بسم الله الرحمن الرحيم ننتقل الآن إلى شبتر تسعة
شبتر تسعة يتحدث عن لابلاس transforms تحويلات
لابلاس التحويلات هذه؟ هذه أحيانًا بيكون الدالة
صعبة التعامل معها فنحولها إلى صورة مكافئة لها
سهل التعامل معها هذه التحويلة نسميها تحويلة
Laplace لأن هو الذي اكتشف الشغل هذه. نأخذ أول
section في هذا الشبتر اللي هو the Laplace transform
سنعطي تعريف ومن ثم نأخذ أمثلة مختلفة على كيفية
حساب the Laplace transform للدوال المختلفة. يقول
افترض أن الـ f of t هي function معرفة على الفترة
من zero إلى infinity. Laplace transform the function f
of t denoted by يبقى Laplace transform لدالة f of
t نعطيه رمز L of f of t يعني Laplace لـ F of T
الـ L هذه الحرف الأول لكلمة Laplace أو capital F
of S يعني نعتبره function في من؟ function في S
لماذا function في S؟ هذا مثلًا نجيب عليه بعد قليل
يقول للابلاس ترانسفورم الـ F of T أو الـ F of S is
defined by كابيتال F of S يساوي تكامل من 0 إلى إنفينيتي
للـ E ناقص ST للـ F of T دي T حيث S parameter أو any
real number. هذا الآن واضح أنه improper integral
بسبب وجود man
عن طريق الـ Limit بيبدأ تذهب إلى الـ Infinity لمن؟
لتكامل من Zero إلى B
نُخلي P تروح لـ Infinity وبالتالي أوجدنا لـ Laplace
transform. نتيجتي التكامل لازم تطلع function في S
ومن هنا قولنا F of S ضروري جدا لازم تطلع function
في S زي ما هنشوف الآن. أول مثال قال لي خذ للـ F of T
و سو E أس AT و T greater than or equal to zero
قال لي هاتي لابلاس للـ E أس AT طبعًا الـ area number
و هاتي لابلاس للواحد و لابلاس لـ E أس ناقص AT و
لابلاس لـ E أس ناقص خمسة T. يعني تطبيق مباشر دي
تطبيق مباشر على C. إذا بدأنا نحسب لابلاس ترانسفورم
للدالة الأولى يبقى هذا لابلاس ترانسفورم للـ E أُس AT
بدي أرجع للتعريف يبقى هو تكامل من Zero إلى
Infinity للـ E أُس ناقص ST الـ F of T أنا ماخذها E
أُس AT كله في DT
يبقى هذا الكلام بده يساوي limit وهي تكامل من zero
إلى B لما B tends to infinity للـ E أس ناقص S ناقص
A كله في T dt. يبقى كتابة هذا التكامل على شكل limit
يعني بدي أكامل هذه الدالة ثم أروح آخذ لها الـ limit
هذا الكلام بده يساوي. يبقى لابلاس للـ E أُس AT بده
يساوي هي الـ limit وهذا الـ B بدها تروح للـ infinity
أظن يا بنات تكامل الـ exponential بنفس الـ
exponential itself مقسوما على تفاضل S إن كانت الـS
من الدرجة الأولى وزي ما أنتم شايفين هو من الدرجة
الأولى في T يبقى مقسوما على ناقص الـ S ناقص الـ A
والحكي هذا كله من Zero لوين؟ من Zero لغاية B. إذا
بدنا نعوض بحدود التكامل يبقى هذا الكلام بده يساوي
الـ limit لما B tends to infinity للـ E أس ناقص S
ناقص الـ A في B على مين؟ على ناقص الـ S ناقص الـ A
ناقص مع ناقص بصير زائد. بدي أشيل الـ T وأضع
مكانها Zero يبقى هذا الـ Laplace يصبح E و الـ Zero
يبقى داشر بواحد يبقى زائد واحد على S ناقص الـ A
بالشكل اللي عندنا هنا. يبقى أصبح لابلاس ترانسفورم
للدالة E أس A T بدي أساوي طبعًا هذا الـ O السالب ممكن
أنزلّه تحت إيش بيصير؟ بيصير موجب. يبقى بيصير limit
لما B tends to infinity لواحد على ناقص الـ S ناقص
الـ A في E أس S ناقص الـ A كله في B زائد واحد على S
ناقص الـ A. الحين لما بيبدأ تروح لـ zero هذا المقدار
كله بقداش؟ لما تروح لمالها نهاية هذا المقدار كله
مالها نهاية في رقم
يبقى هذا كله راح بزيرو يبقى ضلّت النتيجة واحد على S
ناقص الـ A بشرط أن الـ S is greater than A يبقى بناء
عليه من الآن فصاعدًا Laplace transform للـ
exponential function E أس AT هو عبارة عن واحد على
S ناقص الـ A. انتهينا منها. طيب أن المطلوب الأول
بيدّاجي للمطلوب الثاني. نمرا بي، نمرا بي أيوة، آخر شرط
نقصنا أكثر من إيه؟ بدي مشان أضمن أنه ما صلّتش سالبة
دائمًا أنا بدي S جريتر ده نقصها. طيب الآن بيدّاجي
لنمرا بي، نمرا بي. بدي لابلاس للـ one. هل بقدر أجرب أن
أُجيب الواحد الصحيح من الـ E أس ET هذي
نقدر؟ لو حطينا الـ a بقد إيش؟ Zero. يبقى بأجي بقول له هنا
F الـ a تساوي zero then Laplace transform للـ e أو
الـ zero هو Laplace transform لمن؟ للواحد. يعني هنا
هشيل الـ a وأحط مكانها zero يبقى واحد على s ناقص
الـ zero يبقى بهولة بقدر 1 على S. إذا من الآن فصاعدًا
لابلاس ترانسفورم للواحد الصحيح هي 1 على S. طيب نمرا
C جالي بدّه لابلاس ترانسفورم للـ E أس ناقص AT هذه
نمرا C شو بتفرج عن الـ A؟ بس الـ A بالسالب. إذا بدي
آخذ الإجابة اللي حصلت عليها فوق وأحط الـ A
بالسالب. يبقى هذا الكلام دي سواء 1 على S ناقص بدل
الـ A أجانِب ناقص A يبقى 1 على S زائد الـ A. نمرا دي
جالي هتلي لابلاس ترانسفورم لـ E أس ناقص خمسة T يبقى
واحد على S زائد خمسة لأن هذا هو حالة خاصة للي
عندنا. هذا إيه؟ بهي حسبنا لابلاس ترانسفورم لدوالين
مختلفة. example two
بقول find نمرا
A لابلاس ترانسفورم لـ sin AT نمرا B لابلاس ترانسفورم
لـ cos AT. نمرا الـ c لابلاس ترانسفورم لـ cos cos 5t
خلي
بركتي. بدّي آخذ نمرا إيه؟ بدي لابلاس ترانسفورم لـ sin A
تي. بدي أرجع للتعريف اللي عندنا يبقى هو تكامل من
zero إلى infinity للـ E أس ناقص ST لـ sin A تي دي تي
طبعًا يبقى هذا هو عبارة عن مين؟ عبارة عن limit لما B
tends to infinity لتكامل من zero لـ B لـ E أس ناقص ST
cosine AT sin AT DT sin AT DT
طب
كيف بنكمل هذا يا مناسي؟ شو الطريقة؟ بن calculate B
بدي واحدة تحكي أنا ما أدّيش الهمّامات. بدي واحدة ترفع
إيديها وتحكي آه integration by parts integration
by parts. تمام؟ وهنا زي ما يقولوا ضرب العميان
الصيف إيش ما تأخذ صح إن أخذت الـ U تساوي الـ
exponential والـ DV تساوي الـ cosine. ماشي؟ إن عملت
العملية العكسية أخذت الـ U هي الـ sine والـ DV هي الـ
exponential ماعندناش مشكلة. يبقى كل ما تأخذ الاتنين
صحيح. يبقى أنا بدي آخذ الـ U تساوي E أس ناقص ST و
بدي آخذ الـ DV Sin AT. بدي الـ DU يبقى ناقص S E أس
ناقص ST DT. بدي الـ V ناقص Cos AT على A. يبقى النتيجة
هذه بدها تساوي limit لما B tends to infinity لمن؟
لـ الـ U في الـ V يبقى هي الـ U والـ V اللي هو ناقص
واحد على A في E أس ناقص ST في cosine AT. هذا الـ U
في الـ V. ناقص تكامل V ده. UV ناقص cosine AT على A
دالة ناقص S E أُس ناقص ST كله بالنسبة إلى DT. طبعًا
كوني كامل تبقى حدود التكامل هذه هتبقى من وين لوين؟
من zero لغاية B وهذا كمان تكامل من zero لغاية B و
limit للكل من هنا لما نكمل من هنا
بتعوض بالقيمة اللي فوق ناقص القيمة اللي تحتها. يبقى
هنا ناقص cosine AB على A في E أس SB. نزلت الـ
exponential تحت بإشارة موجبة. هذا التعويض الأول
ناقص مع ناقص بصير زائد. كوساين صفر بواحد و E of zero
بواحد بظل عندي هنا بس كدهش واحد على إيه. و أي limit
للكل. نجي للي بعد هذه. عندك هنا ناقص وهنا ناقص و
هنا ناقص يبقى ثلاثة بالناقص عندك S وهنا A مقادير
ثابتة يبقى بقدر آخذها برة التكامل وبصير تكامل من
zero إلى B للـ E أس ناقص ST لـ cosine ATDT
خلّي بالك هنا طبعًا هذا حالنا في تكامل كلاصي بس أنا
بذكر تذكير يبقى أنا أخذت الـ U هنا بالـ exponential
وأخذت الـ DV بـ sin 80 اشتقت وهنا كامل يبقى هذه الـ
U في الـ V ما نقص تكامل Vدالّة. بدي أعيد الترتيب وأ
عوض بالقيمة اللي فوق ناقص القيمة اللي فوق هذه
السهلة اللي بدي أنزلها تحت بصير مجبرة بيبقى Cos AB
على A في S هنا ناقص مع ناقص زائد. بدي أشيل الـ T و
أضع مكانها Zero والـ cosine صفر بواحد. E و الـ Zero
بواحد بيضل بس كدهش واحد على A هنا عندنا S على A
بره عندك ناقص ناقص ناقص يبقى ثلاثة بالناقص بيصير
عندنا ناقص S على A تكامل من Zero لـ B للـ E وناقص الـ
T cosine ATDT. تعال نحسب الحسبة اللي عندنا هذه. هذا
الكلام يساوي لو أخذت limit لهذا المقدار يا بنات
كدهش بطلع يلا إيه أشوف على السريع كدهش واحد على
إيه هذا الـ term الأول. term الأول كوساين محصور من واحد
وسالب واحد وهذا بين بيروح. ما لا لا يبقى على جد
يا شف زيرو على طول الخط أو بتقولوا ليه cos AB
محصور من واحد وسالب واحد وبدي أضرب الطرفين في
واحد على A في E أس S AB وأخذ اللي ما بصير هنا
زيرو هنا زيرو وبيجيب ساندوشتين واللي في النص
بيزيرو. إذا هذا الـ limit اللي هو كله بـ0. واحد على
إيه؟ مقدار ثابت، ما له دعوة بالـ limit تمام، وأنّهيت
المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself يبقى واحد
على إيه؟ ناقص S على إيه؟ في limit لما B tends to
infinity لتكامل من zero إلى B للـ E أس ناقص ST
cosine ATDT
الآن برضه بنعمل هذه integration by parts. تمام؟
برضه نفس التعويض اللي أخذت U هنا بدي آخذها U هنا
بالضبط لإن لو عملت العملية العكسية ما عرفش اللي
اشتغلت وخربت ورجعت وما سويت شيء شيء. يبقى بضلّ
الماشي بنفس الاتجاه. إذا بدي آخذ الـ U تساوي E أس
ناقص ST و DV ليه cosine ATDT. يبقى الـ DU يكون ناقص
SE أُس ناقص ST في DT والـ V بـ Sin AT على A. يبقى
أصبح عندي اللي هو من لابلاس ترانسفورم اللي هي
الـ Sin AT بدي سوّية واحد على A الثابت اللي عندنا
ناقص S على A في الـ limit لما B tends to infinity و
هذا الـ cos اللي عندنا. بنروح نكتب U في V هذا الـ
U وهذا الـ V يبقى E أس ناقص ST في Sin AT كله على
قد إيش؟ على A. ناقص تكامل V التي هي الـ Sin AT على A W
التي هي ناقص SE أُس ناقص ST كل هذا الكلام بالنسبة
إلى مين؟ إلى DT. وهييجفلنا الجوز بالشكل اللي عندنا. هذا
الكلام يبدو يساوي 1 على A نزلناها زي ما هي ناقص S 1
بدها تسأل؟ اه أيوة لماذا؟
طب أنا بجوز و لسه بتناقش أنا وإياك وأنا باشرح
التكامل هذا تكامل هذا كالكلّ صعبية بنت الحلال وأصولك
تبقى عرفاته وأصول حفظك النتيجة وامشي لكن أنا بحصلك
تفصيل وبذكر تذكير لأن العقل مش دايمًا موجود
عبدالله بيجي بيعدّ طيب يبقى مرة ثانية بقول احنا
خلصنا الحل شو اللي عملناه وأين توصلنا احنا بدنا
لابلاس ترانسفورم للـ Sin AT أنا ما عنديش إلا التعريف
يبقى بدي اضرب في الـ E أس سالب ST والـ Sin ST وكمل من Zero إلى
Infinity الشكل اللي عندنا الآن هذا الـ improper
integral يبقى خاتل و limit integration by parts
بدي أعملها مرتين إذا عملتها مرتين بتبقى مسألة T
خلصت وهذا كان معنا سؤال في Calculus B إذا مذاكرين
موجود كان معنا في Calculus B في ال integration by
parts بس ده مجنون integration by parts مع ال
improper integral يبقى هذا التكامل بدي أخد هذه U وهذه
DV وبالتالي سلمت U في V ناقص تكامل V دال U
الآن بدي أعيد الترتيب هذه بدي أعوض بالقيم اللي فوق
ناقص اللي تحتي بدي أشيل كل T وأحط مكانها
ناقص نقص نقص يبقى ثلاثة بالسالب بصير عندنا سالب S
على A ثابت بدي أخده برة بضرب تكامل من Zero إلى B
لإيه؟ وإذا ناقص ST Cos ATDT بعد ذلك بدي أنزل هذه زي
ما هي هذه زي ما هي وهي ال limit الـ Exponential
اللي عندنا يعني انتقلنا من E أس سالب ST لـ Sin AT
إلى تكامل للـ E أس سالب ST Cos AT يبقى لو كملت
كمان مرة برجع لرأسي المسألة اللي فوق إذا بدي أروح
كامل كمان مرة بدي أخد هذه U وهذه DV
هذه تكاملها بـ Sin AT عليها بنقسم على تفاضل الزاوية
إن كانت الزاوية من الدرجة الأولى طيب بدنا نبدأ نعوّض
يبقى 1 على A ناقص S على A في Limit اللي هي موجودة
عندنا هنا بالضبط تمامًا الآن بدّي أجي أقول له ال U في الـ
V أيها من A من Zero لـ B ناقص تكامل من Zero لـ B للـ V
ده ال U هذا ال V وهذه ده ال U كتبتها زي ما هي طيب 1
على A نزلت سالب S A على A نزلت الـ Limit كما هي هذه
لما تنزل بي تحت بصير Sin AB على A في الـ SB
طبعًا هذه الـ Limit اللي هتبقى زيرو وإنما بي تروح لما لا
نهاية ليش إنو الـ Sin AB محصور من واحد وسالب واحد
ضربنا في واحد على الـ Exponential وخلت بي تروح لما
لا نهاية بصير عدد على ما لا نهاية له وهو زيرو يبقى
هذه زيرو دائمًا وأبدًا الآن ناقص بدي أضع هنا زيرو
وهنا زيرو هذه واحد وهذه زيرو على أي عدد بقدر بزيرو
وصلنا لهذه الـ S على A برة وناقص مع ناقص بصير زائد
والـ E أس سالب ST Sin ATDT هي كما هي إذا انقلبت المسألة
التكامل الأساسي الـ Elemental والـ Sin AT هذا بدي أساوي
مين؟ بدي أساوي واحد على إيه؟ ناقص فعندك هنا S
عليه وهنا S على إيه؟ S تربيع على A تربيع Limit لما
الـ P بدأت تروح للـ Infinity للتكامل اللي عندنا هذا
التكامل لأن هذا هو نفس التكامل هذا تمام بس بدّه
أرجع هذا إلى أصله قبل الـ Limit يبقى رجعته إلى أصله
بدل ما هو Limit شيلته وكتبت تكامل من Zero إلى
Infinity للـ E أس سالب STDT هذا هو الطرف الشمال يبقى
بدّه أدّيه عندّه وأجمع بدل ما كانت شرطة سالبة بصير
شرطة موجبة يبقى بظل هنا واحد وهنا بيظل S تربيع على
A تربيع كله في التكامل هذا اللي هو Laplace
transform لـ Sin AT بيظل الطرف اليمين فقط اللي هو
جدًّا 1 على A الآن وحدنا المقامات لهذه صورة A تربيع
زائد S تربيع على A تربيع بده يساوي واحد على A الآن
بدنا نجسم على هذي بيصير A تربيع على S تربيع زائد A
تربيع في A تربيع بتروح ال A مع ال A بيظهر أن A في
S تربيع على S تربيع زائد A تربيع هذا لـ Laplace Transform ل
Sin AT لذلك كملنا مرتين ووصلنا إلى نتيجة التكامل وقبل
شوية لما دي أنا أعطينا تعريف لابلاس ترانسفورم
أقول لك يا بقول L of F of T يا إما F of S لحظة من
حد ما إنكمل بطلع عندي دالة في مين؟ دالة في S وهنا
دالة في S وهنا دالة في S وهنا دالة في S وكله
دالة في S وسألتك هذا السؤال ليش ال F of S يبقى
النتيجة بعد ما نكمل ونعوض كلها بتطلع Function في
S فقط ما ضلّ عندنا من T وبالتالي جيب دالة كافة من
الدالة الأصلية طب احنا الآن جبنا
بتعملي الخطوات اللي عملتها بس بدل الـ Sin بتحطي معها
كـ Cosine
هذه نمرّ بيه Similarly اللي هو Laplace Transform La
Cosine AT بديه ساوي بنات S على S تربيع زائد A
تربيع هذه الـ Sin بدل الـ Constant بيجيني S وليس
Constant بس هنا كانت إعادة الـ Sin Constant وهنا S
وهذه تشيك براحتك روح أعملها في الدار شيك عليها طيب
من B بده أروح أجيب C يبقى بدي C بدي لـ Laplace
Transform لـ Cosine 5T اللي عبارة عن S على S تربيع
زائد خمسة لكل تربيع يعني S على S تربيع زائد 25
و25 حد فيكم بتحب تسأل أسئلة هنا؟ خلاص؟ ها يا بنت
الحلال أنت لعبتي تقصّبي ولا لا؟ خلاص يعني؟ فرجت
وكانت وقنّوها تفرجوا؟
ما بعد الضيقة بنات إلا الوسعة وما بعد العسر إلا
اليسر ولهذا قال الله تعالى فإن مع العسر يسرا وإن
مع العسر يسرا ولن يغلب عسرا يسرين أو كما قال صلى
الله عليه وسلم يعني قدّيش بتدايق في لحظة تمام وبعد
شوية بتتوسّع وهذه طبيعة الدنيا بضلّش الواحد عنده
عسر على طول ولا بضل عنده انفراجة على طول الله يخفض
القصة ويرفعها وهذه طبعًا من بديهيات اللي هو عمل
الله سبحانه وتعالى طيب نرجع الآن ونكمل في عندنا
نظرية بتقول ما يأتي Theorem
لابلاس تحويل لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس
لابلاس
لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس لابلاس
لو Laplace Transform للـ F1 وLaplace Transform للـ
F2 are both exist لو كانوا Exist for للـ S اللي
أكبر من S node then
أو بقدر أقول C1 F1
of S زائد C2 Capital F2 of S example نمرة
A find Laplace Transform لـ 8 هذا نمرة A نمرة
B نبدأ بالـ Laplace Transform لـ 3 Cos 2T 3 Cos 2T
ناقص 5 E أس سالب 3T نمرة C Find
Laplace Transform La Cosine تربيع AT Cosine تربيع
2T نمرة D find Laplace Transform لـ Cosh AT
خلّي بالك هنا اللي بتحكي هناك خلّي بالك هنا يبقى
باجي وبقول بدنا الآن نجلّع نظرية هذه ونحاول نطبّق
هذه النظرية هذه النظرية بتقول لي أن الـ Laplace
Transform عبارة عن مؤثّر خطّي شو يعني مؤثّر خطّي؟ هذا
اللي بدنا نعرفه بيقول هنا لابلاس ترانسفورم is a
linear operator مؤثّر خطّي ذاتي an لو كان لابلاس
ترانسفورم لدالة F1 ولابلاس ترانسفورم لدالة F2
اثنتين معرفين يبقى في هذه الحالة بدي لابلاس لـ C1 F1
زائد C2 F2 لما أقول مؤثّر خطّي معناته لابلاس بدي يدخل
على كل Term من هذين الـ Termين يبقى بصير Laplace
للأول زي Laplace للثاني الـ Constant بنقدر نطلعه
بره Laplace يبقى C1 Laplace للـ F1 زي C2 Laplace للـ
F2 Laplace للـ F1 لو عدّيتها رمز Capital F1 of S
يبقى بصير C1 F1 of S والثانية C2 F2 of S بنروح
نستخدم هذا الكلام في إيجاد Laplace Transform
للدوال المختلفة وكذلك باستخدام المثالين السابقين
اللي أخذناهم قبل قليل يبقى بدّي أجي لنمرة A بيقول
لها Laplace لـ 8 بقول ما بعرفني Laplace أنا
بعرف Laplace للواحد صح بقدر أقول له هذه Laplace
لـ 8 في 1 مظبوط الـ 8 هي المقدار الثابت
بقدر أطلعه برة يا ش برة Laplace يبقى هذه 8 في
Laplace للواحد 8 قدّيش Laplace للواحد 1 على
S فقط لغير يبقى 8 على S هذا Laplace للـ 8
طب Laplace Laplace لـ 100 لمية منهم 100 ليس حطّ الرقم اللي
بدّك اياه بس أنا كنت بأعلى اسمك وجبت Laplace إيه
اللي؟ هذا بالنسبالي إيه؟ بدنا نمرّ بيه نمرّ بيه
قلّي Laplace أيوة هذه اللي هي Laplace لمين؟ اللي
3 Cos 2T ناقص 5 E أس سالب 3T
وتساوي هذه هي هذه بالضبط صح؟ مظبوط؟ يبقى بدّا أقول
الـ Constant في Laplace للدالة الأولى ناقص
الـ Constant في Laplace للدالة الثانية يبقى هذا
عبارة عن 3 Laplace لمين؟ ليه؟ Cos 2T ناقص 5
في Laplace للـ E أس سالب 3T هذا الكلام يساوي
3 فيه بدي Laplace لـ Cos 2T اللي هي عبارة
عن S على S تربيع زائد كم؟ 2 تربيع حسبناها قبل
قليل مظبوط؟ وقلنا لك تشيكها يعني مظبوط؟ يبقى شيلنا
الـ A وحطينا اللي هو الرقم اللي مضروب في الزاوية
اللي هو الـ 2 هذه الأولى الثانية ناقص 5 في
نيجي لهذه الـ Exponential اللي هو 1 على S زائد
3 صارت المسألة هي 3S على S تربيع زائد 4
ناقص 5 على S زائد 3 أظن أن هذا هو المضاعف
المشترك كله S تربيع زائد 4 في S زائد 3 هذي
بيصير 3S في S زائد 3 ناقص 5 في S تربيع
زائد 4 النتيجة على الشكل التالي تساوي هذه 3
S تربيع زائد 9S الـ Term الثاني ناقص 5
S تربيع ناقص 20 كله على المقام اللي هو S تربيع
زائد 4 في S زائد 3 يبقى النتيجة على الوجه
التالي ناقص 2S تربيع وهنا زائد 9S وهنا
ناقص 20 كله مقسومًا على S تربيع زائد 4 في مين
في S زائد 3 يبقى هذا لـ Laplace Transform للدالة
هذه طب هذه يا بنات لو عملتلها Partial Fraction
كسور جزئية بطلع بطلع هذا صح؟ مش هذا وحدنا
المقامات يبقى لو بدّا أعمل كسور بتكون عندي هذه
بالدرجة على الأصل تبعها يبقى هذا هو الأصل تبعها
طبعًا ليش هو بيقولك كده الكلام إنه سيلزمنا بعد شوية
إن شاء الله نضطر نعمل كسور جزئية لمقدار مثل هذا
المقدار ما هنقدرش نوجد Laplace Transform له أو نوجد
معكوس Laplace Transform
هذا نمرة B يبدأ يجي لنمرة C نمرة C بيقول اللي بدّه
Laplace Transform ويراضيه C Laplace لـ Cosine تربيع بدنا Laplace 368 0
كوساين بس الإشارة في المقام بالسالب وليس بالموجب
كيف
كيف؟
لا تحفظيها، وهنصورها لك إن شاء الله كل ال Laplace transform
بدل الدالة العشرين دالة ونعطيك يا فيلم
تعالي تفضلي هيها معكِ استخدميها متى ما لازم الأمر
يعني الصفحة الأخيرة في ورقة الأسئلة بتكون ال
Laplace transform للدوال كلها اللي بتلزمك وزيادة
شوية بس بدي تعرفي لو قلت لك use the definition to
find Laplace transform لدالة فلانية وأعطيتك دالة
يبقى بدك تروحي تشتغلي الشغل هذا، تمام؟ لكن إذا ما
قلتِ هذا الكلام ولزمت Laplace لأي دالة بجيبها من
الجدول دوري، الجدول هذا هنعطيكم إياه يوم ذلك المرة
القادمة، دا من المرة القادمة دي كل واحد فيكم يكون
يكتبها معاها لإنه في جدول بدي أقول لك يالا عشان
تتعودي تفتشي وتعرفي كيف تقولي من الجدول Laplace
transform لدالة ما كل واحد المرة الجاية يكون
يكتبها معاها دي ربالكم
طيب فينا كمان نظرية بنات بتجيب Laplace transform
للمشتقات يعني لو اشتقينا، ده اللي بدي Laplace للمشتقة
هذه النظرية تنص على ما يلي
طب ليش بدنا Laplace transform لهذه المشتقة؟ لأن
موضوعنا موضوع معادلات تفاضلية بدنا نجيب حل
المعادلة التفاضلية باستخدام Laplace transform يبقى
النظرية بتقول ما يأتي Theorem:
f of t is a function such that بحيث أن both Laplace
transform of both Laplace transform للـ F of T and
Laplace transform للـ F' of T exists then
بدنا
Laplace transform للـ F' of T بنعرف عليها إنها S في
Laplace transform للـ F of T ناقص الـ F of Zero هذه
لها صيغة ثانية كمان وهي S في مين؟ في Capital X as
a function of S ناقص الـ F of Zero هذه لو كانت
المشتقة الأولى لو جينا للمشتقة الثانية Similarly
Laplace transform للمشتقة الثانية as a function of T
بدي أساوي S squared Laplace للـ F of T ناقص الـ S في الـ
F of Zero ناقص الـ F prime of Zero in general
على وجه العموم Laplace transform للتفاضل النوني as
a function of T
ناقص Sn ناقص 1 في الـ F of Zero ناقص Sn ناقص
2 في الـ F prime of Zero ناقص ... اللي هو الـ S
في الـ F to the derivative of N minus 2 عند ال
Zero ناقص F to the derivative of N minus 1 عند
ال Zero
الحسابات اللي فاتت كانت كلها حسابات Laplace للدوال
لكن هنا بيجي حسابات Laplace لمشتقات الدوال هناخد
Laplace المشتقة الأولى Laplace المشتقة الثانية ومن ثم
نعمم Laplace المشتقة النونية لو جينا للجدول هذا
فتحت فيه في الكتاب بتلاقي هذه هي آخر Laplace في
الجدول أسفله آخر واحدة إيش بيقول النظرية؟ بيقول لي
ما يأتي f of t هي ال function بحيث Laplace لـ f of t
ولaplace للمشتقة exist إن حدث ذلك يعني إيه؟ بقدر
أجيب Laplace للمشتقة بدلالة Laplace للدالة كيف؟
كالتالي بقول S في Laplace لـ f of t ناقص الـ f of
Zero أو الـ F of T لـ Laplace اللي هبقى عبّره عنه بصيغة
X of S يعني هذه أمانات function كلها في S capital
X of S وهنا ناقص الـ F of Zero لو عندي المشتقة
الثانية وبدي أجيبلها Laplace يبقى بأبدأ الـ S الأس
التابع هنا كده كان لأن المشتقة 1 هنا مشتقة ثانية
بدأت بـ S تربيع S بعدها تعدى من الـ S بصير S of Zero
يبقى S تربيع Laplace F of T ناقص الـ S في F of Zero
ناقص F prime of Zero وهكذا الآن لو جينا نعممها يبقى
الـ Laplace المشتق قانونية لـ F هو S to the power N هذا
derivative وهذا أس في X to the power S كـ function
ناقص الـ S بده ينقص الأس تبعها 1 في الـ F of Zero
ناقص الـ S الـ N بده ينقص 1 هنا عن اللي قبله في
الـ F prime of 0 نظل ماشي لغاية ما نوصل S و S 1
المشتقة N نقص 2 نقص الـ F N minus الـ 1 عند Z
المرة القادمة إن شاء الله بدنا نأخذ أمثلة على كيف
نحيل معادلة تفاضلية بواسطة Laplace transform
وباستخدام هذه النظرية إن شاء الله تعالى أعطيكم
العفو