بسم الله الرحمن الرحيم عودة على بداية آخر نقطة في
section 81 اللي هو المثال اللي قدامنا هذا بيقول use
integration by parts استخدم التكامل بالتجزئة to
establish the following reduction formula
لإثبات قاعدة الاختزال التالية تكامل لـ ln x أس n
dx يساوي x ln x to the power n ناقص n تكامل لـ
ln x أس n ناقص 1 بالنسبة إلى dx يبقى سميناها
قاعدة اختزال ليش؟ لأن التكامل هنا لـ ln x أس n
أس n صار عندي تكامل لـ ln x أس n ناقص 1 يعني
نقص الأس تبع الـ n بمقدار كم؟ بمقدار واحد صحيح
الأمر إن شان نثبت القاعدة يقول استخدم integration
by parts بقوله كويس يبقى فيها إن جزء هاخد u وجزء
هاخد dv طبعا هذا تكامل بعيد الله يبقى ما إلي اللي
آخده إيه تفاضل يبقى بداجي أقول خد الـ u تساوي ln الـ
x to the power n وخد الـ dv بدل ما أسوي من dx نشتق يبقى
du يساوي الأس في ln x مرفوعة لنفس الأس مطروح منه
واحد في تفاضل مدخل القوس اللي هو 1 على x dx
وهذا تكامل يبقى الـ v تساوي مين؟ تساوي x ثم أصبح
تكامل لـ ln x to the power n في dx بده يساوي u في
v هذه u وهذه v يبدو x ln x كله to the power n
ناقص تكامل v اللي هي بـ x ده الـ u اللي هو n ln x to
the power n minus one في 1 على x في مين في dx
طب كويس الآن بدنا نختصر الاختصارات اللي موجودة في
المثلة ونشوف على إيش بدها تصفي المثلة يبقى x ln
x to the power n ناقص n مقدار ثابت خليه برا
هو يتكامل 1 على x مع x الله سهل عليها مع
السلامة والـ n برا يبقى بقى عندنا ln x to the
power n minus one dx عظمه هو المطلوب؟ طيب قياسا
عليها لو بدنا نيجي نقول لك بدنا ههه اللي هو main
تكامل ln x الكل تكعيب dx بيقولوا نستخدم الـ
reduction formula لأن في حل هذه المثلة يعني ما بديش
لسه أروح جزي وسوي إن ما بدي حل مباشرة وأشوف كيف
بدها تيجي معايا إذا هذه تساوي x ln x الكل تكعيب
ناقص 3 تكامل ln x الكل تربيع dx بقيت
القاعدة حرفيا هي الـ x هذا ln x to the power of
n يبقى تكعيب ناقص n اللي هي بـ 3 ln x أقل من
3 بمقدار 1 يبقى ln x الكل تربيع dx الآن
هاد يطبق عليها القاعدة في الاختزال كمان مرة إلى إن
النتيجة تساوي x ln x الكل تكعيب ناقص 3
ونفتح قوسين نطبق القاعدة على هذه يبقى x ln x
الكل تربيع ناقص 2 ln x أس 1 كله بالنسبة
لمين إلى dx يبقى آلة المسألة إلى الشكل التالي
يبقى تكامل ln x الكل تكعيب dx يساوي
ناقص 3 x ln x الكل تربيع ضربنا سالب 3 جوا
لأن بتيجي السالب مع سالب بموجب 3 في 2
بـ 6 يبقى زائد 6 تكامل ln x dx بده نزل هذه
زي ما هي وهذه بده نزلها زي ما هي وهذه زائد 6 في
هذه بيطبق عليها القاعدة ياما أخذناها قبل هيك ليه
الـ x ln x ناقص x أنا بسمع هاللي مش عارف بيطبق
عليها القاعدة كمان مرة يبقى هادي x ln x أس
واحد ناقص تكامل ln x أس 1 ناقص 1 يبقى أس
zero يبقى dx أبواحد يبقى تكامل 1 بالنسبة لما
يهم إلى dx إذا إن النتيجة النهائية هي x ln x
الكل تكعيب ناقص 3x ln x الكل تربيع زائد 6x ln
x وهنا ناقص 6x زائد constant C
لحدين أصيب هذا section ثمانية واحد المسائل التالية
يبقى exercises ثمانية واحد المسائل من 1 لغاية
50 الاد وبنضيف عليهم من 61 لغاية 64
وكذلك من 67 لغاية جداش 70
بنجي الآن للـ section اللي بعده اللي هو الـ
trigonometric integral z الـ section
ثمانية اثنين اللي هو الـ trigonometric
Integrals يعني التكاملات المثلثية على النسب
المثلثية أو الدوال المثلثية شوف يا سيدي هذا الـ
section هنقسمه إلى أربع نقاط هنبدأ الآن بالنقطة
الأولى من هذا الـ section النقطة الأولى هي عبارة عن
integrals integrals
in the form في الشكل اللي هو من تكامل لـ sin أس mx
في cos أس nx dx where
حيث الـ m والـ n are
non negative integers
نحن لدينا ثلاث حالات يعني
لما ناخد تكامل لـ sin أس m في cos أس n حيث m و n
أعداد صحيحة موجبة يبقى بتتقابلني ثلاث حالات الحالة
الأولى اللي هي case one الحالة الأولى f الـ m is
odd لو كان الـ n عدد فردي نكتب الـ
m يساوي 2k زائد 1 وبنستخدم
sin تربيع x يساوي 1 ناقص cos تربيع x k is
two إذا كان الـ n غير صحيح، فنكتب n تساوي 2k
زائد 1 and use cosine تربيع x يساوي 1
ناقص cosine تربيع x الحالة الثالثة
both m and n are even يبقى
are even
cos تربيع x يساوي نصف في 1 زائد cos 2x and sin
تربيع x يساوي نصف في 1 ناقص cos 2x example
بلوت the following integrals
the following integrals
سابل
التكاملات التالية نمر واحد تكامل لـ sin x cos 4x
كله في dx هذا الـ section هنقسمه إلى أربع نقاط
النقطة الأولى للتكاملات المشتولة على حاصل ضرب sin
مرفوع لأس و cos مرفوع لأس والأسس أعداد صحيحة
موجبة تمام بيقول في الحالة اللي عادنا هذه بدها
تجابلنا ثلاث حالات الحالة الأولى لو كان الـ m يعني
الأس تبع الـ sin عدد فردي يبقى العدد الفردي بقدر
أكتبه على الشكل هذا يعني مثلا إذا افترض العدد كان
9 بقدر أكتب 2 في 4 زائد 1 افترض
كان 15 اللي هو 2 في 7 زائد 1 وهي
كان يبقى بدي أكتبه على الشكل اللي عندنا هنا بعد ذلك
نذهب لاستخدام المتطابقة sin تربيع x 1 ناقص
cos تربيع x هجيبناها من أين من sin تربيع x زي
cos تربيع x تساوي كم؟ 1 يبقى بدي أشيل الـ sin
تربيع اللي بتكون موجودة عندي في المثل لو بدي حق
بدلها 1 ناقص cos تربيع وبده كده بنروح نكامل
طبعا لو كانت الـ m is of type m إيش ما تكون تكون،
فردي، زوجي، كاثري، سالب، بتمناشي، ما حطيتش عليها أي
قدوة، بالتالي ممكن تاخد أي شيء، تمام؟ الحالة
الثانية لو كان الـ n عدد فردي يعني لو كان الـ أس تبع
الـ cosine هو عدد فردي إذا بدي أكتب الـ n على شكل
2k زائد 1 وأستخدم المتطابقة cosine تربيع
x يساوي 1 ناقص sin تربيع يعني 2 هدول سهلات
جدا المشكلة وين تجينا لو كانوا اثنين even طب واحد
يقول طب لو كانوا اثنين odd بكل بساطة، بدك تطبق
الأولى ماشي، بدك تطبق الثاني ماشي، أي واحدة فيهم
الست، إذا اثنين، قد، تمام؟ احنا بنقول لو كان واحد
فيهم قد، والثاني إيش ما كان يكون، يبقى بنا نمشي
بالـ tactic اللي عندنا هذا، طب لو كانوا اثنين even،
بدي أستخدم بعد ذلك أقوم بتحويل نصف في 1 ناقص cos
2x لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1
زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos 2x
لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos
2x لنصف 1 زائد cos 2x لنصف 1 زائد cos
2x لنصف
الـSin لازم لا يوجد و لا أستطيع كتابة كتابة كتابة
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة كتابة
كتابة كتاب
Integration لـCosine أس أربعة X و هنا سالب D لـCosine
الـ X يبقى شلت سين الـ X مع DX و كتبتها سالب D كـCosine
و كأنه احنا مش بنكامل كأنه احنا بنكامل W أس أربعة
DW وهي السالب برامصبوط؟ يبقى أنا بصيدي ده مش محتاج
الشغل اللى فوق طب يا إيش بتسوي؟ يبقى نضيف للوس
واحد و بنقسم على القس الجديد يبقى يساوي هي السالب
برا وهي الـ W أس خمسة على خمسة زائد Constant C يبقى
هذا الكلام يساوي سالب خمس و الـ W بدي أشيلها و أحط
بدلها مهم لـCosine الـ X يبقى Cosine أس خمسة X زائد
Constant C طيب مثال التاني انتجل الكلمة شوية المثال
الثاني بيقول يبدى تكامل لـSin تكعيب الـ X Cos أربعة
x في dx يعني نفس السؤال الأول بس ايش اللي حصل جينا
على علامين على اللي هي الـSin وخلت الأس تبعها الثلاثة
بدلا من واحد، إذا الثلاثة بقدر اكتبها ايش؟ بقدر
اكتبها عدد فردي، تمام؟ خلوه اتنين واحد زائد واحد
وبالتالي ستقول المسألة اللي عندك إيش؟ إلى تكامل،
لمين؟ لـSin X دلشانه فردي، هذا زوجي ماليش علاقة
فيه، يبقى في Sin تربيع X بيه Cos أربعة X في DX بعد
هيك قاللي بتروح تشيلي Sin تربيع هيها وهها و تكتبها
لمين؟ واحد ناقص Cosine تربيع إذا بصير هذه تكامل
واحد ناقص Cosine تربيع الـ X في Cosine أربعة X في
Sin X في DX
ممكن نقول هي تكامل هي Cosine أس أربعة X وهذه ناقص
Cosine أس ستة X وهذه كلها مشتقة مين الـCosine يعني
مشتقة Cosine باس بإشارة سلب المشتقة الـCosine بسلب
Sin يبقى هذه ناقص D Cosine X زي ما تشاهدي يبقى هذا
الكلام يساوي يسالب خليك برا و انا بدي اكامل هذه
قلمين بالنسبة لـCosine الـ X يبقى بنضيف الأس واحد
ونقسم على الأس الجديد يبقى Cosine أس خمسة X على
خمسة ناقص Cosine أس سبعة X على سبعة زاد كمصنصيممكن
ندخل إشارة السلب اللى برا وبالتالي بصير سلب موجب
سبع يبقى سبع بالموجب لـCosine of سبعة x ناقص خمس
Cosine of خمسة x زائد Constant C سؤال التالت بيقول
تكامل لـSin أُس 6X Cos تكعيب الـX في الـDX يبقى
المرة هذه الـSin صار الأُس تبعها ماله
يبقى الصفة على الشجرة ونذهب للقص الفردي القص
الفردي يتبع مين؟ يتبع الكوصين يبقى يجب أن نذهب على
الكوصين ونحللها تبع القص اللي بها تكون اتنين ك
زائد واحد يعني اتنين في واحد زائد واحد يعني كوصين
تربية في كوصينهذه بدها تصير على الشكل التالي تكامل
لـSin 6x بمين في Cos تربيع الـ x في Cos x في dx
يساوي تكامل لـSin أُس 6X مالكش دعوة نجي للـCos
تربيع وروح نكتبه بدلالة مام دلالة الـSin نجي
للـCos تربيع بتكتبها واحد ناقص Sin تربيع إذا هنا
واحد ناقص Sin تربيع X وهذه مشتقة مين يا شباب؟ مشتقة
Sin X بدون إشارة ثانية يبقى تحولة المسألة إلى
الشكل التالي تكامل لـSin 6x-Sin 8x كل هذا الكلام
بالنسبة لـD Sin X يبقى ما علينا إلا أن نضيف للأس
واحد ونقسم على الأس الجديد يبقى هذه بدها ساوية
سبعة ساين أس سبعة إكس ناقص تسعة ساين أس تسعة إكس
زائد Constant C نمر أربعة بدنا تكامل
لمين؟ لـSin تكعيب الـ X Cos تكعيب الـ X DX واحد
أحد اثنين فرديين تحلل واحد و التاني و تسيبه حللنا
الصين ماشي سيبناها و حللنا الكوسين ماشي سين أي
واحدة فيهم ماشية يبقى هذه تكامل، بنقدر نقول هذه
مين؟ هذه اللي هي Sin تكعيب الـ x في مين؟ في Cos
تربيع الـ x في Cos الـ x في dx يساوي تكامل لـSign
تكعيب الـ X فيه بتدرج على الـCosine تربيه و اكتبها
من واحد ناقص Sign تربيه الـ X و Cosine X DX هو
مشتقة من Sign بالـ X يبقى هذه المثلة صارت على الشكل
التالي تكامل لـSin تكعيب الـ X ناقص Sin أُس خمسة X
كل هذا الكلام بالنسبة لمين لـSin X يبقى
ربع Sin أُس أربعة X أو هنا ناقص سُدس لـSin أُس ستة
X زائد Constant C
يبقى أخدنا الـCosine فردي و الـSine زوجي و العكس
الـSine فردي و الـCosine زوجي و سؤال اتنين فرديين
بدنا ناخد لو كانوا اتنين زوجيين ايش المثال؟ يبقى
المثال بيقوللي تكامل نمرة خمسة بندنا تكامل لمن؟
لـSin أُس أربعة x في Cos تربيع الـ x في dx بطلع في
الأسس الأسس عند زوجيه يبقى قاللي في الحالة هذه بدك
تستخدم Cosine تربيع يسوى نص في واحد زائد Cosine
اتنين X Cosine تربيع الـ X يسوى نص في واحد ناقص
Cosine اتنين X يعنيهذا الكلام يساوي تكامل لـSin
تربيع الـ x في Sin تربيع الـ x في Cos تربيع الـ x في
dx هذا يساوي تكامل لـSin تربيع الـ x طلع لي في هذول
مش الأس تبعهم زي بعضهم صح؟ يبقى بقدر اخدهم مع بعض
بقص واحد يعني هذا كأنه ايه يعني كأنه Sin X في Cos
X الكل تربيه DX تمام هك؟ طيب نرجع تاني خلي بالك
معاه هنا اقول خلي بالك معاه هنا
بترجع بالذاكرة الى الوراء لحساب المثلثات احنا
عندنا Sin 2x يساوي 2 Sin x في Cos x إذا اللي بينقسم
هذا هو هذا بس اش فيش فيه اتنين نقسم على اتنين يبقى
هذه كأنها نص Sin اتنين x بده يساوي Sin x في Cos x
إذا صارت المسألة هي تكامل لـSin تربيه الـ x في نص و
يضايحك خلّيها دوري الـSin تربية زي ما قاللي هي نص
في واحد ناقص Cosine اتنين الـ X وهذه اللي هي النص
في Sin اتنين X لكل تربيه و DX طيب النص لما ربيعه
بصير كدهش؟ ربع مضروبة في مين؟ في نص كدهش بيصير؟
الطمون هذا برا مع السلامة يبجى هاي طمون وهاي تكامل
بقى اللي عندى واحد ناقص Cosine اتنين X وهد اللي هى
مين اللي هى Sin تربيع لاتنين X في الـ DX بقول كويس
يبقى هذه بدها تساوي هي الطمون برا و هي تكامل بدها
فك القوس يبقى Sin تربيع اتنين اكس DX ناقص طمون و
هي تكامل لـSin تربيع اتنين اكس Cosine اتنين اكس في
الـ DX يبقى جزاية التكامل لقداش إلى تكاملانبالتالي
هذا أصعب من اللي جابله، اللي قمت اللي جابله أسهل
منه هذا، يبقى إذا الأسس الزوجية فيها شوية خرباطة،
بيبقى تشتغل شوية شغل، بنقول له كويس، هذا الكلام
بدي يساوي تمن في تكامل نعود للصين الترابية بدي
اكتبها بدلال الضعف الزاوية يعني بدي اتخلص من مين؟
من الترابية يبقى هذه عبارة عن مين؟ نص في واحد ناقص
كوسين قداش؟ قد هذه مرتين يبقى أربع اكس كله في DX
ناقص تمن تكامل نعود لهذه هذه ههه لو حطيت الـ Y تساوي
الـSign اللي هو اتنين x يبقى DY يساوي Cosine اتنين
x في اتنين في الـ dx اتنينات ماعنديش يبقى نص DY
يساوي Cosine اتنين x dx إذا ممكن اشيل هذه كلها و
احط بدلها جداش مص DY يبقى هاي المص وهذا Y تربيع
وهذا الـ DY يبقى آلة المسألة إلى الشكل التالي واحد
على ستة عشر في X ناقص Sign أربعة X على أربعة نقص
واحد على ستاشر
وهذه Y تكعيب على تلاتة زائد Constant C 1 على 16x
ناقص 1 على 64 Sin 4x و هنا ناقص 1 3 في 16 ب 48 و
بده اشيل الـ Y و احط مكانها Sin 2x
يبقى هذا السؤال كان الأسس للـSign و الـCosine
زوجية وبالتالي هذا المثال أفضل من الأربع أمثلة
السابقة طيب ننتقل الآن إلى المقطة الثانية من هذا
الـ Section وهي المقطة الثانية culminating
eliminating square roots بدنا نحذف الجذور التربيعية
أو الجذور التربيعية يعني لو جئت جذر في المسألة
كيف بدك تتخلص من الجذر example evaluate
the following integrals
أولًا
تكامل من هذه التكاملات نمر a تكامل من صفر لغاية
π على اثنين للـ x الجذر التربيعي إلى واحد ناقص
cos 2x dx
عندما يقول للمناطق square roots يعني كيف بدك تتخلص من
الجذر التربيعي اللي موجود عندك في المسألة و تقدر
تكامل مين؟ تقدر تكامل المسألة اللي عندك بقول له بسيطة
عشان أتخلص من هذا الجذر بدي الكمية اللي تحته تبقى
كمية مربعة بقول له اه هذه 1-cos 2x
مرت علينا شغلات توفي الجزء النظري كتبناها كتبنا أن
sin2 الـ x يساوي النصف في 1-cos 2x
x
إذا ما بقدر أشيل الجذر هذا و أكتب بدله 2sin2
الـ x يبقى آلة المسألة تكامل من 0 لـ π على 2 لـ x
الجذر التربيعي لـ 2sin2 x كله dx يساوي
جذر 2 خده برا ما له دعوة و بيبقى التكامل x
والجذر التربيعي للـ sin2 الـ x هو absolute value
للـ sin لكن من صفر لـ π على اثنين في الربع الأول
الجيب موجب يبقى لا داعي للـ absolute value يبقى
تكامل للـ sin الـ x dx من عند الـ صفر لغاية قداش π
على اثنين طيب هذا سهل أخذناه في الـ integration by
parts صحيح ولا لأ x و أس n في sin x أو sin
x يبقى بعمله الـ table مباشرة فبقول له هذا بتاخده
derivatives وهذا بدي أخده integrals إيش الـ
derivatives اللي هي x؟ إيش التكامل اللي هي sin x؟
يبقى 1 تكامل الـ sin بـ -cos يبقى 0 يبقى
-sin x هذا في هدف الموجب وهذا في هدف السالب
إذا انتقلت المسألة إلى جذر اثنين برة تنقلها الحمد
لله هذه تكاملها كالتالي لمن؟ لـ -x في cos x زائد
sin x كله من صفر لغاية π على اثنين يساوي جذر
اثنين فيه بنعوض بالقيمة اللي فوق ناقص القيمة اللي
تحتنا x ثمين فيه cos اللي هو من x بدي أشيل كل
x و أحط مكانها اللي هو π على اثنين و أشوف إيش
بده يكون النتيجة
يبقى هذا الكلام بده يساوي لو حطينا π على اثنين
cos π على اثنين بقداش؟ بـ 0 يبقى طاري الترم
اللي عندنا هذا هي 0 اللي بعد cos π على اثنين
بقداش؟ بـ 1 ناقص 0 في 1 مع زائد بـ 0 وهذا
بيصير ناقص sin اللي هي 0 بقداش؟ بـ 0
هذا يعتبر من المسائل السهلة لأن السؤال مباشر يبقى
هذا نمرة a نمرة b لو كان تكامل من π على ثلاث
إلى π على اثنين لـ sin2 الـ x على مين؟ على
الجذر التربيعي لـ 1-cos x dx وطلب مني أن
أكمل هذا السؤال وقلنا بدك تكمل بعد ما تتخلص منين؟
من الجذر لأن الأنواع اللي احنا رافعينه اللي و حق
الجذور للمثال، أقول له بسيطة، هذا السؤال ممكن أن يحل
بأكثر من طريقة، إحدى هذه الطرق، ممكن أروح أقول له
تكامل من π على 3 لـ π على 2 لمن؟ لـ sin2 الـ x
على الجذر التربيعي لـ 1-cos x إيش رأيك لو
ضربته في 1 صحيحة؟ الجذر التربيعي لـ 1+cos
x على الجذر التربيعي لـ 1+cos x كله بالنسبة
لمن؟ لـ dx يبقى هذا يساوي تكامل من π على ثلاث إلى
π على اثنين لـ sin2 الـ x في الجذر التربيعي
لـ 1+cos x على الجذر التربيعي هذا جذر
وكميتين مضروبتين في بعض هذه تحليل الفرق بين
المربعين يبقى 1-cos2 الـ x dx يبقى
هذا الكلام يساوي تكامل من π على ثلاث إلى π على
الاثنين لـ sin2 الـ x الجذر التربيعي لـ 1+
cos x على طلعنا من هذا المقدار 1-cos
تربيع sin2 نطلعها من تحت الجذر بالـ sin على
الفترة هذه في الربع الأول يبقى هي positive يبقى
هنا sin الـ x 1-cos2 بالـ sin2
تحت الجذر تطلع بـ sin الـ x dx نختصر البسط مع المقام
يبقى integration من π على ثلاث إلى π على
اثنين لمن؟ لـ sin الـ x الجذر التربيعي لـ 1+
cos الـ x كله في الـ dx المسألة الآن صارت مسألة سهلة
وبسيطة، يبقى ما عليك إلا أشيل كل الكمية اللي تحت
الجذر و أحطها بأي متغير جديد إذا لو حطيت الـ y
تساوي 1+cos الـ x يبقى dy يساوي -sin
x في dx إذا sin الـ x مع الـ dx بقدر أشيله و أكتب
بدلها قداش؟ -dy
طيب إذا السؤال أصبح على الشكل التالي يساوي تكامل
لمين؟ للجذر التربيعي لـ y وهذه يدوش -dy يبقى هاي
السالب برا وهي الـ dy يبقى المسألة إذا تحولت لمين؟
بهذا الشكل بيغير حدود تكامل قَبْل يبقى لمين؟ لهذه
التعويض يبقى بداية أقول له لو كانت x بـ π على اثنين
cos π على اثنين بـ 0 بظل قداش؟ بظل 1 يبقى
هنا 1 اللي بعده لو كانت عندك هذه 0 يبقى وين
راحت اللي هي π على ثلاث بيصير جتا π على ثلاث اللي
هو النصف يبقى بزيد 1 3 على 2 يبقى هذه
3 على 2 3 على 2 3 على 2
3
على 2 3 على 2 3 على 2 3
على 2 3 على 2 3 على 2 يبقى
يساوي اللي هو 2/3 y3/2 من 1
لغاية 3 على 2 يبقى هنا 2/3 برا وهنا
3 على 2 أس 3 على 2 ناقص 1 أس
3 على 2 اللي هو 1 ويساوي 2 على
3 فيه هذا شباب معناته الجذر التربيعي للمقدار
تكعيب تكعيب يبقى 27 تحت الجذر يبقى 3
جذر 3 يبقى هذا 3 جذر 3 المقام 2
تكعيب تحت الجذر يعني 8 يعني 2 جذر 2
ناقص 2/3 نفك الكسر بيصير جذر 3 على جذر 2
ناقص 2/3 هذه هي من الإجابة النهائية طب واحد ثاني
قال لي أنا ممكن أحله بطريقة غير هذه قلنا له كيف؟
قال لي هي التكامل تبعنا يبقى another solution بدي
أخليك أحله أنت بس أنا بدي أعطيك المفتاح أن أقول لك
توكل على الله يبقى من π على 3 إلى π على
2 الآن كده sin 2x sin 2x sin
2x اللي هو 2sin x cos x صحيح طيب كده sin
الـ x يبقى الزاوية اللي جوا نصف الزاوية اللي برا
يبقى 2sin x/2 cos x/2
يبقى كأن المسألة هذه 2sin x/2 cos x
على 2 الكل تربيع هذه مين؟ ليه الـ sin2 طل
الجذر هذا يبقى هذا الجذر
هذه 2sin2 يساوي 1-cos 2x
x أنا ما عنديش cos 2x وإنما عندي cos
x واحد يبقى الزاوية اللي برا نصف الزاوية اللي جوا
يبقى بالإنها على مصير 2sin2 x/2
هي الـ 1-cos x يبقى بقدر أكتب هذه 2sin
2 x/2 كله في الـ dx خلصنا؟ عايزين نعرف
نكملها الحين ونختصر هذه مع اللي فوق ونروح نكمل وهي
الجواب عندك
سنبدأ الآن بالنقطة الثالثة من هذه المقالات النقطة
الثالثة هي الـ integrals integrals
قوى
ثاني
x و sec x يعني ما حدش يحسم الحد كنت بتتكلم عن الـ sin
والـ cos في الأمثلة السابقة الآن نتكلم عن
الـ secant ثاني example evaluate
the following integrals
يحسب التكاملات التالية، نمرة واحدة بتكامل سك الست
اكس سك الست اكس في دي اكس، نحسب سك الست اكس دي اكس
وبعدين بقول له هذه بقدر أكتبها على الشكل التالي سك
تربيع الاكس الكل تربيع في مين؟ في سك تربيع الاكس في
دي اكس، بعد ما كتبتها بالشكل هذه بدي أحولها كلها
بدلالة التان، كيف أحولها بدلالة التان؟ بسيطة هي
تكامل سك تربيع ما علينا، واحد زائد تان تربيع ال X
إذا هذي بقدر أقول واحد زائد تان تربيع ال X الكل
تربيع في مين؟ طلع لي لهذه مش هذي مشتقة التان ال X صح؟
إذا بقدر أشيل وأكتب قداش دي لتان ال X انفك
التربيع، يبدأ تكامل واحد زائد اثنين تان تربيع ال X
زائد تان أس أربعة X كله بالنسبة لمين؟ لتان ال X Y
يساوي قداش؟ مشتقة الواحد بالنسبة لتان ال X، تان ال X
ممتاز، يبقى هذه تساوي تان ال X، اللي بعدها تلتين تان
تكعيب ال X، اللي بعدها خمس تان أس خمسة X زائد
Constant C
أعطيك العافية ونكمل المرة الجاية إن شاء الله