بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله راح نكمل
في chapter 7 اللي هو Transcendental Functions اللي
هي الدوال الغير جبرية راح ناخد اليوم section 7
-2 section 7-2 بيحكي عن اللي هو ال logarithmic
natural logarithm يعني اللوغاريتم الطبيعية راح
نعرف إيش هي ال natural logarithm definition بقول إن
الـ natural logarithm is a function given by هاي
إيش هذه؟ طبعا ال natural logarithm راح نرمز له
بالرمز ln ln الـ X طبعا فعلا اللوغاريتم العادي لكن
هذا ال natural logarithm اللي هو بنرمزه بالرمز ln
ln الـ X إيش هو ln الـ X؟ عبارة عن التكامل من 1 إلى
X X هي المتغير لـ 1 على T dT يبقى هذا التكامل هو
عبارة عن ln الـ X طبعا الشرط اللي عندي أن هذه X
تكون موجبة بـ X أكبر من صفر الآن من هنا تعالوا نشوف
إيش يعني الـ ln على الرسم نيجي على الرسم نشرح الـ ln
تبعنا بنلاحظ على أن الـ ln هي رسمة الـ ln للأكبر من
صفر اللي هي هذا المنحنى هذا الـ ln لما تكون أكبر من
الصفر الجزء هذا من المنحنى الآن التكامل من 1 إلى X
الـ X ممكن تكون على يمين الواحد أو على يسار الواحد
يعني أما أكبر من واحد أو بين الصفر والواحد اللي هي
الـ X فإذا كانت الـ X تبعنا أكبر من واحد إذا كانت
الـ X هنا أكبر من واحد فالتكامل التكامل من اللي إن
الـ X عبارة عن التكامل 1 على X لـ 1 على T dT وال
X أكبر من واحد فالتكامل هذا بيكون موجبا بالتالي من
الـ X تعبر عن المساحة هاي بين المنحنى والـ X axis
من واحد إلى X فهي هذه المساحة المساحة هذه قيمتها
أكم واحدة يعني هي عبارة عن ln X إذا كانت الـ X على
يسار الواحد من صفر إلى واحد يعني نفرض إنه الـ X هنا
فإيش هل هي تعبر عن المساحة ولا كيف تعالوا نشوف
التكامل إذا كانت الـ X من 0 إلى 1 لأن الـ ln X ساوي
التكامل الآن الـ X أقل من 1 إذن التكامل هذا بيكون
سالبا من 1 إلى نصف مثلا بيكون هذا التكامل سالبا
وبالتالي لو شقلبناها تطلع من نصف إلى واحد بيجي إيش
بالسالب إذن هو سالب المساحة يبقى هنا إيش بالسالب
هي سالب من X إلى 1 لأن X هي الأقل وهذا الأكبر فبطلع
المساحة هذه بس بالسالب إذا قيمة
ln X من 0 إلى 1 بتكون بالسالب وقيمة ln X إذا كانت
X أكبر من 1 بتكون ln موجبة ln سالبة إذا كانت الـ X
من صفر إلى واحد و ln موجبة إذا كانت الـ X أكبر من
واحد طب لو كانت الـ X تساوي واحد في هذه الحالة لو
كانت الـ X تساوي واحد فلن الـ X بيصير بالتعريف تبعنا
من واحد إلى واحد واتكامل من واحد لواحد يساوي صفر
إذا ln الواحد إيش ln الواحد صفر طبعا في حالة
إحنا في التعريف إنه X أكبر من 1 طب ليش ما أخذناش X
أقل أو يساوي 0؟ الآن X إذا كانت أقل من 0 طبعا
مافيش يتساوي 0 لإنه عندي اللي يساوي 0 مافيش طيب ال
X أقل من 0 راح لي للجزئية اللي هنا الجزء اللي هنا
طيب من 1 إلى X و الـ X مش موجودة في الـ domain فكيف
إحنا بدنا نشوف الـ X إذا كانت هنا و نجيب تكامل 1 لـ
X؟ بتكون الـ function not continuous وبالتالي
التكامل غير موجود و ما بناخذش جزء طبعا لإن التجزيق
خلصناه يعني ما بناخذش نقعد نجزق لإنه أخذنا فراح ناخد
فقط اللي هو من صفر إلى X فهيك تعرف إن الـ ln
دائما بناخذ اللي هو الـ ln الـ X دائما الـ X بتكون
موجبة وكمان لا تساوي صفر لإنه بالتعريف إن الـ 1 على
X مش معرفة عند الصفر معنى هذا الكلام أن الـ domain
ln الـ X فقط
تأخذ الأعداد الموجبة من 0 إلى ما لا نهاية
العدد e هو
عبارة عن العدد اللي ln له يساوي واحد الـ e عرفوها
إيش الـ e هذي ليش ما قالوش هو عدد بيحطوا العدد تبعه
لأن الـ e عدد كبير جدا 2 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9
40 يعني هذه الـ e فبالتالي بدل هذا الرقم كله بنحط
إيش العدد e اللي هو احنا بنعرفه عنه بالتقريب إتنين
وسبعه من عشرة فوجدوا إن الـ ln لهذا العدد بيطلع إيش
واحد يعني الـ ln من واحد صفر لكن إيش العدد اللي ln ه
يساوي واحد هو إيش العدد هذا الكبير اللي رمز له
بالرمز اللي هو الـ e رمز له بالرمز الـ e طيب الآن
شوف الـ derivative تبع الـ ln الـ X إيش مشتقة الـ ln
الـ X بقول لي بدنا نشتق اللي هو ln X طبعا بنستخدم الـ
Fundamental Theorem of Calculus Part 1 فمشتقة ln X
اللي هو d by dx للتكامل من 1 على X 1 على T dT طبعا
تفاضل التكامل بيطلع الـ function اللي جوا بنشيل T و
بنحط بدالها X إذن تساوي 1 على X إذن ln X مشتقتها 1
على X طب لو كانت هذه مش X فانكشن of X، إيش بنعمل؟
بنستخدم الـ Chain Rule و بنقول إيه إيش تفاضل من
الـ U، اللي هي أولا واحد على U، وبعدين بنضرب في
تفاضل الـ U، اللي هي du by dx، طبعا بشرط إن الـ U
تكون موجبة
find domain الـ F إذا كانت الـ F of X هتساوي ln
3 X معاقس 9 لأن ln U لأن عشان نوجد الـ
domain لازم الـ U كلها تكون أكبر من صفر إذا 3
X معاقس 9 أكبر من صفر يعني 3 X أكبر من 9
يعني X أكبر من الـ 3 إذا domain الـ F هو من 3
إلى ما لا نهاية من 3 إلى ما لا نهاية
نستخدم القانون المشتق find dy by dx fy تساوي ln
هذا الكلام كله تفاضل الـ ln أولا واحد على كل اللي
جوا هذا الـ U واحد على U يبقى واحد على X تربيع زائد
3 X زائد 1 في 2X زائد 3 اللي هو تفاضل
اللي جوا هذا اللي هو 2X زائد 3 find y prime if
y تساوي sec ln الـ X أول شيء بشتق لـ sec وبعدين بشتق
لما بداخل الـ sec إيش مشتقة الـ sec sec في tan يبقى sec ln
الـ X tan ln الـ X في مشتقة اللي جوا ln الـ X اللي هي 1
على X
find y' fy تساوي عامة إيش كسر 1 زائد ln 2X على X
تربيع طبعا ممكن نعمله بالقسمة مقام تربيع مقام في
مشتق الـ bus ناقص الـ bus في مشتقة المقام و ممكن
نوزع الـ bus على المقام اللي هي 1 على X تربيع يعني
X أس -2 وبعدين إيش X أس -2 في ln ونفاضل
إيش مجموعة
مشتقة 1 على 2X في مشتقة اللي جوه اللي هي 2 لاحظوا
من هنا ملاحظة إن هذه الإثنين بتروح مع الإثنين فبظل
مشتقة 1 على X يعني مشتقة ln أي عدد مضروب X هي نفسها
مشتقة ln X يعني ln 10X هي 1 على X ln 100X هي 1 على
X ln AX لأي عدد A لا يساوي الصفر طبعا، بده يساوي
اللي هو 1 على X يبقى العدد اللي مضروبها ده كله X
لأنه في الآخر بيختصر وبالتالي في النتيجة ممكن ننقلها
بسرعة على طول 1 على X وخلاص نقص زائد يعني هو الـ ln
في مشتقة هذه مشتقة نقص 2X أس -3 في ln 2X
المثال الرابع بقول ايه ضيفه find y prime if y تساوي
التكامل من الجذر
الـ X إلى الجذر التكعيبي لـ X من الجذر التربيعي إلى
الجذر التكعيبي لـ ln T dT يعني بدنا نعمل تفاضل
التكامل نستخدم الـ Fundamental Theorem of Calculus
part one تفاضل التكامل بيطلع الـ function اللي جوا
بنشيل T ونحط هي في مشتقتها ناقص بنشيل T ونحط هي في
مشتقتها فهي إيش القانون تبعنا يبقى ln
سؤال 5
بتكون من فرعين prove that f of x تساوي x ناقص ln x
is increasing for x أكبر من الواحد لأن بدنا نثبت
أن هذا الـ function increasing عشان نثبت أنها
increasing على هذه الـ interval بدنا نستخدم الـ
derivative f prime إيش تساوي 1 ناقص مشتقة ln
اللي هي 1 على x لو وحدنا المقامات دي بتصير X
ناقص 1 على X الآن بنشوف نقاط الـ critical points
بنحطها هي تساوي صفر إذا X تساوي 1 و بنروح و
بنحط إيش الـ interval تبعنا بنجزّئها من صفر طبعا
الصفر غير موجودة أفضل في الـ domain من صفر إلى ما
لا نهاية وبنجزّئ عندي الواحد وبنشوف إشارة الـ F
prime بهذه الفترة الـ X أقل من 1 طبعا هنا بتطلع
الـ plus اللي هو سالب و X أكبر من 1 بتطلع موجبة
إذا في الفترة من 1 إلى ما لا نهاية فهذه الـ
function موجبة الـ f' موجبة وهو بالتالي الـ function
تبعنا increasing دي اتبعتنا إن ها increasing طبعا
معلومات تقاضى القلب الآن اللي بيهمنا اللي هو part b
use part a لإن الـ X أقل من الـ X لإن الـ X أكبر من
الواحد لإن الـ X دائما أقل من الـ X يعني لإن 2
أقل من 2 لإن الـ 10 أقل من الـ 10 لإن الـ 15
أقل من الـ 15 وهكذا كل الـ X أكبر من 1 لإن
تبعنا أقل من الـ X طيب بدنا نثبت هذا الكلام بقولنا
الأول شيء بدنا نستخدم اللي هو part ايه إذا كانت ال
function increasing الآن ال function تبعتنا
increasing function في ال interval أكبر من واحد
بنعرف إيش يعني increasing إذا كانت X1 أكبر من X2 ف
F of X1 أكبر من F of X2 اللي ناخذ تبعتنا X1 و X2
هي X1 X أكبر من 1 إيش يعني يعني F of X أكبر من F
of 1 بالتعريف الآن بدنا نعوض فقط f of x إيش نعوض
بدلها؟ اللي هي x ناقص ln ال x f of واحد بالتعويض
هنا فواحد ناقص ln الواحد اللي هي صفر يعني واحد
لأن يعني x ناقص ln ال x أكبر من واحد والواحد أكبر
من الصفر فبتكون x ناقص ln ال x أكبر من الصفر يعني
x أكبر من ln ال x أو ln ال x أقل من ال x فهي إيش
الإثبات الثانية طبعا هنا ملاحظة بقول لي أن تفاضل ln
ال absolute value لل X طبعا وإحنا دائما بال
absolute value بنفاضلش لكن في هذه الحالة لو أخذنا
ال absolute value يعني موجب أو سالب X فلن ال X
بالموجب إذا كانت ال X أكبر من صفر بتطلع 1 على X طب
لو كانت سالبة ln ناقص X إيش بتطلع؟ 1 على ناقص x في
ناقص الناقص بتروح مع الناقص فبظل 1 على x يبقى لإن
ال absolute value ل ال x هي نفسها 1 على x زي قبل
شوية المثال اللي حكيناه ال a يعني هنا في هذا ال a
بتكون سالب موجب أو سالب فبتطلع نفس ال function d by
dx ل ln ال ax لأي عدد a سواء كان موجب أو سالب يساوي
1 على x
بنشوف خواص ال ln تبعنا ايه خواص ال ln
بقول ليه لو كانت أي عدد b و x يكونوا طبعا
موجبين ال b و ال x يحققوا الخواص التالية أول
خاصية هي ال product role يعني خاصية الضرب فلو كان
في عندنا ln ال bx بده يساوي اللي هي ln ال b
ناقص ln ال x ln ال b ناقص ln ال x زائد عفوا
إذا ln bx يساوي ln b زائد ln x يعني ln
الضرب بتحول إلى جمع بوزع ال ln بس بحط زائد ln
الأول زائد ln الثاني طب ln القسمة b على x
بيساوي ln ال b ناقص ln المقام يبقى ln القسمة هو
ln ال b ناقص ln المقام ln الواحد على x طبعا
حالة خاصية من هذه لو كانت ال b تساوي واحد يعني
بيصير ln الواحد ناقص ln الإكس ln الواحد صفر فبيظل
عندنا ناقص ln الإكس ln X أس r إذا كانت هنا في أس
بجيب إيش ال r هذي بطلعها برا فبيصير r ln ال x و x
is rational number ممكن تكون عدد نسبي يعني أي
عدد نسبي وأي عدد حقيقي example بدنا نستخدم الخواص
ال examples هذه كلها على الخواص بيقول لي اكتبي ln
ال 4 و نصف in terms of ln اتنين and ln التلاتة
اللي عم بنقول ln ال 4 و نصف يساوي ال 4 و نصف هي
9 على 2 حولناها لكسr بيصير هذه باستخدام
الخواص ln التسعة ناقص ln اتنين لأن ln التسعة
التسعة هي 3 تربيع فالتلاتة تربيع هنا بتيجي هنا
2 فبيصير 2 ln 2 ناقص ln 2 هنا
حولناها بدلالة ln 2 و ln 3 بنفس الطريقة المثال
الثاني ln جذر ال 15 بدنا ياها بدلالة ln 3 و ln
5 لأن ln جذر ال 15 يساوي ln 15 أس نص جذر
ال 15 هي 15 أس نص لأن باستخدام القوانين
بتصير نص ln ال 15 لأن ال 15 هي 5 ضرب
3 الضرب تتوزع إلى جمعة بيصير ln الخمسة زائد ln
التلاتة طبعا إذا لو كانت هذه جمع ln زائد ln بنحولها
لضرب والضرب تتحول إلى جمع ولكن ln a زائد b هذه
إيش ما فيش لها أي قانون بتبقى ln a زائد b ln a
ناقص b بتبقى زي ما هي ln a على ln b بتبقى زي ما هي
لا يمكن إنه ما فيش لهم قوانين فبتناشر لغبط بين هذه
الأمور الآن بدنا نستخدم برضه القوانين بإنه نعبر أو
نبسط المقدار ln sec θ زائد ln الخمسة sign الآن
بنقول ln sec θ زائد ln خمسة sign اللي هي لأن هذه ln
زائد ln بتحول إليها الجمع فبتصير ln sec θ زائد خمسة
عقب ln sec θ ضرب خمسة sign الجمع بتحول إليها ضرب ال sec
هي عبارة عن واحد على cos وهي sin فبتصير sin
على cos tan فبتصير ln خمسة tan θ فبنرسم
ال ln عشان نرسم ال ln ln ال x بدنا نرسمها فبدنا
نستخدم بعض الأشياء اللي احنا تعرفناها أولا ln x لما
x تؤول لمالا نهاية يساوي مالا نهاية لان limit ln x
لما x تؤول لصفر من جهة اليمين يساوي سالب مالا نهاية
ممكن هذا نرجع يعني لصفحة واحدة نرجع لصفحة واحد نشوف
الرسمة اللي فيها عشان نشوف ال limit هذه خلينا ال
limit هنا كتبناها الآن من واحد إلى ما لا نهاية هي
عبارة عن المساحة هذه كلها المساحة دي كلها طبعا هنا
المساحة دي إيش ماشي هذا الخط ماشي إلى ما لا نهاية
فالمساحة هذه كلها بتكون تطلع إيش ما لا نهاية كمان
هنا الآن التكامل من واحد إلى x
نرجع يبقى أن هذه ال limits اللي إحنا عرفناها ال
limit لما x تؤول إلى مالا نهاية مالا نهاية و 0 من
جهة اليمين سالب مالا نهاية طيب لو جبنا إحنا ال
derivative ل ln ال x اللي تساوي 1 على x و ال x
موجبة فبالتالي ln ال x increasing function
التفاضل الثاني ل ln سالب 1 على x تربيع سالب هو
بالتالي ln تبعتنا كلها concave down ولأن الواحد صفر
يبقى هنا بنرسمها ل ln الواحد صفر بعدين بعد الواحد
بتبدأ تزيد تزايدية طبعا هي تزايدية على طول
increasing لأن في مالا نهاية بتروح لمالا نهاية
لما تقترب للسفر بتروح لسالب مالا نهاية فبتظلها
ماشية إلى تحت لسالب مالا نهاية وهذه رسمة A إذا ال ln
الواحد هنا صفر ال ln اللي بعد الواحد دائما ال ln
موجب بين الصفر والواحد ال ln هي سالب وعند الصفر
بتروح لسالب الصفر من جهة اليمين بتروح لسالب مالا
نهاية في مالا نهاية بتروح إلى مالا نهاية اللحظة
ال ln إيش يعني بتزيد هنا ال x لكن ال ln مش كتير
بتطلع لفوق وبالتالي ال ln ال x بعد الواحد أقل من ال
x أقل من ال x اللحظة إيش زيادتها بطيئة جدا هذه هي
رسمة ال ln طبعا بنلاحظ من الرسمة كمان ال
domain من صفر إلى مالا نهاية مفتوحة و ال range
بياخذ كل الأعداد الحقيقية من سالب مالا نهاية إلى
مالا نهاية فبياخذ ال range تبعنا كل الأعداد
الحقيقية نيجي للتكامل the integral 1 على u du
التكامل if u is differentiable function that is
never zero ال u طبعا تكون differentiable function
ليست صفر فالتكامل ل 1 على u du هي إيش ln بس
بناخذ absolute value لإن ال u أقل بس لا تساوي صفر
لكن ال u ممكن تكون سالبة ممكن هنا ال u تكون
سالبة وبالتالي ال ln ما بتاخذش إلا أعداد موجبة
فلازم إيش ناخذها معرفة ناخذ ln ال absolute value لل
u ففاضل ln ال u 1 على u فتكامل 1 على u هو ln ال
absolute value لل u
طيب إذا كانت مش u إذا كانت function of x أي
function of x dx هنا f of x في المقام dx اللي في
البسط إذا كانت تفاضل المقام موجود في البسط يعني f
prime على f وهذه dx التكامل لها بيكون ln إيش
المقام ln ال absolute value ل f of x dx ليش لأن لو
أخذنا f of x تساوي u ف du هي عبارة عن f prime of x
dx يعني بيصير du على u فلن ال absolute value ل u
يعني ln ال absolute value
مثال الأول بقول التكامل من 4 إلى 8 dx على
x لن تكامل x الآن بدنا ناخذ هنا u إيش هو عبارة عن
ln لن ال x ln ال x ف du تساوي 1 على x dx الآن
نيجي نعوض بدل ال bus dx على x dx على x دي كلها
بنعوض بدلها du و ln ال x بنعوض بدلها u فبيصير هال u
تكامل u تكامل طبعا بنغير حدود التكامل بتصير لما ال
x تساوي 4 u تساوي ln ال 4 لما ال x تساوي
8 u تساوي ln ال 8 لأن du على u تكامل
تكاملها ناقص واحد على 2 u تربيع من ln ال 4
إلى ln ال 8 هي ناقص نص برا واحد على ln
ال 8 تربيع ناقص واحد على ln ال 4 الكل تربيع
الآن ممكن تبسطيها أو تتركيها زي ما هي خلينا نشوف كيف
نتبسط ناقص نص في ln ال 8 ال 8 هي عبارة عن
2 تكعيب يعني 3 ln 2 وال 4 هي عبارة
عن 2 تربيع يعني 2 ln 2 الكل تربيع وهنا
جمعنا لل 2 تربيع طبعا عامل مشترك بطلع الأعداد
مجموع 5 على 72 المثال الثاني تكامل
ل tan تربيع ln ال x زائد 1 على x زائد 1
الآن إيش بناخد u اللي جوا ال tan اللي هي ln x
زائد 1 فبتصير إيش du تساوي 1 على x زائد 1
dx إذا بيصير أننا tan تربيع و اللي جوا ياخذ u و dx
على x زائد 1 du الآن tan تربيع ما فيش إيش
يتقاضلوا تان تربيه، ايش بنعمل؟ بنتحولها إلى سك
تربيه ناقص واحد، يبقى بيصير تكامل سك تربيه ناقص
واحد، تكامل السك تربيه اللي بيتام، والواحد تكامل
U، وبنفت زائد constant، وبعدين بنشيل ال U، وبنفت
بدالها X زائد واحد
تكامل x أس 5 على x تكعيب زائد 1 dx الآن بدنا ناخد
إيش المقام هو عبارة عن u يبقى u تساوي x تكعيب زائد
1 دي u تساوي 3x تربيع dx الان فينا في ال bus x أس
خمسة x أس خمسة بناخد منها x تربيع و بيبقى ال x
تكعيب بنعوض عنها من هنا x تكعيب بنعوض بدلها u ناقص
واحد يبقى ال x تكعيب بنعوض بدلها u ناقص واحد بعدين
x تربيع دي x هي du وعلى تلاتة هي du وعلى تلاتة و
المقام اللي هو ايش u طبعا عشان الكامل هذه بنوزع
ال bus على المقام بنقول u على u واحد ناقص واحد على
u du الواحد تكاملها U واحد علي U تكاملها لإن ال
absolute value للـ U و بعدين بنشيل ال U و بنعوض
بدالها X تكعيب زائد و أخر كمان
مثال تكامل sin 2X على 3 زائد 2 cos تربيع X DX طبعا
المقام كله بدنا ناخده عبارة عنه 3 زائد 2 cos تربيع
الان تفاضل هذا صفة وهنا 2 وcos ترجع ليه 2cos في
تفاضل ال cosine اللي هي ناقص sin x dx الان sin في
cosine لإنه في البسط عندنا sin 2x فبنفتها sin 2x
وبظل برا ناقص 4 يبقى du هي ناقص 4 sin 2x dx الآن
بنروح هنا بنعور بدال sin 2x بنفتها ناقص ربع du
ومقام اله هو u صار التكامل du على u اللي هي لن ال
absolute value ل u زائد c بعدين بنشيل U ومن فضة
بدأها المقدار نعرف تلاتة زائر اتنين كوزاين تربيع
الان بدنا نطبق التكامل هذا طبعا احنا في التكاملات
اللي أخدناها تكامل ال sin و ال cosine فقط لإن ال
sin تكاملها سالب cosine و ال cosine تكاملها sin
لكن تكامل ال tan ما أخدناش كتان ال sec الكثق ليش
لإن هذا ايه علاقة بال length تعالوا نشوف كيف بدنا
نوجد تكامل التان و الكتان و ال sec و الكثق تكامل
التان اللي هنتطلع هنا شوف كيف تكامل التانتكامل tan
u du إيش يساوي لأننا نحوّل ال tan إلى sin على
cosine لحظة لو أخدت يعني ال cosine هي تساوي u
فتفاضل ال cosine ناقص sin فحطنا هنا هي ناقص sin
وهي في ناقص برا هي ناقص الجوا و ناقص برا ضيعوا بعض
إذا صار البس هو تفاضل المقام يعني كأنه du على u
إيش يساوي لن المقام وهي السالب اللي برا لن ال
cosine u زائد c الان هذه formula ناقص لن الكوزاين
وممكن ناقصها بالقوانين نفتها على الأس هنا أس ناقص
واحد الكوزاين أس سالب واحد يعني واحد على كوزاين هي
sec يعني ممكن هذا يكون لن absolute sec أو ناقص
لن الكوزاين اللي بدكيا تنين صحيح الان ال quotient
نفس الاشي ال quotient هي عبارة عن cosine على sine
يعني بناخد sine هي U فبطلع ال bus دي U يعني بيصير
دي U على U دي U على U يعني لين absolute U يعني لين
absolute ال sine فزي يعني التان بس مافيش إشارة
سالمة لإن ال bus تفضل المقام مباشرة السيك والكوسيك
نفس الاشي فرح ناخد واحدة منهم الكوسيك مثلا الان
بدنا تكامل الكوسك طبعا الكوسك مقدرش أحط واحد على
sine طب و بعدين فيش ال bus تفضل المقام ايش بدنا
نعمل؟ بدنا نوجد ايش في ال bus ايش اللي بديها في ال
bus عشان يكون ال bus تفضل المقام؟ بدي أضرب في كسك
u زائد كتان على كسك زائد كتان نضرب هذا المقدار اللي
هو يساوي واحد الان لو دخلنا الكسك على ال bus
فبتصير كسك تربيع زائد كسك كتان على المقار لو ضربنا
هذا ال bus في سالب و هي سالب برا عشان لايتغيرش
بصير ال bus تفاضل المقار الكسك تفاضلها ايش ناقص
كسك كتان الكتان ايش تتفاضلها ناقص كسك تربيع
وبالتالي الـ plus تفاضل المقام يبقى الجواب اللين
absolute value للمقام والاشارة السالب هي اللي هنا
هي مش سالب يبقى لين الكسك زائد كتان زائد C و
بالسالق نرجع هنا تكامل الكسك U تساوي ناقص لين ال
absolute value لكسك زائد كتان بالمثال لن سك لن سك
زائد تان بطلع
البسط بالظبط هو تفاضل المقام بدون إشارة سالبة إذا
هدول ايش بدكوا تحفظوها التكاملات
نجي مثال تكامل X كتان X تربيع زائد واحد DX الان
بدنا ناخد X تربيع زائد واحد هي عبارة عن U فU تساوي
X تربيع زائد واحد و DU تساوي 2X DX فبتصير بدل ال X
هنا نحط DU على 2 وهنا كتان U فبتصير نص تكامل كتان
U DU لان ايش تكامل الـ quotient بالقانون تبعنا أو
يعني أنت ممكن تقولي الـ quotient هي عبارة عن
cosine على sin يبقى البسط تفضل المقام على طول لن
المقام يبقى هنا نصف لن ال absolute value لsin u
زائد c بنشيل ال u و بنحط بدلها x تربيع زائد 1
فالآخر
إشهر بنستخدم اللغة الرسمية في إيجاد تفاضل اللي هو
يعني functions شوية كبيرة يعني مثلا زي ال function
y تساوي x تكعيب زائد x زائد 1 في وسطاء كبير و أس
اتنين على تلاتة ممكن يكون أكتر من هيك كيف بدنا
نستخدم اللغة ال math في تفاضل هذه ال function
الكبيرة بدي أخد بالأول لن الطرفين فباخد لن ال y
يساوي لن هذا المقدار لأن لن هذا المقدار لن الضرب
بتوزع إلى جمع والقص بينزل يبقى بإننا نطبق لن
المقدار كله هو لن الأول زائد لن التاني والتاني في
قص القص بيطلع برا هي اثنين ع تلاتة لن اللي جوا
الان هي كتبسطنا استخدام اللن و بسطنا فالان بنستخدم
ايه عشان التفاضل بنقول لن ال y إيش تفاضلها؟ 1 على y
في dy by dx لإن تفاضل بالنسبالي ال x فبتطلع إيش في
y prime ايه ساوى؟ لن هذا ايش يساوى؟ واحد عليها في
تفاضل اللي جوا تفاضل جوا اللي هو تلاتة x تربيع زائد
واحد على المقام زائد اتنين ع تلاتة لن هذا المقدر
كله هي المقام تحت و بعدين ايش بنقل تفاضل اللي جوا؟
اربع x تكعيب ناقص ستة x زائد واحد الان بدنا احنا ايش
Y prime ايش بنعمل Y prime اللي هو هذا المقدار في Y
Y في هذا المقدار كله هي ال Y بنحطها ال Y زي ما هي
في تفاضل اللي هو اللي جبناها ده طيب
example تاني برضه ممكن يكون زي ايش قسمة قسمة وفيه
في ال bus هي مرفوع إلى أس و المقام ضرب و أس فبدنا
نستخدم بدل ما نعمل مقام تربيع و يطلع معنا المقدار
كبير جدا وانتوا فيه .. فممكن نستخدم لغة Math في
إيجاد تفاضل هذا المقدار الان ناخد لن الطرفين
بالأول فلن ال Y يساوي لن هذا لن هذا القسم يتحول
إلى طرح فلن ال bus ناقص لن المقامه و بعدين
بنستخدم ايش القوانين هذه الاس بنزلها برا اتنين لن
اجزاء الواحد وهذا الضرب بالأول بتحول إلى جمع هي
الناقص برا لإن ال X زائد لإن ال X زائد واحد لكل
تكعيب والتلاتة بتنزل برا لإن ال X ناقص واحد الان
هنا ممكن ايش على طول الان الفاضل لإن ال Y واحد على
Y في Y براها زي ما هي ساوي اتنين على X زائد واحد
طبعا تفاضلها دي واحد لإن ال X تفاضلها واحد على X
لإن ال X ناقص واحد اللي هو واحد على X ناقص واحد
الخطوة الاخيرة ان نضرب الطرفين بـY لكي نضيع
الويرنين و يبقى Y prime التي تساوي المقدار الـY في
المقدار اللي فضلناه وبهذا نكون خلصنا سيكشن سبعة
اتنين مرة جايب ناخد سيكشن سبعة تلاتة