1
00:00:20,830 --> 00:00:26,410
بسم الله الرحمن الرحيم احنا في المحاضرة اللى فاتت

2
00:00:26,410 --> 00:00:32,690
اتحدثنا عن ال limit comparison test وبرهننا

3
00:00:32,690 --> 00:00:37,470
الجزء الاول منه فنرجع مع بعض ال limit comparison

4
00:00:37,470 --> 00:00:43,190
test for infinite series طبعا طبعا في limit

5
00:00:43,190 --> 00:00:47,450
comparison test for sequences الان هذا الافتبار

6
00:00:47,450 --> 00:00:52,340
قصد ال infinite seriesلو في عندي two sequences of

7
00:00:52,340 --> 00:00:57,760
positive real numbers بحيث ان limit ال quotient

8
00:00:57,760 --> 00:01:05,700
تبعهم exist بساوي عدد R ففي عندي نتيجتين، لو كان

9
00:01:05,700 --> 00:01:12,170
العدد R أو limit R هذه لا تساوي 0ففي الحالة هذه

10
00:01:12,170 --> 00:01:18,130
sigma x in series sigma x in convergence if and

11
00:01:18,130 --> 00:01:21,550
only if ال series sigma y in convergence يعني

12
00:01:21,550 --> 00:01:24,910
اتنين اما اتنين بيكونوا convergence زي بعض او

13
00:01:24,910 --> 00:01:28,630
اتنين بيكونوا divergence زي بعض الجزء التاني بيقول

14
00:01:28,630 --> 00:01:32,010
لو كانت ال R اللي هي limit لل quotient مساوة سفر

15
00:01:32,010 --> 00:01:37,110
وإذا كانت ال series اللي الحد العام تبع Y in

16
00:01:37,110 --> 00:01:41,770
convergenceفال series هذا بيقدر ال series اللي هي

17
00:01:41,770 --> 00:01:48,510
sigma xn كلها يعني اعتقد ان احنا برهن الجزء الأول

18
00:01:48,510 --> 00:01:55,750
برا اللي فاتت بظبط و خلينا نبرهن الجزء التاني طبعا

19
00:01:55,750 --> 00:02:06,370
since اذا هنا let assume r

20
00:02:06,370 --> 00:02:07,650
بساوي سفر

21
00:02:18,190 --> 00:02:24,490
أما لو أخدت إبسلون أنا بساوي العدد واحد فهذا

22
00:02:24,490 --> 00:02:29,910
إبسلون موجبة إحنا

23
00:02:29,910 --> 00:02:38,070
لدينا من الفرض sense limit xn over yn as n tends

24
00:02:38,070 --> 00:02:45,640
to infinityبساوي R اللي هو سفر الآن فمن تعريف by

25
00:02:45,640 --> 00:02:51,260
definition of limit for epsilon positive زي هذه

26
00:02:51,260 --> 00:02:57,420
يوجد capital N يعتمد على epsilon اللي هو الواحد

27
00:02:57,420 --> 00:03:03,900
natural number بحيث انه لكل N أكبر من أو ساوي

28
00:03:03,900 --> 00:03:11,260
capital Nهذا بيدّي أن ال absolute value ل xn على

29
00:03:11,260 --> 00:03:18,120
yn minus zero بيطلع أصغر من ال epsilon اللي احنا

30
00:03:18,120 --> 00:03:26,660
ماخدينها واحد طب xn عدد موجب و yn عدد موجبفال

31
00:03:26,660 --> 00:03:33,760
quotient هذا كسر هذا موجب سالد سفر فهذا بيقدي ان

32
00:03:33,760 --> 00:03:42,880
xn over yn أصغر من واحد لو ضربنا الطرفين العدد

33
00:03:42,880 --> 00:03:58,110
الموجب yn فهذا هيقدي ان xn أصغر من ynوهذا صحيح لكل

34
00:03:58,110 --> 00:04:05,550
N أكبر من أو يستوي capital N now

35
00:04:05,550 --> 00:04:09,090
if

36
00:04:09,090 --> 00:04:20,550
sigma yn converges then

37
00:04:21,920 --> 00:04:26,140
by direct comparison test اللي أخدناها المرة اللي

38
00:04:26,140 --> 00:04:30,420
فاتت إذا ال series الحد اللي عام تبعها أكبر

39
00:04:30,420 --> 00:04:34,480
convergent فالأصغر

40
00:04:34,480 --> 00:04:42,920
ال series الأصغر converges وهذا هو المطلوب هذا

41
00:04:42,920 --> 00:04:46,340
اللي احنا عايزين نتبته إنه لو كانت ال series yn

42
00:04:46,340 --> 00:04:50,690
convergent فلازم هذا يطلع convergent هذا صحيحby

43
00:04:50,690 --> 00:04:55,110
direct comparison test لذلك هذا يكمل برهان الجزء

44
00:04:55,110 --> 00:05:02,230
التالي نرجع الأن ناخد أمثلة على تطبيقات على ال

45
00:05:02,230 --> 00:05:08,590
direct comparison test و على limit comparison test

46
00:05:11,980 --> 00:05:15,680
كيف نستخدم ال comparison tests الاختبارين هدول

47
00:05:15,680 --> 00:05:27,780
فيثبات ان ال series معينة is convergent discuss

48
00:05:27,780 --> 00:05:38,840
.. discuss the convergence of

49
00:05:38,840 --> 00:05:40,360
the following series

50
00:06:00,990 --> 00:06:07,110
فناخد series sigma from n equals one to infinity ل

51
00:06:07,110 --> 00:06:17,370
one over n squared plus n بالمناسبة

52
00:06:17,370 --> 00:06:18,450
ال series هذه

53
00:06:23,110 --> 00:06:29,010
ممكن نقارنها، الحد العام تبعها هذا، لما N تكون

54
00:06:29,010 --> 00:06:36,410
large فممكن نهمل ال N بالنسبة ل N تربية و نعتبر أن

55
00:06:36,410 --> 00:06:42,730
هذه ال series شبيهة أو behaves like تتصرف زي ال

56
00:06:42,730 --> 00:06:45,650
series sigma 1 على N تربية

57
00:06:50,030 --> 00:06:54,610
الان بنشوف إذا ممكن نطبق اختبار المقارنة المباشرة

58
00:06:54,610 --> 00:06:58,670
ال direct comparison test بنطبقه وإذا ما اقدرناش

59
00:06:58,670 --> 00:07:06,950
بنلجأ لاختبار تبع ال limit comparison test

60
00:07:24,400 --> 00:07:37,040
فهنا ممكن يعني من السهل أن احنا نستخدم ال

61
00:07:37,040 --> 00:07:43,040
direct comparison test لأنه انا عندي ال N تربيع

62
00:07:43,040 --> 00:07:50,400
زائد N أكبر من أو يساوي Nأكبر من أو ساوي N تربية

63
00:07:50,400 --> 00:08:00,220
لكل N ينتمي ل N هذا بيقدي أنه مقلوب N تربية زايد N

64
00:08:00,220 --> 00:08:08,680
أصغر من أو ساوي مقلوب N تربية لكل N ك N الان

65
00:08:08,680 --> 00:08:13,020
ال series

66
00:08:13,020 --> 00:08:15,360
sigma واحد على N تربية

67
00:08:18,710 --> 00:08:29,730
a P series is P series صح؟ with P

68
00:08:29,730 --> 00:08:40,270
بيساوي اتنين اكبر من واحد so

69
00:08:40,270 --> 00:08:49,230
it convergesby .. it is convergent by P series

70
00:08:49,230 --> 00:08:56,550
test في ال P series test بيقوللي إذا كان أي P

71
00:08:56,550 --> 00:09:02,890
series زي هذه بتكون convergent إذا كان P أكبر من

72
00:09:02,890 --> 00:09:08,530
واحد و divergent إذا كان P أصغر من أوسع و أعلى و

73
00:09:08,530 --> 00:09:14,510
برهننا الكلام هذا في المحاضرة السابقة أو الجبلةإذا

74
00:09:14,510 --> 00:09:20,250
أنا في عندى two series واحدة الحد العام تبعها واحد

75
00:09:20,250 --> 00:09:23,790
على انتر بيه وهذا الconversion وواحدة الحد العام

76
00:09:23,790 --> 00:09:28,090
تبعها واحد على انتر بيه الزادة وهذا الحد العام

77
00:09:28,090 --> 00:09:31,250
أصغر من أو ساوي الحد العام لهذه الconversion إذا

78
00:09:31,250 --> 00:09:35,630
ممكن استخدم so

79
00:09:35,630 --> 00:09:38,550
by direct comparison test

80
00:09:42,520 --> 00:09:46,740
السيريز اللي هي sigma من n equals one to infinity

81
00:09:46,740 --> 00:09:56,860
لواحد على n squared plus n converges

82
00:09:56,860 --> 00:10:03,340
إذا السيريز هذه أتباعنا هي انها convergence by

83
00:10:03,340 --> 00:10:07,140
direct comparison استخدمنا ال direct comparison

84
00:10:07,140 --> 00:10:09,160
test مفهوم واضح؟

85
00:10:12,050 --> 00:10:13,950
ناخد مثال تاني

86
00:10:36,080 --> 00:10:39,580
بتاعة اتنين لو أخدنا series sigma from n equals

87
00:10:39,580 --> 00:10:47,780
one to infinity لواحد على n تربية سالف n زائد

88
00:10:47,780 --> 00:10:54,180
واحد بما نفحص هل ال series هذي convergent ولا

89
00:10:54,180 --> 00:10:57,520
divergent طبعا

90
00:10:59,200 --> 00:11:04,280
أول شيء بنفكر فيه، بنشوف كيف ال series هذه بتتصرف،

91
00:11:04,280 --> 00:11:07,740
ما هي ال series القريبة منها، و اللي احنا عارفين

92
00:11:07,740 --> 00:11:12,600
أنها أو ممكن نحكم عليها بسهولة، ن be convergent أو

93
00:11:12,600 --> 00:11:15,980
divergent، يعني بدي أقارن ال series هذه ب series

94
00:11:15,980 --> 00:11:20,520
تانيةمن السهل اني احكم عليها هل هي convergent او

95
00:11:20,520 --> 00:11:27,160
divergent فلما N تكون كبيرة و ان N is sufficiently

96
00:11:27,160 --> 00:11:32,900
large لما N تقول infinity ممكن اهمل N و اهمل 1

97
00:11:32,900 --> 00:11:41,080
وبالتالي ال series هذه behaves تتصرف زي ال series

98
00:11:41,080 --> 00:11:42,880
1 على N ترمية

99
00:11:45,470 --> 00:11:55,230
اللي هي احنا عارفين which is كل بيت واحد طبعا by P

100
00:11:55,230 --> 00:12:01,270
seriousness زي ما شرحنا في المثال الأول الآن

101
00:12:01,270 --> 00:12:10,120
السؤال اللي بيطرح نفسه is it true هل واحد علىإن

102
00:12:10,120 --> 00:12:15,000
تربية سالف إن زاد واحد أصغر من أو يساوي واحد على

103
00:12:15,000 --> 00:12:20,640
إن تربية عشان نستخدم .. هل هذا الكلام صحيح لكل إن؟

104
00:12:20,640 --> 00:12:25,920
لأ مش فاكرش أنا فللأسف هذا مش صحيح وبالتالي

105
00:12:25,920 --> 00:12:29,940
مابقدرش أستخدم إن هذا not true

106
00:12:34,430 --> 00:12:41,410
for example على سبيل المثال take m بساوي اتنين

107
00:12:41,410 --> 00:12:50,310
هنجد المتباين هذه مش صح اذا مقدرش انا استخدم ال

108
00:12:50,310 --> 00:12:54,310
direct comparison test اذا في الحالة هذه لازم

109
00:12:54,310 --> 00:12:59,190
استخدم ال limit comparison test او ابحث عن مقارنة

110
00:12:59,190 --> 00:13:01,310
تانية however

111
00:13:06,140 --> 00:13:17,200
you can show بإمكانكم تخبطه أنه الواحد على n تربية

112
00:13:17,200 --> 00:13:23,500
negative n زائد واحد هذا أصغر من أو ساوي اتنين على

113
00:13:23,500 --> 00:13:31,280
n تربية وهذا صحيح لكل n في n إذن هذه المتباينة

114
00:13:31,280 --> 00:13:34,420
صحيحة وبالتالي ممكن الآن

115
00:13:39,990 --> 00:13:46,330
الان بإمكانك استخدام

116
00:13:46,330 --> 00:13:53,030
تجارة مقارنة مباشرة للتأكيد

117
00:13:53,030 --> 00:14:02,650
عشان تستنتجوا ان سيريز سيجما واحد على إنتر بيه

118
00:14:02,650 --> 00:14:08,980
نيجاتيب ن بلس واحدconvergent لأنه ال series هذه

119
00:14:08,980 --> 00:14:15,920
لأنه since ال series اللي الحد العام تبعها اتنين

120
00:14:15,920 --> 00:14:20,740
على انتر بيها هي نفسها اتنين ضارب ال series sigma

121
00:14:20,740 --> 00:14:26,600
واحد على انتر بيها و ال series هذه قلنا convergent

122
00:14:26,600 --> 00:14:29,660
لأنها في series نضربها في عدد موجب بتضلها

123
00:14:29,660 --> 00:14:31,700
convergent

124
00:14:34,390 --> 00:14:38,990
لازم نثبت على ذلك الكلام هذا الكلام لازم تثبتيه صح

125
00:14:38,990 --> 00:14:45,970
المشكلة في الحل هذا ان انا او انتوا كيف نبيه يخطر

126
00:14:45,970 --> 00:14:53,170
على بالكم ان المتباين هذا صح اه it is not easy to

127
00:14:53,170 --> 00:14:57,030
figure out this inequality مش سهل ان يختر على

128
00:14:57,030 --> 00:15:04,110
بالنا او نستنتج ال .. او يعني ..بنعرف إنه في

129
00:15:04,110 --> 00:15:09,870
متباينة زي هذه صحيحة هذا مش سهل وبالتالي ممكن

130
00:15:09,870 --> 00:15:14,090
نستخدم ال limit comparison test ونرايح رأسنا ال

131
00:15:14,090 --> 00:15:16,690
limit comparison test في الحالة هذه أسهل من إن أنا

132
00:15:16,690 --> 00:15:21,550
يعني أخمن

133
00:15:21,550 --> 00:15:25,950
.. أخمن يعني حاجة زي هذه okay فتعالوا نشوف كيف

134
00:15:25,950 --> 00:15:28,070
نستخدم ال limit comparison test

135
00:15:31,920 --> 00:15:40,220
أذا هنا we use limit

136
00:15:40,220 --> 00:15:45,160
comparison test with

137
00:15:45,160 --> 00:15:54,640
a n بساوي واحد على n تربيع minus n زايد واحد أو xn

138
00:15:54,640 --> 00:15:55,720
فالبسامينات

139
00:15:57,840 --> 00:16:07,600
و Yn بساوية واحد على M تربية فاني

140
00:16:07,600 --> 00:16:13,340
ايجي نحسب ال limit ل Xn over Yn as N tenths of

141
00:16:13,340 --> 00:16:21,720
infinity بساوية limit هاي Xn تقسيم Yn بتطلع M

142
00:16:21,720 --> 00:16:28,990
تربية على M تربية negative M plus oneو ال limit

143
00:16:28,990 --> 00:16:36,930
هذا عشان نحسبها بالجسم bust مقام على n تربية ففي

144
00:16:36,930 --> 00:16:41,750
ال bust واحد واحد سالب واحد على n موجب واحد على n

145
00:16:41,750 --> 00:16:47,210
تربية لإن تقول ال infinity وهذا بطلع واحد على واحد

146
00:16:47,210 --> 00:16:54,410
سالب صفر موجب صفر ويساوي واحد لايساوي صفر إذن ال R

147
00:16:55,770 --> 00:16:59,910
الـ R في ال limit comparison test طلعت بالساوي

148
00:16:59,910 --> 00:17:07,630
واحد لا يساوي سفر وانا عندى اذا since وانا عندى ال

149
00:17:07,630 --> 00:17:13,050
series sigma yn اللى هى sigma واحد على انتر بيان

150
00:17:13,050 --> 00:17:17,830
is convergent then

151
00:17:17,830 --> 00:17:26,700
by limit comparison test ال series sigma xnاللي هو

152
00:17:26,700 --> 00:17:32,960
الحد اللي عم تبعها واحد على انتر بيه minus ان زاد

153
00:17:32,960 --> 00:17:41,560
واحد كون بيعجز وهو مطلوب okay إذا هنا استخدمنا ال

154
00:17:41,560 --> 00:17:46,020
limit كون .. لما يعجز أو يفشل ال comparison أو ال

155
00:17:46,020 --> 00:17:49,920
direct comparison test بنرجع إلى limit comparison

156
00:17:49,920 --> 00:17:57,220
testهنا لازم يجب ملاحظة انه اي سؤال بنحل بال

157
00:17:57,220 --> 00:18:02,660
comparison test ممكن حله او نطبق عليه ال limit

158
00:18:02,660 --> 00:18:07,800
comparison test لكن العكس ليس صحيح وبالتالي ال

159
00:18:07,800 --> 00:18:12,240
limit comparison test اشمل و اعام من ال direct

160
00:18:12,240 --> 00:18:17,460
comparison test ناخد مثال تالت واضح الحل في اي

161
00:18:17,460 --> 00:18:22,470
سؤال او استفسار؟إذا دائما في مخرج يعني إذا انت مش

162
00:18:22,470 --> 00:18:26,390
عارف تعمل direct comparison فاستخدم ال limit

163
00:18:26,390 --> 00:18:30,670
comparison test وهذا مش صعب تشوفي دائما ال series

164
00:18:30,670 --> 00:18:35,730
اللي قدامك behaves like some familiar series تتصرف

165
00:18:35,730 --> 00:18:41,130
زي series معروفة لدينا و احنا عارف نقدر من السهل

166
00:18:41,130 --> 00:18:43,530
نحكم عليها هل convergent او divergent

167
00:18:49,830 --> 00:18:57,370
فلو أخدنا مثلا ال series هذه summation from

168
00:18:57,370 --> 00:19:03,630
n equals one to infinity ل one over square root of

169
00:19:03,630 --> 00:19:08,530
n plus one ف

170
00:19:08,530 --> 00:19:11,910
ال series .. this series behaves طبعا لما n ..

171
00:19:11,910 --> 00:19:19,330
when n gets large we neglect الواحد نهم الواحدوهذه

172
00:19:19,330 --> 00:19:29,190
السيريز تتصرف من حيث التقارب والتباعد مثل سيجما

173
00:19:29,190 --> 00:19:31,210
واحد على جذر الان

174
00:19:38,390 --> 00:19:46,390
طيب can we السؤال يتفرج نفسه can we use direct

175
00:19:46,390 --> 00:19:51,670
comparison test للإجابة

176
00:19:51,670 --> 00:19:57,770
على السؤال هذا بنلاحظ أن n زائد 1 أكبر منها ويساوي

177
00:19:57,770 --> 00:20:06,310
n لكل n هذا بيقدر أن واحدوبالتالي الجدر التربيعي ل

178
00:20:06,310 --> 00:20:10,110
N زائد واحد أكبر من أو ساوي جدر ال N لكل N

179
00:20:10,110 --> 00:20:17,910
وبالتالي هذا بيقدي أن واحد على الجدر التربيعي ل N

180
00:20:17,910 --> 00:20:26,950
زائد واحد أقل من أو ساوي واحد على جدر ال N لكل Nو

181
00:20:26,950 --> 00:20:31,850
احنا عارفين ان ال series هذه divergent لأنها P

182
00:20:31,850 --> 00:20:36,850
series و ال P بساوي نص أصغر من واحد و هاد ال

183
00:20:36,850 --> 00:20:42,770
series أصغر منها أو أصغر منها و يساويهافال direct

184
00:20:42,770 --> 00:20:46,970
comparison test بيعطينيش نتيجة، بيعطينيش نتيجة إذا

185
00:20:46,970 --> 00:20:50,550
الكبيرة divergent فالصغيرة ممكن تكون convergent

186
00:20:50,550 --> 00:20:57,150
وممكن تكون divergent إذا هنا ال direct comparison

187
00:20:57,150 --> 00:21:01,050
test fails،

188
00:21:01,050 --> 00:21:09,290
fails يعني يفشل، يفشل وبالتالي مافيش أمامنا خيار

189
00:21:09,290 --> 00:21:13,350
اللي احنا .. اللي .. اللي هالنا نستعملأو نستخدم

190
00:21:13,350 --> 00:21:27,350
limit comparison test نستخدم

191
00:21:27,350 --> 00:21:29,970
limit comparison test

192
00:21:34,290 --> 00:21:39,970
with xn بيساوي واحد على ال square root of n plus

193
00:21:39,970 --> 00:21:48,230
one و yn بيساوي one over square root of n نحسم ال

194
00:21:48,230 --> 00:21:53,990
limit ل xn over yn as n tends to infinity بيساوي

195
00:21:53,990 --> 00:21:57,770
ال limit هاي

196
00:21:57,770 --> 00:22:06,100
جسم xn على yn بيطلع الجدر التربيعيلان على ان plus

197
00:22:06,100 --> 00:22:11,500
one لما ان تقول ال infinity دخل ال limit تحت الجدر

198
00:22:11,500 --> 00:22:15,740
لأن ال square root function is continuous فاندخل

199
00:22:15,740 --> 00:22:21,660
ال limit و limit المقدار تحت الجدر بطلع واحد

200
00:22:21,660 --> 00:22:28,920
وبالتالي واحد لا يساوي سوى إذا ال R في limit

201
00:22:28,920 --> 00:22:34,540
comparison first طلعتdifferent from zero لأ تساوي

202
00:22:34,540 --> 00:22:44,020
سفر و since ال series sigma من n equals one to

203
00:22:44,020 --> 00:22:52,860
infinity لواحد على جدر ال n يعبر عن sigma واحد على

204
00:22:52,860 --> 00:22:58,160
n أصمص is a p-series with

205
00:23:03,240 --> 00:23:11,940
P بساوي نص أصغر من واحد it diverges

206
00:23:11,940 --> 00:23:24,780
يعني بتطلع divergent by P series test ال series

207
00:23:24,780 --> 00:23:28,560
يعني divergent وبالتالي

208
00:23:31,020 --> 00:23:34,760
by limit comparison test حسب ال limit comparison

209
00:23:34,760 --> 00:23:44,020
test هيعندي sigma x in و sigma y in sigma y in ده

210
00:23:44,020 --> 00:23:51,200
هي طلعت divergent و ال R limit لرئيسه لا يساوي سفر

211
00:23:51,200 --> 00:23:56,100
لان التانية زيها divergent ده is sigma x in اللي

212
00:23:56,100 --> 00:24:02,990
هو واحد على الجذر التربيهي ال N زي واحدby agents

213
00:24:02,990 --> 00:24:17,470
حسب ال limit comparison test okay تمام واضح طيب

214
00:24:17,470 --> 00:24:18,790
ناخد كمان مثال

215
00:24:30,910 --> 00:24:37,470
مثال رقم أربعة خلّينا نفحص ال series اللي هي

216
00:24:37,470 --> 00:24:44,770
summation from n equals one to infinity ل one over

217
00:24:44,770 --> 00:24:52,070
n factorial طبعا

218
00:24:52,070 --> 00:25:00,050
هذه مش واضحممكن تقارنها لأن N factorial N

219
00:25:00,050 --> 00:25:04,810
factorial بالساوي N نقش واحد N negative واحد N

220
00:25:04,810 --> 00:25:11,890
negative اتنين إلى تلاتة في اتنين في واحد فمش

221
00:25:11,890 --> 00:25:21,350
عارفين ايش نقارنها اه فهذا مش واضح لكن by trial

222
00:25:21,350 --> 00:25:31,990
انا بتقوله بالتجريبنقدر احنا نحاول يعني نقرر او

223
00:25:31,990 --> 00:25:37,330
يعني نشوف ان هنا عند عشان n في n سالب واحد في n

224
00:25:37,330 --> 00:25:43,510
سالب اتنين فممكن نقارن ال series هذه بواحد على n

225
00:25:43,510 --> 00:25:51,750
ترمية نشوف كيف ممكن نعمل المقارنة اذا هنا في حالين

226
00:25:51,750 --> 00:26:01,200
هناSolution واحد نحن نحاول نقارن بالإيه فال

227
00:26:01,200 --> 00:26:08,740
solution الأول أو الحل الأول بيعتمد use

228
00:26:08,740 --> 00:26:17,460
induction to show that ممكن

229
00:26:17,460 --> 00:26:24,210
نثبت بال induction أنهN تربية أصغر من N factorial

230
00:26:24,210 --> 00:26:30,290
لكل N أكبر من أو ساوي أربعة المتباينة هذه صحيحة

231
00:26:30,290 --> 00:26:34,050
لكل الأعداد الطبيعية أكبر من أو ساوي أربعة هذا

232
00:26:34,050 --> 00:26:38,390
ممكن نثبته by induction زي ما اتعلمته هذا سؤال في

233
00:26:38,390 --> 00:26:44,670
مبادئ رياضياتنشوف مع بعض الهدى صح نشوف أول حالة

234
00:26:44,670 --> 00:26:48,990
لحظة ال N بتبدأ من أربعة مش من واحد ف N بساوي واحد

235
00:26:48,990 --> 00:26:52,390
هنا هصير N بساوي أربعة و الباقى ال induction زي ما

236
00:26:52,390 --> 00:26:57,210
اتعلمنا فلو N بساوي أربعة أربعة تربيه ستة عشر أصغر

237
00:26:57,210 --> 00:27:01,070
من أربعة فاكتوريا الأربعة و عشرين ستة عشر أصغر من

238
00:27:01,070 --> 00:27:05,050
أربعة و عشرين صحيحإذا العبارة صحيحة عند n بالساوية

239
00:27:05,050 --> 00:27:09,410
أربعة افرض صحيتها عند n بالساوية k حيث k أي عدد

240
00:27:09,410 --> 00:27:13,570
طبيعي أكبر من أربعة وثبت صحيتها عند n بالساوية k

241
00:27:13,570 --> 00:27:18,830
زادة، أعتقد هذه مثلة في أخدت زيها في مبادئ رياضية،

242
00:27:18,830 --> 00:27:23,050
رح نسيب .. سيبقى لكم .. ليه؟ ايه شو بتهارفنا مثلا

243
00:27:23,050 --> 00:27:25,610
نختار الأربعة؟ ليش ما هو مثلا تلاتة أو واحد، سيبقى

244
00:27:25,610 --> 00:27:29,150
احنا متعودين في ال induction؟أه لأنه انت ال ..

245
00:27:29,150 --> 00:27:34,030
يعني نضل نجرب لحد ما نصر نصر بره صح اه من أربعة و

246
00:27:34,030 --> 00:27:37,690
انت طالع تصير صحيحة أما قبل أربعة بتكون خطأ

247
00:27:37,690 --> 00:27:42,210
وبالتالي مالهاش معناه أما من أربعة و أنت طالع

248
00:27:42,210 --> 00:27:49,830
هتكون صحيحة فبنهم الأول تلت قيم لهم okay اذا و

249
00:27:49,830 --> 00:27:58,220
بالتاليهذا بيقدي ان واحد على n factorial أصغر من

250
00:27:58,220 --> 00:28:04,040
واحد على n تردية لكل n أكبر من أو ساوية أربعة

251
00:28:04,040 --> 00:28:11,960
وبالتالي و ال series طبعا وبالتالي ممكن نستخدم ال

252
00:28:11,960 --> 00:28:15,800
direct comparison test يعني الحالة هذه

253
00:28:24,200 --> 00:28:28,020
و نستخدم الاختصار الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد

254
00:28:28,020 --> 00:28:43,880
الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد

255
00:28:45,400 --> 00:28:50,520
هذه الـ series هي ال key series بس بتبدأ من أربعة

256
00:28:50,520 --> 00:28:55,240
فكأني حدث يتأول تلات حدود منها فهذا بيأثرش على ال

257
00:28:55,240 --> 00:28:59,420
divergence أو ال convergence لل series إذا حدث

258
00:28:59,420 --> 00:29:04,980
omitting أو deleting finite number of terms from

259
00:29:04,980 --> 00:29:09,000
an infinite series does not affect the convergence

260
00:29:09,000 --> 00:29:13,240
or the divergence of the series حدث عدد منتهي من

261
00:29:13,240 --> 00:29:19,540
حدود ال seriesأو إضافة عدد منتهي كمان إلى حدود ال

262
00:29:19,540 --> 00:29:24,180
series لا يؤثر لا على التقارب ولا على التباعد تبع

263
00:29:24,180 --> 00:29:34,900
ال series هذا حقيقة سهل لو يعني و بدهاش برهان لأن

264
00:29:34,900 --> 00:29:40,300
الحدود المنتهية هذه مجموعة بيطلع عدد منتهي فما

265
00:29:40,300 --> 00:29:47,230
بأثرش على التقاربمن series بفرش على التقارب او

266
00:29:47,230 --> 00:29:52,310
التباعد او اضافة عدد لان بما ان ال series

267
00:29:52,310 --> 00:29:58,110
converges then ال series sigma واحد على n

268
00:29:58,110 --> 00:30:03,990
factorial converges

269
00:30:03,990 --> 00:30:11,160
من n بالساوية اربعة الى ملامية طبعا هذا بقدرإن أنا

270
00:30:11,160 --> 00:30:15,360
لو ضفت لل series الحدود المتبقية من n بالساعة واحد

271
00:30:15,360 --> 00:30:22,160
إلى تلاتة وبتصير من infinity هنا لواحد

272
00:30:22,160 --> 00:30:28,160
على n factorial تطلع

273
00:30:28,160 --> 00:30:33,280
conversion وهذا اللي بدنا يعني، إذن هذا أحد

274
00:30:33,280 --> 00:30:38,100
الحلولة، okay؟ زي ما زملتكم يعني اخترحت، بتقول طب

275
00:30:38,100 --> 00:30:44,050
و أنا إيش بدي أختار على بالي؟إن هذا المتباينة

276
00:30:44,050 --> 00:30:47,890
الصحيحة اللي اعتمد عليها الحل أو اعتمدت عليها

277
00:30:47,890 --> 00:30:53,430
المقارنة فمعاكم حاجة ممكن أنك .. يعني ماحدش يقدر

278
00:30:53,430 --> 00:30:57,970
يعني يصل إلى ال .. أو ال percentage المتباينة هذه

279
00:30:57,970 --> 00:31:03,710
اللي عليها بيرتكز الحل ففي حل تاني آخر نشوف الحل

280
00:31:03,710 --> 00:31:05,930
التاني ال direct limit

281
00:31:09,330 --> 00:31:14,150
الحل التاني solution

282
00:31:14,150 --> 00:31:18,430
2 احنا

283
00:31:18,430 --> 00:31:26,430
عارفين انه لو جسمت ناخد

284
00:31:26,430 --> 00:31:35,130
xn بسعر واحد على n factorialبساوي واحد على ال

285
00:31:35,130 --> 00:31:41,770
تربية كويس؟ زي ما عملناه في الحل الأول و بده قارن

286
00:31:41,770 --> 00:31:47,320
التنتين هدول بس المقارنة المرة هذه هتكونبطريقة

287
00:31:47,320 --> 00:31:53,760
مختلفة فلو أخدت xn و جسمتها على yn فطبعا هذا أكبر

288
00:31:53,760 --> 00:32:00,140
من السبب لأن xn عدد موجب دايما لكل n و yn عدد موجب

289
00:32:00,140 --> 00:32:06,640
فقسمت على دين موجبين بطلعة موجب وهذا بساوي n تربية

290
00:32:06,640 --> 00:32:13,720
على yn اللي هو n factorial على n factorial

291
00:32:18,080 --> 00:32:26,220
و هدا بساوي تاي n تربية على n factorial عبارة عن

292
00:32:26,220 --> 00:32:34,160
واحد في اتنين في تلاتة الى n سالب اتنين في n سالب

293
00:32:34,160 --> 00:32:45,700
واحد في n مظبوط؟ ممكن اختصر n مع n و هيبقى عندي

294
00:32:54,210 --> 00:33:05,130
فهيبقى عندي n على واحد في اتنين الى n سالب اتنين

295
00:33:05,130 --> 00:33:14,650
في n سالب واحد الان ممكن اثبات ان المقام هذا اكبر

296
00:33:14,650 --> 00:33:17,570
من اتنين

297
00:33:20,110 --> 00:33:28,310
إثنين في N سالب إثنين في N سالب واحد وهذا أكبر من

298
00:33:28,310 --> 00:33:38,410
إثنين في N سالب واحد في N وهذا صحيح ليس لكل الـ N

299
00:33:38,410 --> 00:33:48,270
مش لكل الأعداد الطبيعية N هذا أكبر من N سالب إثنين

300
00:33:48,270 --> 00:33:56,730
في Nو هذا صحيح فقط لكل n أكبر من أو يساوي خمسة

301
00:33:56,730 --> 00:34:01,990
يعني عند الأربعة مش صح و عند التلاتة و اتنين و

302
00:34:01,990 --> 00:34:08,580
الواحد مش صحOkay؟ إذن N تربية على N factorial

303
00:34:08,580 --> 00:34:14,940
بتطلع .. الآن هذا المقام أكبر من العدد هذا

304
00:34:14,940 --> 00:34:23,280
وبالتالي المقلوب بتطلع أصغر من N على N في N سالب 2

305
00:34:23,280 --> 00:34:32,100
طبعا N بتروح مع Nبيبقى عندي واحد على n ساوى اتنين

306
00:34:32,100 --> 00:34:37,140
ويقول الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوى خمسة

307
00:34:48,530 --> 00:34:55,770
xn على yn أصغر من واحد على n ثالث اتنين طبعا أكبر

308
00:34:55,770 --> 00:35:01,690
من سفر أو أكبر من أو يساوي سفر وهذا صحيح لكل n

309
00:35:01,690 --> 00:35:06,890
أكبر من أو يساوي خمسة الان هذا لما انتقل ل

310
00:35:06,890 --> 00:35:11,950
infinity هذا بيروح لسفر لما انتقل ل infinity هذا

311
00:35:11,950 --> 00:35:16,610
بيروح لسفر اذا by sandwich theorem

312
00:35:23,770 --> 00:35:30,910
بطل عند ال limit ل xn over yn as n tends to

313
00:35:30,910 --> 00:35:36,570
infinity بساوي سفر هاد هى ال R في ال limit

314
00:35:36,570 --> 00:35:42,150
comparison test طيب since

315
00:35:44,540 --> 00:35:49,640
سيجما واي ان اللي هي سيجما واحد على ان تربيعي

316
00:35:49,640 --> 00:35:58,740
converges حسب الجزء الثاني من limit comparison

317
00:35:58,740 --> 00:36:02,160
test limit comparison test بيقول إذا كان limit ال

318
00:36:02,160 --> 00:36:07,600
ratio بساوي سفر وكانت سيجما واي ان convergent إذا

319
00:36:07,600 --> 00:36:10,400
هذا بيقدر

320
00:36:13,430 --> 00:36:19,310
سيجما اكس ام اللي هي سيجما وان اوبر ام فاكتوريال

321
00:36:19,310 --> 00:36:23,490
convergence رغم المفهوم

322
00:36:26,800 --> 00:36:29,680
واحد استخدم ال direct comparison test، التاني

323
00:36:29,680 --> 00:36:33,660
استخدم ال limit comparison test، اتنين كان فيهم

324
00:36:33,660 --> 00:36:39,940
شوية شغل مش سهل، لكن هذا هو الموجود، مفيش أسهل من

325
00:36:39,940 --> 00:36:46,400
هذا فعلى أي حال يعني ال .. الأسئلة في الكتاب هتكون

326
00:36:46,400 --> 00:36:50,780
معظمها سهلة إما في الحل بال limit comparison test

327
00:36:50,780 --> 00:36:55,520
أو بال direct comparison test، في أي سؤال أو

328
00:36:55,520 --> 00:37:00,800
استفسار؟الامور واضحة الحل واضح انا عارف انه كيف

329
00:37:00,800 --> 00:37:05,580
يخطر على بالنا نعمل المقارنات هذه وهذا كلامكم صحيح

330
00:37:05,580 --> 00:37:12,980
هذا يعني شيء مش سهل لكن في بعض المسائل ال .. يعني

331
00:37:12,980 --> 00:37:21,740
ال .. مش سهل ان احنا نعمل المقارنة لكن بنحاول ..

332
00:37:21,740 --> 00:37:33,030
بنحاول اللي بيحاولبيصل إلى حل خليني يعني احنا مش

333
00:37:33,030 --> 00:37:37,710
عايزين نبدأ section جديد الصحيح ان هيك يعني ال

334
00:37:37,710 --> 00:37:42,550
chapter خلص فعشان مابداش يعني نبدأ المرة الجاية

335
00:37:42,550 --> 00:37:49,210
chapter جديد فخليني اخد احل سؤال من ال homework

336
00:37:49,210 --> 00:37:53,590
problems السؤال هنا question

337
00:37:57,590 --> 00:38:06,030
exercise رقم خمسة section تلاتة سبعة لأن هذا تمرين

338
00:38:06,030 --> 00:38:10,190
خمسة في section تلاتة سبعة اللي هو آخر section في

339
00:38:10,190 --> 00:38:17,010
chapter تلاتة السؤال بيقول can

340
00:38:17,010 --> 00:38:24,030
you السؤال كتير يعني مهم و interesting can you

341
00:38:24,030 --> 00:38:31,770
giveيعني كتاب بخاطب الطالب بيقوله can you give an

342
00:38:31,770 --> 00:38:44,810
example هل بإمكانك تعطي مثال of a convergent of a

343
00:38:44,810 --> 00:38:53,550
convergent series sigma xn and a divergent

344
00:39:03,070 --> 00:39:11,470
بحيث ان المجموعة تبع ال two series يكون

345
00:39:11,470 --> 00:39:20,010
convergent is convergent explain

346
00:39:20,010 --> 00:39:29,830
وضحي الإجابةهتكون يا yes يا no و في كل تلحالتين بن

347
00:39:29,830 --> 00:39:37,710
.. نعطيك تفسر ال yes او انه تبعتك فانا بقول انه

348
00:39:37,710 --> 00:39:44,450
خلينا نعطيلكم يعني تشوفكم تفكروا نعطيكم دقيقة

349
00:39:44,450 --> 00:39:53,230
تفكروا و تحاولوا تجيبوا مثال زي ما هو مطلوب إذا

350
00:39:53,230 --> 00:39:53,990
كده إذا أمكن

351
00:39:57,650 --> 00:40:04,570
فمين عندها مثال؟ كمان مرة بنجيب مثال ل two series

352
00:40:04,570 --> 00:40:10,370
واحدة convergent اللي هي هذه الأولى والتانية

353
00:40:10,370 --> 00:40:16,190
divergent بحيث أن مجموعهم يكون convergent هل هذا

354
00:40:16,190 --> 00:40:23,190
ممكن؟ إذا ممكن طيب ممكن تعطيني مثال على ذلك يعني

355
00:40:23,190 --> 00:40:27,890
اعطيني مثاليوضح صحة ال .. الكلام هذه ال example

356
00:40:27,890 --> 00:40:30,930
مثلا نخدها هي أسهل إيش الواحد على الأن أو الأول و

357
00:40:30,930 --> 00:40:36,130
أنت الرابعين خليني لحظة شوية لو سمحت هاي أخبرتكم

358
00:40:36,130 --> 00:40:37,350
طرح example

359
00:40:41,280 --> 00:40:47,500
أيه وقتك؟ ال XN قبل عن الواحد على الان تربية واحد

360
00:40:47,500 --> 00:40:55,520
على ان تربية فطبعا هذا بقدر سيجما XN كل ذات يسار

361
00:40:55,520 --> 00:41:02,740
سيجما واحد على ان تربية كل بيرزلأن هذه P series و

362
00:41:02,740 --> 00:41:07,380
ال P بيساوي اتنين اكبر من واحد، صح؟ والتانية

363
00:41:07,380 --> 00:41:13,120
الواحدة الجدر الأن نخدها YM بيساوي واحد على الجدر

364
00:41:13,120 --> 00:41:19,860
الأن بتصير أص نص، طيب، بتصير سماشة للواحدالان

365
00:41:19,860 --> 00:41:25,920
sigma yn بيساوي sigma 1 على n اصلا اصلا بي سيريز

366
00:41:25,920 --> 00:41:30,100
هادي divergent بي بي سيريز هادي بي بي بي بي بي بي

367
00:41:30,100 --> 00:41:30,100
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي

368
00:41:30,100 --> 00:41:30,400
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي

369
00:41:30,400 --> 00:41:34,760
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي

370
00:41:34,760 --> 00:41:34,800
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي

371
00:41:34,800 --> 00:41:35,040
بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي

372
00:41:35,040 --> 00:41:44,900
بي

373
00:41:44,900 --> 00:41:53,900
بيهي sigma واحد على N تربية زائد واحد على N أص نص

374
00:41:53,900 --> 00:42:02,420
صح؟ وهذا بيساوي summation ناخد مقام مشترك N تربية

375
00:42:02,420 --> 00:42:10,140
فبطلع واحد زائد N أص .. أص تلاتة عشان .. أص تلاتة

376
00:42:10,140 --> 00:42:14,040
عشان .. مظبوط؟

377
00:42:21,390 --> 00:42:30,430
هل هذه convergent؟ لما n تكون كبيرة .. اه لما n

378
00:42:30,430 --> 00:42:37,790
تكون كبيرة هذه بتكون behaves like sigma

379
00:42:39,040 --> 00:42:45,440
واحد لأ مش واحد ع انتر بياني مهم للواحد وفضل

380
00:42:45,440 --> 00:42:50,420
عندي N أس ثلاثة ع اتنين ع انتر بيان اللي بيساوي

381
00:42:50,420 --> 00:42:54,740
سيجما واحد ع ن أس نص

382
00:42:58,550 --> 00:43:03,570
و ممكن الأن نستخدم ال limit comparison test نثبت

383
00:43:03,570 --> 00:43:07,430
أن هذه divergent لأن هذه divergent باستخدام ال

384
00:43:07,430 --> 00:43:11,630
limit comparison testزيادة .. زيادة .. زيادة ..

385
00:43:11,630 --> 00:43:14,670
زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة

386
00:43:14,670 --> 00:43:19,910
.. زيادة

387
00:43:19,910 --> 00:43:30,990
.. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة

388
00:43:30,990 --> 00:43:31,310
..

389
00:43:34,540 --> 00:43:43,240
another example طيب xn بساوي سالب واحد و سالب ن

390
00:43:43,240 --> 00:43:51,160
مثلا yn بساوي واحد yn بساوي واحداه ف ال series

391
00:43:51,160 --> 00:43:58,520
sigma x n diverge و sigma y n diverge فتنتهي ال

392
00:43:58,520 --> 00:44:01,540
diverge، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،

393
00:44:01,540 --> 00:44:01,880
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،

394
00:44:01,880 --> 00:44:02,160
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،

395
00:44:02,160 --> 00:44:03,340
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،

396
00:44:03,340 --> 00:44:08,340
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،

397
00:44:08,340 --> 00:44:14,220
مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانعلى مدرسة الأرض

398
00:44:14,220 --> 00:44:18,380
ان هو من من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية حكينا

399
00:44:18,380 --> 00:44:20,820
انه من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية هذا converge

400
00:44:20,820 --> 00:44:25,300
بس اللي جابل حكينا انه converge انه diverge اللي

401
00:44:25,300 --> 00:44:28,280
جابلنا طيب احنا عشان بسم ان احنا بنحكي على السؤال

402
00:44:28,280 --> 00:44:33,860
هذا خليني احنا في هذا المثال في عندك مثال؟ خلاص

403
00:44:33,860 --> 00:44:38,440
طبعا ال .. ال .. السابق هذا بعدين بنتناقش فيه

404
00:44:38,440 --> 00:44:43,270
خليني أجرب عشان أنا مافيش وجهة على السؤال هذالو

405
00:44:43,270 --> 00:44:46,950
كلكم حاولتوا .. كل واحدة حاولت تجيب مثال، كل أمثلة

406
00:44:46,950 --> 00:44:51,370
أبقاتكم هتكون غلطة أو هتفشل، ليه؟ لأن مافيش ولا

407
00:44:51,370 --> 00:44:56,890
مثال، لأن مافيش مثال، فانت قاعدين بتجيبوا .. تعطوا

408
00:44:56,890 --> 00:45:01,790
حاجة مستحيلة، مش موجودة، إذا الإجابة على هذا

409
00:45:01,790 --> 00:45:02,330
السؤال

410
00:45:08,820 --> 00:45:19,880
إن ال answer ال answer is no لا يمكن يعطى مثال على

411
00:45:19,880 --> 00:45:22,700
two series واحدة convergent والتانية divergent

412
00:45:22,700 --> 00:45:26,020
مجموعة بتطلع convergent مستحيل this is impossible

413
00:45:26,020 --> 00:45:34,660
لبرهان أو لثبات ذلك if

414
00:45:34,660 --> 00:45:47,190
if thisإذا كان هذا صحيح أو إذا كان هذا صحيح يعني

415
00:45:47,190 --> 00:45:52,230
لو اقدرت النجيب series convergent و series

416
00:45:52,230 --> 00:45:57,710
divergent و مجموعة convergent then

417
00:45:57,710 --> 00:46:01,610
we would have

418
00:46:03,890 --> 00:46:08,590
إنه الـ series sigma yn اللي احنا فرضين انها

419
00:46:08,590 --> 00:46:15,650
divergent اللي هي بساوي sigma xn زائد yn minus

420
00:46:15,650 --> 00:46:23,290
sigma xn احنا قلنا لو هذا كان true معناته ال

421
00:46:23,290 --> 00:46:27,690
series هذه convergent معناته هذه convergent ومن

422
00:46:27,690 --> 00:46:32,610
الفرض هذه convergentوالفرق بين two convergent

423
00:46:32,610 --> 00:46:38,330
series is convergent، إذن هذا هتطلع .. إذن الفرق

424
00:46:38,330 --> 00:46:43,830
هيكون convergent وبالتالي إذن ال series sigma yn

425
00:46:43,830 --> 00:46:48,930
is convergent، وهذا contradiction لإن احنا فرضين

426
00:46:48,930 --> 00:46:56,040
أنها divergentهذا مش ممكن يكون true عشان هي كانت

427
00:46:56,040 --> 00:47:01,600
كتبت if it were true مستحيل ..مستحيل مش if it was

428
00:47:01,600 --> 00:47:08,280
true okay طبعا اذا انا ساطيع اعطاء مثال يعطيني

429
00:47:08,280 --> 00:47:13,800
المواصفات هذه بالمرةتمام؟ إذا بنوقف هنا و هيك

430
00:47:13,800 --> 00:47:17,120
بنكون خلصنا ال chapter تلاتة المرة الجاية ان شاء

431
00:47:17,120 --> 00:47:22,620
الله هنبقى في chapter أربعة فشكرا لكم و نشوفكم ان

432
00:47:22,620 --> 00:47:23,640
شاء الله يوم السبت