بنكمل برهان اللمة اللي ابتدأنا فيه المحاضرة
الماضية طبعًا اللمة هذه عبارة عن ثماني نقاط برهان
منها اللي هو خمس نقاط بنجي الآن لنقطة السادسة
النقطة رقم ستة بيقول لي أن ال order للـ A H يساوي ال
order للـ B H المقصود من ذلك أنه لو عملت أي left
coset أو right coset لـ subgroup من الـ group
الأساسية بدي يطلع في كل left coset نفس العدد من
العناصر أو لو كانت right cosets بضبط بدي يطلع في
كل اثنتين أو كلهم هيطلع في كل واحدة فيهم نفس العدد
من العناصر يبقى order للـ A H يساوي order للـ B H
لكل الـ A والـ B الموجودة في group G يبقى هذا صحيح
لكل الـ A والـ B الموجودة في group G مشان نثبت أن
ال order لـ group يساوي ال order لـ group قولنا يكفي
نثبت أنه في function ما بين الاتنين والـ function
تبقى one to one and onto هذا بيعطيني أن عدد
العناصر في الأولى يساوي عدد العناصر في الثانية لذلك
بدي أجي أبرهن هذه النقطة بقوله define
في من الـ A H إلى الـ B H بالـ Phi لما تأثر على
أي بدي آخذ element من H وليكن A H بوديها للـ B H
يبقى بده يساوي B H الكلام هذا صحيح لكل الـ H اللي
موجودة وين موجودة في H بدي نثبت هذه one to one and
onto يبقى باجي بقوله في هذه الحالة Phi is one to
one Assume بروح آخذ صورتين متساويتين أن Phi of A
H1 يساوي Phi of A H2 بدي أحاول أثبت أن الـ A H1 يساوي
الـ PH1 يساوي الـ PH2 إن تم ذلك يبقى بيصير PH1 to
PH1 بناء على التعريف يبقى هذا بيساوي BH1 وهذا
بيساوي BH2 بالـ left cancellation law هذه بتعطينا
لو ضربت الطرفين من جهتي اليسار في a بيصير a h1
يساوي a h2 وبالتالي Phi is one to one
بتروح وآخذ element من الـ codomain وأثبت إنه أصله
وين في الـ domain يبقى بدي أجي على الـ BH بدي آخذ
element منها وأثبت إن هذا الـ element له أصل في
domain في الـ A H يبقى باجي بقول افترض إن X موجود وين
موجود في الـ B H تمام؟
يبقى then الـ X هذا بده يساوي B H for some H اللي
belongs to domain to H طيب هذا أليس هو B H طبقا اللي
التعريف هو Phi of A H معنى هذا الكلام أن Phi is on
to خلاص
ننتهي هنا منها يبقى هنا Sir Phi is one to one and
on to وهذا يتطلب أن ال order للـ A H هو order للـ B H
يبقى من الآن فصاعدًا لما نأخذ subgroup من الـ group
أجي واضرب أي element من G في هذا الـ H من جهة
الشمال أو جهة اليمين إن شاء الله يطلع عنده مائة
cosets يبقى المائة كل واحدة فيها نفس العدد من
العناصر فيها عشرين يبقى الثانية فيها عشرين الثالثة
عشرين إلى آخره وهكذا هذا بالنسبة للنقطة رقم ستة
بنجي للنقطة رقم سبعة يبقى النقطة رقم سبعة بتقول إن
الـ A H بده يساوي الـ H A if and only if الـ H بده
يساوي A H A inverse بدنا نبرهن صحة هذا الكلام لـ
prove خلّي أبقى لك هنا الآن الوضع سيكون في اتجاهين
لكن ممكن نجيب الاتجاهين مع بعض مرة واحدة الآن
إذا كنت قاعد أقول له A H سيكون H A if and only
if لو ضربت الطرفين من جهتي اليمين في الـ A
inverse يبقى هذا الكلام بيصير A H A inverse بالشكل
اللي عندنا هذا يساوي H A في الـ A inverse بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى هذا الكلام if and only if من
خاصية الـ associativity ممكن أعمل دمج ما بين
الاثنين هدول فبيصير عندي A H A inverse بده يساوي هذا
الـ H وخاصية الـ associativity يبقى الـ A في الـ A
inverse بالشكل اللي عندنا هنا طب الكلام هذا صحيح
if and only if الـ A H A inverse A H A inverse بده
يساوي تمام
يبقى H في الـ identity element تبع الـ group اللي
هو G هذا if and only if A H A inverse بده يساوي من
نفسه لأن الـ identity element أو ضربه في أي
element بيطلع نفس الـ element اللي هو هو المطلوب
النقطة الأخيرة اللي هي النقطة الثامنة بتقول ...
بتقول أن الـ A H is a subgroup من G if and only if
الـ A belongs to domain if and only if الـ A belongs
لمين لـ الـ H طيب تمام
المرة السابقة قلنا أن الـ left cosets قد تكون
subgroup وقد لا تكون subgroup تمام؟ لكن in
general ماهي subgroup هنا بيحط لي الـ chart إيش
اللي يخلي الـ left coset subgroup هو أن ضربها في
عنصر من عناصر من من عناصر H itself يبقى الـ A H
عبارة عن subgroup من G إذا كان الـ A اللي ضربته هذه
من H نفسها وليس وليس من خارجها يبقى الآن بداجي
أقوله assume that افترض أن الـ A H is a subgroup من
G بنحاول نثبت أن الـ A موجود في الـ H وهذا هو الاتجاه
الأول طيب تمام السؤال هو هل يا شباب هذه تحتوي على
الـ identity element؟ ليش؟ لأنها subgroup يبقى باجي
بقوله الـ E موجودة في الـ H since الـ H is a subgroup
من G تمام؟ طيب and الـ E موجودة في الـ H ولا لا؟ لأن
الـ H كذلك هي subgroup يبقى الـ E موجودة هنا والـ E
موجودة هنا طب الـ H أليست هي E في H؟ يعني صارت هذه
left coset وهذه left coset لجهة element موجودة
في الاثنين يبقى الـ intersection تبعهم لا يمكن أن
يساوي فاي يبقى A اللي هو E belongs to A H والـ E H
هذا معناه أن الـ E H لا
يمكن أن يساوي فاي فيما دام لا يمكن أن يساوي فاي معناه
الاثنين هدول are equal من النقطة ما بعرف كده رقمها
خمسة أو ثلاثة عندنا من اللي ملم المرة الماضية يبقى
هذا معناه أن الـ A H بده يساوي الـ E H يعني الـ A H
بده يساوي الـ H itself طيب إذا هدول بتساووا أليست الـ A
موجودة في H النقطة برهنها برضه المرة الماضية ما
بعرف اثنين أو ثلاثة بالكتير مادام الـ A H يساوي H
هذا معناه أن الـ A belongs to H اللي هو الاتجاه
الأول بدنا نيجي للاتجاه الثاني فباجي بقوله
conversely
بالعكس يبقى assume افترض أن الـ A belongs to H بدا
أحاول أثبت أن الـ A H is a subgroup مدام الـ A
belongs to H then الـ A H بده يساوي الـ H مظبوط؟
صح برهان مدام الـ A belongs to H لأن if and only if
يعني كانت النقطة عندها بتقول أن الـ A H بدي يساوي H
if and only if الـ A belongs to H طب احنا فرضين الـ
A belongs to H بجه الاثنين هدول بيساووا بعض تمامًا طب
هدا subgroup ولا لأ إذا هدا من subgroup هذا بدي
يعطينا أن الـ A H is a subgroup من G because الـ H
is a subgroup من G على هيك بيكون برهننا النقاط
الثمانية لهذه اللمة وهي علاقة الـ cosets مع بعضها
أو مع بعضهم البعض طيب في عندي ملاحظة هنا منحب نشير
إليها الـ remark بتقول ما يأتي إذا الـ H هي الـ
special linear group of two by two matrices over R
وهذه الـ subgroup من الـ general linear group of
two by two matrices over R فهذه الـ subgroup من
الـ general linear group of two by two matrices A
and G the coset
اللي هو الـ A H is the set of all two
by two matrices
with the same
determinant
as A for
example كمثال
على ذلك
المصفوفة اللي تلاتة صفر واحد اثنين لو ضربتها فيه
H is the set of all two by two matrices with
determinant
ستة طيب بدنا نسأل السؤال التالي ليش هذا الكلام
صحيح طلع لي فيها كويس طلع لي فيها كويس حتى نحاول أن
نصل إلى الإجابة لهذا السؤال الذي زعمناه أن ال
order لها يساوي ستة قلي بلا كده ال remark بتقول ما
يأتيلو كانت الـ subgroup هي الـ special linear
group ملي جروب اللي هو ال general linear group of
two by two matrices over R طبعا هذه كل المصوفات
اللي determinant لها لا يساوي zero هذه كل المصوفات
اللي determinant لها لا يساوي مين واحد صحيح بقول
لأي matrix A في ال group اللي عندنا هذه the coset
of H أنا أخدت A من وين؟ من ال general ضربت في من؟
في H لل special linear group of two by two
matrices overall بقول الـAH هذه كل مصحوفة فيها
المحدد تبعها يسوى المحدد تبع المصحوفة ايه بالضبط
تماما، ليش؟ لإن هذه المصحوفة كل matrix فيها المحدد
دي لها بجداش يبقى لما تجيب ال determinant لأي
ألمصير ال determinant لإيه في ال determinantلأ
بيهيب واحد يبقى بيظلمين ال determinant ليه بيبقى
كل عنصر فيها بدي يكون ال determinant له ك
determinant لمين لإيه مثال على ذلك المصحوفة اللي
عندها دي element هذا موجود في ال general linear
group لإن المحدد تبعه بقداش بستة يعني لا يساوي
زينو معناته موجود في ال general يبقى the set of
all two by two matrices اللي هذا مضروبة فيه with
determinant ستة السبب لإنه بدي يكون ال determinant
لأ ال element هذا مضروب في أي element تاني وليكن
بيسوء ال determinant لهذه في ال determinant اللي
بيبقى ال determinant اللي بيبقى بواحد صحيح بيبقى
ال determinant لهذه بستة في واحد اللي بستة هذه
مجرد ملاحظة طيب نجي الآن لنظرية very important في
الجبر وهذه أساسية ولا كتاب جبر بيخلوا منها هذه
النظرية اسمها نظرية Lagrange Lagrange هو اللي
اكتشفها بالبلد هيك ال order لو كانت ال G finite
فال order لل sub group بيقسم ال order لل group وهذه
شرطها لكم من أول ما بدأت تقولوا دير بالك قدام
هناخد ان ال order لل element بده يقسم ال order لل
group و ال order لل sub group بده يقسم ال order لل
group كذلك فبدنا نيجي ل Lagrange theorem يبقى هنا
Lagrange theorem
النظرية هذه بتقول ما ياتي if ال H is
a subgroup of a finite group G then
ال order ل H divides
الـ order لـ G وزيادة على ذلك moreover و أكثر من
ذلك the number of this connect the number of
this connect the number of this connect left أو
right left أو right هدى والله هدى الاتنين are the
same left أو right cassettes of H in G is ال order
ل G على ال order ال main لل H بنبرهن
صحة هذا الكلام ال approve
خلّي بالك كدا الآن H sub group من مين؟ من finite
group G و ال H هي ال sub group من ل group G بدي
أثبت أن ال order ل G بيقسم ال order ال order ل H
بيقسم ال order ل G يعني عدد العناصر في H يقسم عدد
العناصر في من في G و زيادة على ذلك عدد ال left أو
right destined cosets في H and G بيسوي ال order لل
H على ال order لمين لل G هذا اللي عايزين نتبته في
العدد
الـ order اللى جى على ال order لل H بيعطينى عدد ال
left cosets وهنا كاتبين ال order اللى جى على ال
order اللى H تمام طب خلّينى نثبت النقطة الأولى
بيقول لي هنا عدد ال left .. destined left cosets أو
right cosets إذا أنا بدي اروح اجيب كل ال left
cosets اللى موجودات على اللى هو ال sub group من ال
group اللى عندنا لما أخدنا الأمثلة المرة اللى فاتت
لجينا انه أحيانا ال lift corsets بتساوي مظبوط يبقى
أنا بدي أجيب كل ال lift corsets اللى بيكون ولا
واحدة فيهم بتساوي ات تانية يبقى بدي أجي أقوله let
a1h a2h ونظل ماشيين the arh ب the
Left Destinate Cosets
of
H and G بدأ افترض أن هذا عبارة عن ايش؟ عبارة عن كل
Destinate Left Cosets اللي ولا واحدة بتساوي
التانية طيب، الآن بداجي أقول let ال A belongs to G
then ال A H is a left cassette صحيح ولا لأ يعني
معناته أن ال a h هساوي واحدة من هدول هتكون واحدة
منهم صح يبقى الآن ساعة ال a h هذه بدها ساوي a i h
تمام
طيب كويس but we know that احنا بنعرف أن ال a موجودة
في ال a h فموجودة في ال a h مظبوط
بارهنها المرة اللى فاتت مدام موجودة هنا وهذه
بتساوي هذه يبقى ال element وين موجود؟ في ال A I H
يبقى هذا بده يعطينا أن ال A belongs to A I H طب
أنا لما أخدت ال A في G أخدت عنصر عشوائي ولا عنصر
محددعشوائي مدام عشوائي ينطبق على أي عنصر موجود في
ال group G بفهم من هذا الكلام أن كل عنصر موجود في
جي حالة جي في واحدة من ال lift cassettes صح ولا لأ
سكت الشعب مرة تانية أنا اخدت a عشوائيا من g تمام
لجيت ال a هذا موجود في واحدة من هدول ايه موجود في
ال aiH مظبوط ممتاز جدا يبقى هذا يعني أن كل عنصر
بتاخده من G لازم تلاقيه في main في واحدة من ال
left distant cosets مظبوط يبقى this means that
this means that any element
in G belongs to
one coset of
A1H A2H و لغاية ARH
إذا كل عنصر باخده من جيه لما أخده من جيه بلاقيه في
واحدة من هدول طب السؤال هو هل هدول بيسووا بعضهم
يبقى ال intersection five ممتاز جدا و لو واحدة جال
بيسوى تاني نجال عليهم this and that يبقى ال
intersection تبعهم يسوى five إذا لا يمكن لعنصر
يكون confidentين منهم صح ولا لا يبقى هنا بقول هنا
but ولكن اللي هو ال aih لا يساوي ال ajh for اللي
هو ال I لا يساوي ال j لما هؤلاء ما يتساووش يبقى
هؤلاء ما يتساووش بعض إذا الـI والـJ لا يتساووش بعض
إذا كل element موجود بالضبط في واحدة من من هؤلاء
طيب إذا الـG مش هي عبارة عن ال union تبع هؤلاء
كلهم ولا لأ؟
لجروب G هي عبارة عن A1H اتحاد A2H اتحاد اتحاد ARH
كويس يعني هذا يعني أن ال order ل G ال order ل G
بدي سوى ال order ل A1H زائد ال order ل A2H
زائد زائد زائد ال order لل ARH طيب
سؤال أنا H فيها عشرة elements مثلا و جيت ضربت ال H
في أي عنصر من عناصر G بيطلع عندي عشرة elements ولا
أكتر ولا أقل عشرة بالضبط لما يكون عندي ال sub
group و اضربها في أي element من ال group بيضلوا
العشرة العددهم عشرة صحيح بيختلفوا لكن بيضلوا عشرة
من ناحية العدد معناته ال order لل a1h يساوي ال
order لل h و ال order ل A to H هو ال order ل H و ال
order ل A RH هو ال order ل H يعني هذا الكلام يعني
أن ال order ل G بده يساوي ال order ل H زائد ال
order ل H زائد زائد ال order ل H كم مرة هدول؟ R
لأن عددهم R يبقى هذا الكلام معناته R times يبقى R
من المرات يبقى أصبح الآن ال order اللي جيه بده
يساوي الـ R في الـ order الـ H لأن عددهم R طب إيش
تفسيرك لهذه أن الـ order للـ H بيقسم الـ order لـ G
هذا معناه أن الـ order لـ H divides الـ order لـ G
وبالتالي أنت هنا من نظرية Lagrange راح يقولي و أكثر من
ذلك the number of distinct left cosets أو right
cosets of H and G يساوي الـ order للـ G على الـ order
لمين؟ للـ H باجي بقوله هنا كم
واحدة left cosets عندنا هنا are يبقى هنا the number
of left أو حتى right cosets of H the number
of distinct
Left or Right Cosets of H in G is R طب الـ R قد
يساوي هنا مش هو الـ order لـ G على الـ order للـ H
يبقى الـ order لـ G على الـ order للـ H طب كويس شوفوا
شوفوا بعد هذا البرهان عندي تعريف متعلق بالنتيجة
اللي توصلنا إليها من نظرية لاجرانج التعريف هذا
بيقول ما يأتي the number of left the number of
distinct left أو right هذا أو هذا left distinct
right أو left cosets of H in G
of H in G is called هذا بنسميه الـ index is called the
index of
a subgroup a subgroup
H in G and
denoted by وبنعطيله الرمز التالي الـ G مقطعتين فوق
بعض و H بالشكل اللي عندنا هذا
طيب هذا بيقولي عدد الـ distinct left أو right
cosets of H and G بسميه الـ index تبع الـ subgroup H
في من في الـ group G طب قداش عددهم هدول؟ R يبقى
احنا عندنا ملاحظة بسيطة جدا من الـ grand theorem
قلنا الـ order لـ G بدي يساوي الـ R في الـ order لـ H صح
ولا لا؟ إذا بقدر أكتب نظرية Lagrange بطريقة أخرى
إن الـ order لـ G بده يساوي الـ R هو عدد الـ left
coset اللي أعطيته الرمز الـ index تبع الـ H in G في
الـ order لـ H يبقى بصيغة نتيجة نظرية لاجرانج بالصيغة
اللي عندنا اللي توصلنا لها هذه أن الـ order لـ G بده
يساوي R في الـ order لـ H يا بقول الـ order لـ G بده
يساوي الـ index تبع الـ subgroup H في الـ group G
مضروب في الـ order تبع من؟ تبع الـ H الشكل اللي عندنا
هذا تمام بدنا نبدأ نعطي أمثلة على ذلك أول مثال
example بقول let الـ G تساوي S4 and
الـ H هي الـ sub group generated by الـ permutation
واحد اثنين ثلاثة أربعة اثنين ثلاثة أربعة واحد
بالشكل اللي عندنا هنا find
S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4 S4
سؤال مرة ثانية السؤال بيقول احنا عندنا G S4 اللي
فيها أربعة وعشرين عنصر أخذنا منها subgroup H مين
هي الـ subgroup هذا الـ subgroup اللي تتولد بال
permutation اللي عندنا قداش الـ index تبع الـ H in
S4
الاندكس يساوي الـ order للـ group على الـ order للـ
subgroup الـ order تبع الـ group نعرفه 24 لكن الـ
order تبع الـ subgroup مش عارفينه مش عارفها لكن لازم
تعرفه إذا بدي أبدأ أضرب هذه في نفسها مرة ما طلعش الـ
identity كمان مرة ما طلعش لغاية ما يطلع من الـ
identity وبالتالي بيكون الأس اللي عندي هو من الـ
order تبع الـ group هذه وجهة نظر قديمة هو إيش وجهة
النظر الجديدة أن أنت هذه أجيب للـ order تبعها بكل
بساطة بكل بساطة كده بقوله أنا هذا let alpha تساوي
الـ permutation واحد اثنين ثلاثة أربعة اثنين ثلاثة
أربعة واحد then الـ alpha تساوي بقدر أكتبها على الـ
cycle form أما الـ cycle واحدة أو product of two
cycles حسب اللي موجود عندي تمام إذا باجي بقوله بدي
أكتب على شكل cycle الواحد مين صوبته يا شباب
والاثنين والثلاثة والأربعة قفلت إذا بقدر أجيب الـ
order لـ alpha ولا؟ يبقى هذا بيعطينا أن الـ order لـ
alpha بده يساوي طول الـ cycle اللي عندنا هو قداش
أربعة يبقى الـ order لـ alpha بده يساوي أربعة طيب
لما يكون عندنا الـ cycle كـ group شو العلاقة بين
order للـ group و order للـ generator؟ اثنين نفس
الشيء يعني معنى هذا الكلام أن الـ order للـ H يساوي
الـ order لـ alpha وهذا بدي يعطيني من؟ بدي يعطيني
اللي هو النتيجة اللي هو أربعة هذا سيعطيني أن الـ
order لـ H هو order لـ alpha أربعة ليش؟ لأن H هي
الـ cyclic subgroup generated by الـ permutation
alpha اللي عندنا يبقى إثار الـ order لـ alpha هو
order لـ H ما دام هيك بقى صارت قصتنا بسيطة قال لي
هاتلي الـ index بقوله الآن الـ index لـ الـ subgroup H
في الـ group S4 يساوي الـ order للـ S4 على الـ order
للـ H الـ order للـ S4 اللي هو أربعة factorial وهذه
أربعة يبقى هذه بنقول أربعة في ثلاثة factorial على
أربعة يبقى ثلاثة factorial ثلاثة factorial يساوي
كده؟ يساوي ستة إذاً الـ index تبع الـ subgroup اللي
عندنا هذه في الـ group G الأصلية هو عبارة عن ستة،
إيش يعني ستة؟ يعني أنا ضمنت عدد الـ left distinct
cosets للـ S4 لما نضربهم في الـ .. لما ينضربوا في الـ
permutation اللي في الـ .. في الـ H اللي عند الـ
subgroup بيطلع عندي بس ستة left distinct cosets يعني
معناه كل أربعة هيتساووا عشان يطلع عندي ستة صح ولا
لا يعني كل أربعة left cosets هيطلعوا نفس الشيء
وبالتالي ضمنت عدد الـ left cosets يساوي ستة كان
بيمكني أصيغ نفس السؤال و بدل ما أقول هاتلي الـ index
أقول find the number of left cosets of H in S4
وأسكت مش هو نفس السؤال نفس السؤال حرفية لكن قعدت
أصيغه بطريقة أخرى نعطي مثال آخر كمان example الـ
example يا شباب هذا سؤال 14 من الكتاب بقول suppose
that
suppose that افترض أن الـ K is a proper subgroup
of
H and
الـ H is a proper subgroup
of G if
الـ order للـ K هو اثنين وأربعين and الـ order للـ G
هو أربع مئة وعشرين what
are the possible orders of
H
مرة ثانية أنا عندي K proper subgroup من H إيش يعني
proper subgroup؟ لا تساوي H subset منها لكن لا
تساويها وعندي في نفس الوقت الـ H proper subgroup من
G يعني K subgroup من H و الـ H subgroup من G وكل
واحدة فيهم عبارة عن الـ proper يعني لا تساوي الجروب
الثاني قال لو كان الـ order لـ K الأولى هو اثنين
وأربعين والـ order للـ أخرى أربع مئة وعشرين ما هي
الاحتمالات الممكنة للـ order تبع الـ H فنقوله ماشي
يبقى هنا solution
الآن نحن لدينا K subgroup يبقى K subgroup من H هذا
معناته أن الـ order للـ K بيقسم الـ order للـ H مظبوط؟
طب الـ order للـ H كده أنا مش عارف يبقى هنا كده
K subgroup من H هي K proper subgroup من H K
subgroup من H يبقى الـ order لـ K بده يقسم الـ order
لـ H يبقى بداجي أقوله هنا assume افترض أن الـ order
لـ H بده يساوي الـ M مثلا يبقى بناء عليه الـ order لـ
K معطيني إياه قداش؟ 42 تقسم من الـ M يعني معناته
هذا الـ M تساوي مضاعفات 42 يساوي هذا S مثلا في فيل
42 و هنا for some
يبقى كتابة الـ M مجهولة على شكل رقم مضروب قداش
اثنين أو أربعين الآن أنا عندي كذلك الـ order لـ الـ H
أو الـ H هذه الـ sub group من G sub group من G هذا
معناته أن الـ order لـ H يَقْسِم الـ order لـ G طبقا
لنظرية Lagrange مدام هيك هذا معناه أن الـ order للـ
G هنا بدي أساوي الـ R في الـ order لـ H مثلا يبقى هذا
معناه أن الـ order اللي جاي ليه أربعمية وعشرون
تساوي R في مين؟ في الـ M لأن أنا فرضت الـ order لـ H
يساوي M كده؟ يساوي M أطلَعْ لي في المعادلة اللي
عندنا هذه وأطلَعْ لي في المعادلة اللي عندنا هذه إذا
أنا بقدر أَخْلِق من المعادلتين معادلة ما هي هذه
المعادلة؟ اللي هي أربعمية وعشرون بدها تساوي R S في
من؟ في اثنين وأربعين يعني شِيلتُ الـ M اللي عندنا هذه
وراحَت شِيلتُ الـ M اللي عندنا هذه وكتبت بدلها S في
اثنين وأربعين تمام طيب في قسمة ما بين الطرفين اه
يبقى لو قَسَمْتُ كله على اثنين وأربعين هذا بدي يعطيني
R S تساوي عشرة مدام عشرة احتمال الـ R بواحد والـ S
بعشرة احتمال أن S بواحد وR بعشرة احتمال R بخمسة وS
باتنين احتمال R باتنين وS بخمسة هي الاحتمالات
الأربعة في غيرهم؟ لا يبقى هنا so we have four
possibilities four
أربعة احتمالات الاحتمال الأول أن الـ R تساوي واحد
والـ S تساوي عشرة هل هذا الكلام ممكن؟ والله مش ممكن
الحين لو الـ S وعشرة يبقى الـ M كده؟ 420 ممكن هذا
الكلام؟ يتناقض مع كلمة proper تمام يبقى هذا this
is impossible
هذا غير ممكن السبب because أن الـ H is proper
subgroup من G لأن على الجهة ده مش ممكن ممكن العكس
نقطة ثانية أن الـ R تساوي عشرة والـ S تساوي واحد
تمام؟ طب بدنا نأتي إلى الـ S تساوي واحد لو الـ S صارَت
واحد يبقى الـ M قداش؟ يعني قد مين؟ قد K الـ H صارت
قد K مظبوط وهذا كلام غلط لأن احنا نقولين K proper
يبقى برضه هذا this is impossible because capital K
is proper
يبقى هذا لا يمكن يحصل بالمرة طب نجي النقطة الثالثة
النقطة الثالثة ممكن الـ R يساوي اثنين والـ S يساوي
خمسة طيب لو حطيت الـ S هنا بخمسة بصير هدول كده؟ 210
ممكن؟ اه ممكن ما فيش مشكلة يبقى هنا الـ R سواء S
then الـ M بدها تساوي الـ S لخمسة في اثنين وأربعين
واللي هو بدو يساوي متين وعشرة خمسة في اثنين بعشرة
وخمسة في أربع باشرين واحد واحدة وعشرين تمام هذا لو
كانت الـ S بخمسة والـ R باثنين الاحتمال الرابع أن الـ
R تساوي خمسة والـ S تساوي اثنين الـ M يساوي الـ M
يساوي S في اثنين وأربعين الـ S عندي باثنين في اثنين
وأربعين ويساوي قداش؟ أربعة وثمانين ممكن ولا مش
ممكن برضه ممكن يبقى باجي هنا بقوله the possible
orders
of H are أربعة وثمانين or متين وعشرة يبقى كله
اعتمدنا فيه على مين؟ على Lagrange theorem الآن
وصلنا لنتائج على نظرية Lagrange حصلنا حوالي أربع
نتائج وبكلهم بيفيدونا كتير في حل المسائل المرة
القادمة إن شاء الله