بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما بدأنا به في المرة
الماضية المرة الماضية أخذنا أول اختبار الذي اسمه
limit الذي اسمه direct comparison test الذي اختبار
المقارنة و أخذنا عليه أول مثال و الآن نروح للمثال
رقم اثنين بنشوف هذا تكامل converge ولا diverge
فبروح بأخذ الدالة نفسها التي هو E أس ناقص X تمين
في cosine تربيع ال X يعني التي هي cosine تربيع ال
X على E أس X السؤال هو من أقرب دالة على هذه
الدالة؟ نخلقها منها
التي هو من؟ واحد على E O6، هذه أقرب واحد عليها،
الدالة التي بدك تجيبها، بدك كنت تعرفها مسبقا هل هي
converge أو diverge، يبقى أقرب دالة عليها، التي هي
عبارة عن من؟ واحد على E O6 طب السؤال هو، من التي
أصغر، الأولى ولا الثانية؟
يبقى من Zero لواحد، يبقى أقل من الدالة الثانية ولا
أكبر منها دائماً أقل من وقت تساويها لما ربنا يحط
فيها البركة بتساويها تمام؟ إذا هذه ال function أقل
من وقت تساوي هذه الدالة لأخر المرة التي فاتت بقى
ولكن تكامل من واحد إلى infinity لواحد على E O6DH
converge الذي هو ال previous المثال السابق بالضبط
تماماً يبقى هذي converged بإشارة comparison test
التي أصغر منها converged يبقى بروح بقوله by the
direct comparison test التكامل من واحد إلى infinity
لـ E Oس نقص X cos تربيع X DX converged وانتهينا من
المثال هذا يبقى هذه النمرة الوساية بلزم ليش تكامل،
بلزم نقارنه بس، نمرة ثلاثة نمرة ثلاثة بدنا تكامل
من واحد إلى infinity لل X DX على الجذر التربيعي
لأربعة X أُس خمسة زائد واحد بنجي على الدالة التي
عندنا هذه التي هي من X على الجذر التربيعي لأربعة
X أس خمسة زائد واحد شوفوا يا شباب كيف بدنا نجيب
الدالة التي بدنا نقارن معاها بدي بقول ال boss جاهز
X لا بد أزيد عليه ولا ننقص بدأي على دالة المقام
الواحد مقدار ثابت إذا قورن بالإكسوس خمسة يبقى إكسوس
خمسة هي الكبيرة لأن الإكسوس بتروح لوين؟ للملة
النهائية، أنت جراش لغاية الملة النهائية، هو الأربعة
مقدار ثابت سيبك منه يبقى المقام كله كأنه الجدر
التربيعي للإكسوس خمسة يعني إكسوس جداش خمسة على
اثنين اثنين و نصف، وعندي فوق إكسوس واحد لما نختصرهم
يظل واحد على إكسوس جداش أو 3 على 2 التكامل عليها
convergence ولا divergence؟ نعم لأن هناك نظرية
مكتوبة معنا المرة الماضية 1 على X to the power P
DX convergence إذا P أكبر من 1 و divergence إذا P
أقل من أو تساوي الواحد يبقى التكامل عليها
convergence قلنا لك المرة الماضية مع ال
convergence بالدمشي أصغر منه مع ال divergence
بالدمشي أكبر منه يبقى barrier functional لأنها مدام
convert إذا بدي أمشي أقل من X على الجذر التربيعي
إلى أربعة X أُس خامسة يعني شيلت من؟ شيلت الواحد
سؤال هو هل الكلام التي يعني كاتبه كان quality صحيح
ولا خطأ؟ التي قال خطأ يوجه فارباسي يقولي وين هو؟
خليني أتنبأ أنت التي قالت خطأ؟ طب ليش خطأ قد يفرق؟
فبلا ما أكبر المقام بزيد الكثر ولا بقل؟ بقل ولا
بزيد؟ بقل، بقل، بقل، بقل، بقل، بقل
كل ما يكبر المقام، بيقل الكثر. النصف ولا الثمن؟
النصف أكبر أو كبير، يبقى الثمن أجنب من النصف، رغم
يقامه كبير. إذا كل ما يكبر المقام، بيقل من؟ بيقل
الكثر. يبقى الكلام التي قاله هو مش صحيح، وكلامنا
هو الصحيح. تمام؟ إذا هذا المقدار كله أقل من
المقدار هذا كله. يبقى هذا عبارة عن X على 2 X أس
خمسة على اثنين يعني واحد على اثنين X أس ثلاثة على
اثنين بروح بقوله بطل ولكن الذي هو نصف تكامل من واحد
إلى infinity لوحد على X أس ثلاثة على اثنين DX
converge السبب بسبب أن P تساوي 3 على 2 أكبر من
الواحد الصحيح By the direct comparison test تكامل
من 1 إلى infinity لل X DX على الجذر التربيعي ل 4X
أُس 5 زائد 1 convergence هنا من المسألة
طيب نروح لسؤال التي بعده الذي هو السؤال الرابع
السؤال الرابع بيقول يتكامل من واحد إلى infinity
للإثنين زائد cosine x على x كله في ال dx بدي أشوف
إن هذا تكامل converge ولا diverge بدي بسأل نفسي
أكبر قيمة بياخدها ال X كده؟ كوصين ال X واحد و عندك
اثنين يعني أكبر قيمة بياخدها البسط هو ثلاثة نيجي
أصغر قيمة بياخدها البسط كده؟ واحد لأن كوصين سالب
واحد و اثنين بيصير واحد إذا البسط محصور بين واحد لا
ينجز عن الواحد ولا يزيد عن الثالث. عندما يحط ربك
في البركة تصبح ثلاثة وعندما ينخسف تصبح واحد صحيح.
إذا البسط هذا دائماً هو أبداً قنسة، رقم. طب تعال خد
المقام هذا. يبقى هذا المقام بظل بروح الله سلاله
مالة نهاية. أنا أصلاً عندي رقم على X. قول مثلاً واحد
على X. واحد على X، converge ولا diverge؟ واحد على
إكس diverge لأن P واحدة صحيحة هي يبقى diverge مدام
diverge يبقى بيمشي أكبر من ولا أقل من .. مع
الدايفير يبقى بيمشي أقل ولا أكبر؟ أكبر هيك التي
هالاختبار بيقول يبقى باري بيقول الاثنين زائد كوصين
ال X على X أكبر مش عارف منين أكبر من من؟ أحط واحد
ولا ثلاثة؟ واحد، إذا ثلاثة، ما تعداش الثلاثة أصلاً،
يبقى أكبر من واحد وقد يساويه، تمام؟ الآن هذه
التكامل عليها Divergent يبقى ليه أكبر Divergent
وخلاص، يبقى باجي بقوله بطل، ولكن تكامل من واحد إلى
الانفينيتي لواحد على x dx because أن P تساوي واحد
صحيح
تكامل من واحد إلى انفنتا دي لان اثنين زائد cosine
X على X DX Diverge وانتهينا من هنا شافوي سوف يعطيك
نفس السؤال بس سوف أغير الأس تبع ال X ال X هنا الأس
تبعها كده؟ سوف أعطيك واحد و نصف نشوف هل التكامل هذا
converge ولا diverge converge مظبوط يعني بدي نمشي
أقل من ولا أكبر من أقل من يبقى بروح بقوله اثنين
زائد cosine ال X على X ثلاثة على اثنين أقل من وقد
يساوي جداش ثلاثة على X ثلاثة على اثنين ثلاثة مقدار
ثابت صفل برا بضل التكامل واحد على X ثلاثة على
اثنين converge يبقى
السؤال الخامس بيقول يتكامل من اثنين لغاية infinity
لمن؟ لل X على الجذر التربيعي ل X أس أربعة ناقص
واحد في DX بقى دي بقول له هاي ال function التي
عندنا x على الجذر التربيعي ل X أقصى أربعة ناقص
واحد أنا مش عارف بدي أمشي أقل من ولا أكبر من بقول
كويس الباص جاهز المقام شيل الواحد بضل الجذر
التربيعي على X أُس أربعة الذي هو جداش صار عند X على
X التربيعي يعني جداش واحد على X يعني التكامل عليها
diverge من واحد إلى infinity يبقى قدام شيهش أكبر
منه يبقى هذه أكبر من X على الجذر التربيعي ل X أُس
أربعة ايه رأيك بره موافق عليها أيها دي والله كله
كلام شيلت بالسالب واحد صح هذه يا شباب؟ خلّوا فيها
كويس، هذه أكبر من هذه صحيح؟ مظبوط؟ ولا مش مظبوط؟
يبقى البسط أكبرها، يبقى هذه البنية أكبر؟ مية
لمية، كل ما يصغر المقام بيكبر الكسب، لكن كبر
المقام .. أيوة يعني يا شباب لو كانت هذه زائد بدل
النقص كانت، تبقى هذه هيك صحيح؟ لا مش صحيح، بتصير
أقل من يبقى المعنى الناقص اكتبتنا هذه السليمة مائة
بالمائة يبقى النتيجة x على x تربيع يعني واحد على x
بقوله بطل ولكن تكامل من اثنين لإنفنتي إلى واحد على
x dx diverged because السبب أن P تساوي واحد صحيح
هذا بده يعطيك by the direct comparison test
التكامل من اثنين ل infinity لل X على الجذر
التربيعي ل X أربعة ناقص واحد DX by VAR طيب السؤال
اللي بعد سؤال ستة
سؤال ستة بيقول يتكامل من تلاتة لـ Infinity للجذر
التربيعي لـ 2X تربيع زائد سبعة كله على مين؟ على
X تكعيب DX يبقى
هاي الدالة اللي هو 2X تربيع زائد سبعة كله
مقسوما على X تكعيب عليه البركة، ما عيب إن أشوف
هالدالة، هالكسر اللي فيها، أبناء ما نقول شيل 2
وشيل السبعة بيبقى الجذر X تربيع، اللي هو الجذر دي
إيش؟ X وعندك هنا X تكعيب، فالواحد على X تربيع، كون
غيري ولا ضايفان، إذا بدنا نمشي أقل من، يبقى هذه
أقل من X تكعيب وهذا الجذر التربيعي لـ 2
X تربيع، صحيك ولا غلط؟ X تربيع بقى مش مشكلة 2
أكثر بيها، والله أكثر بيها، بتفرقش عند 2،
ما تأثرش، بس الكتاب دي هيك صح ولا غلط؟ غلط. غلط؟ لأ
صحيح الصراحة. الناس يقولوا غيرهم. صحيح صحيح. أنا
بقوله غلط وكده في حد و بس، مش هنناقش احنا و
أنا بدي واحد بس، إيه؟ بس نجمع دي، بس نجمع نناقش
البوصة الأولى يعني أكبر من الـ 2 المقام 8.
إذا هذا المقدار أكبر من هذا المقدار وليس أقل، يعني
كتابتنا هذه ما لها خلق. طيب، بالذات هقوله زائد
8، تشير كلامي صح ولا لا؟ صح مية المية، طب
زائد 9؟ زائد 100، صح، مظبوط، لكن هل حلت
الإشكالية السابعة ولا الثامنة ولا المية ولا المليون ولا
500؟ ما حلت الإشكالية بالمرة، لكن أنا بدي أحلي
الإشكالية بمعنى بدي أتخلص من الجذر مشان اختصر مع
المقام يبقى من حد ما اتجابلِك مسألة بهذا الشكل
بسيطة الرقم اللي عندك هذا اكتبه بدلالة المتغير
اللي عندك هذا وبالتالي بيصير ما فيش إشكالية خالص
يعني بقدر أقول زائد 7X تربيع صح ولا غلط؟ صحيح
100% وما حدش يعترض كمان، هذا أقل من هذا صحيح،
لأن هذا المقدار هو هذا، والـ 7 أقل من 7X ترجع
إلى X من 1، من 3 لـ مال نهاية، كلها من 3
لمال نهاية، إذا لن يحدث تساوي، لكن لو كان من 1
لما لا نهاية، بيحدث التساوي عند X يساوي 1، أنت
لا تنفيش تساوي بالمرة، يفاجئ إن حدث الشغل زي اللي
توا، بروح، بكتب الرقم اللي عندنا هذا بدلالة
المتغير، يبقى صار 7X تربيع هو الكلام صحيح مائة
بالمائة طيب 2X تربيع و 7X تربيع، 9X
تربيع يعني بتطلع 3X، 3X على X تكعيب
يعني 3 على X تربيع
تكامل من 3 لـ إنفينيتي لـ 1 على X تربيع DX
Converge السبب because إن T تساوي 2 أكبر من
واحدة الصحيحة هذا بدي أعطيك by the direct
comparison test التكامل اللي عندك من 3 لغاية
infinity إلى الجذر التربيعي لـ 2X تربيع
زائد 7 على X تكعيب DX converge وانتهينا من
المثال
طيب هذا كان السؤال السادس، خذ السؤال السابع، السؤال
السابع بيقول التكامل من zero لغاية π من zero لغاية
π لـ dx على جذر الـ X زائد sin X
هذا يبقى مدينة دالة لأنها 1 على جذر الـ X زائد
sin X، اقرأ الدالة عليها اللي احنا عارفينها 1
على sin ولا 1 على X أص نص، 1 على X أص نص ولا
1 على sin، 1 على X أص نص، يبقى هذه 1 على X
أص نص، طيب هذه أصغر ولا أكبر من الثانية؟ بيصيرش في
يوم من الأيام أصغر؟ بيصير بس احنا مقيدين من وين
لوين؟ من الصفر اللي بايعنا الرابع الأول والرابع
الثانية الرابع الأول والرابع الثانية الـ sign دائما
وأبدا موجبة يبقى هذه دائما وأبدا أقل من وقت تساوي
1 على X أص نص، مظبوط؟ يبقى هذه أقل من هذه، طب
التكامل 1 على X أص نص هذا converge ولا ضيوفي؟
يعني بنفع شغلي هذا؟ لأن مع الـ converge بدأ نمشي
أكبر منه، مع الـ converge بدأ أمشي أقل منه، بنفع
شغلي هذا؟ بنفع بس أنت فاهم غلطة هم غلط، افتح على
النظرية تحت المرة اللي فاتت يلا افتح عليها لـ تكامل
1 على X to the power P افتح يلا فلعب واطلع
فيها تكامل من إيه لوين؟ من إيه لوين؟ وهذا من إيه
لوين؟ يبقى بطل يصير الكلام تبقى عن نظرية يبقى أنت
جيت تطبق النظرية تطبيقا خاطئا لأن النظرية بتجلي من
عند الـ a والـ a تجليها تبقى from zero to infinity
لكن هذا من غير لـ وان، فكرة صغيرة باسم الصفر الموجود
تيجي تجلي على النظرية بيجيش عن نظرية يبقى لك تطبق
النظرية تطبيقا صحيحا لازم يكون التكامل عندك من
constant لـ infinity مش من zero لغاية π، طب هل هذا
improper integral؟ لا طبعا، كيف لا؟ طبعا عند الـ π
مثلا يبقى عند الـ zero على سبيل المثال الـ X بـ zero
والـ sin zero بـ zero ده لغة المعرفة يبقى هذا
improper integral طيب هذه كمان لحالها ده لك تافه
هذه صحيحة مية المية بس التطبيق اللي بيحصل الطبقة على
غير تطبيق الخطأ إن هو ده كلام ما ينفعش، طب تعالى نشوف
تكامل من zero لغاية π لـ 1 على X أص نص DX طبعا
عند zero تبقى لغير معرفة، مدام غير معرفة يبقى هذا
improper integral يبقى تكامل من A إلى B لما A
بدها تروح لـ zero من وين؟ من جهة اليمين لـ X أص ناقص
نص DX يبقى limit لما الـ A بدها تروح للـ zero من جهة
اليمين تمام لـ مين؟ لـ X أص نص على نص والحاجة هذا من
A لغاية π طيب يساوي 2 وهذا الـ limit لما a بدأت
تروح لـ zero من جهة اليمين لجذر الـ π ناقص جذر الـ a
هذه المقادير اللي عندناها الآن لما قبلها تروح للـ
zero يبقى هذا الـ term كله بقى dead بـ zero نهاية
المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself يبقى 2
جذري 4 يبقى التكامل هذا معله converge وليس
diverge كما زعم بعضكم قبل قليل يبقى so تكامل من
zero لـ π لـ 1 على X أص نص DX convergence مدام
convergence يبقى التكامل على الدالة اللي أقل منها
convergence فبقى يبقى أقوله π ز دائرة comparison
test التكامل من zero لغاية π لـ DX على جذر الـ X
زائد sin X converge طب خذي كمان سؤال، الثامن، سؤال
الثامن بدنا تكامل من 100 لغاية infinity لـ X ناقص
99 على الجذر التربيعي لـ X أُس 5 زائد X زائد
1 DX
يا الله فكر لي في السؤال كويس، علشان أشوف كيف الحل
تبع هذا السؤال
بدأ ناخد الدالة اللي عندنا هذا X ناقص 99
على الجذر التربيعي لـ X أُس 5 زائد X زائد 1
هذا السؤال يختلف عن سابقاته ليش؟ لأنك تشتغل في كل
من البسط والمقام، طب في البداية بدي أعرف إني بدي
أمشي أقل من ولا أكبر من، بنقول بنشيل الـ 99
بدل الـ X، الـ 1 والـ X صغار جدا إذا قارنتهم بـ مين؟
بالـ X أُس 5 واللي بتتحكم في المسألة الكميات
الكبيرة زي ما العالم بتتحكم فيه الدول الكبرى،
تمام؟ يبقى أحلى من اعتبر إن هذا مش موجود ودول مش
موجود، بظل الجذر التربيعي لـ X أُس 5 يعني X أُس
5 على 2 وعندك فوق 1 ضمن واحدة الـ X يبقى
أقل من، بدي أمشي لإن 1 تكامل عليها conversion
تمام؟ هذه أقل من .. لما يكون عندك شغل في الـ bus في
المقام، تشغلش متنين مع بعض، يا بتشغل في الـ bus
أولا ثم المقام، يا بتشغل في المقام أولا ثم الـ bus
اللي بدك إياه، سيام يبقى باجي بقوله هذا X على
الجذر التربيعي لـ X أُس 5 زائد X زائد 1،
مظبوط كلامنا هنا؟ المقام ثبته وغيرت بس في البسط
مظلوم؟ صح لأن البسط أقل من مين؟ من البسط التاني،
يبقى بطول هذه أقل منها، طيب، هذا أقل من X على الجذر
التربيعي لـ X أُس 5
مظبوط؟ لأن ذاك مقامه أكبر، إذن هذا أقل. هذا سيصبح
X على X أس خمسة على اتنين، يعني واحد على X أس
ثلاثة على اتنين. بعد ذلك سأقول بعض، لكن التكامل من
100 لـ infinity لـ 1 على x أُس 3 على 2 dx converge
السبب because أن P تساوي 3 على 2 اللي هو أكبر من
الواحد الصحيح هذا بده يعطيلك by the direct
comparison test التكامل من مية الى infinity للـ X
ناقص تسعة وتسعين على الجذر التربيعي لـ X أس خمسة
زائد X زائد واحد DX ماله converge طيب بعض الناس
بتصعبوا من أكثر الأصغر منه و الأكبر من هذه جبنا
لهم طريقة ثانية لاختبار التكامل اسمه نمرة اتنين الـ
limit comparison test
بيقول
معاكي if الـ if عند الـ g are positive continuous
functions دوال موجبة ومتصلة على الفترة من عند الـ a
لغاية infinity and if وإذا كان limit الـ f of x على
الـ g of x لما الـ x tends to infinity بدو يساوي L و
الـ L هذه أكبر من الـ zero أقل من infinity then
تكامل من A إلى infinity للـ F of X DX and تكامل من
A إلى infinity للـ G of X DX are both converge or
both بهذه الطريقة إما هذه أو تلك مثال تجارب
تتبع تجارات
تتبع
تجارات تتبع تجارات
أول تكامل من هذه التكاملات نمرة واحد تكامل من
اربعة لغاية infinity لـ 2 DX على X أس
ثلاثة على اتنين ناقص واحد
يبقى انتهينا من اختبار الـ Direct Comparison Test
بدنا نيجي للاختبار الثاني وهو الاختبار الأخير في
مجموعة اختبارات الـ Improper Integral اللي هو limit
comparison test نهاية اختبار المقارنة هذا الاختبار
مهم ليش مين أصغر منه ومين أكبر منه بهمني مين
الدالة اللي أصغر ومين الدالة الأكبر، لكن بهمني
أنك تخلق دالة من الدالة اللي موجودة و تعمل مقارنة
معاها الدالة المخلقة هذه بتكون معروفة بالنسبة لك،
هل هي converge أو diverge مسبقا، طالعش بقول لو كان
عندي دالتين F و G والتنتين كانوا بإشارة موجبة و
اتنين دوال متصلة مشان يكون التكامل exist على
الفترة هذه بروح باخد الدالة F و الدالة G و بقسم
اتنين على بعض و باخد الـ X لما تروح لما لا نهاية
افترض طلعت نهاية عندي والنهاية طلع رقم الرقم هذا
ليس سالبا لأن دالتين بالموجب فلا يمكن أن يكون سالب
اتنين ممنوع يكون صفر، تلاتة ممنوع يكون infinity
يبقى بين الصفر والإنفينتي يطلع أي رقم، أيش ما يكون
يكون تمام؟ يبقى إن حدث ذلك، يبقى التكامل على
الدالة الأولى والتكامل على الدالة الثانية، اتنين
بيكونوا converge مع بعض السؤال هو هل يعطيني دالتين
في المثال ولا دالة واحدة؟ يعني يعطيني تكامل على دالة
واحدة الشغل يذهب ويتجيب دالة ثانية ويتخلق دالة
ثانية من الدالة الموجودة والدالة المخلقة تريد أن
تكون معرفة أنت مسبقا هل هي convert ولا diverse
وبعد ذلك تمسك الأصلية على الدالة لأنك وبتاخد اللي
هم الـ limit إذا اللي ما طلع قيمة عددية بين الـ صفر
والمالا نهاية يبقى تكمل على الدالتين زي بعض إذا
المخلقة اللي تعرفها convert يبقى الأصلية converge،
إذا المخلقة diverse، يبقى الأصلية diverse حلوله هي
السفسار هنا قبل ما ندخل على الأمثلة طيب example
يبقى أول تكامل هي التكامل اللي عندنا، سؤالنا هو
مين أقرب دالة احنا عارفين التكامل عليها converge
أو diverge لاسم الدالة هذه، لمين؟ ممتاز جدا يبقى
احنا بنعرف أن تكامل من اربعة الى infinity لواحد
على X أس تلاتة على اتنين DX converge السبب
because أن P تساوي تلاتة على اتنين أكبر من واحد
على اتنين يبقى امتنانة من جثة التكامل بتروح اخد الـ
limit يبقى هذه الـ limit لما الـ x tends to infinity
للي 2 على x أس 3 على 2 ناقص 1 تقسيم 1 على x أس 3
على 2 بعد هيك هذا الكلام يساوي الـ limit لما الـ X
tends to infinity للي اتنين X أس ثلاثة على اتنين X
أس ثلاثة على اتنين ناقص واحد قعدنا صيابة المثلة
بالشكل اللي قدامنا هذا التعويض المباشر بيجيب لـ
infinity على infinity يبقى استخدام صلاحياتك الـ
l'Hôpital تجسم كله من البسط والمقام على x أس ثلاثة
على اتنين سيا اللي بدك يجه هذا الكلام limit لما
الـ x tends to infinity لـ 2 على 1 x أس ثلاثة على
اتنين جسمنا كل من الـ bus و المقام على x ثلاثة على
اتنين واحد على مالا نهاية بـ zero فلا الجواب جداش
تبعت المقام تبعت المقام هذي converge إذا تبعت الـ
bus converge وانتهينا منها يبقى بادي بقوله by the
limit comparison test تكامل 2 على x أس 3 على 2 ناقص
1 dx من 4 لغاية infinity converge وانتهينا منها،
يبقى بالديش مين لا أصغر منه ولا أكبر منه سؤال ثاني
يقول لي تكامل من 1 لغاية infinity للـ dx على الجذر
التربيعي لـ 3x زائد 1
بتخلق ده لو أنا كنت عارف اللي هي mean واحد عادي
يا در الـ X يعني واحد على X أس نص convert ولا
diverge؟ diverge يبقى احنا بنعرف تكامل من واحد لـ
infinity لواحد على X أس نص DX هذي diverge because
P يساوي النص أقل من الواحد الصحيح بتروح اخد limit
لما الـ X tends to infinity لـ 1 على الجذر التربيعي لـ
3X زائد 1 تقسيم 1 على الجذر X يبقى هذا الـ limit لما
الـ x tends to infinity لجذر الـ x على الجذر
التربيعي لـ 3x زائد واحد أو إن شئتم فاقولوا الـ
limit لما الـ x tends to infinity بدي اخليه جذر
واحد على 3x زائد واحد مش عاجبك و بس الـ limit معاها
صلاحيات الدخول داخل الـ geodor يتجا limit لما الـ x
tends to infinity للـ x على 3x زائد 1 طبعا التعويض
المباشر بيجيب لي ما لا نهاية على ما لا نهاية يبقى
الـ l'Hôpital Rule أو نقص البسط والمقام على X يبقى
النتيجة الجذر التربيعي الواحد على جذر 3
يعني واحد على جذر التلاتة رقم محصور بين Zero و
Infinity يبقى باجي بقوله هنا باي The Limit
Comparison Test التكامل من واحد لإنفينيتي للـ dx
على الجذر التربيعي لـ 3x زائد الواحد ماله، by
where؟ هذا واحد كان يفكر غير تفكيرنا هذا، قلنا له
أيوه قال لي أنا أريد أن أحل بالـ Direct، لا أريد أن
أحل بالـ Limit، لم نستطيع أن نقول له لا، لكننا كل
الموضوع موضوعنا الـ Limit Comparison، حلناه بالـ
Limit Comparison، لكنه لو راح في الـ Ham الشيخ
وقال لي واحد على الجذر التربيعي لـ 3X زائد 1 أكبر من
واحد على الجذر التربيعي لـ 3X زائد X وقد يساويه عند
الواحد، مصبور؟ هذا أكبر منه و قد يساوي هذا يعني هذا
واحد على اتنين اكس و أس نص تلات اكس زائد اكس باربع
اكس تطلع من تحت الجلد بتكون أصلا التكامل هذا by
variable أكبر منه تكامل عليها by virtue وانتهينا
منها يبقى أي حل بطريقة من الدائرة الـ comparison
test وليس بطريقة الـ limit comparison test أجي واحد
تالي قال لي أنا ما أقدر أكملها و بدي اروح احله بدون
التكامل و بديش استخدم لاختبارات اتنين أقوله مافيش
مشكلة بقدر يكملها وبالتالي التكامل هيطلع عنده أيش
كذلك؟ By-Variable طب سؤالنا هو لو استخدمنا اختبار
وطلع converge وروحنا استخدمنا اختبار ثاني وطلع by
-variable يكون فيه خطأ في إحدى الحلين لازم بأي
اختبار اشتغلنا شغل سياطلة converge بطريقة ثانية
بده يطلع converge مش مرة convergent ومرة divergent،
تلاعب، لا لا فيش منها هذا الكلام، طيب فهذا كان
المثال رقم اثنين، بدنا نروح للمثال رقم تلاتة مثال
رقم تلاتة بيقول يتكامل من واحد إلى infinity لtan
inverse x على x تربيع dx من أقنع الدالة على هذه
الدالة ممكن نقارن معاها ويكون التكامل عليها
معروف؟ 1 على x تربيع يبقى احنا عندنا تكامل من 1
إلى infinity ل 1 على x تربيع DX converge السبب بسبب
أن P تساوي 2 أكبر من الواحد الصحيح إذا بنروح ناخد
limit لما X tends to infinity لتان inverse X على
مين؟ على X تربيع تقسيم واحد على X تربيع اللي هي
بتبدأ تساوي limit لما ال X tends to infinity بس لتان
inverse X X تربيع هتطلع فوق تختصر مع تبع المقام
بيظل بس tan inverse X عند النهاية هذي بيجي π على 2
يبقى تساوي π بيقوله بال limit comparison test
الدالة التانية هذي converge يبقى باجي بقوله بي ل
Limit Comparison Test التكامل من واحد إلى infinity
لتان inverse X على X تربيع DX converge وانتهينا منها
أجي واحد قال لأ أنا بحله بال comparison بالطريقة ال
comparison وليس بال limit comparison قلت له كيف؟
قال لي هاي tan inverse X على مين؟ على X تربيع هذه هي
tan inverse X عند النهاية أقصى ما يمكن، فهذه بيصير
π على اتنين، إذا هذه أقل من π على اتنين
على X تربيع، π على اتنين هذا كله صارت برة
التكامل وصارت 1 على X تربيع التكامل هذا ال
converge يبقى أصغر منها converge وانتهينا من وين
من هذه المسألة
طيب هذا كان السؤال التالت خد السؤال الرابع السؤال
الرابع بيقول لي تكامل من واحد إلى infinity ل dx
على الجذر التربيعي ل x تربيع ناقص x زائد واحد مين
أقرب دالة على هذه الدالة؟ واحد على x تحت
الجذر يعني جداش واحد على x الآن تكامل من واحد ل
infinity لواحد على x DX diverge because ان P تساوي
واحد صحيح إذا بدنا نروح ناخد ال limit لما ال x
tends to infinity لواحد على الجذر التربيعي ل x تربيع ناقص x
زائد واحد تقسيم 1 على x يبقى limit لما ال x تنسى
infinity لل x على الجذر التربيعي ل x تربيع ناقص x
زائد 1 بنروح نقسم كل من ال بسط و المقام على كم؟ على
x لأن الجذر التربيعي على x تربيع هي ب x وهي أكبر أس
موجود في المقام يبقى هذه تساوي ال limit لما ال x
تنسى من x على x كم؟ بواحد على الجذر التربيعي ل x
لما ندخلها تحت الجذر تدخل x تربيع يبقى بيصير
واحد ناقص واحد على x زائد واحد على x تربيع
يبقى التنتين هذول زي بعض يبقى باجي بقوله by the
limit comparison test التكامل من 1 ل infinity ل dx
على الجذر التربيعي ل x تربيع ناقص x زائد 1 مالها
diverge طب ايش رأيك واحد جلن بحله بال comparison؟
حل زي ما بدك ما فيش قيود يبقى واحد على الجذر
التربيعي ل x تربيع ناقص x زائد واحد شيل اتنين
هدول بيبقوا واحد على x diverge يبقى بدي امشي أكبر
من واحد على الجذر التربيعي ل x تربيع ل x صح كلامي؟
هذا أكبر من هذا، مظبوط؟ لا مش مظبوط، مش صحيح، طب
قولي هذا ناقص x صح كلامي؟ لازم غلط، طبعا، طيب لو
جيت قلت زائد x وهذا التكامل عند الواحد ممكن يحصل
التساوي عند الواحد تمام؟ هي الكلام سليم مئة بالمئة
بدل الواحد روحت كتبت x يبقى هنا بتروح هادي مع هادي
وبفضل واحد على جذر x تربيع اليومين واحدة ال x هادي
diverge التكامل عليها إذا هادي diverge
كيف؟ لأ لأ لأ لأ انت حر استخدم الطريقة اللي بدك
إياها كل اللي بنقدر نقوله decide قرر هل التكامل
يتالي converge و لا diverge تستخدم اختبار الأول
اختبار التاني التكامل انت حر هذا الشأن المثال
الخامس المثال الخامس تكامل من واحد إلى infinity
لواحد على E أس x ناقص 2 أس x DX أقرب دالة
على هذه الدالة تكامل من واحد infinity لواحد على E
أس x DX هذه اظنها convergence من المرة اللي فاتت
يبقى هذه converge a previous example
يبقى بنروح ناخد limit لما ال x tends to infinity
لمين؟ ل 1 على E أس x نقص 2 أس x تقسيم 1 على E أس
x بتبدأ تروح لل infinity لل E أس x على ال E أس x
ناقص 2 أس x تمام؟
يبقى هذا الكلام بده يساوي ال limit لما ال x tends
to infinity نقسم البسط والمقام على E أس x و ال
2 أس x لأن هي الأكبر، مظبوط؟ يبقى بصير عندك
واحد على واحد زائد 2 على E كل أس x هذا بقداش
ال limit له 1 مش مشكلة مش مشكلة مش
مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة
مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش
مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة
مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش
مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة
مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش
مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة مش مشكلة
مش التكامل من واحد الى infinity لواحد عليه E أس x
ناقص 2 أس x DX ماله converge وانتهينا من
المسألة إليكم أرقام المسائل المطلوب حلها من section
ثمانية سبعة ثمانية سبعة من واحد لخمسة وستين القدر
يبقى exercises ثمانية سبعة من واحد لغاية خمسة
وستين القدر
هنا لحد هنا انتهت المحاضرة وبالتالي انتهى هذا ال
section بالمرة الجاية إن شاء الله بنبدأ chapter
اللي جديد chapter عشرة