بسم الله الرحمن الرحيم في ال two sections الماضية
كنا بنتحدث فقط عن اللي هو الاشتقاق من خلال التعريف
اليوم بدنا نذكر القواعد الاشتقاق اللي خدتها في
الثانوية العامة زي ما أنت شايف لا يوجد فيها حرف
جديد وإنما توذكر بمدرسة في الثانوية العامة بعد ذلك
سنذهب إلى أمثلة توضيحية على القواعد اللي موجودة
عندنايبقى differentiation rules قواعد الاشتقاق اول
قاعد بتقول لو كانت الدالة دالة ثابتة f of x يساوي
c حيث c constant اذا مشتقة هذه الدالة تساوي قداش؟
Zero فالمشتقة في الثانوية العامة تعلمنا ان مشتقة
المقدار الثابت تساوي صفر يعني لو كانت f of x يساوي
خمسة اذا ال f prime of x يساوي لو كان f of x يساوي
باي
بالنسبة للنقطة الثانية if n is a non zero real
number then d على dx للx to the power n هو ال n في
x أُس n ناقص واحدطبعا الان اي real number لا يساوي
zero طبعا ليش اشتراطنا لا يساوي zero لأنه لو كان
يساوي zero لأصبح x أوز zero بقداش يعني مقدار ثابت
وقتالي مشتقته تساوي مين تساوي صفر طيب يبقى الان قد
يكون positive قد يكون negative قد يكون rational
غيره إلى آخره يبقى مشتقته على طول خط n x أوز n
ناقص واحدالنقطة الثالثة F في الـ C is constant
يبقى بدنا نجمع الحالتين الاتنين هدول مع بعض يبقى D
على DX ل C في F of X C المقدار الثابت بقوله خليك
على شجة و بروح بشتق مين بشتقت ده ل F of X زي ما
كنت بتقوله مشتقت تلاتة إكسوس خمسة في الثانوية بقول
تلاتة سبيكة و مشتقت إكسوس خمسةخمسة X أُص أربعة
وبالتالي بيصير خمستاشر X أُص أربعة يبقى الـC بيظل
كأنه مالوش دعوة تماما بالق بالـderivativeالان for
example ال D على DX ل C X to the power N بقول ال C
مقدرتها بتخليك زي ما انت و ال X أس N من النقطة
الثانية مشتقتها N X أس N ناقص واحد النقطة الرابعة
F ال U و ال V are differentiable functions of X
يبقى then D على DX ل U زاد أو ناقص V تساوي مشتقة
ال U زاد أو ناقص مشتقة ال V بجيتها بتقول في
الثانوية العامةمشتقة المجموع الجبري لدالتين يساوي
المجموع الجبري لمشتقتيهما
مجموعة الاتير ممكن تكون تلت دوال اربع دوال ان من
الدوال يبقى المشتقة هتدخل على كل دالة من هذه
الدوال يبقى D على DX U1 زي دو ناقص U2 زي دو ناقص
U3 زي دو ناقص UN يبقى DU1 على DX زي دو ناقص DU2زاد
او نقص دي و تلاتة على دي اكس زاد او نقص نظل ماشي
لغاية ما نوصل لمشتقة ال U ان بنسبة ال X الان
بننتقل لحاصل الضرب والقسمة فباجي بقول if U and V
are differentiable functions of X then ال D على DX
ل U في ال V يسوى الدالة الأولى في مشتقة الدالة
الثانية زي دي الدالة الثانية في مشتقةالدالة الأولى
مرة تانية الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد
الدالة الثانية في مشتقة من الأولى يبقى U في DV على
DX زائد ال V في DU على DX النقطة السادسة مشتقة
خارج قسم الدالتين يساوي المقام في مشتقة الباصنقص
البصد في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي مرة
تانية كتير من الشباب غلطتهم وين؟ من خلال السنوات
الماضية بقال نلمس بيقول البصد في مشتقة المقام نقص
المقام في مشتقة المقام يعني بيقلب الإشارة هذا طبعا
كلام خطأ فمرة تانية بركز و بقولالمقام في مشتقة الـ
bus ناقص الـ bus في مشتقة المقام على مربع المقام
الأصلي ناخد special case حالة خاصة منه قلنا in
particular كحالة خاصة مشتقة واحد على V يعني لو
كانت ال U ده اللي ثابت اللي هو بالواحد الصحيح
فمشتقتها سالب واحد على V تربية في الـDV على DX، من
أين أتي هذا؟ أتي من الخطوة اللي فوق، فلما أتي أقول
المقام في مشتقة الفاصلة، يصير Zeroبضلش عنده إلا
ناقص للبسط في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي
يبقى لما بدي جهد أطبقها هنا بدي أقول المقام في
مشتقة البسط ب zero طار ناقص البسط اللي هو واحد في
مشتقة المقام اللي هو dv على dx على مربع المقام
الأصلي اللي هو main
بالتالي ماعنديش أي تغيير في مثل هذه الحالةيبقى هذا
بالنسبة للمشتقات العادية الآن، يعني المشتقات من
الرطبة الأولى، لو ده مشتق من الرطبة الثانية أو
الثالثة أو الرابعة، فبقول المشتقة الثانية، المشتقة
التالتة، المشتقة الرابعة، المشتقة النونيةيبقى مرة
تانية بقول second derivative and higher derivative
المشتقة الثانية والمشتقات العليا فباجي بقول لو كان
مشتقة ال y هي y prime بديلها رمز dy على dx بتجيب
المشتقة الثانية بديلها رمز y double primeاللي دي
على دي اكس لدي ي على دي اكس اما باعطيها الرمز هذا
او الرمز هذا او دي square ي على دي اكس square و
هكذا لو اد المشتقة التالتة ي يساوي دي تكييب ي على
دي اكس تكييب and so on لغاية ما اوصل للمشتقة انها
دي مش y مرفوعة للأس n وانما y to the derivative n
لما تشوف الانو بين قصين هذه تعني مشتقة ولا تعني قص
يبقى y to the derivative ان هي dny على dxn يعني
المشتقة النونية لدالة y بالنسبة لمن او لأكس
example one بيقول find y prime for each of the
following يبقى بنجيب المشتقة الأولى لكل مما يأتي
النقطة الأولى Y تسوى أربعة جذر ال X ناقص خمسة على
X بما نشتق باستخدام قواعد الاشتقاق اللي موجودة
عندنا يبقى باجي بدون له solution
ممكن أشتق مباشرة و ممكن أروح أبسط الدالة ثم أقوم
بعملية الاشتقاق فبدأت أقول Y' يساوية الأربعة مالاش
دعوة اللي هي constant لقولنا مشتقة C في ال F of X
يساوي C في مشتقة الدالة يبقى الأربعة مالاش دعوة
الجذر ال X أخدناها قبل ذلك كمثالوأقول لك دول دير
بالك، دول بتكتبالي واحد على اتنين جذر ال X، ناقص،
هذه الآن مقدار ثابت على دلة، طلعليه مقدار ثابت
يساوي السالب واحد على الدلة تربية في مشتقة هذه
الدلة، إذا سالم خمسة ملاش دعوة على X تربية في
مشتقة من ال X اللي بيقدرش بواحد صحيح
المثال الثاني
Y تساوي تلاتة الجذر التالت ل X تربيع ناقص اتنين
على الجذر التربيعي ل X تكعيب لما نشوف مثل ذلك
بنفضل ارتب شكل المسألة قبل ان نقوم بعملية التفاضل
يبقى الحل على الشكل التالي solutionلو جيت قلت ال Y
يسوى التلاتة مالاش داعو اكون اصلا هذا تعني X تربية
اقص طلت يعني X اقص كده ايش؟ اتنين على تلاتة طلتين
ناقص اتنين هذه الجدر التربية ل X تكيب يعني X تكيب
اقص نص يعني X اقص تلاتةعلى اتنين ونطلعها فوق بيصير
X أس سالب تلاتة على اتنين تمام إذا حطيت المسألة
بشكل جديد الآن بقدر أقوله المشتقة الأولى Y prime
السابق تلاتة مالاش دعوة نيجي هذه الأس في X مرفوعة
للأس مطروح منه واحد يبقى طولتين ناقص واحد لان دي
قداش سالب طولأنت أين منها؟ ناقص اتنين في سالب
تلاتة على اتنين X أس سالب تلاتة على اتنين سالب
واحد يعني كده؟ سالب خمسة على اتنين سالب خمسة على
اتنين Y ساوي تلاتة مع تلاتة بيبقى ليه اتنين X أس
سالب طولتنين كمان مع اتنين وزائد في ناقص في ناقص
بزائد تنين مع اتنين بيظل تلاتة اكس والسالب خمسة
على اتنين النقطة نمرسىY تساوي خمسة
زائد اتنين X زائد X تربيع كله على الجذر التربيعي
لXطبعا زي ما رتبنا المسألة اللى فوق بنفضل ارتب
المسألة هذه اولا ثم نقوم بعملية الاشتقاق يبقى هنا
بدي اروح اكتب المسألة على الشكل التالي Y to 7كيف
بقدر ارتبها؟ بقدر اوزع ال bus على مين؟ على المقام،
يبقى ده بصير خمسة على جدر ال X، يعني خمسة X
والسالب نص، يبقى هاي خمسة X والسالب نص، زائد اتنين
هذا X على جذر X يعني X على X أص نص يبقى فوق جذر X
أص نص يبقى زائد 2X أص نص يعني 2 جذر Xطيب زائد x أس
نص و هنا اتنين بيبقى x أس تلاتة على اتنين هذا بده
يعطيلك ان y prime يساوي نشتق يبقى هاي خمسة و هاي
سالب نص x أس سالب تلاتة على اتنينيبقى ناقص نص X أس
سالب تلاتة على اتنين و هنا زائد اتنين في نص X أس
نص سالب واحد دول جديد سالب نص يبقى سالب نص اللي
بعده زائد تلاتة على اتنين
لو حبينا نقيت بس ترتيبها يبقى ناقص خمسة على اتنين
هذه نمرة C من المثلة نروح لنمرة D يبقى نمرة D
بتقول ما يأتي Y تساوي X تربية زيدي اتنين X X تربية
زيدي اتنين X على X تربية ناقص واحدبنجيب مشتقتها
يبقى مشتقتها هي عبارة عن مشتقت خارج قسمة دالتين
يبقى ال y prime يساوي المقامفي مشتقة البصد مشتقة
البصد اللي هو اتنين اكس زائد اتنين ناقص البصد اللي
هو اكس تربية زائد اتنين اكس في مشتقة المقام اللي
هو باتنين اكس كل هذا مقسوما على مربع المقام الأصلي
تمام يبقى هذا الكلام بدي اعطينا Y' يساوي بدي احاول
اختصر اللي هو الكلكة اللي قدامي هذه فباجي بقول
اتنين X تكعيب زائد اتنين X تربيعنقص اتنين اكس نقص
اتنين، هذه فكية الجوس الأول الجوس التاني ناقص
اتنين اكس تكعيب وكمان ناقص اربعة اكس تربيععلى
المقام x تربية ناقص واحد لكل تربية يبقى ال y prime
يبقى يساوي 2x تكييب و ناقص 2x تكييب مع السلامة عند
2x تربية و ناقص 4x تربية يبقى ناقص 2x تربيةنقص
اتنين X نقص اتنين في غيرهم على X تربيع نقص واحد
لكل تربيع اختصارات مافيهش يبقى بروح و بخليها زي ما
هي نمرأ ايه؟ بدنا Y تساوي X تربيع زائد تلاتةفى جدر
ال X ناقص تلاتة فى تلاتة X أسطلتين ناقص اتنين
فكرلى
كيف انه نشتق هذه الظلةهذه الدالة مش دالتين وانما
بدل الدالة تلات دوال، يعني حاصل ضرب ثلاث دوال،
بدنا نيجي نشوف كيف نشتقهمطبعاً في أكثر من اقتراح
الاقتراح الأول نضرب هذول اتنين في بعض و بعدين يصير
مشتق تتحصل ضرب دلتين او نضرب اتنين هذول في بعض و
بعدين يحصل ضرب دلتين او تضرب اي اتنين في بعض و
بعدين يحصل ضرب دلتين او نضرب التلاتة في بعض ثم
نشتق هذه وجهة نظر تمام؟ لكن هناك وجهة نظر أخرى وهي
المشتق الأولزائل التاني والتاني وزائل الأول
والتاني يعني كيف نشتغل الأول والتاني يعني يعني
الأول والتاني نشتغل على زائل الأول والتاني زائل
التاني والتاني طب والتالت لو نشتغل الأول والتاني
التالت أين بدي يروح؟يعني نشتق اتنين و نثبت واحد،
صحيح هذا الكلام، اه ايوة ايوة تمام تمام يبقى زميلك
و هذا شو اسمك انت؟ محمد؟أبو ايه؟ عمد أبو نصر. عمد
أبو نصر تمام؟ انتظر على السؤال فبيقول ما يأتيك
عندي تلت أقوات بيقول بطول القص و بثبت اتنين على
عكس ما اقول انت بتشتق اتنين و تثبت واحد، لأ هو
جالك بشتق واحد و بثبت اتنين، بعد هيك بدي بشتق اللي
فالنص و بثبت اللي قبله و اللي بعده، بعد هيك بدي
للاخير و بشتق الأخر و بثبت الأولوالثاني هو فعلا
هادي مستوحى من مشتقة حاصن ضرب دالتين بالضبط تماما،
يبقى على طول الخطوط، لا تغلبش عليك ولا تضرب ولا
وانت بتجمع بعد عملية الضرب غلط ولا عليك، لا لا لا
فيش أسال من هناك، بدي اشتق الأول، يبقى الأول قداش
2Xوثبت القوسين الآخرين اللي هو جدر ال X ناقص تلاتة
في تلاتة X أس تلتين ناقص اتنين زائد الأول بدي
أثبته زي ما هوفى مشتقة الثانية اللى هو واحد على
اتنين جذر ال X ثمين فى التالت زى ما هو له تلاتة X
أسطلتين ناقص اتنين زاد الجثين الأولانيات زى ما هم
X تربيع زائد تلاتة ثمينفي جذر ال X ناقص تلاتة في
مشتقة الأخر مشتقة سالب اتنين مع السلامة وهذا تلاتة
في طلتين X والسالب طول يبقى تلاتة في طلتين
طبعا تلاتة مع تلاتة بتروح و بيقول بس اتنين X أسالب
تلت يبقى هي المشتقة طبعا هذا بيسهل الشغل بعد هيك
لو كانوا بدل التلات أقواص أربع أقواص أو خمس أقواص
أو ستة أو جد ما بدكفاضل واحد واتثبت الباقي، فاضل
التاني واتثبت اللي جابله واللي بعده، فاضل التابت
واتثبت اللي جابله واللي بعده، بيكون فاضلت ولا تروح
تضرب ولا تجسم ولا تغلب حالك، طبعا؟ طيب، نيجي
للمثال الثاني example 2
حاجة اسمه إلى نقطتين النقطة a find the second
derivative المشتق
الثاني of y تساوي x تربيع ناقص x أس تلتي
يبقى بدنا المشتقة الثانية لمن؟ ل X تربيع ناقص X أس
تلتين بقولها بسيطة يعني بدنا نشتق هذه الدالة كم
مرة مرتين يبقى بداشي أقوله Y prime اتنين X ناقص
تلتين X أس كده؟ كده؟تلتين سالب واحد كده ايش بيظل؟
سالب تلت ثم بعد هيك بروح اجيب مين؟ مشتقة ثانية
يبقى المشتقة الثانية Y double prime تساوي مشتقة
الأولى باتنين وهذه ناقص تلتين مالاش دعوة وهذا سالب
تلت Xسالب تلت سالب واحد يعني سالب واحد و تلت يبقى
سالب اربع على تلتة يبقى قلة النتيجة الاتنين ناقص
فناقص بزايد اتنين على تسعة اكس او سالب اربع على
تلتة نمر
بي find
الـ y to the derivative m for the function لدى ال
y تساوي واحد على x زي التلاتة
مشان أجيب المشتقة النونية نروح أجيب المشتقة الأولى
و التانية و التالتة و الرابعة و الخمسة لغاية ما
اهتدي إلى شكل المشتقة النونية كيف كانت تالية
solution؟
الان بده يجي الى Y' يساوي مشتقة هذه سالب واحد على
X زائد تلاتة لكل تربيع في مشتقة ما ده ما الا اللي
هو المقام اللي هو بقداشي بواحد يبقى النتيجة صارت
سالب واحد على X زائد تلاتة لكل تربيع
بنروح نجيب المشتقة الثانية يعني يا شباب هذه كأنها
ايش؟ كأنها سالب X زائد تلاتة كله سالب اتنينطيب هده
هي الـYW' هي السالب اللي برا وهي سالب اتنين وهي
الجس زي ما هو وبدنا نطرح منه واحد بيصير السالب
اتنين سالب واحد سالب تلاتة في تفاضل مداخل القس
اللي هو الجداش بواحد يعني في الـDV على DX اللي هو
بواحد يبقى النتيجة صارت اللي هو اتنين X زائد تلاتة
وسالب تلاتةالسلام عليكمطيب بدنا نروح نجيب المشتقة
التالتة يساوي هاي اتنين اللي برا وهاي سالب تلاتة و
هذا ال X زائد تلاتة أس سالب كدهش؟ سالب تلاتة سالب
واحد اللي هو سالب أربعة في مشتقة مداخل القوس اللي
هو بواحد طيب الآن لو جيت المشتقة الرابعةيساوي
اتنين في سالب تلاتة في سالب اربعة في ال X زائد
تلاتة قص سالب خمسةما .. وين اللي مضربنهاش؟ وين
اللي محطنهاش؟ التالتة هي التالتة هي اتنين سالب
تلاتة فيكس زي اربعة سالب تلاتة سالب واحد سالب
اربعة كيف مكتبنهاش عاد؟على كلام كان سليم مائة
بالمائة، لا غبار عليه، تمام؟ طيب، بس تنى شوية،
الآن هذا ويه الساوي، سلب في سلب الموجب يبقى اتنين
في تلاتة في اربعةfix زائد تلاتة كله أساليب خمسة
إيش رأيك بدي أصيغ هذه الصياغة أخرى لو رجعنا هيك في
الهمش للثانوية العامة بقينا نقول مضروب الأربعة
أربعة في تلاتة في اتنين في واحد مش هيك بيناجي أول؟
صح؟ يعني كنت تكتبوها هيك و الله واحدة و نقطة مش
هيك يعني فهي ممتازة يعني يبقى مضروب الأربعة اللي
هو أربعة في مضروب التلاتة هيك كنت تكتبوها أو أربعة
في تلاتة في مضروب اتنين
4×3×2×1 4×3×2×1 4×3×2×1 4×3×2×1 4×3×2×1
4×3×2×1
هذه هي السلب برة اتنين في تلاتة مش هي مضغوبة تلاتة
ايضا لان تلاتة في اتنين في واحد اذا هذه تلاتة
factorial في ال X زائد تلاتة كله أس سالب أربع لو
جيت لهذه أليست هذه هي اتنين factorial في X زائد
تلاتة كله أس سالب تلاتة؟هذه أليست هي واحد
factorial فاهمين؟ fixed زي التلاتة او ناقص اتنين
طيب ممتاز اذا لو ضلت ماشي على الشكل هذه هوصل
للمشتقانونية what's the matter استنى شوية عدت عشان
اجيب شكل المشتقانونية بدي اقارنبين نتائج التي
توصلت اليها هذا المشتقة كده ايش؟ اربعة النتيجة
اربعة factorial X زي تلتة أس سالب خمسة يبقى اربعة
اربعة سالب خمسة تعال خد المشتقة التالتةتلاتة
factorial بس بشرط سالب، وهنا كده؟ سالب أربع، تعليل
المشتقة التانية، اتنين factorial والسالب تلاتة
الجوز، تعليل Y prime، يبقى واحد factorial X زي
التلاتة يسوى سلب اتنين، يبقى المباحظ ما يأتيحد
موجب، حد سالب، مش كله موجب ولا كله سالب، مرة موجب،
مرة سالب، مرة موجب، مرة سلب، اي واحدة، اتنين،
رتبتي المشتقة هي تبعت ال factorialمشتقة رابعة
اربعة factorial المشتقة التانية التانية factorial
المشتقة الأولى واحد factorial اتنين والله تلاتة ال
ghost في الحالات الأربعة زي ما هو بس اللي بتغير
main plus في حالة المشتقة الأولى كان سالب اتنينفى
عادة المشتقة التانية كان سالب تلاتة فى عادة
المشتقة الرابعة كأه فى المشتقة التالتة صار سالب
أربعة فى عادة المشتقة الرابعة صار سالب خمسة و هكذا
إذا بناء على هذه المقارنة بقدر أكتب شكل المشتقة
النونية يبقى يا باجي بقول سالب واحد to the power n
و بدي أرجعلها لسه أتأكد شغل صح و الله غلطأربعة
أربعة factorial تلاتة تلاتة factorial يبقى N N
factorial ال X زائد تلاتة زي ما هو المشتق الرابعة
بسالب خمسة يبقى بدأ يقول سالب N وكمان سالب واحد
يعني المشتق قد يبدأ يحطه بشرة سالب وأطرح منها واحد
الرابعة بصالب خمسة، التالتة بصالب أربعة، التانية
بصالب تلاتة، الأولى بصالب اتنين وهكذا، يعني أقل من
رتبة المشتقة ضمن بصالب واحد، الرتبة بصالب وكمان
تطرح منها صالب واحدنرجع لهذا تأكد شغلي صح و لا
غلط، إن كان صح كلبها، إن كان غلط بنعمله التصحيح
اللي لازم، بدالي أقول لو بدى المشتقة الأولى، يبقى
مكان الإناش بده أحط واحد، يبقى Y prime، يبقى بده
أحط هنا واحد وهنا واحد، يبقى واحد بصير هذه سالب،
الجواز والسالب اتنينسالب الجوس السالب اتنين اللي
المشغل اه والله هذه مظبوطة تمام نسيت السلب بس هنا
يعني تمام؟ بنجر مين؟ لو كانت ال N بإتنين يبقى هذه
السالب واحد تربية بالموجب بصير اتنين factorial X
زي التلاتة و السالب تلاتة لأن ال N بإتنين سالب
اتنين سالب واحد سالب تلاتة يبقى ال Y double prime
بصير اتنين factorial X زي التلاتة والسلب اتنين
وهكذا بلاحظ الكلام هذا صحيح دائما وابدا إذا
المشتقة النونية يسلب واحد أس ان ان factorial في X
زي التلاتة to the power سلب ان سالب واحد طيب لو
نجيت الإشارة حسب ما نكاتب مش صحيحةيعني لاجئة
المشتقلة و لا بدل ما هي سالب لاجئتها موجبة كيف
تصحيها بكل بساطة بس جبل انكتب زائد واحد تبقى خلصت
منها المشكلة دائما انا بحط اس ان لاجئتها مظبوطة
كان بها ما لاجئتها بس بضيف واحد بصير مظبوطة تمام
مائة بالمئة هذا السؤال اللي كنت تسأله و لا غيره
الاشتغال بقى عشان أقول X زي أتردد كله سلب M ومتصفر
الداخل دولةأحنا ما خدناش تقول X زي كتبة احنا ما
خدناش تقول X زي كتبة احنا ما خدناش تقول X زي كتبة
احنا ما خدناش تقول X زي كتبة احنا ما خدناش تقول X
زي كتبة احنا ما خدناش تقول X زي كتبة احنا ما خدناش
تقول X زي كتبة احنا ما خدناش تقول X زي كتبة احنا
ما خدناش تقول X زي كتبة احنا ما خدناش تقول X زي
كتبة احنا ما خدناش تقول X زي كتبة احنا ما خدناش
تقول X زي كتبة احنا ما خدناش تقول X زي كتبة احنا
ما خدناش تقول X زي كتبةإن شاء الله تشيروني حد بدي
أسأل تاني؟ المشتق اللي هو واحد على اثنين جاذر ال
X؟ المشتق
اللي هو واحد على اثنين جاذر ال X؟ المشتق اللي هو
واحد على اثنين جاذر ال X؟ المشتق اللي هو واحد على
اثنين جاذر ال X؟ المشتق اللي هو واحد على اثنين
جاذر ال X؟ المشتق اللي هو واحد على اثنين جاذر ال
X؟ المشتق اللي هو واحد على اثنين جاذر ال X؟ المشتق
اللي هو واحد على اثنين جاذر ال X؟ المشتق اللي هو
واحد على اثنين جاذر ال X؟ المشتق اللي هو واحد على
اثنين جاذر ال X؟ المش
أي سؤال بده مشتقة العاشرة الـ20% بنشوف النتيجة هنا
وبنعمل مقارنة وبنقل عليها بنستنتجها سواء كان
الـSin أو الـCos أو جدر الـX أو أي شغلة من الشغلات
هذه شوف مادام الشقاق بطلقلك نفس الدالة بس بتغير
الأس لازم يكون في شكل المشتقة أنونيا
الإشارة عندي ناقص واحد، حاطيتها وص إن، مظبوط؟ يبقى
هذه بحطها لأي إشارة بعد ذلك، مدام موجة بسالب موجة
بسالب، بحط هذه، إذا والله لاجيتها، لما أتيت عوض
مستقلة والتانية والتالتة، لاجيته الصحيح، يبقى
الوضع صحيح، لاجيتها غلط، بس للأس هذا بحط إن زائد
واحد، والباقي كما هو، يعني اللي كانت موجة بصير
سالب، واللي كانت سالب بصير موجة، بتطلع معناة دورية
ماشى يا سيدي طيب ننتقل الى المثال اللى يليه المثال
اللى بعده مثال رقم تلاتة يبقى تلاتةبقول الف ال F
of اتنين يساوي اتنين and ال F prime of اتنين يساوي
تلاتة and ال F prime of اتنين يساوي تلاتة find
وجدلي الي هو Dy by DX for
نجي الان للمشتق اللي عندنا هذا يبقى solution
الان في ان y يساوي f of x علي x تربية زايد f of x
عند x يساوي اتنين مطلوب قداش مقدار المشتق عند x
يساوي اتنين اذا بدنا نروح نشتق الدالة و نعوض
بالمعطيئات اللي موجودة عندنا يبقى ال y prime يساوي
هذه خارج قسم الدالتين يبقى المقام في مشتقة البسط
ناقص ال bus في مشتقة المقام 2x زائد f prime of x
كل هذا مقسوم على مربع المقام الأصلي لكل تربيةبعد
هيك بدنا نروح نجيب ال y prime عند x يسوي كده؟ 2
يبقى بدنا نشيل كل x ونحط مكانها 2 يبقى هذا الكلام
بد يسوي 2 تربيه زائد ال F of 2 في ال F prime of 2
ناقص ال F of 2 اتنين في اتنينزائد F prime of اتنين
كله مقسوما على اتنين تربيع زائد F of اتنين الكل
تربيع النتيجة تساوي اربعة زائد F of اتنين مقطع
اللي هو بقداش باتنين F prime of اتنين اللي هي
بقداش بتلاتةيبقى مضروب فيه تلاتة ناقص F of 2 ب2
أربع زائد F prime of 2 اللي هو بتلاتة كل هذا
الكلام مقسوما على اللي هو أربع زائد F of 2 ب2 الكل
تربيةنجا اتنين زي اربعة ستة في تلاتة اب تمانتاشر
ناقص تلاتة و اربعة سبعة في اتنين اب اربعة طاشر كل
هذا الكلام على ستة و تلاتين يبقى على ستة و تلاتين
بيضل اربعة على ستة و تلاتين يقبل جواب قداش تسوى
يبقى النتيجة تساوي تسوىيعني انت بدك تحاول تستخدم
المعطيات اللي عندك بالطريقة المناسبة ال dash tag
بعد هيك اعوض باتنين بعد هيك اروح استخدم المعطيات
اللي عندي للحصول على الإجابة المطلوبة كان هذا هو
المثال رقم تلاتة بدنا نروح لمثال رقم أربعة مثال
رقم أربعة بيقول ما يأتي
مثال رقم اربعة بيقول find an
equation for the line perpendicular اللي
بيكون عمودي perpendicular to the tangent
to the tangent of the curve المنحنة y تساوي x تكيب
ناقص أربعة x زائد واحد at the point عند النقطة
اتنين واحد نمرى ب
بقول find equations
for
the tangents for
the tangents to the curve to
the curve at the pointsعند النقاط at the points
where the slope is تمانية
سؤال مرة تانية سؤال فيه مطلوبين المطلوب الأول
بيقول هات لمعاد الخط الذي يكون عموديا على مماثل
منحنى y يساوي x تكيب نقص 4x زاد 1 عند النقطة 2 و1
يعني انا في عندي منحنى في مماس في نقطة تماث في
عمودي عند نقطة التماس اللي هو 2 و1مش هجيب معادلة
العمودي بدي ميله و نقطة واقع عليه نقطة واقع عليه
هي الموجودة بضل قداش ميله ميله بدي اجيبه من مين
لمينعن طريق ميلي المماثل المنحنة لأن عندي قاعدة في
الهندسة التحليلية بتقول حاصل ضرب ميلي المستقيمين
المتعمدين يساوي إذا بدأت أستخدم القاعدة في الحصول
على ميلي العمودي ومن ثم أروح أجيب معادلته
معادلات المماثات للمنحنة المعادلة المماثات للمنحنة
المعادلة المماثات للمنحنة المعادلة المماثات
للمنحنة المعادلة المماثات للمنحنة المعادلة
المماثات للمنحنة المعادلة المماثات للمنحنة
المعادلة المماثات للمنحنة المعادلة المماثات
للمنحنة المماثات للمنحنة المماثات للمنحنة المماثات
للمنحنة المماثات للمنحنة
المماثات للمنحنة المماثات للمنحنة المماثات للمنحنة
المماثات للمنحنة
يبقى هذا الكلام بده يساوي اللي تلاتة X تربية تلاتة
X تربية ناقص أربعةالان هذا يسوي ميل المماس للمنحنة
يبقى هذا يسوي slope of the tangent عند اي لحظة طب
انا بدي slope of the tangent وين؟ عند النقطة اتنين
وواحد يبقى باجي بقوله the slope ofthe tangent at
the point
يبقى هذا الكلام يسوى تلاتة في اتنين تربية ناقص
اربعة اربعة في تلاتة في اتناشر ناقص اربعة يسوى
تلاتة في اتنين تربية ناقص اربعة يبقى هذا الاسلوب
تبع ال tangent هذا لو رحت اعطيته الرمز M1الان انا
عندي حاصل ضرب ميلي المستقيمين المتعمدين يساوي كده؟
سالب واحد بما ان حاصل ضرب الاول في التاني يساوي
سالب واحد هذا بده يعطيناانه تمانية في M اتنين
يساوي سالب واحد يبقى M اتنين يساوي سالب تمان يبقى
هذا الاسلوب of the perpendicular line
to the tangentيبقى هذا ميل العمودي على مين؟ على
الممسك النقطة المعروفة والميل معروف إذا بقدر أجيب
معادلة العمودي يبقى هنا from the equation Y ساوي M
في X ناقص X node زائد Y node the equation
of the perpendicular line
is y تساوي الميل له قداش سالب تمان في ال X ناقص
اتنين زائد واحدهذه المعادلة انتهينا منها لكن بدي
اعيد ترتيبها فبقول لو ضربنا كله في تمانية بصير
تمانية Y يسوى ناقص X زائد اتنين زائد تمانيةدربنا
كله في من؟ في تمانية او صار معادلة العمودي هي
تمانية Y يسوى ناقص X زائد عشرة هذه هي المعادلة
المطلوبة ويتالى خلصنا الجزء الاول من المثلة بداخل
الجزء التانيالجزء التاني قال لي هاتلي معادلة
المماثات كل المماثات اللي مالها يساوي كده؟ يساوي
تمانية، مدام المال يساوي تمانية، إذا بدي أجيب
النقاط اللي المال عندها يساوي كده؟ يساوي تمانية،
لما نجيب للنقاط والمال معروف، بصير سهل يجيب معادلة
هذه المماثات، فبعدين بقوله ما يأتي، بدنا نحاولنجيب
احداث النقاط هذه الان الاسلوب اللى هو بده يساوي ال
dy على dx اللى هو مين اللى هو تلاتة x تربية ناقص
اربعة يساوي كده؟ يساوي تمانية طبعا x هذه عند اى
نقطةIn general هذه المعادلة هتعطيني تلاتة X تربيع
يساوي كده؟ 12 يبقى X تربيع يساوي 4 يبقى ال X بدها
ساوي زائد او ناقص 2 يبقى عندي كام نقطة بصير
للتماث؟ نقطة 2 يبقى النقطة الأولى F X يساوي 2ثم
لماذا تساوي واحدة اظن؟
فالـ X يسوى سالب اتنين ثم الـ Y يسوى سالب اتنين
الكل تكيب سالب اربعة في سالب اتنين زائد واحد و
يسوى كمان جداش واحد يبقى أصبح عندي نقطتين للتماث
The points of tangency
النقاط التماس هي 2 و 1 and سلبي 2 و 1 يبقى كم مقسم
دي؟ 2 يبقى بقى دي بقوله the first tangent is y سوى
الميل قداش؟بنعطيها تمانية يبقى اي تمانية في X ناقص
اتنين زائد الواحد او ال Y تساوي تمانية X ناقص
ستاشر زائد واحد يبقى ال Y يساوي تمانية X ناقص
خمستاشرهذا المماس الأول نجيب المماس الثاني the
second tangent المماس الثاني و أيه سوى نفسي المية
اللي هو قدراش تمانية يبقى أيه تمانية فكس ناقص ناقص
اتنين زائد واحدأو ان شئتم فقولوا Y تساوي تمانية X
طبعا نقص نقص اتنين بزايد اتنين في تمانية بستاشر
زايد واحد او Y يساوي تمانية X زايد سبعتاشر تمام؟
طب ده اسألكوا سؤال هل الممثلين هدول متوازين؟
متوازين؟ مش عارفين الشباب؟ ما هي ما اعطيك نفس
الميلي اللي هو تمانية وما هي المعامل تبع ال X هو
الميلي ويساوي تمانية إذا مادام نفس الميلي يبقى
الممثلين متوازين وعطيتكوا مثال قبل ذلك وطلعوا
ورسمتوا زيادة وقلت لكوا وبينتوا كل ممثل متوازينهو
الـ X نفسه، 2,3,1 هنا والله فوق، فوق، فوق، فوق،
فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق،
فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق،
فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق،
فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق، فوق،
المثال الأخير في هذا ال section بيقول ما يأتي مثال
خمسة find
the values of
a and b if the tangent
the tangent to the curve
للمنحنة y تساوي ax تربية زائد bx has slope برضه
تمانية at the point واحد وخمسة
سؤال مرة ثانية بيقول هاتلي قيمة a و b إذا كان
المماس للمنحنة ميله تمانية عند هذه النقطة أنا عندي
مجهولين ومعطيني الميل وعند النقطة هذه يبقى بدي
أروح أشتق مش هنجيب ال slope يبقى أول خطوة بدي
أقوله y prime يساوي اتنين a x زائد bالان y' عند من
عند x يساوي كم؟ يساوي واحد يساوي كم؟ يساوي تمانية
الاسلوب يساوي تمانية عند النقطة هذه هذا ايش معناه؟
هذا معناه انك تشيل كل x و تضعه في مكان كم؟ واحد
يبقى اتنين a في واحدزائد بيه يساوي كده؟ تمانية
يبقى صار اتنين ايه؟ زائد بيه يساوي تمانية طيب هذه
معلومة تربط بين المجهولين الاتنين بدنا كمان معلومة
النقطة هذه النقطة في التماس تقع على المماس وتقع
على المنحنة إذا تحقق معادلات المنحنة إذا andأت
اللي هي النقطة واحد وخمسة ويهاب يبقى بده يشيل ال Y
ويحط مكانها خمسة ويشيل X ويحط مكانها واحد يبقى
خمسة بدها تساوي A في واحد تربيه زائد B في واحد هذا
بده يعطيك A زائد B بده يساوي كده؟ بده يساوي خمسة
طيب الان انا عندي معادلتين اتنين a زائد b يساوي
تمانية شو رايك انا بضربها في سالب واحد بصير سالب a
سالب b يساوي سالب خمسة و اجمع يعني بدي احل
المعادلتين الاتنين هدول مع بعض بطلع عندي جداش ال a
يساوي تلاتةأجمع بضل عندي هنا a و بضل عندي هنا
تلاتة طيب لما a تسوى تلاتة بي تسوى خمسة نقص تلاتة
اللي هو الجداش اتنين and ال b يسوى اتنينلاحظ هنا
انتهى هذا ال section اللي هو التلاتة تلاتة وإليك
أرقام المسائل
هي في الزاوية عندك يبقى exercises تلاتة تلاتة
المسائل التالية من واحد لواحد وخمسين الأد و بنضيف
عليها كمان اللي هو من خمسة وخمسين لتمانية وخمسينو
كذلك من واحد و ستين لغاية اربعة و ستين واحد و ستين
لغاية اربعة و ستين والان بنروح ل section تلاتة
اربعة بنقول الله يسهل عليك و بنروح لتلاتة خمسة
اللي هو ال derivatives of
مشتقة الدوال المثلثية اول شي قبل ما نبدأ في مشتقة
الدوال المثلثية نذكر في شغل اخدناها قبل ذلك الشغل
هذهit should be noted that
limit لصين ال X ع ال X لما ال X تروح لزينه يساوي
كده؟ واحد هذه مرت علينا قبل هيكبدي اخد مثال عليها
وبعد هيك نروح لمين لمشتقة الدوال المثلثية بدي ال
limit لما ال X بدها تروح لل zero ل cosine ال X
ناقص واحد على مين على X شوفوا
يا زيديطبعا الطاولة المباشرة بيجيب 0 على 0 لكن انا
بدى اكتب هدى على الشكل التالي شو
رايك اخد سالب عامل مشترك بصير limit لما ال X بده
تروح ل 0 للواحد ناقص cosine X على X سويتش اشي ولا
حاجة حتى الان بده ضرب في مرافق ال bus طبعا كده ضرب
ليشمشان اخلق النظرية هذه مشان اقدر استخدمها يبقى
هذه لو روح ضربت في المرافق واحد زائد cosine ال X
على واحد زائد cosine ال X يبقى هذه بدها تسوي ال
limit لما ال X بدها تروح لوين؟ ل Zero لمن؟ للبسط
فرق بين المربعينواحد ناقص cosine تربية ال X على X
في واحد زائد cosine ال X أو هذا سالب limit لما ال
X بده تروح ل zero واحد ناقص cosine تربية من حساب
المثلثات لو sin تربية ال X على X في واحدزائد
cosine ال X أول متطابقة مثلثية أخدناها في section
واحد تلاتة كان cosine تربيه ال X زائد sine تربيه
ال X يساوي قداش واحد إذا واحد ماقص cosine تربيه ال
X هي sine تربيه ال X إذا هداني خلقت في المثلةصين
ال X على X يبقى هذه الصارت على الشكل التالي هي
السالب وهي limit لما ال X بدها تروح ل 0 لصين X على
X في صين X على 1 زائد Cos Xالان بدأ ادخل ال limit
علي كل منهما يبقى هذا الكلام يساوي سالب limit لما
ال x بدأ تروح لل zero ل sine ال x على x في limit
لما ال x بدأ تروح لل zero ل sine ال x على واحد
زائد cosine ال x ال limit هذا كده؟هي فوق عندي
بواحد صحيح يبقى هاي السالب وهي واحد هذه في قداش
Zero على واحد زائد واحد النتيجة كلها قداش Zero كده
من الأن فصاعدا limit هذه كلها بتساوي قداش Zeroطب
شو دخل هذا في ال trigonometric؟ اه هذه الأزمالي و
هذه الأزمالي الآن في البرهان في إثبات مشتقة الدوال
المثلثية إذا بدنا نيجي نستخدم التنتين هدول في
إيجاد مشتقة الدوال المثلثية المختلفة
بدنا نجي لأول مشتقة من هذه المشتقات
الـ F prime of X يسوي كده؟ Cos X يعني مشتقة الجيب
هو مين؟ جيب التمام بدنا نثبت صحة هذا الكلام بدنا
نرجع للإثبات للتعريف يبقى احنا كان عندنا F prime
of Xيسوي ال limit لما ال H بده تروح لل zero لل F
of X زي ال H ناقص ال F of X كله على H مش هذا كان
التعريف اللي لناالـ F of X هي من؟ صين الـ X إذا
بدي أجي على الصين أشيل كل X و أحط مكانها X زائد H
يبقى الـ F prime of X يساوي ال limit لما الـ H
بدها تروح لـ Zero بدي أجي على الصين أشيل الـ X و
أكتب مكانها X زائد الـ H الـ F of X زي ما هي الصين
X كله على من؟ على Hتعويض المباشر بيجيب لـ 0 على 0
لإن الـ sine is 0 بـ 0 و ال H بـ 0 بيصير 0 ناقص 0
على 0 و ما شاء الله عليها كمية غير معينة يبقى
استخدم صلاحياتك و اشتغل الشغل اللي بدكيه H بدأ
تروح لـ 0 لو رجعنا بالذكرة إلى الوراق هذا الـ sine
back graphic و الـ sine cosine زاد cosine sineيبقى
هذا بقدر اقول هو عبارة عن sine ال X في cosine ال H
ماله زائد إشارة زائد يبقى بطلها زائد كما هي cosine
ال X في sine ال H هذا مفكوك الأول ناقص sine ال X
كما هو كله مقسوما على مين على H يسوى ال limit لما
ال H tends to zero طلعلي للمقدار الأول والأخيريبقى
بينهم sin x عامل مشترك يبقى هذا sin x عامل مشترك
يبقى cos h ناقص واحد زائد cos x في sin h كله مقصوم
على مين؟ على h بدى اوزع ال limit لترمز
يبقى هذا ال limit لما ال H بده يروح ل 0 لمن؟ ل sin
X cos H ناقص واحد على H زاد limit لما ال H بدها
تروح ل 0 لcos X في sin H كله على H يساويالـ limit
هذه لمين؟ لكل حاجة فيها H أي حاجة فيها H تعتبر
مقدار ثابت بالنسبة لمين لل limit ونهاية المقدار
الثابت بالمقدار الثابت itself السؤال هو sign ال X
هذه إيها علاقة بال limit هنا مافيها Hيبقى هذا
يعتبر مقدار ثابت بقوله شرفنا مرة يبقى هذا sin X
باقية limit لما ال H بده تروح ل zero لcos H ناقص
واحد على H زاد هذه بنفس الطريقة cos X برة limit
لما ال H بده تروح ل zero لsin H على Hهذا الكلام
يساوي صين ال X في هذا ال limit هيكداش؟ Zero يبقى
هذه Zero الله يسهل عليها Z Cos X وهذه بقداش؟ يبقى
النتيجة تساوي Cos X إذا من الأن فصاعدا مشتقة Sin X
هي بقداش؟ بCos X كيف؟ مين اللي بيحكي سامعني؟
سامعني إيش بتقول؟كل حاجة بأثبتها قدامك مطلوبة اللي
بأثبتهاش مسامحينك فيها وإذا بدك تسير من .. أنا مش
مسامحك وإذا بدك تسير من أهل العلم حتى اللي
بأثبتهاش بتروح تثبتها طيب نمره اتنين F ال F of X
يساوي cosine ال X thenالـ F prime of X بسالب صين
الـ X يالا يا محمد العشي والكلام للسامعين لبروف
بدنا ال F prime of X يبقى ال limit لما ال H بدها
تروح ل zero لمين؟ لcos X زائد H ناقص cos X كله على
Hمش هيك التعريف؟ اه يطبق ده مباشرة يبقى هذا الكلام
بده يسوي ال limit لما ال H بدها تروح ل zero تمام؟
بده افك ال cosine، cosine، cosine سالب، sine، sine
يبقى cosine ال X cosine ال H ناقص sine ال X في
sineالـ H ناقص Cos X كل هذا على H يساوي Limit لما
الـ H بدها تروح لـ Zero برضه ال term الأول والأخير
بده ياخد Cos X عام المشترك يبقى Cos X عام المشترك
وضل Cos H ناقص واحدعلى H ناقص limit لما الـH بده
تروح لـ0 لمين؟ لـsin X في sin H على H مرة ثانية
هذا القصيد مالهوش دعوة بطله برايبقى هذا cosine ال
X في limit لما ال H بده تروح لل zero ل cosine ال H
ناقص واحد على H ناقص sine ال X برا في limit لما ال
H بده تروح لل zero ل sine ال H على Hيبقى هذا
cosine X وهذا كم؟ بزرع ناقص sine X وهذا كم؟ بواحد
يبقى النتيجة ناقص sine X يبقى من الأنفا صاعدا
مشتقة ال cosine بسالب sineلحد هنا الاشتقاق من خلال
التعريف الله يعطيك العافية مكفي بدنا نشتق بطريقة
أخرى يبقى بدنا نيجي لنمرة تلاتة بدنا D على DX لتان
ال X يبقى باجي بقوله D على DX ليه؟الان بقدر اكتبها
بدلالة الـSin والـCos وبالتالي بقدر استخدم نتيجتي
ال derivative اللي عندنا يبقى هذا الـSin X على Cos
X الان هذه مشتقة خارج قسم الدالتينيبقى هذا الكلام
يساوي المقام في مشتقة البصد ناقص البصد اللي هو sin
X في مشتقة المقام ال cosine بسالب sin X كله على
مربع المقام الأصليالنتيجة تساوي cosine تربيع ناقص
فناقص بزايد sin تربيع ال X كله على cosine تربيع ال
X cosine تربيع ال X زايد sin تربيع ال X من أول
متطابقة الجديد بواحد صحيح يبقى النتيجة واحد على
cosine تربيع ال X ال cosine مقلوب منسك يبقى هذا
الكلام بدي يساوي سك تربيه على ال X يبقى من الألف
صاعدا مشتقة التاني بقداشاذا good exercise لك اللي
هو نمرة أربعة exercise لك بدك تثبتلي ان دي على DX
لمين لكتان ال X اللي دي على DX لكسين ال X على سين
ال X يسوى سالب كسيكن تربيع ال Xبنفس الطريقة هيك
عملتلك المقام في وشطقة ال bus نقص ال bus في وشطقة
المقام على مربع المقام الأصلي وعطيتك النتيجة بنجي
لخمسة بدنا d على dx لمن لسك ال x يبقى d على dx
السكة مر عن مين واحد على cosineقبل شوية قلنا مشتقة
واحد على V سالب واحد على V تربية في DV على DX يبقى
سالب واحد على cosine تربية ال X في مشتقة ال cosine
سالب sin Xإذن النتيجة تساوي سالب في سالب بموجب sin
X على cos تربيع X اللي بقدر اكتبها على الشكل
التالي واحد على cosine X في sin X على cosine X
واحد على cosineبسك الاكس صين عكو صين تاني الاكس
بسك ال X في تان ال X، آخر حاجة، good exercise لك،
لكن ايه؟ D على DX لا cosecant X، يعني D على DX ال
cosecant الواحد على صين Xيبقى السالب كثيقة ال X
كتان ال X يبقى أصبح مباركة لك كل مشتقة الدوال
المثلثية الستة إذا نحن ناخد بعض الأمثلة على هذه
الدوال المثلثية الستة
أول مثال بيقول ما يأتي example
one find
y prime for eachof the following ان المشتق لكل مما
يأتي نمرة واحد Y تساوي X في cos X ناقص X تربيع في
sin X فتح معايا كويس يبقى solutionبالنواية prime
يساوي هذه تعتبر حاصل ضرب دالتين يبقى الدالة الأولى
في مشتقة الدالة الثانية ففضل cosine بسلب sin X
زائد الدالة الثانية في مشتقة الأولى لواحد صحيح
خلصنا منها ناقص دالة الأولى في مشتقة الدالة
الثانيةهيناقص للكل زائد الدالة الثانية في مشتقة
الدالة الأولى اللى هى اتنين X بهذا الشكلنعيد
ترتيبها y' يسوى ناقص x في sin x زائد cos x ناقص x
تربيع في cos x ناقص 2x في sin x
وهذا نفس الشيء يبقى سالب تلاتة x في sin x زائد
cosine x ناقص x تربيع في cosine x
النقطة الثانية y تساوي cosine تربيع x على 2 ناقص
sin تربيع x على 2 طلع
عليه كويس احنا طوأ خدنا مشتقة الدول المثلثية الستة
لكن مااخدناش مشتقات مربعاتهافحصيح ولا لا؟ لكن لو
رجعنا بالذاكرة إلى الوراء بقينا نقول cosine 2x
يساوي cosine تربيع ال X ناقص sine تربيع ال X زو
اللي جوا نص اللي برا يبقى بناء عليه cosine ال X
ايش تساوي؟ cosine تربيع X على 2 ناقص sine تربيع X
على 2 هي هذه؟يبقى أصل المسألة Y يساوي من Cos X
خلاص يبقى فرطة يبقى بناء على Y' يساوي سالب Sin X
هذه ممكن اشتقها ان شاء الله بعد ما ناخد Chain Rule
ال section الجاي ونروحها نشتقها بدون ما نعمل الشغل
هذه على أي حال تلاتة Y تساويY تساوي X في صين X في
تاني X يبقى هذا مشتقة ايش؟ حاصل ضرب ثلاث دول قبل
شوية أخدنا مشتقة حاصل ضرب ثلاثة أقوات، متذكر؟ طيب
يالا نشوف، يبقى solution
الـ y' يساوي مشتقة الأولى بواحد بضال قداش sin x في
تان ال x زاد ال x مشتقة ال sin ب cos x في تان ال x
زاد اكس في صين ال X مشتقت التان بمين؟ بسكت ربيع ال
X في اختصارات؟ بالمرة؟طيب هذه sin X في تان ال X
زاد X أليست هذه هي sin X على cosine X إذا ال
cosine مع ال cosine بتروح بيبقى X في sin X هذه مش
فيها اي اشكالية يبقى X في sin X في سكتة ربيع X
هذا النقطة من نقطة التالتة النقطة الرابعة النقطة
الرابعة بيقول لي Y تساوي واحد زائد تان ال X على
واحد ناقص تان ال X بدنا نشتقها طبعا واضح هذه
مشتقتاش خارج قسم الدالتينيبقى باجي بقوله Y' يساوي
المقام في مين؟فى مشتقة البصر الواحد بـ0 والتان
بـsec تربيه ال X ناقص البصر واحد زائد تان ال X فى
مشتقة المقام سالب sec تربيه ال X كله على مربع
المقام الأصلي واحد ناقص تان X لكل تربيه
هذا الكلام يساوي نفك الأقواع السادى يبقى sector P
على X ناقص تاني X في sector P على X
نقص فنقص بزائد يبقى زائد سك تربيع ال X زائد تان ال
X في سك تربيع ال X كله مقسوما واحد ناقص تان ال X
لكل تربيعأظن هذا موجب وهذا سلب مع السلامة يبقى
النتيجة صارت Y' يسوى 2×6 تربية X واحد ناقص تان X
لكل تربية نقطة الخامسة Y تساوي تان X ناقص Xبنجيب y
prime يبقى y prime يصيب تفاضل ال 10 ب 6 تربيه ال x
و بتفاضل ال x طيب 6 تربيه اناقص 1 بقداش 10 تربيه
ال x النقطة السادسة y تسوى sign
ال xعلى واحد زائد cosine ال X طبعا خارج قسم
الدالتين يبقى ال Y' يساوي المقام في مشتقة البسط
ناقص البسطفى مشتقة المقام مشتقة الواحد Zero مشتقة
ال cosine سالب sine يبقى سالب sine ال X كله على
مربع المقام الأصلي واحد زاد cosine X لكل تربيع بدا
فك القوة السادة يبقى cosine Xزائد cosine تربية ال
X ناقص في ناقص يبقى زائد sine تربية ال X كله على
واحد زائد cosine X الكل تربية ويساوي cosine X زائد
طلّالي cosine تربيه زي cosine تربيه هذه كلها كمدهش
يبقى زائد واحد زائد cosine X لكل تربيه عظيم البسط
هو المقدار بين القوسين يبقى هذا الكلام دي ساعة
واحد على واحد زائد cosine X
طب المثال الثاني then find yw prime for each of
the following نمر
أيه؟ y تساوي x تربيع في صين ال xالأمثلة السابقة
كان كله بدنا المشتقة الأولى هنا بدنا المشتقة
الثانية يبقى solution مشان يجيب المشتقة ثانية لازم
يجيب المشتقة يبقى y prime يساوي حاصل ضرب داليتين
يبقى x تربيه في cosine ال x زائداللي هو اتنين اكس
ثمين في صين ال X بدنا نجيب المشتقة الثانية حاصل
ضرب دالتين و كذلك حاصل ضرب دالتين يبقى الدالة
الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد الدالة الثانية
في مشتقة الدالة الأولى الterm التاني زائد2x في
cosine ال X الأولى في مشتقة التانية زائد التانية
في مشتقة الأولى هي التانية و مشتقة الأولى اللي هي
باتنين يبقى آلة المثلة السالب x تربيع في sine ال X
زائد 2x في cosine ال X و 2x بيصير كده؟ أربعةx cos
x زيدي اتنين sin x مافيش غيرها طيب نمر بإيه؟ y
تساوم كسيكنت ال x لنقش اكتر من هيك كافي طيب
يبقى y prime سالب كسيكنت ال x كتان ال xبنواي
double prime سالب مانوش دعوة، خلّيه برا هذا حاصل
ضرب دلتين، يبقى cosecant لكس تفاضل كتان سالب
cosecant تربيع قبل قليل، يبقى سالب cosecant تربيع
لكسالدول المثلثية دير بالك مشتقتهم مثل ملح الطعام
لا يستغنى عنهم بدك تعرف مشتقت الدول الستة مثل اسمك
ال sine بي cosine ال cosine بي سالب sine ال tan بي
سيك تربيع ال cotan بي سالب cosecant تربيع ال sec
بي sec tan و ال cosecant بي سالب cosecant cotan زي
اسمك تكون عارفهطيب يبقى الدالة الأولى في مشتقة
الدالة الثانية زائد الدالة الثانية في مشتقة ال
cosecant له سالب cosecant ال X كتان ال X وهيقفلنا
القوسالان بداخل الاشارة جوا يبقى ناقص فناقص بزايد
كثيكان تكيب ال X هذا الترم الأول الترم التاني ناقص
فناقص كذلك بزايد اللي هو كثيكان تل X كتان تربيع ال
X بقى
الاخر مثالأه طبعا ضيعت هو العشر دقائق ما بين
الأسلسل عطلان لما بجدرة جادرة وصلنا هنا يبقى
example تلاتة أخر
مثال
أول نقطة بدنا limit لما ال X بده تروح لل zero لمن؟
لل sign if تحجز يبقى باي زائد تان ال X على من؟ على
تان ال X نقص اتنين في سك ال X
اللي بسيطة اللي متهادي سهلة، اللي متهادي معاها
صلاحيات، سيب النسبة المثلثية بتدخل وين؟ على
الزاوية، اللي بين قسين تعتبر زاوية لمين؟للـ sign
يبقى هذه بدها تساوي الـ sign افتح قرص يبقى ال
limit ندخل داخل ال sign على مين؟ على الزاوية يبقى
ال sign وهي limit دخلناها على مين؟ على الزاوية هذا
الكلام بده يساوي هاي ال signالان limit ال bus على
limit المقام limit المقدار الثابت بالمقدار الثابت
itself ten zero ب zero يبقى زائد zero على ten zero
ب zero ناقص اتنين six zero يبقى داشر بواحد يبقى
صارت المسألة sign لسالب pi على اتنين ال sign اد
والله evenيبقى سالب برا باي على اتنين ساي باي على
اتنين يبقى داشر بواحد يبقى سالب واحد هذا نمره نقطة
الأولى النقطة الثانية بدنا ال limit لما ال X بدها
تروح لل zero ل cosine باي X على صين ال Xبرضه بنفس
الطريقة cosine ال cosine و ال limit تدخل جوا على
الزاوية لما ال x بدي روح لل zero لل by x على sine
ال x و هي الساوية ال cosine ال by هذا مقدار ثابت
يبقى بقدر أطلعه برا ال limit وهذا ال limit لما ال
X بده تروح لل zero لل X على ال sign ال X هذا ال
limit كله بقداش يبقى هذا ال limit اللي في الداخل
كله بحصار cosine باي cosine 180 بقداش نفس الإجابة
اللي فوق للسؤال الأول النقطة الأخيرةالثالثة
والاخيرة بدنا limit لما theta بدها تروح لل πاية
على أربعة لتان theta ناقص واحد على ثيتا ناقص باية
على أربعة هذا يعني طيب بنلطف شكلها شوية هيك ونشوف
وين بدها توصل هالدنيا لو جيت قولتلك هذه عبارة عن
limitبقى أضيف سالب باى أربعة للطرفين يبقى بصير
ثيتا سالب باى على أربعة بدا تروح لوين لزيرو لمن
لتان ثيتا ناقص واحد على ثيتا ناقص باى على أربعة
ممكن أشيل الواحد و أحط بدله تان باى على أربعةصح؟
ضل الخمسة و أربعين و واحد، بقى دي شوف الكلام عندك،
و بعد هيك أجيبها عن طريق اللي هو تان ناقص تان على
واحد مش عارف ايه، هي واحدة، طيب فكرة، فكرة تانية،
واحد قال لي بدي أشيل ت تناقص بيه أربع كلها و أحطها
ال variable الجديد، قول لله ماشيقال يعني في الـ H
مش هيك، حط لي X يساوي ثيتا ناقص Pi على أربعة،
قولنا له ماشي، قال لي يبقى X زائد Pi على أربعة
تساوي ثيتاأنا مش حافظ السبق اتبع التوجيه اللي يقول
هذا التوجيه هو الجواب يسوي مش ماليش علاقة بيها
احنا بنشتغل شغل رياضي مش حافظينه بدنا نطبق على
الحفظ العتيب احنا بنشتغل شغل رياضي سليم كأننا لا
نعرف شيئا عن السبق يبقى هذه بدها تصير ال limit لما
ال X بدها تروح لل zero لتان ثيتا ل Xزائد باي على
أربعة ناقص واحد كله على X يبقى المثال أخدت شكلًا
جديدًا يبقى هذا الكلام بيصير ال limit لما ال X
بدها تروح لل zero التان هذي بقدر أفكها يبقى باجي
بقوله تان ال Xزائد تان باي على أربعة على واحد ناقص
تان ال X تان باي على أربعة وعندي ناقص ولسه كله
مجسوم على X كل الخمسة واربعين بواحد هذا الكلام
يساويLimit لما الـ X بده يروح للـ Zero نجي لتان ال
X زائد واحد وضل الخمسة واربعين بواحد وضل الخمسة
واربعين بواحد على واحد ناقص تان ال X كله ناقص واحد
على Xطب ايش رايك نوحد المقامات للكل؟ فهذا الكلام
بده يساوي limit لما ال X بده يروح ل zero هذا شرط
الكسر و بده نوحد المقامات للكل واحد ناقص تاني ال X
بظل تاني ال X زائد واحد و بعد هيك ناقص واحدزائد
تان ال X وكله مقسوم على مين على X يبقى ال limit
لما ال X بده تروح لل zero ناقص واحد وزائد واحد مع
السلامة يبقى بصيري اتنين تان ال X على X في واحد
ناقص تان ال Xأو ان شئتم فقولوا يتنين خليك برا و
هاي limit لما ال X بده تروح ل zero لتان ال X على X
فمين في واحد على واحد ناقص تان ال X هذه حافظينها
ضمن الثانوية بواحد انا مش حافظها يبقى بده ساوي
تنين limit
Limit لما ال X تروح ل Zero واحد ناقص
تاني X يسوى اتنين وهذه كلها بواحدوهذه كلها بواحد
على cosine صفر بواحد وهذه zero وكمان بواحد يبقى
الجواب قداشر اتنين يبقى exercises تلاتة خمسة
المسائل التالية خلاص
exercises تلاتة خمسةالمسائل من واحد لسبعة و تلاتين
القد
و من تلاتة و اربعين لتلاتة و خمسين القد
طبعا و كذلك من سبعة و خمسين لغاية ستين
خدت واحدة