1
00:00:21,140 --> 00:00:25,840
أحنا المرة اللي فات أخدنا موضوع ال sub sequences و

2
00:00:25,840 --> 00:00:30,840
أخر نظرية أخدناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16

3
00:00:30,840 --> 00:00:36,380
النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence

4
00:00:36,380 --> 00:00:41,340
of real numbers و كانت convergent فأي subsequence

5
00:00:41,340 --> 00:00:47,680
منها بتكون convergent ويلها نفس ال limit تمام؟

6
00:00:53,530 --> 00:00:59,850
الان بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية

7
00:00:59,850 --> 00:01:06,250
فالمثال

8
00:01:06,250 --> 00:01:13,510
الأول لو كان واحد أصغر من أو لو كان سفر أصغر من بي

9
00:01:13,510 --> 00:01:19,410
أصغر من واحد فبدنا نثبت أن هذا بيقدي أن limit ال

10
00:01:19,410 --> 00:01:30,240
sequence bn بساوي سفرفلبورحان ذلك بنعرف

11
00:01:30,240 --> 00:01:34,680
الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أُس

12
00:01:34,680 --> 00:01:42,220
N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر

13
00:01:42,220 --> 00:01:50,360
من 1 هذا بيقدّي أن Xn اللي هي بساوي B أُس N الـ B

14
00:01:50,360 --> 00:01:54,360
هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل

15
00:01:54,360 --> 00:01:59,670
ما زغريعني هذا أكبر من b أُس n زايد واحد اللي هو

16
00:01:59,670 --> 00:02:04,410
xn زايد واحد الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية

17
00:02:04,410 --> 00:02:11,350
n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is decreasing

18
00:02:11,350 --> 00:02:25,510
متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما انهالـ Xn

19
00:02:25,510 --> 00:02:31,790
تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B

20
00:02:31,790 --> 00:02:36,410
أكبر من 0 أصغر من 1 ف B أس N بيطلع أكبر من أو ساوي

21
00:02:36,410 --> 00:02:44,210
0 أصغر من أو ساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن

22
00:02:44,210 --> 00:02:48,690
السفر حد أدنى لل sequence BN والواحد حد أعلى

23
00:02:49,370 --> 00:02:53,530
وبالتالي سيكوانس b in is bounded من أسفل ومن أعلى

24
00:02:53,530 --> 00:02:59,450
وبالتالي bounded إذا السيكوانس x in is bounded

25
00:02:59,450 --> 00:03:03,170
الآن

26
00:03:03,170 --> 00:03:06,370
أنا في اندي سيكوانس x in decreasing وبالتالي

27
00:03:06,370 --> 00:03:11,670
monotone وbounded إذا by monotone convergence تطلع

28
00:03:11,670 --> 00:03:12,170
conversion

29
00:03:15,900 --> 00:03:28,260
by monotone convergence theorem xn converges say

30
00:03:28,260 --> 00:03:39,320
دعنا خلّينا نسمي ال limit تبعتها x say limit xn

31
00:03:39,320 --> 00:03:40,880
بساوي x

32
00:03:43,880 --> 00:03:50,460
الان بدنا نثبت انها هيثبتنا ان ال sequence xn اللي

33
00:03:50,460 --> 00:03:55,320
الحد العام تبعها بيوس ن تطلع convergent إلى عدد x

34
00:03:55,320 --> 00:04:03,660
الان بدنا نثبت ان ال x هذا هو سفر اكلم ال

35
00:04:03,660 --> 00:04:17,420
x بساوي سفر طيب by ال theoremاثنين ستة عشر ال

36
00:04:17,420 --> 00:04:25,240
sub sequence لو أخدت ال sub sequence اللي حدودها

37
00:04:25,240 --> 00:04:31,280
زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من ال sequence xn هذه

38
00:04:31,280 --> 00:04:38,620
فهذه sub sequence من xn فهذه أيضا converges ل x

39
00:04:41,360 --> 00:04:47,460
حسب نظرية 2.16 الـ sequence x in converge ل x x 2

40
00:04:47,460 --> 00:04:50,960
in subsequence من x in وبالتالي convergent by

41
00:04:50,960 --> 00:05:02,480
theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه

42
00:05:06,320 --> 00:05:13,660
x2n بيساوي بي أس اتنين n x اتنين n بد ان باتنين n

43
00:05:13,660 --> 00:05:18,700
بيساوي بي أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة بي

44
00:05:18,700 --> 00:05:28,700
أس ان لكل تربية وهذا عبارة عن xn تربية الكلام هذا

45
00:05:28,700 --> 00:05:33,280
صحيح لكل n خدوا ال limit للطرفين لما n تقول ل

46
00:05:33,280 --> 00:05:43,650
infinityإذا ال limit ل x2n لما n تقول infinity

47
00:05:43,650 --> 00:05:52,630
بساوي limit xn تربيع لما n تقول infinity وهذا

48
00:05:52,630 --> 00:06:00,730
بساوي limit xn لكل تربيع طيب limit .. أنا عندي

49
00:06:00,730 --> 00:06:04,270
limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع

50
00:06:07,550 --> 00:06:13,890
و limit x2 in بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x

51
00:06:13,890 --> 00:06:19,730
بساوي x تلبيا حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي

52
00:06:19,730 --> 00:06:29,830
سفر أو x بساوي واحد تمام؟

53
00:06:36,360 --> 00:06:41,500
طيب مين أخد السفر و لا الواحد؟

54
00:06:41,500 --> 00:06:46,620
أنا عندي ال sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا

55
00:06:46,620 --> 00:06:53,480
عندي .. أنا عندي ال X since

56
00:06:53,480 --> 00:07:00,200
X in is decreasing متناقصة

57
00:07:04,980 --> 00:07:11,740
و ال limit تبعتها و x اللي هي بالساوي limit x in

58
00:07:11,740 --> 00:07:19,660
من هنا limit x in هتطلع أكبر من أو ساوي سفر أصغر

59
00:07:19,660 --> 00:07:24,900
من أو ساوي الواحد و ال x إما بالساوي سفر أو واحد و

60
00:07:24,900 --> 00:07:32,020
متناقصة فلازم ال x ال limit تبعتها x ساوي سفر

61
00:07:35,220 --> 00:07:40,360
لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا ال X بساوي سفر

62
00:07:40,360 --> 00:07:44,120
برضه

63
00:07:44,120 --> 00:07:50,740
ممكن نحن نقول إن ال sequence ال X بساوي ال infimum

64
00:07:50,740 --> 00:07:58,780
ل XN حيث N ينتمي ل N حسب ال monotone convergence

65
00:07:58,780 --> 00:08:03,420
theorem وهي ال XN bounded below by سفر والسفر هو

66
00:08:03,420 --> 00:08:12,190
ال infimum لهاإذاً هذا بيساوي السفر لأن

67
00:08:12,190 --> 00:08:18,290
السفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه

68
00:08:18,290 --> 00:08:25,090
أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا

69
00:08:25,090 --> 00:08:31,170
نظرية 2.16 لإيجاد limit لل-convergent sequence لأن

70
00:08:31,170 --> 00:08:35,250
احنا أثبتنا إن ال sequence convergentأخذنا سيكوينس

71
00:08:35,250 --> 00:08:38,530
الحد اللي عام تبعها بي أس ان أثبتنا إنها

72
00:08:38,530 --> 00:08:42,990
convergence by monotone convergence theorem وجبنا

73
00:08:42,990 --> 00:08:48,650
قيمة ال limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام

74
00:08:48,650 --> 00:08:52,790
ال monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال

75
00:08:52,790 --> 00:08:53,250
تاني

76
00:09:04,470 --> 00:09:09,990
لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من واحد فهذا بيؤدي ان

77
00:09:09,990 --> 00:09:15,550
ال limit ل c أس واحد على n لما n تقول infinity

78
00:09:15,550 --> 00:09:21,030
بيساوي واحد البرهان

79
00:09:21,030 --> 00:09:27,430
بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let

80
00:09:27,430 --> 00:09:33,610
المرة هذه y in انعرف sequence y inالـ nth term

81
00:09:33,610 --> 00:09:42,570
تبقى yn بساوي c أس واحد على n لكل n عدد طبيعي then

82
00:09:42,570 --> 00:09:49,230
واضح أن yn زائد واحد بساوي c أس واحد على n زائد

83
00:09:49,230 --> 00:09:58,530
واحد و ال c عدد أكبر من واحدوهذا الجذر رقم n زاد

84
00:09:58,530 --> 00:10:11,230
واحد له هذا بطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو

85
00:10:11,230 --> 00:10:17,690
الجذر اللوني ل ال c كل ما كبر الجذر كل ما العدد

86
00:10:17,690 --> 00:10:23,720
زغر إذا كان العدد أكبر من واحد وهذا بساوي ynو هذا

87
00:10:23,720 --> 00:10:29,280
صحيح لكل n هذا معناه yn زياد واحد أصغر من yn

88
00:10:29,280 --> 00:10:39,160
معناته ال sequence yn is decreasing متناقصة also

89
00:10:39,160 --> 00:10:48,180
أيضا أنا عندي في ال sequence هذه y واحد أكبر من أو

90
00:10:48,180 --> 00:10:56,200
ساوي ynلأن الـ sequence متناقصة صح؟

91
00:10:56,200 --> 00:11:03,900
و YN من هنا YN بساوي C أس N الـ C أكبر من واحد إذا

92
00:11:03,900 --> 00:11:07,580
الجذر النوني لـ C عدد أكبر من واحد بيبقى أكبر من

93
00:11:07,580 --> 00:11:16,040
واحد إذا هذا أكبر من أو ساوي واحد تمام؟ وهذا

94
00:11:16,040 --> 00:11:22,810
الكلام صحيح لكل N؟إذن هي ال sequence تبعتي y in

95
00:11:22,810 --> 00:11:28,230
bounded below by one and bounded above by y one y

96
00:11:28,230 --> 00:11:36,370
one عدد حفيفي موجب أكبر من واحد إذن

97
00:11:36,370 --> 00:11:43,550
هذا معناه أن ال sequence y inis bounded صح is

98
00:11:43,550 --> 00:11:52,170
bounded so by monotone convergence theorem a

99
00:11:52,170 --> 00:12:04,010
sequence yn converges converge say ال limit تبعتها

100
00:12:04,010 --> 00:12:11,970
بساوي عدد yافترضوا ان ال limit تبعتها بالساعة

101
00:12:11,970 --> 00:12:21,450
واحدة الان بنثبت ان ال limit

102
00:12:21,450 --> 00:12:30,950
y بالساعة واحدة ال claim ان ال limit y بالساعة

103
00:12:30,950 --> 00:12:34,550
واحدة كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج

104
00:12:34,550 --> 00:12:41,680
اتنين ستاشر ال subsequence اللي هيمتتالية الحدود

105
00:12:41,680 --> 00:12:51,880
الزوجية y2n هذي

106
00:12:51,880 --> 00:12:56,260
المفروض تكون convergent لنفس ال limit تبعت ال

107
00:12:56,260 --> 00:13:02,280
sequence yn اللي هي y تمام طيب

108
00:13:02,280 --> 00:13:02,400
but

109
00:13:08,660 --> 00:13:17,520
Y2N شو بيساوي؟ C أس واحد على اتنين N وهذا بيساوي C

110
00:13:17,520 --> 00:13:24,680
أس واحد على N الكل أس واحد على اتنين وهذا بيساوي C

111
00:13:24,680 --> 00:13:32,250
أس واحد على N عبارة عن YN الكل أس نصالكلام هذا

112
00:13:32,250 --> 00:13:37,270
صحيح لكل n إذا لو أخدت ال limit للطرفين لما n تقول

113
00:13:37,270 --> 00:13:43,950
infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity

114
00:13:43,950 --> 00:13:48,330
بساوي limit yn

115
00:13:48,330 --> 00:13:56,210
لما n تقول infinity أص نص وهذا بساوي limit أص نص

116
00:14:00,780 --> 00:14:08,440
طيب limit y in قلنا بتساوي y إذن هذا y أص نص و

117
00:14:08,440 --> 00:14:14,920
limit y اتنين in قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في

118
00:14:14,920 --> 00:14:20,700
عندي معادلة y بساوي y أص نص لو حلينا المعادلة هذه

119
00:14:20,700 --> 00:14:28,660
في y فy تلبية بساوي y ومنها بطلع y بساوي سفر or y

120
00:14:28,660 --> 00:14:29,940
بساوي واحدة

121
00:14:32,490 --> 00:14:38,990
أحنا عايزين ال y تساوي المثال التاني واحد عايزين

122
00:14:38,990 --> 00:14:49,090
ال y تساوي واحد تمام فأنا عندي since limit أنا

123
00:14:49,090 --> 00:14:49,930
عندي من هنا

124
00:14:53,290 --> 00:15:01,650
أنا عندي yn أكبر من أو ساوي واحد لكل n بيقدي انه

125
00:15:01,650 --> 00:15:10,350
limit yn اللي هي y هي خانة نظرية بتقول لو y ال

126
00:15:10,350 --> 00:15:15,350
sequence bounded below by a ف limit yn تطلع أكبر

127
00:15:15,350 --> 00:15:19,350
من أو ساوي الواحد

128
00:15:24,190 --> 00:15:29,090
طيب why أكبر من أو ساوي الواحد و احنا قلنا انه

129
00:15:29,090 --> 00:15:33,430
لازم تطلع اما سفر او واحد فمين ال .. ال .. الإجابة

130
00:15:33,430 --> 00:15:40,090
المنطقية اذا ال why لازم الساوي واحد وبالتالي هيك

131
00:15:40,090 --> 00:15:44,130
ممكن اثبتنا ان ال sequence اللي ال instance تبعها

132
00:15:44,130 --> 00:15:48,850
c to one over n is convergent و ال limit تبعتها

133
00:15:48,850 --> 00:15:51,430
بالساوي واحد تمام واضح؟

134
00:15:54,740 --> 00:15:59,300
في اي سؤال؟ طيب

135
00:15:59,300 --> 00:16:01,360
النظرية اللي بعد النظرية هذه

136
00:16:23,610 --> 00:16:28,650
نظرية السبعتاش divergence

137
00:16:28,650 --> 00:16:35,370
criterion

138
00:16:51,000 --> 00:16:58,100
let xn be sequence in R لو

139
00:16:58,100 --> 00:17:02,200
كانت xn sequence of real numbers then the

140
00:17:02,200 --> 00:17:07,700
following statements are equivalent الأبارات

141
00:17:07,700 --> 00:17:13,960
التالية متكافئة xn does not converge ل x ينتمي إلى

142
00:17:13,960 --> 00:17:14,400
R

143
00:17:18,590 --> 00:17:25,790
تنين يوجد epsilon zero اكبر من سفر بحيث انه such

144
00:17:25,790 --> 00:17:36,290
that for any k عدد طبيعي يوجد

145
00:17:36,290 --> 00:17:44,790
عدد طبيعي rk ينتمي الى n with

146
00:17:46,090 --> 00:17:54,350
rk أكبر من أو يساوي k and and

147
00:17:54,350 --> 00:18:00,930
absolute x x

148
00:18:00,930 --> 00:18:07,550
رقم rk minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero

149
00:18:07,550 --> 00:18:10,870
الأبارة التالتة

150
00:18:14,170 --> 00:18:21,010
يوجد epsilon zero أكبر من الصفر and a subsequence

151
00:18:21,010 --> 00:18:34,660
.. a subsequence xrk أو xrn of ال sequence x in

152
00:18:34,660 --> 00:18:42,080
such that absolute xrn

153
00:18:42,080 --> 00:18:54,540
minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero لكل n تمام؟

154
00:18:56,650 --> 00:19:05,210
لبرهان النظرية هذه عشان اثبت تلات عبارات متكافئة

155
00:19:05,210 --> 00:19:11,790
حسب ال logic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم

156
00:19:11,790 --> 00:19:17,490
نثبت ان واحد بكافئ اتنين و اتنين بكافئ تلاتة وهذا

157
00:19:17,490 --> 00:19:22,330
ممكن اثباتهبإن احنا نثبت واحد بيقدي لاتنين و اتنين

158
00:19:22,330 --> 00:19:26,530
بيقدي لتلاتة و تلاتة بيقدي لواحد هيك بنغلق الدائرة

159
00:19:26,530 --> 00:19:32,490
فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول ان

160
00:19:32,490 --> 00:19:41,710
العبارة الأولى implies التانية بتقدي للتانية ف

161
00:19:41,710 --> 00:19:42,390
assume

162
00:19:45,130 --> 00:19:51,890
العبارة الأولى صحيحة وهو xm does not converge لx

163
00:19:54,980 --> 00:20:00,680
طيب ارجعوا لتعريف epsilon capital N definition of

164
00:20:00,680 --> 00:20:04,200
convergence ما معناه ان ال sequence xn converge ل

165
00:20:04,200 --> 00:20:08,560
x معناه لكل epsilon أكبر من السفر يوجد capital N

166
00:20:08,560 --> 00:20:12,280
يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي

167
00:20:12,280 --> 00:20:17,040
capital N المسافة بين xn و x أصغر من epsilonطب

168
00:20:17,040 --> 00:20:20,480
مايعنى x in لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا

169
00:20:20,480 --> 00:20:24,000
اللي حاكيناه بيحصل بدل لكل epsilon أكبر من الصفر

170
00:20:24,000 --> 00:20:29,780
يوجد capital N بصير يوجد epsilon واحدة epsilon

171
00:20:29,780 --> 00:20:41,960
zero عدد موجب بحيث such that بحيث انه لكل

172
00:20:43,760 --> 00:20:50,280
كبت أو n عدد طبيعي the implication

173
00:20:57,890 --> 00:21:00,870
ال implication تبع التعريف epsilon capital n ال

174
00:21:00,870 --> 00:21:06,070
implication اللي هي لكل n أكبر من أو ساوي capital

175
00:21:06,070 --> 00:21:13,970
K لازم يطلع المسافة بين xn و x أصغر من epsilon

176
00:21:13,970 --> 00:21:22,830
zero ال implication هذه is false is false ليست

177
00:21:22,830 --> 00:21:27,430
صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه

178
00:21:31,850 --> 00:21:41,490
this means هذا يعني this means أنه لكل capital K

179
00:21:41,490 --> 00:21:48,590
عدد طبيعي يوجد لكل

180
00:21:48,590 --> 00:21:54,630
K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلطمعناه يوجد لكل K عدد

181
00:21:54,630 --> 00:21:59,250
طبيعي capital K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر

182
00:21:59,250 --> 00:22:06,030
منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو ساوي يوجد عدد

183
00:22:06,030 --> 00:22:13,690
طبيعي سميه N أو R sub capital K يعتمد على K عدد

184
00:22:13,690 --> 00:22:17,750
طبيعي بحيث أنه

185
00:22:21,710 --> 00:22:27,850
بحيث أنه طبعا

186
00:22:27,850 --> 00:22:33,390
ال RK هذا هيكون

187
00:22:33,390 --> 00:22:41,190
أكبر من أو ساوي K and RK

188
00:22:41,190 --> 00:22:50,050
أكبر من أو ساوي K and absolute XN أو XRcapital k

189
00:22:50,050 --> 00:22:55,590
minus x أكبر من أو يساوي بدل أصغر من epsilon zero

190
00:22:55,590 --> 00:23:05,410
النفي تبعها أكبر من أو يساوي epsilon zero now

191
00:23:05,410 --> 00:23:09,610
replace

192
00:23:09,610 --> 00:23:18,450
badly replace capital k by small k

193
00:23:22,130 --> 00:23:25,970
to get الأبارع

194
00:23:25,970 --> 00:23:32,250
اتنين holes صح؟

195
00:23:32,250 --> 00:23:38,950
هاي بدلي كابتال K بsmall kفهنا أثبتنا أن يوجد يوجد

196
00:23:38,950 --> 00:23:46,350
εمسلون زيرو أكبر من سفر بحيث لكل لكل small k يوجد

197
00:23:46,350 --> 00:23:53,150
R small k أكبر من أو ساوي small k والمسافة بين X R

198
00:23:53,150 --> 00:23:56,750
small k minus X أكبر من أو ساوي امسلون زيرو

199
00:24:04,730 --> 00:24:14,690
الأن نثبت اتنين بيقدي لواحد لتلاتة اذا two implies

200
00:24:14,690 --> 00:24:18,530
three assume

201
00:24:18,530 --> 00:24:27,110
two holds افرضه ان العبارة التانية صحيحة بيبني

202
00:24:27,110 --> 00:24:30,690
نثبت ان العبارة التالتة صحيحة طيب؟

203
00:24:37,940 --> 00:24:48,160
then for k بساوي واحد يعني تم إلى n الان احنا

204
00:24:48,160 --> 00:24:53,320
فرضين اتنين العبارة اتنين صحيحة اذا احنا فرضين ان

205
00:24:53,320 --> 00:24:58,840
يوجد epsilon zero بحيث الكلام هذا بتحقق الان لو

206
00:24:58,840 --> 00:25:04,420
اخدت k هذه بساوي واحد فيوجد

207
00:25:06,750 --> 00:25:15,070
R1 عدد طبيعي وطبعا R1 بالتأكيد أكبر من أو ساوي

208
00:25:15,070 --> 00:25:24,510
واحد such that absolute X R1 سالب X أكبر من أو

209
00:25:24,510 --> 00:25:33,250
ساوي epsilon zero صح؟ next for

210
00:25:34,680 --> 00:25:45,900
ك بساوي R واحد زاد واحد مش

211
00:25:45,900 --> 00:25:51,380
هاد عدد طبيعي لو أخدت ك بساوي R واحد زاد واحد R

212
00:25:51,380 --> 00:25:58,020
واحد عدد طبيعي زاد واحد عدد طبيعي يوجد R اتنين عدد

213
00:25:58,020 --> 00:26:08,800
طبيعيو R اتنين اكبر من او يساوي R

214
00:26:08,800 --> 00:26:16,480
واحد زاد واحد such that absolute X R اتنين minus X

215
00:26:16,480 --> 00:26:24,960
اكبر من او يساوي epsilon zero صح طيب

216
00:26:24,960 --> 00:26:30,060
كمان برضه لو سمرنا في العملية هذه now

217
00:26:32,620 --> 00:26:40,620
for R اتنين زائد واحد مش هاد عدد طبيعي لو أخدت K

218
00:26:40,620 --> 00:26:46,440
لان بساوي اه لو أخدت K بساوي R اتنين زائد واحد هاد

219
00:26:46,440 --> 00:26:51,680
عدد طبيعي هنا اتنين اتنين لو أخدت K بساوي R اتنين

220
00:26:51,680 --> 00:27:01,160
زائد واحد اذا حسب اتنين يوجد R تلاتة عدد طبيعيوR

221
00:27:01,160 --> 00:27:06,280
تلاتة أكبر من أو ساوي ال K اللي هو R اتنين زائد

222
00:27:06,280 --> 00:27:13,360
واحد بحيث انه المسافة بين X R تلاتة minus X أكبر

223
00:27:13,360 --> 00:27:18,400
من أو ساوي epsilon zero طب لو استمرنا في العملية

224
00:27:18,400 --> 00:27:27,040
هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this

225
00:27:27,040 --> 00:27:27,860
process

226
00:27:32,720 --> 00:27:35,460
this process اللي هو سمرنا في العملية دي اللي

227
00:27:35,460 --> 00:27:49,200
عملية تطبيق العبارة التانية we obtain هنحصل على we

228
00:27:49,200 --> 00:27:54,960
obtain strictly strictly

229
00:27:54,960 --> 00:28:01,700
increasing increasing sequence

230
00:28:06,220 --> 00:28:13,140
RK من K بساوة واحد لإنفينتي هذه عبارة عن sequence

231
00:28:13,140 --> 00:28:20,620
of natural numbers in N such

232
00:28:20,620 --> 00:28:28,940
that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a

233
00:28:28,940 --> 00:28:33,600
subsequence XRK

234
00:28:34,700 --> 00:28:39,240
من k بساوي واحد في infinity هذه عبارة عن

235
00:28:39,240 --> 00:28:45,980
subsequence من ال sequence xn بحيث such that

236
00:28:45,980 --> 00:28:55,680
absolute xr k minus x أكبر من أو ساوي epsilon zero

237
00:28:55,680 --> 00:29:01,160
والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n

238
00:29:03,880 --> 00:29:10,500
هي في الخطوة الأولى حصلنا على R1 وبالتالي على XR1

239
00:29:10,500 --> 00:29:16,440
بحيث absolute XR1 minus X أكبر نوى ساوية X نزيلة

240
00:29:16,440 --> 00:29:23,010
في الخطوة التانية حصلنا على R2 وبالتالي XR2لاحظوا

241
00:29:23,010 --> 00:29:30,030
R2 أكبر من R1 وR3 أكبر من R2، إذن هذه sequence of

242
00:29:30,030 --> 00:29:33,830
natural numbers strictly increasing، إذن ال

243
00:29:33,830 --> 00:29:39,030
sequence، المؤشرات تبعتها هي الأعداد الطبيعية، هذه

244
00:29:39,030 --> 00:29:44,110
subsequence حسب التعريف من sequence Xوبتحقق في

245
00:29:44,110 --> 00:29:49,510
الخطوة التانية absolute XR2-X أكبر من أو ساوي Y0

246
00:29:49,510 --> 00:29:55,590
خطوة التالتة لما K بساوي تلاتة هي absolute XR3-X

247
00:29:55,590 --> 00:29:59,510
أكبر من أو ساوي Y0 وهكذا إذن هنا عملنا

248
00:29:59,510 --> 00:30:04,470
construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي

249
00:30:04,470 --> 00:30:09,650
subsequence هذه من ال sequence XN بطريقة استقرائية

250
00:30:10,920 --> 00:30:15,420
و هذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه

251
00:30:15,420 --> 00:30:21,800
بالضبط العبارة تلاتة اذا three العبارة تلاتة whole

252
00:30:21,800 --> 00:30:24,960
تمام؟

253
00:30:24,960 --> 00:30:30,460
إذا هيك أثبتنا أن اتنين يعدي إلى تلاتة باقي أثبات

254
00:30:30,460 --> 00:30:36,400
أن العبارة تلاتة تعني واحدة

255
00:30:39,780 --> 00:30:48,460
ف assume .. assume العبارة تلاتة صحيحة يعني يوجد

256
00:30:48,460 --> 00:30:57,260
epsilon zero أكبر من صفر and a subsequence xrk

257
00:30:57,260 --> 00:31:10,090
of a sequence x in such thatabsolute xrk minus x

258
00:31:10,090 --> 00:31:18,510
أكبر من أو ساوي y0 لكل k طيب

259
00:31:18,510 --> 00:31:29,170
هذا معناه أو هذا بيقدّي ان xrk

260
00:31:29,170 --> 00:31:43,760
او xrn او xrkلا تنتمي لـ X-Y0 X زاد Y0 لا تنتمي

261
00:31:43,760 --> 00:31:45,220
للفترة المفتوحة هذه

262
00:31:49,030 --> 00:31:53,890
اللي هو هذه الفترة المفتوحة سمناها قبل هيك ابسلون

263
00:31:53,890 --> 00:31:59,670
زيرو neighborhood ل X صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها X

264
00:31:59,670 --> 00:32:04,330
و نص قطرها ابسلون زيرو المتباينة هذه بتقول إن هذا

265
00:32:04,330 --> 00:32:10,470
الكلام لكل K لكل K لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه

266
00:32:10,470 --> 00:32:14,990
في X بيطلع في X لو حلت المتباينة هذه في XRK بيطلع

267
00:32:14,990 --> 00:32:23,320
XRK لا ينتميلأ الفترة مفتوحة وبالتالي

268
00:32:23,320 --> 00:32:27,460
hence by

269
00:32:27,460 --> 00:32:37,860
definition by ال neighborhood definition of

270
00:32:37,860 --> 00:32:41,740
limit

271
00:32:44,750 --> 00:32:49,850
فاكرين احنا اخدنا تعريف ال limit لل sequence اول

272
00:32:49,850 --> 00:32:53,190
تعريف كان neighborhood definition و بعدين اثبتنا

273
00:32:53,190 --> 00:32:58,470
انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال epsilon

274
00:32:58,470 --> 00:33:01,010
capital N definition لل limit

275
00:33:10,150 --> 00:33:15,910
X in converge ل X X in converge ل X معناه لأي

276
00:33:15,910 --> 00:33:21,390
neighborhood ل X زي هذا لازم

277
00:33:21,390 --> 00:33:29,210
عشان

278
00:33:29,210 --> 00:33:32,550
ال subsequence هذه converge ل X لازم أي

279
00:33:32,550 --> 00:33:37,180
neighborhood ل X يحتويكل حدود الـ sequence من

280
00:33:37,180 --> 00:33:41,660
كابتل N وانت طالع أو من كابتل K وانت طالع لكل

281
00:33:41,660 --> 00:33:46,920
small k أكبر من أو ساوي كابتل K هذا لازم يكون صحيح

282
00:33:46,920 --> 00:33:50,260
لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there

283
00:33:50,260 --> 00:33:55,740
exists epsilon zero neighborhood ل X وكل حدود ال

284
00:33:55,740 --> 00:34:02,770
subsequence مش موجودة فيههذا بالظبط نفي تعريف الـ

285
00:34:02,770 --> 00:34:05,230
neighborhood definition للـ convergence وبالتالي

286
00:34:05,230 --> 00:34:09,350
هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن

287
00:34:09,350 --> 00:34:15,550
الـ subsequence هذه does not converge ل Xطب احنا

288
00:34:15,550 --> 00:34:19,970
عايزين نثبت عشان نثبت ان العبارة واحد صحيحة عايزين

289
00:34:19,970 --> 00:34:23,810
نثبت ان ال sequence نفسها مش ال subsequence ال

290
00:34:23,810 --> 00:34:27,650
sequence نفسها does not converge لأكس اذا انا بدي

291
00:34:27,650 --> 00:34:38,290
اكتب هنا claim لبرهان

292
00:34:38,290 --> 00:34:46,830
العبارة الأولى باقي اثبات ال claimوهو ان ال

293
00:34:46,830 --> 00:34:55,150
sequence x in نفسها does not converge ل x فنشوف

294
00:34:55,150 --> 00:35:01,370
مع بعض assume بورهان بالتناقض assume on contrary

295
00:35:01,370 --> 00:35:05,230
ان

296
00:35:05,230 --> 00:35:10,990
ال sequence x in converge ل x okay بورهان بالتناقض

297
00:35:10,990 --> 00:35:22,050
افرض ان ال sequence converge ل xby a theorem اتنين

298
00:35:22,050 --> 00:35:32,850
ستاش the subsequence the subsequence اللي هي X R K

299
00:35:32,850 --> 00:35:37,490
ال subsequence مش هاد ال subsequence هاد المفروض

300
00:35:37,490 --> 00:35:44,020
تطلع convergent ل X وهدا ده ديني contradictionلأن

301
00:35:44,020 --> 00:35:47,260
أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not

302
00:35:47,260 --> 00:35:53,060
converge ل X إذا في عندي تناقض التناقض هذا سببه أن

303
00:35:53,060 --> 00:35:58,680
احنا فرضنا أن X in converge ل X إذا بطلع عندي X in

304
00:35:58,680 --> 00:36:04,200
does not converge ل X وبالتالي إذا one holds إذا

305
00:36:04,200 --> 00:36:10,120
one holdsوبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية

306
00:36:10,120 --> 00:36:15,580
okay تمام اذا هيك اثبتنا ان التلاتة بيعد لواحد

307
00:36:15,580 --> 00:36:20,560
وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة احنا بهمنا

308
00:36:20,560 --> 00:36:26,140
في التطبيق اللي هو الجزء الأخير يعني عشان انا اثبت

309
00:36:27,620 --> 00:36:32,400
إنه sequence معينة does not converge to any real

310
00:36:32,400 --> 00:36:36,360
number X يكفي

311
00:36:36,360 --> 00:36:42,920
اثبات أن يوجد Y0 يوجد subsequence بحيث أن المسافة

312
00:36:42,920 --> 00:36:47,780
دي أكبر من أو ساوى Y0 لكل M هنشوف الكلام هذا في

313
00:36:47,780 --> 00:36:58,230
أمثلة لاحقة لكن خلينا بس ناخد مثالعلى النظرية هذه

314
00:36:58,230 --> 00:37:15,210
إذا

315
00:37:15,210 --> 00:37:23,470
ناخد examples هاي

316
00:37:23,470 --> 00:37:24,410
مثال واحد

317
00:37:28,440 --> 00:37:32,300
الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus

318
00:37:32,300 --> 00:37:40,560
n is divergent طبعا

319
00:37:40,560 --> 00:37:43,620
احنا اثبتنا قبل هيك ان ال sequence هي divergent

320
00:37:43,620 --> 00:37:47,640
عملنا proof by contradiction فرضنا ان انا

321
00:37:47,640 --> 00:37:55,040
convergent ووصلنا إلى تناقض صح اليوم هناخد برهان

322
00:37:55,040 --> 00:38:04,780
تانيباستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية يعني نشوف

323
00:38:04,780 --> 00:38:12,820
مع بعض prove if

324
00:38:12,820 --> 00:38:25,060
it were convergent say

325
00:38:30,030 --> 00:38:38,350
-1-N converges to X ينتمي إلى R لو فرضنا إن

326
00:38:38,350 --> 00:38:44,970
سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent بورحان

327
00:38:44,970 --> 00:38:51,350
بالتناقض لو فرضنا إنها convergent to some X إذا

328
00:38:51,350 --> 00:38:56,570
كانت convergent إن اسمها لمات then

329
00:39:00,730 --> 00:39:07,130
الـ sub sequences اللي

330
00:39:07,130 --> 00:39:18,390
هم سالب واحد أس اتنين in and سالب واحد أس اتنين in

331
00:39:18,390 --> 00:39:25,470
سالب واحدهذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من

332
00:39:25,470 --> 00:39:31,150
هنا و هذه الحدود الفردية إذا كانت ال sequence

333
00:39:31,150 --> 00:39:36,430
نفسها converged ل X فالتنتين هذول both converged ل

334
00:39:36,430 --> 00:39:45,110
X و

335
00:39:45,110 --> 00:39:48,670
بالتالي so X

336
00:39:51,100 --> 00:40:00,080
بتساوي limit سالب واحد قص اتنين in صح؟ وهذه بساوي

337
00:40:00,080 --> 00:40:06,400
limit سالب واحد قص اتنين in واحد ال sequence هذه

338
00:40:06,400 --> 00:40:15,620
ثابت واحد بساوي واحد صح؟ and برضه احنا قلنا ان ال

339
00:40:15,620 --> 00:40:23,400
Xبتساوي limit ال subsequence للحدود الفردية اللي

340
00:40:23,400 --> 00:40:28,580
هي هذه طيب

341
00:40:28,580 --> 00:40:36,140
سالب واحد قص عدد فردي بطلع سالب واحد إذن هذه ال

342
00:40:36,140 --> 00:40:41,760
sequence حدودها فردية إذن هي عبارة عن sequence

343
00:40:41,760 --> 00:40:50,260
ثابت سالب واحد وبالتالي limit لثابت بطلع ثابتإذا

344
00:40:50,260 --> 00:40:56,180
أنا أطلع عندي واحد بساوي x من المعادلة الأولى

345
00:40:56,180 --> 00:41:01,120
وكذلك ال x بساوي سالب واحد يعني معناه واحد بساوي

346
00:41:01,120 --> 00:41:10,130
سالب واحد وهذا contradictionتمام؟ إذا مستحيل أن ال

347
00:41:10,130 --> 00:41:13,510
sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون

348
00:41:13,510 --> 00:41:21,050
divergent okay تمام؟ إذا هنا كلمة where الدلالة

349
00:41:21,050 --> 00:41:26,470
على الاستحالة كان ممكن اسمها ال sequence هذه مفرد

350
00:41:26,470 --> 00:41:32,400
واحدةمفروض اقول if it was convergent لكن انا عارف

351
00:41:32,400 --> 00:41:35,400
انه مستحيل انها تكون convergent فلدلالة على

352
00:41:35,400 --> 00:41:41,880
استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I

353
00:41:41,880 --> 00:41:47,140
was a king لكن انا مش king okay تمام؟ اذا بنوقف

354
00:41:47,140 --> 00:41:50,880
عند هذا المثال المحاضرة هي انتهت و بنكمل ان شاء

355
00:41:50,880 --> 00:41:51,720
الله سبوع جديد