1
00:00:21,850 --> 00:00:25,810
بسم الله الرحمن الرحيم نواصل ما بدأنا فيه في

2
00:00:25,810 --> 00:00:30,430
المحاضرة الماضية بدأنا بالnormal subgroups أعطينا

3
00:00:30,430 --> 00:00:34,310
تعريف للnormal subgroups وعرفنا أن التعريف له 

4
00:00:34,310 --> 00:00:39,230
أوجه مختلفة بدل وجه ثلاثة ثم انتقلنا بعد ذلك إلى

5
00:00:39,230 --> 00:00:44,970
الfactor groups وعناصر الfactor groups كلها هي

6
00:00:44,970 --> 00:00:49,930
left cosets واخذنا على ذلك مثالا واحدا وهذا هو

7
00:00:49,930 --> 00:00:55,520
المثال رقم 2 بقول يفترض أن جي هي عبارة عن Z18

8
00:00:55,520 --> 00:00:59,600
واخدنا الsubgroup منها هي الsubgroup generated

9
00:00:59,600 --> 00:01:06,820
by 6 العناصر تبعها 0 6 12 الآن السؤال هو هل الـ H

10
00:01:06,820 --> 00:01:15,780
normal subgroup من Z18 أم لا؟ بدنا الإجابة Normal

11
00:01:15,780 --> 00:01:19,220
ليش؟ لأن جي

12
00:01:22,380 --> 00:01:27,080
أول مثال أخدته معاك لو كانت الـ group abelian يبقى

13
00:01:27,080 --> 00:01:31,660
any subgroup is normal تمام يبقى في هذه الحالة

14
00:01:31,660 --> 00:01:37,800
بقوله then الـ H is a normal subgroup من Z18

15
00:01:37,800 --> 00:01:48,050
because اللي هو Z18 is abelian كويس إذا بدي أروح

16
00:01:48,050 --> 00:01:52,990
أكون الfactor group أو بدي أعرف الfactor group

17
00:01:52,990 --> 00:02:00,710
فيها كم element هذي تمام يبقى الـ order الـ order لـ

18
00:02:00,710 --> 00:02:09,490
Z18 الموديولو 6 بده يساوي كله لفتكوه 6 يبقى الـ

19
00:02:09,490 --> 00:02:16,510
order لـ Z18 مقسوما على الـ order للـ H واللي هو

20
00:02:16,510 --> 00:02:25,600
عبارة عن 18 على 3 يبقى 6 elements يبقى الـ group هذه

21
00:02:25,600 --> 00:02:31,460
فيها ستة عناصر بدي أعرف من هذه العناصر يبقى بروح

22
00:02:31,460 --> 00:02:41,160
بقول له the elements of Z التمنتاشر modulo 6 are

23
00:02:43,100 --> 00:02:49,600
الأولان هو H itself أو الـ subgroup generated by 6

24
00:02:49,600 --> 00:02:55,000
الثاني هو 1 زائد الـ subgroup generated by 6

25
00:02:55,000 --> 00:03:00,580
الثالث 2 زائد الـ subgroup generated by 6

26
00:03:00,580 --> 00:03:06,280
الرابع هو 3 زائد الـ subgroup generated by 6

27
00:03:14,080 --> 00:03:20,300
السادس والأخير له 5 زي الـ subgroup generated by

28
00:03:20,300 --> 00:03:26,920
6 أي أي أي left coset 6 بعد ذلك لو جيت لي قلت لي 6

29
00:03:26,920 --> 00:03:31,040
زي الـ subgroup generated by 6 بقول لك هي مين هي

30
00:03:31,040 --> 00:03:36,640
الأصلية الـ subgroup الأصلية لو جيت لي قلت لي 7 زي

31
00:03:36,640 --> 00:03:40,000
الـ subgroup generated by 6 بقول لك هي الـ 1 وهكذا

32
00:03:40,610 --> 00:03:45,190
الآن داخل هذه الـ group لو بدي أجمع أو بدي أعرف الـ

33
00:03:45,190 --> 00:03:50,610
order كيف بدي أحسبه يبقى لحد هنا احنا انتهينا من

34
00:03:50,610 --> 00:03:57,450
عناصر هذه الـ group لو بدي أجي آخذ مثلا 3 زائد

35
00:03:57,450 --> 00:04:03,350
الـ subgroup generated by 6 بدي أجمع مع مين؟ مع

36
00:04:03,350 --> 00:04:08,560
الـ 5 زائد الـ subgroup generated by 6 يعني كأن

37
00:04:08,560 --> 00:04:14,100
.. كأن بدي أضرب two left cosets في بعضهم لكن لما

38
00:04:14,100 --> 00:04:19,000
كانت العملية عملية جمعية يبقى ضرب بس يتحول إلى

39
00:04:19,000 --> 00:04:22,720
جمعية المرة اللي فاتت قلنا الـ operation اللي على

40
00:04:22,720 --> 00:04:28,010
الـ left cosets هذه إن الـ A H مضروب في B H بيكون A

41
00:04:28,010 --> 00:04:35,270
B F H يبقى معنى هذا الكلام هذا بيكون 3 زائد

42
00:04:35,270 --> 00:04:40,770
5 زائد الـ subgroup generated by 6 3 زائد

43
00:04:40,770 --> 00:04:46,450
5 قداش؟ 8 8 بشيل منهم الـ 6 بظل قداش؟

44
00:04:46,450 --> 00:04:51,490
2 يبقى هذا 2 زائد الـ subgroup generated

45
00:04:51,490 --> 00:04:58,110
by 6 هيها يبقى any two left cosets لو جمعتهم

46
00:04:58,110 --> 00:05:03,790
هيعطيني واحدة من الست لإتنين هذول لو بدي أجيب مثلا

47
00:05:03,790 --> 00:05:08,550
الـ order لأي واحدة منهم يبقى بدي أروح أشوف قداش

48
00:05:08,550 --> 00:05:13,550
الرقم اللي بدي أحط أس لهذا الـ element بحيث يعطيني

49
00:05:13,550 --> 00:05:17,590
main الـ identity يعني يعطيني الـ subgroup generated

50
00:05:17,590 --> 00:05:23,420
by الـ 6 بالضبط تماما مثلًا لو جيت قلت بدي أعرف

51
00:05:23,420 --> 00:05:27,920
قداش الـ order للي 2 زائد الـ subgroup generated

52
00:05:27,920 --> 00:05:34,380
by 6 بدي بقوله كويس الآن مش هنحيب الـ order لهذا

53
00:05:34,380 --> 00:05:39,160
بدي أروح أرفع للأس 1 والأس 2 والأس 3

54
00:05:39,160 --> 00:05:45,560
لغاية ما أوصل لمين؟ للـ identity element فمثلًا لو بد

55
00:05:45,560 --> 00:05:50,380
الـ 2 زائد الـ subgroup generated by 6 لكل

56
00:05:50,380 --> 00:05:56,100
تربيع ثاني اللي هو حاصل ضرب الـ 2 يعني حاصل

57
00:05:56,100 --> 00:06:00,640
جمع الـ 2 يعني 2 مضروبة في هذا الـ element

58
00:06:00,640 --> 00:06:05,910
لأن الـ operation عملية جمعية يبقى هذا عبارة عن مين؟

59
00:06:05,910 --> 00:06:11,150
عبارة عن 4 زي الـ subgroup generated by 6 لا

60
00:06:11,150 --> 00:06:15,770
يساوي الـ identity element يبقى بناء عليه بدي آخذ

61
00:06:15,770 --> 00:06:21,410
2 زي الـ subgroup generated by 6 الكل تكعيب

62
00:06:21,410 --> 00:06:26,350
يبقى هذا بدي يساوي 6 زي الـ subgroup generated

63
00:06:26,350 --> 00:06:32,940
by 6 قداش يعطيني هذا؟ 6 itself يبقى الـ order لهذا

64
00:06:32,940 --> 00:06:37,720
الـ element يساوي 3 يبقى هذا الكلام يعطيني أن

65
00:06:37,720 --> 00:06:42,840
الـ order لـ 2 زائد subgroup generated by 6 is

66
00:06:42,840 --> 00:06:47,600
equal to 3 وهكذا يبقى كيف بدنا نضرب؟ كيف بدنا

67
00:06:47,600 --> 00:06:53,780
نجمع؟ كيف بدنا نسوي؟ هي مثال قدامك طيب نيجي نأخذ

68
00:06:53,780 --> 00:06:56,160
مثال example three

69
00:07:02,940 --> 00:07:13,320
بقول لك إن الـ G تساوي D4 والـ subgroup اللي هي K

70
00:07:13,320 --> 00:07:20,740
هي الـ subgroup generated by R180 طبعا هذه لا

71
00:07:20,740 --> 00:07:27,220
يوجد فيها إلا عنصرين اللي هو الـ R0 والـ R180

72
00:07:27,220 --> 00:07:34,160
أظن كمان هي هذا الـ center تبع الـ D4 ولا لأ؟ خلينا

73
00:07:34,160 --> 00:07:38,620
نجرب هكذا إنه لو كانت الـ Z لـ D N يا فيها الـ

74
00:07:38,620 --> 00:07:43,800
Identity فقط يا إما فيها الـ Identity والـ 180

75
00:07:43,800 --> 00:07:49,980
حسب الـ D هذه هل هي حسب الـ N؟ هل هي odd ولا

76
00:07:49,980 --> 00:07:57,460
even؟ يبقى بالشكل اللي عندنا هذا بدنا find the

77
00:07:57,460 --> 00:08:04,590
elements of طبعا في هذا الكلام بده يعطينا مدام هذي

78
00:08:04,590 --> 00:08:11,650
هيك بالشكل اللي عندنا هنا Z of D4 السؤال هو هل هذه

79
00:08:11,650 --> 00:08:17,130
normal subgroup من D4؟ ليش؟ لأن عناصرها دائما

80
00:08:17,130 --> 00:08:23,210
تتعامل مع جميع عناصر الجروب وقد أخذناهم مثلا سابقا

81
00:08:23,210 --> 00:08:31,840
يبقى بجي بقوله then الـ K is normal subgroup في D4

82
00:08:31,840 --> 00:08:43,840
يبقى find the elements بدنا عناصر of D4 modulo K

83
00:08:43,840 --> 00:08:47,720
يبقى عناصر الfactor group اللي عندنا هذه

84
00:08:54,650 --> 00:08:58,190
يبقى بدأ أروح أدور على عناصر الfactor group اللي

85
00:08:58,190 --> 00:09:02,750
عندنا هنا أول شيء بدأ أعرف قداش فيها عناصر قبل

86
00:09:02,750 --> 00:09:08,850
ما أروح أدور طيب العناصر تبعها كل الـ left cosets أو

87
00:09:08,850 --> 00:09:15,050
كل distinct left cosets يبقى الـ order لـ D4 modulo

88
00:09:15,050 --> 00:09:22,990
K بده يساوي الـ order لـ D4 مقسوما على الـ order لـ K

89
00:09:22,990 --> 00:09:28,790
هذه 8 وهذه 2 يبقى عدد العناصر فيها يساوي

90
00:09:28,790 --> 00:09:34,690
قدر 4 عناصر بدي أروح أدور على هذه العناصر

91
00:09:34,690 --> 00:09:40,790
يبقى بدي أبدأ بالـ left coset الأولى طبعا R0 وR180

92
00:09:40,790 --> 00:09:46,330
لو ضربتها في K بتظلها كما هي يبقى بقولها صفعة شجة و

93
00:09:46,330 --> 00:09:52,840
بروح آخذ R90 في main في الـ K يبقى بدأ أضربها في

94
00:09:52,840 --> 00:09:59,920
العناصر اللي جوا بصير R90 وهذه R90 في R180 اللي

95
00:09:59,920 --> 00:10:11,200
يبقى داشرة R270 هي بالضبط تماما كمان R270 في K يبقى

96
00:10:11,200 --> 00:10:14,840
هدول مش تنتهي الـ left coset سواء إنما في الحقيقة

97
00:10:14,840 --> 00:10:22,280
left coset واحدة بالمّثل بدي أروح أجيب له مين؟ الـ H

98
00:10:22,280 --> 00:10:29,200
في K هذا الكلام بده يساوي اللي هو لما أضرب الـ H في

99
00:10:29,200 --> 00:10:37,040
R0 بتعطينا H أو هنا بتعطينا H في R180 بالشكل

100
00:10:37,040 --> 00:10:42,850
اللي عندنا هذا هذا الكلام بده يساوي الـ H هنا عندك

101
00:10:42,850 --> 00:10:46,990
في الـ جدول في صفحة 1 و80 الـ H في الـ R180

102
00:10:46,990 --> 00:10:54,250
اللي هي main of V وتساوي كذلك الـ V في K

103
00:10:54,250 --> 00:10:59,950
لإن لو ضربت الـ V في K بصير هنا V وهنا V بR180 اللي

104
00:10:59,950 --> 00:11:04,210
هي عبارة عن main ع الـ H يبقى صاروا

105
00:11:04,210 --> 00:11:11,700
إثنتين وليست واحدة بالمّثل لو روحت جبت له الـ D في

106
00:11:11,700 --> 00:11:18,900
main في الـ K يبقى هذه بدها تعطيك D وهنا D في R

107
00:11:18,900 --> 00:11:25,660
180 هذه بدها تعطيك D وD' واللي هي

108
00:11:25,660 --> 00:11:31,800
بدها تساوي D' كذلك K يبقى أصبح عندي the

109
00:11:31,800 --> 00:11:33,740
elements

110
00:11:36,580 --> 00:11:43,360
The elements of D4

111
00:11:43,360 --> 00:11:50,720
modulo K R الـ element الأول اللي هو الـ K itself

112
00:11:50,720 --> 00:11:57,140
والـ element الثاني اللي هو الـ R90 في الـ K اللي

113
00:11:57,140 --> 00:12:02,720
بده يساوي R270 في K والـ element الثالث

114
00:12:02,720 --> 00:12:08,300
اللي هو الـ HK والـ element الرابع والأخير اللي هو

115
00:12:08,300 --> 00:12:14,220
DK يبقى هي الأربعة عناصر اللي موجودة عندنا والتي

116
00:12:14,220 --> 00:12:19,460
تمثل عناصر الـ factor group اللي عندنا بالضبط تماما

117
00:12:19,460 --> 00:12:26,620
طيب اللي خاطر أعطيك exercise هكذا exercise لو قلت لك

118
00:12:26,620 --> 00:12:35,490
little g تساوي D4 itself وخذ لي الـ H هي الـ

119
00:12:35,490 --> 00:12:47,270
subgroup generated by R90 السؤال هو is الـ

120
00:12:47,270 --> 00:12:59,970
D4 is D4 modulo H exist هل هذه موجودة؟ if so

121
00:13:01,510 --> 00:13:05,110
if so find it

122
00:13:07,500 --> 00:13:12,220
إذا كان الأمر كذلك بدنا إياها طبعا الـ subgroup

123
00:13:12,220 --> 00:13:16,500
generated by R90 فيها قداش كام عنصر؟ 4

124
00:13:16,500 --> 00:13:21,420
عناصر وD4 فيها قداش 8 عناصر يبقى الـ index لها

125
00:13:21,420 --> 00:13:25,800
قداش؟ مرة اللي فاتت أخذنا لو الـ group الـ index لها 

126
00:13:25,800 --> 00:13:29,180
أو الـ subgroup الـ index لها يساوى اثنين إيش بتكون

127
00:13:29,180 --> 00:13:33,360
هذه؟ إيش بتكون؟ normal subgroup مدام normal

128
00:13:33,360 --> 00:13:38,010
subgroup يبقى الـ factor group exist ما دام exist

129
00:13:38,010 --> 00:13:41,670
هذا جواب السؤال أول يوم نهلك شفوي بدنا نعرف من

130
00:13:41,670 --> 00:13:47,470
هالعنصرين فقط اللي موجودين في الـ main في الـ factor a

131
00:13:47,470 --> 00:13:52,190
group هذا بالنسبة اللي عندنا نيجي ناخد مثال آخر

132
00:14:11,040 --> 00:14:17,680
مثال رقم أربعة بيقول

133
00:14:17,680 --> 00:14:28,420
little g بدها تساوي A4 و الـ H is a subgroup من

134
00:14:28,420 --> 00:14:38,780
مين؟ من G حيث الـ H هذه فيها العناصر التالية

135
00:14:39,460 --> 00:14:47,660
identity element واحد اثنين ثلاثة أربعة العنصر

136
00:14:47,660 --> 00:14:52,880
اللي بعده واحد ثلاثة اثنين أربعة واحد ثلاثة اثنين 

137
00:14:52,880 --> 00:15:00,240
أربعة العنصر اللي بعده واحد أربعة اثنين ثلاثة واحد

138
00:15:00,240 --> 00:15:06,540
أربعة اثنين ثلاثة بالشكل اللي عندنا هذا number a

139
00:15:06,540 --> 00:15:16,060
show that بيّن لي أن الـ H is a normal subgroup من من

140
00:15:16,060 --> 00:15:27,760
الـ G نمرة B show that بيّن لي أن الـ A for modulo H

141
00:15:27,760 --> 00:15:31,640
is cyclic

142
00:16:01,560 --> 00:16:09,740
الآن مواطين الـ G هي الـ A4 من الـ A4 هذي ممتاز جدا

143
00:16:09,740 --> 00:16:14,760
يبقى هذي the sixth of all even permutations of S4

144
00:16:14,760 --> 00:16:21,810
عدد أنصارها كدهش؟ 12 عنصر تمام يبقى عدد الـ A4 12

145
00:16:21,810 --> 00:16:26,530
عنصر أخذنا الـ subgroup منها الـ subgroup اللي هي H

146
00:16:26,530 --> 00:16:31,710
زي ما أنت شايف بنقل عليه بسأل السؤال هل الـ H هذي

147
00:16:31,710 --> 00:16:37,510
normal subgroup من G أم لا؟ إن كانت عامة إذا كانت

148
00:16:37,510 --> 00:16:45,410
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة

149
00:16:45,410 --> 00:16:47,170
إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا 

150
00:16:47,170 --> 00:16:47,450
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت

151
00:16:47,450 --> 00:16:47,470
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت

152
00:16:47,470 --> 00:16:47,730
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا

153
00:16:47,730 --> 00:16:48,330
كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا كانت

154
00:16:48,330 --> 00:17:00,070
عامة إذا كانت عامة إذا كانت عامة إذا 

155
00:17:00,070 --> 00:17:08,110
كانت عامة قداش الـ order لأي element موجود في H أو

156
00:17:08,110 --> 00:17:14,690
أو أربعة أو ثلاثة يعني اثنين أو أربعة أو ثلاثة

157
00:17:14,690 --> 00:17:20,970
عناصر ليليتش هيهم قدامك قداش الـ اثنين أو أربعة بس

158
00:17:20,970 --> 00:17:26,850
اثنين ما فيش غير واحد ما فيش واحد يعني يبقى الـ order

159
00:17:26,850 --> 00:17:33,370
إلا واحد أو اثنين الـ least common multiple لمين؟ للـ

160
00:17:33,370 --> 00:17:38,230
cycles اللي عندنا يبقى الـ order يا إما واحد يا إما

161
00:17:38,230 --> 00:17:44,550
اثنين لا يزيد عن ذلك طبعا هذه ممكن تعمل فيها

162
00:17:44,550 --> 00:17:47,250
composition وهذه ممكن تعمل فيها composition إن

163
00:17:47,250 --> 00:17:51,650
كانت تقدر طبعا هذه ما فيش إمكانية هذه ما فيش إمكانية

164
00:17:51,650 --> 00:17:56,190
هذه كمان ما فيش إمكانية يبقى هؤلاء الـ order is giant

165
00:17:56,190 --> 00:17:59,390
cycle يبقى الـ اسكومة المطلوبة اللي طول كل واحدة

166
00:17:59,390 --> 00:18:02,030
منهم الـ اسكومة اللي طول الاثنين والاثنين اللي هو B2

167
00:18:02,630 --> 00:18:10,430
يبقى هدول كمان هدول كل العناصر اللي في A4 واللي الـ

168
00:18:10,430 --> 00:18:16,410
order اللي لهم يساوي اثنين صح؟ يعني أنت لو رحت

169
00:18:16,410 --> 00:18:21,470
للتفصيلات تبعت A4 في صفحة 107 من الكتاب 107 من

170
00:18:21,470 --> 00:18:28,330
الكتاب حط لك كل عناصر الـ A4 لـ 12 صفهم لك صف هدول فقط

171
00:18:28,630 --> 00:18:33,710
هم اللي الـ order لهم يساوي واحد أو اثنين غير هيك

172
00:18:33,710 --> 00:18:37,430
ما جابش هايب الأوضة ومعظمها كلهم جابوا ماء قدامهم

173
00:18:37,430 --> 00:18:47,850
يبقى أول شغلة observe that observe that لاحظ أن الـ

174
00:18:47,850 --> 00:18:53,610
elements of

175
00:18:53,610 --> 00:18:58,290
H are all

176
00:19:01,630 --> 00:19:14,830
الأشياء من A4 التي لديها order 2 أو 1

177
00:19:18,250 --> 00:19:23,730
يبقى عناصر H هما كل عناصر A4 اللي الـ order لهم

178
00:19:23,730 --> 00:19:28,050
يساوي إما اثنين أو واحد طبعا الـ order اللي هذه

179
00:19:28,050 --> 00:19:30,430
اثنين الـ order اللي هذه اثنين الـ order اللي هذه

180
00:19:30,430 --> 00:19:35,990
اثنين الـ order اللي هذه واحد تمام يبقى هدول كلهم

181
00:19:35,990 --> 00:19:39,270
عناصر A4 بلا استثناء

182
00:19:42,420 --> 00:19:50,300
هذه المعلومة لازم تكون عامة لازم تكون عامة

183
00:19:55,440 --> 00:19:58,680
و أثبت أن حاصل الـ element تبع الـ G في الـ element

184
00:19:58,680 --> 00:20:02,120
تبع الـ H في معكوس الـ element تبع الـ G بدي يكون

185
00:20:02,120 --> 00:20:08,260
موجود وين؟ في H ممتاز إذا يبقى أنا بروح أقول له خد لي

186
00:20:08,260 --> 00:20:15,080
Alpha موجودة في الـ A4 و الـ Alpha does not belong

187
00:20:15,080 --> 00:20:21,940
to H بدي أخذها من وين؟ من خارج الـ H و الـ Beta

188
00:20:21,940 --> 00:20:29,210
موجودة وين؟ في H يبقى أنا أخذت Alpha موجودة في A4 و

189
00:20:29,210 --> 00:20:34,710
خارج H وأخذت الـ Beta موجودة في H موجودة في اين؟

190
00:20:34,710 --> 00:20:43,380
موجودة في H موجودة في H ولا لا؟ بمعنى آخر الله إن

191
00:20:43,380 --> 00:20:47,120
كان الـ Alpha Beta Alpha يتشيل كل تربيع يعطاني الـ

192
00:20:47,120 --> 00:20:52,640
identity إذا الـ order يساوي اثنين إذا هتكون واحد من

193
00:20:52,640 --> 00:20:58,440
هدول يبقى بتكون one بتكون فائدة يبقى هنا الـ order

194
00:20:58,440 --> 00:21:04,110
لا بيقدرش ثانية لأنها موجودة في H لأنه في H كل واحد

195
00:21:04,110 --> 00:21:09,110
الـ order له يساوي اثنين يبقى بداجي آخذ له الآن

196
00:21:09,110 --> 00:21:15,430
Alpha Beta Alpha Inverse لكل تربيع هي Alpha Beta

197
00:21:15,430 --> 00:21:21,440
Alpha Inverse Alpha Beta Alpha Inverse هذا التربيع

198
00:21:21,440 --> 00:21:26,520
تبعها الآن من خاصية الـ associativity هذه Alpha

199
00:21:26,520 --> 00:21:33,520
Beta في Alpha Inverse Alpha في Beta Alpha Inverse

200
00:21:33,520 --> 00:21:38,060
خاصية الـ associativity دمجت اثنين هدول مالهم مع

201
00:21:38,060 --> 00:21:41,640
بعض طب هذا العنصر في المعكس هو مش بيعطينا الـ

202
00:21:41,640 --> 00:21:47,180
identity يبقى بروح مع السلامة يبقى بصير Alpha Beta

203
00:21:47,180 --> 00:21:53,500
تربيع Alpha Inverse بيتا تربيع أبجداش لأنها موجودة

204
00:21:53,500 --> 00:22:00,540
وين؟ في H يبقى هذا الكلام بده يساوي Alpha الـ

205
00:22:00,540 --> 00:22:07,780
identity في الـ Alpha Inverse السبب because إن الـ

206
00:22:07,780 --> 00:22:14,060
order لـ Beta بده يساوي قداش؟ بده يساوي اثنين هذا

207
00:22:14,060 --> 00:22:18,020
البرنامج سيعطينا الـ Alpha Alpha Inverse اللي هو

208
00:22:18,020 --> 00:22:21,000
الـ Main الـ Identity احنا حطيناها بواحد ولا

209
00:22:21,000 --> 00:22:25,880
نغيرها يبقى عدلها بواحد يبقى هذا البرنامج سيعطينا

210
00:22:25,880 --> 00:22:30,710
الـ Main اللي هو بواحد صحيح يبقى بناء عليه هذا

211
00:22:30,710 --> 00:22:36,170
سيعطينا أن الـ order لـ Alpha Beta Alpha Inverse هو

212
00:22:36,170 --> 00:22:43,370
اثنين هذا معناه أن الـ Alpha Beta Alpha Inverse

213
00:22:43,370 --> 00:22:46,910
موجودة في normal subgroup

214
00:22:59,830 --> 00:23:06,380
هذا الحل اللي حليناه هو المطلوب الأول نمرا a المطلوب

215
00:23:06,380 --> 00:23:12,220
الثاني نمرا b بيقول لي في نمرا b اثبت لي أن الـ

216
00:23:12,220 --> 00:23:17,120
factor group اللي عندنا هذه is a cyclic group

217
00:23:17,120 --> 00:23:25,220
بيقول لك خيص تعال نشوف قداش الـ order للـ A for modulo

218
00:23:25,220 --> 00:23:32,140
H اللي بقول عليها يبقى هذا بده يساوي الـ order للـ A4

219
00:23:32,140 --> 00:23:37,480
على الـ order للـ H هذه عبارة عن اثنا عشر على أربعة

220
00:23:37,480 --> 00:23:42,380
يساوي كدهش؟ ثلاثة

221
00:23:42,380 --> 00:23:52,590
is prime نرجع لمين؟ نرجع لأخذنا نظرية مشهورة قلنا في

222
00:23:52,590 --> 00:23:57,050
الجبر نظرية الـ grunge و الـ crawlers اللي عليها الـ

223
00:23:57,050 --> 00:24:01,870
crawlers رقمتهم كان بيقول لي إذا كان الـ order للـ

224
00:24:01,870 --> 00:24:06,550
group أو للـ sub group الـ prime number يبقى هي...

225
00:24:06,550 --> 00:24:16,750
هي cyclic group يبقى by her previous corollary

226
00:24:19,010 --> 00:24:26,770
اللي هي اثنين على نظرية Lagrange we have إن الـ A4

227
00:24:26,770 --> 00:24:35,790
modulo H is cyclic طيب

228
00:24:35,790 --> 00:24:45,560
حابب أتعرف على شكل العناصر check that تأكد لي أن الـ

229
00:24:45,560 --> 00:24:53,820
A4 modulo H عناصرها اللي هم على الشكل التالي الـ H

230
00:24:53,820 --> 00:25:03,560
واحد اثنين ثلاثة في H واحد ثلاثة اثنين في H كيف

231
00:25:03,560 --> 00:25:12,180
بدي أعرفها؟ يبقى بدي أمسك العناصر من خارج H لأن أي

232
00:25:12,180 --> 00:25:15,660
عنصر ما نشتغله في H بده تطلع نفس الـ H إذا كتروح

233
00:25:15,660 --> 00:25:22,100
أجيب للعناصر اللي ضايلة في A4 صفحة 107 وتضربهم وين

234
00:25:22,100 --> 00:25:26,800
تضرب من في العناصر اللي عندك دائما وابدا حيطلع

235
00:25:26,800 --> 00:25:33,870
واحد من الثلاثة دول إذا لازم أجيبها لك كأي حاجة

236
00:25:33,870 --> 00:25:42,110
بتلزم كجدول بيجيبوها لك أنا بديك تبقى فاهم وليس

237
00:25:42,110 --> 00:25:47,870
حافظ تمام يبقى الـ A for module H اللي عناصرها H

238
00:25:47,870 --> 00:25:53,690
واحد اثنين ثلاثة H واحد ثلاثة اثنين H طب السؤال هو

239
00:25:53,690 --> 00:25:57,230
قداش الـ order لهذه الـ element

240
00:26:05,570 --> 00:26:17,390
أربعة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة ستة

241
00:26:17,390 --> 00:26:21,630
ستة

242
00:26:23,010 --> 00:26:27,830
يا واحد يا ثلاثة وغير هيك ما فيش فيش بالمرة واحد هي

243
00:26:27,830 --> 00:26:31,830
يبقى غصب عني وعنك الـ order إلى يساوي ثلاثة الحين

244
00:26:31,830 --> 00:26:35,750
هذه لم تجد طولها ثلاثة المهوض لما تقول تربيع تبدأ

245
00:26:35,750 --> 00:26:39,610
تربيع هذه وهذه ثابتة تقول تكعيد الكعب هذه وهذه

246
00:26:39,610 --> 00:26:43,870
ثابتة هذه طولها يساوي ثلاثة يعني الـ order إلى يساوي

247
00:26:43,870 --> 00:26:48,070
ثلاثة يبقى الـ order لكل واحد من هذول ثلاثة يبقى كل

248
00:26:48,070 --> 00:26:53,990
واحد عبارة عن generator لمن؟ للـ group اللي عندنا

249
00:26:53,990 --> 00:27:03,170
يعني يبقى باجي بقول clearly كمان إنه الواحد اثنين

250
00:27:03,170 --> 00:27:14,650
ثلاثة each and clearly إنه each of هـ of الواحد 

251
00:27:14,650 --> 00:27:24,930
اتنين تلاتة في H وواحد تلاتة اتنين في H is a

252
00:27:24,930 --> 00:27:36,580
generator for الـ a4 modulo H والسبب because إن الـ

253
00:27:36,580 --> 00:27:44,760
order للواحد اتنين ثلاثة في H بده يساوي الـ order

254
00:27:44,760 --> 00:27:51,780
للواحد تلاتة اتنين في H بده يساوي كده تلاتة يبقى

255
00:27:51,780 --> 00:27:55,580
كل واحد فيهم عبارة عن generator

256
00:27:59,280 --> 00:28:04,300
طب خلّيني أسأل كل واحد معكوس لنفسه والله واحد

257
00:28:04,300 --> 00:28:10,640
فيهم معكوس الثاني بمعنى هل الواحد اتنين تلاتة و

258
00:28:10,640 --> 00:28:15,620
الواحد تلاتة اتنين معكوس لنفسه كل واحد والله

259
00:28:15,620 --> 00:28:19,820
اتنين معكوسة لبعض تعالوا اضربهم في بعض الواحد

260
00:28:19,820 --> 00:28:24,800
بيروح لوين؟ والتلاتة بيروح لمين؟ صف على شجر الـ

261
00:28:24,800 --> 00:28:28,850
identity الواحد راح على الواحد بنمسك التلاتة بتروح

262
00:28:28,850 --> 00:28:34,190
لمين؟ لاتنين والاتنين بتروح صف على شجر الـ identity

263
00:28:34,190 --> 00:28:37,950
الاتنين بيروح للواحد والواحد بيروح لاتنين يبقى الـ

264
00:28:37,950 --> 00:28:43,630
identity يبقى كل واحد فيهم معكوس للآخر وليس معكوس

265
00:28:43,630 --> 00:28:51,040
لنفسه إذا الـ element هذا في حد ذاته هو معكوس لمن؟

266
00:28:51,040 --> 00:28:57,480
لهذا الـ element وفي نفس الوقت الـ element هذا كله

267
00:28:57,480 --> 00:29:03,160
هو معكوس لهذا الـ element في الـ factor group لأن لو

268
00:29:03,160 --> 00:29:12,730
ضربتهم في بعضهم سأحصل على الـ identity not that ان

269
00:29:12,730 --> 00:29:22,690
الواحد اتنين تلاتة each is the inverse of الواحد

270
00:29:22,690 --> 00:29:24,870
تلاتة اتنين each because

271
00:29:28,030 --> 00:29:33,110
لو ضربت في بعض بدي أطين مين الـ identity element في

272
00:29:33,110 --> 00:29:39,630
H في 1 3 2 H حسب التعريف على الـ factor group الـ

273
00:29:39,630 --> 00:29:44,090
operation قولنا بنضرب الـ two elements في بعض يبقى

274
00:29:44,090 --> 00:29:54,540
123 132 في H ويساوي نمسك الأول مرة تانية الواحد

275
00:29:54,540 --> 00:30:00,420
صورته تلاتة والتلاتة صورتها واحد يبقى ما عنديش إلا

276
00:30:00,420 --> 00:30:05,780
الواحد نمسك اللي بعده اتنين اتنين صورته واحد

277
00:30:05,780 --> 00:30:11,540
والواحد صورته اتنين يبقى جافلة نمسك التلاتة تلاتة

278
00:30:11,540 --> 00:30:16,930
صورتها اتنين واتنين صورتها تلاتة يبقى جافلة وهذا

279
00:30:16,930 --> 00:30:22,850
الـ main الـ H اللي بتعطيك الـ H itself لأن هذا

280
00:30:22,850 --> 00:30:28,890
كله بالـ identity element يبقى بناء عليه فعلا هذا

281
00:30:28,890 --> 00:30:33,470
الـ element هو معكوس لمين؟ معكوس للـ element اللي

282
00:30:33,470 --> 00:30:34,550
عندنا هذا

283
00:30:52,470 --> 00:31:00,730
يبقى هذا كان مثال أربعة مثال

284
00:31:00,730 --> 00:31:01,470
خمسة

285
00:31:06,680 --> 00:31:14,420
بقول لي U 32 بتساوي U 32 اللي عناصرها

286
00:31:14,420 --> 00:31:22,540
طبعا اللي هي واحد وتلاتة وخمسة وسبعة وتمانية

287
00:31:22,540 --> 00:31:39,910
تسعة عشر احداش تلتاش اربعتاش خمستاش 15 16 17 19 20

288
00:31:39,910 --> 00:32:00,830
21 20 23 بعد 23 24 25 27 28 29 31 ما فيش غيرها طيب

289
00:32:00,830 --> 00:32:06,930
هذا بده يعطيني إن الـ order لليو اتنين وتلاتين بده

290
00:32:06,930 --> 00:32:12,030
يساوي واحد اتنين تلاتة أربعة خمسة ستة سبعة تمانية

291
00:32:12,030 --> 00:32:15,550
تسعة عشر احداشر اتناشر تلاتاشر اربعاشر خمساشر

292
00:32:15,550 --> 00:32:20,730
ستاشر عنصر في الـ group اللي عندنا هنا بدنا نروح

293
00:32:20,730 --> 00:32:26,980
ناخد sub group منها let الـ H هي الـ subgroup

294
00:32:26,980 --> 00:32:32,420
generated by خمستاشر واللي ما فيش فيها إلا العنصرين

295
00:32:32,420 --> 00:32:41,000
واحد وخمستاشر السؤال هو هل الـ H هذي abelian؟ الـ

296
00:32:41,000 --> 00:32:46,150
H just a normal subgroup من الـ U تلاتة؟ نعم لأن

297
00:32:46,150 --> 00:32:52,690
هذيك الـ U اتنين وتلاتين is abelian يبقى then الـ

298
00:32:52,690 --> 00:32:59,110
H is a normal subgroup من الـ U اتنين وتلاتين

299
00:32:59,110 --> 00:33:07,010
because السبب because إن U اتنين وتلاتين is a

300
00:33:07,010 --> 00:33:11,990
abelian معناته بقدر أكون الـ factor group يعني الـ

301
00:33:11,990 --> 00:33:18,650
factor group exist يبقى هذا بده يعطيك إن الـ U 32

302
00:33:18,650 --> 00:33:29,290
modulo H modulo H exist موجودة السؤال هو طب بنقدر

303
00:33:29,290 --> 00:33:34,730
نجيب عناصرها قبل السؤال يبقى الـ order ليه 32

304
00:33:34,730 --> 00:33:42,390
modulo H بده يساوي اللي هو 16 على قداش على 2 و

305
00:33:42,390 --> 00:33:48,630
يساوي 8 يبقى هذا الـ group هذه فيها ثمانية عناصر

306
00:33:48,630 --> 00:33:52,230
اسمع السؤال الـ question is

307
00:33:58,580 --> 00:34:09,400
السؤال هو هل is الـ G modulo H isomorphic لـ Z

308
00:34:09,400 --> 00:34:12,160
تمانية ولا Z

309
00:34:35,940 --> 00:34:43,120
طيب نرجع لسوالنا مرة تانية بقول لي احنا جه أخدنا الـ

310
00:34:43,120 --> 00:34:47,540
U32 أخدنا الـ subgroup generated by خمستاشر اللي

311
00:34:47,540 --> 00:34:53,220
فيهاش اللي غير عنصرين واحد وخمستاشر وخمستاشر تربيع

312
00:34:53,220 --> 00:35:02,080
متين وخمسة وعشرين اللي هي عبارة عن واحد في U32 لأن

313
00:35:02,080 --> 00:35:09,100
الـ 224 هي مضاعفات 32 يبقى ما فيش فيها إلا عنصرين

314
00:35:09,100 --> 00:35:13,780
any subgroup من الـ abelian group is normal يبقى الـ

315
00:35:13,780 --> 00:35:18,000
subgroup اللي أخدناها normal subgroup من الـ U32

316
00:35:18,000 --> 00:35:23,420
يبقى الـ factor group exist وفيها ثمانية عناصر

317
00:35:23,730 --> 00:35:30,010
السؤال هو هل الـ G-modulation isomorphic لـ Z8 ولا لـ

318
00:35:30,010 --> 00:35:35,050
Z4 external product مع Z2 ولا لـ Z2 external

319
00:35:35,050 --> 00:35:40,730
product مع Z2 external product مع Z2 كذلك أم لا؟

320
00:35:40,730 --> 00:35:46,920
هذه تمان عناصر هذه تمان عناصرهذه تمام عناصر تمام

321
00:35:46,920 --> 00:35:52,680
التمام بدنا نيجي نشوف مين نستبعد ومين نخليه قداش

322
00:35:52,680 --> 00:35:57,560
أكبر order لأي element موجود هنا تمانية تمانية

323
00:35:57,560 --> 00:36:03,960
قداش أكبر order لأي element هنا كداش أربعة ما يزيدش

324
00:36:03,960 --> 00:36:06,740
عن أربعة اللي هو least common multiple للأربعة

325
00:36:06,740 --> 00:36:10,620
واتنين أو للأربعة والواحد سيام قداش الـ maximum

326
00:36:10,620 --> 00:36:14,510
order لأي element هنا اتنين يبقى أكبر واحد هناك

327
00:36:14,510 --> 00:36:19,050
تمانية أكبر واحد اتنين وأكبر واحد هنا أربعة طب

328
00:36:19,050 --> 00:36:24,590
السؤال هو الـ G modulo H فيها ثمانية عناصر لو روحت

329
00:36:24,590 --> 00:36:29,770
عناصرها كلهم lift كو ستة لو روحت للأور السبع lift

330
00:36:29,770 --> 00:36:34,730
كو ستة ولجيته يساوي تمانية معناته هذا generator

331
00:36:34,730 --> 00:36:39,470
وبالتالي isomorphic لـ Z تمانية لكن إذا ما لجيتهش

332
00:36:39,470 --> 00:36:44,600
فيها ولا generator إذا لا يمكن أن تكون isomorphic

333
00:36:44,600 --> 00:36:49,580
لمعنى لـ Z تمانية بيظل احتمال هنا يا إما لـ Z

334
00:36:49,580 --> 00:36:52,440
أربعة cross product مع Z اتنين أو Z اتنين

335
00:36:52,440 --> 00:36:55,700
cross product مع Z اتنين cross product مع

336
00:36:55,700 --> 00:37:01,600
Z اتنين الثانية لذلك هذه العناصر قدامك كلها

337
00:37:01,600 --> 00:37:07,260
نستطيع أن نحصل على left coset أول واحدة تبقى الأول

338
00:37:07,260 --> 00:37:11,800
واحد بتضرب التلاتة في K في H مش هذي left coset

339
00:37:11,800 --> 00:37:18,600
كذلك يعني أحد عناصر من الـ group الآن بداجي أقوله

340
00:37:18,600 --> 00:37:26,880
تلاتة H هذي موجودة في الـ U تنين وتلاتين modulo

341
00:37:26,880 --> 00:37:35,790
اللي هو من H لو جيت تلاتة H هل هذه تساوي H تسلف؟

342
00:37:35,790 --> 00:37:40,950
يعني لو ضربت هنا في من في تلاتة بصير تلاتة وتلاتة

343
00:37:40,950 --> 00:37:45,470
في خمستاشر بخمسة وأربعين شيء اللي بيبقى تلتاش هل

344
00:37:45,470 --> 00:37:52,790
هي H؟ لأ اتنين لو جيت قلت لك تلاتة H لكل تربيع

345
00:37:55,240 --> 00:37:59,440
آه يعني لو طلع الـ identity اتنين هذي بتجسم

346
00:37:59,440 --> 00:38:03,620
التمانية يعني ممكن مش في مشكلة هذا الكلام بده

347
00:38:03,620 --> 00:38:12,460
يساوي تسعة H هل تسعة H تساوي H اضربها تسعة وهذي

348
00:38:12,460 --> 00:38:17,400
تسعة في خمستاشر إذا لا يمكن أن تساوي مين H أخد تلاتة

349
00:38:17,400 --> 00:38:24,320
H تكيب لأ لأن التلاتة لا تقسم مين التمانية يبقى

350
00:38:24,320 --> 00:38:27,420
فيش element الـ order إله يساوي التلاتة يبقى ما

351
00:38:27,420 --> 00:38:36,620
تغلبش حالك روح على مين؟ على تلاتة H أُس أربعة يبقى

352
00:38:36,620 --> 00:38:41,060
هذه عبارة عن قداش تسعة في تسعة بواحد وتمانين H

353
00:38:41,060 --> 00:38:45,400
هذا الكلام يساوي تنين وتلاتين وتنين وتلاتين

354
00:38:45,400 --> 00:38:49,840
أربعة وستون من واحد وتمانين ستاشر وواحد و

355
00:38:49,840 --> 00:38:57,580
سبعتاشر يبقى هذه سبعتاشر H هل السبعتاشر H بيساوي

356
00:38:57,580 --> 00:39:03,980
H؟ لأ يبقى سعر الـ order لهذا الـ element لا يمكن أن

357
00:39:03,980 --> 00:39:08,800
يكون أربعة أروح أدور على خمسة وستة وسبعة يبقى

358
00:39:08,800 --> 00:39:13,020
automatic الـ order إله يساوي قداش تمانية لأن الـ order

359
00:39:13,020 --> 00:39:16,100
للـ element اللي بيجسم للـ order اللي جمده ما تحصل

360
00:39:16,100 --> 00:39:21,540
على طول الخطة بنستنتجها يبقى هذا بده يعطينا إن الـ

361
00:39:21,540 --> 00:39:27,480
order لتلاتة H بده يساوي قداش تمانية because

362
00:39:30,700 --> 00:39:36,000
the order of

363
00:39:36,000 --> 00:39:46,880
the element divide the order of the group

364
00:39:51,730 --> 00:39:55,870
لأن الـ order للـ element بيجسم الـ order للـ group

365
00:39:55,870 --> 00:40:02,370
يبقى لا يمكن أن أنا أجد الـ order خمسة ولا ستة ولا

366
00:40:02,370 --> 00:40:07,230
سبعة إذا الـ order يساوي كمان تمانية معناته هذا الـ

367
00:40:07,230 --> 00:40:17,290
element ماله generator يبقى هنا الـ ثلاثة H is a

368
00:40:17,290 --> 00:40:19,150
generator

369
00:40:20,550 --> 00:40:29,770
Four اللي هو من الـ U اتنين وتلاتين modulo H مدام

370
00:40:29,770 --> 00:40:36,150
generator يبقى هذه مالها Cyclic يبقى هذا يعطينا إن

371
00:40:36,150 --> 00:40:45,570
U اتنين وتلاتين U اتنين وتلاتين modulo 11 is

372
00:40:45,570 --> 00:40:51,500
cyclic Madame Cyclic يبقى هل يمكن أن تكون

373
00:40:51,500 --> 00:40:56,460
isomorphic لهذه لأن هذا أكبر order لها يساوي اتنين

374
00:40:56,460 --> 00:41:02,160
isomorphic لهذه لأ لأن أكبر order عنها مين يساوي

375
00:41:02,160 --> 00:41:08,980
أربعة يبقى هنا الـ U تنين وتلاتي موديل أحداشر 

376
00:41:08,980 --> 00:41:12,780
isomorphic لـ Z8 because

377
00:41:16,450 --> 00:41:31,430
Z4 external like product مع Z2 has

378
00:41:31,430 --> 00:41:34,490
no element

379
00:41:36,400 --> 00:41:43,400
of order  مافيش ولا عنصر يبقى هذي صارت

380
00:41:43,400 --> 00:41:51,220
isomorphic لـ مين؟ لـ .. لـ group اللي عندنا هذي الآن

381
00:41:51,220 --> 00:41:56,900
بدنا نيجي لنظرية طبعا أخدت أمثلة لا بأس بها كثيرة

382
00:41:56,900 --> 00:42:01,700
على الـ normal و على الـ factor group بنيجي لأول

383
00:42:01,700 --> 00:42:08,430
نظرية في هذا الموضوع بتقول الـ Center تبع الـ

384
00:42:08,430 --> 00:42:16,690
Group G of

385
00:42:16,690 --> 00:42:22,430
a

386
00:42:22,430 --> 00:42:30,570
group G if الـ G modulo Center بتبع الـ G is

387
00:42:30,570 --> 00:42:36,820
cyclic then الـ G is abelian

388
00:43:06,770 --> 00:43:07,570
خلّي بركة

389
00:43:10,260 --> 00:43:14,500
عندنا Z of G الـ Center تبع لـ Group G وبنعرف الـ

390
00:43:14,500 --> 00:43:18,780
Center اللي بيجمع كل العناصر الكميوس مع جميع عناصر

391
00:43:18,780 --> 00:43:23,120
G بالاستثناء يبقى لو كانت الـ G modulo Z Cyclic

392
00:43:23,120 --> 00:43:29,000
يبقى بنثبت له إنه G الأصلية is Abelian يبقى

393
00:43:29,000 --> 00:43:35,800
المعطيات اللي عندي أ assume that إن الـ G modulo Z

394
00:43:35,800 --> 00:43:43,120
of G is Cyclic ما دام Cyclic يبقى إيه ايش؟لها

395
00:43:43,120 --> 00:43:54,560
generator ما دام Cyclic يبقى الـG في الـZ of G بـA

396
00:43:54,560 --> 00:43:56,160
generator

397
00:43:57,710 --> 00:44:03,690
يفترض ان هذا generator اله يعني أي element فيها

398
00:44:03,690 --> 00:44:11,230
يكون هذا ال element مرفوع لمين؟ لأس محددة يبقى then

399
00:44:11,230 --> 00:44:18,190
الـ g modulo center بتبع الـ g هي sub group أو ال

400
00:44:18,190 --> 00:44:23,850
group generated by g في الـ z of g بالشكل اللي

401
00:44:23,850 --> 00:44:30,950
عندنا الآن بدي أقول له let الـ a و الـ b موجودة في g

402
00:44:30,950 --> 00:44:37,430
إذا قدرت أثبت له إن الـ a في b هي الـ b في a بتما

403
00:44:37,430 --> 00:44:44,990
المطلوب تمام؟ إذا حاجة أقوله الآن الـ a موجودة في

404
00:44:44,990 --> 00:44:50,630
الـ a في الـ center بتبع الـ g صح ولا لا؟ الـ element

405
00:44:50,630 --> 00:44:57,550
A موجود في أي lift-go set طب هذا الـ element موجود

406
00:44:57,550 --> 00:45:04,750
في الـ group هذه ولا لا؟ إيه في الـ center؟ موجود

407
00:45:04,750 --> 00:45:08,690
هنا ولا لا؟ صح؟ مالكه بلعته

408
00:45:16,880 --> 00:45:28,400
يبقى هنا هذا الكلام يبقى ميم يبقى ميم

409
00:45:28,400 --> 00:45:29,320
ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم

410
00:45:29,320 --> 00:45:29,380
يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى ميم يبقى

411
00:45:29,380 --> 00:45:35,820
ميم يبقى واللي هو بده يساوي GI في الـ center اللي

412
00:45:35,820 --> 00:45:45,210
تبع الـ G for some I  بالمثل الـ B موجود في الـ B في

413
00:45:45,210 --> 00:45:50,450
الـ Center بتابع الـ G و اللي هو بده يساوي G في

414
00:45:50,450 --> 00:45:57,570
الـ Center بتابع الـ G مرفوع لأُس J وهذا GG للـ

415
00:45:57,570 --> 00:46:05,970
Center بتابع الـ Group G for some J الآن خدلي AB

416
00:46:08,110 --> 00:46:15,830
يبقى الـ a,b بده يساوي الـ a,b هذه a موجودة هنا يبقى

417
00:46:15,830 --> 00:46:21,990
موجودة هنا مدام موجودة هنا يبقى بقدر أقول إن الـ a

418
00:46:21,990 --> 00:46:31,550
تساوي g,i,x for some x وهذا بده يعطيني إن b تساوي

419
00:46:31,550 --> 00:46:42,650
g,j,y for some y وارسم Y يبقى الـ A بي بده يساوي ال

420
00:46:42,650 --> 00:46:49,630
A اللي عندي اللي هي main اللي هي GIX والـ B اللي هي

421
00:46:49,630 --> 00:46:52,070
GJY

422
00:46:54,390 --> 00:46:59,310
الإكس والواي والإكس والواي والإكس والواي يا سيدي

423
00:46:59,310 --> 00:47:03,910
اللي هم في الـ center إذا بقدر أبدل زي ما بدي تمام

424
00:47:03,910 --> 00:47:12,040
يبقى هذا بتقدر تقولي GI جي جي في الـ X Y بدلت

425
00:47:12,040 --> 00:47:17,700
التنتين هذول مع بعض لإن X موجودة في الـ center طيب

426
00:47:17,700 --> 00:47:26,200
هذه بقدر أبدل كمان بقدر أقول جي جي في جي I وهذه Y

427
00:47:26,200 --> 00:47:26,860
في X

428
00:47:30,120 --> 00:47:34,100
الآن بدي أبدل هدول مع بعض لإن الـ X و الـ Y في ال

429
00:47:34,100 --> 00:47:37,980
center يبدلوا مع بعض دوري يبقى هذا الكلام يبدو

430
00:47:37,980 --> 00:47:51,200
يساوي GJ و هنا Y و هنا GIX هذا B وهذا A يبقى G

431
00:47:51,200 --> 00:47:54,180
Abelian يبقى هنا Das

432
00:48:02,290 --> 00:48:10,990
يبقى من الانفة ساعدا اه

433
00:48:10,990 --> 00:48:15,070
طبعا

434
00:48:15,070 --> 00:48:23,230
هاي موجودة هنا يبقى تساوي GI في element من ال

435
00:48:23,230 --> 00:48:28,890
center الـ X موجودة في الـ center والـ Y موجودة في ال

436
00:48:28,890 --> 00:48:30,590
center كذلك