موسيقى
المرة اللي فاتت ابتدأنا في معكوس الدوال المثلثية
وقاطعناه شوطًا كبيرًا حتى قاربنا على نهايتها فكان
بدأنا بعملية الاشتقاق للأمثلة المحتملة على معكوس
الدوال المثلثية وعطينا على ذلك أربعة أمثلة وهذا هو
المثال رقم خمسة
بالنسبة للدالة اللي عندنا هذه واضح أن الأساس متغير
والأس متغير، إذًا قدامي الطريقين، الطريق الأول أن
آخذ الليمين اللي أقرأ فيهم ثم الاشتقاق أو أكتبها
مباشرة على شكل exponential وبعدها نشتق، إذًا لو
كتبتها على شكل exponential بقول هذه عبارة عن E أس
sec inverse X في ln X، كتبناها على شكل
exponential وهذه عملناها كثير قبل ذلك، مش هي أول
مرة، بدنا نشتق يبقى Y' يساوي الـ E بننزلها زي ما هي في
ln الـ X في مشتقة مين؟ مشتقة الأس، الأس حاصل ضرب
دالتين يبقى الدالة الأولى sec inverse X في مشتقة
الدالة الثانية اللي هي مين؟ 1 على X زائد الدالة
الثانية اللي هي ln الـ X في مشتقة الـ sec inverse
اللي هو قديش؟ 1 على absolute value لـ X الجذر التربيعي لـ X تربيع
التربيعي إلى X تربيع مع قياس واحد، وهذا الكلام بده
يساوي هذه بدها ترجعها لأصلها يبقى أصلها X أس
sec inverse X في sec inverse X على X زائد ln الـ X
على absolute value لـ X الجذر التربيعي لـ X تربيع
ناقص واحد، مثال رقم ستة، يبقى المثال رقم ستة بدنا
مشتقة الـ sin inverse لإن الـ Y اللي بدأ تساوي الـ
cosecant inverse E أس XY، واضح أن هذه دالة ضمنية
لإن هذا مش قادر أخلي الـ Y في جهة وباقي الـ X في
جهة ثانية، يبقى بدأ اشتق اشتقاقًا ضمنيًا وهو أن اشتق
كل دالة في مكانها مع مراعاة قواعد الاشتقاق اللي
درستها في الكلاس ايه؟ بنجي للـ sin inverse، مشتقة
الـ sin inverse 1 على الجذر التربيعي لـ 1 ناقص
ln الـ Y الكل تربيع في مشتقة ln الـ Y، حد فيكم
بيعمل يقولوا قديش مشتقة ln الـ Y؟ لا بدناش بدناش
هذه الموسيقى اللي هي كده اللي فيها مهارة تعرف
after فعيدها فوق نعرف أن أنت أجرت صح ولا غلط وإن مش
فاهم بصير ايه الفهم وإن مش عارف بصير اعرف، اتفضل يا
ابني كويس، يبقى مشتقة ln الـ Y 1 على Y في الـ Y
prime ليش؟ لإن Y أصلاً هي دالة في X واحنا بنشتق
بالنسبة لما ينبغي بالنسبة لـ X يساوي، نجي cosecant
inverse، cosecant inverse اشتقاقها بإشارة سالب يبقى سالب
1 على absolute value لـ E أس XY، الـ X-Penential
دائمًا وأبدًا موجب يبقى حطيت الـ absolute value ولا
محطيتهاش فرقش معايا، يبقى هنا E أس XY في الجذر
التربيعي لـ E أس XY الكل تربيع ناقص 1 في مشتقة
الزاوية، مشتقة الـ exponential بالـ exponential كما
هي ضرب مشتقة الأس والأس حاصل ضرب دالتين يبقى الدالة
الأولى في مشتقة الثانية زي الدالة الثانية في مشتقة الأولى
ليه قديش؟ 1، صحيح، واضح في اختصار الـ exponential
مع الـ exponential يبقى أصبحت المسألة اللي هي 1
على Y الجذر التربيعي لـ ln الـ Y الكل تربيع في
الـ Y' بدها تساوي ناقص X Y' ناقص Y على الجذر
التربيعي لـ E أس 2XY ناقص 1، على أي حال اشتقيناها
اشتقاقًا سليمًا، مضال شغل روتيني أني بدي أطلع Y prime
من هنا، Y prime واخدهم مع بعض واخذ عمل مشاركة وانجلبت
على الجهة الثانية واجمع هذا كله شغل روتيني أنا
بهمن الاشتقاق قل صحيح ولا لا، يبقى اشتقاقي من أولها
لآخرها صحيح وإذا في اختصار اختصر وبعد ذلك روح
وخليها ياخذ الـ full mark لإن أنا بدي أشتق تعرف
تشتق والله بتعرف تبقى الأُدعية، مالهم الأُدعية احنا؟
طيب، خدلي المثال الأخير أو المجموعة أمثلة
الأخيرة على هذا الـ section وهي example تلاتة
evaluate the following integrals
بنعمل مجموعة التكاملات التالية، تكامل الأول تكامل
الذي X على 9 زائد 3 X تربيع
لو أطلعت لدالة لإنها دي، وجود التلاتة هذه عملتلي
مشكلة، لو التلاتة هذه مش موجودة لكان ما عندناش
مشكلة، صحيح أنا لا، كان قولنا tan inverse X على 3
وقولنا جربنا جبناها في طول، لكن التلاتة هذه
إذًا ممكن آخذ 3 عامل مشترك برا وتساوي 1/3 تكامل
لدي X على 3 زائد X تربيع، نرجع بالذاكرة إلى
الجزء النظري، قلنا تكامل 1 على A تربيع زائد X
تربيع يساوي tan inverse X على A وده اللي بنضرب فيه
الكونستانت 1 على A زائد كونستانت C، سؤالي هو
قديش الـ A؟ اسمع
يا عزيزي يا ابني
مش كاتبينه هنا؟ بسيطة، اه معك حق هذا Y الجذر
التربيعي لـ 1 ناقص ln Y الكل تربيع، كلامه صحيح، طيب
سؤالي هو قديش مقدار الـ A هنا؟ 3
الجذر التلاتة اللي نادر يعتبر ايه؟ تربيع كان
التكامل في جزء النظر أن تكامل 1 على A تربيع زائد
X تربيع اللي يساوي 1 على A tan inverse X على A
زائد كم أسبنت C، إذًا هذا هو ايه تربيع يبقى؟ ايه هو
الجذر التلاتة؟ يبقى لو رحت كاملت الدالة لأن هذه
بدأت تساوي 1/3 هي برا ما لهاش دعوة وهي 1 على جذر
3 tan inverse لـ X على جذر 3 زائد constant
C، تكملة الثانية، بنتكمل لسكتر بيها X integration لـ 6
square X على الـ square root للـ 4 ناقص 10 square X
كله DX، يبقى بعدي بطلع في المثل تبعتي هذه وبطلع
tan هو قديش؟ مش تبت الـ tan تربيع يعني هذه الـ
راة ممكن أتخلص منها لو شيلت الـ tan وحطيت مكانها أي
متغير، إذًا لو حطيتي الـ W يساوي tan الـ X يبقى dW
بده يساوي sec تربيع الـ X dX اللي مشتقتها، إذًا كل
اللي في البسط إن هذا بقدر أشيله وأكتب بدله
قديش؟ dW، يبقى هذا integration لـ dW على الجذر
التربيعي لـ 4 ناقص W تربيع، ايش تكامل هذه من المرة
الماضية؟ قديش؟
أول واحدة sin inverse يبقى هذه الـ sin inverse W
على 2 زائد كل الصنسيه لأن هذه ايه تربيعها؟ بتالي
ايه؟ بـ 2، ايوه، اسمها ايه يا عزيزي؟ اه لو كانت
ايش؟ سالب، ما هي سالب؟
هذه يعني؟ الـ dW يعني الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW
الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW
الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ
dW الـ dW الـ dW الـ dW الـ dW، الـ tan مُعرّفة من
مالة نهاية لسالب مالة نهاية، صحيح ولا لا؟ وبالتالي
سبب الإشكالية كبيرة جدًا، أنا بدي أسألك لو كان W
تربيع ناقص 4
لا حتى لما نبتعرفوش بنعمل تربيع بقى قصر 4
section القادم وعلى الخير إن شاء الله لح نبدأ آخر
محاضرة اليوم، اه بمرحبتك فيه، مش هنخليك كده بدونه
طيب على أي حال بده أشيل الـ W وأحط مكان اليمين tan
الـ X يبقى قديش الـ sin inverse لمين؟ sin inverse
لـ tan الـ X على 2 زائد constant C، تكملة التالت
التكملة التالت اللي هو integration لـ X تكعيب زائد
3 X على X أس 4 زائد 9 في DX
نسمع مقترحات منكم، كيف بنا نكامل هذه الدالة X
تكامل في الـ bus زي الـ 3 X على X 4 زي الـ 9
ماذا تقترحون؟
يلا نشوف أي واحد رفع عيده، اتنين
اقترحوا دول
تاني تاني، عيدي الكلام اللي بتحكيه تاني؟ طيب
ماشي، تربية تربية، ماشي وبعدين؟ بتطلع
هو ياه؟ قوله وغير طيب على هذا الحال أيوة ناخد X
فوق المشتقات ناخد
X تربيع زي الثلاث كل تربيع X تربيع زي الثلاث كل
تربيع
مش ولا اقتراح ثاني بالمرة هيك؟ يلا يا أولاد
الهندسة يا Technology المعلومات، يا علوم، يا
تربية، ولا أي أحد يقترح علينا اقتراحه كبسيط؟ اه
يعني
قلت أكمل بصحى، أكمل المقاهي، اقتراح ثاني، مين يعرف
أنا جديد؟
طيب، إمتاز جدا، اسمع يا مزيد من الناس. واحد بيقول
نقترح قسمة مطولة، بنقوله والله كلامك فكرتك كويسة،
لكن تعالى نشوف. القسمة المطولة نلجأ إليها إذا كان
درجة البسط في درجة المقام أو درجة البسط أكبر من
درجة المقام. اقتراح جديد، أيوة. بتحل
المجسين اللي بتاعك؟
هو اسمها ابنها أنت وياه؟ كلام
هذا اللي كلامه صحيح شو اسمك أنت ابنها؟ محمد حمودة
محمد حمودة بيقترح ما يأتي نوزع البسط على المقام
يعني نعمل الكسر هذا كسرين بدلا من كسر واحد، أجابته
صح، يعني محمد تنبأ بالإجابة أو اهتدى إليها، فكلامه
صحيح، يبقى هذا الكلام يساوي تكامل، خلّي بلا كدا،
خلّي بلا كدا، بقول يبقى ال X تكعيب على X أُس 4 زائد
9 DX وهنا زائد تكامل ل 3X على X أُس 4 زائد 9 كله في
DX كلامه صحيح، طب شوف ماذا استفدنا من ذلك؟ طلعني لهذا
الطبع، يبقى بدنا نضرب في أربعة ونقسم على أربعة، يبقى
هذا الكلام بدي يصير يساوي هي الأربعة X تكعيب على
مين على X أُس 4 زائد 9 وبرا ضربنا في جد وجد في
ربع DX زائد وهذا يا تلاتة خليك برا وهذا ال X دي X
وال X الرابعة بقدر أقول عليها X تربيع تربيع زائد
تسعة طبعا يبقى الربع تكامل 4x تكعيب على x أُس 4
زائد 9 dx زائد طلع لي في هذا المقدار ممكن أشيل ال X
تربيع وأحط بدلها متغير وبالتالي قد نصل إلى tan
inverse والله أعلم، ماذا لو احنا حطينا T تساوي X
تربيع يبقى ال DT بتساوي 2X DX أو مص DT بده يساوي ال
X في DX إذا هذه 3 و النص برا وهي تكامل وهي DT
على T تربيع زائد التسعة طبعا يبقى هذا الربع البسطى
فاضل المقام يبقى لين absolute value للمقام لكن لما
كان المقام موجب دائما وأبدا عمره ما أخذ قيمة سالبة
أو صفر يبقى موجب حققت ال absolute والله شيلت معنا
مشكلة يبقى X أُس 4 زائد 9 زائد 3 على 2 ما لهاش دعوة
وهذه تلت يبقى
تلت تان انفرس التي على تلاتة زائد كونستانسيبقى
الربع لين X أُس 4 زائد تسعة زائد نص تان انفرس
بدنا نشيل ال T ونحط قيمتها X تربيع على تلاتة
زائد constant C
طيب هذا كان هو التكامل رقم 3 نجي للتكامل رقم 4 بدنا
تكامل لل X تربيع زائد 2 X ناقص 1 على X تربيع زائد 9
كذلك DX
المقام كان في السؤال اللي قبله X أربعة زائد تسعة
هذا خلاه X تربيع زائد تسعة. يلا نشوف شو بتقترحه.
وقد اقترحها أحدكم في السؤال اللي جاب الاقتراح بينفع
لمن؟ قسمة مطولة يبقى نظرا لإن البسط بتحللش ودرجة
البسط جاءت درجة المقام بنروح نجسم قسمة مطولة
يبقى باجي بقول X تربيع زائد 2 X ناقص 1 على X تربيع
زائد 9 بنقسم X المرفوعة لأكبر أُس هنا على X
المرفوعة لأكبر أُس هنا والباقي بالحاجة وبصير من
التوابع يبقى X تربيع على X تربيع فيها كم؟ واحد X
تربيع واحد في تسعة بتسعة زائد يصير ناقص وناقص
وبنروح نجمع بيبقى لعندي 2 X ناقص تسعة وناقص
واحد هو ناقص عشرة الباقي من الدرجة والمقسم عليه من
الدرجة الثاني يبقى خلاص توقف الله يعطيك العافية
يبقى هذه بتقول المسألة إلى تكامل خارج القسم اللي
هو واحد صحيح زائد الباقي اللي هو 2 X ناقص عشرة
لسه بدنا نجسمها على X تربيع زائد تسعة كله في DX
ممكن هذه صارت المثلة زي السؤال اللي جابلها وزعنا
يبقى هنا بنقدر نوزع كذلك يبقى بصير تكامل الواحد DX
زائد تكامل 2 X على X تربيع زائد التسعة DX ناقص
عشرة خليك برا وهي تكامل واحد على X تربيع زائد التسعة
كله في DX الآن بنقدر نكامل تكامل هذه البسط تفضل
المقام لن ولا داعي للابسوليوت لأنها قيمة موجبة X
تربيع زائد تسعة وهنا ناقص عشرة وهذه تلت تان انفرس
اللي هو مين؟ X على تلاتة زائد constant C طب أنت جلمك
الكل شوية يبقى هنا سؤال خمسة بدنا تكامل واحد على
الجذر التربيعي ل E أُس 2X ناقص 16 اللي
هو DX طلعنا في السؤال كويس هذا قريب على مين من
التكاملات التلاتة اللي أخدناها المرة اللي فاتت الـ
sine constant ناقص مربع المتغير، هذا لأ، المتغير
ناقص الـconstant يبقى أقرب ما يكون على Sec inverse،
بس Sec inverse بدي يكون جاب ال H، اللي هو هذي
الدالة بعد ما ناخدها للجانريتر، يعني بدي يكون X
تقريبا بدي يكون هنا برا E أُس 2X بدي يكون
برا E أُس X حتى نقدر نقول Sec inverse، مظبوط؟
تمام؟ طيب، يبقى نرجع لسؤالنا هذا، خليكم معنا ثاني،
نرجع لسؤالنا، يبقى لو كان هنا E أُس 6 اللي كانت جزء
منها محلولة، إذا اروح وضربلي في E أُس 6 واجسم على E أُس 6،
أصبحت المسألة على الشكل التالي
ماذا رأيكم؟ نطلع الاثنين تربيع
ممتاز جدا، يبقى بدي أخد ال E أُس X بمتغير مين ما يكون
المتغير هذا إذا لو جيت أخدت المتغير T يساوي E أُس X
يبقى D T بيساوي E أُس X DX إذا هذا كله باصل بقدر أشيل
وأكتب دالة من DT يبقى آلة المثلة إلى integration
ل DT على T تربيع ناقص 16
يبقى صارت شكل شكل ال Sec inverse اللي زعلناه قبل
قليل ولا لا يبقى هذا يبدو الساوية داشر رابع
Sec inverse لمن؟ للقيم الواحدة التي تي على أربعة
زائد كونستان سي أو إن شئتم فقولوا الربع Sec inverse
بدي أشيل التي وأحط مكانها E أُس X على أربعة شيلت ال
absolute والله خلّيتها ما عناه مشكلة لإن ال X بمنش
القيمة موجبة والاربعة قيمة موجبة زائد ال constant
C السؤال السادس بدنا تكامل
لمين؟ لواحد على X الجذر التربيعي ل X أُس 6 ناقص 16
اه يعني شبيه بهذا، مع الفارق. 16 زي ما هي وليه شر
السلم زي ما هي. بس هذا بدل X منيش اللي حط X أُس 6 مش
X تربيع. لو كانت X تربيع كان قصتي محلولة. X تربيع.
مظبوط. احنا دائما وأبدا في التكاملات اللي عندنا
هذه كلها X تربيع. صحيح ولا لا؟ إذا لو روحت هذه
كتبتها بدلالة التربيع، يعني إيش بكتبها؟ X تكعيب لكل
تربيع يعني بقدر أقول هذه هي تكامل من واحد على X
الجذر التربيعي إلى X تكعيب تربيع ناقص 16 كله في DX
بقول اه هذه مشان أطبق الكلام اللي حكيناه هنا يعني
بده أتخلص من جزء الاثنين X تكعيب بقول اه لو كان
هنا عندنا X تكعيب كان صارت أيوة بيجي نعمل مضروب في
X تربيع ونقسم على X تربيع يبقى الفكرة تبعت السؤال
زي الفكرة اللي جابله باس مع الفرق لو ضربت البسط
والمقام في X تربيع بصير X تربيع على X تكعيب الجذر
التربيعي ل X تكعيب تربيع ناقص 16 كله بالنسبة لمن؟
الآن بقدر أشيل ال X تكعيب بالكامل وأحط بدالها أي
variable إذا لو روحنا حقنا مثلا Z تساوي X تكعيب
يبقى DZ يساوي 3 X تربيع DX ما عنديش في المسألة
تلاتة يبقى بنقدر نقسمها تلاتة يبقى طول DZ يساوي X
تربيع DX إذا بقدر أشيل كل اللي في البسط هذا وأضع
بداله طول DZ يبقى هذه الطول برا لإنها مقدار ثابت
وهذا ال DZ وهذا ال Z وهذا الجذر التربيعي ل Z تربيع
ناقص 16 أظن صارت مثل هذه صح؟
زي هنا بالضبط، يبقى هذا الكلام بديهي يساوي أي ثلث
اللي برا مالهاش دعوة و بديها كمان جداش رابع و أي
سك انفرس لمين لزد على أربعة زائد كونستاند سينأو ان
شئتم فقولوا 1 على 12 سك انفرز بدي أشيل ال z و أضع
مكانها x تكعيب على 4 زائد constant c التكامل
السابع تكامل السابع بيقول لي dx
على الجذر التربيعي للـ 2x ناقص x تربيع.
هذه مش مبينة ولا زي واحدة من التكاملات الثلاثة تبع
معكوسات الدوال المثلثية. صحيح ولا لا؟ لا تشبه أي
منها. طب و شو ده نعمل؟ خد ال x عامل مشترك، خدناه،
ضال 2 ناقص x، عملنا حاجة؟ مين من الدائرة
المثلثية ولا؟ أيوة، يبقى الصح إنه نعمل إيش؟ أي
رجولة نضيف ونطرح مين؟ وما الفائدة منه؟ اه يعني
بدنا نعمل إكمال المربع يبدو بدنا نضيف رقم ونطرح
هذا الرقم يبدو إكمال المربع مربع معامل x على 4
أمثال أو 4 أمثال معامل x تربيع مربع هذا 4
4 أمثال معامل x تنبيه يبقى 4 4 على
4 يبقى بنضيف 1 ونطرح 1 بنكون ربما ربما
نكون حلنا المشكلة يساوي تكامل ل dx على ال square
root لـ 1 ناقص 1 زائد 2x ناقص ال x تربيع
هذا الكلام يساوي تكامل ل dx على الجذر التربيعي
لـ 1 ناقص x تربيع ناقص 2x زائد 1 أو إن
شئتم فقولوا هو تكامل ل dx على الجذر التربيعي
لـ 1 ناقص (x ناقص 1) لكل تربيع طبعا طب إيش
رأيكوا في هالشغل هذه؟ ده شوفوا موافقين ولا لأ؟ هي
تكامل المقام بتخليه زي ما هو 1 ناقص x ناقص
1 لكل تربيع وهي اديلي إشارة التفاضل هدى دي إيش
دي dx لو حطيت هدى x ناقص 1 بنفع دي
إشارة إشتقاق اشتقاق يفضل مشتقة ال x ب dx ومشتقة
الـ 1 Zero سويتش إيه؟ يعني سارة ال dx عندنا هذه
is equivalent to dx ناقص 1 طب واحد بيعرفش يسوي
زي هيك، كيف يسوي؟ بقول له بكل بساطة شيل ال x ناقص
1 أحط بدالها t بصينا عندك dt على 1 ناقص t تربيع
لإن بحط t تساوي x ناقص 1 لو حطيتي t تساوي x ناقص 1
يبقى dt هي dx صحيح ولا لأ صارت dt هي dx وانا قلت
dx هي dx ناقص 1 مظبوط طب هان إيش بتخليك المثل دي ت
على 1 ناقص t تربيه عندك تعويض صح ولا لأ يبقى
عملت هيك ولا حطيت التعويض ما عملت خلتها زي ما هي و
روحت حطيتلي تعويضة t ب x ناقص 1 مصدر اللي عندك
دي t وسوى dx يبقى بصير دي t على 1 ناقص t تربيه
صحيح ولا لأ يبقى هده هه إيش بيعطينا دوري automatic
الجواب جديد كأن دي t على 1 ناقص t تربيعها جداش
تكملها دي sign inverse x ناقص 1 كله على 1
زائد constant c كويسة الفكرة هذه؟ أول مرة بتشوفوها؟
يا ما سوناها في كل قلص إيه لكوا؟ لما نقول لما نقول
cos θ dθ بقول عليه dsin θ عملتالكوا كتير في كل
قلص، هي مظبوط؟ يا بجاب اه بقال؟ بسيبنا نتكلم الشعب
التاني وماشي، لكن انا عملتالكوا عدة مرات طيب هذا هو
المثال رقم 6، بدنا نروح للمثال رقم، والله هذا
7، نروح للمثال رقم 8 دربلك هذا السؤال
الموجود في الكتاب في التمرين ومثال رقم 8 كمان
سؤال موجود في التمرين يقول التكامل الذي x على x
ناقص 2 الجذر التربيعي لمين؟ ل x تربيع ناقص
4x زائد 3
يبقى بعد يبقى تقول لأ فكرة نفس الفكرة هذه بداش
إكمال للمربع نشوف كيف هذا الكلام يساوي تكامل الذي
x على x ناقص 2 مالهاش دعوة في الجذر التربيعي ل
x تربيع ناقص 4x جداش بده مش هنصيح مربع كامل؟
4 صح ولا لا؟ يمكن بدي أضيف 4 وأطرح 4
أو الـ 3 لإن الطب يفيلها 1 وأطرح منها 1
يعني هذه بدأت تصير زائد 4 ناقص 1، مظبوط؟
4 ناقص 1 هي بتلاتة تمام، طب إيش استفدنا من
الشغل هذه؟ تكامل ل dx على x ناقص 2 ل square
root هذا كل اللي هو مربع كامل ل x ناقص 2 لكل
تربيع ناقص 1 بقدر أسميها زي اللي قبلها؟ بدون
مشاكل يساوي تكامل ل dx ناقص 2 على x ناقص
2 الجذر التربيعي ل x ناقص 2 لكل تربيع ناقص
1 تانه dw الجذر التربيعي w تربيع ناقص 1 اللي
مايعرفش من هنا يقول لي حط لي w يساوي x ناقص 2
يبقى dw ودي يساوي dx يبقى يتحول لمثل الشكل هذا يبقى
هذا جداش الجواب شباب ل سك انفرس absolute value لل x
ناقص 2 على 1 زائد constant c طيب، سؤال
التاسع، هدول السؤالين موجودات في الكتاب ديربالا؟
مين اللي بدي أسأله؟ وين اللي بدي أسأله؟ أه، تفضل
هدا؟
أه
طب هل تشبهش الـ Mobile City Inverse؟ ما انا عارف، بس
بدك إيش، بدك يكون المتغير هذا هو المتغير اللي هنا
هو المتغير اللي هنا يعني هذه كانت dx على x تقريرها
ناقص 1، بس احنا عندنا هنا x وهنا على x ناقص
2، هتكون 2 زي بعض تماما، تمام؟ حد بدي يسأل
فينا يا شباب؟ اه يا اتفضل اسمع انت وياه، نسمع إيش
بيقول؟ اه ما ضربناش
ولا حاجة يا ابنه، بس أضفنا لـ 2 وخلته داخل عملية
الاشتقاق بأثر مش تقتل كل إسطوانة بـ 0، بأثرش بتاتر، إذا
بتعرفش تشتغل هذه الشغلة دي ما عنديش مانع، من حد ما
توصل لهنا، حط ليقولي حط ال w يساوي x ناقص 2، يبقى دي
ال w يساوي دي ال x، يبقى قصيري المثلة، دي ال w، ال w
الجذر التربيعي ل w تربيع ناقص 1، فلازم، بتقولي
sec inverse w، وبعدين أشيل ال w وأحط لها x
ناقص 2 سؤال التاسع بيقول لي تكامل ل dx على sin
inverse x في مين؟ في الجذر التربيعي ل 1 ناقص
x تربيع
فامن مصاحب المثالات؟ sign inverse وحده اشترح دارس
المحاضرة قبل ما يجي دارس اللخض المحاضرة الماضية
قال لي ما هذا كله هو مشتقة sign inverse صح ولا لأ؟
يعني قال لي كان المسألة تكامل مشتقة sign inverse x
على sign inverse x
السؤال العاشر
بنتكامل ل cos تكعيب ال x cos
تكعيب ل θ اللي هو sec inverse x كله مقسوما على x
الجذر التربيعي ل x تربيع ناقص 1 dx بدك تعملها
زي هذا بيعملها بدكش بيقول شكلها مخيفة بيقولك ولا
مخيفة ولا حاجة هاي حقلي θ تساوي sec inverse x
يبقى دي θ 1 على x طبعا تابع للسؤال يا شباب x
أكبر من 0 حقلي تابع للسؤال إن x is greater than
0 يبقى x الجذر التربيعي ل x تربيع ناقص 1 dx
إذا بقدر أشيل هذا المقدار كله و أحط بدله قداش d
θ يبقى آلة المثلة تكامل ل cos تكعيب θ d
θ يبقى انتقل من Calculus B إلى Calculus E هذه كل
الكاملة في Calculus A يعني هذه بقدر أقول تكامل
ل cos تربيع θ في cos θ في d θ هذه تكامل
1 ناقص sin تربيع θ وهذه كلها بقدر أكتب عليهم
مشتقة sin θ يبقى d ل sin θ مشتقة ال sin ب cos θ
d θ يبقى شيلت هذه وحطيت هذه المكافئة لها تماما
يبقى بدنا نكامل الـ 1 بالنسبة لمين؟ ل sin الزاوية
θ يبقى إيش مدينة الكون هنا جداش sin θ ناقص
و هذا sin تكعيب θ على 3 زائد constant c
السؤال بدأ بالمتغير x وانتهى بالمتغير θ بأنفعش
إلا نروح نحولها كلها بدلالة θ طيب عندك هذه أريد
أن أخرجها بدولة x يعني أريد أن أخلص محكات ال sin
وال sec in فأريد أن أخرجها بدولة ex دوري مباشرة بدون
لشكل v ولا غيره أخرجني لهذا من العبارة المكافئة
لهذه اللي هو ال sec θ يساوي x يعني لو روحت رسمت
المثلث القائم الزاوية جدفل ثيتا وهذا مين اللي هو
الزاوية القائمة سك يساوي الوتر على المجاور لأن هذا
بنقدر نعتبرها X على مين على أحد يعني هي الوتر وهي
المجاورة حسب فيثاغورس هذه x تربيع ناقص
واحد، إذا هذا الكلام يساوي. سين الثيتا المقابل على
الوتر يبقى المقابل x تربيع ناقص واحد على الوتر
اللي هو x ناقص تلت ما ليش دا وهذا نفس اللي قبلها
الجذر التربيعي لـ X تربيع ناقص واحد على X الكل
تكعيب زائد constant C الذي لا يريد أن يزهر ويريد أن
يتركها بدلالة الدوال المثلثية ومعكوساتها يستطيع أن
يزيل ثيتا ويضع مكانها سك انفرس يريد أن يصبح صين
لسك انفرس X ناقص صين تكعيب لسك انفرس X احنا غيّرناها
من الصين والسك انفرس وطلعنا المسألة بدلالة ال X
مباشرة لحد هنا stop intersection وإليك أرقام ال
exercises سبعة ستة exercises اللي همين سبعة ستة
المسائل التالية سبعة ستة من واحد لغاية ثمانية
وتسعين ال multiple of three يبقى ال multiple
وزيادة على ذلك سؤال 112 و114
و115 و118.
خلاص بس أنت وياك احنا جماعة سيكشن سبعة سبعة اللي
هو الـ hyperbolic functions
يعني الدوال الزائدية هنعرف
هذه الدوال بدلالة ال exponential function E والـ 6
التي درسناها سابقا فبجب أقوله هنا definition of
the hyperbolic
functions are defined as الشكل التالي طلعله كويس
هنا طلعله كويس بجوز أول واحدة اللي هي التوة
المثلثية كام واحدة يا شباب؟ ستة ممتاز والدوال
الزائدية ستة وبنكتبهم زيهم بس بنضيف الحرف H على
ال sign على ال cosine على التان على الكتان وال
آخرين فمثلا بنجي بنقول هنا sign وهذا ال H و X
يبقى تقرأ بطريقتين، الطريقة الأولى بقدر أقول sign
hyperbolic X يبقى باسم العنوان اللي احنا رافعينه
ولسه أولى بقول essential X هذه تساوي عملياً E أس 6
ناقص E أس ناقص X على 2 طبعا الآن لما نجي لرقم اثنين
هي cosine وبنضيف لها HX cosine hyperbolic X أو لسه
أهو لجوش ال X هي ال E أس 6 زائد E أس ناقص 6 على 2
يبقى افرض عن بعض من باسم إشارة السالب والباقي زي
ما هو
يبقى هذا الكلام
يبدو يساوي سنش ال X على كوش ال X يبقى بدنا نجسم
القيمتين اللي احنا دورنا لهم على بعض يبقى النتيجة
E أس X ناقص E أس ناقص X على E أس X زائد E أس ناقص X
الرابع كتان
وبنضيف ال H يبقى كتان hyperbolic X أو potential X
بدي يساوي اللي هو كوش ال X على سنش ال X زي ولا
تشبه شكل الدوال المثلثية مع الفارق يبقى هذه E
أس 6 زائد E أس ناقص X على E أس 6 ناقص E أس
ناقص X الخامسة سش ال X يساوي 1 على كوش ال X يبقى
مقلوب من الجوش يبقى هذا الكلام 2 على E أس X زي كوش
ناقص X يبقى لاحظ الدوال كلها الزائدية كلها بالكتابة
بدلالة ال E والـ 6 و E أسلاف الـ 6 آخر حاجة نمر الـ 6
Quotient يبقى بنقول Quotient X اللي هو بده يساوي
واحد على essential X مقلوب من مقلوب essential يبقى
اثنين على E أس X ناقص E أس ناقص X يبقى هذا من هذا
الدوال الزائدية الستة انتهينا من نقطة تعريف بدأنا
نيجي لرسم البياني لكل دالة من هذه الدوال
خليني أعمل كده رسومات سهلة جداً، أسهل بكثير من
رسومات الدوال المثلثية نمسك أول واحدة فيهم، ايه؟
هذا محور X، محور Y، ايه الدالة اللي عندك هذا X؟
يبقى
هذه سنش ال X، تشبه مين؟
شبهها بالضبط تماماً. كويس؟ ال domain يساوي ال range
يساوي كل ال real line. اللي بعدها كوش ال X هذا محور
X هذا محور Y هذه Zero السؤال لكوا عمر هذا بياخد
قيمة سالبة يبقى الرأس لوين؟ فوق لو حطيت ال X ب
Zero ايه ال Zero بواحد؟ ايه ال Zero بواحد وواحد
اثنين على اثنين؟ يعني عند ال Zero قيمة الدالة
بقداش يبقى المنحنى بيجيك زي هيك تشبه رسمة Y تساوي X
تربيع يبقى هذا كوش ال X ال demand كله ال real
line وال range عمرها ما بتاخد أي قيمة أقل من الواحد
يبقى الدنيا من سالب إنفينتي لإنفينتي وال range
من واحد إلى إنفينتي يبقى ال range تبع كوش ال X بدي
يساوي closed interval واحد لغاية الإنفينتي التان وال
كتان بدي أحطهم الكبر أسمهم واحدة يبقى هذا محور X
هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هو Zero تخيلان
عندك الخط Y تساوي واحد و Y تساوي سالب واحد بالشكل
اللي أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا
أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا أنا
أنا أنا
الـ Potential X لا يوجد أي تداخل بينهما.
Potential X بيجيك المنحنى بالشكل هذا ومن هنا بيجي
طالع هكذا. يبقى الأزرق هذا هو Potential X وهذا هو
Potential X كذلك. الـ domain للـ Potential كل الـ
real line تمام؟ وال range من سالب واحد للواحد as
an open interval يبقى ضل الكتانش ال domain كل ال
real line ما عدا zero وال range الواحدة لل
infinity ومن سالب واحد للواحد يبقى ال domain بتبع
ال potential x بدي يساوي كل ال real line بدي أشيل
منه فقط من ال zero ال range بتبع ال potential x بدي
يساوي الـ Interval من سالب Infinity لغاية سالب واحد
اتحاد واحد و Infinity طيب هذه أربع رسومات تعلمنا
أن الخامسة الخامسة بالشكل هذا محور X Y Zero النقطة
دي واحد يبقى المنحنى بيجي لكيك ومن هنا بنزل هك يبقى
هذه رسمة social x ال domain تبعها كل ال real line
وال range يزيل من الواحد بس يبقى ال range بتبع
social x بده يستوي من عندي ال zero لغاية واحد
الفترة مفتوحة لأن الواحد مغلقة بالأخرى آخر حاجة شكل إن
هذا محور X Y 0 جوز بالشكل هذا وجوز بالشكل هذا زي
رسمة مين واحدة الدمينيساوي ال range يساوي ال real
line كله ما عدا ما عدا ال zero طبعاً لحد هنا stop
يعطيك العافية إن شاء الله بنكمل غداً إن شاء الله