بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته، هنكمل في مادة تصميم الآلات واحد، المحاضرة
الماضية كنا نحكي على حساب ال stresses في beams أو
straight beams وكان ال moment حوالين محور واحد،
اللي هي محور Z، اليوم هنحكي على ال stresses في حالة
أنها two planes of bending يعني ال planes of
bending في المستويين ال XY plane و ال XZ plane
يعني في moment حوالين ال Z و في moment حوالين ال Y
طبعًا
إذا كانت ال cross section symmetric
هتكون ال normal stress sigma x مُعطاة بـ minus
M Z على IZ زائد M Y على IY في حال كان ال cross
section طبعًا المحصلة اللي هتكون اللي هي يعني two
stress components، وحدة دي و ل ال moment حوالين ال z
axis و وحدة دي و ل ال moment حوالين ال y axis
و المحصلة هتكون ال maximum bending stress
M Y تربيع زائد M Z تربيع الكل تحت الجذر على 2، طبعًا في حالة
cross section مدورة، يعني ال cross section مدور
لو حكيت هذا ال Z و هذا ال Y، ما هي ال IY هتكون
تساوي ال IZ، صح؟ ال IY هتكون
تساوي ال IZ، هتكون
باي على أربعة و ستين دي أس أربعة، في الحلقة دي ال
sigma الكلية
هتكون M C على I، M حوالين Y تربيع زائد M
حوالين Z تربيع، في ال C اللي هي D على 2 على I اللي هي
Pi على 4 D أس 4
هتصفه 32 على 64، هتساوى 2
و 32 جذر التربيع، الى MY تربيع زائد M Z تربيع
على Y D تكعيب، هنشوف
مثال
مثال، عندي beam مقطع مستطيل، المقطع عرضه تلاتة أرباع
انش و ارتفاع واحد و نص انش، عليه distributed load
قيمته خمسين pound force على الانش، بأثر بال
negative y-axis، و في point load مركز قيمته one
hundred pound force، بأثر باتجاه ال negative z-axis
لحظة الـ Distributed Load بيعمل bending moment
حوالين الـ z-axis و ال load ال mid pound بيعمل
moment حوالين ال y-axis، الآن
المطلوب، طول ال beam طوله 8 انش for the cross
section shown between maximum tensile and
compressive bending stresses and where they act
للسكشن هذا، طبعًا، وهيكون دلوقتي عندي سكشن هذا
maximum أو يوجد ال maximum tensile stress و ال
maximum compressive stress و أين يأثرون؟ طيب
أول
شيء عندي سكشن AB، في عندي ال M حوالين ال Z كمية تقريبًا
الساوية
M حوالين ال Z ده شو يساوي اللي
هو ده خمسين في ثمانية و بأثر في النصف، خمسين في
ثمانية في أربعة صح؟
يعني خمسين في أربعة، 200 في ثمانية، ألف وستمائة
pound
انش، وال
M حوالين ال Y لأ
أنا حكيت القيمة بتاعتها ال M Y
طبعًا ال moment هذه بتعمل السطح العلوي ايش بتعمله
محدد يعني tension، وهتكون minus زي ما حكيت ال MY
هتكون 100 pound force في
ثمانية صح؟ يعني
هتكون تمامًا 800 pound
في انش لو
خدت ال cross section وطلعته برا هنا
طبعًا هاي ال z axis أنا بتطلع من هنا و هاي
ال
y axis طبعًا
هذه نقطة A و هذه ايش B
ال moment حوالي ال z axis بتخلي سطح هذا ايش من هذا
ال tension وهنا أنا هحكي هنا في tension tension
tension و بتاعة compression صح في النص
هنا zero هذا ال moment حوالي ال z axis، ال moment
حوالي ال y axis بتخلي سطح هذا ايش tension يعني
هيكون عندي هنا tension
tension tension، ال moment حوالين ال z axis في
ال negative z، يعني هذه اتجاهها هذه
ال m z
هي ال MZ واضح
أنها hand tension و hand compression لو طلعت عليها
ده حالة ال MY في
ال positive y axis هي
MY
يعني tension و compression يعني
خلونا نرسم، يعني لو حكيت ال M Z ألف وستمائة، يعني هاي
ألف وستمائة مثلًا و الأرموعة ثمانمائة
هذا المحصلة ال M صح طيب
عرفنا الاتجاهات، خلونا نحسب ال I، ال I حوالين ال Z هذه
point 7 5 الارتفاع
كله
واحد و نص انش ال
... ال I حوالين ال Z واحد
على 12 point 7 5 في واحد و نص تكعيب حيث
ساوي
تسيبوا ليها، و ال I حوالين ال Y هتكون واحد على
12 في واحد و نص في point 7 5 تكعيب
point كم الرقم؟ هي point 2 0 9 point 2
1 0 9 1
و ال IY point 0 5 2 7
طيب، طب وأنت تتوقع يكون ال stress maximum عند ايه؟
لأن ال tension مع tension بنجمع، وعند decompression
مع compression بنجمع
طيب، معناته ال ... ال ... ال sigma عند A هتساوي
أو
بشكل اللي عم نحكي ال sigma بس
هو M في C على I، صح؟ معنى الـ sigma عند A هيكون
M Z
في
C اللي هي point 7 5 على I Z زائد
M Y point 7 5 على 2، صح؟ اللي هي point 3
7 5 على I Y، ال MZ عندي اللي هي ألف وستمائة
في point 7 5 على IZ اللي هي point 2 1
0 9 زائد ال MY 800 في point 3 7 5
على IY اللي هي point 0 5
2 7
11383
Sigma B هتكون نفس الشيء بس بالسالب صح، سيجما
B هتكون minus سيجما A، minus 11383
psi هذا
المطلوب الأول
مطلوب الثاني إذا كان المقطع مدور، إذا
كان المقطع مدور، إذا
كان المقطع مدور، هنحسب ال M الكلية مظبوط؟
التربيعي لـ MY تربيع زائد MZ تربيع، صح؟
التربيعي لـ 800 تربيع زائد
1600 تربيع، كم تطلع؟
و ال sigma هتكون M في C على I، يعني هتكون 32 M
على I D تكعيب، يعني هتكون 32 أما كم 1700
pound انش على
pi D أس 4 اللي هي واحد رابع أكمل
بيطلع
9309 و شوية 9309 و
شوية PSI
يعني مين بيتحمل أكثر؟ المقطع اللي مدور انش و ربع
و المقطع المستطيل واحد و نص في التلاتة أرباع؟ اللي مدور
.. الـ stress level أقل بيبقى stress level أقل طيب
طيب إن أنا أشوف الـ shear stress for beams in
bending وإن فيه bending دائما أنت حاسس الـ bending
بيكون عندي shear الشير اللي بيسميه إيش الـ
transverse shear الـ transverse shear اللي هو tau
بيساوي VQ على I في B VQ على I في B الـ
على فرض المقطع مثلا مستطيل الـ B هي عرض القطعة و الـ
V الـ transfer shear و الـ Q عزم
المساحة المتبقية أعلى النقطة تحت الدراسة حول الـ
z axis الـ q عزم المساحة المتبقية حول النقطة تحت
الدراسة حول الـ z axis طيب
في حالة نقطة مستطيل و الـ q يعني إيش تساوي إذا بدي
أدرس أنا عند ارتفاع y واحد احنا عزم المساحة
المتبقية حول الـ z axis يعني هذه المساحة المتبقية
عزمها و حول الـ z axis هيكون الـ Q تكامل من Y1 لـ C
يعني لو كان المقطع مستطيل و
أنا بدي ارتفاع من Y1
بدي أحسب الـ Q هيكون تكامل Y طبعا هذه الـ Z axis
و هي
الـ Y axis فلو أخدت element اتفاقه
Dy
Y1 لـ C هتكون
صورة تكامل الـ Y dy
إيه العبارة عن إيه هيد بيه صح بيه
دي Y يعني هيكون من Y1 لـ C هيكون B على 2 Y تربيع من
Y1 لـ C يعني هيكون B على 2 في C تربيع ناقص Y1
تربيع والـ
TAU VQ
على I في B والـ I شو يساوي؟ واحد على اثنا عشر BH
تكعيب H
هنا هيكون V الـ Q اللي هي B على اثنين
في C تربيع ناقص Y واحد تربيع على
B في I اللي هي واحد على اثنا عشر B
H تكعيب يعني B مع B بتساوي ستة
V في C تربيع ناقص واحد تربيع
على BH تكعيب
آه الآن هو انطلق معتبر الـ H إيش يساوي اثنين
C معتبر
الـ H اثنين C عوض على الـ H وعمل شوية اختصارات بصحيح
اللي اللي أعطاه طب هو الـ A إيش يساوي الـ A بيساوي B
في اثنين C صح اللي هي الـ H تطلع الـ term دي
بتساوي ثلاثة V على اثنين A في واحد ناقص Y واحد على
C تربيع طبعا لو كانت Y واحد بتساوي C هذا الـ term
ما يقع فيكون؟ معنى شير على الـ surface الخارجي صفر
هطول واحد صفر بال Sirendak الـ maximum shear بيكون
عند الـ neutral axis اللي هي بتطلع ثلاثة V على
اثنين A لأن
جدول ثلاثة اثنين في الكتاب معطينا لمقاطع مختلفة الـ
average shear stress و الـ maximum shear stress
عندنا مقطع ندور مستطيل
نبوب و في عندي I beam الشكل
اللي أنتو شايفينه
أنا عند beam can't
deliver وعليه concentrated load F وطوله
L
هي اللي حاولت أقول إن عندي رد فعل اللي هو F وفيه
moment M
صح الـ M شو بيساوي؟
FL و هي اللي حاولت أن أقول عندي Transition V شو
بيساوي؟ F V
بيساوي F والمقطع مستطيل B
في
H يعني
عندي الـ section هذا عند أي نقطة أي نقطة هنا ارتفاع
Y واحد بيكون
في عندي transverse shear و normal stress due to
bending الـ normal stress اللي هو sigma x
هيكون بيساوي M في Y واحد على
I صح؟ يعني هيكون بيساوي F في L في Y واحد I اللي
هي واحد على اثنا عشر BH تكعيب يعني هي بتساوي
اثنا عشر FL Y واحد على BH تكعيب وفيه transverse shear
stress اللي هو tau بيساوي
VQ على I في B VQ على I في B في
حالة مقطع مربع مستطيل كانت ثانو بالثاوية برضه
بالثاوية ثلاثة V على
اثنين A في
واحد ناقص Y واحد تربيع على C تربيع يعني سيكون
بيساوي ثلاثة الفي اف على اثنين في الـ BH في
واحد ناقص اللي
هو واي واحد
على الـ C تربيع
يعني لو رسمت stress element كان
دي stress sigma X و
tau XY
خلينا نسميه من
مارس سيركل من مارس سيركل الـ
maximum shear stress تاش يكون الـ radius تا مارس
سيركل الـ radius تا مارس سيركل تاش يكون جذر التربيع
لـ Sigma X ناقص Sigma Y على اثنين الكل تربيع زائد
Tau XY تربيع صح؟ يعني هيكون هذا بيساوي Tau Max
يعني هيكون بيساوي جذر التربيع باسمها Sigma Y
بيساوي صفر ستكون Sigma X تربيع على أربعة زائد tau
XY تربيع حس
أو الجذر التربيعي لأ هنا نعوض عن سيجما X حيث أن عندي
هيكون مئة
و أربعة وأربعين على أربعة ستة و ثلاثين صح هيكون ستة
و ثلاثين ستة
و ثلاثين F
تربيع L تربيع Y تربيع على
B تربيع H الستة صح زي هيك زائد الـ
tau XY التربيع
اللي هتكون تسعة F
تربيع على أربعة B تربيع H تربيع في واحد ناقص Y
تربيع على C تربيع الكل تربيع خد تسعة F تربيع على
أربعة BH تربيع عامل إيش مشترك تطلع تحت الجذر
إيش يصير ثلاثة على اثنين ثلاثة F على
اثنين
BH هالـ اثنين BH تحت الجذر عند التسعة F
تربيع هالـ B تربيع H تربيع يعني هتصير عندك أربعة
الـ
تربيع Y تربيع
على H أس أربعة صح على
H أس أربعة زائد
تحت الواحد ناقص Y تربيع على C تربيع الكل تربيع
هذا الترميل تبرة H تربيع في H تربيع يعني هذه هتكون
H تربيع في
H تربيع حسينا
إن هذه الثلاثة F على اثنين BH الجذر التربيعي
أربعة في L على H الكل تربيع هذا مع هذا في Y تربيع
على H تربيع الـ H إيش بيساوي اثنين
C اثنين
4C تربيع 4C تربيع يعني المهم يبدو فيه نخلت هنا تطلع
المعادلة الـ tau max يساوي 3F على 2BH جذر تربيع 4L
على H الكل تربيع Y على C الكل تربيع زائد واحد ناقص Y
على C الكل تربيع الكل تربيع الـ term هذا هذا الـ
term هنكتب معادلة الـ
Y هو الـ tau max بيساوي
ثلاثة F على اثنين B H في الجذر التربيعي لـ أربعة في
الـ L على H الكل تربيع في الـ L على H الكل تربيع في Y
على الـ C الكل تربيع زائد
واحد ناقص Y تربيع على C تربيع الكل تربيع هذا الـ
term هذا الـ term هذا الـ due to transverse shear
stress صح transverse
shear stress و هذا الـ term due to normal stress and
due to bending normal stress normal stress due to
bending normal stress due to bending ماشي
القول هذا
مش مشكلة بصلاة الله براحتكم طيب الآن المعادلة إن
هي ثلاثة F اثنين BH تحت الجذر هذه due to normal
stress و دي due to bending و هذي due لـ transverse
shear stress الآن إذا أنا بقاجي أعمل plot عندي
على المحور كـ L على H
هي الـ L و H ارتفاعها على المقطع باسمها slimness ratio
يعني درجة النحافة والمحور Y اللي هو maximum shear
stress عندها different curves عند Y على C بـتستوى
Y على C بـتساوى ثلث، Y على C بـتساوى ثلثين، و Y على C
بـتساوى واحد، الآن لما تكون Y على C بـتساوى صفر بيكونش
فيه bending صح عند الـ neutral axis بيكون فقط في
يدي transverse shear stress هذا Y على C بـتساوى صفر
بيكون الـ tau maximum قيمة ثابتة بغض النظر الـ Y تعمل
نفسه تلاتة F على اتنين BH بـتكون
قيمة τ ثابتة صح؟ و Y على C بـتساوى صفر هذه واحد
وهذه صفر بالصفر تلاتة F بـيعني عند Y على C، Y على c
بـتساوى صفر بـتكون الـ tau max بـتساوى
تلاتة f على اتنين bh يعني
قيمتها ثابتة على طول ليه هذا؟
طيب عند Y على C بـتساوى
واحد هذا التقرير ماذا يحصل فيه؟ zero يعني ليس لدي
transverse shear في السطح الخارجي بس بيكون لدي bending
فقط، وعند C بـتساوى واحد يعني هستير لدي tau max
بـتكون
بـتساوى تلاتة F على اتنين BH في اتنين L على H يعني
هتكون بـتساوى تلاتة
F على BH في L على H، الـ L على H كانها إيش؟ كانها X
بـتكون الـ maximum shear stress is only due to
bending و بتغير خطيا مع L على H صح؟ هي L على H
كانها X بـتغير خطيا مع L على H اللي هي الحالة دي
يعني لما L على H تكون بـتساوى صفر بـتكون إيش؟ صفر لما
L على H بـتساوى أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة أربعة
أربعة أ
وده اهي المقطع عندي
مستطيل
وده
أرسم الـ
normal stress due to bending الحكومة عندي
صح؟ والـ .. والـ shear stress الـ due to transverse
shear الـ V هيكون شيء زي هيك يعني
لما كنت واقع على C بـتساوى صفر
عند السطح كان الشيء اللي transverse الشيء shear والبني
جيش معله maximum طيب
أي value الـ Y على C بـتساوى صفر ولا واحد يعني بين
صفر وواحد بيكون فيه component due to bending وفيه
component due to transverse shear يعني for any y
على C أكبر
من صفر وأصغر من واحد
of stress واحدة due to transverse shear stress واحدة
due to normal bending stress زي ما كانت بـتبين في
المعادلة هذه يعني إذا كانت Y على C بـتساوى Y على
C بـتساوى ثلث بيكون
الـ curve ع فكرة هذا عشان تقصوا هذا مش خط هذا .. هذا
مش خط curve هتكون
عنده يعني جايف .. يعني مش بعيد من الصفر Y على C
اتنين على تلاتة
برضه يعيش مش بعدي من الصفر يعني في component مش
من الصفر طيب بـتلاحظوا
كل
مكان طول الـ .. الـ beam طويل كتير مين بيكون أكتر
أهمية الـ .. الـ transitional stress ولا الـ non
stress due to bending؟ normal stress فبيكون الـ
transverse shear stress في حال الـ beam طويل ليس دو قيمة كل
ما صارت القطعة أو الطول أقصر بيصير فعلا الـ moment
مش دو قيمة بيصير الـ significant إيه أثر القص المباشر
القص المباشر فبيصير عندك الـ significant اللي هو
stress due to transverse shear stress فما يكونش الـ
bending دو قيمة
ها
و بـلاحظ و بـلاحظ ثاني دائما بيكون عند الـ
transverse shear stress بيكون صفر عند الـ surface و
maximum في النص، الـ normal stress دي بـده يكون maximum
عند الـ surface و zero عند الـ neutral axis فيها
سؤال دي كل عرف المحاضرة جاي بـنكمل