بسم الله الرحمن الرحيم، المرة الماضية بدأنا فيها
تطبيقات على استخدام التكامل في حساب الحجوم، وأخذنا
على ذلك طريقتين، الطريقة الأولى كانت طريقة الـ disk
وهذا للمجسم المصمت، ثم أخذنا طريقة الـ washer، وهذا
للمجسم اللي فيه تجويف من الداخل، اليوم نأخذ الطريقة
الثالثة وهي طريقة القشرة الأسطوانية، يبقى
cylindrical shell قشرة أسطوانية، أعطيك مثال، هات
واحد يعطيني دفتره ويعطيني دفترك أشوف
الدفتر هذا لو عملناه على شكل أسطوانة بهذا الشكل
طبعًا يبقى إيه أسطوانة بهذا الشكل زي ما أنتم
شايفين الفكرة، ما الموضوع؟ بدي أجيب حجم المجسم اللي
قدامي هذه، فلو أخذت ورقة من ورق الدفتر يبقى
هذه الورقة تعتبر قشرة أسطوانية، القشرة الأسطوانية
لو جبت المساحة الجانبية لها، وكملت عليها، بيعطيني
مقدار الحجم، تبقى الأسطوانة داير مايدور
المساحة الجانبية للأسطوانة هو 2πr محيط
القاعدة اللي هو القطر في الارتفاع تبع
الأسطوانة الدائرية القائمة، يبقى 2πr هو
المساحة الجانبية للأسطوانة، بدي أكامل عليها، بيعطيني
إيه؟ بيعطيني جدّاش حجم المجسم أو الأسطوانة اللي
عندنا هذه، واضح؟ واضح، لأن هذه على الطبيعة بدنا نشوفها
من خلال الكلام اللي قدامنا هنا فضلًا، يبقى بنانية
الكلام اللي احنا كاتبينه volumes by cylindrical
shells الحجوم باستخدام القشر الأسطوانية
الـ Y تساوي F of X about the line X يساوي L X
يساوي L قد يكون محور Y وقد يكون خط موازي لمحور Y
لأن X يساوي رقم، تمام؟ سواء كان هذا الرقم موجب أو
سالب، بهم ليش؟ بهم إنه في عند دوران حوالي هذا
المحور، الـ volume V يساوي تكامل من A لـ B لـ 2π في
الارتفاع تبع الأسطوانة، 2πr نصف
قطر القشرة الأسطوانية، القاعدة تبعتها، r في
الارتفاع تبع مين؟ تبع الأسطوانة تمام؟ أو اختصر ما
قلت، أكامل إيه؟ ببساطة 2πx في الـ F of X DX
تعال نشوف هذا الكلام على الطبيعة، أنا عندي منحنى زي
ما أنتم شايفين، Y تساوي F of X وخليته أعلى محور X
ممكن يتقاطع مع المحور، وممكن ما يتقاطعش، يبقى أنا
جبت الـ general form الشكل العام، سواء تقاطع مع الـ x أو
لم يتقاطع، هذا المنحنى حصر لي مساحة، المساحة اللي
بينه وبين محور x اللي هي المساحة المظللة اللي
قدامنا هذه، ما لها هذه؟ هذه دارت حوالي الخط
الخط اللي عندنا هذا، يبقى هيجيني شكل في الناحية
التانية تمامًا زيها، وجيني بالشكل هذا تمام، يبقى هذا
المنحنى اللي هيجيني فوق بالشكل اللي عندنا هذًا، زي
اللي هناك بالضبط، والـ b اللي هناك هتيجيني b زيها
هنا بس بإشارة مين؟ سالب، والـ a اللي هناك هيجيني a
زيها بس بإشارة سالبة، هيجي هذه سالب a وسالب b، يبقى هذه
عند دورانها بدها ترسم لي محيط دائرة تمام؟ وهذه عند
دورانها كذلك بدها ترسم لي محيط دائرة، زي ما أنتم
شايفين بالشكل هذا، يبقى هذا الشكل المجسم الناتج من
الدوران، لسه ما اتكلمتش في الشلة، أنا أعطيتك شكل
المجسم، هذه الشجرة التانية كمان بتكون برضه مظللة زي
اللي هناك بالضبط تمامًا، يبقى هذا شكل المجسم الناتج
من الدوران، هذه اللي جوا هيك، هذه الصغيرة هذه بتكون
بالشكل هذه، يعني كأنه في تجويف، كويس؟ الآن المجسم
اللي يعني يسيبك من التجويف، المنطقة هذه داير مايدور
حواليها وكله مصمت، الآن بنروح نعمل cylindrical
shell، بدنا نأخذ مقطع، أو المقطع عادي على شكل
أسطوانة، يبقى بالعادة في الحالة هذه بعكس من ما كنا
نعمل المرة اللي فاتت في الـ disk، وكذلك في الـ
washer، بجرب نفسي، خط يقطع منطقة التكامل وعمودي على
محور الدوران، مظبوط؟ اليوم بدنا نعمل خط يقطع منطقة
التكامل وموازي لمحور الدوران، على عكس المرة اللي
فاتت، يبقى بدي أقول لو كان عندي هذا الخط بالشكل
اللي إنه هذا، والحظوظ شايفينه؟ تمام، يبقى هذه النقطة
عند دورانها بدها ترسم لمحيط دائرة، بدها تجي هيك
بالشكل اللي عندنا هذا، هذا هيك، وهذا بده يجيني
هيك، وهذا الخط الراسي هيه، ومن هنا بدها تعمل
لمحيط دائرة بالشكل اللي عندنا هنا تمام؟ طيب لو جيت
هذه نقطة الأصل على سبيل المثال، يبقى هذا البعد لحد
هنا جدّاش؟ بده يكون x يعني x، البعد من نقطة الأصل هذه
لغاية النقطة هذه، يبقى هذا هو x، شايفين الأسطوانة
الخضراء هذه؟ الأسطوانة الخضراء هذه اللي هي الـ shell زي ما
وريتكوا توي، سحيت إحدى الورقات من الدفتر اللي
عملناه على شكل أسطوانة، يبقى الخضراء هذه هو الـ
cylindrical shell القشرة الأسطوانية، بدي أجيب قدّاش
المساحة الجانبية لها، هذا نصف القطر قدّاش؟ x،
المساحة الجانبية 2πr، يبقى 2π في x في من؟
في الارتفاع، الارتفاع هو F of X هذا، صحيح ولا لأ؟
يبقى هذا هو الارتفاع اللي عندنا اللي هو F of X،
يبقى هذا بيعطينا المساحة الجانبية للوسط، وأنا من
هنا قلنا الـ volume يبدو يساوي تكامل 2πx في F
of X DX، إن كاملت عليها بطلع لي قدّاش حجم المجسم المصمت
داير مايدور اللي عندنا هذا، يبقى واضح شكل الـ
cylindrical shell هذا، لو كان التكامل بالنسبة لـ x
يبقى هنا بفرج عن المرتين الماضيتين، إن المقطع اللي
هو الخط المستقيم اللي بنرسمه، بدل ما كنا نرسمه
عمودي على محور الدوران، اليوم نرسمه موازن لمحور
الدوران، هذا الخط الموجود هو F of x
هذا الدوران حوالي الخط يكون محور Y أو موازي لمحور
Y، ممكن يكون الدوران حوالي الخط موازي لمحور X تمام؟
يبقى في هذه الحالة يصير التكامل بالنسبة لـ Y، يبقى يصير
التكامل 2πy F of Y Dy، طبعًا هذه كاملة على
الشجرتين كيف هذه وكيف هذه، يبقى الفكرة في الأساس بس
تعرف اللي هو شكل النص في القطر تبع الـ cylindrical
shell وتعرف الارتفاع، ضروري كل مرة ارسم ومرة ارسم
هذا؟ لا مش ضروري، بس ارسم لي منطقة التكامل، ارسم لي
خط موازي لمحور الدوران، وحدد قدّاش بقى الطرف الخط عن
المركز اللي عندك بيكون هذا هو نصف القطر، والخط اللي
رسمته بيكون هو الـ shell height هو الارتفاع أو الارتفاع
الجانبي للقصانة، بعد هيك حدود التكامل ممكن تكون
محددة عندك، ممكن أنت بدك تحددها من حال مستقيمات مع
منحنيات أو منحنيات مع بعضها لبعض، كما سنراه بعد
قليل، هذا كل جزء النظر اللي موجود في هذا الـ section
بس الكلمتين اللي قدامك على اللوحة دول، حدا اللي هو
أي تساؤل، طيب نبدأ في الأمثلة، نجي لأول مثال على هذا
الموضوع، يبقى examples
أول مثال من هذه اللي ألمتله بوليفي، الـ volume of
the solid، find the volume of the solid generated
by
revolving
Generated by the region revolving
the
region
between the
region
بين اثنين، bounded والمغلقة
بيه by the curves المنحنيات، Y تساوي X تربيع، و Y
يساوي 2 ناقص X، and X تساوي زيرو، for X greater
than or equal to zero about the Y axis
خلّينا نرسم المنطقة
المحدودة بالمنحنيات اللي عندنا، نقول المنحنى
الأولاني، Y تساوي X تربيع، إذا لو جيت رسمت هذا
المنحنى، هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة الأصل، يبقى
هذا Y تساوي X تربيع، بعدها قال الخط المستقيم Y يساوي
2 ناقص x، إذا لو كانت الـ x بـ 0، y يبقى دي إيش؟
بـ 2، يبقى هذه 2، وإذا كان الـ y بـ 0، و x
بـ 2، يبقى بـ 2، هذه الـ 2 اللي عندنا هذه، يبقى
هذه كمان 2، يبقى هتان النقطتان تقعان على الخط
المستقيم اللي عندنا، يبقى أروح نرسمنا هذا الخط
المستقيم بالشكل هذا دوام، يبقى هذا هو الخط المستقيم
يبقى هاي المنطقة اللي موجودة وين؟ اللي موجودة أنا
يبقى باقي المنحنى هذا كله مش لازم، ليه؟ المهم هاي
المنحنى رسمناها، وهذا الخط اللي همين Y يساوي 2
ناقص x، هاي المنطقة المظللة، المنطقة المظللة اللي
بدها تدور حوالي مين؟ أو للمحور Y، إذا أنا بادر
أرسم خط يقطع منطقة التكامل وموازٍ لمحور Y، يبقى
بالدقة أقول له هذا خط يقطع منطقة التكامل وموازٍ
لمحور Y، النقطة هذه نصف
القطر، يعني لو جيت من هنا رسمت نصف دائرة بيكون هذا
هو نصف قطر الدائرة، طب والارتفاع تبع الدائرة؟ الجزء
اللي في المنطقة المظللة، للي تحت ما له دعوة تمام؟
إذا أنا بدي أعرف قدّاش هذا طول الخط الأخضر قدّاش؟
2 ناقص x، 2 ناقص x اللي هو بُعد الخط
اللي عندنا هذا عن محور x، بدي أشيل هذا البعد هذا
البعد قدّاش؟ هذا الخط أو هذا الجزء هو عبارة عن
2 ناقص X ناقص X تربيع، يبقى هذا هو الذي يمثل
عندي هنا main الـ F of X اللي هو الارتفاع تبع من؟
تبع الأسطوانة أو تبع الـ cylindrical shell يبقى
كويس، يبقى بدي أكامل بالنسبة لـ x، إذا بدي أعرف x
ستتغير من وين لوين؟ طبعًا x ستتغير من 0 لغاية آخر
نقطة هنا، آخر نقطة هنا قدّاش؟ أنا مش عارف، بنحل معادلة
الخط المستقيم مع مين؟ مع منحنى الـ parabola Y تساوي
X تربيع
الشباب، لو كملت هذا هيك، بدي يحصل تقابل عن مين؟ سالب
2 ما لي دعوة فيها، هذه برا المنطقة، يبقى أنا
عندي بس x يساوي قدّاش؟ 1، إذا بدي أجي أقول له الـ
volume V بدي يساوي تكامل من 0 لـ 1 لـ 2πx
في الـ F of X، F of X الارتفاع اللي هو البعد هذا
اللي هو ما هو اللي هو الـ 2 ناقص x، 2 ناقص x
ناقص X تربيع، كله بالنسبة لمين؟ لـ x، أو هذا 2
π برا تكامل من 0 لـ 1 لـ 2x ناقص X
تربيع ناقص X تكعيب، كله بالنسبة إلى DX، النتيجة
تساوي 2π هيها برا، وتكامل هذا اللي هو x
تربيع على 2 مع الـ 2 الله يسهل عليها، ناقص x
تكعيب على 3، ناقص x أس 4 على 4، كله من
أندي الـ 0 لغاية الـ 1، يبقى يساوي 2π
ناقص 1/3 ناقص 1/4 ناقص كل الباقي بقدّاش؟ بـ 0، هذا
محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero Y
تساوي جذر الـ X يا ما رسمناه خلال الفصل هذا كله
بيُعرف رسمه يبقى هذا Y تساوي جذر الـ X بعد ذلك يقول
لي Y تساوي زيرو Y تساوي زيرو هو ميان محور X Y
تساوي زيرو هو محور X بعد ذلك قال لي الخط Y تساوي X
ناقص اثنين بحدد النقطتين عليه و بوصل فيه ما بينهما
لو كانت الـ X بزيرو فـ Y بسالب اثنين يبقى I سالب
اثنين لو كانت Y بزيرو X باثنين يبقى أنا من اثنين
بيأتي بوصل فيما بينهما و بمد الخط على استقامته
يبقى الآن المنطقة اللي احنا بدنا إياها هي هذه المنطقة
والباقي كله مش لازم لي تمام؟ طيب، هذه المنطقة بدها
دور حوالين مين؟ حوالين محور X، بدي أروح أهلي
بالـ Cylindrical Shell، مش بالواشرة، يبقى موضوعنا
الـ Cylindrical Shell، يبقى بدأ أروح أرسم خط يقطع
هذه المنطقة ومواز لمحور الدوران يبقى باجي بقول لو
جيت أخد هذا الخط الأفقي، الشكل أن هذا، قطع منطقة
التكامل ومواز لمحور الدوران، يبقى هذا يُعتبر
ارتفاع الـ Cylindrical Shell، مظبوط؟ بدي نصف القطر،
يبقى باجي بنزل عمود من هنا، بيكون هذا نصف القطر
طيب، هنا التكامل بيكون على عكس اللي جابله، اللي
جابله كاملة بالنسبة لمن؟ هنا بيكامل بالنسبة إلى Y،
إذا هذا البعد لو جيت Goal taken أفقي، هذا Y،
الارتفاع Y يبقى بيكون نصف القطر، هذا هو Y يبقى طول
اللي عندي أعرف قد إيش الطول اللي عندنا هذا بدلالة
مين؟ بدلالة Y هذا Y تساوي جذر الـ X يعني X يساوي Y
تربيع يبقى X يساوي Y تربيع اللي هو مين الجزء المنقطة
اللي عندنا هذا مصبوغ يبقى هذا الجزء فقط هو X يساوي
Y تربيع ربعنا الطرفين اللي هنا هذا الخط اللي هو
معادلته كانت إيش كانت Y تساوي X ناقص اثنين أو X
يساوي Y زائد اثنين طبعًا إذا أنا باجي بقول البعد
الكبير ناقص البعد الصغير يبقى هذا الطول يمثل البعد
هذا كله لـ Y زائد اثنين ناقص البعد هذا اللي هو Y
تربيع، ضالت عند الـ Y ستتغير من عند Zero لعند ابصر
قد إيش، لحد هنا تمام؟ يبقى بدي أعرف قد إيش الإحداثيات تبع
Y هذا، مشان هيك بروح أحل المعادلة هذه بالنسبة لمين
إلى Y هذه النقطة تقع وين؟ على المنحنيين يبقى بدي
أروح أسوي المعادلتين ببعض اللي هو Y تربيع يساوي Y
زائد اثنين أو بمعنى آخر لو عملت معادلة صفرية بيصير
Y تربيع ناقص Y ناقص اثنين بدي يساوي قد إيش Zero أو لو
حللتها بأقواس بالشكل هذا بدي يساوي Zero يبقى هاي Y
هذا واي واي واحد وهذا اثنين وهذا ناقص وهذا زائد
زائد واي وناقص اثنين واي بناقص واي يبقى تحليلنا
سليم مائة بالمائة يبقى بناءً على هدف يعطينا أن واي
تساوي سالب واحد والواي تساوي قد إيش اثنين إيش رأيك
في واي تساوي سالب واحد؟ مرفوض أو لا؟ هذا لو كملت
هكذا كملت المنحنى و بدأت تقاطعني و تساوي سالب واحد ما ليش
علاقة فيها يبقى Y تساوي اثنين اللي هو البعد اللي
عندنا هذا يبقى بدي يصير التكامل عندي من Zero لغاية
قد إيش اثنين طيب هذه لو كانت Y تساوي اثنين يبقى الـ X
تساوي قد إيش
أربعة يبقى النقطة هذه اللي إحداثيات تبعها اللي هو
أربعة واثنين طبعًا كيف أربعة واثنين؟ شو المنحنى
هذا؟ يبقى X بقد إيش؟ أربعة بتتربع الطرفين. وين
اثنين؟ هذا اثنين البعد الأفقي يا رجل. هذا البعد
رأسي. مش إحنا طلعنا Y باثنين، حط فيه أي معادلة
بدك إياها، حط Y باثنين، بصير X بأربعة، حط Y باثنين،
بصير X بأربعة، لأن النقطة تقع على المنحنيين، بتحقق
كل منهما، إذا إنت الـ volume V، بده يساوي تكامل من
Zero لغاية قد إيش؟ لغاية اثنين، للاثنين by one في نصف
القطر اللي عندنا هذا نصف القطر اللي عندنا وهو Y زي
ما هو اثنين ناقص اللي هو مين هذا هذا Y زي ما هو اثنين
ناقص Y تربيع يبقى في Y زي ما هو اثنين ناقص Y تربيع كل
هذا الكلام بالنسبة لمين؟ له دي Y يبقى الـ volume V
يبقى يساوي 2π برا تكامل من 0 لغاية 2 يدخل الـ Y جوا
يبقى Y تربيع زائد 2Y ناقص Y تكعيب كله بالنسبة
لمين؟ لـ DY يبقى هذا الكلام يساوي 2π VY تكعيب على
ثلاثة زائد Y تربيع اثنين مع اثنين مع السلامة Y
أربعة على أربعة من Zero لغاية اثنين يساوي اثنين باي
برا يبقى ثمانية
على ثلاثة زائد أربعة ناقص ستة عشر على أربعة أربعة
مع أربعة بصير يبقى هذا ستة عشر باي على ثلاثة هذا
الحجمين حجم هذه المنطقة
ما رأيك تجي هنا على اللوحة نشوفك شوية إيه اللي حد
تعالي شو؟ عالي بالكوا يمكن نجاوب على بعض أسئلتكوا
آه تفضل أنا
بكامل بالنسبة لـ .. أنا بكامل بالنسبة لـ Y لو بالنسبة
لـ X طيب أنت من الصفر اللي هو أربعة ليه X؟ ما لك؟ طيب
اضحكوا زيه لأ لو كان لو الـ .. لو الـ قصد من Y تساوي
من X لو كانتش فـلال Y جذر الـ X أبسوليوت الـ X
أبسوليوت فـلال X طيب هتكون على الجهتين؟ كيف حالك
أنت بصيا بصيك الدورة .. استنى شوية بصيك الدورة
حواليها نفسها مش إيه؟ آه آه لأن على يمين محورها
زيها ما جبتش جديد طيب
نعطي كمان مثال
مثال ثلاثة ثلاثة
هي سؤال تسعة و عشرين من الكتاب يقول احصل على كمية
المجسم احصل على كمية المجسم
نحتاج حجم المجسم
تُحَل المنطقة المنطقة
مجموعة من مجموعة
من Y تساوي X و Y تساوي X تربيع
the y axis حوالي المحور y by using باستخدام
نمرا a the shell method نمرا b the washer method
قلناها برسمها
سؤال مرة ثانية بيقول هات الحجم المجسم المتولد من
دوران المنطقة المحدودة بالخط Y تساوي X بالمنحنى Y
تساوي X تربيع والدوران حوالين محور Y بطريقتين
الطريقة اللي هو طريقة shell method اللي طريقتنا
قبل قليل والثانية الـ washer method طريقتنا اللي هو
يوم أمس الأول
بنرسم وبعد ذلك بيصير خير يبقى هذا محور X هذا محور
Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero في أن المنحنى Y
تساوي X تربيع يبقى Y تساوي X تربيع المنحنى هتجيك
هيك
الخط الثاني Y تساوي X يبقى Y تساوي X اللي هو الخط
اللي عندنا هذا يبقى هذا Y تساوي X هذا Y تساوي X
تربيع حصروا المنطقة فيما بينهم اللي المنطقة
المظللة دي هذه المنطقة المظللة لابدها تدور حوالين
محور Y تمام؟ مدام بدها تدور حوالين محور Y يبقى
إحنا بدنا نروح نرسم خط يقطع منطقة التكامل ومواز
لمحور Y يبقى لو جيت من هنا رسمت خط موازي لمحور Y
ويقطع منطقة التكامل يبقى هذا يُعتبر الارتفاع
الجانبي للـ cylindrical shell بدي أعرف قد إيش طول
الخط الأخضر هذا بقوله تمام من هنا لهنا هذا Y تساوي
X ومن هنا لهنا هذا Y تساوي X تربيع، إذا هذا الخط
يكون الفرق بينهم اللي هو مين؟ X ناقص X تربيع، هذا
البعد، هذا البعد بيكون X نصف قطر من اللي هو
cylindrical shell بدل الـ X ستتغير من Zero لغاية
ابصر قد إيش يبقى بدي أعرف هنا آخر حاجة لذلك بدي أحل
المعادلتين هدول مع بعضهم يبقى أنا عندي Y تساوي X
تربيع وعندي Y تساوي X يبقى هذه ها بقدر أقول X
تربيع ناقص X يساوي Zero أو لو أخدت X عامل مشترك
بصير X ناقص واحد يساوي Zero يبقى X يساوي Zero و X
يساوي واحد يبقى نقطة التقاطع الأولى عند الـ 0 ونقطة
التقاطع الثانية عند الـ 1 يبقى بصير الـ Volume V بدي
يساوي تكامل من 0 لغاية 1 للاثنين باي X في الـ F of X
اللي همّان X ناقص X تربيع
يبقى X ناقص X تربيع كل هذا الكلام بالنسبة لمين؟
إلى DX يبقى هذا الكلام بيساوي 2π تكامل من 0 ل 1 لل X
تربيع ناقص X تكعيب كله بالنسبة إلى DX يبقى 2π وهذه
عبارة عن X تكعيب على 3
نرجع لسؤالنا هذا مرة ثانية وهو آخر مثال في هذا ال
section قال هات لي حجم المجسم المتولد من دوران
المنطقة المحصورة بالمنحنى Y يساوي 2X ناقص X تربيع
والخط المستقيم Y تساوي X والدوران بدي يكون مرة
حوالين محور Y ومرة حوالين خط مواز لمحور Y اللي همّان
X يساوي Y نعود للخط المستقيم Y تساوي X نعود لهذا
المنحنى هذا المنحنى طبعًا parabola أنه Y دالة في X و
X من الدرجة الثانية يبقى parabola بس معمولة لها
Shift إذا بدي أعرف وين الـ vertex بالضبط تبع هذه ال
parabola إذا بتروح تعمل إكمال للمربع يبقى هذه لو
جيت قلت Y تساوي بدنا نكمّل مربع يعني قد إيش نضيف و
نطرح أربعة ولا واحد يعني أنت بتحذر تحذير طيب مشان
تعرف قد إيش وما حدش يولد تاني برنامج نضيف مربع معامل
X على أربعة أمثال معامل X تربيع
بقول مربع معامل X قد إيش؟ أربعة أربعة أمثال معامل X
تربيع أربعة في واحد تمام؟ أما هو واحد جد وارمى
أربعة يبقى أربعة على أربعة في قد إيش؟ يبقى بضيف واحد
وبطرح واحد يبقى هذا Y بدي يساوي واحد ناقص واحد
زائد اثنين X ناقص X تربيع هذا بدي أكتبه بالشكل اللي
أنه هذا هذا الـ Y ناقص واحد هذا كله بدي أخد منه
ناقص عامل مشترك مضروب X تربيع يعني ناقص اثنين X
زائد واحد هذا معناه أن Y ناقص واحد يساوي الناقص X
ناقص واحد الكل تربيع يبقى هذه parabola والـ vertex
واحد وواحد يبقى هذه parabola open Down ولا Up؟
Down بسبب الإشارة السالبة يبقى open down with
vertex
يبقى H و K يبقى واحد وواحد يبقى لو جيت قلت هذه
القيمة اللي عندنا واحد وجيت طالع هنا هذه واحد
يبقى إحداثيات النقطة هذه واحد وواحد يبقى واحد وواحد
تقع على الخط المستقيم وفي نفس الوقت
السؤال هو هل الـ parabola تمر بنقطة الأصل؟ نعم ليش؟
أن لو حطيت الـ X بـ Zero و Y بـ Zero يبقى الـ parabola
هذه لو جيت رسمتها هتأخذ الشكل التالي الشكل اللي
عندنا هذا هيك يبقى هذا الـ parabola يبقى المنطقة
اللي محصورة فيما بينهما للمنطقة هذه تمام؟ يبقى من
هنا بدأنا الحل نمر أيه؟ الدوران يكون حوالين محور Y
جل المطلوب الأول يبقى بدرجة أرسم خط يقطع منطقة
هذا البعد كله X لأن هذه نقطة الأصل هي Zero الدوران
حوالين محور Y حوالين للخط X يساوي واحد يبقى أين
نصف القطر؟ واحد ناقص X ممتاز هذه المسافة كلها وهذا
هو نصف القطر تمام؟ يبقى هذا 1-X كويس يبقى
بدي يصير ال Volume دي بدي يساوي تكامل من 0 لاثنين by
واحد ناقص X هذا اللي هو نصف القطر فاهمين؟ فيه؟
الـ Height هذا الارتفاع هل اختلف عن الارتفاع اللي
هناك؟ هو هو يبقى 2X-X تربيع يبقى 2X-X
تربيع ناقص X الكل بالنسبة ل X والـ X ستتغير من Zero
لغاية واحد كما هي يبقى النتيجة تساوي أي 2π و
أي تكامل من zero لغاية واحد وهنا 1-x
فاهمين؟ في الـ (2x-x²) الكل بالنسبة الى dx
هذا الكلام يساوي 2π تكامل من zero ل1 يبقى
2x -x² -x² +x³ الكل
بالنسبة الى DX يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π
تكامل من Zero لغاية 1 dx ما فيش غيرها ونقص 2x
تربيع + X تكعيب الكل بالنسبة الى من؟ الى DX
يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π x تربيع على
2 - 2/3 x تكعيب أو هنا + x أس 4
على 4 من زيرو لغاية 1 يبقى هذا الكلام بده
يساوي 2π في (1/2 - 1/3 + 1/4) كيف؟ اه
2/3 هذا ولا يما يبقى 1/2 - 2/3 زي 1/4 في
2π يبقى هذا الكلام بده يساوي 2π
المضاعف المشترك كله لهم له قداش 12 على 2 هي 6
في 1 ب 6 نقص 12 3 في 4 في 2 8 12 على 4 هي قداش 3
يبقى 3 أو 6 9 يبقى 2π في 1 على
12 يبقى π على 6 كذلك يبقى هذا الحجم اللي
موجود هنا لحد هنا stop انتهى هذا ال section اللي
هو 6.2 وعليكم أرقام المسائل
يبقى exercises 6.2 المسائل التالية من واحد
للاحداشر القد ومن 15 لتسعة وتلاتين القد كذلك
مين اللي قال ليس بالضرورة لأ لإن هاجر نضل على
الشجر نضل على الشجر تاني