بسم الله الرحمن الرحيم عدنا على بدء سابقا قبل
حوالي عشرة أيام أو ما يزيد كنا نتكلم عن رسم البني
للمنحنيات بنذكر تذكير كيف كنا نرسم هذه المنحنيات
بنعمل قدر خطوات، الخطوة الأولى بنشوف تقاطع المنحنى
مع المحاور الإحداثية عن طريق مرة نحط X بـ Zero نشوف
قداش قيمة Y، نحط Y بـ Zero نشوف قداش قيمة X وبالتالي
بنجيب نقاط تقاطع المنحنى مع محاور الإحداثيات.
ثانية، نجيب الـ Asymptotes، خطوط التقارب، مهمة للمنحنى
وخطوط التقارب لا تكون إلا لـ Function فيها بسط ومقام
يعني Rational Function زي مهمة زي الـ Function
بتعطينا هذه، يبقى هذه فيها فيها الـ Asymptotes يبقى
قبلنا نجيبها الـ Asymptotes بعد هيك بنجيب المشتقة
الأولى منها، بنحسب حاجتين الـ Local Maximum و الـ
Local Minimum و الـ Increasing و الـ Decreasing يعني
فترة التزايد وفترة التناقص، وكذلك موقع نهاية
العمودية المحلية بعد هيك بنروح نجيب المشتقة الثانية
ومنها بنجيب الـ Concave Up و الـ Concave Down
الانحناء إلى أسفل والانحناء إلى أعلى أو التقوس إلى
أعلى والتقوس إلى أسفل، وكذلك بنجيب الـ Inflection
Points إن موجودة بعد هيك بنروح نرسم الرسم اللي لنا
من خلال المعلومات التي حصلنا عليها، هيك كنا بنعمل
يبقى لازلنا بنعمل نفس التكتيك وهي مثال بين يدينا
بقول لي ارسم اللي هو المنحنى اللي عندنا هذه، باجي
بقول له X لا يساوي اثنين، يبقى ساوي أقل والله ما جاليش
أنا بقول له الدالة غير معرفة إن X يساوي اثنين، يبقى
الخطوة الأولى بأن نشوف نقاط التقاطع مع محوري
الإحداثيات، يبقى بده أحط X بـ Zero يبقى باجي بقول له لو
كانت الـ X تساوي Zero، Y يساوي ناقص ثلاثة على ناقص
اثنين، ويساوي ثلاثة على اثنين، ويساوي ناقص
ثلاثة على ناقص اثنين، ويساوي ناقص ثلاثة على ناقص
اثنين، ويساوي ناقص ثلاثة على ناقص اثنين، ويساوي
ناقص ثلاثة على ناقص اثنين، ويساوي ناقص ثلاثة على
ناقص اثنين، ويساوي ناقص ثلاثة على ناقص اثنين، و
يساوي ناقص ثلاثة على ناقص اثنين، ويساوي ناقص ثلاثة
على ناقص اثنين، و of intersections with the
coordinate axes
R
النقطة الأولى وانتهينا
من الخطوة الأولى، بدنا نروح للخطوة الثانية بفضل من
حد ما نشوف المعادلة لأن بصف مقام،درجة البسط أكبر من
أو تساوي درجة المقام، أنه نقسم قسمة مطولة، يبقى
بتروح تقسم الـ X تربيع ناقص ثلاثة تقسيم الـ X ناقص
اثنين، فيها الـ X بـ X تربيع ناقص اثنين X، زاد بيصير
ناقص بيصير زاد، بتروح هادي بظل 2X ناقص ثلاثة الباقي
من الدرجة الأولى، والمقسوم عليه من الدرجة الأولى
بواصل عملية القسمة، يبقى 2X على X فيها قداش فيها
ليه اثنين، بـ 2X ناقص أربعة زاد بيصير ناقص وهاد زاد
بظل هنا قداش واحد؟ إذاً الدالة اللي عندنا Y تساوي X
تربيع ناقص ثلاثة على X ناقص اثنين، يساوي خارج القسمة
هو X زائد اثنين، الباقي هو واحد لسه بدي أجسمه على X
ناقص اثنين، طبعا خارج القسمة هذا هو دالة خطية، يبقى هذا
بدي يكون Main هو الـ Oblique Asymptote، يبقى بعدي
بقول له Y تساوي X زائد اثنين هذا Is The Oblique
Asymptote
هل هالدالة معرفة عن X يساوي 2؟ لأ، يبقى في احتمال
قوي جداً إن يكون هذا Vertical Asymptote، مشان هيك
بتروح آخذ الـ Limit لما الـ X بدي أروح للـ 2 من جهة
اليمين أو من جهة اليسار، يبقى بدي آخذ Limit لما الـ X
بدي يروح للـ اثنين مثلاً من جهتي اليسار، لمن؟ للـ X
زائد اثنين زائد واحد على X ناقص اثنين بدي أشوف كده
الشهادة بدها تعطينا الجواب كالتالي، تعويض مباشر
اثنين زائد اثنين زائد واحد على، أنا رايح للـ اثنين من
جهة الشمال، يعني أقل من اثنين بحاجة بسيطة جداً، يبقى
المقام هذا بيكون Very Small Negative Quantity، يبقى
Very Small Negative Quantity، يبقى الجواب أربعة
ناقص Infinity، يبقى الجواب ناقص Infinity، بالمثل أنت
بدك تروح تشوف في الـ Asymptote الثاني والله بس أنا
إحنا هيك يكفينا لكن إنت لو روحت شييت لي هيك مش غلط
آخذت الـ Limit لمن؟ لما الـ X بدي يروح للـ اثنين من
جهة اليمين، للـ X زائد اثنين زائد واحد على X نقص
اثنين حتى تلاقيه يبقى يساوي كده؟ Infinity يبقى
بناء عليه الـ X يساوي اثنين هذا Main Is A Vertical
Asymptote
تمام، يبقى هيك خلصنا للـ Asymptotes، بدنا نيجي لمين؟
للاشتقاق ونشوف الـ Increasing و الـ Decreasing و الـ
Local Maximum و الـ Local Minimum، إذا بدنا نيجي
نقول له الـ F of X عندنا اللي هي مين؟ X زائد 2 زائد 1
على X ناقص 2 بدنا نشتقها، يبقى الـ F Prime of X
تساوي 1، مشتقة 2 بـ 0، سالب 1 X ناقص 2 لكل تربيع، ممكن
أخليها بالشكل هذا، وممكن أحطها بشكل آخر مشان أُحدد
اللي هو اللي وين بتاخد قيم موجبة، وين بتاخد قيم
سالبة، فلو جيت وحطيها كل المقامات بصير X ناقص اثنين
لكل تربيع بـ X ناقص اثنين لكل تربيع ناقص واحد، X ناقص
اثنين لكل تربيع بدأت فك تبعت البسط، لأن هذه، يبقى هذه
لو فكتها بتبقى على الشكل التالي، X تربيع ناقص أربعة
X زائد أربعة ناقص واحد، بناء عليها أصبحت الـ F Prime
of X اما بالشكل اللي عندنا هذا، أما بالشكل الجديد
الشكل الجديد هو X تربيع ناقص أربعة X زائد ثلاثة، X
ناقص اثنين لكل تربيع، هذه لو جيتها حللت هيبقى X
ناقص واحد، X ناقص ثلاثة، X ناقص اثنين لكل تربيع،
بالشكل اللي عندنا هذاهذا جيد، يبقى أسعار الـ F Prime
لها شكل، الشكل الأول هي اللي فوق، والشكل الثاني اللي
منه تحت، طبعا اللي تحت سهل جدا منه أُحدد إشارة
المشتقة الأولى، يبقى لو جيت آخذ إشارة X ناقص واحد
أقول هذا الـ Real Line وهذا النقطة بياخد الـ Zero
تبقى عند X يساوي واحد، بعد الواحد كلها Positive زي
ما إنت شايف، وقبله إيه؟ Negative لو جيت آخذ إشارة
الـ X ناقص ثلاثة، هذا الـ Real Line وبيأخذ الـ Zero
تبع وين؟ عندي التلاتة بعد التلاتة Positive وقبل
التلاتة كله Negative، طبعا بدي أروح آجي آخذ إشارة الـ
X ناقص اثنين لكل تربيع، بتاخد الـ Zero تبعها عند
اثنين، بعد اثنين Positive وقبل اثنين Positive
لأنها كمية مربعة، فيبدأ إشارة المقدار ككل، X ناقص
واحد في X ناقص ثلاثة على X ناقص اثنين لكل تربيع،
وهذا الـ Real Line وهي التلاتة وهي اثنين وهي الواحد
اثنين تلاتة، موجبة سالبة سالبة موجبة، يبقى ده اللي هنا
كانت Increasing صارت Decreasing بقيت Decreasing
صارت Increasing بالشكل اللي عندنا هذا، فبعدين بقول
الـ F Is Increasing ده التزايدية على الفترة من إن
من سالب Infinity لغاية مين؟ الواحد
على الفترة الثانية من عند تلاتة لغاية Infinity الآن
الـ F Is Decreasing ده التناقصية On الفترة من عند
الواحد لغاية اثنين كفترة مفتوحة مفتوحة ليش؟ لأن ده
لغير معرفة عند اثنين And On اثنين لغاية تلاتة و
مغلقة من عند اثنين، من عند التلاتة طبعا واضح إن عندي
الواحد فيه Local وعندي التلاتة فيه Local واثنين
ما فيش لإنه ظلت نازلة وظلت نازلة، طيب بدنا نروح نجيب
له F of واحد اللي هو واحد تربيع ناقص تلاتة على
واحد ناقص اثنين، ويساوي ناقص اثنين على ناقص واحد،
يساوي قداش؟ اثنين، بنجيب له F of تلاتة اللي هو بده
يساوي تلاتة تربيع ناقص تلاتة على تلاتة ناقص اثنين
ويساوي كده إيش؟ ستة، إذا من هذا الكلام بنقول الـ F Has
Local Maximum اثنين At X تساوي واحد And Local
Minimum And Local Minimum ستة At X تساوي تلاتة مش
هتروح تستغرب وتقول الـ Local Maximum اثنين و الـ
Local Minimum ستة، لا غرابة في ذلك وزي ما هنشوف
الآن من خلال الـ Main من خلال الرسم، خلصنا قصة
المشتقة الأولى، بدنا نروح لمين؟ للمشتقة الثانية،
بدنا نروح للـ F Double Prime of X، مين أسهل؟ نشتق
اللي في المربع هذه ولا اللي تحت؟ اللي في المربع
السالي كتير، يبقى مشتقة الواحد بـ Zero ومشتقة هذا بـ
سالب سالب اثنين على المقدار تكعيب، يعني اثنين على
X ناقص اثنين لكل تكعيب،
يبقى هذا المشتقة الثانية مباشرة، طيب لو قلت هذه
تساوي Zero فهي لها حل يعني اثنين تساوي Zero ممكن
يبقى ما فيش إمكانية، طيب المشتقة الثانية غير معرفة وين؟
عند اثنين، في عند اثنين Inflection Point، بنشوف إذا
الدالة متصلة ولا لا، وفي Concavity ولا لا، واضح إنه
عند اثنين الدالة غير، إذا ليه يمكن تبقى الاثنين
Inflection Point على الإطلاق، إذا بدنا نروح آخذ إشارة
الاثنين طبعا موجبة على طول الخط ما عندي مشكلة، يبقى
المشكلة في إشارة مين؟ X ناقص اثنين، يبقى بده يكون
يقول له إشارة الاثنين على X ناقص اثنين لكل تكعيب،
ويقول له هذا الرقم اللي هو الاثنين، إذا لو جيت بعد
اثنين زي تلاتة مثلاً، بس يقول البنجو سين هذا ماله
موجب، واللي فوق موجب على موجب بموجب، لو جيت قبل
اثنين زي واحد، يبقى البنجو سين سالب، واحد تكعيب بسالب،
اثنين على كمية سالبة بكمية سالبة، يبقى اللي قبله
سالبة، يبقى Concave Down، هذه Concave Up، يبقى باجي
بقول له The Graph Is Concave Down على الفترة من
سالب Infinity لغاية اثنين، And Concave Up On الفترة
من اثنين لغاية Infinity، عند اثنين ما عنديش
Inflection Point لأن الدالة غير معرفة، No
Inflection Point
At X يساوي اثنين Because الـ F Is Discontinuous
At
تبقى الدالة مقتصرة عند هذه النقطة اثنين، اتدالة
تغير اتجاه الـ Concavity فعلاً غيرت اتجاه الـ Concavity
الآن من خلال المعلومات اللي عندنا، بناروح نرسم رسمة
هذه الـ Function، هذه الشجة كلها عندنا، بس تلت نقاط
للاثنين هدول اللي هو Zero وتلاتة على اثنين وسالب جدر
تلاتة و Zero وجدر تلاتة و Zero عن X يساوي اثنين
اللي هو Oblique Asymptote و X يساوي اثنين اللي هو
Vertical Asymptote، يبقى من خلال هذه المعلومات التي
حصل عليها أن نروح نعرف ما هو شكل الرسم البياني
لهذه الدالة
لو إن هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي
Zero، قلت لك لما تيجي ترسم أول شغلة تروح ترسمها
ليه الـ Asymptote؟ يبقى أنا كان عندي أول Asymptote 170 00:16:4
هو أي تساؤل هنا؟ طيب، الحين هذا أو الأسئلة اللي
فاتت، هذا هذا السؤال والأسئلة السابقة كلها بلون
واحد، بدنا نحاول نعطيك سؤال بلون آخر يختلف عن شكل
المسائل السابقة كليًا، السؤال بيقول إيه؟ بيقول يرسم
للـ function، سؤال خمسة، أُرسم في الـ function f of x
بده يساوي الـ cosine الـ x زائد جذر ثلاثة sine الـ
x والـ x هذه أكبر من أو تساوي zero، هو أقل من أو
يساوي اثنين باي، طبعًا لو نظرت لهذا السؤال يختلف كليًا
عن المثال السابق في شكله، جاب الـ beginner يقول
polynomial يا إما rational function، polynomial في
البسط و polynomial في المقام، إذا هذا يختلف، نشوف
كيف نحل السؤال من هذا القبيل.
شوف يا زلمي، أنا بدي أقتصر الرسمة فقط على الـ
interval من صفر لغاية اثنين باي، يعني الـ period تبع
الـ sine ونفس الـ period تبع الـ cosine، بدي أعرف
ما هو شكل هذه الدالة، بنقوله بسيطة جدًا، إذا أنا بدي
أشوف من وين بدها تبدأ، بدل ما آخذ تقاطع منحنى مع
محور الإحداثيات بدي أشوف من وين بدها تبدأ، إذا لو جيت
أخذت F of Zero، يبقى F of Zero بده تساوي Cos Zero
زائد جذر ثلاثة Sine Zero، Sine Zero بـ Zero و Cos الصفر
يبقى دايسر بواحد، لو رحت قلت لك بدي آخذ كمان F of
اثنين باي، يبقى Cos اثنين باي زائد جذر ثلاثة Sine
اثنين باي، هذه Zero وهذه واحدة، يبقى واحد، معناته هذا
الكلام، the points النقاط اللي هي الـ zero واحد and
اثنين باي واحد، lie on the graph، هذا بدل أقول تقاطع
مع محور الإحداثيات، طبعًا الشغلة هذه الأولى جابت
لتقاطع مع محور Y، هذه الثانية بدأت تجيب لي وين
بينتهي المنحنى، لكن هذه وين بيبدأ المنحنى وهذه وين
بينتهي المنحنى، خلي التقاطع مع محور X نجيبه الآن
بطريقة ثانية، طب مشان هيك، إذا بدي أبدأ شغلي في عندي
حاجة اسمها قسمة تهيينة، لأ، يبقى قصة لو قسمت الصفة
على شجرة يبقى تروح لمين؟ للمشتقة، وشوف كيف بدي أحسبها.
إذا أنا بدي أجيب الـ F prime of X، مشتقة الـ cos بسالب
sin X زائد جذر ثلاثة في cos X، هذه ههه مش زي
المشتقات اللي فعلها تحط أجوز وتشوف شرط الجوز
الأول والثاني، واضرب أو اقسم، وتطلع الإشارات، هذه
صار فيها مشكلة، ما في عندها أجوز وما في عامل مشركة
وكذا بسيطة، بنسألك السؤال التالي، هل هناك نقطة هذه
المشتقة غير معرفة عندها على الفترة من Zero لإثنين
باي، لا من zero للاثنين باي ولا حتى لكل الـ real life
كلها معرفة على الكل، يبقى معها إن ده مشكلة فيها، ده
إذا المشكلة واجهتها دي، بدأت أساوي Zero، أبدأ أحط هذه
تساوي Zero وبأجي بأحل المعادلة هذه، إذا هذه لو نزلنا
الـ sin على الشجرة الثانية بصير إن الـ sin الـ x
بيساوي جذر ثلاثة في cosine الـ x، أقسم على cosine
بيصير sin على cosine، tan الـ x بيساوي جذر ثلاثة.
معنى هذا الكلام إن الـ X بتتساوي أبصر قد إيش، تعالَ
نسألك السؤال التالف الظل طلع قيمة موجب والله سالب.
آه موجب، آه الظل يكون موجب في أي الربع الأول
والرابع، إذا أنا عندي بدل الزاوية زاويتين، يعني عندي
نقطتين، الثاني عندهم بدي يساوي جداش جذر ثلاثة، يعني
المشتقة بدها تساوي جداش وإن المشتقة هي المشتقة هي
المشتقة هي المشتقة هي المشتقة هي المشتقة هي
المشتقة هي المشتقة هي المشتقة، ثلاثة يعني ستين درجة.
يبقى X بدها تساوي باي على ثلاثة والـ X الثانية بدها
تساوي في الربع الثالث يبقى بسيطة جدًا، مئة وثمانين
وبس أضيف عليها باي على ثلاثة، مئة وثمانين زائد
باي على ثلاثة، اللي هو كداش أربعة باي على ثلاثة.
يبقى أربعة باي على ثلاثة، يبقى هذول إيش يعتبرون
شباب؟ لكن أنا بدأت أقسم من الـ real line عالميًا حسب
النقاط اللي عندي، يبقى أنا بناء عليه لو جيت قلت
هذا الـ real line وبدي أبدأ من عند الـ zero وانتهي
بمين؟ بالاثنين باي، إذا في النص بيكون هنا قد إيش باي.
في النص كمان هنا بيكون باي على اثنين وفي النص
الثاني بيكون ثلاثة باي على اثنين، بهاي جسم تمين الـ
real line، الآن بدأت أشوف موقع النقاط الخارجة عندي
عالميًا على الرسم، باي على ثلاثة يعني ستين
درجة، ستين دولار يعني ثلثين الخط تقريبًا، يبقى هنا هاي
باي على ثلاثة، الثانية مئتين وأربعين يبقى هاي
الـ مئتين، مئة وثمانين بدي أضيف عليها ستين يبقى
كمان هذه أربعة باي على ثلاثة، إذا احنا انقسمت الفترة
اللي عندنا هذه من صفر للاثنين باي إلى ثلاث فترات
الفترة الأولى من Zero لغاية باي على ثلاثة، الثانية من
باي على ثلاثة لأربعة باي على ثلاثة، الثالثة من أربعة باي
على ثلاثة لغاية اثنين باي، بدأت أشوف إشارة الـ F'، وين
الـ F'؟ هذه الـ F' اللي عندنا، يبقى هذه بدأت آخذ
عليها إشارة، الـ F prime of X اللي هو الخط اللي
عندنا هنا، بدي آجي على الفترة من Zero لغاية باي
على ثلاثة، الفترة الأولى، قبل النقطة الخارجة، خد أي
زاوية قبل باي على ثلاثة، باي على ستة، ثلاثين درجة
فبأجي بقوله جي ثلاثين، بنصها، هي جتا ثلاثين بجذر ثلاثة
على اثنين، عامة بسيط، ثلاثة على اثنين، واحد ونص، ونقص
نص بظل واحد موجب ولا سالب، إذا أي زاوية تأخذها في
هذه الفترة هتعطينا قيمة موجبة، على الفترة من باي على
ثلاثة لغاية أربعة باي على ثلاثة، خد باي على اثنين، خد باي
على اثنين، خد اللي بدك إياها لوقت ما توصل لغاية أربعة باي
على ثلاثة، فلو أخذنا باي مثلًا يبقى بأجي بقوله sin باي
بـ Zero، كوسين مئة وثمانين بسالب واحد في جذر ثلاثة
بسالب، يعني كمية سالبة، لو أخدت باي على اثنين مش
باي يبقى بصير هادي بـ Zero، صار باي اثنين بواحد بالسالب.
يبقى بصير هادي كلها من سالبة، هادي كلها من عند الـ
باي على ثلاثة لغاية أربعة باي على ثلاثة، طيب بدي آخذ من
أربعة باي على ثلاثة للاثنين باي، لو أخدت ثلاثة باي على
اثنين، ثلاثة بعدين للمئتين والسبعين ضرر، يعني كوسين
للمئتين والسبعين بـ Zero، سين للمئتين والسبعين بسالب
واحد، مع السالب بيصير موجب، إذا الفترة هذه كلها بدها
تكون فترة موجبة، يبقى الدالة كانت increasing صارت
عند هنا decreasing رجعت هنا صارت إيه؟ صارت
increasing، إذا بروح بقوله ما يأتي الـ F is
increasing، دالة زيودية على الفترة من Zero لغاية
باي على ثلاثة and on كمان أربعة باي على ثلاثة لغاية
اثنين باي، الـ F is decreasing، دالة نقصية على
الفترة من عند الـ باي على ثلاثة لغاية أربعة باي على
ثلاثة، بدنا نجيب الـ local maximum والـ local
minimum، إذا بدنا نروح نحسب قيمة الدالة اللي عندنا
يبقى بنروح نحسب F of Pi على ثلاثة، بنرجع على رأس
المسألة، بدنا نشيل كل X ونحط مكانها اللي همين Pi
على ثلاثة، يبقى بصير Cos Pi على ثلاثة زائد جذر ثلاثة
ساين باي على ثلاثة ويساوي جتا ستين اللي هي بنص، وجه
ستين جذر ثلاثة على اثنين يبقى الجواب كله اثنين، بدي
آخذ f of الثانية اللي هو أربعة باقي على ثلاثة ويساوي
الـ cosine أربعة باقي على ثلاثة، جذر ثلاثة الـ sin
أربعة باقي على ثلاثة ويساوي، أربعة باقي على ثلاثة في
الربع الثالث، في الربع الثالث يجيب التمام سالب
يعني المئة وثمانين زائد باي على ثلاثة، لجتا باي على
ثلاثة بس بالسالب يبقى اللي هو سالب نص زائد جذر
ثلاثة برضه الـ sin سالب يبقى سالب جذر ثلاثة على
الاثنين يبقى الجواب قد إيش؟ سالب اثنين، يبقى بروح
بقوله الـ F has local، الـ F has local maximum، local
maximum، جداش اثنين، at X يساوي باي على ثلاثة and
local minimum، سالب اثنين، at X يساوي أربعة باي على
ثلاثة، خلصنا الـ local maximum والـ local minimum و
الـ increasing والـ decreasing يبقى ضايل الـ
inflection point أو الـ concave up والـ concave
down، إذا بدنا نروح نجيب له الـ f double prime of x، الـ f
prime of x هي بنشتقها كمان مرة، يبقى سالب cosine X
وبعد تفاضل cosine بسالب sin يبقى سالب جذر ثلاثة في
sin X، طبعًا هذه معرفة على طول، إذا بدي أحط الـ F
double prime بـ Zero ونشوف إيش بدها تعطينا، يبقى لو
حطينا هذه تساوي Zero، هذا بده يعطينا إنه جذر ثلاثة
في sin الـ X، جذر ثلاثة في sin X بده يساوي سالب
cosine الـ X، يبقى معناه هذا الكلام إنه tan الـ X
بيساوي سالب واحد على جذر ثلاثة، الظل لقيمة سالبة
يبقى الزاوية موجودة في الربع الثاني والربع الرابع
لأنه ظل موجب في الربع الأول والثالث، إذا سالب في
الثاني والرابع، يعني معنى هذا الكلام إن الـ X يساوي
بقى اللي بقول مين الزاوية اللي جيبتها من واحد على
جذر ثلاثة؟ ليها باي على ستة، طبعًا من المئة وثمانين
بصير خمسة باي على ستة، خمسة باي على ستة، و X الثانية
أحد عشر باي على ستة، أترحهم كذلك من مين؟ من اثنين
باي لدورة كاملة، يبقى جبنا الـ X، خمسة باي أو على الـ
calculator عندك أنت بتجيبها دوري، يبقى خمسة باي على
ستة أو أحد عشر، لو تلاتمية وتلاتين درجة ومئة و
خمسين درجة، يبقى هاي طلعنا اللي هو النقاط اللي قد
تكون conflicting points، الله أعلم أنا مش متأكد لكن
أنا بقول الدالة الأصلية دالة متصلة على كل الـ real
line، السؤال هو والله عند هذه النقاط، إذا الدالة
غيرت اتجاه الـ concavity تبعها، بيكون فعلاً عندنا،
عندنا اللي هو inflection point، إذا أنا لو جيت،
قلت هذا الـ real line كله، وبدأنا من عند الـ zero
وانت هنا عند من؟ عند اثنين باي، يبقى في النص هنا
باي، وفي النص هنا قد إيش باي على اثنين، وفي النص هنا
قد إيش؟ ثلاثة باي على الاثنين، احنا النقاط اللي حالنا
خمسة باي على ستة، يعني مئة وخمسين درجة، مئة وخمسين درجة
يعني بتجيني هنا، يبقى هذا خمسة باي على ستة، الثانية
هيها أحد عشر باي على ستة، تلاتمية وتلاتين درجة، يبقى
هذا أحد عشر باي على مين؟ على ستة، الآن بدنا نجي في 365 00:34:51
لأن هذا محور X وهذا محور Y، أقصى قيمة تأخذها الدالة
اللي هو الاثنين، وأقل قيمة اللي هو الـminimum اللي
هو السالب اثنين، يبقى لو جئت قلت هذا الخط اللي هو
الاثنين، وهذا الخط المناظر اللي هو جداش سالب اثنين
وهذه النقطة الأصل اللي هي zero، بدي أكبر الخط من
ناحية هذه بس، علشان هي الرسمة كلها على اليمين، يبقى
لو جئت قلت هاي الخط هنا، وهذا اللي هو سالب اثنين
وهذا ال zero، وهذا اللي هو اثنين، وهذا محور Y من
Zero لغاية اثنين باي، يبقى هاد اثنين باي، المنحنة هيبدأ
عند النقطة 0 و 1، وينتهي
عند النقطة 2 و 1، عند النقطة 2 و 1
بعد كده السيمتوت مافيش عندي بده، أروح لل local
maximum وال local minimum، خليني أرتب الخطة لأن
هذه، يبقى باي على اثنين، يبقى هذه ثلاثة باي على
الاثنين، الـ inflection points عند النقطة خمسة باي
على ستة و Zero، يبقى هذه النقطة الخمسة باي على ستة
والنقطة اللي بقت أحد عشر باي على ستة، يبقى هذه
النقطة الخمسة باي على ستة، بعد هيك، بتيجي لل local
maximum، وين ال local؟ اه، هي عندك local maximum
اثنين، عند ال by على ثلاثة عند ستين درجة، يبقى هي
ال by على ثلاثة، by على ثلاثة عند local maximum
هنا، اثنين بالشكل اللي عندنا هنا، هو عندي local
minimum local، سالب اثنين عند أربعة باي على ثلاثة
يعني مئتين وأربعين درجة، مئتين وأربعين يعني عنده
النقطة هذه تقريبا، وبدك تنزل تحت، يبقى هذه local
minimum بالشكل اللي عندنا، بعد هيك، بيجي لي الدالة
increasing من Zero لغاية باي على ثلاثة، مظبوط؟ من
Zero لغاية باي على ثلاثة increasing، يبقى هذه المنحنة
اللي عندنا هنا، بعديها decreasing من عند ال باي
على ثلاثة لغاية هذه، أربعة باي على ثلاثة، يبقى هذه
decreasing، ويمر بال inflection point، وهيك بصير
مفتوح الأعلى، بعديها بيجي لي increasing ويمر بال
inflection point وهيك، وبعدها بصير
نتأكد إن معلوماتنا صح ولا لأ، هذي increasing و
decreasing و increasing، مظبوط مائة في المائة، نجي هل من
عندي ال Zero لخمسة باي على ستة concave down ولا
لأ طلع concave up مظبوط، هل من خمسة باي على ستة
لأحد عشر باي على ستة concave up مظبوط، الآن من
أحد عشر باي على الستة لغاية اثنين باي، بيكون كيف؟ down
يبقى الأسفل، يبقى الرسمة دقيقة مائة في المائة، هذا الآن
النقطة والنقطة الثانية اللي عندنا هذه، هدول ال
inflection points، النقطتين اللي عندنا هدول طبعًا هذه
النقطة اللي هي أربعة باي على ثلاثة وسالب اثنين، وهذه
اللي هي باي على ثلاثة واثنين، هذه local maximum، وهذه
local minimum
النقطة الأعلى هي ال local minimum، والنقطة الأعلى
هي local maximum
يبقى أنا بدي أرسم فعلًا هذه، لو بدك تقول لي هذا، بقول لك
هذه صحيح، هذه local minimum، هذه هنا كمان local
maximum، أقول لك زيادة على ذلك، هذه absolute maximum
وهذه absolute minimum، لأن أقصى قيمة بياخدها هي
اثنين خلال فترة من Zero لاثنين باي، وأقل قيمة
بياخدها سالب اثنين من Zero لاثنين باي، يبقى هذه
absolute minimum، وهذه absolute maximum، في ما لو
طلبها، لأنه ما طلبش، هو جالي ارسم وخلاص، ونقوله
رسمنا، يعطيك العافية، تمام؟ إذا لحد هنا انتهى هذا ال
section، وإليكم أرقام المسائل على هذا ال section
اللي هو exercises أربعة أربعة، يبقى باجي بقوله
exercises أربعة أربعة، المسائل التالية من واحد
لواحد وتسعين، الـ whole، بنضيف عليها من ثلاثة وتسعين
لستة وتسعين، ومن مئة واحد لمئة واطماش، مئة واحد لمئة
واطماش
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هذا بده الرسمة، طيب
هذا انتهى عليك سكشن أربعة أربعة، الرسم إيه السمس
فيها
سمتت؟ لأ، روحنا حطينا ال local maximum وال local
minimum والـ inflection points، بعد ذلك دورنا ال
increasing، دورنا ال decreasing، وبعدين شوفنا هل
الرسمة كانت كيف أبوك وكيف دان ولا جناها تمام، يقول
بصمنا خلاص، طيب الآن بدنا نيجي لامام الحلقات اللي
بده الرسمة أو خلاص؟ الرسم خلاص؟
الآن بروح لـ section أربعة خمسة وأربعة ستة و
بقولهم الله يسهل عليكم، بروح لأربعة سبعة اللي هو ال
antiderivative الآخر
section في الشبطة وهو مقدمة لموضوع التكامل، تمام؟
الـ antiderivative بدنا نعطي تعريف له، نقول definition
A function capital F is an
antiderivative of
F on an interval I
نقطة مهمة جدًا، the most general
the most general antiderivative
antiderivative
of f on ال interval I، on interval I is capital F
of X زائد constant C، where C is constant، نجي
لـ some antiderivatives
some antiderivatives أو antiderivative formulas
طبعًا اللي أحبه مشتقة الدوال المثلثية الستة بلا جهد
كله كلام بسيط ولا حاجة مولاشي
يبقى
في الاندونيزيا الموضوع ال antiderivative
antiderivative، تفاضل لما أقول antiderivative يعني
أنا بدي أشتغل شغل ضد التفاضل، ضد التفاضل تعلمناه في
الثانوية، يعني عبارة عن إيش؟ بس ما بديش أقول تكامل
حتى اللحظة، لما نوصل لتكامل بدي أقول تكامل زي ما
هعرفه بعد قليل طبعًا، يبقى أنا بدي أقول ضد التفاضل
antiderivative، يبقى ضد التفاضل شو يعني ضد التفاضل
التعريف بيقول لي ما يأتي، بيقول لي أتبع لك capital F
خلي بالك كافي عند الكتابة، capital F هي الـ
Antiderivative للـ small f على فترة محددة والتي
تكون الفترة I، إذا كان مشتق الـ capital F هي الـ small
f لكل X الموجود أويا في الـ interval I، يبقى capital
F هي الـ Antiderivative للدالة small f، إذا كان
مشتق capital F أعطتنا مهمة، أعطتني اللي هو أعطتني ليه
الـ small f، لكن لو جئت قلت لك مثلا الـ X تكعيب هذه
مشتقتها جداش تقول لي ثلاثة X تربيع، لو قلت لك X تكعيب
زائد مئة، جداش مشتقتها ثلاثة X تربيع، إذا نفس المشتق
لك الفرق بين الدالتين جداش مقدار ثابت، إذا أنا بدي
أروح أتلشى الخطأ إن وجد هذا الخطأ، بروح بقول هنا
the most general antiderivative of f على ال
interval I، هو عبارة عن capital F of X زي الـ main زي
الـ constant C، يبقى هنا أضفت لها مقدار ثابت لا يؤثر
على شكل الـ main، على شكل الـ derivative الدالة هذه
هو أرض سيم الانتي دريفاتيف، بروح بحط لهزاية كونستان
سي، حتى أخلص من المشكلة سواء كانت سي بزيرو أو غير
زيرو، قلنا where c is كونستان، يبقى كل الشغل عندي
حطيت سي بمقدار 7، الكلام اللي بقوله بده أروح أطبقه
على أرض الواقع، فروحنا عملنا جدول لبعض الدوال
الشهيرة، بدنا نجيبلها الـ Antiderivative تبعها، نجي
للدالة الأولى الـ X to the power N، الـ X هو المتغير
إن هذا is a real number، بس بشرط الـ N ممنوع يتساوي
سالب واحد، لكن إن شاء الله في كل كلاصة بـ.. هناخد
لو كانت الـ X بدي تساوي سالب واحد شو بدي يكون شكل
الـ antiderivative في هذه الحالة أو التكامل للدالة
برضه هنعرفه لو كانت الـ X يساوي كده سالب واحد طبعًا
معطيناش كيكلأن في موضوع لغة مات بيدخل في الموضوع
لكن إحنا حتى الآن ما أخذناش لغة مات، يبقى الـ X to the
power and the antiderivative اللي هو بضيف للأس
واحد وبقسم على الأس الجديد وبقوله زائد كونستانسي
وهذا اللي كنا زمان من كامله في الثانوية، تمام؟
سميته كامل غير المحدود، Sin KX، بدي بسأل نفسي قداش
الدالة أو قداش تفاضل الـ Sin، هو Cos، أنا ما بديش تفاضل
الـ Sin، أنا بدي الـ Antiderivative للـ Sin، يعني ما هي
الدالة اللي مشتقتها بتعطينا الـ Sin، بقول لو جئت
اشتقيت تفاضل الـ Cos سالب الـ Sin، بروح السالب مع
السالب، ضرب مشتقة، تزوجها K بتروح مع K، بضال قداش SIN
الككس والـ C مشتقة تبزيره SIN الككس، إذا بناء عليه
الـ Antiderivative لـ SIN الككس هو سالب واحد على K
Cos K X زائد Const C، لو بدجاجي للككس كدوش متقعة
الـ SIN هو Cos، يبقى لو جئت أشتق هذه هو Cos ضرب K
بتروح مع K بتعطيني Cos، إذا الـ Antiderivative لـ
Cos X هو 1 على K لـ Sin K X زي الكنستانسي، تفاضل ال
10 بسكتربيع، هذا الـ Antiderivative لسكتربيع هي 10
مقسومة على 1 على K، بالمثل تفاضل كتان بسالب
كوسيكنتربيع، هذا الـ Antiderivative لكوسيكنتربيع K X
والسالب واحد على كلكو تان كك زائد كونستان سي، تفاضل
تسيك بسيك تان، إذا الـ Antiderivative لسيك ككس تان
ككس هو واحد على ك في مين في سيك الككس، يعني كأنه
أنا برجع ترجيه، أبدأ اللي انفضله برجعه لمين اللي
أصل قبل التفاضل، بدل المضرب في تفاضل الزاوية بقسم
على تفاضل الزاوية، لأن عندي ال antiderivative لكو
سي كانت كوتان هي سالي كو سي كانت كك مقسومة على مين
على ك زائد كونستران سي، لو اشتقت هذه بتعطيني مين
هذه، هي ال antiderivative لمين للدلها، بعد هيك لو
كانت دالة أي f of x، سواء اللي في الجدول أو غيرهم
فبدي ال antiderivative لك في الـ f small، يبقى كيب
أقول إن أنت ما لكش دعوة والف اصمه لانت دريفتيف هي
ال capital F of X زائد constant C، الآن لو كانت
الكيب سالب واحد يبقى بيصير الانت دريفتيف لسالب F
of X هي سالب capital F of X زائد constant C، يبقى
الكيب حاطينا سالب واحد، لو كان المجموع الجبري
لدالتين الانت دريفتيف يبقى المجموع الجبري لتو انت
دريفتيف
من خلال جدور بدنا نروح نحسب الـ ant derivatives
للدوال المختلفة الآتية، يبقى أنا عند X وسالب 4 زائد
اثنين X زائد ثلاثة، يبقى هذا مجموع جبري لثلاث دوال
وليس لدالتين، يبقى الـ ant derivative للأولى زائد ال
ant derivative للتانية زائد الـ ant derivative
للتالتة، وكلهم بتحط لهم منهم كالكلاصين، يبقى باجي
بقوله هنا الـ anti، الخطوة التالية هي، يبقى هنا X أس
بدي أضيف للأس واحد وأقسم على الأس الجديد،
سالب نص مقسوما على سالب نص زائد constant C سالب نص
مع سالب نص بيظل X أس سالب نص زائد constant C خمسة
خمسة بدنا cosine لمين لـ πx على اتنين زائد π في
cosine الـ x بدنا الـ antiderivative لها يبقى ال
antiderivative is تعالى تطلعلي للـ cosine هذا ال
cosine عندنا يبقى الـ cosine اللي هو رقم تلاتة يبقى
واحد على k في الـ sin وين الـ k هنا π على اتنين
يبقى واحد على π على اتنين وهذه الـ sin πx
على اتنين هذه الـ constant مالوش دعوة و cosine X هي
مين؟ sin X بقول زائد constant C لو قعدنا نرتب
هيبقى ويصير اتنين على π sin πX على اتنين زائد
π في sin X زائد constant C طيب بدنا نيجي لستة
ستة اللي هو ناقص تلاتة على اتنين cosec تربيع
لتلاتة X على اتنين بدنا الـ ant derivative لها
يبقى الـ ant derivative is سالب تلاتة على اتنين
مالوش دعوة ونرجع لمين؟ للـ cosec تربيع الـ cosec
تربيع هي فوق يبقى سالب واحد على k للـ cot يبقى
هذا نصف وهي سالب واحد على تلاتة على اتنين وهنا cot
تلاتة X على اتنين زائد constant C سالب تلاتة على
اتنين في البسط و سالب تلاتة على اتنين في المقام
مع السلامة يبقى بضالة إن بس جداش cot تلاتة X على
اتنين زائد constant C
طيب نيجي لها سبعة سبعة بدنا نسالي π cos πx على
اتنين cot πx على اتنين برضه بدنا نجيب ال
antiderivative لها يبقى الـ antiderivative is سالب
π مالاش دعوة طلعليه هدى الـ cosec cot هى الـ
cosec cot يبقى سالب واحد على k في مين في الـ
cosec يبقى سالب واحد π على اتنين في مين
نختصر نقص مع نقص بتروح والـ π مع π بتروح والاتنين
بتصير في الـ bus يبقي اتنين cosec πx على
اتنين زائد constant c نمره تمانية تمانية بدنا اربع
six تلاتة X tan تلاتة X يبقى الـ antiderivative
لها is خد بالك هنا اربع مالاش دعوة تمام؟ وهذه الآن
sec فيه tan يعني عندي sec فيه tan يبقى واحد على k في
sec يبقى واحد على تلاتة في sec تلاتة X زائد constant
C يعني اربع اتلات sec تلاتة X زائد constant C زي ما
انت شايف هذا الكلام كله اعتمد على مشتقة الدوال
المثلثية الستة يبقى اللي عارف المشتقات بيلاقي هذا
كله كلام بسيط وحتى أبسط من البسيط لذلك إذا ما
أعطيتك الدوال المثلثية الستة جوجل تدير بالك، متكرر
معاك كتير في Calculus A و Calculus B و Calculus C
و في الفيزياء و ربما في الكيمياء و ما إلى ذلك، إذا
لا يستغنى عنهم بتاتا
طيب نطور معلوماتنا حاجة وسيطة هيك ناخد هذا التعريف
و بعدين عليه شوية أمثلة يبقى definition the set of
all antiderivatives the set of all antiderivatives
of
دالة F is the
indefinite integral
بالنسبة لـ X بالنسبة لـ X and denoted by تكامل
للـ F of X DX
الـ F of X is called the integrand
and
X is the variable of integration
مثال واحد انتج
اتجارات
محدودة
أول واحدة من هذه التكاملات تكامل واحد ناقص X تربيع
ناقص تلاتة X أس خمسة كل بالنسبة إلى DX
يبقى آخر نقطة موجودة عندنا في هذا الـ section اللي
هو موضوع التكامل غير المحدود طبعا عندنا نوعين من
أنواع التكامل التكامل المحدود والتكامل غير المحدود
التكامل المحدود خليه للـ chapter القادم التكامل غير
المحدود مرتبط تماما بالـ antiderivative أو كما قلنا
قبل قليل هو عبارة عن الـ antiderivative إذا أنا باجي
بقول the set of all antiderivatives of الدالة F is
the indefinite integral of الدالة F with respect to
X and denoted by تكامل F of X DX طبعا الـ
antiderivative لدالة F يكون capital F of X زائد
constant C يبقى هذا اللي هو الـ general
antiderivative يبقى هذا هو التكامل تبع مين؟ الدالة
يبقى كل الـ antiderivatives لدالة في C هذا قد يكون
أرقام مختلفة إذا هذا بيكون كله عبارة عن مين؟ الـ
Indefinite Integral أو التكامل غير المحدود للدالة F
بالنسبة للمتغير X وبديله الرمز تكامل F of X DX الـ
F of X is called the Integrand Integrand بالعربي
يعني الدالة المراد تكاملها يبقى f of x الدالة المراد
تكاملها integral والـ x هذا بنقول التكامل بالنسبة
لمين؟ ده المتغير x the variable of integration
بنقوله المتغير تبع من؟ تبع التكامل الآن بدنا نبدأ
نشتغل زي الـ Antiderivative اللي توبس بدي اسميه من
هنا ورايا هي تكامل وانتقل الكلام شوية يبقى قال لي
هات لي هذه التكاملات غير المحدودة التالية وبدلي
بأول تكامل تكامل لواحد ناقص X تربيع ناقص تلاتة X
أس خمسة DX يبقى باجي بقول له solution هذا التكامل
عبارة عن تكامل واحد ناقص X تربيع ناقص تلاتة X أس
خمسة DX يبقى بده يستوي هذا مقدار ثابت له واحد يبقى
هذا أصلا X أس Zero لما مقدر فيه إلا واحد بيصير X
أس واحد يبقى X فقط لغاية ناقص X تربيع يعني X تكعيب
على تلاتة ناقص تلاتة مالوش دعوة X أس خمسة بيصير X
أس ستة على ستة زائد constant C يبقى الجواب صار X
ناقص X تكعيب على تلاتة تلاتة على ستة بيبقى نصف X
أس ستة زائد constant C السؤال اللي بعده نمره اتنين
بدنا تكامل لخمس ناقص اتنين على X تكعيب زائد 2
X كل وين في دي X بقول له بسيطة يبقى أنا
بعيد ترتيب المثل أجيب المشتغل يبقى بالداجي أقول
له هذا integration لخمس نقصي اتنين X أس سالب تلاتة
زيدي اتنين X كله بالنسبة إلى DX بقول اه خمس مالوش
دعوة وبصير X أس واحد على واحد يبقى بـ X ناقص اتنين
X بدي أضيف للأس واحد و أقسم للأس الجديد بصير
جداش سالب اتنين على الأس الجديد اللي هو السالب
اتنين زائد 2 X تربيع على اتنين زائد
constant C يبقى النتيجة X على خمسة ناقص اتنين مع
ناقص اتنين الله يسهل عليها يبقى X أسالب اتنين و
اتنين مع اتنين مع السلامة يبقى X تربيع زائد
constant C سؤال التالت بدنا تكامل لمن؟
لـ X أسالب تلاتة في X زائد واحد في DX مافيش حاجة اسمها
تكامل المقدار الأول ضرب تكامل المقدار الثاني يبقى
بدي أفكها وأشوف كيف بيصير هذه تكامل X أسالب اتنين
زائد X أسالب تلاتة كله في DX الآن بضيف الأس واحد
وبقسم على الأس الجديد يبقى هذا X أس سالب واحد على
سالب واحد زائد X أس سالب اتنين على سالب اتنين زائد
constant C أو سالب X أس سالب واحد سالب نص X أس
سالب اتنين زائد constant C أربعة بدنا تكامل
للـ X في جذر الـ X زائد جذر الـ X كله على X تربيع
بالنسبة لـ دي X مافيش حاجة اسمها تكامل البسط على
تكامل المقام مافيش عنها ولا تكامل الطرف الأول في
تكامل الطرف الثاني و ثم اجمع يبدا يعيد الترتيب تبع
المثل يبدأ يتكامل هذه X في X أس نص يعني X أس
جداش تلاتة على اتنين يبدأ هذا X أس تلاتة على
اتنين زائد X أس نص هذه لو طلعتها فهو تبصير X أس
جداش أو لو أزعت ما عنديش مشكلة أسيان هذه والله هذه
بدي أدخل هذه جوا الجذور يبقى بيصير تكامل X أس سالب
نص زائد اللي هو X أس سالب تلاتة على اتنين كله في
DX تمام؟ إذا بدأ يكامل بضيف للأس واحد و أقسم على
الأس الجديد يبقى بيصير X أس نص على نص زائد X أس
ناقص نص على ناقص نص زائد constant C أو اتنين جذر الـ
X ناقص اتنين X أس سالب نص زائد constant C سؤال
الخامس بدنا تكامل لنص
في cosec تربيع الـ X ناقص cot الـ X في cot الـ X
كل هذا الكلام بالنسبة لمين؟ إلى DX المقدار
الثابت له دعوة؟ قال له إيش دعوة؟ يبقى يا ناصر خلّيك
برا بظهر عندنا تكامل cosec تربيع سالب cot لإن
اشتقاق cot بسالب cosec تربيع إذا انتكمل
cosec تربيع بسالب cot الـ X نيجي cosec cot
بسالب cosec مع سالب بيصير موجب اللي هو cosec
الـ X كله زائد constant C ستة بدنا تكامل
لـ 2 tan تربيع θ كله في دي θ اه
هاد اللي ماخدناش اشوف ناشطة كامل tan تربيع ايه
اتفضل 2 أصلا واحد زي دورها كويس كويس يبقى
اختراح واحد بيقول بدي أشيل 2 و بدي أكتبها 1
زائد 1 زائد tan تربيع و أشيل 1 زائد tan
تربيع و أحط بدل sec تربيع و بيقولوا والله كلها
مظبوط ميان ميان وواحد قال لي لأ لأ لأ أنا بدي
أشيل tan تربيع و أحط بدل sec تربيع ناقص 1 مش هي
نفسها برضه يبقى سواء كان هادي والله هادي سيانة
ما تفرجش إن أنا ليش sec تربيع لإن الـ sec تربيع بعرف الـ
antiderivative بس الـ tan تربيع بعرفوش تمام إذا هذه
لو روحت كتبتها على الشكل التالي تكامل 2 زائد
tan تربيع θ ناقص 1 دي θ يعني شيلت الـ tan تربيع
حطيت بدلها من المتطابقات المثلثية بتاعت شبتر one اها
section اللي هو 1.3 حاطبها sec بيها ناقص
1 بدل إن تكامل 1 زائد sec تربيع θ كله
في دي θ تكامل 1 بـ θ وتكامل الـ sec تربيع
بـ tan θ زائد constant C طيب سبعة بدنا تكامل اللي
هو 1 ناقص cot تربيع θ كله في دي θ
بيختلف عن السؤال اللي قبله نفس الفكرة إذا باجي بقول
هذا الواحد مالوش دعوة وهي النقل cot تربيع لـ cosec
تربيع θ ناقص 1 شكل إن كله في دي θ هذا لو
فكت القوس بيصير ناقص ناقص 1 بـ 1 1 + 1 2
يبقى بيصير تكامل لـ 2 ناقص cosec تربيع θ في
دي θ يبقى الجواب بـ 2 θ و cosec تربيع
بيصير زائد cot θ زائد constant C
سبعة هنا بنجي ليه تمانية تمانية تكامل لـ cosec
θ على مين؟ cosec θ على cosec θ
ناقص sin θ كله في دي θ cosec
و sin بينفعش تخلي لونين في المثل كلهم بتخليهم لون
واحد الـ cosec هي مقلوب مين؟ مقلوب الـ sin يبقى
هذا تكامل واحد على sin θ واحد على sin θ نقص sin θ
كله في dθ يبقى تكامل واحد على sin θ يبقى
sin θ يبقى 1 ناقص sin تربيع θ أظن إن
المقدار هذا يصير كم؟ X على اثنين DX يعني بدأت اضرب
هذه في اثنين هذه X هذه جربت مرة ثانية اضرب هذه في
اثنين بصير X على من على الاثنين بقول له يا نص خليك
برا مالكش دعوة وتكمل الواحد بقد ايش ب X وتكمل ال
cosine ب sine X على اثنين بدك تكامل على من على
الزاوية اللي هي النص زائد constant C يبقى بناء عليه
الجواب cos ال X زائد اثنين tanجلة بتروح زائد sin X
على اثنين زائد constant C مثال رقم اثنين مثال
اثنين بسيط مش مثل النقطة الواحدة مش كتير يبقى بيقول
برضه من الكتابة Verify اتأكد ان ذات تكامل ثلاثة X
زائد خمسة قوس ناقص اثنين DX بدنا نساوي ناقص ثلاثة X
زائد خمسة قوس ناقص واحد على ثلاثة زائد
تأكد انه تكامل هذا بده يساوي هذا ايش
رأيكم؟ كيف بدنا نثبت هذا الكلام؟ بدون ما نكامل ممتاز
جدا يعني لو اشتقينا هذه اللي على اليمين بده تطلع
اللي جوا هذه، مظبوط؟ اذا تعالوا نشتق هذه ونشوف
فجأة انا بدي اقول له solution اها بدي اخذ D على
DX لسالب 3X زائد 5 قوس سالب 1 على 3 زائد constant
C سواء سالب ثلاث مالكش دعوة بعد هيك بجي بقول الأس
في القوس مرفوعة
لنفس الأس مطروح من واحد في مشتقة مداخل القوس مشتقة
مداخل القوس اللي هي كده؟ ثلاثة تمام تمام ومشتقة
الـC زيرو لأنه constant بقول اه ناقص مع ناقص بيزيد و
ثلاثة مع ثلاثة مع السلامة يبقى ضل الجواب ثلاثة X
زائد خمسة أس ناقص اثنين هي هذه صح ولا لا يبقى هذه
لو سميتها المثلة star يبقى باجي بقول له star hold
صحيحة آخر مثال في هذا ال section بيقول لي ما يعطي
مثال ثلاثة بيقول
لي find a curve find a curve بدنا منحنى Y تساوي f
of x with true parties له الخواص التالية ان دي
square y by دي x square بده يساوي ستة اكس و اتس
اجراف passes اتس اجراف passes at zero واحد
سؤال مرة ثانية بقول هاتلي شكل المنحنى Y كدالة في X
الذي له الخواص التالية خاصية الأولى مشتقة الثانية
اله تساوي 6X الرسم البياني اله يمر بهذه النقطة اذا
هذه النقطة تحقق المنحنى الخاصية الثالثة انه
الهيروزينتال تانجنتال بنفس النقطة يعني المماس تبقى
يكون ماله افقيا بقول له بسيطة جدا نبدأ بالمعلومة
الأولى قال دي سكوير واي على دي اكس سكوير يساوي ستة
اكس اظن لو كملناها مرة بتروح المشتقة الثانية ويظل
بينا انها المشتقة الأولى يبقى باجي بقول له by
integration
بتكمل بيبقى عندنا من دي y على دي x هذه بدها تساوي
ستة x تربيع على اثنين زائد constant وليكن c one
طيب يعني هذه بدها تساوي ثلاثة x تربيع زائد c one
هذا من مشتقل ايش راح جلي هنا المماس افقي عند
النقطة 01 اذا من خلالها بقدر اجيب ال constant C1
فبجي بقول له at النقطة 01 we have يبقى الهيروزونتال
تانجنت يعني الاسلوب تبعه كده؟ بزيرو يبقى هذا
الاسلوب تبعه بزيرو هو dy على dx تمام؟ بده يساوي
من؟ بده يساوي ثلاثة في زيرو لكل تربيع زائد c1
يبقى بناء عليه c1 كده بده يساوي؟ يبقى بناء عليه dy
على dx يبقى باس ثلاثة x مصدور طيب نروح كامل
لنطلب شكل ال y as a function of x بقول له الآن برضه
by integration
بالتكامل هذه تكاملها بقدرش يبقى Y هذه تكاملها
بقدرش يبقى ثلاثة X تكعيب ع ثلاثة زائد كنص ثاني
وليكن C2 يبقى هذه بدها تساوي X تكعيب زائد C2 ايش
راح جليها؟ جلي هذا المنحنى يمر بالنقطة هذه اذا باجي
بقول له at
يبقى ال Y بقد ايش واحد وC بقد ايش زيرو زائد C اثنين
يبقى C اثنين بده يساوي قد ايش واحد يبقى المنحنى اللي
بده يا Y تساوي X تكعيب زائد واحد