بسم الله الرحمن الرحيم هذه المحاضرة رقم 16 في مساق
تحليل حقيقي 2 أو تحليل رياضي 2 لطلبة وطالبات كلية
العلوم بالجامعة الإسلامية بغزةكنا سميينها في
المحاضرة 15 إنها جزئين المحاضرة الجزء الأول ذكرناه
في المحاضرة 15 وقلنا الجزء الثاني هنذكره في
المحاضرة اللي بعدها كجزء ثاني من 15 بس الآن لطول
فترة اللي هي المحاضرة السابقةهنسمي هذا الجزء الآن
اللي هو كان اسمه الجزء الثاني المحاضرة 15 لأ بدي
أسميه هو المحاضرة رقم 16 وهو اللي هو بداية سيكشن
جديد اللي هو سبعة أربعة اللي هو the integration as
a limit اللي هو بدنا نصل ال integration عن طريق
اللي هو the limit of Riemann sumبس شغلة سريعة عشان
نربط بالسابق باللاحق بالحاضر عشان نفهم إيش اللي
بنحكي فيه إحنا إذا بتتظهرتتذكر واخدنا على الفترة A
وB وعملنا لها تجزئة P بساوية X Note X واحد لعند ال
XN وعرفنا اللي هو ال Upper sum اللي هو Upper اللي
هي L وP L لو function عندي F فعندي F of X على
الفترة من A لعند B اللي هو ال UpperF of B وقلنا هو
عبارة عن summation لل M K في X K minus X K minus
واحد زي ما انتم الذاكرين K من عند واحد لعند N هذا
اللي هو اللي سمناه ال other sum ال M K طبعا هي ال
.. زي ما انتم عارفين ال supremum على الفترة .. ال
supremum لدال ال F ال supremum لدال ال F على
الفترة اللي أماميوعندي ال L F of P أو P و F زي ما
احنا بنكتبها عبارة عن summation ال M K في X K
minus X K minus واحد K من عند واحد لعندنا وقلنا لو
اتينا ال other sum أخدناله اللي هو ال infimum ال
other sum وقلنا أخدناله ال infimumبنسميه U of F
اللي هو عبارة عن الـ infimum لـ U of F و B such
that B element in the set of all partition B of I
و أخدنا ال L of F و قلنا هو عبارة عن ال supremum
لـ L of F و Bhighest B element in the set of all
partitions B of I قلنا إن F هتكون integrable إذا
اللي هو ال lower integral بساومين ال upper
integral هذا المدخل اللي دخلنا فيه لإثبات أو
لتعريف إن F is integrable مدخل اللي هو ال upper
sum والlower sumأو الـ Upper Integral والـ Lower
Integral يوم ما يتساون بنسميه الـ Integral اللي هو
عبارة عن قيمة الـ Integration للـ F على الفترة A
وBالان ايش اللي هنسويه اللي هو الجزء الثاني من
المحاضرة
او اللي احنا سمينا المحاضرة 16 اللي هو في ال
section 7-4 هندخل لل integration بداخلة أخرى عن
طريق حاجة اسمها ال remansum ومن ثم نقول نثبت في
النهاية انه limit ال remansum لما يكون موجودبكون
هو الـ Integration وهذا مكافئ أو يحدث if and only
if إذا حدثت اللي هو معنى التكامل بصيغة ال Upper
Sum والLower Sum يعني الآن .. الآن في عندنا مدخلين
للدخول للتكامل إما عن طريق ال Upper Sum والLower
Sum أو ال Upper Integral والLower Integral أو عن
طريق اللي هو ال Remain Sum أو اللي هو ال limit
للRemain Sumوالتنين لما نكون كل واحد ذاك ال ..
الملهمته موجود و هذا ال upper بساوي ال lower بكون
ال R equivalent إيه الآن؟ إيش ال .. ال roman sum؟
احنا برضه التجزية جاءت تجزية هاي P بساوي X note و
X واحد لعند ال XN هاي التجزية هاي X note و هاي X
واحد وهي الفترة الموضاجية XK minus واحد لعند ال XK
الان الـ Riemann Sum بنختار في الـ Intervals نقطة
عشوائية لا تقول لي لا أكبر واحدة ولا أصغر واحدة
ولا كذا لأ نقطة عشوائية وبنسميها مثلا لو قلت لك
الهن بسميها XIK الان XIK هذه صارت element في الـ
XK-1 والـ xk الآن بدي بضرب ال x اللي اللي هي طول
الفترة زي ما ضربتها زي ما وجدت ال sum اللي هو ال
upper sum هنا بوجد هنا بس بستبدل ال mk و ال mk
small و upper بستبدلها بقيمة ال function عند هذه
النقطة العشوائية اللي اخترتهااللي هي بيسميها xik
فبصير xk minus xk minus 1 في ال F عند xik و باخده
ال summation k من عند 1 لعند n و هذا اللي بيسميه
الرمان صم S of B أو مين و F S of B أو F و هذا اللي
بيسميه الرمان صم في النهاية هنصلكم أنه لو كان ال
limitللـ S, P و F as الـ N goes to infinity يعني
الـ N اللي هي زغرنا الفترة صارتها الجدّة و زغرنا
صارتها الفترة .. لما تكون N تروح إلى نهاية معناته
أن صارت اللي .. اللي هي و كأنه الفترات عبارة عن
خطوط جنب بعض هذه الخطوط بتنطبق الـ XK و XK-1 و XIK
على بعض و كأنه بتسير كل خط جنب خط جنب خط إلى قيمة
اللي هو مجموع هذه الخطوط زي ما حكينا قبل هيكاللي
بتعمل المساحة تحت المنحنى في حالة الموجب ومن ثم هي
هتعمل لي قيمة ال integration يعني لما يكون ال
limit لـRiemann sum as N goes to infinity exist
وسوّت لي رقم اسمه إيه هذا الرقم هو عبارة عن ال
integration إيه لـ BF of X DX على هذه الفترة هذا
اللي في النهاية بدنا نصل إليه أو نوصلكم إنه في
حالة وجود هذا ال limit هيكون هو ال integration
اللي بمفهوم ال upper sum والlower sum يعني
الدخلتين بقد إلى نفس القيمة أو إلى نفس النتيجة
يعني في بعض الكتب بتعرفلك أصلا اللي هو ال
integration as a limit of remansum في كتب و هذا
غالبا في ال calculus بيشتغلوه و في كتب بتعرفه عن
طريق ال other sum و لا other sum في ال calculus
لأنه ملزمش ل Supremum و ل Infimum لإن الطالب مفهم
ال Supremum ومفهم ال Infimum عنده اللي هو ناضج
بعد هذه المقدمة عن الموضوع خلّينا ندخل إلىه بشكل
تفصيلي The integration as a limit لت I اللي هي ال
interval اللي انا بده اشتغل عليها و ال function
أفنان I لR عبارة عن bounded function و خدنا ال B
هو ال partition اللي أخدناه و زي ما قلنا إذا أخدنا
XI 1 و XI 2 و XI N عبارة عن arbitrary numbersاللي
هو الـ x i 1 في ال .. في ال .. في ال interval x
not x 1 x i 2 في ال interval اللي .. اللي بعدها
ايه اخره يعني ال x i k هي في ال .. الفترة النموذج
الذادية x k minus 1 x k ل k من 1 لعند مين لعند ان
ال sum اللي قولنا عنه اللي هو عبارة عن ال
summation لل F of x i k مضروب في x k ناقص x k
minus 1 هذا ال summation من 1 لعند ان هم هو برمزه
للرمز SPUF اللي هو بسميهاللي هو عبارة عن the
remand sum الريمان صم الريمان صم الريمان صم
الريمان صم الريمان صم الريمان صم الريمان صم
الريمان صم الريمان صم الريمان صم الريمان صم الري
لأن الـ F of XI K اللي هي النقطة العشوائية هذه
أكيد أصغر أو يساوي الـ inf mum على كل النقاط اللي
في ال sub interval هذه و أكبر أو يساوي و أصغر أو
يساوي من ال super mum يعني F of XI K هذه نقطة
عشوائية أكبر أو يساوي أصغر واحدة أو أصغر اللي هو
ال inf mum و أصغر أو يساوي اللي هي من ال super mum
هذا لكل مين لكل sub interval يعني هي sub interval
xk minus واحد وهي xk وهي xik أكيد اللي هو f of xik
هنا أصغر أو يساوي أكبر واحدة وأصغر أو يساوي أكبر
واحدة وأكبر أو يساوي أصغر واحدةاللي هي الـ MK
فبكون
دايما هي هذه دي و هذه دي و هذه دي خدوا الآن ضربولي
هنا وهنا وهنا ضربولي في XK-XK-Y حط طول الفترة
واخدوا الـ summation من عند واحد لعند أن بيصير هذا
بيمثل لي اللي هو الأبر صم وهذا بيمثل لي الأور صم
وهذا بيمثل لي مين؟ الريمان صم إذن الريمان صم دائما
بين الأبر وبين الأور لأوله أصلا نحن ليش بيسميهم
أبر و لاور عسى إن كل اللي غيرهم الأبر كل اللي
غيرهم أصغر يسويهم وكل اللي غيرهم الأور أكبر منهم
أو يسويهم التسمية جزء من المفهومأو تستقر من
المفهوم يعني بنسميها مش معقول هي أبر ونسميها لابر
أو أبر ونسميها اسم يخالف الأبر فأكيد اخترنا اسم
الأبر عشان هي فعلا أبرطيب نجي الى النظرية الأولى
let a و b عبارة عن فترة مغلقة و bounded و let f من
I ل R be integrable on I نفترض ان اف اذا احنا لما
نحكي integrable معناته integrable in the sense of
definition 716 اللي هو اللي بعتمد على ال U of F
بتساوي ال O of Fالان let F من I ل R بيه Integrable
I زي ما بأكد in the sense of definition 716 اللي
حكيته إذا لكل ي أكبر من سفر is givenThere exists a
partition by بي إبسلون such that if بي is any
partition that is a refinement of بي إبسلون and if
أس بي و أف is any remaining sum for أف then هيكون
عنده اللي هو أس بي و أف ناقص ال integration لأف
أصغر من مين من إبسلون بقول باختصار يعني لو فرضنا
أف integrable اللي هنخد لأي إبسلون في الدنيا بقدر
أجيلك partition بي إبسلونبحيث انه اي بي بارتيشن
refinement لبيبسلون refinement معناته البي بحتوى
مين البيبسلون تحسينله هيكون عندي ال remain sum S
بي و F هذا ناقص integration للف أصغر من مين؟ من
ابسلون يعني الآن F is integrable يا جماعةالأن for
every epsilon أكبر من 0 there exist بي ابسلون such
that for every بي تحتوي بي ابسلون اللي هو هذا اللي
جيته and for every man some أس للبي والأفهيكون
عندي الـ absolute value بين الـ S بي و F ناقص اللي
هو ال integration من A ل B لل F أصغر من 100 منافسة
يعني جاعت بقول أخي يعني أصلا يعنيأني هذا في الآخر
في الآخر في الآخر في الآخر هتلاقي الريمان صم اللي
هو يكون بينه و بين ال F إيش ما له أصغر من إبسلون
لما تكون ال إيش ال F اللي هي Integral يعني بلاقي
بي إبسلون بضمنك هذا الكلام بضمنك مش ال بي إبسلون
بس و كل ال refinement يعني كل ال refinement يعني
كل ما نزيد عدد عناصر ال partitionيعني كل ما نكبر
الان يعني و كأنه بقودنا لللي بدنا نحكيه قدام انه
لما الان تروح لمالة نهاية limit ال remand sum إذا
كانت موجودة integrable هيساوي ال integration
والعكس هنلاقيه صحيح برضه هيسيه definition طيب في
بعض الكتب زي ما قلنا او لو بدنا نسميه definition
بنقول equivalent ل definition الأولاني و طبعا
هنلاقينا حالة بتتواصلنرجع لنظريتنا نثبتهالأن if F
is integrable and Y أكبر من 0 then by Riemann
criterion there exists B Epsilon of I such that U
ناقص L أصغر من مين من Y هذا أحفظناها زي اسمنا مدام
F is integrable and then by Riemann criterion طبعا
أكيد هتيجي ع بالكم لأنه مدام قال there exists B
Epsilon هكيد أقول أكيد احنا هنستخدم مين اللي بتجيب
ال B Epsilon مين اللي كانت تجيب ال B Epsilon اللي
هي ال Riemann criterionإذا كان الـ F مستعمل و الـ
F أكبر من 0 فبالتالي باستخدام الـ Riemann's
criterion يوجد مجموعة بي أبسلون of I مثلًا الـ U
بي أبسلون و الـ F نقص الـ بي أبسلون و الـ F أشماله
أصغر من مين من أبسلون الآن اخدوا أي refinement بيه
بحتوى مين الـ بي أبسلون الـ refinement التحسين
اللاور بزيدوال أبر بجل اكيد عارفين ان هذا الكلام
اذا صار عند مدام اللي هو ال refinement ال lower
بزيد اكيد ال LBUF أصغر بيساوي LBUF اللي هو التحسين
و LBUF دايما اصغر بيساوي UBF و ال UBF التحسين بجل
عن ال UBEF اذا هذه ال inequality محفوظة عندنا ماشي
الحال الآنمن هنا ذولة صارت عندي high ال L بي
إبسلون و أف high ال L بي و أف لأنه أكبر high ال U
بي و أف high ال U بي إبسلون و أف أكيد أكيد أكيد
المسافة بين هذه و هذهأصغر المسافة بين هذه و هذه
يعني بمعنى آخر ال UBF ناقص ال LBF المسافة بينهم
أصغر أو يساوي ال UBY و ال LBY من هذه و هذه من اللي
فوق أشمالها أصغر من Y إذا صارت عندي ال U صار عندي
ال UBF ناقص ال BF أصغر من مين؟ من Y صار عندي ال U
بأف ناقص ال بأف أصغر من إبسلون لكل بي يحتوي من ال
بي إبسلون لكل refinement لمين للبي إبسلون اللي
لجناه بوسط الريمان ال criterion خلّينا نكمل يا
جماعة الآن لكن احنا بنعرف ان اي ريمان صم لبي معينة
هيكون بين الـ L و بين الـ P أكيد صح ولا لأ؟ طبعا
الـ S بين الـ P و الـ F اللي قلناها قبل شوية بين
الـ L P و F و الـ U P و Fطيب خد ال integration ال
integration ما هو ال F is integrable مزام
Integrable إذا هي بتساوي زي ما عملناها كتير بساوي
ال U في F و بتساوي ال L في F ال L في F هي ال
supremum لهذه الأشياء إذا أكيد هذا أكبر يساوي ال
lower اللي هي sum هذاوالـ Integration بيساوي الـ U
و F و الـ U و F هو عبارة عن الـ M في مهم للـ U و B
و F إذا نحن نكون أصغر أو يساوي إذا فعلا ال
integration بين ال lower sum و بين ال upper sum و
هذه الفكرة عملناها كتير قبل هاتإذا L هو أطرح هذه
من هذه تنتهي من بعض بيصير عند ال S ناقص هذه بين ال
L ناقص ال U و بين ال U ناقص ال L عملناها كتير طرح
معادلتين من بعض الآن هي ال U و ال U و هي ال L و هي
ال L و ضرب واحدة في ناقص اللي بدنا نطرح هذه في
ناقص تنعكس الأشارات تجمح لبعض و تطلع هذه أصغر أو
ساوي هذه و أصغر أو ساوي هذهالأن هذه يعني هذه اللي
هو بتساوي سالب هذه يعني صارت ال absolute value
أصغر أو يساوي اللي هو المقدار الموجود في هذا
والمقدار الموجود في هذا أصغر من وين؟ هنا لقنا أصغر
من إياش من إبسلون يعني صار عند ال S بي و F ناقص من
ال F أصغر من مين من إبسلون وهو المطلوب نجي للنظرية
الباعتها
النظرية تلاتة أربعة .. سبعة أربعة تلاتة نشوف ..
نتبه لنص النظرية و من ثم نيجي إلى اللي هو البرهان
إذا من ال .. من النظرية اللي قبله شوية لكل إبسلون
أكبر من سفر لجينا بي إبسلون such that for every بي
يحتوي البي إبسلون أو .. و لكل اللي هو أس بي و أف
اللي هو corresponding to this partition بديكون S P
و F ناقص ال integration من هنا ل P لل F أصغر من P
ل Y وهذا في حال أن F is integrable هذا عنوان اللي
هو اللي هي النظرية اللي قبل بشوية لإنه بتحتاجها
بعد شوية طيب شوف الآن إيش النظرية هذي بتقولخلّيت
أفضل about the closed interval A وB اللي هي I اللي
عند ال R بـA bounded function Suppose that there
exists a number A يحقق الخاصية التالية يحقق
الخاصية التالية
نفترض أن يوجد A بحيث أنه لايه إبسلون أكبر من 0
بنلاقي partition بي إبسلون و FB يحتوى بي إبسلون
and F SB is any remand sum for F corresponding to
B تئذن ال S بي و F ناقص A أصغر من مين من إبسلون
لو لاجينا .. انا افترض ان احنا بنلاقي الـ Number A
هذا معطى انه Number A، ايش بتمتح هذا Number A؟ انه
لما يكون عندك لكل ي أكبر من سفر لجهة partition بيه
يبسلون بحيث انه لكل refinement بيه تحتوى بيه
يبسلون و ال S, B و F is any remand sum
يجب أن يكون الـ a أصغر من إبسلون لأس و ال b و ال f
نقص من إبسلون لأس و ال b و ال f نقص من إبسلون لأس
و ال b و ال f نقص من إبسلون لأس و ال b و ال f نقص
من إبسلون لأس و ال b و ال f نقص من إبسلون لأس و ال
و ال f نقص من إبسلون لأس و ال b و ال f نقص من
إبسلون لأس و ال b و ال f نقص من إبسلون لأس و ال b
ولكل ي أكبر من 0 بلاقي بي إبسلون بحيث أنه لما ال
بي يحتوي ال بي إبسلون ويكون اللي هو ال أس بي و ال
أف ناقص ا أصغر من إبسلون بقول then أف اي شمالها
must be integrable in I in the sense طبعاً في 716
و ال a هو من هذا ال integration يعني بقولنا لو
لجينا a بتحقق هذا الكلام هتطلعلكم ال a يا جماعة
هذا هي ال integrationهي قيمة الـ integration الـ
integration in the sense of الـ definition اللي
حكينا عليه طيب شوف الآن الان
بدي أعطيك شغل عامة وبعدها نخصصها على اللي بدناياه
الان give an epsilon أكبر من سفر and be any fixed
partition of I ماشي الحال الان خد أي إبسلون وخد بي
أي شمله أي fixed partition thenThere exist S1
بيوقف و S2 بيوقف بحيث أن S U بيوقف نقص S بيوقف
أصغر من مين من إبسلون و S2 نقص ال أصغر من مين من
إبسلون شوف هذه خلّينا نشوف كيف عملها هيا أخدنا
أي إبسلون في الدنيا و بأي partition الآن بقول لي
صار عندى S P و F صار عندى اسف البارتيشن اللى هو P
موجود والإبسلون موجود بانفكس بارتيشن مش بارتيشن
معين لأ انفكس بارتيشن الكلام ده بظبط عليه بقول
بقدر ألاقي remansum S واحد مسمى P و F بحيث أنه SU
B و F ناقص S1 B و F يكون أصغر من مين من Y المنطقي
الكلام هذا الأبرهو اعطاني الـ Epsilon جالي اثبت
انه بتلاقي S1 Remains sum بحيث ان الفرق بينه وبين
ال A بر لل B والF ال partition هذا partition معين
بحكي الاربيوتر ال partition بس fixed انه اخدت اي
Epsilonأجدرت ألاقي S1 remains sum بحيث أن هذا نقص
هذا يكون أصغر من يبسلون طبعا هذا الطبيعي هو أكبر
من هذا لكن الفرق بدي أخليه أصغر من يبسلون وأنا
بقدر أخليه الآن عندي ال Mk بساوي اللي هو عبارة عن
ال supremum لل F of X such that X element XK minus
واحد و XK مظبوط؟الان هذا اللي هو ال infimum ال
least upper bound الان ال least upper bound لو
شيلنا منه نجفنا منه اي عدد صغير كتير كتير و ليكن
ال y على مين على b minus a ببطل upper bound مدام
بطل upper bound اذا بقدر اناجي xik element ال xk
minus واحد و xk
تكون مالها أكبر من مين من اللي هو اللي بطل other
boundالان هذا اللي سويته مع الام كيه بقدر اسويه مع
الام واحد و الام اتنين و الام تلتة ايه منهم كلهم
إذا صار ال summation ك من عند واحد لعند ان و اضربه
كمان في مين xk minus xk minus واحد مافيش مانع لإن
أنا دموجة و أنا دموجة بتظهر زي ما هي xk ناقص xk
minus واحد واخده ال summation هذا ك من عند واحد
لعند مين لعند ان لجيتها ال xi k تبعت ال S واحد هذه
الان هذا remain sum بسميه S1 بيوف على مين اعتمد
على ال exiled case اللي انا لجيتها هذا ايش بيساوي
اللي هو summation Mk في Xk minus Xk minus واحد
ناقص ال summationXY-XK
-1
هذا summation سامحوني على الضيق اللوح هذا بيصير ال
summation على الأول زاد ال summation على الثانى هي
ال summation على الأول كم من عند واحد لعند أن ناقص
ال summation على التاني كم من عند واحد لعند أن
واخدت ال y بي و ماينوس أيه عن المشترك برا ال
summation دلت ال summation لهذا أصغر أو يساوي
بيقول لهذا مين هو أو أصغر من رمان صم أس بي و أف و
سمنها أس واحدهذا مين هو اكيد كلكم عارفه U P و F و
هذا ايش هو ناقص ايش هذاهذا اكيد y على b minus a في
هذا المقدار هذا المقدار عبارة عن x naught x واحد
ناقص x naught زائد x اتنين ناقص x واحد زائد عرفته
اذا اخر واحد xn ناقص xn ناقص واحد يعني بيظل xn
ناقص x naught كله ب cancel بعض xn اللي هي ال a ال
b و ال x naught هي ال a يعني هذا عبارة عن b minus
a اصلا من s واحد بيقفيعني صار عندي الـ U بي و F و
جيب لي هذا هنا نقص S1 بي و Fأشماله أصغر من أبسلون
فعلا انا اجدت اس واحد من
أبسلون
إذا لجيت S1 و S2 بحيث تحقق هذه الخاصية انتبهوا
الان هذا الان كل اللي حكيته هنا برهان للجزئية اللي
كاتبها انا في البرهان و مش مضحك بشكلها الكاملطيب
فيكم أصلي على النبي الله مصلي على سيدنا محمد نرجع
نقولكم انه لجينا اللي هو الاس واحد والاس اتنين
اللي بيحققن هذا طبعا ال بي كان ايش ماله any fixed
partition الان معطينا
هنا انه هذا معطى هذا معطى ديروا بالكم انه there
exists بي ابسلون بحيث ان بي بتحتوي بي ابسلون هذا
يتحقق الاناللي اتحقق على الـ P اللي هام، هيتحقق
على الـ P الإبسلون اللي هام ماشي الحال، إذا الأن
الـ U P إبسلون و الـ F ناقص الـ L P و F اللي هو
بساوي U U P و F ناقص L P و Fماشي ايش هذا اخدت ال
بي إبسلون ال بي اللي هنا هي ال بي إبسلون عشان اقول
انه انا اللي حققته على اللي هي ال بي فده حققته على
ال بي إبسلون انه هذا كان unfixed partition اصغر او
يساوي بال triangle inequality UBF ناقص SBF زي S1BF
ناقص A زي A ناقص S2BFماذا فعلت؟ بالـ Triangle
Inquality أضفت الـ S واحد وطرحت الـ S واحد وضفت
الـ A وطرحت الـ A وضفت الـ S اتنين وطرحت الـ S
اتنين وعملت الـ Triangle Inquality وطبقت هذه واحدة
كامتين، تلاتة، أربعة صار عندي أزرع يساوي هذا، زائد
هذا، زائد هذا، زائد هذا، ماشي الحل صار
عندي يا جماعة الآن
صار عندى اللى هو الان طبعا ال a ايش هي ال a اللى
في النظرية دى بقالكم a is the number in the
hypothesis of theorem then by the hypothesis of
theorem and star الان من اللى هو المعطى بيعطينا ان
ال s واحد نقص اللى a أصغر من يبسلون و ال s اتنين
نقص اللى a أصغر من يبسلون لأن هذا صحيح اللى فوق
لان
أذكركم كمان مرة بالمعطى
ان هناك مجموعة بي اس ايبسلون هي اللي بتشتغل في اس
بي و اف is any remansum corresponding لأف هيكون
الفرق بين هذا و هذا أصغر من ايبسلون من ضمن الاس
واحد والاس اتنين اللي جاتني قبل شوية اذا صار عندي
الكل اللي بشتغلوا مشروع بيصير اللي هوالـ UB نقص
الـ S1 أصغر من إبسلون و هذا أصغر من الإبسلون مُعطى
وهذا أصغر من الإبسلون مُعطى وهذا و هذا أصغر كل
واحد من إبسلون من اللي أتبته هنا قبل بشوية إذا صرت
اللي هي كلها أصغر من 4 إبسلون ماشي الحالأبسلون was
arbitrary then by 4718 F is integrableF is
integrable لأنه وجدت بإبسلون لأن U نقص لأخر من
أربعة إبسلون بإبسلون وبعض arbitrarily إذا بصير
عندي صحيح واحد متضايق من الأربعة إبسلون في اللي
فوق خد إبسلون على أربعة إبسلون على أربعة و النظرية
الأولى و المعطى برضه بتاخدوا إبسلون على أربعة
بطريقة حسابية معاه طيب إذا صار عنديلجينا الان then
by theorem 7 1 8 F is integrable and for every
epsilon أكبر من 0 there exists B epsilon of I such
that FB بتحتول بي ابسلون and B is a partition of I
then S of B و F مقصدها أصغر من 100 من إبسلون إيش
هذا؟ حنا أثبتنا انه integrable مدام انتجرابل باللي
كاتبوا هناواللي كاتبوها هيكون الفرق بين for every
ε there exists بي إبسلون و الـ B تحتوى 100 بي
إبسلون واحد يقول طب ما هو خايفين الـ بي إبسلون
اللي لاجيناها في الأول المعطف في النظرية غير الـ
بي إبسلون هذه مش مشكلة الـ بي إبسلون فرطنة تبعة
النظرية بي برايم of إبسلونوهذه اللي وجدناها من الـ
Integrability للـ P للـ F اللي أثبتناها نسميها بي
إبسلون دابل براين خد الـ بي إبسلون اللي بتحكي
عليها الآن عشان تنفع للجهتين خدها بساوي بي إبسلون
براين اتحاد بي إبسلون دابل براينبصير الآن هذه اللي
هي تنفع تنفع للمعطيات الأولى والمعطيات التانية
لأنها بيصير refinement للأول و refinement لمن؟
للثاني إذا فش فيه مشكلة إذا الآنthen by hypothesis
of theorem أخدنا هذا أصغر من أربع إبسلون إذا سبب
له هذا أن هو F is integrable مدام F is integrable
إذا بالنظرية بنلاقي بي إبسلون بحيث أنه لكل بي
بيحتوي بي إبسلون بيكون هذا ناقص هذا أصغر من مين من
إبسلون هذا أصبح أصغر من إبسلونبس الآن اثبتنا عند
الـ F بي و F ناقص اللي أصغر من إبسلون من النظرية و
واحد يقول لي تبعت ال بي هادي بتختلف عن ال بي هادي
قلتلك علجتها ال بي هادي و ال بي هادي باخد ال بي
إبسلون لتبعت النظرية و ال بي إبسلون تبعت اللي هو
ال integrability و باخدهن اتحادهن بيكون اللي هو ال
بي إبسلون اللي لجيتها هنااللي بدى أستخدم إيه لها
الجهتين و أي refinement لها بيه لـ بي أبسلون و
لجديدة بيطلع هذا صح وهذا صح اتتين مع بعض دلوقتي
بحجل اللي استخدمهم و أقول إذا ال integration لل F
من A ل B نقص A أصغر و أساوي ال integration لل F
نقص ال S زاد ال S نقص ال Aاللي هو ضيف ال term و
طرحت ال term هذا هي أصغر من إبسلون وهذا أصغر من
إبسلون إذا صار هذا أصغر من اتنين إبسلون صار عندي
فيه العدد هذا بين اللي هو اتنين إبسلون وأكبر أو
ساوي سفر وإبسلون arbitrary إذا هذا المقدر لازم
ساوي سفر إذا ال integration بساوي مين بساوي ليه
وهو المطلوب طيب
نجي لأ اللي هو ال definition سبعة أربعة أربعة ال
definition بسيط بده يعرف حاجة اسمها مش أو norm هو
انا بسميها مش عادة الناس بتسميها norm ايش ال .. ال
.. ال مش اللي بده يعرفه؟ بقول لو كان عندك
partition B بساوي X0 و X1 لعندي XNالان كل sub
interval لها طول ال norm ل ال B او مش ل ال B هو
عبارة عن ال maximumأو الـ Supremum Maximum لأن الـ
Supremum حاسب Maximum لإنه الـ finite دول
الماكسيمم لا X1 ناقص X0 و X2 ناقص X1 لأطوال
الفترات يعني sub interval لعند ال XN ناقص XN ناقص
1 الماكسيمم الهن هدول أطوال الفترات هو اللي بنسميه
مين النورم للـ B هو النورم للـ B الآن يعني يعني لو
كان عندك لو كان عندك هي عند الفترةمن صفر لعين
تلاتة مثلا هاي عند بي بتساوي صفر نص واحد اتنين
تلاتة مثلا بكون ال normal بي ايش هيساوي ايش ال
normal بي اكيد هتقولوا كلكم تلاتة ناقص اتنين واحد
اتنين ناقص واحد واحد واحد ناقص نص نص واحد اذا ايش
هيساوي واحد اكبر اكبر طول sub interval واحدلو جينا
أخدنا الـ Q مثلا بساوي اللي هو Zero نص واحد واحد و
تلت اتنين اتنين و نص و تلاتة وقلنا لكم اوجد الـ Q
أكيد كلكم حدقول الـ Q أشمالها اللي هي بين الواحد و
تلت والتانين هي أكبر أكبر مسافة اللي هي عبارة عن
إيه؟ تلتين لاحظوا أن الـ B مجموعة جزئية من مين؟ من
الـ Q لما .. لما الآن الـ Q كبرت نورمهاهيكون أصغر
أو يساوي norm من الـ B طبيعي لأنه دخلت نقطة جديدة
ممكن تزخر المسافة لكن مش ممكن تزيدها طيب وهذه اللي
هي بعض الملاحظات اللي هنا على اللي هي ال norm أو
ال mesh اللي الآن بعض اللي هوالملاحظات اللي هو
different partition of I can have the same مش بقول
يعني ممكن different partition لل .. لل .. لل ..
للinterval اللي ده same مش اه بقدر هاد انا اجيبلك
كمان واحد زي هدول خد كمان بي برايم بساوي سفر و نص
و واحد و اتنين و اتنين و نص و تلاتةهذا الـ B'
يختلف عن الـ B لكن نورمه التاني الواش بيساوي واحد
يعني ال different partitions ممكن يكون لها نفس
نورم و هاي مثال و كتير فيه زي ذلك لأن لو كانت B
subset من Q نورم لـ Q أظهر يساوي نورم لمن؟ لـ B و
اتبعت السهل هذاخد الـ B subset إذا هيكون عنده اللي
هو عدد النقاط اللي في Q أكتر من عدد النقاط اللي في
B هكون ال maximum على الأولى اللي هو أكبر أو شاوي
ال maximum على مين على التاني لإنه اللي صار فيها
زيادات صار فيه إمكانية إنها تقصر الفتراتطيب لكن لو
كان ال normal ال Q أصغر شويه ال normal ال B مش شرط
أن يكون B subset من مين؟ من ال Q أو كتير بتلاقي
أمثلة زي هي ال normal
B هذا إيش بيساوي؟ normal B بيساوي واحدالان عندي ..
مش شرط .. يعني هديلك اللي هو Normal Q أصغر أوي
ساوي Normal B لكن الـ B اللي هو ليس شرطا أنها تكون
subset من مين؟ من إيش؟ من الـ Q Normal B واحد خد
الـ Q
بساوي اللي هو سفر و واحد و اتنين و اتنين و نص و
تلاتة نورمال
كيوه بديه ال
gate
واحد و واحد و نص
وهي نص كمان سفر و نص Normal Q بساوة نص مظبوط
Normal Q بساوة نص لكن ال B ال B خلي هذا تلت ماشي
خلي هذا تلت صارت ال B مش subset من مينمن الـ Q
ممكن تلاقي افضل اكتير هذه الـ B أكيد مش subset من
الـ Q Normal B بيبقى واحد صح؟ Normal B واحد و
Normal Q ايش بيساوي نص لأن الفرق بينهم انصاص هذه
عندك Normal Q أصغر او يساوي Normal B لأن هذا نص
وهذا واحد but
واضح الـ B هي سفر و تلت و واحد و اتنين و تلاتة ليس
subset من الـ Q صفر و نص و واحد و نص و .. و .. و
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و
.. و .. و .. و .. و .. و .. و ..