بسم الله الرحمن الرحيم لان نرجع لل section اللي
ابتدأنا فيه المرة الماضية وهو ال trigonometric
substitutionوقلنا إننا ناخد الطريقة الثانية من طرف
التكمل وهي التعويض بدالة مثلثية قلنا إذا لدينا جذر
على شكل A تربية ناقص X تربية تحت الجذر أو A تربية
ناقص X تربية مرفوعة لأس معين التعويض A sin θ وθ ما
بين سلبي ع اتنين إلى باي على اتنينوإذا كان لتحت
الجدر ا تربية زائد X تربية تعويضة بA تان ثيتا
وثيتا مابين سالب باية اتنين الاباية اتنين ك open
interval لكن في حالة الصين ك closed intervalوإذا
كان الجدر التربية إلى ال X تربية ناقص ال A تربية
عن الإشارة السالبة للثابت وليست للمتغير فالتعويضة
X يساوي A سك ثيتا وثيتا محصورة ما بين ال zero و ال
pi على اتنين من عند ال zero مغلقة و من عند ال pi
على اتنين مفتوحة يبقى هذا اللي اتعرضنا له المرة
الماضية و رسمنا المثلة في كل حالةوابتدأنا ان انا
اخد مثل لو اخدنا مثلا واحدا وهذا اللي قدامنا مثال
رقم تمام واضح انه ماعنديش جذر بس عندي جوس و الجوس
مرفوع لأس واحد اتنين تلاتة عشرة جد ما يكون هنا
الحمد لله لأس بس واحديبقى بدنا نيجي نحل الهدف
بطريقة Trigonometric Substitution بقوله قويس يبقى
احنا عنا X سربية زائدة ربعا اشارة هنا داخل القوس
عبارة عن زائدة يبقى التعويضة بدلالة تان ثيتا اذا
بدنا نقوله هنا حط لل X يساوي اتنين تان ثيتا وثيتا
اكبر من سالب باي على اتنين واقل من باي على اعلى
اتنين بدنا نجيب DX كمان يبقى باتنين سكة ربيع ثيتا
في دي ثيتا اذا انقلت مسألة الى الشكل التالي ال DX
اللي هي باتنين سكة ربيع ثيتا دي ثيتا على X تكييب
بدنا نكعب هذا المقدار يبقى تمانيتان تكييب ثيتا
وافتح جوزالـ x أربعة بدنا نربعها يبقى أربعتان
تربية ثيتا زائد أربعة يبقى مثلتي بدل ما كانت
بدلالة x حولتها كلها بدلالة mainبدلالة ثيتا يبقى
أصبحت المثل على الشكل التالف هي تكمل عند في البسط
هي اتنين على طلعلي هنا اربعة مع اربعة تقلع برا
اربعة في تمانية يبقى هي الاربعة في تمانية بالشكل
اللي عندنا اربعة في تمانيةبلادنا مين؟ بلادنا تان
تكعيب ثيتا و بلادنا تان تكعيب ثيتا و واحد زائد تان
تربيه لهمين؟ بسكت ربيع ثيتا و هيديه ثيتا فوقهذه لو
جينا اختصرناها بيظل واحد على ست عشر في تكامل سيك
تربيع هتروح مع السيك تربيع ويبقى عندنا ايه واحد
على تان تكييب التان مقلوب من كتان يبقى واحد على
تان تكييب هي كتان تكييب ثيتا في دي ثيتايبقى تحولت
مسئلتي بدل ما هي بدلالة x بدلالة θ واصلت مسئلتي
كلها كتان تكييب θ هذا الشغل كنا نشتغله في calculus
A وليس في calculus B كنا في calculus A بنقول كتان
تربية ثيتا في كتان ثيتا في D ثيتابعد ذلك واحد على
ستاشر تكامل الكتان بروح اكتفه بدلالة ال cosecant
يبقى cosecant تربيع ثيتا ماقص واحد في كتان ثيتا في
دي ثيتالو فكنا هذه بيصير واحد على ستاشر تكمل
لكوسيكا تربية ثيتا كتان ثيتا في d ثيتا ناقص كتان
ثيتا كل هذا الكلام بالنسبة إلى من؟ بالنسبة إلى d
ثيتاأو إن شئتم كتان دي ثيتا بدون دي ثيتا هنا فكيت
بس القصة هاي دي ثيتا للكل برا، طبعا؟ يبقى هذه لا
وجود لها هنا، طبعا؟
يبقى هذا الكلام بده يساوي واحد على ستة عشر فيه
تكامل، ممكن اوزع الآن التكامل للاتنين، الكثير كانت
تربية هي مشتقة مين؟كتان يعني هذه ال cos كانت تربيع
theta مع ال d theta هذه ممكن أشيل و أكتب بدلها
لومين دي كتان بس تفهموا كتان بالسالب cos كانت
تربيع معناته بدي إشارة من كمان بدي إشارة سالب يبقى
هذه السالب كتان theta مشتقة كتان ال thetaوكأنه
احنا صرنا بدنا الكائن كامل بالنسبة لمن؟ بالنسبة
لكتان الثيتا هذا الجزء الأول وصلنا للناقص هذه
بجهينا ناقص واحد على ستاشر وهي تكامل الكتان هي
عبارة عن cosine ثيتا على sin θ دي ثيتا بس بكتبها
للي ناسي اما الأصل اللي حطلك على طوللأن أول ما
قدرنا ال chapter كتبنا لك جداش تكامل الكتان اللي
عنها ده يبقى هذا الكلام يساوي سالب واحد على ستة
عشر وهذه جداش كتان تربية ثيتا على اتنين ماقص واحد
على ستة عشر لين absolute value لثين ثيتا زائد
constant C طب استنى شويةمثلتك في الأساس بدلالة ال
X وانت طلعتها لي بدلالة مين؟ بدلالة الثيتا ايه؟
انت بتحول مثلتك كلها بدلالة مين؟ بدلالة ال X بنجي
على هذهالاساسية و بنجي من قول هذه تعني ان تان ثيتا
بد يساوي ال X على مين؟ على الإتنين إذا لو روحنا و
رسمنا المثلث بالشكل اللي عندنا هذا و قولنا هذه
الزاوية ثيتا وهذه الزاوية القائمةالظلم يساوي
المقابل على المجاور يبقى هذا X وهذا 2 وهذا الجدرد
تربية ل X تربية زائد 4 حسب نظرية منه في ثغورف يبقى
هذا الكلام يساوي سالب واحد على ستاش في اتنين
باتنين وتلاتين يبقى اتنين وتلاتين
بالله الكتان في تلكتان المجاور على المقابل، يعني
اتنين على اكس الكل تربيع، هذه خلاصنا من هذه، نجي
لبعدها، ناقص واحد على ستاشر، ونجي لإنabsolute
value للصيد هيتا الصيد هيتا يساوي بالمقابل على
الوتر يبقى ال X على الجدرى التربية إلى X تربية
زائد أربعة زائد كونستانسي هديها لو ربعناها بيصير
أربعة مع اتنين و تلاتين بيصير قداشسالب تمل في واحد
على X تربية وهذه اختصارات مافيهش ناقص واحد على
ستاشر لين absolute value X على اللي هو الجدر
التربية اللي هي X تربية زائد أربعة زائد أربعة و
هنا زائد constant Cيبقى التعييدة بتاع كامد على شكل
الإشارة داخل القوس أو تحت الجدر المثال رقم تلاتة
بدنا تكامل للجدر التربيعي لخمسة X تربيع ماقص تسعة
على X كله بالنسبة إلى دي Xبنروح للمثال رقم تلاتة،
فلاحظة عندي الجبر بس لأول مرة بيجابلنا شغلة زيك مش
X تربيها وإنما الرقم مضروب في من؟ في ال X بسيطة
ممكن هذا الرقم ياخده برا عامل مشترك ويطلع برا خالص
وممكن يخلي زي ما هو معناهاش مشكلةيعني ممكن اخده
برا عامل مشترك و ممكن اخليه جوا خليه جدر خمسة اكسل
كل تربية سياسية عملت هيك و الله هيك بتفرجش عنا
يعني قدامي خيارين يا باخد خمسة بطلعها برا الجدر
تطلع بجدر خمسة عامل مشترك برا خالص بالمرة يا بقول
جدرخمسة مضروبة في اكسل كل تربية هو عبارة عن هذا
المقدار، هيك و الله هيك سيان لي اتنين نفس الشيء،
فمثلا لو جيت قلت هذه تكاملتحب ان تبقى الخمسة جدر
الخمسة او جدر الخمسة اكس لكل تربية؟ برا برا برا
برا برا برا برا برا برا برا برا برا برا برا برا
برا برا برا برا برا برا ب
يبقى يا جدر خمسة خليك برا على الهياد الإيجابي وعدم
الانحياز نجي لما قال الباقى شو ضال عندي؟ ضال عندي
الجدر التربية ل X تربية ناقص تسعة أخمس كله على X
في الDX
نجي نطلع للإشارة تحت الجذر، الإشارة تحت الجذر
بمين؟ بالسالب السالب للمتغير ولا للثابت، للثابت
يبقى تعويضة بدلالة six theta إذا بدك تقولي حط ال X
يساوي ال A اللي هي تلاتة على جذر خمسة في six theta
والثيتا هذه محصورة ما بين الصفر وما بين البي على
اتنين بلزمنا هنا DX إذا هضطر أشتق هذه إذا لو جينا
أشتقين هذه بصير ال DX بدي ساوي تلتة على جدر خمسة
اهه وتفاضل ب6 ثيتا 10 ثيتا في D ثيتايبقى آلة
المسألة إلى الشكل التالي جدر خمسة مالكش دعوة Y
تكامل Y الجدر التربيعي X تربيع بدنا نربع هذه يبقى
تسعة على خمسة سك تربيع يبقى تسعة على خمسة في سك
تربيع ثيتا ناقص تسعة على خمسة كله علىX اللي في
المقام اللي هي تلاتة على جذر خمسة تلاتة على جذر
خمسة في سك الزاوية ثيتا في DX DX اللي هي تلاتة على
جذر خمسة سك ثيتا تان ثيتا في DX
طيب نبدأ نختصر الاختصارات تلاتة على جذر خمسة مع
تلاتة على جذر خمسة سك مع سك الله يسهل عليها من هنا
نطلع تسعة على خمسة برا الجذر بتطلع تلاتة على جذر
خمسة و عندك هنا جذر خمسةيبقى يسوي هي جدر خمسة لبرا
وهي تلاتة على الجدر خمسة وهي تكامل تسعة أخمس مع
تسعة أخمس أخدناها برا الجدر تلاتة على الجدر خمسة
بظل ال sector بيناقص واحد ليه بقدرش؟ ال center
بيطلع من تحت الجدر بتانيبقى هاي تان ثيتا و برا
طايل عندي جديش تان ثيتا دي ثيتا والباجي كله
انتهينا منهتمام؟ يبقى النتيجة يساوي جدر بساوي
تلاتة طبعا جدر خمسة مع جدر خمسة وهذه تكامل تان في
تان تان تربية ماعرفش كمانها لكن لو حاولت بدلت ال
six تربية تتكامل على طول يبقى هذه عبارة عن six
تربية ثيتا ناقص واحد دي ثيتايبقى تلاتة تان ثيتا
ناقص تلاتة ثيتا زائد constant C المثل ابتدت بدلالة
ال X بدك تنهيها بدلالة ال X يبقى بدأ أرجع ثيتا دي
بدلالة 8 بدلالة X لذلك بدنا نيجي على هذه التعويضة
اللي استخدمناها وبدأ أجيب منها six ثيتا فsix ثيتا
عندك هنابيده يساوي اللي هو جدر خمسة X على تلاتة
جدر خمسة X كله على مين؟ على تلاتة ولو رسمنا المثلث
بالشكل أن هذا هي ثيتا وهي الزاوية القايمة السك
يساوي الوطرعلى المجاور يبقى ال water جذر خمسة X
والمجاور تلاتة وحسب في ثورف الضلة التالت خمسة X
تربيع ناقص إسعة إذا هذه صارت تلاتة فيهتان ثيتا
يبقى المقابل على المجاور يبقى الجدر التربية إلى
خمسة X تربية ناقص تسعة على المجاور اللي هو تلاتة
وهنا عندك ناقص تلاتةسيك انفرس جزر
خمسة اكس كلها تلاتة زائد كل أسطن سي ويساوي تلاتة
مع تلاتة الله يسهل عليها يبقى الإجابة النهائية ال
square root
الرابع السؤال الرابعبيقول يتكامل لل X tan inverse
X على واحد زائد X تربيع قص تلاتة على اتنين كله في
DX
والله ليه كويس هنا للسؤال الرابع السؤال الرابع مرة
جيبناه في إحدى الامتحانات والسبب لإنه بستاهل يكون
سؤال امتحان لماذا هذا ما ستعرفونه بعد قليل باختصار
هيك يعني نستخدم أكثر من طريقة من طرق التكامل اللي
اتعلمناها لحل هذا السؤاليبقى بمجرد النظر هل
التكامل هذا يحتوي على جدر تربيهي؟ كيف يا عزيزي؟
خلّيه، شهوز ثلاثة على اتنين؟ يعني الجدر التربيهي
للجوز تكيب، مظبوط ولا لأ؟ إذن يحتوي على الجدر
التربيهي، يبقى أول ما افكر بدأ اتخلص من الجدر
التربيهي، يبقى الجدر التربيهي هنا إشارةموجة بيبقى
ال X هي بدلال التان ثيتا يبقى باجي بقوله حط لل X
تساوي تان ثيتا فقط لا غير وثيتا أكبر من سالب باي
على اتنين وأقل من مين من باي على اتنينيبقى هذا
الكلام يستوي تكامل ال x هي عبارة عن tan θ و هذه
tan inverse ل tan θ و ال dx اللي عبارة عن sector
بيه θ في dθ يبقى sector بيه θ في dθ انتهينا من
البسط او ال numerator نيجي للمقام اللي هو ال
denominator واحد زائد ال X تربيه اللي هي عبارة عن
تان تربيه ثيتا كله أس تلاتة على اتنين يبقى هذا
الكلام بده يساوي تكاملتان انفرس لتان ثيتا جداش بده
يعطينا .. لما تيتا تبقى محصورة في الفترة هذه
بيعطينا تيتا فقط، ما غير إذا صار هذا ثيتا في تان
ثيتا وعندنا هنا سك تربيع ثيتا على طلعلي هنا واحد
زي التان تربيع سك تربيع أقصى تلاتة على اتنين جداش؟
سكتكيب ثيتا وكله في d ثيتا نختصر ال sec تربيع مع
الsec تربيع من المقام بصير ثيتا تان ثيتا كله قادة
على sec ثيتا في d ثيتافبنشوف لوين وصلتنا هذه تكامل
لثيتا في ال 10 بيبقى sin ثيتا
على cos ثيتاوالـ Sec مخلوق من الـ Cos يبقى في Cos
θ في dθ Cos مع Cos الله يسهل عليها يبقى آلة
المسألة يتكامل θ Sin θ dθ
Integration by parts من هنا بستهل يكون سؤال امتحان
لو في كمان كلام تاني مش هجد هيك يبقى بكون استخدام
طريقتين من طرق التكامل في حل هذا المثال الطريقة
الأولى is trigonometric substitution الطريقة
التانية integration by partsمش integration by
parts لأ الجدول تبع integration by parts الست علاء
اللي ذكرناهم هذه عبارة عن ايه؟ عن واحدة فيهم، اذا
باجي بقوله بتاخد هنا ال derivativesوبتاخد هنا ال
integrals ل derivative theta sin theta تفاضلها
بواحد تكملها ب سالب cosine theta تفاضلها ب zero
تكملها بسالب sin theta هدف هدف الموجبهذا في هدف
السالب، إذا قالك المسألة إلى سالب ثيتا cosine ثيتا
زائد sine ثيتا زائد constant Cيبقى باركتين، الأولى
الـ Trigonometric Substitution وصلتني إلى
Integration By Parts هذه من الستة المشهورات، روحنا
عملنا لها الجدول، كتبنا النتيجة بعد هيك بدأت انت
بال X، بدك ترجع لمين؟ تكتب مسلتك بدلالة ال Xاذا
برجع لتعويضة تابعتي هذي يبقى هاي التعويضة تابعتنا
اللى بتقول تان تيتا بدى سوى جدرش اكس اذا بدنا نروح
نرسم له المثلث هذا المثلث وهذا الزاوية تيتا وهذا
الزاوية القاعدة او الظليساوي المقابل على المجاور
حسب فيثا غورت هذا واحد زائد X تربيع طيب كده صارت
المسألة ناقص ثيتا من هنا عبارة عن إيش يا شباب يعني
العبارة المكافية لهذه العبارة هي ثيتا تسمي تان
inverse X كده صار هنا تان inverse Xيجي لكوا sin θ
المجاور على ال water يبقى على الجدرى التربية إلى
واحد زائد x تربية زائد sin θ اللي هو المقابل على
ال water يبقى زائد x على الجدرى التربية إلى واحد
زائد x تربيةزائد constant C يبقى راجعنا استخدمنا
من قانون ال inverse trigonometric functions يبقى
جيبنا تلت شغلات في تكامل واحد و بستهلكون سؤال
امتحان للطالب المتميز اه يعني هذا قصدنا انخصبوا
الطلاب اللي هم بيجتهدوا و بيشتغلوا و بيفرجوا على
الطلاب العادى تفضلتربيع مثل ال W متغير اشتغلناها
بتروح ال X وبعدين نفحها فوق وضيعنا
ال X وبعدين رفعناها فوق وكملناها بالأجزاء وكان
inverse نكتبرها
اشتغلت معاكبأي طريقة تنشيط حل بس بده طريقة تبده
طريقة صحيحة
طب لكيف يفجأ بنا ناخد بأي طريقة صحيحة نحل نقلة
ماعناه مشكلة وماعناه أتراب لكن لما كان موضوع
لموضوع trigonometric substitution حلنا حبينا نحل
بطريقة trigonometric substitution السؤال هو في
الامتحان بيحددنا الطريقةلأ بيقولك و بيليوز اتقالب
انتجار و بيحط لك تكامل ان ثلاثة و الله اربعة و
الله جد من كلهم بيقولك حل و بس و انت حل حالك
بالطريقة اللي بتعجبك يعني لا قيود عليك أثناء
الامتحان حل بالتكامل اللي بتعرفي فضلالتعويض اللي
تيجي معاها بتاعة تانية تلاتة نعوض فيها و نص
التمارين لو تجينا تعويض مجانا ترايب رومنتيكي اه لا
يا صاحب انت لغاية حبيته مانفوتش لغاية تمانية اتنين
احنا بنتقيل بيه تمانية اتنين و ماليش تمانية تلاتة
ولا حتى تمانية اربع طبعا؟ ايوة في تكملات
طب مش ممكن نكملها بعد الطريقة؟ اللي أخدته قبل كله
بتقدر تستخدمه، مع إنك مشكلة بيها، بس اللي ماخدناش،
ماخدناش لسه قبل ما لسهصحيح ولا لا؟ لأن ما أخدتهوش
يبقى أن كل شغل أخدتها قبل تمانية اتنين في شبطر
سبعة في شبطر تمانية استخدمها ولا واحد يستطيع أن
يعترض عليك بكلمة واحد بس استخدام استخدام صحيح ماشي
طيب الآن بروح للسؤال اللي بعده هذا السؤال أربع وزي
ما انت شاف كلها أسئلة مباشرةونشوف إيش رأيك في سؤال
خمسة خمسة برضه جيبناها في إحدى الامتحانات على EOSX
الجدرى التربية ل EOS2X-16
خلّي منك هذا السؤال برضه جيبناه في احد الامتحانات
السابقة، كويس؟ يعني ماعنديش X، ماعنديش X، لكن بدل
ال X شوهجة؟يبقى عندك تعرف اذا تحط ايه والسكس يساوي
كذا اذا احنا قادم عشان نتخلص من الجدر بيقولوا حطوا
ال ax يساوي كذا اللي هو مين ما يطلع يطلع يبقى لما
اجي اقول حط ال a والسكس يساويبالإشارة بالسالب
والسالب للثابت يبقى التعويضة بدلالة six ممتاز يبقى
six ثيتا والثيتا هذه أكبر من أو تسوى zero أقل من
بي على اتنين نشتغل يبقى ال E و ال six في ال DX
يسوى six ثيتا ten ثيتا في دي ثيتاأنا ماعنديش في ال
بسط هنا Dx لحالة يبقى
هنا Dx بدها ساوي سك ثيتا تان ثيتا D ثيتا مقسومة
على مين على E والسكس لأ شباب E والسكس ساوية أربعة
أربعة يبقى هنا أربعة يبقى هنا أربعة تماميبقى هذا
ال EO6 اللي هي على EO6، كويس؟ الان انا بدي اشيل
EO6، لابديش ثيتا و EO6، بدي ثيتا بس، EO6 هي فوق،
اذا بقدر اقول هذه اربع six theta, ten theta, d
theta مقسومة على EO6 هي اربع six thetaأربعة سك
ثيتا مع أربعة سك ثيتا في درجة دياش تان ثيتا في دي
ثيتا إذا صارت مسألة هذه على الشكل التالف بدي أشيل
ال dx و أكتب مكانهااللي مذاكنين اللي أخدوا كالكلص
ايه جيبنا لهم في الامتحان سؤال زي هذا و لأول مرة
جيبناه فكان هذا للطالب الممتاز اللي هو سؤال
التكامل هذا البعض طبعا حلو والبعض ماعيش خبرة على
أي حال على نفس الفكرة هذه بالضبط تقسم مش ع رقم
تقسم على متغير و متغير انت فرضه فوق و يتم اختصارات
ايه؟مع بعضهم على اي حال ال DX هي عبارة عن تان ثيتا
في دي ثيتا عليهم ال six اللي هي أربعة في six ثيتا
وهنا الجدري التربيعي لست عشر six تربية ثيتا ماقص
ستة عشر يبقى هذا الكلام بده يساوي تكامل هنا هذا
واحد برا16 مع 16 تقلع من تحت الجدر و عندك أربع
يبقى واحد على ستاش و في ال bus تان ثيتا في دي ثيتا
و المقام سيك ثيتا ابنجي سيك تربية ناقص واحد تان
تربية تقلع من تحت الجدر بتان يبقى تان ثيتاطيب تمام
اتمام الان ten theta مع ten theta فضل قداش واحد
على سك هيق مقلوب من cosine theta في دي فترة يبقى
السؤال اللي مكلك عقل شكل طوله بسيط خالص يبقى ده
واحد على ست عشر sine theta زائد constant Cبنروح
نحسب الوصيلة ثيتا اللى عندنا هذا يا ابجبادي بقوله
احنا عندنا مين اللى هو six ثيتا بده يساوي ايه ال
six على قداش؟ على اربع اذا لو روحنا رسمنا المثلث
القائم الزاويةوقلنا هذه θ وهي الزاوية القناة سك
يساوي ال water على المجاور يبقى هذا الضلع التالت E
أس اثنين X ماقص ستاشر إذا بصير المسألة هذه تساوي
واحد على ستاشرSin يساوي المقابل على ال water يبقى
المقابل اللي هو الجدر التربية ل E أس اتنين X ناقص
ستة عشر على ال water اللي هو E أس X زائد مين زائد
constant C السؤال السادس كمان في شغل من هذا القبيل
بيقول تكامل من واحد إلى إيه لإن ال X الكل تكيب على
X الجدري التربيعي لمين؟ لواحد زائد للتربيع ال X
وهذا كله مين؟ اللي هو DX
طلع ليه كويس المثلة، المثلة فيها جدر، الحمد لله
فيها جدر، جدر تربيعي، تمام؟ يبقى الإشارة تحت الجدر
بمين؟ بالموجة، بس مش X تربية لين X الكل تربية أو
لين تربية لك، يبقى كأنه X تبعت القانون، مين أجي
مكانها؟هنا بدى أشيل كل إكس بالكامل و أحط بدالها مش
عارف من من النسب المثلثيةتان لأن الإشارة بالموجب
والمقدار التربية
الـDX لو جينا فضلها دي بيصير واحد على X DX يساوي
سكتة ربيع ثيتا D ثيتا إذا واحد على X DX هذه كلها
بدي أشيلها و أكتب بدا أنا أجدها سكتة ربيع ثيتا
يبقى هذا سكتة ربيعثيتا في دي ثيتا خلصنا البس ضايل
المقام يبقى على الجدر التربية لواحد زائد تان تربية
ثيتا يبقى صلة المثلة تكامل لتان تكييب ثيتا تان
تكييب ثيتا فاهمين في سك تربية ثيتا عالىواحد زي تن
تربيع سك تربيع تقلع من تحت الجدر بسك ثيتا وهي دي
ثيتا و اللي هو بده يساوي تكامل لتان تكييب ثيتا في
سك ثيتا في دي ثيتا طيب كيف نسوي هذا فيها نحلل
التان موافقينتكامل لتان تربيع ثيتا في تان ثيتا في
سك ثيتا في دي ثيتا تكامل
لسك تربيع ثيتا ناقص واحد تكامل لسك تربيع ثيتا
تربيع ثيتا ناقص واحدسك ثيتا يبقى دي لسك ثيتا اذا
نشيل سك ثيتا تان ثيتا دي ثيتا وحطت مكانها دي سك
يعني مشتقت سك ثيتا كامل الان احنا بنكمل من W تربية
ناقص واحد DW يعني بدنا نضيف للأس واحد ونقسم على
الأس الجديد يبقى هذه تساوي تلتسك تكيب ثيتا هذا ال
term الأول والواحد تكمله بالنسبة لدي سك بسك يبقى
ناقص سك ثيتا زائد constant C نرجع كيف؟ماشي، ماشي،
هو لا يهمك، حاضر، يلا حدود التكامل والعوض بقى،
يبقى كونوستانسي مافيش، هذا كونوستانسي مافيش، وهذه
حدود التكاملطبعاً نرجع لحدود التكامل من خلال
التعويضة، لو كانت ال X بي إيه لإن الإيه، مين
الزاوية اللي ضلها يسوى واحد وخمسة واربعين درجة،
مظبوط، يبقى هذا يصير باي على أربعلو كانت واحد لإن
الواحد بصفر مين الزاوية اللي ضلها يساوي Zero في
الفترة اللي عندنا هذه يبقى هي Zero إذا تحولت
المسألة تكامل من Zero لغاية Pi على 4و من هنا من
Zero لغاية Pi على 4 و من هنا ل Zero لغاية Pi على 4
و من هنا Zero لغاية Pi على 4 و من هنا Zero لغاية
Pi على 4بنعوض بالباية على أربعة طبعا السيك هو
مقلوب ال cosine الخمسة وارعين بواحد على جذر اتنين
اقلبها بتجيب السيك بصير جذر اتنين الكل تكيب له
اتنين جذر اتنين يبقى هذا تلتوهذا اتنين جذري اتنين
تغير من الأول ناقص اللي هو six اللي هو جذري اتنين
دوري فقط ما غير يبقى جذري اتنين هيعوضه بالقيمة
اللي فوق ناقص القيمة اللي تعالى six zero اب واحد
في طول يبقى بناقص طول وهذا زائد وsix zero بقداش اب
واحديبقى الصارع هذا تلتين جذري اتنين و سالب جذري
اتنين مضل كده؟ سالب طول جذري اتنينسالب تلت جدر
اتنين يبقى
الجواب
تلتين ناقص جدر اتنين على تلاتة هذا قيمة التكامل
اللي عندنا
ننتقل الآن إلى السؤال السابع وما أدرك ما السؤال
السابع السؤال السابع بيقول لي تكامل للجدرى التربية
إلى أربعة ناقص X على X كله بالنسبة إلى DX
هذا السؤال في جذر صحيح بس في عندى جذر فى البصر وفي
جذر فى المقام وتبع المقام لا فى مع زاد ولا فى مع
ناقص كمية أخرى اتنين الجذر اللى فى البصر مافيش فى
تربيع من الشغلات ال standard التلاتة اللى احنا
أخدناها المرة الماضية يبقى هذا السؤال ماهواش مباشر
زي الستة أمثلة السابقة وإنما في ناحية فنية بدنا
نشوف إيش الناحية الفنية يعني هل ممكن أنت تحوله
لمين؟ للمسائل تبعها في المرة الماضية نقدر؟ نقدر،
نقدر، ليش ما نقدرش؟ يعني هذا كأنه تكامل الجذر
التربيه إلى أربعة ناقص X على جذر ال X DXتقوله
بسيطة، حط جذر ال X بأي متغير آخر، مظبوط؟ إذا لو
حطينا جذر ال X بده يساوي Y، يبقى ال X بده يساوي
كده؟ Y تربية، طب احنا بدنا DX، يبقى باتنين Y DY
طبعا يبقى شكل مسئلة أصبح على الشكل التالي هذا
الجدر التربيعي وهي الأربعة ناقص ال X هي مين؟ Y
تربيع و جدر ال X هي مين؟ Yو ال dx هي اتنين y dy
افضل ان بنختصر ال y مع ال y و اتنين بشرفنا برا
التكامل و بيبقى لدينا الجدر التربيه لاربعة ناقص y
تربيه dy يبقى صارت المثلة فيها الجدر تبعناها ا
اللى اتحدثنا عنه في الجزء النظري المرة الماضية
مظبوطفي جذر و تحت الجذر في إشارة لمقدار و واحد
فيهم مقدار ثابت والتاني مربع لمتغير يبقى فعلا هذا
تعرضنا لشكله المرة الماضية وبناء عليه بدنا نحكم
على شكل التعويضة تبع هذه المثلةمش انا اعرف شكل
التعويض، ابقى ابقالي عليه إشارة السلم اللي أمامي
المتغير يبقى التعويض بدلالة sign همتاز يبقى بيقولي
حطله هنا ال Y يساوي 2 في ال sign الزاوية ثيتا و
ثيتا أكبر من سالب بي على اتنين وأقل من بي على
اتنينأشتق يبقى dy اتنين cosine ثيتا في d ثيتا يبقى
صارت مسألة على الشكل التالي اتنين تكامل الجذر
التربيع الى اربعة ناقص اربعة sin تربيع ثيتا ضال
عندي ال dy له اتنين cosine ثيتا d ثيتا يبقى اتنين
cosine ثيتا في d ثيتاطب اتطلعلي هنا كويس، هاي
اتنين اللي برا، واربعة مع اربعة تطلع برا باتنين،
يبقى هاي كمان اتنين، واتنين هادي كمان شرفينا برا،
وهي تكامل، بلقدش هنا واحد ناقص sign ترجعله مين؟كو
ساين تربيع تطلع من تحت الجدر بكو ساين ثيتا وعندك
هنا كو ساين ثيتا وهي دي ثيتا تمام؟ طيب هذا الكلام
بده يساوي هدول بتمانية وهدي كو ساين في كو ساين كو
ساين تربيع مقدرش أكملها إلا إذا حولتها بدلالة
بدلالة
يبقى من حول ابن ليلة ضعف الزاوية يبقى هذه اللي هي
عبارة عن نص واحد زائد cosine اتنين ثيتا كله
بالنسبة الى D ثيتايبقى النتيجة تساوي أربعة وهذه
تكاملها بثيتا وهذه بصين اتنين ثيتا على اتنين زائد
constant C طب احنا الحين لما نروح نرسم مثلث برسمش
الزاوية اتنين ثيتا برسم الزاوية
يبقى لو جيت على هذه هيك ههه و شيلت و كتبت بدلها
تنين cosine تيتا cosine تيتابنختصر اتنين مع اتنين
بتروح يبقى آلة مسئلتي الى الشكل التالي اربع ثيتا
زاد اتنين مع اتنين راحت بتيجي بس الأربع عندنا اللي
هو main sin theta cosine theta زاد constant C
بنرجع لثيتا هي ثيتا اللي عندنا يا دييبقى ثيتا
يساوي
Y على 2 يعني لو روحت رسمت المثلث القائم الزاوية في
الجيب يساوي المقابل على ال water يبقى الضلع التالت
أربعة ناقص Y تربية. إذا انقلت المثل إلى الشكل
التالي أربعةمن هنا بقدر أقول له θ تساوي sin
inverse y على اتنين يبقى ايه sin inverse لل y على
اتنين زائد اربع sin θ المقابل على الوتر ال y على
اتنين cos θ المجاور على الوتر اربع ناقص y تربيعتحت
الجدر كله على جداش على اتنين زائد constant C يبقى
النتيجة النهائية اربع sign inverse عندنا نوع من
جداش يا شباب جدر ال X إذا بدي اشيلها و اكتب مكانها
جدر ال X يبقى sign inverse جدر ال X على اتنين زائد
اتنين في اتنينةيبقى أربعة مع الأربعة مع السلامة و
Y هي جذر ال X وهذا الجذر التربيعي لأربعة ناقص Y
تربيع هي ال X وهذا زائد constant C السؤال الأخير
في هذا section بيقول ما يأتيسؤال تمانية تكامل X
على الجذر التربيعي لل X تربيع ناقص اتنين X ناقص
ثلاثة كله في DX
أول مرة نشوف جدر بهذا الشكل في هذا ال section هذا
الجدر ليس على شكل الجدور اللي شرحناها في جزء النظر
لكن تشغل عقلك هكذا، توصل للجدر اللي شرحناها في
الجزء النظري كيف كان التالي؟ هى تكامل وهى ال X وهى
ال DX وهى الجدر التربية هل هذا مربع كامل؟لا مش
مربع كامل يفجأة بدنا نحوله إلى مربع كامل كده
بالزموه واحد بنطرح واحد مع ناقص ثلاثة بيصير كده
ناقص أربعة يفجأة أضفنا واحد واطرحنا واحد هي الواحد
اللي أضفناه سالب واحد مع سالب ثلاثة بيعطيني سالب
أربعة طلعلي للمقدر هذا مربع كاملمظبوط هيك يبقى
تكامل x dx على مين؟ على ال x ناقص واحد لكل تربية
ناقص أربعة كل تحت الجدربعد ذلك، نريد أن نكمل هذه
الدلالة. أنا أقول إن هذا أصبح جذب، لكن مكان الـ X
شجعني. X ناقص واحد. إذن، عند التعويض، أريد أن أضع
X ناقص واحد يسوء. كم يسوء، الله يعلم. إن شرسلي
بالأمين، للمقدار الثابت يبقى 2 كم؟تسك تيتا و تيتا
أكبر من أو تساوي Zero أقل من Pi على 2طيب ممكن اقول
ال X يسوى واحد زائد اتنين في سك الثيتا بدي دي X
يبقى اتنين سك ثيتا تان ثيتا دي ثيتا يبقى قلط
مسئلتي للشكل التالف بدي اشيل ال X و احط مثل واحد
زائد اتنين سك ثيتا يبقى واحد زائد اتنين سك ثيتافى
الـDX اللى هو باتنين سيك ثيتا تان ثيتا دي ثيتا كل
هذا مقسوما على الجذري التربيعى لاربعة سيك تربيع
ثيتا ناقص اربعةهذا المقدار كله شيلته و حاطيت بقاله
اتنين سكتاربيع، بيبقى ربع هذا اربعة سكتاربيع ثيتا
و هذا الأربعة كما هييبقى قلة مسألتي الى الشكل
التالي اظن اتنين هذه فيش غيرها اطلع برضه مع
السلامة و ايتا كامة واحد زائد اتنين في six ثيتا و
عندك هذه تظل عندي six ثيتا six ثيتا ten ثيتا d
ثيتا مقسوما علىهذه اربعة مع اربعة تطلع بره في جدش
كمان باتنين بضل الجدر التربيه ل six تربيه ناقص
واحد تان تربيه تطلع من تحت الجدر منبتان تيتا تان
تيتا مع تان تيتا الله يسهل عليها يبقى آلة المسألة
إلى الشكل التالي تكامل ل سك تيتا زائد اتنين سك
تربية تيتا كله في دي تيتاالأولى سؤال السنبرت
معروفة اللى هى learn absolute value ل six theta
زائد تان ثيتا وهادي زائد اتنين تان ثيتا وهنا زائد
constant C بعد هيك بدنا نرجع نحول المثلة بدلالة
من؟ بدلالة ال X بنقول له اه هادي هاها
مرة تانية بقدر أقول سك ثيتا بدي يساوي x ناقص واحد
على مين؟ على الإتنين إذا لو روحت رسمت المثلث
القائم الزاوية وقلنا هذه الزاوية ثيتا سك يساوي
الوطر على المجاوريبقى الضلع التالت هو X ناقص واحد
لكل تربية ناقص أربعة حسب نظرية في ثيابورت يبقى هذا
الكلام بده يساويLin absolute value سك ال water على
المجاور يبقى x ناقص واحد على اتنين زائد تاني
المقابل على المجاور يبقى الجدري التربية إلى ال x
ناقص واحد لكل تربية ناقص اربعة بالشكل اللي عندنا
هذا على مين؟ على الاتنين وهي خلصنا مين؟ ال linزائد
اتنين سان الجدري التربيعي لل X ناقص واحد لكل تربيع
ناقص اربعة على مين على الاتنين زائد كله سن سين لو
رحت فتحت الكتاب، ماتلاقيش الإجابة ده معناته حملة
غلط، ما غلط ولا حاجة طلعلي هناممكن اخد عمل مشترك
من الاتنين هدول قداش اتنين بصير X ناقص واحد زائد
الجذر كله على اتنين بصير لن الباص ناقص لن المقام
يبقى بصير لن X ناقص واحد زائد الجذر التربيعي هذا
لو رجعته لأصله اللي هو راس المثلة فيه مشكلة؟ لأ
يبقى بروح بقوله هاي x تربيع ناقص اتنين x ناقص
ثلاثة وجفّل من الabsolute بقى اللي عندي main ناقص
للاتنين ايه وروح نقوله اتنين هذول مع اتنين مع
السلامة وهذا ال x تربيع ناقص اتنين x ناقص ثلاثة
وزائد constant C1حيث الـ C1 بده يساوي الـ C اللي
عندنا ناقص لن اتنين يعني من هنا بده يطلع لن الباص
ناقص لن اتنين لن A على B لن الـ A ناقص لن الـ B
ناقص لن الـ B مقدار ثابت والـ C مقدار ثابت حطيتهم
بمقدار ثابت جديد وبالتالي لو روحت على الكتاب بلاقي
هذه الإجابةوبلاقيش الإجابة اللي منها أفق وكلا
الحالين صحيحة يعني أنت لو وقفت هنا خلاص وروحت
وخليتها ماعنا مشكلة في هذه الحالة إذا وصلنا لنهاية
هذا ال section وإليكم أرقام المسائليبقى exercises
اللي هو تمانية تلاتة المسائل الآيات التالية من
واحد لغاية تمانية واربعين الأدر الله يعطيك العافية
انتهى ال section غدا ان شاء الله نبدأ ال section
الجديد على الطريقة التالتة من طرق التكامل