بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى ما ابتدأنا به
محاضرتنا في الفترة الصباحية وهو آخر جزء نظري من
section 4-3 النظرية بتقول ما يتيف ترضي أن ال eigenvalues
للمصفوفة n×n A distinct
eigenvalues of n by n matrix A يبقى احنا عندنا عدد
من ال eigenvalues وعددهم يساوي R ولا واحدة فيهم زي
التانية distinct معناته منفصلين يعني غير متساوين
ولا واحدة فيهم متساوية يعني مافيش تكرار في هدول
طيب المصروفة نظامها N في N طيب ال R هذه شو علاقتها
ب M؟ أما ال R تساوي N أو ال R أقل من N دائما وأبدا
يبقى بناء عليه بقول افترض أن K1 و K2 و KR هما ال
eigen vectors المناظرة لمن؟ لل Eigen values then
these vectors are linearly independent يعني ما نتش
قصد يقول هو يقول إذا كان لديك distinct eigenvalues،
فكل الـEigenvectors اللي بيطلعوا مناضرات اللي
بيكونوا مالهم، linearly independent، ولا واحد له
اعتماد على الثاني، بس لمين؟ لل eigenvalues الغير مكررات،
دي برضو كلام لو وضعهذه هي النظرية اللي بتقولها
أنها نظام n×n وأنها in distinct eigenvalues
يساوي نظام تبع نص المصفوفة N يبقى العدد يساوي N
ثم يبقى هناك complete set of eigenvectors والمصفوفة
A مستقلة مستقلة مستقلة مستقلة مستقلة مستقلة بتقول لو أنت
عندك جة المصفوفة نظامها مثلاً تلاتة في تلاتة أو
اتنين في اتنين أو أربعة في أربعة إذا نظامها أربعة
في أربعة وطلع عندي أربعة distinct eigenvalues يبقى
على طول الخط هذه diagonalizable يبقى المصفوفة اللي
عندي إذا ساوى عدد الـ distinct eigenvalues نظام
المصفوفة أوتوماتيك هذه بتبقى diagonalizable يعني
بقدر أكتبها على صيغة مصفوفة قطرية وعناصر القطر
الرئيسي فيها هم ال eigenvalues كويس والله دي بيسهل
الشغل كتير يعني بدل لسه ما أروح أثبت وأجيب
ال eigenvectors وأحسب لا داعي ال eigenvectors
يبقى بس بدي أشوف عدد
هل يساوي نظام المصفوفة أو لا؟ أو هل يساوي رتبة
المصفوفة أو لا؟ إذا ساوى بيقول خلاصنا يبقى المصفوفة
هذه، دا يقننا، لا يزيبنا، دا مهم جدا في الشغل بعد
قليلالملحوظة التالية بيقول لـ An n by n matrix
need not have distinct eigenvalues زي ما شفنا
قبل قليل في محاضرة الصباح اللي هو المصفوفة اللي
عندي طالعة two eigenvalues بيساووا بعض، مظبوط؟ إذا
ليس بالضرورة أن يكونوا كلهم منفصلات عن بعض المهم هو
لا يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue
eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن
يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن
أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue
eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن
يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن
أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue
eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن أن
يكون هناك eigenvalue ممكن أن يكون هناك eigenvalue ممكن
أن
يكون هناك eigenvalue النقطة الثانية بيقول لو كان
λ1 و λ2 و λR are the
distinct eigenvalues للمين؟ لـ ال n by n matrix A
لحظة R أقل من أو تساوي N زي ما قلنا قبل قليل يبقى
هذول ال distinct لمين؟ للمصفوفة the characteristic
polynomial بقدر أكتبها على ميم على الشكل التالي
يعني مش أقوى أسسهم n لأن أقوى أسسهم n معناته
أن عندي n من اللاندات بعضهم هيكون مكرر يعني هيطلع
λ - λ1 مثلاً تربيع هذه تكعيب دلوقتي
ما وصل لل λR ممكن لوس واحد ممكن كله لوس اتنين
ممكن تلاتة إذا كان مجموعي الأسس هذه كلها مدوسة
بدوساوي n إيش سبب الأسس دي؟ سببه التكرار ال
multiplicity جالكة the integer mi يعني أي واحد من
هدول is called the multiplicity of the eigenvalue
λi يعني هذا الرقم يدل على أن ال λi
مكررة مرتين تلاتة أربعة جد ما يكون يبقى يا بنات،
هذا الـM اللي عندنا يدل على عدد مرات تكرار قيمة
λ، اللي هي ال eigenvalue، هنا وضع الحد هنا،
جاب المفروض، حد يلاقي استفسار هنا؟ لما بتسأل تسأل
مش عيب تسأليه وخذ السؤال اللي بدك إياه فيه أي نقطة
بدك إياه لإنه بعد قليل بدنا نطبق هذا على أرض الواقع
نطبق الـ characteristic polynomial لإيش؟ مش .. مش
أخدنا في أول مبادئنا هذا الـ section قلنا فيه حاجة
اسمها الـ characteristics polynomial المحدد تبع ال
λI - A مش سميناها الـ characteristics
polynomial هذه اللي هي ال λ تربيع ال λ تكعيب
زائد مش عارفين اللي هي المعادلة الطويلة هذه هذه
اللي هي الحلول اللي هي ال λI المعادلة هذه راحت
حطيتها على الشكل اللي قدامنا هذا من λ لغاية λ
واحد لغاية λ آخر طب ليش ممكن تشيل λn لو
قلت لـ λn معناته ولا واحدة مكررة صح ولا لا؟ كل
واحدة بس مرة واحدة وكله distinct لكن ما دام
تساوي إذا هيصير فيه تكرار يبقى عدد الأقواس لا يمكن
أن يساوي n بساوي R جد ما يكون بشرط R قد تكون
تساوي n أو أقل منها إن ساوى n يبقى كل واحد من
الأسس هدول بقد إيش؟ يبقى حصتها غير هيك بدي أزيد عنها
يعني بعضهم قد يكون واحد بعضهم اتنين بعضهم تلاتة
إلى آخره طيب بنجي لـ remark بقولي the number of mi
of multiplicity of the eigenvalue of λi
equal the number of linearly independent eigen
vectors كويس الآن أنا جيت على ال mi افترض ال mi
كانت بقد إيش؟ يعني الأس باتنين يعني λ ده مكرر رقم
مرة مرتين يبقى بيقول the number of multiplicity of
the eigenvalue λ is equal العدد اللينياري
الـ independent اللي هو eigenvalue يبقى في هذه الحالة
بطل عندي كام eigenvector؟ اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين
اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتنين اتن
الكلام اللي بنقوله هذا بنروح نحطه على أرض الواقع
بأمثلة كثيرة توضح الكلام هذا كله عملياً جالي هل ال
matrix دي diagonalizable أم لا؟ نعرفش هذه بتقولي
بيكون diagonalizable إذا كان نظام المصفوفة أو رتبة
المصفوفة بده يساوي عدد ال characteristic values
characteristic values يبقى بتجي تقول بده أخد
ال λI اللي هو مين؟ λI - A بده يساوي هذه
تلاتة في تلاتة يبقى λ 0 0 λ 0
0 λ - A 3 0 0 2 1
0 -1 -2 -1 بالشكل اللي
عندنا يبقى هذا بدي يعطينا λ - 3 وهنا
0 0 زي ما هي هذا بدي يعطينا -2 هذا
λ - 1 هذا 0 زي ما هو هذا 1 2
λ + 1 فبقى كويس أنا سميت حلم مش عارف ولا
حاجة وقاعد بشتغل زي ما كنت بشتغل الصبح وزي ما
كنت بشتغل المرة اللي فاتت كويس لكن لو واحدة صحى
شوية يكون فاتحة بتقولي هذه مصفوفة مثلثة سفلى صح ولا
لا؟ إذا المحدد تبعها بدي يساوي حاصل ضرب عناصر القطر
الرئيسي، مافيش دا تروح تفكي، خلاص حاصل ضرب وجاهزة
وخلاص، ماشي بقولها، بقول والله كويس، إذا ال
determinant ل λI - A بدي يساوي ال
λ λ - 3 في λ - 1 في λ
+ 1 وده يساوي 0 صحيح ولا لا؟ يبقى يساوي the
characteristic values أو ال eigenvalues are λ
تساوي -1 و λ تساوي 1 و λ تساوي
3
هؤلاء distinct ولا لا؟ ونظام المصفوفة إذا ده يكون
لازم يبل طب خلّال ال crawler اللي خلّصنا بدون أن
تروح تدور ولا تجيب ال eigenvectors ولا تغلب شحالك
يبقى باجي بقول هنا since the eigenvalues
are distinct
and equal 3 عددهم تلاتة and the system of the
matrix A is 3×3 by the above crawlery we
have that the A is diagonalizable
زيبل diagonalizable
والله كويس هذه وسيلة طريقة مبسطة بتسهل هالشغل هذه
بناخد كمان مثال حد ما نقت معلمة شيكبال اسمها
example
2 بيقول
إن المصفوفة A تساوي 2 2 3 1 2
1 2 -2 1 2 -2 1
بيقول is the matrix A diagonalizable
السلام عليكم
هذه السؤال مختلفة عن السؤال السابق لأن السؤال
السابق كان سهل لأنه كان lower triangular matrix تمام
هذه الأبناء لا lower ولا upper هذه مصفوفة عادية
وبالتالي نحسب الحسابات هذه بالتفصيل ناخد ال λ
I - A يبدو يساوي λ 0 0 λ 0 0
λ - اللي هو 2 2 3 1 2
1 2 -2 1 ويساوي λ - 2
وهنا -2 -3 وهنا -1 وهنا
λ - 2 وهنا -1 -2 2
وهنا λ - 1 شكل اللي عندنا هنا بعد هيك
مشان نجيب قيم λ بدنا نروح ناخد المحدد تبع هذه
المصفوفة يبقى بدي آخد ال determinant تبع λI
- A يبقى المحدد λ - 2 -2
-3 -1 λ - 2 -1
-2 2 λ - 1 يبقى هاي روحنا
أخدنا المحدد اللي عندنا هذا وبدنا نيجي نفك المحدد
باستخدام عناصر أي صف أو أي عمود فيه فمثلاً لو جيت
قلت بدي أفكه باستخدام عناصر الصف الأول يبقى λ
- 2 فيه الرئيسي -2 ويبقى λ -
2 في λ - 1 + 2 هذا من هذا لسه
الحد الأول اللي بعده حسب قاعدة الإشارات إشارته
سالبة وسالب بيصير موجب 2 فيه أشطر بصفه و
عموده يبقى هذا المقدار اللي هو بيصير 1 -
λ لإنه بيشار السالب -2 الشكل اللي
عندنا هذا اللي بعده -3 فيه أشطر بصفه عموده
يبقى -2 + 2λ - 4 كل هذا
الكلام بده يساوي 0 مرة ثانية قليكي معايا ثانية
بقول هذا ال term الأول المحدد الأصغر ماضي راح حصل
ضرب هدول - مع - بصير + 2 حسب قاله شرط
الشرط السلبية بصير موجبة تمشيط بصفه عموده بصير -
λ + 1 يبقى -λ + 1 - مع
ضابل - بيبقى - قد إيش؟ -2 - 3 وشت
بيصفوا عموده بيصير -2 وهنا - مع -
بيصير + 2λ - 4 كل هذا الكلام
بده يساوي قد إيش؟ 0 هذا الكلام بده يساوي λ -
بالموجة يبقى هاي سالب ثمانية بيظل سالب اثنين بيظل
زائد اثنين لإن مظبوط إيه يا بنات؟ أربعة و ستة عشر
موجب و اثنين و ستة ثمانية بيظل اثنين بالموجب بيظل
لنا من هنا سالب ثمانية و سالب اثنين سالب عشرة و
زائد ع ثمان عشرة بيظل زائد ثمانية يساوي Zero
في حد الاعتراض؟ كيف؟
المعادلة سليمة مائة بالمائة طب بدنا نحل هذه لا في
عوامل مشتركة ولا في غيره يبقى أنا المعادلة منها
الدرجة الثالثة لما بدي أحل هيك و تبقى صعبة بروح
بدور على قواسم الثمانية مين؟ 1 و سالب 1
2 سالب 2 4 سالب 4 8 سالب 8 يعني عندي 8 قواسم تمام
خليني نبدأ بالأول لو حطيت لإن ده بواحد بيصير هنا
واحد و اثنين ثلاثة ثلاثة و ثمانية أحد عشر أحد عشر
هنا بواحد بيصير ناقص خمسة يبعتك الله يبقى لإن ده
بواحد لأ بدي احط لإن ده بقداش سالب واحد لو حطيت
سالب واحد بيصير هنا سالب واحد و سالب خمسة سالب ستة
سالب ستة و اثنين سالب ثمانية و ثمانية زيرو تمام
تمام يبقى ال lambda تساوي سالب واحد هي عبارة عن مين
عن حل هذه المعادلة يعني ال lambda زائد واحد هي أحد
عوامل المعادلة هذه يبقى باجي بقوله since بما أن
Lambda تساوي سالب واحد is a solution of
the equation A star يبقى
Lambda زائد واحد is a factor of equation star يعني
المعادلة تقسم على هذا المقدار بدون باقي
وهنا عندك ناقص خمسة lambda تربيع ناقص خمسة زائد
اثنين lambda زائد ثمانية بدي أقسمها قسمة طويلة
عادية على lambda زائد واحد فيها قداش lambda تربيع في
lambda lambda تكعيب زائد lambda تربيع تمام؟ بأجي بغير
الإشارات وبجمع مع السلامة فالناقص ستة lambda تربيع
زائد اثنين lambda زائد ثمانية الباقي من الدرجة
الثانية والمقسوم عليه من الدرجة الأولى بواصل عملية
القسمة يبقى ناقص ستة lambda تربيع على lambda بطلع
قداش ناقص ستة lambda تربيع
ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة
lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda
ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda
تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص
ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص ستة lambda
تربيع ناقص ستة lambda تربيع ناقص الباقي من الدرجة
الأولى والمقسوم عليه من الدرجة الأولى بواصل عملية
القسمة يبقى ثمانية lambda على lambda فيها قداش هي
ثمانية ثمانية lambda وهنا زائد ثمانية غير الإشارات
وجمعي بيصير هنا قداش بيصير هذه بالذات بيصير ناقص يبقى
zero و zero يبقى بناء عليه المعادلة star يبقى
equation star take the four يبقى بتاخد الشكل الجديد
اللي عندي خارج القسمة اللي هو مضروب في المقسوم
عليه lambda تربيع ناقص ستة lambda زائد ثمانية يساوي
زيرو الآن هذه بقدر أقول lambda زائد واحد هذه بقدر
أحللها كحاصل ضرب قوسين هنا lambda هنا lambda وهنا
اثنين وهنا أربعة وهنا ناقص وهنا ناقص يبقى بناء
عليه lambda تساوي سالب واحد و lambda تساوي اثنين
و lambda تساوي قداش أربعة هدول مالهم are distinct
eigen
values
يبقى هدول الـ distinct eigenvalues إذا بناء على
المصفوفة عند الأصلية قداش نظامها ثلاثة في ثلاثة
يبقى هذه مالها؟ Diagonalizable يبقى هنا الـ sense
اللي دي Matrix A
is of the system ثلاثة في ثلاثة and we have three
distinct eigenvalues
we have the a is
Diagonalizable يبقى الوقت لو جابلتك معادلة من
الدرجة الثالثة كيف بدك تحليها بتشوفي قواسم ال
constant بالدور على رقم يصفر المعادلة وبعد هيك
بنجيب الرقم هذا على الشجرة الثانية وبالتالي يكون
هذا أحد عوامل المعادلة وبالتالي بننزل رتبها من
الدرجة الثالثة إلى الدرجة الثانية وبالتالي بقدر
أحلها يا إما تحليها بالقوسين أو بالقانون وبطلع قداش
اللي هو قيم lambda المختلفة
مثال ثلاثة بيقول
is the matrix is the matrix قليلة مصفوفة إيه تساوي؟
Zero و Zero و واحد و Zero واحد و اثنين و Zero و
Zero و واحد دقيقة diagonalizable كيف؟
المحدد صحيح يساوي زيرو لكن إحنا ما قلناش حاجة
إحنا قلنا ابحثوا ودوروا خلاص لكن هل حطينا شرطنا لو
كان المحدد يساوي زيرو ممنوع؟ لا المصفوفة الأخرى
اللي بدي أضربها فيها بدي أياها المحدد تبعها هيكون
مانع لو ساوى إن ماتكلمناش عليها دي ولا حاجة إحنا
بقول قد تكون وقد لا تكون تمام؟ إذا بدي أروح نفس
القصة بدي أمشي زي ما كنت بمشي قبل قليل طب باجي
بسأل نفسي هذه upper ولا lower triangle؟ upper
يبقى معناتها و ال Zero و ال واحد و الواحد هم من
ال lambdas وبالتالي ال lambdas تكررت كده؟ مرتين يبقى بناء
عليه
الـ Determinant لـ Lambda I ناقص الـ A هو المحدد
تبع Lambda و Zero و ناقص واحد و Zero و هنا Lambda
ناقص واحد و ناقص اثنين و Zero Zero Lambda ناقص
واحد
وهذا يقوم بإضافة لـLambda ناقص واحد لـLambda ناقص
واحد لـLambda ناقص واحد لـLambda ناقص واحد
لـLambda ناقص واحد لـLambda ناقص
واحد يبقى إيه جبت له مان جبت له اللي هو الـ ال
eigenvalues لكن فيه اثنتين are repeated يعني يا
بنات لو فكيت الجملة دي إيه بيصير lambda في lambda ناقص
واحد لكل تربيع يساوي zero لإن lambda بواحد والقوس بأسي
اثنين يبقى مجموع درجات يساوي الـ N الدرجة
تبع المصفوفة هذه تمام وبالتالي هذا اللي كنا
كاتبينه قبل قليل M واحد زي M اثنين زي M ثلاثة زي M
N بده يساوي N مظبوط يبقى هي تنطبق عليها تمام طيب
هايجيبنا ال lambdas اللي عندنا بس هدول مش distinct
طلعوا فيهم الاثنتين هدول مالهم مكررات تمام باجي
بقول والله ما أنا عارف الحين اختلفت عن الرقم ثلاثة
اللي عندنا هل تطلع دي يقول اللي يزبل والله ميزبل
يقول الله أعلم يبقى باجي بقوله هنا F lambda تساوي
زيرو lambda
I ناقص الـ A في الـ X بده يساوي زيرو M Plus lambda I
ناقص الـ A هي يبقى هي عند مين؟ هي lambda وزيرو وسالب
واحد وزيرو و lambda ناقص واحد وناقص اثنين وزيرو زيرو
lambda ناقص واحد في X1, X2, X3 بدي يساوي 000 بدي
أشيل كل lambda وأحط مكانها Zero يبقى بلاش هاد
نكتبها هنا مش هيكون أرتب بس F lambda تساوي Zero
then بدي أجعل هذه وأشيل كل lambda وأحط مكانها
Zero يبقى Zero وهنا zero وهنا سالب واحد وهنا zero
سالب واحد سالب اثنين zero zero سالب واحد X واحد X
اثنين X ثلاثة بده يساوي zero zero zero هذا بده
يعطينا نبدأ أكتب المعادلات اللي عندي يبقى المعادلات
اللي عندي سالب X واحد بده يساوي قداش zero و سالب X
اثنين سالب اثنين X ثلاثة بده يساوي zero و الـ X
ثلاثة بده يساوي قداش بده يساوي zero تمام هذا معناه و
الـ X ثلاثة أو سالب X ثلاثة سالب X ثلاثة بده يساوي
زيرو
سالب X ثلاثة مظبوط هذا سالب X ثلاثة وهذا سالب
X اثنين سالب اثنين X ثلاثة بده يساوي Zero وهذا
سالب X ثلاثة بده يساوي مظبوط يبقى هذا معناه إن
X ثلاثة بده يساوي جبناها بديوا يساوي Zero لما
الـ X ثلاثة بديوا يساوي Zero X اثنين كمان بديوا
يساوي مين؟ Zero لمشان يكون Eigen vector X واحد
ممكن تبقى الرقم غير Zero يبقى باجي بقوله هنا F X
واحد بديوا يساوي الـ A then the Eigen vectors
Lambda تساوي زيرو are in the form بالشكل التالي X
واحد بـ a واللي بعده بـ zero zero يبقى a في واحد
zero zero بالشكل اللي عندنا يبقى جبت هذا الـ eigen
vector اللي عندنا إيه هنا zero zero
طيب بدنا نروح نجي ناخد اللي هو الحالة الثانية لو
كان Lambda تساوي اثنين أو تساوي القيمة الثانية
بادئ بقول هنا F lambda تساوي lambda اثنين أو تساوي
lambda ثلاثة تساوي واحد then هذه المصموفة اللي
عندنا بدي أشيل lambda واحطه مكانها واحد يا بنات
يبقاش بيصير اي واحد zero سالب واحد zero zero هنا
ناقص اثنين وهنا زيرو زيرو وهنا كمان زيرو بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى X واحد X اثنين X ثلاثة
يساوي زيرو وزيرو وزيرو يبقى المعادلات X واحد ناقص
X ثلاثة بده يساوي زيرو وناقص اثنين X
ثلاثة بده يساوي Zero يبقى بناء عليه هذا معناه إيه
معناه إن X ثلاثة بده يساوي زيرو لما X ثلاثة بده يساوي زيرو
يكبر X واحد بده يساوي زيرو معناته إن X اثنين بده يساوي b مثلاً
يبقى أصبح Eigen
vectors
corresponding the eigen vector eigen value الـ lambda
تساوي واحد are in the form بالشكل التالي اللي هو من
X1 X2 X3 بده يساوي X1 بـ 0 و X3 بـ 0 و هذه بي بي
اللي هي بدها تساوي بي في Zero واحد Zero كده عدد
مرات تكرار الـ lambda ده؟
إن حدث ذلك بيقول Diagonalizable ما حدث يبقى الـ
not diagonalizable يبقى since
lambda تساوي واحد has multiplicity
two and we have one اللي هو one eigen vector only
for lambda تساوي واحد The matrix A is not
diagonalizable
طب يعطيكم العفو ونكمل المرة القادمة لسه لا يزال
عندنا مزيد من الأمثلة