بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله والصلاة والسلام
على رسول الله بنرحب فيكوا بناتنا العزيزات في هذا
الفصل الثاني من سنة أولى ومع مادة تفاضل باه مات ب
1401 طبعا المادة معانا أربع ساعات بالاسبوع والأن
نبدأ بشبتر سبعة اللي هو بحكي عن ال Transcendental
Functionsوعرفنا ايش يعني Transiental Function
اخدناه في calculus A اللي هو الاقترانات الغير
جبرية واخدنا من هذه الأنواع ال functions نوع اللي
هو ال trigonometric functions راح ناخد section 7-1
مص ال section section 7-1
اللي هو الـ Transiental اللي هو بيحكي عن Inverse
قبل ما ندخل بال Transiental Function طبعا بنتعرف
على ال Inverse Function و المشتقات تبع ال Inverse
Function الآن عشان نعرف ال Inverse Function لازم
نعرف أول إشي نوع من ال function بنسميه one to one
one to one function في عندنا ال function اسمها one
to one function يعني واحد لواحد الآن إيش يعني one
to one function بنقول ال function ifF of X is one
to one بعدد او واحد لواحد on a domain D اذا كانت F
of X واحد لا تساوي X اتنين F of X اتنين whenever X
واحد لا تساوي X اتنين يعني لو أخدنا اي عنصرين غير
متساويين صورهم بتكون غير متساوية وبالتالي لأي
عنصرين غير متساويين بروحوا لصور غير متساوية يعني
كل عنصر له صورة واحدة فقطمافيش عنصرين بياخدوا نفس
الصورة يعني إذا كان بعبرة أخرى نفس العبرة السابقة
إذا كان f of x1 تساوي f of x2 يعني الصور متساوية
لازم العناصر تكون متساوية then x1 يساوي x2 وهذا
اللي أسهل باستخدامها بحل الأسئلة في حل الأسئلة
يعني باخد f of x1 تساوي f of x2 و بثبت أن x1 يساوي
x2 هذا إيش التعريفيعني كل عنصر له صورة واحدة فقط
بالتالي بتكون ال function is one to one مثال f of
x تساوي جذر ال x بدنا نثمن أن ال function ها دي
one to one على ال domain تبعها اللي هو من صفر إلى
مالة نهاية لو أخدت عنصرين x1 و x2 هي فاصلة بنحطها
x1 و x2 بيه any two numbers in zero و مالة نهاية
في ال domainواخدنا f of x1 يساوي f of x2 بدنا نثبت
ان f of x1 يساوي f of x2 اولش بناخد بنعوض f of x1
بنروح بنعوض هنا جدر الـ x1 f of x2 بنعوض بدل الـ
x، x2 بتصبح جدر الـ x2 الآن بدنا نعمل عادى عملية
جبرية بحيث انه نتوصل ان f of x1 يساوي f of x2
العملية الجبرية هي بتربيع الطرفين ربع الطرفين
بنحصل على ان f of x1 يساوي f of x2 وبالتالي f is
one to oneعلى الـ domain طبعا مثل آخر show that f
of x تساوي واحد ناقص واحد على x is one to one
function هنا كتبنا one to one بالأرقام طبعا هذه
one to one بكل الأعداد الحقيقية مع عدد سفر
domainها يعني domainها لو أخدنا x واحد و x اتنين ب
two numbers in R R ناقص سفر مع عدد سفر طبعاأو
أخدنا f of x1 لا تساوي f .. عفوا .. f of x1 تساوي
f of x2 صورتين متساويتين بنعوض f of x1 واحد ناقص
واحد على x1 f of x2 واحد ناقص واحد على x2 وبنحل
المعادلة هذه وبدنا نشوف هل بنوصل x1 تساوي x2 الان
واحد بتروح مع واحد بضل ناقص واحد على x1 يساوي ناقص
واحد على x2 بنضرب في ناقص نتوصل ان واحد على x1
يساوي واحد على x2بنقلب الطرفين بنوصل ان X1 يساوي
X2
في المثالين لاحظنا إنه لو أخدت صورتين متساويتين
تطلع العناصر متساوية و لازم أخد عصورين عشوائيين
يعني مابصيرش أروح ماخدة let f of x1 == x2 أخد
رقمين x1 و x2 لأ لازم x1 و x2 ب any two numbers في
الدمينshow that f of x show whether f of x هو sin
x وx من 0 إلى π is one to one هنا أشوف هل ال sign
في الربع الأول والثاني one to one ولا لأ طبعا احنا
من معرفتنا لل sign بنعرف على أن ال sign لأي زاوية
بالربع الأول هي نفسها ال sign للزاوية مكملتها
بالربع التاني يعني لو جيبنا أي زاوية بالربع الأول
يعني بي على أربعة مكملتها بالربع تاني تلاتة بي على
أربعة مكون ال sign لهم لهدول الزاويتين متساويتين
إذا في حالة ما بدى أشوف أن ال function is not one
to one يعني بمجرد أني أطلع عليها بعرف أن ال
function is not one to one فكيف بدى أثبتها؟ بدى
أجيب بمثال يبقى اثبات ال function العكس أنها not
one to one يكفي أني أجيب مثل لكن إذا كنت أثبت أن
ال function is one to one بنفعش إلا غيربالتعريف
لأي يعني لأي عنصرين X1 و X2 عشوائية يبقى في هذه
الحالة it is enough here to give an example يبقى
في حالة أني بدي أثبت بدي أشوفها هي أو أنا عرفت
أنها هي one not one to one لكن بس بدي أثبته يكفي
أني أجيب مثل فبقولنا أي زاوية مكملتها هم غير
متساويتين لكن ال sign لهم متساوي لهدول الزاويتين
اللي يساوي واحد على جدد اتنين وبالتالي ال F is not
one to oneمثلًا مثل آخر show whether f of x تساوي
ثلاثة ماخص اتنين x تربيع نشوف هل هي one to one ولا
لأ؟ طبعًا بمجرد النظر بنلاحظ على انه فيها ان x
تربيع اذا عوضت بعدد سالب او عوضت بعدد موجب بيطلعوا
زي بعض، اذا ممكن اجيب عناصر كثيرة وماينطبقش عليها
ال definition، يبقى برضه في هذه الحالة يكفي ان انا
اجيب مثالوأي مثال ممكن نجيبه مثلا ناقص واحد لا
تساوي واحد لكن f of سالب واحد تساوي واحد اللي هي
نفسها f of واحد بالتعويض هنا لأنها صورة الواحد
وصورة السالب واحد زي معرفة إذا ال function f is
not one to one طيب هذه طريقة إذا هذه التعريف نثبت
أن ال function one to one أو not one to one
باستخدام التعريف طب في هنا طريقة تانيةلإثبات أنها
ليست one-to-one أو one-to-one اللي بيسموها
الـhorizontal line test اللي هو اختبار الخط الأفقي
for one-to-one functions لو أخدنا أي function f of
x بتكون one-to-one if and only if يعني إذا وإذا
فقط the graph its graph يعني اللي هو رسمته
intersects each horizontal line at most onceرسم
المنحنة تبع الـ function بيقطع الـ horizontal line
بالكتير بنقطة واحدة يعني طبعا هذه الطريقة تستخدم
لل functions فقط اللي احنا نعرف نرسمها أما
function أنا ماعرفش أرسمها بستخدمش هذه الطريقة
يعني ال X تكيب مثلا نعرف نرسمها نروح رسمين
function X تكيب لأن أي خط أفقي لو رسمنا خطوط أفقية
كثيرة لهذه ال function كل الخطوط الأفقية تقطع ال
function بنقطة واحدة فقطوبالتالي على طول بقول الـ
function هذي is one to one مثلا مثال أخر الـ
function جدر ال X بنعرف نرسمها بنروح رسمين جدر ال
X لو اجيت رسمت أي خط أفقي أي خط أفقي بلاقي بيقطع
ال function بنقطة واحدة فقط فبهذه الحالة بنقول ان
ال function هذي is one to oneنجي للـ function x
تربيع الـ function x تربيع اللي هي رسمتها لو جيت
لخط أفقي بنلاقي ان الـ function a بترفق قطعها
بنقطتين طبعا هنا أي خط أفقي ماعدا هذا ماعدا الـ x
أكس يتقع بنقطة واحدة طبعا لو أبدا تكون الـ
function is not one to one يكفي خط واحد لكن إذا
كانت one to one لازم تكون كل الخطوط كل الخطوط
شايفين الـ x واحد وx اتنين أي أعداد تنتمي للدنيا
لكن في حالة none to one to one يكفي أن أجيب مثال
واحد فقط بتكون ال function is not one to one يبقى
يكفي هنا خط واحد لقيته بيقطع بأكثر من نقطة يبقى
طول بيقول ال function is not one to one وهي ال
sign المثال اللي أخدناه في باية على ستة و خمسة
باية على ستة أي زاوية مكملتها بياخد نفس القيمةلو
بدون الـ πايع 6 والخمسة بايع 6 يكفي أني أرسم الـ
sine و أجيب خط أفقي بنلاقي الخط الأفقي يقطع الـ
function بنقطتين يبقى بنقول الـ sine is not one to
one طبعا من 0 إلى πايع
مثال بقول use the graph of f to show that f is one
to one or not الـ function تبعتي piecewise
function معرفة على فترتين اتنين ناقص x تربيع و x
أقل وسوء واحد و x تربيع x أكبر من واحد يعني بنرسم
هذه الـ function x تربيع و بعدين نعكسها و بعدين
نعملها shift up اتنين ناقص x تربيع اللي هي لتحتها
الان لتحت و بعدين هادى بنعملها shift up اتنين يبقى
بتيجي اياش بالشكل هذا و بس لعند الواحد بدناش نكمله
لعند الواحد و بنوقف الان الأكبر من واحد X تربيع
طبعا ال X تربيع من هنا بتيجي X تربيع و بتطلع لفوق
طبعا هذا الجزء بدناش ياه فقط بدنا الجزء الأكبر من
واحد راح يكون بهذا الشكل الان بدناشوف هل هاد ال
function one to one ولا لا إذا كان وجدت خط واحد
فقط يقطع ال function بأكثر من نقطة بتكون not one
to oneالأن لو أتيت تعملت خط هنا، بنلاقي أنه يقطع
ال function بتلت نقاط، وبالتالي في هذه الحالة
بنقول not one to one طب ها، في عندنا خط هنا يقطعه
بنقطة واحدة، إيش معناه؟ لأ، مانفعش، لازم إذا كانت
one to one، لازم كل الخطوات تقطع بنقطة واحدة فقط،
لو لاقيت خط واحد يقطعه بأكثر من نقطة، بنقول أن ال
function is not one to one
هنا بقيت ال .. نجي هنا بقيت ال .. احنا حكينا كيف
نفلت one to one او لأ عن طريق التعريف عن طريق
الرسم نمر تلاتة عن طريق ان ال function increasing
او decreasing يعني لو كانت ال function increasing
فقط فقط تزيد بيهايعني الـ function هيش بس تزايدية
بتمشي هيك و بتضلها ماشية تزايدية الانها دي
التزايدية لو جيت أي خط أفقي يقطع بنقطة واحدة فقط
وبالتالي بتكون الـ function one to one طب لو كانت
تناقصية يعني تنقصية يعني بتمشي و بتضلها ماشية
تناقصية بتنقص بتنقص بتعودش تزيد مدام هي بس تناقصية
يبقى أي خط أفقي يقطع بنقطة واحدة فقط لكن لو كانت
تناقصية و بعدين تزايدية زي ال X تربيع ممكن تقطع
بأكتر من نقطة وبالتاليإذا كانت الـ function
increasing كمان هد على الرسم، كمان على الـ
definition برضه بتطلع نفس الشيء، إيش معنى
increasing؟ يعني بالـ definition تبع الـ calculus
F of X2 أكبر من X1 إذا كانت X2 أكبر من X1، يعني
أكبر بتظل أكبر بتكون increasing، و أكبر بتصير إذا
كانت هنا أكبر، أكبر، و هنا أقل، بتكون decreasing
إذا أكبر أو أقل في الحالتين أنه لا يساوي، لا يساوي
معناه ذلك أن ال function is one to one إذا ال
functions ال increasing و ال decreasing are one to
one إذا كانت طب ال function increasing و عودت رجعت
decreasing ممكن تكون one to one و ممكن لأ على حسب
الرسمة مثلا show that f of x تساوي x أز خمسة عارة
أربعة is one to one on its domainالان بنستخدم ال
increasing and decreasing بجيب f prime of x خمسة
على أربع x أصرابع، طبعا x أصرابع يعني الجدر الرابع
دائما موجب، و بالتالي f prime دائما موجبة، إذا ال
f تبعتي increasing for all x in its domain اللي هو
من صفر إلى مدني، إذا ال function تبعتي is one to
oneمثل آخر f of x تساوي ناقص tan x من ناقص بي على
2 إلى بي على 2 الان بنجيبها عن طريق ال derivative
ال increasing و ال decreasing بنقول f prime تساوي
تفاضل ال tan sec تربيع وهي السالب طبعا الsec تربيه
تربيه لأنها تربيح دائما موجبة وفيه أن سالب هنا
يبقى هذه سالبة دائما يعني ال function f is
decreasing يدن ال function f is one to one فالان
ملخص هذا الكلام كيف انا بدي اثبت one to oneبدي
أستخدم الفتوهات التالية أول إشي أني أنا أشوفها
increasing أو decreasing إذا كانت يا increasing أو
decreasing واحدة منهم على on its domain بتكون ال
function is one to one هذه أول طريقة بستخدمها يعني
أول ما ببدأ ببدأ بال increasing و decreasing لو
كانت مرات decreasing و مرات increasing مروح بشوف
يا بستخدم ال graph إذا كانت هي ال function سهل
رسمتها إذا كان صعب رسمتها بستخدمش ال graph مروح
برجع لل definition
فالان نرجع لهذه الصفحة اللي هي بدنا نحكي عن ال
inverse function الان خلصنا ال one to one وعرفنا
كيف نثبت ان ال function is one to one الان ال
function one to one هذه بتلزمنا ان نعرف ايش هي ال
inverse function ايش ال inverse function هي
الاقترانات المعكوسة معكوس مش مقلوب في اشي اسمه
مقلوب وفيه معكوس مقلوب يعني واحد على معكوس لأ
معكوس يعني ايش يعني باخد ال function ال function
بتاخد العنصر و بتوديلأ صورة ال inverse بتاخد
الصورة و بترجحها لل answer
لأن عشان تكون ال if inverse هذه موجودة لازم تكون
ال function تبعتي one to one يبقى بالأول support
that لازم شرط ضروري ان ال function if is one to
one ولقيت بنشوف ليش الشرط هذا on its domain D with
range R يعني ال domain تبعها D with range R ال
inverse function اللي بدنا نرمزها بالرمز if
inverse if ناقص واحد وما نرمزهاش if ناقص واحد او
if plus سالب واحدلأ هذه لفظة F inverse وليست أُسية
يعني هذه ليست أُس يعني هذه لا تساوي واحد على F
وإنما هي مجرد رمز لل F inverse إيش ال F inverse
تعريفها؟ تعالوا نشوف على الرسمة إذا كانت ال
function F بتاخد العماصر من المجموعة دي و بتوديها
للمجموعة R اللي هي ال range و المنموعة دي هي ال
domain هي domain ال F وهي range ال F و ال function
كانت one to one إيش يعني one to one؟يعني كل عنصر
بروح لصورة واحدة فقط كل عنصر لصورة واحدة كل عنصر
لصورة واحدة بهذا الشكل ف ال F inverse في هذه
الحالة بتبقى موجودة يعني ال F inverse إيش بتعمل؟
بتاخد العناصر من ال range من هنا و بتوديهم لمين؟
لل domain يعني بالعكس بتنشي بتاخد ال B و بترجعها
لل A ال F بتاخد ال A بتوديها ل B ال F inverse
بتاخد ال B بترجعها إيش؟ لل A و بترجعها لل A طيبما
هي ال F inverse؟ ممكن تاخد ال P و ترجعها لل A، ليش
شرط ال F انها تكون one to one؟ تعالوا نشوف ليش،
إذا كانت ال F مش one to one، إيش يعني مش one to
one؟ يعني ممكن أنصريين يكونوا لهم صورة واحدة فقط
يعني A1 مثلا و هذه A2 كلهم تكون صورتهم B فإذا كانت
الصورة B لأن F inverse بدها تاخد الـ B لوين
ترجعها؟ بدها ترجعها لأنصرين هذه و هذه طب بنفع يعني
F inverse في هذه الحالة هل بتكون function إذا كانت
أخدت الأنصر و رجعته إلى صورتين؟ بتبطل ال function،
بتصير فقط هي عبارة عن relationهي عبارة عن هلاقة
وليست اقتران لذلك عشان تكون اقتران لازم هذه لما
نرجحها نرجحها لعنصر واحد لما نرجحها لأكثر من عنصر
وبالتالي لازم ال function f تكون one to one إذا
كانت not one to one فتكون ال f inverse ممكن ما
تكونش function فقط هلاقة عشان تكون f inverse
function واحنا بدنا ياها function فبالتالي لازم ال
function f تبعتي تكون one to oneإذا ال F of A
تساوي B إذا ال F inverse تاخد ال B و بترجعها ل A
يعني F inverse of B يساوي A في هذه الحالة ال F
inverse ال domain تبعها هو عبارة عن ال range R ال
range تبع ال F و ال range تبع ال F inverse هو
domain ال F يعني بيبدلوا بعض ال domain و ال range
ال D و ال R لل F بيصير ال R هي ال domain لل FF
inverse و D هي ال range ل F inverse لو جينا نعمل
composite بين ال F inverse و F of X فال F بتاخد ال
X ل F of X فال F inverse بتاخد ال F of X و بترجح ل
X يبقى ال composite بينهم A هو X يبقى بنرجح في
النهاية A هش X نفس الاشي لو بدينا بال Y فال F
inverse بتاخد ال Y زي هنا بتاخد ال Yو بتوديها لمين
ل F inverse of Y ال F بتاخد هذا ال F inverse of Y
و بترجح لمين لهذا الأنصار المسمى Y ال F بتاخد ال X
و بتوديها ل F of X ال F inverse بتاخد ال F of X و
بترجعها لهذا اللي هو مين هذا ايش اسمه اسمه X طبعا
يبقى اي composite بين ال F inverse و ال F أو F
composite F inverse بتطلع اياش نفس ال answer Y
بترجع ل Y و ال X برجع ل X طبعا هنا X ال F بتاخد كل
ال X الموجودة في domainها و ال Y هي موجودة كل ال Y
الموجودة في ال domain تبع ال F inverse او ال range
تبع ال F
هذه الملاحظة قلناها و بعدين قلنا اللى هى ال
increasing و ال decreasing طبعا هنا ال increasing
و ال decreasing functions has inverse اى function
increasing يبقى فيه انها inverse اى function
decreasing فهي انها inverse لأن هم اصلا one to one
وبهك بنكون خلصنا الجزء الاول من section 7-1 بنكمله
في المدرس القادم ان شاء الله