بسم الله الرحمن الرحيم في نهاية المحاضرة الماضية
أخدنا نظرية النظرية بتقول لو عندي رقمين S و T are
relatively prime يبقى ال U S T isomorphicللـ US
External Product مع من مع الـ UT يعني بقدر أكتب
الـ UN على صيغة External Product لمن؟ لـ two
groups لـ three groups لـ four groups وما إلى ذلك
بشرط يكون ال S و ال T are relatively a primeواخدنا
كمان نقطة ان U S T على S isomorphic ل U T وكذلك U
T ل U S T isomorphic ل U S وزيادة على ذلك رولر
عليها بنقول لو عندنا الرقم M واستطعنا ال M نكتبه
على الشكل التالي يبقى M بده يسوى N واحد
بحيث اي اتنين من هذه الأرقام are relatively prime
يعني ni مع ng اتنين are relatively prime لكل i لا
تساوي الجييبقى في هذه الحالة بقدر اقول ان ال UM
ايزو مورف كلمة ل ال UN 1 UN 2 UN 3 UN UN لغاية ال
UUNالان ان والله ان كهذه عملها ل ان كهذه يبقى هذه
بالصغيرة ان كهذه بالشكل اللي عندنا هذا طبعا الان
بدي الان اشتغل عمليابيقول لي هاي عندك اليوم 105
بتقدر تكتبها لي على الشكل اللي عندك كده؟ بمعنى هل
بتقدر تكتب ال 105 على شكل isomorphic ل two groups؟
الإجابة نعم نعم كيفي؟ بتدور على رقمين ال relative
to prime وحاصل ضربه ما يساومين 105 بتقدر تعطوني
رقمين؟وحد وعشرين وخمسة كويس يبقى هذا اللي هو عبارة
عن U اللي هو واحد وعشرين مضروبة في خمسة
يبقى هذه isomorphic ل U واحد وعشرينExternal
Product مع U5 كمان ال U 105 عبارة عن U الخمس عشر
في سبعة7 في 15% أو 5 يبقى هذا الكلام isomorphic
لمن؟ ل U 15 Extended like product مع مين؟ مع U 7
أجواح التالت منكم سمعت بيقولالـ U 105 هي عبارة عن
U خمسة و تلاتين في تلاتة بقوله كلامك صح يبقى هذه
isomorphic لـ U خمسة و تلاتين external product مع
U تلاتة هجوا على التالت قال الـ U 105 هذه الـ U
105 بدها تساوي الـ U تلاتة في خمسة في سبعةتلاتة و
كلهم تلاتة are relatively prime يبقى هذي
isomorphic لمين؟ ليه تلاتة external direct product
ليه خمسة external direct product لمين؟ ليه سبعة
يعني ليس بالضرورة أن يكون two groups و هنا ممكن
يكون تلاتة ممكن أربعةممكن يكون K من الأرقام اللي
كلها relative لأن اذا أخذت اي اتنين مع بعض بيكونوا
relatively main و relatively prime هذا بالنسبة
لمن؟ للنقطة الأولى و النقطة التالتة لو جهت للنقطة
الثانية و بدي أحسب لأي رقم منهم بدي أحسب U مثلا
خمس تاشر لمين لمية وخمسة يساويبتعرف مين عناصرها
المرة اللى فاتت اعطيناكوا تعريف لها وقلنا كل
العناصر X بحيث ان ال X modulo K بدي اعطيني الواحد
الصحيح تعريف كتبناه معاكوا المرة اللى فاتت اذا بدي
ادور على عناصر ال 105 واروح اجيب عناصر ال U15 على
105 اظن لو بدي اقعد اكتب عناصر ال 105 كلهمهتاخدنا
خمس دقايق و احنا قاعدين نستنتج مين اللي رتب ال
prime مع مية و خمسة لذلك بقول لأ بدي احسب مباشرة
فيو خمستاشر مية و خمسة الواحد منهم لإن الواحد ناقص
واحد يساوي زيرو مضاعفات الخمستاشر طيب الست عشر
منهميعني انت الخامس و الستاشر ده مانحط رقم قدامه و
لما تحط رقم قدامه تتأكد ان الرقم هذا relatively
prime على المية و خمسة ولا لا تمام؟ حتى يكون من
عناصر المية و خمسة الستاشر من عناصر المية و خمسة
لأنهم بيقسمش غير على اتنين و اربعة و تمانية وهذه
كلها relatively prime على المية و خمسة يبقى ستاشر
شريك واحد و تلاتين منهم؟وأحد وثلاثين وخمس عشر في
اتنين وثلاثين وواحد واحد وثلاثين والواحد وثلاثين
is a prime وبالتالي relative to the prime مع أي
منها طيب ستة واربعين ستة واربعين relative to the
prime مع المية وخمسة له اتنين في تلاتة وعشرين
اتنين relative to the prime والتلاتة وعشرين يبقى
فعلا الستة واربعين منهم طيب الواحد والستينانا بضيف
كله خمسة عشان تمام الواحد و ستين منهم لان واحد و
ستين is a prime كذلك طيب الأن لو جيت على الستة و
سبعين ستة و سبعين اه هذا لما نشيل من خمس عشر مضل
جداش مضل واحد كلام صحيح لكن هل الستة و سبعين
relative ل prime مع المية و خمسةعلى خمسة بتجيش
وعلى سبعة بتجيش وعلى تلاتة برضه بتجيش ويبقى الستة
وسبعين كذلك منهم طيب الواحد وتسعين خمسة وسبعين
وخمستاشر تسعين كمان واحد واحد وتسعين معاهم حط يعني
طب سبعة في تلاتاشر بقداش؟و 91 طب السبعة بتكسب على
سبعة و ال 105 بتكسب على سبعة يبقى ال 91 مش منهم
بدي كمان خمساش بكون فى التواصل 105,106 برا الرقم
انتهينا منهيبقى لا يوجد الا هذه الأرقام تمام شوفت
كيف بنحسبها اختارلي اي رقم من عندك من الأرقام اللي
هي اللي بتقسم 105 حتى نحسبها طيب هدها اللي هو 15
أليس isomorphic ليه 7لأن سبعة في خمستاشر بمية
وخمسة و احنا قلنا هنا ال U S على ST isomorphic
لمين؟ ل U T يبقى احنا هنا قلنا U خمستاشر و هذا
عبارة عن خمستاشر في سبعة يبقى isomorphic ل U سبعة
U سبعة كم عنصر فيه؟ست عناصر هدول ستة واحد اتنين
تلاتة اربع خمسة ستة كلها مناصعية مية لمية تمام
اختار لي كمار رقم اخر نحسبه لك بنفس الطريقة اللي
بدك هيها يومين نحسب تحسب كمان واحد بكفي يوم قداشر
خمسة و تلاتين خمسة و تلاتين انت جيبت اسهل حاجةطب
من انا ماعرف يعطيني الشمال اللى فيه يالله يا أبو
واحد اول واحد منهم ست و تلاتين الواحد اه معروف
اجنب عليه ست و تلاتين ست و تلاتين منهم ماختلف منهم
بص بص بص ست و تلاتين منهم ست و تلاتين اللى تبلى
prime مع مية و خمسة مش بيكسب مع تلاتة ست و تلاتين
ايه ده مش منهم حطه ع شجة يالله سبعين واحد و سبعين
واحد و سبعين منهمأكيد؟ اسمها يا راجل يعني
مش منهم طب انا بدأ أحط منهم هذا هو طب خلصنا ولا
فيه كمان؟ كده ايش بصير؟
بره يبقى ماعنديش إلا رقمين، تمام؟هذا اللي هو مين
اللي هو يو خمسة و تلاتين وهذا isomorphic لمن؟ ليهو
تلاتةلما قلنا هنا isomorphic لـ U تلاتة و هكذا
تمام؟ الخطر ان نجيب رقم كبير لان هذا سهل يعني جيب
عندي اعداد كتيرة زي ايش مثلا زي U مية و خمسة أبصار
قديش يلا اختارلك سبعة خمستاشر خمستاشر خدناه يبقى
بدك واحد و عشرين خمسة اه واحد و عشرين
مين الرقم اللي لو ضربت في خمسة و تلاتين بيعطيك مية
و خمسة اللي هو تلاتةمصبوط وبالتالي هذا isomorphic
ل U تلاتة و هكذا طيب لو قلنا رقم تاني U قداش قلتوا
واحد و عشرين واحد و عشرين يفجل واحد منهم بعدك
اتنين و عشرين منهم اكيد ولا لا مش اتنين و عشرين
اللي هو اتنين في احد و عشرين اللي في ال prime هو
عمية و خمسة اللي هو اتنين و عشرين طب تلاتة و
اربعين منهم21 في 2 ب 42 اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط
اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط
اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغ
يبقى هذه اللي هي من الأربعة وستين طب لو ضربته في
أربعة بصير أربعة و تمانين و واحد خمسة و تمانين ليس
relatively prime مع مين معي مية و خمسة لإن هو
بيكسب على خمسة يبقى حطه على شجرة الآن بعد الأربعة
و تمانين لو ضربت في خمسة بصير المية و خمسةيبقى
انتهينا منه مظبوط يبقى لا يوجد عندي الا هذه
الأرقام وهذا isomorphic ليه خمسة تمام لإنه خمسة في
واحد وعشرين هو اللي بمية .. مية وخمسة تطلع يه خمسة
فيها واحد واتنين وتلاتة واربعة أربعة أرقام وماعناش
هنا إلا مين إلا أربعة أرقام ووضع الشغل هذا كدهيبقى
الـU اللى عندى جدر تجيبها isomorphic لمين لـgroups
او الـexternal product لماين لـgroups مختلفة ولسه
فى كلام فى هذا الموضوع الكلام ماشي بدي أنتقل من
الـU groups أحولها إلى isomorphic لـcyclic اللى هو
لـgroups اللى هى Z2 وZ3 وZ4 وZ5 وZ10 وZ30 وما إلى
ذلكفي عندنا .. اللي هو .. اللي هو قاعدة القاعدة
هذه طبعا برهنت في إحدى المراجع التي اعتمد عليها
هذا الكتاب ولذلك بدنا ناخدها كحقائق we have the
following notes أو the following facts دي عندي
حقائق مهمة جداالحقيقة الأولى ان ال U2 isomorphic
فقط لست لفش فيها الواحد إلا الواحد الصحيح and ال
U4 isomorphic لمام ل U isomorphic ل U2 تربيعأو
تساوية U2 ترابيع واللي هي isomorphic ل Z2 النقطة
الثانية ال U2 أُس N isomorphic ل Z2 External
Direct Product مع Zزد اتنين اوس ان ناقص اتنين اوس
ان fourن أكبر من أو تساوي تلاتة النقطة الثالثة
والاخيرة ال U P to the power in isomorphic لمين ل
Z P N ناقص P أس N ناقص واحد for P and D primeالـ P
and odd a prime so
we can write we can write ال U-groups ال U-groups
as an external direct product as an external
direct product
external product of cyclic groups نعطي
مثال example write
يو سبعمية وعشرين يو سبعمية وعشرين as
an external direct product as an external direct
product external
direct product of
cyclic growth نرجع
لهذه الحقائق مرة أخرى ونشوف كيف بدنا نشتغل عليها
أو ماذا نستفيد من هذه الحقائق الثلاثالنقطة الأولى
جال ال U2 isomorphic للعدد اللي هو واحد as a set
طبعا U2 مافيش فيها إلا man للعنصر اللي هو الواحد
يبقى هذا وضع طبيعي لل trivial case الحالة البديهية
U4 ل U2 تربية isomorphic ل Z2 لأن U4 فيها كام عنصر
تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة
يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو
أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة
تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة
يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة
تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة
يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة يو
أربعة تلاتة يو أربعة تلاتة
يو أربأتنين ناقص اتنين من الآن فصاعدا نشتغل بشكل
هذا يعني ال N ناقص اتنين هو أس لمين للإتنين الآن
ال UPN isomorphic لزد P أس N مطروحا منه P أس N
ناقص واحد وإنما يكون P prime و P أكبر من مين من
الإتنين يعني أنت تلاتة فصاعدايبقى هذا الكلام
قدامنا موجود بالشكل هنا هذا ايش فايديته؟ فايديته
ان ال group UN مهما كان شكلها ممكن اخليها
isomorphic لمين ل cyclic groups شو ال cyclic
groups اللي كلها بدي اكتبها بدلالة z والاعداد اللي
موجودة في z2 في z3 في z4 سهل حسابتهم لكن لو جتلى
720 بدي اكتب أرقامهامن هنا للدهر دوب نخلص و احنا
بدنا نجيب الألقام اللي relative ل prime مع مين مع
ال 720 قصتنا طويلة و حزينة لكن لما انا اكتبها بهذا
الشكل بداية ال Z بصير سهل التعامل معاها يبقى فائدة
هذه الحقيقة تسهيل التعامل مع مين مع ال U-groups
نعطيك مثال توضيحي على ذلك اللي اكتب ل U720 as a
product of cyclic aggregate بقى دي بقوله الحل
كتالة solution يبقى
انا بده اروح ل U720
هذه اللي بقدر اكتبها Uly بدي احطها على حاصل ضرب
اعداد لو قلتلك هذه عبارة عن 16×9×5 5×16 بـ 80 80×9
8×9 بـ 72 يعني 720يبقى هذا الكلام صحيح بالمائة
بالمائة هذه الان ايزو مورفك لمين ليه ستاشر
اكستيرنال دايكا product معاه تسعة اكستيرنال دايكا
product معاه خمسةطيب هذه مين هي ؟ أليست U2 أُص
أربع Extended product تلاتة ترابيع Extended
product ل U خمسة ست عشر اللي هي اتنين أُص أربع و
تلاتة ترابيع اللي هي تسعة و الخمسة زمان طيب السؤال
هو ليش كتبته زي هيك؟سوف أحاول أن أقوم بالتحويل إلى
الـ Cyclic Group. لكن عندما أحاول تحويلها بدلالة
الزد اللي لدي حسب القواعد اللي لدي بقدر أتأكد أن
كلامي مائة في المائة كله external product لل
Cyclic Group
ماشي ما احنا قلنا مشان هيك بدنا نبسط هالشغل هذه
بدنا نبسط هالشغل هذه و .. و نروح نكتبها بهذا الشكل
طيب يبقى لان كتبت الـ U 720 على الشكل اللي عندي
وهذه كتبتها بالشكل هذاالان هذه U2 أقصى 4 هنا U2
أقصى N و N أكبر من أو يسوى 3 ايزو مورفك لهذه إذا
بدي أقول له هذه ايزو مورفك لزد اتنين external
direct product مع زد بيقول لي مين اتنين هي زي ما
هيو ال n اللي هي اربعة ناقص اتنين يبقى طبقت هذه
على main على الأولى اللي هي اتنين اقص اربعة و
وصلنا هذه زى ال n التلاتة هذا prime مظبوط اذا
بيدروح لمين للحالة التالتة يبقى isomorphic لمين
لزىP التي هي ثلاثة و N اتنين ناقص ثلاثة أس اتنين
ناقص واحد ثم خلصنا هذه الامر وهناك استيقظنا ضايق
كتابة مع U خمسة اللي هي عبارة عن Z كده
اش قلنا ZP يعني Z خمسة أس واحد ناقص خمسة أس واحد
ناقص واحديبقى اوطة ويد مباشرة هذا P بثلاثة و P
بخمسة و N بواحد خمسة و S واحد ناقص واحد شوف هذه
ايش صارت صرت هذه Z دي اتنين external product مع Z
أبصر جداشأربعة ناقص اتنين باتنين اتنين تربيع باربع
يبقى هذه isomorphic لزاد اربع نجي لهذه تلاتة تربيع
تسعة و هنا تلاتة أس واحد تلاتة تسعة ناقص تلاتة
بستة يبقى isomorphic لزاد ستةوهذه الآن خمسة أس
زيرو بواحد وهنا خمسة أس واحد بخمسة ناقص واحد يبقى
زد أربع يبقى لان كتابة زد سبعمائة وعشرين على صيغة
زد اتنين external product لزد أربع external
product لزد ستة external product لزد أربع والاربع
cyclic groupsيبقى بناء عليه ال group اللي عندنا يو
سبعمية وعشرين جبت group بتعمل معاها isomorphism
وبالتالي خواص ال يو سبعمية وعشرين هي نفس الخواص
اللي عندنا يبقى بناء عليه لو جالي هاتلي element ال
order الو كذا في سبعمية وعشرينبروح على هذه هذه سهل
التعامل معاها بس ليه 720 صعب التعامل معاها إذا
بجيب هذه المكافئة لها ومن خلالها بقدر أجيب من اللي
هو ال element اللي ال order عنده يعطيني إياه في
السؤال
يبقى هذا الشكل وضع لتبسيط الحسابات العملية في ال
groups المختلفة
نعطيك
مثال على هذا الكلاموبالتالي المثال انت تعودت على
external product مكوّن من رقمين احنا هنعطيك سنة من
تلاتة من اربعة اكثر من ذلك يبقى باجي بقول example
how
many elements
of
order
سؤال مرة تانيةالسؤال بيقول ايه؟ بيقول اكم عنصر ال
order الو اتناش في ال U سبعمية و عشرين طبعا بدنا
نقعد نحسب كل element لحاله تطلع روحنا مش هنقدر
نحسبهم لكن هذه سبعمية و عشرين اللي جاتها
isomorphic لمين للي عندنا هذه بيبقى الحسابات هنا
أسهل كتير جدا من الحسابات هناك ايوةطب بتخلص بالله
في الساعتين اللي بتقدر تجيبهم؟ طب وكمان ساعتين من
9D واحسبلي كل ال elements اللي relatively prime مع
720 وادور عليهم من ال order اللي يساوي 12 انت حورر
جيب اللي بدك إياه أنا مش زعلان بس هتاخد وقت رهيب
جدا ساعتينك مش هيكفو لحساب اللي هو السؤال هذاالان
solution from the above example
من المثال اللي فوق الـ U720 أيزو مورفك ل Z2
Extended like product مع Z4 Extended like product
مع Z6 Extended like product مع Z4
أى element هنا ال order إليه يساوي اتناش يبقى بناء
عليه يبدو لو حسب فيه التانية يبقى so the number of
elements of order اتناش in u سبعمية او عشرين
equal of the number of elements of
order
طب احنا اخدنا اول نظرية في هذا section وكان مشان
اجيب ال order لل elementالمُركّب مثلا من مُركّبة
هنا بجيب ال list common multiple لمن ل ال two
orders اللي عنده وبالتالي بكون جابت ال order لل
element اللي موجود في ال external direct product
لذلك بروح أخد element هناو افترض ان هذا ال element
ال order له يساوي 12 و ابحث عن ال orders المختلفة
في هذه الحالة يبقى بداجي اقول له let ال a و ال b و
ال cوالدى موجودة في z2 similar product مع z4
similar product مع z6 similar product مع z4 such
that بحيث ان ال order لل a والb والc والd كله
بده يساوي كده؟ بده يساوي ماشيطيب الآن لما نقادي
لزد اتنين زد اتنين كم عنصر فيها اتنين يعني ال
order واحد وال order للعنصر التاني اتنين صح ولا لا
يبقى اي element في زد اتنين ال order له يا اما
واحد اللي هو ال identity يا اما اتنين طيب تاخدلي
زد اربع ال order اللي فيها واحد و كدهش و اتنين
تلاتة بتجسم الأربعة بتتكلم
على order بتتكلمش على العناصر اللي موجودة فيها
واحد واثنين واربعة واحد واثنين واربعة وفيش غيرهم
مظبوط لإن ال order لل element بيجسم لل order لل
group زد اربعة في اربعة عناصر اذا قوسم واحد اتنين
اربعة فقط لغير فيش حاجة اسمها تلاتةالعناصر اللي
موجودة في الـ Z6 واحد اتنين تلاتة ستة في شغلهم الـ
Z4 قبل قليل يبقى بدي أضع هذه المعلومة دي وبناء
عليه بدي أبدأ أحدد كم عنصر عندي يبقى هنا any
element
ن زدتر از اردت واحد واثنينAny element in Z4 has
order 1,2,4 أي element في Z6 has order 1,2,3,6 أي
element في Z4 في Z4 has element 1,2,4
طيب انا لما بدي اجيب ال order ل ال element بدي
اجيب ال least common multiples لمين للاربع orders
مش هيك بقول كويسة طلعلي ال order الأول واحد و
اتنين موجود مع هدول ولا لأ موجود مع هذه موجود مع
هذهيعني وجود إيش بس بيخر بشكل بيخليها كبيرة يبقى
في الحقيقة أنا بدي أبحث بس عن A وB وC تمام؟ لكن
هداك بدي أخليه في حسابي مش باهيم له يبقى الذي
يتحكم في ال order اللي هو ال 12 اللي هو التلاتة
الأخيرات هدولوالهدا 1 و 2 مش مشكلة يبقى عندي
عنصرين بدخلهم في الحساب بعد ذلك يبقى بدالي لل 2 و
4 اللي عندي يبقى هنا ال element ايه ال order ايه 1
و 2الـ element بي 1,2,4 ال element c 1,2,3,6 ال
element 4 1,2,4 طب الآن انا بدي ادور ال main ال
least common multiple اللي هم بده يعطيني قداش 12
وبحيث ها طلعلي هناالان الواحد و الاتنين مكررة
مالواحد و اتنين يبقى لا قيمة لها مظبوط يبقى هنا
ضال عند مينالاربعة يبقى لو كان ال order اللى بيه
بده يساوي الاربعة و ال order اللى يسيه كان تلاتة
او ستة طب ليش تلاتة او ستة؟ لأن تلاتة او اربعة
ليسكم ال multiple اللي قلهم كداش اتناش والستة
والاربعة ليسكم ال multiple اللي قلهم كمان مين
اتناش يبقى هذا اللى يساه يتحكمفى من؟ فى ال order
طب و اللى تحت هذا لتحت ما هو داخل فى الحساب لإن
واحد اتنين هي موجودة والاربعة موجودة هنا يبقى ال D
مش هتأثر عندي مش هتجيبلي معلومات جديدة يبقى باضيفة
تحصيل حاصل هي الحالة الأولى يبقى الحالة الأولى
اللى ال order ال list common multiple اللى بده
يطلع اتناش خد الحالة التانيةممكن يكون ال order
اللي دي هو أربعة و ال C له تلاتة و ستة مش هيك وارد
تمام و الباقي اللي هو اللي بيتحصيل حاصل بسيط تمام
يبقى بدنا نيجي نشتغل الشغل اللي عندنا هادي
الان قلنا بالنسبة للأولى اللي اسمها multiple تحصيل
حصل يبقى دي مش هتدخل في الحساب عندنا يبقى we have
two cases
هي عندي حالتين الحالة الأولى ان ال order لل B بده
يسوى الأربعة و ال order ل C يا إما تلاتة يا إما
ستةيبقى تلاتة واربعة الـ least common multiple
يبقى 12 الستة والاربعة ال least common multiple
يبقى 12 يبقى هدول يجيبولي ال element ال order يسوى
كم؟ ال 12 طب أكم انصر في زيد أربعة ال order يسوى
أربعة؟ بسأتنين هو الواحد والتلاتة الواحد والتلاتة
في زد أربعة ال order يساوي مين؟ الاربعة يمجى بيه
هنا يا بدها تساوي واحد يا بدها تساوي تلاتة طيب سي
هنا بدها تساوي ال order له تلاتة او ال order له
ستة اظن الواحد ال order له ستة طب و اتنين طب و
الأربعةالأردر ماذا؟ ثلاثة ثلاثة؟ طب و الست؟ واحد
واحد، واحد، واحد، واحد، واحد، واحد، واحد، واحد،
واحد،
وا
الرقم يا باخد C بواحد يا باخد الست يعني اتنين هذا
ال component يا بتكون واحد يا بتكون ست صفر ماشي
الحاجة بتزعلان ليه هذا
احنا بنحكي الآن في order كبير مش لحاله تمامأحنا
بنحكي الآن ال order لل element بده يساوي ستة مين
ال elements اللي ال order اللي هم يساوي .. ده مش
ستة .. ده خمسة .. ده خمسة الواحد و الخمسة ال order
اللي هم ستة صحيح؟ اتنين و الأربعة هم ال order اللي
هم تلاتة طيب هذا ال B و ال C طب و ال D؟لا خدها أي
شيء اي نعم and ادي arbitrary يعني خدها زي ما بدك
كويس؟ طيب لما اخدها زي المبدأ بقول اخد الأربعة لما
انا اخد يعني الأربعة مش هيتغير ليش؟ لأن ال order
سبعة هي واحد، هي اتنين، هي أربعة هي وماخدناهم
معاهدي يعني مش هيجيبولي إيش؟ ليش دي؟ يبقى الآن the
number of elements of order
الحين ال A كم عنصر فيها؟ اتنين ال B كم عنصر؟ اتنين
ال C كم عنصر؟ اربعة ال D خد زي ما بدك اجدش اربعة
يبقى أربعة في أربعة في ستاشر في أربعة باربعة وستين
يبقى اربعة وستين elementهذول ال order يساوي 12 لو
كان
هدول ال orders لكن انا كام عنصر هدول عندى اربعة نص
خد اللى بدك اياه ال orders واحد واتنين واربعة زى
الواحد واتنين واربعة اذا هدول قلت مصفع شجعون
اشتغلت في هدول تمام هدول الان هذا بضيف تحصيل حاصل
يعني ايش ما كان يكون كان ال zero كان الواحد كان
الاتنين كان التلاتة لن يغير في النتيجة شيئا وكوان
انت بتكتب element مكون من اربع مركباتيعني عندك
بدائل اتنين لل A وبدائل اتنين لل B لأن ال order
يسوى اربعة وعندك اربع بدائل لل C واربع بدائل لل D
صحيح ولا لا؟ يبقى على بعضهم كله مصيره جداش اربعة
وستين عنصر هذا هي الحالة الأولى الحالة التانيةال
order اللى دى ممكن يكون اربعة and ال order لسه يا
اما تلاتة يا اما ستة يبقى
في هذه الحالة لما ال order اللى دى بدى يساوي اربعة
اكم element بيعطينا اتنين مظبوطيبقى هنا في عندي
اتنين elements طيب لما يكون هنا في عندي جداش؟
جداش؟ اربع elements طيب
نيجي لل a جداش؟ اربع elements اتنين elements نيجي
لل b جداش عندي؟ اتنين elements
يبقى صغر الآن اتنين اخدناها
اربعة مع الخطوة اللي قبلها اه اخدناها اربعة مع
الخطوة اللي قبلها لاش نكررها لان التكرار هذا بجيب
شغلات اكتر من اللازم يبقى so we have العنصر
الأولاني اتنين والتاني اربعة واللي بعده اتنين
واللي بعده اتنينيبقى تمانية في أربعة بجداش بتنين و
تلاتين element of order اللي هو أتناشر طب إذا على
بعضهم جداش
يو سبعمية وعشرين has اللي هو قداش في الأول اربعة
وستين زائد اتنين وتلاتين ويساوي ستة وتسعين element
of order اللي هو اتناشر
يبقى بناء عليها من الآن فصاعدا لو قاللي شوف لقداش
عدد العناصر اللي ال order لهم يساوية رقم معين في
UN ال UN ال N مينما كانت تكون بدي احولها الى مين؟
بدي احولها الى ال cyclic groupsمدالة z2 و z3 و z4
و z5 و z6 و بيبقوا أحسب من مين من هذه ال z اللي هو
هذه العناصر على هيك بيكون انتهى ال section طيب في
عندك سؤال زي سؤال تلاتة بيقول ما يأتي سؤال
تلاتةبقول الـ G group with identity والـ H بيه
group with identity prove that الـ G isomorphic
الـ G isomorphic لمين؟ لل external direct product
للـ G external like product مع ال identity element
تبع ال H and ال H is isomorphic لمن؟
لل identity تبع ال G external like product مع من؟
مع ال H
خلّي بالك أني أنا عندي الـ G و ال H are groupsمش
هتقول الـH subgroup من G اللي مالعاش علاقة هذي
group و هذي group تاني بقول اثبت ان الـG هي
isomorphic لمين لـG وال external direct product
يبقى هنا بتروح اعرفله Phi من الـG الى الـG
external direct product مع E H Piفاي اف جي ممكن
اخد صورته هنا ممكن اخدها جي والاي تبع ال H
لو جيت أخدت بدل في أخدت مثلا اللي هو ال F من ال H
إلى ال identity element تبع ال G across ال H by ال
F of H بده يساوي ال external direct product لل
E تبع ال Gللـ A تابع الـ G و H بالشكل اللي عندنا
هنا او بلاش هون هذا ايه جوز وهذا ايه جي و H جوز
مباشرة يبقى بدنا نثبت من هذا طبعا إذا أثبتنا الأول
بصير التاني حرفيا زيهطيب لو جيت له الأولى يبقى بدي
اثبت له ان الـ Phi is one to one يبقى بدي اقول له
assume افترض ان Phi of G1 بدي ساوي Phi of G2 هذا
معناته ان الـ G1 و ال identity تبع ال H بدي ساوي
G2 و ال identity تبع ال Hطبعا two order pair are
equal يبقى المراكبة الأولى سواء المراكبة الأولى أو
المراكبة الثانية سواء مين المراكبة الثانية يبقى G1
سواء G2 وهذا الـEH هو نفسه الـEH أظن و هو المطلوب
الآن مداجي أثبت له أن فاي is ontoيبقى بالدرجة
اقوله افترض ان ال X موجود في ال G external product
مع ال identity تبع ال H ثم شكل ال X هذا بده يساوي
element من G و ال identity element تبع ال Hطيب هذا
حسب التعريف هو مين؟ Phi of G لذلك Phi is أنتوا بقى
لدينا Phi is an isomorphism يبقى Phi is an
isomorphism يبقى بدي أقعد أخد ال Phi of G و G2
الشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام بده يساوياللي
هو مين اللي هو five of g one g two بده يساوي اللي
هو g one g two وال إيه hهذا الكلام بده يساوي بده
احاول اكتب هذا على صيغة حاصل ضرب قوسين اذا لو جيت
قلت جي واحد مع ال E H وهنا جي اتنين مع ال E H لو
ضربت ضرب component wise يبقى بيصير جي ون جي تون
وال E H في ال E H هي بال E H itselfيبقى هذا الكلام
بده يساوي هذا Phi of G1 و هذا Phi of G2 يبقى هنا
Phi is an isomorphism وهكذا بالنسبة لمن؟ بالنسبة
للثاني