إذا فشلت اختبار المشتقة ثاني بنرجع لمين لاختبار
المشتقة الأولى لكن احنا في شغلنا في الأمثلة مش
هنحاول نستخدم هذا إلا عند ضرورة ولا أظن أنه يلزم
بس بيلزملمن لم يكن يقوم بالاستخدام و لمن لم يكن
يقوم بالاستخدام يعني في الغالب أثناء الشغل العاملي
هستخدم اختبار المشتقة الأولى لمواضيع النهايات
العظمى والصورة المعالية هستخدم اختبار المشتقة
الثانية لقياس الconcavity لدالة ماطيب الان وصلنا
الى السؤال اللى احنا بدناه ضرورى جدا كيف بدنا نرسم
المنحنيات مشان انجاب على هذا السؤال بدنا نعمل اللى
هو عدة خطوات الخطوة الأولىبتقول لي ما ياتي بدنا
find the intercepts with the coordinate axes يعني
بدنا نجيب تقاطة المنحنة تبعنا مع محوري الإحداثيات
كيف بنحصل عليها بحط مرة x ب zero بجيب قيمة yبحط Y
بزير و بجيب قيمة X إن أمكن، إذا مش ممكن، بلاش يعني
إذا العملية شاقة أو صعبة، انسى الموضوع، اللي
السهلة، جيبها صعبة، سيبك منها يبقى الخطوة الأولى،
بدي أجيب نقاط قاطة منحنة مع محوري الإحداثيات
النقطة الثانية، بدي أجيب الـasymptotes إذا كانت
موجودة يعني لو كانت البرنامج العادية فيها عندي
asymptoteلأ، ماعنديش الاسمتوت، يبقى مش مطالب فيهم،
يبقى أنا مطالب في الاسمتوت إذا كان عندي ده ال
rational function فيها بسط و مقام، بدي أشوف في
عندي horizontal اسمتوت ام لا، في عندي oblique
اسمتوت ام لا، في عندي vertical اسمتوت ام لا، اللتي
سابقة دراستهامش في chapter تلاتة، في chapter
اتنين، مظبوط يبقى مدرس في chapter اتنين لازم ان هي
و عندها رسم في chapter اربع النقطة التالتة بدي
أجيب المشتقة الأولى والثانية، طبعا المشتقة الأولى
منها بجيب ال interval of increasing و ال interval
of decreasing زي ما شوفنا في المحاضرة الماضية و
بجيب منها ال local maximum و ال local minimum
المشتقة الثانية بجيب منها ال concave up و ال
concave down لسه ماخمناش مثال على تعيين ال concave
up و ال concave down لكن اتكلمنا عنها كنظري في
المرة الماضية و كذلك من خلالها بدنا نحسب ال
inflection point يبقى من خلال المشتقة الأولى بكون
جيبت أربعة اللي هو ال local extremely فترات
التزايدوالتناقص و ال local extreme وهذا من وين؟ من
المشتقة الأولى خمسة بدي أجيبها من وين؟ من المشتقة
الثانية يعني ليس بضروري أجيب التنتين ورا بعض لأ
بجيب المشتقة الأولى وبعدين هيك بجيب ال interval
increasing and decreasing و ال local maximum و ال
local minimum بعد هيك بروح بجيب المشتقة الثانيةو
بروح بشوف ال concavity للمنحنة و ال reflection
points ان وجدت نقوة السلسة والاخيرة كل المعلومات
اللي جمعتها دي بتروح أستخدمها في الرسم أو هي اللي
هتسهلي عملية الرسم بدون ما أروح أعمل جدول زي ما
كنا في الثانوية حط جدول حط قيم السيناتات لقيم
الصادات ابدا أرسم النقط و أوصل بينهم هذا كلام عفى
عليه الزمن لأمن خلال فترات التزايد والتناقص
والـlocal maximum والـconcavity والـinfliction
points والتقاطة مع محاول الإحداثيات بتروح أرسم من
الرسمة تبعت هذه المسألة طيب لحد هنا stop انتهى
الجزء النظري تبع هذا الsection لم يبقى إلا مجموعة
من الأمثلة لكن ضايل نقطة نظري بدأ أقولها لك في
حينهاطبعا مش موجودة في الكتاب، لكن هي بتلزمني عند
عملية الرسم أول مثال بقول sketch the graph of the
following functions و أعطاني دالة Y تساوي X تكييب
ناقص تلاتة X زائد تلاتة يبقى هذا منحنا من الدرجة
الثالث لا في جسمه مطول ولا غيره يبقى أول خطوة بدي
أروح أجيب نقاط تقاطه المنحنة مع محوري الإحداثيات
اذا لو حطيت ال X تساوي Zero بده تبقى ال Y تساوي قد
ياشي معناه هذا الكلام ان النقطة Zero تلاتة lie on
the graph of ال function Fيبقى النقطة 0 3 طب لو
حطيت Y ب 0 بصير صعب حالها يقول ليه شغال بحالي ليس
بالضرورة السهلة بيشتغلها مش السهلة بدنا اشيها يبقى
انتهينا من الخطوة الأولى الخطوة الثانية جالي هتل
ال asymptotes ان وجد هدفي ال asymptote لو بدأ أخد
ال limit لما ال X تروح لما لا نهاية تطلع مع لا
نهايةأنا ماعنديش في المقام حتى أقول أخد ال limit
لما بتروح ليمين و أبلغي يعني ماعنديش functional
function يبقى الخطوة هذه أنسى الموضوع اللي هو
الassumption يبقى بداجي لمين للخطوة التالتة
المشتقة يبقى باجي بقوله ال y primeيسوي تلاتة X
تربيه ناقص تلاتة يعني تلاتة في X تربيه ناقص واحد
يعني تلاتة يعني يسوي تلاتة في X ناقص واحد في X
زائد واحد تمام يبقى المشتقة زي ما ينتشر ال
polynomial إذا معرفة for all X يبقى ال critical
points باجيبهم فقط من خلالإنه أساوي هذه بقداش
بزيره انسى ماقاليش اتلي critical لكن اللي ازمت
بالديارة بجيبها يبقى باجي بقوله بدي أشوف الإشارات
يبقى بروح بقوله بدي إشارة تلاتة في X ناقص واحد و
بقوله هذا ال real line و هذا النقطة اللي هي main
لإن واحد بعد الواحد positive و قبلها aنجاتف يعني
لو حطيت قيم ال X بعد الواحد زي اتنين تلاتة اربعة
بلاجي النتيجة موجبة دائما وابدا لو حطيت قبل الواحد
زي Zero سالب واحد سالب اتنين الاخر بلاجيها سالبة
بعد ذلك بدنا نروح ناخد إشارة القوس الثاني اللي هو
X زي واحدبياخد الـ zero تبع وين؟ عند السلب واحد
بعد السلب واحد positive و قبل السلب واحد معله
negative الآن بدي أدي أخد إشارة حصل الضرب حصل
الضرب اللي هو مين؟ تلاتة في x ناقص واحد في x زائد
واحد وهذا ال real lineوهذه الحدود الإقليمية اللي
عندنا لمن؟ لحاصل الضرب، يبقى هذه عند الواحد وهذه
عند السالب واحدالجثين مضربات في بعض ضربك وبدي أضرب
الإشارات في بعض ضربك يبقى هنا زائد هنا ناقص هنا
زائد يبقى في هذه الفترة كانت الدالة increasing هنا
صارت decreasing هنا رجعت increasing إذا بروح بقوله
ما يأتي
بعدين بقوله ال F is increasing دالة تزايدية on
الفترة من سلب infinity لغاية سلب واحد and on و
كذلك على الفترة من واحد لغاية infinityالـ F is
decreasing ده لتناقصية على الفترة من سالب واحد
لغاية واحدبعد هيك بدي Local Maximum و Local
Minimum بدي أخد F of سالب واحد يساوي برجع على رأس
المسألة من فوق وبعوض فيها يبقى سالب واحد تكييب
سالب تلاتة في سالب واحد زائد تلاتة ويساوي سالب
واحد زائد تلاتة زائد تلاتة ويساوي كداش خمسةبعد ذلك
البداية يأخذ ال F of واحد واحد تكييب ناقص ثلاثة في
واحد زائد تلاتة ويساوي كم؟ واحد إذا بجي بقوله ال F
has local maximum كم؟ خمسة at x يساوي سالب واحدand
local minimum اللي هو local minimum واحد at x
يساوي كده؟ واحد إذا إنتهينا من مين؟ من ال local
extrema ولا من ال increasing و ال decreasing؟بيجي
بعد ذلك ال concavity و ال inflection points وهذا
يعتبر أول مثال على ال concavity و ال inflection
points إذا بدي أجي على مين؟ على المشتقة الأولى
اللي عندنا، شو بدي أعملها؟ بدي أجيب المشتقة
الثانية، إذا بروح باخدالـ F بابلي برايم of X اللي
يجداش؟ ستة X والتلاتة مع السلامة يبقى هذه بدها
تساوي Zero only at X يساوي جداش Zero إذن احتمالي
الـ Zero هذه تبقى Inflection Point فيه احتمالالله
أعلم قد يكون و قد ذا يكون، تمام؟ إذا بدنا نروح
ندرس إشارة اللي هو ال 6X ماعنديش غيرهاهذه الـ zero
بتاخد الـ zero لو جيت بعد ال zero القيمة هذه مالها
موجبة يبقى هذه موجبة لو جيت قبل ال zero يعني
المشتقة الثانية السالي بقى يبقى المنحنة concave
down التانية موجبة يبقى المنحنة concave up تمام؟
إذا بروح بقول ما يأتي
طبعا الدالة polynomial فهي متصلة على كل real line
بلا استثناء
is concave down on من سلب infinity لغاية zero and
concave up on الفترة من zero لغاية infinityالدالة
معرفة عند الـ Zero يبقى مدان معرفة يعني الدالة
متصلة عند ال Zero والدالة غيرت اتجاه ال Concavity
إذا في Infliction point يبقى ال F is continuous
for all Xمعناته إنها كون ال F is continuous at x
يساوي زيرو and
ال F it change its concavity at
هنا بده يعطينا there is an inflection point
تلاتة هذا معناه زيرو و تلاتة is an inflection
point طيب
تمام خلصنا
المغنقة في حالة ال increasing و ال decreasing قلنا
فقطإذا المشتق أكبر من zero على ال open interval
يبقى increasing أو decreasing على ال closed
interval بس في ال concurrent انسى الموضوع بس باخد
الفترة لإن عند هذه النقطة بصير انقلاب لابتقدر
تعتبرها مع الأولى ولا بتقدر تعتبرها مع مين؟ مع
الثانية طيب هيك احنا جيبنا كل المعلوماتمن خلال هذه
المعلومات بدنا نروح نرسم الرسمة فبجي بقول هذه
المحاور اللي عندنا هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة
الأصل اللي هي Zeroعندما ترسم أول خطوة ترسمها هي
الاسمتوتز، لو ماعنديش اسمتوتز، يبقى ثاني الخطوة
بدور على ال local maximum و ال local minimum، يبقى
احنا عندنا local maximum خمس ساوينيعني عندي السلب
واحد وخمسة، وين السلب واحد؟ يبقى باجي بقول له هي
النقطة، هي السلب واحد وبدأ أطلع خمسة، يبقى هذه
السلب واحد وخمسة، يبقى فيها عندي local maximum،
هاي حاطيت جوس local maximumفي عندى local minimum
عنده نقطة واحد وواحد يبقى باجي النقطة هي النقطة
واحد وهي النقطة التانية اللى هنا واحد يبقى هذه
واحد وواحد عند local minimum بالشكل اللى عندنا هذا
بعد هيك تعاليش بيقوللي بيقوللي ان ال F
دل تزايدية من سالب infinity لغاية سالب واحد من
سالب infinity لغاية سالب واحد يبقى دل تزايديةيبقى
المعناته بيجي من تحتنا وضل طالع لغايتها، يبقى
المنحنة هذا بيجيني بالشكل هذا هاي و هيك، دلتة
زيودية، تمام؟ جالي من سالب واحد إلى واحد،
decreasingيبقى الدالة تناقصية، إذا المنحنة هيجيني
هكذا، بالضبط تماما. وبعد ذلك، جالي من واحد إلى
انفينيتي، الدالة كمان تزايدية، يبقى الدالة بتبقى
طالعة إلى ما شاء الله.طيب السؤال هو ايه ال
inflection point قال لي عند ال zero والتلاتة عند
ال zero والتلاتة هناها هذه ال zero تلاتة اللي هي
ال inflection point لاحظ جبلها concave down بعدها
concave up تعالى نشوف هل من سلب infinity لغاية ال
zero concave down ولا لأبسالب الانفينيتي إلى زيرو
كونكيف دانو كتبنا فوق ومن عند الزيرو إلى
الانفينيتي كونكيف up من الزيرو إلى الانفينيتي
مفتوحة لويا إلى اعلى يبقى راسمنا دقيق مائة بالمائة
ماعناش اي مشكلة يبقى خلاصنا من السؤال حد فيكم يلو
اي تساؤل؟
كيف؟ إذا وجدت سنانة تراصل من أطرا جديدة، ممكن
أستعمل نقاط يعني لها؟ أه طبعا، هاي النقاط اللي
بنكتبهم، يعني احنا لو كانت الشغلات اللي جيبناها
هذه ما جبتليش، خلتلي شك في بعض الأمور، بروح بحط
نقاط من عندي، و بشوف المنحنة بيه جاي فوق ولا جاي
تحت، إلا آخرين
طبعا هذا يعتبر المثال من أبسط أنواع الأمثل
مباشرة تقعر النطار في الصحيح معاه
بتتأكد بعد ورصة ورقة انك فعلا كنت في دولة على نفس
الفترة وكنت كذب ولا لا لاجئت في شغل مش مظبوط بغير
انك تروح تدقق رسمتك شوية طيب نيجي ناخد مثال ثاني
غير هذا المثال نجي ل example two
Example 2 يقول لي Y تساوي 1 زائد X تربية على 1
ناقص X تربية
هذه الكلام انتهينا منه
طيب مثال ثاني بيقول ايه انا كتبه فوق عشان نستغل
الفرحان Y تساوي هذا سؤال اتنين Y تساوي واحد زائد X
تربيع على واحد ناقص X تربيع السؤال
هو هل الدالة معرفة عند الواحد والسلب واحد؟يبقى
هدول مش هيظهرولي أثناء الرسم يبقى هنا بقوله هذه ال
X ممنوعة تساوي واحد وال X ممنوعة تساوي سالف واحد
لإن عند اتنين هدول الدالة is undefined غير معرفة
طيب بدنا نبدأ نجيب تقاطعاتها مع محوري الإحداثيات
يبقى بدي أجي أخد أنه لو كانتالـ X تساوي Zero ثم Y
تساوي كده؟ واحد
يبقى ال boss هو اللي فتساوي 0 واحد زي x تربية ممكن
يساوي 0 يبقى has no solution لا يمكن لمجموعة
كميتين موجبتين أن يساوي صفرا وبالتالي انسى الموضوع
يبقى هاي جبت النقطة هذه واحدة فقط اللي هو 01 on
the graph يبقى هذه النقطة تقع وين تقع علىالملحنة
طيب نبدأ الأن نشغل شغلنا في الاشتقاء لكن قلت لك
المرة الماضية إذا عندك دالة bus و دالة مقام و
دارية ال bus أكبر من أو تساوي المقام يبقى أول خطوة
نفضل نعملها قسم المطولة إذا بيدروح أجسم ال X تربية
زائد واحد على مين على ناقص X تربية زائد واحدطبعا
اي واحد ناقص X تربية انا ناقص X تربية زي واحد X
تربية على ناقص X تربية فيها كم؟ ناقص واحد بيبقى في
سلب X تربية X تربية وهنا كم؟ سالب واحد هذه موجة
بيصير سالب وهذه بيصير موجة بيبقى لدي كم؟إذا صرت
الدالة Y تساوي سالب واحد زائد اتنين على واحد ناقص
X تربية او ممكن تحطها على الشكل التالي زائد اتنين
هذه الفرق بين المربعين واحد ناقص X في واحد زائد X
يبقى هي حطيناها بالشكل اللي عندنا هذايبقى بعد ما
جيبنا النقاط التقاطة أو نقطة التقاطة مع محاور
الإحداثية الـ U01 بدأ أجيب من المشتقة الأولى أو
قبلها بدأ أجيب من الـ Asymptotes يبقى باجي بقوله
في عندي Obligate asymptote؟ لأ لإن ضرية البصرة
ضرية المقام ماهياش أعلى منها بمقدار واحديبقى بتروح
ادور وين على ال horizontal يبقى بدي اخد limit لل Y
لما ال X بدها تروح لزائد او ناقص infinity اي من
التنتينيبقى هذا الكلام بدي يساوي limit لما ال X
بدي تروح لزائد او ناقص infinity طبعا هتحطيني نفس
النتيجة من البصد polynomial والمقام polynomial
يبقى واحد زائد X تربية على واحد ناقص X تربية بروح
نقسم كله من البصد والمقام علىيبقى X تربية يبقى هذا
الكلام limit لما ال X بده يروح لزائد او ناقص
infinity لواحد على X تربية زائد واحد واحد على X
تربية ناقص واحد يبقى النتيجة كده؟سالب واحد طبعا
هذا بالزيرو وهذا بالزيرو يبقى كده؟ يبقى سالب واحد
يبقى كذلك Y تساوي سالب واحد is a horizontal
asymptote
تمام تمام
الرقم اللي يجعل المقام يساوي 0 إذا احتمال X يساوي
واحد وكذلك X يساوي سالب واحد هذين يكونوا Vertical
Asymptotes إذا بتروح أخد limit لما ال X بده يساوي
بده تروح لسالب واحد مثلا من جهة اليمين اليمين لل
function اللي عندنا هذه اليمين سالب واحدزائد اتنين
على واحد ناقص x في واحد زائد x هو يساوي المقدار
الثابت هذا مالوش داره وهذا زائد اتنين على احنا
رايحين اللي يسلب واحد من جهات اليمينتمام؟ إذا هذا
هذا ماعندوش مشكلة في هذه الحالة، يبقى هذا بظل واحد
سالب سالب واحد، مصبوط؟ يبقى هذا بصير واحد زائد
واحد، لما أروحلي سالب واحد من جهة اليمينيعني أكبر
من سالب واحد يعني سالب تسعة من عشرة مثلا إذا هذا
بيبقى very small positive يبقى very small positive
quantity هذا بيقدش بصغير
بينفينيتي يبقى سالب واحد زائد انفينيتي بقداش
بينفينيتي يبقى بناء عليه ال X يساوي سالب واحد is a
vertical asymptote وليس بالضرورة انك تروح تحسبها
من وينمن عندي الشمال احنا نقول هادي او هادي سيال
ليس بدنا نروح نحسب الاتنين اذا لو روحت اخدت limit
لما ال X بدأ تروح للواحد مثلا من جهة الشمال اللي
هي النقطة التانية معناها تخلصنا من السالب واحد بدأ
نروح لمن؟ للواحد لمن؟ لسالب واحد زائد اتنين على
واحد ناقص X في واحد زائد X يبقى هذا الكلام يساوي
سالب واحدزائد اتنين على. احنا رايحين للواحد من جهة
الشمال. من جهة الشمال يعني اقل من واحد بكثر. يبقى
القوس هذا very small positive. يبقى هذا very small
positive quantity. تمام؟
وهذا واحد زائد واحدطيب، لاحظ في الحالة الأولى لما
قلنا سالب واحد من جهة اليمين سالب واحد من جهة
اليمين يعني سالب تسعة من عشرة لما جهتها الجثة ده
سالب تسعة بقال very small positive وهذا صار سالب
واحد وهنا واحد يعني سالب سالب واحد صار موجة بواحد
وبالتالي أتتني من نفس النتيجة يبقى هذه أتتني سالب
واحدزائد infinity اللي هو infinity معناته الخطين
اللي اتنين هدول are vertical asymptotes يبقى ال X
يساوي سالب واحد and ال X بده يساوي واحد are two
vertical asymptotes
يبقى خلاصنا قصة الـ Asymptotes، بدنا نروح لمين
الآن؟ للاشتقاق، يبقى بالدليل الـY'Y أساوي
ممكن نشتاق من هذه أو من هذه تماما، لكن لو
نشتاقينها، ده أسهل شوية، مصبوط؟ يعني هذه كأنها
مشتاقة السالب واحد مع السلامة، وبضالي اتنين مالكش
دعوة، وهذا السالب واحد على المقدار تربية، واحد على
واحد ناقص X تربيةالكل تربية في مشتقت مداخل القسل
وجداش سالي باتنين X، مظبوط؟ يبقى النتيجة صارت أربع
X على واحد ناقص X تربية لكل تربيةهذه لو سويتها
بالـ Zero معناته ان X سوى قداش يبقى هذا بده يعطيلك
ان X أو خلاص مش لازم ان هذي Critical Points قد
تكون Local Maximum او قد تكون Local Minimum اذا
بدنا نروح نبحث الإشاراتنبحث الإشارات هذه لو روحت
قولتلك اربعة X على واحد ناقص X في واحد زائد X لكل
تربية يبقى هذه تربية وهذه ايه؟ تربية اذا بدي اروح
اخد إشارة الاربعة X وهذا اللي يا الله اني بتاخد ال
zero تبعها وين؟ عند ال zero بعد ال zero positive
وقبل ال zero ايه؟نقات، نجي يأخذ إشارة واحد ناقص X
لكل تربيع، إذا أخذت Zero تبعها وين؟ عند الواحد،
بعد الواحد positive، وقبل الواحد positive لأنها
كمية مربعةلكن لو ماكنتش تربية لأصبحت بعد الواحد
سالب و قبل الواحد موجب تمام؟ طيب يبقى بداجي أخد
إشارة الواحد زائد x لكل تربية تاخد ال zero تباعها
وين؟ عند السالب واحد بعده برضه positiveو جاب له
positive لأن كمية مربعة بدي اخد اشارة الان اللي هو
اربعة X على واحد ناقص X الكل تربية واحد زائد X
الكل تربية و نيجي نحدد الحدود الإقليمية
الأولى positive والتانية negativeوالتالتة نيجاتيب
والربعة نيجاتيب يبقى الدلة كانت نازلة وظلت نازلة
وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت
نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة
وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت
نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة
وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت
نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظلت نازلة وظل
الفترة من عند السلب infinity لغاية جداش سالب واحد
as an open interval لأن عند السلب واحد الدالة مش
معرفةحط معاها اتحاد سالب واحد و zero و بدنا نقفلها
من عند ال zero لأن ده اللي عندها معرفة بعد هيك ال
if is increasing ده اللي تنقصيه على الفترة من عند
ال zero لغاية الواحد عند ال واحد مش معرفة اتحاد
الواحد و infinityطيب في عندي local maximumهل يوجد
local maximum؟ الله يبعث لك الله يقول ماعنديش إلا
local minimum وين؟ عند zero عند zero حسبناها عند
zero طلعت واي بقدراش؟ واحد يبقى باجي بقوله ال F
has local minimum واحد at x يساوي زيروانتهينا منها
.الان ال increase و ال decrease اللي خلصنا منه
يبقى بدنا نروح لمين؟ للمشتقة الثانية.و اين المشتقة
اللي اشتقناها احنا اصلا؟ اللي هي هذه.مصبوط؟ الهي
اللي بدروح اشتغل هذه بتطلع روحي، بس هذه أسهل كتير
.مصبوط؟ يبقى بدي أروح أجيبله المشتقة الثانية من
هذه هيها. هذا الجزر.اللي بده أخذه هو المشتق، اللي
هو اللي بده أجيبه هو المشتق الثاني يبقى باجي بقوله
يبقى ال Y W prime يبقى المقامأي تربية؟ في مشتقة
البصطة اللي هو باربع ناقص البصط في مشتقة المقام
الأس في القوس مرفوع لنفس الأس مطروح من واحد في
مشتقة مداخل القوسيبقى هذه المقام في مشتقة البصد
ناقص البصد في مشتقة المقام الأس في القوس مرفوع
لنفس الأس مطروح منه واحد في مشتقة مداخل القوس كل
هذا maximum على واحد ناقص X تربية لكل أس أربعة طيب
تعالى نشوف كيف بدأت أصف هذه
إذا بقدر اخد اتنين في اتنين كمان باربع عامل مشترك
يعني بقدر اخد اربعة في واحد ناقص X تربية عامل
مشترك، كدهش مضال لإن هنا واحد ناقص X تربية فقط،
نيجي هناالجث هذا راح والاربع دي راحت، ضل سلب في
سلب موجب و عندك X تربية، يبقى ضل عند هنا موجب اربع
X تربية، مظبوط هيك؟هذه الأربعة عادي برا بقال عندك
اتنين في اتنين باربع اكس في اكس باكس تربية والسالب
في سالب بموجب تمام؟ كل هذا على مين؟ على واحد ناقص
اكس تربية لكل قص أربعة اظن الجوز هذا بيروح مع
الأربعة اللي تحت هذه وبالتالي بتصفى المسألة إلى
أربعة في مين؟في واحد زائد تلاتة X تربية على واحد
ناقص X تربية الكل تكيبة طيب تمام هذه لو سويتها بال
zero بتجيبلي نتيجةHas no solution يبقى الآن لو قلت
له yw prime يساوي أربعة في واحد زائد تلاتة x سربيع
على مين على واحد ناقص x الكل تكيب واحد زائد x الكل
تكيب هذه تساوي zero has no solutionبتجيب ليش ولا
قيمة، ليش؟ لأنه لا يمكن لمجموعة كميتين موجابتين
انها تساوي Zero يبقى هذه مالهاش حل، بالبلد هيك لو
سويتها بال Zero يبقى تصير تلاتة X تربية زاد واحد
يساوي Zero يبقى تلاتة X تربية يساوي سالب واحدهل
يُعقل كمية مربعة ساوي قيمة سالبة؟ يبقى هذه لا حلول
على الريال، في ال complex ماشي إلا حل، بس في
الريال عندنا مالهاش حل تماما هل ال X يساوي سالب
واحد وال X يساوي واحد ممكن يكون inflection point؟
لأنها غير معرفة عندهم يبقى معناها خليني أدرس
الإشارات اللي عندنا و نشوف لون بدنا نوصل يبقى انا
بدى أدرس إشارة ال Y double A prime عشان أشوف ال
concave up و ال concave downوالـ inflection points
يبقى بدى أروح أخد إشارة اللي هو 4 في 1 زائد 3 X
تربية وده ال real line عمرها بتاخد zeroأمرا بتاخد
zero؟ أمرا بتاخد قيمة سالبة؟ يبقى هذه كتبناها و
الله ما كتبناها مش هتفرج عندنا بالمرة هذه موجبة
على طول الخط بداجي أخد إشارة الجوز الثاني لواحد
ناقص X لكل تكيمة بتاخد ال zero تبعها وين؟ عندنا
بعد الواحد
سالبة لأنه سالب تكييب بسالب إذا بعده سالبة و قبله
موجة بالشكل اللي عندنا بعدك بدأت أخد إشارة واحد
زائد X لكل تكييب بتاخد ال zero تبعها ويا عند
السالب واحد بعد سالب واحد موجة بقى يبقى هي موجة
بقى عندنافبجب ليه سالب واحد زي سالي باتنين سالبة،
يبقى هنا سالبة بهذا الشكل، يبقى لاحظ إن النقطة
الثانية على غير ما تعودنا، على اليمين سالب وعلى
الشمال موجب، مش دائما على اليمين موجب وعلى الشمال
سالبيبقى بنروح ناخد إشارة كل المقدار اللي هو أربعة
في واحد زائد تلاتة X تربية على واحد ناقص X لكل
تكييب واحد زائد X لكل تكييب و أقول هذا ال real
lineوهي الحدود الإقليمية اللي عندنا وهي عندنا اللي
هو واحد وهي عندنا اللي هو مين اللي هو سالب واحد
يبقى هذه السالبة هذه موجبة هذه السالبة يبقى هنا
concave downهنا concave up هنا concave down تمام؟
إذا نبنيه يجي نقول the graph of
F is concave
down, on على الفترة من أول إلى أولين من سالب
infinity لغاية سالب واحد and on وكذلك من عند
الواحد لغاية infinity and concave up
عن الفترة من سالب واحد إلى أحد عند السالب واحد
والواحد no inflection الندالة غير متصلة عندهم يبقى
هنا there is no inflection point
أو because دوري because ال
F is not continuous
مع الاكس يساوي سالب واحد عند الاكس يساوي واحد
مشان نرسم يبقى احنا عندنا y تساوي سالب واحد
horizontal واحد و سالب واحد اللي هو ال vertical
asymptotes وعند المنحنية مرضه نقطة zero واحد
خلّي بالك هنا قبل
قليل في السؤال اللي جابله أول شغلة بنفسه من ال
asymptotes يبقى أنا عند ال asymptote ال X يساوي
واحد و سالب واحد يبقى لو روحت قلت هذا الخط الرأسي
اللي هو من ال X يساوي واحدو جيت من الناحية التانية
وعلى نفس البعد وقلت هذا ال X يساوي سالب واحد فيه
كمان horizontal asymptote Y يساوي سالب واحد يبقى
هناك هذا الخط المنقطة ل Y تساوي سالب واحد يبقى
هدول ال asymptotes اللي عندنا بعد هيكجال لي في
عندي local minimum عند ال zero والواحد يبقى عند ال
zero والواحد في عندي local minimum يبقى المنحنة
هيكون مفتوح الي أعلى بهذا الشكل غير هيك انسىطيب هى
عندنا النقطة سالب واحد وهى عندنا النقطة واحد من
سالب واحد الى زيرو هل الدالة تزايدية ولا تناقصية
يبقى من سالب واحد الى زيرو الدالة decreasing طيب
تناقصية وهذا ال asymptote اذا بتبقى نازلة مع مين؟
مع ال asymptote جاية مع ال asymptote منفر وأجت
نازلة بهذا الشكلمن Zero لواحد ما لها increasing
يبقى increasing و بتيجي تطلع مع ال asymptote بهذا
الشكلطيب نجي نكمل الان لو جيت من سالب infinity
لغاية سالب واحد من سالب infinity لسالب واحد
decreasing اتدالة تناقصية تناقصية بس انا مش عارف
هل هي فوق ولا تحت مشان اعرف فوق ولا تحت بروح انا
بحسبها مثلا عندي سالب اتنينأشوف أين تجي عند السلم
هل فوق إذا فوق بيكون خلاص انت هنا من الجسر تحت
يبقى انت هنا يبقى بتروح أشيبله F في جداش و سالب
اتنين يبقى بد ال F of سالب اتنين يبقى واحد ناقص
اتنين لكل تربية زائد اتنين لكل تربية على واحد ناقص
ناقص اتنين لكل تربية مش هذي مثلة ايه ال canonيبقى
هذا الكلام بده يساوي واحد زائد أربعة على واحد ناقص
أربعة يبقى الجواب يساوي الناقص خمس أتلات يبقى خمس
أتلات والسالب واحد و تلتين طيب هاي السالب واحد
عندنا يبقى بدي أنزل كمان شوية يبقى بتجيلك النقطة
اللي هي عندنا هذهتمام؟ جالي هذا على هذه الفترة
decreasing، الدالة تناقصية، خلي بالك هنا، ممكن
أقول decreasing هك؟ صح؟ و ممكن أقول decreasing هك؟
أريد أن أعرف من هؤلاء هؤلاء هو الـ Concave Up وهو
الـ Concave Down فأنا أرى الـ Concave على الفترة
من سالب Infinity لسالب واحد يبقى من سالب Infinity
لسالب واحد Concave Down فأنا أريد أن تكون الرسمة
من؟ اللي عندنا بالشكل هذا فأنا أريد أن تأتي الرسمة
مع الـ Asymptotic بالشكل هذاو تمشي مع الاسمتوت
التاني بهذا الشكل تمام؟
طيب، الآن بدي أجي للجزء الثاني من الرسمة، بدي أشوف
بعد الواحد زي اتنين، شو بدي يكون شكل الدالة؟ يبقى
خمس على جداش، خمس أتلات بس
Concave تعلّي عليها من واحد إلى انفينيتي وبعد من
واحد إلى انفينيتي اللي هو اللي جافه به is concave
down على الفترة هذه وكذلك على الفترة اللي عندنا
هذهيبقى concave down لو روحت حصها بده تيجي النقطة
تحت وبالتالي بده يجيك المنحنة بالشكل اللي انا معه
ال asymptote ماشي بهذا الشكل يبقى هي الرسمة اللي
انا طبعا لو جيت حسبتها هتعطيك نفس النتيجة اللي
عندك هذه يعني لو جينا قولنا ال F of 2 هتلاقيها
كمان ناقص خمسةعلى ثلاثة و بالتالي المنحنة صار أن
كله تحت بهذا الشكل من
هنا نعطي تعريف جديد اللي وعدناكوا فيه قبل قليل
Definition آه آه هذا كان في الكتاب في الطابعة
التاسعة بس في الطابعة التاشر مش موجود لكن هنعطيه
عليها رسومات موجودة في التمرينبنعطيك يام عشان نشوف
كيف بنعمل الرسومات هذه the graph of the continuous
function y تساوي f of x has a cuspعلى اكس
بديو ساوي C if the concavity is
the same on
both sides
of C and either اما
النقطة الأولى اللي هو ال limitللـ F prime of X لما
الـ X بده يروح الى C من جهة الشمال بده يساوي
Infinity and limit لل F prime of X لما الـ X بده
يروح لـ C من جهة اليمين بده يساوي سالب Infinity or
نقطة ثانية limit لما ال X بده يروح ل C من جهة
الشمال لل F prime of X بده يساوي سالب infinity and
limit لما ال X بده يروح ل C من جهة اليمين لل F
prime of X يساوي infinity
طبعا لو روحنا و رسمنا الرسم هذه نقول بالشكل ان هذا
هذا محور X هذا محور Y هذا النقطة اللي هي Zero ممكن
المنحنة يجيلك بالشكل اللي عندك هذا
يبقى طبعا هنا بيكون الكاسب وهنا هذه النقطة اللى
عندنا اللى هو نقطة C وهنا ال limit لل F prime of X
لما ال X بدها تروح الى C من جهة الشمال بده يساوي
infinityوهنا ال limit لل F prime of X لما ال X بده
يروح ل C من جهة اليمين بدها تساوي سالب infinity او
ممكن يكون بالشكل اللي عندك هذا محور X وهذا Y وهذا
Zero منحنا جالك كيك ورجع طالع هيك يبقى هذه النقطة
اللي هي C هنا I limit لل F prime of X لما ال X بده
يروح ل C من جهة الشمال يساوي سالب Infinity او هنا
I limit لل F prime of X لما ال X بده يروح ل C من
جهة اليمين بده يساوي من؟ بده يساوي Infinityوهذا
كمان هنا اللي هو الكاسب
نعود للتعريف اللى قبل ان نأخد مثال على ذلك التعريف
يقول الـ graph of the continuous function يبقى
الشرف الأساسي ان تبقى ده اللى متصل او Y to the
power of X لديه كسب ويم عند X يساوي C if the
concavity is the same in both sides of C andيبقى
دالة مدالة متصلة اتنين على طرفين النقطةالمنحنة يا
إما concave up يا إما concave down طلع لهنا هذا
الجثم مفتوح لوين وهذا مفتوح لوين إلى أعلى يبقى هنا
على طرفين نقطة C مفتوح إلى أعلى أو عند النقطة C
الجثم مفتوح لوين إلى أسفل وهذا مفتوح لوين إلى أسفل
يبقى عند طرفين الكاصب الدالة متصلة وعند الطرفين
الدالة إما concave up أو concave down يبقى هذه
الشرطين التالت لو روحت أخدت limit للمشتقة عند نقطة
الكاصب لما روحلها من طرف الشماليا إما هتعطيني
infinity، يا إما هتعطيني السالب infinity، بتفريقش
عنا، اتطلع في الحالة الأولى اعطبطني infinity
بالموجب، ليش؟ لأن دالة دالة تزايدية، تمام؟ إذا
المشتقة بتبقى أكبر من ال zero، يبقى ال limit تبعها
بتعطيني infinityفي الحالة هذه للجزء الثاني بيكون
ال limit لما تذهب إلى C من جهة اليمين بتبقى ال F
from تناقصية فتعطي من السلب infinity أو في البداية
ممكن تبقى تناقصية تعطي من السلب infinity والتانية
تزايدية تعطي من ال infinity يعني بمعنى آخربعد ما
ألاقي على طرفين نقطة لها نفس الconcavity بتروح أخد
limit ال F prime لما ال X بده تروح ل C من جهة
الشمال ان طلعت من جهة الشمال بده تساوي ال infinity
لازم تطلع من جهة اليمين جداش سالب infinity وان
طلعت من جهة الشمال بسالب infinity لازم تطلع من جهة
اليمينيعني انا بتسوي اربعة limits ولا تنتين؟ تنتين
فقط لا غير، لأنه قال لي هذه or، يا إما الحالة
الأولى يا إما من الحالة الثانية، يبقى درجات
الconcretyعلى الشجتين نفس الشيء مفتوحة إلى أعلى أو
مفتوحة إلى أسفل بروح باخد ال limit للمشتقة لما ال
X بدها تروح إلى C من جهة الشمال لجاتها infinity
إذا من جهة اليمين بسلب infinity لجاتها من جهة
الشمال بسلب infinity إذا من جهة يعني واحدة منهم بس
يا إما الحالة الأولى يا إما الحالة الثانية وهيها
قدامك على الرسموالان هنثبتلك هذه المعلومة بمثال
يبقى بداجي اخد example تلاتة بقول
sketch the graph
F of X يساوي X أس تلتين X أس تلتين X ناقص خمسة
يبقى مضاجي كعدد ما انا مابعرفش لكسب ولا غيره انا
بدي اخد مثال و بدي احل زي ما كنت بحل في المثالين
السابقين هذه الدالة بقدر اكتبها على الشكل التالي X
أس كده؟ ناقص خمسة X أس تلتين الان لو كانت ال X
تساوي زيرو then كده ال Y؟ ساوي زيروطيب لو كانت ال
Y تساوي 0 then بصير X أس تلتينفاهمين في X ناقص
خمسة تساوي Zero هذا بده يعطيلك ان X يساوي Zero و X
يساوي قداش خمسة معناته انا من الحالتين جيب ثلاث
نقط ولا تنتين بس يا راجي قولوا غير اطلع فيها كويس
تنتين لان الحالة الأولى هي الحالة التانية هذه يبقى
هنا the points النقاط Zero و Zero
بعد ذلك بدي ادى الخطوة اللى بعدها فيه عندى
asymptote هناأه ماعنديش ماعندي بصفة و مقام يبقى
انسى قصة الاسم تت يبقى بناء عليه بدي أروح أجيب له
ال F prime of X مباشرة يبقى خمسة على تلاتة X أس
طولتيننقص عشرة على تلاتة X أس سالب تلت أو خمسة X
أس تلتين على تلاتة ناقص عشرة على تلاتة X أس تلت أو
لو حطت المقامات للكلتلاتة X أس طلت بصير أن هنا
خمسة X ناقص عشرة أو خمسة X ناقص اتنين على تلاتة X
أس طلت
أحنا إيش كتبناها؟ صفر وخمسة وصفر صفر، أه التانية
عند X تساوي، أه خمسة وصفر تانية خمسة وزيهم، مظبوط
كلامك صحيح، تحصل فحسن العائلات عادي جدا، أه نعم
قال صلى الله عليه وسلم رفعن أمتي الخطأ والنسيان
وما استكره عليهنرجع تاني يبقى بتروح اشوف اشارة كل
term من هذه ال termات يبقى بتروح اخد اشارة اللي هو
من خمسة في X نقص اتنين بتاخد ال zero تبعها وين عند
اتنين بعد اتنين positive و قبلها negative طبعا ال
domain تبع الدلمين يا شباب
كله بالاستثناء كل الريال يبقى ماعندي مشكلة في هذه
الحالة بروح بقوله بدي أخد إشارة تلاتة اكس و أس طول
و هدا الريال اللي هي اللي بتاخد ال zero تبعها و هي
عند ال zero بعد ال zero positive و قبلها negative
بالدالي اخد اشارة خمسة في اكس ناقص اتنين على تلاتة
اكس وسطل وهذا ال real line ونحدد الحدود الإقليمية
ومنها نحدد mainنحدد الإشارات هي zero هي اتنين
مجسمات على بعض قسمة يبقى موجب على موجب بموجب سالب
على موجب بسالب سالب على سالب بموجب يبقى الدالة
كانت increasing صارت decreasingرجعت F increasing
يبقى بناء انا عليه بروح بقوله ال F is increasing
دالة تزايدية من عند السالب infinity لغاية ال zero
الدالة طبعا معرفة عند ال zero and on وكذلك على
الفترة من عند اتنين لغاية جداش infinityالـ F is
decreasing دالة تناقصية على الفترة من عند الـ Zero
لغاية مين لغاية اتنين بقى ال local maximum و ال
local minimum إذا بدنا نروح نحسب F of Zero بقدر
حسبناها قبل هي F of Zero تساوي Zero andبدا نحسب F
of اتنين F of اتنين بده يساوي اتنين قصة طولتين في
الاتنين ناقص خمسة ويساوي ناقص تلاتة الجذر التالت
لاربعحسبوني بالله عندكم شوفوا له قداش هتلاقيه
حوالي سالب أربعة وست من عشرة تقريبا يبقى حسبنا مين
لفه باتنين وبناء عليه بقوله ال F has local maximum
zero at x يساوي زيرو and
طيب انت هنا من مين؟من الـ interval of increasing
and decreasing و ال local maximum و ال local
minimum بدنا نيجي ل ال concave up و ال concave
down و ال inflection points
عشرة عشرة عشرة
على تسعة اكس أسالي بتلتهذه ستصبح ازاد عشر على تسعة
X السالب
عشرة على تسعة إكسوس كده؟ أربعة على تلاتة يبقى هذا
الكلام بيصير عشرة على تسعة واحد على إكسوس تلت زائد
واحد على إكسوس أربعة على تلاتةعشرة عالى تسعة كله
على اكس أس اربعة عالى تلاتة بضل اكس زائد واحد
إذا بدروح أشوف إشارة هذا المقدار يبقى بدروح أخد
إشارة عشرة في X زائد واحد بتاخد ال zero تبعها وين؟
عند السالب واحد بعد السالب واحد موجبة وقبل السالب
واحد سالبةبدا ياخد إشارة المقدار تسعة اكس أس أربعة
على تلاتة وهذا اللي بتاخد ال zero تبعها وين؟ عند
ال zero يبقى بعد ال zero موجب و قبل ال zero الجدر
التالت له اكس أس أربعةسلم ولا موجب؟ موجب سلم يبقى
كله موجب يمين ال zero و إشمال ال zero تمام؟ يبقى
بدي أجي أخد إشارة المقدار عشرة X زي واحد على تسعة
X أس اربعة على تلاتة هذا ال real lineوهذه الحدود
الإقليمية لإنها سالب واحد وهذه positive وهذه كمان
positive وهذه negative يبقى concave down, concave
up, concave upيبقى عند السلب واحد فقط هو الـ
inflection point لأن الدلة دلة متصلة و عند السلب
واحد الدلة معرفة و غيرت اتجاه من الـ concavityيبقى
بدى أروح أجيبله ال F of سالب واحد، بدى أرجع لوين
لرأس المثل، هيبقى سالب واحد أسطلتين في سالب واحد
سالب خمسةهذا الجدر التالت لـ-1 تربية اللي هو بواحد
يبقى الجواب جداش سالب ستة يبقى ال F has an
inflection point اللي احداتي تبعها اللي هو سالب
واحد وسالب ستة حددت ال inflection pointأه ماقلناش
ال concave طيب يالا ال if أو the graph of if is
concave down on من سالب infinity لغاية سالب واحد
and مافيش غيرها
and concave up on سالب واحد و zero اتحاد zero و
infinity طيب،
إذا عند ال zero، في احتمال يكون في عندي كسب، مش
عارفكقولوا أبدا الدالة عند Zero دالة متصلة اتنين
الدالة مغيرتش اتجاه الconcavity على يميني ال Zero
وعلى شمالي ال Zeroإذا عشان أتأكد إنه في عندي class
مظلوم إيجاد limit للمشتقة عند ال X بدأت تروح ل
Zero من اليمين أو من الشمال طيب إذا بدروح أخد ال
F' موجودة عندنا أه هي موجودة هي وين هي يبقى بدأ
أخد limitللـ F prime of X لما X بدها تروح لـ Zero
من جهة الشمال يبقى هذه ال limit لما ال X بدها تروح
ل Zero من جهة الشمال لخمسة في X ناقص اتنين على
تلاتة X أس تلت يساويخمسة على تلاتة ما لهاش دورة
وهذه لما X بدها تروح ل Zero من جهة الشمال يبقى
البصد بضال قداش ناقص اتنين Zero من جهة الشمال
معناته very small negative يبقى very smallنجاتيف
ايه quantity تمام نجاتيف على نجاتيف ايش بيصير
positive يبقى جديش
بتروح اخد limit لل F prime of X لما ال X بده يروح
ل0 من جهة اليمين يبقى limit لما ال X بده تروح ل0
من جهة اليمينX ناقص اتنين على تلاتة X أسطلت خمسة
على تلاتة مالاش دا و هذا بيبقى ناقص اتنين على Zero
من جهة اليمين يعني very small positive quantity
يبقى النتيجة ده بداش يساوي يبقى من الاتنين هدول
ونفس ال concavity على يمين ال zero هذا بده يعطيلك
ان هناك كاسب at x يساوي zero اظن هيك احنا خلصنا مش
ضايق الا الرسممش هيك يبقى بدنا نشيل المشتقة هذه
هيك و هذه معاها و نيجي نرسم راسمتنا خلّي
بالا كده يبقى هي المحاور
هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل اللي هي
Zero ال symptom ماعناش تمام يبقى أول شغلة بنرسم ال
local maximum و ال local minimum عند local maximum
وين عند ال Zero يبقى Zero اتنين عند Zero فيه كسبة
يبقى بالدرسية الرأس مدبب بالشكل اللي عندنا هنابعد
ذلك إذا كان عندنا local minimum عند x يساوي 2 له
سالب 4 و 6 من 10 يبقى عند x يساوي 2 هذا واحد و هذا
اتنين بدي أنزل لسالب يبقى هذا اتنين و سالب 4 و 6
من 10 و بدي أصبح المنحنة إلى أعلىطيب تمام الان بدي
اجي من سالب infinity لغاية ال zero بدي اشوف هل هي
increasing اه من سالب infinity لغاية ال zero
increasing اه يبقى هذه كلها بيبقى increasing بس
ايش عنديفي اندي inflection point وين عندى السالب
واحد وسالب ستة وين السالب واحد هاي سالب واحد وبدى
أنزل سالب ستة هنا يجي هذه السالب واحد وسالب ستة
جابلي السالب واحد جابلي السالب واحد بدى اشوف
الconcavityيبقى من سالب infinity لسالب واحد
concave down يبقى المنحنة كان concave down الشكل
اللي عندنا هذا تمام؟ ومن عند السالب واحد لغاية
الستة concave up
يبقى concave up بالشكل اللي عندنا هنا يبقى النقطة
هذه صارت inflection
point للنقطة اللي عندنا قبلها concave down بعدها
concave up بعدها الآن من zero ل infinity concave
upوين راح تكون curve up من zero كذلك لوين لغاية
infinity مدام من zero infinity تكون curve up يبقى
هذا بدي يظل نازل هيك وهذا بدي يظل طالع إلى ما شاء
الله لكن جالي في نقطة تقاطع طلعناها جدوش هذه اظن
كانت خمسة و zeroيبقى هذا النقطة كانت خمسة وزير و
هذا يبقى كيف up لاحظ increasing من سالب infinity
إلى سالب واحد هل من اتنين إلى infinity increasing
ولا لاتعالى نشوف increasing من اتنين لإنفينتي
سليمة هل decreasing من Zero لغاية اتنين ولا لا
يبقى decreasing من Zero لغاية اتنين يبقى رسمتي
سليمة مائة بالمائة
اللي حكمني النقطة هذه، ان عند النقطة على يمينها
وعلى شمالها، إلها نفس الـ concave. مش تقل لما
نعرفنا الكاس وقلنا دلّا دلّا متصلة عند النقطة وعلى
يمينها وعلى شمالها، إلها نفس الـ concavity، هذي مش
بمذادي باخد من عندى، لأ لحكمتنا النقطة هذه.وهكذا،
تمام؟ حاجة لو هي تساوي التاني، قبل ما نروح للمثال
اللي بعده، ايه؟السؤال لأنه عرفنا للقاس، قلنا بنجيب
ال limit لل F prime لازم تطلع، عند ال zero، اه،
اذا من اليمين مثلا infinity من الشمال سالب
infinity طب لو طلع من اليمين و من الشمال infinity
infinity؟ لا يا اخو، ده ممتاز، ممتاز، عارف ليش؟
لإن لما أقولك F prime يعني المماس، limit للمماس،
اتطلع لهذا، لو جيهتي اللي قولي المماس هنا، بيكون
المماس سالب ولا لا؟لكن لو جيت للمماثل اللي عندك
هذا بيعملك ذاوية موجبة، إذا لا يمكن لازم واحد إن
كان الأول infinity التاني السالي من الفترة، طلعوا
اتنين infinity مافيش كسب أصلا
اسمع يا ابني انت معيار ايوة ايش
يعني بالاسم المحوركس انا باخد limit لل F prime اش
ما يكون شكل هيكون مش فيش حد اسم المحوركس ومحوراكس
انا باخد limit لل function لما X بده تروح لهذا
الرقم اللي عنده المشكلة
أيش انت انت من الرسمة؟ أنا بقولك يا راني ال limit
للمشتقة، بقول ال limit للرسمة. يا راني ال limit
للمشتقة تبعت الدالة.
ايش انت انت يعني؟ مرسومة
وخالصة؟ ايه؟ اسمع، اسمع، اسمع، تعال على الرسمة
هنا. ايه الحاجب نانيه؟ هاي الرسمة قدامك.يعني لو
عندي رسم زي محور .. زي محور X هيك؟ هي .. هي محور X
هيو
خط مستقيم يعني؟ مستقيم و مطلق، ماشي يعني، اللي هي
إيه؟ يعني أنت أسألك، هاي الـabsolute value، اسمها
يا ابنيها، هاي الـabsolute value اللي قاعد تسأل
عليها، صح؟ هذا absolute value X وهذا محور X وهذا
محور Y، بدك تاخد limit لـabsolute value X، لكي
تروح لوين؟
الخط هذا بيبقى ماشي إلى ما شاء الله، إلى أن يرفع
الله الأرض ومن علينا، يعني الـX بدأ تروح لسالب
Infinity. لما الـX بدأ تروح لسالب Infinity، بدأ
يكون الناتج Infinity. ولو راحة الـX للـInfinity،
بدأ تروح كمان هذه للـInfinity على الشجتين. خلاص؟