينا حساباتها بتساوي هذه، طلعت إيش بتساوي أف of X 606 00:49:28,290 --> 00:49:32,830 يعني أف of X بتساوي هذا المقدار وهو المطلوب، طيب 607 00:49:32,830 --> 00:49:36,730 هذا الجزء الأول من النظرية اللي هو، نيجي للجزء 608 00:49:36,730 --> 00:49:42,240 الثاني، نفترض الآن إن هذه صحيحة، وده تعطيها، الآن برضه 609 00:49:42,240 --> 00:49:44,760 الشروط كلها متحققة، لأن الـ F في اسمه ليش مالها 610 00:49:44,760 --> 00:49:47,340 continuous لسه إن أنا ما .. ما .. ما ملاحتوش أنا 611 00:49:47,340 --> 00:49:52,080 هذا إيه عندي F continuous مدام F continuous ال 612 00:49:52,080 --> 00:49:57,720 integration من أعلى عند ال X هذا كله اللي هو اسمه F 613 00:49:57,720 --> 00:50:01,320 of X هيكون differentiable حسب النظرية، مزام 614 00:50:01,320 --> 00:50:04,780 differentiable حسب هذه النظرية، إذا F prime of X 615 00:50:04,780 --> 00:50:11,100 إيش هتساوي؟ F of X، يعني حققنا مين؟ اللي هي I يعني 616 00:50:11,100 --> 00:50:20,070 هذا يؤدي إلى هذا، نجي الآن لبعض التعريفات اللي 617 00:50:20,070 --> 00:50:26,890 هنتكرها لكم وأنّتو هتكونوا اللي هو اتابعوا الأمثلة 618 00:50:26,890 --> 00:50:32,130 من خلال ال homework اللي معاكم، هنعطي اللي هي تعريف 619 00:50:32,130 --> 00:50:36,830 ممكن أنتوا حتى مر عليكم في ال calculus ومن ثم اللي 620 00:50:36,830 --> 00:50:41,710 هونعطي بعض ال counter examples اللي هي هنرجعكم 621 00:50:41,710 --> 00:50:47,370 فيها للي هي الأسئلة اللي في الكتاب تشوفوا نصوصها 622 00:50:47,370 --> 00:50:53,530 على الأقل واللي مطلوب تحلوها إيه تحلوها، واللي ما 623 00:50:53,530 --> 00:50:56,910 بتحلوه يعرفش تحلوها، في عندنا اللي هو في ال homework 624 00:50:56,910 --> 00:51:01,230 الحلول الموجودة بتدرسوها لحالكم، ما درستوها برضه 625 00:51:01,230 --> 00:51:04,310 ما فهمتوهاش، احنا بنعمل فيها discussion ولو عملناها 626 00:51:04,310 --> 00:51:07,930 حتى بشكل صوتي على أساس اللي هو احنا يمكن ما نقدرش 627 00:51:07,930 --> 00:51:12,110 نصور بشكل كامل اللي هي ال discussions عبر اللي هو 628 00:51:12,110 --> 00:51:16,270 التصوير اللي احنا الحالي بنصوره عبر ال power point 629 00:51:16,270 --> 00:51:22,710 من البيت إن شاء الله، طيب definition let I بتساوي A 630 00:51:22,710 --> 00:51:27,630 و B subset من مين؟ من R، إذا كانت F small من I لـ R 631 00:51:30,720 --> 00:51:35,400 then فرضنا أنه في دالة اسم F من I لعند R then the 632 00:51:35,400 --> 00:51:42,280 antiderivative of F يعني وكأنها عكس عملية عكس 633 00:51:42,280 --> 00:51:45,920 الدالة اللي بنفضلها roughly antiderivative of F on 634 00:51:45,920 --> 00:51:50,620 I is a function F من I لعند R such that F prime of 635 00:51:50,620 --> 00:51:59,830 X سوى F of X يعني عندنا دالة F من عند I لعند R لو 636 00:51:59,830 --> 00:52:05,310 جينا لجينا F تانية من عند I لعند R و لجينا F prime 637 00:52:05,310 --> 00:52:10,450 of X للي اللي في الـ I بتساوي mean لـ F small of X 638 00:52:11,290 --> 00:52:15,490 في هذه الحالة بنسمي الـ F capital هذه عبارة عن 639 00:52:15,490 --> 00:52:19,850 antiderivative للـ F، يعني بمعنى آخر لو فضلناها هذه 640 00:52:19,850 --> 00:52:25,130 الـ antiderivative هتطلع مين؟ الـ F الأصلية يعني 641 00:52:25,130 --> 00:52:30,890 بتكون عندي اللي هي الـ F capital هي ال 642 00:52:30,890 --> 00:52:35,210 antiderivative للـ F والـ F small هي ال derivative 643 00:52:35,210 --> 00:52:41,910 للـ F، واضح أخدته في ال calculus حتى نيجي الآن ل 644 00:52:41,910 --> 00:52:45,650 اللي هو برضه مفهوم أخدته في الكاركولاس if f من I 645 00:52:45,650 --> 00:52:49,750 لعند R small is integrable لو فرضنا هذي integrable 646 00:52:49,750 --> 00:52:53,950 و جينا عرفنا 647 00:52:53,950 --> 00:52:56,910 ادالة من A لعند X F of X DX، قبل شوية قولنا هذا 648 00:52:56,910 --> 00:53:00,290 أكيد معرفة مثلاً في integrable ومش معرفة ال 649 00:53:00,290 --> 00:53:04,110 function F of X هتطلع continuous هذه اللي هي ال 650 00:53:04,110 --> 00:53:09,930 function أو هذا هو اللي بنسميه التكامل المحدود، هذه 651 00:53:09,930 --> 00:53:15,110 بنسميها الـ Indefinite Integral of F يعني هذا 652 00:53:15,110 --> 00:53:17,790 بنسميه Indefinite Integral of F أو هذه الدلة 653 00:53:17,790 --> 00:53:23,030 بنسميها اللي هي The Indefinite Integral of F on I 654 00:53:23,030 --> 00:53:28,230 برضه هذا برضه شغلات اللي هو أخدتوها سابقًا في اللي 655 00:53:28,230 --> 00:53:33,780 هو ال calculus نيجي بعض الملاحظات بس على اللي هو 656 00:53:33,780 --> 00:53:42,820 اللي بتعلق بهذه اللي هي المفاهيم، نشوفها وهي طبعًا 657 00:53:42,820 --> 00:53:48,760 هذه المفاهيم في عليها counter examples، التمييز 658 00:53:48,760 --> 00:53:56,400 بينها نشوف المحبة هذه يا شباب، طيب صلّي على النبي 659 00:53:56,400 --> 00:54:03,640 عليه الصلاة والسلام، الآن عندي سؤال سبعة تلاتة اتنين 660 00:54:03,640 --> 00:54:06,400 يعني في سبعة تلاتة سؤال اتنين أو سبعة تلاتة سؤال 661 00:54:06,400 --> 00:54:10,660 خمسة طبعًا كله في الطبع التاني، هذا اللي هو عندي an 662 00:54:10,660 --> 00:54:13,540 integrable function may not have an antiderivative 663 00:54:13,540 --> 00:54:17,220 يعني هنلاقي في السؤال هذا integrable function 664 00:54:17,220 --> 00:54:24,080 ومالهاش .. ومالهاش antiderivative، يعني هنلاقي 665 00:54:24,080 --> 00:54:30,660 function F إنّها تكون integrable لكن مالناجيش 666 00:54:30,660 --> 00:54:34,540 function F اللي ال derivative تبعي تاش بتساوي 667 00:54:34,540 --> 00:54:39,860 بتساوي F، هذا اللي هو بتشوفوه في الـ 7 3 2 و 7 3 5 668 00:54:39,860 --> 00:54:43,340 الأمثلة أو ال counter examples اللي وجودة هنا، طيب 669 00:54:43,340 --> 00:54:47,710 الملاحظة التانية، الـ function may have an 670 00:54:47,710 --> 00:54:52,830 antiderivative، يعني عندي F و بتحقق F وفي عندي F 671 00:54:52,830 --> 00:54:57,310 كابتال كمان و F برايم إيش بتساوي بسوء F، but اللي 672 00:54:57,310 --> 00:55:02,210 هي ال integration للـ F إيش ماله does not exist، لكن 673 00:55:02,210 --> 00:55:07,370 but not integrable وهذا بتجاوب عليه برضه سبعة 674 00:55:07,370 --> 00:55:12,580 تلاتة خمسة، يعني في function F في إلها F' بساوة F 675 00:55:12,580 --> 00:55:17,640 لكن ال integration للـ F إشماله does not exist 676 00:55:17,640 --> 00:55:24,900 تلاتة، عندي الملاحظة الثالثة a continuous function 677 00:55:24,900 --> 00:55:27,800 always have antiderivative، طبعًا ال continuous 678 00:55:27,800 --> 00:55:35,290 function أصلا من القوة بمكان إنّها تخلّي عندها يكون 679 00:55:35,290 --> 00:55:39,490 لها الـ mean antiderivative، الآن a continuous 680 00:55:39,490 --> 00:55:44,190 function always have antiderivative وهذا اللي هو 681 00:55:44,190 --> 00:55:51,910 مباشرة من ال corollary 7 3 4 اللي كانت F 682 00:55:51,910 --> 00:55:56,770 continuous، مدام F continuous إذا ال integration من 683 00:55:56,770 --> 00:56:07,120 ال X من A لعند ال XA of T DT بساوة F of X اللي هي 684 00:56:07,120 --> 00:56:10,900 is differentiable ومش differentiable كمان و F 685 00:56:10,900 --> 00:56:14,860 prime of X بتساوي F small of X يعني مدام أف 686 00:56:14,860 --> 00:56:17,880 continuous إذا صار لها antiderivative صارت الـ F 687 00:56:17,880 --> 00:56:20,580 اللي هي ال derivative لها بساوة F of X، إذا صارت 688 00:56:20,580 --> 00:56:24,620 إيش antiderivative، هد مين هذا اللي هو عبارة عن الـ 689 00:56:24,620 --> 00:56:28,980 Corollary 7 3 4، مدام إن F continuous إذا هذه 690 00:56:28,980 --> 00:56:33,360 الدالة اللي سميتها F of X is differentiable ومش هي 691 00:56:33,360 --> 00:56:35,540 كمان، هذا الجزء الثاني من ال fundamental theorem of 692 00:56:35,540 --> 00:56:39,200 calculus والـ F prime of X إيش بيساوي؟ F of X، يعني 693 00:56:39,200 --> 00:56:44,280 الـ F capital is an antiderivative of the F small 694 00:56:44,280 --> 00:56:50,760 اللي هو النقطة الرابعة، the indefinite integral may 695 00:56:50,760 --> 00:56:57,520 not be an antiderivative of mean of F، الآن الـ 696 00:56:57,520 --> 00:57:02,400 indefinite integral اللي 697 00:57:02,400 --> 00:57:12,000 هو من A لعند X F of T DT لو سميناه F of X، هذاهذا 698 00:57:12,000 --> 00:57:15,480 the indefinite integral هذا ممكن يكون هذا يعني إيش 699 00:57:15,480 --> 00:57:18,480 بمعنى آخر؟ يعني بدنا نفترض إن ال integration من A 700 00:57:18,480 --> 00:57:22,580 ل X F of T DT موجود، طبعًا اللي بقول عنه موجود بس 701 00:57:22,580 --> 00:57:25,040 تكون F of T is integrable ما حاجيناش على control U 702 00:57:25,040 --> 00:57:29,000 of T الـ F of T is integrable إذا الـ A لعندي الـ X F 703 00:57:29,000 --> 00:57:35,100 of T DT لو ممكن يكون هذا موجود و بنسمي F of X 704 00:57:35,100 --> 00:57:39,830 بقول لي the indefinite integral هذا may not have 705 00:57:39,830 --> 00:57:44,490 antiderivative of F يعني ممكن ما يكونش هذا بالرغم 706 00:57:44,490 --> 00:57:48,610 أنه هذا موجود ما يكونش الـ F capital اللي هو هذا 707 00:57:48,610 --> 00:57:53,530 ما يكونش antiderivative لمين؟ للـ F small يعني رغم 708 00:57:53,530 --> 00:57:58,670 أنه هذا موجود ليس شرطًا أن يكون يتفاضل ولما 709 00:57:58,670 --> 00:58:03,290 يتفاضل يطلع اللي جوا يعني مش شرط أن تكون الـ F 710 00:58:03,890 --> 00:58:07,170 اللي هي antiderivative اللي هي مين؟ هو الـ 711 00:58:07,170 --> 00:58:10,110 indefinite integral هيك بتقول المواحدة طب إيش 712 00:58:10,110 --> 00:58:14,150 دليلكم؟ دليلنا هاي في counter examples هاي سبعة 713 00:58:14,150 --> 00:58:19,390 ثلاثة أربعة وهذا ناتج ناجم ناجم عدم تحقق هذه أو 714 00:58:19,390 --> 00:58:23,910 عدم تحقق الـ antiderivative أنه it may fail to be 715 00:58:23,910 --> 00:58:28,050 differentiable at points at the interval ممكن أصلاً 716 00:58:28,050 --> 00:58:35,440 أن الـ F prime تكونش موجودة بالمرة عند نقطة اللي هو 717 00:58:35,440 --> 00:58:39,620 في داخل الـ interval من a إلى x مزام هذه is not 718 00:58:39,620 --> 00:58:42,720 differentiable كيف بدنا نلاقي f prime بتساوي f 719 00:58:42,720 --> 00:58:48,640 small إذا قد ينشأ عدم وجود الـ antiderivative منه 720 00:58:48,640 --> 00:58:52,640 أنه هذه ما تكونش differentiable عند نقطة بين الـ a 721 00:58:52,640 --> 00:58:59,090 و الـ x هاي أولًا اللي هو سبب ممكن يؤدي إلى عدم تحقق 722 00:58:59,090 --> 00:59:03,150 أنه يكون الـ Indefinite Integral ليس Anti 723 00:59:03,150 --> 00:59:09,650 -derivative للدالة اللي إحنا بنكملها Or الـ 724 00:59:09,650 --> 00:59:12,850 Derivative of Indefinite Integral ممكن يكون موجود 725 00:59:13,450 --> 00:59:18,310 لكن يختلف عن مين؟ but different from the value of F 726 00:59:18,310 --> 00:59:22,410 at any point of the interval وهذا بيجيبوا سبعة 727 00:59:22,410 --> 00:59:26,990 ثلاثة ثمانية يعني بقول لك ممكن تكون يا محلاها وتجيب 728 00:59:26,990 --> 00:59:32,990 اللي هو الـ F prime of X لكن ما تطلعش تساوي F 729 00:59:32,990 --> 00:59:38,780 of X ففي هذه الحالة بيكون الـ Indefinite Integral 730 00:59:38,780 --> 00:59:46,320 ليس اللي هو إيه؟ شماله له Antiderivative عارفش 731 00:59:46,320 --> 00:59:55,080 لحاله وهاي في مثال طبعًا نأتي 732 00:59:55,080 --> 01:00:01,300 الآن ونبدأ حديثًا عن الـ evaluation of integrals 733 01:00:01,300 --> 01:00:07,780 evaluation of integrals هناخد اللي هو اللي هي اللي 734 01:00:07,780 --> 01:00:12,660 كنا نقول عنها اللي هو integration by parts اللي 735 01:00:12,660 --> 01:00:17,380 كنا نقول عنه integration by parts نشوف كيف اللي هو 736 01:00:17,380 --> 01:00:21,360 البرهن الأول واحدة يعني هناخد اللي هو النظرية 737 01:00:21,360 --> 01:00:28,430 الأولى اللي هي في من ضمن اللي هيكيف يمكن أن نجد 738 01:00:28,430 --> 01:00:33,770 طرق لإيجاد التكامل؟ evaluation of integrals أول 739 01:00:33,770 --> 01:00:39,730 شيء نحكي عنه هو integral by parts التكامل بالتجزئة 740 01:00:41,640 --> 01:00:48,040 نضع الأسس النظرية للتكامل بالتجزئة أو نشرع التكامل 741 01:00:48,040 --> 01:00:50,920 بالتجزئة من خلال النظرية اللي أمامنا، أيش بتقول 742 01:00:50,920 --> 01:00:54,720 ليه؟ إذا كانت f و g من a و b، f small و g small 743 01:00:54,720 --> 01:00:58,520 طبعًا، لعند R، R integrable on a و b، نفترض أن 744 01:00:58,520 --> 01:01:02,040 التنتين إما اللي هين integrable وبدنا نفترض أنه 745 01:01:02,040 --> 01:01:06,510 لهين antiderivatives الآن بدأ افرض أن F لها 746 01:01:06,510 --> 01:01:09,430 antiderivative اسمها F capital و G لها 747 01:01:09,430 --> 01:01:13,910 antiderivative اسمها G capital on A و B إذا الآن 748 01:01:13,910 --> 01:01:22,050 نظريتنا ترتكز في معطياتها على أن الـ F small لـ F و 749 01:01:22,050 --> 01:01:24,210 G integrable هي واحد 750 01:01:36,840 --> 01:01:45,420 ثم عرض علينا الآن نعمل integration ثم بنيجي بقول 751 01:01:45,420 --> 01:01:52,610 ليه؟ الـ Integration لحاصل ضرب دالتين F of X في G of 752 01:01:52,610 --> 01:01:58,890 X DX من A لعند B لأن طيب هذه Integrable عارفين؟ طب F 753 01:01:58,890 --> 01:02:01,090 capital Integrable؟ اه Integrable لأنها 754 01:02:01,090 --> 01:02:03,930 differentiable لأنها differentiable يعني 755 01:02:03,930 --> 01:02:07,370 continuous أكثر من continuous يعني يعني أكيد إيش 756 01:02:07,370 --> 01:02:11,250 ما لها Integrable إذا معقول كلامه من A لعند B F of 757 01:02:11,250 --> 01:02:15,590 X G of X DX إيش بتساوي؟ بقول لي عبارة عن F capital 758 01:02:15,590 --> 01:02:21,750 of B G capital of B نقص F capital of A G capital 759 01:02:21,750 --> 01:02:31,040 of A هذاناقص الـ integration F small of X G 760 01:02:31,040 --> 01:02:37,520 capital of X dx من A لعند B هذي اللي هي الـ 761 01:02:37,520 --> 01:02:41,240 integration by parts اللي عامة اللي بتدخلته أو 762 01:02:41,240 --> 01:02:45,960 اللي هي اللي بتقول عنه النظرية إذا if f و g من a 763 01:02:45,960 --> 01:02:49,260 لعند b are integrable on a و b and have 764 01:02:49,260 --> 01:02:52,140 antiderivatives f capital and g capital on a و b 765 01:02:52,140 --> 01:02:56,580 then ال integration من a لعن b f of x g x dx 766 01:02:56,580 --> 01:03:00,080 بيساوي f of b g of b نقص f of a g of a طبعًا 767 01:03:00,080 --> 01:03:06,360 للـ capitals نقص ال integration من a لـ b f small g 768 01:03:06,360 --> 01:03:12,200 capital dx ماشي الحال بدنا الآن اللي هو البرهن 769 01:03:12,200 --> 01:03:17,750 النظري البرهن أسهل يا جماعة هو برهان يعتمد على 770 01:03:17,750 --> 01:03:22,970 تفاضل اللي هو حاصل ضرب دالتين ويمكن إحنا كنا أصلاً 771 01:03:22,970 --> 01:03:27,110 في أثناء أول ما بنبدأ في ال integration by parts 772 01:03:27,110 --> 01:03:31,870 سنة عارفة للطلاب في ال calculus في الواقع في كل 773 01:03:31,870 --> 01:03:36,490 سؤال في الأول يعني وكأننا بنبرهن النظرية وبعد 774 01:03:36,490 --> 01:03:40,170 ذلك بنسير اللي هو حافظنا الطريقة ونعملها بشكل 775 01:03:40,170 --> 01:03:48,220 سريع طيب نشوف كيف سمّيلي اللي هو F capital of X G 776 01:03:48,220 --> 01:03:52,060 of capital of X إيش بتساوي؟ H of X طبعًا F is 777 01:03:52,060 --> 01:03:53,840 differentiable و G is differentiable زي ما كنا 778 01:03:53,840 --> 01:03:56,600 كاتب هذه لأن F antiderivative و G 779 01:03:56,600 --> 01:03:59,860 antiderivative يعني F prime لها F small و G prime 780 01:03:59,860 --> 01:04:03,700 لها G small يعني إذا صارت الـ H عبارة عن 781 01:04:03,700 --> 01:04:07,160 differentiable ومدام differentiable إذا أكيد الـ H 782 01:04:07,160 --> 01:04:12,340 شمالها continuous على الفترة A و B ماشي الحال ومش 783 01:04:12,340 --> 01:04:18,630 هيك كمان وبنقدر نفضلها شوفوا كيف 784 01:04:22,920 --> 01:04:26,280 واضحة كلها .. اه واضحة كلها .. ماشي زي ما قلنا يا 785 01:04:26,280 --> 01:04:29,440 جماعة سمينا F capital of X في G capital of X 786 01:04:29,440 --> 01:04:32,240 بالساوية H of X F differentiable و G 787 01:04:32,240 --> 01:04:35,440 differentiable ثم H differentiable ومن ثم أكيد 788 01:04:35,440 --> 01:04:39,780 continuous فضولي H prime of X لو حاصل ضرب دالتين 789 01:04:39,780 --> 01:04:44,740 التفاضل الأول في الثاني زي اللي هو الثاني الأول في 790 01:04:44,740 --> 01:04:49,840 التفاضل الثاني ويساوي تفاضل الـ F' اللي هي F small 791 01:04:49,840 --> 01:04:54,440 وهذه تنزل زي ما هي وتفاضل هذه اللي هي G small لذا 792 01:04:54,440 --> 01:04:59,020 صارت الـ H' بالساوية هنا يعني وكأنه صار عنده اللي 793 01:04:59,020 --> 01:05:04,360 هي الـ H هذه بدون الـ Prime antiderivative لمن؟ لهذه 794 01:05:04,360 --> 01:05:09,520 صارت يعني الـ H capital is an antiderivative of FG 795 01:05:09,520 --> 01:05:17,320 زي مين؟ زي FG الآن كل شيء نيّح F و G Integrable و F 796 01:05:17,320 --> 01:05:21,560 capital و G continuous إذا اللي هي أكيد F capital 797 01:05:21,560 --> 01:05:25,520 و G capital Integrable ومن ثم هيطلع كل هذا شماله 798 01:05:25,520 --> 01:05:31,920 is integrable ماشي كمان مرة F 799 01:05:33,190 --> 01:05:36,910 Integrable و G-Integrable و G-Capital و F-Capital 800 01:05:36,910 --> 01:05:40,450 continuous إذا صار الـ Integrable إذا هذا كله على 801 01:05:40,450 --> 01:05:44,830 بعض إيش ماله؟ صار Integrable إذا صار عندي الآن اللي 802 01:05:44,830 --> 01:05:49,550 هي كل الشروط متحققة إذا من سبعة ثلاثة مدامة الـ H 803 01:05:50,390 --> 01:05:53,570 الـ H وينها الـ H؟ هي الـ Antiderivative لهذه 804 01:05:53,570 --> 01:05:57,470 وهذه Integrable فبصير عندي الآن ال integration من 805 01:05:57,470 --> 01:06:01,770 هنا ب F في G زائد F capital في G DX بتساوي H of B 806 01:06:01,770 --> 01:06:11,650 ناقص مين؟ ناقص H of A طيب صار عندي الآن الأمور وضحت 807 01:06:11,650 --> 01:06:20,490 وطلعت النتيجة H of B أطلع عليها وين H of B؟ هيها H 808 01:06:20,490 --> 01:06:26,610 of B بيساوي F capital of B في G 809 01:06:26,610 --> 01:06:30,930 of B هيها ماشي F of B في G of B عادلة لو أنتو 810 01:06:30,930 --> 01:06:36,070 موجودين لأ على طول قلت لكم هيها الآن H of A بيساوي 811 01:06:36,070 --> 01:06:41,980 F of A في G of A هيها G of A ماشي إذا إيدينا هذا 812 01:06:41,980 --> 01:06:46,060 المقدار عوضنا عن H of B هيها وعوضنا عن H دي هيها 813 01:06:46,060 --> 01:06:49,960 هيها وإيش جينا؟ وهذه فصلناها لأن Integrable إذا 814 01:06:49,960 --> 01:06:52,940 فصلناها بنجيب واحدة على الجهة دي وواحدة على الجهة 815 01:06:52,940 --> 01:06:57,940 دي وهو المطلوب أعمل لكم إياها طيب ال integration من 816 01:06:57,940 --> 01:07:01,780 A لـ B integration 817 01:07:01,780 --> 01:07:10,680 من A لـ B FG capital زائد F capital في G بساوي 818 01:07:11,790 --> 01:07:24,730 H of B هي H of B H of B تساوي F of B G of B نقص H of 819 01:07:24,730 --> 01:07:31,770 A هي F of A G of A من الجهة الثانية بيساوي الـ 820 01:07:31,770 --> 01:07:35,890 integration F في G capital زائد ال integration F 821 01:07:35,890 --> 01:07:41,070 capital في G small من A لعند B من A لعند B لأن أن 822 01:07:41,070 --> 01:07:44,490 قلتم لي هذا على الجهة هذه بيصير عند ال integration 823 01:07:44,490 --> 01:07:51,350 المطلوب هذا أكيد فهمتم الأصل من a لعن b بيساوي الـ 824 01:07:51,350 --> 01:07:55,570 integration f في g capital زي f capital في g small 825 01:07:55,570 --> 01:08:06,170 لأ خلصنا منه بيساوي f of b في f of a في g of a في b 826 01:08:06,170 --> 01:08:16,030 نقص f of a في g of a كل هذا هذا المقدار integration 827 01:08:16,030 --> 01:08:27,230 of capital في G من A لـ B وهو المطلوب وهيك إحنا 828 01:08:28,050 --> 01:08:32,490 بنكون اليوم إن شاء الله وصلنا لعند الـ first 829 01:08:32,490 --> 01:08:36,250 substitution theorem المرة القادمة إن شاء الله 830 01:08:36,250 --> 01:08:45,010 بنكمل المحاضرة أو بنكمل المادة وبنكمل هذا الـ 831 01:08:45,010 --> 01:08:49,330 section في محاضرة قادمة إن شاء الله وإلى لقائنا