1
00:00:21,090 --> 00:00:23,650
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته باسم الله أحمد

2
00:00:23,650 --> 00:00:28,010
أحيم طبعا بنراحل فيكم مرة تانية مستكملة لمحاضراتنا

3
00:00:28,010 --> 00:00:32,350
و كل عامة بخير مناسبة العيد ان شاء الله خلافه

4
00:00:32,350 --> 00:00:37,970
هتذكر ان شاء الله بس بسرعة الأخر محاضرة قبل العيد

5
00:00:37,970 --> 00:00:41,230
كان كنا بنتكلم عن نظرية اسمها ال fundamental

6
00:00:41,230 --> 00:00:48,200
theorem of cyclic groups طبعا كان فيها تلتالجزء

7
00:00:48,200 --> 00:00:54,620
الاول ان اي subgroup من cyclic group بتكون cyclic

8
00:00:54,620 --> 00:00:59,860
اي subgroup من cyclic group بتكون cyclic الجزء

9
00:00:59,860 --> 00:01:06,900
التانى اي subgroup هيكون ال order لها بيقسم ال

10
00:01:06,900 --> 00:01:10,600
order لل group في حالة طبعا ال cyclic group الشغل

11
00:01:10,600 --> 00:01:15,910
التالتة لو كان عندي قاسم لل orderلأ الجروب او الـ

12
00:01:15,910 --> 00:01:20,250
cyclic group انا بقدر عليها جيونيكسة بالجروب داخل

13
00:01:20,250 --> 00:01:24,470
الـ cyclic group و بيكون لها نفس ال order هناخد

14
00:01:24,470 --> 00:01:34,630
مثال سريع في هذه الجزئية هنقول التالي example let

15
00:01:34,630 --> 00:01:45,610
j generated by a with order ال aبساوة تلاتين

16
00:01:45,610 --> 00:01:55,770
المطلوب list all subgroups

17
00:01:55,770 --> 00:02:00,750
of G عندي

18
00:02:00,750 --> 00:02:04,630
group Cyclic الـ all ضاقينها تلاتين المطلوب مني

19
00:02:04,630 --> 00:02:11,770
أجيب كل group Cyclic من الـ G تعالوا نشوف قليل

20
00:02:11,770 --> 00:02:13,070
الحل قبل أن نبدأ الحل

21
00:02:15,780 --> 00:02:23,260
cyclic group و بدوّع على ال subgroups اللي موجودين

22
00:02:23,260 --> 00:02:27,480
ضمن ال group إيش هيكونوا ال subgroups subgroups

23
00:02:27,480 --> 00:02:28,380
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

24
00:02:28,380 --> 00:02:28,800
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

25
00:02:28,800 --> 00:02:28,880
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

26
00:02:28,880 --> 00:02:29,220
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

27
00:02:29,220 --> 00:02:35,780
subgroups subgroups subgroups subgroups

28
00:02:35,780 --> 00:02:41,420
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

29
00:02:41,420 --> 00:02:41,760
subgroups subgroups subgroups subgroups subgroups

30
00:02:41,760 --> 00:02:45,720
subgroups subgroups subgroupssubgroup يجب أن نبدأ

31
00:02:45,720 --> 00:02:53,140
من أين؟ من قواصم ال order لمن؟ لل جي since order

32
00:02:53,140 --> 00:02:58,160
ال جي بدى يساوي order ال ايه؟ بدى يساوي تلاتين and

33
00:02:58,160 --> 00:03:08,180
جي is cyclic هذا مش معناته هذا معناته for any دي

34
00:03:08,180 --> 00:03:11,040
يقسم التلاتين there exist

35
00:03:15,010 --> 00:03:29,290
A unique subgroup H of J with order HD الـ

36
00:03:29,290 --> 00:03:35,510
subgroups المطلوب ان نجيبهم هم عبارة عن مجموعاتأو

37
00:03:35,510 --> 00:03:40,070
subgroups من الـ J ال order له عبارة عن قواصم من؟

38
00:03:40,070 --> 00:03:43,750
التلاتين في البداية هجيب قواصم التلاتين و لكل

39
00:03:43,750 --> 00:03:51,670
قواصم هجيب ال subgroup المناسبة the divisors of

40
00:03:51,670 --> 00:04:03,040
تلاتين are من؟ واحد اتنين تلاتة اربعة؟ لأخمسة ..

41
00:04:03,040 --> 00:04:13,480
ستة .. عشرة .. خمستاشر .. تلاتين طيب هدول القواسم

42
00:04:13,480 --> 00:04:18,460
تبعون التلاتين الجزء التالت من النظرية بيعطينا شغل

43
00:04:18,460 --> 00:04:25,600
تانية ان ال subgroup هذي generated by مين؟

44
00:04:29,140 --> 00:04:34,400
تذكروني for any divisor k of n generated by a أُس

45
00:04:34,400 --> 00:04:44,380
n على k now for h واحد إيش يعني h واحد يعني ال sub

46
00:04:44,380 --> 00:04:48,860
group من ال j اللي ال order إيها إيش واحد هذه

47
00:04:48,860 --> 00:04:54,830
بتكون generated by مين؟by a أُس تلاتين على واحد

48
00:04:54,830 --> 00:04:59,310
يعني generated by a أُس تلاتين a أُس تلاتين كده

49
00:04:59,310 --> 00:05:05,970
الشباب a أُس تلاتين ال identity لأن الأرض على ال a

50
00:05:05,970 --> 00:05:09,690
بيسوا تلاتين يكبر هذا generated by ال identity

51
00:05:09,690 --> 00:05:15,750
ومافيش فيها غير مين مافيش فيها غير مين غير ال

52
00:05:15,750 --> 00:05:17,970
identity طيب H2

53
00:05:20,000 --> 00:05:23,120
H2 يعني الـ subgroup للـ order اللي هتنين

54
00:05:23,120 --> 00:05:29,340
generated by مين؟ by A أُس ثلاثين على اتنين يعني A

55
00:05:29,340 --> 00:05:35,140
أُس خمستاشر اللي عبارة عن ال identity والـ A أُس

56
00:05:35,140 --> 00:05:43,580
خمستاشر H3 عبارة عن generated by A أُس ثلاثين على

57
00:05:43,580 --> 00:05:49,370
تلاتة يعني by A أُس عشرةيعني ال identity a أُس

58
00:05:49,370 --> 00:05:58,030
عشرة a أُس أشرين حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة

59
00:05:58,030 --> 00:06:03,830
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة

60
00:06:03,830 --> 00:06:07,990
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة

61
00:06:07,990 --> 00:06:10,390
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة

62
00:06:10,390 --> 00:06:10,650
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة

63
00:06:10,650 --> 00:06:16,430
حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حمسة حA أُس 12 A أُس

64
00:06:16,430 --> 00:06:22,470
18 A أُس 24 و بجف لإن A أُس 30 حتي سلمين لل

65
00:06:22,470 --> 00:06:27,330
identity أتش 6 عبارة

66
00:06:27,330 --> 00:06:33,990
عن generated by A أُس 30 على 6 يعني A أُس 5

67
00:06:35,060 --> 00:06:41,960
Identity اوس خمسة اوس عشرة اوس خمستاش اوس عشرين

68
00:06:41,960 --> 00:06:47,640
اوس خمسة عشرين ابن جاف لحظة شباب اتش ستة تحتوي

69
00:06:47,640 --> 00:06:56,820
داخلها مين اتش تلاتة و اتش اتنين ليش؟ لأن الخمسة

70
00:06:56,820 --> 00:07:02,620
او الستة او التلاتة بتقسم الستة والتنين بتقسم

71
00:07:02,620 --> 00:07:10,840
الستةطيب اتش مين بعد الستة؟ عشرة فهذا هيساوى ال

72
00:07:10,840 --> 00:07:16,980
identity a والثلاثة a والستة a والتسعة لعند a

73
00:07:16,980 --> 00:07:25,580
والسبعة وعشرين و اتش خمستائش هصير a a التربية a

74
00:07:25,580 --> 00:07:34,820
والاربعة لعند a والتمانية وعشرينواخر واحدة H30 الى

75
00:07:34,820 --> 00:07:41,580
الـ generated by الـ A الى الـ G نفسها طبعا يكسر

76
00:07:41,580 --> 00:07:45,660
عندي listing لكل ال cyclic subgroup او لكل ال

77
00:07:45,660 --> 00:07:51,900
subgroup من ال group J اللي ال order لها بساوي 30

78
00:07:51,900 --> 00:07:59,620
اي سؤال يا شباب؟ اي

79
00:07:59,620 --> 00:08:00,240
سؤال؟

80
00:08:03,650 --> 00:08:12,610
طيب لو خلنا هذا نفس المثال لكن على group معروف ال

81
00:08:12,610 --> 00:08:19,010
generator إلها بشكل واضح يعني مش a كرقم لو قولنا

82
00:08:19,010 --> 00:08:27,510
مثلا find all subgroups

83
00:08:27,510 --> 00:08:37,120
of Z 13 إيش هنعمل؟هنعمل نفس الفكرة اللي اشتغلناها

84
00:08:37,120 --> 00:08:51,440
مع فرق واحد ان الـ A أشماله الـ

85
00:08:51,440 --> 00:08:56,100
A معروف هو الواحد solution

86
00:08:56,100 --> 00:09:02,400
الـ Z 30 عبارة عن generated Pi الواحد و ال order

87
00:09:02,400 --> 00:09:09,680
للواحد 100تلاتين using the

88
00:09:09,680 --> 00:09:18,720
same method in the last example

89
00:09:18,720 --> 00:09:26,520
we get the following cyclic

90
00:09:26,520 --> 00:09:28,980
subgroups

91
00:09:32,670 --> 00:09:41,790
generated by الواحد الـ H1 الواحد ولا مين الواحد

92
00:09:41,790 --> 00:09:46,550
ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا

93
00:09:46,550 --> 00:09:46,730
مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

94
00:09:46,730 --> 00:09:46,870
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

95
00:09:46,870 --> 00:09:47,230
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

96
00:09:47,230 --> 00:09:47,790
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

97
00:09:47,790 --> 00:09:49,670
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

98
00:09:49,670 --> 00:09:49,970
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

99
00:09:49,970 --> 00:09:50,910
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

100
00:09:50,910 --> 00:09:52,310
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

101
00:09:52,310 --> 00:09:53,610
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

102
00:09:53,610 --> 00:09:55,950
الواحد ولا مين الواحد ولا مين الواحد ولا مين

103
00:09:55,950 --> 00:09:58,750
الواحد

104
00:10:04,130 --> 00:10:13,790
H5 الـ 0 الـ 6 الـ 12 الـ 18 الـ 24 وصولا لـ H30

105
00:10:13,790 --> 00:10:19,970
اللي عبارة عن الـ Z30 نفسه واضح يا عادي؟ واضح يا

106
00:10:19,970 --> 00:10:22,870
شباب؟ في كرولر عن مظهرية اللي فاتت

107
00:10:28,780 --> 00:10:32,780
هي نفس الجزئية التالتة من النظرية لكن على group

108
00:10:32,780 --> 00:10:44,280
معروفة وهي z,n for every k

109
00:10:44,280 --> 00:10:50,760
يقسم ال n there exists a unique subgroup

110
00:10:57,500 --> 00:11:14,340
of ZN with order K namely generated

111
00:11:14,340 --> 00:11:20,260
by مين؟ طبق الـ band التالت من النظرية السابقة لكن

112
00:11:20,260 --> 00:11:26,080
على ZN هكون واحد أسفل N على K اللي هو أبعد عن مين؟

113
00:11:27,110 --> 00:11:34,170
ان على ك مش

114
00:11:34,170 --> 00:11:40,970
بس هيك these are

115
00:11:40,970 --> 00:11:47,630
the only subgroups

116
00:11:47,630 --> 00:11:55,110
of z طبعا مافيش غيرها مافيش غيرهم هدولة لكل قاسم

117
00:11:55,110 --> 00:12:01,530
للانملاقي subgroup ال order لها هذا القاسم وهي

118
00:12:01,530 --> 00:12:07,090
generated by من؟ by n على القاسم طبعا هذا طبقنا

119
00:12:07,090 --> 00:12:17,970
عليه المثال الموجود جانب دي مثال سريع for زد مثلا

120
00:12:17,970 --> 00:12:23,910
عشرين عند من؟ generated by الواحدgenerated by

121
00:12:23,910 --> 00:12:29,270
التنين generated by الأربعة generated by الخمسة

122
00:12:29,270 --> 00:12:36,490
and generated by العشرة and generated by الأشعين

123
00:12:36,490 --> 00:12:50,990
دول هم ال only cyclic subgroups ل ال z أشعين أيه

124
00:12:50,990 --> 00:13:02,430
السؤال يا شبابأي سؤال سؤال عالسريع find the number

125
00:13:02,430 --> 00:13:15,750
of subgroups of j generated by a if order a بسوى

126
00:13:15,750 --> 00:13:16,810
خمسة وعشرين

127
00:13:22,100 --> 00:13:28,380
أوجد عدد الـ subgroups اللي موجودين في الجروب جيه

128
00:13:28,380 --> 00:13:33,620
اللي ال order لل generator إلها عبارة عن 25 نجيب

129
00:13:33,620 --> 00:13:39,400
عدد قواسم الخمسة وعشرين ويكون هو عدد ال subgroups

130
00:13:39,400 --> 00:13:44,040
the divisors of

131
00:13:44,040 --> 00:13:51,560
خمسة وعشرين are واحد خمسة وخمسة وعشرين يجب كموحدة

132
00:13:52,410 --> 00:14:02,190
there are only three subgroups

133
00:14:02,190 --> 00:14:09,910
of G فقط تلاتة cyclic subgroups أو subgroups

134
00:14:09,910 --> 00:14:16,630
موجودين هنا أنهينا السؤال المتعلق بعدد ال cyclic

135
00:14:16,630 --> 00:14:22,350
subgroup بيجي سؤال تانيسؤال الأول هو قداش عدد ال

136
00:14:22,350 --> 00:14:27,970
generator في ال cyclic group؟سؤال التاني لو كان

137
00:14:27,970 --> 00:14:35,190
عندي قاسم لل order لل group cyclic نقول لو كان

138
00:14:35,190 --> 00:14:38,610
عندي قاسم فانا بلاقي sub group ال order لهذا

139
00:14:38,610 --> 00:14:41,950
القاسم لما اقول sub group من cyclic و ال order

140
00:14:41,950 --> 00:14:45,090
لهذا القاسم معناته انها generator وهذا ال

141
00:14:45,090 --> 00:14:49,170
generator ال order له بيساوي القاسم يعني لكل قاسم

142
00:14:49,170 --> 00:14:56,310
ل order ال finite group cyclic بلاقي عنصر جواالـ

143
00:14:56,310 --> 00:15:00,210
لـ group ال order إيه له هذا القاسم طب السؤال كم

144
00:15:00,210 --> 00:15:06,410
عنصر من هذا النوع بلاجي بلاجي واحد أه طب جديش

145
00:15:06,410 --> 00:15:12,430
بالظبط عشان نقدر نعرف هذا الجواب هنعرف function

146
00:15:12,430 --> 00:15:17,670
اسمه الearlier phi function هتدرس بالتفصيل في مساق

147
00:15:17,670 --> 00:15:20,950
نظرية الأعداد definition

148
00:15:23,750 --> 00:15:35,810
Euler Phi Function متعرفة

149
00:15:35,810 --> 00:15:45,290
بالشكل التالي فايل واحد بيساوي واحد اتنين if n

150
00:15:45,290 --> 00:15:52,530
أكبر من واحد then فايل n يساوي ال number

151
00:15:56,000 --> 00:16:03,600
of integers less than

152
00:16:03,600 --> 00:16:11,360
أن عدد العدد الصحيح اللي أقل من الان and

153
00:16:11,360 --> 00:16:14,400
relatively

154
00:16:14,400 --> 00:16:17,600
prime

155
00:16:17,600 --> 00:16:21,300
with

156
00:16:24,550 --> 00:16:27,690
طبعا أنا بتكلم مش عن integers بس انا ممكن اضيف

157
00:16:27,690 --> 00:16:32,750
كلمة the number of positive integers

158
00:16:32,750 --> 00:16:38,010
عشان ماحدش يروح يحسبلي الاعداد السالبة في ملاحظة

159
00:16:38,010 --> 00:16:45,870
غير ان note that file and عبارة عن ال order لل

160
00:16:45,870 --> 00:16:47,830
group UN

161
00:16:49,930 --> 00:16:54,650
فايل ان عبارة عن order لجروب UN وهذا من المنطقى

162
00:16:54,650 --> 00:17:01,930
لأن جروب UN تأخذ الأعداد المحصورة بين الواحد و

163
00:17:01,930 --> 00:17:12,590
الان والتي تكون relatively prime with الان الان

164
00:17:12,590 --> 00:17:16,810
أكبر من واحد ده لكن أنا ما أعد الان بعد الأعداد

165
00:17:16,810 --> 00:17:20,860
الأقل منها فلازم يكونوا positive عشان اناأشغل صح

166
00:17:20,860 --> 00:17:34,600
طيب كمثال سريع لو

167
00:17:34,600 --> 00:17:39,080
قولنا في التنين كده؟

168
00:17:39,080 --> 00:17:44,520
واحد كم عدد جاب للتنين لغاية الابراهيم مع التنين؟

169
00:17:44,520 --> 00:17:45,440
في العشرة

170
00:17:49,180 --> 00:17:57,880
1 و 3 و 7 و 9 جديش؟ اربعة فاي ل prime كم عدد جابل

171
00:17:57,880 --> 00:18:04,780
اي عدد اولي relatively prime مع بي minus one بي is

172
00:18:04,780 --> 00:18:16,320
prime طيب في اتنين اص كيه؟ جديش؟

173
00:18:17,630 --> 00:18:20,690
العداد الـ relatively prime مع ال power للتنين هي

174
00:18:20,690 --> 00:18:25,390
العداد الفردية فقط اللي عبارة عن إيش؟ تنين قصه K

175
00:18:25,390 --> 00:18:33,390
minus one لو قلنا file P to K عبارة

176
00:18:33,390 --> 00:18:37,030
عن إيش؟

177
00:18:37,030 --> 00:18:42,590
P to

178
00:18:42,590 --> 00:18:47,350
K minus one

179
00:18:48,650 --> 00:18:53,070
هذا بصورة عميم لهذه العلاقة عشان نعممها على الأكتر

180
00:18:53,070 --> 00:19:02,490
if n إبتدت عن P1 to K1 P2 to K2 and PR to KR هيكون

181
00:19:02,490 --> 00:19:18,850
then في ال N إبتدت عن P1 to K1-P1 to K1-1 فيP2-P2

182
00:19:18,850 --> 00:19:26,810
-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2

183
00:19:26,810 --> 00:19:28,430
-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2-P2

184
00:19:28,430 --> 00:19:33,490
-P2-P2-P2

185
00:19:33,910 --> 00:19:40,010
و التفاصيل التفاصيل لكن بستعمل فيها concepts مش

186
00:19:40,010 --> 00:19:43,210
موجودة عندي في هذا المساق اشتغل على ال

187
00:19:43,210 --> 00:19:47,710
multiplicative functions و بعض الأمور من هذا النوع

188
00:19:47,710 --> 00:19:54,370
طيب

189
00:19:54,370 --> 00:19:58,010
ايش دخل ال function هذه في موضوعنا هتيجي النظرية

190
00:19:58,010 --> 00:20:01,230
اربع اربع و توضح

191
00:20:05,040 --> 00:20:09,440
بنخلصه ان شاء الله بضايق نظرية واحدة بيساوي رقم

192
00:20:09,440 --> 00:20:17,120
معين let J بيساوي generated by ال A و أخضر ال A

193
00:20:17,120 --> 00:20:18,100
بيساوي N

194
00:20:21,780 --> 00:20:25,380
دى يقسم الان طبعا دى يقسم الان احنا هيك بنقول ان

195
00:20:25,380 --> 00:20:29,600
يوجد only one sub group of order دى namely

196
00:20:29,600 --> 00:20:34,500
generated by a to n على d هيت السؤال جداش عدد ال

197
00:20:34,500 --> 00:20:40,600
generator then the

198
00:20:40,600 --> 00:20:48,320
elements او the number of

199
00:20:48,320 --> 00:20:49,080
elements

200
00:20:51,850 --> 00:21:05,150
in J with order D is فاية D عدد العناصر في J اللي

201
00:21:05,150 --> 00:21:12,610
ال order لهم بيساوي D بيساوياش فاية D نيجي نتبت

202
00:21:12,610 --> 00:21:16,270
نيجي

203
00:21:16,270 --> 00:21:17,690
نتبت العلاقة

204
00:21:20,740 --> 00:21:28,020
اربع تلاتة part c ايش ال part c في النظرية هذه

205
00:21:28,020 --> 00:21:35,760
بيقول؟ there exist a unique .. طبعا there exist

206
00:21:35,760 --> 00:21:42,040
unique subgroup of

207
00:21:42,040 --> 00:21:48,440
j with order d

208
00:21:48,440 --> 00:21:50,100
namely

209
00:21:53,030 --> 00:22:01,270
generated by a to n على d طيب

210
00:22:01,270 --> 00:22:06,550
هل جيت؟ مده مافيش غير هذه ال subgroup ال order

211
00:22:06,550 --> 00:22:10,570
اللي هي دي فالعناصر لل order اللي هي دي ممكن تكون

212
00:22:10,570 --> 00:22:11,350
موجودة برا

213
00:22:15,080 --> 00:22:19,640
الـ uniqueness لهذه ال subgroup بخليني أقول إنه

214
00:22:19,640 --> 00:22:24,920
جميع العناصر اللي ال order إلها دي و اللي موجودة

215
00:22:24,920 --> 00:22:35,780
دي هو هذه ال subgroup هذا معناته all elements in J

216
00:22:35,780 --> 00:22:48,500
with order D are in thissubgroup طيب

217
00:22:48,500 --> 00:22:52,840
كل

218
00:22:52,840 --> 00:22:57,080
العناصر لل order اللي دي موجودين هنا يعني بلو أنا

219
00:22:57,080 --> 00:23:01,960
عرفت أكمع عنصر ال order اللي دي في هذه ال subgroup

220
00:23:01,960 --> 00:23:08,420
بكون خلصت now each

221
00:23:08,420 --> 00:23:12,900
one of these elements

222
00:23:16,390 --> 00:23:23,370
is a generator of

223
00:23:23,370 --> 00:23:30,930
this subgroup

224
00:23:30,930 --> 00:23:38,070
ليش؟ العنصر هذا ال order له دي وموجود في group ال

225
00:23:38,070 --> 00:23:44,130
order له دي ايه بيكون لها؟ بيكون لها مولّب، بيكون

226
00:23:44,130 --> 00:23:49,090
generatorNow if

227
00:23:49,090 --> 00:23:56,370
generated by A to N على D ممكن اكتبها generated by

228
00:23:56,370 --> 00:24:05,470
P with order ال P بدي سو D then the other

229
00:24:05,470 --> 00:24:10,130
generators

230
00:24:10,130 --> 00:24:13,110
are of the form

231
00:24:16,330 --> 00:24:29,370
B to K والجريس common divisor لD وK وD سوى 1 رجع

232
00:24:29,370 --> 00:24:34,030
ليش لنظرية اللي أخدناها في أول الشبتر ان ال

233
00:24:34,030 --> 00:24:39,090
generator او ال .. ال .. حيكون عبارة عن عناصرالـ

234
00:24:39,090 --> 00:24:42,790
order او ال .. ال .. ال .. ال .. ال power تبعها

235
00:24:42,790 --> 00:24:47,230
لجيسكم ال divisor إله relative لبرايم مع order ل

236
00:24:47,230 --> 00:24:53,030
group نفسها أكم كيب اللاجي أكم

237
00:24:53,030 --> 00:24:59,410
كيب اللاجي relative لبرايم مع دي يا شباب and we

238
00:24:59,410 --> 00:25:12,810
can find .. find ال Dof this such K بقدر ألاقي

239
00:25:12,810 --> 00:25:22,790
فاية D من هذه الأرقام K so the number of elements

240
00:25:22,790 --> 00:25:35,510
in J with order D is فاية D وهو المطلوب

241
00:25:42,170 --> 00:25:45,330
اللي صار كانت تانية يا شباب انا بدور على عناصر لل

242
00:25:45,330 --> 00:25:49,450
order الهدى نقلت المسألة من اني ابحث في ال ج كلها

243
00:25:49,450 --> 00:25:54,170
لاني ابحث وين في ال sub group لل order الهدى ميزة

244
00:25:54,170 --> 00:25:58,610
العناصر هنا لل order الهدى انها generator انا عشان

245
00:25:58,610 --> 00:26:02,430
اعدى كام generator باخد واحد من هذه ال generators

246
00:26:02,430 --> 00:26:06,890
فليكن بيه و باقى ال generators عبارة عن P to K و

247
00:26:06,890 --> 00:26:11,250
ال K relative لبرايم مع مينمع ال D أكم عمصر بقدر

248
00:26:11,250 --> 00:26:15,110
أجري راتب لبرايم مع ال D و أجال من ال D محصوب من

249
00:26:15,110 --> 00:26:19,390
ال D والواحد و عبارة عن فاية D و بتالي وجد فاية D

250
00:26:19,390 --> 00:26:25,270
subgroup

251
00:26:25,270 --> 00:26:30,010
وحيدة في ال G لكن أكم element بولدها وحيد

252
00:26:36,100 --> 00:26:42,140
يعني مثلا ال z يوجد في ال z 30 only subgroup of

253
00:26:42,140 --> 00:26:47,240
order 15 هي generated by a 2 طبعا ال a 2 في ال z

254
00:26:47,240 --> 00:26:52,120
30 يعني هي by 2 بس أكم generator ل ال generated by

255
00:26:52,120 --> 00:26:58,260
2 في ال z 30 بولد

256
00:26:58,260 --> 00:27:03,520
ال generated by 2 ماتقوليش في عيه 2 لأ في عيه 30

257
00:27:03,520 --> 00:27:13,280
على 2 في عيه 15لو اعتقد بيطلع تمانية طيب ناخد مثال

258
00:27:13,280 --> 00:27:27,140
رقمى من في ال chapter then

259
00:27:27,140 --> 00:27:33,260
find the

260
00:27:33,260 --> 00:27:39,200
numberof elements in

261
00:27:39,200 --> 00:27:49,720
z اربعين with order عشرين

262
00:27:49,720 --> 00:28:02,020
اكم عنصر في z اربعين ال order لهم عشرين فعل

263
00:28:02,020 --> 00:28:09,740
عشرين هذه النظرية اللي قدامكسلوشين هناك

264
00:28:09,740 --> 00:28:20,800
فايل عشرين فايل

265
00:28:20,800 --> 00:28:31,900
عشرين كده فايل عشرين تمانية تقدر

266
00:28:31,900 --> 00:28:32,320
تجيبهم

267
00:28:35,510 --> 00:28:43,310
تقدر تجيبهم؟ هذه العناصر الأخضر إلها تمانية تعالوا

268
00:28:43,310 --> 00:28:55,170
نفكر We to find them We

269
00:28:55,170 --> 00:29:02,810
find one Let

270
00:29:06,040 --> 00:29:13,900
مثلا a ينتمي لزد اربعين و order ال a بيساوي ايش؟

271
00:29:13,900 --> 00:29:22,420
عشرين ال a ايش هيساوي؟ مين هو العنصر اللي في زد

272
00:29:22,420 --> 00:29:25,020
عشرين؟ او اتل واحد من العناصر اللي في زد اربعين

273
00:29:25,020 --> 00:29:29,540
اللي ال order العشرين؟

274
00:29:29,540 --> 00:29:33,980
ال a او

275
00:29:33,980 --> 00:29:39,490
findممكن ناخد الاي عبارة عن واحد اصر اربعين على

276
00:29:39,490 --> 00:29:45,350
عشرين اللي هو عبارة عن جد ياشر واحد اصر عشرين و

277
00:29:45,350 --> 00:29:50,790
واحد اصر اتنين اللي هو اتنين في زد اربعين ايه

278
00:29:50,790 --> 00:29:53,850
بالعنصر اللي ال order ايه له عشرين او واحد العناصر

279
00:29:53,850 --> 00:29:59,210
اللي ال order ايه له عشرين في زد اربعين هو مين ال

280
00:29:59,210 --> 00:30:02,570
other elements are

281
00:30:06,130 --> 00:30:12,190
تانية نقص كتانية

282
00:30:12,190 --> 00:30:17,070
نقص تسعة

283
00:30:17,070 --> 00:30:21,430
أو سبعة في الأول تانية نقص تسعة تانية نقص احداش

284
00:30:21,430 --> 00:30:35,650
تانية نقص تلاتاش تانية نقص17 2 19 2 6 14 18 22 26

285
00:30:35,650 --> 00:30:48,250
34 38 هذه هي العناصر اللي ال order لها يساوي 20 في

286
00:30:48,250 --> 00:30:54,450
z أربع تمام

287
00:30:58,650 --> 00:31:05,490
ما هو هذا زد ان الاص بيصير تنين اص واحد يعني انا

288
00:31:05,490 --> 00:31:07,790
واحد في اتنين اتنين تنين اص ثلاثة انا تلاتة في

289
00:31:07,790 --> 00:31:20,350
اتنين ستة تنين اص واحد هذي لأ هذي سهل هنفوت

290
00:31:20,350 --> 00:31:26,250
هناخد جزء discussion مناقشة طبعا محاضرة الجزء اللي

291
00:31:26,250 --> 00:31:29,550
ضال من محاضرة اليوم زادالمحاضرة اللى هناخدها

292
00:31:29,550 --> 00:31:34,270
الساعة 12 زاد محاضرة الأتنين هنناقش فيهم مجموعة من

293
00:31:34,270 --> 00:31:39,770
أسئلة chapter 4 ما بعرف هل هنخلص أو لأ إذا ما

294
00:31:39,770 --> 00:31:43,870
خلصنا ممكن ناخد محاضرة الأربع أو محاضرة تعويضية

295
00:31:43,870 --> 00:31:55,450
للمناقشة أنا همسح الجزء هذا طبعا

296
00:31:57,470 --> 00:31:59,950
زي ما انت شاير هذا ال chapter الأسئلة عددها كبير

297
00:31:59,950 --> 00:32:05,030
يعني ما يقارب حوالي من خمسة ربيع لخمسين سؤال فانا

298
00:32:05,030 --> 00:32:07,990
مش هعمل زي ال chapter الفاتوح اللي الجميع هي بعض

299
00:32:07,990 --> 00:32:13,730
الأسئلة هعطيك مساعدة إليك فيها و أنت تكمل يعني

300
00:32:13,730 --> 00:32:17,810
خصوصا الأسئلة من واحد لخمس عشر إما أسئلة حسابية أو

301
00:32:17,810 --> 00:32:23,730
أسئلة سهل إن الطالب يقدر يعرفها لوحده

302
00:32:43,420 --> 00:32:49,200
السؤال الأول find all generator of z6, z8, z20

303
00:32:49,200 --> 00:32:56,660
طبعا ال generator غيرنا عبارة عن مين؟ لو طلعنا على

304
00:32:56,660 --> 00:33:02,540
نظرية أو corollary لنظرية الأولى كان بيقولك ال

305
00:33:02,540 --> 00:33:06,660
generator ل zn هي عبارة عن مين؟ عن الأرقام اللي

306
00:33:06,660 --> 00:33:10,160
relative ل برايم مع ال n اللي هي فعليا عبارة عناش؟

307
00:33:10,160 --> 00:33:15,950
عناصر ال UNفلو داشت على ز داش ز تلاتين او ز عشرين

308
00:33:15,950 --> 00:33:21,470
منهم ما هيكونوا واحد و تلاتة و سبعة و تسعة احداش

309
00:33:21,470 --> 00:33:26,250
تلاتاش سبعتاش تسعة عشر اعتقد حلنا السؤال على ز

310
00:33:26,250 --> 00:33:36,580
تلاتين اتناء الحل لو دينا سؤال اتنينSuppose that

311
00:33:36,580 --> 00:33:39,960
A, B or generated by A, generated by B, generated

312
00:33:39,960 --> 00:33:45,040
by C are cyclic group of order 6,8,20 Find all

313
00:33:45,040 --> 00:33:49,300
generators generated by A, generated by B,

314
00:33:49,540 --> 00:33:53,780
generated by C حلنا سؤال على هذا النمط، لو اشتغلنا

315
00:33:53,780 --> 00:33:58,680
مثلا على generated by C و ال order لـ C بدي يسوى

316
00:33:58,680 --> 00:34:03,420
20 فgenerated by C هو نفسه generated by C تكيب

317
00:34:04,170 --> 00:34:08,850
Generated by C أُس سبعة Generated by C أُس تسعة

318
00:34:08,850 --> 00:34:08,930
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة

319
00:34:08,930 --> 00:34:10,850
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة

320
00:34:10,850 --> 00:34:12,410
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة

321
00:34:12,410 --> 00:34:12,690
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة

322
00:34:12,690 --> 00:34:12,710
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة

323
00:34:12,710 --> 00:34:15,370
Generated by C أُس تسعة Generated by C أُس تسعة

324
00:34:15,370 --> 00:34:21,850
Generated by C أُس تسعة Generated

325
00:34:21,850 --> 00:34:29,600
by C أُس تسعة Generated bylist all elements of the

326
00:34:29,600 --> 00:34:35,580
subgroups generated by 20 generated by 10 in z 30

327
00:34:35,580 --> 00:34:42,040
let a,b طبعا سؤال تلاتة هو نفسه واحد واتنين لكن

328
00:34:42,040 --> 00:34:50,240
على مين على ال order 30 تقل

329
00:34:50,240 --> 00:34:51,960
السؤال الرابع when

330
00:34:56,310 --> 00:35:07,450
C plus 1 هي نفس الـ C سؤال

331
00:35:07,450 --> 00:35:19,490
أربعة زي سؤال تلاتة سؤال خمسة في شغل نشغل في U20يو

332
00:35:19,490 --> 00:35:24,790
عشرين جديش يا شباب؟ واحد، تلاتة، سبعة، تسعة، داشر،

333
00:35:24,790 --> 00:35:30,650
تلتاشر، سبعتاشر، تسعة، اتاشر List the elements of

334
00:35:30,650 --> 00:35:34,430
generated by تلاتة وسبعة ناخد generated by سبعة

335
00:35:34,430 --> 00:35:43,250
مثلا اللي عبارة عن الواحد السبعة سبعة تغبيع جديش؟

336
00:35:43,250 --> 00:35:50,760
تسعة واربعين مدة عشرين جديش؟ تسعةسبعة تكيب يعني

337
00:35:50,760 --> 00:36:02,320
سبعة في تسعة تلاتة قصتين تلاتة سبعة أربعة يعني

338
00:36:02,320 --> 00:36:07,200
سبعة في تلاتة يعني واحد و عشرين و واحد طبعا

339
00:36:07,200 --> 00:36:14,020
generated by تلاتة عبارة عن من؟ واحد تلاتة تلاتة

340
00:36:14,020 --> 00:36:17,980
تربية تسعة بعدين سبعة و عشرين سبعة بعدين حتيجة

341
00:36:21,630 --> 00:36:26,370
طيب سؤال السادس what do exercises تلاتة و أربعة و

342
00:36:26,370 --> 00:36:29,510
خمسة have in common try to make a generalization

343
00:36:29,510 --> 00:36:36,730
that includes these three cases انت لما تحل سؤال

344
00:36:36,730 --> 00:36:43,070
تلاتة و أربعة و خمسة ايش بتستنتجه؟

345
00:36:43,070 --> 00:36:49,430
ايش السنتجات اللي ممكن تستنتجها؟ لو طلعنا على خمسة

346
00:36:50,250 --> 00:36:54,730
هنستنتج ان ال generated by ال element و ال

347
00:36:54,730 --> 00:37:00,530
generated by ال inverse تبعوا نفس الشيء طيب لو

348
00:37:00,530 --> 00:37:03,410
جينا السؤال 4 list the elements of the subgroups 3

349
00:37:03,410 --> 00:37:08,490
and 15 in Z18 التلاتة و الخمس عشر في Z18 شمالهم

350
00:37:08,490 --> 00:37:12,310
برضه inverse لو جينا السؤال تلاتة

351
00:37:16,050 --> 00:37:19,390
عشرة و عشرين في زي التلاتين اشمالهم برضه inverse

352
00:37:19,390 --> 00:37:24,630
يجب الاستنتاج تبع سؤال تلاتة او اربع او خمسة اللي

353
00:37:24,630 --> 00:37:30,010
انا بدي احطه في سؤال ستة انه generated by ال a

354
00:37:30,010 --> 00:37:38,670
generated by ال a inverse وهذا اثبتناه في شبتر

355
00:37:38,670 --> 00:37:39,450
تلاتة

356
00:37:42,190 --> 00:37:47,870
طيب سبعة find an example of a non-cyclic group all

357
00:37:47,870 --> 00:37:53,810
of whose proper subgroup are cyclic اعطيني group

358
00:37:53,810 --> 00:38:01,210
not cyclic لأن كل ال subgroup اسمينها cyclic مارت

359
00:38:01,210 --> 00:38:07,730
علينا في ال chapter اللي فات خدناها D6

360
00:38:07,730 --> 00:38:11,490
وD4 اي واحدة من ال D

361
00:38:14,340 --> 00:38:23,440
بتكون صحيحة دي اربعة او دي ستة او دي تمانية بكون

362
00:38:23,440 --> 00:38:33,260
صح ال U تمانية سائق لك ال U تمانية صح

363
00:38:33,260 --> 00:38:39,200
صح ال U تمانية تمانية

364
00:38:41,150 --> 00:38:44,110
let a be an element of a group and let order a

365
00:38:44,110 --> 00:38:47,990
بسوا 15 compute the orders of the following طبعا

366
00:38:47,990 --> 00:38:57,390
هذا سهل مثلا ال order ل a أس 9 عبارة عن عبارة عن

367
00:38:57,390 --> 00:39:04,510
إيش ال order ل a أس k عبارة عن إيش في نظرية في أول

368
00:39:04,510 --> 00:39:10,650
واحدة خدناها and علىالـ order ل a of k عبارة عن n

369
00:39:10,650 --> 00:39:14,690
على الجيز common divisor ل n mark a يعني عبارة عن

370
00:39:14,690 --> 00:39:20,170
خمستاش على جيز common divisor لخمستاش تسعة فتطلع

371
00:39:20,170 --> 00:39:27,450
خمسة طبعا نفس القصة في b و نفس القصة في c

372
00:39:33,530 --> 00:39:41,330
سؤال تسعة how many subgroups of Z20 توحى لنا توحى

373
00:39:41,330 --> 00:39:47,070
لنا شباب في Z20 كام subgroup اللي أجى؟ عوام ال 20

374
00:39:47,070 --> 00:39:51,850
عوام ال 20 و لا عوام ال 20؟ لأ عوام ال 20

375
00:39:51,850 --> 00:39:56,530
generator لكن subgroup احنا قلنا فيه عددين عدد ال

376
00:39:56,530 --> 00:40:01,370
subgroups اللي هو عدد القواسملكن عدد ال generator

377
00:40:01,370 --> 00:40:08,170
اللي هو ال file عدد القواسم من ال 20 جديش 6 1 2 4

378
00:40:08,170 --> 00:40:14,250
5 10 و 20 طبعا سهل انك تتعامل مع هذا السؤال سؤال

379
00:40:14,250 --> 00:40:20,770
10 انزد 24 list all generator سؤال 10 زي سؤال 9

380
00:40:20,770 --> 00:40:27,470
سؤال 11 generated by ال A inverse ممكن تساوي

381
00:40:27,470 --> 00:40:28,410
generated by D

382
00:40:33,860 --> 00:40:42,580
أه كيف نثبتها دى فى

383
00:40:42,580 --> 00:40:46,980
طريقة تانية اما طريقة الـ C3 answer hand موجودة

384
00:40:46,980 --> 00:40:53,420
هنا و العكس او طريقة مباشرة generated by ال A

385
00:40:53,420 --> 00:41:00,740
عبارة عن ايش عبارة عن ال A to K I to K من وين

386
00:41:06,270 --> 00:41:14,650
هو نفسه عبارة عن a أس سالب k حيث سالب k في زي اين

387
00:41:14,650 --> 00:41:23,710
طب a أس سالب k عبارة عن ايش a inverse أس k حيث k

388
00:41:23,710 --> 00:41:30,670
في زي اللي هو عبارة عن generated by a inverseطبعا

389
00:41:30,670 --> 00:41:37,550
السبب ان هذه الجملة K في Z و A to K تكافئ A و سالب

390
00:41:37,550 --> 00:41:42,310
K و سالب K في Z هجيتها دي خلتها زي ما هي سالب K في

391
00:41:42,310 --> 00:41:49,110
Z تكافئ ان K و A موجودة في Z بصر Generated by A هي

392
00:41:49,110 --> 00:41:52,370
نفسه Generated by A inverse إذا كان حاسس انك مش

393
00:41:52,370 --> 00:41:58,750
فاهم هذا الطريقة بإمكانك تاخد answer هناعنصر P

394
00:41:58,750 --> 00:42:02,110
ينتبه الـ generated by الـ A فعبارة عن ال A to T

395
00:42:02,110 --> 00:42:06,970
فهو نفس ال A inverse السلب T فصار العنصر موجود في

396
00:42:06,970 --> 00:42:18,610
generated by ال A inverse والعكس صحيح السؤال

397
00:42:18,610 --> 00:42:21,930
12 in Z find all generators of the subgroup

398
00:42:21,930 --> 00:42:25,270
generated by تلاتة طبعا

399
00:42:28,140 --> 00:42:31,620
فى z generated by التلاتة عبارة عن إيش يا شباب

400
00:42:31,620 --> 00:42:35,000
generated

401
00:42:35,000 --> 00:42:40,540
by التلاتة فى z صفر موجب سالب تلاتة موجب سالب ستة

402
00:42:40,540 --> 00:42:49,360
موجب سالب ست تسعة إلى آخرين بدنا ال generator لهذه

403
00:42:49,360 --> 00:42:54,980
ال subgroup ال

404
00:42:54,980 --> 00:42:56,420
generators عبارة عن

405
00:43:00,720 --> 00:43:08,300
التلاتة ومين كمان؟ والسالب تلاتة حالي بيقدر يقول

406
00:43:08,300 --> 00:43:13,980
لي ليش ماخدتش غيره؟ أنا لو أخدت الستة، الستة مش

407
00:43:13,980 --> 00:43:19,880
هتولد التلاتة، أنا بشغل في infinite الجهود، لو

408
00:43:19,880 --> 00:43:23,660
أخدت التسعة، التسعة مش هتولد الستة، يعني مافيش

409
00:43:23,660 --> 00:43:28,510
جدام غير مين؟موجب سالب تلاتة طب هنتعميمها في ال

410
00:43:28,510 --> 00:43:36,410
infinite order ال generator by a تكييب هي نفس ال a

411
00:43:36,410 --> 00:43:46,090
تكييب وال a والسالب تلاتة هننهي عن السؤال تلتاشر

412
00:43:46,090 --> 00:43:50,610
ان شاء الله بنكمل في محاضرة اليوم الساعة اتناشر

413
00:43:50,610 --> 00:43:53,550
بقى في الأسئلة يعطيكوا العافية كل عام تبقى مرة

414
00:43:53,550 --> 00:43:53,910
تانية