بسم الله الرحمن الرحيم اليوم ان شاء الله راح نكمل
في chapter 7 اللي هو Transcendental Functions اللي
هي الاخترانات الغير جبرية راح ناخد اليوم section 7
-2 section 7-2 بيحكي عن اللي هو ال logarithmic
natural logarithm يعني ال logarithmic الطبيعية راح
نعرف إيش هي ال natural logarithmdefinition بقول إن
الـ natural logarithm is a function given by هاي
إيش هذه؟ طبعا ال natural logarithm راح نرمزله
بالرمز لن لن ال X طبعا فعلا اللغاريثم العادي لكن
هذا ال natural logarithm اللي هو بنرمزه بالرمز لن
لن ال X إيش هو لن ال X؟ عبارة عن التكامل من 1 إلى
X X هي المتغير ل 1 على T DT يبقى هذا التكاملهو
عبارة عن لن ال X طبعا الشرط اللي عندي أن هذه X
تكون موجة ب X أكبر من سفر الآن من هنا تعالوا نشوف
إيش يعني اللن على الرسم نيجي على الرسم نشرح اللن
تبعتنا بنلاحظ على أن اللن هي رسمة اللن للأكبر من
سفر اللي هي هذا المنحنى هذا اللن لما تكون أكبر من
السفر الجزء هذا من المنحنىالان التكامل من 1 إلى X
الـ X ممكن تكون على يمين الواحد أو على يسار الواحد
يعني أما أكبر من واحد أو بين السفر والواحد اللي هي
ال X فإذا كانت ال X تبعتنا أكبر من واحد إذا كانت
ال X هنا أكبر من واحد فالتكامل التكامل من اللي إن
ال X عبارة عن التكامل واحد على X لواحد على TVT وال
X أكبر من واحد فالتكامل هذا بيكون موجبوبالتالي من
ال X تعبّر عن المساحة هاي بين المنحنة وال X axis
من واحد إلى X فهي هذه المساحة المساحة هذه قيمتها
أكم واحدة يعني هي عبارة عن لن X إذا كانت ال X على
يسار الواحد من سفر إلى واحديعني نفرض إنه ال X هنا
فإيش هل هي تعبر عن المساحة و لا كيف تعالوا نشوف
التكامل إذا كانت ال X من 0 إلى 1 لأن ال X ساوي
التكامل الآن ال X أقل من 1 إذن التكامل هذا بيكون
سالب من 1 إلى نص مثلا بيكون هذا التكامل سالب
وبالتالي لو شقلبناها تطلع من نص إلى واحد بيجي إياش
بالسالب إذن هو سالب المساحة يبقى هنا إياش بالسالب
هي سالب من X إلى 1 لأن X هي الأقل وهذا الأكبرفبطلع
المساحة هادى بس بالسالب إذا قيمة
لن X من 0 إلى 1 بتكون بالسالب وقيمة لن X إذا كانت
X أكبر من 1 بتكون لن موجةالن سالبة إذا كانت ال X
من صفر إلى واحد والن كونموجة إذا كانت ال X أكبر من
واحد طب لو كانت ال X تساوي واحد في هذه الحالة لو
كانت ال X تساوي واحد فلن ال X بيصير بالتعريف تبعنا
من واحد إلى واحد واتكام من واحد لواحد يساوي صفر
إذا لن ال واحد إياش لن ال واحد صفرطبعا في حالة
إحنا في التعريف إنه X أكبر من 1 طب ليش مااخدناش X
أقل أو يساوي 0؟ الآن X إذا كانت أقل من 0 طبعا
مافيش يتساوي 0 لإنه عندي اللي يساوي 0 مافيش طيب ال
X أقل من 0 رحيلي الجزئية اللي هنا الجزء اللي هنا
طيب من 1 إلى X و ال X مش موجودة في ال domain فكيف
إحنا بدنا نشوف ال X إذا كانت هنا و نجيب تكامل 1 ل
X؟ بتكون ال function not continuous وبالتالي
التكامل غير موجودوبتناش نجزقه طبعا لإن التجزيق
خلصناه يعني مابتناش نقعد نجزق لإنه أخد فرح ناخد
فقط اللي هو من سفر إلى X فهيك تعرفه إن ال len
دائما بناخد اللي هو ال len ال X دائما ال X بتكون
موجبة وكمان لا تساوي سفر لإنه بالتعريف إن ال 1 على
X مش معرفة عند السفرمعنى هذا الكلام أن ال domain
لن ال X فقط
تأخذ الأعداد الموجبة من 0 إلى ما لا نهاية
العدد E هو
عبارة عن العدد اللي لانقله يساوي واحد ال E عرفوها
ايش ال E هذي ليش ماقالوش هو عدد بيحطوا العدد تبعه
لأن ال E عدد كبير جدا 2 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 95
40يعني هذه الـ E فبالتالي بدل هذا الرقم كله بنحط
إيش العدد E اللي هو احنا بنوعه عنه بالتقريب إتنين
وسبعة من عشرة فوجدوا إن الـ N لهذا العدد بيطلع إيش
واحد يعني الـ N من واحد سفر لكن إيش العدد اللي لنه
يساوي واحد هو إيش العدد هذا الكبير اللي رمزوله
بالرمز اللي هو الـ E رمزوله بالرمز الـ E طيب الآن
شوف ال derivative تبع الـ N ال X إيش مشتقة الـ N
ال Xبقولي بدنا نشتق اللي هو Ln X طبعا بنستخدم الـ
Fundamental Theorem of Calculus Part 1 فمشتقة Ln X
اللي هو D by DX للتكامل من 1 على X 1 على T DT طبعا
تفاضل التكامل بطلع ال function اللي جوا بنشيل T و
بنحط بدالها X إذن تساوي 1 على X إذن Ln X مشتقتها 1
على Xطب لو كانت هذه مش X فانكشن of X، إيش بنعمل؟
بنستخدم الـ Chain Rule و بنقول إيه ايش تفاضل من
الـU، اللي هي أولا واحد على U، و بعدين بنضرب في
تفاضل الـU، اللي هي du by dx، طبعا بشرط إن الـU
تكون موجبة
find domain ال F إذا كانت ال F of X هتساوي لن
تلاتة X معاقس تسعة لأن لن U لأن عشان نوجد ال
domain لازم ال U لكلها تكون أكبر من صفر إذا تلاتة
X معاقس تسعة أكبر من صفر يعني تلاتة X أكبر من تسعة
يعني X أكبر من التلاتة إذا domain ال F هو من تلاتة
إلى ما لا نهاية من تلاتة إلى ما لا نهاية
نستخدم القانون المشتقى find dy by dx fy تساوي ln
هذا الكلام كله تفاضل الـ ln أولا واحد على كل اللي
جوا هذا ال U واحد على U يبقى واحد على x تلبيه زائد
تلاتة x زائد واحد في 2x زائد تلاتة اللي هو تفاضل
اللي جوا هذا اللي هو 2x زائد تلاتةfind y prime if
y تساوي سك لن ال X أول شي بفعضه لسك و بعدين تفعضه
لما بداخل السك ايش تفعضه لسك سك في 10 يبقى سك لن
ال X 10 لن ال X في تفعضه للي جوا لن ال X اللي هي 1
على X
find y' fy تساوي عامة إياش كسر 1 زاد لن 2x على x
تربيع طبعا ممكن نعمله بالقسمة مقام تربيع مقام في
تفاضل ال bus ناقص ال bus في تفاضل المقام و ممكن
نوزع ال bus على المقام اللي هي 1 على x تربيع يعني
x أسالب 2 و بعدين إياش x أسالب 2 في لن و نفاضل
إياش مجموعة
تفاضل 1 على 2x في تفاضل اللي جوه اللي هي 2 لاحظوا
من هنا ملاحظة ان هذه الاتنين بتروح مع الاتنين فبظل
تفاضل 1 على xيعني تفعض لن أي عدد مضروف X هي نفسه
تفعض لن X يعني لن 10X هي 1 على X لن 100X هي 1 على
X لن AX لأي عدد A لا يساوي السفر طبعا، بده يساوي
اللي هو 1 على X يبقى العدد اللي مضروفها ده كله X
لأنه في الآخر يختصر وبالتالي في النتيجة ممكن ينفقن
سرعة على طول 1 على X وخلاصنقص زائد يعني هو الـ ln
في تفاضل هذه تفاضل نقص 2x أسالب 3 في ln 2x
المثال الرابعبقول اي ضيفة find y prime if y تساوي
التكامل من الجذر
ال X إلى الجذر التكييبي ل X من الجذر التربيعي إلى
الجذر التكييبي ل Lint DT يعني بدنا نعمل تفاضل
التكامل نستخدم ال fundamental theorem of calculus
part one تفاضل التكامل بيطلع ال function اللي جوا
بنشيل T ونحط هي في تفاضلها ناقص بنشيل T ونحط هي في
تفاضلها فهي أيش القانون تبعنا يبقى Lint
سؤال 5
بتكون من فرعيا prove that f of x تساوي x ناقص لن x
is increasing for x أكبر من الواحد لأن بدنا نثبت
أن هذا ال function increasing عشان نثبت أنها
increasing على هذه ال interval بدنا نستخدم ال
derivative f prime ايش تساوي واحد ناقص تفاضل لن
اللي هي واحد على xلو وحدنا المقامات دي بتصير X
ناقص واحد على X الآن بنشوف نقاط ال critical points
بنحطها هي تساوي سفر إذا X تساوي واحد و بنروح و
بنحط إياش ال interval تبعتنا بنجذّقها من سفر طبعا
السفر غير موجودة أفضل في الدمية من سفر إلى ما
لنهاية و بنجذّق عندي الواحد و بنشوف إشارة ال F
prime بهذه الفترة ال X أقل من واحد طبعا هنا بتطلع
ال plus اللي هو سالب و X أكبر من واحد بتطلع موجب
إذا في الفترة من واحد إلى ما لنهايةفهذه الـ
function موجبة الـ f' موجبة وهو بتالي الـ function
تبعتنا increasing دي اتبعتنا انها increasing طبعا
معلومات تقاض القلبالان اللى بيهمنا اللى هو part b
use part a لإن ال X أقل من ال X لإن ال X أكبر من
ال واحد لإن ال X دائما أقل من ال X يعني لإن اتنين
أقل من اتنين لإن العشرة أقل من العشرة لإن الخمستاش
أقل من الخمستاش و هكذا كل ال X أكبر من واحد لإن
تبعتنا أقل من ال Xطيب بدنا نثبت هذا الكلام بقولنا
الأول إشي بدنا نستخدم اللي هو part ايه إذا كانت ال
function increasing الان ال function تبعتنا
increasing function في ال interval أكبر من واحد
بنعرف إيش يعني increasing إذا كانت X1 أكبر من X2 ف
F of X1 أكبر من F of X2 اللي ناخد تبعتنا X1 و X2
هي X1 X أكبر من 1 إيش يعني يعني F of X أكبر من F
of 1 بالتعريفالان بدنا نعوض فقط f of x ايش نعوض
بدلة؟ اللي هي x ناقص لن ال x f of واحد بالتعويض
هنا فا واحد ناقص لن الواحد اللي هي سفر يعني واحد
لأن يعني x ناقص لن ال x أكبر من واحد والواحد أكبر
من السفر فبتكون x ناقص لن ال x أكبر من السفر يعني
x أكبر من لن ال x أو لن ال x أقل من ال x فهي إيش
الإثبات التانيةطبعا هنا ملاحظة بقول لي أن تفاضل لن
ال absolute value لل X طبعا و احنا دايما بال
absolute value بنفاضلش لكن في هذه الحالة لو أخدنا
ال absolute value يعني موجب أو سالب X فلن ال X
بالموجب إذا كانت ال X أكبر من صفر بطلع 1 على X طب
لو كانت سالبة لن ناقص X إيش بتطلع؟1 على ناقص x في
ناقص الناقص بتروح مع الناقص فبظل 1 على x يبقى لإن
ال absolute value ل ال x هي نفسها 1 على x زي القبل
شويه المثال اللي حكيناه ال a يعني هنا في هذا ال a
بتكون سالب موجب أو سالب فبطلع نفس ال function d by
dx لإن ال ax لأي عدد a سواء كان موجب أو سالب يساوي
1 على x
بنشوف خواص اللغة الماك تبعنا ايه خواص اللغة ماك
بقول ليه لو كانت اي عدد بي و اكس يكونوا طبعا
موجهين ال بي و ال اكس يحققوا الخواص التالي اول
خاصية هي ال product role يعني خاصية الدرب فلو كان
في عندنا لن ال بي اكس بده يساوي اللي هي لن ال بي
ناقص لن ال اكس لن ال بي ناقص لن ال اكس زائد عفوا
إذا لن بي إكس يساوي لن بي زائد لن إكس يعني لن
الضرب بتحول إلى جميع بوزع اللن بس بحط زائد لن
الأول زائد لن الثاني طب لن القسمة بي على إكس
بيساوي لن ال bus ناقص لن المقام يبقى لن القسمة هو
لن ال bus ناقص لن المقام لن الواحد على إكس طبعا
حالة خاصية من هذه لو كانت ال بي تساوي واحد يعني
بيصير لن الواحد ناقص لن الإكس لن الواحد سفر فبيظل
عنا ناقص لن الإكسلن X أُس R إذا كانت هنا في أُس
بجيب إيش ال R هذي بطلعها برا فبصير R لن ال X و X
is rational function ممكن تكون عدد نسبي يعني أي
عدد نسبي و أي عدد حقيقيexample بدنا نستخدم الخواص
ال examples هذه كلها على الخواص بيقولي اكتبي لن
الاربع و نص in terms of لن اتنين and لن التلاتة
اللي عم بنقول لن الاربع و نص يساوي الاربع و نص هي
تسعة على اتنين حولناها لقصنا بيصير هذه باستخدام
الخواص لن التسعة ناقص لن اتنين لأن لن التسعة
التسعة هي تلاتة تربيع فالتلاتة تربيع هنا بتيجي هنا
لاتنين فبصير اتنين لن اتنين ناقص لن اتنينهنا
حولناها بدلالة لن 2 و لن 3 بنفس الطريقة المثال
التاني لن جدر الخمستاش بدنا ياها بدلالة لن 3 و لن
5 لأن لن جدر الخمستاش يساوي لن خمستاش أص نص جدر
الخمستاش هي خمستاش أص نص لأن باستخدام القوانين
بتصير نص لن الخمستاش لأن الخمستاش هي خمسة ضرب
تلاتة الضرب تتوزع إلى جمعة بيصير لن الخمسة زائد لن
التلاتةطبعا إذا لو كانت هذه جمع لن زائد لن بنحولها
لضرب و الضرب تتحول إلى جمع ولكن لن a زائد b هذه
ايش مافيش إلها أي قانون بتبقى لن a زائد b لن a
ناقص b بتبقى زي ما هي لن a على لن b بتبقى زي ما هي
لا يمكن إنه مافيش إلهم قوانين فبتناشر لغبط بين هذه
الأمورالان بدنا نستخدم برضه القوانين بإنه نعبر أو
نبسط المقدار لن سك ذاء زائد لن الخمسة sign الان
بنقول لن سك زائد لن خمسة sign اللي هي لأن هذه لن
زائد لن بتحول إليها الجمع فبتصير لن سك زائد خمسة
عقرب لن سك ضرب خمسة sign الجمع بتحول إليها ضربالسك
هي عبارة عن واحد على كوزاين وهي ساين فبتصير ساين
على كوزاين تان فبتصير لن خمسة تان ثتا فبنرسم
ال لن عشان نرسم اللن لن ال X بدنا نرسمها فبدنا
نستخدم بعض الأشياء اللي احنا تعرفناهاأولا لن X لما
X تقول مال نهاية يساوي مال نهاية لان limit لن X
لما X تقول سفر من جهة اليمين يساوي سالب مال نهاية
ممكن هذا نرجع يعني لصفحة واحدنرجع لصفحة واحد اشبط
الرسمة اللى فيها عشان نشوف ال limit هذه خينا ال
limit هنا كتبينها الان من واحد إلى ما لا نهاية هي
عبارة عن المساحة هذه كلها المساحة دى كلها طبعا هنا
المساحة دى ايش ماشي هذا الخط ماشي إلى ما لا نهاية
فالمساحة هذه كلها بتكون تطلع ايش ما لا نهاية كمان
هناالانقر التكامل من واحد إلى X
نرجع يبقى ان هذه ال limits اللى احنا عرفناها ال
limit لما x تقول إلى ملا نهاية ملا نهاية و 0 من
جهة دلونى سالب ملا نهاية طيب لو جبنا احنا ال
derivative للن ال x اللى تساوي 1 على x و ال x
موجبة فبالتالي لن ال x increase in function
التفاضل التانى للن سالب 1 على x تربيع سالب هو
بالتالي لن تبعتنا كل cave downو لأن الواحد سفر
يبقى هنا بنرسمها لإن الواحد سفر بعدين بعد الواحد
بتبدأ تزيد تزايدية طبعا هي تزايدية على طول
increasing لأن في المالة نهاية بتروح لمالة نهاية
لما تقترب للسفر بتروح لسالب مالة نهاية فبتظلها
ماشية إلى تحت لسالب مالة نهاية وهذه رسمة Aإذا اللن
الواحد هنا سفر اللن اللي بعد الواحد دائما اللن
موجب بين السفر والواحد اللن هي سالب وعند السفر
بتروح لسالب السفر من جهة اليمين بتروح لسالب مالا
نهاية في المالا نهاية بتروح إلى مالا نهاية اللحظه
اللن ايش يعني بتزيد هنا ال X لكن اللن مش كتير
بتطلع لفوق وبالتالي اللن ال X بعد الواحد اقل من ال
X اقل من ال X اللحظه ايش زيادتها بطيقة جداهذه هي
رسمة الـ length طبعاً بنلاحظ من الرسمة كمان ال
domain من صفر إلى ماء لنهاية مفتوحة و ال range
بياخد كل الأعداد الحقيقية من سالب ماء لنهاية إلى
ماء لنهاية فبياخد ال range تبعنا كل الأعداد
الحقيقية نيجي للتكامل the integral 1 على U DU
التكامل if U is differentiable function that is
never zero ال U طبعا تكون differentiable function
ليست سفر فالتكامل ل 1 على U دي U هي إيش لن بس
بنافض absolute value لإن الـ U أقل بس لا تساوي سفر
لكن الـ U ممكن تكون سالبة ممكن هنا الـ U تكون
سالبة وبالتالي ال لن مابتاخدش إلا أعداد موجبة
فلازم إيش نفضها معرفة نفض لن ال absolute value للـ
U ففاضل لن الـ U 1 على U فتكامل 1 على U هو لن ال
absolute value للـ U
طيب إذا كانت مش U إذا كانت function of X أي
function of X DX هنا F of X في المقام DX اللي في
البسط إذا كانت تفاعل المقام موجود في البسط يعني F
prime على F وهذه DX التكامل لها بكون لن يهاش
المقام لن ال absolute value ل F of X DX ليش لأن لو
أخدنا F of X تساوي U ف DU هي عبارة عن F prime of X
DX يعني بيصير DU على U فلن ال absolute value ل U
يعني لن ال absolute value
مثال الأول بقول التكامل من أربعة إلى تمانية DX على
X لانتكاب Xالأن بدنا ناخد هنا U أشوة هو عبارة عن
لن لن ال X لن ال X فDU تساوي واحد على X DX الآن
نيجي نعوض بدل ال bus DX على X DX على X دي كلها
بنفت بدلها DU و لن ال X بنفت بدلها U فبصير هال U
تكييب U تكييب طبعا بنغير فدود التكامل بتصير لما ال
X تساوي أربعة U تساوي لن الأربعة لما ال X تساوي
تمانية U تساوي لن التمانية لأن DU على U تكييب
تكاملها ناقص واحد على اتنين U تربيرمن لن الأربعة
إلى لن التمانية هي ناقص نص برا واحد على لن
التمانية تربيع ناقص واحد على لن الأربعة الكل تربيع
الان ممكن تبصيها أو تركها زي ما هي خلينا نشوف كيف
نتبصر ناقص نص في لن التمانية التمانية هي عبارة عن
اتنين تكعيب يعني تلاتة لن اتنين والاربعة هي عبارة
عن اتنين تربية يعني اتنين لن اتنين الكل تربيعوهنا
جمعنا للانتنين تربية طبعا عامل مشترك بطلع الأعداد
مجموعة خمسة على اتنين وسبعين المثال التاني تكامل
للتربيةتان تربيع لن ال X زائد واحد على X زائد واحد
الان ايش بنا ناخد U اللي جوا التان اللي هي لن X
زائد واحد فبتصير ايش DU تساوي واحد على X زائد واحد
DX اذا بيصير اننا تان تربيع و اللي جوا ياخد U و DX
على X زائد واحد DUالان تان تربية مافيش ايش
يتقاضلوا تان تربية، ايش بنعمل؟ بنتحولها إلى سك
تربية ناقص واحد، يبقى بيصير تكامل سك تربية ناقص
واحد، تكامل السك تربية اللي بيتام، والواحد تكامل
U، وبنفت زائد constant، وبعدين بنشيل ال U، وبنفت
بدالها X زائد واحد
تكامل x أُس 5 على x تكييف زائد 1 dx الآن بدنا ناخد
إيش المقام هو عبارة عن u يبقى u تساوي x تكييف زائد
1 دي u تساوي 3x تربيه dxالان فينا في ال bus x أس
خمسة x أس خمسة بناخد منها x تربية و بيبقى ال x
تكيب بنعوض عنها من هنا x تكيب بنعوض بدلها u ناقص
واحد يبقى ال x تكيب بنعوض بدلها u ناقص واحد بعدين
x تربية دي x هي d وعلى تلاتة هي d وعلى تلاتة و
المقام اللي هو اياش u طبعا عشان الكامل هذه بنوزع
ال bus على المقام بنقول u على u واحد ناقص واحد على
u duالواحد تكاملها U واحد علي U تكاملها لإن ال
absolute value للـ U و بعدين بنشيل ال U و بنعوض
بدالها X تكييب زائد و أخر كمان
مثال تكامل sin 2X على 3 زائد 2 cos تربيه X DX طبعا
المقام كله بدنا ناخده عبارة عنه 3 زائد 2 cos تربيه
الان تفاضل هذا صفة وهنا 2 وcos ترجع ليه 2cos في
تفاضل ال cosine اللي هي ناقص sin x dx الان sin في
cosine لإنه في البسط عندنا sin 2x فبنفتها sin 2x
وبظل برا ناقص 4 يبقى du هي ناقص 4 sin 2x dx الآن
بنروح هنا بنعور بدال sin 2x بنفتها ناقص ربع du
ومقام اله هو u صار التكامل du على u اللي هي لن ال
absolute value ل u زائد cبعدين بنشيل U ومن فضة
بدأها المقدار نعرف تلاتة زائر اتنين كوزاين كربير
الان بدنا نطبق التكامل هذا طبعا احنا في التكاملات
اللي أخدناها تكامل ال sin و ال cosine فقط لإن ال
sin تكاملها سالب cosine و ال cosine تكاملها sin
لكن تكامل ال tan ما أخدناش كتان ال sic الكثق ليش
لإن هذا إيه علاقة بال length تعالوا نشوف كيف بدنا
نوجد تكامل التان و الكتان و ال sic و الكثق تكامل
التان اللي هنتطلع هنا شوف كيف تكامل التانتكامل tan
u du إيش يساوي لأننا نحوّل ال tan إلى sin على
cosine لحظة لو أخدت يعني ال cosine هي تساوي u
فتفاضل ال cosine ناقص sin فحطنا هنا هي ناقص sin
وهي في ناقص برا هي ناقص الجوا و ناقص برا ضيعوا بعض
إذا صار البس هو تفاضل المقام يعني كأنه du على u
إيش يساوي لن المقام وهي السالب اللي برا لن ال
cosine u زائد cالان هذه formula ناقص لن الكوزاين
وممكن ناقصها بالقوانين نفتها على الأس هنا أس ناقص
واحد الكوزاين أس سالب واحد يعني واحد على كوزاين هي
sick يعني ممكن هذا يكون لن absolute sick أو ناقص
لن الكوزاين اللي بدكيا تنين صحيحالان ال quotient
نفس الاشي ال quotient هي عبارة عن cosine على sine
يعني بناخد sign هي U فبطلع ال bus دي U يعني بيصير
دي U على U دي U على U يعني لين absolute U يعني لين
absolute ال sign فزي يعني التان بس مافيش إشارة
سالمة لإن ال bus تفضل المقام مباشرة السيك والكوسيت
نفس الاشي فرح ناخد واحدة منهم الكوسيت مثلاالان
بدنا تكامل الكوسك طبعا الكوسك مقدرش أحط واحد على
sign طب و بعدين فيش ال bus تفضل المقام إيش بدنا
نعمل؟ بدنا نوجد إيش في ال bus إيش اللي بديها في ال
bus عشان يكون ال bus تفضل المقام؟ بدي أضرب في كسك
U زائد كتان على كسك زائد كتاننضرب هذا المقدار اللي
هو يساوي واحد الان لو دخلنا الكسك على ال bus
فبتصير كسك تربيع زائد كسك كتان على المقار لو ضربنا
هذا ال bus في سالب و هي سالب برا عشان لايتغيرش
بصير ال bus تفاضل المقار الكسك تفاضلها إيش ناقص
كسك كتان الكتان إيش تتفاضلها ناقص كسك تربيع
وبالتالي الـ plus تفاضل المقام يبقى الجواب اللين
absolute value للمقام والإشارة السالب هي اللي هنا
هي مش سالب يبقى لين الكسك زائد كتان زائد C و
بالسالق نرجع هنا تكامل الكسك U تساوي ناقص لين ال
absolute value لكسك زائد كتانبالمثال لن سك لن سك
زائد تان بطلع
البص بالظبط هو تفاضل المقام بدون إشارة سالبة إذا
هدول إيش بدكوا تحفظوها التكاملات
نجي مثال تكامل X كتان X تربيه زائد واحد DX الأن
بدنا ناخد X تربيه زائد واحد هي عبارة عن U فU تساوي
X تربيه زائد واحد وDU تساوي 2X DX فبتصير بدل ال X
هنا نحط DU على 2 وهنا كتان U فبتصير نص تكامل كتان
U DUلأن إيش تكامل الـ quotient بالقانون تبعنا أو
يعني أنت ممكن تقولي الـ quotient هي عبارة عن
cosine على sin يبقى البس تفضل المقام على طول لن
المقام يبقى هنا نصف لن ال absolute value لsin u
زائد c بنشيل ال u و بنحط بدلها x تربيع زائد 1
فالآخر
إشهر بنستخدم اللغة الرسمية في إيجادتفاضل اللي هو
يعني functions شوية كبيرة يعني مثلا زي ال function
y تساوي x تكيب زائد x زائد 1 في وسطان كبير و أس
اتنين على تلاتة ممكن يكون أكتر من هيك كيف بدنا
نستخدم اللغة ال math في تفاضل هذه ال function
الكبيرة بدي أخد بالأول لن الطرفين فباخد لن ال y
يساوي لن هذا المقدار لأن لن هذا المقدارلن الضرب
بتوزع إلى جمع والقص بينزل يبقى بإننا نطبق لن
المقدار كله هو لن الأول زائد لن التاني والتاني في
قص القص بيطلع برا هي اثنين ع تلاتة لن اللي جوا
الان هي كتبسطنا استخدام اللن و بسطنا فالان بنستخدم
ايه عشان التفاضلبنقول لن ال y إيش تفاضلها؟ 1 على y
في dy by dx لإن تفاضل بالنسبالي ال x فبتطلع إيش في
y prime إيه ساوى؟ لن هذا إيش يساوى؟ واحد عليها في
تفاضل اللي جوا تفاضل جوا اللي هو تلاتة x ترجع زائد
واحد على المقام زائد اتنين ع تلاتة لن هذا المقدر
كله هي المقام تحت و بعدين إيش بنقل تفاضل اللي جوا؟
أربع x تكيب ناقص ستة x زائد واحدالان بدنا احنا ايش
Y prime ايش بنعمل Y prime اللي هو هذا المقدار في Y
Y في هذا المقدار كله هي ال Y بنحطها ال Y زي ما هي
في تفاضل اللي هو اللي جبناها ده طيب
example تاني برضه ممكن يكون زي ايش قسمة قسمة وفيه
في ال bus هي مرفوع إلى أس و المقام ضرب و أس فبدنا
نستخدم بدل ما نعمل مقام تربيه و يطلع معنا المقدار
كبير جداوانتوا فيه .. فممكن نستخدم لغة Math في
إيجار تفاضل هذا المقدار الأن ناخد لن الطرفين
بالأول فلن ال Y يساوي لن هذا لن هذا القسم يتحول
إلى طريح فلن ال bus ناقص لن المقاهة و بعدين
بنستخدم أيش القوانين هذه الأسبنز البرا اتنين لن
اجزء الواحدوهذا الدرب بالأول بتحول إلى جمع هي
الناقص برا لإن ال X زائد لإن ال X زائد واحد لكل
تكييب والتلاتة بتنزل برا لإن ال X ناقص واحد الان
هنا ممكن ايش على طول الان الفاضل لإن ال Y واحد على
Y في Y براها زي إيه ساوي اتنين على X زائد واحد
طبعا تفاضلها دي واحد لإن ال X تفاضلها واحد على X
لإن ال X ناقص واحد اللي هو واحد على X ناقص واحد
الخطوة الأخيرة أن نضرب الطرفين بـY لكي نضيع
الويرنين و يبقى Y prime التي تساوي المقدار الـY في
المقدار اللي فضلناه وبهذا نكون خلصنا سيكشن سبعة
اتنين مرة جايب ناخد سيكشن سبعة تلاتة