موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا به في المرة
الماضية المرة الماضية بدأنا بال infinite series
واخدنا فيها ال geometric series ثم بعد ذلك انتقلنا
الى اختبار الحد النوني في ال geometric series قلنا
ال series هذه ممكن تكون converge فقطإذا كان ال
absolute value لل ratio تبعتها ر أقل من واحد صحيح
يعني إذا كانت محصورة بين واحد و سالب واحد و بتبقى
diverge إذا absolute value لل R أكبر من أو يساوي
واحد صحيح ثم انتقلنا إلى أول اختبار من الاختبارات
الستة اللي من خلالهم بدأ نحكم على series هل هي
converge او divergeواخدنا اول اختبار المرة الماضية
اللي هو اختبار الحد النوني
بنجي على الحد النوني في ال series وبناخدله ال
limit، إذا والله كانت ال limit لا تساوي zero أو
infinity على كل الأمرين، بنقول ان ال series هذه
مالها، diverged فقط، لا غيرالاختبار الحد النوني
يقيص ال divergence لل series ولا يقيص ال
convergence إذا مشان يشوف ال series هذه هي
divergent ولا لا بروح باخد limit للحد النوني إذا
ال limit كانت تسوي أي رقم ما عدا الصفر أو كانت ال
limit تسوي ال infinity
أخذنا على ذلك المرة الماضية مثالا واحدا وهذا هو
المثال رقم اتنين اذا بدنا نشوف هذي ال series هل هي
converge ولا diverse اذا بتروح اخد limit للحد
النوني لهذه ال series اذا بدني اخد limitللـ A M
لما ال N tends to infinity يبقى limit لما ال N
tends to infinity ل 2 to the power N زائد 4 to the
power M على 3 to the power N زائد 4 to the power M
التعويض المباشر حيجيب للباصد بالإنفينيتي والمقام
بالإنفينيتي تمام؟ يبقى بناء عليه مهما نشتاق، لا
يمكن أن ينتهي الباصد أو المقام، ولا واحد فيهم
بينتهي، إذن مش هنخلص من هالشغل هذهإذا ما بنلجأ
للطريقة الثانية لحساب ال limits إذا كانت النتيجة
infinity على infinity وهي أن نقسم كل من البسط و
المقام على x المرفوعة لأكبر أس في المقام و في
المقابل هنقسم كل من البسط و المقام على أكبر قيمة
موجودة في المقاممين اللي اكبر؟ اربعة أس ان ولا
تلاتة أس ان؟ اربعة أس ان اذا مدى يقسم كل من البسط
والمقام على اربعة أس ان اذا لو جينا جسمنا هتاخد
الشكل التالي limit لما ان بدأ تروح ل infinity
لليتنين على اربعة كله to the power nزائد واحد
تلاتة على أربعة كله to the power in زائد واحد
القلال اللي بين جسين هذا كسر أقل من الواحد الصحيح
يبقى ال limit إيه لما ال end بدأ تروح لماله ليه
يسوي zero من الجدول النقطة رقم أربعة في الجدول ال
limits الستة يبقى هذا بيروح ب zero وهذا بيلحق ب
zero بظهر النتج كده و الواحد ماله ليه سوى zero
بروح أقوله buy the end
وانتهينا من المثلة
سؤال رقم تلاتة بيقول لي summation من N equal one
to infinity لل N plus one على الجذر التربيعي لاربع
N تربيع زائد تلاتة
بنروح ناخد limit لل a n لما ال n tends to infinity
يسوى limit لما ال n tends to infinity لل n plus
one على الجدرى التربية إلى أربعة n تربية زائد
تلاتة
طلعنا في المقدار اللي عندنا هنا التعويض المباشر
بيجيب ل infinity على infinity يبقى يا إما بلوبة ال
rule يا إما الطريقة اللي تبعناها فوق وهي إنه نقسم
كل من ال bus و المقام على إن المرفوع ليه أكبر قص
في المقامأكبر N مرفوعة للأسفل المقام اللي هي جداش
N تربية لكن N تربية تحت الجدر يبقى هذي في الحقيقة
جداش بكون N يبقى بنقسم كل من ال bus والمقام على N
يبقى بناء عليه هذا بدي يعطينا ال limit لما ال N
tends to infinity للواحد زائد واحد على N علىهذه
اللي بدك اسمها على ان تدخل ان تحت الجدر التربيعي
لما تدخل ان تحت الجدر التربيعي بيصير الجدر
التربيعي لأربعة زائد تلاتة على ان تربيعلأن N لما
ندخله تحت الجدر بيصير N تربية بيصير عندنا أربعة N
تربية على N تربية اللي يبقى أربعة تلاتة على N
تربية كما هي الان ال limit هندخله لكل من ال bus و
المعقام لو دخلت على ال bus فنهاية المقدار الثابت
بالمقدار الثابت itself وهذا بجد ياشيبزيرو وهذا على
جذر الأربعة اللي هو بقداش باتنين وهذا بزيرو يبقى
الجواب يسوي نص لا يسوي زيرو فبروح بقول هنا by the
interim test the series اللي هي مين؟اللي هي
summation لل N plus one على ال square root لل
أربعة N تربيه زائد تلاتة من N equal one to
infinity by their وانتهينا من المثلة هذا السؤال
الرابععندنا summation من N equal one to infinity
لل N على N ناقص واحد كله to the power N يبدأ
باننا نروح ناخد limit لما ال N tends to infinity
لل N على N ناقص واحد كله to the power Nلو جينا
عوضنا تعويضا مباشرا فصير infinity على infinity وكل
نقص infinity هذا الشيء أنا ماعرفهاش لكن تقدر تكتب
المسألة بشكل اخر لو جينا جسمنا او كتبنا المسألة
بشكل اخر بصير limit لما ان بدها تروح الى infinity
تمام؟ ايوة
ماشي ماسووناش اشي صار infinity أس infinity على
infinity أس infinity لم نأتي من نتيجة هذا
لما ناخد لن للطرفين لكن هنا عندنا حل بدون واخد لن
انا بلجأ لل لن عندما تتعقد الأمور
من كل من ال bus و المقام، ال bus جاهز يبقى باخد N
عمل مشترك من المقام أو بيقسم كل من ال bus و المقام
علي M تمام؟ يعني كأنه بدأ حط الكثر في شكل جديد، 1
علي N ناقص 1 علي Mنفس الكسر اللي فوق، مظبوط؟ إذاً
هذا بدي يسوي ال limit لواحد على N جسمنا عليه واحد
ناقص واحد على N كله to the power N، الشكل اللي
عندنا هذايعني N مع N راحة بقي عندنا واحد على واحد
ناقص واحد على N بالشكل اللي عندنا هذا فهذا الكلام
بدي يساوي واحد على جداش المقدار هذامن الجدول يبقى
هذا رقم خمسة اللي هو جداش E والسالب واحد يبقى E
والسالب واحد اللي تساوي E لا تساوي Zero يبقى حد
ديه بالك هتمور شغلات عليك كتير بالشكل هذا وجبتلك
سؤال زيها في ال sequences مثال اللي كان تلاتة اين
زاد واحد على تلاتة اين ناقص واحد كله to the power
النفس المفهوم مضبط تمامايبقى باجي بقوله by the
infirm test the series summation
لمين n equal one
سؤال الخامس سؤال الخامس بيقول لي summation من n
equal zero to infinityللـ E to the power N ع ال E
to the power N زائد ال M وبدنا نروح ناخد ال limit
لما ال N tends to infinity لل A M يبقى ده limit
لما ال N tends to infinity لل E أس N على ال E أس N
زائد Mلو جينا عوّبنا تعويضا مباشرا هيعطينا
infinity على infinity يبقى ممكن مشتقة البس على
مشتقة النقام او نجسم زي اللي جبل خلينا نجرب نشتق
يبقى اي limit لما ال int is to infinity مشتقة ال X
بننشل بال X بننشل X في مشتقة اللي اني بجداشلو
عوضنا تعويضا مباشرا بيعطينا infinity على infinity
بجلبة ال rule كمان مرة limit لما ال n tends to
infinity مشتقة ال exponential كما هي ال
exponential كما هي مشتقة ال واحد ب zero يبقى هنا
لو اختصرنا هذه مع هذه كده بيبقى الوالواحد ماله لا
يساوي zero بروح أقوله buy the infirm
test the series
اللي هي ال summation من N equal 0 to infinity لل E
N على U S N زائد N by virtue فبسؤال
السادس بسمع واحد بيقول فيش واحدة convergeيقول لك
يمكن لكن احنا ال N ثانوي يقيص التباعد ولا يقيص
التقارب ممكن الاختبار يفشل و تطلع ال conversion
الله علم شو بعرفنا لما نشوف خد كالمثال اللي هو
مثال 6 بيقول summation من N equal one to infinity
لإن ال N على N زائد واحدبنروح ناخد limit لهذا
المقدار يبقى لو جينا أخدنا limit لما ال N tends to
infinity لإن ال N على N زائد واحد
معها Vip تصريح تدخل تحت الجذور وداخل الأقواص وما
إلى ذلك يبقى هذا يبدو يسوى ال lim ل limit N على N
زائد واحد لما ال N tends to infinity يسوى ال lim
تعاود المباشر بيجيب ل infinity على infinity يبقى
مشتقة ال bus على مشتقة المقام بجداجلأن الواحد يبقى
كم؟ Zero طيب Zero إذا ال series converged مش
عارفين المرة اللي فاتة حاطيناك نظرية بقولك لو كانت
converged يبقى ال limit يساوي Zero طب لو كان ال
limit يساوي Zero الله أعلم قد تكون converged و قد
تكون bivalent يبقى في هذه الحالة اختبار لحد انه
ماله بيفشلهيبقى هذا بدي يعطيلك the nth term test
fails يبقى فشل طب مادام فشل كيبقى كي تسوي؟ دبر
حالك
يبقى برنا نروح نبحث عن طريقة أخرى للحكم على هذه ال
series هل هي converge او divergeولكن summation من
n equal one to infinity لإن ال n على n زائد واحد
يساوي summation من n equal one to infinity بدي
أحاول أكتب المثل هذه بصيغة أخرى إذا بقدر أقول هذه
لإن الباص ناقص لإن المقام شكل أنانيطب التعويض
المباشر لو أخدت limitاش بيطيني infinity سالب
infinity باعرفهاش هذي باكن هو اتحول الى infinity
على infinity او zero على zero طب ما هي كانت محولة
و جاهزة من الأول و فشل طب عشان نسوي ندبر حركة نرجع
لنفس ال sectionلما هذا الاختبار فشل رجعنا لمين؟ لأ
بالبداية كوننا sequence of partial sums ومن خلالها
قدرنا نحكم على مين على ال series بقوله كويس اذا
انا بدي ارجع لمين ل sequence of partial sums
مابديش اكونها من جديد مابدي اخد الحد نوني دغري
فبجي بقوله ذاin the term of the sequence of
partial
نبدأ باستخدام الرمز SN يبقى
لن الواحد ناقص لن اتنين لن اتنين ناقص لن تلاتة لن
تلاتة ناقص لن اربعة زاد ونظل ماشي لغاية ما نوصل
الحد النوني اللي هو لنلن ان ناقص لن ان زائد واحد
هذا شكل الحد النوني
طيب يبقى بناء عليه ال S N يساوي سالب لن اتنين
وموجب لن اتنين سالب لن تلاتة وموجب لن تلاتة سالب
لن اربعة وموجب لن اربعة سالب لن ال N وموجب لن ال N
مع السلامة اشرا يقول ان الواحد بجدي اشرا اذا انقلت
المسألة الى سالب لن ال N زائد واحدبنروح ناخد limit
للحد النوني في ال sequence لما ال N tends to
infinity يبقى هذا الكلام limit لمين؟ لسالب لإن ال
N plus one لما ال N tends to infinity
معنى هذا الكلام ان ال sequence of partial sumsاللي
هي مين؟ على الشكل سالب لن ال N زائد واحد مالها
Diverge مدام Diverge هذا بده يعطينا مين؟ انه the
series اللي هي summation لن
ال N على N زائد واحد من N equalone to infinity
diverge وانتهينا من هذه المسألة اذا
اعطيناك الان بدل المثال ستة على كيفية تطبيق ال
instagram test
لازال في ال section بعض المعلومات البسيطة اول
معلومة عبارة عن نظرية theorem النظرية بتقول ما
يأتي FSummation على AN بده يساوي ال A and
summation على B ان بده يساوي ال B are convergent
Series متسلسلتين تقاربيتين then نمرة واحد اللي هو
summation على a n زائد او ناقص b n بيسوي summation
على a n زائد او ناقص summation على b nيبقى a زائد
او ناقص بي هذه is convergent يبقى هذه بتكون
تقاربية نمر اتنين if k is a non zero
is a non-zero constant is a non-zero constant then
summation ل K في ال A N و اللي هو بده يساوي K في
ال A is convergent
نمر واحد if K is a
non-zero constant
and summation على an diverge then summation لكفل
en diverge كذلك
لو كان عندي convergence series زائد او ناقص
convergence series الناتج بده يعطينا convergence
seriesنمنا لبعدها لو كان convergence series زائد
او ناقص divergence series الناتج بده يعطينا
divergence series divergence
seriesالنقطة التالتة والاخيرة لو كان divergent
series زاد او ناقص divergent series الناتج بدي
يعطينا may be convergent series or may be
divergent series
نرجع للنظرية اللى كاتبناها نقرأ و نحاول نشوف شو
اللى موجود فيها بقول افترض ان ال summation على a n
بده يساوي رقم a و ال summation على b n بده يساوي
رقم تاني bيبقى التنتين كانوا convergence series
يبقى في مثل هذه الحالة الجمع الجابري لل two series
ال summation هيدخل على الأولى و ال summation هيدخل
على التانية بيصير convergence زائد او ناقص
convergence series يبقى بده يعطيني a زائد او ناقص
بيه اعطاني رقم يجه مجموع two convergence seriesهو
عبارة عالميا عن convergence series نقطة ثانية لو
كانت ال series نفسها convergent وضربناها في مقدار
ثابت وده المقدار غير ال zero يبقى في هذه الحالة
بتظل هي convergence series
النقطة الأخيرة في النظرية و النقطة الأولى في ال
remark نوجز ذلك في ما يليالسيريز هذه ان كانت
converge او diverge وضربتها في مقدار ثابت المقدار
الثابت هذا نص تلت ربع خمسمية مليون قد ما يكون اي
number positive ولا حتى negative المهم مايكون مش
zeroيبقى اللى كانت converge لما ضفها في هذا الرقم
بدها تبقى converge اللى كانت diverge وضربتها في
هذا الرقم برضه تبقى diverge كما هي يعني بالبلد هيك
اختصارا نقول ضرب ال series في رقم غير الصفر لا
يغير من ال convergence او ال divergence تبع ال
series اللى بتبقى converge بتبقى convergeواللي
كانت diverse بيبقالها diverse كما هي مافيش تغيير
طيب لو عندنا جامع احنا اخدنا هنا جامع ل two
convergence يبقى روحت حطيته النقطة الأولى
convergence زائد او ناقص convergence series
بيعطينا convergenceطيب convergence series زاد او
ناقص divergence series بيعطينا مين؟ divergence
series divergence series زاد او ناقص divergence
series بيعطينا series جديدة قد تكون converge وقد
تكون diverge الاحتمالان قائمانسأعطيك مثال بعد قليل
يوضح هذه الشيء، السؤال هو هؤلاء التلاتة هل يختلفوا
عن الـimproper integrals؟ مافيش في أي تغيير تماما،
نفس المفهوم اللي كان في حالة الـtwo improper
integrals هو نفسه في حالة الـtwo convergent أو
الـdivergent series نعطيك مثال توضحيللشيء اللى
اللى قاعد بدور فى دماغك شو اللى بدور فى دماغك ان
لو عندي divergence series وعندي divergence series
مجموعة ميساوي divergence بيقول معقول اه بتخش دماغك
دغري لإن infinity زاد infinity تساوي infinity اذا
ن divergence ماشي الحانة طيب لكن لو diverse وعندي
تانية diverse هل يُعقل انها تكون converge الاجابة
نعم وإليك المثال التالى يبقى example
والثاني والثالث والرابع والخامس واحد زائد إلى آخرى
السؤال هو هل هذه converged series ولا diverse
series؟is it
geometric series؟ هل هذه هي geometric series؟ نعم
لأن اجسم أي حد على الحد السابق له بيطلع يبجهين
الأساس بواحد وال ratio بواحد مش هيقول يبجه هذه
diverse geometric series يبجه هذه diverse
geometric series because
يبقى دا if summation then او diverse geometric
series because absolute value لR بده يسوى الواحد
طيب خدلي ال series التانية and if summation من N
equal one to infinity لمين لسالب واحد to the power
two N minus ال one يساويمن يعرف يقول الحد الأول
قداش؟ كله Zero كله Zero؟ ثالث واحد ثالث واحد
والثالث والرابع السبب ان الأس فردي هذا الأس زوجي
فكله بالموجة هذا الأس دائما و أبدا مهما تحط ال N
بطلع فردي يبقى هذا بدي يعطيني واحد سالب واحد زائد
سالب واحد زائد سالب واحد زائد سالب واحد زائد زائد
سالب واحد زائد إلى ما شاء اللهطيب كمان هذه دايفير
جيومتريك سيريز السبب because absolute value ل R
يسوي كده اكيد اقسم سالب واحد او سالب واحد بواحد
بالموجة مش بسالب واحديبقى سالب واحد على سالب واحد
بواحد يبقى الحد الأول سالب واحد والأساس واحد صحيح
طب التنتين هدول by their يبقى if summation يساوي
كذا by their والتاني ال summation هذه يساوي by
their thenأيش رأيك بدي أجمع التنتين مع بعض يبقى
بداجي summation من n equal one to infinity لناقص
واحد to the power two n minus one زائد summation
من n equal one to infinity لمين لسالب واحد ولا
خليها اتنين n زي ما في الأول وهذه اتنين n ناقص
واحد تعالوا نجمعبنشوف قداش بيعطينا كل answer مع
نظيره قداش Zero زائد Zero زائد Zero زائد Zero زائد
Zero زائد Zero زائد Zero زائد Zero زائد Zero زائد
Zero زائد
Zero
وامر 0 على 0 بده يساوي قيمة وهذه undefined يبقى
هذه ليست جيومتريكس سيريز لكن الجامعة تبعها أعطاني
zero يبقى هذه convergence series يبقى هذا مثال ل
two divergence series يعطاني main اللي هو
convergence series طيب بدنا نيجي الأن لمثال على
هذا الكلام example
بقول ا discuss ناقش لي the convergence of
the
following series
if the
series
converge find its sum بد
ما جداش المجموعة تبعها
نمر a summation من n equal zero to infinity لخمسة
على اتنين to the power n ناقص واحد
على تلاتة to the power n يبقى
هذه بقدر اقول يساويممكن احطها على شكل فرق ما بين
two series يبقى هذه ال summation من N equal zero
to infinity هذه الخمسة بقدر اكتبها نص to the power
N ناقص summation من N equal zero to infinity لواحد
على تلاتة to the power Nوالله علينا كويس هل هذه
Geometric Series؟ لأ لأ يبقى هذه convert لأن ال
ratio تبعها يسوى نص أقل من الواحد الصحيح يبقى هذه
convert Geometric Series السبب because ان absolute
value لR يسوى نص أقل من الواحد الصحيح نجي لل
series التاني هذهبرضه convert geometric series
السبب ان absolute value ل R يسوى تلت اقل من الواحد
الصحيح مادام ناقص converge يبقى ال series اللي
قمناها دي مالها convert
يبقى هنا sum from n equals zero to infinity لخمسة
على اتنين to the power of n ناقص واحد على تلتة to
the power of n
بدو يساوي S وحد ناقص S اتنين يبقى ال S عندنا بدنا
نجي نجمع ال series الأولى الحد الأول في ال series
الأولى كدهش؟ خمسة على واحد ناقص الأساسي اللي هو نص
ناقص الحد الأول في ال series اللي عندنا هنا كدهش؟
واحد على واحد ناقص تلت ويساوي الان هذا خمسة على نص
وهنا ناقص واحد على تلتينواحد ناقص تلت يساوي تلتين
يعني عشرة ناقص تلاتة على اتنين يبقى هنا هذا الكلام
بده يساوي بالمرة عشرة أشيل منها واحد و نص بصير
تمانية و نص يعني السبعتاشر على اتنين مجموع ال
series نمرى بيهبيقول لي summation من N equal zero
to infinity لمن؟ لل E على N to the power N E على
باي to the power N زائد E N على من على N زائد تلت
بنجي نشوف هل ال series هذي converge و لا diverge
فالعوني
في كل series على حده مشان نشوف كيف بنحكم على كل
واحدة فيهم هل هي converge ام diverge نجي
لل series الأولانية
أيش رأيك فيها هذي convert ولا diverge convert لإنه
E على باي اتنين وسبعة من عشر اتل اتو اربتاشر من
مية كسر اقل من الواحد الصحيح اذا هذي converge
geometric series السبب because انه absolute value
ل R يسوى E على باي يعني اتنين وسبعة من عشرة تقريبا
على تلاتة واربعتاشر من مية تقريبا اقل من الواحد
الصحية
لأ يبقى بتروح اشوف هل هذي Convergent ولا Divergent
بروح اذا بدي اخد ال N's term test هي اللي عندى
المتوفر يبقى باخد limit لما ال N tends to infinity
لل EOS N على N زائد تلاتةتعويض المباشر بتجيب لي
infinity على infinity بقدر استخدم قاعدة lobital هي
بجادي limit لما ال n tends to infinity لمن ل ال E
أس ان على واحدEOS Infinity يبقى درجة يبقى ال
series اللي عملها دي مالها divers يبقى sum
summation لل EOS N على N زائد تلاتة divers اذا مش
اللي حصل عندى صار عندنا الأولى convergeوالتانية
Diverge يبقى نتيجة كده؟ يبقى Summation من N equal
zero to infinity لل E على Pi to the power N زائد E
أس N على N زائد تلاتة Diverge series
عشان اعطيكم الملاحظة يبقى remark adding
or
deleting a
finite number
معدل عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد
عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد
عدد
عدد عد
او مختلفة مختلفة
من السلسلة
adding or diluting above it او شطب عدد محدود من
حدود ال series لا يؤثر على ال convergence ولا على
ال divergence لمن؟ لل series يعني افترض انا عندي
series summation من n equal one to infinity لل a n
شطبت ان شاء الله يكون خمسمية حد منها مرة واحدة
واهملتهميبقى بدي ابدا من عند رقم خمسمية واحد إلى
infinity إذا ال series الأصلية converged يبقى
الجديدة converged وإذا الأصلية diverged يبقى
الجديدة diverged كذلك طب افترض انه أنت عندك
summation من عند انت ساوي مية إلى infinity كانت
convergedأو Diverge ورحت ابتديت من عند N تساوي
Zero ل Infinity يعني كأنه أضافت كدهش تسعة وتسعين
حد مظبوط هذا لا يؤثر على ال convergence ولا على ال
divergence يعني إذا الأصلية كانت converge يبقى
الجديدة converge وإذا الأصلية Diverge يبقى الجديدة
كذلك Diverge فقولنا that is a n نمرة واحد if
summationمن n equal one to infinity لل a n
converge or diverge هدى او هدى then summation من n
تسوى خمسمية زي ما قلنا إلى infinity لل a n برضه
converge or diverge اللي كانت converge بتبقى ال
converge و اللي كانت diverge بتبقى ال diverge نمري
اتنينif summation من N equal 100 to infinity للـAM
converge or diverge then summation من N equal 0 to
infinity للـAN converge or diverge يبقى في الأول
طرحنا اللي هو 499 حدواهملناهم واخدنا ال series
لبعدها هنا بدأنا من عند المية لجتة converge او
كانت diverse قمت اضفتلها كمان تسعة وتسعين حد او
ميت حد لان بدأت من عند ال n تساوي zero اضفتلها ميت
حد يبقى اذا الأصلية converge يبقى الجديدة converge
واذا الجديدة اذا الأصلية diverge يبقى الجديدة كذلك
divergeطب ايش دخل هذا الموضوع؟ اه بنقولك هذا
الكلام له ما بعده في ال sections القادمة طب في
حاجة شرطلها برضه في هذا section قبل قبل ذلك في
المحاضرة الماضية وهي تغيير الدليل اللي تحت ال
summation يبقى في عندنا حاجة بنسميها reindexing
عادة تغيير الدليل لتحت ال summation تمام؟ ايش
تغيير الدليل لتحت ال summation؟ طلعلي كويس هنا بجي
بقوله لو كان عندي ال summation من n equal zero to
infinity او من عند n تساوي واحد الى infinity لل a
أرقص n ناقص واحدبدل ما كانت بالشكل هذا ال N بادئ
من وين؟ من عند ال واحد لو جيت شيلت كل N وحطيت
مكانها N زائد واحد تساوية واحد إلى انفينيتي A أرقص
N زائد واحد ناقص واحد بالشكل هذا يبقى شيلت كل N
وحطيت مكانها ايه؟ن زائد واحد يبقى هذه هتساوي ال
summation هتل الواحد هنا بيجي بشرة مخالفة بصير من
عند n تساوي zero الى infinity لل A R أس Nيبقى ايش
اللي حصل ال index بدل ما كان واحد خلته اين؟ خلته
zero طب بده لو طلعته اكتر من ذلك يبقى باجي بقوله
ال summation and ال summation من n equal one to
infinity لل a أرقص n ناقص واحد يسوى ال summation
بدل ما حطيت n زاد واحد بده احط n ناقص اربعة تساوي
واحد الى infinity يبقى هذا ar أس n ناقص اربعة ناقص
واحديعني هذا بيصير ال summation من عند N تساوي
خمسة إلى infinity لل A أرقص N ناقص خمسة شو رأيك؟
هل هدول التلاتة بيختلفوا عن بعض؟ والله هما هما
تعالى نشوف، بدأ امسك من؟ الأول اللي عندنا هذا، بدأ
أحط N بواحد، بيصير هذا كله بجداشR0 ب1 في A يبقى بA
ار تربيع
ار تكيب ار تربيع
ار تركيب ار تركيب ار تركيب ار تركيب ار تركيب ار
تركيب ار تركيب ار تركيب ار تركيب ار تركيب ار تركيب
ار تركيب ار ت
طيب بسكلي هذه ان تسوى خمسةيبقى حط ان بخمسة بصير ar
أس زيرو اللي بيبقى داشر a حط ستة ar هي حط سبعة ar
تربيع يبقى صار كل هذه اللي يبدأ تساوي ال summation
من n equal zero to infinity
يبقى هذا اللي بنسميه reindexingإعادة صياغة الدليل
لتحت ال summation دون أن نغير من قيمة ال series
طبعا لأول واحدة لو قبل ما نحكي لك الكلام هذا و
سالنا كواحدة، تنتين، تلاتة، تقولي ولا واحدة زي
التانيةشكلا بيسويش بعض ليش ال index اللي تحت صحيح
اللي فوق infinity لهم كلهم بس ال index اللي تحت ال
summation يختلف من series إلى أخرى نهيك عن شكل
الحد النوني يختلف من واحدة إلى أخرى لكن لو جينا
نحسبهم عمليا بلاج التلاتة كله ايه كله زي بعض وبناء
عليه
يبقى إعادة تغيير الدليل اللي تحت ال summation ممكن
بدون مشاكلاهمال عدد محدود من حدود ال series لا
يغير لا ال convergence ولا ال divergence ابعثة عدد
محدود من حدود ال series لا يغير ال convergence ولا
ال divergence شكلا
شكلا لكن عمليا وين
هو؟هدي يعني و هدي؟ هدي
و الله هدي اي واحدة منهم summation هدي convert لو
كانت convert روحت اهملت اربعمية وتسعة وتسعين حد
منهاماشي و تزعلال؟ لأ، اين؟ لكن عندك تعويض بيكون
a500 هذا، هذا بيكون a1 وهذا بيكون a500، a500 هو
الحد الأول في ال series الجديدة، يختلف عن الحد
الأول في ال series الأصليةتمام؟ هذا لو بدأت من عند
المية بيكون A مية هو الحد الأول في ال series
العصرية هنا A ناد هو الحد الأول في ال series
العصرية اذا تنتين مختلفتين عن بعض تماما كويس؟ يبقى
هذه اللحظة اللي قلت لحد هنا انتهى هذا ال section