1
00:00:21,090 --> 00:00:25,950
أحنا واصلون ما بدأنا فيه المرة الماضية وهو حل اللي

2
00:00:25,950 --> 00:00:30,570
هو المسائل على شبتر ثمانية الاكستاناداركت برودرك

3
00:00:30,570 --> 00:00:35,110
وصلنا لسؤال واحد وأربعين بقول express automorphism

4
00:00:35,110 --> 00:00:40,070
لـ U خمسة وعشرين in the form ZM اكستاناداركت برودرك

5
00:00:40,070 --> 00:00:41,390
مع ZN

6
00:00:43,960 --> 00:00:48,680
بمعنى آخر بدي أجيب جروب لجروب هذه تبقى isomorphic

7
00:00:48,680 --> 00:00:54,060
لمام لـ U خمسة وعشرين طب احنا عندنا الـ U خمسة

8
00:00:54,060 --> 00:00:59,680
وعشرين solution عندنا

9
00:00:59,680 --> 00:01:07,500
الـ U خمسة وعشرين اللي هو U خمسة لكل تربيع الشكل

10
00:01:07,500 --> 00:01:16,670
اللي عندنا هذه isomorphic أو ال atomorphism لـ U

11
00:01:16,670 --> 00:01:23,730
خمسة وعشرين هذه تساوي U خمسة تربيع مباشرة طبعاً

12
00:01:23,730 --> 00:01:32,770
أخذت عندك أن الـ U مرفوعة لـ prime P ومرفوعة لأس N

13
00:01:32,770 --> 00:01:39,550
U P أس N ناقص P أس N minus ال one كتبناها معكم

14
00:01:39,550 --> 00:01:45,390
المرة الماضية في آخر محاضرة تجدها موجودة معك نحاول

15
00:01:45,390 --> 00:01:50,950
نطبق هذا الكلام عالمياً على أرض الواقع يبقى بناء

16
00:01:50,950 --> 00:01:55,330
عليه يو خمسة وعشرين كتبناها بالشكل هذه بقدر أقول

17
00:01:55,330 --> 00:01:58,070
هذه isomorphic لمين؟

18
00:02:02,510 --> 00:02:09,870
Isomorphic لزد P اللي هي خمسة تربيع ناقص خمسة أس

19
00:02:09,870 --> 00:02:14,390
اثنين ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا

20
00:02:14,390 --> 00:02:19,790
الكلام هذه تساوي من خمسة ترابيع ليه خمسة وعشرين

21
00:02:19,790 --> 00:02:27,090
وهذه خمسة وسواحد يبقى زد عشرين شكل اللي عندنا هنا

22
00:02:27,090 --> 00:02:31,710
هذا U خمسة وعشرين أنا ما بدي U خمسة وعشرين بدي 

23
00:02:31,710 --> 00:02:38,540
اتومورفزم لـ U خمسة وعشرين إذا بناء عليه atomorphism

24
00:02:38,540 --> 00:02:47,580
لـ U خمسة وعشرين اللي هي isomorphic لمهم اللي هو

25
00:02:47,580 --> 00:02:54,750
atomorphism لـ Z عشرين الشكل اللي عندنا هنا أخذنا

26
00:02:54,750 --> 00:03:03,470
كمان نظرية سابقة اتومورفزم لـ ZN ايزو مورفك لـ UN

27
00:03:03,470 --> 00:03:10,830
شبطر اللي قبله آخر نظرية يبقى هذا ايزو مورفك لـ U20

28
00:03:11,920 --> 00:03:19,120
U20 هذه اللي بقدر أكتبها اللي هي تساوي U أربعة في

29
00:03:19,120 --> 00:03:25,440
خمسة والاربعة خمسة are relatively prime يبقى هذه

30
00:03:25,440 --> 00:03:34,070
isomorphic لمين؟ للي هو isomorphic أو هدى تساوي

31
00:03:34,070 --> 00:03:39,990
أو isomorphic دُغري لمهم لـ U أربعة external

32
00:03:39,990 --> 00:03:49,530
product مع U خمسة مرة ثانية لـ U أربعة هدى U اثنين

33
00:03:49,530 --> 00:03:58,130
تربيعهذه أخذناها ايزو مورفك لمين؟ لزد دي اثنين وهذه

34
00:03:58,130 --> 00:04:03,170
بتطبق عليها القاعدة اللي طبقناها فوق تماماً يبقى

35
00:04:03,170 --> 00:04:10,730
بالداجي أقول هذا زد خمسة أس واحد ناقص خمسة أس واحد

36
00:04:10,730 --> 00:04:17,180
ناقص واحدهذا الكلام يساوي زد اثنين external by

37
00:04:17,180 --> 00:04:22,880
product هذه خمسة وهذه خمسة وصفر خمسة وصفر أبواحد

38
00:04:22,880 --> 00:04:29,420
خمسة ناقص واحد اللي هي أربعة زد أربعة زد أربعة اه

39
00:04:29,420 --> 00:04:35,300
زد أربعة يبقى هذه زد أربعة معناه هذا الكلام أن ال

40
00:04:35,300 --> 00:04:41,050
atomorphism ليه خمسة وعشرين isomorphic لمهم لزد

41
00:04:41,050 --> 00:04:45,490
اثنين external product زد أربعة وبالتالي عندي

42
00:04:45,490 --> 00:04:50,030
ثمانية atomorphism من الـ U خمسة وعشرين إلى الـ U

43
00:04:50,030 --> 00:04:54,910
خمسة وعشرين اتسل بغض النظر عن شكلهم قال لي اكتبلي

44
00:04:54,910 --> 00:05:01,170
ال atomorphism لـ U خمسة وعشرين على شكل ZM في ZN

45
00:05:01,170 --> 00:05:05,310
يبقى هي كتبتله بالشكل هذا باستخدام القواعد اللي

46
00:05:05,310 --> 00:05:08,130
أخذناها المرة الماضية

47
00:05:10,010 --> 00:05:20,890
بعدها بيقول ليه في 46 يبقى 46 بيقول ما يأتي بيقول

48
00:05:20,890 --> 00:05:28,510
هاتلي isomorphism بدنا isomorphism من وين لوين؟ في

49
00:05:28,510 --> 00:05:34,770
من اللي هو ال group Z12 إلى مين؟

50
00:05:37,910 --> 00:05:46,330
السؤال ستة أربع يقول ز أربع في ز ثلاثة يبقى ز أربع

51
00:05:46,330 --> 00:05:52,270
كستينو دايكا product مع ز ثلاثة مع ز ثلاثة بقول

52
00:05:52,270 --> 00:05:56,740
عرف ليه اللي هو isomorphism من ال group هذه لل

53
00:05:56,740 --> 00:06:01,240
group هذه أنا بعطيك ال function وانت عليك تثبت

54
00:06:01,240 --> 00:06:05,620
أنها one to one and انت وتخدم خاصيات ال

55
00:06:05,620 --> 00:06:08,680
isomorphism ال function اللي بتقول عليها شبه

56
00:06:08,680 --> 00:06:14,630
بالشكل التالي phi of x يبقى x وين موجودة هذه؟ في

57
00:06:14,630 --> 00:06:19,810
Z12 بدي أجسمها إلى مركبتين واحدة موجودة في Z4

58
00:06:19,810 --> 00:06:25,390
واحدة موجودة في Z3 يبقى بقدر أقول له هذه على الشكل

59
00:06:25,390 --> 00:06:33,210
التالي طبعاً العدد اللي هنا في Z12 اللي هو مين؟ اللي

60
00:06:33,210 --> 00:06:38,470
هو العدد قد يكون من عند ال zero لغاية من ال 11

61
00:06:38,470 --> 00:06:44,350
وهكذا إذا بدى أخلي مركبة موجودة في Z4 ومركبة

62
00:06:44,350 --> 00:06:51,030
موجودة في Z3 إذا بقدر أقول هذا X modulo 4 و

63
00:06:51,030 --> 00:06:57,070
المركبة الثانية X modulo 3 يعني العدد اللي باخده

64
00:06:57,070 --> 00:07:04,230
من Z12 أكبر من 4 ولا أكبر من 3 افترض كان 2 يبقى

65
00:07:04,230 --> 00:07:07,830
باجي بقول فاي اف اثنين يسوى اثنين موديوله أربعة

66
00:07:07,830 --> 00:07:11,130
اللي هو باثنين واثنين موديوله ثلاثة اللي هو

67
00:07:11,130 --> 00:07:16,510
باثنين لكن لو قلت له خمسة فاي خمسة بدي يكون هنا

68
00:07:16,510 --> 00:07:20,370
واحد وهنا كداش وهنا اثنين وهكذا يبقى هاي

69
00:07:20,370 --> 00:07:23,490
المقصودة هاي ال function قدامك بس تبتليها one to

70
00:07:23,490 --> 00:07:30,670
one and on to وتخدم خاصية ال isomorphism هذا قال له

71
00:07:30,670 --> 00:07:35,210
ستة وأربعين ثمانية وأربعين بيقولوا show that five

72
00:07:35,210 --> 00:07:42,310
is an isomorphism

73
00:07:42,310 --> 00:07:48,650
من زد ثلاثة cross زد خمسة لزد خمسة عشر يبقى ثمانية

74
00:07:48,650 --> 00:07:59,630
وأربعين أن في من من زد ثلاثة external product مع

75
00:07:59,630 --> 00:08:07,090
مين؟ مع z خمسة لمن؟ ل z خمسة عشر بالشكل اللي عندنا

76
00:08:07,090 --> 00:08:14,410
هذا z خمسة عشر و بحيث أنه ال five of اثنين وثلاثة

77
00:08:14,410 --> 00:08:20,370
بده يسوى اثنين بقول find an element a و b في هذا

78
00:08:20,370 --> 00:08:26,050
بحيث ال maps to one يبقى أنا بدي أوجد اللي هو

79
00:08:26,050 --> 00:08:31,950
element a و b صورته main صورته الواحد أو five of a

80
00:08:31,950 --> 00:08:36,570
و b اللي بتعطينا main بتعطينا الواحد

81
00:08:41,470 --> 00:08:46,970
سؤال مرة ثانية في أنا isomorphism ال isomorphism

82
00:08:46,970 --> 00:08:55,090
من ال group z3 external to z5 إلى z15 وفي أنا معطع

83
00:08:55,090 --> 00:08:58,810
أن فيلم اتأثر على الاثنين والثلاثة النتيجة تساوي

84
00:08:58,810 --> 00:09:05,390
اثنين جليهات للعنصر a وb لصورته من؟ لصورته الواحد

85
00:09:05,390 --> 00:09:09,190
الصحيح حد فيكو حل هذا السؤال؟

86
00:09:12,670 --> 00:09:19,130
اه يعني مدن امتحانات مش داعي للحل كويس طيب على أي

87
00:09:19,130 --> 00:09:24,310
حال أنا مرة حلتلكوا سؤال شبيه بهذا في اللي قبل لما

88
00:09:24,310 --> 00:09:28,110
أخذنا ال isomorphism حلتلكوا سؤال شبيه به بس هذا

89
00:09:28,110 --> 00:09:33,060
الفرق بينه وبين هذا هذا مكون من مين؟ من order pair

90
00:09:33,060 --> 00:09:36,880
order pair والله مش order pair بتفرجش عنها شوف يا

91
00:09:36,880 --> 00:09:41,180
سيدي أنا بدي العنصر a و b اللي صورته تحت أثير الفا

92
00:09:41,180 --> 00:09:47,540
يساوي واحد هناك كان بدي شكل ال isomorphism عبارة

93
00:09:47,540 --> 00:09:51,440
عن إيش؟ كان في السؤال اللي جابله لكن هذا لأ بدي ال

94
00:09:51,440 --> 00:09:57,040
order a و b اللي صورته تساوي مين؟ تساوي واحد صحيح

95
00:09:57,460 --> 00:10:02,300
بقول كويس بحاول استخدام المعلومة هذه بقدر الإمكان

96
00:10:02,300 --> 00:10:08,820
ولذلك بحاول أجيب المعطى هذا اللي هو واحد في الصورة

97
00:10:08,820 --> 00:10:12,920
اللي قدامي هنا يعني بدي أجيب علاقة تربط بين الواحد

98
00:10:12,920 --> 00:10:18,140
واثنين اللي عندنا حتى نقدر نحسب كم هذا ال element

99
00:10:18,140 --> 00:10:24,930
الآن لو جيت واحد الواحد هذا موجود في أي group فنيات

100
00:10:24,930 --> 00:10:31,430
زد خمسة عشر هل هذا الواحد يكافئ رقم ثاني اللي هو

101
00:10:31,430 --> 00:10:37,490
مين؟ خمسة عشر ممتاز يعني الواحد هذا بالضبط هو عبارة عن

102
00:10:37,490 --> 00:10:45,610
خمسة عشر modulo خمسة عشر تمام الـ خمسة عشر مش هي عبارة عن

103
00:10:45,610 --> 00:10:53,640
ثمانية في اثنين modulo خمسة عشر تمام طب اثنين مديله

104
00:10:53,640 --> 00:10:58,380
خمسة عشر ما هو اثنين صح ولا لأ؟ يبقى اثنين اللي عندي

105
00:10:58,380 --> 00:11:02,580
هذه بقدر أشيلها وأكثر بدلها في أو في اثنين و

106
00:11:02,580 --> 00:11:08,740
ثلاثة يبقى هذا الكلام بدي يساوي ثمانية في في أو في

107
00:11:08,740 --> 00:11:16,810
اثنين وثلاثة كأن المثل إيش؟ كأنه ثمانية أنا هدم

108
00:11:16,810 --> 00:11:21,250
طلعها من جوا الجوس وطلعها مين؟ برا وزي ما كنا نقول

109
00:11:21,250 --> 00:11:27,190
Alpha of خمسة يسوى خمسة في Alpha of واحد تمام هنا

110
00:11:27,190 --> 00:11:31,850
نفس الفكرة بالضبط تماماً كأنه ثمانية كانت جوا وأنا

111
00:11:31,850 --> 00:11:36,310
طلعتها برا إذا بدأ دخلتها جوا يبقى لو دخلتها جوا

112
00:11:36,310 --> 00:11:41,710
هضربها وين؟ في كل عنصر من هذه العناصر بس اثنين هذه

113
00:11:41,710 --> 00:11:47,790
موجودة وين؟ في زد ثلاثة والثلاثة هذه موجودة في زد

114
00:11:47,790 --> 00:11:51,730
خمسة إذا عند الضرب بدك تترعي من؟ بدك تترعي

115
00:11:51,730 --> 00:11:57,430
النتيجة إذا هذا الكلام بده يساوي بده يساوي five

116
00:11:57,430 --> 00:12:04,190
ثمانية في اثنين modulo الأولى اللي هي ثلاثة

117
00:12:04,190 --> 00:12:11,000
والمركبة الثانية ثمانية في ثلاثة modulo خمسة هذا

118
00:12:11,000 --> 00:12:16,680
الكلام بده يسوى five ثمانية في اثنين بستعش مضيله

119
00:12:16,680 --> 00:12:22,800
ثلاثة بيبقى واحد يبقى واحد وثلاثة في ثمانية أربعة

120
00:12:22,800 --> 00:12:28,320
وعشرين مضيله خمسة اللي هو أربعة يبقى الواحد اللي

121
00:12:28,320 --> 00:12:33,520
عندي هو صورة ال order per man واحد وأربعة هذا

122
00:12:33,520 --> 00:12:40,200
معناه أن ال a وال b بده يسوى جداش واحد وأربعة

123
00:12:45,820 --> 00:12:52,020
طيب هذا كان سؤال اللي هو ثمانية وأربعين بدنا نروح

124
00:12:52,020 --> 00:12:57,840
لسؤال ثمانية وخمسين ثمانية وخمسين بيقول لي without

125
00:12:57,840 --> 00:13:02,100
doing any calculations in atomorphism Z عشرين 

126
00:13:02,100 --> 00:13:07,940
determine how many elements of automorphism Z عشرين

127
00:13:07,940 --> 00:13:16,560
ال order لهم يساوي أربعة بدي سؤال ثمانية و خمسين

128
00:13:16,560 --> 00:13:31,780
the number of elements of order four in automorphism

129
00:13:31,780 --> 00:13:33,640
لزاد عشرين

130
00:13:40,950 --> 00:13:46,130
بقول اجيبلي كام عنصر في الاتومورفزم لزد عشرين ال

131
00:13:46,130 --> 00:13:51,070
order اللي لهم يساوي أربعة بدونها بدون ما اروح

132
00:13:51,070 --> 00:13:56,330
أبحث في شكل الاتومورفزم هدول بدك تعرفلي كده بدون

133
00:13:56,330 --> 00:14:01,850
ما تعرفلي شكل ولا function بقوله كويس يبقى solution

134
00:14:01,850 --> 00:14:07,150
يبقى معنى هذا الكلام أنا بدي استخدم أي شغلة لها

135
00:14:07,150 --> 00:14:11,470
علاقة بال automorphism ل Z عشرين احنا عندنا ال

136
00:14:11,470 --> 00:14:16,790
automorphism ل Z عشرين ايزو مورفك لمين يا شباب؟ ل ال

137
00:14:16,790 --> 00:14:23,750
U عشرين ممتاز و ال U عشرين هذه اللي هي U اللي هي

138
00:14:23,750 --> 00:14:31,010
عبارة عن U أربعة في خمسة والاربعة في الخمسة are

139
00:14:31,010 --> 00:14:35,870
relatively prime مدام relatively prime يبقى هذه

140
00:14:35,870 --> 00:14:47,070
isomorphic لمان ل U4 external product مع U5 ال U4

141
00:14:47,070 --> 00:14:54,570
هذه اللي هي isomorphic لمان ل Z2 external product

142
00:14:54,570 --> 00:14:56,230
مع U5

143
00:15:00,200 --> 00:15:05,120
عشان أضيع وقت فيها يبقى isomorphic لزد أربعة إذا

144
00:15:05,120 --> 00:15:11,720
عندي ثمانية اتومورفزم لمان لزد عشرين بدي ادور من

145
00:15:11,720 --> 00:15:17,440
الثمانية هدول يبقى ما ينطبق على الاتومورفزم لزد

146
00:15:17,440 --> 00:15:23,540
عشرين ينطبق على الاتومورفزم لمان لزد اثنين × تان

147
00:15:23,540 --> 00:15:28,120
ضرب product مع مين؟ مع زد أربعة معناه هذا الكلام

148
00:15:28,120 --> 00:15:34,060
مدام هذه ايزو مورفك لهذه إذا لو لجيت جدّيش عدد

149
00:15:34,060 --> 00:15:38,300
العناصر في ال group هذه لل order إلهم يساوي أربعة

150
00:15:38,300 --> 00:15:42,340
بكون جبت عدد ال automorphisms اللي ال order إلهم

151
00:15:42,340 --> 00:15:48,060
يساوي مين؟ أربعة يعني هذه صعب العمل فيها لكن هذه

152
00:15:48,060 --> 00:15:54,020
سهل العمل فيها ومن هنا التحويلات هذه بتنقلنا من

153
00:15:54,020 --> 00:15:59,480
جروب صعب التعامل معاها إلى جروب سهل التعامل معاها

154
00:16:01,670 --> 00:16:05,970
أنا بدي أبحث عن العناصر اللي في Z2 Extended

155
00:16:05,970 --> 00:16:11,390
Product كده عددهم ال order لهم بده يساوي من؟ بده

156
00:16:11,390 --> 00:16:16,970
يساوي الأربعة يبقى بداتي أقول له assume افترض انه

157
00:16:16,970 --> 00:16:23,250
عندي element a و b موجود في Z2 Extended Product مع

158
00:16:23,250 --> 00:16:31,480
Z4 such that بحيث ان الأردر لـ A و لـ B اللي هو

159
00:16:31,480 --> 00:16:36,660
لساوي ال least common multiple للأردر بتابع ال A

160
00:16:36,660 --> 00:16:41,340
والأردر بتابع ال B هذا الكلام دي يساوي كده؟ دي يساوي

161
00:16:41,340 --> 00:16:45,220
أربعة الأردر

162
00:16:45,220 --> 00:16:56,900
المحتملة ال orders of A are مين يا شباب؟ كده؟ واحد

163
00:16:56,900 --> 00:17:02,030
و كده؟ واحد واثنين هذه الـ elements بتاع الـ z

164
00:17:02,030 --> 00:17:05,630
اثنين Zero و واحد Zero هو ال identity ال order له

165
00:17:05,630 --> 00:17:09,230
بواحد و الواحد له ال order اثنين اللي لو جمعت واحد

166
00:17:09,230 --> 00:17:11,830
زي واحد يساوي اثنين فزي اثنين ب Zero اللي هو ال

167
00:17:11,830 --> 00:17:16,090
identity يبقى ال orders المحتملة اللي هي واحد و

168
00:17:16,090 --> 00:17:28,660
اثنين and ال orders of B are ممكن واحد واثنين وأربعة

169
00:17:28,660 --> 00:17:32,760
تمام تلاتة مافيش حاجة لإن التلاتة لا تقسم الأربع

170
00:17:32,760 --> 00:17:36,740
يبقى اما ال order اي واحد أو اثنين أو أربع طيب

171
00:17:36,740 --> 00:17:40,140
هدول الرقمين لو بدي اجيب ال least common multiple

172
00:17:40,140 --> 00:17:45,620
مع هدول بشكلولي مشكلة؟ لأ واحد اثنين هي واحد و

173
00:17:45,620 --> 00:17:49,900
اثنين إذا هدول بدون تفكير بدي اخد الانصارين زي ما

174
00:17:49,900 --> 00:17:55,280
هم لكن بدي ادور هنا الارقام اللي بتعملي ال least

175
00:17:55,280 --> 00:17:58,920
common multiple مع مين؟ مع هدول بيعطيني أربعة

176
00:17:58,920 --> 00:18:03,180
السؤال هو لو كان خدت العناصر ال order اللي لهم

177
00:18:03,180 --> 00:18:08,020
واحد و اثنين بيجيبولي عناصر يبقى مفيش insert يبقى

178
00:18:08,020 --> 00:18:12,980
مفيش اخد الا اللي ال order له يساوي مان أربعة فقط و

179
00:18:12,980 --> 00:18:16,760
هدول بدي أخدهم هم اثنين زي ما هم كويس هدول شوف

180
00:18:16,760 --> 00:18:20,860
هدول بيعطوني تبدل تان أو بيعطوني اثنين على طول

181
00:18:20,860 --> 00:18:27,940
الخط و هدول تعالى نشوف ايش بدي نعمل فيهم الآن z

182
00:18:27,940 --> 00:18:34,100
four هذا كم عنصر ال order اللي بيساوي أربعة في z

183
00:18:34,100 --> 00:18:43,270
four و مين كمان؟ والتلاتة مفيش غيرهم مفيش غيرهم يبقى

184
00:18:43,270 --> 00:18:51,870
ال Z for has واحد and تلاتة of order أربع يعني كام

185
00:18:51,870 --> 00:18:58,170
خيار عندي؟ اثنين يبقى ال A لها خيارات two choices

186
00:18:58,170 --> 00:19:06,930
for A for B هذا بدي يعطينا two choices for B طيب كام

187
00:19:06,930 --> 00:19:10,530
بقى كام خيار لإيه؟ خد زي ما بدك لإن order واحد

188
00:19:10,530 --> 00:19:14,990
واتنين بيفرجوش معايا مع الأربع يبقى هنا كمان two

189
00:19:14,990 --> 00:19:24,550
choices for b إذن عدد العدد تبعهم يساوي يبقى هنا

190
00:19:24,550 --> 00:19:35,450
the number of elements of order for

191
00:19:37,350 --> 00:19:44,950
is اثنين في اثنين ويساوي أربعة elements يبقى

192
00:19:44,950 --> 00:19:49,650
ماعنديش إلا أربعة عناصر ال order لهم يساوي four

193
00:19:49,650 --> 00:19:54,110
وبالتالي ال automorphism لزد عشرين يوجد فيه جدّاش

194
00:19:54,110 --> 00:19:59,690
يبقى أربعة عناصر ال order لها بده يساوي مان؟ بده

195
00:19:59,690 --> 00:20:05,310
يساوي عشرين تمام يبقى هذا اللي عندنا

196
00:20:12,060 --> 00:20:17,500
لاحظ أن هذه الأسئلة كلها تطبيق مباشر على ما درسناه

197
00:20:17,500 --> 00:20:23,240
في الجزء النظري في آخر محاضرة في هذا section الآن

198
00:20:23,240 --> 00:20:30,840
ننتقل إلى الشابتر الذي يليه وهو شابتر تسعة تسعة

199
00:20:30,840 --> 00:20:37,300
normal subgroups

200
00:20:37,300 --> 00:20:40,680
and factor

201
00:20:44,630 --> 00:20:49,990
and factor groups

202
00:20:49,990 --> 00:20:56,610
definition

203
00:20:56,610 --> 00:21:01,010
a

204
00:21:01,010 --> 00:21:05,670
subgroup H

205
00:21:05,670 --> 00:21:13,250
of a group G is called

206
00:21:16,320 --> 00:21:29,000
is called a normal is called a normal subgroup of

207
00:21:29,000 --> 00:21:40,680
g subgroup of g f ال a h بده يساوي ال h a لكل

208
00:21:40,680 --> 00:21:50,920
ال a اللي موجودة في g b لا استخدام we denote this

209
00:21:50,920 --> 00:22:02,720
by ال H is a normal subgroup of G note

210
00:22:02,720 --> 00:22:05,880
ال

211
00:22:05,880 --> 00:22:11,680
A H دي ساوي ال H A does not

212
00:22:15,740 --> 00:22:21,240
imply that ان

213
00:22:21,240 --> 00:22:36,120
ال a h بدر يساوي ال h a but means that ان ال a h

214
00:22:36,120 --> 00:22:41,700
one بدر يساوي ال h two a

215
00:22:44,410 --> 00:22:50,070
أول نظرية theorem a

216
00:22:50,070 --> 00:22:54,430
subgroup a

217
00:22:54,430 --> 00:23:07,070
subgroup H a subgroup H of G is normal is normal

218
00:23:07,070 --> 00:23:18,730
in G if and only if الـ X H X inverse subset من H

219
00:23:18,730 --> 00:23:24,870
لكل ال X اللي موجودة في ال group G

220
00:24:16,580 --> 00:24:22,060
نرجع مرة ثانية يبقى أنا عندي جروب جديدة هسميها

221
00:24:22,060 --> 00:24:27,040
normal subgroup اللي بتحققلي شرط معين ال factor

222
00:24:27,040 --> 00:24:32,640
group بدي أنشئ جروب جديدة بواسطة ال subgroup اللي

223
00:24:32,640 --> 00:24:36,340
عرفته دي فخلينا في الأول مع ال normal subgroup

224
00:24:36,340 --> 00:24:41,720
وهتلعب دور كبير في علم الجبر وخاصة في موضوع الجروب

225
00:24:41,720 --> 00:24:46,880
ال subgroup H من الجروب G بسميها normal subgroup

226
00:24:46,880 --> 00:24:53,390
من G إذا كان الـ A H هو الـ H A for all A belongs

227
00:24:53,390 --> 00:24:57,970
to G يعني إذا كان ال right coset هي ال left coset

228
00:24:57,970 --> 00:25:04,280
لجميع عناصر G يبقى بقول هذا بقول عليها ال normal

229
00:25:04,280 --> 00:25:10,660
subgroup من G طبعا احنا سابقا كنا نقول ال A H ليس

230
00:25:10,660 --> 00:25:15,300
بالضرورة أن تكون subgroup لكن أن كانت normal يبقى

231
00:25:15,300 --> 00:25:21,240
automatic هذا subgroup أنت معمل يبقى ال H اللي هي

232
00:25:21,240 --> 00:25:26,010
subgroup من G بقول عليها normal subgroup إذا كان

233
00:25:26,010 --> 00:25:30,510
الـ left coset يساوي الـ right coset واختصارا بدل

234
00:25:30,510 --> 00:25:34,910
ما أقول الـ H is a normal subgroup من G بدي أعبر

235
00:25:34,910 --> 00:25:41,230
بالرمز المثلث قاعدته جهة G والرأس تبعه جهة من؟ جهة

236
00:25:41,230 --> 00:25:44,950
H خلي بالك مش حي الله تخلي القاعدة تحت والرأس

237
00:25:44,950 --> 00:25:50,570
فوق الرأس دائما جهة ال subgroup والقاعدة جهة من؟ جهة

238
00:25:50,570 --> 00:25:54,950
ال group طب في شغل ممكن يفهمها الواحد غلط من خلال

239
00:25:54,950 --> 00:25:58,610
ال condition اللي حاطه هذا ايش الحاجة الغلط لو جيت

240
00:25:58,610 --> 00:26:04,790
قولتك a h يساوي h a هذا كلام خطأ أنا لما أقول a h

241
00:26:04,790 --> 00:26:08,370
بيساوي شيء يعني ال left coset بيساوي ال right coset

242
00:26:08,370 --> 00:26:14,570
إذا بدي أتكلم بلغة ال elements بيقول a h one يساوي

243
00:26:16,110 --> 00:26:20,010
هو الـ H2 رقم ثاني و element ثاني ليس نفس ال

244
00:26:20,010 --> 00:26:24,930
element قد يكون نفس ال element لكن in general لأ

245
00:26:24,930 --> 00:26:31,370
مش صحيح يبقى لما أقول هذه H بيساوي HA يعني AH1

246
00:26:31,370 --> 00:26:37,290
بيساوي H2A رقم ثاني أو element ثاني غير ال element

247
00:26:37,290 --> 00:26:42,350
اللي عندنا يبقى بقولش AH بيساوي HA و لما بقول AH1

248
00:26:42,350 --> 00:26:45,090
يساوي H2A

249
00:26:46,550 --> 00:26:51,370
التعريف هذا اللي عندنا بدي أحاول أصيغه صياغة أخرى،

250
00:26:51,370 --> 00:26:55,910
تمام؟ ليهاشي الصياغة الأخرى؟ بل بدل الصياغة تلاتة 

251
00:26:56,420 --> 00:27:01,320
أيّش الصيغة الأخرى؟ أنا بإمكاني هنا لو ضربت في الـ A

252
00:27:01,320 --> 00:27:05,300
inverse من جهة اليمين أو الـ A inverse من جهة الشمال

253
00:27:05,300 --> 00:27:10,540
فبيصير عندي A H A inverse يساوي من؟ يساوي الـ H شرط

254
00:27:10,540 --> 00:27:15,920
الـ normality أو لو ضربت من جهة الشمال بيصير الـ H 

255
00:27:15,920 --> 00:27:23,260
يساوي A inverse H A شرطاني للـ normality ممكن أقول

256
00:27:23,260 --> 00:27:31,150
AH small A inverse موجودة في H كابتل لأن هذا

257
00:27:31,150 --> 00:27:36,170
بيستوي H يبقى الـ A H small A inverse كـ element

258
00:27:36,170 --> 00:27:42,450
موجود في H برضه شرط اللي اللي هو صيغة أخرى

259
00:27:42,450 --> 00:27:46,550
للـ normality نظريتها ده أيّش بتقولي؟ بقول افترض الـ H

260
00:27:46,550 --> 00:27:50,070
normal subgroup أو الـ H هي normal subgroup من G if

261
00:27:50,070 --> 00:27:55,300
and only if الـ X H X inverse subset من مين؟ من H

262
00:27:55,300 --> 00:28:00,140
ما هو إن كان التساوي حاصل إذن automatic هدي مين؟

263
00:28:00,140 --> 00:28:04,420
هذه subset من هذه طبعًا التساوي حصل من هنا قلت لك لو

264
00:28:04,420 --> 00:28:08,480
ضربت في الـ A inverse من اليمين أو لشمال بيطلع

265
00:28:08,480 --> 00:28:12,800
التساوي أنا بدأ أختصر ولا أقول التساوي بدأ أقول

266
00:28:12,800 --> 00:28:17,220
الـ subset رغم أن التساوي كمان صحيح طيب مشان هيك

267
00:28:17,220 --> 00:28:23,480
بنروح نثبت صحة هذا الكلام يبقى بدايتي أقوله assume

268
00:28:23,480 --> 00:28:30,780
اللي هو الـ H is a normal subgroup من G then

269
00:28:34,230 --> 00:28:39,130
يبقى أنا فرضت أن الـ H هذه normal subgroup من G

270
00:28:39,130 --> 00:28:45,790
يبقى بناء عليه بدي يصير عندي A H يساوي H A حسب ما

271
00:28:45,790 --> 00:28:52,070
حسب الـ definition أو مشان خلي نفس الرموز يبقى بده

272
00:28:52,070 --> 00:28:58,950
أقول X H بدي يساوي الـ H X لكل الـ X اللي موجودة في

273
00:28:58,950 --> 00:29:01,090
G بلا استثناء

274
00:29:03,680 --> 00:29:10,640
طيب تمام أنا بدي أخلق في المثال X H X inverse يبقى

275
00:29:10,640 --> 00:29:15,440
بناء عليه لو ضربت الطرفين من جهتي اليمين في X

276
00:29:15,440 --> 00:29:21,840
inverse أيّش اللي بدي يصير؟ بدي يصير عندي الـ X H X

277
00:29:21,840 --> 00:29:26,950
inverse بدي يساوي مين؟ بدي يساوي الـ H هذا معناه

278
00:29:26,950 --> 00:29:34,030
مدام يساوي يبقى الـ X H X inverse subset من مين؟ من

279
00:29:34,030 --> 00:29:39,110
الـ H والـ H subset من الـ X H X inverse ما علينا

280
00:29:39,110 --> 00:29:43,770
يبقى هاي جيبت له مين؟ الشرط الأول بدي أجيب له الشرط

281
00:29:43,770 --> 00:29:45,630
الثاني conversely

282
00:29:49,190 --> 00:29:57,170
assume افترض أن الـ X H X inverse subset من مين؟

283
00:29:57,170 --> 00:30:03,330
subset من H بدي أحاول أثبت أن الـ H هذه معها is a

284
00:30:03,330 --> 00:30:09,690
normal subgroup من جي طيب بجي بقوله then

285
00:30:12,460 --> 00:30:19,120
أو قبل then هذه الصحيحة إحنا فرضناها لكل الـ X اللي

286
00:30:19,120 --> 00:30:24,920
موجودة أويا في الـ group G بدي أسأل السؤال التالي الـ

287
00:30:24,920 --> 00:30:28,680
X inverse موجودة في G ولا لا؟ لأن الـ G جروبه

288
00:30:28,680 --> 00:30:35,210
المعكس موجود يبقى بجي بقوله then الـ X inverse

289
00:30:35,210 --> 00:30:41,390
موجودة في G implies بدي أطبق عليها الشرط هذا يبقى

290
00:30:41,390 --> 00:30:47,370
لو جيت طبقت عليها الشرط هذا بيصير X inverse H X

291
00:30:47,370 --> 00:30:52,850
inverse inverse اللي هو subset من من؟ subset من H

292
00:30:55,030 --> 00:31:02,150
أو بمعنى آخر بقدر أقول هنا main أن الـ X inverse H

293
00:31:02,150 --> 00:31:11,830
X subset من main subset من main من H طيب

294
00:31:11,830 --> 00:31:19,130
كويس يبقى هذه الخطوة الأولى لو جبت أو قدرت أثبت أن

295
00:31:19,130 --> 00:31:26,430
الـ H هي الـ subset من من الـ X inverse HX بتم

296
00:31:26,430 --> 00:31:31,550
المطلوب يبقى بدي أعتبر هذه الخطوة رقم واحد بدي آجي

297
00:31:31,550 --> 00:31:38,030
للخطوة رقم اثنين الخطوة رقم واحد لو ضربتها في X من

298
00:31:38,030 --> 00:31:45,830
جهة الشمال يبقى أيّش بيصير الـ X X inverse في من؟ في

299
00:31:45,830 --> 00:31:54,050
الـ H وهنا X بدي تبقى subset من الـ X H ضربت من جهة

300
00:31:54,050 --> 00:31:58,610
الشمال في X يبقى هذا أيّش بدي يعطيك؟ هذا بدي

301
00:31:58,610 --> 00:32:06,330
يعطيك أن الـ H X subset من الـ X H بنفس الطريقة اضرب

302
00:32:06,330 --> 00:32:12,090
من جهة اليمين في الـ X inverse يبقى لو ضربنا في الـ

303
00:32:12,090 --> 00:32:19,250
X inverse بيصير الـ H هي subset من X H X inverse و

304
00:32:19,250 --> 00:32:22,550
هذه العلاقة رقم اثنين أطلع لي في الواحد واثنين

305
00:32:22,550 --> 00:32:33,120
يبقى باجي بقوله هنا from واحد and اثنين we have إن

306
00:32:33,120 --> 00:32:40,620
الـ X H X inverse بده يساوي مين؟ بده يساوي الـ H طب

307
00:32:40,620 --> 00:32:47,100
اضرب للطرفين في X من جهتي اليمين يبقى X H بده

308
00:32:47,100 --> 00:32:52,780
يساوي H X هالتعريف مين؟ الـ normal هذا بده يعطيك

309
00:32:52,780 --> 00:32:57,660
أن الـ H is a normal subgroup من مين؟ من G وأنت

310
00:32:57,660 --> 00:33:00,120
هنا من المسألة

311
00:33:04,330 --> 00:33:12,130
الآن خذ لي هالملاحظة اللي قلت لك قبل قليل وهي صورة

312
00:33:12,130 --> 00:33:17,030
من صورة الـ normality بيقول لي the above theorem the

313
00:33:17,030 --> 00:33:26,450
above theorem the above theorem can be written as

314
00:33:26,450 --> 00:33:36,160
can be written as ممكن نكتبها على الشكل التالي أن

315
00:33:36,160 --> 00:33:46,820
الـ a أو الـ h is a normal subgroup من g if and only

316
00:33:46,820 --> 00:33:56,180
if الـ x h x inverse belongs لمن؟ belongs لـ الـ H لكل

317
00:33:56,180 --> 00:34:01,340
الـ X اللي موجود وين؟ في جيب بلا استثناء

318
00:34:18,040 --> 00:34:25,960
مرة ثانية الملاحظة هذه بتقول أن التعريف الـ

319
00:34:25,960 --> 00:34:32,640
normality استنتج من النظرية النظرية الآن أنا بدي

320
00:34:32,640 --> 00:34:37,240
أصيغها هذه مرة ثانية فبجي بقول الـ H normal

321
00:34:37,240 --> 00:34:42,220
subgroup من G إذا كان X H يا small يعني element من

322
00:34:42,220 --> 00:34:47,460
H في X inverse بقول belong to H لأنه صار عنصر

323
00:34:47,460 --> 00:34:51,640
العنصر بقولش substitute إنما بقول main belong to H

324
00:34:51,640 --> 00:34:55,760
يعني حصل ضرب الـ X اللي هو من G في الـ element اللي

325
00:34:55,760 --> 00:34:58,580
هو من H في معكوس الـ element تبع الـ G الثلاثة

326
00:34:58,580 --> 00:35:02,970
بديكون one موجود في H وهي الموضوع تبعها هذي normal

327
00:35:02,970 --> 00:35:07,290
إذا كان الـ X H X inverse belongs to the main للـ H

328
00:35:07,290 --> 00:35:12,130
يبقى لو قالي من الآن فصاعدًا أثبت أن الـ H is a normal

329
00:35:12,130 --> 00:35:18,130
subgroup من G يكفيني main هذا الشرط أو هذا الشرط أو

330
00:35:18,130 --> 00:35:22,190
هذا الشرط يبقى اللي تقدر عليه من الثلاثة اشتغله

331
00:35:22,190 --> 00:35:26,970
وتوكل على الله طيب بدنا نبدأ نأخذ بعض الأمثلة

332
00:35:26,970 --> 00:35:32,330
ونبدأ بأبسط أنواع الأمثلة السؤال هو لو عندي group

333
00:35:32,330 --> 00:35:37,470
abelian والجروب هذه أخذت منها الـ subgroup السؤال

334
00:35:37,470 --> 00:35:45,270
هو هل الـ subgroup هذه بتبقى normal يعني هل يتحقق الـ

335
00:35:45,270 --> 00:35:50,160
condition اللي عندي هذاليش؟ لأن abelian أنا بقول

336
00:35:50,160 --> 00:35:55,420
بقدر أبدل هدول أي مكان بعض لو بدلتهم بيصير H XX

337
00:35:55,420 --> 00:36:00,320
inverse لو H في E لهو بـ H يبقى H موجودة وإن موجودة

338
00:36:00,320 --> 00:36:03,720
في H وبالتالي الشرط متحقق إذا الـ group هذي أيّه؟

339
00:36:03,720 --> 00:36:08,580
normal group يبقى أول قاعدة بأخذها إنه لو كانت الـ

340
00:36:08,580 --> 00:36:13,940
group abelian يبقى any subgroup is normal يبقى

341
00:36:13,940 --> 00:36:29,400
أول مثال بيقول any subgroup of an abelian group is

342
00:36:29,400 --> 00:36:36,380
normal مثال

343
00:36:36,380 --> 00:36:42,000
اثنين طبعًا

344
00:36:42,000 --> 00:36:47,080
الـ condition هيه عندك أقول لك هذه لو تحقق الـ

345
00:36:47,080 --> 00:36:51,820
condition هنا موجود الآن abelian بقدر أبدله

346
00:36:51,820 --> 00:36:58,420
وبالتالي بيبقى عندي H موجود فيه H طيب النقطة

347
00:36:58,420 --> 00:37:02,600
الثانية الـ center تبع الـ group هل هو الـ subgroup

348
00:37:02,600 --> 00:37:03,460
من الـ group G

349
00:37:06,550 --> 00:37:14,770
الـ Center تبع بجروب الـ Z of G أنا أدعي أن الـ A

350
00:37:14,770 --> 00:37:18,510
normal subgroup منين؟ من G

351
00:37:21,130 --> 00:37:24,530
بآجي بقوله كويس إذا تحقق أيّ condition من الـ

352
00:37:24,530 --> 00:37:28,850
conditions اللي عندي هدول بكون خلصنا من الموضوع

353
00:37:28,850 --> 00:37:34,670
تمام كيف الآن خلاني نحقق أيّ condition هادي هادي

354
00:37:34,670 --> 00:37:40,550
هادي السيانة بتفرجش عننا الآن لو رحت أخذ أيّ عنصر

355
00:37:40,550 --> 00:37:44,550
عندي في الـ group G وبدي أضربه في الـ center تبع الـ

356
00:37:44,550 --> 00:37:47,350
H هنا solution

357
00:37:50,630 --> 00:38:00,150
الآن Z of G هو مجلد من G بدي أعمل left coset عندي

358
00:38:00,150 --> 00:38:08,330
يبقى بآدي بقوله لكل الـ X موجود في G then الـ X في

359
00:38:08,330 --> 00:38:16,500
الـ center بتابع الـ G بده يساوي أظن الـ X هذي تتعامل

360
00:38:16,500 --> 00:38:23,060
مع جميع عناصر Z أو عناصر Z of G تتعامل مع جميع

361
00:38:23,060 --> 00:38:28,820
عناصر G إذا هذي تتعامل مع الـ Z كلها اللي عندنا

362
00:38:28,820 --> 00:38:37,780
يبقى هذا بده يعطيني Z of G Z of G في X الشكل اللي

363
00:38:37,780 --> 00:38:42,440
عندنا هنا كان بإمكاني أبدأ غير هيك أروح أقول له

364
00:38:42,440 --> 00:38:49,540
تعال نشوف X Z of G X inverse شو بده تعطيني وأجيب

365
00:38:49,540 --> 00:38:54,260
من وأجيب الـ X أبدلها بالشكل هذا بتيجي الـ X يعني

366
00:38:54,260 --> 00:38:59,060
كان بإمكاني بدل ما أقول هيك أقول تعال نشوف الـ

367
00:38:59,060 --> 00:39:04,100
group يعني وأروح أحط هنا من X inverse أشوف وين

368
00:39:04,100 --> 00:39:09,030
بده توصلني يعني بقول لك كويس هذا الكلام الـ X كميوت

369
00:39:09,030 --> 00:39:14,850
مع جميع العناصر اللي موجودة في Z إذا هذه بقدر أقول

370
00:39:14,850 --> 00:39:21,320
Z of G وهنا X وهذه الـ X انفرس اللي عندنا هذه

371
00:39:21,320 --> 00:39:26,380
بتعطينا مين؟ الـ identity element الـ identity

372
00:39:26,380 --> 00:39:31,580
element في أيّ subgroup والله بتعطيني نفس الـ

373
00:39:31,580 --> 00:39:38,320
subgroup تمام يبقى أسار X Z of G X inverse بدي

374
00:39:38,320 --> 00:39:44,480
أسوأ من Z of G أضرب من جهة اليمين في X هذا بدي

375
00:39:44,480 --> 00:39:52,350
يعطيك إن الـ X في Z of G في الـ X inverse بده تجيلك 

376
00:39:52,350 --> 00:39:59,750
كمان X بده يساوي Z of G في من في ال X هذا بده 

377
00:39:59,750 --> 00:40:06,210
يعطيلك إن ال X في Z of G طلعلي هذا الشيء بيعطينا ال

378
00:40:06,210 --> 00:40:10,250
identity في أي element من نفس ال element والطرف

379
00:40:10,250 --> 00:40:17,650
اليمين Z of G أو ال X في .. هذا بيعطيك Z of G في

380
00:40:17,650 --> 00:40:23,550
من؟ في ال X هذا بدي أعطيلك إن Z of G is a normal

381
00:40:23,550 --> 00:40:27,590
subgroup من G يعني .. يعني قلت الفكرة البسيطة

382
00:40:27,590 --> 00:40:31,710
الأولى اللي قلناها أوي الثانية كله بيأدي إلى نفس

383
00:40:31,710 --> 00:40:37,100
الموضوع والله بيكفل اللي قلناها بس احنا مسحناها

384
00:40:37,100 --> 00:40:43,080
القطعة اللي كنا .. هذه الآن X Z X inverse بده يسوي

385
00:40:43,080 --> 00:40:47,080
مين؟ بده يسوي ..

386
00:40:47,080 --> 00:40:51,160
خليكم معايا احنا هذي ال subgroup أخدنا X في G

387
00:40:51,160 --> 00:40:55,440
وقلنا تعال شوف المقدر هذا إيش بيعطينا يعني أنا

388
00:40:55,440 --> 00:41:00,220
جيت أشوف هذا شو بدي يعطينا امشي طلع مين طلع هو Z

389
00:41:00,220 --> 00:41:06,350
of G اللي هي الـ subset النظرية subset وما قلناش

390
00:41:06,350 --> 00:41:12,730
تساوي لإن احنا الـ subset جبنا من اليساوي لو قدرت تثبت

391
00:41:12,730 --> 00:41:17,230
هذا الكلام إن هذا بيساوي هذا بيكون قد الواجب بس

392
00:41:17,230 --> 00:41:21,710
أنا بدي أحاول أحط لك التعريف كلام صح مظبوط ما حدا

393
00:41:21,710 --> 00:41:24,790
بيقدر يقول غلط فيه هذا بس أنا حبيت أجيب التعريف

394
00:41:24,790 --> 00:41:28,910
الأساسي لكن لو قلت لحد هنا يبقى normal خلاصنا ولا

395
00:41:28,910 --> 00:41:34,440
واحد اللي اعترض عليك يبقى هذا بالنسبة للمثال رقم

396
00:41:34,440 --> 00:41:40,000
اثنين طب نجيب لك مثال رقم ثلاثة أنا بدي أجيب لك من

397
00:41:40,000 --> 00:41:44,800
الشغلات اللي مرت عليك بدنا مش نبعد لسه سمعت بال

398
00:41:44,800 --> 00:41:49,000
special linear group of two by two matrices over R

399
00:41:49,000 --> 00:41:56,770
أنا أدعي إن هذه كمان normal الآن الـ special linear

400
00:41:56,770 --> 00:42:02,150
group of two by two matrices over R هذي normal من

401
00:42:02,150 --> 00:42:06,070
الـ general linear group of two by two matrices

402
00:42:06,070 --> 00:42:11,990
over R ليش هذي؟ بدي أثبت شرطين الشرط الأول إنّها 

403
00:42:11,990 --> 00:42:17,230
subgroup اثنين بدي أثبت خاصية الـ normality يبقى

404
00:42:17,230 --> 00:42:19,450
الآن solution

405
00:42:22,250 --> 00:42:26,870
بتروح تقول إيه الـ special linear group of two by

406
00:42:26,870 --> 00:42:31,330
two matrices over R subgroup من الـ general linear

407
00:42:31,330 --> 00:42:38,350
group of two by two matrices over R وهذه مثال

408
00:42:38,350 --> 00:42:47,010
سابق هذه أثبتناها قبل ذلك طب كويس الآن بروح آخذ

409
00:42:47,010 --> 00:42:51,990
element من G وبدي آخذ element من الـ special واشوف

410
00:42:51,990 --> 00:42:55,690
حصل ضرب الـ element من G في الـ element من الـ

411
00:42:55,690 --> 00:43:00,390
special في معكوس الـ element تبعي انطلع والله الـ

412
00:43:00,390 --> 00:43:03,330
determinant إيه اللي بدي يساوي واحد بيكون حصل

413
00:43:03,330 --> 00:43:06,260
الضرب هذا موجود وإنّ الـ special وبالتالي الـ

414
00:43:06,260 --> 00:43:11,840
special هه normal subgroup من main من G يبقى

415
00:43:11,840 --> 00:43:14,480
بالداخل أكتب لك الحل على الشجرة الثانية

416
00:43:28,720 --> 00:43:34,740
أفترض أن الـ A موجودة في الـ general linear group of

417
00:43:34,740 --> 00:43:41,000
2 by 2 matrices over R ويكون موجودة في الـ special

418
00:43:41,000 --> 00:43:48,000
linear group of 2 by 2 matrices over R أريد أن آخذ

419
00:43:48,000 --> 00:43:54,640
الـ A بـ A إنفرس إذا كنت أثبت إنّ هذه موجودة في الـ

420
00:43:54,640 --> 00:43:58,860
Special يبقى هو الشرط اللي قلنا عليه الشرط الثالث

421
00:43:58,860 --> 00:44:03,200
هو المساحنة أه هذه موجودة تمام يبقى بدي أحاول

422
00:44:03,200 --> 00:44:09,300
أثبتها فبدي آخذ determinant لمين لهذه المصفوفة

423
00:44:09,300 --> 00:44:15,530
يبقى حسب الجبر الخطي هذه determinant للـ A في

424
00:44:15,530 --> 00:44:19,970
الـ determinant للـ B في الـ determinant للـ A

425
00:44:19,970 --> 00:44:23,650
inverse صاروا هدور الـ real numbers الـ real

426
00:44:23,650 --> 00:44:28,350
numbers are commutes يبقى هذا الـ determinant للـ

427
00:44:28,350 --> 00:44:33,070
A في الـ determinant للـ A inverse في الـ

428
00:44:33,070 --> 00:44:37,870
determinant للـ B يبقى .. بدي أرجعه إلى أصله يبقى

429
00:44:37,870 --> 00:44:42,170
الـ determinant للـ A في الـ A inverse في الـ

430
00:44:42,170 --> 00:44:47,280
determinant للـ B المصفوفة فيما عكوزها بالـ

431
00:44:47,280 --> 00:44:52,240
determinant لمصفوفة الوحدة في الـ determinant للـ B

432
00:44:52,240 --> 00:44:58,920
محدد مصفوفة الوحدة قديش؟ واحد صحيح محدد المصفوفة بـ

433
00:44:58,920 --> 00:45:03,320
B برضه بواحد لأنها موجودة وين؟ بالـ Special يبقى

434
00:45:03,320 --> 00:45:09,800
الـ

435
00:45:09,800 --> 00:45:14,980
ABA inverse موجودة في الـ Special Linear Group of

436
00:45:14,980 --> 00:45:20,280
2x2 matrices over R بناء عليه الـ Special Linear

437
00:45:20,280 --> 00:45:25,400
Group of 2x2 matrices over R is a normal subgroup

438
00:45:25,400 --> 00:45:30,620
من الـ General Linear Group of 2x2 matrices over R

439
00:45:31,450 --> 00:45:38,970
يبقى هذا مثال آخر على ال .. على اللي عندنا خذ مثال

440
00:45:38,970 --> 00:45:43,390
أربعة مثال

441
00:45:43,390 --> 00:45:49,030
أربعة the alternating

442
00:45:49,030 --> 00:45:53,490
group

443
00:45:53,490 --> 00:45:59,850
the alternating group أربعة

444
00:46:04,190 --> 00:46:10,170
الثاني جروب An is

445
00:46:10,170 --> 00:46:19,130
a normal subgroup من من الـ Sn ليش

446
00:46:19,130 --> 00:46:22,450
هذي normal باجي بقوله because

447
00:46:26,200 --> 00:46:31,900
بدي آخذ element في Sn و element في An طبعا أنا

448
00:46:31,900 --> 00:46:36,460
أخذناها سابقا إنّها الـ subgroup مظبوط الـ a for

449
00:46:36,460 --> 00:46:42,680
because الـ An هذي الـ subgroup من الـ Sn and

450
00:46:45,520 --> 00:46:55,140
Alpha موجودة في الـ S in and Beta موجودة في الـ A in

451
00:46:55,140 --> 00:47:05,920
then أخذ العنصر Sn والعنصر An ومعكس العنصر Sm لو

452
00:47:05,920 --> 00:47:11,420
طلع هذا الكلام even يبقى هذا حصلت ضربوين في Sn

453
00:47:11,420 --> 00:47:19,110
يكون خلصنا يبقى هذا الكلام هادئة قد تكون even وقد

454
00:47:19,110 --> 00:47:24,150
تكون odd لنا في الـ sense إن كان even يبقى معكوسة

455
00:47:24,150 --> 00:47:28,370
even هذه even ما عنديش مشكلة إن كان هذه odd هذه

456
00:47:28,370 --> 00:47:32,370
even هذه odd يبقى المجموع اللي هو even وبالتالي

457
00:47:32,370 --> 00:47:36,770
هذه موجودة على طول الخط طبعا أثبتناها قبل إيه

458
00:47:36,770 --> 00:47:44,930
أخذناها سؤال وحلناه يبقى then هذه موجودة في الـ An

459
00:47:44,930 --> 00:47:54,870
because السبب إنّ even زائد even زائد even بده

460
00:47:54,870 --> 00:48:05,410
يساوي even and odd زائد even زائد odd بده يعطينا

461
00:48:05,410 --> 00:48:10,870
even مشان هيك هذه normal طبعا بنكمل في المحاضرة

462
00:48:10,870 --> 00:48:12,950
القادمة إن شاء الله